ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
hμ : μ {x | ε ≤ f x} = ⊤

⊢ ε * (μ {x | ε ≤ f x}).toReal ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
hμ : μ {x | ε ≤ f x} < ⊤

⊢ ε * (μ {x | ε ≤ f x}).toReal ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hg : g.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
F : α
F0 : F > 0
hF : ∀ (i : ℕ), abv (↑f i) < F
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abv (↑g j) < ε / F
j : ℕ
ij : j ≥ i

⊢ abv (↑(f * g) j) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hg : g.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
F : α
F0 : F > 0
hF : ∀ (i : ℕ), abv (↑f i) < F
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abv (↑g j) < ε / F
j : ℕ
ij : j ≥ i
this : abv (↑f j) * abv (↑g j) < F * (ε / F)

⊢ abv (↑(f * g) j) < ε
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
m : ℕ
hpos : 0 < m
hm : m < exponent G

⊢ ∃ g, g ^ m ≠ 1
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
m : ℕ
hpos : 0 < m
hm : m < exponent G
h : ∀ (g : G), g ^ m = 1

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
m : ℕ
hpos : 0 < m
hm : m < exponent G
h : ∀ (g : G), g ^ m = 1
hcon : exponent G ≤ m

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
p : R[X]

⊢ eval 0 (map f p) = f (eval 0 p)
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a b c d : ℤ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [ZMOD m]

⊢ a * c ≡ b * c [ZMOD m]
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : Semiring α
h : Periodic f c
n : ℕ

⊢ Periodic f (↑n * c)
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n p : ℕ
pp : Prime p
a✝ : ℕ

⊢ a✝ ∈ p.divisors ↔ a✝ ∈ {1, p}
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
n : Basis ι R ↥N
H : Function.Injective ⇑(M.mulRightMap ⇑n)

⊢ M.LinearDisjoint N
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
n : Basis ι R ↥N
H : Function.Injective ⇑(M.mulMap N)

⊢ M.LinearDisjoint N
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : R
a : A

⊢ r ∉ σ a ↔ IsUnit (↑ₐ r - a)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : R
a : A

⊢ ¬r ∉ σ a ↔ ¬IsUnit (↑ₐ r - a)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧

⊢ ↑a ∈ MulAction.orbit (↥H) c ↔ ↑b ∈ MulAction.orbit (↥H) c
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧

⊢ c ∈ MulAction.orbit ↥H ↑a ↔ c ∈ MulAction.orbit ↥H ↑b
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧

⊢ MulAction.orbit ↥H ↑b = MulAction.orbit ↥H ↑a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧

⊢ ↑b ∈ MulAction.orbit ↥H ↑a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧

⊢ b ∈ orbit ⟦a⟧
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ : α → ℝ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ
g : α → E

⊢ ∫ (x : α), g x ∂μ.tilted f = ∫ (x : α), (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) • g x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : Countable ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p

⊢ FirstCountableTopology E
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : Countable ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
this : TopologicalAddGroup E

⊢ FirstCountableTopology E
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : Countable ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
this : TopologicalAddGroup E
x✝ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E

⊢ FirstCountableTopology E
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : Countable ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
this✝ : TopologicalAddGroup E
x✝ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
this : UniformAddGroup E

⊢ FirstCountableTopology E
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : Countable ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
this✝¹ : TopologicalAddGroup E
x✝ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
this✝ : UniformAddGroup E
this : (𝓝 0).IsCountablyGenerated

⊢ FirstCountableTopology E
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : Countable ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
this✝² : TopologicalAddGroup E
x✝ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
this✝¹ : UniformAddGroup E
this✝ : (𝓝 0).IsCountablyGenerated
this : (𝓤 E).IsCountablyGenerated

⊢ FirstCountableTopology E
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Cones.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
c : Cocone F
j j' : J
f : j ⟶ j'

⊢ F.map f ≫ c.ι.app j' = c.ι.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Cones.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
c : Cocone F
j j' : J
f : j ⟶ j'

⊢ c.ι.app j ≫ ((const J).obj c.pt).map f = c.ι.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.61043, u_3} E
L₁ L₂ : C ⥤ D
e : L₁ ≅ L₂
inst✝ : L₁.IsLocalization W

⊢ L₂.IsLocalization W
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.61043, u_3} E
L₁ L₂ : C ⥤ D
e : L₁ ≅ L₂
inst✝ : L₁.IsLocalization W
h : W.IsInvertedBy L₁

⊢ L₂.IsLocalization W
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.61043, u_3} E
L₁ L₂ : C ⥤ D
e : L₁ ≅ L₂
inst✝ : L₁.IsLocalization W
h : W.IsInvertedBy L₂

⊢ L₂.IsLocalization W
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.61043, u_3} E
L₁ L₂ : C ⥤ D
e : L₁ ≅ L₂
inst✝ : L₁.IsLocalization W
h : W.IsInvertedBy L₂
F₁ : W.Localization ⥤ D := Construction.lift L₁ ⋯

⊢ L₂.IsLocalization W
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.61043, u_3} E
L₁ L₂ : C ⥤ D
e : L₁ ≅ L₂
inst✝ : L₁.IsLocalization W
h : W.IsInvertedBy L₂
F₁ : W.Localization ⥤ D := Construction.lift L₁ ⋯
F₂ : W.Localization ⥤ D := Construction.lift L₂ h

⊢ L₂.IsLocalization W
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ι → α → M
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, AEMeasurable f μ

⊢ AEMeasurable (fun x => (map (fun f => f x) s).prod) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
s : Set E
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Set.range f ∪ {0} ⊆ s

⊢ Tendsto (fun n => setToFun μ T hT ↑(SimpleFunc.approxOn f fmeas s 0 ⋯ n)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
s : Set E
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Set.range f ∪ {0} ⊆ s

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsIso inr
sq : CommSq f g inl inr
s : PushoutCocone f g

⊢ inl ≫ (fun s => inv inr ≫ s.inr) s = s.inl
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E

⊢ ball x δ * {y} = ball (x * y) δ
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α

⊢ (s \ t).card + (s ∩ t).card = s.card
-- Mathlib/Topology/Category/UniformSpace.lean
X : UniformSpaceCat
Y : CpltSepUniformSpace
f : (CpltSepUniformSpace.of (Completion ↑X)).toUniformSpace ⟶ Y.toUniformSpace

⊢ extensionHom (X.completionHom ≫ f) = f
-- Mathlib/Topology/Category/UniformSpace.lean
X : UniformSpaceCat
Y : CpltSepUniformSpace
f : (CpltSepUniformSpace.of (Completion ↑X)).toUniformSpace ⟶ Y.toUniformSpace

⊢ ↑(extensionHom (X.completionHom ≫ f)) = ↑f
-- Mathlib/Topology/Category/UniformSpace.lean
X : UniformSpaceCat
Y : CpltSepUniformSpace
f : (CpltSepUniformSpace.of (Completion ↑X)).toUniformSpace ⟶ Y.toUniformSpace
x : ↑(completionFunctor.obj X).toUniformSpace

⊢ ↑(extensionHom (X.completionHom ≫ f)) x = ↑f x
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/DerivabilityStructure/Constructor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁴ : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝³ : W₁.IsMultiplicative
inst✝² : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝¹ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝ : W₂.ContainsIdentities

⊢ Φ.IsRightDerivabilityStructure
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/DerivabilityStructure/Constructor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁴ : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝³ : W₁.IsMultiplicative
inst✝² : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝¹ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝ : W₂.ContainsIdentities

⊢ ∀ {X₂ : C₂} {X₃ : W₂.Localization} (g : W₂.Q.obj X₂ ⟶ (𝟭 W₂.Localization).obj X₃), IsConnected (TwoSquare.CostructuredArrowDownwards (Φ.functor ⋙ W₂.Q).rightUnitor.symm.hom g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/DerivabilityStructure/Constructor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁴ : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝³ : W₁.IsMultiplicative
inst✝² : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝¹ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝ : W₂.ContainsIdentities
X₂ : C₂
X₃ : W₂.Localization
g : W₂.Q.obj X₂ ⟶ (𝟭 W₂.Localization).obj X₃

⊢ IsConnected (TwoSquare.CostructuredArrowDownwards (Φ.functor ⋙ W₂.Q).rightUnitor.symm.hom g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c

⊢ (splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork C ⋯ (isColimitCoforkOfCokernelCofork (isCokernelEpiComp i (retraction f) ⋯))).section_ ≫ retraction f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c

⊢ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (cokernelCoforkOfCofork (Cofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯))) ⋯) ≫ retraction f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c

⊢ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i

⊢ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i

⊢ Cofork.π c ≫ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i

⊢ 𝟙 Y ≫ retraction f - retraction f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i

⊢ 𝟙 Y ≫ retraction f = retraction f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c

⊢ (let c' := CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) ⋯; let i' := isCokernelEpiComp i (retraction f) ⋯; let i'' := isColimitCoforkOfCokernelCofork i'; (splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork C ⋯ i'').section_) ≫ Cofork.π c = 𝟙 c.pt
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ b ∆ c = a ∆ c ∆ b
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s

⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1) volume

⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1) volume
c2 : ℝ
hc2 : 0 < c2
hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2) volume

⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1) volume
c2 : ℝ
hc2 : 0 < c2
hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2) volume
this : Ioi 0 = Ioc 0 c2 ∪ Ioc c2 c1 ∪ Ioi c1

⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1) volume
c2 : ℝ
hc2 : 0 < c2
hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2) volume
this : Ioi 0 = Ioc 0 c2 ∪ Ioc c2 c1 ∪ Ioi c1

⊢ (IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2) volume ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc c2 c1) volume) ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1) volume
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1) volume
c2 : ℝ
hc2 : 0 < c2
hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2) volume
this : Ioi 0 = Ioc 0 c2 ∪ Ioc c2 c1 ∪ Ioi c1

⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Icc c2 c1) volume
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1) volume
c2 : ℝ
hc2 : 0 < c2
hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2) volume
this : Ioi 0 = Ioc 0 c2 ∪ Ioc c2 c1 ∪ Ioi c1

⊢ ContinuousOn (fun t => t ^ (s - 1)) (Ioi 0)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.24237
inst✝ : MulAction R X
r r' r₁ r₂ : R
s t : ↥S
h : ↑t * r = ↑t * r'
r₁' : R
t' : ↥S
hr₁ : ↑t' * r₁ = r₁' * ↑t

⊢ r₁ * r * r₂ /ₒ s = r₁ * r' * r₂ /ₒ s
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.24237
inst✝ : MulAction R X
r r' r₁ r₂ : R
s t : ↥S
h : ↑t * r = ↑t * r'
r₁' : R
t' : ↥S
hr₁ : ↑t' * r₁ = r₁' * ↑t

⊢ t' • (r₁ * r * r₂) /ₒ (t' * s) = t' • (r₁ * r' * r₂) /ₒ (t' * s)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.24237
inst✝ : MulAction R X
r r' r₁ r₂ : R
s t : ↥S
h : ↑t * r = ↑t * r'
r₁' : R
t' : ↥S
hr₁ : ↑t' * r₁ = r₁' * ↑t

⊢ t' • (r₁ * r * r₂) = t' • (r₁ * r' * r₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ

⊢ p.map φ ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ f
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Skyscraper.lean
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} C
inst✝ : HasTerminal C
A a b c : C
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
U : Opens ↑X

⊢ (map' p₀ (f ≫ g)).app (op U) = (map' p₀ f ≫ map' p₀ g).app (op U)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Skyscraper.lean
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} C
inst✝ : HasTerminal C
A a b c : C
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
U : Opens ↑X

⊢ (if h : p₀ ∈ U then eqToHom ⋯ ≫ (f ≫ g) ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj (op U))) = (map' p₀ f ≫ map' p₀ g).app (op U)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Linearity.lean
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ

⊢ term (-f) s n = -term f s n
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s : Submodule K V

⊢ finrank K (V ⧸ s) + finrank K ↥s = finrank K V