ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
f : Matrix ι ι R

⊢ LinearMap.det ((toLin b b) f) = f.det
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasPullbacks C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
inst✝¹ : Mono h
inst✝ : Mono g
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsLimit (PullbackCone.mk f g comm)

⊢ ∀ (p : Subobject Y), (map g).obj ((pullback f).obj p) = (pullback k).obj ((map h).obj p)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasPullbacks C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
inst✝¹ : Mono h
inst✝ : Mono g
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsLimit (PullbackCone.mk f g comm)

⊢ ∀ (a : MonoOver Y), (map g).obj ((pullback f).obj (Quotient.mk'' a)) = (pullback k).obj ((map h).obj (Quotient.mk'' a))
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasPullbacks C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
inst✝¹ : Mono h
inst✝ : Mono g
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsLimit (PullbackCone.mk f g comm)
a : MonoOver Y

⊢ (map g).obj ((pullback f).obj (Quotient.mk'' a)) = (pullback k).obj ((map h).obj (Quotient.mk'' a))
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasPullbacks C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
inst✝¹ : Mono h
inst✝ : Mono g
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsLimit (PullbackCone.mk f g comm)
a : MonoOver Y

⊢ (MonoOver.map g).obj ((MonoOver.pullback f).obj a) ≈ (MonoOver.pullback k).obj ((MonoOver.map h).obj a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasPullbacks C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
inst✝¹ : Mono h
inst✝ : Mono g
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsLimit (PullbackCone.mk f g comm)
a : MonoOver Y

⊢ (MonoOver.map g).obj ((MonoOver.pullback f).obj a) ⟶ (MonoOver.pullback k).obj ((MonoOver.map h).obj a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasPullbacks C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
inst✝¹ : Mono h
inst✝ : Mono g
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsLimit (PullbackCone.mk f g comm)
a : MonoOver Y

⊢ (MonoOver.pullback k).obj ((MonoOver.map h).obj a) ⟶ (MonoOver.map g).obj ((MonoOver.pullback f).obj a)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
m n : Nat
h : m < n

⊢ (range n)[m]? = some m
-- Mathlib/Algebra/Module/BigOperators.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝ : CommSemiring R
s : Finset α

⊢ ↑s.card = ∑ a ∈ s, 1
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
h : a ∣ b

⊢ φ a ∣ φ b
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
b : ℕ
h : 0 ∣ b

⊢ φ 0 ∣ φ b
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0

⊢ φ a ∣ φ b
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a : ℕ
ha0 : a ≠ 0
h : a ∣ 0

⊢ φ a ∣ φ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0

⊢ φ a ∣ φ b
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
hab' : a.primeFactors ⊆ b.primeFactors

⊢ φ a ∣ φ b
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
hab' : a.primeFactors ⊆ b.primeFactors

⊢ (a.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)) ∣ b.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
hab' : a.primeFactors ⊆ b.primeFactors
p : ℕ
x✝ : p ∈ a.factorization.support

⊢ p ^ (a.factorization p - 1) ∣ p ^ (b.factorization p - 1)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}

⊢ sum (f + g) = sum f + sum g
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
this : #((i : ι) × ((Quotient.out ∘ f) i ⊕ (Quotient.out ∘ g) i)) = #((i : ι) × (Quotient.out ∘ f) i ⊕ (i : ι) × (Quotient.out ∘ g) i)

⊢ sum (f + g) = sum f + sum g
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
this : (sum fun i => f i + g i) = (sum fun i => f i) + sum fun i => g i

⊢ sum (f + g) = sum f + sum g
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
s t : Set α
l : Filter α
hl : l ∈ (Iic ∘ 𝓟) s ∩ (Iic ∘ 𝓟) t

⊢ ∃ t₃ ∈ range (Iic ∘ 𝓟), l ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ (Iic ∘ 𝓟) s ∩ (Iic ∘ 𝓟) t
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y : ℂ
x : ℝ

⊢ (tan ↑x).im = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
L : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField L
W : Type v
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module L W
inst✝ : FiniteDimensional L W
t : Finset W
h : finrank L W + 1 < t.card

⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, 0 < f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
L : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField L
W : Type v
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module L W
inst✝ : FiniteDimensional L W
t : Finset W
h : finrank L W + 1 < t.card
f : W → L
sum : ∑ e ∈ t, f e • e = 0
total : ∑ e ∈ t, f e = 0
nonzero : ∃ x ∈ t, f x ≠ 0

⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, 0 < f x
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Box.lean
α : Type u_1
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
n✝ n : ℕ

⊢ Disjoint (box (n + 1)) (Icc (-↑n) ↑n)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Box.lean
α : Type u_1
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
n✝ n : ℕ

⊢ Disjoint (Icc (-↑n.succ) ↑n.succ \ Icc (-↑n) ↑n) (Icc (-↑n) ↑n)
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : ¬p ∣ Nat.card α
this : Finite α

⊢ Nonempty ↑(fixedPoints G α)
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : ¬p ∣ Nat.card α
this : Finite α

⊢ Nat.card ↑(fixedPoints G α) ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ this : Finite α
hpα : Nat.card ↑(fixedPoints G α) = 0

⊢ p ∣ Nat.card α
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ this : Finite α
hpα : Nat.card ↑(fixedPoints G α) = 0

⊢ Nat.card α ≡ Nat.card ↑(fixedPoints G α) [MOD p]
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α

⊢ m.IsCaratheodory s₁ → m.IsCaratheodory s₁ᶜ
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M'✝ : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
a b : R
x y : M
R' : Type u_8
M' : Type u_9
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M'
hi : Surjective ⇑i
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m

⊢ LinearIndependent R' (⇑j ∘ v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M'✝ : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
a b : R
x y : M
R' : Type u_8
M' : Type u_9
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M'
hi : Surjective ⇑i
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : Function.RightInverse i' ⇑i

⊢ LinearIndependent R' (⇑j ∘ v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M'✝ : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
a b : R
x y : M
R' : Type u_8
M' : Type u_9
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M'
hi : Surjective ⇑i
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : Function.RightInverse i' ⇑i
x✝ : R'
h : i' x✝ = 0

⊢ x✝ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M'✝ : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
a b : R
x y : M
R' : Type u_8
M' : Type u_9
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M'
hi : Surjective ⇑i
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : Function.RightInverse i' ⇑i
r : R'
m : M

⊢ j (i' r • m) = r • j m
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Reflective.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : D
f : X ⟶ Y

⊢ f ≫ inv ((reflectorAdjunction i).counit.app Y) = inv ((reflectorAdjunction i).counit.app X) ≫ (reflector i).map (i.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Reflective.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : D
f : X ⟶ Y

⊢ (reflectorAdjunction i).counit.app X ≫ f = (reflector i).map (i.map f) ≫ (reflectorAdjunction i).counit.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Reflective.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : i.EssImageSubcategory
f : X ⟶ Y

⊢ ((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom = (equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Reflective.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : i.EssImageSubcategory
f : X ⟶ Y

⊢ i.essImageInclusion.map (((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom) = i.essImageInclusion.map ((equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Reflective.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : i.EssImageSubcategory
f : X ⟶ Y
h : (reflectorAdjunction i).unit.app X.obj ≫ (reflector i ⋙ i).map f = (𝟭 C).map f ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app Y.obj

⊢ i.essImageInclusion.map (((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom) = i.essImageInclusion.map ((equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Reflective.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : i.EssImageSubcategory
f : X ⟶ Y
h : (reflectorAdjunction i).unit.app X.obj ≫ (reflector i ⋙ i).map f = f ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app Y.obj

⊢ i.essImageInclusion.map (((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom) = i.essImageInclusion.map ((equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Reflective.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : D

⊢ i.toEssImage.map ((NatIso.ofComponents (fun X => (asIso ((reflectorAdjunction i).counit.app X)).symm) ⋯).hom.app X) ≫ (NatIso.ofComponents equivEssImageOfReflective_counitIso_app ⋯).hom.app (i.toEssImage.obj X) = 𝟙 (i.toEssImage.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Reflective.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : D

⊢ i.essImageInclusion.map (i.toEssImage.map ((NatIso.ofComponents (fun X => (asIso ((reflectorAdjunction i).counit.app X)).symm) ⋯).hom.app X) ≫ (NatIso.ofComponents equivEssImageOfReflective_counitIso_app ⋯).hom.app (i.toEssImage.obj X)) = i.essImageInclusion.map (𝟙 (i.toEssImage.obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Reflective.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : D

⊢ i.essImageInclusion.map (i.toEssImage.map ((NatIso.ofComponents (fun X => (asIso ((reflectorAdjunction i).counit.app X)).symm) ⋯).hom.app X)) ≫ inv ((reflectorAdjunction i).unit.app ((𝟭 i.EssImageSubcategory).obj (i.toEssImage.obj X)).obj) = i.essImageInclusion.map (𝟙 (i.toEssImage.obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
g1 g2 : X ⟶ widePullback B objs arrows
h1 : ∀ (j : J), g1 ≫ π arrows j = g2 ≫ π arrows j
h2 : g1 ≫ base arrows = g2 ≫ base arrows

⊢ g1 = g2
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
g1 g2 : X ⟶ widePullback B objs arrows
h1 : ∀ (j : J), g1 ≫ π arrows j = g2 ≫ π arrows j
h2 : g1 ≫ base arrows = g2 ≫ base arrows

⊢ ∀ (j : WidePullbackShape J), g1 ≫ limit.π (WidePullbackShape.wideCospan B objs arrows) j = g2 ≫ limit.π (WidePullbackShape.wideCospan B objs arrows) j
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L

⊢ weightSpaceOf M (χ x) x ≠ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
this : ⨅ x, weightSpaceOf M (χ x) x ≠ ⊥

⊢ weightSpaceOf M (χ x) x ≠ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
this : weightSpaceOf M (χ x) x = ⊥

⊢ ⨅ x, weightSpaceOf M (χ x) x = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
this : weightSpaceOf M (χ x) x = ⊥

⊢ ⨅ x, weightSpaceOf M (χ x) x ≤ ⊥
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrderIso.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
b : β
x : α

⊢ x ∈ ⇑e ⁻¹' Iio b ↔ x ∈ Iio (e.symm b)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x : V
hx : x ≠ 0

⊢ ∃ f, f x = 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x : V
hx : x ≠ 0
f : V →L[R] R
hf : f x ≠ 0

⊢ ∃ f, f x = 1
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α

⊢ M.Basis I I ↔ M.Indep I
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α

⊢ M.Indep I → (∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ I → I = J) ∧ I ⊆ M.E
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
f : Filter α
H : ∀ {q : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in f, q x) → ∃ x, p x ∧ q x
hp : ∀ᶠ (x : α) in f, ¬(fun x => p x) x

⊢ False
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e e' : Pretrivialization F proj

⊢ (e.symm.trans e'.toPartialEquiv).target = (e.baseSet ∩ e'.baseSet) ×ˢ univ
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ

⊢ wittStructureRat p Φ n = C (1 / ↑p ^ n) * ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ

⊢ wittStructureRat p Φ n = C (1 / ↑p ^ n) * (wittStructureRat p Φ n * C (↑p ^ n))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ

⊢ ↑p ^ n ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
hl₁ : ∀ x ∈ a :: b :: l, 1 < x
x✝ : a :: b :: l ≠ []

⊢ 1 < (a :: b :: l).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a

⊢ 1 < (a :: b :: l).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a

⊢ 1 < a * (b :: l).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a

⊢ 1 ≤ (b :: l).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a

⊢ ∀ x ∈ b :: l, 1 < x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
U V : Set (α × α)
hU : SymmetricRel U
hV : SymmetricRel V

⊢ SymmetricRel (U ∩ V)
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a ∣ m
bn : b ∣ n

⊢ a = (a * b).gcd m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a.gcd m = a
bn : b ∣ n

⊢ a = (a * b).gcd m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a.gcd m = a
bn : b ∣ n

⊢ a.gcd m = (a * b).gcd m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a.gcd m = a
bn : b ∣ n

⊢ (a * b).gcd m = a.gcd m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a.gcd m = a
bn : b ∣ n

⊢ b.Coprime m
-- Mathlib/RingTheory/Smooth/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
B✝ : Type u
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : Algebra R B✝
I✝ : Ideal B✝
B : Type u
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : FormallySmooth R A
I : Ideal B
hI : IsNilpotent I

⊢ ∀ [_RB : Algebra R B], Function.Surjective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp
-- Mathlib/RingTheory/Smooth/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
B✝ : Type u
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : Algebra R B✝
I✝ : Ideal B✝
B : Type u
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : FormallySmooth R A
I : Ideal B
hI : IsNilpotent I

⊢ ∀ ⦃S : Type u⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → ∀ [_RB : Algebra R S], Function.Surjective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp
-- Mathlib/RingTheory/Smooth/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
B✝ : Type u
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : Algebra R B✝
I✝ : Ideal B✝
B : Type u
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : FormallySmooth R A
I : Ideal B
hI : IsNilpotent I

⊢ ∀ ⦃S : Type u⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → (∀ [_RB : Algebra R S], Function.Surjective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp) → (∀ [_RB : Algebra R (S ⧸ I)], Function.Surjective (Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J)).comp) → ∀ [_RB : Algebra R S], Function.Surjective (Ideal.Quotient.mkₐ R J).comp
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
p : δ → Prop
inst✝ : DecidablePred p

⊢ Measurable ⇑(piEquivPiSubtypeProd p π).symm
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
p : δ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
j : δ

⊢ Measurable fun x => (piEquivPiSubtypeProd p π).symm x j
-- Mathlib/Probability/Cdf.lean
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
x : ℝ
this : IsFiniteMeasure ((Measure.dirac ()).prod μ)

⊢ ENNReal.ofReal (↑(cdf μ) x) = μ (Iic x)
-- Mathlib/Probability/Cdf.lean
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
x : ℝ
this : IsFiniteMeasure ((Measure.dirac ()).prod μ)
h : ∫⁻ (a : Unit), ENNReal.ofReal (↑(condCDF ((Measure.dirac ()).prod μ) a) x) ∂((Measure.dirac ()).prod μ).fst = ((Measure.dirac ()).prod μ) (univ ×ˢ Iic x)

⊢ ENNReal.ofReal (↑(cdf μ) x) = μ (Iic x)