ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f ≤ ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞

⊢ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ g), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ.withDensity f ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ f * g), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ g

⊢ ∫⁻ (a : α), i a ∂μ.withDensity f ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ f * g), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ g
A : f * i ≤ f * g

⊢ ∫⁻ (a : α), i a ∂μ.withDensity f ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ f * g), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ g
A : f * i ≤ f * g

⊢ ∫⁻ (a : α), i a ∂μ.withDensity f ≤ ⨆ (_ : f * i ≤ f * g), ∫⁻ (a : α), (f * i) a ∂μ
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a : EReal
h : a ≠ ⊥
h' : a ≠ ⊤

⊢ a⁻¹⁻¹ = a
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂

⊢ f ((affineCombination k s p) w) = (affineCombination k s (⇑f ∘ p)) w
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
b : P

⊢ f ((affineCombination k s p) w) = (affineCombination k s (⇑f ∘ p)) w
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
b : P
b₂ : P₂

⊢ f ((affineCombination k s p) w) = (affineCombination k s (⇑f ∘ p)) w
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
b : P
b₂ : P₂

⊢ f ((s.weightedVSubOfPoint p b) w +ᵥ b) = (s.weightedVSubOfPoint (⇑f ∘ p) (f b)) w +ᵥ f b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Multiset α
a : α
h : ∀ b ∈ s, Commute a b

⊢ Commute a s.sum
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Multiset α
a : α
a✝ : List α
h : ∀ b ∈ ⟦a✝⟧, Commute a b

⊢ Commute a (sum ⟦a✝⟧)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Multiset α
a : α
a✝ : List α
h : ∀ b ∈ ⟦a✝⟧, Commute a b

⊢ Commute a a✝.sum
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalGroup G✝
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
g : G
hg : g ∈ connectedComponent 1

⊢ g⁻¹ ∈ connectedComponent 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalGroup G✝
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
g : G
hg : g ∈ connectedComponent 1

⊢ g⁻¹ ∈ connectedComponent 1⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k

⊢ ((M⁻¹.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) * M.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock p p * M.toBlock p p + (M⁻¹.toBlock p fun i => ¬p i) * M.toBlock (fun i => ¬p i) p = 1

⊢ ((M⁻¹.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) * M.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock p p * M.toBlock p p + (M⁻¹.toBlock p fun i => ¬p i) * M.toBlock (fun i => ¬p i) p = 1
h_zero : M.toBlock (fun i => ¬p i) p = 0

⊢ ((M⁻¹.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) * M.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) = 1
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B

⊢ (Equiv.symm τ) ∞ = fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)

⊢ R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Dvd.lean
p a b k : ℕ
hp : Prime p
hap : a < p
hbp : b < p
h : p ≤ a + b

⊢ p ∣ (a + b).choose a
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Dvd.lean
p a b k : ℕ
hp : Prime p
hap : a < p
hbp : b < p
h : p ≤ a + b
h₁ : p ∣ (a + b)!

⊢ p ∣ (a + b).choose a
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Dvd.lean
p a b k : ℕ
hp : Prime p
hap : a < p
hbp : b < p
h : p ≤ a + b
h₁ : (p ∣ (a + b).choose a ∨ p ≤ a) ∨ p ≤ b

⊢ p ∣ (a + b).choose a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
M : Matrix m m R
p : m → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∀ (i : m), ¬p i → ∀ (j : m), p j → M i j = 0

⊢ M.det = (M.toSquareBlockProp p).det * (M.toSquareBlockProp fun i => ¬p i).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
M : Matrix m m R
p : m → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∀ (i : m), ¬p i → ∀ (j : m), p j → M i j = 0

⊢ (fromBlocks (M.toBlock p p) (M.toBlock p fun j => ¬p j) (M.toBlock (fun j => ¬p j) p) (M.toBlock (fun j => ¬p j) fun j => ¬p j)).det = (M.toSquareBlockProp p).det * (M.toSquareBlockProp fun i => ¬p i).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
M : Matrix m m R
p : m → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∀ (i : m), ¬p i → ∀ (j : m), p j → M i j = 0

⊢ M.toBlock (fun j => ¬p j) p = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
M : Matrix m m R
p : m → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∀ (i : m), ¬p i → ∀ (j : m), p j → M i j = 0
i : { a // ¬p a }
j : { a // p a }

⊢ M.toBlock (fun j => ¬p j) p i j = 0 i j
-- Mathlib/Order/ModularLattice.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x y z : α
hxy : x ≤ y
hinf : y ⊓ z ≤ x
hsup : y ≤ x ⊔ z

⊢ y ≤ x
-- Mathlib/Order/ModularLattice.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x y z : α
hxy : x ≤ y
hinf : y ⊓ z ≤ x
hsup : x ⊔ z ⊓ y = y

⊢ y ≤ x
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
P : ↥(solvableByRad F E) → Prop
base : ∀ (α : F), P ((algebraMap F ↥(solvableByRad F E)) α)
add : ∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), P α → P β → P (α + β)
neg : ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), P α → P (-α)
mul : ∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), P α → P β → P (α * β)
inv : ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), P α → P α⁻¹
rad : ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)) (n : ℕ), n ≠ 0 → P (α ^ n) → P α

⊢ ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), P α
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
P : ↥(solvableByRad F E) → Prop
base : ∀ (α : F), P ((algebraMap F ↥(solvableByRad F E)) α)
add : ∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), P α → P β → P (α + β)
neg : ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), P α → P (-α)
mul : ∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), P α → P β → P (α * β)
inv : ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), P α → P α⁻¹
rad : ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)) (n : ℕ), n ≠ 0 → P (α ^ n) → P α

⊢ ∀ (α : E), IsSolvableByRad F α → ∃ β, ↑β = α ∧ P β
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ

⊢ n + a ≡ a [MOD n]
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Slope.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b r : k

⊢ (lineMap (slope f ((lineMap a b) r) b) (slope f a ((lineMap a b) r))) r = slope f a b
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Slope.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a r : k

⊢ (lineMap (slope f ((lineMap a a) r) a) (slope f a ((lineMap a a) r))) r = slope f a a
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Slope.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b r : k
hab : a ≠ b

⊢ (lineMap (slope f ((lineMap a b) r) b) (slope f a ((lineMap a b) r))) r = slope f a b
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Slope.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b r : k
hab : a ≠ b

⊢ (lineMap (slope f b ((lineMap a b) r)) (slope f ((lineMap a b) r) a)) r = slope f b a
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Slope.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b r : k
hab : a ≠ b

⊢ r = (a - (lineMap a b) r) / (a - b)
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f✝ : α → γ
g✝ : β → γ
f : α → ℝ≥0∞
g : β → ℝ≥0∞
h : IdentDistrib f g μ ν

⊢ ∫⁻ (x : α), id (f x) ∂μ = ∫⁻ (x : β), id (g x) ∂ν
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
s : ℕ → Set α

⊢ ∃ t, Antitone t ∧ ⨅ i, 𝓟 (s i) = ⨅ i, 𝓟 (t i)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
s : ℕ → Set α

⊢ (Antitone fun n => ⋂ m, ⋂ (_ : m ≤ n), s m) ∧ ⨅ i, 𝓟 (s i) = ⨅ i, 𝓟 (⋂ m, ⋂ (_ : m ≤ i), s m)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
s : ℕ → Set α

⊢ ⨅ i, 𝓟 (s i) = ⨅ i, 𝓟 (⋂ m, ⋂ (_ : m ≤ i), s m)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
s : ℕ → Set α
i : ℕ

⊢ ⨅ i, 𝓟 (s i) ≤ 𝓟 (⋂ m, ⋂ (_ : m ≤ i), s m)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
s : ℕ → Set α
i : ℕ

⊢ ⨅ i, 𝓟 (⋂ m, ⋂ (_ : m ≤ i), s m) ≤ 𝓟 (s i)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α

⊢ |a| = -a ↔ a ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
ht : IsUpperSet t

⊢ IsUpperSet (s * t)
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
ht : IsUpperSet t

⊢ IsUpperSet (⋃ a ∈ s, a • t)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1

⊢ logb b (b ^ x) = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1

⊢ log b ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ p₁ p₂ : ℝ≥0

⊢ w₁ + w₂ = 1 → p₁ ^ ↑w₁ * p₂ ^ ↑w₂ ≤ w₁ * p₁ + w₂ * p₂
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
l₁ l₂ : List α
s : Stream' α

⊢ a :: l₁ ++ l₂ ++ₛ s = a :: l₁ ++ₛ (l₂ ++ₛ s)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M✝ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M✝
a b : α
s t : Set α
M : Type u_7
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
hf : (mulSupport f).Finite
i : ι
hi : 1 < f i

⊢ 1 < ∏ᶠ (i : ι), f i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M✝ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M✝
a b : α
s t : Set α
M : Type u_7
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
hf : (mulSupport f).Finite
i : ι
hi : 1 < f i

⊢ 1 < ∏ i ∈ hf.toFinset, f i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M✝ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M✝
a b : α
s t : Set α
M : Type u_7
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
hf : (mulSupport f).Finite
i : ι
hi : 1 < f i

⊢ i ∈ hf.toFinset
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x

⊢ x * (inverse x * y) = y
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b c a : α

⊢ ￢a \ a = ￢a
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A

⊢ closure {1} = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A

⊢ ∀ n ∈ closure {1}, n.succ ∈ closure {1}
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A

⊢ ∀ n ∈ closure {1}, n + 1 ∈ closure {1}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → F
a b c : ℝ
hf : (fun x => (x - c)⁻¹) =O[𝓝[≠] c] f
hne : a ≠ b
hc : c ∈ [[a, b]]

⊢ ¬IntervalIntegrable f volume a b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → F
a b c : ℝ
hf : (fun x => (x - c)⁻¹) =O[𝓝[≠] c] f
hne : a ≠ b
hc : c ∈ [[a, b]]
A : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] c, HasDerivAt (fun x => Real.log (x - c)) (x - c)⁻¹ x

⊢ ¬IntervalIntegrable f volume a b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → F
a b c : ℝ
hf : (fun x => (x - c)⁻¹) =O[𝓝[≠] c] f
hne : a ≠ b
hc : c ∈ [[a, b]]
A : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] c, HasDerivAt (fun x => Real.log (x - c)) (x - c)⁻¹ x
B : Tendsto (fun x => ‖Real.log (x - c)‖) (𝓝[≠] c) atTop

⊢ ¬IntervalIntegrable f volume a b
-- Mathlib/Algebra/Order/Rearrangement.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Monovary f g

⊢ ∑ i : ι, f i • g (σ i) = ∑ i : ι, f i • g i ↔ Monovary f (g ∘ ⇑σ)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β✝
β : Type u_6
i : Finset β
f : β → Multiset α
a : Multiset α

⊢ (i.sum f).Disjoint a ↔ ∀ b ∈ i, (f b).Disjoint a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β✝
β : Type u_6
i : Finset β
f : β → Multiset α
a : Multiset α

⊢ (∀ b ∈ i, (f b).Disjoint a) ↔ ∀ b ∈ map f i.val, b.Disjoint a
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommSemigroup α
a b c : α
inst✝ : DecompositionMonoid α
k m n : α

⊢ k ∣ m * n ↔ ∃ d₁ d₂, d₁ ∣ m ∧ d₂ ∣ n ∧ k = d₁ * d₂
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommSemigroup α
a b c : α
inst✝ : DecompositionMonoid α
k m n : α

⊢ (∃ d₁ d₂, d₁ ∣ m ∧ d₂ ∣ n ∧ k = d₁ * d₂) → k ∣ m * n
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommSemigroup α
a b c : α
inst✝ : DecompositionMonoid α
m n d₁ d₂ : α
hy : d₁ ∣ m
hz : d₂ ∣ n

⊢ d₁ * d₂ ∣ m * n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ mulSupport f).Finite

⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s \ t), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ mulSupport f).Finite

⊢ Disjoint (s ∩ t) (s \ t)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ mulSupport f).Finite

⊢ (s ∩ t ∩ mulSupport f).Finite
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ mulSupport f).Finite

⊢ (s \ t ∩ mulSupport f).Finite
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F

⊢ re ⟪x, y⟫_𝕜 = re ⟪y, x⟫_𝕜
-- Mathlib/Data/Finset/Density.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Nonempty α

⊢ s.dens = 1 ↔ s = univ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω), f x ∂ρ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω), f x ∂ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel
-- Mathlib/Data/Matrix/PEquiv.lean
k : Type u_1
l : Type u_2
m✝ : Type u_3
n✝ : Type u_4
α✝ : Type v
m : Type u_5
n : Type u_6
α : Type u_7
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
f : n ≃ n
M : Matrix m n α
i : m
j : n

⊢ (M * f.toPEquiv.toMatrix) i j = M.submatrix id (⇑f.symm) i j
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α

⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun V => V ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen V ∧ SymmetricRel V) id
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α

⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun V => (V ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen V) ∧ SymmetricRel V) id
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen s

⊢ (symmetrizeRel s ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen (symmetrizeRel s)) ∧ SymmetricRel (symmetrizeRel s) ∧ id (symmetrizeRel s) ⊆ id s
-- Mathlib/CategoryTheory/Products/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
x✝ : (C × D)ᵒᵖ
X : C
Y : D

⊢ (𝟙 (op X) ≫ 𝟙 (op X), 𝟙 (op Y) ≫ 𝟙 (op Y)) = (𝟙 (op X), 𝟙 (op Y))
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β γ : Cardinal.{u_1}
γ₀ : γ < ℵ₀

⊢ α + γ ≤ β + γ ↔ α ≤ β
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β γ : Cardinal.{u_1}
γ₀ : γ < ℵ₀
h : α + γ ≤ β + γ

⊢ α ≤ β
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β γ : Cardinal.{u_1}
γ₀ : γ < ℵ₀
h : ¬α ≤ β

⊢ ¬α + γ ≤ β + γ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β γ : Cardinal.{u_1}
γ₀ : γ < ℵ₀
h : β ≤ α ∧ ¬β = α

⊢ β + γ ≤ α + γ ∧ ¬β + γ = α + γ
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2
motive : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q n → Prop
range_ι_pow : ∀ (v : CliffordAlgebra Q) (h : v ∈ LinearMap.range (ι Q) ^ n.val), motive v ⋯
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q n) (hy : y ∈ evenOdd Q n), motive x hx → motive y hy → motive (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul : ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q n), motive x hx → motive ((ι Q) m₁ * (ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ evenOdd Q n

⊢ motive x hx