ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : RCLike α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
i : l
a✝¹ : i ∈ Finset.univ
j : n
a✝ : j ∈ Finset.univ

⊢ ‖∑ j_1 : m, A i j_1 * B j_1 j‖₊ ≤ (∑ j : m, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) * (∑ x : m, ‖B x j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : RCLike α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
i : l
a✝¹ : i ∈ Finset.univ
j : n
a✝ : j ∈ Finset.univ
this : ‖⟪(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm fun j => star (A i j), (WithLp.equiv 2 (m → α)).symm fun k => B k j⟫_α‖₊ ≤ ‖(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm fun j => star (A i j)‖₊ * ‖(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm fun k => B k j‖₊

⊢ ‖∑ j_1 : m, A i j_1 * B j_1 j‖₊ ≤ (∑ j : m, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) * (∑ x : m, ‖B x j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
e : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial R
h : e.det = 0

⊢ False
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.14608
s✝ t s a✝ : Finset α

⊢ a✝ ∈ powersetCard 0 s ↔ a✝ ∈ {∅}
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.14608
s✝ t s a✝ : Finset α

⊢ a✝ ⊆ s ∧ a✝ = ∅ ↔ a✝ = ∅
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
I : Set α
hI : I ⊆ M.E

⊢ (M.map f hf).Indep (f '' I) ↔ M.Indep I
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
I : Set α
hI : I ⊆ M.E

⊢ (∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ f '' I = f '' I₀) ↔ M.Indep I
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
I : Set α
hI : I ⊆ M.E
x✝ : ∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ f '' I = f '' I₀
J : Set α
hJ : M.Indep J
hIJ : f '' I = f '' J

⊢ M.Indep I
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
I : Set α
hI : I ⊆ M.E
x✝ : ∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ f '' I = f '' I₀
J : Set α
hJ : M.Indep J
hIJ : I = J

⊢ M.Indep I
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : ℕ → ℕ → R
n : ℕ

⊢ ∑ i ∈ range (n + 2), ↑((n + 1).choose i) * f i (n + 1 - i) = ∑ i ∈ range (n + 1), ↑(n.choose i) * f i (n + 1 - i) + ∑ i ∈ range (n + 1), ↑(n.choose i) * f (i + 1) (n - i)
-- Mathlib/Algebra/Order/Pi.lean
ι : Type u_1
I : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : I → Type u_6
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝¹ : One γ
inst✝ : LE γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ
hg : g ≤ 1
he : e ≤ 1
_b : β

⊢ extend f g e _b ≤ 1 _b
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ cos x * cos x ≤ 1
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
x : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)
j : ι

⊢ (component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((sumInv I M) x) = (map I (component R ι M j)) x
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
x✝ : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)
j : ι
x : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)

⊢ (component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((sumInv I M) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) x)) = (map I (component R ι M j)) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v

⊢ LinearMap.range hv.repr = ⊤
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
ι : Sort u_6
f : ι → Set H

⊢ (⋃ i, f i).innerDualCone = ⨅ i, (f i).innerDualCone
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
ι : Sort u_6
f : ι → Set H

⊢ ⨅ i, (f i).innerDualCone ≤ (⋃ i, f i).innerDualCone
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
ι : Sort u_6
f : ι → Set H
x : H
hx : x ∈ ⨅ i, (f i).innerDualCone
y : H
hy : y ∈ ⋃ i, f i

⊢ 0 ≤ ⟪y, x⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
ι : Sort u_6
f : ι → Set H
x : H
hx : ∀ (i : ι), x ∈ (f i).innerDualCone
y : H
hy : y ∈ ⋃ i, f i

⊢ 0 ≤ ⟪y, x⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
ι : Sort u_6
f : ι → Set H
x : H
hx : ∀ (i : ι), x ∈ (f i).innerDualCone
y : H
hy : y ∈ ⋃ i, f i
j : ι
hj : y ∈ f j

⊢ 0 ≤ ⟪y, x⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x : E

⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {y | ‖y / x‖ < ε}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x : E

⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => ball x ε
-- Mathlib/Analysis/Fourier/Inversion.lean
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ) • 𝓕 f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))

⊢ Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
-- Mathlib/Analysis/Fourier/Inversion.lean
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ) • 𝓕 f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
B : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))

⊢ Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
-- Mathlib/Analysis/Fourier/Inversion.lean
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ) • 𝓕 f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
B : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))

⊢ (fun c => ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w) =ᶠ[atTop] fun c => ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/Inversion.lean
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ) • 𝓕 f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
B : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
c : ℝ
hc : 0 < c

⊢ ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w = ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/Inversion.lean
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ) • 𝓕 f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
B : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
c : ℝ
hc : 0 < c
w : V

⊢ 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w = ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/Inversion.lean
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ) • 𝓕 f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
B : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
c : ℝ
hc : 0 < c
w : V

⊢ ((↑π / ↑c⁻¹) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑‖v - w‖ ^ 2 / ↑c⁻¹)) • f w = ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
K V : Set G
hK : IsCompact K
hV : (interior V).Nonempty
t : Finset G
ht : K ⊆ ⋃ x ∈ t, interior ((fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' V)

⊢ ∃ t, K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun x => g * x) ⁻¹' V
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type w
b : Finset ι
h : Basis { x // x ∈ b } R M

⊢ finrank R M = b.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
j : n

⊢ A *ᵥ (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j) = hA.eigenvalues j • (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Module S N
inst✝⁹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝⁸ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁷ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
M' : Submodule R M
P : Type w
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
Q : Type w'
inst✝⁴ : AddCommGroup Q
inst✝³ : Module R Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
x : M
hx : x ∈ ker g

⊢ f x ∈ ker ((IsLocalizedModule.map p f f') g)
-- Mathlib/Order/IsWellOrderLimitElement.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
b : α
hb : b < a

⊢ wellOrderSucc b < a
-- Mathlib/Order/IsWellOrderLimitElement.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
b : α
hb : b < a
c : α
hc₁ : b < c
hc₂ : c < a

⊢ wellOrderSucc b < a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
h : ∀ j ∈ u, ContDiff 𝕜 (↑i) (f j)
x : E

⊢ iteratedFDeriv 𝕜 i (fun x => ∑ j ∈ u, f j x) x = (∑ j ∈ u, iteratedFDeriv 𝕜 i (f j)) x
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i j : ℕ

⊢ (i, j) ∈ μ ↔ j < μ.rowLen i
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i j : ℕ

⊢ (i, j) ∈ μ ↔ ∀ m ≤ j, ¬(i, m) ∉ μ
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i j : ℕ

⊢ (i, j) ∈ μ ↔ ∀ m ≤ j, (i, m) ∈ μ
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

⊢ P3 x₁ x₂ y₁ y₂ ↔ P3 (-x₂) (-x₁) y₁ y₂
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

⊢ ⟦x₁ * y₂⟧ + ⟦x₂ * y₁⟧ < ⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ ↔ -⟦x₂ * y₂⟧ + -⟦x₁ * y₁⟧ < -⟦x₂ * y₁⟧ + -⟦x₁ * y₂⟧
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

⊢ -(⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧) < -(⟦x₁ * y₂⟧ + ⟦x₂ * y₁⟧) ↔ -⟦x₂ * y₂⟧ + -⟦x₁ * y₁⟧ < -⟦x₂ * y₁⟧ + -⟦x₁ * y₂⟧
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.888157
S' : Type ?u.888160
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.890591
S'' : Type ?u.890594
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker

⊢ f.toAlgHom ↑x ∈ P'.ker
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
ha : a ≠ 0
h : n ≤ m

⊢ a⁻¹ ^ (m - n) = (a ^ m)⁻¹ * a ^ n
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsBezout R
p n : R
hp : Irreducible p

⊢ IsCoprime p n ↔ ¬p ∣ n
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e' : PartialEquiv α β
hs : Disjoint e.source e'.source
ht : Disjoint e.target e'.target

⊢ ↑e '' (e.source ∩ e'.source) = e.target ∩ e'.target
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Unique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) s = (ρ.condKernel x) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Unique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
x✝ : ρ.fst t < ⊤

⊢ ∫⁻ (x : α) in t, (κ x) s ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : α) in t, (ρ.condKernel x) s ∂ρ.fst
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Unique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
x✝ : ρ.fst t < ⊤

⊢ ∫⁻ (x : α) in t, (κ x) s ∂ρ.fst = (ρ.fst ⊗ₘ κ) (t ×ˢ s)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Unique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
x✝ : ρ.fst t < ⊤

⊢ ∫⁻ (a : α), t.indicator (fun x => (κ x) s) a ∂ρ.fst = ∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t ×ˢ s) ∂ρ.fst
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
n : Type w
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Invertible 2
m : Type w
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
Q : QuadraticMap R (n → R) R
a : R

⊢ (a • Q).discr = a ^ Fintype.card n * Q.discr
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.147899, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁

⊢ S₃.g ≫ ψ.τ₃ ≫ h.h₃ = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.147899, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁

⊢ (ψ ≫ φ₁).τ₁ = S₃.f ≫ ψ.τ₂ ≫ h.h₁ + ψ.τ₁ ≫ h.h₀ + (ψ ≫ φ₂).τ₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.147899, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁

⊢ (ψ ≫ φ₁).τ₂ = S₃.g ≫ ψ.τ₃ ≫ h.h₂ + (ψ.τ₂ ≫ h.h₁) ≫ S₂.f + (ψ ≫ φ₂).τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.147899, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁

⊢ (ψ ≫ φ₁).τ₃ = ψ.τ₃ ≫ h.h₃ + (ψ.τ₃ ≫ h.h₂) ≫ S₂.g + (ψ ≫ φ₂).τ₃
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
X : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : X → α → E
bound : α → ℝ
s : Set X
hfs_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (fs x) μ
h_bound : ∀ x ∈ s, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s
x : X
hx : x ∈ s

⊢ ContinuousWithinAt (fun x => setToFun μ T hT (fs x)) s x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
X : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : X → α → E
bound : α → ℝ
s : Set X
hfs_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (fs x) μ
h_bound : ∀ x ∈ s, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s
x : X
hx : x ∈ s

⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, AEStronglyMeasurable (fs x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
X : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : X → α → E
bound : α → ℝ
s : Set X
hfs_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (fs x) μ
h_bound : ∀ x ∈ s, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s
x : X
hx : x ∈ s

⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
X : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : X → α → E
bound : α → ℝ
s : Set X
hfs_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (fs x) μ
h_bound : ∀ x ∈ s, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s
x : X
hx : x ∈ s

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousWithinAt (fun x => fs x a) s x
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
f : Filter α
s t : Set α

⊢ s ∈ f ⊓ 𝓟 t ↔ {x | x ∈ t → x ∈ s} ∈ f
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}

⊢ {y | ¬IsOfFinOrder y}.Infinite
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}

⊢ {y | ¬IsOfFinOrder y}.Infinite