ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s : Submodule K V
this : Module.rank K (V ⧸ s) + Module.rank K ↥s = Module.rank K V

⊢ finrank K (V ⧸ s) + finrank K ↥s = finrank K V
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s : Submodule K V
this : ↑(finrank K (V ⧸ s)) + ↑(finrank K ↥s) = ↑(finrank K V)

⊢ finrank K (V ⧸ s) + finrank K ↥s = finrank K V
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α

⊢ ⌊a⌋ ≤ -1 ↔ a < 0
-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
R✝ : Type ?u.4933
M✝ : Type ?u.4936
N : Type ?u.5555
inst✝⁷ : Ring R✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R✝ N
R M : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ι : Finset M
hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤
hι₂ : (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val)).FG

⊢ ∃ L x x_1 K x_2, Free R L ∧ Finite R L ∧ K.FG
-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
R✝ : Type ?u.4933
M✝ : Type ?u.4936
N : Type ?u.5555
inst✝⁷ : Ring R✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R✝ N
R M : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ι : Finset M
hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤
hι₂ : (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val)).FG

⊢ ∃ K x, Free R ({ x // x ∈ ι } →₀ R) ∧ Finite R ({ x // x ∈ ι } →₀ R) ∧ K.FG
-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
R✝ : Type ?u.4933
M✝ : Type ?u.4936
N : Type ?u.5555
inst✝⁷ : Ring R✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R✝ N
R M : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ι : Finset M
hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤
hι₂ : (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val)).FG

⊢ ∃ x, Free R ({ x // x ∈ ι } →₀ R) ∧ Finite R ({ x // x ∈ ι } →₀ R) ∧ (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val)).FG
-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
R✝ : Type ?u.4933
M✝ : Type ?u.4936
N : Type ?u.5555
inst✝⁷ : Ring R✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R✝ N
R M : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ι : Finset M
hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤
hι₂ : (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val)).FG

⊢ Function.Surjective ⇑(Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val)
-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
R✝ : Type ?u.4933
M✝ : Type ?u.4936
N : Type ?u.5555
inst✝⁷ : Ring R✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R✝ N
R M : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ι : Finset M
hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤
hι₂ : (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val)).FG

⊢ LinearMap.range (Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val) = ⊤
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
n : ℕ
ih : FP (Stream'.drop n a) ⊆ FP a

⊢ FP (Stream'.drop (n + 1) a) ⊆ FP a
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
n : ℕ
ih : FP (Stream'.drop n a) ⊆ FP a

⊢ FP (Stream'.drop 1 (Stream'.drop n a)) ⊆ FP a
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ IsClosed s₁ → IsClosed s₂ → IsClosed (s₁ ∪ s₂)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

⊢ o.oangle x y ≠ 0 ∧ o.oangle x y ≠ ↑π ↔ LinearIndependent ℝ ![x, y]
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x y : α
hy : y ∈ (f.cycleOf x).support

⊢ y ∈ f.support
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x y : α
hy : (if f.SameCycle x y then f y else y) ≠ y

⊢ y ∈ f.support
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.21503, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.21507, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.21511, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.21515, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m mn : A
hnm : m + n = mn
a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C

⊢ mn + a = a''
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.21511, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.21515, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m mn : A
hnm : m + n = mn
a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C

⊢ (F.shiftIso mn a a'' ⋯).inv.app X = (F.shiftIso n a a' ha').inv.app X ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').inv.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D m n mn hnm).inv.app ((F.functor a'').obj X)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : ℝ

⊢ x - y ≤ dist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : ℝ

⊢ x - y ≤ x - y ∨ x - y ≤ -(x - y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
j : ι
hj : j ∈ s

⊢ C (r j) * Lagrange.basis s v j = C (nodalWeight s v j) * (nodal s v / (X - C (v j))) * C (r j)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E

⊢ Module.rank F ↥K = 1 ↔ K = ⊥
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ |cos x| = √(1 - sin x ^ 2)
-- Mathlib/Algebra/Lie/OfAssociative.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
x y : ↥K

⊢ ((ad R L) ↑x ∘ₗ ↑K.incl) y = (↑K.incl ∘ₗ (ad R ↥K) x) y
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
hF : IsPathConnected F

⊢ IsConnected F
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
hF : IsPathConnected F

⊢ ConnectedSpace ↑F
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
hF : PathConnectedSpace ↑F

⊢ ConnectedSpace ↑F
-- Mathlib/Control/Bifunctor.lean
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
inst✝¹ : Bifunctor F
inst✝ : LawfulBifunctor F
α₀ α₁ : Type u₀
β₀ β₁ : Type u₁
f : α₀ → α₁
f' : β₀ → β₁
x : F α₀ β₀

⊢ snd f' (fst f x) = bimap f f' x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ sin (-x) = -sin x
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
ι : Sort u_3
S : ι → L.Substructure M
x : M

⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a b : α
s : α → α → Bool
l r : List α
h : s a b = true

⊢ merge s (a :: l) (b :: r) = a :: merge s l (b :: r)
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
m₁ m₂ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω

⊢ Indep m₁ m₂ μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
m₁ m₂ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω

⊢ (∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ {s | MeasurableSet s} → t2 ∈ {s | MeasurableSet s} → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2) ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

⊢ ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = 0 ↔ μ ⟂ₘ ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h_dec : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)

⊢ ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = 0 ↔ μ ⟂ₘ ν
-- Mathlib/Algebra/Group/AddChar.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
r s x✝ : R

⊢ (ψ.mulShift r * ψ.mulShift s) x✝ = (ψ.mulShift (r + s)) x✝
-- Mathlib/Algebra/Group/AddChar.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
r s x✝ : R

⊢ (ψ.mulShift r * ψ.mulShift s) x✝ = ψ (r * x✝) * ψ (s * x✝)
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
w : Word M
m : M i

⊢ ⟨i, m⟩ ∈ ((equivPair j) w).tail.toList → ⟨i, m⟩ ∈ w.toList
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
w : Word M
m : M i

⊢ (⟨i, m⟩ ∈ w.toList.tail ∨ i ≠ j ∧ ∃ (h : w.toList ≠ []), w.toList.head h = ⟨i, m⟩) → ⟨i, m⟩ ∈ w.toList
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/LieGroup.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : GroupWithZero G
inst✝⁶ : SmoothInv₀ I G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
a : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffAt I' I n f a
hg : ContMDiffAt I' I n g a
h₀ : g a ≠ 0

⊢ ContMDiffAt I' I n (f / g) a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
x y : α
H : x = y

⊢ sign (swap x y) = if x = y then 1 else -1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
x y : α
H : ¬x = y

⊢ sign (swap x y) = if x = y then 1 else -1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ : M →ₗ[R] M₂
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
x✝ : M₂

⊢ (f.coprod g ∘ₗ inr R M M₂) x✝ = g x✝
-- Mathlib/Order/Part.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ✝ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
β γ : Type u_4
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Antitone f
hg : Antitone g

⊢ Antitone fun x => Seq.seq (f x) fun x_1 => g x
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R

⊢ IsFiniteAdele 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R

⊢ {x | 1 x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
h_empty : {v | 1 ∉ adicCompletionIntegers K v} = ∅

⊢ {x | 1 x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite
-- Mathlib/Algebra/Order/Kleene.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : IdemSemiring α
a✝ b c : α
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
a : α

⊢ (n + 2) • a = a
-- Mathlib/Algebra/Module/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulWithZero R M
f : α → R
g : α → M
x : α
hfg : x ∈ support (f • g)
hf : f x = 0

⊢ (f • g) x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f (μ + ν)

⊢ Integrable f ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Memℒp f 1 (μ + ν)

⊢ Memℒp f 1 ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Ω
α : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : α →ᵇ ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] ⇑f
hf : HasFiniteIntegral (⇑f) μ

⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 ‖f‖, (μ {a | t ≤ f a}).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Ω
α : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : α →ᵇ ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] ⇑f
hf : HasFiniteIntegral (⇑f) μ

⊢ Integrable (⇑f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Ω
α : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : α →ᵇ ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] ⇑f
hf : HasFiniteIntegral (⇑f) μ

⊢ ⇑f ≤ᶠ[ae μ] fun x => ‖f‖
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0

⊢ p.degree = ↑n ↔ p.natDegree = n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0

⊢ ↑p.natDegree = ↑n ↔ p.natDegree = n
-- Mathlib/Order/PropInstances.lean
ι : Type u_1
α' : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α' i)
inst✝ : (i : ι) → BoundedOrder (α' i)
f g : (i : ι) → α' i

⊢ IsCompl f g ↔ ∀ (i : ι), IsCompl (f i) (g i)
-- Mathlib/Data/Finset/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO

⊢ (s • t).IsPWO
-- Mathlib/Data/Finset/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO

⊢ ((fun x => x.1 • x.2) '' s ×ˢ t).IsPWO
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β

⊢ comap (⇑e) atTop = atTop
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
Fs : ι → Set α
hFs : ∀ (i : ι), M.Flat (Fs i)

⊢ M.Flat (⋂ i, Fs i)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
Fs : ι → Set α
hFs : ∀ (i : ι), M.Flat (Fs i)
I X : Set α
hI : M.Basis I (⋂ i, Fs i)
hIX : M.Basis I X
i : ι

⊢ X ⊆ Fs i
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
Fs : ι → Set α
hFs : ∀ (i : ι), M.Flat (Fs i)
I X : Set α
hI : M.Basis I (⋂ i, Fs i)
hIX : M.Basis I X
i : ι
J : Set α
hIJ : M.Basis J (Fs i)
hJ : I ⊆ J

⊢ X ⊆ Fs i
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
Fs : ι → Set α
hFs : ∀ (i : ι), M.Flat (Fs i)
I X : Set α
hI : M.Basis I (⋂ i, Fs i)
hIX : M.Basis I X
i : ι
J : Set α
hIJ : M.Basis J (Fs i)
hJ : I ⊆ J

⊢ M.Basis J (Fs i ∪ X)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
Fs : ι → Set α
hFs : ∀ (i : ι), M.Flat (Fs i)
I X : Set α
hI : M.Basis I (⋂ i, Fs i)
hIX : M.Basis I X
i : ι
J : Set α
hIJ : M.Basis J (Fs i)
hJ : I ⊆ J

⊢ Fs i ∪ X = Fs i ∪ (J ∪ X)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s : β → α

⊢ R (m (⨆ b, s b)) (∏' (b : β), m (s b))
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s : β → α
val✝ : Encodable β

⊢ R (m (⨆ b, s b)) (∏' (b : β), m (s b))
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s : β → α
val✝ : Encodable β

⊢ R (m (⨆ i, ⨆ b ∈ decode₂ β i, s b)) (∏' (i : ℕ), m (⨆ b ∈ decode₂ β i, s b))
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.121165, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.121169, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
h : S.Splitting

⊢ (h.s.op ≫ S.op.f + S.op.g ≫ h.r.op).unop = (𝟙 S.op.X₂).unop
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.121165, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.121169, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
h : S.Splitting

⊢ S.g ≫ h.s + h.r ≫ S.f = h.r ≫ S.f + S.g ≫ h.s
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
h : ker f = IsSubgroup.trivial G
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂

⊢ a₁ = a₂
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂
h : ∀ (x : G), f x = 1 ↔ x = 1

⊢ a₁ = a₂
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂
h : ∀ (x : G), f x = 1 ↔ x = 1
ha : a₁ * a₂⁻¹ = 1

⊢ a₁ = a₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Rearrangement.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Antivary f g

⊢ ∑ i : ι, f i • g i < ∑ i : ι, f i • g (σ i) ↔ ¬Antivary f (g ∘ ⇑σ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q

⊢ (z₁.comp (-z₂) h).v p q hpq = (-z₁.comp z₂ h).v p q hpq
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : n ≠ 1
H : Irreducible (X ^ n - C 0)

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : n ≠ 1
H : Irreducible (X ^ n)

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
u : Set α
hu : MeasurableSet u

⊢ MeasurableSet (Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' u))
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
u : Set α
hu : MeasurableSet u

⊢ MeasurableSet (s ∩ u)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
z₁ z₂ : M₂

⊢ MultilinearMap.mkPiRing R ι z₁ = MultilinearMap.mkPiRing R ι z₂ ↔ z₁ = z₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
z₁ z₂ : M₂

⊢ (∀ (x : ι → R), (∏ i : ι, x i) • z₁ = (∏ i : ι, x i) • z₂) ↔ z₁ = z₂
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing R
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 R
𝕜' : Type u_4
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜'
x : 𝕜'
hx : x ≠ 0
n : ℕ∞

⊢ ContDiffAt 𝕜 n Inv.inv x
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

⊢ ¬n % 2 = 1 ↔ n % 2 = 0