ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y ≠ x
hxy : 0 < ‖y -ᵥ x‖
u : Set Q
hu₁ : u ⊆ s
hu₂ : IsOpen u
hu₃ : y ∈ u

⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ∀ ⦃x_1 : 𝕜⦄, x_1 ∈ {y | ‖y - 1‖ < i} → (homothety x x_1) y ∈ s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y ≠ x
hxy : 0 < ‖y -ᵥ x‖
u : Set Q
hu₁ : u ⊆ s
hu₂ : IsOpen u
hu₃ : y ∈ u
ε : ℝ
hε : ε > 0
hyε : Metric.ball y ε ⊆ u

⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ∀ ⦃x_1 : 𝕜⦄, x_1 ∈ {y | ‖y - 1‖ < i} → (homothety x x_1) y ∈ s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y ≠ x
hxy : 0 < ‖y -ᵥ x‖
u : Set Q
hu₁ : u ⊆ s
hu₂ : IsOpen u
hu₃ : y ∈ u
ε : ℝ
hε : ε > 0
hyε : Metric.ball y ε ⊆ u
δ : 𝕜
hδ : ‖δ - 1‖ < ε / ‖y -ᵥ x‖

⊢ (homothety x δ) y ∈ Metric.ball y ε
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y ≠ x
hxy : 0 < ‖y -ᵥ x‖
u : Set Q
hu₁ : u ⊆ s
hu₂ : IsOpen u
hu₃ : y ∈ u
ε : ℝ
hε : ε > 0
hyε : Metric.ball y ε ⊆ u
δ : 𝕜
hδ : ‖δ • (y -ᵥ x) - (y -ᵥ x)‖ < ε

⊢ (homothety x δ) y ∈ Metric.ball y ε
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
s : Finset α
hsn : s.card ≤ n
hnα : n ≤ Fintype.card α

⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ t.card = n
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T

⊢ IsFractionRing S T
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this : Nontrivial T

⊢ IsFractionRing S T
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S

⊢ IsFractionRing S T
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S

⊢ M ≤ nonZeroDivisors R
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S
x : R
hx : x ∈ M

⊢ x ∈ nonZeroDivisors R
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S
x : R
hx : x ∈ M

⊢ x ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S
x : R
hx : x ∈ M
hx' : x = 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S
x : R
hx : x ∈ M
hx' : x = 0

⊢ 0 = 1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S
x : R
hx : x ∈ M
hx' : x = 0

⊢ ∃ m, ↑m * 1 = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s

⊢ Disjoint (map (Sym2.mkEmbedding a) (cons a s ha)) s.sym2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
P : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup P
f : α → P
hf : AEStronglyMeasurable f μ

⊢ ∫ (x : α), ‖f x‖ ∂μ = (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
P : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup P
f : α → P
hf : AEStronglyMeasurable f μ

⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ).toReal = (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
P : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup P
f : α → P
hf : AEStronglyMeasurable f μ

⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => ‖f x‖
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K

⊢ λ ∣ x * (x - 1) * (x - (↑η + 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K
h : λ ∣ x

⊢ λ ∣ x * (x - 1) * (x - (↑η + 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K
h : λ ∣ x - 1

⊢ λ ∣ x * (x - 1) * (x - (↑η + 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K
h : λ ∣ x + 1

⊢ λ ∣ x * (x - 1) * (x - (↑η + 1))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
x : M →ₗ[R] N

⊢ (dualTensorHom R M N) ((dualTensorHomEquivOfBasis b).symm x) = x
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s : Set α

⊢ SurjOn id s s
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k✝ : ℕ
p q : ℕ → Prop
n k : ℕ
iter_next : ℕ → ℕ → ℕ := fun n guess => (guess + n / guess) / 2

⊢ (let next := (k + n / k) / 2; if _h : next < k then sqrt.iter n next else k) ≤ iter_next n (let next := (k + n / k) / 2; if _h : next < k then sqrt.iter n next else k)
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M✝ : Type x
inst✝³ : Monoid M✝
I : Type u_1
inst✝² : Group I
M : Subgroup H
O : Subgroup I
inst✝¹ : M.Normal
inst✝ : O.Normal
f : G →* H
g : H →* I
hf : N ≤ Subgroup.comap f M
hg : M ≤ Subgroup.comap g O
hgf : optParam (N ≤ Subgroup.comap (g.comp f) O) ⋯
x : G ⧸ N

⊢ (map M O g hg) ((map N M f hf) x) = (map N O (g.comp f) hgf) x
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M✝ : Type x
inst✝³ : Monoid M✝
I : Type u_1
inst✝² : Group I
M : Subgroup H
O : Subgroup I
inst✝¹ : M.Normal
inst✝ : O.Normal
f : G →* H
g : H →* I
hf : N ≤ Subgroup.comap f M
hg : M ≤ Subgroup.comap g O
hgf : optParam (N ≤ Subgroup.comap (g.comp f) O) ⋯
x✝ : G ⧸ N
x : G

⊢ (map M O g hg) ((map N M f hf) ↑x) = (map N O (g.comp f) hgf) ↑x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
a b : α

⊢ 𝓝 (a, b) = (𝓤 α).lift' fun s => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ {y | (b, y) ∈ s}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
a b : α

⊢ ∀ (s : Set (α × α)), Monotone fun t => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ {y | (b, y) ∈ t}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
a b : α

⊢ ∀ (t : Set (α × α)), Monotone fun s => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ {y | (b, y) ∈ t}
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G✝ : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
G : Type u_6
inst✝ : Group G
S : Set G
x : G

⊢ x ∈ closure S⁻¹ ↔ x⁻¹ ∈ closure S
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
a b : α

⊢ toUpperSet a ⤳ toUpperSet b ↔ b ≤ a
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
f : Filter α✝
g : Filter β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
ι : Type u_8
a : α
b : β
i : ι

⊢ map (Prod.map (fun x => b) id) ((𝓟 {a}).coprod (𝓟 {i})) = 𝓟 ({b} ×ˢ univ)
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
f : Filter α✝
g : Filter β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
ι : Type u_8
a : α
b : β
i : ι

⊢ 𝓟 (Prod.map (fun x => b) id '' ({a}ᶜ ×ˢ {i}ᶜ)ᶜ) = 𝓟 ({b} ×ˢ univ)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Sheafify.lean
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X

⊢ Function.Surjective (F.stalkToFiber x)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Sheafify.lean
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X

⊢ ∀ (t : F.stalk x), ∃ U f, ∃ (_ : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred f), f ⟨x, ⋯⟩ = t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Sheafify.lean
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
t : F.stalk x

⊢ ∃ U f, ∃ (_ : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred f), f ⟨x, ⋯⟩ = t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Sheafify.lean
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U : Opens ↑X
m : x ∈ U
s : (forget (Type v)).obj (F.obj (op U))

⊢ ∃ U_1 f, ∃ (_ : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred f), f ⟨x, ⋯⟩ = (F.germ ⟨x, m⟩) s
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Sheafify.lean
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U : Opens ↑X
m : x ∈ U
s : (forget (Type v)).obj (F.obj (op U))

⊢ ∃ f, ∃ (_ : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred f), f ⟨x, ⋯⟩ = (F.germ ⟨x, m⟩) s
-- Mathlib/Algebra/Group/Pi/Basic.lean
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f i
i✝ : I
a a' : α → γ
b b' : β → γ
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : One γ
i : α
c : γ

⊢ Sum.elim (Pi.mulSingle i c) 1 = Pi.mulSingle (inl i) c
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsClosed s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0

⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsClosed s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0

⊢ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsClosed s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
A : ∀ (t : Set β), MeasurableSet t → ∫ (x : β) in t, f x ∂μ = 0 → ∫ (x : β) in tᶜ, f x ∂μ = 0

⊢ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsClosed s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
A : ∀ (t : Set β), MeasurableSet t → ∫ (x : β) in t, f x ∂μ = 0 → ∫ (x : β) in tᶜ, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsClosed s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
A : ∀ (t : Set β), MeasurableSet t → ∫ (x : β) in t, f x ∂μ = 0 → ∫ (x : β) in tᶜ, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : MeasurableSet s
U : Set β
hU : IsOpen U

⊢ ∫ (x : β) in U, f x ∂μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsClosed s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
A : ∀ (t : Set β), MeasurableSet t → ∫ (x : β) in t, f x ∂μ = 0 → ∫ (x : β) in tᶜ, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : MeasurableSet s
g : ℕ → Set β
g_disj : Pairwise (Disjoint on g)
g_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (g i)
hg : ∀ (i : ℕ), ∫ (x : β) in g i, f x ∂μ = 0

⊢ ∫ (x : β) in ⋃ i, g i, f x ∂μ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/GeneralLinearGroup/Card.lean
𝔽 : Type u_1
inst✝¹ : Field 𝔽
inst✝ : Fintype 𝔽
n : ℕ

⊢ Nat.card (GL (Fin n) 𝔽) = ∏ i : Fin n, (q ^ n - q ^ ↑i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/GeneralLinearGroup/Card.lean
𝔽 : Type u_1
inst✝¹ : Field 𝔽
inst✝ : Fintype 𝔽

⊢ Nat.card (GL (Fin 0) 𝔽) = ∏ i : Fin 0, (q ^ 0 - q ^ ↑i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/GeneralLinearGroup/Card.lean
𝔽 : Type u_1
inst✝¹ : Field 𝔽
inst✝ : Fintype 𝔽
n : ℕ
hn : n > 0

⊢ Nat.card (GL (Fin n) 𝔽) = ∏ i : Fin n, (q ^ n - q ^ ↑i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Conjugation.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
p q : Submodule R (CliffordAlgebra Q)

⊢ Submodule.comap reverse (p * q) = Submodule.comap reverse q * Submodule.comap reverse p
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹⁴ : StarRing A
inst✝¹³ : Module R A
inst✝¹² : IsScalarTower R A A
inst✝¹¹ : SMulCommClass R A A
inst✝¹⁰ : StarModule R A
inst✝⁹ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁸ : StarRing B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : IsScalarTower R B B
inst✝⁵ : SMulCommClass R B B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : FunLike F A B
inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝¹ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →⋆ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i : ι
x : ↥(K i)
hx : ↑x ∈ iSup K

⊢ Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑(iSup K) ⋯ ⟨↑x, hx⟩ = (f i) x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : finrank 𝕜 E = n
inst✝ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsInternal V
a : Fin n
hV' : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ

⊢ (subordinateOrthonormalBasis hn hV hV') a ∈ V (subordinateOrthonormalBasisIndex hn hV a hV')
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : ℕ → Set α
p : ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), p n → MeasurableSet (s n)

⊢ MeasurableSet (blimsup s atTop p)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : ℕ → Set α
p : ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), p n → MeasurableSet (s n)

⊢ MeasurableSet (⋂ i, ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), s j)
-- Mathlib/Algebra/Star/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : StarMul A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : StarModule R A
r : R

⊢ (algebraMap R A) (star r) = star ((algebraMap R A) r)
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ ⁅I ⊓ J, N⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ⊓ ⁅J, N⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ ⁅I ⊓ J, N⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ∧ ⁅I ⊓ J, N⁆ ≤ ⁅J, N⁆
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
A : Type u_2
inst✝ : Semiring A
f g : MvPolynomial σ R →+* A
hC : ∀ (r : R), f (C r) = g (C r)
hX : ∀ (i : σ), f (X i) = g (X i)

⊢ f = g
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
A : Type u_2
inst✝ : Semiring A
f g : MvPolynomial σ R →+* A
hC : ∀ (r : R), f (C r) = g (C r)
hX : ∀ (i : σ), f (X i) = g (X i)

⊢ f.comp singleZeroRingHom = g.comp singleZeroRingHom
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
A : Type u_2
inst✝ : Semiring A
f g : MvPolynomial σ R →+* A
hC : ∀ (r : R), f (C r) = g (C r)
hX : ∀ (i : σ), f (X i) = g (X i)

⊢ (↑f).comp (of R (σ →₀ ℕ)) = (↑g).comp (of R (σ →₀ ℕ))
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
m₁ m₂ : M

⊢ (changeForm h) ((ι Q) m₁ * (ι Q) m₂) = (ι Q') m₁ * (ι Q') m₂ - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q')) ((B m₁) m₂)
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β

⊢ IsOpen s ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β

⊢ (∀ (i : ι), IsOpen (s ∩ ↑(U i))) ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
i : ι

⊢ IsOpen (s ∩ ↑(U i)) ↔ IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)