ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C

⊢ (β_ X.X Y.X).hom ▷ (X.X ⊗ Y.X) ≫ ((((((α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom ≫ Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C

⊢ (β_ X.X Y.X).hom ▷ (X.X ⊗ Y.X) ≫ ((((((Y.X ⊗ X.X) ◁ (β_ X.X Y.X).hom ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom) ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C

⊢ (((((((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom) ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ ↑(tanh x) = ↑(sinh x / cosh x)
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
n m k : ℕ

⊢ n &&& m &&& k = n &&& (m &&& k)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
a b x : PGame

⊢ -x.birthday.toPGame ≤ x
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure E

⊢ IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑b)).toAddSubgroup) (fundamentalDomain b) μ
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure E
val✝ : Fintype ι

⊢ IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑b)).toAddSubgroup) (fundamentalDomain b) μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E

⊢ UniformCauchySeqOnFilter f l (𝓝 x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f' n.1 z - f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E

⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f n.1 z - f n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f' n.1 z - f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E

⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f n.1 z - f n.2 z - (f n.1 x - f n.2 x)) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x) ∧ TendstoUniformlyOnFilter (fun n x_1 => f n.1 x - f n.2 x) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ sup f
a : Ordinal.{max u v}
hao : a < sup f

⊢ succ a < sup f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ sup f
a : Ordinal.{max u v}
hao : a < sup f
hoa : sup f ≤ succ a

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Translations.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K

⊢ (of v).h = ↑⌊v⌋
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞

⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = 0

⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0

⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0
L : ℕ → ℝ≥0∞
left✝ : StrictMono L
hLf : ∀ (n : ℕ), L n ∈ Ioo ⊥ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ)
hL_tendsto : Tendsto L atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))

⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0
L : ℕ → ℝ≥0∞
left✝ : StrictMono L
hLf : ∀ (n : ℕ), L n ∈ Ioo ⊥ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ)
hL_tendsto : Tendsto L atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))
this : ∀ (n : ℕ), ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ L n < ∫⁻ (a : α), g a ∂μ

⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0
L : ℕ → ℝ≥0∞
left✝ : StrictMono L
hLf : ∀ (n : ℕ), L n ∈ Ioo ⊥ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ)
hL_tendsto : Tendsto L atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))
g : ℕ → α → ℝ≥0∞
hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f
hLg : ∀ (n : ℕ), L n < ∫⁻ (a : α), g n a ∂μ

⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0
L : ℕ → ℝ≥0∞
left✝ : StrictMono L
hLf : ∀ (n : ℕ), L n ∈ Ioo ⊥ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ)
hL_tendsto : Tendsto L atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))
g : ℕ → α → ℝ≥0∞
hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f
hLg : ∀ (n : ℕ), L n < ∫⁻ (a : α), g n a ∂μ

⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), (fun x => ⨆ n, g n x) a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0
L : ℕ → ℝ≥0∞
left✝ : StrictMono L
hLf : ∀ (n : ℕ), L n ∈ Ioo ⊥ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ)
hL_tendsto : Tendsto L atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))
g : ℕ → α → ℝ≥0∞
hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f
hLg : ∀ (n : ℕ), L n < ∫⁻ (a : α), g n a ∂μ

⊢ ∫⁻ (a : α), (fun x => ⨆ n, g n x) a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
a : α

⊢ (⨆ x, f x) ⊔ a = ⨆ x, f x ⊔ a
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V

⊢ ker f = ⊥ ↔ range f = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/LinearMap.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
f : Module.End R M

⊢ ∃ a, (toEnd R b hb) a = f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/LinearMap.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M✝ : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M✝
I : Ideal R
b : ι → M✝
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
f : Module.End R M✝
M : ↥(isRepresentation R b)
e : (toEnd R b hb) M = f

⊢ ∃ a, (toEnd R b hb) a = f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Fintype n
v w : n → R
h : ∀ (u : n → R), v ⬝ᵥ u = w ⬝ᵥ u

⊢ v = w
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Fintype n
v w : n → R
h : ∀ (u : n → R), v ⬝ᵥ u = w ⬝ᵥ u
x : n

⊢ v x = w x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
w : InfinitePlace F
h : IsUnramified k w
f : K →ₐ[k] F

⊢ IsUnramified k (w.comap ↑f)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
w : InfinitePlace F
h : IsUnramified k w
f : K →ₐ[k] F

⊢ (w.comap ↑f).mult ≤ w.mult
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set β

⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s) ↔ MeasurableSet (s ∩ range f)
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
S : Type u_7
inst✝ : CommRing S
f : S →+* R
x : S

⊢ x ∈ (comap f v).supp ↔ x ∈ Ideal.comap f v.supp
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ (η a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ (((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) a) {x | 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x} = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ (((κ + η).withDensity fun a x => ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x)) a) {x | 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x} = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂(κ + η) a, x ∈ {x | 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x} → ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) = 0 x
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ MeasurableSet {x | ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) = 0 x}
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ Measurable fun b => ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b)
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x))
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
x : γ
hx : x ∈ {x | 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x}

⊢ ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) = 0 x
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
x : γ
hx : 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x

⊢ ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) = 0 x
-- Mathlib/Data/Nat/Find.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n : ℕ

⊢ Nat.find h ≤ n ↔ ∃ m, m ≤ n ∧ p m
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x✝ : ↥K'

⊢ x✝ ∈ ofLe h ↔ x✝ ∈ comap K'.incl K
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x✝ : ↥K'

⊢ ↑x✝ ∈ K ↔ x✝ ∈ comap K'.incl K
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R✝ : Type u_1
inst✝³ : Semiring R✝
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
M : Matrix m n R

⊢ (Function.Injective fun v => v ᵥ* M) ↔ LinearIndependent R fun i => M i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R✝ : Type u_1
inst✝³ : Semiring R✝
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
M : Matrix m n R

⊢ Function.Injective ⇑M.vecMulLinear ↔ LinearIndependent R fun i => M i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R✝ : Type u_1
inst✝³ : Semiring R✝
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
M : Matrix m n R

⊢ (∀ (x : m → R), x ᵥ* M = 0 → x = 0) ↔ ∀ (g : m → R), ∑ i : m, g i • M i = 0 → ∀ (i : m), g i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R✝ : Type u_1
inst✝³ : Semiring R✝
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
M : Matrix m n R
h : ∀ (x : m → R), x ᵥ* M = 0 → x = 0
c : m → R
h0 : ∑ i : m, c i • M i = 0

⊢ c ᵥ* M = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R✝ : Type u_1
inst✝³ : Semiring R✝
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
M : Matrix m n R
h : ∀ (g : m → R), ∑ i : m, g i • M i = 0 → ∀ (i : m), g i = 0
c : m → R
h0 : c ᵥ* M = 0

⊢ ∑ i : m, c i • M i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q

⊢ (contractRight ((contractRight x) d)) d' = -(contractRight ((contractRight x) d')) d
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq n
i✝ : n
j✝ : m

⊢ Mᵀ.updateRow j c i✝ j✝ = (M.updateColumn j c)ᵀ i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq n
i✝ : n
j✝ : m

⊢ (if i✝ = j then c j✝ else Mᵀ i✝ j✝) = if i✝ = j then c j✝ else M j✝ i✝
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Defs.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
h : a ≠ 0

⊢ ¬a * b ≺ b
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Defs.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
h : a ≠ 0

⊢ ¬b * a ≺ b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℂ
a b : ℂ
hf : Tendsto f l (𝓝 b)
h : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0

⊢ Tendsto (fun x => a ^ f x) l (𝓝 (a ^ b))
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α

⊢ exponent α = Fintype.card α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g

⊢ exponent α = Fintype.card α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g

⊢ exponent α ∣ Fintype.card α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g

⊢ Fintype.card α ∣ exponent α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g

⊢ orderOf g ∣ exponent α
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
cs cs' : List Char

⊢ { byteIdx := utf8ByteSize.go cs } ≤ { data := cs ++ cs' }.endPos
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a : ℕ
han : 0 < a
ha : φ a ≤ 1

⊢ a ∣ 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
g : X ⟶ widePullback B objs arrows

⊢ g = lift (g ≫ base arrows) (fun j => g ≫ π arrows j) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
g : X ⟶ widePullback B objs arrows

⊢ ∀ (j : J), g ≫ π arrows j = g ≫ π arrows j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
g : X ⟶ widePullback B objs arrows

⊢ g ≫ base arrows = g ≫ base arrows
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α → Prop
q : Prop
p : α → Prop
inst✝ : Decidable q

⊢ (∀ (x : α), p x ∨ q) ↔ (∀ (x : α), p x) ∨ q
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ p₃ : ι
h₁₂ : p₁ = p₂
h₃₂ : p₃ = p₂

⊢ eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Coherence.lean
C : Type u
X : (Discrete ∘ NormalMonoidalObject) C
down✝ : X.as = X.as

⊢ inclusion.map { down := { down := down✝ } } = eqToHom ⋯
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n✝ : ℕ
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ

⊢ ∏ i ∈ n.divisorsAntidiagonal, f i.1 i.2 = ∏ i ∈ n.divisors, f (n / i) i
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n✝ : ℕ
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ

⊢ ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, f ((Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding x).1 ((Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding x).2 = ∏ i ∈ n.divisors, f (n / i) i
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x✝ y✝ : ι → ℝ
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (I.lower i) (I.upper i)
y : Fin n → ℝ
hy : y ∈ ↑(I.face i)

⊢ i.insertNth x y ∈ ↑I
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x✝ y✝ : ι → ℝ
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (I.lower i) (I.upper i)
y : Fin n → ℝ
hy : y ∈ ↑(I.face i)

⊢ x ∈ Ioc (I.lower i) (I.upper i) ∧ ∀ (j : Fin n), y j ∈ Ioc (I.lower (i.succAbove j)) (I.upper (i.succAbove j))
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/BigOperators.lean
ι : Type u_1
k : ℕ
l : List ℕ

⊢ k.Coprime l.prod ↔ ∀ n ∈ l, k.Coprime n
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z w : N

⊢ ∃ z' w' d, z * f.toMap ↑d = f.toMap z' ∧ w * f.toMap ↑d = f.toMap w'
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z w : N
a : M × ↥S
ha : z * f.toMap ↑a.2 = f.toMap a.1

⊢ ∃ z' w' d, z * f.toMap ↑d = f.toMap z' ∧ w * f.toMap ↑d = f.toMap w'
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z w : N
a : M × ↥S
ha : z * f.toMap ↑a.2 = f.toMap a.1
b : M × ↥S
hb : w * f.toMap ↑b.2 = f.toMap b.1

⊢ ∃ z' w' d, z * f.toMap ↑d = f.toMap z' ∧ w * f.toMap ↑d = f.toMap w'
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{max v u, w} D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
X : C
x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ

⊢ (J.diagramNatTrans (η ≫ γ) X).app x✝ = (J.diagramNatTrans η X ≫ J.diagramNatTrans γ X).app x✝