ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} A
inst✝² : HasWeakSheafify J A
inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
L : A ⥤ Sheaf J A
adj : L ⊣ (sheafSections J A).obj (op t)
F : Sheaf J A
this✝ : L.Faithful
this : L.Full

⊢ IsDiscrete J ht F ↔ F ∈ L.essImage
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

⊢ cs.IsRightDescent w⁻¹ i ↔ cs.IsLeftDescent w i
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i j : ℤ
H : 0 < i.gcd j

⊢ (i / ↑(i.gcd j)).gcd (j / ↑(i.gcd j)) = 1
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
X₀ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X₀
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X₀ → X
hf : QuotientMap f
g : X × Y → Z
hg : Continuous fun p => g (f p.1, p.2)
Gf : C(X₀, C(Y, Z)) := { toFun := fun p => g (f p.1, p.2), continuous_toFun := hg }.curry

⊢ Continuous g
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
X₀ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X₀
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X₀ → X
hf : QuotientMap f
g : X × Y → Z
hg : Continuous fun p => g (f p.1, p.2)
Gf : C(X₀, C(Y, Z)) := { toFun := fun p => g (f p.1, p.2), continuous_toFun := hg }.curry
h : ∀ (x : X), Continuous fun y => g (x, y)

⊢ Continuous g
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
X₀ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X₀
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X₀ → X
hf : QuotientMap f
g : X × Y → Z
hg : Continuous fun p => g (f p.1, p.2)
Gf : C(X₀, C(Y, Z)) := { toFun := fun p => g (f p.1, p.2), continuous_toFun := hg }.curry
h : ∀ (x : X), Continuous fun y => g (x, y)
G : X → C(Y, Z) := fun x => { toFun := fun y => g (x, y), continuous_toFun := ⋯ }

⊢ Continuous g
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
X₀ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X₀
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X₀ → X
hf : QuotientMap f
g : X × Y → Z
hg : Continuous fun p => g (f p.1, p.2)
Gf : C(X₀, C(Y, Z)) := { toFun := fun p => g (f p.1, p.2), continuous_toFun := hg }.curry
h : ∀ (x : X), Continuous fun y => g (x, y)
G : X → C(Y, Z) := fun x => { toFun := fun y => g (x, y), continuous_toFun := ⋯ }
this : Continuous G

⊢ Continuous g
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Semigroup M
a b : M
h : ⊤ ≤ S.centralizer
x✝¹ : M
hx : x✝¹ ∈ S
x✝ : M

⊢ x✝ * x✝¹ = x✝¹ * x✝
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)

⊢ IsInteger A x
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0

⊢ IsInteger A x
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0

⊢ (algebraMap A K) (↑d⁻¹ * num A x) = x
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0

⊢ (algebraMap A K) (↑d⁻¹ * num A x) = mk' K (num A x) (den A x)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0

⊢ ((algebraMap A K) ↑(den A x))⁻¹ * (algebraMap A K) (num A x) = mk' K (num A x) (den A x)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)
d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0

⊢ (algebraMap A K) ↑(den A x) * (((algebraMap A K) ↑(den A x))⁻¹ * (algebraMap A K) (num A x)) = (algebraMap A K) ↑(den A x) * mk' K (num A x) (den A x)
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
k : (x + y).LeftMoves
P : (x + y).LeftMoves → Prop
hl : ∀ (i : x.LeftMoves), P (toLeftMovesAdd (Sum.inl i))
hr : ∀ (i : y.LeftMoves), P (toLeftMovesAdd (Sum.inr i))

⊢ P k
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
k : (x + y).LeftMoves
P : (x + y).LeftMoves → Prop
hl : ∀ (i : x.LeftMoves), P (toLeftMovesAdd (Sum.inl i))
hr : ∀ (i : y.LeftMoves), P (toLeftMovesAdd (Sum.inr i))

⊢ P (toLeftMovesAdd (toLeftMovesAdd.symm k))
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (Cᵒᵖ ⥤ D)ᵒᵖ
η : F ⟶ G

⊢ η ≫ (unop G).rightOpLeftOpIso.hom.op = (unop F).rightOpLeftOpIso.hom.op ≫ (NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp η.unop)).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (Cᵒᵖ ⥤ D)ᵒᵖ
η : F ⟶ G

⊢ ((unop G).rightOpLeftOpIso.hom ≫ η.unop).op = (NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp η.unop.op.unop) ≫ (unop F).rightOpLeftOpIso.hom).op
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
h : Red (invRev L₁) (invRev L₂)

⊢ Red L₁ L₂
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m2 : Multiset α
r : α → α → Prop

⊢ ∀ {m1 : Multiset α}, (∀ (a b : α), a ∈ m1 → b ∈ m2 → r a b) → card m1 = card m2 → Rel r m1 m2
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m2 : Multiset α
r : α → α → Prop

⊢ ∀ {m1 : Multiset α}, (∀ (a b : α), a ∈ m1 → b ∈ 0 → r a b) → card m1 = card 0 → Rel r m1 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m2 : Multiset α
r : α → α → Prop

⊢ ∀ (a : α) (s : Multiset α), (∀ {m1 : Multiset α}, (∀ (a b : α), a ∈ m1 → b ∈ s → r a b) → card m1 = card s → Rel r m1 s) → ∀ {m1 : Multiset α}, (∀ (a_2 b : α), a_2 ∈ m1 → b ∈ a ::ₘ s → r a_2 b) → card m1 = card (a ::ₘ s) → Rel r m1 (a ::ₘ s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝ : InvolutiveStar α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
hA : A.IsHermitian
hBC : Bᴴ = C
hD : D.IsHermitian

⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D).IsHermitian
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝ : InvolutiveStar α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
hA : A.IsHermitian
hBC : Bᴴ = C
hD : D.IsHermitian
hCB : Cᴴ = B

⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D).IsHermitian
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝ : InvolutiveStar α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
hA : A.IsHermitian
hBC : Bᴴ = C
hD : D.IsHermitian
hCB : Cᴴ = B

⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D)ᴴ = Matrix.fromBlocks A B C D
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n

⊢ HasSum (fun n => C * r ^ n) (C / (1 - r))
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ 0 * r ^ n

⊢ HasSum (fun n => 0 * r ^ n) (0 / (1 - r))
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
left✝ : 0 < C
r₀ : 0 ≤ r

⊢ HasSum (fun n => C * r ^ n) (C / (1 - r))
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a : α
hp : Prime p

⊢ multiplicity p (a ^ 0) = 0 • multiplicity p a
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a : α
hp : Prime p
k : ℕ

⊢ multiplicity p (a ^ k.succ) = k.succ • multiplicity p a
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α

⊢ sInf (s / t) = sInf s / sSup t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hxy : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2 → P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3

⊢ P x / P z ^ 2 = Q x / Q z ^ 2 → P y / P z ^ 3 ≠ W.toAffine.negY (Q x / Q z ^ 2) (Q y / Q z ^ 3)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α

⊢ 1 < a⁻¹ ↔ a < 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.26952, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C

⊢ S.v₀₁.τ₂ ≫ S.v₁₂.τ₂ = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Mul M✝
inst✝² : ContinuousMul M✝
M : Type u
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)

⊢ ContinuousMul M
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Mul M✝
inst✝² : ContinuousMul M✝
M : Type u
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)

⊢ ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Mul M✝
inst✝² : ContinuousMul M✝
M : Type u
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
x₀ : M

⊢ 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
d : D
X✝ Y✝ : (CostructuredArrow F.op (op d))ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (unop X✝).hom.unop ≫ F.map f.unop.left.unop = (unop Y✝).hom.unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
d : D
X✝ Y✝ : (CostructuredArrow F.op (op d))ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ ((unop Y✝).hom ≫ 𝟙 (op d)).unop = (unop Y✝).hom.unop
-- Mathlib/Algebra/Category/Ring/Instances.lean
R S : CommRingCat
f : R ≅ S
a : ↑R
ha : IsUnit (f.hom a)

⊢ IsUnit a
-- Mathlib/Algebra/Category/Ring/Instances.lean
R S : CommRingCat
f : R ≅ S
a : ↑R
ha : IsUnit (f.hom a)

⊢ a = f.inv (f.hom a)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n : ℕ

⊢ 2 ≤ 2 ^ (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n : ℕ
this : 2 ^ 1 ≤ 2 ^ (n + 1)

⊢ 2 ≤ 2 ^ (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n : ℕ
this : 2 ≤ 2 ^ (n + 1)

⊢ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 1 = ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n : ℕ
this : 2 ≤ 2 ^ (n + 1)

⊢ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * ‖Polynomial.eval a F‖ / (‖↑(Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F))‖ * ‖↑(Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F))‖) = ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n : ℕ
this : 2 ≤ 2 ^ (n + 1)

⊢ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n : ℕ
this : 2 ≤ 2 ^ (n + 1)

⊢ ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/VitaliCaratheodory.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α →ₛ ℝ≥0
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑f x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f x) ∂μ + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/VitaliCaratheodory.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∂μ + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/VitaliCaratheodory.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f₁ f₂ : α →ₛ ℝ≥0
a✝ : Disjoint (Function.support ↑f₁) (Function.support ↑f₂)
h₁ : ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, (∀ (x : α), ↑f₁ x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₁ x) ∂μ + ε
h₂ : ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, (∀ (x : α), ↑f₂ x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₂ x) ∂μ + ε
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f₁ + f₂) x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑(f₁ + f₂) x) ∂μ + ε
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ S.a + S.b
hpaηsqb : p ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b

⊢ Associated p λ
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ S.a + S.b
hpaηsqb : p ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b

⊢ p ∣ λ
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηsqb : p ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b

⊢ p ∣ λ
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b

⊢ p ∣ λ
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b
this : p ∣ (1 * ↑η ^ 2 - 1 * 1) * gcd S.a S.b

⊢ p ∣ λ
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b
this : p ∣ -(↑η ^ 2 - 1)

⊢ p ∣ λ
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b
this : p ∣ -(↑η ^ 2 - 1)

⊢ λ = -(↑η ^ 2 - 1) * ↑η
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b
this : p ∣ -(↑η ^ 2 - 1)

⊢ λ = 1 * hζ.toInteger - (-(-hζ.toInteger - 1) - 1 * hζ.toInteger)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
i : ι
x : β i

⊢ (sumAddHom φ) (single i x) = (φ i) x
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
i : ι
x : β i

⊢ ∑ i_1 ∈ {i}.toFinset, (φ i_1) (Pi.single i x i_1) = (φ i) x
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
n : ℕ

⊢ ⇑(zsmulRec (fun x x_1 => x • x_1) (Int.ofNat n) f) = Int.ofNat n • ⇑f
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
n : ℕ

⊢ ⇑(zsmulRec (fun x x_1 => x • x_1) (Int.negSucc n) f) = Int.negSucc n • ⇑f
-- Mathlib/ModelTheory/Algebra/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Add R
inst✝⁴ : Mul R
inst✝³ : Neg R
inst✝² : One R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : CompatibleRing R
x y : ring.Term α
v : α → R

⊢ Term.realize v (x * y) = Term.realize v x * Term.realize v y
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ

⊢ completedCosZeta a s = completedCosZeta₀ a s - 1 / s - (if a = 0 then 1 else 0) / (1 - s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ

⊢ (hurwitzEvenFEPair a).symm.Λ₀ (s / 2) / 2 - (1 / (s / 2)) • (hurwitzEvenFEPair a).symm.f₀ / 2 - ((hurwitzEvenFEPair a).symm.ε / (↑(hurwitzEvenFEPair a).symm.k - s / 2)) • (hurwitzEvenFEPair a).symm.g₀ / 2 = completedCosZeta₀ a s - 1 / s - (if a = 0 then 1 else 0) / (1 - s)
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i

⊢ (of L ι G f j) ((f i j hij) x) = (of L ι G f i) x
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i

⊢ Structure.Sigma.mk f j ((f i j hij) x) ≈ Structure.Sigma.mk f i x
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i

⊢ (f i j hij) x = (f j j ⋯) ((f i j hij) x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝² : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝¹ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
inst✝ : DecidablePred p
j : J
i : Subtype p

⊢ ι (Subtype.restrict p f) i ≫ fromSubtype f p ≫ π f j = ι (Subtype.restrict p f) i ≫ if h : p j then π (Subtype.restrict p f) ⟨j, h⟩ else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝² : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝¹ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
inst✝ : DecidablePred p
j : J
i : Subtype p

⊢ (if h : ↑i = j then eqToHom ⋯ else 0) = ι (Subtype.restrict p f) i ≫ if h : p j then π (Subtype.restrict p f) ⟨j, h⟩ else 0
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset ℕ
n✝ n : ℕ

⊢ ∑ i ∈ n.bitIndices.toFinset, 2 ^ i = n
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
hC : Preperfect C
x : α
hx : x ∈ closure C

⊢ AccPt x (𝓟 (closure C))
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
hC : Preperfect C
x : α
hx : x ∈ closure C
h : x ∈ C

⊢ AccPt x (𝓟 C)
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
hC : Preperfect C
x : α
hx : x ∈ closure C
h : x ∉ C

⊢ AccPt x (𝓟 C)
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
hC : Preperfect C
x : α
hx : x ∈ closure C
h : x ∉ C
this : {x}ᶜ ∩ C = C

⊢ AccPt x (𝓟 C)
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
hC : Preperfect C
x : α
hx : x ∈ closure C
h : x ∉ C
this : {x}ᶜ ∩ C = C

⊢ (𝓝 x ⊓ 𝓟 C).NeBot
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
hC : Preperfect C
x : α
hx : x ∈ {a | ClusterPt a (𝓟 C)}
h : x ∉ C
this : {x}ᶜ ∩ C = C

⊢ (𝓝 x ⊓ 𝓟 C).NeBot