ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
f g : R[X]
df' dg' : ℕ
hdf : f.natDegree ≤ df'
hdf' : df' ≤ df'
hdg : g.natDegree ≤ dg'
hdg' : dg' ≤ dg'
hmem : (df', dg') ∈ antidiagonal (df' + dg')
hne : (df', dg') ≠ (df', dg')

⊢ f.coeff (df', dg').1 * g.coeff (df', dg').2 = 0
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter β
p : α → Prop
s✝ : Set α
x : α
s : Set β
F : Filter (α × β)

⊢ s ∈ comap (Prod.mk x) F ↔ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s} ∈ F
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Over.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPushouts C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x x' : Under X
u : x ⟶ x'

⊢ x.hom ≫ u.right ≫ pushout.inl x'.hom f = f ≫ pushout.inr x'.hom f
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
h : T ⊨ᵇ φ
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M

⊢ M ⊨ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
h : ¬(T ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M

⊢ M ⊨ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M
h : ¬M ⊨ φ

⊢ (T ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M
h : ¬M ⊨ φ
this : M ⊨ T ∪ {Formula.not φ}

⊢ (T ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
hp : p.Monic

⊢ (p * q).leadingCoeff = q.leadingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
p : R[X]
hp : p.Monic

⊢ (p * 0).leadingCoeff = leadingCoeff 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
hp : p.Monic
H : q ≠ 0

⊢ (p * q).leadingCoeff = q.leadingCoeff
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
x : ℕ

⊢ bit a x % 2 = 1 ↔ a = true
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
x : ℕ

⊢ (if a = true then 1 else 0) = 1 ↔ a = true
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/SubMulAction/Pointwise.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : MulAction R M
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : IsScalarTower R M M
inst✝ : SMulCommClass R M M
p : SubMulAction R M
x✝ : 1 ≠ 0

⊢ ↑(p ^ 1) = ↑p ^ 1
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/SubMulAction/Pointwise.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : MulAction R M
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : IsScalarTower R M M
inst✝ : SMulCommClass R M M
p : SubMulAction R M
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0

⊢ ↑(p ^ (n + 2)) = ↑p ^ (n + 2)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
v : M
p : R[X]

⊢ ((aeval f) p) v = p.sum fun n b => b • (f ^ n) v
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
v : M
p : R[X]

⊢ (p.sum fun e a => (algebraMap R (M →ₗ[R] M)) a * f ^ e) v = p.sum fun n b => b • (f ^ n) v
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
mα : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : CommGroup β
inst✝ : TopologicalGroup β
hf : StronglyMeasurable f
h : StronglyMeasurable (f * g)

⊢ g = f * g * f⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
f : ArithmeticFunction ℕ
inst✝ : Semiring R
h : f.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

⊢ ↑f (m * n) = ↑f m * ↑f n
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
f : Filter α

⊢ (¬∃ᶠ (x : α) in f, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in f, ¬p x
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
R : Type u₁
inst✝¹ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x : Ring.Perfection R p
n : ℕ

⊢ (coeff R p n) (((pthRoot R p).comp (frobenius (Ring.Perfection R p) p)) x) = (coeff R p n) ((RingHom.id (Ring.Perfection R p)) x)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)

⊢ X.σ i ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n + 1])) = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)

⊢ ∀ (A : IndexSet (op [n])), (s.cofan (op [n])).inj A ≫ X.σ i ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n + 1])) = (s.cofan (op [n])).inj A ≫ 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
A : IndexSet (op [n])

⊢ (s.cofan (op [n])).inj A ≫ X.map (SimplexCategory.σ i).op ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n + 1])) = (s.cofan (op [n])).inj A ≫ 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
A : IndexSet (op [n])

⊢ IndexSet.id (op [n + 1]) ≠ A.epiComp (SimplexCategory.σ i).op
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
A : IndexSet (op [n])

⊢ A.epiComp (SimplexCategory.σ i).op ≠ IndexSet.id (op [n + 1])
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
A : IndexSet (op [n])

⊢ ¬(A.epiComp (SimplexCategory.σ i).op).EqId
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
A : IndexSet (op [n])

⊢ ¬(unop (A.epiComp (SimplexCategory.σ i).op).fst).len = (unop (op [n + 1])).len
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
A : IndexSet (op [n])
h : (unop A.fst).len ≤ (unop (op [n])).len

⊢ ¬(unop (A.epiComp (SimplexCategory.σ i).op).fst).len = (unop (op [n + 1])).len
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Algebra.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
r : AdicCompletion I R
x : M ⧸ I ^ n • ⊤

⊢ ↑r n • x = (evalₐ I n) r • x
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Algebra.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
r✝ : AdicCompletion I R
x : M ⧸ I ^ n • ⊤
r : AdicCauchySequence I R

⊢ ↑((mk I R) r) n • x = (evalₐ I n) ((mk I R) r) • x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
v : E
i : ι

⊢ ↑(b.repr v) i = ⟪(fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i, v⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
v : E
i : ι

⊢ ↑(b.repr v) i = ⟪1, ↑(b.repr v) i⟫_𝕜
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated

⊢ CompactSpace X ↔ SeqCompactSpace X
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x n : ℕ
ih : ↑x = mk K p (n, ↑x)

⊢ R K p (n, ↑x) (n + 1, ↑x)
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x n : ℕ
ih : ↑x = mk K p (n, ↑x)

⊢ R K p (n, ↑x) (n.succ, (frobenius K p) ↑x)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ ys : List M

⊢ [].prod * ys.prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) [] ys).prod * (drop ys.length []).prod * (drop [].length ys).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ xs : List M

⊢ xs.prod * [].prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs []).prod * (drop [].length xs).prod * (drop xs.length []).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ : List M
x : M
xs : List M
y : M
ys : List M

⊢ (x :: xs).prod * (y :: ys).prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) (x :: xs) (y :: ys)).prod * (drop (y :: ys).length (x :: xs)).prod * (drop (x :: xs).length (y :: ys)).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ : List M
x : M
xs : List M
y : M
ys : List M

⊢ x * xs.prod * (y * ys.prod) = x * y * (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys).prod * (drop ys.length xs).prod * (drop xs.length ys).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ : List M
x : M
xs : List M
y : M
ys : List M

⊢ x * (y * ((zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys).prod * (drop ys.length xs).prod * (drop xs.length ys).prod)) = x * y * (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys).prod * (drop ys.length xs).prod * (drop xs.length ys).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

⊢ map (fun x => c + x) (Ioo a b) = Ioo (c + a) (c + b)
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
f✝ : ι → α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
f : β → α
s : Finset β
h : ∀ x ∈ s, IsCompactElement (f x)

⊢ IsCompactElement (s.sup f)
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ

⊢ rtakeWhile p l = l ↔ ∀ (x : α), x ∈ l → p x = true
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 2 ≠ 0

⊢ 0 < W.preΨ₄.natDegree
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
h : s.Finite

⊢ range ⇑(Fintype.equivFin ↑↑h.toFinset).symm.asEmbedding = s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀

⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|

⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ

⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖

⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ

⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ

⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E

⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀

⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, ‖x - x₀‖⁻¹ * ‖∫ (a : α), F x a ∂μ - ∫ (a : α), F x₀ a ∂μ - (∫ (a : α), F' a ∂μ) (x - x₀)‖ = ‖∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a - (F' a) (x - x₀)) ∂μ‖

⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, ‖x - x₀‖⁻¹ * ‖∫ (a : α), F x a ∂μ - ∫ (a : α), F x₀ a ∂μ - (∫ (a : α), F' a ∂μ) (x - x₀)‖ = ‖∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a - (F' a) (x - x₀)) ∂μ‖

⊢ Tendsto (fun x => ∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a - (F' a) (x - x₀)) ∂μ) (𝓝 x₀) (𝓝 (∫ (a : α), ‖x₀ - x₀‖⁻¹ • (F x₀ a - F x₀ a - (F' a) (x₀ - x₀)) ∂μ))