ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁
a : ↑↑(Submonoid.closure s)
ha : a ∈ l.support
this : n ≥ n₁ a

⊢ r ^ n • l a • ↑a ∈ Subalgebra.toSubmodule B'
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁
a : ↑↑(Submonoid.closure s)
ha : a ∈ l.support
this : n ≥ n₁ a

⊢ (algebraMap A B) r ^ (n - n₁ a) * l a • r ^ n₁ a • ↑a ∈ Subalgebra.toSubmodule B'
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁
a : ↑↑(Submonoid.closure s)
ha : a ∈ l.support
this : n ≥ n₁ a

⊢ l a • r ^ n₁ a • ↑a ∈ B'
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁
a : ↑↑(Submonoid.closure s)
ha : a ∈ l.support
this : n ≥ n₁ a

⊢ r ^ n₁ a • ↑a ∈ B'
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁
a : ↑↑(Submonoid.closure s)
ha : a ∈ l.support
this : n ≥ n₁ a

⊢ r ^ n₁ a • ↑a ∈ B'.toSubmonoid
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁
a : ↑↑(Submonoid.closure s)
ha : a ∈ l.support
this : n ≥ n₁ a

⊢ r ^ n₁ a • ↑a ∈ Submonoid.closure ↑B'.toSubmonoid
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F E
heq : finSepDegree F E = finrank F E
x : E

⊢ IsSeparable F x
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F E
heq : finSepDegree F E = finrank F E
x : E
halg : IsAlgebraic F x

⊢ IsSeparable F x
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F E
heq : finSepDegree F E = finrank F E
x : E
halg : IsAlgebraic F x
h : finSepDegree F ↥F⟮x⟯ < finrank F ↥F⟮x⟯

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F E
heq : finSepDegree F E = finrank F E
x : E
halg : IsAlgebraic F x
h : finSepDegree F ↥F⟮x⟯ < finrank F ↥F⟮x⟯
this : finSepDegree F ↥F⟮x⟯ * finSepDegree (↥F⟮x⟯) E < finrank F ↥F⟮x⟯ * finrank (↥F⟮x⟯) E

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F E
heq : finSepDegree F E = finrank F E
x : E
halg : IsAlgebraic F x
h : finSepDegree F ↥F⟮x⟯ < finrank F ↥F⟮x⟯
this : finSepDegree F E < finrank F E

⊢ False
-- Mathlib/Tactic/Qify.lean
a b : ℤ

⊢ a = b ↔ ↑a = ↑b
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsArtinianRing R
S : Submonoid R
L : Type u_2
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsLocalization S L
r' : L

⊢ ∃ a, (algebraMap R L) a = r'
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsArtinianRing R
S : Submonoid R
L : Type u_2
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsLocalization S L
r₁ : R
s : ↥S

⊢ ∃ a, (algebraMap R L) a = IsLocalization.mk' L r₁ s
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsArtinianRing R
S : Submonoid R
L : Type u_2
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsLocalization S L
r₁ : R
s : ↥S
r₂ : R
h : IsLocalization.mk' L 1 s = (algebraMap R L) r₂

⊢ ∃ a, (algebraMap R L) a = IsLocalization.mk' L r₁ s
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x y : M

⊢ (fun m => mk m 1) (x + y) = (fun m => mk m 1) x + (fun m => mk m 1) y
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty β
a b : α

⊢ const β a < const β b ↔ a < b
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
Q : ℤ[X] := minpoly ℤ (μ ^ p)

⊢ map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ) ∣ map (Int.castRingHom (ZMod p)) Q ^ p
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
Q : ℤ[X] := minpoly ℤ (μ ^ p)
hfrob : map (Int.castRingHom (ZMod p)) Q ^ p = map (Int.castRingHom (ZMod p)) ((expand ℤ p) Q)

⊢ map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ) ∣ map (Int.castRingHom (ZMod p)) Q ^ p
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
Q : ℤ[X] := minpoly ℤ (μ ^ p)
hfrob : map (Int.castRingHom (ZMod p)) Q ^ p = map (Int.castRingHom (ZMod p)) ((expand ℤ p) Q)

⊢ map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ) ∣ map (Int.castRingHom (ZMod p)) ((expand ℤ p) Q)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
Q : ℤ[X] := minpoly ℤ (μ ^ p)
hfrob : map (Int.castRingHom (ZMod p)) Q ^ p = map (Int.castRingHom (ZMod p)) ((expand ℤ p) Q)

⊢ minpoly ℤ μ ∣ (expand ℤ p) Q
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) ν

⊢ (fun x => (μ.rnDeriv (ν.tilted f) x).toReal) =ᶠ[ae ν] fun x => (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) ν
x : α
hx : μ.rnDeriv (ν.tilted f) x = ENNReal.ofReal (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * μ.rnDeriv ν x

⊢ (μ.rnDeriv (ν.tilted f) x).toReal = (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) ν
x : α
hx : μ.rnDeriv (ν.tilted f) x = ENNReal.ofReal (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * μ.rnDeriv ν x

⊢ (ENNReal.ofReal (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * μ.rnDeriv ν x).toReal = (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) ν
x : α
hx : μ.rnDeriv (ν.tilted f) x = ENNReal.ofReal (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * μ.rnDeriv ν x

⊢ 0 ≤ rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν ∨ (μ.rnDeriv ν x).toReal = 0
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
n✝ : ZFSet
x : PSet
x✝ : ⟦x⟧ ∈ omega
n : ℕ
h : x.Equiv (PSet.omega.Func { down := n })

⊢ insert (mk x) (mk x) = insert (mk (ofNat n)) (mk (ofNat n))
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
n✝ : ZFSet
x : PSet
x✝ : ⟦x⟧ ∈ omega
n : ℕ
h : x.Equiv (PSet.omega.Func { down := n })

⊢ insert (mk (PSet.omega.Func { down := n })) (mk (PSet.omega.Func { down := n })) = insert (mk (ofNat n)) (mk (ofNat n))
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : Filter α
s : Set α
a : α
hf : f.NeBot
x : α

⊢ f = pure x ↔ {x} ∈ f
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m n α
x y : m → α
x✝ : n

⊢ ((x + y) ᵥ* A) x✝ = (x ᵥ* A + y ᵥ* A) x✝
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial

⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique t ↔ ∃ s, G.IsClique s ∧ ⇑f '' s = t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial
h : (SimpleGraph.map f G).IsClique t

⊢ G.IsClique (⇑f ⁻¹' t)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial
h : (SimpleGraph.map f G).IsClique t

⊢ ⇑f '' (⇑f ⁻¹' t) = t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial
h : (SimpleGraph.map f G).IsClique t

⊢ t ⊆ Set.range ⇑f
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial
h : (SimpleGraph.map f G).IsClique t
x : β
hxt : x ∈ t

⊢ x ∈ Set.range ⇑f
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial
h : (SimpleGraph.map f G).IsClique t
x : β
hxt : x ∈ t
y : β
hyt : y ∈ t
hyne : y ≠ x

⊢ x ∈ Set.range ⇑f
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial
h : (SimpleGraph.map f G).IsClique t
u v : α
hyt : f u ∈ t
hxt : f v ∈ t
hyne : f u ≠ f v

⊢ f v ∈ Set.range ⇑f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
f : R[X]
h : Splits (algebraMap R K) f
e : K →ₐ[R] L

⊢ Splits (algebraMap R L) f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
f : R[X]
h : Splits (algebraMap R K) f
e : K →ₐ[R] L

⊢ Splits ((↑e).comp (algebraMap R K)) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = c • SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (c • toSimpleFunc f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ ↑(toSimpleFunc (c • f)) =ᶠ[ae μ] ↑(c • toSimpleFunc f)
-- Mathlib/CategoryTheory/SingleObj.lean
M : Type u
N : Type v
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
e : M ≃* N

⊢ 𝟭 (SingleObj M) = e.toMonoidHom.toFunctor ⋙ e.symm.toMonoidHom.toFunctor
-- Mathlib/CategoryTheory/SingleObj.lean
M : Type u
N : Type v
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
e : M ≃* N

⊢ (MonoidHom.id M).toFunctor = (e.symm.toMonoidHom.comp e.toMonoidHom).toFunctor
-- Mathlib/CategoryTheory/SingleObj.lean
M : Type u
N : Type v
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
e : M ≃* N

⊢ e.symm.toMonoidHom.toFunctor ⋙ e.toMonoidHom.toFunctor = 𝟭 (SingleObj N)
-- Mathlib/CategoryTheory/SingleObj.lean
M : Type u
N : Type v
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
e : M ≃* N

⊢ (e.toMonoidHom.comp e.symm.toMonoidHom).toFunctor = (MonoidHom.id N).toFunctor
-- Mathlib/Topology/Category/CompactlyGenerated.lean
X✝ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : UCompactlyGeneratedSpace X✝
X Y : CompactlyGenerated
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
x : (forget CompactlyGenerated).obj X

⊢ ({ toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ }) x = (𝟙 X) x
-- Mathlib/Topology/Category/CompactlyGenerated.lean
X✝ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : UCompactlyGeneratedSpace X✝
X Y : CompactlyGenerated
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
x : (forget CompactlyGenerated).obj Y

⊢ ({ toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ }) x = (𝟙 Y) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
hxs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s

⊢ iteratedDerivWithin (n + 1) f s x = iteratedDerivWithin n (derivWithin f s) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
hxs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s

⊢ (fun g => derivWithin g s)^[n + 1] f x = (fun g => derivWithin g s)^[n] (derivWithin f s) x
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝 a)

⊢ Tendsto (fun i => max (f i) a) l (𝓝 a)
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝 a)

⊢ Tendsto (fun i => max a (f i)) l (𝓝 a)
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap (↑c * x) = f.toMap (↑c * y)

⊢ f.toMap x = f.toMap y
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap ↑c * f.toMap x = f.toMap ↑c * f.toMap y

⊢ f.toMap x = f.toMap y
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap ↑c * f.toMap x = f.toMap ↑c * f.toMap y
u : Nˣ
hu : ↑u = f.toMap ↑c

⊢ f.toMap x = f.toMap y
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
u : Nˣ
h : ↑u * f.toMap x = ↑u * f.toMap y
hu : ↑u = f.toMap ↑c

⊢ f.toMap x = f.toMap y
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
R : L.Relations n
i : ι
x : Fin n → G i

⊢ (RelMap R fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (x a)⟧) = RelMap R x
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
R : L.Relations n
i : ι
x : Fin n → G i

⊢ (RelMap R fun a => Structure.Sigma.mk f i (x a)) = RelMap R x
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
R : L.Relations n
i : ι
x : Fin n → G i
k : ι
left✝ : i ≤ k
right✝ : Classical.choose ⋯ ≤ k

⊢ (RelMap R fun a => Structure.Sigma.mk f i (x a)) = RelMap R x
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
R : L.Relations n
i : ι
x : Fin n → G i
k : ι
left✝ : i ≤ k
right✝ : Classical.choose ⋯ ≤ k

⊢ RelMap R (unify f (fun a => Structure.Sigma.mk f i (x a)) i ?intro.intro) = RelMap R x
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
R : L.Relations n
i : ι
x : Fin n → G i
k : ι
left✝ : i ≤ k
right✝ : Classical.choose ⋯ ≤ k

⊢ i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ fun a => Structure.Sigma.mk f i (x a)))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Bases.lean
A✝ : Type u_1
ι✝ : Type u_2
inst✝¹ : Ring A✝
A : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : CommRing A
B : ι → AddSubgroup A
inter : ∀ (i j : ι), ∃ k, B k ≤ B i ⊓ B j
mul : ∀ (i : ι), ∃ j, ↑(B j) * ↑(B j) ⊆ ↑(B i)
leftMul : ∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)
x : A
i j : ι
hj : ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)

⊢ ↑(B j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(B i)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p : R[X]
hp : p.Monic
ha : ¬IsUnit a
hap : a ∣ p

⊢ 0 < a.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p : R[X]
hp : p.Monic
hap : a ∣ p
h : a.degree ≤ 0

⊢ IsUnit a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p : R[X]
hp : p.Monic
hap : C (a.coeff 0) ∣ p
h : a.degree ≤ 0

⊢ IsUnit (C (a.coeff 0))
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X : T
A B : Over X
f : A ⟶ B

⊢ f.left ≫ B.hom = A.hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X : T
A B : Over X
f : A ⟶ B
this : (𝟭 T).map f.left ≫ B.hom = A.hom ≫ (Functor.fromPUnit X).map f.right

⊢ f.left ≫ B.hom = A.hom
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hs : s ∈ 𝓝 x

⊢ HasMFDerivAt I I' f x f'