ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{max v u, w} D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
X : C
x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ
i : ((unop x✝).index R).L

⊢ (J.diagramNatTrans (η ≫ γ) X).app x✝ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index R) i = (J.diagramNatTrans η X ≫ J.diagramNatTrans γ X).app x✝ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index R) i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝ : MeasureSpace α
s t : Set α
hs : NullMeasurableSet s volume
ht : MeasurableSet t

⊢ volume (Subtype.val ⁻¹' t) = volume (t ∩ s)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : CommMonoid β
inst✝² : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f✝ f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : MulEquivClass F α β
f : F
hfAB : BijOn (⇑f) A B
s t : Multiset α
x✝³ : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
x✝² : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
x✝¹ : card s = n
x✝ : card t = n

⊢ (map (⇑f) s).prod = (map (⇑f) t).prod ↔ s.prod = t.prod
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C

⊢ (λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom = ((α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).inv) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
this : (λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom = (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ (λ_ ((X₁ ⊗ 𝟙_ C) ⊗ X₂)).hom ≫ (ρ_ X₁).hom ▷ X₂

⊢ (λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom = ((α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).inv) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C

⊢ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ (λ_ ((X₁ ⊗ 𝟙_ C) ⊗ X₂)).hom ≫ (ρ_ X₁).hom ▷ X₂ = ((α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).inv) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C

⊢ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ (λ_ ((X₁ ⊗ 𝟙_ C) ⊗ X₂)).hom ≫ ((β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ X₁).hom) ▷ X₂ = ((α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).inv) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤

⊢ a / b ≤ c ↔ a ≤ b * c
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤

⊢ a / b ≤ b * (c / b) ↔ a ≤ b * c
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤

⊢ a / b ≤ c * b / b ↔ a ≤ c * b
-- Mathlib/Data/Set/Accumulate.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : α → Set β
t : α → Set γ
inst✝ : Preorder α

⊢ ⋃ x, Accumulate s x = ⋃ x, s x
-- Mathlib/Data/Set/Accumulate.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : α → Set β
t : α → Set γ
inst✝ : Preorder α

⊢ ⋃ x, Accumulate s x ⊆ ⋃ x, s x
-- Mathlib/Data/Set/Accumulate.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : α → Set β
t : α → Set γ
inst✝ : Preorder α

⊢ ⋃ x, s x ⊆ ⋃ x, Accumulate s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : s ∈ 𝓝 x

⊢ lineDerivWithin 𝕜 f s x v = lineDeriv 𝕜 f x v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : s ∈ 𝓝 x

⊢ (fun t => x + t • v) ⁻¹' s ∈ 𝓝 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : s ∈ 𝓝 x

⊢ Continuous fun t => x + t • v
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : C ⥤ D
M : (x : C) → F.obj x ⟶ Z
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), F.map f ≫ M y = M x
x : C

⊢ (lift F M hM).map (starTerminal.from (incl.obj x)) ≫ (liftStar F M hM).hom = (inclLift F M hM).hom.app x ≫ M x
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : C ⥤ D
M : (x : C) → F.obj x ⟶ Z
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), F.map f ≫ M y = M x
x : C

⊢ (lift F M hM).map (starTerminal.from (incl.obj x)) = M x
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X Y Z : C

⊢ F.obj X ◁ F.μ Y Z ≫ F.μ X (Y ⊗ Z) ≫ F.map (α_ X Y Z).inv = (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).inv ≫ F.μ X Y ▷ F.obj Z ≫ F.μ (X ⊗ Y) Z
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a✝ b c✝ d : α
hb : IsUnit b
hd : IsUnit d
a c : α
h : a / b = c / d

⊢ a * d = c * b
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0

⊢ Integrable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0

⊢ Integrable (fun x => (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-(x - μ) ^ 2 / (2 * ↑v))) ℙ
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : ¬v = 0
g : ℝ → ℝ := fun x => (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-x ^ 2 / (2 * ↑v))

⊢ Integrable (fun x => (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-(x - μ) ^ 2 / (2 * ↑v))) ℙ
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : ¬v = 0
g : ℝ → ℝ := fun x => (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-x ^ 2 / (2 * ↑v))
hg : Integrable g ℙ

⊢ Integrable (fun x => (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-(x - μ) ^ 2 / (2 * ↑v))) ℙ
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Monoidal.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y Z : Dial C

⊢ ((X.tensorObj Y).tensorObj Z).rel = (Subobject.pullback (prod.map (prod.associator X.src Y.src Z.src).hom (prod.associator X.tgt Y.tgt Z.tgt).hom)).obj (X.tensorObj (Y.tensorObj Z)).rel
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
s : ι → Set α
f : α → β

⊢ ⨆ a ∈ ⋃ i, s i, f a = ⨆ i, ⨆ a ∈ s i, f a
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
s : ι → Set α
f : α → β

⊢ ⨆ a ∈ ⋃ i, s i, f a = ⨆ j, ⨆ i, ⨆ (_ : j ∈ s i), f j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
e : n ≃ m
A : Matrix m m α
i j : n

⊢ (A.submatrix ⇑e ⇑e).adjugate i j = A.adjugate.submatrix (⇑e) (⇑e) i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
e : n ≃ m
A : Matrix m m α
i j : n

⊢ ((A.updateRow (e j) fun j => Pi.single i 1 (e.symm j)).submatrix ⇑e ⇑e).det = ((A.updateRow (e j) (Pi.single (e i) 1)).submatrix ⇑e ⇑e).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
e : n ≃ m
A : Matrix m m α
i j : n

⊢ (fun j => Pi.single i 1 (e.symm j)) = Pi.single (e i) 1
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι

⊢ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i}) ↔ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι

⊢ (∀ (i_1 : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ i_1})) ↔ (∀ (i_1 : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ i_1})) ∧ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι
h : ∀ (i_1 : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ i_1})

⊢ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι
h : MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ i})

⊢ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P

⊢ s₁ ∥ s₂ ↔ s₁.direction = s₂.direction ∧ (s₁ = ⊥ ↔ s₂ = ⊥)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
h : s₁ ∥ s₂

⊢ s₁ = ⊥ → s₂ = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
h : s₁ ∥ s₂

⊢ s₂ = ⊥ → s₁ = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
h : s₁.direction = s₂.direction ∧ (s₁ = ⊥ ↔ s₂ = ⊥)

⊢ s₁ ∥ s₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hi : i ∈ s
hxi : x ≠ v i

⊢ eval x (Lagrange.basis s v i) = eval x (nodal s v) * (nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean

⊢ @zipWithLeft = @zipWithLeftTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β

⊢ zipWithLeft f as bs = zipWithLeftTR f as bs
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β
acc : Array γ
head✝ : α
tail✝ : List α

⊢ zipWithLeftTR.go f (head✝ :: tail✝) [] acc = acc.toList ++ zipWithLeft f (head✝ :: tail✝) []
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K

⊢ ∃ a b, IsRelPrime a ↑b ∧ mk' K a b = x
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
b : A
b_nonzero : b ∈ nonZeroDivisors A
a : A
hab : (algebraMap A K) a = ↑⟨b, b_nonzero⟩ • x

⊢ ∃ a b, IsRelPrime a ↑b ∧ mk' K a b = x
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
a' b' c' : A
no_factor : IsRelPrime a' b'
b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A
hab : (algebraMap A K) (c' * a') = ↑⟨c' * b', b_nonzero⟩ • x

⊢ ∃ a b, IsRelPrime a ↑b ∧ mk' K a b = x
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
a' b' c' : A
no_factor : IsRelPrime a' b'
b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A
hab : (algebraMap A K) (c' * a') = ↑⟨c' * b', b_nonzero⟩ • x
left✝ : c' ∈ nonZeroDivisors A
b'_nonzero : b' ∈ nonZeroDivisors A

⊢ ∃ a b, IsRelPrime a ↑b ∧ mk' K a b = x
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
a' b' c' : A
no_factor : IsRelPrime a' b'
b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A
hab : (algebraMap A K) (c' * a') = ↑⟨c' * b', b_nonzero⟩ • x
left✝ : c' ∈ nonZeroDivisors A
b'_nonzero : b' ∈ nonZeroDivisors A

⊢ mk' K a' ⟨b', b'_nonzero⟩ = x
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
a' b' c' : A
no_factor : IsRelPrime a' b'
b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A
hab : (algebraMap A K) (c' * a') = ↑⟨c' * b', b_nonzero⟩ • x
left✝ : c' ∈ nonZeroDivisors A
b'_nonzero : b' ∈ nonZeroDivisors A

⊢ (algebraMap A K) (c' * b') * mk' K a' ⟨b', b'_nonzero⟩ = (algebraMap A K) (c' * b') * x
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
a' b' c' : A
no_factor : IsRelPrime a' b'
b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A
left✝ : c' ∈ nonZeroDivisors A
b'_nonzero : b' ∈ nonZeroDivisors A
hab : (algebraMap A K) c' * (algebraMap A K) a' = (algebraMap A K) c' * (algebraMap A K) b' * x

⊢ (algebraMap A K) c' * (algebraMap A K) b' * mk' K a' ⟨b', b'_nonzero⟩ = (algebraMap A K) c' * (algebraMap A K) b' * x
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x : α
hf : StrictMono f
hx : x < f x
n : ℕ

⊢ f^[n] x < f^[n + 1] x
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x : α
hf : StrictMono f
hx : x < f x
n : ℕ

⊢ f^[n] x < f^[n] (f x)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R

⊢ multichoose (r - ↑0 + 1) 0 = (r + 1) ^ 0
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R

⊢ (fun x => Nat.factorial 0 • x) (multichoose (r - ↑0 + 1) 0) = (fun x => Nat.factorial 0 • x) ((r + 1) ^ 0)
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β

⊢ (p.bindOnSupport f) b = 0 ↔ ∀ (a : α) (ha : p a ≠ 0), (f a ha) b = 0
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β

⊢ (∀ (i : α), ¬p i = 0 → (if h : p i = 0 then 0 else (f i h) b) = 0) ↔ ∀ (a : α) (ha : p a ≠ 0), (f a ha) b = 0
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
hfA : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)
hgB : HasSum (fun a => g a ^ p) (B ^ p)

⊢ ∃ C, 0 ≤ C ∧ C ≤ ↑A + ↑B ∧ HasSum (fun i => ((fun i => ↑(f i)) i + (fun i => ↑(g i)) i) ^ p) (C ^ p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
hfA : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)
hgB : HasSum (fun a => g a ^ p) (B ^ p)
C : ℝ≥0
hC₁ : C ≤ A + B
hC₂ : HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)

⊢ ∃ C, 0 ≤ C ∧ C ≤ ↑A + ↑B ∧ HasSum (fun i => ((fun i => ↑(f i)) i + (fun i => ↑(g i)) i) ^ p) (C ^ p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
hfA : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)
hgB : HasSum (fun a => g a ^ p) (B ^ p)
C : ℝ≥0
hC₁ : C ≤ A + B
hC₂ : HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)

⊢ 0 ≤ ↑C ∧ ↑C ≤ ↑A + ↑B ∧ HasSum (fun i => ((fun i => ↑(f i)) i + (fun i => ↑(g i)) i) ^ p) (↑C ^ p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
hfA : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)
hgB : HasSum (fun a => g a ^ p) (B ^ p)
C : ℝ≥0
hC₁ : C ≤ A + B
hC₂ : HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)

⊢ 0 ≤ C ∧ C ≤ A + B ∧ HasSum (fun a => (f a + g a) ^ p) (C ^ p)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/WellKnown.lean
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
d : ℕ

⊢ mk 1 ^ (d + 1) = mk fun n => ↑((d + n).choose d)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ
h : a ≤ b

⊢ (volume (univ.pi fun i => Ico (a i) (b i))).toReal = ∏ i : ι, (b i - a i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.6198, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.6202, u_2} D
F : C ⥤ Cat
X Y Z : Grothendieck F
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z

⊢ (F.map (f.base ≫ g.base)).obj X.fiber = (F.map g.base).obj ((F.map f.base).obj X.fiber)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))

⊢ Prime (hζ.toInteger - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (k + 1)} ℚ K

⊢ Prime (hζ.toInteger - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (k + 1)} ℚ K
h : hζ.toInteger - 1 = 0

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (k + 1)} ℚ K

⊢ Irreducible (Ideal.absNorm (Ideal.span {hζ.toInteger - 1}))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (k + 1)} ℚ K

⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
n✝ : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (n✝ + 1 + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K

⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
n✝ : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (n✝ + 1 + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K

⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = 2
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
n✝ : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (n✝ + 1 + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K

⊢ (algebraMap ℤ ℚ) ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) 2
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
n✝ : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (n✝ + 1 + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K

⊢ (Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) 2
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
n✝ : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (n✝ + 1 + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K

⊢ (Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger - 1)) = (Int.castRingHom ℚ) 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G

⊢ ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G

⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)