ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W

⊢ Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W

⊢ Integrable (fun v => e (-(L v) w) • g v) μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : N →ₗ[R] N
n : ℕ

⊢ lTensor M f ^ n = lTensor M (f ^ n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : N →ₗ[R] N
n : ℕ
h : map id f ^ n = map (id ^ n) (f ^ n)

⊢ lTensor M f ^ n = lTensor M (f ^ n)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ι → ℂ

⊢ Integrable (fun v => cexp (-b * ∑ i : ι, ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i))) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ι → ℂ

⊢ Integrable (fun v => cexp (-∑ i : ι, b * ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i))) volume
-- Mathlib/Order/Filter/IndicatorFunction.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : One β
s : ι → Set α
hs : Monotone s
f : α → β
a : α

⊢ (fun i => (s i).mulIndicator f a) =ᶠ[atTop] fun x => (⋃ i, s i).mulIndicator f a
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace

⊢ awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x = HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).inv
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace

⊢ awayToSection 𝒜 f ≫ (structureSheaf 𝒜).val.map (homOfLE ⋯).op ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).hom = HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace

⊢ awayToSection 𝒜 f ≫ (structureSheaf 𝒜).val.map (homOfLE ⋯).op ≫ Proj.presheaf.germ ⟨(pbo f).inclusion x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace

⊢ awayToSection 𝒜 f ≫ (structureSheaf 𝒜).val.map (homOfLE ⋯).op ≫ Presheaf.germ (structureSheaf 𝒜).val ⟨(pbo f).inclusion x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace

⊢ HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ⟨(pbo f).inclusion x, ⋯⟩)).toCommRingCatIso.inv = HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplexShift.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)
a n b' : ℤ
hb' : a + b' = n + y
h : a + (b' - y) = n

⊢ (K.ιTotal (up ℤ) a b' (n + y) hb' ≫ 𝟙 ((K.total (up ℤ)).X (n + y)) ≫ K.totalDesc fun p q hpq => (p * y).negOnePow • eqToHom ⋯ ≫ ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) p (q - y) n ⋯) = (a * y).negOnePow • eqToHom ⋯ ≫ ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) a (b' - y) n h
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q✝ : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
U : Opens M
x : ↥U

⊢ LiftPropAt Q (id ∘ Subtype.val) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q✝ : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
U : Opens M
x : ↥U

⊢ LiftPropAt Q id ↑x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Truncated.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_2
inst✝ : Fintype R

⊢ Fintype.card (TruncatedWittVector p n R) = Fintype.card R ^ n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/IsDiag.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass α
A : Matrix m m α
B : Matrix n n α
hA : A.IsDiag
hB : B.IsDiag
a : m
b : n
c : m
d : n
h : (a, b) ≠ (c, d)

⊢ kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B (a, b) (c, d) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/IsDiag.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass α
A : Matrix m m α
B : Matrix n n α
hA : A.IsDiag
hB : B.IsDiag
a : m
b : n
c : m
d : n
h : ¬a = c ∨ ¬b = d

⊢ kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B (a, b) (c, d) = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Holder.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ
hd : dist x y ≤ d

⊢ dist (f x) (f y) ≤ ↑C * d ^ ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Holder.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : dist x y ≤ ↑d

⊢ dist (f x) (f y) ≤ ↑C * ↑d ^ ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Holder.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : ↑(nndist x y) ≤ ↑d

⊢ ↑(nndist (f x) (f y)) ≤ ↑C * ↑d ^ ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Holder.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : nndist x y ≤ d

⊢ nndist (f x) (f y) ≤ C * d ^ ↑r
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/LinearMap.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g✝ : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
N : Submodule R M
g : Module.End R ↥N
G : Module.End R M
h : G ∘ₗ N.subtype = N.subtype ∘ₗ g
k : ℕ
hG : G ^ k = 0
m : ↥N

⊢ ↑((g ^ k) m) = ↑(0 m)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/LinearMap.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g✝ : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
N : Submodule R M
g : Module.End R ↥N
G : Module.End R M
h : G ∘ₗ N.subtype = N.subtype ∘ₗ g
k : ℕ
hG : G ^ k = 0
m : ↥N
hg : (N.subtype ∘ₗ g ^ k) m = 0

⊢ ↑((g ^ k) m) = ↑(0 m)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Basic.lean
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad

⊢ num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Basic.lean
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den

⊢ num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Basic.lean
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den
be : bd * g = b.den

⊢ num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Basic.lean
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den
be : bd * g = b.den
hden : den = ad * bd * g

⊢ num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Basic.lean
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den
be : bd * g = b.den
hden : den = ad * bd * g

⊢ (ad * bd).Coprime num.natAbs
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Basic.lean
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den
be : bd * g = b.den
hden : den = ad * bd * g
cop : ad.Coprime bd

⊢ (ad * bd).Coprime num.natAbs
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Basic.lean
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den
be : bd * g = b.den
hden : den = ad * bd * g
cop : ad.Coprime bd
H1 : ∀ (d : Nat), d.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd ↔ d.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad

⊢ (ad * bd).Coprime num.natAbs
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Basic.lean
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den
be : bd * g = b.den
hden : den = ad * bd * g
cop : ad.Coprime bd
H1 : ∀ (d : Nat), d.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd ↔ d.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad

⊢ ad.Coprime num.natAbs
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Basic.lean
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den
be : bd * g = b.den
hden : den = ad * bd * g
cop : ad.Coprime bd
H1 : ∀ (d : Nat), d.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd ↔ d.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad

⊢ bd.Coprime num.natAbs
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑S

⊢ toStalk (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p) ≫ PresheafedSpace.Hom.stalkMap (Spec.sheafedSpaceMap f) p = f ≫ toStalk (↑S) p
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑S

⊢ CommRingCat.ofHom f ≫ toOpen (↑S) ((TopologicalSpace.Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) ⊤) ≫ (Spec.sheafedSpaceObj S).presheaf.germ ⟨p, trivial⟩ = f ≫ toOpen ↑S ⊤ ≫ (structureSheaf ↑S).presheaf.germ ⟨p, trivial⟩
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hHK : H ≤ K
hKL : K ≤ L

⊢ H.relindex K * K.relindex L = H.relindex L
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hHK : H ≤ K
hKL : K ≤ L

⊢ (H.subgroupOf L).relindex (K.subgroupOf L) * K.relindex L = H.relindex L
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : ¬x = 0

⊢ Real.tan (angle x (x + y)) = ‖y‖ / ‖x‖
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α

⊢ a⁻¹ < 1 ↔ 1 < a
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G

⊢ Nat.card ↥⊥ = p ^ ?m.2519
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝ : PreservesLimit F G
c₁ c₂ : Cone F
t : IsLimit c₁

⊢ ∀ (j : J), G.map (t.lift c₂) ≫ (G.mapCone c₁).π.app j = (G.mapCone c₂).π.app j
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
m n : Nat
l : List α
h : m < l.length

⊢ (l.set m a).get? n = if m = n then some a else l.get? n
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
m n : Nat
l : List α
h : m < l.length

⊢ (if m = n then if m < l.length then some a else none else l[n]?) = if m = n then some a else l[n]?
-- Mathlib/FieldTheory/KrullTopology.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x✝ : L ≃ₐ[K] L

⊢ x✝ ∈ ⊥.fixingSubgroup ↔ x✝ ∈ ⊤
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Exponential.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : ContinuousStar A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : ↥(selfAdjoint A)
h : Commute ↑a ↑b

⊢ selfAdjoint.expUnitary a * selfAdjoint.expUnitary b = selfAdjoint.expUnitary b * selfAdjoint.expUnitary a
-- Mathlib/Data/Prod/TProd.lean
ι : Type u
α : ι → Type v
i j : ι
l✝ : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
l : List ι
hnd : l.Nodup
h : ∀ (i : ι), i ∈ l
t : (i : ι) → Set (α i)
h2 : {i | i ∈ l} = univ

⊢ TProd.elim' h ⁻¹' univ.pi t = Set.tprod l t
-- Mathlib/Data/Prod/TProd.lean
ι : Type u
α : ι → Type v
i j : ι
l✝ : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
l : List ι
hnd : l.Nodup
h : ∀ (i : ι), i ∈ l
t : (i : ι) → Set (α i)
h2 : {i | i ∈ l} = univ

⊢ (fun x => TProd.mk l (TProd.elim' h x)) ⁻¹' Set.tprod l t = Set.tprod l t
-- Mathlib/Data/Prod/TProd.lean
ι : Type u
α : ι → Type v
i j : ι
l✝ : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
l : List ι
hnd : l.Nodup
h : ∀ (i : ι), i ∈ l
t : (i : ι) → Set (α i)
h2 : {i | i ∈ l} = univ

⊢ (fun x => x) ⁻¹' Set.tprod l t = Set.tprod l t
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
x : ℚ

⊢ eval (1 + x) (bernoulli n) = eval x (bernoulli n) + ↑n * x ^ (n - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)

⊢ eval (1 + x) (bernoulli d) = eval x (bernoulli d) + ↑d * x ^ (d - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)
nz : ↑d.succ ≠ 0

⊢ eval (1 + x) (bernoulli d) = eval x (bernoulli d) + ↑d * x ^ (d - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)
nz : ↑d.succ ≠ 0

⊢ ↑d.succ * eval (1 + x) (bernoulli d) = ↑d.succ * (eval x (bernoulli d) + ↑d * x ^ (d - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)
nz : ↑d.succ ≠ 0

⊢ eval (1 + x) ((monomial d) ↑d.succ) - ∑ i ∈ range d, eval (1 + x) (↑((d + 1).choose i) • bernoulli i) = eval x ((monomial d) ↑d.succ - ∑ k ∈ range d, ↑((d + 1).choose k) • bernoulli k) + ↑d.succ * (↑d * x ^ (d - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)
nz : ↑d.succ ≠ 0

⊢ eval (1 + x) ((monomial d) ↑d.succ) - ∑ x_1 ∈ range d, ↑((d + 1).choose x_1) • (eval x (bernoulli x_1) + ↑x_1 * x ^ (x_1 - 1)) = eval x ((monomial d) ↑d.succ - ∑ k ∈ range d, ↑((d + 1).choose k) • bernoulli k) + ↑d.succ * (↑d * x ^ (d - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)
nz : ↑d.succ ≠ 0

⊢ eval (1 + x) ((monomial d) ↑d.succ) - ∑ x_1 ∈ range d, ↑((d + 1).choose x_1) • (eval x (bernoulli x_1) + ↑x_1 * x ^ (x_1 - 1)) = eval x ((monomial d) ↑d.succ) - ∑ i ∈ range d, eval x (↑((d + 1).choose i) • bernoulli i) + ↑d.succ * (↑d * x ^ (d - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)
nz : ↑d.succ ≠ 0

⊢ eval (1 + x) ((monomial d) ↑d.succ) - ∑ x_1 ∈ range d, (↑((d + 1).choose x_1) • eval x (bernoulli x_1) + ↑((d + 1).choose x_1) • (↑x_1 * x ^ (x_1 - 1))) = eval x ((monomial d) ↑d.succ) - ∑ x_1 ∈ range d, ↑((d + 1).choose x_1) • eval x (bernoulli x_1) + ↑d.succ * (↑d * x ^ (d - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)
nz : ↑d.succ ≠ 0

⊢ eval (1 + x) ((monomial d) ↑d.succ) - eval x ((monomial d) ↑d.succ) = ∑ x_1 ∈ range d, ↑((d + 1).choose x_1) • (↑x_1 * x ^ (x_1 - 1)) + ↑d.succ * (↑d * x ^ (d - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)
nz : ↑d.succ ≠ 0

⊢ eval (1 + x) ((monomial d) ↑d.succ) - eval x ((monomial d) ↑d.succ) = ∑ x_1 ∈ range d, ↑((d + 1).choose x_1) • (↑x_1 * x ^ (x_1 - 1)) + ↑((d + 1).choose d) * (↑d * x ^ (d - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)
nz : ↑d.succ ≠ 0

⊢ ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * x ^ (x_1 - 1)) = ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) • (↑x_1 * x ^ (x_1 - 1))
-- Mathlib/RingTheory/QuotientNilpotent.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n : ℕ
hI : I ^ n = ⊥

⊢ P I
-- Mathlib/RingTheory/QuotientNilpotent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n : ℕ
H : ∀ m < n, ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI : I ^ n = ⊥

⊢ P I
-- Mathlib/RingTheory/QuotientNilpotent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H : ∀ m < n + 1 + 1, ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ (n + 1 + 1) = ⊥

⊢ P I
-- Mathlib/RingTheory/QuotientNilpotent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H : ∀ m < n + 1 + 1, ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ (n + 1 + 1) = ⊥

⊢ P (I ^ 2)
-- Mathlib/RingTheory/QuotientNilpotent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H : ∀ m < n + 1 + 1, ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ (n + 1 + 1) = ⊥

⊢ P (map (Quotient.mk (I ^ 2)) I)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
V : (↑U).Opens

⊢ Hom.app (f ∣_ U) V = Hom.app f (U.ι ''ᵁ V) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op