ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ (k + 1))
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} K L
this : IsPrimitiveRoot (ζ ^ 2 ^ k) 2
H : -1 - 1 = (algebraMap K L) (-2)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(2 ^ (k + 1))) K)

⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ 2 ^ k - 1) = (-2) ^ 2 ^ k
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ (k + 1))
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} K L
this : IsPrimitiveRoot (ζ ^ 2 ^ k) 2
H : -1 - 1 = (algebraMap K L) (-2)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(2 ^ (k + 1))) K)

⊢ (-2) ^ (2 ^ k * (2 - 1)) = (-2) ^ 2 ^ k
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s

⊢ s ∩ mulSupport f = ↑s.toFinset ∩ mulSupport f
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
s : Set ι
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : (i : ι) → α i

⊢ (x✝ ∈ univ.pi fun i => if i ∈ s then t i else univ) ↔ x✝ ∈ s.pi t
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
s : Set ι
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : (i : ι) → α i

⊢ (∀ (i : ι), x✝ i ∈ if i ∈ s then t i else univ) ↔ x✝ ∈ s.pi t
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
s : Set ι
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : (i : ι) → α i
i : ι

⊢ (x✝ i ∈ if i ∈ s then t i else univ) ↔ i ∈ s → x✝ i ∈ t i
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

⊢ o.oangle y x = -o.oangle x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g

⊢ inverse Q hfg hg ∘ₗ lTensor Q g = (range (lTensor Q f)).mkQ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
st : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x

⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 t x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
st : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
h : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s

⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t x)) ∧ x ∈ closure t
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
st : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
h : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ (𝓝[s] x).NeBot

⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t x)) ∧ (𝓝[t] x).NeBot
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter β
p : α → Prop
s : Set α

⊢ sᶜ ∈ comap f l ↔ (f '' s)ᶜ ∈ l
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M₁

⊢ Module.rank R M < ℵ₀ ↔ Finite R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M₁

⊢ _root_.Finite (ChooseBasisIndex R M) ↔ Finite R M
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
c₀ c₁ : Chain α
h✝ : c₀ ≤ c₁
i w✝ : ℕ
h : c₀ i ≤ c₁ w✝

⊢ c₀ i ≤ ωSup c₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⟶ R₂
d : D

⊢ L₂.map (α.app d) ≫ adj₂.counit.app d = ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app (R₁.obj d) ≫ adj₁.counit.app d
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⟶ R₂
d : D

⊢ L₂.map (((conjugateEquiv adj₁ adj₂).toFun ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).invFun α)).app d) ≫ adj₂.counit.app d = ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app (R₁.obj d) ≫ adj₁.counit.app d
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ

⊢ J ∈ split I i x ↔ ↑J = ↑I ∩ {y | y i ≤ x} ∨ ↑J = ↑I ∩ {y | x < y i}
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x y : E

⊢ ∑ i : ι, ⟪x, b i⟫_𝕜 * ⟪b i, y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x y : E
this : ((innerSL 𝕜) x) (∑ i : ι, b.repr y i • b i) = ((innerSL 𝕜) x) y

⊢ ∑ i : ι, ⟪x, b i⟫_𝕜 * ⟪b i, y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x y : E
this : ∑ x_1 : ι, ((innerSL 𝕜) x) (b.repr y x_1 • b x_1) = ((innerSL 𝕜) x) y

⊢ ∑ i : ι, ⟪x, b i⟫_𝕜 * ⟪b i, y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x y : E
this : ∑ x_1 : ι, ((innerSL 𝕜) x) (b.repr y x_1 • b x_1) = ((innerSL 𝕜) x) y
x✝ : ι
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

⊢ ⟪x, b x✝⟫_𝕜 * ⟪b x✝, y⟫_𝕜 = ((innerSL 𝕜) x) (b.repr y x✝ • b x✝)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x y : E
this : ∑ x_1 : ι, ((innerSL 𝕜) x) (b.repr y x_1 • b x_1) = ((innerSL 𝕜) x) y
x✝ : ι
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

⊢ ⟪b x✝, y⟫_𝕜 * ⟪x, b x✝⟫_𝕜 = ⟪b x✝, y⟫_𝕜 • ((innerSL 𝕜) x) (b x✝)
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β

⊢ projLeft (prod q₁ q₂) = q₁
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
a✝ : Path a₁ a₂
b✝ : Path b₁ b₂

⊢ projLeft (prod ⟦a✝⟧ ⟦b✝⟧) = ⟦a✝⟧
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
a✝ : Path a₁ a₂
b✝ : Path b₁ b₂

⊢ ⟦(a✝.prod b✝).map ⋯⟧ = ⟦a✝⟧
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : G → E
f'✝ g' : G →L[ℝ] E
s✝ : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
f : ℝ → F
f' : F
s : Set ℝ
x : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x

⊢ HasDerivWithinAt (fun x => ‖f x‖ ^ 2) (2 * ⟪f x, f'⟫_ℝ) s x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx0 : 0 < x
hx : x ≤ 2
this : x / 2 ≤ 1

⊢ |x / 2| ≤ 1
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx0 : 0 < x
hx : x ≤ 2
this : x / 2 ≤ 1

⊢ 2 * sin (x / 2) * cos (x / 2) = sin x
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α

⊢ M ↾ I = freeOn I ↔ M.Indep I
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : x ∈ s

⊢ infDist x s = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ

⊢ completedHurwitzZetaOdd a (1 - s) = completedSinZeta a s
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.85455, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
hf : S.f = 0

⊢ S.cycles ≅ S.leftHomology
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.85455, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
hf : S.f = 0
this : IsIso S.leftHomologyπ

⊢ S.cycles ≅ S.leftHomology
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
n : ℤ
h : -x < ↑n

⊢ ↑(-n) < x
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
n : ℤ
h : -x < ↑n

⊢ -↑n < x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
x : β
f : Fin n → β

⊢ ∏ i : Fin n.succ, cons x f i = x * ∏ i : Fin n, f i
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s s' : ↥S
m : M

⊢ 1 • s • s' • m = 1 • (s * s') • m
-- Mathlib/Topology/Algebra/OpenSubgroup.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
U✝ V : OpenSubgroup G
g : G
inst✝ : ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G

⊢ IsClosed ↑U
-- Mathlib/Topology/Algebra/OpenSubgroup.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
U✝ V : OpenSubgroup G
g : G
inst✝ : ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G

⊢ IsOpen (↑U)ᶜ
-- Mathlib/Topology/Algebra/OpenSubgroup.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
U✝ V : OpenSubgroup G
g : G
inst✝ : ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G
x : G
hx : x ∈ (↑U)ᶜ

⊢ (fun y => y * x⁻¹) ⁻¹' ↑U ⊆ (↑U)ᶜ
-- Mathlib/Topology/Algebra/OpenSubgroup.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
U✝ V : OpenSubgroup G
g : G
inst✝ : ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G
x : G
hx : x ∈ (↑U)ᶜ

⊢ IsOpen ((fun y => y * x⁻¹) ⁻¹' ↑U)
-- Mathlib/Topology/Algebra/OpenSubgroup.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
U✝ V : OpenSubgroup G
g : G
inst✝ : ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G
x : G
hx : x ∈ (↑U)ᶜ

⊢ x ∈ (fun y => y * x⁻¹) ⁻¹' ↑U
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
h : I = 0
z : K

⊢ im z = 0
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
h : I = 0
z : K

⊢ im (↑(re z) + ↑(im z) * 0) = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Perm α
s : Set α
hf : f.IsCycleOn s
a b : α

⊢ (a, b) ∈ s ×ˢ s ↔ (a, b) ∈ ⋃ n, (fun a => (a, (f ^ n) a)) '' s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Perm α
s : Set α
hf : f.IsCycleOn s
a b : α

⊢ a ∈ s ∧ b ∈ s ↔ ∃ i, ∃ x ∈ s, (x, (f ^ i) x) = (a, b)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Topology.lean
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋

⊢ ∃ n, ModularGroup.T ^ (↑N * n) • z ∈ verticalStrip (↑N) z.im
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Topology.lean
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋

⊢ ModularGroup.T ^ (↑N * -n) • z ∈ verticalStrip (↑N) z.im
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Topology.lean
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋

⊢ ↑(↑N * -n) +ᵥ z ∈ verticalStrip (↑N) z.im
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Topology.lean
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋

⊢ |(↑(↑N * -n) +ᵥ z).re| ≤ ↑N
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Topology.lean
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋
h : (↑N * -↑n +ᵥ z).re = -↑N * ↑⌊z.re / ↑N⌋ + z.re

⊢ |(↑(↑N * -n) +ᵥ z).re| ≤ ↑N
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Topology.lean
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋
h : (↑(↑N * -n) +ᵥ z).re = ↑(-↑N * ⌊z.re / ↑N⌋) + z.re

⊢ |(↑(↑N * -n) +ᵥ z).re| ≤ ↑N
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Topology.lean
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋
h : (↑(↑N * -n) +ᵥ z).re = ↑(-↑N * ⌊z.re / ↑N⌋) + z.re

⊢ |z.re + ↑(-↑N * ⌊z.re / ↑N⌋)| ≤ ↑N
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Topology.lean
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋
h : (↑(↑N * -n) +ᵥ z).re = ↑(-↑N * ⌊z.re / ↑N⌋) + z.re

⊢ |z.re + -(↑N * ↑⌊z.re / ↑N⌋)| ≤ ↑N
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Topology.lean
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋
h : (↑(↑N * -n) +ᵥ z).re = ↑(-↑N * ⌊z.re / ↑N⌋) + z.re
hnn : 0 < ↑N
h2 : z.re + -(↑N * ↑n) = z.re - ↑n * ↑N

⊢ |z.re + -(↑N * ↑⌊z.re / ↑N⌋)| ≤ ↑N
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Topology.lean
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋
h : (↑(↑N * -n) +ᵥ z).re = ↑(-↑N * ⌊z.re / ↑N⌋) + z.re
hnn : 0 < ↑N
h2 : z.re + -(↑N * ↑n) = z.re - ↑n * ↑N

⊢ z.re - ↑⌊z.re / ↑N⌋ * ↑N ≤ ↑N
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel

⊢ (Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv)).obj X.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel

⊢ (Subobject.pullback (π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel

⊢ (Subobject.pullback (π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel

⊢ (Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt))).obj X.rel
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel

⊢ (Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel

⊢ (Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
c : ℝ

⊢ MeasurableSet (Ioi c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ

⊢ f.length (t ∩ Ioi c) + f.length (t \ Ioi c) ≤ f.length t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ
a b : ℝ
h : t ⊆ Ioc a b

⊢ f.length (t ∩ Ioi c) + f.length (t \ Ioi c) ≤ ofReal (↑f b - ↑f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ
a b : ℝ
h : t ⊆ Ioc a b

⊢ f.length (Ioc a b ∩ Ioi c) + f.length (Ioc a b \ Ioi c) ≤ ofReal (↑f b - ↑f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ
a b : ℝ
h : t ⊆ Ioc a b
hac : a ≤ c
hbc : b ≤ c

⊢ f.length (Ioc a b ∩ Ioi c) + f.length (Ioc a b \ Ioi c) ≤ ofReal (↑f b - ↑f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ
a b : ℝ
h : t ⊆ Ioc a b
hac : a ≤ c
hbc : c ≤ b

⊢ f.length (Ioc a b ∩ Ioi c) + f.length (Ioc a b \ Ioi c) ≤ ofReal (↑f b - ↑f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ
a b : ℝ
h : t ⊆ Ioc a b
hac : c ≤ a
hbc : b ≤ c

⊢ f.length (Ioc a b ∩ Ioi c) + f.length (Ioc a b \ Ioi c) ≤ ofReal (↑f b - ↑f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ
a b : ℝ
h : t ⊆ Ioc a b
hac : c ≤ a
hbc : c ≤ b

⊢ f.length (Ioc a b ∩ Ioi c) + f.length (Ioc a b \ Ioi c) ≤ ofReal (↑f b - ↑f a)
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : ↥(skewAdjoint A)

⊢ -I • ↑a ∈ selfAdjoint A
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : ↥(skewAdjoint A)

⊢ ↑((fun a => ⟨-I • ↑a, ⋯⟩) (a + b)) = ↑((fun a => ⟨-I • ↑a, ⋯⟩) a + (fun a => ⟨-I • ↑a, ⋯⟩) b)
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : ℝ
b : ↥(skewAdjoint A)

⊢ ↑({ toFun := fun a => ⟨-I • ↑a, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (a • b)) = ↑((RingHom.id ℝ) a • { toFun := fun a => ⟨-I • ↑a, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun b)
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : ℝ
b : ↥(skewAdjoint A)

⊢ I • a • ↑b = a • I • ↑b
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
g✝ : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g✝ ↑y)
inst✝ : Algebra R P
f g : S →ₐ[R] P

⊢ (↑f).comp (algebraMap R S) = (↑g).comp (algebraMap R S)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
A' : ι → F
h : ∀ i ∈ u, HasDerivAtFilter (A i) (A' i) x L

⊢ HasDerivAtFilter (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) x L
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cone F✝
F : J ⥤ C
s : Cone F
G : K ⥤ C
t : Cone G
P : IsLimit s
Q : IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G

⊢ Q.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s) ≫ P.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t) = 𝟙 s.pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cone F✝
F : J ⥤ C
s : Cone F
G : K ⥤ C
t : Cone G
P : IsLimit s
Q : IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G

⊢ ∀ (j : J), (Q.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s) ≫ P.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t)) ≫ s.π.app j = 𝟙 s.pt ≫ s.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cone F✝
F : J ⥤ C
s : Cone F
G : K ⥤ C
t : Cone G
P : IsLimit s
Q : IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
j : J

⊢ (Q.lift ((Cones.postcompose (whiskerLeft e.inverse w.inv ≫ (e.invFunIdAssoc G).hom)).obj (Cone.whisker e.inverse s)) ≫ P.lift ((Cones.postcompose w.hom).obj (Cone.whisker e.functor t))) ≫ s.π.app j = 𝟙 s.pt ≫ s.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cone F✝
F : J ⥤ C
s : Cone F
G : K ⥤ C
t : Cone G
P : IsLimit s
Q : IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
j : J

⊢ s.π.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ w.inv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ G.map (e.counit.app (e.functor.obj j)) ≫ w.hom.app j = s.π.app j