ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y z : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
mA : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ := gradedMul R 𝒜 ℬ

⊢ (LinearMap.llcomp R (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)) mA ∘ₗ mA = (((LinearMap.llcomp R (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)) mA.flip ∘ₗ mA)).flip
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y z : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
mA : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ := gradedMul R 𝒜 ℬ
ixa : ι
xa : 𝒜 ixa
ixb : ι
xb : ℬ ixb
iya : ι
ya : 𝒜 iya
iyb : ι
yb : ℬ iyb
iza : ι
za : 𝒜 iza
izb : ι
zb : ℬ izb

⊢ ((gradedMul R 𝒜 ℬ) (((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 ixa) xa ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ixb) xb)) ((lof R ι 𝒜 iya) ya ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ iyb) yb))) ((lof R ι 𝒜 iza) za ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ izb) zb) = ((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 ixa) xa ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ixb) xb)) (((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 iya) ya ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ iyb) yb)) ((lof R ι 𝒜 iza) za ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ izb) zb))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y z : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
mA : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ := gradedMul R 𝒜 ℬ
ixa : ι
xa : 𝒜 ixa
ixb : ι
xb : ℬ ixb
iya : ι
ya : 𝒜 iya
iyb : ι
yb : ℬ iyb
iza : ι
za : 𝒜 iza
izb : ι
zb : ℬ izb

⊢ ↑↑((-1) ^ (ixb * iya)) • (-1) ^ ((ixb + iyb) * iza) • ((lof R ι 𝒜 ixa) xa * ((lof R ι 𝒜 iya) ya * (lof R ι 𝒜 iza) za)) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ ixb) xb * ((lof R ι ℬ iyb) yb * (lof R ι ℬ izb) zb)) = ↑↑((-1) ^ (iyb * iza)) • (-1) ^ (ixb * (iya + iza)) • ((lof R ι 𝒜 ixa) xa * ((lof R ι 𝒜 iya) ya * (lof R ι 𝒜 iza) za)) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ ixb) xb * ((lof R ι ℬ iyb) yb * (lof R ι ℬ izb) zb))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y z : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
mA : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ := gradedMul R 𝒜 ℬ
ixa : ι
xa : 𝒜 ixa
ixb : ι
xb : ℬ ixb
iya : ι
ya : 𝒜 iya
iyb : ι
yb : ℬ iyb
iza : ι
za : 𝒜 iza
izb : ι
zb : ℬ izb

⊢ (-1) ^ (ixb * iya + (ixb * iza + iyb * iza)) • ((lof R ι 𝒜 ixa) xa * ((lof R ι 𝒜 iya) ya * (lof R ι 𝒜 iza) za)) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ ixb) xb * ((lof R ι ℬ iyb) yb * (lof R ι ℬ izb) zb)) = (-1) ^ (iyb * iza + (ixb * iya + ixb * iza)) • ((lof R ι 𝒜 ixa) xa * ((lof R ι 𝒜 iya) ya * (lof R ι 𝒜 iza) za)) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ ixb) xb * ((lof R ι ℬ iyb) yb * (lof R ι ℬ izb) zb))
-- Mathlib/RepresentationTheory/Character.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G
i : V ≅ W
g : G

⊢ V.character g = W.character g
-- Mathlib/RepresentationTheory/Character.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G
i : V ≅ W
g : G

⊢ (trace k (CoeSort.coe V)) (V.ρ g) = (trace k (CoeSort.coe W)) ((isoToLinearEquiv i).conj (V.ρ g))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s t : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i + ∑ i ∈ t, w i = 0
hz : ∑ i ∈ s, w i • z i + ∑ i ∈ t, w i • z i = 0

⊢ s.centerMass w z = t.centerMass w z
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X✝ Y✝ : C × C
f : X✝ ⟶ Y✝
Z : C × C

⊢ __src✝.map f ▷ __src✝.obj Z ≫ tensor_μ C Y✝ Z = tensor_μ C X✝ Z ≫ __src✝.map (f ▷ Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X✝ Y✝ Z : C × C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ __src✝.obj Z ◁ __src✝.map f ≫ tensor_μ C Z Y✝ = tensor_μ C Z X✝ ≫ __src✝.map (Z ◁ f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X Y Z : C × C

⊢ tensor_μ C X Y ▷ __src✝.obj Z ≫ tensor_μ C (X ⊗ Y) Z ≫ __src✝.map (α_ X Y Z).hom = (α_ (__src✝.obj X) (__src✝.obj Y) (__src✝.obj Z)).hom ≫ __src✝.obj X ◁ tensor_μ C Y Z ≫ tensor_μ C X (Y ⊗ Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
x✝ : C × C
X₁ X₂ : C

⊢ (λ_ (__src✝.obj (X₁, X₂))).hom = (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ __src✝.obj (X₁, X₂) ≫ tensor_μ C (𝟙_ (C × C)) (X₁, X₂) ≫ __src✝.map (λ_ (X₁, X₂)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
x✝ : C × C
X₁ X₂ : C

⊢ (ρ_ (__src✝.obj (X₁, X₂))).hom = __src✝.obj (X₁, X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ tensor_μ C (X₁, X₂) (𝟙_ (C × C)) ≫ __src✝.map (ρ_ (X₁, X₂)).hom
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
z : ℤ

⊢ log b (↑b ^ z) = z
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
n : ℕ

⊢ log b (↑b ^ ↑n) = ↑n
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
n : ℕ

⊢ log b (↑b ^ (-↑n)) = -↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
m : M

⊢ (m, 0) ∈ fst R M M₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

⊢ ∀ (x y : ↥(fst R M M₂)), (fun x => (↑x).1) (x + y) = (fun x => (↑x).1) x + (fun x => (↑x).1) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

⊢ ∀ (m : R) (x : ↥(fst R M M₂)), { toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯ }.toFun x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂
hy : (x, y) ∈ fst R M M₂

⊢ (fun m => ⟨(m, 0), ⋯⟩) ({ toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⟨(x, y), hy⟩) = ⟨(x, y), hy⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂
hy✝ : (x, y) ∈ fst R M M₂
hy : y = 0

⊢ (fun m => ⟨(m, 0), ⋯⟩) ({ toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⟨(x, y), hy✝⟩) = ⟨(x, y), hy✝⟩
-- Mathlib/Data/Finset/MulAntidiagonal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid α✝
s✝ t✝ : Set α✝
hs✝ : s✝.IsPWO
ht✝ : t✝.IsPWO
a✝ : α✝
u : Set α✝
hu : u.IsPWO
x : α✝ × α✝
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
a b : α

⊢ (a, b) ∈ mulAntidiagonal ⋯ ⋯ (hs.min hns * ht.min hnt) ↔ (a, b) ∈ {(hs.min hns, ht.min hnt)}
-- Mathlib/Data/Finset/MulAntidiagonal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid α✝
s✝ t✝ : Set α✝
hs✝ : s✝.IsPWO
ht✝ : t✝.IsPWO
a✝ : α✝
u : Set α✝
hu : u.IsPWO
x : α✝ × α✝
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
a b : α

⊢ a ∈ s ∧ b ∈ t ∧ a * b = hs.min hns * ht.min hnt ↔ a = hs.min hns ∧ b = ht.min hnt
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : CommSemiring R₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
inst✝³ : Module R Mₗ₁
inst✝² : Module R Mₗ₂
inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
inst✝ : Module R Mₗ₂'
B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] M
e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'
e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
h : ((e₁.arrowCongr (e₂.arrowCongr (LinearEquiv.refl R M))) B).SeparatingLeft

⊢ B.SeparatingLeft
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : CommSemiring R₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
inst✝³ : Module R Mₗ₁
inst✝² : Module R Mₗ₂
inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
inst✝ : Module R Mₗ₂'
B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] M
e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'
e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
h : ((e₁.arrowCongr (e₂.arrowCongr (LinearEquiv.refl R M))) B).SeparatingLeft

⊢ B = (e₁.symm.arrowCongr (e₂.symm.arrowCongr (LinearEquiv.refl R M))) ((e₁.arrowCongr (e₂.arrowCongr (LinearEquiv.refl R M))) B)
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α
h : ￢a = ⊤

⊢ ∂ a = a
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
b✝ b : α

⊢ ￢∂ b = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/VitaliCaratheodory.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => ↑(g x)) μ ∧ ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ - ↑ε ≤ ∫ (x : α), ↑(g x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/VitaliCaratheodory.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => ↑(g x)) μ ∧ ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ - ↑ε ≤ ∫ (x : α), ↑(g x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/VitaliCaratheodory.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ⊤

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => ↑(g x)) μ ∧ ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ - ↑ε ≤ ∫ (x : α), ↑(g x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/VitaliCaratheodory.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ⊤
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ↑ε

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => ↑(g x)) μ ∧ ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ - ↑ε ≤ ∫ (x : α), ↑(g x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/VitaliCaratheodory.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ⊤
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ↑ε
Ig : ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => ↑(g x)) μ ∧ ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ - ↑ε ≤ ∫ (x : α), ↑(g x) ∂μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Adjunction.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_3} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G' : D₁ ⥤ D₂
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝¹ : CatCommSq G L₁ L₂ G'
inst✝ : CatCommSq F L₂ L₁ F'
X₂ : C₂

⊢ (adj.localization L₁ W₁ L₂ W₂ G' F').counit.app (L₂.obj X₂) = G'.map ((CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').inv.app X₂) ≫ (CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').inv.app (F.obj X₂) ≫ L₂.map (adj.counit.app X₂)
-- Mathlib/Analysis/SumOverResidueClass.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SumOverResidueClass.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds 0)

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SumOverResidueClass.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SumOverResidueClass.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε
N : ℕ
hN : ∀ n_1 ≥ N, |f n_1| < |f n|

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SumOverResidueClass.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε
N : ℕ
hN : |f (max n N)| < |f n|

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SumOverResidueClass.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε
N : ℕ
hN : ¬False

⊢ |f n| ≤ |f (max n N)|
-- Mathlib/Analysis/SumOverResidueClass.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε
N : ℕ

⊢ |f n| ≤ |f (max n N)|
-- Mathlib/Analysis/SumOverResidueClass.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε
N : ℕ
H : f (max n N) ≤ f n

⊢ |f n| ≤ |f (max n N)|
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C

⊢ IsDetector G ↔ (coyoneda.obj (op G)).ReflectsIsomorphisms
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
hG : IsDetector G
A✝ B✝ : C
f : A✝ ⟶ B✝
hf : IsIso ((coyoneda.obj (op G)).map f)
h : G ⟶ B✝

⊢ ∃! h', h' ≫ f = h
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
h : (coyoneda.obj (op G)).ReflectsIsomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : G ⟶ Y), ∃! h', h' ≫ f = h

⊢ IsIso f
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : I ≤ ker f

⊢ ker (Quotient.lift I f H) = map (Quotient.mk I) (ker f)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : I ≤ ker f

⊢ ∀ (x : R ⧸ I), x ∈ ker (Quotient.lift I f H) ↔ x ∈ map (Quotient.mk I) (ker f)
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n✝ n p : ℕ
hp : Prime p

⊢ p ∣ (n + 1)! ↔ p ≤ n + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n✝ n p : ℕ
hp : Prime p

⊢ p ∣ n + 1 ∨ p ≤ n ↔ p ≤ n + 1
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y : ↥S

⊢ f.mk' x₂ y * f.toMap x₁ = f.mk' (x₁ * x₂) y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
h : α ≃ᵢ β
s : Set β

⊢ EMetric.diam (⇑h ⁻¹' s) = EMetric.diam s
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/KaroubiKaroubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.1672, u_1} C
P : Karoubi (Karoubi C)

⊢ P.p.f ≫ P.p.f = P.p.f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/KaroubiKaroubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.1672, u_1} C
X✝ Y✝ : Karoubi (Karoubi C)
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ f.f.f = ((fun P => { X := P.X.X, p := P.p.f, idem := ⋯ }) X✝).p ≫ f.f.f ≫ ((fun P => { X := P.X.X, p := P.p.f, idem := ⋯ }) Y✝).p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
f : MvPolynomial σ (R ⧸ I)

⊢ (Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) (eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) f) = f
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
f : MvPolynomial σ (R ⧸ I)

⊢ ∀ (a : R ⧸ I), (Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) (eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) (C a)) = C a
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
f : MvPolynomial σ (R ⧸ I)

⊢ ∀ (p q : MvPolynomial σ (R ⧸ I)), (Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) (eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) p) = p → (Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) (eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) q) = q → (Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) (eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) (p + q)) = p + q
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
f : MvPolynomial σ (R ⧸ I)

⊢ ∀ (p : MvPolynomial σ (R ⧸ I)) (n : σ), (Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) (eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) p) = p → (Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) (eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) (p * X n)) = p * X n
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsIntegralClosure A R B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : R
h : optParam (IsIntegral R ((algebraMap R B) x)) ⋯

⊢ (algebraMap A B) (mk' A ((algebraMap R B) x) h) = (algebraMap A B) ((algebraMap R A) x)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
a n' : ℤ
γ : Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n' = q

⊢ ((γ.leftUnshift n hn').leftShift a n' hn').v p q hpq = γ.v p q hpq
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/UInt.lean

⊢ size = 2 ^ System.Platform.numBits
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/UInt.lean
this : 1 ≤ 2 ^ System.Platform.numBits

⊢ size = 2 ^ System.Platform.numBits