ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/FunctorGamma.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'
Δ'' : SimplexCategory
e : unop Δ' ⟶ Δ''
i : Δ'' ⟶ unop A.fst
inst✝¹ : Epi e
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = θ.unop ≫ A.e

⊢ Sigma.ι (summand K Δ) A ≫ map K θ = Termwise.mapMono K i ≫ Sigma.ι (summand K Δ') (Splitting.IndexSet.mk e)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/FunctorGamma.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'
Δ'' : SimplexCategory
e : unop Δ' ⟶ Δ''
i : Δ'' ⟶ unop A.fst
inst✝¹ : Epi e
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = θ.unop ≫ A.e

⊢ Termwise.mapMono K (image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫ Sigma.ι (summand K Δ') (A.pull θ) = Termwise.mapMono K i ≫ Sigma.ι (summand K Δ') (Splitting.IndexSet.mk e)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/FunctorGamma.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'
Δ'' : SimplexCategory
e : unop Δ' ⟶ Δ''
i : Δ'' ⟶ unop A.fst
inst✝¹ : Epi e
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = θ.unop ≫ A.e
h : image (θ.unop ≫ A.e) = Δ''

⊢ Termwise.mapMono K (image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫ Sigma.ι (summand K Δ') (A.pull θ) = Termwise.mapMono K i ≫ Sigma.ι (summand K Δ') (Splitting.IndexSet.mk e)
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G✝ : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : Group G✝
inst✝² : Fintype G✝
x : G✝
n : ℕ
G : Type u_6
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
g : G

⊢ g ^ H.index ∈ H
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
hf : Injective ⇑f

⊢ ((map f) p).vars = p.vars
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen

⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr (B.gen ^ n)) i)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q

⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr (B.gen ^ n)) i)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q
hQ : ¬Q = 0

⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr (B.gen ^ n)) i)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q
hQ : ¬Q = 0
hlt : Q.natDegree < B.dim

⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr (B.gen ^ n)) i)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q
hQ : ¬Q = 0
hlt : Q.natDegree < B.dim

⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr (∑ i ∈ Finset.range B.dim, Q.coeff i • B.gen ^ i)) i)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q
hQ : ¬Q = 0
hlt : Q.natDegree < B.dim

⊢ IsIntegral R (∑ k ∈ Finset.range B.dim, (B.basis.repr (Q.coeff k • B.gen ^ k)) i)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q
hQ : ¬Q = 0
hlt : Q.natDegree < B.dim
j : ℕ
hj : j ∈ Finset.range B.dim

⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr (Q.coeff j • B.gen ^ j)) i)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q
hQ : ¬Q = 0
hlt : Q.natDegree < B.dim
j : ℕ
hj : j < B.dim

⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr (Q.coeff j • B.gen ^ j)) i)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q
hQ : ¬Q = 0
hlt : Q.natDegree < B.dim
j : ℕ
hj : j < B.dim

⊢ IsIntegral R (((algebraMap R S) (Q.coeff ↑⟨j, hj⟩) • B.basis.repr (B.basis ⟨j, hj⟩)) i)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q
hQ : ¬Q = 0
hlt : Q.natDegree < B.dim
j : ℕ
hj : j < B.dim

⊢ IsIntegral R (Q.coeff j • if ⟨j, hj⟩ = i then 1 else 0)
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

⊢ normalizedFactors 1 = 0
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
h : Subsingleton α

⊢ normalizedFactors 1 = 0
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
h : Nontrivial α

⊢ normalizedFactors 1 = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
r : c.Rel i j

⊢ C.dFrom i ≫ (C.xNextIso r).hom = C.d i j
-- Mathlib/Computability/ContextFreeGrammar.lean
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T

⊢ w ∈ g.reverse.language ↔ w.reverse ∈ g.language
-- Mathlib/Computability/ContextFreeGrammar.lean
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T
hw : w.reverse ∈ g.language

⊢ w ∈ g.reverse.language
-- Mathlib/Computability/ContextFreeGrammar.lean
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T
hw : w.reverse ∈ g.reverse.reverse.language

⊢ w ∈ g.reverse.language
-- Mathlib/Computability/ContextFreeGrammar.lean
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T
hw : w.reverse ∈ g.reverse.reverse.language

⊢ w.reverse.reverse ∈ g.reverse.language
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
x : M
hx : x ∈ S

⊢ x ∈ S.centralizer.centralizer
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
x : M
hx : x ∈ S

⊢ ∀ (m : M), (∀ m_1 ∈ S, m_1 * m = m * m_1) → m * x = x * m
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α

⊢ (⨆ i, ⨆ j, f i j).compl = ⨆ i, ⨆ j, (f i j).compl
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
L R : ListBlank Γ

⊢ move Dir.right (mk' L R) = mk' (ListBlank.cons R.head L) R.tail
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : Ring T
inst✝ : Algebra R T
e : S ≃ₐ[R] T
x : S

⊢ (norm R) (e x) = (norm R) x
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : Ring T
inst✝ : Algebra R T
e : S ≃ₐ[R] T
x : S

⊢ LinearMap.det ((lmul R T) (e x)) = LinearMap.det (↑e.toLinearEquiv ∘ₗ (lmul R S) x ∘ₗ ↑e.toLinearEquiv.symm)
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u✝ v : ℤ
u : ℤˣ

⊢ (↑u).natAbs * (↑u⁻¹).natAbs = 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u✝ v : ℤ
u : ℤˣ

⊢ natAbs 1 = 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u✝ v : ℤ
u : ℤˣ

⊢ (↑u⁻¹).natAbs * (↑u).natAbs = 1
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ : G

⊢ x✝ ∈ stabilizer G ↑s ↔ x✝ ∈ stabilizer G s
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hf : HasCompactMulSupport f
hf₂ : HasCompactMulSupport f₂
hm : m 1 1 = 1

⊢ HasCompactMulSupport fun x => m (f x) (f₂ x)
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hf : f =ᶠ[coclosedCompact α] 1
hf₂ : f₂ =ᶠ[coclosedCompact α] 1
hm : m 1 1 = 1

⊢ (fun x => m (f x) (f₂ x)) =ᶠ[coclosedCompact α] 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₁ p₂ : ι → P
b : P

⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂ i) = (s.weightedVSubOfPoint p₁ b) w - (s.weightedVSubOfPoint p₂ b) w
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/GaloisObjects.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
A B : C
inst✝¹ : IsConnected A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ : Aut A
a : ↑(F.obj A)

⊢ F.map (autMap f σ).hom (F.map f a) = F.map f (F.map σ.hom a)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : IsCompact s

⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ closure t
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : IsCompact s
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0

⊢ ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t✝ s : Set α
hs : IsCompact s
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
t : Set α
htf : t.Finite
hst : s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε

⊢ ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z X' Y' Z' : C
f : X ⟶ X'
g : Y ⟶ Y'
h : Z ⟶ Z'

⊢ (f ⊗ g ⊗ h) ≫ (α_ X' Y' Z').inv = (α_ X Y Z).inv ≫ ((f ⊗ g) ⊗ h)
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥

⊢ Submodule.IsPrincipal I
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0

⊢ Submodule.IsPrincipal I
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x

⊢ Submodule.IsPrincipal I
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I

⊢ Submodule.IsPrincipal I
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I

⊢ ∃ a, I = Submodule.span R {a}
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I

⊢ I = Submodule.span R {p ^ Nat.find ex}
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I

⊢ I = span {p ^ Nat.find ex}
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I

⊢ I ≤ span {p ^ Nat.find ex}
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I

⊢ span {p ^ Nat.find ex} ≤ I
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C
X : Subobject B

⊢ X.ofLE X ⋯ = 𝟙 (underlying.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C
X : Subobject B

⊢ X.ofLE X ⋯ ≫ X.arrow = 𝟙 (underlying.obj X) ≫ X.arrow
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
g : β → γ
f : α → β
hg : Measurable g
hf : Measurable f
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

⊢ (map g (map f μ)) s = (map (g ∘ f) μ) s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V

⊢ ⋃ c, c.supp = Set.univ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
v : V

⊢ (↑(G.connectedComponentMk v) ∈ Set.range fun c => c.supp) ∧ v ∈ ↑(G.connectedComponentMk v)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
v : V

⊢ (∃ y, y.supp = ↑(G.connectedComponentMk v)) ∧ v ∈ G.connectedComponentMk v
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup G

⊢ stabilizer Gᵐᵒᵖ ↑s = s.op
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup G

⊢ ∀ (x : Gᵐᵒᵖ), (∀ (b : G), x • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s) ↔ x ∈ s.op
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup G

⊢ ∀ (x : Gᵐᵒᵖ), (∀ (b : G), b * unop x ∈ s ↔ b ∈ s) ↔ unop x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Subgroup G
a : Gᵐᵒᵖ
h : ∀ (b : G), b * unop a ∈ s ↔ b ∈ s

⊢ unop a ∈ s
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)

⊢ ↑↑(a + b) = if ↑(n + 1) ≤ ↑↑a + ↑↑b then cast a + cast b - ↑(n + 1) else cast a + cast b
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)

⊢ ↑(if n + 1 ≤ ↑a + ↑b then ↑a + ↑b - (n + 1) else ↑a + ↑b) = if ↑n + 1 ≤ ↑↑a + ↑↑b then cast a + cast b - (↑n + 1) else cast a + cast b
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n ≠ 0
a : ℕ

⊢ a + 1 ≤ (a + 1) ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ

⊢ ∫ (x : β), ↑f x ∂μ = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ

⊢ ∫ (x : β), ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) x ∂μ = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int✝ : Integrable (↑f) μ
hf_int : Integrable (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f)) μ

⊢ ∫ (x : β), ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) x ∂μ = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int✝ : Integrable (↑f) μ
hf_int : Integrable (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f)) μ

⊢ ∑ x ∈ (SimpleFunc.toLargerSpace hm f).range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x