ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Bornology/Hom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Bornology α
inst✝² : Bornology β
inst✝¹ : Bornology γ
inst✝ : Bornology δ
g : LocallyBoundedMap β γ
f₁ f₂ : LocallyBoundedMap α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α

⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Basis I X

⊢ M.closure I = M.closure X
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Basis I X

⊢ M.closure X ⊆ M.closure I
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Basis I X

⊢ M.closure X ⊆ M.closure {x | M.Basis I (insert x I)}
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝⁷ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder γ
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : OrderTopology γ
δ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderTopology δ
ι : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace ι
g : γ → δ
f : α → γ
hg : ContinuousAt g (f x)
hf : LowerSemicontinuousAt f x
gmon : Monotone g

⊢ LowerSemicontinuousAt (g ∘ f) x
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝⁷ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder γ
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : OrderTopology γ
δ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderTopology δ
ι : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace ι
g : γ → δ
f : α → γ
hg : ContinuousAt g (f x)
gmon : Monotone g
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f univ x

⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (g ∘ f) univ x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/RieszMarkovKakutani.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X

⊢ (⇑Λ '' {f | ∀ x ∈ K, 1 ≤ f x}).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/RieszMarkovKakutani.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X

⊢ {f | ∀ x ∈ K, 1 ≤ f x}.Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/RieszMarkovKakutani.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X

⊢ 1 ∈ {f | ∀ x ∈ K, 1 ≤ f x}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/RieszMarkovKakutani.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X
x : X
a✝ : x ∈ K

⊢ 1 ≤ 1 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/RieszMarkovKakutani.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X
x : X
a✝ : x ∈ K

⊢ 1 ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i

⊢ C x hx
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i

⊢ ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x✝ : G
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, S i
i : ι
x : G
hx : x ∈ S i

⊢ (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) x
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i

⊢ (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x✝ : G
hx : x✝ ∈ ⨆ i, S i
x y : G

⊢ (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) x → (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) y → (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) (x * y)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G

⊢ ↑(map K.subtype (H.subgroupOf K)) = ↑(H ⊓ K)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G

⊢ ↑K ∩ H.toSubsemigroup.1 = ↑(H ⊓ K)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A

⊢ limsup (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop ≤ spectralRadius ℂ a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
r_lt : ↑r < (spectralRadius ℂ a)⁻¹

⊢ ↑r ≤ (limsup (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
r_lt : ↑r < (spectralRadius ℂ a)⁻¹

⊢ ↑r ≤ liminf (fun i => 1 / ↑‖a ^ i‖₊ ^ (1 / ↑i)) atTop
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
r_lt : ↑r < (spectralRadius ℂ a)⁻¹
p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ A := fun n => ContinuousMultilinearMap.mkPiRing ℂ (Fin n) (a ^ n)

⊢ ↑r ≤ liminf (fun i => 1 / ↑‖a ^ i‖₊ ^ (1 / ↑i)) atTop
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
r_lt : ↑r < (spectralRadius ℂ a)⁻¹
p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ A := fun n => ContinuousMultilinearMap.mkPiRing ℂ (Fin n) (a ^ n)

⊢ ↑r ≤ p.radius
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
r_lt : ↑r < (spectralRadius ℂ a)⁻¹
p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ A := fun n => ContinuousMultilinearMap.mkPiRing ℂ (Fin n) (a ^ n)
H₁ : HasFPowerSeriesOnBall (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) (cauchyPowerSeries (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) 0 ↑r) 0 ↑r

⊢ ↑r ≤ p.radius
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V

⊢ G ⊔ edge s s = G
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}

⊢ (succ o).card = o.card + 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝² : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(span R s) }
x : M
hx : x ∈ ↑(span R s)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤

⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ span R (Subtype.val ⁻¹' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝² : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(span R s) }
x : M
hx : x ∈ ↑(span R s)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤

⊢ (fun x hx => ⟨x, hx⟩ ∈ span R (Subtype.val ⁻¹' s)) 0 ⋯
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝⁵ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x✝⁴ : { x // x ∈ ↑(span R s) }
x✝³ : M
hx : x✝³ ∈ ↑(span R s)
x✝² : ⟨x✝³, hx⟩ ∈ ⊤
x : M
x✝¹ : x ∈ span R s
y : M
x✝ : y ∈ span R s

⊢ (fun x hx => ⟨x, hx⟩ ∈ span R (Subtype.val ⁻¹' s)) x x✝¹ → (fun x hx => ⟨x, hx⟩ ∈ span R (Subtype.val ⁻¹' s)) y x✝ → (fun x hx => ⟨x, hx⟩ ∈ span R (Subtype.val ⁻¹' s)) (x + y) ⋯
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝⁴ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x✝³ : { x // x ∈ ↑(span R s) }
x✝² : M
hx : x✝² ∈ ↑(span R s)
x✝¹ : ⟨x✝², hx⟩ ∈ ⊤
r : R
x : M
x✝ : x ∈ span R s

⊢ (fun x hx => ⟨x, hx⟩ ∈ span R (Subtype.val ⁻¹' s)) x x✝ → (fun x hx => ⟨x, hx⟩ ∈ span R (Subtype.val ⁻¹' s)) (r • x) ⋯
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α

⊢ 𝓤 α = comap (fun x => x.2⁻¹ * x.1) (𝓝 1)
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α

⊢ comap ((fun x => x.1⁻¹ * x.2) ∘ Prod.swap) (𝓝 1) = comap (fun x => x.2⁻¹ * x.1) (𝓝 1)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M

⊢ x ∈ ↑(⨆ i, S i) ↔ x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
-- Mathlib/Algebra/Symmetrized.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Invertible 2
a : αˢʸᵐ

⊢ unsym (a * a) = unsym a * unsym a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
ψ : ℝ

⊢ θ.sin = Real.sin ψ ↔ θ = ↑ψ ∨ θ + ↑ψ = ↑π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
ψ x✝ : ℝ

⊢ (↑x✝).sin = Real.sin ψ ↔ ↑x✝ = ↑ψ ∨ ↑x✝ + ↑ψ = ↑π
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ

⊢ T R n = U R n - X * U R (n - 1)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : r ≠ 0
x : ↑(sphere 1 r)

⊢ ‖↑x‖ ≠ 0
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology α
f : α × β → γ

⊢ IsOpenMap f ↔ ∀ (a : α), IsOpenMap fun x => f (a, x)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology α
f : α × β → γ

⊢ (∀ (a : α) (b : β), 𝓝 (f (a, b)) ≤ map (f ∘ Prod.mk a) (𝓝 b)) ↔ ∀ (a : α) (x : β), 𝓝 (f (a, x)) ≤ map (fun x => f (a, x)) (𝓝 x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
J K : Type
inst✝² : Finite J
f✝ : J → C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
inst✝ : Fintype K
f : J → C
g : K → C
m : (j : J) → (k : K) → f j ⟶ g k
P : C
x : (k : K) → g k ⟶ P
j✝ : J

⊢ ι f j✝ ≫ matrix m ≫ desc x = ι f j✝ ≫ desc fun j => ∑ k : K, m j k ≫ x k
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
y✝ : N → ↑I

⊢ (fromLoop i (toLoop i p)) y✝ = p y✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
g : X → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ‖g x‖ ≤ ‖f x‖
x : X
hx : x ∈ s
t : Set X
t_mem : t ∈ 𝓝[s] x
ht : IntegrableOn f t μ

⊢ IntegrableAtFilter g (𝓝[s] x) μ
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a b : R
hab : a < b
c : R
hc : IsRegular c

⊢ star c * a * c < star c * b * c
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a b : R
hab : a < b
c : R
hc : IsRegular c

⊢ a ≠ b
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : AddCommSemigroup α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c
a x : α

⊢ (fun x => f (x + a)) (x + c) = -(fun x => f (x + a)) x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine Y
f : X ⟶ Y

⊢ (∀ ⦃U₁ U₂ : Scheme⦄ (f₁ : U₁ ⟶ X) (f₂ : U₂ ⟶ X) [inst : IsAffine U₁] [inst_1 : IsAffine U₂] [inst_2 : IsOpenImmersion f₁] [inst_3 : IsOpenImmersion f₂], (fun X x x_1 x => CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace) (pullback f₁ f₂) (pullback (f₁ ≫ f) (f₂ ≫ f)) (pullback.mapDesc f₁ f₂ f) ⋯) ↔ QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine Y
f : X ⟶ Y

⊢ (∀ ⦃U₁ U₂ : Scheme⦄ (f₁ : U₁ ⟶ X) (f₂ : U₂ ⟶ X) [inst : IsAffine U₁] [inst_1 : IsAffine U₂] [inst_2 : IsOpenImmersion f₁] [inst_3 : IsOpenImmersion f₂], (fun X x x_1 x => CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace) (pullback f₁ f₂) (pullback (f₁ ≫ f) (f₂ ≫ f)) (pullback.mapDesc f₁ f₂ f) ⋯) ↔ ∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)

⊢ R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R

⊢ v.valuation ((algebraMap R K) r) < 1 ↔ v.asIdeal ∣ Ideal.span {r}
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R

⊢ v.intValuation r < 1 ↔ v.asIdeal ∣ Ideal.span {r}
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v x < v y

⊢ v (x - y) = v y
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v x < v y

⊢ v x < v (-y)
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
x✝ : a₁ ≡ b₁ [PMOD p]
m : ℤ
hm : b₁ - a₁ = m • p

⊢ (∃ b, b₁ - b₂ - (a₁ - a₂) = (Equiv.subLeft m).symm.symm b • p) ↔ a₂ ≡ b₂ [PMOD p]
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c a b : G

⊢ a * (a⁻¹ * b) = b
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.130873, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : Mono S.f

⊢ IsIso h.f'
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.130873, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : Mono S.f
this : Epi h.f'

⊢ IsIso h.f'
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.130873, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : Mono S.f
this✝ : Epi h.f'
this : Mono h.f'

⊢ IsIso h.f'
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
n : ℤ

⊢ QuasiIso ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).map φ) ↔ QuasiIso φ
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
n : ℤ

⊢ (∀ (i : ℤ), QuasiIsoAt φ (n + i)) ↔ ∀ (i : ℤ), QuasiIsoAt φ i
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
x : B
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
hx : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)

⊢ ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, r ^ n • x ∈ B'
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
x : B
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
hx : ∃ l, (Finsupp.total (↑↑(Submonoid.closure s)) B R Subtype.val) l = x

⊢ ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, r ^ n • x ∈ B'
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

⊢ ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, (r ^ n • l.sum fun i c => c • ↑i) ∈ B'
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)

⊢ ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, (r ^ n • l.sum fun i c => c • ↑i) ∈ B'
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)

⊢ ∀ n ≥ l.support.sup n₁, (r ^ n • l.sum fun i c => c • ↑i) ∈ B'
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁

⊢ (r ^ n • l.sum fun i c => c • ↑i) ∈ B'
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁

⊢ (l.sum fun a b => r ^ n • b • ↑a) ∈ B'
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁

⊢ ∀ c ∈ l.support, (fun a b => r ^ n • b • ↑a) c (l c) ∈ Subalgebra.toSubmodule B'
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁
a : ↑↑(Submonoid.closure s)
ha : a ∈ l.support

⊢ (fun a b => r ^ n • b • ↑a) a (l a) ∈ Subalgebra.toSubmodule B'
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁
a : ↑↑(Submonoid.closure s)
ha : a ∈ l.support
this : n ≥ n₁ a

⊢ (fun a b => r ^ n • b • ↑a) a (l a) ∈ Subalgebra.toSubmodule B'