ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
h : p.degrees.Disjoint q.degrees

⊢ p.degrees ∪ q.degrees ≤ (p + q).degrees
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Holder.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X

⊢ HolderOnWith C 1 f s ↔ LipschitzOnWith C f s
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
f : ZFSet → ZFSet
H : PSet.Definable 1 f
x y : ZFSet
h : y ∈ x
z : ZFSet

⊢ Class.ToSet (fun x_1 => ↑(map f x) (x_1.pair z)) ↑y ↔ z = f y
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
f : ZFSet → ZFSet
H : PSet.Definable 1 f
x y : ZFSet
h : y ∈ x
z : ZFSet

⊢ (∃ z_1 ∈ x, z_1.pair (f z_1) = y.pair z) ↔ z = f y
-- Mathlib/Order/PartialSups.lean
α : Type u_1
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : ℕ → α
h : BddAbove (Set.range f)

⊢ ⨆ n, (partialSups f) n = ⨆ n, f n
-- Mathlib/Order/PartialSups.lean
α : Type u_1
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : ℕ → α
h : BddAbove (Set.range f)
n : ℕ

⊢ (partialSups f) n ≤ ⨆ n, f n
-- Mathlib/Order/PartialSups.lean
α : Type u_1
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : ℕ → α
h : BddAbove (Set.range f)

⊢ BddAbove (Set.range fun n => (partialSups f) n)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β

⊢ M.map id ⋯ = M
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.15006, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.RightFraction₂ X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

⊢ ∃ ψ, φ.f ≫ ψ.s = φ.s ≫ ψ.f ∧ φ.f' ≫ ψ.s = φ.s ≫ ψ.f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.15006, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.RightFraction₂ X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
ψ₁ : W.LeftFraction X Y
hψ₁ : φ.fst.f ≫ ψ₁.s = φ.fst.s ≫ ψ₁.f

⊢ ∃ ψ, φ.f ≫ ψ.s = φ.s ≫ ψ.f ∧ φ.f' ≫ ψ.s = φ.s ≫ ψ.f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.15006, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.RightFraction₂ X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
ψ₁ : W.LeftFraction X Y
hψ₁ : φ.fst.f ≫ ψ₁.s = φ.fst.s ≫ ψ₁.f
ψ₂ : W.LeftFraction X Y
hψ₂ : φ.snd.f ≫ ψ₂.s = φ.snd.s ≫ ψ₂.f

⊢ ∃ ψ, φ.f ≫ ψ.s = φ.s ≫ ψ.f ∧ φ.f' ≫ ψ.s = φ.s ≫ ψ.f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.15006, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.RightFraction₂ X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
ψ₁ : W.LeftFraction X Y
hψ₁ : φ.fst.f ≫ ψ₁.s = φ.fst.s ≫ ψ₁.f
ψ₂ : W.LeftFraction X Y
hψ₂ : φ.snd.f ≫ ψ₂.s = φ.snd.s ≫ ψ₂.f
α : W.LeftFraction ψ₁.Y' ψ₂.Y'
hα : (RightFraction.mk ψ₁.s ⋯ ψ₂.s).f ≫ α.s = (RightFraction.mk ψ₁.s ⋯ ψ₂.s).s ≫ α.f

⊢ ∃ ψ, φ.f ≫ ψ.s = φ.s ≫ ψ.f ∧ φ.f' ≫ ψ.s = φ.s ≫ ψ.f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.15006, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.RightFraction₂ X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
ψ₁ : W.LeftFraction X Y
hψ₁ : φ.f ≫ ψ₁.s = φ.s ≫ ψ₁.f
ψ₂ : W.LeftFraction X Y
hψ₂ : φ.f' ≫ ψ₂.s = φ.s ≫ ψ₂.f
α : W.LeftFraction ψ₁.Y' ψ₂.Y'
hα : ψ₂.s ≫ α.s = ψ₁.s ≫ α.f

⊢ ∃ ψ, φ.f ≫ ψ.s = φ.s ≫ ψ.f ∧ φ.f' ≫ ψ.s = φ.s ≫ ψ.f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.15006, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.RightFraction₂ X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
ψ₁ : W.LeftFraction X Y
hψ₁ : φ.f ≫ ψ₁.s = φ.s ≫ ψ₁.f
ψ₂ : W.LeftFraction X Y
hψ₂ : φ.f' ≫ ψ₂.s = φ.s ≫ ψ₂.f
α : W.LeftFraction ψ₁.Y' ψ₂.Y'
hα : ψ₂.s ≫ α.s = ψ₁.s ≫ α.f

⊢ φ.f ≫ (LeftFraction₂.mk (ψ₁.f ≫ α.f) (ψ₂.f ≫ α.s) (ψ₂.s ≫ α.s) ⋯).s = φ.s ≫ (LeftFraction₂.mk (ψ₁.f ≫ α.f) (ψ₂.f ≫ α.s) (ψ₂.s ≫ α.s) ⋯).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.15006, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.RightFraction₂ X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
ψ₁ : W.LeftFraction X Y
hψ₁ : φ.f ≫ ψ₁.s = φ.s ≫ ψ₁.f
ψ₂ : W.LeftFraction X Y
hψ₂ : φ.f' ≫ ψ₂.s = φ.s ≫ ψ₂.f
α : W.LeftFraction ψ₁.Y' ψ₂.Y'
hα : ψ₂.s ≫ α.s = ψ₁.s ≫ α.f

⊢ φ.f' ≫ (LeftFraction₂.mk (ψ₁.f ≫ α.f) (ψ₂.f ≫ α.s) (ψ₂.s ≫ α.s) ⋯).s = φ.s ≫ (LeftFraction₂.mk (ψ₁.f ≫ α.f) (ψ₂.f ≫ α.s) (ψ₂.s ≫ α.s) ⋯).f'
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x : ℝ≥0∞

⊢ (x ^ n) ^ (↑n)⁻¹ = x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Bilinear.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
b : E × F → G
u : Set (E × F)
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
p : E × F

⊢ (fun p_1 => b p_1.1 - b p_1.2 - (h.deriv p) (p_1.1 - p_1.2)) =o[𝓝 (p, p)] fun p => p.1 - p.2
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Bilinear.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
b : E × F → G
u : Set (E × F)
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
p : E × F

⊢ ((fun p_1 => b p_1.1 - b p_1.2 - (h.deriv p) (p_1.1 - p_1.2)) ∘ fun x => (p, p) + x) =o[𝓝 0] ((fun p => p.1 - p.2) ∘ fun x => (p, p) + x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
γ : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite ν
f : β × α → γ
hf : AEStronglyMeasurable f (ν.prod μ)

⊢ AEStronglyMeasurable (fun z => f z.swap) (μ.prod ν)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
γ : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite ν
f : β × α → γ
hf : AEStronglyMeasurable f (map Prod.swap (μ.prod ν))

⊢ AEStronglyMeasurable (fun z => f z.swap) (μ.prod ν)
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
p : PMF α
b : β

⊢ map (Function.const α b) p = pure b
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I

⊢ ∃ π', π'.iUnion = ↑I \ π.iUnion
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I
s : Finset (ι × ℝ)
hs : π ⊓ splitMany I s = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion

⊢ ∃ π', π'.iUnion = ↑I \ π.iUnion
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I
s : Finset (ι × ℝ)
hs : π ⊓ splitMany I s = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion

⊢ ((splitMany I s).filter fun J => ¬↑J ⊆ π.iUnion).iUnion = ↑I \ π.iUnion
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → M i) →* γ
h : ∀ (i : ι) (x : M i), f (Pi.mulSingle i x) = g (Pi.mulSingle i x)

⊢ f = g
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → M i) →* γ
h : ∀ (i : ι) (x : M i), f (Pi.mulSingle i x) = g (Pi.mulSingle i x)
val✝ : Fintype ι

⊢ f = g
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → M i) →* γ
h : ∀ (i : ι) (x : M i), f (Pi.mulSingle i x) = g (Pi.mulSingle i x)
val✝ : Fintype ι
x : (i : ι) → M i

⊢ f x = g x
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → M i) →* γ
h : ∀ (i : ι) (x : M i), f (Pi.mulSingle i x) = g (Pi.mulSingle i x)
val✝ : Fintype ι
x : (i : ι) → M i

⊢ univ.noncommProd (fun i => f (Pi.mulSingle i (x i))) ⋯ = univ.noncommProd (fun i => g (Pi.mulSingle i (x i))) ⋯
-- Mathlib/Order/Filter/Cofinite.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
s t : Set α
ht : t.Finite

⊢ cofinite ⊓ 𝓟 (s \ t) = cofinite ⊓ 𝓟 s
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M

⊢ 0⁻¹ = 0
-- Mathlib/Control/Functor/Multivariate.lean
n : ℕ
α β γ : TypeVec.{u} n
F : TypeVec.{u} n → Type v
inst✝¹ : MvFunctor F
P : α ⟹ TypeVec.repeat n Prop
R : α ⊗ α ⟹ TypeVec.repeat n Prop
inst✝ : LawfulMvFunctor F
x y : F α

⊢ ∀ (u : F fun i => { p // (fun i x y => ofRepeat (R i (prod.mk i x y))) i p.1 p.2 }), (fun i t => (↑t).1) <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> u = y ↔ (prod.fst ⊚ subtypeVal R) <$$> toSubtype' R <$$> u = x ∧ (prod.snd ⊚ subtypeVal R) <$$> toSubtype' R <$$> u = y
-- Mathlib/Control/Functor/Multivariate.lean
n : ℕ
α β γ : TypeVec.{u} n
F : TypeVec.{u} n → Type v
inst✝¹ : MvFunctor F
P : α ⟹ TypeVec.repeat n Prop
R : α ⊗ α ⟹ TypeVec.repeat n Prop
inst✝ : LawfulMvFunctor F
x y : F α

⊢ ∀ (u : F fun i => { p // ofRepeat (R i (prod.mk i p.1 p.2)) }), (fun i t => (↑t).1) <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> u = y ↔ (prod.fst ⊚ fun i x => prod.mk i (↑x).1 (↑x).2) <$$> u = x ∧ (prod.snd ⊚ fun i x => prod.mk i (↑x).1 (↑x).2) <$$> u = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Presheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
η : F ⟶ A
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : yoneda.obj X ⟶ A
t : yoneda.obj Y ⟶ A
hst : yoneda.map f ≫ t = s
u : F.obj (op Y)
h : MakesOverArrow η t u

⊢ η.app (op X) (F.map f.op u) = yonedaEquiv s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S
n : ℕ

⊢ ((monomial n) r).smeval x = r • x ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α

⊢ toIocMod hp a (b - c) = toIocMod hp (a + c) b - c
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α

⊢ rdropWhile p (l ++ [x]) = if p x = true then rdropWhile p l else l ++ [x]
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α

⊢ (match p x with | true => dropWhile p l.reverse | false => x :: l.reverse).reverse = if p x = true then (dropWhile p l.reverse).reverse else l ++ [x]
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/FractionalIdeal.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
e : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I

⊢ |(integralBasis K).det ⇑((basisOfFractionalIdeal K I).reindex e.symm)| = FractionalIdeal.absNorm ↑I
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/FractionalIdeal.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
e : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I

⊢ |(integralBasis K).det ⇑((basisOfFractionalIdeal K I).reindex e.symm)| = |(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K (RingOfIntegers.basis K)).det (Subtype.val ∘ ⇑((fractionalIdealBasis K ↑I).reindex e.symm))|
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/FractionalIdeal.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
e : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I
x✝ : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

⊢ ((basisOfFractionalIdeal K I).reindex e.symm) x✝ = (Subtype.val ∘ ⇑((fractionalIdealBasis K ↑I).reindex e.symm)) x✝
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p

⊢ ω p = 1
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
n : ℕ
f g : Fin n → α
h : ofFn f = ofFn g

⊢ HEq f g
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
n : ℕ
f g : Fin n → α
h : ⟨n, f⟩ = ⟨n, g⟩

⊢ HEq f g
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α

⊢ ↑(upperClosure (s * t)) = ↑(upperClosure s * upperClosure t)
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x

⊢ hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin (X none) = Polynomial.X
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Curry.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.castSucc) (Ei (last n) →L[𝕜] G)
m : (i : Fin n.succ) → Ei i

⊢ ‖f‖ * ((∏ i : Fin n, ‖init m i‖) * ‖m (last n)‖) = ‖f‖ * ∏ i : Fin n.succ, ‖m i‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Curry.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.castSucc) (Ei (last n) →L[𝕜] G)
m : (i : Fin n.succ) → Ei i

⊢ ‖f‖ * ((∏ i : Fin n, ‖init m i‖) * ‖m (last n)‖) = ‖f‖ * ((∏ i : Fin n, ‖m i.castSucc‖) * ‖m (last n)‖)
-- Mathlib/NumberTheory/FunctionField.lean
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
k : Fq
hk : k ≠ 0

⊢ inftyValuationDef Fq (RatFunc.C k) = ↑(Multiplicative.ofAdd 0)
-- Mathlib/NumberTheory/FunctionField.lean
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
k : Fq
hk : k ≠ 0
hCk : RatFunc.C k ≠ 0

⊢ inftyValuationDef Fq (RatFunc.C k) = ↑(Multiplicative.ofAdd 0)
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
he : ∀ (i : I), IsIdempotentElem (e i)
he' : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)
he'' : CompleteOrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e)

⊢ CompleteOrthogonalIdempotents e
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
he : ∀ (i : I), IsIdempotentElem (e i)
he' : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)
he'' : CompleteOrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e)
e' : I → R
h₁ : CompleteOrthogonalIdempotents e'
h₂ : ⇑f ∘ e' = ⇑f ∘ e

⊢ CompleteOrthogonalIdempotents e
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
he : ∀ (i : I), IsIdempotentElem (e i)
he' : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)
he'' : CompleteOrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e)
h₁ : CompleteOrthogonalIdempotents e
h₂ : ⇑f ∘ e = ⇑f ∘ e

⊢ CompleteOrthogonalIdempotents e
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
n : ℕ

⊢ ∃ N, ∀ m_1 ≥ N, μ {x | 2⁻¹ ^ n ≤ dist (f m_1 x) (g x)} ≤ 2⁻¹ ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
n : ℕ
hfg : Tendsto (fun i => μ {x | 2⁻¹ ^ n ≤ dist (f i x) (g x)}) atTop (𝓝 0)

⊢ ∃ N, ∀ m_1 ≥ N, μ {x | 2⁻¹ ^ n ≤ dist (f m_1 x) (g x)} ≤ 2⁻¹ ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
n : ℕ
hfg : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n_1 ≥ N, μ {x | 2⁻¹ ^ n ≤ dist (f n_1 x) (g x)} ≤ ε

⊢ ∃ N, ∀ m_1 ≥ N, μ {x | 2⁻¹ ^ n ≤ dist (f m_1 x) (g x)} ≤ 2⁻¹ ^ n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
n : ℕ

⊢ Disjoint (f.tailing i n) (OrderDual.ofDual ((f.tunnel i) (n + 1)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
n : ℕ

⊢ f.tailing i n ⊓ OrderDual.ofDual ((f.tunnel i) (n + 1)) = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
n : ℕ

⊢ Submodule.map (f.tunnelAux (f.tunnel' i n)) (Submodule.snd R M N) ⊓ Submodule.map (f.tunnelAux (f.tunnel' i n)) (Submodule.fst R M N) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
H : a / b = c / d

⊢ a = b ↔ c = d
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroupWithOne R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : NeZero 1
m n : ℤ
h : m ≤ n

⊢ ↑m ≤ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroupWithOne R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : NeZero 1
m n : ℤ
h : 0 ≤ n - m

⊢ ↑m ≤ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroupWithOne R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : NeZero 1
m n : ℤ
k : ℕ
hk : ↑k = n - m

⊢ ↑m ≤ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroupWithOne R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : NeZero 1
m n : ℤ
k : ℕ
hk : ↑k = n - m

⊢ 0 ≤ ↑k
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
x✝² x✝¹ : M × ↥S
a : M
b : ↥S
a' : M
b' : ↥S
x✝ : (a, b) ≈ (a', b')
c : ↥S
eq1 : c • (a', b').2 • (a, b).1 = c • (a, b).2 • (a', b').1

⊢ c • ((a', b').2 * s) • (a, b).1 = c • ((a, b).2 * s) • (a', b').1
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
x y : LocalizedModule S M

⊢ (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (x + y) = (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) x + (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) y
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
x y : LocalizedModule S M

⊢ ∀ (m m' : M) (s_1 s' : ↥S), (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (mk m s_1 + mk m' s') = (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (mk m s_1) + (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (mk m' s')
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
x y : LocalizedModule S M
m₁ m₂ : M
t₁ t₂ : ↥S

⊢ (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (mk m₁ t₁ + mk m₂ t₂) = (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (mk m₁ t₁) + (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (mk m₂ t₂)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
r : R
x : LocalizedModule S M

⊢ { toFun := fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun x