ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
i j : ℕ
h₁ : (i, j).1 + (i, j).2 = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree
h₂ : (i, j) ≠ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree)
hi : p.natTrailingDegree ≤ i
hj : q.natTrailingDegree ≤ j

⊢ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree).1 = (i, j).1 ∧ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree).2 = (i, j).2
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p

⊢ μ p = -1
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
p q : α → Prop
x : α

⊢ {x | x ∈ s ∧ p x} = s ↔ ∀ x ∈ s, p x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 7 → β

⊢ ∏ i : Fin 7, f i = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4 * f 5 * f 6
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 7 → β

⊢ f (castSucc 0) * f (castSucc 1) * f (castSucc 2) * f (castSucc 3) * f (castSucc 4) * f (castSucc 5) * f (last 6) = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4 * f 5 * f 6
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a : ι
ha : a ∈ ⋃ i ∈ s, g i
b : ι
hb : b ∈ ⋃ i ∈ s, g i
hab : a ≠ b

⊢ (Disjoint on f) a b
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
ha : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), a ∈ g i
hb : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), b ∈ g i

⊢ (Disjoint on f) a b
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ g c
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ g d

⊢ (Disjoint on f) a b
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ g c
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ g d
hcd : g c = g d

⊢ (Disjoint on f) a b
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ g c
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ g d
hcd : g c ≠ g d

⊢ (Disjoint on f) a b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef

⊢ hA.sqrt.PosSemidef
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef

⊢ (diagonal (RCLike.ofReal ∘ Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues)).PosSemidef
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
i : n

⊢ 0 ≤ (RCLike.ofReal ∘ Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
i : n

⊢ 0 ≤ RCLike.re ↑((Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues) i) ∧ RCLike.im ↑((Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues) i) = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivInvMonoid G
a✝ b✝ c✝ a b c : G

⊢ a * b / c = a * (b / c)
-- Mathlib/Algebra/Group/Nat.lean
m n : ℕ

⊢ Even (m ^ n) ↔ Even m ∧ n ≠ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a✝ : α

⊢ a✝ ∈ filter p (s ∩ t) ↔ a✝ ∈ filter p s ∩ filter p t
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a b : R
hab : a < b
c : R
hc : IsRegular c

⊢ c * a * star c < c * b * star c
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
a b : M
inst✝ : Unique Mˣ
x : M
x✝ : IsUnit x
u : Mˣ
hu : ↑u = x

⊢ x = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Circulant.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : AddGroup n
v w : n → α
h : circulant v = circulant w
k : n

⊢ v k = w k
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
d n : ℕ
hdn : d ∣ n
hd : d ≠ 1

⊢ cyclotomic d R ∣ ∑ i ∈ range n, X ^ i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
d n : ℕ
hdn : d ∣ n
hd : d ≠ 1

⊢ cyclotomic d ℤ ∣ ∑ i ∈ range n, X ^ i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
d : ℕ
hd : d ≠ 1
hdn : d ∣ 0

⊢ cyclotomic d ℤ ∣ ∑ i ∈ range 0, X ^ i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
d n : ℕ
hdn : d ∣ n
hd : d ≠ 1
hn : n > 0

⊢ cyclotomic d ℤ ∣ ∑ i ∈ range n, X ^ i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
d n : ℕ
hdn : d ∣ n
hd : d ≠ 1
hn : n > 0

⊢ cyclotomic d ℤ ∣ ∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i ℤ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
d n : ℕ
hdn : d ∣ n
hd : d ≠ 1
hn : n > 0

⊢ d ∈ n.divisors.erase 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
z : ℝ
h : 0 < z
x y : ℝ≥0∞
hxy : x < y

⊢ (fun x => x ^ z) x < (fun x => x ^ z) y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
z : ℝ
h : 0 < z
y : ℝ≥0∞
x : ℝ≥0
hxy : ↑x < y

⊢ (fun x => x ^ z) ↑x < (fun x => x ^ z) y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
z : ℝ
h : 0 < z
x : ℝ≥0
hxy : ↑x < ⊤

⊢ (fun x => x ^ z) ↑x < (fun x => x ^ z) ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
z : ℝ
h : 0 < z
y : ℝ≥0∞
x : ℝ≥0
hxy : ↑x < y
hy : y ≠ ⊤

⊢ (fun x => x ^ z) ↑x < (fun x => x ^ z) y
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f✝² : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
α : Type u_4
ι : Type u_5
f✝¹ : α → X
g : X → Y
f✝ : α → X
s : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
hs : Dense s

⊢ range f ⊆ closure (f '' s)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f✝² : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
α : Type u_4
ι : Type u_5
f✝¹ : α → X
g : X → Y
f✝ : α → X
s : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
hs : Dense s

⊢ f '' closure s ⊆ closure (f '' s)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ι : Type u_2
s : Finset ι
α : ι → K

⊢ house (∑ i ∈ s, α i) ≤ ∑ i ∈ s, house (α i)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ι : Type u_2
s : Finset ι
α : ι → K

⊢ ‖∑ x ∈ s, (canonicalEmbedding K) (α x)‖ ≤ ∑ x ∈ s, ‖(canonicalEmbedding K) (α x)‖
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ι : Type u_2
s : Finset ι
α : ι → K

⊢ ∀ b ∈ s, ‖(canonicalEmbedding K) (α b)‖ ≤ ‖(canonicalEmbedding K) (α b)‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ nodal s v = (X - C (v i)) * nodal (s.erase i) v
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiCompact.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

⊢ QuasiCompact f ↔ ∀ (U : Y.Opens), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiCompact.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

⊢ (∀ (U : Set ↑↑Y.toPresheafedSpace), IsOpen U → IsCompact U → IsCompact (⇑f.val.base ⁻¹' U)) ↔ ∀ (U : Y.Opens), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiCompact.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

⊢ (∀ (U : Y.Opens), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)) → ∀ (U : Set ↑↑Y.toPresheafedSpace), IsOpen U → IsCompact U → IsCompact (⇑f.val.base ⁻¹' U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiCompact.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : ∀ (U : Y.Opens), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)
U : Set ↑↑Y.toPresheafedSpace
hU : IsOpen U
hU' : IsCompact U

⊢ IsCompact (⇑f.val.base ⁻¹' U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiCompact.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : ∀ (U : Y.Opens), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)
S : Set ↑Y.affineOpens
hS : S.Finite
hU : IsOpen (⋃ i ∈ S, ↑↑i)
hU' : IsCompact (⋃ i ∈ S, ↑↑i)

⊢ IsCompact (⇑f.val.base ⁻¹' ⋃ i ∈ S, ↑↑i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiCompact.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : ∀ (U : Y.Opens), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)
S : Set ↑Y.affineOpens
hS : S.Finite
hU : IsOpen (⋃ i ∈ S, ↑↑i)
hU' : IsCompact (⋃ i ∈ S, ↑↑i)

⊢ IsCompact (⋃ i ∈ S, ⇑f.val.base ⁻¹' ↑↑i)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
h₀ : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
hπp : π.IsPartition

⊢ dist (integralSum f vol π) (integral I l f vol) ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
h₀ : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (⋯.choose c) π
hπp : π.IsPartition

⊢ dist (integralSum f vol π) (integral I l f vol) ≤ ε
-- Mathlib/Algebra/Lie/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module.Free R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : IsKilling R L

⊢ (killingForm R L).Nondegenerate
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : [[c, d]] ⊆ [[a, b]]

⊢ |d - c| ≤ |b - a|
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : [[c, d]] ⊆ [[a, b]]

⊢ max c d - min c d ≤ max a b - min a b
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : min a b ≤ min c d ∧ max c d ≤ max a b

⊢ max c d - min c d ≤ max a b - min a b
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x : K
ha : a ≠ 0
s : K
hs : discrim a b c = s * s

⊢ ∃ x, a * x * x + b * x + c = 0
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x : K
ha : a ≠ 0
s : K
hs : discrim a b c = s * s

⊢ a * ((-b + s) / (2 * a)) * ((-b + s) / (2 * a)) + b * ((-b + s) / (2 * a)) + c = 0
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x : K
ha : a ≠ 0
s : K
hs : discrim a b c = s * s

⊢ (-b + s) / (2 * a) = (-b + s) / (2 * a) ∨ (-b + s) / (2 * a) = (-b - s) / (2 * a)
-- Mathlib/GroupTheory/CosetCover.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : Subgroup G
g : ι → G

⊢ ⋃ i ∈ s, g i • ↑H = Set.univ ↔ Set.SurjOn (fun x => ↑(g x)) (↑s) Set.univ
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : a ∉ l.keys

⊢ kerase a l = l
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)

⊢ (𝓓 a 𝒜).card = 𝒜.card
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)

⊢ (filter (fun s => s.erase a ∈ 𝒜) 𝒜 ∪ filter (fun a_1 => a_1.erase a ∉ 𝒜) 𝒜).card = 𝒜.card
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)

⊢ Disjoint (filter (fun s => s.erase a ∈ 𝒜) 𝒜) (filter (fun a_1 => a_1.erase a ∉ 𝒜) 𝒜)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)

⊢ ∀ s ∈ ↑(filter (fun a_1 => a_1.erase a ∉ 𝒜) 𝒜), s ∈ {s | a ∈ s}
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hs : s ∈ ↑(filter (fun a_1 => a_1.erase a ∉ 𝒜) 𝒜)

⊢ s ∈ {s | a ∈ s}
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∉ 𝒜

⊢ s ∈ {s | a ∈ s}
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMinOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ioc a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ioc a b) = ν (Ioc a b)

⊢ μ = ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b✝ x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMinOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ioc a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ioc a b) = ν (Ioc a b)
a b : αᵒᵈ
hab : a < b

⊢ μ (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioc b a) ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b✝ x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMinOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ioc a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ioc a b) = ν (Ioc a b)
a b : αᵒᵈ
hab : a < b

⊢ μ (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioc b a) = ν (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioc b a)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsorBases.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
b : AffineBasis ι ℝ V

⊢ Finset.centroid ℝ Finset.univ ⇑b ∈ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsorBases.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
b : AffineBasis ι ℝ V
this : Nonempty ι

⊢ Finset.centroid ℝ Finset.univ ⇑b ∈ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Multilinear/Basic.lean
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
inst✝²¹ : Semiring R
inst✝²⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝¹³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹² : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : Module R M₃
inst✝⁹ : Module R M₄
inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)
inst✝⁷ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁' i)
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : TopologicalSpace M₄
f f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
inst✝² : ContinuousAdd M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x y : (i : ι) → M₁ i

⊢ (∑ i : ι, (let __src := f.toLinearMap x i; { toLinearMap := __src, cont := ⋯ }).comp (ContinuousLinearMap.proj i)) y = ∑ i : ι, f (update x i (y i))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Multilinear/Basic.lean
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
inst✝²¹ : Semiring R
inst✝²⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝¹³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹² : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : Module R M₃
inst✝⁹ : Module R M₄
inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)
inst✝⁷ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁' i)
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : TopologicalSpace M₄
f f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
inst✝² : ContinuousAdd M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x y : (i : ι) → M₁ i

⊢ ∑ c : ι, (⇑(f.toLinearMap x c) ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.proj c)) y = ∑ i : ι, f (update x i (y i))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a b c : α
h : ContinuousOn f (Icc a b)
hc : c ∈ Icc a b

⊢ sInf (f '' Icc a b) ≤ f c
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a b c : α
h : ContinuousOn f (Icc a b)
hc : c ∈ Icc a b
this : f c ∈ f '' Icc a b

⊢ sInf (f '' Icc a b) ≤ f c
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a b c : α
h : ContinuousOn f (Icc a b)
hc : c ∈ Icc a b
this : f c ∈ Icc (sInf (f '' Icc a b)) (sSup (f '' Icc a b))

⊢ sInf (f '' Icc a b) ≤ f c
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
I : Set β
S : β → Set α
H : I.Finite

⊢ BddAbove (⋃ i ∈ ∅, S i) ↔ ∀ i ∈ ∅, BddAbove (S i)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝¹ t : Set α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
I : Set β
S : β → Set α
H : I.Finite
a✝ : β
s✝ : Set β
x✝¹ : a✝ ∉ s✝
x✝ : s✝.Finite
hs : BddAbove (⋃ i ∈ s✝, S i) ↔ ∀ i ∈ s✝, BddAbove (S i)

⊢ BddAbove (⋃ i ∈ insert a✝ s✝, S i) ↔ ∀ i ∈ insert a✝ s✝, BddAbove (S i)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ

⊢ 0 < φ n ↔ 0 < n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Finite ι
e : M ≃ₗ[R] ι → R
j : M
x✝ : ι

⊢ (ofEquivFun e).equivFun j x✝ = e j x✝
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
n : ℕ
hfn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
h : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0

⊢ valAux K v O hv p f = ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p n) f) ^ p ^ n
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
n : ℕ
hfn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
h : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0

⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h = ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p n) f) ^ p ^ n
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
h : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
k : ℕ
hfn : (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f ≠ 0

⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h = ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f) ^ p ^ (Nat.find h + k)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
h : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
k : ℕ
ih : (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f ≠ 0 → ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h = ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f) ^ p ^ (Nat.find h + k)
hfn : (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + (k + 1))) f ≠ 0

⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h = ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + (k + 1))) f) ^ p ^ (Nat.find h + (k + 1))