ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : ι → Set α
t : Set β

⊢ image2 f (⋃ i, s i) t = ⋃ i, image2 f (s i) t
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α

⊢ a < a * b ↔ a * 1 < a * b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, StronglyMeasurable f

⊢ StronglyMeasurable fun x => (List.map (fun f => f x) l).prod
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ

⊢ Bornology.IsBounded (convexBodySum K B)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ convexBodySum K B
y : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hy : y ∈ convexBodySum K B

⊢ dist x y ≤ B + B
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ convexBodySum K B
y : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hy : y ∈ convexBodySum K B

⊢ ‖x‖ ≤ B
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ convexBodySum K B
y : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hy : y ∈ convexBodySum K B

⊢ ‖y‖ ≤ B
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
S : Subalgebra R A
x : A

⊢ star x ∈ star S ↔ x ∈ S
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
x✝ : DecidablePred p
h : ∀ i ∈ s, p i
f : (i : α) → p i → β
g : (i : α) → ¬p i → β

⊢ (∏ i ∈ s, if hi : p i then f i hi else g i hi) = ∏ i : { x // x ∈ s }, f ↑i ⋯
-- Mathlib/Algebra/Star/CHSH.lean
R : Type u
inst✝⁴ : OrderedCommRing R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : Algebra ℝ R
inst✝ : OrderedSMul ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
P : R := 2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁

⊢ A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁ ≤ 2
-- Mathlib/Algebra/Star/CHSH.lean
R : Type u
inst✝⁴ : OrderedCommRing R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : Algebra ℝ R
inst✝ : OrderedSMul ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
P : R := 2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁
i₁ : 0 ≤ P

⊢ A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁ ≤ 2
-- Mathlib/Algebra/Star/CHSH.lean
R : Type u
inst✝⁴ : OrderedCommRing R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : Algebra ℝ R
inst✝ : OrderedSMul ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
P : R := 2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁
i₁ : 0 ≤ P

⊢ 0 ≤ 2 - (A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁)
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ

⊢ orderOf 1 = 1
-- Mathlib/Algebra/CharP/Invertible.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
t : ℕ
inst✝ : Invertible ↑t

⊢ ¬ringChar K ∣ t
-- Mathlib/Algebra/CharP/Invertible.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
t : ℕ
inst✝ : Invertible ↑t

⊢ ↑t ≠ 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
h : α ≃ᵢ β
x : β
r : ℝ≥0∞

⊢ ⇑h ⁻¹' EMetric.closedBall x r = EMetric.closedBall (h.symm x) r
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : f₁ =o[l] g₁
h₂ : f₂ =o[l] g₂

⊢ (fun x => f₁ x + f₂ x) =o[l] fun x => ‖g₁ x‖ + ‖g₂ x‖
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁴ : Algebra R R'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
i : P.vars
j : P'.vars

⊢ (P'.cotangentSpaceBasis.repr ((CotangentSpace.map f) (P.cotangentSpaceBasis i))) j = (aeval P'.val) ((pderiv j) (f.val i))
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s t : Subgroup α
ι : Type u_2
f : ι → Subgroup α

⊢ ∀ (a₁ a₂ : α), (fun q i => quotientMapOfLE ⋯ q) (Quotient.mk'' a₁) = (fun q i => quotientMapOfLE ⋯ q) (Quotient.mk'' a₂) → Quotient.mk'' a₁ = Quotient.mk'' a₂
-- Mathlib/Data/PNat/Basic.lean
m k : ℕ+

⊢ ↑(m.mod k) ≤ ↑m ∧ ↑(m.mod k) ≤ ↑k
-- Mathlib/Data/PNat/Basic.lean
m k : ℕ+

⊢ (if ↑m % ↑k = 0 then ↑k else ↑m % ↑k) ≤ ↑m ∧ (if ↑m % ↑k = 0 then ↑k else ↑m % ↑k) ≤ ↑k
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
S : Set α
h : S.Finite
H0 : C ∅
H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∈ S → s ⊆ S → a ∉ s → C s → C (insert a s)

⊢ C S
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
S : Set α
h : S.Finite
H0 : C ∅
H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∈ S → s ⊆ S → a ∉ s → C s → C (insert a s)

⊢ ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → (fun s => s ⊆ S → C s) s → (fun s => s ⊆ S → C s) (insert a s)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
S : Set α
h : S.Finite
H0 : C ∅
H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∈ S → s ⊆ S → a ∉ s → C s → C (insert a s)
a : α
s : Set α
has : a ∉ s
a✝ : s.Finite
hCs : s ⊆ S → C s
haS : insert a s ⊆ S

⊢ C (insert a s)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
S : Set α
h : S.Finite
H0 : C ∅
H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∈ S → s ⊆ S → a ∉ s → C s → C (insert a s)
a : α
s : Set α
has : a ∉ s
a✝ : s.Finite
hCs : s ⊆ S → C s
haS : a ∈ S ∧ s ⊆ S

⊢ C (insert a s)
-- Mathlib/Probability/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hij : i < j

⊢ μ[(s j).indicator fun x => 1|↑(filtrationOfSet hsm) i] =ᶠ[ae μ] fun x => (μ (s j)).toReal
-- Mathlib/Probability/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hij : i < j

⊢ μ[(s j).indicator fun x => 1|↑(Filtration.natural (fun i => (s i).indicator fun x => 1) ⋯) i] =ᶠ[ae μ] fun x => (μ (s j)).toReal
-- Mathlib/Probability/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hij : i < j

⊢ (fun x => ∫ (x : Ω), (s j).indicator (fun _ω => 1) x ∂μ) =ᶠ[ae μ] fun x => (μ (s j)).toReal
-- Mathlib/Probability/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hij : i < j

⊢ (fun x => (μ (s j)).toReal) =ᶠ[ae μ] fun x => (μ (s j)).toReal
-- Mathlib/CategoryTheory/NatIso.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ G✝ : C ⥤ D
X Y : C
F G : C ⥤ D
H I : D ⥤ E
α : F ≅ G
β : H ≅ I
x✝ : C

⊢ ((α.inv ◫ β.inv) ≫ α.hom ◫ β.hom).app x✝ = (𝟙 (G ⋙ I)).app x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/NatIso.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ G✝ : C ⥤ D
X Y : C
F G : C ⥤ D
H I : D ⥤ E
α : F ≅ G
β : H ≅ I
x✝ : C

⊢ ((α.inv ≫ α.hom) ◫ (β.inv ≫ β.hom)).app x✝ = (𝟙 (G ⋙ I)).app x✝
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M✝ : Type u_1
inst✝² : Monoid M✝
s✝ : Set M✝
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
m : Multiset M

⊢ (∀ a ∈ m, a ∈ s) → m.prod ∈ s
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M✝ : Type u_1
inst✝² : Monoid M✝
s✝ : Set M✝
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
m : Multiset M
l : List M
hl : ∀ a ∈ ⟦l⟧, a ∈ s

⊢ Multiset.prod ⟦l⟧ ∈ s
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M✝ : Type u_1
inst✝² : Monoid M✝
s✝ : Set M✝
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
m : Multiset M
l : List M
hl : ∀ a ∈ ⟦l⟧, a ∈ s

⊢ l.prod ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n✝ : ?m.21109
s✝ t : Finset α
n : ℕ
s a✝ : Finset α

⊢ a✝ ∈ powersetCard n s ↔ a✝ ∈ filter (fun x => x.card = n) s.powerset
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
x y z : Multiset α
h : z ≤ y

⊢ x + y = x ∪ z ↔ y = z ∧ x.Disjoint y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
f : β → C
inst✝ : HasCoproduct f
c : Cofan f
x✝ : Nonempty (IsColimit c)
hc : IsColimit c
this : IsIso (((coproductIsCoproduct f).coconePointUniqueUpToIso hc).hom ≫ hc.desc c)
e_3✝ : ∐ f = (mk (∐ f) (Sigma.ι f)).pt
b✝ : β

⊢ Sigma.ι f b✝ ≫ Sigma.desc c.inj = Sigma.ι f b✝ ≫ ((coproductIsCoproduct f).coconePointUniqueUpToIso hc).hom ≫ hc.desc c
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
f : β → C
inst✝ : HasCoproduct f
c : Cofan f
x✝ : Nonempty (IsColimit c)
hc : IsColimit c
this : IsIso (((coproductIsCoproduct f).coconePointUniqueUpToIso hc).hom ≫ hc.desc c)
e_3✝ : ∐ f = (mk (∐ f) (Sigma.ι f)).pt
b✝ : β

⊢ c.inj b✝ = c.ι.app { as := b✝ }
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty

⊢ ∑ j ∈ s, Lagrange.basis s v j = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty

⊢ (s.sup fun b => (Lagrange.basis s v b).degree) < ↑s.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty

⊢ degree 1 < ↑s.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty

⊢ ∀ i ∈ s, eval (v i) (∑ j ∈ s, Lagrange.basis s v j) = eval (v i) 1
-- Mathlib/Data/Multiset/FinsetOps.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
l₁ l₂ : List α

⊢ (↑l₁).ndinter ↑l₂ = ↑(l₁ ∩ l₂)
-- Mathlib/Data/Multiset/FinsetOps.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
l₁ l₂ : List α

⊢ List.filter (fun b => elem b l₂) l₁ ~ l₁ ∩ l₂
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hs : s ∈ 𝒜

⊢ ↑𝒜.card * ↑s.card * (↑m / (↑m + 1)) ≤ ↑(𝒜.sup id).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hs : s ∈ 𝒜

⊢ ↑𝒜.card * ↑m * ↑s.card ≤ ↑(𝒜.sup id).card * (↑m + 1)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hs : s ∈ 𝒜

⊢ ↑𝒜.card * ↑m ≤ ↑(𝒜.sup id).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hs : s ∈ 𝒜

⊢ ↑s.card ≤ ↑m + 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Set M
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure s) }
x : M
hx : x ∈ ↑(closure s)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤

⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Set M
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure s) }
x : M
hx : x ∈ ↑(closure s)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤

⊢ (fun y hy => ⟨y, hy⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)) 1 ⋯
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Set M
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure s) }
x : M
hx : x ∈ ↑(closure s)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
g₁ : M
g₂ : g₁ ∈ closure s
hg₁ : M
hg₂ : hg₁ ∈ closure s

⊢ (fun y hy => ⟨y, hy⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)) g₁ g₂ → (fun y hy => ⟨y, hy⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)) hg₁ hg₂ → (fun y hy => ⟨y, hy⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)) (g₁ * hg₁) ⋯
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
hst : Disjoint s t
hsu : Disjoint s u
htu : Disjoint t u
x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ : α
h : {x₁, y₁, z₁} = {x₂, y₂, z₂}
hx₁ : x₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ t
hy₂ : y₂ ∈ t
hz₁ : z₁ ∈ u
hz₂ : z₂ ∈ u

⊢ (x₁, y₁, z₁) = (x₂, y₂, z₂)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
hst : Disjoint s t
hsu : Disjoint s u
htu : Disjoint t u
x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ : α
hx₁ : x₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ t
hy₂ : y₂ ∈ t
hz₁ : z₁ ∈ u
hz₂ : z₂ ∈ u
h : ((x₁ = x₂ ∨ x₁ = y₂ ∨ x₁ = z₂) ∧ (y₁ = x₂ ∨ y₁ = y₂ ∨ y₁ = z₂) ∧ (z₁ = x₂ ∨ z₁ = y₂ ∨ z₁ = z₂)) ∧ (x₂ = x₁ ∨ x₂ = y₁ ∨ x₂ = z₁) ∧ (y₂ = x₁ ∨ y₂ = y₁ ∨ y₂ = z₁) ∧ (z₂ = x₁ ∨ z₂ = y₁ ∨ z₂ = z₁)

⊢ (x₁, y₁, z₁) = (x₂, y₂, z₂)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
hst : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ t
hsu : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ u
htu : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → a ∉ u
x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ : α
hx₁ : x₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ t
hy₂ : y₂ ∈ t
hz₁ : z₁ ∈ u
hz₂ : z₂ ∈ u
h : ((x₁ = x₂ ∨ x₁ = y₂ ∨ x₁ = z₂) ∧ (y₁ = x₂ ∨ y₁ = y₂ ∨ y₁ = z₂) ∧ (z₁ = x₂ ∨ z₁ = y₂ ∨ z₁ = z₂)) ∧ (x₂ = x₁ ∨ x₂ = y₁ ∨ x₂ = z₁) ∧ (y₂ = x₁ ∨ y₂ = y₁ ∨ y₂ = z₁) ∧ (z₂ = x₁ ∨ z₂ = y₁ ∨ z₂ = z₁)

⊢ (x₁, y₁, z₁) = (x₂, y₂, z₂)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
hst : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ t
hsu : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ u
htu : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → a ∉ u
x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ : α
hx₁ : x₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ t
hy₂ : y₂ ∈ t
hz₁ : z₁ ∈ u
hz₂ : z₂ ∈ u
h : ((x₁ = x₂ ∨ x₁ = y₂ ∨ x₁ = z₂) ∧ (y₁ = x₂ ∨ y₁ = y₂ ∨ y₁ = z₂) ∧ (z₁ = x₂ ∨ z₁ = y₂ ∨ z₁ = z₂)) ∧ (x₂ = x₁ ∨ x₂ = y₁ ∨ x₂ = z₁) ∧ (y₂ = x₁ ∨ y₂ = y₁ ∨ y₂ = z₁) ∧ (z₂ = x₁ ∨ z₂ = y₁ ∨ z₂ = z₁)

⊢ x₁ = x₂ ∧ y₁ = y₂ ∧ z₁ = z₂
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
hst : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ t
hsu : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ u
htu : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → a ∉ u
x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ : α
hx₁ : x₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ t
hy₂ : y₂ ∈ t
hz₁ : z₁ ∈ u
hz₂ : z₂ ∈ u
h : (x₁ = x₂ ∨ x₁ = y₂ ∨ x₁ = z₂) ∧ (y₁ = y₂ ∨ y₁ = x₂ ∨ y₁ = z₂) ∧ (z₁ = z₂ ∨ z₁ = x₂ ∨ z₁ = y₂) ∧ (x₂ = x₁ ∨ x₂ = y₁ ∨ x₂ = z₁) ∧ (y₂ = x₁ ∨ y₂ = y₁ ∨ y₂ = z₁) ∧ (z₂ = x₁ ∨ z₂ = y₁ ∨ z₂ = z₁)

⊢ x₁ = x₂ ∧ y₁ = y₂ ∧ z₁ = z₂
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c d : α

⊢ ↑(Icc a b * Ico c d) ⊆ ↑(Ico (a * c) (b * d))
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
d : D

⊢ d ∈ (im φ hφ).objs ↔ ∃ c, φ.obj c = d
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n k : ℕ
n0 : 0 < n
i : ℕ
e : k = 2 * i + 3
ih : ∀ (m : ℕ), Prime m → m ∣ n → k ≤ m
h : ¬n < k * k
k2 : 2 ≤ k

⊢ n.MinSqFacProp (if k ∣ n then if k ∣ n / k then some k else (n / k).minSqFacAux (k + 2) else n.minSqFacAux (k + 2))
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n k : ℕ
n0 : 0 < n
i : ℕ
e : k = 2 * i + 3
ih : ∀ (m : ℕ), Prime m → m ∣ n → k ≤ m
h : ¬n < k * k
k2 : 2 ≤ k
k0 : 0 < k

⊢ n.MinSqFacProp (if k ∣ n then if k ∣ n / k then some k else (n / k).minSqFacAux (k + 2) else n.minSqFacAux (k + 2))
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n k : ℕ
n0 : 0 < n
i : ℕ
e : k = 2 * i + 3
ih : ∀ (m : ℕ), Prime m → m ∣ n → k ≤ m
h : ¬n < k * k
k2 : 2 ≤ k
k0 : 0 < k
IH : ∀ (n' : ℕ), n' ∣ n → ¬k ∣ n' → n'.MinSqFacProp (n'.minSqFacAux (k + 2))

⊢ n.MinSqFacProp (if k ∣ n then if k ∣ n / k then some k else (n / k).minSqFacAux (k + 2) else n.minSqFacAux (k + 2))
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n k : ℕ
n0 : 0 < n
i : ℕ
e : k = 2 * i + 3
ih : ∀ (m : ℕ), Prime m → m ∣ n → k ≤ m
h : ¬n < k * k
k2 : 2 ≤ k
k0 : 0 < k
IH : ∀ (n' : ℕ), n' ∣ n → ¬k ∣ n' → n'.MinSqFacProp (n'.minSqFacAux (k + 2))
pk : k ∣ n → Prime k

⊢ n.MinSqFacProp (if k ∣ n then if k ∣ n / k then some k else (n / k).minSqFacAux (k + 2) else n.minSqFacAux (k + 2))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)

⊢ UniformContinuous fun f => (ofFun 𝔖) (UniformFun.toFun f)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)

⊢ ∀ i ∈ 𝔖, ∀ i_2 ∈ 𝓤 β, ∃ i_4 ∈ 𝓤 β, ∀ ⦃x : (α →ᵤ β) × (α →ᵤ β)⦄, x ∈ UniformFun.gen α β i_4 → ((ofFun 𝔖) (UniformFun.toFun x.1), (ofFun 𝔖) (UniformFun.toFun x.2)) ∈ UniformOnFun.gen 𝔖 i i_2
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₂
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Finite κ
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq ι'

⊢ c.toMatrix ⇑c' * (toMatrix b' c') f * b'.toMatrix ⇑b = (toMatrix b c) f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₂
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Finite κ
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq ι'
val✝ : Fintype κ

⊢ c.toMatrix ⇑c' * (toMatrix b' c') f * b'.toMatrix ⇑b = (toMatrix b c) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (μ.withDensity (∑' (n : ι), f n)) s = (sum fun n => μ.withDensity (f n)) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (a : α) in s, tsum (fun n => f n) a ∂μ = ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α) in s, f i a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, tsum (fun n => f n) x ∂μ = ∑' (i : ι), ∫⁻ (x : α) in s, f i x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, tsum (fun n => f n) x ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, ∑' (i : ι), f i a ∂μ
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
h : p.degrees.Disjoint q.degrees

⊢ (p + q).degrees = p.degrees ∪ q.degrees
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
h : p.degrees.Disjoint q.degrees

⊢ (p + q).degrees ≤ p.degrees ∪ q.degrees