ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
n : ℕ
e : o.split' = (a, n)
snd_eq✝ : n = m
left✝ : a.NF
right✝ : o.repr = ω * a.repr + ↑n

⊢ ω ∣ (scale 1 a).repr
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
s : ℕ

⊢ (xgcd 0 s).1 = 0
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α✝ α : TypeVec.{u} n
p : Fix F α → Prop
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), LiftP (α.PredLast p) x → p (mk x)
x : (P F).W α

⊢ p (Quot.mk Setoid.r x)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α✝ α : TypeVec.{u} n
p : Fix F α → Prop
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), LiftP (α.PredLast p) x → p (mk x)
x : (P F).W α

⊢ ∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), (∀ (i : (P F).last.B a), p (Quot.mk Setoid.r (f i))) → p (Quot.mk Setoid.r ((P F).wMk a f' f))
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α✝ α : TypeVec.{u} n
p : Fix F α → Prop
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), LiftP (α.PredLast p) x → p (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), p (Quot.mk Setoid.r (f i))

⊢ p ⟦(P F).wMk a f' f⟧
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α✝ α : TypeVec.{u} n
p : Fix F α → Prop
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), LiftP (α.PredLast p) x → p (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), p (Quot.mk Setoid.r (f i))

⊢ p (mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩))
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α✝ α : TypeVec.{u} n
p : Fix F α → Prop
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), LiftP (α.PredLast p) x → p (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), p (Quot.mk Setoid.r (f i))

⊢ LiftP (α.PredLast p) (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α✝ α : TypeVec.{u} n
p : Fix F α → Prop
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), LiftP (α.PredLast p) x → p (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), p (Quot.mk Setoid.r (f i))

⊢ ∃ a_1 f_1, abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩ = abs ⟨a_1, f_1⟩ ∧ ∀ (i : Fin2 (n + 1)) (j : (P F).B a_1 i), α.PredLast p (f_1 i j)
-- Mathlib/Condensed/Light/Basic.lean
C : Type w
inst✝ : Category.{v, w} C
X Y : LightCondensed C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (S : LightProfiniteᵒᵖ), f.val.app S = g.val.app S

⊢ f = g
-- Mathlib/Condensed/Light/Basic.lean
C : Type w
inst✝ : Category.{v, w} C
X Y : LightCondensed C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (S : LightProfiniteᵒᵖ), f.val.app S = g.val.app S

⊢ f.val = g.val
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)

⊢ ∃ j, IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true

⊢ ∃ j, IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true

⊢ IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)))
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true

⊢ ∀ (y : Fin d), s y ∈ ↑(torsionBy R M (p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj))))
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
i : Fin d

⊢ p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)) • s i = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
i : Fin d
this : pOrder hM (s i) ≤ pOrder hM (s (oj.get hoj))

⊢ p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)) • s i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0

⊢ x⁻¹ = -((aeval x) p.divX / (algebraMap K L) (p.coeff 0))
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0

⊢ -((aeval x) p.divX / (algebraMap K L) (p.coeff 0)) = (aeval x) p.divX / ((aeval x) p - (algebraMap K L) (p.coeff 0))
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
h : (aeval x) p.divX = 0

⊢ (algebraMap K L) (p.coeff 0) = (algebraMap K L) 0
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
h : (aeval x) p.divX = 0

⊢ (algebraMap K L) (p.coeff 0) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
h : (aeval x) p.divX = 0

⊢ (algebraMap K L) (p.coeff 0) = (aeval x) p
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
h : (aeval x) p.divX = 0

⊢ (algebraMap K L) (p.coeff 0) = (aeval x) (p.divX * X + C (p.coeff 0))
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α

⊢ some ⁻¹' Ioo ↑a ⊤ = Ioi a
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type u
inst✝ : Semiring R
M : Mat R
i : ↑M

⊢ 𝟙 M i i = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x✝ y x : ℝ

⊢ logb b (-x) = logb b x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Finset β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ b ∈ s, AEMeasurable (f b) μ

⊢ ∫⁻ (a : α), ∑ b ∈ s, f b a ∂μ = ∑ b ∈ s, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ b ∈ ∅, AEMeasurable (f b) μ

⊢ ∫⁻ (a : α), ∑ b ∈ ∅, f b a ∂μ = ∑ b ∈ ∅, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : β → α → ℝ≥0∞
a : β
s : Finset β
has : a ∉ s
ih : (∀ b ∈ s, AEMeasurable (f b) μ) → ∫⁻ (a : α), ∑ b ∈ s, f b a ∂μ = ∑ b ∈ s, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
hf : ∀ b ∈ insert a s, AEMeasurable (f b) μ

⊢ ∫⁻ (a_1 : α), ∑ b ∈ insert a s, f b a_1 ∂μ = ∑ b ∈ insert a s, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r < 0

⊢ o.oangle x (r • y) = o.oangle x (-y)
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n : ℕ
p : (digits 10 n).Palindrome
h : Even (digits 10 n).length
dig : List ℤ := List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)

⊢ 11 ∣ n
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n : ℕ
p : (digits 10 n).Palindrome
dig : List ℤ := List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)
h : Even dig.length

⊢ 11 ∣ n
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n : ℕ
p : (digits 10 n).Palindrome
dig : List ℤ := List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)
h : Even dig.length

⊢ dig.alternatingSum = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n : ℕ
p : (digits 10 n).Palindrome
dig : List ℤ := List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)
h : Even dig.length
this : dig.reverse.alternatingSum = (-1) ^ (dig.length + 1) • dig.alternatingSum

⊢ dig.alternatingSum = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n : ℕ
p : (digits 10 n).Palindrome
dig : List ℤ := List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)
h : Even dig.length
this : (List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)).alternatingSum = -dig.alternatingSum

⊢ dig.alternatingSum = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrderIso.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a : α

⊢ ⇑e '' Iio a = Iio (e a)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b

⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ {a, b}), f i = f a * f b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b

⊢ a ∉ {b}
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b

⊢ {b}.Finite
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}

⊢ c < 1 ↔ c = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E

⊢ ‖a / b‖ = 0 ↔ a = b
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : ι → MeasurableSpace α
s : Set α

⊢ MeasurableSet s ↔ MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : ι → MeasurableSpace α
s : Set α

⊢ GenerateMeasurable {s | ∃ i, MeasurableSet s} s ↔ MeasurableSet s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hxyne : x ≠ y
hxzne : x ≠ z
hxy : ‖x‖ = ‖y‖
hxz : ‖x‖ = ‖z‖

⊢ o.oangle y z = 2 • o.oangle (y - x) (z - x)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hxyne : x ≠ y
hxzne : x ≠ z
hxy : ‖x‖ = ‖y‖
hxz : ‖x‖ = ‖z‖
hy : y ≠ 0

⊢ o.oangle y z = 2 • o.oangle (y - x) (z - x)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hxyne : x ≠ y
hxzne : x ≠ z
hxy : ‖x‖ = ‖y‖
hxz : ‖x‖ = ‖z‖
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0

⊢ o.oangle y z = 2 • o.oangle (y - x) (z - x)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hxyne : x ≠ y
hxzne : x ≠ z
hxy : ‖x‖ = ‖y‖
hxz : ‖x‖ = ‖z‖
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0

⊢ o.oangle y z = 2 • o.oangle (y - x) (z - x)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/PDeriv.lean
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
f : MvPolynomial σ R
n : ℕ

⊢ (pderiv i) (f ^ n) = ↑n * f ^ (n - 1) * (pderiv i) f
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ cos (-x) = cos x
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/MinMax.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α

⊢ |max a c - max b c| ≤ |a - b|
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hy : 0 < y

⊢ x ≤ log y ↔ rexp x ≤ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : y - ↑n ≠ 0

⊢ x ^ (y - ↑n) = x ^ y / x ^ n
-- Mathlib/Data/Finset/Density.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
h : a ∉ s

⊢ (cons a s h).dens = s.dens + (↑(Fintype.card α))⁻¹
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
l₁ l₂ : List M
h : l₁ <+ l₂

⊢ l₁.prod ∣ l₂.prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
l₁ l₂ : List M
h : l₁ <+ l₂
l : List M
hl : l₂ ~ l₁ ++ l

⊢ l₁.prod ∣ l₂.prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
l₁ l₂ : List M
h : l₁ <+ l₂
l : List M
hl : l₂ ~ l₁ ++ l

⊢ l₁.prod ∣ l₁.prod * l.prod
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
n m : ℤ√d

⊢ (n * m).norm = n.norm * m.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
n m : ℤ√d

⊢ (n.re * m.re + d * n.im * m.im) * (n.re * m.re + d * n.im * m.im) - d * (n.re * m.im + n.im * m.re) * (n.re * m.im + n.im * m.re) = (n.re * n.re - d * n.im * n.im) * (m.re * m.re - d * m.im * m.im)
-- Mathlib/Data/Finset/Grade.lean
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ IsCoatom s ↔ ∃ a, s = {a}ᶜ
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ : Ideal A
I : HomogeneousIdeal 𝒜

⊢ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I.toIdeal).toIdeal = I.toIdeal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_nontop : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hg_nontop : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ ⊤
hf_nonzero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ 0
hg_nonzero : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ 0
npf : ℝ≥0∞ := (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
nqg : ℝ≥0∞ := (∫⁻ (c : α), g c ^ q ∂μ) ^ (1 / q)

⊢ ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α

⊢ Tendsto (fun δ => (cthickening δ E).mulIndicator f) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α

⊢ ∀ (x : α), Tendsto (fun i => (cthickening i E).mulIndicator f x) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
x : α

⊢ Tendsto (fun i => (cthickening i E).mulIndicator f x) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
x : α

⊢ Tendsto (fun x_1 => (closure E).mulIndicator f x) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
f : L.Functions n
x : Fin n → M
y : M

⊢ (graph f).Realize (cons y x) ↔ funMap f x = y
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
f : L.Functions n
x : Fin n → M
y : M

⊢ (y = funMap f fun i => x i) ↔ funMap f x = y
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite

⊢ Set.range (nth p) = setOf p
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite

⊢ Set.range (Subtype.val ∘ ⇑(Subtype.orderIsoOfNat (setOf p))) = setOf p
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
this : Infinite ↑(setOf p)

⊢ Set.range (Subtype.val ∘ ⇑(Subtype.orderIsoOfNat (setOf p))) = setOf p
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f : w.StructuredArrowRightwards g

⊢ ((w.structuredArrowDownwards X₂).obj (StructuredArrow.mk f.hom.left)).hom ≫ B.map f.right.hom = (StructuredArrow.mk g).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.StructuredArrowRightwards g
φ : f₁ ⟶ f₂

⊢ f₁.hom.left ≫ T.map φ.right.left = f₂.hom.left
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.StructuredArrowRightwards g
φ : f₁ ⟶ f₂

⊢ f₁.hom.left ≫ T.map φ.right.left = (f₁.hom ≫ (w.costructuredArrowRightwards X₃).map φ.right).left
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.StructuredArrowRightwards g
φ : f₁ ⟶ f₂

⊢ ((w.structuredArrowDownwards X₂).map (StructuredArrow.homMk φ.right.left ⋯) ≫ ((fun f => CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk f.right.hom ⋯)) f₂).hom).right = ((fun f => CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk f.right.hom ⋯)) f₁).hom.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Presieve X

⊢ functorPushforward (F ⋙ G) R = functorPushforward G (functorPushforward F R)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Presieve X
x : E

⊢ functorPushforward (F ⋙ G) R = functorPushforward G (functorPushforward F R)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z Z' : C
f : Z ⟶ Z'

⊢ (X ⊗ Y) ◁ f = (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ Y ◁ f ≫ (α_ X Y Z').inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z Z' : C
f : Z ⟶ Z'

⊢ 𝟙 (X ⊗ Y) ⊗ f = (α_ X Y Z).hom ≫ (𝟙 X ⊗ 𝟙 Y ⊗ f) ≫ (α_ X Y Z').inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z Z' : C
f : Z ⟶ Z'

⊢ 𝟙 (X ⊗ Y) ⊗ f = (((𝟙 X ⊗ 𝟙 Y) ⊗ f) ≫ (α_ X Y Z').hom) ≫ (α_ X Y Z').inv
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ

⊢ D k ⊥ = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ

⊢ D k ⊥ ≤ ⊥
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
t : Set α
p : Set α → Prop

⊢ (∃ s, p (val '' s)) ↔ ∃ s ⊆ t, p s
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P

⊢ vectorSpan k ∅ = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c a b : G

⊢ a⁻¹ * (a * b) = b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
inst✝ : μ.InnerRegular

⊢ (∃ K, IsCompact K ∧ μ K ≠ 0) ↔ μ ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIcoMod hp 0 (a - b) = p - toIocMod hp 0 (b - a)
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
hd : AddLECancellable d
hba : b ≤ a
hdc : d ≤ c

⊢ a - b + (c - d) = a + c - (b + d)
-- Mathlib/Topology/Partial.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X →. Y
h : PContinuous f

⊢ IsOpen f.Dom
-- Mathlib/Topology/Partial.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X →. Y
h : PContinuous f

⊢ IsOpen (f.preimage Set.univ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Pasting.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
g' : Z ⟶ W
inst✝² : HasPushout f g
inst✝¹ : HasPushout (pushout.inr f g) g'
inst✝ : HasPushout f (g ≫ g')

⊢ pushout.inl f g ≫ pushout.inl (pushout.inr f g) g' ≫ (pushoutLeftPushoutInrIso f g g').hom = pushout.inl f (g ≫ g')
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
P Q R : C
f✝ f' : P ⟶ Q
g✝ g' : Q ⟶ R
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
hc : IsColimit c
h : IsZero c.pt
R✝ : C
g : Y ⟶ R✝
hg : f ≫ g = 0
a : c.pt ⟶ R✝
ha : Cofork.π c ≫ a = g

⊢ g = 0