ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ f : σ → MvPolynomial τ R
p : MvPolynomial σ R

⊢ (aeval id) ((rename f) p) = (aeval f) p
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
c : R

⊢ 0 ≤ c * a * star c
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ sin (-x) = -sin x
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
hx : (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x

⊢ s.Infinite
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
hx : (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite

⊢ 𝓝[≠] x = ⊥
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
hx : (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite

⊢ IsOpen {x}
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : ZeroHomClass F α α₂
f : F

⊢ mapDomain (⇑f) 1 = 1
-- Mathlib/Data/Complex/FiniteDimensional.lean

⊢ Module.rank ℝ ℂ = 2
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α r
s t u : Multiset α
r1 : Rel r s t
r2 : Rel r t u

⊢ Rel r s u
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α r
s u : Multiset α
r1 : Rel r s 0
r2 : Rel r 0 u

⊢ Rel r s u
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α r
x : α
t : Multiset α
ih : ∀ {s u : Multiset α}, Rel r s t → Rel r t u → Rel r s u
s u : Multiset α
r1 : Rel r s (x ::ₘ t)
r2 : Rel r (x ::ₘ t) u

⊢ Rel r s u
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p

⊢ Memℓp (star f) p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f 0

⊢ Memℓp (star f) 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ⊤

⊢ Memℓp (star f) ⊤
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hp : 0 < p.toReal

⊢ Memℓp (star f) p
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ

⊢ (↑(n + 1)).toZNum = ZNum.ofInt' ↑(n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Tower.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Nontrivial B
x : σ → A
p : MvPolynomial σ R

⊢ (aeval (⇑(algebraMap A B) ∘ x)) p = 0 ↔ (aeval x) p = 0
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : GroupWithZero α
s t : Set α
hs : s.Nonempty

⊢ 0 ⊆ 0 / s
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hba : b₂ < b₁
hdc : d < a

⊢ b₁ • d + b₂ • a < b₁ • a + b₂ • d
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hba : b₂ < b₁
hdc : d < a

⊢ b₂ • a + b₁ • d < b₂ • d + b₁ • a
-- Mathlib/Topology/Instances/Real.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
a✝ b✝ : ℝ
h : dist a✝ b✝ < ε

⊢ dist (-a✝) (-b✝) < ε
-- Mathlib/Topology/Instances/Real.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
a✝ b✝ : ℝ
h : dist b✝ a✝ < ε

⊢ dist (-a✝) (-b✝) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
ha : 1 < a

⊢ a ^ n < a ^ n.succ
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
ha : 1 < a

⊢ 1 * a ^ n < a * a ^ n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β

⊢ Isometry f ↔ ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) = dist x y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
s : Set α
hs : s ∈ {s | IsPreconnected s}

⊢ s ∈ range (uncurry Icc) ∪ range (uncurry Ico) ∪ range (uncurry Ioc) ∪ range (uncurry Ioo) ∪ (range Ici ∪ range Ioi ∪ range Iic ∪ range Iio ∪ {univ, ∅})
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : Semifield R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0
n : ℤ
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ cfcUnits f a hf' hf ha ^ n = cfcUnits (f ^ n) a ⋯ ⋯ ha
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
x : α × β

⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (fun x_1 => f (x_1, x.2)) x.1
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
x : α × β

⊢ ContinuousWithinAt f univ x ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x_1, x.2)) univ x.1
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

⊢ (algebraMap (𝓞 K) K) hζ.integralPowerBasis.gen = ↑hζ.toInteger
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

⊢ (algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.adjoinEquivRingOfIntegers ⟨ζ, ⋯⟩) = ↑hζ.toInteger
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

⊢ (algebraMap (↥(adjoin ℤ {ζ})) K) ⟨ζ, ⋯⟩ = ζ
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/InjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
I : InjectiveResolution Z
n : ℕ

⊢ (ComplexShape.up ℕ).next (n + 1) = n + 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/InjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
I : InjectiveResolution Z
n : ℕ

⊢ n + 1 + 1 = n + 2
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/ConvergentsEquiv.lean
K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
s : Stream'.Seq (Pair K)
inst✝ : DivisionRing K

⊢ g.convs' (n + 1) = (g.squashGCF n).convs' n
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Defs.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hA : A.Subsingleton
_x₁ _y₁ _x₂ _y₂ : G
hxyd : IsCorner A _x₁ _y₁ _x₂ _y₂

⊢ _x₁ = _x₂
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
p q r : ℕ+

⊢ sumInv {p, q, r} = (↑↑p)⁻¹ + (↑↑q)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G

⊢ a / c * (b * c) = a * b
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

⊢ ‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + y - z‖ * ‖x + y - z‖ = ‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖ + (‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ - ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

⊢ (‖2 • x + y‖ * ‖2 • x + y‖ + ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖) / 2 - ‖x - z‖ * ‖x - z‖ - ((‖2 • x + y‖ * ‖2 • x + y‖ + ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2 - ‖x + z‖ * ‖x + z‖) = ‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖ + (‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ - ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Basic.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ : Triangle C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
T' : Triangle C
φ : (j : J) → T' ⟶ T j

⊢ T'.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => (φ j).hom₁) = (Pi.lift fun j => (φ j).hom₃) ≫ (Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫ inv (piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Basic.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ : Triangle C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
T' : Triangle C
φ : (j : J) → T' ⟶ T j

⊢ (T'.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => (φ j).hom₁) ≫ piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁) = (Pi.lift fun j => (φ j).hom₃) ≫ Pi.map fun j => (T j).mor₃
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Integral.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi c, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in Iic (-c), f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Integral.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E

⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic (-c), f (- -x) = ∫ (x : ℝ) in Iic (- - -c), f x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivation.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
f g : R[X]

⊢ { toFun := ⇑derivative, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } (f * g) = f • { toFun := ⇑derivative, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } g + g • { toFun := ⇑derivative, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } f
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/MinMax.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α

⊢ max (a / b) (a / c) = a / min b c
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X : C
n : ℕ
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
α : ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n), map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj X✝)

⊢ Ext.comp α (Ext.mk₀ (f ≫ f')) ⋯ = (Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X : C
n : ℕ
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
α : ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n), map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj X✝)

⊢ Ext.comp α ((Ext.mk₀ f).comp (Ext.mk₀ f') ⋯) ⋯ = (Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X : C
n : ℕ
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
α : ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n), map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj X✝)

⊢ (Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯ = Ext.comp α ((Ext.mk₀ f).comp (Ext.mk₀ f') ⋯) ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X : C
n : ℕ
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
α : ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n), map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj X✝)

⊢ n + 0 + 0 = n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ

⊢ a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : ¬Prime p

⊢ a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p

⊢ a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b m n p✝ a p : ℕ
pp : Prime p
hab : a ∣ 0

⊢ a / p ^ a.factorization p ∣ 0 / p ^ (factorization 0) p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0

⊢ a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b✝ m n p✝ b p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
hab : 0 ∣ b

⊢ 0 / p ^ (factorization 0) p ∣ b / p ^ b.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0

⊢ a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0

⊢ a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
hb : b / p ^ b.factorization p ≠ 0

⊢ a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
hb : b / p ^ b.factorization p ≠ 0

⊢ Finsupp.erase p a.factorization ≤ Finsupp.erase p b.factorization
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
hb : b / p ^ b.factorization p ≠ 0
q : ℕ

⊢ (Finsupp.erase p a.factorization) q ≤ (Finsupp.erase p b.factorization) q
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
hab : a ∣ b
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
q : ℕ
pp : Prime q
ha : a / q ^ a.factorization q ≠ 0
hb : b / q ^ b.factorization q ≠ 0

⊢ (Finsupp.erase q a.factorization) q ≤ (Finsupp.erase q b.factorization) q
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
hb : b / p ^ b.factorization p ≠ 0
q : ℕ
hqp : q ≠ p

⊢ (Finsupp.erase p a.factorization) q ≤ (Finsupp.erase p b.factorization) q
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
hb : b / p ^ b.factorization p ≠ 0
q : ℕ
hqp : q ≠ p

⊢ a.factorization q ≤ b.factorization q
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
g : ℂ → E
hfd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hgd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}
hfexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hgexp : ∃ c < 2, ∃ B, g =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x - g ↑x‖
hfim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hgim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖g (↑x * I)‖ ≤ C

⊢ EqOn f g {z | 0 ≤ z.re}
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
g : ℂ → E
hfd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hgd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}
hfexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hgexp : ∃ c < 2, ∃ B, g =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x - g ↑x‖
hfim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hgim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖g (↑x * I)‖ ≤ C

⊢ EqOn (f - g) 0 {z | 0 ≤ z.re}
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
g : ℂ → E
hfd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hgd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}
hfexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hgexp : ∃ c < 2, ∃ B, g =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x - g ↑x‖
hfim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hgim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖g (↑x * I)‖ ≤ C

⊢ ∃ c < 2, ∃ B, (f - g) =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
g : ℂ → E
hfd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hgd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}
hfexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hgexp : ∃ c < 2, ∃ B, g =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x - g ↑x‖
hfim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hgim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖g (↑x * I)‖ ≤ C

⊢ ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖(f - g) (↑x * I)‖ ≤ C
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
f g : α → List β
a : α
l : List α
IH : l.bind f ++ l.bind g ~ l.bind fun x => f x ++ g x

⊢ (a :: l).bind f ++ (a :: l).bind g ~ (a :: l).bind fun x => f x ++ g x
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
f g : α → List β
a : α
l : List α
IH : l.bind f ++ l.bind g ~ l.bind fun x => f x ++ g x

⊢ f a ++ (l.bind f ++ (g a ++ l.bind g)) ~ f a ++ (g a ++ l.bind fun x => f x ++ g x)
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
f g : α → List β
a : α
l : List α
IH : l.bind f ++ l.bind g ~ l.bind fun x => f x ++ g x

⊢ l.bind f ++ (g a ++ l.bind g) ~ g a ++ (l.bind f ++ l.bind g)
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
f g : α → List β
a : α
l : List α
IH : l.bind f ++ l.bind g ~ l.bind fun x => f x ++ g x

⊢ l.bind f ++ g a ++ l.bind g ~ g a ++ l.bind f ++ l.bind g
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Chebyshev.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
x : A
n : ℤ

⊢ (aeval x) (T R n) = eval x (T A n)
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hx : orderOf x ≠ 0
hn : n ∣ orderOf x

⊢ orderOf (x ^ (orderOf x / n)) = n
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hx : orderOf x ≠ 0
hn : n ∣ orderOf x

⊢ orderOf x / n ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hx : orderOf x / n * n ≠ 0
hn : n ∣ orderOf x

⊢ orderOf x / n ≠ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T

⊢ desc f g = fst ≫ f + snd ≫ g
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}

⊢ o.blsub f ≤ a ↔ ∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h < a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
a✝ : Ordinal.{u}

⊢ (∀ (h : a✝ < o), f a✝ h < a) ↔ ∀ (h : a✝ < o), succ (f a✝ h) ≤ a
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
i : ℕ

⊢ approx (⇑f) i ≤ approx (⇑f) i.succ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

⊢ ∃ C, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ a
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a a)

⊢ ∃ C, ∀ x ∈ Icc a a, ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a a) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
h : a < b

⊢ ∃ C, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
h : a < b
g : ℝ → ℝ := fun y => ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖

⊢ ∃ C, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
h : a < b
g : ℝ → ℝ := fun y => ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖

⊢ ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ sSup (g '' Icc a b) / ↑n ! * (x - a) ^ (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
h : a < b
g : ℝ → ℝ := fun y => ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b

⊢ ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ sSup (g '' Icc a b) / ↑n ! * (x - a) ^ (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
h : a < b
g : ℝ → ℝ := fun y => ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b

⊢ ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ sSup (g '' Icc a b) * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !