ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f

⊢ ((map f) p).support = p.support
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f

⊢ ((map f) p).support ⊆ p.support
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f

⊢ p.support ⊆ ((map f) p).support
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : x ∈ p.support

⊢ x ∈ ((map f) p).support
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : x ∈ p.support

⊢ coeff x ((map f) p) ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : coeff x ((map f) p) = 0

⊢ x ∉ p.support
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : coeff x ((map f) p) = 0

⊢ coeff x p = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : f (coeff x p) = f 0

⊢ coeff x p = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hyz : f y < f (a • x + b • y)

⊢ f (a • x + b • y) < f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
ι : Type u_5
inst✝ : Unique ι
A : Matrix m m α
hA : IsUnit A.det
u v : m → α

⊢ (A + col ι u * row ι v).det = A.det * (1 + row ι v * A⁻¹ * col ι u).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
ι : Type u_5
inst✝ : Unique ι
A : Matrix m m α
hA : IsUnit A.det
u v : m → α

⊢ (A * 1 + col ι u * row ι v).det = A.det * (1 + row ι v * A⁻¹ * col ι u).det
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddZeroClass M
a : α
f f' : α →₀ M
s : α
hs : ¬s = a

⊢ (erase a (f + f')) s = (erase a f + erase a f') s
-- Mathlib/Algebra/Order/AbsoluteValue.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : OrderedCommRing S
inst✝¹ : Ring R
abv : AbsoluteValue R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
a b : R

⊢ abv (a - b) ≤ abv a + abv b
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Pullback.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.19934, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ a₃ : A
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : B
h₁ : b₁ = φ a₁
h₂ : b₂ = φ a₂
h₃ : b₃ = φ a₃

⊢ b₁ + b₂ = b₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Pullback.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ a₃ : A
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : B
h₁ : b₁ = φ a₁
h₂ : b₂ = φ a₂
h₃ : b₃ = φ a₃

⊢ (shiftFunctorAdd' (PullbackShift C φ) a₁ a₂ a₃ h).hom.app X = (pullbackShiftIso C φ a₃ b₃ h₃).hom.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).hom.app X ≫ (pullbackShiftIso C φ a₂ b₂ h₂).inv.app ((shiftFunctor C b₁).obj X) ≫ (shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₂).map ((pullbackShiftIso C φ a₁ b₁ h₁).inv.app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Pullback.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ a₃ : A
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : B
h₁ : b₁ = φ a₁
h₂ : b₂ = φ a₂
h₃ : b₃ = φ a₃

⊢ 𝟙 ((shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₁ ⋙ shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₂).obj X) = 𝟙 ((shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₂).obj ((shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₁).obj X))
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0

⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ Tendsto f l atBot
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
S : Set E

⊢ IsPurelyInseparable F ↥(adjoin F S) ↔ ∀ x ∈ S, ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ

⊢ Irrational (x - ↑m)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Basic.lean
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : MonCat
A : Action V G

⊢ A.ρ 1 = 𝟙 A.V
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Basic.lean
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : MonCat
A : Action V G

⊢ 1 = 𝟙 A.V
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
a b : α
x✝ : typein r a < typein r b
f : Subrel r {b | r b a} ≺i Subrel r {b_1 | r b_1 b}

⊢ r a b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
a b : α
x✝ : typein r a < typein r b
f : Subrel r {b | r b a} ≺i Subrel r {b_1 | r b_1 b}
this : ↑f.top = a

⊢ r a b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
a b : α
x✝ : typein r a < typein r b
f : Subrel r {b | r b a} ≺i Subrel r {b_1 | r b_1 b}
this : ↑f.top = a

⊢ r (↑f.top) b
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F

⊢ ker f = ⊥ ↔ ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h : s ⊆ closedBall x r
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s

⊢ r + r = 2 * r
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ↥(selfAdjoint ℂ)

⊢ ↑(selfAdjointEquiv z) = ↑z
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R

⊢ seminormFromBounded' f x ≤ c * f x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x y : R

⊢ f (x * y) / f y ≤ c * f x
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m n k : ℕ
h : n ≤ k
i : Fin k
hi : i ∈ Set.range (castLE h)

⊢ ↑((Equiv.ofInjective (castLE h) ⋯).symm ⟨i, hi⟩) = ↑i
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m n k : ℕ
h : n ≤ k
i : Fin k
hi : i ∈ Set.range (castLE h)

⊢ ↑(castLE h ((Equiv.ofInjective (castLE h) ⋯).symm ⟨i, hi⟩)) = ↑i
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ ≠ 1

⊢ StrictConvexSpace ℝ E
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ ≠ 1

⊢ (closedBall 0 1 \ interior (closedBall 0 1)).Pairwise fun x y => ([x-[ℝ]y] \ frontier (closedBall 0 1)).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ ≠ 1

⊢ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ = 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ([x-[ℝ]y] \ sphere 0 1).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ ≠ 1
x : E
hx : ‖x‖ = 1
y : E
hy : ‖y‖ = 1
hne : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hne' : ‖a • x + b • y‖ ≠ 1

⊢ ([x-[ℝ]y] \ sphere 0 1).Nonempty
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Polynomial.lean
σ : Type u_1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : MvPolynomial σ (ZMod p)

⊢ (frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) f = (expand p) f
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Polynomial.lean
σ : Type u_1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : MvPolynomial σ (ZMod p)

⊢ ∀ (a : ZMod p), (frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) (C a) = (expand p) (C a)
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Polynomial.lean
σ : Type u_1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : MvPolynomial σ (ZMod p)

⊢ ∀ (p_1 q : MvPolynomial σ (ZMod p)), (frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) p_1 = (expand p) p_1 → (frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) q = (expand p) q → (frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) (p_1 + q) = (expand p) (p_1 + q)
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Polynomial.lean
σ : Type u_1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : MvPolynomial σ (ZMod p)

⊢ ∀ (p_1 : MvPolynomial σ (ZMod p)) (n : σ), (frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) p_1 = (expand p) p_1 → (frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) (p_1 * X n) = (expand p) (p_1 * X n)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/BigOperators.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
inst✝ : Fintype ι
S : ι → Set α

⊢ (fun f => ∏ i : ι, f i) '' univ.pi S = ∏ i : ι, S i
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
d : D

⊢ L₂.map (((mateEquiv adj₁ adj₂) α).app d) ≫ adj₂.counit.app (H.obj d) = α.app (R₁.obj d) ≫ H.map (adj₁.counit.app d)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
d : D

⊢ (L₂.map ((whiskerLeft (R₁ ⋙ G) adj₂.unit).app d) ≫ L₂.map ((whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₂ ≫ whiskerRight adj₁.counit (H ⋙ R₂)).app d)) ≫ adj₂.counit.app (H.obj d) = α.app (R₁.obj d) ≫ H.map (adj₁.counit.app d)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S T : Submonoid M

⊢ ∀ {x : M}, x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S T : Submonoid M

⊢ T ≤ S ⊔ T
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ

⊢ μ n = 0 ∨ μ n = 1 ∨ μ n = -1
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ

⊢ (if Squarefree n then (-1) ^ Ω n else 0) = 0 ∨ (if Squarefree n then (-1) ^ Ω n else 0) = 1 ∨ (if Squarefree n then (-1) ^ Ω n else 0) = -1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M

⊢ IsOpen (support ↑f)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M

⊢ IsOpen ((chartAt H c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : cokernel.π f = 0

⊢ Epi f
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : cokernel.π f = 0

⊢ IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z

⊢ (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
this : -(((-f) z - (-f) y) / (z - y)) < -(((-f) y - (-f) x) / (y - x))

⊢ (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)

⊢ (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : LocallyCompactSpace E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H

⊢ LocallyCompactSpace H
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : LocallyCompactSpace E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
this : ∀ (x : H), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (↑I x) ∧ IsCompact s) fun s => ↑I.symm '' (s ∩ range ↑I)

⊢ LocallyCompactSpace H
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : LocallyCompactSpace E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
this : ∀ (x : H), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (↑I x) ∧ IsCompact s) fun s => ↑I.symm '' (s ∩ range ↑I)

⊢ ∀ (x : H) (i : Set E), i ∈ 𝓝 (↑I x) ∧ IsCompact i → IsCompact (↑I.symm '' (i ∩ range ↑I))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : LocallyCompactSpace E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
this : ∀ (x : H), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (↑I x) ∧ IsCompact s) fun s => ↑I.symm '' (s ∩ range ↑I)
x : H
s : Set E
hsc : IsCompact s

⊢ IsCompact (↑I.symm '' (s ∩ range ↑I))
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ ψ : R⟦X⟧
h : ∀ (n : ℕ), (coeff R n) φ = (coeff R n) ψ
n : Unit →₀ ℕ

⊢ (MvPowerSeries.coeff R n) φ = (MvPowerSeries.coeff R n) ψ
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ ψ : R⟦X⟧
h : ∀ (n : ℕ), (coeff R n) φ = (coeff R n) ψ
n : Unit →₀ ℕ

⊢ (coeff R ?m.10640) φ = (coeff R ?m.10640) ψ
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ ψ : R⟦X⟧
h : ∀ (n : ℕ), (coeff R n) φ = (coeff R n) ψ
n : Unit →₀ ℕ

⊢ n () = ?m.10640
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ ψ : R⟦X⟧
h : ∀ (n : ℕ), (coeff R n) φ = (coeff R n) ψ
n : Unit →₀ ℕ

⊢ ℕ
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
g : N →* P
f : M →* N

⊢ map g (mrange f) = mrange (g.comp f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z

⊢ (whiskerRight (M.whiskerLeft f) P).hom = ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ M.whiskerLeft (whiskerRight f P) ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N' P, inv := AssociatorBimod.inv M N' P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z

⊢ coequalizer.π ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ P.X) ((α_ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X Y.X P.X).hom ≫ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ P.actLeft) ≫ (whiskerRight (M.whiskerLeft f) P).hom = coequalizer.π ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ P.X) ((α_ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X Y.X P.X).hom ≫ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ P.actLeft) ≫ ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ M.whiskerLeft (whiskerRight f P) ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N' P, inv := AssociatorBimod.inv M N' P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z

⊢ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫ AssociatorBimod.hom M N P ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P) ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯) ≫ AssociatorBimod.inv M N' P