ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Curry.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
k l : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
x y : G

⊢ ((curryFinFinset 𝕜 G G' hk hl).symm ((curryFinFinset 𝕜 G G' hk hl) f)) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y) = f (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A

⊢ mrange (inl M N) = ⊤.prod ⊥
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝ : CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ

⊢ h.zmodEquivZPowers.symm (Additive.ofMul ⟨ζ ^ i, ⋯⟩) = ↑i
-- Mathlib/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
r : α → α → Prop
hr : Reflexive r
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b

⊢ Pairwise r l
-- Mathlib/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
r : α → α → Prop
hr : Reflexive r
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b

⊢ ∀ {a b : α}, [a, b] <+ l → r a b
-- Mathlib/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ l : List α
r : α → α → Prop
hr : Reflexive r
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b
a b : α
hab : [a, b] <+ l

⊢ r a b
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ

⊢ (map Neg.neg s).esymm k = (-1) ^ k * s.esymm k
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ

⊢ ∀ x ∈ powersetCard k s, (prod ∘ map Neg.neg) x = (-1) ^ k * x.prod
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
x : Multiset R
hx : x ∈ powersetCard k s

⊢ (prod ∘ map Neg.neg) x = (-1) ^ k * x.prod
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
x : Multiset R
hx : x ∈ powersetCard k s

⊢ (prod ∘ map Neg.neg) x = (map (Function.const R (-1)) x).prod * x.prod
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
x : Multiset R
hx : x ∈ powersetCard k s

⊢ (prod ∘ map Neg.neg) x = (map (Function.const R (-1)) x).prod * (map (fun x => x) x).prod
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
x : Multiset R
hx : x ∈ powersetCard k s

⊢ ∀ x_1 ∈ x, Function.const R (-1) x_1 * x_1 = -x_1
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
ht : t.Nonempty

⊢ s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t ↔ s = s₁
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
ht : t.Nonempty

⊢ s = ∅ ∧ s₁ = ∅ → s = s₁
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
k : α
h : IsCompactElement k
b : α
hbk : b ∈ Iic k

⊢ ⟨b, hbk⟩ = ⊤ ∨ ∃ a, IsCoatom a ∧ ⟨b, hbk⟩ ≤ a
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
b : α
h : IsCompactElement b
hbk : b ∈ Iic b

⊢ ⟨b, hbk⟩ = ⊤ ∨ ∃ a, IsCoatom a ∧ ⟨b, hbk⟩ ≤ a
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
k : α
h : IsCompactElement k
b : α
hbk : b ∈ Iic k
H : b ≠ k

⊢ ⟨b, hbk⟩ = ⊤ ∨ ∃ a, IsCoatom a ∧ ⟨b, hbk⟩ ≤ a
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
k : α
h : IsCompactElement k
b : α
hbk : b ∈ Iic k
H : b ≠ k

⊢ ∃ a, IsCoatom a ∧ ⟨b, hbk⟩ ≤ a
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
k : α
h✝ : IsCompactElement k
b : α
hbk : b ∈ Iic k
H : b ≠ k
a : α
a₀ : a ∈ Iio k
ba : b ≤ a
h : ∀ z ∈ Iio k, a ≤ z → z = a

⊢ ∃ a, IsCoatom a ∧ ⟨b, hbk⟩ ≤ a
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
k : α
h : IsCompactElement k
b : α
hbk : b ∈ Iic k
H : b ≠ k

⊢ ∀ c ⊆ Iio k, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ Iio k, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A

⊢ ↑((Units.map ↑φ) E.Δ') = (E.map φ).Δ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A

⊢ ↑φ E.Δ = φ E.Δ
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
z : A
v : V

⊢ (algebraMap A (CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q))) z * (ofBaseChangeAux A Q) ((ι Q) v) = (ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (z ⊗ₜ[R] v)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : S
x : M
a : S
h : a • x = 0

⊢ s • ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ torsion' R M S
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : S
x : M
a : S
h : a • x = 0

⊢ a • s • ↑⟨x, ⋯⟩ = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : S
x : M
a : S
h : a • x = 0

⊢ a • s • x = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
y : ℝ

⊢ x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞

⊢ x⁻¹ ^ 0 = (x ^ 0)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : y ≠ 0

⊢ x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : y < 0 ∨ 0 < y

⊢ x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
y : ℝ
hy : y < 0 ∨ 0 < y

⊢ 0⁻¹ ^ y = (0 ^ y)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : y < 0 ∨ 0 < y
h0 : x ≠ 0

⊢ x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
y : ℝ
hy : y < 0 ∨ 0 < y
h0 : ⊤ ≠ 0

⊢ ⊤⁻¹ ^ y = (⊤ ^ y)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : y < 0 ∨ 0 < y
h0 : x ≠ 0
h_top : x ≠ ⊤

⊢ x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : y < 0 ∨ 0 < y
h0 : x ≠ 0
h_top : x ≠ ⊤

⊢ x⁻¹ ^ y * x ^ y = 1
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
b : B
x : E b

⊢ { proj := b, snd := x } ∈ (a.pretrivializationAt b).source
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
b : B
x : E b

⊢ b ∈ (a.pretrivializationAt b).baseSet
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/T0Sierpinski.lean
X : Type u_1
t : TopologicalSpace X

⊢ t = ⨅ u, induced (fun x => x ∈ u) sierpinskiSpace
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/T0Sierpinski.lean
X : Type u_1
t : TopologicalSpace X

⊢ t ≤ ⨅ u, induced (fun x => x ∈ u) sierpinskiSpace
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/T0Sierpinski.lean
X : Type u_1
t : TopologicalSpace X

⊢ ⨅ u, induced (fun x => x ∈ u) sierpinskiSpace ≤ t
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
c : CokernelCofork S.f
hc : IsColimit c

⊢ (ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).f' = S.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
c : CokernelCofork S.f
hc : IsColimit c

⊢ S.f = S.f ≫ 𝟙 S.X₂
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Mul α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α

⊢ (equivShrink α).symm (x * y) = (equivShrink α).symm x * (equivShrink α).symm y
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Mul α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α

⊢ (equivShrink α).symm ((equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm x * (equivShrink α).symm y)) = (equivShrink α).symm x * (equivShrink α).symm y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
x : E

⊢ x ∈ closure {1} ↔ ‖x‖ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Subalgebra.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S

⊢ Function.Surjective ⇑(A.mulMap' B)
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝² : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
L' : Language
inst✝¹ : L'.Structure M
φ : L →ᴸ L'
inst✝ : φ.IsExpansionOn M
ψ : L[[↑A]].Formula α
x : α → M

⊢ x ∈ setOf ψ.Realize ↔ x ∈ setOf ((LHom.addConstants (↑A) φ).onFormula ψ).Realize
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
y : F
x : E
h : (x, y) ∈ f.graph

⊢ y ∈ Set.range ↑f
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
y : F
x : E
h : ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).1 ∧ ↑f y_1 = (x, y).2

⊢ y ∈ Set.range ↑f
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
y : F
x✝ : E
x : ↥f.domain
h : ↑x = (x✝, y).1 ∧ ↑f x = (x✝, y).2

⊢ y ∈ Set.range ↑f
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
y : F
x✝ : E
x : ↥f.domain
h : ↑x = (x✝, y).1 ∧ ↑f x = (x✝, y).2

⊢ ∃ y_1, ↑f y_1 = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
y : F
x✝ : E
x : ↥f.domain
h : ↑x = (x✝, y).1 ∧ ↑f x = (x✝, y).2

⊢ ↑f x = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
y : F
x✝ : E
x : ↥f.domain
h : ↑x = x✝ ∧ ↑f x = y

⊢ ↑f x = y
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
Q : R[T;T⁻¹] → Prop
Qf : ∀ (f : R[X]), Q (toLaurent f)
QT : ∀ (f : R[T;T⁻¹]), Q (f * T 1) → Q f

⊢ Q f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
Q : R[T;T⁻¹] → Prop
Qf : ∀ (f : R[X]), Q (toLaurent f)
QT : ∀ (f : R[T;T⁻¹]), Q (f * T 1) → Q f
f : R[X]
n : ℕ

⊢ Q (toLaurent f * T (-↑n))
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → α
hf : ∀ (a : α) (b c : β), f (f a b) c = f (f a c) b
a : α
b : β
l : List β

⊢ foldl f a (b :: l) = foldr (flip f) a (b :: l)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → α
hf : ∀ (a : α) (b c : β), f (f a b) c = f (f a c) b
a : α
b : β
l : List β

⊢ f (foldr (flip f) a l) b = flip f b (foldr (flip f) a l)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝¹ t : Set α
f : ι → Filter α
s s✝ : Set α

⊢ s✝ ∈ ⨆ i, f i ⊓ 𝓟 s ↔ s✝ ∈ (⨆ i, f i) ⊓ 𝓟 s
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ

⊢ Irrational (↑n / x) ↔ n ≠ 0 ∧ Irrational x
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G✝ : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MulAction M α
E : Type u_11
F : Type u_12
G : Type u_13
inst✝³ : Monoid E
inst✝² : Monoid F
inst✝¹ : MulAction F G
inst✝ : IsPretransitive F G
f : E →* F
hf : Surjective ⇑f
x✝ : MulAction E G := compHom G f
x y : G

⊢ ∃ g, g • x = y
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G✝ : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MulAction M α
E : Type u_11
F : Type u_12
G : Type u_13
inst✝³ : Monoid E
inst✝² : Monoid F
inst✝¹ : MulAction F G
inst✝ : IsPretransitive F G
f : E →* F
hf : Surjective ⇑f
x✝ : MulAction E G := compHom G f
x : G
m : F

⊢ ∃ g, g • x = m • x
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
l : List α

⊢ span p l = (takeWhile p l, dropWhile p l)
-- Mathlib/Topology/Bornology/BoundedOperation.lean
R : Type u_1
inst✝ : SeminormedAddCommGroup R

⊢ LipschitzWith 2 fun p => p.1 - p.2
-- Mathlib/Topology/Bornology/BoundedOperation.lean
R : Type u_1
inst✝ : SeminormedAddCommGroup R

⊢ 2 = 1 + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
s : Set α

⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ ∀ (i : ι), (μ i) t = (μ i) s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Tripartite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a✝ a'✝ : α
b✝ b'✝ : β
c✝ c'✝ : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
x✝¹ x✝ : α × β × γ
a : α
b : β
c : γ
a' : α
b' : β
c' : γ

⊢ (fun x => {in₀ x.1, in₁ x.2.1, in₂ x.2.2}) (a, b, c) = (fun x => {in₀ x.1, in₁ x.2.1, in₂ x.2.2}) (a', b', c') → (a, b, c) = (a', b', c')
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Ab.lean
S : ShortComplex Ab
x : ↥(AddMonoidHom.ker S.g)

⊢ S.iCycles (S.abLeftHomologyData.cyclesIso.inv x) = ↑x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Ab.lean
S : ShortComplex Ab
x : ↥(AddMonoidHom.ker S.g)

⊢ S.abLeftHomologyData.i x = ↑x
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup A
s : Set G
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : MulDistribMulAction α G
P H : Subgroup G
hP : P ≤ H
h : ↥H
g : G
hg : g ∈ ↑P

⊢ ((MulDistribMulAction.toMonoidEnd (MulAut G) G) (MulAut.conj ↑h)) g ∈ H
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
h : a ≠ 0
H : Summable fun i => f i * a

⊢ Summable f
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
x : OreLocalization S X

⊢ (r • 1) • x = r • x
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
r' : X
s : ↥S

⊢ (r • 1) • (r' /ₒ s) = r • (r' /ₒ s)
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
m : M
a : α
n : ℕ

⊢ IsPeriodicPt (fun x => m • x) n a ↔ m ^ n • a = a
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x y : R
h : Commute x y

⊢ (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x y : R
h : Commute x y
r : R
hr : (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p + ↑p * r

⊢ (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c w : ℂ
R : ℝ

⊢ CircleIntegrable (fun z => (z - w)⁻¹) c R ↔ R = 0 ∨ w ∉ sphere c |R|
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c w : ℂ
R : ℝ

⊢ R = 0 ∨ 0 ≤ -1 ∨ w ∉ sphere c |R| ↔ R = 0 ∨ w ∉ sphere c |R|
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β

⊢ HasFiniteIntegral f Measure.count ↔ Summable fun x => ‖f x‖
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.28, u_1} V
inst✝ : Abelian V
X Y Z : V
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0

⊢ g.op ≫ f.op = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.28, u_1} V
inst✝ : Abelian V
X Y Z : V
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0

⊢ f ≫ factorThruImage g = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} V
inst✝ : Abelian V
X Y Z : V
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0

⊢ imageToKernel g.op f.op ⋯ ≫ (kernelSubobject f.op).arrow = ((imageSubobjectIso g.op ≪≫ (imageOpOp g).symm).hom ≫ (cokernel.desc f (factorThruImage g) ⋯).op ≫ (kernelSubobjectIso f.op ≪≫ kernelOpOp f).inv) ≫ (kernelSubobject f.op).arrow
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} V
inst✝ : Abelian V
X Y Z : V
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0

⊢ (imageSubobjectIso g.op).hom ≫ (imageUnopOp g.op).inv ≫ (factorThruImage g.op.unop).op = (imageSubobjectIso g.op).hom ≫ (imageOpOp g).inv ≫ (factorThruImage g).op
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame

⊢ y ⧏ -x ↔ x ⧏ -y
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A

⊢ traceMatrix A (P.map ⇑(algebraMap A B) *ᵥ b) = P * traceMatrix A b * Pᵀ
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A

⊢ (transposeAddEquiv κ κ A) (traceMatrix A (P.map ⇑(algebraMap A B) *ᵥ b)) = (transposeAddEquiv κ κ A) (P * traceMatrix A b * Pᵀ)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]

⊢ (p * q).coeff (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree) = p.trailingCoeff * q.trailingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]

⊢ ∑ x ∈ antidiagonal (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree), p.coeff x.1 * q.coeff x.2 = p.trailingCoeff * q.trailingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]

⊢ ∀ b ∈ antidiagonal (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree), b ≠ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree) → p.coeff b.1 * q.coeff b.2 = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
i j : ℕ
h₁ : (i, j) ∈ antidiagonal (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree)
h₂ : (i, j) ≠ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree)

⊢ p.coeff (i, j).1 * q.coeff (i, j).2 = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
i j : ℕ
h₁ : (i, j).1 + (i, j).2 = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree
h₂ : (i, j) ≠ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree)

⊢ p.coeff (i, j).1 * q.coeff (i, j).2 = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
i j : ℕ
h₁ : (i, j).1 + (i, j).2 = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree
h₂ : (i, j) ≠ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree)
hi : ¬i < p.natTrailingDegree
hj : ¬j < q.natTrailingDegree

⊢ p.coeff (i, j).1 * q.coeff (i, j).2 = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
i j : ℕ
h₁ : (i, j).1 + (i, j).2 = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree
h₂ : (i, j) ≠ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree)
hi : p.natTrailingDegree ≤ i
hj : q.natTrailingDegree ≤ j

⊢ p.coeff (i, j).1 * q.coeff (i, j).2 = 0