ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂
comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)
this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, oscillationWithin f (Box.Icc I) x < ENNReal.ofReal ε₁
r : ℝ
r0 : r > 0
hr : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, EMetric.diam (f '' (EMetric.ball x (ENNReal.ofReal r) ∩ Box.Icc I)) ≤ ENNReal.ofReal ε₁
c₁ c₂ : ℝ≥0
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₁) π₁
h₁p : π₁.IsPartition
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₂) π₂
h₂p : π₂.IsPartition
μI : μ ↑I < ⊤
t₁ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J
t₂ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J
B : Finset (Box ι) := (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes
B' : Finset (Box ι) := Finset.filter (fun J => ↑J ⊆ U) B

⊢ ‖∑ x ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes, μ.toBoxAdditive x • (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))‖ ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂
comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)
this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, oscillationWithin f (Box.Icc I) x < ENNReal.ofReal ε₁
r : ℝ
r0 : r > 0
hr : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, EMetric.diam (f '' (EMetric.ball x (ENNReal.ofReal r) ∩ Box.Icc I)) ≤ ENNReal.ofReal ε₁
c₁ c₂ : ℝ≥0
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₁) π₁
h₁p : π₁.IsPartition
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₂) π₂
h₂p : π₂.IsPartition
μI : μ ↑I < ⊤
t₁ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J
t₂ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J
B : Finset (Box ι) := (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes
B' : Finset (Box ι) := Finset.filter (fun J => ↑J ⊆ U) B
hB' : B' ⊆ B

⊢ ‖∑ x ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes, μ.toBoxAdditive x • (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))‖ ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂
comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)
this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, oscillationWithin f (Box.Icc I) x < ENNReal.ofReal ε₁
r : ℝ
r0 : r > 0
hr : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, EMetric.diam (f '' (EMetric.ball x (ENNReal.ofReal r) ∩ Box.Icc I)) ≤ ENNReal.ofReal ε₁
c₁ c₂ : ℝ≥0
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₁) π₁
h₁p : π₁.IsPartition
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₂) π₂
h₂p : π₂.IsPartition
μI : μ ↑I < ⊤
t₁ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J
t₂ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J
B : Finset (Box ι) := (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes
B' : Finset (Box ι) := Finset.filter (fun J => ↑J ⊆ U) B
hB' : B' ⊆ B
μJ_ne_top : ∀ J ∈ B, μ ↑J ≠ ⊤

⊢ ‖∑ x ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes, μ.toBoxAdditive x • (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))‖ ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂
comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)
this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, oscillationWithin f (Box.Icc I) x < ENNReal.ofReal ε₁
r : ℝ
r0 : r > 0
hr : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, EMetric.diam (f '' (EMetric.ball x (ENNReal.ofReal r) ∩ Box.Icc I)) ≤ ENNReal.ofReal ε₁
c₁ c₂ : ℝ≥0
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₁) π₁
h₁p : π₁.IsPartition
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₂) π₂
h₂p : π₂.IsPartition
μI : μ ↑I < ⊤
t₁ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J
t₂ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J
B : Finset (Box ι) := (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes
B' : Finset (Box ι) := Finset.filter (fun J => ↑J ⊆ U) B
hB' : B' ⊆ B
μJ_ne_top : ∀ J ∈ B, μ ↑J ≠ ⊤
un : ∀ S ⊆ B, ⋃ J ∈ S, ↑J ⊆ ↑I

⊢ ‖∑ x ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes, μ.toBoxAdditive x • (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))‖ ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂
comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)
this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, oscillationWithin f (Box.Icc I) x < ENNReal.ofReal ε₁
r : ℝ
r0 : r > 0
hr : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, EMetric.diam (f '' (EMetric.ball x (ENNReal.ofReal r) ∩ Box.Icc I)) ≤ ENNReal.ofReal ε₁
c₁ c₂ : ℝ≥0
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₁) π₁
h₁p : π₁.IsPartition
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₂) π₂
h₂p : π₂.IsPartition
μI : μ ↑I < ⊤
t₁ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J
t₂ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J
B : Finset (Box ι) := (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes
B' : Finset (Box ι) := Finset.filter (fun J => ↑J ⊆ U) B
hB' : B' ⊆ B
μJ_ne_top : ∀ J ∈ B, μ ↑J ≠ ⊤
un : ∀ S ⊆ B, ⋃ J ∈ S, ↑J ⊆ ↑I

⊢ ‖∑ x ∈ B \ B', μ.toBoxAdditive x • (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x)) + ∑ x ∈ B', μ.toBoxAdditive x • (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))‖ ≤ ε / 2 + ε / 2
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂
comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)
this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, oscillationWithin f (Box.Icc I) x < ENNReal.ofReal ε₁
r : ℝ
r0 : r > 0
hr : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, EMetric.diam (f '' (EMetric.ball x (ENNReal.ofReal r) ∩ Box.Icc I)) ≤ ENNReal.ofReal ε₁
c₁ c₂ : ℝ≥0
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₁) π₁
h₁p : π₁.IsPartition
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₂) π₂
h₂p : π₂.IsPartition
μI : μ ↑I < ⊤
t₁ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J
t₂ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J
B : Finset (Box ι) := (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes
B' : Finset (Box ι) := Finset.filter (fun J => ↑J ⊆ U) B
hB' : B' ⊆ B
μJ_ne_top : ∀ J ∈ B, μ ↑J ≠ ⊤
un : ∀ S ⊆ B, ⋃ J ∈ S, ↑J ⊆ ↑I

⊢ ‖∑ x ∈ B \ B', μ.toBoxAdditive x • (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))‖ ≤ ε / 2
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂
comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)
this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, oscillationWithin f (Box.Icc I) x < ENNReal.ofReal ε₁
r : ℝ
r0 : r > 0
hr : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, EMetric.diam (f '' (EMetric.ball x (ENNReal.ofReal r) ∩ Box.Icc I)) ≤ ENNReal.ofReal ε₁
c₁ c₂ : ℝ≥0
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₁) π₁
h₁p : π₁.IsPartition
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₂) π₂
h₂p : π₂.IsPartition
μI : μ ↑I < ⊤
t₁ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J
t₂ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J
B : Finset (Box ι) := (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes
B' : Finset (Box ι) := Finset.filter (fun J => ↑J ⊆ U) B
hB' : B' ⊆ B
μJ_ne_top : ∀ J ∈ B, μ ↑J ≠ ⊤
un : ∀ S ⊆ B, ⋃ J ∈ S, ↑J ⊆ ↑I

⊢ ‖∑ x ∈ B', μ.toBoxAdditive x • (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))‖ ≤ ε / 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.132772, u_2} D
L : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W✝
W : MorphismProperty Cᵒᵖ
X Y : Cᵒᵖ
z₁ z₂ : W.RightFraction X Y
Z : Cᵒᵖ
t₁ : Z ⟶ z₁.X'
t₂ : Z ⟶ z₂.X'
hs : t₁ ≫ z₁.s = t₂ ≫ z₂.s
hf : t₁ ≫ z₁.f = t₂ ≫ z₂.f
ht : W (t₁ ≫ z₁.s)

⊢ LeftFractionRel z₁.unop z₂.unop
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : TopologicalSpace γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : PseudoMetrizableSpace γ
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝ : SecondCountableTopology γ
g : β → γ
hg : Measurable g
f : α →ₘ[μ] β

⊢ ↑(compMeasurable g hg f) =ᶠ[ae μ] g ∘ ↑f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : TopologicalSpace γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : PseudoMetrizableSpace γ
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝ : SecondCountableTopology γ
g : β → γ
hg : Measurable g
f : α →ₘ[μ] β

⊢ ↑(mk (g ∘ ↑f) ⋯) =ᶠ[ae μ] g ∘ ↑f
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : Neg β
h1 : Periodic f c₁
h2 : Antiperiodic f c₂

⊢ Antiperiodic f (c₁ + c₂)
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝ : μ
s : Finset ι
n : μ
f a✝ : ι → μ

⊢ a✝ ∈ ∅.piAntidiag 0 ↔ a✝ ∈ {0}
-- Mathlib/Data/Fintype/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s✝ : (a : α) → Finset (γ a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (δ a)
s : (i : α) → Finset (δ i)
i : α
a : δ i
ha : a ∈ s i

⊢ piFinset (update s i {a}) = filter (fun f => f i = a) (piFinset s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
x : α

⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ r > 0, (ball x r ∩ s).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0

⊢ ContinuousWithinAt arg {z | 0 ≤ z.im} z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
this : arg =ᶠ[𝓝[{z | 0 ≤ z.im}] z] fun x => Real.arcsin ((-x).im / abs x) + π

⊢ ContinuousWithinAt arg {z | 0 ≤ z.im} z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
this : arg =ᶠ[𝓝[{z | 0 ≤ z.im}] z] fun x => Real.arcsin ((-x).im / abs x) + π

⊢ ContinuousWithinAt (fun x => Real.arcsin ((-x).im / abs x) + π) {z | 0 ≤ z.im} z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
this : arg =ᶠ[𝓝[{z | 0 ≤ z.im}] z] fun x => Real.arcsin ((-x).im / abs x) + π

⊢ z.arg = Real.arcsin ((-z).im / abs z) + π
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : BEq α
a : α
l₁ l₂ : List α

⊢ a :: l₁ ∪ l₂ = List.insert a (l₁ ∪ l₂)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0

⊢ IsIntegralCurveOn γ v s ↔ IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) {t | t * a ∈ s}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
hγ : IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) {t | t * a ∈ s}

⊢ IsIntegralCurveOn γ v s
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
hγ : IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) {t | t * a ∈ s}

⊢ γ = (γ ∘ fun x => x * a) ∘ fun x => x * a⁻¹
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
hγ : IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) {t | t * a ∈ s}

⊢ v = a⁻¹ • a • v
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
hγ : IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) {t | t * a ∈ s}

⊢ s = {t | t * a⁻¹ ∈ {t | t * a ∈ s}}
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P : Karoubi C

⊢ ((toKaroubi C).map P.p).f = (P.decompId_p ≫ P.decompId_i).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ A.X.map f ≫ A.counit.app Y✝ = A.counit.app X✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ A.counit.app X✝ ≫ 𝟙 (𝟙_ D) = A.counit.app X✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ A.X.map f ≫ A.comul.app Y✝ = A.comul.app X✝ ≫ (A.X.map f ⊗ A.X.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X : C

⊢ A.X.map (𝟙 X) = 𝟙 (A.X.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ A.X.map (f ≫ g) = A.X.map f ≫ A.X.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C

⊢ (X ⊗ Y).mul ≫ (β_ X.X Y.X).hom = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (Y ⊗ X).mul
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C

⊢ (α_ X.X Y.X (X.X ⊗ Y.X)).hom ≫ X.X ◁ (α_ Y.X X.X Y.X).inv ≫ X.X ◁ (β_ Y.X X.X).hom ▷ Y.X ≫ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ Y.X ≫ (α_ X.X (Y.X ⊗ X.X) Y.X).inv ≫ (α_ X.X Y.X X.X).inv ▷ Y.X ≫ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ▷ Y.X ≫ (α_ (Y.X ⊗ X.X) X.X Y.X).hom ≫ (α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom ≫ Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C

⊢ (α_ X.X Y.X (X.X ⊗ Y.X)).hom ≫ X.X ◁ (α_ Y.X X.X Y.X).inv ≫ ((((((((((X.X ◁ 𝟙 (Y.X ⊗ X.X) ▷ Y.X ≫ (α_ X.X (Y.X ⊗ X.X) Y.X).inv) ≫ (α_ X.X Y.X X.X).inv ▷ Y.X) ≫ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ▷ Y.X) ≫ (α_ (Y.X ⊗ X.X) X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom) ≫ Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C

⊢ (α_ (X.X ⊗ Y.X) X.X Y.X).inv ≫ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ▷ Y.X ≫ (α_ (Y.X ⊗ X.X) X.X Y.X).hom ≫ (α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom ≫ Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C

⊢ (((((((((β_ X.X Y.X).hom ▷ (X.X ⊗ Y.X) ≫ (α_ (Y.X ⊗ X.X) X.X Y.X).inv) ≫ (α_ (Y.X ⊗ X.X) X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom) ≫ Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C

⊢ (β_ X.X Y.X).hom ▷ (X.X ⊗ Y.X) ≫ ((((((𝟙 ((Y.X ⊗ X.X) ⊗ X.X ⊗ Y.X) ≫ (α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom) ≫ Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)