ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁
a₂ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₂) := r₀ f₂ h₂
b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂
a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁
b₀ : ↑(M₀.obj (Opposite.op Z)) := (M₀.map g₁.op) b₁
ha₁ : (α.app (Opposite.op Y₁)) a₁ = (R.map f₁.op) r
ha₂ : (α.app (Opposite.op Y₂)) a₂ = (R.map f₂.op) r
hb₁ : (φ.app (Opposite.op Y₁)) b₁ = (A.map f₁.op) m

⊢ (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₁.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₁ h₁) = (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₂.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₂ h₂)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁
a₂ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₂) := r₀ f₂ h₂
b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂
a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁
b₀ : ↑(M₀.obj (Opposite.op Z)) := (M₀.map g₁.op) b₁
ha₁ : (α.app (Opposite.op Y₁)) a₁ = (R.map f₁.op) r
ha₂ : (α.app (Opposite.op Y₂)) a₂ = (R.map f₂.op) r
hb₁ : (φ.app (Opposite.op Y₁)) b₁ = (A.map f₁.op) m
hb₂ : (φ.app (Opposite.op Y₂)) b₂ = (A.map f₂.op) m

⊢ (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₁.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₁ h₁) = (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₂.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₂ h₂)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁
a₂ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₂) := r₀ f₂ h₂
b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂
a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁
b₀ : ↑(M₀.obj (Opposite.op Z)) := (M₀.map g₁.op) b₁
ha₁ : (α.app (Opposite.op Y₁)) a₁ = (R.map f₁.op) r
ha₂ : (α.app (Opposite.op Y₂)) a₂ = (R.map f₂.op) r
hb₁ : (φ.app (Opposite.op Y₁)) b₁ = (A.map f₁.op) m
hb₂ : (φ.app (Opposite.op Y₂)) b₂ = (A.map f₂.op) m
ha₀ : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₁.op ≫ g₁.op)) r

⊢ (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₁.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₁ h₁) = (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₂.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₂ h₂)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
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m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
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g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
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hb₂ : (φ.app (Opposite.op Y₂)) b₂ = (A.map f₂.op) m
ha₀ : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₁.op ≫ g₁.op)) r
hb₀ : (φ.app (Opposite.op Z)) b₀ = (A.map (f₁.op ≫ g₁.op)) m

⊢ (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₁.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₁ h₁) = (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₂.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₂ h₂)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
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ha₀' : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₂.op ≫ g₂.op)) r

⊢ (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₁.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₁ h₁) = (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₂.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₂ h₂)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
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⊢ (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₁.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₁ h₁) = (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₂.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₂ h₂)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
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f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁
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ha₀' : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₂.op ≫ g₂.op)) r
hb₀' : (φ.app (Opposite.op Z)) b₀ = (A.map (f₂.op ≫ g₂.op)) m

⊢ (A.map g₁.op) ((φ.app (Opposite.op Y₁)) (r₀.smul m₀ f₁ h₁)) = (A.map g₂.op) ((φ.app (Opposite.op Y₂)) (r₀.smul m₀ f₂ h₂))
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
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a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
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b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂
a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁
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ha₁ : (α.app (Opposite.op Y₁)) a₁ = (R.map f₁.op) r
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ha₀' : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₂.op ≫ g₂.op)) r
hb₀' : (φ.app (Opposite.op Z)) b₀ = (A.map (f₂.op ≫ g₂.op)) m

⊢ (φ.app (Opposite.op Z)) ((M₀.presheaf.map g₁.op) (r₀.smul m₀ f₁ h₁)) = (φ.app (Opposite.op Z)) ((M₀.presheaf.map g₂.op) (r₀.smul m₀ f₂ h₂))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

⊢ ∃! P, map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
P : ℤ[X]
hP : map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K ∧ P.degree = (cyclotomic' (↑n) K).degree ∧ P.Monic

⊢ ∃! P, map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
P : ℤ[X]
hP : map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K ∧ P.degree = (cyclotomic' (↑n) K).degree ∧ P.Monic
Q : ℤ[X]
hQ : (fun P => map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K) Q

⊢ Q = P
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
P : ℤ[X]
hP : map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K ∧ P.degree = (cyclotomic' (↑n) K).degree ∧ P.Monic
Q : ℤ[X]
hQ : (fun P => map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K) Q

⊢ map (Int.castRingHom K) Q = map (Int.castRingHom K) P
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : EReal
h : x < 0

⊢ ⊤ * x = ⊥
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : EReal
h : x < 0

⊢ x * ⊤ = ⊥
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : TaggedPrepartition I

⊢ integralSum (-f) vol π = -integralSum f vol π
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f : { f // ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y }
x✝ : A

⊢ ↑((fun F => ⟨F.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩) ((fun f' => preLiftAlgHom S ⋯) f)) x✝ = ↑f x✝
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
F : RingQuot s →ₐ[S] B
x✝ : A

⊢ (((fun f' => preLiftAlgHom S ⋯) ((fun F => ⟨F.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩) F)).comp (mkAlgHom S s)) x✝ = (F.comp (mkAlgHom S s)) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K

⊢ (LinearIndependent K fun i => A i) ↔ IsUnit A
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Ring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a b : α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

⊢ a * b < 0 ↔ 0 < a ∧ b < 0 ∨ a < 0 ∧ 0 < b
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
n : ℕ
_l : List α

⊢ n ≤ count a (Quot.mk Setoid.r _l) ↔ replicate n a ≤ Quot.mk Setoid.r _l
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
n : ℕ
_l : List α

⊢ n ≤ List.count a _l ↔ replicate n a ≤ ↑_l
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G✝ : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝³ : G✝.LocallyFinite
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
k : ℕ
h : G.IsRegularOfDegree k
v : V

⊢ Gᶜ.degree v = Fintype.card V - 1 - k
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R

⊢ star x ≤ y ↔ x ≤ star y
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f g : Filter α

⊢ (f ⊓ g).NeBot ↔ ∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in g, p x) → ∃ᶠ (x : α) in f, p x
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f g : Filter α

⊢ (g ⊓ f).NeBot ↔ ∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in g, p x) → ∃ᶠ (x : α) in f, p x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
r : ℝ

⊢ (fun x => (ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : oddKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)

⊢ (fun x => (ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)

⊢ (fun x => ‖(ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0‖) =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)

⊢ (fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
r : ℝ

⊢ (fun x => (ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : sinKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)

⊢ (fun x => (ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)

⊢ (fun x => ‖(ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0‖) =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)

⊢ (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

⊢ (ofReal' ∘ oddKernel a) (1 / x) = (1 * ↑(x ^ (3 / 2))) • (ofReal' ∘ sinKernel a) x
-- Mathlib/Order/Disjoint.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b : Complementeds α

⊢ Codisjoint ↑a ↑b ↔ Codisjoint a b
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A

⊢ Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))) (charpoly.univ A ιM) = Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (charpoly.univ R ιM))
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A

⊢ Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))) (Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (charpoly.univ R ιM)) = Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (charpoly.univ R ιM))
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A

⊢ Polynomial.map ((↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R A))) (charpoly.univ R ιM) = Polynomial.map ((MvPolynomial.map (algebraMap R A)).comp ↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (charpoly.univ R ιM)
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A

⊢ (↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) = (MvPolynomial.map (algebraMap R A)).comp ↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A

⊢ ∀ (r : R), ((↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R A))) (C r) = ((MvPolynomial.map (algebraMap R A)).comp ↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (C r)