ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊
h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_smoothing_pos' : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)
h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
n₀_pos : 0 < n₀
h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 + ε ↑(r i y)
bound2 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 + ε ↑y) ≤ ↑(r i y) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i y))
h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i y) y ≤ c₁ * g ↑y
h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)
h_exp : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ⌈rexp 1⌉₊ ≤ y
h_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty
base_min : ℝ := (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
base_min_def : base_min = (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min

⊢ ∃ c > 0, ∀ n ≥ n₀, c * ‖(1 + ε ↑n) * asympBound g a b n‖ ≤ ‖T n‖
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊
h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_smoothing_pos' : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)
h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
n₀_pos : 0 < n₀
h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 + ε ↑(r i y)
bound2 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 + ε ↑y) ≤ ↑(r i y) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i y))
h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i y) y ≤ c₁ * g ↑y
h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)
h_exp : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ⌈rexp 1⌉₊ ≤ y
h_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty
base_min : ℝ := (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
base_min_def : base_min = (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min
hC_pos : 0 < C

⊢ ∃ c > 0, ∀ n ≥ n₀, c * ‖(1 + ε ↑n) * asympBound g a b n‖ ≤ ‖T n‖
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊
h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_smoothing_pos' : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)
h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
n₀_pos : 0 < n₀
h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 + ε ↑(r i y)
bound2 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 + ε ↑y) ≤ ↑(r i y) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i y))
h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i y) y ≤ c₁ * g ↑y
h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)
h_exp : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ⌈rexp 1⌉₊ ≤ y
h_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty
base_min : ℝ := (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
base_min_def : base_min = (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min
hC_pos : 0 < C
n : ℕ
hn : n ≥ n₀

⊢ C * ‖(1 + ε ↑n) * asympBound g a b n‖ ≤ ‖T n‖
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊
h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_smoothing_pos' : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)
h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
n₀_pos : 0 < n₀
h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 + ε ↑(r i y)
bound2 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 + ε ↑y) ≤ ↑(r i y) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i y))
h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i y) y ≤ c₁ * g ↑y
h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)
h_exp : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ⌈rexp 1⌉₊ ≤ y
h_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty
base_min : ℝ := (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
base_min_def : base_min = (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min
hC_pos : 0 < C
n : ℕ
hn : n ≥ n₀
h_base : ∀ n ∈ Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀, C * ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n) ≤ T n

⊢ C * ‖(1 + ε ↑n) * asympBound g a b n‖ ≤ ‖T n‖
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊
h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_smoothing_pos' : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)
h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
n₀_pos : 0 < n₀
h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 + ε ↑(r i y)
bound2 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 + ε ↑y) ≤ ↑(r i y) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i y))
h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i y) y ≤ c₁ * g ↑y
h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)
h_exp : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ⌈rexp 1⌉₊ ≤ y
h_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty
base_min : ℝ := (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
base_min_def : base_min = (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min
hC_pos : 0 < C
n : ℕ
hn : n ≥ n₀
h_base : ∀ n ∈ Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀, C * ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n) ≤ T n
h_asympBound_pos' : 0 < asympBound g a b n
h_one_sub_smoothingFn_pos' : 0 < 1 + ε ↑n

⊢ C * ‖(1 + ε ↑n) * asympBound g a b n‖ ≤ ‖T n‖
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊
h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_smoothing_pos' : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)
h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
n₀_pos : 0 < n₀
h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 + ε ↑(r i y)
bound2 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 + ε ↑y) ≤ ↑(r i y) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i y))
h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i y) y ≤ c₁ * g ↑y
h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)
h_exp : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ⌈rexp 1⌉₊ ≤ y
h_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty
base_min : ℝ := (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
base_min_def : base_min = (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min
hC_pos : 0 < C
n : ℕ
hn : n ≥ n₀
h_base : ∀ n ∈ Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀, C * ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n) ≤ T n
h_asympBound_pos' : 0 < asympBound g a b n
h_one_sub_smoothingFn_pos' : 0 < 1 + ε ↑n

⊢ C * ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n) ≤ T n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F

⊢ (interpolate {i} v) r = C (r i)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a

⊢ a < ↑1 ↔ a < 1
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
inst✝⁵ : Module.Free ℤ R
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : NoZeroDivisors K
I : FractionalIdeal R⁰ K

⊢ absNorm I = 0 ↔ I = 0
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
inst✝⁵ : Module.Free ℤ R
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : NoZeroDivisors K
I : FractionalIdeal R⁰ K
h : absNorm I = 0

⊢ I.num = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
inst✝⁵ : Module.Free ℤ R
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : NoZeroDivisors K
I : FractionalIdeal R⁰ K
h : ↑(Ideal.absNorm I.num) = 0 ∨ ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑I.den| = 0

⊢ I.num = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
inst✝⁵ : Module.Free ℤ R
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : NoZeroDivisors K
I : FractionalIdeal R⁰ K
h : ↑(Ideal.absNorm I.num) = 0 ∨ ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑I.den| = 0

⊢ ¬↑|(Algebra.norm ℤ) ↑I.den| = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x : α

⊢ ∀ (a : α), f a ∈ ↑(f.cycleOf x).support ↔ a ∈ ↑(f.cycleOf x).support
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝¹ y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x x✝ : α
h : f x✝ ∈ ↑(f.cycleOf x).support

⊢ f.SameCycle x x✝ ∧ x ∈ f.support
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝¹ y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x x✝ : α
h : x✝ ∈ ↑(f.cycleOf x).support

⊢ f.SameCycle x (f x✝) ∧ x ∈ f.support
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x a : α
ha : a ∈ ↑(f.cycleOf x).support
b : α
hb : b ∈ ↑(f.cycleOf x).support

⊢ f.SameCycle a b
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x a : α
ha : f.SameCycle x a ∧ x ∈ f.support
b : α
hb : f.SameCycle x b ∧ x ∈ f.support

⊢ f.SameCycle a b
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ orderOf 1 = p ^ 0
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a✝ b✝ : G
hg₁ : a✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
hg₂ : b✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}

⊢ ∃ m, (a✝ * b✝) ^ p ^ m = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a✝ b✝ : G
hg₁ : a✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
hg₂ : b✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
m : ℕ
hm : a✝ ^ p ^ m = 1

⊢ ∃ m, (a✝ * b✝) ^ p ^ m = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a✝ b✝ : G
hg₁ : a✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
hg₂ : b✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
m : ℕ
hm : a✝ ^ p ^ m = 1
n : ℕ
hn : b✝ ^ p ^ n = 1

⊢ ∃ m, (a✝ * b✝) ^ p ^ m = 1
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α
F : Filter β
u : α → β

⊢ (F ⊓ map u atTop).NeBot ↔ ∀ U ∈ F, ∀ (N : α), ∃ n ≥ N, u n ∈ U
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α
F : Filter β
u : α → β

⊢ (∀ {p : β → Prop}, (∀ᶠ (x : β) in F, p x) → ∀ (a : α), ∃ b ≥ a, p (u b)) ↔ ∀ U ∈ F, ∀ (N : α), ∃ n ≥ N, u n ∈ U
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α

⊢ (∃ b, (f ^ (Equiv.symm (Equiv.addRight 1)) b) (f x) = y) ↔ f.SameCycle x y
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
f : R →+* S
s : Subring R
h : ⇑f ⁻¹' {0} ⊆ ↑s

⊢ comap f (map f s) = s
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
f : R →+* S
s : Subring R
h : ⇑f ⁻¹' {0} ⊆ ↑s

⊢ s = s ⊔ closure (⇑f ⁻¹' {0})
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_4
L : Filter ι
inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
inst✝ : L.NeBot
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A

⊢ MeasurableSet A
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_4
L : Filter ι
inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
inst✝ : L.NeBot
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
As_mble : ∀ (i : ι), Measurable ((As i).indicator fun x => 1)

⊢ Measurable (A.indicator fun x => 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α

⊢ a < b * a ↔ 1 * a < b * a
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α

⊢ [a] ∈ s.subchain ↔ a ∈ s
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
l : List α

⊢ (map f (a :: l)).sublists = map (map f) (a :: l).sublists
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
l : List α

⊢ ((l.sublists.bind fun x => [map f x]).bind fun x => [x, f a :: x]) = (l.sublists.bind fun x => [x, a :: x]).bind fun x => [map f x]
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FormalMultilinearSeries.lean
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n✝ k n : ℕ

⊢ (fslope^[k] p).coeff n = p.coeff (n + k)
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ

⊢ ENNReal.ofReal (variance X μ) = evariance X μ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ

⊢ evariance X μ ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
hg : MellinConvergent g s

⊢ MellinConvergent (fun t => f t - g t) s
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
hg : MellinConvergent g s

⊢ mellin (fun t => f t - g t) s = mellin f s - mellin g s
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
y : ↑(Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f))

⊢ x • ↑y ∈ Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f)
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
y : ↑(Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f))
z : ↑B
hz : (fun x => x • ↑(MonoidHom.range f)) z = ↑y

⊢ x • ↑y ∈ Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : EquicontinuousWithinAt F S x₀

⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : ContinuousWithinAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S x₀

⊢ ContinuousWithinAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝 x₀ ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))

⊢ Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝 x₀ ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝 x₀ ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))

⊢ Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) ((⨅ i, 𝓝 x₀) ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n

⊢ p.succAbove i < p ↔ i.succ ≤ p
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
A : Set G

⊢ (Measure.map (fun h => h * g) μ) A = μ A
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ a < c → b < c → c ∉ [[a, b]]
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ a < c → b < c → ¬(a ⊓ b ≤ c ∧ c ≤ a ⊔ b)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
hc : p.IsTrail
h : u ∈ p.support

⊢ ((p.takeUntil u h).append (p.dropUntil u h)).IsTrail
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y X
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W Y Y
f : Y ⟶ X
hf : W f

⊢ (equiv W W.Q) ((mk W f).comp (mkInv f hf)) = (equiv W W.Q) (mk W (𝟙 Y))
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t p : Set α
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ x ∈ p
x : α

⊢ x ∈ p.toFinset ↔ x ∈ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re

⊢ HasSum (fun i => s.Gammaℝ * a i / ↑|r i| ^ s) (mellin F (s / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs' : 0 < (s / 2).re

⊢ HasSum (fun i => s.Gammaℝ * a i / ↑|r i| ^ s) (mellin F (s / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs' : 0 < (s / 2).re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i ^ 2 = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)

⊢ HasSum (fun i => s.Gammaℝ * a i / ↑|r i| ^ s) (mellin F (s / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs' : 0 < (s / 2).re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i ^ 2 = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
i : ι

⊢ s.Gammaℝ * a i = ↑π ^ (-(s / 2)) * Complex.Gamma (s / 2) * a i
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs' : 0 < (s / 2).re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i ^ 2 = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
i : ι

⊢ ↑|r i| ^ s = ↑(r i ^ 2) ^ (s / 2)