ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hs : s.Nonempty
goal: egauge 𝕜 s 0 = 0
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hs : s.Nonempty
this : 0 ∈ 0 • s
goal: egauge 𝕜 s 0 = 0
context: α : Type u
a : α
s t : Set α
x : α
H : {x}.Nontrivial
goal: False
context: α : Type u
a : α
s t : Set α
x : α
H : ∃ y ∈ {x}, y ≠ x
y : α
hy : y ∈ {x}
hya : y ≠ x
goal: False
context: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
goal: (↑p.toDualRight.symm.dualMap ∘ₗ ↑p.toDualLeft) x = (Dual.eval R M) x
context: α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a✝ b : α
f : (i : ι) → κ i → α
a : α
goal: a ⊓ ⨆ i, ⨆ j, f i j = ⨆ i, ⨆ j, a ⊓ f i j
context: α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → Zero (N a)
f✝ g✝ f g : Π₀ (a : α), N a
a : α
goal: a ∈ f.neLocus g ↔ f a ≠ g a
context: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
goal: ∫ (b : β) in s, ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x ∂ν a = ((κ a) (s ×ˢ Iic x)).toReal
context: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
goal: ENNReal.ofReal (∫ (b : β) in s, ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x ∂ν a) = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α
goal: Disjoint a bᶜᶜ ↔ Disjoint a b
context: n✝ b n : ℕ
n0 : 0 < n
nb : n < b
goal: b.digits n = [n] ∧ 1 < b ∧ 0 < n
context: n✝ b n : ℕ
n0 : 0 < n
nb : n < b
b2 : 1 < b
goal: b.digits n = [n]
context: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
goal: s.circumcenter = centroid ℝ univ s.points
context: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
hr : Set.univ.Pairwise fun i j => dist (s.points i) (centroid ℝ univ s.points) = dist (s.points j) (centroid ℝ univ s.points)
goal: s.circumcenter = centroid ℝ univ s.points
context: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
r : ℝ
hr : ∀ x ∈ Set.univ, dist (s.points x) (centroid ℝ univ s.points) = r
goal: s.circumcenter = centroid ℝ univ s.points
context: n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : F (α ::: Fix F α)
goal: rec g (mk x) = g ((TypeVec.id ::: rec g) <$$> x)
context: n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : F (α ::: Fix F α)
this : recF g ∘ fixToW = rec g
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α ::: Fix F α
h : repr x = ⟨a, f⟩
goal: recF g ((P F).wMk' ((TypeVec.id ::: fixToW) <$$> ⟨a, f⟩)) = g ((TypeVec.id ::: rec g) <$$> x)
context: n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : F (α ::: Fix F α)
this : recF g ∘ fixToW = rec g
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α ::: Fix F α
h : repr x = ⟨a, f⟩
goal: g (abs ((TypeVec.id ::: recF g) <$$> (TypeVec.id ::: fixToW) <$$> ⟨a, f⟩)) = g ((TypeVec.id ::: rec g) <$$> x)
context: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
goal: (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
context: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_eq' : ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω), (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ i ∈ s, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
goal: (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
context: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_eq' : ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω), (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ i ∈ s, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
h_eq : ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω), (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ i ∈ s, (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal = (μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ω
goal: (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
goal: range m ∈ map m f
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
goal: m '' univ ∈ map m f
context: R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
goal: Splits (RingHom.id L) (map i f) ↔ Splits i f
context: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y
goal: a + -a = 0
context: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c d : α
goal: |min a b - min c d| ≤ max |a - c| |b - d|
context: α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
goal: limsup (u + v) f ≤ a + b
context: α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
h✝ : f.NeBot
goal: limsup (u + v) f ≤ a + b
context: α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
h✝ : f.NeBot
goal: limsup (u + v) f ≤ limsup (fun x => a + b) f
context: α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
h✝ : f.NeBot
goal: ∀ (x : α), u x < a ∧ v x < b → (u + v) x ≤ a + b
context: α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
h✝ : f.NeBot
x : α
goal: u x < a → v x < b → u x + v x ≤ a + b
context: G : Type u
H : Type v
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
f : H →ₙ* G
hf : ∀ ⦃a b c d : H⦄, a * b = c * d → f a = f c ∧ f b = f d → a = c ∧ b = d
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset H
A0 : A.Nonempty
B0 : B.Nonempty
goal: ∃ a0 ∈ A, ∃ b0 ∈ B, UniqueMul A B a0 b0
context: c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
goal: #ℝ = 𝔠
context: α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
goal: LowerSemicontinuousWithinAt f univ x ↔ LowerSemicontinuousAt f x
context: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
goal: ((Quotient.mk P).comp C).IsIntegral
context: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
goal: ((Quotient.mk P).comp C).IsIntegral
context: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
goal: ((Quotient.mk P).comp C).IsIntegral
context: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
goal: ((Quotient.mk P).comp C).IsIntegral
context: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
goal: ((quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯).comp ((Quotient.mk P).comp C)).IsIntegral
context: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
goal: (((Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).comp (Quotient.mk (comap C P))).IsIntegral
context: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
goal: ((Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).IsIntegral
context: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this✝ : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
this : (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P).IsMaximal
goal: ((Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).IsIntegral
context: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this✝ : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
this : (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P).IsMaximal
x : R ⧸ P'
hx : C x ∈ map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P
goal: x = 0
context: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this✝ : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (map f P)
this : (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P).IsMaximal
z : R
hx : C ((Quotient.mk P') z) ∈ map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P
goal: (Quotient.mk P') z = 0
context: α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝¹ μ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : AEMeasurable f ν
goal: (μ.withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => f x * μ.rnDeriv ν x
context: α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : α
g : G
goal: g • a ∈ fixedBy α g ↔ a ∈ fixedBy α g
context: α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : α
g : G
goal: g • a = a ↔ a ∈ fixedBy α g
context: α : Type u_1
β : ?m.5263
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
h : s.Finite
goal: IsClosed ↑(upperClosure s)
context: α : Type u_1
β : ?m.5263
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
h : s.Finite
goal: IsClosed (⋃ i ∈ s, ↑(UpperSet.Ici i))
context: α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
b₁ b₂ : α
goal: op (fold op b₁ (s₁ ∪ s₂)) (fold op b₂ (s₁ ∩ s₂)) = op (fold op b₁ s₁) (fold op b₂ s₂)
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
goal: deriv (fun x => x⁻¹) x = -(x ^ 2)⁻¹
context: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : P
ps : Set P
h : p ∈ affineSpan k ps
goal: affineSpan k (insert p ps) = affineSpan k ps
context: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : P
ps : Set P
h : p ∈ ↑(affineSpan k ps)
goal: affineSpan k (insert p ps) = affineSpan k ps
context: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
goal: (_root_.orthogonalProjection s.direction) (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) = 0
context: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
c : V
hc : c ∈ s.direction
goal: ⟪c, p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)⟫_ℝ = 0
context: F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : Monoid γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
goal: {x | x ∈ Multiset.map f s.val}.Pairwise Commute
context: s : Finset ℕ
m n p : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p
goal: (∏ p ∈ s, p).primeFactors = s
context: s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p
hn : ∏ p ∈ s, p ≠ 0
p : ℕ
goal: p ∈ (∏ p ∈ s, p).primeFactors ↔ p ∈ s
context: s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p
hn : ∏ p ∈ s, p ≠ 0
p : ℕ
goal: (Prime p ∧ ∃ a ∈ s, p ∣ a) ↔ p ∈ s
context: s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p
hn : ∏ p ∈ s, p ≠ 0
p : ℕ
hp : Prime p
q : ℕ
hq : q ∈ s
hpq : p ∣ q
goal: p ∈ s
context: R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝¹³ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹² : CommSemiring A
inst✝¹¹ : Algebra R A
inst✝¹⁰ : Module A M'
inst✝⁹ : IsLocalization S A
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M''
inst✝⁵ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
R' : Type u_6
inst✝⁴ : CommSemiring R'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : IsLocalization S R'
inst✝¹ : Module R' M
inst✝ : IsScalarTower R R' M
s : ↥S
goal: IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M)) ↑s)
context: R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝¹³ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹² : CommSemiring A
inst✝¹¹ : Algebra R A
inst✝¹⁰ : Module A M'
inst✝⁹ : IsLocalization S A
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M''
inst✝⁵ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
R' : Type u_6
inst✝⁴ : CommSemiring R'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : IsLocalization S R'
inst✝¹ : Module R' M
inst✝ : IsScalarTower R R' M
s : ↥S
goal: IsUnit ((Algebra.lsmul R R M) ((algebraMap R R') ↑s))
context: α : Type u_1
M : Matroid α
I B✝ X B : Set α
goal: B ∈ {B | M✶.Base B} ↔ B ∈ (fun X => M.E \ X) '' {B | M.Base B}
context: α : Type u_1
M : Matroid α
I B✝ X B : Set α
goal: M.Base (M.E \ B) ∧ B ⊆ M.E ↔ ∃ x, M.Base x ∧ M.E \ x = B
context: α : Type u_1
M : Matroid α
I B✝ X B : Set α
x✝ : ∃ x, M.Base x ∧ M.E \ x = B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
h : M.E \ B' = B
goal: M.Base (M.E \ B)
context: Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x : HahnSeries Γ R
g : Γ'
hg : g ∈ (embDomain f x).support
goal: g ∈ ⇑f '' x.support
context: Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x : HahnSeries Γ R
g : Γ'
hg : g ∉ ⇑f '' x.support
goal: g ∉ (embDomain f x).support
context: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v a : Finset α
r : ℕ
huv : u.card = v.card
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
goal: Set.Sized r ↑(𝓒 u v 𝒜)
context: R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
goal: ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)
context: R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
goal: ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)
context: R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a' : S
b' : R
hb' : b' ≠ 0
h : b' • a = b * a'
goal: ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)
context: R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a' : S
b' : R
hb' : b' ≠ 0
h : b' • a = b * a'
q : S
r : R
hr : r ∈ finsetApprox bS adm
hqr : abv ((Algebra.norm R) (r • a' - b' • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b'))
goal: abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)
context: R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a' : S
b' : R
hb' : b' ≠ 0
h : b' • a = b * a'
q : S
r : R
hr : r ∈ finsetApprox bS adm
hqr : abv ((Algebra.norm R) (r • a' - b' • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b'))
goal: abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b')) * abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b')) * abv ((Algebra.norm R) b)
context: R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a' : S
b' : R
hb' : b' ≠ 0
h : b' • a = b * a'
q : S
r : R
hr : r ∈ finsetApprox bS adm
hqr : abv ((Algebra.norm R) (r • a' - b' • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b'))
goal: abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b')) * abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) = abv ((Algebra.norm R) (r • a' - b' • q)) * abv ((Algebra.norm R) b)
context: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
goal: ⁅I, N⁆ ≤ N' ↔ ∀ x ∈ I, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ ∈ N'
context: x y : ℂ
h : cexp x = 0
goal: 0 = 1
context: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hdeg : q.natDegree ≤ p.natDegree
r : R[X]
hr : q = p * r
goal: q = C q.leadingCoeff * p
context: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hdeg : q.natDegree ≤ p.natDegree
r : R[X]
hr : q = p * r
hq : q ≠ 0
rzero : r ≠ 0
goal: q = C q.leadingCoeff * p
context: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
r : R[X]
hdeg : p.natDegree + r.natDegree ≤ p.natDegree
hr : q = p * r
hq : q ≠ 0
rzero : r ≠ 0
goal: q = C q.leadingCoeff * p
context: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
goal: s.encard ≤ 1 ↔ s = ∅ ∨ ∃ x, s = {x}
context: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
h : a⁻¹ ∈ s
goal: a ∈ s