ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
C : Matrix n n 𝕜 := ↑⋯.eigenvectorUnitary
E : Matrix n n 𝕜 := diagonal (RCLike.ofReal ∘ Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues)
goal: hA.sqrt ^ 2 = A
context: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
C : Matrix n n 𝕜 := ↑⋯.eigenvectorUnitary
E : Matrix n n 𝕜 := diagonal (RCLike.ofReal ∘ Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues)
goal: C * (E * (star C * C) * E) * star C = A
context: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
C : Matrix n n 𝕜 := ↑⋯.eigenvectorUnitary
E : Matrix n n 𝕜 := diagonal (RCLike.ofReal ∘ Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues)
this : E * E = diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⋯.eigenvalues)
goal: C * (E * (star C * C) * E) * star C = A
context: I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
goal: ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => x ∈ s)))
context: I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
goal: ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval (π C fun x => x ∈ s)))
context: I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
goal: Submodule.span ℤ (Set.range (spanFinBasis C s)) ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval (π C fun x => x ∈ s)))
context: I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x : ↑(π C fun x => x ∈ s)
goal: spanFinBasis C s x ∈ ↑(Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval (π C fun x => x ∈ s))))
context: ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
h : s₁ ⊆ s₂
goal: (∏ x ∈ s₂ \ s₁, f x) * ∏ x ∈ s₁, f x = ∏ x ∈ s₂, f x
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
goal: s ∪ ⋂ i, ⋂ j, t i j = ⋂ i, ⋂ j, s ∪ t i j
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
i : ι
a : 𝕜
v : EuclideanSpace 𝕜 ι
goal: ⟪v, single i a⟫_𝕜 = a * (starRingEnd ((fun x => 𝕜) i)) (v i)
context: n✝ : ℤ
goal: ↑n✝ / ↑0 = ↑0
context: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type u_4
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
goal: Finite ι
context: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type u_4
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
goal: Finite ι
context: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type u_4
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
i : ι
contra : span R {v i} = ⊥
goal: False
context: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type u_4
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
i : ι
contra : span R {v i} = ⊥
goal: v i = 0
context: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type u_4
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
i : ι
contra : span R {v i} = ⊥
this : v i ∈ span R {v i}
goal: v i = 0
context: R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
goal: toNat (Module.rank R ↥⊤) = toNat (Module.rank R M)
context: τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
y : β
goal: y ∈ ω f ϕ s ↔ ∀ n ∈ 𝓝 y, ∃ᶠ (t : τ) in f, (ϕ t '' s ∩ n).Nonempty
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : OrderedSemiring α
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : MulActionWithZero α β
inst✝² : FloorDiv α β
a : α
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a
b : β
goal: ∀ (c : β), c ≤ a • b ⌊/⌋ a ↔ c ≤ b
context: R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
r : T
goal: (X - C r).aroots S = {(algebraMap T S) r}
context: α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : StandardBorelSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T0Space Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Measurable f
hsurj : Surjective f
goal: MeasurableSpace.map f inst✝⁸ = borel Y
context: α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : StandardBorelSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T0Space Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Measurable f
hsurj : Surjective f
d : Measurable f
this✝ : MeasurableSpace Y := borel Y
this : BorelSpace Y
goal: MeasurableSpace.map f inst✝⁸ = borel Y
context: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : F → E
hf : Differentiable ℝ f
x : F
p : ℝ
hp : 1 < p
goal: ‖fderiv ℝ (fun x => ‖f x‖ ^ p) x‖ ≤ p * ‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖
context: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : F → E
hf : Differentiable ℝ f
x : F
p : ℝ
hp : 1 < p
goal: ‖p‖ * ‖‖f x‖ ^ (p - 2)‖ * ‖((innerSL ℝ) (f x)).comp (fderiv ℝ f x)‖ ≤ p * ‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖
context: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : F → E
hf : Differentiable ℝ f
x : F
p : ℝ
hp : 1 < p
goal: ‖f x‖ ^ (p - 2) * ‖((innerSL ℝ) (f x)).comp (fderiv ℝ f x)‖ ≤ ‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖
context: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : F → E
hf : Differentiable ℝ f
x : F
p : ℝ
hp : 1 < p
goal: ‖f x‖ ^ (p - 2) * (‖(innerSL ℝ) (f x)‖ * ‖fderiv ℝ f x‖) = ‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a✝¹ b : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
a✝ : R ⧸ I
a : R
h : Quot.mk Setoid.r a ≠ 0
goal: ∃ b, Quot.mk Setoid.r a * b = 1
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a✝¹ b✝ : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
a✝ : R ⧸ I
a : R
h : Quot.mk Setoid.r a ≠ 0
b c : R
hc : c ∈ I
abc : b * a + c = 1
goal: ∃ b, Quot.mk Setoid.r a * b = 1
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a✝¹ b✝ : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
a✝ : R ⧸ I
a : R
h : Quot.mk Setoid.r a ≠ 0
b c : R
hc : c ∈ I
abc : a * b + c = 1
goal: Setoid.r ((fun x x_1 => x * x_1) a b) 1
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a✝¹ b✝ : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
a✝ : R ⧸ I
a : R
h : Quot.mk Setoid.r a ≠ 0
b c : R
hc : c ∈ I
abc : a * b + c = 1
goal: a * b - 1 ∈ I
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a✝¹ b✝ : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
a✝ : R ⧸ I
a : R
h : Quot.mk Setoid.r a ≠ 0
b c : R
hc : c ∈ I
abc : c = 1 - a * b
goal: a * b - 1 ∈ I
context: α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
v : V
x : P
goal: dist (v +ᵥ x) x = ‖v‖
context: α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
s : Set α
goal: span s = ⊤ ↔ ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ span ↑s' = ⊤
context: α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
s : Set α
goal: 1 ∈ span s ↔ ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ 1 ∈ span ↑s'
context: u v : Level
n : ℕ
pn : NormNum.IsNat n 0
goal: List.range n = []
context: a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 1
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
goal: jacobiSymNat a b = r
context: a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 1
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
goal: jacobiSym (↑a) b = jacobiSym (↑a / 2) b
context: a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 1
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
goal: b % 2 = 1
context: R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
goal: (monomial n) (a - b) = (monomial n) a - (monomial n) b
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
s : Set β
hs : s.Finite
f : β → α
goal: Multipliable (f ∘ Subtype.val)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
s : Set β
hs : s.Finite
f : β → α
this : Multipliable (f ∘ Subtype.val)
goal: Multipliable (f ∘ Subtype.val)
context: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c : X ⟶ Y
goal: a + b + c = a + (b + c)
context: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c : X ⟶ Y
goal: a - -b + c = a + (b + c)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
F✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NonAssocSemiring R✝
inst✝⁴ : NonAssocSemiring S✝
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
n : ℕ
hn : NeZero ↑n
goal: NeZero (f ↑n)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
f : Fin n → G
i : ℕ
hn : i < n
goal: (partialProd f ⟨i, hn⟩.castSucc)⁻¹ * partialProd f ⟨i, hn⟩.succ = f ⟨i, hn⟩
context: α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
hb : b ≠ 0
goal: b = a * b ↔ a = 1
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
goal: ((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom = (μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
goal: (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g))
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
x : X
goal: (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
x : X
goal: ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
x : X
x' : X'
goal: ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x' = ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x'
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
x : X
x' : X'
goal: (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x') 1 = (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x') 1
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
x : X
x' : X'
y : Y
y' : Y'
goal: ((finsuppTensorFinsupp' R Y Y') (Finsupp.mapDomain f (Finsupp.single x 1) ⊗ₜ[R] Finsupp.mapDomain g (Finsupp.single x' 1))) (y, y') = (Finsupp.mapDomain (f ⊗ g) ((finsuppTensorFinsupp' R X X') (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single x' 1))) (y, y')
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a / b ≤ c / d
he : 0 ≤ e
goal: a / (b * e) ≤ c / (d * e)
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a / b ≤ c / d
he : 0 ≤ e
goal: a / b * (1 / e) ≤ c / d * (1 / e)
context: x✝ y x : ℝ
hx : 0 < cos x
goal: tan x / √(1 + tan x ^ 2) = sin x
context: R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
x y a : R
s : Finset α
p : α → R
hp : ∀ i ∈ s, Prime (p i)
hx : x * y = a * ∏ i ∈ s, p i
goal: ∃ t u b c, t ∪ u = s ∧ Disjoint t u ∧ a = b * c ∧ x = b * ∏ i ∈ t, p i ∧ y = c * ∏ i ∈ u, p i
context: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
goal: HasFPowerSeriesWithinAt f p univ x ↔ HasFPowerSeriesAt f p x
context: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
z : S
goal: (algebraMap R S) (sec M z).1 = (algebraMap R S) ↑(sec M z).2 * z
context: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
goal: ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
context: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
goal: ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑(r i x) - b i * ↑x‖ ≤ ↑x / log ↑x ^ 2
context: ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
goal: ∃ q, |ξ - ↑q| ≤ 1 / ((↑n + 1) * ↑q.den) ∧ q.den ≤ n
context: ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
goal: ∃ q, |ξ - ↑q| ≤ 1 / ((↑n + 1) * ↑q.den) ∧ q.den ≤ n
context: ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk₀' : 0 < ↑k
goal: ∃ q, |ξ - ↑q| ≤ 1 / ((↑n + 1) * ↑q.den) ∧ q.den ≤ n
context: ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk₀' : 0 < ↑k
hden : ↑(↑j / ↑k).den ≤ k
goal: ∃ q, |ξ - ↑q| ≤ 1 / ((↑n + 1) * ↑q.den) ∧ q.den ≤ n
context: ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk₀' : 0 < ↑k
hden : ↑(↑j / ↑k).den ≤ k
goal: |ξ - ↑(↑j / ↑k)| ≤ 1 / ((↑n + 1) * ↑(↑j / ↑k).den)
context: ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk₀' : 0 < ↑k
hden : ↑(↑j / ↑k).den ≤ k
goal: |ξ - ↑(↑j / ↑k)| * ↑(↑j / ↑k).den ≤ 1 / (↑n + 1)
context: ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk₀' : 0 < ↑k
hden : ↑(↑j / ↑k).den ≤ k
goal: |ξ - ↑(↑j / ↑k)| * ↑k ≤ 1 / (↑n + 1)
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : b ≤ a
goal: a ⇔ b = a ⇨ b
context: R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
goal: ↑(ringChar R) = 0
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : b ≤ a
goal: a \ b ⊔ b = a
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
goal: W.Nonsingular x (W.negY x y) ↔ W.Nonsingular x y
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
goal: W.Equation x y ∧ (W.a₁ * W.negY x y ≠ 3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄ ∨ y ≠ W.negY x y) ↔ W.Equation x y ∧ (W.a₁ * y ≠ 3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄ ∨ y ≠ -y - W.a₁ * x - W.a₃)
context: X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t U : Set X
goal: Continuous U.boolIndicator ↔ IsClopen U
context: F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
inst✝¹ : DecidableEq F.A
inst✝ : Inhabited F.M
ps : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a
goal: isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) = isubtree ps (f i)
context: m c : ℤ
goal: 2 * ((2 * c + 1) / 2) + 1 = 2 * c + 1
context: m c : ℤ
goal: (2 * c + 1) / 2 * 2 + 1 = 2 * c + 1
context: m c : ℤ
goal: 1 = (2 * c + 1) % 2
context: M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s✝ : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : closure s = ⊤
mem : ∀ x ∈ s, p x
mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
goal: p x
context: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0
goal: ∃ r, (eval r) F ≠ 0
context: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
goal: ∃ r, (eval r) F ≠ 0
context: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
goal: ∃ r, (eval r) F ≠ 0
context: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
goal: (eval (Fin.cons 1 0)) F ≠ 0
context: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
aux : ∀ i ∈ Finset.range n, constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) = 0
goal: (eval (Fin.cons 1 0)) F ≠ 0
context: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
aux : ∀ i ∈ Finset.range n, constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) = 0
goal: constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) ≠ 0
context: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
aux : ∀ i ∈ Finset.range n, constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) = 0
hFn : constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = 0
d : Fin N →₀ ℕ
goal: coeff d (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = coeff d 0
context: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
F : MvPolynomial (Fin N.succ) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
aux : ∀ i ∈ Finset.range n, constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) = 0
hFn : constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = 0
d : Fin N →₀ ℕ
goal: coeff d (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = 0
context: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
goal: o.oangle x (-y) + o.oangle y (-x) = 0
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l✝ l' la : Filter α
lb : Filter β
L : Filter (Set α)
l : Filter α
goal: (fun L => L.bind 𝓟) L ≤ l ↔ L ≤ l.smallSets
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l✝ l' la : Filter α
lb : Filter β
L : Filter (Set α)
l : Filter α
goal: L.bind 𝓟 ≤ l ↔ l.sets ⊆ powerset ⁻¹' L.sets
context: G₀ : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : Bornology G₀
inst✝ : MulAction G₀ α
s : Set α
x : α
goal: Absorbs G₀ s {x} ↔ ∀ᶠ (c : G₀) in cobounded G₀, c⁻¹ • x ∈ s
context: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
goal: ⌈a + 1⌉ = ⌈a⌉ + 1
context: α : Type u_1
inst✝⁵ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
f : ℝ → ι → ℝ
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
goal: ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
context: α : Type u_1
inst✝⁵ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
f : ℝ → ι → ℝ
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
A : ∀ (i : ι), LipschitzWith 1 fun x => x i
goal: ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
context: α : Type u_1
inst✝⁵ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
f : ℝ → ι → ℝ
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
A : ∀ (i : ι), LipschitzWith 1 fun x => x i
this : ∀ (i : ι), ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => f x i) s x
goal: ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x