ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
φ : Module.Dual R M
goal: (∀ (x : ↥W), φ ↑x = 0 x) ↔ ∀ w ∈ W, φ w = 0
context: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
goal: (affineSpan k (insert p2 ↑s)).direction = Submodule.span k {p2 -ᵥ p1} ⊔ s.direction
context: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
goal: (s ⊔ affineSpan k {p2}).direction = s.direction ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1}
context: C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
goal: QuasiIso φ ↔ IsIso (leftHomologyMap' φ h₁ h₂)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝
goal: s.ncard ≤ t.ncard
context: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝
goal: s.encard ≤ t.encard
context: P : {α β : Type u} → [inst : TopologicalSpace α] → [inst : TopologicalSpace β] → (α → β) → Prop
hP : ∀ {α β γ : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] [inst_2 : TopologicalSpace γ] (f : α → β) (g : β → γ), P f → P g → P (g ∘ f)
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) f
hg : topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) g
goal: topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) (f ≫ g)
context: α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
goal: eVariationOn (f ∘ φ) t = eVariationOn f (φ '' t)
context: α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
goal: eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
context: α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
goal: eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
context: α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
goal: eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
context: α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo (Function.invFunOn φ t) (φ '' t) t
goal: eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
context: α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo (Function.invFunOn φ t) (φ '' t) t
hψ : AntitoneOn ψ (φ '' t)
goal: eVariationOn (f ∘ id) (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
context: α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo (Function.invFunOn φ t) (φ '' t) t
hψ : AntitoneOn ψ (φ '' t)
goal: eVariationOn (f ∘ φ ∘ ψ) (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
context: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
s : Finset α
h : (image f s).Nonempty
goal: (image f s).min' h = f (s.min' ⋯)
context: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
s : Finset α
h : (image f s).Nonempty
goal: s.inf' ⋯ (id ∘ f) = f (s.inf' ⋯ id)
context: R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
p : T[X]
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
goal: (-p).rootSet S = p.rootSet S
context: f : ℕ → ℝ≥0
h_ant : Antitone f
goal: ∃ r, Tendsto f atTop (𝓝 r)
context: f : ℕ → ℝ≥0
h_ant : Antitone f
h_bdd_0 : 0 ∈ lowerBounds (range fun n => ↑(f n))
goal: ∃ r, Tendsto f atTop (𝓝 r)
context: f : ℕ → ℝ≥0
h_ant : Antitone f
h_bdd_0 : 0 ∈ lowerBounds (range fun n => ↑(f n))
L : ℝ
hL : Tendsto (fun n => ↑(f n)) atTop (𝓝 L)
goal: ∃ r, Tendsto f atTop (𝓝 r)
context: f : ℕ → ℝ≥0
h_ant : Antitone f
h_bdd_0 : 0 ∈ lowerBounds (range fun n => ↑(f n))
L : ℝ
hL : Tendsto (fun n => ↑(f n)) atTop (𝓝 L)
hL0 : 0 ≤ L
goal: ∃ r, Tendsto f atTop (𝓝 r)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
L S : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLawson α
inst✝ : IsScott α
goal: scottHausdorff α ≤ L
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
L S : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLawson α
inst✝ : IsScott α
goal: scottHausdorff α ≤ lawson α
context: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
goal: BicartesianSq 0 0 biprod.inl biprod.inr
context: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
goal: (fromCostructuredArrow F).rightOp ⋙ toCostructuredArrow F = 𝟭 (CostructuredArrow yoneda F)
context: R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j
v : F
goal: (Trivialization.coordChangeL R (Z.localTriv i) (Z.localTriv j) b) v = (Z.coordChange i j b) v
context: l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
goal: J l R ∈ symplecticGroup l R
context: ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasEqualizers V
i j : ι
r : c.Rel i j
goal: imageSubobject (C.dTo j) = imageSubobject (C.d i j)
context: ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasEqualizers V
i j : ι
r : c.Rel i j
goal: imageSubobject ((C.xPrevIso r).hom ≫ C.d i j) = imageSubobject (C.d i j)
context: h : Nat.Primrec fun n => ack n n
goal: False
context: h : Nat.Primrec fun n => ack n n
m : ℕ
hm : ∀ (n : ℕ), ack n n < ack m n
goal: False
context: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ (n + 1)
goal: (-1) ^ n * ∏ k ∈ range n, (μ ^ (k + 1) - 1) = ↑n + 1
context: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ (n + 1)
this : (-1) ^ n = ∏ k ∈ range n, -1
goal: (-1) ^ n * ∏ k ∈ range n, (μ ^ (k + 1) - 1) = ↑n + 1
context: α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α
goal: l.tail <:+ l
context: α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α
goal: drop 1 l <:+ l
context: M : Type u_1
S✝ T : Set M
inst✝ : Mul M
S : Set M
goal: S.centralizer.centralizer.centralizer = S.centralizer
context: M : Type u_1
S✝ T : Set M
inst✝ : Mul M
S : Set M
x : M
hx : x ∈ S.centralizer.centralizer.centralizer
goal: x ∈ S.centralizer
context: M : Type u_1
S✝ T : Set M
inst✝ : Mul M
S : Set M
x : M
hx : x ∈ S.centralizer.centralizer.centralizer
y : M
hy : y ∈ S
goal: y * x = x * y
context: M : Type u_1
S✝ T : Set M
inst✝ : Mul M
S : Set M
x : M
hx : ∀ m ∈ S.centralizer.centralizer, m * x = x * m
y : M
hy : y ∈ S
goal: y * x = x * y
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
a : α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, b ≤ c → b ∈ t
goal: upperClosure t ⊓ s.sdiff t = s
context: X : Type u_1
Y✝ : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X'
inst✝² : TopologicalSpace Y'
ι : Type u_6
p : ι → Prop
Y : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
inst✝ : DecidablePred p
goal: Continuous (Equiv.piEquivPiSubtypeProd p Y).toFun
context: α : Type u
x y : α
h : pure x = pure y
goal: x = y
context: α : Type u
x y : α
h : pure x = pure y
this : {x} ∈ pure y
goal: x = y
context: G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K : Set G
h1K : IsCompact K
h2K : (interior K).Nonempty
goal: 0 < prehaar (↑K₀) U { carrier := K, isCompact' := h1K }
context: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SeminormedRing β
l : Filter α
f g : α → β
hf : l.BoundedAtFilter f
hg : l.BoundedAtFilter g
goal: l.BoundedAtFilter (f * g)
context: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SeminormedRing β
l : Filter α
f g : α → β
hf : l.BoundedAtFilter f
hg : l.BoundedAtFilter g
goal: (fun x => 1 x * 1 x) =O[l] 1
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x : α
h : some x = none
goal: False
context: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G 0
z₂ : Cochain G K n₂
m₂ : ℤ
h₂ : n₂ + 1 = m₂
goal: 1 + n₂ = m₂
context: 𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
u : E →L[𝕜] F
M : ℝ≥0
hu : ∀ (i : ι), ‖u (v i)‖₊ ≤ M
e : E
φ : E →L[𝕜] ι → 𝕜 := ↑v.equivFunL
goal: ‖u e‖₊ ≤ Fintype.card ι • ‖φ‖₊ * M * ‖e‖₊
context: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.31588, u_1} A
J : GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
f₁ f₂ : S.Arrow
W : C
p₁ : W ⟶ f₁.Y
p₂ : W ⟶ f₂.Y
w : p₁ ≫ f₁.f = p₂ ≫ f₂.f
Y : C
f : Y ⟶ W
goal: (S.preOneHypercover.sieve₁ p₁ p₂).arrows f ↔ ⊤.arrows f
context: p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
hϕ : IsPGroup p ↥ϕ.ker
g : ↥(Subgroup.comap ϕ H)
goal: ∃ k, g ^ p ^ k = 1
context: p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
hϕ : IsPGroup p ↥ϕ.ker
g : ↥(Subgroup.comap ϕ H)
j : ℕ
hj : ⟨ϕ ↑g, ⋯⟩ ^ p ^ j = 1
goal: ∃ k, g ^ p ^ k = 1
context: p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
hϕ : IsPGroup p ↥ϕ.ker
g : ↥(Subgroup.comap ϕ H)
j : ℕ
hj : ϕ (↑g ^ p ^ j) = ↑1
k : ℕ
hk : ⟨↑g ^ p ^ j, hj⟩ ^ p ^ k = 1
goal: ∃ k, g ^ p ^ k = 1
context: p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
hϕ : IsPGroup p ↥ϕ.ker
g : ↥(Subgroup.comap ϕ H)
j : ℕ
hj : ϕ (↑g ^ p ^ j) = ↑1
k : ℕ
hk : ↑g ^ p ^ (j + k) = ↑1
goal: ∃ k, g ^ p ^ k = 1
context: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDedekindDomain R
inst✝⁴ : Module.Free ℤ R
inst✝³ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
a : ↥R⁰
I₀ : Ideal R
h : a • ↑I = Submodule.map (Algebra.linearMap R K) I₀
goal: absNorm I = ↑(Ideal.absNorm I₀) / ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑a|
context: α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
hf : FactorsThrough g f
e' : β → γ
a : α
goal: extend f g e' (f a) = g a
context: α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
hf : FactorsThrough g f
e' : β → γ
a : α
goal: g (Classical.choose ⋯) = g a
context: R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
a : R
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
goal: rightHomologyMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • rightHomologyMap' φ h₁ h₂
context: α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
inst✝ : One β
l : Filter α
f : α → β
s : Set α
hf : f =ᶠ[l] 1
goal: s.mulIndicator 1 =ᶠ[l] 1
context: n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : (P F).W α
goal: WEquiv (wrepr x) x
context: n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), WEquiv (wrepr (f i)) (f i)
goal: WEquiv ((P F).wMk' ((TypeVec.id ::: wrepr) <$$> ⟨a, (P F).appendContents f' f⟩)) ((P F).wMk a f' f)
context: G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
goal: Nat.card (G ⧸ H) * Nat.card ↥H = s * p * Nat.card ↥H
context: G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ comap H.normalizer.subtype H) % p
goal: Nat.card (↥H.normalizer ⧸ comap H.normalizer.subtype H) % p = 0
context: R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
n : ℕ
goal: χ.ringHomComp f ^ n = (χ ^ n).ringHomComp f
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ f : α → β
hf : LocallyLipschitz f
goal: Continuous f
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ f : α → β
hf : LocallyLipschitz f
x : α
K : ℝ≥0
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝 x
hK : LipschitzOnWith K f t
goal: ContinuousAt f x
context: R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
goal: (∏ i ∈ s, f i).degrees ≤ ∑ i ∈ s, (f i).degrees
context: α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : 1 / a = 1 / b
goal: a = b
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
o : Ordinal.{u}
ho : type r = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → α
goal: range (familyOfBFamily' r ho f) = o.brange f
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
i j : ι
hi : c.Rel i j
goal: ¬(c'.Rel (e.f i) (c'.next (e.f i)) ∧ ∀ (k : ι), ¬c'.Rel (e.f i) (e.f k))
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
i j : ι
hi : c.Rel i j
a✝ : c'.Rel (e.f i) (c'.next (e.f i))
goal: ∃ x, c'.Rel (e.f i) (e.f x)
context: α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
goal: (∃ a, y * ↑a = x) ↔ ∃ a, x⁻¹ * y = ↑a⁻¹
context: α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
goal: (∃ a, x⁻¹ * y = ↑a⁻¹) ↔ x⁻¹ * y ∈ s
context: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
goal: (PInfty ≫ PInfty).f n = PInfty.f n
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
f : ↥x.asIdeal.primeCompl
goal: IsUnit ((toStalk R x) ↑f)
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
f : ↥x.asIdeal.primeCompl
goal: IsUnit (((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩) ((toOpen R (PrimeSpectrum.basicOpen ↑f)) ↑f))
context: n : ℕ
i✝ : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ (cons y s).support
goal: i = 0 ∨ ∃ a, ¬s a = 0 ∧ a.succ = i
context: n : ℕ
i✝ : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
i : Fin n
hi : i.succ ∈ (cons y s).support
goal: ¬s i = 0 ∧ i.succ = i.succ
context: X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
goal: (e.restr s).source = e.source ∩ s
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
goal: ∀ (s : Multiset α), s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
goal: f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
goal: f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x
goal: f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x
hp_sup : p s.prod
goal: f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x
hp_sup : p s.prod
hp_a : p a
goal: f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
context: α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Monoid α
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosMono α β
hb : 0 ≤ b
h : a ≤ 1
goal: a • b ≤ b
context: n : ℕ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobson S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
goal: (algebraMap R (T ⧸ P)).IsIntegral
context: n : ℕ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobson S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
hw : map v Q = P
goal: (algebraMap R (T ⧸ P)).IsIntegral
context: n : ℕ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobson S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
hw : map v Q = P
hQ : Q.IsMaximal
goal: (algebraMap R (T ⧸ P)).IsIntegral
context: n : ℕ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobson S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
hw : map v Q = P
hQ : Q.IsMaximal
w : (S[X] ⧸ Q) ≃ₐ[R] T ⧸ P := Q.quotientEquivAlg P v ⋯
Q' : Ideal S := comap Polynomial.C Q
goal: (algebraMap R (T ⧸ P)).IsIntegral
context: n : ℕ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobson S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
hw : map v Q = P
hQ : Q.IsMaximal
w : (S[X] ⧸ Q) ≃ₐ[R] T ⧸ P := Q.quotientEquivAlg P v ⋯
Q' : Ideal S := comap Polynomial.C Q
w' : S ⧸ Q' →ₐ[R] S[X] ⧸ Q := quotientMapₐ Q (Ideal.MvPolynomial.Cₐ R S) ⋯
goal: (algebraMap R (T ⧸ P)).IsIntegral
context: n : ℕ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobson S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
hw : map v Q = P
hQ : Q.IsMaximal
w : (S[X] ⧸ Q) ≃ₐ[R] T ⧸ P := Q.quotientEquivAlg P v ⋯
Q' : Ideal S := comap Polynomial.C Q
w' : S ⧸ Q' →ₐ[R] S[X] ⧸ Q := quotientMapₐ Q (Ideal.MvPolynomial.Cₐ R S) ⋯
h_eq : algebraMap R (T ⧸ P) = w.toRingEquiv.toRingHom.comp (w'.comp (algebraMap R (S ⧸ Q')))
goal: (w.toRingEquiv.toRingHom.comp (w'.comp (algebraMap R (S ⧸ Q')))).IsIntegral
context: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
goal: (X.tensorObj Y).rel = (Subobject.pullback (prod.map (prod.braiding X.src Y.src).hom (prod.braiding X.tgt Y.tgt).hom)).obj (Y.tensorObj X).rel
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommSemiring α
a✝ b✝ c a b : α
goal: (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2 * a * b
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : ∃ a, succ o = succ a
goal: (succ o).pred = o
context: α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
f : (a : ι) → κ a → α
x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice
goal: let x := minAx.toCompleteLattice; ⨅ i, ⨆ j, f i j = ⨆ g, ⨅ i, f i (g i)
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N P : Mon_ C
goal: (tensor_μ C (M.X ⊗ N.X, P.X) (M.X ⊗ N.X, P.X) ≫ (tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) ⊗ P.mul)) ≫ (α_ M.X N.X P.X).hom = ((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫ (M.mul ⊗ tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X) ≫ (N.mul ⊗ P.mul))