ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L
goal: Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫ ⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ⊤) = colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ (J.plusObj P).map (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op
context: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L
ee : (J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
goal: Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫ ⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ⊤) = colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ (J.plusObj P).map (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op
context: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L
ee : (J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
goal: (Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫ ⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagram P I.Y).map ee.op = Multiequalizer.lift ((unop ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op.unop).op.obj S)).index P) ((J.diagram P (unop X)).obj S) (fun I_1 => Multiequalizer.ι ((unop S).index P) (Cover.Arrow.base I_1)) ⋯
context: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
X : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L
ee : (J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
II : ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P).L
goal: ((Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫ ⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagram P I.Y).map ee.op) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P) II = Multiequalizer.lift ((unop ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op.unop).op.obj S)).index P) ((J.diagram P (unop X)).obj S) (fun I_1 => Multiequalizer.ι ((unop S).index P) (Cover.Arrow.base I_1)) ⋯ ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P) II
context: α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
L : List (List (Option α))
hm : m < L.length
goal: take m L <+: take n L ↔ m ≤ n
context: α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
L : List (List (Option α))
hm : m < L.length
goal: take m L = take (min m L.length) (take n L) ↔ m ≤ n
context: 𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
goal: dist a (a * b) = ‖b‖
context: x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Epi i
goal: i = 𝟙 x
context: x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Epi i
goal: IsIso i
context: x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Epi i
goal: Function.Bijective ⇑(Hom.toOrderHom i)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Monotone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)
goal: CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Monotone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)
goal: CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, f x * (-1) ^ x
context: it : Iterator
goal: ValidFor it.s.data.reverse [] { s := it.s, i := it.s.endPos }
context: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
i : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
goal: (latticeBasis K) i = (canonicalEmbedding K) ((integralBasis K) i)
context: ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
v✝ w✝ : V
h : (fun a b => s(v, w) = s(a, b)) v✝ w✝
goal: G.Adj v✝ w✝
context: ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
a b : V
h : (a ∈ s(v, w)) = (a ∈ s(a, b))
goal: a ∈ {v, w}
context: R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : R[X]
r s : R
n✝ : ℕ
goal: (p.scaleRoots (r * s)).coeff n✝ = ((p.scaleRoots r).scaleRoots s).coeff n✝
context: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace Y
hf' : Continuous f
hf : Tendsto f cofinite (cocompact Y)
goal: DiscreteTopology X
context: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace Y
hf' : Continuous f
hf : Tendsto f cofinite (cocompact Y)
x : X
goal: IsOpen {x}
context: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace Y
hf' : Continuous f
hf : Tendsto f cofinite (cocompact Y)
x : X
K : Set Y
hK : IsCompact K
hK' : K ∈ 𝓝 (f x)
goal: IsOpen {x}
context: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace Y
hf' : Continuous f
hf : Tendsto f cofinite (cocompact Y)
x : X
K : Set Y
hK : IsCompact K
hK' : K ∈ 𝓝 (f x)
U : Set Y
hU₁ : U ⊆ K
hU₂ : IsOpen U
hU₃ : f x ∈ U
goal: IsOpen {x}
context: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace Y
hf' : Continuous f
hf : Tendsto f cofinite (cocompact Y)
x : X
K : Set Y
hK : IsCompact K
hK' : K ∈ 𝓝 (f x)
U : Set Y
hU₁ : U ⊆ K
hU₂ : IsOpen U
hU₃ : f x ∈ U
hU₄ : (f ⁻¹' U).Finite
goal: IsOpen {x}
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
goal: (irreducibleComponents α).Finite
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
S : Set (Set α)
hSf : S.Finite
hSc : ∀ t ∈ S, IsClosed t
hSi : ∀ t ∈ S, IsIrreducible t
hSU : Set.univ = ⋃₀ S
goal: (irreducibleComponents α).Finite
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Set α
hs : s ∈ irreducibleComponents α
S : Finset (Set α)
hSc : ∀ t ∈ ↑S, IsClosed t
hSi : ∀ t ∈ ↑S, IsIrreducible t
hSU : Set.univ = ⋃₀ ↑S
goal: s ∈ ↑S
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Set α
hs : s ∈ irreducibleComponents α
S : Finset (Set α)
hSc : ∀ t ∈ ↑S, IsClosed t
hSi : ∀ t ∈ ↑S, IsIrreducible t
hSU : Set.univ = ⋃₀ ↑S
t : Set α
htS : t ∈ S
ht : s ⊆ t
goal: s ∈ ↑S
context: R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ : ↥S
r' : R
s' : ↥S
huv : ↑s' * r₁ = r' * ↑s₂
goal: (r₁ /ₒ s₁) • (r₂ /ₒ s₂) = r' • r₂ /ₒ (s' * s₁)
context: B : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)
inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)
x : B
v₁ : E₁ x
v₂ : E₂ x
h₁ : x ∈ e₁.baseSet
h₂ : x ∈ e₂.baseSet
goal: invFun' e₁ e₂ (toFun' e₁ e₂ { proj := x, snd := (v₁, v₂) }) = { proj := x, snd := (v₁, v₂) }
context: V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
f : G ≃g G'
v : V
w : ↑(G'.neighborSet (f v))
goal: f.symm ↑w ∈ G.neighborSet v
context: G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
this : H' = map H.subtype H''
goal: ∃ S, S * ↑(map H.subtype H'') = ↑H ∧ Nat.card ↑S * Nat.card ↥(map H.subtype H'') = Nat.card ↥H
context: R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R
goal: 3 + 1 = 4
context: R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R
goal: ↑(1 + 1 + 1 + 1) = 4
context: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S
r : S
x : P.Ring
i : P.vars
goal: (P.cotangentSpaceBasis.repr (r ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) x)) i = r * (aeval P.val) ((pderiv i) x)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, A i =O[l] g
goal: (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) =O[l] g
context: α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C✝ : ι → ℝ
s : Finset ι
C : ι → ℝ
hC : ∀ i ∈ s, IsBigOWith (C i) l (A i) g
goal: ∃ c, IsBigOWith c l (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) g
context: R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
a✝ : Nontrivial S
goal: (Polynomial.map f p).leadingCoeff = 1
context: R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
a✝ : Nontrivial S
this : f p.leadingCoeff ≠ 0
goal: (Polynomial.map f p).leadingCoeff = 1
context: R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
a✝ : Nontrivial S
this : f p.leadingCoeff ≠ 0
goal: p.coeff (Polynomial.map f p).natDegree = 1
context: d : ℕ
a b c : ℤ√↑d
h : c + a ≤ c + b
goal: a ≤ b
context: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
goal: ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
context: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
goal: ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
context: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
goal: ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
context: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
goal: ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
context: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
goal: ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
context: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
huniform : ¬P.IsUniform G ε
goal: ∃ P, P.IsEquipartition ∧ t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
context: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
goal: ∃ P, P.IsEquipartition ∧ t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
context: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
goal: ∃ P, P.IsEquipartition ∧ t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
context: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
goal: ∃ P, P.IsEquipartition ∧ t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
context: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
goal: ∃ P, P.IsEquipartition ∧ t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
context: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
goal: ∃ P, P.IsEquipartition ∧ t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
α β : A₁ ⟶ A₂
goal: F.map (α.f + β.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (α.f + β.f)
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
goal: F.map 0 ≫ A₂.str = A₁.str ≫ 0
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
n : ℕ
α : A₁ ⟶ A₂
goal: F.map (n • α.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (n • α.f)
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
α : A₁ ⟶ A₂
goal: F.map (-α.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (-α.f)
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
α β : A₁ ⟶ A₂
goal: F.map (α.f - β.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (α.f - β.f)
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
r : ℤ
α : A₁ ⟶ A₂
goal: F.map (r • α.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (r • α.f)
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ b✝ c✝ : A₁ ⟶ A₂
goal: (a✝ + b✝ + c✝).f = (a✝ + (b✝ + c✝)).f
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂
goal: (0 + a✝).f = a✝.f
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂
goal: (a✝ + 0).f = a✝.f
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
x✝ : A₁ ⟶ A₂
goal: ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) 0 x✝).f = Algebra.Hom.f 0
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
n✝ : ℕ
x✝ : A₁ ⟶ A₂
goal: ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) (n✝ + 1) x✝).f = ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) n✝ x✝ + x✝).f
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ b✝ : A₁ ⟶ A₂
goal: (a✝ - b✝).f = (a✝ + -b✝).f
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂
goal: ((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) 0 a✝).f = Algebra.Hom.f 0
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
n✝ : ℕ
a✝ : A₁ ⟶ A₂
goal: ↑(n✝ + 1) • a✝.f = ({ f := ↑n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
n✝ : ℕ
a✝ : A₁ ⟶ A₂
goal: ((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (Int.negSucc n✝) a✝).f = (-(fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (↑n✝.succ) a✝).f
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂
goal: (-a✝ + a✝).f = Algebra.Hom.f 0
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ b✝ : A₁ ⟶ A₂
goal: (a✝ + b✝).f = (b✝ + a✝).f
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
P✝ Q✝ R✝ : Algebra F
f✝ f'✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ : Q✝ ⟶ R✝
goal: ((f✝ + f'✝) ≫ g✝).f = (f✝ ≫ g✝ + f'✝ ≫ g✝).f
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
P✝ Q✝ R✝ : Algebra F
f✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ g'✝ : Q✝ ⟶ R✝
goal: (f✝ ≫ (g✝ + g'✝)).f = (f✝ ≫ g✝ + f✝ ≫ g'✝).f
context: F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : EquivLike F A B
inst✝ : AlgEquivClass F R A B
f : F
a : A
goal: spectrum R a ⊆ spectrum R (f a)
context: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
goal: (s.reindex e).circumradius = s.circumradius
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b✝ : α
ha : a ∉ s
b : α
hb : b ∈ s
goal: a ≠ b → r a b ∧ r b a ↔ r a b ∧ r b a
context: G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : TopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Countable ↥Γ
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝³ : SigmaFinite ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
h : covolume (↥Γ.op) G ν = μ univ
goal: QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
context: G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : TopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Countable ↥Γ
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝³ : SigmaFinite ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
h : covolume (↥Γ.op) G ν = μ univ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
goal: QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
context: G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : TopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Countable ↥Γ
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝³ : SigmaFinite ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
h : covolume (↥Γ.op) G ν = μ univ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
finiteCovol : μ univ < ⊤
goal: QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ