ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : Cone F
j✝ : J
goal: (s.pt.mul ≫ limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j✝ = (MonoidalCategory.tensorHom (limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) (limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) ≫ (limit F).mul) ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j✝
context: J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : Cone F
j✝ : J
goal: MonoidalCategory.tensorHom (s.π.app j✝).hom (s.π.app j✝).hom ≫ (F.obj j✝).mul = MonoidalCategory.tensorHom (limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) (limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) ≫ MonoidalCategory.tensorHom (limit.π (F ⋙ forget C) j✝) (limit.π (F ⋙ forget C) j✝) ≫ (MonFunctorCategoryEquivalence.inverseObj F).mul.app j✝
context: J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (limitCone F).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (limitCone F).π.app j = s.π.app j
goal: m.hom = ((fun s => { hom := limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s), one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) s).hom
context: J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (limitCone F).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (limitCone F).π.app j = s.π.app j
j : J
goal: m.hom ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j = limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s) ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j
context: R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
m : M
goal: (toModuleHom R L M) (x ⊗ₜ[R] m) = ⁅x, m⁆
context: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
m s : σ →₀ ℕ
r : R
p : MvPolynomial σ R
goal: coeff m ((monomial s) r * p) = if s ≤ m then r * coeff (m - s) p else 0
context: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
m s : σ →₀ ℕ
r : R
p : MvPolynomial σ R
goal: coeff m (p * (monomial s) r) = if s ≤ m then coeff (m - s) p * r else 0
context: G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H₁ H₂ : Subgroup G
goal: H₁ ⊓ H₂ ≤ ⊥ ↔ ∀ {x : G}, x ∈ H₁ → x ∈ H₂ → x = 1
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
goal: a₁ * b₁ ≤ a₂ * b₂ → a₁ ≤ a₂ ∨ b₁ < b₂
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
goal: a₂ < a₁ ∧ b₂ ≤ b₁ → a₂ * b₂ < a₁ * b₁
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Lattice β
e : α ↪o β
x y : α
goal: ⇑e ⁻¹' uIcc (e x) (e y) = uIcc x y
context: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
x y z : S
hx : f.IsIntegralElem x
hy : f.IsIntegralElem y
hz : z ∈ Subring.closure {x, y}
this : Algebra R S := f.toAlgebra
goal: f.IsIntegralElem z
context: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
x y z : S
hx : f.IsIntegralElem x
hy : f.IsIntegralElem y
hz : z ∈ Subring.closure {x, y}
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x}) * Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {y})).FG
goal: f.IsIntegralElem z
context: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
x y z : S
hx : f.IsIntegralElem x
hy : f.IsIntegralElem y
hz : z ∈ Subring.closure {x, y}
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x, y})).FG
goal: f.IsIntegralElem z
context: R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : R[X]
goal: x✝ ∈ LinearMap.ker (mapRingHom f).toSemilinearMap ↔ x✝ ∈ map C (RingHom.ker f)
context: R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : R[X]
goal: (↑↑(mapRingHom f)).toFun x✝ = 0 ↔ x✝ ∈ map C (RingHom.ker f)
context: R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : R[X]
goal: (∀ (n : ℕ), ((↑↑(mapRingHom f)).toFun x✝).coeff n = coeff 0 n) ↔ ∀ (n : ℕ), x✝.coeff n ∈ RingHom.ker f
context: R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
goal: eval₂ f 1 p = f (eval 1 p)
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hx : x ≠ 0
goal: HasStrictDerivAt Inv.inv (-(x ^ 2)⁻¹) x
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hx : x ≠ 0
goal: (fun p => (p.1 - p.2) * ((x * x)⁻¹ - (p.1 * p.2)⁻¹)) =o[𝓝 (x, x)] fun p => (p.1 - p.2) * 1
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hx : x ≠ 0
goal: Tendsto (fun p => (x * x)⁻¹ - (p.1 * p.2)⁻¹) (𝓝 (x, x)) (𝓝 0)
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hx : x ≠ 0
goal: Tendsto (fun p => (x * x)⁻¹ - (p.1 * p.2)⁻¹) (𝓝 (x, x)) (𝓝 ((x * x)⁻¹ - (x * x)⁻¹))
context: σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Finite σ
goal: range (evalᵢ σ K) = ⊤
context: σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Finite σ
goal: Submodule.map (evalₗ K σ) (restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1)) = ⊤
context: A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype ι
b : ι → B
f : B ≃ₐ[A] C
goal: discr A b = discr A (⇑f ∘ b)
context: A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype ι
b : ι → B
f : B ≃ₐ[A] C
i✝ j✝ : ι
goal: traceMatrix A b i✝ j✝ = traceMatrix A (⇑f ∘ b) i✝ j✝
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Topology.IsUpperSet α
inst✝ : IsUpper α
s : Set α
hs : IsOpen s
goal: IsOpen s
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Topology.IsUpperSet α
inst✝ : IsUpper α
s : Set α
hs : IsOpen s
goal: IsUpperSet s
context: G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
x✝ : NormalWord d
goal: unitsSMul φ (-1) (unitsSMul φ 1 x✝) = x✝
context: G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
w : NormalWord d
goal: unitsSMul φ 1 (unitsSMul φ (-1) w) = w
context: R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f' : P →ₗ[R] S
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
goal: rTensor Q f' ∘ₗ map f g = map (f' ∘ₗ f) g
context: m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
I : DecidablePred p
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ Option.casesOn (find fun i => p (i.castLT ⋯)) (if x : p (last n) then some (last n) else none) fun i => some (i.castLT ⋯)
goal: p i
context: C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
n : A
goal: (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X) = (shiftFunctorComm C n 0).hom.app X ≫ (shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X)
context: C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
n : A
goal: (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X) = ((shiftFunctorAdd' C n 0 n ⋯).inv.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C 0 n n ⋯).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' C 0 n n ⋯).inv.app X
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x
goal: ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s y
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
left✝ : u ⊆ insert x s
hd : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f u
goal: ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s y
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
left✝ : u ⊆ insert x s
hd : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f u
this : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[insert x s] x, u ∈ 𝓝[insert x s] y ∧ y ∈ u
goal: ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s y
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
left✝ : u ⊆ insert x s
hd : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f u
this : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[insert x s] x, u ∈ 𝓝[insert x s] y ∧ y ∈ u
y : E
hy : u ∈ 𝓝[insert x s] y ∧ y ∈ u
goal: u ∈ 𝓝[s] y
context: T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
goal: IsAddFundamentalDomain (↥(zmultiples T).op) (Ioc t (t + T)) μ
context: T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
x : ℝ
goal: ∃! g, g +ᵥ x ∈ Ioc t (t + T)
context: T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
x : ℝ
this : Bijective (codRestrict (fun n => n • T) ↑(zmultiples T) ⋯)
goal: ∃! g, g +ᵥ x ∈ Ioc t (t + T)
context: T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
x : ℝ
this : Bijective (codRestrict (fun n => n • T) ↑(zmultiples T) ⋯)
goal: ∃! x_1, (⇑(zmultiples T).equivOp ∘ codRestrict (fun n => n • T) ↑(zmultiples T) ⋯) x_1 +ᵥ x ∈ Ioc t (t + T)
context: τ : ℂ
goal: jacobiTheta (2 + τ) = jacobiTheta τ
context: K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
r : K
x : RatFunc K
goal: r • x = C r * x
context: 𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
goal: Tendsto (fun a => ‖a‖) (𝓝 1) (𝓝 0)
context: R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
f : N →ₗ[R] P
goal: lTensor M (-f) = -lTensor M f
context: R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
f : N →ₗ[R] P
goal: (lTensorHom M) (-f) = -(lTensorHom M) f
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
x : α
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
goal: (replicate (n + 2) x).dedup = [x]
context: R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : DecidableEq τ
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
goal: ((rename f) φ).vars ⊆ Finset.image f φ.vars
context: Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
x✝ : Γ
goal: x✝ ∈ (AddOpposite.unop (addOppositeEquiv x)).support ↔ x✝ ∈ x.support
context: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
f g : End R M
inst✝ : IsSemisimpleModule R M
goal: IsSemisimple LinearMap.id
context: R : Type u_1
inst✝ : Monoid R
b : R
a : Rˣ
goal: IsRegular ↑a
context: ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
goal: (mk s (-x)) i = (-mk s x) i
context: ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
goal: (if H : i ∈ s then (-x) ⟨i, H⟩ else 0) = -if H : i ∈ s then x ⟨i, H⟩ else 0
context: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.3150, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{u_8, u_4} D₁
inst✝² : Category.{u_10, u_5} D₂
inst✝¹ : Category.{?u.3162, u_6} D₃
T : C₁ ⥤ D₁
L : C₁ ⥤ C₂
R : D₁ ⥤ D₂
B : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T L R B
L' : C₁ ⥤ C₂
R' : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : w.GuitartExact
α : L ≅ L'
β : R ≅ R'
goal: (w.whiskerVertical α.hom β.inv).GuitartExact
context: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.3150, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{u_8, u_4} D₁
inst✝² : Category.{u_10, u_5} D₂
inst✝¹ : Category.{?u.3162, u_6} D₃
T : C₁ ⥤ D₁
L : C₁ ⥤ C₂
R : D₁ ⥤ D₂
B : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T L R B
L' : C₁ ⥤ C₂
R' : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : w.GuitartExact
α : L ≅ L'
β : R ≅ R'
X₂ : D₁
goal: ((w.whiskerVertical α.hom β.inv).structuredArrowDownwards X₂).Initial
context: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.3150, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{u_8, u_4} D₁
inst✝² : Category.{u_10, u_5} D₂
inst✝¹ : Category.{?u.3162, u_6} D₃
T : C₁ ⥤ D₁
L : C₁ ⥤ C₂
R : D₁ ⥤ D₂
B : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T L R B
L' : C₁ ⥤ C₂
R' : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : w.GuitartExact
α : L ≅ L'
β : R ≅ R'
X₂ : D₁
e : (w.whiskerVertical α.hom β.inv).structuredArrowDownwards X₂ ≅ w.structuredArrowDownwards X₂ ⋙ (StructuredArrow.mapIso (β.app X₂)).functor := NatIso.ofComponents (fun f => StructuredArrow.isoMk (α.symm.app f.right) ⋯) ⋯
goal: ((w.whiskerVertical α.hom β.inv).structuredArrowDownwards X₂).Initial
context: G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanHom 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁y₁ : (x₁, y₁) ∈ A
hx₁y₂ : (x₁, y₂) ∈ A
hx₂y₁ : (x₂, y₁) ∈ A
hxy : x₁ + y₂ = x₂ + y₁
goal: IsCorner (Prod.map f f '' A) (f x₁) (f y₁) (f x₂) (f y₂)
context: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hF_zero : ¬∑ i ∈ s, f i ^ p = 0
hG_zero : ¬∑ i ∈ s, g i ^ q = 0
f' : ι → ℝ≥0 := fun i => f i / (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p)
g' : ι → ℝ≥0 := fun i => g i / (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)
goal: ∑ i ∈ s, f' i * g' i ≤ 1
context: z : ℍ
goal: r1 z = 1 / ((z.re / z.im) ^ 2 + 1)
context: S : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasShift C S
X : DifferentialObject S C
goal: (eqToHom ⋯).f = eqToHom ⋯
context: K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
h : x.num = 0
goal: x = 0
context: R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
goal: χ = 1 ↔ χ.conductor = 1
context: R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
hχ : χ.conductor = 1
goal: χ = 1
context: R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
hχ : χ.conductor = 1
h' : χ.conductor ∣ n
χ₀ : DirichletCharacter R χ.conductor
h : χ = (changeLevel h') χ₀
goal: χ = 1
context: G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Subgroup G
f g : (i : ι) → ↥(H i)
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → Commute x y
i : ι
y : ↥(H i)
goal: (noncommPiCoprod hcomm) (Pi.mulSingle i y) = ↑y
context: R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (y + x * z)
goal: IsCoprime x y
context: R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (y + x * z) x
goal: IsCoprime y x
context: F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
x : E
L : IntermediateField F E := separableClosure F E
goal: IsIntegral (↥L) x ∧ (IsSeparable (↥L) x → x ∈ (algebraMap (↥L) E).range)
context: F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
x : E
L : IntermediateField F E := separableClosure F E
h : IsSeparable (↥L) x
goal: x ∈ (algebraMap (↥L) E).range
context: F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
x : E
L : IntermediateField F E := separableClosure F E
h : IsSeparable (↥L) x
this : Algebra.IsSeparable ↥L ↥(↥L)⟮x⟯
goal: x ∈ (algebraMap (↥L) E).range
context: F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
x : E
L : IntermediateField F E := separableClosure F E
h : IsSeparable (↥L) x
this✝ : Algebra.IsSeparable ↥L ↥(↥L)⟮x⟯
this : Algebra.IsSeparable F ↥(restrictScalars F (↥L)⟮x⟯)
goal: x ∈ (algebraMap (↥L) E).range
context: F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
x : E
L : IntermediateField F E := separableClosure F E
h : IsSeparable (↥L) x
this✝ : Algebra.IsSeparable ↥L ↥(↥L)⟮x⟯
this : Algebra.IsSeparable F ↥(restrictScalars F (↥L)⟮x⟯)
hx : x ∈ restrictScalars F (↥L)⟮x⟯
goal: x ∈ (algebraMap (↥L) E).range
context: C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
sn : ∀ S ∈ s, S.IsNormal
goal: ∀ (c : C), 𝟙 c ∈ (sInf s).arrows c c
context: C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
sn : ∀ S ∈ s, S.IsNormal
goal: ∀ (c : C), ∀ i ∈ s, 𝟙 c ∈ i.arrows c c
context: C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
sn : ∀ S ∈ s, S.IsNormal
goal: ∀ {c d : C} (p : c ⟶ d) {γ : c ⟶ c}, γ ∈ (sInf s).arrows c c → Groupoid.inv p ≫ γ ≫ p ∈ (sInf s).arrows d d
context: C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
sn : ∀ S ∈ s, S.IsNormal
goal: ∀ {c d : C} (p : c ⟶ d) {γ : c ⟶ c}, (∀ i ∈ s, γ ∈ i.arrows c c) → ∀ i ∈ s, Groupoid.inv p ≫ γ ≫ p ∈ i.arrows d d
context: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
goal: s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ
context: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn✝ : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
hn : 1 < n.natAbs
goal: s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ
context: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn✝ : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
hn : 1 < n.natAbs
hu₀ : ∀ (j : ℕ), addOrderOf (u j) = n.natAbs ^ j
goal: s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ
context: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn✝ : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
hn : 1 < n.natAbs
hu₀ : ∀ (j : ℕ), addOrderOf (u j) = n.natAbs ^ j
hnu : ∀ (j : ℕ), n ^ j • u j = 0
goal: s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ
context: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn✝ : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
hn : 1 < n.natAbs
hu₀ : ∀ (j : ℕ), addOrderOf (u j) = n.natAbs ^ j
hnu : ∀ (j : ℕ), n ^ j • u j = 0
hu₁ : ∀ (j : ℕ), u j +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s
goal: s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ
context: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn✝ : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
hn : 1 < n.natAbs
hu₀ : ∀ (j : ℕ), addOrderOf (u j) = n.natAbs ^ j
hnu : ∀ (j : ℕ), n ^ j • u j = 0
hu₁ : ∀ (j : ℕ), u j +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s
hu₂ : Tendsto (fun j => addOrderOf (u j)) atTop atTop
goal: s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ
context: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z = 0
goal: W.negMap ⟦P⟧ = ⟦![1, 1, 0]⟧
context: 𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
goal: a • x + b • y ∈ interior (⇑f ⁻¹' s)