ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u✝ : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
h : ∀ i ∈ u, HasStrictFDerivAt (fun x => g i x) (g' i) x
goal: HasStrictFDerivAt (fun x => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) u).prod) (Multiset.map (fun i => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) (u.erase i)).prod • g' i) u).sum x
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : 𝕜 → ℝ → E
F' : ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lipsch : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound t)) (fun x => F x t) (ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → HasDerivAt (fun x => F x t) (F' t) x₀
goal: IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : 𝕜 → ℝ → E
F' : ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lipsch : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
goal: IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : 𝕜 → ℝ → E
F' : ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lipsch : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
goal: IntegrableOn F' (Ι a b) μ ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : 𝕜 → ℝ → E
F' : ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lipsch : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
goal: IntegrableOn F' (Ι a b) μ ∧ HasDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ) ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' t ∂μ) x₀
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : 𝕜 → ℝ → E
F' : ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lipsch : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
this : Integrable F' (μ.restrict (Ι a b)) ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (a : ℝ) in Ι a b, F x a ∂μ) (∫ (a : ℝ) in Ι a b, F' a ∂μ) x₀
goal: IntegrableOn F' (Ι a b) μ ∧ HasDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ) ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' t ∂μ) x₀
context: ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P✝ Q✝ : Submodule R A
m n : A
P Q : Submodule R A
x : A
hx : x ∈ P * Q
goal: x ∈ span R (↑P * ↑Q)
context: M : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul M α
goal: (∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ) → IsMinimal M α
context: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
P' : C
fst' : P' ⟶ X
snd' : P' ⟶ Y
h : IsPullback fst snd f g
h' : IsPullback fst' snd' f g
goal: (isoIsPullback X Y h h').inv ≫ snd = snd'
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s : Multiset β
f : β → α
h : p ∣ (Multiset.map f s).prod
goal: ∃ a ∈ s, p ∣ f a
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁹ : UniformSpace α
inst✝⁸ : Group α
inst✝⁷ : UniformGroup α
inst✝⁶ : Group β
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Group γ
inst✝⁴ : UniformSpace γ
inst✝³ : UniformGroup γ
inst✝² : UniformSpace β
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : MonoidHomClass F β γ
f : F
hf : UniformInducing ⇑f
goal: UniformContinuous fun p => p.1 / p.2
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁹ : UniformSpace α
inst✝⁸ : Group α
inst✝⁷ : UniformGroup α
inst✝⁶ : Group β
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Group γ
inst✝⁴ : UniformSpace γ
inst✝³ : UniformGroup γ
inst✝² : UniformSpace β
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : MonoidHomClass F β γ
f : F
hf : UniformInducing ⇑f
goal: UniformContinuous fun x => f x.1 / f x.2
context: J : Type v'
inst✝¹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H : IsPushout f g h i
H' : H.IsVanKampen
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ Y
αY : Y' ⟶ X
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX g
hg : IsPullback g' αW αY f
hh : CommSq h' αX αZ i
hi : CommSq i' αY αZ h
w : CommSq f' g' h' i'
goal: IsPushout f' g' h' i' ↔ IsPullback h' αX αZ i ∧ IsPullback i' αY αZ h
context: K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
goal: Algebra.IsAlgebraic K A ↔ Algebra.IsIntegral K A
context: M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M α
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
g✝ : G
a✝ b✝ : α
inst✝³ : Mul H
inst✝² : MulAction G H
inst✝¹ : SMulCommClass G H H
inst✝ : IsScalarTower G H H
g : G
a b : H
goal: Commute (g • a) b ↔ Commute a b
context: G✝ : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Monoid G✝
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
goal: IsTorsionFree G ↔ CommGroup.torsion G = ⊥
context: G✝ : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Monoid G✝
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
goal: (∀ (g : G), g ≠ 1 → ¬IsOfFinOrder g) ↔ ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ CommGroup.torsion G → x ∈ ⊥
context: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
goal: (bernsteinPolynomial R n ν).comp (1 - X) = bernsteinPolynomial R n (n - ν)
context: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
hf : f.IsSemisimple
μ : R
k : ℕ
hk : 0 < k
goal: (f.genEigenspace μ) k = f.eigenspace μ
context: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
hf : f.IsSemisimple
μ : R
k : ℕ
hk : 0 < k
m : M
hm : m ∈ (f.genEigenspace μ) k
goal: f m = μ • m
context: X✝ X Y : LocallyRingedSpace
e : X ≅ Y
goal: e.hom.val.base ≫ e.inv.val.base = 𝟙 ↑X.toPresheafedSpace
context: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X] →+* MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R := eval₂RingHom C (X PUnit.unit)
g : MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R →+* R[X] := eval₂Hom Polynomial.C fun x => Polynomial.X
goal: ∀ (p : MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R), (f.comp g) p = p
context: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
a : R
goal: eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C a)) = Polynomial.C a
context: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ p q : R[X]
hp : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) p) = p
hq : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) q) = q
goal: eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (p + q)) = p + q
context: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ : R[X]
p : ℕ
n : R
x✝ : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C n * Polynomial.X ^ p)) = Polynomial.C n * Polynomial.X ^ p
goal: eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C n * Polynomial.X ^ (p + 1))) = Polynomial.C n * Polynomial.X ^ (p + 1)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
hf : Injective f
l : β →₀ M
hl : ↑l.support ⊆ Set.range f
goal: mapDomain f (comapDomain f l ⋯) = l
context: α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
goal: (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B / C).card
context: α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
goal: (A / C⁻¹).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C⁻¹).card
context: α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α (n + 1)
a : α
h : a ∈ s
goal: ∃ t, s = a ::ₛ t
context: α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α (n + 1)
a : α
h✝ : a ∈ s
m : Multiset α
h : ↑s = a ::ₘ m
goal: ∃ t, s = a ::ₛ t
context: α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α (n + 1)
a : α
h✝ : a ∈ s
m : Multiset α
h : ↑s = a ::ₘ m
this : Multiset.card m = n
goal: ∃ t, s = a ::ₛ t
context: α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α (n + 1)
a : α
h✝ : a ∈ s
m : Multiset α
h : ↑s = a ::ₘ m
this : Multiset.card m = n
goal: s = a ::ₛ ⟨m, this⟩
context: α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α✝
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α✝
α : Type u_1
s : Set α
goal: s ≠ univ ↔ ∃ a, a ∉ s
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a✝ a : α
ha : a ≠ 0
x y : α
goal: edist ((Equiv.mulLeft₀ a ha).toFun x) ((Equiv.mulLeft₀ a ha).toFun y) = ↑‖a‖₊ * edist x y
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
x : Part α
goal: ∀ (a : β), a ∈ x.bind (some ∘ f) ↔ a ∈ map f x
context: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m n α
B : Matrix n m α
goal: (1 - A * B).det = (1 - B * A).det
context: α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α
goal: ∀ (i : (α × α) × α × α), i ∈ filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) ((s ×ˢ s) ×ˢ t ×ˢ t) ↔ (Equiv.prodProdProdComm α α α α) i ∈ filter (fun x => match x with | ((a, b), c, d) => a * b = c * d) ((s ×ˢ t) ×ˢ s ×ˢ t)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
p : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis p s
S : Set α
goal: (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis p fun i => UniformOnFun.gen 𝔖 S (s i)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
p : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis p s
S : Set α
goal: (comap (Prod.map S.restrict S.restrict) (𝓤 (↑S → β))).HasBasis p fun i => Prod.map (S.restrict ∘ ⇑UniformFun.toFun) (S.restrict ∘ ⇑UniformFun.toFun) ⁻¹' UniformFun.gen (↑S) β (s i)
context: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x y : n → α
goal: u ⬝ᵥ (v + w) = u ⬝ᵥ v + u ⬝ᵥ w
context: R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d : ℕ
goal: (p * X ^ n).coeff (d + n) = p.coeff d
context: I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
m n : ↑(MaxProducts C ho)
h : MaxToGood C hC hsC ho h₁ m = MaxToGood C hC hsC ho h₁ n
goal: m = n
context: I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
m n : ↑(MaxProducts C ho)
h : MaxToGood C hC hsC ho h₁ m = MaxToGood C hC hsC ho h₁ n
goal: ↑↑m = ↑↑n
context: I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
m n : ↑(MaxProducts C ho)
h : (↑m).Tail = (↑n).Tail
goal: ↑↑m = ↑↑n
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
goal: ofNat (List α) 0 = []
context: a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hr : a ≠ ⊤
hp : b ≠ ⊤
h : a ≤ b
goal: (max a b).toReal = max a.toReal b.toReal
context: a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hr : a ≠ ⊤
hp : b ≠ ⊤
h : b ≤ a
goal: (max a b).toReal = max a.toReal b.toReal
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
n : ℤ
goal: map f (U R n) = U S n
context: E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
goal: (thickening δ s)⁻¹ = thickening δ s⁻¹
context: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m n α
B : Matrix n m α
goal: (1 + A * B).det = (fromBlocks 1 (-A) B 1).det
context: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m n α
B : Matrix n m α
goal: (fromBlocks 1 (-A) B 1).det = (1 + B * A).det
context: α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
goal: abv (a⁻¹ - b⁻¹) < ε
context: α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
goal: (abv a)⁻¹ * abv (a - b) * (abv b)⁻¹ < ε
context: α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
goal: abv a * ((abv a)⁻¹ * abv (a - b) * (abv b)⁻¹) * abv b < abv a * ε * abv b
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h₀ : f₀ =ᶠ[L] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
h₁ : ∀ (x : E), f₀' x = f₁' x
goal: HasFDerivAtFilter f₀ f₀' x L ↔ HasFDerivAtFilter f₁ f₁' x L
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h₀ : f₀ =ᶠ[L] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
h₁ : ∀ (x : E), f₀' x = f₁' x
goal: ((fun x' => f₀ x' - f₀ x - f₀' (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x) ↔ (fun x' => f₁ x' - f₁ x - f₁' (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x
context: N : ℕ
hN : ¬Prime N
goal: N.succ.smoothNumbers = N.smoothNumbers
context: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v₁, u_1} D
inst✝ : Preadditive D
ι✝¹ : Type
fintype✝¹ : Fintype ι✝¹
X✝¹ : ι✝¹ → C
i✝ : ((𝟭 C).mapMat_.obj (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).ι
ι✝ : Type
fintype✝ : Fintype ι✝
X✝ : ι✝ → C
j✝ : ((𝟭 (Mat_ C)).obj (Mat_.mk ι✝ X✝)).ι
f : Mat_.mk ι✝¹ X✝¹ ⟶ Mat_.mk ι✝ X✝
goal: ((𝟭 C).mapMat_.map f ≫ ((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝ X✝)).hom) i✝ j✝ = (((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).hom ≫ (𝟭 (Mat_ C)).map f) i✝ j✝
context: R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
κ : Type u
w✝ : Fintype κ
a : ι → κ → R
y : κ → N
h₁ : ∀ (i : ι), n i = ∑ j : κ, a i j • y j
h₂ : ∀ (j : κ), ∑ i : ι, a i j • m i = 0
goal: ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
context: R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
κ : Type u
w✝ : Fintype κ
a : ι → κ → R
y : κ → N
h₁ : ∀ (i : ι), n i = ∑ j : κ, a i j • y j
h₂ : ∀ (j : κ), ∑ i : ι, a i j • m i = 0
goal: ∑ x : ι, ∑ x_1 : κ, a x x_1 • m x ⊗ₜ[R] y x_1 = 0
context: R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
κ : Type u
w✝ : Fintype κ
a : ι → κ → R
y : κ → N
h₁ : ∀ (i : ι), n i = ∑ j : κ, a i j • y j
h₂ : ∀ (j : κ), ∑ i : ι, a i j • m i = 0
goal: ∑ y_1 : κ, ∑ x : ι, a x y_1 • m x ⊗ₜ[R] y y_1 = 0
context: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : Preorder δ
g : EsakiaHom β γ
f₁ f₂ : EsakiaHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
goal: g (f₁ a) = g (f₂ a)
context: m n : ℕ
x y : ZMod n
goal: (x - y).cast = (x.cast - y.cast) % ↑n
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
C : ℝ≥0∞
sC : Set ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ↑s
goal: 0 < s.einfsep
context: K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
goal: ‖reCLM‖ = 1
context: K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
goal: 1 ≤ ‖reLm.mkContinuous 1 ⋯‖
context: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero α
a b c d x y z : α
n : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors α
hn : n ≠ 0
goal: 0 < a ^ n ↔ 0 < a
context: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasPullbacks C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Epi g
s : PullbackCone f g
hs : IsLimit s
this : Epi ((limit.cone (cospan f g)).π.app WalkingCospan.left)
goal: Epi s.fst
context: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝¹ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
a✝ : α
goal: a✝ ∈ (a • s)⁻¹ ↔ a✝ ∈ op a⁻¹ • s⁻¹
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ VectorMeasure.restrict s v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
goal: ↑s (u \ v) = 0 ∧ ↑s (v \ u) = 0
context: R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
goal: W.Φ 3 = X * W.Ψ₃ ^ 2 - W.preΨ₄ * W.Ψ₂Sq
context: B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W
goal: cs.length w₂ - cs.length w₁ ≤ cs.length (w₁ * w₂)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
goal: ∀ (x : β), x ∈ ↑(image f s) ↔ x ∈ f '' ↑s
context: α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : M
goal: a ^ (n - 1) * a = a ^ n
context: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I
goal: (Φ.restrict (lieIdealSubalgebra K L I).toSubmodule).Nondegenerate
context: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I
goal: IsCompl (lieIdealSubalgebra K L I).toSubmodule (Φ.orthogonal (lieIdealSubalgebra K L I).toSubmodule)
context: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
x y : M₁
goal: -(B x) y = (B y) x