ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
this : ∀ K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V, index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card
goal: Disjoint (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K₁.carrier).Nonempty) s) (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K₂.carrier).Nonempty) s)
context: G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
this : ∀ K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V, index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card
g₁ : G
a✝ : g₁ ∈ s
g₂ : G
h1g₂ : g₂ ∈ (fun h => g₁ * h) ⁻¹' V
h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier
g₃ : G
h1g₃ : g₃ ∈ (fun h => g₁ * h) ⁻¹' V
h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier
goal: False
context: G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
this : ∀ K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V, index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card
g₁ : G
a✝ : g₁ ∈ s
g₂ : G
h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier
g₃ : G
h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier
h1g₃ : g₁ * g₃ ∈ V
h1g₂ : g₁ * g₂ ∈ V
goal: False
context: G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
this : ∀ K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V, index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card
g₁ : G
a✝ : g₁ ∈ s
g₂ : G
h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier
g₃ : G
h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier
h1g₃ : g₁ * g₃ ∈ V
h1g₂ : g₁ * g₂ ∈ V
goal: g₁⁻¹ ∈ K₁.carrier * V⁻¹ ⊓ K₂.carrier * V⁻¹
context: α : Type u
n : ℕ
goal: (finRange n).length = n
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : b₁ ≤ b₂
goal: Ioo a₁ b₁ ∩ Ioc a₂ b₂ = Ioo (max a₁ a₂) b₁
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
α : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (α i)
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → α i → E
l : Π₀ (i : ι), α i
x : E
goal: ⟪l.sum f, x⟫_𝕜 = l.sum fun i a => ⟪f i a, x⟫_𝕜
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
f : α →₀ M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
goal: (fun f => ⇑f) (filter p f + filter (fun a => ¬p a) f) = (fun f => ⇑f) f
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
f : α →₀ M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
goal: {x | p x}.indicator ⇑f + {a | ¬p a}.indicator ⇑f = ⇑f
context: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m₁ m₂ : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
hle : m₁ ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] m₂
goal: mkMetric m₁ ≤ mkMetric m₂
context: R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
W : Submodule R M
φ : Dual R M
goal: φ ∈ LinearMap.range W.mkQ.dualMap ↔ φ ∈ W.dualAnnihilator
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve α r' ⊓ Presheaf.imageSieve φ m
goal: smul α φ (r * r') m = smul α φ r (smul α φ r' m)
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve α r' ⊓ Presheaf.imageSieve φ m
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
goal: smul α φ (r * r') m = smul α φ r (smul α φ r' m)
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y✝ : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y✝
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve α r' ⊓ Presheaf.imageSieve φ m
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
Y : C
f : Y ⟶ Opposite.unop X
r₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Y))
hr₀ : (α.app (Opposite.op Y)) r₀ = (R.val.map f.op) r
r₀' : ↑(R₀.obj (Opposite.op Y))
hr₀' : (α.app (Opposite.op Y)) r₀' = (R.val.map f.op) r'
m₀ : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) m
goal: (A.val.map f.op) (smul α φ (r * r') m) = (A.val.map f.op) (smul α φ r (smul α φ r' m))
context: G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
a : α
x : β
ht : t ∈ 𝓝 x
goal: a • t ∈ 𝓝 (a • x)
context: G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
a : α
x : β
ht : t ∈ 𝓝 x
u : Set β
ut : u ⊆ t
u_open : IsOpen u
hu : x ∈ u
goal: a • t ∈ 𝓝 (a • x)
context: ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
C : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K L : HomologicalComplex C c
f g : K ⟶ L
h : Homotopy f g
this : DecidableRel c.Rel
goal: AreEqualizedByLocalization (HomologicalComplex.quasiIso C c) f g
context: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : EnoughInjectives C
X Y : C
f : X ⟶ Y
α : ShortComplex.mk f (cokernel.π f) ⋯ ⟶ ShortComplex.mk f (d f) ⋯ := { τ₁ := 𝟙 (ShortComplex.mk f (cokernel.π f) ⋯).X₁, τ₂ := 𝟙 (ShortComplex.mk f (cokernel.π f) ⋯).X₂, τ₃ := ι (ShortComplex.mk f (cokernel.π f) ⋯).X₃, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
this✝¹ : Epi α.τ₁
this✝ : IsIso α.τ₂
this : Mono α.τ₃
goal: (ShortComplex.mk f (d f) ⋯).Exact
context: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : EnoughInjectives C
X Y : C
f : X ⟶ Y
α : ShortComplex.mk f (cokernel.π f) ⋯ ⟶ ShortComplex.mk f (d f) ⋯ := { τ₁ := 𝟙 (ShortComplex.mk f (cokernel.π f) ⋯).X₁, τ₂ := 𝟙 (ShortComplex.mk f (cokernel.π f) ⋯).X₂, τ₃ := ι (ShortComplex.mk f (cokernel.π f) ⋯).X₃, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
this✝¹ : Epi α.τ₁
this✝ : IsIso α.τ₂
this : Mono α.τ₃
goal: (ShortComplex.mk f (cokernel.π f) ⋯).Exact
context: Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
goal: ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑R
context: Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
goal: ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |(μ[f (i + 1) - f i|↑ℱ i]) ω| ≤ ↑R
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
goal: Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atBot ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atTop
context: X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
goal: pullback.fst f g = ((pullback.isLimit f g).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (cospan f g))).hom ≫ Limits.pullback.fst f g
context: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : V → E
hf : Integrable f volume
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) volume
goal: 𝓕 (fderiv ℝ f) = fourierSMulRight (-innerSL ℝ) (𝓕 f)
context: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : V → E
hf : Integrable f volume
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) volume
goal: 𝓕 (fderiv ℝ f) = fourierSMulRight (-(innerSL ℝ).flip) (𝓕 f)
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, f n = some a → f (n + 1) = some a
goal: (think ⟨f, al⟩).tail = ⟨f, al⟩
context: n a b : ℕ
H : unpair n = (a, b)
goal: pair a b = n
context: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
goal: dist p₁ p₃ / |(∡ p₁ p₂ p₃).sin| / 2 = s.radius
context: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
goal: |(∡ p₁ p₂ p₃).sin| = (∡ p₃ p₁ s.center).cos
context: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
goal: |(∡ p₃ p₁ s.center).toReal| ≤ π / 2
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
goal: nndist f g = r ↔ (∃ i, nndist (f i) (g i) = r) ∧ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
goal: ((∃ x, ¬nndist (f x) (g x) < r) ∧ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r) ↔ (∃ i, nndist (f i) (g i) = r) ∧ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r
goal: (∃ x, r ≤ nndist (f x) (g x)) ↔ ∃ i, nndist (f i) (g i) ≤ r ∧ r ≤ nndist (f i) (g i)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r
b : β
goal: r ≤ nndist (f b) (g b) ↔ nndist (f b) (g b) ≤ r ∧ r ≤ nndist (f b) (g b)
context: α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
l : List α✝
goal: Pairwise R l ↔ ∀ (i j : Nat) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → R l[i] l[j]
context: V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
h : Continuous f
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
goal: 𝓕⁻ (𝓕 f) v = f v
context: X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
goal: x ∈ closure s ↔ ∃ u, s ∈ u ∧ ↑u ≤ 𝓝 x
context: α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
s : Set (UniformSpace α)
goal: toTopologicalSpace = ⨅ i ∈ s, toTopologicalSpace
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set β
goal: ⋂ i, s i = (⋃ i, (s i)ᶜ)ᶜ
context: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ X Y : C
h : IsTerminal X
c : BinaryFan X Y
goal: Nonempty (IsLimit c) ↔ IsIso c.snd
context: α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s✝ : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
hY : Measurable Y
x : β
hX : (Measure.map X μ) {x} ≠ 0
s : Set Ω
goal: ((condDistrib Y X μ) x) s = ((Measure.map X μ) {x})⁻¹ * (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ) ({x} ×ˢ s)
context: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : Option α → β → γ
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
goal: map₂Right f as bs = (map₂Right' f as bs).1
context: 𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁷ : AddCommGroup E
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : Module 𝕜 F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F'
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 E)) 𝕜 E := Basis.ofVectorSpace 𝕜 E
goal: Continuous ⇑f
context: 𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁷ : AddCommGroup E
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : Module 𝕜 F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F'
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 E)) 𝕜 E := Basis.ofVectorSpace 𝕜 E
A : Continuous ⇑b.equivFun
goal: Continuous ⇑f
context: 𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁷ : AddCommGroup E
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : Module 𝕜 F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F'
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 E)) 𝕜 E := Basis.ofVectorSpace 𝕜 E
A : Continuous ⇑b.equivFun
B : Continuous ⇑(f ∘ₗ ↑b.equivFun.symm)
goal: Continuous ⇑f
context: 𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁷ : AddCommGroup E
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : Module 𝕜 F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F'
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 E)) 𝕜 E := Basis.ofVectorSpace 𝕜 E
A : Continuous ⇑b.equivFun
B : Continuous ⇑(f ∘ₗ ↑b.equivFun.symm)
this : Continuous (⇑(f ∘ₗ ↑b.equivFun.symm) ∘ ⇑b.equivFun)
x : E
goal: f x = f (b.equivFun.symm ⇑(b.repr x))
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
x : α
r : ℝ
hr : 0 < r
K : ℝ
h : ∀ (y : α), dist y x < r → dist (f y) (f x) ≤ K * dist y x
goal: ContinuousAt f x
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
x : α
r : ℝ
hr : 0 < r
K : ℝ
h : ∀ (y : α), dist y x < r → dist (f y) (f x) ≤ K * dist y x
goal: Tendsto (fun a => K * dist a x) (𝓝 x) (𝓝 0)
context: a x y : ℂ
hx : x ≠ 0
goal: angle x 1 = |x.arg|
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
goal: ae μ = ⊥ ↔ μ = 0
context: α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Ring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a b : α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
goal: a * b ≤ 0 ↔ (0 < a → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → 0 ≤ a)
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
goal: a / b ≤ c ↔ a ≤ b * c
context: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝¹ : TopologicalSpace ι
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
goal: Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ F) ↔ Inducing F
context: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝¹ : TopologicalSpace ι
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
goal: inst✝¹ = UniformSpace.toTopologicalSpace ↔ inst✝¹ = UniformSpace.toTopologicalSpace
context: B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
goal: ∃ ω, cs.IsReduced ω ∧ w = cs.wordProd ω
context: B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hω : ω.length = cs.length (cs.wordProd ω)
goal: ∃ ω_1, cs.IsReduced ω_1 ∧ cs.wordProd ω = cs.wordProd ω_1
context: B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hω : ω.length = cs.length (cs.wordProd ω)
goal: cs.IsReduced ω ∧ cs.wordProd ω = cs.wordProd ω
context: R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
goal: DiscreteValuationRing R
context: R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
goal: IsPrincipalIdealRing R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime
context: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
goal: ∃ Z g h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles C
context: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Z ⟶ Opposite.unop Y
h : Opposite.unop X ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z
H : Triangle.mk g f.unop h ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
goal: Triangle.mk f g.op ((opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op Z) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map h.op) ∈ distinguishedTriangles C
context: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Z ⟶ Opposite.unop Y
h : Opposite.unop X ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z
H : Triangle.mk g f.unop h ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
goal: Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj (Triangle.mk f g.op ((opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op Z) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map h.op))) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
context: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Z ⟶ Opposite.unop Y
h : Opposite.unop X ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z
H : Triangle.mk g f.unop h ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
goal: Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj (Triangle.mk f g.op ((opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op Z) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map h.op))) ≅ Triangle.mk g f.unop h
context: α : Type u
σ σ' : Type v
M : NFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx : x ∈ M.accepts
hlen : Fintype.card (Set σ) ≤ x.length
goal: ∃ a b c, x = a ++ b ++ c ∧ a.length + b.length ≤ Fintype.card (Set σ) ∧ b ≠ [] ∧ {a} * {b}∗ * {c} ≤ M.accepts
context: α : Type u
σ σ' : Type v
M : NFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx : x ∈ M.toDFA.accepts
hlen : Fintype.card (Set σ) ≤ x.length
goal: ∃ a b c, x = a ++ b ++ c ∧ a.length + b.length ≤ Fintype.card (Set σ) ∧ b ≠ [] ∧ {a} * {b}∗ * {c} ≤ M.toDFA.accepts
context: J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
s : Cone (e.functor ⋙ F)
k : K
goal: (((whiskering e.inverse ⋙ postcompose (e.invFunIdAssoc F).hom) ⋙ whiskering e.functor).obj s).π.app k = (Iso.refl (((whiskering e.inverse ⋙ postcompose (e.invFunIdAssoc F).hom) ⋙ whiskering e.functor).obj s).pt).hom ≫ ((𝟭 (Cone (e.functor ⋙ F))).obj s).π.app k
context: α : Type u_1
inst✝³ : CompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t s : Set α
goal: sInf s⁻¹ = (sSup s)⁻¹
context: α : Type u_1
inst✝³ : CompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t s : Set α
goal: ⨅ a ∈ s, a⁻¹ = (sSup s)⁻¹
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
hs : x ∉ s
goal: HasDerivWithinAt f f' s x ↔ Tendsto (slope f x) (𝓝[s] x) (𝓝 f')