ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : TopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Countable ↥Γ
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝³ : SigmaFinite ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
s : Set G
h : ν s = μ univ
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
finiteCovol : μ univ < ⊤
meas_s_ne_zero : ¬ν s = 0
goal: QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x✝ y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → α
hf : LipschitzWith K f
x : α
n : ℕ
goal: edist (f^[n] x) (f^[n + 1] x) ≤ edist x (f x) * ↑K ^ n
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x✝ y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → α
hf : LipschitzWith K f
x : α
n : ℕ
goal: edist (f^[n] x) ((f^[n] ∘ f) x) ≤ ↑K ^ n * edist x (f x)
context: α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
x : α
hffx : f (f x) = x
n : ℕ
h : (f ^ n) x = x
goal: (f ^ (n + 1)) x = f x
context: α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
x : α
hffx : f (f x) = x
n : ℕ
h : (f ^ n) x = f x
goal: (f ^ (n + 1)) x = x
context: a b n : ℕ
goal: n.ceilRoot a ≠ 0 ↔ n ≠ 0 ∧ a ≠ 0
context: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Adapted ℱ f
hab : a < b
goal: ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖↑(upcrossingsBefore a b f N ω)‖ ≤ ↑N
context: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω✝ : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Adapted ℱ f
hab : a < b
ω : Ω
goal: ‖↑(upcrossingsBefore a b f N ω)‖ ≤ ↑N
context: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω✝ : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Adapted ℱ f
hab : a < b
ω : Ω
goal: upcrossingsBefore a b f N ω ≤ N
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
goal: Ico a b = ∅ ↔ ¬a < b
context: F : Type w
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
g : S✝ →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S✝
ι : Sort u_2
hι : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
goal: x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
context: F : Type w
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
g : S✝ →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S✝
ι : Sort u_2
hι : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
goal: x ∈ ⨆ i, S i → ∃ i, x ∈ S i
context: F : Type w
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
g : S✝ →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S✝
ι : Sort u_2
hι : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
U : NonUnitalSubring R := NonUnitalSubring.mk' (⋃ i, ↑(S i)) (⨆ i, (S i).toSubsemigroup) (⨆ i, (S i).toAddSubgroup) ⋯ ⋯
goal: ⨆ i, S i ≤ U
context: α : Type u
r : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
inst✝¹ : Inhabited α
inst✝ : Preorder α
a : α
l : List α
h : Sorted (fun x x_1 => x > x_1) l
ha : a ∈ l
goal: a ≤ l.head!
context: x : ℝ*
h : x.Infinite
goal: (-x).st = -x.st
context: G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsOpen t
goal: IsOpen (s • t)
context: G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsOpen t
goal: IsOpen (⋃ a ∈ s, a • t)
context: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℤ
goal: (W.Φ n).leadingCoeff = 1
context: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬C p.content = 0
goal: p.primPart.natDegree = p.natDegree
context: a b : Prop
goal: Xor' (¬a) ¬b ↔ Xor' a b
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
μ : Measure α
goal: f.lintegral (μ.restrict (⋃ i, s i)) = ⨆ i, f.lintegral (μ.restrict (s i))
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
μ : Measure α
goal: ∑ x ∈ f.range, ⨆ i, x * (μ.restrict (s i)) (↑f ⁻¹' {x}) = ⨆ i, ∑ x ∈ f.range, x * (μ.restrict (s i)) (↑f ⁻¹' {x})
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
μ : Measure β
inst✝¹ : SFinite μ
ν : Measure γ
inst✝ : SFinite ν
x : α
s✝ : Set (β × γ)
a✝ : MeasurableSet s✝
goal: ((const α μ ×ₖ const α ν) x) s✝ = ((const α (μ.prod ν)) x) s✝
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
h : x ≠ y
goal: ∃ s, MeasurableSet s ∧ x ∈ s ∧ y ∉ s
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → x ∈ s → y ∈ s
goal: x = y
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
k : ℕ
hk : a ^ k ∣ b
hsucc : ¬a ^ (k + 1) ∣ b
this : Finite a b
goal: multiplicity a b ≤ ↑k
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
k : ℕ
hk : a ^ k ∣ b
hsucc : ¬a ^ (k + 1) ∣ b
this : Finite a b
goal: ∃ (h : (multiplicity a b).Dom), (multiplicity a b).get h ≤ k
context: M : Type u_1
N : Type u_2
S : Type u_3
M₀ : Type u_4
M₁ : Type u_5
R : Type u_6
G : Type u_7
G₀ : Type u_8
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : Monoid N
inst✝⁵ : Semigroup S
inst✝⁴ : MulZeroClass M₀
inst✝³ : MulOneClass M₁
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : CancelMonoidWithZero G₀
p : R
h : IsIdempotentElem p
goal: IsIdempotentElem (1 - p)
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
y : ↥(localizationLocalizationSubmodule M N)
goal: IsUnit ((algebraMap R T) ↑y)
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
y : ↥(localizationLocalizationSubmodule M N)
y' : ↥N
z : ↥M
eq : (algebraMap R S) ↑y = ↑y' * (algebraMap R S) ↑z
goal: IsUnit ((algebraMap R T) ↑y)
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
y : ↥(localizationLocalizationSubmodule M N)
y' : ↥N
z : ↥M
eq : (algebraMap R S) ↑y = ↑y' * (algebraMap R S) ↑z
goal: IsUnit ((algebraMap S T) ↑y') ∧ IsUnit ((algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑z))
context: R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
r : R
goal: x * (x - (algebraMap R A) r) = (x - (algebraMap R A) r) * x
context: α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁴ : OrderedRing α
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : a < 0
goal: a • b₁ ≤ a • b₂ ↔ b₂ ≤ b₁
context: α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁴ : OrderedRing α
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : a < 0
goal: -a • b₂ ≤ -a • b₁ ↔ b₂ ≤ b₁
context: G : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
H : μ'.haarScalarFactor μ = 0
goal: False
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G H✝ I✝ : C ⥤ D
H I : D ⥤ E
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
X Y : C
f : X ⟶ Y
goal: (F ⋙ H).map f ≫ (fun X => β.app (F.obj X) ≫ I.map (α.app X)) Y = (fun X => β.app (F.obj X) ≫ I.map (α.app X)) X ≫ (G ⋙ I).map f
context: σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set (σ →₀ ℕ)
goal: x ∈ Ideal.span ((fun s => (monomial s) 1) '' s) ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ s, (monomial si) 1 ∣ (monomial xi) (coeff xi x)
context: σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set (σ →₀ ℕ)
xi : σ →₀ ℕ
hxi : xi ∈ x.support
goal: (∃ si ∈ s, si ≤ xi) ↔ ∃ si ∈ s, (monomial si) 1 ∣ (monomial xi) (coeff xi x)
context: R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : R_hat R K
goal: { toFun := fun x v => ↑(x v), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x v => ↑(x v), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x v => ↑(x v), map_one' := ⋯ }.toFun y
context: R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : R_hat R K
p : HeightOneSpectrum R
goal: { toFun := fun x v => ↑(x v), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) p = ({ toFun := fun x v => ↑(x v), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x v => ↑(x v), map_one' := ⋯ }.toFun y) p
context: R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : R_hat R K
p : HeightOneSpectrum R
goal: ↑((x * y) p) = ((fun v => ↑(x v)) * fun v => ↑(y v)) p
context: α : Type u_1
a : α
l : List α
p : α → Option α
h : p a = none
goal: replaceF p (a :: l) = a :: replaceF p l
context: α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
goal: ‖(map f p).coeff i‖ ≤ B ^ (p.natDegree - i) * ↑(p.natDegree.choose i)
context: α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
goal: ‖(map f p).coeff i‖ ≤ B ^ (p.natDegree - i) * ↑(p.natDegree.choose i)
context: α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
goal: ‖(map f p).coeff i‖ ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i) * ↑((map f p).natDegree.choose i)
context: α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
goal: ‖(map f p).coeff i‖ ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i) * ↑((map f p).natDegree.choose i)
context: α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
goal: ‖(map f p).roots.esymm ((map f p).natDegree - i)‖ ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i) * ↑((map f p).natDegree.choose i)
context: α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
r : ℝ
hr : r ∈ Multiset.map (fun x => ‖x‖) (Multiset.map prod (powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots))
goal: r ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i)
context: α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ∈ powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots
goal: ‖s.prod‖ ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i)
context: α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ≤ (map f p).roots ∧ card s = (map f p).natDegree - i
B : ℝ≥0
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B
goal: ‖s.prod‖ ≤ ↑B ^ ((map f p).natDegree - i)
context: α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ≤ (map f p).roots ∧ card s = (map f p).natDegree - i
B : ℝ≥0
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B
goal: (Multiset.map (⇑↑nnnormHom) s).prod ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i)
context: α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ≤ (map f p).roots ∧ card s = (map f p).natDegree - i
B : ℝ≥0
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B
x : ℝ≥0
hx : x ∈ Multiset.map (⇑↑nnnormHom) s
goal: x ≤ B
context: α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ≤ (map f p).roots ∧ card s = (map f p).natDegree - i
B : ℝ≥0
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B
z : K
hz : z ∈ s
hx : ↑nnnormHom z ∈ Multiset.map (⇑↑nnnormHom) s
goal: ↑nnnormHom z ≤ B
context: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
goal: toIcoMod hp (m • p + a) b = m • p + toIcoMod hp a b
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
goal: (gaugeSeminorm ⋯ ⋯ ⋯).ball 0 1 = ↑s
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
goal: {y | (gaugeSeminorm ⋯ ⋯ ⋯) y < 1} = ↑s
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
goal: {y | gauge (↑s) y < 1} = ↑s
context: 𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
y : E
ε : ℝ
a : E
goal: a ∈ ball y ε ↔ a ∈ {x | ‖x / y‖ < ε}
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
f : α → G
inst✝ : T2Space G
a : G
goal: ∏' (x : β), a = a ^ Nat.card β
context: M : Type u_1
inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝⁵ : Unique Mˣ
inst✝⁴ : Unique Nˣ
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
goal: multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n = multiplicity p m
context: M : Type u_1
inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝⁵ : Unique Mˣ
inst✝⁴ : Unique Nˣ
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
goal: multiplicity p m = multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n
context: M : Type u_1
inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝⁵ : Unique Mˣ
inst✝⁴ : Unique Nˣ
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
goal: multiplicity (Associates.mk p) (Associates.mk m) = multiplicity (Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩)) (Associates.mk n)
context: M : Type u_1
inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝⁵ : Unique Mˣ
inst✝⁴ : Unique Nˣ
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
this : Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩) = ↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)
goal: multiplicity (Associates.mk p) (Associates.mk m) = multiplicity (↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)) (Associates.mk n)
context: M : Type u_1
inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝⁵ : Unique Mˣ
inst✝⁴ : Unique Nˣ
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
this : Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩) = ↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)
goal: Associates.mk p ∈ normalizedFactors (Associates.mk m)
context: M : Type u_1
inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝⁵ : Unique Mˣ
inst✝⁴ : Unique Nˣ
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
this : Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩) = ↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)
q : Associates M
hq : q ∈ normalizedFactors (Associates.mk m)
hq' : Associated (Associates.mk p) q
goal: Associates.mk p ∈ normalizedFactors (Associates.mk m)
context: α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
goal: Tendsto (fun n => ∫ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), F x ∂μ))
context: α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
goal: Tendsto (fun n => ∫ (x : α), -f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), -F x ∂μ))
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
h₂ : MeasurableEmbedding f
g : β → γ
goal: AEMeasurable (g ∘ f) μa ↔ AEMeasurable g μb
context: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1
B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1
goal: (fun h => f (x + h • (2 • v + 2 • w)) + f (x + h • (v + w)) - f (x + h • (2 • v + w)) - f (x + h • (v + 2 • w)) - h ^ 2 • (f'' v) w) =o[𝓝[>] 0] fun h => h ^ 2
context: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1
B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1
C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w
goal: (fun h => f (x + h • (2 • v + 2 • w)) + f (x + h • (v + w)) - f (x + h • (2 • v + w)) - f (x + h • (v + 2 • w)) - h ^ 2 • (f'' v) w) =o[𝓝[>] 0] fun h => h ^ 2