ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N P : Mon_ C
goal: tensor_μ C (M.X ⊗ N.X, P.X) (M.X ⊗ N.X, P.X) ≫ (tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) ⊗ P.mul) ≫ (α_ M.X N.X P.X).hom = ((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫ (M.mul ⊗ tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X) ≫ (N.mul ⊗ P.mul))
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N P : Mon_ C
goal: tensor_μ C (M.X ⊗ N.X, P.X) (M.X ⊗ N.X, P.X) ≫ ((tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ⊗ 𝟙 (P.X ⊗ P.X)) ≫ ((M.mul ⊗ N.mul) ⊗ P.mul)) ≫ (α_ M.X N.X P.X).hom = ((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫ (M.mul ⊗ tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X) ≫ (N.mul ⊗ P.mul))
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N P : Mon_ C
goal: tensor_μ C (M.X ⊗ N.X, P.X) (M.X ⊗ N.X, P.X) ≫ (tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ⊗ 𝟙 (P.X ⊗ P.X)) ≫ (α_ (M.X ⊗ M.X) (N.X ⊗ N.X) (P.X ⊗ P.X)).hom ≫ (M.mul ⊗ N.mul ⊗ P.mul) = ((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫ (M.mul ⊗ tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X) ≫ (N.mul ⊗ P.mul))
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N P : Mon_ C
goal: tensor_μ C (M.X ⊗ N.X, P.X) (M.X ⊗ N.X, P.X) ≫ (tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ⊗ 𝟙 (P.X ⊗ P.X)) ≫ (α_ (M.X ⊗ M.X) (N.X ⊗ N.X) (P.X ⊗ P.X)).hom ≫ (M.mul ⊗ N.mul ⊗ P.mul) = ((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫ (𝟙 (M.X ⊗ M.X) ⊗ tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X)) ≫ (M.mul ⊗ N.mul ⊗ P.mul)
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N P : Mon_ C
goal: tensor_μ C (M.X ⊗ N.X, P.X) (M.X ⊗ N.X, P.X) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ▷ (P.X ⊗ P.X) ≫ (α_ (M.X ⊗ M.X) (N.X ⊗ N.X) (P.X ⊗ P.X)).hom ≫ (M.mul ⊗ N.mul ⊗ P.mul) = ((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫ (M.X ⊗ M.X) ◁ tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul ⊗ P.mul)
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N P : Mon_ C
goal: (((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫ (M.X ⊗ M.X) ◁ tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X)) ≫ (M.mul ⊗ N.mul ⊗ P.mul) = ((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫ (M.X ⊗ M.X) ◁ tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul ⊗ P.mul)
context: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
P : C
hP : Projective (F.obj P)
E✝ X✝ : C
f : P ⟶ X✝
g : E✝ ⟶ X✝
x✝ : Epi g
this : PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v, v', u, u'} F
goal: ∃ f', f' ≫ g = f
context: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
P : C
hP : Projective (F.obj P)
E✝ X✝ : C
f : P ⟶ X✝
g : E✝ ⟶ X✝
x✝ : Epi g
this : PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v, v', u, u'} F
f' : F.obj P ⟶ F.obj E✝
hf' : f' ≫ F.map g = F.map f
goal: ∃ f', f' ≫ g = f
context: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
P : C
hP : Projective (F.obj P)
E✝ X✝ : C
f : P ⟶ X✝
g : E✝ ⟶ X✝
x✝ : Epi g
this : PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v, v', u, u'} F
f' : F.obj P ⟶ F.obj E✝
hf' : f' ≫ F.map g = F.map f
goal: (adj.unit.app P ≫ G.map f' ≫ inv (adj.unit.app E✝)) ≫ g = f
context: R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]
goal: (erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }).support = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.support.erase n
context: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
goal: angle x y = 0 ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x
context: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
goal: ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) ≤ 1
context: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
goal: S.f ≫ 𝟙 S.X₂ = 0
context: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
goal: h.descQ (𝟙 S.X₂) ⋯ ≫ h.p = 𝟙 h.Q
context: α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s : Multiset α
n : ℕ
goal: a ∈ n • s ↔ n ≠ 0 ∧ a ∈ s
context: α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s : Multiset α
n : ℕ
h : n ≠ 0 ∧ a ∈ s
goal: a ∈ n • s
context: α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s : Multiset α
n : ℕ
h : n.succ ≠ 0 ∧ a ∈ s
goal: a ∈ n.succ • s
context: α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s : Multiset α
n : ℕ
h : n.succ ≠ 0 ∧ a ∈ s
goal: a ∈ n • s ∨ a ∈ s
context: n : ℕ
c : Composition n
i : Fin c.length
j : Fin (c.blocksFun i)
goal: i = c.index ((c.embedding i) j)
context: n : ℕ
c : Composition n
i : Fin c.length
j : Fin (c.blocksFun i)
goal: (c.embedding i) j ∈ Set.range ⇑(c.embedding i)
context: X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↑↑Y.toPresheafedSpace
goal: x ∈ Set.range ⇑((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base
context: X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↑↑Y.toPresheafedSpace
goal: Function.Surjective ⇑((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base
context: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f : E → F
R : ℝ
s : Set E
hR : R ≠ 0
e : E ≃ᵐ E := (Homeomorph.smul (Units.mk0 R hR)).toMeasurableEquiv
goal: ∫ (x : E) in s, f (R • x) ∂μ = |(R ^ finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (x : E) in R • s, f x ∂μ
context: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
inst✝¹ : FinitePresentation R A
inst✝ : FinitePresentation R B
goal: (RingHom.ker f.toRingHom).FG
context: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
inst✝¹ : FinitePresentation R A
inst✝ : FinitePresentation R B
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hg : Surjective ⇑g
right✝ : (RingHom.ker g.toRingHom).FG
goal: (RingHom.ker f.toRingHom).FG
context: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
inst✝¹ : FinitePresentation R A
inst✝ : FinitePresentation R B
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hg : Surjective ⇑g
right✝ : (RingHom.ker g.toRingHom).FG
goal: RingHom.ker f.toRingHom = Ideal.map g.toRingHom (RingHom.ker (f.comp g).toRingHom)
context: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
inst✝¹ : FinitePresentation R A
inst✝ : FinitePresentation R B
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hg : Surjective ⇑g
right✝ : (RingHom.ker g.toRingHom).FG
goal: Ideal.comap ↑f ⊥ = Ideal.map (↑g) (Ideal.comap ((↑f).comp ↑g) ⊥)
context: ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
hx : x ∈ closure s
goal: infDist x s = 0
context: ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
hx : x ∈ closure s
goal: infDist x (closure s) = 0
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
goal: actLeft P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q = (α_ R.X (X P Q) T.X).hom ≫ R.X ◁ actRight P Q ≫ actLeft P Q
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
goal: (R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ▷ T.X ≫ actLeft P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q = (R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ▷ T.X ≫ (α_ R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X).hom ≫ R.X ◁ actRight P Q ≫ actLeft P Q
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
goal: ((α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ T.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X ▷ T.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X) ≫ actRight P Q = (R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ▷ T.X ≫ (α_ R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X).hom ≫ R.X ◁ actRight P Q ≫ actLeft P Q
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
goal: (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ T.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X ▷ T.X ≫ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ▷ T.X ≫ (α_ R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X).hom ≫ R.X ◁ actRight P Q ≫ actLeft P Q
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
goal: (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ T.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X T.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ T.X)) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ▷ T.X ≫ (α_ R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X).hom ≫ R.X ◁ actRight P Q ≫ actLeft P Q
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
goal: (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ T.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X T.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ T.X)) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (((α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) T.X).hom ≫ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X) ≫ R.X ◁ actRight P Q) ≫ actLeft P Q
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
goal: (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ T.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X T.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ T.X)) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) T.X).hom ≫ (R.X ◁ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ R.X ◁ P.X ◁ Q.actRight ≫ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ actLeft P Q
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
goal: (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ T.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X T.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ T.X)) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) T.X).hom ≫ R.X ◁ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ R.X ◁ P.X ◁ Q.actRight ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ P.actLeft ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
goal: (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ T.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X T.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ T.X)) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) T.X).hom ≫ R.X ◁ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ (((α_ R.X P.X (Q.X ⊗ T.X)).inv ≫ (R.X ⊗ P.X) ◁ Q.actRight) ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)
context: α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
l : List α
a : α
goal: (l.any fun a => decide (p a)) = true ↔ ∃ a, a ∈ l ∧ p a
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ q✝ : α → Prop
inst✝⁴ : DecidablePred p✝
inst✝³ : DecidablePred q✝
s✝ t : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
s : Finset α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
goal: filter (fun a => p a ∧ ¬q a) s = filter p s \ filter q s
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
goal: UniformIntegrable f p μ
context: M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : AddMonoid N
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddGroup H
s : Set G
inst✝ : Finite ↑s
this : Fintype ↑s
goal: Group.rank ↥(closure s) ≤ Nat.card ↑s
context: M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : AddMonoid N
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddGroup H
s : Set G
inst✝ : Finite ↑s
this : Fintype ↑s
goal: Group.rank ↥(closure ↑s.toFinset) ≤ s.toFinset.card
context: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h : l.Nodup
goal: pmap l.next l ⋯ = l.rotate 1
context: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → β → α
S : Set β
hα : (𝓤 α).HasBasis p s
goal: UniformEquicontinuousOn F S ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ s k
context: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → β → α
S : Set β
hα : (𝓤 α).HasBasis p s
goal: (∀ (i : κ), p i → ∀ᶠ (x : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ (UniformFun.gen ι α ∘ s) i) ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ s k
context: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
ℱ : Filter ι
f : X → α
goal: Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ F) ℱ (𝓝 (UniformFun.ofFun f)) ↔ Tendsto F ℱ (𝓝 f)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂✝ : List α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
a : α
h : a ∈ l₁
goal: count a l₁.dedup = count a l₂.dedup
context: α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂✝ : List α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
a : α
h : a ∉ l₁
goal: count a l₁.dedup = count a l₂.dedup
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
x : E
goal: (k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c) ((fun x => k • x +ᵥ c) x) = x
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
p : P
goal: (fun x => k • x +ᵥ c) ((k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c) p) = p
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
x y : E
goal: edist ({ toFun := fun x => k • x +ᵥ c, invFun := k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x) ({ toFun := fun x => k • x +ᵥ c, invFun := k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y) = ↑‖k‖₊ * edist x y
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
x y : E
goal: edist (k • x) (k • y) = ↑‖k‖₊ * edist x y
context: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
goal: Continuous fun f => Integrable.toL1 ↑↑f ⋯
context: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : ↥(Lp G 1 μ)
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
goal: ∃ δ > 0, ∀ (a : ↥(Lp G 1 μ)), dist a f < δ → dist (Integrable.toL1 ↑↑a ⋯) (Integrable.toL1 ↑↑f ⋯) < ε
context: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : ↥(Lp G 1 μ)
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
goal: ε / 2 / c'.toReal > 0 ∧ ∀ (a : ↥(Lp G 1 μ)), dist a f < ε / 2 / c'.toReal → dist (Integrable.toL1 ↑↑a ⋯) (Integrable.toL1 ↑↑f ⋯) < ε
context: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : ↥(Lp G 1 μ)
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : ↥(Lp G 1 μ)
hfg : dist g f < ε / 2 / c'.toReal
goal: dist (Integrable.toL1 ↑↑g ⋯) (Integrable.toL1 ↑↑f ⋯) < ε
context: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : ↥(Lp G 1 μ)
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : ↥(Lp G 1 μ)
hfg : (eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ).toReal < ε / 2 / c'.toReal
goal: (eLpNorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g ⋯) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f ⋯)) 1 μ').toReal < ε
context: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : ↥(Lp G 1 μ)
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : ↥(Lp G 1 μ)
hfg : (eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ).toReal < ε / 2 / c'.toReal
h_int : ∀ (f' : ↥(Lp G 1 μ)), Integrable (↑↑f') μ' := fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
goal: (eLpNorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g ⋯) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f ⋯)) 1 μ').toReal < ε
context: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : ↥(Lp G 1 μ)
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : ↥(Lp G 1 μ)
hfg : (eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ).toReal < ε / 2 / c'.toReal
h_int : ∀ (f' : ↥(Lp G 1 μ)), Integrable (↑↑f') μ' := fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this : eLpNorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g ⋯) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f ⋯)) 1 μ' = eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
goal: (eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ').toReal < ε