ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
b c : Cardinal.{u_1}
hbc : ↑n ∣ b * c
h' : ℵ₀ ≤ b * c
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hℵ₀ : ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c
hn : ↑n ≠ 0
this : ∀ {a b : Cardinal.{u}} {n : ℕ} {m : ℕ}, (∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b) → ∀ (b c : Cardinal.{u_1}), ↑n ∣ b * c → ℵ₀ ≤ b * c → b ≠ 0 → c ≠ 0 → ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c → ↑n ≠ 0 → ℵ₀ ≤ b → ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c
hℵ₀b : ¬ℵ₀ ≤ b
goal: ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c
context: n✝ : ℕ
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
b c : Cardinal.{u_1}
hbc : ↑n ∣ b * c
h' : ℵ₀ ≤ b * c
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hℵ₀ : ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c
hn : ↑n ≠ 0
hℵ₀b : ℵ₀ ≤ b
goal: ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c
context: R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j
v : F
goal: { proj := (b, v).1, snd := (Z.coordChange i (Z.indexAt (b, v).1) (b, v).1) (b, v).2 }.proj ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet (Z.indexAt { proj := (b, v).1, snd := (Z.coordChange i (Z.indexAt (b, v).1) (b, v).1) (b, v).2 }.proj) ∩ Z.baseSet j
context: R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j
v : F
goal: b ∈ (Z.localTriv i).baseSet ∩ (Z.localTriv j).baseSet
context: X : Type u_1
Y✝ : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X'
inst✝² : TopologicalSpace Y'
ι : Type u_6
p : ι → Prop
Y : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
inst✝ : DecidablePred p
j : ι
h✝ : p j
goal: Continuous fun a => a.1 ⟨j, h✝⟩
context: X : Type u_1
Y✝ : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X'
inst✝² : TopologicalSpace Y'
ι : Type u_6
p : ι → Prop
Y : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
inst✝ : DecidablePred p
j : ι
h✝ : ¬p j
goal: Continuous fun a => a.2 ⟨j, h✝⟩
context: X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I
h : ¬↑t ≤ 1 / 2
goal: γ (qRight (t, 0)) = y
context: X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I
h : ↑t ≤ 1 / 2
goal: γ (qRight (t, 0)) = γ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩
context: X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I
h : ¬↑t ≤ 1 / 2
goal: γ (qRight (t, 0)) = γ 1
context: X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I
h : ↑t ≤ 1 / 2
goal: γ (qRight (t, 0)) = γ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩
context: X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I
h : ¬↑t ≤ 1 / 2
goal: (if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1) = ↑1
context: X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I
h : ↑t ≤ 1 / 2
goal: (if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1) = ↑⟨2 * ↑t, ⋯⟩
context: α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
H : ∀ x ∈ ∅, ∀ y ∈ ∅, ∃ t ⊆ ∅, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ IsPreconnected t
goal: IsPreconnected ∅
context: α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
H : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∃ t ⊆ s, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ IsPreconnected t
x : α
hx : x ∈ s
goal: IsPreconnected s
context: M : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul M α
H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
x✝ : α
goal: IsClosed (closure (orbit M x✝))
context: M : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul M α
H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
x✝ : α
goal: ∀ (c : M), c • closure (orbit M x✝) ⊆ closure (orbit M x✝)
context: M : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul M α
H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
x✝ : α
goal: ¬closure (orbit M x✝) = ∅
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ u → ↑0 j ≤ ↑s j
hsv : ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ v → ↑0 j ≤ ↑s j
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
goal: ↑s (u \ v) = 0 ∧ ↑s (v \ u) = 0
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ u → ↑0 j ≤ ↑s j
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ VectorMeasure.restrict s v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
goal: MeasurableSet v
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ VectorMeasure.restrict s v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
goal: MeasurableSet u
context: G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
hGX : IsPretransitive G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
hBe : B.Nonempty
goal: ∅ ∉ Set.range fun g => g • B
context: G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
hGX : IsPretransitive G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
hBe : B.Nonempty
goal: ∀ (a : X), ∃! b, (b ∈ Set.range fun g => g • B) ∧ a ∈ b
context: G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
hGX : IsPretransitive G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
hBe : B.Nonempty
goal: ∀ b ∈ Set.range fun g => g • B, IsBlock G b
context: α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
b : Set (Set α)
hb₁ : b.Countable
hb₂ : t = generateFrom b
goal: ((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ b} \ {∅}).Countable
context: α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
b : Set (Set α)
hb₁ : b.Countable
hb₂ : t = generateFrom b
goal: ∅ ∈ {∅}
context: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Periodic f T
hT : 0 < T
t s : ℝ
this : VAddInvariantMeasure ↥(zmultiples T) ℝ volume
goal: IsAddFundamentalDomain (↥(zmultiples T)) (Ioc t (t + T)) volume
context: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Periodic f T
hT : 0 < T
t s : ℝ
this : VAddInvariantMeasure ↥(zmultiples T) ℝ volume
goal: IsAddFundamentalDomain (↥(zmultiples T)) (Ioc s (s + T)) volume
context: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Periodic f T
hT : 0 < T
t s : ℝ
this : VAddInvariantMeasure ↥(zmultiples T) ℝ volume
goal: ∀ (g : ↥(zmultiples T)) (x : ℝ), f (g +ᵥ x) = f x
context: m n : ℕ
goal: 0 ≤ m + 1
context: m n : ℕ
goal: m + 1 ≤ m + n + 1
context: m n : ℕ
goal: Disjoint (filter Nat.Prime (Ico 0 (m + 1))) (filter Nat.Prime (Ico (m + 1) (m + n + 1)))