ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i
goal: Quotient.out x ∈ x.lifts
context: ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i
goal: ↑(Quotient.out x) = x
context: ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i
goal: Quot.mk (⇑(addConGen (Eqv R s))) (Quotient.out x) = x
context: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
c a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
h : a ≤ b
goal: IntervalIntegrable (fun x => f (x + c)) volume (a - c) (b - c)
context: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
c a b : ℝ
hf : IntegrableOn f [[a, b]] volume
h : a ≤ b
goal: IntegrableOn (fun x => f (x + c)) [[a - c, b - c]] volume
context: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A✝
f g : ℝ → E
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
c a b : ℝ
hf : IntegrableOn f [[a, b]] volume
h : a ≤ b
A : MeasurableEmbedding fun x => x + c
goal: IntegrableOn (fun x => f (x + c)) [[a - c, b - c]] volume
context: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A✝
f g : ℝ → E
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
c a b : ℝ
hf : IntegrableOn f [[a, b]] (Measure.map (fun x => x + c) volume)
h : a ≤ b
A : MeasurableEmbedding fun x => x + c
goal: IntegrableOn (fun x => f (x + c)) [[a - c, b - c]] volume
context: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A✝
f g : ℝ → E
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
c a b : ℝ
hf : IntegrableOn f [[a, b]] (Measure.map (fun x => x + c) volume)
h : a ≤ b
A : MeasurableEmbedding fun x => x + c
goal: [[a - c, b - c]] = (fun x => x + c) ⁻¹' [[a, b]]
context: x : ℂ
goal: cos x = 1 ↔ ∃ k, ↑k * (2 * ↑π) = x
context: x : ℂ
goal: (∃ k, x = 2 * ↑k * ↑π + 0 ∨ x = 2 * ↑k * ↑π - 0) ↔ ∃ k, ↑k * (2 * ↑π) = x
context: m : ℕ
hm : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
k : ZMod m
goal: ¬Summable ({n | ↑n = k}.indicator f)
context: m : ℕ
hm : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
k : ZMod m
goal: ¬Summable fun n => f (m * n + k.val)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
x : α
h : s ∈ 𝓝 x
goal: ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousAt f x
context: K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W✝ : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
W : Subspace K V
goal: (dualAnnihilator W).dualAnnihilator = (Module.mapEvalEquiv K V) W
context: K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W✝ : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
W : Subspace K V
this : (dualAnnihilator W).dualCoannihilator = W
goal: (dualAnnihilator W).dualAnnihilator = (Module.mapEvalEquiv K V) W
context: K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W✝ : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
W : Subspace K V
this : (Module.mapEvalEquiv K V).symm (dualAnnihilator W).dualAnnihilator = W
goal: (dualAnnihilator W).dualAnnihilator = (Module.mapEvalEquiv K V) W
context: R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h₁ : p ∣ q
h₂ : q.degree < p.degree
goal: q = 0
context: R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h₁ : p ∣ q
h₂ : q.degree < p.degree
hc : ¬q = 0
goal: False
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → E
v : 𝕜 → F
u' : E
v' : F
hu : HasStrictDerivAt u u' x
hv : HasStrictDerivAt v v' x
goal: HasStrictDerivAt (fun x => (B (u x)) (v x)) ((B (u x)) v' + (B u') (v x)) x
context: K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ
goal: ↑(match (IntFractPair.of q, Stream'.Seq.tail ⟨IntFractPair.stream q, ⋯⟩) with | (h, s) => { h := ↑h.b, s := Stream'.Seq.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) s }).h = (match (IntFractPair.of v, Stream'.Seq.tail ⟨IntFractPair.stream v, ⋯⟩) with | (h, s) => { h := ↑h.b, s := Stream'.Seq.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) s }).h
context: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)
inst✝ : IsLocallySurjective J f₁
X : Cᵒᵖ
x₁ x₂ : (forget A).obj (F₂.obj X)
h : (f₂.app X) x₁ = (f₂.app X) x₂
S : Sieve (unop X) := imageSieve f₁ x₁ ⊓ imageSieve f₁ x₂
goal: equalizerSieve x₁ x₂ ∈ J.sieves (unop X)
context: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)
inst✝ : IsLocallySurjective J f₁
X : Cᵒᵖ
x₁ x₂ : (forget A).obj (F₂.obj X)
h : (f₂.app X) x₁ = (f₂.app X) x₂
S : Sieve (unop X) := imageSieve f₁ x₁ ⊓ imageSieve f₁ x₂
hS : S ∈ J.sieves (unop X)
goal: equalizerSieve x₁ x₂ ∈ J.sieves (unop X)
context: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)
inst✝ : IsLocallySurjective J f₁
X : Cᵒᵖ
x₁ x₂ : (forget A).obj (F₂.obj X)
h : (f₂.app X) x₁ = (f₂.app X) x₂
S : Sieve (unop X) := imageSieve f₁ x₁ ⊓ imageSieve f₁ x₂
hS : S ∈ J.sieves (unop X)
T : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ unop X) → S.arrows f → Sieve Y := fun Y f hf => equalizerSieve (localPreimage f₁ x₁ f ⋯) (localPreimage f₁ x₂ f ⋯)
goal: equalizerSieve x₁ x₂ ∈ J.sieves (unop X)
goal: Convex ℝ (log ∘ Gamma '' Ioi 0)
goal: IsPreconnected (log ∘ Gamma '' Ioi 0)
context: x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
goal: ContinuousAt (log ∘ Gamma) x
context: x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
m : ℕ
goal: x ≠ -↑m
context: R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module R F
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
v : F
goal: { toFun := fun y => (↑e { proj := b, snd := y }).2, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (e.symm b v) = v
context: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard ≠ 0
goal: s.Nonempty
context: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
goal: 𝟙 (X.obj Δ) = ∑ A : IndexSet Δ, s.πSummand A ≫ (s.cofan Δ).inj A
context: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ
goal: (s.cofan Δ).inj A ≫ 𝟙 (X.obj Δ) = (s.cofan Δ).inj A ≫ ∑ A : IndexSet Δ, s.πSummand A ≫ (s.cofan Δ).inj A
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : OrderTop (Subtype p)
htop : p ⊤
x : { x // p x }
goal: ↑x = ⊤ ↔ x = ⊤
context: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
goal: ‖∑ i ∈ s, lp.single p i (f i)‖ ^ p.toReal = ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal
context: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
goal: HasSum (fun i => ‖↑(∑ i ∈ s, lp.single p i (f i)) i‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)
context: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
goal: HasSum (fun i => ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)
context: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
h : ∀ i ∉ s, ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal = 0
goal: HasSum (fun i => ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)
context: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
h : ∀ i ∉ s, ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal = 0
h' : ∀ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal = ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal
goal: HasSum (fun i => ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)
context: α : Type u_1
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
ha : 0 < a
goal: sign a = 1
context: α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
goal: ↑(B ^ m / B ^ n).card ≤ (↑(A / B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card
context: α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
goal: ↑(B⁻¹ ^ m / B⁻¹ ^ n).card ≤ (↑(A * B⁻¹).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card
context: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a✝ a b : α
n : ℕ
a' : α
as : List α
h : n + 1 ≤ (a' :: as).length
goal: a ∈ insertNth (n + 1) b (a' :: as) ↔ a = b ∨ a ∈ a' :: as
context: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hf_int : Integrable f μ
hs : MeasurableSet s
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
goal: μ[s.indicator f|m] =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m])
context: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hf_int : Integrable f μ
hs : MeasurableSet s
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : s.indicator (μ[f|m]) =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[s.indicator f + sᶜ.indicator f|m])
goal: μ[s.indicator f|m] =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m])
context: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
goal: Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃} ↔ p₁ = p₂ ∨ p₃ = p₂ ∨ sin (∠ p₁ p₂ p₃) = 0
context: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : Option α → β → γ
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
h : bs.length ≤ as.length
this : (fun a b => flip f a (some b)) = flip fun a b => f (some a) b
goal: map₂Right f as bs = zipWith (fun a b => f (some a) b) as bs
context: R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
goal: x = 0
context: R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
y : R
m : ↥M
hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y
hx' : (fun x => x ^ n.succ) (x * (algebraMap R S) ↑m) = (fun x => x ^ n.succ) ((algebraMap R S) y) := congr_arg (fun x => x ^ n.succ) hx
goal: x = 0
context: R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
y : R
m : ↥M
hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y
hx' : 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)
goal: x = 0
context: R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
y : R
m : ↥M
hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y
hx' : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)
goal: x = 0
context: R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
y : R
m : ↥M
hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y
hx' : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)
m' : ↥M
hm' : ↑m' * 0 * ↑m' ^ n = ↑m' * y ^ n.succ * ↑m' ^ n
goal: x = 0
context: R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
y : R
m : ↥M
hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y
hx' : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)
m' : ↥M
hm' : 0 = ↑m' * (y ^ n.succ * ↑m' ^ n)
goal: x = 0
context: R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
y : R
m : ↥M
hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y
hx' : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)
m' : ↥M
hm' : 0 = (y * ↑m') ^ n.succ
goal: x = 0
context: R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
y : R
m : ↥M
hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y
hx' : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)
m' : ↥M
hm' : y * ↑m' = 0
goal: x = 0
context: R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
y : R
m : ↥M
hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y
hx' : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)
m' : ↥M
hm' : y * ↑m' = 0
goal: ∃ m, ↑m * y = 0
context: G : Type u
inst✝ : Group G
x y : G
hx : orderOf x = 2
hy : orderOf y = 2
hxy : x ≠ y
goal: x * y ∉ {x, y, 1}
context: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
goal: X.δ i.succ ≫ X.σ i = 𝟙 (X.obj [n])
context: G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s✝ t : Set G
ht : IsOpen t
s : Set G
goal: closure s / t = s / t
context: x : ℝ
hl : 0 ≤ x
hu : x ≤ π
goal: sin x = √(1 - cos x ^ 2)
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : F ≃L[𝕜] G
goal: ContDiffAt 𝕜 n (⇑e ∘ f) x ↔ ContDiffAt 𝕜 n f x
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
𝔸 : Type u_3
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : E → 𝕜'
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
c : 𝕜'
goal: ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x / c) s x
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
s : Set E
hs : IsOpen s
goal: IsOpen (f.source ∩ ↑(f.extend I) ⁻¹' s)
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
s : Set E
hs : IsOpen s
goal: IsOpen ((f.extend I).source ∩ ↑(f.extend I) ⁻¹' s)
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
goal: HasDerivAtFilter f f' x L ↔ Tendsto (fun y => slope f x y - (y - x)⁻¹ • (y - x) • f') L (𝓝 0)
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
goal: (fun y => slope f x y - (y - x)⁻¹ • (y - x) • f') =ᶠ[L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ] fun y => slope f x y - f'
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
y : 𝕜
hy : y ∈ {x}ᶜ
goal: slope f x y - (y - x)⁻¹ • (y - x) • f' = slope f x y - f'
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
goal: Tendsto (fun y => slope f x y - f') (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 0) ↔ Tendsto (slope f x) (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 f')
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
goal: Tendsto (fun y => slope f x y - f') (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 0) ↔ Tendsto ((fun x => x - f') ∘ slope f x) (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 0)
context: R : Type u
inst✝⁶ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup Q
inst✝⁴ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
a : N →ₗ.[R] Q
a_le : LinearMap.range i ≤ a.domain
e1 : ∀ (m : M), f m = ↑a ⟨i m, ⋯⟩
b : N →ₗ.[R] Q
b_le : LinearMap.range i ≤ b.domain
e2 : ∀ (m : M), f m = ↑b ⟨i m, ⋯⟩
domain_eq : { toLinearPMap := a, le := a_le, is_extension := e1 }.domain = { toLinearPMap := b, le := b_le, is_extension := e2 }.domain
to_fun_eq : ∀ ⦃x : ↥{ toLinearPMap := a, le := a_le, is_extension := e1 }.domain⦄ ⦃y : ↥{ toLinearPMap := b, le := b_le, is_extension := e2 }.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑{ toLinearPMap := a, le := a_le, is_extension := e1 }.toLinearPMap x = ↑{ toLinearPMap := b, le := b_le, is_extension := e2 }.toLinearPMap y
goal: a = b
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
goal: derivative (T R n) = ↑n * U R (n - 1)
context: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
goal: ∑ i ∈ P.parts, i.card = s.card
context: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
goal: ∑ i ∈ P.parts, i.card = (P.parts.biUnion id).card
context: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
h : e.toBasis.orientation ≠ f.toBasis.orientation
goal: e.toBasis.det = -f.toBasis.det
context: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
h : e.toBasis.orientation ≠ f.toBasis.orientation
goal: e.toBasis.det ⇑f.toBasis • f.toBasis.det = -f.toBasis.det