ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hy : y = h x
goal: HasDerivWithinAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') s x
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
goal: (↑x)⁻¹ ∈ A
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
goal: (↑x)⁻¹ = (-p.coeff 0)⁻¹ • ↑((aeval x) p.divX)
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
this : (aeval ↑x) p = 0
goal: (↑x)⁻¹ = (-p.coeff 0)⁻¹ • ↑((aeval x) p.divX)
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
this : (aeval ↑x) p = 0
goal: -(((algebraMap K L) (p.coeff 0))⁻¹ * (aeval ↑x) p.divX) = (algebraMap K L) (-p.coeff 0)⁻¹ * ↑((aeval x) p.divX)
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
this : (aeval ↑x) p = 0
goal: -(((algebraMap K L) (p.coeff 0))⁻¹ * ↑((aeval x) p.divX)) = (algebraMap K L) (-p.coeff 0)⁻¹ * ↑((aeval x) p.divX)
context: G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
A : Set G
goal: MeasurableSet A ↔ ∀ (U : Opens G), μ.outerMeasure (↑U ∩ A) + μ.outerMeasure (↑U \ A) ≤ μ.outerMeasure ↑U
context: G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
A : Set G
goal: MeasurableSet A ↔ ∀ (U : Set G) (hU : IsOpen U), μ.outerMeasure (↑{ carrier := U, is_open' := hU } ∩ A) + μ.outerMeasure (↑{ carrier := U, is_open' := hU } \ A) ≤ μ.outerMeasure ↑{ carrier := U, is_open' := hU }
context: α : Type u_2
p✝ q : α → Bool
β : Type u_1
p : β → Bool
f : α → β
a : α
l : List α
goal: countP p (map f (a :: l)) = countP (p ∘ f) (a :: l)
context: α : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Zero N
r : α → α → Prop
s : N → N → Prop
hbot : ∀ ⦃n : N⦄, ¬s n 0
hs : WellFounded s
x : α →₀ N
h : ∀ a ∈ x.support, Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) a
goal: Acc (Finsupp.Lex r s) x
context: α : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Zero N
r : α → α → Prop
s : N → N → Prop
hbot : ∀ ⦃n : N⦄, ¬s n 0
hs : WellFounded s
x : α →₀ N
h : ∀ a ∈ x.support, Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) a
goal: Acc (InvImage (DFinsupp.Lex r fun x => s) toDFinsupp) x
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f✝ : ℕ → α
a : α
f : ℕ → ℝ
c : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ range n, f i ≤ c
goal: Summable f
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f✝ : ℕ → α
a : α
f : ℕ → ℝ
c : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ range n, f i ≤ c
H : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop atTop
goal: False
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f✝ : ℕ → α
a : α
f : ℕ → ℝ
c : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ range n, f i ≤ c
H : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop atTop
n : ℕ
hn : c < ∑ i ∈ range n, f i
goal: False
context: o : Ordinal.{u_1}
h : o < ω
goal: succ o < ω
context: o : Ordinal.{u_1}
h : o < ω
n : ℕ
e : o = ↑n
goal: succ ↑n < ω
context: α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
goal: (fun x => a - x) '' Iic b = Ici (a - b)
context: α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
goal: (fun x => a - x) '' Iic b = Ici (a - b)
context: α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
goal: (fun x => a - x) '' Iic b = Ici (a - b)
context: E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : cthickening δ K ⊆ U
goal: TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
context: E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : cthickening δ K ⊆ U
h1 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
goal: TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
context: E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : cthickening δ K ⊆ U
h1 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
h2 : IsCompact (cthickening δ K)
goal: TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
context: E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : cthickening δ K ⊆ U
h1 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
h2 : IsCompact (cthickening δ K)
h3 : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)
goal: TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
context: E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : cthickening δ K ⊆ U
h1 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
h2 : IsCompact (cthickening δ K)
h3 : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)
goal: ∀ᶠ (n : ι) in φ, EqOn ((cderiv δ ∘ F) n) ((deriv ∘ F) n) K
context: E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z✝ : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : cthickening δ K ⊆ U
h1 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
h2 : IsCompact (cthickening δ K)
h3 : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)
n : ι
h : DifferentiableOn ℂ (F n) U
z : ℂ
hz : z ∈ K
goal: (cderiv δ ∘ F) n z = (deriv ∘ F) n z
context: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h₁ : IsZero T.obj₁
h₂ : IsZero T.obj₂
goal: IsZero ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj T.obj₁)
context: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h₂ : IsZero T.obj₂
h₁ : 𝟙 T.obj₁ = 0
goal: 𝟙 ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj T.obj₁) = 0
context: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddMonoidWithOne G
inst✝¹ : AddMonoid H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
n : ℕ
goal: f ↑n = f 0 + n • b
context: b e : Pos
x✝ : Substring
h₁ : x✝.Valid
h₂ : { str := x✝.toString, startPos := b, stopPos := e }.Valid
goal: (x✝.extract b e).toString = x✝.toString.extract b e
context: b e : Pos
x✝ : Substring
h₁✝ : x✝.Valid
h₂ : { str := x✝.toString, startPos := b, stopPos := e }.Valid
l m r : List Char
h₁ : ValidFor l m r x✝
goal: (x✝.extract b e).toString = x✝.toString.extract b e
context: b e : Pos
x✝ : Substring
h₁✝ : x✝.Valid
l m : List Char
h₂ : { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }.Valid
r : List Char
h₁ : ValidFor l m r x✝
goal: (x✝.extract b e).toString = x✝.toString.extract b e
context: b e : Pos
x✝ : Substring
h₁✝ : x✝.Valid
l m : List Char
h₂✝ : { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }.Valid
r : List Char
h₁ : ValidFor l m r x✝
ml mm mr : List Char
h₂ : ValidFor ml mm mr { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }
goal: (x✝.extract b e).toString = x✝.toString.extract b e
context: b e : Pos
x✝ : Substring
h₁✝ : x✝.Valid
l m : List Char
h₂✝ : { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }.Valid
r : List Char
h₁ : ValidFor l m r x✝
ml mm mr : List Char
h₂ : ValidFor ml mm mr { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }
l' r' : List Char
h₃ : ValidFor l' mm r' (x✝.extract b e)
goal: (x✝.extract b e).toString = x✝.toString.extract b e
context: R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (star '' spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
goal: cfc (fun x => f (star x)) a = cfc f (star a)
context: k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
goal: NrRealPlaces K + 2 * NrComplexPlaces K = finrank ℚ K
context: k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
goal: card { φ // ComplexEmbedding.IsReal φ } ≤ card (K →+* ℂ)
context: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.111346, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : Homotopy φ₂ φ₃
goal: φ₁.τ₁ = S₁.f ≫ (h₁₂.h₁ + h₂₃.h₁) + (h₁₂.h₀ + h₂₃.h₀) + φ₃.τ₁
context: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.111346, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : Homotopy φ₂ φ₃
goal: φ₁.τ₂ = S₁.g ≫ (h₁₂.h₂ + h₂₃.h₂) + (h₁₂.h₁ + h₂₃.h₁) ≫ S₂.f + φ₃.τ₂
context: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.111346, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : Homotopy φ₂ φ₃
goal: φ₁.τ₃ = h₁₂.h₃ + h₂₃.h₃ + (h₁₂.h₂ + h₂₃.h₂) ≫ S₂.g + φ₃.τ₃
context: R✝ : Type u_1
inst✝³¹ : CommSemiring R✝
S✝ : Submonoid R✝
M✝ : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝²⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²⁷ : CommSemiring A
inst✝²⁶ : Algebra R✝ A
inst✝²⁵ : Module A M'
inst✝²⁴ : IsLocalization S✝ A
inst✝²³ : Module R✝ M✝
inst✝²² : Module R✝ M'
inst✝²¹ : Module R✝ M''
inst✝²⁰ : IsScalarTower R✝ A M'
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] M'
g : M✝ →ₗ[R✝] M''
M₀ : Type ?u.1244734
M₀' : Type ?u.1244737
inst✝¹⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝¹⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝¹⁷ : Module R✝ M₀
inst✝¹⁶ : Module R✝ M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R✝] M₀'
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S✝ f₀
M₁ : Type ?u.1246805
M₁' : Type ?u.1246808
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁'
inst✝¹² : Module R✝ M₁
inst✝¹¹ : Module R✝ M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R✝] M₁'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S✝ f₁
M₂ : Type ?u.1248876
M₂' : Type ?u.1248879
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂'
inst✝⁷ : Module R✝ M₂
inst✝⁶ : Module R✝ M₂'
f₂ : M₂ →ₗ[R✝] M₂'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S✝ f₂
R : Type u_6
S : Type u_7
S' : Type u_8
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing S'
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R S'
M : Submonoid R
f : S →ₐ[R] S'
h₁ : ∀ x ∈ M, IsUnit ((algebraMap R S') x)
h₂ : ∀ (y : S'), ∃ x, x.2 • y = f x.1
h₃ : ∀ (x : S), f x = 0 → ∃ m, m • x = 0
goal: IsLocalizedModule M f.toLinearMap
context: C : Type u_1
ι✝ : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
c : ComplexShape ι✝
K : HomologicalComplex C c
i j : ι✝
hij : c.Rel i j
inst✝ : CategoryWithHomology C
S : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.opcyclesToCycles i j) ⋯
S' : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.fromOpcycles i j) ⋯
ι : S ⟶ S' := { τ₁ := 𝟙 S.X₁, τ₂ := 𝟙 S.X₂, τ₃ := K.iCycles j, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
goal: (composableArrows₃ K i j).Exact
context: C : Type u_1
ι✝ : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
c : ComplexShape ι✝
K : HomologicalComplex C c
i j : ι✝
hij : c.Rel i j
inst✝ : CategoryWithHomology C
S : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.opcyclesToCycles i j) ⋯
S' : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.fromOpcycles i j) ⋯
ι : S ⟶ S' := { τ₁ := 𝟙 S.X₁, τ₂ := 𝟙 S.X₂, τ₃ := K.iCycles j, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
hS : S.Exact
T : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.opcyclesToCycles i j) (K.homologyπ j) ⋯
T' : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.toCycles i j) (K.homologyπ j) ⋯
π : T' ⟶ T := { τ₁ := K.pOpcycles i, τ₂ := 𝟙 T'.X₂, τ₃ := 𝟙 T'.X₃, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
goal: (composableArrows₃ K i j).Exact
context: C : Type u_1
ι✝ : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
c : ComplexShape ι✝
K : HomologicalComplex C c
i j : ι✝
hij : c.Rel i j
inst✝ : CategoryWithHomology C
S : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.opcyclesToCycles i j) ⋯
S' : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.fromOpcycles i j) ⋯
ι : S ⟶ S' := { τ₁ := 𝟙 S.X₁, τ₂ := 𝟙 S.X₂, τ₃ := K.iCycles j, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
hS : S.Exact
T : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.opcyclesToCycles i j) (K.homologyπ j) ⋯
T' : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.toCycles i j) (K.homologyπ j) ⋯
π : T' ⟶ T := { τ₁ := K.pOpcycles i, τ₂ := 𝟙 T'.X₂, τ₃ := 𝟙 T'.X₃, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
hT : T.Exact
goal: (composableArrows₃ K i j).Exact
context: V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v
goal: (p.toSubgraph.neighborSet w).Finite
context: α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : AddCommMonoid α
β : Type
i : ℕ
hid : i < d
s : Finset β
f : β → Holor α (d :: ds)
this : DecidableEq β := Classical.decEq β
goal: ∑ x ∈ s, (f x).slice i hid = (∑ x ∈ s, f x).slice i hid
context: C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} E
X Y✝ : GradedObject J C
e : X ≅ Y✝
F : C ⥤ D ⥤ E
j : J
Y : D
goal: (F.map (e.hom j)).app Y ≫ (F.map (e.inv j)).app Y = 𝟙 ((F.obj (X j)).obj Y)
context: R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n✝ : ℕ
M : Fin n✝.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₂
ι' : Type u_1
k l n : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : MultilinearMap R (fun x => M') M₂
x y : M'
goal: ((((curryFinFinset R M₂ M' hk hl) f) fun x_1 => x) fun x => y) = f (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
context: R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n✝ : ℕ
M : Fin n✝.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₂
ι' : Type u_1
k l n : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : MultilinearMap R (fun x => M') M₂
x y : M'
goal: ((curryFinFinset R M₂ M' hk hl).symm ((curryFinFinset R M₂ M' hk hl) f)) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y) = f (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
context: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Semigroup R
inst✝ : StarMul R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
z : R
goal: IsSelfAdjoint (z * x * star z)
context: α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
hpi : ∀ (x : ι), IsPiSystem (π x)
S : Set ι
t1 : Set α
p1 : Finset ι
hp1S : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set α
hf1m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ π x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x
t2 : Set α
p2 : Finset ι
hp2S : ↑p2 ⊆ S
f2 : ι → Set α
hf2m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ π x
ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x
h_nonempty : (t1 ∩ t2).Nonempty
goal: t1 ∩ t2 ∈ piiUnionInter π S
context: α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
hpi : ∀ (x : ι), IsPiSystem (π x)
S : Set ι
t1 : Set α
p1 : Finset ι
hp1S : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set α
hf1m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ π x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x
t2 : Set α
p2 : Finset ι
hp2S : ↑p2 ⊆ S
f2 : ι → Set α
hf2m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ π x
ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x
h_nonempty : (t1 ∩ t2).Nonempty
g : ι → Set α := fun n => (if n ∈ p1 then f1 n else univ) ∩ if n ∈ p2 then f2 n else univ
goal: ∃ t, ∃ (_ : ↑t ⊆ S), ∃ f, ∃ (_ : ∀ x ∈ t, f x ∈ π x), t1 ∩ t2 = ⋂ x ∈ t, f x
context: α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
hpi : ∀ (x : ι), IsPiSystem (π x)
S : Set ι
t1 : Set α
p1 : Finset ι
hp1S : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set α
hf1m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ π x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x
t2 : Set α
p2 : Finset ι
hp2S : ↑p2 ⊆ S
f2 : ι → Set α
hf2m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ π x
ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x
h_nonempty : (t1 ∩ t2).Nonempty
g : ι → Set α := fun n => (if n ∈ p1 then f1 n else univ) ∩ if n ∈ p2 then f2 n else univ
hp_union_ss : ↑(p1 ∪ p2) ⊆ S
goal: ∃ t, ∃ (_ : ↑t ⊆ S), ∃ f, ∃ (_ : ∀ x ∈ t, f x ∈ π x), t1 ∩ t2 = ⋂ x ∈ t, f x
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
f : ι → α
goal: IsLUB (range (l ∘ f)) (l (iSup f))
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
f : ι → α
goal: IsLUB (l '' range f) (l (sSup (range f)))
context: X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
t : Set X
ht : t ∈ inst✝⁵.1
goal: IsOpen t ∧ IsOpen univ ∧ Prod.fst ⁻¹' t = t ×ˢ univ
context: X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
t : Set Y
ht : t ∈ inst✝⁴.1
goal: IsOpen univ ∧ IsOpen t ∧ Prod.snd ⁻¹' t = univ ×ˢ t
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ
h₁ : 0 ≤ r
h₂ : r < 1
this✝ : r ≠ 1
this : Tendsto (fun n => (r ^ n - 1) * (r - 1)⁻¹) atTop (𝓝 ((0 - 1) * (r - 1)⁻¹))
goal: Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, r ^ i) atTop (𝓝 (1 - r)⁻¹)
context: a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : 2 * xn a1 n = xn a1 (n + 1)
goal: a = 2 ∧ n = 0
context: a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : xn a1 n * 2 = xn a1 n * a + Pell.d a1 * yn a1 n
goal: a = 2 ∧ n = 0
context: a : ℕ
a1 : 1 < a
h : 2 = a
goal: a = 2 ∧ 0 = 0
context: a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
goal: HasSum (fun n => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (cosZeta (↑a) s)
context: a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) / ↑|↑n| ^ s / 2 + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) / ↑|(-↑n)| ^ s / 2) (cosZeta (↑a) s + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) / ↑|0| ^ s / 2)
goal: HasSum (fun n => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (cosZeta (↑a) s)
context: a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n))) / 2 / ↑n ^ s) (cosZeta (↑a) s)
goal: HasSum (fun n => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (cosZeta (↑a) s)
context: a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n))) / 2 / ↑n ^ s) (cosZeta (↑a) s)
goal: HasSum (fun n => (cexp (2 * ↑π * ↑a * ↑n * I) + cexp (-(2 * ↑π * ↑a * ↑n * I))) / 2 / ↑n ^ s) (cosZeta (↑a) s)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
goal: (∀ (n : ℕ), ¬¬a ^ (n + 1) ∣ b) ↔ ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
goal: (∀ (n : ℕ), a ^ (n + 1) ∣ b) ↔ ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b
context: a b✝ c b x : ℕ
goal: x ∈ Iio b ↔ x ∈ range b
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Algebra R 𝕜
p : 𝕜[X]
q : R[X]
x : 𝕜
goal: HasStrictDerivAt (fun x => eval x p) (eval x (derivative p)) x
context: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
ι : Type u_5
inst✝ : Unique ι
u v : m → α
goal: (1 + col ι u * row ι v).det = 1 + v ⬝ᵥ u
context: Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
goal: (condCount s) (s ∩ t) = (condCount s) t
context: a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0
goal: oddKernel a x = 0
context: x : ℝ
hx : x ≤ 0
a' : ℝ
goal: oddKernel (↑a') x = 0
context: k : ℕ
h : k ≠ 0
hn : ℕ
goal: (hn + 1).primeFactorsList <+ ((hn + 1) * k).primeFactorsList
context: k : ℕ
h : k ≠ 0
hn : ℕ
goal: (hn + 1).primeFactorsList <+~ ((hn + 1) * k).primeFactorsList
context: k : ℕ
h : k ≠ 0
hn : ℕ
goal: (hn + 1).primeFactorsList <+~ hn.succ.primeFactorsList ++ k.primeFactorsList
context: T : ℝ
n : ℤ
x : AddCircle T
goal: ↑(-(n • x)).toCircle = (starRingEnd ℂ) ((fourier n) x)
context: T : ℝ
n : ℤ
x : AddCircle T
goal: (fourier (-n)) x = (starRingEnd ℂ) ((fourier n) x)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g✝ : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
g : α → γ
g' : β → γ
hg : Measurable g
hg' : Measurable g'
goal: Measurable (extend f g g')
context: s : Finset ℕ
n✝ : ℕ
hsub : s ⊆ (n✝ + 1).properDivisors
goal: ∑ x ∈ s, x = ∑ x ∈ (n✝ + 1).properDivisors, x → s = (n✝ + 1).properDivisors
context: a b : ℝ
n : ℕ
goal: (∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2)) * (↑n + 2) = cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ n
context: F : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
S : Set X
goal: ∀ {x y : C(X, Y)}, x.HomotopicRel y S → y.HomotopicRel x S
context: F : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
S : Set X
goal: ∀ {x y z : C(X, Y)}, x.HomotopicRel y S → y.HomotopicRel z S → x.HomotopicRel z S