ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: 𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
goal: a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' interior s
context: 𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
goal: a • f x + b • f y ∈ interior s
context: X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
goal: X.OpenCover
context: X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
this : ∃ t, ⋃ x ∈ t, (fun x => Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base) x = ⊤
t : Finset ↑↑X.toPresheafedSpace := this.choose
goal: X.OpenCover
context: X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
this : ∃ t, ⋃ x ∈ t, (fun x => Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base) x = ⊤
t : Finset ↑↑X.toPresheafedSpace := this.choose
h : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), ∃ y, x ∈ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f ↑y)).val.base
goal: X.OpenCover
context: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b C : ℝ
f : ℝ → E
h : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ι a b → ‖f x‖ ≤ C
goal: ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x‖ ≤ C * |b - a|
context: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b C : ℝ
f : ℝ → E
h : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ι a b → ‖f x‖ ≤ C
goal: ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂volume‖ ≤ C * |b - a|
context: X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
x : X
goal: (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (f x) ∧ IsCompact s) fun x => f ⁻¹' x
context: X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
x : X
goal: (comap f (𝓝 (f x))).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (f x) ∧ IsCompact s) fun x => f ⁻¹' x
context: s : Set ℕ
h : 0 < sInf s
goal: s.Nonempty
context: s : Set ℕ
h : 0 < sInf s
contra : ¬s.Nonempty
goal: False
context: s : Set ℕ
h : 0 < sInf s
contra : s = ∅
goal: False
context: s : Set ℕ
h : 0 < sInf s
contra : s = ∅
h' : sInf s ≠ 0
goal: sInf s = 0
context: ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : OrderClosedTopology α
b : α
hb : 0 < b
hf : Summable fun x => b
goal: Finite ι
context: ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : OrderClosedTopology α
b : α
hb : 0 < b
hf : Summable fun x => b
H : ∀ (s : Finset ι), s.card • b ≤ ∑' (x : ι), b
goal: Finite ι
context: ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : OrderClosedTopology α
b : α
hb : 0 < b
hf : Summable fun x => b
H : ∀ (s : Finset ι), s.card • b ≤ ∑' (x : ι), b
n : ℕ
hn : ∑' (x : ι), b ≤ n • b
goal: Finite ι
context: K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
h : A.valuation ↑a = 1
goal: IsUnit a
context: K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
h : A.valuation ↑a = 1
ha : ↑a ≠ 0
goal: IsUnit a
context: K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
h : A.valuation ↑a = 1
ha : ↑a ≠ 0
ha' : (↑a)⁻¹ ∈ A
goal: IsUnit a
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : γ →. δ
g : β →. γ
h : α →. β
x✝¹ : α
x✝ : δ
goal: x✝ ∈ (f.comp g).comp h x✝¹ ↔ x✝ ∈ f.comp (g.comp h) x✝¹
context: m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
i : Fin n
goal: init (snoc p x) i = p i
context: m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
i : Fin n
goal: p (i.castSucc.castLT ⋯) = p i
context: R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
goal: derivative (p.comp (1 - X)) = -(derivative p).comp (1 - X)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
g : β → γ
f : α → β
l : Language α
goal: (map g) ((map f) l) = (map (g ∘ f)) l
context: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s✝ t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
s : ι → Set X
P : X → Prop
goal: (∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (⋃ i, ⋃ (_ : p i), s i), P x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (s i), P x
context: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S S₁ S₂ S₃ : SnakeInput C
f : S₁ ⟶ S₂
goal: S₁.δ ≫ f.f₃.τ₁ = f.f₀.τ₃ ≫ S₂.δ
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p q : α → Prop
goal: (∃ᶠ (x : α) in f, p x ∨ q x) ↔ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) ∨ ∃ᶠ (x : α) in f, q x
context: α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
goal: (lift f).range = Subgroup.closure (Set.range f)
context: α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
goal: Subgroup.closure (Set.range f) ≤ (lift f).range
context: α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
a : α
goal: f a ∈ ↑(lift f).range
context: q✝ q : ℕ+
goal: ωb * ω = 1
context: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
goal: (s₁ ∪ s₂) ○ t = s₁ ○ t ∪ s₂ ○ t
context: α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
goal: (A * C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B * C).card
context: α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
goal: (A / C⁻¹).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C⁻¹).card
context: w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0
goal: (x ^ (1 / y)) ^ y = x
context: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ g : Perm α
ht : g.IsThreeCycle
goal: (g * g).IsThreeCycle
context: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ g : Perm α
ht : g.IsThreeCycle
goal: Nat.Coprime 2 (_root_.orderOf g)
context: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.59011, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.59015, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
φ : S₁ ⟶ S₂
goal: φ.τ₃.op ≫ S₁.g.op = S₂.g.op ≫ φ.τ₂.op
context: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.59011, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.59015, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
φ : S₁ ⟶ S₂
goal: φ.τ₂.op ≫ S₁.f.op = S₂.f.op ≫ φ.τ₁.op
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set E
x : E
goal: infDist (c • x) (c • s) = ‖c‖ * infDist x s
context: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
goal: ∫ (t : G), (L (f t)) (g (-x - t)) ∂μ = ∫ (t : G), (L (f (-t))) (g (x + t)) ∂μ
context: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
goal: (fun a => (L (f a)) (g (-x - a))) =ᶠ[ae μ] fun a => (L (f (-a))) (g (x + a))
context: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
t : G
ht : f (-t) = f t
h't : g (-(x + t)) = g (x + t)
goal: (L (f t)) (g (-x - t)) = (L (f (-t))) (g (x + t))
context: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
goal: ∫ (t : G), (L (f (-t))) (g (x + t)) ∂μ = ∫ (t : G), (L (f t)) (g (x - t)) ∂μ
context: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
goal: ∫ (x_1 : G), (L (f (- -x_1))) (g (x + -x_1)) ∂μ = ∫ (t : G), (L (f t)) (g (x - t)) ∂μ
context: α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m✝ n✝ : ℤ
a b : α
ha : 1 < a
m n : ℤ
h : m < n
goal: a ^ m * a ^ (n - m) = a ^ n
context: F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
goal: ↑(q * r) = ↑q * ↑r
context: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
n : ℤ
a : α
goal: IsSquare ((a * a) ^ n)
context: R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁹ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁸ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝¹³ : AddCommMonoid S
inst✝¹² : AddCommMonoid T
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module R P
inst✝⁸ : Module R Q
inst✝⁷ : Module R S
inst✝⁶ : Module R T
inst✝⁵ : DistribMulAction R' M
inst✝⁴ : Module R'' M
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
x✝¹ : M
x✝ : N
goal: (((mk R M N).compr₂ (map LinearMap.id LinearMap.id)) x✝¹) x✝ = (((mk R M N).compr₂ LinearMap.id) x✝¹) x✝
context: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X Y : D
f g : X ⟶ Y
goal: (h.homEquiv (eq (R.map f) (R.map g)) X).symm (eqHom (R.map f) (R.map g)) ≫ f = (h.homEquiv (eq (R.map f) (R.map g)) X).symm (eqHom (R.map f) (R.map g)) ≫ g
context: x✝ y x : ℝ
goal: arccos x ≤ π / 4 ↔ √2 / 2 ≤ x
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set β
goal: ⋃ y ∈ s, f ⁻¹' {y} = f ⁻¹' s
context: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ Grp
X : C
I : Type w'
U : I → C
γ₁ γ₂ : OneCocycle G U
α : ZeroCochain G U
h : OneCohomologyRelation γ₁.toOneCochain γ₂.toOneCochain α
goal: γ₂.IsCohomologous γ₁
context: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ Grp
X : C
I : Type w'
U : I → C
γ₁ γ₂✝ γ₂ : OneCocycle G U
α : ZeroCochain G U
h : OneCohomologyRelation γ₁.toOneCochain γ₂✝.toOneCochain α
β : ZeroCochain G U
h' : OneCohomologyRelation γ₂✝.toOneCochain γ₂.toOneCochain β
goal: γ₁.IsCohomologous γ₂
context: K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K
goal: K = ofReal.fieldRange ∨ K = ⊤
context: K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K
goal: range ofReal' ⊆ ↑K
context: K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K
goal: range ofReal' ⊆ closure (range (ofReal' ∘ Rat.cast))
context: K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K
goal: range ofReal' ⊆ closure (ofReal' '' range Rat.cast)
context: K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K
goal: range ofReal' ⊆ ofReal' '' closure (range Rat.cast)
context: K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K
goal: range ofReal' ⊆ ofReal' '' univ
context: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
xs ys : List α
ls : List (List α)
f : List α → List α
x : α
inst✝ : DecidableEq α
hd : α
tl hd' : List α
tl' : List (List α)
ih : (intersperse [x] (hd' :: tl')).join = tl
h' : splitOnP (fun x_1 => x_1 == x) tl = hd' :: tl'
goal: (intersperse [x] (splitOnP (fun x_1 => x_1 == x) (hd :: tl))).join = hd :: tl
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
goal: 𝓤 α = comap (fun x => x.2 / x.1) (𝓝 1)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
goal: 𝓤 α = comap (Prod.mk 1 ∘ fun x => x.2 / x.1) (𝓤 α)
context: ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
f : ι → Filter α
goal: 𝓝 (⨅ i, f i) = ⨅ i, 𝓝 (f i)
context: ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
f : ι → Filter α
goal: (⨅ i, f i).lift' (Iic ∘ 𝓟) = ⨅ i, (f i).lift' (Iic ∘ 𝓟)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0
μ : Measure α
h : AEMeasurable (fun x => ↑(f x)) μ
goal: AEMeasurable f μ
context: α : Type u_1
β : Type u_2
σ : α → Type u_3
head✝ : α
l : List α
goal: ((head✝ :: l).sigma fun a => []) = []
context: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h✝ h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ
goal: ⇑h '' Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (h x) r
context: A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
goal: ‖a‖ ∈ spectrum ℝ a
context: this : eulerMascheroniSeq 6 = 49 / 20 - log 7
goal: 1 / 2 < eulerMascheroniSeq 6
context: this : eulerMascheroniSeq 6 = 49 / 20 - log 7
goal: 7 < rexp (49 / 20 - 1 / 2)
context: this : eulerMascheroniSeq 6 = 49 / 20 - log 7
goal: 7 < ∑ i ∈ Finset.range 7, (49 / 20 - 1 / 2) ^ i / ↑i.factorial
context: α : Type u
β : Type v
R✝ r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
R : α → α → Prop
a b : α
t : List α
goal: Chain R a (b :: t) ↔ (∀ (h : 0 < (b :: t).length), R a ((b :: t).get ⟨0, h⟩)) ∧ ∀ (i : ℕ) (h : i < (b :: t).length - 1), R ((b :: t).get ⟨i, ⋯⟩) ((b :: t).get ⟨i + 1, ⋯⟩)
context: α : Type u
β : Type v
R✝ r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
R : α → α → Prop
a b : α
t : List α
h0 : ∀ (h : 0 < (b :: t).length), R a ((b :: t).get ⟨0, h⟩)
h : ∀ (i : ℕ) (h : i < (b :: t).length - 1), R ((b :: t).get ⟨i, ⋯⟩) ((b :: t).get ⟨i + 1, ⋯⟩)
i : ℕ
w : i < t.length - 1
goal: R (t.get ⟨i, ⋯⟩) (t.get ⟨i + 1, ⋯⟩)
context: C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
goal: 𝟭 (W.Localization ⥤ D) = functor W D ⋙ inverse W D
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p a ≤ multiplicity p b
goal: min (multiplicity p a) (multiplicity p b) ≤ multiplicity p (a + b)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p a ≤ multiplicity p b
goal: ∀ (n : ℕ), p ^ n ∣ a → p ^ n ∣ a + b
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p b ≤ multiplicity p a
goal: min (multiplicity p a) (multiplicity p b) ≤ multiplicity p (a + b)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p b ≤ multiplicity p a
goal: ∀ (n : ℕ), p ^ n ∣ b → p ^ n ∣ a + b
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0
goal: Tendsto (fun x => f x / r) l atTop ↔ Tendsto f l atBot
context: C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasRightHomology
goal: h.p ≫ opcyclesMap' (𝟙 S) h S.rightHomologyData = S.rightHomologyData.p
context: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
hr : r • y ∈ (extensionOfMax i f).domain
goal: (extendIdealTo i f h y) r = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y, hr⟩
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x✝ a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => c ≤ x
hac : a ≤ c
x : α
goal: x ∈ filter (fun x => c ≤ x) (Ico a b) ↔ x ∈ Ico c b
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x✝ a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => c ≤ x
hac : a ≤ c
x : α
goal: a ≤ x ∧ c ≤ x ∧ x < b ↔ c ≤ x ∧ x < b
context: n : ℕ
hn : Odd n
goal: Nat.card (ConjClasses (DihedralGroup n)) = (n + 3) / 2
context: n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : c.length ≤ i
goal: (take i c.blocks).sum = n
context: n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : c.length ≤ i
goal: take i c.blocks = c.blocks
context: α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Semigroup α
x y z : α
goal: ((fun x_1 => x_1 * x) ∘ fun x => x * y) z = z * (y * x)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
μ : Measure α
s : Set α
goal: ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ μ t = μ s
context: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a✝ b c d : ℝ
μ ν : Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
goal: (∀ k ∈ Ico m n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → IntervalIntegrable f μ (a m) (a n)
context: α : Type u_1
m n : ZNum
x✝ : ↑m ∣ ↑n
k : ℤ
e : ↑n = ↑m * k
goal: n = m * ↑k
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
g : β → α
b' : β
hf : Monotone f
gc : ∀ (a : α), ∀ b ≥ b', f a ≤ b ↔ a ≤ g b
hgi : ∀ b ≥ b', b ≤ f (g b)
goal: map f atTop = atTop
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
g : β → α
b' : β
hf : Monotone f
gc : ∀ (a : α), ∀ b ≥ b', f a ≤ b ↔ a ≤ g b
hgi : ∀ b ≥ b', b ≤ f (g b)
goal: atTop ≤ map f atTop
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
g : β → α
b' : β
hf : Monotone f
gc : ∀ (a : α), ∀ b ≥ b', f a ≤ b ↔ a ≤ g b
hgi : ∀ b ≥ b', b ≤ f (g b)
goal: atTop ≤ ⨅ a, 𝓟 (f '' {a' | a ≤ a'})
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
g : β → α
b' : β
hf : Monotone f
gc : ∀ (a : α), ∀ b ≥ b', f a ≤ b ↔ a ≤ g b
hgi : ∀ b ≥ b', b ≤ f (g b)
a : α
b : β
hb : b ∈ Ici (f a ⊔ b')
goal: b ∈ f '' {a' | a ≤ a'}
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
g : β → α
b' : β
hf : Monotone f
gc : ∀ (a : α), ∀ b ≥ b', f a ≤ b ↔ a ≤ g b
hgi : ∀ b ≥ b', b ≤ f (g b)
a : α
b : β
hb : f a ≤ b ∧ b' ≤ b
goal: b ∈ f '' {a' | a ≤ a'}
context: F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : AddGroupWithOne α
inst✝ : CharZero α
m n : ℤ
goal: ↑m = ↑n ↔ m = n
context: C : Type u_4
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_4} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
a b : A
X : C
this : HasShift D A := HasShift.induced F A s i
goal: (shiftFunctorAdd D a b).inv.app (F.obj X) = (s b).map ((i a).hom.app X) ≫ (i b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X) ≫ (i (a + b)).inv.app X
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
goal: HasFPowerSeriesAt (g ∘ f) (q.comp p) x
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
goal: HasFPowerSeriesAt (g ∘ f) (q.comp p) x