ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C
α : Type
inst✝ : Finite α
X : C
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ X
Y : C
f : Y ⟶ X
hπ : IsIso (Sigma.desc π)
this : IsColimit (Cofan.mk X π) := (coproductIsCoproduct Z).ofPointIso
goal: IsColimit (Cofan.mk Y fun x => pullback.fst f (π x))
context: G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
goal: μ' = μ
context: G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
this : CompactSpace G
goal: μ' = μ
context: G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
this : CompactSpace G
A : ∀ (s : Set G), μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s
Z : μ' univ = μ'.haarScalarFactor μ • μ univ
goal: μ' = μ
context: ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
goal: (b.toMatrix ⇑b₂).det • b₂.coords x = (b.toMatrix ⇑b₂)ᵀ.cramer (b.coords x)
context: ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
hu : IsUnit (b.toMatrix ⇑b₂)
goal: (b.toMatrix ⇑b₂).det • b₂.coords x = (b.toMatrix ⇑b₂)ᵀ.cramer (b.coords x)
context: ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
hu : IsUnit (b.toMatrix ⇑b₂).det
goal: (b.toMatrix ⇑b₂).det • b₂.coords x = (b.toMatrix ⇑b₂)ᵀ.cramer (b.coords x)
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
goal: ConvexOn 𝕜 s (f ⊔ g)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid β
f : Multiplicative ℕ →* α
n : Multiplicative ℕ
goal: f n = f (ofAdd 1) ^ toAdd n
context: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁷ : F.PreservesZeroMorphisms
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
ψl : LeftHomologyMapData φ hl₁ hl₂
ψr : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂
inst✝⁶ : S₁.HasHomology
inst✝⁵ : S₂.HasHomology
inst✝⁴ : (F.mapShortComplex.obj S₁).HasHomology
inst✝³ : (F.mapShortComplex.obj S₂).HasHomology
inst✝² : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂
inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms
γ : LeftHomologyMapData φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData
goal: QuasiIso (F.mapShortComplex.map φ) ↔ QuasiIso φ
context: R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
goal: (convexHull R) ↑s = {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x}
context: ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
hn : ¬IsMin (pred^[n + 1] i0)
goal: toZ i0 (pred^[n + 1] i0) = -↑(n + 1)
context: ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
hn : ¬IsMin (pred^[n + 1] i0)
this : pred^[n.succ] i0 < i0
m : ℕ := (-toZ i0 (pred^[n.succ] i0)).toNat
goal: toZ i0 (pred^[n + 1] i0) = -↑(n + 1)
context: α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
goal: ∃ a, 1 < a
context: α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1
goal: ∃ a, 1 < a
context: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)
goal: x ∈ support g + support f
context: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)
hx : x ∉ support g + support f
goal: (f ⋆[L, μ] g) x = 0
context: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x
goal: (f ⋆[L, μ] g) x = 0
context: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x
goal: ∫ (t : G), (L (f t)) (g (x - t)) ∂μ = 0
context: ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.20862, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c
i j : ι
hij : ¬c.symm.Rel i j
goal: (X.d j i).unop = 0
context: ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.20862, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c
x✝⁴ x✝³ x✝² : ι
x✝¹ : c.symm.Rel x✝⁴ x✝³
x✝ : c.symm.Rel x✝³ x✝²
goal: (fun i j => (X.d j i).unop) x✝⁴ x✝³ ≫ (fun i j => (X.d j i).unop) x✝³ x✝² = 0
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf α
goal: Tendsto (fun a => (a, a)) atBot atBot
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf α
goal: Tendsto (fun a => (a, a)) atBot (atBot ×ˢ atBot)
context: α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
goal: ∃ b, b.Countable ∧ ∅ ∉ b ∧ IsTopologicalBasis b
context: α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
b : Set (Set α)
hb₁ : b.Countable
hb₂ : t = generateFrom b
goal: ∃ b, b.Countable ∧ ∅ ∉ b ∧ IsTopologicalBasis b
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
h₂ : a ≤ d
x : α
goal: x ∈ Icc a b ∪ Icc c d ↔ x ∈ Icc (min a c) (max b d)
context: X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : Y
y : X
goal: ε ≤ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl y)
context: X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : Y
y : X
goal: ε ≤ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl y) (Sum.inr x)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : Finite α
p q : α → Prop
inst✝³ : Fintype { x // p x }
inst✝² : Fintype { x // ¬p x }
inst✝¹ : Fintype { x // q x }
inst✝ : Fintype { x // ¬q x }
h : card { x // p x } = card { x // q x }
goal: card { x // ¬p x } = card { x // ¬q x }
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : Finite α
p q : α → Prop
inst✝³ : Fintype { x // p x }
inst✝² : Fintype { x // ¬p x }
inst✝¹ : Fintype { x // q x }
inst✝ : Fintype { x // ¬q x }
h : card { x // p x } = card { x // q x }
val✝ : Fintype α
goal: card { x // ¬p x } = card { x // ¬q x }
context: α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : ↑u * a = 1
goal: ↑u⁻¹ = ↑u⁻¹ * 1
context: α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : ↑u * a = 1
goal: ↑u⁻¹ * 1 = a
context: α : Type u
β✝ : Type u_1
t✝ : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
t : Set β
cs : Set α
cs_count : cs.Countable
hcs : s ⊆ closure cs
ct : Set β
ct_count : ct.Countable
hct : t ⊆ closure ct
goal: IsSeparable (s ×ˢ t)
context: α : Type u
β✝ : Type u_1
t✝ : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
t : Set β
cs : Set α
cs_count : cs.Countable
hcs : s ⊆ closure cs
ct : Set β
ct_count : ct.Countable
hct : t ⊆ closure ct
goal: s ×ˢ t ⊆ closure (cs ×ˢ ct)
context: M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : MulAction M α
inst✝² : Mul α
r s : M
x y : α
inst✝¹ : IsScalarTower M α α
inst✝ : SMulCommClass M α α
goal: r • x * s • y = (r * s) • (x * y)
context: ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : (i : ↑↑s) → β ↑i
n : ι
hn : n ∉ s
goal: ((mk β s) f) n = 0
context: ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : (i : ↑↑s) → β ↑i
n : ι
hn : n ∉ s
goal: (if H : n ∈ s then f ⟨n, H⟩ else 0) = 0
context: A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝³ : Algebra A S
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : A
s : ↥M
hr : (aeval (mk' S r s)) p = 0
goal: (aeval ((algebraMap A S) r)) (p.scaleRoots ↑s) = 0
context: A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝³ : Algebra A S
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : A
s : ↥M
hr : (aeval (mk' S r s)) p = 0
goal: ⇑(aeval ((algebraMap A S) r)) = eval₂ (algebraMap A S) ((algebraMap A S) ↑s * mk' S r s)
context: A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝³ : Algebra A S
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : A
s : ↥M
hr : (aeval (mk' S r s)) p = 0
x✝ : A[X]
goal: (aeval ((algebraMap A S) r)) x✝ = eval₂ (algebraMap A S) ((algebraMap A S) ↑s * mk' S r s) x✝
context: E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
goal: fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)) w n = fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (iteratedFDeriv ℝ n fun v => fourierPowSMulRight L f v k) w
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
e : α ≃ᵐ β
s : Set α
goal: ⇑e ⁻¹' (⇑e '' s) = s
context: X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
goal: Disjoint (interior s) (frontier s)
context: R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
i : K →+* L
inst✝ : Algebra R K
f : K[X]
hs : Splits (RingHom.id K) f
hm : f.Monic
hr : ∀ a ∈ f.roots, a ∈ (algebraMap R K).range
goal: f ∈ lifts (algebraMap R K)
context: R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
i : K →+* L
inst✝ : Algebra R K
f : K[X]
hs : Splits (RingHom.id K) f
hm : f.Monic
hr : ∀ a ∈ f.roots, a ∈ (algebraMap R K).range
goal: (Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots).prod ∈ liftsRing (algebraMap R K)
context: R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
i : K →+* L
inst✝ : Algebra R K
f : K[X]
hs : Splits (RingHom.id K) f
hm : f.Monic
hr : ∀ a ∈ f.roots, a ∈ (algebraMap R K).range
P : K[X]
hP : P ∈ Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots
goal: P ∈ liftsRing (algebraMap R K)
context: R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
i : K →+* L
inst✝ : Algebra R K
f : K[X]
hs : Splits (RingHom.id K) f
hm : f.Monic
hr : ∀ a ∈ f.roots, a ∈ (algebraMap R K).range
b : K
hb : b ∈ f.roots
hP : X - C b ∈ Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots
goal: X - C b ∈ liftsRing (algebraMap R K)
context: α : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup α
n : ℤ
a : α
goal: ‖a ^ n‖ ≤ ‖n‖ * ‖a‖
context: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism
y : L'
goal: y ∈ f.idealRange ↔ ∃ x, f x = y
context: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : lieIdealSubalgebra R L' f.idealRange = f.range
y : L'
goal: y ∈ f.idealRange ↔ ∃ x, f x = y
context: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
n : ℕ
hn : n ≤ ramificationIdx f p P
goal: map f p ≤ P ^ n
context: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
n : ℕ
hn : ¬map f p ≤ P ^ n
goal: ramificationIdx f p P < n
context: R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
a : A
n : ℕ
ha : autoParam (p a) _auto✝
goal: cfc (fun x => x ^ n) a = a ^ n
context: Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : SL(2, ℤ)
f g : ℍ → ℂ
goal: (f * g) ∣[k1 + k2] ↑A = (↑↑↑A).det • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A
context: Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : SL(2, ℤ)
f g : ℍ → ℂ
goal: (↑↑↑A).det • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A = 1 • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A
context: Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : SL(2, ℤ)
f g : ℍ → ℂ
goal: 1 • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A = f ∣[k1] A * g ∣[k2] A
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
goal: (s.gcd fun j => f j / s.gcd f) = 1
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
g : ι → α
he : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hg : s.gcd g = 1
goal: (s.gcd fun j => f j / s.gcd f) = 1
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
g : ι → α
he : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hg : s.gcd g = 1
a : ι
ha : a ∈ s
goal: f a / s.gcd f = g a
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
g : ι → α
he : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hg : s.gcd g = 1
a : ι
ha : a ∈ s
goal: s.gcd f ≠ 0
context: R S : Type u
M✝ : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁷ : Ring R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M'
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R M✝
inst✝¹¹ : Module R M'
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : Module.Free R M✝
inst✝⁷ : Module.Free R M'
inst✝⁶ : Module.Finite R M✝
inst✝⁵ : Module.Finite R M'
ι : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
M : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M i)
goal: finrank R (⨁ (i : ι), M i) = ∑ i : ι, finrank R (M i)
context: R S : Type u
M✝ : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁷ : Ring R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M'
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R M✝
inst✝¹¹ : Module R M'
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : Module.Free R M✝
inst✝⁷ : Module.Free R M'
inst✝⁶ : Module.Finite R M✝
inst✝⁵ : Module.Finite R M'
ι : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
M : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M i)
this : Nontrivial R := nontrivial_of_invariantBasisNumber R
goal: finrank R (⨁ (i : ι), M i) = ∑ i : ι, finrank R (M i)
context: a✝¹ a✝ : ℝ
goal: ↑a✝¹ * ↑a✝ = ↑a✝ * ↑a✝¹
context: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L
hF : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
goal: (algebraMap K F) ((norm K) x) = ((minpoly K x).aroots F).prod ^ finrank (↥K⟮x⟯) L
context: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A
goal: (fromBlocks A B C D).det = A.det * (D - C * ⅟A * B).det
context: R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Free R M'
ι : Type w
goal: Module.rank R (ι →₀ M) = lift.{v, w} #ι * lift.{w, v} (Module.rank R M)
context: R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Free R M'
ι : Type w
fst✝ : Type v
bs : Basis fst✝ R M
goal: Module.rank R (ι →₀ M) = lift.{v, w} #ι * lift.{w, v} (Module.rank R M)
context: ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Set.InjOn e ↑s
hest : Set.MapsTo e ↑s ↑t
h' : ∀ i ∈ t, i ∉ e '' ↑s → g i = 1
h : ∀ i ∈ s, f i = g (e i)
goal: ∏ i ∈ s, f i = ∏ j ∈ t, g j
context: α β : NonemptyFinLinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget NonemptyFinLinOrd).obj α
goal: (↑e ≫ ↑e.symm) x = (𝟙 α) x
context: α β : NonemptyFinLinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget NonemptyFinLinOrd).obj β
goal: (↑e.symm ≫ ↑e) x = (𝟙 β) x
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List M
m : M
h : ∀ x ∈ l, x = m
goal: l.prod = m ^ l.length
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
goal: univ.sup' ⋯ f = ⨆ i, f i
context: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0
goal: angle x (x + y) = Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖)
context: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0
goal: Real.arcsin (‖y‖ / √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖)) = Real.arcsin (‖y‖ / (‖x‖ * √(1 + (‖y‖ / ‖x‖) ^ 2)))
context: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0
goal: Real.arcsin (‖y‖ / √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖)) = Real.arcsin (‖y‖ / (√(‖x‖ ^ 2) * √(1 + (‖y‖ / ‖x‖) ^ 2)))
context: α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s : Finset (Option α)
goal: ∏ x ∈ eraseNone s, f x = ∏ x ∈ s, Option.elim' 1 f x
context: G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
goal: μ.innerContent ⊥ = 0
context: G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
goal: μ.innerContent ⊥ ≤ 0
context: G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
goal: μ.innerContent ⊥ ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) ⊥
context: G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑⊥
goal: (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) ⊥