ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ι : Type u_1
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0
hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s
g : ι → α → ℝ
hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i)
hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s
goal: ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
context: x : ℤ
r : ℝ
goal: ball x r = Ioo ⌊↑x - r⌋ ⌈↑x + r⌉
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
C : ℝ≥0
goal: Tendsto (fun n => C / ↑n) atTop (𝓝 0)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : GroupWithZero α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a
goal: b₁ ≤ a⁻¹ • b₂ ↔ a • b₁ ≤ b₂
context: z : ℍ
k : ℤ
N : ℕ
hk : 3 ≤ k
a : Fin 2 → ZMod N
goal: TendstoLocallyUniformlyOn (fun s => (fun z => ∑ x ∈ s, eisSummand k (↑x) z) ∘ ↑ofComplex) ((eisensteinSeries_SIF a k).toFun ∘ ↑ofComplex) Filter.atTop {z | 0 < z.im}
context: z : ℍ
k : ℤ
N : ℕ
hk : 3 ≤ k
a : Fin 2 → ZMod N
goal: TendstoLocallyUniformlyOn (fun s => (fun z => ∑ x ∈ s, eisSummand k (↑x) z) ∘ ↑ofComplex) ((eisensteinSeries_SIF a k).toFun ∘ ↑ofComplex) Filter.atTop (Subtype.val '' Set.univ)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : MeasurableSpace δ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
φ : α → H
L : H ≃L[𝕜] E
h : Integrable (fun a => L (φ a)) μ
goal: Integrable φ μ
context: m : Type u_1 → Type u_2
α α✝ : Type u_1
p₁ : (α → α✝) → Prop
f✝ : m (α → α✝)
p₂ : α → Prop
q : α✝ → Prop
inst✝¹ : Applicative m
inst✝ : LawfulApplicative m
x✝ : m α
hf : SatisfiesM p₁ f✝
hx : SatisfiesM p₂ x✝
H : ∀ {f : α → α✝} {a : α}, p₁ f → p₂ a → q (f a)
f : m { a // p₁ a }
x : m { a // p₂ a }
goal: (Subtype.val <$> Seq.seq ((fun x x_1 => match x with | ⟨a, h₁⟩ => match x_1 with | ⟨b, h₂⟩ => ⟨a b, ⋯⟩) <$> f) fun x_1 => x) = Seq.seq (Subtype.val <$> f) fun x_1 => Subtype.val <$> x
context: m : Type u_1 → Type u_2
α α✝ : Type u_1
p₁ : (α → α✝) → Prop
f✝ : m (α → α✝)
p₂ : α → Prop
q : α✝ → Prop
inst✝¹ : Applicative m
inst✝ : LawfulApplicative m
x✝ : m α
hf : SatisfiesM p₁ f✝
hx : SatisfiesM p₂ x✝
H : ∀ {f : α → α✝} {a : α}, p₁ f → p₂ a → q (f a)
f : m { a // p₁ a }
x : m { a // p₂ a }
goal: (Seq.seq (pure Subtype.val) fun x_1 => Seq.seq (Seq.seq (pure fun x x_2 => ⟨x.val x_2.val, ⋯⟩) fun x => f) fun x_2 => x) = Seq.seq (Seq.seq (pure Subtype.val) fun x => f) fun x_1 => Seq.seq (pure Subtype.val) fun x_2 => x
context: m : Type u_1 → Type u_2
α α✝ : Type u_1
p₁ : (α → α✝) → Prop
f✝ : m (α → α✝)
p₂ : α → Prop
q : α✝ → Prop
inst✝¹ : Applicative m
inst✝ : LawfulApplicative m
x✝ : m α
hf : SatisfiesM p₁ f✝
hx : SatisfiesM p₂ x✝
H : ∀ {f : α → α✝} {a : α}, p₁ f → p₂ a → q (f a)
f : m { a // p₁ a }
x : m { a // p₂ a }
goal: (Seq.seq (Seq.seq (pure (Function.comp Subtype.val ∘ fun x x_1 => ⟨x.val x_1.val, ⋯⟩)) fun x => f) fun x_1 => x) = Seq.seq ((fun h => h Subtype.val) <$> Function.comp <$> Seq.seq (pure Subtype.val) fun x => f) fun x_1 => x
context: m : Type u_1 → Type u_2
α α✝ : Type u_1
p₁ : (α → α✝) → Prop
f✝ : m (α → α✝)
p₂ : α → Prop
q : α✝ → Prop
inst✝¹ : Applicative m
inst✝ : LawfulApplicative m
x✝ : m α
hf : SatisfiesM p₁ f✝
hx : SatisfiesM p₂ x✝
H : ∀ {f : α → α✝} {a : α}, p₁ f → p₂ a → q (f a)
f : m { a // p₁ a }
x : m { a // p₂ a }
goal: (Seq.seq (Seq.seq (pure (Function.comp Subtype.val ∘ fun x x_1 => ⟨x.val x_1.val, ⋯⟩)) fun x => f) fun x_1 => x) = Seq.seq (Seq.seq (pure fun h => h Subtype.val) fun x => Seq.seq (pure Function.comp) fun x => Seq.seq (pure Subtype.val) fun x => f) fun x_1 => x
context: K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℕ × K
goal: (frobenius (PerfectClosure K p) p) (mk K p x) = mk K p (x.1, x.2 ^ p)
context: K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℕ × K
goal: mk K p x ^ p = mk K p (x.1, x.2 ^ p)
context: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Icc a b) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
goal: ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
context: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Icc a b) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
x : ℝ
hx : x ∈ Ico a b
goal: HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
context: F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α✝
s✝ : Finset β✝
H : s✝.Nonempty
f✝ : β✝ → α✝
ι : Type u_7
κ : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → β
i : α × β
a : ι
ha : a ∈ s
b : κ
hb : b ∈ t
goal: (s.sup' ⋯ f, t.sup' ⋯ g) ≤ i ↔ (s ×ˢ t).sup' ⋯ (Prod.map f g) ≤ i
context: F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α✝
s✝ : Finset β✝
H : s✝.Nonempty
f✝ : β✝ → α✝
ι : Type u_7
κ : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → β
i : α × β
a : ι
ha : a ∈ s
b : κ
hb : b ∈ t
goal: ((∀ b ∈ s, f b ≤ i.1) ∧ ∀ b ∈ t, g b ≤ i.2) ↔ ∀ (a : ι) (b : κ), a ∈ s → b ∈ t → f a ≤ i.1 ∧ g b ≤ i.2
context: ι : Type u
γ✝ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
γ : Type w
α : Type x
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
s : Finset α
g : α → Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
h_zero : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
h_add : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ + b₂) = h i b₁ * h i b₂
goal: ∏ i ∈ s, (g i).prod h = (∑ i ∈ s, g i).prod h
context: α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PolishSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
goal: ∀ {s : Set α}, MeasurableSet s → IsClopenable s
context: α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
a : Multiset α
goal: Rel r a 0 ↔ a = 0
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
xs : List α
h : xs.Nodup
n : ℕ
hn : n < xs.length
goal: xs.formPerm (xs.nthLe n hn) = xs.nthLe ((n + 1) % xs.length) ⋯
context: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Free R M
x : ι → R
goal: Polynomial.map (MvPolynomial.eval x) (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = charpoly (φ (b.repr.symm (Finsupp.equivFunOnFinite.symm x)))
context: M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid N✝
N : Submonoid M
goal: FG ↥N ↔ N.FG
context: M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid N✝
N : Submonoid M
goal: FG ↥N ↔ (Submonoid.map N.subtype ⊤).FG
context: m : ℕ
hm : 2 ≤ m
mZ1 : 1 < ↑m
m1 : 1 < ↑m
n : ℕ
goal: ∃ a b, 1 < b ∧ liouvilleNumber ↑m ≠ ↑a / ↑b ∧ |liouvilleNumber ↑m - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n
context: m : ℕ
hm : 2 ≤ m
mZ1 : 1 < ↑m
m1 : 1 < ↑m
n p : ℕ
hp : partialSum (↑m) n = ↑p / ↑(m ^ n !)
goal: ∃ a b, 1 < b ∧ liouvilleNumber ↑m ≠ ↑a / ↑b ∧ |liouvilleNumber ↑m - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n
context: m : ℕ
hm : 2 ≤ m
mZ1 : 1 < ↑m
m1 : 1 < ↑m
n p : ℕ
hp : partialSum (↑m) n = ↑p / ↑(m ^ n !)
goal: liouvilleNumber ↑m ≠ ↑p / ↑m ^ n ! ∧ |liouvilleNumber ↑m - ↑p / ↑m ^ n !| < 1 / (↑m ^ n !) ^ n
context: m : ℕ
hm : 2 ≤ m
mZ1 : 1 < ↑m
m1 : 1 < ↑m
n p : ℕ
hp : partialSum (↑m) n = ↑p / ↑m ^ n !
goal: liouvilleNumber ↑m ≠ ↑p / ↑m ^ n ! ∧ |liouvilleNumber ↑m - ↑p / ↑m ^ n !| < 1 / (↑m ^ n !) ^ n
context: m : ℕ
hm : 2 ≤ m
mZ1 : 1 < ↑m
m1 : 1 < ↑m
n p : ℕ
hp : partialSum (↑m) n = ↑p / ↑m ^ n !
goal: partialSum (↑m) n + remainder (↑m) n ≠ partialSum (↑m) n ∧ |partialSum (↑m) n + remainder (↑m) n - partialSum (↑m) n| < 1 / (↑m ^ n !) ^ n
context: m : ℕ
hm : 2 ≤ m
mZ1 : 1 < ↑m
m1 : 1 < ↑m
n p : ℕ
hp : partialSum (↑m) n = ↑p / ↑m ^ n !
hpos : 0 < remainder (↑m) n
goal: partialSum (↑m) n + remainder (↑m) n ≠ partialSum (↑m) n ∧ |partialSum (↑m) n + remainder (↑m) n - partialSum (↑m) n| < 1 / (↑m ^ n !) ^ n
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
r : ℝ
hr : r < 0
goal: (r • j).posPart = (-r).toNNReal • j.negPart
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
goal: x₀ ∈ eigenspace ↑T ↑(T.rayleighQuotient x₀)
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
goal: ↑T x₀ = ↑(T.rayleighQuotient x₀) • x₀
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : β → ℝ≥0∞
μ : Measure β
a : α
goal: ∫⁻ (x : β), f x ∂(const α μ) a = ∫⁻ (x : β), f x ∂μ
context: R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsEisensteinAt 𝓟
n : ℕ
hn : n ≠ f.natDegree
goal: f.coeff n ∈ 𝓟
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
f : α → Part β
g : α → β → Part γ
hf : Monotone f
hg : Monotone g
x y : α
h : x ≤ y
a : γ
goal: a ∈ (fun x => (f x).bind (g x)) x → a ∈ (fun x => (f x).bind (g x)) y
context: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
goal: ⁅I, N⁆ = ⊥ ↔ ∀ x ∈ I, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ = 0
context: V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v y : V
w : W
goal: (fderiv ℝ (fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))) v) y = -2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * ↑(𝐞 (-(L v) w))
context: R : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne R
n : ℕ
goal: ↑1 n = 1 n
context: G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K₁ K₂ : Compacts G
goal: (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K₁ ⊔ K₂) ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₁ + (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₂
context: G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K₁ K₂ : Compacts G
goal: μ.toFun (K₁ ⊔ K₂) ≤ μ.toFun K₁ + μ.toFun K₂
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : Countable β
x✝ : MeasurableSpace γ
f : α × β → γ
hf : ∀ (y : β), Measurable fun x => f (x, y)
h'f : ∀ (y y' : β) (x : α), y' ∈ measurableAtom y → f (x, y') = f (x, y)
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
goal: MeasurableSet (f ⁻¹' s)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : Countable β
x✝ : MeasurableSpace γ
f : α × β → γ
hf : ∀ (y : β), Measurable fun x => f (x, y)
h'f : ∀ (y y' : β) (x : α), y' ∈ measurableAtom y → f (x, y') = f (x, y)
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
this : f ⁻¹' s = ⋃ y, ((fun x => f (x, y)) ⁻¹' s) ×ˢ measurableAtom y
goal: MeasurableSet (⋃ y, ((fun x => f (x, y)) ⁻¹' s) ×ˢ measurableAtom y)
context: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
goal: (triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T) ∈ distinguishedTriangles
context: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
goal: ContMDiff 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ⊤ fun x => -x
context: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
goal: ContMDiff 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) ⊤ fun x => -↑x
context: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
goal: ContMDiff 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) ⊤ Subtype.val
context: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
h : i ∈ s
goal: ∑ j ∈ s, affineCombinationSingleWeights k i j = 1
context: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
h : i ∈ s
goal: ∑ j ∈ s, affineCombinationSingleWeights k i j = affineCombinationSingleWeights k i i
context: M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝ : Semigroup G
a b c : G
h : SemiconjBy a b c
j : G
goal: (fun x => x * a) ((fun x => x * c) j) = (fun x => x * b) ((fun x => x * a) j)
context: a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] a) l
goal: Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
context: a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] a) l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ g x
goal: Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
context: a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] a) l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ g x
hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt f (deriv f x) x
goal: Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
context: a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] a) l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ g x
hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt f (deriv f x) x
hdg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt g (deriv g x) x
goal: Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
context: p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
goal: WittVector.ghostFun 0 = 0
context: R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
i j : σ
f : MvPolynomial σ R
h : i ≠ j
goal: degreeOf i (f * X j) = degreeOf i f
context: a b c : ℕ
goal: a ⊔ b + 1 - a ⊓ b = (↑b - ↑a).natAbs + 1
context: cf cg : Code
a : ℕ
goal: (cf.prec cg).eval (Nat.pair a 0) = cf.eval a
context: cf cg : Code
a : ℕ
goal: Nat.rec (cf.eval a) (fun y IH => do let i ← IH cg.eval (Nat.pair a (Nat.pair y i))) 0 = cf.eval a
context: α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∀ᶠ (x : α) in l, g'' x ≠ 0
goal: f =O[l] g'' ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x‖ / ‖g'' x‖
context: α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∀ᶠ (x : α) in l, g'' x ≠ 0
goal: (∃ c, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g'' x‖) ↔ ∃ b, ∀ᶠ (a : α) in l, ‖f a‖ / ‖g'' a‖ ≤ b
context: α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → V
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
hs : MeasurableSet s
goal: ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict s, DifferentiableWithinAt ℝ f s x
context: α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → V
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
hs : MeasurableSet s
goal: ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
context: p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x✝ y : 𝕎 R
n : ℕ
x : 𝕎 R
goal: mapFun (⇑f) (n • x) = n • mapFun (⇑f) x
context: R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P
goal: midpoint R x y = y ↔ x = y
context: Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : Measure Ω
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
goal: Measurable (pdf X ℙ μ)
context: G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Group G
a b : G
h : Commute a b
goal: a * b * a⁻¹ = b
context: G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
hs : IsOpen s
goal: IsOpen (s * t)
context: G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
hs : IsOpen s
goal: IsOpen (⋃ a ∈ t, op a • s)
context: G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
goal: (𝓝 1).HasBasis (fun V => V ∈ B) id
context: G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
goal: toFilterBasis.filter.HasBasis (fun V => V ∈ B) id
context: a : ℝ
goal: frontier {z | z.re ≤ a} = {z | z.re = a}
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Group α
a : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
goal: a⁻ᵐ = 1 ↔ 1 ≤ a
context: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.16556, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.16560, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : q + 1 = p
goal: p + -1 = q
context: R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a✝) _auto✝
f : R → R
a : A
hf : ¬ContinuousOn f (σₙ R a)
goal: cfcₙ f a = 0
context: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ Type w
F₁ F₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
α : F₁ ⟶ F₂
goal: (map α).op ⋙ toCostructuredArrow F₂ = toCostructuredArrow F₁ ⋙ CostructuredArrow.map α
context: u v : ℤ
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v
goal: u ≠ v ↔ u = -v
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
y : NormedSpace.Dual 𝕜 F
goal: Continuous fun A => y (A x)
context: α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : x ∉ thickening δ E
goal: thickenedIndicatorAux δ E x = 0
context: α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E
goal: 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ = 0
context: α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E
goal: 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ ⊥
context: α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E
key : 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ 1 - ENNReal.ofReal δ / ENNReal.ofReal δ
goal: 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ ⊥
context: α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hcb : c ≤ b
goal: filter (fun x => x < c) (Ico a b) = Ico a c
context: M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }
goal: ↑(d ⟨1, ⋯⟩) = 1
context: M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }
this : OrderBot { l // l ≤ m } := Subtype.orderBot ⋯
goal: ↑(d ⟨1, ⋯⟩) = 1
context: M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }
this✝ : OrderBot { l // l ≤ m } := Subtype.orderBot ⋯
this : OrderBot { l // l ≤ n } := Subtype.orderBot ⋯
goal: ↑(d ⟨1, ⋯⟩) = 1
context: M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }
this✝¹ : OrderBot { l // l ≤ m } := Subtype.orderBot ⋯
this✝ : OrderBot { l // l ≤ n } := Subtype.orderBot ⋯
this : BotHomClass ({ l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }) { l // l ≤ m } { l // l ≤ n } := OrderIsoClass.toBotHomClass
goal: d ⊥ = ⊥