ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
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p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
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Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
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Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf
r : ℝ≥0
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hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ EMetric.ball x δ → f z ∈ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
goal: HasFPowerSeriesAt (g ∘ f) (q.comp p) x
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
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δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
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rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
goal: HasFPowerSeriesOnBall (g ∘ f) (q.comp p) x (min rf' ↑r)
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
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H : Type u_5
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y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)
goal: HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) ((g ∘ f) (x + y))
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
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context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
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context: 𝕜 : Type u_1
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hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)
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A : Tendsto (fun n => ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y) atTop (𝓝 (f (x + y) - f x))
goal: HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) ((g ∘ f) (x + y))
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
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G : Type u_4
H : Type u_5
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A : Tendsto (fun n => ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y) atTop (𝓝 (f (x + y) - f x))
B : Tendsto (fun n => q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
goal: HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) ((g ∘ f) (x + y))
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
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G : Type u_4
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inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
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p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
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δ : ℝ≥0∞
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hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)
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A : Tendsto (fun n => ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y) atTop (𝓝 (f (x + y) - f x))
B : Tendsto (fun n => q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
C : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 n n, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => y) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
goal: HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) ((g ∘ f) (x + y))
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
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G : Type u_4
H : Type u_5
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A : Tendsto (fun n => ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y) atTop (𝓝 (f (x + y) - f x))
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C : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 n n, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => y) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
D : HasSum (fun i => (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => y) (g (f (x + y)))
goal: HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) ((g ∘ f) (x + y))
context: 𝕜 : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
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inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
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δ : ℝ≥0∞
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rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
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y : E✝
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)
y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf
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A : Tendsto (fun n => ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y) atTop (𝓝 (f (x + y) - f x))
B : Tendsto (fun n => q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
C : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 n n, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => y) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
D : HasSum (fun i => (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => y) (g (f (x + y)))
E : HasSum (fun n => (q.comp p n) fun _j => y) (g (f (x + y)))
goal: HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) ((g ∘ f) (x + y))
context: n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → ↑P (α ::: β)
x : β
a : P.A
f : P.B a ⟹ α ::: β
goal: ⟨a, splitFun (dropFun f) ((corec' P (fun b => (g b).fst) (fun b => dropFun (g b).snd) fun b => lastFun (g b).snd) ∘ lastFun f)⟩ = (TypeVec.id ::: corec P g) <$$> ⟨a, f⟩
context: n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → ↑P (α ::: β)
x : β
a : P.A
f : P.B a ⟹ α ::: β
goal: splitFun (dropFun f) ((corec' P (fun b => (g b).fst) (fun b => dropFun (g b).snd) fun b => lastFun (g b).snd) ∘ lastFun f) = (TypeVec.id ::: corec P g) ⊚ f
context: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
goal: MellinConvergent f s
context: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
goal: IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) (Ioi 0) volume
context: ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
g : Set (Set α)
s : Set α
S : Set (Set α)
Sg : S ⊆ g
Sct : S.Countable
hS : ⋂₀ S ⊆ s
goal: s ∈ countableGenerate g
context: K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
goal: IsUnit f ↔ range f = ⊤
context: α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
p : α → Prop
goal: ComputablePred p ↔ RePred p ∧ RePred fun a => ¬p a
context: l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B A : Matrix n n α
b : n → α
h : IsUnit A.det
goal: A.det • b ᵥ* A⁻¹ = Aᵀ.cramer b
context: G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : H = ⊤
goal: Nat.card ↥H = Nat.card G
context: L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
h : ∀ φ ∈ T', T ⊨ᵇ φ
φ : L.Formula α
hφ : T' ⊨ᵇ φ
goal: T ⊨ᵇ φ
context: L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
φ : L.Formula α
hφ : T' ⊨ᵇ φ
h : ∀ φ ∈ T', ∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ φ
M : T.ModelType
goal: ∀ (v : α → ↑M) (xs : Fin 0 → ↑M), BoundedFormula.Realize φ v xs
context: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℂ E
hf : CircleIntegrable f c R
goal: IntervalIntegrable (fun θ => deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)) volume 0 (2 * π)
context: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℂ E
hf : IntegrableOn (fun θ => f (circleMap c R θ)) (Ι 0 (2 * π)) volume
goal: IntegrableOn (fun θ => (circleMap 0 R θ * I) • f (circleMap c R θ)) (Ι 0 (2 * π)) volume
context: X : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
goal: Continuous ⇑diracProbaEquiv.symm
context: X : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
μ : ↑(range diracProba)
goal: ContinuousAt (⇑diracProbaEquiv.symm) μ
context: X : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
μ : ↑(range diracProba)
goal: Tendsto (⇑diracProbaEquiv.symm) (𝓝 μ) (𝓝 (diracProbaInverse μ))
context: n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : Fin n
h : 0 < i
goal: 0 < i.castSucc
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : b₁ < b₂
goal: Icc a b₁ ⊆ Ico a b₂
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : b₁ < b₂
goal: Set.Icc a b₁ ⊆ Set.Ico a b₂
context: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
h_int_Y : Integrable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
goal: Integrable (fun ω => rexp (t * (X + Y) ω)) μ
context: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
h_int_Y : Integrable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
goal: Integrable (fun ω => rexp (t * X ω) * rexp (t * Y ω)) μ
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
goal: μ (⋃ i, s i) = ⨆ i, μ (s i)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t✝ : Set α
t : ℕ → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t
goal: μ (⋃ n, t n) = ⨆ n, μ (t n)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t✝ : Set α
t : ℕ → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t
T : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (t n)
Td : ℕ → Set α := disjointed T
goal: μ (⋃ n, t n) ≤ ⨆ n, μ (t n)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t✝ : Set α
t : ℕ → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t
T : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (t n)
Td : ℕ → Set α := disjointed T
hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (Td n)
goal: μ (⋃ n, t n) ≤ ⨆ n, μ (t n)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
a : α
goal: (if IsRatStieltjesPoint (fun p => f p.2) ((), a) then (fun p => f p.2) ((), a) else defaultRatCDF) = if IsRatStieltjesPoint f a then f a else defaultRatCDF
context: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L ↥↑N
goal: map N.incl N' ≤ N
context: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L ↥↑N
goal: map N.incl N' ≤ map N.incl ⊤
context: K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
goal: (∃ r, ↑r = z) ↔ ∃ r, z = ↑r
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α
goal: BddBelow (closure s) ↔ BddBelow s
context: Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
d : Dir
head✝ : Γ
left✝ right✝ : ListBlank Γ
goal: map f (move d { head := head✝, left := left✝, right := right✝ }) = move d (map f { head := head✝, left := left✝, right := right✝ })
context: ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s₁ s₂ : Finset ι
S₁ : Set ((i : { x // x ∈ s₁ }) → α ↑i)
S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s₂ }) → α ↑i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
goal: f ∈ cylinder s₁ S₁ ∪ cylinder s₂ S₂ ↔ f ∈ cylinder (s₁ ∪ s₂) ((fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₁ ∪ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₂)
context: ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s₁ s₂ : Finset ι
S₁ : Set ((i : { x // x ∈ s₁ }) → α ↑i)
S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s₂ }) → α ↑i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
goal: (fun i => f ↑i) ∈ S₁ ∨ (fun i => f ↑i) ∈ S₂ ↔ (fun i => f ↑i) ∈ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₁ ∨ (fun i => f ↑i) ∈ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₂
context: α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν : μ ≪ ν
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
t : Set α := hνν'.nullSet
goal: μ.rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv ν
context: α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν : μ ≪ ν
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
t : Set α := hνν'.nullSet
ht : MeasurableSet t
goal: μ.rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv ν
context: α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν : μ ≪ ν
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
t : Set α := hνν'.nullSet
ht : MeasurableSet t
goal: μ.rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae (ν.restrict tᶜ)] μ.rnDeriv ν
context: α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν : μ ≪ ν
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
t : Set α := hνν'.nullSet
ht : MeasurableSet t
this : (ν.restrict tᶜ).withDensity (μ.rnDeriv (ν + ν')) = ((ν + ν').restrict tᶜ).withDensity (μ.rnDeriv (ν + ν'))
goal: (ν.restrict tᶜ).withDensity (μ.rnDeriv (ν + ν')) = (ν.restrict tᶜ).withDensity (μ.rnDeriv ν)
context: α : Type u_1
n : ℕ
s t : Multiset α
l : List α
goal: s ∈ powersetCard n ⟦l⟧ ↔ s ≤ ⟦l⟧ ∧ card s = n
context: α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x : N
hx : x ∈ closure s
goal: ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
context: X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
goal: x ∉ closure s ↔ 𝓝[s] x = ⊥
context: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
goal: s.encard = 0 ↔ s = ∅
context: a✝ b✝ c p q : ℚ
a : ℤ
ha : 0 ≤ a
b : ℕ
goal: 0 ≤ mkRat a b
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s✝ : Set α
f g : (i : α) → δ i
inst✝¹ : (j : α) → Decidable (j ∈ s✝)
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
f₁ f₂ : α → β
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ s)
h₁ : MapsTo f₁ (s₁ ∩ s) (t₁ ∩ t)
h₂ : MapsTo f₂ (s₂ ∩ sᶜ) (t₂ ∩ tᶜ)
goal: EqOn f₁ (s.piecewise f₁ f₂) (s₁ ∩ s)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s✝ : Set α
f g : (i : α) → δ i
inst✝¹ : (j : α) → Decidable (j ∈ s✝)
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
f₁ f₂ : α → β
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ s)
h₁ : MapsTo f₁ (s₁ ∩ s) (t₁ ∩ t)
h₂ : MapsTo f₂ (s₂ ∩ sᶜ) (t₂ ∩ tᶜ)
goal: EqOn f₂ (s.piecewise f₁ f₂) (s₂ ∩ sᶜ)
context: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
h : Bijective ⇑f
goal: (LinearMap.range f).topologicalClosure = ⊤
context: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
h : Bijective ⇑f
goal: ∃ c, AntilipschitzWith c ⇑f
context: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
x✝ : (LinearMap.range f).topologicalClosure = ⊤ ∧ ∃ c, AntilipschitzWith c ⇑f
hd : (LinearMap.range f).topologicalClosure = ⊤
c : ℝ≥0
hf : AntilipschitzWith c ⇑f
goal: Surjective ⇑f
context: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
h : Bijective ⇑f
goal: ∃ c, AntilipschitzWith c ⇑f
context: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
x✝ : (LinearMap.range f).topologicalClosure = ⊤ ∧ ∃ c, AntilipschitzWith c ⇑f
hd : (LinearMap.range f).topologicalClosure = ⊤
c : ℝ≥0
hf : AntilipschitzWith c ⇑f
goal: Surjective ⇑f
context: α✝ : Type u_1
l₁✝ l₂ : List α✝
p : α✝ → Bool
l₁ l₂✝ : List α✝
a : α✝
s : l₁ <+ l₂✝
h : p a = true
goal: eraseP p l₁ <+ l₂✝
context: α✝ : Type u_1
l₁✝ l₂ : List α✝
p : α✝ → Bool
l₁ l₂✝ : List α✝
a : α✝
s : l₁ <+ l₂✝
h : ¬p a = true
goal: eraseP p l₁ <+ a :: eraseP p l₂✝
context: x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
goal: x ^ (-z) < y ^ (-z)
context: x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
goal: 0 ≤ y
context: x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
goal: 0 ≤ x
context: x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
goal: 0 < x ^ z
context: x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
goal: 0 < y ^ z