ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.castSucc) (Ei (last n) →L[𝕜] G)
m : (i : Fin n.succ) → Ei i
goal: ‖f‖ * ((∏ i : Fin n, ‖init m i‖) * ‖m (last n)‖) = ‖f‖ * ∏ i : Fin n.succ, ‖m i‖
context: Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
k : Fq
hk : k ≠ 0
goal: inftyValuationDef Fq (RatFunc.C k) = ↑(Multiplicative.ofAdd 0)
context: Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
k : Fq
hk : k ≠ 0
hCk : RatFunc.C k ≠ 0
goal: inftyValuationDef Fq (RatFunc.C k) = ↑(Multiplicative.ofAdd 0)
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
he : ∀ (i : I), IsIdempotentElem (e i)
he' : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)
he'' : CompleteOrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e)
goal: CompleteOrthogonalIdempotents e
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
he : ∀ (i : I), IsIdempotentElem (e i)
he' : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)
he'' : CompleteOrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e)
e' : I → R
h₁ : CompleteOrthogonalIdempotents e'
h₂ : ⇑f ∘ e' = ⇑f ∘ e
goal: CompleteOrthogonalIdempotents e
context: α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
n : ℕ
goal: ∃ N, ∀ m_1 ≥ N, μ {x | 2⁻¹ ^ n ≤ dist (f m_1 x) (g x)} ≤ 2⁻¹ ^ n
context: α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
n : ℕ
hfg : Tendsto (fun i => μ {x | 2⁻¹ ^ n ≤ dist (f i x) (g x)}) atTop (𝓝 0)
goal: ∃ N, ∀ m_1 ≥ N, μ {x | 2⁻¹ ^ n ≤ dist (f m_1 x) (g x)} ≤ 2⁻¹ ^ n
context: α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
n : ℕ
hfg : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n_1 ≥ N, μ {x | 2⁻¹ ^ n ≤ dist (f n_1 x) (g x)} ≤ ε
goal: ∃ N, ∀ m_1 ≥ N, μ {x | 2⁻¹ ^ n ≤ dist (f m_1 x) (g x)} ≤ 2⁻¹ ^ n
context: R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
n : ℕ
goal: Disjoint (f.tailing i n) (OrderDual.ofDual ((f.tunnel i) (n + 1)))
context: R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
n : ℕ
goal: Submodule.map (f.tunnelAux (f.tunnel' i n)) (Submodule.snd R M N) ⊓ Submodule.map (f.tunnelAux (f.tunnel' i n)) (Submodule.fst R M N) = ⊥
context: α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
H : a / b = c / d
goal: a = b ↔ c = d
context: R : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroupWithOne R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : NeZero 1
m n : ℤ
h : m ≤ n
goal: ↑m ≤ ↑n
context: R : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroupWithOne R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : NeZero 1
m n : ℤ
k : ℕ
hk : ↑k = n - m
goal: ↑m ≤ ↑n
context: R : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroupWithOne R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : NeZero 1
m n : ℤ
k : ℕ
hk : ↑k = n - m
goal: 0 ≤ ↑k
context: R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
x✝² x✝¹ : M × ↥S
a : M
b : ↥S
a' : M
b' : ↥S
x✝ : (a, b) ≈ (a', b')
c : ↥S
eq1 : c • (a', b').2 • (a, b).1 = c • (a, b).2 • (a', b').1
goal: c • ((a', b').2 * s) • (a, b).1 = c • ((a, b).2 * s) • (a', b').1
context: R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
x y : LocalizedModule S M
goal: (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (x + y) = (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) x + (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) y
context: R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
x y : LocalizedModule S M
m₁ m₂ : M
t₁ t₂ : ↥S
goal: (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (mk m₁ t₁ + mk m₂ t₂) = (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (mk m₁ t₁) + (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (mk m₂ t₂)
context: R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
r : R
x : LocalizedModule S M
goal: { toFun := fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun x
context: R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
r : R
x : LocalizedModule S M
x✝¹ : M
x✝ : ↥S
goal: (mk ((IsLocalization.sec S (↑(algebraMap R (Localization S)).toMonoidWithZeroHom r)).1 • (x✝¹, x✝).1) ((IsLocalization.sec S (↑(algebraMap R (Localization S)).toMonoidWithZeroHom r)).2 * (x✝¹, x✝).2)).liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯ = r • (mk x✝¹ x✝).liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯
context: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
goal: (fun i j k => t' 𝒰 f g i j k) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j k) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j i) = pullback.fst ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i j) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i k) ≫ (fun i j => t 𝒰 f g i j) i j
context: n : ℕ
i a b : Fin (n + 1)
hab : a ≤ b
H : {i, a, b}.card ≤ n
goal: Set.range ⇑(asOrderHom (standardSimplex.edge n a b hab)) ∪ {i} ≠ Set.univ
context: G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f g : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : CompleteLattice.Independent fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
goal: Function.Injective ⇑(noncommPiCoprod ϕ hcomm)
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
inst✝ : SeparableSpace 𝕜
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
goal: IsSeparable (range (derivWithin f s))
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
inst✝ : SeparableSpace 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
ts : t ⊆ s
t_count : t.Countable
ht : s ⊆ closure t
goal: IsSeparable (range (derivWithin f s))
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
inst✝ : SeparableSpace 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
ts : t ⊆ s
t_count : t.Countable
ht : s ⊆ closure t
this : s ⊆ closure (s ∩ t)
goal: IsSeparable (range (derivWithin f s))
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
inst✝ : SeparableSpace 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
ts : t ⊆ s
t_count : t.Countable
ht : s ⊆ closure t
this : s ⊆ closure (s ∩ t)
goal: IsSeparable (closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t)))
context: Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mΩ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
goal: (fun ω => (((condexpKernel μ m) ω) s).toReal) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] μ[s.indicator fun ω => 1|m]
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p : α → Prop
f✝ : (a : α) → p a → β
x✝ : Option α
f : β → γ
x : Option α
g : (a : α) → a ∈ x → Option β
goal: Option.map f (x.pbind g) = x.pbind fun a H => Option.map f (g a H)
context: p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
goal: ∃ u n, Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n
context: p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
goal: ∃ u n, Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n
context: α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
f : α → β
s : Set β
goal: ((map f) ⊤) s = ((restrict (range f)) ⊤) s
context: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤
goal: llr (c • μ) ν =ᶠ[ae μ] fun x => llr μ ν x + log c.toReal
context: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤
goal: (fun x => log ((c • μ).rnDeriv ν x).toReal) =ᶠ[ae μ] fun x => log (μ.rnDeriv ν x).toReal + log c.toReal
context: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤
h : (c • μ).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] c • μ.rnDeriv ν
goal: (fun x => log ((c • μ).rnDeriv ν x).toReal) =ᶠ[ae μ] fun x => log (μ.rnDeriv ν x).toReal + log c.toReal
context: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤
h : (c • μ).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] c • μ.rnDeriv ν
x : α
hx_eq : (c • μ).rnDeriv ν x = (c • μ.rnDeriv ν) x
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤
goal: log ((c • μ.rnDeriv ν) x).toReal = log (μ.rnDeriv ν x).toReal + log c.toReal
context: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤
h : (c • μ).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] c • μ.rnDeriv ν
x : α
hx_eq : (c • μ).rnDeriv ν x = (c • μ.rnDeriv ν) x
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤
goal: log (c.toReal * (μ.rnDeriv ν x).toReal) = log (μ.rnDeriv ν x).toReal + log c.toReal
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
goal: finrank R ↥(A ⊔ B) = finrank R ↥B * finrank ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
context: α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Injective f
x : α
s : Multiset α
goal: map f (s.erase x) = (map f s).erase (f x)
context: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
s✝ : Set α✝
hs : SetIndependent s✝
α : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
goal: SetIndependent s ↔ Independent Subtype.val
context: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
s✝ : Set α✝
hs : SetIndependent s✝
α : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
goal: (∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Disjoint a (⨆ a_2 ∈ s \ {a}, a_2)) ↔ ∀ (x : α) (h : x ∈ s), Disjoint x (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ ⟨x, h⟩), ↑j)
context: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
s✝ : Set α✝
hs : SetIndependent s✝
α : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
goal: Disjoint a (⨆ a_1 ∈ s \ {a}, a_1) ↔ Disjoint a (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ ⟨a, ha⟩), ↑j)
context: X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsClosed t
goal: interior (s ∪ t) ⊆ interior s ∪ t
context: R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : 0 < p
goal: ((expand R p) f).Monic ↔ f.Monic
context: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hnot : ¬x ^ p ^ n = 1
hfin : x ^ p ^ (n + 1) = 1
goal: orderOf x = p ^ (n + 1)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
goal: ⨅ x, ↑(f x) = ⊤ ↔ IsEmpty ι
context: Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : μ E ≤ liminf (fun i => (μs i) E) L
goal: limsup (fun i => (μs i) Eᶜ) L ≤ μ Eᶜ
context: Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : μ E ≤ liminf (fun i => (μs i) E) L
hne : L.NeBot
goal: limsup (fun i => (μs i) Eᶜ) L ≤ μ Eᶜ
context: Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : μ E ≤ liminf (fun i => (μs i) E) L
hne : L.NeBot
meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E
goal: limsup (fun i => (μs i) Eᶜ) L ≤ μ Eᶜ
context: Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : μ E ≤ liminf (fun i => (μs i) E) L
hne : L.NeBot
meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E
meas_i_Ec : ∀ (i : ι), (μs i) Eᶜ = 1 - (μs i) E
obs : limsup (fun i => 1 - (μs i) E) L = limsup ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
goal: limsup ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L ≤ 1 - μ E
context: Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : μ E ≤ liminf (fun i => (μs i) E) L
hne : L.NeBot
meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E
meas_i_Ec : ∀ (i : ι), (μs i) Eᶜ = 1 - (μs i) E
obs : limsup (fun i => 1 - (μs i) E) L = limsup ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
this : 1 - liminf (fun i => (μs i) E) L = limsup ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
goal: 1 - liminf (fun i => (μs i) E) L ≤ 1 - μ E
context: R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
i j : ι
goal: (b.dualBasis i) (b j) = if j = i then 1 else 0
context: R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
i j : ι
goal: j = i ↔ i = j
context: X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
n : ℕ
x y : X n
goal: inductiveLimitDist f ⟨n, x⟩ ⟨n, y⟩ = dist x y
context: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' g : ℝ → E
derivf : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
derivg : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x
fcont : ContinuousOn f (Icc a b)
gcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hi : f a = g a
goal: ∀ y ∈ Icc a b, f y = g y
context: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' g : ℝ → E
derivf : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
derivg : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x
fcont : ContinuousOn f (Icc a b)
gcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hi : f a - g a = 0
goal: ∀ y ∈ Icc a b, f y - g y = 0
context: σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
a : R
goal: ↑(C a) = (PowerSeries.C R) a
context: σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
a : R
this : ↑((monomial 0) a) = (PowerSeries.monomial R 0) a
goal: ↑(C a) = (PowerSeries.C R) a
context: f : StieltjesFunction
a b : ℝ
goal: f.length (Ioc a b) = ofReal (↑f b - ↑f a)
context: f : StieltjesFunction
a b a' b' : ℝ
h : Ioc a b ⊆ Ioc a' b'
goal: (↑f b - ↑f a).toNNReal ≤ (↑f b' - ↑f a').toNNReal
context: f : StieltjesFunction
a b a' b' : ℝ
h : Ioc a b ⊆ Ioc a' b'
ab : a < b
goal: (↑f b - ↑f a).toNNReal ≤ (↑f b' - ↑f a').toNNReal
context: f : StieltjesFunction
a b a' b' : ℝ
h : Ioc a b ⊆ Ioc a' b'
ab : a < b
h₁ : b ≤ b'
h₂ : a' ≤ a
goal: (↑f b - ↑f a).toNNReal ≤ (↑f b' - ↑f a').toNNReal
context: R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
S : Submonoid R
inst✝ : OreSet S
r₁ r₂ : R
s₁ s₂ : ↥S
goal: r₁ /ₒ s₁ * (r₂ /ₒ s₂) = r₁ * r₂ /ₒ (s₁ * s₂)
goal: StrictMonoOn (⇑toENat) (Iic ℵ₀)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set α
goal: MeasurableSet (Sum.inl '' s) ↔ MeasurableSet s
context: J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
ι : Type v
α : ι → TopCat
i : ι
x : ↑(∏ᶜ α)
goal: (piIsoPi α).hom x i = (Pi.π α i) x
context: J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
ι : Type v
α : ι → TopCat
i : ι
x : ↑(∏ᶜ α)
this : (piIsoPi α).inv ≫ Pi.π α i = piπ α i
goal: (piIsoPi α).hom x i = (Pi.π α i) x
context: J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
ι : Type v
α : ι → TopCat
i : ι
x : ↑(∏ᶜ α)
this : Pi.π α i = (piIsoPi α).hom ≫ piπ α i
goal: (piIsoPi α).hom x i = (Pi.π α i) x
context: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞
hst : s ⊆ t
hsk : s.encard ≤ k
hkt : k ≤ t.encard
goal: ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = k
context: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞
hst : s ⊆ t
hsk : s.encard ≤ k
hkt : k ≤ t.encard
hs : s.encard ≠ ⊤
goal: ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = k
context: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k : ℕ∞
hsk : s.encard ≤ s.encard + k
hkt : s.encard + k ≤ t.encard
goal: ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = s.encard + k
context: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k : ℕ∞
hsk : s.encard ≤ s.encard + k
hkt : s.encard + k ≤ t.encard
k' : ℕ∞
hk' : t.encard = s.encard + k + k'
goal: ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = s.encard + k
context: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k : ℕ∞
hsk : s.encard ≤ s.encard + k
hkt : s.encard + k ≤ t.encard
k' : ℕ∞
hk' : t.encard = s.encard + k + k'
hk : k ≤ (t \ s).encard
goal: ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = s.encard + k
context: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k' : ℕ∞
r' : Set α
hr' : r' ⊆ t \ s
hsk : s.encard ≤ s.encard + r'.encard
hkt : s.encard + r'.encard ≤ t.encard
hk' : t.encard = s.encard + r'.encard + k'
hk : r'.encard ≤ (t \ s).encard
goal: ∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = s.encard + r'.encard
context: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k' : ℕ∞
r' : Set α
hr' : r' ⊆ t \ s
hsk : s.encard ≤ s.encard + r'.encard
hkt : s.encard + r'.encard ≤ t.encard
hk' : t.encard = s.encard + r'.encard + k'
hk : r'.encard ≤ (t \ s).encard
goal: (s ∪ r').encard = s.encard + r'.encard
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
b : R
hb : b ≠ 0
g : α →₀ M
a : α
goal: a ∈ (b • g).support ↔ a ∈ g.support
context: n : ℕ
x : PartENat
goal: ↑n < x ↔ ∀ (h : x.Dom), n < x.get h
context: n : ℕ
x : PartENat
goal: (∀ (hy : x.Dom), (↑n).get ⋯ < x.get hy) ↔ ∀ (h : x.Dom), n < x.get h
context: L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
inst✝² : SemilatticeInf L
inst✝¹ : OrderTop L
inst✝ : ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousWithinAt (f i) t x
goal: ContinuousWithinAt (s.inf f) t x
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
goal: Integrable (g + f) μ ↔ Integrable g μ
context: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Set ℕ
goal: ThreeAPFree s ↔ ∀ ⦃a : ℕ⦄, a ∈ s → ∀ ⦃b : ℕ⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : ℕ⦄, c ∈ s → a + c = b + b → a = c
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter γ
p : (α × α) × γ → Prop
h : ∀ᶠ (x : (α × α) × γ) in (f ×ˢ f) ×ˢ g, p x
goal: ∀ᶠ (x : α × γ) in f ×ˢ g, p ((x.1, x.1), x.2)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t✝ : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter γ
p : (α × α) × γ → Prop
h : ∀ᶠ (x : (α × α) × γ) in (f ×ˢ f) ×ˢ g, p x
t : α × α → Prop
ht : ∀ᶠ (x : α × α) in f ×ˢ f, t x
s : γ → Prop
hs : ∀ᶠ (y : γ) in g, s y
hst : ∀ {x : α × α}, t x → ∀ {y : γ}, s y → p (x, y)
goal: ∀ᶠ (x : α × γ) in f ×ˢ g, p ((x.1, x.1), x.2)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
hs : b ∈ s
hsa : b ∉ s.erase a
goal: b = a
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
hs : b ∈ s
hsa : b ≠ a → b ∉ s
goal: b = a
context: α : Type u
β : Type v
x : α
x✝ : Nat
goal: x ∈ [].eraseIdx x✝ ↔ ∃ i, ↑i ≠ x✝ ∧ [][↑i] = x
context: α : Type u
β : Type v
x : α
x✝ i : Nat
h : i < [].length
goal: False
context: α : Type u
β : Type v
x a : α
l : List α
goal: x ∈ (a :: l).eraseIdx 0 ↔ ∃ i, ↑i ≠ 0 ∧ (a :: l)[↑i] = x
context: α : Type u
β : Type v
x a : α
l : List α
k : Nat
goal: x ∈ (a :: l).eraseIdx (k + 1) ↔ ∃ i, ↑i ≠ k + 1 ∧ (a :: l)[↑i] = x
context: α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
R' : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
inst✝⁴ : NonAssocSemiring R
inst✝³ : NonAssocSemiring S
inst✝² : NonAssocSemiring R'
inst✝¹ : NonAssocSemiring S'
inst✝ : Subsingleton S
fst✝ : S
snd✝ : R
goal: (fun x => (0, x)) (fst✝, snd✝).2 = (fst✝, snd✝)