ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
goal: (𝓝 l).HasBasis p fun i => {l' | s i ∈ l'}
context: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h₁ : MeasurableSet s
h₂ : ν ≤ μ
measure_sub : Measure α := ofMeasurable (fun t x => μ t - ν t) ⋯ ⋯
goal: (μ - ν) s = μ s - ν s
context: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h₁ : MeasurableSet s
h₂ : ν ≤ μ
measure_sub : Measure α := ofMeasurable (fun t x => μ t - ν t) ⋯ ⋯
h_measure_sub_add : ν + measure_sub = μ
h_measure_sub_eq : μ - ν = measure_sub
goal: measure_sub s = μ s - ν s
context: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
f f' g : ℝ → ℝ
h : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt f (f' x) x
h' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])
goal: ∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (x : ℝ) in f a..f b, g x
context: ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Multiset α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
goal: (Multiset.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ Multiset.count m s
context: ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Multiset α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
l : List α
goal: (Multiset.map f (Quot.mk Setoid.r l)).prod = ∏ m ∈ Multiset.toFinset (Quot.mk Setoid.r l), f m ^ Multiset.count m (Quot.mk Setoid.r l)
context: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
α : Type u_4
f : M →ₗ[R] α →₀ R
s : Surjective ⇑f
goal: f ∘ₗ f.splittingOfFinsuppSurjective s = id
context: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
α : Type u_4
f : M →ₗ[R] α →₀ R
s : Surjective ⇑f
x y : α
goal: f ((Finsupp.single x 1).sum fun x r => r • ⋯.choose) = Finsupp.single x 1
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
goal: Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 0)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
goal: Tendsto (fun a => ↑(∑' (k : ℕ), f (k + a))) atTop (𝓝 ↑0)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : Set α
a : { x // x ∈ s }
t u : Set { x // x ∈ s }
goal: t ∈ 𝓝[u] a ↔ t ∈ comap Subtype.val (𝓝[Subtype.val '' u] ↑a)
context: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
C : ℝ
f : (i : α) → E i
hf : ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C
goal: Memℓp f p
context: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
C : ℝ
f : (i : α) → E i
hf : ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C
goal: Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal
context: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
C : ℝ
f : (i : α) → E i
hf : ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C
goal: HasSum (fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal) (⨆ s, ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)
context: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
C : ℝ
f : (i : α) → E i
hf : ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C
goal: IsLUB (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal) (⨆ s, ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)
context: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
C : ℝ
f : (i : α) → E i
hf : ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C
goal: BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)
context: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
goal: (∡ p₂ p₃ p₁).tan = dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂
context: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1
goal: (∡ p₂ p₃ p₁).tan = dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : s.IsWF
f : ℕ → ↑s
goal: ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun i => ↑(f i)) m) ((fun i => ↑(f i)) n)
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : s.IsWF
f : ℕ → ↑s
m : ℕ
hm : ∀ x ∈ range f, ¬(fun x x_1 => x < x_1) ↑x ↑(f m)
goal: ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun i => ↑(f i)) m) ((fun i => ↑(f i)) n)
context: α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
h : IsUnit a
goal: a / b / a = b⁻¹
context: ι : Type u
s : Finset ι
a b p q : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hpq : p.IsConjExponent q
goal: a * b ≤ a ^ p / p + b ^ q / q
context: R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R✝
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Ring B
inst✝⁸ : CommRing S✝
inst✝⁷ : Algebra R✝ A
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
R : Type u_5
S : Type u_6
T : Type u_7
U : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Ring U
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra T U
φ : R →+* T
ψ : S →+* U
h : (algebraMap T U).comp φ = ψ.comp (algebraMap R S)
a : S
ha : IsIntegral R a
p : R[X]
hp : p.Monic ∧ eval₂ (algebraMap R S) a p = 0
goal: eval₂ (algebraMap T U) (ψ a) (Polynomial.map φ p) = 0
context: α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
goal: image2 f s (insert b t) = (fun a => f a b) '' s ∪ image2 f s t
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h : ((κ ⊗ₖ η) a) s = 0
goal: (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) =ᶠ[ae (κ a)] 0
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h : ((κ ⊗ₖ η) a) s = 0
t : Set (β × γ)
hst : s ⊆ t
mt : MeasurableSet t
ht : ((κ ⊗ₖ η) a) t = 0
goal: (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) =ᶠ[ae (κ a)] 0
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h : ((κ ⊗ₖ η) a) s = 0
t : Set (β × γ)
hst : s ⊆ t
mt : MeasurableSet t
ht : (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t)) =ᶠ[ae (κ a)] 0
goal: (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) =ᶠ[ae (κ a)] 0
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h : ((κ ⊗ₖ η) a) s = 0
t : Set (β × γ)
hst : s ⊆ t
mt : MeasurableSet t
ht : (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t)) =ᶠ[ae (κ a)] 0
goal: (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) ≤ᶠ[ae (κ a)] 0 ∧ 0 ≤ᶠ[ae (κ a)] fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)
context: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x y z : α
goal: s.ordConnectedComponent x = ∅ ↔ x ∉ s
context: R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M
goal: (trace R M) f = ((toMatrix b b) f).trace
context: 𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
goal: comap norm (𝓝[>] 0) = 𝓝[≠] 1
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : CeilDiv α β
a : α
inst✝ : Nontrivial α
b c : β
goal: b ⌈/⌉ 1 ≤ c ↔ b ≤ c
context: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0
goal: (fun x => x * c) ⁻¹' Icc a b = Icc (b / c) (a / c)
context: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
s t : List α
hs : ∀ (a : α), a ∈ s → p a
ht : ∀ (a : α), a ∈ t → p a
hf : ∀ (a a' : α) (ha : p a) (ha' : p a'), f a ha = f a' ha' → a = a'
h : s.Disjoint t
goal: (pmap f s hs).Disjoint (pmap f t ht)
context: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
s t : List α
hs : ∀ (a : α), a ∈ s → p a
ht : ∀ (a : α), a ∈ t → p a
hf : ∀ (a a' : α) (ha : p a) (ha' : p a'), f a ha = f a' ha' → a = a'
h : s.Disjoint t
a : α
ha : a ∈ s
a' : α
ha' : a' ∈ t
ha'' : f a' ⋯ = f a ⋯
goal: a ∈ t
context: M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x✝ y : M
f✝ f : M →* P
g : P → M
hf : Function.RightInverse g ⇑f
x : (ker f).Quotient
goal: (kerLift f) ((toQuotient ∘ g) ((kerLift f) x)) = (kerLift f) x
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
goal: (fun x => x ^ p / x ^ q) =ᶠ[atBot] fun x => x ^ (↑p - ↑q)
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
x : 𝕜
hx : x < 0
goal: (fun x => x ^ p / x ^ q) x = (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) x
context: C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
goal: G.map (f + g) = G.map f + G.map g
context: C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
goal: G.map (f + g) = G.map f + G.map g
context: C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
goal: G.map (f + g) = G.map f + G.map g
context: C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
goal: G.map ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv + (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv) = G.map ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv) + G.map ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv)
context: C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
goal: G.map (F.map f' + F.map g') = G.map (F.map (f' + g'))
context: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
H : T ∈ distinguishedTriangles
goal: T.mor₁ ≫ T.mor₂ = 0
context: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
H : T ∈ distinguishedTriangles
c : (contractibleTriangle T.obj₁).obj₃ ⟶ T.obj₃
hc : (contractibleTriangle T.obj₁).mor₂ ≫ c = T.mor₁ ≫ T.mor₂ ∧ (contractibleTriangle T.obj₁).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (𝟙 T.obj₁) = c ≫ T.mor₃
goal: T.mor₁ ≫ T.mor₂ = 0
context: Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝ : Inhabited Λ
M : TM0.Machine Γ Λ
x✝ : Cfg₀
q : Λ
T : Tape Γ
q' : Λ
s : TM0.Stmt Γ
e : M q T.head = some (q', s)
goal: FRespects (TM1.step (tr M)) (trCfg M) (trCfg M { q := q, Tape := T }) (TM0.step M { q := q, Tape := T })
context: Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝ : Inhabited Λ
M : TM0.Machine Γ Λ
x✝ : Cfg₀
q : Λ
T : Tape Γ
q' : Λ
s : TM0.Stmt Γ
this : TM1.step (tr M) { l := some (Λ'.act s q'), var := (), Tape := T } = some { l := some (Λ'.normal q'), var := (), Tape := match s with | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }
e : M q T.head = some (q', s)
goal: Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (Λ'.normal q), var := (), Tape := T } { l := match match M q' (match s with | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T).head with | some val => true | none => false with | true => some (Λ'.normal q') | false => none, var := (), Tape := match s with | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }
context: α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
m n : ℕ
h : n ≤ m
goal: a ^ (m - n) * a ^ n = a ^ m
context: α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : C(α, β)
C : ℝ
x : α
goal: dist (f x) (g x) ≤ dist f g
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x m : M
goal: b.sumCoords m = ∑ᶠ (i : ι), (b.coord i) m
context: G : PGame
inst✝ : G.Impartial
goal: (-G).grundyValue = G.grundyValue
context: C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.40009, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
a b : A
goal: F.commShiftIso (a + b) = CommShift.isoAdd' ⋯ (F.commShiftIso a) (F.commShiftIso b)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M✝
M : Type u_13
inst✝ : AddZeroClass M
d : M
goal: AddEquiv.finsuppUnique.symm d = single () d
context: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
goal: QuasiMeasurePreserving (⇑f) μ μ
context: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
goal: map (⇑f) μ ≪ μ
context: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
goal: ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • μ ≪ μ
context: A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝⁵ : Algebra A S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid A
p : A[X]
x : K
hr : (aeval x) p = 0
goal: (p.scaleRoots ↑(den A x)).IsRoot (num A x)
context: A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝⁵ : Algebra A S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid A
p : A[X]
x : K
hr : (aeval x) p = 0
goal: eval₂ (algebraMap A K) ((algebraMap A K) (num A x)) (p.scaleRoots ↑(den A x)) = 0
context: A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝⁵ : Algebra A S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid A
p : A[X]
x : K
hr : (aeval x) p = 0
goal: (aeval (mk' K (num A x) (den A x))) p = 0
context: ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
goal: (s.pi t).Nonempty ↔ ∀ (i : ι), ∃ x, i ∈ s → x ∈ t i
context: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
goal: ∃ n, Associated (p ^ n) x
context: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
goal: Associated (p ^ Multiset.card fx) x
context: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associated fx.prod x
goal: Associated (p ^ Multiset.card fx) x
context: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
goal: Associates.mk (p ^ Multiset.card fx) = Associates.mk x
context: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
goal: Multiset.map Associates.mk fx = Multiset.replicate (Multiset.card fx) (Associates.mk p)
context: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
goal: Multiset.card (Multiset.map Associates.mk fx) = Multiset.card fx ∧ ∀ b ∈ Multiset.map Associates.mk fx, b = Associates.mk p
context: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
q : R
hq : q ∈ fx
goal: Associates.mk q = Associates.mk p
context: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
q : R
hq : q ∈ fx
goal: Associated q p
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
a : α
x✝ : 0 < 1
goal: ‖a ^ 1‖₊ ≤ ‖a‖₊ ^ 1
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
a : α
n : ℕ
x✝ : 0 < n + 2
goal: ‖a ^ (n + 2)‖₊ ≤ ‖a‖₊ ^ (n + 2)
context: R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : (map i f).degree = 1
g✝ : L[X]
hg : Irreducible g✝
x✝ : g✝ ∣ map i f
p : L[X]
hp : map i f = g✝ * p
this : (map i f).degree = (g✝ * p).degree
goal: g✝.degree = 1
context: R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : (map i f).degree = 1
g✝ : L[X]
hg : Irreducible g✝
x✝ : g✝ ∣ map i f
p : L[X]
hp : map i f = g✝ * p
this : g✝.degree = 1 ∧ p.degree = 0
goal: g✝.degree = 1
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a : α
h1 : s.mulIndicator f = f
h2 : s ⊆ t
goal: t.mulIndicator f = f
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a : α
h1 : mulSupport f ⊆ s
h2 : s ⊆ t
goal: mulSupport f ⊆ t
context: G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
x₀ : G
goal: (𝓝 x₀).HasBasis (fun V => V ∈ B) fun V => (fun y => x₀ * y) '' V
context: G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
x₀ : G
goal: (B.N x₀).HasBasis (fun V => V ∈ B) fun V => (fun y => x₀ * y) '' V
context: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
c d : Cone (SheafConditionEqualizerProducts.diagram F U)
f : c ⟶ d
goal: f.hom ≫ 𝟙 d.pt = 𝟙 c.pt ≫ f.hom
context: ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsLowerModularLattice α
inst✝ : IsCoatomistic α
goal: IsStronglyCoatomic α
context: ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsLowerModularLattice α
inst✝ : IsCoatomistic α
goal: IsStronglyAtomic αᵒᵈ