ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul A B a0 b0
x1 y1 : G
hx : x1 ∈ A ∧ y1 ∈ B ∧ x1 * y1 = a0 * b0
x2 y2 : G
hy : x2 ∈ A ∧ y2 ∈ B ∧ x2 * y2 = a0 * b0
goal: (x1, y1) = (x2, y2)
context: G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
x1 y1 x2 y2 : G
h : UniqueMul A B x1 y1
hx : x1 ∈ A ∧ y1 ∈ B ∧ x1 * y1 = x1 * y1
hy : x2 ∈ A ∧ y2 ∈ B ∧ x2 * y2 = x1 * y1
goal: (x1, y1) = (x2, y2)
context: α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
goal: 0 ≤ a * b ↔ (0 < a → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → 0 ≤ a)
context: α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
goal: 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (0 < a → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → 0 ≤ a)
context: α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
goal: 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (a ≤ 0 ∨ 0 ≤ b) ∧ (b ≤ 0 ∨ 0 ≤ a)
context: α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
this : a ≤ 0 ∨ 0 ≤ a
goal: 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (a ≤ 0 ∨ 0 ≤ b) ∧ (b ≤ 0 ∨ 0 ≤ a)
context: α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
this✝ : a ≤ 0 ∨ 0 ≤ a
this : b ≤ 0 ∨ 0 ≤ b
goal: 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (a ≤ 0 ∨ 0 ≤ b) ∧ (b ≤ 0 ∨ 0 ≤ a)
context: x y : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
goal: log x < log y ↔ x < y
context: d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : 0 < a.x
hb : 0 < b.x
goal: 0 < (a * b).x
context: d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : 0 < a.x
hb : 0 < b.x
goal: 0 < a.x * b.x + d * (a.y * b.y)
context: d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : 0 < a.x
hb : 0 < b.x
goal: |d * (a.y * b.y)| < a.x * b.x
context: d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : 0 < a.x
hb : 0 < b.x
goal: 0 < 1 + d * a.y ^ 2 + d * b.y ^ 2
context: G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a : α
b : β
h : Injective fun x => x • b
goal: stabilizer G (a • b) = stabilizer G a
context: G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a✝ : α
b : β
h : Injective fun x => x • b
a : G
ha : a ∈ stabilizer G (a✝ • b)
goal: a ∈ stabilizer G a✝
context: α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Set α
goal: ∀ (x : α), x ∈ op 1 • s ↔ x ∈ s
context: ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d
goal: (lift (fun i => MulAction.toEndHom) MulAction.toEndHom ⋯) ((of i) g) w = (equivPair i).symm { head := g * ((equivPair i) w).head, tail := ((equivPair i) w).tail, fstIdx_ne := ⋯, normalized := ⋯ }
context: a b : ℤ
goal: ↑(range (a ⊔ b + 1 - a ⊓ b).toNat).card = ↑((b - a).natAbs + 1)
context: ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop
h0 : p 0
ha : ∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → p f → p (single i b + f)
f : (i : ι) → β i
s : Trunc { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }
goal: p { toFun := f, support' := s }
context: ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop
h0 : p 0
ha : ∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → p f → p (single i b + f)
f : (i : ι) → β i
s : Multiset ι
H : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0
goal: p { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨s, H⟩ }
context: ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop
h0 : p 0
ha : ∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → p f → p (single i b + f)
i : ι
s : Multiset ι
ih : ∀ (f : (i : ι) → β i) (H : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0), p { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨s, H⟩ }
f : (i : ι) → β i
H : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ i ::ₘ s ∨ f i_1 = 0
H2 : p (erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ })
goal: p { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ }
context: ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop
h0 : p 0
ha : ∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → p f → p (single i b + f)
i : ι
s : Multiset ι
ih : ∀ (f : (i : ι) → β i) (H : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0), p { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨s, H⟩ }
f : (i : ι) → β i
H : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ i ::ₘ s ∨ f i_1 = 0
H2 : p (erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ })
H3 : single i ({ toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ } i) + erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ } = { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ }
goal: p (single i (f i) + erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ })
context: ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop
h0 : p 0
ha : ∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → p f → p (single i b + f)
i : ι
s : Multiset ι
ih : ∀ (f : (i : ι) → β i) (H : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0), p { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨s, H⟩ }
f : (i : ι) → β i
H : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ i ::ₘ s ∨ f i_1 = 0
H2 : p (erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ })
H3 : single i ({ toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ } i) + erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ } = { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ }
h : ¬f i = 0
goal: (erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ }) i = 0
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
goal: a ∆ b \ b = a \ b
context: α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
β : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
g : β →ₛ ℝ≥0∞
m' : α → β
eq : ∀ (a : α), ↑f a = ↑g (m' a)
h : ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → μ' s = μ (m' ⁻¹' s)
y : ℝ≥0∞
goal: μ {x | ↑g (m' x) ∈ {y}} = μ' {x | ↑g x ∈ {y}}
context: α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ : P
goal: dist p₁ (midpoint 𝕜 p₁ p₂) = ‖2‖⁻¹ * dist p₁ p₂
context: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
goal: Memℓp 0 p
context: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
goal: star a + a = ↑(2 * a.re)
context: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
goal: HasProd ({p | Nat.Prime p}.mulIndicator fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) (∑' (n : ℕ), f n)
context: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
goal: HasProd ((fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) ∘ Subtype.val) (∑' (n : ℕ), f n)
context: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.71408, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
goal: n + (up ℤ).prev i = (up ℤ).prev i'
context: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.71408, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
goal: n + (up ℤ).next i = (up ℤ).next i'
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
goal: b \ a ⊔ a = b ⊔ a
context: R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
a : R
n : ℕ
goal: rootMultiplicity a ((X - C a) ^ n) = n
context: R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
a : R
n : ℕ
this : rootMultiplicity a (C 1 * (X - C a) ^ n) = rootMultiplicity a (C 1) + n
goal: rootMultiplicity a ((X - C a) ^ n) = n
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
i : ι
goal: MeasurableSpace (α i)
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), generateFrom (C i) = inst✝ i
h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
h3C : (i : ι) → (μ i).FiniteSpanningSetsIn (C i)
μν : Measure ((i : ι) → α i)
h₁ : ∀ (s : (i : ι) → Set (α i)), (∀ (i : ι), s i ∈ C i) → μν (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
goal: Measure.pi μ = μν
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), generateFrom (C i) = inst✝ i
h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
h3C : (i : ι) → (μ i).FiniteSpanningSetsIn (C i)
μν : Measure ((i : ι) → α i)
h₁ : ∀ (s : (i : ι) → Set (α i)), (∀ (i : ι), s i ∈ C i) → μν (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
h4C : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ C i, MeasurableSet s
goal: Measure.pi μ = μν
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), generateFrom (C i) = inst✝ i
h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
h3C : (i : ι) → (μ i).FiniteSpanningSetsIn (C i)
μν : Measure ((i : ι) → α i)
h₁ : ∀ (s : (i : ι) → Set (α i)), (∀ (i : ι), s i ∈ C i) → μν (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
h4C : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ C i, MeasurableSet s
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : s ∈ univ.pi C
goal: (Measure.pi μ) (univ.pi s) = μν (univ.pi s)
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), generateFrom (C i) = inst✝ i
h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
h3C : (i : ι) → (μ i).FiniteSpanningSetsIn (C i)
μν : Measure ((i : ι) → α i)
h₁ : ∀ (s : (i : ι) → Set (α i)), (∀ (i : ι), s i ∈ C i) → μν (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
h4C : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ C i, MeasurableSet s
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ C i
goal: (Measure.pi μ) (univ.pi s) = μν (univ.pi s)
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), generateFrom (C i) = inst✝ i
h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
h3C : (i : ι) → (μ i).FiniteSpanningSetsIn (C i)
μν : Measure ((i : ι) → α i)
h₁ : ∀ (s : (i : ι) → Set (α i)), (∀ (i : ι), s i ∈ C i) → μν (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
h4C : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ C i, MeasurableSet s
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ C i
this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
goal: (Measure.pi μ) (univ.pi s) = μν (univ.pi s)
context: α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α
ha : IsRegular a
hb : IsRegular b
goal: IsRegular (a ⊓ b)
context: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ f : σ → MvPolynomial τ R
p : MvPolynomial σ R
goal: (aeval id) ((rename f) p) = (aeval f) p
context: R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
c : R
goal: 0 ≤ c * a * star c
context: X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
hx : (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
goal: s.Infinite
context: X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
hx : (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite
goal: 𝓝[≠] x = ⊥
context: X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
hx : (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite
goal: IsOpen {x}
context: k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : ZeroHomClass F α α₂
f : F
goal: mapDomain (⇑f) 1 = 1
context: α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α r
s t u : Multiset α
r1 : Rel r s t
r2 : Rel r t u
goal: Rel r s u
context: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
goal: Memℓp (star f) p
context: α : Type u_1
n : ℕ
goal: (↑(n + 1)).toZNum = ZNum.ofInt' ↑(n + 1)
context: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Nontrivial B
x : σ → A
p : MvPolynomial σ R
goal: (aeval (⇑(algebraMap A B) ∘ x)) p = 0 ↔ (aeval x) p = 0
context: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : GroupWithZero α
s t : Set α
hs : s.Nonempty
goal: 0 ⊆ 0 / s
context: α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hba : b₂ < b₁
hdc : d < a
goal: b₁ • d + b₂ • a < b₁ • a + b₂ • d
context: α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hba : b₂ < b₁
hdc : d < a
goal: b₂ • a + b₁ • d < b₂ • d + b₁ • a
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
a✝ b✝ : ℝ
h : dist a✝ b✝ < ε
goal: dist (-a✝) (-b✝) < ε
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
a✝ b✝ : ℝ
h : dist b✝ a✝ < ε
goal: dist (-a✝) (-b✝) < ε
context: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
ha : 1 < a
goal: a ^ n < a ^ n.succ
context: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
ha : 1 < a
goal: 1 * a ^ n < a * a ^ n
context: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
goal: Isometry f ↔ ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) = dist x y
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
s : Set α
hs : s ∈ {s | IsPreconnected s}
goal: s ∈ range (uncurry Icc) ∪ range (uncurry Ico) ∪ range (uncurry Ioc) ∪ range (uncurry Ioo) ∪ (range Ici ∪ range Ioi ∪ range Iic ∪ range Iio ∪ {univ, ∅})
context: R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : Semifield R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0
n : ℤ
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
goal: cfcUnits f a hf' hf ha ^ n = cfcUnits (f ^ n) a ⋯ ⋯ ha
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
x : α × β
goal: ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (fun x_1 => f (x_1, x.2)) x.1
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
x : α × β
goal: ContinuousWithinAt f univ x ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x_1, x.2)) univ x.1
context: p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
goal: (algebraMap (𝓞 K) K) hζ.integralPowerBasis.gen = ↑hζ.toInteger
context: p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
goal: (algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.adjoinEquivRingOfIntegers ⟨ζ, ⋯⟩) = ↑hζ.toInteger
context: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
I : InjectiveResolution Z
n : ℕ
goal: (ComplexShape.up ℕ).next (n + 1) = n + 2
context: K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
s : Stream'.Seq (Pair K)
inst✝ : DivisionRing K
goal: g.convs' (n + 1) = (g.squashGCF n).convs' n
context: G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hA : A.Subsingleton
_x₁ _y₁ _x₂ _y₂ : G
hxyd : IsCorner A _x₁ _y₁ _x₂ _y₂
goal: _x₁ = _x₂
context: p q r : ℕ+
goal: sumInv {p, q, r} = (↑↑p)⁻¹ + (↑↑q)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹
context: α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G
goal: a / c * (b * c) = a * b
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
goal: ‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + y - z‖ * ‖x + y - z‖ = ‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖ + (‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ - ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2
context: C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ : Triangle C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
T' : Triangle C
φ : (j : J) → T' ⟶ T j
goal: T'.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => (φ j).hom₁) = (Pi.lift fun j => (φ j).hom₃) ≫ (Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫ inv (piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁)
context: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E
goal: ∫ (x : ℝ) in Ioi c, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in Iic (-c), f x
context: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E
goal: ∫ (x : ℝ) in Iic (-c), f (- -x) = ∫ (x : ℝ) in Iic (- - -c), f x
context: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
f g : R[X]
goal: { toFun := ⇑derivative, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } (f * g) = f • { toFun := ⇑derivative, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } g + g • { toFun := ⇑derivative, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } f
context: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α
goal: max (a / b) (a / c) = a / min b c
context: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X : C
n : ℕ
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
α : ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n), map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj X✝)
goal: Ext.comp α (Ext.mk₀ (f ≫ f')) ⋯ = (Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯
context: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X : C
n : ℕ
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
α : ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n), map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj X✝)
goal: (Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯ = Ext.comp α ((Ext.mk₀ f).comp (Ext.mk₀ f') ⋯) ⋯
context: a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
goal: a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
context: a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
goal: a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
context: a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
goal: a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
context: a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
goal: a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
context: a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
goal: a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
context: a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
hb : b / p ^ b.factorization p ≠ 0
goal: a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
context: a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
hb : b / p ^ b.factorization p ≠ 0
q : ℕ
goal: (Finsupp.erase p a.factorization) q ≤ (Finsupp.erase p b.factorization) q
context: a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
hb : b / p ^ b.factorization p ≠ 0
q : ℕ
hqp : q ≠ p
goal: (Finsupp.erase p a.factorization) q ≤ (Finsupp.erase p b.factorization) q
context: a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
hb : b / p ^ b.factorization p ≠ 0
q : ℕ
hqp : q ≠ p
goal: a.factorization q ≤ b.factorization q
context: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
g : ℂ → E
hfd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hgd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}
hfexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hgexp : ∃ c < 2, ∃ B, g =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x - g ↑x‖
hfim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hgim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖g (↑x * I)‖ ≤ C
goal: EqOn f g {z | 0 ≤ z.re}
context: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
g : ℂ → E
hfd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hgd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}
hfexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hgexp : ∃ c < 2, ∃ B, g =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x - g ↑x‖
hfim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hgim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖g (↑x * I)‖ ≤ C
goal: EqOn (f - g) 0 {z | 0 ≤ z.re}
context: α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
f g : α → List β
a : α
l : List α
IH : l.bind f ++ l.bind g ~ l.bind fun x => f x ++ g x
goal: (a :: l).bind f ++ (a :: l).bind g ~ (a :: l).bind fun x => f x ++ g x