ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝ : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (LinearMap.range f) G
hG : IsClosed ↑G
hker : LinearMap.ker f = ⊥
this : CompleteSpace ↥G
g : (E × ↥G) ≃L[𝕜] F := f.coprodSubtypeLEquivOfIsCompl h hker
goal: IsClosed ↑(Submodule.map (↑↑(f.coprodSubtypeLEquivOfIsCompl h hker)) (⊤.prod ⊥))
context: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝ : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (LinearMap.range f) G
hG : IsClosed ↑G
hker : LinearMap.ker f = ⊥
this : CompleteSpace ↥G
g : (E × ↥G) ≃L[𝕜] F := f.coprodSubtypeLEquivOfIsCompl h hker
goal: IsClosed ↑(⊤.prod ⊥)
context: ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
goal: (single i (f i) + erase i f) i = f i
context: ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
i' : ι
h : ¬i = i'
goal: (single i (f i) + erase i f) i' = f i'
context: L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝ : LE M
goal: M ⊨ Language.order.noBotOrderSentence ↔ NoBotOrder M
context: L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝ : LE M
h : NoBotOrder M
a : M
goal: ∃ a_1, ¬Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 0 ≤ Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 1
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
f g : ι →₀ α
goal: Disjoint f g ↔ Disjoint f.support g.support
context: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m : Multiset α
a✝ a : α
b : δ a
s : Multiset α
hs : a ∉ s
f₁ f₂ : (a : α) → a ∈ s → δ a
eq : cons s a b f₁ = cons s a b f₂
a' : α
h' : a' ∈ s
ne : a ≠ a'
this : a' ∈ a ::ₘ s
goal: f₁ a' h' = cons s a b f₁ a' this
context: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m : Multiset α
a✝ a : α
b : δ a
s : Multiset α
hs : a ∉ s
f₁ f₂ : (a : α) → a ∈ s → δ a
eq : cons s a b f₁ = cons s a b f₂
a' : α
h' : a' ∈ s
ne : a ≠ a'
this : a' ∈ a ::ₘ s
goal: cons s a b f₂ a' this = f₂ a' h'
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
μ : Measure α
s : Set α
goal: s ⊆ toMeasurable μ s
context: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
S S₁ S₂ : ShortComplex C
goal: S.Exact ↔ ∀ ⦃A : C⦄ (x₂ : A ⟶ S.X₂), x₂ ≫ S.g = 0 → ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.f
context: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f g : ℝ → E
x : ℝ
f_diff : ∀ (y : ℝ), y ≠ x → HasDerivAt f (g y) y
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
goal: HasDerivAt f (g x) x
context: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f g : ℝ → E
x : ℝ
f_diff : ∀ (y : ℝ), y ≠ x → HasDerivAt f (g y) y
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
A : HasDerivWithinAt f (g x) (Ici x) x
goal: HasDerivAt f (g x) x
context: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f g : ℝ → E
x : ℝ
f_diff : ∀ (y : ℝ), y ≠ x → HasDerivAt f (g y) y
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
A : HasDerivWithinAt f (g x) (Ici x) x
B : HasDerivWithinAt f (g x) (Iic x) x
goal: HasDerivAt f (g x) x
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M✝ : Matrix n n R
i j : n
M : Matrix n n R
f : R →+* S
goal: (M.map ⇑f).charpoly = Polynomial.map f M.charpoly
context: F✝ : Type u → Type v
α β γ : Type u
inst✝¹ : Functor F✝
inst✝ : LawfulFunctor F✝
F : Type u_1 → Type u_2
m : {α β : Type u_1} → (α → β) → F α → F β
mc : {α β : Type u_1} → α → F β → F α
m' : {α β : Type u_1} → (α → β) → F α → F β
mc' : {α β : Type u_1} → α → F β → F α
H1 : LawfulFunctor F
H2 : LawfulFunctor F
H : ∀ (α β : Type u_1) (f : α → β) (x : F α), f <$> x = f <$> x
goal: { map := m, mapConst := mc } = { map := m', mapConst := mc' }
context: F✝ : Type u → Type v
α β γ : Type u
inst✝¹ : Functor F✝
inst✝ : LawfulFunctor F✝
F : Type u_1 → Type u_2
m : {α β : Type u_1} → (α → β) → F α → F β
mc mc' : {α β : Type u_1} → α → F β → F α
H1 : LawfulFunctor F
H2 : LawfulFunctor F
H : ∀ (α β : Type u_1) (f : α → β) (x : F α), f <$> x = f <$> x
goal: mc = mc'
context: F✝ : Type u → Type v
α✝ β✝ γ : Type u
inst✝¹ : Functor F✝
inst✝ : LawfulFunctor F✝
F : Type u_1 → Type u_2
m : {α β : Type u_1} → (α → β) → F α → F β
mc mc' : {α β : Type u_1} → α → F β → F α
H1 : LawfulFunctor F
H2 : LawfulFunctor F
H : ∀ (α β : Type u_1) (f : α → β) (x : F α), f <$> x = f <$> x
α β : Type u_1
goal: mc = mc'
context: F✝ : Type u → Type v
α✝ β✝ γ : Type u
inst✝¹ : Functor F✝
inst✝ : LawfulFunctor F✝
F : Type u_1 → Type u_2
m : {α β : Type u_1} → (α → β) → F α → F β
mc mc' : {α β : Type u_1} → α → F β → F α
H1 : LawfulFunctor F
H2 : LawfulFunctor F
H : ∀ (α β : Type u_1) (f : α → β) (x : F α), f <$> x = f <$> x
α β : Type u_1
E1 : ∀ {α β : Type u_1}, mapConst = map ∘ Function.const β
goal: mc = mc'
context: F✝ : Type u → Type v
α✝ β✝ γ : Type u
inst✝¹ : Functor F✝
inst✝ : LawfulFunctor F✝
F : Type u_1 → Type u_2
m : {α β : Type u_1} → (α → β) → F α → F β
mc mc' : {α β : Type u_1} → α → F β → F α
H1 : LawfulFunctor F
H2 : LawfulFunctor F
H : ∀ (α β : Type u_1) (f : α → β) (x : F α), f <$> x = f <$> x
α β : Type u_1
E1 : ∀ {α β : Type u_1}, mapConst = map ∘ Function.const β
E2 : ∀ {α β : Type u_1}, mapConst = map ∘ Function.const β
goal: mc = mc'
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
t : ι → Set α
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (β × β)
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝔖
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t
hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ i, s ⊆ t i
hb : (𝓤 β).HasBasis p V
goal: (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis (fun i => p i.2) fun i => UniformOnFun.gen 𝔖 (t i.1) (V i.2)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
t : ι → Set α
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (β × β)
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝔖
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t
hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ i, s ⊆ t i
hb : (𝓤 β).HasBasis p V
hne : 𝔖.Nonempty
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
goal: (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis (fun i => p i.2) fun i => UniformOnFun.gen 𝔖 (t i.1) (V i.2)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
t : ι → Set α
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (β × β)
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝔖
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t
hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ i, s ⊆ t i
hb : (𝓤 β).HasBasis p V
hne : 𝔖.Nonempty
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
x✝¹ : Set α × ι'
s : Set α
i' : ι'
x✝ : (s, i').1 ∈ 𝔖 ∧ p (s, i').2
hs : (s, i').1 ∈ 𝔖
hi' : p (s, i').2
i : ι
hi : s ⊆ t i
goal: ∃ i'_1, p i'_1.2 ∧ UniformOnFun.gen 𝔖 (t i'_1.1) (V i'_1.2) ⊆ UniformOnFun.gen 𝔖 (s, i').1 (V (s, i').2)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
G : Type u_5
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : BorelSpace G
inst✝¹ : SecondCountableTopology G
f : α → G
_m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
goal: AEFinStronglyMeasurable f μ ↔ AEMeasurable f μ
context: α✝ : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α✝
s t u v : Set α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TotallySeparatedSpace α
x y : α
hxy : x ≠ y
goal: ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∈ Uᶜ
context: α✝ : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α✝
s t u v : Set α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TotallySeparatedSpace α
x y : α
hxy : x ≠ y
U V : Set α
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
Ux : x ∈ U
Vy : y ∈ V
f : univ ⊆ U ∪ V
disj : Disjoint U V
goal: ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∈ Uᶜ
context: α✝ : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α✝
s t u v : Set α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TotallySeparatedSpace α
x y : α
hxy : x ≠ y
U V : Set α
hU✝ : IsOpen U
hV : IsOpen V
Ux : x ∈ U
Vy : y ∈ V
f : univ ⊆ U ∪ V
disj : Disjoint U V
hU : IsClopen (univ ∩ U)
goal: ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∈ Uᶜ
context: α✝ : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α✝
s t u v : Set α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TotallySeparatedSpace α
x y : α
hxy : x ≠ y
U V : Set α
hU✝ : IsOpen U
hV : IsOpen V
Ux : x ∈ U
Vy : y ∈ V
f : univ ⊆ U ∪ V
disj : Disjoint U V
hU : IsClopen U
goal: ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∈ Uᶜ
context: p : ℕ
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nontrivial G
inst✝ : Finite G
goal: Nontrivial ↥(Subgroup.center G)
context: X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
f : X → Y
hf : QuotientMap f
s : Set Y
hs : IsOpen s
goal: QuotientMap (s.restrictPreimage f)
context: X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
f : X → Y
hf : QuotientMap f
s : Set Y
hs : IsOpen s
U : Set ↑s
goal: IsOpen U ↔ IsOpen (s.restrictPreimage f ⁻¹' U)
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α
goal: a ≤ aᶜ ↔ a = ⊥
context: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X
goal: Tendsto (fun n => (pre m (↑n)⁻¹) s) atTop (𝓝 ((mkMetric' m) s))
context: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X
goal: Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹) atTop (𝓟 (Ioi 0))
context: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
goal: (∀ (x : X), RestrictGermPredicate P A x ↑f) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ A, P x ↑f
context: F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
goal: (∀ (x : X), RestrictGermPredicate P A x ↑f) ↔ ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
s : Set α
hs : s.OrdConnected
f : α → δ
hf : ContinuousOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
goal: SurjOn f s (uIcc (f a) (f b))
context: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
goal: (s.weightedVSub p) w = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ Classical.choice ⋯)
context: α✝ : Type u
β : Type v
α : Type u_1
s : Set (Set α)
t : Set α
ht : GenerateOpen s t
goal: generateFrom (insert t s) = generateFrom s
context: α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t✝ u : Finset α
f✝ : α → β
n : ℕ
t : Finset β
f : α → β
hf : Set.SurjOn f ↑s ↑t
goal: t.card ≤ s.card
context: P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
inst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
𝒰' : (i : 𝒰.J) → (pullback f (𝒰.map i)).OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J) (j : (𝒰' i).J), IsAffine ((𝒰' i).obj j)
h𝒰' : ∀ (i : 𝒰.J) (j k : (𝒰' i).J), Q (pullback.mapDesc ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) (𝒰.pullbackHom f i))
goal: P.diagonal f
context: P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
inst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
𝒰' : (i : 𝒰.J) → (pullback f (𝒰.map i)).OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J) (j : (𝒰' i).J), IsAffine ((𝒰' i).obj j)
h𝒰' : ∀ (i : 𝒰.J) (j k : (𝒰' i).J), Q (pullback.mapDesc ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) (𝒰.pullbackHom f i))
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
𝒱 : (pullback f f).OpenCover := (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).bind fun i => Scheme.Pullback.openCoverOfLeftRight (𝒰' i) (𝒰' i) (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i))
i1 : ∀ (i : 𝒱.J), IsAffine (𝒱.obj i)
goal: P.diagonal f
context: P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
inst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
𝒰' : (i : 𝒰.J) → (pullback f (𝒰.map i)).OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J) (j : (𝒰' i).J), IsAffine ((𝒰' i).obj j)
h𝒰' : ∀ (i : 𝒰.J) (j k : (𝒰' i).J), Q (pullback.mapDesc ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) (𝒰.pullbackHom f i))
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
𝒱 : (pullback f f).OpenCover := (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).bind fun i => Scheme.Pullback.openCoverOfLeftRight (𝒰' i) (𝒰' i) (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i))
i1 : ∀ (i : 𝒱.J), IsAffine (𝒱.obj i)
i : (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).J
j k : (𝒰' i).J
goal: Q (((Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).bind fun i => Scheme.Pullback.openCoverOfLeftRight (𝒰' i) (𝒰' i) (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i))).pullbackHom (pullback.diagonal f) ⟨i, (j, k)⟩)
context: X : Scheme
r : ↑Γ(X, ⊤)
goal: adjunction.unit.app X ⁻¹ᵁ basicOpen r = X.basicOpen r
context: X : Scheme
r : ↑Γ(X, ⊤)
goal: adjunction.unit.app X ⁻¹ᵁ (Spec Γ(X, ⊤)).basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv r) = X.basicOpen r
context: X : Scheme
r : ↑Γ(X, ⊤)
goal: (Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤) ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv r) = r
context: q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational (x ^ 0)
goal: Irrational x
context: q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational 1
goal: Irrational x
context: q : ℚ
x y : ℝ
n : ℕ
h : Irrational (x ^ (n + 1))
goal: Irrational x
context: q : ℚ
x y : ℝ
n : ℕ
h : Irrational (x ^ n * x)
goal: Irrational x
context: q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
goal: Irrational (↑q - x)
context: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ z₂' : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q
goal: (z₁.comp (z₂ + z₂') h).v p q hpq = (z₁.comp z₂ h + z₁.comp z₂' h).v p q hpq
context: X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
f : Filter X
H : f ≤ 𝓝 x
inst✝ : f.NeBot
goal: ClusterPt x f
context: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
inst✝⁴ : HasPullbacks C
S T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
i : T ⟶ S
inst✝³ : HasPullback i i
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)
inst✝ : HasPullback (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
goal: IsPullback (fst f g ≫ f) (map f g (f ≫ i) (g ≫ i) (𝟙 X) (𝟙 Y) i ⋯ ⋯) (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
context: G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
f : G ↪ H
mul : ∀ (x y : G), f (x * y) = f x * f y
goal: UniqueMul (Finset.map f A) (Finset.map f B) (f a0) (f b0) ↔ UniqueMul A B a0 b0
context: R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s t : ↥S
goal: (1 /ₒ t) • (r /ₒ s) = r /ₒ (s * t)
context: R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p : R[X]
n : ℕ
H : p.degree ≤ ↑n
goal: (X ^ (n + 1) - p).Monic
context: α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
goal: (mulETransformLeft e x).1 * (mulETransformLeft e x).2 ⊆ x.1 * x.2
context: α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
goal: op e • x.1 * e⁻¹ • x.2 ⊆ x.1 * x.2
context: α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s✝ : Finmap β
s : AList β
h : a ∉ ⟦s⟧
goal: (insert a b ⟦s⟧).entries = ⟨a, b⟩ ::ₘ ⟦s⟧.entries
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
p : PMF α
q : PMF β
x : β
goal: (p.bind fun x => q) x = q x
context: x✝ y✝ z : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
n : ℕ
goal: x ^ (y - ↑n) = x ^ y / x ^ n
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Countable α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
p : PMF α
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
x : α
goal: p.toMeasure.toPMF x = p x
context: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X : Dial C
goal: (tensorUnit.tensorObj X).rel = (Subobject.pullback (prod.map (prod.leftUnitor X.src).hom (prod.leftUnitor X.tgt).hom)).obj X.rel
context: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
goal: μ.toFinite ≪ μ
context: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
goal: μ.toFinite ≪ Measure.sum (sFiniteSeq μ)
context: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : (Measure.sum (sFiniteSeq μ)) s = 0
goal: μ.toFinite s = 0
context: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ∀ (i : ℕ), (sFiniteSeq μ i) s = 0
goal: μ.toFinite s = 0
context: l m✝ n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
A : Matrix (Fin m) (Fin n) α
goal: A.etaExpand = A
context: l m✝ n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
A : Matrix (Fin m) (Fin n) α
goal: ((Equiv.refl (Fin m → Fin n → α)) fun i j => A i j) = A
context: R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
u : Rˣ
hu : 0 < ↑u
v : Ray R M
goal: u • v = v
context: R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
u : Rˣ
hu : 0 < ↑u
v✝ : M
hv✝ : v✝ ≠ 0
goal: u • rayOfNeZero R v✝ hv✝ = rayOfNeZero R v✝ hv✝
context: R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
u : Rˣ
hu : 0 < ↑u
v✝ : M
hv✝ : v✝ ≠ 0
goal: SameRay R (u • v✝) v✝
context: G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
hbot : H ≠ ⊥
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)
hex : ∀ g > 0, ∃ n, g ∈ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)
goal: ∃ b, IsLeast {g | g ∈ H ∧ 0 < g} b
context: G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
hbot : H ≠ ⊥
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)
hex : ∀ g > 0, ∃ n, g ∈ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)
this : ∃ n, (↑H ∩ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)).Nonempty
n : ℕ
hmin : ∀ m < n, ¬(↑H ∩ Ioc (m • a) ((m + 1) • a)).Nonempty
x : G
hxH : x ∈ ↑H
hnx : n • a < x
hxn : x ≤ (n + 1) • a
goal: ∃ b, IsLeast {g | g ∈ H ∧ 0 < g} b
context: G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
hbot : H ≠ ⊥
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)
hex : ∀ g > 0, ∃ n, g ∈ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)
this : ∃ n, (↑H ∩ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)).Nonempty
n : ℕ
hmin : ∀ m < n, ¬(↑H ∩ Ioc (m • a) ((m + 1) • a)).Nonempty
x : G
hxH : x ∈ ↑H
hnx : n • a < x
hxn : x ≤ (n + 1) • a
hxmin : ¬∃ b, IsLeast {g | g ∈ H ∧ 0 < g} b
goal: False
context: G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
hbot : H ≠ ⊥
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)
hex : ∀ g > 0, ∃ n, g ∈ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)
this : ∃ n, (↑H ∩ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)).Nonempty
n : ℕ
hmin : ∀ m < n, ¬(↑H ∩ Ioc (m • a) ((m + 1) • a)).Nonempty
x : G
hxH : x ∈ ↑H
hnx : n • a < x
hxn : x ≤ (n + 1) • a
hxmin : ∀ (x : G), x ∈ H ∧ 0 < x → ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ H ∧ 0 < x_1), x_1 < x
goal: False
context: G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
hbot : H ≠ ⊥
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)
hex : ∀ g > 0, ∃ n, g ∈ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)
this : ∃ n, (↑H ∩ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)).Nonempty
n : ℕ
hmin : ∀ m < n, ¬(↑H ∩ Ioc (m • a) ((m + 1) • a)).Nonempty
x : G
hxH : x ∈ ↑H
hnx : n • a < x
hxn : x ≤ (n + 1) • a
hxmin : ∀ (x : G), x ∈ H ∧ 0 < x → ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ H ∧ 0 < x_1), x_1 < x
y : G
hxy : y < x
hyH : y ∈ H
hy₀ : 0 < y
m : ℕ
hm : y ∈ Ioc (m • a) ((m + 1) • a)
goal: False
context: I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)
h : y = x
goal: (List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom y)) (factors C s x)).prod = 1
context: I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)
h : y = x
goal: ∀ x_1 ∈ List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom y)) (factors C s x), x_1 = 1
context: lo hi a : ℕ
h : lo.succ ≤ a ∧ a ≤ hi
goal: a.pred.succ ≤ hi
context: F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ s
goal: a * (s.erase a).prod = s.prod
context: X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
cond : f ≫ g = 0
hg : NormedAddGroupHom.NormNoninc g
goal: NormedAddGroupHom.NormNoninc (explicitCokernelDesc cond)
context: X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
cond : f ≫ g = 0
hg : NormedAddGroupHom.NormNoninc g
goal: ‖explicitCokernelDesc cond‖ ≤ 1
context: X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
cond : f ≫ g = 0
hg : NormedAddGroupHom.NormNoninc g
goal: ‖explicitCokernelDesc cond‖ ≤ ↑1
context: α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
ι₁ : Sort u_9
ι₂ : Sort u_10
κ₁ : ι₁ → Sort u_11
κ₂ : ι₂ → Sort u_12
f : (i₁ : ι₁) → κ₁ i₁ → (i₂ : ι₂) → κ₂ i₂ → α
goal: ⨆ i₁, ⨆ j₁, ⨆ i₂, ⨆ j₂, f i₁ j₁ i₂ j₂ = ⨆ i₂, ⨆ j₂, ⨆ i₁, ⨆ j₁, f i₁ j₁ i₂ j₂
context: K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
goal: z + (starRingEnd K) z = ↑(re z) + ↑(im z) * I + (↑(re z) - ↑(im z) * I)
context: K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
goal: ↑(re z) + ↑(im z) * I + (↑(re z) - ↑(im z) * I) = 2 * ↑(re z)
context: R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
H1 : p.degree ≤ ↑n
H2 : p.coeff n = 1
H : ¬p.degree < ↑n
goal: p.Monic