ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
goal: a < (a + b) / 2 ↔ a < b
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x✝ : α × β × γ
ε✝ : 𝕜
inst✝⁶ : DecidableEq α
inst✝⁵ : DecidableEq β
inst✝⁴ : DecidableEq γ
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : Fintype γ
inst✝ : ExplicitDisjoint t
ε : 𝕜
ht : ε * ↑((Fintype.card α + Fintype.card β + Fintype.card γ) ^ 2) ≤ ↑t.card
x : α × β × γ
hx : x ∈ t
goal: x ∈ ((graph t).cliqueFinset 3).preimage ⇑toTriangle ⋯
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε✝ : 𝕜
inst✝⁶ : DecidableEq α
inst✝⁵ : DecidableEq β
inst✝⁴ : DecidableEq γ
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : Fintype γ
inst✝ : ExplicitDisjoint t
ε : 𝕜
ht : ε * ↑((Fintype.card α + Fintype.card β + Fintype.card γ) ^ 2) ≤ ↑t.card
goal: ε * ↑(Fintype.card (α ⊕ β ⊕ γ) ^ 2) ≤ ↑(map toTriangle t).card
context: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : Inducing g
hf : Inducing f
goal: inst✝² = TopologicalSpace.induced (g ∘ f) inst✝
context: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : hr₁.IsPreservedBy F
inst✝ : hr₂.IsPreservedBy F
γ : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂
goal: F.map (opcyclesMap' φ hr₁ hr₂) = opcyclesMap' (F.mapShortComplex.map φ) (hr₁.map F) (hr₂.map F)
context: A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
goal: schnirelmannDensity A = 1 ↔ {0}ᶜ ⊆ A
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h : IsUnit ↑(den A x)
goal: IsInteger A x
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h : IsUnit ↑(IsFractionRing.den A x)
den : A
hd : ↑(IsFractionRing.den A x) * den = 1
goal: IsInteger A x
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h : IsUnit ↑(IsFractionRing.den A x)
den : A
hd : ↑(IsFractionRing.den A x) * den = 1
goal: (algebraMap A K) (num A x * den) = x
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h : IsUnit ↑(IsFractionRing.den A x)
den : A
hd : ↑(IsFractionRing.den A x) * den = 1
goal: (algebraMap A K) (num A x * den) = (algebraMap A K) (num A x) / (algebraMap A K) ↑(IsFractionRing.den A x)
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h : IsUnit ↑(IsFractionRing.den A x)
den : A
hd : ↑(IsFractionRing.den A x) * den = 1
goal: (algebraMap A K) den = ((algebraMap A K) ↑(IsFractionRing.den A x))⁻¹
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h : IsUnit ↑(IsFractionRing.den A x)
den : A
hd : ↑(IsFractionRing.den A x) * den = 1
goal: (algebraMap A K) ↑(IsFractionRing.den A x) * (algebraMap A K) den = 1
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h : IsUnit ↑(IsFractionRing.den A x)
den : A
hd : ↑(IsFractionRing.den A x) * den = 1
goal: (algebraMap A K) (↑(IsFractionRing.den A x) * den) = 1
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h✝ : IsInteger A x
v : A
h : (algebraMap A K) v = x
goal: IsUnit ↑(den A x)
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h✝ : IsInteger A x
v : A
h : (algebraMap A K) v = x
goal: ↑(den A x) ∣ num A x
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h✝ : IsInteger A x
v : A
h : (algebraMap A K) v = x
goal: Function.Injective ⇑(algebraMap A K)
context: R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
goal: (C a * X ^ 2 + C b * X + C c).degree ≤ 2
context: C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : PushoutCocone f f
hc : IsColimit c
goal: Epi f ↔ IsIso c.inl
context: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → X → α'
S : Set X
x₀ : X
goal: EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ (k : κ), EquicontinuousWithinAt F S x₀
context: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → X → α'
S : Set X
x₀ : X
goal: Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝[S] x₀) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀)) ↔ ∀ (k : κ), Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝[S] x₀) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
context: G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H : Subgroup G
K : Subgroup N
goal: H.prod K = ⊥ ↔ H = ⊥ ∧ K = ⊥
context: x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1
goal: x ^ y < x ^ z ↔ z < y
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α
h : a ∉ s
goal: s ≠ insert a t
context: x y : ℝ*
goal: x.InfiniteNeg → ¬y.Infinitesimal → 0 < y → (x * y).InfiniteNeg
context: x y : ℝ*
goal: (-x).InfinitePos → ¬y.Infinitesimal → 0 < y → (-x * y).InfinitePos
context: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : LinearOrder β
inst✝⁵ : OrderTopology α✝
inst✝⁴ : OrderTopology β
α : Type u_4
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : FirstCountableTopology α
S : Set α
hS : S.Nonempty
hS' : BddAbove S
goal: ∃ u, Monotone u ∧ Tendsto u atTop (𝓝 (sSup S)) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ S
context: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : LinearOrder β
inst✝⁵ : OrderTopology α✝
inst✝⁴ : OrderTopology β
α : Type u_4
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : FirstCountableTopology α
S : Set α
hS : S.Nonempty
hS' : BddAbove S
u : ℕ → α
hu : Monotone u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ≤ sSup S) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 (sSup S)) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ S
goal: ∃ u, Monotone u ∧ Tendsto u atTop (𝓝 (sSup S)) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ S
context: F : Type u
K : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : DivisionRing F
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module F K
inst✝² : Module K A
inst✝¹ : Module F A
inst✝ : IsScalarTower F K A
hf : FiniteDimensional F A
b : Finset A
hb : span F ↑b = ⊤
goal: restrictScalars F (span K ↑b) = restrictScalars F ⊤
context: F : Type u
K : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : DivisionRing F
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module F K
inst✝² : Module K A
inst✝¹ : Module F A
inst✝ : IsScalarTower F K A
hf : FiniteDimensional F A
b : Finset A
hb : span F ↑b = ⊤
goal: ↑b ⊆ ↑(restrictScalars F (span K ↑b))
context: α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
n : ℕ
goal: a ^ (↑n + 1) = a ^ ↑n * a
context: α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
goal: a ^ (Int.negSucc 0 + 1) = a ^ Int.negSucc 0 * a
context: α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
n : ℕ
goal: a ^ (Int.negSucc (n + 1) + 1) = a ^ Int.negSucc (n + 1) * a
context: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
p : Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
x : M
hx : x ∈ ker f
goal: x ∈ comap f p
context: α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
x : α
xs : List α
goal: enumFrom n (x :: xs) = (n, x) :: map (Prod.map Nat.succ id) (enumFrom n xs)
context: M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
a₁ b₁ : M
a₂ b₂ : ↥S
goal: f.mk' a₁ a₂ = f.mk' b₁ b₂ ↔ (Localization.r S) (a₁, a₂) (b₁, b₂)
context: 𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
goal: TopologicalAddGroup.toUniformSpace F = inst✝¹
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
h : p ≠ 0
goal: ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
h : p ≠ 0
goal: ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 z₀, x ∈ {z₀}ᶜ → f x ≠ 0
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
h : p ≠ 0
h2 : ContinuousAt ((swap dslope z₀)^[p.order] f) z₀
goal: ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 z₀, x ∈ {z₀}ᶜ → f x ≠ 0
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
h : p ≠ 0
h2 : ContinuousAt ((swap dslope z₀)^[p.order] f) z₀
h3 : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, (swap dslope z₀)^[p.order] f z ≠ 0
goal: ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 z₀, x ∈ {z₀}ᶜ → f x ≠ 0
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z✝ z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
h : p ≠ 0
h2 : ContinuousAt ((swap dslope z₀)^[p.order] f) z₀
h3 : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, (swap dslope z₀)^[p.order] f z ≠ 0
z : 𝕜
e1 : f z = (z - z₀) ^ p.order • (swap dslope z₀)^[p.order] f z
e2 : (swap dslope z₀)^[p.order] f z ≠ 0
e3 : z ∈ {z₀}ᶜ
goal: f z ≠ 0
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set E
goal: ⇑f '' (convexHull 𝕜) s = (convexHull 𝕜) (⇑f '' s)
context: R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C ((f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
y : M₁ ⊗[R] M₂
goal: C ((TensorProduct.lift f) y)
context: n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
a : Fin (n + 2)
b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hk : optParam (a.succAbove b ≠ 0) ⋯
goal: (a.pred ha).succAbove (b.pred hb) = (a.succAbove b).pred hk
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Group α
a : α
ha : 1 < a
goal: 1 < a⁺ᵐ
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s : Finset α
goal: IsEmpty { x // x ∈ s } ↔ s = ∅
context: α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
s₁ s₂ : Stream' α
x✝ : a ∈ s₁
n : ℕ
h : (fun b => a = b) (s₁.get n)
goal: (fun b => a = b) ((s₁ ⋈ s₂).get (2 * n))
context: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
h : minkowskiBound K I < volume (convexBodyLT K f)
goal: ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w a < ↑(f w)
context: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
h : minkowskiBound K I < volume (convexBodyLT K f)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
goal: ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w a < ↑(f w)
context: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
h : minkowskiBound K I < volume (convexBodyLT K f)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
h_nz : ⟨x, hx⟩ ≠ 0
h_mem : ↑⟨x, hx⟩ ∈ convexBodyLT K f
goal: ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w a < ↑(f w)
context: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
h : minkowskiBound K I < volume (convexBodyLT K f)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
a : K
ha : a ∈ ↑↑I
hx : (mixedEmbedding K) a ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
h_nz : ⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ≠ 0
h_mem : ↑⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ∈ convexBodyLT K f
goal: ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w a < ↑(f w)
context: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : DecidableEq κ
b : Basis κ A B
i j : κ
goal: traceMatrix A (⇑b) i j = (BilinForm.toMatrix b) (traceForm A B) i j
context: M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s : γ → α
t : Finset γ
goal: R (m (⨆ d ∈ t, s d)) (∏ d ∈ t, m (s d))
context: M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s : γ → α
t : Finset γ
goal: R (m (⨆ x, s ↑x)) (∏' (x : { x // x ∈ t }), m (s ↑x))
context: α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
goal: nndist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄) ≤ nndist p₁ p₃ + nndist p₂ p₄
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x y : α
goal: s ⊆ {x, y} ↔ s = ∅ ∨ s = {x} ∨ s = {y} ∨ s = {x, y}
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x y : α
goal: s ⊆ {x, y} → s = ∅ ∨ s = {x} ∨ s = {y} ∨ s = {x, y}
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x y : α
h : x ∈ s → {y} = s \ {x} → s = {x, y}
goal: (s = ∅ ∨ s = {y}) ∨ x ∈ s ∧ ((s = ∅ ∨ s = {x}) ∨ s \ {x} = {y}) → s = ∅ ∨ s = {x} ∨ s = {y} ∨ s = {x, y}
context: p : ZFSet → Prop
x y✝ : ZFSet
x✝¹ y : PSet
α : Type u
A : α → PSet
x✝ : ⟦y⟧ ∈ ZFSet.sep p ⟦PSet.mk α A⟧
a : (PSet.mk α A).Type
pa : (fun y => p (mk y)) ((PSet.mk α A).Func a)
h : y.Equiv (Func ↑(Resp.f ⟨PSet.sep fun y => p (mk y), ⋯⟩ (PSet.mk α A)) ⟨a, pa⟩)
goal: p ⟦y⟧
context: p : ZFSet → Prop
x y✝ : ZFSet
x✝¹ y : PSet
α : Type u
A : α → PSet
x✝ : ⟦y⟧ ∈ ⟦PSet.mk α A⟧ ∧ p ⟦y⟧
a : (PSet.mk α A).Type
h : y.Equiv ((PSet.mk α A).Func a)
pa : p ⟦y⟧
goal: (fun y => p (mk y)) ((PSet.mk α A).Func a)
context: p : ZFSet → Prop
x y✝ : ZFSet
x✝¹ y : PSet
α : Type u
A : α → PSet
x✝ : ⟦y⟧ ∈ ⟦PSet.mk α A⟧ ∧ p ⟦y⟧
a : (PSet.mk α A).Type
h : y.Equiv (A a)
pa : p ⟦y⟧
goal: p (mk ((PSet.mk α A).Func a))
context: M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M ⧸ S
goal: ‖x - y‖ = ‖y - x‖
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Finite β
f : α → β
goal: Bijective f ↔ Injective f ∧ Nat.card α = Nat.card β
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Finite β
f : α → β
this✝ : Fintype β
this : Fintype α
goal: Injective f → (Surjective f ↔ Nat.card α = Nat.card β)
context: α : Type u_1
R : α → α → Prop
l : List α
goal: Pairwise R l.reverse ↔ Pairwise (fun a b => R b a) l
context: α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
goal: μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
context: α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
this : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]
goal: μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
context: α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
this : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]
goal: μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
context: α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
this✝ : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]
this : f * μ[g|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g|m]
goal: μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
context: α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
this✝ : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]
this : f * μ[g|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g|m]
goal: μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g|m]
context: α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
this✝ : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]
this : f * μ[g|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g|m]
goal: ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖AEStronglyMeasurable'.mk f hf x‖ ≤ c
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Group α
a✝ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
goal: a⁺ᵐ * a⁻ᵐ = mabs a
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Group α
a✝ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
goal: a ⊔ a⁻¹ ⊔ 1 = mabs a
context: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
g : ι → M'
goal: ∃ b, ∀ (i : ι), IsInteger f (↑b • g i)