ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
g : ι → M'
val✝ : Fintype ι
goal: ∃ b, ∀ (i : ι), IsInteger f (↑b • g i)
context: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
g : ι → M'
val✝ : Fintype ι
b : ↥S
hb : ∀ i ∈ Finset.univ, IsInteger f (↑b • g i)
goal: ∃ b, ∀ (i : ι), IsInteger f (↑b • g i)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
goal: (f '' s).ncard ≤ s.ncard
context: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
goal: ↑(f '' s).ncard ≤ ↑s.ncard
context: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
goal: (f '' s).encard ≤ s.encard
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : HasFiniteIntegral f μ
x : α
goal: ‖min (f x) 0‖ ≤ ‖f x‖
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
S : Type u_10
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
x : M
goal: ((b.constr S) f) x = (b.repr x).sum fun b a => a • f b
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
S : Type u_10
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
x : M
goal: ((Finsupp.mapDomain f (↑b.repr x)).sum fun i a => a • id i) = (b.repr x).sum fun b a => a • f b
context: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
x✝ : X
goal: x✝ ∈ (𝓝 x).ker ↔ x✝ ∈ {y | y ⤳ x}
context: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI : (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹ ≤ 1
goal: ↑I * (↑I)⁻¹ = 1
context: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI : (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹ ≤ 1
J : Ideal A
hJ : ↑J = ↑I * (↑I)⁻¹
hJ0 : ¬J = ⊥
hJ1 : ¬J = ⊤
goal: ↑I * (↑I)⁻¹ = 1
context: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
ha : 0 ≤ a
x✝ : ℕ
goal: x✝ ∈ Nat.cast ⁻¹' Ioi a ↔ x✝ ∈ Ioi ⌊a⌋₊
context: X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsLindelof t
goal: IsLindelof (s ∪ t)
context: X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsLindelof t
goal: IsLindelof (⋃ b, bif b then s else t)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
μ : Measure α
s : Set α
goal: MeasurableSet (toMeasurable μ s)
context: α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
x : α
goal: ⋃ n, s ∩ closedBall x ↑n = s
context: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
x : R
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
goal: eval x (nodal s v) ≠ 0
context: θ : Angle
goal: θ ≠ -θ ↔ θ ≠ 0 ∧ θ ≠ ↑π
context: a : ℍ
goal: ‖star a‖ = ‖a‖
context: s : ℂ
hs : 1 < s.re
goal: completedRiemannZeta s = ↑π ^ (-s / 2) * Complex.Gamma (s / 2) * ∑' (n : ℕ), 1 / ↑n ^ s
context: s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : completedCosZeta (↑0) s = ∑' (b : ℕ), if b = 0 then 0 else s.Gammaℝ * ↑(Real.cos (2 * π * 0 * ↑b)) / ↑b ^ s
goal: completedRiemannZeta s = ↑π ^ (-s / 2) * Complex.Gamma (s / 2) * ∑' (n : ℕ), 1 / ↑n ^ s
context: s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : completedRiemannZeta s = ∑' (b : ℕ), if b = 0 then 0 else s.Gammaℝ * ↑(Real.cos (2 * π * 0 * ↑b)) / ↑b ^ s
goal: completedRiemannZeta s = ↑π ^ (-s / 2) * Complex.Gamma (s / 2) * ∑' (n : ℕ), 1 / ↑n ^ s
context: x✝ y x : ℝ
goal: HasStrictDerivAt arsinh (√(1 + x ^ 2))⁻¹ x
context: x✝ y x : ℝ
goal: √(1 + x ^ 2) = cosh (↑sinhHomeomorph.toPartialHomeomorph.symm x)
context: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
goal: ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)
context: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)
goal: ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)
context: x✝ y✝ x y : ℝ
h : -1 ≤ x
goal: √(1 + x) ≤ 1 + x / 2
context: x✝ y✝ x y : ℝ
h : -1 ≤ x
goal: 1 + x ≤ (1 + x / 2) ^ 2
context: α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
m n k : ℕ
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k
goal: (∏ i ∈ Ioc m n, f i) * ∏ i ∈ Ioc n k, f i = ∏ i ∈ Ioc m k, f i
context: α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
m n k : ℕ
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k
goal: Disjoint (Ioc m n) (Ioc n k)
context: α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
m n k : ℕ
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k
x : ℕ
hx : x ∈ Ioc m n
h'x : x ∈ Ioc n k
goal: False
context: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.259403, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K L : CochainComplex C ℤ
α : Cocycle K F 1
β : Cochain K G 0
eq : δ 0 1 β + (↑α).comp (Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0
α' : Cochain F L (-1)
β' : G ⟶ L
eq' : δ (-1) 0 α' = Cochain.ofHom (φ ≫ β')
n n' : ℤ
hnn' : n + 1 = n'
goal: (lift φ α β eq).f n ≫ (desc φ α' β' eq').f n = (↑α).v n n' hnn' ≫ α'.v n' n ⋯ + β.v n n ⋯ ≫ β'.f n
context: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atTop
goal: Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ 0 < r
context: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
k l : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
x y : G
goal: ((((curryFinFinset 𝕜 G G' hk hl) f) fun x_1 => x) fun x => y) = f (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
context: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
k l : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
x y : G
goal: ((curryFinFinset 𝕜 G G' hk hl).symm ((curryFinFinset 𝕜 G G' hk hl) f)) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y) = f (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
context: M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
goal: mrange (inl M N) = ⊤.prod ⊥
context: M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝ : CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
goal: h.zmodEquivZPowers.symm (Additive.ofMul ⟨ζ ^ i, ⋯⟩) = ↑i
context: α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
r : α → α → Prop
hr : Reflexive r
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b
goal: Pairwise r l
context: α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ l : List α
r : α → α → Prop
hr : Reflexive r
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b
a b : α
hab : [a, b] <+ l
goal: r a b
context: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
goal: (map Neg.neg s).esymm k = (-1) ^ k * s.esymm k
context: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
x : Multiset R
hx : x ∈ powersetCard k s
goal: (prod ∘ map Neg.neg) x = (-1) ^ k * x.prod
context: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
x : Multiset R
hx : x ∈ powersetCard k s
goal: (prod ∘ map Neg.neg) x = (map (Function.const R (-1)) x).prod * x.prod
context: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
x : Multiset R
hx : x ∈ powersetCard k s
goal: (prod ∘ map Neg.neg) x = (map (Function.const R (-1)) x).prod * (map (fun x => x) x).prod
context: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
x : Multiset R
hx : x ∈ powersetCard k s
goal: ∀ x_1 ∈ x, Function.const R (-1) x_1 * x_1 = -x_1
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
ht : t.Nonempty
goal: s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t ↔ s = s₁
context: ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
k : α
h : IsCompactElement k
b : α
hbk : b ∈ Iic k
goal: ⟨b, hbk⟩ = ⊤ ∨ ∃ a, IsCoatom a ∧ ⟨b, hbk⟩ ≤ a
context: ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
k : α
h : IsCompactElement k
b : α
hbk : b ∈ Iic k
H : b ≠ k
goal: ∃ a, IsCoatom a ∧ ⟨b, hbk⟩ ≤ a
context: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
goal: ↑((Units.map ↑φ) E.Δ') = (E.map φ).Δ
context: R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
z : A
v : V
goal: (algebraMap A (CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q))) z * (ofBaseChangeAux A Q) ((ι Q) v) = (ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (z ⊗ₜ[R] v)
context: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : S
x : M
a : S
h : a • x = 0
goal: s • ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ torsion' R M S
context: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : S
x : M
a : S
h : a • x = 0
goal: a • s • x = 0
context: x : ℝ≥0∞
y : ℝ
goal: x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
context: x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : y ≠ 0
goal: x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
context: x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : y < 0 ∨ 0 < y
goal: x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
context: x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : y < 0 ∨ 0 < y
h0 : x ≠ 0
goal: x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
context: x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : y < 0 ∨ 0 < y
h0 : x ≠ 0
h_top : x ≠ ⊤
goal: x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
context: x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : y < 0 ∨ 0 < y
h0 : x ≠ 0
h_top : x ≠ ⊤
goal: x⁻¹ ^ y * x ^ y = 1
context: ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
b : B
x : E b
goal: { proj := b, snd := x } ∈ (a.pretrivializationAt b).source
context: ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
b : B
x : E b
goal: b ∈ (a.pretrivializationAt b).baseSet
context: X : Type u_1
t : TopologicalSpace X
goal: t = ⨅ u, induced (fun x => x ∈ u) sierpinskiSpace
context: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
c : CokernelCofork S.f
hc : IsColimit c
goal: (ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).f' = S.f
context: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
c : CokernelCofork S.f
hc : IsColimit c
goal: S.f = S.f ≫ 𝟙 S.X₂
context: α : Type u_1
inst✝¹ : Mul α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α
goal: (equivShrink α).symm (x * y) = (equivShrink α).symm x * (equivShrink α).symm y
context: 𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
x : E
goal: x ∈ closure {1} ↔ ‖x‖ = 0
context: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
goal: Function.Surjective ⇑(A.mulMap' B)
context: M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝² : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
L' : Language
inst✝¹ : L'.Structure M
φ : L →ᴸ L'
inst✝ : φ.IsExpansionOn M
ψ : L[[↑A]].Formula α
x : α → M
goal: x ∈ setOf ψ.Realize ↔ x ∈ setOf ((LHom.addConstants (↑A) φ).onFormula ψ).Realize
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
y : F
x : E
h : (x, y) ∈ f.graph
goal: y ∈ Set.range ↑f
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
y : F
x✝ : E
x : ↥f.domain
h : ↑x = (x✝, y).1 ∧ ↑f x = (x✝, y).2
goal: y ∈ Set.range ↑f
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
y : F
x✝ : E
x : ↥f.domain
h : ↑x = (x✝, y).1 ∧ ↑f x = (x✝, y).2
goal: ∃ y_1, ↑f y_1 = y
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
y : F
x✝ : E
x : ↥f.domain
h : ↑x = x✝ ∧ ↑f x = y
goal: ↑f x = y
context: R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
Q : R[T;T⁻¹] → Prop
Qf : ∀ (f : R[X]), Q (toLaurent f)
QT : ∀ (f : R[T;T⁻¹]), Q (f * T 1) → Q f
goal: Q f
context: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → α
hf : ∀ (a : α) (b c : β), f (f a b) c = f (f a c) b
a : α
b : β
l : List β
goal: foldl f a (b :: l) = foldr (flip f) a (b :: l)
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝¹ t : Set α
f : ι → Filter α
s s✝ : Set α
goal: s✝ ∈ ⨆ i, f i ⊓ 𝓟 s ↔ s✝ ∈ (⨆ i, f i) ⊓ 𝓟 s
context: q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ
goal: Irrational (↑n / x) ↔ n ≠ 0 ∧ Irrational x
context: M : Type u_1
N : Type u_2
G✝ : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MulAction M α
E : Type u_11
F : Type u_12
G : Type u_13
inst✝³ : Monoid E
inst✝² : Monoid F
inst✝¹ : MulAction F G
inst✝ : IsPretransitive F G
f : E →* F
hf : Surjective ⇑f
x✝ : MulAction E G := compHom G f
x y : G
goal: ∃ g, g • x = y
context: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
l : List α
goal: span p l = (takeWhile p l, dropWhile p l)
context: R : Type u_1
inst✝ : SeminormedAddCommGroup R
goal: LipschitzWith 2 fun p => p.1 - p.2
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
s : Set α
goal: ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ ∀ (i : ι), (μ i) t = (μ i) s
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a✝ a'✝ : α
b✝ b'✝ : β
c✝ c'✝ : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
x✝¹ x✝ : α × β × γ
a : α
b : β
c : γ
a' : α
b' : β
c' : γ
goal: (fun x => {in₀ x.1, in₁ x.2.1, in₂ x.2.2}) (a, b, c) = (fun x => {in₀ x.1, in₁ x.2.1, in₂ x.2.2}) (a', b', c') → (a, b, c) = (a', b', c')
context: S : ShortComplex Ab
x : ↥(AddMonoidHom.ker S.g)
goal: S.iCycles (S.abLeftHomologyData.cyclesIso.inv x) = ↑x
context: α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup A
s : Set G
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : MulDistribMulAction α G
P H : Subgroup G
hP : P ≤ H
h : ↥H
g : G
hg : g ∈ ↑P
goal: ((MulDistribMulAction.toMonoidEnd (MulAut G) G) (MulAut.conj ↑h)) g ∈ H
context: ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
h : a ≠ 0
H : Summable fun i => f i * a
goal: Summable f
context: R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
x : OreLocalization S X
goal: (r • 1) • x = r • x
context: R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
r' : X
s : ↥S
goal: (r • 1) • (r' /ₒ s) = r • (r' /ₒ s)
context: α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
m : M
a : α
n : ℕ
goal: IsPeriodicPt (fun x => m • x) n a ↔ m ^ n • a = a
context: R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x y : R
h : Commute x y
goal: (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p
context: E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c w : ℂ
R : ℝ
goal: CircleIntegrable (fun z => (z - w)⁻¹) c R ↔ R = 0 ∨ w ∉ sphere c |R|
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
goal: HasFiniteIntegral f Measure.count ↔ Summable fun x => ‖f x‖
context: V : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.28, u_1} V
inst✝ : Abelian V
X Y Z : V
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
goal: g.op ≫ f.op = 0
context: V : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.28, u_1} V
inst✝ : Abelian V
X Y Z : V
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
goal: f ≫ factorThruImage g = 0
context: V : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} V
inst✝ : Abelian V
X Y Z : V
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
goal: imageToKernel g.op f.op ⋯ ≫ (kernelSubobject f.op).arrow = ((imageSubobjectIso g.op ≪≫ (imageOpOp g).symm).hom ≫ (cokernel.desc f (factorThruImage g) ⋯).op ≫ (kernelSubobjectIso f.op ≪≫ kernelOpOp f).inv) ≫ (kernelSubobject f.op).arrow
context: xl xr : Type u
x y : PGame
goal: y ⧏ -x ↔ x ⧏ -y
context: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
goal: traceMatrix A (P.map ⇑(algebraMap A B) *ᵥ b) = P * traceMatrix A b * Pᵀ
context: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
goal: (transposeAddEquiv κ κ A) (traceMatrix A (P.map ⇑(algebraMap A B) *ᵥ b)) = (transposeAddEquiv κ κ A) (P * traceMatrix A b * Pᵀ)
context: R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
goal: (p * q).coeff (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree) = p.trailingCoeff * q.trailingCoeff
context: R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
goal: ∑ x ∈ antidiagonal (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree), p.coeff x.1 * q.coeff x.2 = p.trailingCoeff * q.trailingCoeff
context: R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
i j : ℕ
h₁ : (i, j) ∈ antidiagonal (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree)
h₂ : (i, j) ≠ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree)
goal: p.coeff (i, j).1 * q.coeff (i, j).2 = 0
context: R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
i j : ℕ
h₁ : (i, j).1 + (i, j).2 = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree
h₂ : (i, j) ≠ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree)
hi : ¬i < p.natTrailingDegree
hj : ¬j < q.natTrailingDegree
goal: p.coeff (i, j).1 * q.coeff (i, j).2 = 0
context: R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
i j : ℕ
h₁ : (i, j).1 + (i, j).2 = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree
h₂ : (i, j) ≠ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree)
hi : p.natTrailingDegree ≤ i
hj : q.natTrailingDegree ≤ j
goal: p.coeff (i, j).1 * q.coeff (i, j).2 = 0
context: R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
i j : ℕ
h₁ : (i, j).1 + (i, j).2 = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree
h₂ : (i, j) ≠ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree)
hi : p.natTrailingDegree ≤ i
hj : q.natTrailingDegree ≤ j
goal: (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree).1 = (i, j).1 ∧ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree).2 = (i, j).2
context: R : Type u_1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
goal: μ p = -1