ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: X : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring M
inst✝ : Module M X
P : M
h : IsLprojection X P
x : X
goal: ‖x‖ = ‖(1 - P) • x‖ + ‖(1 - (1 - P)) • x‖
context: X : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring M
inst✝ : Module M X
P : M
h : IsLprojection X P
x : X
goal: ‖x‖ = ‖P • x‖ + ‖(1 - P) • x‖
context: α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
l✝ : List α
inst✝ : PartialOrder α
l : List α
h₁ : Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
h₂ : l.Nodup
goal: Pairwise (fun x x_1 => x_1 ≠ x) l
context: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
p : ι → P
goal: (affineCombination k s p) w₁ -ᵥ (affineCombination k s p) w₂ = (s.weightedVSub p) (w₁ - w₂)
context: G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
goal: μ' s = ν s
context: G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
k : Set G
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
k_mem : k ∈ 𝓝 1
goal: μ' s = ν s
context: G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
k : Set G
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
k_mem : k ∈ 𝓝 1
one_k : 1 ∈ k
A : Set (Set G) := {t | t ⊆ s ∧ t.PairwiseDisjoint fun x => x • k}
m : Set G
m_max : ∀ a ∈ A, m ⊆ a → a = m
mA : m ⊆ s ∧ m.PairwiseDisjoint fun x => x • k
sm : s ⊆ ⋃ x ∈ m, x • (k * k⁻¹)
goal: μ' s = ν s
context: R : Type v
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : StarRing R
S T : StarSubsemiring R
h : S.toSubsemiring = T.toSubsemiring
x : R
goal: x ∈ S ↔ x ∈ T
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
f : α →o β
g : β →o γ
c : Chain α
goal: OrderHom.id (ωSup c) = ωSup (c.map OrderHom.id)
context: R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
n : ℕ
goal: Submodule.map (((f.tunnel' i n).fst.subtype ∘ₗ ↑(f.tunnel' i n).snd.symm) ∘ₗ f) (Submodule.snd R M N) ⊔ Submodule.map (((f.tunnel' i n).fst.subtype ∘ₗ ↑(f.tunnel' i n).snd.symm) ∘ₗ f) (Submodule.fst R M N) ≤ (f.tunnel' i n).fst
context: R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
n : ℕ
goal: Submodule.map (f.tunnel' i n).fst.subtype (Submodule.map (↑(f.tunnel' i n).snd.symm) (Submodule.map f ⊤)) ≤ (f.tunnel' i n).fst
context: R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x y : M
goal: (fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m)) (x + y) = (fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m)) x + (fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m)) y
context: R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x y : M
goal: (fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m)) (x + y) = (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R x + FreeAlgebra.ι R y)
context: R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r : R
x : M
goal: { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯ }.toFun x
context: R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r : R
x : M
goal: { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) ((RingHom.id R) r • FreeAlgebra.ι R x)
context: E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x✝ x : M
hx : ↑f x = 1 x
goal: 1 x ≠ 0
context: α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
n : α →₀ ℕ
f : (α →₀ ℕ) → (α →₀ ℕ) → M
goal: ∀ (i : (α →₀ ℕ) × (α →₀ ℕ)), i ∈ antidiagonal n ↔ (Equiv.prodComm (α →₀ ℕ) (α →₀ ℕ)) i ∈ antidiagonal n
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List M
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F
goal: (map (⇑f) l).prod = f l.prod
context: p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
goal: ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * x) = ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * x % p + p * (a * x / p)))
context: p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
goal: ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * x % p + p * (a * x / p))) = ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑(a * x)).val) + ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * x / p)
context: p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
goal: ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * x % p + p * (a * x / p))) = ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * x % p) + ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * x / p)
context: p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
goal: ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑(a * x)).val) = ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑((↑a * ↑x).valMinAbs + ↑(if (↑a * ↑x).val ≤ p / 2 then 0 else p))
context: p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
goal: ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑(a * x)).val) = ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑↑(↑a * ↑x).val
context: p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
goal: ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑((↑a * ↑x).valMinAbs + ↑(if (↑a * ↑x).val ≤ p / 2 then 0 else p)) = ↑(filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card + ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs)
context: p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
goal: ↑(filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card + ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs) = ↑(filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card + ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, x)
context: α : Type u
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
goal: a⁻¹ ≤ a ↔ 1 ≤ a
context: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
inst✝ : NumberField K
goal: x ∈ torsion K ↔ ∀ (w : InfinitePlace K), w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) = 1
context: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
inst✝ : NumberField K
goal: IsOfFinOrder x ↔ ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)‖ = 1
context: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
inst✝ : NumberField K
h : ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)‖ = 1
goal: ∃ n, 0 < n ∧ x ^ n = 1
context: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
inst✝ : NumberField K
h : ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)‖ = 1
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : (algebraMap (𝓞 K) K) ↑x ^ n = 1
goal: ∃ n, 0 < n ∧ x ^ n = 1
context: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ✝ : Type u_5
mγ✝ : MeasurableSpace γ✝
f✝ : β → γ✝
g : γ✝ → α
κ : Kernel α β
γ : Type u_6
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
hf : Measurable f
goal: (κ.map (fun a => (a, f a)) ⋯).fst = κ
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
t : Set α
h : ∀ (n : ℕ), s n =ᶠ[ae μ] t
goal: liminf s atTop =ᶠ[ae μ] t
context: α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
p : Associates α
hp : Irreducible p
hz : a ≠ 0
h_mem : ⟨p, hp⟩ ∈ factors' a
this : DecidableEq (Associates α)
goal: p ∣ Associates.mk a
context: α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
p : Associates α
hp : Irreducible p
hz : a ≠ 0
h_mem : ⟨p, hp⟩ ∈ factors' a
this : DecidableEq (Associates α)
goal: p ∈ (Associates.mk a).factors
context: α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
p : Associates α
hp : Irreducible p
hz : a ≠ 0
h_mem : ⟨p, hp⟩ ∈ factors' a
this : DecidableEq (Associates α)
goal: p ∈ ↑(factors' a)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hst : 2 * n < (s ∪ t).ncard
goal: ∃ r, n < r.ncard ∧ (r ⊆ s ∨ r ⊆ t)
context: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : InvolutiveInv α
s✝ : Finset α
a : α
s : Finset α
goal: ↑(s.preimage (fun x => x⁻¹) ⋯) = ↑s⁻¹
context: C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{w, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁸ : Category.{w', u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A A' B B' : C
inst✝⁷ : HasBinaryProduct A B
inst✝⁶ : HasBinaryProduct A' B'
inst✝⁵ : HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)
inst✝⁴ : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝³ : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A)) (G.obj (F.obj B))
inst✝² : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A) ((F ⋙ G).obj B)
f : A ⟶ A'
g : B ⟶ B'
inst✝¹ : IsIso (prodComparison F A B)
inst✝ : IsIso (prodComparison F A' B')
goal: inv (prodComparison F A B) ≫ F.map (prod.map f g) = prod.map (F.map f) (F.map g) ≫ inv (prodComparison F A' B')
context: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : B
hx : IsIntegral R x
p : R[X]
hp : p.Monic
hpx : eval₂ (algebraMap R B) x p = 0
goal: eval₂ (algebraMap A B) x (Polynomial.map (algebraMap R A) p) = 0
context: J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
h : IsColimit t
W : C
m : t.pt ⟶ W
X✝ Y✝ : J
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
goal: F.map f✝ ≫ (fun b => t.ι.app b ≫ m) Y✝ = (fun b => t.ι.app b ≫ m) X✝ ≫ ((const J).obj W).map f✝
context: m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2
goal: Even (x ^ 2 + y ^ 2)
context: m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2
this : Even (x ^ 2 + y ^ 2)
hxaddy : Even (x + y)
hxsuby : Even (x - y)
goal: 2 * 2 * m = (x - y) ^ 2 + (x + y) ^ 2
context: m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2
this : Even (x ^ 2 + y ^ 2)
hxaddy : Even (x + y)
hxsuby : Even (x - y)
goal: (x - y) ^ 2 + (x + y) ^ 2 = (2 * ((x - y) / 2)) ^ 2 + (2 * ((x + y) / 2)) ^ 2
context: m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2
this : Even (x ^ 2 + y ^ 2)
hxaddy : 2 ∣ x + y
hxsuby : 2 ∣ x - y
goal: (x - y) ^ 2 + (x + y) ^ 2 = (2 * ((x - y) / 2)) ^ 2 + (2 * ((x + y) / 2)) ^ 2
context: m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2
this : Even (x ^ 2 + y ^ 2)
hxaddy : Even (x + y)
hxsuby : Even (x - y)
goal: (2 * ((x - y) / 2)) ^ 2 + (2 * ((x + y) / 2)) ^ 2 = 2 * 2 * (((x - y) / 2) ^ 2 + ((x + y) / 2) ^ 2)
context: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
x : M
i j : ι
hx : x ∈ ℳ i
hij : i ≠ j
goal: ↑(((decompose ℳ) x) j) = 0
context: F : Type u_1
K✝¹ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝¹
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝¹
inst✝¹ : Algebra F L
K✝ K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
K : IntermediateField F L
goal: Normal F ↥K ↔ ∀ (σ : L ≃ₐ[F] L), map (↑σ) K ≤ K
context: R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
goal: Algebra.Transcendental R A ↔ ¬Algebra.IsAlgebraic R A
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι
goal: f n = gramSchmidt 𝕜 f n + ∑ i ∈ Iio n, ↑((orthogonalProjection (span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f i})) (f n))
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
goal: (β_ X (𝟙_ C)).hom = (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv
context: K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b
goal: |v - (of v).convs n| ≤ 1 / (b * (of v).dens n * (of v).dens n)
context: K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
goal: |v - (of v).convs n| ≤ 1 / (b * (of v).dens n * (of v).dens n)
context: K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
goal: 1 / ((of v).dens n * (of v).dens (n + 1)) ≤ 1 / (b * (of v).dens n * (of v).dens n)
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : OrderedRing S
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
abv : R → S
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
a b c : R
goal: abv (a - c) ≤ abv (a - b) + abv (b - c)
context: F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
hs : s ≠ ∅
p_s : ∀ a ∈ s, p a
goal: p s.prod
context: F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod
hs : a ::ₘ s ≠ ∅
p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
goal: p (a ::ₘ s).prod
context: F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod
hs : a ::ₘ s ≠ ∅
p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
goal: p (a * s.prod)
context: F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod
hs : a ::ₘ s ≠ ∅
p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
hps : ∀ x ∈ s, p x
goal: p (a * s.prod)
context: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hyz : f y ≤ f (a • x + b • y)
goal: f (a • x + b • y) ≤ f x
context: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
goal: f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
context: F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
p : R → R → Prop
a b : R
ha : a ∈ closure s
hb : b ∈ closure s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
H0_left : ∀ (x : R), p 0 x
H0_right : ∀ (x : R), p x 0
Hneg_left : ∀ (x y : R), p x y → p (-x) y
Hneg_right : ∀ (x y : R), p x y → p x (-y)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
goal: p a b
context: F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
p : R → R → Prop
a b : R
ha : a ∈ closure s
hb : b ∈ closure s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
H0_left : ∀ (x : R), p 0 x
H0_right : ∀ (x : R), p x 0
Hneg_left : ∀ (x y : R), p x y → p (-x) y
Hneg_right : ∀ (x y : R), p x y → p x (-y)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
goal: ∀ x ∈ s, p a x
context: R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Field R
p q : R[X]
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : DecidableEq R
ϕ : R →+* k
f g : R[X]
α : k
hf : eval₂ ϕ α f = 0
hg : eval₂ ϕ α g = 0
goal: eval₂ ϕ α (EuclideanDomain.gcd f g) = 0
context: 𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
goal: b ∈ ball a r ↔ ‖b / a‖ < r
context: X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
goal: x ∈ Set.range ⇑((fun x => pullback.fst f (𝒰.map x)) ((fun x => 𝒰.f (f.val.base x)) x)).val.base
context: X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
goal: x ∈ Set.range ⇑((PreservesPullback.iso forgetToTop f (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))))
context: R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.97943
inst✝ : MulAction R X
s s' : ↥S
goal: ↑s /ₒ s' * (↑s' /ₒ s) = 1
context: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
x✝² : NonAssocSemiring α
x✝¹ : NonAssocSemiring β
x✝ : NonAssocSemiring γ
g : β →+* γ
f₁ f₂ : α →+* β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : α
goal: g (f₁ x) = g (f₂ x)
context: α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
goal: (A * C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C).card
context: α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
goal: (A * C).card * B⁻¹.card ≤ (A * B⁻¹).card * (B⁻¹ * C).card
context: α β : Type u
c : Cardinal.{?u.228574}
f : α → β
s : Set β
h : Injective f
h2 : s ⊆ range f
goal: #↑(f ⁻¹' s) = #↑s
context: α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
hp : p ∈ normalizedFactors a
q : α
hq : q ∈ normalizedFactors a
hdvd : p ∣ q
goal: p = q
context: k m n : Nat
H1 : k.Coprime m
H2 : k ∣ m * n
goal: k ∣ n * m
context: G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint ↑K₁ ↑K₂
h₁ : IsClosed ↑K₁
h₂ : IsClosed ↑K₂
goal: (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K₁ ⊔ K₂) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₁ + (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₂
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t s₁ s₂ : Finset α
goal: ↑s₁ ⊂ ↑s₂ ↔ s₁ ⊆ s₂ ∧ ¬s₂ ⊆ s₁
context: k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝¹ : IsGalois k K
inst✝ : FiniteDimensional k K
w : InfinitePlace k
hw : ¬IsUnramifiedIn K w
goal: Even (card (K ≃ₐ[k] K))
context: k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : IsGalois k K
inst✝ : FiniteDimensional k K
v : InfinitePlace K
hw : ¬IsUnramifiedIn K ((fun x => x.comap (algebraMap k K)) v)
goal: Even (card (K ≃ₐ[k] K))
context: k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : IsGalois k K
inst✝ : FiniteDimensional k K
v : InfinitePlace K
hw : ¬IsUnramified k v
goal: Even (card (K ≃ₐ[k] K))
context: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
h : ¬Module.Finite R S
x : S
goal: (norm R) x = 1
context: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
h : ¬Module.Finite R S
x : S
s : Finset S
b : Basis { x // x ∈ s } R S
goal: Module.Finite R S
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
goal: (fourierIntegral e μ L f + fourierIntegral e μ L g) w = fourierIntegral e μ L (f + g) w
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
goal: ∫ (v : V), e (-(L v) w) • f v ∂μ + ∫ (v : V), e (-(L v) w) • g v ∂μ = ∫ (v : V), e (-(L v) w) • (f v + g v) ∂μ