ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
ι : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
m : M
g : G i
goal: (directLimitRight f M).symm ((of R ι (fun x => M ⊗[R] G x) (fun i j h => LinearMap.lTensor M (f i j h)) i) (m ⊗ₜ[R] g)) = m ⊗ₜ[R] (of R ι G f i) g
context: F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : LinearIndependent F v
goal: LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
context: F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : LinearIndependent F v
h' : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range v }) F Subtype.val
goal: LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
context: F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : LinearIndependent F v
h' : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range v }) F Subtype.val
ι' : Set E := h'.extend ⋯
b : Basis (↑ι') F E := Basis.extend h'
this : Fintype ↑ι' := fintypeBasisIndex b
goal: LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
context: F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : LinearIndependent F v
h' : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range v }) F Subtype.val
ι' : Set E := h'.extend ⋯
b : Basis (↑ι') F E := Basis.extend h'
this : Fintype ↑ι' := fintypeBasisIndex b
H : LinearIndependent F fun (x : ↑ι') => b x ^ q ^ n
goal: LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
context: F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : LinearIndependent F v
h' : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range v }) F Subtype.val
ι' : Set E := h'.extend ⋯
b : Basis (↑ι') F E := Basis.extend h'
this : Fintype ↑ι' := fintypeBasisIndex b
H : LinearIndependent F fun (x : ↑ι') => b x ^ q ^ n
f : ι → ↑ι' := fun i => ⟨v i, ⋯⟩
goal: LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
context: F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : LinearIndependent F v
h' : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range v }) F Subtype.val
ι' : Set E := h'.extend ⋯
b : Basis (↑ι') F E := Basis.extend h'
this : Fintype ↑ι' := fintypeBasisIndex b
H : LinearIndependent F fun (x : ↑ι') => b x ^ q ^ n
f : ι → ↑ι' := fun i => ⟨v i, ⋯⟩
x✝ : ι
goal: v x✝ ^ q ^ n = ((fun x => b x ^ q ^ n) ∘ f) x✝
context: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
H : Set.range ⇑g.base ⊆ Set.range ⇑f.base
l : Y ⟶ X
hl : l ≫ f = g
goal: l = lift f g H
context: p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
z : ℤ_[p]
goal: (lift ⋯) z = (RingHom.id ℤ_[p]) z
context: p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
z : ℤ_[p]
n✝ : ℕ
goal: (toZModPow n✝).comp (RingHom.id ℤ_[p]) = toZModPow n✝
context: D : GlueData
U : Set ↑D.glued
goal: IsOpen U ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(Multicoequalizer.π D.diagram i) ⁻¹' U)
context: D : GlueData
U : Set ↑D.glued
goal: IsOpen U ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(Sigma.ι D.diagram.right i ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) ⁻¹' U)
context: D : GlueData
U : Set ↑D.glued
goal: IsOpen (⇑(homeoOfIso (Multicoequalizer.isoCoequalizer D.diagram).symm) ⁻¹' U) ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(Sigma.ι D.diagram.right i ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) ⁻¹' U)
context: D : GlueData
U : Set ↑D.glued
goal: IsOpen (⇑(colimit.ι (parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap) WalkingParallelPair.one) ⁻¹' (⇑(homeoOfIso (Multicoequalizer.isoCoequalizer D.diagram).symm) ⁻¹' U)) ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(Sigma.ι D.diagram.right i ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) ⁻¹' U)
context: D : GlueData
U : Set ↑D.glued
goal: IsOpen (⇑(colimit.ι (parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap) WalkingParallelPair.one) ⁻¹' (⇑(homeoOfIso (Multicoequalizer.isoCoequalizer D.diagram).symm) ⁻¹' U)) ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(Sigma.ι D.U i ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) ⁻¹' U)
context: C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.284, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.288, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.292, u_3} E
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasShift D ℤ
inst✝² : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
goal: F.map X✝.mor₁ ≫ F.map f.hom₂ = F.map f.hom₁ ≫ F.map Y✝.mor₁
context: C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.284, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.288, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.292, u_3} E
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasShift D ℤ
inst✝² : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
goal: F.map X✝.mor₂ ≫ F.map f.hom₃ = F.map f.hom₂ ≫ F.map Y✝.mor₂
context: C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.284, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.288, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.292, u_3} E
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasShift D ℤ
inst✝² : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
goal: (F.map X✝.mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app X✝.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (F.map f.hom₁) = F.map f.hom₃ ≫ F.map Y✝.mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app Y✝.obj₁
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
goal: κ.densityProcess ν n a x s ≤ 1
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
goal: (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ ENNReal.ofReal 1 * (ν a) (countablePartitionSet n x)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
goal: (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
context: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π)
goal: (o.oangle x (r • x + y)).sign = (o.oangle x y).sign
context: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), o.oangle x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ o.oangle x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
goal: (o.oangle x (r • x + y)).sign = (o.oangle x y).sign
context: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), o.oangle x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ o.oangle x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun z => o.oangle z.1 z.2) s
goal: (o.oangle x (r • x + y)).sign = (o.oangle x y).sign
context: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), o.oangle x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ o.oangle x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun z => o.oangle z.1 z.2) s
hs : ∀ z ∈ s, o.oangle z.1 z.2 ≠ 0 ∧ o.oangle z.1 z.2 ≠ ↑π
goal: (o.oangle x (r • x + y)).sign = (o.oangle x y).sign
context: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), o.oangle x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ o.oangle x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun z => o.oangle z.1 z.2) s
hs : ∀ z ∈ s, o.oangle z.1 z.2 ≠ 0 ∧ o.oangle z.1 z.2 ≠ ↑π
hx : (x, y) ∈ s
goal: (o.oangle x (r • x + y)).sign = (o.oangle x y).sign
context: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), o.oangle x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ o.oangle x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun z => o.oangle z.1 z.2) s
hs : ∀ z ∈ s, o.oangle z.1 z.2 ≠ 0 ∧ o.oangle z.1 z.2 ≠ ↑π
hx : (x, y) ∈ s
hy : (x, r • x + y) ∈ s
goal: (o.oangle x (r • x + y)).sign = (o.oangle x y).sign
context: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i : Fin l.length
goal: (l.get? ↑i).isSome = true
context: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i : Fin l.length
goal: l.get i = (l.get? ↑i).get ⋯
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
ht : IsUpperSet t
goal: s ⊆ t ∨ t ⊆ s
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
ht : IsUpperSet t
h : ¬s ⊆ t ∧ ¬t ⊆ s
goal: False
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
ht : IsUpperSet t
a : α
has : a ∈ s
hat : a ∉ t
b : α
hbt : b ∈ t
hbs : b ∉ s
goal: False
context: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
i j : n
goal: 1 i j = Pi.single i 1 j
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
t : Set β
f : α → β
H : ∀ (i : ι), SurjOn f (s i) t
Hinj : InjOn f (⋃ i, s i)
y : β
hy : y ∈ t
goal: y ∈ f '' ⋂ i, s i
context: x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx : 1 < x
hz : z < 0
goal: x ^ z < 1
context: x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx : 1 < x
hz : z < 0
goal: 1 = x ^ 0
context: o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
goal: nim o ‖ 0
context: o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
goal: ∃ j, (mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).moveRight j ≤ 0
context: s t : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
goal: ∫ (x : ℝ) in 0 ..a, ↑x ^ (s - 1) * (↑a - ↑x) ^ (t - 1) = ↑a ^ (s + t - 1) * s.betaIntegral t
context: s t : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
ha' : ↑a ≠ 0
goal: ∫ (x : ℝ) in 0 ..a, ↑x ^ (s - 1) * (↑a - ↑x) ^ (t - 1) = ↑a ^ (s + t - 1) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (s - 1) * (1 - ↑x) ^ (t - 1)
context: s t : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
ha' : ↑a ≠ 0
A : ↑a ^ (s + t - 1) = ↑a * (↑a ^ (s - 1) * ↑a ^ (t - 1))
goal: ∫ (x : ℝ) in 0 ..a, ↑x ^ (s - 1) * (↑a - ↑x) ^ (t - 1) = ↑a ^ (s + t - 1) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (s - 1) * (1 - ↑x) ^ (t - 1)
context: s t : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
ha' : ↑a ≠ 0
A : ↑a ^ (s + t - 1) = ↑a * (↑a ^ (s - 1) * ↑a ^ (t - 1))
goal: ∫ (x : ℝ) in 0 ..a, ↑x ^ (s - 1) * (↑a - ↑x) ^ (t - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..a, ↑a ^ (s - 1) * ↑a ^ (t - 1) * (↑(x / a) ^ (s - 1) * (1 - ↑(x / a)) ^ (t - 1))
context: s t : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
ha' : ↑a ≠ 0
A : ↑a ^ (s + t - 1) = ↑a * (↑a ^ (s - 1) * ↑a ^ (t - 1))
goal: ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 a, ↑x ^ (s - 1) * (↑a - ↑x) ^ (t - 1) ∂volume = ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 a, ↑a ^ (s - 1) * ↑a ^ (t - 1) * (↑(x / a) ^ (s - 1) * (1 - ↑(x / a)) ^ (t - 1)) ∂volume
context: s t : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
ha' : ↑a ≠ 0
A : ↑a ^ (s + t - 1) = ↑a * (↑a ^ (s - 1) * ↑a ^ (t - 1))
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc 0 a
goal: ↑x ^ (s - 1) * (↑a - ↑x) ^ (t - 1) = ↑a ^ (s - 1) * ↑a ^ (t - 1) * (↑(x / a) ^ (s - 1) * (1 - ↑(x / a)) ^ (t - 1))
context: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
hε : 0 < ε
goal: ⊥.IsUniform G ε
context: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
hε : 0 < ε
goal: 0 ≤ ↑(A.card * (A.card - 1)) * ε
context: E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
i : ι
goal: (b.repr (fract b m)) i = Int.fract ((b.repr m) i)
context: M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Semigroup P
f : M →ₙ* P
g : N →ₙ* P
comm : ∀ (m : M) (n : N), Commute (f m) (g n)
mn mn' : M × N
goal: (fun mn => f mn.1 * g mn.2) (mn * mn') = (fun mn => f mn.1 * g mn.2) mn * (fun mn => f mn.1 * g mn.2) mn'
context: C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
goal: inverse W D ⋙ functor W D = 𝟭 (W.FunctorsInverting D)
context: X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
goal: ∀ t ∈ 𝓝 x, ∃ r ∈ 𝓝 x, IsCompact r ∧ r ⊆ t
context: σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
A : Finset σ
h : A ∈ powersetCard k univ
goal: ∑ j ∈ A, MvPolynomial.NewtonIdentities.weight σ R k (A, j) = ↑k * (-1) ^ k * ∏ i ∈ A, X i
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
id : IsDomain R
iic : IsIntegrallyClosed R
K : Type u_3
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : Algebra R K
ifr : IsFractionRing R K
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a b : R
goal: a ^ n ∣ b ^ n ↔ a ∣ b
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
id : IsDomain R
iic : IsIntegrallyClosed R
K✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommRing K✝
inst✝ : Algebra R K✝
ifr : IsFractionRing R K✝
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a b : R
x✝ : a ^ n ∣ b ^ n
x : R
hx : b ^ n = a ^ n * x
ha : ¬a = 0
K : Type u_1 := FractionRing R
goal: a ∣ b
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
id : IsDomain R
iic : IsIntegrallyClosed R
K✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommRing K✝
inst✝ : Algebra R K✝
ifr : IsFractionRing R K✝
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a b : R
x✝ : a ^ n ∣ b ^ n
x : R
hx : b ^ n = a ^ n * x
K : Type u_1 := FractionRing R
ha : (algebraMap R K) a ≠ 0
y : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
goal: a ∣ b
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
id : IsDomain R
iic : IsIntegrallyClosed R
K✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommRing K✝
inst✝ : Algebra R K✝
ifr : IsFractionRing R K✝
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a b : R
x✝ : a ^ n ∣ b ^ n
x : R
hx : b ^ n = a ^ n * x
K : Type u_1 := FractionRing R
ha : (algebraMap R K) a ≠ 0
y : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
hy : IsIntegral R y
goal: a ∣ b
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
id : IsDomain R
iic : IsIntegrallyClosed R
K✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommRing K✝
inst✝ : Algebra R K✝
ifr : IsFractionRing R K✝
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a b : R
x✝ : a ^ n ∣ b ^ n
x : R
hx : b ^ n = a ^ n * x
K : Type u_1 := FractionRing R
ha : (algebraMap R K) a ≠ 0
y : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
hy : IsIntegral R y
k : R
hk : (algebraMap R K) k = y
goal: a ∣ b
context: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
id : IsDomain R
iic : IsIntegrallyClosed R
K✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommRing K✝
inst✝ : Algebra R K✝
ifr : IsFractionRing R K✝
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a b : R
x✝ : a ^ n ∣ b ^ n
x : R
hx : b ^ n = a ^ n * x
K : Type u_1 := FractionRing R
ha : (algebraMap R K) a ≠ 0
y : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
hy : IsIntegral R y
k : R
hk : (algebraMap R K) k = y
goal: (algebraMap R K) b = (algebraMap R K) (a * k)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
goal: a * b ≤ a ↔ a * b ≤ a * 1
context: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
f : ι → S
goal: ∃ b, ∀ (i : ι), IsInteger R (↑b • f i)
context: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
f : ι → S
val✝ : Fintype ι
goal: ∃ b, ∀ (i : ι), IsInteger R (↑b • f i)
context: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
f : ι → S
val✝ : Fintype ι
b : ↥M
hb : ∀ i ∈ Finset.univ, IsInteger R (↑b • f i)
goal: ∃ b, ∀ (i : ι), IsInteger R (↑b • f i)
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (chartAt H x).source
hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source
goal: ContinuousWithinAt f univ x' ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' univ ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x') ↔ ContinuousAt f x' ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x')
context: α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
t : Set α := toMeasurable (μ.withDensity f) s
goal: ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ (μ.withDensity f) s
context: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
goal: ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).π ≫ (Iso.refl ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).pt).hom = ((𝟭 (Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap)).obj K).π
context: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
j : I.R
goal: colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ Sigma.desc (Multicofork.ofSigmaCofork I K).π ≫ 𝟙 K.pt = colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ K.π
context: R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
K L : CoalgebraCat R
goal: Coalgebra.comul = ↑(TensorProduct.tensorTensorTensorComm R ↑K.toModuleCat ↑K.toModuleCat ↑L.toModuleCat ↑L.toModuleCat) ∘ₗ TensorProduct.map Coalgebra.comul Coalgebra.comul
context: R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
K L : CoalgebraCat R
goal: ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj K ⊗ (comonEquivalence R).symm.inverse.obj L).comul = ↑(TensorProduct.tensorTensorTensorComm R ↑K.toModuleCat ↑K.toModuleCat ↑L.toModuleCat ↑L.toModuleCat) ∘ₗ TensorProduct.map Coalgebra.comul Coalgebra.comul
context: R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
K L : CoalgebraCat R
goal: (tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op K.toModuleCat, Opposite.op L.toModuleCat) (Opposite.op K.toModuleCat, Opposite.op L.toModuleCat)).unop ∘ₗ TensorProduct.map Coalgebra.comul Coalgebra.comul = ↑(TensorProduct.tensorTensorTensorComm R ↑K.toModuleCat ↑K.toModuleCat ↑L.toModuleCat ↑L.toModuleCat) ∘ₗ TensorProduct.map Coalgebra.comul Coalgebra.comul
context: α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
ι : Sort u_2
U : ι → Set α
Uo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
Uc : ⋃ i, U i = univ
b : (i : ι) → Set (Set ↑(U i))
hb : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (b i)
goal: IsTopologicalBasis (⋃ i, image Subtype.val '' b i)
context: x x₁ x₂ y y₁ y₂ : PGame
hx : x.Numeric
hx₁ : x₁.Numeric
hx₂ : x₂.Numeric
hy : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hp₁ : 0 < x₁
hp₂ : 0 < x₂
goal: 0 < x₁ * x₂
context: x x₁ x₂ y y₁ y₂ : PGame
hx : x.Numeric
hx₁ : x₁.Numeric
hx₂ : x₂.Numeric
hy : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hp₁ : 0 < x₁
hp₂ : 0 < x₂
goal: ⟦0⟧ < ⟦x₁ * x₂⟧
context: x x₁ x₂ y y₁ y₂ : PGame
hx : x.Numeric
hx₁ : x₁.Numeric
hx₂ : x₂.Numeric
hy : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hp₁ : 0 < x₁
hp₂ : 0 < x₂
this : P3 0 x₁ 0 x₂
goal: ⟦0⟧ < ⟦x₁ * x₂⟧
context: M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ
goal: (fun x => x * a) ⁻¹' closedBall b r = closedBall (b / a) r