ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
goal: [a] ∈ s.subchain ↔ a ∈ s
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
l : List α
goal: (map f (a :: l)).sublists = map (map f) (a :: l).sublists
context: 𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n✝ k n : ℕ
goal: (fslope^[k] p).coeff n = p.coeff (n + k)
context: Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
goal: ENNReal.ofReal (variance X μ) = evariance X μ
context: Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
goal: evariance X μ ≠ ⊤
context: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
hg : MellinConvergent g s
goal: MellinConvergent (fun t => f t - g t) s
context: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
hg : MellinConvergent g s
goal: mellin (fun t => f t - g t) s = mellin f s - mellin g s
context: A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
y : ↑(Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f))
goal: x • ↑y ∈ Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f)
context: A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
y : ↑(Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f))
z : ↑B
hz : (fun x => x • ↑(MonoidHom.range f)) z = ↑y
goal: x • ↑y ∈ Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f)
context: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : EquicontinuousWithinAt F S x₀
goal: EquicontinuousWithinAt F S x₀
context: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝 x₀ ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
goal: Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝 x₀ ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
context: ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝 x₀ ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
goal: Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) ((⨅ i, 𝓝 x₀) ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
context: n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
goal: p.succAbove i < p ↔ i.succ ≤ p
context: 𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
A : Set G
goal: (Measure.map (fun h => h * g) μ) A = μ A
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
goal: a < c → b < c → c ∉ [[a, b]]
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
goal: a < c → b < c → ¬(a ⊓ b ≤ c ∧ c ≤ a ⊔ b)
context: V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
hc : p.IsTrail
h : u ∈ p.support
goal: ((p.takeUntil u h).append (p.dropUntil u h)).IsTrail
context: C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y X
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W Y Y
f : Y ⟶ X
hf : W f
goal: (equiv W W.Q) ((mk W f).comp (mkInv f hf)) = (equiv W W.Q) (mk W (𝟙 Y))
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t p : Set α
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ x ∈ p
x : α
goal: x ∈ p.toFinset ↔ x ∈ s
context: ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
goal: HasSum (fun i => s.Gammaℝ * a i / ↑|r i| ^ s) (mellin F (s / 2))
context: ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs' : 0 < (s / 2).re
goal: HasSum (fun i => s.Gammaℝ * a i / ↑|r i| ^ s) (mellin F (s / 2))
context: ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs' : 0 < (s / 2).re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i ^ 2 = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
goal: HasSum (fun i => s.Gammaℝ * a i / ↑|r i| ^ s) (mellin F (s / 2))
context: ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
Q' : (i : ι) → QuadraticMap R (Nᵢ i) P
e : (i : ι) → (Q i).IsometryEquiv (Q' i)
x : (i : ι) → Mᵢ i
goal: (QuadraticMap.pi Q') ((↑(LinearEquiv.piCongrRight fun i => (e i).toLinearEquiv)).toFun x) = (QuadraticMap.pi Q) x
context: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center ≤ s.radius
h : ¬p' = p
goal: Wbtw ℝ p p' (s.secondInter p (p' -ᵥ p))
context: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center ≤ s.radius
h : ¬p' = p
he : p = s.secondInter p (p' -ᵥ p)
goal: False
context: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center ≤ s.radius
h : ¬p' = p
he : 0 = ⟪p -ᵥ p', p -ᵥ s.center⟫_ℝ
goal: False
context: F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Multiset ℤ
n : ℤ
goal: s.sum % n = (map (fun x => x % n) s).sum % n
context: X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
goal: x ∉ mulTSupport f ↔ f =ᶠ[𝓝 x] 1
context: K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
S : Set (Subfield K)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K
goal: x ∈ ↑(sSup S) ↔ x ∈ ⋃ s ∈ S, ↑s
context: n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
β : TypeVec.{u_2} (n + 1)
f g : α ⟹ β
h₀ : dropFun f = dropFun g
h₁ : lastFun f = lastFun g
goal: f = g
context: n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ⊥ = ⊤
goal: IsCyclotomicExtension {1} A B
context: K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH : ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))}, (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) → ∃ b, TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
goal: ∃ b, TrCfg (TM2.stepAux (stRun o q) v S) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal (stRun o q)) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
context: K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH : ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))}, (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) → ∃ b, TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
goal: ∃ b, TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
context: K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH : ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))}, (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) → ∃ b, TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
hgo : Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }
goal: ∃ b, TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
context: K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH : ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))}, (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) → ∃ b, TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
hgo : Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }
T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT' : ∀ (k_1 : K), ListBlank.map (proj k_1) T' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite ?m.379536 (S k) o) k_1)).reverse
hrun : TM1.stepAux (trStAct ?m.379535 o) ?m.379536 ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) = TM1.stepAux ?m.379535 (stVar ?m.379536 (S k) o) ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite ?m.379536 (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))
goal: ∃ b, TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
context: K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH : ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))}, (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) → ∃ b, TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
hgo : Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }
T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT' : ∀ (k_1 : K), ListBlank.map (proj k_1) T' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite ?m.379536 (S k) o) k_1)).reverse
hrun : TM1.stepAux (trStAct ?m.379535 o) ?m.379536 ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) = TM1.stepAux ?m.379535 (stVar ?m.379536 (S k) o) ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite ?m.379536 (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))
this : Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) } (TM1.stepAux (tr M (go k o q)) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))))
goal: ∃ b, TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
context: K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH : ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))}, (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) → ∃ b, TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
hgo : Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }
T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT' : ∀ (k_1 : K), ListBlank.map (proj k_1) T' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite v (S k) o) k_1)).reverse
hrun : TM1.stepAux (trStAct (goto fun x x => ret q) o) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) = TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o) ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))
this : Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) } (match match none with | some val => false | none => true with | true => TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o) ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) | false => TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)))))
c : TM1.Cfg Γ' Λ' σ
gc : TrCfg (TM2.stepAux q ?m.383145 (update S k (stWrite v (S k) o))) c
rc : Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) ?m.383145 (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) c
goal: ∃ b, TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
context: K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH : ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))}, (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) → ∃ b, TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
hgo : Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }
T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT' : ∀ (k_1 : K), ListBlank.map (proj k_1) T' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite v (S k) o) k_1)).reverse
hrun : TM1.stepAux (trStAct (goto fun x x => ret q) o) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) = TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o) ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))
this : Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) } (match match none with | some val => false | none => true with | true => TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o) ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) | false => TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)))))
c : TM1.Cfg Γ' Λ' σ
gc : TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) c
rc : Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) (stVar v (S k) o) (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) c
goal: ReflTransGen (fun a b => b ∈ TM1.step (tr M) a) (TM1.stepAux (tr M (ret q)) (stVar v (S k) o) (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) c
context: α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y z : (i : ι) → β i
goal: hammingDist x y ≤ hammingDist x z + hammingDist y z
context: α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y z : (i : ι) → β i
goal: hammingDist x y ≤ hammingDist x z + hammingDist z y
context: K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
v : M
hv : f.HasEigenvector μ v
n : ℕ
goal: (f ^ n) v = μ ^ n • v
context: α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c a : M
h : IsUnit a
y : M
goal: (fun x => x * a) (y * ↑h.unit⁻¹) = y
context: x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h0 : ¬x.gcd y = 0
goal: ↑(x.gcd y) ∣ z
context: z : ℤ
k : ℕ
x0 y0 : ℤ
left✝ : 0 < k
h2 : x0.gcd y0 = 1
h : PythagoreanTriple (x0 * ↑k) (y0 * ↑k) z
h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0
goal: ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)) ∣ z
context: z : ℤ
k : ℕ
x0 y0 : ℤ
left✝ : 0 < k
h2 : x0.gcd y0 = 1
h : PythagoreanTriple (x0 * ↑k) (y0 * ↑k) z
h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0
goal: ↑k ∣ z
context: z : ℤ
k : ℕ
x0 y0 : ℤ
left✝ : 0 < k
h2 : x0.gcd y0 = 1
h : PythagoreanTriple (x0 * ↑k) (y0 * ↑k) z
h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0
goal: ↑k ^ 2 ∣ ↑k ^ 2 * (x0 * x0 + y0 * y0)
context: α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : Sort u_1
f : α ≃ β
a : α
b : β
goal: (f.setValue a b) a = b
context: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
s : Finset ι
p : ι → V
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
goal: (affineCombination k s p) w = ∑ i ∈ s, w i • p i
context: α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.203972}
α : Type u
ι : Type v
A : ι → Set α
s : Set ι
goal: lift.{v, u} #↑(⋃ x ∈ s, A x) ≤ lift.{u, v} #↑s * ⨆ x, lift.{v, u} #↑(A ↑x)
context: α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.203972}
α : Type u
ι : Type v
A : ι → Set α
s : Set ι
goal: lift.{v, u} #↑(⋃ x, A ↑x) ≤ lift.{u, v} #↑s * ⨆ x, lift.{v, u} #↑(A ↑x)
context: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x y : 𝕜
goal: (fderiv 𝕜 f x) y = deriv f x * y
context: R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
goal: ↑n ≤ (X ^ n).trailingDegree
context: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
z : M
n : ℕ
goal: (φ x ^ n) ⁅y, z⁆ = ∑ ij ∈ antidiagonal n, n.choose ij.1 • ⁅((ad R L) x ^ ij.1) y, (φ x ^ ij.2) z⁆
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
p : Set β → Prop
goal: (∃ s ⊆ range f, p s) ↔ ∃ s, p (f '' s)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
p : Set β → Prop
goal: (∃ s ⊆ range f, p s) ↔ ∃ a ∈ 𝒫 range f, p a
context: n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq p
inst✝³ : DecidableEq q
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype n
A : Matrix n n R
goal: A ∈ so n R ↔ Aᵀ = -A
context: n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq p
inst✝³ : DecidableEq q
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype n
A : Matrix n n R
goal: IsSkewAdjoint 1 A ↔ Aᵀ = -A
context: C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.51683, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.51687, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.51691, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E✝ E'✝ : L.RightExtension F
Y : D
E E' : L.RightExtension F
φ : E ⟶ E'
G : StructuredArrow Y L
goal: φ.left.app Y ≫ E'.left.map G.hom ≫ E'.hom.app G.right = E.left.map G.hom ≫ E.hom.app G.right
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
goal: IsPullback b.inr 0 b.fst 0
context: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
goal: IsPullback 0 b.inr 0 b.fst
context: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
goal: mgf X μ 0 = 1
context: X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hf : S.Countable
hc : ∀ s ∈ S, IsLindelof s
goal: IsLindelof (⋃₀ S)
context: X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hf : S.Countable
hc : ∀ s ∈ S, IsLindelof s
goal: IsLindelof (⋃ i ∈ S, i)
context: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
goal: ((interpolate (s.erase i) v) r).degree < ↑(s.card - 1)
context: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
goal: ((interpolate (s.erase i) v) r).degree < ↑(s.erase i).card
context: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
h : EssFiniteType R T
goal: EssFiniteType S T
context: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
h : ∃ σ, ∀ (s : T), ∃ t ∈ adjoin R ↑σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ adjoin R ↑σ
goal: ∃ σ, ∀ (s : T), ∃ t ∈ adjoin S ↑σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ adjoin S ↑σ
context: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
goal: 0 ∈ U