ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε
N : ℕ
H : f (max n N) ≤ f n
goal: |f n| ≤ |f (max n N)|
context: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
goal: IsDetector G ↔ (coyoneda.obj (op G)).ReflectsIsomorphisms
context: R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : I ≤ ker f
goal: ker (Quotient.lift I f H) = map (Quotient.mk I) (ker f)
context: n✝ n p : ℕ
hp : Prime p
goal: p ∣ (n + 1)! ↔ p ≤ n + 1
context: n✝ n p : ℕ
hp : Prime p
goal: p ∣ n + 1 ∨ p ≤ n ↔ p ≤ n + 1
context: M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y : ↥S
goal: f.mk' x₂ y * f.toMap x₁ = f.mk' (x₁ * x₂) y
context: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
h : α ≃ᵢ β
s : Set β
goal: EMetric.diam (⇑h ⁻¹' s) = EMetric.diam s
context: C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.1672, u_1} C
P : Karoubi (Karoubi C)
goal: P.p.f ≫ P.p.f = P.p.f
context: C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.1672, u_1} C
X✝ Y✝ : Karoubi (Karoubi C)
f : X✝ ⟶ Y✝
goal: f.f.f = ((fun P => { X := P.X.X, p := P.p.f, idem := ⋯ }) X✝).p ≫ f.f.f ≫ ((fun P => { X := P.X.X, p := P.p.f, idem := ⋯ }) Y✝).p
context: R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
f : MvPolynomial σ (R ⧸ I)
goal: (Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) (eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) f) = f
context: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsIntegralClosure A R B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : R
h : optParam (IsIntegral R ((algebraMap R B) x)) ⋯
goal: (algebraMap A B) (mk' A ((algebraMap R B) x) h) = (algebraMap A B) ((algebraMap R A) x)
context: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
a n' : ℤ
γ : Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n' = q
goal: ((γ.leftUnshift n hn').leftShift a n' hn').v p q hpq = γ.v p q hpq
context: this : 1 ≤ 2 ^ System.Platform.numBits
goal: size = 2 ^ System.Platform.numBits
context: C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'
Δ'' : SimplexCategory
e : unop Δ' ⟶ Δ''
i : Δ'' ⟶ unop A.fst
inst✝¹ : Epi e
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = θ.unop ≫ A.e
goal: Sigma.ι (summand K Δ) A ≫ map K θ = Termwise.mapMono K i ≫ Sigma.ι (summand K Δ') (Splitting.IndexSet.mk e)
context: C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'
Δ'' : SimplexCategory
e : unop Δ' ⟶ Δ''
i : Δ'' ⟶ unop A.fst
inst✝¹ : Epi e
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = θ.unop ≫ A.e
goal: Termwise.mapMono K (image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫ Sigma.ι (summand K Δ') (A.pull θ) = Termwise.mapMono K i ≫ Sigma.ι (summand K Δ') (Splitting.IndexSet.mk e)
context: G✝ : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : Group G✝
inst✝² : Fintype G✝
x : G✝
n : ℕ
G : Type u_6
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
g : G
goal: g ^ H.index ∈ H
context: R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
hf : Injective ⇑f
goal: ((map f) p).vars = p.vars
context: K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
goal: IsIntegral R ((B.basis.repr (B.gen ^ n)) i)
context: K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q
hQ : ¬Q = 0
goal: IsIntegral R ((B.basis.repr (B.gen ^ n)) i)
context: K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q
hQ : ¬Q = 0
hlt : Q.natDegree < B.dim
goal: IsIntegral R ((B.basis.repr (B.gen ^ n)) i)
context: K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q
hQ : ¬Q = 0
hlt : Q.natDegree < B.dim
goal: IsIntegral R ((B.basis.repr (∑ i ∈ Finset.range B.dim, Q.coeff i • B.gen ^ i)) i)
context: K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q
hQ : ¬Q = 0
hlt : Q.natDegree < B.dim
goal: IsIntegral R (∑ k ∈ Finset.range B.dim, (B.basis.repr (Q.coeff k • B.gen ^ k)) i)
context: K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q
hQ : ¬Q = 0
hlt : Q.natDegree < B.dim
j : ℕ
hj : j ∈ Finset.range B.dim
goal: IsIntegral R ((B.basis.repr (Q.coeff j • B.gen ^ j)) i)
context: K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q
hQ : ¬Q = 0
hlt : Q.natDegree < B.dim
j : ℕ
hj : j < B.dim
goal: IsIntegral R ((B.basis.repr (Q.coeff j • B.gen ^ j)) i)
context: K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen
this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q
hQ : ¬Q = 0
hlt : Q.natDegree < B.dim
j : ℕ
hj : j < B.dim
goal: IsIntegral R (((algebraMap R S) (Q.coeff ↑⟨j, hj⟩) • B.basis.repr (B.basis ⟨j, hj⟩)) i)
context: α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
goal: normalizedFactors 1 = 0
context: ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
r : c.Rel i j
goal: C.dFrom i ≫ (C.xNextIso r).hom = C.d i j
context: T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T
goal: w ∈ g.reverse.language ↔ w.reverse ∈ g.language
context: T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T
hw : w.reverse ∈ g.language
goal: w ∈ g.reverse.language
context: T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T
hw : w.reverse ∈ g.reverse.reverse.language
goal: w ∈ g.reverse.language
context: T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T
hw : w.reverse ∈ g.reverse.reverse.language
goal: w.reverse.reverse ∈ g.reverse.language
context: M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
x : M
hx : x ∈ S
goal: x ∈ S.centralizer.centralizer
context: M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
x : M
hx : x ∈ S
goal: ∀ (m : M), (∀ m_1 ∈ S, m_1 * m = m * m_1) → m * x = x * m
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α
goal: (⨆ i, ⨆ j, f i j).compl = ⨆ i, ⨆ j, (f i j).compl
context: Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
L R : ListBlank Γ
goal: move Dir.right (mk' L R) = mk' (ListBlank.cons R.head L) R.tail
context: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : Ring T
inst✝ : Algebra R T
e : S ≃ₐ[R] T
x : S
goal: (norm R) (e x) = (norm R) x
context: u✝ v : ℤ
u : ℤˣ
goal: (↑u).natAbs * (↑u⁻¹).natAbs = 1
context: u✝ v : ℤ
u : ℤˣ
goal: (↑u⁻¹).natAbs * (↑u).natAbs = 1
context: G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ : G
goal: x✝ ∈ stabilizer G ↑s ↔ x✝ ∈ stabilizer G s
context: X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hf : HasCompactMulSupport f
hf₂ : HasCompactMulSupport f₂
hm : m 1 1 = 1
goal: HasCompactMulSupport fun x => m (f x) (f₂ x)
context: X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hf : f =ᶠ[coclosedCompact α] 1
hf₂ : f₂ =ᶠ[coclosedCompact α] 1
hm : m 1 1 = 1
goal: (fun x => m (f x) (f₂ x)) =ᶠ[coclosedCompact α] 1
context: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₁ p₂ : ι → P
b : P
goal: ∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂ i) = (s.weightedVSubOfPoint p₁ b) w - (s.weightedVSubOfPoint p₂ b) w
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
A B : C
inst✝¹ : IsConnected A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ : Aut A
a : ↑(F.obj A)
goal: F.map (autMap f σ).hom (F.map f a) = F.map f (F.map σ.hom a)
context: α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : IsCompact s
goal: ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ closure t
context: α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : IsCompact s
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
goal: ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε
context: α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t✝ s : Set α
hs : IsCompact s
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
t : Set α
htf : t.Finite
hst : s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε
goal: ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε
context: C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z X' Y' Z' : C
f : X ⟶ X'
g : Y ⟶ Y'
h : Z ⟶ Z'
goal: (f ⊗ g ⊗ h) ≫ (α_ X' Y' Z').inv = (α_ X Y Z).inv ≫ ((f ⊗ g) ⊗ h)
context: R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
goal: Submodule.IsPrincipal I
context: R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
goal: Submodule.IsPrincipal I
context: R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
goal: Submodule.IsPrincipal I
context: R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
goal: ∃ a, I = Submodule.span R {a}
context: R✝ : Type u_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
goal: I = span {p ^ Nat.find ex}
context: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C
X : Subobject B
goal: X.ofLE X ⋯ = 𝟙 (underlying.obj X)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
g : β → γ
f : α → β
hg : Measurable g
hf : Measurable f
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
goal: (map g (map f μ)) s = (map (g ∘ f) μ) s
context: V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
goal: ⋃ c, c.supp = Set.univ
context: V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
v : V
goal: (↑(G.connectedComponentMk v) ∈ Set.range fun c => c.supp) ∧ v ∈ ↑(G.connectedComponentMk v)
context: V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
v : V
goal: (∃ y, y.supp = ↑(G.connectedComponentMk v)) ∧ v ∈ G.connectedComponentMk v
context: G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup G
goal: stabilizer Gᵐᵒᵖ ↑s = s.op
context: G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup G
goal: ∀ (x : Gᵐᵒᵖ), (∀ (b : G), x • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s) ↔ x ∈ s.op
context: G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup G
goal: ∀ (x : Gᵐᵒᵖ), (∀ (b : G), b * unop x ∈ s ↔ b ∈ s) ↔ unop x ∈ s
context: G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Subgroup G
a : Gᵐᵒᵖ
h : ∀ (b : G), b * unop a ∈ s ↔ b ∈ s
goal: unop a ∈ s
context: n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)
goal: ↑↑(a + b) = if ↑(n + 1) ≤ ↑↑a + ↑↑b then cast a + cast b - ↑(n + 1) else cast a + cast b
context: a✝ b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n ≠ 0
a : ℕ
goal: a + 1 ≤ (a + 1) ^ n
context: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ
goal: ∫ (x : β), ↑f x ∂μ = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
context: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ
goal: ∫ (x : β), ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) x ∂μ = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x
context: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int✝ : Integrable (↑f) μ
hf_int : Integrable (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f)) μ
goal: ∫ (x : β), ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) x ∂μ = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x
context: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsTriangularizable R L M
z x y : L
goal: ((traceForm R L M) x) y = ((∑ χ ∈ ⋯.toFinset, traceForm R L ↥↑(weightSpaceOf M χ z)) x) y
context: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsTriangularizable R L M
z x y : L
hxy : ∀ (χ : R), MapsTo ⇑(φ x ∘ₗ φ y) ↑(weightSpaceOf M χ z) ↑(weightSpaceOf M χ z)
goal: ((traceForm R L M) x) y = ((∑ χ ∈ ⋯.toFinset, traceForm R L ↥↑(weightSpaceOf M χ z)) x) y
context: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsTriangularizable R L M
z x y : L
hxy : ∀ (χ : R), MapsTo ⇑(φ x ∘ₗ φ y) ↑(weightSpaceOf M χ z) ↑(weightSpaceOf M χ z)
hfin : {χ | ↑(weightSpaceOf M χ z) ≠ ⊥}.Finite
goal: ((traceForm R L M) x) y = ((∑ χ ∈ ⋯.toFinset, traceForm R L ↥↑(weightSpaceOf M χ z)) x) y
context: 𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
he : e ∈ maximalAtlas I M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
goal: ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x)