ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
v : E
i : ι
goal: ↑(b.repr v) i = ⟪(fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i, v⟫_𝕜
context: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
goal: CompactSpace X ↔ SeqCompactSpace X
context: K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x n : ℕ
ih : ↑x = mk K p (n, ↑x)
goal: R K p (n, ↑x) (n + 1, ↑x)
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ ys : List M
goal: [].prod * ys.prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) [] ys).prod * (drop ys.length []).prod * (drop [].length ys).prod
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ xs : List M
goal: xs.prod * [].prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs []).prod * (drop [].length xs).prod * (drop xs.length []).prod
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ : List M
x : M
xs : List M
y : M
ys : List M
goal: (x :: xs).prod * (y :: ys).prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) (x :: xs) (y :: ys)).prod * (drop (y :: ys).length (x :: xs)).prod * (drop (x :: xs).length (y :: ys)).prod
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ : List M
x : M
xs : List M
y : M
ys : List M
goal: x * xs.prod * (y * ys.prod) = x * y * (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys).prod * (drop ys.length xs).prod * (drop xs.length ys).prod
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ : List M
x : M
xs : List M
y : M
ys : List M
goal: x * (y * ((zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys).prod * (drop ys.length xs).prod * (drop xs.length ys).prod)) = x * y * (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys).prod * (drop ys.length xs).prod * (drop xs.length ys).prod
context: α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
goal: map (fun x => c + x) (Ioo a b) = Ioo (c + a) (c + b)
context: ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
f✝ : ι → α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
f : β → α
s : Finset β
h : ∀ x ∈ s, IsCompactElement (f x)
goal: IsCompactElement (s.sup f)
context: α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
goal: rtakeWhile p l = l ↔ ∀ (x : α), x ∈ l → p x = true
context: R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 2 ≠ 0
goal: 0 < W.preΨ₄.natDegree
context: α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
h : s.Finite
goal: range ⇑(Fintype.equivFin ↑↑h.toFinset).symm.asEmbedding = s
context: α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
goal: Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
context: α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
goal: Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
context: α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
goal: Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
context: α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
goal: Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
context: α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
goal: Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
context: α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
goal: Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
context: α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
goal: Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
context: α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
goal: HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
context: α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
goal: HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
context: α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, ‖x - x₀‖⁻¹ * ‖∫ (a : α), F x a ∂μ - ∫ (a : α), F x₀ a ∂μ - (∫ (a : α), F' a ∂μ) (x - x₀)‖ = ‖∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a - (F' a) (x - x₀)) ∂μ‖
goal: HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
context: α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, ‖x - x₀‖⁻¹ * ‖∫ (a : α), F x a ∂μ - ∫ (a : α), F x₀ a ∂μ - (∫ (a : α), F' a ∂μ) (x - x₀)‖ = ‖∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a - (F' a) (x - x₀)) ∂μ‖
goal: Tendsto (fun x => ∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a - (F' a) (x - x₀)) ∂μ) (𝓝 x₀) (𝓝 (∫ (a : α), ‖x₀ - x₀‖⁻¹ • (F x₀ a - F x₀ a - (F' a) (x₀ - x₀)) ∂μ))
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered C
inst✝¹ : HasCoproducts C
inst✝ : HasImages C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
hf : f ∈ s
goal: f ≤ sSup s
context: A : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : DivisionMonoid M
ψ : AddChar A M
a : A
goal: ψ (-a) = (ψ a)⁻¹
context: A : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : DivisionMonoid M
ψ : AddChar A M
a : A
goal: ψ (-a) * ψ a = 1
context: α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)
hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a
hb : IsSuccLimit b
goal: isSuccLimitRecOn b hs hl = hl b hb
context: M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap (x * ↑c) = f.toMap (y * ↑c)
goal: f.toMap (↑c * x) = f.toMap (↑c * y)
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
c : ℝ≥0∞
h₁ : c ≠ 0
h₂ : c ≠ ⊤
h : Integrable f (c • μ)
goal: Integrable f μ
context: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
goal: p.content = 0 ↔ p = 0
context: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
t : Finset ι
h : t.Nonempty
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
goal: ⨆ i ∈ t, ⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j = ⊤ ↔ (↑t).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤
context: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
t : Finset ι
h : t.Nonempty
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
goal: (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤
context: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤
goal: (∃ μ, ∑ i ∈ Finset.cons a t hat, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑(Finset.cons a t hat)).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤
context: k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
goal: card { φ // ¬ComplexEmbedding.IsReal φ } = 2 * NrComplexPlaces K
context: k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
w : InfinitePlace K
hw : w.IsComplex
goal: (Finset.filter (fun φ => mkComplex φ = ⟨w, hw⟩) Finset.univ).card = 2
context: p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
h : n ≠ 0
b : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex (ZMod p) (GaloisField p n) } (ZMod p) (GaloisField p n) := IsNoetherian.finsetBasis (ZMod p) (GaloisField p n)
goal: Fintype.card (GaloisField p n) = p ^ n
context: α : Sort u_2
β : Sort u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
f : (b : β) → P (e.symm b)
b : β
x : P (e.symm b)
goal: (Equiv.piCongrLeft' P e).symm (update f b x) = update ((Equiv.piCongrLeft' P e).symm f) (e.symm b) x
context: xl xr : Type u
x x' : PGame
goal: x.insertRight x' ≤ x
context: xl xr : Type u
x x' : PGame
goal: -x ≤ (-x).insertLeft (-x')
context: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hx : x ∈ nonunits S
hy : y ∈ nonunits S
hu : IsUnit (x + y)
goal: False
context: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hx : x ∈ nonunits S
hy : y ∈ nonunits S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
hxyz : (x + y) * z = 1
goal: False
context: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hx : x ∈ nonunits S
hy : y ∈ nonunits S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
hxyz : (x + y) * z = 1
this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P
goal: False
context: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hx : x ∈ nonunits S
hy : y ∈ nonunits S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
hxyz : (x + y) * z = 1
this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P
rx : R
sx : ↥P.primeCompl
hrx : mk' S rx sx = x
goal: False
context: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hx : x ∈ nonunits S
hy : y ∈ nonunits S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
hxyz : (x + y) * z = 1
this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P
rx : R
sx : ↥P.primeCompl
hrx : mk' S rx sx = x
ry : R
sy : ↥P.primeCompl
hry : mk' S ry sy = y
goal: False
context: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hx : x ∈ nonunits S
hy : y ∈ nonunits S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
hxyz : (x + y) * z = 1
this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P
rx : R
sx : ↥P.primeCompl
hrx : mk' S rx sx = x
ry : R
sy : ↥P.primeCompl
hry : mk' S ry sy = y
rz : R
sz : ↥P.primeCompl
hrz : mk' S rz sz = z
goal: False
context: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P
rx : R
sx : ↥P.primeCompl
hx : mk' S rx sx ∈ nonunits S
hrx : mk' S rx sx = x
ry : R
sy : ↥P.primeCompl
hy : mk' S ry sy ∈ nonunits S
hry : mk' S ry sy = y
rz : R
sz : ↥P.primeCompl
hxyz : mk' S ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz) (sx * sy * sz) = mk' S 1 ⟨1, ⋯⟩
hrz : mk' S rz sz = z
goal: False
context: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P
rx : R
sx : ↥P.primeCompl
hx : mk' S rx sx ∈ nonunits S
hrx : mk' S rx sx = x
ry : R
sy : ↥P.primeCompl
hy : mk' S ry sy ∈ nonunits S
hry : mk' S ry sy = y
rz : R
sz : ↥P.primeCompl
hxyz : mk' S ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz) (sx * sy * sz) = mk' S 1 ⟨1, ⋯⟩
hrz : mk' S rz sz = z
t : ↥P.primeCompl
ht : ↑t * (↑⟨1, ⋯⟩ * ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz)) = ↑t * (↑(sx * sy * sz) * 1)
goal: False
context: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P
rx : R
sx : ↥P.primeCompl
hx : mk' S rx sx ∈ nonunits S
hrx : mk' S rx sx = x
ry : R
sy : ↥P.primeCompl
hy : mk' S ry sy ∈ nonunits S
hry : mk' S ry sy = y
rz : R
sz : ↥P.primeCompl
hxyz : mk' S ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz) (sx * sy * sz) = mk' S 1 ⟨1, ⋯⟩
hrz : mk' S rz sz = z
t : ↥P.primeCompl
ht : ↑t * ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz) = ↑t * (↑sx * ↑sy * ↑sz)
goal: False
context: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P
rx : R
sx : ↥P.primeCompl
hx : mk' S rx sx ∈ nonunits S
hrx : mk' S rx sx = x
ry : R
sy : ↥P.primeCompl
hy : mk' S ry sy ∈ nonunits S
hry : mk' S ry sy = y
rz : R
sz : ↥P.primeCompl
hxyz : mk' S ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz) (sx * sy * sz) = mk' S 1 ⟨1, ⋯⟩
hrz : mk' S rz sz = z
t : ↥P.primeCompl
ht : ↑t * ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz) = ↑t * (↑sx * ↑sy * ↑sz)
goal: ↑t * ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz) ∈ P
context: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F F₁ F₂ : C ⥤ Type w
α : F₁ ⟶ F₂
t₁ t₂ : F₁.Elements
k : t₁ ⟶ t₂
goal: F₂.map (↑k) ((fun t => ⟨t.fst, α.app t.fst t.snd⟩) t₁).snd = ((fun t => ⟨t.fst, α.app t.fst t.snd⟩) t₂).snd
context: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
inst✝ : Monoid H
f : G →* H
hf : Injective ⇑f
goal: IsOfFinOrder (f x) ↔ IsOfFinOrder x
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
goal: Measurable (g ∘ f) ↔ Measurable f
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
H : Measurable (g ∘ f)
goal: Measurable f
context: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
H : Measurable (g ∘ f)
goal: Measurable ((rangeSplitting g ∘ rangeFactorization g) ∘ f)
context: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a : K
goal: D a⁻¹ = -a⁻¹ ^ 2 • D a
context: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
goal: HasCompactSupport (w D)
context: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
goal: IsCompact (closedBall 0 D)