ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
context: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : x ∈ (p.cycleOf x).support
hc : (p.cycleOf x).IsCycle
n : ℕ
hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length
hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)
m : ℕ
hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length
hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)
h : (p.cycleOf x ^ (n + 1)) x = (p.cycleOf x ^ (m + 1)) x
hn' : ¬orderOf (p.cycleOf x) ∣ n.succ
hm' : ¬orderOf (p.cycleOf x) ∣ m.succ
goal: n + 1 = m + 1
context: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : x ∈ (p.cycleOf x).support
hc : (p.cycleOf x).IsCycle
n : ℕ
hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length
hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)
m : ℕ
hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length
hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)
h : (p.cycleOf x ^ (n + 1)) x = (p.cycleOf x ^ (m + 1)) x
hn' : (p.cycleOf x ^ n.succ).support = (p.cycleOf x).support
hm' : (p.cycleOf x ^ m.succ).support = (p.cycleOf x).support
goal: n + 1 = m + 1
context: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : x ∈ (p.cycleOf x).support
hc : (p.cycleOf x).IsCycle
n : ℕ
hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length
hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)
m : ℕ
hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length
hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)
h : (p.cycleOf x ^ (n + 1)) x = (p.cycleOf x ^ (m + 1)) x
hn' : (p.cycleOf x ^ n.succ).support = (p.cycleOf x).support
hm' : (p.cycleOf x ^ m.succ).support = (p.cycleOf x).support
goal: p.cycleOf x ^ (n + 1) = p.cycleOf x ^ (m + 1)
context: u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
a✝ a' a₁ a₂ a₃ b✝ b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R✝
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
a b : R
goal: a - b = a + -b
context: C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
m₁ m₂ m₃ : A
X : C
goal: (shiftFunctorComm C m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫ (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app X) = (shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).hom.app X) ≫ (shiftFunctorComm C m₁ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₂).obj X)
context: C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
m₁ m₂ m₃ : A
X : C
goal: (((shiftFunctorComm C m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫ (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app X)) ≫ (shiftFunctorComm C m₁ m₃).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X)) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X) = (((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).hom.app X) ≫ (shiftFunctorComm C m₁ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₂).obj X)) ≫ (shiftFunctorComm C m₁ m₃).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X)) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X)
context: C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
m₁ m₂ m₃ : A
X : C
goal: (shiftFunctorComm C m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫ (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app X) ≫ (shiftFunctorComm C m₁ m₃).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X) = (shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).hom.app X) ≫ 𝟙 ((shiftFunctor C m₃).obj ((shiftFunctor C m₁).obj ((shiftFunctor C m₂).obj X))) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X)
context: C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
m₁ m₂ m₃ : A
X : C
goal: (shiftFunctorComm C m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫ (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app X) ≫ (shiftFunctorComm C m₁ m₃).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X) = (shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map (𝟙 ((shiftFunctor C m₂).obj ((shiftFunctor C m₁).obj X)))
context: C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
m₁ m₂ m₃ : A
X : C
goal: ((shiftFunctorAdd' C m₁ (m₂ + m₃) (m₁ + (m₂ + m₃)) ⋯).inv.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C (m₂ + m₃) m₁ (m₁ + (m₂ + m₃)) ⋯).hom.app X) ≫ (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd' C m₂ m₃ (m₂ + m₃) ⋯).hom.app X) ≫ ((shiftFunctorAdd' C m₃ m₁ (m₁ + m₃) ⋯).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X) ≫ (shiftFunctorAdd' C m₁ m₃ (m₁ + m₃) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C m₂).obj X)) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorAdd' C m₂ m₁ (m₁ + m₂) ⋯).inv.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C m₁ m₂ (m₁ + m₂) ⋯).hom.app X) = (shiftFunctorAdd' C m₂ m₃ (m₂ + m₃) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X)
context: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G
goal: orderOf x⁻¹ = orderOf x
context: α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : Preorder β
x✝¹ : (↑φ).Germ β
f : α → β
x✝ : (↑φ).Germ β
g : α → β
goal: Quot.mk Setoid.r f < Quot.mk Setoid.r g ↔ LiftRel (fun x x_1 => x < x_1) (Quot.mk Setoid.r f) (Quot.mk Setoid.r g)
context: R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
goal: (C a * X).leadingCoeff = a
context: α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α →₀ M
g : α → M → β →₀ N
goal: (f.sum g).support ⊆ f.support.biUnion fun a => (g a (f a)).support
context: α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α →₀ M
g : α → M → β →₀ N
this : ∀ (c : β), (f.sum fun a b => (g a b) c) ≠ 0 → ∃ a, f a ≠ 0 ∧ ¬(g a (f a)) c = 0
goal: (f.sum g).support ⊆ f.support.biUnion fun a => (g a (f a)).support
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
goal: min a b = ⊥ ↔ a = ⊥ ∨ b = ⊥
context: x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x y : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < x ^ y
goal: y * log x = log (x ^ y)
context: C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : CategoryWithHomology C
inst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
X Y : HomotopyCategory C c
f : X ⟶ Y
goal: quasiIso C c f ↔ ∀ (n : ι), IsIso ((homologyFunctor C c n).map f)
context: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f
goal: 0 < f.natDegree
context: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f
i : ℕ
hi : i < f.natDegree
goal: 0 < f.natDegree
context: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
goal: ↑e 0 = 0
context: α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
H : l.Nodup
i : Fin l.length
goal: indexOf (l.get i) l = ↑i
context: R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
h : μ s ≠ ⊤
t : Set α
ht : MeasurableSet t
goal: (μ.restrict (toMeasurable μ s)) t = (μ.restrict s) t
context: ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
goal: volume (frontier s) = 0
context: ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ frontier s
goal: x ∈ {x | (fun x => Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((closure s).indicator 1 x))) x}ᶜ
context: α : Type u_1
β : Type u_2
m : Multiset α
z : Sym2 α
xs : List α
goal: z ∈ Multiset.sym2 ⟦xs⟧ ↔ ∀ y ∈ z, y ∈ ⟦xs⟧
context: C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i✝ j k : ι
φ : K ⟶ L
i : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : Epi (φ.f i)
hi : ∀ (j : ι), ¬c.Rel i j
goal: ¬c.Rel i (c.next i)
context: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
f : Matrix ι ι R
goal: LinearMap.det ((toLin b b) f) = f.det
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasPullbacks C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
inst✝¹ : Mono h
inst✝ : Mono g
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsLimit (PullbackCone.mk f g comm)
goal: ∀ (p : Subobject Y), (map g).obj ((pullback f).obj p) = (pullback k).obj ((map h).obj p)
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasPullbacks C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
inst✝¹ : Mono h
inst✝ : Mono g
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsLimit (PullbackCone.mk f g comm)
a : MonoOver Y
goal: (map g).obj ((pullback f).obj (Quotient.mk'' a)) = (pullback k).obj ((map h).obj (Quotient.mk'' a))
context: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasPullbacks C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
inst✝¹ : Mono h
inst✝ : Mono g
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsLimit (PullbackCone.mk f g comm)
a : MonoOver Y
goal: (MonoOver.map g).obj ((MonoOver.pullback f).obj a) ≈ (MonoOver.pullback k).obj ((MonoOver.map h).obj a)
context: m n : Nat
h : m < n
goal: (range n)[m]? = some m
context: ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝ : CommSemiring R
s : Finset α
goal: ↑s.card = ∑ a ∈ s, 1
context: a b : ℕ
h : a ∣ b
goal: φ a ∣ φ b
context: a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
goal: φ a ∣ φ b
context: a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
goal: φ a ∣ φ b
context: a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
hab' : a.primeFactors ⊆ b.primeFactors
goal: φ a ∣ φ b
context: a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
hab' : a.primeFactors ⊆ b.primeFactors
goal: (a.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)) ∣ b.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)
context: a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
hab' : a.primeFactors ⊆ b.primeFactors
p : ℕ
x✝ : p ∈ a.factorization.support
goal: p ^ (a.factorization p - 1) ∣ p ^ (b.factorization p - 1)
context: α β : Type u
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
goal: sum (f + g) = sum f + sum g
context: α β : Type u
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
this : #((i : ι) × ((Quotient.out ∘ f) i ⊕ (Quotient.out ∘ g) i)) = #((i : ι) × (Quotient.out ∘ f) i ⊕ (i : ι) × (Quotient.out ∘ g) i)
goal: sum (f + g) = sum f + sum g
context: ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
s t : Set α
l : Filter α
hl : l ∈ (Iic ∘ 𝓟) s ∩ (Iic ∘ 𝓟) t
goal: ∃ t₃ ∈ range (Iic ∘ 𝓟), l ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ (Iic ∘ 𝓟) s ∩ (Iic ∘ 𝓟) t
context: x✝ y : ℂ
x : ℝ
goal: (tan ↑x).im = 0
context: K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
L : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField L
W : Type v
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module L W
inst✝ : FiniteDimensional L W
t : Finset W
h : finrank L W + 1 < t.card
goal: ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, 0 < f x
context: K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
L : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField L
W : Type v
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module L W
inst✝ : FiniteDimensional L W
t : Finset W
h : finrank L W + 1 < t.card
f : W → L
sum : ∑ e ∈ t, f e • e = 0
total : ∑ e ∈ t, f e = 0
nonzero : ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
goal: ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, 0 < f x
context: α : Type u_1
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
n✝ n : ℕ
goal: Disjoint (box (n + 1)) (Icc (-↑n) ↑n)
context: α : Type u_1
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
n✝ n : ℕ
goal: Disjoint (Icc (-↑n.succ) ↑n.succ \ Icc (-↑n) ↑n) (Icc (-↑n) ↑n)
context: p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : ¬p ∣ Nat.card α
this : Finite α
goal: Nonempty ↑(fixedPoints G α)
context: p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : ¬p ∣ Nat.card α
this : Finite α
goal: Nat.card ↑(fixedPoints G α) ≠ 0
context: p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ this : Finite α
hpα : Nat.card ↑(fixedPoints G α) = 0
goal: p ∣ Nat.card α
context: p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ this : Finite α
hpα : Nat.card ↑(fixedPoints G α) = 0
goal: Nat.card α ≡ Nat.card ↑(fixedPoints G α) [MOD p]
context: α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
goal: m.IsCaratheodory s₁ → m.IsCaratheodory s₁ᶜ
context: ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M'✝ : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
a b : R
x y : M
R' : Type u_8
M' : Type u_9
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M'
hi : Surjective ⇑i
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
goal: LinearIndependent R' (⇑j ∘ v)
context: ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M'✝ : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
a b : R
x y : M
R' : Type u_8
M' : Type u_9
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M'
hi : Surjective ⇑i
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : Function.RightInverse i' ⇑i
goal: LinearIndependent R' (⇑j ∘ v)
context: C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : D
f : X ⟶ Y
goal: f ≫ inv ((reflectorAdjunction i).counit.app Y) = inv ((reflectorAdjunction i).counit.app X) ≫ (reflector i).map (i.map f)
context: C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : D
f : X ⟶ Y
goal: (reflectorAdjunction i).counit.app X ≫ f = (reflector i).map (i.map f) ≫ (reflectorAdjunction i).counit.app Y
context: C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : i.EssImageSubcategory
f : X ⟶ Y
goal: ((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom = (equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f
context: C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : i.EssImageSubcategory
f : X ⟶ Y
goal: i.essImageInclusion.map (((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom) = i.essImageInclusion.map ((equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f)
context: C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : i.EssImageSubcategory
f : X ⟶ Y
h : (reflectorAdjunction i).unit.app X.obj ≫ (reflector i ⋙ i).map f = (𝟭 C).map f ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app Y.obj
goal: i.essImageInclusion.map (((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom) = i.essImageInclusion.map ((equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f)
context: C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : i.EssImageSubcategory
f : X ⟶ Y
h : (reflectorAdjunction i).unit.app X.obj ≫ (reflector i ⋙ i).map f = f ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app Y.obj
goal: i.essImageInclusion.map (((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom) = i.essImageInclusion.map ((equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f)
context: C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : D
goal: i.toEssImage.map ((NatIso.ofComponents (fun X => (asIso ((reflectorAdjunction i).counit.app X)).symm) ⋯).hom.app X) ≫ (NatIso.ofComponents equivEssImageOfReflective_counitIso_app ⋯).hom.app (i.toEssImage.obj X) = 𝟙 (i.toEssImage.obj X)
context: C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : D
goal: i.essImageInclusion.map (i.toEssImage.map ((NatIso.ofComponents (fun X => (asIso ((reflectorAdjunction i).counit.app X)).symm) ⋯).hom.app X) ≫ (NatIso.ofComponents equivEssImageOfReflective_counitIso_app ⋯).hom.app (i.toEssImage.obj X)) = i.essImageInclusion.map (𝟙 (i.toEssImage.obj X))
context: J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
g1 g2 : X ⟶ widePullback B objs arrows
h1 : ∀ (j : J), g1 ≫ π arrows j = g2 ≫ π arrows j
h2 : g1 ≫ base arrows = g2 ≫ base arrows
goal: g1 = g2
context: K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
goal: weightSpaceOf M (χ x) x ≠ ⊥
context: K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
this : ⨅ x, weightSpaceOf M (χ x) x ≠ ⊥
goal: weightSpaceOf M (χ x) x ≠ ⊥
context: K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
this : weightSpaceOf M (χ x) x = ⊥
goal: ⨅ x, weightSpaceOf M (χ x) x = ⊥
context: K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
this : weightSpaceOf M (χ x) x = ⊥
goal: ⨅ x, weightSpaceOf M (χ x) x ≤ ⊥
context: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
b : β
x : α
goal: x ∈ ⇑e ⁻¹' Iio b ↔ x ∈ Iio (e.symm b)
context: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x : V
hx : x ≠ 0
goal: ∃ f, f x = 1
context: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x : V
hx : x ≠ 0
f : V →L[R] R
hf : f x ≠ 0
goal: ∃ f, f x = 1
context: α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
goal: M.Basis I I ↔ M.Indep I
context: α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
goal: M.Indep I → (∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ I → I = J) ∧ I ⊆ M.E
context: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
f : Filter α
H : ∀ {q : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in f, q x) → ∃ x, p x ∧ q x
hp : ∀ᶠ (x : α) in f, ¬(fun x => p x) x
goal: False
context: ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e e' : Pretrivialization F proj
goal: (e.symm.trans e'.toPartialEquiv).target = (e.baseSet ∩ e'.baseSet) ×ˢ univ
context: p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
goal: wittStructureRat p Φ n = C (1 / ↑p ^ n) * ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i))
context: p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
goal: wittStructureRat p Φ n = C (1 / ↑p ^ n) * (wittStructureRat p Φ n * C (↑p ^ n))
context: p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
goal: ↑p ^ n ≠ 0
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
hl₁ : ∀ x ∈ a :: b :: l, 1 < x
x✝ : a :: b :: l ≠ []
goal: 1 < (a :: b :: l).prod
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a
goal: 1 < (a :: b :: l).prod
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a
goal: 1 < a * (b :: l).prod
context: ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a
goal: 1 ≤ (b :: l).prod
context: α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
U V : Set (α × α)
hU : SymmetricRel U
hV : SymmetricRel V
goal: SymmetricRel (U ∩ V)
context: a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a ∣ m
bn : b ∣ n
goal: a = (a * b).gcd m
context: a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a.gcd m = a
bn : b ∣ n
goal: a.gcd m = (a * b).gcd m
context: a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a.gcd m = a
bn : b ∣ n
goal: (a * b).gcd m = a.gcd m
context: a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a.gcd m = a
bn : b ∣ n
goal: b.Coprime m