ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝³ : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝² : HasInitial C
inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F
this : HasCoproduct X
hi : ∀ (b : ∏ᶜ fun b => F.obj (op (X b))), ∃! a, (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b
b : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X
a✝ : Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj b = Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj b
t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
ht₁ : (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) t = b
ht₂ : ∀ (y : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))), (fun a => (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b) y → y = t
y : F.obj (op c.pt)
hy : (fun x => Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj x = b) y
⊢ F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom y = F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv t)
X : Type w
TopologicalSpace X
Y : Type u_1
t : TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : ∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)
⊢ Continuous f
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
x : ↑X
V : Opens ↑X
hV : x ∈ V
⊢ ((pullback C f).obj F).germ ⟨x, hV⟩ ≫ stalkPullbackInv C f F x = germToPullbackStalk C f F V ⟨x, hV⟩
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L M₂
LieModule R L M₂
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ LieSubmodule.map f ⁅I, N⁆ = ⁅I, LieSubmodule.map f N⁆
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
a b c : α
hab : G.Adj a b
hac : G.Adj a c
hbc : G.Adj b c
⊢ bipartiteBelow (fun e s => e ∈ s.sym2) G.edgeFinset {a, b, c} ⊆ {s(a, b), s(a, c), s(b, c)}
α : Type u
inst✝ : EMetricSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed {t | ↑t ⊆ s}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : DenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map f (comap g (𝓝 d)) ≤ comap i (map h (𝓝 d))
lim2 : comap i (map h (𝓝 d)) ≤ 𝓝 a
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)
α : Type u_1
R : α → α → Prop
Semiring α
a b : α
⊢ R a 0 → b = 0 → a * b = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ variationOnFromTo f s a b = 0 ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s ∩ uIcc a b → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ uIcc a b → edist (f x) (f y) = 0
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
Λ : Type u_2
Inhabited Λ
σ : Type u_3
Inhabited σ
M : Λ → Turing.TM1.Stmt Γ Λ σ
l : List Γ
⊢ Turing.TM0.eval (Turing.TM1to0.tr M) l = Turing.TM1.eval M l
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : (of R M) m ∈ span R ↑(Submonoid.map (of R M) (closure S))
⊢ m ∈ closure S
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
⊢ Nonempty (G ≃g turanGraph (Fintype.card V) r)
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s₁ s₂ t : Finset α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ - t ⊆ s₂ - t
a b : ℕ+
⊢ a - b ≤ a
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
r : R
⊢ (algebraMap R (A × B)) r = ((algebraMap R A) r, (algebraMap R B) r)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
b : α
hs : s.Nonempty
hb : sInf s < b
⊢ ∃ a ∈ s, a < b
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
a b : ℤ
T : Triangle C
⊢ ((a + b).negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C (a + b)).map T.mor₂) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app T.obj₃ = (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app T.obj₂ ≫ (b.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C b).map (a.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C a).map T.mor₂))
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
x y : G
s : Set α
hs : Subgroup.zpowers x ≤ MulAction.aestabilizer G μ s
hy : y ∈ Subgroup.zpowers x
⊢ y • s =ᶠ[ae μ] s
α : Type u_1
AddCommMonoid α
S : Multiset (Multiset α)
⊢ S.join.sum = (Multiset.map Multiset.sum S).sum
X : Type u
MetricSpace X
CompactSpace X
Nonempty X
p : TopologicalSpace.NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤)
⊢ ⟦p⟧ = GromovHausdorff.toGHSpace X ↔ ∃ Ψ, Isometry Ψ ∧ Set.range Ψ = ↑p
α : Type u_1
CommMonoid α
f : Associates α →* α
hinv : Function.RightInverse (⇑f) Associates.mk
a : α
⊢ a ~ᵤ f (Associates.mk a)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
WeaklyLocallyCompactSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K
⊢ ∃ K', IsCompact K' ∧ K ⊆ interior K'
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
j : ι
⊢ (update i f b) j = (single i b + erase i f) j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
A : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), AEMeasurable.mk f hf a ∂μ
B : ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), r * AEMeasurable.mk f hf a ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ Function.RightInverse AddSubgroup.ofAddUnits AddSubmonoid.addUnits
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : μ'.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : μ s ≠ ⊤
h's : μ' s ≠ ⊤
c : ℝ≥0 := μ'.haarScalarFactor μ
B : ∀ (s : Set G), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → μ' s < ⊤ → μ' s = (c • μ) s
t : Set G := toMeasurable μ' s ∩ toMeasurable μ s
st : s ⊆ t
mu'_t : μ' t = μ' s
mu_t : μ t = μ s
⊢ μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
Ring B
Algebra R B
FunLike F A B
AlgHomClass F R A B
φ : F
a : A
⊢ spectrum R (φ a) ⊆ spectrum R a
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
DiscreteTopology X
hf : Filter.Tendsto f (Filter.cocompact X) (Filter.cocompact Y)
⊢ Filter.Tendsto f Filter.cofinite (Filter.cocompact Y)
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
f : β → α
S : Finset β
⊢ S.inf f = ⊤ ↔ ∀ s ∈ S, f s = ⊤
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
this : Tendsto (fun ε => ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑0 * μ s))
⊢ μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
C : ℝ
C_pos : 0 < C
below_bound : ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
⊢ ∀ (x : V), ‖x‖ ≤ ↑C⁻¹.toNNReal * ‖(continuousLinearMapOfBilin B) x‖
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
a : (↥A)ˣ
⊢ A.valuation ↑↑a = 1
G : Type u_1
AddCommMonoid G
A : Set (G × G)
hA : A.Subsingleton
⊢ IsCornerFree A
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hxy : s.SOppSide x y
hyz : s.SSameSide y z
⊢ s.SOppSide x z
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : s ≤ᵐ[μ] f ⁻¹' s
h_fin : μ s ≠ ⊤
⊢ s =ᵐ[μ] ∅ ∨ s =ᵐ[μ] Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
h : Inducing f
⊢ Inducing (s.restrictPreimage f)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
fd_ne_zero : (algebraMap R (FractionRing R)) ↑(↑I).den ≠ 0
⊢ ↑(I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) (Units.mk0 ((algebraMap R (FractionRing R)) ↑(↑I).den) fd_ne_zero)) = ↑((FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) ⟨integralRep ↑I, ⋯⟩)
α : Type u_1
X : Type u_5
Y : Type u_6
Zero α
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
MeasurableSpace X
MeasurableSpace Y
OpensMeasurableSpace X
OpensMeasurableSpace Y
TopologicalSpace α
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ ∀ (i : ι), f i ≠ mex f
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
⊢ o.card < ↑n ↔ o < ↑n
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
t : Set X
t_in : t ∈ 𝓝 x₀
ht : {i | ((fun i => support ⇑(ρ i)) i ∩ t).Nonempty}.Finite
i : ι
hi : i ∈ {i | x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)}
⊢ i ∈ {i | ((fun i => support ⇑(ρ i)) i ∩ t).Nonempty}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => -f y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
α : Type u
SemilatticeInf α
a b c d : α
⊢ a ⊓ b ⊓ (c ⊓ d) = a ⊓ c ⊓ (b ⊓ d)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g b' = b
⊢ IsInteger R (a • b)
M : Type u_1
E : Type u_2
Monoid M
AddGroup E
DistribMulAction M E
Bornology M
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set E
h₁ : Absorbs M s₁ t₁
h₂ : Absorbs M s₂ t₂
⊢ Absorbs M (s₁ - s₂) (t₁ - t₂)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
k : S.X₂ ⟶ A
x : S.X₃ ⟶ A
hx : k = S.g ≫ x
⊢ (S.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι) ≫ S.descOpcycles k ⋯ = 0
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < 0 → Ordinal.{max u_4 u_5}
⊢ Ordinal.blsub 0 f = 0
α : Type u
MetricSpace α
TopologicalSpace.SeparableSpace α
⊢ Isometry (kuratowskiEmbedding α)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : 0 < ‖x - y‖
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
this : 0 < φ ‖x - y‖
⊢ 0 < a * b * φ ‖x - y‖
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
T : F →L[ℝ] F
hT : (↑T).IsSymmetric
x₀ : F
⊢ HasStrictFDerivAt T.reApplyInnerSelf (2 • (innerSL ℝ) (T x₀)) x₀
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ≥0
r : ℝ≥0
⊢ s.sup f * r = s.sup fun a => f a * r
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
ha : (∀ (o : Set Ordinal.{u}), IsOpen o → a ∈ o → (o ∩ s).Nonempty) ∧ ∀ (o : Set Ordinal.{u}), IsOpen o → a ∈ o → (o ∩ sᶜ).Nonempty
⊢ a.IsLimit
α : Type u_2
Add α
f g : Filter α
⊢ f.NeBot → g.NeBot → (f + g).NeBot
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a : α
⊢ supClosure {a} = {a}
n : Nat
x : BitVec n
⊢ (-x).toFin = Fin.ofNat' (2 ^ n - x.toNat) ⋯
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
PartialOrder M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : v.restrict i ≤ w.restrict i
hij : j ⊆ i
⊢ v.restrict j ≤ w.restrict j
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
h : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E' F
x✝ : (i : ι) → E i
⊢ ((↑(((liftIsometry 𝕜 E' F) h).comp (mapL f))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝ = ((↑((liftIsometry 𝕜 E F) (h.compContinuousLinearMap f))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
p : FractionalIdeal S P
s : Set P
hs : s = ↑p
⊢ p.copy s hs = p
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
⊢ TotallyBounded (closure s) ↔ TotallyBounded s
α : Type u_1
p : α → Prop
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ p x
⊢ Fintype.card { x // p x } = s.card
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
⊢ f.trans f.symm = PEquiv.refl α ↔ ∀ (a : α), (f a).isSome = true
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤
hT : T (∅ ∪ ∅) = T ∅ + T ∅
⊢ T ∅ = 0
α : Type u_1
I : Type ?u.59101
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
m n : ℕ
H : IsRelPrime x y
⊢ IsRelPrime x (∏ _x ∈ Finset.range n, y)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : N ≃+ P
x : M
y : P
⊢ (f.ofAddEquivOfLocalizations k).toMap x = y ↔ f.toMap x = k.symm y
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G F₁ F₂ : C ⥤ Type w
τ₁ : F ⟶ F₁
τ₂ : F ⟶ F₂
x✝² x✝¹ : C
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
a : F.obj x✝²
⊢ (F.map x✝ ≫ (fun x y => (τ₁.app x y, τ₂.app x y)) x✝¹) a = ((fun x y => (τ₁.app x y, τ₂.app x y)) x✝² ≫ (prod F₁ F₂).map x✝) a
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ
⊢ HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)
α : Type u_3
SemilatticeSup α
f : α →o α
⊢ (∀ (n₁ n₂ : ℕ) (a₁ a₂ : α), (⇑f)^[n₁ + n₂] (a₁ ⊔ a₂) ≤ (⇑f)^[n₁] a₁ ⊔ (⇑f)^[n₂] a₂) ↔
  ∀ (a₁ a₂ : α), f (a₁ ⊔ a₂) ≤ f a₁ ⊔ a₂
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → -x ∈ s
a : ℝ
ha : -1 ≤ a ∧ a ≤ 1
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ((1 - a) / 2) • -x + ((a - -1) / 2) • x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : t =ᶠ[ae μ] univ
⊢ s ∪ t =ᶠ[ae μ] univ
α : Sort u_1
β : α → Sort v
(a : α) → Inhabited (β a)
⊢ default = fun a => default
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s
⊢ sSup s = sSup ∅
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set Y
h : s ⊆ e.target
⊢ ↑e.symm '' s = e.source ∩ ↑e ⁻¹' s
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
⊢ 2 * √(z.im * w.im) ≠ 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ ((TensorProduct.uncurry R M N P) f) (m ⊗ₜ[R] n) = (f m) n
X : Type u_4
TopologicalSpace X
PreirreducibleSpace X
Nontrivial X
T2Space X
⊢ False
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a b c : X
γ₁ : Path a b
γ₂ : Path b c
⊢ range ⇑{ toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then γ₁.extend (2 * t) else γ₂.extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } ⊆ range ⇑γ₁ ∪ range ⇑γ₂
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
ι : Sort u_13
UniformSpace E
UniformAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
p' : ι → Prop
s : ι → Set E
p : Seminorm 𝕜 E
hb : (𝓝 0).HasBasis p' s
h₁ : ∃ r, p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
h₂ : ∀ (i : ι), p' i → ∃ r > 0, p.ball 0 r ⊆ s i
⊢ 𝓤 E = ⨅ r, ⨅ (_ : r > 0), 𝓟 {x | p (x.1 - x.2) < r}
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
⊢ P.energy G ≤ 1
a b : ℝ
h₁ : a ≠ 0
h₂ : b ≠ 0
c : ℝ
⊢ Real.logb (a * b) c = ((Real.logb a c)⁻¹ + (Real.logb b c)⁻¹)⁻¹
m n : ℕ
motive : (m : ℕ) → n ≤ m → Sort u_1
refl : motive n ⋯
le_succ_of_le : ⦃k : ℕ⦄ → (h : n ≤ k) → motive k h → motive (k + 1) ⋯
h1 : n ≤ m
h2 : n ≤ m + 1
⊢ Nat.leRec refl le_succ_of_le h2 = le_succ_of_le h1 (Nat.leRec refl le_succ_of_le h1)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ G.dist u v ≤ p.length
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C
⊢ (HomologicalComplex.singleObjCyclesSelfIso c j A).hom =
  ((HomologicalComplex.single C c j).obj A).iCycles j ≫ (HomologicalComplex.singleObjXSelf c j A).hom
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : (MvQPF.P F).W α
⊢ MvQPF.recF g x = g (MvQPF.abs (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: MvQPF.recF g) ((MvQPF.P F).wDest' x)))
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
hI' : ¬M.Base I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
x : α
hxB' : x ∈ B'
hx : x ∉ I
⊢ ∃ e ∈ B \ I, M.Indep (insert e I)
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
r : ℝ
hr : r ∈ Set.Ioo 0 f.rOut
⊢ (f.updateRIn r hr).rIn = r
α : Type u_1
as bs : Array α
start : Nat
⊢ Array.extract.loop as 0 start bs = bs
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
⊢ Odd (m * n) ↔ Odd m ∧ Odd n
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a b : E
⊢ midpoint k a b ≤ a ↔ b ≤ a
α : Type ua
UniformSpace α
s : Set α
U : Set (α × α)
hs : Dense s
hU : U ∈ 𝓤 α
⊢ ⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x U = Set.univ
x y z : ENNReal
h1 : y ≠ 0
h2 : y ≠ ⊤
⊢ x / y ≤ z ↔ x ≤ y * z
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
⊢ ((fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ≤ x_1) Subgroup.prod Subgroup.prod
R : Type u
a b : R
n : ℕ
Semiring R
⊢ Polynomial.C a * (Polynomial.monomial n) b = (Polynomial.monomial n) (a * b)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p x : ℝ
hx : 1 < x
hderiv : deriv (fun x => 1 - ε x) x = x⁻¹ / log x ^ 2
⊢ deriv (fun x => x ^ p) x * (1 - ε x) + x ^ p * deriv (fun x => 1 - ε x) x = p * x ^ (p - 1) * (1 - ε x) + x ^ p * (x⁻¹ / log x ^ 2)
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
U : ι → Set X := tᶜ
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
⊢ ∃ u, u.Countable ∧ s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
⊢ s1 < s2 ↔ s1 ≤ s2 ∧ ∃ p ∈ s2, p ∉ s1
n : ℕ
h : 0 < ↑n
x : ↑I
⊢ ∑ k : Fin (n + 1), (↑x - ↑(k/ₙ)) ^ 2 * (bernstein n ↑k) x = ↑x * (1 - ↑x) / ↑n
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x
⊢ ↑(f.symm ≫ₕ f') ∘ ↑f ∘ g =ᶠ[𝓝[s] x] ↑f' ∘ g
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖₊ ≤ c * ‖g a‖₊
α : Type u
as bs cs : List α
⊢ as ++ bs ++ cs = as ++ (bs ++ cs)
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
x : X
y : Y
⊢ 1 ≤ Metric.Sum.dist (Sum.inl x) (Sum.inr y)
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Injective ⇑f
p : R[X]
⊢ (map f p).coeff (map f p).natDegree = f (p.coeff p.natDegree)
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
x : α
⊢ ∃ i, Part.fix (⇑f) x ≤ Part.Fix.approx (⇑f) i x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.ExistsOneDivLT s i (Nat.find ⋯)
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
p : Sort u
f : M → ↥S → p
H : ∀ {a c : M} {b d : ↥S}, (r S) (a, b) (c, d) → f a b = f c d
a : M
b : ↥S
⊢ ((monoidOf S).mk' a b).liftOn f H = f a b
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ (a ∆ b)ᶜ = a ⇔ b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
RCLike 𝕜
Module 𝕜 E
IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs₀ : Balanced 𝕜 s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
x : E
⊢ (gaugeSeminorm hs₀ hs₁ hs₂) x = gauge s x