ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
DecidableEq m
Fintype m
M : Matrix m m R
p : m → Prop
DecidablePred p
⊢ M.det =
  (Matrix.fromBlocks (M.toBlock p p) (M.toBlock p fun j => ¬p j) (M.toBlock (fun j => ¬p j) p)
      (M.toBlock (fun j => ¬p j) fun j => ¬p j)).det
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
h : ∀ m ≤ n, ¬P m
h₁ : (find P).Dom
⊢ P (Nat.find h₁) → n < Nat.find h₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
⊢ J.toSheafify P ≫ (J.isoSheafify hP).inv = 𝟙 P
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddCommMonoid G
r : kᵐᵒᵖ
x : Gᵐᵒᵖ
⊢ AddMonoidAlgebra.opRingEquiv.symm (AddMonoidAlgebra.single x r) =
  MulOpposite.op (AddMonoidAlgebra.single x (MulOpposite.unop r))
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h : p.Monic
q : R[X]
⊢ p * q = 0 ↔ q = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
x✝ : x ∈ f.range
⊢ (T (↑f ⁻¹' {x})) x = (T' (↑f ⁻¹' {x})) x
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
⊢ (CategoryTheory.functorProdFunctorEquiv A B C).functor = CategoryTheory.prodFunctorToFunctorProd A B C
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
F_der_I : ∀ x ∈ Ioo 0 X, HasDerivAt (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) (-(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) x
cont : Continuous fun x => (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) x * ↑x ^ s
der_ible : IntervalIntegrable (fun x => -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) volume 0 X
int_eval : (∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + -∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1)) = -((ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * ↑0 ^ s)
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)
t : ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) = s * ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)
⊢ (∫ (x : ℝ) in 0 ..X, s * ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) + (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * ↑0 ^ s - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s = (s * ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) - ↑(rexp (-X)) * ↑X ^ s
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_nbot : ⊥ < limsup u f
v_nbot : ⊥ < limsup v f
v_ntop : limsup v f < ⊤
limsup_v_real : ↑(limsup v f).toReal = limsup v f
x : ℝ
hx : limsup u f + limsup v f < ↑x
⊢ limsup (u + v) f ≤ ↑x
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
⊢ A⁻¹ ^ ↑n = (A ^ ↑n)⁻¹
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : WithLp p ((i : ι) → β i)
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ edist x y ≤ ↑(↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal) * edist ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) x) ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) y)
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b : Ordinal.{u}
h_init : f x ≤ x
h_ab : a ≤ b
h : OrdinalApprox.gfpApprox f x a ∈ Function.fixedPoints ⇑f
⊢ OrdinalApprox.gfpApprox f x b = OrdinalApprox.gfpApprox f x a
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
a : R
p q : R[X]
h : C a ∣ p - q
⊢ ∀ x ∈ Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ, a ∣ p.coeff x - q.coeff x
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set G.Subgraph
⊢ (sInf s).edgeSet = (⋂ G' ∈ s, G'.edgeSet) ∩ G.edgeSet
a : Char
⊢ sizeOf a = a.toNat + 3
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
H : Valid' o₁ (Ordnode.node s l x r) o₂
this : Valid' o₂ (r.dual.node' x l.dual).eraseMax ↑(findMax' x l.dual) ∧ (r.dual.node' x l.dual).size = (r.dual.node' x l.dual).eraseMax.size + 1
⊢ Valid' (↑(l.findMin' x)) (l.node' x r).eraseMin o₂ ∧ (l.node' x r).size = (l.node' x r).eraseMin.size + 1
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M : Submodule R S
⊢ M.mulMap 1 = M.subtype ∘ₗ ↑M.rTensorOne
Ω : Type u_1
Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
μs_lim : Filter.Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
inst✝ : T1Space X
hs : s.Countable
⊢ IsGδ sᶜ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.nthLe k hk ∈ l
lpos : 0 < l.length
key : l.length - 1 - k < l.length
⊢ l.reverse.prev (l.nthLe k hk) ⋯ = (pmap l.next l ⋯).nthLe k ⋯
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
x : ↑t
m : ↑x ∈ s
⊢ Set.inclusion h ⟨↑x, m⟩ = x
G : Type u_3
P : Type u_4
LE G
LE P
SMul G P
self : IsOrderedCancelSMul G P
a : G
b c : P
⊢ a • b ≤ a • c → b ≤ c
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
⊢ ↑((μ.prod ν).map ⋯) = ↑μ
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace Q
AddTorsor W Q
f : P →ᴬ[R] Q
⊢ ⇑↑f = ⇑f
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r₁
b : E
hb : p b ≤ r₂
⊢ p b * ‖a‖ < r₂ * r₁
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁴ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace R F
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle R F E
this✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
this : FiberBundle F E := a.toFiberBundle
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
h₁ : Trivialization.IsLinear R (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he)
h₂ : Trivialization.IsLinear R (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he')
⊢ ↑(Trivialization.coordChangeL R (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') b) v = (a.coordChange he he' b) v
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R
⊢ (contractLeft d) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : WfDvdMonoid R
x : R
hx₀ : x ≠ 0
⊢ Squarefree x ↔ ∀ (p : R), Irreducible p → ¬p * p ∣ x
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x : 𝕜
⊢ (RCLike.complexRingEquiv h) x = ↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.im x) * Complex.I
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l ≤ Henstock
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
H₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
H₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
A : l.bHenstock = true
⊢ ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
p : ℝ
hp₀✝ : 0 ≤ p
hp₁ : p ≤ 1
hp₀ : 0 < p
⊢ ConcaveOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ p
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
x : M₀
h : IsUnit x
⊢ Ring.inverse x * x = 1
𝕜₁ : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
(x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
(x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
(x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
(x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
FiberBundle F₁ E₁
VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁
(x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
FiberBundle F₂ E₂
VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂
∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
∀ (x : B), ContinuousSMul 𝕜₂ (E₂ x)
x₀ : B
⊢ (trivializationAt (F₁ →SL[σ] F₂) (fun x => E₁ x →SL[σ] E₂ x) x₀).target =
  ((trivializationAt F₁ E₁ x₀).baseSet ∩ (trivializationAt F₂ E₂ x₀).baseSet) ×ˢ Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
x : α
⊢ Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝[≤] leftLim f x)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
⊢ LieSubmodule.map N.incl (LieModule.lowerCentralSeries R L (↥↑N) k) = LieSubmodule.lcs k N
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h✝¹ : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat db) ≤ num✝.mul (Int.ofNat da)) = true
h✝ : ↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) ≤ ↑(num✝.mul (Int.ofNat da))
ha : 0 ≤ ⅟↑da
hb : 0 ≤ ⅟↑db
h : ↑num✝¹ * ⅟↑da ≤ ⅟↑db * ↑num✝
⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da ≤ ↑num✝ * ⅟↑db
α : Type u
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in ⊤, p x) ↔ ∀ (x : α), p x
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a b : R
ExistsAddOfLE R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
n : ℕ
⊢ (a + b) ^ n ≤ 2 ^ (n - 1) * (a ^ n + b ^ n)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
inst✝ : f.IsCountablyGenerated
u : ℕ → α
hx : (comap u f ⊓ atTop).NeBot
φ : ℕ → ℕ
hφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop f ∧ Tendsto φ atTop atTop
⊢ ∃ θ, StrictMono θ ∧ Tendsto (u ∘ θ) atTop f
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ✝ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ (summand a b (Quotient.mk'' σ)) v + (summand a b (swap i j • Quotient.mk'' σ)) v = 0
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
⊢ edist (AddOpposite.op x) (AddOpposite.op y) = edist x y
α : Type u
β : Type v
f : Filter β
m : α → β
inj : Function.Injective m
large : Set.range m ∈ f
S : Set α
⊢ S ∈ Filter.comap m f ↔ m '' S ∈ f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : R[X]
hx : x.Monic
⊢ map f x ∣ map f y ↔ x ∣ y
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
⊢ Squarefree n ↔ n.primeFactorsList.Nodup
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
⊢ dist p1 p3 = dist p1 p2 + dist p3 p2
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
h : ∃ b, b < a
⊢ (𝓝[<] a).HasBasis (fun x => x < a) fun x => Set.Ioo x a
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
k : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ k f
n : ℕ
⊢ ContDiff ℝ k fun v => (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L v)) (f v)
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
ContinuousMul G
a : G
⊢ IsOpenMap fun x => x * a
G : Type u_2
AddGroup G
s : Set G
p : (x : G) → x ∈ AddSubgroup.closure s → Prop
one : p 0 ⋯
mul_right : ∀ (x : G) (hx : x ∈ AddSubgroup.closure s) (y : G) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x + y) ⋯
mul_right_inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ AddSubgroup.closure s) (y : G) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x + -y) ⋯
x : G
h : x ∈ AddSubgroup.closure s
⊢ p x h
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b x : α
⊢ x ∈ Multiset.Ioo a b ↔ a < x ∧ x < b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasLimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair f 0)
w : CategoryTheory.Limits.kernel f ≅ 0
⊢ CategoryTheory.Mono f
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
x y : α
x✝¹ : DvdNotUnit x y
hx0 : x ≠ 0
d : α
hdu : ¬IsUnit d
hdx : y = x * d
x✝ : y ∣ x
e : α
he : x = y * e
⊢ x * 1 = x * (d * e)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {p | edist p.1 p.2 ≤ ε}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
⊢ LinearMap.adjoint A = ↑(ContinuousLinearMap.adjoint (LinearMap.toContinuousLinearMap A))
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hs : s ⊆ support ↑f
⊢ ↑(extChartAt I c) '' s = closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
IsUltrametricDist X
x y z : X
⊢ dist x z ≤ max (dist x y) (dist y z)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
Archimedean 𝕜
DiscreteTopology ↥(AddSubgroup.zmultiples p)
⊢ (AddCircle.partialHomeomorphCoe p a).target = {↑a}ᶜ
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
U : C
iUY : U ⟶ Y
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX
⊢ ∀ ⦃Y_1 : D⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ G.obj U⦄, (Sieve.functorPushforward G (G.imageSieve iUW)).arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S))) ∈ K.sieves Y_1
α : Type u
β : Type v
f : α → β
S : WSeq (Computation α)
⊢ map f (parallel S) = parallel (WSeq.map (map f) S)
α β : Type u
m n : ℕ
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
α : Type u_1
I E R : Set α
⊢ (Matroid.uniqueBaseOn I E).restrict R = Matroid.uniqueBaseOn (I ∩ R ∩ E) R
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a ≤ b
c : α
⊢ a - c ≤ b - c
G : Type u
AddMonoid G
x y : G
h : AddCommute x y
⊢ ∃ z ∈ AddSubmonoid.closure {x, y}, addOrderOf z = (addOrderOf x).lcm (addOrderOf y)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
ψr : CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂
(F.mapShortComplex.obj S₁).HasHomology
(F.mapShortComplex.obj S₂).HasHomology
hr₁.IsPreservedBy F
hr₂.IsPreservedBy F
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso (F.mapShortComplex.map φ) ↔ CategoryTheory.IsIso (F.map ψr.φH)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x : L
y : ↥N
⊢ ↑(((LieModule.toEnd R L ↥↑N) x) y) = ((LieModule.toEnd R L M) x) ↑y
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder α r
f : r ≼i s
g : s ≼i r
⊢ Function.LeftInverse ⇑g ⇑f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
ss✝ : WSeq α
h : a ∈ ss✝
b : α
ss : WSeq α
o : a = b ∨ ∀ (s : WSeq α) (S : WSeq (WSeq α)), s.append S.join = ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
s : WSeq α
S : WSeq (WSeq α)
⊢ s.append S.join = cons b ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
Ring B
Algebra A B
x : B
Nontrivial B
int : IsIntegral A x
⊢ 2 ≤ (minpoly A x).natDegree ↔ x ∉ (algebraMap A B).range
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
MulAction G α
g : G
j : ℤ
⊢ MulAction.fixedBy α g ⊆ MulAction.fixedBy α (g ^ j)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
⊢ l.dedup = l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ c.unop.inr = c.snd.unop
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E
F✝ : D ⥤ E
inst✝⁹ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁸ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝⁷ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝⁶ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝
F G : D ⥤ E
η : F ⟶ G
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ G
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan G
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
⊢ (η.app (multiequalizer ((unop W).index P)) ≫ (J.diagramCompIso G P (unop X)).hom.app W) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ G) (unop X)) W = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (P ⋙ G)) ((J.diagram (P ⋙ F) (unop X)).obj W) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ η.app (P.obj (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ G) (unop X)) W
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
hf : IsLocalHomeomorph f
x : X
U : Set X
hx : x ∈ U
hU : IsOpen U
⊢ ∃ v ∈ {U | ∃ V, IsOpen V ∧ ∃ s, f ∘ ⇑s = Subtype.val ∧ Set.range ⇑s = U}, x ∈ v ∧ v ⊆ U
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : E
⊢ (setToFun μ T hT fun x_1 => x) = (T Set.univ) x
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivInvMonoid G
a b c x y : G
⊢ x * (1 / y) = x / y
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ e ∈ G₂, LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : PartialHomeomorph H₃ H₂
he : e ∈ atlas H₂ H₃
f : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : PartialHomeomorph H₃ H₂
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
f' : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
⊢ ∀ x ∈ ((e ≫ₕ f).symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').source, ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ ((e ≫ₕ f).symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').restr s ∈ G₁
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
x : α
hx : x ∈ Ico ↑a ↑b
⊢ p x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
⊢ ∀ (s : Set ℝ), MeasurableSet s → Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : r.gcd s = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : m.gcd (r * s) = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = m * (r * s)
hrsz : r * s ≠ 0
h2b0 : b' ≠ 0
i : ℤ
hi : m = i ^ 2 ∨ m = -i ^ 2
⊢ False
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x p : R
hf : ∀ (r : R), f (star r) = star (f r)
⊢ f 0 ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set ℝ
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) t ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ t)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_5
Countable ι
f : α → ℝ≥0∞
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
⊢ ∫⁻ (x : α) in ⋃ i, s i, f x ∂μ = ⨆ i, ∫⁻ (x : α) in s i, f x ∂μ
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p q : ℝ≥0∞
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hfq : MeasureTheory.Memℒp f q μ
hpq : p ≤ q
⊢ MeasureTheory.Memℒp f p μ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ s.GammaSeq n = ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)
H : Type u_5
H' : Type u_6
α : Type u_7
f : H → α
⊢ (Set.range fun p => (f p.1, p.2)) = Set.range f ×ˢ Set.univ