ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_6
NonAssocRing R
p : { p // IsIdempotentElem p }
⊢ pᶜᶜ = p
t : Int
c : Lean.Omega.Constraint
v : Int
⊢ c.sat v = true → (c.translate t).sat (v + t) = true
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ insert b (Ico a b) = Icc a b
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : QuasiSeparated (f ≫ g)
𝒰 : Y.OpenCover := (Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun x => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj x).affineCover
this : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
i : Z.affineCover.J
j : (pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover.J
⊢ QuasiSeparatedSpace ↑↑((((Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun x => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj x).affineCover).pullbackCover f).obj ⟨i, j⟩).toPresheafedSpace
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ ⇑N.incl = Subtype.val
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
⊢ μ (frontier s) = 0
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsOpenImmersion f
H : ∀ (U : ↑Z.affineOpens) (V : ↑Y.affineOpens) (e : ↑V ≤ g ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE g (↑U) (↑V) e)
U : ↑Z.affineOpens
V : ↑X.affineOpens
e : ↑V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ ↑U
this : IsIso (Scheme.Hom.appLE f (f ''ᵁ ↑V) ↑V ⋯)
⊢ Q (Scheme.Hom.appLE g (↑U) (f ''ᵁ ↑V) ⋯)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
ε : ℝ≥0∞
⊢ x ∈ EMetric.closedBall x ε
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
a : α
⊢ IsClosed (⇑WithScott.ofScott ⁻¹' Iic a)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)
⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.69351, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.69358, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.69365, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.72492, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : Aᵒᵖ
f : X ⟶ Y
U : Dᵒᵖ
Y' : D
f' : Y' ⟶ unop U
hf' : (Sieve.coverByImage G (unop U)).arrows f'
x : unop X ⟶ ℱ.obj (op (unop U))
⊢ f.unop ≫ appHom (homOver α (unop X)) (unop U) x ≫ ℱ'.val.map f'.op = f.unop ≫ x ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf').map.op ≫ α.app (op (Nonempty.some hf').1) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf').lift.op
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : a * p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ p.natDegree ∈ (C a * p).support
n : ℕ
⊢ Function.Injective Fin.castSucc
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ¬(3 * 1 ^ 2 = 0 ∧ 2 * 1 = 0 ∧ W'.a₁ * 1 * 1 = 0)
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U = ⨆ i, ↑↑i
h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U
H' : ∀ (i : ↑s), ∃ n, (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x = 0
⊢ ∃ n, f ^ n * x = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
DiscreteTopology α
s : Set α
⊢ IsClosed s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : F → E
hf : Differentiable ℝ f
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ Differentiable ℝ fun x => ‖f x‖ ^ p
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
h_init : x ≤ f x
⊢ lfpApprox f x (succ #α).ord ∈ fixedPoints ⇑f
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
⊢ (x ~ᵢ y) ↔ ∀ (s : Set X), IsClosed s → (x ∈ s ↔ y ∈ s)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
x : E
hx : x ≠ 0
r : 𝕜
hr : c / ‖x‖ < ‖r‖
⊢ c < ‖r • x‖
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
x y : β
hx : x ∈ t
hy : y ∈ t
⊢ eVariationOn (f ∘ φ) (t ∩ Set.Icc x y) = eVariationOn f (φ '' t ∩ Set.Icc (φ x) (φ y))
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ (⨅ i ∈ I, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i ∈ I, (m i) (t n)
w : Nat
x y : BitVec w
a b : Bool
⊢ x.concat a &&& y.concat b = (x &&& y).concat (a && b)
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ B = ∅ → B ⊆ ∅ → B = ∅
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y p : P
⊢ (fun x => x -ᵥ p) '' affineSegment R x y = affineSegment R (x -ᵥ p) (y -ᵥ p)
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H K : Subgroup G
S T✝ : Set G
F : Type u_2
inst✝² : Group F
inst✝¹ : MulAction F G
inst✝ : QuotientAction F H
f : F
T : ↑(leftTransversals ↑H)
q : G ⧸ H
⊢ ↑((toEquiv ⋯) q) = f • ↑((toEquiv ⋯) (f⁻¹ • q))
b x y : ℝ
hb : 1 < b
h : 0 < x
hxy : x ≤ y
⊢ Real.logb b x ≤ Real.logb b y
α : Type u
Mul α
x y : Additive α
⊢ Additive.toMul (x + y) = Additive.toMul x * Additive.toMul y
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
x : E
r : ℝ
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ (p.comp f).closedBall x r ↔ x✝ ∈ ⇑f ⁻¹' p.closedBall (f x) r
α : Type u
Monoid α
a : α
Invertible a
⊢ IsUnit a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
P Q R : C
f : Sum.inl P ⟶ Sum.inl Q
g : Sum.inl Q ⟶ Sum.inl R
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s : Set α
AlexandrovDiscrete α
⊢ IsOpen (exterior s)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
A : Set α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
⊢ μ A = ⨅ U, ⨅ (_ : A ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ U
B : Type u_1
TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ Bundle.TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ Bundle.TotalSpace.proj
(x : B) → Zero (E₁ x)
(x : B) → Zero (E₂ x)
x : B × F₁ × F₂
h : x ∈ (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet) ×ˢ Set.univ
⊢ Trivialization.Prod.toFun' e₁ e₂ (Trivialization.Prod.invFun' e₁ e₂ x) = x
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : Integrable f μ
h'f : StronglyMeasurable f
A : μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K} := μ.finiteSpanningSetsInOpen'
t : Set E
t_count : t.Countable
ht : range f ⊆ closure t
main : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ c ∈ t, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - (A.set n).indicator (fun x => c) y‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ↑‖f x - (A.set n).indicator (fun x => c) x‖₊)
x : α
hx : ∀ (n : ℕ), ∀ c ∈ t, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - (A.set n).indicator (fun x => c) y‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ↑‖f x - (A.set n).indicator (fun x => c) x‖₊)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
M : ∀ c ∈ t, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - c‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ↑‖f x - c‖₊)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
c : E
ct : c ∈ t
xc : ↑‖f x - c‖₊ < ε / 2
a : Set α
ha : (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - c‖₊ ∂μ) / μ a < ε / 2
h'a : 0 < μ a
h''a : μ a < ⊤
⊢ (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a ≤ ε
X : Type u
TopologicalSpace X
h : LindelofSpace X
⊢ IsLindelof Set.univ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
⊢ 0 ≤ x.valuation
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
⊢ toSubmodule S * toSubmodule T ≤ toSubmodule (S ⊔ T)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U
H : ∀ (i : ι), ¬V i ⊆ W
⊢ False
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
f : M → M'
f' : E →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hd : DenseRange ⇑f'
this : UniqueMDiffWithinAt I (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
⊢ writtenInExtChartAt I I' x f '' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range ↑I) ⊆ ↑(extChartAt I' (f x)).symm ⁻¹' (f '' s) ∩ range ↑I'
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : ↥(MeasureTheory.Lp β 1 μ)
⊢ ‖f - g‖ = (∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑f x - ↑↑g x‖₊ ∂μ).toReal
n : ℕ
NeZero n
a : ZMod n
⊢ ↑a.val = a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
v : E
hv : v ∈ (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ
⊢ T v ∈ (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ
α : Type u_1
β : Type u_2
s s' : Finset α
t t' : Finset β
hs : s ⊆ s'
ht : t ⊆ t'
⊢ s ×ˢ t ⊆ s' ×ˢ t'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.zero h₁ h₂).φH = 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → MeasureTheory.Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ : MeasureTheory.Measure ((i : ι) → α i)
∀ (i : Finset ι), MeasureTheory.IsFiniteMeasure (P i)
hμ : MeasureTheory.IsProjectiveLimit μ P
⊢ MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Set α → Set α → Set β
⊢ (f.lift fun s => f.lift' (g s)) ≤ f.lift' fun s => g s s
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => 1) a = 1
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ε
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Finite
h : (f '' s).encard = s.encard
hne : Nonempty α
⊢ InjOn f s
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
s : Set N
⊢ Subgroup.closure (⇑f ⁻¹' s) ≤ Subgroup.comap f (Subgroup.closure s)
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
n : ℤ
x : OreLocalization S X
inst : Module ℤ (OreLocalization S X) := instModuleOfIsScalarTower
⊢ n • x = n • x
x y : SetTheory.PGame
k : (x + y).RightMoves
P : (x + y).RightMoves → Prop
hl : ∀ (j : x.RightMoves), P (SetTheory.PGame.toRightMovesAdd (Sum.inl j))
hr : ∀ (j : y.RightMoves), P (SetTheory.PGame.toRightMovesAdd (Sum.inr j))
⊢ P k
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ Polynomial.eval₂ Polynomial.C Polynomial.X p = p
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
⊢ κ.compProd η = ProbabilityTheory.Kernel.sum fun n => ProbabilityTheory.Kernel.sum fun m => (κ.seq n).compProd (η.seq m)
a b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
h : a < ω ^ ω ^ b
b0 : ¬b = 0
⊢ a * ω ^ ω ^ b = ω ^ ω ^ b
α : Type u_2
Monoid α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ⊥ ^ n = ⊥
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedSemifield α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
⊢ (a - b) / c = a / c - b / c
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
M M' : Matrix m n α
N : Matrix n o α
⊢ (M - M') * N = M * N - M' * N
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
h : f.eraseLead = 0
⊢ f.support.card ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
a : α
b : β
⊢ ¬Sum.inr b < Sum.inl a
α : Type u_1
Monoid α
⊢ ¬Irreducible 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
f : ι → δ → α
v : Filter ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasCountableBasis p s
hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable
this✝ : Countable (Subtype p)
hp : Nonempty (Subtype p)
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)
m : Subtype p → Set δ := fun j => {x | BddBelow (range fun i => f (↑i) x)}
m_meas : ∀ (j : Subtype p), MeasurableSet (m j)
mc_meas : MeasurableSet {x | ∀ (j : Subtype p), x ∉ m j}
j : Subtype p
reparam : δ → Subtype p → Subtype p := fun x => liminf_reparam (fun i => f i x) s p
F0 : Subtype p → δ → α := fun j x => ⨅ i, f (↑i) x
F0_meas : ∀ (j : Subtype p), Measurable (F0 j)
F1 : δ → α := fun x => F0 (reparam x j) x
hF1 : F1 = fun x => F0 (reparam x j) x
⊢ Measurable F1
α : Type u_1
Preorder α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ (Set.Ioi a).Infinite
n m : ℕ
⊢ n ^^^ m = m ^^^ n
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x✝ y✝ ε x y : α
h : x < y
n : ℕ
nh : (y - x)⁻¹ < ↑n
z : ℤ
zh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n
⊢ ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < y
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{u, v} C
A : C
inst✝ : HasTerminal C
y : ↑X
h : p₀ ⤳ y
U V : (OpenNhds y)ᵒᵖ
inc : U ⟶ V
⊢ p₀ ∈ unop ((OpenNhds.inclusion y).op.obj V)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictAnti f
s : Set α
⊢ StrictAntiOn f s
G : Type u
Group G
⊢ Subsingleton (G ⧸ ⊤)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
h : a < b
⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto f (𝓝[>] a) l
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Set R
sm : Submonoid R
hm : ↑sm = s
sa : AddSubmonoid R
ha : ↑sa = s
⊢ (Subsemiring.mk' s sm hm sa ha).toAddSubmonoid = sa
G : Type u
Monoid G
⊢ AddMonoid.exponent (Additive G) = Monoid.exponent G
G : Type u
Group G
H : Type v
Group H
e : G ≃* H
x : G
⊢ e.abelianizationCongr (Abelianization.of x) = Abelianization.of (e x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
g : γ → α
i : ↑(Function.support g) → β
hi : Function.Injective i
hf : Function.support f ⊆ Set.range i
hfg : ∀ (x : ↑(Function.support g)), f (i x) = g ↑x
⊢ ∑' (x : β), f x = ∑' (y : γ), g y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∑' (n : ℕ), f n = ⊤
hf0 : f 0 ≠ ⊤
⊢ ∑' (n : ℕ), f (n + 1) = ⊤
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
a : F
h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)
ha : ¬a = 0
ha' : (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : X ^ n - C a ≠ 0
hn''' : X ^ n - 1 ≠ 0
mem_range : ∀ {c : (X ^ n - C a).SplittingField}, c ^ n = 1 → ∃ d, (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) d = c
⊢ ∀ (a_1 b : (X ^ n - C a).Gal), a_1 * b = b * a_1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P ↔ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J P
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝 a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝 (f a)
⊢ ContinuousAt f a
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : (∏ i : n, (X - C (M i i)) - M.charpoly + M.charpoly).leadingCoeff = 1
⊢ (∏ i : n, (X - C (M i i)) - M.charpoly).degree < ↑(Fintype.card n)
p n k b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hkn : k ≤ n
hnb : Nat.log p n < b
⊢ padicValNat p (n.choose k) = (Finset.filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + (n - k) % p ^ i) (Finset.Ico 1 b)).card
I : Type w₀
J✝ : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝ : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₁
K : Type w₂
f : K → J
g : J → I
X Y : (i : I) → C i
f' : X ⟶ Y
⊢ ((fun i => f' (g (f i))) ≫ fun b => 𝟙 (Y (g (f b)))) = (fun b => 𝟙 (X (g (f b)))) ≫ ({ obj := fun f i => f (g i), map := fun {X Y} α i => α (g i), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun f_1 i => f_1 (f i), map := fun {X Y} α i => α (f i), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).map f'
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
(x : B) → Zero (E x)
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
b : B
hb : b ∉ e.baseSet
y : F
⊢ e.symm b y = 0
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H : ∃ l' r', BalancedSz l' r' ∧ (l.size.dist l' ≤ 1 ∧ r.size = r' ∨ r.size.dist r' ≤ 1 ∧ l.size = l')
⊢ Valid' o₁ (l.balance' x r) o₂
α : Type u
a b : α
s : Stream'.Seq α
S : Stream'.Seq (Stream'.Seq1 α)
⊢ Stream'.Seq1.join ((a, Stream'.Seq.cons b s), S) = (a, (Stream'.Seq.cons (b, s) S).join)
ι✝ : Type u
s✝ : Finset ι✝
ι : Type u_1
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i
⊢ ∀ i ∈ s, 0 < (fun i => w i / ∑ i ∈ s, w i) i
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
h : P ≈ Q
u v : R
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v
smul : P ≈ Q ↔ u • P ≈ v • Q
⊢ W'.add (u • P) (v • Q) = u ^ 4 • W'.add P Q
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
⊢ μ.neg.Regular ↔ μ.Regular
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
F.ShiftSequence M
a : M
X : C
⊢ (F.shiftIso 0 a a ⋯).hom.app X = (F.shift a).map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C M).hom.app X)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
⊢ HasSum (fun i => ⟪↑f i, ↑g i⟫_𝕜) ⟪f, g⟫_𝕜
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α β : TypeVec.{u_1} n
F' : TypeVec.{u_1} n → Type u
inst✝¹ : MvFunctor F'
inst✝ : LawfulMvFunctor F'
R : β ⊗ β ⟹ repeat n Prop
x : F' α
f g : α ⟹ β
h : α ⟹ Subtype_ R
hh : subtypeVal R ⊚ h = (f ⊗' g) ⊚ prod.diag
⊢ LiftR' R (f <$$> x) (g <$$> x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
⊢ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) (c • μ) = essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
⊢ C p.leadingCoeff ∣ (p * q).eraseLead - p.eraseLead * q
C : Type u
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Final
⊢ CategoryTheory.IsConnected C ↔ CategoryTheory.IsConnected D
o o' : Ordering
⊢ o.swap = o' ↔ o = o'.swap
μ : ℝ
v : ℝ≥0
y : ℝ
hv : ¬v = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.addRight y).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => 1) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', |1| * gaussianPDFReal μ v (e x)) = (gaussianReal (μ + y) v) s'
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
Ul : 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
Vl : 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hV U).card / 4 ^ P.parts.card
this : 0 < ε
⊢ ε ^ 4 / 3 ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card * (↑(star hP G ε hV U).card / 4 ^ P.parts.card) * (9 / 4 ^ 2 * ε ^ 2)
K : Type u
DivisionRing K
S : Type u_1
SetLike S K
h : SubfieldClass S K
s : S
x : ℚ
⊢ ↑↑x = ↑x
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
a b : α
⊢ Disjoint a b → Codisjoint (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
x : X
⊢ {h x}ᶜ = ⇑h '' {x}ᶜ
α : Type u_2
LinearOrder α
a : α
s : Finset α
h : s.max < ↑a
⊢ a ∉ s
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), 0 < log (b i * ↑n)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
inst✝ : EssFiniteType R S
f g : S →ₐ[R] T
H : ∀ s ∈ finset R S, f s = g s
⊢ f.comp (IsScalarTower.toAlgHom R (↥(subalgebra R S)) S) = g.comp (IsScalarTower.toAlgHom R (↥(subalgebra R S)) S)
E : Type u_4
AddGroup E
p q : AddGroupSeminorm E
⊢ p ≤ q ↔ ⇑p ≤ ⇑q
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
⊢ image (fun x => x + c) (Ico a b) = Ico (a + c) (b + c)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
v : E
i : ι
⊢ b.repr v i = ⟪b i, v⟫_𝕜
α : Type u_2
β : Type u_3
BiheytingAlgebra α
BiheytingAlgebra β
f : BiheytingHom α β
⊢ f.comp (BiheytingHom.id α) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
IsAsymm β s
⊢ IsAsymm α r
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x y : FreeCommRing α
s✝ t : Set α
i✝ : ℤ
s : Set α
i : ℕ
hi : (↑↑i).IsSupported s
⊢ (↑(↑i + 1)).IsSupported s