ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂ (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
w₃ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 3 4 ⋯ ⋯) app₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₃ (g.map' 3 4 ⋯ ⋯)
w₄ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 4 5 ⋯ ⋯) app₅ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₄ (g.map' 4 5 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₅ app₀ app₁ app₂ app₃ app₄ app₅ w₀ w₁ w₂ w₃ w₄).app 1 = app₁
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h' : Finite R N
this✝ : IsNoetherian R ↥(torsion R N)
this : Finite R (N ⧸ torsion R N)
⊢ ∃ n ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (N ≃ₗ[R] (Fin n →₀ R) × ⨁ (i : ι), R ⧸ span R {p i ^ e i})
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : R0Space X
x y✝ : X
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hxU : closure {x} ⊆ ⋃ i, U i
i : ι✝
hi : x ∈ U i
y : X
hy : y ∈ closure {x}
⊢ y ∈ ⋃ i_1 ∈ {i}, U i_1
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : IsClosed ↑g.graph
this✝ : CompleteSpace ↥g.graph := completeSpace_coe_iff_isComplete.mpr (IsClosed.isComplete hg)
φ₀ : E →ₗ[𝕜] E × F := id.prod g
this : LeftInverse Prod.fst ⇑φ₀
φ : E ≃ₗ[𝕜] ↥g.graph := LinearEquiv.ofLeftInverse this ≪≫ₗ LinearEquiv.ofEq (range φ₀) g.graph ⋯
ψ : ↥g.graph ≃L[𝕜] E := φ.symm.toContinuousLinearEquivOfContinuous ⋯
⊢ Continuous ⇑g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}
H : IsNormal f
o : Ordinal.{u}
h : o.IsLimit
⊢ ∀ a < o, f a < f (succ a)
n : Nat
a b : Fin n
⊢ a.succ = b.succ ↔ a = b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Antivary f (-g) ↔ Monovary f g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
t : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
⊢ (CategoryTheory.Limits.HasZeroObject.zeroIsoIsInitial t).inv = 0
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F₁ : CategoryTheory.Functor A C
U₁ : CategoryTheory.Functor C A
F₂ : CategoryTheory.Functor B D
U₂ : CategoryTheory.Functor D B
L₁ : CategoryTheory.Functor A B
R₁ : CategoryTheory.Functor B A
L₂ : CategoryTheory.Functor C D
R₂ : CategoryTheory.Functor D C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : F₁ ⊣ U₁
adj₄ : F₂ ⊣ U₂
α : U₂.comp R₁ ⟶ R₂.comp U₁
⊢ (CategoryTheory.mateEquiv adj₁ adj₂).symm ((CategoryTheory.mateEquiv adj₄ adj₃).symm α) =
  (CategoryTheory.conjugateEquiv (adj₁.comp adj₄) (adj₃.comp adj₂)).symm α
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖
B : Type u₁
Quiver B
(a b : B) → Quiver (a ⟶ b)
C : Type u₂
Quiver C
(a b : C) → Quiver (a ⟶ b)
F : B → C
F' : (a b : B) → (a ⟶ b) ⥤q (F a ⟶ F b)
a b : B
⊢ ∀ {f g : a ⟶ b} (a_1 : f ⟶ g), (CategoryTheory.PrelaxFunctorStruct.mkOfHomPrefunctors F F').map₂ a_1 = (F' a b).map a_1
α : Type u_1
PartialOrder α
s t : NonemptyInterval α
⊢ ↑s ⊆ ↑t ↔ s ≤ t
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M →[L] N
s : L.Substructure M
hs : s.CG
t : Set M
ht : t.Countable ∧ (closure L).toFun t = s
⊢ (closure L).toFun (⇑f '' t) = Substructure.map f s
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a : α
⊢ a⁺ = a ↔ 0 ≤ a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
hd : HasFDerivWithinAt d d' s x
z : E
⊢ (d x • c') z = (c'.smulRight (d x)) z
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ (GenContFract.of v).TerminatedAt n ↔ (GenContFract.IntFractPair.seq1 v).2.TerminatedAt n
V : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} V
CategoryTheory.MonoidalCategory V
C : Type u₁
self : CategoryTheory.EnrichedCategory V C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (CategoryTheory.EnrichedCategory.Hom X Y)).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.EnrichedCategory.id X)
        (CategoryTheory.EnrichedCategory.Hom X Y))
      (CategoryTheory.EnrichedCategory.comp X X Y)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.EnrichedCategory.Hom X Y)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
NormedAddCommGroup X
NormedSpace 𝕜 X
n : ℕ∞
g : X → F →L[𝕜] G
f : X → E →L[𝕜] F
s : Set X
hg : ContDiffOn 𝕜 n g s
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (g x).comp (f x)) s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
⊢ W'.addXYZ P Q = (P x * Q z) • Q
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
S : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f S
⊢ Set.InjOn (Finsupp.mapDomain f) {w | ↑w.support ⊆ S}
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ
⊢ ⌊√↑a⌋₊ = a.sqrt
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s
val✝ : Fintype ι
⊢ IsClosed ↑(upperClosure s)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hyp : ∃ F ∈ derangements (Option α), F none = none ∧ removeNone F = f
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s t : Set E
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = fderivWithin 𝕜 f t x
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
⊢ HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂ p.1 p.2) (jacobiTheta₂_fderiv z τ) (z, τ)
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs : List ((_ : α) × α)
hperm : map Sigma.fst xs ~ map Sigma.snd xs
hnodup : (map Sigma.snd xs).Nodup
xs₀ : List α
h₀ : map Sigma.fst xs = xs₀
xs₁ : List α
h₁ : map Sigma.snd xs = xs₁
⊢ Injective (mapToSelf xs hperm hnodup).apply
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
val✝¹ : Y
val✝ : X
⊢ glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr val✝¹).swap (Sum.inl val✝).swap = glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr val✝¹) (Sum.inl val✝)
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a b : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : 1 ≤ a
hab : a ≤ b
⊢ mabs a ≤ mabs b
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E✝ : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
p q : Submodule ℝ E
hpq : IsCompl p q
hpc : IsPathConnected {0}ᶜ
⊢ IsPathConnected (↑q)ᶜ
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
⊢ ((snd (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientMulEquivQuotientProd J coprime)).comp (Quotient.mk (I * J)) = (factor (I * J) J ⋯).comp (Quotient.mk (I * J))
m n a b c d : ℕ
h₁ : ↑n ∣ ↑b - ↑a
h₂ : ↑n ∣ ↑b - ↑a + (↑d - ↑c)
⊢ ↑d - ↑c = ↑b - ↑a + (↑d - ↑c) - (↑b - ↑a)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
F : ι → X → α
f : X → α
s : Set X
x : X
z : α
hF : EquicontinuousAt F x
hf : Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝 z)
hs : ∀ y ∈ s, Tendsto (fun x => F x y) l (𝓝 (f y))
hx : x ∈ closure s
⊢ Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 z)
n p : ℕ
pp : Nat.Prime p
hn : n ≠ 0
⊢ multiplicity p n = ↑(n.factorization p)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
U : Over X
S : Sieve U.left
hS : (Sieve.overEquiv U).symm S ∈ (J.over X).sieves U
⊢ Sieve.functorPushforward (Over.map f) ((Sieve.overEquiv U).symm S) ∈ (J.over Y).sieves ((Over.map f).obj U)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : Countable ι
t : ι → TopologicalSpace α
ht : ∀ (i : ι), PolishSpace α
i₀ : ι
hi₀ : ∀ (i : ι), t i ≤ t i₀
u : UniformSpace α
hcomp : CompleteSpace α
hcount : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
htop : UniformSpace.toTopologicalSpace = ⨅ i, t i
this : SecondCountableTopology α
⊢ PolishSpace α
ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
TopologicalSpace X
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
g : ι → X → E
t : Set E
x : X
hx : x ∈ s
hg : ∀ (i : ι), (f i) x ≠ 0 → g i x ∈ t
ht : Convex ℝ t
⊢ ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x ∈ t
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
⊢ FermatLastTheoremFor 3
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
f g : ArithmeticFunction R
⊢ f.pmul g = g.pmul f
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℕ
⊢ Irrational (↑m - x)
A : Type u'
inst✝⁸ : Category.{v', u'} A
inst✝⁷ : ConcreteCategory A
inst✝⁶ : HasFunctorialSurjectiveInjectiveFactorization A
inst✝⁵ : (coherentTopology CompHaus).WEqualsLocallyBijective A
inst✝⁴ : HasSheafify (coherentTopology CompHaus) A
inst✝³ : (coherentTopology CompHaus).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝² : Balanced (Sheaf (coherentTopology CompHaus) A)
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget A)
inst✝ : ∀ (X : CompHausᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X Stonean.toCompHaus.op) A
X Y : Condensed A
f : X ⟶ Y
⊢ (∀ (X_1 : CompHaus) (y : (CategoryTheory.forget A).obj (Y.val.obj (op X_1))), ∃ X' φ, ∃ (_ : EffectiveEpi φ), ∃ x, (f.val.app (op X')) x = (Y.val.map (op φ)) y) ↔ ∀ (S : CompHaus) (y : (CategoryTheory.forget A).obj (Y.val.obj (op S))), ∃ S' φ, ∃ (_ : Function.Surjective ⇑φ), ∃ x, (f.val.app (op S')) x = (Y.val.map (op φ)) y
α : Type u_1
Monoid α
a b u : α
hu : IsUnit u
⊢ a ∣ b * u ↔ a ∣ b
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
F_der_I : ∀ x ∈ Ioo 0 X, HasDerivAt (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) (-(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s = (s * ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) - ↑(rexp (-X)) * ↑X ^ s
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
⊢ 1 ≤ GromovHausdorff.maxVar X Y
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N N₁ N₂ P P₁ P₂ : Submodule R M
I : Ideal R
x r : R
⊢ r ∈ colon I (Ideal.span {x}) ↔ r * x ∈ I
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f✝ g : α → β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
⊢ AEStronglyMeasurable' m (-f) μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
⊢ HomologicalComplex₂.XXIsoOfEq C c₁ c₂ K ⋯ ⋯ = CategoryTheory.Iso.refl ((K.X i₁).X i₂)
α : Type u_1
p : α → Option α
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a = none
⊢ List.replaceF p l = l
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ quadraticCharFun F a = if a ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
hx : x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range
⊢ x ≠ 0
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(Real.sin x) * ↑(Real.cos x) ^ (n - 1) =
  (↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(Real.cos x) ^ n) -
    (↑n - 1) / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(Real.cos x) ^ (n - 2)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
hx✝¹ : x ∈ F
hy✝¹ : y ∈ F
hy✝ : z ∈ F
hxy : Joined ⟨x, ⋯⟩ ⟨y, ⋯⟩
hyz : Joined ⟨y, ⋯⟩ ⟨z, ⋯⟩
hx✝ : x ∈ F
hx : y ∈ F
hy : z ∈ F
⊢ Joined ⟨x, ⋯⟩ ⟨z, ⋯⟩
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ x • (mk m s + mk n t) = x • mk m s + x • mk n t
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
⊢ ⇑f.toContinuousMultilinearMap = ⇑f
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
S : Subalgebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F E
this : Module.Free F ↥⊤
⊢ ⊥ = ⊤ ↔ Module.rank F E = 1
k : ℕ
hk : k ≠ 0
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
this : HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ (2 * k + 1) * ((fourier ↑n) ↑x - (fourier (-↑n)) ↑x)) ((-1) ^ (k + 1) * I * (2 * ↑π) ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1)! * ↑(bernoulliFun (2 * k + 1) x))
ofReal_two : ↑2 = 2
x✝ : ℕ
⊢ 1 / ↑x✝ ^ (2 * k + 1) * Real.sin (2 * π * ↑x✝ * x) = (1 / ↑x✝ ^ (2 * k + 1) * ((fourier ↑x✝) ↑x - (fourier (-↑x✝)) ↑x) / (2 * I)).re
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit c
⊢ a = b / c ↔ a * c = b
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
IsStronglyAtomic α
ha : (Set.Ici a).Infinite
hfin : {x | a ⋖ x}.Finite
⊢ ∃ b, a ⋖ b ∧ (Set.Ici b).Infinite
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
m n : ℕ
h : I ⊔ J = ⊤
⊢ I ^ m ⊔ J ^ n = ⊤
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
n k : ℕ
hk : ∀ n_1 ≥ k, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n_1)‖ < ↑p ^ (-↑n)
⊢ (lift f_compat) r - ↑((f n) r).val ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : α → Finset β
DecidableEq β
hs : s₁ = s₂
ht : ∀ a ∈ s₁, t₁ a = t₂ a
⊢ s₁.biUnion t₁ = s₂.biUnion t₂
R : Type u
CommRing R
M N P : ModuleCat R
f : N ⟶ (CategoryTheory.ihom M).obj P
x : ↑M
y : ↑N
⊢ (CategoryTheory.MonoidalClosed.uncurry f) (x ⊗ₜ[R] y) = (f y) x
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : Submonoid P
Q : Type u_4
CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
j : M ≃* P
H : Submonoid.map j.toMonoidHom S = T
x : M
⊢ (f.mulEquivOfMulEquiv k H) (f.toMap x) = k.toMap (j x)
α : Type u
p : α → Prop
f : Filter α
hp : ∀ (x : α), p x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in f, p x
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
r : ℝ
⊢ ∀ (i : ℕ), Integrable (stoppedValue f (leastGE f r i)) μ
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
i : ι
x : E i
j : ι
y : E j
k : ι
z : E k
hik : i ≠ k
⊢ dist ⟨i, x⟩ ⟨k, z⟩ ≤ dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ + dist ⟨j, y⟩ ⟨k, z⟩
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
⊢ edist x y ≤ edist x z + edist y z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
α : Type u_4
TopologicalSpace α
f g : α → UniformSpace.Completion E
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun x => ⟪f x, g x⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
s : UpperSet α
g : β ≃o γ
f : α ≃o β
⊢ (UpperSet.map g) ((UpperSet.map f) s) = (UpperSet.map (f.trans g)) s
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
CommRing R
Field K
Field L
Algebra R K
Algebra R L
x : L
int : IsIntegral R x
h : Polynomial.Splits (algebraMap R K) (minpoly R x)
Algebra K L
IsScalarTower R K L
⊢ x ∈ (algebraMap K L).range
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hcst : μ[|s] t ≠ 0
⊢ (μ s)⁻¹ * μ (s ∩ t) = μ[|s] t
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
h : IsGreatest s a
⊢ upperBounds s = Set.Ici a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x - φ‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
⊢ ‖f y - f x - φ (y - x)‖ ≤ C * ‖y - x‖
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
p : P₂
⊢ e (e.symm p) = p
G : Type u
Group G
Finite G
p : ℕ
n : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ n ∣ Nat.card G
⊢ ∃ K, Nat.card ↥K = p ^ n
R : Type u
CommSemiring R
I J K : Ideal R
h : I ⊔ J = ⊤
⊢ I * K ⊔ J = K ⊔ J
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ (l.rotate' (l.length * n)).rotate' (l.rotate' (l.length * n)).length = l
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : Submodule R M
⊢ Module.annihilator R (M ⧸ N) = N.colon ⊤
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.16014, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.16018, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝¹ : EffectiveEpi π
inst✝ : HasPullback π π
hP : ∀ (y : P.obj (op X)), P.map (PullbackCone.mk (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯).fst.op y = P.map (PullbackCone.mk (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯).snd.op y → ∃! x, P.map π.op x = y
⊢ Function.Bijective (MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : g.cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
h✝ : Multiset.card g.cycleType * 2 ≤ card (Fin 5)
h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3
ha : Even (Multiset.card g.cycleType)
⊢ (swap 0 4 * swap 1 3).cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
m✝ n✝ a✝ b✝ c d a b m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
h : m ∣ (↑b - ↑a).natAbs ∧ n ∣ (↑b - ↑a).natAbs
⊢ a ≡ b [MOD m * n]
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : MeasureTheory.Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => ProbabilityTheory.IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), ProbabilityTheory.IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Filter.Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) / ↑n) Filter.atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
Div α
MulDivCancelClass α
s : Finset α
a : α
has : a ∈ s
ha : a ≠ 0
⊢ (s.gcd fun b => b / s.gcd id) = 1
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring M
n : ℕ
x✝¹ x✝ : M
⊢ x✝¹ * ↑n * x✝ = x✝¹ * (↑n * x✝)
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = FractionalIdeal.spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
⊢ ∏ᶠ (v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R),
    ↑v.asIdeal ^
      (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) -
        ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)) =
  I
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
inst✝³ : CommMonoidWithZero M₀
p : ι → Prop
inst✝² : DecidablePred p
f : ι → M₀
s : Finset ι
i : ι
inst✝¹ : Nontrivial M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
⊢ ∏ x ∈ s, f x ≠ 0 ↔ ∀ a ∈ s, f a ≠ 0
α : Type u_3
AddGroupWithOne α
P : Prop
Decidable P
m n : ℤ
⊢ ↑(if P then m else n) = if P then ↑m else ↑n
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Preorder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulMono α
H : 0 ≤ a
n : ℕ
⊢ 0 ≤ a ^ (n + 1)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
c : ℝ
hf : HasFDerivAt f f' x
hc : 0 < c
⊢ HasFDerivAt (fun x => c ^ f x) ((c ^ f x * Real.log c) • f') x
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
W : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory W
CategoryTheory.MonoidalCategory V
CategoryTheory.MonoidalCategory W
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor V W
G : MonCat
⊢ (CategoryTheory.inv (F.mapAction G).ε).hom = CategoryTheory.inv F.ε
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ ↑(restrictScalars F (adjoin (↥(adjoin F S)) T)) = ↑(adjoin F (S ∪ T))
α : Type u_1
LinearOrder α
a x : α
hx : x ∈ Set.Ici a
⊢ Set.projIci a x = ⟨x, hx⟩
a b c : Nat
⊢ a - b ≤ c ↔ a ≤ c + b
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Group α
MulDistribMulAction α M
a : α
S : Submonoid M
x : M
⊢ a • x ∈ a • S ↔ x ∈ S
α : Type u_2
G : Type u_4
TopologicalSpace α
AddGroup G
AddAction G α
ContinuousConstVAdd G α
c : G
s : Set α
⊢ interior (c +ᵥ s) = c +ᵥ interior s
s : ℝ
hs : s ∈ Ioi 0
h1 : √π ≠ 0
h2 : Gamma (s / 2) ≠ 0
h3 : Gamma (s / 2 + 1 / 2) ≠ 0
h4 : 2 ^ (s - 1) ≠ 0
⊢ log (Gamma (s / 2)) + log (Gamma (s / 2 + 1 / 2)) + (s - 1) * log 2 - log √π = (fun s => log (Gamma (s / 2)) + log (Gamma (s / 2 + 1 / 2)) + s * log 2 - (log 2 + log √π)) s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : p + -1 = q
⊢ (CochainComplex.mappingCone.inl φ).v p q hpq ≫ (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v q q ⋯ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(b - a) j
εc : α
εc0 : εc > 0
ic : ℕ
hc : ∀ j ≥ ic, εc ≤ ↑(c - a) j
i : ℕ
hi : i ≥ ib ⊔ ic
⊢ εb ⊓ εc ≤ ↑(b ⊓ c - a) i
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ
⊢ 2 = 1 + 1
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder β
f g : α → β
a : α
hf : IsLocalMin f a
hg : IsLocalMin g a
⊢ IsLocalMin (fun x => min (f x) (g x)) a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
p : β × γ → Prop
hp : MeasurableSet {x | p x}
h : (κ a) {a_1 | ¬(η (a, a_1)) {a | ¬p (a_1, a)} = 0} = 0
⊢ ((κ ⊗ₖ η) a) {a | ¬p a} = 0
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : 0 < r
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
⊢ ∀ a ∈ Ioo 0 r, (mkMetric'.pre m a) (s ∪ t) = (mkMetric'.pre m a) s + (mkMetric'.pre m a) t
w v : Nat
x : BitVec w
h : w ≤ v
⊢ (BitVec.zeroExtend' h x).msb = (decide (0 < v) && x.getLsb (v - 1))