ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : Invertible 2
⊢ ⅟2 + ⅟2 = 1
M : Type u_1
a : M
Mul M
h : IsMulCentral a
b c : M
⊢ a * (b * c) = b * (a * c)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι'
hi : i ∈ s
hit : g i ∉ t
this : DecidableEq ι'
⊢ t ⊆ Finset.image g (s.erase i)
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
Module R₁ M₃
ContinuousAdd M₃
f : M₁ →L[R₁] M₃
g : M₂ →L[R₁] M₃
⊢ f.comp (ContinuousLinearMap.fst R₁ M₁ M₂) + g.comp (ContinuousLinearMap.snd R₁ M₁ M₂) = f.coprod g
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
n : N
q : Q
⊢ h (g n) - n ∈ range f
α : Type u_1
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : CovariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => y * ↑x) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : b ≤ c
ha : 0 = ↑a
⊢ b * ↑a ≤ c * ↑a
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Inf α
Inf β
Inf γ
g : SupHom βᵒᵈ γᵒᵈ
f : SupHom αᵒᵈ βᵒᵈ
⊢ InfHom.dual.symm (g.comp f) = (InfHom.dual.symm g).comp (InfHom.dual.symm f)
X : ℕ → Type u
(n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
n : ℕ
⊢ Isometry (Metric.toInductiveLimit I n)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : OpenEmbedding f
s : Set X
h : IsOpen (f '' s)
⊢ IsOpen s
s : Substring
⊢ s.Valid → ∀ (n : Nat), (s.drop n).Valid
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'_nonneg : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ deriv f x
⊢ MonotoneOn f D
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
P : Type u_3
AddCommMonoid P
Module R P
e : M ≃ₗ[R] P
h : ⊤.FG
⊢ ⊤.FG
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ₁ φ₂ : A →ₐ[R] B
⊢ ⇑φ₁ = ⇑φ₂ ↔ φ₁ = φ₂
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f g : Filter α
m : α → β
h : Injective m
t : Set β
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ∈ f
s₂ : Set α
hs₂ : s₂ ∈ g
ht : m ⁻¹' t = s₁ ∩ s₂
⊢ m '' s₁ ∩ m '' s₂ ⊆ t
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
r : R
a✝ : Nontrivial R
⊢ (X ^ n + C r).leadingCoeff = 1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
g : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso g
f : Y ⟶ X
h : g ≫ f = 𝟙 X
⊢ IsIso (inv g)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ [].bagInter l = []
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
⊢ EuclideanGeometry.angle p₃ p₁ p₂ = 0
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
S : L.Substructure M := { carrier := range (Term.realize Subtype.val), fun_mem := ⋯ }
⊢ (closure L).toFun s = S
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E
⊢ IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)
n m k : Nat
⊢ n * m * k = n * k * m
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : NormOneClass A
φ : A →ₐ[𝕜] 𝕜
x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ≥ 0
h : ∀ (x : A), ‖φ.toContinuousLinearMap x‖ ≤ x✝¹ * ‖x‖
⊢ 1 ≤ x✝¹
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
p : BoxIntegral.Box ι → Prop
⊢ (π.filter fun J => ¬p J).iUnion = π.iUnion \ (π.filter p).iUnion
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Lattice β
f : α → β
a b : α
hf : Monotone f
⊢ Set.MapsTo f (Set.uIcc a b) (Set.uIcc (f a) (f b))
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ M ∈ Set.range ⇑(Matrix.scalar n) ↔ ∀ (t : Matrix.TransvectionStruct n R), Commute t.toMatrix M
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α → M
hf : (Function.support f).Finite
⊢ ⇑(Finsupp.ofSupportFinite f hf) = f
α : Type u_3
DivisionSemiring α
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂
c₁ : α
c₁F : c₁ ∈ ↑F
c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁
c₂ : α
c₂F : c₂ ∈ ↑F
c₂J₂ : c₂ ∈ ↑J₂
b₁ : α
b₁J : b₁ ∈ J
cba₁ : c₁ ≤ b₁ ⊔ a₁
b₂ : α
b₂J : b₂ ∈ J
cba₂ : c₂ ≤ b₂ ⊔ a₂
b : α := b₁ ⊔ b₂
bJ : b ∈ J
ineq : c₁ ⊓ c₂ ≤ b ⊔ a₁ ⊓ a₂
⊢ a₁ ⊓ a₂ ∉ J
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
x : P
⊢ x ∈ 1 ↔ ∃ x', (algebraMap R P) x' = x
x y z : PartENat
h : x < y
hz : z ≠ ⊤
⊢ x + z < y + z
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Antitone f
hg : Antitone g
⊢ Antitone fun x => f x * g x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α
⊢ ↑(lowerClosure s) = closure s
a✝ b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
a : α
b : ℤ
nb ne : ℕ
pb : IsNat b nb
pe' : IsInt (a ^ nb) (Int.negOfNat ne)
⊢ IsInt (a ^ b) (Int.negOfNat ne)
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im < 0
⊢ Real.arccos ((-x).re / abs (-x)) = -Real.arccos (x.re / abs x) + π
E : Type u_6
NormedAddGroup E
a : E
⊢ ‖a‖₊ = 0 ↔ a = 0
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
⊢ s.tail.destruct = s.destruct >>= Stream'.WSeq.tail.aux
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ re (⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜) = re ⟪x, x⟫_𝕜 + (re ⟪x, y⟫_𝕜 + re ⟪x, y⟫_𝕜) + re ⟪y, y⟫_𝕜
α β : Type u
m n : ℕ
⊢ ↑m < ↑n ↔ m < n
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
⊢ 0 < (p.rightInv i).radius
J : Type u
inst✝ : Category.{?u.10050, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
j : J
⊢ { obj := fun j => ↑(⋂ f, F.map f ⁻¹' s), map := fun {X Y} g => MapsTo.restrict (F.map g) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) ⋯ }.map (𝟙 j) = 𝟙 ({ obj := fun j => ↑(⋂ f, F.map f ⁻¹' s), map := fun {X Y} g => MapsTo.restrict (F.map g) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) ⋯ }.obj j)
α : Type u_1
F : Type u_3
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hc : c < 0
p : ℝ≥0∞
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ = 0 ∧ MeasureTheory.eLpNorm g p μ = 0
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
⊢ Monoid.PushoutI.NormalWord.empty.head = 1
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
i : ℕ
h : i < q - 1
hi : ¬i = 0
⊢ ∑ x : K, x ^ i = 0
a b : ℤ
⊢ multiplicity.Finite a b ↔ a.natAbs ≠ 1 ∧ b ≠ 0
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
hpos₁ : 0 < ε₁
hpos₂ : 0 < ε₂
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ (h.convergenceR ε₁ c₁) π₁
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ (h.convergenceR ε₂ c₂) π₂
HU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
π : Prepartition I
hπU : π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion
hπc₁ : l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₁
hπc₂ : l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₂
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun x => min (h.convergenceR ε₁ c₁ x) (h.convergenceR ε₂ c₂ x)
πr : TaggedPrepartition I := π.toSubordinate r
⊢ dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε₁ + ε₂
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ x.arg = y.arg ↔ (↑(abs y) / ↑(abs x) * x).arg = y.arg
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Surjective ⇑f
x : R
h : x ∈ Module.annihilator R M
⊢ x ∈ Module.annihilator R M'
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
⊢ x ^ (y - 1) = x ^ y / x
D : AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData
x : ↑↑D.glued.toPresheafedSpace
⊢ D.openCover.f x = ⋯.choose
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : gcd a b = 0
ca : α
ha : a = gcd a b * ca
cb : α
hb : b = gcd a b * cb
⊢ a = 0 ∧ b = 0
K : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype K
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Fintype V
b : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex K V } K V := IsNoetherian.finsetBasis K V
⊢ Fintype.card V = q ^ FiniteDimensional.finrank K V
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
⊢ (x ~ᵢ y) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → (x ∈ s ↔ y ∈ s)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x : X
⊢ 𝓝 (Sum.inl x) = Filter.map Sum.inl (𝓝 x)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.63038, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
c₁ : KernelFork S₁.g
hc₁ : IsLimit c₁
hf₂ : S₂.f = 0
c₂ : KernelFork S₂.g
hc₂ : IsLimit c₂
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
comm : Fork.ι c₁ ≫ φ.τ₂ = f ≫ Fork.ι c₂
⊢ φ.τ₂ ≫ (RightHomologyData.ofIsLimitKernelFork S₂ hf₂ c₂ hc₂).g' = (RightHomologyData.ofIsLimitKernelFork S₁ hf₁ c₁ hc₁).g' ≫ φ.τ₃
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y z : F
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜 + (starRingEnd 𝕜) ⟪z, x⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪x, z⟫_𝕜
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : CommRing B
inst✝²⁴ : Algebra A B
inst✝²³ : Field K
inst✝²² : Field L
inst✝²¹ : Algebra A K
inst✝²⁰ : IsFractionRing A K
inst✝¹⁹ : Algebra B L
inst✝¹⁸ : Algebra K L
inst✝¹⁷ : Algebra A L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹³ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.446485
Bₘ : Type ?u.446488
inst✝¹² : CommRing Aₘ
inst✝¹¹ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁰ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝⁹ : Algebra A Aₘ
inst✝⁸ : Algebra B Bₘ
inst✝⁷ : Algebra A Bₘ
inst✝⁶ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁴ : IsLocalization M Aₘ
inst✝³ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝² inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : B
⊢ (algebraMap A K) (IsIntegralClosure.mk' A ((norm K) ((algebraMap B L) x)) ⋯) = (norm K) ((algebraMap B L) x)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
pn : xz a1 n * xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 n = 1 := pell_eqz a1 n
⊢ ↑(xn a1 n * xn a1 n) - ↑(Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
⊢ μ.withDensityᵥ 0 = 0
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix l m α
f : m ≃. n
i : l
j : n
⊢ (M * f.toMatrix) i j = Option.casesOn (f.symm j) 0 fun fj => M i fj
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
⊢ y ∈ interior s
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
i : ℕ
a✝¹ : i ∈ ↑(Finset.range N)
j : ℕ
a✝ : j ∈ ↑(Finset.range N)
hij : i ≠ j
⊢ min (upperCrossingTime a b f N (i + 1) ω) (upperCrossingTime a b f N (j + 1) ω) ≤ max (lowerCrossingTime a b f N i ω) (lowerCrossingTime a b f N j ω)
α : Type u_2
Subsingleton α
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ s ↔ s.Nonempty
α : Type u_1
⊢ Sym2.fromRel ⋯ = Set.univ
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f'✝ : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f' : α → γ → δ'
g' : β → δ' → ε
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' b (f' a c)
⊢ image2 f (↑s) (image2 g ↑t ↑u) = image2 g' (↑t) (image2 f' ↑s ↑u)
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
⊢ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : Ω), f x ∂↑μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) atTop
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
hbd : Commute b d
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ a / b = c / d ↔ a * d = c * b
α : Type u
β : Type v
AddZeroClass α
AddZeroClass β
f : α → β
hf : IsAddMonoidHom f
⊢ IsMonoidHom f
α : Type u_1
Star α
⊢ star Set.univ = Set.univ
G : Type u_1
P : Type u_2
LinearOrder G
LinearOrder P
SMul G P
IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
⊢ Finset.SMulAntidiagonal ⋯ ⋯ (hs.min hns • ht.min hnt) = {(hs.min hns, ht.min hnt)}
f : ℂ → ℂ
x : ℂ
s : Set ℂ
hf : DifferentiableWithinAt ℂ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℂ s x
⊢ derivWithin (fun x => Complex.sin (f x)) s x = Complex.cos (f x) * derivWithin f s x
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a : α
b : M
⊢ Finsupp.single a b = 0 ↔ b = 0
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
x : A
⊢ imaginaryPart ↑(imaginaryPart x) = 0
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
⊢ Function.Injective ⇑e
α : Type u
Add α
β : Type v
AddSemigroup β
f : AddHom (AddMagma.FreeAddSemigroup α) β
⊢ AddMagma.FreeAddSemigroup.lift.symm f = f.comp AddMagma.FreeAddSemigroup.of
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
AlgebraicGeometry.QuasiSeparated (f ≫ g)
⊢ AlgebraicGeometry.QuasiSeparated f
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
i : ι
ω : Ω
h : τ ω ≤ i
⊢ stoppedProcess u τ i ω = u (τ ω) ω
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
K : Ideal S
⊢ I ≤ Ideal.comap f K → Ideal.map f I ≤ K
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
g : G
w : NormalWord d
⊢ ReducedWord.prod φ (g • w).toReducedWord = of g * ReducedWord.prod φ w.toReducedWord
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
C : ℝ
g : α → E
g' : α → F
h1 : Asymptotics.IsBigOWith C (𝓝[s] x) g g'
h2 : ‖g x‖ ≤ C * ‖g' x‖
⊢ Asymptotics.IsBigOWith C (𝓝[insert x s] x) g g'
M : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝ : CommMonoid A
a b c : A
⊢ c ∈ closure {a, b} ↔ ∃ m n, a ^ m * b ^ n = c
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone S.arrows.diagram
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
Hs : ∀ ⦃X_1 Y : S.arrows.category⦄ (f : X_1 ⟶ Y), S.arrows.diagram.map f ≫ s.ι.app Y = s.ι.app X_1 ≫ ((Functor.const S.arrows.category).obj s.pt).map f
⊢ g₁ ≫ s.ι.app { obj := Over.mk f₁, property := hf₁ } = g₂ ≫ s.ι.app { obj := Over.mk f₂, property := hf₂ }
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
⊢ P (f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ↔ P f s x
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
NoMinOrder α
⊢ Function.Injective Order.pred
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ ⋃ i, Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
⊢ l₁ <+~ l₂ ↔ ∃ l, l ~ l₂ ∧ l₁ <+ l
p : ℕ
hp : Prime p
n q : ℕ
hq : q ∈ replicate n p
⊢ Prime q
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : (CategoryTheory.Limits.Types.pullbackCone f g).pt
⊢ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g ((CategoryTheory.Limits.Types.pullbackIsoPullback f g).inv x) =
  (fun p => (↑p).1) x
a b r : ℝ≥0
h : a < b / r
⊢ a * r < b
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ s' t : Set α✝
f : α✝ → β
G : Type u_8
α : Type u_9
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ
g₁ g₂ : G
g : G := g₂⁻¹ * g₁
hg : g ≠ 1
this : (fun x => g₂⁻¹ • x) ⁻¹' (g • s ∩ s) = g₁ • s ∩ g₂ • s
⊢ μ (g₁ • s ∩ g₂ • s) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x : E
r : β
hx : (x, r).1 ∈ s
hr : f (x, r).1 ≤ (x, r).2
y : E
t : β
hy : (y, t).1 ∈ s
ht : f (y, t).1 ≤ (y, t).2
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • (x, r) + b • (y, t) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ f p.1 ≤ p.2}
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
hγ : IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (t₀ / a)
⊢ IsIntegralCurveAt γ v t₀
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type (max (max (max uE u𝕜) uι) (max uE uι) u𝕜) := (⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)
G' : Submodule 𝕜 F := LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)
e : ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) ≃ₗ[𝕜] ↥(LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)) := (lift f.toMultilinearMap).quotKerEquivRange
this✝ : SeminormedAddCommGroup G := SeminormedAddCommGroup.induced G (↥G') e
this : NormedSpace 𝕜 G := NormedSpace.induced 𝕜 G (↥G') e
f'₀ : MultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := lift.symm (↑e.symm ∘ₗ (lift f.toMultilinearMap).rangeRestrict)
hf'₀ : ∀ (x : (i : ι) → E i), ‖f'₀ x‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖
f' : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := f'₀.mkContinuous ‖f‖ hf'₀
hnorm : ‖f'‖ ≤ ‖f‖
heq : ↑(e ((lift f'.toMultilinearMap) x)) = (lift f.toMultilinearMap) x
⊢ ‖(lift f'.toMultilinearMap) x‖ ≤ ‖f'‖ * injectiveSeminorm x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hq0_ne : q ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
f : α → F
hf_zero : f =ᶠ[ae μ] 0
⊢ eLpNorm' f q μ = 0
α : Type u_1
One α
Add α
n : PosNum
⊢ ↑n.bit0 = ↑n + ↑n
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
δ K ε x a : ℝ
⊢ K * gronwallBound δ K ε (x - a) + ε = (K * gronwallBound δ K ε (id x - a) + ε) * 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h₁ : Continuous f
h₂ : Injective f
h₃ : IsOpenMap f
⊢ ∀ (x : X), 𝓝 x = comap f (𝓝 (f x))
n m : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m
α✝ β : TypeVec.{u} m
α : TypeVec.{u} n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : ↑P α
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
xeq : x = ⟨a, f⟩
pf : ∀ (i : Fin2 n) (j : P.B a i), p (f i j)
⊢ LiftP p x
n k : ℕ
hnk : n < k
⊢ (hermite n).coeff k = 0
R : Type u_2
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_8
f : ι → M
hf : LinearIndependent R f
t : Set M
ht : Set.range f = t
⊢ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ t }) R Subtype.val
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Div G✝
inst✝³ : ContinuousDiv G✝
G : Type u_1
inst✝² : CommGroupWithZero G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousDiv G
b : G
hb : b ≠ 0
c : G
f : α → G
l : Filter α
h : Tendsto (fun x => f x / b) l (𝓝 (c / b))
⊢ Tendsto f l (𝓝 c)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p : Associates α
s : Associates.FactorSet α
⊢ p.FactorSetMem s = (p ∈ s)
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
⊢ (l.node3R x m y r).dual = r.dual.node3L y m.dual x l.dual
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂ν a,
  Filter.Tendsto (fun n => κ.densityProcess ν n a x s) Filter.atTop
    (𝓝
      (MeasureTheory.Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s)
        (ProbabilityTheory.countableFiltration γ) (ν a) x))
K : Type u
Field K
x : RatFunc K
⊢ (-x).intDegree = x.intDegree
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
k : ℕ
⊢ Finset.filter p (Finset.range (Nat.nth p (k + 1))) ⊆ insert (Nat.nth p k) (Finset.filter p (Finset.range (Nat.nth p k)))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
⊢ Memℒp (fun x => c) ⊤ μ
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
s : Set (Ideal α)
hs : s.Nonempty
hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime
x✝ y✝ : α
e : x✝ * y✝ ∈ sInf s
hx : x✝ ∉ sInf s
⊢ y✝ ∈ sInf s