ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
m m' : M
ContinuousAdd M
f : ℕ → M
he : HasSum (fun k => f (2 * k)) m
ho : HasSum (fun k => f (2 * k + 1)) m'
⊢ HasSum f (m + m')
R : Type u
L : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H✝ H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
⊢ H.toLieSubmodule.normalizer = H.toLieSubmodule
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x < y
⊢ derivWithin f S x < derivWithin f S y
α : Type u_1
MetricSpace α
SecondCountableTopology α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
HasBesicovitchCovering α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Set.Ioo 0 δ).Nonempty
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
⊢ ∃ t r,
  t.Countable ∧
    t ⊆ s ∧
      (∀ x ∈ t, r x ∈ f x ∩ Set.Ioo 0 (R x)) ∧
        μ (s \ ⋃ x ∈ t, Metric.closedBall x (r x)) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun x => Metric.closedBall x (r x)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
h_eq : ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
h : UniformEmbedding f
hd : DenseRange f
⊢ DenseEmbedding f
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
⊢ (x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : InnerProductGeometry.angle x y = π
⊢ ‖x - y‖ = ‖x‖ + ‖y‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x : E
this : IsCompl K Kᗮ
⊢ (orthogonalProjection K) x = (K.linearProjOfIsCompl Kᗮ ⋯) x
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Group α
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : ContinuousInv α
inst✝ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
f : β → α
hf : ∀ x ∈ s • t, f x ∈ s ∧ (f x)⁻¹ • x ∈ t
x : β
hx : x ∈ closure (s • t)
u : Ultrafilter β
hust : s • t ∈ u
hux : ↑u ≤ 𝓝 x
this : ↑(Ultrafilter.map f u) ≤ 𝓟 s
g : α
hg : g ∈ s
hug : ↑(Ultrafilter.map f u) ≤ 𝓝 g
⊢ g⁻¹ • x ∈ t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b = (a ⊔ b) ⊓ (aᶜ ⊔ bᶜ)
G : Type u_1
Group G
S T : Set G
hST : Subgroup.IsComplement S T
hs1 : 1 ∈ S
ht1 : 1 ∈ T
⊢ hST.equiv 1 = (⟨1, hs1⟩, ⟨1, ht1⟩)
R : Type u_2
Add R
Mul R
r : R → R → Prop
⊢ ringConGen ⇑(ringConGen r) = ringConGen r
n p : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Nat.Prime p
⊢ ¬p ^ (n.factorization p + 1) ∣ n
α : Type u_2
ι : Type u_5
BooleanAlgebra α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ (s.sup f)ᶜ = s.inf fun i => (f i)ᶜ
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a b : R
⊢ ↑(a + b) = ↑a + ↑b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf γ
F : Filter α
G : Filter β
f : α → γ
g : β → γ
hf : Tendsto f F atBot
hg : Tendsto g G atBot
⊢ Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) (atBot ×ˢ atBot)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
G : Type u_6
Group G
MeasurableSpace G
S : Subgroup G
f : G ⧸ S → α
⊢ Measurable f ↔ Measurable (f ∘ QuotientGroup.mk)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'
s : e.source = univ
t : e.target = univ
⊢ e = e'
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n m : ℕ
ha : 1 ≤ a
h : m ≠ 0
⊢ a ≤ a ^ m
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ dist s.circumcenter (s.points i) = s.circumradius
xs ys : Lean.Omega.IntList
i : Nat
z : Int
⊢ (xs.set i z).dot ys = xs.dot ys + (z - xs.get i) * ys.get i
α : Sort u_1
s : Setoid α
q : Quotient s
⊢ ⟦q.out⟧ = q
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x / n) Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : μ o = μ s
a : BallPackage (↑s) α := { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ i, s ∩ v i
S : ∑ _i : Fin N, μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : μ s / (↑N + 1) < μ (s ∩ v i)
B : μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : μ s / (↑N + 1) < ∑ x ∈ w, μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
f' : β → α
hf : Set.LeftInvOn f' f s
⊢ f' '' (f '' s) = s
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
h₂ : ¬G.IsUniform ε U V
⊢ (G.nonuniformWitness ε U V \ (SzemerediRegularity.star hP G ε hU V).biUnion id).card ≤
  2 ^ (P.parts.card - 1) * (Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card)
R : Type u_1
Zero R
n : R
h : NeZero n
⊢ 0 ≠ n
a : ℝ≥0
⊢ ↑a = ↑a
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : SetLike S R
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid ι
A : ι → S
inst✝ : GradedMonoid A
ι' : Type u_4
l : List ι'
i : ι' → ι
r : ι' → R
h : ∀ j ∈ l, r j ∈ A (i j)
⊢ (List.map r l).prod ∈ A (List.map i l).sum
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
A : Set (β → α)
hA : A.UniformEquicontinuous
⊢ (closure A).UniformEquicontinuous
x : ℂ
⊢ ↑x⁻¹.arg = -↑x.arg
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
F : ℍ[R,c₁,c₂] →ₐ[R] A
x✝ : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ F ((algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂]) x✝.re) + x✝.imI • F { re := 0, imI := 1, imJ := 0, imK := 0 } + x✝.imJ • F { re := 0, imI := 0, imJ := 1, imK := 0 } + x✝.imK • F { re := 0, imI := 0, imJ := 0, imK := 1 } = F x✝
α : Type u_1
f : Filter α
F : f.Realizer
⊢ f ≠ ⊥ ↔ ∀ (a : F.σ), (F.F.f a).Nonempty
α : Type u
β : Type v
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ : ι → TopologicalSpace α
t₂ : TopologicalSpace β
⊢ Continuous f ↔ ∀ (i : ι), Continuous f
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
⊢ (normalizeScaleRoots p).degree ≤ p.degree
a b : UInt32
h : a < b
⊢ a ≠ b
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
n : ℤ
⊢ 0 ^ n = if n = 0 then 1 else 0
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
x y : WithLp ⊤ ((i : ι) → β i)
⊢ edist x y ≤ edist ((WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) x) ((WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) y)
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
A : Set (X → α)
hA : A.Equicontinuous
⊢ (closure A).Equicontinuous
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
NonUnitalSemiring B
StarRing B
Module R B
IsScalarTower R B B
SMulCommClass R B B
StarModule R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
f : F
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ NonUnitalStarSubalgebra.map f (S ⊔ T) = NonUnitalStarSubalgebra.map f S ⊔ NonUnitalStarSubalgebra.map f T
K : Type u
Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
L : Type u_1
Field L
Algebra K L
Polynomial.IsSplittingField K L (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
⊢ FiniteDimensional.finrank K L = n
V : Type u_1
α : Type u_2
A : Matrix V V α
MulZeroOneClass α
Nontrivial α
h : A.IsAdjMatrix
i j : V
⊢ h.toGraph.Adj i j = (A i j = 1)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : (i : ι) → M i
i : ι
⊢ (insert i (univ.erase i)).noncommProd ?h.convert_3 ⋯ = x i
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
self : CharZero R
⊢ Function.Injective Nat.cast
ι : Sort u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set Aᵐᵒᵖ
⊢ Subsemiring.closure (MulOpposite.op ⁻¹' Set.range ⇑(algebraMap R Aᵐᵒᵖ) ∪ MulOpposite.op ⁻¹' s) = Subsemiring.closure (Set.range ⇑(algebraMap R A) ∪ MulOpposite.op ⁻¹' s)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : Set ((i : ι) → α i)
⊢ s ∈ Filter.pi f ↔ ∃ I, I.Finite ∧ ∃ t, (∀ (i : ι), t i ∈ f i) ∧ I.pi t ⊆ s
R : Type u
S : Type v
A : Type w
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid A
Module R S
Module S A
Module R A
IsScalarTower R S A
ι : Type u_1
Nonempty ι
b : Basis ι S A
⊢ IsScalarTower R S S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.InducedCategory C CategoryTheory.FullSubcategory.obj} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.fullBraidedSubcategoryInclusion P).map f = f
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : CategoryTheory.CategoryStruct.id a ⟶ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g
ε : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f ⟶ CategoryTheory.CategoryStruct.id b
h :
  CategoryTheory.Bicategory.leftZigzag η ε =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).hom
      (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).inv
⊢ CategoryTheory.bicategoricalComp (CategoryTheory.Bicategory.rightZigzag η ε)
    (CategoryTheory.Bicategory.rightZigzag η ε) =
  CategoryTheory.Bicategory.rightZigzag η ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
s s' t : Set α
ht : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t
⊢ t.ite s s' ∩ closure t = s ∩ closure t
α : Type u
β : Type v
Ring α
Ring β
f : α → β
self : IsRingHom f
⊢ f 1 = 1
ι : Type u
ι' : Type v
f : ι → Ordinal.{max (max u v) w}
g : ι' → Ordinal.{max (max u v) w}
h : Set.range f = Set.range g
⊢ Ordinal.lsub f = Ordinal.lsub g
x : ℝ
⊢ AddCircle.homeomorphCircle' ↑x = expMapCircle x
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
f : AddHom M M₃
h : ∀ (m : R) (x : M), f.toFun (m • x) = σ m • f.toFun x
⊢ ↑{ toAddHom := f, map_smul' := h } = f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x✝ x : E
hx : x ∈ s
⊢ 1 • x ∈ s
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
b : B
⊢ b ∈ (Z.localTrivAt b).baseSet
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap (CategoryTheory.CategoryStruct.id S) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id S.leftHomology
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
q : ℝ
hq_pos : 0 < q
h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), eLpNormEssSup f μ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≤ eLpNormEssSup f μ ^ 1 * μ Set.univ ^ (1 / q)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp a (b + m • p) = toIocMod hp a b
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ ⋂₀ {s, t} = s ∩ t
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.update i f 0 = DFinsupp.erase i f
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' Set.Iio b = Set.Iio (b + a)
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
w x y✝ z✝ : α
hwx : w ≠ x
hyz✝ : y✝ ≠ z✝
y z : α
hyz : y ≠ z
hwz : w ≠ z
⊢ swap w y * swap x z * swap w x * (swap w y * swap x z)⁻¹ = swap y z
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : f p.content * eval₂ f s p.primPart = 0
⊢ eval₂ f s p.primPart = 0
R : Type u_2
LinearOrder R
a b c : R
ha : a ≠ c
hb : b ≠ c
⊢ min a b ≠ c
d : ℤ
a : Solution₁ d
H : a.y = 0
⊢ a = 1 ∨ a = -1
m : ℝ
hm : 1 < m
k : ℕ
⊢ LiouvilleNumber.partialSum m k + LiouvilleNumber.remainder m k = liouvilleNumber m
μ ν : YoungDiagram
h : μ.transpose.transpose ≤ ν
⊢ μ.transpose ≤ ν.transpose
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h : s1 < s2
p : P
hp : p ∈ ↑s1
⊢ s1.direction < s2.direction
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
hp : NeZero p
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
⊢ (W_ R n).vars = range (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
h : Set α → Set β
⊢ ⊤.lift' h = 𝓟 (h Set.univ)
α : Type u_1
M : Type u_4
AddZeroClass M
s : Set α
f g : α → M
⊢ s.indicator (f + g) = s.indicator f + s.indicator g
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
H : (p + q).natDegree < p.natDegree
h : ¬p.natDegree = q.natDegree
⊢ False
α : Sort u_4
β : Sort u_5
Finite α
f : α → β
H : Function.Surjective f
⊢ Finite β
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝¹ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X✝ I✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set ↑M.E
⊢ (M.restrictSubtype M.E).Basis I X ↔ M.Basis ↑I ↑X
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
i : ι
s : Set (α i)
hs : MeasurableSet s
t : Set ((a : ι) → α a)
⊢ ∀ j ∈ Finset.univ, j ≠ i → (μ j).toOuterMeasure (eval j '' (t \ (fun b => b i) ⁻¹' s)) ≤ (μ j).toOuterMeasure (eval j '' t)
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
DivInvMonoid G₀
TopologicalSpace G₀
ContinuousMul G₀
f : α → G₀
s : Set α
TopologicalSpace α
hf : ContinuousOn f s
y : G₀
⊢ ContinuousOn (fun x => f x / y) s
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring A
Semiring B
Module A M
Module B M
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R B M
SMulCommClass A B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
⊢ ↑(Subbimodule.toSubmodule' p) = ↑p
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
B : Set (Set α) := {b | b ∈ countableBasis α ∧ ∃ i, b ⊆ s i}
f : ↑B → ι
hf : ∀ (b : ↑B), ↑b ⊆ s (f b)
this : Countable ↑B
⊢ ∃ T, T.Countable ∧ ⋃ i ∈ T, s i = ⋃ i, s i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n m : ℕ
h✝ : n ≠ m
h : n > m
⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n ∩ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i m = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
ts : List α
t : α
is : List α
ih : ∀ (is' : List α), (is ++ ts).permutationsAux is' = map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux is') ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ is')
is' : List α
⊢ (t :: is ++ ts).permutationsAux is' = map (fun x => x ++ ts) ((t :: is).permutationsAux is') ++ ts.permutationsAux ((t :: is).reverse ++ is')
n : ℤ
m : ℤ
hn : 0 < n
⊢ (∃ k, n * k < m ∧ m < n * (k + 1)) ↔ ¬n ∣ m
G : Type u_1
Monoid G
x y : G
h : Commute x y
⊢ orderOf (x * y) ∣ orderOf x * orderOf y
α : Type u_1
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
⊢ ∀ (a : α), gc.lowerAdjoint.toFun a = l a
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : IsOpenMap f
s : Set Y
⊢ f ⁻¹' frontier s ⊆ frontier (f ⁻¹' s)
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
⊢ IsAddSubgroup (AddGroup.closure s)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
OrderedAddCommMonoid M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
hi : ¬v.restrict i ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i
⊢ MeasurableSet i
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
i : Fin (n + 1 + 1)
hp : Prime (c i)
hp' : c i ∣ r
⊢ 1 ≤ i
R : Type u
CommSemiring R
f : R[X]
⊢ f.Separable ↔ IsCoprime f (Polynomial.derivative f)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c = 0
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
l : L
⊢ 2 < pointCount P l
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
⊢ 2 ≤ (f.cycleOf x).support.card ↔ f x ≠ x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p q r : Submodule R M
h₁ : IsCompl q r
h₂ : q ≤ p
⊢ IsCompl (comap p.subtype q) (comap p.subtype r)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g
⊢ (F.map₂Iso η).inv = F.map₂ η.inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
h : 0 < a
b : Ordinal.{u_4}
⊢ a * b < a * succ b
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l l' : Filter α
h : f =o[l] g
h' : f =o[l'] g
⊢ f =o[l ⊔ l'] g
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(Metric.sphere 0 1)
⊢ (stereographic' n v).source = {v}ᶜ
α : Type u_1
β : α → Type u_3
f : (x : α) × β x → ℝ
hf : ∀ (x : (x : α) × β x), 0 ≤ f x
⊢ Summable f ↔ (∀ (x : α), Summable fun y => f ⟨x, y⟩) ∧ Summable fun x => ∑' (y : β x), f ⟨x, y⟩
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
s : Multiset (Multiset α)
t : Multiset (Multiset β)
h : Rel (Rel r) s t
⊢ Rel r s.join t.join
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
m : Fin (n + 1) →₀ ℕ
⊢ m ∈ Finset.image (cons i) (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support ↔ m ∈ Finset.filter (fun m => m 0 = i) f.support
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
j : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Coreflective j
A : D
h : A ∈ j.essImage
⊢ CategoryTheory.IsIso ((CategoryTheory.coreflectorAdjunction j).counit.app A)
M : Type u_4
N : Type u_5
Add M
Add N
f : M → N
hmul : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y
⊢ ⇑{ toFun := f, map_add' := hmul } = f
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
r : R
f : R⟦X⟧
⊢ (r • f).derivativeFun = r • f.derivativeFun
R : Type u_1
CommRing R
n ν : ℕ
⊢ Polynomial.derivative (bernsteinPolynomial R (n + 1) (ν + 1)) =
  (↑n + 1) * (bernsteinPolynomial R n ν - bernsteinPolynomial R n (ν + 1))
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : SigmaFinite μ
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (μ.prod volume)
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (μ.prod volume)
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) (μ.prod volume)
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
x : E
hf'gx : Integrable (fun y => (B (f' (x, y))) (g (x, y))) volume
hfg'x : Integrable (fun y => (B (f (x, y))) (g' (x, y))) volume
hfgx : Integrable (fun y => (B (f (x, y))) (g (x, y))) volume
⊢ ∫ (t : ℝ), (B (f (x, t))) (g' (x, t)) = -∫ (t : ℝ), (B (f' (x, t))) (g (x, t))
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Decidable (IsField A)
⊢ IsField A ↔ restrictScalars A (LinearMap.range (Algebra.trace K L)) ≤ 1
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ b
⊢ a * b ≤ max a b
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulZeroClass α β
Preorder α
Preorder β
PosSMulReflectLT α β
h : 0 < a • b
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 < b
α β : Type u
f : α → β
x : FreeAbelianGroup α
⊢ f <$> (-x) = -f <$> x
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
I : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : F ⟶ G
θ : G ⟶ H
ι : H ⟶ I
a : B
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.associator η θ ι).inv.app a =
  (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (θ.app a) (ι.app a)).inv
α : Sort u
r : α → α → Prop
a b : α
⊢ StrictWeakOrder.Equiv a b → StrictWeakOrder.Equiv b a
α : Type u
β : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
b c d : α
inst✝ : Nontrivial α
k : α
⊢ 0 < 2 * k + 1
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
g : Filter β
hg : g.NeBot
⊢ 0 • g = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s t : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
s.HaveLebesgueDecomposition μ
t.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ (s + t).singularPart μ = s.singularPart μ + t.singularPart μ
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s : Set β
b : β
⊢ s -ᵥ {b} = (fun x => x -ᵥ b) '' s
u : XgcdType
hs : u.wp + u.zp + u.wp * u.zp = u.x * u.y
⊢ u.y * u.q + u.zp + u.wp + (u.y * u.q + u.zp) * u.wp = u.y * ((u.wp + 1) * u.q + u.x)
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
x₀ : { j // j ≠ i } → K
e : K ≃ { x // x ∘ Subtype.val = x₀ } := (Equiv.subtypeEquivCodomain x₀).symm
⊢ ∀ (a : K), ∏ j : σ, ↑(e a) j ^ d j = (∏ j : { j // j ≠ i }, x₀ j ^ d ↑j) * a ^ d i