ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ (∑ i ∈ s, f i) v = ∑ i ∈ s, (f i) v
x : SetTheory.PGame
⊢ -x.birthday.toPGame ≤ x
α : Type u_1
b : ℂ
hb : b ≠ 0
⊢ (fun x => 0 ^ x) =ᶠ[𝓝 b] 0
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
e : ι ≃ ι'
f : ι' → M
⊢ LinearIndependent R (f ∘ ⇑e) ↔ LinearIndependent R f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.QInfty = 0
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
hs : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
ht : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G t μ
A : Set α
hA₀ : MeasurableSet A
hA : ∀ (g : G), (fun x => g • x) ⁻¹' A = A
⊢ μ (A ∩ s) = μ (A ∩ t)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R n) f).coeff i ≠ 0
hf'_sup : (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support.Nonempty
⊢ (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).totalDegree + i ≤ f.totalDegree
K : Type u
Field K
L : Type u_1
Field L
A : ValuationSubring L
f : K →+* L
x : K
⊢ x ∈ A.comap f ↔ f x ∈ A
ι : Type u_1
Finite ι
κ : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (κ i)
ht : ∀ (i : ι), (t i).Finite
⊢ (Set.univ.pi t).Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f : β → α
hf : Multipliable fun b => (f b)⁻¹
⊢ Multipliable f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
V' : Type u_3
P' : Type u_4
NormedAddCommGroup V'
InnerProductSpace ℝ V'
MetricSpace P'
NormedAddTorsor V' P'
f : P → P'
h : Isometry f
p₁ p₂ : P
⊢ f ⁻¹' ↑(AffineSubspace.perpBisector (f p₁) (f p₂)) = ↑(AffineSubspace.perpBisector p₁ p₂)
α : Type u_1
LinearOrder α
x y : α
⊢ ↑(min x y) = min ↑x ↑y
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
⊢ constantCoeff (X i) = 0
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ SameRay R x y ∨ SameRay R x (-y) ↔ ¬LinearIndependent R ![x, y]
α : Type u
β : Type v
s : Set α
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ AntitoneOn f s ↔ Antitone fun a => f ↑a
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
a : A
⊢ (Polynomial.aeval a) (Polynomial.annIdealGenerator 𝕜 a) = 0
R : Type u
Semiring R
a : R[ℕ]
⊢ { toFinsupp := a } = 1 ↔ a = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p b < multiplicity p a
⊢ multiplicity p b ≤ multiplicity p (a + b)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal) ν
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
k p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
H : Subgroup G
hk : k ≤ Nat.card ↥H
hk₀ : k ≠ 0
m : ℕ
hmk : p ^ m ≤ k
hkm : k < p ^ (m + 1)
H' : Subgroup G
H'H : H' ≤ H
H'card : Nat.card ↥H' = p ^ m
⊢ ∃ H' ≤ H, Nat.card ↥H' ≤ k ∧ k < p * Nat.card ↥H'
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
⊢ hV.linearIsometry (lp.single 2 i x) = (V i) x
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r
hr1 : 1 ≤ r
⊢ ↑b ^ log b r ≤ r
V : Type u_1
W : Type u_2
f : V ↪ W
G : SimpleGraph W
v : V
⊢ (SimpleGraph.Embedding.comap f G) v = f v
α : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
u : Set α
hu : u.IsPWO
h : u ⊆ s
⊢ Finset.addAntidiagonal hu ht a ⊆ Finset.addAntidiagonal hs ht a
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
C : CochainComplex V ℕ
i : ℕ
⊢ ¬(ComplexShape.up ℕ).Rel 0 (i + 2)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => (f x).toNNReal
α : Type u_1
f : α → Char → α
s : String
a : α
⊢ String.foldl f a s = List.foldl f a s.data
α : Type u_3
CommMonoid α
m : Multiset α
n : ℕ
⊢ (n • m).prod = m.prod ^ n
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
⊢ ⊤.prod ⊤ = ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
x : ↑↑((AlgebraicGeometry.Proj.toLocallyRingedSpace 𝒜).restrict ⋯).toPresheafedSpace
⊢ AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.toFun f_deg hm
    ((AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.toSpec 𝒜 f) x) =
  x
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
A B : Matrix m n α
⊢ Aᵀ = Bᵀ ↔ A = B
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ IsOpen (⇑Topology.WithUpperSet.ofUpperSet ⁻¹' s) ↔ IsUpperSet s
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
x : ↥s
hxe : ↑x ∈ e.source
⊢ ↑e ↑x ∈ (e.subtypeRestr hs).target
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₂₁ X₂₂ X₂₃ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₁₂ : X₁₂ ⟶ X₁₃
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₂₃ : X₂₁ ⟶ X₂₃
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₃ ⟶ X₂₃
s : IsPushout (h₁₁ ≫ h₁₂) v₁₁ v₁₃ h₂₃
t : IsPushout h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁
⊢ h₁₂ ≫ v₁₃ = v₁₂ ≫ t.desc (h₁₂ ≫ v₁₃) h₂₃ ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
⊢ a ≠ b → a ∈ s → a ∈ s.erase b
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : (s, t).1.Nonempty
ht : (s, t).2.Nonempty
ih : ∀ z ∈ {x | x.1.Nonempty ∧ x.2.Nonempty}, DevosMulRel z (s, t) → (fun x => min (minOrder α) ↑(x.1.card + x.2.card - 1) ≤ ↑(x.1 * x.2).card) z
⊢ min (minOrder α) ↑((s, t).1.card + (s, t).2.card - 1) ≤ ↑((s, t).1 * (s, t).2).card
G : Type u_1
H : Type u_2
MulOneClass G
AddZeroClass H
f : G ≃* Multiplicative H
a : H
⊢ (AddEquiv.toMultiplicative'.symm f).symm a = (AddMonoidHom.toMultiplicative''.symm f.symm.toMonoidHom) a
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ ((-o).oangle x (x - y)).tan = ‖y‖ / ‖x‖
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
H : Ideal.IsJacobson R
⊢ (∃ f, Function.Surjective ⇑f) → Ideal.IsJacobson S
R : Type u
Ring R
X Y : Type u
f : X ⟶ Y
⊢ (ModuleCat.free R).map f = Finsupp.lmapDomain R R f
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
i : ι
s : Set X
⊢ ⇑(BumpCovering.single i s) = Pi.single i 1
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
p : R[X]
f : R →+* S
k : ℕ
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[k] (Polynomial.map f p) = Polynomial.map f ((⇑Polynomial.derivative)^[k] p)
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
⊢ ((mapBilinear R M N M N).compr₂ (trace R (M ⊗[R] N))).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N) = ((lsmul R R).compl₁₂ (trace R M) (trace R N)).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
ι : Type u_1
inst✝ : Unique ι
h✝ : finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0
b : Basis ι K V := basisUnique ι h✝
h : (b.repr v) default ≠ 0 := mt basisUnique_repr_eq_zero_iff.mp hv
⊢ ∀ (m : K) (x : V), { toFun := fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default), map_add' := ⋯ }.toFun (m • x) = (RingHom.id K) m • { toFun := fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default), map_add' := ⋯ }.toFun x
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
⊢ ⇑(WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.basis W) = ![1, (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) Y]
α : Type u_1
s t : Set α
u : Set α
h : Disjoint s t
⊢ Disjoint s (u ∩ t)
K : Type u_8
M : Type u_9
L : Type u_10
CommSemiring K
Semiring M
Algebra K M
CommRing L
IsDomain L
Algebra K L
⊢ LinearIndependent L AlgHom.toLinearMap
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] E
h : IsProj p f
⊢ Submodule R E
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ ∀ {t_1 : Set α},
  TopologicalSpace.IsSeparable (s ∪ t_1) ↔ TopologicalSpace.IsSeparable s ∧ TopologicalSpace.IsSeparable t_1
ι : Type u_5
α : ι → Type u_6
β : ι → Type u_7
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → SMul (α i) (β i)
s : (i : ι) → Finset (α i)
t : (i : ι) → Finset (β i)
⊢ (Fintype.piFinset fun i => s i • t i) = Fintype.piFinset s • Fintype.piFinset t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
q : α
hq : ¬IsUnit q
hq' : q ≠ 0
n m : ℕ
h : n < m
⊢ ¬IsUnit (q ^ (m - n))
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
Fintype ι
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
I : Ideal S
b : Basis ι R ↥I
x : S
⊢ x ∈ I ↔ ∃ c, x = ∑ i : ι, c i • ↑(b i)
x y : ℝ
a : Cauchy abs
⊢ (Real.neg { cauchy := a }).cauchy = -{ cauchy := a }.cauchy
J : Type u
inst✝³ : Preorder J
inst✝² : IsDirected J fun x x_1 => x ≤ x_1
F : Jᵒᵖ ⥤ Type v
inst✝¹ : ∀ (j : Jᵒᵖ), Finite (F.obj j)
inst✝ : ∀ (j : Jᵒᵖ), Nonempty (F.obj j)
⊢ F.sections.Nonempty
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
j : ι
hij : i ≤ j
hfx : (f' i j hij) x = 0
⊢ x = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
AddZeroClass α
AddZeroClass β
f g : αᵐᵒᵖ →+ β
h : f.comp MulOpposite.opAddEquiv.toAddMonoidHom = g.comp MulOpposite.opAddEquiv.toAddMonoidHom
⊢ f = g
ι : Type u
β : ι → Type v
κ : Type u_1
(i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
f : Π₀ (i : ι), β i
k : κ
⊢ (DFinsupp.comapDomain' h hh' f) k = f (h k)
α : Type u_1
l l₁ r₁ l₂ r₂ : List α
⊢ l₂ ++ l₁ ++ l ++ (r₁ ++ r₂) = l₂ ++ (l₁ ++ l ++ r₁) ++ r₂
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
v : Vector α n
i j : Fin n
a : α
h✝ : ¬i = j
⊢ (v.set i a).get j = v.get j
ι : Type u_1
M : Type u_2
α : ι → Type u_4
(i : ι) → SMul M (α i)
a : M
x : (i : ι) × α i
⊢ a • x = Sigma.map id (fun x x_1 => a • x_1) x
ι : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α✝ : ι → Type u_4
β✝ : ι → Type u_5
γ : ι → Type u_6
x y : (i : ι) → α✝ i
i : ι
M : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
inst✝ : SMul M β
r : M
f : ι → α
g : ι → β
e : α → β
⊢ extend f (r • g) (r • e) = r • extend f g e
α : Type u_1
a : α
s t : Multiset α
⊢ a ::ₘ s + t = a ::ₘ (s + t)
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
M N : Action V G
self : M.Hom N
g : ↑G
⊢ M.ρ g ≫ self.hom = self.hom ≫ N.ρ g
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
⊢ ∃ u ⊆ t, u.Countable ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ μ (s \ ⋃ a ∈ u, B a) = 0
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
p : L.Substructure N
h : ∀ (b : M), f b ∈ p
⊢ p.subtype.toHom.comp (FirstOrder.Language.Hom.codRestrict p f h) = f
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
h : LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)
⊢ ¬x = 0
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ NumberField.mixedEmbedding.norm x = 0 ↔ ∃ w, (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) x = 0
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_5
β : Type u_6
f : α → M
g : β → M
b : β
⊢ (LinearEquiv.sumArrowLequivProdArrow α β R M).symm (f, g) (Sum.inr b) = g b
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Multiset α
⊢ s + (t ∪ u) = s + t ∪ (s + u)
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
⊢ (beckCofork A).π ≫ ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = (unitCofork A).π
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
self : LawfulBitraversable t
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulApplicative F
LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α α' β β' : Type u
f : α → F β
f' : α' → F β'
x : t α α'
⊢ (fun {α} => η.app α) (bitraverse f f' x) = bitraverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) ((fun {α} => η.app α) ∘ f') x
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
a : CliffordAlgebra.evenOdd Q₁ ᵍ⊗[R] CliffordAlgebra.evenOdd Q₂
⊢ (CliffordAlgebra.prodEquiv Q₁ Q₂).symm a = (CliffordAlgebra.toProd Q₁ Q₂) a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
⊢ DifferentiableAt 𝕜 Φ x ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x => Φ x i) x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
hI : I.IsMaximal
hI' : I ≠ ⊥
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
hx' : _root_.IsIntegral R x
J : Ideal S
hJ : J ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I)
⊢ multiplicity J (Ideal.map (algebraMap R S) I) = multiplicity (↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩)) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
z : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
aux : ∀ (a b c d : ℂ), a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
this✝ : ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) = ↑n
this : ∀ (j : ℕ), (z + ↑(j + 1)) * (1 - z + ↑j) = ↑((j + 1) ^ 2) * (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)
⊢ ↑n * ↑n ! ^ 2 / ((∏ x ∈ Finset.range n, ↑((x + 1) ^ 2) * (1 - z ^ 2 / (↑x + 1) ^ 2)) * (z * (↑n + 1 - z))) = ↑n / (↑n + 1 - z) * (1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)))
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
H : normalizedFactors (normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J).prod = normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J
⊢ I ⊔ J = (normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J).prod
a n : ℕ
⊢ ↑(a % n) = ↑a
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
𝓕 : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
FunLike 𝓕 E E₂
SemilinearIsometryClass 𝓕 σ₁₂ E E₂
f : 𝓕
s : Set E
⊢ Metric.diam (⇑f '' s) = Metric.diam s
R : Type u_2
K : Type ?u.58132
L : Type ?u.58135
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
⊢ (minpolyDiv R x).leadingCoeff * (X - C x).leadingCoeff ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero β
l : Filter α
c : β
hc : c ≠ 0
s t : Set α
⊢ ((s.indicator fun x => c) =ᶠ[l] t.indicator fun x => c) ↔ s =ᶠ[l] t
α : Type u
MetricSpace α
⊢ UniformContinuous fun p => Metric.infDist p.1 ↑p.2
i : String.Iterator
h : ¬i.atEnd = true
⊢ sizeOf i.next < sizeOf i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
⊢ p.radius - ↑‖x‖₊ ≤ (p.changeOrigin x).radius
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
⊢ MeasurableEmbedding (MeasureTheory.embeddingReal Ω)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
h : HasIntegral I l f vol y
h' : HasIntegral I l g vol y'
⊢ HasIntegral I l (f - g) vol (y - y')
α : Type u
β : Type v
OrderedAddCommMonoid β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsMaxOn f s a
hg : IsMaxOn g s a
⊢ IsMaxOn (fun x => f x + g x) s a
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
CommRing B
f : A →+* B
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ f.Finite
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
s : Set ι
x : ι
h : x ∉ s
h' : v x ∈ span R (v '' {x})
w : v x ∈ span R (v '' s)
⊢ v x = 0
α : Type u
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).Nodup ↔ a ∉ l ∧ l.Nodup
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
h : e ∈ M.E \ B
⊢ M.Dep (insert e B)
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
S : Set (Ultrafilter M) := ⋂ n, {U | ∀ᶠ (m : M) in ↑U, m ∈ FP (Stream'.drop n a)}
⊢ ∀ x ∈ S, ∀ y ∈ S, x * y ∈ S
M : Type u_1
CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ i ∈ n.divisorsAntidiagonal, f i.1 i.2 = ∏ i ∈ n.divisors, f (n / i) i
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
a : α
⊢ a ∈ l.toFinset ↔ a ∈ l
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.IsCommutative
inst✝¹ : H.FiniteIndex
α β : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : H.Normal
h : ↥H
this : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
q : G ⧸ H
x✝ : q ∈ Finset.univ
⊢ q = op ↑h • q
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs✝ : s.IsPWO
ht✝ : t.IsPWO
a✝ : P
u : Set G
hu : u.IsPWO
v : Set P
hv : v.IsPWO
x : G × P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
x✝ : a ∈ {a | (SMulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}
b : G × P
hb : b.1 ∈ s ∧ b.2 ∈ t ∧ b.1 • b.2 = a
⊢ ∃ y ∈ t, b.1 • y = a
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
R : Type u_14
Monoid R
AddMonoid α
DistribMulAction R α
x : R
M : Matrix ((i : o) × m' i) ((i : o) × n' i) α
⊢ (x • M).blockDiag' = x • M.blockDiag'
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ IsPreirreducible s ↔ ∀ (z₁ z₂ : Set X), IsClosed z₁ → IsClosed z₂ → s ⊆ z₁ ∪ z₂ → s ⊆ z₁ ∨ s ⊆ z₂
R : Type u_1
A : Type u_2
Semifield R
DivisionSemiring A
Algebra R A
r : R
z : ℤ
⊢ ↑(r ^ z) = ↑r ^ z
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
s : S.Splitting
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.r S.f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₂ - CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.g s.s
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
S : Set X
⊢ EquicontinuousOn F S ↔ ContinuousOn (⇑UniformFun.ofFun ∘ Function.swap F) S
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
x : R
⊢ (DoubleQuot.quotQuotEquivQuotSup I J) ((DoubleQuot.quotQuotMk I J) x) = (Ideal.Quotient.mk (I ⊔ J)) x
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i : 𝒰.J
⊢ CategoryTheory.Limits.pullback.lift
      (CategoryTheory.Limits.pullback.snd (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p1 𝒰 f g) (𝒰.map i))
      (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) ≫
        AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p2 𝒰 f g)
      ⋯ ≫
    (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.gluing 𝒰 f g).ι i =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)
k n m : Nat
⊢ k + n < k + m ↔ n < m
R : Type u
k : Type y
Field R
Field k
f : R →+* k
x y : R[X]
⊢ Polynomial.map f x ∣ Polynomial.map f y ↔ x ∣ y
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
x : α
⊢ hs.proj (hs.some (hs.index x)) = hs.proj x
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_5
Nₗ : Type u_10
Pₗ : Type u_11
AddCommMonoid M
AddCommMonoid Nₗ
AddCommMonoid Pₗ
Module R M
Module R Nₗ
Module R Pₗ
f : Nₗ →ₗ[R] Pₗ
g : M →ₗ[R] Nₗ
⊢ ((LinearMap.llcomp R M Nₗ Pₗ) f) g = f ∘ₗ g
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
x : ℝ
⊢ ↑(ProbabilityTheory.gammaCDFReal a r) x = ∫ (x : ℝ) in Set.Iic x, ProbabilityTheory.gammaPDFReal a r x
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
⊢ WittVector.mapFun (⇑f) (x * y) = WittVector.mapFun (⇑f) x * WittVector.mapFun (⇑f) y
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : LightProfinite
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget LightProfinite).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
⊢ ↑(a z) = ↑(b z)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ toIocDiv hp (a - c) b = toIocDiv hp a (b + c)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
P : C(X, Y) → Prop
f₀ f₁ : C(X, Y)
⊢ Function.Bijective ContinuousMap.HomotopyWith.symm
r₁ r₂ : ℝ≥0
⊢ ↑(r₁ + r₂) = ↑r₁ + ↑r₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : PresheafOfModules R
s t : M.sections
h : ∀ (X : Cᵒᵖ), ↑s X = ↑t X
⊢ s = t
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] b) l
hdnf : ∀ x ∈ Ioo (-b) (-a), HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
hdng : ∀ x ∈ Ioo (-b) (-a), HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x
this : Tendsto (fun x => (f ∘ Neg.neg) x / (g ∘ Neg.neg) x) (𝓝[>] (-b)) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] b) l
a : Prop
Decidable a
⊢ ¬a → a ↔ a
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction
⊢ s.WSameSide x (v +ᵥ y) ↔ s.WSameSide x y
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
⊢ cs.leftInvSeq ω.reverse = (cs.rightInvSeq ω).reverse
x i : Nat
⊢ x.testBit (i + 1) = (x / 2).testBit i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
F G : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
⊢ (CochainComplex.HomComplex.δ_hom R F G n m) z = CochainComplex.HomComplex.δ n m z