ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
ha : a ∈ Ico 0 p
h0 : 0 ∈ Ico 0 (0 + p)
ha' : a ∈ Ico 0 (0 + p)
⊢ ↑a = 0 ↔ a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ b
⊢ a ∣ b - c ↔ a ∣ c
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
⊢ s.circumcenter ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
⊢ 0 < (p.rightInv i).radius
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : p ≤ ker f
h' : ker f ≤ p
⊢ ker (p.liftQ f h) = ⊥
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ LipschitzWith 1 ⇑f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
B : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_3
AddCommMonoid M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
DecidableEq M
s : Finset M'
⊢ ⇑f '' ↑(IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple S f s) = IsLocalizedModule.commonDenomOfFinset S f s • ↑s
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m' : α → γ → δ'
n' : δ' → β → ε
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m' a c) b
⊢ map₂ m (map₂ n f g) h = map₂ n' (map₂ m' f h) g
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I J : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ ↑(I ⊔ J) = ↑I + ↑J
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv hinv' : I * I' = 1
⊢ (↑I).IsPrincipal
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t : Finset α
⊢ (s ⊻ t).card = s.card * t.card ↔ Set.InjOn (fun x => x.1 ⊔ x.2) (↑s ×ˢ ↑t)
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
⊢ ‖0‖ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
hs : s ∈ 𝔖
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
⊢ UniformOnFun.gen 𝔖 s V ∈ 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V
this : Free K ↥⊤
⊢ Module.rank K V ≤ 1 ↔ ⊤.IsPrincipal
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ 0 < List.countP p l ↔ ∃ a, a ∈ l ∧ p a = true
K : Type u_1
Field K
NumberField K
ι : Type u_2
s : Finset ι
α : ι → K
⊢ NumberField.house (∑ i ∈ s, α i) ≤ ∑ i ∈ s, NumberField.house (α i)
α : Type u_1
Zero α
One α
Add α
Neg α
n : Num
⊢ ↑n.toZNum = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
TopologicalSpace β
f g : β → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun b => dist (f b) (g b)
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
h₁ : DifferentiableAt ℂ f x
h₂ : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun t => Complex.log (f t)) x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
s t : Set X
hu : t ⊆ insert x s
⊢ insert x s ∈ 𝓝[t] x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup β
hp_top : p ≠ ⊤
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ⊤ ∧ eLpNorm (sᶜ.indicator f) p μ < ε
α : Type u_1
f : α → ℕ
a b : α
DecidableEq α
h : a ≠ b
⊢ Nat.multinomial {a, b} (Function.update (Function.update f a (f a).succ) b (f b).succ) =
  Nat.multinomial {a, b} (Function.update f a (f a).succ) + Nat.multinomial {a, b} (Function.update f b (f b).succ)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
y : β
s : Set α
⊢ y ∈ f.image s ↔ ∃ x ∈ s, y ∈ f x
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G H K : MonCat
f : G ⟶ H
g : H ⟶ K
X : Action V K
⊢ ((Action.resComp V f g).inv.app X).hom = 𝟙 X.V
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
M : ℝ
hM : 1 < M
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
g : ℂ → ℂ := fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n
hm : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ‖∑ i ∈ range n, f i - l‖ < ε
ε : ℝ
εpos : ε > 0
B₁ : ℕ
hB₁ : ∀ n ≥ B₁, ‖∑ i ∈ range n, f i - l‖ < ε / 4 / M
F : ℝ := ∑ i ∈ range B₁, ‖l - s (i + 1)‖
z : ℂ
zn : ‖z‖ < 1
zm : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)
zd : ‖z - 1‖ < ε / 4 / (F + 1)
p : Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ i ∈ range n, (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i) atTop (𝓝 (l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n))
⊢ ‖∑' (n : ℕ), f n * z ^ n - l‖ < ε
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hδ : 0 < δ
hF : TendstoUniformlyOn F f ⊥ (cthickening δ K)
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in ⊥, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
⊢ TendstoUniformlyOn (cderiv δ ∘ F) (cderiv δ f) ⊥ K
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
s : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑f
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
n : α
hn : IsPrimal n
hm : IsPrimal 0
⊢ IsPrimal (0 * n)
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(LocalRing.maximalIdeal R)
⊢ Submodule.map (LocalRing.maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤ ↔ M = ⊤
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
x : α
hx : x ∈ (b :: l).getLast?
w✝ : b :: l ≠ []
h₂ : x = (b :: l).getLast w✝
⊢ x = (a :: b :: l).getLast ⋯
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝ : OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
l : Filter α
hf : IsMaxFilter f l a
hg : IsMinFilter g l a
⊢ IsMaxFilter (fun x => f x - g x) l a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.Presieve.singleton f).EffectiveEpimorphic ↔ CategoryTheory.EffectiveEpi f
F : Type u_1
K : Type u_2
A : Type u_3
Field F
Field K
Field A
Algebra F K
Algebra F A
Algebra.IsAlgebraic F K
L : IntermediateField F A
hL : ∀ (x : K), Polynomial.Splits (algebraMap F ↥L) (minpoly F x)
φ₂ : K →ₐ[F] ↥L
⊢ (IntermediateField.algHomEquivAlgHomOfSplits A L hL) φ₂ = L.val.comp φ₂
R : Type u_1
CommRing R
P : Ideal (Polynomial R)
⊢ ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Polynomial.mapRingHom (Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap Polynomial.C P))) P)).comp
        Polynomial.C).comp
    (Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap Polynomial.C P)) =
  (Ideal.quotientMap (Ideal.map (Polynomial.mapRingHom (Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap Polynomial.C P))) P)
        (Polynomial.mapRingHom (Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap Polynomial.C P))) ⋯).comp
    ((Ideal.Quotient.mk P).comp Polynomial.C)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
⊢ ∀ {X_1 Y_1 : CategoryTheory.Limits.Bicone (CategoryTheory.Limits.pairFunction X Y)} (f : X_1 ⟶ Y_1),
  (CategoryTheory.Limits.Bicone.toBinaryBiconeFunctor.map f).hom = f.hom
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖x‖ / (o.oangle (x + y) y).tan = ‖y‖
n : ℕ
h : n ≠ 0
a✝ : ℕ
⊢ a✝ ∣ n → a✝ < n.succ → 1 ≤ a✝
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M
hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite
m : ℤ
hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun q => (↑q.num, ↑q.den)
q₁ : ℚ
h₁ : q₁.num ^ 2 - d * ↑q₁.den ^ 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : q₂.num ^ 2 - d * ↑q₂.den ^ 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : ↑q₁.num = ↑q₂.num
hq2 : ↑q₁.den = ↑q₂.den
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * (↑q₁.den * ↑q₂.den)
⊢ ∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
A : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing A
IsJordan A
a : A
⊢ Commute (L a) (L (a * a))
α : Type u_1
s : Set α
⊢ val ⁻¹' s = univ
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
x y : α
⊢ Associated x (gcd x y) ↔ x ∣ y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
⊢ affineSpan k s ≠ ⊥ ↔ s ≠ ∅
R : Type u
A : Type z
B : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
F : Type u_3
FunLike F A B
AlgHomClass F R A B
f : F
x : A
p : R[X]
⊢ (Polynomial.aeval (f x)) p = f ((Polynomial.aeval x) p)
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
AddCommMonoid E
Module R E
t : ι → Type u_11
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
h : MultilinearMap R t E
⊢ PiTensorProduct.lift h ∘ₗ PiTensorProduct.map f = PiTensorProduct.lift (h.compLinearMap f)
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioo 0 Real.pi
⊢ 0 < Real.sin x
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
SecondCountableTopologyEither α β
f : α → β
hf : Continuous f
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter α
⊢ StronglyMeasurableAtFilter f l μ
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ |Real.exp x - 1| ≤ 2 * |x|
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ LieModule.lowerCentralSeries R L L k
⊢ (LinearMap.trace R M) (φ x) = 0
G : Type u_3
Group G
g : G
⊢ MulAction.stabilizer (ConjAct G) g = Subgroup.centralizer ↑(Subgroup.zpowers (ConjAct.toConjAct g))
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ x y p : R
h : p ∣ x - y
⊢ p ∣ ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) ↔ p ∣ ↑n * x ^ (n - 1)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ : V
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x y : V
⊢ angle (c • x) (c • y) = angle x y
α : Type u_2
t : FirstOrder.Language.ring.Term α
⊢ -t = FirstOrder.Ring.negFunc.apply₁ t
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ integralCLM f = setToFun μ (weightedSMul μ) ⋯ ↑↑f
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
z : ℂ
h1 : -1 * z ^ 0 + -1 * z ^ 1 + 1 * z ^ n = 0
h2 : 1 * z ^ 0 + -1 * z ^ (n - 1 + 0) + -1 * z ^ n = 0
⊢ z ^ n = z + 1 ∧ z ^ n + z ^ 2 = 0
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
hna : ¬Gᶜ.Adj v w
⊢ ((G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w})).card = n - (2 * k - ℓ)
α : Type u_1
Monoid α
a b : α
⊢ Associates.mk a = Associates.mk b ↔ a ~ᵤ b
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
n : ℕ
⊢ ‖a ^ n‖₊ = ‖a‖₊ ^ n
X✝ : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X✝
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ExtremallyDisconnected X
e : X ≃ₜ Y
U : Set Y
hU : IsOpen U
⊢ IsOpen (closure (⇑e.symm '' U))
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
⊢ Function.Bijective ⇑e
α : Type u_1
s t : Set α
h : t ⊆ s
x : α
⊢ (∃ x_1 ∈ {x | ↑x ∈ t}, ↑x_1 = x) ↔ x ∈ t
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
a b : M
Invertible ((CliffordAlgebra.ι Q) a)
Invertible (Q a)
⊢ ⅟((CliffordAlgebra.ι Q) a) * (CliffordAlgebra.ι Q) b * (CliffordAlgebra.ι Q) a =
  (CliffordAlgebra.ι Q) ((⅟(Q a) * QuadraticMap.polar (⇑Q) a b) • a - b)
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
x y : α × β
⊢ x ⋖ y ↔ x.1 ⋖ y.1 ∧ x.2 = y.2 ∨ x.2 ⋖ y.2 ∧ x.1 = y.1
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
⊢ M.Basis I X ↔ (M.Indep I ∧ I ⊆ X ∧ ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J) ∧ X ⊆ M.E
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f g : E → 𝕝
x : E
fa : AnalyticAt 𝕜 f x
ga : AnalyticAt 𝕜 g x
g0 : g x ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x * (g x)⁻¹) x
α : Type u_2
SemilatticeInf α
OrderTop α
⊢ ¬InfIrred ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
c : α
AddMonoid α
Group γ
DistribMulAction γ α
h : Function.Periodic f c
a : γ
⊢ Function.Periodic (fun x => f (a • x)) (a⁻¹ • c)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0
eq : f z = ↑‖z‖ / ↑r * f z₁
⊢ ‖f z₁‖ * ‖z‖ ≤ c * ‖z‖
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
M₀ : Type u_7
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M₀
n : ℕ
ζ : M₀
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α : M₀
hα : α ≠ 0
i : ℕ
hi : i ∈ ↑(range n)
j : ℕ
hj : j ∈ ↑(range n)
e : (fun x => ζ ^ x * α) i = (fun x => ζ ^ x * α) j
⊢ (fun x => ζ ^ x) i = (fun x => ζ ^ x) j
α : Type u_1
Zero α
a : α
⊢ MulOpposite.op a ≠ 0 ↔ a ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
m : ℕ
⊢ WittVector.truncateFun n ↑m = ↑m
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsLowerSet α
⊢ inst✝ = Topology.lowerSet α
n k : ℕ
h : Mathlib.Meta.NormNum.MinFacHelper n k
⊢ 1 < n
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
t : Finset ι
f : ι → M → G
h : ∀ i ∈ t, SmoothOn I' I (f i) s
⊢ SmoothOn I' I (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) s
α : Sort u_3
p : Prop
⊢ Nonempty α → p ↔ α → p
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] f
hg_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] g
hf : MeasureTheory.Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
⊢ ∫ (a : α), f a * g a ∂μ ≤ (∫ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
CommRing R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
a : R
s : R
h : s ∈ v.supp
⊢ v (a + s) = v a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : f ∈ MeasureTheory.Measure.LebesgueDecomposition.measurableLE μ ν
hg : g ∈ MeasureTheory.Measure.LebesgueDecomposition.measurableLE μ ν
⊢ (fun a => f a ⊔ g a) ∈ MeasureTheory.Measure.LebesgueDecomposition.measurableLE μ ν
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
⊢ ↑(HasStrictFDerivAt.implicitToPartialHomeomorph f f' hf hf') a = (f a, 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s₁ s₂ : LowerSet α
t₁ t₂ : LowerSet β
⊢ s₁ ×ˢ t₁ ⊓ s₂ ×ˢ t₂ = (s₁ ⊓ s₂) ×ˢ (t₁ ⊓ t₂)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.cospanCompIso F f g).inv.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.right =
  𝟙 ((CategoryTheory.Limits.cospan (F.map f) (F.map g)).obj CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.right)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
q : Filter ι'
q' : Filter α'
h : Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (p ×ˢ p') (𝓤 β)
h' : Tendsto (fun q => (f' q.2, F' q.1 q.2)) (q ×ˢ q') (𝓤 β')
⊢ Tendsto (((fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ∘ fun q => (Prod.map f f' q.2, Prod.map (F q.1.1) (F' q.1.2) q.2)) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ((p ×ˢ p') ×ˢ q ×ˢ q') (𝓤 β ×ˢ 𝓤 β')
op : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.Principal op 0
R : Type u
CommRing R
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
I₁ : Ideal A
I₂ : Ideal B
f : A →ₐ[R] B
h : I₁ ≤ Ideal.comap f I₂
x : ↥I₁
⊢ (I₁.mapCotangent I₂ f h) (I₁.toCotangent x) = I₂.toCotangent ⟨f ↑x, ⋯⟩
α : Type u
Add α
a b c : WithBot α
Preorder α
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≠ ⊥
h : b + a ≤ c + a
⊢ b ≤ c
n : ℕ
⊢ (Nat.bit true n).bitIndices = 0 :: List.map (fun x => x + 1) n.bitIndices
F : Type u_1
E : Type u_2
Field F
Field E
Algebra F E
Finite (IntermediateField F E)
⊢ FiniteDimensional F E
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ MeasurableSet {b | BddBelow (Set.range fun i => f i b)}
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
z : ℝ
⊢ (x / y) ^ z = x ^ z / y ^ z
R : Type u_1
Semiring R
r : R
⊢ Ideal.ofList [r] = Ideal.span {r}
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
c : R
⊢ derivative (X - C c) = 1
x p : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ HasDerivAt (fun x => x ^ p) (p * x ^ (p - 1)) x
R : Type u
S : Type v
Ring R
SetLike S R
hSR : SubringClass S R
s : S
⊢ ⇑(SubringClass.subtype s) = Subtype.val
s : ℝ
hs : s ≠ 0
⊢ Real.Gamma (s + 1) = s * Real.Gamma s
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
NormedLatticeAddCommGroup E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ↑↑f ≤ᵐ[μ] ↑↑g ↔ f ≤ g
α : Type u_1
EDist α
x y : α
⊢ edist x y ⊓ edist y x ≤ {x, y}.einfsep
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
s : Set α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun g => g • MeasureTheory.fundamentalInterior G s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν ν' : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
⊢ κ.densityProcess ν' n a x s ≤ κ.densityProcess ν n a x s
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w✝ : V
ι : Type u_2
f : ι → G.Subgraph
hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching
hd : Pairwise fun i j => Disjoint (f i).support (f j).support
v : V
hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts
i : ι
hi : v ∈ (f i).verts
w : V
hw : (fun w => (f i).Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (f i).Adj v w) y → y = w
y : V
hy : (⨆ i, f i).Adj v y
i' : ι
hi' : (f i').Adj v y
⊢ y = w
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
j : ℕ
y : X j
hy : ⟨j, y⟩.fst ≤ 0
x : X 0
hx : ⟨0, x⟩.fst ≤ 0
⊢ inductiveLimitDist f ⟨0, x⟩ ⟨j, y⟩ = dist (leRecOn hx (fun {k} => f k) ⟨0, x⟩.snd) (leRecOn hy (fun {k} => f k) ⟨j, y⟩.snd)
R : Type u
CommRing R
hdomain : IsDomain R
r : R
p : Polynomial R
⊢ (RatFunc.laurent r) ((algebraMap (Polynomial R) (RatFunc R)) p) =
  (algebraMap (Polynomial R) (RatFunc R)) ((Polynomial.taylor r) p)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X
CompletelyRegularSpace X
MeasurableSpace X
OpensMeasurableSpace X
⊢ Embedding fun x => MeasureTheory.diracProba x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : DenselyOrdered α
s : Set α
hs : Dense s
x : α
⊢ Ioi x = ⋃ y ∈ s ∩ Ioi x, Ioi y
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
Ul : 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card
⊢ ε ^ 4 / 3 ≤ ↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card / 16 ^ P.parts.card * (9 / 16) * ε ^ 2
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : ¬IsIso f
hlt : Nat.card ↑(F.obj Y) ≤ Nat.card ↑(F.obj X)
⊢ Nat.card ↑(F.obj X) = Nat.card ↑(F.obj Y)
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hf : f =ᶠ[coclosedCompact α] 1
hf₂ : f₂ =ᶠ[coclosedCompact α] 1
hm : m 1 1 = 1
⊢ (fun x => m (f x) (f₂ x)) =ᶠ[coclosedCompact α] 1
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
u : Finset γ
s : Set α
t : Set β
hu : ↑u ⊆ Set.image2 f s t
⊢ ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ u ⊆ Finset.image₂ f s' t'
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommSemiring K
i : R →+* K
a✝ b : R
bi : K
N : ℕ
a : R
bu : bi * i b = 1
n : ℕ
r : R
nN : n ≤ N
⊢ i (r * a ^ n * b ^ (N - n)) = i b ^ N * eval (i a * bi) (Polynomial.map i (C r * X ^ n))
α : Type u_1
s : Finset α
DecidableEq α
⊢ s.card = 3 ↔ ∃ x y z, x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z ∧ s = {x, y, z}
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
⊢ List.pmap l.prev l ⋯ = l.rotate (l.length - 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ f - g =ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0