ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
r : R
⊢ (expand R 1) (C r) = C r
a b : Char
⊢ ¬a ≤ b ↔ b < a
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
i : K →+* L
f : K[X]
hf : Polynomial.Splits i f
hfd : f.degree ≠ 0
⊢ Polynomial.eval₂ i (Polynomial.rootOfSplits i hf hfd) f = 0
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a ≠ 0
⊢ P.toPoly.leadingCoeff = P.a
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
j : ι
this : (if p i then single i x else 0) j = if p i then (single i x) j else 0 j
⊢ (filter p (single i x)) j = (if p i then single i x else 0) j
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
n : Type w
B : LinearMap.BilinForm K V
v : n → V
hv₁ : B.iIsOrtho v
hv₂ : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
⊢ LinearIndependent K v
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y✝ : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y✝
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve α r' ⊓ Presheaf.imageSieve φ m
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
Y : C
f : Y ⟶ Opposite.unop X
r₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Y))
hr₀ : (α.app (Opposite.op Y)) r₀ = (R.val.map f.op) r
r₀' : ↑(R₀.obj (Opposite.op Y))
hr₀' : (α.app (Opposite.op Y)) r₀' = (R.val.map f.op) r'
m₀ : (forget AddCommGrp).obj (M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) m
⊢ (A.val.map f.op) (smul α φ (r + r') m) = (A.val.map f.op) (smul α φ r m + smul α φ r' m)
α : Type u_1
ι : Type u_2
Nonempty ι
f : ι → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ ⋃ i, f i
⊢ ∃ i, ↑s ⊆ f i
X : Type u_3
Y : Type u_2
A : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace A
f : X → Y
sep : IsSeparatedMap f
g₁ g₂ : A → X
h₁ : Continuous g₁
h₂ : Continuous g₂
he : f ∘ g₁ = f ∘ g₂
⊢ IsClosed {a | g₁ a = g₂ a}
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
⊢ q = 0 → p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
γ : Type u_4
f : Part α
g : α → Part β
k : β → Part γ
a : γ
⊢ a ∈ (f.bind g).bind k ↔ a ∈ f.bind fun x => (g x).bind k
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : Differentiable 𝕜 g
h : Differentiable 𝕜 fun y => f y + g y
⊢ Differentiable 𝕜 f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x y : ℚ_[p]
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h_norm : (x * y).valuation = x.valuation + y.valuation
hp_ne_one : ↑p ≠ 1
hp_pos : 0 < ↑p
⊢ (x * y).valuation = x.valuation + y.valuation
α : Type u
β : Type v
f : α → α
a : α
l : List β
⊢ foldl (fun b x => f b) a l = f^[l.length] a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsSeparator G ↔
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f g : X ⟶ Y),
    (∀ (h : G ⟶ X), CategoryTheory.CategoryStruct.comp h f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h g) → f = g
Γ : Type u_4
T : Type u_5
TopologicalSpace T
SMul Γ T
self : ProperlyDiscontinuousSMul Γ T
K L : Set T
⊢ IsCompact K → IsCompact L → {γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅}.Finite
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
n : ℕ
X : C
inst✝ : Injective X
⊢ IsZero ((HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) (n + 1)).obj ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (InjectiveResolution.self X).cocomplex))
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
t : Set β
⊢ μ s * ν t ≤ (μ.prod ν) (s ×ˢ t)
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : 0 < p.1
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
α : Type u
σ : Type v
M : εNFA α σ
S : Set σ
⊢ S ⊆ M.εClosure S
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
t : ↑I
x : X
⊢ (F.curry t) x = F (t, x)
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
⊢ MeasureTheory.Integrable f (μ.restrict s)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Group α
a : α
ha : 1 < a
⊢ a⁺ᵐ = a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct X Y
f : X ⟶ W
g : Y ⟶ W
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.inl ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.desc f g = f
β : Type v
r : β → β → Prop
IsRefl β r
IsTrans β r
f : ℤ → β
h : ∀ (n : ℤ), r (f n) (f (n + 1))
a b : ℤ
hab : a ≤ b
⊢ r (f a) (f b)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n : ℕ
H : SimpleGraph V
K : Finset V
left✝ : K ⊆ univ
hr : 0 < K.card
hn : K.card ≤ Fintype.card V
hG : G.IsTuranMaximal K.card
h : G.CliqueFree K.card
a b : V
hab : a ≠ b
hGab : ¬G.Adj a b
⊢ False
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
SMulCommClass ℝ 𝕜 E
c : 𝕜
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.integral (c • f) = c • MeasureTheory.L1.SimpleFunc.integral f
R : Type u_3
CommRing R
a b : ℍ[R]
⊢ (a - b).imJ = a.imJ - b.imJ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
h : Pairwise fun x y => T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
⊢ setToSimpleFunc T (map Prod.fst (f.pair g)) = setToSimpleFunc T (map Prod.snd (f.pair g))
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
⊢ rtakeWhile p l <:+ l
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : LocallyConstant X Y
x y : X
h : x = y
⊢ f x = f y
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.12795, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12799, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : h.IsPreservedBy F
this✝ : PreservesLimit (parallelPair S.g 0) F
this : PreservesColimit (parallelPair h.f' 0) F
wi : F.map h.i ≫ F.map S.g = 0
hi : IsLimit ((KernelFork.ofι h.i ⋯).map F)
f' : F.obj S.X₁ ⟶ F.obj h.K := hi.lift (KernelFork.ofι (S.map F).f ⋯)
hf' : f' = F.map h.f'
⊢ (S.map F).LeftHomologyData
w : Nat
x : BitVec w
b : Bool
⊢ ~~~BitVec.cons b x = BitVec.cons (!b) (~~~x)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m m α
U : Matrix m n α
V : Matrix n m α
hA : IsUnit A.det
⊢ (A + U * V).det = A.det * (1 + V * A⁻¹ * U).det
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
x✝ : ∀ i < 0, m.IsCaratheodory (s i)
⊢ m.IsCaratheodory (⋃ i, ⋃ (_ : i < 0), s i)
l : Filter ℂ
hre : Filter.Tendsto Complex.re l Filter.atTop
r : ℝ
hr : Complex.im =O[l] fun z => z.re ^ r
⊢ Complex.IsExpCmpFilter l
B : Type u
inst✝¹ : Bicategory B
a b c d e : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
h : b ⟶ c
inst✝ : IsIso η
⊢ η ▷ h ≫ inv η ▷ h = 𝟙 (f ≫ h)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
⊢ μ.toSignedMeasure = ν.toSignedMeasure ↔ μ = ν
α : Type u_1
b : Bool
t e : α
⊢ (bif !b then t else e) = bif b then e else t
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
x✝ : Sym2 V
x y : V
⊢ Quot.mk (Sym2.Rel V) (x, y) ∈ (G₁ \ G₂).edgeSet ↔ Quot.mk (Sym2.Rel V) (x, y) ∈ G₁.edgeSet \ G₂.edgeSet
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
⊢ Field.insepDegree F ↥⊤ = Field.insepDegree F K
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A : C
X : CategoryTheory.Subobject B
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
h : X = CategoryTheory.Subobject.mk f
⊢ (X.isoOfEqMk f h).inv = CategoryTheory.Subobject.ofMkLE f X ⋯
n : ℕ
⊢ SuccOrder.succ = fun a => if a < Fin.last n then a + 1 else a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
n : ℕ∞
f : E → E'
s : Set E
⊢ ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f s ↔ ContDiffOn 𝕜 n f s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
⊢ 2 * C ⅟2 = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : (CategoryTheory.forget C).obj X), f x = g x
⊢ f = g
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonAssocRing R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
⊢ inst₁ = inst₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
F G : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
k : R
z : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n m (k • z) = k • CochainComplex.HomComplex.δ n m z
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m' : α → γ → δ'
n' : δ' → β → ε
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m' a c) b
⊢ Filter.map₂ m (Filter.map₂ n f g) h = Filter.map₂ n' (Filter.map₂ m' f h) g
A : Type u_1
inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁸ : CompleteSpace A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a b : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
hab : a ≤ b
⊢ ‖a‖ ≤ ‖b‖
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this : e.NF
⊢ (match e.cmp e' with | Ordering.lt => e'.oadd n' a' | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a' | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
ι : Sort u_2
f : ι → ℝ≥0
⊢ ⨆ i, ↑(f i) < ⊤ ↔ BddAbove (Set.range f)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : CocompactMap α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T₁ : Triangle Cᵒᵖ
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles C
T₂ : Triangle Cᵒᵖ
e : T₂ ≅ T₁
⊢ T₂ ∈ distinguishedTriangles C
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1
hzc : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ LieAlgebra.center A (A ⊗[R] L)
⊢ ∀ (μ : A), (trace A ↥(⨆ k, (((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)).genEigenspace μ) k)) (LinearMap.restrict ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z)) ⋯) = 0
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
⊢ (range fun x => ↑↑x) = univ
α : Type u_1
β : Type u_3
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : IsPiSystem C
hD : IsPiSystem D
⊢ IsPiSystem (Set.image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D)
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
g : γ → α
t₂ : TopologicalSpace β
t₁ : TopologicalSpace γ
⊢ Continuous g ↔ Continuous (f ∘ g)
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hp : ∀ n' ≤ n, p n'
⊢ Nat.nth p n = n
n : Nat
x : Fin (2 ^ n)
hi lo : Nat
⊢ BitVec.extractLsb hi lo { toFin := x } = BitVec.ofNat (hi - lo + 1) (↑x >>> lo)
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
hs : s₁ = s₂
hfg : ∀ a ∈ s₂, f a = g a
⊢ s₁.lcm f = s₂.lcm g
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ∃ c, c ∈ {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖}
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J✝ : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I J : Ideal S
h : J ∈ I.minimalPrimes
this : J.IsPrime
⊢ ∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | p.IsPrime ∧ comap f I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b (comap f J) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) (comap f J) b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
X Y : C
f : s.pt ⟶ X
g : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.extendComp s f g).hom.hom = 𝟙 Y
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
z : S
⊢ z = IsLocalization.mk' S x y ↔ z * (algebraMap R S) ↑y = (algebraMap R S) x
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
f : α × β → E
h1f : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
⊢ Integrable f (μ.prod ν) ↔ Integrable (fun z => f z.swap) (ν.prod μ)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
⊢ hζ.integralPowerBasis'.dim = φ ↑p
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T : Set (Set X)
T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t
T_count : T.Countable
T_int : t = ⋂₀ T
⊢ HasSeparatingCover s t
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
r₁ r₂ : R
s : ↥S
h : r₁ + ↑s = r₂ + ↑s
⊢ ∃ s', ↑s' + r₁ = ↑s' + r₂
n : ℕ
⊢ 2 * ((2 * n).choose n * (2 * n + 1)) = 2 * (2 * n + 1) * (2 * n).choose n
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f
this : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
⊢ MeasurableSet (range f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
symmetric : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
x : E
this : ∀ (x : E), -x ∈ s ↔ x ∈ s
⊢ gauge s (-x) = gauge s x
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b : V
⊢ G.Adj a b ↔ ∃ e, ↑e = s(a, b)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
h_total_l : (Finsupp.total ι M R v) l = v i
h_total_eq : (Finsupp.total ι M R v) l = (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1)
l_eq : Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩) = Finsupp.single i 1
⊢ ∃ a, f a = i
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
TopologicalSpace X
CompactSpace X
T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
⊢ ContinuousMap.idealOfSet 𝕜 (ContinuousMap.setOfIdeal I) = I.closure
R : Type u_1
σ : Type u_2
CommRing R
I : Ideal R
i : R
hi : i ∈ I
⊢ ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map MvPolynomial.C I)).comp MvPolynomial.C) i = 0
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
f g : Equiv.Perm α
⊢ f.cycleFactorsFinset = {g} ↔ f.IsCycle ∧ f = g
a b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
h0 : 0 < a ^ 0
⊢ 0 < a ^ b
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
⊢ (p * q).smeval x = p.smeval x * q.smeval x
α : Type u_2
AddMonoid α
s : Set α
m n : ℕ
hs : 0 ∈ s
hn : m ≤ n
⊢ m • s ⊆ n • s
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
DecidableEq ι
C : Monoid.CoprodI.Word M → Prop
h_empty : C Monoid.CoprodI.Word.empty
h_smul : ∀ (i : ι) (m : M i) (w : Monoid.CoprodI.Word M), C w → C (Monoid.CoprodI.of m • w)
w : Monoid.CoprodI.Word M
⊢ C w
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonAssocSemiring R
r s : R
rs : ∀ (a : Γ), (C r).coeff a = (C s).coeff a
h : (C r).coeff 0 = (C s).coeff 0
⊢ r = s
x : ℝ
⊢ √x ≤ 1 ↔ x ≤ 1
n : ℕ
⊢ Finset.antidiagonal n = Finset.map { toFun := fun i => (n - i, i), inj' := ⋯ } (Finset.range (n + 1))
R : Type u_1
CommSemiring R
a b : R
⊢ PowerSeries.rescale (a * b) = (PowerSeries.rescale b).comp (PowerSeries.rescale a)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
hn : n ≤ FiniteDimensional.finrank R M
⊢ ∃ f, LinearIndependent R f
α : Type u_1
UniformSpace α
Y : Type u_4
TopologicalSpace Y
T2Space Y
f g : UniformSpace.Completion α → Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : ∀ (a : α), f (↑α a) = g (↑α a)
a : UniformSpace.Completion α
⊢ f a = g a
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
l₁ l₂ : BoxIntegral.IntegrationParams
h : l₁ ≤ l₂
⊢ l₁.toFilter I ≤ l₂.toFilter I
α : Type u
L L₁✝ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x✝¹ x✝ : α
H : of x✝¹ = of x✝
L₁ : List (α × Bool)
hx : Red [(x✝¹, true)] L₁
hy : Red [(x✝, true)] L₁
⊢ x✝¹ = x✝
R : Type u
CommSemiring R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
f g : M →ₗ[R] M
⊢ (LinearMap.trace R M) (f * g) = (LinearMap.trace R M) (g * f)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (x + y)) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y) x_1
a b c x : ℕ
⊢ x ∈ Ico a.succ b ↔ x ∈ (Ico a b).erase a
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoMetricSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
f : BoundedContinuousFunction Ω ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : MeasureTheory.volume A ≠ ⊤
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
⊢ Filter.Tendsto (fun ε => ∫ (t : ℝ) in A, (↑(μ (Metric.thickening ε {a | t ≤ f a}))).toReal) (𝓝[>] 0)
  (𝓝 (∫ (t : ℝ) in A, (↑(μ {a | t ≤ f a})).toReal))
α : Type u
β : Type v
l : List α
n : ℕ
f : List α → β
r : List β
⊢ List.sublistsLenAux n l f r = List.map f (List.sublistsLen n l) ++ r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.shortComplexOfDistTriangle T hT).X₂ = T.obj₂
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
⊢ ⊤.FG
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
Preorder δ
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
MulZeroOneClass γ
MulZeroOneClass δ
f : γ →*₀o δ
g : β →*₀o γ
h : α →*₀o β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
m : ℕ
h : 0 < m
⊢ range' (m - 1) (succ 0) = [m - 1]
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid M
inst✝¹ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (b : β), MeasurableSet (f b)
hf₂ : ∀ (b : β), v.restrict (f b) ≤ w.restrict (f b)
val✝ : Encodable β
⊢ ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β n, f b)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
hα : IsIntegral F α
⊢ ∀ x ∈ {α}, IsAlgebraic F x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : α → G
hf : Multipliable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
s : Finset α
hs : ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ k ∈ t, f k ∈ e
x : α
hx : x ∉ s
⊢ f x ∈ e
G : Type u_2
AddGroup G
ι : Sort u_6
S : ι → AddSubmonoid G
⊢ -⨆ i, S i = ⨆ i, -S i
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
⊢ HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
U U' : Y.Opens
V V' : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
i : op U' ⟶ op U
⊢ f.app U' ≫ X.presheaf.map (((Opens.map f.val.base).map i.unop).op ≫ (homOfLE e).op) = f.appLE U' V ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : Monotone f
c : ℝ≥0 → ℝ≥0∞ := ofNNReal
F : α → ℝ≥0∞ := fun a => ⨆ n, f n a
⊢ lintegral μ F = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ