ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.83140, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.s = s'.s
this : Mono S.f
eq : s.r = s'.r
⊢ s = s'
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : Ideal R
hX : X ∣ I
Y : Ideal R
hY : Y ∣ I
h : X ≤ Y
⊢ comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) X)) ≤ ↑((fun X => ⟨comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X)), ⋯⟩) ⟨Y, hY⟩)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)
ψ : mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 ⟶ mk₃ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 := homMk₃ (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) (𝟙 ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).obj' 3 ⋯)) ⋯ ⋯ ⋯
⊢ (mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
n : ℕ
h✝ : ¬n = 0
⊢ ‖f n‖ / ↑n ^ s'.re ≤ ‖f n‖ / ↑n ^ s.re
y : ℝ*
r s : ℝ
hys : y.IsSt s
hrs : r < s
f : ℕ → ℝ
hxr : (ofSeq f).IsSt r
⊢ ofSeq f < y
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
ι : Type u_3
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
ContinuousAdd γ
f : ι → α → γ
a : Finset ι
ha : ∀ i ∈ a, UpperSemicontinuousOn (f i) s
⊢ UpperSemicontinuousOn (fun z => ∑ i ∈ a, f i z) s
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
AddGroup α
VAddCommClass G α α
a b : α
⊢ AddAction.stabilizer G (a + b) = AddAction.stabilizer G b
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ a :: l₁ ~ l₂ ↔ a ∈ l₂ ∧ l₁ ~ l₂.erase a
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ a ∉ s ∪ t ↔ a ∉ s ∧ a ∉ t
R : Type u_5
S : Type u_6
OrderedRing R
LinearOrderedRing S
hR : ∀ (r : R), 0 ≤ r → ∃ s, s ^ 2 = r
f : R →+* S
⊢ Monotone ⇑f
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
⊢ ↑(AddSubmonoid.closure s) ⊆ ↑(Submodule.span R s)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Set E
hs : Absorbent 𝕜 s
h : ∀ x ∈ s, BddAbove (range fun x_1 => (p x_1) x)
x : E
⊢ BddAbove (range fun i => (p i) x)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type v
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
Algebra.IsSeparable F E
⊢ Module.rank F E * Field.sepDegree E K = Field.sepDegree F K
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : p.last = q.head
i : Fin (p.length + q.length + 1)
H : ¬↑i < p.length
⊢ ↑i < p.length + (q.length + 1)
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
f : α →Co β
⊢ f.comp (ContinuousOrderHom.id α) = f
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ (Ideal.homogeneousHull 𝒜 I).toIdeal = ⨆ i, Ideal.span (⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
self : HasOrthogonalProjection K
v : E
⊢ ∃ w ∈ K, v - w ∈ Kᗮ
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
CommRing R
CommRing S
FunLike F R[X] S[X]
RingHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
⊢ ⇑(RatFunc.mapRingHom φ hφ) = ⇑(RatFunc.map φ hφ)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
m : ℤ
⊢ WittVector.truncateFun n ↑m = ↑m
C : Type w
CategoryTheory.Category.{v, w} C
X Y Z : LightCondensed C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g).val = f.val ≫ g.val
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
ZeroLEOneClass α
NeZero 1
MulPosStrictMono α
PosMulStrictMono α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a2 : 2 ≤ a
b2 : 2 ≤ b
⊢ a + b ≤ b * a
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cocone F✝
F : J ⥤ C
s : Cocone F
G : K ⥤ C
t : Cocone G
P : IsColimit s
Q : IsColimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
j : J
⊢ s.ι.app j ≫ P.desc ((Cocones.precompose w.inv).obj (Cocone.whisker e.functor t)) ≫ Q.desc ((Cocones.precompose ((e.invFunIdAssoc G).inv ≫ whiskerLeft e.inverse w.hom)).obj (Cocone.whisker e.inverse s)) = s.ι.app j ≫ 𝟙 s.pt
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
⊢ 𝓝[{a}] a = pure a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∀ (p q : ℝ≥0), p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
s : Set ℝ≥0∞
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
left✝ : 0 ∉ s
s_top : ⊤ ∉ s
I : ∀ x ∈ s, x ≠ ⊤
⊢ ∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
x : A
⊢ IsIntegral R (f x) ↔ IsIntegral R x
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : CommMonoid N
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M
h : α → M → N
h_zero : ∀ a ∈ s, h a 0 = 1
⊢ ∏ x ∈ s.attach, h (↑x) ((indicator s f) ↑x) = ∏ x ∈ s.attach, h (↑x) (f ↑x ⋯)
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
g h : a ⟶ b
β : g ⟶ h
⊢ f ◁ G.map₂ β ▷ θ.app b ≫ f ◁ θ.naturality h = f ◁ θ.naturality g ≫ f ◁ θ.app a ◁ H.map₂ β
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ Q y * P z ^ 3
⊢ W.add P Q = WeierstrassCurve.Jacobian.addU P Q • ![1, 1, 0]
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace X
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : MulAction G X
inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G
inst✝⁸ : BaireSpace X
inst✝⁷ : T2Space X
inst✝⁶ : ContinuousSMul G X
inst✝⁵ : IsPretransitive G X
H : Type u_3
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : BaireSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : ContinuousMul H
f : G →* H
hf : Surjective ⇑f
h'f : Continuous ⇑f
A : MulAction G H := MulAction.compHom H f
this✝ : ContinuousSMul G H
this : IsPretransitive G H
⊢ IsOpenMap ⇑f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.map f (𝟙 (⊤_ C)) ≫ (CategoryTheory.Limits.prod.rightUnitor Y).hom =
  (CategoryTheory.Limits.prod.rightUnitor X).hom ≫ f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ T₂ T₃ : CategoryTheory.Comonad C
f : T₁ ⟶ T₂
g : T₂ ⟶ T₃
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).toNatTrans = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.toNatTrans g.toNatTrans
G : Type u_1
Group G
K₁ K₂ : Subgroup G
h : K₁ ≤ K₂
H : Subgroup G
⊢ Subgroup.comap (Subgroup.inclusion h) (H.subgroupOf K₂) = H.subgroupOf K₁
α β : Type u
a b : Cardinal.{u}
this : ∀ {a : Cardinal.{u}}, ℵ₀ ≤ a → a ≠ 0
⊢ ℵ₀ ≤ a * b ↔ a ≠ 0 ∧ ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ a ∧ b ≠ 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ p
hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯
ι : Type u_2 := Module.Free.ChooseBasisIndex R M
n : ℕ
snf : Basis.SmithNormalForm p ι n
⊢ (trace R ↥p) (f.restrict hf') = (trace R M) f
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
this✝¹ : ¬IsUnit (X ^ p - C a)
g : K[X]
hg : Irreducible g
hg' : g ∣ X ^ p - C a
h : ¬g.natDegree = p
this✝ : Fact (Irreducible g)
key : (Algebra.norm K) (root g) ^ p = a ^ g.natDegree
this : p.Coprime g.natDegree
⊢ False
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : Equiv.Perm α
x : α
n : ℕ
⊢ (p ^ n) x ∈ p.toList x ↔ x ∈ p.support
R : Type u
Semiring R
I : Ideal R[X]
x : R[X]
⊢ x ∈ I.ofPolynomial ↔ x ∈ I
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
β : Type u_3
p : β → Prop
f : β → ℝ
hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x
hf : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x, p x ∧ f x ≤ ε
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun x => {p | dist p.1 p.2 ≤ f x}
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ : ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ + ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ = 2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ ‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ = 2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
⊢ 1 / a < b ↔ 1 < a * b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
xs : List α
⊢ (List.map f xs).sym2 = List.map (Sym2.map f) xs.sym2
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem : v ∈ 𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))] ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ insert (↑(extChartAt I x) x) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) v
hxs' : ↑(extChartAt I x) x ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u
h_diff : ∀ {s : ℝ}, 0 < s → DifferentiableAt ℝ Gamma s
⊢ HasDerivAt Gamma (-√π * (γ + 2 * log 2)) (1 / 2)
X : Type u_1
R : Type u_3
Zero X
Zero R
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
PartialOrder R
f g : ContinuousMapZero X R
⊢ f ≤ g ↔ ∀ (x : X), f x ≤ g x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ
ha : Odd a
⊢ Odd (a ^ 0)
ι : Type u_1
LinearOrder ι
SuccOrder ι
IsSuccArchimedean ι
PredOrder ι
i0 : ι
i : ι
hi : i < i0
⊢ Order.pred^[(-toZ i0 i).toNat] i0 = i
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
l : List α
⊢ List.count a l ≤ List.count a (b :: l)
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ (starRingEnd K) z = z ↔ ∃ r, z = ↑r
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
s : Set (α → M)
⊢ A.Definable L s ↔ ∃ φ, s = {v | φ.Realize (Sum.elim Subtype.val v)}
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
hf : Surjective f
⊢ ∃ a, map f a = 0
F : Type u_1
Field F
Finite F
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F
⊢ χ a ∈ Algebra.adjoin ℤ {μ}
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
U : Set G
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty
h : μ U = 0
⊢ μ K ≤ 0
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
s : Set α
PseudoMetricSpace β
t : Set β
f : α → β
a : α
b : β
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝[t] b) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → f x ∈ t ∧ dist (f x) b < ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
v w : E
⊢ ((innerₛₗ 𝕜) v) w = ⟪v, w⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
b : β
⊢ (Equiv.sumAssoc α β γ) (Sum.inl (Sum.inr b)) = Sum.inr (Sum.inl b)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ℕ → R
g : ℕ → M
m n : ℕ
hmn : m < n
h₁ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range i, g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i
⊢ ∑ i ∈ Ico m n, f i • g i = f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range m, g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ a.im.imK = a.imK
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)
h : ∀ (x : α), ‖⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫_𝕜‖ ≤ ‖‖↑↑f x‖ ^ 2 + ‖↑↑g x‖ ^ 2‖
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖↑↑f a‖ ^ 2) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
Group α
MulAction α β
g : α
⊢ Function.Injective fun x => g • x
α : Type u_2
LinearOrder α
p : α → Prop
x y : α
hx : x ≤ y → p x
hy : y ≤ x → p y
⊢ p (min x y)
ι : Type u_1
DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
l : List ι
f : (i : ι) → i ∈ l → α i
⊢ (Quotient.finChoiceAux l fun i h => ⟦f i h⟧) = ⟦f⟧
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s₁ s₂ : Finset β
a : α
⊢ a • (s₁ ∩ s₂) ⊆ a • s₁ ∩ a • s₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf : _root_.Continuous f
h : Monotone f
⊢ Continuous' f
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R
a : Γ
⊢ (x * y).coeff a = ∑ ij ∈ Finset.addAntidiagonal ⋯ ⋯ a, x.coeff ij.1 * y.coeff ij.2
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
⊢ ↑1 = IsLocalization.coeSubmodule P ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
GroupWithZero α
MulAction α β
s t : Finset β
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ a • s ⊆ t ↔ s ⊆ a⁻¹ • t
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : FunLike 𝓕 E F
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ = 1 → ‖f x‖ ≤ C
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
H₁ : ‖‖x‖⁻¹ • x‖ = 1
H₂ : ‖f (‖x‖⁻¹ • x)‖ ≤ C
⊢ ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI✝ : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hI : ¬I = 0
⊢ dual A K I ≤ dual A K 1 * I⁻¹
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t : Finset α
⊢ (s ⊼ t).card = s.card * t.card ↔ Set.InjOn (fun x => x.1 ⊓ x.2) (↑s ×ˢ ↑t)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
⊢ ∑ x_1 : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K), (mixedEmbedding K) (((integralBasis K).repr x) x_1 • (integralBasis K) x_1) ∈ Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))
α : Type u_2
Inv α
f : Filter α
s : Set α
⊢ s ∈ f⁻¹ ↔ Inv.inv ⁻¹' s ∈ f
α : Type u_1
f : α → ℕ
a b : α
DecidableEq α
h : a ≠ b
⊢ (f a + f b).succ * Nat.multinomial {a, b} f = (f a).succ * Nat.multinomial {a, b} (Function.update f a (f a).succ)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → List β
⊢ l.bind f = [] ↔ ∀ (x : α), x ∈ l → f x = []
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
⊢ o.blsub f = a
M : Type u_1
α : Type u_2
Group M
MulAction M α
s : Set α
m : M
⊢ m ∈ fixingSubgroup M s ↔ s ⊆ MulAction.fixedBy α m
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ (fun x => rexp (-b * x ^ 2)) =o[atTop] fun x => rexp (-x)
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s t : Set α
⊢ ↑(lowerClosure s) * t = ↑(lowerClosure (s * t))
F : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module ℝ F
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup E✝
inst✝³ : Module ℝ E✝
inst✝² : TopologicalSpace E✝
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
E : Submodule ℝ F
hcodim : 1 < Module.rank ℝ (F ⧸ E)
x : F
hx : x ∈ (↑E)ᶜ
⊢ (convexHull ℝ) (connectedComponentIn (↑E)ᶜ x) = univ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕜 n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffAt 𝕜 m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiffAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) univ (g x)) x₀
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → Option β
g : α → β → Option σ
hf : Computable f
hg : Computable₂ g
⊢ Computable fun a => (f a).bind (g a)
M : Type u_1
Mul M
N : Type u_5
Mul N
f : M →ₙ* N
⊢ f.srange = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
α : Type u_1
a : α
⊢ WithTop.toDual ↑a = ↑(OrderDual.toDual a)
n : Nat
motive : Fin (n + 1) → Sort u_1
last : motive (Fin.last n)
cast : (i : Fin n) → motive i.castSucc
⊢ Fin.lastCases last cast (Fin.last n) = last
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
CharZero K
α : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥↑(LieAlgebra.rootSpace H ⇑α) = 1
n : ℕ
α : Type u_1
LinearOrder α
f : Fin n → α
⊢ (Tuple.graph f).card = n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
⊢ h.op.ι = h.π.op
M : Type u_1
S : Set M
AddSemigroup M
⊢ S.addCentralizer = Set.univ ↔ S ⊆ Set.addCenter M
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
⊢ 1 = Submodule.span R 1
⊢ fastGrowing 2 = fun n => 2 ^ n * n
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : Real.ContfracLegendre.Ass ξ u v
⊢ 0 < Int.fract ξ
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarModule R A
inst✝⁶ : TopologicalSemiring A
inst✝⁵ : ContinuousStar A
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : T2Space B
S : StarSubalgebra R A
φ ψ : ↥S.topologicalClosure →⋆ₐ[R] B
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ.comp (inclusion ⋯) = ψ.comp (inclusion ⋯)
this : Dense (range ⇑(inclusion ⋯))
x : ↥S
⊢ φ ((inclusion ⋯) x) = ψ ((inclusion ⋯) x)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ support R N = support R M ∪ support R P
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X E
f : X → 𝕜
hf : IntegrableOn f K μ
g : X → E
hg : ContinuousOn g K
hK : IsCompact K
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => f x • g x) (μ.restrict K)
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Mathlib.Vector α n
σ : Type
f : α → σ → σ × β
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α), ∀ s ∈ S, (f a s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a s).2 = (f a s').2
⊢ (Mathlib.Vector.mapAccumr f xs s₀).2 = Mathlib.Vector.map (fun x => (f x s₀).2) xs
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
⊢ Set.range QuotientAddGroup.mk = Set.univ
Fq : Type u_1
Fintype Fq
Field Fq
x y z : Polynomial Fq
a : ℤ
hxy : Polynomial.cardPowDegree (x - y) < a
hyz : Polynomial.cardPowDegree (y - z) < a
⊢ Polynomial.cardPowDegree (x - z) < a
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
finrank_K_L : FiniteDimensional.finrank K L = B.dim
deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim
deg_R_P : P.natDegree = B.dim
f : ℕ → L
hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
aux : ∀ i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, B.dim ≤ i + n
hintsum : IsIntegral R (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
r : R
hr : (algebraMap R K) r = (Algebra.norm K) (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
⊢ (algebraMap R K) (Q.coeff 0) ^ n.succ * ((-1) ^ (n.succ * n) * (algebraMap R K) ((minpoly R B.gen).coeff 0) ^ n) = (algebraMap R K) p ^ n.succ * (algebraMap R K) r
E : Type u_4
AddGroup E
p q : NonarchAddGroupSeminorm E
x : E
⊢ (p ⊔ q) x = p x ⊔ q x