ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
X✝ Y✝ : D ⥤ E
τ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C ⥤ D
f : X ⟶ Y
x✝ : C
⊢ X✝.map (f.app x✝) ≫ τ.app (Y.obj x✝) = τ.app (X.obj x✝) ≫ Y✝.map (f.app x✝)
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hvx : 1 < v x
hpx : v (x ^ p.natDegree) = v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i))
⊢ v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i)) < v (x ^ p.natDegree)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
hf : Measurable f
a✝¹ : α
s✝ : Set γ
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ ((map 0 f hf) a✝¹) s✝ = (0 a✝¹) s✝
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
hfi : Integrable (↑f) μ
i : G'
hi : i ∈ f.range
⊢ 0 ≤ (T (↑f ⁻¹' {i})) i
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
α : Type u_5
s : Finset α
f : α → A
h : ∀ x ∈ s, IsIntegral R (f x)
⊢ IsIntegral R (∏ x ∈ s, f x)
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)
e : (K →+* ℂ) ≃ ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) := equivReindex K
N : Matrix (K →+* ℂ) (K →+* ℂ) ℂ := Algebra.embeddingsMatrixReindex ℚ ℂ (fun i => (integralBasis K) (e i)) RingHom.equivRatAlgHom
⊢ N.det ^ 2 ≠ 0
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ⊤
⊢ Memℓp (-f) ⊤
α : Type u_1
N : Type u_2
Zero N
r : α → α → Prop
s : N → N → Prop
⊢ Finsupp.Lex r s = InvImage (DFinsupp.Lex r fun x => s) Finsupp.toDFinsupp
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f✝ f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f'✝ f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f✝ x✝)
g' : TangentSpace I' (f✝ x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f✝ x✝))
f : M → M'
s : Set M
x : M
f' : E →L[𝕜] E'
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' (range ↑I ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x) ↔ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
s : Setoid M
self : L.Prestructure s
n : ℕ
r : L.Relations n
x y : Fin n → M
⊢ x ≈ y → FirstOrder.Language.Structure.RelMap r x = FirstOrder.Language.Structure.RelMap r y
x✝ y x : ℝ
⊢ (-x) ^ 2 < 1 + x ^ 2
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : r₂ ≤ r₁
⊢ Wbtw R x (r₁ • v +ᵥ x) (r₂ • v +ᵥ x)
α : Type u
DivisionRing α
x y : α
h' : Commute x y
h : x ≠ y
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = (x ^ n - y ^ n) / (x - y)
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
TopologicalGroup G
LocallyCompactSpace G
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
⊢ Filter.Tendsto (fun g => μ (g • k \ k)) (𝓝 1) (𝓝 0)
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
a : α
prev_connect : r (p.toFun i.castSucc) a
connect_next : r a (p.toFun i.succ)
m : Fin (p.length + 1)
x : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.castSucc
y : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.succ
hm : ↑i < ↑m
⊢ r x y
p q : ℚ
s t : Set ℚ
H : (cocompact ℚ).IsCountablyGenerated
x : ℕ → ℚ
hx : Tendsto x atTop (cocompact ℚ ⊓ 𝓝 0)
⊢ False
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder ι'
inst✝ : Nonempty ι'
α : ι → Type u_3
I : Set ι
s : (i : ι) → ι' → Set (α i)
hI : I.Finite
hs : ∀ i ∈ I, Monotone (s i)
⊢ (⋃ j, I.pi fun i => s i j) = I.pi fun i => ⋃ j, s i j
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
MulPosMono α
bc : b ≤ c
ha : 1 < a
a0 : 0 ≤ a
b0 : 0 < b
⊢ b < c * a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
b : α
h : AntitoneOn f (Set.Iic b)
⊢ f '' Set.Iic b ⊆ Set.Ici (f b)
R : Type u_1
CommSemiring R
p q : Polynomial R
hp : p.IsPrimitive
hq : q ∣ p
⊢ q.IsPrimitive
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryBicone.toBiconeFunctor.obj b).pt = b.pt
P : (α : Type u) → [inst : Fintype α] → Prop
of_equiv : ∀ (α β : Type u) [inst : Fintype β] (e : α ≃ β), P α → P β
h_empty : P PEmpty.{u + 1}
h_option : ∀ (α : Type u) [inst : Fintype α], P α → P (Option α)
α : Type u
h_fintype : Fintype α
⊢ P α
n : ℕ
⊢ Polynomial.map (Int.castRingHom ℂ) (Polynomial.cyclotomic n ℤ) = Polynomial.cyclotomic' n ℂ ∧
  (Polynomial.cyclotomic n ℤ).degree = (Polynomial.cyclotomic' n ℂ).degree ∧ (Polynomial.cyclotomic n ℤ).Monic
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.39620, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.39627, u_2} D
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)
j : J
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j ≫ α.app j) f (c.ι.app j)
G : Type u_1
P : Type u_2
PartialOrder G
PartialOrder P
VAdd G P
IsOrderedCancelVAdd G P
s : Set G
t v : Set P
hv : v.IsPWO
a : P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
h : v ⊆ t
⊢ Finset.VAddAntidiagonal hs hv a ⊆ Finset.VAddAntidiagonal hs ht a
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Add L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : AddHomClass F L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)
x y : L
contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y
g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k
this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g y ⊓ g (x + y)
⊢ False
α : Type u_2
Mul α
f g : Filter α
⊢ f.NeBot → g.NeBot → (f * g).NeBot
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
⊢ (fun a => edist (↑↑(f - g) a) 0) =ᶠ[ae μ] fun a => edist (↑↑f a - ↑↑g a) 0
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
IsScalarTower R B B
SMulCommClass R B B
S T : NonUnitalSubalgebra R A
S₁ T₁ : NonUnitalSubalgebra R B
⊢ S.prod S₁ ⊓ T.prod T₁ = (S ⊓ T).prod (S₁ ⊓ T₁)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
a : α
s : Set (β × Ω)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : β), (κ.condKernel (a, x)) {y | (x, y) ∈ s} ∂κ.fst a = (κ a) s
C : Type u
X Y : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
n : (CategoryTheory.Discrete ∘ CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.NormalMonoidalObject) C
⊢ CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.normalizeIsoApp C (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) n =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.inclusion.obj { as := n.as }) X
        Y).symm ≪≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRightIso (CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.normalizeIsoApp C X n) Y ≪≫
      CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.normalizeIsoApp C Y { as := X.normalizeObj n.as }
ι : Type u_11
α : ι → Type u_12
v : (i : ι) → Set (α i)
hv : (Set.univ.pi v).Nonempty
i : ι
⊢ (fun x => x i) '' ⋂ k, (fun x => x k) ⁻¹' v k = v i
a : Nat
b i : Nat
b_lt : b < 2 ^ i
j : Nat
⊢ (2 ^ i * a + b).testBit j = if j < i then b.testBit j else a.testBit (j - i)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x + condexpIndSMul hm hs hμs y) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y) x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
f : α → β
hf : Surjective f
⊢ (map f) ⊤ = ⊤
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a⁻¹ * a ≤ b * a ↔ 1 ≤ b * a
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
this : ∀ (t : Set A), Algebra.adjoin R (star t) ≤ star (Algebra.adjoin R t)
⊢ star (Algebra.adjoin R s) ≤ Algebra.adjoin R (star s)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G
⊢ lowerCentralSeries G (Nat.find ⋯) = ⊥
x y : ℝ≥0∞
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
⊢ x ≤ y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
G : Type u_7
ι : Type u_8
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
TopologicalSpace E
f : G → E
s : Set G
hp : WithSeminorms p
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (f '' s) ↔ ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) (f x) < r
A : Type u_1
SeminormedAddCommGroup A
m n : ℕ
δ : ℝ
hm : 0 < m
hmn : n.Coprime m
⊢ (fun y => m • y) '' approxAddOrderOf A n δ ⊆ approxAddOrderOf A n (↑m * δ)
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ Function.Bijective ⇑e
a b : ℕ
h : a ≤ b
⊢ Finset.Ico a (b + 1) = insert b (Finset.Ico a b)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hf : Martingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ = ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := g - t.indicator fun x => a
A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) l (𝓝 a)
i : ι
hi : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
⊢ ∫ (x : α) in s, φ i x • g x - t.indicator (fun a_1 => φ i a_1 • a) x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a = ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ
z : ℂ
h1 : cexp (z * I) + cexp (-(z * I)) = cexp (-(z * I)) * (cexp (2 * I * z) + 1)
h2 : (cexp (-(z * I)) - cexp (z * I)) * I = cexp (-(z * I)) * (I * (1 - cexp (2 * I * z)))
⊢ (cexp (z * I) + cexp (-(z * I))) / ((cexp (-(z * I)) - cexp (z * I)) * I) = (cexp (2 * I * z) + 1) / (I * (1 - cexp (2 * I * z)))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
⊢ ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α
⊢ l.reverse.tails = (map reverse l.inits).reverse
R : Type u_1
Semiring R
Nontrivial R
n : ℤ
⊢ (LaurentPolynomial.T n).degree = ↑n
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
Algebra.IsAlgebraic K L
PerfectField K
⊢ PerfectField L
R✝ : Type u_1
r : R✝
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
a b : S
h : IsNilpotent (a - b)
c : S
hc : eval a (map (algebraMap R S) P) - eval b (map (algebraMap R S) P) = c * (a - b)
⊢ IsNilpotent (eval a (map (algebraMap R S) P) - eval b (map (algebraMap R S) P))
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
h : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
this : NumberField K
⊢ NrComplexPlaces K = φ ↑n / 2
R : Type u
CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
⊢ IsCoprime x (-y)
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ (s ∩ Icc x y).OrdConnected ↔ Ioo x y ⊆ s
α : Type u
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Set ι
hs : s.Finite
f g : ι → Set α
heq : ∀ i ∈ s, f i =ᶠ[l] g i
⊢ ⋂ i ∈ s, f i =ᶠ[l] ⋂ i ∈ s, g i
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ≅ Y
Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRightIso f Z).inv = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f.inv Z
R : Type u_3
CommRing R
n : ℕ
⊢ (↑n).re = ↑n
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hm : p.Monic
⊢ IsUnit p ↔ p = 1
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
S : Type v
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
x✝ : S ⧸ P
x : S
y✝ : S ⧸ P
y : S
Pe_le_Pi1 : P ^ e ≤ P ^ (i + 1)
h : ∃ y_1, ↑((powQuotSuccInclusion f p P i) y_1) = (Quotient.mk (P ^ e)) (a * x) - (Quotient.mk (P ^ e)) (a * y)
⊢ x - y ∈ P
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
ha✝ : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
ha : ℵ₀ ≤ #α
⊢ #{ s // Bounded r s } ≤ #α
A : Type u_3
AddGroup A
s : Set A
hs : IsNormalAddSubgroup s
⊢ IsNormalSubgroup s
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x✝ : M
⊢ ((f.lift hg).comp f.toMap) x✝ = g x✝
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
r s ε x : ℝ
hx : x ∈ B f K r s ε
L : F
LK : L ∈ K
hL₁ : x ∈ A f L r ε
hL₂ : x ∈ A f L s ε
⊢ B f K r s ε ∈ 𝓝[>] x
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hf : a ≤ f N ω
hab : a < b
⊢ (b - a) * ↑(MeasureTheory.upcrossingsBefore a b f N ω) ≤
  ∑ k ∈ Finset.range N, MeasureTheory.upcrossingStrat a b f N k ω * (f (k + 1) - f k) ω
a : ℝ
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ HasSum (fun n => (↑n + a) * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * x)) (HurwitzZeta.oddKernel (↑a) x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
g : N →* P
f₁ f₂ : M →* N
hg : Function.Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : M
⊢ g (f₁ x) = g (f₂ x)
α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Sort u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
T : Set α
hT : T ⊆ Set.iUnion S
i : ι
x : ↑(S i)
hx : ↑x ∈ T
⊢ Set.iUnionLift S f hf T hT ⟨↑x, hx⟩ = f i x
α : Type u
Semiring α
I J : Ideal α
h : ∀ (x : α), x ∈ I ↔ x ∈ J
⊢ I = J
A : Type u_1
Mul A
self : IsJordan A
a b : A
⊢ b * a * (a * a) = b * (a * a) * a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
f₁' f₂' : β → α
h₁ : Set.LeftInvOn f₁' f s
t : Set β
h₁' : Set.MapsTo f s t
heq : Set.EqOn f₁' f₂' t
⊢ Set.LeftInvOn f₂' f s
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
e : α ≃ᵐ β
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑e.symm) (MeasureTheory.Measure.map (⇑e) μ) μ
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
a : α
⊢ s.erase a ≤ t ↔ s ≤ a ::ₘ t
x a' : ℝ
⊢ evenKernel (-↑a') x = evenKernel (↑a') x
G : Type u_1
Group G
⊢ ∀ {x : Fintype G} (H : Subgroup G) [hp : Fact (Nat.Prime (Fintype.card G))], H = ⊥ ∨ H = ⊤
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hx : f x = x
n : ℕ
⊢ HasStrictDerivAt f^[n] (f' ^ n) x
F : Type u_5
E : Type u_6
K : Type u_7
CommRing F
StrongRankCondition F
CommRing E
StrongRankCondition E
Ring K
SMul F E
Algebra E K
Algebra F K
IsScalarTower F E K
L : Subalgebra F K
Module.Free F ↥L
⊢ Module.rank E ↥(Algebra.adjoin E ↑L) ≤ Module.rank F ↥L
l✝ : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l✝
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
k l : n
h : j ≠ k
d : α
a b : n
⊢ (∑ x : n, (if i = a ∧ j = x then c else 0) * if k = x ∧ l = b then d else 0) = 0 a b
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m : ℕ
hm : m > 0
k : ℕ
hk : m ≤ m + k → Irreducible (cyclotomic (p ^ (m + k)) R) → Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)
hmn : m ≤ m + (k + 1)
h : Irreducible ((expand R p) (cyclotomic (p ^ (m + k)) R))
this : m + k ≠ 0
⊢ Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
i : (P F).B a
⊢ f i ∈ supp x
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
⊢ a * b * ⅟b = a
R : Type u_1
ι : Type u_5
LinearOrderedField R
Fintype ι
⊢ (convexHull R) (Set.range fun i j => if i = j then 1 else 0) = stdSimplex R ι
θ ψ : Angle
⊢ θ.sin = ψ.sin ↔ θ = ψ ∨ θ + ψ = ↑π
α : Type u_1
f : Unit → α
⊢ { fn := f }.get = f ()
x : ℝ
⊢ rexp (Real.arsinh x) = x + √(1 + x ^ 2)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g u (f x) g'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hst : s ⊆ f ⁻¹' u
⊢ HasMFDerivWithinAt I I'' (g ∘ f) s x (g'.comp f')
M : Type u_2
Add M
S T : AddSubsemigroup M
x : M
⊢ x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
M : Type u_1
CommMonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
g : M →* P
x : M
F : Submonoid.LocalizationMap.AwayMap x N
hg : IsUnit (g x)
⊢ (Submonoid.LocalizationMap.AwayMap.lift x F hg).comp (Submonoid.LocalizationMap.toMap F) = g
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
M : Type v
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I
P : Multiset (Ideal R) := factors I
prime_of_mem : ∀ p ∈ P.toFinset, Prime p
⊢ (↑(factors I).toFinset).Pairwise fun i j => (fun p => p ^ Multiset.count p P) i ⊔ (fun p => p ^ Multiset.count p P) j = ⊤
b : ℂ
hb : 0 < b.re
nv : ∀ {b : ℂ}, 0 < b.re → b ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2)
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_2
CommRing A
Algebra R A
D1 D2 : Derivation R A A
a : A
⊢ ⁅D1, D2⁆ a = D1 (D2 a) - D2 (D1 a)
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
γ : (a : α) → β a → Sort u_3
δ : (a : α) → (b : β a) → γ a b → Sort u_4
f g : (a : α) → (b : β a) → (c : γ a b) → δ a b c
h : ∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b), f a b c = g a b c
⊢ f = g
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
Nonempty ι
f : ι → α
c : α
H : ∀ (x : ι), f x ≤ c
⊢ iSup f ≤ c
α : Type u_2
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
s t : Set α
hs : s.WellFoundedOn r
ht : t.WellFoundedOn r
⊢ (s ∪ t).WellFoundedOn r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
⊢ ⇑h.toHomeomorph = ⇑h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s b
⊢ dslope f a =ᶠ[𝓝[s] b] fun y => (id y - a)⁻¹ • (f y - f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : ℕ → ℝ
R : ℝ
A : Set.Ico 0 R ⊆ Set.Ioo (-R) R
⊢ [∃ a ∈ Set.Ioo (-R) R, f =o[atTop] fun x => a ^ x, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, f =o[atTop] fun x => a ^ x, ∃ a ∈ Set.Ioo (-R) R, f =O[atTop] fun x => a ^ x, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, f =O[atTop] fun x => a ^ x, ∃ a < R, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < R) ∧ ∀ (n : ℕ), |f n| ≤ C * a ^ n, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), |f n| ≤ C * a ^ n, ∃ a < R, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |f n| ≤ a ^ n, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |f n| ≤ a ^ n].TFAE
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
NormedAddCommGroup E
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
NormedSpace ℝ E
f : β × γ → E
⊢ MeasureTheory.Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a) → ∫ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange P
hP' : RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : R ⟶ T
H : P g
this✝ : Algebra ↑R ↑S := toAlgebra f
this : Algebra ↑R ↑T := toAlgebra g
⊢ P ({ cocone := CommRingCat.pushoutCocone ↑R ↑S ↑T, isColimit := CommRingCat.pushoutCoconeIsColimit ↑R ↑S ↑T }.cocone.ι.app WalkingSpan.left)