ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
⊢ Finset.memberSubfamily a (Finset.memberSubfamily a 𝒜) = ∅
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (π i)
i : ι
y : π i
H : ∀ (b : ι), ‖single i y b‖₊ = single i ‖y‖₊ b
⊢ ‖single i y‖₊ = ‖y‖₊
A : Type u
self : AddGroup A
a : A
⊢ -a + a = 0
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
H : AddSubgroup G
x : AddAction.orbitRel.Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧
⊢ ↑a ∈ AddAction.orbit (↥H) c ↔ ↑b ∈ AddAction.orbit (↥H) c
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v : ι → M
v' : ι → M'
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ f (v ∘ ⇑(Equiv.swap i j)) + f v = 0
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
n : ℕ := addOrderOf u
⊢ ∃ k, ‖u‖ = p * (↑k / ↑n)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Inv Y
f : LocallyConstant X Y
⊢ ⇑f⁻¹ = (⇑f)⁻¹
ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
AddCommMonoid P
(i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Module R P
Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
h : (QuadraticMap.pi Q).Anisotropic
i : ι
⊢ (Q i).Anisotropic
R : Type u_1
CommSemiring R
f g : Polynomial R
⊢ (↑f * ↑g).derivativeFun = ↑f * ↑(Polynomial.derivative g) + ↑g * ↑(Polynomial.derivative f)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
Nonempty α
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Function.HasLeftInverse f
α β : Type u
⊢ lift.{u, v} (sInf ∅) = sInf (lift.{u, v} '' ∅)
α : Type u_1
PartialOrder α
a : α
⊢ Set.Iic a \ Set.Iio a = {a}
A : Type u_4
K : Type u_5
CommRing A
IsDomain A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
p : K[X]
⊢ IsLocalization.integerNormalization (nonZeroDivisors A) p = 0 ↔ p = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
hpq : p ∣ q
h₂ : p.leadingCoeff = q.leadingCoeff
hq : ¬q = 0
h₁ : p.natDegree = q.natDegree
⊢ p = q
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
a b : α
ha : IsGLB s a
hb : IsGLB t b
hst : s ⊆ t
⊢ b ≤ a
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
hP : AlgebraicGeometry.IsLocalAtTarget P
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
⊢ P f ↔ ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), P (𝒰.pullbackHom f i)
α : Type u_6
β : Type u_7
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
self : SpectralMap α β
⊢ IsSpectralMap self.toFun
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ∀ s ∈ cocompact F, ⇑f ⁻¹' s ∈ cocompact E
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
⊢ (s.weightedVSub fun x => p) w = 0
w : Nat
x : BitVec w
r i : Nat
hr : r < w
⊢ (x.rotateRight r).getLsb i = bif decide (i < w - r) then x.getLsb (r + i) else decide (i < w) && x.getLsb (i - (w - r))
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
e : Matrix n n R ≃ₗ[R] Matrix (Fin (Fintype.card n)) (Fin (Fintype.card n)) R := reindexLinearEquiv R R (Fintype.equivFin n) (Fintype.equivFin n)
⊢ (reindexLinearEquiv R[X] R[X] (Fintype.equivFin n) (Fintype.equivFin n)) (1 + X • M.map ⇑C) = 1 + X • (e M).map ⇑C
M : Type u_2
Add M
S : Set (AddSubsemigroup M)
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(sSup S) = ⋃ s ∈ S, ↑s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
self : CategoryTheory.EffectiveEpiFamilyStruct X π
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h :
  ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (π a₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (π a₂) →
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (e a₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (e a₂)
a : α
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (π a) (self.desc e ⋯) = e a
ι : Type u_1
R : Type u_5
One R
AddRightCancelMonoid R
f : ι → R
⊢ (Function.mulSupport fun x => f x + 1) = Function.support f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
q : ℝ≥0∞
⊢ eLpNorm (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ < ⊤
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
hsC : contained C o
l : Products I
⊢ isGood (π C fun x => ord I x < o) l ↔ ∃ o' < o, isGood (π C fun x => ord I x < o') l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
⊢ (K.total c₁₂).d i₁₂ i₁₂' = K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' + K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂'
α : Type u_2
Add α
IsLeftCancelAdd α
DecidableEq α
t : Finset α
a : α
⊢ ({a} + t).card = t.card
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∈ s
⊢ (insert a (s \ {b})).encard = s.encard
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
F.IsEquivalence
(F.comp G).IsEquivalence
⊢ G.IsEquivalence
α : Type u_1
a b : α
l : List α
h' : a ∈ b :: l
⊢ a = b ∨ a ≠ b ∧ a ∈ l
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
MeasurableSpace ι
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
U : ℕ → ι → Ω → β
h : ∀ (l : ℕ), MeasureTheory.ProgMeasurable f (U l)
h_tendsto : Filter.Tendsto U Filter.atTop (𝓝 u)
⊢ MeasureTheory.ProgMeasurable f u
a b : ℕ
h : a ∣ b
⊢ a.totient ∣ b.totient
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIocMod hp a b = a + p
⊢ b = a + (toIocDiv hp a b + 1) • p
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a b c d : K
hab : Commute a b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a⁻¹ - b⁻¹ = (b - a) / (a * b)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
⊢ φ ≫ hσ' q (n + 1) (n + 2) ⋯ ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1) = 0
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ FiniteDimensional.finrank ℤ (Additive ((𝓞 K)ˣ ⧸ NumberField.Units.torsion K)) = NumberField.Units.rank K
R : Type u_1
CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hna : IsNonarchimedean ⇑f
⊢ IsNonarchimedean (seminormFromConst' hf1 hc hpm)
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ μ (s ∩ t) * ↑‖x‖₊ ≤ μ s * ↑‖x‖₊
μ : YoungDiagram
⊢ μ.transpose.transpose = μ
α : Type u
⊢ ⟦α⟧ = Cardinal.mk α
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
s : Set α
h : x ∈ s
⊢ EMetric.infEdist x s = 0
R : Type u_1
Ring R
φ : PowerSeries R
u : Rˣ
h : (PowerSeries.constantCoeff R) φ = ↑u
⊢ φ * φ.invOfUnit u = 1
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V1
inst✝ : Module k V2
c : P1
r₁ r₂ : k
⊢ homothety c (r₁ + r₂) = r₁ • (id k P1 -ᵥ const k P1 c) +ᵥ homothety c r₂
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : ℕ
hk : ε⁻¹ < ↑k
⊢ ∃ k, ↑p ^ (-↑k) < ε
M : Type u_1
N : Type u_2
CommMonoid M
S : Submonoid M
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
⊢ Function.Injective ⇑f.toMap ↔ ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsLeftRegular x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b
⊢ b⁻¹ * a < c ↔ a < b * c
f : ℕ →₀ ℕ
hf : ∀ p ∈ f.support, Nat.Prime p
⊢ (f.prod fun x x_1 => x ^ x_1).factorization = f
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : chainLength α β < n + chainTopCoeff (⇑α) β
⊢ rootSpace H (-↑n • ⇑α + ⇑β) = ⊥
a : Ordinal.{u_4}
b c : Ordinal.{u_4}
⊢ a + b < a + c ↔ b < c
e : ℝ
n : ℕ
h : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat e n
w : Nat.blt 1 n = true
⊢ 0 < Real.log e
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f : w.CostructuredArrowDownwards g
⊢ (CategoryTheory.TwoSquare.EquivalenceJ.inverse w g).obj f =
  CategoryTheory.StructuredArrow.mk (CategoryTheory.CostructuredArrow.homMk f.left.hom ⋯)
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
m n : ℕ
hm : p m
hmn : m < n
⊢ Nat.count p m < Nat.count p n
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₁ π₂ : Prepartition I
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
⊢ Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₁) (𝓝 (∑ J ∈ π₂.boxes, integral J l f vol))
m : Type u_2
n : Type u_3
m' : Type u_6
n' : Type u_7
m'' : Type u_9
n'' : Type u_10
R : Type u_11
A : Type u_12
Semiring R
AddCommMonoid A
Module R A
e₁ : m ≃ m'
e₂ : n ≃ n'
e₁' : m' ≃ m''
e₂' : n' ≃ n''
M : Matrix m n A
⊢ (Matrix.reindexLinearEquiv R A e₁' e₂') ((Matrix.reindexLinearEquiv R A e₁ e₂) M) =
  (Matrix.reindexLinearEquiv R A (e₁.trans e₁') (e₂.trans e₂')) M
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F' →L[ℝ] F
f : α →ₛ F'
b : F'
x✝ : b ∈ f.range
⊢ ‖(T (↑f ⁻¹' {b})) b‖ ≤ ‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ * ‖b‖
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
v : Mathlib.Vector α n
⊢ a ∈ (a ::ᵥ v).toList
E : Type u_1
PE : Type u_2
F : Type u_3
PF : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MetricSpace PE
inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MetricSpace PF
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
x y : PE
z : PE := midpoint ℝ x y
s : Set (PE ≃ᵢ PE) := {e | e x = x ∧ e y = y}
this : Nonempty ↑s
⊢ ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), e x = x → e y = y → e z = z
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
f : F
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
ζ : Mˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℕ
hl : (ζ ^ i) ^ l = 1
⊢ k ∣ l
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Icc 0 1
⊢ (AffineMap.lineMap x y) a✝¹ = (1 - a✝¹) • x + a✝¹ • y
m n✝ a✝ b✝ c d b a n : ℕ
h : a * b ≡ 1 [MOD n]
⊢ a.Coprime n
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderTop α
SemilatticeSup β
OrderTop β
a b : α
f : α ≃o β
⊢ Codisjoint (f a) (f b) ↔ Codisjoint a b
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hroot : ∀ m ≤ n, ((⇑derivative)^[m] p).IsRoot t
hnzd : ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R
⊢ n < rootMultiplicity t p
A B : Grp
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ Function.Injective ⇑f
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x y : L
hx : x ∈ LieModule.lowerCentralSeries R L L 1
hy : y ∈ LieAlgebra.center R L
⊢ ((LieModule.traceForm R L M) x) y = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
t : Finset γ
f : β × γ → α
⊢ (s ×ˢ t).inf f = s.inf fun i => t.inf fun i' => f (i, i')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
S : Type u_4
SetLike S E
SMulMemClass S 𝕜 E
m : S
⊢ B.polar ↑m = {y | ∀ x ∈ m, (B x) y = 0}
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
⊢ IsLocalizedModule.mk' f m s = 0 ↔ ∃ s', s' • m = 0
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : Pell.xn a1 j ≡ Pell.xn a1 i [MOD Pell.xn a1 n]
⊢ j = i ∨ j + i = 4 * n
R : Type u_2
Add R
Mul R
S : Set (RingCon R)
⊢ sSup S = ringConGen (sSup (DFunLike.coe '' S))
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
f : R →+* S
r : R
⊢ (PowerSeries.map f) ((PowerSeries.C R) r) = (PowerSeries.C S) (f r)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
p : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
⊢ (finSuccEquiv R n) p = (eval₂Hom (Polynomial.C.comp C) fun i => Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (X k)) i) p
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n : ℕ
ω : Ω
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω ≤ N
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hφ : Tendsto (fun n => support (φ n)) l (𝓝 0).smallSets
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hcg : Tendsto (uncurry g) (l ×ˢ 𝓝 x₀) (𝓝 z₀)
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
⊢ Tendsto (fun i => (φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g i) (k i)) l (𝓝 z₀)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology α
f : α × β → γ
s : Set (α × β)
x : α × β
⊢ ContinuousWithinAt f s (x.1, x.2) ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f ((x.1, x.2).1, x_1)) {b | ((x.1, x.2).1, b) ∈ s} (x.1, x.2).2
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
⊢ z < 0 ↔ re z < 0 ∧ im z = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1
α : Sort u_2
DecidableEq α
β : Sort u_1
f : α ≃ β
a : α
b : β
⊢ (f.setValue a b) a = b
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
x : R
⊢ Polynomial.eval x (Polynomial.derivative p) = p.sum fun n a => a * ↑n * x ^ (n - 1)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Set α
⊢ IsAtom s ↔ ∃ x, s = {x}
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℂ
this : b ≠ 0
⊢ (𝓕 fun x => cexp (-↑π * b * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * c * ↑x)) = fun t => 1 / b ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / b * (↑t + I * c) ^ 2)
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
Nontrivial β
⊢ Nontrivial α
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
s t : σ
hlen : Fintype.card σ ≤ x.length
hx : M.evalFrom s x = t
n m : Fin (Fintype.card σ + 1)
hneq : n ≠ m
heq : M.evalFrom s (List.take (↑n) x) = M.evalFrom s (List.take (↑m) x)
hle : ↑n ≤ ↑m
hm : ↑m ≤ Fintype.card σ
hq : M.evalFrom (M.evalFrom s (List.take (↑n) (List.take (↑m) x))) (List.drop (↑n) (List.take (↑m) x)) = M.evalFrom s (List.take (↑n) (List.take (↑m) x))
⊢ M.evalFrom (M.evalFrom s (List.take (↑n) (List.take (↑m) x))) (List.drop (↑m) x) = t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
h h' : M ≃ₘ^n⟮I, I'⟯ M'
⊢ h.toEquiv = h'.toEquiv ↔ h = h'
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
s t : Set M
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
⊢ IsCompact (s * t)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
h : {I | I.IsPrime}.Finite
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
⊢ {I | I.IsMaximal}.Finite
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
⊢ ⁅⁅x, y⁆, m⁆ = ⁅x, ⁅y, m⁆⁆ - ⁅y, ⁅x, m⁆⁆
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
Ring R
Ring S
AddCommGroup M
Module R M
Module S M
SMulCommClass R S M
p : Submodule (R ⊗[ℕ] S) M
⊢ ↑(Subbimodule.toSubbimoduleInt R S M p) = ↑p
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Iic a ⊆ Set.Iic b ↔ a ≤ b
K : Type u_3
DivisionRing K
a b : K
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ 1 / a * (b - a) * (1 / b) = 1 / a - 1 / b
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y
⊢ (H.hom.c ≫ Presheaf.pushforwardToOfIso ((forget C).mapIso H).symm H.inv.c).app (op U) = (𝟙 Y.presheaf).app (op U)
R : Type u_4
NormedRing R
x : R
h : ‖x‖ < 1
⊢ Filter.Tendsto (fun n => x ^ n) Filter.atTop (𝓝 0)
y z : ℝ
hyz : z < y
x : ℝ≥0
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1
⊢ ↑x ^ y < ↑x ^ z
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
s : Finset G
h1s : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K V
⊢ ∃ x ∈ {t | (fun h => g * h) '' K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}, x.card = s.card
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ StrictMono (Subsemigroup.map f)
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (changeForm h') ((changeForm h) x) = (changeForm ⋯) x
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_7
β : Type u_8
f : α ⊕ β →₀ M
y : β
⊢ ((Finsupp.sumFinsuppLEquivProdFinsupp R) f).2 y = f (Sum.inr y)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq
⊢ Stream'.map (Option.map id) s = s
α : Type u_1
N M : Matroid α
M.FiniteRk
h : N.Restriction M
⊢ N.FiniteRk
α : Type u_1
n : ℕ
hn : 1 < n
⊢ ⊥.cliqueSet n = ∅
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Field β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
CauSeq.IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
⊢ (f.inv hf).lim = f.lim⁻¹
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
⊢ P4 x₁ x₂ y ↔ P4 (-x₂) (-x₁) y
K : Type u_1
RCLike K
x : K
⊢ ∃ c, ‖c‖ = 1 ∧ c * ↑‖x‖ = x
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G
⊢ s / closure t = s / t
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
L.IsAlgebraic
f : L.Hom M N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ ∀ (a : M), (FirstOrder.Language.Embedding.ofInjective hf) a = f a
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] E
h : IsProj p f
⊢ f = (↑(p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯) ∘ₗ id.prodMap 0) ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯).symm
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J✝ : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I J : Ideal S
h : J ∈ I.minimalPrimes
⊢ comap f J ∈ (comap f I).minimalPrimes
α : Type u_1
N M : Matroid α
M.Finite
h : N.Restriction M
⊢ N.Finite
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.337009, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.hom = app₃.hom ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
⊢ g.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.inv = app₀.inv ≫ f.map' 0 1 ⋯ ⋯
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
n : ℤ
⊢ F⟮↑n⟯ = ⊥
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
x : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
h : ∀ i ∈ t, SmoothWithinAt I' I (f i) s x
⊢ SmoothWithinAt I' I (∏ i ∈ t, f i) s x
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
DecidableEq o
DecidableEq n
A : Matrix m n α
j : n
c : m → α
e : l ≃ m
f : o ≃ n
⊢ (A.updateColumn j c).submatrix ⇑e ⇑f = (A.submatrix ⇑e ⇑f).updateColumn (f.symm j) fun i => c (e i)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1
⊢ ‖x‖ / (o.oangle y (y - x)).tan = ‖y‖
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
t : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
x : ↑F.sections
j : J
⊢ c.π.app j ((CategoryTheory.Limits.Types.isLimitEquivSections t).symm x) = ↑x j
M : Type u_6
Monoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
a b : M
h : Inseparable a b
n : ℕ
⊢ Inseparable (a ^ n) (b ^ n)
n : ℕ
⊢ List.ofFn id = List.finRange n