ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : H
hx : x ∈ e.target
mem : ↑I x ∈ ↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)).source ∩ range ↑I
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e.symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
a : A
⊢ Filter.Tendsto (resolvent a) (Bornology.cobounded 𝕜) (nhds 0)
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
r : R
h : ∀ (k : ℕ), eval r ((hasseDeriv k) f) = 0
k : ℕ
⊢ ((taylor r) f).coeff k = coeff 0 k
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x y : ↥I
⊢ I.toCotangent x - I.toCotangent y = 0 ↔ ↑x - ↑y ∈ I ^ 2
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
⊢ (kerase a l).keys = l.keys.erase a
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ n < a ^ n
α : Type u_1
as bs : Array α
size start : Nat
h : start + size ≤ as.size
⊢ Array.extract.loop as size start bs = bs ++ as.extract start (start + size)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
⊢ P.ker = RingHom.ker (MvPolynomial.aeval P.val)
M : Type u_5
F : Type u_6
One M
FunLike F M M
OneHomClass F M M
f : F
n : ℕ
⊢ (⇑f)^[n] 1 = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ↑1 = 1
⊢ ⇑Cardinal.liftOrderEmbedding = Cardinal.lift.{u, v}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ (CategoryTheory.cokernelUnopUnop g).hom =
  CategoryTheory.Limits.cokernel.desc g.unop (CategoryTheory.Limits.kernel.ι g).unop ⋯
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
⊢ s ∈ 𝒜.shatterer ↔ 𝒜.Shatters s
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y ≠ 0
⊢ y ≠ 0
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
⊢ Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
ι : Type u_5
B : Type u_6
TopologicalSpace B
F : Type u_7
TopologicalSpace F
self : FiberBundleCore ι B F
x : B
⊢ x ∈ self.baseSet (self.indexAt x)
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
Mul β
x y : α
⊢ x * y = e.symm (e x * e y)
m n : Num
⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n
R : Type u_1
Semiring R
f : PowerSeries R
a : R
⊢ a • f = (PowerSeries.C R) a * f
α : Type u_1
L : List α
i j : Nat
⊢ (List.drop i L).get? j = L.get? (i + j)
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
G' : Type u_8
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
f : α → E
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
h : f =O[l] g'
⊢ f =O[l] fun x => (g' x, k' x)
a : ℝ
hane : a ≠ 0
ha : Filter.Tendsto Stirling.stirlingSeq Filter.atTop (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto Real.Wallis.W Filter.atTop (𝓝 (a ^ 2 / 2))
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ √(normSq z) = ‖z‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : OpenEmbedding g
⊢ IsOpenMap f ↔ IsOpenMap (g ∘ f)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hq : q ≠ 0
⊢ (gcd q p).degree ≤ q.degree
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
⊢ IsCoprime a b
F : Type u_1
K : Type u_2
Field F
Field K
Algebra F K
⊢ Normal F K → ∀ (x : K), Polynomial.Splits (algebraMap F K) (minpoly F x)
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_2
CommRing A
Algebra R A
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module A M
Module R M
D : Derivation R A M
a b : A
⊢ D (a - b) = D a - D b
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
self : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
u : ℤˣ
⊢ Subgroup.IsComplement (↑(HNNExtension.toSubgroup A B u)) (self.set u)
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
h12 : E1 ≤ E2
⊢ E2.fixingSubgroup ≤ E1.fixingSubgroup
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
h : ¬{i | ¬∃ b, p.c b ∉ p.iUnionUpTo i ∧ p.R i ≤ p.τ * p.r b}.Nonempty
x y : Ordinal.{u}
hxy : p.index x = p.index y
x_le_y : x ≤ y
⊢ x = y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite ι'
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsCountablySpanning (C i)
val✝ : Encodable ι
⊢ MeasurableSpace.pi ≤ generateFrom (univ.pi '' univ.pi C)
R : Type u_1
CommRing R
P : Polynomial R
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
⊢ IsUnit P
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
n : Type u_2
Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
⊢ A.rank = Fintype.card { i // hA.eigenvalues i ≠ 0 }
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : BorelSpace E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace E
inst✝ : LocallyCompactSpace F
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
this✝ : ProperSpace E
this : ProperSpace F
M : F × E →ₗ[𝕜] F := LinearMap.id.coprod L
M_cont : Continuous ⇑M
hM : Function.Surjective ⇑M
A : ∀ (x : F × E), M x ∈ s ↔ x ∈ ⇑M ⁻¹' s
⊢ (∀ᵐ (y : F) ∂ν, ∀ᵐ (x : E) ∂μ, y + L x ∈ s) ↔ ∀ᵐ (x : F) ∂ν, ∀ᵐ (y : E) ∂μ, (x, y) ∈ ⇑M ⁻¹' s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : Mon_ C
⊢ (X ⊗ Y).one = (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (X.one ⊗ Y.one)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ t : Finset ι
f✝ : ι → α
i✝ i : ι
f : ι → α
s : Finset ι
hs : s ⊆ {i}
j : ι
hji : j ∈ {i}
hj : j ∉ s
⊢ Disjoint (f j) (s.sup f)
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
a : α
inst✝ : (𝓝[>] a).NeBot
⊢ (𝓝ˢ (Iic a)).HasBasis (fun x => a < x) Iic
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R
⊢ IsCompact ↑(basicOpen f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
l : Filter (E →WOT[𝕜]F)
A : E →WOT[𝕜]F
⊢ l ≤ 𝓝 A ↔ ∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), Filter.map (fun T => y (T x)) l ≤ 𝓝 (y (A x))
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p q : Polynomial R
⊢ (p * q).content = p.content * q.content
M : Type u_2
AddMonoid M
m : M
⊢ IsAddUnit (AddOpposite.op m) ↔ IsAddUnit m
α : Sort u
β : Sort u_1
op : α → β → β
o : outParam α
self : Std.LawfulLeftIdentity op o
a : β
⊢ op o a = a
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
⊢ ⇑(LatticeHom.id (WithBot α)).toSupHom = id
α : Type u_1
SemilatticeSup α
a : α
⊢ UpperSet.iciSupHom a = UpperSet.Ici a
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
LocallyCompactPair Y Z
⊢ Continuous fun x => x.2.comp x.1
K : Type u
Field K
⊢ RatFunc.num 1 = 1
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
⊢ ∃ m ∈ s, ∀ z ∈ s, m ≤ z → z ≤ m
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y => cexp (2 * ↑π * I * ↑n * y / ↑T)) (2 * ↑π * I * ↑n / ↑T * cexp (2 * ↑π * I * ↑n * ↑x / ↑T)) ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
Ixx : α → α → Set α
⊢ Tendsto (fun p => Ixx p.1 p.2) (𝓟 s ×ˢ 𝓟 s) (𝓟 t).smallSets ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, Ixx x y ⊆ t
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
⊢ (Stream'.drop i a).head * a.get j ∈ FP (Stream'.drop i a)
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R
⊢ vanishingIdeal '' irreducibleComponents (PrimeSpectrum R) = minimalPrimes R
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
f : D ≌ E
X : C
⊢ f.functor.map (e.functor.map (e.unitIso.hom.app X ≫ e.inverse.map (f.unitIso.hom.app (e.functor.obj X)))) ≫ f.functor.map (e.counitIso.hom.app (f.inverse.obj (f.functor.obj (e.functor.obj X)))) ≫ f.counitIso.hom.app (f.functor.obj (e.functor.obj X)) = 𝟙 (f.functor.obj (e.functor.obj X))
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
self : I.Filtration M
i : ℕ
⊢ self.N (i + 1) ≤ self.N i
ι : Type u
α : ι → Type u_2
δ : (i : ι) → α i → Type v
(i : ι) → (j : α i) → AddZeroClass (δ i j)
DecidableEq ι
f g : Π₀ (i : ι) (j : α i), δ i j
⊢ (f + g).sigmaUncurry = f.sigmaUncurry + g.sigmaUncurry
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
s : Stream'.WSeq α
⊢ Stream'.WSeq.map f (Stream'.WSeq.cons a s) = Stream'.WSeq.cons (f a) (Stream'.WSeq.map f s)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p : ℕ
ExpChar R p
f : R[X]
PerfectRing R p
DecidableEq R
⊢ Finset.image (⇑(frobenius R p)) ((Polynomial.expand R p) f).roots.toFinset = f.roots.toFinset
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
i : I₁ × I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ i = i₁₂
⊢ K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) i i₁₂ h ≫ K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = K.d₂ c₁₂ i.1 i.2 i₁₂'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ ∀ {X Y : Fin (1 + 1 + 1)} (g : X ⟶ Y),
  S.toComposableArrows.map g =
    CategoryTheory.ComposableArrows.Precomp.map (CategoryTheory.ComposableArrows.mk₁ S.g) S.f X Y ⋯
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
hp : p % 4 ≠ 3
⊢ ¬Irreducible ↑p
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : IsOpenMap f
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ IsOpenMap (s.restrict f)
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ≥0
⊢ ∃ i, ∀ (a : ℝ≥0), i ≤ a → b ≤ a ^ y
ι : Type u_1
R : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
l : List ι
f : ι → R
r : R
⊢ (List.map (fun b => f b * r) l).sum = (List.map f l).sum * r
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
κ : ι → Sort u_9
f : ι → α
⊢ ⨆ i, ⨆ x, f i ≤ ⨆ i, f i
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
f : κ → Ideal A
h : ∀ (i : κ), IsHomogeneous 𝒜 (f i)
i : ι
x : A
hx : x ∈ ⨅ i, f i
⊢ ↑(((decompose 𝒜) x) i) ∈ ⨅ i, f i
F : Type u_1
Field F
p q : F[X]
⊢ Function.Injective ⇑(Polynomial.Gal.restrictProd p q)
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }
ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ
hax : a ≤ ↑x
hxb : ↑x ≤ b
⊢ ↑x ∈ ⊥
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ (tensorProduct R A M M) (1 ⊗ₜ[R] 1) = 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)
f : (i : ι) → α i
⊢ (univ.pi fun i => Ioi (f i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] Ici f
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
𝒢 : Filtration ι m
τ η : Ω → ι
i j : ι
s : Set Ω
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hτ_st : IsStoppingTime 𝒢 τ
hη_st : IsStoppingTime 𝒢 η
hτ : ∀ (ω : Ω), i ≤ τ ω
hη : ∀ (ω : Ω), i ≤ η ω
hs : MeasurableSet s
n : ι
⊢ MeasurableSet {ω | s.piecewise τ η ω ≤ n}
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e e' : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
h : ∀ (x : P₁), e x = e' x
⊢ e = e'
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
S : Type u_2
inst✝ : Field S
f : R[X] →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
this : (RingHom.ker f).IsMaximal
g : R[X] ⧸ RingHom.ker f →+* S := Quotient.lift (RingHom.ker f) f ⋯
hfg : g.comp (Quotient.mk (RingHom.ker f)) = f
⊢ (f.comp C).IsIntegral
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
⊢ (bind₁ (frobeniusPoly p)) (wittPolynomial p ℤ n) = wittPolynomial p ℤ (n + 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2
motive : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q n → Prop
range_ι_pow : ∀ (v : CliffordAlgebra Q) (h : v ∈ LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q) ^ n.val), motive v ⋯
add :
  ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q n) (hy : y ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q n),
    motive x hx → motive y hy → motive (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul :
  ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q n),
    motive x hx → motive ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁ * (CliffordAlgebra.ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q n
⊢ motive x hx
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
⊢ μ.innerContent { carrier := ↑U' ∩ U, is_open' := ⋯ } + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'
z : ℂ
h :
  ((∀ (k : ℤ), ↑z.re ≠ (2 * ↑k + 1) * ↑Real.pi / 2) ∧ ∀ (l : ℤ), ↑z.im * Complex.I ≠ (2 * ↑l + 1) * ↑Real.pi / 2) ∨
    (∃ k, ↑z.re = (2 * ↑k + 1) * ↑Real.pi / 2) ∧ ∃ l, ↑z.im * Complex.I = (2 * ↑l + 1) * ↑Real.pi / 2
⊢ Complex.tan z =
  (Complex.tan ↑z.re + Complex.tanh ↑z.im * Complex.I) / (1 - Complex.tan ↑z.re * Complex.tanh ↑z.im * Complex.I)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
hP : P.IsEquipartition
⊢ ↑(P.parts.biUnion Finset.offDiag).card ≤ ↑A.card * (↑A.card + ↑P.parts.card) / ↑P.parts.card
a b : Int
h : a - b = 0
⊢ a = b
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g✝ : S →+* T
f : R →+* S
hf : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
J : Ideal (S ⊗[R] T)
hJ : J.IsPrime
⊢ Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap (algebraMap S (S ⊗[R] T)) J) J (algebraMap S (S ⊗[R] T)) ⋯)
α : Type u
L : List (α × Bool)
DecidableEq α
⊢ FreeAddGroup.mk (FreeAddGroup.reduce L) = FreeAddGroup.mk L
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
s : Finset β
f : β → α
h : s.Nonempty
⊢ ∃ x ∈ s, ∀ x' ∈ s, f x ≤ f x'
α : Type u_1
LT α
a : α
⊢ ¬Order.IsSuccLimit a ↔ ∃ b, b ⋖ a
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Ring R
Ring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
x y : R
⊢ x - y ∈ RingHom.ker f ↔ f x = f y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
n : ℕ
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution X
Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution Y
g : P.complex ⟶ Q.complex
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g Q.π = CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.π ((ChainComplex.single₀ C).map f)
⊢ (F.leftDerived n).map f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.isoLeftDerivedObj F n).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).comp
            (HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n)).map
        g)
      (Q.isoLeftDerivedObj F n).inv)
R : Type u_1
Ring R
x : R
n : ℕ
hx : (x - x ^ 2) ^ n = 0
⊢ IsIdempotentElem (1 - (1 - x ^ n) ^ n)
M : Type u_2
Monoid M
x : Mˣ
⊢ ∀ (a : (↥(Submonoid.centralizer {↑x}))ˣ), ↑↑((unitsCentralizerEquiv M x) a) = ↑↑a
α : Type u_2
Group α
s t : Set α
⊢ 1 ∈ s / t ↔ ¬Disjoint s t
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : F ≃L[𝕜] G
⊢ ContDiff 𝕜 n (⇑e ∘ f) ↔ ContDiff 𝕜 n f
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
β : Type u_4
s : β → β → Prop
inst✝ : IsTrans β s
wf : ∀ (b : β), WellFounded (Subrel s {b' | s b' b})
b b' : β
hb' : s b' b
⊢ Acc s b'
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
x y : R₁
hy : y ∈ R₁⁰
⊢ FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ (IsLocalization.mk' K x ⟨y, hy⟩) * ↑I = ↑J ↔ Ideal.span {x} * I = Ideal.span {y} * J
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p : Prop
q : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, p ∧ q x) ↔ p ∧ ∃ᶠ (x : α) in f, q x
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
⊢ ((∫ (x : E), u x ∂μ) * |D| ^ finrank ℝ E)⁻¹ • ∫ (a : E), u (D⁻¹ • a) ∂μ = 1
n a b : ℤ
c : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ a * c ≡ b * c [ZMOD n]
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)
α : Type u_1
CommMonoid α
p q : Multiset α
⊢ Multiset.Rel Associated p q ↔ Multiset.map Associates.mk p = Multiset.map Associates.mk q
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
Nontrivial R
⊢ Polynomial.cyclotomic n R ≠ 0
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix n n R₂
x y : n → R₂
⊢ ((Matrix.toBilin' M) x) y = ∑ i : n, ∑ j : n, x i * M i j * y j
S : Type u_2
CommRing S
R : Type u_3
CommRing R
Algebra R S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
IsDomain S
x : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
i : Fin B.dim
⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
AddCommGroupWithOne A
Module R A
AddCommGroupWithOne B
Module R B
z : ℤ
⊢ ↑z = ↑z ⊗ₜ[R] 1
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
⊢ IsNoetherianRing A
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
s : S.obj (op α)
⊢ ∀ ⦃Y : Type u⦄ ⦃f : Y ⟶ α⦄, discretePresieve α f → S.map f.op (typesGlue S hs α (eval S α s)) = S.map f.op s
S : Type u_2
R : Type u
M : Type v
SMul S R
SMul S M
s : S
x : tsze R M
⊢ (s •> x).snd = s •> x.snd
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D
inst✝³ : MeasurableSpace D
inst✝² : BorelSpace D
inst✝¹ : SecondCountableTopology D
inst✝ : FiniteDimensional ℝ D
C₁ C₂ : ℝ
k l : ℕ
x f : ℝ
hx : 0 ≤ x
hf : 0 ≤ f
h₁ : f ≤ C₁
h₂ : x ^ (k + l) * f ≤ C₂
this✝ : 0 ≤ C₂
this : 2 ^ l * (C₁ + C₂) * (1 + x) ^ (-↑l) = ((1 + x) / 2) ^ (-↑l) * (C₁ + C₂)
h'x : x ≤ 1
⊢ x ^ k * f ≤ ((1 + x) / 2) ^ (-↑l) * (C₁ + C₂)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ Set.range ⇑(algebraMap R A) ⊆ ↑S
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
F.IsEquivalence
CategoryTheory.SplitEpiCategory C
⊢ CategoryTheory.SplitEpiCategory D
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a : α
⊢ -a ≤ |a|
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
x : (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
hst : Disjoint s t
y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i
z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i
e : { x // x ∈ s } ⊕ { x // x ∈ t } ≃ { x // x ∈ s ∪ t } := Finset.union s t hst
i : ι
his : i ∈ s
hit : i ∈ t
⊢ z ⟨i, ⋯⟩ = (piFinsetUnion π hst) (y, z) ⟨i, ⋯⟩
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ (m_1 : ℕ), (nim ↑m + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(m ^^^ m_1)
m : ℕ
hm : ∀ m_1 < m, (nim ↑n + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(n ^^^ m_1)
⊢ (nim ↑n + nim ↑m).grundyValue = ↑(n ^^^ m)
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
⊢ ((listTransvecCol M).prod * M * (listTransvecRow M).prod) (inl i) (inr ()) = 0
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
f_add : ∀ (a b : R), f (a + b) ≤ f a + f b
x y : R
⊢ seminormFromBounded' f (x + y) ≤ seminormFromBounded' f x + seminormFromBounded' f y
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : ¬a < b
⊢ Set.Ioo a b = ∅
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ : X
p₀ p₁ : Path x₀ x₁
h : p₀.Homotopic p₁
⊢ p₁.Homotopic p₀
α : Type u_1
Lattice α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ Set.uIcc a b = Set.Icc b a
x y : PartENat
⊢ ∀ (n n_1 : ℕ), (↑n + ↑n_1).toWithTop = (↑n).toWithTop + (↑n_1).toWithTop
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
h : IsNilpotent a
hl : IsNilpotent (LinearMap.mulLeft R a)
hr : IsNilpotent (LinearMap.mulRight R a)
⊢ IsNilpotent ((LinearMap.mulLeft R - LinearMap.mulRight R) a)
α : Type u
DivisionCommMonoid α
a : α
h : IsUnit a
b : α
⊢ a * b / a = b
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
x : K
⊢ IsLocalization.mk' K (IsFractionRing.num A x) (IsFractionRing.den A x) = x