ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
s : Set X
hx : x ∈ e.source
⊢ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, p (↑e.symm (↑e x))) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, p x
α : Type u
β : Type v
PartialOrder β
l : Filter α
f g : α → β
h₁ : f ≤ᶠ[l] g
h₂ : g ≤ᶠ[l] f
⊢ f =ᶠ[l] g
u : ℤˣ
⊢ u = 1 ∨ u = -1
X : Type u_1
EMetricSpace X
s t t' : Set X
h' : IsMetricSeparated s t'
ht : t ⊆ t'
⊢ IsMetricSeparated s t
x : ℝ
h₁ : -1 < x
h₂ : x < 1
⊢ 2 * Real.arctan x = Real.arctan (2 * x / (1 - x ^ 2))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
g'inv : G →L[𝕜] E
hg'inv : φ.rightDeriv.comp g'inv = ContinuousLinearMap.id 𝕜 G
hg'invf : φ.leftDeriv.comp g'inv = 0
this : HasStrictFDerivAt (HasStrictFDerivAt.localInverse φ.prodFun (φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯) φ.pt ⋯) (↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯).symm) (φ.prodFun φ.pt)
⊢ HasStrictFDerivAt (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt)) g'inv (φ.rightFun φ.pt)
J : Type w
⊢ (CategoryTheory.Limits.widePushoutShapeOpEquiv J).counitIso = CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeUnopOp J
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a < b
⊢ IsLUB (Set.Ioc a b) b
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : AddSubgroup G
g : ι → G
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i +ᵥ ↑H = Set.univ
hind : H.index = s.card
⊢ (↑s).PairwiseDisjoint fun x => g x +ᵥ ↑H
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.49293, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ F.shiftMap T.mor₃ n₀ n₁ ⋯ ≫ (F.shift n₁).map T.mor₁ = 0
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (CliffordAlgebra.contractRight ((CliffordAlgebra.contractRight x) d)) d = 0
α : Type u_1
Setoid α
r : α → α → Prop
H : ∀ (a₁ b₁ a₂ b₂ : α), a₁ ≈ a₂ → b₁ ≈ b₂ → r a₁ b₁ = r a₂ b₂
⊢ ∀ (a : Quotient inst✝), (Quotient.outRelEmbedding H) a = a.out
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
i : σ
c : R
⊢ MvPolynomial.degreeOf i (p * MvPolynomial.C c) ≤ MvPolynomial.degreeOf i p
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
MulOneClass β
CommMonoid γ
f : α → β →* γ
s : Finset α
b : β
⊢ (∏ x ∈ s, f x) b = ∏ x ∈ s, (f x) b
E : Type u_2
Norm E
x : ULift.{u_5, u_2} E
⊢ ‖x‖ = ‖x.down‖
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
⊢ {x | ∃ y, x ⋖ y}.Countable
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
ba : b < a
⊢ variationOnFromTo f s a b = -variationOnFromTo f s b a
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
p : Polynomial R
⊢ (algebraMap (Polynomial R) (PowerSeries A)) p = (PowerSeries.map (algebraMap R A)) ↑p
M : ℝ
hM : 1 < M
x : ℝ
hx : (0 < x ∧ x < 2) ∧ x < 1
⊢ x < 1 ∧ 1 - x < M * (1 - x)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
DecidableEq α
DecidableEq β
s : Finset γ
f : γ → Multiset β
g : β → α
hg : Function.Injective g
⊢ Multiset.map g (s.sup f) = s.sup (Multiset.map g ∘ f)
α : Type u_2
InvolutiveNeg α
s : Set α
⊢ -s = ∅ ↔ s = ∅
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
h : m < n
⊢ (if ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s then sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) else m) = m
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
⊢ ∃ q, ExpChar R q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
F : Type u_5
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RelHomClass F r s
f : F
b : β
a : α
H : ∀ (y : β), s y (f a) → Acc s y
IH : ∀ (y : β), s y (f a) → ∀ (a : α), f a = y → Acc r a
⊢ Acc r a
R : Type u_2
CommSemiring R
r : R
f : Polynomial R
s : R
⊢ Polynomial.eval s ((Polynomial.taylor r) f) = Polynomial.eval (s + r) f
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
a : α
ha : a ∈ s
has : ∀ b ∈ s, b ≤ a → b = a
⊢ s.erase a ⊓ UpperSet.Ici a = s
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
R : Type u_4
Semiring R
SMul R K
Module R L
IsScalarTower R K L
r : R
x : ↥S
⊢ ↑(r • x) = r • ↑x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < 1
A : Tendsto (fun n => x + c ^ n) atTop (𝓝 x)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + c ^ n ∈ U
n : ℕ
hn : x + c ^ n ∈ U
⊢ ∃ y ∈ U ∩ Set.univ, y ≠ x
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
s : Set A
hs : s = ↑S
⊢ ↑(S.copy s hs) = s
ι : Type u_1
M : Type u_4
CanonicallyOrderedCommMonoid M
f : ι → M
s : Finset ι
⊢ ∏ x ∈ s, f x = 1 ↔ ∀ x ∈ s, f x = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
CompactSpace X
T2Space Y
f : X → Y
s : Set Y
hs : IsCompact s
hf : Continuous f
⊢ IsCompact (f ⁻¹' s)
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
h₀ : t ∈ 𝓝 0
hc : Convex ℝ t
x : E
hx : x ∈ interior s
⊢ gauge t (gaugeRescale s t x) < 1
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.Colorable n
⊢ ↑(sInf {n' | G.Colorable n'}) ≤ ↑n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
s : Set α
hs : Dense s
⊢ ∀ s_1 ∈ {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a}, IsOpen s_1
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S R N
Q : QuadraticMap R M N
B : BilinMap R M N
h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
x y : M
⊢ (fun x => Q x) (x + y) = (fun x => Q x) x + (fun x => Q x) y + ((LinearMap.restrictScalars₁₂ S S B) x) y
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
CommSemiring S
Algebra S R
Invertible 2
⊢ Function.RightInverse (⇑(QuadraticMap.associatedHom S)) LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
U : X.Opens
⊢ (𝒰.restrict U).J = 𝒰.J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout g.left (fun x => g.right) fun x => g.hom
F : f ⟶ g
⊢ (CategoryTheory.Arrow.mapAugmentedCechConerve F).right = CategoryTheory.Arrow.mapCechConerve F
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
s : Set α
xs : x ∈ s
hs : IsOpen s
⊢ ∃ v ∈ {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}, x ∈ v ∧ v ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
s : Set α
t : Set β
f : α → M
g : β → M
e : α → β
he₀ : Set.BijOn e s t
he₁ : ∀ x ∈ s, f x = g (e x)
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∑ᶠ (j : β) (_ : j ∈ t), g j
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ : Fin (n + 3)
p : P
h : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p ∈ s.mongePlane i₁ i₂
⊢ p -ᵥ s.mongePoint = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this✝ : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
x✝⁵ x✝⁴ x✝³ : ℕ
x✝² : x✝³ ≥ x✝⁴
x✝¹ : ℕ
x✝ : x✝¹ ≥ x✝⁴
this : ProperSpace E
⊢ MeasurableSet {x | x.2 ∈ B (f x.1) K ((1 / 2) ^ x✝³) ((1 / 2) ^ x✝¹) ((1 / 2) ^ x✝⁵)}
α : Type u
l : List α
hn : l.Nodup
⊢ l.cyclicPermutations.Nodup
a b : Prop
⊢ (a ↔ b) ↔ (¬a ∨ b) ∧ (a ∨ ¬b)
α : Type u_1
⊢ ⋃₀ ∅ = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι✝ → α
a b : α
ι : Type u_9
s : Set ι
f : ι → α
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ⨅ i ∈ s, f i ≤ f i
α : Type u_2
PartialOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a = b ↔ a ≤ b ∧ ¬a < b
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α x : E
⊢ IsCompactElement F⟮x⟯
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
b : β
v : Mathlib.Vector α 1
⊢ Mathlib.Vector.scanl f b v = b ::ᵥ f b v.head ::ᵥ Mathlib.Vector.nil
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
x : Hamming β
⊢ Hamming.toHamming (Hamming.ofHamming x) = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : E
hx : x ∈ ↑I '' (f.symm ≫ₕ f').source
⊢ ↑I '' (f.symm ≫ₕ f').source ∈ 𝓝[range ↑I] x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
g : β ≃. γ
h : γ ≃. δ
⊢ (f.trans g).trans h = f.trans (g.trans h)
S : Type u_1
AddCommGroupWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
X : CategoryTheory.DifferentialObject S C
⊢ ((CategoryTheory.DifferentialObject.shiftZero C).inv.app X).f = (CategoryTheory.shiftFunctorZero C S).inv.app X.obj
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v v✝ : V
h : G.Adj u v✝
p' : G.Walk v✝ v
d : G.Dart
hd : d ∈ (cons h p').darts
⊢ d.toProd.1 ∈ (cons h p').support
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : Finset n
hj : j ∉ s
c : n → R
a : R
⊢ (M.updateRow j (a • M j + ∑ k ∈ s, c k • M k)).det = a • M.det
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ
⊢ ‖↑z‖ = ‖↑z‖
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
E : MorphismProperty.LeftFraction.Localization W ≌ D := uniq (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W
e : MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W ⋙ E.functor ≅ L := compUniqFunctor (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W
g : W.LeftFraction X Y
⊢ ∃ φ, e.inv.app X ≫ E.functor.map (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom.mk g) ≫ e.hom.app Y = φ.map L ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
hyp : ¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v
⊢ x ∈ connectedComponent y
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
Neg R
A₁ : Matrix n m₁ R
A₂ : Matrix n m₂ R
⊢ -A₁.fromColumns A₂ = (-A₁).fromColumns (-A₂)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
hp : 0 < p.natDegree
⊢ ↑(p.natDegree - 1) ≤ (derivative p).degree
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y × Z
hf : Continuous f
⊢ Continuous fun x => (f x).2
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : CategoryWithHomology C
inst✝ : (quasiIso C c).HasLocalization
i : ι
x✝² x✝¹ : HomologicalComplex C c
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
hf : quasiIso C c x✝
⊢ IsIso ((homologyFunctor C c i).map x✝)
ι : Sort u_1
f : ι → Cardinal.{v}
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (iInf f) = ⨅ i, Cardinal.lift.{u, v} (f i)
c d : Cardinal.{u}
hcd : c < d
hd : d < Cardinal.aleph0
⊢ Cardinal.toNat c < Cardinal.toNat d
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
m : Type u_9
n : Type u_10
CommSemiring R
Fintype m
Fintype n
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
AddCommMonoid γ
Module R α
Module R β
Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β
⊢ (((Matrix.kroneckerMapBilinear f) A) B).trace = (f A.trace) B.trace
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f g : ι → α
hf : Summable f
hg : Summable g
h : f ≤ g
⊢ ∑' (n : ι), f n ≤ ∑' (n : ι), g n
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑↑e = ⇑e
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
a b : M₀
ha : IsUnit a
⊢ a * b = 0 ↔ b = 0
α : Type u_1
ι : Type u_3
Order.Frame α
f : ι → α
⊢ CompleteLattice.Independent f ↔ Pairwise (Disjoint on f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
r : ℝ
w : α
hw : 1 < ‖w‖
n : ℕ
hn : r < ‖w‖ ^ n
⊢ r < ‖w ^ n‖
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₃ : P
h : ¬Collinear k {p₁, p₁, p₃}
⊢ False
n : ℕ
h : 2 ≤ n
⊢ Encodable.decode n = none
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
t s₁ s₂ : Set E
hs : s₁ ⊆ s₂
⊢ convexJoin 𝕜 s₁ t ⊆ convexJoin 𝕜 s₂ t
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
ι : Type u_1
U : ι → Opens ↑Y
⊢ ↑{ carrier := ⇑f ⁻¹' ⋃ i, ↑(U i), is_open' := ⋯ } = ↑{ carrier := ⋃ i, ↑(((map f).obj ∘ U) i), is_open' := ⋯ }
n : Type u_3
R : Type u_6
Fintype n
AddCommMonoid R
A : Matrix n n R
⊢ (Matrix.traceAddMonoidHom n R) A = A.trace
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
P' : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P'
h : ∀ ⦃X : C⦄, P X → P' X
X Y : CategoryTheory.FullSubcategory P
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.fullMonoidalSubcategory.map h).μ X Y =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj ((CategoryTheory.FullSubcategory.map h).obj X)
      ((CategoryTheory.FullSubcategory.map h).obj Y))
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ e 0 = 0
α : Type u_1
p : α → Prop
h : ∀ (x : α), p x
x : Subtype p
⊢ (Equiv.subtypeUnivEquiv h) x = ↑x
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
z : ℍ
hk' : 2 < ↑k
b : Fin 2 → ℤ
⊢ Complex.abs (eisSummand k b z) ≤ r z ^ (-↑k) * ‖b‖ ^ (-↑k)
K : Type u_1
DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation K Γ₀
x : K
h : x ≠ 0
⊢ v x ≤ 1 ↔ 1 ≤ v x⁻¹
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
x y : R
h : Commute x y
⊢ (x - y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n - y ^ p ^ n
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1
⊢ HasSum (fun n => ProbabilityTheory.geometricPMFReal p n) 1
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
h : Group.IsNilpotent G
⊢ ∀ (H : Subgroup G), H.normalizer = H → H = ⊤
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖x + y - z‖ * ‖x + y - z‖ = (‖2 • x + y‖ * ‖2 • x + y‖ + ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2 - ‖x + z‖ * ‖x + z‖
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
n : ℕ
hx : (σ ^ n) (Classical.choose hσ) ∈ ↑σ.support
⊢ ↑⟨(τ ^ (n + 1)) (Classical.choose hτ), ⋯⟩ = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ⟨τ ^ n, ⋯⟩)
X : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
φ : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ ∫ (x : X), L (↑↑φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), ↑↑φ x ∂μ)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
j : ι
r : c.Rel (c.prev j) j
⊢ C.dTo j = (C.xPrevIso r).hom ≫ C.d (c.prev j) j
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
this : FiniteDimensional 𝕜 M
hf : IsUnit f
⊢ ¬LinearMap.det f = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (f.restrict s).lintegral μ = f.lintegral (μ.restrict s)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
⊢ IsClosed (convexBodySum K B) ∧ Bornology.IsBounded (convexBodySum K B)
x n : ℂ
⊢ x⁻¹ ^ n = if x.arg = π then (starRingEnd ℂ) (x ^ (starRingEnd ℂ) n)⁻¹ else (x ^ n)⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
T : CategoryTheory.Monad C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Kleisli.Adjunction.toKleisli T).obj X = X
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ -((traceForm R L M) ⁅y, x⁆) z = -((traceForm R L M) y) ⁅x, z⁆
M : Type u_1
AddZeroClass M
⊢ 0 ∈ Set.addCenter M
ι : Type u
s : Finset ι
a b : ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
h : a ≠ ⊤ ∧ b ≠ ⊤
⊢ a * b ≤ a ^ p / ENNReal.ofReal p + b ^ q / ENNReal.ofReal q
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s t : Multiset α
⊢ a ::ₘ s + t = a ::ₘ (s + t)
P : ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
seed : ℕ
hs : P seed
f : ℕ → ℕ
hf : ∀ (x : ℕ), seed ≤ x → P x → x < f x ∧ P (f x)
n : ℕ
⊢ P n
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K
key : derivative ((X - C a) * (f /ₘ (X - C a))) = derivative (f - C (eval a f))
⊢ f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.11396, u_3} E
inst✝ : L.IsLocalization W
X : C
hX : W (𝟙 X)
⊢ (isoOfHom L W (𝟙 X) hX).inv = 𝟙 (L.obj X)
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
⊢ reesAlgebra I ≤ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α →ᵤ β
f : α →ᵤ β
⊢ (∀ i ∈ 𝓤 β, ∀ᶠ (x : ι) in p, F x ∈ {g | (f, g) ∈ UniformFun.gen α β i}) ↔ ∀ u ∈ 𝓤 β, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : α), (toFun f x, (⇑toFun ∘ F) n x) ∈ u
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
⊢ Finsupp.erase a (f.update a b) = Finsupp.erase a f
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : s.gcd r = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : (r * s).gcd m = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = r * s * m
hrsz : r * s ≠ 0
h2b0 : b' ≠ 0
i : ℤ
hi' : ¬m = -i ^ 2
hi : m = i ^ 2
d : ℤ
hd' : ¬r * s = -d ^ 2
hd : s * r = d ^ 2
j : ℤ
hj : r = j ^ 2 ∨ r = -j ^ 2
hj0 : j ≠ 0
⊢ False
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : List α
⊢ l.bind (pure ∘ f) = List.map f l
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
⊢ (eval P) W'.polynomialY = 2 * P y + W'.a₁ * P x * P z + W'.a₃ * P z ^ 3
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
⊢ Submodule.colon I ⊤ = I
n k : ℕ
⊢ (n + 1).succ * (n + 1).choose (k + 1) = (n + 1).succ.choose (k + 1).succ * (k + 1).succ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableEq α
IsIrrefl α r
s' s : Multiset α
⊢ Relation.CutExpand r s' s ↔ ∃ t a, (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t
b : ℂ
hb : 0 < b.re
f : ℂ → ℝ → ℂ := fun c x => cexp (-c * ↑x ^ 2)
d : ℝ
hd : 0 < d
hd' : d < b.re
f_meas : ∀ (c : ℂ), AEStronglyMeasurable (f c) volume
f_cts : ∀ (x : ℝ), ContinuousAt (fun c => f c x) b
f_le_bd : ∀ᶠ (c : ℂ) in 𝓝 b, ∀ᵐ (x : ℝ), ‖f c x‖ ≤ rexp (-d * x ^ 2)
⊢ ContinuousAt (fun c => ∫ (x : ℝ), cexp (-c * ↑x ^ 2)) b
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n✝² n✝¹ n : ℕ
h : n ≠ 0
n✝ : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))
g_poly : (ZMod (n✝ + 1))[X] := X ^ (n✝ + 1) ^ n - X
hp : 1 < n✝ + 1
aux : g_poly ≠ 0
key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField (n✝ + 1) n)) = (n✝ + 1) ^ n
nat_degree_eq : g_poly.natDegree = (n✝ + 1) ^ n
x : GaloisField (n✝ + 1) n
hx : x ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap (ZMod (n✝ + 1)) (GaloisField (n✝ + 1) n)) ∪ (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).SplittingField)
⊢ ∀ (x : GaloisField (n✝ + 1) n), (aeval x) g_poly = 0 → (aeval (-x)) g_poly = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
a : ι → ℝ≥0∞
tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
h : ¬{i | ε ≤ a i}.Finite
this : Infinite ↑{i | ε ≤ a i}
⊢ ⊤ ≤ ∑' (i : ι), a i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
⊢ ReflTransGen (TransGen r) = ReflTransGen r
α : Type u_1
x : α
xs : List α
hl : (x :: xs).Nodup
n✝¹ n✝ : Nat
h : n✝¹ + 1 ≤ n✝ + 1
⊢ ¬x ∈ drop n✝ xs ∧ (take n✝¹ xs).Disjoint (drop n✝ xs)
a : Ordinal.{u_3}
⊢ a = 0 ∨ 0 < a
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
⊢ LowerSemicontinuousOn f univ ↔ LowerSemicontinuous f
α : Type u_1
M : Type u_8
AddCommMonoid M
s : Multiset M
a : α
⊢ Finsupp.single a s.sum = (Multiset.map (Finsupp.single a) s).sum
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Semiring B
Algebra R S
Algebra S A
Algebra S B
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
r : R
⊢ f ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R B) r
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμn : orderOf μ ∣ n
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hio : i ∣ orderOf μ
key : i < n
key' : i ∣ n
hni : {i, n} ⊆ n.divisors
k : K[X]
hk : cyclotomic i K = (X - C μ) * k
j : K[X]
hj : cyclotomic n K = (X - C μ) * j
this : (∏ x ∈ n.divisors \ {i, n}, cyclotomic x K) * ((X - C μ) * k * ((X - C μ) * j)) = X ^ n - 1
hn : IsUnit (X - C μ)
⊢ False