ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ : ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k = ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum : ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤ ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
S' : Type u_7
Ring S'
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (Polynomial.aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]
⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((Polynomial.aeval pb.gen) f) = (Polynomial.aeval y) f
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
⊢ invApp (D.f i j) U ≫ (D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) (unop (op ((Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).toPrefunctor.1 (unop (op U))))) ≫ (D.V (i, k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h : T.invRotate.mor₃ = 0 ↔ Epi T.invRotate.mor₂
⊢ T.mor₂ = 0 ↔ Epi T.mor₁
α : Type u_7
M : Type u_11
N : Type u_12
AddMonoid N
VAdd M N
AddAction N α
VAdd M α
VAddAssocClass M N α
x : M
y : α
⊢ x +ᵥ 0 +ᵥ y = x +ᵥ y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : ULift.{u₂, u₁} C
⊢ CategoryTheory.ULift.equivalence.counitIso.inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.Functor.id (ULift.{u₂, u₁} C)).obj X)
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
s' : Finset R
hs₁ : ↑s' ⊆ s
hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤
H : ∀ (r : { x // x ∈ s' }), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ M'
⊢ x ∈ M'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n✝ m l n : ℕ
hn : 1 < n
⊢ (Set.Iio n).Nontrivial
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S✝ S' : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} B
F : B ⥤ C
G : C ⥤ D
S : C
X✝ Y✝ : CostructuredArrow F S
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (F ⋙ G).map f.left ≫ ((fun X => mk (G.map X.hom)) Y✝).hom = ((fun X => mk (G.map X.hom)) X✝).hom
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddZeroClass G
f : k[G]
r : k
x a : G
⊢ 0 + a = x ↔ a = x
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
x : α
h : IsClosed s
hs : s.Nonempty
⊢ x ∈ s ↔ Metric.infDist x s = 0
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
u₁ : L
hu₁ : u₁ ∈ Submodule.span R {x}
v : L
hv : v ∈ H
u₂ : L
hu₂ : u₂ ∈ Submodule.span R {x}
w : L
hw : w ∈ H
⊢ ⁅u₁ + v, u₂ + w⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
α : Type u
r : α → α → Prop
s : Set α
⊢ DirectedOn r s ↔ Directed r Subtype.val
α : Type u_3
DivisionRing α
CharZero α
n : ℚ
⊢ ↑n ≠ 0 ↔ n ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : F''
hcf : c = 0 → f'' =ᶠ[l] 0
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f'' x‖
hc : c = 0
⊢ f'' =O[l] fun _x => c
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero M'
inst✝ : CommMonoid N
f : α →₀ M
s : Finset α
hs : f.support ⊆ s
g : α → M → N
h : ∀ i ∈ s, g i 0 = 1
⊢ f.prod g = ∏ x ∈ s, g x (f x)
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ b ≤ a → ¬a.toPGame < b.toPGame
α : Type u_1
p : α → Bool
t : RBNode α
⊢ all p t = true ↔ All (fun x => p x = true) t
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Fintype R
f g : R[X]
hf2 : f.degree = 2
hg2 : g.degree = 2
hR : Fintype.card R % 2 = 1
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hd : Disjoint (image (fun x => eval x f) univ) (image (fun x => eval x (-g)) univ)
⊢ ¬Fintype.card R % 2 = f.natDegree * (image (fun x => eval x f) univ).card % 2
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Function.Bijective Prod.swap
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ { toFun := f, monotone' := hf } ≤ { toFun := g, monotone' := hg } ↔ f ≤ g
α : Type u_7
f : Function.End α
a : α
⊢ f • a = f a
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
⊢ LiouvilleWith p (↑n - x) ↔ LiouvilleWith p x
K : Option Γ' → Finset Λ'
S : Finset Λ'
⊢ Supports (Finset.univ.biUnion K) S ↔ ∀ (a : Option Γ'), Supports (K a) S
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ ↑(⨆ i, S i) ↔ x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
α : Type u_1
L : List (List α)
s : List α
hs : s ∈ L
⊢ s.Sublist L.join
α : Type u
TopologicalSpace α
PreconnectedSpace α
s : Set α
h' : IsClopen s
h : s.Nonempty
⊢ s = Set.univ
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : PolishSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
Z : Type
w✝¹ : TopologicalSpace Z
w✝ : PolishSpace Z
g : Z → Y
hg : Continuous g
hs : AnalyticSet (range g)
this : IsClosed {x | f x.1 = g x.2}
⊢ f ⁻¹' range g = Prod.fst '' {x | f x.1 = g x.2}
a b a' b' : Ordinal.{u}
ha : a' ≤ a
hb : b' ≤ b
⊢ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b' ≤ a ⨳ b ♯ a' ⨳ b'
θ : Angle
⊢ (θ + ↑(π / 2)).cos = -θ.sin
α : Type u_1
p : α → Prop
h : ∀ (x : α), p x
x : α
⊢ (Equiv.subtypeUnivEquiv h).symm x = ⟨x, ⋯⟩
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : ∀ k < n, ∃ a, ∀ b ≥ a, p (n * b + k)
⊢ ∃ a, ∀ b ≥ a, p b
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d
hmw : w.fstIdx ≠ some i
hgr : g ∉ (φ i).range
⊢ CoprodI.of ((φ i) (cons g w hmw hgr).head) • (cons g w hmw hgr).toWord = CoprodI.of ((φ i) ((of i) g • w).head) • ((of i) g • w).toWord
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ Doset.Quotient ↑H.toSubmonoid ↑⊥ = Quotient (QuotientGroup.rightRel H)
θ : ℂ
⊢ Complex.tan θ = 0 ↔ ∃ k, ↑k * ↑Real.pi / 2 = θ
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
m : Multiset α
l : List α
⊢ List.pmap mk l ⋯ = List.map (fun p => ⟨↑p, ⋯⟩) (List.pmap mk l ⋯)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
CategoryTheory.Mono g
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelCompMono f g).inv =
  CategoryTheory.Limits.kernel.lift (f ≫ g) (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f) ⋯
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k S.g = 0
S.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.liftCycles k hk) h.cyclesIso.hom = h.liftK k hk
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a - x⁻¹) atTop (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (b : R) in atTop, a - b⁻¹ ≤ ↑⌊a * b⌋₊ / b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
DecidableRel c.Rel
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber (CategoryTheory.Limits.biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
j : ι
⊢ HomologicalComplex.cylinder.inrX K j ≫ (HomologicalComplex.cylinder.πCompι₀Homotopy.nullHomotopicMap K).f j =
  HomologicalComplex.cylinder.inrX K j ≫
    (HomologicalComplex.cylinder.π K ≫ HomologicalComplex.cylinder.ι₀ K - 𝟙 K.cylinder).f j
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
s : Set A
⊢ (adjoin R s).toSubmodule = Submodule.span R ↑(Subsemigroup.closure (s ∪ star s))
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra A B
Algebra R B
IsScalarTower R A B
x : B
p : R[X]
⊢ (Polynomial.aeval x) (Polynomial.map (algebraMap R A) p) = (Polynomial.aeval x) p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (HomologicalComplex C c)
n : ι
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.Functor.obj P).X n).X = P.X.X n
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
d✝ : Derivation R A M
a : A
d : Derivation R A M
f : R[X]
⊢ (d.compAEval a) f = ((mkDerivation R) ((AEval.of R M a) (d a))) f
p : Prop
Decidable p
⊢ Heyting.IsRegular p
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a : α
n : ℤ
ha : 1 ≤ a
hn : n ≤ 0
⊢ a ^ n ≤ 1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set R
⊢ Module.IsTorsionBySet R M s ↔ s ⊆ ↑(LinearMap.ker (LinearMap.lsmul R M))
α : Type u
a : α
⊢ {x | a = x} = {a}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
⊢ SeparationQuotient.map g ∘ SeparationQuotient.map f = SeparationQuotient.map (g ∘ f)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
i : ι
s : Multiset ι
h : derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum
⊢ (Multiset.map (HMul.hMul (f i)) (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s)).sum = (Multiset.map (fun i_1 => (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase i_1)).prod * derivative (f i_1)) s).sum
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
ht : μ (s \ t) = 0
⊢ μ (s ∩ t) = μ s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (α i)
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
⊢ (s.dfinsupp t).card = ∏ i ∈ s, (t i).card
p : ℕ+ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
⊢ p (PNat.find h)
l : List ℕ
n : ℕ
⊢ l.prod % n = (List.map (fun x => x % n) l).prod % n
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
SMul M α
MeasurableSMul M α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure M α μ
c : Mᵈᵐᵃ
f : α →ₘ[μ] β
⊢ ↑(c • f) =ᵐ[μ] fun x => ↑f (DomMulAct.mk.symm c • x)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
h : ¬∀ (s : Finset ι) (w : ι → 𝕜), s.sum w = 0 → ∑ e ∈ s, w e • f e = 0 → ∀ e ∈ s, w e = 0
⊢ ∃ I, ((convexHull 𝕜) (f '' I) ∩ (convexHull 𝕜) (f '' Iᶜ)).Nonempty
w : Nat
x : BitVec w
b : Bool
⊢ (x.concat b).toNat = x.toNat * 2 + b.toNat
α : Type u_1
Zero α
⊢ toLex 0 = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Setoid X
V : Set (Set X)
hV : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis V
h : IsOpenMap Quotient.mk'
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.image Quotient.mk' '' V)
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
⊢ a < ↑⌊a⌋₊.succ
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : MulAction G β
inst✝ : Nonempty α
⊢ Subsingleton (orbitRel.Quotient G α) → Nonempty (orbitRel.Quotient G α)
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α' : Type u_1
β' : Type u_2
e : α' ≃ β'
p p' : Perm α'
x✝ : β'
⊢ (Equiv.trans (e.permCongr p) (e.permCongr p')) x✝ = (e.permCongr (Equiv.trans p p')) x✝
a b : UInt16
⊢ a ≤ b ↔ a.val ≤ b.val
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin (n + 1) → M
i : Fin n
⊢ (if ↑i < n then i.castSucc else i.succ) = i.castSucc
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Injective f
inst✝ : Nonempty α
b : β
h : b ∈ Set.range f
⊢ f ((Set.range f).restrict (invFun f) ⟨b, h⟩) = f (hf.invOfMemRange ⟨b, h⟩)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
x : α
⊢ Measurable (Prod.mk x)
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
h : ¬IsUnit A.det
⊢ A⁻¹ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }
⊢ (κ a) (⋂ i, s ×ˢ Iic ↑↑i) = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
K : Set α
hK : IsCompact K
⊢ μ K ≠ ⊤
α : Type u_1
s : Set α
hs : s.Subsingleton
r : α → α → Prop
⊢ IsAntichain r s
A : Type u_2
CommRing A
⊢ ¬IsField (PowerSeries A)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ ⇑(algebraMap (↥⊥) F) = ⇑(IntermediateField.botEquiv F E)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
LinearOrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
hA : Convex 𝕜 A
⊢ Convex 𝕜 B
ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
AddCommMonoid P
(i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Module R P
Fintype ι
DecidableEq ι
i j : ι
h : i ≠ j
Q : QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ (QuadraticMap.Isometry.proj i Q).comp (QuadraticMap.Isometry.single (Pi.single i Q) j) =
  QuadraticMap.Isometry.comp 0 (QuadraticMap.Isometry.ofEq ⋯)
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
x : R
⊢ x ∈ s.toNonUnitalSubsemiring ↔ x ∈ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_5
Finite ι
E : ι → Type u_6
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
I : Set ι
h : ∀ i ∈ I, UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (I.pi s) x
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.WidePullback.lift f fs w ≫ CategoryTheory.Limits.WidePullback.π arrows j = fs j
R : Type u_2
Add R
Mul R
Neg R
One R
Zero R
self : FirstOrder.Ring.CompatibleRing R
x : Fin 2 → R
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap FirstOrder.Ring.mulFunc x = x 0 * x 1
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x✝ y✝ z : α
s : Set α
inst✝ : Subsingleton α
x y : α
⊢ edist (f x) (f y) = edist x y
R : Type u_1
Rack R
x : R
y y' : R
⊢ x ◃ y = x ◃ y' ↔ y = y'
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : AddZeroClass α
M N : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
i✝ : (i : o) × m' i
j✝ : (i : o) × n' i
⊢ blockDiagonal' (M + N) i✝ j✝ = (blockDiagonal' M + blockDiagonal' N) i✝ j✝
E : Type u_1
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁸ : T2Space E
inst✝⁷ : Module ℝ E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
inst✝ : FiniteDimensional ℝ G
f g : F → G
n : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ n f
hg : ContDiff ℝ n g
h : ∀ (x : F), f x ≠ g x
⊢ ContDiff ℝ n fun x => Dist.dist (toEuclidean (f x)) (toEuclidean (g x))
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z₁
g₂ : Y₂ ⟶ Z₂
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₁ g₁)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₂ g₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f₁ f₂)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom g₁ g₂)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => f y + c) x = fderiv 𝕜 f x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
⊢ Collinear k ∅
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
⊢ ↑(FractionalIdeal.dual A K 1) = Submodule.traceDual A K 1
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝¹ : Fin l → M
g : α ≃ β
k : ℕ
φ : L.BoundedFormula α k
v : β → M
xs✝ : Fin k → M
n : ℕ
t : L.Term (α ⊕ Fin n)
xs : Fin n → M
⊢ realize (Sum.elim v xs) ((Term.relabelEquiv (g.sumCongr (_root_.Equiv.refl (Fin n)))) t) = realize (Sum.elim (v ∘ ⇑g) xs) t
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ (homogeneousCore 𝒜 I).toIdeal = I
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
S : Set (Ultrafilter M) := ⋂ n, {U | ∀ᶠ (m : M) in ↑U, m ∈ FP (Stream'.drop n a)}
⊢ IsCompact S
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
⊢ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ↔ P (↑f' ∘ g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' s) (↑e' x)
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : ⨁ (i : ι), 𝒜 i
b₁ : ℬ j₁
a₂ : 𝒜 i₂
b₂ : ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ ((curry (map (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), 𝒜 i)) (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), ℬ i)) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)).symm ∘ₗ LinearMap.lTensor (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (↑(TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), ℬ i)) ∘ₗ LinearMap.rTensor (⨁ (i : ι), ℬ i) ↑(gradedComm R ℬ 𝒜) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc R (DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜) (DirectSum ι ℬ)).symm) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc R (DirectSum ι 𝒜) (DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)))) (a₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₁) b₁)) ((lof R ι 𝒜 i₂) a₂ ⊗ₜ[R] b₂) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * b₂)
S : LightProfinite
n : ℕ
⊢ ⇑(S.transitionMap n) ∘ ⇑(S.proj (n + 1)) = ⇑(S.proj (n + 1) ≫ S.diagram.map (Opposite.op (homOfLE ⋯)))
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
hn : ¬fp.IsEquipartition
⊢ False
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
⊢ ∃ L, FiniteDimensional F ↥L ∧ n + 1 < finrank F ↥L
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
h1 : ¬σ.cycleType.erase n = 0
m : ℕ
h : n + (m + ((σ.cycleType.erase n).erase m).sum) = 3
hm : m ∈ σ.cycleType.erase n
this : ∀ {k : ℕ}, 2 ≤ m → 2 ≤ n → n + (m + k) = 3 → False
⊢ σ.IsThreeCycle