ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a => ∀ (n : ℤ), t.GE (n + ↑a) ≤ t.GE n
⊢ ∀ (a : ℕ), H a
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : Ring β
f : α → β
hf✝ : IsRingHom f
x y : α
hf : IsRingHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Ring γ
g : β → γ
hg : IsRingHom g
⊢ (g ∘ f) 1 = 1
G : Type u
AddGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun V => V ∈ B) id
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
s t : α × β
⊢ s.lexLt t = (s.fst < t.fst ∨ s.fst = t.fst ∧ s.snd < t.snd)
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Set E
⊢ (convexHull R) s = {x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x}
α : Type u_2
TopologicalSpace α
Preorder α
⊢ ↑(EsakiaHom.id α) = ContinuousOrderHom.id α
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (factorThruImage f ≫ (imageIsoImage f).inv) ≫ equalizer.ι (cokernel.π f) 0 = (factorThruImage f ≫ kernel.lift (cokernel.π f) (Limits.image.ι f) ⋯) ≫ equalizer.ι (cokernel.π f) 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
Y : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
f : X ⟶ Y.toPresheafedSpace
H : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.toSheafedSpaceHom Y f).base = f.base
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ↑((o.areaForm x) y) + -↑⟪x, y⟫_ℝ * Complex.I = -Complex.I * (↑⟪x, y⟫_ℝ + ↑((o.areaForm x) y) * Complex.I)
k : ℕ
⊢ ascFactorial 0 (k + 1).succ = 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
r : R
⊢ Finsupp.mapDomain Nat.cast ((monomial n) r).toFinsupp = C r * T ↑n
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α
e : α
⊢ mapIdx.go f (l ++ [e]) #[] = mapIdx.go f l #[] ++ [f l.length e]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure γ
μ' : Measure δ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ'
X : γ → α
X' : δ → α
Y : γ → β
Y' : δ → β
h_indep : IndepFun X Y μ
h_ident : IdentDistrib (fun ω => (X ω, Y ω)) (fun ω => (X' ω, Y' ω)) μ μ'
⊢ AEMeasurable X μ
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y ≠ 0
⊢ x ≠ 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
⊢ B.orthogonal ⊥ = ⊤
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
⊢ map (⇑f) volume = volume
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
p q : Submodule R M
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Submodule.map f (p ⊓ q) = Submodule.map f p ⊓ Submodule.map f q
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Finite ι
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
val✝ : Fintype ι
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
G : Type u_1
Group G
n : ℕ
⊢ derivedSeries G n ≤ lowerCentralSeries G n
b : SetTheory.PGame.Domineering.Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ SetTheory.PGame.Domineering.left b
⊢ 2 ≤ Finset.card b
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y z : α
⊢ EMetric.diam {x, y, z} = max (max (edist x y) (edist x z)) (edist y z)
a b c d : ℕ
⊢ Nat.pair a b = Nat.pair c d ↔ a = c ∧ b = d
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
I : MulticospanIndex C
inst✝¹ : HasMultiequalizer I
inst✝ : PreservesLimit I.multicospan (forget C)
x y : (forget C).obj (multiequalizer I)
h : ∀ (t : I.L), (Multiequalizer.ι I t) x = (Multiequalizer.ι I t) y
⊢ ∀ (j : WalkingMulticospan I.fstTo I.sndTo), (limit.π I.multicospan j) x = (limit.π I.multicospan j) y
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Div α
SemilatticeInf β
OrderTop β
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (s / t).inf f = t.inf fun y => s.inf fun x => f (x / y)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
⊢ ‖(ofSubsingleton 𝕜 G G i) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G)‖ ≤ 1
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
hf : LipschitzOnWith C f s
g : E → ℝ
g_lip : LipschitzWith C g
hg : EqOn f g s
x : E
hx : DifferentiableAt ℝ g x
xs : x ∈ s
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ f s x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
X' : C
g : X' ⟶ X
⊢ (F.isoComp g).m = F.m
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
C : {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s \ {x}] x ⊔ 𝓝[{x}] x
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : H × E
q : TM
⊢ p ∈ (chartAt (ModelProd H E) q).target ↔ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target
α : Type u_1
Preorder α
a : α
NoMinOrder α
⊢ (Set.Iio a).Nonempty
a b m n✝ p : ℕ
P : ℕ → Prop
zero : P 0
one : P 1
prime : ∀ (p : ℕ), Prime p → P p
composite : ∀ (a : ℕ), 2 ≤ a → P a → ∀ (b : ℕ), 2 ≤ b → P b → P (a * b)
n : ℕ
⊢ ∀ (p a : ℕ), Prime p → P a → P (p * a)
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
x : M₂ ⊗[R] N₁
hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₂) x) = 0
⊢ (LinearMap.rTensor N₁ f₂) x = 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =O[l] g
c : ℝ
h₀ : c ≥ 0
hc : IsBigOWith c l f g
x : α
hx : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ‖f x / g x‖ c
α : Type u_3
TopologicalSpace α
a : α
⊢ exterior {a} = (𝓝 a).ker
ι : Type v
α : ι → TopCat
i : ι
x : ↑(∏ᶜ α)
⊢ (TopCat.piIsoPi α).hom x i = (CategoryTheory.Limits.Pi.π α i) x
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
x : K
⊢ (algebraMap A K) (IsFractionRing.num A x) / (algebraMap A K) ↑(IsFractionRing.den A x) = x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
x : ↑I
⊢ (γ.truncate 0 1) x = (γ.cast ⋯ ⋯) x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
⊢ Multiset.filter (fun n => 2 ≤ n) σ.partition.parts = σ.cycleType
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : BorelSpace γ
p : ℝ≥0∞
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : Memℒp f p μ
⊢ eLpNorm f p μ < ⊤
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
tas : Set (TopologicalSpace X)
tbs : Set (TopologicalSpace Y)
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tc : TopologicalSpace Z
hX✝ : tX ∈ tas
hY✝ : tY ∈ tbs
hf : Continuous fun p => f p.1 p.2
hX : Continuous id
hY : Continuous id
h_continuous_id : Continuous fun p => (id p.1, id p.2)
⊢ Continuous fun p => f p.1 p.2
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Semiring β
inst✝¹ : Algebra R α
inst✝ : Algebra R β
r : R
f : α → β
hf : f 0 = 0
hf₂ : f ((algebraMap R α) r) = (algebraMap R β) r
⊢ (diagonal fun m => f ((algebraMap R (n → α)) r m)) = diagonal ((algebraMap R (n → β)) r)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
T2Space Y
compactlyGenerated : ∀ (s : Set Y), IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set Y⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ Filter.Tendsto f (Filter.cocompact X) (Filter.cocompact Y)
n : Nat
i : Fin n
m : Nat
h : m ≤ ↑(i.addNat m) := ⋯
⊢ Fin.subNat m (i.addNat m) h = i
F : Type u_4
E : Type u_5
L : Type u_6
L' : Type u_7
CommSemiring F
CommSemiring L
CommSemiring L'
Semiring E
Algebra F L
Algebra L E
Algebra F L'
Algebra L' E
Algebra F E
IsScalarTower F L E
IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
⊢ Subalgebra.restrictScalars F (Algebra.adjoin L S) = Subalgebra.restrictScalars F (Algebra.adjoin L' S)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
H : IsSuccLimit 0
⊢ (beth 0).IsStrongLimit
x : ℂ
hx : cos x = 0
A : sin x ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => ‖sin x‖ / ‖cos x‖) (𝓝[≠] x) atTop
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
i : ι
s : Multiset ι
h : derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum
j : ι
hj : j ∈ s
⊢ f i * ((Multiset.map f (s.erase j)).prod * derivative (f j)) = (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase j)).prod * derivative (f j)
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
x y : (j : J) × F.obj j
x✝ : Quot.Rel F x y
f : x.fst ⟶ y.fst
h : y.snd = F.map f x.snd
⊢ F.map f x.snd = F.map (𝟙 y.fst) y.snd
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid α
m : Multiset β
n : Multiset γ
f : β → γ → α
⊢ (Multiset.map (fun a => (Multiset.map (fun b => f a b) n).sum) m).sum =
  (Multiset.map (fun b => (Multiset.map (fun a => f a b) m).sum) n).sum
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω
h : μ ≠ 0
mass_nonzero : μ.mass ≠ 0
⊢ μ s = μ.mass * μ.normalize s
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
f_surj : Function.Surjective f
⊢ IsProperMap g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this : (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r < ↑t
⊢ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Sort u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
⊢ ⨆ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ⨆ i, f i a ∂μ
N : ℕ
hN : 4096 ≤ N
⊢ Real.log (2 / (1 - 2 / rexp 1)) * (69 / 50) ≤ √(Real.log ↑N)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False
x y z : α
hne : x ≠ y ∧ y ≠ z ∧ x ≠ z
h₁ : x < y
h₂ : z < y
h₃ : x < z
⊢ False
α : Type u_1
s : Set α
LE α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : ℝ
n : ℤ
⊢ Real.sin (↑n * (2 * Real.pi) - x) = -Real.sin x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.cokernelOpUnop f).hom =
  CategoryTheory.Limits.kernel.lift f (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f.op).unop ⋯
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h : Function.Injective ⇑(mul 𝕜 A)
⊢ Function.Injective ⇑(splitMul 𝕜 A)
n✝ b m d n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, ∀ {d : ℕ}, d ∈ (b + 2).digits m → d < b + 2
hd : d ∈ (b + 2).digits (n + 1)
⊢ d < b + 2
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DiscreteTopology α
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : ι → α
⊢ DenseRange f ↔ Surjective f
z : ℂ
⊢ |z.re| = Complex.abs z ↔ z.im = 0
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
t : R
h : ‖t‖ < 1
⊢ ↑(Units.oneSub t h) = 1 - t
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure Ω
μs : ι → MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
∀ (i : ι), MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : μ E ≤ Filter.liminf (fun i => (μs i) E) L
⊢ Filter.limsup (fun i => (μs i) Eᶜ) L ≤ μ Eᶜ
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
ι : Type u_1
Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (NonUnitalSubalgebra.inclusion h)
T : NonUnitalSubalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
x : ↥(K i)
h : K i ≤ T
⊢ (NonUnitalSubalgebra.iSupLift K dir f hf T hT) ((NonUnitalSubalgebra.inclusion h) x) = (f i) x
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ b ∈ Ico 1 (p - 1).succ, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ univ), (fun a x => (↑a).val) a ha = b
m : Type u_2 → Type u_3
Monad m
α : Type u_4
β : Type u_2
f : α → m β
⊢ Mathlib.Vector.mmap f Mathlib.Vector.nil = pure Mathlib.Vector.nil
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup A
s : Set G
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : MulDistribMulAction α G
P H : Subgroup G
hP : P ≤ H
h : ↥H
⊢ (MulAut.conj ↑h • P).subgroupOf H ≤ MulAut.conj h • P.subgroupOf H
α : Type u_2
f : Type u_1
n : α → f → α
l : α
⊢ scanl n l = scanlTR n l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
m M N k : ℕ
blocks_fun : Fin k → ℕ
hi : ⟨k, blocks_fun⟩ ∈ compPartialSumSource m M N
⊢ { blocks := ofFn fun a => blocks_fun a, blocks_pos := ⋯, blocks_sum := ⋯ }.length = k
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x y
H2 : IsCoprime x z
⊢ IsCoprime x (y * z)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x : P
⊢ s.WOppSide x x ↔ x ∈ s
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
H : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.map f H ≤ f.range
f g : ArithmeticFunction ℂ
s : ℂ
hf : (LSeries.abscissaOfAbsConv fun n => f n) < ↑s.re
hg : (LSeries.abscissaOfAbsConv fun n => g n) < ↑s.re
⊢ L (fun n => (f * g) n) s = L (fun n => f n) s * L (fun n => g n) s
x : UInt64
⊢ x.toUInt32.toNat = x.toNat % 2 ^ 32
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
z : M
hz : z ∈ s ∩ f.source
⊢ g z ∈ f'.source
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
n : ℕ
f : V →ₗ[K] V'
⊢ ↑n ≤ f.rank ↔ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑↑s) => f ↑x
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p
nonZ1 : ↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2 ≠ 0
this : Int.cast ∘ p ≠ 0
⊢ ↑(g • z) = ↑((lcRow0 p) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) g)) / (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) + (↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))
α : Type u_1
Unique α
Zero α
⊢ default = 0
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : M' →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ f = g
⊢ (l ∘ₗ ↑(iso S f)) ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M = g
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
h : 0 < b
⊢ a * b⁻¹ ≤ c ↔ a ≤ b * c
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
h : Function.Injective f
⊢ f ⁻¹' (f '' s) = s
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝ ys✝ : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs ys : List α
h✝ : xs <+ ys
n : ℕ
l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
h : l₁✝ <+ l₂✝
⊢ List.map (fun p => a ::ₛ p) (List.sym n (a :: l₁✝)) ++ List.sym (n + 1) l₁✝ <+ List.map (fun p => a ::ₛ p) (List.sym n (a :: l₂✝)) ++ List.sym (n + 1) l₂✝
A : Type u_2
AddMonoid A
s : Set A
self : IsAddSubmonoid s
a b : A
⊢ a ∈ s → b ∈ s → a + b ∈ s
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field L'
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
h_le : F ≤ E
h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L
h1 : finrank K ↥F * finrank (↥F) L = finrank K L
h2 : finrank K ↥E * finrank (↥E) L = finrank K L
⊢ finrank K ↥E ≤ finrank K ↥F
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Inf β
f : InfHom α β
a : α
⊢ (InfHom.dual f) a = f a
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
H : 0 < z
⊢ x.toNNReal ^ z = (x ^ z).toNNReal
R : Type u_1
AddGroupWithOne R
p : ℕ
CharP R p
a : ℤ
⊢ ↑a = ↑(a % ↑p)
α : Type u_1
p : Prop
Decidable p
s : p → Set α
⊢ ⋃ (h : p), s h = if h : p then s h else ∅
a b : ℕ
hb₀ : (b / 2).beq 0 = false
ha : a % 2 = 0
hb₁ : b % 2 = 0
⊢ jacobiSymNat a b = 0
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a b : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ a ∈ List.insert b l
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ ‖a * b‖ ≤ ‖a‖ + ‖b‖
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
a : α
s : Finset β
⊢ ↑(a +ᵥ s) = a +ᵥ ↑s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
i : ι
⊢ b.repr.toLinearEquiv x i = b.repr x i
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
Sub β
f g : α →ᵤ[𝔖] β
⊢ (UniformOnFun.toFun 𝔖) (f - g) = (UniformOnFun.toFun 𝔖) f - (UniformOnFun.toFun 𝔖) g
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
r C : ℝ≥0∞
hr : r < 1
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
⊢ CauchySeq f
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x : E
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => ball x ε
f : ℕ → ℝ≥0∞
⊢ ∑' (i : ℕ), f i = Filter.liminf (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop
R : Type u_6
NonAssocRing R
Fintype R
p : ℕ
hn : Fintype.card R = p
hR : ∀ i < p, ↑i = 0 → i = 0
⊢ CharP R p
a : ℤ
b : ℕ
h : a.gcd ↑b = 1
⊢ J(a ^ 2 | b) = 1
α : Sort u_2
β : α → Sort u_1
a : (i : PLift α) × PLift (β i.down)
⊢ (Equiv.psigmaEquivSigmaPLift β).symm a = ⟨a.fst.down, a.snd.down⟩
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid β
r : Finset (α × γ)
s : Finset γ
t : γ → Finset α
h : ∀ (p : α × γ), p ∈ r ↔ p.2 ∈ s ∧ p.1 ∈ t p.2
f : α → γ → β
⊢ ∏ p ∈ r, f p.1 p.2 = ∏ c ∈ s, ∏ a ∈ t c, f a c
α : Type u
R : α → α → Prop
l : List α
a b : α
⊢ List.Chain R a (l ++ [b]) ↔ List.Forall₂ R (a :: l) (l ++ [b])
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : Jᵒᵖ ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F.rightOp
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfCoconeRightOp c).π = CategoryTheory.NatTrans.removeRightOp c.ι
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
⊢ Wbtw R x y z ↔ SameRay R (y -ᵥ x) (z -ᵥ y)