ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α →₀ M
AddCommMonoid N
g : α → M → N
⊢ (Finsupp.filter p f).sum g = ∑ x ∈ (Finsupp.filter p f).support, g x (f x)
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
self : FiberBundle F E
b : B
⊢ FiberBundle.trivializationAt' b ∈ FiberBundle.trivializationAtlas'
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
x : α
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
f : α →C_c β
⊢ (-f) x = -f x
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ (mk W) (W.ψ n) = (mk W) (W.Ψ n)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ n f s
⊢ ContDiffOn ℝ n (fun x => Real.cos (f x)) s
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCompletion I M
a : AdicCauchySequence I M
⊢ (map I f) ((mk I M) a) = 0 → (mk I M) a = 0
α : Type u_2
PartialOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ a = b ∨ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
h : μ ≪ ν
⊢ μ.singularPart ν ⟂ₘ μ.singularPart ν
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁴ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace R F
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle R F E
this✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
this : FiberBundle F E := a.toFiberBundle
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
h₁ : Trivialization.IsLinear R (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he)
h₂ : Trivialization.IsLinear R (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he')
⊢ b ∈ (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he).baseSet ∩ (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he').baseSet
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
M : Matrix n n R
i j : n
i_ne_j : i ≠ j
hij : ∀ (k : n), M k i = M k j
⊢ M.det = 0
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
X Y : R
⊢ W'.Nonsingular ![X, Y, 1] ↔ W'.toAffine.Nonsingular X Y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Mul G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
x : M
hf : SmoothWithinAt I' I f s x
hg : SmoothWithinAt I' I g s x
⊢ SmoothWithinAt I' I (f * g) s x
m n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
β : Type v
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
f : Fin n → α
⊢ cons a f ∘ rev = snoc (f ∘ rev) a
α : Type u_1
Encodable α
a b : ULower α
⊢ a.up = b.up → a = b
b x y : ℕ
hy : y ≠ 0
h : x ≤ log b y
⊢ b ^ x ≤ y
α : Type u_1
LinearOrder α
x y : α
⊢ ↑(max x y) = max ↑x ↑y
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
Field k
CharP k p
IsAlgClosed k
n : ℕ
a₁ a₂ : WittVector p k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
⊢ (WittVector.RecursionMain.succNthDefiningPoly p n a₁ a₂ bs).IsRoot
  (WittVector.RecursionMain.succNthVal p n a₁ a₂ bs ha₁ ha₂)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeInf α
b c : α
inst✝ : OrderTop α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : InfIrred ⊤
⊢ False
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius
this : ∀ᶠ (h : 𝔸) in 𝓝 0, h ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ (fun h => exp 𝕂 x * (exp 𝕂 (0 + h) - exp 𝕂 0 - (ContinuousLinearMap.id 𝕂 𝔸) h)) =ᶠ[𝓝 0] fun h => exp 𝕂 (x + h) - exp 𝕂 x - exp 𝕂 x • (ContinuousLinearMap.id 𝕂 𝔸) h
R₁ : Type u₁
R₂ : Type u₂
R₃ : Type u₃
Ring R₁
Ring R₂
Ring R₃
f : R₁ →+* R₂
g : R₂ →+* R₃
gf : R₁ →+* R₃
hgf : gf = g.comp f
X : ModuleCat R₃
⊢ (ModuleCat.restrictScalarsComp' f g gf hgf).inv.app X = (ModuleCat.restrictScalarsComp'App f g gf hgf X).inv
n₁ n₂ : Int
d₁ d₂ : Nat
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0
num✝ : Int
den✝ : Nat
den_nz✝ : den✝ ≠ 0
reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝
e₁ : normalize n₁ d₁ z₁ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }
⊢ { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ } + normalize n₂ d₂ z₂ = normalize (n₁ * ↑d₂ + n₂ * ↑d₁) (d₁ * d₂) ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
α : Type u_4
TopologicalSpace α
f g : α → E
x : α
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
⊢ ContinuousAt (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) x
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
n : ℕ
⊢ ‖↑↑n‖ = ↑n
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
⊢ MapsTo (hf.toPartialEquiv hc).invFun (hf.toPartialEquiv hc).target s
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
hF : F.Initial
⊢ (∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)) ∧ ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.230696}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ range fun x => f ↑x
⊢ lift.{v, u} #↑{x | x ∈ s ∧ f x ∈ t} = lift.{v, u} #↑((fun x => f ↑x) ⁻¹' t)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a : α
⊢ IsOpen (Set.Ioi a)
α : Type u_2
β : Type u_3
n : ℕ
γ : Type u_1
v₁ : Mathlib.Vector α n
v₂ : Mathlib.Vector β n
f : α → β → γ
i : Fin n
⊢ (Mathlib.Vector.map₂ f v₁ v₂).get i = f (v₁.get i) (v₂.get i)
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
Algebra R S₁
f : σ → S₁
⊢ Algebra.adjoin R (Set.range f) = (MvPolynomial.aeval f).range
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
⊢ ⟪x - y, x - y⟫_𝕜 = ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
f g : E →L[𝕜] E
⊢ f ≤ g ↔ (g - f).IsPositive
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : μ ≤ ν
⊢ μ.AbsolutelyContinuous ν
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' x✝ : D
⊢ adj.unit.app (G.obj x✝) ≫ G.map (adj.counit.app x✝) = 𝟙 (G.obj x✝)
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i j : ι
h_le : toZ i0 i ≤ toZ i0 j
hi : i0 ≤ i
hj : j < i0
⊢ i ≤ j
n a b : ℤ
⊢ a ≡ b [ZMOD n] ↔ b ≡ a [ZMOD n]
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s t u : Finset α
hus : u ⊆ s ∪ t
hcard : u.card = mulRothNumber (s ∪ t)
hu : ThreeGPFree ↑u
⊢ u.card = (u ∩ s ∪ u ∩ t).card
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ List.map (fun x => x.toProd.2) p.darts = p.support.tail
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
a : F
h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)
ha : ¬a = 0
ha' : (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) a ≠ 0
⊢ IsSolvable (X ^ n - C a).Gal
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this✝ : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
b' : Basis { x // x ∈ s } K L := (traceForm K L).dualBasis ⋯ b
this : IsNoetherian A ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := isNoetherian_span_of_finite A (Set.finite_range ⇑b')
⊢ IsNoetherian A C
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
⊢ ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x₀, ρ.fintsupport y ⊆ ρ.fintsupport x₀
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
hg : Embedding ⇑g
H : Set.range ⇑f ⊆ Set.range ⇑g
esto : ↑(pullback f g) ≃ₜ ↑X := (Homeomorph.ofEmbedding ⇑(pullback.fst f g) ⋯).trans { toFun := Subtype.val, invFun := fun x => ⟨x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
⊢ IsIso (pullback.fst f g)
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p : α
hp : Irreducible p
k : ℕ
⊢ normalizedFactors (p ^ k) = Multiset.replicate k (normalize p)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
hv : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_ℝ = 0
this : FiniteDimensional ℝ E
hdim : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis hdim v
hb✝ : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), v i ≠ 0
i : Fin n.succ
hb : b i = ‖v i‖⁻¹ • v i
⊢ ‖v i‖⁻¹ * (‖v i‖ * ‖v i‖) = ‖v i‖
α : Type u
β : Type v
AddZeroClass α
AddZeroClass β
f : α → β
self : IsAddMonoidHom f
⊢ f 0 = 0
⊢ Set.range ⇑Complex.normSq = Set.Ici 0
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c✝ : G
s : Set G
inst✝ : Group G
t : Set G
ht : IsNormalSubgroup t
a : G
h : a ∈ t
x : G
hc : x ∈ conjugatesOf a
c : G
w : c * a * c⁻¹ = x
⊢ x ∈ t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasMulticoequalizer I
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.right
b : I.R
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Sigma.ι I.right b)
    (CategoryTheory.Limits.Multicoequalizer.sigmaπ I) =
  CategoryTheory.Limits.Multicoequalizer.π I b
K : Type u_3
V : Type u_4
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s : Set V
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
⊢ Set.range ⇑(Basis.extend hs) = hs.extend ⋯
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
x : R
⊢ (↑x).imI = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι✝ : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_10
inst✝ : Nonempty ι
p : Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
h : ∀ (i : ι'), ∃ C, (q i).comp f ≤ C • p
i : ι'
⊢ ∃ C, (q i).comp f ≤ C • {Classical.arbitrary ι}.sup fun x => p
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
q : ℝ≥0∞
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
m n n✝ m✝ : ℕ
hmn : n✝.le m✝
ha : a ^ n✝ = 0
⊢ a ^ m✝.succ = 0
G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
e : ((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G
⊢ Group.IsNilpotent G
α : Type u_1
Semifield α
LinearOrder α
PosMulReflectLT α
ZeroLEOneClass α
a : α
⊢ a⁻¹ ≤ 0 ↔ a ≤ 0
α : Type u_1
M : Type u_4
MulOneClass M
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
f g : α → M
⊢ s.mulIndicator f * sᶜ.mulIndicator g = s.piecewise f g
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
ab : a ≠ b
l : List α
⊢ count a (l.erase b) = count a l
α : Type u_1
β : Type u_2
Encodable β
CompleteLattice α
f : β → α
⊢ ⨆ i, ⨆ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b = ⨆ b, f b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Add G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
x : M
hf : SmoothAt I' I f x
hg : SmoothAt I' I g x
⊢ SmoothAt I' I (f + g) x
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ c = aleph (c.alephIdx - ω)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
⊢ IsSelfAdjoint (U.subtypeL.comp ((orthogonalProjection U).comp (T.comp (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U)))))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
c : α
Add α
h : Function.Periodic f c
g : β → γ
⊢ Function.Periodic (g ∘ f) c
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
ClosedIicTopology α
a : α
⊢ closure (Set.Iic a) = Set.Iic a
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
k s : Set G
hk : IsCompact k
hs : MeasurableSet s
h : k ⊆ s
⊢ closure k ⊆ s
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t
inc : G.incidenceFinset t ⊆ G.edgeFinset
⊢ Function.Injective fun x => s(x, t)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
p q r✝ : R[X]
r : R
⊢ AddMonoidAlgebra.single 0 ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R (AddMonoidAlgebra A ℕ)) r
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
⊢ (N.comap f).Basis' I X ↔ N.Basis' (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ≠ p
hp₂ : p₂ ≠ p
hp₃ : p₃ ≠ p
⊢ ∡ p₁ p p₂ + ∡ p₂ p p₃ + ∡ p₃ p p₁ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set α
f : α ≃ β
⊢ ⇑f '' S = ⇑f.symm ⁻¹' S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : AddCommMonoid β
f : ι →₀ α
i : ι
a : α
g : ι → α → β
hg : ∀ (i : ι), g i 0 = 0
hgg : ∀ (j : ι) (a₁ a₂ : α), g j (a₁ + a₂) = g j a₁ + g j a₂
⊢ (erase i f).sum g + ((single i a).sum g + g i (f i)) = (erase i f).sum g + ((single i (f i)).sum g + g i a)
α : Type u
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
⊢ m (⋃ i, s i) = ∑' (i : ℕ), m (s i)
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Semiring B
Algebra R S
Algebra S A
Algebra S B
Algebra R A
Algebra R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
⊢ Function.Injective (AlgHom.restrictScalars R)
ι : Type u_1
DecidableEq ι
Fintype ι
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Setoid (α i)
f : (i : ι) → α i
⊢ (Quotient.finChoice fun i => ⟦f i⟧) = ⟦f⟧
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
s : Set β
a : α
⊢ (p a * ∑' (b : β), if b ∈ s then (f a) b else 0) = p a * (f a).toOuterMeasure s
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
⊢ LinearIndependent R ⇑b
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ 0 ≤ -b + a ↔ b ≤ a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
⊢ IsLindelof s
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Icc (f p.1) (g p.1)}
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s t : Set α
⊢ ↑(upperClosure s) * t = ↑(upperClosure (s * t))
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
hn : p₂ ≠ p₃
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
⊢ p₁ -ᵥ p₂ ≠ p₁ -ᵥ p₃
V : Type u_1
Fintype V
v : V
⊢ ⊥.degree v = 0
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Iio 0) log
α : Type u_1
Lattice α
Group α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ (a ⊓ b) / c = a / c ⊓ b / c
α : Type u_1
Zero α
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
ha : 0 < a
⊢ SignType.sign a = 1
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
I : Ideal C(X, R)
x : X
⊢ (∃ f ∈ I, f x ≠ 0) ↔ ∃ f ∈ I, f x ≠ 0
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
⊢ DFinsupp.liftAddHom (DFinsupp.singleAddHom β) = AddMonoidHom.id (Π₀ (i : ι), β i)
M : Type u_1
Add M
c : AddCon M
x y : M
⊢ c x y → c y x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
h : ¬Collinear k {p₁, p₂, p₁}
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → α
hf : LipschitzWith K f
⊢ LipschitzWith (K ^ 0) f^[0]
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
P✝ Q✝ R✝ : Coalgebra F
f✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ g'✝ : Q✝ ⟶ R✝
⊢ (f✝ ≫ (g✝ + g'✝)).f = (f✝ ≫ g✝ + f✝ ≫ g'✝).f
m✝ n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x✝ : α✝ (last n✝)
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.castSucc
i : Fin n✝
y : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n✝)
n m : ℕ
α : Type u_1
xs : Fin n → α
x : α
ys : Fin m → α
⊢ append (snoc xs x) ys = append xs (cons x ys) ∘ cast ⋯
a b c d : ENNReal
hab : a ≤ b
hdc : d ≤ c
⊢ a / c ≤ b / d
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
hs : s.Nonempty
a : β
⊢ (fun x => a) '' s = {a}
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
B : C
ι : Type w
inst✝² : Nonempty ι
X : ι → C
f : (j : ι) → X j ⟶ B
inst✝¹ : HasWidePullback B X f
inst✝ : PreservesLimit (wideCospan B X f) (forget C)
x y : (forget C).obj (widePullback B X f)
h : ∀ (j : ι), (π f j) x = (π f j) y
⊢ x = y
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : x ∈ Metric.ball 0 (1 + D)
⊢ 0 < ExistsContDiffBumpBase.y D x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ
⊢ (-c)⁻¹ • -∫ (x : ℝ) in d + -c * b..d + -c * a, f x = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in d + -c * b..d + -c * a, f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set α
x : α
hx : x ∈ closure s
y : α
hy : y ∈ closure s
⊢ edist x y ≤ diam s
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
f : ι → E
val✝ : Fintype ι
hf : LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i)) = ⊥
K : ℝ≥0
K0 : K > 0
hK : AntilipschitzWith K ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i))
this : Tendsto (fun g => ∑ i : ι, ‖g i - f i‖) (𝓝 f) (𝓝 0)
g : ι → E
hg : ∑ i : ι, ‖g i - f i‖₊ < K⁻¹
v u : ι → 𝕜
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ ‖(v i - u i) • (g i - f i)‖ ≤ ‖g i - f i‖ * ‖v - u‖
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn✝ : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
this✝¹ : FiniteDimensional K L
this✝ : IsGalois K L
hn : 0 < n
this : NeZero n
⊢ FiniteDimensional.finrank K L = n
α : Type u_1
f : α → α
⊢ Option.map f = id ↔ f = id
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
a b : α
⊢ (∀ c ∈ s(a, b), p c) ↔ p a ∧ p b
n : ℕ
NeZero n
p : ℕ × Fin n
⊢ n.divModEquiv.symm p = p.1 * n + ↑p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (s ×ˢ t).Nontrivial ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty ∧ (s.Nontrivial ∨ t.Nontrivial)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
p : α → Prop
s : Set α
x : α
h : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, p y
hx : x ∈ s
⊢ p x
r s : ℝ
hrs : r < s
f : ℕ → ℝ
hxr : Tendsto f (↑(hyperfilter ℕ)) (𝓝 r)
g : ℕ → ℝ
hys : Tendsto g (↑(hyperfilter ℕ)) (𝓝 s)
⊢ ofSeq f < ofSeq g
⊢ ∃ s, s.Countable ∧ Dense s ∧ 0 ∉ s ∧ ⊤ ∉ s
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
ab : a ≠ b
c d : α
cd : c ≠ d
ac : ¬a = c
⊢ swap a b * swap c d ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α
f₁ f₂ : Filter (Filter α)
x : Set α
⊢ x ∈ f₁.join ⊔ f₂.join ↔ x ∈ (f₁ ⊔ f₂).join
M : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid M
ExistsAddOfLE M
a b : M
⊢ (fun x => a + x) '' Set.Ioi b = Set.Ioi (a + b)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ (MeasureTheory.Measure.map MeasureTheory.Measure.dirac μ).join = μ
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} H
∀ (F : CategoryTheory.Functor C H), L.HasRightKanExtension F
G : CategoryTheory.Functor D H
⊢ CategoryTheory.IsIso ((L.ranAdjunction H).unit.app G) ↔
  G.IsRightKanExtension (CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.comp G))
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (x.re * y.re) • 1 + (c₁ * x.imI * y.imI) • 1 + (c₂ * x.imJ * y.imJ) • 1 + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1) + (x.re * y.imI) • q.i + (x.imI * y.re) • q.i + -((c₂ * x.imJ * y.imK) • q.i) + (c₂ * x.imK * y.imJ) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (c₁ * x.imI * y.imK) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((c₁ * x.imK * y.imI) • q.j) + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.imJ) • q.k + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (x.imK * y.re) • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (c₁ * x.imI * y.imI) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (c₁ * x.imI * y.imK) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (c₂ * x.imJ * y.imJ) • 1 + -((c₂ * x.imJ * y.imK) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((c₁ * x.imK * y.imI) • q.j) + (c₂ * x.imK * y.imJ) • q.i + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1)
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
AddMonoid X
DistribMulAction R X
x : OreLocalization S R
⊢ x • 0 = 0
y : ℝ
hy : 0 ≤ y
⊢ Real.log y ≤ ↑(harmonic ⌊y⌋₊)
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A B : Matrix n n α
h : B * A = 1
⊢ A⁻¹ = B