ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I✝ I J : Ideal R
h : I ≤ J
x : R
hx : x ∈ I.jacobson
⊢ x ∈ J.jacobson
D : AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData
⊢ ∀ (a : D.J), D.openCover.obj a = D.U a
R : Type u_4
M : Type u_5
ι : Type u_6
Semiring R
Subsingleton R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ∀ (x : ι →₀ R), (Module.subsingletonEquiv R M ι).symm x = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥
⊢ LieSubmodule.map (LieSubmodule.Quotient.mk' N) (lowerCentralSeries R L M k) ≤ lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
m : MeasurableSpace α
l : Multiset (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable l.sum
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
OrderedSemiring S
self : AbsoluteValue R S
x : R
⊢ self.toFun x = 0 ↔ x = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
h : P ≈ Q
u v : R
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v
⊢ W'.add (u • P) (v • Q) = u ^ 4 • W'.add P Q
α : Type u_1
Preorder α
OrderTop α
⊢ Set.Ioi ⊤ = ∅
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ (f + g) ≫ h = f ≫ h + g ≫ h
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
IsEmpty ι
⊢ AlgebraicIndependent R x ↔ Function.Injective ⇑(algebraMap R A)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ t✝ : WSeq α
c1 c2 : Computation (Option (α × WSeq α))
s t : WSeq α
h : c1 = (s.append t).destruct ∧ c2 = s.destruct.bind (destruct_append.aux t)
⊢ Computation.BisimO (fun c1 c2 => ∃ s t, c1 = (s.append t).destruct ∧ c2 = s.destruct.bind (destruct_append.aux t)) c1.destruct c2.destruct
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : Ring E
inst✝³ : Algebra F E
inst✝² : StrongRankCondition F
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors F E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ Module.rank F ↥(toSubmodule ⊥) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
r : ℚ
hrx : x < ↑r
⊢ BddBelow (range fun r => f a ↑r)
R : Type uR
M : Type uM
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : Module.Dual R M
x : M
⊢ ((Module.dualPairing R M) v) x = v x
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : HasContDiffBump G
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
φ✝ : ContDiffBump 0
x₀✝ : G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
ι : Type u_1
φ : ι → ContDiffBump 0
l : Filter ι
K : ℝ
hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)
h'φ : ∀ᶠ (i : ι) in l, (φ i).rOut ≤ K * (φ i).rIn
hg : LocallyIntegrable g μ
this✝ : μ.IsAddHaarMeasure
x₀ : G
h₀ : Tendsto (fun a => ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x₀) (𝓝 0)
hφ' : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝[>] 0)
this : Tendsto (fun x => ⨍ (y : G) in closedBall x₀ (φ x).rOut, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), |(φ i).normed μ (x₀ - x)| ≤ K ^ FiniteDimensional.finrank ℝ G / (μ (closedBall x₀ (φ i).rOut)).toReal
n : ℕ
m : ℝ
m1 : 1 < m
⊢ LiouvilleNumber.remainder m n < (1 - 1 / m)⁻¹ * (1 / m ^ (n + 1)!)
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
a : α
B : ¬P → α
h : ∀ (h : ¬P), a ≠ B h
⊢ dite P (fun x => a) B = a ↔ P
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
a : α
h : some a ∈ s.tail.head
⊢ ∃ a', some a' ∈ s.head
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
ι : Type v
hι : Infinite ι
ιK : Type (max u v)
bK : Basis ιK K (ι → K)
e : ℕ ↪ ι
⊢ Module.rank K (ι → K) = #(ι → K)
m n : ℕ
α : Type u_4
o : ℕ
ho : o = m + n
u : Fin m → α
v : Fin n → α
⊢ Matrix.vecAppend ho u v = fun i => if h : ↑i < m then u ⟨↑i, h⟩ else v ⟨↑i - m, ⋯⟩
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
TotalComplexShape c₁ c₂ c
TotalComplexShape c₂ c₁ c
TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
K.HasTotal c
K.flip.HasTotal c
DecidableEq J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
j : J
h : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j
⊢ K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j h ≫ (K.totalFlipIso c).hom.f j = c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.ιTotal c i₁ i₂ j ⋯
x✝ y✝ x y : ℝ
h : x < y
⊢ rexp x < rexp y
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x✝ : ℕ
x : ℕ := x✝
hx : x✝ ∈ s
⊢ ∃ n, ofNat s n = ⟨x✝, hx⟩
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
⊢ ∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors) = 0
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
⊢ Function.Injective fun b => Ι b a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ a • f x' + b • f y' ≤ f (a • x' + b • y')
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β →o γ
f : α →o β
⊢ OrderHom.dual (g.comp f) = (OrderHom.dual g).comp (OrderHom.dual f)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
x : E
s : Set E
g : F → G
t : Set F
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g t (f x)
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
h : Set.MapsTo f s t
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (g ∘ f) s x
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α
e : α
⊢ List.oldMapIdxCore f 0 l ++ List.oldMapIdxCore f l.length [e] = List.oldMapIdxCore f 0 l ++ [f l.length e]
K : Type u
inst✝¹ : Field K
A✝ A : ValuationSubring K
P : Ideal ↥A
inst✝ : P.IsPrime
x : ↥A
⊢ (A.ofPrime P).valuation ↑x = 1 ↔ x ∈ P.primeCompl
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
h : (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ⊆ range ↑I
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I)) (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative
inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝² : W₂.ContainsIdentities
D : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D
L : C₂ ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W₂
X₂ : C₂
X₃ : D
y : L.obj X₂ ⟶ X₃
w : TwoSquare Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) := TwoSquare.mk Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) (Φ.functor ⋙ L).rightUnitor.inv
this✝ : Nonempty (w.CostructuredArrowDownwards y)
c : C₁
g : X₂ ⟶ Φ.functor.obj c
x : L.obj (Φ.functor.obj c) ⟶ X₃
fac✝ : L.map g ≫ 𝟙 (L.obj (Φ.functor.obj c)) ≫ x = y
fac : L.map g ≫ x = y
ρ : Φ.arrow.RightResolution (Arrow.mk g) := Classical.arbitrary (Φ.arrow.RightResolution (Arrow.mk g))
this : Zigzag ((fromRightResolution Φ L x ⋙ w.costructuredArrowDownwardsPrecomp x y g fac).obj (RightResolution.mk (𝟙 (Φ.functor.obj c)) ⋯)) ((fromRightResolution Φ L x ⋙ w.costructuredArrowDownwardsPrecomp x y g fac).obj (RightResolution.mk ρ.w.right ⋯))
⊢ Zigzag (TwoSquare.CostructuredArrowDownwards.mk w y c g x fac✝) ((fromRightResolution Φ L x ⋙ w.costructuredArrowDownwardsPrecomp x y g fac).obj (RightResolution.mk (𝟙 (Φ.functor.obj c)) ⋯))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ Summable (HPow.hPow 2⁻¹)
R : Type u_2
NonAssocRing R
p : MulRingSeminorm R
⊢ ⇑p.toAddGroupSeminorm = ⇑p
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Finset.filter (fun x => x < c) (Finset.Ioo a b) = Finset.Ioo a (min b c)
M : Type u_2
Monoid M
a : M
⊢ a ^ 3 = a * (a * a)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : StrongFEPair E
s : ℂ
step1 : mellin (fun t => P.g (1 / t)) (-s) = mellin P.g s
⊢ mellin P.f (↑P.k - s) = P.ε • mellin P.g s
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α (d :: ds)
i : ℕ
hid : i < d
⊢ ∑ x_1 ∈ (Finset.range d).attach, (unitVec d ↑x_1 ⊗ x.slice ↑x_1 ⋯).slice i hid = x.slice i hid
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
OrderTop α
hs : IsLowerSet s
⊢ ⊤ ∈ s ↔ s = Set.univ
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
h : ∀ (x : X), x ∈ s₁ ↔ x ∈ s₂
⊢ (toList s₁).Perm (toList s₂)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
M' : Submodule R M
w✝¹ : Submodule R N
hM : M' ≤ M₁
w✝ : w✝¹ ≤ N₁
hfin : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥w✝¹
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion w✝)))
⊢ ∃ M', ∃ (hM : M' ≤ M₁), Module.Finite R ↥M' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor (↥N₁) (inclusion hM)))
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : ↑n < Module.rank R M
t : Set M
h₁ : range v ⊆ t
h₂ : #↑t = Module.rank R M
h₃ : LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
this : range v ≠ t
⊢ ∃ x, LinearIndependent R (Fin.cons x v)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
c : F
⊢ deriv (fun y => f y - c) x = deriv f x
𝕜 : Type u
n : ℕ
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
k l : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
x y : G
⊢ ((((ContinuousMultilinearMap.curryFinFinset 𝕜 G G' hk hl) f) fun x_1 => x) fun x => y) =
  f (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ s = extend (fun t _ht => μ t) s
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.dropLast <+: l
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ ((∡ p₁ p₂ p₃).tan⁻¹ / 2) • (EuclideanGeometry.o.rotation ↑(π / 2)) (p₃ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₃ = s.center
α : Type u_1
g : Set (Set α)
⊢ ∀ t ∈ g, MeasurableSet t
X : Type u
TopologicalSpace X
ι : Sort u_2
f : ι → Set X
Finite ι
h : ∀ (i : ι), IsCompact (f i)
⊢ IsCompact (⋃ i, f i)
k : ℕ
⊢ Nat.choose 0 k.succ = 0
R : Type u
inst₁ inst₂ : Ring R
⊢ inst₁ = inst₂ ↔ HAdd.hAdd = HAdd.hAdd ∧ HMul.hMul = HMul.hMul
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R A
Module R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalSubalgebra R A
f : F
⊢ (NonUnitalSubalgebra.map f S).toSubmodule = Submodule.map (LinearMapClass.linearMap f) S.toSubmodule
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
y : H
z : E
hz : z ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source)
⊢ ↑I.symm z ∈ range e
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N : L.Substructure M
h : N.FG
⊢ N.CG
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
x : β
μ : MeasureTheory.Measure α
H : μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ 0
⊢ x ∈ f.range
z : ℂ
n : ℕ
hn : abs z < ↑n
hn0 : 0 < ↑n
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ |abs (z ^ m.succ / ↑m.succ.factorial)| ≤ abs z / ↑n * |abs (z ^ m / ↑m.factorial)|
R : Type u
CommRing R
q : ℕ
hR : ExpChar R q
x y : R
⊢ (x - y) ^ q = x ^ q - y ^ q
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂✝ : Type w
V₂ : Type w'
M₃✝ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : Module R M₃✝
inst✝⁴ : Module R M₄
M₂ : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (range f) (range g)
y : M
z : M₂
h : f y + g z = 0
this : f y = 0
⊢ f y = 0 ∧ g z = 0
X Y : Type u
CommSemiring X
CommSemiring Y
f g : X →+* Y
h : ∀ (x : X), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a < b
l : List α
hl : l ∈ s.subchain
l' : List α
hl' : l' ∈ t.subchain
h : t.chainHeight = ↑l'.length
⊢ ∃ l'_1 ∈ (s ∪ t).subchain, l.length + l'.length ≤ l'_1.length + 0
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
H : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {a | (∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨ (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨ (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨ ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a})) x = 0
this : (α : Sort ?u.611507) → DecidableEq α
⊢ ∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), IsSupported 0 s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) 0) = 0
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
ι : Type u_3
B : ι → Set X
hB : ∀ (i : ι), IsBlock G (B i)
hι : ¬IsEmpty ι
g : G
⊢ g • ⋂ i, B i = ⋂ i, B i ∨ Disjoint (g • ⋂ i, B i) (⋂ i, B i)
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ nndist (AddOpposite.op x) (AddOpposite.op y) = nndist x y
d : ℤ
n : ℤ
⊢ (↑n).norm = n * n
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ), ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v x = 1
M : Type u_2
MonoidWithZero M
Nontrivial M
x : M
hx : x ∈ M⁰
⊢ x ≠ 0
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsUpper α
s : Set α
h : s.Finite
⊢ IsClosed ↑(lowerClosure s)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s ∩ Finset.univ = s
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun a => κ.compProdFun η a s
ι : Type u_4
α : ι → Type u_6
DecidableEq ι
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
s : (i : ι) → Finset (α i)
i : ι
a : α i
ha : a ∈ s i
⊢ (Finset.filter (fun f => f i = a) (Fintype.piFinset s)).card = ∏ j ∈ Finset.univ.erase i, (s j).card
G : Type u
CommMagma G
IsRightCancelMul G
⊢ IsLeftCancelMul G
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
sets : ℕ → Set α
h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ
h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x)
h_finite : ∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤
h_norm : ∀ (x : ℕ), ∀ x_1 ∈ sets x, ‖f x_1‖ ≤ ↑x
n : ℕ
⊢ μ.restrict (sets n)[(sets n).indicator f * g|m] =ᶠ[ae (μ.restrict (sets n))] (sets n).indicator f * μ.restrict (sets n)[g|m]
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s \ t ∪ t = s ∪ t
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
h : M.Base B
⊢ M✶.Base (M.E \ B)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet sᶜ
f g : α →ₛ β
⊢ ↑(piecewise sᶜ hs f g) = ↑(piecewise s ⋯ g f)
a b p q : ℝ
h✝ h : p.IsConjExponent q
⊢ q⁻¹ + p⁻¹ = 1
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ
Inhabited Γ'
f : Turing.PointedMap Γ Γ'
l : List Γ
⊢ Turing.ListBlank.map f (Turing.ListBlank.mk l) = Turing.ListBlank.mk (List.map f.f l)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
hle : ‖x‖ ≤ ‖y‖
h : re ⟪x, y⟫_𝕜 = ‖y‖ ^ 2
⊢ x = y
n : ℕ
a : ℝ
h : 2 - ((a - 1 / 4 ^ n) / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 ≤ (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n
h₂ : 1 / 4 ^ n ≤ a
⊢ 0 ≤ (a - 1 / 4 ^ n) / 2 ^ (n + 1)
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s t : Set E
h : s.Nonempty
⊢ t ⊆ convexJoin 𝕜 s t
α β : LinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
⊢ (LinOrd.Iso.mk e).inv = ↑e.symm
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
hr : Irrational r
⊢ {x | ∃ k > 0, beattySeq r k = x} ∆ {x | ∃ k > 0, beattySeq s k = x} = {n | 0 < n}
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
c : G
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (c +ᵥ s) μ
R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
AddCommMonoid M₂
(i : Fin n.succ) → Module R (M i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M M₂
⊢ f.curryLeft.uncurryLeft = f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0
⊢ a < b / c ↔ b < c * a
a : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.Principal (fun x x_1 => x + x_1) a ↔ ∀ ⦃b c : Ordinal.{u_1}⦄, b < a → c < a → b + c ≠ a
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
f : α ↪ β
⊢ Finset.map f 0 = {f 0}
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : Profinite
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget Profinite).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
⊢ a z = b z
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nat
h : 0 < n
⊢ Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.replicate n AssocList.nil)) = 0
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
s : ℤ
⊢ Valued.v ((single s) 1) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-s))
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
A : C
x : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)
⊢ (yoneda.map ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).inv.app (mappingCone S.f) ≫ (homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceδ (Triangle.mk ((quotient C (up ℤ)).map S.f) ((quotient C (up ℤ)).map (inr S.f)) ((quotient C (up ℤ)).map (triangle S.f).mor₃ ≫ ((quotient C (up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app S.X₁)) n₀ n₁ h ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).hom.app S.X₁)).app (Opposite.op A) x = (yoneda.map (HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h ≫ 𝟙 ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₁).obj S.X₁))).app (Opposite.op A) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
hst : ∃ w ∈ t, w ∉ s ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
s : CategoryTheory.Limits.Cone F.leftOp
⊢ (CategoryTheory.Limits.isLimitConeLeftOpOfCocone F hc).lift s =
  (hc.desc (CategoryTheory.Limits.coconeOfConeLeftOp s)).unop
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring Γ
σ : Type u_3
inst✝ : Finite σ
f g : HahnSeries (σ →₀ ℕ) R
n : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R n) ({ toFun := fun f => f.coeff, invFun := fun f => { coeff := f, isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (f * g)) = (MvPowerSeries.coeff R n) ({ toFun := fun f => f.coeff, invFun := fun f => { coeff := f, isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun f => f.coeff, invFun := fun f => { coeff := f, isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun g)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
p : Submodule R N
hf : Injective ⇑f
h : p ≤ LinearMap.range f
x✝ : ↥p
y : M
hx : f y ∈ p
⊢ ∃ a, (LinearMap.codRestrict p (f ∘ₗ (comap f p).subtype) ⋯) a = ⟨f y, hx⟩
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
⊢ ↑A.topologicalClosure = ↑⊤
⊢ PartENat.withTopEquiv ⊤ = ⊤
r : ℝ≥0
⊢ ↑r = 1 ↔ r = 1
M : Type uM
AddCommGroup M
z : ℤ
m : M
⊢ ↑z m = z • m
n : ℕ
t : ℝ
ht' : t ≤ ↑n
hn : n ≠ 0
⊢ (1 - t / ↑n) ^ n ≤ rexp (-t)
K : Type u_1
CommRing K
⊢ RatFunc.one = { toFractionRing := 1 }
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
b : R
hp : p.leadingCoeff * b = 1
⊢ (p * Polynomial.C b).Monic