ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
x₀ : M
BoundarylessManifold I M
hv : ContMDiffAt I I.tangent 1 (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsIntegralCurveAt γ v t₀
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∉ s
ha : AffineIndependent k fun x => ![p₁, p₂, p₃] ↑x
h : ![p₁, p₂, p₃] 2 ∈ affineSpan k (![p₁, p₂, p₃] '' {x | x ≠ 2})
⊢ affineSpan k (![p₁, p₂, p₃] '' {x | x ≠ 2}) ≤ s
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
⊢ ↑⊤ = Set.univ
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
a b : MvPolynomial σ R
hd : C r ∣ a * b
⊢ C r ∣ a ∨ C r ∣ b
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring S
CommSemiring A
Algebra S R
Algebra S A
g : R →ₐ[S] A
y : σ → A
x : R
⊢ (MvPolynomial.aevalTower g y) ((IsScalarTower.toAlgHom S R (MvPolynomial σ R)) x) = g x
R : Type u
CommRing R
s f : R
g : ↥(Submonoid.powers s)
⊢ (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toBasicOpen R s) (IsLocalization.mk' (Localization.Away s) f g) =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f (↑g) (PrimeSpectrum.basicOpen s) ⋯
X : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsReduced X
U : X.Opens
s : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ X.basicOpen s = ⊥ ↔ s = 0
Ω✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace E✝
m✝ : MeasurableSpace Ω✝
ℙ✝ : Measure Ω✝
μ✝ : Measure E✝
F✝ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace F✝
ν✝ : Measure F✝
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace F
ν : Measure F
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
hX : AEMeasurable X ℙ
g : E → F
hg : QuasiMeasurePreserving g μ ν
hmap : (map g (map X ℙ)).HaveLebesgueDecomposition ν
hmX : Measurable X
s : Set F
hsm : MeasurableSet s
hs : ν s = 0
this : (map g μ) s = 0
⊢ ∫⁻ (a : E) in g ⁻¹' s, pdf X ℙ μ a ∂μ = 0
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ P₂
e' : V₁ ≃ₗ[k] V₂
p : P₁
h : ∀ (p' : P₁), e p' = e' (p' -ᵥ p) +ᵥ e p
⊢ (AffineEquiv.mk' (⇑e) e' p h).linear = e'
R : Type u
CommRing R
V W : CoalgebraCat R
⊢ Function.Injective CoalgebraCat.Hom.toCoalgHom
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : S.HasLeftHomology
⊢ h.π ≫ h.leftHomologyIso.inv = h.cyclesIso.inv ≫ S.leftHomologyπ
K : Type u_1
Field K
NumberField K
DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
Fintype α
Fintype β
a : Matrix α β (NumberField.RingOfIntegers K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), NumberField.house ((algebraMap (NumberField.RingOfIntegers K) K) (a k l)) ≤ A
⊢ ∃ ξ,
  ξ ≠ 0 ∧
    a.mulVec ξ = 0 ∧
      ∀ (l : β),
        NumberField.house ↑(ξ l) ≤ NumberField.house.c₁ K * (NumberField.house.c₁ K * ↑q * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type u_3
Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : φ.IsCovering
hφψ : (φ ⋙q ψ).IsCovering
φsur : Function.Surjective φ.obj
⊢ ψ.IsCovering
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
v : α → M
⊢ ⊥.Realize v ↔ False
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : ↑(Metric.sphere 0 1)
⊢ ↑(stereographic ⋯) (-v) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β
p : β → Prop
⊢ (∃ y ∈ f.range, p y) ↔ ∃ x, p (↑f x)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
r : ℝ
hs' : s.Nonempty
hr : r ≠ 0
t : Set E
ht : MeasurableSet t
hst : s =ᶠ[ae μ] t
⊢ r • s =ᶠ[ae μ] r • t
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
M₀' : Type u_3
G₀' : Type u_4
inst✝⁴ : Mul M₀
inst✝³ : Zero M₀
inst✝² : Mul M₀'
inst✝¹ : Zero M₀'
f : M₀ → M₀'
hf : Injective f
zero : f 0 = 0
mul : ∀ (x y : M₀), f (x * y) = f x * f y
inst✝ : IsLeftCancelMulZero M₀'
a✝ b✝ c✝ : M₀
Hne : a✝ ≠ 0
He : a✝ * b✝ = a✝ * c✝
this : f a✝ * f b✝ = f a✝ * f c✝
⊢ b✝ = c✝
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
M₂ : Type u_10
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
Nonempty ι
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
⊢ f.compLinearMap 0 = 0
n : ℕ
f : Vector3 ℕ n →. ℕ
⊢ Dioph.DiophPFun f ↔ Dioph {v | f.graph (v ∘ Fin2.fs, v Fin2.fz)}
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ ‖a‖₊ = ‖DoubleCentralizer.toProdMulOppositeHom a‖₊
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
s : σ →₀ ℕ
c : R
hc : c ≠ 0
⊢ ((MvPolynomial.monomial s) c).totalDegree = s.sum fun x e => e
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.8704, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.8711, u_2} D
ι : Type u_3
F G : Discrete ι ⥤ C
α : F ⟶ G
i : ι
⊢ IsPullback (𝟙 (F.obj { as := i })) (α.app { as := i }) (α.app { as := i }) (𝟙 (G.obj { as := i }))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X Y : C
n : ℕ
α : CategoryTheory.Abelian.Ext X Y n
Z : C
m p : ℕ
h : n + m = p
⊢ α.comp 0 h = 0
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
α : Type u_1
inst✝¹ : SMul α ℂ
inst✝ : IsScalarTower α ℂ ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
c : α
x✝ : ℍ
⊢ c • 1 * f (A • x✝) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * denom A x✝ ^ (-k) = c • 1 * (f (A • x✝) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * denom A x✝ ^ (-k))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
g : β → β
x : α × β
⊢ Function.minimalPeriod f x.1 ∣ Function.minimalPeriod (Prod.map f g) x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
c : ℝ
c_neg : c < 0
⊢ μ {a | f a < c} < ⊤
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝¹ : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
s✝ : Finset ι
g : ι → α →₀ M
h : α → M → N
h_zero : ∀ (a : α), h a 0 = 1
h_add : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ * h a b₂
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : ∏ i ∈ s, (g i).prod h = (∑ i ∈ s, g i).prod h
⊢ ∏ i ∈ Finset.cons a s has, (g i).prod h = (∑ i ∈ Finset.cons a s has, g i).prod h
α : Type u_1
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ a :: l₁ <+~ a :: l₂ ↔ l₁ <+~ l₂
α : Type ua
s t : Set (α × α)
h : idRel ⊆ s
⊢ t ⊆ s ○ t
α : Type u_1
CircularOrder α
a b : α
⊢ a ∈ Set.cIcc a b
α : Type u_1
t : Ordnode α
r : List α
⊢ Ordnode.foldr List.cons t r = t.toList ++ r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x‖ * ‖x‖ + 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ * ‖y‖ - (‖x‖ * ‖x‖ - 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ * ‖y‖)) / 4
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass M'
MulOneClass N'
f : M →* M'
g : N →* N'
x : M
⊢ (Monoid.Coprod.map f g) (Monoid.Coprod.inl x) = Monoid.Coprod.inl (f x)
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
s : Finset E
F : Submodule 𝕜 E := Submodule.span 𝕜 ↑s
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ s, 1 ≤ ‖y - x‖
σ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : Applicative G
α β γ : Type u
g : α → β
f : β → G γ
x : σ ⊕ α
⊢ Sum.traverse f (g <$> x) = Sum.traverse (f ∘ g) x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x : L
m : M
k : ℕ
hk : ∀ (x : L), (toEnd R L M) x ^ k = 0
⊢ ∃ k, ((toEnd R L M) x ^ k) m = 0
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f : ι → E
⊢ ‖∏ a ∈ s, f a‖ ≤ ∑ x ∈ s, ‖f x‖
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Ioi a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Ioi a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atTop (𝓝 (F 0))
B : limUnder atTop (⇑F ∘ f) = F 0
⊢ Embedding ⇑F
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Add α
SemilatticeInf β
OrderTop β
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (s + t).inf f = s.inf fun x => t.inf fun x_1 => f (x + x_1)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
R : ℝ≥0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Filter.Tendsto (fun n => f n ω) Filter.atTop (𝓝 c)
α : Type u_3
Preorder α
LocallyFiniteOrderBot α
a : α
Fintype ↑(Set.Iio a)
⊢ (Set.Iio a).toFinset = Finset.Iio a
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
DecidableEq A
α : Type u_1
s : Finset α
f : { x // x ∈ s } → Finset A
⊢ Algebra.adjoin R ↑(s.attach.biUnion f) = ⨆ x, Algebra.adjoin R ↑(f x)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε
s : Finset ℕ
N : ℕ
hN : ¬Prime N
m : ℕ
⊢ m ∈ factoredNumbers (insert N s) ↔ m ∈ factoredNumbers s
z : ℂ
⊢ Gamma z * Gamma (1 - z) = ↑π / sin (↑π * z)
G : Type u
Mul G
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
⊢ TwoUniqueProds G
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
x : AdicCompletion I (Fin n → R)
⊢ (piEquivFin I n) x = (pi I fun x => R) x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex C} (φ : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesFunctor C).map φ = CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap φ
n : ℤ
⊢ ↑n.natAbs = Real.nnabs ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Monoid β
p r : α → α → Prop
inst✝ : IsTotal α r
f : α → α → β
hsymm : Symmetric p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b c : α
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
hmul' : ∀ {b c : α}, r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
rbc : r b c
⊢ f a c = f a b * f b c
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Coplanar k s
⊢ FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
α : Type u_1
Preorder α
ι : Sort u_3
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), (s i).OrdConnected
⊢ (⋂ i, s i).OrdConnected
G : Type u
AddGroup G
x y : G
hx : addOrderOf x = 2
hy : addOrderOf y = 2
hxy : x ≠ y
⊢ x + y ∉ {x, y, 0}
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
k : 𝕜
⊢ ((algebraMap 𝕜 𝓜(𝕜, A)) k).toProd = (algebraMap 𝕜 ((A →L[𝕜] A) × (A →L[𝕜] A))) k
α : Type u_2
LinearOrder α
DenselyOrdered α
a₁ a₂ : α
h₁ : a₂ ≤ a₁
h₂ : ∀ (a : α), a₂ < a → a₁ ≤ a
⊢ a₁ = a₂
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x : Z
inst✝ : Nonempty F
⊢ Injective toPartialEquiv
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K✝ : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : CommRing L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : Algebra K✝ L
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : Algebra K L
hodd : Odd ↑n
hz : (Algebra.norm K) (ζ ^ ↑n) = (Algebra.norm K) 1
⊢ (Algebra.norm K) ζ = 1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
ho : IsOpen s
hd : Dense s
⊢ s ∈ residual X
σ : Type u
R : Type v
CommSemiring R
DecidableEq σ
p : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ p ∈ MvPolynomial.restrictDegree σ R n ↔ ∀ (i : σ), Multiset.count i p.degrees ≤ n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
FunLike F α β
ContinuousMapClass F α β
f : F
a : α
⊢ ContinuousAt (⇑f) a
α : Sort u_1
n : Nat
f : α → Fin n → α
x : α
⊢ foldl.loop n f x n = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
y : E
⊢ y ∈ EMetric.ball 0 r → ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f (x + y) = p.partialSum m y
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedRing A
CompleteSpace A
NormedAlgebra 𝕜 A
f : A →ₐ[𝕜] 𝕜
⊢ ⇑(WeakDual.CharacterSpace.equivAlgHom.symm f) = ⇑f
R : Type u
Ring R
⊢ ↑⊤ = Set.univ
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ Module.rank R ↥(span R (range v)) = #↑(range v)
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
hn' : 0 < n
hn'' : 1 < n
this : eval x (cyclotomic n R) * eval x (∏ x ∈ n.properDivisors.erase 1, cyclotomic x R) = ∑ i ∈ range n, x ^ i
h : ∑ i ∈ range n, x ^ i < 0
⊢ 0 < eval x (cyclotomic n R)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
G : CategoryTheory.Functor A T
X : T
CategoryTheory.Limits.HasPushouts A
CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingSpan G
Y Z : CategoryTheory.CostructuredArrow G X
f : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ CategoryTheory.Epi f.left
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
hinj : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑f
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq σ
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
⊢ ((∑ i ∈ s, f i).support.sup fun s => toMultiset s) ≤ s.sup fun i => (f i).support.sup fun s => toMultiset s
α : Type u
TopologicalSpace α
β : Type v
TopologicalSpace β
T2Space β
CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
⊢ stoneCechExtend hg ∘ stoneCechUnit = g
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring K
inst✝ : Algebra F K
x : K
h : IsSeparable F x
h✝ : Nontrivial F
⊢ IsIntegral F x
ι : Type u_1
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
I : Ideal R
v : ι → M
Fintype ι
f : ι →₀ ↥I
⊢ (Ideal.finsuppTotal ι M I v) f = ∑ i : ι, ↑(f i) • v i
α : Type u_2
AddRightCancelSemigroup α
One α
i j : α
⊢ (ComplexShape.down α).Rel i j = (j + 1 = i)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
t : Finset γ
f : α ⊕ γ → β
⊢ ∏ x ∈ s.disjSum t, f x = (∏ x ∈ s, f (Sum.inl x)) * ∏ x ∈ t, f (Sum.inr x)
z : ℝ
⊢ ↑z ≠ 0 ↔ z ≠ 0
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s t : Set β
⊢ ⋃ a ∈ t, (fun x => x -ᵥ a) '' s = s -ᵥ t
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a : E
⊢ ENNReal.ofReal ‖a‖ = ↑‖a‖₊
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K F
ι : Type w
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R S
s : S
⊢ ((toMatrix b b) ((lmul R S) s)).det = ((toMatrix b b) (mulLeft R s)).det
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
this : ↑I.symm ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u
⊢ DifferentiableWithinAtProp I I' f s x ↔ DifferentiableWithinAtProp I I' f (s ∩ u) x
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
n : ℤ
s : Set G
hs : (fun x => x ^ n) ⁻¹' s = s
g : G
j : ℕ
hg : g ^ n ^ j = 1
⊢ ∀ {g' : G}, g' ^ n ^ j = 1 → g' • s ⊆ s
α : Type u_1
s : Finset α
r : α → α → Prop
⊢ Pairwise (r on fun x => ↑x) ↔ (↑s).Pairwise r
α : Type u_1
β : Type v
f : β → α → β
H : RightCommutative f
b : β
s : Multiset α
⊢ Multiset.foldl f H b s = Multiset.foldr (fun x y => f y x) ⋯ b s
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : LipschitzWith D g
h'g : HasCompactSupport g
v : E
⊢ ∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ = ∫ (x : E), lineDeriv ℝ g x (-v) * f x ∂μ
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ Integrable (fun x => x * rexp (-b * x ^ 2)) volume
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
⊢ ‖0‖ = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
F : Set X
h : JoinedIn F x y
⊢ x ∈ F
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
α : ↥K
⊢ lift (adjoin F {α}) = adjoin F {↑α}
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
DivisionSemiring α
Neg β
h : Function.Antiperiodic f c
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ Function.Antiperiodic (fun x => f (a⁻¹ * x)) (a * c)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
⊢ ⨍ (x : α), -f x ∂μ = -⨍ (x : α), f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : (multiplicity p (a * b)).Dom
hdiva : p ^ (multiplicity p a).get ⋯ ∣ a
hdivb : p ^ (multiplicity p b).get ⋯ ∣ b
⊢ (multiplicity p (a * b)).get h = (multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Bool} {n : Nat} {a : α}, ¬p a = true → List.find? p (List.replicate n a) = none
a b c d m n : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : m ≤ 0 * n
⊢ m / 0 ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_6
AddGroup G
g : G → β
hg : ∀ (x : G), g (-x) = g x
s t : Set α
f : α → G
x : α
⊢ g ((symmDiff s t).indicator f x) = g (s.indicator f x - t.indicator f x)
a b : ℝ
n : ℕ
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, 1 / x = Real.log (b / a)
ι : Type u_4
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
s : Finset ι
f a : ι → E
⊢ dist (∑ b ∈ s, f b) (∑ b ∈ s, a b) ≤ ∑ b ∈ s, dist (f b) (a b)
α : Type u_1
x : α
⊢ Part.none ≠ Part.some x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CompatiblePreserving (J.over Y) (CategoryTheory.Over.map f)
a b n : ℕ
⊢ ↑a ≡ ↑b [ZMOD ↑n] ↔ a ≡ b [MOD n]
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
f : CategoryTheory.End F
⊢ IsUnit f
G : Type u_3
AddCommSemigroup G
a b c : G
⊢ a + (b + c) = b + (a + c)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
⊢ f ⁻¹' s = (Function.graph f).preimage s
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
t : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
j : J
x : c.pt
⊢ ↑((CategoryTheory.Limits.Types.isLimitEquivSections t) x) j = c.π.app j x
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ χ.conductor ∈ χ.conductorSet
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Group G
LieGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
n : ℕ∞
f : M → G
x₀ : M
hf : ContMDiffAt I' I n f x₀
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x => (f x)⁻¹) x₀
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
m : M
⊢ ∀ (s : Set (LieSubmodule R L M)), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → lieSpan R L {m} ≤ sSup s → ∃ x ∈ s, lieSpan R L {m} ≤ x
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
a b : Tropical (WithTop R)
⊢ a + b = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0
n : ℕ
⊢ (fun x => rexp x - ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i / ↑i !) =O[𝓝 0] fun x => x ^ n
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_5
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : F
⊢ eqLocus f g = ⊤ ↔ f = g
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
⊢ LinearMap.range S.f = LinearMap.ker S.g
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : OpenEmbedding f
⊢ IsLocalHomeomorph f
R : Type u
S : Type v
A : Type w
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid A
Module R S
Module S A
Module R A
IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : Submodule.span R s = ⊤
t : Set A
k : S
x : A
hx : x ∈ Submodule.span R (s • t)
⊢ k • x ∈ Submodule.span R (s • t)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hq0 : 0 ≤ q
f g : α → ENNReal
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_nonzero : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ 0
⊢ ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
⊢ Monotone x.appr