ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
this : Tendsto (Ultrafilter.extend f) (𝓝 b) (𝓝 (Ultrafilter.extend f b))
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ map (Ultrafilter.extend f ∘ pure) ↑b
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t : Set α
r : ℝ
s : Set α
c : α
⊢ IsCobounded s ↔ ∃ r, (closedBall c r)ᶜ ⊆ s
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
this : Continuous fun p => (p.1⁻¹, p.2)
H : (Subtype.val ⁻¹' ((fun a => a.1⁻¹ * a.2) '' K ×ˢ L)).Finite
⊢ {γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅}.Finite
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 < b
hn : n ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => b * (rexp x / x ^ n) + c / x ^ n) atTop atTop
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : StarRing A
inst✝¹⁰ : StarModule R A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : StarModule R B
inst✝⁵ : FunLike F A B
inst✝⁴ : AlgHomClass F R A B
inst✝³ : StarAlgHomClass F R A B
f✝ g✝ : F
s : Set A
inst✝² : FunLike F (↥(adjoin R s)) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(adjoin R s)) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R s)) B
f g : F
h : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), ↑x ∈ s → f x = g x
a x y : ↥(adjoin R s)
hx : (fun y => f y = g y) x
hy : (fun y => f y = g y) y
⊢ (fun y => f y = g y) (x + y)
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
⊢ T.SemanticallyEquivalent (φ ⟹ ψ) (∼φ ⊔ ψ)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ SmoothWithinAt (I.prod J) J Prod.snd s p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
A B C : Set E
hC : IsExposed 𝕜 B C
hCA : C ⊆ A
⊢ IsExposed 𝕜 (A ∩ B) C
w : Nat
i j : Nat
⊢ (BitVec.twoPow w i).getLsb j = (decide (i < w) && decide (i = j))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ Disjoint (a ∆ b) (a ⊓ b)
M : Type u_2
AddMonoid M
n : ℕ
⊢ n • 0 = 0
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : IsAlgebraic F α
⊢ finSepDegree F ↥F⟮α⟯ ≤ finrank F ↥F⟮α⟯
x y : ℝ
⊢ ↑(sin (2 * x)) = ↑(2 * sin x * cos x)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
hinj : LinearMap.ker f = ⊥
hsurj : LinearMap.range f = ⊤
y : F
⊢ f ((ContinuousLinearEquiv.ofBijective f hinj hsurj).symm y) = y
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
⊢ ↑x ≠ 0
α : Type u_1
xs : List (FreeMonoid α)
⊢ FreeMonoid.toList xs.prod = (List.map (⇑FreeMonoid.toList) xs).join
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁵ : BorelSpace X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝² : OrderTopology X
inst✝¹ : OrderTopology E
inst✝ : SecondCountableTopology E
hmono : MonotoneOn f s
a b : X
ha : IsLeast s a
hb : IsGreatest s b
hs : μ s ≠ ⊤
h's : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
h✝ : s.Nonempty
hbelow : BddBelow (f '' s)
habove : BddAbove (f '' s)
this : IsBounded (f '' s)
⊢ IntegrableOn f s μ
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
t : Finset β
f g : β → α
h₁ : s = t
h₂ : ∀ x ∈ s, f x = g x
⊢ s.sup' H f = t.sup' ⋯ g
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : Integrable f μ
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
hfμ : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
hfν : AEMeasurable f ν
⊢ Integrable (fun x => f x - log (∫ (z : α), rexp (f z) ∂μ) + llr μ ν x) μ
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
p' : P
hp' : p' ∈ AffineSubspace.mk' p (Submodule.span ℝ {v})
⊢ p' = p ∨ p' = s.secondInter p v ↔ p' ∈ s
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ { byteIdx := utf8Len l }.byteIdx ≠ ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }).byteIdx
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ht : t ∈ P.parts
hu : u ∈ P.parts
hat : a ∈ t
hau : a ∈ u
⊢ t = u
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
f : G ≃ₜ G
h :
  ∀ ⦃K : TopologicalSpace.Compacts G⦄,
    (fun s => ↑(μ.toFun s)) (TopologicalSpace.Compacts.map ⇑f ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
U : TopologicalSpace.Opens G
⊢ μ.innerContent ((TopologicalSpace.Opens.comap f.toContinuousMap) U) = μ.innerContent U
ι : Type u_1
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
Nonempty ι
l : (i : ι) → Filter (α i)
hl : ∀ (i : ι), Cauchy (l i)
⊢ Cauchy (Filter.pi l)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in atTop, ∀ x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg, dist (g x) (f n x) < δ
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s : Finset α
⊢ s ⊻ s = s ↔ SupClosed ↑s
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : a < liminf u f
hb : b < liminf v f
ha' : a ≠ ⊤
hb' : b ≠ ⊤
⊢ a + b < liminf (u + v) f
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
x h k : G
h3 : h ∈ H
h4 : k ∈ K
h5 : Quotient.out' (mk H K x) = h * x * k
⊢ ∃ x_1 ∈ H, ∃ y ∈ K, x = x_1 * Quotient.out' (mk H K x) * y
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
h_dvd : v.maxPowDividing I ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I
⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
M : Type u_1
m₁ m₂ : SubNegMonoid M
h_mul : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_inv : Neg.neg = Neg.neg
⊢ m₁ = m₂
R : Type u
Semiring R
S : Type v
Semiring S
f : R →+* S
s : S
h : s ∈ Set.range ⇑f
⊢ Polynomial.C s ∈ Polynomial.lifts f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ ↑(f.extend I) '' (f.source ∩ f'.source) = ((f.extend I).symm ≫ f'.extend I).source
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : R →+* S
x✝ : MvPolynomial σ R
⊢ x✝ ∈ RingHom.ker (map f) ↔ x✝ ∈ Ideal.map C (RingHom.ker f)
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
x y : α
⊢ edist (h x) (h y) = edist x y
S : CategoryTheory.Functor Type uᵒᵖ (Type u)
α β : Type u
f : β ⟶ α
s : S.obj (Opposite.op α)
x : β
⊢ CategoryTheory.eval S β (S.map f.op s) x = CategoryTheory.eval S α s (f x)
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : Set.InjOn f s
g : E → F
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn g (f '' s) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => |(f' x).det| • g (f x)) s μ
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hm : 0 < m
hmn : n.Coprime m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A n δ
b : A
hab : a ∈ ball b δ
hb : b ^ m ∈ {u | orderOf u = n}
⊢ (fun y => y ^ m) a ∈ ball (b ^ m) (↑m • δ)
α : Type u_1
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ Function.Injective (Sym.replicate n)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
x y : R
⊢ (IsIdempotentElem x ∧ IsIdempotentElem y) ∧ (x * y = 0 ∧ y * x = 0) ∧ x + y = 1 ↔ IsIdempotentElem x ∧ x + y = 1
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
m n k : α
⊢ gcd m n ∣ gcd (k * m) n
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
GroupWithZero α
MulAction α β
s : Finset β
a : α
b : β
ha : a ≠ 0
⊢ b ∈ a⁻¹ • s ↔ a • b ∈ s
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w
⊢ (p.concat h).edges = p.edges.concat s(v, w)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
self : Geometry.SimplicialComplex 𝕜 E
s : Finset E
⊢ s ∈ self.faces → AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p
k : ℕ
⊢ (p ^ k).factors = ↑(Multiset.replicate k ⟨p, hp⟩)
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
u : ℕ → α
hu : DenseRange u
s : Set (ℕ → ℕ) := {x | (⋂ n, closedBall (u (x n)) ((1 / 2) ^ n)).Nonempty}
g : ↑s → α := fun x => Set.Nonempty.some ⋯
A : ∀ (x : ↑s) (n : ℕ), dist (g x) (u (↑x n)) ≤ (1 / 2) ^ n
g_cont : Continuous g
g_surj : Surjective g
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
x₁ x₂ : α
⊢ edist ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (x₁, 0)) ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (x₂, 0)) = edist x₁ x₂
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
i : Fin k
⊢ (s.orderEmbOfFin h) i = (Finset.sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨↑i, ⋯⟩
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝¹ : Category.{v₂, v₁} I
F : I ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
i : I
⊢ (coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda F).hom ≫ limit.π (F.op ⋙ coyoneda) (op i) = coyoneda.map (colimit.ι F i).op
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s₁ : Setoid α
s₂ : Setoid β
f : α → β
h : (Setoid.r ⇒ Setoid.r) f f
x : α
⊢ Quotient.map' f h (Quotient.mk'' x) = Quotient.mk'' (f x)
R : Type u_1
CommRing R
iic : IsIntegrallyClosed R
K : Type u_3
CommRing K
Algebra R K
ifr : IsFractionRing R K
x : K
⊢ IsIntegral R x ↔ ∃ y, (algebraMap R K) y = x
α : Type u
inst✝ : Nonempty α
h✝ : Finite α
⊢ #(List α) = max #α ℵ₀
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
s : Stream'.Seq α
⊢ Stream'.Seq.map f (Stream'.Seq.cons a s) = Stream'.Seq.cons (f a) (Stream'.Seq.map f s)
α : Sort u_1
P : α → Prop
⊢ (∀ (a : α), P a) ∨ ∃ a, ¬P a
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ deriv^[2] (fun x => -(x * log x)) x = -x⁻¹
α : Type u_1
_m : MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ⇑(μ₁ + μ₂) = ⇑μ₁ + ⇑μ₂
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
⊢ Continuous fun a => ‖a‖₊
α : Type u
s : Set α
Fintype ↑s
h : s.Finite
⊢ h.toFinset.card = Fintype.card ↑s
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
s : Finset ι
hs : ∀ i ∉ s, 1 ≤ f i
hf : Multipliable f
⊢ ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏' (i : ι), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
a : Nat
xs : List Nat
⊢ xs.maximum? = some a ↔ a ∈ xs ∧ ∀ (b : Nat), b ∈ xs → b ≤ a
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : LipschitzWith K f
s : Set α
⊢ EMetric.diam (f '' s) ≤ ↑K * EMetric.diam s
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M
inst✝⁴ : Finite M
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : GCDMonoid R
inst✝ : Unique Rˣ
n : ℕ
c : R
s : Finset ι
f : ι → R
h : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → IsCoprime (f i) (f j)
hprod : ∏ i ∈ s, f i = c ^ n
⊢ ∀ i ∈ s, ∃ d, f i = d ^ n
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
h : S.Nonempty
⊢ ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i) ≤ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)
α : Type u_1
R : α → α → Prop
Semiring α
a b : α
h : a = 0
⊢ R b 0 → a * b = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
self : TotallyDisconnectedSpace α
⊢ IsTotallyDisconnected Set.univ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
X : HomologicalComplex C c
⊢ ((HomologicalComplex.natIsoSc' C c i j k hi hk).inv.app X).τ₂ = 𝟙 (X.X j)
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
h : IsNoetherianRing R
⊢ IsNoetherianRing S
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
X : LeftInvariantDerivation I G
f : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
f' : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
⊢ X (f - f') = X f - X f'
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hf : f ≤ᵐ[μ.restrict s] 0
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ ≤ 0
a b : Nat
⊢ a + 1 = b + 1 ↔ a = b
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f : σ → S₁
s : Set S₁
⊢ Algebra.adjoin R s = (aeval Subtype.val).range
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R
⊢ -J l R * J l R = -1 • (J l R * J l R)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
hf_int : Integrable f μ
⊢ ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → (μ.restrict s) s_1 < ⊤ → IntegrableOn 0 s_1 (μ.restrict s)
N : ℕ
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ ∑ n ∈ Finset.range N, (1 / (s - 1) * (1 / ↑(n + 1) ^ (s - 1) - 1 / (↑(n + 1) + 1) ^ (s - 1)) - ↑(n + 1) / s * (1 / ↑(n + 1) ^ s - 1 / (↑(n + 1) + 1) ^ s)) = 1 / (s - 1) * (1 - 1 / (↑N + 1) ^ (s - 1)) - 1 / s * (∑ n ∈ Finset.range N, 1 / (↑n + 1) ^ s - ↑N / (↑N + 1) ^ s)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Iio a)
⊢ Subtype.val '' Set.Ioi b = Set.Ioo (↑b) a
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖
u : Set α
ul : u ∈ l
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := u ∩ {b | ε < ‖f b‖}
hv : IntegrableOn f v μ
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
x : α
hx : ∀ (z : β), f x < z → ∃ y, x < y ∧ f y < z
u : β
hu : u > f x
v : α
xv : x < v
fvu : f v < u
⊢ ∀ᶠ (b : α) in 𝓝[>] x, f b < u
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι
hn : (↑‖gramSchmidt 𝕜 f n‖)⁻¹ • gramSchmidt 𝕜 f n ≠ 0
⊢ gramSchmidt 𝕜 f n ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : C
CategoryTheory.Closed A
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f ((CategoryTheory.ihom.coev A).app Y) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.ihom.coev A).app X)
    ((CategoryTheory.ihom A).map (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft A f))
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α
h : Nodup ⟦l⟧
⊢ (List.map ofList l.sublists').Nodup
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
hR : Presheaf.IsSheaf J R
⊢ J.sheafifyMap η ≫ J.sheafifyLift γ hR = J.sheafifyLift (η ≫ γ) hR
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
s : Set ι
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), Submodule.map f (N i) ≤ N i
⊢ MapsTo ⇑f ↑(⨆ i ∈ s, N i) ↑(⨆ i ∈ s, N i)
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K (Module.Dual K V)
FiniteDimensional K V
⊢ Submodule.map (Module.Dual.eval K V) (Submodule.dualCoannihilator W) = Submodule.dualAnnihilator W
M : Type u_5
MonoidWithZero M
f g : ℤ →*₀ M
h_neg_one : f (-1) = g (-1)
h_nat : f.comp Int.ofNatHom.toMonoidWithZeroHom = g.comp Int.ofNatHom.toMonoidWithZeroHom
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : IsBigOWith c l f g
⊢ IsBigOWith (Nat.casesOn 0 ‖1‖ fun n => c ^ (n + 1)) l (fun x => f x ^ 0) fun x => g x ^ 0
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
⊢ ∀ (b : List (α × Bool)), ¬Step [(x1, !b1), (x2, b2)] b
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
NonUnitalSemiring B
StarRing B
Module R B
ι : Type u_1
Nonempty ι
K : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →⋆ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (NonUnitalStarSubalgebra.inclusion h)
T : NonUnitalStarSubalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
h : K i ≤ T
⊢ (NonUnitalStarSubalgebra.iSupLift K dir f hf T hT).comp (NonUnitalStarSubalgebra.inclusion h) = f i
R : Type u_3
CommRing R
a b : ℍ[R]
⊢ (a - b).re = a.re - b.re
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : α
⊢ (Ioi a).card = (Ici a).card - 1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (n.factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1) = n
α : Type u_2
Preorder α
a b : α
h : a < b
⊢ ¬b ≤ a
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
f : α → ℝ
I : ℝ
hnng : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfi : ∀ (n : ι), MeasureTheory.IntegrableOn f (φ n) μ
htendsto : Filter.Tendsto (fun n => ∫ (x : α) in φ n, f x ∂μ) l (𝓝 I)
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = I
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
S : SSet
σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S
h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)
⊢ ∀ (x : SimplexCategoryᵒᵖ), σ₁.app x = σ₂.app x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
inst✝² : SetLike S M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass S M
inst✝ : SMulMemClass S R M
s : S
⊢ ↑(span R ↑s) = ↑s
R : Type u
CommRing R
X : Type v
Ring X
HopfAlgebra R X
⊢ ↑(HopfAlgebraCat.of R X).toBundled = X
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
q : ℚ≥0
⊢ 0 ≤ ↑q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X' : C
f : X' ⟶ X
CategoryTheory.IsIso f
g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel g
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectIsoComp f g).hom ≫ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject g).arrow =
  (CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (f ≫ g)).arrow ≫ f
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x - d) = ∫ (x : ℝ) in a - d..b - d, f x
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
⊢ GaloisConnection (NonUnitalStarAlgebra.adjoin R) SetLike.coe
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
total : b.fst ≫ b.inl + b.snd ≫ b.inr = 𝟙 b.pt
⊢ CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
LocallyCompactSpace X
LocallyCompactSpace Y
⊢ Continuous ContinuousMap.uncurry
α : Type u_2
β : Type u_3
AddMonoid α
AddMonoid β
s : Set α
t : Set β
hs : ThreeAPFree s
ht : ThreeAPFree t
⊢ ThreeAPFree (s ×ˢ t)
M✝ : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Monoid M✝
inst✝² : TopologicalSpace X
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
f : M → M
hc : ContinuousOn f {x | IsUnit x}
hf : ∀ (u : Mˣ), f ↑u = ↑u⁻¹
u : Mˣ
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 (f ↑u)
⊢ (fun u => f ↑u) ⁻¹' s ∈ comap val (𝓝 ↑u)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.71408, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
⊢ n + (i - 1) = i' - 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
v : V
⊢ (s.weightedVSub (v +ᵥ p)) w = (s.weightedVSub p) w
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2
hc_lt_one : c < 1
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n