ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
⊢ (∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n) → ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n
α : Type u_2
DecidableEq α
DivisionMonoid α
Fintype α
⊢ Finset.univ / Finset.univ = Finset.univ
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
g : Filter β
⊢ ⊥ +ᵥ g = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
Add γ
MeasurableAdd γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
c : γ
⊢ ProbabilityTheory.IdentDistrib (fun x => c + f x) (fun x => c + g x) μ ν
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasStrongEpiMonoFactorisations C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.StrongEpiMonoFactorisation f)
α : Type u_5
TopologicalSpace α
⊢ DenseEmbedding id
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ MeasurableSet {x | ∃ c, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 c)}
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
hs : IsOpen s
ht : IsOpen t
⊢ IsOpen (s ×ˢ t)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
w : { w // w ≠ NumberField.Units.dirichletUnitTheorem.w₀ }
⊢ (NumberField.Units.logEmbedding K) x w = ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x))
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s
A : Set G
hA : MeasurableSet A
a✝ : μ' A < ⊤
h3A : ν' A⁻¹ < ⊤
h1 : μ' s * ∫⁻ (a : G) in A⁻¹, 1 a ∂ν' = ∫⁻ (x : G), ν' ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * A⁻¹.indicator 1 x⁻¹ ∂μ'
⊢ ∫⁻ (x : G) in A, ν' ((fun y => y * x) ⁻¹' s) ∂μ' ≠ ⊤
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
⊢ s ⊆ {a} ↔ s = ∅ ∨ s = {a}
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
⊢ (π.biUnionPrepartition πi).tag = fun J => π.tag (π.biUnionIndex πi J)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.62056, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
inst✝ : S.HasHomology
⊢ S.Exact
M : Type u_1
AddGroup M
S : AddSubmonoid M
x : ↥S.leftNeg
⊢ ↑(S.fromLeftNeg x) = -↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝² : DecidablePred fun x => x ∈ s
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
g : β → E
t : Set β
⊢ (∫ (b : β) in t, g b ∂if a ∈ s then κ a else η a) = if a ∈ s then ∫ (b : β) in t, g b ∂κ a else ∫ (b : β) in t, g b ∂η a
α : Type u
a : α
s : Set α
⊢ ¬a ∉ s ↔ a ∈ s
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
⊢ Function.Surjective ⇑(KaehlerDifferential.D R S).tensorProductTo
M : Type u_4
AddLeftCancelMonoid M
L L' : List M
h : L.length = L'.length
h' : ∀ i ≤ L.length, (List.take i L).sum = (List.take i L').sum
⊢ L = L'
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
a : R
n : ℕ
⊢ RingQuot.npow r n { toQuot := Quot.mk (Rel r) a } = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a ^ n) }
x : ℤ[i]
⊢ toComplex x = 0 ↔ x = 0
R : Type u_1
CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
⊢ seminormFromConst' hf1 hc hpm (c * x) = seminormFromConst' hf1 hc hpm c * seminormFromConst' hf1 hc hpm x
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 F
t : TopologicalSpace F
LocallyConvexSpace 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] F
⊢ LocallyConvexSpace 𝕜 E
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
⊢ Setoid.r a b ↔ Setoid.r ↑a ↑b
z w : ℂ
h : z.im = w.im
⊢ edist z w = edist z.re w.re
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C K L : HomologicalComplex V c
φ : K ⟶ L
hφ : ∀ (i : ι), Mono (φ.f i)
Z✝ : HomologicalComplex V c
g h : Z✝ ⟶ K
eq : g ≫ φ = h ≫ φ
i : ι
⊢ g.f i = h.f i
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter β
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
h : Tendsto f cofinite l
⊢ (comap f l).kerᶜ.Countable
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : r ≠ 0
s : Set E
⊢ (map (fun x => r • x) μ) s = ENNReal.ofReal |(r ^ finrank ℝ E)⁻¹| * μ s
α : Type u
GroupWithZero α
a : α
Invertible a
⊢ a / a = 1
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
t : ℝ
ht : t ∈ s
hsrc✝ : γ t ∈ (extChartAt I (γ t₀)).source
hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source
a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t
⊢ ((mfderiv I I (↑(chartAt H (γ t₀))) (γ t)).comp (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))) a = (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) a
a : ℤ
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
h : a.gcd ↑p = 1
⊢ ↑a ≠ 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s s' : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
Nonempty ↥s'
HasOrthogonalProjection s.direction
HasOrthogonalProjection s'.direction
h : s = s'
p : P
⊢ ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p) = ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s') p)
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
E : IntermediateField K L
⊢ IntermediateField.inclusion ⋯ = AlgHom.id K ↥E
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p : P
⊢ (AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 p).toAffineEquiv = AffineEquiv.vaddConst 𝕜 p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Finite J
F : J → CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.Karoubi.Biproducts.bicone F).π j).f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.biproduct.map fun j => (F j).p)
    ((CategoryTheory.Limits.biproduct.bicone fun j => (F j).X).π j)
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero β
self : SMulPosMono α β
b : β
hb : 0 ≤ b
a₁ a₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
⊢ a₁ • b ≤ a₂ • b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
l✝ : List α
inst✝ : Fintype α
l l' : List α
x : α
hx : x ∈ (zipWith swap l l').prod.support
hx' : x ∈ {x | (zipWith swap l l').prod x ≠ x}
⊢ x ∈ l.toFinset ⊔ l'.toFinset
x✝ y✝ z : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
n : ℕ
⊢ x ^ (y + ↑n) = x ^ y * x ^ n
α : Type u_1
One α
Small.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm 1 = 1
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
s : ι →₀ M
f : ι → M → N
a : α
⊢ Finsupp.single a (s.sum f) = s.sum fun d c => Finsupp.single a (f d c)
b : Bool
m n k : ℕ
⊢ Nat.shiftLeft' b m (n + k) = Nat.shiftLeft' b (Nat.shiftLeft' b m n) k
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → EDist (β i)
p : ℝ≥0∞
hp : 0 < p.toReal
f g : PiLp p β
⊢ edist f g = (∑ i : ι, edist (f i) (g i) ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
α : Type u_1
M : Type u_5
Monoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable l.prod
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
Y₁ Y₂ : CategoryTheory.Over X
f : Y₁ ⟶ Y₂
S : CategoryTheory.Sieve Y₂
⊢ (CategoryTheory.Sieve.overEquiv Y₁) (CategoryTheory.Sieve.pullback f S) =
  CategoryTheory.Sieve.pullback f.left ((CategoryTheory.Sieve.overEquiv Y₂) S)
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
⊢ spectralRadius ℂ a ^ 2 = ↑‖a‖₊ ^ 2
⊢ Real.cos (Real.pi / 4) = √2 / 2
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
h : ∀ g ∈ S, (fixedBy α g)ᶜ.Finite
g✝ : G
hg✝ : g✝ ∈ closure S
g g' : G
hg : (fixedBy α g)ᶜ.Finite
hg' : (fixedBy α g')ᶜ.Finite
⊢ (fixedBy α (g * g'))ᶜ ⊆ (fixedBy α g)ᶜ ∪ (fixedBy α g')ᶜ
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b : ℝ≥0
h0 : ↑b ≠ 0 ∨ c ≠ 0
ht : ↑b ≠ ⊤ ∨ c ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
⊢ a ≤ c / ↑b ↔ a * ↑b ≤ c
α : Sort u
β : Sort v
e₁ e₂ : α ≃ β
⊢ ⇑e₁ = ⇑e₂ ↔ e₁ = e₂
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ
⊢ LieIdeal.map f (LieAlgebra.derivedSeries R L' k) ≤ LieAlgebra.derivedSeries R L k
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
⊢ LieAlgebra.rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
⊢ (f₁ ⊓ f₂) ×ˢ g = f₁ ×ˢ g ⊓ f₂ ×ˢ g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
hg : IsCauSeq abs fun n => ∑ i ∈ range n, a i
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
j : ℕ
ji : j ≥ max n i
hi₁ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
hi₂ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) (max n i) - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
sub_le : |∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k| ≤ |∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range i, a k| + |∑ k ∈ range i, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k|
⊢ abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) (max n i)) < ε
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
v v₁ v₂ v₃ : V
⊢ EuclideanGeometry.angle (v - v₁) (v - v₂) (v - v₃) = EuclideanGeometry.angle v₁ v₂ v₃
n : ℕ
a : Fin n
⊢ Fin.cast ⋯ a = a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
AddCommGroup Q
Module R Q
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : TensorProduct R N Q
⊢ (rTensor.inverse_of_rightInverse Q hfg hgh) ((LinearMap.rTensor Q g) y) = Submodule.Quotient.mk y
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
j : K →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
PerfectRing M p
IsPRadical i p
x : K
⊢ (PerfectRing.lift i j p) (i x) = j x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x₁ x₂ : E
y : F
a : 𝕜 × 𝕜
ha : a ∈ {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}
⊢ (a.1 • x₁ + a.2 • x₂, y) = a.1 • (x₁, y) + a.2 • (x₂, y)
α : Type u_2
_m0 : MeasurableSpace α
s s' : Set α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
hs : s ≤ᵐ[μ] s'
hμν : μ ≤ ν
⊢ μ.restrict s ≤ ν.restrict s'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : γ) in univ, ENNReal.ofReal (κ.density ν a x s) ∂ν a = (κ a) (univ ×ˢ s)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
r : R
IsLocalization.Away r S
⊢ Ideal.span {MvPolynomial.C r * MvPolynomial.X () - 1} =
  RingHom.ker (MvPolynomial.aeval (Algebra.Generators.localizationAway r).val)
R : Type u_1
n : Type u_12
n' : Type u_14
CommRing R
Fintype n
Fintype n'
J : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
DecidableEq n
DecidableEq n'
⊢ ((Matrix.toLinearMap₂' R) J).IsAdjointPair ((Matrix.toLinearMap₂' R) J') (Matrix.toLin' A) (Matrix.toLin' A') ↔
  J.IsAdjointPair J' A A'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, s ∈ 𝓝[>] x
M : α → α
hM : ∀ x ∈ s, x < M x
⊢ MeasurableSet s
n : ℕ
⊢ ↑n + Cardinal.aleph0 = Cardinal.aleph0
α : Type u
cmp : α → α → Ordering
self : Lake.LawfulCmpEq α cmp
a : α
⊢ cmp a a = Ordering.eq
⊢ ∀ {X Y : TwoP} (f : X ⟶ Y) (a : X.toBipointed.X), (TwoP.swapEquiv.functor.map f).toFun a = f.toFun a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Denumerable ι
κs : ι → Kernel α β
hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)
e : ℕ ≃ ι × ℕ := (Denumerable.eqv (ι × ℕ)).symm
⊢ Kernel.sum κs = Kernel.sum fun n => (κs (e n).1).seq (e n).2
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : QPF.Cofix F → QPF.Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : QPF.Cofix F), r x y → Functor.Liftr r x.dest y.dest
x y : QPF.Cofix F
⊢ r x y → x = y
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Filter X
p : X → Prop
⊢ IsOpen fun x => (𝓝 x).sets {x | (fun x => p x) x}
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
⊢ equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ≫ π₂ ≫ g = (e ≫ π₂) ≫ g
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
⊢ ℵ₀ ≤ a + b ↔ ℵ₀ ≤ a ∨ ℵ₀ ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u_4
f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4}
a : Ordinal.{max u_4 u_5}
ha : a < mex f
ha' : ∀ (i : ι), f i ≠ a
⊢ False
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R A A
inst✝⁵ : SMulCommClass R A A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R B B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
S : NonUnitalSubalgebra R A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
T : NonUnitalSubalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
h : K i ≤ T
x✝ : ↥(K i)
⊢ ((iSupLift K dir f hf T hT).comp (inclusion h)) x✝ = (f i) x✝
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
f : α → G
rels : Set (FreeGroup α)
h : ∀ r ∈ rels, (FreeGroup.lift f) r = 1
g : PresentedGroup rels →* G
hg : ∀ (x : α), g (PresentedGroup.of x) = f x
x : PresentedGroup rels
⊢ g x = (PresentedGroup.toGroup h) x
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc' : c ≠ ⊤
⊢ a * c / (b * c) = a / b
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
ι : Type u_5
p : Filter ι
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
a : ι → UniformConvergenceCLM σ F 𝔖
a₀ : UniformConvergenceCLM σ F 𝔖
⊢ Filter.Tendsto a p (𝓝 a₀) ↔ ∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (fun x x_1 => (a x) x_1) (⇑a₀) p s
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ mapFun (⇑f) (x ^ n) = mapFun (⇑f) x ^ n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.comonFunctorCategoryEquivalence C D).unitIso =
  CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.unitIso
x : ℝ
h : x ≠ -1
h' : x ≠ 1
⊢ HasDerivWithinAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) (Ici x) x
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
⊢ ∑' (a : α), ↑(f a) = ⊤ ↔ ¬Summable fun a => ↑(f a)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
⊢ ((⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b)) ⊓ ⨅ b ∈ Ioi a, 𝓟 (Iio b)) ⊓ 𝓟 (Ici a) = (⨅ u, ⨅ (_ : a < u), 𝓟 (Iio u)) ⊓ 𝓟 (Ici a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
W : C
fst : W ⟶ X
snd : W ⟶ Y
eq : fst ≫ f = snd ≫ g
⊢ (CategoryTheory.Limits.PullbackCone.mk fst snd eq).π.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.left = fst
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
h₀ : ¬R = 0
⊢ CircleIntegrable f c R ↔ IntervalIntegrable (fun θ => deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)) volume 0 (2 * π)
α : Type u
CommGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ c⁻¹ * a ≤ b ↔ a ≤ b * c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
⊢ h.isoPullback.hom ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g = snd
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ ↑⊤ = Set.univ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F.unop
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.isLimitConeOfCoconeUnop F hc).lift s = (hc.desc (CategoryTheory.Limits.coconeUnopOfCone s)).op
s : Lean.Omega.Constraint
x : Lean.Omega.Coeffs
s' : Lean.Omega.Constraint
x' : Lean.Omega.Coeffs
w : Lean.Omega.normalize? (s, x) = some (s', x')
⊢ Lean.Omega.normalizeConstraint s x = s' ∧ Lean.Omega.normalizeCoeffs s x = x'
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
f : G ≃ₜ G
h : ∀ ⦃K : Compacts G⦄, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map ⇑f ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
A : Set G
⊢ ∀ (s : Set G) (hs : IsOpen s), μ.innerContent { carrier := ⇑f.toEquiv ⁻¹' s, is_open' := ⋯ } = μ.innerContent { carrier := s, is_open' := hs }
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
u : αˣ
a : α
⊢ lcm (↑u) a = normalize a
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : Set ι
inst✝ : Finite ↑s
t : ι → Set α
H : ∀ i ∈ s, Finite ↑(t i)
⊢ Finite ↑(⋃ x ∈ s, t x)
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
Fintype α₁
Fintype α₂
AddCommMonoid γ
f : α₁ → α₂ → γ
⊢ ∑ x : α₁ × α₂, f x.1 x.2 = ∑ x : α₁, ∑ y : α₂, f x y
num : Int
den : Nat
den_nz : den ≠ 0
⊢ Rat.normalize num den den_nz = mkRat num den
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val ↔ ∀ x ∈ s, x ∉ (convexHull 𝕜) (s \ {x})
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
b : β
c : γ
⊢ (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).Adj (Sum3.in₂ c) (Sum3.in₁ b) ↔ ∃ x ∈ t, x.2.2 = c ∧ x.2.1 = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
H : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m0 : MeasurableSpace α
μ' : Measure α
f : α → H
hm : m ≤ m0
hf_int : Integrable f μ'
hf : StronglyMeasurable f
⊢ Integrable f (μ'.trim hm)
α : Type u_2
Add α
f g : Filter α
s : Set α
⊢ s ∈ f + g ↔ ∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ g, t₁ + t₂ ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
hν : ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
u : Set γ
hu : u ∈ MeasurableSpace.countablePartition γ n
⊢ ∫ (x : γ) in u, κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a = ((κ a) (u ×ˢ s)).toReal
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
i : ℕ
hp : 1 ≤ p.natDegree
⊢ (normalizeScaleRoots p).coeff i * p.leadingCoeff ^ i = p.coeff i * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
hc : l.formPerm.IsCycle
hs : l.formPerm.support = l.toFinset
⊢ map (fun k => (l.formPerm ^ k) (l.get ⟨0, ⋯⟩)) (range l.length) = l
R : Type u_1
CommSemiring R
x : R
hu : IsUnit x
y z : R
⊢ IsCoprime (x * y) z ↔ IsCoprime y z
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Ring R✝
p : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
h : IsUnit (X ^ n - 1)
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.HasForget₂ C Ab
CategoryTheory.Preadditive C
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).Additive
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).PreservesHomology
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.ShortExact
⊢ Function.Surjective ⇑((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map S.g)
A : Type u_2
AddGroup A
x : A
⊢ ⇑Multiplicative.ofAdd '' ↑(AddSubgroup.zmultiples x) = ↑(Subgroup.zpowers (Multiplicative.ofAdd x))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
⊢ HasDerivAt f f' x ↔ (fun h => f (x + h) - f x - h • f') =o[𝓝 0] fun h => h
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
a : α
⊢ sInf {a} = a
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsClopen s
ht : IsClopen t
⊢ IsClopen (s ∪ t)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
LE α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α
⊢ ↑(⨅ i, ⨅ j, f i j) = ⋃ i, ⋃ j, ↑(f i j)
ι : Type u_1
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
Group G
H : ι → Type u_5
(i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard : 3 ≤ Cardinal.mk ι ∨ ∃ i, 3 ≤ Cardinal.mk (H i)
α : Type u_6
MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i j : ι
w : Monoid.CoprodI.NeWord H i j
⊢ (Monoid.CoprodI.lift f) w.prod ≠ 1
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.2905, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
n : ℕ
j : Fin (n + 2)
inst✝ : Mono (SimplexCategory.δ j)
hi : Isδ₀ (SimplexCategory.δ j)
⊢ SimplexCategory.δ j = SimplexCategory.δ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0
x : E
⊢ ∀ (c : 𝕜), x ∈ c • closedBall 0 ↑r → ↑‖x‖₊ / ↑r ≤ ↑‖c‖₊
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
h : H
w : Monoid.PushoutI.NormalWord d
⊢ h • w = { toWord := w.toWord, head := h * w.head, normalized := ⋯ }
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m' _mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s t : Set Ω
a✝ : s ∈ {s | MeasurableSet s}
ht : t ∈ {s | MeasurableSet s}
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (s ∩ t) = (κ a) s * (κ a) t
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : μ ⟂ₘ ν
⊢ ν.restrict h.nullSetᶜ = 0
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsSeparable F E
⊢ perfectClosure F E = ⊥