ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
OpensMeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
SecondCountableTopology E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ E
⊢ MeasureTheory.Integrable (⇑f) μ
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
n : ℕ
hn : ∀ a ∈ Finset.image f s, n ≤ (Finset.filter (fun x => f x = a) s).card
⊢ n * (Finset.image f s).card ≤ s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ✝ ν✝ : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (Measure.comap f (μ + ν)) s = (Measure.comap f μ + Measure.comap f ν) s
n m k : ℕ
h₁ : k ≤ n
⊢ map (fun x => x - k) (Ico n m) = Ico (n - k) (m - k)
n : ℤ
hn : 0 < n
⊢ 0 < n.natAbs
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
Apos : 0 ≤ A
⊢ ∃ ξ, ξ ≠ 0 ∧ a *ᵥ ξ = 0 ∧ ∀ (l : β), house ↑(ξ l) ≤ NumberField.house.c₁ K * (NumberField.house.c₁ K * ↑q * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Infinite α
inst✝ : Finite β
f : α → β
⊢ ∃ y, Infinite ↑(f ⁻¹' {y})
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ Set.BijOn (↑e) e.source e.target
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
f : F →SL[σ₂₃] G
g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F
h✝ : Nontrivial F'
⊢ ‖f‖ ≤ ‖f.comp g.toLinearIsometry.toContinuousLinearMap‖
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁✝ X₂✝ Y₁✝ Y₂✝ : C
f₁₁✝ : X₁✝ ⟶ Y₁✝
f₁₂✝ : X₁✝ ⟶ Y₂✝
f₂₁✝ : X₂✝ ⟶ Y₁✝
f₂₂✝ : X₂✝ ⟶ Y₂✝
X₁ X₂ Y₁ Y₂ Z₁ Z₂ : C
f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂
f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁
f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁₁ : Y₁ ⟶ Z₁
g₁₂ : Y₁ ⟶ Z₂
g₂₁ : Y₂ ⟶ Z₁
g₂₂ : Y₂ ⟶ Z₂
⊢ (biprod.fst ≫ f₁₁ ≫ biprod.inl + biprod.fst ≫ f₁₂ ≫ biprod.inr + biprod.snd ≫ f₂₁ ≫ biprod.inl + biprod.snd ≫ f₂₂ ≫ biprod.inr) ≫ (biprod.fst ≫ g₁₁ ≫ biprod.inl + biprod.fst ≫ g₁₂ ≫ biprod.inr + biprod.snd ≫ g₂₁ ≫ biprod.inl + biprod.snd ≫ g₂₂ ≫ biprod.inr) = biprod.fst ≫ (f₁₁ ≫ g₁₁ + f₁₂ ≫ g₂₁) ≫ biprod.inl + biprod.fst ≫ (f₁₁ ≫ g₁₂ + f₁₂ ≫ g₂₂) ≫ biprod.inr + biprod.snd ≫ (f₂₁ ≫ g₁₁ + f₂₂ ≫ g₂₁) ≫ biprod.inl + biprod.snd ≫ (f₂₁ ≫ g₁₂ + f₂₂ ≫ g₂₂) ≫ biprod.inr
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
h : (x - y) ^ n = 0
⊢ (y - x) ^ n = 0
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ Disjoint ∅ s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
Finite ι
Preorder ι'
IsDirected ι' (Function.swap fun x x_1 => x ≤ x_1)
Nonempty ι'
s : ι → ι' → Set α
hs : ∀ (i : ι), Antitone (s i)
⊢ ⋃ j, ⋂ i, s i j = ⋂ i, ⋃ j, s i j
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
I : IsNoetherianRing R
hN : N.FG
s : Finset M
hs : span R ↑s = N
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq R
this : ∀ x ∈ s, x ∈ N
⊢ LinearMap.range ?refine_1 = ⊤
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
f : ι → α
⊢ ∏ j : κ, ∏ i : { i // g i = j }, f ↑i = ∏ j : κ, ∏ i ∈ filter (fun i => g i = j) univ, f i
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ (c • x))) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) = c • (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 (a + 0))
⊢ Tendsto (fun x => ↑⌈a * x⌉₊ / x) atTop (𝓝 a)
a b : Ordinal.{u}
⊢ a ♯ Order.succ b = Order.succ (a ♯ b)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
⊢ QuotientMap (Prod.map mk mk)
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁹ : Field R
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V
inst✝¹⁵ : TopologicalRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V
inst✝¹³ : Module R V
inst✝¹² : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝⁵ : Nontrivial E
ι : Type u_6
inst✝⁴ : Finite ι
M : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SeparatingDual 𝕜 (M i)
inst✝ : CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F)
m : (i : ι) → M i
hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
φ : (i : ι) → M i →L[𝕜] 𝕜
hφ : ∀ (i : ι), (φ i) (m i) = 1
val✝ : Fintype ι
g : ℕ → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F := fun n => (compContinuousLinearMapL φ) (((smulRightL 𝕜 (fun x => 𝕜) F) (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι 𝕜)) (f n))
⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
α : Type u_1
s : ℕ → Set α
⊢ ∃ t, Antitone t ∧ ⨅ i, 𝓟 (s i) = ⨅ i, 𝓟 (t i)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → Zero (α i)
i : ι
b : α i
⊢ Pi.single i '' Set.Icc 0 b = Set.Icc 0 (Pi.single i b)
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ s t : Multiset α
i : α
⊢ (toDFinsupp (s ∩ t)) i = (toDFinsupp s ⊓ toDFinsupp t) i
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
n m mn : A
hnm : m + n = mn
a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
⊢ F.shiftIso mn a a'' ⋯ =
  CategoryTheory.isoWhiskerLeft (F.functor a'') (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' D m n mn hnm) ≪≫
    ((F.functor a'').associator (CategoryTheory.shiftFunctor D m) (CategoryTheory.shiftFunctor D n)).symm ≪≫
      CategoryTheory.isoWhiskerRight (F.shiftIso m a' a'' ha'') (CategoryTheory.shiftFunctor D n) ≪≫
        F.shiftIso n a a' ha'
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
DivInvMonoid G₀
TopologicalSpace G₀
ContinuousMul G₀
f : α → G₀
l : Filter α
x : G₀
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
y : G₀
⊢ Filter.Tendsto (fun a => f a / y) l (𝓝 (x / y))
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts
a : t.card = s.card / P.parts.card ∨ t.card = s.card / P.parts.card + 1
⊢ t.card = s.card / P.parts.card ↔ t.card ≠ s.card / P.parts.card + 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
p : ℝ
hp_nonneg : 0 ≤ p
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
a : α
ha : Tendsto (fun n => f n a) atTop (𝓝 (f_lim a))
⊢ Tendsto (fun a_1 => ‖f a_1 a‖₊) atTop (𝓝 ‖f_lim a‖₊)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
g : L.Equiv M N
⊢ L.ElementarilyEquivalent M N
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : FirstObj P R
⊢ ((firstObjEqFamily P R).hom x).Compatible ↔ firstMap P R x = secondMap P R x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
I J : Ideal R
inst✝ : J.IsPrime
e : I ≤ J
⊢ ∀ c ⊆ {p | IsPrime p ∧ I ≤ OrderDual.ofDual p}, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ OrderDual.ofDual p}, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ l → (a_1 == a) = true
b : α
hb : b ∈ l
⊢ b = a
H : Type u
TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
self : ClosedUnderRestriction G
e : PartialHomeomorph H H
⊢ e ∈ G → ∀ (s : Set H), IsOpen s → e.restr s ∈ G
f : StieltjesFunction
hf0 : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 0)
hf1 : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 1)
h_prob : IsProbabilityMeasure f.measure
⊢ (cdf f.measure).measure = f.measure
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
α : Type u_12
DecidableEq o
(i : o) → DecidableEq (m' i)
Fintype o
(i : o) → Fintype (m' i)
Semiring α
M : (i : o) → Matrix (m' i) (m' i) α
n : ℕ
⊢ Matrix.blockDiagonal' (M ^ n) = Matrix.blockDiagonal' M ^ n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : N → M × M'
s : Set N
x : N
hf : ContMDiffWithinAt J (I.prod I') n f s x
⊢ ContMDiffWithinAt J I n (fun x => (f x).1) s x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
M : R[X] → Prop
p : R[X]
h_add : ∀ (p q : R[X]), M p → M q → M (p + q)
h_monomial : ∀ (n : ℕ) (a : R), M ((monomial n) a)
n : ℕ
a : R
_h : M (C a * X ^ n)
⊢ M ((monomial (n + 1)) a)
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
⊢ ⇑(CentroidHom.id α) = id
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : (x : β) → Decidable (f x ≤ g x)
f' g' : β → γ
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hf' : ContinuousOn f' {x | f x ≤ g x}
hg' : ContinuousOn g' {x | g x ≤ f x}
hfg : ∀ (x : β), f x = g x → f' x = g' x
⊢ ContinuousOn f' (closure {x | f x ≤ g x})
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedRing 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormOneClass 𝕜'
x : 𝕜
⊢ ‖(algebraMap 𝕜 𝕜') x‖ = ‖x‖
T : ℝ
hT : T ≠ 0
x : AddCircle T
⊢ (AddCircle.homeomorphCircle hT) x = x.toCircle
𝕜 : Type u_1
NormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
AddCommGroup G
Module 𝕜 G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
ContinuousConstSMul 𝕜 G
L : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
v : E
w : F
⊢ (L.toLinearMap₂ v) w = (L v) w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
⊢ 𝓝 a ⊓ 𝓟 (s ∩ t) = 𝓝 a ⊓ 𝓟 s ⊓ 𝓟 t
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
c1✝ : Computation (WSeq α)
c2✝ : Computation (WSeq β)
h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1✝ c2✝
S : WSeq α → WSeq β → Prop := fun s t => ∃ c1 c2, s = flatten c1 ∧ t = flatten c2 ∧ Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : S s t
c1 : Computation (WSeq α)
c2 : Computation (WSeq β)
h : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R S) (c1 >>= destruct) (c2 >>= destruct)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
β : ι → Type u_4
(i : ι) → Preorder (β i)
f f' : (i : ι) → α i → β i
h : ∀ (i : ι), f i ≤ᵐ[μ i] f' i
⊢ (fun x i => f i (x i)) ≤ᵐ[MeasureTheory.Measure.pi μ] fun x i => f' i (x i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ CategoryTheory.Abelian.coimage.π f ≫ CategoryTheory.Abelian.factorThruCoimage f = f
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
μ : R
x : ↥p
hx : x ∈ ↑(eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ)
⊢ p.subtype x ∈ f.eigenspace μ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
s✝ : Set α
t s : Set β
h : s.Nonempty
⊢ 0 • s = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
h : a ≤ c * b
⊢ a / b ≤ c
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => Real.cosh (f x)
R : Type u_1
Semiring R
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
ι : Type u_4
c : ComplexShape ι
X Y : HomologicalComplex C c
r : Rˣ
f : X ⟶ Y
n : ι
⊢ (r • f).f n = r • f.f n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
p : PMF α
b : β
s : Set β
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
hf : Measurable f
hs : MeasurableSet s
⊢ (map f p).toMeasure s = p.toMeasure (f ⁻¹' s)
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
Fintype ↥S
⊢ S = ⊥ ↔ Fintype.card ↥S = 1
α : Type u
p : Additive α → Prop
⊢ (∀ (a : Additive α), p a) ↔ ∀ (a : α), p (Additive.ofMul a)
v : Multiset ℕ+
h : ∀ p ∈ v, p.Prime
⊢ Multiset.map Coe.coe (Multiset.pmap (fun p hp => ⟨↑p, hp⟩) v h) = v
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x : N
hx : x ∈ closure s
⊢ ∀ x ∈ s, (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) x
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this✝ : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : NoZeroSMulDivisors R L
x✝ : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
⊢ z ∈ adjoin R {B.gen}
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn : n ≠ 0
⊢ n • a = n • b ↔ a = b
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
⊢ IsOpenMap ⇑𝒰.fromGlued.val.base
m n✝ n : ℕ
⊢ (last n).rev = ⊥
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
⊢ S ⊔ adjoin R (⇑f ⁻¹' {0}) ≤ comap f (map f S)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
F : PointedMap Γ Γ'
f : Γ → Γ
f' : Γ' → Γ'
H : ∀ (x : Γ), F.f (f x) = f' (F.f x)
n : ℕ
L : ListBlank Γ
⊢ map F (modifyNth f n L) = modifyNth f' n (map F L)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
⊢ I.lcs M 0 = ⊤
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf
⊢ G = sheafify J G
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero β
SMulZeroClass α β
t : Set β
a : α
Zero α
NoZeroSMulDivisors α β
ha : a ≠ 0
⊢ 0 ∈ a • t ↔ 0 ∈ t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
a2 : 2 ≤ a
⊢ 1 - 2⁻¹ = 2⁻¹
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X : Type w'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : (Z B : C) → (π : Z ⟶ B) → [inst : EffectiveEpi π] → PreservesLimit (cospan π π) G
hq : ∀ (Z B : C) (π : Z ⟶ B) [inst : EffectiveEpi π], QuotientMap ⇑(G.map π)
⊢ EqualizerCondition (yonedaPresheaf G X)
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
⊢ Function.Injective ⇑(Profinite.NobelingProof.πs' C h)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P
hb : b ≠ a
hc : c ≠ a
⊢ dist a c * dist b d ≤ dist a b * dist c d + dist b c * dist a d
a b : ℕ
ha : 0 < a
⊢ a < a * b ↔ 1 < b
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
a : Products I
ha : Products.isGood C a
b : Products I
hb : Products.isGood C b
h : Products.eval C a = Products.eval C b
⊢ ⟨a, ha⟩ = ⟨b, hb⟩
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid N✝
N : Submonoid M
⊢ FG ↥N ↔ N.FG
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
⊢ 0 ≤ z ↔ 0 ≤ re z ∧ im z = 0
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
⊢ f.rangeS = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.map (RingHom.id R)) p = p
α : Type u_1
MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0
g : α → ℝ≥0
u : Filter ι
u.NeBot
u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Filter.Tendsto f u (𝓝 g)
⊢ Measurable g
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End K M
V : Submodule K M := φ.maxGenEigenspace 0
hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)
W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)
hVW : IsCompl V W
hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V
hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W
F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV
G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW
ψ : ↥V × ↥W →ₗ[K] ↥V × ↥W := F.prodMap G
e : (↥V × ↥W) ≃ₗ[K] M := V.prodEquivOfIsCompl W hVW
bV : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V) K ↥V := chooseBasis K ↥V
bW : Basis (ChooseBasisIndex K ↥W) K ↥W := chooseBasis K ↥W
b : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V ⊕ ChooseBasisIndex K ↥W) K (↥V × ↥W) := bV.prod bW
hψ : ψ = e.symm.conj φ
hG : G.charpoly.natTrailingDegree = 0
⊢ F.charpoly.natTrailingDegree = finrank K ↥V
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
CommSemiring A
Algebra R A
a : A
M : Submodule R A
⊢ Set.up {a} • M = Submodule.map (LinearMap.mulLeft R a) M
n : ℕ
x : ℝ
⊢ deriv^[n] (fun y => Real.exp (-(y ^ 2 / 2))) x = (-1) ^ n * ((aeval x) (hermite n) * Real.exp (-(x ^ 2 / 2)))
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
I : Type u_1
Y : I → C
X : C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
W : C
g : W ⟶ X
hg : (ofArrows Y f).arrows g
⊢ (ofObjects Y X).arrows g
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
⊢ Disjoint (supported M R s) (ker (lmapDomain M R f))
α : Type u
l r : List α
i : ℕ
h1 : l.length - 1 - i < (l.reverseAux r).length
h2 : i < l.length
⊢ (l.reverseAux r).get ⟨l.length - 1 - i, h1⟩ = l.get ⟨i, h2⟩
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c'
e : c.Embedding c'
self : K.IsStrictlySupported e
i' : ι'
hi' : ∀ (i : ι), e.f i ≠ i'
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero (K.X i')
n k : ℕ
⊢ 2 ≤ k → k ≤ n → (n + 1 - k) ^ k < n.descFactorial k
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
f : α → E
a : α
⊢ ∫ (a : α) in {a}, f a ∂μ = (μ {a}).toReal • f a
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
a : α
h : (f a).isSome = true
⊢ (f.symm ((f a).get h)).isSome = true
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f a * (f b)⁻¹ = 1
⊢ f a = f b
R : Type u_3
S : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
⊢ ⇑(NonUnitalRingHom.fst R S) = Prod.fst
α : Type u_1
DecidableEq α
xs : List α
h : xs.Nodup
n : ℕ
hn : n + 1 < xs.length
⊢ xs.formPerm (xs.get ⟨n, ⋯⟩) = xs.get ⟨n + 1, hn⟩
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ c x a : α
⊢ Injective (uIcc a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
B : ℕ → Set X := compactCovering X
hr : r < ⨆ n, μ (F ∩ B n)
hBc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (F ∩ B n)
hBU : ⋃ n, F ∩ B n = F
this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ B n)
⊢ ∃ K ⊆ F, IsCompact K ∧ r < μ K
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a
hf : ¬DifferentiableWithinAt ℝ f s a
⊢ (fderivWithin ℝ f s a) y = 0
ι : Type u_1
I J : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x : ι → ℝ
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Ioi 0)
h₁ : π₁.IsHenstock
h₂ : π₂.IsHenstock
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
⊢ (π₁.disjUnion π₂ h).IsHenstock
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : AddAction G α
g : G
a : α
h : G
⊢ h ∈ stabilizer G (g +ᵥ a) ↔ h ∈ AddSubgroup.map (AddEquiv.toAddMonoidHom (AddAut.conj g)) (stabilizer G a)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
s : Set β
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : β → E
a : α
hs : MeasurableSet s
t : Set β
⊢ ∫ (x : β) in t, f x ∂(κ.restrict hs) a = ∫ (x : β) in t ∩ s, f x ∂κ a
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
⊢ v (x + y) ≤ v x ∨ v (x + y) ≤ v y