ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ENNReal
hf : DifferentiableOn ℂ f (EMetric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ EMetric.ball c r
r' : ENNReal
hzr' : edist c z < r'
hr' : r' < r
⊢ HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
a b : (i : ι) → α i
⊢ Finset.Icc a b = Fintype.piFinset fun i => Finset.Icc (a i) (b i)
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
s : ↥Γ
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
⊢ (s • g) • z = (↑s * g) • z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
CategoryTheory.Limits.HasKernel g
h : f = g
e : Z ⟶ X
he : e ≫ f = 0
⊢ CategoryTheory.Limits.kernel.lift f e he ≫ (CategoryTheory.Limits.kernelIsoOfEq h).hom =
  CategoryTheory.Limits.kernel.lift g e ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : Function.support f ⊆ s
c : ℝ≥0∞
hc : c < essSup f μ
d : ℝ≥0∞
cd : c < d
hd : d < essSup f μ
⊢ c < essSup f (μ.restrict s)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
⊢ (p.append p').edges = p.edges ++ p'.edges
α : Type u_1
β : Type u_2
SeminormedRing α
SeminormedAddCommGroup β
Module α β
h : ∀ (r : α) (x : β), ‖r • x‖₊ ≤ ‖r‖₊ * ‖x‖₊
⊢ BoundedSMul α β
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ ν₁ ν₂ : MeasureTheory.Measure α
h : μ₁ ⟂ₘ ν₁
hμ : μ₂ ≪ μ₁
hν : ν₂ ≪ ν₁
⊢ μ₂ ⟂ₘ ν₂
Y : Type v
TopologicalSpace Y
self : TietzeExtension Y
X : Type u
TopologicalSpace X
NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
f : C(↑s, Y)
⊢ ∃ g, ContinuousMap.restrict s g = f
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0✝ b0✝ : G
f : G →ₙ* H
hf : Function.Injective ⇑f
a0 b0 : G
A B : Finset H
u : UniqueMul A B (f a0) (f b0)
a b : G
ha : a ∈ A.preimage ⇑f ⋯
hb : b ∈ B.preimage ⇑f ⋯
ab : f a * f b = f a0 * f b0
⊢ f a = f a0 ∧ f b = f b0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
hval : padicValRat p q ≠ padicValRat p r
h1 : min (padicValRat p q) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p (q + r)
h2 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p q
h3 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p q) ≤ padicValRat p r
⊢ padicValRat p (q + r) ≤ padicValRat p r
R : Type u
Monoid R
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
NonUnitalNonAssocSemiring C
DistribMulAction R B
DistribMulAction R C
f : A →ₙₐ[R] B
g : A →ₙₐ[R] C
⊢ (NonUnitalAlgHom.snd R B C).comp (f.prod g) = g
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s t : Set α
x : α
h : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ ContinuousWithinAt f (s ∩ t) x ↔ ContinuousWithinAt f s x
M : Type u_1
AddZeroClass M
c : AddCon M
⊢ Function.Surjective ⇑c.mk'
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t : Set α
f g : α → M
a : α
s : Set α
⊢ Disjoint (mulSupport fun x => 1) s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MulZeroClass (α i)
DecidableEq ι
i j : ι
f : (i : ι) → α i
a : α i
⊢ Pi.single i (f i * a) j = f j * Pi.single i a j
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
X : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi D)
⊢ ∀ (X_1 : C),
  (((CategoryTheory.Idempotents.functorExtension₁CompWhiskeringLeftToKaroubiIso C D).inv.app X).app X_1).f =
    (X.obj X_1).p
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t A B : Set β
a✝ : α
x : β
a : α
s : Set α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ (op a • s)⁻¹ ↔ x✝ ∈ a⁻¹ • s⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
h : v ∈ K
⊢ ∀ w ∈ K, ⟪v - v, w⟫_𝕜 = 0
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablyGenerated α
n : ℕ
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (MeasurableSpace.countablePartition α n) ≤ m
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)
⊢ N.Indep (f '' I) → InjOn f I
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F G : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
self : F.Hom G
n a a' : A
ha' : n + a = a'
⊢ (F.shiftIso n a a' ha').hom ≫ self.hom a =
  CategoryTheory.whiskerRight (self.hom a') (CategoryTheory.shiftFunctor D n) ≫ (G.shiftIso n a a' ha').hom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 ≤ δ
a b : E
⊢ Metric.ball a ε + Metric.closedBall b δ = Metric.ball (a + b) (ε + δ)
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : Disjoint s t
hs : MeasurableSet s
⊢ μ.restrict (s ∪ t) = μ.restrict s + μ.restrict t
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)
⊢ ¬p ∣ r.den
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Finset α
⊢ (Finset.filter p s).Nonempty ↔ ∃ a ∈ s, p a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * a ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
L : Tendsto (fun n => C * a ^ n) atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x_1 ∈ Metric.ball 0 ↑r', dist (f (x + x_1)) (p.partialSum n x_1) < ε
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
g : N → M
h : Function.LeftInverse g ⇑f
a : M
⊢ (MulEquiv.ofLeftInverse f h) a = f.srangeRestrict a
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
⊢ ↑(0 0) = 0
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
f : α →. σ
g : α → σ
hf : Partrec f
H : ∀ (n : α), g n ∈ f n
⊢ Computable g
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f : β → α
g : α → M
x : β
⊢ (f ⁻¹' s).indicator (g ∘ f) x = s.indicator g (f x)
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
a b : Heyting.Regular α
⊢ ↑(a ⊓ b) = ↑a ⊓ ↑b
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : G → H
f' : G → G →L[𝕜] H
x : G
hder : ∀ᶠ (y : G) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y
hcont : ContinuousAt f' x
c : ℝ
hc : 0 < c
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ {x | (fun y => HasFDerivAt f (f' y) y) x} ∩ f' ⁻¹' ball (f' x) c
a b : G
h : a ∈ ball x ε ∧ b ∈ ball x ε
hf' : ∀ x' ∈ ball x ε, ‖f' x' - f' x‖ ≤ c
this : NormedSpace ℝ G := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 G
⊢ ∀ x_1 ∈ ball x ε, HasFDerivWithinAt f (f' x_1) (ball x ε) x_1
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
SeminormedRing R
NormedDivisionRing 𝕜
c : ℝ
l : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f g
n : ℕ
⊢ Asymptotics.IsBigOWith (Nat.casesOn n ‖1‖ fun n => c ^ (n + 1)) l (fun x => f x ^ n) fun x => g x ^ n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p3 p2 p1 = π
⊢ ∠ p2 p3 p1 = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
L M : Sublattice β
f : LatticeHom α β
⊢ Sublattice.comap f (L ⊓ M) = Sublattice.comap f L ⊓ Sublattice.comap f M
G₀ : Type u_4
GroupWithZero G₀
⊢ ConjAct.toConjAct 0 = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablyGenerated α
⊢ ∅ ∈ MeasurableSpace.countableGeneratingSet α
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
b c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsRightCancelAdd α
a : α
hb : b ≠ ⊤
⊢ b + ↑a = c + ↑a ↔ b = c
α : Type u_1
DecidableEq α
N : Type u_16
AddCommMonoid N
f : α →₀ N
a : α
⊢ (if a ∈ f.support then f a else 0) = f a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
h : ¬P ≈ Q
u v : R
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v
smul : P ≈ Q ↔ u • P ≈ v • Q
⊢ W'.add (u • P) (v • Q) = (u * v) ^ 2 • W'.add P Q
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Multiset α
⊢ card m = (toFinsupp m).sum fun x => id
α : Type u_2
Add α
m : α
⊢ Even (m + m)
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Primrec₂ G
a : α
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
m1 : (unpair m).1 < n + 4
m2 : (unpair m).2 < n + 4
⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4)))
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
t : Finset ι
hs : ∀ i ∈ t, s i ≠ 0
pp : (↑t).Pairwise (Coprime on s)
⊢ ↑(chineseRemainderOfFinset a s t hs pp) < ∏ i ∈ t, s i
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
f : P1 →ᵃ[k] P2
⊢ f.linear = 0 ↔ ∃ q, f = AffineMap.const k P1 q
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Iic t) t
hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Iic t) t
hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t
hb : f b = g b
⊢ EqOn f g (Icc a b)
α : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Multiset.map (fun x => c + x) (Multiset.Ico a b) = Multiset.Ico (c + a) (c + b)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
h : c = 0 → s.Nonempty
x : E
⊢ egauge 𝕜 s (c • x) ≤ ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
m : Fin n → 𝕜
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) m = (∏ i : Fin n, m i) • iteratedDeriv n f x
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
⊢ Polynomial.derivative ↑n = 0
a b : ℕ+
⊢ a.gcdW b * a.gcdZ b = (a.gcdX b * a.gcdY b).succPNat
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
⊢ {x | 𝓝[>] x = ⊥}.Countable
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝³ : HasCoproduct X
inst✝² : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X) (a : α), HasPullback g (Sigma.ι X a)
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), HasCoproduct fun a => pullback g (Sigma.ι X a)
inst✝ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), Epi (Sigma.desc fun a => pullback.fst g (Sigma.ι X a))
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂ → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b
a b : α
hg : (pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ π a = ((pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ g₂) ≫ Sigma.desc π
⊢ (pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ π a = pullback.snd (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ π b
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
h : a ∉ s
⊢ s ⊆ Finset.cons a s h
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ⊥ = ⊤
⊢ IsCyclotomicExtension ∅ A B
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
Subsingleton n
A : Matrix n n α
⊢ A.adjugate = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hg : f =ᶠ[𝓝 x] g
r₁ : ℝ≥0∞
h₁ : HasFPowerSeriesOnBall f p x r₁
r₂ : ℝ≥0∞
h₂pos : r₂ > 0
h₂ : EMetric.ball x r₂ ⊆ {x | (fun x => f x = g x) x}
⊢ HasFPowerSeriesAt g p x
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S✝ : Set σ
x : List α
s✝ : σ
a : α
M : NFA α σ
start S : Set σ
s : α
x✝ : σ
⊢ ∀ a ∈ S, x✝ ∈ M.toεNFA.εClosure (M.toεNFA.step a (some s)) ↔ x✝ ∈ M.step a s
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I✝ X R J I E : Set α
⊢ (uniqueBaseOn I E)✶ = uniqueBaseOn (E \ I) E
A : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisionCommMonoid M
ψ : AddChar A M
x : A
⊢ ψ⁻¹ x = (ψ x)⁻¹
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃
x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂
x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁
h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃
h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂
this✝ : PreservesFiniteLimits (forget₂ C Ab)
this : PreservesFiniteLimits (forget C)
eq : (forget C).map D.δ x₃ = (forget C).map D.v₂₃.τ₁ ((forget C).map D.φ₁ (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂))
eq₁ : (forget C).map (pullback.fst D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₂
eq₂ : (forget C).map (pullback.snd D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₃
⊢ (forget C).map D.φ₂ (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = (forget C).map D.L₂.f x₁
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Add α
c d : WithTop α
x y : α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h' h : ↑b < c
⊢ ↑a + ↑b < ↑a + c
x : ℕ × ℕ
⊢ x ∉ ⊥
α : Type u_6
β : Type u_7
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
self : EsakiaHom α β
a : α
b : β
⊢ self.toFun a ≤ b → ∃ c, a ≤ c ∧ self.toFun c = b
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hns : μ s ≠ 0
hnt : μ s ≠ ⊤
hu : IsUniform X s ℙ μ
A : Set E
hA : MeasurableSet A
⊢ ℙ (X ⁻¹' A) = μ (s ∩ A) / μ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
f : α → β → γ
⊢ List.zipWith f (a :: as) (b :: bs) = f a b :: List.zipWith f as bs
n : Nat
a b : Fin n
⊢ a.succ < b.succ ↔ a < b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : Cᵒᵖ
⊢ Opposite.unop (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (Opposite.unop X) (Opposite.unop Y)
K : Type u
Field K
L : Type u_1
Field L
φ : K[X] →+* L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
f : RatFunc K
⊢ (RatFunc.liftRingHom φ hφ) f = φ f.num / φ f.denom
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}
m : ℕ
hm : m ∈ {m | p m}
⊢ n ≤ sInf {m | p (m - n)}
α : Type u_2
β : Type u_3
CommRing α
IsDomain α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f g : β → α
a : α
h : ∀ x ∈ s, a ∣ f x - g x
⊢ gcd a (s.gcd f) = gcd a (s.gcd g)
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
⊢ LinearMap.toMatrixAlgEquiv' LinearMap.id = 1
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Nontrivial S
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Free ℤ S
inst✝¹ : Module.Finite ℤ S
inst✝ : CharZero S
n : ℕ
hn : 0 < n
f : Ideal S → Ideal (S ⧸ span {↑n}) := fun I => map (Quotient.mk (span {↑n})) I
⊢ (f '' {I | absNorm I = n}).Finite
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ StrictConvexOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
TopologicalSpace α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
Preorder δ
op : β → γ → δ
hop : ((fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ≤ x_1) op op
hf : IsLocalMaxOn f s a
g : α → γ
hg : IsLocalMaxOn g s a
⊢ IsLocalMaxOn (fun x => op (f x) (g x)) s a
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S✝
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
this : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)) T
⊢ IsFractionRing S T
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
⊢ IsSquare a ↔ a ^ (p / 2) = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x✝ y✝ z x y : 𝕜
h : x ≤ y
⊢ [x-[𝕜]y] = Icc (min x y) (max x y)
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S' R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
φ' : S' ⟶ R
X Y : Dᵒᵖ
f : X ⟶ Y
x : ↑(CommRingCat.KaehlerDifferential (φ'.app X))
⊢ ((PresheafOfModules.DifferentialsConstruction.relativeDifferentials' φ').map f) x =
  (CommRingCat.KaehlerDifferential.map ⋯) x
y : ℝ
hy : 0 < y
x : ℝ≥0∞
⊢ (ENNReal.orderIsoRpow y hy) x = x ^ y
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J✝
D : J✝ ⥤ T.Algebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
s : Cocone D
m : (liftedCocone c t).pt ⟶ s.pt
J : ∀ (j : J✝), (liftedCocone c t).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
⊢ m.f = ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f
s : Set ℂ
⊢ ContinuousOn Complex.cos s
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
AddZeroClass δ
Min δ
C : Levenshtein.Cost α β δ
⊢ levenshtein C [] [] = 0
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
⊢ EuclideanDomain.lcm x y ∣ z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ HasFDerivWithinAt f₁ f' s x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
f : V → E
w : V
⊢ Real.fourierIntegral f w = ∫ (v : V), Complex.exp (↑(-2 * π * ⟪v, w⟫_ℝ) * Complex.I) • f v
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
f : α → β
hf : Function.Injective f
l : List α
DecidablePred fun b => ∃ a, p a = true ∧ f a = b
⊢ List.map f (List.filter p l) = List.filter (fun b => decide (∃ a, p a = true ∧ f a = b)) (List.map f l)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
X : C
f : J → C
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.leftDistributor X f).inv
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j)) =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.π (fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X (f j)) j
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
hcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card
hC : 1 ∈ C
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
α : Type u_1
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s : Finset α
⊢ s.card ≤ (s \\ s).card
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteKernel ρ
κ : Kernel (α × β) Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ.fst ⊗ₖ κ = ρ
a : α
this : ρ a = (ρ a).fst ⊗ₘ κ.comap (fun b => (a, b)) ⋯
⊢ (fun b => κ (a, b)) =ᶠ[ae (ρ.fst a)] ⇑(ρ a).condKernel
⊢ (↑(-π / 2)).toReal = -π / 2
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V c.symm
i : ι
⊢ X.opSymm.X i = Opposite.op (X.X i)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
LieModule R L N
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
m : ↥(LieModule.maxTrivSubmodule R L M)
⊢ ↑((LieModule.maxTrivEquiv e) m) = e ↑m
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
f : α → β
l₁ l₂ : List α
⊢ map f (l₁.reverseAux l₂) = (map f l₁).reverseAux (map f l₂)
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
⊢ G.cliqueSet 0 = {∅}
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
a : A
i : ℕ
⊢ f ^ i ∈ 𝒜 (i * m)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.Integrable 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
V : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
⊢ CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.Hom.id V = CategoryTheory.CategoryStruct.id V
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
IsEmpty α
f : α → β
g : α → γ
h : β → γ
⊢ Function.extend f g h = h
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
I : Ideal S
b : Basis ι R ↥I
x : S
⊢ x ∈ I ↔ ∃ c, x = c.sum fun i x => x • ↑(b i)
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
Semiring R
SemilatticeSup B
OrderBot B
D : A → B
a : A
r : R
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree D (AddMonoidAlgebra.single a r) = if r = 0 then ⊥ else D a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
CompleteSpace G''
NormedLatticeAddCommGroup G'
NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : ↥(MeasureTheory.Lp G' 1 μ)
hf : 0 ≤ f
⊢ 0 ≤ (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) f
m₁ m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ m₂
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
⊢ ∀ (n : Nat), x✝.nextn n { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + utf8Len (List.take n m₂) }
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
a b : α
⊢ Ordinal.typein r a = Ordinal.typein r b ↔ a = b