ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedGT α
H_pred : (a : α) → ¬IsMin a → C a → C (pred a)
H_lim : (a : α) → IsPredLimit a → ((b : α) → b > a → C b) → C a
ha : ¬IsMin a
h : ¬IsPredLimit (pred a)
⊢ PredOrder.limitRecOn (pred a) H_pred H_lim = H_pred a ha (PredOrder.limitRecOn a H_pred H_lim)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
s : AffineSubspace k P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
⊢ affineSpan k {p₁, p₂} ≤ s
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
γ₁ γ₂ : c ⟶ c
⊢ { toFun := fun γ => inv f ≫ γ ≫ f, invFun := fun δ => f ≫ δ ≫ inv f, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (γ₁ * γ₂) = { toFun := fun γ => inv f ≫ γ ≫ f, invFun := fun δ => f ≫ δ ≫ inv f, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun γ₁ * { toFun := fun γ => inv f ≫ γ ≫ f, invFun := fun δ => f ≫ δ ≫ inv f, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun γ₂
X : Type u_6
TopologicalSpace X
⊢ ⇑(Homeomorph.Set.univ X) = Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (fun x => κ.density ν a x s) =ᵐ[ν a]
  MeasureTheory.Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s)
    (ProbabilityTheory.countableFiltration γ) (ν a)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
h : u ⊆ s ∩ t
⊢ s ∩ u ∩ (t ∩ u) = u
α : Type u_1
r : α → α → Prop
h : WellFounded r
⊢ IsAsymm α r
⊢ Filter.Tendsto (⇑Complex.abs) (Filter.cocompact ℂ) Filter.atTop
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
Y Y' Y'' : C
S : CategoryTheory.Functor C D
f : S.obj Y ⟶ T
g : Y' ⟶ Y
g' : Y'' ⟶ Y'
⊢ (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk f).homMk' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g' g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map g) f)).homMk' g')
      ((CategoryTheory.CostructuredArrow.mk f).homMk' g))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
⊢ Integrable (fun x => κ.density ν a x s) ((ν a).restrict A)
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
i : Fin n
k : Fin (n + 1)
h : i.castSucc < k
⊢ b i ∈ b.flag k
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
t : Set α
t_meas : MeasurableSet t
t_lt_top : μ t < ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, 0 x ≤ f x
α β : Type u
⊢ Cardinal.mk α ≤ Cardinal.mk β ↔ Nonempty (α ↪ β)
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : ↑g 0 1 = ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1
⊢ !![↑g 0 0, ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1; 1, ↑g 1 1] = !![(1 * 0 + ↑g 0 0 * 1) * 1 + (1 * -1 + ↑g 0 0 * 0) * 0, (1 * 0 + ↑g 0 0 * 1) * ↑g 1 1 + (1 * -1 + ↑g 0 0 * 0) * 1; (0 * 0 + 1 * 1) * 1 + (0 * -1 + 1 * 0) * 0, (0 * 0 + 1 * 1) * ↑g 1 1 + (0 * -1 + 1 * 0) * 1]
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
k : Rˣ
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
⊢ z₁.comp (k • z₂) h = k • z₁.comp z₂ h
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Mul G
f g : MonoidAlgebra k G
⊢ f * g = Finsupp.sum f fun a₁ b₁ => Finsupp.sum g fun a₂ b₂ => MonoidAlgebra.single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p : α → Prop
f : β → α
hs : NullMeasurableSet s μ
⊢ μ sᶜ = 1 ↔ μ s = 0
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
hm : n ∣ m
⊢ ((DirichletCharacter.changeLevel hm) χ).FactorsThrough n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝³ : Nonempty ↥s₁
inst✝² : Nonempty ↥s₂
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection s₁.direction
inst✝ : HasOrthogonalProjection s₂.direction
p : P
⊢ (reflection s₁) p = (reflection s₂) p ↔ ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ↑((orthogonalProjection s₂) p)
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime y z
hdvd : x ∣ y
⊢ IsCoprime x z
i j : ℤ
⊢ i.natAbs.lcm j.natAbs = j.natAbs.lcm i.natAbs
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : b < a
⊢ ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ dist p₁ ((homothety p₁ c) p₂) = ‖c‖ * dist p₁ p₂
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
x a : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NormedAddCommGroup 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
hh : HasDerivAt h h' (x + a)
⊢ HasDerivAt (fun x => h (x + a)) h' x
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
hε : 0 ≤ ε
⊢ ∑ x ∈ P.parts.offDiag, x.1.card * x.2.card ≤ (A.card + P.parts.card) ^ 2
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
s : Multiset R
⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod.roots = s
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
d : G.Dart
⊢ d.symm.edge = d.edge
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a : 𝕜
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
x✝ : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ ({ toFun := fun x => ((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (a • x)) x✝ = ((RingHom.id 𝕜) a • { toFun := fun x => ((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun x) x✝
a b : ℕ
ha : 0 < a
⊢ a * b = a ↔ b = 1
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : G.LocallyFinite
u v : V
n : ℕ
p : G.Walk u v
⊢ p ∈ G.finsetWalkLength n u v ↔ p ∈ {p | p.length = n}
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y
hU : ↑U ⊆ Set.range ⇑f.base
⊢ IsIso (f.c.app (op U))
α : Type u_1
s : Set α
h : 1 < s.encard
a : α
⊢ ∃ b ∈ s, b ≠ a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
f : C^n⟮I, M; I', M'⟯
⊢ ContMDiff I I' n ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p μ
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) ⋯) =ᶠ[ae μ] ↑(x n)
⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
F : Type u
Field F
f : F[X]
q : ℕ
ExpChar F q
hf : Polynomial.HasSeparableContraction q f
⊢ f.natSepDegree = hf.degree
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv.op =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (Opposite.op X) (Opposite.op Y) (Opposite.op Z)).hom
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
Ring R
Ring R'
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
Module R M
Module R' M₁
i : R' → R
j : M →+ M₁
hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0
hj : Function.Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m
⊢ Module.rank R M ≤ Module.rank R' M₁
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
a₁ : P.mp.A
f₁ : P.mp.B a₁ ⟹ α
a' : P.A
f' : (P.B a').drop ⟹ α
f₁' : (P.B a').last → P.M α
he₁' : ↑P.last P.last.M := PFunctor.M.dest a₁
g₁' : P.last.B a' → P.last.M
e₁' : he₁' = ⟨a', g₁'⟩
ef : splitFun f' f₁' = splitFun (pathDestLeft P e₁' f₁) fun x => ⟨g₁' x, pathDestRight P e₁' f₁ x⟩
⊢ ∃ g₁', ∃ (e₁' : PFunctor.M.dest a₁ = ⟨a', g₁'⟩), f' = pathDestLeft P e₁' f₁ ∧ f₁' = fun x => ⟨g₁' x, pathDestRight P e₁' f₁ x⟩
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
⊢ (WeierstrassCurve.map W f).toAffine.polynomial = Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom f) W.polynomial
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
⊢ eulerMascheroniSeq' 6 < 2 / 3
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ 0 ∩ s = 0
R : Type u_2
LinearOrderedSemiring R
FloorSemiring R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
MeasurableSpace R
OpensMeasurableSpace R
⊢ Measurable Nat.ceil
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
Preorder β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf ≤ MeasureTheory.AEEqFun.mk g hg ↔ f ≤ᵐ[μ] g
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
AddCommGroup V
TopologicalSpace V
TopologicalSpace R
Module R V
SeparatingDual R V
T1Space R
⊢ T1Space V
G : Type u_1
AddGroup G
L : AddSubgroup G
ι : Type u_3
_hι : Finite ι
f : ι → AddSubgroup G
hf : ∀ (i : ι), (f i).relindex L ≠ 0
⊢ (⨅ i, f i).relindex L ≠ 0
P : Type u_1
LE P
s : Order.Ideal P
⊢ IsLowerSet ↑s
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsPartialOrder α r
S : Set (α → α → Prop) := {s | IsPartialOrder α s}
hS : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
s : α → α → Prop
hs₁ : IsPartialOrder α s
rs : r ≤ s
hs₂ : ∀ z ∈ S, s ≤ z → z = s
this : IsPartialOrder α s
⊢ ∀ (a b : α), s a b ∨ s b a
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
CommRing B
Algebra R₁ B
I : Ideal A
J : Ideal B
f : A →ₐ[R₁] B
H : I ≤ Ideal.comap f J
⊢ (Ideal.quotientMapₐ J f H).comp (Ideal.Quotient.mkₐ R₁ I) = (Ideal.Quotient.mkₐ R₁ J).comp f
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
x : α
⊢ LipschitzWith 1 fun f => f x
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0
⊢ I / J = I * J⁻¹
α : Type u
Mul α
⊢ ∀ (a : α), WithOne.coeMulHom a = ↑a
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
ι : Type u_3
B : ι → Set X
hB : ∀ (i : ι), MulAction.IsBlock G (B i)
⊢ MulAction.IsBlock G (⋂ i, B i)
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.sin x * Real.cos x ^ 2 = (Real.cos a ^ 3 - Real.cos b ^ 3) / 3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
⊢ 𝓝[univ] a = 𝓝 a
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring S
CommSemiring A
Algebra S R
Algebra S A
g : R →ₐ[S] A
y : σ → A
i : σ
⊢ (MvPolynomial.aevalTower g y) (MvPolynomial.X i) = y i
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
M₀ : Type u_5
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : FunLike F ℚ M₀
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F ℚ M₀
f g : F
h : ∀ (m : ℤ), f ↑m = g ↑m
r : ℚ
⊢ f ↑↑r.den = g ↑↑r.den
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : { w // w.IsComplex }
h : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT' K f w₀)
w✝ : K
h_mem : w✝ ∈ ↑1
h_nz : w✝ ≠ 0
h_bd : (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w w✝ < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding w✝).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding w✝).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w ↑a < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding ↑a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding ↑a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : ChainComplex C ℕ
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategory
e : Δ' ⟶ Δ
CategoryTheory.Epi e
⊢ ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).cofan (Opposite.op Δ)).inj
      (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op Δ)) ≫
    (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.obj K).map e.op =
  ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).cofan (Opposite.op Δ')).inj (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.mk e)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p✝ : ℝ≥0∞
x✝ : MeasurableSpace α
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
⊢ UnifTight f p μ ↔ (∀ (r : ℝ≥0), 0 < r → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑r) ∧ (0 < ⊤ → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ⊤)
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
c : α
hc : c ∈ P.parts
hd : b ∈ Q.parts
hcd : c ≤ b
H : ∀ x ∈ P.parts, ¬x ≤ b
⊢ False
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ ¬Sbtw R x y x
α : Type v
G : Type u
Group G
MulAction G α
i : ℤ
g : G
a : α
⊢ g ^ (i + ↑(MulAction.period g a)) • a = g ^ i • a
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
a b : R
h2 : torsionBy R M b = a • torsionBy R M b → IsSMulRegular M b
ha : IsSMulRegular M a
hb : IsSMulRegular (QuotSMulTop a M) b
⊢ IsSMulRegular M b ∧ IsSMulRegular (QuotSMulTop b M) a
R : Type u_1
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
Subsingleton M
Subsingleton M₂
⊢ ∀ (x : M), (LinearEquiv.ofSubsingleton M M₂) x = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)
ule : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ (1 / 2) ^ n * (C * ‖y‖)
sNu : Summable fun n => ‖u n‖
su : Summable u
x : E := tsum u
x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
fsumeq : ∀ (n : ℕ), f (∑ i ∈ Finset.range n, u i) = y - h^[n] y
this : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, u i) atTop (𝓝 x)
L₁ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (f x))
L₂ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (y - 0))
⊢ ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
h : ¬ComplexEmbedding.IsReal φ
⊢ ¬(mk φ).IsReal
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
y : Q ⊗[R] N
⊢ (inverse Q hfg hg) ((lTensor Q g) y) = Submodule.Quotient.mk y
α : Type u_1
s : Finset α
hs : 1 < s.card
a : α
⊢ ∃ b ∈ s, b ≠ a
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → β → α'
S : Set β
⊢ UniformEquicontinuousOn F S ↔ ∀ (k : κ), UniformEquicontinuousOn F S
ι : Type u_1
I J✝ : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
h : π.IsHenstock
x : ι → ℝ
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes ∧ π.tag J = x
⊢ J ∈ π.boxes ∧ x ∈ Box.Icc J
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
g : Equiv.Perm α
ht : g.IsThreeCycle
⊢ orderOf g = 3
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ (cs.leftInvSeq ω).getD j 1 * cs.wordProd ω = cs.wordProd (ω.eraseIdx j)
X : Type u_1
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
Zero R
DecidableEq n
A : X → n → R
hA : Continuous A
⊢ Continuous fun x => Matrix.diagonal (A x)
hprimes : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → Odd p → FermatLastTheoremFor p
n : ℕ
h : n ≥ 3
p : ℕ
hpprime : Nat.Prime p
hdvd : p ∣ n
hpodd : Odd p
⊢ FermatLastTheoremWith ℕ p
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α ↪o β
⊢ StrictMono ⇑f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)) (CategoryTheory.Functor Dᵒᵖ (Type v₁))
φ : F.comp CategoryTheory.yoneda ⟶ CategoryTheory.yoneda.comp G
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
f : P ⟶ Q
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Presheaf.compYonedaIsoYonedaCompLan.presheafHom φ P)
    (CategoryTheory.whiskerLeft F.op (G.map f)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.Presheaf.compYonedaIsoYonedaCompLan.presheafHom φ Q)
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing K
CommRing L
CommRing M
CommRing N
i : K →+* L
g : L →+* N
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
ExpChar N p
PerfectRing M p
IsPRadical i p
IsPRadical g p
IsPRadical (g.comp i) p
⊢ (PerfectRing.liftEquiv M i p).trans (PerfectRing.liftEquiv M g p) = PerfectRing.liftEquiv M (g.comp i) p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
ConditionallyCompleteLinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OpensMeasurableSpace γ
OrderClosedTopology γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
⊢ essSup f μ = essSup g ν
P : TopCat → Prop
X : Type u
TopologicalSpace X
CompactSpace X
T2Space X
CompHausLike.HasProp P X
⊢ ↑(CompHausLike.of P X).toTop = X
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (x : X), (∀ U ∈ 𝓝 x, (U ∩ s).Nonempty) → x ∈ s
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
F : ι → β → α
S : Set β
⊢ UniformEquicontinuousOn F S ↔ UniformEquicontinuousOn Subtype.val S
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
⊢ (fun x => x ^ n) =o[atTop] rexp
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.equivalence.counitIso = CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.η
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : CorePresheafOfModules R
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
x : M.obj X
⊢ (M.toPresheafOfModules.presheaf.map f) x = (M.map f) x
a : Cardinal.{u}
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n < Cardinal.lift.{v, u} a ↔ OfNat.ofNat n < a
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
⊢ (Stream'.WSeq.ret s).join ~ʷ s
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Multiset α
a : α
⊢ a ≤ s.inf ↔ ∀ b ∈ s, a ≤ b
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Finite ι
q₁ q₂ : P
h : ∀ (i : ι), (b.coord i) q₁ = (b.coord i) q₂
val✝ : Fintype ι
⊢ ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) q₁) = (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) q₂
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
ha : ∃ l ∈ Finsupp.supported F F ↑s, (Finsupp.total F (G → F) F ⇑(toFun G F)) l = (toFun G F) a
⊢ False
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
hq : ∀ (y : ℕ), (fun p => Nat.Prime p ∧ p ∣ n) y → y = p
hp : Nat.Prime p
hn : p ∣ n
⊢ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv Y =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)).inv
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (𝟙_ C) X Y).inv
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h1 : f ∣ g
h2 : g ≠ 0
⊢ (f.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card ≤ (g.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s
n : ℕ
⊢ ‖χ ↑n‖ * ‖f n‖ ≤ ‖f n‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
c₁ : CategoryTheory.Limits.KernelFork S₁.g
hc₁ : CategoryTheory.Limits.IsLimit c₁
hf₂ : S₂.f = 0
c₂ : CategoryTheory.Limits.KernelFork S₂.g
hc₂ : CategoryTheory.Limits.IsLimit c₂
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
comm :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Fork.ι c₁) φ.τ₂ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.Limits.Fork.ι c₂)
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData.ofIsLimitKernelFork φ hf₁ c₁ hc₁ hf₂ c₂ hc₂ f comm).left =
  CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.ofIsLimitKernelFork φ hf₁ c₁ hc₁ hf₂ c₂ hc₂ f comm
α β : Type u
β' : Type v
⊢ #(α ↪ β) = 0 ↔ #β < #α
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
x : A
⊢ x ∈ ⊤
α : Type u_1
o : Part α
Decidable o.Dom
a : α
⊢ o.toOption = some a ↔ a ∈ o
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : Set R
sm : Subsemigroup R
hm : ↑sm = s
sa : AddSubgroup R
ha : ↑sa = s
⊢ (NonUnitalSubring.mk' s sm sa hm ha).toAddSubgroup = sa
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α
⊢ a ∈ ⨆ i, f i ↔ ∃ i, a ∈ f i