ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type u₁
T : Type u_1
Monoid R
Monoid S
Monoid T
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
NonUnitalNonAssocSemiring C
DistribMulAction T C
ψ : S →* T
χ : R →* T
f : B →ₛₙₐ[ψ] C
g : A →ₛₙₐ[φ] B
φ.CompTriple ψ χ
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hs : MeasurableSet s
⊢ μ sᶜ = 0 ↔ μ s = 1
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
L : Turing.ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n : ℕ
⊢ ((Turing.TM2to1.addBottom L).nth n).2 = L.nth n
R : Type u
S₁ : Type v
S₂✝ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
S₂ : Type u_2
inst✝ : CommSemiring S₂
k : S₁ →+* S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ k (eval₂ f g p) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) p)
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
x_ne_zero : x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun x => x⁻¹) s x = smulRight 1 (-(x ^ 2)⁻¹)
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ (swap a b) x ∈ insert b (s \ {a})
ι : Type x
α : ι → Type u
(i : ι) → PseudoEMetricSpace (α i)
Fintype ι
i : ι
⊢ LipschitzWith 1 (Function.eval i)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y)
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a : α
z : ℤ
⊢ a + z • p ≡ a [PMOD p]
P : Type u_1
LE P
⊢ Function.Injective Order.Ideal.toLowerSet
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β → β
H : LeftCommutative f
b : β
s t : Multiset α
⊢ Multiset.foldr f H b (s + t) = Multiset.foldr f H (Multiset.foldr f H b t) s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p2 -ᵥ p3)
hpi : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p1) (p3 -ᵥ p1) ≠ π
⊢ ‖p1 -ᵥ p2‖ = ‖p1 -ᵥ p3‖
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi (G.map f)
⊢ Epi f
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
⊢ Function.Injective NormedAddGroupHom.toAddMonoidHom
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ ⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι j ≫ (D.gluedIso (forget C)).inv) ⁻¹' (⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι i ≫ (D.gluedIso (forget C)).inv) '' ↑U) = ⇑(D.f j i).base '' (⇑(D.t j i).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base ⁻¹' ↑U))
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
⊢ dual A K (dual A K I) = I
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SpecialLinearGroup n R
i : n
⊢ A ∈ center (SpecialLinearGroup n R) ↔ ∃ r, r ^ Fintype.card n = 1 ∧ (scalar n) r = ↑A
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hs : IsLindelof (f '' s)
F : Filter X
F_ne_bot : F.NeBot
x✝ : CountableInterFilter F
F_le : F ≤ 𝓟 s
x : X
x_in : x ∈ s
hx : ClusterPt (f x) (map f F)
⊢ ∃ x ∈ s, ClusterPt x F
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
self : VectorPrebundle.IsSmooth IB a
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
⊢ e ∈ a.pretrivializationAtlas →
  ∀ e' ∈ a.pretrivializationAtlas,
    ∃ f,
      SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) f (e.baseSet ∩ e'.baseSet) ∧
        ∀ b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet, ∀ (v : F), (f b) v = (↑e' { proj := b, snd := e.symm b v }).2
x y : USize
⊢ (x % y).toNat = x.toNat % y.toNat
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsCompact s
h's : MeasurableSet s
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ∈ f '' s
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P✝ : Generators R S
T : Type ?u.55681
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
P : Generators R T
s : T
⊢ (aeval P.val) ((fun x => (MvPolynomial.map (algebraMap R S)) (P.σ x)) s) = s
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ IsOpenMap Sum.inr
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : N ≃ₗ[R] P
⊢ ↑(LinearEquiv.lTensor M f) = LinearMap.lTensor M ↑f
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
⊢ Metric.thickening ε (Metric.thickening δ s) = Metric.thickening (ε + δ) s
n : ℕ
⊢ n ≤ Nat.fib n + 1
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
m : ℕ
inst✝ : CharP R m
n✝ : ℕ
h : m ∣ n✝ + 1
a b : ZMod (n✝ + 1)
⊢ m ∣ a.val * b.val - a.val * b.val % n✝.succ
a b : ℤ
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0
⊢ a.natAbs = b.natAbs ↔ a = -b
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
A : UniformInducing ⇑(WithLp.equiv p ((i : ι) → β i))
this : (fun x => ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) x.1, (WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) x.2)) = id
⊢ 𝓤 (PiLp p β) = 𝓤 ((i : ι) → β i)
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.HasShift D ℤ
CategoryTheory.Preadditive D
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor D n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
CategoryTheory.Abelian A
L : CategoryTheory.Functor C D
L.CommShift ℤ
L.IsTriangulated
L.mapArrow.EssSurj
F : CategoryTheory.Functor D A
G : CategoryTheory.Functor C A
e : L.comp F ≅ G
G.IsHomological
⊢ F.IsHomological
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y
Y_rw : (Y - C (C y)) * (Y - C (C (W.negY x y))) - C (X - C x) * (C (X ^ 2 + C (x + W.a₂) * X + C (x ^ 2 + W.a₂ * x + W.a₄)) - C (C W.a₁) * Y) = W.polynomial * 1
hx : W.a₁ * y - (3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄) ≠ 0
⊢ ∃ a a_1 a_2 a_3, a_3 * (C (X ^ 2 + C (x + W.a₂) * X + C (x ^ 2 + W.a₂ * x + W.a₄)) - C (C W.a₁) * Y) = 1 + a * C (X - C x) + a_1 * (Y - C (C y)) + a_2 * (Y - C (C (W.negY x y)))
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set G
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
⊢ Filter.EventuallyConst (-s) (MeasureTheory.ae μ) ↔ Filter.EventuallyConst s (MeasureTheory.ae μ)
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
Field F
Field E
Field K
Algebra F E
Algebra F K
c : Set (IntermediateField.Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
⊢ ∃ ub, ∀ a ∈ c, a ≤ ub
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ f.source
⊢ univ ∩ (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) =ᶠ[𝓝 (↑(f.extend I) x)] ↑I.symm ⁻¹' f.target ∩ (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
A B : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsConnected A
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois B
f : A ⟶ B
σ τ : CategoryTheory.Aut A
⊢ CategoryTheory.PreGaloisCategory.autMap f (σ * τ) =
  CategoryTheory.PreGaloisCategory.autMap f σ * CategoryTheory.PreGaloisCategory.autMap f τ
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
x y : R
⊢ x ∈ s → y ∈ s → x + y ∈ s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n✝ : ℕ
ha : a ∈ s
n : ℕ
⊢ a ^ (n + 1) ∈ s ^ (n + 1)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ FiniteDimensional.finrank (↥⊥) E = FiniteDimensional.finrank F E
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
m : Matrix n n R[X]
k : ℕ
i j : n
⊢ (matPolyEquiv 0).coeff k i j = (0 i j).coeff k
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ I * Ideal.span {x} = J * Ideal.span {x} ↔ I = J
α : Type u_1
LE α
a : αᵒᵈ
b : α
⊢ a ≤ OrderDual.toDual b ↔ b ≤ OrderDual.ofDual a
𝕜 : Type u_1
n : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
⊢ ‖A‖ = ‖Matrix.toEuclideanCLM A‖
n : ℕ
hzero : ¬n = 0
⊢ map (Int.castRingHom ℂ) (cyclotomic n ℤ) = cyclotomic' n ℂ ∧ (cyclotomic n ℤ).degree = (cyclotomic' n ℂ).degree ∧ (cyclotomic n ℤ).Monic
ι : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
f : ι → E
⊢ Summable f ↔ ∀ ε > 0, ∃ s, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, f i‖ < ε
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M ≃+ N
K : AddSubmonoid M
x : N
⊢ x ∈ AddSubmonoid.map f.toAddMonoidHom K ↔ f.symm x ∈ K
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : Nonempty α
h₀ : G.FarFromTriangleFree ε
h₁ : G.CliqueFree 3
this : (fun H => H.CliqueFree 3) (G.deleteEdges ↑∅) → ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑∅.card
⊢ ε ≤ 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ G.chromaticNumber = ⨅ n ∈ setOf G.Colorable, ↑n
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∩ t).card + (s \ t).card = s.card
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
s : Multiset α
h : b ≠ a
⊢ (b ::ₘ s).erase a = b ::ₘ s.erase a
α : Type u
β : Type v
Preorder α
ta : TopologicalSpace β
Preorder β
OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
H : ∀ {x y : β}, x < y → ∃ a, x < f a ∧ f a < y
⊢ OrderTopology α
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it
⊢ it.curr = r.headD default
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
S : Set ι
⊢ Continuous S.restrict
α : Type u
self : LinearOrder α
a b : α
⊢ min a b = if a ≤ b then a else b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
⊢ MeasurableSet (⋃ b ∈ s, f b)
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsIntegralCurveAt γ v t₀
α : Type u_1
p q : ℚ≥0
n : ℕ
⊢ ↑(↑n).toNNRat = ↑↑n
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : α →C₀ β
⊢ ‖f.toBCF‖ = ‖f‖
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
a : G
⊢ of' k G a /ᵒᶠ a = 1
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
S : Set G
h : S ∈ Subgroup.rightTransversals ↑H
⊢ Nat.card ↑S = H.index
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
f : α → β → γ
x : Mathlib.Vector α n
y : Mathlib.Vector β n
i : Fin n
⊢ (Mathlib.Vector.zipWith f x y).get i = f (x.get i) (y.get i)
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
r : R
M : Matrix n n R
⊢ (1 + r • M).det = 1 + M.trace * r + eval r (1 + X • M.map ⇑C).det.divX.divX * r ^ 2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ (CategoryTheory.Functor.id C).comp F = F
G : Type u_1
AddCommGroup G
⊢ AddMonoid.IsTorsionFree (G ⧸ AddCommGroup.torsion G)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ Differentiable ℂ fun z => invInterpStrip f z ε
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x₀ : E
hf : HasFDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + a) - f x₀‖ ≤ C * ‖x₀ + a - x₀‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ‖f' x‖ ≤ (C + ε) * ‖x‖
R : Type u_2
K : Type ?u.52420
L : Type ?u.52423
S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : DecidableEq S
y : S
hy : (aeval y) (minpoly R x) = 0
⊢ eval y (minpolyDiv R x) = if x = y then (aeval x) (derivative (minpoly R x)) else 0
x₁ x₂ y₁ y₂ : SetTheory.PGame
hx₁ : x₁.Numeric
hx₂ : x₂.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hx : x₁ ≈ x₂
hy : y₁ ≈ y₂
⊢ x₁ * y₁ ≈ x₂ * y₂
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c p₁ p₂ : P
⊢ c ∈ AffineSubspace.perpBisector p₁ p₂ ↔ ⟪c -ᵥ p₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = dist p₁ p₂ ^ 2 / 2
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Subsingleton β
f : α → β
f_sf : α →ₛ β := { toFun := f, measurableSet_fiber' := ⋯, finite_range' := ⋯ }
⊢ StronglyMeasurable f
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange P
hP' : RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : R ⟶ T
H : P g
this✝ : Algebra ↑R ↑S := toAlgebra f
this : Algebra ↑R ↑T := toAlgebra g
⊢ P (pushout.inl f g)
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ (f +ᵥ g).NeBot → f.NeBot
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
this : rexp (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)
⊢ 2.7182818286 ^ 107 < 6 ^ OfNat.ofNat 60
α β : Type u
n : ℕ
ha : ↑n < ℵ₀
⊢ ↑n.succ < ℵ₀
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f l₁ l₂ ↔ l₁ ≤ Filter.comap f l₂
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ χ.primitiveCharacter.IsPrimitive
σ : Type u_1
Fintype σ
R : Type u_2
CommRing R
k : ℕ
⊢ ↑k * MvPolynomial.esymm σ R k =
  (-1) ^ (k + 1) *
    ∑ a ∈ Finset.filter (fun a => a.1 < k) (Finset.antidiagonal k),
      (-1) ^ a.1 * MvPolynomial.esymm σ R a.1 * MvPolynomial.psum σ R a.2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : OrderedCommSemiring α
inst✝² : OrderedSemiring β
inst✝¹ : Algebra α β
inst✝ : SMulPosMono α β
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ (algebraMap α β) a
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup A
s : Set G
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : MulDistribMulAction α G
P H : Subgroup G
hP : P ≤ H
h : ↥H
⊢ MulAut.conj h • P.subgroupOf H ≤ (MulAut.conj ↑h • P).subgroupOf H
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →A[R] B
x y : A
⊢ f (x + y) = f x + f y
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
⊢ ∑ y : R, ∑ x : R, χ y * ψ (x * (y - 1)) = ↑(Fintype.card R)
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
k2nl : 2 * n - k < n := lt_of_add_lt_add_right (let_fun this := Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a < n + k) (tsub_add_cancel_of_le k2n))) (Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a < n + k) (two_mul n))) (add_lt_add_left kn n)); this)
xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n
⊢ ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
α : Type u
β : Type v
l : Filter α
f g : α → β
h : f =ᶠ[l] g
⊢ ∃ s ∈ l, Set.EqOn f g s
α : Type u_1
AddMonoid α
LinearOrder α
a b : AddUnits α
⊢ ↑(max a b) = max ↑a ↑b
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
p : α → Prop
step : ∀ (a : α), p a → OrderHom.gfp f ≤ a → p (f a)
hInf : ∀ (s : Set α), (∀ a ∈ s, p a) → p (sInf s)
⊢ p (OrderHom.gfp f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : CommMonoid α
f : α →₀ ℕ
⊢ ∀ (a : α) (b : ℕ) (f : α →₀ ℕ), a ∉ f.support → b ≠ 0 → ((toMultiset f).prod = f.prod fun a n => a ^ n) → (toMultiset (single a b + f)).prod = (single a b + f).prod fun a n => a ^ n
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂
f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁
f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂
W X Y Z : C
f : W ⊞ X ⟶ Y ⊞ Z
inst✝ : IsIso f
h : 𝟙 W ≠ 0 ∧ biprod.inl ≫ f ≫ biprod.fst = 0 ∧ biprod.inl ≫ f ≫ biprod.snd = 0
⊢ False
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
hc : 0 < c
⊢ a / c < b / c ↔ a < b
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
H : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf {x | ‖x‖ ^ 2 = ‖x₀‖ ^ 2} x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • 2 • (innerSL ℝ) x₀ + b • 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0
⊢ (fun x => 2 • x) (a • (innerSL ℝ) x₀ + b • (innerSL ℝ) (T x₀)) = (fun x => 2 • x) 0
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
T : Set G
hHT : Subgroup.IsComplement (↑H) T
g : G
⊢ RightCosetEquivalence (↑H) g ↑(hHT.equiv g).2
R : Type u_3
A : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
a : A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
FaithfulSMul A M
⊢ ⊤.annihilator = RingHom.ker (Polynomial.aeval a)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
S₁ : Type u_2
SMulZeroClass S₁ R
m : σ →₀ ℕ
C : S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.coeff m (C • p) = C • MvPolynomial.coeff m p
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
X : Type u_5
TopologicalSpace X
FirstCountableTopology X
F : X → ℝ → E
x₀ : X
bound : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hF_meas : ∀ᶠ (x : X) in nhds x₀, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in nhds x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) x₀
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
a : A
⊢ ↑(imaginaryPart a) = -Complex.I • 2⁻¹ • (a - star a)
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
b : M
⊢ e.symm (e b) = b
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
s : Set ℂ
h₁ : HasDerivWithinAt f f' s x
h₂ : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => Complex.log (f t)) (f' / f x) s x
α : Type u_1
p : Prop
Decidable p
s : Set α
⊢ ⋂ (_ : p), s = if p then s else Set.univ
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
h_mono : StrictMono f
g : β → α
hg : Function.RightInverse g f
⊢ ⇑(RelIso.symm (StrictMono.orderIsoOfRightInverse f h_mono g hg)) = g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
g : γ → β
hg : Function.Injective g
hf : ∀ x ∉ Set.range g, f x = 0
⊢ HasSum (f ∘ g) a ↔ HasSum f a
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
this : ∀ (n : ℕ), ‖cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)‖ ≤ rexp (-π * τ.im) ^ (n + 1)
⊢ ‖∑' (n : ℕ), cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)‖ ≤ rexp (-π * τ.im) / (1 - rexp (-π * τ.im))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : ℕ → Set α
hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
⊢ μ (Filter.limsup s Filter.atTop) = 0
a b c : Ordinal.{u_4}
b0 : b ≠ 0
⊢ a / b ≤ c ↔ a < b * Order.succ c
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
ν : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
⊢ ⇑ν.toFiniteMeasure = ⇑ν
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ b.factorization ≤ (b * a).factorization
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
⊢ Irrational (x + ↑m)
α : Type u_1
E : Type u_2
m✝ m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfg : μ.withDensity f = μ.withDensity g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : μ s < ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompletelyNormalSpace Y
e : X → Y
he : _root_.Embedding e
s t : Set X
hd₁ : Disjoint (closure s) t
hd₂ : Disjoint s (closure t)
⊢ Disjoint (closure (e '' s)) (e '' t)
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 x y) → P124 a
⊢ ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 y x) → P124 a
k : Type u
inst✝⁶ : Field k
F : Type u_1
K : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field A
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F A
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
L : IntermediateField F A
hL : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F ↥L) (minpoly F x)
f : K →ₐ[F] A
x : K
⊢ Splits (algebraMap F ↥L) (minpoly F x)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ
m : Fin (n + 1) → E
⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s x) m = ((fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s x) (m 0)) (Fin.tail m)