ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
N : LieSubmodule R L M
⊢ {m | ∃ x, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} ⊆ ↑(Submodule.span R ((fun a => ⁅x, a⁆) '' ↑↑N ∪ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}))
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ s.inf p ↔ ∀ i ∈ s, x ∈ p i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
W X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.lift f g ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.fst = f
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
f : E → F
K : ℝ≥0
h : AntilipschitzWith K f
hf : f 0 = 0
x : E
⊢ ‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
K : Type u
DivisionRing K
L : Type v
Semiring L
f g : K →+* L
s : Set K
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(Subfield.closure s)
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
⊢ 0 < ∏ i ∈ s, (f i)!
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
⊢ collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → Prop
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.withDensity f, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict {x | f x ≠ 0}, p x
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
hbdd : BddBelow (Set.range fun n => u n / ↑n)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ h.lim ≤ u n / ↑n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s t : Finset α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → ∃ z ∈ t, x < z ∧ z < y
⊢ s.card ≤ t.card + 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x₀ : E
m : ℕ∞
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (Function.uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x₀ s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)
hmn : m + 1 ≤ n
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
⊢ HasDerivAtFilter (fun x => c - f x) (-f') x L
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : G.Elements
⊢ ↑((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCat G).counitIso.inv.app X) = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.fst
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
h₁ : ‖I • y - x‖ = ‖I • x + y‖
h₂ : ‖I • y + x‖ = ‖I • x - y‖
⊢ ↑‖x + y‖ * ↑‖x + y‖ - ↑‖x - y‖ * ↑‖x - y‖ + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ - -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖ = 𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ card { i // ↑i < m } = card (Fin m)
y : ℝ≥0∞
⊢ Set.Ico 0 y = Set.Iio y
α : Type u_3
β : Type u_4
Zero α
Preorder α
a : α
Nonempty β
⊢ Function.const β a < 0 ↔ a < 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
x : α
hxs : x ∈ s
hxt : x ∉ t
⊢ insert x (s \ insert x t) = s \ t
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ U R (n - 2) = 2 * X * U R (n - 1) - U R n
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : LocallyCompactSpace E
⊢ LocallyCompactSpace 𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.restrict s).singularPart ν = (μ.singularPart ν).restrict s
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ
⊢ ↑(-x) = -↑x
α : Type u_2
LinearOrder α
x y : α
⊢ max x y = if x < y then y else x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
h : Function.Injective f
s : Set α
⊢ Set.InjOn f s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
CategoryTheory.Equivalence.TransportsGrothendieckTopology J K e
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Sheaf K A} (f : X ⟶ Y) (X_1 : Cᵒᵖ),
  ((CategoryTheory.Equivalence.sheafCongr.inverse J K e A).map f).val.app X_1 =
    f.val.app (Opposite.op (e.functor.obj (Opposite.unop X_1)))
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
F✝ : LaxFunctor B C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : LaxFunctor B C
G : LaxFunctor C D
a✝ b✝ c✝ d✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g : b✝ ⟶ c✝
h : c✝ ⟶ d✝
⊢ (G.mapComp (F.map f) (F.map g) ▷ G.map (F.map h) ≫ G.mapComp (F.map f ≫ F.map g) (F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp f g ▷ F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp (f ≫ g) h)) ≫ G.map₂ (F.map₂ (α_ f g h).hom) = G.mapComp (F.map f) (F.map g) ▷ G.map (F.map h) ≫ G.mapComp (F.map f ≫ F.map g) (F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp f g ▷ F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp (f ≫ g) h) ≫ G.map₂ (F.map₂ (α_ f g h).hom)
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α β : Type u
s : Set α
t : (a : α) → a ∈ s → Set β
c : Cardinal.{u}
h : #↑(⋃ a, ⋃ (h : a ∈ s), t a h) < c
a : α
ha : a ∈ s
⊢ #↑(t a ha) < c
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
⊢ p ∈ x.lifts ↔ (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) p).sum = x
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a b : α
ContinuousAdd α
s : Set β
ha : HasSum (f ∘ Subtype.val) a
hb : HasSum (f ∘ Subtype.val) b
⊢ HasSum f (a + b)
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : Ordinal.IsNormal f
o : Ordinal.{u_1}
⊢ f (Ordinal.deriv f o) = Ordinal.deriv f o
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, x ≤ y
⊢ generate (range Ici) ≤ generate (Ici '' s)
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
h : Set.Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
α : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀ : H
bound✝ : α → ℝ
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ H
μ : Measure ℝ
F : H → ℝ → E
F' : ℝ → H →L[ℝ] E
a b : ℝ
bound : ℝ → ℝ
ε_pos : 0 < ε
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
h_lip : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ∧ AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Set.Ioc b a))
hF_meas : (∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc a b))) ∧ ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc b a))
H₁ : Integrable F' (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : ℝ) in Set.Ioc a b, F x a ∂μ) (∫ (a : ℝ) in Set.Ioc a b, F' a ∂μ) x₀
⊢ IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
T : ℝ
inst✝ : Fact (0 < T)
n : ℤ
⊢ ⨆ x, ‖(fourier n) x‖ = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasFilteredColimitsOfSize.{w', w, v, u} C
I : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} I
CategoryTheory.IsFiltered I
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape I C
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
n : Cardinal.{v}
hn : n < Module.rank R M
⊢ ∃ s, #↑s = n ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
b : Bool
n : ℕ
⊢ Num.ofNat' (Nat.bit b n) = (bif b then Num.bit1 else Num.bit0) (Num.ofNat' n)
G : Type u_2
Group G
n : ℕ
v : Mathlib.Vector G n
⊢ v ∈ Equiv.Perm.vectorsProdEqOne G n ↔ v.toList.prod = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B₁ B₂ : BilinForm K V
b₂ : B₂.Nondegenerate
v : V
⊢ B₂ ((↑(B₂.toDual b₂).symm ∘ₗ B₁) v) = B₁ v
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ (𝓞 K)
b₀ : Basis ι ℤ (𝓞 K) := (RingOfIntegers.basis K).reindex ((RingOfIntegers.basis K).indexEquiv b)
⊢ Algebra.discr ℤ ⇑b = discr K
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime
⊢ span {↑(absNorm I)} ≤ comap (algebraMap ℤ S) I
k : ℕ
⊢ ⇑(notMemRangeEquiv k).symm = fun j => ⟨j + k, ⋯⟩
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
h : n ≤ m
⊢ Even (m - n)
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
B : Matrix m n α
h : IsUnit A.det
⊢ B * A * A⁻¹ = B
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ ↑(StarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}) =
  ↑(Submodule.span 𝕜 {1}) + ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero β
l : Filter α
c : β
hc : c ≠ 0
s t : Set α
h : (s.indicator fun x => c) =ᶠ[l] t.indicator fun x => c
⊢ s =ᶠ[l] t
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
F.PreservesRightHomologyOf S₁
F.PreservesRightHomologyOf S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ))
    (S₂.mapRightHomologyIso F).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S₁.mapRightHomologyIso F).inv
    (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap (F.mapShortComplex.map φ))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 Set.univ x
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
Ring R
v : Valuation R Γ₀
f : Γ₀ →*₀ Γ'₀
H : StrictMono ⇑f
⊢ (Valuation.map f ⋯ v).IsEquiv v
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
⊢ s ×ˢ s = (Finset.range s.card).disjiUnion (fun k => Finset.map { toFun := fun i => (i, (f ^ k) i), inj' := ⋯ } s) ⋯
α : Sort u_1
p q : α → Prop
e : ∀ (x : α), p x ↔ q x
z : { x // p x }
⊢ (Equiv.subtypeEquivRight e) z = ⟨↑z, ⋯⟩
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
CommRing R₃
AddCommGroup M₃
Module R₃ M₃
ι : Type u_12
DecidableEq ι
Fintype ι
M : Matrix ι ι R₃
h : M.Nondegenerate
b : Basis ι R₃ M₃
⊢ ((Matrix.toBilin b) M).Nondegenerate
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ ⟦Over.mk ((Over.mk 0).hom ≫ f)⟧ = 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g g' : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]
hgg' : ∀ x ∈ Ioo (min (f a) (f b)) (max (f a) (f b)), HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])
⊢ g (f b) - g (f a) = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a
r : ℝ≥0∞
⊢ ∑' (n : ℕ), r ^ (n + 1) = r * (1 - r)⁻¹
a c : Nat
b d : Nat
h : b ≤ d
⊢ a + b - (c + d) = a - (c + (d - b))
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
A : Type u_4
AddMonoid A
DistribMulAction M A
B : Type u_5
AddMonoid B
DistribMulAction N B
f : A →ₑ+[φ] B
⊢ (DistribMulActionHom.id N).comp f = f
a b c : Nat
H : 0 < b
H' : b ∣ a
⊢ a / b = c ↔ a = c * b
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∉ s
f : α → β
b : β
⊢ ∀ x ∈ s, update f i b x = f x
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
u : α
h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a → α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f '' univ
p : α → Prop
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : x = abs ⟨a, f⟩
h' : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
⊢ p u
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
x : α
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors x ↔ ¬IsUnit x
α : Type u_2
SubtractionMonoid α
s : Set α
⊢ IsAddUnit s ↔ ∃ a, s = {a} ∧ IsAddUnit a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α →ᵤ β
f : α →ᵤ β
⊢ Tendsto F p (𝓝 f) ↔ TendstoUniformly (⇑toFun ∘ F) (toFun f) p
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
⊢ (G.subgraphOfAdj hvw).Connected
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
ha : Odd a
hb : Even b
⊢ Odd (a + -b)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : s.max = ⊥
H : s.Nonempty
⊢ s = ∅
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
f : E →ₛₗ[σ₁₃] F →ₛₗ[σ₂₃] G
C : ℝ
h : ∀ (x : E) (y : F), ‖(f x) y‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
x : E
⊢ ‖(f x).mkContinuous (C * ‖x‖) ⋯‖ ≤ max C 0 * ‖x‖
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.IsThreeCycle
⊢ σ.support.card = 3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
⊢ ∑ e ∈ compPartialSumSource 2 (n + 1) n, ∏ j : Fin e.fst, r * (a ^ e.snd j * p (e.snd j)) = ∑ d ∈ compPartialSumTarget 2 (n + 1) n, ∏ j : Fin d.snd.length, r * (a ^ d.snd.blocksFun j * p (d.snd.blocksFun j))
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : (a : Prop) → Decidable a
⊢ HasSum (fun n => if ↑n + a = 0 then 0 else rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) (evenKernel (↑a) t - if ↑a = 0 then 1 else 0)
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a : K
n : ℤ
hn : ¬n = 0
ha : ¬a = 0
h : n = -↑n.natAbs
⊢ D (a ^ n) = n • a ^ (n - 1) • D a
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
ι : Sort u_5
f : F
s : ι → AddSubmonoid M
⊢ AddSubmonoid.map f (iSup s) = ⨆ i, AddSubmonoid.map f (s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : β), AEMeasurable (f i) μ
⊢ Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) fun s a => ∑ i ∈ s, f i a
D : GlueData
i : D.J
a : ↑(D.U i)
j : D.J
b : ↑(D.U j)
k : D.J
c : ↑(D.U k)
x : ↑(D.V (⟨i, a⟩.fst, ⟨j, b⟩.fst))
e₁ : (D.f ⟨i, a⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) x = ⟨i, a⟩.snd
e₂ : (D.f ⟨j, b⟩.fst ⟨i, a⟩.fst) ((D.t ⟨i, a⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) x) = ⟨j, b⟩.snd
y : ↑(D.V (⟨j, b⟩.fst, ⟨k, c⟩.fst))
e₃ : (D.f ⟨j, b⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) y = ⟨j, b⟩.snd
e₄ : (D.f ⟨k, c⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) ((D.t ⟨j, b⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) y) = ⟨k, c⟩.snd
z : ↑(pullback (D.f j i) (D.f j k)) := (pullbackIsoProdSubtype (D.f j i) (D.f j k)).inv ⟨((D.t ⟨i, a⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) x, y), ⋯⟩
eq₁ : (D.t j i) ((pullback.fst (D.f j i) (D.f j k)) z) = x
⊢ D.Rel ⟨i, a⟩ ⟨k, c⟩
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b : β
q✝ : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a : α
q : ℚ
hq : a < ↑q
⊢ BddAbove (cutMap β a)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
p : E × F
⊢ ContDiffAt 𝕜 n Prod.fst p
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
⊢ Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank S N) = Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
⊢ p.ball 0 r = ⇑p ⁻¹' Metric.ball 0 r
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
IsDomain R
Algebra R S
IsDomain S
NoZeroSMulDivisors R S
IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hp : (Polynomial.aeval s) p = 0
⊢ (minpoly R s).degree ≤ p.degree
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : Kˣ
h : a ∈ A.principalUnitGroup
⊢ a ∈ A.unitGroup
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
a✝ : A
hx : a✝ ∈ __src✝.carrier
⊢ star a✝ ∈ __src✝.carrier
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
Zero G₀
Inv G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
f : α → G₀
s : Set α
TopologicalSpace α
hf : ContinuousOn f s
h0 : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ ContinuousOn (fun x => (f x)⁻¹) s
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
⊢ 0 ≤ iInf f
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
φ : a ⟶ b
f : p.obj a ⟶ p.obj b
h : p.map φ = eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯
⊢ p.IsHomLift f φ
ι : Type u_1
α : Type u_2
Bornology α
s : Set ι
f : ι → Set α
hs : s.Finite
⊢ Bornology.IsCobounded (⋂ i ∈ s, f i) ↔ ∀ i ∈ s, Bornology.IsCobounded (f i)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
h : 0 ≤ ε
⊢ x ∈ Metric.closedBall x ε
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HAdd.hAdd) LT.lt
a b : α
⊢ Set.Iio a + Set.Iic b ⊆ Set.Iio (a + b)
α : Type u
l : List α
⊢ l.Nodup ↔ ∀ (a : α), ¬[a, a].Sublist l
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
x y : F
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ SameRay ℝ x y ↔ x = y
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N✝
N : Type u_4
inst✝ : Monoid N
f : (i : ι) → M i →* N
⊢ MonoidHom.mrange (lift f) = ⨆ i, MonoidHom.mrange (f i)
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
NonUnitalNonAssocRing α
Fintype n
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
⊢ -M * N = -(M * N)
a : ℝ
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HasSum (fun n => 2 * Real.cos (2 * π * a * (↑n + 1)) * rexp (-π * (↑n + 1) ^ 2 * t)) (HurwitzZeta.cosKernel (↑a) t - 1)
R : Type u_3
A : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid A
Module R A
x : Unitization R A
⊢ (Unitization.sndHom R A) x = x.snd
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h5 : 5 ≤ card α
f : Perm α
hf : f.IsThreeCycle
hi : Function.Injective ⇑(alternatingGroup α).subtype
⊢ ⊤ ≤ normalClosure {⟨f, ⋯⟩}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
X : Comon_ (C ⥤ D)
⊢ ∀ (x : C), (CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.unitIso.hom.app X).hom.app x = 𝟙 (X.X.obj x)
α : Type u_2
β : Type u_3
Fintype α
CompleteLattice β
f : α → β
⊢ Finset.univ.inf f = iInf f
α : Type u_1
c : Batteries.RBColor
n : Nat
cut : α → Ordering
f : α → α
t : Batteries.RBNode α
h : t.Balanced c n
⊢ ∃ c n, (Batteries.RBNode.modify cut f t).Balanced c n
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ EuclideanGeometry.angle p₁ p₃ p₂ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
hf : Antitone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone fun x => Set.Icc (f x) (g x)
X : AlgebraicGeometry.RingedSpace
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
hf : IsUnit f
⊢ X.basicOpen f = U
n : ℕ
M : Type u_1
S : Type u_4
AddCommGroup M
Module (ZMod n) M
SetLike S M
AddSubgroupClass S M
x : M
K : S
hx : x ∈ K
c : ZMod n
⊢ c • x ∈ K
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
g : α → Set ℝ := fun x => f x ∩ Ioo 0 (R x)
⊢ ∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)) ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ Filter.Tendsto OnePoint.some (Filter.coclosedCompact X) (𝓝 OnePoint.infty)
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
p : β → Prop
h : ∀ᵐ (y : β) ∂MeasureTheory.Measure.map f μ, p y
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p (f x)