ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
h₀ : ∀ {s : Set β} {t : Set β'}, MeasurableSet s → MeasurableSet t → μ (f ⁻¹' s) * μ (g ⁻¹' t) = (Measure.map f μ) s * (Measure.map g μ) t ∧ μ (f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t) = (Measure.map (fun ω => (f ω, g ω)) μ) (s ×ˢ t)
⊢ (∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → μ (f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t) = μ (f ⁻¹' s) * μ (g ⁻¹' t)) ↔ Measure.map (fun ω => (f ω, g ω)) μ = (Measure.map f μ).prod (Measure.map g μ)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
i : ι
⊢ (HomotopyCategory.quasiIso C c).IsInvertedBy (HomotopyCategory.homologyFunctor C c i)
α : Type u_1
Preorder α
InfSet α
⊢ sInf ∅ = ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
b c : α
⊢ Associated (gcd (0 * b) (0 * c)) (0 * gcd b c)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
⊢ t ∈ ∂ 𝒜 ↔ ∃ a ∉ t, insert a t ∈ 𝒜
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
⊢ symmDiff p.support q.support ⊆ (p + q).support
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.StrongMonoCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.StrongMono f
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
⊢ closedBall (x + const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4) ⊆ interior s
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
C : ChainComplex V ℕ
X : V
f : (ChainComplex.single₀ V).obj X ⟶ C
⊢ (C.fromSingle₀Equiv X) f = f.f 0
α : Type u_1
a b c : α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : IsModularLattice α
h : Disjoint a b
hsup : Disjoint (a ⊔ b) c
⊢ Disjoint a (b ⊔ c)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
HopfAlgebra R A
a : A
⊢ (LinearMap.mul' R A) ((LinearMap.rTensor A HopfAlgebra.antipode) (Coalgebra.comul a)) =
  (algebraMap R A) (Coalgebra.counit a)
P : TopCat → Prop
X✝ : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X✝
inst✝² : CompactSpace X✝
inst✝¹ : T2Space X✝
inst✝ : HasProp P X✝
X Y : CompHausLike P
f : X ⟶ Y
bij : Function.Bijective ⇑f
E : (forget (CompHausLike P)).obj X ≃ (forget (CompHausLike P)).obj Y := Equiv.ofBijective (⇑f) bij
⊢ IsIso f
M : Type u_1
Mul M
Finite M
h : Nonempty M
⊢ commProb M = 1 ↔ Commutative fun x x_1 => x * x_1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type u_1
f : ι → R
s : Finset ι
hfs : (∏ i ∈ s, (X - C (f i))).Separable
x y : ι
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hfxy : f x = f y
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b✝ : α
m n : ℕ
s✝ : List α
a : α
t : List α
mi : s✝ <+: a :: t
b : α
s r : List α
hr : b :: s ++ r = a :: t
ba : b = a
st : s ++ r = t
⊢ ∃ l, l ∈ t.inits ∧ a :: l = a :: s
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
hT' : ∀ (μ : 𝕜), Module.End.eigenspace T μ = ⊥
⊢ Subsingleton E
α : Type u
n : ℕ
s : Stream' α
x : α
⊢ (Stream'.cons x s).get n.succ = s.get n
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
n : ℕ
⊢ (↑n).toSlashInvariantForm = ↑n
α : Type u_2
BEq α
LawfulBEq α
n : Nat
a : α
⊢ ∀ {α_1 : Type u_1} {b : α_1} {k : α},
  0 < n → List.lookup k (List.replicate n (a, b)) = if (k == a) = true then some b else none
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : gcd a b = 0
⊢ a = 0 ∧ b = 0
α : Type u_1
Mul α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
b c : α
bc : b < c
a : α
⊢ a * b < a * c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
s : Finset ι
f : ι → Finset α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint f
⊢ (filter (fun a => ¬f a = ∅) s).card + (filter (fun i => f i = ∅) s).card ≤ (s.biUnion f).card + (filter (fun i => f i = ∅) s).card
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
h : IsCoseparating (Set.range f)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : Y ⟶ ∏ᶜ f), u ≫ h = v ≫ h
Z : C
hZ : Z ∈ Set.range f
g : Y ⟶ Z
⊢ u ≫ g = v ≫ g
k : Type u_1
K : Type u_2
Field k
IsAlgClosed k
Field K
f : k →+* K
p : k[X]
⊢ Polynomial.Splits f p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
⊢ ⋃ (_ : s.Nonempty), s = s
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
inst✝ : DecidableRel Dvd.dvd
r a : R
⊢ 1 + 1 ≤ multiplicity a r ↔ 1 < multiplicity a r
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
h : f₂ =Θ[l] g
⊢ f₁ =Θ[l] g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.opMap (CategoryTheory.CategoryStruct.id S) = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.op
p x : ℝ
r : ℚ
hr : r ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (x * ↑r) ↔ LiouvilleWith p x
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
I : Set α
hI : M.Basis I X
⊢ ∃ I J, M.Basis I X ∧ M.Basis J Y ∧ I ⊆ J
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_6
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
this✝³ : (fun y => f y - f x - f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x
this✝² : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x
this✝¹ : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (d n)) =o[l] d
this✝ : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n
this : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) =o[l] fun x => 1
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (f' v))
n : ℕ
⊢ ((antidiagonal n).bind fun ni => map (fun x => Fin.cons ni.1 x) (antidiagonalTuple 1 ni.2)) = map (fun i => ![i.1, i.2]) (antidiagonal n)
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ I.radical ≤ J.radical ↔ I ≤ J.radical
R : Type u_1
K : Type u_2
F : Type u_3
Ring R
Field K
FunLike F R K
RingHomClass F R K
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (RingHom.ker f).IsMaximal
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
h₁ : MeasurableSet s
h₂ : ν ≤ μ
⊢ (μ - ν) s = μ s - ν s
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
h : IsTerminal (colimit (F ⋙ yoneda))
⊢ F.Final
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
a : Matrix n n 𝕜
ha : a.IsHermitian
x : ℝ
⊢ ↑x ∈ Set.range (RCLike.ofReal ∘ ha.eigenvalues) ↔ x ∈ Set.range ha.eigenvalues
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y : ↥S
z : N
H : f ↑y * z = 1
⊢ ↑1 = f ↑y * z
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ μ.toOuterMeasure s = μ s
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a
⊢ (∑ a ∈ s, f a).toNNReal = ∑ a ∈ s, (f a).toNNReal
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
⊢ IsEmpty (α ⊕' β) ↔ IsEmpty α ∧ IsEmpty β
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : Y ⟶ (coextendScalars f).obj X
x y : ↑((restrictScalars f).obj Y)
⊢ (g (x + y)) 1 = (g x) 1 + (g y) 1
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
S : Submonoid M
f : M →* N
hf : Function.Injective ⇑f
x : ↥S
⊢ ↑((S.equivMapOfInjective f hf) x) = f ↑x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : (𝟙 (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj Y _[n]) ≫ PInfty.f n) ≫ 𝟙 (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj Y _[n]) = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ ((𝟙 (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj { X := Y.X, p := 𝟙 Y.X, idem := ⋯ } _[n]) ≫ PInfty.f n) ≫ 𝟙 (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj { X := Y.X, p := 𝟙 Y.X, idem := ⋯ } _[n])) ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])
⊢ (P₁.f n).f = Y.p.app (op [n]) ≫ P₂.f n
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝓤 𝓥 : X.OpenCover
self : 𝓤.Hom 𝓥
j : 𝓤.J
⊢ self.app j ≫ 𝓥.map (self.idx j) = 𝓤.map j
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
a b : Module.Baer.ExtensionOf i f
⊢ a = b ↔ ∃ (_ : a.domain = b.domain), ∀ ⦃x : ↥a.domain⦄ ⦃y : ↥b.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑a.toLinearPMap x = ↑b.toLinearPMap y
xl xr : Type u
x x' : PGame
h : x ⧏ x'
⊢ x.insertRight x' ≈ x
α : Type u
⊢ ∀ {β : Type u_1} {b : β} {es : List (α × β)} {a : α} [inst : BEq α] {k : α},
  List.lookup a ({ fst := k, snd := b } :: es) =
    match a == k with
    | true => some b
    | false => List.lookup a es
x y : SetTheory.PGame
h : x ≈ y
⊢ y ≤ x
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
⊢ (𝓝[>] 0)⁻¹ = Filter.atTop
α : Type u_1
p : PMF α
a : α
⊢ p a = 0 ↔ a ∉ p.support
a b c : Int
H : a ∣ b - c
⊢ a ∣ b ↔ a ∣ c
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
h : p ≠ 0
⊢ p = 0 → 0 = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ Multiset.count a 0 = 0
α : Type u_1
s : Cycle α
⊢ Multiset.card s.toMultiset = s.length
M : Type v
Monoid M
J : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.SingleObj M) (Type u)
⊢ ∀ (a : CategoryTheory.Limits.limit J),
  ↑((CategoryTheory.Limits.SingleObj.Types.limitEquivFixedPoints J) a) =
    CategoryTheory.Limits.limit.π J (CategoryTheory.SingleObj.star M) a
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
a : Γ
l : Turing.ListBlank Γ
⊢ (Turing.ListBlank.cons a l).head = a
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
p : ι → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
⊢ AddMonoidHom.mrange ((sumAddHom fun i => (S i).subtype).comp (filterAddMonoidHom (fun i => ↥(S i)) p)) ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
IsWellOrder β s
IsTrans γ t
f : r ≼i s
g : s ≺i t
a : α
⊢ (f.leLT g).toRelEmbedding a = g.toRelEmbedding (f a)
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f' : M →ₗ[R] M
p : Submodule R M
n : ℕ
h : ∀ x ∈ p, f' x ∈ p
h' : ∀ x ∈ p, (f' ^ n) x ∈ p := ⋯
⊢ f'.restrict h ^ n = (f' ^ n).restrict h'
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
I : Ideal R
a : AdjoinRoot f ⧸ Ideal.map (AdjoinRoot.of f) I
⊢ (AdjoinRoot.quotEquivQuotMap f I) a = (AdjoinRoot.quotAdjoinRootEquivQuotPolynomialQuot I f) a
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
K : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} K
F G : CategoryTheory.Functor J C
α : F ⟶ G
hα : CategoryTheory.NatTrans.Equifibered α
H : CategoryTheory.Functor K J
⊢ CategoryTheory.NatTrans.Equifibered (CategoryTheory.whiskerLeft H α)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m m₁ m₂ m₃ : OuterMeasure α
op : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
h : ∀ (s : Set α), m₁ s = op (m₂ s) (m₃ s)
s t : Set α
_hst : s ⊆ t
_ht : MeasurableSet t
htm : ∀ (i : Fin (Nat.succ 0).succ.succ), (![m₁, m₂, m₃] i) t = (![m₁, m₂, m₃] i).trim s
⊢ m₁.trim s = op (m₂.trim s) (m₃.trim s)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
a : Γ
r : R
⊢ (HahnSeries.single a) r = 0 ↔ r = 0
ε : Type u_1
p : ε → Prop
DecidablePred p
ep : Equiv.Perm { a // p a }
en : Equiv.Perm { a // ¬p a }
a : { a // ¬p a }
⊢ (ep.subtypeCongr en) ↑a = ↑(en a)
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
Algebra R L
Algebra R K
IsScalarTower R K L
Algebra.IsSeparable K L
FiniteDimensional K L
x : L
hx : IsIntegral R x
⊢ IsIntegral R ((Algebra.norm K) x)
R : Type u
Ring R
self : IsBezout R
I : Ideal R
⊢ I.FG → Submodule.IsPrincipal I
X Y : SimplexCategory
x✝ : IsIsomorphic X Y
I : X ≅ Y
⊢ Fintype.card (Fin (X.len + 1)) = Fintype.card (Fin (Y.len + 1))
n✝ b m n : ℕ
hb✝ : 0 < b
hb : succ 0 < b
h_append : b.digits n ++ b.digits m ≠ []
⊢ (b.digits n ++ b.digits m).getLast h_append ≠ 0
R : Type u_2
A : Type u_3
M : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
a : A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
p : Submodule R M
hp : p ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) p
q q₁ q₂ : Submodule R[X] (AEval R M a)
hq : (comapSubmodule R M a) q₁ = (comapSubmodule R M a) q₂
⊢ mapSubmodule a ⋯ = mapSubmodule a ⋯
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ ↑⌊a⌋₊ = ↑⌊a⌋
⊢ deriv Real.arctan = fun x => 1 / (1 + x ^ 2)
a b : ℝ
hab : a < b
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hal : l ∈ Iio a
hl : Ioo l a ⊆ s
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l✝
α : Type u_1
PartialOrder α
BoundedOrder α
x y : α
self : IsCompl x y
⊢ Codisjoint x y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : ¬p = 1
⊢ Irreducible p ↔ p ≠ 1 ∧ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f.natDegree = 0 ∨ g.natDegree = 0
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
⊢ discr K ⇑B.basis • z ∈ adjoin R {B.gen}
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bf * Complex.abs z ^ cf)
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bg * Complex.abs z ^ cg)
⊢ cg ≤ max cf cg
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Submodule.span R ↑s
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
c : Cardinal.{u}
n : ℕ
hc : ℵ₀ ≤ c
⊢ c ^ ↑n ≤ max c ℵ₀
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
m a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
⊢ t ∈ (Finpartition.equitabilise h).parts → t.card = m ∨ t.card = m + 1
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
ps₁ ps₂ : Set P
hs : ps₁ ⊆ ps₂
h : EuclideanGeometry.Concyclic ps₂
⊢ EuclideanGeometry.Concyclic ps₁
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
m : ℤ
⊢ a ^ (m + 0) = a ^ m * a ^ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
A₁ A₂ A₃ : CommMon_ C
f : A₁ ⟶ A₂
g : A₂ ⟶ A₃
⊢ f ≫ g = f ≫ g
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
s : (i : ι) → p i → Set α
hp : ∃ i, p i
f : α → β
h : Set.InjOn f (⋃ i, ⋃ (hi : p i), s i hi)
⊢ f '' ⋂ i, ⋂ (hi : p i), s i hi = ⋂ i, ⋂ (hi : p i), f '' s i hi
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
⊢ Filter.map rexp atBot = 𝓝[>] 0
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
x : (ZMod ↑n)ˣ
pf✝ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑x).val) ↑n
h : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝).gen
key : ↑↑hζ.toRootsOfUnity ^ (↑((IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h))).val = ↑↑hζ.toRootsOfUnity ^ (↑x).val
this : ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h) (zeta n K L) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).gen
⊢ (IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝) h) = x
R : Type u_1
inst✝⁸ : Semiring R
C : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_3} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : Preadditive D
inst✝³ : CategoryTheory.Linear R C
inst✝² : CategoryTheory.Linear R D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : Linear R F
X Y : C
r : Rˣ
f : X ⟶ Y
⊢ F.map (r • f) = r • F.map f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
(CategoryTheory.forget C).Corepresentable
J : Type w
CategoryTheory.Category.{t, w} J
G : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit G
⊢ Small.{v, max v w} ↑(G ⋙ CategoryTheory.forget C).sections
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
e : G ≃+c[a, b] H
⊢ e.symm.symm = e
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
h : IsRelPrime x y
z : R
⊢ IsRelPrime (y * z + x) y
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
z : E
m : Fin 2 → E
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 2 f z) m = ((fderiv 𝕜 (fderiv 𝕜 f) z) (m 0)) (m 1)
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : LocallyCompactSpace X
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
F : ι → C(X, E)
hF : ∀ (K : Compacts X), Summable fun i => ‖restrict (↑K) (F i)‖
K : Set X
hK : IsCompact K
⊢ ∃ f, Tendsto (fun i => restrict K (∑ b ∈ i, F b)) atTop (𝓝 f)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ ↑⌊a⌋ ≤ a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 a, ApproximatesLinearOn f (↑f') s (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ / 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
hn : ↑n = s.chainHeight
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x > x_1
⊢ ↑n.succ ≤ ↑(map Subtype.val (ofFn fun i => f ↑i)).length
ι : Type u_1
G : Type u_3
Group G
b : FreeGroupBasis ι G
⊢ IsFreeGroup G
k : ℕ
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
t : ℝ
ht : 0 < t
n : ℤ
⊢ f_int k a t n = Int.rec (f_nat k a t) (f_nat k (1 - a) t) n
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
γ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace ι
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
fltr : Filter γ
inst✝¹ : fltr.NeBot
inst✝ : fltr.IsCountablyGenerated
U : γ → ι → Ω → β
h : ∀ (l : γ), ProgMeasurable f (U l)
h_tendsto : Tendsto U fltr (𝓝 u)
i : ι
⊢ StronglyMeasurable fun p => u (↑p.1) p.2
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝³ : DecidableEq I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : K.HasTotal c₁₂
inst✝ : L.HasTotal c₁₂
⊢ map (𝟙 K) c₁₂ = 𝟙 (K.total c₁₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : ∀ (z : ℕ), IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun a => |k a ^ z * f a|
z : ℕ
m : β
hm : ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (fun a => |k a ^ (z + 1) * f a|) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x m
h1 : Tendsto (fun x => 0) l (𝓝 0)
h2 : Tendsto (fun a => |(k a)⁻¹| * m) l (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) |k x ^ (z + 1) * f x| m → |k x ^ z * f x| ≤ |(k x)⁻¹| * m
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃ₛₗ[σ] F
h : Continuous ⇑e
⊢ Continuous ⇑e.symm
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
⊢ ⋃ x, ⋯.choose x = univ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SigmaCompactSpace M
T2Space M
⊢ TopologicalSpace.MetrizableSpace M