ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.52660, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.52667, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.52674, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.52726, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ'✝ : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ✝ ⟶ G.op ⋙ ℱ'✝.val
ℱ ℱ' : SheafOfTypes K
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ'.val.obj (op X)
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ (f : G.obj Y ⟶ X), ℱ'.val.map f.op ((appHom i.inv X ≫ appHom i.hom X) x) = ℱ'.val.map f.op (𝟙 (ℱ'.val.obj (op X)) x)
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : CU P
x : X
⊢ Tendsto (fun n => midpoint ℝ (approx n c.left x) (approx n c.right x)) atTop (𝓝 (midpoint ℝ (c.left.lim x) (c.right.lim x)))
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
inst✝¹ : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))
⊢ IsIso ((ΓSpec.adjunction.unit.app X).val.c.app (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
m₁ m₁' : M₁
⊢ (Q₁.prod Q₂).IsOrtho (m₁, 0) (m₁', 0) ↔ Q₁.IsOrtho m₁ m₁'
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
f : ℝ → F
f' : F
x : ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun x => ‖f x‖ ^ 2) (2 * ⟪f x, f'⟫_ℝ) x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
β : Type u_4
u : ι ⊕ β → ↑S.X₂
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
hv : ⊤ ≤ span R (range v)
hw : ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))
m : ↑S.X₂
a✝ : m ∈ ⊤
hgm : ∃ c, (c.sum fun i a => a • (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr) i) = S.g m
⊢ m ∈ span R (range u)
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
⊢ (CategoryTheory.Over.mapFunctor T).obj X = CategoryTheory.Cat.of (CategoryTheory.Over X)
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
⊢ (⨆ i, f i) * 0 = ⨆ i, f i * 0
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
f : α →C₀ β
⊢ ⇑(-f) = -⇑f
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β
AddCommMonoid β
⊢ ∑ x ∈ ∅, f x = 0
N : ℕ
γ : SL(2, ℤ)
⊢ γ ∈ CongruenceSubgroup.Gamma N ↔ ↑(↑γ 0 0) = 1 ∧ ↑(↑γ 0 1) = 0 ∧ ↑(↑γ 1 0) = 0 ∧ ↑(↑γ 1 1) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
U V : Set β
hU : U ⊆ f '' s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ f '' s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V
⊢ U ∩ V = f '' (f ⁻¹' U ∩ f ⁻¹' V)
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
AddMonoid A
AddMonoid B
AddMonoid C
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
TopologicalSpace C
g : ContinuousAddMonoidHom B C
f : ContinuousAddMonoidHom A B
⊢ ∀ (a : A), (g.comp f) a = g.toAddMonoidHom (f.toAddMonoidHom a)
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x : α
⊢ (countP p) (of x) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else 1
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hs : Splits i f
hf0 : (map i f).natDegree ≠ 0
x : L
hx : eval x (map i f) = 0
h : (map i f).roots = 0
⊢ False
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁', i₂) ≠ i₁₂
⊢ c₁.π c₂ c₁₂ (i₁', i₂) ≠ i₁₂
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype α
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
v : α → M
x : α → R
⊢ (Finsupp.total α M R v) ((linearEquivFunOnFinite R R α).symm x) = ((Fintype.total R S) v) x
R : Type u
I : Type v
CommSemiring R
x : R
s : I → R
t : Finset I
H1 : IsCoprime x (∏ i ∈ t, s i)
i : I
hit : i ∈ t
⊢ IsCoprime x (s i)
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hf : Integrable f μ
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (μ[μ[f|m₂]|m₁]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, (μ[f|m₁]) x ∂μ
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasLimit (F ⋙ G)
j : J
⊢ (G.mapCone (cone F)).π.app j = G.map (π F j)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × γ)
a : α
g : β → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (c : β), g c ∂κ.fst a = ∫⁻ (bc : β × γ), g bc.1 ∂κ a
a : ℕ
⊢ Function.Periodic a.Coprime a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
b : α
h : MonotoneOn f (Set.Iic b)
⊢ Set.MapsTo f (Set.Iic b) (Set.Iic (f b))
⊢ UnivLE.{max u v, v} ↔ CategoryTheory.uliftFunctor.{u, v}.EssSurj
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ TendstoInMeasure μ f atTop g
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
A : PartialEquiv E F := hf.toPartialEquiv hc
Af : ∀ (z : E), ↑A z = f z
x' : E
x's : x' ∈ s
hx : f x' ∈ f '' s
y' : E
y's : y' ∈ s
hy : f y' ∈ f '' s
⊢ ‖↑A.symm (f x') - ↑A.symm (f y') - ↑f'.symm (f x' - f y')‖ ≤ ↑(‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c) * ‖f x' - f y'‖
q : ℚ
⊢ |q| = Rat.divInt ↑q.num.natAbs ↑q.den
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsReal}
this : 1 ≤ convexBodyLTFactor ↥K
⊢ minkowskiBound (↥K) 1 = (fun x => x * minkowskiBound (↥↑⟨K, hK₀⟩) 1) ↑1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν₁ ν₂ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ μ + ν₁ = μ + ν₂ ↔ ν₁ = ν₂
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
B : ∀ z ∈ closedBall b ε, g z ∈ closedBall b ε → dist (f (g z)) y ≤ ↑c * ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
C : ∀ (n : ℕ) (w : E), dist w b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y → w ∈ closedBall b ε
D : ∀ (n : ℕ), dist (f (u n)) y ≤ (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n * dist (f b) y ∧ dist (u n) b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y
this : CauchySeq u
x : E
hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)
⊢ y ∈ f '' closedBall b ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
v w : F
⊢ ((innerₗ F).flip v) w = ((innerₗ F) v) w
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f a p : K[X]
ha0 : a ≠ 0
hp : Prime p
ih : Splits (RingHom.id K) a → Splits i a
hfi : Splits (RingHom.id K) (p * a)
⊢ p ∣ map (RingHom.id K) p
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
W : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory W
F : V ⥤ W
G : MonCat
M : Action V G
g h : ↑G
⊢ F.map (M.ρ (g * h)) = F.map (M.ρ g) * F.map (M.ρ h)
ι : Type u
E : Type v
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
I : BoxIntegral.Box ι
hc : ContinuousOn f (BoxIntegral.Box.Icc I)
l : BoxIntegral.IntegrationParams
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝¹ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set α → Prop
s : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hne : s.Nonempty
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
⊢ ∃ a ∈ s, {a} ∈ l
R R' : Type u
M M' : Type v
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousConstSMul R M
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R' M'
inst✝ : ContinuousAdd M
s : Submodule R M
⊢ closure ↑s = Set.univ ↔ ↑s.topologicalClosure = ↑⊤
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
comm : a ≫ f₁ = b ≫ f₁
big_k : IsKernelPair (f₁ ≫ f₂) a b
s : PullbackCone f₁ f₁
s' : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂) := PullbackCone.mk s.fst s.snd ⋯
m✝ : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt
m₁ : m✝ ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).fst = s.fst
m₂ : m✝ ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).snd = s.snd
⊢ m✝ = (IsPullback.isLimit big_k).lift s'
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
⊢ ↑(f * g) = ↑f * ↑g
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ ε * μ {x | ε ≤ f x} ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
h : Bornology.IsBounded s
a : ℝ
c : α
⊢ ∃ r, a < r ∧ s ⊆ Metric.closedBall c r
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s : AList β
⊢ AList.lookup a (AList.insert a b s) = some b
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.constantCoeff.comp MvPolynomial.C = RingHom.id R
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Turing.Respects f₁ f₂ tr
a₁ b₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab : b₁ ∈ Turing.eval f₁ a₁
⊢ ∃ b₂, tr b₁ b₂ ∧ b₂ ∈ Turing.eval f₂ a₂
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f g : α → α
⊢ MeasurableSpace.invariants f ⊓ MeasurableSpace.invariants g ≤ MeasurableSpace.invariants (f ∘ g)
α : Type u
s t : Set α
⊢ s \ t = s ∩ tᶜ
x : ZFSet
h : x.Nonempty
⊢ (⋂₀ x).toSet = ⋂₀ (ZFSet.toSet '' x.toSet)
s : ℂ
hs : 0 < s.re
this✝ : (fun X => s * s.partialGamma X - ↑X ^ s * ↑(rexp (-X))) =ᶠ[atTop] (s + 1).partialGamma
this : (fun e => ‖-↑e ^ s * ↑(rexp (-e))‖) =ᶠ[atTop] fun e => e ^ s.re * rexp (-1 * e)
⊢ Tendsto (fun x => ‖-↑x ^ s * ↑(rexp (-x))‖) atTop (𝓝 0)
x : ℂ
⊢ sin x = -1 ↔ ∃ k, -(↑π / 2) + ↑k * (2 * ↑π) = x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z : CochainComplex.HomComplex.Cocycle F G n
x : Rˣ
⊢ ↑(x • z) = x • ↑z
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
hf : HasSum f a₁
hg : HasSum g a₂
h : f < g
⊢ a₁ < a₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f g : Filter α
⊢ (f ⊓ g).NeBot ↔ ∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in f, p x) → ∃ᶠ (x : α) in g, p x
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
LinearOrder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
h : AntivaryOn f g s
⊢ AntivaryOn g f s
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
N : Submonoid S
T : Type u_4
CommSemiring T
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
IsLocalization M S
IsLocalization N T
x y : R
⊢ (algebraMap R T) x = (algebraMap R T) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
self : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ self.L₂.Exact
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ
⊢ (k + n).primeCounting' ≤ k.primeCounting' + a.totient * (n / a + 1)
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h' : Finite R N
hN : IsTorsion R N
I : Type u
fI : Fintype I
w✝ : DecidableEq I
p : I → R
hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)
e : I → ℕ
h : DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R N (p i ^ e i)
this : Fintype I
⊢ ∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : ι), R ⧸ span R {p i ^ e i})
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
hG : (G.edgeFinset \ H.edgeFinset).card < tris.attach.card
⊢ False
M : Type u_1
R : Type u_2
Group M
Ring R
MulSemiringAction M R
a : M
S T : Subring R
⊢ a • S ≤ a • T ↔ S ≤ T
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → Preorder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
i : ι
a b : α i
⊢ Finset.Ioc ⟨i, a⟩ ⟨i, b⟩ = Finset.map (Function.Embedding.sigmaMk i) (Finset.Ioc a b)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.60827, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝³ : Preregular C
inst✝² : FinitaryExtensive C
inst✝¹ : ∀ (X : C), Projective X
inst✝ : PreservesFiniteProducts s
hF : IsSheaf (coherentTopology C) F
⊢ IsSheaf (coherentTopology C) (F ⋙ s)
x z : ℝ
hx : 1 ≤ x
hz : 0 ≤ z
⊢ 1 ≤ x ^ z
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
⊢ y ∈ PiNat.cylinder x n ↔ ∀ i < n, y i = x i
R : Type uR
M₂ : Type uM₂
CommRing R
AddCommGroup M₂
Module R M₂
Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂
x : R ⊗[R] M₂
⊢ Q₂ ((TensorProduct.lid R M₂) x) = (QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q₂) x
⊢ ∀ {α : Sort u_1} {cmp : α → α → Ordering} {x : α} [inst : Batteries.OrientedCmp cmp], cmp x x = Ordering.eq
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
⊢ (fun f => toSemiring (fun x => ↑f) ⋯ ⋯) ((fun F => ⟨fun {i} => (↑F).comp (of A i), ⋯⟩) F) = F
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ LieIdeal.map f I ≤ J ↔ I ≤ LieIdeal.comap f J
α : Type u
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s₁ s₂ : Set α
h : s₁ ∩ s₂ ⊆ ∅
h₁ : m.IsCaratheodory s₁
t : Set α
⊢ m (t ∩ (s₁ ∪ s₂)) = m (t ∩ s₁) + m (t ∩ s₂)
α : Type u_8
β : Type u_9
Unique α
MeasurableSpace β
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.funUnique α β) = fun f => f default
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Semiring β
inst✝¹ : Algebra R α
inst✝ : Algebra R β
r : R
f : α → β
hf : f 0 = 0
hf₂ : f ((algebraMap R α) r) = (algebraMap R β) r
⊢ ((algebraMap R (Matrix n n α)) r).map f = (algebraMap R (Matrix n n β)) r
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
A : Matrix n n α
B : Matrix n m α
inst✝ : Invertible A
⊢ A * (⅟A * B) = B
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
s : Set P₁
⊢ ⇑e ⁻¹' (⇑e '' s) = s
H : Type u
TopologicalSpace H
α : Type u_5
TopologicalSpace α
e : PartialHomeomorph α H
h : e.source = Set.univ
G : StructureGroupoid H
ClosedUnderRestriction G
⊢ HasGroupoid α G
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Nonempty β
LinearOrder β
Preorder γ
NoMaxOrder γ
g : β → γ
f : α → β
l : Filter α
hg : Antitone g
hg' : Filter.Tendsto g Filter.atBot Filter.atTop
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (g ∘ f) ↔ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l f
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hν : ν ≠ 0
⊢ μ ≪ ν
α : Type u_1
M : Type u_8
AddCommMonoid M
Fintype α
i : α
m : M
⊢ ∑ j : α, (Finsupp.single i m) j = m
c : Prop
Decidable c
a b : Ordering
⊢ ((if c then a else b) = Ordering.gt) = if c then a = Ordering.gt else b = Ordering.gt
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α (n + 1)
⊢ ¬φ.ex.IsQF
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_2
𝔸' : Type u_3
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hd : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (f i) s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => ∏ i ∈ u, f i x) s x
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
⊢ HurwitzZeta.sinZeta (↑x) (2 * ↑k + 1) =
  (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k + 1) / (2 * ↑k + 1).Gammaℂ *
    Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
⊢ Continuous fun x => √(1 + ‖x‖ ^ 2)
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Set.Icc a b)
ha : a ∈ s
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Set.Ico a b, ∀ y ∈ Set.Ioi x, (s ∩ Set.Ioc x y).Nonempty
⊢ Set.Icc a b ⊆ s
n : ℤ
⊢ Complex.abs ↑n = |↑n|
n : ℕ
⊢ Nat.count (fun x => False) n = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} D
G : CategoryTheory.Functor D C
G.IsRightAdjoint
⊢ CategoryTheory.SolutionSetCondition G
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
h : MDifferentiableAt I I' f x
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ MDifferentiableAt I I' f₁ x
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
x y x' y' : α
ex : x = gcd x y * x'
ey : y = gcd x y * y'
h : gcd x y ≠ 0
⊢ IsUnit (gcd x' y')
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
One β
x : α
⊢ 1 x = 1
X : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : x ∈ ↑U
S : Set ↑↑X.toPresheafedSpace
hS : S ∈ {x | ∃ a, x = Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map a).val.base}
hxS : x ∈ S
hSU : S ⊆ ↑U
⊢ { carrier := S, is_open' := ⋯ } ∈ X.affineOpens
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
⊢ Finset.memberSubfamily a (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜) = ∅
x : ℝ
⊢ RCLike.im x = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = fderivWithin 𝕜 f univ x
α : Type u
β : Type v
S : WSeq (Computation α)
h : S.head ~> none
x✝ : (parallel S).Terminates
a : α
m : a ∈ parallel S
c : Computation α
cs : c ∈ S
right✝ : a ∈ c
⊢ False
α : Type u
β : Type v
UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
x : α
TopologicalSpace α
hx : x ∈ s
L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
⊢ ContinuousWithinAt f s x
x y : Bool
⊢ x ≤ y ∨ y ≤ x
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
X : Type u_7
Y : Type u_8
α : Type u_9
inst✝¹⁰ : Zero α
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PseudoMetrizableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
⊢ Measurable f
n : ℕ
⊢ RePred fun c => (c.eval n).Dom
M : Type u_6
N : Type u_7
F : Type u_8
Mul M
Mul N
FunLike F M N
MulHomClass F M N
TopologicalSpace M
TopologicalSpace N
ContinuousMul N
f : F
hf : Inducing ⇑f
⊢ ContinuousMul M
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
μ' : MeasureTheory.Measure α
hT_add : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ + μ')
⊢ MeasureTheory.setToFun (μ + μ') T hT_add f = MeasureTheory.setToFun μ T hT f
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
⊢ 𝓝 x = (𝓤 α).lift' (UniformSpace.ball x)
M : Type u_2
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
Monoid M
DistribMulAction M α
SMulCommClass M α α
IsScalarTower M α α
n : M
f : CentroidHom α
⊢ ⇑(n • f) = n • ⇑f
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
hne : L.NeBot
⊢ limsup (fun i => ↑(μs i) F) L ≤ ↑μ F
m : Type u → Type v
Functor m
LawfulFunctor m
⊢ (CategoryTheory.ofTypeFunctor m).obj = m
S : CategoryTheory.ShortComplex Ab
⊢ S.abLeftHomologyData.f' = S.abToCycles
x : SetTheory.PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → SetTheory.PGame
yR : yr → SetTheory.PGame
i : yl
⊢ x ≤ yL i → x.LF (SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommMonoid β
n : ℕ
⊢ {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.Iio n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i) = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.range n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
t : ι → Set β
⊢ sSup (⋃ i, t i) = ⨆ i, sSup (t i)