ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ q ≤ comap g (map (f.coprod g) (p.prod q))
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ω : Ω
hN : 0 < N
hab : a < b
hn : n < MeasureTheory.upcrossingsBefore a b f N ω
⊢ b - a ≤
  MeasureTheory.stoppedValue f (MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N (n + 1)) ω -
    MeasureTheory.stoppedValue f (MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n) ω
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t
V_cover : U ≤ iSup V
⊢ ∃ a, (f.val.app (op U)) a = t
R : Type u
A : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
r : R
x y : A
⊢ r • x * y = r • (x * y)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PartialOrder ι✝
τ✝ : Ω → ι✝
f✝ : Filtration ι✝ m
ι : Type u_4
inst✝ : LinearOrder ι
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω < i}ᶜ
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}ᶜ
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
h : f =O[atTop] fun n => ↑n ^ (x - 1)
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ‖f x_1‖ ≤ C * ‖↑x_1 ^ (x - 1)‖
m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, ‖f b‖ ≤ C * ‖↑b ^ (x - 1)‖
C' : ℝ := max C ((insert 0 (image (fun n => ‖f n‖ / ↑n ^ (x - 1)) (range m))).max' ⋯)
hC'₀ : 0 ≤ C'
hCC' : C ≤ C'
⊢ LSeriesSummable f s
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v₁ : Valuation R Γ₀
v₂ : Valuation R Γ'₀
h : v₁.IsEquiv v₂
r : R
⊢ v₁ r ≠ 0 ↔ v₂ r ≠ 0
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i j : ℕ
h : i + j = n
k : ℕ
hk : k < (List.ofFn.go f i j h).length
⊢ (List.ofFn.go f i j h)[k] = f ⟨j + k, ⋯⟩
α : Type u
l : List α
⊢ (List.map pure l).Sublist l.sublists
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
x : K
hsep : IsSeparable E x
f : E[X] := minpoly E x
hf : f = minpoly E x
E' : IntermediateField F E := adjoin F ↑f.coeffs
this : FiniteDimensional F ↥E'
g : (↥E')[X]
h : Polynomial.map (algebraMap (↥E') E) g = f
hx : x ∈ restrictScalars F (↥E')⟮x⟯
⊢ IsSeparable F x
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑((AlgebraicGeometry.Proj.toLocallyRingedSpace 𝒜).restrict ⋯).toTopCat
⊢ (AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.carrier x).IsPrime
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
h : x ∈ span R {y}
⊢ ∀ (a : R) (x : M), (∃ a, a • y = x) → ∃ a_2, a_2 • y = a • x
α : Type u_1
M' : Type u_6
N : Type u_7
One N
f : α → M'
g : α → N
⊢ Function.mulSupport (Function.extend f g 1) ⊆ f '' Function.mulSupport g
α : Type u
β : Type v
DecidableEq β
Fintype α
Fintype β
f : α → β
n : ℕ
hn : Fintype.card α < Fintype.card β * n
⊢ ∃ y, (Finset.filter (fun x => f x = y) Finset.univ).card < n
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
IsLocalRingHom f
a : R
⊢ IsUnit (f a) ↔ IsUnit a
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x (x - y) = Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖)
α : Type u
ι : Sort v
s : ι → Set α
⊢ iSup s = Set.iUnion s
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x y : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ NumberField.mixedEmbedding.convexBodySumFun (x + y) ≤
  NumberField.mixedEmbedding.convexBodySumFun x + NumberField.mixedEmbedding.convexBodySumFun y
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
BorelSpace β
One β
f : α → β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : Function.mulSupport f ⊆ k
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable f
M : Type u_2
Add M
⊢ ∀ (a : M), (AddEquiv.opOp M) a = AddOpposite.op (AddOpposite.op a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
U : CategoryTheory.Comonad C
U.Additive
F G : U.Coalgebra
⊢ CategoryTheory.Comonad.Coalgebra.Hom.f 0 = 0
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
p : L.Substructure M
⊢ ∀ (a : ↥p), (f.domRestrict p) a = f ↑a
M : Type u_5
N : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
M' : Type u_8
N' : Type u_9
AddZeroClass M'
AddZeroClass N'
f : M →+ M'
g : N →+ N'
⊢ f.prodMap g = (f.comp (AddMonoidHom.fst M N)).prod (g.comp (AddMonoidHom.snd M N))
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ p * x ^ (p - 1) * (1 + ε x) - x ^ p * (x⁻¹ / log x ^ 2) = p * x ^ (p - 1) * (1 + ε x) - x ^ (p - 1) / log x ^ 2
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
hl : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |(g x).im|
⊢ (fun x => rexp ((f x).arg * (g x).im)) =Θ[l] fun x => 1
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
a : α
h : IsLUB (Set.range f) a
⊢ ⨆ j, f j = a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.CosimplicialObject.const C) (𝟭 (CategoryTheory.CosimplicialObject C))}
  (f : X ⟶ Y), CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.point.map f = f.left
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β x : κ
⊢ ∑ x_1 : κ, ((traceForm A B) (b x_1 * P.map (⇑(algebraMap A B)) x_1 α)) (b x * P.map (⇑(algebraMap A B)) x β) = (Pᵀ * traceMatrix A b) α x * P x β
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hv : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀ ∧ ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
hx : I.IsInteriorPoint x₀
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsIntegralCurveAt γ v t₀
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
h : ((a.re ^ 2 = 0 ∧ a.imI ^ 2 = 0) ∧ a.imJ ^ 2 = 0) ∧ a.imK ^ 2 = 0
⊢ a = 0
n : Nat
a b : Fin n
⊢ a = b ↔ ↑a = ↑b
α : Type u_1
s : Set α
a : α
Preorder α
h : IsLeast s a
⊢ a ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
α : Type u
AddMonoid α
u : AddUnits α
a : α
h : a + ↑u = 0
⊢ a = ↑(-u)
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
C : ℕ → Sort u_1
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
next : {k : ℕ} → C k → C (k + 1)
Hnext : ∀ (n : ℕ), Injective next
⊢ Injective (leRecOn hnm fun {k} => next)
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
ω : List B
⊢ cs.wordProd (ω.concat i) = cs.wordProd ω * cs.simple i
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
α : Type u_4
s : Finset α
f : α → AdicCompletion I M
n : ℕ
⊢ ↑(s.sum f) n = ∑ a ∈ s, ↑(f a) n
α : Type u
Semiring α
s t : Set α
⊢ s ⊆ t → Ideal.span s ≤ Ideal.span t
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set X
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
hX : (𝓝[S] x₀).HasBasis p s
⊢ (∀ ib ∈ 𝓤 α, ∃ ia, p ia ∧ ∀ x ∈ s ia, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α ib}) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ x ∈ s k, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ U
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
ha : IsMin a
h : b ≤ a
⊢ IsMin b
S : Type u_5
OrderedSemiring S
R : Type u_6
Semiring R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
x y : R
⊢ abv (x * y) = abv x * abv y
M : Type u_1
α : Type u_2
Bornology M
SMul M α
s t : Set α
h : Absorbs M s t
⊢ ∀ᶠ (a : M) in Bornology.cobounded M, t ⊆ a • s
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
⊢ min φ.order ψ.order ≤ (φ + ψ).order
α : Sort u
p : Prop
h₁ : Nonempty α
h₂ : α → p
⊢ p
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
h : u ∈ c.support
⊢ (c.rotate h).support.tail ~r c.support.tail
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ✝ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
γ : Γ₀
h : γ ≠ 0
⊢ Tendsto f l (𝓝 γ) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, f x = γ
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
p : Prop
Decidable p
s t : Finset α
f : α → β
⊢ ∏ x ∈ if p then s else t, f x = if p then ∏ x ∈ s, f x else ∏ x ∈ t, f x
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
r : ℤ → ℝ := fun n => ↑n + a
c : ℤ → ℂ := fun n => 1 / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => c n * ↑(r n) * ↑(rexp (-π * r n ^ 2 * t))) (↑(oddKernel (↑a) t) / 2)
h_sum : Summable fun i => ‖c i‖ / |r i| ^ s.re
this : HasSum (fun i => (s + 1).Gammaℝ * c i * ↑(SignType.sign (r i)) / ↑|r i| ^ s) (mellin (fun t => ↑(oddKernel (↑a) t)) ((s + 1) / 2) / 2)
⊢ HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (completedHurwitzZetaOdd (↑a) s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
hP : P.RespectsIso
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ P (f ≫ g) ↔ P g
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
hR : R ⊆ M.E
hI : (M ↾ R).Basis I X
⊢ M.Basis I X
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ : ℝ
p₁o : P
hp₁o : p₁o ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ p₁o
r₂ : ℝ
p₂o : P
hp₂o : p₂o ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ p₂o
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
t : Set α
MeasureTheory.SFinite μ
ht_subset : t ⊆ μ.sigmaFiniteSetᶜ
⊢ μ t = 0 ∨ μ t = ⊤
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
m : M
⊢ ↑((Submodule.fstEquiv R M M₂).symm m) = (m, 0)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν ≤ (μ s).toReal
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
I : Type u_3
𝕜 : Type u_4
B : I → Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : (i : I) → NormedRing (B i)
inst✝¹ : (i : I) → NormedAlgebra 𝕜 (B i)
inst✝ : ∀ (i : I), NormOneClass (B i)
k : 𝕜
⊢ Memℓp (k • 1) ⊤
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
inst✝¹ : Algebra P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
h : R ≃+* P
H : Submonoid.map h.toMonoidHom M = T
⊢ Submonoid.map h.symm.toMonoidHom T = M
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : DecidableEq α
l : AList fun _x => M
a : α
⊢ l.lookupFinsupp a = 0 ↔ a ∉ l ∨ 0 ∈ lookup a l
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hf : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ ≤ M
hM : 0 ≤ M
⊢ ‖cderiv r f z‖ ≤ M / r
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G
h : c * a = b
⊢ a = b / c
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)
ule : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ (1 / 2) ^ n * (C * ‖y‖)
sNu : Summable fun n => ‖u n‖
su : Summable u
x : E := tsum u
x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
fsumeq : ∀ (n : ℕ), f (∑ i ∈ Finset.range n, u i) = y - h^[n] y
this : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, u i) atTop (𝓝 x)
L₁ : Tendsto (fun n => f (∑ i ∈ Finset.range n, u i)) atTop (𝓝 (f x))
⊢ ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hμf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
⊢ μ {x | f x = ⊤} = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
Field R
CommSemiring A
Nontrivial A
Algebra R A
a b : R
⊢ ↑a = ↑b ↔ a = b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F.op
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit F
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
g : Perm α
hn2 : Fintype.card α < n + 2
hng : n ∈ g.cycleType
⊢ g.cycleType = {n}
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l
⊢ Even (Fintype.card l + Fintype.card l)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
DecidableEq ι
AddMonoid ι
GradedRing 𝒜
I : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ Ideal.homogeneousCore 𝒜 I.toIdeal = I
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
x y : α
LinearOrder α
SemilatticeInf β
hf : AntitoneOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ f (x ⊔ y) = f x ⊓ f y
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
⊢ ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N} ≤ ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype n
Finite m
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
j : n
⊢ ((LinearMap.toMatrix v₁ v₂) f)ᵀ j = ⇑(v₂.repr (f (v₁ j)))
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hp : 0 < p
hq : q < ⊤
hq' : 0 < q
⊢ 0 < p.toReal ∧ 0 < q.toReal ∧ p.toReal ≤ q.toReal
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
a : R
⊢ χ⁻¹ a = Ring.inverse (χ a)
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
⊢ ∏ i ∈ range n, (coeff R (k i)) f = 0
M : Type u_1
Monoid M
⊢ Function.Injective Subgroup.ofUnits
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ (algebraMap K E) (discr K ⇑pb.basis) = (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) * ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen)
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J
⊢ ((limit.π X j ⊗ limit.π Y j) ⊗ limit.π Z j) ≫ (α_ (X.obj j) (Y.obj j) (Z.obj j)).hom = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
a : α
⊢ l₁.length ≤ (l₁ ++ l₂).length
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
f : α → β
g : α →𝒄 β
h : f = ⇑g
⊢ Continuous g.toOrderHom
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
⊢ iteratedDerivWithin n f univ x = deriv^[n] f x
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
⊢ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (0 < a → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → 0 ≤ a)
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid β
l : Filter α
f g : α → β
C : β
hC : ∀ (x : α), C ≤ g x
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atBot → Filter.Tendsto f l Filter.atBot
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
g : N →* P
f : M →* N
⊢ Submonoid.map g (MonoidHom.mrange f) = MonoidHom.mrange (g.comp f)
lc : Lean.Omega.LinearCombo
v : Lean.Omega.Coeffs
⊢ (-lc).eval v = -lc.eval v
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
LieModule R L M'
N : LieSubmodule R L M
f : M' →ₗ⁅R,L⁆ M
⊢ LieSubmodule.comap f N.normalizer = (LieSubmodule.comap f N).normalizer
α : Type u_1
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
Nonempty ι
LinearOrder ι
f : ι → α → G
p : ℝ
hp_nonneg : 0 ≤ p
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f_lim p μ = (∫⁻ (a : α), Filter.liminf (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) Filter.atTop ∂μ) ^ (1 / p)
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R
n : σ →₀ ℕ
a : R
m : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R m) ↑((monomial n) a) = (MvPowerSeries.coeff R m) ((MvPowerSeries.monomial R n) a)
q : ℝ × ℝ
⊢ ↑polarCoord q = (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
CommMonoid N
f : α ≃ β
l : α →₀ M
g : β → M → N
⊢ (Finsupp.equivMapDomain f l).prod g = l.prod fun a m => g (f a) m
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
⊢ map I₁.incl (comap I₁.incl I₂) = I₁.incl.idealRange ⊓ I₂
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ -y < -x ↔ x < y
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
SMul M α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure M α μ
MeasurableSMul M α
c : Mᵈᵐᵃ
⊢ c • 0 = 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)
f g : Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom ⟶ Φ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x : P.Elementsᵒᵖ
eq : yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd ≫ F.op.lanUnit.app P = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ whiskerLeft F.op (F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd))
eq₁ : (f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))
eq₂ : (g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))
⊢ yonedaEquiv ((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst) ≫ f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ Φ.right.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd)) = yonedaEquiv ((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst) ≫ g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ Φ.right.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd))
X Y Z : FintypeCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x : ↑X
⊢ (f ≫ g) x = g (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t✝ : Set α
f : α → β → M
s : Finset α
t : Finset β
⊢ ∏ i ∈ s, ∏ i_1 ∈ t, f i i_1 = ∏ i ∈ t, ∏ i_1 ∈ s, f i_1 i
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
hG : IsSeparator G
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = 0
⊢ ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ 0
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℤ
a b : ZMod p
hx : ↑a.valMinAbs ^ 2 + ↑b.valMinAbs ^ 2 = ↑x
⊢ |a.valMinAbs| ^ 2 + |b.valMinAbs| ^ 2 ≡ x [ZMOD ↑p]
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
M : G.Subgraph
Fintype V
u : Set V
c : (⊤.deleteVerts u).coe.ConnectedComponent
hM : M.IsPerfectMatching
codd : Odd (Nat.card ↑c.supp)
⊢ ∃ w ∈ u, ∃ v, M.Adj (↑v) w ∧ v ∈ c.supp
R : Type u_1
CommRing R
P : Polynomial R
⊢ IsUnit P ↔ IsUnit (P.coeff 0) ∧ ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)