ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α✝ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
y : G
i : ℤ
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
a : α
hs : y • a = a
k : ℤ
hx : y ^ k ∈ zpowers y
⊢ (MulAction.toPerm y ^ k) a = a
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
f : P.Hom P'
v : P.vars →₀ ℕ
r : R
⊢ f.toAlgHom ((MvPolynomial.monomial v) r) = r • v.prod fun x x_1 => f.val x ^ x_1
ι : Type u
α : Option ι → Type v
(i : Option ι) → Zero (α i)
f : Π₀ (i : ι), α (some i)
a : α none
⊢ (DFinsupp.extendWith a f) none = a
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
⊢ IsTopologicalBasis (insert ∅ s)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Finite R M
p : Ideal R
p.IsPrime
Subsingleton (LocalizedModule p.primeCompl M)
⊢ ∃ f ∉ p, Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M)
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R
⊢ -1 • -1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
a : α
b : β
⊢ (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).Adj (Sum3.in₀ a) (Sum3.in₁ b) ↔ ∃ x ∈ t, x.1 = a ∧ x.2.1 = b
α : Type u_2
LinearOrderedField α
⊢ AntitoneOn (fun x => x⁻¹) (Set.Iio 0)
α : Type u_2
AddGroup α
a : α
⊢ (fun x => -a + x) ⁻¹' 0 = {a}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
⊢ map f F ⊓ G ≤ map f (F ⊓ comap f G)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
hs : s₁ ⊆ s₂
h₂ : MeasurableSet s₂
this : extend m s₂ = extend m s₁ + extend m (s₂ \ s₁)
⊢ extend m s₁ ≤ extend m s₂
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
P Q : W.Point
⊢ P.add Q = P + Q
X : Type u
α : Type v
TopologicalSpace X
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
a : X
l : Filter X
ha : a ∈ s
l.NeBot
hl : l ≤ 𝓟 s
f : X → α
hf : ContinuousOn f s
v : α
ht : Filter.Tendsto f l (𝓝 v)
⊢ Set.Ico (f a) v ⊆ f '' s
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedCommRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
⊢ Function.Surjective ⇑(gelfandTransform ℂ A)
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i j k : ι
hij : i ≤ j
hjk : j ≤ k
x : G i
⊢ (f j k hjk) ((f i j hij) x) = (f i k ⋯) x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : 0 < P.degree
hP : P.leadingCoeff ≤ 0
⊢ Tendsto (fun x => |eval x P|) atTop atTop
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
NormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
DenselyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sSup ((fun x => ‖f x‖) '' Metric.closedBall 0 1) = ‖f‖
α : Type u_4
o : Option α
⊢ ↑o = { Dom := o.isSome = true, get := o.get }
R : Type u_1
MonoidWithZero R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
s : ↥S
⊢ 0 /ₒ s = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
⊢ (-s).toJordanDecomposition = -s.toJordanDecomposition
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
e : X ≅ Y
⊢ ∀ (a : ℕ), (s.ofIso e).N a = s.N a
R : Type u_1
CommRing R
Finite Rˣ
χ : MulChar R ℂ
a : R
⊢ star (χ a) = χ⁻¹ a
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : m.NeBot
s : Set α
t : Set β
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ᶠ (y : β) in m, (x, y) ∈ s ×ˢ t
w✝ : α
hx : ∀ᶠ (y : β) in m, (w✝, y) ∈ s ×ˢ t
⊢ {x | (fun y => (w✝, y) ∈ s ×ˢ t) x} ⊆ t
G : Type u_1
Group G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
SubgroupClass S G
x y : G
h : x ∈ H
⊢ x * y ∈ H ↔ y ∈ H
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s : Set α
hs : IsAntichain r s
φ : r ↪r r'
⊢ IsAntichain r' (⇑φ '' s)
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type uM
inst✝⁸ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁷ : ChartedSpace H M✝
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M✝
inst✝⁵ : SigmaCompactSpace M✝
inst✝⁴ : T2Space M✝
t : M✝ → Set F
n : ℕ∞
M : Type u_1
inst✝³ : MetricSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
K U : ι → Set M
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
δ : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
hδ0 : ∀ (x : M), 0 < δ x
hδ : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, EMetric.closedBall x (ENNReal.ofReal (δ x)) ⊆ U i
i : ι
x : M
hx : x ∈ K i
⊢ EMetric.closedBall x (ENNReal.ofReal (δ x)) ⊆ U i
n : Nat
i : Nat
h : i < (Fin.enum n).size
⊢ (Fin.enum n)[i] = ⟨i, ⋯⟩
M : Type u
MulOneClass M
a : M
⊢ 1 * a = a
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
x y : α
hx : Irreducible x
⊢ IsUnit (gcd x y) ↔ ¬x ∣ y
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
Unique ι
f : ι → α
⊢ ⨅ i, f i = f default
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
SemilatticeInf β
ContinuousInf β
ι : Type u_4
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → C(α, β)
⊢ ⇑(s.inf' H f) = s.inf' H fun i => ⇑(f i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type u_4)
X B : C
π : X ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasPullback π π
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.map π.op) (P.map (CategoryTheory.Limits.pullback.fst π π).op) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.map π.op) (P.map (CategoryTheory.Limits.pullback.snd π π).op)
n d a : Int
a0 : a ≠ 0
⊢ a * n /. (a * d) = n /. d
x : ℂ
⊢ Complex.tan (↑Real.pi / 2 - x) = (Complex.tan x)⁻¹
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 2 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, q - 1 ≤ ‖↑q - ζ'‖
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, q - 1 < ‖↑q - ζ'‖
this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0
⊢ { x // x ∈ primitiveRoots n ℂ } → NNRealˣ
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (↑‖a‖₊)⁻¹
n : ℕ
⊢ ‖a ^ n‖₊ * r ^ n ≤ max 1 ‖1‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Function.Surjective f
a b : α
⊢ Set.SurjOn f (Set.Ico a b) (Set.Ico (f a) (f b))
k : Type u
inst✝¹ : Field k
K : Type v
inst✝ : Field K
H : ∀ (p : k[X]), p.Monic → Irreducible p → p.Separable → ∃ x, eval x p = 0
p : k[X]
hsep : p.Separable
q : k[X]
hq : Irreducible q
hdvd : q ∣ p
⊢ q.degree = 1
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C
X Y Z : Subobject B
h₁ : X ≤ Y
h₂ : Y ≤ Z
⊢ X.ofLE Y h₁ ≫ Y.ofLE Z h₂ = X.ofLE Z ⋯
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
⊢ QuasiMeasurePreserving Inv.inv μ μ
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Ico a a = 0
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
S : Set (NonUnitalSubsemiring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ ↑(sSup S) ↔ x ∈ ⋃ s ∈ S, ↑s
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
x : ↑C
⊢ (eval (π C J) l) (Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) = (eval C l) x
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : L.SeparatesPointsStrongly
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
⊢ ∃ x, dist x f < ε ∧ x ∈ L
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
f : α → m β
⊢ List.mapM f [] = pure []
a b : ℕ
H3 : 2 * b ≤ 9 * a + 3
⊢ 3 * b ≤ 16 * a + 9
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
h : (f i) x = 0
⊢ f.toPOUFun i x = 0
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f x) / (z - x)
α : Type u_1
sz : ℕ
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
⊢ (Ordnode.node sz l x m).rotateR y r = if m.size < Ordnode.ratio * l.size then l.node3R x m y r else l.node4R x m y r
α : Type u
x : α
s t : Set α
h : s ⊆ t
hx : x ∉ s
⊢ s ⊆ t \ {x}
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n
A : Matrix m n α
B : Matrix n o α
i : m
⊢ (A * B) i = A i ᵥ* B
n : ℕ
⊢ (antidiagonal (n + 1)).val = (0, n + 1) ::ₘ Multiset.map (⇑({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ))) (antidiagonal n).val
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ Algebra.IsSeparable F ↥(separableClosure F E) ∧ IsPurelyInseparable (↥(separableClosure F E)) E
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
r : α → α → Prop
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → r a b
⊢ ∀ {a b : α}, [a, b] <+ l → r a b
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ + ‖I • y‖ * ‖I • y‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
w : MeasureTheory.VectorMeasure α N
h : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ↑w s = 0 → ↑v s = 0
⊢ v ≪ᵥ w
x✝³ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n j : ℕ
hj : j ≥ n
x✝² : ℕ
x✝¹ : x✝² ∈ range j
x✝ : x✝² ∉ range n
⊢ 0 ≤ x ^ x✝² / ↑x✝²!
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ WeierstrassCurve.expCoeff (2 * (m + 3)) = WeierstrassCurve.expCoeff (m + 2) ^ 2 * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 3) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 5) - WeierstrassCurve.expCoeff (m + 1) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 3) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 4) ^ 2 ∧ WeierstrassCurve.expCoeff (2 * (m + 2) + 1) = (WeierstrassCurve.expCoeff (m + 4) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 2) ^ 3 * if Even m then 4 ^ 2 else 1) - WeierstrassCurve.expCoeff (m + 1) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else 4 ^ 2
z w : ℍ
r : ℝ
⊢ dist z w < r ↔ dist ↑z ↑(w.center r) < w.im * Real.sinh r
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
hfin : Finite a b
hdiv : a ∣ b
h : (multiplicity a b).get hfin = 0
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
α : Type u_1
Z : α → C
f : CategoryTheory.Limits.Fan Z
c : CategoryTheory.Limits.Cofan fun x => Opposite.op (Z x)
hf : CategoryTheory.Limits.IsLimit f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
b : α
⊢ (f.proj b).op ≫ (CategoryTheory.Limits.opProductIsoCoproduct' hf hc).hom = c.inj b
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : Nontrivial R
φ : R[X] →*₀ G₀
hφ : Function.Injective ⇑φ
hφ' : optParam (R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ G₀⁰) ⋯
a a' : R[X] × ↥R[X]⁰
h : φ a.1 / φ ↑a.2 = φ a'.1 / φ ↑a'.2
⊢ φ ↑a.2 ≠ 0
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s t : Finset α
⊢ (s.disjSups t).Nonempty → t.Nonempty
α : Type u_1
CompleteLattice α
s t : Set α
h : s ⊆ insert ⊥ t
⊢ sSup s ≤ sSup t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a✝ : α
d : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ d n
hd : Summable d
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ dist (f n) a ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)
α : Type v
Preorder α
a b : α
⊢ Disjoint (Set.Ioc a b) (Set.Ioi b)
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u
AddCommGroup N
Module R N
P : Type u
AddCommGroup P
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
k : ℕ
x : AdicCompletion.AdicCauchySequence I N
hker : ∀ (n : ℕ), g (↑x n) ∈ I ^ n • ⊤
n : ℕ
⊢ ∃ d y, d ∈ I ^ (k + n) • ⊤ ∧ f y = ↑x (k + n) - d
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
⊢ ∀ x_1 ∈ List.range (minimalPeriod f x), ∀ y ∈ List.range (minimalPeriod f x), f^[x_1] x = f^[y] x → x_1 = y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f₁ : E → F
f₂ : E → G
hf₁ : Differentiable 𝕜 f₁
hf₂ : Differentiable 𝕜 f₂
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => (f₁ x, f₂ x)
g : Matrix.SpecialLinearGroup (Fin 2) ℤ
⊢ ↑(ModularGroup.T * g) 1 = ↑g 1
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
s : Set M₂
⊢ ⇑e ⁻¹' closure s = closure (⇑e ⁻¹' s)
n n' : Nat
i : Fin n
h : 0 + n = n'
⊢ Fin.cast h (Fin.natAdd 0 i) = Fin.cast ⋯ i
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : ι → Submodule R M
DecidableEq ι
κ : ι → Type u_4
(i : ι) → Fintype (κ i)
(i : ι) → DecidableEq (κ i)
s : Finset ι
h : DirectSum.IsInternal fun i => N ↑i
b : (i : { x // x ∈ s }) → Basis (κ ↑i) R ↥(N ↑i)
σ : ι → ι
hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), Set.MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N (σ i))
hN : ∀ i ∉ s, N i = ⊥
⊢ ((LinearMap.toMatrix (h.collectedBasis b) (h.collectedBasis b)) f).diag = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
t : Finset E
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
ht₃ : x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ ∃ ι x_1 z w, Set.range z ⊆ s ∧ AffineIndependent 𝕜 z ∧ (∀ (i : ι), 0 < w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ ∑ i : ι, w i • z i = x
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
e : ι ≃ κ
hst : ∀ (i : ι), i ∈ s ↔ e i ∈ t
hfg : ∀ i ∈ s, f i = g (e i)
⊢ ∏ i ∈ s, f i = ∏ i ∈ t, g i
α : Type u_1
as : List α
i : Nat
h : List.take i as ≠ []
⊢ as ≠ []
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
NormedSpace ℝ X
c : ℝ
h : c ≠ 0
⊢ Conformal fun x => c • x
R : Type u
Semiring R
p r : R[X]
k : ℕ
⊢ (p * Polynomial.X ^ k).comp r = p.comp r * r ^ k
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
p : K[X]
m : p.Monic
hsplit : Splits (RingHom.id K) p
⊢ p = (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
⊢ (-A).det = (-1) ^ Fintype.card n * A.det
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n d : ℕ
r : R
⊢ (p * (Polynomial.monomial n) r).coeff (d + n) = p.coeff d * r
w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0
⊢ (x ^ y) ^ y⁻¹ = x
α : Type u
f : α → α
a : α
⊢ Stream'.corec id f a = Stream'.iterate f a
α : Type u_1
a : α
L : List (List α)
⊢ a ∈ L.join ↔ ∃ l, l ∈ L ∧ a ∈ l
r p : ℝ
h : r ≤ p
⊢ r.toNNReal ≤ p.toNNReal
α : Type u
DivisionMonoid α
a : α
h : IsUnit a
⊢ ↑h.unit'⁻¹ = a⁻¹
R : Type u_9
M : Type u_10
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ (p ⊔ p').toAddSubgroup = p.toAddSubgroup ⊔ p'.toAddSubgroup
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → β
b : β
x : α
xs : List α
⊢ foldr f b (xs ++ [x]) = foldr f (f x b) xs
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
h : IsHausdorff I M
⊢ ⨅ n, I ^ n • ⊤ = ⊥
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
(i : ι) → Field (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
p : Ring.DirectLimit G f
⊢ p ≠ 0 → ∃ y, p * y = 1
α : Type u
SemilatticeSup α
Nonempty α
s : Finset α
⊢ BddAbove ↑s
α : Type u_1
Encodable α
v : ℕ
⊢ Encodable.decode v.succ =
  Seq.seq ((fun x x_1 => x :: x_1) <$> Encodable.decode (Nat.unpair v).1) fun x => Encodable.decode (Nat.unpair v).2
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulMono α β
s : Set β
a : α
ha : a < 0
⊢ lowerBounds (a • s) = a • upperBounds s
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ↑(atlas H M)
x : M
hx : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
v : E
⊢ ↑((↑i).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm =ᶠ[𝓝[range ↑I] ↑((↑i).extend I) x] fun x => x
α : Type u_1
LE α
a : α
⊢ IsMin (OrderDual.toDual a) ↔ IsMax a
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
CategoryTheory.Category.{u_9, u_2} C₁
CategoryTheory.Category.{u_12, u_3} C₂
CategoryTheory.Category.{u_11, u_4} C₃
CategoryTheory.Category.{u_8, u_5} D₁
CategoryTheory.Category.{u_13, u_6} D₂
CategoryTheory.Category.{u_10, u_7} D₃
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
W₃ : CategoryTheory.MorphismProperty C₃
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
Ψ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₂ W₃
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₁.IsLocalization W₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₂.IsLocalization W₂
L₃ : CategoryTheory.Functor C₃ D₃
L₃.IsLocalization W₃
X Y : C₁
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
⊢ Ψ.homMap L₂ L₃ (Φ.homMap L₁ L₂ f) = (Φ.comp Ψ).homMap L₁ L₃ f
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
g✝ : σ → S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
φ : S₁ →+* S₂
⊢ ∀ (r : R), (φ.comp (eval₂Hom f g)) (C r) = (eval₂Hom (φ.comp f) fun i => φ (g i)) (C r)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
i : IsIso 0
⊢ 0 ≫ inv 0 = 0 ∧ inv 0 ≫ 0 = 0
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
⊢ MvPolynomial.zeroLocus ⊥ = ⊤
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
⊢ (LieAlgebra.zeroRootSubalgebra R L H).normalizer = LieAlgebra.zeroRootSubalgebra R L H
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
⊢ ValuationRing R ↔ ∀ (x : K), IsLocalization.IsInteger R x ∨ IsLocalization.IsInteger R x⁻¹
α : Type u_3
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
Fintype ↑(Set.Ico a b)
⊢ (Set.Ico a b).toFinset = Finset.Ico a b
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ ofFn f = [] ↔ n = 0
n : Type u_4
α : Type u_5
ι : Type u_7
Fintype n
Unique ι
SeminormedAddCommGroup α
v : n → α
⊢ ‖Matrix.row ι v‖₊ = ∑ i : n, ‖v i‖₊
i j k : Int
⊢ i - k = j - k ↔ i = j
G₀ : Type u_3
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
GroupWithZero G₀
GroupWithZero G₀'
FunLike F G₀ G₀'
MonoidWithZeroHomClass F G₀ G₀'
f : F
a : G₀
⊢ f a⁻¹ = (f a)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : α ≃ₜ β
b : β
f : β → E
g : β → F
⊢ (∃ c, IsBigOWith c (𝓝 b) f g) ↔ ∃ c, IsBigOWith c (𝓝 (e.symm b)) (f ∘ ⇑e) (g ∘ ⇑e)
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
⊢ eLpNorm' f_lim p.toReal μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p.toReal μ) atTop
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a < b
h' : c ≤ d
⊢ Set.Ico a d ∈ 𝓝ˢ (Set.Ico b c)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsTrans α r
IsTrans β s
x y z : α × β
⊢ Prod.Lex r s x y → Prod.Lex r s y z → Prod.Lex r s x z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
X : CategoryTheory.FullSubcategory P
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X.obj).inv
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), s.indicator (fun x => 1) (y * x) * f x⁻¹ ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : G), ν ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * f x⁻¹ ∂μ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x✝ : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩
x : A
hx : x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
y : A
hy : y ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
⊢ f ⟨x, hx⟩ = f ⟨y, hy⟩ → ⟨x, hx⟩ = ⟨y, hy⟩
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f : SchwartzMap E F
M : ℝ
hMp : 0 ≤ M
hM : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ M
⊢ SchwartzMap.seminormAux k n f ≤ M
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
⊢ ↑(Nat.chineseRemainderOfList a s [] ⋯) = 0
A : Type u_1
SeminormedAddGroup A
n : ℕ
δ : ℝ
a : A
⊢ a ∈ approxAddOrderOf A n δ ↔ ∃ b, addOrderOf b = n ∧ a ∈ Metric.ball b δ
T : ℝ
x : AddCircle T
⊢ ↑(toCircle 0) = 1
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
this : λ ^ 2 ∣ λ ^ 4
h : λ ^ 2 ∣ ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S = 1 ∨ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S = -1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
Y : C
T : CategoryTheory.Functor C D
f : S ⟶ T.obj Y
⊢ CategoryTheory.StructuredArrow.mkPostcomp f (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y) = CategoryTheory.eqToHom ⋯
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
P : Algebra.Generators R S
x : P.vars
⊢ P.baseChange.val x = 1 ⊗ₜ[R] P.val x
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
⊢ b ∈ List.lookupAll a l ↔ ⟨a, b⟩ ∈ l
n : ℕ
⊢ Fintype.card ↑(FintypeCat.Skeleton.incl.obj (FintypeCat.Skeleton.mk n)) = n