ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α✝ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : TopologicalSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace Y
inst✝¹⁰ : SMul M X
inst✝⁹ : ContinuousSMul M X
R : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁸ : FunLike F α β
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : AddCommMonoid β
inst✝⁴ : Module R α
inst✝³ : Module R β
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : LinearMapClass F R α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousSMul R β
f : F
tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ
⊢ Continuous (⇑f ∘ fun p => p.1 • p.2)
X : Type u_1
s : Set X
⊢ (some '' s)ᶜ = some '' sᶜ ∪ {∞}
R : Type u
Ring R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ Function.Injective ⇑f
α : Type u_3
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ℕ → α
h : Monotone f
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) - f i) = f n - f 0
α : Type u
l : List α
h : 0 ≤ l.length
⊢ l.rotate' 0 = drop 0 l ++ take 0 l
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
⊢ (cyclotomic n K).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ n
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)
c : E
⊢ ↑↑↑((MeasureTheory.condexpL2 𝕜 𝕜 hm) (MeasureTheory.Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜) ⋯)) =ᵐ[μ] fun a =>
  ⟪c, ↑↑↑((MeasureTheory.condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommSemiring α
DecidableEq ι
f g : ι → α
s : Finset ι
⊢ ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∑ t ∈ s.powerset, (∏ i ∈ t, f i) * ∏ i ∈ s \ t, g i
α : Type u_2
DivisionMonoid α
HasDistribNeg α
n : ℤ
⊢ Even n → ∀ (a : α), (-a) ^ n = a ^ n
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
u : ↥(center G₀ˣ)
r : G₀
⊢ r * ↑↑u = ↑↑u * r
R : Type u_1
M : Type u_4
S : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
Semiring S
SMul R S
Module S M
IsScalarTower R S M
⊢ ↑(Submodule.span R s) ⊆ ↑(Submodule.span S s)
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖
⊢ (∑' (n : ℕ), f n) * ∑' (n : ℕ), g n = ∑' (n : ℕ), ∑ k ∈ range (n + 1), f k * g (n - k)
α : Type u_1
Monoid α
x : α
n : Multiplicative ℕ
⊢ ((powersHom α) x) n = x ^ Multiplicative.toAdd n
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
⊢ ∀ (r : R), ∃ (x : (_root_.algebraMap R A) r ∈ adjoin R s), p ⟨(_root_.algebraMap R A) r, x⟩
ι : Sort u_1
G : Type u_2
AddGroup G
S : ι → AddSubgroup G
⊢ (iSup S).op = ⨆ i, (S i).op
R : Type u₁
S : Type u₂
Ring R
Ring S
f : R →+* S
M : ModuleCat R
g : ↑((ModuleCat.coextendScalars f).obj M)
s s' : S
⊢ (s • g).toFun s' = g.toFun (s' * s)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ s.sigma t ⊆ Sigma.fst ⁻¹' s
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), AEStronglyMeasurable' m f μ → AEStronglyMeasurable' m g μ → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f : ↥(Lp F p μ)
hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
f' : ↥(lpMeas F ℝ m p μ) := ⟨f, hf⟩
g : ↥(Lp F p (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm) f'
hfg : f' = (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g
⊢ ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : (μ.trim hm) s < ⊤), (fun g => P ↑((lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g)) ↑(simpleFunc.indicatorConst p hs ⋯ c)
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ ¬s ⊆ t ↔ ∃ x ∈ s, x ∉ t
f : MulRingNorm ℚ
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
⊢ Nat.Prime p
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
⊢ MeasurableSet (⋂ i, ⋃ i_1, ⋂ i_2, ⋂ (_ : i_2 ≥ i_1), ⋂ i_3, ⋂ (_ : i_3 ≥ i_1), {x | x.2 ∈ B (f x.1) K ((1 / 2) ^ i_2) ((1 / 2) ^ i_3) ((1 / 2) ^ i)})
y : ℝ
hy : 0 < y
x : ℝ≥0
⊢ (NNReal.orderIsoRpow y hy) x = x ^ y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hι : Nonempty ι
C : ℝ
hC₁ : 0 < C
hC₂ : eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
⊢ eLpNorm ({x | ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ = eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
N : Matroid α
hX : M.Dep X
hNM : N.Restriction M
hXE : X ⊆ N.E := by aesop_mat
⊢ N.Dep X
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
self : W.LeftFraction₂ X Y
⊢ W self.s
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
k : Fin pb.dim
⊢ ((Algebra.lmul A S) pb.gen) (pb.basis k) = ((Matrix.toLin pb.basis pb.basis) (Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0)) (pb.basis k)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set α
x : M
⊢ x ∈ span R (v '' s) ↔ ∃ l ∈ supported R R s, (Finsupp.total α M R v) l = x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
⊢ IsJacobson R ↔ ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P
f : ℕ → ℂ
⊢ LSeries.delta * f = f 1 • LSeries.delta
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
p : TangentBundle I M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
h : MDifferentiableAt I I' f p.proj
⊢ tangentMapWithin I I' f s p = tangentMap I I' f p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
z : Sym2 α
⊢ z ∈ s.sym2 ↔ z ∈ image Sym2.mk (s ×ˢ s)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
e : A ≃ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
x : ↑↑S.toAddSubmonoid
⊢ ↑((e.subalgebraMap S) x) = e ↑x
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ ‖x‖ * ‖x‖ ≤ ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖
R : Type u_3
R' : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
NonUnitalNonAssocSemiring R'
NonUnitalNonAssocSemiring S'
f : R →ₙ+* R'
g : S →ₙ+* S'
⊢ ⇑(f.prodMap g) = Prod.map ⇑f ⇑g
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddMonoid ι
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
a : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)
i : ι
⊢ (GradedRing.proj 𝒜 i) ((DirectSum.decompose 𝒜).symm a) =
  (DirectSum.decompose 𝒜).symm ((DirectSum.of (fun i => ↥(𝒜 i)) i) (a i))
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Small.{v, u} R
H : ∀ ⦃N N' N'' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : AddCommGroup N''] [inst_3 : Module R N] [inst_4 : Module R N'] [inst_5 : Module R N''] ⦃f : N →ₗ[R] N'⦄ ⦃g : N' →ₗ[R] N''⦄, Function.Exact ⇑f ⇑g → Function.Exact ⇑(lTensor M f) ⇑(lTensor M g)
N' N'' : Type v
x✝³ : AddCommGroup N'
x✝² : AddCommGroup N''
x✝¹ : Module R N'
x✝ : Module R N''
L : N' →ₗ[R] N''
hL : Function.Injective ⇑L
x : M ⊗[R] N'
hx : (lTensor M L) x = 0
⊢ x ∈ ⊥
m : Type u_1 → Type u_2
α ρ : Type u_1
Monad m
a : α
ctx : ρ
⊢ (pure a).run ctx = pure a
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
⊢ S ∈ leftTransversals ↑H ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.leftRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nat
h : 0 < n
⊢ (mk n h).size = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
_h : (x :: y :: l).Nodup
h0 : 0 < (x :: y :: l).length
h₁ : (x :: y :: l).get ⟨0, h0⟩ = x
⊢ y = (x :: y :: l).get ⟨(↑⟨0, h0⟩ + 1) % (x :: y :: l).length, ⋯⟩
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
ι : Type u_5
Countable ι
F : ι → ℝ → E
bound : ι → ℝ → ℝ
hF_meas : ∀ (n : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F n) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ‖F n t‖ ≤ bound n t
bound_summable : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → Summable fun n => bound n t
bound_integrable : IntervalIntegrable (fun t => ∑' (n : ι), bound n t) μ a b
h_lim : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → HasSum (fun n => F n t) (f t)
⊢ HasSum (fun n => ∫ (t : ℝ) in a..b, F n t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, f t ∂μ)
α : Type u_1
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Filter.Tendsto m f (𝓝 a)
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun x => m x * b) f (𝓝 (a * b))
R : Type u
Ring R
q : R[X]
p : R[X]
hq : ¬q.Monic
⊢ p %ₘ q = p
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
i : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑i)
hx : a ∉ s
⊢ count a ↑(fill a i s) = ↑i
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
⊢ (p.scaleRoots s).natDegree = p.natDegree
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x : 𝕎 R
⊢ x.verschiebungFun.coeff 0 = 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g✝ : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hle : ∀ x ∈ Ioc a b, f x ≤ g x
hlt : ∃ c ∈ Icc a b, f c < g c
⊢ f ≤ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc a b))] g
α : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq α
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : MulZeroOneClass R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : MulZeroOneClass S
inst✝¹ : DecidableEq S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →*₀ S
hf : Function.Injective ⇑f
y : WithTop R
this : ∀ (z : WithTop R), map (⇑f) z = 0 ↔ z = 0
⊢ { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (0 * y) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun 0 * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun y
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
f : α → γ
h : ContinuousOn f s
⊢ LowerSemicontinuousOn f s
R : Type u_1
Ring R
s : Subring R
ι : Type u_2
t : Finset ι
f : ι → R
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ s
⊢ ∑ i ∈ t, f i ∈ s
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b✝ : WithTop α
b : α
hb : b ≠ 0
⊢ ⊤ = Option.bind ⊤ fun a => Option.some (a * b)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
hs : s ∈ 𝔖
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
⊢ UniformOnFun.gen 𝔖 s V ∈ 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)
α : Type u_1
G : Type u_9
SubNegZeroMonoid G
g₁ g₂ : α →₀ G
⊢ ⇑(g₁ - g₂) = ⇑g₁ - ⇑g₂
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
⊢ dual A K 1 ≠ 0
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s
⊢ ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ s.re
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
f : Stream' (Option α)
al : f.IsSeq
⊢ tail ⟨some a :: ↑⟨f, al⟩, ⋯⟩ = ⟨f, al⟩
α : Type u_1
s : Finset α
f✝ : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
ha : a ∉ s
f : α → ℕ
⊢ 0 < ∏ i ∈ cons a s ha, (f i)!
α : Type u_2
DistribLattice α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ (latticeClosure s).Finite
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X X' : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
Z : C
f : AlgebraicTopology.DoldKan.MorphComponents X n Z
g : X' ⟶ X
i : Fin (n + 1)
⊢ (f.preComp g).b i = g.app (Opposite.op [n]) ≫ f.b i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → α
g : α → γ → α
hfg : (Set.range fun a c => f c a) ⊆ Set.range fun b c => g c b
a : α
⊢ (Set.range fun l => foldr (fun z w => f w z) a l.reverse) ⊆ Set.range fun l => foldr (fun z w => g w z) a l.reverse
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
this : ∀ (M : Type ?u.7851) (N : Type ?u.7850) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
y : α
hya : a ≤ y
hyb : y < b
z : α
hzc : c < z
hzd : z ≤ d
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ioo (a * c) (b * d)
α : Type u
SubtractionMonoid α
a b c : α
h : IsAddUnit c
⊢ a = b - c ↔ a + c = b
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
S : IntermediateField K L
f : L →ₐ[K] L'
⊢ (IntermediateField.map f S).toSubfield = Subfield.map (↑f) S.toSubfield
η : Type u_3
Gs : η → Type u_4
(i : η) → AddGroup (Gs i)
tfGs : ∀ (i : η), AddMonoid.IsTorsionFree (Gs i)
⊢ AddMonoid.IsTorsionFree ((i : η) → Gs i)
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
⊢ n + n ∉ Set.Ioo (k + n) (n + n)
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
h : dist x y < (1 / 2) ^ n
i : ℕ
hi : i ≤ n
⊢ x i = y i
α : Type u
a : α
s : Set α
⊢ s ⊆ {a}ᶜ ↔ a ∉ s
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
P : M
self : IsLprojection X P
x : X
⊢ ‖x‖ = ‖P • x‖ + ‖(1 - P) • x‖
α : Type u
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α
a b c : α
⊢ min (a * b) c = min (min a c * min b c) c
α : Type u_1
l : Filter α
ι : Type u_5
p : ι → Type u_6
g : α → (x : ι) → p x
h : Filter.EventuallyConst g l
i : ι
⊢ Filter.EventuallyConst (fun x => g x i) l
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
h : a ≤ b
⊢ a - min a b = a - b
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.66755, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : (HomologicalComplex Vᵒᵖ c)ᵒᵖ
i✝ : ι
⊢ ((unopFunctor V c).map ((unopUnitIso V c).hom.app X)).f i✝ ≫ ((unopCounitIso V c).hom.app ((unopFunctor V c).obj X)).f i✝ = (𝟙 ((unopFunctor V c).obj X)).f i✝
α : Type u_1
β : Type u_2
la : Filter α
lb : Filter β
s t : α → Set β
ht : Filter.Tendsto t la lb.smallSets
hst : ∀ᶠ (x : α) in la, s x ⊆ t x
⊢ Filter.Tendsto s la lb.smallSets
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
t : L.Term ((γ ⊕ α) ⊕ β)
⊢ FirstOrder.Language.Term.constantsVarsEquivLeft.symm t =
  (FirstOrder.Language.Term.relabel (⇑(Equiv.sumAssoc γ α β)) t).varsToConstants
α : Type u_1
xs : List α
a b : α
ha : a ∈ xs
hb : b ∈ xs
⊢ s(a, b) ∈ xs.sym2
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
a : G
ha : a ∉ H ∧ ∀ x ∉ H, x⁻¹ * a ∈ H
b : G
hb : b ∉ H
⊢ b * a ∈ H
R✝ : Type u
ι✝ : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
I : ι → ℕ
hI : Pairwise fun i j => (I i).Coprime (I j)
⊢ ∀ (i j : ι), i ≠ j → IsCoprime ↑(I i) ↑(I j)
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r
⊢ v % r < r ∧ -↑(v % r) ≤ 0
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
dt : ℝ
⊢ IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x + dt) v (t₀ - dt)
n : ℕ∞
⊢ ContDiff ℝ n expNegInvGlue
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
(CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
h₁ : Function.Injective ⇑f.base
h₂ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), CategoryTheory.Epi (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x)
⊢ CategoryTheory.Mono f
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
⊢ comap p.mkQ (map p.mkQ p') = p ⊔ p'
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
CommSemiring k
Group G
AddCommMonoid V
Module k V
ρ : Representation k G V
Fintype G
Invertible ↑(Fintype.card G)
v : V
⊢ ρ.averageMap v ∈ ρ.invariants
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hr : r ≤ 0
⊢ ∃ r' < r, s ⊆ ball x r'
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
⊢ 0 ≤ P.energy G
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTrans α r
IsAntisymm α r
IsTotal α r
s : Finset α
⊢ (Finset.sort r s).Nodup
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ MeasureTheory.volume.toBoxAdditive I = ∏ i : ι, (I.upper i - I.lower i)
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
f : α →*₀o β
h : Monotone (↑↑f).toFun
⊢ { toMonoidWithZeroHom := ↑f, monotone' := h } = f
α : Type u_1
l : List α
a : α
⊢ l.concat a ~ a :: l
I : Type u
f : I → Type v
γ : Type w
Nonempty I
(i : I) → AddZeroClass (f i)
AddZeroClass γ
g : (i : I) → γ →+ f i
hg : ∀ (i : I), Function.Injective ⇑(g i)
⊢ Function.Injective ⇑(Pi.addMonoidHom g)
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ a ∉ Multiset.Ioo a b
S : Set Ordinal.{u}
hS : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
⊢ Set.range (Ordinal.enumOrd S) = S
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
⊢ sSup T₁ ⊓ sSup T₂ ≤ sSup (T₁ ∩ T₂)
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hpu : ¬IsUnit p
⊢ Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Finset.Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : μ o = μ s
a : BallPackage (↑s) α := { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
h : s.Finite
⊢ h.toFinset = s.toFinset
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom = ((α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ (𝟙_ C) X₂).hom ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
MeasurableAdd G
MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => -t + x₀) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (Function.support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hmg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map (fun t => x₀ - t) (μ.restrict s))
⊢ MeasureTheory.ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
α : Type u
β : Type v
GroupWithZero α
MulAction α β
a : α
ha : a ≠ 0
b : β
⊢ (Equiv.smulRight ha).symm b = a⁻¹ • b
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
h_dvd : v.maxPowDividing I ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I
h_not_dvd : ¬v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1) ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I
⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
y : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U)
hy : hU.fromSpec.val.base y ∈ U
⊢ (asIso (Scheme.Hom.stalkMap hU.fromSpec y)).commRingCatIsoToRingEquiv.toRingHom.comp (X.presheaf.germ ⟨hU.fromSpec.val.base y, hy⟩) = StructureSheaf.toStalk (↑Γ(X, U)) y
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o : Ordinal.{u}
hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o
f : LocallyConstant ↑C ℤ
m : Products I
⊢ m < l → (eval C m = f ↔ (πs C o) (eval (π C fun x => ord I x < o) m) = f)
α : Type u_1
x✝ y z : ℝ
l : Filter α
x : ℝ
⊢ rexp (x / 2) = √(rexp x)