ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (iSup U)))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (leSupr U i).op) s = (F.val.map (leSupr U i).op) t
sf : (i : ι) → (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (U i))) := fun i => (F.val.map (leSupr U i).op) s
sf_compatible : IsCompatible F.val U sf
⊢ s = t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeInf α
inst✝⁵ : BoundedOrder α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑s
ha : a ∈ s
⊢ ∀ (b : α), b ∈ s ∧ b ≤ a → a ≤ id b
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
a b : E
r : ℝ
c : E
⊢ a * c ∈ Metric.ball (b * c) r ↔ a ∈ Metric.ball b r
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
⊢ ModularForm.slash k A 0 = 0
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp ℝ p μ)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑↑(MeasureTheory.Lp.negPart f) a = -min (↑↑f a) 0
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
hm : x - ↑m ∈ Ideal.span {↑p}
hn : x - ↑n ∈ Ideal.span {↑p}
⊢ ↑m = ↑n
R : Type u
Ring R
S : Subsemiring R
x : R
h : ∀ {x : R}, x ∈ S.carrier → -x ∈ S.carrier
⊢ x ∈ { toSubsemiring := S, neg_mem' := h } ↔ x ∈ S
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Sub G
ContinuousSub G
TopologicalSpace α
f g : α → G
x : α
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
⊢ ContinuousAt (fun x => f x - g x) x
U : Type u_1
Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
p : Quiver.Path u v
⊢ Quiver.Path.cast hu hv p = cast ⋯ p
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
⊢ EMetric.hausdorffEdist s t = 0 ↔ closure s = closure t
α : Type u_1
LT α
a b : α
⊢ ↑a < ↑b ↔ a < b
n k : ℕ
hk : k ≤ n
⊢ k ! * (n - k)! ∣ n.choose k * (k ! * (n - k)!)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ⊓ (b ⊓ c ⊔ bᶜ ⊓ cᶜ) ⊔ (b ⊓ cᶜ ⊔ c ⊓ bᶜ) ⊓ aᶜ = a ⊓ b ⊓ c ⊔ a ⊓ bᶜ ⊓ cᶜ ⊔ b ⊓ cᶜ ⊓ aᶜ ⊔ c ⊓ bᶜ ⊓ aᶜ
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet Set.univ μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : CategoryTheory.CommSq f g inl inr
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
i : P ≅ CategoryTheory.Limits.pushout f g
w₁ : inl ≫ i.hom = CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g
w₂ : inr ≫ i.hom = CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g
⊢ CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
C D : Stream'.WSeq α → Stream'.WSeq β → Prop
H : ∀ (s : Stream'.WSeq α) (t : Stream'.WSeq β), C s t → D s t
o : Option (α × Stream'.WSeq α)
p : Option (β × Stream'.WSeq β)
⊢ Stream'.WSeq.LiftRelO R C o p → Stream'.WSeq.LiftRelO R D o p
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
hR : ¬IsField R
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → ∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ∆ b = a ↔ b = ⊥
G₀ : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace G₀
MeasurableSpace α
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ α
MeasurableSMul G₀ α
c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ MeasurableEmbedding fun x => c • x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a✝ b : R
n : ℕ
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
q : Submodule R M
m : M
hm : m ∈ q
p : R[X]
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
a : A
hq : q ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) q
⊢ (aeval a) p • m ∈ q
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a - b ≤ 0 ↔ a ≤ b
𝕜 : Type u
n : ℕ
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
⊢ f.curryLeft.uncurryLeft = f
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
α : L → R
β : LieModule.Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ LieModule.weightSpace M ((LieModule.chainTopCoeff α β + 1) • α + ⇑β) = ⊥
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
h : q.totalDegree < p.totalDegree
⊢ (q + p).totalDegree = p.totalDegree
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
ν : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
⊢ ↑ν = ↑ν
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h₁ : SurjOn f s₁ t₁
h₂ : SurjOn f s₂ t₂
h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
y : β
hy : y ∈ t₁ ∩ t₂
⊢ y ∈ f '' (s₁ ∩ s₂)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : HasPullback f g
⊢ (pullbackSymmetry f g).inv ≫ pullback.fst f g = pullback.snd g f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
self : M ≃ₘ^n⟮I, I'⟯ M'
⊢ ContMDiff I' I n ⇑self.symm
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ ContinuousOn (↑e.symm) e.target
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p f' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f f' s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
⊢ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
⊢ Filter.coprodᵢ f = ⊥ ↔ (∃ i, IsEmpty (α i)) ∨ f = ⊥
α : Type u
TopologicalSpace α
β : Type u_2
PseudoMetricSpace β
IntCast β
m : ℤ
x : α
⊢ ↑m x = ↑m
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
f : Y ≅ Z
⊢ X ◁ f.hom ≫ X ◁ f.inv = 𝟙 (X ⊗ Y)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
s : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s
d : ℕ := finrank 𝕜 F
hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)
e₁ : F ≃L[𝕜] Fin d → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq hd
e₂ : (F →L[𝕜] G) ≃L[𝕜] Fin d → G := (e₁.arrowCongr 1).trans (ContinuousLinearEquiv.piRing (Fin d))
⊢ ContDiffOn 𝕜 n ((⇑e₂.symm ∘ ⇑e₂) ∘ f) s
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
δ : Sort u_4
f : α → β
g : α → γ
h : Function.FactorsThrough g f
g' : δ → α
⊢ Function.FactorsThrough (g ∘ g') (f ∘ g')
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ frontier (Metric.ball x ε) ⊆ Metric.sphere x ε
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
⊢ mapFun (⇑f) 1 = 1
α : Type u_2
r : α → α → Prop
rk : α → ℕ
s : Set α
⊢ s.PartiallyWellOrderedOn r ↔
  ¬∃ f, Set.PartiallyWellOrderedOn.IsBadSeq r s f ∧ ∀ (n : ℕ), Set.PartiallyWellOrderedOn.IsMinBadSeq r rk s n f
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
h_proper : ProperSMul G X
inst✝ : T2Space G
f : X → G × X := fun x => (1, x)
proper_f : IsProperMap f
g : G × X → X × X := fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)
proper_g : IsProperMap g
this : g ∘ f = fun x => (x, x)
range_gf : range (g ∘ f) = diagonal X
⊢ IsClosed (range (g ∘ f))
α : Type u
f : Equiv.Perm α
x y : α
⊢ f⁻¹ x = y ↔ x = f y
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
self : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
m : ℕ
⊢ ↑m < n → ∀ (x : E), HasFDerivAt (fun y => p y m) (p x m.succ).curryLeft x
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarAddMonoid R
NonUnitalSemiring A
Star A
Module R A
a : A
⊢ (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom R A) a = ↑a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
x : M
⊢ x ∈ N ⊔ N' ↔ ∃ y ∈ N, ∃ z ∈ N', y + z = x
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hxy : x < y
⊢ Real.logb b y < Real.logb b x
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
⊢ x ^ y = ⊤ ↔ x = 0 ∧ y < 0 ∨ x = ⊤ ∧ 0 < y
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
⊢ Subsingleton E ∨ 0 < ‖↑e.symm‖
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ : HomologicalComplex V c
f : C₁.Hom C₂
j : ι
⊢ f.prev j ≫ C₂.dTo j = C₁.dTo j ≫ f.f j
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
⊢ ∃ ck, ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK ∧ ck.2 ∈ K ∧ G.Adj ck.1 ck.2
α : Type u_1
Preorder α
s : LowerSet α
a : α
⊢ s.erase a = s ↔ a ∉ s
α : Type u_1
AddMonoid α
LinearOrder α
a b : AddUnits α
⊢ ↑(min a b) = min ↑a ↑b
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
ys₁ ys₂ : List β
⊢ (↑(suffixLevenshtein C xs ys₂)).minimum ≤ (↑(suffixLevenshtein C xs (ys₁ ++ ys₂))).minimum
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
⊢ (ad R L).IsIdealMorphism
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
Zero N
f : α → M
g : α → N
⊢ (Function.support fun x => (f x, g x)) = Function.support f ∪ Function.support g
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
⊢ 1 ≠ 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : ℕ → Set α
p : ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), p n → MeasurableSet (s n)
⊢ MeasurableSet (Filter.bliminf s Filter.atTop p)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x x✝ : ↥H
hx✝ : x✝ ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}
y✝ : ↥H
hy✝ : y✝ ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}
a✝¹ : (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) x✝) = 0
a✝ : (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) y✝) = 0
⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) (x✝ + y✝)) = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
f'symm : f'.NonlinearRightInverse := f'.nonlinearRightInverseOfSurjective h
c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
f'symm_pos : 0 < f'symm.nnnorm
cpos : 0 < c
s : Set E
s_nhds : s ∈ 𝓝 a
hs : ApproximatesLinearOn f f' s c
⊢ f'symm.nnnorm⁻¹ ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : TruncatedWittVector p m (ZMod p)
⊢ (zmodEquivTrunc p n) ((zmodEquivTrunc p n).symm ((truncate hm) x)) = (zmodEquivTrunc p n) ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n))) ((zmodEquivTrunc p m).symm x))
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ StrictMono (Pell.yn a1)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : Set R
t : NonUnitalSubring R
h₁ : s ⊆ ↑t
h₂ : t ≤ NonUnitalSubring.closure s
⊢ NonUnitalSubring.closure s = t
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
B₁ : LinearMap.BilinForm K V
B₂ : LinearMap.BilinForm K V
b₂ : B₂.Nondegenerate
v w : V
⊢ (B₂ ((B₁.symmCompOfNondegenerate B₂ b₂) w)) v = (B₁ w) v
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) δ
right✝ : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
g : E → E →L[ℝ] E
g_meas : Measurable g
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, dist (g x) (f' x) ≤ ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
h : K₁ ≤ K₂
inst✝ : HasOrthogonalProjection K₁
x : E
v : ↥K₁ := (orthogonalProjection K₁) x
⊢ (∃ y ∈ K₁, ∃ z ∈ K₁ᗮ ⊓ K₂, y + z = x) ↔ x ∈ K₂
x y : ℝ
⊢ ↑x ≤ ↑y ↔ x ≤ y
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : IsArtinian R M
r : R
rs : List R
h : (IsSMulRegular M r ∧ IsWeaklyRegular (QuotSMulTop r M) rs) ∧ r • ⊤ ⊔ Ideal.ofList rs • ⊤ < ⊤
⊢ r • ⊤ = ⊤
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0
this : p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (Polynomial.aeval x) (p * C p.leadingCoeff⁻¹) = 0
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle y (y - x) = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖y - x‖))
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ ⋂ i, ⋂ j, s i j = ∅ ↔ ∀ (a : α), ∃ i j, a ∉ s i j
ι : Type u_1
α : Type u_2
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
f g : ι →₀ α
a : ι
⊢ (f - g) a = f a - g a
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ minpoly R (Matrix.toLin' M) = minpoly R M
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
hab : a ≠ b
⊢ closure (Set.Ico a b) = Set.Icc a b
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
⊢ Function.Injective NonUnitalSubalgebra.toNonUnitalSubsemiring
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
this : ∀ (M : Type ?u.11614) (N : Type ?u.11613) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
y : α
hya : y ∈ Ioi a
z : α
hzb : z ∈ Ici b
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ioi (a * b)
x y a b c : ℝ
⊢ c + a < c + b ↔ a < b
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Semiring S
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R₁
inst✝⁵ : CommSemiring R₂
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R₁ A
inst✝² : Algebra R₂ A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R₁ B
f : A →ₐ[R₁] B
r : R₁
x : A ⧸ ker f
⊢ f.kerLift (r • x) = r • f.kerLift x
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
u : ℝ → E
v : ℝ → F
u' : ℝ → E
v' : ℝ → F
m n : G
inst✝ : CompleteSpace G
hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x
huv' : Integrable (fun x => (L (u x)) (v' x)) volume
hu'v : Integrable (fun x => (L (u' x)) (v x)) volume
h_bot : Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) atBot (𝓝 m)
h_top : Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) atTop (𝓝 n)
⊢ ∫ (x : ℝ), (L (u x)) (v' x) = n - m - ∫ (x : ℝ), (L (u' x)) (v x)
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
v : Fin (n + 1) → α
i : Fin (n + 1)
⊢ (if h : ↑i + ↑i + 1 < n + 1 then v ⟨↑i + ↑i + 1, ⋯⟩ else v ⟨↑i + ↑i + 1 - (n + 1), ⋯⟩) = v (i + i + 1)
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ MeasureTheory.condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • MeasureTheory.condexpIndL1Fin hm hs hμs x
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
σ : α → Type u_6
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (σ a)
f : (a : α) → σ a → β
⊢ ∏ a ∈ s, ∏ s ∈ t a, f a s = ∏ x ∈ s.sigma t, f x.fst x.snd
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X✝ Y✝ : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
⊢ (inv ((linearization k G).μ X Y)).hom = ↑(finsuppTensorFinsupp' k X.V Y.V).symm
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C
⊢ (HomologicalComplex.singleObjCyclesSelfIso c j A).hom ≫ (HomologicalComplex.singleObjOpcyclesSelfIso c j A).hom =
  ((HomologicalComplex.single C c j).obj A).iCycles j ≫ ((HomologicalComplex.single C c j).obj A).pOpcycles j
x y : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : y + ↑n ≠ 0
⊢ x ^ (y + ↑n) = x ^ y * x ^ n
E : Type u_2
F : Type u_3
Norm E
Norm F
x : E × F
⊢ ‖x.1‖ ≤ ‖x‖
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0
h : ∑ i ∈ range n, x ^ i = 0
⊢ x = -1 ∧ Even n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set γ
f : γ → α
hf : BddAbove (range fun x => f ↑x)
hne : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
⊢ l (⨆ i, f ↑i) = ⨆ i, l (f ↑i)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
s₁ s₂ : Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)
⊢ span (Subtype.val '' s₁) ⊔ span (Subtype.val '' s₂) = span (Subtype.val '' (s₁ ∪ s₂))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
PartialOrder M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
hi₂ : v.restrict i ≤ w.restrict i
j : Set α
hj : j ⊆ i
⊢ ↑v j ≤ ↑w j
α : Type u
β : α → Type u
⊢ Cardinal.mk (WType β) = Cardinal.sum fun a => Cardinal.mk (WType β) ^ Cardinal.mk (β a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
hfg : range f = range g
⊢ f = g
A : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
Finset.HasAntidiagonal A
⊢ Finset.antidiagonal 0 = {(0, 0)}
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ ¬x ≤ 0
a b p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ p * q = p + q
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
⊢ a ^ (p - 1) = 1
α : Type u_1
t : Set α
p : Set α → Prop
⊢ (∀ (s : Set ↑t), p (val '' s)) ↔ ∀ s ⊆ t, p s
β : Type v
α : Type u_1
DecidableEq α
σ : α → Equiv.Perm β
l : List α
hl : l.Nodup
mem_l : ∀ (a : α), a ∈ l
⊢ (List.map (fun a => Equiv.Perm.prodExtendRight a (σ a)) l).prod = Equiv.prodCongrRight σ
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
⊢ (quadraticChar F) (-2) = χ₈' ↑(Fintype.card F)
M : Type u_1
Mul M
S T : Subsemigroup M
h : ∀ (x : M), x ∈ S ↔ x ∈ T
⊢ S = T
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
hB : M.Base B
⊢ M.Basis B M.E
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.Adj v w
a✝ : V
⊢ ¬G.Adj v a✝ → ¬G.Adj w a✝ → ¬(a✝ = w ∨ a✝ = v)
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
self : UniformInducing f
⊢ Filter.comap (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) = 𝓤 α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
s : Set F
hs : Convex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
⊢ Convex 𝕜 (⇑f ⁻¹' s)
α : Type u_1
MonoidWithZero α
⊢ Quot.out 0 = 0
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h✝ h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b✝ : β
c : γ
f : α → β → α
b : β
h : ∀ (a : α), f a b = a
l : Filter α
⊢ map₂ f l (pure b) = l
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
y : E
hy : y ∈ ball 0 1
⊢ ContDiffAt ℝ n (↑univUnitBall.symm) y
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P✝ : Generators R S
T : Type ?u.37168
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
s : T
this : ∀ (x : P.Ring), (aeval (⇑(algebraMap S T) ∘ P.val)) x = (algebraMap S T) ((aeval P.val) x)
⊢ (aeval (Sum.elim Q.val (⇑(algebraMap S T) ∘ P.val))) ((fun x => Finsupp.sum (Q.σ x) fun n r => (rename Sum.inr) (P.σ r) * (monomial (Finsupp.mapDomain Sum.inl n)) 1) s) = s
R : Type u
Semiring R
f : R[X]
hf : f ≠ 0
⊢ f.integralNormalization.Monic
α : Type u
R S : α → α → Prop
H : ∀ (a b : α), R a b → S a b
l : List α
p : List.Chain' R l
⊢ List.Chain' S l
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts ys : List α
f : List α → β
⊢ List α → β
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : s =ᶠ[ae μ] ∅
⊢ s ∪ t =ᶠ[ae μ] t