ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.21752, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.21759, u_2} D
inst✝ : HasStrictInitialObjects C
X : C
h : IsInitial X
c' : Cocone (Functor.empty C)
α : Functor.empty C ⟶ Functor.empty C
f : c'.pt ⟶ (asEmptyCocone X).pt
hf : α ≫ (asEmptyCocone X).ι = c'.ι ≫ (Functor.const (Discrete PEmpty.{1})).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
this : IsIso f
⊢ Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((asEmptyCocone X).ι.app j)
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
t : Set G
⊢ tᶜ * closure {1} = tᶜ ↔ t * closure {1} = t
n : ℕ
M : Type u_1
Zero M
y : M
s : Fin n →₀ M
⊢ Finsupp.cons y s ≠ 0 ↔ y ≠ 0 ∨ s ≠ 0
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖RCLike.I • (x + y) + z‖ * ‖RCLike.I • (x + y) + z‖ =
  (‖RCLike.I • (2 • x + y)‖ * ‖RCLike.I • (2 • x + y)‖ + ‖RCLike.I • y + 2 • z‖ * ‖RCLike.I • y + 2 • z‖) / 2 -
    ‖RCLike.I • x - z‖ * ‖RCLike.I • x - z‖
a b c : ℝ≥0∞
h : a ≠ ⊤
⊢ b + a = c + a ↔ b = c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X : C
x : (CategoryTheory.forget C).obj X
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) x = x
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : IsTorsionBySet K[X] (AEval K M f) ↑(Ideal.span {p})
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}
this✝³ : IsReduced R
this✝² : FiniteDimensional K R
this✝¹ : IsArtinianRing R
this✝ : IsSemisimpleRing R
this : Module R (AEval' f) := hpf.module
e : AEval' f →ₛₗ[Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {p})] AEval' f := let __src := AddMonoidHom.id (AEval' f); { toFun := (↑__src).toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
⊢ f.IsSemisimple
s : ℝ
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ (fun x => x ^ s) =o[Filter.atTop] fun x => rexp (b * x)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ p = ∑ v ∈ p.support, (MvPolynomial.monomial v) (MvPolynomial.coeff v p)
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a b : α
h : a < b
h' : 0 < b
⊢ ⌊a⌋₊ < ⌈b⌉₊
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g s x
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ ChartedSpace.LiftPropAt P g x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
ν : MeasureTheory.Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᵐ[ν] f
hfi : MeasureTheory.Integrable f ν
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), f a ∂ν
a : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
⊢ sInf s + a = ⨅ b ∈ s, b + a
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.119316, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology
⊢ rightHomologyMap e.inv ≫ rightHomologyMap e.hom = 𝟙 S₂.rightHomology
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
⊢ UniqueFactorizationMonoid.factors 0 = 0
α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
S : Set (Set α)
Sct : S.Countable
Sp : ∀ s ∈ S, p s
hS : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
x y : ↑t
hxy : ∀ s ∈ {x | ∃ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' s = x}, x ∈ s ↔ y ∈ s
⊢ x = y
a b c d : ℤ
ha : IsUnit a
hb : IsUnit b
hc : IsUnit c
hd : IsUnit d
⊢ a + b = c + d ↔ a = c ∧ b = d ∨ a = d ∧ b = c
a b c : Int
h : a + b = a + c
⊢ b = c
X : Type u_1
R : Type u_2
TopologicalSpace X
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
⊢ GaloisConnection ContinuousMap.setOfIdeal (ContinuousMap.idealOfSet R)
R : Type u_1
A : Type u_3
M : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
a : A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
f : R[X]
m : M
⊢ (Module.AEval.of R M a) ((Polynomial.aeval a) f • m) = f • (Module.AEval.of R M a) m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t s : Set α
⊢ μ (toMeasurable μ s) = μ s
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ (ι (Q c₁ c₂)) (0, 1) * (ι (Q c₁ c₂)) (1, 0) = -((ι (Q c₁ c₂)) (1, 0) * (ι (Q c₁ c₂)) (0, 1))
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsTrail
hc : ∀ e ∈ G.edgeSet, e ∈ p.edges
⊢ p.IsEulerian
R : Type u
Semiring R
a : R
⊢ Polynomial.derivative (Polynomial.C a) = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝² : Pretriangulated C
inst✝¹ : HasShift D ℤ
inst✝ : L.CommShift ℤ
H : ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
T₁ T₂ : Triangle D
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
T₁' : Triangle C
e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'
hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles
T₂' : Triangle C
e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'
hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles
comm₁ : L.map T₁'.mor₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁
comm₁' : T₂.mor₁ ≫ e₂.hom.hom₂ = e₂.hom.hom₁ ≫ L.map T₂'.mor₁
comm₂ : T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ = e₁.hom.hom₂ ≫ L.map T₁'.mor₂
comm₂' : T₂.mor₂ ≫ e₂.hom.hom₃ = e₂.hom.hom₂ ≫ L.map T₂'.mor₂
comm₃ : (L.map T₁'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₁'.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map e₁.inv.hom₁ = e₁.inv.hom₃ ≫ T₁.mor₃
comm₃' : T₂.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₂.hom.hom₁ = e₂.hom.hom₃ ≫ L.map T₂'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₂'.obj₁
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
α : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
H : ∀ (c : α), a < c → b < c
⊢ b ≤ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : CategoryTheory.Monad C
⊢ M.toMon.one = M.η
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
⊢ μ {a | ¬⨆ i, aeSeq hf p i a = ⨆ i, f i a} = 0
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
self : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
⊢ x ≥ 0 → 0 ≤ g x
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Gmodule A M
a b : ⨁ (i : ιA), A i
c : ⨁ (i : ιB), M i
ai : ιA
ax : A ai
bi : ιA
bx : A bi
ci : ιB
cx : M ci
⊢ ((smulAddMonoidHom A M) (((mulHom A) ((of A ai) ax)) ((of A bi) bx))) ((of M ci) cx) = ((smulAddMonoidHom A M) ((of A ai) ax)) (((smulAddMonoidHom A M) ((of A bi) bx)) ((of M ci) cx))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
hs : s.Countable
f : α → β
⊢ (range fun x => f ↑x).Countable
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ insert a (Ioc a b) = Icc a b
α : Type u
e : Encoding α
x✝¹ x✝ : α
h : e.encode x✝¹ = e.encode x✝
⊢ some x✝¹ = some x✝
α : Type u
i l p : Nat
a : Array α
h : a.size ≤ l
⊢ a.extract p l = a.extract p a.size
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
⊢ eVariationOn (f ∘ φ) t = eVariationOn f (φ '' t)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
f g : α → β
t : Set α
(x : α) → Decidable (x ∈ t)
a : α
s : Set α
l : Filter β
h₀ : Filter.Tendsto f (𝓝[s ∩ t] a) l
h₁ : Filter.Tendsto g (𝓝[s ∩ tᶜ] a) l
⊢ Filter.Tendsto (t.piecewise f g) (𝓝[s] a) l
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace W
f : X → Z
g : Y → W
x : X
y : Y
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g y
⊢ ContinuousAt (fun p => (f p.1, g p.2)) (x, y)
m : Type u_2
α : Type v
CommSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
l : List (Matrix m m α)
⊢ l.prodᵀ = (List.map Matrix.transpose l).reverse.prod
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
Subsingleton n
A : Matrix n n R
k : n
⊢ A.det = A k k
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
⊢ S.disconnect.IsNormal
n b : ℕ
h : 1 ≤ b
this : 1 ≤ b ^ (n - 1)
⊢ n.ProbablePrime b ↔ b ^ (n - 1) ≡ 1 [MOD n]
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.121680, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
⊢ cyclesMap e.inv ≫ cyclesMap e.hom = 𝟙 S₂.cycles
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
DecidableEq ι
⊢ LinearIndependent R v ↔ LinearMap.ker ((LinearMap.lsum R (fun x => R) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (v i)) = ⊥
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
⊢ I.IsRadical ↔ IsReduced (R ⧸ I)
C : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
F.Final
d : D
c : C
s s' : d ⟶ F.obj c
⊢ ∃ c' t, CategoryTheory.CategoryStruct.comp s (F.map t) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp s' (F.map t)
p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
K : Type u_1
Field K
Fintype K
Algebra (ZMod p) K
⊢ Polynomial.Splits (algebraMap (ZMod p) K) (Polynomial.X ^ Fintype.card K - Polynomial.X)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
⊢ cylinder s ∅ = ∅
G : Type u_3
H : Type u_4
Div G
Div H
x₁ x₂ : G
y₁ y₂ : H
⊢ (x₁, y₁) / (x₂, y₂) = (x₁ / x₂, y₁ / y₂)
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
M : Action V G
⊢ (Action.forget V G).obj M = M.V
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
g : G
u : ℤˣ
w : HNNExtension.NormalWord d
h1 : w.head ∈ d.set u
h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ HNNExtension.toSubgroup A B u → u = u'
⊢ (HNNExtension.NormalWord.cons g u w h1 h2).head = g
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
Fintype ι
c : ℝ≥0
⊢ π.distortion ≤ c ↔ ∀ J ∈ π, J.distortion ≤ c
ψ θ : Real.Angle
⊢ 2 • ψ = 2 • θ ↔ ψ = θ ∨ ψ = θ + ↑π
Cont : Type u_1
Elem : Type u_2
Dom : Cont → Nat → Prop
n : Nat
GetElem? Cont Nat Elem Dom
a : Cont
i : Fin n
h : Dom a ↑i
⊢ getElem a i h = getElem a (↑i) h
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
a : α
⊢ a ∈ s.ndunion t ↔ a ∈ s ∨ a ∈ t
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
h : cylinder s S = ∅
hS : S.Nonempty
⊢ False
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝² : MeasurableSpace E := borel E
this✝¹ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g μ
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this✝ : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s)
G : ℕ → SimpleFunc α E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (range g ∩ s) y₀ h₀
this : Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (G n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), g x ∂μ))
n : ℕ
⊢ ∀ i ∈ (G n).range, 0 ≤ (μ (↑(G n) ⁻¹' {i})).toReal
a b p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
⊢ p⁻¹ - 1 = -q⁻¹
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ StrictMono ![a]
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
g : ↥(primaryComponent G p)
⊢ ∃ n, orderOf g = p ^ n
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : |log x * x| < 1
aux : 0 ≤ -log x * x
⊢ |log x * x| < 1
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
i₁ : ι
a₁ : 𝒜 i₁
j₁ : ι
b₁ : ℬ j₁
i₂ : ι
a₂ : 𝒜 i₂
j₂ : ι
b₂ : ℬ j₂
⊢ (gradedComm R 𝒜 ℬ) ((-1) ^ (j₁ * i₂) • ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂)) = ((gradedMul R ℬ 𝒜) ((-1) ^ (j₁ * i₁) • (lof R ι ℬ j₁) b₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i₁) a₁)) ((-1) ^ (j₂ * i₂) • (lof R ι ℬ j₂) b₂ ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i₂) a₂)
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Finite ι
f : ι → Set X
⊢ closure (⋃ i, f i) = ⋃ i, closure (f i)
b : EReal
h : b < 0
h' : b ≠ ⊥
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'
hyp : a' / b = a / b
⊢ False
β : Type u_2
PseudoMetricSpace β
Monoid β
self : LipschitzMul β
⊢ ∃ C, LipschitzWith C fun p => p.1 * p.2
R : Type u
CommRing R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u
AddCommGroup N
Module R N
ι : Type u
Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor N (Submodule.span R (Set.range m)).subtype)
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
⊢ TensorProduct.VanishesTrivially R m n
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c d : R
hac : c ∣ a
hbd : d ∣ b
hc0 : c ≠ 0
⊢ a * b / (c * d) = a / c * (b / d)
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') x
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → One (α i)
i : ι
a b : α i
⊢ Pi.mulSingle i '' Set.Ioo a b = Set.Ioo (Pi.mulSingle i a) (Pi.mulSingle i b)
x : ℝ
H : ∀ (p : ℝ), LiouvilleWith p x
n : ℕ
⊢ ∃ a b, 1 < b ∧ x ≠ ↑a / ↑b ∧ |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ t
⊢ t.disjiUnion (fun a => Finset.filter (fun x => f x = a) s) ⋯ = s
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
p : β → Type u_9
f : Sigma p → α
⊢ ⨆ x, f x = ⨆ i, ⨆ j, f ⟨i, j⟩
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : a ≠ 0
⊢ (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors a).prod ~ᵤ a
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β
h : NullMeasurableSet (s ×ˢ t) (μ.prod ν)
ht : ν t ≠ 0
⊢ NullMeasurableSet (Prod.swap ⁻¹' s ×ˢ t) (ν.prod μ)
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ Integrable (fun x => rexp (-b * x ^ 2)) volume
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
F E : IntermediateField K L
h : F ≤ E
⊢ IntermediateField.restrictScalars K (IntermediateField.extendScalars h) = E
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
H₁ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, b < f a → ¬b < f x → ∃ y < a, b ≤ f y
H₂ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, f a < b → ¬f x < b → ∃ y, a < y ∧ f y ≤ b
x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
a : α
b : β
hb : b ∈ Iio (f a)
⊢ ⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b) ≤ 𝓟 (f ⁻¹' Ioi b)
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom ≠ 0
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : LocallyCompactSpace X
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
F : ι → C(X, E)
hF : ∀ (K : Compacts X), Summable fun i => ‖restrict (↑K) (F i)‖
K : Compacts X
⊢ ∃ f, Tendsto (fun i => restrict (↑K) (∑ b ∈ i, F b)) atTop (𝓝 f)
α : Type u_1
n : ℕ
s t : Multiset α
h✝ : s ≤ t
l₁ l₂ : List α
h : l₁ <+ l₂
⊢ powersetCard n ↑l₁ ≤ powersetCard n ↑l₂
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
⊢ (W.baseChange B).ΨSq n = Polynomial.map (↑f) ((W.baseChange A).ΨSq n)
R : Type u_1
p m n : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
⊢ (iterateFrobeniusEquiv R p (m + n)).symm = (iterateFrobeniusEquiv R p n).symm.trans (iterateFrobeniusEquiv R p m).symm
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f g : A
⊢ ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 (f * g) = ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 f ⊓ ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 g
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
z : Multiset α
h : s ≤ s + z
⊢ s.prod ∣ (s + z).prod
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
a : Mˣ
ha : ↑a ∈ center M
⊢ ↑a⁻¹ ∈ center M
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
hf_Indep : ProbabilityTheory.iIndepFun m f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (f k) μ
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = true → g n = true
⊢ cantorFunction c f ≤ cantorFunction c g
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : f ∈ g.cycleFactorsFinset
⊢ (g * f⁻¹).Disjoint f
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousSMul 𝕜 F
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
T2Space F
FiniteDimensional 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 F
cond : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = FiniteDimensional.finrank 𝕜 F
⊢ Nonempty (E ≃L[𝕜] F)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
DecidableEq (K →+* ℂ)
⊢ 0 ≤ NumberField.house.c₂ K
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪ₑ[L] N
α : Type u_5
φ : L.Formula α
x : α → M
⊢ φ.Realize (⇑f ∘ x) ↔ φ.Realize x
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : α
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
⊢ ⟨x, hx⟩ + ⟨y, hy⟩ = ⟨x + y, ⋯⟩
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p : X → Prop
⊢ (∃ t ⊆ {x | (fun y => p y) x}, IsOpen t ∧ x ∈ t) ↔ ∃ t, (∀ y ∈ t, p y) ∧ IsOpen t ∧ x ∈ t
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁
b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂
fac✝ : L.map T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂.mor₁
α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁
hα : a = α.map L ⋯
β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂
hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f
γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'
hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯
this✝ : IsIso (L.map β.s)
this : IsIso (L.map γ.s)
Z₂ : C
σ : γ.Y' ⟶ Z₂
hσ : W σ
fac : α.f ≫ β.f ≫ γ.s ≫ σ = T₁.mor₁ ≫ γ.f ≫ σ
⊢ ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (F.mapTriangleInvRotateIso.inv.app X).hom₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X.obj₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
inst✝ : SecondCountableTopology β
hf : Inducing f
⊢ SecondCountableTopology α
α : Type u_1
M : Type u_4
MulOneClass M
s : Set α
f : α → M
a : α
⊢ s.mulIndicator f a * sᶜ.mulIndicator f a = f a
G : Type w
TopologicalSpace G
self : MeasureTheory.Content G
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
⊢ self.toFun (K₁ ⊔ K₂) ≤ self.toFun K₁ + self.toFun K₂
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X' X : C
Y Y' : D
f : X ⟶ G.obj Y
g : Y ⟶ Y'
⊢ (adj.homEquiv X Y').symm (f ≫ G.map g) = (adj.homEquiv X Y).symm f ≫ g
R : Type u_1
Mul R
Add R
self : LeftDistribClass R
a b c : R
⊢ a * (b + c) = a * b + a * c
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hp : Fact (1 ≤ p)
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ ‖↑f‖ = ‖f‖
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
P : α → Prop
s : Finset α
i : α → ℕ
is_prime : ∀ p ∈ s, Prime p
is_coprime : ∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p ∣ q → p = q
h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → P x → P y → P (x * y)
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
⊢ P (∏ p ∈ s, p ^ i p)
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ (w * cs.simple i * w⁻¹)⁻¹ = w * cs.simple i * w⁻¹
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
m : M
hB : ∀ (y : M), (B m) y = 0
⊢ m = 0
a b : Int
h : a + b = 0
⊢ -a = b
C : Ordinal.{u_2} → Sort u_1
b : Ordinal.{u_2}
H0 : C 0
H : (o : Ordinal.{u_2}) → o ≠ 0 → C (o % b ^ log b o) → C o
⊢ b.CNFRec H0 H 0 = H0
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hs : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ht : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
hta : Absorbent ℝ t
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ContinuousAt (gaugeRescale s t) x