ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t s : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) = μ s
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Semiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomSurjective σ₂₁
p : Submodule R M
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
h : ∀ (c : M₂), f c ∈ p
p' : Submodule R₂ M₂
⊢ Submodule.map (LinearMap.codRestrict p f h) p' = Submodule.comap p.subtype (Submodule.map f p')
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i
⊢ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0
α : Type u
AddMonoid α
u : AddUnits α
val : α
hv : val = ↑u
inv : α
hi : inv = ↑(-u)
⊢ ↑(u.copy val hv inv hi) = val
α : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
A B C : Matrix m n α
Distrib α
⊢ A.hadamard (B + C) = A.hadamard B + A.hadamard C
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hx : 1 < x
hz : z < 0
⊢ x ^ z < 1
n d : ℕ
x : Fin n → ℕ
hx : x ∈ Behrend.box n d
⊢ (Behrend.map (2 * d - 1)) x ≤ ∑ i : Fin n, (d - 1) * (2 * d - 1) ^ ↑i
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : s ∈ 𝓝 x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ✝ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
huniv : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) univ = (ρ.condKernel x) univ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, ∀ (f : ℕ → Set ℝ), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (κ x) (f i) = (ρ.condKernel x) (f i)) → (κ x) (⋃ i, f i) = (ρ.condKernel x) (⋃ i, f i)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G
f : (Fin n → G) →₀ k
r : k
⊢ (diagonalSucc k G n).inv.hom (single g r ⊗ₜ[k] 0) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k (Fin n → G)) fun f => single (g • partialProd f) r) 0
R : Type u_1
LinearOrderedField R
x y : R
⊢ ↑(x / y) = ↑x / ↑y
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ S.toSubmodule.toNonUnitalSubalgebra ⋯ = S
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
Fact (1 ≤ p)
𝕜' : Type u_6
NormedRing 𝕜'
Module 𝕜' F
BoundedSMul 𝕜' F
SMulCommClass 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜'
L : E →L[𝕜] F
⊢ ContinuousLinearMap.compLpL p μ (c • L) = c • ContinuousLinearMap.compLpL p μ L
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E
r : ℝ
⊢ a ∈ Metric.ball 1 r ↔ ‖a‖ < r
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
⊢ (Filter.pi f).NeBot ↔ ∀ (i : ι), (f i).NeBot
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α
⊢ a ≤ a⁺ᵐ
⊢ borel ℝ = MeasurableSpace.generateFrom (⋃ a, {Set.Ici ↑a})
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m (ForInStep β)
head✝ : α
tail✝ : List α
tail_ih✝ : ∀ (init : β), forIn tail✝ init f = ForInStep.run <$> ForInStep.bindList f tail✝ (ForInStep.yield init)
init : β
⊢ (do let x ← f head✝ init match x with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => do let a ← ForInStep.bindList f tail✝ (ForInStep.yield b) pure a.run) = do let x ← f head✝ init let a ← ForInStep.bindList f tail✝ x pure a.run
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (β × β)
F : ι → β → α
S : Set β
hβ : (𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)).HasBasis p s
⊢ (∀ ib ∈ 𝓤 α, ∃ ia, p ia ∧ ∀ (a b : β), (a, b) ∈ s ia → ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) a, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) b) ∈ UniformFun.gen ι α ib) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U
m : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m m A
hM : M.det ≠ 0
v : m → A
i : m
hv : v ⬝ᵥ M *ᵥ M.cramer (Pi.single i 1) = 0
⊢ v i * M.det = 0
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
PredOrder α
NoMinOrder α
a : α
⊢ Order.succ (Order.pred a) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
CompleteLattice β
s : Set (α → β)
hs : ∀ f ∈ s, Antitone f
⊢ Antitone (sInf s)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
BR : RingFilterBasis R
B : ι → Submodule R M
hB : BR.SubmodulesBasis B
x✝ : TopologicalSpace R := BR.topology
this : TopologicalSpace R := BR.topology
m : M
i : ι
⊢ ∀ᶠ (a : R) in 𝓝 0, a • m ∈ B i
a₁ a₂ : ℕ
b : ℕ
h : a₁ < a₂
⊢ Nat.pair a₁ b < Nat.pair a₂ b
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set (Set X)
⊢ (∀ t ∈ s, IsClosed t) → IsClosed (⋂₀ s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁.HomotopyEquiv S₂
⊢ e.symm.hom = e.inv
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : 0 < x
⊢ HasStrictDerivAt log x⁻¹ x
α : Type u_1
Add α
s₁ s₂ t : Set α
a : α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₁.addAntidiagonal t a ⊆ s₂.addAntidiagonal t a
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
⊢ Filter.map (fun p => m p.1 p.2) (f ×ˢ g) = Filter.map₂ m f g
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
hm₁ : 1 < m
⊢ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ HomologicalComplex.homologyMap S.g i ≫ hS.δ i j hij = 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
PredOrder ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
h : 0 ≤ n
x : Step k 0
⊢ (toStepOfLE k 0 (n + 1) ⋯) x = (toStepSucc k n) ((toStepOfLE k 0 n h) x)
n : ℕ
⊢ Fin.succAbove 0 = Fin.succ
G : Type u_3
AddGroup G
g : G
P : G → Prop
h_one : P 0
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g + a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (-g + a)
n : ℤ
⊢ P (n • g)
α : Type u
Infinite α
⊢ #(Multiset α) = #α
M : Type u_2
α : Type u_4
AddCommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableAdd₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => (Multiset.map (fun f => f x) s).sum) μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
x₁ x₂ : Filter α
y : Filter β
⊢ Tendsto f (x₁ ⊔ x₂) y ↔ Tendsto f x₁ y ∧ Tendsto f x₂ y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ι : Type u_1
f : ι → Type u_2
g : (i : ι) → f i → C
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasCoproduct (g i)
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct fun i => ∐ g i
⊢ (CategoryTheory.Limits.sigmaSigmaIso f g).hom =
  CategoryTheory.Limits.Sigma.desc fun i =>
    CategoryTheory.Limits.Sigma.desc fun x => CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (fun p => g p.fst p.snd) ⟨i, x⟩
α : Type u
Monoid α
a : α
b : αˣ
⊢ a * ↑b * ↑b⁻¹ = a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S I
h : optParam (LocalRing S) ⋯
x : R
⊢ x ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) (LocalRing.maximalIdeal S) ↔ x ∈ I
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x✝ : P
h : s ⊆ t
x : ↥(affineSpan 𝕜 s)
hx : x ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)
⊢ Set.inclusion ⋯ x ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' t)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiff 𝕜 n f
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
⊢ (p.takeUntil u h).length ≤ p.length
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
z : M
f g : M → E'
f' g' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, E') f z f'
hg : HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, E') g z g'
⊢ HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, E') (f + g) z (f' + g')
n : ℕ
h1 : ble 2 n = true
h2 : 1 = n % 2
p : ℕ
hp : 2 ≤ p
hpn : p ∣ n
⊢ 3 ≤ p
n m l : ℕ
⊢ filter (fun x => decide (x < l)) (Ico n m) = Ico n (min m l)
ι : Sort u_1
M : Type u_2
Add M
S : ι → AddSubsemigroup M
i : ι
x : M
⊢ x ∈ S i → x ∈ iSup S
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
a : X
g : G
⊢ g • orbit (↥N) a = orbit (↥N) a ∨ Disjoint (g • orbit (↥N) a) (orbit (↥N) a)
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
c : idx × ℕ →₀ ℕ
⊢ (fun x => ↑x) (coeff c (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n)).num = coeff c (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
h : MonovaryOn f g s
k : ι' → ι
⊢ MonovaryOn (f ∘ k) (g ∘ k) (k ⁻¹' s)
γ : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace α
f : γ → α
MeasurableSpace.CountablySeparated α
MeasurableSpace γ
StandardBorelSpace γ
f_meas : Measurable f
f_inj : Function.Injective f
⊢ MeasurableEmbedding f
R : Type u_6
R₂ : Type u_8
M : Type u_14
M₂ : Type u_17
ι : Type u_22
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
Module R M
Module R₂ M₂
γ : ι → Type u_25
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (γ i)
(i : ι) → (x : γ i) → Decidable (x ≠ 0)
t : Π₀ (i : ι), γ i
g : (i : ι) → γ i → M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
b : M
⊢ (t.sum g) b = t.sum fun i d => (g i d) b
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
DiscreteTopology ↑s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ∃ ε > 0, Metric.ball x ε ∩ s = {x}
J : Type u
inst✝³ : Category.{w, u} J
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type v
inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
J' : Type (max w v u) := AsSmall J
down : J' ⥤ J := AsSmall.down
F' : J' ⥤ Type (max u v w) := down ⋙ F ⋙ uliftFunctor.{max u w, v}
this✝¹ : ∀ (i : J'), Nonempty (F'.obj i)
this✝ : ∀ (i : J'), Finite (F'.obj i)
h✝ : Nonempty J
this : IsCofiltered J
u : (j : J') → F'.obj j
hu : u ∈ F'.sections
⊢ (fun j => (u { down := j }).down) ∈ F.sections
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeInf L
OrderTop L
ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
x : X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousAt (f i) x
⊢ ContinuousAt (fun a => s.inf fun x => f x a) x
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ p.coeff = q.coeff ↔ p = q
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring S₁
Semiring S₂
Module S₁ N₂
Module S₂ N₂
SMulCommClass S₁ R N₂
SMulCommClass S₂ R N₂
SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
B : (n → R₁) →ₛₗ[σ₁] (m → R₂) →ₛₗ[σ₂] N₂
i : n
j : m
⊢ (LinearMap.toMatrixₛₗ₂' R) B i j =
  (B ((LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1)) ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1)
m n : ℕ
⊢ m.psub n.succ = m.psub n >>= Nat.ppred
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
r : R
⊢ r ∈ N.annihilator ↔ ∀ n ∈ N, r • n = 0
⊢ MeasureTheory.volume (⋃ p, ⋃ (_ : 2 < p), {x | LiouvilleWith p x}) = 0
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : R[X]
hn : f.natDegree < n
⊢ trunc n ↑f = f
X : TopCat
U : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 X)).op.obj U = U
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
g : G
hg : 1 = 2
key : φ g = g
⊢ False
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, x ∈ {c}ᶜ → DifferentiableAt ℂ f x
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹
this : DifferentiableOn ℂ f ({z | z ≠ c → DifferentiableAt ℂ f z} \ {c})
H : DifferentiableOn ℂ (update f c (limUnder (𝓝[≠] c) f)) {x | (fun x => x ∈ {c}ᶜ → DifferentiableAt ℂ f x) x}
⊢ Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 (limUnder (𝓝[≠] c) f))
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
s : NonUnitalSubsemiring R
t : NonUnitalSubsemiring S
p : R × S
⊢ p ∈ s.prod t ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x₁ x₂ : E
y : F
⊢ (fun x => (x, y)) '' [x₁-[𝕜]x₂] = [(x₁, y)-[𝕜](x₂, y)]
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c u : αˣ
a : α
b : αˣ
⊢ a * ↑b⁻¹ * ↑b = a
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
⊢ -a + (a + b) = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
f : α → β
R : RegularExpression α
⊢ ⨆ i, (Language.map f) R.matches' ^ i = (Language.map f) (⨆ i, R.matches' ^ i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ : E
inst✝ : Invertible 2
x y : E
⊢ x = midpoint 𝕜 (x - y) (x + y)
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ ⨆ a ∈ s, LowerSet.Iic a = lowerClosure s
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
⊢ (fun x => (f' x, g' x)) =o[l] k' ↔ f' =o[l] k' ∧ g' =o[l] k'
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → t₁ ⊆ t₂ → s₁.diffs t₁ ⊆ s₂.diffs t₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ t
⊢ t.disjiUnion (fun a => filter (fun x => f x = a) s) ⋯ = s
⊢ 1 * ↑(Nat.choose 3 0) * (1 / 4) ^ (3 - 0) + -1 / 2 * ↑(Nat.choose 3 1) * (1 / 4) ^ (3 - 1) + 1 / 6 * ↑(Nat.choose 3 2) * (1 / 4) ^ (3 - 2) + 0 * ↑(Nat.choose 3 3) * (1 / 4) ^ (3 - 3) = 3 / 64
x y : ℂ
⊢ sin (2 * x) = 2 * sin x * cos x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set α
t : Set β
⊢ kernImage f (f ⁻¹' t ∪ s) = t ∪ kernImage f s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
e : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ fderiv 𝕜 (⇑e) x = e
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
f : (a : α) → a ∈ s → M
⊢ ∏ᶠ (a : α) (h : a ∈ s), f a h = ∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ s), if h' : a ∈ s then f a h' else 1
α : Type u_1
NormedLatticeAddCommGroup α
z : α
⊢ LipschitzWith 1 fun x => x ⊔ z
α : Type u
σ τ : Equiv.Perm α
hστ : σ.Disjoint τ
⊢ orderOf (σ * τ) = (orderOf σ).lcm (orderOf τ)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
Field k
CharP k p
IsAlgClosed k
a : FractionRing (WittVector p k)
ha : a ≠ 0
⊢ ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m, (IsFractionRing.fieldEquivOfRingEquiv (WittVector.frobeniusEquiv p k)) b * a = ↑p ^ m * b
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
n : ℕ
⊢ Continuous ⇑(f ^ n)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (SetLike.coe '' Set.range basicOpen)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → ℝ
h_meas : AEStronglyMeasurable f μ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
h_int : Integrable (f + g) μ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ ≤ (f + g) a
E : Type u
F : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace F
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
K✝ : Set E
comp✝ : IsCompact K✝
f✝ : E → F
D : Set E
ε✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillationWithin f univ x < ε
⊢ ∃ δ > 0, ∀ x ∈ K, diam (f '' ball x (ENNReal.ofReal δ)) ≤ ε
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
i₁₂ : I₁₂
⊢ K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.X i₁).d i₂ i₂' ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂') i₁₂
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
NormedAddCommGroup β
StarAddMonoid β
NormedStarGroup β
CompactSpace α
f : C(α, β)
⊢ BoundedContinuousFunction.mkOfCompact (star f) = star (BoundedContinuousFunction.mkOfCompact f)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : ι → Submodule R M
DecidableEq ι
h : DirectSum.IsInternal N
∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
Fintype ι
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), Set.MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
⊢ (LinearMap.trace R M) f = ∑ i : ι, (LinearMap.trace R ↥(N i)) (f.restrict ⋯)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
δ : ℝ
E : Set X
x : X
⊢ x ∈ thickening δ E ↔ x ∈ ⋃ x ∈ E, ball x δ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
⊢ Measurable fun x => g a x
A B : CommRingCat
M : ModuleCat ↑B
f : A ⟶ B
D : M.Derivation f
b b' : ↑B
⊢ D.d (b + b') = D.d b + D.d b'
α : Type u
DecidableEq α
x : FreeAddGroup α
⊢ FreeAddGroup.reduce x.toWord = x.toWord
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
e_1✝ : α = αᵒᵈ
x✝ : α
⊢ x✝ ⋖ a ↔ toDual a ⋖ x✝
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf this : FiniteDimensional k ↥s.direction
⊢ finrank k ↥(affineSpan k (insert p ↑(affineSpan k ↑s))).direction ≤ finrank k ↥s.direction + 1
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
a : (MvQPF.P F).A
f' : ((MvQPF.P F).drop.B a).Arrow α
f : (MvQPF.P F).last.B a → (MvQPF.P F).W α
⊢ MvQPF.recF g ((MvQPF.P F).wMk a f' f) = g (MvQPF.abs ⟨a, TypeVec.splitFun f' (MvQPF.recF g ∘ f)⟩)
self : Aesop.LocalRuleSet
⊢ 0 < self.simprocsArray.size
ι : Type u_1
Fintype ι
DecidableEq ι
a : ι → ℝ
⊢ (parallelepiped fun i => Pi.single i (a i)) = Set.uIcc 0 a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
self : CategoryTheory.RepresentablyFlat F
X : D
⊢ CategoryTheory.IsCofiltered (CategoryTheory.StructuredArrow X F)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y z : α
⊢ edist x y ≤ edist z x + edist z y
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n✝ : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq M
m n : M
p : MvPolynomial σ R
h : IsWeightedHomogeneous w p n
x : σ →₀ ℕ
⊢ (if (weight w) x = m then coeff x p else 0) = coeff x (if m = n then p else 0)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ (whiskerRight (𝟙 M) N).hom = (𝟙 (M.tensorBimod N)).hom
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s ≤ᵐ[μ] s
h_fin : μ s ≠ ⊤
⊢ s =ᵐ[μ] ∅ ∨ s =ᵐ[μ] Set.univ
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
γ : Type w
α : Type x
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
CommMonoid γ
s : Finset α
g : α → Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
h_zero : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
h_add : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ + b₂) = h i b₁ * h i b₂
⊢ ∏ i ∈ s, (g i).prod h = (∑ i ∈ s, g i).prod h
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
hs_m₂ : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ
⊢ ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 < ⊤ → ∫ (x : α) in s_1, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s_1, (μ[s.indicator f|m₂]) x ∂μ
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p✝ n m : ℕ
hn : Squarefree n
hm : Squarefree m
h : ∀ (p : ℕ), Prime p → (p ∣ n ↔ p ∣ m)
p : ℕ
⊢ n.factorization p = m.factorization p
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : Nonempty ↑(Ioi a)
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝ˢ (Iic a)
⊢ ∃ i, a < i ∧ Iio i ⊆ s
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
s : Set J
hs : Small.{v, u} ↑s
hs' : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)
⊢ InitiallySmall J
α : Type u
l : List ℕ
n : ℕ
⊢ (∃ s ∈ l.ranges, n ∈ s) ↔ n < Nat.sum l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
n : ℕ
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
H : C ⥤ D
F : SimplexCategory.Truncated n ⥤ C
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategory.Truncated n} (f : X ⟶ Y),
  (((CategoryTheory.CosimplicialObject.Truncated.whiskering C D).obj H).obj F).map f = H.map (F.map f)
α : Type u_1
G : Type u_5
TopologicalSpace G
CommGroup G
TopologicalGroup G
f : α → G
hf : Multipliable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ k ∈ t, f k ∈ e
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
L : (J ⥤ C) ⥤ C
adj : CategoryTheory.Functor.const J ⊣ L
F : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.isLimitConeOfAdj adj F).lift s = (adj.homEquiv s.pt F) s.π
α : Type u_1
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (α × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ (ρ.condKernel x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ρ ({x} ×ˢ s)
a b c d : ℝ≥0∞
ac : a < c
bd : b < d
⊢ a * b < c * d