ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
⊢ ↑(IsLocalizedModule.iso S f).symm ∘ₗ f = LocalizedModule.mkLinearMap S M
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback f.op g.op
⊢ (CategoryTheory.Limits.pushoutIsoUnopPullback f g).inv.op ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f.op g.op =
  (CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g).op
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M
⊢ ∀ (x : Fin (a + b)), f x = f (finSumFinEquiv.toFun (finSumFinEquiv.symm x))
m : ℤ
x : ℝ
⊢ Irrational (↑m * x) ↔ m ≠ 0 ∧ Irrational x
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
i : (forget SimplexCategory).obj Z✝
⊢ ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (f ≫ g)) h) i = ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map g) h) i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.QInfty.f 0 = 0
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((μ + ν).withDensity f) s = (μ.withDensity f + ν.withDensity f) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
M : (x : C) → Z ⟶ F.obj x
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M x) (F.map f) = M y
X : CategoryTheory.WithInitial C
⊢ (CategoryTheory.WithInitial.lift F M hM).obj X =
  match X with
  | CategoryTheory.WithInitial.of x => F.obj x
  | CategoryTheory.WithInitial.star => Z
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
⊢ μ s + μ sᶜ = μ Set.univ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ t.orthocenter ∈ altitude t i₁
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ (y : ℝ), x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * y) y, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f y) (c₂ * f y)
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ max x 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
⊢ f x = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction X Y
hα : f = α.map L ⋯
⊢ (LeftFraction₂.mk α.f 0 α.s ⋯).add.map L ⋯ = α.map L ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
ι : Type u
f : ι → Scheme
i : ι
⊢ Sigma.ι f i ≫ (sigmaIsoGlued f).hom = (disjointGlueData f).ι i
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal A
h : I.FG
inst✝ : FinitePresentation R A
⊢ ∃ n f, Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
τ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
PartialOrder ι
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
NormedAddCommGroup E
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), MeasureTheory.Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
⊢ MeasureTheory.Memℒp (MeasureTheory.stoppedValue u τ) p μ
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f g : L.Embedding M N
h : ∀ (x : M), f x = g x
⊢ f = g
x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ x * y.moveLeft j = x * (- -y).moveLeft (toLeftMovesNeg (toRightMovesNeg j))
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c✝ d c : M
h : a ≤ a + c
⊢ a + d + c ∈ (fun x => x + d) '' Ici a
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h✝ : ContfracLegendre.Ass ξ u v
q : ℚ
h : |ξ - ↑q| < 1 / (2 * ↑q.den ^ 2)
⊢ |ξ - ↑q.num / ↑↑q.den| < (↑↑q.den * (2 * ↑↑q.den - 1))⁻¹
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ m (s ∪ t) ≤ m s + m t
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : α → F
hsf : Function.support f ⊆ s
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p (μ.restrict s) = MeasureTheory.eLpNorm f p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero β
SMulPosReflectLE α β
h : a₁ • b ≤ a₂ • b
hb : 0 < b
⊢ a₁ ≤ a₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLinearOrder β
f g : α →o β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
c : Chain α
z : β
⊢ (∀ (x x_1 : ℕ), f (c x_1) ≤ z ∨ g (c x) ≤ z) ↔ ∀ (i : ℕ), f (c i) ≤ z ∨ g (c i) ≤ z
x : ℝ
h : 0 < x
⊢ -(π / 2) < π / 2 - arctan x
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
inst✝¹ : Fintype α
s : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
b : α
⊢ b ∈ (ofSetoid s).part a ↔ Setoid.r a b
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
k : ℕ
hk : weightSpace M 0 ≤ LieSubmodule.ucs k ⊥
⊢ LieSubmodule.ucs k ⊥ ≤ ⨆ k, LieSubmodule.ucs k ⊥
F : Type u
Field F
f : RatFunc F
⊢ ↑f = (RatFunc.coeAlgHom F) f
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ζ : R
i : ℕ
hi : i ∈ n.divisors
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ
hn : n > 0
this : ζ ^ n - 1 = eval ζ (∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R)
⊢ eval ζ (∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R) = 0
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → Zero (β i)
x : (i : ι) → β i
⊢ 0 ≤ hammingNorm x
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
DivInvMonoid G₀
TopologicalSpace G₀
ContinuousMul G₀
f : α → G₀
s : Set α
TopologicalSpace α
a : α
hf : ContinuousWithinAt f s a
y : G₀
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f x / y) s a
n : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
⊢ p.predAboveOrderHom i = p.predAbove i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ (fun x => ↑‖s.indicator f x‖₊ ^ p.toReal) = fun a => s.indicator (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal) a
α : Type u_1
s₁ s₂ : Set α
⊢ s₁ ×ˢ s₁ ⊆ s₂ ×ˢ s₂ ↔ s₁ ⊆ s₂
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S' R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
M : PresheafOfModules (R ⋙ CategoryTheory.forget₂ CommRingCat RingCat)
φ' : S' ⟶ R
d : M.Derivation' φ'
X : Dᵒᵖ
a : ↑(S'.obj X)
⊢ d.d ((φ'.app X) a) = 0
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b c : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in b..c, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..c, f x ∂μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
⊢ IsCompl W (B.orthogonal W)
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝³ : T2Space M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : M → G
hg : SmoothOn I 𝓘(ℝ, G) g (chartAt H c).source
⊢ Smooth I 𝓘(ℝ, G) fun x => ↑f x • g x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
f✝ g : X✝ ⟶ Y
X : C
f : X ⟶ X
hf : f ≫ f = f
c : Cofork (𝟙 X) f
i : IsColimit c
this : Epi c.π := epi_of_isColimit_cofork i
⊢ 𝟙 X ≫ c.π = c.π
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
f : M → M' × N'
⊢ ContMDiff I (I'.prod J') n f ↔ ContMDiff I I' n (Prod.fst ∘ f) ∧ ContMDiff I J' n (Prod.snd ∘ f)
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
⊢ P f ↔ ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), Q (𝒰.pullbackHom f i)
V : Type w'
FirstOrder.Language.graph.Structure V
⊢ V ⊨ FirstOrder.Language.Theory.simpleGraph ↔
  (Irreflexive fun x y => FirstOrder.Language.Structure.RelMap FirstOrder.Language.adj ![x, y]) ∧
    Symmetric fun x y => FirstOrder.Language.Structure.RelMap FirstOrder.Language.adj ![x, y]
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ ∀ (a : ↑e.source), ↑(e.toHomeomorphSourceTarget a) = ↑e ↑a
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SecondCountableTopology H
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hsc : s.Countable
hsU : ⋃ x ∈ s, (chartAt H x).source = univ
⊢ SecondCountableTopology M
x : ℝ≥0∞
⊢ ↑x = 0 ↔ x = 0
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
a : F
h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)
ha : ¬a = 0
ha' : (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : X ^ n - C a ≠ 0
hn''' : X ^ n - 1 ≠ 0
mem_range : ∀ {c : (X ^ n - C a).SplittingField}, c ^ n = 1 → ∃ d, (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) d = c
σ τ : (X ^ n - C a).Gal
b : (X ^ n - C a).SplittingField
hb : b ^ n = (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) a
hb' : b ≠ 0
key : ∀ (σ : (X ^ n - C a).Gal), ∃ c, σ b = b * (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) c
c : F
hc : σ b = b * (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) c
d : F
hd : τ b = b * (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) d
⊢ (σ * τ) b = (τ * σ) b
n : ℕ
h₁ : 0 < 4 * (↑n + 1) ^ 2
h₃ : 0 < (2 * (↑n + 1) + 1) ^ 2
⊢ Real.log (stirlingSeq (n + 1)) - Real.log (stirlingSeq (n + 2)) ≤ 1 / (4 * ↑(n + 1) ^ 2)
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Group α
inst✝² : AddCommSemigroup β
inst✝¹ : LE β
inst✝ : MulLEAddHomClass F α β
f : F
a b c : α
⊢ f (a / c) ≤ f (a / b) + f (b / c)
ι : Type u_6
Y₁ : ι → Type u_7
Y₂ : ι → Type u_8
(i : ι) → TopologicalSpace (Y₁ i)
(i : ι) → TopologicalSpace (Y₂ i)
F : (i : ι) → Y₁ i ≃ₜ Y₂ i
H : (a : ι) → Y₁ a
a : ι
⊢ (Homeomorph.piCongrRight F) H a = (F a) (H a)
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
h : Pairwise (Disjoint on fun i => (M i).E)
⊢ (Matroid.disjointSigma M h).E = ⋃ i, (M i).E
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : Group α
a : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a⁻¹ ⊔ 1 = (fun x x_1 => x ⊔ x_1) 1 a⁻¹
R : Type u
Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
⊢ f.integralNormalization.coeff i = if f.degree = ↑i then 1 else f.coeff i * f.leadingCoeff ^ (f.natDegree - 1 - i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
hlb : lb.HasBasis pb sb
⊢ Tendsto f la lb ↔ ∀ (i : ι'), pb i → ∀ᶠ (x : α) in la, f x ∈ sb i
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α) in Set.univ, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
M : Type u
N : Type v
P : Type w
Monoid M
Monoid N
Monoid P
f : M →* N
g : N →* P
⊢ Units.map (g.comp f) = (Units.map g).comp (Units.map f)
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
S' : Type u_7
CommRing S'
Algebra A S
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
e : S ≃ₐ[A] S'
⊢ (pb.map e).minpolyGen = pb.minpolyGen
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
CommRing R
CommRing S
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Algebra R S
Module S N
IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
IsLocalizedModule p f
P : Type w
AddCommGroup P
Module R P
Q : Type w'
AddCommGroup Q
Module R Q
Module S Q
IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
⊢ IsLocalizedModule p (LinearMap.toKerIsLocalized p f f' g)
C : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty C
⊢ F.Initial ↔
  (∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)) ∧
    ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d),
      ∃ c' t, CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map t) s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map t) s'
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : ↑⋯.choose = ↑⋯.choose
⊢ f = g
α : Type u_1
Base : Set α → Prop
exch : Matroid.ExchangeProperty Base
B₁ B₂ : Set α
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
⊢ (B₁ \ B₂).encard = (B₂ \ B₁).encard
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
c c' : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
φ : c.pt ≅ c'.pt
winl : c.inl ≫ φ.hom = c'.inl := by aesop_cat
winr : c.inr ≫ φ.hom = c'.inr := by aesop_cat
wfst : φ.hom ≫ c'.fst = c.fst := by aesop_cat
wsnd : φ.hom ≫ c'.snd = c.snd := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryBicones.ext φ winl winr wfst wsnd).hom.hom = φ.hom
M : Type u_1
S✝ T : Set M
inst✝ : Mul M
S : Set M
x : M
hx : x ∈ S.centralizer.centralizer.centralizer
⊢ ∀ m ∈ S, m * x = x * m
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
⊢ oreNum r₁ s₂ • r₂ /ₒ (oreDenom r₁ s₂ * s₁) = v • r₂ /ₒ (u * s₁)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f f
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ CategoryTheory.IsIso c.fst
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s₁ s₂ s₃ : Set α
h12 : s₁ ⊆ s₂
h23 : s₂ ⊆ s₃
h_nulldiff : μ (s₃ \ s₁) = 0
⊢ μ s₂ = μ s₃
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
S : Set (Set α)
hc : S.Countable
⊢ μ.restrict (⋃₀ S) = ν.restrict (⋃₀ S) ↔ ∀ s ∈ S, μ.restrict s = ν.restrict s
m n : ℕ
h : m.Coprime n
hmn0 : m * n = 0
⊢ φ (m * n) = φ m * φ n
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type ?u.29
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
x : X
⊢ Filter.comap (toPullbackDiag f) (𝓝 (toPullbackDiag f x)) = 𝓝 x
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
IsEmpty ι
f : ι → α
⊢ iInf f = ⊤
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
⊢ ⊤ ≤ Submodule.span R ↑(invSubmonoid M S)
⊢ (deriv fun x => 1 - AkraBazziRecurrence.smoothingFn x) =ᶠ[Filter.atTop] fun x => x⁻¹ / Real.log x ^ 2
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
⊢ TotallyBounded s
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ 2 ∣ S'.a + ↑η * S'.b
⊢ ∃ a' b', a' ^ 3 + b' ^ 3 = ↑S'.u * S'.c ^ 3 ∧ IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ λ ^ 2 ∣ a' + b'
α : Type u
Monoid α
⊢ ∀ {x : Invertible 1}, ⅟1 = 1
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => a - x) ⁻¹' Set.Ici b = Set.Iic (a - b)
K : Type u
Field K
L : Type u_3
Field L
Algebra K L
S : Set L
Finite ↑S
hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral K x
⊢ FiniteDimensional K ↥(IntermediateField.adjoin K S)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ z₁' : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q
⊢ ((z₁ - z₁').comp z₂ h).v p q hpq = (z₁.comp z₂ h - z₁'.comp z₂ h).v p q hpq
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
⊢ Submodule.map f.linear (vectorSpan k s) = vectorSpan k (⇑f '' s)
α : Type u_1
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ ∂ (￢￢a) = ∂ (￢a)
R : Type u_1
d : R
Semiring R
⊢ { a := 0, b := 0, c := 1, d := d }.toPoly.Monic
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
m : M
r : R
⊢ (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m)))) (r • ⟨Finsupp.single (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m)) 1, ⋯⟩) = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
n : ℕ∞
c : F
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => c) s x
α : Type u_1
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ ∃ n, l.get n = a
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
h : n < l.length
⊢ l.get? n = some (l.get ⟨n, h⟩)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid β
s : Finset α
e : α ↪ γ
f : γ → β
⊢ ∏ x ∈ Finset.map e s, f x = ∏ x ∈ s, f (e x)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z✝ : C
φ φ₀ : W.LeftFraction₂ X Y
hφ₁ : φ₀.fst.map L ⋯ = φ.fst.map L ⋯
hφ₂ : φ₀.snd.map L ⋯ = φ.snd.map L ⋯
hφ₀ : add' W (φ₀.fst.map L ⋯) (φ₀.snd.map L ⋯) = φ₀.add.map L ⋯
Z : C
t₁ : φ₀.Y' ⟶ Z
t₂ : φ.Y' ⟶ Z
hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂
hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂
hft' : φ₀.f' ≫ t₁ = φ.f' ≫ t₂
ht : W (φ₀.s ≫ t₁)
this : IsIso (L.map (φ₀.s ≫ t₁))
⊢ φ₀.add.map L ⋯ ≫ L.map (φ₀.s ≫ t₁) = φ.add.map L ⋯ ≫ L.map (φ.s ≫ t₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
δ✝ : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)
δ : ι → Type u_6
φ : (i : ι) → δ i → α
h_cover : ∃ I, I.Finite ∧ ⋃ i ∈ I, range (φ i) = univ
⊢ ⨅ i, comap (Prod.map (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑toFun) (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑toFun)) (𝓤 (δ i →ᵤ β)) ≤ 𝓤 (α →ᵤ β)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t✝ u : Set α
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
x✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
hf : Measurable f
hg : Measurable g
t : Set β
ht : MeasurableSet t
⊢ MeasurableSet (s.piecewise f g ⁻¹' t)
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter β
a : α
⊢ f.NeBot → (a • f).NeBot
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : 0 < a
hb : 1 ≤ b
⊢ nfp (fun x => a * x) 1 ≤ b
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ TotallyDisconnectedSpace ↑s ↔ IsTotallyDisconnected s
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
⊢ IsClosed s → interior (s ∪ t) ⊆ s ∪ interior t
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H✝ : M.LinearDisjoint N
H : M.LinearDisjoint M
inst✝ : Module.Flat R ↥M
hc : ∀ (m n : ↥M), Commute ↑m ↑n
⊢ Module.rank R ↥M ≤ 1
R : Type u_1
Semiring R
p : R[X]ᵐᵒᵖ
⊢ ((Polynomial.opRingEquiv R) p).support = (MulOpposite.unop p).support
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
L : (J ⥤ C) ⥤ C
adj : const J ⊣ L
F : J ⥤ C
s : Cone F
j : J
⊢ (fun s => (adj.homEquiv s.pt F) s.π) s ≫ (coneOfAdj adj F).π.app j = s.π.app j
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι
⊢ x = e.orientation ∨ x = -e.orientation
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_9
s : ι → Set M
⊢ Submodule.span R (⋃ i, s i) = ⨆ i, Submodule.span R (s i)
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a : α
IsSuccArchimedean α
h : Order.IsSuccLimit a
⊢ IsMin a
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ List.count a (l₁.bagInter l₂) = min (List.count a l₁) (List.count a l₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a : α
n : ℕ
⊢ Associates.mk (a ^ n) = Associates.mk a ^ n
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
i j : ι
⊢ ⟪b.repr.symm (lp.single 2 i 1), b.repr.symm (lp.single 2 j 1)⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
hx : x ∈ Icc a b
hC : ∀ y ∈ Icc a b, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ C
h : a < b
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc a b)) (Icc a b)
h' : ∀ y ∈ Ico a x, ‖((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C
A : ∀ t ∈ Icc a x, HasDerivWithinAt (fun y => taylorWithinEval f n (Icc a b) y x) (((↑n !)⁻¹ * (x - t) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) t) (Icc a x) t
this : ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C * (x - a)
⊢ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C * (x - a) = C * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
hs : a ∈ s
ht : a ∉ t
⊢ s.erase a = t ↔ s = insert a t
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
a : F
ha : a ≠ 0
μ : Rˣ
hμ₁ : μ ∈ rootsOfUnity ⟨orderOf χ, ⋯⟩ R
hμ₂ : ↑μ = χ a
hχ' : ↑⟨orderOf χ, ⋯⟩ ∣ ↑⟨n, ⋯⟩
⊢ ∃ ζ ∈ rootsOfUnity ⟨n, ⋯⟩ R, ↑ζ = χ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S : J.Cover X
I : S.Arrow
Z : C
g : Z ⟶ I.Y
⊢ (I.precomp g).f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g I.f
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
⊢ ↑‖x‖₊ = ↑(‖x.fst‖₊ + ‖x.snd‖₊)
F : Type u_1
CommSemiring F
f : ℕ → F
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
e : ℕ
m : ↑p.smoothNumbers
⊢ f (p ^ e * ↑m) = f (p ^ e) * f ↑m
K : Type u
DivisionRing K
s : Set (Subfield K)
⊢ (sInf s).toSubring = ⨅ t ∈ s, t.toSubring