ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
⊢ -⟦mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * -a✝ j⟧ = ⟦mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * a✝ j⟧
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
x : ι → ℝ
h : π.IsPartition
hx : x ∈ I
⊢ ∃! J, J ∈ π ∧ x ∈ J
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrderTop α
a : α
⊢ (Finset.Ioi a).card = (Finset.Ici a).card - 1
S : Set ℝ
⊢ sInf S = -sSup (-S)
z : ℂ
n : ℕ
hn : abs z < ↑n
hn0 : 0 < ↑n
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ abs z / ↑m.succ * abs (z ^ m / ↑m.factorial) ≤ abs z / ↑n * abs (z ^ m / ↑m.factorial)
J : Type u
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)
G : Finset J
H : Finset (TopCat.FiniteDiagramArrow G)
⊢ IsClosed (TopCat.partialSections F H)
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : SMulWithZero ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module ℝ M
φ : ι → X → M
this : (fun i => (ρ i) x₀ • φ i x₀) = (fun i => (ρ i) x₀) • fun i => φ i x₀
⊢ ((support fun i => (ρ i) x₀) ∩ support fun i => φ i x₀) ⊆ support fun i => (ρ i) x₀
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
f'' : α → E''
g'' : α → F''
x : α
⊢ f'' =O[pure x] g'' ↔ g'' x = 0 → f'' x = 0
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
s t : Set G
⊢ mk '' s = mk '' t ↔ ↑N * s = ↑N * t
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a b : α
NoMaxOrder α
⊢ a < Order.succ b ↔ a ≤ b
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
D : Derivation R A M
N : Type u_5
AddCommMonoid N
Module A N
Module R N
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R A N
f : M →ₗ[A] N
⊢ ↑(f.compDer D) = ↑R f ∘ₗ ↑D
α : Type u
SemilatticeInf α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ a ⊓ b < a ∨ a ⊓ b < b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
hc : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ fderiv ℝ (fun x => Real.exp (f x)) x = Real.exp (f x) • fderiv ℝ f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : β → ℝ≥0
r : ℝ≥0
hgf : ∀ (b : β), g b ≤ f b
hfr : HasSum f r
⊢ ∑' (b : β), ↑(g b) ≤ ↑r
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousMul G
H : Subgroup G
g : G
hg : ↑H ∈ 𝓝 g
x : G
hx : x ∈ ↑H
⊢ ↑H ∈ 𝓝 x
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
x✝ : S
f : R →+* S
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : S
⊢ eval₂ f x p = ∑ i ∈ range n, f (p.coeff i) * x ^ i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
CategoryTheory.Equivalence.TransportsGrothendieckTopology J K e
F : CategoryTheory.Sheaf K A
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Equivalence.sheafCongr.inverse J K e A).obj F).val.map f = F.val.map (e.functor.map f.unop).op
α : Type u
β : Type v
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
Preorder β
f : α → β
⊢ Monotone f → Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
X Y : CommMonCat
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : ↑X), f x = g x
⊢ f = g
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
u v : Rˣ
m n : ℕ
h : ↑u * ϖ ^ m = ↑v * ϖ ^ n
⊢ u = v
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
s : Finset α
hp' : p ≠ 0
hp'' : 0 < p.toReal
G : ((a : α) → E a) → ℝ := fun f => ∑ a ∈ s, ‖f a‖ ^ p.toReal
hG : Continuous G
⊢ ∀ᶠ (c : ι) in l, (G ∘ id fun i => ↑(F i)) c ≤ C ^ p.toReal
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
l : Line α ι
v : ι' → α
x : α
⊢ (fun x i => ((l.horizontal v).idxFun i).getD x) x = Sum.elim ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) v
R : Type u_1
Ring R
G : Type u
AddCommGroup G
Module R G
H : ModuleCat R
f : G →ₗ[R] ↑H
⊢ 𝟙 H ∘ₗ f = f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x : M
f : M × M' → M''
p : M × M'
hf : MDifferentiableAt (I.prod I') I'' f p
⊢ mfderiv (I.prod I') I'' f p = (mfderiv (I.prod I') I'' f (p.1, p.2)).comp ((ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I p.1) (TangentSpace I' p.2)).prod 0 + ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I p.1) (TangentSpace I' p.2)))
α : Type u_2
LE α
⊢ ⇑WithBot.toDualTopEquiv = ⇑OrderDual.toDual ∘ ⇑WithBot.ofDual
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝⁴ : DecidableEq o
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
inst✝ : One α
⊢ (blockDiagonal' fun i => diagonal fun x => 1) = diagonal fun x => 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
hfmeas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
g : ι → α → E := fun i => Exists.choose ⋯
⊢ UniformIntegrable f p μ
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α' → β' → γ
g : α → α'
h : β → β'
⊢ image2 f (range g) (range h) = range fun x => f (g x.1) (h x.2)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : Perm (Subtype p)
h : f.IsSwap
x : α
hx : p x
y : α
hy : p y
hxy : ⟨x, hx⟩ ≠ ⟨y, hy⟩ ∧ f = swap ⟨x, hx⟩ ⟨y, hy⟩
⊢ ofSubtype f = swap x y
α : Type u_2
AddCancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
⊢ ThreeAPFree (insert a s) ↔
  ThreeAPFree s ∧
    (∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a + c = b + b → a = b) ∧
      ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b + c = a + a → b = a
R : Type u
CommRing R
S : Type u_1
CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.addZ (⇑f ∘ P) (⇑f ∘ Q) = f (WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
a b : α
P : α → Prop
m : α
h0 : P m
h1 : ∀ (n : α), m ≤ n → P n → P (succ n)
n : α
hmn : m ≤ n
⊢ P n
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤
hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤
to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s
to_nnreal_ν : ∀ (s : Set α), ↑(ν s).toNNReal = ν s
d_split : ∀ (s t : Set α), MeasurableSet t → d s = d (s \ t) + d (s ∩ t)
d_Union : ∀ (s : ℕ → Set α), Monotone s → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋃ n, s n)))
d_Inter : ∀ (s : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)) → (∀ (n m : ℕ), n ≤ m → s m ⊆ s n) → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋂ n, s n)))
bdd_c : BddAbove c
c_nonempty : c.Nonempty
d_le_γ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → d s ≤ γ
this : ∀ (n : ℕ), ∃ s, MeasurableSet s ∧ γ - (1 / 2) ^ n < d s
e : ℕ → Set α
he : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (e x) ∧ γ - (1 / 2) ^ x < d (e x)
he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)
he₂ : ∀ (n : ℕ), γ - (1 / 2) ^ n < d (e n)
f : ℕ → ℕ → Set α := fun n m => (Finset.Ico n (m + 1)).inf e
hf : ∀ (n m : ℕ), MeasurableSet (f n m)
f_subset_f : ∀ {a b c d : ℕ}, a ≤ b → c ≤ d → f a d ⊆ f b c
f_succ : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → f n (m + 1) = f n m ∩ e (m + 1)
le_d_f : ∀ (n m : ℕ), m ≤ n → γ - 2 * (1 / 2) ^ m + (1 / 2) ^ n ≤ d (f m n)
s : Set α := ⋃ m, ⋂ n, f m n
γ_le_d_s : γ ≤ d s
hs : MeasurableSet s
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ι : Type u_4
t : ι → IntermediateField K L
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic K ↥(t i)
x : L
hx✝ : x ∈ ⨆ i, t i
s : Finset ((i : ι) × ↥(t i))
hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, K⟮↑i.snd⟯
⊢ IsAlgebraic K ⟨x, hx✝⟩
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
inst✝ : EnoughProjectives C
X Y : C
f : X ⟶ Y
α : ShortComplex.mk (d f) f ⋯ ⟶ ShortComplex.mk (kernel.ι f) f ⋯ := { τ₁ := π (kernel f), τ₂ := 𝟙 (ShortComplex.mk (d f) f ⋯).X₂, τ₃ := 𝟙 (ShortComplex.mk (d f) f ⋯).X₃, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
this✝¹ : Epi α.τ₁
this✝ : IsIso α.τ₂
this : Mono α.τ₃
⊢ (ShortComplex.mk (kernel.ι f) f ⋯).Exact
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a.factorizationLCMLeft b * a.factorizationLCMRight b = a.lcm b
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
a b : α
⊢ {a} * {b} = {a * b}
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
c : R
⊢ 0 ≤ c * a * star c
i : Nat
r : Std.Range
h : i ∈ r
⊢ r.start ≤ i
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
hH : Finite (G ⧸ H)
⊢ H.index ≠ 0
S : Type v
CommSemiring S
R : Type u_1
CommRing R
f : R →+* S
x : R
p : R[X]
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ (Polynomial.map f p).IsRoot (f x) ↔ p.IsRoot x
ι : Type u_2
M : ι → Type u_6
(i : ι) → Monoid (M i)
Fintype ι
DecidableEq ι
x : (i : ι) → M i
⊢ Finset.univ.noncommProd (fun i => Pi.mulSingle i (x i)) ⋯ = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → β
x : Fin (n + 1)
⊢ ∏ i : Fin (n + 1), f i = f x * ∏ i : Fin n, f (x.succAbove i)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {p | dist p.1 p.2 < ε}
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ✝
X✝ : α → β
Y : α → Ω✝
mβ : MeasurableSpace β
s✝ : Set Ω✝
t : Set β
f✝ : β × Ω✝ → F✝
Ω : Type u_5
F : Type u_6
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → β
μ : Measure Ω
inst✝ : TopologicalSpace F
f : Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0
⊢ (Measure.map Prod.snd (Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ)) s = 0
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C'
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
G : CategoryTheory.Functor C' C
X : CategoryTheory.Comma ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D H).obj L) (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F)
⊢ ((CategoryTheory.Functor.RightExtension.precomp L F G).obj X).left = X.left
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
h2s : ((κ.compProd η) a) s ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
f g : β → α
x : Filter β
a b : α
hf : Filter.Tendsto f x (𝓝 a)
hg : Filter.Tendsto g x (𝓝 b)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => dist (f x) (g x)) x (𝓝 (dist a b))
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
s : Finset ι
x y : (i : ↑↑s) → β ↑i
⊢ DFinsupp.mk s (x + y) = DFinsupp.mk s x + DFinsupp.mk s y
Ω : Type u_1
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : Type u_10
m : MeasurableSpace β
AddCommMonoid β
MeasurableAdd₂ β
f : ℕ → Ω → β
hf_Indep : ProbabilityTheory.iIndepFun (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ℕ), Measurable (f i)
n : ℕ
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (∑ j ∈ Finset.range n, f j) (f n) μ
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ∆ b = b ∆ a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
h_mon : f.leadingCoeff = 1
h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)
a b : R[X]
h : f = a * b
q : a.leadingCoeff * b.leadingCoeff = 1
⊢ R
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : Ring α
inst✝³ : AddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ image (fun x => -x) s • t = image (fun x => -x) (s • t)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
H I : D ⥤ E
α : F ≅ G
β : H ≅ I
⊢ (CategoryTheory.NatIso.hcomp α β).inv = α.inv ◫ β.inv
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ
⊢ (fun x => ?m.77547.factorial • x) (multichoose (-↑n) n) = (fun x => ?m.77547.factorial • x) ((-1) ^ n)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
⊢ ExistsContDiffBumpBase.y D x ≤ 1
α : Type u_2
DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
f : Equiv.Perm α
⊢ f ∈ Subgroup.closure S ↔ (MulAction.fixedBy α f)ᶜ.Finite ∧ ∀ (x : α), f x ∈ MulAction.orbit (↥(Subgroup.closure S)) x
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
r : R
hr : r ∈ S
⊢ r -ₒ ⟨r, hr⟩ = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
⊢ (p.sum fun e a => (RingHom.id R) a * x ^ e) = p.sum fun e a => a * x ^ e
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
s : AddSubsemigroup M
t : AddSubsemigroup N
⊢ ↑(s.prod t) = ↑s ×ˢ ↑t
α : Type u_1
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
b : ℝ≥0
h : a = ⊤ → ↑b = ⊤
h_nnreal : a ≠ ⊤ → ↑b ≠ ⊤ → a.toNNReal ≤ (↑b).toNNReal
hlt : ↑b < a
⊢ False
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hb : Acc r b
h : r a b
⊢ ⋯.rank < hb.rank
α : Type u_2
M : Type u_4
Zero M
LinearOrder M
f g : α → M
⊢ (Function.support fun x => min (f x) (g x)) ⊆ Function.support f ∪ Function.support g
β : Type u_2
α : Type u_5
r₁₂ : α → β → Prop
r₂₁ : β → α → Prop
hr : ∀ (a : α) (b : β), r₁₂ a b → r₂₁ b a
⊢ Relator.LeftTotal r₁₂ → Relator.RightTotal r₂₁
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
s : Perm α →* ℤˣ
hs : Surjective ⇑s
f : Perm α
x✝ : f.IsSwap
x y : α
hxy : x ≠ y
hxy' : f = swap x y
h : ¬s (swap x y) = -1
this✝ : ∀ (f : Perm α), f.IsSwap → s f = 1
g : Perm α
hg : s g = -1
l : List (Perm α)
hl : l.prod = g ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap
this : ∀ a ∈ List.map (⇑s) l, a = 1
⊢ False
α : Type u_1
inst✝³ : Semifield α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulReflectLT α
inst✝ : ZeroLEOneClass α
a b : α
⊢ 0 ≤ a⁻¹ ↔ 0 ≤ a
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
n : ℕ
hn : Squarefree n
⊢ ∑ t ∈ n.primeFactors.powerset, (∏ i ∈ t, f i) * ∏ i ∈ n.primeFactors \ t, g i = ∑ i ∈ (↑n.primeFactorsList).toFinset.powerset, f i.val.prod * g (n / i.val.prod)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
⊢ Ex ≤ Ey
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
s : (i : ι) → κ i → Set E
h : ∀ (i : ι) (j : κ i), Convex 𝕜 (s i j)
⊢ Convex 𝕜 (⋂ i, ⋂ j, s i j)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hμν : ν ≪ μ
⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae ν) f
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁' l₂' : List α
e : l.split = (l₁', l₂')
h : (a :: b :: l).split = (a :: l₁', b :: l₂')
h₁ : l₁'.length ≤ l.length
h₂ : l₂'.length ≤ l.length
⊢ (a :: l₁').length < (a :: b :: l).length ∧ (b :: l₂').length < (a :: b :: l).length
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
P : Submodule R M
b : Basis ι R ↥P
x : M
⊢ x ∈ P ↔ ∃ c, x = c.sum fun i x => x • ↑(b i)
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.preΨ' 4 = W.preΨ₄
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
CategoryTheory.StrongMono f
CategoryTheory.StrongMono g
⊢ CategoryTheory.StrongMono (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
a q m : ℤ
b' r : ℕ
hm : q * ↑b' = m
h₂ : r.blt b' = true
h : ↑r + m = a
⊢ a / ↑b' = ↑q
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : LowerSet α
⊢ ↑(s - t) = ↑s - ↑t
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α✝
x✝ y✝ : α✝
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hfx : f x ≠ x
hffx : f (f x) = x
y z : α
hz : f z ≠ z ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle z y
i : ℤ
hi : (f ^ i) z = x
hyx : ¬y = x
hfyx : ¬y = f x
hy : ¬f y = y
j : ℤ
hj : (f ^ (j - i)) x = y
hji : (f ^ (j - i)) x = x
⊢ False
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I✝ : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsMaximal
ne_top : ¬map f I = ⊤
J : Ideal S
hJ : map f I < J
⊢ J = ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
hB₀ : B.IsRefl
h : Disjoint W (B.orthogonal W)
⊢ finrank K V ≤ finrank K ↥(W ⊔ B.orthogonal W)
N : ℕ
s : Finset ℕ
h : N.primesBelow ≤ s
n : ℕ
hn : (¬n = 0 → ∃ x ∈ n.primeFactorsList, x ∉ s) ∧ ¬n = 0
p : ℕ
hp₁ : p ∈ n.primeFactorsList
hp₂ : p ∉ s
⊢ N ≤ n
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s✝ t✝ : Set X
x y : X
ι : Type u_2
I✝ : Set ι
hI✝ : I✝.Finite
s : ι → Set X
t : Set X
i : ι
I : Set ι
x✝¹ : i ∉ I
x✝ : I.Finite
hI : IsMetricSeparated (⋃ i ∈ I, s i) t ↔ ∀ i ∈ I, IsMetricSeparated (s i) t
⊢ IsMetricSeparated (⋃ i_1 ∈ insert i I, s i_1) t ↔ ∀ i_1 ∈ insert i I, IsMetricSeparated (s i_1) t
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
g : ConjAct G
⊢ g ∈ Commensurable.commensurator' H ↔ Commensurable (g • H) H
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle (x + y) y = ↑(Real.arctan (‖x‖ / ‖y‖))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
h : ∀ x ∈ s, f x = f₁ x
p : TangentBundle I M
hp : p.proj ∈ s
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
⊢ tangentMapWithin I I' f s p = tangentMapWithin I I' f₁ s p
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
n : ℤ
H : ℤ → Prop := fun n => ∀ T ∈ distinguishedTriangles, (shiftFunctor C n).obj T ∈ distinguishedTriangles
H_zero : H 0
H_one : H 1
H_neg_one : H (-1)
H_add : ∀ {a b c : ℤ}, H a → H b → a + b = c → H c
⊢ H n
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
⊢ StrictMono fun a => a ^ n
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid N
P : Submonoid M
h : P.FG
S : Set M
hS : closure S = P
hf : S.Finite
⊢ AddSubmonoid.closure (⇑Additive.toMul ⁻¹' S) = toAddSubmonoid P
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type u_12
DecidableEq l
DecidableEq m
Zero α
One α
⊢ Matrix.fromBlocks 1 0 0 1 = 1
G : Type u_2
α : Type u_3
Neg G
MeasurableSpace G
MeasurableNeg G
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => -f x) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddZeroClass M
f : α → β
hf : Function.Injective f
x : β →₀ M
⊢ (Finsupp.comapDomain.addMonoidHom hf) x = Finsupp.comapDomain f x ⋯
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p : X → Prop
⊢ (¬∃ᶠ (x' : X) in 𝓝 x, ∃ᶠ (x'' : X) in 𝓝 x', p x'') ↔ ¬∃ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hx : x ≠ 0
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0
hy : y ≠ 0
⊢ legendreSym p a = 1
β : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
Preorder β
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : β → M
hf : Monotone f
n : ℕ
⊢ Monotone fun a => f a ^ n
C : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C
r : HomRel C
D : Type u_4
inst✝ : Category.{u_2, u_4} D
F : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
F₁ F₂ : Quotient r ⥤ D
h : functor r ⋙ F₁ = functor r ⋙ F₂
⊢ F₁ = lift r (functor r ⋙ F₂) ⋯
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ Function.Injective fun s a => Multiset.count a s
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
p : M → Prop
hs : Submonoid.closure s = ⊤
x : M
H1 : p 1
Hmul : ∀ (x y : M), y ∈ s → p x → p (x * y)
⊢ p x
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
x₀ : E
this : ‖x₀‖ ^ 0 * ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 0) f
⊢ ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 0) f
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
⊢ ∀ {p : R}, Irreducible p → Associated p ϖ
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i j : ι
h_le : toZ i0 i ≤ toZ i0 j
⊢ i ≤ j
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : Function.support f ⊆ s
c : ℝ≥0∞
hc : c < essSup f μ
d : ℝ≥0∞
cd : c < d
hd : d < essSup f μ
t : Set α := {x | d < f x}
A : 0 < (μ.restrict t) t
B : 0 < (μ.restrict s) t
b : ℝ≥0∞
hb : b < d
⊢ b ∉ {a | (μ.restrict s) {x | a < f x} = 0}