ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝¹ : Category.{v₂, v₁} I
F : I ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
i : I
⊢ (coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda F).inv ≫ coyoneda.map (colimit.ι F i).op = limit.π (F.op ⋙ coyoneda) (op i)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ v ∈ p.support
R : Type u_1
Semiring R
⊢ PowerSeries.order 0 = ⊤
α : Type u_1
a : α
⊢ PFun.id α a = Part.some a
m n : ℕ
h : n > 0
⊢ (fib m).gcd (fib (n + m)) = (fib m).gcd (fib n)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
hf : Injective f
this : ⇑(rename f) = Finsupp.mapDomain (Finsupp.mapDomain f)
⊢ Injective (Finsupp.mapDomain (Finsupp.mapDomain f))
ι : Sort u_1
a b : ℝ
h : a ≤ b
c : ι → Set ↑(Icc a b)
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
ball_subset : ∀ x ∈ univ, ∃ i, Metric.ball x δ ⊆ c i
hδ : 0 < δ / 2
n : ℕ
⊢ ∃ i, Icc (addNSMul h (δ / 2) n) (addNSMul h (δ / 2) (n + 1)) ⊆ c i
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
P : C(X, Y) → Prop
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.HomotopyWith f₁ P
⊢ F.symm.symm = F
A : Type u_1
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra ℂ A
ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
⊢ SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM
r : ℝ
⊢ r ≤ ↑r.toNNReal
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}
⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h < o.bsup f) → (o.bsup f).cof ≤ o.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace β
x y : β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hxs : x ∈ s
h : ∀ (i : Set β), x ∈ i → MeasurableSet i → y ∈ i
⊢ y ∈ s
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ [IsCoprime I J, Codisjoint I J, I + J = 1, ∃ i ∈ I, ∃ j ∈ J, i + j = 1, I ⊔ J = ⊤].TFAE
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
⊢ ⊥.op = ⊥
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ (∀ (m : ℕ), m < n + 1 → p m) ↔ (∀ (m : ℕ), m < n → p m) ∧ p n
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
self : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
i : ι
⊢ 1 ∈ self.set i
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrderedAddCommGroup α
OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 C)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atBot
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ { toFun := fun n => χ ↑n * ↑n ^ (-s), map_zero' := ⋯, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } n = if n = 0 then 0 else χ ↑n / ↑n ^ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ≅ Y
⊢ f.unop.op = f
G : Type u
AddGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
x₀ : G
⊢ (𝓝 x₀).HasBasis (fun V => V ∈ B) fun V => (fun y => x₀ + y) '' V
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
⊢ 0 < c ^ 2
y z : ℝ
hyz : y < z
x : ℝ≥0
hx : 1 < x
⊢ ↑x ^ y < ↑x ^ z
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.IsComplement' ⊤ ↔ H = ⊥
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
L : (ι → E × ℝ) →L[ℝ] E := (ContinuousLinearMap.fst ℝ E ℝ).comp (ContinuousLinearMap.proj (f.ind x hx))
⊢ L.comp (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x) = mfderiv I I (↑(chartAt H (f.c (f.ind x hx)))) x
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_4
(i : Fin (n + 1)) → PseudoMetricSpace (α i)
i : Fin (n + 1)
x y : α i
f g : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
⊢ dist (i.insertNth x f) (i.insertNth y g) = max (dist x y) (dist f g)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Mono 0
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero X
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Add G
MeasurableAdd G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddRightInvariant
g : G
X : Type u_4
MeasurableSpace X
μ' : MeasureTheory.Measure X
f : X → G
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ' μ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun x => f x + g) μ' μ
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
C : Stream'.WSeq α → Stream'.WSeq β → Prop
⊢ Function.swap (Stream'.WSeq.LiftRelO R C) = Stream'.WSeq.LiftRelO (Function.swap R) (Function.swap C)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
f : X ⟶ Y
⊢ (leftUnitor X).inv ≫ map (𝟙 (⊤_ C)) f = f ≫ (leftUnitor Y).inv
a b : ℕ+
⊢ ↑(a - b) = if b < a then ↑a - ↑b else 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
f : Ω → F
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hf_int : MeasureTheory.Integrable (fun a => f (Y a)) μ
⊢ μ[fun a => f (Y a)|MeasurableSpace.comap X mβ] =ᵐ[μ] fun a =>
  ∫ (y : Ω), f y ∂(ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) (X a)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
Fact (1 ≤ p)
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
⊢ (LinearMap.range (BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜)).toAddSubgroup =
  MeasureTheory.Lp.boundedContinuousFunction E p μ
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : ℕ → α
n : ℕ
⊢ (partialSups f) n = ⨆ i, ⨆ (_ : i ≤ n), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
hI : I ⊆ M.E
hX : X ⊆ M.E
h : (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X)
hI' : M.Indep I
hss : I ⊆ X
J : Set α
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hIJ' : f '' I = f '' J
⊢ J ⊆ I
k : ℕ
hk0 : k ≠ 0
n : ℕ
⊢ ∃ b ≥ n, Prime b ∧ b ≡ 1 [MOD k]
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
h : {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}.Finite
q : ℚ
left✝ : q ∈ {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}
hq : ∀ b ∈ {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}, |ξ - ↑q| ≤ |ξ - ↑b|
q' : ℚ
hmem : |ξ - ↑q'| < 1 / ↑q'.den ^ 2
hbetter : |ξ - ↑q'| < |ξ - ↑q|
⊢ False
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
e : X = Y
U : Y.Opens
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (CategoryTheory.eqToHom e) U = CategoryTheory.eqToHom ⋯
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : Finite 𝒰.J
fn : 𝒰.J → ℕ
hfn : ∀ (i : 𝒰.J), (Hom.app (𝒰.map i) U) s ^ fn i = 0
this : Fintype 𝒰.J
N : ℕ := Finset.univ.sup fn
hfnleN : ∀ (i : 𝒰.J), fn i ≤ N
⊢ ∀ (i : ?h.𝒰.J), (Hom.app (?h.𝒰.map i) U) (s ^ N) = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ₁ γ₂ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
eq : γ₁ = γ₂
⊢ γ₁.φK = γ₂.φK
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g✝ : Y → Z
g : Z → W
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g
⊢ IsProperMap (Prod.map f g)
R : Type u_2
S : Type u_3
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Polynomial R
a b : S
h : IsNilpotent (a - b)
⊢ IsNilpotent ((Polynomial.aeval a) P - (Polynomial.aeval b) P)
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M₀ : Type u_6
AddCommGroup M₀
Module R M₀
M₁ : Type u_7
AddCommGroup M₁
Module R M₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
m : M₀
s : ↥S
⊢ ((IsLocalizedModule.map S (LocalizedModule.mkLinearMap S M₀) (LocalizedModule.mkLinearMap S M₁)) g)
    (LocalizedModule.mk m s) =
  LocalizedModule.mk (g m) s
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : Integrable f μ
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
hfμ : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
hfν : AEMeasurable f ν
⊢ Integrable (llr (μ.tilted f) ν) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
One β
s : Set α
c : β
h : Filter.EventuallyConst (s.mulIndicator fun x => c) l
hc : c ≠ 1
⊢ Filter.EventuallyConst s l
R : Type u_1
n : ℕ
h : Ω (n + 1) = 1
x : ℕ
hx : (n + 1).primeFactorsList = [x]
⊢ ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f : α → β
TopologicalSpace β
LinearOrderedField β
OrderTopology β
hk : Filter.Tendsto k l Filter.atTop
hf : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k (f * k⁻¹)
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
μ : Measure E
s : Set ↑(sphere 0 1)
hs : MeasurableSet s
⊢ μ.toSphere s = ↑(dim E) * μ (Ioo 0 1 • Subtype.val '' s)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s✝ : Multiset α
a✝ a : α
s t : Multiset α
⊢ a ::ₘ s ⊆ t ↔ a ∈ t ∧ s ⊆ t
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ
hT₁ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₂ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
c : Opposite.unop T₂.obj₃ ⟶ Opposite.unop T₁.obj₃
hc₁ : T₂.mor₂.unop ≫ b.unop = c ≫ T₁.mor₂.unop
hc₂ : (((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₂.obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map T₂.mor₃.unop) ≫ (shiftFunctor C 1).map c = a.unop ≫ ((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₁.obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map T₁.mor₃.unop
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
α : Type u
x : FreeAddGroup α
⊢ (FreeAddGroup.map id) x = x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
A : C
S.HasHomology
k : A ⟶ S.opcycles
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k S.fromOpcycles = 0
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.liftHomology k hk) S.homologyι = k
s : Set Surreal
Small.{u, u + 1} ↑s
⊢ BddAbove s
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
N : LieSubmodule R L M
⊢ baseChange A ⊤ = ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : s.Nonempty
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ x ∈ {x}
l m r : List Char
s : Substring
h : ValidFor l m r s
n : Nat
⊢ ValidFor (l ++ List.take n m) (List.drop n m) r (s.drop n)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
⊢ ∡ p₃ p₁ p₂ = ↑(Real.arcsin (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃))
G : SetTheory.PGame
G.Impartial
⊢ G.Fuzzy 0 ↔ SetTheory.PGame.LF 0 G
z w : ℂ
⊢ (z / w).re = z.re * w.re / normSq w + z.im * w.im / normSq w
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
⊢ StrictConvexOn 𝕜 s f
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
ha' : SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM
⊢ (spectralRadius ℝ a).toReal ∈ spectrum ℝ a ∨ -(spectralRadius ℝ a).toReal ∈ spectrum ℝ a
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⟪x, y⟫_ℝ = -(‖x‖ * ‖y‖)
⊢ angle x y = π
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M
u : Rˣ
v : Ray R M
⊢ -u • v = -(u • v)
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in -(π / 2)..π / 2, √(1 - sin x ^ 2) * cos x = ∫ (x : ℝ) in -(π / 2)..π / 2, cos x ^ 2
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
s : Set β
f : ↑s → α
θ : Cardinal.{u}
hθ : θ ≤ #↑s
h₁ : ℵ₀ ≤ θ
h₂ : #α < θ.ord.cof
⊢ ∃ a t, ∃ (h : t ⊆ s), θ ≤ #↑t ∧ ∀ ⦃x : β⦄ (hx : x ∈ t), f ⟨x, ⋯⟩ = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : ContinuousOn f s
hs : IsOpen s
hp : f ⁻¹' t ⊆ s
ht : IsOpen t
⊢ f ⁻¹' t = s ∩ f ⁻¹' t
u v : ℤ
⊢ u * v = -1 ↔ u = 1 ∧ v = -1 ∨ u = -1 ∧ v = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p✝ : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
l : Filter β
b : ι → Set β
q : ι → Prop
hl : l.HasBasis q b
u : β → Set α
p : β → Prop
x : α
g : (i : Set β) → i ∈ l → β
hg : ∀ (i : Set β) (i_1 : i ∈ l), p (g i i_1) ∧ g i i_1 ∈ i
hg' : ∀ (i : Set β) (i_1 : i ∈ l), x ∈ u (g i i_1)
i : ↑{i | q i}
⊢ p ((fun i => g (b ↑i) ⋯) i) ∧ (fun i => g (b ↑i) ⋯) i ∈ b ↑i
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p : R[X]
h : p.Monic
hp : Irreducible p
a b : K[X]
H : Polynomial.map (algebraMap R K) p = a * b
hₐ : ¬IsUnit a
⊢ IsUnit b
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M ≃* N
⊢ Submonoid.map f ⊤ = ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
f : E → F
x : E
c : R
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun y => c • f y) x
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
hy₂ : y₂ = eval x₂ (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))
⊢ Y - C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ * (x₂ - x₁) + y₁)) + C (X - C x₂) * C (C (-W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) = Y - C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁)
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 0, ‖f (x + x_1) - f x - L x_1‖ ≤ ε * ‖x_1‖
I : Type u₁
J : Type u₂
e : I ≃ J
⊢ (CategoryTheory.Discrete.equivalence e).functor = CategoryTheory.Discrete.functor (CategoryTheory.Discrete.mk ∘ ⇑e)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : p ≠ 0
⊢ weightedTotalDegree' w p = ↑(weightedTotalDegree w p)
M : Type u_1
Monoid M
S : Subgroup Mˣ
y : Mˣ
hy : ↑y ∈ S.ofUnits
⊢ y ∈ S
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ LinearMap.ker (LinearMap.fst R M M₂) = LinearMap.range (LinearMap.inr R M M₂)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
n : ℕ
hn : f.natDegree < n
⊢ f.reverse.coeff n = 0
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
H : μ.ContentRegular
K : TopologicalSpace.Compacts G
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ K', K.carrier ⊆ interior K'.carrier ∧ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K' ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (⇑(Equiv.piCongrLeft α f).symm ⁻¹' Set.univ.pi fun i' => t (f i')) = Set.univ.pi t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s : Set (Set α)
hs : s.Countable
h : ∀ t ∈ s, MeasurableSet t
⊢ MeasurableSet (⋃ i ∈ s, i)
ι : Type u_1
F : Filter ι
f : ι → ℝ
h : Bornology.IsBounded (Set.range f)
⊢ Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (Filter.map f F)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : (nilradical R).IsPrime
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hm : f.Monic
R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R
ψ : R' →+* S := Ideal.Quotient.lift (nilradical R) φ ⋯
ι : R →+* R' := algebraMap R R'
hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)
a b : R[X]
h : f = a * b
hb : IsUnit (Polynomial.map ι b)
hn : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (b.coeff i)
⊢ IsUnit (-(a.coeff f.natDegree * b.coeff 0))
u : ℤˣ
⊢ ↑u * ↑u = 1
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (mk K K V).compr₂ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V)) = (mk K K V).compr₂ (↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V))
n : ℕ
⊢ n.greatestFib ≠ 0 ↔ n ≠ 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ComposableArrows C (n + 1)} (f : X ⟶ Y) (X_1 : Fin (n + 1)),
  (CategoryTheory.ComposableArrows.δ₀Functor.map f).app X_1 = f.app X_1.succ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTrans α r
IsAntisymm α r
IsTotal α r
s : Finset α
a : α
⊢ a ∈ Finset.sort r s ↔ a ∈ s
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : E → ι → ℝ
s : Set E
hf : LipschitzOnWith C f s
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (weightSpace (↥↑N) 0) (posFittingComp R L ↥↑N)
M₀ : LieSubmodule R L M := weightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
hx : weightSpaceOf M 0 x ≠ ⊤
⊢ IsCompl M₀ M₁
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (aeval pb.gen) p = 0
hlt : p.natDegree < pb.dim
⊢ p = 0
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
c : 𝕜
s : Set E
x : E
h : c • x ∈ s
⊢ egauge 𝕜 s x ≤ (↑‖c‖₊)⁻¹
cf cg : Nat.Partrec.Code
⊢ Encodable.encode cf < Encodable.encode (cf.prec cg) ∧ Encodable.encode cg < Encodable.encode (cf.prec cg)
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S' R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
M : PresheafOfModules (R ⋙ CategoryTheory.forget₂ CommRingCat RingCat)
φ' : S' ⟶ R
d : (X : Dᵒᵖ) → (M.obj X).Derivation (φ'.app X)
d_map : ∀ ⦃X Y : Dᵒᵖ⦄ (f : X ⟶ Y) (x : ↑(R.obj X)), (d Y).d ((R.map f) x) = (M.map f) ((d X).d x)
X : Dᵒᵖ
⊢ (PresheafOfModules.Derivation'.mk d d_map).app X = d X
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑t
hx : ↑x ∉ s
⊢ (Set.sumDiffSubset h) ((Set.sumDiffSubset h).symm x) = (Set.sumDiffSubset h) (Sum.inr ⟨↑x, ⋯⟩)
x y : ℝ
⊢ WithBot.some '' (WithTop.some '' Ioc x y) = Ioc ↑x ↑y
R✝ : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R✝ M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M'
inst✝⁹ : Module R✝ M₁
inst✝⁸ : Nontrivial R✝
inst✝⁷ : NoZeroSMulDivisors R✝ M
inst✝⁶ : StrongRankCondition R✝
inst✝⁵ : Module.Finite R✝ M
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ finrank R M = 0 ↔ ↑(finrank R M) = 0
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
⊢ count K v 1 = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Monovary f g
⊢ ∑ i : ι, f (σ i) • g i = ∑ i : ι, f i • g i ↔ Monovary (f ∘ ⇑σ) g
M : Type u_2
AddMonoid M
a : M
m n : ℕ
⊢ (m + n) • a = m • a + n • a
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
⊢ Filter.Tendsto (fun x => |Polynomial.eval x P|) Filter.atTop Filter.atTop ↔ 0 < P.degree
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
h_total_l : (Finsupp.total ι M R v) l = v i
h_total_eq : (Finsupp.total ι M R v) l = (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1)
l_eq : Finsupp.embDomain f (repr ⟨v i, ⋯⟩) = Finsupp.single i 1
i' : ι'
hi' : repr ⟨v i, ⋯⟩ = Finsupp.single i' 1 ∧ f i' = i
⊢ f i' = i
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝ : DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
m n : ℕ
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
s : Finset α
right✝ : s.card = n
a : α
ha : a ∈ s
h₂ : s.erase a ∈ 𝒜 # m
ht : s.erase a ∈ 𝒜
hst : s ⊆ s.erase a
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
o : Part α
h : o.Dom
f : α → Part β
b : β
⊢ (∃ a ∈ o, b ∈ f a) → b ∈ f (o.get h)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DistribLattice α
a b✝ c✝ : α
h : ∀ ⦃b c : α⦄, b ⊓ c = a → b = a ∨ c = a
b c : α
⊢ (a ⊔ b) ⊓ (a ⊔ c) = a → a ⊔ b = a ∨ a ⊔ c = a
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝⁴ : μ.IsOpenPosMeasure
s U✝ F : Set X
x : X
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : BorelSpace Z
f : X → Z
hf : Continuous f
hf_surj : Surjective f
U : Set Z
hUo : IsOpen U
hUne : U.Nonempty
⊢ μ (f ⁻¹' U) ≠ 0
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero (Ideal.ramificationIdx f p P)
IsDedekindDomain S
p.IsMaximal
P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
i : ℕ
hi : i ≤ Ideal.ramificationIdx f p P
⊢ Module.rank (R ⧸ p) ↥(Ideal.map (Ideal.Quotient.mk (P ^ Ideal.ramificationIdx f p P)) (P ^ i)) =
  (Ideal.ramificationIdx f p P - i) • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)