ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule.IsNilpotent R L M
⊢ LieModule.nilpotencyLength R L M = 0 ↔ Subsingleton M
x : ℝ≥0∞
y z : ℝ
⊢ x ^ (y * z) = (x ^ y) ^ z
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
⊢ ↑a ^ (p / 2) * ↑(p / 2)! = ↑(∏ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * ↑x)
x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ ↑(nnabs x) = ↑x.toNNReal
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Tendsto (fun x => -f x) l atTop
⊢ Tendsto (fun x => -f x • r) l atTop
α : Type u
s : Set α
⊢ ¬s.Nontrivial ↔ s.Subsingleton
G : Type u
Mul G
h : UniqueProds Gᵐᵒᵖ
⊢ UniqueProds G
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
Fintype ι
hfg : Antivary f g
⊢ ∑ i : ι, f i * g (σ i) = ∑ i : ι, f i * g i ↔ Antivary f (g ∘ ⇑σ)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
gr : HasGroupoid M (contDiffGroupoid ⊤ I)
⊢ SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
h : x ∈ n.divisorsAntidiagonal
⊢ x.1 ∈ n.divisors
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
s : Stream' α
b : α
x✝ : a ∈ s
n : ℕ
h : (fun b => a = b) (s.get n)
⊢ (fun b => a = b) ((b :: s).get n.succ)
α : Type u_1
β : Type u_2
G✝ H : SimpleGraph α
n : ℕ
a b c : α
s : Finset α
G : SimpleGraph α
e : α ≃ β
⊢ (SimpleGraph.map e.toEmbedding G).cliqueSet 1 = map e.toEmbedding '' G.cliqueSet 1
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g✝ : W ⟶ Y
h✝ : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
g : W ≅ Y
h : X ≅ Z
p : CommSq f g.hom h.hom i
⊢ i ≫ h.inv = g.inv ≫ f
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : ⇑f '' ↑I = ↑J
⊢ LieIdeal.map f I = J
⊢ StrictMonoOn Real.cosh (Set.Ici 0)
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P✝ : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : l ≤ Fintype.card α
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : l ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l
hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)
this : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
k : 2 * (↑G.edgeFinset.card - ↑(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).edgeFinset.card) < 2 * ε * ↑(Fintype.card α ^ 2)
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
S : Type u
Semiring S
n : ℕ
⊢ Polynomial.eval 0 (ascPochhammer S n) = if n = 0 then 1 else 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.14973
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
⊢ (∀ (x : X), ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn f U) ↔ ∀ (a b : X) (b_1 : f a = f b), ⟨(a, b), b_1⟩ ∈ Function.pullbackDiagonal f → ∃ t ∈ 𝓝 a ×ˢ 𝓝 b, Subtype.val ⁻¹' t ⊆ Function.pullbackDiagonal f
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
⊢ IsSquare 2 ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 7
R : Type u
ι : Type v
A : Type w
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Coalgebra R A
i : ι
⊢ Coalgebra.counit ∘ₗ Finsupp.lsingle i = Coalgebra.counit
p : ℤ[X]
hp : p.IsUnitTrinomial
h : ∀ (z : ℂ), ¬((aeval z) p = 0 ∧ (aeval z) p.mirror = 0)
q : ℤ[X]
hq : q ∣ p
hq' : q ∣ p.mirror
hq'' : 0 < q.degree
⊢ False
m n k : ℕ
⊢ m.gcd (n + m * k) = m.gcd n
α : Type u
Preorder α
⊢ Transitive GE.ge
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∉ s
hp₃ : p₃ ∈ s
⊢ AffineIndependent k ![p₁, p₂, p₃]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
⊢ ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
k : ℕ
hk0 : k ≠ 0
⊢ {p | Nat.Prime p ∧ p ≡ 1 [MOD k]}.Infinite
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝ : CompactSpace X
⊢ Injective (finsetClopens X)
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
α : Type u_2
SMul α ℂ
IsScalarTower α ℂ ℂ
f : CuspForm Γ k
n : α
z : ℍ
⊢ (n • f) z = n • f z
α : Type u
Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), x ^ i * y ^ (n - i) = x ^ n + y * ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s →
      μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, MeasureTheory.eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, MeasureTheory.eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ P g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ SimpleGraph.triangleRemovalBound ε * ↑⌈4 / ε⌉₊ ^ 3 < 1
ι : Type u_1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
f g : ι → G₀
⊢ (Function.support fun a => f a / g a) = Function.support f ∩ Function.support g
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
V : Set ↑e.source
hV : IsOpen V
⊢ IsOpen (↑e '' (Subtype.val '' V))
ι : Type u_1
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
UniformSpace α
F : ι → X → α
TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_ind : Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
F_cl : IsClosed (Set.range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
F_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ (i : ι), F i x ∈ Q
⊢ CompactSpace ι
L : FirstOrder.Language
_n : ℕ
a : L.Functions _n
⊢ (FirstOrder.Language.LHom.id L).onFunction a = id a
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ⊤ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
L : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L' : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L'' : Tendsto (fun r => μ ({x} + r • t) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
this : Tendsto (fun a => μ ({x} + a • t) / μ ({x} + a • t) - μ (sᶜ ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
h : (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₁) = (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₂)
i : Fin (n + 1)
ha : (↑fs₁).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₁ + 1))⁻¹) i = (↑fs₂).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₂ + 1))⁻¹) i
key : ∀ (n : ℕ), ↑n + 1 ≠ 0
hi : i ∈ fs₂
hni : i ∉ fs₁
⊢ False
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Set α
x a : α
x✝ : x ∈ a • s
b : α
hb : b ∈ s
Eq : (fun x => a • x) b = x
⊢ a⁻¹ * x ∈ s
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
⊢ ∀ (x y : α), dist ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x) ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y) ≤ 2
k m n : ℕ+
h : (↑m).Coprime ↑n
⊢ (↑k).gcd (↑m * ↑n) = (↑k).gcd ↑m * (↑k).gcd ↑n
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a : α
d : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ d n
hd : Summable d
ha : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
⊢ dist (f 0) a ≤ tsum d
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DecidableEq M
φ : MvPolynomial σ R
i : M
hi : ∀ (x : σ →₀ ℕ), ¬coeff x φ = 0 → ¬(weight w) x = i
⊢ ∀ d ∈ φ.support, (weight w) d ≠ i
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)
hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖
g : C(X, E)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f
hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖
g' : X →ᵇ E := ofNormedAddCommGroup ⇑g ⋯ ‖f‖ hg_mem
x : ↑s
hx : f x = g' ↑x
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖g'‖
k : Type u_2
Field k
⊢ RingHom.ker (PowerSeries.constantCoeff k) = LocalRing.maximalIdeal (PowerSeries k)
m n a b c d✝ : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
d : ℕ
hd : a ^ d ≡ b ^ d [ZMOD n]
⊢ a ^ (d + 1) ≡ b ^ (d + 1) [ZMOD n]
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ
this : a ∣ p ^ k ∧ a < p ^ k ↔ ∃ j, ∃ (_ : j < k), a = p ^ j
⊢ a ∣ p ^ k ∧ a < p ^ k ↔ ∃ a_1 < k, p ^ a_1 = a
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : ContinuousOn g K
hg' : Memℒp g' 1 (μ.restrict A)
hK : IsCompact K
hA : MeasurableSet A
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g x‖ ≤ C
this : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict A, ‖g x * g' x‖ ≤ C * ‖g' x‖
⊢ Memℒp (fun x => g x * g' x) 1 (μ.restrict A)
n : ℕ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : DecidableEq τ
p : Partition 1
h : p.parts = replicate (card p.parts) 1
⊢ p.parts = {1}
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 C)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * g x) l Filter.atBot
α β : Sort u_1
h : α = β
⊢ (Equiv.cast h).symm = Equiv.cast ⋯
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ s.pointsWithCircumcenter (pointIndex i) = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (pointWeightsWithCircumcenter i)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ ⇑e.toContinuousLinearEquiv = ⇑e
α : Type u_2
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Finset.map (addRightEmbedding c) (Finset.Ico a b) = Finset.Ico (a + c) (b + c)
B : Type u₁
Quiver B
(a b : B) → Quiver (a ⟶ b)
C : Type u₂
Quiver C
(a b : C) → Quiver (a ⟶ b)
D : Type u₃
Quiver D
(a b : D) → Quiver (a ⟶ b)
F : CategoryTheory.PrelaxFunctorStruct B C
G : CategoryTheory.PrelaxFunctorStruct C D
⊢ ∀ {a b : B} {f g : a ⟶ b} (η : f ⟶ g), (F.comp G).map₂ η = G.map₂ (F.map₂ η)
n✝ b m d n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, ∀ {d : ℕ}, d ∈ (b + 2).digits m → d < b + 2
hd : d ∈ (n + 1) % (b + 2) :: (b + 2).digits ((n + 1) / (b + 2))
⊢ d < b + 2
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
k : ℕ
⊢ ↑univ.powerset = ↑univ
M : Type u_1
inst✝⁶ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : MulSemiringAction M S
G : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulSemiringAction G S
g : G
f : S[X]
x : S
⊢ eval (g • x) f = g • eval x (g⁻¹ • f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C
E : CategoryTheory.PreOneHypercover X
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ (x x_1 : E.I₀) (j : E.I₁ x x_1), (E.map F).p₂ j = F.map (E.p₂ j)
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : 0 < x
hy : 0 < y
k : arctan (-((x⁻¹ + y⁻¹) / (1 - x⁻¹ * y⁻¹))) + π = arctan x + arctan y
⊢ arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y)) + π
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h : ε < ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε.toReal / 3
hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal
hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)
δ₁ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ₁
heLpNorm₁ : ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
δ₂ : ℝ
hδ₂ : 0 < δ₂
heLpNorm₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
t : Set α
htm : MeasurableSet t
ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε.toReal / (3 * ↑(measureUnivNNReal μ) ^ (1 / p.toReal))
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ eLpNorm (t.indicator (f n - g)) p μ + eLpNorm (tᶜ.indicator (f n - g)) p μ ≤ ε
x y : PSet
⊢ y ∈ ⋃₀ x ↔ ∃ z ∈ x, y ∈ z
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
⊢ T0Space α ↔ (𝓤 α).ker = diagonal α
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
S : D
F : CategoryTheory.Functor B C
G : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit S) (F.comp G)} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.StructuredArrow.pre S F G).map f).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
AddCommGroup V'
Module R V'
AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P ≃ᵃ[R] P'
⊢ (AffineSubspace.map (↑f) s).SSameSide (f x) (f y) ↔ s.SSameSide x y
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x✝ x : P
⊢ intrinsicFrontier 𝕜 {x} = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Filter.Tendsto
  (fun n =>
    MeasureTheory.eLpNorm
      ((fun x => κ.densityProcess ν n a x s) -
        MeasureTheory.Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s)
          (ProbabilityTheory.countableFiltration γ) (ν a))
      1 (ν a))
  Filter.atTop (𝓝 0)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
⊢ (coeff R n) X = if n = 1 then 1 else 0
α : Type u
TopologicalSpace α
PreconnectedSpace α
s : Set α
⊢ frontier s = ∅ ↔ s = ∅ ∨ s = Set.univ
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ a ∈ upperBounds s → b ∈ upperBounds s
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
inst✝ : Nontrivial α
h : 1 ≤ (Associates.mk p).count (Associates.mk a).factors
⊢ (Associates.mk p).count (Associates.mk a).factors ≠ 0
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ (Polynomial.nthRootsFinset n R).card = n
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
l : Multiset α
hp : ∃! a, a ∈ l ∧ p a
⊢ Multiset.choose p l hp ∈ l ∧ p (Multiset.choose p l hp)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
hB : ∀ (n_1 : M), (B (v.repr.symm vi)) n_1 = 0
⊢ vi = 0
G : Type u_3
Group G
a b c : G
h : a / c = b
⊢ a = b * c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝³ : Field R
p q : R[X]
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra R S
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 1 ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
S R : CategoryTheory.Sieve X
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPushforward F (S ⊔ R) =
  CategoryTheory.Sieve.functorPushforward F S ⊔ CategoryTheory.Sieve.functorPushforward F R
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
⊢ f₀.HomotopicRel f₁ ∅ ↔ f₀.Homotopic f₁
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f (𝟙_ C))
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor Y).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom f
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeInf L
ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, Continuous (f i)
⊢ Continuous fun a => s.inf' hne fun x => f x a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s₁ s₂ : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
hs : s₁ ⊆ s₂
ht : ∀ (i : ι), t₁ i ⊆ t₂ i
⊢ s₁.sigma t₁ ⊆ s₂.sigma t₂
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z✝ : TopCat
Z : C
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
U : Opens ↑X
φ ψ : ((pullback C f).obj F).obj (op U) ⟶ Z
h : ∀ (V : Opens ↑Y) (hV : unop (op U) ≤ (Opens.map f).obj V), ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ φ = ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ ψ
⊢ ∀ (j : CostructuredArrow (Opens.map f).op (op U)), ((Functor.LeftExtension.mk ((Opens.map f).op.lan.obj F) ((Opens.map f).op.lanUnit.app F)).coconeAt (op U)).ι.app j ≫ φ = ((Functor.LeftExtension.mk ((Opens.map f).op.lan.obj F) ((Opens.map f).op.lanUnit.app F)).coconeAt (op U)).ι.app j ≫ ψ
K : Type u
L : Type v
DivisionRing K
DivisionRing L
f : K →+* L
⊢ ↑f.fieldRange = Set.range ⇑f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f f
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ c.fst = c.snd
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasKernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : Mono g
⊢ kernel.ι (f ≫ g) ≫ f = 0
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Finset M
hs : LinearIndependent R Subtype.val
⊢ finrank R ↥(span R ↑s) = s.card
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (Set.Ioo a b)
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t.toJordanDecomposition.posPart ⟂ₘ μ ∧ t.toJordanDecomposition.negPart ⟂ₘ μ
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
⊢ t = s.singularPart μ
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
S : Set G
h : S ∈ AddSubgroup.rightTransversals ↑H
⊢ Finite ↑S ↔ H.FiniteIndex
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
c : ENNReal
⊢ (c • μ).AbsolutelyContinuous μ
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
SeminormedAddCommGroup V₃
NormedSpace 𝕜 V₃
PseudoMetricSpace P₃
NormedAddTorsor V₃ P₃
e₁ : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
e₂ : P₂ ≃ᵃⁱ[𝕜] P₃
⊢ ⇑(e₁.trans e₂).symm = ⇑e₁.symm ∘ ⇑e₂.symm
A : Type u₁
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers A
CategoryTheory.Limits.HasImages A
CategoryTheory.StrongEpiCategory B
CategoryTheory.Limits.HasImages B
L : CategoryTheory.Functor A B
{X Y Z : A} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f g) L
{X Y Z : A} → (f : X ⟶ Y) → (g : X ⟶ Z) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.span f g) L
X Y : A
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.PreservesImage.iso L f).hom
    (L.map (CategoryTheory.Limits.image.ι f)) =
  CategoryTheory.Limits.image.ι (L.map f)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
ι : Type u_3
f : ι → E → F
s : Finset ι
x : E
h : ∀ i ∈ s, ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f i x) x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) x
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
T : Set G
hHT : Subgroup.IsComplement (↑H) T
h : ↥H
g : G
⊢ hHT.equiv (↑h * g) = (h * (hHT.equiv g).1, (hHT.equiv g).2)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
hst : s ⊆ t
hs' : μ s ≠ ⊤
ε : ENNReal
⊢ μ (t \ s) ≤ ε ↔ μ t ≤ μ s + ε
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p✝ : ℝ≥0∞
x✝ : MeasurableSpace α
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hut : ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
e : E ≃L[𝕜] F
s : Set F
⊢ dimH (⇑e ⁻¹' s) = dimH s
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
W X X' Y Y' Z : D
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y'
h' : Y' ⟶ Z
⊢ f ≫ g ≫ h ≫ e.counitInv.app Z = f' ≫ g' ≫ h' ≫ e.counitInv.app Z ↔ f ≫ g ≫ h = f' ≫ g' ≫ h'
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
ι : Type u_6
DecidableEq ι
i : ι
f : (fun a => Y) i × ((j : { j // j ≠ i }) → (fun a => Y) ↑j)
j : ι
⊢ (Homeomorph.funSplitAt Y i).symm f j = if h : j = i then f.1 else f.2 ⟨j, ⋯⟩
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Preorder Y
OrderClosedTopology Y
f : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMinOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
⊢ IsLocalMinOn f (closure s) a
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
⊢ (CategoryTheory.Localization.Construction.WhiskeringLeftEquivalence.counitIso W D).inv = CategoryTheory.eqToHom ⋯