ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
⊢ 𝟙 (Γ₂.obj (N₁.obj X)) = 𝟙 ((N₁ ⋙ Γ₂).obj X)
m : ℕ∞
⊢ ↑m = 0 ↔ m = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
MonoidWithZero α
NoZeroDivisors α
Nontrivial α
n : ℕ
n_pos : 0 < n
⊢ ⊤ ^ n = ⊤
G : Type u_1
inst✝ : Group G
V : Set G
⊢ index ∅ V = 0
α : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
TopologicalSpace α
ConditionallyCompleteLattice α
InfConvergenceClass α
f : ι → α
h_anti : Antitone f
hbdd : BddBelow (Set.range f)
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 (⨅ i, f i))
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.9082, u_1} C
X Y Z : C
inst✝ : HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ pullback f i
⊢ (i₂ ≫ snd f i) ≫ i = (i₂ ≫ fst f i) ≫ f
σ₁ σ₂ : Type u_1
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
H : Respects f₁ f₂ fun a b => tr a = b
a₁ : σ₁
b₂ : σ₂
h : b₂ ∈ tr <$> eval f₁ a₁
⊢ b₂ ∈ eval f₂ (tr a₁)
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : q < ε
n : (ι × ι) × 𝕜
hn : dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < q
⊢ dist (0 n.2) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) ≤ q
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
t : Set β
⊢ ∅ • t = ∅
α : Type u
Infinite α
s : Set α
hf : s.Finite
⊢ s ∉ Filter.hyperfilter α
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
y : E
ε : ℝ
a : E
⊢ a ∈ ball y ε ↔ a ∈ {x | ‖x / y‖ < ε}
k : Type u_10
LinearOrderedField k
f : k →ᵃ[k] k
a b : k
⊢ ⇑f '' Set.uIcc a b = Set.uIcc (f a) (f b)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
⊢ t.whiskerOfCompIdIsoSelf.hom.right = (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor t.extension).hom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ f x ≤ r}
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0
⊢ ↑f.Unit_of_divided_by_X_pow_order = divided_by_X_pow_order hf
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B✝ : Set (Set α)
s : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
B : Set (Set α)
hB : IsTopologicalBasis B
f : α → β
⊢ IsOpenMap f ↔ ∀ s ∈ B, IsOpen (f '' s)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ ∀ (x : PrimeSpectrum R), (∃ m, ∀ r ∉ x.asIdeal, r • m ≠ 0) → ∃ m, ∀ r ∉ x.asIdeal, r • m ≠ 0
x : Bool
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (x :: l)
⊢ count (!!x) (x :: l) ≤ count (!x) (x :: l) + 1
n : ℕ
τ : Type u
p : Fin n → Type u
f : Function.FromTypes p τ
⊢ ∀ (a : (i : Fin n) → p i), (Function.FromTypes.curryEquiv p).symm f a = f.uncurry a
b c : Ordinal.{u}
h : b ≤ c
a : Ordinal.{u}
⊢ a ♯ b ≤ a ♯ c
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
A : Type u_4
AddMonoid A
DistribMulAction M A
B : Type u_5
AddMonoid B
DistribMulAction N B
f : A →ₑ+[φ] B
⊢ f.comp (DistribMulActionHom.id M) = f
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x = (b ^ 2 - a ^ 2) / 2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
⊢ univ.innerDualCone = 0
k : Type u_1
E : Type u_2
Field k
AddCommGroup E
Module k E
f : k → E
⊢ slope (-f) = -slope f
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
⊢ toSheafify J P ≫ sheafifyLift J η hQ = η
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
c' : ℤ := ↑g 1 0
c : ℝ := ↑c'
hc : 0 < c ^ 4
⊢ 9 * c ^ 4 < 16
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
S : Type u_2
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
H : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
⊢ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
m n k : ℕ
h₁ : k ∣ m
h₂ : k ∣ n
⊢ k ∣ m - n
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : ClosedIicTopology α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : One α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactMulSupport f
x : β
hx : f x ∈ lowerBounds (range f)
⊢ ∃ x, ∀ (y : β), f x ≤ f y
σ : Type u_1
Fintype σ
DecidableEq σ
R : Type u_2
CommRing R
k : ℕ
t : Finset σ × σ
h : t ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k
⊢ MvPolynomial.NewtonIdentities.weight σ R k t +
    MvPolynomial.NewtonIdentities.weight σ R k (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t) =
  0
a : Cardinal.{u}
ha : Cardinal.aleph0 ≤ a
⊢ Prime a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.FinitaryPreExtensive C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ S ∈ (CategoryTheory.extensiveTopology C).sieves X ↔
  ∃ α,
    ∃ (_ : Finite α),
      ∃ Y π, Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsColimit (CategoryTheory.Limits.Cofan.mk X π)) ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝¹ : Fintype ↑s
inst✝ : Fintype ↑t
⊢ Disjoint s.toFinset t.toFinset ↔ Disjoint s t
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
p : α → Prop
q : β → Prop
hf : Measurable f
hpq : ∀ (x : α), p x → q (f x)
⊢ Measurable (Subtype.map f hpq)
ι✝ : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype ι✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝³ : MeasurableSpace F
inst✝² : BorelSpace F
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : IsEmpty ι
⊢ volume = dirac 0
k✝ : Type u
inst✝⁵ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
hk : IsAlgClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsIntegral k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1
h : (minpoly k x).degree = 1
this : (aeval x) (minpoly k x) = 0
⊢ (algebraMap k K) (-(minpoly k x).coeff 0) = x
α : Type u
LinearOrderedCommGroup α
Nontrivial α
⊢ ∃ a, 1 < a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.map (𝟙 X) (𝟙 Y) = 𝟙 (X ⨿ Y)
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
IsLocalRingHom f
a : R
h : IsUnit (f a)
⊢ IsUnit a
x y : SetTheory.PGame
⊢ y < -x ↔ x < -y
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF f
a : α
⊢ Monotone (ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF.stieltjesFunctionAux f a)
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
UniformSpace β
f : α → β
hf : UniformContinuous f
⊢ pkg.extend f = ⋯.extend f
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
f : A →ₗ[R] B
h : Coalgebra.counit ∘ₗ f = Coalgebra.counit
h₁ : TensorProduct.map f f ∘ₗ Coalgebra.comul = Coalgebra.comul ∘ₗ f
⊢ ⇑{ toLinearMap := f, counit_comp := h, map_comp_comul := h₁ } = ⇑f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Antivary f g
⊢ Fintype.card ι • ∑ i : ι, f i • g i ≤ (∑ i : ι, f i) • ∑ i : ι, g i
α : Type u_1
inst✝ : Group α
n : ℕ
hn : (Nat.card α).Coprime n
a : α
⊢ (a ^ (↑n)⁻¹.val) ^ n = a
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
r : ℝ
⊢ (r • s).toJordanDecomposition = r • s.toJordanDecomposition
α : Type u_1
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(MeasureTheory.Lp 𝕜 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((MeasureTheory.condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
R : Type u_2
M : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_8
f : ι → Set M
hl : ∀ (i : ι), LinearIndependent R fun (x : ↑(f i)) => ↑x
hd : ∀ (i : ι) (t : Set ι), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (Submodule.span R (f i)) (⨆ i ∈ t, Submodule.span R (f i))
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(⋃ i, f i)) => ↑x
𝕜 : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : CompleteSpace 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ 𝔠 ≤ #E
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
⊢ (FreeAbelianGroup.map f) (FreeAbelianGroup.of a) = FreeAbelianGroup.of (f a)
α : Type u_1
Mul α
Zero α
LinearOrder α
⊢ PosMulMono α ↔ PosMulReflectLT α
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f i • g i ≤ ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
inst✝ : Subsingleton α
s : Set α
⊢ ⋯.toFinset.card ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
⊢ f '' (s ∩ t) = f '' s ∩ f '' t
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ (∀ (f : ℕ →o (Submodule R M)ᵒᵈ), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m) ↔ IsArtinian R M
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a : α
⊢ invMonoidHom a = a⁻¹
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
⊢ TensorProduct.comm R ↥⊥ ↥M ≪≫ₗ M.rTensorOne = M.lTensorOne
x : ℝ
hx₁ : -π < x
hx₂ : x < π
h : sin x = 0
⊢ x = 0
R : Type u
S : Type v
CommRing R
f : R[X]
Semiring S
Algebra R S
g₁ g₂ : AdjoinRoot f →ₐ[R] S
h : g₁ (AdjoinRoot.root f) = g₂ (AdjoinRoot.root f)
⊢ g₁ = g₂
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
TopologicalSpace P₁
x : P₁
⊢ (ContinuousAffineEquiv.refl k P₁) x = x
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
∀ (i : ι), K.HasHomology i
∀ (i : ι), L.HasHomology i
self : QuasiIso f
i : ι
⊢ QuasiIsoAt f i
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
h₁ : BddBelow s
h₂ : a ∈ s
⊢ sInf s ≤ a
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : V
p : P
⊢ Sbtw R (x +ᵥ p) (y +ᵥ p) (z +ᵥ p) ↔ Sbtw R x y z
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommMonoid α
t : Finset ι
f : ι → Set α
a : α
⊢ a ∈ ∏ i ∈ t, f i ↔ ∃ g, ∃ (_ : ∀ {i : ι}, i ∈ t → g i ∈ f i), ∏ i ∈ t, g i = a
θ : ℂ
h : (cexp (θ * I) + cexp (-θ * I)) / 2 = 0 ↔ cexp (2 * θ * I) = -1
⊢ (∃ n, 2 * I * θ = ↑π * I + ↑n * (2 * ↑π * I)) ↔ ∃ k, θ = (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
x : α
U : Set α
h_acc : AccPt x (𝓟 C)
hU : U ∈ 𝓝 x
this : 𝓝[≠] x ≤ 𝓟 U
⊢ (𝓝[≠] x ⊓ 𝓟 C).NeBot
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 0 f x = p 0
α : Type u_1
PartialOrder α
⊢ { ofColex := ∅ } = ⊥
a : ℝ≥0∞
⊢ AddLECancellable a ↔ a ≠ ⊤
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle y (y - x) = ↑(Real.arctan (‖x‖ / ‖y‖))
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y
Y_rw : (Y - C (C y)) * (Y - C (C (W.negY x y))) - C (X - C x) * (C (X ^ 2 + C (x + W.a₂) * X + C (x ^ 2 + W.a₂ * x + W.a₄)) - C (C W.a₁) * Y) = W.polynomial * 1
⊢ span {(mk W) (C (X - C x))} * span {(mk W) (C (X - C x)), (mk W) (Y - C (C y)), (mk W) (Y - C (C (W.negY x y))), (AdjoinRoot.mk W.polynomial) (C (X ^ 2 + C (x + W.a₂) * X + C (x ^ 2 + W.a₂ * x + W.a₄)) - C (C W.a₁) * Y)} = XIdeal W x
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary
⊢ (Matroid.sum' M).Finitary
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittSub p 0) = (map (Int.castRingHom ℚ)) (X (0, 0) - X (1, 0))
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
l₁ l₂ : List (Sigma β)
⊢ List.dlookup a (l₁.kunion l₂) = some b ↔ List.dlookup a l₁ = some b ∨ a ∉ l₁.keys ∧ List.dlookup a l₂ = some b
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
a₂ : 𝕎 k
this : solution p a₁ a₂ ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0
q : ℕ
hq : p = q.succ
hq' : q = p - 1
⊢ solution p a₁ a₂ * (a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0) * a₁.coeff 0 = solution p a₁ a₂ * a₂.coeff 0
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x : α
n i : ℕ
x✝ : i ∈ range n
⊢ x ^ i * 1 ^ (n - 1 - i) = x ^ i
M : Type u_6
α : Type u_7
AddMonoid M
VAdd M α
m n : M
h₁ : m + n = 0
h₂ : n + m = 0
a : α
⊢ { val := m, neg := n, val_neg := h₁, neg_val := h₂ } +ᵥ a = m +ᵥ a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : H
hx : x ∈ e.target
mem : ↑I x ∈ ↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)).source ∩ range ↑I
this : e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x) ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
A : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)).source ∩ range ↑I)
B : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I ∘ (↑(chartAt H (↑e.symm x)) ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm) (range ↑I ∩ (↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ ↑I.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' (chartAt H (↑e.symm x)).source))) (↑I x)
⊢ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ ↑I.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' (chartAt H (↑e.symm x)).source) ∈ 𝓝 (↑I x)
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
⊢ ((haarContent K₀).measure ↑K₀)⁻¹ * (haarContent K₀).measure s = (haarContent K₀).outerMeasure s / (haarContent K₀).measure ↑K₀
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝²² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝²¹ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝²⁰ : Category.{u_5, u_3} E
inst✝¹⁹ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁸ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁷ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹⁶ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹⁵ : G.CommShift ℤ
inst✝¹⁴ : HasZeroObject C
inst✝¹³ : HasZeroObject D
inst✝¹² : HasZeroObject E
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : Preadditive E
inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor E n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
inst✝³ : Pretriangulated E
inst✝² : (F ⋙ G).IsTriangulated
inst✝¹ : F.IsTriangulated
inst✝ : F.mapArrow.EssSurj
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ G.mapTriangle.obj T ∈ distinguishedTriangles
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T T' : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
φ : T ⟶ T'
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h₁ : CategoryTheory.IsIso φ.hom₁
h₃ : CategoryTheory.IsIso φ.hom₃
⊢ CategoryTheory.IsIso φ.hom₂
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), Subgroup.map ϕ.toMonoidHom H = H
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
One β
CompactSpace α
⊢ BoundedContinuousFunction.mkOfCompact 1 = 1
m : Nat
⊢ Int.negSucc m = -↑m - 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
X : C
G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ G
p : CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection F X
⊢ (CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.map₁ η p).fst = p.fst
I : Type u
f : I → Type v
DecidableEq I
(i : I) → AddZeroClass (f i)
⊢ Pairwise fun i j => ∀ (x : f i) (y : f j), AddCommute (Pi.single i x) (Pi.single j y)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ ↑p.support = {u} + ↑p.support.tail
R : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R E
⊢ lift.{v, u} #R ≤ lift.{u, v} #E
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α'
inst✝⁵ : One β
inst✝⁴ : One γ
inst✝³ : One δ
g✝ : β → γ
f✝ : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝² : T2Space α'
hf : HasCompactMulSupport f✝
g : α → α'
cont : Continuous g
f : α → γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : One γ
h : HasCompactMulSupport f
N : Set γ
hN : N ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ (f ⁻¹' N)ᶜ ⊆ t
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Semiring Y
⊢ ∀ (a : LocallyConstant X Y) (a_1 : X), LocallyConstant.coeFnRingHom a a_1 = a a_1
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = g ∘ f
G : CommSemiRingCat
H : Type u
CommSemiring H
f : ↑G →+* H
⊢ f.comp (𝟙 G) = f
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a : α
n : ℤ
⊢ a⁻¹ ^ n = a ^ (-n)
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
g : K[X]
hf : Irreducible ((expand K p) g)
⊢ ((expand K p) g).Separable
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
c x : F
R : ℝ
hx : x ≠ c
⊢ HasFDerivAt (EuclideanGeometry.inversion c R)
  ((R / dist x c) ^ 2 •
    ↑{ toLinearEquiv := (reflection (Submodule.span ℝ {x - c})ᗮ).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯,
        continuous_invFun := ⋯ })
  x
α : Type u_2
β : Type u_3
SeminormedAddCommGroup β
l : Filter α
f : α → β
hf : l.BoundedAtFilter f
⊢ l.BoundedAtFilter (-f)
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
K : Type (max v u)
inst✝⁴ : SmallCategory K
inst✝³ : FinCategory K
inst✝² : HasLimitsOfShape K D
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)
inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
S : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))
k : K
j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ
⊢ Multiequalizer.lift ((unop j).index (F.obj k)) (multiequalizer ((unop j).index (limit F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop j).index (limit F)) i ≫ (limit.π F k).app (op i.Y)) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (F.obj k) X) j = (limit.lift (F ⋙ J.diagramFunctor D X) ((J.diagramFunctor D X).mapCone (limit.cone F))).app j ≫ colimit.ι (limit (F ⋙ J.diagramFunctor D X)) j ≫ (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D X)).hom ≫ ((Cones.postcompose (NatIso.ofComponents (fun k => colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k) ⋯).hom).obj (limit.cone (colimit (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip))).π.app k
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Dᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Functor.opInv C D).obj F = Opposite.op F.unop
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
s : Set E
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hg : DifferentiableOn 𝕜 g s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y + g y) s
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
C : ℝ≥0
⊢ ‖f‖₊ ≤ C ↔ ∀ (x : α), ‖f x‖₊ ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s✝ t : Set α
a b : α
inst✝ : Unique ι
s : ι → α
this : ∀ (i : ι), s i = s default
⊢ ⨆ i, s i = s default
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : CompleteLatticeHom α α
a : α
⊢ ⨆ j, (⇑f)^[j + (0 + 1)] a ≤ ⨆ i, (⇑f)^[i] a
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : a₁ < a₂
⊢ Set.Ico a₂ b ⊆ Set.Ioo a₁ b
α : Type u_1
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup α
G : Type u_2
inst✝² : OrderedAddCommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousSub G
h : IsClosed {x | 0 ≤ x}
⊢ IsClosed {p | p.1 ≤ p.2}
M : Type u
AddRightCancelMonoid M
a b : M
⊢ a + b = b ↔ a = 0
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
i : ℕ
this : (ComplexShape.down ℕ).next (i + 1) = i
⊢ P.d (i + 1) ((ComplexShape.down ℕ).next (i + 1)) ≫ f ((ComplexShape.down ℕ).next (i + 1)) (i + 1) = P.d (i + 1) i ≫ f i (i + 1)
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
ι : Type u_5
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
S : ι → Submonoid N
⊢ Submonoid.map f (⨆ i, Submonoid.comap f (S i)) = iSup S
p q : Prop
⊢ (p ↔ q) = (p = q)
α : Type u_1
a : α
⊢ ∀ {L : Array (Array α)}, (∃ l, (∃ a, a ∈ L.data ∧ a.data = l) ∧ a ∈ l) ↔ ∃ l, l ∈ L.data ∧ a ∈ l.data
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
X₁ : ι → V
d₁ : (i j : ι) → X₁ i ⟶ X₁ j
s₁ : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel i j → d₁ i j = 0
h₁ : ∀ (i j k : ι), c.Rel i j → c.Rel j k → d₁ i j ≫ d₁ j k = 0
d₂ : (i j : ι) → X₁ i ⟶ X₁ j
s₂ : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel i j → d₂ i j = 0
h₂ : ∀ (i j k : ι), c.Rel i j → c.Rel j k → d₂ i j ≫ d₂ j k = 0
h_d : ∀ (i j : ι), c.Rel i j → { X := X₁, d := d₁, shape := s₁, d_comp_d' := h₁ }.d i j ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ { X := X₁, d := d₂, shape := s₂, d_comp_d' := h₂ }.d i j
⊢ { X := X₁, d := d₁, shape := s₁, d_comp_d' := h₁ } = { X := X₁, d := d₂, shape := s₂, d_comp_d' := h₂ }
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
c : ℤ → ℂ := fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2
⊢ HasSum (fun n => s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedCosZeta (↑a) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
⊢ (fun x => (map f μ).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv ν
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
h0 : p ≠ 0
h_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm 0 p μ = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
OrderedCommMonoid α
s : Multiset ι
f g : ι → α
h : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
⊢ (Multiset.map f s).prod ≤ (Multiset.map g s).prod
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} A
CategoryTheory.Abelian A
X : CategoryTheory.SimplicialObject A
n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.inclusionOfMooreComplexMap X).f n = (AlgebraicTopology.NormalizedMooreComplex.objX X n).arrow
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
s : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑f