ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : Convex ℝ s
h0 : μ (toMeasurable μ t) ≠ 0
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
ht : ⨍ (x : α) in toMeasurable μ t, f x ∂μ ∈ interior s
h0' : ¬μ (toMeasurable μ t)ᶜ = 0
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
hlt : 0 ≥ p.natDegree
⊢ False
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Inv (f i)
DecidableEq I
f₁ : (i : I) → f i
i : I
x₁ : f i
⊢ Function.update f₁⁻¹ i x₁⁻¹ = (Function.update f₁ i x₁)⁻¹
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
hε' : 0 < ε / 3
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ = 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ = 1 → ε / 3 ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
δ' : ℝ := min (1 / 2) (min (ε / 3) (δ / 3))
x : E
hx : ‖x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
hx' : 1 - δ' < ‖x‖
hy' : 1 - δ' < ‖y‖
hδ' : 0 < 1 - δ'
⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 - δ'
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
S : Set (NonUnitalSubsemiring R)
x : R
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
A : Type u_1
CommRing A
Algebra ℚ A
⊢ bernoulli'PowerSeries A * (PowerSeries.exp A - 1) = PowerSeries.X * PowerSeries.exp A
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C E
G : CategoryTheory.Functor C D
H : D ≌ E
i : G.comp H.functor ≅ F
X : C
⊢ i.isoCompInverse.hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (H.unitIso.hom.app (G.obj X)) (H.inverse.map (i.hom.app X))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α
⊢ (fun x => x * b) '' t = (fun x => x * b⁻¹) ⁻¹' t
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
δ ε : ℝ≥0∞
B : Set Ω
ε_gt : δ < ε
ε_lt_top : ε < ⊤
B_mble : MeasurableSet B
B_subset : B ⊆ (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ)ᶜ
Tc_mble : MeasurableSet (thickening ε.toReal B)ᶜ
h : 1 - μ (thickening ε.toReal B) ≤ ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) + ε
⊢ 1 - ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
f g : Filter β
h : Filter α
⊢ h ≤ f -ᵥ g ↔ ∀ ⦃s : Set β⦄, s ∈ f → ∀ ⦃t : Set β⦄, t ∈ g → s -ᵥ t ∈ h
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → E'
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)
⊢ ∫ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) + g (x, y) ∂ν) ∂μ = ∫ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν + ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν) ∂μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx
hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ
⊢ x = y
R : Type u
Ring R
ι : Type u_1
Nonempty ι
s : ι → Set R
h : ∀ (i : ι), IsSubring (s i)
directed : ∀ (i j : ι), ∃ k, s i ⊆ s k ∧ s j ⊆ s k
⊢ IsSubring (⋃ i, s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
s : Set β
x : α
⊢ Filter.map f (𝓝[f ⁻¹' s] x) = 𝓝[s] f x
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝² : G.IsCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
W : C
i : G.obj W ⟶ X
V₁ : C
iVW : V₁ ⟶ W
iV₁Y₁ : V₁ ⟶ Y₁
e₁ : G.map iV₁Y₁ = G.map iVW ≫ i ≫ f₁
V₂ : C
iV₂V₁ : V₂ ⟶ V₁
iV₂Y₂ : V₂ ⟶ Y₂
e₂ : G.map iV₂Y₂ = G.map iV₂V₁ ≫ G.map iVW ≫ i ≫ f₂
V₃ : C
iV₃ : V₃ ⟶ V₂
e₄ : iV₃ ≫ iV₂V₁ ≫ iV₁Y₁ ≫ g₁ = iV₃ ≫ iV₂Y₂ ≫ g₂
⊢ ℱ.val.map (G.map iV₃).op (ℱ.val.map (G.map iV₂V₁).op (ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁))))) = ℱ.val.map (G.map iV₃).op (ℱ.val.map (G.map iV₂V₁).op (ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)))))
G : Type v
AddGroup G
PseudoMetricSpace G
IsometricVAdd G G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
a b : G
⊢ nndist (-a) (-b) = nndist a b
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
g : Y → X
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : Function.LeftInverse g f
⊢ QuotientMap g
N : ℕ
⊢ Pairwise (Disjoint on EisensteinSeries.gammaSet N)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x : M
⊢ x ∈ N ⊓ N' ↔ x ∈ N ∧ x ∈ N'
ι✝ : Type u
s✝ : Finset ι✝
ι : Type u_1
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i
this : (∑ i ∈ s, (fun i => w i / ∑ i ∈ s, w i) i / z i)⁻¹ ≤ ∏ i ∈ s, z i ^ (fun i => w i / ∑ i ∈ s, w i) i
⊢ (∑ i ∈ s, w i) / ∑ i ∈ s, w i / z i ≤ (∏ i ∈ s, z i ^ w i) ^ (∑ i ∈ s, w i)⁻¹
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃+ G), AddSubgroup.comap ϕ.toAddMonoidHom H ≤ H
n m k : ℕ
⊢ n.dist k ≤ n.dist m + m.dist k
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f : SchwartzMap E F
⊢ ∃ c, c ∈ {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ c}
α : Type u
s t u : Set α
⊢ Disjoint s (t ∪ u) ↔ Disjoint s t ∧ Disjoint s u
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ (¬∃ m, m < n + 1 ∧ p m) ↔ ¬((∃ m, m < n ∧ p m) ∨ p n)
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommRing P
A : Type u_4
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
K : Type u_5
r : A
s : ↥(nonZeroDivisors A)
⊢ Localization.mk r s = (algebraMap A (FractionRing A)) r / (algebraMap A (FractionRing A)) ↑s
n : Nat
i : Fin (Fin.list n).length
⊢ (Fin.list n).get i = Fin.cast ⋯ i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
hst : Disjoint s t
S : Set (Set E) := {C | Convex 𝕜 C ∧ Disjoint C t}
C : Set E
hC : C ∈ S
hsC : s ⊆ C
hCmax : ∀ a ∈ S, C ⊆ a → a = C
x : E
hx : x ∈ Cᶜ
y : E
hy : y ∈ Cᶜ
z : E
hz : z ∈ segment 𝕜 x y
hzC : z ∈ C
c : E
hc : c ∈ Cᶜ
h : ∀ a ∈ C, segment 𝕜 c a ∩ t = ∅
a : E
ha : a ∈ (convexHull 𝕜) C
⊢ a ∈ C
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
⊢ φ.IsAtomic → φ.IsQF
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.9011, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝¹ : HasWeakSheafify J D
inst✝ : J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X✝ : Sheaf J E
Y✝ Y'✝ : Sheaf J D
f : (composeAndSheafify J G).obj X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Y'✝
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y'✝.val) (toSheafify J (X✝.val ⋙ G) ≫ f.val ≫ g.val)).app x✝ = (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val) (toSheafify J (X✝.val ⋙ G) ≫ f.val)).app x✝ ≫ F.map (g.val.app x✝)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E
x : α
hx : ↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x = f.toContinuousMap x
⊢ ‖↑↑⟨ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap, ⋯⟩ x‖ ≤ ‖f‖
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
i : IsZero Y
inst✝ : Mono 0
⊢ IsZero X
f g : CircleDeg1Lift
⊢ ⌊f 0⌋ + ⌊g 0⌋ ≤ ⌊f (g 0)⌋
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
h_dvd : (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors ≤ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)).factors
h_not_dvd : ¬(Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1 ≤ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)).factors
⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
h : ∀ (u : ℕ → ι), Tendsto u atTop l → TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n)) f atTop s
⊢ TendstoUniformlyOn F f l s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
P : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprod.leftUnitor P).inv = CategoryTheory.Limits.coprod.inr
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
P : CategoryTheory.Subobject Y
f : X ⟶ Y
h : P.Factors f
⊢ P.factorThru f h ≫ P.arrow = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a : α
t : Set α
⊢ ∑ _x ∈ Finset.filter (fun x => x ∈ t) s, (↑s.card)⁻¹ = ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ t) s).card / ↑s.card
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
α : Type u_7
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → G
⊢ ∫ (x : ↑s), f ↑x ∂MeasureTheory.Measure.comap Subtype.val μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
α : Type u_1
R : α → α → Prop
L : List (List α)
⊢ List.Pairwise R L.join ↔
  (∀ (l : List α), l ∈ L → List.Pairwise R l) ∧
    List.Pairwise (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁ → ∀ (y : α), y ∈ l₂ → R x y) L
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
⊢ closedBall 1 δ * s = cthickening δ s
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace β
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
H : ∀ (x₀ : α), ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ↑A), dist (↑i x) (↑i x') < ε
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
εε₁ : ε₁ < ε
ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2
⊢ ∃ β_1 x F, ∀ (x y : ↑A), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
xs : Lean.Omega.IntList
a : Int
i : Nat
⊢ (a * xs).get i = a * xs.get i
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
K : Type u_1
Field K
M : Matrix n n K
⊢ minpoly K M ∣ M.charpoly
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : CategoryTheory.End Y
⊢ α.conj (α.symm.conj f) = f
R : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : CharZero R
k : Type u_2
inst✝¹ : DivisionSemiring k
inst✝ : CharZero k
m n : ℕ
n_dvd : n ∣ m
⊢ ↑(m / n) = ↑m / ↑n
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℤ
⊢ (T n).degree = ↑n
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ≤ bᶜ ↔ Disjoint a b
X : Type u
Lattice X
self : JordanHolderLattice X
x y : X
⊢ JordanHolderLattice.IsMaximal x (x ⊔ y) →
  JordanHolderLattice.IsMaximal y (x ⊔ y) → JordanHolderLattice.IsMaximal (x ⊓ y) x
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder γ
f : α → γ
⊢ (∀ (y : γ), IsOpen (f ⁻¹' Iio y)) ↔ ∀ (y : γ), IsClosed (f ⁻¹' Ici y)
K : Type u_5
LinearOrderedField K
p q : ℚ
⊢ ↑(max p q) = max ↑p ↑q
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
s t : Set V
sconn : (induce s G).Connected
tconn : (induce t G).Connected
sintert : (s ∩ t).Nonempty
⊢ (induce (s ∪ t) G).Connected
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.Mono t.snd
z : ℂ
⊢ z * (starRingEnd ℂ) z = ↑(Complex.normSq z)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
x : ↥U
⊢ hU.fromSpec.val.base (hU.primeIdealOf x) = ↑x
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}
H : Ordinal.IsNormal f
o : Ordinal.{u}
h : o.IsLimit
⊢ (o.bsup fun x x_1 => f x) = f o
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
h : IsHausdorff I N
f : M →ₗ[R] N
x : M
⊢ (Hausdorffification.lift I f) ((Hausdorffification.of I M) x) = f x
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α
⊢ s ⊂ {a} ↔ s = 0
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
⊢ Set.Icc a b \ {a, b} = Set.Ioo a b
this : ∀ (f : ℕ →. ℕ), Partrec f → Partrec' fun v => f v.head
n : ℕ
f : Vector ℕ n →. ℕ
hf : _root_.Partrec f
g : ℕ → Part ℕ := fun n₁ => (↑(decode n₁)).bind fun a => Part.map encode (f a)
⊢ Partrec' f
Γ₀ : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
h : Nontrivial Γ₀ˣ
f : Γ₀ →*₀ ℝ≥0
hf : StrictMono ⇑f
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
g : Γ₀ˣ
hg1 : g ≠ 1
u : Γ₀ˣ := if g < 1 then g else g⁻¹
hu : u = if g < 1 then g else g⁻¹
hfu : f ↑u < 1
⊢ ∃ d, f ↑d < r
β : Type u_2
α : Type u_5
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
Nonempty β
⊢ ∃ c, ∀ (x : α), ↑f x = c
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i : ι, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype (LinearMap.ker ϕ)
N' : Submodule R O := map N.subtype (LinearMap.ker (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M))
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis (Fin n') R ↥N'
m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis (Fin m') R ↥M'
⊢ ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑((Basis.mkFinConsOfLE y yN bN' N'_le_N ⋯ ⋯) i) = as' i • ↑(?neg.intro.intro.intro.refine_2.refine_1✝ (Fin.castLE ⋯ i))
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
⊢ Injective fun a => b / a
B : Type u_1
F : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace Z
proj : Z → B
Nonempty F
h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F proj
⊢ QuotientMap proj
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y
⊢ f' ≤ slope f x y
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
⊢ (Set.Ici a)ᶜ = Set.Iio a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
⊢ s ×ˢ s \ s.diag = s.offDiag
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
⊢ Convex ℝ (∑ i : ι, segment ℝ 0 (v i))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Iio b \ Iio a = Ico a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hm : Antitone s
hf : ∃ i, μ (s i) ≠ ⊤
⊢ Tendsto (⇑μ ∘ s) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s n)))
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a b c d : G₀
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
⊢ a = c / d * b ↔ a = b / d * c
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
b : G₀
a : G₀
hb : b ≠ 0
⊢ a /ₚ Units.mk0 b hb = a / b
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s✝ : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
dXY : (Disjoint on id) s Y
dXZ : (Disjoint on id) s Z
dYZ : (Disjoint on id) Y Z
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X = Y
Z : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.eqToHom f) Z = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
p : β → Prop
⊢ (∀ (a : α) (b : β), f a = b → p b) ↔ ∀ (a : α), p (f a)
α : Type u
Group α
a b : α
⊢ (b * a * b⁻¹)⁻¹ = b * a⁻¹ * b⁻¹
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
ζ : Mˣ
⊢ IsPrimitiveRoot (↑ζ) k ↔ IsPrimitiveRoot ζ k
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
h : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R S)
x : S
⊢ (norm R) x = 1
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
Nontrivial R
n : σ
⊢ (MvPolynomial.X n).degrees = {n}
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
⊢ Wbtw R x (midpoint R x y) y
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
h : s.Nonempty
hs : s.Finite
⊢ sSup s ∈ s
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ≥ x_1) (Set.Ico a b)
n p : ℕ
hpos : n ≠ 0
h : ∀ {d : ℕ}, Prime d → d ∣ n → d = p
k : ℕ := n.primeFactorsList.length
⊢ n = p ^ k
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hnR : ↑n ≤ #R
k : ℕ
f : Fin k → σ
hf : Function.Injective f
F : MvPolynomial (Fin k) R
hF✝ : ((rename f) F).IsHomogeneous n
h : (rename f) F ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hF : F.IsHomogeneous n
r : σ → R
hr : (eval (r ∘ f)) F ≠ 0
⊢ ∃ r, (eval r) ((rename f) F) ≠ 0
R : Type u_1
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R M₂
f : M → M₂
lin : IsLinearMap R f
x y : M
⊢ f (x - y) = f x - f y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
⊢ P.op.StableUnderCobaseChange
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
x : M
⊢ (CliffordAlgebra.contractLeft d) ((CliffordAlgebra.ι Q) x) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) (d x)
C✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2292, u_1} C✝
inst✝⁴ : MonoidalCategory C✝
inst✝³ : BraidedCategory C✝
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y W Z : Cᵒᵖ
⊢ (tensor_μ Cᵒᵖ (X, W) (Y, Z)).unop = tensor_μ C (unop X, unop Y) (unop W, unop Z)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q Q' : QuadraticForm R M
h : Q' = -Q
h' : Q = -Q'
⊢ (CliffordAlgebra.evenToNeg Q' Q h').comp (CliffordAlgebra.evenToNeg Q Q' h) = AlgHom.id R ↥(CliffordAlgebra.even Q)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ₁ θ₂ : Real.Angle
x : V
⊢ (θ₁.cos * θ₂.cos) • x + (θ₁.cos * θ₂.sin) • o.rightAngleRotation x + ((θ₁.sin * θ₂.cos) • o.rightAngleRotation x + -((θ₁.sin * θ₂.sin) • x)) = (θ₁.cos * θ₂.cos) • x - (θ₁.sin * θ₂.sin) • x + ((θ₁.sin * θ₂.cos) • o.rightAngleRotation x + (θ₁.cos * θ₂.sin) • o.rightAngleRotation x)
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
⊢ (↑P.parts.offDiag.attach).Pairwise fun x y => ∀ ⦃a : Finset α × Finset α⦄, a.1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ a.2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts → ¬(a.1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ a.2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts)
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
this✝ : ¬IsFixedPt f x
this : 0 < dist x (f x)
⊢ ↑K * dist x (f x) < dist x (f x)
α : Type u
self : PseudoEMetricSpace α
x y : α
⊢ edist x y = edist y x
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha₁ : n < p ^ a
ha₂ : k < p ^ a
⊢ ↑((n / p ^ a).choose (k / p ^ a)) * ↑(∏ i ∈ range a, (n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) ≡ ∏ i ∈ range a, ↑((n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) [ZMOD ↑p]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
i : ι
a : G i
f : ↥(lp G 2)
⊢ ⟪lp.single 2 i a, f⟫_𝕜 = ⟪a, ↑f i⟫_𝕜
a b : ℝ≥0
⊢ dist a b = |↑a - ↑b|
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List M
n : M
h : ∀ x ∈ l, x ≤ n
⊢ l.prod ≤ n ^ l.length
α : Type u_1
DecidableEq α
t : Finset α
s : Finset α
x : α
h : x ∈ t
⊢ insert x s \ t = s \ t
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
p₁ p₂ : ι → P
hp : ∀ i ∈ s, p₁ i = p₂ i
b : P
⊢ ∑ i ∈ s, w₁ i • (p₁ i -ᵥ b) = ∑ i ∈ s, w₂ i • (p₂ i -ᵥ b)