ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f g : α → β
s s₁ : Set α
h : ContinuousOn f s
h' : EqOn g f s₁
h₁ : s₁ ⊆ s
x : α
hx : x ∈ s₁
A : Tendsto f (𝓝[s₁] x) (𝓝 (g x))
⊢ Tendsto g (𝓝[s₁] x) (𝓝 (g x))
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] s i
n : ℕ
⊢ PiTensorProduct.map (f ^ n) = PiTensorProduct.map f ^ n
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → R
⊢ ∏ i ∈ s, trop (f i) = (Multiset.map trop (Multiset.map f s.val)).prod
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
inst✝ : Finite η
val✝ : Fintype η
B : (i : η) → Basis (ChooseBasisIndex R (φ i)) R (φ i) := fun i => chooseBasis R (φ i)
b : Basis ((j : η) × ChooseBasisIndex R (φ j)) R ((i : η) → φ i) := Pi.basis fun i => B i
⊢ Module.rank R ((i : η) → φ i) = sum fun i => Module.rank R (φ i)
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ LinearMap.ker (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x) = ⊥
α : Type u_1
f : α → α
x : α
n : ℕ
⊢ Function.IsPeriodicPt f n x ↔ Function.minimalPeriod f x ∣ n
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
f : L ≃ₐ[K] L
⊢ (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).gen = f (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
f : Fin (r + 1) ↪ Fin n
ha : ∀ {a b : Fin (r + 1)}, ↑(f a) % r ≠ ↑(f b) % r ↔ a ≠ b
x y : Fin (r + 1)
d : x ≠ y
c : ↑(f x) % r = ↑(f y) % r
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑Y
hU : ↑U ⊆ Set.range ⇑f.base
⊢ f.c.app (Opposite.op U) ≫
    AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp f ((TopologicalSpace.Opens.map f.base).obj U) =
  Y.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op
⊢ (fun i => (fastGrowing 1)^[i] i) = fun n => 2 ^ n * n
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Prop
s : { x // p x } → Set β
⊢ ⋂ x, s x = ⋂ x, ⋂ (hx : p x), s ⟨x, hx⟩
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
x : P
h : ∀ (o : Set P), IsOpen o → x ∈ o → (o ∩ s).Nonempty
⊢ x ∈ ↑(affineSpan 𝕜 s)
⊢ Differentiable ℝ fun x => ↑(𝐞 x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
J : Type
Fintype J
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
T U : C
g : (j : J) → T ⟶ f j
h : (j : J) → f j ⟶ U
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.lift g ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.desc h = ∑ j : J, g j ≫ h j
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α
⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' {b} = {b * a⁻¹}
f : ℍ → ℂ
⊢ UpperHalfPlane.IsBoundedAtImInfty f ↔ ∃ M A, ∀ (z : ℍ), A ≤ z.im → Complex.abs (f z) ≤ M
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
Monoid P
f : M →* P
g : N →* P
x : FreeMonoid (M ⊕ N)
⊢ (Monoid.Coprod.lift f g) (Monoid.Coprod.mk x) = (FreeMonoid.lift (Sum.elim ⇑f ⇑g)) x
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
MulZeroClass β
ContinuousMul β
f g : α →C_c β
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f * ⇑g
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ (Aᵀ * Aᵀ.adjugate)ᵀ = A.det • 1
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
DecidableEq ι
e : ι → M
ε : ι → Module.Dual R M
self : Module.DualBases e ε
m : M
⊢ {i | (ε i) m ≠ 0}.Finite
⊢ Finset.antidiagonal 0 = {(0, 0)}
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
⊢ v ∈ (fun x => x -ᵥ p) '' ↑s ↔ ∃ p2 ∈ s, v = p2 -ᵥ p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
inst✝¹ : f₁.NeBot
inst✝ : g₁.NeBot
⊢ f₁ ×ˢ g₁ = f₂ ×ˢ g₂ ↔ f₁ = f₂ ∧ g₁ = g₂
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : n • x = 0
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → (n / p) • x ≠ 0
⊢ addOrderOf x = n
E : Type u_4
AddGroup E
p q : AddGroupSeminorm E
⊢ p < q ↔ ⇑p < ⇑q
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
h : EquicontinuousWithinAt F S x₀
i : ι
⊢ ContinuousWithinAt (F i) S x₀
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a b : α
h : (a == b) = false
⊢ a ≠ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MonoidWithZero α
a : α
u : αˣ
⊢ a = 0 ↔ a * ↑u = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
n : ℕ
h : ∃ a, (a.IsCycle ∧ ∀ a_1 ∈ a.support, a a_1 = σ a_1) ∧ a.support.card = n
⊢ 2 ≤ n
a b : ℕ
ha : 2 ≤ a
hb : 2 < b
⊢ 2 ≤ (a ^ b + 1) / (a + 1)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_gt : ∀ x ∈ interior D, C < deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x < y
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
⊢ C * (y - x) < f y - f x
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C✝ : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
x : α
C : Finset α
a✝ : x ∉ C
ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card
⊢ (A * B * insert x C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * insert x C).card
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
Archimedean 𝕜
⊢ QuotientAddGroup.mk '' Set.Ioc a (a + p) = Set.univ
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane
⊢ log (1 + z) = log (1 + z) - log 1
n : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : AddGroup A
inst✝⁴ : Ring R
α✝ : Type u_3
β✝ : Type u_4
inst✝³ : Group α✝
a✝ : α✝
inst✝² : MulAction α✝ β✝
b✝ : β✝
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝¹ : AddGroup α
a : α
inst✝ : AddAction α β
b : β
k : ℤ
⊢ (k % ↑(minimalPeriod (fun x => a +ᵥ x) b)) • ⟨a, ⋯⟩ +ᵥ ⟨b, ⋯⟩ = k • ⟨a, ⋯⟩ +ᵥ ⟨b, ⋯⟩
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.leadingCoeff 1 = 1
α : Type u_1
Zero α
One α
Add α
Neg α
⊢ ↑0 = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset α
b : β
⊢ s +ᵥ {b} = Finset.image (fun x => x +ᵥ b) s
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
f : α → β
h : Injective f
⊢ map f l₁ ⊆ map f l₂ → l₁ ⊆ l₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M N : Comon_ C
self : M.Hom N
⊢ self.hom ≫ N.counit = M.counit
R : Type u_1
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : k ≠ 0
h : ¬k = 1
⊢ μ (p ^ k) = 0
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
x : β
hxs : x ∈ s
hx : f x ∈ lowerBounds (f '' s)
⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x
n : Nat
⊢ ↑(Fin.last n) = n
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
lt_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x < C
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x < y
⊢ f y - f x < C * (y - x)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : CompleteSpace E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : NoAtoms ν
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
hf : Integrable ((Ioi 0).indicator f) ν
hg : Integrable ((Ioi 0).indicator g) μ
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
⊢ ∫ (x : ℝ), (Ioi 0).indicator (fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, (L (f t)) (g (x - t)) ∂ν) x ∂μ = (L (∫ (x : ℝ), (Ioi 0).indicator f x ∂ν)) (∫ (x : ℝ), (Ioi 0).indicator g x ∂μ)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
x : R
p : R[X]
⊢ eval 0 p = p.coeff 0 * 0 ^ 0
X : Type u_7
Y : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
self : PartialHomeomorph X Y
⊢ ContinuousOn self.invFun self.target
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (⋃ r, Iic ↑r) ∂ν a = (κ a) (⋃ i, s ×ˢ Iic ↑i)
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : u.r = 0
⊢ x✝.reduce.v = x✝.v
f : CauSeq ℝ abs
S : Set ℝ := {x | const abs x < f}
lb : ∃ x, x ∈ S
ub' : ∀ (x : ℝ), f < const abs x → ∀ y ∈ S, y ≤ x
ub : ∃ x, ∀ y ∈ S, y ≤ x
⊢ ∃ x, f ≈ const abs x
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_4
Fintype m
Fintype n
PartialOrder R
NonUnitalRing R
StarRing R
StarOrderedRing R
NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
v : m → R
⊢ Matrix.vecMul v (A * A.conjTranspose) = 0 ↔ Matrix.vecMul v A = 0
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0
⊢ IsCoprime (X - C ((starRingEnd ℂ) z)) (X - C z)
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
X✝ Y✝ : A ⥤ B × C
α : X✝ ⟶ Y✝
X Y : A
f : X ⟶ Y
⊢ ((fun F => (F ⋙ Prod.fst B C, F ⋙ Prod.snd B C)) X✝).1.map f ≫ (fun X => (α.app X).1) Y = (fun X => (α.app X).1) X ≫ ((fun F => (F ⋙ Prod.fst B C, F ⋙ Prod.snd B C)) Y✝).1.map f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : ↥(Lp E p μ)
hfi' : Memℒp (↑↑f) p μ
this : SeparableSpace ↑(Set.range ↑↑f ∪ {0})
⊢ f = Memℒp.toLp (↑↑f) hfi'
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
⊢ ∀ (a a_1 : V), G'.spanningCoe.Adj a a_1 = G'.Adj a a_1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → ℝ≥0∞
g : β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g ν
⊢ ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f x * g y ∂ν ∂μ = (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) * ∫⁻ (y : β), g y ∂ν
R : Type u
CommRing R
f : R
⊢ Function.Surjective ⇑(AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toBasicOpen R f)
l m r : List Char
f : Char → Bool
x✝ : Substring
h : ValidFor l m r x✝
⊢ x✝.all f = m.all f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : ¬(Finite p a ∧ Finite p b)
⊢ ⊤ = multiplicity p a + multiplicity p b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a : ⨂[R]^na M
b : ⨂[R]^nb M
c : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M := fun n m => (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯
⊢ (cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c) = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b a₁ b₁ a₂ b₂ : α
h : a₁ < b₁
⊢ Ico a₁ b₁ ⊆ Ico a₂ b₂ ↔ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
u : Set Ω
hs ht : ∅.Finite
hst : Disjoint ∅ ∅
⊢ (condCount ∅) u * (condCount (∅ ∪ ∅)) ∅ + (condCount ∅) u * (condCount (∅ ∪ ∅)) ∅ = (condCount (∅ ∪ ∅)) u
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
a : M
b : CliffordAlgebra Q
⊢ (CliffordAlgebra.contractRight (b * (CliffordAlgebra.ι Q) a)) d =
  d a • b - (CliffordAlgebra.contractRight b) d * (CliffordAlgebra.ι Q) a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ
⊢ ↑s n ∈ Computation.pure (s.get? n)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
⊢ L ≤ perfectClosure F E ↔ IsPurelyInseparable F ↥L
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_4
V₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
self : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
p : P₁
v : V₁
⊢ self.toEquiv (v +ᵥ p) = self.linear v +ᵥ self.toEquiv p
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
ab : a ≤ b
⊢ variationOnFromTo f s a b = 0 ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s ∩ Icc a b → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ Icc a b → edist (f x) (f y) = 0
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hp : p.Monic
hpq : q.degree < p.degree
⊢ (-q).degree < p.degree
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
⊢ (preadditiveYonedaObj G ⋙ forget₂ (ModuleCat (End G)) AddCommGrp).Faithful ↔ (preadditiveYonedaObj G).Faithful
α : Type u_1
F : Type u_5
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup F
f : MeasureTheory.SimpleFunc α F
⊢ ∃ C, ∀ (x : α), ‖↑f x‖ ≤ C
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
P : α → α → Prop
h : ∀ (x : α), ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, P x y
h' : Transitive P
h'' : Symmetric P
x y : α
⊢ P x y
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x✝ : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformly f' g' l
hf✝ : ∀ (n : ι) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg✝ : ∀ (x : E), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : E
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ Set.univ, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ Set.univ, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
⊢ (leftShiftAddEquiv K L n a n' hn') (-γ) = -γ.leftShift a n' hn'
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype m'
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring β
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring γ
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : Module R β
inst✝ : Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
h_comm : ∀ (a b : α) (a' b' : β), (f (a * b)) (a' * b') = (f a) a' * (f b) b'
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
A' : Matrix l' m' β
B' : Matrix m' n' β
i : l
i' : l'
j : n
j' : n'
⊢ (f (∑ j_1 : m, A i j_1 * B j_1 j)) (∑ j : m', A' i' j * B' j j') = ∑ x : m, ∑ x_1 : m', (f (A i x)) (A' i' x_1) * (f (B x j)) (B' x_1 j')
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : 0 < z
⊢ x ^ z ≤ y ^ z ↔ x ≤ y
ι : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedRing A
f✝ g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
f : ℝ → 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜
h : IntervalIntegrable f μ a b
c : 𝕜
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f x / c) μ a b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(μ + ν).toSignedMeasure i = ↑(μ.toSignedMeasure + ν.toSignedMeasure) i
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
LinearOrderedCommMonoidWithZero α
LinearOrderedCommMonoidWithZero β
LinearOrderedCommMonoidWithZero γ
g₁ g₂ : β →*₀o γ
f : α →*₀o β
⊢ (g₁ * g₂).comp f = g₁.comp f * g₂.comp f
ι : Sort x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
F : ι → α × β
⊢ BddAbove (Set.range F) ↔ BddAbove (Set.range (Prod.fst ∘ F)) ∧ BddAbove (Set.range (Prod.snd ∘ F))
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
S : Set ↑↑(D.V (i, j))
eq₁ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base
eq₂ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.snd ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base
⊢ ⇑((PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.snd ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k))) '' (⇑((PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k))) ⁻¹' S) = ⇑(D.f i k).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base '' S)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
b b' : F
⊢ Trivialization.symmL 𝕜 (trivializationAt F (TangentSpace 𝓘(𝕜, F)) b) b' = 1
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
f g : Multiset α
hf : ∀ x ∈ f, Irreducible x
hg : ∀ x ∈ g, Irreducible x
h : f.prod ~ᵤ g.prod
⊢ Multiset.Rel Associated f g
n : ℕ
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 ≤ n
⊢ ∑ x ∈ (Finset.Icc 1 n).erase 1, (↑x)⁻¹ ≤ Real.log ↑n
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
U : OpenSubgroup G
⊢ IsOpen ↑U
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set α
hb : BddAbove s
⊢ ↑(sSup s) = ⨆ a ∈ s, ↑a
F : Type u → Type u
Applicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
⊢ traverse f [] = pure []
n m : ℕ
hn : IsPrimePow n
hm : m ∣ n
hm₁ : m ≠ 1
⊢ IsPrimePow m
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
H : IsCyclotomicExtension S K L
hS : n ∈ S
⊢ Splits (RingHom.id L) (X ^ ↑n - 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.Square C} (f : X.Hom Y) (g : Y.Hom Z),
  (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).τ₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.τ₄ g.τ₄
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
n i : ℕ
hi : i ≤ n
h : dist x x < (1 / 2) ^ n
⊢ x i = x i
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ 0
⊢ ∀ (i : α), UniformContinuous fun x => ↑x i
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
⊢ Pairwise fun x y => Disjoint (Ioc (a * b ^ x) (a * b ^ (x + 1))) (Ioc (a * b ^ y) (a * b ^ (y + 1)))
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedAddCommGroup α
l : Filter β
u : β → α
⊢ (Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l fun x => -u x) ↔ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l u
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
⊢ Relation.Map r id id = r
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Unique α
q : LTSeries α
r : ¬q.length ≤ 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
x y : α
S U Z : Set α
⊢ IsGenericPoint x S ↔ ∀ (y : α), x ⤳ y ↔ y ∈ S
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y : Mon_ C
f : X ⟶ Y
Z : Mon_ C
⊢ (f ▷ Z).hom = f.hom ⊗ 𝟙 Z.X
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hYdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (Y i) (Y j)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
inhabited_h : Inhabited ι
⊢ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y✝ : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hs : Convex ℝ s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hg : DifferentiableOn 𝕜 g s
hs' : UniqueDiffOn 𝕜 s
hf' : ∀ x ∈ s, fderivWithin 𝕜 f s x = fderivWithin 𝕜 g s x
hx : x ∈ s
hfgx : f x = g x
y : E
hy : y ∈ s
⊢ f x - g x = f y - g y
α : Type u_1
p : Option α → Prop
⊢ (∀ (x : Option α), x ≠ none → p x) ↔ ∀ (x : α), p (some x)
α : Type u_2
Preorder α
x y : α
h : x = y
⊢ ¬x < y
T : ℝ
inst✝ : Fact (0 < T)
n : ℤ
this : ∀ (x : AddCircle T), ‖(fourier n) x‖ = 1
⊢ ⨆ x, ‖(fourier n) x‖ = 1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p✝ : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
⊢ ⨅ i, comap (⇑(p i)) (𝓝 0) ≤ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ 𝓝[Set.Ioc a b] b = 𝓝[≤] b
n : ℕ
hn : 1 < n
⊢ (Finset.range n).Nontrivial
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ
h2 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ
h3 : AEMeasurable (X * Y) μ
h4 : 0 ≤ᶠ[ae μ] X * Y
⊢ (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (X a) * ENNReal.ofReal (Y a) ∂μ).toReal = ((∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (X a) ∂μ) * ∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (Y a) ∂μ).toReal
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : Products I
hl : ↑l ≠ []
hlh : (↑l).head! = term I ho
hlc : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (term I ho :: ↑l.Tail)
⊢ l = ⟨term I ho :: ↑l.Tail, hlc⟩