ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜₁ : Type u_7
𝕜₂ : Type u_8
inst✝⁹ : NormedDivisionRing 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedDivisionRing 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomSurjective σ
inst✝ : RingHomIsometric σ
s : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜₁ s
f : E →SL[σ] F
σ_iso : Isometry ⇑σ
⊢ IsVonNBounded 𝕜₂ (⇑f '' s)
⊢ BoxIntegral.IntegrationParams.Henstock ≤ BoxIntegral.IntegrationParams.McShane
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.ae μ = ⊥ ↔ μ = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
M N : CategoryTheory.Monad C
f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor
f_η : ∀ (X : C), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M.η.app X) (f.hom.app X) = N.η.app X
f_μ :
  ∀ (X : C),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M.μ.app X) (f.hom.app X) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M.map (f.hom.app X)) (f.hom.app (N.obj X))) (N.μ.app X)
⊢ (CategoryTheory.monadToFunctor C).mapIso (CategoryTheory.MonadIso.mk f f_η f_μ) = f
n : Nat
p : 0 < n
m k : Nat
⊢ n * m = n * k ↔ m = k
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain
⊢ y = ↑f ⟨x, hx⟩ ↔ ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).1 ∧ ↑f y_1 = (x, y).2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft W (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)).inv) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X Y).inv Z)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj W X) Y Z).hom
x : ℝ
y : ℝ
hy : 0 ≤ y
⊢ √(x * y) = √x * √y
t : ℝ
h₁ : Tendsto (fun h => h⁻¹ * log (1 + t * h)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 t)
⊢ Tendsto (fun x => x * log (1 + t / x)) atTop (𝓝 t)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
AddZeroClass α
AddZeroClass β
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
f : F
⊢ ∀ (a : Finset α), (Finset.imageAddMonoidHom f) a = (Finset.imageAddHom f).toFun a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
g : F →L[𝕜] G
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun f => g.comp f
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
hB' : M.Base (M.E \ X)
⊢ ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
M : Type u_1
CommMonoidWithZero M
p : M
L : List M
pp : Prime p
⊢ p ∣ L.prod ↔ ∃ a ∈ L, p ∣ a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
self : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.v₁₂ self.v₂₃ = 0
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
this : Nonempty X
F : ℕ → X → X
u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F
hu : ∀ (n : ℕ), d (u n) x ≤ 2 * ε ∧ 2 ^ n * ϕ x ≤ ϕ (u n) → d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / 2 ^ n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / 2 ^ n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / 2 ^ x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
g : G ≃ₗᵢ[𝕜] E
f : E → F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : G
hx : g x ∈ s
i : ℕ
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f ∘ ⇑g) (⇑g ⁻¹' s) x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s (g x)‖
R : Type u_1
CommSemiring R
a : Polynomial R
⊢ Polynomial.derivative' a = Polynomial.derivative a
α : Type u_1
NontriviallyNormedField α
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ∃ x, 0 < ‖x‖ ∧ ‖x‖ < r
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
⊢ toLex (update x i a) < toLex x ↔ a < x i
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
k' : Type u_3
G' : Type u_4
Semiring k'
f : G → G'
s : MonoidAlgebra k' G
v : G → k' → MonoidAlgebra k G
⊢ MonoidAlgebra.mapDomain f (Finsupp.sum s v) = Finsupp.sum s fun a b => MonoidAlgebra.mapDomain f (v a b)
α : Type u_1
M : Type u_4
MulOneClass M
s : Set α
f : α → M
⊢ sᶜ.mulIndicator f * s.mulIndicator f = f
G : Type u_1
LeftCancelMonoid G
Fintype G
x : G
⊢ orderOf x = Fintype.card ↑↑(Submonoid.powers x)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ ν : Kernel α β
hν : IsFiniteKernel ν
hκν : κ ≤ ν
⊢ IsFiniteKernel κ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
A B : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
f g : A ⟶ B
w : f.f = g.f := by aesop_cat
⊢ f = g
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
s : Set ℝ
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ s x
⊢ derivWithin (fun x => Real.cosh (f x)) s x = Real.sinh (f x) * derivWithin f s x
A : Type u_5
B : Type u_6
M : Type u_7
AddMonoid A
DistribSMul M A
AddZeroClass B
c : Mᵈᵐᵃ
f : A →+ B
⊢ ⇑(c • f) = c • ⇑f
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
r C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0, x ∈ Ioi 0 → ‖((fun x => P.g x - P.g₀) ∘ fun x => x⁻¹) x‖ ≤ C * ‖((fun x => x ^ (-(r + P.k))) ∘ fun x => x⁻¹) x‖
x : ℝ
hC' : x ∈ Ioi 0 → ‖((fun x => P.g x - P.g₀) ∘ fun x => x⁻¹) x‖ ≤ C * ‖((fun x => x ^ (-(r + P.k))) ∘ fun x => x⁻¹) x‖
hx : 0 < x
h_nv2 : ↑(x ^ P.k) ≠ 0
h_nv : P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k) ≠ 0
⊢ ‖P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀‖ ≤ ‖P.ε‖ * C * ‖x ^ r‖
S : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ S
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds S
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ S, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
⊢ ∃ x, IsLUB S x
R : Type u_2
CommSemiring R
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : PowerSeries A
n : ℕ
⊢ ((HahnSeries.toPowerSeriesAlg R).symm f).coeff n = (PowerSeries.coeff A n) f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f g : G → E
n : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ n f
hg : ContDiff ℝ n g
hne : ∀ (x : G), f x ≠ g x
⊢ ContDiff ℝ n fun y => dist (f y) (g y)
M : Type u_1
Mul M
S : Subsemigroup M
⊢ S = ⊤ ↔ ∀ (x : M), x ∈ S
α : Type u_1
ι : Type u_2
TopologicalSpace α
hι : Nonempty ι
Countable ι
T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), MeasureTheory.AnalyticSet (s n)
⊢ MeasureTheory.AnalyticSet (⋂ n, s n)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
self : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (self.map f) (self.obj X') ≫ self.μ Y X' =
  self.μ X X' ≫ self.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f X')
α : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ Memℒp f 2 μ ↔ Integrable (fun x => f x ^ 2) μ
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hb0 : p.count b.factors = 0
⊢ p.count a.factors + p.count b.factors = p.count a.factors ∨ p.count a.factors + p.count b.factors = p.count b.factors
X : Type u_1
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
C₁ C₂ : Set X
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
h : C₁ ∪ C₂ = Set.univ
f : LocallyConstant (↑C₁) Z
g : LocallyConstant (↑C₂) Z
hfg : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f ⟨x, ⋯⟩ = g ⟨x, ⋯⟩
DecidablePred fun x => x ∈ C₁
x : X
hx : x ∈ C₂
⊢ (LocallyConstant.piecewise h₁ h₂ h f g hfg) x = g ⟨x, hx⟩
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
s : Finset α
f : α → M
h : α → M → N
h_zero : ∀ a ∈ s, h a 0 = 0
⊢ (Finsupp.indicator s fun x x_1 => f x).sum h = ∑ x ∈ s, h x (f x)
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
⊢ f.rangeS = Subsemiring.map f ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a • b
P : Type u_1
Preorder P
F : Set P
nonempty : F.Nonempty
directed : DirectedOn (fun x x_1 => x ≥ x_1) F
mem_of_le : ∀ {x y : P}, x ≤ y → x ∈ F → y ∈ F
⊢ Order.IsPFilter F
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R
⊢ ((HahnModule.of R).symm (x • (HahnModule.of R) y)).coeff (x.order + y.order) = x.leadingCoeff * y.leadingCoeff
α : Type u_1
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
β : Type u_3
Countable β
s : β → Set α
⊢ m (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : β), m (s i)
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty
⊢ IsCyclotomicExtension S A B ↔ IsCyclotomicExtension (S ∪ {n}) A B
B : Type u_1
M : CoxeterMatrix B
G : Type u_5
Group G
f : B → G
hf : M.IsLiftable f
r : FreeGroup B
hr : r ∈ M.relationsSet
⊢ (FreeGroup.lift f) r = 1
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
⊢ f i hi (o.nfpBFamily f a) = o.nfpBFamily f a
α : Type u
s : Stream'.Seq α
⊢ Function.Injective fun x => Stream'.Seq.cons x s
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α
⊢ (∀ (p : (i : Fin2 n) → α i → Prop), MvFunctor.LiftP p x ↔ ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ MvFunctor.supp x i, p i u) ↔
  ∃ a f,
    MvQPF.abs ⟨a, f⟩ = x ∧
      ∀ (i : Fin2 n) (a' : (MvQPF.P F).A) (f' : (MvQPF.P F).B a' ⟹ α),
        MvQPF.abs ⟨a', f'⟩ = x → f i '' Set.univ ⊆ f' i '' Set.univ
α : Type u
n : α → Filter α
a : α
h₀ : pure ≤ n
h₁ : ∀ (a : α), ∀ s ∈ n a, ∀ᶠ (y : α) in n a, s ∈ n y
⊢ 𝓝 a = n a
R : Type u_1
TopologicalSpace R
CommRing R
N : Ideal R
TopologicalRing R
⊢ IsOpenMap ⇑(Ideal.Quotient.mk N)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ Disjoint (x \ z) y ↔ Disjoint x (y \ z)
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
LPμν_finite : ¬levyProkhorovEDist μ ν = ⊤
LPνκ_finite : ¬levyProkhorovEDist ν κ = ⊤
⊢ ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), 0 < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ κ (thickening (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal B) + (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ) + ε ∧ κ B ≤ μ (thickening (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal B) + (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ) + ε
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R✝ : Sheaf J RingCat
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N
φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf
hφ : (Localization.LeftBousfield.W.homEquiv ⋯ N.presheaf hN) φ = ψ.hom
⊢ ∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.obj X)) (x : ↑(M₂.presheaf.obj X)), (((Localization.LeftBousfield.W.homEquiv ⋯ N.presheaf hN).symm ψ.hom).app X) (r • x) = r • (((Localization.LeftBousfield.W.homEquiv ⋯ N.presheaf hN).symm ψ.hom).app X) x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
⊢ Function.Injective DFunLike.coe
F : Type u_1
AddCommGroup F
Module ℝ F
TopologicalSpace F
s t : Set F
hs : AmpleSet s
ht : AmpleSet t
⊢ AmpleSet (s ∪ t)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
α : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ CategoryTheory.yoneda.obj Y
Z Z' : C
f : Z ⟶ Z'
h : Z' ⟶ X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (α.app (Opposite.op Z') h) =
  α.app (Opposite.op Z) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h)
R : Type u
Ring R
q : ℕ
hR : ExpChar R q
⊢ (-1) ^ q = -1
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.IsReflexive R M
⊢ ↑(Module.evalEquiv R M) = Module.Dual.eval R M
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → γ
l : List α
l' : List β
h : l.length = l'.length
⊢ (List.zipWith f l l').reverse = List.zipWith f l.reverse l'.reverse
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ (Algebra.TensorProduct.lid R A).toLinearEquiv = TensorProduct.lid R A
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdim : finrank K ↥s + finrank K ↥t = finrank K V
hdisjoint : Disjoint s t
⊢ s ⊔ t = ⊤
M : Type u_2
AddMonoid M
a : M
⊢ 0 • a = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
s t : Set α
h : LowerSemicontinuousOn f s
hst : t ⊆ s
⊢ LowerSemicontinuousOn f t
P : Type u_1
SemilatticeSup P
IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1
s t : Order.Ideal P
⊢ ↑(s ⊔ t) = {x | ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, x ≤ a ⊔ b}
G : PGame
⊢ G.ImpartialAux ↔ G ≈ -G ∧ (∀ (i : G.LeftMoves), (G.moveLeft i).ImpartialAux) ∧ ∀ (j : G.RightMoves), (G.moveRight j).ImpartialAux
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝¹ v✝¹ w x y u v : V
n : ℕ
p : G.Walk u v
hnp : ¬p.Nil
u✝ v✝ w✝ : V
x✝¹ : G.Adj u✝ v✝
x✝ : G.Walk v✝ w✝
⊢ ((cons x✝¹ x✝).tail ⋯).getVert n = (cons x✝¹ x✝).getVert (n + 1)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c✝ : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m✝ : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
c : 𝕜'
m : (i : ι) → E i
⊢ ‖(c • f) m‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
⊢ HasSum (fun i => ↑(fourierBasis.repr f) i • fourierLp 2 i) f
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h : toNonUnitalNonAssocSemiring = toNonUnitalNonAssocSemiring
h_zero : Zero.zero = Zero.zero
h_one' : MulOneClass.toOne = MulOneClass.toOne
⊢ inst₁ = inst₂
V : Type u₁
Quiver V
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
φ : V ⥤q C
X Y Z : V
p : Quiver.Path X Y
f : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Paths.lift φ).map (p.cons f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.Paths.lift φ).map p) (φ.map f)
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
s t : Multiset α
h : s ≤ t
⊢ Multiset.map f s ≤ Multiset.map f t
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
h6 : ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ (fun z => f z - v) y
key : ∀ᶠ (z_1 : ℂ) in 𝓝 z, f z_1 - v = f z - v
h7 : ∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝[≠] z, f w = f z
h8 : IsPreconnected (ball z₀ r)
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.InducedCategory C Quotient.out} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.fromSkeleton C).map f = f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : CategoryTheory.IsPullback fst snd f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
⊢ h.isoPullback.inv ≫ snd = CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g
k G : Type u
Field k
Monoid G
V W : FDRep k G
i : V ≅ W
g : G
⊢ W.ρ g = (FDRep.isoToLinearEquiv i).conj (V.ρ g)
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Matrix n n α → Matrix n n α[X] := fun M => M.map ⇑C + X • 1
f' : Matrix n n α[X] →+* Matrix n n α := (evalRingHom 0).mapMatrix
f'_inv : ∀ (M : Matrix n n α), f' (g M) = M
⊢ (A * B).adjugate = B.adjugate * A.adjugate
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
TopologicalSpace β
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
Lattice β
TopologicalLattice β
f : C(α, β)
⊢ ⇑|f| = |⇑f|
R : Type u
σ : Type u_1
CommRing R
p : MvPolynomial σ R
⊢ (-p).degrees = p.degrees
R : Type u
n : Type w
CommRing R
DecidableEq n
Fintype n
J : Matrix n n R
A B : Matrix n n R
hA : A ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J
hB : B ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J
⊢ ⁅A, B⁆ ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ v ≪ᵥ v
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p : ℕ
a b : R
h : ↑p ∣ a - b
k : ℕ
ih : ↑p ^ (k + 1) ∣ a ^ p ^ k - b ^ p ^ k
f : R →+* R ⧸ span {↑p} := mk (span {↑p})
hf : ∀ (r : R), ↑p ∣ r ↔ f r = 0
⊢ ↑p ∣ ∑ i ∈ Finset.range p, (a ^ p ^ k) ^ i * (b ^ p ^ k) ^ (p - 1 - i)
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
b x : α
⊢ x ∈ Iio b ↔ x < b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
s t : Set β
hs : Disjoint s t
ha : HasProd (s.mulIndicator f) a
hb : HasProd (t.mulIndicator f) b
⊢ HasProd (fun a => s.mulIndicator f a * t.mulIndicator f a) (a * b)
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
A A' : Matrix ι ι R
f f' : Module.End R M
h : Represents b A f
h' : Represents b A' f'
i✝ : ι
⊢ ((Fintype.total R R) b) ((algEquivMatrix'.symm A) ((algEquivMatrix'.symm A') (Pi.single i✝ 1))) = f (f' (((Fintype.total R R) b) (Pi.single i✝ 1)))
B : Type u
Quiver B
a b c d : CategoryTheory.FreeBicategory B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ Quot.mk CategoryTheory.FreeBicategory.Rel (CategoryTheory.FreeBicategory.Hom₂.associator_inv f g h) =
  (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).inv
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
R' : Type u_8
M' : Type u_9
Semiring R'
AddCommMonoid M'
Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : R' → R
j : M →+ M'
hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m
⊢ LinearIndependent R' (⇑j ∘ v)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
OrderedAddCommMonoid M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hij : j ⊆ i
hi₂ : v.restrict i ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i
⊢ v.restrict j ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x y : H
⊢ ↑(extChartAt I x) y = ↑I y
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L ↥↑N
⊢ map N.incl N' < N ↔ N' < ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} D
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
F : C ⥤ D
E : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} E
G : D ⥤ E
⊢ (P.map F).map G = P.map (F ⋙ G)
α : Type u_2
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ sᶜ ∈ Filter.cofinite
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
⊢ (a.pred ha).castSucc < b ↔ a ≤ b
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball z R₁)
h_maps : MapsTo f (ball z R₁) (ball (f z) R₂)
hz : z ∈ ball z R₁
⊢ dist (f z) (f z) ≤ R₂ / R₁ * dist z z
α β : Type u
ι : Type v
f : ι → Cardinal.{w}
hf : BddAbove (range f)
⊢ sSup (range (lift.{u, w} ∘ f)) = sSup (range fun i => lift.{u, w} (f i))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
W : C
ι : W ⟶ X
self : CategoryTheory.IsSplitEqualizer f g ι
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ι self.leftRetraction = CategoryTheory.CategoryStruct.id W
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁' i)
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Set ι
inst✝ : DecidableEq { x // x ∈ s }
e : α ≃ ↑s
m : α → (i : ι) → M₁ i
a : α
z : (i : ι) → M₁ i
i : ↑s
hne : a ≠ e.symm i
⊢ update m a z (e.symm i) ↑i = update (fun j => m (e.symm j) ↑j) (e a) (z ↑(e a)) i
a b : ENNReal
h : a ≤ b
c : ENNReal
⊢ c / b ≤ c / a
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
⊢ map f ⁅I₁, I₂⁆ ≤ ⁅map f I₁, map f I₂⁆
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
h : Bornology.IsBounded s
c : α
⊢ ∃ r, s ⊆ Metric.closedBall c r
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPolynomial.monomial s) 1 * x.divMonomial s + x.modMonomial s = x
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
⊢ s ×ˢ ∅ = ∅
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
toInf✝¹ : Inf α
toPartialOrder✝ : PartialOrder α
inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
toInf✝ : Inf α
inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
ss : toInf = toInf
⊢ mk inf_le_left✝¹ inf_le_right✝¹ le_inf✝¹ = mk inf_le_left✝ inf_le_right✝ le_inf✝
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
MulActionWithZero 𝕜 F
BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (c • f) p μ ≤ ‖c‖₊ • MeasureTheory.eLpNorm f p μ
α : Sort u_1
β : Sort u_2
⊢ Function.Injective fun f => ⇑f
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ y₁ : F
h✝¹ : W.Nonsingular x₁ y₁
x₂ y₂ : F
h✝ : W.Nonsingular x₂ y₂
⊢ some h✝¹ + some h✝ = 0 ↔ some h✝¹ = -some h✝