ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
x : ℕ → α
⊢ PiNat.res x 0 = []
K : Type u
inst✝ : Field K
A✝ A B : ValuationSubring K
h : A.unitGroup = B.unitGroup
⊢ A = B
n : Nat
x y : Nat
⊢ BitVec.ofNat n x < BitVec.ofNat n y ↔ x % 2 ^ n < y % 2 ^ n
α : Type u_1
Mul α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
⊢ ma * mb ∈ a * b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.think.destruct t.destruct ↔ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
⊢ ↑⊥.topologicalClosure = closure {1}
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
a : X
⊢ IsBlock G (orbit (↥N) a)
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R[X]
r : R
⊢ Polynomial.eval r M.det = (Polynomial.eval ((Matrix.scalar n) r) (matPolyEquiv M)).det
α : Type u
x : FreeCommRing α
s : Set α
hxs : x.IsSupported s
⊢ (-x).IsSupported s
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b c x✝¹ : R
x✝ : c ∣ 0
H : c ∣ x✝¹
⊢ c ∣ gcd 0 x✝¹
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : Dial C
f : W✝ ⟶ X✝
g : X✝ ⟶ Y✝
h : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ π(π₁, prod.map (f.f ≫ g.f) (𝟙 Z✝.tgt) ≫ h.F) ≫ π(π₁, prod.map f.f (𝟙 Y✝.tgt) ≫ g.F) ≫ f.F = π(π₁, prod.map f.f (𝟙 Z✝.tgt) ≫ π(π₁, prod.map g.f (𝟙 Z✝.tgt) ≫ h.F) ≫ g.F) ≫ f.F
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : CategoryTheory.Center C
Y₁ Y₂ : CategoryTheory.Center C
f : Y₁ ⟶ Y₂
U : C
⊢ (X.fst ◁ f.f) ▷ U ≫ ((X.tensorObj Y₂).snd.β U).hom = ((X.tensorObj Y₁).snd.β U).hom ≫ U ◁ X.fst ◁ f.f
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
i : P.vars
⊢ (CotangentSpace.map (Hom.id P)) (P.cotangentSpaceBasis i) = LinearMap.id (P.cotangentSpaceBasis i)
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : σ
n : N
d : σ →₀ ℕ
⊢ (scalarRTensor (X s ⊗ₜ[R] n)) d = if Finsupp.single s 1 = d then n else 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
⊢ ↑r ≤ (q.comp p).radius
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
CompactSpace X
Nonempty X
MetricSpace Y
CompactSpace Y
Nonempty Y
⊢ (GromovHausdorff.candidatesB X Y).Nonempty
x : ℝ
h : Irrational (1 / x)
⊢ Irrational x
a b : ℕ
⊢ 0 < a.factorizationLCMRight b
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
Monoid A
Monoid B
Monoid C
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
TopologicalSpace C
f : ContinuousMonoidHom A B
g : ContinuousMonoidHom A C
i : A
⊢ (f.prod g) i = (f.toMonoidHom i, g.toMonoidHom i)
α : Type u_7
β : Type u_8
F : Type u_6
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
x y : α
r : ℝ≥0
hxy : dist x y ≠ 0
hr : dist (f x) (f y) = ↑r * dist x y
⊢ r = Dilation.ratio f
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R : ℝ
z w : ℂ
f : ℂ → E
⊢ ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, (2 * ↑π * I)⁻¹ • ((0 + ↑R * cexp (↑θ * I)) * I) • (z + ↑R * cexp (↑θ * I) - w)⁻¹ • f (z + ↑R * cexp (↑θ * I)) = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ((0 + ↑R * cexp (↑θ * I)) * I) • (z + ↑R * cexp (↑θ * I) - w)⁻¹ • f (z + ↑R * cexp (↑θ * I))
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
sneg : { x // x ∈ P.parts ∧ ¬x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card } := (Equiv.refl (Finset α)).subtypeEquiv ⋯
el : { x // (↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (s.card % P.parts.card)
es : { x // ¬(↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (P.parts.card - s.card % P.parts.card)
f : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin (s.card % P.parts.card + (P.parts.card - s.card % P.parts.card)) := (Equiv.sumCompl fun a => (↑a).card = s.card / P.parts.card + 1).symm.trans ((el.sumCongr es).trans finSumFinEquiv)
p : Finset α
property✝ : p ∈ P.parts
⊢ (↑⟨p, property✝⟩).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑((f.trans (finCongr ⋯)) ⟨p, property✝⟩) < s.card % P.parts.card
α : Type u
s : Set α
p q : α → Prop
⊢ {x | x ∈ s ∧ (p x ∨ q x)} = {x | x ∈ s ∧ p x} ∪ {x | x ∈ s ∧ q x}
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
a b : Heyting.Regular α
⊢ ↑(a \ b) = ↑a ⊓ (↑b)ᶜ
a b : ℤ
⊢ Associated a b ↔ a = b ∨ a = -b
α : Type u_1
S : Set (Set α)
h_pi : IsPiSystem S
⊢ IsPiSystem (insert ∅ S)
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
IsDomain A
Algebra A K
IsFractionRing A K
L : Type u_4
Field L
C : Type u_5
CommRing C
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
Algebra C L
IsIntegralClosure C A L
Algebra A C
IsScalarTower A C L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
NoZeroSMulDivisors A L
IsPrincipalIdealRing A
⊢ Module.Free A C
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ ε ^ p.toReal * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊} ≤ eLpNorm f p μ ^ p.toReal
α : Type u_1
a b : PosNum
⊢ -↑(a * b) = -↑a * ↑b
M : Type u_3
AddMonoid M
s t u : Set M
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
⊢ s + t ⊆ ↑(AddSubmonoid.closure u)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (𝟙_ C) f = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (𝟙_ C) g ↔ f = g
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Subsingleton ↥H
⊢ ∀ x ∈ H, x = 1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
_i : Nontrivial E
⊢ Subsingleton E ∨ 0 < ‖↑e.symm‖
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
⊢ 0 = invVal (fun i => xL ↑i) xR (fun i => (xL ↑i).inv') (fun i => (xR i).inv') (mk xl xr xL xR) InvTy.zero
f : ℕ → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
⊢ HasSum f r ↔ Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop (𝓝 r)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂
h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
hT : 0 < T
⊢ Tendsto (fun n => sInf ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Icc 0 T) + ⌊n / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x) atTop atTop
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t : Set β
a✝ a : α
s : Set α
ha : a ≠ 0
⊢ (op a • s)⁻¹ = a⁻¹ • s⁻¹
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hn : upcrossingsBefore a b f N ω < n
⊢ ¬upperCrossingTime a b f N n ω < N
Γ : Type u_1
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ
Zero V
SMul R V
x y : HahnModule Γ R V
⊢ ((HahnModule.of R).symm x).coeff = ((HahnModule.of R).symm y).coeff ↔ x = y
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
G : StructureGroupoid H
inst✝³ : ChartedSpace H M'
inst✝² : ChartedSpace H M''
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
hs : Nonempty ↑e.source
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Opens M := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ }
t : Opens H := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ }
c' : PartialHomeomorph (↥t) H
hc'✝ : c' ∈ atlas H ↥t
this : Nonempty ↥t
x : ↥t
hc' : c' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr this
⊢ e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ (PartialHomeomorph.refl H).subtypeRestr this ∈ maximalAtlas (↥s) G
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
x : Mˣ
h : x ∈ S.units
⊢ ↑x ∈ S
α β : Type u
f : Function.OfArity α β 2
⊢ f.uncurry = Function.uncurry f ∘ ⇑(finTwoArrowEquiv α)
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
⊢ 0 < eval (-1) (cyclotomic n R)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
s : ℝ
k : ℕ := ⌈-s⌉₊
⊢ ⇑f =O[cocompact E] fun x => ‖x‖ ^ s
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ a ∉ Finset.Ioc a b
α : Type u
r : α → α → Prop
IsTrichotomous α r
⊢ ∀ (x x_1 : List α), List.Lex r x x_1 ∨ x = x_1 ∨ List.Lex r x_1 x
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
⊢ f '' s ∪ f '' sᶜ = Set.range f
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ha : a ≠ 0
⊢ ((monomial n) a).natTrailingDegree = n
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
x : X
lx : Filter X
ly : Filter Y
H : ClusterPt x lx
hfc : ContinuousAt f x
hf : Filter.Tendsto f lx ly
⊢ ClusterPt (f x) ly
α : Type u
σ : Type v
⊢ εNFA.start 0 = ∅
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
SeminormedRing 𝕜
SeminormedCommRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
AddCommGroup E
AddCommGroup E₂
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ E₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
c : 𝕜₂
⊢ p.comp (c • f) = ‖c‖₊ • p.comp f
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.42059, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{?u.42066, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : HasShift E M
X Y Z T : C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (a : M), (shiftFunctor C a).Additive
a b c : M
α : ShiftedHom X Y a
β : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
⊢ α.comp (-β) h = -α.comp β h
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
⊢ 1 ≤ (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).b
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
⊢ AEMeasurable (fun a => ∏ i ∈ s, f i a) μ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
w z : ℂ
⊢ (Complex.orientation.kahler w) z = (starRingEnd ℂ) w * z
α : Type u
PartialOrder α
BoundedOrder α
hα : ⊥ = ⊤
x : α
⊢ x = ⊤
α : Type u_1
f : Equiv.Perm α
x : α
hfx : f x = x
n : ℕ
⊢ (f ^ n) x = x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜.shatterer = 𝒜
⊢ IsLowerSet ↑𝒜
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x✝ : K
ha : a ≠ 0
s : K
h : discrim a b c = s * s
x : K
⊢ s = 2 * a * x + b ↔ x * (2 * a) = -b + s
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x y z : P
⊢ nndist (x -ᵥ y) (x -ᵥ z) = nndist y z
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
b : B
⊢ Bundle.TotalSpace.mk b ⁻¹' (a.pretrivializationAt b).source = Set.univ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
f : CategoryTheory.MonoOver X
⊢ ((CategoryTheory.MonoOver.forget X).obj f).left = f.obj.left
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s t u : Finset α
a b : α
⊢ _root_.Disjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → a ∉ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
H : C ⥤ D
F : SimplexCategory ⥤ C
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategory} (f : X ⟶ Y),
  (((CategoryTheory.CosimplicialObject.whiskering C D).obj H).obj F).map f = H.map (F.map f)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
h : s ⊆ t
⊢ s.ndunion t = t
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
h : J ≤ I
⊢ (single I J h).iUnion = ↑J
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
a k : ℕ
a.AtLeastTwo
⊢ (p * OfNat.ofNat a).coeff k = p.coeff k * OfNat.ofNat a
α : Type u
UniformSpace α
⊢ SeparationQuotient.map id = id
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
⊢ ∅.Intersecting
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C
⊢ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (λ_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one) = (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv) ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one)
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Finset.Ico a b \ Finset.Ico a c = Finset.Ico (max a c) b
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
s : Set M
⊢ Submodule.span R s ⊔ p = Submodule.span R (s ∪ ↑p)
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : SchwartzMap E F
⊢ Continuous ⇑f
a b c d a' : List Γ'
x : K'
⊢ update (elim a b c d) main a' x = elim a' b c d x
ι : Type u_4
κ : Type u_5
DecidableEq ι
DecidableEq κ
Fintype ι
s : Finset κ
i : ι
j : κ
⊢ (Finset.filter (fun f => f i = j) (Fintype.piFinset fun x => s)).card =
  if j ∈ s then s.card ^ (Fintype.card ι - 1) else 0
X : (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape CategoryTheory.Limits.WalkingPair)ᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingCospanOpEquiv.functor.obj X = Opposite.unop X
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type v₁)
hF : F.Corepresentable
X : C
f : F.coreprX ⟶ X
⊢ (F.coreprW.app X).hom f = F.map f F.coreprx
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
ℐ : Set (Ideal A)
h : ∀ I ∈ ℐ, IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ IsHomogeneous 𝒜 (⨆ a ∈ ℐ, a)
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
⊢ IsRelPrime (-x) y ↔ IsRelPrime x y
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
i j : ι
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
K : HomologicalComplex C c
⊢ (HomologicalComplex.HomologySequence.composableArrows₃Functor C i j).obj K =
  HomologicalComplex.HomologySequence.composableArrows₃ K i j
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ spectralRadius 𝕜 0 = 0
c c' : Cardinal.{u_1}
h : c ≤ Cardinal.aleph0
⊢ Cardinal.toPartENat c ≤ Cardinal.toPartENat c' ↔ c ≤ c'
α : Type u_2
Semiring α
a : α
⊢ Even a ↔ 2 ∣ a
M : Type u_1
MulOneClass M
p₁ p₂ : Submonoid M
⊢ Disjoint p₁ p₂ ↔ ∀ {x : M}, x ∈ p₁ → x ∈ p₂ → x = 1
α : Type u_1
Fintype α
⊢ Finset.univ.Nonempty ↔ Nonempty α
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
a b : α
⊢ Sum.inl a < Sum.inl b ↔ a < b
n : ℕ
⊢ 0 < n.greatestFib ↔ 0 < n
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_3
CompleteLinearOrder γ
DenselyOrdered γ
f : α → γ
⊢ LowerSemicontinuous f ↔ ∀ (x : α), f x ≤ Filter.liminf f (𝓝 x)
α : Type u
a : α
s : Stream' α
⊢ a ∈ Stream'.cons a s
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, J i ⊔ I = ⊤
⊢ (⨅ i ∈ s, J i) ⊔ I = ⊤
𝕜₁ : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
inst✝¹⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁵ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁶ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝⁴ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁
inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁'
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂
inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂'
b : B
hb : b ∈ e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet)
L : F₁ →SL[σ] F₂
v : F₁
⊢ ((continuousLinearMapCoordChange σ e₁ e₁' e₂ e₂' b) L) v = (↑(continuousLinearMap σ e₁' e₂') { proj := b, snd := (continuousLinearMap σ e₁ e₂).symm b L }).2 v
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
⊢ S.HasRightHomology ↔ S.unop.HasLeftHomology
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
m n : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
hb : b ^ n ∈ I
⊢ m + n ≤ m + n - 1 + 1
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
e : G ≃* G'
H : Subgroup G
g : ↥H
⊢ ↑((e.subgroupMap H) g) = e ↑g
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
M : Type w
Nonempty M
L.Structure M
M ⊨ T
⊢ T.IsSatisfiable
α : Type u
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Set ι
hs : s.Finite
f g : ι → Set α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] g i
⊢ ⋂ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] ⋂ i ∈ s, g i
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c d : RingCon R
⊢ (ringConGen fun x y => c x y ∨ d x y) = ringConGen (⇑c ⊔ ⇑d)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
S : CategoryTheory.Presieve X
R : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → S f → CategoryTheory.Sieve Y
f : Y ⟶ X
h : S f
⊢ R h ≤ CategoryTheory.Sieve.pullback f (CategoryTheory.Sieve.bind S R)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ s' : Cycle α
inst✝ : Fintype α
s : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r s)
hn : Nontrivial (Quot.mk Setoid.r s)
⊢ (formPerm (Quot.mk Setoid.r s) h).support = toFinset (Quot.mk Setoid.r s)
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap (f ≫ g) x =
  AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap g (f.val.base x) ≫ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap f x
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
P.IsPrime
I : Ideal S
hIP : Ideal.comap (algebraMap R S) I ≤ P
⊢ ∃ Q ≥ I, Q.IsPrime ∧ Ideal.comap (algebraMap R S) Q = P
K✝ : Type uK
inst✝⁸ : Field K✝
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K✝ V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K✝ V₂
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥W
e1 : ↥W ≃ₗ[K] Dual K V ⧸ dualAnnihilator W := (Free.chooseBasis K ↥W).toDualEquiv ≪≫ₗ W.quotAnnihilatorEquiv.symm
this : FiniteDimensional K (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W)
⊢ (dualAnnihilator W).dualAnnihilator = map (Dual.eval K V) W
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R V
h : Homotopy f g
a : R
i : ι
⊢ a • (C.dFrom i ≫ h.hom (c.next i) i + h.hom i (c.prev i) ≫ D.dTo i + g.f i) = C.dFrom i ≫ (a • h.hom (c.next i) i) + (a • h.hom i (c.prev i)) ≫ D.dTo i + a • g.f i
α : Type u_1
LE α
S : Set (LowerSet α)
a : α
⊢ a ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, a ∈ s
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u
⊢ Set.InjOn (fun x => match x with | (x, y, z) => {x, y, z}) ↑(filter (fun x => match x with | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c) (s ×ˢ t ×ˢ u))
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x y : V
p : G.Walk x y
hp : ¬p.Nil
⊢ x :: (p.tail hp).support = p.support
X : AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Γ.obj (Opposite.op X) = X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤)
R : Type uR
Ring R
r : R → R → Prop
a b : R
h : RingQuot.Rel r a b
⊢ RingQuot.Rel r (-a) (-b)
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
inst✝² : LieRingModule L M✝
inst✝¹ : LieModule R L M✝
inst✝ : IsNoetherian R L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
L' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range
h : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y
s : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}
hs : s.Nonempty
this : ∀ K ∈ s, K ≠ ⊤ → ∃ K' ∈ s, K < K'
⊢ ⊤ ∈ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
e : PartialHomeomorph M H
n : ℕ∞
h : e ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
⊢ ContMDiffOn I I n (↑e.symm) e.target
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
I : Ideal S
hI : I.IsMaximal
this : (comap (algebraMap R S) I).IsPrime
⊢ IsField (R ⧸ comap (algebraMap R S) I)
α β : Preord
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget Preord).obj α
⊢ (↑e ≫ ↑e.symm) x = (𝟙 α) x
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255346}
a : Cardinal.{u_1}
h : a ≠ 0
⊢ Cardinal.{u_1}
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
S : Submonoid P
g : N →* P
f : M →* N
⊢ Submonoid.comap f (Submonoid.comap g S) = Submonoid.comap (g.comp f) S
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
TopologicalSpace 𝕜
CommSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
hB : Function.Injective ⇑B
⊢ Embedding fun x y => (B x) y
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a : R
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n ≠ 0
⊢ 1 ≤ a ^ n ↔ 1 ≤ a
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite τ
this : (sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1).prod ((sFiniteSeq ν p.2.1).prod (sFiniteSeq τ p.2.2))) = sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1.1).prod ((sFiniteSeq ν p.1.2).prod (sFiniteSeq τ p.2))
⊢ map (⇑MeasurableEquiv.prodAssoc) ((μ.prod ν).prod τ) = μ.prod (ν.prod τ)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (n.factorization.prod fun p k => φ (p ^ k)) = n.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)