ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
f g : α → M
Sup M
MeasurableSup₂ M
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable (f ⊔ g)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.GlueData C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
i : D.J
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑(D.U i)
⊢ ∃ (eq :
  Opposite.op U =
    Opposite.op
      ((TopologicalSpace.Opens.map
            (CategoryTheory.Limits.colimit.ι D.diagram.multispan
                (Opposite.unop (Opposite.op (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.right i)))).base).obj
        (⋯.functor.obj U))),
  D.ιInvApp U ≫ D.diagramOverOpenπ U i = (D.U i).presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom eq)
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)
⊢ IsClosed (Prod.map π π ⁻¹' diagonal (Quotient R))
c : Turing.ToPartrec.Code
v : List ℕ
⊢ Turing.eval (Turing.TM2.step Turing.PartrecToTM2.tr) (Turing.PartrecToTM2.init c v) =
  Turing.PartrecToTM2.halt <$> c.eval v
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
⊢ A⁻¹⁻¹ = 1 * A⁻¹⁻¹
E : Type u_4
AddGroup E
p q : AddGroupSeminorm E
x : E
⊢ (p ⊔ q) x = p x ⊔ q x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fderiv 𝕜 f) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ f ⊗≫ g = f ≫ g
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
⊢ (MvPowerSeries.constantCoeff σ R) 0 = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
x : α
s : Set α
h : LowerSemicontinuousOn f s
hx : x ∈ s
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt f s x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ (a ⊔ b) \ b = a \ b
p : ℕ → Prop
⊢ (∃ x, p x) → WellFounded (Nat.Upto.GT p)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → α → β
s t : Finset α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a
⊢ image2 f (↑s ∪ ↑t) (↑s ∩ ↑t) ⊆ image2 f ↑s ↑t
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.432254, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅ = app₄ ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯
⊢ 5 < 5 + 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : Filter α
s : Set α
a : α
H : ∀ (g : Ultrafilter α), ↑g ≤ f → s ∈ g
hf : s ∉ f
g : Filter ↑sᶜ := comap Subtype.val f
this : g.NeBot
⊢ False
⊢ Stirling.stirlingSeq 1 = rexp 1 / √2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : r ↪r s
g : t ↪r u
⊢ ∀ {a b : α ⊕ γ}, Sum.LiftRel s u ({ toFun := Sum.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } a) ({ toFun := Sum.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } b) ↔ Sum.LiftRel r t a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P
⊢ (J.isoToPlus P hP).hom = J.toPlus P
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in s, f (g • x) ∂μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.functor C).obj T =
  CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk (Opposite.unop T).mor₂.op (Opposite.unop T).mor₁.op
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app
        (Opposite.op (Opposite.unop T).obj₁))
      ((CategoryTheory.shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map (Opposite.unop T).mor₃.op))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
hst : Disjoint s t
S : Set (Set E) := {C | Convex 𝕜 C ∧ Disjoint C t}
C : Set E
hC : C ∈ S
hsC : s ⊆ C
hCmax : ∀ a ∈ S, C ⊆ a → a = C
x : E
hx : x ∈ Cᶜ
y : E
hy : y ∈ Cᶜ
z : E
hz : z ∈ segment 𝕜 x y
hzC : z ∈ C
⊢ False
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
⊢ a ≤ ↑⌊a⌋₊ + 1
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
⊢ ∃ x q, ∃ (h' : G.Adj x w), cons h p = q.concat h'
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
T : Type u_3
Semiring T
I : Ideal R
f : R →+* S
g : S →+* T
⊢ Ideal.map g (Ideal.map f I) = Ideal.map (g.comp f) I
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s t : Set E
⊢ (convexHull 𝕜) ((convexHull 𝕜) s ∪ t) = (convexHull 𝕜) (s ∪ t)
a : ℝ
b : ℝ≥0∞
ha : 0 ≤ a
hb : b ≠ ⊤
⊢ ENNReal.ofReal a < b ↔ a < b.toReal
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖c.smulRight f‖
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S
inst✝ : IsLocalization M R'
s : Set S
x : S
hx : x ∈ Submodule.span R' ↑(Submonoid.closure s)
⊢ ∃ t, t • x ∈ Submodule.span R ↑(Submonoid.closure s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
⊢ G.PreservesMonomorphisms
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
⊢ s.Normal ↔ ∀ (g : α), g • ↑s = MulOpposite.op g • ↑s
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
l : Profinite.NobelingProof.Products I
J : I → Prop
(j : I) → Decidable (J j)
h : Profinite.NobelingProof.Products.isGood (Profinite.NobelingProof.π C J) l
a : I
⊢ a ∈ ↑l → J a
α : Type u_1
MeasurableSpace α
hs : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
x y : α
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → x ∈ s → y ∈ s
⊢ x = y
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
S : Submonoid R
⊢ Subsingleton (LocalizedModule S M) ↔ LinearMap.ker (LocalizedModule.mkLinearMap S M) = ⊤
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
PartialOrder X
x y : X
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ ∫ (t : X) in Set.Icc x y, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Set.Ico x y, f t ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype α
h₁ : image f univ = univ
h₂ : x ∈ image f univ
y : α
h : y ∈ univ ∧ f y = x
⊢ ∃ a, f a = x
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ Algebra.FiniteType R A ↔ ∃ s f, Function.Surjective ⇑f
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ frontier U ∨ z ∈ U
⊢ ‖f z‖ ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m₁ : α → γ
⊢ Set.range m₁ ×ˢ Set.univ = Set.range fun p => (m₁ p.1, p.2)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
Primcodable δ
R : γ → δ → Prop
(a : γ) → (b : δ) → Decidable (R a b)
f : α → β → γ
g : α → β → δ
⊢ PrimrecRel R → Primrec₂ f → Primrec₂ g → PrimrecRel fun a b => R (f a b) (g a b)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
x : α
⊢ normalize x = x * ↑(normUnit x)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : TopologicalSpace R
inst✝³ : NonarchimedeanRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : TopologicalSpace S
inst✝ : NonarchimedeanRing S
U V : OpenAddSubgroup R
H : ↑V ×ˢ ↑V ⊆ (fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' ↑U
v a : R
ha : a ∈ ↑V
b : R
hb : b ∈ ↑V
hv : (fun x x_1 => x * x_1) a b = v
hy : v ∈ U
⊢ v ∈ U
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
c : ℝ≥0∞
⊢ ∑' (x : α), c = c * MeasureTheory.Measure.count Set.univ
I : Type u
f : I → Type v₁
x : (i : I) → f i
i : I
(i : I) → Inv (f i)
⊢ x⁻¹ i = (x i)⁻¹
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
i : ι
hi : i ∈ s
hwi : w i = 0
⊢ w i * z i = w i * x
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : DivInvMonoid M
inst✝ : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
x y : M
hx : x ∈ H
hy : y ∈ H
⊢ x / y ∈ H
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : C
⊢ CategoryTheory.IsCoseparator G ↔
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f g : X ⟶ Y),
    (∀ (h : Y ⟶ G), CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h) → f = g
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.WeaklyRegular
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∃ g,
  (∀ (x : α), g x < ↑(f x)) ∧
    UpperSemicontinuous g ∧
      MeasureTheory.Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧
        (∀ᵐ (x : α) ∂μ, ⊥ < g x) ∧ ∫ (x : α), f x ∂μ < ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ + ε
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
hne : L.NeBot
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
a✝ : ↑μ F < ⊤
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq
key₁ : Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂↑μ) atTop (𝓝 (↑μ F))
room₁ : ↑μ F < ↑μ F + ↑ε / 2
M : ℕ
hM : ∀ b ≥ M, ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs b) ω) ∂↑μ < ↑μ F + ↑ε / 2
key₂ : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑(μs i)) L (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑μ))
room₂ : ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ < ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2
ev_near : ∀ᶠ (x : ι) in L, ∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑(μs x) ≤ ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2
ev_near' : ∀ᶠ (x : ι) in L, ↑(μs x) F ≤ ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2
⊢ ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2 ≤ ↑μ F + ↑ε
σ : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.renameEquiv R (Equiv.refl σ) = AlgEquiv.refl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = 0
⊢ ‖p1 -ᵥ ?p₃ - (p3 -ᵥ ?p₃)‖ = |‖p1 -ᵥ p2‖ - ‖p3 -ᵥ p2‖|
ι : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
CommMonoid M
ContinuousMul M
f : ι → X → M
s : Finset ι
t : Set X
⊢ (∀ i ∈ s, ContinuousOn (f i) t) → ContinuousOn (fun a => ∏ i ∈ s, f i a) t
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * r₁ = ra * ↑s₂
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * r₂ = rb * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ra = rc * ↑sb
⊢ ↑sc * (ra * r₂) = rc * rb * ↑s₃
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsGδ s
ht : IsGδ t
⊢ IsGδ (s ∪ t)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
⊢ c.right.U = c.U
G M : Type
Group G
CommGroup M
MulDistribMulAction G M
f : ↥(groupCohomology.twoCocycles (Rep.ofMulDistribMulAction G M))
⊢ groupCohomology.IsMulTwoCocycle (⇑Additive.toMul ∘ ↑f)
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x * a) (Bornology.cobounded α) (Bornology.cobounded α)
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
⊢ Monotone NonUnitalSubsemiring.toAddSubmonoid
α : Type u
x : α
l : List α
⊢ (x :: l).cyclicPermutations.length = l.length + 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
h✝ : a ∈ s
n : ℕ
h : some a ∈ s.get? n
o : Option (α × WSeq α)
om : o ∈ (s.drop n).destruct
this : Prod.fst <$> o = some a
⊢ ∃ s', some (a, s') ∈ (s.drop n).destruct
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
X✝ Y✝ : C ⥤ D ⥤ E
T : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C × D
f : X ⟶ Y
⊢ (X✝.map f.1).app X.2 ≫ (X✝.obj Y.1).map f.2 ≫ (T.app Y.1).app Y.2 = (T.app X.1).app X.2 ≫ (Y✝.map f.1).app X.2 ≫ (Y✝.obj Y.1).map f.2
α : Type u_1
p q r : α → α → Prop
a b : α
c : { x // p a x ∧ q x b }
h : ∀ {x : α}, r (↑c) x → p a x
⊢ Subtype.val '' {y | r ↑c ↑y} = {y | r (↑c) y ∧ q y b}
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ (ofZeros S hf hg).g' = 0
α : Type u_3
s : Finset α
a : α
M : Type u_6
AddCommGroup M
DecidableEq α
ha : a ∉ s
f : α → M
⊢ ∑ x ∈ insert a s, f x - f a = ∑ x ∈ s, f x
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
w✝¹ : Submodule R M
N' : Submodule R N
w✝ : w✝¹ ≤ M₁
hN : N' ≤ N₁
left✝ : Module.Finite R ↥w✝¹
hfin : Module.Finite R ↥N'
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion w✝) (inclusion hN)))
⊢ ∃ N', ∃ (hN : N' ≤ N₁), Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M₁) (inclusion hN)))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.Hom.id S).τ₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₂
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
z : S
i : ℕ
⊢ h.coeff z i = if hi : i < f.natDegree then (h.basis.repr z) ⟨i, hi⟩ else 0
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
⊢ I + J = 1 ↔ ∃ i ∈ I, ∃ j ∈ J, i + j = 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
StrictConvexSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
⊢ ThreeAPFree (Metric.sphere x r)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih : ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V}, IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
hd : finrank K V = d + 1
this : Nontrivial V
hB₁ : B ≠ 0
x : V
hx : ¬IsOrtho B x x
⊢ ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.length (cs.simple i * w) = cs.length w + 1 ∨ cs.length (cs.simple i * w) + 1 = cs.length w
M₀ : Type u_1
CommMonoidWithZero M₀
Div M₀
MulDivCancelClass M₀
a : M₀
b : M₀
ha : a ≠ 0
⊢ a * b / a = b
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
D1 D2 : Derivation R A M
a : A
⊢ (D1 + D2) a = D1 a + D2 a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
Fintype ↑s
Fintype ↑t
Fintype ↑(s ×ˢ t)
⊢ (s ×ˢ t).toFinset = s.toFinset ×ˢ t.toFinset
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha_top : a ≠ ⊤
⊢ Filter.limsup (fun x => a * u x) f = a * Filter.limsup u f
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑R
⊢ algebraMap ↑R
    ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (AlgebraicGeometry.Spec.topMap f)).obj
            (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf ↑S).val).stalk
        p) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toPushforwardStalk f p)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
t : Finset ((i : ι) × β i)
ht : t ⊆ s.sigma g
i : ι
b : β i
hi : ⟨i, b⟩.fst ∈ s ∧ ⟨i, b⟩.snd ∈ g ⟨i, b⟩.fst
hit : ⟨i, b⟩ ∉ t
j : ι
c : β j
hbc : ⟨i, b⟩ ≠ ⟨j, c⟩
hj : ⟨j, c⟩.fst ∈ s ∧ ⟨j, c⟩.snd ∈ g ⟨j, c⟩.fst
⊢ Disjoint (f ⟨i, b⟩) (f ⟨j, c⟩)
α : Type u_3
AddCommMonoid α
⊢ Multiset.sum 0 = 0
α : Type u_1
Semifield α
LinearOrder α
PosMulReflectLT α
ZeroLEOneClass α
a : α
⊢ 1 / a < 0 ↔ a < 0
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
⊢ OrderHom.gfp f ∈ Set.range (OrdinalApprox.gfpApprox f ⊤)
a b : Int
h : a ≤ b
c : Int
⊢ c - b ≤ c - a
G : Type u_1
Group G
S : Set G
⊢ Subgroup.IsComplement S Set.univ ↔ ∃ g, S = {g}
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Sub α
SemilatticeInf β
OrderTop β
s t : Finset α
f : α → β
a : β
⊢ a ≤ (s - t).inf f ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, a ≤ f (x - y)
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) p
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
l : List α
s : Stream' α
⊢ drop (a :: l).length (a :: l ++ₛ s) = s
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
Subsingleton E
⊢ ‖f‖ = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
PathConnectedSpace X
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → X
⊢ ∃ γ, ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ Set.range ⇑γ
ι : Type u_1
Fintype ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ MeasureTheory.volume {x | ∑ i : ι, |x i| ^ p < 1} =
  ENNReal.ofReal ((2 * Real.Gamma (1 / p + 1)) ^ Fintype.card ι / Real.Gamma (↑(Fintype.card ι) / p + 1))
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : ProjectiveResolution X
⊢ (NatTrans.leftDerivedToHomotopyCategory α).app X = (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex) ≫ (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv
𝕜 : Type u_2
E : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
TopologicalSpace E
OrderClosedTopology E
x : E
⊢ x ∈ ProperCone.positive 𝕜 E ↔ 0 ≤ x
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
f : OnePoint X → Y
x : X
⊢ ContinuousAt f ↑x ↔ ContinuousAt (f ∘ OnePoint.some) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
f g : C^n⟮I, M; I', M'⟯
h : ∀ (x : M), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
l : Multiset α
m : a ∈ l
h : p a
⊢ a ∈ Multiset.filter p l
α : Type u
PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
x : α
⊢ UniformSpace.ball x {p | dist p.1 p.2 < ε} = Metric.ball x ε
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
Neg β
ContinuousNeg β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (-f)
a b : ℕ
r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
⊢ ↑(Finset.filter (fun x => x ≡ v [MOD r]) (Finset.Ioc a b)).card = max (⌊(↑b - ↑v) / ↑r⌋ - ⌊(↑a - ↑v) / ↑r⌋) 0
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
⊢ Multiset.map Prod.fst m.toEnumFinset.val = m
a b : ℕ
⊢ a ≠ b ↔ ↑a ≠ ↑b
α : Type u_2
n : ℕ
s : Multiset α
h : Multiset.card s < n
⊢ Multiset.powersetCard n s = 0
n : ℕ
ζ : ℂ
h : ∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I * (↑i / ↑n)) = ζ
hn : n ≠ 0
⊢ ∃ i, ζ.arg = ↑i / ↑n * (2 * Real.pi) ∧ IsCoprime i ↑n ∧ i.natAbs < n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a✝ : Unit
q : ℚ
a : α
ha : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1
⊢ preCDF ρ q a ≤ ENNReal.ofReal 1
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
this : ∀ (n : ℕ), ∃ N, ∀ k ≥ N, ∀ l ≥ k, (u l, u k) ∈ V n
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n l : ℕ), l ≥ φ n → (u l, u (φ n)) ∈ V n
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), (u (φ (n + 1)), u (φ n)) ∈ V n
α : Type u
DecidableEq α
i j : α
⊢ Equiv.swap i j * Equiv.swap i j = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
⊢ ∀ {X_1 Y : (CategoryTheory.prodComonad X).Coalgebra} (f : X_1 ⟶ Y),
  (CategoryTheory.coalgebraToOver X).map f = CategoryTheory.Over.homMk f.f ⋯
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
v : V₁
⊢ (AffineEquiv.constVAdd k P₁ v).symm = AffineEquiv.constVAdd k P₁ (-v)
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / Real.log ↑n ^ 2
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
a : ℤ
b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
⊢ ↑(mkRat a b) = ↑a / ↑b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
F : CategoryTheory.Arrow C
G : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.toArrow.obj X ⟶ F
⊢ (CategoryTheory.SimplicialObject.cechNerveEquiv X F) G = CategoryTheory.SimplicialObject.equivalenceLeftToRight X F G
a : Cardinal.{u}
n : ℕ
⊢ a ^ ↑n = a ^ n
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₂ <:+ l₁ ∪ l₂
M : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁸ : UniformSpace α
inst✝⁷ : AddGroup α
inst✝⁶ : UniformAddGroup α
inst✝⁵ : UniformSpace β
inst✝⁴ : AddGroup β
inst✝³ : UniformAddGroup β
γ : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup γ
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : UniformAddGroup γ
f g : α →+ γ
hf : Continuous ⇑f
hg : Continuous ⇑g
hfg : Continuous fun x => f x + g x
⊢ (f + g).completion ⋯ = f.completion hf + g.completion hg