ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
p : ℝ
f : α →ₛ F
μ : Measure α
h_map : (fun a => ↑‖↑f a‖₊ ^ p) = ↑(map (fun a => ↑‖a‖₊ ^ p) f)
⊢ eLpNorm' (↑f) p μ = (∑ y ∈ f.range, ↑‖y‖₊ ^ p * μ (↑f ⁻¹' {y})) ^ (1 / p)
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ closure Set.univ = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y✝ : α
m n : ℕ
g : β → β
y : β
⊢ minimalPeriod f x = minimalPeriod g y ↔ ∀ (n : ℕ), IsPeriodicPt f n x ↔ IsPeriodicPt g n y
S : Type u_1
R : outParam (Type u_2)
M : Type u_3
VAdd R M
SetLike S M
self : VAddMemClass S R M
s : S
r : R
m : M
⊢ m ∈ s → r +ᵥ m ∈ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
hZ : CategoryTheory.Limits.IsTerminal Z
G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.WithTerminal C) D
h : CategoryTheory.WithTerminal.incl.comp G ≅ F
hG : G.obj CategoryTheory.WithTerminal.star ≅ Z
X : CategoryTheory.WithTerminal C
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.liftToTerminalUnique F hZ G h hG).hom.app X =
  (match X with
    | CategoryTheory.WithTerminal.of x => h.app x
    | CategoryTheory.WithTerminal.star => hG).hom
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Finite α
⊢ IsCyclic α ↔ ∃ g, orderOf g = Nat.card α
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hs' : μ s = 0
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C
⊢ Limits.BinaryFan.snd (product X (product Y Z).cone.pt).cone ≫ Limits.BinaryFan.fst (product Y Z).cone = snd X (Y ⊗ Z) ≫ fst Y Z
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
⊢ Injective fun a => a * b⁻¹
a b c : Ordinal.{u_1}
h₁ : a < Ordinal.omega ^ b
h₂ : Ordinal.omega ^ b ≤ c
⊢ a + c = c
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
⊢ ↑univ.card = ↑(Fintype.card σ)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C D
τ : F₁ ⟶ F₂
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
F₁.CommShift A
F₂.CommShift A
CategoryTheory.NatTrans.CommShift τ A
a : A
X : C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor D a).map (τ.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F₁.commShiftIso a).inv.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (τ.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X))
      ((F₂.commShiftIso a).hom.app X))
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
p : ι → Prop
DecidablePred p
f : (i : ι) → p i → α
g : (i : ι) → ¬p i → α
⊢ (⨅ i, if h : p i then f i h else g i h) = (⨅ i, ⨅ (h : p i), f i h) ⊓ ⨅ i, ⨅ (h : ¬p i), g i h
α : Type u_1
M M' : Matroid.Matroidᵣ α
⊢ M ≤ M' ↔ M.toMatroid.Restriction M'.toMatroid
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
⊢ ∀ (x : β), x ∉ ⊥.image s
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P ≃ₗ[R] Q
f✝ : N ≃ₗ[R] P
m : M
n✝ : N
p : P
x : M ⊗[R] N
y : N ⊗[R] M
f : M ≃ₗ[R] M
n : ℤ
⊢ rTensor N f ^ n = rTensor N (f ^ n)
x y y₁ y₂ : PGame
hx : x.Numeric
hy✝ : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hy : y₁ < y₂
⊢ ∀ (x : PGame × PGame), (∀ (y : PGame × PGame), Prod.GameAdd IsOption IsOption y x → y.1.Numeric → y.2.Numeric → y.1 < y.2 → P3 y.1 y.2 y₁ y₂) → x.1.Numeric → x.2.Numeric → x.1 < x.2 → P3 x.1 x.2 y₁ y₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ y✝ : α
⊢ s(x✝, y✝) ∈ filter IsDiag (image Sym2.mk (s ×ˢ s)) ↔ s(x✝, y✝) ∈ image Sym2.mk s.diag
num : Int
den : Nat
den_nz : den ≠ 0
⊢ Rat.normalize num den den_nz =
  { num := num / ↑(num.natAbs.gcd den), den := den / num.natAbs.gcd den, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : IsUniform
α : Type u
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
u : α
h' : u ∈ f '' univ
a' : (P F).A
f' : (P F).B a' → α
e : abs ⟨a', f'⟩ = abs ⟨a, f⟩
⊢ u ∈ f '' univ
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
b : β
DecidableEq β
⊢ Finset.image₂ f s (insert b t) = Finset.image (fun a => f a b) s ∪ Finset.image₂ f s t
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
⊢ ¬v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1) ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I
α₁ : Type u_2
β₁ : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α₁
a✝ : α₁
e✝ e : Perm β₁
a a' : α₁
b : β₁
h : (prodExtendRight a e) (a', b) ≠ (a', b)
⊢ a' = a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
self : CategoryTheory.IsTriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Triangulated.Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃)
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
f.NeBot
u : β → α
h : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault
h' : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault
⊢ Filter.liminf u f ≤ Filter.limsup u f
m : Nat
n : Int
⊢ -[m+1] % n = Int.subNatNat n.natAbs (m % n.natAbs).succ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
s : S.Splitting
⊢ s.rightHomologyData.H = 0
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
z : M₁ ⊗[R] N₁
this✝ : (LinearMap.lTensor M₁ g₂) ((LinearMap.lTensor M₁ g₁) z) = 0
hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₂) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z)) = 0
this : (LinearMap.rTensor N₂ f₂) ((LinearMap.lTensor M₂ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z)) = 0
hy : (LinearMap.rTensor N₂ f₁) ((LinearMap.lTensor M₁ g₁) z) = (LinearMap.lTensor M₂ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z)
⊢ (LinearMap.rTensor N₁ 0) z = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
W : C
k : Y ⟶ W
h : f ≫ k = 0
⊢ CategoryTheory.Limits.cokernel.π f ≫ CategoryTheory.Limits.cokernel.desc f k h = k
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
self : LieModule.LinearWeights R L M
χ : L → R
⊢ LieModule.weightSpace M χ ≠ ⊥ → ∀ (x y : L), χ ⁅x, y⁆ = 0
G : Type u
inst✝ : Group G
⊢ Nat.card ↑(commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) = Nat.card ↑(commutatorSet G)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
Archimedean 𝕜
ha : a ∈ Set.Ico 0 p
⊢ ↑a = 0 ↔ a = 0
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : IsCyclotomicExtension (S ∪ T) A B
this : {b | ∃ n ∈ S ∪ T, b ^ ↑n = 1} = {b | ∃ n ∈ S, b ^ ↑n = 1} ∪ {b | ∃ n ∈ T, b ^ ↑n = 1}
⊢ IsCyclotomicExtension T (↥(adjoin A {b | ∃ a ∈ S, b ^ ↑a = 1})) B
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
F : Type u → Type u
Applicative F
LawfulApplicative F
α β γ : Type u
f : β → F γ
g : α → β
x : t α
⊢ traverse f (g <$> x) = traverse (f ∘ g) x
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
InvolutiveInv G
ContinuousInv G
TopologicalSpace α
f : α → G
x : α
⊢ ContinuousAt f⁻¹ x ↔ ContinuousAt f x
n : Nat
m : Nat
i : Fin n
⊢ (Fin.castAdd m i).castLT ⋯ = i
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4190, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.ShortExact
this : Epi S.g
⊢ Mono S.op.f
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ p = q ↔ ∀ (n : ℕ), p.coeff n = q.coeff n
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ CategoryTheory.Simple (ModuleCat.of R M) ↔ IsSimpleModule R M
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
PartialOrder β
f : α → β
a₁ a₂ : α
h_anti : Antitone f
h_fa : f a₁ = f a₂
i : α
h₁ : a₁ ≤ i
h₂ : i ≤ a₂
⊢ f i = f a₁
X : TopCat
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ (TopologicalSpace.Opens.mapId X).inv.app U = CategoryTheory.eqToHom ⋯
ι : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List ι
f g : ι → M
h : (List.map f l).sum < (List.map g l).sum
⊢ ∃ i ∈ l, f i < g i
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → Tropical R
⊢ ∑ i ∈ s, untrop (f i) = (Multiset.map untrop (Multiset.map f s.val)).sum
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
hf : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
hst : t ⊆ s
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' t x v
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
LinearOrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
x : E
s : Finset E
hf : ConcaveOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) ↑s) f
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) ↑s
⊢ s.inf' ⋯ f ≤ f x
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
⊢ (1 + s) ^ p < 1 + p * s
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0
t : ℕ
ht : t ∈ Finset.image (fun t => p ^ (t + 1)) (Finset.range (padicValNat p n))
⊢ t ∈ n.divisors.erase 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ WittVector.wittSub p 0 = MvPolynomial.X (0, 0) - MvPolynomial.X (1, 0)
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
PartialOrder β
OrderBot α
OrderBot β
f : α ≃o β
⊢ f ⊥ = ⊥
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ : ℕ
T : L.Theory
n : ℕ
⊢ M ⊨ Sentence.cardGe L n ↔ ↑n ≤ #M
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
R.Faithful
R.Full
Y : C
⊢ CategoryTheory.IsIso (h.unit.app Y) ↔ Y ∈ R.essImage
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} F
G : CategoryTheory.Functor C E
H : CategoryTheory.Functor D F
L₁ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ : CategoryTheory.Functor D C
L₂ : CategoryTheory.Functor E F
R₂ : CategoryTheory.Functor F E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G.comp L₂ ⟶ L₁.comp H
d : D
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L₂.map (((CategoryTheory.mateEquiv adj₁ adj₂) α).app d))
    (adj₂.counit.app (H.obj d)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α.app (R₁.obj d)) (H.map (adj₁.counit.app d))
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
t : ℝ
⊢ ProbabilityTheory.cgf X 0 t = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] a, ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[s] y, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[s] a, p x
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y : T
f : X ⟶ Y
⊢ autoParam (∀ (X_1 Y_1 : Under Y) (f_1 : X_1 ⟶ Y_1), (map f ⋙ forget X).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ (forget Y).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasCokernel f
inst✝² : HasCokernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasCokernel g
inst✝ : HasCokernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map g ≫ G.map (coequalizer.π g 0) = 0
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁹ : SecondCountableTopology α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁶ : HasBesicovitchCovering α
inst✝⁵ : MetricSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering β
μ : Measure β
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
x : β
hx : Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x) (𝓝 (s.indicator 1 x))
⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (s.indicator 1 x))
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s t : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → E
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
ht_eq : ∀ x ∈ t, f x = 0
⊢ ∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
n : ℕ∞
h : ContDiffAt ℂ n e ↑z
A : ContDiffAt ℝ n ofReal' z
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => (e ↑x).re) z
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
self : CategoryTheory.Triangulated.TStructure C
A : C
⊢ ∃ X Y,
  ∃ (_ : self.LE 0 X) (_ : self.GE 1 Y),
    ∃ f g h, CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk f g h ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
LinearOrderedAddCommMonoid β
hs : Convex 𝕜 s
⊢ QuasilinearOn 𝕜 s f ↔ MonotoneOn f s ∨ AntitoneOn f s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasInjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : CategoryTheory.InjectiveResolution X
J : CategoryTheory.InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.ι.f 0) (φ.f 0) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (J.ι.f 0)
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
n : ℕ
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.rightDerived n).map f) (J.isoRightDerivedObj F n).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.isoRightDerivedObj F n).hom
    (((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).comp
          (HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n)).map
      φ)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝¹ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i✝ i : ι'
⊢ (b'.repr ((b.prod b') (Sum.inr i✝)).2) i = (b'.repr (b' i✝)) i
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y L : R
⊢ Polynomial.C (W.addPolynomial x y L) =
  (Y - Polynomial.C (WeierstrassCurve.Affine.linePolynomial x y L)) *
      (W.negPolynomial - Polynomial.C (WeierstrassCurve.Affine.linePolynomial x y L)) +
    W.polynomial
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_6
𝔸' : Type u_8
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
DecidableEq ι
x : E
hg : ∀ i ∈ u, HasFDerivAt (g i) (g' i) x
⊢ HasFDerivAt (fun x => ∏ i ∈ u, g i x) (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, g j x) • g' i) x
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
n : ℤ
⊢ (↑n).toProd.2 = ↑n
K : Type u_1
inst✝⁸ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁷ : HasSolidNorm K
inst✝⁶ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace K E
inst✝³ : FiniteDimensional K E
inst✝² : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZlattice K L
this : Module.Finite ℤ ↥L
⊢ Module.Free ℤ ↥L
m : Type u_2
o : Type u_4
α : Type u_12
Zero α
DecidableEq o
DecidableEq m
d : m × o → α
k : o
⊢ (Matrix.diagonal d).blockDiag k = Matrix.diagonal fun i => d (i, k)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R
⊢ W.Equation ![X, Y, 1] ∧ (W.a₁ * Y * 1 ≠ 3 * X ^ 2 + 2 * W.a₂ * X * 1 + W.a₄ * 1 ^ 2 ∨ Y * 1 ≠ -Y * 1 - W.a₁ * X * 1 - W.a₃ * 1 ^ 2 ∨ Y ^ 2 + W.a₁ * X * Y + 2 * W.a₃ * Y * 1 ≠ W.a₂ * X ^ 2 + 2 * W.a₄ * X * 1 + 3 * W.a₆ * 1 ^ 2) ↔ W.toAffine.Nonsingular X Y
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : HasContDiffBump G
inst✝ : CompleteSpace E'
φ : ContDiffBump 0
x₀✝ x₀ : G
hg : ∀ x ∈ ball x₀ φ.rOut, g x = g x₀
⊢ (↑φ ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x₀ = integral μ ↑φ • g x₀
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
Semiring A
AddCommMonoid M
Module R A
Module R M
f : ℕ → A →ₗ[R] M
p : A[X]
⊢ (Polynomial.lsum f) p = p.sum fun x x_1 => (f x) x_1
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ I.incl.range = lieIdealSubalgebra R L I
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : -(star c * c) = a_neg ^ 3
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
⊢ ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
LinearOrderedCommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
P.IsRootPositive B
i j : ι
⊢ (B (P.root i)) (P.root j) = 0 ↔ P.pairing i j = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
DenselyOrdered 𝕜
NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A : Set E
x : E
⊢ x ∈ Set.extremePoints 𝕜 A ↔ x ∈ A ∧ ∀ x₁ ∈ A, ∀ x₂ ∈ A, x ∈ segment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∨ x₂ = x
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
x : Fin (n + 1)
y : Fin n
⊢ x.succAbove y ≠ x
α β : Cardinal.{u_1}
⊢ α + 1 ≤ β + 1 ↔ α ≤ β
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a✝ b✝ c : α
P✝ : Finpartition a✝
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a✝
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
a b : α
h : a ≠ b
A : α
hA : A ∈ P.parts
ha : a ∈ (Q ↑⟨A, hA⟩ ⋯).parts
B : α
hB : B ∈ P.parts
hb : b ∈ (Q ↑⟨B, hB⟩ ⋯).parts
hAB : A ≠ B
⊢ (Disjoint on id) a b
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData
⊢ (S.leftHomologyIso.symm ≪≫ h.leftHomologyIso).hom ≫ h.leftHomologyIso.inv = S.leftHomologyIso.inv
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
f : γ → α
g : γ → β
s : Set γ
hα : s.WellFoundedOn (rα on f)
hβ : ∀ (a : α), (s ∩ f ⁻¹' {a}).WellFoundedOn (rβ on g)
⊢ s.WellFoundedOn (Prod.Lex rα rβ on fun c => (f c, g c))
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.WSameSide x y
⊢ (↑s).Nonempty
E : Type u_2
NormedRing E
StarRing E
CstarRing E
Nontrivial E
⊢ ‖1‖ = 1
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a b : ℤ
⊢ legendreSym p (a * b) = legendreSym p a * legendreSym p b
R : Type u_1
Semiring R
⊢ ⇑(PowerSeries.coeff R 0) = ⇑(PowerSeries.constantCoeff R)
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
a : α
l₁ : List α
b : β
l₂ : List β
h : (a :: l₁).length ≤ (b :: l₂).length
⊢ ((a :: l₁).zip (b :: l₂)).unzip.1 = a :: l₁
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Ring R
MulSemiringAction M R
m : M
S : Subring R
⊢ ↑(m • S) = m • ↑S
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeInf α
inst✝⁵ : BoundedOrder α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : a ∈ upperClosure ↑s
ht : a ∈ upperClosure ↑t
⊢ (s ∪ t).truncatedInf a = s.truncatedInf a ⊓ t.truncatedInf a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y z : E
⊢ ⟪x, y + z⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪x, z⟫_𝕜
Ω : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
μ : FiniteMeasure Ω
fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0
c : ℝ≥0
fs_le_const : ∀ᶠ (i : ι) in L, ∀ᵐ (ω : Ω) ∂↑μ, (fs i) ω ≤ c
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
fs_lim : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂↑μ, Tendsto (fun i => (fs i) ω) L (𝓝 (f ω))
⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs i) ω) ∂↑μ) L (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a b : α
h1 : -b < a
h2 : a < b
⊢ a ^ 2 < b ^ 2
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ S.moduleCatLeftHomologyData.K = ModuleCat.of R ↥(LinearMap.ker S.g)
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
⊢ Subalgebra.map (↑(adjoinRootXPowSubCEquiv hζ H hα).symm) (adjoin K {α}) = Subalgebra.map ↑(adjoinRootXPowSubCEquiv hζ H hα).symm ⊤
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a✝ : A
ha✝ : p a✝
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
a : A
ha : p a
ψ : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀ →⋆ₙₐ[𝕜] A := (↑(inrRangeEquiv 𝕜 A).symm).comp (codRestrict (cfcₙAux ⋯ a ha) (NonUnitalStarAlgHom.range (inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)) ⋯)
coe_ψ : ∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), ↑(ψ f) = (cfcₙAux ⋯ a ha) f
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
⊢ p (ψ f)
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B A : Matrix n n α
⊢ IsUnit A⁻¹.det ↔ IsUnit A.det
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
Group α
DistribMulAction α A
a : α
S : AddSubmonoid A
x : A
⊢ a • x ∈ a • S ↔ x ∈ S