ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
a y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
⊢ (fderivWithin ℝ f s a) y ≤ 0
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ κ.mutuallySingularSetSlice η a
⊢ ((κ.singularPart η) a) s = (κ a) s
α : Type u_2
DecidableEq α
GroupWithZero α
s : Finset α
⊢ 0 / s ⊆ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemiring α
LinearOrderedSemiring β
f : ι → α
g : ι → β
hg : 0 ≤ g
hfg : Monovary f g
n : ℕ
⊢ Monovary f (g ^ n)
S : Type u_5
OrderedSemiring S
R : Type u_6
Semiring R
f : R → S
self : IsAbsoluteValue f
x y : R
⊢ f (x * y) = f x * f y
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ ThreeAPFree ↑(sphere n d k)
m : Nat
n : Int
⊢ -(↑m + 1) % n = Int.subNatNat n.natAbs (m % n.natAbs + 1)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
⊢ ⨆ y, f y / f y ≤ 1
n power : Nat
h₁ : power > 0
h₂ : power.isPowerOfTwo
⊢ (Nat.nextPowerOfTwo.go n power h₁).isPowerOfTwo
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M✝ : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
M : Submonoid S
inst✝ : IsLocalization M S'
x : S
s : Finset S'
A : Subalgebra R S
hA₁ : ↑(finsetIntegerMultiple M s) ⊆ ↑A
hA₂ : M ≤ A.toSubmonoid
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
g : S →ₐ[R] S' := IsScalarTower.toAlgHom R S S'
y : ↥M := commonDenomOfFinset M s
hx₁ : ↑y • ↑s = ⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple M s)
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, ↑y ^ n_1 • (algebraMap S S') x ∈ Subalgebra.map g A
⊢ ∃ m, m • x ∈ A
a c b : Ordinal.{u}
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hca : c ≤ a ^ ω
⊢ nfp (fun x => a * x) (a ^ ω * b + c) = a ^ ω * succ b
α : Type u_1
s t : Set α
ht : t.Finite := by toFinite_tac
⊢ (s ∩ t).ncard ≤ t.ncard
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
n : ℕ∞
f : M → F₂ →L[𝕜] F₃
s : Set M
x : M
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₃) n f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, (F₁ →L[𝕜] F₂) →L[𝕜] F₁ →L[𝕜] F₃) n (fun y => ContinuousLinearMap.postcomp F₁ (f y)) s x
s : ℂ
⊢ completedCosZeta 0 s = completedRiemannZeta s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ¬Collinear k {p₁, p₂, p₃}
⊢ p₁ ≠ p₂
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
zero : p 0
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
smul : ∀ (r : R) (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (r • x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
⊢ ∃ (x : 0 ∈ adjoin R s), p ⟨0, x⟩
α : Type u
β : Type v
PartialOrder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : StrictMonoOn f s
⊢ MonotoneOn f s
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ Neg.neg '' Set.Ico a b = Set.Ioc (-b) (-a)
r θ : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
hθ : θ ∈ Ioo (-π) π
h'θ : θ ≠ 0
⊢ (fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2)) (r, θ) ∈ {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
NormedAddCommGroup X
NormedAddCommGroup Y
NormedAddCommGroup Z
NormedSpace ℝ X
NormedSpace ℝ Y
NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
g : Y → Z
hf : Conformal f
hg : Conformal g
⊢ Conformal (g ∘ f)
α : Type u
l : List α
d : α
n : ℕ
hn : n < l.length
⊢ l.getD n d = l.get ⟨n, hn⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderClosedTopology α
SemilatticeSup β
f : β → α
a : α
hf : Antitone f
ha : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
b : β
⊢ a ≤ f b
R : Type u₁
CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
f : Ring.Perfection R p
n m : ℕ
⊢ (Perfection.coeff R p (n + m)) ((⇑(frobenius (Ring.Perfection R p) p))^[m] f) = (Perfection.coeff R p n) f
z : Int
hz : z ≠ 0
⊢ z.sign.natAbs = 1
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
v : n → R
⊢ (Matrix.toLinAlgEquiv' M) v = M *ᵥ v
α : Type u_2
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
s : Set α
⊢ s.WellFoundedOn r ↔ ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s
α : Type u_1
n : Type u_5
DecidableEq n
MulZeroOneClass α
M : Matrix n n α
⊢ Matrix.hadamard 1 M = Matrix.diagonal fun i => M i i
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (f t)) (v t (f t)) ≤ 0
⊢ ∀ t ∈ Icc a b, dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
h : angle x y = π
⊢ ‖x‖ ^ 2 - 2 * -(‖x‖ * ‖y‖) + ‖y‖ ^ 2 = (‖x‖ + ‖y‖) ^ 2
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
⊢ (comap ((Quotient.mk P).comp C) ⊥).IsMaximal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom.F =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.prod.snd
    (CategoryTheory.Limits.terminal.from ((X.src ⨯ ⊤_ C) ⨯ X.tgt))
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
Group G
DivisionMonoid H
MonoidHomClass F G H
f : F
g : G
n : ℤ
⊢ f (g ^ n) = f g ^ n
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
this : Tendsto ((fun p => p.1 / p.2) ∘ fun p => (p.1.2 / p.1.1, p.2.2 / p.2.1)) (comap (fun p => (p.1.2 / p.1.1, p.2.2 / p.2.1)) ((𝓝 1).prod (𝓝 1))) (𝓝 (1 / 1))
⊢ UniformContinuous fun p => p.1 / p.2
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x y : ↥(RingHom.ker (algebraMap A B))
⊢ (fun x => 1 ⊗ₜ[A] (D R A) ↑x) (x + y) = (fun x => 1 ⊗ₜ[A] (D R A) ↑x) x + (fun x => 1 ⊗ₜ[A] (D R A) ↑x) y
x : ℂ
⊢ HasStrictDerivAt cosh ((cexp x - cexp (-x)) * 2⁻¹) x
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
this : NumberField K
H₁ : (aeval (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen) (X - 1) = (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen
H₂ : (aeval (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen) (X + 1) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen
⊢ discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis = discr ℚ ⇑(subOnePowerBasis ℚ hζ).basis
n k : ℕ
⊢ k ≤ n → 0 < n.choose k
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
SecondCountableTopology E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ SecondCountableTopology H
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : Unique α
s : Finset α
f : α → β
h : s.Nonempty
⊢ ∏ x ∈ s, f x = f default
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsIntegralClosure A R B
h : optParam (IsIntegral R 0) ⋯
⊢ (algebraMap A B) (mk' A 0 h) = (algebraMap A B) 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
init : β
arr : Array α
a : α
⊢ Array.foldr f init (arr.push a) (arr.size + 1) = Array.foldr f (f a init) arr arr.size
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
⊢ Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
R : Type u_1
CommSemiring R
Mₗ : Type u_9
Nₗ : Type u_10
Pₗ : Type u_11
AddCommMonoid Mₗ
AddCommMonoid Nₗ
AddCommMonoid Pₗ
Module R Mₗ
Module R Nₗ
Module R Pₗ
f : Mₗ →ₗ[R] Nₗ →ₗ[R] Pₗ
⊢ f.compl₁₂ LinearMap.id LinearMap.id = f
x : ℂ
⊢ Complex.tanh x = Complex.sinh x / Complex.cosh x
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
⊢ (X.prodIsoProd Y).inv ≫ prod.snd = prodSnd
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₀ ⟶ X₁
d₁ : X₁ ⟶ X₂
s : d₀ ≫ d₁ = 0
succ : (S : CategoryTheory.ShortComplex V) → (X₄ : V) ×' (d₂ : S.X₃ ⟶ X₄) ×' S.g ≫ d₂ = 0
⊢ (CochainComplex.mk X₀ X₁ X₂ d₀ d₁ s succ).X 2 = X₂
l : List ℤ
h : l.prod = -1
⊢ -1 ∈ l
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i j : ι
xi : β i
xj : β j
h : ⟨i, xi⟩ = ⟨j, xj⟩
⊢ DFinsupp.single i xi = DFinsupp.single j xj
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L : CategoryTheory.Functor C Dᵒᵖ
h : W.IsInvertedBy L
⊢ W.op.IsInvertedBy L.leftOp
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ y ∈ tl, y ∈ s ∨ y = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s
HP : tl.prod = L.prod
hhd : hd ∈ s
⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
a✝¹ : Ω
a✝ : (μ[f j|↑ℱ i]) a✝¹ ≤ f i a✝¹
⊢ (-f) i a✝¹ ≤ (-μ[f j|↑ℱ i]) a✝¹
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card ≤ FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
⊢ (⋂₀ ↑F).Nonempty
α : Type u_1
s : Set α
a : α
Preorder α
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s ∧ IsLeast s a ↔ s = {a}
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : F''
hcf : c = 0 → f'' =ᶠ[l] 0
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f'' x‖
hc : c ≠ 0
⊢ f'' =O[l] fun _x => c
α : Type u_1
LT α
irrefl_α : ∀ (a : α), ¬a < a
a : List α
⊢ ¬a < a
p : ℕ+ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
⊢ PNat.find h = 1 ↔ p 1
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
SMul M X
ContinuousSMul M X
f : Y → M
g : Y → X
s : Set Y
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
⊢ ContinuousOn (fun x => f x • g x) s
I : Type u
X : I → TopCat
⊢ (FundamentalGroupoidFunctor.coneDiscreteComp X).functor.obj (π.mapCone (TopCat.piFan X)) =
  CategoryTheory.Limits.Fan.mk (π.obj (TopCat.of ((i : I) → ↑(X i)))) (FundamentalGroupoidFunctor.proj X)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t u : Multiset α
⊢ s.Disjoint (t + u) ↔ s.Disjoint t ∧ s.Disjoint u
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
m : Fin n
h : m.castSucc < i
⊢ (finSuccEquiv' i).symm (some m) = m.castSucc
E : Type u_5
SeminormedAddCommGroup E
R' : Type u_11
Ring R'
Module R' E
p : Submodule R' E
⊢ p.subtypeₗᵢ.toContinuousLinearMap = p.subtypeL
a : ONote
m : ℕ+
b : ONote
iha : a.FundamentalSequenceProp a.fundamentalSequence
b' : ONote
ihb : b.repr = succ b'.repr ∧ (b.NF → b'.NF)
e : b.fundamentalSequence = Sum.inl (some b')
⊢ (a.oadd m b).repr = succ (a.oadd m b').repr ∧ ((a.oadd m b).NF → (a.oadd m b').NF)
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
x : G
⊢ Filter.comap (fun x_1 => x_1 + -x) (𝓝 0) = 𝓝 x
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
inst✝ : Mono f
a b : X₁ ⊕ X₂
⊢ Quot.mk (Rel f g) a = Quot.mk (Rel f g) b ↔ Quot.mk (Rel' f g) a = Quot.mk (Rel' f g) b
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra F L
S : Set K
splits : ∀ x ∈ S, IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
x : K
hx : x ∈ adjoin F S
E : IntermediateField F L := ⨆ x, adjoin F ((minpoly F ↑x).rootSet L)
normal : Normal F ↥E
this : ∀ x ∈ S, Splits (algebraMap F ↥E) (minpoly F x)
⊢ Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
k m n : Nat
km : k ≤ m
mn : m ≤ n
⊢ Fin.castLE mn ∘ Fin.castLE km = Fin.castLE ⋯
α β : Type u
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ℵ₀ * ↑n = ℵ₀
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
m : M
r : R
⊢ GradedMonoid.mk (f (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m))) (r • ⟨Finsupp.single (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m)) 1, ⋯⟩) = GradedMonoid.mk (f m) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)
a : I
ha : ↑y a = true
hx : ↑x a = false
⊢ a ∈ s
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : SMulCommClass G R M
g : G
v : ι → M
⊢ (g • e).det v = e.det (g⁻¹ • v)
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset α
⊢ (s₁ ∪ s₂) / (t₁ ∩ t₂) ⊆ s₁ / t₁ ∪ s₂ / t₂
n m : ℕ
⊢ m ∈ n.smoothNumbers ↔ m ≠ 0 ∧ ∀ p ∈ m.primeFactorsList, p < n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₄ : ‖p₄ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : R
x y : L
m : M
hy : y ∈ 𝕎(L, χ₁, x)
hm : m ∈ 𝕎(M, χ₂, x)
⊢ (toModuleHom R L M) ((TensorProduct.map 𝕎(L, χ₁, x).subtype 𝕎(M, χ₂, x).subtype) (⟨y, hy⟩ ⊗ₜ[R] ⟨m, hm⟩)) = ⁅y, m⁆
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (X_1 : Cᵒᵖ)
  (g :
    ↑(((fun Y =>
              (CategoryTheory.preadditiveYonedaObj Y).comp
                (CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat (CategoryTheory.End Y)) AddCommGrp))
            X).obj
        X_1)),
  ((CategoryTheory.preadditiveYoneda.map f).app X_1) g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ
⊢ (filter Prime (Ico 0 k) ∪ filter Prime (Ico k (k + n))).card ≤ (filter Prime (Ico 0 k)).card + (filter Prime (Ico k (k + n))).card
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.eval₂ f g (p * q) = MvPolynomial.eval₂ f g p * MvPolynomial.eval₂ f g q
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
⊢ IsComplete s ↔ ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ↑l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
z : ℂ
h1 : (aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1) = 0
h2 : (aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1).mirror = 0
⊢ False
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace W
TopologicalAddGroup W
f g : P →ᴬ[R] W
x : P
⊢ (f - g) x = f x - g x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
hs : IsOpen s
⊢ mk ⁻¹' (mk '' s) = s
n : ℕ
x : ℝ
⊢ (Polynomial.aeval x) (Polynomial.hermite n) =
  (-1) ^ n * deriv^[n] (fun y => Real.exp (-(y ^ 2 / 2))) x * Real.exp (x ^ 2 / 2)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
β : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ⟂ₘ ν
⊢ (map f ν) (f '' hμν.nullSet)ᶜ = 0
n : ℕ+
⊢ n < 2 → n = 1
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hs : Convex ℝ s
⊢ (intrinsicInterior ℝ s).Nonempty ↔ s.Nonempty
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H : Subgroup G
K : Subgroup N
⊢ H.prod K = ⊥ ↔ H = ⊥ ∧ K = ⊥
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a : α
n : ℕ
h : p ∣ a ^ n
⊢ p ∣ a
x y : ℝ
⊢ √(x ^ 2 + y ^ 2) ≤ √2 * max |x| |y|
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Ψ 2 = W.ψ₂
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
c : Set ι
c_count : c.Countable
c_cov : s ⊆ ⋃ i ∈ c, U i
⊢ ∃ f, s ⊆ ⋃ n, U (f n)
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
M : Matrix (m × o) (n × o) α
k : o
⊢ Mᵀ.blockDiag k = (M.blockDiag k)ᵀ
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]
⊢ normSq (star a) = normSq a
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
x : ℤ
r : R
hr : 0 < r
⊢ ↑b ^ x ≤ r ↔ x ≤ Int.log b r
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
TopologicalSpace γ
SMulZeroClass γ β
ContinuousSMul γ β
F : Type u_5
FunLike F α γ
ContinuousMapClass F α γ
f : F
g : α →C_c β
x : α
⊢ (f • g) x = f x • g x
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
⊢ Function.Injective NonUnitalSubsemiring.toSubsemigroup
α : Type u_1
G : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Group G
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : UniformGroup G
p : ι → Prop
b : ι → Set G
h : (𝓝 1).HasBasis p b
⊢ (𝓝 1).HasBasis p fun i => {f | ∀ (x : α), toFun f x ∈ b i}
o : Ordinal.{u}
⊢ ∃ ι f, Ordinal.lsub f = o ∧ #ι = o.card
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p r ≤ padicValRat p q
⊢ padicValRat p r ≤ padicValRat p (r + q)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
R : ℝ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
hf' : ∀ x ∈ ∅, HasFDerivWithinAt f (f' x) ∅ x
hs : ∅ ⊆ closedBall 0 R
h'f' : ∀ x ∈ ∅, (f' x).det = 0
⊢ μ (f '' ∅) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : β ⊕ γ → α
c : α
⊢ ⨆ x, f x ≤ c ↔ (⨆ i, f (Sum.inl i)) ⊔ ⨆ j, f (Sum.inr j) ≤ c
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Finite ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → LinearOrder (α i)
p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop
f : (i : ι) → Finset (α i)
h0 : p fun x => ∅
step :
  ∀ (g : (i : ι) → Finset (α i)) (i : ι) (x : α i), (∀ y ∈ g i, x < y) → p g → p (Function.update g i (insert x (g i)))
⊢ p f
x : PartENat
n : ℕ
⊢ 0 < ↑n ↔ 1 ≤ ↑n
⊢ Nat.Primrec (Nat.unpaired (Function.swap Nat.pair))
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
h : IsNilpotent a
⊢ IsNilpotent ((LieAlgebra.ad R A) a)
f : C(ℝ, ℂ)
hf :
  ∀ (K : TopologicalSpace.Compacts ℝ),
    Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
m : ℤ
⊢ fourierCoeff ⋯.lift m = 𝓕 ⇑f ↑m
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁷ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra S L
inst✝¹¹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : IsScalarTower R K V
inst✝⁶ : AddCommGroup V'
inst✝⁵ : Module R V'
inst✝⁴ : Module S V'
inst✝³ : IsScalarTower R S V'
inst✝² : AddCommGroup V''
inst✝¹ : Module R V''
inst✝ : IsDedekindDomain R
hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤
f : V'' →ₗ[R] V
hf : Function.Injective ⇑f
f' : V'' →ₗ[R] V'
ι : Type u_6
b : ι → V''
hb' : LinearIndependent S (⇑f' ∘ b)
⊢ LinearIndependent K (⇑f ∘ b)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
⊢ M ⊨ L.nonemptyTheory ↔ Nonempty M
α : Type u_1
Mul α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le
a b : α
⊢ Set.Ici a * Set.Ici b ⊆ Set.Ici (a * b)
b n : ℕ
⊢ Nat.log b n ≤ Nat.clog b n
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
sum_induction_steps : (map (Int.castRingHom ℚ)) (∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i)) = ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i ^ p ^ (n - i)
⊢ C ↑(p ^ n) ∣ (bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℤ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i)
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
h✝ : l.Nodup
l₁ l₂ : List α
h : Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁.reverse l₂.reverse
⊢ l₁ ≠ l₂