ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : α → β
l : Filter α
H : f =ᶠ[l] g
h : β → γ
⊢ h ∘ f =ᶠ[l] h ∘ g
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X
⊢ Tendsto (fun r => (pre m r) s) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((mkMetric' m) s))
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : ExpChar R 1
⊢ 0 < 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝ : ConcreteCategory D
F G : C ⥤ D
φ : F ⟶ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
x : (forget D).obj (F.obj X)
⊢ (φ.app Y) ((F.map f) x) = (G.map f) ((φ.app X) x)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x
f' : E → F
fx : f x = f' x
ef : f =ᶠ[𝓝[s] x] f'
hf' : AnalyticAt 𝕜 f' x
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 g s x
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ ↑(upperClosure s) = s ↔ IsUpperSet s
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
f g : α → β
s : Set α
a : α
⊢ f =ᶠ[𝓝[s] a] g ↔ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 a, x ∈ s → f x = g x
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
m : M
ContinuousAdd M
f : ℤ → M
hf : HasSum f m
⊢ HasSum (fun n => f ↑n + f (-↑n)) (m + f 0)
m : ℕ
⊢ (ack m 1 + 1) ^ 2 ≤ ack (m + 3) 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ interior (Metric.closedBall x r) = Metric.ball x r
k : ℕ
a t : ℝ
ha : 0 ≤ a
ht : 0 < t
n : ℕ
u : ↑n ≤ ↑n ^ 2
⊢ (↑n + a) ^ 2 - (↑n + a ^ 2) = ↑n ^ 2 - ↑n + 2 * ↑n * a
σ✝ : Type u
R✝ : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nonempty σ
⊢ #(MvPolynomial σ R) ≤ max (max (lift.{u, v} #R) (lift.{v, u} #σ)) ℵ₀
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
x : α
xs : List α
⊢ xs <+ takeWhile (fun b => decide ¬r x b) xs ++ x :: dropWhile (fun b => decide ¬r x b) xs
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
⊢ variance X ℙ = (∫ (a : Ω), (X ^ 2) a) - (∫ (a : Ω), X a) ^ 2
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
hf : OpenEmbedding ⇑f
F : Presheaf C X
x : ↑X
this : (⋯.functorNhds x).Initial
⊢ (⋯.functorNhds x).op ⋙ (OpenNhds.inclusion (f x)).op ⋙ (pushforward C f).obj F ≅ ((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj F
α : Type u_1
LT α
DecidableEq α
a : α
Decidable (a < a)
lt_irrefl : ¬a < a
⊢ compareOfLessAndEq a a = Ordering.eq
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
K U V : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
h2K : K ⊆ U ∪ V
⊢ ∃ K₁ K₂, IsCompact K₁ ∧ IsCompact K₂ ∧ K₁ ⊆ U ∧ K₂ ⊆ V ∧ K = K₁ ∪ K₂
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s : Submodule K V
h : s < ⊤
⊢ finrank K ↥s < finrank K V
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
x : ι → α
f : Filter α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
hxy : ¬Tendsto x l f
s : Set α
hs : s ∈ f
hfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n ∉ s
y : ℕ → ι
hy_tendsto : Tendsto y atTop l
hy_freq : ∀ (n : ℕ), x (y n) ∉ s
ms : ℕ → ℕ
hms_tendsto : Tendsto (fun n => x (y (ms n))) atTop f
n : ℕ
hn : x (y (ms n)) ∈ s
⊢ False
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
e : Sym2 V
h : e ∈ G.edgeSet
⊢ e ∈ s → e.IsDiag ↔ e ∉ s
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
h : -1 < r.re ∨ r ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑x ^ r = ↑b ^ (r + 1) / (r + 1) - ↑a ^ (r + 1) / (r + 1)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ t : R
m : M
hm : m ∈ ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k
⊢ m ∈ ⨆ k, ((t • f).genEigenspace (t * μ)) k
α : Type u_1
LT α
s : Antisymm fun x x_1 => ¬x < x_1
as bs : List α
h₁ : as ≤ bs
h₂ : bs ≤ as
⊢ as = bs
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α
⊢ I = ⊤ ↔ 1 ∈ I
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
IsIntegralClosure A R B
Algebra R A
IsScalarTower R A B
x : A
⊢ IsIntegral R x
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)₀
this : φ (f + g).toNNReal + φ (-f).toNNReal + φ (-g).toNNReal - (φ (-(f + g)).toNNReal + φ f.toNNReal + φ g.toNNReal) = 0
⊢ φ (f + g).toNNReal - φ (-(f + g)).toNNReal - (φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal + (φ g.toNNReal - φ (-g).toNNReal)) = 0
M : Type u_2
AddCommMonoid M
⊢ AddMonoid.IsTorsion M ↔ Module.IsTorsion ℕ M
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X Y : limit (F ⋙ objects)
x✝¹ x✝ Z : J
f : x✝¹ ⟶ x✝
g : x✝ ⟶ Z
⊢ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map (f ≫ g) = { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map f ≫ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map g
a b : PUnit.{u + 1}
⊢ a ⊔ b = PUnit.unit
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x - y‖ = ‖x‖ + ‖y‖
hxy₁ : 0 ≤ ‖x - y‖
hxy₂ : 0 ≤ ‖x‖ + ‖y‖
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = -(‖x‖ * ‖y‖)
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => eLpNorm (F i - f) 1 μ) l (𝓝 0)
s : Set α
⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c
⊢ span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {XClass W x₁} * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {XClass W x₂} * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))}) = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
τ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
PartialOrder ι
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
NormedAddCommGroup E
LocallyFiniteOrderBot ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), MeasureTheory.Memℒp (u n) p μ
N : ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ N
⊢ MeasureTheory.Memℒp (MeasureTheory.stoppedValue u τ) p μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution Z
n : ℕ
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk (P.complex.d (n + 2) (n + 1)) (P.complex.d (n + 1) n) ⋯).Exact
C₁ : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁
W₁ : MorphismProperty C₁
C₂ : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₂ : MorphismProperty C₂
D₁ : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
W : ?m.28304
X Y Z : C₁
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Y)
G : D₁ ⥤ D₂
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G
g : W₁.Q.obj X ⟶ W₁.Q.obj Y
⊢ (SmallHom.equiv W₂ L₂) (Φ.smallHomMap ((SmallHom.equiv W₁ W₁.Q).symm g)) = e.hom.app X ≫ G.map ((SmallHom.equiv W₁ L₁) ((SmallHom.equiv W₁ W₁.Q).symm g)) ≫ e.inv.app Y
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ ↑(interedges G.Adj x y).card ≤ ↑(interedges G.Adj x y).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card) * (↑A.card * ↑x.card * (↑B.card * ↑y.card)))
V : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module ℝ V
K : ConvexBody V
h_symm : ∀ x ∈ K, -x ∈ K
x : V
hx : x ∈ ↑K
⊢ 1 / 2 + 1 / 2 = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : ChartedSpace H M
inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²² : TopologicalSpace M'
inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
f✝ f₁ : M → M'
s✝ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : E → E'
s : Set E
⊢ ∀ (a : E), a ∈ s → ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f s a ↔ a ∈ s → ContDiffWithinAt 𝕜 n f s a
R : Type u_1
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
CommSemiring R
AddCommMonoid α
Module R α
r : R
A : Matrix l m α
B : Matrix n p α
⊢ Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) (r • A) B = r • Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) A B
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
h : ∀ (a : α), κ a = η a
⊢ κ = η
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
t : Affine.Triangle ℝ P
⊢ t.orthocenter ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f g
x : B
h : c ⟶ x
CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith f g h
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith.lanCompIso f g h).hom =
  CategoryTheory.Bicategory.lanDesc ((CategoryTheory.Bicategory.lanLeftExtension f g).whisker h)
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p : P
⊢ {p} -ᵥ {p} = {0}
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂
inst✝ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂
p q : ℤ
⊢ (p * q).negOnePow * p.negOnePow = 1 * (p * (q + 1)).negOnePow
R : Type u
CommSemiring R
S : Type u_1
T : Type u_2
CommSemiring S
Semiring T
Algebra R S
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
x : S
a : Set S
hx : x ∈ Submodule.span R a
⊢ (algebraMap S T) x ∈ Submodule.span R (⇑(algebraMap S T) '' a)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : Basis ι ℝ E
w : Basis ι' ℝ F
x : E × F
⊢ x ∈ ↑(v.prod w).parallelepiped ↔ x ∈ ↑(v.parallelepiped.prod w.parallelepiped)
ι : Type u_1
X : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
UniformSpace α
F : ι → X → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
H : IsClosed (Set.range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))
⊢ IsClosed (Set.range ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F))
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ
⊢ (T ^ n • z).re = z.re + ↑n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a p q : ℤ
hpq : p + n = q
p' q' : ℤ
hp' : p' = p + a
hq' : q' = q + a
⊢ (γ.shift a).v p q hpq = (K.shiftFunctorObjXIso a p p' hp').hom ≫ γ.v p' q' ⋯ ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a q q' hq').inv
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : ∀ (x : X), ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source
⊢ IsLocalHomeomorph f
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
b : B
x : E b
⊢ { proj := b, snd := x } ∈ (a.pretrivializationAt b).source
α : Type u_1
G : Type u_3
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_4
Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : List α
h : t ⊆ s
⊢ (s ++ t).dedup ~ s.dedup
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : (x : 𝒰.J) → (𝒰.obj x).OpenCover
⊢ (𝒰.bind f).J = ((i : 𝒰.J) × (f i).J)
A : Type u_2
AddMonoid A
⊢ AddSubmonoid.closure {0} = ⊥
n m k : Nat
h : n + k < m
⊢ n < m
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
c : Set (Ideal R)
hs : c ⊆ nonPrincipals R
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
K : Ideal R
hKmem : K ∈ c
x : R
hx : sSup c = Submodule.span R {x}
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
A : Set M
hA : A.Finite
⊢ Module.Finite R ↥(Submodule.span R A)
x y z : SetTheory.PGame
h₁ : x.LF y
h₂ : y < z
⊢ x.LF z
M G : Type u
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Group G
N : Type v
inst✝¹ : Monoid N
C : Type v
inst✝ : Category.{w, v} C
f : C → G
X✝ : C
⊢ { obj := fun x => (), map := fun {x y} x_1 => f y * (f x)⁻¹ }.map (𝟙 X✝) = 𝟙 ({ obj := fun x => (), map := fun {x y} x_1 => f y * (f x)⁻¹ }.obj X✝)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : (SimplicialObject.Augmented C)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ f.unop.op ≫ (unop Y✝).rightOpLeftOpIso.hom.op = (unop X✝).rightOpLeftOpIso.hom.op ≫ Quiver.Hom.op { left := NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp f.unop.op.unop.left), right := f.unop.op.unop.right, w := ⋯ }
R M : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : Module.Finite R M
h : I ≠ ⊤
x : M
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i • ⊤
r : ↥I
hr : ↑r • x = x
this : IsUnit (1 - ↑r)
⊢ x ∈ ⊥
α : Type u
β : Type v
s : Set α
hs : s.Countable
f : α → β
⊢ (f '' s).Countable
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
x✝ : Nonempty (IsColimit (pUnitCocone C))
h : IsColimit (pUnitCocone C)
colimitCocone : ColimitCocone (constPUnitFunctor C) := { cocone := pUnitCocone C, isColimit := h }
this : HasColimit (constPUnitFunctor C)
⊢ IsConnected C
ι : Type u
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
A B : ℝ
hA : 0 ≤ A
hB : 0 ≤ B
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
hg : ∀ (i : ι), 0 ≤ g i
hf_sum : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg_sum : HasSum (fun i => g i ^ q) (B ^ q)
⊢ ∃ C, 0 ≤ C ∧ C ≤ A * B ∧ HasSum (fun i => f i * g i) C
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ cyclotomic p ℤ = ∑ i ∈ range p, X ^ i
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x ε : ℝ
hx : 0 ≤ x
hε : 0 < ε
h : 0 < x
⊢ log x ≤ x ^ ε / ε
J : Type u₁
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J × K ⥤ C
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K
⊢ F.map (f, 𝟙 k) = ((CategoryTheory.curry.obj (CategoryTheory.Prod.swap K J ⋙ F)).obj k).map f
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
⊢ ↑K.toSubmonoid = ↑K
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
one_lt_p : -1 < p - 1
g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)
obs : ∀ (x : ℝ), intervalIntegral g 0 x volume = x ^ p / p
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal p * ENNReal.ofReal (f a ^ p / p) ∂μ
a : Int
h : a ≤ 0
⊢ 0 ≤ -a
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H1 : ¬l.size + r.size ≤ 1
H2 : delta * r.size < l.size
H3 : 2 * l.size ≤ 9 * r.size + 5 ∨ l.size ≤ 3
⊢ 2 * l.dual.size ≤ 9 * r.dual.size + 5 ∨ l.dual.size ≤ 3
α : Type u_2
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Countable
p : α → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (⋃ i ∈ t, s i), p x) ↔ ∀ i ∈ t, ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (s i), p x
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
⊢ (Set.Iio a)ᶜ = Set.Ici a
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.76625, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
p : ℤ
⊢ ((fun p => mappingConeHomOfDegreewiseSplitXIso S σ p (p + { as := 1 }.as) ⋯) p).hom ≫ ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)) 1).obj S.X₂).d p (p + 1) = (mappingCone (homOfDegreewiseSplit S σ)).d p (p + 1) ≫ ((fun p => mappingConeHomOfDegreewiseSplitXIso S σ p (p + { as := 1 }.as) ⋯) (p + 1)).hom
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
⊢ NumberField.discr K = (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
h : Function.Commute f g
⊢ minimalPeriod (f ∘ g) x ∣ (minimalPeriod f x).lcm (minimalPeriod g x)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
a✝¹ : α
h₁ : ↑(toSimpleFunc 0) a✝¹ = ↑↑↑0 a✝¹
a✝ : ↑↑0 a✝¹ = 0 a✝¹
⊢ ↑(toSimpleFunc 0) a✝¹ = 0 a✝¹
C✝ : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C✝
D✝ : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D✝
J : Type w
C : J → Type u
D : J → Type u'
inst✝¹ : (j : J) → Category.{v, u} (C j)
inst✝ : (j : J) → Category.{v', u'} (D j)
W : (j : J) → MorphismProperty (C j)
F : (j : J) → C j ⥤ D j
hF : ∀ (j : J), (W j).IsInvertedBy (F j)
X✝ Y✝ : (j : J) → C j
f : X✝ ⟶ Y✝
hf : MorphismProperty.pi W f
⊢ ∀ (i : J), IsIso ((Functor.pi F).map f i)
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
s : S
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
⊢ (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (s • 0) = (RingHom.id S) s • (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
a a✝ : α
⊢ (toFinsupp {a}) a✝ = (Finsupp.single a 1) a✝
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ IsSquare (-1) ↔ p % 4 ≠ 3
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
Monoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
φ₁ φ₂ : MonoidAlgebra k G →ₐ[k] A
h : (↑φ₁).comp (MonoidAlgebra.of k G) = (↑φ₂).comp (MonoidAlgebra.of k G)
⊢ φ₁ = φ₂
A : Type u_1
AddCancelMonoid A
Finset.HasAntidiagonal A
n : A
p q : { x // x ∈ Finset.antidiagonal n }
h : (↑p).1 = (↑q).1
⊢ p = q
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
m : ℤ
⊢ Localization.mk (↑m) 1 = ↑m
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K✝ L✝ : HomologicalComplex C c
e✝ : HomotopyEquiv K✝ L✝
inst✝² : ∀ (i : ι), K✝.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L✝.HasHomology i
inst✝ : CategoryWithHomology C
K L : HomologicalComplex C c
e : HomotopyEquiv K L
⊢ quasiIso C c e.hom
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
S : Set (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R S = ⊤
f : MonoidAlgebra R M
hf : f ∈ S
⊢ f ∈ ↑(adjoin R (⋃ f ∈ S, ⇑(of R M) '' ↑f.support))
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : PseudoEpimorphism α β
⊢ (PseudoEpimorphism.id β).comp f = f
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ b - toIcoDiv hp (a + c) b • p ∈ Set.Ico (a + c) (a + c + p)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : IsProperMap f
⊢ IsClosedMap f
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ S.IsAlgebraic ↔ Algebra.IsAlgebraic R ↥S
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ f₁ =o[l] g₁ ↔ f₂ =o[l] g₂
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
h : ∅ ∉ 𝒜
⊢ Set.Sized r ↑(∂ 𝒜) ↔ Set.Sized (r + 1) ↑𝒜
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cofan fun i => f i.succ
c₂ : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan (f 0) c₁.pt
X : CategoryTheory.Discrete (Fin (n + 1))
⊢ (CategoryTheory.extendCofan c₁ c₂).ι.app X = Fin.cases c₂.inl (fun i => c₁.ι.app { as := i } ≫ c₂.inr) X.as
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C Dᵒᵖ
X : C
⊢ F.leftOpRightOpIso.inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E
L : ℝ →L[ℝ] E := ContinuousLinearMap.smulRight 1 v
⊢ ∀ (p : E), ∀ᵐ (t : ℝ), LineDifferentiableAt ℝ f (p + t • v) v
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v w : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
h : v.restrict i ≤ w.restrict i
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j
⊢ -↑w (j ∩ i) ≤ -↑v (j ∩ i)
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hzpos : 0 < z
m n : ℤ
hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2
hv2 : ↑x / ↑z = 2 * ↑m * ↑n / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
hw2 : ↑y / ↑z = (↑m ^ 2 - ↑n ^ 2) / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
H : (m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
co : m.gcd n = 1
pp : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
hz : z ≠ 0
h2 : y = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ z = m ^ 2 + n ^ 2
⊢ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2