ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Finite J
F : J → Karoubi C
j : J
⊢ (biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ (biproduct.bicone fun j => (F j).X).π j = { X := ⨁ fun j => (F j).X, p := biproduct.map fun j => (F j).p, idem := ⋯ }.p ≫ ((biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ (biproduct.bicone fun j => (F j).X).π j) ≫ (F j).p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s₂ : Seq α
a : α
ss : Seq α
h : a ∈ ss
⊢ ∀ {s₁ : Seq α}, a ∈ s₁.append s₂ → s₁.append s₂ = ss → a ∈ s₁ ∨ a ∈ s₂
α : Type
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : Dioph.DiophFn f
dg : Dioph.DiophFn g
⊢ Dioph.DiophFn fun v => f v * g v
n : ℕ
⊢ eulerMascheroniConstant ≤ eulerMascheroniSeq' n.succ
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.constantCoeff.comp (algebraMap R (MvPolynomial σ R)) = RingHom.id R
α : Type u
DecidableEq α
x y z : α
hxy : x ≠ y
hxz : x ≠ z
⊢ Equiv.swap y z * Equiv.swap x y * Equiv.swap y z = Equiv.swap z x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ s ∈ convexAddSubmonoid 𝕜 E ↔ Convex 𝕜 s
α : Type u
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ ↑hs.toFinset = s
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n : ℕ
this : martingalePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, ((s (k + 1)).indicator 1 - μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k])
⊢ predictablePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]
α : Type u
ι : Type v
a : Cardinal.{u}
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
ht : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) = a
⊢ #α = a
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ (insert t ↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ (s.reindex e).circumsphere.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range (s.reindex e).points)
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.StableUnderBaseChange @AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : C
⊢ (β_ X Y).hom.op = (β_ (Opposite.op Y) (Opposite.op X)).hom
α : Type u_1
CoheytingAlgebra α
⊢ ∂ ⊤ = ⊥
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
b b' : F
⊢ Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜 (trivializationAt F (TangentSpace 𝓘(𝕜, F)) b) b' = 1
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
x y : α
LE α
Batteries.LECmp cmp
⊢ cmp x y ≠ Ordering.lt ↔ y ≤ x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
h : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J P
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSeparated J P
k : Type u
inst✝² : Field k
k' : Type u
inst✝¹ : Field k'
e : k ≃+* k'
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k'[X]
hmp : p.Monic
hp : Irreducible p
hpe : (map e.symm.toRingHom p).degree ≠ 0
⊢ ∃ x, eval x p = 0
n m : ℕ
⊢ 1 < (m + 2) ^ (n + 1)
c : Code
v : List ℕ
i : Cfg'
h₁ : TrCfg (stepNormal c Cont.halt v) i
h₂ : Reaches₁ (TM2.step tr) (init c v) i
x : TM2.Cfg (fun x => Γ') Λ' (Option Γ')
⊢ x ∈ eval (TM2.step tr) i ↔ ∃ a ∈ c.eval v, halt a = x
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G✝ : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G✝
G : W.FunctorsInverting D
X : C
⊢ (eqToHom ⋯ ≫ 𝟙 G ≫ eqToHom ⋯).app X = (𝟙 W.Q ◫ 𝟙 ({ obj := fun G => lift G.obj ⋯, map := fun {X Y} τ => natTransExtension (eqToHom ⋯ ≫ τ ≫ eqToHom ⋯) }.obj G)).app X
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
x : G
⊢ nhdsMulHom x = 𝓝 x
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
⊢ A ^ (-1) = A⁻¹
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a b : α
⊢ ∃ z, Int.fract (a + b) - Int.fract a - Int.fract b = ↑z
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
⊢ t ∈ ∂ 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, ∃ a ∈ s, s.erase a = t
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
⊢ Convex 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite
⊢ IsOpen {x}
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁸ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
G : Type u_9
inst✝³ : Group G
inst✝² : SMul G R
inst✝¹ : MulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
g : G
x : M
⊢ x = g⁻¹ • g • x
z w : ℂ
h : z.re = w.re
⊢ dist z w = dist z.im w.im
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
a : α
f : Multiset α
ha : Irreducible a
pfa : (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
⊢ ∃ p, a ~ᵤ p ∧ f = {p}
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
p q : ℚ≥0
⊢ NNRat.cast ⁻¹' Set.uIcc ↑p ↑q = Set.uIcc p q
α : Type u_1
MonoidWithZero α
p q : α
h₁ : q ≠ 0
h₂ : p ∣ q
⊢ p ≠ 0
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range n, (u (k + 1 + 1) - u (k + 1)) • f (u (k + 1)) ≤ C • ∑ k ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f k
α : Type u_1
s : Multiset (Multiset α)
⊢ ∀ {a : Multiset α}, a ∈ s.Sections ↔ Rel (fun s a => a ∈ s) s a
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ (lsub f).cof ≤ #(ULift.{v, u} ι)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ κ.comap id ⋯ = κ
R : Type u
M : Type v
One R
Zero M
⊢ TrivSqZeroExt.inl 1 = 1
α : Type u_1
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_7
CompleteLattice α
a : α
f : (i : ι) → κ i → α
h : ∀ (i : ι) (j : κ i), a ≤ f i j
⊢ a ≤ ⨅ i, ⨅ j, f i j
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
e : ι₂ ↪ ι
w : ι → k
p : ι → P
⊢ (affineCombination k (map e s₂) p) w = (affineCombination k s₂ (p ∘ ⇑e)) (w ∘ ⇑e)
q : ℚ≥0
⊢ q.num ≠ 0 ↔ q ≠ 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
a : Localization M
⊢ (Localization.algEquiv M S) a = (IsLocalization.map S (RingHom.id R) ⋯) a
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
⊢ LocallyFinite fun i => tsupport ⇑(f i)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
I : Ideal R
J : Ideal S
⊢ Ideal.idealProdEquiv.symm (I, J) = I.prod J
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : Group α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
ha : 1 ≤ a ^ 2
⊢ (a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1
M : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace M
Mul M
m : MeasurableSpace α
f : α → M
MeasurableMul M
hf : Measurable f
c : M
⊢ Measurable fun x => c * f x
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s t : Set X
x y : X
s' : Set X
r : ENNReal
r0 : r ≠ 0
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
r' : ENNReal
r0' : r' ≠ 0
hr' : ∀ x ∈ s', ∀ y ∈ t, r' ≤ edist x y
⊢ min r r' ≠ 0
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
Fintype α
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_4
Semiring S
Module S M
SMulCommClass R S M
v : α → M
DecidableEq α
i : α
r : R
⊢ ((Fintype.total R S) v) (Pi.single i r) = r • v i
β : Type u_2
α : Type u_4
AddGroup α
AddAction α β
a : α
x : β
⊢ ((AddAction.toPermHom β α) a) x = a +ᵥ x
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
IsDedekindDomain R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
r : R
⊢ (algebraMap R (DedekindDomain.ProdAdicCompletions R K)) r v = ↑K ((algebraMap R K) r)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
u : Finset α
⊢ u ∈ Ico s t ↔ u ∈ image (fun x => s ∪ x) (t \ s).ssubsets
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
PosMulReflectLT α
a0 : 0 < a
⊢ a < a * b ↔ 1 < b
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
ih : ∀ (x : ℤ_[p]), x.appr n < p ^ n
x : ℤ_[p]
⊢ x.appr (n + 1) < p ^ (n + 1)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)
⊢ (dNext i) f = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : C
self : CategoryTheory.Injective J
X Y : C
g : X ⟶ J
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ ∃ h, f ≫ h = g
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
hax : 0 < a.x
hay : 0 < a.y
n : ℤ
⊢ (a ^ n).y.sign = n.sign
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul (map { toFun := op, inj' := ⋯ } B) (map { toFun := op, inj' := ⋯ } A) (op b0) (op a0)
a b : G
aA : a ∈ A
bB : b ∈ B
ab : a * b = a0 * b0
⊢ a = a0 ∧ b = b0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
⊢ ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a)) → ℝ≥0∞
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
SemilatticeInf β
Bot β
a : α
⊢ ⊥ a = ⊥
a b : Cardinal.{u_1}
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
ha : ℵ₀ ≤ a
⊢ a * b ≤ max (max a b) ℵ₀
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
H₁ : ‖fourierBasis.repr f‖ ^ 2 = ∑' (i : ℤ), ‖↑(fourierBasis.repr f) i‖ ^ 2
H₂ : ‖fourierBasis.repr f‖ ^ 2 = ‖f‖ ^ 2
H₃ : RCLike.re ⟪f, f⟫_ℂ = ∫ (x : AddCircle T), RCLike.re ⟪↑↑f x, ↑↑f x⟫_ℂ ∂haarAddCircle
⊢ ∑' (i : ℤ), ‖↑(fourierBasis.repr f) i‖ ^ 2 = ∫ (t : AddCircle T), ‖↑↑f t‖ ^ 2 ∂haarAddCircle
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
⊢ IsUpperSet (s - t)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 N f
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) c) univ x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f univ x‖
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : p = 0
hn0 : ¬n = 0
⊢ (p ^ n).natDegree = n * p.natDegree
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.π F j ≫ F.map f = CategoryTheory.Limits.limit.π F j'
R : Type u1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
A : Type u_1
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Nontrivial R
x : M
⊢ (ι R) x ≠ 1
α : Type u_1
l : List α
a : α
⊢ Quiver.SingleObj.pathEquivList.symm (a :: l) = (Quiver.SingleObj.pathEquivList.symm l).cons a
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
S : AddSubgroup G
g : ↥S
m : α
⊢ g +ᵥ m = ↑g +ᵥ m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor D E
⊢ (F ⊗⋙ G).ε = G.ε ≫ G.map F.ε
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
i : ℕ
⊢ ↑0 i = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.lift a \ Booleanisation.comp b = Booleanisation.lift (a ⊓ b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
A : (𝓝[<] x).NeBot
⊢ (f '' Iio x).Nonempty
M₀ : Type u_1
inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁶ : MonoidWithZero M
inst✝⁵ : MonoidWithZero M'
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M₁
inst✝³ : Ring R
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : FunLike F M M'
inst✝ : Finite R
a : R
⊢ IsUnit a ↔ a ∈ R⁰
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
inst✝ : v.RankOne
⊢ unit v ≠ 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommGroup M
TopologicalSpace M
TopologicalAddGroup M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ ↑(v - w) = ↑v - ↑w
M : Type u_2
MulOneClass M
S : Set (Submonoid Mᵐᵒᵖ)
⊢ (sSup S).unop = sSup (Submonoid.op ⁻¹' S)
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeries.abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
⊢ LSeriesSummable (LSeries.logMul f) s ∧ HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (LSeries.logMul f) s) s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R✝ : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
R : WSeq α → WSeq β → Prop
h1 : R s t
h2 : ∀ {s : WSeq α} {t : WSeq β}, R s t → Computation.LiftRel (LiftRelO R✝ R) s.destruct t.destruct
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R✝ (LiftRel R✝)) s.destruct t.destruct
p n k : ℕ
h : ¬(n.choose k).factorization p = 0
⊢ (n.choose k).factorization p ≤ log p n
α : Type u_1
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
BooleanAlgebra β
h : Measurable compl
f : α → β
⊢ MeasurableSpace.comap (fun a => (f a)ᶜ) inferInstance = MeasurableSpace.comap f inferInstance
α : Type u_1
Setoid α
r : α → α → Prop
H : ∀ (a₁ b₁ a₂ b₂ : α), a₁ ≈ a₂ → b₁ ≈ b₂ → r a₁ b₁ = r a₂ b₂
a : α
⊢ Acc (Quotient.lift₂ r H) ⟦a⟧ ↔ Acc r a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : TopologicalSpace R
inst✝³ : NonarchimedeanRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : TopologicalSpace S
inst✝ : NonarchimedeanRing S
U V : OpenAddSubgroup R
H : ↑V ×ˢ ↑V ⊆ (fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' ↑U
v a : R
ha : a ∈ ↑V
b : R
hb : b ∈ ↑V
hv : (fun x x_1 => x * x_1) a b = v
⊢ v ∈ ↑U
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ b - c - toIocDiv hp (a + c) b • p ∈ Set.Ioc a (a + p)
R : Type u
CommSemiring R
f g : R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus {f} ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus {g} ↔ g ∈ (Ideal.span {f}).radical
q' q₁ q₂ : Λ'
q₁_ih : q' ∈ trStmts₁ q₁ → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q₁
q₂_ih : q' ∈ trStmts₁ q₂ → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q₂
⊢ (q' ∈ trStmts₁ q₁ → trStmts₁ q' ⊆ insert (q₁.pred q₂) (trStmts₁ q₁ ∪ insert (unrev q₂) (trStmts₁ q₂))) ∧ (q' = unrev q₂ → insert (Λ'.move (fun x => false) rev main q₂) (trStmts₁ q₂) ⊆ insert (q₁.pred q₂) (trStmts₁ q₁ ∪ insert (unrev q₂) (trStmts₁ q₂))) ∧ (q' ∈ trStmts₁ q₂ → trStmts₁ q' ⊆ insert (q₁.pred q₂) (trStmts₁ q₁ ∪ insert (unrev q₂) (trStmts₁ q₂)))
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ : ℝ
s✝ t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ε : ℝ≥0
⊢ (EMetric.diam s).toReal + (2 * ↑ε).toReal = diam s + 2 * ↑ε
R : Type u_1
S : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder R
s : Finset S
f : S → Tropical (WithTop R)
⊢ Tropical.untrop (∑ i ∈ s, f i) = ⨅ i, Tropical.untrop (f ↑i)
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ Disjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → a ∉ s
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B
⊢ A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = f.hom ▷ A.X ▷ M.X ≫ (α_ B.X A.X M.X).hom ≫ B.X ◁ f.hom ▷ M.X ≫ B.X ◁ M.act ≫ M.act
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_5
Fintype n
DecidableEq n
⊢ Matrix.mulVecLin 1 = LinearMap.id
K : Type u_1
DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
k : K
q : Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
v : σ
S : (k : K) → List (Γ k)
s : Turing.TM2to1.StAct k
⊢ Turing.TM2.stepAux (Turing.TM2to1.stRun s q) v S =
  Turing.TM2.stepAux q (Turing.TM2to1.stVar v (S k) s) (Function.update S k (Turing.TM2to1.stWrite v (S k) s))
n k : ℕ
⊢ n.descFactorial (k + 1) ≤ n ^ (k + 1)
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n✝ : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
n : ℕ
⊢ f (↑(n + 1) + x) ≤ f 1 + x * log (↑n + 1) - x * log ↑n + (x * log ↑n + log ↑n !)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
s t : Set ι
f g : ι → α
h : s.PairwiseDisjoint f
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
⊢ i = j ∨ Disjoint (f i) (f j)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ t' 𝒰 f g i j k ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g j k) (fV 𝒰 f g j i) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map k) ≫ pullback.snd (𝒰.map j ≫ f) g = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
x✝ : p ∣ a
b : α
hb : a = p * b
hb0 : b ≠ 0
⊢ p * b ~ᵤ (p ::ₘ normalizedFactors b).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b✝ : M
f : α →₀ M
a : α
x✝ : ∃ b, f = single a b
b : M
hb : f = single a b
⊢ f.support ⊆ {a}
α : Type u_1
r : Setoid α
a w✝ : α
ha : a ∈ {x | r.Rel x w✝}
x : α
⊢ x ∈ {x | r.Rel x w✝} ↔ x ∈ {x | r.Rel x a}
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
l : List α
comm : {x | x ∈ ↑l}.Pairwise fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)
b : β
⊢ List.foldr (fun x => f ↑x) b (List.pmap Subtype.mk l ⋯) = List.foldr f b l
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
⊢ Function.Bijective ⇑(IsLocalizedModule.fromLocalizedModule S f)
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F₁ F₁' F₂ F₂' : J ⥤ C
f : F₁ ⟶ F₁'
g : F₂ ⟶ F₂'
j : J
⊢ (snd F₁ F₂).app j ≫ g.app j = snd (F₁.obj j) (F₂.obj j) ≫ g.app j
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : s.gcd r = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : (r * s).gcd m = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = r * s * m
hrsz : r * s ≠ 0
h2b0 : b' ≠ 0
i : ℤ
hi' : ¬m = -i ^ 2
hi : m = i ^ 2
d : ℤ
hd' : ¬r * s = -d ^ 2
hd : s * r = d ^ 2
j : ℤ
hj : r = j ^ 2 ∨ r = -j ^ 2
hj0 : j ≠ 0
k : ℤ
hk : s = k ^ 2 ∨ s = -k ^ 2
hk0 : k ≠ 0
hj2 : r ^ 2 = j ^ 4
hk2 : s ^ 2 = k ^ 4
hh : i ^ 2 = j ^ 4 + k ^ 4
hn : n ≠ 0
⊢ False
β : Type u_2
E : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace E
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : MeasureTheory.Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : MeasureTheory.eLpNorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f hf s y₀ h₀ n) - f) p μ)
  Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : FirstOrder.Language
(a : α) → L.Structure (M a)
∀ (a : α), Nonempty (M a)
β : Type u_3
φ : L.Formula β
x : β → (a : α) → M a
⊢ (φ.Realize fun i => Quotient.mk' (x i)) ↔ ∀ᶠ (a : α) in ↑u, φ.Realize fun i => x i a
R : Type u_6
LinearOrderedSemiring R
a : R
⊢ ∃ x ≥ 0, a < x * x
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
⊢ (fun z => resolvent (z⁻¹ • a) 1) =O[cobounded 𝕜] fun x => 1
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → β → α
f : β → α
S : Set β
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : UniformEquicontinuousOn F S
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
⊢ ∀ (a : β × β), (∀ (i : ι), (F i a.1, F i a.2) ∈ V) → a ∈ S ×ˢ S → a ∈ (fun x => (f x.1, f x.2)) ⁻¹' U
p : ℕ
pp : Fact (Nat.Prime p)
a r : ℤ
hr : IsInt (jacobiSym a p) r
⊢ IsInt (legendreSym p a) r
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Antitone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)
⊢ CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : WeakFEPair E
r : ℝ
⊢ (fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : Prop
f : p → Part α
h : p
Dom✝ : Prop
get✝ : Dom✝ → α
h' : f h = { Dom := Dom✝, get := get✝ }
⊢ HEq (fun ha => get✝ ⋯) get✝
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)
⊢ t₁.points i₁ ∈ affineSpan ℝ (Set.range t₁.points) ∧ t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' ↑(univ.erase j₂))).directionᗮ
R : Type u
CommRing R
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : ModuleCat R
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂
⊢ (f ⊗ g) ≫ (Y₁.braiding Y₂).hom = (X₁.braiding X₂).hom ≫ (g ⊗ f)
α : Type u_1
u : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n + 1), u k = (⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), u k) ∪ u (n + 1)
β : Type u_7
γ : Type u_8
m m0 : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure β
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderClosedTopology γ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace γ
hm : m ≤ m0
f g : β → γ
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ f ≤ᵐ[μ.trim hm] g ↔ f ≤ᵐ[μ] g
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : PropertyIsLocal P
R S : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
hs' : ∀ (r : ↑s), P (Localization.awayMap f ↑r)
hs : Ideal.span (⇑f '' s) = ⊤
⊢ ∀ (r : ↑(⇑f '' s)), P ((algebraMap S (Localization.Away ↑r)).comp f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
X : T.Algebra
⊢ (CategoryTheory.Monad.FreeCoequalizer.π X).f = X.a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a✝ : α
c : ℕ
a : α
⊢ (-a) ^ (c + c) = a ^ (c + c)