ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
⊢ Tendsto (fun m => κ.densityProcess ν n a x (seq m)) atTop (𝓝 (κ.densityProcess ν n a x ∅))
z : ℝ
hz : z < 0
x : ℝ≥0
hx1 : 0 < ↑x
hx2 : ↑x ≤ 1
⊢ 1 ≤ ↑x ^ z
C : Type u_1
Preorder C
X Y : C
e : X = Y
⊢ CategoryTheory.eqToHom e = CategoryTheory.homOfLE ⋯
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
r : R
n : ℕ
⊢ r • I ^ n ≤ I ^ n
p : ℕ
inst✝¹¹ : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CharP R p
P✝ : Type u₃
inst✝⁸ : CommSemiring P✝
inst✝⁷ : CharP P✝ p
inst✝⁶ : PerfectRing P✝ p
inst✝⁵ : PerfectRing R p
S : Type u₂
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : CharP S p
P : Type u₃
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : CharP P p
inst✝ : PerfectRing P p
π : P →+* S
m : PerfectionMap p π
f : R →+* S
⊢ (Perfection.coeff S p 0).comp ((Perfection.lift p R S) f) = f
a : ℕ
k n : ℕ
a_pos : 0 < a
⊢ (Finset.filter a.Coprime (Finset.Ico k (k + n))).card ≤ a.totient * (n / a + 1)
G₀ : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
a b : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ a / b / a = b⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Zero β
Preorder β
Zero γ
Preorder γ
SMul α β
SMul α γ
f : β → γ
SMulPosReflectLE α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b
zero : f 0 = 0
⊢ SMulPosReflectLE α β
F : Type u → Type u
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
α : Type u_1
x : Multiset α
⊢ traverse pure x = x
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
x y : X
hxz : IsMaximal x (y ⊔ x)
hyz : IsMaximal y (y ⊔ x)
⊢ IsMaximal (y ⊓ x) y
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
h : UniformEmbedding f
⊢ Embedding f
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
this✝ : IsIso (pullback.snd f g)
this : (PreservesPullback.iso (forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat) f g).hom ≫ pullback.fst ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map f) ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map g) = (pullback.fst f g).val.base
⊢ Set.range (⇑(pullback.fst ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map f) ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map g)) ∘ ⇑((inv (pullback.snd f g)).val.base ≫ (PreservesPullback.iso (forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat) f g).hom)) = ⇑f.val.base ⁻¹' Set.range ⇑g.val.base
n : Nat
m : Nat
h : 0 < n
⊢ m ≤ n * m
G : Type w
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
a : G
⊢ IsClosedMap fun x => x - a
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ a ^ n * a ≤ xn a1 n * a + Pell.d a1 * yn a1 n
α : Type u
β : Type v
f : Filter β
m : α → β
hm : ∀ t ∈ f, ∃ a, m a ∈ t
⊢ (Filter.comap m f).NeBot
α : Type u
HasSubset α
HasSSubset α
IsNonstrictStrictOrder α (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun x x_1 => x ⊂ x_1
a b : α
h : a ⊂ b
⊢ a ⊆ b
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ ProbabilityTheory.iIndep m μ ↔
  ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (f i)) → μ (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, μ (f i)
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
A : Rep k G
i j : ℕ
x : (groupCohomology.resolution k G).X i ⟶ A
⊢ ((groupCohomology.linearYonedaObjResolution A).d i j) x = (groupCohomology.resolution k G).d j i ≫ x
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∀ (x : E), Λ (f' x) + Λ₀ • φ' x = 0
a : ℝ
ha₀ : 0 < a
ha₁ : a < 1
⊢ a⁻¹.IsConjExponent (1 - a)⁻¹
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
Hcont : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => iteratedDerivWithin m f s x) s
Hdiff : ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x => iteratedDerivWithin m f s x) s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
H : Equicontinuous F
S : Set X
⊢ EquicontinuousOn F S
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
MulOneClass M
MulOneClass N
CommMonoid P
CommMonoid Q
f : M →* N →* P
g : P →* Q
m : M
n : N
⊢ ((f.compr₂ g) m) n = g ((f m) n)
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
t' : Batteries.RBNode α
path' : Batteries.RBNode.Path α
t : Batteries.RBNode α
ht : Batteries.RBNode.Ordered cmp t
eq : Batteries.RBNode.zoom cut t = (t', path')
⊢ Batteries.RBNode.Ordered cmp t' ∧
  Batteries.RBNode.Path.Ordered cmp path' ∧
    Batteries.RBNode.All (Batteries.RBNode.Path.RootOrdered cmp path') t' ∧ Batteries.RBNode.Path.Zoomed cut path'
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
a b : Ordinal.{max v u}
⊢ a < o.nfpBFamily f b ↔ ∃ l, a < List.foldr (o.familyOfBFamily f) b l
B : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
⊢ topologicalSpace B F = induced (⇑(TotalSpace.toProd B F)) instTopologicalSpaceProd
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : 0 < y
⊢ ∃ n, y ^ n < x
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)
h₁ : ↑a * (r • ↑a⁻¹ - 1) = r • 1 - ↑a
⊢ IsUnit (r • ↑a⁻¹ - 1)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle x (x + y)).sin = ‖y‖ / ‖x + y‖
α : Type u_1
l : Language α
⊢ l + l = l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ z₃' : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp z₂.f z₃.s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp z₁.s z₃.f
h₃' : CategoryTheory.CategoryStruct.comp z₂.f z₃'.s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp z₁.s z₃'.f
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel (z₁.comp₀ z₂ z₃) (z₁.comp₀ z₂ z₃')
α : Type u
β : Type v
l : List α
f : ℕ → α → β
⊢ List.mapIdx f l = List.ofFn fun i => f (↑i) (l.get i)
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
g : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
y : ↥(Submonoid.map (algebraMap R S) M) := commonDenomOfFinset (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s
y' : R
hy' : y' ∈ ↑M
e : (algebraMap R S) y' = ↑y
this : (algebraMap R S) y' • ↑s = y' • ↑s
hx₁ : y' • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))
x' : S
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))
hx'' : (algebraMap S S') x' = g (y' • x)
a : R
ha₁ : a ∈ ↑M
ha₂ : ↑⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ * x' = ↑⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ * y' • x
⊢ a • x' = ↑⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ * x'
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
c : P
hc : c ∈ s
r : ℝ
hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r
⊢ ∃ r, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t t' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
r : A
⊢ r ∈ vanishingIdeal t ⊔ vanishingIdeal t' → r ∈ vanishingIdeal (t ∩ t')
α : Type u
AddMonoidWithOne α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n ≠ ⊥
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
self : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially g
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
FiniteDimensional 𝕜 E
v : E
μ : Module.End.Eigenvalues T
⊢ hT.diagonalization (T v) μ = ↑T μ • hT.diagonalization v μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.UniformIntegrable f p μ ↔
  (∀ (i : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f i) μ) ∧
    ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), MeasureTheory.eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
ι : Type u
γ✝ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂✝ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
β₁ : ι₁ → Type u_1
β₂ : ι₂ → Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι₁
inst✝³ : DecidableEq ι₂
inst✝² : (i : ι₁) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝¹ : (i : ι₂) → AddZeroClass (β₂ i)
inst✝ : AddCommMonoid γ
h : (i : ι₁) → (j : ι₂) → β₁ i →+ β₂ j →+ γ
f₁ : (i : ι₁) → β₁ i
support'✝¹ : Trunc { s // ∀ (i : ι₁), i ∈ s ∨ f₁ i = 0 }
s₁ : Multiset ι₁
h₁ : ∀ (i : ι₁), i ∈ s₁ ∨ f₁ i = 0
f₂ : (i : ι₂) → β₂ i
support'✝ : Trunc { s // ∀ (i : ι₂), i ∈ s ∨ f₂ i = 0 }
s₂ : Multiset ι₂
h₂ : ∀ (i : ι₂), i ∈ s₂ ∨ f₂ i = 0
⊢ (sumAddHom fun i₂ => (sumAddHom fun i₁ => h i₁ i₂) { toFun := f₁, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s₁, h₁⟩ }) { toFun := f₂, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s₂, h₂⟩ } = (sumAddHom fun i₁ => (sumAddHom fun i₂ => (h i₁ i₂).flip) { toFun := f₂, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s₂, h₂⟩ }) { toFun := f₁, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s₁, h₁⟩ }
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
⊢ ¬LinearIndependent R v ↔ ∃ g, ∑ i : ι, g i • v i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f g φ ψ : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
⊢ ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ + ψ)) = ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ) + ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map ψ)
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
x : α
δ : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
⊢ Metric.cthickening δ {x} = Metric.closedBall x δ
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x
hgc : Continuous ⇑g
h_maps : MapsTo (⇑g) (Icc 0 1) s
fg_local_min_on : IsLocalMinOn (f ∘ ⇑g) (Icc 0 1) 0
⊢ x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
n : ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app X✝.obj₁ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₁) = n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app X✝.obj₁ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n ⋙ CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map f.hom₁
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝¹ : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this✝ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime p) Sₚ
pid : IsPrincipalIdealRing (Localization.AtPrime p)
p' : Ideal (Localization.AtPrime p)
hpu : ∀ (y : Ideal (Localization.AtPrime p)), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = p'
hp'0 : p' ≠ ⊥
hp'p : p'.IsPrime
this : LocalRing.maximalIdeal (Localization.AtPrime p) ≠ ⊥
⊢ comap (algebraMap (Localization.AtPrime p) Sₚ) P ≠ ⊥
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioi 0
⊢ ((rexp ∘ fun x => a * (x / (b * rexp x + c))) ∘ log) x = (fun x => x ^ (a / (b * x + c))) x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : α
⊢ MeasurableSet (insert a s)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ (eval P) W.polynomial / P z ^ 6 = Polynomial.evalEval (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3) W.toAffine.polynomial
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℤ
a : α
⊢ mabs (a ^ n) = mabs a ^ |n|
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
CompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
ι : Sort u_4
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iSup g)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥
⊢ f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i)
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
H : Function.Injective f
a : α
s : Multiset α
⊢ f a ∈ Multiset.map f s ↔ a ∈ s
d✝ d : ℤ
z : ℤ√d
⊢ IsUnit z ↔ IsUnit z.norm
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ ↔ CategoryTheory.IsIso (S₂.liftCycles φ.τ₂ ⋯)
a : Int
⊢ a.sign = a.div ↑a.natAbs
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ x = 0 ∨ y = 0 → (o.kahler x) y = 0
n p : ℕ
n_pos : 0 < n
hlt : n < p
pp : Nat.Prime p
⊢ p.Coprime n
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.233813}
⊢ #α = 2 ↔ ∃ x y, x ≠ y ∧ {x, y} = univ
r : ℝ
⊢ ↑‖r‖₊ = ENNReal.ofReal |r|
G : Type u_1
Group G
N : Type u_6
Group N
H : Subgroup G
f : N →* G
hf : Function.Injective ⇑f
h : H.normalizer ≤ f.range
⊢ Subgroup.comap f H.normalizer = (Subgroup.comap f H).normalizer
x : SimplexCategory
e : x ≅ x
⊢ e = Iso.refl x
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
l : Filter ι
l.IsCountablyGenerated
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioi a) μ
hb : Filter.Tendsto b l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Set.Ioi a, f x ∂μ))
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
⊢ ∀ (a : α), (OrderIso.compl α) a = (OrderDual.toDual a)ᶜ
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.199790
S'' : Type ?u.199793
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x : P.Ring
⊢ ∀ (i : P.vars), ((AlgHom.restrictScalars R (aeval P'.val)).comp f.toAlgHom) (X i) = ((IsScalarTower.toAlgHom R S S').comp (aeval P.val)) (X i)
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Opens X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : IsCoatom I
⊢ idealOfSet 𝕜 ↑(opensOfIdeal I) = I
b : Bool
n m : ℕ
⊢ Nat.bit b (n + m) = Nat.bit false n + Nat.bit b m
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
B : Set (Set α)
empty_mem : ∅ ∈ B
subset_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ⊆ s₁, s₂ ∈ B
union_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ∈ B, s₁ ∪ s₂ ∈ B
sUnion_univ : ∀ (a : α), ∃ b ∈ B, a ∈ b
x : α
s : Set α
hs : s ∈ B
hxs : x ∈ s
⊢ {x} ∈ B
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
LE α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α
⊢ a ∈ ⨅ i, ⨅ j, f i j ↔ ∃ i j, a ∈ f i j
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
y : M
a✝ : y ∈ s
h : ∀ (a : ι), (↑(f.toFun a) x • ↑(extChartAt I (f.c a)) x, ↑(f.toFun a) x) = (↑(f.toFun a) y • ↑(extChartAt I (f.c a)) y, ↑(f.toFun a) y)
⊢ x = y
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
inj : Function.Injective f
induced : ∀ (x : X), Filter.comap f (𝓝 (f x)) = 𝓝 x
⊢ Embedding f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X) (F.μ Y Z) ≫
    F.μ X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z) ≫
      F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).inv ≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (F.μ X Y) (F.obj Z) ≫
      F.μ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
y : α
hy : edist y (f y) ≠ ⊤
h : edist x y ≠ ⊤
⊢ efixedPoint f hf x hx = efixedPoint f hf y hy
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
⊢ ∏ i ∈ s, z i ^ w i = ∑ i ∈ s, w i * z i
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ι : Type u_7
m : ι → MeasureTheory.Measure α
μ : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum m).prod μ = MeasureTheory.Measure.sum fun i => (m i).prod μ
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℝ
⊢ ((fun x => Real.exp (f x)) =o[l] fun x => Real.exp (g x)) ↔ Filter.Tendsto (fun x => g x - f x) l Filter.atTop
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₃
σ : R →+* S
F : Type u_17
inst✝¹ : FunLike F M M₃
inst✝ : SemilinearMapClass F σ M M₃
f g : F
h : ↑f = ↑g
⊢ f = g
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
c : E
hc : c ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hcs :
  MeasureTheory.Memℒp
    (↑(MeasureTheory.SimpleFunc.piecewise s hs (MeasureTheory.SimpleFunc.const α c)
        (MeasureTheory.SimpleFunc.const α 0)))
    p μ
⊢ μ s < ⊤
α : Sort u_1
inst✝ : Unique α
β : α → Sort v
f : (a : α) → β a
i x✝¹ : α
x✝ : HEq i x✝¹
⊢ HEq (f default) (Function.const α (f default) x✝¹)
ys : Lean.Omega.IntList
⊢ Lean.Omega.IntList.dot [] ys = 0
G : Type u_1
SubtractionMonoid G
a b : G
⊢ -(a + b) = -b + -a
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν
⊢ ∫⁻ (x : α), μ.rnDeriv ν x * f x ∂ν = ∫⁻ (a : α), (μ.rnDeriv ν * f) a ∂ν
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
Group G
b : FreeGroupBasis ι G
e : ι ≃ ι'
x : ι'
⊢ (b.reindex e) x = b (e.symm x)
R : Type u
Ring R
x y : R
Submodule.IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
⊢ Ideal.span {IsBezout.gcd x y} = Ideal.span {x, y}
z : ℂ
⊢ ↑z.im = (z - (starRingEnd ℂ) z) / (2 * Complex.I)
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h₁ : Reaches₁ f a c
h₂ : b ∈ f a
⊢ Reaches f b c
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
hμ : f.HasEigenvalue μ
h_unit : IsUnit ((algebraMap R (End R M)) μ - f)
⊢ False
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
e : I ≤ J
n : ℕ
⊢ I ^ n ≤ J ^ n
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
n m : ℕ
neq : p ≠ q
⊢ padicValNat p (p ^ n * q ^ m) = n
A B : CommRingCat
M : ModuleCat ↑B
f : A ⟶ B
D : M.Derivation f
b b' : ↑B
⊢ D.d (b * b') = b • D.d b' + b' • D.d b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb✝ : b₁ ≤ b₂
this✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
this : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁
hb : b₁ < b₂
⊢ a₁ * b₁ < a₂ * b₂
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
C : α ⧸ s → Prop
⊢ (∃ x, C x) ↔ ∃ x, C ↑x
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a : α × α
x✝¹ : a ∈ ↑(s ×ˢ t)
b : α × α
x✝ : b ∈ ↑(s ×ˢ t)
⊢ (fun x => ((x.1, x.1), x.2, x.2)) a = (fun x => ((x.1, x.1), x.2, x.2)) b → a = b
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
W : Submodule R M
φ : Module.Dual R M
x : ↥W
⊢ (W.dualPairing (Submodule.Quotient.mk φ)) x = φ ↑x
⊢ Principal (fun x x_1 => x * x_1) 1
α : Type u_1
F : Type u_4
Norm F
c : ℝ
g : α → F
l : Filter α
u : α → ℝ
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l (fun x => |u x|) g ↔ Asymptotics.IsBigOWith c l u g
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder γ
f : α → γ
⊢ LowerSemicontinuous f ↔ ∀ (y : γ), IsClosed (f ⁻¹' Iic y)
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
AddGroup γ
TopologicalAddGroup γ
f : α →ₘ[μ] γ
⊢ (-f).toGerm = -f.toGerm
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
⊢ (Function.support fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a)) = x.support
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
SubtractionCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
n : ℕ
hf : IsAddFreimanHom n A B f
⊢ IsAddFreimanHom n A (-B) (-f)
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
k : ℕ
x✝ : autoParam (k + 2 ≤ 4) _auto✝
⊢ ∀ (x₂ : ↑((AdicCompletion.firstRow I M f).sc ⋯ k ⋯).X₂), ((AdicCompletion.firstRow I M f).sc ⋯ k ⋯).g x₂ = 0 → ∃ x₁, ((AdicCompletion.firstRow I M f).sc ⋯ k ⋯).f x₁ = x₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
X Y : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
f g : X ⟶ Y
⊢ f = g ↔ f.left = g.left