ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
self : S.HomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.left.π (CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.iso.hom self.right.ι) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.left.i self.right.p
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Function.Injective (Quotient.lift f ⋯)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
h₁ : Monovary f₁ g
h₂ : Antivary f₂ g
⊢ Monovary (f₁ / f₂) g
⊢ comap re (comap Real.exp atTop) = comap re atTop
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
⊢ ⟪0, 0⟫_𝕜 = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
⊢ CategoryTheory.Limits.IsIndObject A ↔
  CategoryTheory.IsFiltered (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A) ∧
    CategoryTheory.FinallySmall (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R
⊢ ↑(1 + 1 + 1) = 3
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
g : β → β
x : α × β
⊢ Function.minimalPeriod g x.2 ∣ Function.minimalPeriod (Prod.map f g) x
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α → M
⊢ Set.range f ⊆ insert 0 (f '' Function.support f)
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
Field F
Field K
Field L
Algebra F K
Algebra F L
self : IsNormalClosure F K L
⊢ ⨆ x, IntermediateField.adjoin F ((minpoly F x).rootSet L) = ⊤
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
⊢ f.eraseLead.natDegree < f.natDegree ∨ f.eraseLead = 0
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∃ b, s.max = ↑b
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h : b ≤ a
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = -∫ (x : ℝ) in Ioc b a, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
q : ℚ
h✝ : q < 0
⊢ 0 ≤ 0
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β
CommMonoid β
⊢ ∏ x ∈ ∅, f x = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
g : Y → Z
x : X
f' : X →L[ℝ] Y
hf₁ : HasFDerivAt f f' x
cf : IsConformalMap f'
g' : Y →L[ℝ] Z
hg₁ : HasFDerivAt g g' (f x)
cg : IsConformalMap g'
⊢ ConformalAt (g ∘ f) x
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ≠ 0
⊢ (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => Complex.exp (Complex.log x.1 * x.2)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
⊢ ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 0 = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
⊢ ¬IsFiniteMeasure μ ↔ μ univ = ⊤
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
j : ℕ
hj : b.natDegree - d ≤ j
hbj : ¬b.degree ≤ ↑j
⊢ (A i₁ - A i₀).coeff j = 0
α : Type u
c : Cardinal.{u_1}
c' : ℕ
⊢ toPartENat c ≤ toPartENat ↑c' ↔ c ≤ ↑c'
α : Type u_1
p : α → Option α
l : List α
⊢ replaceF p l = replaceFTR p l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle Cᵒᵖ
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.counitIso C).inv.app X).hom₃ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id X.obj₃
n : ℕ
A : Type u
α : TypeVec.{u} n
x : ↑(MvPFunctor.const n A) α
⊢ MvPFunctor.const.mk n (MvPFunctor.const.get x) = x
n a b : ℤ
c : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ c - a ≡ c - b [ZMOD n]
α : Type u_1
SemilatticeInf α
BoundedOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
DecidableEq α
hs : a ∈ upperClosure ↑s
ht : a ∈ upperClosure ↑t
⊢ (s ∪ t).truncatedInf a = s.truncatedInf a ⊓ t.truncatedInf a
α : Type u_1
LT α
s : Set α
n : ℕ
⊢ ↑n ≤ s.chainHeight ↔ ∃ l ∈ s.subchain, l.length = n
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ≃ β
⊢ Function.graph ⇑f.symm = (Function.graph ⇑f).inv
R : Type u_1
S : Type u_2
EuclideanDomain R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
DecidableEq ι
Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
Infinite R
DecidableEq R
J : Ideal S
h : (algebraMap R S) (∏ m ∈ ClassGroup.finsetApprox bS adm, m) ∈ J
⊢ J ≠ ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ ‖indicatorConstLp p hs hμs c‖ ≤ ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ IntegrableOn g Set.univ (μ.restrict i)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ (insert a s).attach = insert ⟨a, ⋯⟩ (Finset.image (fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) s.attach)
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J
⊢ (ρ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = ((𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } }) ≫ limit.lift (X ⊗ 𝟙_ (J ⥤ C)) { pt := limit X ⊗ limit (𝟙_ (J ⥤ C)), π := { app := fun j => limit.π X j ⊗ limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j, naturality := ⋯ } } ≫ limMap (ρ_ X).hom) ≫ limit.π X j
α : Type u
Monoid α
x : α
u₁ u₂ : αˣ
⊢ x /ₚ u₁ /ₚ u₂ = x /ₚ (u₂ * u₁)
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
p : Filter ι
g : ι → β
b : β
hg : Filter.Tendsto g p (𝓝 b)
p' : Filter α
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n x => g n) (fun x => b) p p'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ᵣ D
⊢ (CategoryTheory.RightExactFunctor.forget C D).obj F = F.obj
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a✝ b✝ : R
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩
a : Subtype s
left✝¹ : a ∈ t
hx : (Embedding.subtype s) a ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
b : Subtype s
left✝ : b ∈ t
hy : (Embedding.subtype s) b ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
⊢ f ⟨(Embedding.subtype s) a, hx⟩ = f ⟨(Embedding.subtype s) b, hy⟩ → ⟨(Embedding.subtype s) a, hx⟩ = ⟨(Embedding.subtype s) b, hy⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
⊢ Function.Injective PointedCone.toConvexCone
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
⊢ ker (rTensor.inverse Q hfg hg ∘ₗ rTensor Q g) = ker (rTensor Q g)
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ
hb' : 0 < ↑|b|
hbε : 0 < |b| • ε
hfloor : ∀ (i : Fin n), 0 ≤ ⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋
i₀ i₁ : Fin n
hi : (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₀ = (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₁
⊢ ↑|A i₁ % b - A i₀ % b| < |b| • ε
G : Type u_1
AddGroup G
a : G
⊢ a + -a = 0
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
t : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : StrictMono f
hc : (range f).OrdConnected
⊢ induced f t = Preorder.topology α
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
A : Set X
x : X
hx : ∀ ⦃i : Set X⦄, x ∈ i ∧ IsOpen i → (i ∩ {x}ᶜ ∩ closure A).Nonempty
u : Set X
this : (u ∩ {x}ᶜ ∩ closure A).Nonempty
hu_open : IsOpen u
⊢ (u ∩ {x}ᶜ ∩ A).Nonempty
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
⊢ (∃ y, y ^ 2 = Units.mk0 a ha) ↔ IsSquare a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f g : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Zero β
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hf_meas : StronglyMeasurable f
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hft_zero : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ this : SigmaFinite (μ.restrict t)
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.restrict t)
hS_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)
f_approx : ℕ → α →ₛ β := hf_meas.approx
fs : ℕ → α →ₛ β := fun n => (f_approx n).restrict (S n ∩ t)
⊢ FinStronglyMeasurable f μ
⊢ Filter.map NNReal.toReal Filter.atTop = Filter.atTop
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
LinearOrderedAddCommGroup β
x : (↑φ).Germ β
⊢ |x| = Filter.Germ.map abs x
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
m : M
⊢ S.normedMk m = (QuotientAddGroup.mk' S) m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
a : α
ha : a ∉ s
⊢ (ofMultiset s hs) a = 0
R : Type u
S✝ : Type v
T✝ : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : CommSemiring A'
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R A'
inst✝⁵ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
S : Type u_3
T : Type u_4
U : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring T
inst✝² : Semiring U
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra T U
φ : R →+* T
ψ : S →+* U
h : (algebraMap T U).comp φ = ψ.comp (algebraMap R S)
p : R[X]
a : S
⊢ ψ ((aeval a) p) = eval (ψ a) (map (algebraMap T U) (map φ p))
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ Metric.ball x₀ ε, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : MeasureTheory.Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ Metric.ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : MeasureTheory.Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
⊢ MeasureTheory.Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hμν : μ ≪ ν
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) (ae ν) f
α : Type u_1
β : Type u_2
Inv β
a : β
⊢ (Function.const α a)⁻¹ = Function.const α a⁻¹
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : UniformSpace E
inst✝⁴ : T2Space E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
e : E ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 E) → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯
⊢ CompleteSpace E
α : Type u_2
TopologicalSpace α
U : TopologicalSpace.Opens α
⊢ ¬(↑U).Nonempty ↔ U = ⊥
ι : Sort u_1
M : Type u_2
Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(⨆ i, S i) = ⋃ i, ↑(S i)
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
StarAddMonoid α
ContinuousStar α
f : β → α
a : α
h : HasSum f a
⊢ HasSum (fun b => star (f b)) (star a)
β : Type u_2
AddGroup β
us : Set (UniformSpace β)
h : ∀ u ∈ us, UniformAddGroup β
⊢ UniformAddGroup β
q rx ry : ℚ
⊢ ↑rx * ↑ry ∈ Set.range Rat.cast
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
⊢ ⇑(algebraMap R S) '' ((fun t => integerMultiple M s id t) '' ↑s.attach) = commonDenomOfFinset M s • ↑s
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationMap N
h : 0 ∈ S
a b : N
⊢ a = b
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
C₀ C₁ C₂ : Set X
h₀ : C₀ ⊆ C₁ ∪ C₂
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
f₁ : LocallyConstant (↑C₁) Z
f₂ : LocallyConstant (↑C₂) Z
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁
hf : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f₁ ⟨x, ⋯⟩ = f₂ ⟨x, ⋯⟩
x : ↑C₀
hx : ↑x ∈ C₂
this : (j : ↑C₀) → Decidable (j ∈ Subtype.val ⁻¹' C₁) := fun j => decidable_of_iff (↑j ∈ C₁) ⋯
⊢ (piecewise' h₀ h₁ h₂ f₁ f₂ hf) x = f₂ ⟨↑x, hx⟩
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
H0 : C ∅
H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → C s → C (insert a s)
⊢ C ↑∅
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hm : p ∈ a.factors
ha0 : a ≠ 0
a0 : α
nza : a0 ≠ 0
ha' : Associates.mk a0 = a
⊢ p ∣ a.factors.prod
x y z : ℝ
hy : 0 < y
hxy : y < x
hz : z < 0
⊢ x ^ z < y ^ z
G : Type u_1
α : Sort u_4
DivisionCommMonoid G
f : α → G
⊢ ∏ᶠ (x : α), (f x)⁻¹ = (∏ᶠ (x : α), f x)⁻¹
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t t' : Finset β
ht : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ t'
a✝ : α × β
hx : a✝.1 ∈ s ∧ a✝.2 ∈ t ∧ r a✝.1 a✝.2
hy : a✝.1 ∈ s ∧ a✝.2 ∈ t' ∧ r a✝.1 a✝.2
⊢ False
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
t : α → β
⊢ ⨆ x ∈ insert a s, t x = t a ⊔ ⨆ x ∈ s, t x
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
n : ℕ
X : C
inst✝ : Injective X
⊢ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (InjectiveResolution.self X).cocomplex).ExactAt (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
as : List α
bs : List β
f : Option α → Option β → γ
i : Nat
⊢ (List.zipWithAll f as bs)[i]? =
  match as[i]?, bs[i]? with
  | none, none => none
  | a?, b? => some (f a? b?)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : LieSubalgebra.engel R x ≤ H
⊢ H.normalizer = H
α : Type u_1
f : Filter α
s : Set α
⊢ Disjoint f (𝓟 s) ↔ sᶜ ∈ f
G : Type u_1
AddGroup G
g₁ g₂ : G
⊢ g₁ -ᵥ g₂ = g₁ - g₂
α : Type u_6
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
self : BorelSpace α
⊢ inst✝ = borel α
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S
⊢ λ ^ (S.multiplicity + 1) ∣ S.c
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
U : Submodule R (Module.Dual R M)
V : Submodule R M
⊢ U ≤ V.dualAnnihilator ↔ V ≤ U.dualCoannihilator
n : ℕ
⊢ ZMod.val 0 = 0
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
h : TendstoUniformlyOn F f p s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ Filter.Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ StrictMono fun x => rexp (log b * x)
b x : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx_pos : 0 < x
hx : x ≠ 1
⊢ Real.logb b x ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : CategoryTheory.End X
n : ℕ
⊢ α.conj (f ^ n) = α.conj f ^ n
α : Type u_1
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
hs : m s ≠ 0
⊢ ∃ x ∈ s, ∀ t ∈ 𝓝[s] x, 0 < m t
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
K : J ⥤ C
c d : CategoryTheory.Limits.Cocone K
f : c ⟶ d
i : CategoryTheory.IsIso f.hom
⊢ CategoryTheory.IsIso f
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.Pseudofunctor B C} (η : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans X.toOplax Y.toOplax)
  (θ : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans Y.toOplax Z.toOplax), CategoryTheory.CategoryStruct.comp η θ = η.vcomp θ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
h : φ.order ≠ ψ.order
H₁ : ¬φ.order < ψ.order
H₂ : ¬ψ.order < φ.order
⊢ False
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : μ s ≠ 0
p : α → Prop
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x
⊢ ∃ x ∈ s, p x
α : Type u_2
Lattice α
L : Sublattice α
⊢ ↑L = ∅ ↔ L = ⊥
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
h : ∀ (x : α), (connectedComponent x).Subsingleton
s_sub : ∅ ⊆ univ
hs : IsPreconnected ∅
⊢ ∅.Subsingleton
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : p = 0
⊢ (p * q).degree = p.degree + q.degree
α : Type u_1
β : Type u_2
r s : Setoid α
⊢ (EqvGen.Setoid fun x y => r.Rel x y ∨ s.Rel x y) = EqvGen.Setoid (r.Rel ⊔ s.Rel)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
L : ι → Sublattice α
⊢ Sublattice.map f (⨆ i, L i) = ⨆ i, Sublattice.map f (L i)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, f' x < 0
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
⊢ f' x < 0
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
C : ℝ
f : (i : α) → E i
hf : ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C
⊢ Memℓp f p
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype α
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulCommClass R S M
v : α → M
inst✝ : DecidableEq α
i : α
r : R
⊢ ((Fintype.total R S) v) (Pi.single i r) = r • v i
b b' : Bool
⊢ BitVec.ofBool b = BitVec.ofBool b' ↔ b = b'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'
h_prod_embed : MeasurableEmbedding (Prod.map id e)
h_fst : κ'.fst = κ.fst
a : α
t : Set (β × Ω)
ht : MeasurableSet t
⊢ (fun b => ((borelMarkovFromReal Ω η) (a, b)) {c | (b, c) ∈ t}) =ᶠ[ae (κ.fst a)] fun b => ((η.comapRight he) (a, b)) {c | (b, c) ∈ t}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ NormedSpace.polar 𝕜 (closure s) = NormedSpace.polar 𝕜 s
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
H : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
G : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_9
inst✝ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
⊢ (I.prod J).target = I.target ×ˢ J.target
α : Type u_1
l : Filter α
s : Set α
⊢ (l ⊓ 𝓟 s).NeBot ↔ ∀ U ∈ l, (U ∩ s).Nonempty
F : Type u
Field F
f : F[X]
⊢ f.natSepDegree = 0 ↔ f.natDegree = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.SimplicialCategory C
K L : C
⊢ CategoryTheory.SimplicialCategory.sHomWhiskerRight (𝟙 K) L = 𝟙 (CategoryTheory.SimplicialCategory.sHom K L)
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD n.gcd m]
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0
⊢ ((↑n * (n.gcdA m, n.gcdB m).1 * ↑b + ↑m * (n.gcdA m, n.gcdB m).2 * ↑a) / ↑(n.gcd m) % ↑(↑(n.lcm m)).toNat).toNat < (↑(n.lcm m)).toNat
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
f : α →C₀ β
⊢ ⇑f.toContinuousMap = ⇑f
a₀ a₁ a₂ : Type u
⊢ (Cardinal.sum fun i => #(FirstOrder.Sequence₂ a₀ a₁ a₂ i)) = #a₀ + #a₁ + #a₂
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
Semiring D
Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
⊢ (Algebra.TensorProduct.map f g).comp Algebra.TensorProduct.includeRight = Algebra.TensorProduct.includeRight.comp g
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ s.odd.get n = s.get (2 * n + 1)
ι✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
A : ι✝ → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
this✝¹ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this✝¹
this✝ : (Measure.map (⇑e.symm) volume).IsAddHaarMeasure
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
h0p : 0 ≤ p
c : ℝ≥0 := μ.addHaarScalarFactor (Measure.map (⇑e.symm) volume)
hc : 0 < c
h2c : μ = c • Measure.map (⇑e.symm) volume
h3c : ↑c ≠ 0
h0C : C = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p * (c ^ p)⁻¹
hC : C * c ^ p = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p
v : (ι → ℝ) → F := u ∘ ⇑e.symm
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : ↑c * ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ p ∂Measure.map (⇑e.symm) volume ≤ ↑C * ↑(c ^ p) * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂Measure.map (⇑e.symm) volume) ^ p
⊢ ↑c * ∫⁻ (a : E), ↑‖u a‖₊ ^ p ∂Measure.map (⇑e.symm) volume ≤ ↑C * (↑c * ∫⁻ (a : E), ↑‖fderiv ℝ u a‖₊ ∂Measure.map (⇑e.symm) volume) ^ p
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.InnerRegular
⊢ (∃ K, IsCompact K ∧ μ K ≠ 0) ↔ μ ≠ 0
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q
⊢ p * q = p + q
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂ν
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ν_finite : IsFiniteMeasure ν
obs_μ : Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : Ω), ↑((F_closed.apprSeq n) x) ∂μ) atTop (𝓝 (μ F))
obs_ν : Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : Ω), ↑((F_closed.apprSeq n) x) ∂ν) atTop (𝓝 (ν F))
⊢ μ F = ν F
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ (mk W) W.ψ₂ ^ 2 = (mk W) (C W.Ψ₂Sq)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.HomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono φ h).left =
  CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono φ h.left
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ SMul.smul n (univ.piAntidiag m) = filter (fun f => ∀ (i : ι), n ∣ f i) (univ.piAntidiag (n * m))
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyConnectedSpace H
e : M → PartialHomeomorph M H := chartAt H
⊢ ∀ (x : M), (𝓝 x).HasBasis ((fun x s => (IsOpen s ∧ ↑(e x) x ∈ s ∧ IsConnected s) ∧ s ⊆ (e x).target) x) ((fun x s => ↑(e x).symm '' s) x)