ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
Preorder β
l : Filter α
f g h : α → β
H₁ : f ≤ᶠ[l] g
H₂ : g ≤ᶠ[l] h
⊢ f ≤ᶠ[l] h
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
⊢ 𝓝ˢ (s ∩ t) = 𝓝ˢ s ⊓ 𝓝ˢ t
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ Polynomial.Chebyshev.T R ↑n.natAbs = Polynomial.Chebyshev.T R n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
X : C
S T : (J.Cover X)ᵒᵖ
f : S ⟶ T
⊢ (J.diagram P X).map f =
  CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.lift ((Opposite.unop T).index P)
    ((fun S => CategoryTheory.Limits.multiequalizer ((Opposite.unop S).index P)) S)
    (fun I =>
      CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ι ((Opposite.unop S).index P)
        (CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Arrow.map I f.unop))
    ⋯
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
Fintype n₁
Fintype n₂
Semiring R
A₁ : Matrix n₁ n R
A₂ : Matrix n₂ n R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
⊢ Matrix.fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ * A₁.fromRows A₂ = (B₁₁ * A₁ + B₁₂ * A₂).fromRows (B₂₁ * A₁ + B₂₂ * A₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
⊢ Ici a \ Ioi a = {a}
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
δ : ℝ≥0∞
h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), δ < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε
ε : ℝ≥0∞
B : Set Ω
ε_gt : δ < ε
ε_lt_top : ε < ⊤
B_mble : MeasurableSet B
B_subset : B ⊆ (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ)ᶜ
⊢ ν B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε
α : Type u
ι : Sort v
f : ι → TopologicalSpace α
⊢ TopologicalSpace.generateFrom (⋂ i, {s | IsOpen s}) = ⨆ i, f i
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Setoid α
t : Set (Quotient s)
⊢ MeasurableSet t ↔ MeasurableSet (Quotient.mk'' ⁻¹' t)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.60184, u_1} C
U✝ : TopCat
X : PresheafedSpace C
f✝ : U✝ ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f✝
U V : (Opens ↑↑X)ᵒᵖ
f : U ⟶ V
⊢ X.presheaf.map f ≫ (fun V => X.presheaf.map (⋯.adjunction.counit.app (unop V)).op) V = (fun V => X.presheaf.map (⋯.adjunction.counit.app (unop V)).op) U ≫ X.presheaf.map (⋯.functor.op.map ((Opens.map f✝).op.map f))
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ico a b = ∅ ↔ ¬a < b
R : Type u_1
Ring R
Fintype R
⊢ Fintype.card ↥⊤ = Fintype.card R
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
⊢ toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ↔ toIcoMod hp 0 (x₂ - x₁) + toIcoMod hp 0 (x₁ - x₃) ≤ p
f : CauSeq ℝ abs
S : Set ℝ := {x | const abs x < f}
⊢ ∃ x, f ≈ const abs x
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y
eq₁ : (H.hom ≫ H.inv).c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) = (𝟙 X).c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)
⊢ H.inv.c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ eqToHom ⋯ ≫ H.hom.c.app (op U) = 𝟙 (((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).obj (op U))
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ SeparatedNhds ∅ s
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
g : GenContFract K := of v
not_terminated : ¬g.partDens.TerminatedAt n
⊢ (of v).dens n ≤ (of v).dens (n + 1)
a : Nat
⊢ a < USize.size → ↑(USize.ofNat a).val = a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : p ≠ 0
f : R[X]
n✝ n : ℕ
ih : Irreducible ((expand R (p ^ n)) f) → Irreducible f
hf : Irreducible ((expand R (p * p ^ n)) f)
⊢ Irreducible ((expand R p) ((expand R (p ^ n)) f))
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
a b : ℕ
hn : 0 < a * b
h : IsPrimitiveRoot ζ (a * b)
l : ℕ
hl : ζ ^ (a * l) = 1
ha0 : a ≠ 0
⊢ a * b ∣ a * l
n : ℕ
NeZero n
⊢ 1 ≤ n
α : Type u_1
l₁ l₂ l₃ : List α
⊢ l₁ <:+ l₂ → l₂ <:+ l₃ → l₁ <:+ l₃
α : Type u_2
Lattice α
L : Sublattice α
⊢ InfClosed ↑L
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
⊢ IsMaxOn (⇑OrderDual.toDual ∘ f) s a ↔ IsMinOn f s a
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
h : r < 0
⊢ μ (sphere x r) = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
G✝ : Type u_3
H : Type u_4
A✝ : Type u_5
B✝ : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁶ : Monoid M
inst✝⁵ : MulAction M α
A : Type u_11
B : Type u_12
G : Type u_13
inst✝⁴ : CommMonoid G
inst✝³ : SMul A G
inst✝² : SMul B G
inst✝¹ : IsScalarTower A G G
inst✝ : IsScalarTower B G G
r : A
s : B
x : G
⊢ r • s • x = s • r • x
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) := {u | u ⊆ t ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
uT : u ∈ T
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
⊢ ∃ v ∈ T, u ⊆ v ∧ v ≠ u
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
h_total_l : (Finsupp.total ι M R v) l = v i
h_total_eq : (Finsupp.total ι M R v) l = (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1)
l_eq : Finsupp.embDomain f (repr ⟨v i, ⋯⟩) = Finsupp.single i 1
i' : ι'
hi' : repr ⟨v i, ⋯⟩ = Finsupp.single i' 1 ∧ f i' = i
⊢ ∃ a, f a = i
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
w : NormalWord d
⊢ unitsSMul φ 1 (unitsSMul φ (-1) w) = w
α : Type u_1
M : Matroid α
B I : Set α
hI : M.Indep I
hI' : ¬M.Base I
hB : M.Base B
⊢ ∃ e ∈ B \ I, M.Indep (insert e I)
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
a : α
ha : a ≤ OrderHom.lfp f
⊢ f a ≤ OrderHom.lfp f
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ (x ⊔ y \ z) ⊓ y = x ⊓ y ⊔ y \ z
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
⊢ MeasureTheory.ae (μ.restrict (s ∪ t)) = MeasureTheory.ae (μ.restrict s) ⊔ MeasureTheory.ae (μ.restrict t)
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : H) (y : H'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hn : 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
x : H := ↑I.symm 0
y : H' := ↑I'.symm 0
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this✝ : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1
this : maximalIdeal R ≠ ⊥
⊢ [DiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime, Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1, ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R
⊢ (x ◃ x) ◃⁻¹ y = x ◃⁻¹ y
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a.factorizationLCMLeft b * a.factorizationLCMRight b = a.lcm b
R : Type u_2
LinearOrder R
a b c : R
ha : a ≠ c
hb : c < b
⊢ min a b ≠ c
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : PerfectRing L p
x : K
h✝ : x ∈ pNilradical K p
n : ℕ
h : x ^ p ^ n = 0
⊢ x ∈ ker i
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
i j : ℕ
h : l₁.length ≤ l₂.length
e : l₁.length + i = l₂.length + j
⊢ j ≤ i
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
⊢ ∃ xs, Monotone xs ∧ Tendsto xs atTop atTop
G : Type u_2
MeasurableSpace G
InvolutiveNeg G
MeasurableNeg G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsNegInvariant
A : Set G
⊢ μ (Neg.neg ⁻¹' A) = μ A
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
g : L.Equiv M N
⊢ (FirstOrder.Language.Equiv.refl L N).comp g = g
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b x : α
⊢ x ≠ a → x ≠ b → (swap a b) x = x
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderBot α
OrderTopology α
Nontrivial α
⊢ (𝓝 ⊥).HasBasis (fun a => ⊥ < a) fun a => Set.Iio a
R : Type u
Semiring R
InvariantBasisNumber R
n m : ℕ
⊢ ((Fin n → R) ≃ₗ[R] Fin m → R) → n = m
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Semifield S
Ring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
a : A
f : S → R
h : SpectrumRestricts a f
⊢ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)
α : Type u_1
l : Filter α
p : Set α → Prop
h : l.HasBasis (fun s => s ∈ l ∧ p s) id
V : Set α
hV : V ∈ l
⊢ l.HasBasis (fun s => s ∈ l ∧ p s ∧ s ⊆ V) id
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
a b : α
⊢ sInf {a, b} = a ⊓ b
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Group G
MulAction G β
Group α
MulAction α β
SMulCommClass G α β
a : α
b : β
⊢ MulAction.stabilizer G (a • b) = MulAction.stabilizer G b
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b
h : a / b = 0
⊢ a < b
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
x : T
Algebra R T
hx' : (Polynomial.aeval x) f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
g : S →ₐ[R] T
hroot : g h.root = x
⊢ g = IsAdjoinRoot.liftHom x hx' h
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H : Subgroup G
f : G →* N
hf : Function.Injective ⇑f
h : ↥H
⊢ ↑((H.equivMapOfInjective f hf) h) = f ↑h
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
h : (multiplicity p (n + 1)).Dom
hpn : ¬p ^ ((multiplicity p (n + 1)).get h + 1) ∣ n + 1
k : ℕ
hk : n + 1 = p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h * k
⊢ ¬↑p ∣ ↑k
α : Type u
AddGroup α
⊢ ⊤.toTopologicalSpace = ⊤
α : Type u_1
s t : Set α
u : Set α
h : Disjoint s t
⊢ Disjoint (u ∩ s) t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.unopHom X Y) f = f.unop
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
f : X → ℝ
⊢ ∫ (x : X), ↑(f x) ∂μ = ↑(∫ (x : X), f x ∂μ)
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
x : R
f : R →+* S
h : f p.leadingCoeff ≠ 0
n✝ : ℕ
⊢ (map f (p.scaleRoots x)).coeff n✝ = ((map f p).scaleRoots (f x)).coeff n✝
M : Type u_2
AddCommGroup M
K : Type u_3
Field K
Module K M
f g : Module.End K M
FiniteDimensional K M
PerfectField K
comm : Commute f g
hf : f.IsSemisimple
hg : g.IsSemisimple
⊢ (f + g).IsSemisimple
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
a : ℤ
K : CochainComplex C ℤ
⊢ (shiftShortComplexFunctorIso C 0 a a ⋯).hom.app K = (shortComplexFunctor C (up ℤ) a).map ((shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).hom.app K)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Zero β
r : β
s : Set α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
hr : r ∈ (f.restrict s).range
h0 : r ≠ 0
⊢ r ∈ ↑f '' s
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CoheytingAlgebra α
CoheytingAlgebra β
CoheytingAlgebra γ
f : CoheytingHom β γ
g : CoheytingHom α β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
α : Type u_1
f : α → ℕ
b : α
⊢ (Levenshtein.weightCost f).insert b = f b
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : Finite ↑↑H
x : G
hx : ↑x ∈ MulAction.fixedPoints (↥H) (G ⧸ H)
ha : ∀ {y : G ⧸ H}, y ∈ orbit ↥H ↑x → y = ↑x
n : G
hn : n ∈ H
this : x⁻¹ * n * x ∈ H
⊢ x⁻¹ * n * x⁻¹⁻¹ ∈ H
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite ν₁
inst✝¹ : SigmaFinite ν₂
inst✝ : SigmaFinite μ
⊢ μ.withDensity ((ν₁ + ν₂).rnDeriv μ) = μ.withDensity (ν₁.rnDeriv μ + ν₂.rnDeriv μ)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ data.mapZ (CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.Arrow.mk f)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (data.factorizationData f).Z
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ Function.Surjective ⇑h
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
RCLike 𝕜
r : 𝕜
f : ℝ → 𝕜
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x / r ∂μ = (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) / r
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S T : CategoryTheory.Subgroupoid C
h : S ≤ T
s t : ↑S.objs
⊢ Function.Injective fun f => (CategoryTheory.Subgroupoid.inclusion h).map f
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
x : α
⊢ ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, a ∈ v.setsAt x
n : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
ha' : a.castSucc ≠ 0 := ⋯
⊢ (a.pred ha).castSucc = a.castSucc.pred ha'
c : ℂ
R θ : ℝ
⊢ deriv (circleMap c R) θ = circleMap 0 R θ * Complex.I
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
x : S
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ eval₂ (algebraMap R S) x (p ^ n) = eval₂ (algebraMap R S) x p ^ n
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
G : K ⥤ D
h : CategoryTheory.Limits.Cone G ≌ CategoryTheory.Limits.Cone F
c : CategoryTheory.Limits.Cone G
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit (h.functor.obj c)
s : CategoryTheory.Limits.Cone G
⊢ ((CategoryTheory.Limits.IsLimit.ofConeEquiv h) P).lift s =
  ((h.unitIso.hom.app s).hom ≫ (h.inverse.map (P.liftConeMorphism (h.functor.obj s))).hom) ≫ (h.unitIso.inv.app c).hom
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
F : CategoryTheory.Functor C D
adj : F ⊣ G
∀ (A : adj.toMonad.Algebra), CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
⊢ ((CategoryTheory.Monad.MonadicityInternal.comparisonAdjunction adj).unit.app A).f =
  (CategoryTheory.Monad.beckCoequalizer A).desc (CategoryTheory.Monad.MonadicityInternal.unitCofork A)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A
⊢ f ∈ ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal t ↔ ∀ x ∈ t, f ∈ x.asHomogeneousIdeal
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
finrank_K_L : FiniteDimensional.finrank K L = B.dim
deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim
deg_R_P : P.natDegree = B.dim
f : ℕ → L
hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
aux : ∀ i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, B.dim ≤ i + n
hintsum : IsIntegral R (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
⊢ p ^ n.succ ∣ Q.coeff 0 ^ n.succ * ((-1) ^ (n.succ * n) * (minpoly R B.gen).coeff 0 ^ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ
⊢ UniformContinuous fun x => f x ^ (n + 1)
F : Type w
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
g : S✝ →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S✝
S : Set (NonUnitalSubring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ ↑(sSup S) ↔ x ∈ ⋃ s ∈ S, ↑s
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
P : Type u₁
inst✝¹ : CommRing P
g : (i : ι) → G i →+* P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) (f i j hij x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →+* P
x✝ : DirectLimit G f
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i
⊢ ((fun i => F.comp (of G f i)) j) (f i j hij x) = ((fun i => F.comp (of G f i)) i) x
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ padicNorm p ↑p < 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m✝ : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
m : ℕ
hm : n ≤ m
N : ℕ
hN : m ≤ N
⊢ ((p N) fun x => y) = 0
ι : Sort u_1
a b : ℝ
h : a ≤ b
c : ι → Set ↑(Icc a b)
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
ball_subset : ∀ x ∈ univ, ∃ i, Metric.ball x δ ⊆ c i
hδ : 0 < δ / 2
n : ℕ
i : ι
hsub : Metric.ball (addNSMul h (δ / 2) n) δ ⊆ c i
⊢ ∃ i, Icc (addNSMul h (δ / 2) n) (addNSMul h (δ / 2) (n + 1)) ⊆ c i
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
a : R
k : ℕ
⊢ 0 ≤ a ^ k * a ^ k
α : Sort u_1
s : Setoid α
⊢ Function.Injective Quotient.out
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ : Type
f : α → σ → σ × β
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α), ∀ s ∈ S, (f a s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a s).2 = (f a s').2
⊢ ∀ {s : σ} {q : Unit} (a : α), s ∈ S → (f a s).1 ∈ S ∧ (f a s).2 = ((), (f a s₀).2).2
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑⊥) (Ioo 0 a)
⊢ ∃ b, ⊥ = closure {b}
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
hv : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_ℝ = 0
this : FiniteDimensional ℝ E
⊢ |o.volumeForm v| = ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ ContinuousAt f x ∧ DifferentiableAt 𝕜 f x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
α : Type u_6
β : Type u_7
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
self : α →CO β
⊢ IsOpenMap self.toFun
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
DecidableEq ι
i : ι
a : 𝕜
j : ι
⊢ EuclideanSpace.single i a j = if j = i then a else 0
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h₁ : f₁ =o[l] g
h₂ : f₂ =o[l] g
⊢ (fun x => f₁ x - f₂ x) =o[l] g
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
κ : ι → Type
x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)
w : (i : ι) → κ i → 𝕜
f : (i : ι) → κ i → E i
hw₀ : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), 0 ≤ w i i_1
hw₁ : ∀ (i : ι), ∑ i_1 : κ i, w i i_1 = 1
hft : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f i i_1 ∈ t i
hf : ∀ (i : ι), ∑ i_1 : κ i, w i i_1 • f i i_1 = x i
i : ι
⊢ ∑ j : κ i, (∑ g : { g // g i = j }, ∏ k : ι, w k (↑g k)) • f i j = ∑ j : κ i, w i j • f i j
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
IsNoetherianRing R
⊢ Subsingleton (LocalRing.CotangentSpace R) ↔ IsField R
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β
L M : Sublattice α
⊢ Sublattice.map f (L ⊔ M) = Sublattice.map f L ⊔ Sublattice.map f M
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e✝ : α
hI : M.Indep I
e : α
he : e ∈ I
⊢ M.Basis I (insert e I)
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
⊢ Set.range ⇑(ExteriorAlgebra.ιMulti R n) ⊆ ↑(⋀[R]^n M)
α : Type u
⊢ Cardinal.mk α < Cardinal.aleph0 ↔ Finite α
X : AlgebraicGeometry.Scheme
self : AlgebraicGeometry.IsIntegral X
U : X.Opens
Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
⊢ IsDomain ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
G : Type u
Monoid G
⊢ 0 < Monoid.exponent G ↔ Monoid.ExponentExists G
F : Type v
Field F
P Q : Fin 3 → F
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
⊢ IsUnit (WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (W.map φ).Δ = φ W.Δ
A : Type u_17
AddCommGroup A
⊢ ∀ (a : A →ₗ[ℤ] A), (addMonoidEndRingEquivInt A).symm a = (addMonoidHomLequivInt ℤ).invFun a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α
n : ℕ
⊢ MeasurableSet (natGeneratingSequence α n)
a✝ b✝ c d m✝ n✝ a b : ℤ
m n : ℕ
Ha : -[m+1] < 0
Hb : 0 < ↑n.succ
⊢ -[m+1].ediv ↑n.succ = -(↑m / ↑n.succ + 1)
P : Type u_2
MetricSpace P
p₁ p₂ : P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
⊢ dist p₁ s.center = dist p₂ s.center
p : ℝ
⊢ (Summable fun n => ↑n ^ p) ↔ p < -1
G : Type u_1
M : Type u_3
AddGroup G
AddMonoid M
AddAction G M
VAddCommClass G M M
VAddAssocClass G M M
g : G
m : AddUnits M
⊢ -(g +ᵥ m) = -g +ᵥ -m
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
W : Submodule R (Module.Dual R M)
⊢ W.quotDualCoannihilatorToDual.Nondegenerate
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ (a :: l₁).diff l₂ ⊆ a :: l₁.diff l₂
X : Sort ?u.71899
inst✝ : DecidableEq X
x : X
Y : Sort ?u.71935
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y
⊢ (fun x' => if h : x' ≠ x then f ⟨x', h⟩ else y) ∘ Subtype.val = f
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s ⊆ t ∩ u ↔ s ⊆ t ∧ s ⊆ u
N : ℕ
k n : ℤ
f : SlashInvariantForm (Gamma N) k
z : ℍ
⊢ f (↑(↑N * n) +ᵥ z) = f z
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : WithTop α
⊢ WithTop.toDual (WithTop.map f a) = WithBot.map (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) (WithTop.toDual a)
α : Type u_1
f : α → α → α
a b : α
⊢ Option.liftOrGet f (some a) (some b) = some (f a b)