ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ y₁ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
x₂ y₂ : F
h₂ : W.Nonsingular x₂ y₂
⊢ { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun (some h₁ + some h₂) = { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun (some h₁) + { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun (some h₂)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)
hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}
⊢ t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ {t₁.orthocenter, t₁.points i₃}).directionᗮ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J I : Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Ioi 0)
z : ι → ℝ
x✝ : z ∈ Box.Icc I
⊢ ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → ∃ π, π.IsPartition ∧ π.IsHenstock ∧ π.IsSubordinate r ∧ (∀ J_1 ∈ π, ∃ m, ∀ (i : ι), J_1.upper i - J_1.lower i = (J.upper i - J.lower i) / 2 ^ m) ∧ π.distortion = J.distortion
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * sa • r₂ = rb * ↑s₁
hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S
ha' : ↑(sb * sa * s₂) = ↑sb * ra * ↑s₃
⊢ ((sa • r₂ + ra • r₃) /ₒ (sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = rb • r₁ /ₒ (sb * (sa * s₂)) + ((↑sb * ra) • r₃ /ₒ (sb * sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁)
α : Type u
Monoid α
a b : α
⊢ ∀ {x : Invertible a}, ⅟a * (a * b) = b
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝¹ : T2Space M
a b : ℝ
inst✝ : BoundarylessManifold I M
hγ : IsIntegralCurve γ v
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
⊢ ¬Injective γ → ∃ T > 0, Periodic γ T
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : ProbabilityTheory.IndepFun X Y μ
h_int_X : MeasureTheory.Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
h_int_Y : MeasureTheory.Integrable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
⊢ ProbabilityTheory.cgf (X + Y) μ t = ProbabilityTheory.cgf X μ t + ProbabilityTheory.cgf Y μ t
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
⊢ UniformEmbedding Sum.inr
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
K L : CochainComplex C ℤ
n' a : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn : n' + a = n
x : Rˣ
⊢ (x • γ).rightUnshift n hn = x • γ.rightUnshift n hn
T : Type uT
x : ContextFreeGrammar T
⊢ x.reverse.reverse = x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : C
⊢ adj1.unit.app x ≫ (whiskerRight (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom G).app x = (adj1.homEquiv x (F'.obj x)) ((adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.HasForget₂ C Ab
CategoryTheory.Abelian C
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).Additive
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i : ι
x : ↑((CategoryTheory.forget₂ C Ab).obj (K.X i))
j : ι
hj : c.next i = j
hx : ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map (K.d i j)) x = 0
⊢ ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map (K.iCycles i)) (K.cyclesMk x j hj hx) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ Icc (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inr (Icc b₁ b₂))
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℤ
hm : m ≤ 0
hn : n ≤ 0
h : A⁻¹ = 0
⊢ A ^ (m + n) = A ^ m * A ^ n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
⊢ ↑f x = (someContDiffBumpBase E).toFun (f.rOut / f.rIn) (f.rIn⁻¹ • (x - c))
N : ℕ
NeZero N
j : ZMod N
⊢ ↑(ZMod.toCircle j) = cexp (2 * ↑π * Complex.I * ↑j.val / ↑N)
C✝ : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C✝
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
F : C✝ ⥤ D✝
A : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C✝
K✝ : GrothendieckTopology D✝
L : GrothendieckTopology A
G✝ : C✝ ⥤ D✝
hG : CompatiblePreserving K✝ G✝
ℱ✝ : SheafOfTypes K✝
Z✝ : C✝
T✝ : Presieve Z✝
x✝ : FamilyOfElements (G✝.op ⋙ ℱ✝.val) T✝
h : x✝.Compatible
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D
K : GrothendieckTopology D
G : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
e : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
c : Cone (cospan g₁ g₂ ⋙ G) := (Cones.postcompose (diagramIsoCospan (cospan g₁ g₂ ⋙ G)).inv).obj (PullbackCone.mk f₁ f₂ e)
c' : Cone (c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G) := IsCofiltered.cone (c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G)
⊢ ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)
n : ℕ
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
x : R
hx : 1 ≤ x
⊢ 0 ≤ Polynomial.eval x (Polynomial.cyclotomic n R)
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ s.min' h = (Finset.sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨0, ⋯⟩
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set α
t u : Set β
⊢ s +ᵥ t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a +ᵥ b ∈ u
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
a : Erased α
⊢ (Erased.map f a).out = f a.out
α : Type u_1
Preorder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h₁ : a₂ ≤ a₁
h₂ : b₁ ≤ b₂
⊢ Set.Ioo a₁ b₁ ⊆ Set.Ioo a₂ b₂
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
self : LieAlgebra.IsSemisimple R L
⊢ CompleteLattice.SetIndependent {I | IsAtom I}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
ι : Type u_1
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.Presieve.ofArrows (fun i => CategoryTheory.Limits.pullback (g i) f) fun i =>
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (g i) f) =
  CategoryTheory.Presieve.pullbackArrows f (CategoryTheory.Presieve.ofArrows Z g)
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
⊢ a = b - c ↔ a + c = b
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i j k : ι
⊢ K.ExactAt i ↔ (K.sc i).Exact
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
this✝ : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ)
this : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ) * 2) (jacobiTheta τ - 1)
⊢ (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)) = fun i => cexp (↑π * I * (↑i + 1) ^ 2 * τ) * 2 / 2
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
C : Monoid.Coprod M N → Prop
m : Monoid.Coprod M N
one : C 1
inl_mul : ∀ (m : M) (x : Monoid.Coprod M N), C x → C (Monoid.Coprod.inl m * x)
inr_mul : ∀ (n : N) (x : Monoid.Coprod M N), C x → C (Monoid.Coprod.inr n * x)
⊢ C m
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ : F ⟶ G
⊢ (0 + a✝).f = a✝.f
α : Type u_4
s : Finset α
⊢ {a | a ∈ s} = ↑s
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b ≠ 0
⊢ P.toPoly.natDegree = 2
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ b - toIcoMod hp a b = toIcoDiv hp a b • p
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : ¬p₁ = p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = 0 ↔ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
s : S
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))
y : ↑((restrictScalars f).obj Y)
⊢ (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (s • s' ⊗ₜ[R] y) = (RingHom.id S) s • (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (s' ⊗ₜ[R] y)
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable f
hf₀ : f 0 = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∃ N, ∀ (s : Finset ℕ), N.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a : α
ha : 0 < a
⊢ 0 < a⁺
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
hb : b < b'
hr : 0 < r
⊢ (lineMap a b) r < (lineMap a b') r
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝ : IsLocalization M S
s : S
⊢ ∃ r s_1, IsUnit ((algebraMap R S) s_1) ∧ (algebraMap R S) s_1 * s = (algebraMap R S) r
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range (n + 1), (∑ i ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1 - x).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = (monomial n) ↑n + (monomial n) 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup M'
Module R M'
LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L M'
⊢ LieSubmodule.map f N ≤ N' ↔ N ≤ LieSubmodule.comap f N'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a : α
⊢ p a = 0 ↔ a ∉ p.support
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
hs : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
h₀ : gauge s x = 0
hne : x ≠ 0
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
⊢ x ∈ p ⊔ p' ↔ ∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
s : Set X
y : ↑(⇑e.toEquiv '' s)
⊢ ↑((e.image s).symm y) = e.symm ↑y
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
ncs : CauSeq ℤ_[p] norm
F : Polynomial ℤ_[p]
hnorm : Filter.Tendsto (fun i => ‖Polynomial.eval (↑ncs i) F‖) Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => Polynomial.eval (↑ncs i) F) Filter.atTop (𝓝 0)
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
x : L
hy : f x ∈ f.range
⊢ f.rangeRestrict x = ⟨f x, hy⟩
n k : ℕ
h1 : MinFacHelper n k
h2 : (k * k).ble n = false
⊢ IsNat n.minFac n
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
⊢ False
α : Type u_3
Monoid α
l : List α
comm : {x | x ∈ ↑l}.Pairwise Commute
⊢ (↑l).noncommProd comm = l.prod
R : Type u_2
Semiring R
CharZero R
q n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ↑q ^ n = 1 ↔ q = 1
α : Type u
Group α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
h : 1 < a
⊢ a⁻¹ < a
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(Y, Z)
g : C(X, Y)
y : Z
hy : f.Homotopic (const Y y)
⊢ (f.comp g).Nullhomotopic
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
g : ι → PGame
hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric
x : PGame := PGame.mk ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (g ((equivShrink ι).symm i)).LeftMoves) PEmpty.{u + 1} (fun x => (g ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveLeft x.snd) PEmpty.elim
i : ι
⊢ (∀ (i_1 : (g ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).LeftMoves), (g ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).moveLeft i_1 ⧏ x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), g ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i)) ⧏ x.moveRight j
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPullback F ⊤ = ⊤
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x : ℝ
⊢ 0 ≤ ↑x ↔ 0 ≤ x
α : Type u
β : Type v
s : Finset α
f : α → Filter β
t : Set β
⊢ t ∈ ⨅ a ∈ s, f a ↔ ∃ p, (∀ a ∈ s, p a ∈ f a) ∧ t = ⋂ a ∈ s, p a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
x₀ : E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
⊢ ‖fderiv 𝕜 f x₀‖ ≤ ↑C
R : Type u_1
CommMonoid R
m n : R
hmn : Squarefree (m * n)
⊢ Squarefree n
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
b : Basis ι A B
z : B
i : ι
⊢ (trace A B) (∑ x : ι, b.equivFun z x • (b i * b x)) = (trace A B) (z * b i)
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a : α
a2 : 2 ≤ a
⊢ (1 - 1 / a)⁻¹ ≤ 2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
a✝ : ∀ (y : LieIdeal K L), (invImage (fun x => finrank K ↥↑x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
⊢ ↑(J' ⊓ I) < ↑I
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
Algebra.IsSeparable F E
h : LinearIndependent F v
⊢ LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
Ring A
Ring B
Ring C
f : A →+* B
f_inv : B → A
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : A →+* C
hg : RingHom.ker f ≤ RingHom.ker g
a : A
⊢ (f.liftOfRightInverseAux f_inv hf g hg) (f a) = g a
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆ = ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ + (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) + (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆)
o : Ordinal.{v}
⊢ Cardinal.lift.{u, v} o.cof = (Ordinal.lift.{u, v} o).cof
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
⊢ False
α : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
f : α → α
g : α → M
x : α
⊢ birkhoffSum f g 0 x = 0
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
e : R' →+* S' := (↑e₂).comp ((IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯).comp ↑e₁)
⊢ CommRingCat.ofHom (e₁.toCommRingCatIso.hom ≫ CommRingCat.ofHom (IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯)) ≫ e₂.toCommRingCatIso.hom = IsLocalization.Away.map R' S' f r
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : AddMonoid M
G : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ FiniteType R R[G] ↔ AddGroup.FG G
X Y S : Type v
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
c : PullbackCone f g
hc : IsLimit c
x : Types.PullbackObj f g
⊢ c.snd ((equivPullbackObj hc).symm x) = (↑x).2
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
a b : α
⊢ (Finset.Ico a b).erase a = Finset.Ioo a b
R : Type u
N : Type w
CommSemiring R
σ : Type u_1
DecidableEq σ
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
AddCommMonoid N
Module R N
p : MvPolynomial σ S
n : N
⊢ MvPolynomial.rTensor (p ⊗ₜ[R] n) = Finsupp.sum p fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
⊢ Function.Injective ⇑(SchwartzMap.coeHom E F)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
⊢ (f.lift hg).comp f.toMap = g
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
⊢ ∀ (a : (↥S.op)ᵐᵒᵖ), ↑(S.algEquivOpMop.symm a) = MulOpposite.unop ↑(MulOpposite.unop a)
N : ℕ
hN : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
⊢ LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s ↔ 1 < s.re
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
β : Type u_1
SemilatticeSup β
u : β → α
h : CauchySeq u
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ k₀, ∀ (i j : β), k₀ ≤ i → k₀ ≤ j → (u i, u j) ∈ V
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H
⊢ Subsingleton (Quot Setoid.r)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x : M
hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x
⊢ mfderivWithin I I id s x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : ContinuousWithinAt (dslope f a) s b
⊢ ContinuousWithinAt f s b
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
n : ℕ
a : E
⊢ ‖a ^ n‖ ≤ ↑n * ‖a‖
n m : Nat
h : m < (range n).length
⊢ (range n)[m] = m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Final
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
⊢ (CategoryTheory.Functor.Final.coconesEquiv F G).functor = CategoryTheory.Functor.Final.extendCocone
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : ℕ → β
hu : Tendsto u atTop atTop
N k : ℕ
hku : ∀ l ≤ N, u l ≤ u k
ex : ∃ n ≥ N, u k < u n
n : ℕ
hnN : n ≥ N
hnk : u k < u n
hn_min : ∀ m < n, N ≤ m → u m ≤ u k
⊢ ∃ n ≥ N, ∀ k < n, u k < u n
β : Type u
MetricSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
SecondCountableTopology β
HasBesicovitchCovering β
ρ μ : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ρ
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ,
  Filter.Tendsto (fun r => ρ (Metric.closedBall x r) / μ (Metric.closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
α : Type u_1
s₁ s₂ : Finset α
⊢ s₁.val ≤ s₂.val ↔ s₁ ⊆ s₂
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f✝ g : α → β
a : α
f : ℕ → ℕ
hf : StrictMono f
m n : ℕ
⊢ f n + m ≤ f (n + m)
α : Type u
a : α
s : Set α
Fintype ↑s
h : a ∉ s
d : Fintype ↑(insert a s)
⊢ Fintype.card ↑(insert a s) = Fintype.card ↑s + 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
Y Z : C
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution Y
Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution Z
f : P.complex ⟶ Q.complex
n : ℕ
g : P.complex.X n ⟶ Q.complex.X (n + 1)
g' : P.complex.X (n + 1) ⟶ Q.complex.X (n + 2)
w :
  f.f (n + 1) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.complex.d (n + 1) n) g +
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp g' (Q.complex.d (n + 2) (n + 1))
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ProjectiveResolution.liftHomotopyZeroSucc f n g g' w)
    (Q.complex.d (n + 3) (n + 2)) =
  f.f (n + 2) - CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.complex.d (n + 2) (n + 1)) g'
A B : NonemptyFinLinOrd
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
a : R
h0 : p ≠ 0
this : Nontrivial R
⊢ multiplicity.Finite (X - C a) p
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < ↑2
h2 : multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b) < ↑2
h3 : multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b) < ↑2
h1' : multiplicity.Finite λ (S'.a + S'.b)
⊢ False
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! - (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) * I / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)
k : ℕ
⊢ HasSum (fun c => ((-z * I) ^ (2 * k + ↑c) / ↑(2 * k + ↑c)! - (z * I) ^ (2 * k + ↑c) / ↑(2 * k + ↑c)!) * I / 2) ((z * I) ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1)! / I)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Type u_3
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuous (f i)
⊢ LowerSemicontinuous fun x' => ∑' (i : ι), f i x'
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
⊢ (⋃ i, s i).Nonempty ↔ ∃ i, (s i).Nonempty
α : Type u_1
Fintype α
f : α → ENNReal
h : ∑ a : α, f a = 1
s : Set α
MeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s
⊢ (PMF.ofFintype f h).toMeasure s = ∑' (x : α), s.indicator f x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
R₁ R₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 0 ⋯)
h₁ : CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 1 ⋯)
h₃ : CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 3 ⋯)
⊢ CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 2 ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
Monoid α
Monoid β
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
F : Type u_3
EquivLike F α β
MulEquivClass F α β
f : F
a b : α
⊢ multiplicity (f a) (f b) = multiplicity a b