ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : β × γ → E
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂(η.restrict ht) (a, x) ∂(κ.restrict hs) a = ∫ (x : β) in s, ∫ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : f a = 1
x : α
hx : x ∈ s
hnx : x ∉ s \ {a}
⊢ f x = 1
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : WeierstrassCurve.Jacobian.PointClass R
h : W'.NonsingularLift P
⊢ (WeierstrassCurve.Jacobian.Point.mk h).point = P
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
t : RBNode α
h : WF cmp t
⊢ Ordered cmp t ∧ ∃ c n, t.Balanced c n
𝕜 : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E✝
inst✝⁶ : HasOrthogonalProjection K
E : Type u_4
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →ₗᵢ[𝕜] E'
p : Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection p
inst✝ : HasOrthogonalProjection (Submodule.map f.toLinearMap p)
x x' : E
hx' : x' ∈ ↑p
⊢ ⟪f x - f ↑((orthogonalProjection p) x), f x'⟫_𝕜 = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
n : ℕ∞
s : Set E
f : E → F
g : E → G
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => (f x, g x)) s x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
⊢ Collinear k ∅ ↔ ∃ p₀ v, ∀ p ∈ ∅, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a.succ ≠ Fin.last (n + 1)
⊢ a.succ.castPred ha ≤ b ↔ a < b
T : Type w
CommRing T
p : Polynomial T
S : Type u_1
S' : Type u_2
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
CommRing S'
IsDomain S'
Algebra T S'
hp : Polynomial.map (algebraMap T S') p = 0 → Polynomial.map (algebraMap T S) p = 0
f : S →ₐ[T] S'
⊢ Set.MapsTo (⇑f) (p.rootSet S) (p.rootSet S')
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ edist x y ≤ ENNReal.ofReal r ↔ dist x y ≤ r
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
S₃.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ : CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ φ') ↔ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ'
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1)|↑𝒢 i] ≤ᶠ[ae μ] f i
⊢ Supermartingale f 𝒢 μ
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
X : Condensed A
∀ (Y : CompHausᵒᵖ), CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.StructuredArrow Y profiniteToCompHaus.op) A
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology Profinite) (profiniteToCompHaus.op ⋙ X.val)
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μ_mass : μ.mass = 0
⊢ μ = 0
q : ℚ
q_pos : 0 < q
⊢ (fract q⁻¹).num < q.num
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ unop U
f₂ : Y₂ ⟶ unop U
h₁ : (G.sieveOfSection s).arrows f₁
h₂ : (G.sieveOfSection s).arrows f₂
e : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ F.map g₁.op (F.map f₁.op s) = F.map g₂.op (F.map f₂.op s)
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this✝¹ : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (range fun i => bK i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this✝ : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom K (RingHom.op L.subtype)
ιL : Type u
bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
t : Finset ℕ
g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ
i✝ : ℕ
hi✝ : i✝ ∈ t
hgi : g i✝ ≠ 0
s : Finset ιK
f : ℕ → { x // x ∈ s } → ↥L := fun i j => ⟨bK (↑j) i, ⋯⟩
this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
c : ιK →₀ K
rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e
i : ιK
hi : i ∈ s
eq0 : ∑ x ∈ t, L.subtype ((g x • f x) ⟨i, hi⟩) = L.subtype (0 ⟨i, hi⟩)
⊢ ∑ x ∈ t, g x • c i • bK i x = 0
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, |0 x| ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(-x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(x + y) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, |y x| ^ p) ^ (1 / p)
⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
ι : Type u_2
Finite ι
⊢ DiscreteTopology ↥(Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι)))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g✝ : E → F
f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
g : F → G
g' : F →L[𝕜] G
L' : Filter F
hg : HasFDerivAtFilter g g' (f x) L'
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hL : Tendsto f L L'
eq₁ : (fun x' => g' (f x' - f x - f' (x' - x))) =o[L] fun x' => x' - x := IsBigO.trans_isLittleO (isBigO_comp g' (fun x' => f x' - f x - f' (x' - x)) L) hf.isLittleO
⊢ HasFDerivAtFilter (g ∘ f) (g'.comp f') x L
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.rdrop 0 = l
G : Type u_1
G'✝ : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'✝
f✝ : G →* G'✝
G' : Type u_3
G'' : Type u_4
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : Group G''
f : G' →* G
g : G →* G''
hfg : g.ker ≤ f.range
hG' : IsSolvable G'
hG'' : IsSolvable G''
n : ℕ
hn : derivedSeries G'' n = ⊥
m : ℕ
hm : derivedSeries G' m = ⊥
⊢ derivedSeries G (n + m) ≤ map f (derivedSeries G' m)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
Nontrivial R
⊢ W.polynomial.degree = 2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
⊢ s.card < t.card
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ b \ (a ⊓ b) = b \ a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
⊢ IsBoundedBilinearMap 𝕜 fun p => p.1 p.2
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
hix : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
s : Set ((i : ι) × G i)
H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j
hxs : (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩).IsSupported s
hixs : ⟨i, x⟩ ∈ s
hx : (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩)) = 0
⊢ ∃ j, ∃ (hij : i ≤ j), (f' i j hij) x = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
h : IsConnected s
⊢ ConnectedSpace ↑s
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V × V
hx1 : x.1 ≠ 0
hx2 : x.2 ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun y => o.oangle y.1 y.2) x
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : c ≤ b
⊢ Set.Ioc a b ∪ Set.Ioi c = Set.Ioi (min a c)
M : Type u_1
Mul M
s : Set M
p : (x : M) → x ∈ Subsemigroup.closure s → Prop
mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
mul :
  ∀ (x : M) (hx : x ∈ Subsemigroup.closure s) (y : M) (hy : y ∈ Subsemigroup.closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
x : M
hx : x ∈ Subsemigroup.closure s
⊢ p x hx
X : Type u_1
M : Type u_7
ι : Type u_10
TopologicalSpace X
AddCommMonoid M
f : ι → X → M
⊢ (LocallyFinite fun i => Function.support (f i)) ↔ LocallyFinite fun i => tsupport (f i)
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
x : V → ℝ
⊢ (∀ (i j : V), G.Adj i j → x i = x j) ↔ ∀ (i j : V), G.Reachable i j → x i = x j
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hf : AEMeasurable f μ
⊢ (μ.withDensity f) s = 0 ↔ μ ({x | f x ≠ 0} ∩ s) = 0
⊢ @AlgebraicGeometry.IsSeparated = CategoryTheory.MorphismProperty.diagonal @AlgebraicGeometry.IsClosedImmersion
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
AddCommMonoid M
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
Module S M
r : R
x : M
⊢ (RestrictScalars.addEquiv R S M).symm ((algebraMap R S) r • x) = r • (RestrictScalars.addEquiv R S M).symm x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y✝ : α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel g.SameCycle
hf : f.IsCycle
hx : f x ≠ x
y : α
h : f.SameCycle x y
⊢ (f.cycleOf x) y = f y
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
f : A →ₐ[S] B
s : A → A → Prop
w : ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y
x : A
⊢ ({ toFun := fun f' => { toFun := fun x => Quot.lift ⇑↑f' ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }, invFun := fun F => ⟨F.comp { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨f, w⟩) ({ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ } x) = f x
α : Type u_2
OrderedCommMonoid α
s : Multiset α
⊢ (∀ x ∈ s, 1 ≤ x) → s.prod = 1 → ∀ x ∈ s, x = 1
L : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace L
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeInf L
OrderTop L
ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousOn (f i) t
⊢ ContinuousOn (fun a => s.inf fun x => f x a) t
R : Type u
Ring R
s : Subring R
x : R
⊢ x ∈ s.toAddSubgroup ↔ x ∈ s
X Y Z : Type u
x : (X ⊗ Y) ⊗ Z
⊢ ((α_ X Y Z).hom x).1 = x.1.1
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
op : α → α → α
ha : Std.Associative op
hc : Std.Commutative op
l : List α
a₁ a₂ : α
⊢ ((a₁ :: l) <*> a₂) = op a₁ (l <*> a₂)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F.rightOp
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.isColimitCoconeOfConeRightOp F hc).desc s =
  (hc.lift (CategoryTheory.Limits.coneRightOpOfCocone s)).unop
G : Type u_3
DivInvMonoid G
x : G
⊢ ConjAct.ofConjAct (ConjAct.toConjAct x) = x
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
p q : Submodule R₂ M₂
⊢ Submodule.map f (Submodule.comap f p ⊓ Submodule.comap f q) = p ⊓ q
x : SetTheory.PGame
y : SetTheory.PGame
i : y.RightMoves
⊢ (x + y).moveRight (SetTheory.PGame.toRightMovesAdd (Sum.inr i)) = x + y.moveRight i
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →L[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ closedBall 0 r, ‖f z‖ ≤ c
⊢ ‖f‖ ≤ c / r
α : Type u_1
a b : α
⊢ toBoolRing a = toBoolRing b ↔ a = b
R : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
p : R[X]
f : A →ₐ[R] B
a : A
⊢ f (Polynomial.eval₂ (algebraMap R A) a p) = Polynomial.eval₂ (algebraMap R B) (f a) p
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
⊢ G.chromaticNumber = ⨅ n, ↑↑n
P : {α β : Type u} → [inst : TopologicalSpace α] → [inst : TopologicalSpace β] → (α → β) → Prop
inst✝ : (topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P).RespectsIso
hP₂ : ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α → β) (s : Set β), P f → P (s.restrictPreimage f)
hP₃ : ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α → β) {ι : Type u} (U : ι → Opens β), iSup U = ⊤ → Continuous f → (∀ (i : ι), P ((U i).carrier.restrictPreimage f)) → P f
⊢ ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : Y.Opens), topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) f → topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) (f ∣_ U)
V : Type u
Quiver V
a b c d : V
p : Quiver.Path a b
p' : Quiver.Path a c
e : b ⟶ d
e' : c ⟶ d
h : p.cons e = p'.cons e'
⊢ b = c
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_10, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_11, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_12, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_13, u_4} C₄
F : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄))
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁ = CategoryTheory.GradedObject.mapTrifunctorObj F X₁ I₂ I₃
S : Type v
T : Type w
CommRing T
p : Polynomial T
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
a : S
hx : a ∈ p.rootSet S
⊢ (Polynomial.aeval a) p = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂✝ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
b : P
s₁ s₂ : Finset ι
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ ∑ i ∈ s₁, w i • (p i -ᵥ b) = ∑ i ∈ s₂, (↑s₁).indicator w i • (p i -ᵥ b)
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype (Sym2 V)
⊢ 2 * G.edgeFinset.card = (filter (fun x => match x with | (x, y) => G.Adj x y) univ).card
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] 0
hl : l.bRiemann = false
⊢ HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul 0
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ evenKernel a x = 1 / x ^ (1 / 2) * cosKernel a (1 / x)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν
hs : s ⟂ₘ ν
hadd : μ = s + ν.withDensity (AEMeasurable.mk f hf)
⊢ ν.withDensity (AEMeasurable.mk f hf) = ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
ι : Sort u_3
S : ι → L.Substructure M
⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
x : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ deriv (fun x => (2 + log x) / (2 * √x)) x = -log x / (4 * √x ^ 3)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
⊢ Monotone (Ideal.homogeneousHull 𝒜)
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
x : Step k n
hx : AlgebraicClosure.toStepOfLE' k n (n + 1) ⋯ x = (toStepSucc k n) x
⊢ (Ring.DirectLimit.of (Step k) (fun i j h => ⇑(toStepOfLE k i j h)) (n + 1)) ((toStepSucc k n) x) = (Ring.DirectLimit.of (Step k) (fun i j h => ⇑(toStepOfLE k i j h)) n) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : ℤ → α
a : α
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ (i : ℤ), f (i % ↑n) = f i
hn' : 0 < ↑n
x✝ : ∃ i, f (i % ↑n) = a
i : ℤ
hi : f (i % ↑n) = a
this : 0 ≤ i % ↑n
⊢ (i % ↑n).toNat < n ∧ f ↑(i % ↑n).toNat = a
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
p' : Filter α
⊢ TendstoUniformlyOnFilter F f p p' ↔ Filter.Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (p ×ˢ p') (𝓤 β)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
X A : C
inst✝¹ : IsConnected A
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
inst✝ : Mono u
a : ↑(F.obj A)
h : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
b : ↑(F.obj A)
⊢ F.map u b = F.map (CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProdPermIncl h b) a
X : Type u_1
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
Fintype n
DecidableEq n
CommRing R
TopologicalRing R
A : X → Matrix n n R
hA : Continuous A
⊢ Continuous fun x => (A x).det
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
x : X
⊢ limUnder (𝓝 x) id = x
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
S : Set (Concept α β r)
⊢ (sInf S).toProd.1 = ⋂ c ∈ S, c.toProd.1
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s : AList β
⊢ Finmap.insert a b ⟦s⟧ = ⟦AList.insert a b s⟧
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
p₀ p₁ : P1
⊢ ⇑(AffineMap.lineMap p₀ p₁) = fun c => c • (p₁ -ᵥ p₀) +ᵥ p₀
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
val✝¹ : α →ₘ[μ] E
property✝¹ : val✝¹ ∈ Lp E p μ
val✝ : α →ₘ[μ] E
property✝ : val✝ ∈ Lp E p μ
h : ↑↑⟨val✝¹, property✝¹⟩ =ᶠ[ae μ] ↑↑⟨val✝, property✝⟩
⊢ ⟨val✝¹, property✝¹⟩ = ⟨val✝, property✝⟩
K : Type u_4
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
Semifield K
AddCommMonoid V
Module K V
AddCommMonoid V₂
Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
a : K
⊢ LinearMap.range (a • f) = ⨆ (_ : a ≠ 0), LinearMap.range f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ ν.rnDeriv (r • μ) =ᵐ[μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
α : Type u_1
SeminormedAddCommGroup α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ dist (∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k) (∑ k ∈ Finset.range n, u k) = ‖u n‖
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B = -B.flip
x : M₁
h' : (B x) x = ((-B.flip) x) x := congr_fun₂ h x x
⊢ (B x) x = 0
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
ν.IsAddLeftInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.1, z.1 + z.2)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)
α : Type u_1
δ : α → Sort u_6
f g : (i : α) → δ i
(i : α) → Decidable (i ∈ Set.univ)
⊢ Set.univ.piecewise f g = f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTrans α r
IsAntisymm α r
IsTotal α r
a : α
⊢ Multiset.sort r {a} = [a]
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ Set.Ioc a b ∪ Set.Ici b = Set.Ioi a
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ : List α✝
x✝ : l₁ <:+ l₂
t : List α✝
h : t ++ l₁ = l₂
⊢ t ++ l₁ ++ [] = l₂
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₄ : Type w₄
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
AddCommMonoid M₄
(i : ι) → Module R (M₁ i)
(i : ι) → Module R (M₁' i)
Module R M₄
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁' i)
TopologicalSpace M₄
g : ContinuousMultilinearMap R M₁' M₄
f : (i : ι) → M₁ i →L[R] M₁' i
m : (i : ι) → M₁ i
⊢ (g.compContinuousLinearMap f) m = g fun i => (f i) (m i)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddMonoid R
a : Γ
r : R
j : Γ
⊢ ((HahnSeries.single.addMonoidHom a) r).coeff j = Pi.single a r j
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → ℝ
h : Summable fun x => ↑(f x)
⊢ Summable f
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
⊢ ∃ N, (M ≅[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
A : (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] φ) x ≤ (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] 1) x
B : (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] fun x => 1) x = 1
⊢ y D x ≤ 1
M : Type u_1
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
x y : { x // 0 < x }
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
a c : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
c_mem : c ∈ P ^ i
⊢ P ^ i = span {a} ⊔ P ^ (i + 1)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
CategoryTheory.NormalEpiCategory C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (Z : C) (g : Z ⟶ X), g ≫ f = 0 → g = 0
⊢ CategoryTheory.Mono f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
K : CategoryTheory.Limits.Multifork I
hK : CategoryTheory.Limits.IsLimit K
T : C
f g : T ⟶ K.pt
h : ∀ (a : I.L), CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (K.ι a) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (K.ι a)
⊢ f = g
m : ℕ
⊢ ¬1 = -↑m
M : Type u_1
α : Type u_7
Monoid M
MulAction M α
a₁ a₂ : M
b : α
⊢ a₁ • a₂ • b = (a₁ * a₂) • b
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : SMulPosReflectLT α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b
zero : f 0 = 0
b : β
hb : 0 ≤ b
a₁ a₂ : α
h : a₁ • b < a₂ • b
⊢ a₁ < a₂
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
I : Ideal S
⊢ ↑(Ideal.absNorm I) ∈ I
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
a : α
⊢ Filter.Tendsto (↑(ProbabilityTheory.condCDF ρ a)) Filter.atBot (𝓝 0)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
A : Set M
a : ↑A
⊢ ↑(L.con a) = ↑a
v : ℤ
h : -1 * v = -1
⊢ -1 = 1 ∧ v = -1 ∨ -1 = -1 ∧ v = 1
R : Type uR
Ring R
r : R → R → Prop
a b c : R
h : RingQuot.Rel r b c
⊢ RingQuot.Rel r (a - b) (a - c)
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
f g : Equiv.Perm α
h : f ∈ g.cycleFactorsFinset
⊢ (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}
α : Type u_1
x : αᵃᵒᵖ
⊢ AddOpposite.op (AddOpposite.unop x) = x
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J
⊢ 𝒰.gluedCoverT' x y z ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map y) (𝒰.map z))
        (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map y) (𝒰.map x)) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map y) (𝒰.map x) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y))
      (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z)) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (𝒰.map x) (𝒰.map y)
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α
⊢ a ⊔ b ⊔ (c ⊔ d) = a ⊔ c ⊔ (b ⊔ d)
α β : Type u
Infinite α
le : #β ≤ #α
⊢ #(β ↪ α) = #(β → α)
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
x y z : α
h : IsCompl y z
⊢ Disjoint x z ↔ x ≤ y