ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
X Y : G.Coalgebra
f : X ⟶ Y
h : CategoryTheory.Mono f.f
⊢ CategoryTheory.Mono f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ ⌊a⌋₊ ≤ ⌈a⌉₊
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
Zero β
⊢ 0 = e.symm 0
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ cosZeta (-a) s = cosZeta a s
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
M : ℝ
hM : M ≤ 1
⊢ Tendsto (fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n) (𝓝[stolzSet M] 1) (𝓝 l)
p : Bool → Prop
⊢ (∃ b, p b) ↔ p false ∨ p true
M : Type u_1
Monoid M
ι : Sort u_3
s : ι → Set M
h : ∀ (y : ι), IsSubmonoid (s y)
⊢ IsSubmonoid (Set.iInter s)
a b : ℤ
⊢ (Finset.uIcc a b).card = (b - a).natAbs + 1
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ antidiagonal n
hq : q ∈ antidiagonal n
⊢ p = q ↔ p.2 = q.2
R : Type u
Ring R
n : ℕ
Nontrivial R
NoZeroDivisors R
⊢ (descPochhammer R n).Monic
k₁ k₂ : ℕ
c : Nat.Partrec.Code
n x : ℕ
⊢ k₁ ≤ k₂ → x ∈ Nat.Partrec.Code.evaln k₁ c n → x ∈ Nat.Partrec.Code.evaln k₂ c n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
i : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq M
⊢ (f.update a b).support ⊆ insert a f.support
α : Type u_1
ι'' : Type u_6
Preorder ι''
s'' : ι'' → Set α
self : Filter.IsAntitoneBasis s''
⊢ Antitone s''
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I✝ : C
Fm : I✝ ⟶ Y
m_mono✝¹ : Mono Fm
e✝¹ : X ⟶ I✝
Ffac : e✝¹ ≫ Fm = f
Fm' : I✝ ⟶ Y
m_mono✝ : Mono Fm'
e✝ : X ⟶ I✝
Ffac' : e✝ ≫ Fm' = f
hm : Fm = Fm'
⊢ e✝¹ ≫ Fm = e✝ ≫ Fm
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → AddSubgroup N
h : Independent (⇑AddSubgroup.toIntSubmodule ∘ p)
⊢ Function.Injective ⇑(sumAddHom fun i => (p i).subtype)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this✝ : ExpChar K q
l : ι →₀ E
hl : (Finsupp.total ι K E v) l = 0
i : ι
f : ι → ℕ
n : ℕ := l.support.sup f
this : q ^ n ≠ 0
lF : ι → F
hlF : ∀ (i : ι), (algebraMap F E) (lF i) = l i ^ q ^ n
⊢ l i = 0 i
α : Type u_1
CompleteLattice α
u : ℕ → α
⊢ Filter.liminf u Filter.atTop = ⨆ n, ⨅ i, u (i + n)
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
g : X ⟶ widePullback B objs arrows
h1 : ∀ (j : J), g ≫ π arrows j = fs j
h2 : g ≫ base arrows = f
⊢ ∀ (j : WidePullbackShape J), g ≫ (limit.cone (WidePullbackShape.wideCospan B objs arrows)).π.app j = (WidePullbackShape.mkCone f fs w).π.app j
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.id h).φH = CategoryTheory.CategoryStruct.id h.H
α : Type u
s : Set α
f : Filter (Filter α)
⊢ s ∈ f.join ↔ {t | s ∈ t} ∈ f
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommRing R'
R'' : Type u_3
CommRing R''
f : R' →+* R''
hf : Function.Injective ⇑f
χ : MulChar R R'
⊢ χ.ringHomComp f = 1 ↔ χ = 1
α : Type u_2
n : ℕ
xs : Mathlib.Vector α n
σ₁ : Type
β : Type u_1
σ₂ : Type
f₁ : α → σ₁ → σ₁ × β
f₂ : α → σ₂ → σ₂ × β
s₁ : σ₁
s₂ : σ₂
h : ∃ R, R s₁ s₂ ∧ ∀ {s : σ₁} {q : σ₂} (a : α), R s q → R (f₁ a s).1 (f₂ a q).1 ∧ (f₁ a s).2 = (f₂ a q).2
⊢ (Mathlib.Vector.mapAccumr f₁ xs s₁).2 = (Mathlib.Vector.mapAccumr f₂ xs s₂).2
o : Ordinal.{u_1}
⊢ o.toPGame.LeftMoves = (Quotient.out o).α
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : BooleanAlgebra β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
a : β
b : α
⊢ (u aᶜ)ᶜ ≤ b ↔ a ≤ (l bᶜ)ᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hle : f ≤ᶠ[l] g
hfga : f a = g a
h : IsMinFilter f l a
⊢ IsMinFilter g l a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
h : n₁ + n₂ = n₁₂
X : CochainComplex C ℤ
i : ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftFunctorAdd' C n₁ n₂ n₁₂ h).hom.app X).f i = (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).hom
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ((PiTensorProduct.liftIsometry 𝕜 E F) f) x = (PiTensorProduct.lift f.toMultilinearMap) x
K : Type u_1
Field K
k : Type u_2
Field k
f : k →+* K
φ : K →+* ℂ
hφ : NumberField.ComplexEmbedding.IsReal φ
⊢ NumberField.ComplexEmbedding.IsReal (φ.comp f)
α : Type u
PartialOrder α
OrderTop α
Nontrivial α
⊢ ¬IsMin ⊤
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxU : x ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj ((structureSheaf R).presheaf.obj (op U))
⊢ ((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩ ≫ stalkToFiberRingHom R x ≫ localizationToStalk R x) s = ((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩ ≫ 𝟙 ((structureSheaf R).presheaf.stalk x)) s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n k : ℕ
f₂ : 𝕜 → F
⊢ ContDiff 𝕜 (↑(n + k)) f₂ → ContDiff 𝕜 (↑n) (deriv^[k] f₂)
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a ≤ c
⊢ b ≤ c - a ↔ b + a ≤ c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
r x : β
hx : x < r
y : β
hy : y < r
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
ha' : 0 < a
⊢ a • x + b • y ∈ Iio r
α : Type u_1
β : Type u_2
self : Buckets α β
i : USize
d : AssocList α β
h : i.toNat < self.val.size
⊢ ∃ l₁ l₂, self.val.data = l₁ ++ self.val.data[i.toNat] :: l₂ ∧ l₁.length = i.toNat ∧ (self.update i d h).val.data = l₁ ++ d :: l₂
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ (a✝ + 0).f = a✝.f
R : Type u_1
Ring R
StarRing R
⊢ ↑1 = 1
A : Type u_5
B : Type u_6
M : Type u_7
AddMonoid A
DistribSMul M A
AddZeroClass B
c : Mᵈᵐᵃ
f : A →+ B
a : A
⊢ (c • f) a = f (DomMulAct.mk.symm c • a)
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
a : G
ha : ∀ (b : G), b * a ∈ H ↔ b ∉ H
⊢ a ∉ H
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ addValuationDef 0 = ⊤
μ ν : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
h : ∀ (a b : ℚ), μ (Set.Ioo ↑a ↑b) = ν (Set.Ioo ↑a ↑b)
⊢ μ = ν
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
u : ℕ → E
x y : E
hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop (nhds x)
hTu : Filter.Tendsto (⇑T ∘ u) Filter.atTop (nhds y)
hlhs : ∀ (k : ℕ), ⟪T (u k) - T x, y - T x⟫_𝕜 = ⟪u k - x, T (y - T x)⟫_𝕜
⊢ Filter.Tendsto (fun t => u t - x) Filter.atTop (nhds (x - x))
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s t : Set α
⊢ Metric.hausdorffDist s (closure t) = Metric.hausdorffDist s t
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMinOrder α
a : α
⊢ Bounded (fun x x_1 => x > x_1) (Ici a)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
T2Space M
BoundarylessManifold I M
hγ : IsIntegralCurve γ v
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
⊢ Xor' (∃ T > 0, Function.Periodic γ T) (Function.Injective γ)
α : Type u_3
TopologicalSpace α
⊢ exterior ∅ = ∅
X : Type u
TopologicalSpace X
self : HSpace X
⊢ HSpace.hmul (HSpace.e, HSpace.e) = HSpace.e
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : PushoutCocone f g
ht : IsColimit t
inst✝ : Epi g
W : C
h k : t.pt ⟶ W
i : t.inl ≫ h = t.inl ≫ k
⊢ t.inr ≫ h = t.inr ≫ k
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s s' : Set α
t t' : Set β
⊢ Set.image2 f (s ∪ s') (t ∩ t') ⊆ Set.image2 f s t ∪ Set.image2 f s' t'
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → (ι → ℝ) → E
g : α → F
h : ∀ i ∈ s, BoxIntegral.HasIntegral I l (f i) vol (g i)
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) vol (∑ i ∈ s, g i)
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ : P
⊢ p₁ -ᵥ p₂ +ᵥ p₂ = p₁
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : N.StrictRestriction M
⊢ N ≠ M
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
⊢ ℙ ≪ ℙ.withDensity (gaussianPDF μ v)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ d n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ edist (f n) a ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Finset α
⊢ a ∈ stabilizer G ↑s ↔ ↑s ⊆ a • ↑s
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K : Set G
h1K : IsCompact K
h2K : (interior K).Nonempty
⊢ 0 < index (↑K₀) U
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
c : E
hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 c, f y = f c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p : α → Prop
q : Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, p x ∧ q) ↔ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) ∧ q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
s : CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.counitBackward F s ∘ CategoryTheory.OverPresheafAux.counitForward F s = id
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
x : E
hx : ¬x = 0
⊢ IsConnected {y | SameRay ℝ x y}
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P : R[X]
⊢ IsUnit P ↔ IsUnit (eval 0 P) ∧ IsNilpotent (P /ₘ X)
α : Type u
β : Type v
f : Perm α
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
h : Set.MapsTo (⇑f) s s
⊢ Set.MapsTo (⇑f⁻¹) s s
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : MapsTo f s t
f_inj : InjOn f s
⊢ s.encard ≤ t.encard
G : Type u_3
DivInvMonoid G
a b c : G
⊢ a * b / c = a * (b / c)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
hf : Measurable (Function.uncurry f)
fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n
h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n
h_zero : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → fs n a b = 0
hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n
⊢ IsSFiniteKernel (κ.withDensity f)
α : Type u_1
LE α
s t : UpperSet α
⊢ Codisjoint ↑s ↑t ↔ Disjoint s t
R : Type u
CommRing R
P Q : Fin 3 → R
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z = 0
⊢ ¬P ≈ Q
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
M' : Type u_3
AddCommGroup M'
Module R M'
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
f : M →ₗ[R] M'
v : Basis ι R M
v' : Basis ι R M'
h : IsUnit ((LinearMap.toMatrix v v') f).det
a : M
⊢ (LinearEquiv.ofIsUnitDet h) a = f a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
hG : ¬(center G).index = 0
this : (center G).FiniteIndex
h1 : (center G).relindex (_root_.commutator G) ∣ (center G).index
⊢ Nat.card ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) * ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).index ∣ (center G).index ^ ((center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G)) * (center G).index
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℕ
hnp : ↑n < ↑p
hn : ‖⟨↑r, H⟩ - ↑↑n‖ < 1
⊢ ‖x - ↑n‖ < 1
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
⊢ IsCompact (⋃ b, bif b then s else t)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
⊢ a ∈ closure s ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ s, ‖a / b‖ < ε
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
inst✝ : Monoid M
x y : Mˣ
⊢ { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, invFun := fun x => IsUnit.unit ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, invFun := fun x => IsUnit.unit ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, invFun := fun x => IsUnit.unit ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y
β : Type u_2
TopologicalSpace β
α : Type u_5
p : α → Prop
e : α → β
x : { x // p x }
⊢ ↑(DenseEmbedding.subtypeEmb p e x) = e ↑x
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
V : (↑U).Opens
⊢ (X.restrictRestrict U V).hom ≫ ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor U.ι).obj V).ι = V.ι ≫ U.ι
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp x y = cmp x' y'
⊢ ¬y < x ↔ ¬y' < x'
a : Prop
p : Prop → Prop
h1 : p True
h2 : p False
⊢ p a
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
⊢ ⇑SemidirectProduct.rightHom = SemidirectProduct.right
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.leftHomologyIso.inv (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap φ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ) S₂.leftHomologyIso.inv
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
ca cb : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) MeasureTheory.volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) MeasureTheory.volume
ha : Filter.Tendsto f (𝓝 a ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 ca)
hb : Filter.Tendsto f (𝓝 b ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 cb)
⊢ HasStrictFDerivAt (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x)
  ((ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (a, b)
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
a b : Complementeds α
⊢ Codisjoint ↑a ↑b ↔ Codisjoint a b
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.117, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.121, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.125, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.129, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
functor : A → C ⥤ D
shiftIso : (n a a' : A) → n + a = a' → (functor a' ⋙ shiftFunctor D n ≅ functor a)
shiftIso_zero : ∀ (a : A), shiftIso 0 a a ⋯ = isoWhiskerLeft (functor a) (shiftFunctorZero D A)
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
⊢ m + n + a = a''
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a₁ b₁ a₂ b₂ : CauSeq α abs
ha : a₁ ≈ a₂
hb : b₁ ≈ b₂
ε : α
ε0 : ε > 0
ai : ℕ
hai : ∀ j ≥ ai, |↑(a₁ - a₂) j| < ε
bi : ℕ
hbi : ∀ j ≥ bi, |↑(b₁ - b₂) j| < ε
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, |↑(a₁ ⊔ b₁ - a₂ ⊔ b₂) j| < ε
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
hs : s.Nonempty
⊢ (𝓝[s] a).NeBot
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
n : ℕ∞
c : F
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => c) x
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ✝ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure (E × ℝ)
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
ν : Measure E := addHaar
A : ν.prod volume = (ν.prod volume).addHaarScalarFactor μ • μ
⊢ ∫ (x : E × ℝ), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E × ℝ), (B (f' x)) (g x) ∂μ
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
⊢ (of R 𝒜 ℬ).symm.symm ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm ((-1) ^ (j₁ * i₂) • ((decompose 𝒜) a₁ * (DirectSum.of (fun x => ↥(𝒜 x)) i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((DirectSum.of (fun x => ↥(ℬ x)) j₁) b₁ * (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))
α : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
TopologicalSpace α
Preorder α
InfConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
ha : IsGLB (Set.range f) a
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 a)
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ Real.log x = Real.expOrderIso.symm ⟨|x|, ⋯⟩
α : Type u
Ring α
I : Ideal α
a b : α
⊢ b ∈ I → (a + b ∈ I ↔ a ∈ I)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → α
g : α → γ → α
hfg : (Set.range fun a c => f c a) ⊆ Set.range fun b c => g c b
a : α
⊢ Set.range (foldr (fun z w => f w z) a) ⊆ Set.range (foldr (fun z w => g w z) a)
β : Type u_4
AddCommMonoid β
f : ℕ → β
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), f x = f n + ∑ x ∈ Finset.range n, f x
L : Type u_1
K : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
IsGalois K L
x : 𝓞 L
⊢ IsUnit ((RingOfIntegers.norm K) x) ↔ IsUnit x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
p : Submodule K V
v : V
hpv : v ∉ p
⊢ ∃ f, f ≠ 0 ∧ p ≤ ker f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
hs' : μ s ≠ 0
N : ℕ
hN : μ univ < ↑N * μ s
x : α
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : m ∈ Ioo 0 N
hmx : f^[m] x ∈ s
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[m] x ∈ s
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
H : ∀ (r : { x // x ∈ s }), (Localization.awayMap f ↑r).Finite
this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
⊢ f.Finite
ι : Type u_1
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ι → Set α
s : Set ι
hs : s.Finite
h : ∀ b ∈ s, MeasureTheory.NullMeasurableSet (f b) μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (⋂ b ∈ s, f b) μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
hs : Convex ℝ s
absorbs : Absorbent ℝ s
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a : ℝ
ha : 0 < a
x : E
hx : x ∈ s
ha' : a < gauge s ((fun x => a • x) x) + ε / 2
b : ℝ
hb : 0 < b
y : E
hy : y ∈ s
hb' : b < gauge s ((fun x => b • x) y) + ε / 2
⊢ gauge s ((fun x => a • x) x + (fun x => b • x) y) < gauge s ((fun x => a • x) x) + gauge s ((fun x => b • x) y) + ε
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m₁ m₂ : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ m₁.trim = m₂.trim ↔ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → m₁ s = m₂ s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ SeparatedNhds s t ↔ Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝ˢ t)
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
FaithfulSMul M X
P Q : { P // IsLprojection X P }
⊢ ↑(P \ Q) = ↑P * (1 - ↑Q)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ eval₂ f g (p ^ (n + 1)) = eval₂ f g p ^ (n + 1)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : Group N
inst✝² : Group P
K✝ : Subgroup G
G₁ : Type u_7
G₂ : Type u_8
inst✝¹ : Group G₁
inst✝ : Group G₂
K : Subgroup G₂
f : G₁ →* G₂
h : f.range ≤ K
k : ↥K
⊢ ∀ (a : G₁), f a = K.subtype k ↔ (f.codRestrict K ⋯) a = k
s : Set ℝ≥0
hs : ¬BddAbove s
⊢ sSup s = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
f g : ι → α
⊢ Monovary f g ↔ ∀ (i j : ι), 0 ≤ (f j - f i) * (g j - g i)
α : Type u_2
β : Type u_3
NonAssocSemiring α
Preorder α
NonAssocSemiring β
Preorder β
f : α →+*o β
⊢ (↑↑f.toRingHom).toFun = ⇑f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁✝ s₂✝ t✝ t₁ t₂ u t s₁ s₂ : Set α
h : s₂ ⊆ s₁
x : α
⊢ x ∈ t.ite s₁ s₂ ↔ x ∈ s₁ ∩ t ∪ s₂
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
TopologicalSpace α
OrderTopology α
⊢ QuotientMap (Set.projIcc a b h)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
hPx : P x = 0
hP : P y ^ 2 = 0 ∧ 2 * P y ≠ 0
⊢ False
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalRing A
Module R A
Nontrivial R
a : A
⊢ 0 ∈ quasispectrum R a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
A : C
x : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)
A' : C
π : A' ⟶ A
w✝¹ : Epi π
x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀
w✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0
hx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀
a : A' ⟶ S.X₁.X n₁
b : A' ⟶ S.X₂.X n₀
w : a ≫ S.X₁.d n₁ (n₁ + 1) = 0 ∧ a ≫ S.f.f n₁ + b ≫ S.X₂.d n₀ n₁ = 0
hab : x' = a ≫ (inl S.f).v n₁ n₀ ⋯ + b ≫ (inr S.f).f n₀
⊢ (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀ ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ = HomologicalComplex.liftCycles S.X₃ (b ≫ S.g.f n₀) n₁ ⋯ ⋯ ≫ HomologicalComplex.homologyπ S.X₃ n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h
β : Type u_1
α : Type u_2
R : α → α → Prop
S : β → β → Prop
f : α → Option β
H : ∀ (a a' : α), R a a' → ∀ (b : β), b ∈ f a → ∀ (b' : β), b' ∈ f a' → S b b'
l : List α
p : List.Pairwise R l
⊢ List.Pairwise S (List.filterMap f l)