ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
NormedLinearOrderedField K
HasSolidNorm K
FloorRing K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
FiniteDimensional K E
ProperSpace E
L : AddSubgroup E
DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
i : ι
⊢ (Basis.ofZlatticeBasis K L b) i = ↑(b i)
α : Type u_1
Preorder α
t₁ t₂ : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
x : α
h₁ : t₁.Bounded o₁ ↑x
h₂ : t₂.Bounded (↑x) o₂
⊢ Ordnode.All (fun y => Ordnode.All (fun z => y < z) t₂) t₁
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
⊢ x ≠ y → (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v) x y
δ K ε : ℝ
hK : K ≠ 0
⊢ gronwallBound δ K ε = fun x => δ * rexp (K * x) + ε / K * (rexp (K * x) - 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
s : Set M
n : ℕ∞
One M'
⊢ ContMDiffOn I I' n 1 s
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
f : ι → M
⊢ ↑(∏ x : ι, (w x)⁻¹) = ∏ i : ι, ↑(w i)⁻¹
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
hfi : ¬Integrable f μ
⊢ 0 =ᶠ[ae μ] ↑↑0
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
⊢ rdropWhile p l <+: l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X A B : C
f : A ⟶ X
g : B ⟶ X
a : ↑(F.obj A)
b : ↑(F.obj B)
h : F.map f a = F.map g b
⊢ F.map (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
    ((CategoryTheory.PreGaloisCategory.fiberPullbackEquiv F f g).symm ⟨(a, b), h⟩) =
  a
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
LinearOrderedCommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
P.IsRootPositive B
i j : ι
⊢ 0 < (B (P.root i)) (P.root j) ↔ 0 < P.pairing i j
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, Real.sin x ^ (2 * n) = π * ∏ i ∈ Finset.range n, (2 * ↑i + 1) / (2 * ↑i + 2)
x✝ y✝ z✝ w x y z : ℝ
ι : Type u_1
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
f : ι → ℝ
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ihs : (∀ x ∈ s, 0 ≤ f x) → a ^ ∑ x ∈ s, f x = ∏ x ∈ s, a ^ f x
h : ∀ x ∈ cons i s hi, 0 ≤ f x
⊢ a ^ ∑ x ∈ cons i s hi, f x = ∏ x ∈ cons i s hi, a ^ f x
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n R
val✝ : Fintype m
h : Function.Surjective A.mulVec
cols : m → n → R
hcols : ∀ (x : m), A *ᵥ cols x = Pi.single x 1
⊢ ∃ B, A * B = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
⊢ 0 < (f.cycleOf x).support.card ↔ f x ≠ x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
⊢ affineSpan k ∅ = ⊥
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (c₁ * x.imI * y.imI) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (c₁ * x.imI * y.imK) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (c₂ * x.imJ * y.imJ) • 1 + -((c₂ * x.imJ * y.imK) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((c₁ * x.imK * y.imI) • q.j) + (c₂ * x.imK * y.imJ) • q.i + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
a₁ a₂ : α
h_mon : Monotone f
h_fa : f a₁ = f a₂
i : α
h₁ : a₁ ≤ i
h₂ : i ≤ a₂
⊢ f i ≤ f a₁
n : ℕ
hn : n ≠ 1
⊢ IsPrimePow n ↔ n.minFac ^ n.factorization n.minFac = n
X Y : Type u
f g : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g ≫ (CategoryTheory.Limits.Types.coequalizerIso f g).hom =
  Quot.mk (CategoryTheory.Limits.Types.CoequalizerRel f g)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
f g : α →C₀ β
⊢ ⇑(f - g) = ⇑f - ⇑g
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart
u : Rˣ
hu : C ↑u = (integerNormalization R⁰ p).primPart
c : R
c0 : c ∈ R⁰
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ p) = C ((algebraMap R K) c) * p
⊢ ∃ r, IsUnit r ∧ C r = map (algebraMap R K) (C ((integerNormalization R⁰ p).content * ↑u))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
k : ℕ
⊢ LieModule.lowerCentralSeries R L M (k + 1) = ⁅⊤, LieModule.lowerCentralSeries R L M k⁆
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
μ : MeasureTheory.Measure V
μ.IsAddHaarMeasure
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → MeasureTheory.Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) μ
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (iteratedFDeriv ℝ n f) = fun w =>
  VectorFourier.fourierPowSMulRight (-L.flip) (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w n
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R
⊢ Aᵀ ∈ symplecticGroup l R
α : Type u_2
A : Set α
D E : Set ↑A
⊢ D ⊆ Subtype.val ⁻¹' (Subtype.val '' E) ↔ D ⊆ E
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : riemannZeta s = 1 / ↑0 ^ s + ∑' (b : ℕ), 1 / ↑(b + 1) ^ s
⊢ riemannZeta s = ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
fst✝¹ snd✝¹ fst✝ snd✝ : α
⊢ s(fst✝¹, snd✝¹) = s(fst✝, snd✝) ↔ (fst✝¹, snd✝¹) = (fst✝, snd✝) ∨ (fst✝¹, snd✝¹) = (fst✝, snd✝).swap
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.inv f))
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Z)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
n : Type w
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Invertible 2
m : Type w
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
Q : QuadraticMap R (m → R) R
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
i✝ j✝ : n
⊢ (Q.comp f).toMatrix' i✝ j✝ = ((LinearMap.toMatrix' f)ᵀ * Q.toMatrix' * LinearMap.toMatrix' f) i✝ j✝
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cocycle K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
⊢ ↑(γ.leftShift a n' hn') = (↑γ).leftShift a n' hn'
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
x y : E
hy : y ∈ p.closedBall 0 r
h : (fun x => k • x) y = x
⊢ ‖k‖ * p y ≤ ‖k‖ * r
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
μ : R
k : ℕ
hk : 0 < k
⊢ f.HasGenEigenvalue μ k ↔ f.HasEigenvalue μ
R : Type u_1
n✝ x p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
y : ℕ
hxy : p ∣ x + (y + 1)
⊢ 0 < n
G : Type u_2
AddCommGroup G
g : G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
f : ℕ → G
k : ℕ
⊢ HasSum (fun n => f (n + k)) (g - ∑ i ∈ Finset.range k, f i) ↔ HasSum f g
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsDomain R
IsDomain S
IsDedekindDomain R
IsDedekindDomain S
Module.Finite R S
Module.Free R S
I : Ideal S
⊢ Ideal.spanNorm R I = (Ideal.relNorm R) I
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset ι
f : ι → α → β
⊢ (Function.mulSupport fun x => ∏ i ∈ s, f i x) ⊆ ⋃ i ∈ s, Function.mulSupport (f i)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : BoundedContinuousFunction α β
C : ℝ
Nonempty α
CompactSpace α
⊢ dist f g < C ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C
α : Type u
l l' : List α
n : ℕ
⊢ l.rotate n = l'.rotate n ↔ l = l'
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P✝ : PrelocalPredicate T
P : LocalPredicate T
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
sf : (i : ι) → (forget (Type v)).obj ((subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).obj (op (U i)))
sf_comp : (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).IsCompatible U sf
sf' : (i : ι) → (X.presheafToTypes T).obj (op (U i)) := fun i => ↑(sf i)
sf'_comp : (X.presheafToTypes T).IsCompatible U sf'
gl : (forget (Type v)).obj ((X.sheafToTypes T).val.obj (op (iSup U)))
gl_spec : IsGluing (X.sheafToTypes T).val U sf' gl
gl_uniq : ∀ (y : (forget (Type v)).obj ((X.sheafToTypes T).val.obj (op (iSup U)))), (fun s => IsGluing (X.sheafToTypes T).val U sf' s) y → y = gl
⊢ ∃! s, (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).IsGluing U sf s
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
⊢ Injective ⇑(mfderiv 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) Subtype.val v)
z w : ℍ
r R : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ 0 ≤ dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im))
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ X.basicOpen f ↔ ∃ (m : x ∈ U), IsUnit ((X.presheaf.germ ⟨x, m⟩) f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
y : NormedSpace.Dual 𝕜 F
⊢ Continuous fun a => y (((toWOT 𝕜 E F) a) x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
⊢ LocallyConvexSpace 𝕜 E ↔ (𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 0 ∧ Convex 𝕜 s) id
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
⊢ tsupport (fderiv 𝕜 f) ⊆ tsupport f
α : Type u_1
Top α
⊢ ↑⊤ = ⊤
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ x.sle y = !y.slt x
R : Type u
CommSemiring R
StarRing R
S : Type u_1
NonAssocSemiring S
f : S →+* R
⊢ star f = (starRingEnd R).comp f
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
PartialOrder α
a b : α
⊢ Set.Ico a b =ᵐ[μ] Set.Ioc a b
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0✝ : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal
hI0 : ⊥ < I
a : A
haI : a ∈ I
ha0 : a ≠ 0
J : Ideal A := span {a}
hJ0 : J ≠ ⊥
hJI : J ≤ I
Z : Multiset (PrimeSpectrum A)
hle : (I ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ J
hnle : ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ J
⊢ ¬(↑I)⁻¹ ≤ 1
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z✝ z₀ : ℂ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁
g : ℂ → E := dslope f c
h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁
z : ℂ
hz : z ∈ ball c R₁
h : ¬z = c
h_R₁ : 0 < R₁
⊢ f z = (fun z => f c + (z - c) • g z₀) z
a✝ b✝ c d m n a b : ℤ
hb : 0 < b
h : a < b
⊢ ↑a.toNat < b
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
a : X ≃ Y
b : Continuous a.toFun
c : Continuous a.invFun
⊢ ⇑{ toEquiv := a, continuous_toFun := b, continuous_invFun := c } = ⇑a
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ κ.map (fun a => a) ⋯ = κ
R : Type u
S : Type v
Semiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
l : List R[X]
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x l.prod = (List.map (Polynomial.eval₂ f x) l).prod
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
⊢ sSup ((fun x => lieSpan R L {x}) '' ↑N) = N
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ ¬NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w ↔ w.IsComplex ∧ (w.comap (algebraMap k K)).IsReal
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
g✝ h✝ : b✝ ⟶ c✝
η✝ : g✝ ⟶ h✝
⊢ (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.whiskerLeft f✝ η✝)).app = (((fun {a b c} => mapComp) f✝ g✝).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (prelaxfunctor.map f✝) (prelaxfunctor.map₂ η✝) ≫ ((fun {a b c} => mapComp) f✝ h✝).inv).app
X : Type u_1
TopologicalSpace X
NoncompactSpace X
⊢ DenseEmbedding OnePoint.some
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : M
h✝ : ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ range ⇑(algebraMap R S)
i : ι
x✝ : i ∈ (b.repr m).support
w✝ : R
h : (algebraMap R S) w✝ = (b.repr m) i
⊢ (fun i a => a • b i) i ((b.repr m) i) ∈ span R (range ⇑b)
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
self : AlgebraicGeometry.IsLocalAtSource P
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : X.OpenCover
⊢ P f ↔ ∀ (i : 𝒰.J), P (𝒰.map i ≫ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
Countable ι
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.sum fun x => 0) = 0
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
LieRing L₃
LieAlgebra R L₃
f : L₂ →ₗ⁅R⁆ L₃
g : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
g : M₂ →ₗ[R] M
x✝ : ι → M₂
⊢ (compLinearMap 0 g) x✝ = 0 x✝
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
WellFoundedGT β
f : α ↪o β
⊢ WellFoundedGT α
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
ClosedIciTopology α
a : α
⊢ Disjoint (𝓝 a) Filter.atTop ↔ ¬IsTop a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
x✝ : M
f✝ : Dual R M
y : M
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
hx : x ≠ 0
Φ : Set M
hΦ₁ : _root_.Finite ↑Φ
hx' : x ∈ span R Φ
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
Φ' : Set ↥(span R Φ) := range (inclusion ⋯)
⊢ (span R Φ).subtype.dualMap f = (span R Φ).subtype.dualMap g
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
Fintype ↑(G.neighborSet v)
⊢ 0 < G.degree v ↔ ∃ w, G.Adj v w
α : Type u_1
s : Set α
x : α
⊢ (insert x s).encard ≤ s.encard + 1
α : Type ua
UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ interior s ∈ 𝓤 α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedDivisionRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
x : E
c : 𝕜
⊢ ‖(LinearMap.toSpanSingleton 𝕜 E x) c‖ = ‖x‖ * ‖c‖
h : Summable ({p | Nat.Prime p}.indicator fun n => 1 / ↑n)
k : ℕ
hk : ∀ t ⊆ {n | k ≤ n}, ∑' (n : ↑t), {p | Nat.Prime p}.indicator (fun n => 1 / ↑n) ↑n ∈ Iio (1 / 2)
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
⊢ ‖NormedSpace.inclusionInDoubleDual 𝕜 E‖ = ‖ContinuousLinearMap.id 𝕜 (NormedSpace.Dual 𝕜 E)‖
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
⊢ Epi (PreservesPullback.iso Scheme.forgetToTop g f).hom
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
h : ¬a ∈ l
⊢ List.count a l = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]
⊢ C ((Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (mk W) Y)) - (C p + C q * Y) * (C p + C q * (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃))) = W.polynomial * C q ^ 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Finite J
F : J → CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi.Biproducts.bicone F).pt.X = ⨁ fun j => (F j).X
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M
p : (m : M) → m ∈ closure s → Prop
one : p 1 ⋯
mul_right : ∀ (x : M) (hx : x ∈ closure s) (y : M) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y) ⋯
x : M
h : x ∈ closure s
⊢ { unop' := x } ∈ closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
a : M₀
NoZeroDivisors M₀
n : ℕ
h : a ≠ 0
⊢ a ^ n ≠ 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ AnalyticAt 𝕜 (⇑f) x
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
⊢ Sbtw R x y z ↔ z ≠ y ∧ x ∈ ⇑(lineMap z y) '' Set.Ioi 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β : Type u_1
AddCommGroup β
s : β
X Y : CategoryTheory.GradedObjectWithShift s C
f : X ⟶ Y
t : β
n : ℤ
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor (CategoryTheory.GradedObjectWithShift s C) n).map f t = f (t + n • s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented C
⊢ (CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.toArrow.obj X).left = X.left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x : E
hK : Dense ↑K
h : ∀ (v : ↥K), ⟪↑v, x⟫_𝕜 = 0
⊢ x = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
e : C ≌ C
⊢ e ^ 0 = CategoryTheory.Equivalence.refl
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
a : α
h : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
hf : HasSum f a
⊢ IsLUB (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, f i) a
X : TopCat
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map U.inclusion).obj U = ⊤
a b : Int
⊢ a ∣ b → b % a = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Filter.IsBounded r ⊥ ↔ Nonempty α
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
s s' : Set α
t t' : Set β
hs : s =ᵐ[μ] s'
ht : t =ᵐ[ν] t'
⊢ s ×ˢ t =ᵐ[μ.prod ν] s' ×ˢ t'
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ (a ∆ b)ᶜ = a ⇔ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n a : ℤ
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.shift 0 a = 0
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
s : Set ↑(X.presheaf.obj (op U))
i : ↑(X.presheaf.obj (op U))
a✝ : i ∈ s
⊢ IsOpen ↑(X.basicOpen i)
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ n₂ : ℕ
hn : n₁ ≤ n₂
hf0 : f ≠ 0
g₁ : F[X]
hg₁ : g₁.Separable
hgf₁ : (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
hgf₂ : (expand F (p ^ n₂)) g₂ = f
⊢ n₁ = n₂ ∧ g₁ = g₂
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : PresheafedSpace CommRingCat
Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝.toPresheafedSpace
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ (toScheme Y f.val).toLocallyRingedSpace = X.toLocallyRingedSpace
α : Type u_1
β : Type u_2
SupSet α
SupSet β
s : Set (α × β)
⊢ (sSup s).2 = sSup (Prod.snd '' s)
x : ℝ
n : ℤ
⊢ ↑(Polynomial.eval x (Polynomial.Chebyshev.T ℝ n)) = Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.Chebyshev.T ℂ n)
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
Semiring R₁
Semiring R₂
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
α : Type u_18
f : M₂ → α
g : M₁ → α
⊢ f = g ∘ ⇑e₁₂.symm ↔ f ∘ ⇑e₁₂ = g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
⊢ s.einfsep = ⊤ ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → edist x y = ⊤
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
c : ι → R
m : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
j : ι
s : Finset ι
j_not_mem_s : j ∉ s
Hrec : f (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ s, c i) • f m
A : update (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) j (m j) = s.piecewise (fun i => c i • m i) m
⊢ f ((insert j s).piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ insert j s, c i) • f m
α : Type u_1
Lattice α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ (a ⊓ b) * (a ⊔ b) = a * b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
V : TopologicalSpace.Opens ↑↑Y
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X
h : V = (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor f).obj U
⊢ CategoryTheory.IsIso (f.c.app (Opposite.op V))
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G ≃* N
K : Subgroup G
⊢ Subgroup.map (↑f) K = Subgroup.comap (↑f.symm) K
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
⊢ ∃ B ε, 0 < ε ∧ ball x ε ⊆ ball z R ∧ ∀ (t : ℝ), ∀ y ∈ ball x ε, ‖circleTransformDeriv R z y f t‖ ≤ B
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ t ∈ s.ssubsets ↔ t ⊂ s
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.snd R₁ M₁ M₂) = LinearMap.snd R₁ M₁ M₂
n : ℕ
h : 0 < ↑n
x : ↑I
h' : ↑n ≠ 0
this : (Polynomial.aeval ↑x) (∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (n • Polynomial.X - ↑ν) ^ 2 * bernsteinPolynomial ℝ n ν) = (Polynomial.aeval ↑x) (n • Polynomial.X * (1 - Polynomial.X))
⊢ ∑ i : Fin (n + 1), (↑x - ↑↑i / ↑n) ^ 2 * (bernstein n ↑i) x * ↑n * ↑n = ↑x * (1 - ↑x) * ↑n
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
⊢ EuclideanGeometry.inversion c R ⁻¹' Metric.sphere y (dist y c) =
  insert c ↑(AffineSubspace.perpBisector c (EuclideanGeometry.inversion c R y))