ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
AddMonoid M
S T : AddSubmonoid M
⊢ (S ⊓ T).addUnits = S.addUnits ⊓ T.addUnits
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
⊢ ↑↑b + ↑(-↑a) = ↑(-↑a + ↑b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
s : Set 𝕜
x : 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt (⇑f) (f.linear 1) s x
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
⊢ ‖f m‖ / ∏ i : ι, ‖m i‖ ≤ ‖f‖
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
f : ι → G
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
K : ι → Subgroup G
hind : CompleteLattice.Independent K
hmem : ∀ x ∈ s, f x ∈ K x
heq1 : s.noncommProd f comm = 1
i : ι
⊢ i ∈ s → f i = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.46503, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
W : A
f g : W ⟶ R.obj (op X)
h : ∀ (i : S.Arrow), f ≫ R.map i.f.op = g ≫ R.map i.f.op
j : StructuredArrow (op X) G.op
⊢ ∀ (I : GrothendieckTopology.Cover.Arrow ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback j.hom.unop ↑S), ⋯⟩), (f ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op X)).π.app j) ≫ F.map I.f.op = (g ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op X)).π.app j) ≫ F.map I.f.op
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
Fintype ι
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
Fintype ι'
f : ι' ≃ ι
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piCongrLeft α f)) (MeasureTheory.Measure.pi fun i' => μ (f i'))
  (MeasureTheory.Measure.pi μ)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t
⊢ Computation.LiftRel Equiv ((fun o => Option.recOn o nil Prod.snd) <$> s.destruct) ((fun o => Option.recOn o nil Prod.snd) <$> t.destruct)
α : Type u
DecidableEq α
Fintype α
x y : α
h : x ≠ y
⊢ Equiv.Perm.sign (Equiv.swap x y) = -1
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a✝ x y : E
h : ∃ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + t • y ∈ s
a : ℕ → ℝ
ha : Tendsto a atTop (𝓝[>] 0)
has : ∀ (n : ℕ), x + a n • y ∈ s
⊢ y ∈ posTangentConeAt s x
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
n : Nat
a : α
h : 0 < n
⊢ List.insert a (List.replicate n a) = List.replicate n a
α : Type u_1
sel : Set α → Option α
n₁ n₂ : ℕ
a : α
s : Set α
h_sel : ∀ (s : Set α) (a : α), sel s = some a → a ∈ s
h₁ : Set.enumerate sel s n₁ = some a
h₂ : Set.enumerate sel s n₂ = some a
⊢ n₁ = n₂
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
⊢ s.points i ∈ s.altitude i
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x - d) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in c * a - d..c * b - d, f x
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a b : α
⊢ -(a - b) = b - a
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α × β → StieltjesFunction
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
self : ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF f κ ν
p : α × β
⊢ Filter.Tendsto (↑(f p)) Filter.atBot (𝓝 0)
α : Type u
s : Finset α
⊢ (↑s).Countable
α : Type u_2
DecidableEq α
BooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ s.compls ⊼ t = t.diffs s
n : ℕ
h : 0 < ↑n
x : ↑I
h' : ↑n ≠ 0
⊢ ∑ i : Fin (n + 1), (↑x - ↑↑i / ↑n) ^ 2 * (bernstein n ↑i) x * ↑n * ↑n = ↑x * (1 - ↑x) * ↑n
n m : ℕ
p i : Fin n
⊢ p.predAbove (p.castSucc.succAbove i) = i
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
K.HasHomology i
K.HasHomology j
⊢ K.pOpcycles i ≫ K.opcyclesToCycles i j = K.toCycles i j
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ (t \ s).card + s.card = t.card
α : Type u_3
AddGroup α
a : α
⊢ (↑(AddSubgroup.zmultiples a)).Finite ↔ IsOfFinAddOrder a
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
i : Fin n
j : Fin n.succ
hik : ¬i = k
⊢ M' i.succ j = N i.succ j + c i * M' i.castSucc j
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t : Set α
hs : SupClosed s
ht : SupClosed t
⊢ SupClosed (s ∩ t)
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
s : Set A
⊢ s ∈ 𝓝 0 ↔ ∃ i, True ∧ ↑(B i) ⊆ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
S T : ConvexCone 𝕜 E
h : T ≤ S
⊢ S.Salient → T.Salient
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : BorelSpace E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace E
inst✝ : LocallyCompactSpace F
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this : FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ (∀ᵐ (y : F) ∂ν, ∀ᵐ (x : E) ∂μ, y + L x ∈ s) ↔ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0
x : G
lx : IsLeftRegular x
⊢ (single x r * f).support = image (fun x_1 => x * x_1) f.support
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h : IsFiniteMeasure μ
g : ℕ → α → ℝ≥0∞
hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f
hgle : ∀ (n : ℕ), g n ≤ ↑n
hgint : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), min (f a) ↑n ∂μ = ∫⁻ (a : α), g n a ∂μ
φ : α → ℝ≥0∞ := fun x => ⨆ n, g n x
hφm : Measurable φ
hφle : φ ≤ f
s : Set α
⊢ ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral (μ.restrict s) ≤ ∫⁻ (a : α) in s, φ a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
n : ℕ
⊢ Subtype.val ⁻¹' {y | y n = true} = ⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯) '' natGeneratingSequence α n
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝⁴ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hab : a < b
hcd : c < d
⊢ a * d + b * c < a * c + b * d
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ a.im ^ 2 = -↑(Quaternion.normSq a.im)
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : NonUnitalCommSemiring R
A : Matrix m n R
B : Matrix n p R
C : Matrix p m R
⊢ (A * (B * C)).trace = (C * (A * B)).trace
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ (f.hom ▷ P.X ≫ N.X ◁ g.hom) ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ g.hom) (N.X ◁ g.hom) ⋯ ⋯)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Ideal R
x : P'
⊢ x ∈ map g ↑I ↔ x ∈ ↑I
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor T D
⊢ ∀ {X_1 Y : CategoryTheory.Over X} (f : X_1 ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Over.post F).map f = CategoryTheory.Over.homMk (F.map f.left) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
ν' : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
t : Set α := h.nullSet
ht : MeasurableSet t
this : μ.rnDeriv ν' =ᶠ[ae (ν.restrict t)] (μ.restrict t).rnDeriv ν'
⊢ rnDeriv 0 ν' =ᶠ[ae ν'] 0
n : Nat
i j : Fin n
⊢ i.rev < j.rev ↔ j < i
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
a b : WithTop α
⊢ a * b = if a = 0 ∨ b = 0 then 0 else WithTop.map₂ (fun x x_1 => x * x_1) a b
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
c : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
s t : Set ℝ
intervalIntegral.FTCFilter a (𝓝[s] a) (𝓝[t] a)
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝[t] a) MeasureTheory.volume
ha : Filter.Tendsto f (𝓝[t] a ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 c)
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) (-c) s a
R : Type u
OrderedCommRing R
StarRing R
StarOrderedRing R
Algebra ℝ R
OrderedSMul ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
⊢ A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁ ≤ 2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : C
⊢ CategoryTheory.Injective J ↔ (CategoryTheory.yoneda.obj J).PreservesEpimorphisms
M : Type u_2
MulOneClass M
x : Submonoid Mᵐᵒᵖ
⊢ ↑x.unop = MulOpposite.op ⁻¹' ↑x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
⊢ h.toComonad.δ = CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.whiskerLeft R h.unit) L
α : Type u_1
Mul α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
h₁ : a < b
h₂ : c < d
⊢ a * c < b * d
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
N : Type u_5
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
M : Type u_6
AddCommGroup M
TopologicalSpace M
TopologicalAddGroup M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
w : MeasureTheory.VectorMeasure α N
h : v ≪ᵥ w
⊢ -v ≪ᵥ w
a b : Int
h₁ : a = b
⊢ -a = -b
E : Type u_3
PE : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
StrictConvexSpace ℝ E
MetricSpace PE
NormedAddTorsor E PE
r : ℝ
x y z : PE
hxy : dist x y = r * dist x z
hyz : dist y z = (1 - r) * dist x z
⊢ y = (AffineMap.lineMap x z) r
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
E : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} E
⊢ ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D E).obj L).Faithful
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
⊢ (cs.leftInvSeq ω).length = ω.length
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
R : Type u_13
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedRing R
g : α → F
f' : α → E'
l : Filter α
Module R E'
BoundedSMul R E'
h : f' =o[l] g
c : R
⊢ (c • f') =o[l] g
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ sᶜ ∈ coclosedCompact X ↔ IsCompact (closure s)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
S : Subalgebra R A
T : Subalgebra R B
hS : S.FG
hT : T.FG
⊢ (S.prod T).FG
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
Preorder β
OrderClosedTopology β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet {a | f a ≤ g a} μ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun e => -f e
α : Type u_1
m₁ m₂ : MeasurableSpace α
⊢ m₁ = m₂ ↔ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s ↔ MeasurableSet s
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
hP : P.parts = ∅
⊢ P.IsUniform G ε
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ i, S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), μ (S i ∩ s) < ⊤
h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s
h_eq_forall : (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ) = fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ
h_right : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ))
h_left : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ))
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
C₁ : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁
W₁ : MorphismProperty C₁
C₂ : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₂ : MorphismProperty C₂
D₁ : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
W : ?m.28304
X Y Z : C₁
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Y)
G : D₁ ⥤ D₂
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G
g : W₁.Q.obj X ⟶ W₁.Q.obj Y
G' : W₁.Localization ⥤ W₂.Localization := Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q
β : Φ.functor ⋙ W₂.Q ≅ W₁.Q ⋙ G' := CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q G'
E₁ : W₁.Localization ⥤ D₁ := (uniq W₁.Q L₁ W₁).functor
α₁ : W₁.Q ⋙ E₁ ≅ L₁ := compUniqFunctor W₁.Q L₁ W₁
E₂ : W₂.Localization ⥤ D₂ := (uniq W₂.Q L₂ W₂).functor
α₂ : W₂.Q ⋙ E₂ ≅ L₂ := compUniqFunctor W₂.Q L₂ W₂
γ : G' ⋙ E₂ ≅ E₁ ⋙ G := liftNatIso W₁.Q W₁ (W₁.Q ⋙ G' ⋙ E₂) (W₁.Q ⋙ E₁ ⋙ G) (G' ⋙ E₂) (E₁ ⋙ G) ((W₁.Q.associator G' E₂).symm ≪≫ isoWhiskerRight β.symm E₂ ≪≫ Φ.functor.associator W₂.Q E₂ ≪≫ isoWhiskerLeft Φ.functor α₂ ≪≫ e ≪≫ isoWhiskerRight α₁.symm G ≪≫ W₁.Q.associator E₁ G)
hγ : ∀ (X : C₁), γ.hom.app (W₁.Q.obj X) = E₂.map (β.inv.app X) ≫ α₂.hom.app (Φ.functor.obj X) ≫ e.hom.app X ≫ G.map (α₁.inv.app X)
⊢ α₂.inv.app (Φ.functor.obj X) ≫ E₂.map (β.hom.app X) ≫ E₂.map (G'.map g) ≫ E₂.map (β.inv.app Y) ≫ α₂.hom.app (Φ.functor.obj Y) = e.hom.app X ≫ G.map (α₁.inv.app X) ≫ (γ.inv.app (W₁.Q.obj X) ≫ (G' ⋙ E₂).map g ≫ γ.hom.app (W₁.Q.obj Y)) ≫ G.map (α₁.hom.app Y) ≫ e.inv.app Y
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
x : S ⊗[R] T
hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal
hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
h₁ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal
h₂ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∉ p₂.asIdeal
h₃ : t ∉ Ideal.comap g p₁.asIdeal
h₄ : a ∉ Ideal.comap (algebraMap S (S ⊗[R] T)) p₁.asIdeal
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
⊢ Primrec₂ fun x b => b
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional k V
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1
s : Set P
b : AffineBasis (↑s) k P
hb : ⇑b = Subtype.val
⊢ Nonempty (AffineBasis ι k P)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
n : ℤ
a : α
⊢ a ∈ Set.Ico (↑n) (↑n + 1) → ↑⌊a⌋ = ↑n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
PerfectRing R p
S : Type u₂
CommSemiring S
CharP S p
f g : R →+* Ring.Perfection S p
hfg : ∀ (x : R), (Perfection.coeff S p 0) (f x) = (Perfection.coeff S p 0) (g x)
⊢ f = g
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
DecidableEq o
Zero α
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
k : o
i : m' k
j : n' k
⊢ Matrix.blockDiagonal' M ⟨k, i⟩ ⟨k, j⟩ = M k i j
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
i : ι
hxy : |x i - y i| ≤ δ / 4
hz : |x i - 3 / 4 * δ - z i| ≤ δ / 4
⊢ z i < y i
k n x : ℕ
left✝ : n ≤ k
h : n + 1 = x
⊢ x = n + 1
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a : α
C : α → Sort u_2
WellFoundedLT α
H_succ : (a : α) → ¬IsMax a → C a → C (Order.succ a)
H_lim : (a : α) → Order.IsSuccLimit a → ((b : α) → b < a → C b) → C a
ha : Order.IsSuccLimit a
⊢ SuccOrder.limitRecOn a H_succ H_lim = H_lim a ha fun x x_1 => SuccOrder.limitRecOn x H_succ H_lim
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T
hgw : w ∈ g.reverse.language
⊢ w.reverse ∈ g.language
R : Type u_4
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
e : R ≃+* S
y : S
⊢ e.toRingHom (e.symm.toRingHom y) = y
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : AntitoneOn f s
⊢ MonotoneOn (fun x => Set.Ici (f x)) s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
⊢ IsOpen (u ∩ v)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
Zero M'
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n 0 s x
K : Type u_1
L : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : LieAlgebra K L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent K L
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ (M : Type u_4) [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : LieRingModule L M] [inst_2 : Module K M] [inst_3 : LieModule K L M] [inst_4 : FiniteDimensional K M] [inst_5 : IsTriangularizable K L M], finrank K M = m → ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : Module K M
inst✝² : LieModule K L M
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
h_dim : finrank K M = n
y : L
hy : ¬∃ φ, weightSpaceOf M φ y = ⊤
⊢ ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤
M : Type u_1
Zero M
l : List M
DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0
n : ℕ
hn : n < l.length
⊢ l.toFinsupp n = l.get ⟨n, hn⟩
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ (∃ B, B * A = 1) ↔ IsUnit A
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α
⊢ ⋃ n, Icc (a + ↑n) (a + ↑n + 1) = univ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
t : ι → Set β
f : α → β
H : ∀ (i : ι), Set.BijOn f (s i) (t i)
⊢ Set.BijOn f (⋃ i, s i) (⋃ i, t i)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X✝ : SimplicialObject C
s✝ : Splitting X✝
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
n : ℕ
A : IndexSet (op [n])
hA : ¬A.EqId
⊢ (s.cofan (op [n])).inj A ≫ PInfty.f n = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace V
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : SeparatingDual R V
W : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module R W
inst✝ : FiniteDimensional R W
f : W →ₗ[R] V
hf : Injective ⇑f
⊢ Surjective (⇑f.dualMap ∘ ContinuousLinearMap.toLinearMap)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
l : F → E
t : Set F
hl : DifferentiableWithinAt 𝕜 l t (f x)
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hs : Set.MapsTo f s t
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (l ∘ f) s x = (fderivWithin 𝕜 l t (f x)) (derivWithin f s x)
α : Type u_8
β : Type u_9
CompleteLattice α
CompleteLattice β
self : FrameHom α β
s : Set α
⊢ self.toFun (sSup s) = sSup (self.toFun '' s)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
⊢ a ∈ p.roots ↔ p ≠ 0 ∧ p.IsRoot a
α : Type u
l : List α
h : l.length - 1 < l.length
⊢ l.get ⟨l.length - 1, h⟩ = l.getLast ⋯
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ 0 < ∏ i ∈ Finset.range 2, (m - ↑i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
rk : α → ℕ
s : Set α
⊢ (∃ x, IsBadSeq r s x) ↔ ∃ f, IsBadSeq r s f ∧ ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq r rk s n f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
self : CategoryTheory.SplitEpiCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
⊢ CategoryTheory.IsSplitEpi f
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hs : IsCompact (f '' s)
F : Filter X
F_ne_bot : F.NeBot
F_le : F ≤ 𝓟 s
⊢ ∃ x ∈ s, ClusterPt x F
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h₁ : HasDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasDerivAt (fun t => Complex.log (f t)) (f' / f x) x
ι : Type v
L : ι → Type w
(i : ι) → LieRing (L i)
DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
x : L i
y : L j
⊢ ⁅(DirectSum.of L i) x, (DirectSum.of L j) y⁆ = 0
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ ↑x ≤ ↑y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : T0Space α
s : Set α
h : IsComplete s
a : α
ha : ClusterPt a (𝓟 s)
f : Filter α := 𝓝[s] a
⊢ a ∈ s
α : Type u
p : Set α → Prop
⊢ (∃ s, s.Finite ∧ p s) ↔ ∃ s, p ↑s
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ∣ b
hc : c > 0
ha : a > 0
⊢ b ^ c = a ^ c * (b / a) ^ c
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc a b
⊢ (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x = (fourier (-n)) ↑x • f x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Monotone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgb : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ Finset.range n, z i‖ ≤ b
⊢ CauchySeq fun n => -∑ x ∈ Finset.range n, (f (x + 1) + -f x) • ∑ i ∈ Finset.range (x + 1), z i
G : Type u_1
g₁ g₂ : CommGroup G
h_mul : Mul.mul = Mul.mul
⊢ g₁ = g₂