ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{?u.66927, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{?u.66931, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.66935, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{?u.66939, u_4} C₄
inst✝² : Category.{?u.66943, u_5} C₁₂
inst✝¹ : Category.{?u.66947, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ : GradedObject I₁ C₁
inst✝ : ∀ (X₂ : GradedObject I₂ C₂) (X₃ : GradedObject I₃ C₃), ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ Y₃ Z₃ : GradedObject I₃ C₃
φ : X₃ ⟶ Y₃
ψ : Y₃ ⟶ Z₃
j : J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) (φ ≫ ψ) j = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) φ ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) ψ) j
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
h : ∀ (c : α), CompleteLattice.IsCompactElement c → c ≤ a → c ≤ b
⊢ sSup {c | CompleteLattice.IsCompactElement c ∧ c ≤ a} ≤ sSup {c | CompleteLattice.IsCompactElement c ∧ c ≤ b}
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hG : G.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = (eval r) G
hnR : ↑n ≤ #R
⊢ F = G
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ (CategoryTheory.prod.leftUnitorEquivalence C).counitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.prod.leftInverseUnitor C ⋙ CategoryTheory.prod.leftUnitor C)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
H : G.Subgraph
c : H.coe.ConnectedComponent
hw : w ∈ H.verts
hadj : H.Adj v w
w✝ : ↑H.verts
h : w✝ ∈ ↑c ∧ ↑w✝ = v
⊢ w ∈ Subtype.val '' ↑c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : DecidableEq β
hf : HasProd f a
b : β
⊢ (fun n => if n = b then 1 else f n) = update f b 1
a b c d n : ℕ
z : ℝ
hz : z ≤ (↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries n
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : a ^ 2 * d ≤ (2 * d + c) * b ^ 2
⊢ (↑a / ↑b) ^ 2 ≤ 2 + ↑c / ↑d
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
⊢ IsIntegral A (∑ i : ι, b.equivFun (discr K ⇑b • a * x) i • b i)
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M
x : M
hx : x ∈ closure s
⊢ ∃ l, (∀ y ∈ l, y ∈ s) ∧ l.prod = x
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a : R
n✝ : ℕ
H : -1 ≤ a
n : ℕ
⊢ 1 + ↑n * (a - 1) ≤ a ^ n
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ Lagrange.basis {j, i} v j = basisDivisor (v j) (v i)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_3
CommMonoid S
DistribMulAction S M
SMulCommClass S R M
⊢ Module.IsTorsion' M S ↔ Submodule.torsion' R M S = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf✝ : _root_.Continuous f
h : Monotone f
c : Chain (Scott α)
z : Scott β
hf : Monotone fun x => x ∈ f ⁻¹' notBelow z
hf' : (¬f (ωSup c) ≤ z) = ωSup (c.map { toFun := fun x => ¬f x ≤ z, monotone' := ⋯ })
⊢ { toFun := f, monotone' := h } (ωSup c) ≤ z ↔ ωSup (c.map { toFun := f, monotone' := h }) ≤ z
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
hne : (univ.pi s).Nonempty
hc : IsPreconnected (univ.pi s)
i : ι
⊢ IsPreconnected (s i)
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r r' : X
s s' : ↥S
rb sb : R
h : sb * ↑s = rb * ↑s'
h' : sb * ↑s ∈ S
⊢ r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sb • r + rb • r') /ₒ ⟨sb * ↑s, h'⟩
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.IsDetecting ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
h : (x :: xs).Nodup
⊢ (map (fun p => x ::ₛ p) (List.sym n (x :: xs))).Disjoint (List.sym (n + 1) xs)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a b : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a b ∈ M
hab' : a ≠ b
hbc : swap b a ∈ M
⊢ swap a a ∈ M
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
M₂ : Type u_5
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L M₂
LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ LieSubmodule.map f (LieModule.weightSpace M χ) ≤ LieModule.weightSpace M₂ χ
R : Type u_1
Finite R
CommRing R
IsReduced R
CharP R 2
a : R
⊢ IsSquare a
θ : ℝ
⊢ (Complex.cos ↑θ + Complex.sin ↑θ * Complex.I).arg = toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ
X : Type u_1
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
Fintype n
Mul R
AddCommMonoid R
ContinuousAdd R
ContinuousMul R
A B : X → n → R
hA : Continuous A
hB : Continuous B
⊢ Continuous fun x => A x ⬝ᵥ B x
x : ℝ
⊢ Real.cos (Real.arctan x) = 1 / √(1 + x ^ 2)
S : Type u_1
R : Type u
M : Type v
CommSemiring S
Semiring R
AddCommMonoid M
Algebra S R
Module S M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
IsScalarTower S R M
IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
s : S
⊢ (algebraMap S (tsze R M)) s = TrivSqZeroExt.inl ((algebraMap S R) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ l l' : List α
x✝ : α
h : x✝ ∈ {x | (zipWith swap l l').prod x ≠ x}
⊢ x✝ ∈ ↑(l.toFinset ⊔ l'.toFinset)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
hs : IsOpen s
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → ContinuousAt f a
a : ℤ
p : ℕ
pp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ↑a = 0 ↔ a.gcd ↑p ≠ 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → ℂ
x : E
hc : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun x => Complex.exp (f x)) x
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b x : α
⊢ x ∈ Multiset.Icc a b ↔ a ≤ x ∧ x ≤ b
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen V
h'V : μ V < ⊤
hV : μ (V \ s) < ↑η
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : μ v < ⊤
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (⇑g) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1
g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖
gc_bd : ∀ (x : α), ‖g x • c - s.indicator (fun _x => c) x‖ ≤ ‖(v \ s).indicator (fun _x => c) x‖
gc_support : (Function.support fun x => g x • c) ⊆ v
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p μ
α : Type u
self : BooleanAlgebra α
a : α
⊢ a ≤ ⊤
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : HasTrivialRadical R L
⊢ IsLieAbelian ↥↑(radical R L)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ : 0 ≤ δ
hscard : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
htcard : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
⊢ |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
⊢ (Finset.image f s).Nonempty ↔ s.Nonempty
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
F : LinearMap.BilinForm R M
f g : Module.End R M
⊢ B.IsAdjointPair F f g ↔ F.compLeft f = B.compRight g
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
⊢ 𝓤 α = Filter.comap (fun x => -x.1 + x.2) (𝓝 0)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
⊢ Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
α : Type u
β : α → Type v
C : Finmap β → Prop
s : Finmap β
H : ∀ (a : AList β), C ⟦a⟧
⊢ C s
α : Type u_1
UniformSpace α
β : Type u_2
UniformSpace β
γ : Type u_3
UniformSpace γ
δ : Type u_4
TopologicalSpace δ
f : α → β → γ
a : δ → UniformSpace.Completion α
b : δ → UniformSpace.Completion β
ha : Continuous a
hb : Continuous b
⊢ Continuous fun d => UniformSpace.Completion.map₂ f (a d) (b d)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hνμ : ν ≪ μ
⊢ ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity fun x => (μ.rnDeriv ν x)⁻¹) = ν
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
U : Set 𝕜
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hg : AnalyticOn 𝕜 g U
hU : IsPreconnected U
h₀ : z₀ ∈ U
hfg : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = g z
⊢ Set.EqOn f g U
R : Type u_1
Semiring R
P : Cubic R
⊢ P.toPoly = 0 ↔ P = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p univ ↔ TendstoLocallyUniformly F f p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.EnoughProjectives C
X : C
⊢ Nonempty (CategoryTheory.ProjectivePresentation X)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hy : y ≠ 0
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0
⊢ legendreSym p a = 1
k✝ G✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing k✝
inst✝⁶ : Monoid G✝
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : Monoid G
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Module k W
ρ : G →* V →ₗ[k] V
σ : G →* W →ₗ[k] W
f : V →ₗ[k] W
w : ∀ (g : G), f ∘ₗ ρ g = σ g ∘ₗ f
r : MonoidAlgebra k G
x : V
⊢ ∀ (g : G), f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) ((MonoidAlgebra.of k G) g)) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) ((MonoidAlgebra.of k G) g)) (f x)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
⊢ Mono (S₂.f ≫ e.inv.τ₂)
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
e : M ≃+ M₂
⊢ ↑e.toNatLinearEquiv = e
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ Metric.ball x ε ⊆ Metric.closedBall x ε
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
hb : a ≤ b
hc : a ≤ c
⊢ a ≤ b ⊓ c
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : α → Type u_6
Preorder ι
s : ι → Set α
(i : ι) → DecidablePred fun x => x ∈ s i
DecidablePred fun x => x ∈ ⋂ i, s i
hs : Antitone s
f g : (a : α) → β a
a : α
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in Filter.atTop, (s i).piecewise f g a = (⋂ i, s i).piecewise f g a
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
⊢ ⇑h.toHomeomorph.symm = ⇑h.symm
R : Type w
Ring R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
X : C
⊢ ∀ {X_1 Y : Cᵒᵖ} (f : X_1 ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.linearYoneda R C).obj X).map f = ModuleCat.ofHom (CategoryTheory.Linear.leftComp R X f.unop)
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Matrix V V α
inst✝¹ : MulZeroOneClass α
inst✝ : Nontrivial α
h : A.IsAdjMatrix
i j : V
⊢ ¬A i j = 0 ↔ A i j = 1
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]y] ⊆ s
⊢ [x-[ℝ]x + (y - x)] ⊆ s
L : FirstOrder.Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
L.IsOrdered
L.Structure M
LE M
L.OrderedStructure M
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin n)
v : α → M
xs : Fin n → M
⊢ (t₁.le t₂).Realize v xs ↔
  FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim v xs) t₁ ≤ FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim v xs) t₂
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
s : σ
x : List α
⊢ x ∈ M.acceptsFrom s ↔ M.evalFrom s x ∈ M.accept
R : Type u_1
Semiring R
a : R
n : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R (n + 1)) ((PowerSeries.C R) a) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
⊢ IsLocallyClosed s ↔ ∀ (i : ι), IsLocallyClosed (Subtype.val ⁻¹' s)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
a b : ℝ≥0
hpq : p ≤ q
hab : a ≤ b
⊢ a • p ≤ b • q
α : Type u_1
Unique α
⊢ Nat.card α = 1
⊢ ↑ModularGroup.S = !![0, -1; 1, 0]
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
hq : q.Monic
hp : p.leadingCoeff ≠ 0
hq0 : q ≠ 0
hlt : q.natDegree ≤ p.natDegree
⊢ p.leadingCoeff = (q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).leadingCoeff
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
v : V
hv : v ≠ 0
⊢ ∃ a, a • v = (Projectivization.mk K v hv).rep
n : ℕ
⊢ finSumFinEquiv.symm (Fin.last n) = Sum.inr 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α
⊢ 0 < s.infsep ↔ 0 < s.einfsep ∧ s.einfsep < ⊤
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
x : M
n : ℕ∞
c : M'
⊢ ContMDiffAt I I' n (fun x => c) x
a b : Int
⊢ (a - b).natAbs ≤ a.natAbs + b.natAbs
I : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} I
B : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory B
CategoryTheory.Bicategory.Strict B
F : CategoryTheory.Functor I B
⊢ ∀ {a b : CategoryTheory.LocallyDiscrete I} {f g : a ⟶ b} (η : f ⟶ g), F.toOplaxFunctor.map₂ η = CategoryTheory.eqToHom ⋯
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
S T : Submonoid N
⊢ Submonoid.comap f S ≤ Submonoid.comap f T ↔ S ≤ T
R : Type u
Ring R
J : Type
Finite J
f : J → ModuleCat R
j : J
⊢ (ModuleCat.biproductIsoPi f).inv ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j = LinearMap.proj j
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
V : (TopologicalSpace.Opens ↑↑X)ᵒᵖ
⊢ (X.ofRestrict h).c.app V = X.presheaf.map (⋯.adjunction.counit.app (Opposite.unop V)).op
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasEqualizers C
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : f = 0
inst✝ : HasImage f
⊢ (eqToIso h).hom ≫ ι 0 = 0
α : Type u
s : Computation α
h : s.Terminates
n : ℕ
⊢ (s.thinkN n).get = s.get
C : Type u₁
inst✝¹³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝¹² : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
A : Type u₃
inst✝¹¹ : Category.{v₃, u₃} A
inst✝¹⁰ : EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} C
B : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{?u.115187, u_1} B
F : A ⥤ B
inst✝⁸ : HasSheafify ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J) A
inst✝⁷ : ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J).HasSheafCompose F
inst✝⁶ : G.IsCoverDense J
inst✝⁵ : G.IsContinuous K J
inst✝⁴ : G.Full
inst✝³ : (G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj
inst✝² : G.IsCocontinuous K J
hG : CoverPreserving K J G
inst✝¹ : ConcreteCategory A
inst✝ : K.WEqualsLocallyBijective A
X✝ Y✝ : Cᵒᵖ ⥤ A
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ J.W f ↔ Presheaf.IsLocallyInjective J f ∧ Presheaf.IsLocallySurjective J f
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g g' : G
hg : g ∈ N
hg' : g' ∈ N
hc : IsConj g g'
ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤
⊢ normalClosure {⟨g', hg'⟩} = ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
x : X
g : Y → Z
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g (f x)
⊢ ContinuousAt (g ∘ f) x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_7
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → α
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : (s.inf fun i => (t i).sup (f i)) = (s.pi t).sup fun g => s.attach.inf fun i => f (↑i) (g ↑i ⋯)
c : α
h : ∀ (b : (a : ι) → a ∈ insert i s → κ a), (∀ (a : ι) (h : a ∈ insert i s), b a h ∈ t a) → f i (b i ⋯) ⊓ s.attach.inf ((fun i_1 => f (↑i_1) (b ↑i_1 ⋯)) ∘ fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ≤ c
a : κ i
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
ha : a ∈ t i
hg : ∀ (a : ι) (h : a ∈ s), g a h ∈ t a
aux : ∀ (j : { x // x ∈ s }), ↑j ≠ i
⊢ (f i a ⊓ s.attach.inf fun i => f (↑i) (g ↑i ⋯)) ≤ c
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsStronglyCartesian f φ
⊢ CategoryTheory.Functor.IsStronglyCartesian.map p f φ ⋯ φ = 𝟙 a
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : Module R F
inst✝³ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝² : (x : B) → Module R (E x)
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear R e
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e'
b : B
hb : b ∈ e'.baseSet ∩ e.baseSet
⊢ (coordChangeL R e e' b).symm.toLinearEquiv = (coordChangeL R e' e b).toLinearEquiv
x : PGame
h : 0 < x
⊢ x⁻¹ = x.inv'
m n : ℕ
a : ℤ
b : ℕ
⊢ ↑(a % ↑b) = ↑a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
⊢ ∃ W h, CategoryTheory.CategoryStruct.comp h f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h g
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s₁ s₂ : Set α
⊢ omegaLimit f ϕ (s₁ ∩ s₂) ⊆ omegaLimit f ϕ s₁ ∩ omegaLimit f ϕ s₂
α : Type u_1
Add α
x y : α
⊢ AddCommute (AddOpposite.op x) (AddOpposite.op y) ↔ AddCommute x y
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
K : Set X
K_closed : IsClosed K
x : X
x_notin_K : x ∉ K
g : X → ↑unitInterval
g_cont : Continuous g
gx_zero : g x = 0
g_one_on_K : EqOn g 1 K
g_bdd : ∀ (x y : X), dist (↑(g x)).toNNReal (↑(g y)).toNNReal ≤ 1
⊢ ∃ f, f x = 1 ∧ ∀ y ∈ K, f y = 0
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ Multiset.card s = 3 ↔ ∃ x y z, s = {x, y, z}
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
Fintype n
A B : ↥(LieAlgebra.SpecialLinear.sl n R)
⊢ ↑⁅A, B⁆ = ↑A * ↑B - ↑B * ↑A
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : (AlgebraicGeometry.SheafedSpace C)ᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.SheafedSpace.Γ.map f = f.unop.c.app (Opposite.op ⊤)
n m k : Nat
h : n + m = k + m
⊢ n = k
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ W'.addX P P = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
x : E
hs : s ∈ K.faces
⊢ (convexHull 𝕜) ↑s ⊆ K.space
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ sup (o.familyOfBFamily f) = lsub (o.familyOfBFamily f) ↔ ∀ a < lsub (o.familyOfBFamily f), succ a < lsub (o.familyOfBFamily f)
x y : ℂ
⊢ Complex.cosh (x - y) = Complex.cosh x * Complex.cosh y - Complex.sinh x * Complex.sinh y
R : Type u
inst✝² : CommRing R
E : EllipticCurve R
j : R
inst✝¹ : Invertible j
inst✝ : Invertible (j - 1728)
⊢ (ofJ' j).j = j
x y : SetTheory.PGame
⊢ -y < x ↔ -x < y
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
S : J.Cover X
x : CategoryTheory.Meq P S
Y : C
f g : Y ⟶ X
h : f = g
hf : S.sieve.arrows f
⊢ ↑x { Y := Y, f := f, hf := hf } = ↑x { Y := Y, f := g, hf := ⋯ }
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).toReal = OfNat.ofNat n
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
this : ∀ (p : ℕ → Prop) {r : ℕ → ℝ}, Tendsto r atTop (𝓝[>] 0) → blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p
r' : ℕ → ℝ := fun i => if 0 < r i then r i else 1 / (↑i + 1)
hr' : Tendsto r' atTop (𝓝[>] 0)
h₀ : ∀ (i : ℕ), p i ∧ 0 < r i → cthickening (r i) (s i) = cthickening (r' i) (s i)
h₁ : ∀ (i : ℕ), p i ∧ 0 < r i → cthickening (M * r i) (s i) = cthickening (M * r' i) (s i)
h₂ : ∀ (i : ℕ), p i ∧ r i ≤ 0 → cthickening (M * r i) (s i) = cthickening (r i) (s i)
hp : p = fun i => p i ∧ 0 < r i ∨ p i ∧ r i ≤ 0
⊢ ((blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ 0 < r i) ∪ blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ r i ≤ 0) =ᶠ[ae μ] (blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ 0 < r i) ∪ blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ r i ≤ 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroOneClass M₀
s t : Set ι
i x✝ : ι
⊢ (s ∩ t).indicator 1 x✝ = (s.indicator 1 * t.indicator 1) x✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
⊢ LocallyConvexSpace 𝕜 E ↔ ∀ (x : E), ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ S ∈ 𝓝 x, Convex 𝕜 S ∧ S ⊆ U
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : Group G
⊢ ∀ (L : List G), L.reverse.prod = (map (fun x => x⁻¹) L).prod⁻¹
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] b) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] b) l
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.BijOn f s t
⊢ t ⊆ Set.range f
K : Type u
Field K
x y : RatFunc K
⊢ (x + y).denom ∣ x.denom * y.denom