ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C)
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.KaroubiKaroubi.counitIso C).hom.app P).f.f = P.p.f
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R
⊢ x ∈ (selfAdjoint R).carrier ↔ star x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
hg : UnifTight g p μ
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
η : ℝ≥0∞
hη_pos : 0 < η
hη : ∀ (f g : α → β), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < ↑ε
hη_top : ¬η = ⊤
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator ((f + g) i)) p μ ≤ ↑ε
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
A : Comon_ C
⊢ (F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) ≫ F.obj A.X ◁ (F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) = (F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) ≫ (F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) ▷ F.obj A.X ≫ (α_ (F.obj A.X) (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
⊢ IsCoprime I J ↔ I ⊔ J = ⊤
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
c : Cone F
i : I
h₁ : ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).hom ≫ limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i) (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd) = A.map (limit.π (F ⋙ π A) i) (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd)
h₂ : A.map (↑(c.π.app i)) (((Functor.const I).obj c.pt).obj i).snd = (F.obj i).snd
⊢ limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd)) = limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (liftedConeElement F))
n : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
⊢ map f (cyclotomic n R) = cyclotomic n S
x n : ℕ
h : Nat.Prime (x ^ n)
⊢ n = 1
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
i' : ι
j' : ι'
⊢ (b.repr (b (i, j).1 • if (i, j).2 = (i', j').2 then 1 else 0)) (i', j').1 = (single (i, j) 1) (i', j')
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α✝
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α✝ → β
α : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ IsQuasiSeparated Set.univ ↔ ∀ (U V : Set α), IsOpen U → IsCompact U → IsOpen V → IsCompact V → IsCompact (U ∩ V)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : ∀ (ε : α), 1 < ε → a < b * ε
h₁ : b < a
⊢ a < a
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ↑(o.rotation θ).toLinearEquiv = (Matrix.toLin (o.basisRightAngleRotation x hx) (o.basisRightAngleRotation x hx)) !![θ.cos, -θ.sin; θ.sin, θ.cos]
z : ℂ
hz : 1 + -z ∈ slitPlane
x✝ : ℝ
⊢ 1 - x✝ • z = 1 + x✝ • -z
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
⊢ ⌈1⌉ = 1
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
a : G
ha : ∀ (b : G), b * a ∈ H ↔ b ∉ H
b : G
hb : b ∉ H
⊢ b⁻¹ * a ∈ H
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology
⊢ ShortComplex.cyclesMap ((natIsoSc' C c i j k hi hk).inv.app K) ≫ K.iCycles j = (K.sc' i j k).iCycles
x y : SimplexCategory
i : Fin (y.len + 1)
a : Fin (x.len + 1)
⊢ (SimplexCategory.Hom.toOrderHom (x.const y i)) a = i
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ¬s.HaveLebesgueDecomposition μ ↔
  ¬s.toJordanDecomposition.posPart.HaveLebesgueDecomposition μ ∨
    ¬s.toJordanDecomposition.negPart.HaveLebesgueDecomposition μ
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h✝ : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)
x : G ⧸ ↑P
hx : orderOf x = p
h : IsPGroup p ↥(zpowers x)
Q : Subgroup G := comap (QuotientGroup.mk' ↑P) (zpowers x)
hQ : IsPGroup p ↥Q
⊢ False
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ
hR : IsJacobson R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsPrime
R' : Subring (R[X] ⧸ I) := ((Quotient.mk I).comp C).range
i : R →+* ↥R' := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict
hi : Function.Surjective ⇑i
hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I
⊢ I.jacobson = I
α : Type u_2
Fintype α
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s \ t).dens + (s ∩ t).dens = s.dens
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
G : Type u_4
AddCommGroup G
Module R G
f : E →ₗ[R] F
g : E →ₗ[R] G
hf : LinearMap.range f = ⊤
hg : LinearMap.range g = ⊤
hfg : IsCompl (LinearMap.ker f) (LinearMap.ker g)
x : E
⊢ (f.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl g hf hg hfg) x = (f x, g x)
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F✝
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝ : SecondCountableTopology F✝
f : E → F✝
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F✝
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F✝) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F✝), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : ⋃ x ∈ T, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x)) = ⋃ x, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x))
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → ↑T → Set E := fun n z => {x | x ∈ s ∧ ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n), ‖f y - f x - (f' ↑↑z) (y - x)‖ ≤ ↑(r (f' ↑↑z)) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z
closure_M_subset : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T), s ∩ closure (M n z) ⊆ M n z
d : ℕ → E
hd : DenseRange d
K : ℕ → ↑T → ℕ → Set E := fun n z p => closure (M n z) ∩ closedBall (d p) (u n / 3)
K_approx : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T) (p : ℕ), ApproximatesLinearOn f (f' ↑↑z) (s ∩ K n z p) (r (f' ↑↑z))
K_closed : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T) (p : ℕ), IsClosed (K n z p)
F : ℕ → ℕ × ↑T × ℕ
hF : Function.Surjective F
x : E
xs : x ∈ s
n : ℕ
z : ↑T
hnz : x ∈ M n z
p : ℕ
hp : x ∈ closedBall (d p) (u n / 3)
q : ℕ
hq : F q = (n, z, p)
⊢ x ∈ closure (M n z)
M : Type u_1
Mul M
c : Con Mᵐᵒᵖ
⊢ (RelIso.symm Con.orderIsoOp) c = c.unop
α : Type u_1
β : Type u_8
NormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
m : MeasurableSpace α
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive 0 T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ T s = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
x : A
n : ℤ
⊢ (aeval x) (U R n) = eval x (U A n)
α : Type u
b : Ultrafilter α
⊢ comap pure (⨅ s ∈ {s | b ∈ s ∧ s ∈ ultrafilterBasis α}, 𝓟 s) ≤ ↑b
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (spectrum R a)
⊢ cfc (g ∘ f) a = cfc g (cfc f a)
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
I : Ideal R
⊢ Associates.mk (∏ᶠ (v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) ≠ 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsLindelof s
hc₁ : ∀ (x : { a // a ∈ b }), IsOpen (c ↑x)
hc₂ : s ⊆ ⋃ x, c ↑x
d : Set ↑b
hd : d.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ d, c ↑i
⊢ s ⊆ ⋃ i ∈ Subtype.val '' d, c i
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedRing R
inst✝⁴ : FloorRing R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : OpensMeasurableSpace R
x : R
⊢ MeasurableSet (floor ⁻¹' {⌊x⌋})
α : Type u_1
m✝ : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
n : ℕ
m : MeasurableSpace ↑(memPartition t n)
⊢ Measurable fun a => ⟨memPartitionSet t n a, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulZeroClass α β
Preorder α
Preorder β
PosSMulStrictMono α β
PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a
⊢ a • b < 0 ↔ b < 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : (Closeds α)ᵒᵈ
⊢ (⇑toDual ∘ compl) ((Closeds.compl ∘ ⇑ofDual) s) = s
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a ≤ b
hf_c : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf_i : Set.InjOn f (Set.Icc a b)
⊢ StrictMonoOn f (Set.Icc a b) ∨ StrictAntiOn f (Set.Icc a b)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute
h : a ∈ l
x : α
hx hy : x ∈ l
⊢ x * x = x * x
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
a b : N ⋊[φ] G
⊢ (a * b).left = a.left * (φ a.right) b.left
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]
h : -1 < r.re
c : ℝ
⊢ ∀ x ∈ Set.Ioo (min 0 c) (max 0 c), HasDerivWithinAt (fun c => ↑c ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) (Set.Ioi x) x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
φ : L.Embedding M N
c : L.Constants
⊢ φ ↑c = ↑c
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
P : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
h : Projective R P
f : M →ₗ[R] N
g : P →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
φ : (P →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total P M R fun p => Function.surjInv hf (g p)
s : P →ₗ[R] P →₀ R
hs : Function.LeftInverse ⇑(Finsupp.total P P R id) ⇑s
p : P
⊢ (f ∘ₗ φ ∘ₗ s) p = g ((Finsupp.total P P R id) (s p))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
h₀ : ∀ (b : β), Monotone fun a => f a b
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
a : α
b : β
⊢ NonemptyInterval.map₂ f h₀ h₁ (NonemptyInterval.pure a) (NonemptyInterval.pure b) = NonemptyInterval.pure (f a b)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
a : A
⊢ 0 a = 0
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ γ : Type
f : α → β → σ → σ × γ
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α) (b : β), ∀ s ∈ S, (f a b s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (b : β) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a b s).2 = (f a b s').2
⊢ (mapAccumr₂ f xs ys s₀).2 = map₂ (fun x x_1 => (f x x_1 s₀).2) xs ys
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
p : l₁ ~ l₂
l : List (Sigma β)
⊢ l₁.kunion l ~ l₂.kunion l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : β), AEMeasurable (f i) μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ∑' (i : β), f i a ∂μ = ∑' (i : β), ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⋖ t
⊢ ∃ a ∈ t, t \ {a} = s
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : R[X]
⊢ { toFun := fun z => eval₂ i x (h.repr z), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } (h.map z) = eval₂ i x z
b : ℕ
hb : (b / 2).beq 0 = false
⊢ jacobiSymNat 0 b = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X : C
⊢ ∃ A a, CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois A ∧ Function.Bijective fun f => F.map f a
𝕜 : Type u_1
CommRing 𝕜
MeasurableSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : MeasureTheory.Measure 𝕜
f : 𝕜 → E
w : 𝕜
⊢ Fourier.fourierIntegral e μ f w = ∫ (v : 𝕜), e (-(v * w)) • f v ∂μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cocycle K F 1
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain K G 0
eq : CochainComplex.HomComplex.δ 0 1 β + (↑α).comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (CochainComplex.mappingCone.lift φ α β eq)).comp
    ↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ) ⋯ =
  ↑α
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Submartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ -μ[f j|↑ℱ i] ≤ᶠ[ae μ] (-f) i
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
f : α → R
g : α → M
⊢ Function.support (f • g) ⊆ Function.support f
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (τ π : Ω → ℕ), IsStoppingTime 𝒢 τ → IsStoppingTime 𝒢 π → τ ≤ π → (∃ N, ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N) → ∫ (x : Ω), stoppedValue f τ x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), stoppedValue f π x ∂μ
i j : ℕ
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Monoid M
Monoid N
Monoid P
x : M
⊢ (Monoid.MulEquiv.coprodAssoc M N P) (Monoid.Coprod.inl (Monoid.Coprod.inl x)) = Monoid.Coprod.inl x
v w : Nat
x : BitVec v
y : BitVec w
⊢ x ++ y = x.shiftLeftZeroExtend w ||| BitVec.zeroExtend' ⋯ y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
⊢ (a ∉ s → ∃ b ∈ s, ¬b = a ∧ a ≤ b) ↔ ∃ x ∈ s, a ≤ x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
⊢ s.tail.destruct = s.destruct >>= tail.aux
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M'' : Type u_4
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M''
Module R M
Module R M''
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
⊢ LocalizedModule.lift' S g h (x + y) = LocalizedModule.lift' S g h x + LocalizedModule.lift' S g h y
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_ind : Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
F_cl : IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
this : Inducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)
Q : X → Set α
Q_compact : ∀ x ∈ ⋃₀ 𝔖, IsCompact (Q x)
F_in_Q : ∀ x ∈ ⋃₀ 𝔖, ∀ (i : ι), F i x ∈ Q x
⊢ IsCompact (range ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F))
X Y Z : Type u
Semiring X
Semiring Y
Semiring Z
f : X →+* Y
g : Y →+* Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑(g.comp f)
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x * y).denom = 0
⊢ (x * y).num * (x.denom * y.denom) = x.num * y.num * (x * y).denom
α : Type u_1
AddGroupWithOne α
m n : PosNum
⊢ ↑(m.sub' n) = ↑m - ↑n
α : Type u_1
Base : Set α → Prop
B₁ B₂ : Set α
exch : Matroid.ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
p : R[X]
_hp : p ∈ ⊤
S : Subalgebra R R[X] := Algebra.adjoin R {X}
⊢ (p.sum fun n a => (monomial n) a) ∈ S
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w
f : ℤ[X] → ℤ[X] := fun p => { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) p.toFinsupp }
h : C ↑v * (C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n)) = f (q * q.mirror)
⊢ q = p ∨ q = p.mirror
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
⊢ Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R) ≤ nonZeroDivisors S
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
h3 :
  ∀ (g : G) {K : TopologicalSpace.Compacts G},
    (fun s => ↑(μ.toFun s)) (TopologicalSpace.Compacts.map (fun b => g + b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
K : TopologicalSpace.Compacts G
hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0
U : Set G
h1U : IsOpen U
h2U : U.Nonempty
⊢ 0 < μ.outerMeasure U
n✝ : ℕ+
S✝ T : Set ℕ+
K : Type w
L : Type z
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h₁ : Finite ↑S✝
h : Fintype ↑S✝
n : ℕ+
S : Set ℕ+
x✝¹ : n ∉ S
x✝ : S.Finite
H : ∀ (A : Type u) (B : Type v) [inst : CommRing A] [inst_1 : CommRing B] [inst_2 : Algebra A B] [inst_3 : IsDomain B] [h₂ : IsCyclotomicExtension S A B], Module.Finite A B
A : Type u
B : Type v
⊢ ∀ [inst : CommRing A] [inst_1 : CommRing B] [inst_2 : Algebra A B] [inst_3 : IsDomain B] [h₂ : IsCyclotomicExtension (insert n S) A B], Module.Finite A B
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
⊢ Ioc a b * Ico c d ⊆ Ioo (a * c) (b * d)
u : Level
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Nontrivial α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h✝¹ : decide (num✝¹ * ↑db < num✝ * ↑da) = true
h✝ : (fun x => ↑x) (num✝¹ * ↑db) < (fun x => ↑x) (num✝ * ↑da)
ha : 0 < ⅟↑da
hb : 0 < ⅟↑db
h : ⅟↑db * ((fun x => ↑x) (num✝¹ * ↑db) * ⅟↑da) < ⅟↑db * ((fun x => ↑x) (num✝ * ↑da) * ⅟↑da)
⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da < ↑num✝ * ⅟↑db
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
hf : {i | ((fun i => support ⇑(f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
y : X
hyU : y ∈ U
⊢ f.toPOUFun i y = (⇑(f i) * ⇑(∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) hf.toFinset, (1 - f j))) y
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this✝ : ExpChar K q
l : ι →₀ E
hl : (Finsupp.total ι K E v) l = 0
i : ι
f : ι → ℕ
n : ℕ := l.support.sup f
this : q ^ n ≠ 0
lF : ι → F
hlF : ∀ (i : ι), (algebraMap F E) (lF i) = l i ^ q ^ n
lF₀ : ι →₀ F := Finsupp.onFinset l.support lF ⋯
h : lF₀ = 0
⊢ l i = 0 i
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
k : ℕ
h : ∀ (v : V), k ≤ G.degree v
⊢ k ≤ G.minDegree
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun z => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) p.derivSeries x r
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s t : Cone F
h : IsLimit t
f f' g : s ⟶ t
⊢ g.hom = (h.liftConeMorphism s).hom
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra F K
S : Set E
L : Type u_4
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra L E
inst✝ : IsScalarTower F L E
f : L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral L s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly L s)
L' : IntermediateField F E := (IsScalarTower.toAlgHom F L E).fieldRange
f' : ↥L' →ₐ[F] K := f.comp ↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).symm
s : E
hs : s ∈ S
this✝ : Algebra L ↥L' := (AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).toRingEquiv.toRingHom.toAlgebra
this : IsScalarTower L (↥L') E
x✝ : L
⊢ (f'.comp (algebraMap L ↥L')) x✝ = f.toRingHom x✝
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
he : e ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
he' : e' ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I' M'
hs : s ⊆ e.source
h2s : Set.MapsTo f s e'.source
⊢ ContMDiffOn I I' n f s ↔ ContDiffOn 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
f : E → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ Integrable (fun x => (pdf X ℙ μ x).toReal • f x) μ ↔ Integrable (fun x => f (X x)) ℙ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ 𝓝ˢ {x} = 𝓝 x
R : Type u
Ring R
X : Type v
AddCommGroup X
Module R X
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).obj (ModuleCat.of R X) = AddCommGrp.of X
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
⊢ ((Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.symm ≪≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).mapIso (Γ₀NondegComplexIso K)).inv = (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).inv ≫ (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.hom
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
f' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => Complex.sin (f x)) (Complex.cos (f x) • f') x
α : Type u_5
ι : Type u_6
κ : Type u_7
C : (ι → Option α) → κ
self : Combinatorics.Line.ColorFocused C
⊢ (Multiset.map Combinatorics.Line.AlmostMono.color self.lines).Nodup
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
⊢ (AddMonoidHom.snd M N).comp AddMonoid.Coprod.toSum = AddMonoid.Coprod.snd
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
M : Set (Ideal R)
hM : ∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤
hInf : I = sInf M
x : R
hx : x ∈ I.jacobson
⊢ ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I ∈ M → x ∈ I
R : Type u
ι : Type y
Semiring R
s : Finset ι
p : ι → R[X]
q : R[X]
⊢ (∑ i ∈ s, p i).comp q = ∑ i ∈ s, (p i).comp q
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
hikl : k + l ≤ i
h1 : l ≤ i
h2 : k ≤ i - l
h3 : k ≤ k + l
⊢ ↑(i - l)! / (↑k ! * ↑(i - l - k)!) * (↑i ! / (↑l ! * ↑(i - l)!)) = ↑(k + l)! / (↑k ! * ↑l !) * (↑i ! / (↑(k + l)! * ↑(i - l - k)!))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : a ⊔ c ≤ b ⊔ c
⊢ a \ c ≤ b \ c
a : ℝ
⊢ Summable fun n => a / 2 / 2 ^ n
b m d : ℕ
hb : 1 < b
hd : d ∈ b.digits m
⊢ d < b