ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
⊢ Fintype.card PEmpty.{u_4 + 1} = 0
V : Type u_1
s : V
⊢ SimpleGraph.edge s s = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : Quiver.SingleObj α
⊢ (Quiver.SingleObj.toPrefunctor f).obj a = id a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
M : Type u_5
TopologicalSpace β
Monoid M
MulAction M β
ContinuousConstSMul M β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {c : M},
  IsUnit c → ((MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => c • f x) ↔ MeasureTheory.StronglyMeasurable f)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
x : ↥H
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Finsupp.domLCongr (Equiv.refl α) = LinearEquiv.refl R (α →₀ M)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
f : Quotient (QuotientGroup.rightRel H) → G
hf : ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), Quotient.mk'' (f q) = q
q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)
⊢ ↑((toEquiv ⋯) q) = f q
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
⊢ LipschitzWith (max Kf Kg) fun x => min (f x) (g x)
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ f.NeBot → g.NeBot → (f +ᵥ g).NeBot
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
⊢ IsSubgroup (Set.range f)
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e
⊢ (f ◁ (α_ g h i).inv ≫ (α_ f (g ≫ h) i).inv ≫ (α_ f g h).inv ▷ i ≫ (α_ (f ≫ g) h i).hom) ≫ (α_ (f ≫ g) h i).inv = (f ◁ (α_ g h i).inv ≫ f ◁ (α_ g h i).hom ≫ (α_ f g (h ≫ i)).inv) ≫ (α_ (f ≫ g) h i).inv
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
hp1 : p ≠ 1
h : ∀ (a : R), ¬X - C a ∣ p
q : R[X]
hq : q.Monic
hq1 : q.natDegree = 1
⊢ ¬X - C (-q.coeff 0) ∣ p
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
x : G
xH : x ∈ H
n : G
⊢ n ∈ H ↔ x * n * x⁻¹ ∈ H
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ∃ R f, 1 < R ∧ (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
Preorder α
a : α
Preorder β
f : β → α
PosMulMono α
hf : Antitone f
ha : 0 ≤ a
⊢ Antitone fun x => a * f x
α : Type u
a : α
s : Stream'.WSeq α
⊢ (Stream'.WSeq.cons a s).destruct = Computation.pure (some (a, s))
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ -P y * P x ^ 3 * P z ^ 3 + 2 * P y * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) ^ 2 * P z ^ 3 - 3 * P x ^ 2 * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 2 * P z + 3 * P x * P y * P x ^ 2 * P z * P z ^ 2 + P x ^ 3 * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 3 - 2 * P y ^ 2 * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 3 + W'.a₁ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) ^ 2 * P z ^ 4 + W'.a₁ * P y * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 3 * P z - W'.a₁ * P x * P y * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z * P z ^ 3 - W'.a₁ * P y ^ 2 * P x * P z ^ 4 - 2 * W'.a₂ * P x * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 4 * P z + 2 * W'.a₂ * P x * P y * P x * P z * P z ^ 4 + W'.a₃ * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) ^ 2 * P z ^ 6 - W'.a₃ * P y ^ 2 * P z ^ 6 - W'.a₄ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 6 * P z - W'.a₄ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 4 * P z ^ 3 + W'.a₄ * P y * P x * P z ^ 3 * P z ^ 4 + W'.a₄ * P x * P y * P z * P z ^ 6 - 2 * W'.a₆ * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 6 * P z ^ 3 + 2 * W'.a₆ * P y * P z ^ 3 * P z ^ 6 = (P z * (P y - (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3))) ^ 3
α : Type u_2
AddMonoid α
n : ℕ
⊢ Even n → ∀ (a : α), Even (n • a)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
I₀ : Set α
hI₀ : M.Indep I₀
⊢ ∃ I₀_1, M.Indep I₀_1 ∧ BijOn f I₀_1 (f '' I₀)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Multiset α
⊢ toFinsupp (filter (fun x => a ≠ x) m) = (toFinsupp m).update a 0
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
S : Type u_3
SMul S R
ContinuousConstSMul S R
SMulZeroClass S A
IsScalarTower S R A
IsScalarTower S R (R → R)
s : S
f : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f ((fun x => s • x) '' spectrum R a) := by cfc_cont_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => f (s • x)) a = cfc f (s • a)
α : Type u
β : Type v
Nonempty β
f : Filter α
f.NeBot
⊢ (Filter.comap Prod.fst f).NeBot
α : Type u_1
SemilatticeSup α
⊢ Monotone partialSups
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
hr : a ≠ ⊤
hp : b ≠ ⊤
h : a ≤ b
⊢ (min a b).toReal = min a.toReal b.toReal
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
⊢ ConformalAt f z ↔
  (DifferentiableAt ℂ f z ∨ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)) ∧ fderiv ℝ f z ≠ 0
R' : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_5
Ring R'
AddZeroClass A
SemilatticeSup B
OrderBot B
D : A → B
f : AddMonoidAlgebra R' A
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree D (-f) = AddMonoidAlgebra.supDegree D f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ (((e.inverse.map (e.counitIso.inv.app (e.functor.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map ((e.inverse ⋙ e.functor).map (e.functor.toPrefunctor.2 (e.unit.1 (e.inverse.obj Y))))) ≫ e.unitInv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))) ≫ e.inverse.map (e.functor.map (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
l : c * z * z > d * w * w
⊢ d * (y * y) + (d * (y * w) + (d * (y * w) + d * (w * w))) < c * (x * x) + (c * (x * z) + (c * (x * z) + c * (z * z)))
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
⊢ p ∣ q ↔ Polynomial.map (algebraMap R K) p ∣ Polynomial.map (algebraMap R K) q
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
f : α → β
a : α
aq : a ∈ q
⊢ ∀ (h : ∀ a_1 ∈ mk aq, ∀ b ∈ mk aq, f a_1 = f b), (mk aq).liftOn f h = f a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_5
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
FunLike F α β
SupHomClass F α β
f : F
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
g : ι → α
⊢ f (s.sup' hs g) = s.sup' hs (⇑f ∘ g)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0
⊢ (W.preΨ n).natDegree = (n.natAbs ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f (s ×ˢ Set.univ) (κ a)
⊢ ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ Set.univ, f x ∂κ a
I : Type u_4
AddMonoid I
c : ComplexShape I
c.TensorSigns
⊢ ∀ (x : I × I), TotalComplexShape.ε₁ c c c x = 1
F : Type u
Field F
f : F[X]
n : ℕ
⊢ (f ^ n).natSepDegree = if n = 0 then 0 else f.natSepDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s t : Set α
a b : α
f : ι → α
⊢ ∀ y ∈ range fun i => f i, ∃ x ∈ ⋃ i, Iic (f i), y ≤ x
x y : ℝ*
hip : x.InfinitePos
hnin : ¬y.InfiniteNeg
r r₂ : ℝ
hr₂ : ¬y < ↑r₂
⊢ ↑r < x + y
G : Type v
AddGroup G
PseudoMetricSpace G
IsometricVAdd G G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
a b : G
⊢ dist (-a) (-b) = dist a b
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
hf' : Integrable (fun x => x • f x) volume
w : ℝ
hf'' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) volume
L : ℝ →L[ℝ] ℝ →L[ℝ] ℝ := ContinuousLinearMap.mul ℝ ℝ
h_int : Integrable (fun v => 𝐞 (-((LinearMap.mul ℝ ℝ) v) w) • fourierSMulRight L f v) volume
⊢ 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) w = ∫ (x : ℝ), (𝐞 (-((LinearMap.mul ℝ ℝ) x) w) • fourierSMulRight L f x) 1 ∂volume
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ (AffineEquiv.pointReflection R (midpoint R x y)) x = y
k G : Type u
CommRing k
Group G
A B C : Rep k G
f : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj A B ⟶ C
⊢ ((Rep.MonoidalClosed.linearHomEquiv A B C) f).hom = (TensorProduct.curry f.hom).flip
b : Nat
a : Nat
⊢ a.min b = min a b
S : Type u_5
Semiring S
M : Type u_6
AddCommMonoid M
Module S M
m : Submodule S M
f : M →ₗ[S] M
h : LinearMap.IsProj m f
x : ↥m
⊢ h.codRestrict ↑x = x
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Comma L R)
c₂ : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp (CategoryTheory.Comma.snd L R))
⊢ (CategoryTheory.Comma.colimitAuxiliaryCocone F c₂).pt = R.obj c₂.pt
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
h : a ∉ s
⊢ (insert a s).val = a ::ₘ s.val
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
⊢ (W.variableChange C).Δ = ↑C.u⁻¹ ^ 12 * W.Δ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ a < lsub f, succ a < lsub f
i : ι
⊢ f i < sup f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
⊢ ↑f (c - x) = ↑f (c + x)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
d : ℝ
A : MeasurableEmbedding fun x => x + d
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x + d) = ∫ (x : ℝ) in a + d..b + d, f x ∂Measure.map (fun x => x + d) volume
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : C(α, β)
⊢ f.comp (ContinuousMap.id α) = f
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
m : MeasurableSpace α
f : α → 𝕜
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => RCLike.im (f x)
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x
ndeg_eq_zero : (minpoly A x).natDegree = 0
eq_one : minpoly A x = 1
⊢ False
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p
g : G
hg : orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
⊢ orderOf t < orderOf (t ^ p ^ k * g)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G
h : ∃ x, (∃ x_1 ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, x = x_1 * a * y) ∧ ∃ x_1 ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, x = x_1 * b * y
⊢ ∃ x ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, b = x * a * y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
⊢ Kᗮ = ⊤ ↔ K = ⊥
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ Summable (f_nat k a t)
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map (kernel.ι f) ≫ G.map f = 0
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module R S
inst✝¹ : IsScalarTower R S S
inst✝ : SMulCommClass R S S
x y : S
hc : Commute x y
⊢ Commute (p.smeval x) y
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
f : κ → α
⊢ ∏ j : κ, ∏ _i : { i // g i = j }, f j = ∏ i : ι, f (g i)
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ c \ b ≤ c \ a
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
a : α
n : ℕ
⊢ some a ∈ s.get? n → a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g₁ g₂ : Equiv.Perm α
s t : Set α
h : Set.InvOn (⇑g₁) (⇑g₂) s t
⊢ Set.InvOn (⇑(g₁.extendDomain f)) (⇑(g₂.extendDomain f)) (Subtype.val ∘ ⇑f '' s) (Subtype.val ∘ ⇑f '' t)
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t : Finset α
⊢ (t.biUnion fun b => Finset.image (fun x => x ⊓ b) s) = s ⊼ t
f : StieltjesFunction
l : ℝ
hf : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 l)
x : ℝ
h_le1 : ∀ (x : ℝ), ↑f (x - 1) ≤ leftLim (↑f) x
⊢ Tendsto (leftLim ↑f) atTop (𝓝 l)
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
a : A
i : ι
⊢ a • (Algebra.TensorProduct.basis A b) i = a ⊗ₜ[R] b i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
a : α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂dirac a = if a ∈ s then f a else 0
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
h : Turing.Reaches₁ f a b
⊢ Turing.Reaches₀ f a b
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
C : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C
F : CategoryTheory.Functor C A
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma (F.comp L) R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.preLeft F L R).obj X).left = F.obj X.left
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : H → α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : MeasureTheory.Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F' x₀) μ
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ Metric.ball x₀ ε, ‖F' x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : MeasureTheory.Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ Metric.ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' x a) x
⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' x₀ a ∂μ) x₀
X : AlgebraicGeometry.Scheme
f : ∅ ⟶ X
⊢ f = X.emptyTo
M : Type u_4
CommMonoid M
S : Submonoid M
m : Multiset ↥S
⊢ ↑m.prod = (Multiset.map Subtype.val m).prod
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
α : Type w
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasFilteredColimitsOfSize.{w, w, v, u} C
F : Discrete α ⥤ C
s : Cocone F
m : { pt := colimit (liftToFinset F), ι := Discrete.natTrans fun j => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨j, ⋯⟩ ≫ colimit.ι (liftToFinset F) {j} }.pt ⟶ s.pt
h : ∀ (j : Discrete α), { pt := colimit (liftToFinset F), ι := Discrete.natTrans fun j => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨j, ⋯⟩ ≫ colimit.ι (liftToFinset F) {j} }.ι.app j ≫ m = s.ι.app j
⊢ ∀ (j : Finset (Discrete α)), colimit.ι (liftToFinset F) j ≫ m = colimit.ι (liftToFinset F) j ≫ (fun s => colimit.desc (liftToFinset F) { pt := s.pt, ι := { app := fun t => Sigma.desc fun x => s.ι.app ↑x, naturality := ⋯ } }) s
c d a b : Nat
cop : c.Coprime d
h : a * b = c * d
⊢ a.gcd c * b.gcd c = c
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R✝ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M''
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M'
inst✝⁴ : Module R✝ M''
a✝ b✝ : R✝
x✝ y✝ : M✝
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
a b c d : R
h' : a * d - b * c ≠ 0
s t : R
hst : s • (a • x + b • y) + t • (c • x + d • y) = 0
H : (s * a + t * c) • x + (s * b + t * d) • y = 0
I1 : s * a + t * c = 0
I2 : s * b + t * d = 0
J1 : (a * d - b * c) * s = 0
J2 : (a * d - b * c) * t = 0
⊢ s = 0 ∧ t = 0
α : Type u
Zero α
d : α
⊢ WithBot.unbot' d 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
⊢ Symmetric (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.Rel t)
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
IsDomain R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Finite R M
Module.Free R M
IsNoetherian R M
φ : Module.End R M
⊢ [IsNilpotent φ, LinearMap.charpoly φ = Polynomial.X ^ FiniteDimensional.finrank R M, ∀ (m : M), ∃ n, (φ ^ n) m = 0,
    (LinearMap.charpoly φ).natTrailingDegree = FiniteDimensional.finrank R M].TFAE
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
⊢ LocalRing.maximalIdeal R ≠ ⊥
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : ValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
⊢ Associated p q
α : Type u_1
β : Type u_2
p : Set α
x : β
⊢ p ⊆ (PFun.pure x).Dom
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃ[𝕜] P₂
⊢ Continuous ⇑f.linear ↔ Continuous ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMinOrder (α ⊕ β)
a : α
b : β
h : inr b < inl a
⊢ ∃ b, b < a
G : Type u_1
LeftCancelMonoid G
x : G
hx : IsOfFinOrder x
n : Fin (orderOf x)
⊢ (finEquivPowers x hx) n = ⟨x ^ ↑n, ⋯⟩
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.empty.presheaf =
  (CategoryTheory.Functor.const (TopologicalSpace.Opens ↑(TopCat.of PEmpty.{u_1 + 1}))ᵒᵖ).obj
    (CommRingCat.of PUnit.{u_1 + 1})
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing E
StarRing E
NormedStarGroup E
NormedSpace 𝕜 E
IsScalarTower 𝕜 E E
SMulCommClass 𝕜 E E
RegularNormedAlgebra 𝕜 E
a : E
⊢ ‖(ContinuousLinearMap.mul 𝕜 E).flip a‖₊ = ‖a‖₊
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝¹ : One α
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → α
⊢ mulTSupport f = ∅ ↔ f = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
⊢ (CochainComplex.mappingConeCompTriangle f g).mor₃ =
  (CochainComplex.mappingCone.triangle g).mor₃ ≫
    (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map (CochainComplex.mappingCone.inr f)
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0
⊢ SameRay ℝ x y ↔ x = y
α : Type u_2
Div α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set α
⊢ s₁ ⊆ t₁ → s₂ ⊆ t₂ → s₁ / s₂ ⊆ t₁ / t₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
⊢ Summable fun a => ↑(‖p a‖₊ * r ^ a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ CategoryTheory.Limits.HasInitial C ↔ CategoryTheory.Limits.HasInitial D
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
c c' : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
f g : c ⟶ c'
w : f.hom = g.hom
⊢ f = g
⊢ -π < 0 ∧ 0 ≤ π
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
n✝ : ℕ
⊢ f (n✝ + 1) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i ≤ n✝), (f i)ᶜ = f (n✝ + 1) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i < n✝ + 1), (f i)ᶜ
α : Type u_2
Lattice α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ [[OrderDual.toDual a, OrderDual.toDual b]] = Finset.map OrderDual.toDual.toEmbedding [[a, b]]
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
β : Type u_4
s : SummableFamily Γ R α
f : α ↪ β
a : α
b : β
h : b ∉ Set.range ⇑f
⊢ (s.embDomain f) b = 0
M : Type u_1
Add M
r s : M → M → Prop
h : ∀ (x y : M), r x y → s x y
⊢ addConGen r ≤ addConGen s
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrderBot α
DecidableEq α
b : α
⊢ insert b (Finset.Iio b) = Finset.Iic b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
x : β
f : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : FirstCountableTopology β
inst✝ : OrderTopology β
hf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f) _auto✝
⊢ μ {y | essSup f μ < f y} = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Monoid β
p✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsTotal α r
f : α → α → β
p : α → Prop
hswap : ∀ {a b : α}, p a → p b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a → p b → p c → f a c = f a b * f b c
a b c : α
pa : p a
pb : p b
pc : p c
⊢ ∀ {a b : α}, p a ∧ p b → f a b * f b a = 1
α : Type u_1
β : α → Type u
DecidableEq α
s : Finset α
t₁ t₂ : (a : α) → Finset (β a)
h : ∀ a ∈ s, t₁ a ⊆ t₂ a
⊢ s.pi t₁ ⊆ s.pi t₂
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
hf : Function.Injective f
⊢ (pmap (fun i hi => f ⟨i, hi⟩) (range n) ⋯).Nodup
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
IF : PrimePair P
⊢ IF.I.IsProper
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)
h : ∀ (K K' : LieSubalgebra R L), ↑K ≤ ↑K' ↔ K ≤ K'
⊢ IsGLB (SetLike.coe '' S) ↑(sInf S)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_2
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure α
ν : MeasureTheory.ProbabilityMeasure β
s : Set α
t : Set β
⊢ (μ.prod ν) (s ×ˢ t) = μ s * ν t
R : Type u
LinearOrder R
⊢ min = fun x x_1 => x + x_1
α : Type u_1
f : α → α
x : α
n : ℕ
hf : Function.IsPeriodicPt f n x
m : ℕ
⊢ Function.IsPeriodicPt f^[m] n x
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
s : Set γ
hs : IsClosed s
f : γ → β
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
this : PolishSpace ↑s
⊢ Injective fun x => f ↑x
α : Type u_3
⊢ PartENat.card (ULift.{u_4, u_3} α) = PartENat.card α
α : Type u
c : Cardinal.{u}
g : Set (Set α)
hc : 2 < c
⊢ CardinalInterFilter (Filter.cardinalGenerate g hc) c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f✝ g✝ : α →ₘ[μ] ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
x✝ : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ (mk f hf + mk g x✝).lintegral = (mk f hf).lintegral + (mk g x✝).lintegral
p q : ℕ
⊢ ∑ a ∈ Finset.Ico 1 (p / 2).succ, a * q / p =
  (Finset.filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Finset.Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Finset.Ico 1 (q / 2).succ)).card
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
b' : β a'
l : List (Sigma β)
⊢ a ∈ (List.kinsert a' b' l).keys ↔ a = a' ∨ a ∈ l.keys
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
S : L.Substructure M := { carrier := range (Term.realize Subtype.val), fun_mem := ⋯ }
S' : L.Substructure M
hS' : S' ∈ {S | s ⊆ ↑S}
t : L.Term { x // x ∈ s }
⊢ Term.realize Subtype.val t ∈ S'