ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
fs : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.PartrecToTM2.contSupp (Turing.PartrecToTM2.Cont'.cons₁ fs k) =
  Turing.PartrecToTM2.trStmts₁
      (Turing.PartrecToTM2.move₂ (fun x => false) Turing.PartrecToTM2.K'.main Turing.PartrecToTM2.K'.aux
        (Turing.PartrecToTM2.move₂ (fun s => decide (s = Turing.PartrecToTM2.Γ'.consₗ)) Turing.PartrecToTM2.K'.stack
          Turing.PartrecToTM2.K'.main
          (Turing.PartrecToTM2.move₂ (fun x => false) Turing.PartrecToTM2.K'.aux Turing.PartrecToTM2.K'.stack
            (Turing.PartrecToTM2.trNormal fs k.cons₂)))) ∪
    Turing.PartrecToTM2.codeSupp fs k.cons₂
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ l : List α}, (l₁ ++ l₂).Disjoint l → l₂.Disjoint l
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a x✝¹ x✝ : α
⊢ x✝¹ ⊔ x✝ = a → x✝¹ = a ∨ x✝ = a
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
K : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : NormedSpace ℝ K
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → K
f_ℒ_1 : Integrable f μ
g : G ⧸ Γ → K
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
g_ℒ_infinity : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)) ≠ ⊤
F_ae_measurable : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
π : G → G ⧸ Γ := mk
meas_π : Measurable π
⊢ ∫ (x : G), g ↑x * f x ∂μ = ∫ (x : G ⧸ Γ), g x * automorphize f x ∂Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)
α : Sort u₁
β : Sort u₂
f : α → β
⊢ Function.HasLeftInverse f → Function.Injective f
G : Type u_2
OrderedAddCommGroup G
TopologicalSpace G
ContinuousSub G
h : IsClosed {x | 0 ≤ x}
⊢ IsClosed {p | p.1 ≤ p.2}
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ <+ l₂ → (l₂.erase a).diff (l₁.erase a) <+ l₂.diff l₁
R : Type u_1
Semiring R
P : Type u_2
AddCommMonoid P
Module R P
⊢ Module.Projective R P ↔ ∃ s, Finsupp.total P P R id ∘ₗ s = LinearMap.id
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ a < b.pred ↔ Order.succ a < b
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hf_le : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] g - f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝³ : e.IsTruncGE
inst✝² : ∀ (i' : ι'), K.HasHomology i'
inst✝¹ : ∀ (i' : ι'), L.HasHomology i'
inst✝ : ∀ (i' : ι'), M.HasHomology i'
i j : ι
hij : c.Rel i j
i' j' : ι'
hi' : e.f i = i'
hj' : e.f j = j'
hi : e.BoundaryGE i
⊢ (if hij : c.Rel i j then if hi : e.BoundaryGE i then (truncGE'.XIsoOpcycles K e hi).hom ≫ K.fromOpcycles (e.f i) (e.f j) ≫ (truncGE'.XIso K e ⋯).inv else (truncGE'.XIso K e hi).hom ≫ K.d (e.f i) (e.f j) ≫ (truncGE'.XIso K e ⋯).inv else 0) = (K.truncGE'XIsoOpcycles e hi' hi).hom ≫ K.fromOpcycles i' j' ≫ (K.truncGE'XIso e hj' ⋯).inv
α : Type u_1
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
t : β
ht : 0 < t ∧ t < 1
⊢ 0 < 1 - t ∧ 1 - t < 1
α : Type u
C : Set α → Prop
s : Set α
h : s.Finite
H0 : C ∅
H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → C s → C (insert a s)
⊢ C s
α : Type u_2
A : Set α
D : Set ↑A
⊢ Subtype.val ⁻¹' (Subtype.val '' D) = D
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hf : AntitoneOn f s
hs : Convex 𝕜 s
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ f x ≤ r}
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
⊢ ∀ (l : List α) (e : α), mapIdx f l = List.oldMapIdx f l → mapIdx f (l ++ [e]) = List.oldMapIdx f (l ++ [e])
m n✝ n : ℕ
this : (n % 2 + 2 * (n / 2)).bodd = n.bodd
⊢ n % 2 = bif n.bodd then 1 else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g✝ s t✝ : ι → α
a b : α
γ : Type u_9
f : β → γ
g : γ → α
t : Set β
⊢ ⨆ c ∈ f '' t, g c = ⨆ b ∈ t, g (f b)
G : Type u
H : Type v
Mul G
Mul H
f : H →ₙ* G
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ TwoUniqueProds G → TwoUniqueProds H
m n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
β : Type v
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
f : Fin n → α
i : Fin (n + 1)
⊢ snoc f a i.rev = cons a (f ∘ rev) i
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
⊢ k.succ ≠ 0
α : Type u_1
Append α
a b : Part α
hab : (a ++ b).Dom
⊢ b.Dom
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHomotopy (Homotopy.refl φ) = 0
α : Type u_1
SeminormedAddCommGroup α
n : ℤ
a : α
⊢ ‖n • a‖ ≤ ‖n‖ * ‖a‖
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c a : α
u : αˣ
⊢ a * (↑u⁻¹ * ↑u) = a
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
L : Type u_3
L' : Type u_4
Field L
Field L'
Algebra F L
Algebra L E
Algebra F L'
Algebra L' E
IsScalarTower F L E
IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
⊢ IntermediateField.restrictScalars F (IntermediateField.adjoin L S) =
  IntermediateField.restrictScalars F (IntermediateField.adjoin L' S)
R : Type u_1
K : Type u_2
Semiring R
CommSemiring K
i : R →+* K
b : R
bi : K
N : ℕ
a : R
bu : bi * i b = 1
n : ℕ
r : R
nN : n ≤ N
⊢ DenomsClearable a b N (Polynomial.C r * Polynomial.X ^ n) i
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
x : M
⊢ ∑ᶠ (i : ι), (f i) x ≤ 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : p 0 = 0
⊢ (FormalMultilinearSeries.id 𝕜 F).comp p = p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : E
hx : x ∈ ((f.extend I).symm ≫ f'.extend I).source
⊢ ((f.extend I).symm ≫ f'.extend I).source ∈ 𝓝[range ↑I] x
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
hn : Nonempty ι
f g : PushoutI φ →* K
h : ∀ (i : ι), f.comp (of i) = g.comp (of i)
⊢ f.comp (base φ) = g.comp (base φ)
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
k : ℕ
kn : k > n
k2n : k ≤ 2 * n
k2nl : 2 * n - k < n := lt_of_add_lt_add_right (let_fun this := Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a < n + k) (tsub_add_cancel_of_le k2n))) (Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a < n + k) (two_mul n))) (add_lt_add_left kn n)); this)
⊢ ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
r s ε x : ℝ
hx : x ∈ B f K r s ε
L : F
LK : L ∈ K
hL₁ : x ∈ A f L r ε
hL₂ : x ∈ A f L s ε
y : ℝ
hy₁ : y ∈ A f L r ε
hy₂ : y ∈ A f L s ε
⊢ y ∈ B f K r s ε
α : Type u_1
Lattice α
AddCommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ |a + b| ≤ |a| + |b|
α : Type u_1
a b c : α
Mul α
Zero α
Preorder α
MulPosMono α
MulPosReflectLE α
a0 : 0 < a
⊢ b * a ≤ c * a ↔ b ≤ c
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ⌊a / OfNat.ofNat n⌋₊ = ⌊a⌋₊ / OfNat.ofNat n
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S ^ 2 = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : Nontrivial R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M₁
inst✝⁷ : Module.Finite R M₁
inst✝⁶ : Module.Free R M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module.Finite R M₂
inst✝² : Module.Free R M₂
f : M →ₗ[R] M
ι : Type w
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
A : Matrix ι ι R := (toMatrix b b) f
b' : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
ι' : Type u_2 := ChooseBasisIndex R M
A' : Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := (toMatrix b' b') f
e : ι ≃ ChooseBasisIndex R M := b.indexEquiv b'
φ : Matrix ι ι R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R e e
φ₁ : Matrix ι ι' R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι' R := reindexLinearEquiv R R e (Equiv.refl ι')
φ₂ : Matrix ι' ι' R ≃ₗ[R] Matrix ι' ι' R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') (Equiv.refl ι')
φ₃ : Matrix ι' ι R ≃ₗ[R] Matrix ι' (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') e
P : Matrix ι (ChooseBasisIndex R M) R := b.toMatrix ⇑b'
Q : Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι R := b'.toMatrix ⇑b
hPQ : C.mapMatrix (φ₁ P) * C.mapMatrix (φ₃ Q) = 1
⊢ ((toMatrix b b) f).charpoly = f.charpoly
β : Type u_2
E : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace E
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : MeasureTheory.Measure β
fmeas : Measurable f
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : MeasureTheory.eLpNorm f p μ < ⊤
⊢ Filter.Tendsto
  (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) - f) p μ)
  Filter.atTop (𝓝 0)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
X : C
⊢ F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X) ≫ whiskerLeft F.op ((F.op.lan.obj (yoneda.obj X)).descOfIsLeftKanExtension (F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X)) (G.obj (yoneda.obj X)) (presheafHom φ (yoneda.obj X))) = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X) ≫ whiskerLeft F.op ((compYonedaIsoYonedaCompLan F).inv.app X ≫ φ.app X)
a b c : ℝ≥0∞
h : a ≠ ⊤ ∨ b ≠ ⊤
⊢ a - b < c → a < b + c
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
n : ℕ
h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom
hpn : ¬2 ^ ((multiplicity 2 (n + 1)).get h + 1) ∣ n + 1
k : ℕ
hk : n + 1 = 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h * k
⊢ ¬2 ∣ k
k : Type u
inst✝¹ : Field k
K : Type v
inst✝ : Field K
H : ∀ (p : k[X]), p.Monic → Irreducible p → p.Separable → ∃ x, eval x p = 0
p : k[X]
hsep : p.Separable
q : k[X]
hq : Irreducible q
hdvd : q ∣ p
hlc : IsUnit q.leadingCoeff⁻¹
⊢ q.degree = 1
M : Type u_11
N : Type u_12
α : Type u_13
VAdd M N
VAdd N α
VAdd M α
self : VAddAssocClass M N α
x : M
y : N
z : α
⊢ x +ᵥ y +ᵥ z = x +ᵥ (y +ᵥ z)
ι : Type u_1
Γ : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Inhabited (Γ i)
i : ι
L : ListBlank ((i : ι) → Γ i)
n : ℕ
⊢ (proj i).f (L.nth n) = L.nth n i
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
D : LieDerivation R L M
a : L
⊢ (-D) a = -D a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ ∈ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair C
t :
  CategoryTheory.Limits.Fork (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.left)
    (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.right)
j : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cone.ofFork t).π.app j =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (t.π.app j) (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
R✝ S : Type u
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : CommRing S
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁴ : CommRing R'
inst✝³ : CommRing S'
f : R✝ →+* S
inst✝² : Algebra R✝ R'
inst✝¹ : Algebra S S'
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
h : ∀ (J : Ideal R) (x : J.IsMaximal), (fun R hR => IsReduced R) (Localization.AtPrime J) OreLocalization.instCommRing
x : R
hx : IsNilpotent x
⊢ ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) x = 0
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
Nontrivial P
NoZeroSMulDivisors R P
I : FractionalIdeal S P
h_nz : ↑I.den ≠ 0
x : ↥I
⊢ (algebraMap R P) ↑((FractionalIdeal.equivNum h_nz) x) = I.den • ↑x
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ μ.outerMeasure ↑K + ↑ε
α : Type u_1
ι : Type u_3
CompleteLattice α
t : ι → α
ht : CompleteLattice.Independent t
h_ne_bot : ∀ (i : ι), t i ≠ ⊥
⊢ Function.Injective t
α : Type u_1
ι : Sort u_4
CompleteLattice α
f : ι → α
⊢ Set.Ici (⨆ i, f i) = ⋂ i, Set.Ici (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝[≥] f a
b : β
hb : b > f a
b' : β
hb' : Ico (f a) b' ⊆ closure (f '' s)
hab' : f a < b'
hbb' : b' ≤ b
c' : β
hc' : f a < c' ∧ c' < b'
⊢ ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
y : F
w : E
hw : ∀ (x : ↥T.domain), ⟪w, ↑x⟫_𝕜 = ⟪y, ↑T x⟫_𝕜
⊢ Continuous ⇑((innerₛₗ 𝕜) y ∘ₗ T.toFun)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
⊢ η a ⟂ₘ (κ.singularPart η) a
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
⊢ ↑r = 1 ↔ r = 1
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P
f : M →ₗ[R'] N
r : R'
⊢ (map f) (inl r) = inl r
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ Coplanar k {p₁, p₂, p₃}
x y : ℝ
hx : 0 ≤ 0
⊢ 0 + 1 ≤ rexp 0
M₀ : Type u_1
MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
⊢ ↑↑(unitsNonZeroDivisorsEquiv.symm u)⁻¹ = ↑u⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : (x : α) → x ∈ s → Set β
⊢ ⋂ x, ⋂ (h : x ∈ s), t x h = ⋂ x, t ↑x ⋯
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ 𝒢
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ
hπ : IsStoppingTime 𝒢 π
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N
⊢ Integrable (stoppedValue f τ) μ
α : Type u
β : Type v
Preorder α
P : β → α → Prop
s : Set β
hP : ∀ (x : β), x ∈ s → Monotone (P x)
⊢ Monotone fun y => ∀ (x : β), x ∈ s → P x y
α : Type u
l : List α
f : α → Bool
⊢ l.length = (List.filter f l).length + (List.filter (fun x => !f x) l).length
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ¬p a = true
⊢ eraseP p l = l
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y
g : Y → Z
hg : Continuous g
hf : Continuous f
⊢ Continuous fun x => g (f x)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ (fun i j k => t' 𝒰 f g i j k) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j k) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j i) = pullback.fst ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i j) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i k) ≫ (fun i j => t 𝒰 f g i j) i j
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalGroup H
K : Type u_3
inst✝² : Group K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : NonarchimedeanGroup K
U : Set (G × K)
U₁ : Set G
hU₁ : U₁ ∈ 𝓝 1
U₂ : Set K
hU₂ : U₂ ∈ 𝓝 1
h : U₁ ×ˢ U₂ ⊆ U
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U₁
W : OpenSubgroup K
hW : ↑W ⊆ U₂
x : G
hX : x ∈ ↑V
y : K
hY : y ∈ ↑W
⊢ (x, y) ∈ U
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y → Z
y : Y
h : Continuous (Function.uncurry f)
⊢ Continuous fun a => f a y
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
x : LocalizedModule S M
⊢ 0 + x = x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c d : α
⊢ |max a b - max c d| ≤ max |a - c| |b - d|
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
Y₁ Y₂ : C
f : Y₁ ⟶ Y₂
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) f =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CharP R p
x y : WittVector p R
i j : ℕ
⊢ ((⇑WittVector.verschiebung)^[i] x * (⇑WittVector.verschiebung)^[j] y).coeff (i + j) =
  x.coeff 0 ^ p ^ j * y.coeff 0 ^ p ^ i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.SheafedSpace.IsOpenImmersion f
U V : (TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ X.presheaf.map i ≫ AlgebraicGeometry.SheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp f (Opposite.unop V) =
  AlgebraicGeometry.SheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp f (Opposite.unop U) ≫
    Y.presheaf.map ((AlgebraicGeometry.SheafedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor f).op.map i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C
F_obj : C → D
e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)
he :
  ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y),
    (e X Y') (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h g) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((e X Y) h) (G.map g)
⊢ ∀ (a : C), (CategoryTheory.Adjunction.leftAdjointOfEquiv e he).obj a = F_obj a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
s₁ s₂ : Finset α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ image f s₁ ⊆ image f s₂
a b : Int
H : 0 ≤ b
H' : a * b = 1
⊢ b = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f' f g : α →ₘ[μ] β
hf : f' ≤ f
hg : f' ≤ g
⊢ f' ≤ f ⊓ g
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => f y ^ p) (f' * p * f x ^ (p - 1)) s x
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_2
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure α
ν : MeasureTheory.ProbabilityMeasure β
⊢ ↑(μ.prod ν) = (↑μ).prod ↑ν
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
⊢ 3 < π
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
Rₘ : Type u_4
CommRing Rₘ
Algebra R Rₘ
IsLocalization M Rₘ
p : Rₘ[X]
hp : p.leadingCoeff ∈ (algebraMap R Rₘ).range
⊢ p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(IsLocalization.commonDenom M p.support p.coeff)) ∈ Polynomial.lifts (algebraMap R Rₘ)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g✝ f g : Perm α
x : α
⊢ f x = x ∧ g x = x → f (g x) = x
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
K : Type (max v u)
inst✝⁴ : SmallCategory K
inst✝³ : FinCategory K
inst✝² : HasLimitsOfShape K D
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)
inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
S : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))
k : K
j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ
⊢ colimit.ι (J.diagram (limit F) (unop (op X))) j ≫ (J.plusMap (limit.π F k)).app (op X) = colimit.ι (J.diagram (limit F) (unop (op X))) j ≫ (HasColimit.isoOfNatIso ((isLimitOfPreserves (J.diagramFunctor D X) (limit.isLimit F)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (F ⋙ J.diagramFunctor D X)))).hom ≫ (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D X)).hom ≫ (HasLimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun k => colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k) ⋯).symm).inv ≫ limit.π (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X)) k
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]
h : -1 < r.re
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑x ^ r = ↑b ^ (r + 1) / (r + 1) - ↑a ^ (r + 1) / (r + 1)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
f g : C ⟶ D
h : Homotopy f g
i : ι
⊢ g.f i = (dNext i) (-h.hom) + (prevD i) (-h.hom) + f.f i
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hnm : n ≤ m
⊢ (∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)) → ReflTransGen r n m