ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : Finset ι
t : ι → Set α
h : ∀ i ∈ s, NullMeasurableSet (t i) μ
H : (↑s).Pairwise (AEDisjoint μ on t)
⊢ μ (⋃ b ∈ s, t b) ≤ μ univ
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} A
inst✝ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A
G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B
adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B
⊢ J.PreservesSheafification F ↔ ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ A), IsIso (G₂.map (whiskerRight (adj₁.unit.app P) F))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
⊢ leftLim f x ≤ f y
R : Type u_2
LinearOrderedRing R
Archimedean R
⊢ Filter.atBot.HasCountableBasis (fun x => True) fun m => Set.Iic ↑m
R : Type u_1
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₁
Module R M
Module R M₁
f : M →ₗ[R] M₁
p : Submodule R M
q : Submodule R M₁
hf : ∀ x ∈ p, f x ∈ q
⊢ f.restrict hf = LinearMap.codRestrict q (f.domRestrict p) ⋯
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
CommRing B
p : Polynomial A
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
a : A
⊢ Polynomial.rootMultiplicity a p = Polynomial.rootMultiplicity (f a) (Polynomial.map f p)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : AEMeasurable f μ
x : α
hx : μ.rnDeriv μ x = 1
⊢ ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv μ x = ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
h : ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I)
p : ℕ
p_pos : p > 0
hp_mixedChar : MixedCharZero R p
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
X : C
Y₁ Y₂ : C
g : Y₁ ⟶ Y₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X g)
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd X Y₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd X Y₁) g
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
⊢ (λ_ (R.X ⊗ P.X)).inv ≫ (((α_ (𝟙_ C) R.X P.X).inv ≫ R.one ▷ R.X ▷ P.X) ≫ R.mul ▷ P.X) ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft))
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
a : A
s : R
r : Rˣ
⊢ r • s ∈ spectrum R (r • a) ↔ s ∈ spectrum R a
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
r : α ⊗ α ⟹ repeat n Prop
i : Fin2 n
x : Subtype_ r i
⊢ (toSubtype' r ⊚ ofSubtype' r) i x = id i x
R : Type u_2
NonAssocRing R
Pow R ℕ
NatPowAssoc R
n : ℤ
m : ℕ
⊢ ↑(n ^ m) = ↑n ^ m
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
t : Set α
h : t.Nonempty
⊢ (⨆ (_ : (t ∩ s).Nonempty), m (t ∩ s)) + ⨆ (_ : (t \ s).Nonempty), m (t \ s) ≤ ⨆ (_ : t.Nonempty), m t
α : Type u
β : Type u_1
m : α → β
f : Filter α
g : Set (Set β)
b : β
⊢ (∀ i ∈ g, b ∈ i → ∀ᶠ (a : α) in f, m a ∈ i) ↔ ∀ s ∈ g, b ∈ s → m ⁻¹' s ∈ f
M : Type u_1
Monoid M
y : M
⊢ y ∈ Submonoid.closure {y}
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B✝ A B : Matrix n n α
h : IsUnit A ↔ IsUnit B
⊢ A⁻¹ + B⁻¹ = A⁻¹ * (A + B) * B⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β
⊢ (p.bindOnSupport f) b = ∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h) b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X →. Y
hf : ∀ {x : X} {y : Y}, y ∈ f x → PTendsto' f (𝓝 x) (𝓝 y)
s : Set Y
os : IsOpen s
⊢ ∀ x ∈ f.preimage s, 𝓝 x ≤ 𝓟 (f.preimage s)
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : α
⊢ a ⇔ aᶜ = ⊥
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s₁ s₂ : Multiset α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₂.gcd ∣ s₁.gcd
x y : SetTheory.PGame
r : x.Relabelling y
⊢ x ≤ y
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
c : B
f : a ⟶ b
⊢ ∀ (x : b ⟶ c), (CategoryTheory.Bicategory.precomp c f).obj x = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
⊢ T1Space E
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atTop l
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha' : 0 < a'
fact1 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, x ≠ 0
fact2 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, a < x⁻¹
hdnf : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, HasDerivAt (f ∘ Inv.inv) (f' x⁻¹ * -(x ^ 2)⁻¹) x
hdng : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, HasDerivAt (g ∘ Inv.inv) (g' x⁻¹ * -(x ^ 2)⁻¹) x
this : Tendsto (fun x => (f ∘ Inv.inv) x / (g ∘ Inv.inv) x) (𝓝[>] 0) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} J
f : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Functor J C)
j : J
⊢ ((CategoryTheory.MorphismProperty.FunctorialFactorizationData.functorCategory.Z data J).obj f).obj j =
  (data.factorizationData (f.hom.app j)).Z
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i : I₂
j j' : I₁
⊢ (K.flip.X i).d j j' = (K.d j j').f i
o : ONote
b₁ b₂ : Ordinal.{0}
bb : b₁ ≤ b₂
h : o.NFBelow b₁
⊢ o.NFBelow b₂
a : ℕ
n : ℕ
a0 : a ≠ 0
⊢ addOrderOf ↑a = n / n.gcd a
n : ℕ
hn : 0 < n
a b : ℕ
⊢ a.Coprime (b ^ n) ↔ a.Coprime b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_6
𝔸' : Type u_8
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
DecidableEq ι
Fintype ι
u : Multiset ι
x : ι → 𝔸'
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (Multiset.map x u).prod)
  (Multiset.map (fun i => (Multiset.map x (u.erase i)).prod • ContinuousLinearMap.proj i) u).sum x
R : Type u_1
A : Type u
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSpace R
TopologicalSpace A
TopologicalSemiring A
⊢ Continuous ⇑(algebraMap R A) ↔ Continuous fun p => p.1 • p.2
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
⊢ μ = μ.mass • μ.normalize.toFiniteMeasure
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s.dedup.gcd = s.gcd
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I J : Ideal R
⊢ RingHom.ker (quotQuotMk I J) = I ⊔ J
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ (thickening δ s)⁻¹ = thickening δ s⁻¹
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) β)
x_ne0 : x ≠ 0
⊢ β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₄
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherian R M
rs rs' : List R
h2 : rs ~ rs'
h3 : IsWeaklyRegular M rs
h4 : ⊤ ≠ Ideal.ofList rs • ⊤
⊢ ∀ r ∈ rs, r ∈ LocalRing.maximalIdeal R
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : G ≃ₗᵢ[𝕜] E
f : E → F
x : G
i : ℕ
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 i (f ∘ ⇑g) x‖ = ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f (g x)‖
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hg : Function.Surjective ⇑g
this : Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map (AlgHom.id R A) g)) = LinearMap.ker (LinearMap.lTensor A g.toLinearMap)
⊢ LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (LinearMap.ker g.toLinearMap).subtype) = LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker g)).subtype)
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ (F.shiftIso mn a a'' ⋯).hom.app X = (F.shift a).map ((shiftFunctorAdd' C m n mn hnm).hom.app X) ≫ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app ((shiftFunctor C m).obj X) ≫ (F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
Traversable t
LawfulTraversable t
Traversable t'
h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), Functor.map f = Equiv.map eqv f
h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), Functor.mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f
h₂ :
  ∀ {F : Type u → Type u} [inst : Applicative F] [inst_1 : LawfulApplicative F] {α β : Type u} (f : α → F β),
    traverse f = Equiv.traverse eqv f
⊢ LawfulTraversable t'
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ
hp : 0 ≤ p
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ 0 ≤ 1 / p
α : Type u_1
β : Type u_2
Monoid α
MulAction α β
c : α
x : β
Invertible c
⊢ c • ⅟c • x = x
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
m₁ m₂ : M
⊢ TrivSqZeroExt.inr m₁ * TrivSqZeroExt.inr m₂ = 0
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
m : ℕ
x : K
⊢ PerfectClosure.mk K p (m + 1, x ^ p) = PerfectClosure.mk K p (m, x)
ι : Type u_5
R : Type u_7
M : Type u_9
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ContinuousSMul R M
f : ι → R
T2Space M
hf : Summable f
a : M
⊢ ∑' (z : ι), f z • a = (∑' (z : ι), f z) • a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
h : a ∉ s
⊢ s ∩ {a} = ∅
α : Type u_2
l : Filter α
S : Set (Filter α)
⊢ S ∈ 𝓝 l ↔ ∃ t ∈ l, ∀ ⦃l' : Filter α⦄, t ∈ l' → l' ∈ S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
ma mb : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hma : Tendsto ma f (𝓝 a)
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0
hmb : Tendsto mb f (𝓝 b)
hb : b ≠ ⊤ ∨ a ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun a => ma a / mb a) f (𝓝 (a / b))
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
⊢ n ∉ p.support ↔ p.coeff n = 0
ι : Type u_5
αi : ι → Type u_6
βi : ι → Type u_7
ei : (i : ι) → PartialEquiv (αi i) (βi i)
⊢ (PartialEquiv.pi ei).target = Set.univ.pi fun i => (ei i).target
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
u : ℕ → E
hu : Summable fun x => ‖u x‖
⊢ Summable fun n => dist (∑ i ∈ range n, u i) (∑ i ∈ range n.succ, u i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
n m : ℕ
ha : ¬p ^ (n + 1) ∣ a
hb : ¬p ^ (m + 1) ∣ b
x✝¹ : p ^ (n + m + 1) ∣ a * b
s : α
hs : a * b = p ^ (n + m + 1) * s
this : p ∣ a * b
x✝ : p ∣ b
x : α
hx : b = p * x
hm0 : 0 < m
hpx : ¬p ^ (m - 1 + 1) ∣ x
⊢ a * x * p = p ^ (n + (m - 1) + 1) * s * p
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : X ≅ 0
⊢ f = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
e : ℕ
he : 2 ≤ e
⊢ I = (fun x => I ^ x) 1
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x y z : L
⊢ ((LieModule.traceForm R L M) ⁅x, y⁆) z = -((LieModule.traceForm R L M) y) ⁅x, z⁆
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroObject C
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
hT : ∀ (j : J), T j ∈ distinguishedTriangles
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
f₁ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁) ⟶ ∏ᶜ fun j => (T j).obj₂ := Pi.map fun j => (T j).mor₁
Z : C
f₂ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₂) ⟶ Z
f₃ : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁)
T' : Triangle C := Triangle.mk f₁ f₂ f₃
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : (j : J) → T' ⟶ T j := fun j => completeDistinguishedTriangleMorphism T' (T j) hT' ⋯ (Pi.π (fun j => (T j).obj₁) j) (Pi.π (fun j => (T j).obj₂) j) ⋯
φ' : T' ⟶ productTriangle T := productTriangle.lift T φ
h₁ : φ'.hom₁ = 𝟙 T'.obj₁
h₂ : φ'.hom₂ = 𝟙 T'.obj₂
this✝ : IsIso φ'.hom₁
this : IsIso φ'.hom₂
A : C
⊢ Function.Surjective fun x => x ≫ φ'.hom₃
R : Type u
CommSemiring R
a : R
⊢ IsOpen ↑(PrimeSpectrum.basicOpen a)
α : Type u
x : α
⊢ ¬{x}.Nontrivial
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
i : ι
⊢ Filter.Tendsto (Function.eval i) (Filter.pi f) (f i)
R : Type u
Ring R
p : R[X]
⊢ (-p).natDegree = p.natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
NormedAddCommGroup γ
f : α → β
g : α → γ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ = ‖g a‖
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ ↔ MeasureTheory.Integrable g μ
M : Type u_5
N : Type u_6
Mul M
Mul N
p q : M × N
⊢ (p * q).2 = p.2 * q.2
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
⊢ ∃ S₁, S₁.multiplicity < S.multiplicity
p : ℕ → Prop
h₀ : ¬p 0
a b : ℕ
hab : a ≤ b
ha : Nat.nth p a = 0
⊢ Nat.nth p b = 0
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : n ≃ o
e₂ : l → o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o
A : Matrix m o α := M.submatrix id ⇑e₁.symm
this : M = A.submatrix id ⇑e₁
⊢ (A * 1).submatrix id e₂ = (A.submatrix id ⇑e₁).submatrix id (⇑e₁.symm ∘ e₂)
α : Type u_1
s : Set (Set α)
f : Set α → Set α
hf : ∀ (t : Set α), f t ⊆ t
⊢ ⋃₀ (f '' s) ⊆ ⋃₀ s
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → G
hf : Differentiable 𝕜 f
hf' : ∀ (x : E), fderiv 𝕜 f x = 0
x y : E
⊢ f x = f y
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
x : α
hx : (μ.tilted f).rnDeriv ν x = ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv ν x
⊢ (ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv ν x).toReal = (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
R : Type u_1
CommRing R
P : Polynomial R
⊢ IsNilpotent P.reverse ↔ IsNilpotent P
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Finset α
m n✝ : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ u.card
t : Finset α
htu : t ⊆ u
htn : t.card = n
ht : t.Nonempty
hcard : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = (s \ t).card
R : Finpartition (s \ t)
hR₁ : ∀ x ∈ R.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1
hR₂ : ∀ x ∈ (P.avoid t).parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) R.parts).biUnion id).card ≤ m
hR₃ : (filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts).card = if 0 < a then b else b - 1
⊢ ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hpi : Function.Injective p
t : Triangle ℝ P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hst : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
c : P
left✝ : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
hc : ∀ p₁ ∈ Set.range p, dist p₁ c = Simplex.circumradius t
⊢ AffineIndependent ℝ p
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq✝ : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hq0_lt : 0 < q
hpq_eq : ¬p = q
hpq : p < q
g : α → ℝ≥0∞ := fun x => 1
h_rw : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ = ∫⁻ (a : α), (↑‖f a‖₊ * g a) ^ p ∂μ
r : ℝ := p * q / (q - p)
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
⊢ (∫⁻ (a : α), (↑‖f a‖₊ * g a) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
x : E
r : ℝ
⊢ μ (Metric.closedBall x r) = μ (Metric.closedBall 0 r)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
p : PrimeSpectrum R
⊢ p ∉ Module.support R M ↔ ∀ (m : M), ∃ r ∉ p.asIdeal, r • m = 0
n : ℕ
M : Type u_1
Zero M
⊢ Finsupp.cons 0 0 = 0
⊢ ⋃ n, Set.Iic ↑n = {⊤}ᶜ
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
⊢ Polynomial.eval 1 (Polynomial.map f p) = f (Polynomial.eval 1 p)
α : Type u
m : Type u → Type v
x : OptionT m α
n : Type u → Type u_1
MonadFunctorT n m
f : {α : Type u} → n α → n α
⊢ (monadMap f x).run = monadMap f x.run
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β
a : α
hb : ↑f a ∈ f.range
⊢ Finset.filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range = Finset.filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → α
g : β → β
n : ℕ
⊢ (map f g)^[n] = map f^[n] g^[n]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
finite : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
pos : 0 < r
sum_eq : ∀ y ∈ EMetric.ball 0 r, (∑ i ∈ Finset.range n, (p i) fun x => y) = f (x + y)
y✝ : E
hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 r
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ ((p m) fun x => y✝) = 0
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
DecidableEq o
AddZeroClass α
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
⊢ (Matrix.blockDiagonal'AddMonoidHom m' n' α) M = Matrix.blockDiagonal' M
K : Type u
Field K
x : RatFunc K
⊢ x.num = 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
l : List α
x : α
h : List.Duplicate x (x :: l)
⊢ x ∈ l
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr : Ordnode α
hr : Valid' (↑x) (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
H1 : ¬l.size + (Ordnode.node rs rl rx rr).size ≤ 1
H2 : delta * l.size < (Ordnode.node rs rl rx rr).size
H3 : 2 * (Ordnode.node rs rl rx rr).size ≤ 9 * l.size + 5 ∨ (Ordnode.node rs rl rx rr).size ≤ 3
⊢ Valid' o₁ (l.rotateL x (Ordnode.node rs rl rx rr)) o₂
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b : α
⊢ IsUnit (gcd a b) ↔ IsRelPrime a b
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
h : G.Adj u v
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h SimpleGraph.Walk.nil).toSubgraph = G.subgraphOfAdj h
a : Ordinal.{u_1}
⊢ (sup fun n => (fun x => a + x)^[n] 0) = sup fun n => a * ↑n
R : Type u_1
Semiring R
x : R[ε]
⊢ Commute ε x
a x : ℝ
⊢ ↑(sinKernel (↑a) x) = jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x) / (-2 * ↑π)
α : Type u
f : Filter α
p : α → Prop
s : Set α
⊢ (∀ᶠ (x : α) in f ⊓ 𝓟 s, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in f, x ∈ s → p x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
S : Set (Set E)
h : ∀ s ∈ S, Convex 𝕜 s
⊢ Convex 𝕜 (⋂₀ S)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hf : PreErgodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s = s
⊢ μ s = 0 ∨ μ s = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : ℝ
h : y ∈ uIcc x z
⊢ dist x y ≤ dist x z
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
c x : E → F
R : E → ℝ
a : E
n : ℕ∞
hc : ContDiffAt ℝ n c a
hR : ContDiffAt ℝ n R a
hx : ContDiffAt ℝ n x a
hne : x a ≠ c a
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun a => EuclideanGeometry.inversion (c a) (R a) (x a)) a
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : InjectiveResolution X
Q : InjectiveResolution Y
g : P.cocomplex ⟶ Q.cocomplex
w : P.ι ≫ g = (CochainComplex.single₀ C).map f ≫ Q.ι
⊢ (F.rightDerived n).map f = (P.isoRightDerivedObj F n).hom ≫ (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map g ≫ (Q.isoRightDerivedObj F n).inv
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
j : Fin (n + 1)
hp : Prime (c j.succ)
hp' : c j.succ ∣ r
hi : 1 < j.succ
⊢ False
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
n : ℕ
⊢ p.content ∣ p.coeff n
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
a b : α ⊕ β
⊢ a.swap < b.swap ↔ a < b
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
hx : ¬Disjoint ↑(I ⊔ span {x}) ↑S
⊢ False
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
y : L
hy : y ∈ engel K x
⊢ engel K x ≤ engel K y
R : Type u
ι : Type u_1
CommSemiring R
I : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, I ⊔ J i = ⊤
⊢ I ⊔ ∏ i ∈ s, J i = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.op.X₄ = Opposite.op sq.X₁
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
⊢ CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.functor.obj A =
  CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.functorObj A