ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
⊢ HomologicalComplex.cyclesMap 0 i = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
∀ (X : C), CategoryTheory.Mono (h.unit.app X)
⊢ L.Faithful
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
⊢ h.op.π = h.ι.op
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ : M
hB : ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
x : L
hm₀ : ∀ (x : L), ∃ k, (φ x ^ k) m₀ = 0
k : ℕ
hk : (φ x ^ k) m₀ = 0
m : M
hm₁ : (φ x ^ k) m ∈ posFittingCompOf R M x
⊢ (B m₀) ((φ x ^ k) m) = 0
α : Type u_1
E' : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E'
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : f₁ =o[l] f₂
⊢ f₂ =O[l] fun x => f₂ x - f₁ x
w i : Nat
⊢ (0#w).getMsb i = false
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
r : ℝ
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓟 (Metric.ball x r))
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n y)) y
⊢ UniformCauchySeqOn f l (Metric.ball x r)
X : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
A D E : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : TopologicalSpace D
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : ExtremallyDisconnected A
inst✝² : T2Space A
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : CompactSpace E
ρ : E → A
ρ_cont : Continuous ρ
ρ_surj : Surjective ρ
zorn_subset : ∀ (E₀ : Set E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → ρ '' E₀ ≠ univ
x₁ x₂ : E
hρx : ρ x₁ = ρ x₂
hx : ¬x₁ = x₂
G₁ G₂ : Set E
G₁_open : IsOpen G₁
G₂_open : IsOpen G₂
hx₁ : x₁ ∈ G₁
hx₂ : x₂ ∈ G₂
disj : Disjoint G₁ G₂
G₁_comp : IsCompact G₁ᶜ
⊢ False
X Y Z : Type u
x : X
y : Y
z : Z
⊢ (α_ X Y Z).inv (x, y, z) = ((x, y), z)
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : 0 < s.length
this : s.length - 1 + 1 = s.length
⊢ IsMaximal (eraseLast s).last (last s)
l r : List Char
⊢ { s := { data := l.reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len l } }.Valid
α : Sort u_1
p : α → Prop
b : Prop
⊢ (∃ x, b ∧ p x) ↔ b ∧ ∃ x, p x
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
⊢ s₁ ∪ s₂ +ᵥ t₁ ∩ t₂ ⊆ s₁ +ᵥ t₁ ∪ (s₂ +ᵥ t₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a x : α
⊢ x ∈ mulSupport (s.mulIndicator f) ↔ x ∈ s ∩ mulSupport f
F : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
LE α
LE β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
FunLike F α β
self : BoundedOrderHomClass F α β
f : F
⊢ f ⊥ = ⊥
X : TopCat
U : Opens ↑X
⊢ ↑((map U.inclusion).obj U) = ↑⊤
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hpr : p x < r
⊢ Absorbent 𝕜 (p.closedBall x r)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit S) T} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.StructuredArrow.proj S T).map f = f.right
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ Set.MapsTo (↑e) e.source e.target
ι : Type u_1
α : Type u_2
Preorder α
TopologicalSpace α
BoundedLENhdsClass α
u : ι → α
a : α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
h : Filter.Tendsto u Filter.cofinite (𝓝 a)
⊢ BddAbove (Set.range u)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < g x
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ < ∫⁻ (x : α), g x ∂μ
n k s : ℕ
hkn : k ≤ n
hsk : s ≤ k
h : 0 < (n - k)! * (k - s)! * s !
⊢ n.choose s * s ! * ((n - s).choose (k - s) * (k - s)! * (n - s - (k - s))!) = n.choose s * (n - s).choose (k - s) * ((n - k)! * (k - s)! * s !)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
⊢ HahnSeries.addOppositeEquiv x = AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }
s : Set Ordinal.{u}
hs : Small.{u, u + 1} ↑s
⊢ (Ordinal.sup fun x => ↑((equivShrink ↑s).symm x)) = sSup s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
F : CategoryTheory.Functor J D
R : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Limits.HasLimit (F.comp R)
CategoryTheory.Reflective R
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit F
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
⊢ H.relindex ⊥ = 1
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
s : Set A
z : A
⊢ z ∈ NonUnitalStarSubalgebra.centralizer R s ↔ ∀ g ∈ s, g * z = z * g ∧ star g * z = z * star g
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass M'
inst✝¹ : MulOneClass N'
inst✝ : MulOneClass P
C : M ∗ N → Prop
one : C 1
inl_mul : ∀ (m : M) (x : M ∗ N), C x → C (inl m * x)
inr_mul : ∀ (n : N) (x : M ∗ N), C x → C (inr n * x)
x : FreeMonoid (M ⊕ N)
⊢ C (mk x)
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ ((comap f) (⨅ i, m i)) s = (⨅ i, (comap f) (m i)) s
o : Ordinal.{u_1}
⊢ (mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).LeftMoves = (Quotient.out o).α
α : Type u_2
LinearOrder α
a : α
s : Finset α
⊢ (insert a s).min = min (↑a) s.min
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
g : G
f : G → MonoidAlgebra k G := fun x => Finsupp.single x 1
⊢ ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, f (x * g) = ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, f x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
c : Composition k
hd : (2 ≤ k ∧ k < n + 1) ∧ 1 < c.length
j : Fin c.length
⊢ c.blocksFun j < n
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
j i : ι
x : β i
⊢ DFinsupp.erase j (DFinsupp.single i x) = if i = j then 0 else DFinsupp.single i x
α : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace α
PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_clopen : ∀ (i : ι), IsClopen (s i)
⊢ Subsingleton ι
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F₁ : A ⥤ C
U₁ : C ⥤ A
F₂ : B ⥤ D
U₂ : D ⥤ B
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : F₁ ⊣ U₁
adj₄ : F₂ ⊣ U₂
α : U₂ ⋙ R₁ ⟶ R₂ ⋙ U₁
⊢ (mateEquiv adj₁ adj₂).symm ((mateEquiv adj₄ adj₃).symm α) = (conjugateEquiv (adj₁.comp adj₄) (adj₃.comp adj₂)).symm α
τ : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup τ
inst✝² : TopologicalSpace τ
inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
ϕ : Flow τ α
t : τ
⊢ Continuous (uncurry ϕ.toFun)
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : α → ι
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ Fintype.card { g // f ∘ ⇑g = f } = ∏ i : ι, (Fintype.card { a // f a = i })!
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < r i
h₁ : blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
h₂ : blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p
hr : Tendsto (fun i => M * r i) atTop (𝓝 0)
⊢ blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
m M N : ℕ
a : (n : ℕ) × Composition n
⊢ a ∈ FormalMultilinearSeries.compPartialSumTarget m M N ↔
  m ≤ a.snd.length ∧ a.snd.length < M ∧ ∀ (j : Fin a.snd.length), a.snd.blocksFun j < N
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X L.X).hom ≫ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ◁ L.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft)
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} B
CategoryTheory.Category.{u_8, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
ε : eA.functor ≅ F ⋙ e'.inverse
X : A
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalenceUnitIso hG ε).hom.app X =
  eA.unitIso.hom.app X ≫
    eA.inverse.map (ε.hom.app X) ≫
      eA.inverse.map (e'.inverse.map (eB.counitIso.inv.app (F.obj X))) ≫
        eA.inverse.map (hG.hom.app (eB.inverse.obj (F.obj X))) ≫ eA.unitIso.inv.app (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X)))
R : Type u_1
CommRing R
⊢ Ideal.IsJacobson R ↔ ∀ {I : Ideal R}, I.IsPrime → ∃ M, (∀ J ∈ M, ∀ (K : Ideal R), J < K → K = ⊤) ∧ I = sInf M
I : Type u
X : I → TopCat
x : (i : I) → ↑(π.obj (X i))
⊢ ⟦Path.pi fun i => Path.refl (x i).as⟧ = 𝟙 { as := fun i => (x i).as }
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
CompleteSpace α
T0Space α
γ : β → Type u_5
f : (b : β) × γ b → α
ha : Summable f
⊢ ∑' (p : (b : β) × γ b), f p = ∑' (b : β) (c : γ b), f ⟨b, c⟩
C : Type u_1
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : ∀ (i : ι), IsZero (S.map (eval C c i)).homology
⊢ 𝟙 S.homology = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
this : ∀ (t : Set β), IsClosed (s.restrict f ⁻¹' t) ↔ ∃ u, IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (t : Set β), IsClosed t → ∃ u, IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ￢(a ⊓ b) = ￢a ⊔ ￢b
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
s : Set Ordinal.{max u v}
x✝ : s ∈ Set.range fun i => fixedPoints (f i)
i : ι
hi : (fun i => fixedPoints (f i)) i = s
⊢ nfpFamily f a ∈ s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
x y : (i : ι) → α i
Nonempty ι
⊢ (Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (x i) (y i)) ⊆ Set.Ioc x y
G : Type u_2
Group G
s : Set G
⊢ Submonoid.closure s⁻¹ = (Submonoid.closure s)⁻¹
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ✝ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure (E × ℝ)
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
ν : Measure E := addHaar
A : ν.prod volume = (ν.prod volume).addHaarScalarFactor μ • μ
Hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (ν.prod volume)
Hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (ν.prod volume)
Hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) (ν.prod volume)
⊢ ∫ (x : E × ℝ), (B (f x)) (g' x) ∂μ.addHaarScalarFactor (ν.prod volume) • ν.prod volume = -∫ (x : E × ℝ), (B (f' x)) (g x) ∂μ.addHaarScalarFactor (ν.prod volume) • ν.prod volume
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsExtrOn f s a
g : β → γ
hg : Antitone g
⊢ IsExtrOn (g ∘ f) s a
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
m : M
⊢ (MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w m) φ ∈ MvPolynomial.weightedHomogeneousSubmodule R w m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g g' : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn g (Icc x₀ x)
gdiff : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, HasDerivAt g (g' x_1) x_1
g'_ne : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, g' x_1 ≠ 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo x₀ x
h : (g x - g x₀) * ((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y = (f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x) * g' y
⊢ f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = ((x - y) ^ n / ↑n ! * (g x - g x₀) / g' y) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.divX.coeff n = p.coeff (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a b : α
E : Type u_3
EquivLike E α β
OrderIsoClass E α β
e : E
⊢ e a ⋖ e b ↔ a ⋖ b
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
R : ListBlank Γ
a : Γ
L : ListBlank Γ
L'✝ R'✝ : ListBlank Bool
b : Bool
l₁ : List Bool
IH : ∀ {l₂ : List Bool}, (enc a).toList = l₁.reverseAux l₂ → (Tape.move Dir.left)^[l₁.length] (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L'✝) (ListBlank.append l₂ R'✝)) = Tape.mk' L'✝ (ListBlank.append (enc a).toList R'✝)
l₂ : List Bool
e : (enc a).toList = (b :: l₁).reverseAux l₂
⊢ (Tape.move Dir.left)^[(b :: l₁).length] (Tape.mk' (ListBlank.append (b :: l₁) L'✝) (ListBlank.append l₂ R'✝)) = Tape.mk' L'✝ (ListBlank.append (enc a).toList R'✝)
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ≤ y \ z ↔ x ≤ y ∧ Disjoint x z
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
v : V
x✝ : ∃ φ, φ (Submodule.Quotient.mk v) ≠ 0
φ : Module.Dual K (V ⧸ W)
hφ : φ (Submodule.Quotient.mk v) ≠ 0
w : V
hw : w ∈ W
⊢ (φ ∘ₗ mkQ W) w = 0
G : Type u
AddGroup G
TopologicalSpace G
hmul : Filter.Tendsto (Function.uncurry fun x x_1 => x + x_1) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
hinv : Filter.Tendsto (fun x => -x) (𝓝 0) (𝓝 0)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = Filter.map (fun x => x₀ + x) (𝓝 0)
hconj : ∀ (x₀ : G), Filter.Tendsto (fun x => x₀ + x + -x₀) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ TopologicalAddGroup G
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).iso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).H
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
⊢ Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : μ ≪ ν
s : Set α
⊢ μ.restrict s ≪ ν.restrict s
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
σ : Perm (Fin 4) := swap i 0
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0
x : ℤ
hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x
y : ℤ
hy : f (σ 2) ^ 2 + f (σ 3) ^ 2 = 2 * y
⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
x : M
⊢ x ∈ ⨅ i, p i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ p i
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f : ι →₀ μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
g : ι →₀ μ
hsum : (g.sum fun x x => x) = n
hsupp : g.support ⊆ s
⊢ (((mapRange.addEquiv e).toEmbedding g).sum fun x x => x) = e n ∧ ((mapRange.addEquiv e).toEmbedding g).support ⊆ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X Y : C
n : ℕ
HasDerivedCategory C
⊢ CategoryTheory.Abelian.Ext.hom 0 = 0
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p q : Submodule K V
hpq : p < q
hqp : q < span K {x} ⊔ p
y : V
hyq : y ∈ q
hyp : y ∉ p
⊢ span K {x} ⊔ p ≤ q
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_3
DivisionRing β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
⊢ ∃ δ > 0, ∀ {a b : β}, K ≤ abv a → K ≤ abv b → abv (a - b) < δ → abv (a⁻¹ - b⁻¹) < ε
n m : Nat
ha : n > 0
hb : m > 0
⊢ n * m > 0
α : Type u_1
a b : Lex α
⊢ ofLex a = ofLex b ↔ a = b
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
x : E
⊢ (∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x) ↔ ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ s, w y • y = x
α : Type u
f g : Filter α
h : ∀ (s : Set α), sᶜ ∈ f ↔ sᶜ ∈ g
⊢ f = g
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
h2 : f.support ⊆ (f ^ n).support
key : ∀ (x : α), (f ^ n) x ≠ x ↔ f x ≠ x
x : α
hx1 : (f ^ n) x ≠ x
hx2 : ∀ ⦃y : α⦄, (f ^ n) y ≠ y → (f ^ n).SameCycle x y
⊢ f.IsCycle
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
⊢ 𝟙 c ∈ S.arrows c c
n : ℕ
i a b : Fin (n + 1)
hab : a ≤ b
H : {i, a, b}.card ≤ n
⊢ ↑(SSet.horn.edge n i a b hab H) = SSet.standardSimplex.edge n a b hab
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ι → Set α
s : Set ι
hf : s.PairwiseDisjoint f
⊢ s.Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on f)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p1 p2 p1a : P
hp1a : p1a ∈ s
v1 : V
hv1 : v1 ∈ vectorSpan k s
hv1p : p1 = v1 +ᵥ p1a
p2a : P
hp2a : p2a ∈ s
v2 : V
hv2 : v2 ∈ vectorSpan k s
hv2p : p2 = v2 +ᵥ p2a
hv1v2 : v1 - v2 ∈ vectorSpan k s
⊢ p1a -ᵥ p2a ∈ vectorSpan k s
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Mul M
inst✝⁵ : ContinuousMul M
inst✝⁴ : TopologicalSpace N
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : ContinuousMul N
inst✝¹ : T2Space N
f : ι → Nˣ
r₁ r₂ : N
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
h₁ : Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 r₁)
h₂ : Tendsto (fun x => ↑(f x)⁻¹) l (𝓝 r₂)
⊢ 1 = r₁ * r₂
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
M : Matrix ι ι ℝ
hM : M.det ≠ 0
⊢ ∀ (t : TransvectionStruct ι ℝ), Measure.map (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume = ofReal |t.toMatrix.det⁻¹| • volume
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : ↑(Set.range MeasureTheory.diracProba)
⊢ MeasureTheory.diracProba (MeasureTheory.diracProbaInverse μ) = ↑μ
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
r : R
f : M →ₗ[R] N
⊢ LinearMap.baseChange A (r • f) = r • LinearMap.baseChange A f
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
p : Submodule 𝕜 E := (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ
H₂ : eigenspace T μ ⟂ p
⊢ Disjoint (eigenspace T μ) (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝ : SupConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_anti : Antitone f
hbdd : BddAbove (range f)
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 (⨆ i, f i))
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
⊢ (Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x = (Meq.equiv P ⊤).symm (Meq.mk ⊤ x)
c : Cardinal.{u}
α : Type u
⊢ c ≤ Cardinal.mk α ↔ ∃ p, Cardinal.mk ↑p = c
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h : |x| ≠ 1
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 < n → x ^ n ≠ 1
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x : E₂
r : ℝ
⊢ ⇑e ⁻¹' Metric.sphere x r = Metric.sphere (e.symm x) r
α : Type u
β : Type v
⊢ List.nil.unzip = { fst := List.nil, snd := List.nil }
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module.Free R M
inst✝⁸ : Module.Finite R M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module.Finite R M₁
inst✝⁴ : Module.Free R M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module.Finite R M₂
inst✝ : Module.Free R M₂
f : M →ₗ[R] M
e : M₁ ≃ₗ[R] M₂
φ : Module.End R M₁
b : Basis (ChooseBasisIndex R M₁) R M₁ := chooseBasis R M₁
⊢ ((LinearMap.toMatrix (b.map e) (b.map e)) (e.conj φ)).charpoly = ((LinearMap.toMatrix b b) φ).charpoly
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
NormedAddCommGroup E
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ≥0
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ↑I
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ