ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace Ω
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {μ : MeasureTheory.Measure Ω} {s : ι → Set Ω} [inst : Fintype ι],
  ProbabilityTheory.iIndep m μ → (∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)) → μ (⋂ i, s i) = ∏ i : ι, μ (s i)
R : CommRingCat
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.map (𝟙 R) = 𝟙 (AlgebraicGeometry.Spec R)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν✝ ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ t : Set α✝
α : Type u_5
m₀ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
hμν : ∀ s ∈ C, μ s = ν s
m : MeasurableSpace α
h : m ≤ m₀
hA : m = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h_univ : μ univ = ν univ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
this : IsFiniteMeasure ν
⊢ ∀ (f : ℕ → Set α), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), μ (f i) = ν (f i)) → μ (⋃ i, f i) = ν (⋃ i, f i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
CategoryTheory.Limits.HasPushout (G.map f) (G.map g)
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inr (G.map f) (G.map g) ≫ CategoryTheory.Limits.pushoutComparison G f g =
  G.map (CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
p : ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), (↑(x * (x - 1)) + (1 - ↑(2 * n) * X) * ↑x + ↑(n ^ 2) * X ^ 2) * bernsteinPolynomial R n x = ↑(n * (n - 1)) * X ^ 2 + (1 - (2 * n) • X) * n • X + n ^ 2 • X ^ 2 * 1
k : ℕ
m : k ∈ Finset.range (n + 1)
⊢ (n • X - ↑k) ^ 2 * bernsteinPolynomial R n k = (↑(k * (k - 1)) + (1 - ↑(2 * n) * X) * ↑k + ↑(n ^ 2) * X ^ 2) * bernsteinPolynomial R n k
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain K F m
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain K G n
n' m' : ℤ
α' : CochainComplex.HomComplex.Cochain F L m'
β' : CochainComplex.HomComplex.Cochain G L n'
h : n + 1 = m
h' : m' + 1 = n'
p : ℤ
hp : n + n' = p
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂
h₂₃ : p₂ + n' = p₃
q : ℤ
hq : p₁ + m = q
⊢ (CochainComplex.mappingCone.liftCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ ≫
    (CochainComplex.mappingCone.descCochain φ α' β' h').v p₂ p₃ h₂₃ =
  α.v p₁ q hq ≫ α'.v q p₃ ⋯ + β.v p₁ p₂ h₁₂ ≫ β'.v p₂ p₃ h₂₃
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT'') f =
  (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT) f + (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT') f
f : ℕ →. ℕ
g : ℕ → ℕ
hf : Nat.Partrec f
H : ∀ (n : ℕ), g n ∈ f n
⊢ Nat.Partrec ↑g
a : UnitAddCircle
this : Tendsto (fun s => (s - 1) * completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)
⊢ (fun s => (s - 1) * completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ) =ᶠ[𝓝[≠] 1] fun s => (s - 1) * hurwitzZetaEven a s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : ℕ → β
g : CauSeq β abv
h : ∀ ε > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (f j - ↑g j) < ε
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, abv (f j - ↑g j) < ε / 2 / 2 ∧ ∀ k ≥ j, abv (↑g k - ↑g j) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
h₁ : abv (↑g i - f i) < ε / 2 / 2
h₂ : ∀ k ≥ i, abv (↑g k - ↑g i) < ε / 2
this✝ : abv (f j - ↑g j + (↑g i - f i)) < ε / 2 / 2 + ε / 2 / 2
this : abv (f j - ↑g j + (↑g i - f i) + (↑g j - ↑g i)) < ε / 2 / 2 + ε / 2 / 2 + ε / 2
⊢ abv (f j - f i) < ε
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
CompleteSpace α
l : Filter α
l.NeBot
⊢ Cauchy l ↔ ∃ x, l ≤ 𝓝 x
α : Type u_2
self : MeasurableSpace.DynkinSystem α
f : ℕ → Set α
⊢ Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), self.Has (f i)) → self.Has (⋃ i, f i)
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : IsReduced B
n : ℕ
p : A[X]
dvd : minpoly A x ∣ p ^ n
⊢ minpoly A x ∣ p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ↪r s
a : α
⊢ ↑(let S := {b | ∀ (a_1 : α) (h : r a_1 a), s (↑((fun y x => ⋯.fix (fun a IH => let S := {b | ∀ (a_2 : α) (h : r a_2 a), s (↑(IH a_2 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩) y) a_1 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩) ∈ {b | ∀ (a' : α), r a' a → s (↑(⋯.fix (fun a IH => let S := {b | ∀ (a_1 : α) (h : r a_1 a), s (↑(IH a_1 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩) a')) b}
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
inst✝³ : HasPushout g₁ g₂
inst✝² : HasPushout g₃ g₄
inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
⊢ pushout.inl g₁ g₂ ≫ pushout.desc (pushout.inl g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) (pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) ⋯ = pushout.inl g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
a b : ℤ
⊢ CategoryTheory.shiftFunctorAdd (CochainComplex C ℤ) a b = CochainComplex.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.193906, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0
⊢ (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃).τ₁ = S₁.f ≫ h₁ + h₀ + Hom.τ₁ 0
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
a : α
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : a = i), f i = f a
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h : σ ≠ 1
⊢ (filter (fun x => σ x = x) univ).card < Fintype.card α - 1
R : Type u_1
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c d : RingCon R
⊢ (∀ {x y : Rᵐᵒᵖ}, ({ toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } c) x y → ({ toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } d) x y) ↔ ∀ {x y : R}, c x y → d x y
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Mul α
Add α
LE α
Mul β
Add β
LE β
Mul γ
Add γ
LE γ
f : α ≃+*o β
g : β ≃+*o γ
⊢ ↑(f.trans g) = f.trans g.toRingEquiv
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsClosed t
f : Filter X
hnf : f.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter f
hstf : f ≤ 𝓟 s ∧ f ≤ 𝓟 t
x : X
hsx : x ∈ s
hx : ClusterPt x f
hxt : x ∈ t
⊢ ∃ x ∈ s ∩ t, ClusterPt x f
a : ℝ
h : 0 < a
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (⊤, ↑a)
X : Type u
Y : Type v
Preorder X
Preorder Y
f : X → Y
h : Monotone f
⊢ h.functor.obj = f
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ (ULower.equiv α).Computable
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x y : Ordinal.{u}
hxy : p.index x = p.index y
x_le_y : x ≤ y
H : x < y
h : ∃ x, p.c x ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r x
A : ∀ x < y, p.c (p.index y) ∉ ball (p.c (p.index x)) (p.r (p.index x))
⊢ x = y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f✝ g : ι → M
s t : Finset ι
f : ι → M
h₁ : ∏ i ∈ s, f i = 1
h₂ : ∃ i ∈ s, f i ≠ 1
⊢ ∃ i ∈ s, 1 < f i
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : SetLike S R
hSR : SubringClass S R
s : S
n : ℤ
⊢ ↑n ∈ s
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
a : R
⊢ (Matrix.vandermonde fun i => v i + a).det = (Matrix.vandermonde v).det
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ Order.succ (o.bsup f) = o.blsub f ↔ ∃ i, ∃ (hi : i < o), f i hi = o.bsup f
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker
⊢ (CotangentSpace.map f) (P.cotangentComplex (Cotangent.mk x)) = P'.cotangentComplex ((Cotangent.map f) (Cotangent.mk x))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
t : Finset V
h : ¬AffineIndependent k Subtype.val
⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
k : K
q : Stmt₂
v : σ
S : (k : K) → List (Γ k)
f : σ → Option (Γ k) → σ
⊢ TM2.stepAux (stRun (StAct.peek f) q) v S = TM2.stepAux q (stVar v (S k) (StAct.peek f)) S
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f g : ↥(Lp E' p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f) s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑g) s μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑g x ∂μ
hf_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
hg_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ
hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑(f - g) x ∂μ = 0
⊢ ↑↑(f - g) =ᶠ[ae μ] 0
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2
⊢ False
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p.natDegree ∈ p.support
i : ℕ
hi : i ≠ p.natDegree ∧ i ∈ p.support
⊢ p.coeff i = p.eraseLead.coeff i
x y : UInt8
⊢ (x - y).toNat = (UInt8.size - y.toNat + x.toNat) % UInt8.size
G : Type u
Group G
Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
⊢ Nat.card ↥H.normalizer ≡ Nat.card G [MOD p ^ (n + 1)]
α : Type ua
ι : Sort u_1
UniformSpace α
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
hU : (𝓤 α).HasBasis p s
A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
⊢ ∃ i, p i ∧ Disjoint (⋃ x ∈ A, UniformSpace.ball x (s i)) (⋃ x ∈ B, UniformSpace.ball x (s i))
z : ℤ
⊢ sqrt ↑z = ↑(Int.sqrt z)
x y : ℝ
hx₁ : 0 ≤ x
hy₂ : y ≤ Real.pi / 2
hxy : x < y
⊢ Real.cos y < Real.cos x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
φ : α → F →L[𝕜] E
hφ : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable φ μ
v : F
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun a => (φ a) v) μ
K : Type u_1
Field K
NumberField K
w₁ : NumberField.InfinitePlace K
B : ℕ
hB : NumberField.mixedEmbedding.minkowskiBound K 1 < ↑(NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLTFactor K) * ↑B
n m : ℕ
h : n < m
w : NumberField.InfinitePlace K
hw : w ≠ w₁
⊢ w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(NumberField.Units.dirichletUnitTheorem.seq K w₁ hB m)) <
  w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(NumberField.Units.dirichletUnitTheorem.seq K w₁ hB n))
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k : ℕ
h : IsPrimePow 0
⊢ ∃ p, Nat.Prime p ∧ 0 / p ^ (Nat.factorization 0) p = 1
α : Type u_3
NonAssocRing α
n : ℤ
x : α
⊢ ↑n * x = x * ↑n
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallySurjective J (whiskerLeft H.op f)
X : D
a : (forget A).obj (G.obj (Opposite.op X))
Y : D
g : Y ⟶ X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ X
fac : lift ≫ map = g
hh : Sieve.functorPushforward H (imageSieve (whiskerLeft H.op f) ((forget A).map (G.map map.op) a)) ∈ K.sieves (H.obj (Opposite.unop (Opposite.op Z)))
⊢ Sieve.pullback map (imageSieve f a) ∈ K.sieves (H.obj Z)
H : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id Set.univ y
⊢ ChartedSpace.LiftPropOn Q (↑(chartAt H x).symm) (chartAt H x).target
X : TopCat
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
R : CategoryTheory.Presieve U
hR : CategoryTheory.Sieve.generate R ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U
⊢ iSup (TopCat.Presheaf.coveringOfPresieve U R) = U
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
h : ∀ (g : α), g • ↑s = op g • ↑s
a : α
ha : a ∈ s
g : α
⊢ g * a * g⁻¹ ∈ ↑s
α : Type u_1
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
⊢ (Finset.cons a s ha).sym2 = (Finset.map (Sym2.mkEmbedding a) (Finset.cons a s ha)).disjUnion s.sym2 ⋯
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ insert a ∅ = {a}
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
g : Filter β
m : α → β
⊢ Filter.comap m g ≤ f ↔ g ≤ Filter.kernMap m f
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.normalCore = (MulAction.toPermHom G (G ⧸ H)).ker
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
⊢ deriv^[n + 1] f = deriv^[n] (deriv f)
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
⊢ ∀ (t x_1 : ↑I), x_1 ∈ {0, 1} → { toFun := fun x_2 => { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ?refine_3, map_one_left := ?refine_4 }.toFun (t, x_2), continuous_toFun := ⋯ } x_1 = (toLoop i p).toContinuousMap x_1
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y Z : Scheme
e : X ≅ Y
f : Y ⟶ Z
hf : stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ P (Scheme.Hom.stalkMap (e.hom ≫ f) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
f : α → β
inst✝ : DecidablePred fun x => f x ≤ 0
s : Finset α
h0 : Even (filter (fun x => f x ≤ 0) s).card
x : α
x✝ : x ∈ s
hx : ¬f x ≤ 0
⊢ 0 ≤ 1 * f x
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
CoalgebraStruct R A
⊢ ↑(CoalgEquiv.refl R A) = CoalgHom.id R A
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : ℍ → ℂ
A : SL(2, ℤ)
x : ℂ
this : (↑↑↑A).det = 1
x✝ : ℍ
⊢ Function.const ℍ x (↑A • x✝) * ↑1 ^ (-1) * denom (↑A) x✝ ^ (-0) = Function.const ℍ x x✝
a b m n p✝ p : ℕ
hp : p ∈ (a.lcm b).factorization.support
q : ℕ
hq : q ∈ (a.lcm b).factorization.support
h : b.factorization p ≤ a.factorization p
h' : ¬b.factorization q ≤ a.factorization q
⊢ p ≠ q
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
S X X' Y Y' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S
g' : Y' ⟶ S
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
h₁ : P i₁
h₂ : P i₂
e₁ : f = i₁ ≫ f'
e₂ : g = i₂ ≫ g'
this : P.RespectsIso
⊢ P (pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
⊢ t ∈ ∂ 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ s.card = t.card + 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
hp_top : ¬p = ⊤
hp1 : 1 ≤ p.toReal
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : Subsingleton α
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s = univ
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
⊢ φ.alls.Realize v ↔ ∀ (xs : Fin n → M), φ.Realize v xs
α : Type u_1
LE α
a : WithTop α
b : WithBot αᵒᵈ
⊢ a ≤ WithBot.ofDual b ↔ b ≤ WithTop.toDual a
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
ν : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂ν = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in g • s, f x ∂ν
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → Zero (β i)
Fintype ι
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.equivFunOnFintype.symm ⇑f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ Measurable fun x => ∑' (i : ι), f i x
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S
⊢ ‖x‖ = infDist 0 {m | ↑m = x}
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M✝ : Type u_2
M'✝ : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'✝
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M✝
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝
f✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝
g : M✝ →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ mk' f m₁ s₁ - mk' f m₂ s₂ = mk' f (s₂ • m₁ - s₁ • m₂) (s₁ * s₂)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
this : PreservesColimits G
⊢ HasCokernel f
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
S' : Type u_7
Ring S'
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (Polynomial.aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) pb.gen = y
f : ℕ →. ℕ
⊢ (Nat.Partrec' fun v => f v.head) ↔ Partrec f
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
⊢ IsUnit (NormedSpace.exp 𝕂 x)
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N <r M
⊢ N = M ↾ N.E
F : Type u_1
L : Type u_3
Field F
Field L
Algebra F L
K : IntermediateField F L
Normal F L
⊢ normalClosure F (↥K) L = ⨆ f, IntermediateField.map (↑f) K
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a b : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (a - b).toProd.1 = a.toProd.1 - b.toProd.1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R✝ : ℝ
c x : P
R : ℝ
hx : x ≠ c
this : dist x c ≠ 0
⊢ dist (inversion c R x) c = R ^ 2 / dist x c
α : Type u_1
LinearOrder α
IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
a : α
ha : a < wellOrderSucc a
IsWellOrderLimitElement (wellOrderSucc a)
⊢ False
R : Type u_1
S : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder R
s : Finset S
f : S → WithTop R
⊢ Tropical.trop (sInf (f '' ↑s)) = ∑ i ∈ s, Tropical.trop (f i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
e : E
⊢ ∫ (x : X) in s, ↑↑(indicatorConstLp p ht hμt e) x ∂μ = ∫ (x : X) in s, t.indicator (fun x => e) x ∂μ
z x y : ℝ
hy : 0 < y
hxy : y ≤ x
hz : z ≤ 0
⊢ x ^ z ≤ y ^ z
α : Type u_2
LinearOrderedField α
⊢ AntitoneOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ioi 0)
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P g
i : ((S.affineCover.pullbackCover f).pullbackCover (pullback.fst f g)).J
e : pullback (pullback.fst f g) ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≅ pullback (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g) := pullbackSymmetry (pullback.fst f g) ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≪≫ pullbackRightPullbackFstIso f g ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≪≫ asIso (pullback.map ((S.affineCover.pullbackCover f).map i ≫ f) g (pullback.snd f (S.affineCover.map i) ≫ S.affineCover.map i) g (𝟙 ((S.affineCover.pullbackCover f).obj i)) (𝟙 Y) (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≪≫ (pullbackRightPullbackFstIso (S.affineCover.map i) g (pullback.snd f (S.affineCover.map i))).symm
⊢ P ((S.affineCover.pullbackCover f).pullbackHom (pullback.fst f g) i)
α : Type u
β : Type v
inst✝ : LinearOrder α
a✝ b✝ c d a b : α
p : α → Prop
ha : p a
hb : p b
h : a ≤ b
⊢ p (a ⊔ b)
c : Nat.Partrec.Code
n x : ℕ
⊢ (c.curry n).eval x = c.eval (Nat.pair n x)
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : IsSpectralMap f
⊢ Continuous f
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : Module.End R M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)
l : ℕ
hl : l ≥ n
m : ℕ
h : l ≤ m
⊢ range (f ^ l) ≤ range (f ^ m)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
N : Type u_6
AddCommGroup N
TopologicalSpace N
TopologicalAddGroup N
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
w : MeasureTheory.VectorMeasure α N
⊢ v ⟂ᵥ -w ↔ v ⟂ᵥ w
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
h : x ∈ span R (↑p ∪ ↑p')
⊢ ∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty β
s : Set α
t : Set β
hs : s.Finite
hle : s.encard ≤ t.encard
⊢ ∃ f, s ⊆ f ⁻¹' t ∧ Set.InjOn f s
α : Type u
n : ℕ
v : List α
P : v.length = n
⊢ Mathlib.Vector.toList ⟨v, P⟩ = v
b u w v : Ordinal.{u_1}
hw : w < b ^ u
⊢ b ^ u * v + w < b ^ u * succ v
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
s : Set M
t : Set M'
hs : UniqueMDiffOn I s
ht : UniqueMDiffOn I' t
⊢ UniqueMDiffOn (I.prod I') (s ×ˢ t)
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.12154
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : ∀ (u : U), Injective (φ.star u)
u v₁ : U
h : True
⊢ ⟨u, Path.nil⟩ = ⟨u, Path.nil⟩
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
⊢ Polynomial.dickson 2 0 n = Polynomial.X ^ n
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
X : C × D
⊢ (CategoryTheory.currying.functor.obj F).obj X = (F.obj X.1).obj X.2
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
p : α → β → Prop
hp : ∀ (b : β), Antitone fun a => p a b
⊢ Antitone fun a => {b | p a b}
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
TopologicalSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
LinearOrder β
OrderClosedTopology β
f : β → α
hf : Antitone f
⊢ Measurable f