ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : ι → Set E
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ PartENat.card ι
h_convex : ∀ (i : ι), Convex 𝕜 (F i)
h_compact : ∀ (i : ι), IsCompact (F i)
h_inter : ∀ (I : Finset ι), I.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty
⊢ ∀ (I : Finset ι), I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
⊢ ∀ (b_1 : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℝ), i ≤ a → logb b a ≤ b_1
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
this : Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R C))) = LinearMap.ker (LinearMap.rTensor C f.toLinearMap)
⊢ Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R C))) = Submodule.restrictScalars R (Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f))
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar F R
⊢ orderOf χ ∣ Fintype.card F - 1
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
this : ∫ (x : ℝ) in S, g x = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)
⊢ EqOn (fun x => (|p| * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p)) (fun x => |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)) (Ioi 0)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
i : o
j : m
⊢ Matrix.fromBlocks A B C D (Sum.inr i) (Sum.inr j) = D i j
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ Submodule.span k (insert (p -ᵥ p) ((fun x => p -ᵥ x) '' (s \ {p}))) = Submodule.span k ((fun x => p -ᵥ x) '' (s \ {p}))
A : Type u_1
SeminormedCommGroup A
m n : ℕ
δ : ℝ
hm : 0 < m
hmn : n.Coprime m
⊢ (fun y => y ^ m) '' approxOrderOf A n δ ⊆ approxOrderOf A n (↑m * δ)
α : Type u_1
DecidableEq α
β : Type u_2
s : Finset α
i : β
⊢ (s.pi fun x => {i}) = {fun x x => i}
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
⊢ wittStructureRat p Φ n * C (↑p ^ n) = (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
x : R ⧸ I ⊓ J
⊢ ((I.quotientInfEquivQuotientProd J coprime) x).1 = (Ideal.Quotient.factor (I ⊓ J) I ⋯) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ Balanced 𝕜 (-s) ↔ Balanced 𝕜 s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
h : s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hxy : x ≠ y
⊢ a • x + b • y ∈ s
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hG : G.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = (eval r) G
hnR : ↑n ≤ #R
⊢ ∀ (r : σ → R), (eval r) (F - G) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
a : α
⊢ Finset.image f {a} = {f a}
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
q : P
⊢ ∑ i : ι, (b.coord i) q = 1
R : Type u
S : Type v
A : Type w
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra S A
Algebra R A
IsScalarTower R S A
U : Subalgebra S A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (Subalgebra.restrictScalars R U) = Submodule.restrictScalars R (Subalgebra.toSubmodule U)
p n : ℕ
⊢ WittVector.wittPolyProd p (n + 1) =
  -(↑p ^ (n + 1) * MvPolynomial.X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * MvPolynomial.X (1, n + 1)) +
        ↑p ^ (n + 1) * MvPolynomial.X (0, n + 1) * (MvPolynomial.rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) +
      ↑p ^ (n + 1) * MvPolynomial.X (1, n + 1) * (MvPolynomial.rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) +
    WittVector.remainder p n
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w
⊢ (p.concat h).length = p.length + 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T4Space X
h : X ≃ₜ Y
⊢ T4Space Y
α : Type u_1
Field α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : ad ≠ 0
hbd : bd ≠ 0
hgcd : gcd ≠ 0
⊢ (a = b) = (1 / gcd * (bd * a') = 1 / gcd * (ad * b'))
α : Type u
TopologicalSpace α
R : Type u_2
PseudoMetricSpace R
Monoid R
BoundedMul R
ContinuousMul R
n : ℕ
f : BoundedContinuousFunction α R
x : α
⊢ (f ^ n) x = f x ^ n
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝² : IsCancelAdd R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : BilinMap R M R
x y : M
h : LinearMap.IsSymm B
this : AddCancelMonoid R := let __src := inst✝²; let __src_1 := inferInstanceAs (AddCommMonoid R); AddCancelMonoid.mk ⋯
⊢ (B x) x + (B y) y + ((B y) x + (B x) y) = (B x) x + (B y) y ↔ (B x) y = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
OrderedCancelAddCommMonoid E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
x y : E
h : x < y
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ Set.Ioo x y
α : Type u_1
β : Type u_2
ts : List α
t : α
is : List α
ih : ∀ (is' : List α), (is ++ ts).permutationsAux is' = map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux is') ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ is')
is' x✝ : List α
⊢ (permutationsAux2 t [] [] x✝ fun x => id (x ++ (is ++ ts))).2 = (permutationsAux2 t [] [] x✝ fun x => x ++ is ++ ts).2
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[Filter.atBot] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Set.Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[Filter.atBot] fun x => |x| ^ (-b)
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
a : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
n : ℕ
⊢ (f ^ n) a = a ↔ s.card ∣ n
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
ExistsAddOfLE α
PosMulMono α
MulPosMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Monotone f
hg : Antitone g
hf₀ : ∀ (x : β), 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ (x : β), g x ≤ 0
⊢ Antitone (f * g)
α : Type u_1
β : Type u_2
xs ys xs' : List α
hx : xs' ~ xs
h : xs' <+ ys
⊢ xs.sym2 <+~ ys.sym2
α : Type u
s t u : Set α
h : u ⊆ s
⊢ s \ (t \ u) = s \ t ∪ u
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
f g : ↑(Ω^ N X x)
H : GenLoop.Homotopic f g
⊢ GenLoop.Homotopic g f
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : support f ⊆ k
h'f : Continuous f
⊢ f = 0 ∨ LocallyCompactSpace G
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hw : ∑ i ∈ t, w i = 1
⊢ t.centerMass w z = ∑ i ∈ t, w i • z i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
f : CategoryTheory.Arrow C
⊢ (CategoryTheory.SimplicialObject.augmentedCechNerve.obj f).right = f.right
α : Type u_1
CompleteLattice α
S : Set α
self : IsCompactlyGenerated.BooleanGenerators S
s : Finset α
a : α
⊢ ↑s ⊆ S → CompleteLattice.IsCompactElement a → a ≤ s.sup id → ∃ t ⊆ s, a = t.sup id
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → E'
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)
a✝ : α
h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) ν
h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) ν
⊢ F (∫ (y : β), f (a✝, y) - g (a✝, y) ∂ν) = F (∫ (y : β), f (a✝, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (a✝, y) ∂ν)
n : ℕ
M : Type u_1
M₁ : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup M₁
Module (ZMod n) M
Module (ZMod n) M₁
f : M →+ M₁
⊢ ⇑(AddMonoidHom.toZModLinearMap n f) = ⇑f
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
p : Submodule R M
h : p ≤ Submodule.comap (f - (algebraMap R (End R M)) μ) p
x : M
hx : x ∈ p
⊢ x ∈ Submodule.comap f p
x y : ℝ
⊢ ↑(cos (3 * x)) = ↑(4 * cos x ^ 3 - 3 * cos x)
α₁ : Sort u_1
β₁ : Sort u_2
α₂ : Sort u_3
β₂ : Sort u_4
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₂ : β₁ ≃ β₂
f : α₁ → β₁
⊢ ∀ (a : α₂), (e₁.arrowCongr e₂) f a = (⇑e₂ ∘ f ∘ ⇑e₁.symm) a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A : Mon_ C
⊢ (Mon_.forget C).obj A = A.X
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
⊢ ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (f + g)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f) + ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g)
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Group G
MulAction G β
SMul α β
SMulCommClass G α β
a : α
b : β
⊢ MulAction.stabilizer G b ≤ MulAction.stabilizer G (a • b)
G : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
F : Filter G
this : UniformSpace G := B.uniformSpace
⊢ Cauchy F ↔ F.NeBot ∧ ∀ U ∈ B, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ (finSuccAboveOrderIso p) i = ⟨p.succAbove i, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
⊢ s ∪ t =ᶠ[ae μ] t ↔ s ≤ᶠ[ae μ] t
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f ∈ degreeLT R s.card
degree_g_lt : g ∈ degreeLT R s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
⊢ f = g
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
⊢ log y / y ≤ log x / x
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count
    (Associates.mk (∏ᶠ (v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors =
  (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
ι✝ : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M✝ N : Submodule R A
m n : A
ι : Type u_1
s : Finset ι
M : ι → Set A
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ ∏ i ∈ ∅, span R (M i) = span R (∏ i ∈ ∅, M i)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.SeparatesPoints α
⊢ Function.Injective fun x => MeasureTheory.Measure.dirac x
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M
n : ℕ
h : Module.rank R M = ↑n
a✝ : Nontrivial R
⊢ Finite R M
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
f : α →₀ M
h₁ h₂ : α → M → N
⊢ (f.sum fun a b => h₁ a b + h₂ a b) = f.sum h₁ + f.sum h₂
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : SemilatticeSup δ
inst✝ : OrderBot δ
g : γ → δ
⊢ (s.sup fun i => t.sup fun i' => (g ∘ uncurry f) (i, i')) = s.sup fun x => t.sup fun x_1 => g (f x x_1)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (p.append q).reverse.IsPath
⊢ q.reverse.IsPath
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
b : m → α
LT α
⊢ Matrix.BlockTriangular 0 b
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ ‖jacobiTheta τ - 1‖ ≤ 2 / (1 - rexp (-π * τ.im)) * rexp (-π * τ.im)
M : Type u_3
CommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M
hf : ∀ (j : Fin b), f (Fin.natAdd a j) = 1
⊢ ∏ i : Fin (a + b), f i = ∏ i : Fin a, f (Fin.castLE ⋯ i)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA : MeasurableSet A
hB : MeasurableSet B
⊢ ∀ (i : Bool), MeasurableSet (bif i then A else B)
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
⊢ Measure.map (fun x => c * x) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l₁ l₂✝ : List α
a b : α
l₂ l₃ : List α
h : Chain' R (l₂ ++ l₁ ++ l₃)
⊢ Chain' R l₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
CommMonoid γ
TopologicalSpace γ
G : Type u_5
EquivLike G α γ
MulEquivClass G α γ
g : G
hg : Continuous ⇑g
hg' : Continuous (EquivLike.inv g)
⊢ Multipliable (⇑g ∘ f) ↔ Multipliable f
n x : Nat
lt : x < 2 ^ n
⊢ x &&& 2 ^ n - 1 = x
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℕ
hnp : ↑n < ↑p
hn : ‖⟨↑r, H⟩ - ↑↑n‖ < 1
⊢ n < p ∧ ‖x - ↑n‖ < 1
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ c.toStructuredArrow.comp (CategoryTheory.StructuredArrow.proj c.pt F) = CategoryTheory.Functor.id J
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Archimedean R
p : R → Prop
h : ∀ᶠ (x : R) in atBot, p x
⊢ ∀ᶠ (n : ℚ) in atBot, p ↑n
x y : ℂ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ x.arg = y.arg ↔ ↑(x / y).arg = 0
⊢ ∀ {α : Sort u_1} {cmp : α → α → Ordering} {x y : α} [inst : Batteries.TransCmp cmp],
  Batteries.RBNode.cmpEq cmp x y ↔ cmp x y = Ordering.eq
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
CommMonoid β
ContinuousMul β
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → C(α, β)
⊢ ⇑(∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ⇑(f i)
α : Type u
β : Type v
f : Filter β
m : α → β
⊢ (Filter.comap m f).NeBot ↔ ∃ᶠ (y : β) in f, y ∈ Set.range m
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E × F
⊢ Tendsto (fun x_1 => f x_1 - f x) (𝓝 x) (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t : Set α
inst✝² : Fintype α
s : Set α
inst✝¹ : Fintype ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ filter (fun x => x ∈ s) Finset.univ ↔ a✝ ∈ s.toFinset
R : Type u_1
AddGroupWithOne R
m n : ℕ
h : m < n
⊢ ↑(n - m) = ↑n - ↑m
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f : R[X]
N : ℕ
⊢ reflect N (-f) = -reflect N f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : CategoryTheory.Center C
⊢ (CategoryTheory.Center.forget C).μ X Y = 𝟙 (X.fst ⊗ Y.fst)
n✝ n : ℕ
⊢ n.primeFactors = filter Prime n.divisors
α : Type ua
⊢ UniformSpace.toTopologicalSpace = ⊤
m n : Num
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
n : ℕ
hp : ∀ n' < n, p n'
⊢ Nat.count p n = n
M : Type u_1
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MeasurableSpace M
inst✝³ : MeasurableMul₂ M
μ ν ρ : Measure M
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite ρ
⊢ map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod (ν + ρ)) = map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod ν) + map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod ρ)
R : Type u_2
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N : Type u_9
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid N
Module R M₁
Module R M₂
Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
h : Q₁.Equivalent Q₂
⊢ Q₂.Equivalent Q₁
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
⊢ a ∈ s → b ∈ t → a +ᵥ b ∈ s +ᵥ t
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
R₁ : Type u_5
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
Monoid R₁
DistribMulAction R₁ R
SMulCommClass R₁ R R
r : R₁
z : R
f : (i : ι) → s i
⊢ r • PiTensorProduct.tprodCoeff R z f = PiTensorProduct.tprodCoeff R (r • z) f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : ℕ → β
g : CauSeq β abv
h : ∀ ε > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (f j - ↑g j) < ε
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, abv (f j - ↑g j) < ε / 2 / 2 ∧ ∀ k ≥ j, abv (↑g k - ↑g j) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
h₁ : abv (f i - ↑g i) < ε / 2 / 2
h₂ : ∀ k ≥ i, abv (↑g k - ↑g i) < ε / 2
⊢ abv (f j - f i) < ε
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
c : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
⊢ c.unop.fst = c.inl.unop
k : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Infinite k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hs : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤
hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ
⊢ False
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
⊢ (quadraticChar F).IsNontrivial
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
hq : ¬q = 0
⊢ p.reverse * (X ^ p.natTrailingDegree * q.reverse * X ^ q.natTrailingDegree) = p.reverse * X ^ p.natTrailingDegree * (q.reverse * X ^ q.natTrailingDegree)
i j k : ℤ
⊢ (i.natAbs * j.natAbs).gcd (k.natAbs * j.natAbs) = i.natAbs.gcd k.natAbs * j.natAbs
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Monoid G
p : MonoidAlgebra k G → Prop
f : MonoidAlgebra k G
hM : ∀ (g : G), p ((MonoidAlgebra.of k G) g)
hadd : ∀ (f g : MonoidAlgebra k G), p f → p g → p (f + g)
hsmul : ∀ (r : k) (f : MonoidAlgebra k G), p f → p (r • f)
⊢ p f
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
⊢ (fun x => (f' x, g' x)) =O[l] k' → f' =O[l] k'
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t).diag = s.diag ∪ t.diag
α : Type u_1
R₁ R₂ : Set α
M : Matroid α
hR : R₂ ⊆ R₁
⊢ (M.restrict R₁).restrict R₂ = M.restrict R₂
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
⊢ (p.transfer H hp).reverse = p.reverse.transfer H ⋯
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset
this✝ : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : Ideal R → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : Ideal R → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : Ideal R → R
hu : ∀ M ∈ s, u M ∈ ⨅ M' ∈ s.erase M, M'
hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
hv : v ∈ I'
h : ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') * Submodule.span R {v}) = ⊤
M : Ideal R
hJM : Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') * Submodule.span R {v}) ≤ M
hM : M ∈ hf.toFinset
this : ∀ a ∈ I, ∀ b ∈ I', ∃ c, (algebraMap R A) c = a * b
hmem : u M • (a M * b M) + ∑ x ∈ s.erase M, u x • (a M * b x) ∈ IsLocalization.coeSubmodule A M
⊢ ∑ x ∈ s.erase M, u x • (a M * b x) ∈ IsLocalization.coeSubmodule A M
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
z : α
x y : ↑s
h : [[s.ordConnectedProj x, s.ordConnectedProj y]] ⊆ s
⊢ s.ordConnectedProj x = s.ordConnectedProj y
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
TopologicalSpace R
AddCommGroup M
Module R M
B : ModuleFilterBasis R M
m₀ : M
U : Set M
hU : U ∈ B
⊢ ∀ᶠ (x : R) in 𝓝 0, x • m₀ ∈ U
m n : ZNum
⊢ ↑m ∣ ↑n ↔ m ∣ n
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
a b : α
h : a ≤ b
f : ↑(Set.Icc a b) → β
hf : StrictMono f
⊢ StrictMonoOn (Set.IccExtend h f) (Set.Icc a b)
o : Ordinal.{u}
o' : Ordinal.{v}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max (max u v) w}
g : (a : Ordinal.{v}) → a < o' → Ordinal.{max (max u v) w}
h : o.brange f ⊆ o'.brange g
⊢ o.blsub f ≤ o'.blsub g
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set α
t : Finset α
h₁ : s ∩ Function.support f ⊆ ↑t
h₂ : ↑t ⊆ s
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∑ i ∈ t, f i
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M'
Module R M'
TopologicalSpace M'
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
g : M [⋀^ι]→L[R] N
f : M' →L[R] M
m : ι → M'
⊢ (g.compContinuousLinearMap f) m = g (⇑f ∘ m)
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →*₀ F
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
⊢ Summable fun a => ‖f p ^ a‖
a b : Prop
⊢ (b ↔ a ∨ b) ↔ a → b
α : Type u_1
f : Char → α → α
s : String
a : α
⊢ foldr f a s = List.foldr f a s.data
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
⊢ ¬(hζ.toInteger - 1) ^ 2 ∣ S.a + ↑⋯.unit * S.b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasFiniteWidePushouts C
J : Type
Finite J
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape J) C
R : Type u
inst✝² : Ring R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
r : R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0
⊢ ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), IsLocalization.coeSubmodule (Localization.AtPrime J) (Ideal.span {r}) = ⊥
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : UniformSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
φ : (↑(⋃₀ 𝔖) → α) ≃ᵤ (X → α) := UniformEquiv.piCongrLeft (Equiv.subtypeUnivEquiv 𝔖_covers)
⊢ UniformInducing (⇑φ.symm ∘ F) ↔ UniformInducing F
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
⊢ MonotoneOn f s ∨ AntitoneOn f s ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ s, c ∈ [[a, b]] → f c ∈ [[f a, f b]]
Fq : Type u_1
Fintype Fq
Semiring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Polynomial Fq
hb : b.natDegree ≤ d
A : Fin m.succ → Polynomial Fq
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ A i₁ = A i₀
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
b0 : b ≠ 0
⊢ b * a / b = a
c a b : Prop
h : c → (a ↔ b)
⊢ a ∧ c ↔ b ∧ c