ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
W X X' Y Y' Z : D
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y'
h' : Y' ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h (e.counitInv.app Z))) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f'
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h' (e.counitInv.app Z))) ↔
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g' h')
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
s : Set α
g₁ g₂ : G
h₁ : g₁ ∈ {g | g • s =ᶠ[ae μ] s}
h₂ : g₂ ∈ {g | g • s =ᶠ[ae μ] s}
⊢ g₁ * g₂ ∈ {g | g • s =ᶠ[ae μ] s}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤
A : Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closure s)))
B : Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝[≤] 0) (𝓝 (μ (closure s)))
⊢ 𝓝 0 = 𝓝[≤] 0 ⊔ 𝓝[>] 0
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
StrongRankCondition R
v : M
n : v ≠ 0
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
⊢ FiniteDimensional.finrank R M = 1
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x
h : γ₀ ≠ 0
hγ₀ : extension ⁻¹' {γ₀} ∈ 𝓝 x
⊢ (∀ t ∈ 𝓝 x, ∃ y, ↑y ∈ t) ↔ γ₀ < ↑γ
P : TopCat → Prop
X Y Z : CompHausLike P
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.forget (CompHausLike P)).map f ≫ (CategoryTheory.forget (CompHausLike P)).map g = ⇑g ∘ ⇑f
c d : ℝ
hcd : c ≤ d
⊢ (fun t => rexp (-d * t)) =O[atTop] fun t => rexp (-c * t)
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Type u
τ : Type u
f : ((i : Fin (n + 1)) → p i) → τ
a : p 0
⊢ Function.FromTypes.curry f a = Function.FromTypes.curry (f ∘ Fin.cons a)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
⊢ ¬1 < s.card ↔ ¬∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, a ≠ b
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
ν' : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν'
⊢ μ.prod (ν + ν') = μ.prod ν + μ.prod ν'
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
S : AddSubgroup G
g : G
hg : g ∈ S
a : α
⊢ ⟨g, hg⟩ +ᵥ a = g +ᵥ a
α β : Type u
a b : Cardinal.{u}
this : ∀ {a : Cardinal.{u}}, ℵ₀ ≤ a → a ≠ 0
⊢ b ≠ 0 ∧ ℵ₀ ≤ a ∨ a ≠ 0 ∧ ℵ₀ ≤ b ↔ a ≠ 0 ∧ ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ a ∧ b ≠ 0
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
hne : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
h_cauchy : ((PowerSeries.mk fun p => bernoulli p / ↑p !) * PowerSeries.mk fun q => (coeff ℚ (q + 1)) (exp ℚ ^ n)) = PowerSeries.mk fun p => ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!
hps : ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = (∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!) * ↑p !
⊢ ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)! * ↑p ! = ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / (↑p + 1)
α : Type u_1
LT α
DecidableEq α
a a' : α
Decidable (a < a')
h : compareOfLessAndEq a a' = Ordering.eq
⊢ a = a'
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ t : R
m : M
hm : ∃ k, ((f - μ • 1) ^ k) m = 0
k : ℕ
hk : ((f - μ • 1) ^ k) m = 0
⊢ ((t • f - (t * μ) • 1) ^ k) m = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ a \ (a \ b) ≤ c ⊔ b \ c
α : Type u_1
F : Type u_4
R : Type u_13
Norm F
SeminormedRing R
g : α → F
l : Filter α
f : α → R
c : R
hc : IsUnit c
⊢ (fun x => c * f x) =O[l] g ↔ f =O[l] g
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
s : S
⊢ ∃ a, IsUnit ((algebraMap R S) a) ∧ ∃ y, (algebraMap R S) y = s * (algebraMap R S) a
α : Type u_1
BooleanRing α
a b : α
⊢ a - b = a + b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
⊢ s ⊆ spanPoints k s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
m : M
⊢ ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = (of R M) m
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
H : ¬∃ c ∈ P.parts, c ≤ b
c : α
hc : c ∈ P.parts
hd : b ∈ Q.parts
hcd : c ≤ b
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ ↑((toEven Q) (reverse (involute x))) = reverse ↑((toEven Q) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
p : β × γ → Prop
h : ∀ᵐ (bc : β × γ) ∂(κ.compProd η) a, p bc
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, ∀ᵐ (c : γ) ∂η (a, b), p (b, c)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
⊢ f.flip.flip = f
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ Metric.ball x ε ∈ 𝓝 x
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
I : Ideal A
⊢ (Ideal.Quotient.mkₐ R₁ I).toRingHom = Ideal.Quotient.mk I
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun x => Real.sin (f x)) (Real.cos (f x) * f') x
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
third_ε_pos : 0 < ε / 3
third_ε_pos' : 0 < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Es : ℕ → Set Ω
Es_mble : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (Es n)
Es_bdd : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (Es n)
Es_diam : ∀ (n : ℕ), diam (Es n) ≤ ε / 3
Es_cover : ⋃ n, Es n = univ
Es_disjoint : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)
N : ℕ
hN : ↑P (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ < ENNReal.ofReal (ε / 3)
Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite
Gs : Set (Set Ω) := (fun J => thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j)) '' {J | J ⊆ Iio N}
⊢ ∀ᶠ (x : ProbabilityMeasure Ω) in 𝓝 P, dist x.toLevyProkhorov P.toLevyProkhorov < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
f : β → α
s : Finset β
⊢ ∏ x ∈ s, f x = ∏' (x : β), (↑s).mulIndicator f x
a : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (↑a, ⊤)
α : Type u_1
r p : α → α → Prop
s : Set α
h : s.Pairwise r
hpq : ∀ ⦃a b : α⦄, r a b → p a b
⊢ s.Pairwise p
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
⊢ h₁.descH (h₁.i ≫ h₂.p) ⋯ ≫ h₂.g' = 0
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hl : l.NeBot
this✝ : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
u : ℕ → Set ι
hu : l.HasAntitoneBasis u
this : ∀ (x : β), (map (fun x_1 => f x_1 x) l ×ˢ map (fun x_1 => f x_1 x) l).HasAntitoneBasis fun n => ((fun x_1 => f x_1 x) '' u n) ×ˢ ((fun x_1 => f x_1 x) '' u n)
K : ℕ
x✝ : K ∈ fun i => True
N : ℕ
⊢ MeasurableSet (⋂ i ∈ u N, ⋂ i_1 ∈ u N, {x | (i, i_1) ∈ (fun p => (f p.1 x, f p.2 x)) ⁻¹' {p | dist p.1 p.2 < 1 / (↑K + 1)}})
ι : Type u_5
R : Type u_7
M : Type u_9
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
ContinuousSMul R M
f : ι → R
r : R
hf : HasSum f r
a : M
⊢ HasSum (fun z => f z • a) (r • a)
x✝ y✝ x y : ℝ
⊢ x ^ 2 < y ↔ -√y < x ∧ x < √y
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
⊢ (fun i => Sum.elim a b (Fin.addCases Sum.inl Sum.inr i)) = Fin.addCases a b
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
ν.IsAddLeftInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.1, -z.1 + z.2)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
hf : Injective f
x : α →₀ M
a : α
⊢ x a = 0 → (single (f a) 0) (f a) = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : Cᵒᵖ
⊢ (β_ X Y).hom.unop = (β_ (Opposite.unop Y) (Opposite.unop X)).hom
X : TopCat
U : Opens ↑X
R : Presieve U
hR : Sieve.generate R ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U
⊢ iSup (coveringOfPresieve U R) = U
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
s : Finset α
⊢ s.compls.Nonempty ↔ s.Nonempty
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : X ≃ᵢ Y
⊢ toGHSpace X = toGHSpace Y
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ (λ_ (F.obj X)).hom ≫ F.map (λ_ X).inv ≫ inv (F.μ (𝟙_ C) X) ≫ inv F.ε ▷ F.obj X = 𝟙 (𝟙_ D ⊗ F.obj X)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h : s ⊆ ↑N
a : G
w : a ∈ normalClosure s
⊢ 1 ∈ N
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A✝ : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
M : R[X] → Prop
p : R[X]
h_C : ∀ (a : R), M (C a)
h_add : ∀ (p q : R[X]), M p → M q → M (p + q)
h_monomial : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * X ^ n) → M (C a * X ^ (n + 1))
A : ∀ {n : ℕ} {a : R}, M (C a * X ^ n)
B : ∀ (s : Finset ℕ), M (∑ n ∈ s, C (p.coeff n) * X ^ n)
⊢ M p
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i✝ : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
l : Line α ι
l' : Line α ι'
x : α
i : ι ⊕ ι'
⊢ (fun x i => ((l.prod l').idxFun i).getD x) x i = Sum.elim ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) ((fun x i => (l'.idxFun i).getD x) x) i
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
x : A
hx : IsIntegral R x
⊢ Algebra.adjoin R {x} ≤ integralClosure R A
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
j : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan
⊢ ∀ (a : (CategoryTheory.Limits.span f g).obj j),
  (CategoryTheory.Limits.Types.Pushout.cocone f g).ι.app j a =
    Option.rec (f ≫ CategoryTheory.Limits.Types.Pushout.inl f g)
      (fun val =>
        CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec (CategoryTheory.Limits.Types.Pushout.inl f g)
          (CategoryTheory.Limits.Types.Pushout.inr f g) val)
      j a
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
P : R[X]
r : R
⊢ eval r ((expand R p) P) = eval (r ^ p) P
α : Type u_1
f✝ : Filter α
β : Type u_2
inst✝¹ : Countable β
f : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter f
g : Filter β
u : α → β → ℝ≥0∞
⊢ ∀ (i : β), ∀ᶠ (x : α) in f, u x i ≤ limsup (fun a' => u a' i) f
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : IsUniform
α β : Type u
g : α → β
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
⊢ supp (abs ⟨a, g ∘ f⟩) = g '' supp (abs ⟨a, f⟩)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
a b : α
⊢ MeasurableSet (Ι a b)
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ((Mon_.limitConeIsLimit F).lift s).hom =
  CategoryTheory.Limits.limit.lift (F ⋙ Mon_.forget C) ((Mon_.forget C).mapCone s)
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
⊢ b ^^^ c < a ∨ a ^^^ c < b ∨ a ^^^ b < c
b : ℂ
hb : 0 < b.re
⊢ HasFiniteIntegral (fun x => ↑x * cexp (-b * ↑x ^ 2)) volume
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x : α → DirectLimit G f
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Quotient.out (x a)).fst)
⊢ ∃ i y, x = fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (y a)⟧
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
s✝ : Set γ
f : γ → β
t t' : TopologicalSpace γ
ht : PolishSpace γ
ht' : PolishSpace γ
hle : t ≤ t'
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet s
α : Type u_1
DistribLattice α
Fintype α
DecidablePred SupIrred
a b : α
⊢ OrderEmbedding.birkhoffSet (a ⊓ b) = OrderEmbedding.birkhoffSet a ∩ OrderEmbedding.birkhoffSet b
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹⁵ : Semiring R
inst✝¹⁴ : Semiring S
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Module R M₄
inst✝³ : Module R M₅
inst✝² : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
inst✝¹ : Module S M₃
inst✝ : SMulCommClass R S M₃
a b : (M →ₗ[R] M₃) × (M₂ →ₗ[R] M₃)
x✝ : M × M₂
⊢ ((fun f => f.1.coprod f.2) (a + b)) x✝ = ((fun f => f.1.coprod f.2) a + (fun f => f.1.coprod f.2) b) x✝
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
ι : Type u_2
l : ι → Filter α
t : Set ι
hd : t.PairwiseDisjoint l
ht : t.Finite
this : Finite ↑t
s : ↑t → Set α
hsl : ∀ (i : ↑t), s i ∈ l ↑i
hsd : Pairwise (Disjoint on s)
⊢ ∃ s, (∀ (i : ι), s i ∈ l i) ∧ t.PairwiseDisjoint s
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ IsUpperSet (Set.Ici a)
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
b : Basis ι R M
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : _root_.Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
bM : Basis m R M
bN : Basis n R N
j : m
i i' : n
j' : m
hij : ¬i = i' ∨ ¬j = j'
⊢ Pi.single i (Pi.single j' 1 j) i' = 0
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
m : M
T2Space M
f : ℕ → M
hf : Multipliable f
⊢ HasProd f m ↔ Filter.Tendsto (fun n => ∏ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop (𝓝 m)
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
TopologicalSpace α
Zero α
T1Space α
f : G → α
hf : HasCompactSupport f
h'f : Continuous f
⊢ f = 0 ∨ LocallyCompactSpace G
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ q✝ : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p✝
inst✝² : DecidablePred q✝
s✝ t✝ s t : Finset α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : _root_.Disjoint p q
⊢ _root_.Disjoint (filter p s) (filter q t)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
P : CategoryTheory.Subobject Y
h : P.Factors 0
⊢ P.factorThru 0 h = 0
R : Type u_1
Semiring R
r c : R
⊢ (Polynomial.C c).scaleRoots r = Polynomial.C c
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re
S : Set ℂ := {z | y < z.re}
h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖
h₁ : ∀ (n : ℕ), DifferentiableOn ℂ (fun x => term f x n) S
h₂ : IsOpen S
h₃ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ S, ‖term f z n‖ ≤ ‖term f (↑x) n‖
H : HasSum (fun i => -term (logMul f) s i) (deriv (fun w => ∑' (i : ℕ), term f w i) s)
H' : DifferentiableOn ℂ (fun w => ∑' (i : ℕ), term f w i) S
⊢ HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s
σ✝ : Type u
R✝ : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
h✝ : Subsingleton R
⊢ #(MvPolynomial σ R) ≤ max (max (lift.{u, v} #R) (lift.{v, u} #σ)) ℵ₀
R : Type u_1
CommRing R
IsArtinianRing R
⊢ {I | I.IsMaximal}.Finite
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
x : A
⊢ star x ∈ StarAlgebra.adjoin R {x}
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
ht : MeasurableSet t
h't : ∀ x ∈ t \ s, f x = 0
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
a : α
b✝ : β
a₁ a₂ b : α
h : rα a₁ a₂
⊢ GameAdd rα s(a₁, b) s(b, a₂)
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
CategoryTheory.HasWeakSheafify J AddCommGrp
J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
I : Type u
⊢ ∀ {J_1 : Type u} (f : I → J_1) (i : I),
  SheafOfModules.sectionsMap (SheafOfModules.freeMap f) (SheafOfModules.freeSection i) =
    SheafOfModules.freeSection (f i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
⊢ ↑0 = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hp : p.IsMaximal
hQ : Subsingleton (S ⧸ P)
⊢ inertiaDeg f p P = 0
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
R : Type u_8
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
DecidableEq p
f : X → p → Matrix m n R
hf : Summable f
⊢ Summable fun x => Matrix.blockDiagonal (f x)
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
U : ℕ → Opens G
h3 : ∀ (t : Finset ℕ) (K : ℕ → Compacts G), (fun s => ↑(μ.toFun s)) (t.sup K) ≤ ∑ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K i)
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)
t : Finset ℕ
ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)
K' : ℕ → Set G
h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)
h2K' : ∀ (i : ℕ), K' i ⊆ (SetLike.coe ∘ U) i
h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i
L : ℕ → Compacts G := fun n => { carrier := K' n, isCompact' := ⋯ }
i : ℕ
a✝ : i ∈ t
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) (L i) ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) (L i)
β : Type v
r : β → β → Prop
IsTrans β r
f : ℕ → β
h : ∀ (n : ℕ), r (f n) (f (n + 1))
a b : ℕ
hab : a < b
⊢ r (f a) (f b)
α : Type u_1
ι : Type u_5
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasureTheory.SFinite μ] {As : ι → Set α},
  (∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)) → Pairwise (Disjoint on As) → {i | 0 < μ (As i)}.Countable
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
n : ℕ
i : Fin l.length
⊢ (l.formPerm ^ n) (l.get i) = l.get ⟨(↑i + n) % l.length, ⋯⟩
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
s : Set α
hs : s.OrdConnected
f : α → δ
hf : ContinuousOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ Set.SurjOn f s (Set.uIcc (f a) (f b))
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E' 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ Integrable (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) - ↑↑f) (μ.restrict s)
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
⊢ 0 ≤ ((GenContFract.of v).contsAux n).b
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊥, ↑a), a.1 + a.2 < ↑x
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' n) f s x
le : m ≤ n
⊢ LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' m) f s x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) (ComplexShape.up α)} (f : X ⟶ Y) (n : α),
  ((CategoryTheory.Idempotents.karoubiCochainComplexEquivalence C α).inverse.map f).f.f n = (f.f n).f