ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u
ι : Type u_2
TopologicalSpace X
Y : ι → Type u_3
(i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
f₀ f₁ : (i : ι) → C(X, Y i)
F : ∀ (i : ι), (f₀ i).Homotopic (f₁ i)
⊢ (ContinuousMap.pi f₀).Homotopic (ContinuousMap.pi f₁)
n a : ℕ
l : List ℕ
hn : ∀ a_1 ∈ (a :: l ++ [0]).head?, a_1 < n
hl : (∀ a' ∈ l ++ [0], a' + 2 ≤ a) ∧ Pairwise (fun a b => b + 2 ≤ a) (l ++ [0])
⊢ (map fib (a :: l)).sum < fib n
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hg : HasDerivWithinAt g g' s x
h : 0 < f x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x)) s x
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.IsNormal (Ordinal.deriv f)
α : Type u
l : List α
a : α
n : ℕ
⊢ (a :: l).rotate' n.succ = (l ++ [a]).rotate' n
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
h : ∀ t ⊆ s, t ∈ 𝒜
⊢ 𝒜.Shatters s
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.IsReflexive R M
W : Submodule R M
⊢ (Module.mapEvalEquiv R M) W = Submodule.map (Module.Dual.eval R M) W
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 : (extendIdealTo i f h y) r = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)
⊢ ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap (fst i x) + (extendIdealTo i f h y) (snd i x) = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r
M : Type u
self : AddMonoid M
x : M
⊢ AddMonoid.nsmul 0 x = 0
x y z : Bool
⊢ (x && xor y z) = xor (x && y) (x && z)
α : Type u_1
Zero α
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
⊢ SignType.sign 0 = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
A : Set P
Nonempty ↑A
⊢ affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A) = ⊤
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝² : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
inst✝¹ : L.NeBot
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ MeasurableSet A
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
this : ∑ x ∈ s, |f x| * |g x| ≤ (∑ x ∈ s, |f x| ^ p) ^ (1 / p) * (∑ x ∈ s, |g x| ^ q) ^ (1 / q)
i : ι
x✝ : i ∈ s
⊢ f i * g i ≤ |f i| * |g i|
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a b : R
⊢ ↑(a * b) = ↑a * ↑b
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b c : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hc : c ∈ s
⊢ variationOnFromTo f s a b = variationOnFromTo f s a c ↔ variationOnFromTo f s b c = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasFiniteColimits C
J : Type
𝒥 : CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.FinCategory J
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
CategoryTheory.StrongEpi (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
⊢ CategoryTheory.StrongEpi g
r t : Int
⊢ (Lean.Omega.Constraint.exact r).sat t = decide (r = t)
Ω : Type u_1
m₁ m₂ m₃ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
h_indep : ProbabilityTheory.Indep m₁ m₂ μ
h31 : m₃ ≤ m₁
⊢ ProbabilityTheory.Indep m₃ m₂ μ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
a : R
m : ℕ
⊢ (coeff R m) ((monomial R n) a) = (coeff R m) (mk fun m => if m = n then a else 0)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ (s.singularPart μ).totalVariation =
  s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ + s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s t : MeasureTheory.SignedMeasure α
i : Set α
⊢ (↑(s.toComplexMeasure t) i).im = ↑t i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
o : α × WSeq α
md : some o ∈ s.tail.destruct
⊢ ∃ a', some a' ∈ s.head
G : Type u
Group G
A : Type v
Monoid A
φ ψ : Abelianization G →* A
h : φ.comp Abelianization.of = ψ.comp Abelianization.of
⊢ φ = ψ
α : Type u
Preorder α
a b : α
⊢ a < b → a ≤ b
R : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²³ : CommSemiring A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Module A M'
inst✝²⁰ : IsLocalization S A
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module R M'
inst✝¹⁷ : Module R M''
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝¹ : M →ₗ[R] M''
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type ?u.1107598
N' : Type ?u.1107601
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup N'
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Module R N'
g✝ : N →ₗ[R] N'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
inst✝⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝⁷ : Module R M₀
inst✝⁶ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
x : LocalizedModule S M₀
⊢ ((map S f₀ f₁) g ∘ₗ ↑(iso S f₀)) x = (↑(iso S f₁) ∘ₗ (map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) x
m n : Nat
⊢ m < n + 1 ↔ m ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : SMulPosStrictMono α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
b : β
a₁ a₂ : α
ha : a₁ < a₂
smul : α → β → True
zero : True
hb : 0 < f b
⊢ a₁ • f b < a₂ • f b
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
f f' : PartialHomeomorph X Y
⊢ (f.subtypeRestr hs).symm.trans (f'.subtypeRestr hs) ≈ (f.symm.trans f').restr (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ (1 + z).arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.triangleOpEquivalence C).counitIso =
  CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.counitIso C
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
⊢ fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) x = (⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F).symm ∘ ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) ∘ fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f)) x
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
ha : a ∈ s
sne : s.Nonempty
hsb : b ∈ upperBounds s
sbd : BddAbove s
c : B := sSup s
hsc : IsLUB s c
hc : c ∈ Icc a b
ec : Trivialization F TotalSpace.proj
hec : Icc a c ⊆ ec.baseSet
heq : c = b
⊢ ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
l : Filter α
f : α → E →WOT[𝕜]F
A : E →WOT[𝕜]F
hmain : (∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), Tendsto (fun a => y ((f a) x)) l (𝓝 (y (A x)))) ↔ ∀ (p : E × NormedSpace.Dual 𝕜 F), Tendsto (fun a => p.2 ((f a) p.1)) l (𝓝 (p.2 (A p.1)))
⊢ Tendsto (⇑(inducingFn 𝕜 E F) ∘ f) l (𝓝 ((inducingFn 𝕜 E F) A)) ↔ Tendsto (fun a p => p.2 ((f a) p.1)) l (𝓝 fun p => p.2 (A p.1))
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
c : R
f : Π₀ (i : ι), M i
⊢ (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) (c • 0) = c • (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) 0
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
Fintype α₁
Fintype α₂
CommMonoid γ
f : α₁ × α₂ → γ
⊢ ∏ x : α₁ × α₂, f x = ∏ x : α₁, ∏ y : α₂, f (x, y)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J : Set α
⊢ R.leftDual (R.rightDual (R.leftDual J)) ≤ R.leftDual J
X : Type u
TopologicalSpace X
h : ∀ {ι : Type u} (t : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsClosed (t i)) → ⋂ i, t i = ∅ → ∃ u, u.Countable ∧ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
⊢ LindelofSpace X
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
a : R
hp0 : 0 < p.degree
h : p = 0
⊢ False
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hxy : x ≤ y
⊢ x / y ∈ unitInterval
x : WithBot ℕ
⊢ 1 ≤ x ↔ 0 < x
R : Type u
CommRing R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
x : ↥U
⊢ (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).presheaf.germ x ≫ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.stalkToFiberRingHom R ↑x =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.openToLocalization R U ↑x ⋯
α : Type u_1
c : Set (Set α)
⊢ ⋃₀ c = Set.univ ↔ ∀ (a : α), ∃ b ∈ c, a ∈ b
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
CommMonoid M
CommMonoid N
f : M →* N
hf : ∀ (x : M), f x = 1 → x = 1
g : α → M
⊢ f (∏ᶠ (i : α), g i) = ∏ᶠ (i : α), f (g i)
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
h : a ≠ b
ha : e ∈ G.incidenceSet a
hb : e ∈ G.incidenceSet b
⊢ G.Adj a b
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
⊢ Function.Injective AlgEquiv.toLinearEquiv
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
ih : ∀ m < p.natDegree, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0
t : ℕ
hx : p.natDegree < t.succ
⊢ (⇑derivative)^[t] (derivative p) = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
φ ψ : W.RightFraction X Y
⊢ φ.map L ⋯ = ψ.map L ⋯ ↔ (φ.map L ⋯).op = (ψ.map L ⋯).op
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℕ
hnp : ↑n < ↑p
hn : ‖↑r - ↑↑↑n‖ < 1
⊢ ‖↑r - ↑n‖ < 1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X : C
F : SheafOfTypes J
Z : Over X
T : Presieve Z
x : Presieve.FamilyOfElements ((Over.forget X).op ⋙ F.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : Over X
W : C
f₁ : W ⟶ (Over.forget X).obj Y₁
f₂ : W ⟶ (Over.forget X).obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
h : f₁ ≫ (Over.forget X).map g₁ = f₂ ≫ (Over.forget X).map g₂
W' : Over X := Over.mk (f₁ ≫ Y₁.hom)
g₁' : W' ⟶ Y₁ := Over.homMk f₁ ⋯
⊢ F.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = F.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoDiv hp (a + m • p) b = toIcoDiv hp a b - m
α : Type u_2
DecidableEq α
Inv α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ s⁻¹ ⊆ t⁻¹
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
CategoryTheory.IsIso h.counit
X : D
⊢ h.whiskerLeftRUnitIsoOfIsIsoCounit.hom.app X = R.map (h.counit.app X)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
x : M
⊢ ((Finsupp.mapDomain (⇑e) (b.repr x)).sum fun x => id) = (b.repr x).sum fun x => id
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
x y z : OreLocalization S R
⊢ x * y * z = x * (y * z)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
s : Set β
⊢ ⇑e.symm ⁻¹' (⇑e ⁻¹' s) = s
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
x : ℝ
⊢ 0 < gaussianPDFReal μ v x
o : Ordinal.{u_1}
⊢ (Ordinal.sup fun n => o * ↑n) = o * ω
S : LightProfinite
C : Type u_1
D : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} J
K : J ⥤ C
F : C ⥤ D
inst✝ : CreatesLimit K F
c : Cone (K ⋙ F)
t : IsLimit c
n : J
this : (liftedLimitMapsToOriginal t).hom.hom ≫ c.π.app n = F.map ((liftLimit t).π.app n)
⊢ ((liftedLimitMapsToOriginal t).inv ≫ (liftedLimitMapsToOriginal t).hom).hom ≫ c.π.app n = c.π.app n
E : Type u_6
SeminormedGroup E
r : ℝ
hpos : 0 < r
hr : ∀ (x : E), x ≠ 1 → r ≤ ‖x‖
⊢ DiscreteTopology E
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a b c : α
ExistsAddOfLE α
MulPosStrictMono α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : b < a
hc : c < 0
⊢ a * c < b * c
s : Set ℝ
⊢ Convex ℝ s ↔ IsPreconnected s
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁✝ y₂✝ y₃ y' y₁ y₂ : PGame
h : ∀ (i : x₂.LeftMoves), IH3 x₁ (x₂.moveLeft i) x₂ y₁ y₂
hs : ∀ (i : (-x₁).LeftMoves), IH3 (-x₂) ((-x₁).moveLeft i) (-x₁) y₁ y₂
hl : x₁ < x₂
⊢ P3 x₁ x₂ y₁ y₂
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
H : ¬∀ p ∈ s, ∀ (x : G), g p x = 0
this : LocallyCompactSpace G
q₀ : P
x₀ : G
hq₀ : (q₀, x₀).1 ∈ s
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀
⊢ ContinuousWithinAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ) (q₀, x₀)
K : Type u_1
RCLike K
z w : K
⊢ RCLike.normSq (z / w) = RCLike.normSq z / RCLike.normSq w
n : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field K
CommRing L
IsDomain L
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = ζ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set β
hs : s ∈ 0
a : β
⊢ a ∈ (fun x => 0 • x) ⁻¹' s
ι₁ : Sort u_3
ι₂ : Sort u_4
κ₁ : ι₁ → Sort u_5
κ₂ : ι₂ → Sort u_6
p : (i₁ : ι₁) → κ₁ i₁ → (i₂ : ι₂) → κ₂ i₂ → Prop
⊢ (∃ i₁ j₁ i₂ j₂, p i₁ j₁ i₂ j₂) ↔ ∃ i₂ j₂ i₁ j₁, p i₁ j₁ i₂ j₂
α : Type u
x : α
l : List α
⊢ x ∈ l.head? → l = x :: l.tail
n n' : Nat
⊢ ∀ {α : Type u_1} {le : α → α → Bool} {s : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α},
  n ≤ n' → Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le n' s → Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le n s
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
e_1✝ : ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X) ⟶ (𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X)) = ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X) ⟶ (F.obj n).obj X)
⊢ F.ε.app ((F.obj n).obj X) ≫ inv ((F.μIso n (𝟙_ M)).inv.app X) ≫ inv ((F.map (ρ_ n).inv).app X) = F.ε.app ((F.obj n).obj X) ≫ (F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
x : A
⊢ x ∈ ⊥ ↔ x = 0
α : Type u
HasSubset α
HasSSubset α
IsNonstrictStrictOrder α (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun x x_1 => x ⊂ x_1
a b : α
IsAntisymm α fun x x_1 => x ⊆ x_1
⊢ a ⊂ b ↔ a ⊆ b ∧ a ≠ b
x y : PartENat
h : x < y
⊢ x + 1 ≤ y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b c : α
s : Finset α
hS : s.Nontrivial
⊢ (s \ {c}).Nonempty
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : IsKilling R L
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Module.Free R L
inst✝² : IsNoetherian R L
inst✝¹ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
h : Codisjoint H.toSubmodule ↑(LieModule.posFittingComp R (↥H) L)
⊢ ∀ m₀ ∈ H, ∀ m₁ ∈ LieModule.posFittingComp R (↥H) L, ((killingForm R L) m₀) m₁ = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
Y' : C
T : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.StructuredArrow S T
g : f.right ⟶ Y'
⊢ (f.homMk' g).right = g
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
S : Set α
hS : Unbounded r S
e : #↑S = (type r).cof
s : ↑S → ↑S → Prop
w✝ : IsWellOrder (↑S) s
e' : (#↑S).ord = type s
T : Set α := {a | ∃ (aS : a ∈ S), ∀ (b : ↑S), s b ⟨a, aS⟩ → r (↑b) a}
a : α
this : {b | ¬r (↑b) a}.Nonempty
b : ↑S := ⋯.min {b | ¬r (↑b) a} this
ba : ¬r (↑b) a
⊢ ∃ b ∈ T, ¬r b a
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SequentialSpace X
s : Set X
⊢ IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
R : Type u
Ring R
⊢ CategoryTheory.Limits.HasKernels (ModuleCat R)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ ((D.f i i).c.app (op U) ≫ ((D.V (i, i)).presheaf.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U))) ≫ (D.V (i, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ invApp (D.f i i) (unop (op ((Opens.map (D.t i i).base).toPrefunctor.1 (unop ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)))))) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))
c d a : ℕ
b : ℤ
⊢ (∀ (x : ℕ), b = -↑x → Zsqrtd.SqLe x c a d) → Zsqrtd.Nonnegg c d (↑a) b
⊢ MeasureTheory.LpAddConst 0 = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → R
⊢ Tropical.trop (∑ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, Tropical.trop (f i)
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
f : α → β
x : t' α
⊢ Equiv.traverse eqv (pure ∘ f) x = pure (Equiv.map eqv f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
f' : α → ℝ≥0∞
hf'm : Measurable f'
hle : f' ≤ f
hf' : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f' a ∂μ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ.restrict s, f' a ≤ g a
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Set E
hs : Absorbent 𝕜 s
h : ∀ x ∈ s, BddAbove (range fun x_1 => (p x_1) x)
⊢ BddAbove (range p)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
⊢ sphere x ε ∪ ball x ε = closedBall x ε
G✝ : Type u_1
P✝ : Type u_2
inst✝³ : AddGroup G✝
inst✝² : AddTorsor G✝ P✝
G : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
h : Injective fun x => 2 • x
y x₁ x₂ : P
hy : (pointReflection x₁) y = (pointReflection x₂) y
⊢ x₁ = x₂
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
⊢ 0 ≤ PadicInt.modPart p r
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
x : F
hi : i ∈ s
hxi : x ≠ v i
⊢ Polynomial.eval x (Lagrange.basis s v i) =
  Polynomial.eval x (Lagrange.nodal s v) * (Lagrange.nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K L : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
e : c.Embedding c'
e.IsRelIff
i : ι
i' : ι'
hi : e.f i = i'
⊢ (HomologicalComplex.restrictionMap φ e).f i = (K.restrictionXIso e hi).hom ≫ φ.f i' ≫ (L.restrictionXIso e hi).inv
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Setoid α)
⊢ sSup S = sInf {s | ∀ ⦃x y : α⦄, (∃ r ∈ S, r.Rel x y) → s.Rel x y}
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
t : Finset M
h : FiniteDimensional.finrank R M < t.card
⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ (Ideal.span {X}).IsPrime
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
⊢ term (f ⍟ g) s 0 = ∑ p ∈ divisorsAntidiagonal 0, term f s p.1 * term g s p.2
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
q r : ℤ_[p]
⊢ ‖q‖ ≠ ‖r‖ → ‖q + r‖ = max ‖q‖ ‖r‖
ctx : Nat.Linear.Context
fuel : Nat
m₁ m₂ r₁ r₂ : Nat.Linear.Poly
h : Nat.Linear.Poly.denote_le ctx (Nat.Linear.Poly.cancelAux fuel m₁ m₂ r₁ r₂)
⊢ Nat.Linear.Poly.denote_le ctx (List.reverse r₁ ++ m₁, List.reverse r₂ ++ m₂)
R : Type u_1
P Q : Cubic R
Semiring R
h : P.toPoly = Q.toPoly
⊢ P.c = Q.c
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2
hc_lt_one : c < 1
hlo : (fun n => ↑n / log ↑n ^ 2) =o[atTop] fun n => ↑n
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
s₁ s₂ : Set (Set Ω)
h : ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets s₁ s₂ κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets s₂ s₁ κ μ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.313, u_3} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
i j : ι
hij : ¬c.Rel i j
⊢ ¬c'.Rel (e.f i) (e.f j)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i]
⊢ Submartingale f 𝒢 μ
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝¹ : Countable ↥L
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h_cpt : IsCompact s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E ≤ μ s
h_mes : μ s ≠ 0
h_nemp : s.Nonempty
u : ℕ → ℝ≥0 := ⋯.choose
K : ConvexBody E := { carrier := s, convex' := h_conv, isCompact' := h_cpt, nonempty' := h_nemp }
S : ℕ → ConvexBody E := fun n => (1 + u n) • K
Z : ℕ → Set E := fun n => ↑(S n) ∩ (↑L \ {0})
h_zero : 0 ∈ K
h_clos : IsClosed (↑L \ {0})
n : ℕ
⊢ (Z n).Nonempty