ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa
sb : Multiset { p // Irreducible p }
h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count ↑sa = p.count ↑sb
h_sb : b.factors = ↑sb
h_count : ∀ (p : Associates α) (hp : Irreducible p), Multiset.count ⟨p, hp⟩ sa = Multiset.count ⟨p, hp⟩ sb
⊢ toFinsupp sa = toFinsupp sb
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
NormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
DenselyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' Metric.closedBall 0 1) = ‖f‖₊
u : ZFSet
⊢ (¬∃ x, x ∈ u) ∨ u.Nonempty
α : Type u_4
β : Type u_5
Denumerable α
Primcodable β
f : α → β
⊢ Primrec f ↔ Nat.Primrec fun n => Encodable.encode (f (Denumerable.ofNat α n))
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i✝ j : ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot
hp : P₁.coroot = P₂.coroot → P₁.reflection_perm = P₂.reflection_perm
this : NoZeroSMulDivisors ℤ M
i : ι
⊢ (P₁.toLin.flip (P₂.coroot i)) (P₁.root i) = 2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
this : ⟪o.rightAngleRotationAux₁ y, o.rightAngleRotationAux₁ x⟫_ℝ = ⟪y, x⟫_ℝ
⊢ ⟪y, o.rightAngleRotationAux₁ (o.rightAngleRotationAux₁ x)⟫_ℝ = ⟪y, -x⟫_ℝ
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ p.rev.succAbove i = (p.succAbove i.rev).rev
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Add L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : AddHomClass F L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)
x y : L
contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y
g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k
this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g y ⊓ g (x + y)
⊢ Disjoint (⨆ k, ((f x + f y).genEigenspace (μ x + μ y)) k) (g (x + y))
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
Module R₁ M₃
f₁ : M₁ →L[R₁] M₂
f₂ : M₁ →L[R₁] M₃
x : M₁
⊢ (f₁.prod f₂) x = (f₁ x, f₂ x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∀ (b : α) (s' : WSeq α), (a = b ∨ ∃ n, some a ∈ s'.get? n) → ∃ n, some a ∈ (cons b s').get? n
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : x ⊔ y \ x = z ⊔ y \ x
⊢ ⊥ ≤ z ⊓ y \ x
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
A : Cocone F
X✝ Y✝ : J
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ G.map (F.map f✝ ≫ A.ι.app Y✝) = (fun j => G.map (A.ι.app j)) X✝ ≫ ((const J).obj (G.obj A.pt)).map f✝
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
e : C ≌ D
inst✝¹ : Preregular C
A : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : IsSheaf (regularTopology D) (e.inverse.op ⋙ F)
⊢ IsSheaf (regularTopology C) (e.functor.op ⋙ e.inverse.op ⋙ F)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
x : α
a✝ : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)
hx : x ∈ Quot.mk Setoid.r a✝
⊢ (formPerm (Quot.mk Setoid.r a✝) h) x = next (Quot.mk Setoid.r a✝) h x hx
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → AddGroup (β i)
x y : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x y = hammingNorm (x - y)
m n : ℕ
⊢ ack m (n + 1) ≤ ack (m + 1) n
α : Type u_1
l : List α
n m : Nat
h : m < n
⊢ (List.take n l).get? m = l.get? m
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R
⊢ A.det * A.det = 1
C : Type u
X Y X✝ Y✝ Z✝ : F C
⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (α_ X✝ Y✝ Z✝).hom ≫ (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ Y✝ ⊗ Z✝) n).hom = (normalizeIsoApp' C ((X✝ ⊗ Y✝) ⊗ Z✝) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
IsScalarTower R B B
SMulCommClass R B B
⊢ ⊤.prod ⊤ = ⊤
α : Sort u_1
ctx : Lean.Data.AC.Context α
x : Nat
⊢ Lean.Data.AC.ContextInformation.isNeutral ctx x = true →
  Std.LawfulIdentity (Lean.Data.AC.EvalInformation.evalOp ctx) (Lean.Data.AC.EvalInformation.evalVar ctx x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → F
h0 : p ≠ 0
h_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm f p 0 = 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : a ∈ s
⊢ (∏ x ∈ s.erase a, f x) * f a = ∏ x ∈ s, f x
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module ℝ M
FiniteDimensional ℝ M
Q : QuadraticForm ℝ M
⊢ ∃ w,
  (∀ (i : Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ M)), w i = -1 ∨ w i = 0 ∨ w i = 1) ∧
    QuadraticMap.Equivalent Q (QuadraticMap.weightedSumSquares ℝ w)
R : Type u
Ring R
s : Subring R
⊢ Subring.closure ↑s = s
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
cM : AddCon M
cN : AddCon N
φ : cM.Quotient → cN.Quotient → Sort u_4
a : M
b : N
f : (x : M) → (y : N) → φ ↑x ↑y
h : ∀ (x : M) (y : N) (x' : M) (y' : N), cM x x' → cN y y' → HEq (f x y) (f x' y')
⊢ AddCon.hrecOn₂ (↑a) (↑b) f h = f a b
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
W : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory W
CategoryTheory.MonoidalCategory V
CategoryTheory.MonoidalCategory W
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor V W
G : MonCat
⊢ ∀ (a : Action V G), ((F.mapAction G).obj a).V = F.obj a.V
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
this : Fact (μ ↑I < ⊤)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : ℕ → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x ↑(r x) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
x✝ : π.IsPartition
n : ℕ
⊢ (μ (π.filter fun J => N (π.tag J) = n).iUnion).toReal * ↑n ≤ ↑(δ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
a x : α
s t : Set α
hst : s ≤ t
h2t : t ≤ insert x s
⊢ t = s ∨ t = insert x s
f g : ArithmeticFunction ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable (fun n => f n) s
hg : LSeriesSummable (fun n => g n) s
⊢ LSeriesSummable (fun n => (f * g) n) s
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
x : E
hx : x ∈ adjoin F S
⊢ ∃ T, ↑T ⊆ S ∧ x ∈ adjoin F ↑T
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
s : Set M
κ : Cardinal.{w'}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ lift.{w, w'} κ
h3 : lift.{w', max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w'} κ
h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M
s' : Set (ULift.{w', w} M)
hs' : #↑s' = lift.{w, w'} κ
⊢ ∃ S, s ⊆ ↑S ∧ lift.{w', w} #↥S = lift.{w, w'} κ
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ x.num * q = p * x.denom ↔ x = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
f_cont : Continuous f
f_sur : Surjective f
this : CompactSpace ↑Z
g : X → ↑Z
hg : Continuous g
g_sec : f ∘ g = id
φ : X → X × Bool := Subtype.val ∘ g
hφ : Continuous φ
hφ₁ : ∀ (x : X), (φ x).1 = x
x : X
hx : x ∈ φ ⁻¹' Z₂
⊢ x ∈ closure U
n a : ℕ
ha : a ≤ n / 2
⊢ (↑a).valMinAbs = ↑a
α : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
⊢ Dioph S → Dioph S' → Dioph (S ∪ S')
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
⊢ (f + g).norm = max f.norm g.norm
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
y : B
⊢ y ∈ φ.range ↔ ∃ x, φ x = y
X : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : SeparableSpace X
inst✝¹ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
h : 𝔠 ≤ #↑s
t : Set X
htc : t.Countable
htd : Dense t
this : Countable ↑t
⊢ False
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
p : P1
c : k
⊢ (AffineMap.lineMap p p) c = p
C : Type u_1
D : Type ?u.35289
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.35297, ?u.35289} D
K : Coverage C
X : C
S T : Sieve X
h : S ≤ T
hS : K.Saturate X S
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : S.arrows g
⊢ S.arrows g
R : Type u
M : Type v
Group R
MulAction R M
p : SubMulAction R M
m : ↥p
⊢ MulAction.stabilizer R m = MulAction.stabilizer R ↑m
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
CommRing A'
Algebra R A
Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : Set.InjOn ⇑f ↑(Algebra.adjoin R (Set.range x))
⊢ AlgebraicIndependent R (⇑f ∘ x)
G : Type u
Monoid G
h : ∀ (g : G), 0 < orderOf g
⊢ Monoid.exponent G = 0 ↔ (Set.range orderOf).Infinite
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
M : Type w₁
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L₁
inst✝⁶ : LieAlgebra R L₁
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : LieRingModule L₂ M
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieModule R L₂ M
t : R
x : L₁
m : M
⊢ ⁅t • x, m⁆ = t • ⁅x, m⁆
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β → γ
F : Filter α
G : Filter β
⊢ F ×ˢ Filter.map f G = Filter.map (Prod.map id f) (F ×ˢ G)
α : Sort u_1
p q : Prop
Decidable p
Decidable q
a b : p → α
c : ¬p → α
⊢ dite p (fun hp => if q then a hp else b hp) c = if q then dite p a c else dite p b c
M : Type u_5
N : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
x : M
⊢ (MonoidHom.inl M N) x = (x, 1)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
⊢ (if 0 = 0 then {i | ¬f i = 0}.Finite else Summable fun i => ‖f i‖ ^ 0) ↔ {i | ¬f i = 0}.Finite
n m : ℕ
h : m = n
k : Fin n
⊢ ↑((finCongr h).symm k) = ↑k
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ List.partition p l = (List.filter p l, List.filter (not ∘ p) l)
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
Module.Free ℤ R
Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R (nonZeroDivisors ℤ)) K
Algebra ℚ K
NoZeroDivisors K
ι : Type u_3
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ R
I : FractionalIdeal (nonZeroDivisors R) K
bI : Basis ι ℤ ↥↑I
⊢ |(Basis.localizationLocalization ℚ (nonZeroDivisors ℤ) K b).det (Subtype.val ∘ ⇑bI)| = FractionalIdeal.absNorm I
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F V)
(x : M) → TopologicalSpace (V x)
FiberBundle F V
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
hn : 1 ≤ n
⊢ MDifferentiable I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) fun x => Bundle.TotalSpace.mk' F x (s x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
e₁ : T₁.obj₁ ≅ T₂.obj₁
e₂ : T₁.obj₂ ≅ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ T₂.mor₁
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.isoTriangleOfIso₁₂ T₁ T₂ hT₁ hT₂ e₁ e₂ comm).hom.hom₁ = e₁.hom
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝² : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this✝ : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj X)))
this : ∀ (X : C), IsIso (Gl.map (adj.unit.app X))
⊢ Nonempty (IsColimit c')
n : ℕ+
m : ℕ
⊢ (n ^ m).factorMultiset = m • n.factorMultiset
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range p)
G : Type u_1
CommGroup G
Group.FG G
n : ℕ
hG : ∀ (g : G), g ^ n = 1
⊢ Nat.card G ∣ n ^ Group.rank G
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
f : Filter X
CountableInterFilter f
hs : IsLindelof s
hf₂ : f ≤ 𝓟 s
ht₁ : IsOpen t
ht₂ : ∀ x ∈ s, ClusterPt x f → x ∈ t
⊢ t ∈ f
α : Type u_1
β : Type u_2
Nontrivial α
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Nontrivial β
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
x : X
⊢ map (⇑h.symm) (𝓝 (h x)) = 𝓝 x
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Sub G
self : MeasurableSub G
c : G
⊢ Measurable fun x => c - x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A C : Set E
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
l : E →L[𝕜] 𝕜
hAB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
hxB : x ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
⊢ x₁ ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} ∧ x₂ ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)
X : C
x : (forget A).obj (F₃.obj (op X))
⊢ imageSieve f₂ x ∈ J.sieves X
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
r : R
f : AdicCompletion.AdicCauchySequence I M
⊢ ↑(r • f) n = r • ↑f n
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
h : ringChar R = 1
⊢ 0 = 1
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
⊢ (filter (fun u => u ⊆ t ∧ u.Nonempty) (atomise s F).parts).card ≤ 2 ^ (F.card - 1)
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
x : AddMonoidAlgebra k G
g g' : G
h : ¬∃ d, g' = g + d
⊢ (x.modOf g) g' = x g'
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h₁ : k ∣ m
h₂ : k ∣ n
⊢ k ∣ m - n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ M, 0 ≤ M ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ (x - y) * ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = x ^ n - y ^ n
ι : Type u
X : Type v
inst✝² : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝¹ : NormalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
⊢ ∀ {α : Type u_1} {r : α → α → Prop} {β : Type u_2} {s : β → β → Prop} {b : β} {a : α},
  ¬Sum.Lex r s (Sum.inr b) (Sum.inl a)
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
δ : Type x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
h : IsMinFilter f l a ∨ IsMaxFilter f l a
heq : f =ᶠ[l] g
hfga : f a = g a
⊢ IsMinFilter g l a ∨ IsMaxFilter g l a
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ (W.map f).ψ n = Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom f) (W.ψ n)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty α
⊢ BddAbove ∅
A : Type u_1
B : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Star B
f : A →ₙ+* B
h : ∀ (a : A), f.toFun (star a) = star (f.toFun a)
⊢ ⇑{ toNonUnitalRingHom := f, map_star' := h } = ⇑f
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
S : Set G
h : S ∈ AddSubgroup.leftTransversals ↑H
⊢ Nat.card ↑S = H.index
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedCommMonoid N
s : Finset ι
ι' : Type u_9
DecidableEq ι'
t : Finset ι'
g : ι → ι'
f : ι → N
h : ∀ y ∉ t, ∏ x ∈ Finset.filter (fun x => g x = y) s, f x ≤ 1
⊢ ∏ x ∈ s, f x ≤ ∏ y ∈ t, ∏ x ∈ Finset.filter (fun x => g x = y) s, f x
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
α β : Type u
f : α ⟶ β
F : ℕᵒᵖ ⥤ Type u
c : Cone F
hc✝ : IsLimit c
hF✝ : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (homOfLE ⋯).op)
hc : IsLimit c
hF : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (homOfLE ⋯).op)
i : c.pt ≅ (limitCone F).pt := hc.conePointUniqueUpToIso (limitConeIsLimit F)
this : c.π.app (Opposite.op 0) = i.hom ≫ (limitCone F).π.app (Opposite.op 0)
⊢ Function.Surjective i.hom
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ x : M
this : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I x) x, (↑(extChartAt I x) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) y = y
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I x id) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ∀ ⦃R S T : Type u_1⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], (algebraMap R T).Finite → includeLeftRingHom.Finite
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
x y : P
⊢ (pointReflection x) y = (Equiv.symm (pointReflection x)) y
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
f : E → ℝ
⊢ UniformConcaveOn s 0 f ↔ ConcaveOn ℝ s f
⊢ ∀ {α : Type u_1} {o : Option α}, o = none ↔ ∀ (a : α), ¬a ∈ o
α : Type u_1
i : Nat
as bs : Array α
size start : Nat
hge : i ≥ bs.size
h : i < (Array.extract.loop as size start bs).size
⊢ start + i - bs.size < as.size
n k : ℕ
⊢ (Polynomial.hermite n).coeff k =
  if Even (n + k) then (-1) ^ ((n - k) / 2) * ↑(n - k - 1).doubleFactorial * ↑(n.choose k) else 0
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s t : Set α
h : Disjoint s t
⊢ Disjoint (Finsupp.supported M R s) (Finsupp.supported M R t)
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ f (1 + x) = 1 + f x
α : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → γ
⊢ Monotone fun u => UniformSpace.comap f u
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set α
t : Set β
⊢ (fun x => x.1 +ᵥ x.2) '' s ×ˢ t = s +ᵥ t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Iio a ∩ Ioo b c = Ioo b (min a c)
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
I : Ideal R
hf₁ : Function.Injective ⇑f
hf₂ : f.IsIntegral
⊢ Ideal.map f I = ⊤ ↔ I = ⊤
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
⊢ (π.toSubordinate r).iUnion = π.iUnion
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
⊢ ∀ (x : 𝒰.J × 𝒰.J),
  (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.gluing 𝒰 f g).V x =
    match x with
    | (i, j) => AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.v 𝒰 f g i j
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
LinearOrderedField β
q : ℚ
⊢ LinearOrderedField.cutMap β ↑q = Rat.cast '' {r | ↑r < ↑q}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.comonFunctorCategoryEquivalence C D).functor =
  CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.functor
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
R' : Set α
M : Matroid α
h : R ⊆ R'
⊢ M ↾ R' ↾ R ≤r M ↾ R'
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
r : R
hr : r * x.leadingCoeff = 1
hx : ¬x = 0
hrz : r ≠ 0
⊢ 0 < (1 - (single (-x.order)) r * x).orderTop
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, 1 = b - a
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
⊢ SameRay ℝ x y ↔ ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ x \ y ⊓ y \ x = x \ y ⊓ y \ x
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, -f x ∂μ = -∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
⊢ (AlgHom.id R B).comp φ = φ
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
E : Type u_1
AddCommMonoid E
SMulWithZero ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
ContinuousAdd E
g : ι → X → E
hg : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ tsupport ⇑(f i), ContinuousAt (g i) x
⊢ Continuous fun x => ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
p : (x : G) → x ∈ closure s → Prop
one : p 1 ⋯
mul_right : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure s) (y : G) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y) ⋯
mul_right_inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure s) (y : G) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y⁻¹) ⋯
x : G
h : x ∈ closure s
⊢ { unop' := x } ∈ closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
F : CategoryTheory.Functor A C
G : CategoryTheory.Functor B C
X : B
⊢ (F.inrCompSum' G).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F.sum' G).obj (Sum.inr X))
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ
⊢ ?m.78773.factorial • multichoose (-↑n) (n + 1) = ?m.78773.factorial • 0