ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
E : Type v
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n : ℕ
y : Fin n → 𝕜
⊢ (p n) y = (∏ i : Fin n, y i) • p.coeff n
R : Type u_2
CommRing R
φ ψ : PowerSeries R
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
⊢ (PowerSeries.coeff R n) (φ * (1 - ψ)) = (PowerSeries.coeff R n) φ
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
hm₁ : 1 < m
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
⊢ (⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral μ) + ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => g a), g_1.lintegral μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f a + g a), g_1.lintegral μ
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
ZeroLEOneClass α
NeZero 1
MulPosStrictMono α
PosMulMono α
a b c : α
h : a * c ≤ b
hb : 0 ≤ b
hc : 1 ≤ c
⊢ a ≤ b
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring C
Module R C
Star C
f : A →⋆ₙₐ[R] B
g : B →⋆ₙₐ[R] C
⊢ NonUnitalStarAlgHom.range (g.comp f) = NonUnitalStarSubalgebra.map g (NonUnitalStarAlgHom.range f)
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' f'' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x
hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, f'' x ≤ 0
⊢ ConcaveOn ℝ D f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
x : M
n : ℕ∞
One M'
⊢ ContMDiffAt I I' n 1 x
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
h : I ≤ J
i : ι
x : ℝ
this : ∀ (s : Set (ι → ℝ)), ↑I ∩ s ⊆ ↑J
⊢ ∀ ⦃x_1 : Box ι⦄, (∃ J', (↑J' = ↑J ∩ {y | y i ≤ x} ∨ ↑J' = ↑J ∩ {y | x < y i}) ∧ ↑x_1 = ↑I ∩ ↑J') → ↑x_1 = ↑I ∩ {y | y i ≤ x} ∨ ↑x_1 = ↑I ∩ {y | x < y i}
α : Type u_1
⊢ Function.Involutive Matroid.dual
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a b✝ : α
hs : IsAntichain r s
φ : r ↪r r'
b : β
hb : b ∈ ⇑φ '' s
b' : β
hb' : b' ∈ ⇑φ '' s
h₁ : b ≠ b'
h₂ : r' b b'
⊢ False
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
NormedLatticeAddCommGroup E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ↑↑(f ⊓ g) =ᵐ[μ] ↑↑f ⊓ ↑↑g
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
⊢ t₂.orthocenter = t₁.points i₁
α : Type u
DecidableEq α
a b : α
l : List α
⊢ b = a → List.indexOf a (b :: l) = 0
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hi : Irreducible p
a b : K[X]
hab : map (algebraMap R K) p = a * b
c : R
c0 : c ≠ 0
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ a) = C ((algebraMap R K) c) * a
d : R
d0 : d ≠ 0
hd : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ b) = C ((algebraMap R K) d) * b
hcd0 : c * d ≠ 0
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
α : Type u_1
n : Type u_3
Zero α
⊢ Matrix.IsSymm 0
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → AddGroup (N a)
f g : Π₀ (a : α), N a
⊢ f.neLocus (f - g) = g.support
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
⊢ MeasurableSet (⋂ b ∈ s, f b)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ rootsOfUnity (NumberField.Units.torsionOrder K) (𝓞 K) = NumberField.Units.torsion K
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntervalIntegrable f μ b₁ b₂
ha : a ∈ [[b₁, b₂]]
x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ∈ [[b₁, b₂]]
⊢ ContinuousWithinAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) [[b₁, b₂]] x✝¹
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
⊢ IsAddUnit a ↔ (∃ b, a + b = 0) ∧ ∃ c, c + a = 0
b o : Ordinal.{u_1}
hbo : o < b
ho : o ≠ 0
hb : 1 < b
⊢ log b o = 0
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
⊢ f ∈ map (mapRange.addEquiv e).toEmbedding (s.finsuppAntidiag n) → f ∈ s.finsuppAntidiag (e n)
E : Type u_1
ι✝ : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι✝
F : ι✝ → ℂ → E
f✝ g✝ : ℂ → E
ι : Type u_3
p : Filter ι
f : ι → ℂ → ℂ
g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
hs : IsOpen s
x : ↑s
hF : TendstoLocallyUniformlyOn f g p s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in p, DifferentiableOn ℂ (f n) s
hg : g ↑x ≠ 0
⊢ Tendsto (fun n => (deriv (f n) / f n) ↑x) p (𝓝 ((deriv g / g) ↑x))
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α
ht : ∀ (g : G), g • t = t
hts : μ (t ∩ s) = 0
⊢ μ t = 0
K : Type u
CommRing K
p q : FractionRing K[X]
⊢ { toFractionRing := p * q } = { toFractionRing := p } * { toFractionRing := q }
R : Type u_9
Semiring R
M : Type u_10
AddCommMonoid M
P Q : Module R M
w : ∀ (r : R) (m : M), r • m = r • m
⊢ P = Q
α : Type u
l : List α
n : ℕ
k : Fin l.length
⊢ l.get k = (l.rotate n).get ⟨(l.length - n % l.length + ↑k) % l.length, ⋯⟩
p : ℝ × ℝ
hp : 0 < p.1
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2)
  ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * Real.log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ)
  p
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hl : l.HasBasis p s
q : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in l, q x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i : n
⊢ (toEuclideanLin (star ↑hA.eigenvectorUnitary * A * ↑hA.eigenvectorUnitary)) ((EuclideanSpace.basisFun n 𝕜).toBasis i) = (toEuclideanLin (diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues))) ((EuclideanSpace.basisFun n 𝕜).toBasis i)
i : ℕ
⊢ (fastGrowing 1)^[i] i = 2 ^ i * i
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Real.sin (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = 0
α : Type u
β : Type v
T : TopologicalSpace α
f : β → α
hf : Function.Surjective f
a : β
⊢ Filter.map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ a ∆ ⊤ = ￢a
A : Type u_1
K : Type u_2
CommRing A
S : Submonoid A
CommRing K
Algebra A K
IsFractionRing A K
hS : S ≤ nonZeroDivisors A
s : ↥S
⊢ IsUnit ((algebraMap A K) ↑s)
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (J ⥤ C)
f : P ⟶ Q
X : J
⊢ f.f.app X ≫ Q.p.app X = f.f.app X
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : ↑(TopCat.of M)
U : (OpenNhds x)ᵒᵖ
⊢ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ (smoothSheaf IM I M R).presheaf) U ≫ (forgetStalk IM I M R x).inv = (forget CommRingCat).map (colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ (smoothSheafCommRing IM I M R).presheaf) U)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommSemigroup α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddCommGroup n
v w : n → α
i j : n
⊢ ∀ (x : n), v (i - x) * w (x - j) = w (i - ((Equiv.subLeft i).trans (Equiv.addRight j)) x) * v (((Equiv.subLeft i).trans (Equiv.addRight j)) x - j)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
hR : 0 < R
hwR : Complex.abs w / R ∈ Ico 0 1
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun θ => deriv (circleMap c R) θ • (fun z => (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) (circleMap c R θ)) (volume.restrict (Ι 0 (2 * π)))
α : Type u
⊢ Function.Involutive FreeAddGroup.negRev
A : Type u_2
B : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
self : A × B
⊢ (ContinuousAddMonoidHom.snd A B) self = self.2
α : Type u
R : α → α → Prop
l : List α
⊢ List.Chain' R l → List.Chain' R l.tail
R : Type u_3
CommSemiring R
A : Type u_4
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_5
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
self : A →A[R] B
⊢ Continuous (↑↑self.toRingHom).toFun
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatio ρ x))
α : Type u
β : Type v
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
CompleteLattice α
CompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
f : (i : ι) → κ i → β
⊢ u (⨅ i, ⨅ j, f i j) = ⨅ i, ⨅ j, u (f i j)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
r : 𝕜
⊢ (WithLp.equiv 1 (Unitization 𝕜 A)) ((algebraMap 𝕜 (WithLp 1 (Unitization 𝕜 A))) r) = (algebraMap 𝕜 (Unitization 𝕜 A)) r
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid D
φ : CategoryTheory.Functor C D
hφ : Function.Injective φ.obj
d : D
⊢ d ∈ (CategoryTheory.Subgroupoid.im φ hφ).objs ↔ ∃ c, φ.obj c = d
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hJ : M.Basis J X
I' : Set α
hI' : (M ↾ X).Base I'
hII' : I ⊆ I'
hI'IJ : I' ⊆ I ∪ J
⊢ ∃ I', M.Basis I' X ∧ I ⊆ I' ∧ I' ⊆ I ∪ J
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
⊢ ↑s ⊆ {a} ↔ s ⊆ {a}
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
φ : L.Embedding M N
n : ℕ
r : L.Relations n
x : Fin n → M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.RelMap r (⇑φ ∘ x) ↔ FirstOrder.Language.Structure.RelMap r x
x : ℝ≥0
y z : ℝ
hx : 1 ≤ x
hyz : y ≤ z
⊢ x ^ y ≤ x ^ z
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
Ring A
Ring B
Ring C
f : A →+* B
f_inv : B → A
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : A →+* C
hg : RingHom.ker f ≤ RingHom.ker g
h : B →+* C
hh : h.comp f = g
⊢ h = (f.liftOfRightInverse f_inv hf) ⟨g, hg⟩
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
f : ℕ → α
h : Pairwise (Disjoint on f)
m n : ℕ
hmn : m < n
⊢ Disjoint ((partialSups f) m) (f n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : N → M'
hm : m ≤ n
⊢ ContMDiff I I' m (f ∘ ⇑h) ↔ ContMDiff J I' m f
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a c d : α
ha : AddLECancellable a
h : a - 0 < a
⊢ False
a : Int
⊢ a.natAbs ≠ 0 ↔ a ≠ 0
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
a : F
⊢ (quadraticChar F) a = 0 ↔ a = 0
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : IsEmpty ι
f : M ≃ₗ[R] M
g : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hg : g ≠ 0
i : ι → M
⊢ (g.compLinearMap ↑f.symm) i = g i
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ t₁ : List α
h : l₁ ~ l₂
⊢ l₁ ∪ t₁ ~ l₂ ∪ t₁
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
⊢ centroid k s p = centroid k univ fun x => ↑x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ Continuous ↑I.symm
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
v : ι → F
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ Lagrange.basis {i, j} v i = Lagrange.basisDivisor (v i) (v j)
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
s : Set X
μ : Measure X
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : T2Space X
h₂s : μ s = 0
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcover : ⋃ n, K n = s
h : ∀ (n : ℕ), IsNowhereDense (K n)
⊢ ∃ S, (∀ t ∈ S, IsNowhereDense t) ∧ S.Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ S
α : Type u_3
AddCommMonoid α
s : Multiset α
a : α
DecidableEq α
h : a ∈ s
⊢ a + (s.erase a).sum = s.sum
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a x : α
hx : x ∈ {x | {n | p n ∧ x ∈ s n}.Infinite}
t : Set α
h : x ∉ t
⊢ t ∉ {a | {x | p x ∧ ¬s x ⊆ a}.Finite}
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
n : ℕ
⊢ ↑(Nat.count p n) ≤ Cardinal.mk ↑{k | p k}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
f : NormedSpace.Dual 𝕜 E
⊢ ((NormedSpace.inclusionInDoubleDual 𝕜 E) x) f = f x
x : ℝ
⊢ Real.cos (x - Real.pi / 2) = Real.sin x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
⊢ openSegment 𝕜 x y = ⇑(AffineMap.lineMap x y) '' Ioo 0 1
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
⊢ a + 1 ≤ 4 ^ P.parts.card
n : ℕ
⊢ (fun x => Real.log x ^ n) =o[Filter.atTop] id
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ Set.Icc x y ⊆ s
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
⊢ ∀ (a b : X), Disjoint (𝓝 a) (𝓝 b) → {p | Disjoint (𝓝 p.1) (𝓝 p.2)} ∈ 𝓝 (a, b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
r : ℝ
V : Set E
hr : 0 < r
hV : V ∈ 𝓝 0
hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U
y : 𝕜
hy₀ : y ≠ 0
hyr : ‖y‖ < r
this : y • V ∈ 𝓝 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
z : E
hz : z ∈ V
⊢ ‖a * y‖ < r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
s : Set E
H : Type u_6
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → G →L[𝕜] H
d : E → F →L[𝕜] G
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 d s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y => (c y).comp (d y)) s x =
  ((ContinuousLinearMap.compL 𝕜 F G H) (c x)).comp (fderivWithin 𝕜 d s x) +
    ((ContinuousLinearMap.compL 𝕜 F G H).flip (d x)).comp (fderivWithin 𝕜 c s x)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a : α
f : α →₀ M
⊢ (a, 0) ∉ f.graph
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
⊢ ↑0 n = 0
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal S
⊢ Ideal.map f (Ideal.comap f I) = I
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
E : Type u_3
Norm E
F : Type u_4
Norm F
e : PartialHomeomorph α β
b : β
hb : b ∈ e.target
f : β → E
g : β → F
⊢ f =o[𝓝 b] g ↔ (f ∘ ↑e) =o[𝓝 (↑e.symm b)] (g ∘ ↑e)
α : Type u_2
n : ℕ
xs : Vector α n
σ₁ : Type
β : Type u_1
σ₂ : Type
f₁ : α → σ₁ → σ₁ × β
f₂ : α → σ₂ → σ₂ × β
s₁ : σ₁
s₂ : σ₂
R : σ₁ → σ₂ → Prop
h₀ : R s₁ s₂
hR : ∀ {s : σ₁} {q : σ₂} (a : α), R s q → R (f₁ a s).1 (f₂ a q).1 ∧ (f₁ a s).2 = (f₂ a q).2
⊢ (mapAccumr f₁ xs s₁).2 = (mapAccumr f₂ xs s₂).2
X Y : Grp
e : ↑X ≃* ↑Y
⊢ e.toGrpIso.hom = e.toMonoidHom
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_5
TopologicalSpace β
Lattice β
TopologicalLattice β
AddGroup β
TopologicalAddGroup β
f : α →ₘ[μ] β
⊢ ↑|f| =ᵐ[μ] fun x => |↑f x|
A : Type u_2
CommRing A
IsDomain A
h : IsDedekindDomainInv A
⊢ Ring.DimensionLEOne A
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.opEquiv C).counitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.ShortComplex.unopFunctor C).comp (CategoryTheory.ShortComplex.opFunctor C))
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a : α
⊢ filter (fun x => x == a) l = replicate (count a l) a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
n : Nat
a : α
⊢ (List.map f l).set n (f a) = List.map f (l.set n a)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : AddSubmonoid P
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
j : M ≃+ P
H : AddSubmonoid.map j.toAddMonoidHom S = T
x : M
y : ↥S
⊢ (f.addEquivOfAddEquiv k H) (f.mk' x y) = k.mk' (j x) ⟨j ↑y, ⋯⟩
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
u : ℕ → E
hu : Summable fun x => ‖u x‖
⊢ ∃ a, Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, u i) Filter.atTop (𝓝 a)
α : Sort u
β : Sort v
r : β → β → Prop
f : α → β
h : WellFounded r
⊢ WellFounded (InvImage r f)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
⊢ HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
X : Type u
Y : Type v
Preorder X
Preorder Y
e : X ≃o Y
⊢ e.equivalence.unitIso = CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun x => CategoryTheory.eqToIso ⋯) ⋯
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
M.InfiniteRk
hB : M.Base B
⊢ B.Infinite
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
⊢ Continuous fun g => g.comp f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
f : E → E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hx : f x = x
hs : Set.MapsTo f s s
n : ℕ
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f^[n] s x
P Q : Prop
⊢ Codisjoint P Q ↔ P ∨ Q
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m n α
i : m
r : n → α
e : l ≃ m
f : o ≃ n
⊢ (A.updateRow i r).submatrix ⇑e ⇑f = (A.updateRow (e (e.symm i)) fun j => r (f (f.symm j))).submatrix ⇑e ⇑f
⊢ ConvexOn ℝ (Set.Ici 0) fun x => x * Real.log x
X : Type u_1
Y : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
μ : Measure X
E : Set X
E_mble : MeasurableSet E
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
⊢ μ E ≤ ∫⁻ (x : X), ↑((thickenedIndicator δ_pos E) x) ∂μ
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : MetricSpace R
inst✝¹² : TopologicalSemiring R
inst✝¹¹ : ContinuousStar R
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝⁵ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
S : Type u_3
inst✝⁴ : SMul S R
inst✝³ : ContinuousConstSMul S R
inst✝² : SMulZeroClass S A
inst✝¹ : IsScalarTower S R A
inst✝ : IsScalarTower S R (R → R)
s : S
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => s • x) '' spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => f (s • x)) a = cfc f (s • a)
Ω : Type u_1
m' : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
β : Type u_3
γ : Type u_4
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : Ω → β
g : Ω → γ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' f g μ ↔
  ProbabilityTheory.CondIndep m' (MeasurableSpace.comap f mβ) (MeasurableSpace.comap g mγ) hm' μ
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => cexp (-b * (↑x + ↑c * Complex.I) ^ 2)) MeasureTheory.volume
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f) (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
⊢ Function.Surjective ⇑(Algebra.ofId R S)
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
this : Fact (m ≤ m0)
h_mem : indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c ∈ lpMeas E 𝕜 m 2 μ
⊢ ↑((orthogonalProjection (lpMeas E 𝕜 m 2 μ)) (indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c)) = indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c
H : Type u_1
H' : Type u_3
TopologicalSpace H
TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : f =ᶠ[𝓝 x] g
hP : P g s x
⊢ P f s x