ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
n : Type u_2
Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
j : n
⊢ (↑hA.eigenvectorUnitary).mulVec (Pi.single j 1) = (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p✝ : R[X]
x : S
p : R[X]
n✝ : ℕ
⊢ (p.leadingCoeff • normalizeScaleRoots p).coeff n✝ = (p.scaleRoots p.leadingCoeff).coeff n✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
inst✝ : Countable β
s t : β → Set α
hsub : ∀ (b : β), s b ⊆ t b
h_le : ∀ (b : β), μ (t b) ≤ μ (s b)
b : β
hb : μ (t b) = ⊤
⊢ μ (⋃ b, s b) = μ (⋃ b, t b)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
s : Set α
f : α → β
hs : MeasurableSet s
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0
⊢ ∃ fs, (∀ (x : α), Filter.Tendsto (fun n => ↑(fs n) x) Filter.atTop (𝓝 (f x))) ∧ ∀ x ∉ s, ∀ (n : ℕ), ↑(fs n) x = 0
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Preorder α
LinearOrder β
Preorder γ
f : ι → α
g : ι → β
g' : β → γ
s : Set ι
h : AntivaryOn f g s
hg : MonotoneOn g' (g '' s)
⊢ AntivaryOn f (g' ∘ g) s
z w : ℍ
⊢ Real.cosh (dist z w) = ((z.re - w.re) ^ 2 + z.im ^ 2 + w.im ^ 2) / (2 * z.im * w.im)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hf : (s ∩ mulSupport f).Finite
hg : (s ∩ mulSupport g).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i * g i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g i
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
t : Finset β
⊢ Rel.interedges r ∅ t = ∅
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F
a b : M
h : a * b = 1
⊢ f a * f b = 1
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x y : 𝕜
⊢ { toFun := fun x => ↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.im x) * I, invFun := fun x => ↑x.re + ↑x.im * RCLike.I, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => ↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.im x) * I, invFun := fun x => ↑x.re + ↑x.im * RCLike.I, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => ↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.im x) * I, invFun := fun x => ↑x.re + ↑x.im * RCLike.I, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y
α : Type u_1
S : Set (Set α)
⊢ ⋃₀ S = (⋂₀ (compl '' S))ᶜ
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : ∀ (x y : A), Commute (f x) (f y)
⊢ ⇑(f.fromOpposite hf) = ⇑f ∘ MulOpposite.unop
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
⊢ essSup (fun x => ⊥) μ = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ {a, b}.card = 1 ∨ {a, b}.card = 2
R✝ : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R✝ M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M'
inst✝⁹ : Module R✝ M₁
inst✝⁸ : Nontrivial R✝
inst✝⁷ : NoZeroSMulDivisors R✝ M
inst✝⁶ : StrongRankCondition R✝
inst✝⁵ : Module.Finite R✝ M
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ finrank R M = 0 ↔ Module.IsTorsion R M
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
⊢ 0 < minimalPeriod f x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
t : List α
IH : ∀ {s : List α}, s ∈ t.sublists' ↔ s <+ t
s : List α
⊢ s ∈ (a :: t).sublists' ↔ s <+ a :: t
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n.totient = n.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
γ : Γ₀
h : γ ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 γ) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, f x = γ
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
P : Type u₃
CommSemiring P
CharP P p
PerfectRing P p
S : Type u₂
CommSemiring S
CharP S p
Q : Type u₄
CommSemiring Q
CharP Q p
PerfectRing Q p
π : P →+* R
m : PerfectionMap p π
σ : Q →+* S
n : PerfectionMap p σ
φ : R →+* S
⊢ σ.comp (PerfectionMap.map p m n φ) = φ.comp π
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G
⊢ (d n A) f g = ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom (∑ p : Fin (n + 1 + 1), Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ p.succAbove) ((-1) ^ ↑p))
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h : a ≠ 0
⊢ Measure.map (fun x => x * a) volume = ofReal |a⁻¹| • volume
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h3 : (Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹).IsThreeCycle
⊢ {⟨Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹, ⋯⟩} ⊆ ↑(normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩})
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonAssocRing α
a b : α
⊢ a * (1 - b) = a - a * b
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
m n : ℤ
a : α
ha : 0 < a
⊢ m • a < n • a ↔ m < n
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f✝ : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
f : ContDiffBump 0
x : E
⊢ ↑f (-x) = ↑f x
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Iic t) t
hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Iic t) t
hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t
hb : f b = g b
hv' : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (Neg.neg ∘ v (-t)) (s (-t))
hmt1 : MapsTo Neg.neg (Icc (-b) (-a)) (Icc a b)
hmt2 : MapsTo Neg.neg (Ico (-b) (-a)) (Ioc a b)
hmt3 : ∀ (t : ℝ), MapsTo Neg.neg (Ici t) (Iic (-t))
⊢ EqOn (f ∘ Neg.neg) (g ∘ Neg.neg) (Icc (-b) (-a))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₁ * b₁ < a₂ * b₂ → a₁ < a₂ ∨ b₁ < b₂
G : Type u_1
SubtractionMonoid G
a b c d : G
hbd : AddCommute b d
hbc : AddCommute (-b) c
⊢ a - b + (c - d) = a + c - (b + d)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (Mon_.equivLaxMonoidalFunctorPUnit C).counitIso = Mon_.EquivLaxMonoidalFunctorPUnit.counitIso C
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsNoetherianRing R₁
I : Ideal R₁
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑↑I
R : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
Hsq : 0 ≤ a * a
Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)
H : 0 ≤ 2 + a
n : ℕ
this : 0 ≤ ↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a
⊢ ↑n * a + 1 + a + a + ↑n * (a * a) + ↑n * (a * a) + ↑n * (a * a * a) + a * a = ↑n * a + 1 + a + a + a * a + a * (↑n * a) + a * (↑n * a) + a * a * (↑n * a)
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ Subtype.val ⁻¹' t = ∅ ↔ s ∩ t = ∅
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : F.Elements
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.structuredArrowEquivalence F).functor.obj X =
  CategoryTheory.StructuredArrow.mk fun x => X.snd
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Stream' α
⊢ Stream'.map f s = Stream'.cons (f s.head) (Stream'.map f s.tail)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
f : StructuredArrow S T
g : f.right ⟶ Y'
g' : Y' ⟶ Y''
⊢ (f.homMk' (g ≫ g')).right = (f.homMk' g ≫ (mk (f.hom ≫ T.map g)).homMk' g' ≫ eqToHom ⋯).right
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : DivisionSemiring R
q : ℚ≥0
f : R[X]
⊢ q • f = C ↑q * f
ι : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a : ℝ
c : E
l l' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
u v : ι → ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
intervalIntegral.FTCFilter a l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Filter.Tendsto f (l' ⊓ MeasureTheory.ae μ) (𝓝 c)
hu : Filter.Tendsto u lt l
hv : Filter.Tendsto v lt l
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
n k : ℕ
⊢ k ! * (n + k).choose k = k ! * ((n + 1).ascFactorial k / k !)
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
K : Subgroup N
f : G →* N
x : G
⊢ x ∈ Subgroup.comap f K ↔ f x ∈ K
R : Type u
Semiring R
StrongRankCondition R
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : (α → R) →ₗ[R] β → R
i : Function.Injective ⇑f
⊢ Fintype.card α ≤ Fintype.card β
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
f' : α → ℝ≥0∞
hf'm : Measurable f'
hle : f' ≤ f
hf' : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f' a ∂μ
⊢ NullMeasurableSet {x | f' x ≤ g x} (μ.restrict s)
α : Type u
l l' : List α
⊢ l ~r l' ↔ l' ∈ List.map l.rotate (List.range (l.length + 1))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.singularPart 0 μ = 0
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
inst✝ : ∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)
G : Finset J
H : Finset (TopCat.FiniteDiagramArrow G)
⊢ IsClosed (partialSections F H)
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).re = OfNat.ofNat n
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ
hd : 0 < d
⊢ (↑n / ↑d).num / ↑(↑n / ↑d).den = n / ↑d
E : Type u_1
X : Type u_2
c : E
f : ContDiffBump c
⊢ f.rIn < f.rOut
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
A : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
⊢ CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.Hom.id A = CategoryTheory.CategoryStruct.id A
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
⊢ M.Coindep X ↔ (∃ B, M.Base B ∧ B ⊆ M.E \ X) ∧ X ⊆ M.E
G : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid G
self : IsFreeGroupoid G
X : Type v
Group X
f : Quiver.Labelling (IsFreeGroupoid.Generators G) X
⊢ ∃! F, ∀ (a b : IsFreeGroupoid.Generators G) (g : a ⟶ b), F.map (IsFreeGroupoid.of g) = f g
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
α' : ι' → Type u_8
f : ι → ι'
g : (i : ι) → α i → α' (f i)
s : Set ι'
t : (i : ι') → Set (α' i)
⊢ Sigma.map f g ⁻¹' s.sigma t = (f ⁻¹' s).sigma fun i => g i ⁻¹' t (f i)
G : Type u_1
AddGroup G
S : Set G
⊢ AddSubmonoid.closure S ≤ (AddSubgroup.closure S).toAddSubmonoid
M : Type u
Monoid M
x : Mˣ
⊢ (Units.coeHom M) x = ↑x
x : ℝ
⊢ Real.sinhEquiv x = Real.sinh x
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonUnitalCommSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
⊢ inst₁ = inst₂
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : Type w'
f : J → C
c : CategoryTheory.Limits.Bicone f
g : K ≃ J
k : K
⊢ (c.whisker g).ι k = c.ι (g k)
α : Type u_1
β : α → Type u_4
γ : (a : α) → β a → Type u_7
f : (x : Sigma β) → γ x.fst x.snd
⊢ Sigma.uncurry (Sigma.curry f) = f
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
P_max : P.IsMaximal
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
Q : Ideal S
Q_prime : Q.IsPrime
hQ : comap (algebraMap R S) Q = P
⊢ ∃ Q, Q.IsMaximal ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
TopologicalSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
LinearOrder β
OrderClosedTopology β
f : β → α
hf : Monotone f
⊢ Measurable f
a b : Cardinal.{u_1}
⊢ a * b = a ↔ (ℵ₀ ≤ a ∧ b ≤ a) ∧ b ≠ 0 ∨ b = 1 ∨ a = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n₁
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K (-n₂)
z₃ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n₂
h₁₂ : n₁ + -n₂ = n₁₂
⊢ (z₁.comp z₂ h₁₂).comp z₃ ⋯ = z₁.comp (z₂.comp z₃ ⋯) ⋯
α : Type u_1
UniformSpace α
T0Space α
⊢ DenseEmbedding ↑α
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
o : Ordering
h : o.Compares a b
⊢ cmp a b = o
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
h : s₁ ⊆ s₂
hg : ∀ x ∈ s₂ \ s₁, g x = 1
hfg : ∀ x ∈ s₁, f x = g x
⊢ ∏ i ∈ s₁, f i = ∏ x ∈ s₁, g x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1
hzc : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ LieAlgebra.center A (A ⊗[R] L)
⊢ Commute ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
⊢ LiftRel (swap R) cb.think ca ↔ LiftRel (swap R) cb ca
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
x✝¹ : ℕ
x✝ : R
n✝ : ℕ
⊢ x✝¹.choose k • x✝ = ↑(x✝¹.choose k) * x✝
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup α
a : α
l : List α
⊢ (l.alternatingProd ^ (-1) ^ l.length)⁻¹ * a ^ (-1) ^ l.length = (a / l.alternatingProd) ^ (-1) ^ l.length
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : p.degree = (-q).degree
hlc : p.leadingCoeff + (-q).leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p - q).leadingCoeff = p.leadingCoeff - q.leadingCoeff
m : ℤ
⊢ ¬Irrational ↑m
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
I b : ℝ
hfi✝ : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) b) μ
ha : Tendsto a l atBot
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a i..b, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hφ : AECover (μ.restrict (Iic b)) l fun i => Ioi (a i)
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioi (a i)) (μ.restrict (Iic b))
⊢ IntegrableOn f (Iic b) μ
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i : ι
⊢ (𝟙 C).f i = 𝟙 (C.X i)
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
inst✝² : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝¹ : DecidableEq ι
j : ι
inst✝ : (i : ι) → Decidable (i ∈ insert j s)
⊢ (insert j s).piecewise f g = update (s.piecewise f g) j (f j)
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ ‖f v‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C
⊢ X ◁ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
Algebra A B
x : B
⊢ RingHom.ker (Polynomial.aeval x) = Submodule.span A[X] {minpoly A x}
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
H : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f' : E → E →L[𝕜] F
hff' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
o : Set E
o_open : IsOpen o
xo : x ∈ o
ho : s ∩ o ⊆ u
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s x
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
⊢ cs.lengthParity (cs.simple i) = Multiplicative.ofAdd 1
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
P : Type u₃
CommSemiring P
CharP P p
PerfectRing P p
S : Type u₂
CommSemiring S
CharP S p
Q : Type u₄
CommSemiring Q
CharP Q p
PerfectRing Q p
π : P →+* R
m : PerfectionMap p π
σ : Q →+* S
n : PerfectionMap p σ
φ : R →+* S
x : P
⊢ σ ((PerfectionMap.map p m n φ) x) = φ (π x)
α : Type u_2
Add α
s t : Set α
⊢ ⋃ a ∈ s, (fun x => a + x) '' t = s + t
D : TopCat.GlueData
i : D.J
⊢ Function.Injective ⇑(D.ι i)
α : Type u
CommMonoid α
x y : α
u : αˣ
⊢ x /ₚ u * y = x * y /ₚ u
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (x ^ n) ^ (↑n)⁻¹ = x
a : ℤ
ha0 : 0 < a
⊢ Nat.Coprime 1 a.natAbs
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
x : α
h : x ∉ t
⊢ insert x s \ t = insert x (s \ t)
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
S : Type u_2
NonAssocSemiring S
Module R S
IsScalarTower R S S
Pow S ℕ
NatPowAssoc S
x : S
⊢ (p * Polynomial.X).smeval x = p.smeval x * x
⊢ ∀ {α : Type u_1} {r : α → α → Prop} {β : Type u_2} {s : β → β → Prop} {a₁ a₂ : α},
  Sum.Lex r s (Sum.inl a₁) (Sum.inl a₂) ↔ r a₁ a₂
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
P : Type u_1
L.Structure P
hnp : L.Embedding N P
hmn : L.Embedding M N
⊢ (hnp.comp hmn).toHom = hnp.toHom.comp hmn.toHom
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
this : (ρ_ (F.obj n)).hom.app X = (F.obj n ◁ F.ε ≫ F.μ n (𝟙_ M) ≫ F.map (ρ_ n).hom).app X
⊢ F.ε.app ((F.obj n).obj X) ≫ (F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X = 𝟙 ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
⊢ scottHausdorff α ≤ upperSet α ⊔ scottHausdorff α
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
⊢ Measure.trim 0 hm = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring A
f : R →+* A
H : Function.Injective ⇑f
p : ℕ
⊢ CharP R p ↔ CharP A p
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
x : ↥(unop U)
V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
m : ↑x ∈ V
i : V ⟶ unop U
j : ℕ
r : A
r_mem : r ∈ 𝒜 j
s : A
s_mem : s ∈ 𝒜 j
nin : ∀ (x : ↥V), ↑⟨s, s_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
hy : ∀ (x : ↥V), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := j, num := ⟨r, r_mem⟩, den := ⟨s, s_mem⟩, den_mem := ⋯ }
y : ↥V
⊢ (fun x => (-a) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) y = HomogeneousLocalization.mk { deg := j, num := ⟨-r, ⋯⟩, den := ⟨s, s_mem⟩, den_mem := ⋯ }
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
⊢ Metric.ball 0 δ + s = Metric.thickening δ s
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
hf : Function.Injective ⇑f
S T : Subsemigroup M
⊢ Subsemigroup.map f S ≤ Subsemigroup.map f T ↔ S ≤ T
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
M : SheafOfModules R
∀ (X : C), CategoryTheory.HasWeakSheafify (J.over X) AddCommGrp
∀ (X : C), (J.over X).WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
∀ (X : C), (J.over X).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
self : M.IsFiniteType
⊢ ∃ σ, ∀ (i : σ.I), Finite (σ.generators i).I
R : Type u
Ring R
s : Subring R
x y : ↥s
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
M₀ : Type u_7
CancelCommMonoidWithZero M₀
n : ℕ
ζ : M₀
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α : M₀
hα : α ≠ 0
⊢ Set.InjOn (fun x => ζ ^ x * α) ↑(Finset.range n)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Function.Injective Homeomorph.toEquiv
⊢ Ioi 0 ∩ Ici 2 = Ici 2
m : Type u
DecidableEq m
R : Type u_2
CommRing R
Fintype m
A : Matrix m m R
Invertible A
⊢ Function.Surjective fun v => Matrix.vecMul v A
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A
p : Subalgebra R A
⊢ ↑↑p.valA = p.subtype
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
Small.{v, u} R
inj : Module.Injective R Q
⊢ Module.Baer R Q
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
T2Space α
ha : HasSum f a
⊢ ∑' (b : β), f b = a
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ ↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc (MeasureTheory.Lp.simpleFunc.indicatorConst p hs hμs c)) =ᵐ[μ]
  ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.piecewise s hs (MeasureTheory.SimpleFunc.const α c) (MeasureTheory.SimpleFunc.const α 0))
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x y : ℝ
hy : limsup v f < ↑y
right✝ : ↑y < ⊤
⊢ ⊥ < ↑x - ↑y + ↑y → limsup (u + v) f ≤ ↑x - ↑y + ↑y
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
this : Continuous ((fun x => (↑x, f.toFun x)) ∘ v.proj)
x : ℝ
⊢ ((fun x => (↑x, f.toFun x)) ∘ v.proj) x ∈ Icc v.tMin v.tMax ×ˢ closedBall v.x₀ ↑v.R
α : Type u_1
n : Type u_4
AddGroup α
A : Matrix n n α
ha : A.IsDiag
⊢ (-A).IsDiag
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Set X
x : X
hx : x ∈ interior s
⊢ x ∈ setOfIdeal (idealOfSet 𝕜 s)
M : Type u_1
Add M
S : Set (AddCon M)
⊢ sSup S = addConGen (sSup (DFunLike.coe '' S))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n : ℕ
yr' : ‖y‖ < ↑r'
hr'0 : 0 < ↑r'
this : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C / (1 - a) * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
a b : Prop
h : a = True
⊢ (a ∧ b) = b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
S : Set (Set α)
hS : S.Finite
a : α
⊢ 𝓝[⋃₀ S] a = ⨆ s ∈ S, 𝓝[s] a
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Surjective (Subsemigroup.comap f)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius
hr : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), dist (s.points i) s.circumcenter = s.circumradius
⊢ False
β : Type u_2
Group β
u₁ u₂ : UniformSpace β
h₁ : UniformGroup β
h₂ : UniformGroup β
⊢ UniformGroup β
α : Type u
CommSemiring α
x y : α
⊢ Ideal.span {x} ≤ Ideal.span {y} ↔ y ∣ x