ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ e.target
⊢ e.target ∈ 𝓝 x
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ℵ₀
hb : ↑n < ℵ₀
⊢ ↑(m ^ n) < ℵ₀
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
m n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
hf₁' : ∀ (k : ℕ), MeasurableSet (f k)
⊢ HasSum (fun i => if MeasurableSet (f i) then ↑v (f i) else 0) (if MeasurableSet (⋃ i, f i) then ↑v (⋃ i, f i) else 0)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
⊢ f = CategoryTheory.CostructuredArrow.mk f.hom
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
p : ℝ
hp1✝ : 0 ≤ p
hp2 : p ≤ 1
hp1 : 0 < p
⊢ (1 + s) ^ p ≤ 1 + p * s
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
LE α
f : (i : ι) → κ i → Set α
hf : ∀ (i : ι) (j : κ i), IsLowerSet (f i j)
⊢ IsLowerSet (⋂ i, ⋂ j, f i j)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : DecidableEq L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsFractionRing R K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x : Kˣ
⊢ spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹ * spanSingleton R⁰ ↑x = 1
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f : R →ₙ+* S
⊢ f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
𝕜' : Type u_6
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : E → 𝕜'
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
c : 𝕜'
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => f x / c) s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f g : G → E
s : Set G
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ n f s
hg : ContDiffOn ℝ n g s
hne : ∀ x ∈ s, f x ≠ g x
⊢ ContDiffOn ℝ n (fun y => dist (f y) (g y)) s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h : a ∣ b * c
⊢ ∃ a₁ a₂, a₁ ∣ b ∧ a₂ ∣ c ∧ a = a₁ * a₂
α : Type u
s : Stream' α
⊢ s.tails = Stream'.iterate Stream'.tail s.tail
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((Norm.norm ∘ g) a) C
ε : ℝ
ε₀ : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖op (f x) (g x)‖ < ε
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure (MeasureTheory.Measure (MeasureTheory.Measure α))
⊢ (MeasureTheory.Measure.map MeasureTheory.Measure.join μ).join = μ.join.join
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing T
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra L F
inst✝² : Algebra R F
inst✝¹ : IsScalarTower R L F
inst✝ : FiniteDimensional L F
x : F
hx : IsIntegral R x
hx' : IsIntegral L x
⊢ Splits (algebraMap L (AlgebraicClosure F)) (minpoly L x)
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Dist E
l : Filter ι
f f' : ι → α → E
g g' : α → E
h_left : ∀ᶠ (i : ι) in l, f i =ᶠ[ae μ] f' i
h_right : g =ᶠ[ae μ] g'
h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
i : ι
h_ae_eq : f i =ᶠ[ae μ] f' i
⊢ {x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)} =ᶠ[ae μ] {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
sq : CategoryTheory.Square C
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ (sq.map F).X₁ = F.obj sq.X₁
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : Ordinal.{u_2}
h : 0 ≠ 0
⊢ (a + 0).cof = cof 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
p : ExactPairing X Y
⊢ (rightDualIso p p).hom = (Iso.refl Y).hom
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
hx0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r = 0
s : O
hy0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s = 0
hxy0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r + s) = 0
⊢ v ((algebraMap O K) r + (algebraMap O K) s) ≤ max (v ((algebraMap O K) r)) (v ((algebraMap O K) s))
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a ≤ 1 / b ↔ b ≤ 1 / a
n k : ℕ
h : k + 1 + 2 ≤ n
⊢ (n - (k + 1 + 1)) ^ (k + 1 + 2) < n.descFactorial (k + 1 + 2)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq β
h : s.Nonempty
⊢ image2 (fun x y => y) ↑s ↑t = ↑t
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
Nontrivial R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : R
hx : x ∈ nonZeroDivisors R
⊢ (algebraMap R S) x ≠ 0
R : Type u_1
M : Type u
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
HasRankNullity.{u, u_1} R
StrongRankCondition R
NoZeroSMulDivisors R M
h : 1 < FiniteDimensional.finrank R M
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ y, LinearIndependent R ![x, y]
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g : widePushout B objs arrows ⟶ X
⊢ ∀ (j : J), ι arrows j ≫ g = ι arrows j ≫ g
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
ι : Type u_3
s : Finset ι
I : ι → FractionalIdeal R⁰ K
hS : ∀ i ∈ s, I i ≠ 0
⊢ count K v (∏ i ∈ s, I i) = ∑ i ∈ s, count K v (I i)
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : N.StrictRestriction M
⊢ M.restrict N.E = N
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
𝕜' : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : ContDiff 𝕜' n f
⊢ ContDiff 𝕜 n f
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : NullMeasurableSet t μ
hfs : IntegrableOn f s μ
⊢ Integrable f (μ.restrict (s ∩ t))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.N₁.obj X).X = AlgebraicTopology.AlternatingFaceMapComplex.obj X
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.IsIso f ↔ AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f ∧ CategoryTheory.Epi f.val.base
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ -x ‖ -y ↔ x ‖ y
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.112788, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X✝ Y✝ : Split C
Φ : X✝ ⟶ Y✝
n : ℕ
⊢ (X✝.s.cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ Φ.F.app (op [n]) ≫ PInfty.f n = (X✝.s.cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n ≫ Φ.F.app (op [n])
ι : Type u_5
α : Type u_7
LinearOrder α
BoundedOrder α
s : Finset ι
f : ι → α
h : s.Nonempty
⊢ s.inf f = ⊥ ↔ ∃ b ∈ s, f b = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
this : ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ≤ ↑‖f x - y₀‖₊
⊢ ‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ≤ ‖f x - y₀‖₊
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
x : X
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Nonempty N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
⊢ (fun x_1 x_2 => x_1 * x_2) ⟦p⟧ ⟦q⟧ = ⟦transAt i q p⟧
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2
⊢ Submodule.comap CliffordAlgebra.involute.toLinearMap (CliffordAlgebra.evenOdd Q n) = CliffordAlgebra.evenOdd Q n
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y z w : ℤ
h1✝ : { re := x, im := y }.re * { re := z, im := w }.re + ↑d * { re := x, im := y }.im * { re := z, im := w }.im = 0
h2✝ : { re := x, im := y }.re * { re := z, im := w }.im + { re := x, im := y }.im * { re := z, im := w }.re = 0
h1 : x * z = -(↑d * y * w)
h2 : x * w = -(y * z)
⊢ { re := x, im := y } = 0 ∨ { re := z, im := w } = 0
α : Type u_1
PartialOrder α
a b c : α
⊢ Set.Icc a b = {c} ↔ a = c ∧ b = c
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
f : α ≃ β
I : Set β
⊢ (M.mapEquiv f).Indep I ↔ M.Indep (⇑f.symm '' I)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε : 𝕜
Fintype α
DecidableRel G.Adj
DecidableRel H.Adj
DecidableEq α
hH : H ≤ G
hG : G.FarFromTriangleFree ε
hcard : ↑G.edgeFinset.card - ↑H.edgeFinset.card < ε * ↑(Fintype.card α ^ 2)
⊢ (H.cliqueFinset 3).Nonempty
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
⊢ 0 < a / b ↔ 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0
α : Type u
β : Type v
PartialOrder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
⊢ MonotoneOn f s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a < b → f a ≤ f b
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p₁ p₂ p : P
⊢ p -ᵥ midpoint R p₁ p₂ = ⅟2 • (p -ᵥ p₁) + ⅟2 • (p -ᵥ p₂)
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ M.det = (-1) ^ Fintype.card n * M.charpoly.coeff 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
h : I.IsInteriorPoint x
⊢ ∃ t ⊆ range ↑I, IsOpen t ∧ ↑(extChartAt I x) x ∈ t
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
δ c d : α
hdc : 0 ≤ c - d
⊢ |b - b| ≤ c - d
x : PUnit.{1}
⊢ x⁻¹ = PUnit.unit
R : Type u
σ : Type u_1
a : R
CommSemiring R
A : Type u_2
AddCommMonoid A
b : (σ →₀ ℕ) → R → A
w : b 0 0 = 0
⊢ Finsupp.sum (MvPolynomial.C a) b = b 0 a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r
⊢ (∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite) → s.PartiallyWellOrderedOn r
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
Preorder α
PosMulReflectLT α
MulPosReflectLT α
hab : 0 < a * b
⊢ 0 < a ↔ 0 < b
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
⊢ x ∈ PadicInt.subring p ↔ ‖x‖ ≤ 1
R : Type u
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
U : Type u_2
inst✝ : CommRing U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
i : R →+* U
x : U
hx : eval₂ i x f = 0
z : S
⊢ (lift i x hx h') ((h.aequiv h') z) = (lift i x hx h) z
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
x : A
⊢ imaginaryPart ↑(realPart x) = 0
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
⊢ Injective ⇑B.flip ↔ Surjective ⇑B
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
hf : f =O[⊤] g
hg : IntegrableAtFilter g ⊤ μ
⊢ IntegrableAtFilter f ⊤ μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
A : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois A
a : ↑(F.obj A)
⊢ Function.Bijective fun f => F.map f.hom a
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : ε < 1
⊢ ε * spectralRadius 𝕜 a ≤ liminf (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop
a b c : ℝ≥0
⊢ (a - b) / c = a / c - b / c
x y : ℝ
a b : Cauchy abs
⊢ { cauchy := a } = { cauchy := b } ↔ { cauchy := a }.cauchy = { cauchy := b }.cauchy
α : Type u_1
LT α
a b : α
o : Ordering
⊢ o.Compares (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b) ↔ o.Compares b a
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (s • m) s) = f m
R : Type u
CommRing R
IsPrincipalIdealRing R
p : R
hp : Irreducible p
⊢ Ideal.IsMaximal (Submodule.span R {p})
ctx : Nat.Linear.Context
p : Nat.Linear.Poly
⊢ Nat.Linear.Poly.denote ctx p.fuse = Nat.Linear.Poly.denote ctx p
m n : Nat
h : m < n
⊢ Int.subNatNat m n = Int.negSucc (n - m).pred
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : CommSemiring β
inst✝ : ContinuousAdd β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
hg : SuperpolynomialDecay l k g
z : ℕ
⊢ Tendsto (fun a => k a ^ z * (f + g) a) l (𝓝 0)
F✝ : Type u → Type v
inst✝¹ : Applicative F✝
inst✝ : LawfulApplicative F✝
α β γ σ : Type u
F : Type u → Type u_1
F1 : Functor F
p1 : {α : Type u} → α → F α
s1 : {α β : Type u} → F (α → β) → (Unit → F α) → F β
sl1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α
sr1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β
F2 : Functor F
sl2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α
sr2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β
L1 : LawfulApplicative F
L2 : LawfulApplicative F
H1 : ∀ {α : Type u} (x : α), pure x = pure x
H2 : ∀ {α β : Type u} (f : F (α → β)) (x : F α), (Seq.seq f fun x_1 => x) = Seq.seq f fun x_1 => x
⊢ mk = mk
E : Type u_4
AddGroup E
p q : NonarchAddGroupNorm E
⊢ p ≤ q ↔ ⇑p ≤ ⇑q
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α
⊢ Filter.EventuallyConst (c • s) (MeasureTheory.ae μ) ↔ Filter.EventuallyConst s (MeasureTheory.ae μ)
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a b : α
MulPosMono α
ha : a ≤ 1
hb₀ : 0 ≤ b
hb : b < 1
⊢ a * b < 1
α : Type u_1
MeasurableSpace α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
⊢ (-j).posPart = j.negPart
x y z : SetTheory.PGame
⊢ x * (y + z) ≈ x * y + x * z
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Nontrivial S
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Free ℤ S
inst✝¹ : Module.Finite ℤ S
inst✝ : CharZero S
n : ℕ
hn : 0 < n
f : Ideal S → Ideal (S ⧸ span {↑n}) := fun I => map (Quotient.mk (span {↑n})) I
⊢ Set.InjOn f {I | absNorm I = n}
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
x : α
⊢ (FreeMonoid.countP p) (FreeMonoid.of x) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else Multiplicative.ofAdd 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ j : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
x : (i : I) → f i
i : I
⊢ Commute (mulSingle i (x i)) (mulSingle i (x i))
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
i : ι
y : N i
⊢ M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
F : J ⥤ K ⥤ C
j : J
k : K
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j).app k ≫ (CategoryTheory.Limits.colimitObjIsoColimitCompEvaluation F k).hom =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F ⋙ (CategoryTheory.evaluation K C).obj k) j
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
hfg' : f + g ≈ g
⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
x : ENNReal
⊢ 0 ≤ x.log ↔ 1 ≤ x
R : Type u_1
A : Type u_3
CommRing R
Ring A
Algebra R A
self : Algebra.IsIntegral R A
x : A
⊢ IsIntegral R x
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
L L' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
⊢ ListBlank.map { f := Prod.snd, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } L') = L'
n : ℕ
α β γ : TypeVec.{u} n
F : TypeVec.{u} n → Type v
MvFunctor F
LawfulMvFunctor F
g : α ⟹ β
h : β ⟹ γ
x : F α
⊢ h <$$> g <$$> x = (h ⊚ g) <$$> x
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
x : α
h : ContinuousWithinAt f s x
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ ContinuousAt f x
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
⊢ s ≤ s.sdiff t
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (x + z * y) y
⊢ IsCoprime x y
f : Type u₀ → Type u₁
inst✝¹ : Applicative f
inst✝ : LawfulApplicative f
α β : Type u₀
h : ∀ (γ : Type u₀), Injective pure
e₁ e₂ : α ≃ β
H : mapEquiv f e₁ = mapEquiv f e₂
x : α
⊢ pure (e₁ x) = pure (e₂ x)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
S : Type u_10
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M'
inst✝¹ : SMulCommClass R S M'
inst✝ : Fintype ι
P : Submodule R M
b : Basis ι R ↥P
x : M
c : ι → R
⊢ (x = (Finsupp.equivFunOnFinite.symm c).sum fun i x => x • ↑(b i)) ↔ x = ∑ i : ι, c i • ↑(b i)
α : Type u_1
a : α
inst✝ : SemilatticeSup α
x y : ↑(Iic a)
⊢ Codisjoint x y ↔ ↑x ⊔ ↑y = a
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
Sopen : ∀ t ∈ S, IsOpen t
Scount : S.Countable
T : Set (Set X)
Topen : ∀ t ∈ T, IsOpen t
Tcount : T.Countable
⊢ IsGδ (⋂ p ∈ S ×ˢ T, p.1 ∪ p.2)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁵ : Semifield K
inst✝⁴ : Semifield K₂
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
a : K
h : a ≠ 0
⊢ range (a • f) = range f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg ⊆ s
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
NormedLatticeAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ⇑|f| = |⇑f|
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ WittVector.wittOne p 0 = 1
K : Type u_1
RCLike K
h : RCLike.I = 0
⊢ ∀ (a : ℝ), (RCLike.realRingEquiv h).symm a = ↑a
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
n a a' : ℤ
ha' : n + a = a'
K : CochainComplex C ℤ
⊢ ((homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftIso n a a' ha').hom.app ((quotient C (up ℤ)).obj K) = (homologyFunctor C (up ℤ) a).map (((quotient C (up ℤ)).commShiftIso n).inv.app K) ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) a).hom.app ((shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).obj K) ≫ ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftIso n a a' ha').hom.app K ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) a').inv.app K
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
ι : Sort u_3
hf : Function.Surjective ⇑f
K : ι → Ideal S
⊢ Ideal.map f (⨅ i, Ideal.comap f (K i)) = iInf K
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A / C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
f : α → β → m (ForInStep β)
a : β
l : List α
⊢ ForInStep.bindList f l (ForInStep.done a) = pure (ForInStep.done a)
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
⊢ ↑a.val = (if a.val ≤ n / 2 then ↑a.val else ↑a.val - ↑n) + ↑(if a.val ≤ n / 2 then 0 else n)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ x ≠ y
α : Type u_4
β : Type u_5
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
c : ClosureOperator α
⊢ e.equivClosureOperator c = c.conjBy e
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
⊢ x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : CategoryTheory.Adjunction.CoreHomEquiv F G
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((adj.homEquiv X' (F.obj X)) (F.map f)) (G.map g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f ((adj.homEquiv X Y) g)
α : Type u_1
LinearOrder α
AddZeroClass α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ max a b ≤ a + b
a : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat a 1 = 1
α : Type u_6
β : Type u_7
ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h₁ : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault
h₂ : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault
⊢ x ≤ Filter.liminf u f ↔ ∀ y < x, ∀ᶠ (a : α) in f, y < u a
α : Type u
S : Set (Option α → ℕ)
d : Dioph S
f : (α → ℕ) → ℕ
df : Dioph.DiophFn f
⊢ Dioph {v | f v ::ₒ v ∈ S}
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ ↑(Ico a b * Icc c d) ⊆ ↑(Ico (a * c) (b * d))