ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
i j : ℕ
hij : i ≤ j
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ν a[fun x => κ.densityProcess ν j a x s|↑(countableFiltration γ) i] =ᶠ[ae (ν a)] fun x => κ.densityProcess ν i a x s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β
⊢ MeasurableSet (⋃ y ∈ filter (fun y => y ≠ 0) f.range, ↑f ⁻¹' {y})
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s t : Set Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
hmt : MeasurableSet t
⊢ ProbabilityTheory.cond (ProbabilityTheory.cond μ s) t = ProbabilityTheory.cond μ (s ∩ t)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a x y : G₀
h : SemiconjBy a x y
m : ℤ
⊢ SemiconjBy a (x ^ m) (y ^ m)
⊢ ¬Small.{u, max (u + 1) (v + 1)} (Type (max u v))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) ↑f = (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT) f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ ≠ ⊤
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M✝ M : ModuleCat R
x : ↑(obj' f M)
⊢ (LinearMap.baseChange S (𝟙 M)) x = (𝟙 (obj' f M)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}
h2 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)}
h3 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)}
h4 : MeasurableSet {a | ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t}
⊢ MeasurableSet {a | IsRatStieltjesPoint f a}
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S✝
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K✝ : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
R : Type u_6
S : Type u_7
K : Type u_8
L : Type u_9
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : S
s : ↥S⁰
⊢ (algebraMap K L).IsIntegralElem (mk' L 1 s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hg : Memℒp g p μ
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g
⊢ UnifIntegrable (fun x => g) p μ
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
x : α
⊢ 0 ∉ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f fab : α → β
fbc : β → γ
ga ga' : α → α
gb gb' : β → β
gc gc' : γ → γ
h : Semiconj f ga gb
ha : RightInverse ga' ga
hb : LeftInverse gb' gb
x : α
⊢ f (ga' x) = gb' (f x)
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β → β
h : {x | x ∈ 0}.Pairwise fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)
b : β
⊢ Multiset.noncommFoldr f 0 h b = b
p : ℕ+
k✝ : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
h : hζ.toInteger = 1
⊢ False
α β : Type u_1
f : α → β
a : α
⊢ f <$> Computation.pure a = Computation.pure (f a)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
l : Filter α
CountableInterFilter l
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
f : α → β
h : β → γ
hh : Measurable h
hf : EventuallyMeasurable m l f
⊢ EventuallyMeasurable m l (h ∘ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : Countable ι
u : ι → UniformSpace α
hcomp : ∀ (i : ι), CompleteSpace α
hcount : ∀ (i : ι), (𝓤 α).IsCountablyGenerated
ht₀ : ∃ t₀, T2Space α ∧ ∀ (i : ι), (fun i => UniformSpace.toTopologicalSpace) i ≤ t₀
hut : ∀ (i : ι), UniformSpace.toTopologicalSpace = (fun i => UniformSpace.toTopologicalSpace) i
⊢ ∃ u_1, CompleteSpace α ∧ (𝓤 α).IsCountablyGenerated ∧ UniformSpace.toTopologicalSpace = ⨅ i, (fun i => UniformSpace.toTopologicalSpace) i
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : Module.End K V
PerfectField K
⊢ ∃ n ∈ Algebra.adjoin K {f}, ∃ s ∈ Algebra.adjoin K {f}, IsNilpotent n ∧ s.IsSemisimple ∧ f = n + s
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s✝ t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y : (i : δ) → π i
i : δ
inst✝ : Fintype δ
s : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ
x : (i : δ) → π i
⊢ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ = ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂Measure.pi μ
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallySurjective J f₁
inst✝ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)
⊢ IsLocallyInjective J f₂
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ (0 • s)⁻¹ = op 0⁻¹ • s⁻¹
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
i : ι
⊢ span R {v i} ⊓ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), span R {v j} ≤ ⊥
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
Subsingleton ι
i : ι
f : M →ₗ[R] N
x : ι → M
⊢ ((AlternatingMap.ofSubsingleton R M N i) f) x = f (x i)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
CommRing S
CommRing T
Algebra R S
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
Module.Free R S
Module.Finite R S
Module.Free S T
Module.Finite S T
x : T
⊢ (Algebra.trace R S) ((Algebra.trace S T) x) = (Algebra.trace R T) x
x : ℝ
y : ℂ
h : 0 < y.re ∨ x ≠ 0
hx : 0 < x
⊢ ContinuousAt (fun p => ↑p.1 ^ p.2) (x, y)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
x : M
⊢ B.IsOrtho 0 x
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
n : ℕ
⊢ Multiset.countP p (n • s) = n * Multiset.countP p s
z : ℍ
A B : ℝ
h : 0 < B
hz : z ∈ UpperHalfPlane.verticalStrip A B
⊢ EisensteinSeries.r ⟨{ re := A, im := B }, h⟩ ≤ EisensteinSeries.r z
G : Type u_1
AddGroup G
M : Type u_8
AddMonoid M
f : G →+ M
⊢ f.toHomAddUnits.ker = f.ker
α : Type u
x : α
a b : Set α
⊢ x ∈ a ∩ b ↔ x ∈ a ∧ x ∈ b
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
⊢ s.min' H = s.inf' H id
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖ ↔ ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_ℝ = 0
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
v : V
e : Sym2 V
h : e ∈ G.incidenceSet v
⊢ G.otherVertexOfIncident h ∈ G.neighborSet v
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
⊢ s ○ t ⊆ s ⊻ t
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
g : C(X, Z)
h : Function.FactorsThrough ⇑g ⇑f
⊢ (hf.lift g h).comp f = g
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsUniversalColimit c₁
t₂ : IsUniversalColimit c₂
inst✝ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C
c : Cocone F
α : F ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)
F' : Fin (n + 1) → C := F.obj ∘ Discrete.mk
this : F = Discrete.functor F'
⊢ (Discrete.natTrans fun i => α.app { as := i.as.succ }) ≫ c₁.ι = (Cofan.mk (pullback c₂.inr i) fun j => pullback.lift (α.app { as := j.succ } ≫ c₁.inj j) (c.ι.app { as := j.succ }) ⋯).ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin n))).map (pullback.fst c₂.inr i)
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
c : R
p : N
this : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq
⊢ (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i (c • p)) = c • (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i p)
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
x : R'
this : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom
r : R
s : S
a : A
⊢ f (r • s) * a = r • (f s * a)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v
X : C
s : CostructuredArrow yoneda A
x : F.obj (op s)
⊢ op s = op (CostructuredArrow.mk (YonedaCollection.fst (counitForward F s x).val))
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
⊢ {x | ∃ y < x, Set.Ioo y x = ∅}.Countable
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
h : 1 ≠ 0 := ⋯
⊢ Units.mk0 1 h = 1
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ range f ≤ ⊥ ↔ f = 0
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := fun g => toFun hR g
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
⊢ ↑(closure U) * R = ⊤
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
hc : c ≠ 0
⊢ a / c ≤ b ↔ a ≤ b * c
x : ℂ
⊢ HasStrictDerivAt cosh (sinh x) x
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
⊢ ⇑0 = 0
R : Type u_2
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N : Type u_9
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid N
Module R M₁
Module R M₂
Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
g : Q₁.IsometryEquiv Q₂
x : M₁
⊢ g.toIsometry x = g x
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : α
⊢ OrderDual.toDual aᶜ = ￢OrderDual.toDual a
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
S : AddSubmonoid M
f : M →+ N
⊢ AddMonoidHom.mker (f.restrict S) = AddSubmonoid.comap S.subtype (AddMonoidHom.mker f)
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
Group G
MeasurableSpace α
MulAction G α
MeasurableSMul G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
f : α → E
g : G
⊢ ∫ (x : α), f (g • x) ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : MeasurableMul₂ G
inst✝ : MeasurableInv G
f g : α → G
hf : Measurable f
h : Measurable (f * g)
⊢ g = f * g * f⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → E'
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ.prod ν)
hg : MeasureTheory.Integrable g (μ.prod ν)
⊢ ∫ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) - g (x, y) ∂ν) ∂μ = ∫ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν) ∂μ
x : PSet
⊢ (⋃₀ x).toSet = ⋃₀ (PSet.toSet '' x.toSet)
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
H : SimpleGraph W
f : G ↪g H
⊢ ⇑f.toHom = ⇑f
α : Type u
l : List α
a : α
h : (a :: l).Nodup
⊢ a ∉ l
o : Ordinal.{u}
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
IsWellOrder ι r
ho : Ordinal.type r = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.sup (Ordinal.familyOfBFamily' r ho f) = o.bsup f
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝓤 : X.AffineOpenCover
⊢ ∀ (a : ↑↑X.toPresheafedSpace), 𝓤.openCover.f a = 𝓤.f a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : C
f g : A ⟶ B
s : B ⟶ A
fs : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f s = CategoryTheory.CategoryStruct.id A
gs : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g s = CategoryTheory.CategoryStruct.id A
⊢ CategoryTheory.IsCoreflexivePair f g
m : Type u_2
n : Type u_3
m' : Type u_6
n' : Type u_7
m'' : Type u_9
n'' : Type u_10
R : Type u_11
A : Type u_12
Semiring R
AddCommMonoid A
Module R A
e₁ : m ≃ m'
e₂ : n ≃ n'
e₁' : m' ≃ m''
e₂' : n' ≃ n''
⊢ Matrix.reindexLinearEquiv R A e₁ e₂ ≪≫ₗ Matrix.reindexLinearEquiv R A e₁' e₂' =
  Matrix.reindexLinearEquiv R A (e₁.trans e₁') (e₂.trans e₂')
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ i)
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
s : ι → Set α := fun i => toMeasurable (μ i) {x | f x ≠ mk f ⋯ x}
⊢ AEMeasurable f (sum μ)
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
z₁ z₂ : R
f : (i : ι) → s i
⊢ PiTensorProduct.tprodCoeff R z₁ f + PiTensorProduct.tprodCoeff R z₂ f = PiTensorProduct.tprodCoeff R (z₁ + z₂) f
X✝ : Scheme
P : (X : Scheme) → ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop
h₁ : ∀ (R : CommRingCat) (x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace), P (Spec R) x
h₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsOpenImmersion f] (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P X x → P Y (f.val.base x)
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ P X x
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
DecidableEq G
Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0
x : G
lx : IsLeftRegular x
⊢ (MonoidAlgebra.single x r * f).support = Finset.image (fun x_1 => x * x_1) f.support
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsClopen s
ht : IsClopen t
⊢ IsClopen (s ⇨ t)
cf : Code
this : cf.encodeCode ≤ 2 * (2 * cf.encodeCode)
⊢ cf.encodeCode < 2 * (2 * cf.encodeCode + 1) + 1 + 4
R : Type u_8
N : Type u_10
P : Type u_11
CommRing R
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R N
Module R P
g : N →ₗ[R] P
⊢ Function.Exact ⇑(LinearMap.ker g).subtype ⇑g
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
SMul α β
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β
⊢ (⋃ i, ⋃ j, s i j) • t = ⋃ i, ⋃ j, s i j • t
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
UniformSpace δ
f : α → β → γ
g : γ → δ
hg : UniformContinuous g
hf : UniformContinuous₂ f
⊢ UniformContinuous₂ (Function.bicompr g f)
n n' : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n n' → Nat.ble 2 n' = true → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n'.minFac n' → Nat.Prime n
a x z✝ z : ℂ
⊢ 0 ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.im
R : Type u
a : R
Semiring R
n : ℕ
⊢ Polynomial.C a * Polynomial.X ^ n = (Polynomial.monomial n) a
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (s • t).Nonempty → t.Nonempty
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
i j : ι
⊢ HomologicalComplex.homotopyCofiber.inrX φ i ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.d φ i j =
  G.d i j ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.inrX φ j
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddZeroClass M
f : α ↪ β
v : α →₀ M
⊢ (Finsupp.embDomain.addMonoidHom f) v = Finsupp.embDomain f v
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.MapsTo f s t
hs : s.Nonempty
⊢ t.Nonempty
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H : Subgroup G
a✝ b✝ : G
⊢ (setoid ↑⊥.toSubmonoid ↑H).Rel a✝ b✝ ↔ (setoid ↑⊥ ↑H).Rel a✝ b✝
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊥, ⊥)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
l : List α
h : l.Nodup
⊢ l.length ≤ Fintype.card α
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace 𝕜 H
CompleteSpace H
e : H ≃ₗᵢ[𝕜] H
⊢ star ↑{ toLinearEquiv := e.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ } =
  ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => star x) a = star a
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ e.restr Set.univ = e
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ
⊢ x ∈ Metric.closedBall y ε ↔ y ∈ Metric.closedBall x ε
m n : ℕ
this : ∀ (r : ℕ), eulerMascheroniSeq r < eulerMascheroniSeq' r
⊢ eulerMascheroniSeq (max m n) < eulerMascheroniSeq' n
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
⊢ -MeasureTheory.ae μ = MeasureTheory.ae μ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g s
⊢ iteratedDerivWithin n (f + g) s x = iteratedDerivWithin n f s x + iteratedDerivWithin n g s x
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
b : Basis ι R M
S : Type u_10
Semiring S
Module S M'
SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
x : M
⊢ ((b.constr S) f) x = (b.repr x).sum fun b a => a • f b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.87374, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : Localization W ⥤ E
h : Q W ⋙ F₁ = Q W ⋙ F₂
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
⊢ F₁.map ((Q W).map f.f) ≫ F₁.map (Qinv f.s ⋯) = eqToHom ⋯ ≫ F₂.map ((Q W).map f.f) ≫ F₂.map (Qinv f.s ⋯) ≫ eqToHom ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : NeZero 1
n : ℕ
⊢ 0 < ↑n ↔ 0 < n
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ IsLowerSet s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Set.Iic a ⊆ s
α : Type u
β : α → Type v
⊢ ∅.keys = ∅
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
⊢ z ∈ ⇑(lineMap x y) '' Set.Ioi 1
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a b : Multiset { a // Irreducible a }
⊢ (↑a + ↑b).prod = FactorSet.prod ↑a * FactorSet.prod ↑b
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq β
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → Fintype ↑(Rel.image r {a})
r' : α → Finset β := fun a => (Rel.image r {a}).toFinset
h : ∀ (A : Finset α), card ↑(Rel.image r ↑A) = (A.biUnion r').card
h' : ∀ (f : α → β) (x : α), r x (f x) ↔ f x ∈ r' x
⊢ (∀ (A : Finset α), A.card ≤ card ↑(Rel.image r ↑A)) ↔ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : α), r x (f x)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
⊢ arccos (⟪x, -y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖-y‖)) = π - arccos (⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))
α : Type u
SS : Stream'.Seq (Stream'.Seq1 (Stream'.Seq1 α))
⊢ SS.join.join = (Stream'.Seq.map Stream'.Seq1.join SS).join
a b : Bool
⊢ (a && b) = b ↔ b = true → a = true
n✝ : ℕ
c : Composition n✝
n : ℕ
h : 0 < n
i : Fin (single n h).length
⊢ (single n h).blocksFun i = n
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₂ : γ₂
⊢ inr c₂ ∈ sumLift₂ f g a b ↔ ∃ a₂ b₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ c₂ ∈ g a₂ b₂
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
M : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : SetLike S M
inst✝² : AddSubmonoidClass S M
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq M
A : ι → S
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
m : ι
⊢ (m ∈ support fun i => ↑(x i)) → m ∈ ↑(DFinsupp.support x)
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
b : α
hb : b ∈ P.parts
h : b = ⊥
⊢ ⊥ ∈ P.parts
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
x : I → Bool
hx : x ∈ C0 C ho
i : I
⊢ Proj (fun x => ord I x < o) x i = x i
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
h : xᶜ = y
⊢ IsCompl x xᶜ
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : R
⊢ Module.IsTorsionBy R M a ↔ Submodule.torsionBy R M a = ⊤
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₂ : σ₂
b₁ : σ₁
aa : tr b₁ a₂
ab : Reaches f₁ b₁ b₁
⊢ ∃ b₂, tr b₁ b₂ ∧ Reaches f₂ a₂ b₂
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a < b
⊢ Nonempty ↑(Set.Ioc a b)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
r : ℚ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
⊢ ∫ (x : α), (ProbabilityTheory.preCDF ρ r x).toReal ∂ρ.fst = ((ρ.IicSnd ↑r) Set.univ).toReal
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
p : α → Prop
h : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
x y : { x // p x }
⊢ (f.subtypePerm h).SameCycle x y ↔ f.SameCycle ↑x ↑y