ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ = P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X P (Q.tensorBimod L))
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
m : ↥N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ N
hf' : optParam (∀ x ∈ N, f x ∈ N) ⋯
i : Fin n
⊢ (LinearMap.toMatrix snf.bN snf.bN) (f.restrict hf') i i = (LinearMap.toMatrix snf.bM snf.bM) f (snf.f i) (snf.f i)
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
⊢ x ^ p = x
X : TopCat
ι : Type w
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
Y : TopologicalSpace.Opens ↑X
hY : Y = iSup U
V : TopCat.Presheaf.SheafCondition.OpensLeCover U
⊢ ((TopCat.Presheaf.generateEquivalenceOpensLe_inverse' U hY).obj V).obj.left = V.obj
m n : ℕ
h : n.pred.succ = n
⊢ (fib m).gcd (fib (n.pred + 1 + m)) = (fib m).gcd (fib (n.pred + 1))
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
h✝ : Finite α
⊢ Nat.card α = if h : Finite α then Fintype.card α else 0
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
⊢ ¬2 ^ (1 + 1) ∣ x ^ 2 ^ i + y ^ 2 ^ i
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
R1Space X
TopologicalSpace Y
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
R1Space Y
μ : MeasureTheory.Measure X
ν : MeasureTheory.Measure Y
μ.InnerRegularCompactLTTop
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ν
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
⊢ Continuous fun gf => (MeasureTheory.Lp.compMeasurePreserving ⇑↑gf.2 ⋯) gf.1
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
h : IsOpenMap (s.restrict f)
finv : β → α
hleft : Set.LeftInvOn finv f s
⊢ ContinuousOn finv (f '' s)
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
a₂ b₂ : σ₂
h : f₂ a₂ = f₂ b₂
b₁ : Option σ₁
⊢ Turing.FRespects f₂ tr a₂ b₁ ↔ Turing.FRespects f₂ tr b₂ b₁
α : Type u_1
Zero α
LinearOrder α
a : α
h : 0 ≤ a
⊢ Nonneg.toNonneg a = ⟨a, h⟩
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
AddCommMonoidWithOne A
Module R A
AddCommMonoidWithOne B
Module R B
n : ℕ
⊢ ↑n = 1 ⊗ₜ[R] ↑n
α : Type u_2
Fintype α
s t : Finset α
DecidableEq α
h : Disjoint s t
⊢ (s ∪ t).dens = s.dens + t.dens
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ X₂ : C
self : CategoryTheory.Limits.CoproductDisjoint X₁ X₂
X : C
⊢ ∀ (X₁_1 : X₁ ⟶ X) (X₂_1 : X₂ ⟶ X),
  CategoryTheory.Limits.IsColimit (CategoryTheory.Limits.BinaryCofan.mk X₁_1 X₂_1) → CategoryTheory.Mono X₂_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
AddGroup γ
TopologicalAddGroup γ
f : C(β, γ)
z : ℤ
g : C(α, β)
⊢ (z • f).comp g = z • f.comp g
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
⊢ (fun r => r ^ d₂) ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] ↑c • fun r => r ^ d₁
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
b : B
h : Inducing ((a.pretrivializationAt b).source.restrict ↑(a.pretrivializationAt b) ∘ codRestrict (TotalSpace.mk b) (a.pretrivializationAt b).source ⋯)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
⊢ Inducing (TotalSpace.mk b)
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) =
      wittStructureRat p ((MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
⊢ MvPolynomial.C ↑(p ^ n) ∣
  (MvPolynomial.bind₁ fun b => (MvPolynomial.rename fun i => (b, i)) (W_ ℤ n)) Φ -
    ∑ i ∈ Finset.range n, MvPolynomial.C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i)
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
⊢ {x | ∃ k, beattySeq' r k = x}ᶜ = {x | ∃ k, beattySeq s k = x}
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
A : Matrix α β ℤ
hA : A ≠ 0
⊢ 1 ≤ ‖A‖
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
⊢ vanishingIdeal ∅ = ⊤
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ a * b ∈ closedBall a r ↔ ‖b‖ ≤ r
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0
⊢ {x | ∃ y ∈ H, ∃ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = x} = {0}
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q f : R[X]
hf : ∀ (r : R), eval r f = 0
hfR : ↑f.natDegree < #R
hR : Finite R
⊢ f = 0
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
x y : HahnSeries Γ R
⊢ x.coeff = y.coeff ↔ x = y
x : ℂ
hx : Complex.cos x ≠ 0
⊢ Complex.tan x ^ 2 / (1 + Complex.tan x ^ 2) = Complex.sin x ^ 2
α : Type u_4
Fintype α
⊢ Fintype.card (Option α) = Fintype.card α + 1
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
⊢ Injective ((↑p).restrict ⇑f) ↔ Surjective (Set.MapsTo.restrict (⇑f) (↑p) (↑p) h)
V : Type u
G₁ G₂ : SimpleGraph V
⊢ (G₁ ⊔ G₂).edgeSet = G₁.edgeSet ∪ G₂.edgeSet
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2
h_ne : ¬A = B
v : n → 𝕜
t : ℝ
ht : t ≠ 0
hv : v ≠ 0
hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v
h_sum : 0 = ↑t * (star v ⬝ᵥ A *ᵥ v + star v ⬝ᵥ B *ᵥ v)
⊢ False
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
β : Type w
NonAssocSemiring α
Fintype n
L : Matrix m n α
M : Matrix n o α
NonAssocSemiring β
f : α →+* β
⊢ (L * M).map ⇑f = L.map ⇑f * M.map ⇑f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
z : ℂ
M r : ℝ
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hfg : ∀ w ∈ Metric.sphere z r, ‖f w - g w‖ < M
hf : ContinuousOn f (Metric.sphere z r)
hg : ContinuousOn g (Metric.sphere z r)
⊢ ‖Complex.cderiv r f z - Complex.cderiv r g z‖ < M / r
θ : ℝ
h0 : 0 ≤ θ
hpi : θ ≤ π
⊢ (-↑θ).sign ≤ 0
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α) → β a
a✝ : α
b : β a✝
P : ⦃a : α⦄ → β a → Prop
f : (a : α) → β a
a' : α
v : β a'
a : α
⊢ P (update f a' v a) ↔ a = a' ∧ P v ∨ a ≠ a' ∧ P (f a)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
α : Type w
f : α → C
⊢ Small.{max v w, u} (FullSubcategory (CofilteredClosure f))
n m : Nat
h : n < m
⊢ n ≤ m.pred
x : ℂ
⊢ Complex.cos (x * Complex.I) = Complex.cosh x
a t : ℝ
ht : 0 < t
h : -2 * ↑π ≠ 0
⊢ HasSum (fun n => -I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) (jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑t) / (-2 * ↑π))
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → ℝ≥0
s : Set X
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
g : X → E
hs : MeasurableSet s
⊢ (∫ (x : X) in s, g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X) in s, f x • g x ∂μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
h_obj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X
h_map : ∀ (X Y : C) (f : X ⟶ Y), HEq (F.map f) (G.map f)
⊢ F = G
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
⊢ (Bimod.isoOfIso f f_left_act_hom f_right_act_hom).hom.hom = f.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hs : s.Finite
x✝ : ℝ≥0∞
⊢ x✝ ≤ s.einfsep ↔ x✝ ≤ ⋯.toFinset.inf (uncurry edist)
n : ℕ
⊢ n.succ.bodd = !n.bodd
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
m_le_n : m ≤ n
one_le_n : 1 ≤ n
U' : UniqueDiffOn 𝕜 (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)
⊢ ContinuousOn (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s) ∧ ∀ (x : TangentBundle I H) (y : TangentBundle I' H'), ContDiffOn 𝕜 m (↑(extChartAt I'.tangent y) ∘ tangentMapWithin I I' f s ∘ ↑(extChartAt I.tangent x).symm) ((extChartAt I.tangent x).target ∩ ↑(extChartAt I.tangent x).symm ⁻¹' (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ tangentMapWithin I I' f s ⁻¹' (extChartAt I'.tangent y).source))
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
⊢ {a | IsAtom a} ≤ S
b x : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
⊢ 0 < Real.logb b x ↔ 1 < x
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s
⊢ s.esymm (card s - k) = if k = card s - (card s - k) then s.esymm (card s - k) else 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α
⊢ ￢(a ⊓ b) = ￢a ⊔ ￢b
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
C : Type u_4
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_4} C
X Y Z : GradedObject I C
φ : X ⟶ Y
e : X ≅ Y
ψ : Y ⟶ Z
p : I → J
j : J
inst✝³ : X.HasMap p
inst✝² : Y.HasMap p
inst✝¹ : Z.HasMap p
c : X.CofanMapObjFun p j
hc : IsColimit c
inst✝ : X.HasMap p
i : I
hi : p i = j
⊢ Cofan.inj c ⟨i, hi⟩ ≫ (iso hc).hom = X.ιMapObj p i j hi
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B✝ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : IsDomain B✝
inst✝¹ : Algebra A B✝
K : Type u_6
inst✝ : Field K
B : PowerBasis R S
i : Fin B.dim
⊢ B.basis i ∈ ↑(Subalgebra.toSubmodule (adjoin R {B.gen}))
K : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited Λ
M : Λ → Stmt₂
S : Finset Λ
ss : Supports M S
l₁ : Λ
v : σ
T : (k : K) → List (Γ k)
c' : Cfg₂
h₂ : SupportsStmt S (M l₁)
h₁ : stepAux (M l₁) v T = c'
⊢ c'.l ∈ Finset.insertNone S
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : γ → α
hg : Function.Bijective g
⊢ Function.Bijective (f ∘ g) ↔ Function.Bijective f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
⊢ hg.compLp g0 0 = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : LinearOrder α
a✝ b✝ a b : α
⊢ a ∣ |b| ↔ a ∣ b
G : Type u
Group G
H : Type v
Group H
e : G ≃* H
I : Type v
Group I
e₂ : H ≃* I
⊢ e.abelianizationCongr.trans e₂.abelianizationCongr = (e.trans e₂).abelianizationCongr
β : Type u_2
CommMonoid β
f : Fin 4 → β
⊢ ∏ i : Fin 4, f i = f 0 * f 1 * f 2 * f 3
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : S ∈ rightTransversals ↑H
⊢ Finite (G ⧸ H) ↔ H.FiniteIndex
α : Type u
x y : FreeCommRing α
s : Set α
hxs : x.IsSupported s
hys : y.IsSupported s
⊢ (x + y).IsSupported s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : β → α
hf : Function.Injective f
s : Set β
hs : ¬s.Finite
⊢ count (f '' s) = count s
α : Type u
HasSubset α
IsRefl α fun x x_1 => x ⊆ x_1
a : α
⊢ a ⊆ a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
e : α → β
b : β
he₁ : UniformInducing e
he₂ : DenseInducing e
hs✝ : s ∈ 𝓤 α
U : Set (β × β)
hs : Prod.map e e ⁻¹' U ⊆ s
hU : U ∈ 𝓤 β
hUo : IsOpen U
hsymm : SymmetricRel U
a : α
ha : e a ∈ UniformSpace.ball b U
ho : IsOpen (UniformSpace.ball (e a) U)
y : β
hy : y ∈ UniformSpace.ball (e a) U
V : Set β
hV : V ∈ 𝓝 y
⊢ (V ∩ e '' UniformSpace.ball a (Prod.map e e ⁻¹' U)).Nonempty
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
g : CompleteLatticeHom βᵒᵈ γᵒᵈ
f : CompleteLatticeHom αᵒᵈ βᵒᵈ
⊢ CompleteLatticeHom.dual.symm (g.comp f) = (CompleteLatticeHom.dual.symm g).comp (CompleteLatticeHom.dual.symm f)
β : Type u_7
γ : Type u_8
m m0 : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace.MetrizableSpace γ
hm : m ≤ m0
f g : β → γ
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ f =ᵐ[μ.trim hm] g ↔ f =ᵐ[μ] g
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : Ideal R → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : Ideal R → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : Ideal R → R
hu : ∀ M ∈ s, u M ∈ ⨅ M' ∈ s.erase M, M'
hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
⊢ (↑I).IsPrincipal
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ✝ : σ ∈ alternatingGroup α
hσ : (↑⟨σ, hσ✝⟩).support.card + 2 ≤ card α
τ : Perm α
hτ : τ ∈ alternatingGroup α
hc : IsConj ↑⟨σ, hσ✝⟩ ↑⟨τ, hτ⟩
π : Perm α
hπ : π * σ * π⁻¹ = τ
h : sign π = -1
⊢ IsConj ⟨σ, hσ✝⟩ ⟨τ, hτ⟩
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S : C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
∀ {X : C} (πX : X ⟶ S),
    CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete (CategoryTheory.SmallObject.FunctorObjIndex f πX))
      C
w : CategoryTheory.Over S
⊢ (CategoryTheory.SmallObject.ε f S).app w = CategoryTheory.Over.homMk (CategoryTheory.SmallObject.ιFunctorObj f w.hom) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Monoid α
Zero β
MulAction α β
Preorder α
Preorder β
SMulPosStrictMono α β
hb : 0 < b
h : a < 1
⊢ a • b < b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y z : E
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜 + (starRingEnd 𝕜) ⟪z, x⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪x, z⟫_𝕜
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
toSup✝¹ : Sup α
toPartialOrder✝ : PartialOrder α
le_sup_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ a ⊔ b
le_sup_right✝¹ : ∀ (a b : α), b ≤ a ⊔ b
sup_le✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ c → b ≤ c → a ⊔ b ≤ c
toSup✝ : Sup α
le_sup_left✝ : ∀ (a b : α), a ≤ a ⊔ b
le_sup_right✝ : ∀ (a b : α), b ≤ a ⊔ b
sup_le✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ c → b ≤ c → a ⊔ b ≤ c
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
ss : toSup = toSup
⊢ mk le_sup_left✝¹ le_sup_right✝¹ sup_le✝¹ = mk le_sup_left✝ le_sup_right✝ sup_le✝
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_7
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α → β
hf : Antitone f
s : (i : ι) → κ i → α
⊢ f (⨆ i, ⨆ j, s i j) ≤ ⨅ i, ⨅ j, f (s i j)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
⊢ Summable fun n => (p n) fun x_1 => x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.v₀₁.τ₃ ≫ S.v₁₂.τ₃ = 0
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Bool
l : List α
a : α
al : a ∈ l
pa : p a = true
w✝ : α
l₁ l₂ : List α
left✝¹ : ∀ (b : α), b ∈ l₁ → ¬p b = true
left✝ : p w✝ = true
h₁ : l = l₁ ++ w✝ :: l₂
h₂ : eraseP p l = l₁ ++ l₂
⊢ (eraseP p l).length + 1 = l.length
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b : Ordinal.{u}
h : a ≤ b
⊢ {x_1 | ∃ b, ∃ (_ : b < a), f (lfpApprox f x b) = x_1} ∪ {x} ⊆ {x_1 | ∃ b_1, ∃ (_ : b_1 < b), f (lfpApprox f x b_1) = x_1} ∪ {x}
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
α β : Type u
f : α → β
a : (ofTypeFunctor m ⋙ ofTypeFunctor m).obj α
⊢ ((ofTypeFunctor m ⋙ ofTypeFunctor m).map f ≫ joinM) a = (joinM ≫ (ofTypeFunctor m).map f) a
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
m n : Nat
i : Fin m
⊢ Fin.natAdd n i.castSucc = (Fin.natAdd n i).castSucc
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f₁ f₂ : α → β
heq : Set.EqOn f₁ f₂ s
⊢ f₁ '' s = f₂ '' s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
⊢ Mathlib.Vector.map₂ f Mathlib.Vector.nil Mathlib.Vector.nil = Mathlib.Vector.nil
m : Type u_2
n : Type u_3
α : m → n → Type v
M : DMatrix m n α
β : m → n → Type w
γ : m → n → Type z
f : ⦃i : m⦄ → ⦃j : n⦄ → α i j → β i j
g : ⦃i : m⦄ → ⦃j : n⦄ → β i j → γ i j
⊢ (M.map f).map g = M.map fun i j x => g (f x)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
q : PolynomialModule R M
r : R
i : ℕ
m : M
p✝ q✝ : R[X]
e₁ : (eval r) (p✝ • (single R i) m) = Polynomial.eval r p✝ • (eval r) ((single R i) m)
e₂ : (eval r) (q✝ • (single R i) m) = Polynomial.eval r q✝ • (eval r) ((single R i) m)
⊢ (eval r) ((p✝ + q✝) • (single R i) m) = Polynomial.eval r (p✝ + q✝) • (eval r) ((single R i) m)
f g : CircleDeg1Lift
⊢ Tendsto (fun n => (f ^ (n + 1)) 0 / (↑n + 1)) atTop (𝓝 (τ f))
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
⊢ upperClosure 0 = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q R : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
hR : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J R
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (J.plusMap η) (J.plusLift γ hR) =
  J.plusLift (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η γ) hR
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : ¬sin (↑π * z) = 0
⊢ Tendsto (fun x => z.GammaSeq x * (1 - z).GammaSeq x) atTop (𝓝 (↑π / sin (↑π * z)))
R : Type u
ι : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝² : DecidableEq ι
L' : Type w₁
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'
hf : Pairwise fun i j => ∀ (x : L i) (y : L j), ⁅(f i) x, (f j) y⁆ = 0
x✝ y✝ : ⨁ (i : ι), L i
f' : (i : ι) → L i →ₗ[R] L' := fun i => ↑(f i)
i j : ι
y : L i
x : L j
hij : i ≠ j
⊢ (toAddMonoid fun i => (↑(f i)).toAddMonoidHom) ⁅(of L j) x, (of L i) y⁆ = ⁅(↑(f j)).toAddMonoidHom x, (↑(f i)).toAddMonoidHom y⁆
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
CategoryTheory.HasRightDual X
CategoryTheory.HasRightDual Y
f : X ⟶ Y
⊢ fᘁ ▷ X ≫ ε_ X Xᘁ = Yᘁ ◁ f ≫ ε_ Y Yᘁ
α : Type u_1
s t : Finset α
h : Disjoint s t
⊢ s.disjUnion t h = t.disjUnion s ⋯
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Finset α
CommMonoid β
DecidableEq γ
f : γ → β
g : α → γ
⊢ ∏ a ∈ s, f (g a) = ∏ b ∈ Finset.image g s, f b ^ (Finset.filter (fun a => g a = b) s).card
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
FiberBundle F E
s : Set (Bundle.TotalSpace F E)
p : Bundle.TotalSpace F E
⊢ SmoothWithinAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB Bundle.TotalSpace.proj s p
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsArtinian R M
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hf : ¬s.Finite
f : ℕ ↪ ↑s
this✝ : ∀ (n : ℕ), Subtype.val ∘ ⇑f '' {m | n ≤ m} ⊆ s
this : ∀ (a b : ℕ), a ≤ b ↔ span R (Subtype.val ∘ ⇑f '' {m | b ≤ m}) ≤ span R (Subtype.val ∘ ⇑f '' {m | a ≤ m})
⊢ (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1
G : Type u_1
AddCommGroup G
s : Set G
⊢ s + ↑(AddAction.stabilizer G s) = s
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
h : I ≤ J
c : ℝ≥0
π₀ : Prepartition J := Prepartition.single J I h
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hr : l.RCond r
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c r π ∧ π.iUnion = ↑I
⊢ ((embedBox I J h) π).iUnion = π₀.iUnion
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
⊢ AffineSubspace.map f (affineSpan k s) = affineSpan k (⇑f '' s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c : Composition n
⊢ p.removeZero.applyComposition c = p.applyComposition c