ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
⊢ 𝓝ˢ univ = ⊤
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
l : r < h.finpartition.parts.card
⊢ False
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
n : ℕ
k j : C
⊢ ((CategoryTheory.Tor' C n).obj k).obj j =
  (((CategoryTheory.MonoidalCategory.tensoringRight C).obj j).leftDerived n).obj k
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
x : M
N : Submodule R M := ⨅ i, I ^ i • ⊤
⊢ x ∈ ⨅ i, I ^ i • ⊤ ↔ ∃ r, ↑r • x = x
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P
x : R
⊢ coeSubmodule S (Ideal.span {x}) = Submodule.span R {(algebraMap R S) x}
α : Type u
LT α
WellFoundedLT α
C : α → Sort u_1
F : (x : α) → ((y : α) → y < x → C y) → C x
x : α
⊢ WellFoundedLT.fix F x = F x fun y x => WellFoundedLT.fix F y
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_5
CommRing A
Algebra R A
B : Type u_6
CommRing B
Algebra R B
Aₚ : Type u_7
CommRing Aₚ
Algebra A Aₚ
Algebra R Aₚ
IsScalarTower R A Aₚ
Bₚ : Type u_8
CommRing Bₚ
Algebra B Bₚ
Algebra R Bₚ
IsScalarTower R B Bₚ
f : A →ₐ[R] B
a : A
IsLocalization.Away a Aₚ
IsLocalization.Away (f a) Bₚ
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑(IsLocalization.Away.mapₐ Aₚ Bₚ f a)
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : Products I
hl : ↑l ≠ []
hlh : (↑l).head! = term I ho
hlc : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (term I ho :: ↑l.Tail)
x : ↑(C' C ho)
hi' : ∀ i ∈ ↑l.Tail, ↑x i = SwapTrue o (↑x) i
⊢ ((if ∀ i ∈ ↑l.Tail, SwapTrue o (↑x) i = true then (e C (term I ho)) ⟨SwapTrue o ↑x, ⋯⟩ else 0) - if ∀ i ∈ ↑l.Tail, ↑x i = true then (e C (term I ho)) ⟨↑x, ⋯⟩ else 0) = if ∀ i ∈ ↑(Tail ⟨term I ho :: ↑l.Tail, hlc⟩), ↑x i = true then 1 else 0
M : Type u_1
AddMonoid M
M' : Type u_3
AddMonoid M'
P : AddSubmonoid M
e : M →+ M'
he : Function.Injective ⇑e
h : (AddSubmonoid.map e P).FG
⊢ P.FG
α : Type u
β' : Type v
⊢ #(α ≃ β') = #(β' ≃ α)
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
G : Type u_10
Group G
DistribMulAction G R
DistribMulAction G M
IsScalarTower G R M
SMulCommClass G R M
v : Basis ι R M
w : ι → G
i : ι
⊢ (v.groupSMul w) i = (w • ⇑v) i
α : Type u_1
r : α → α → Prop
l : List.chains r
acc : ∀ (a : α), a ∈ (↑l).head? → Acc r a
⊢ Acc (List.lex_chains r) l
R : Type uR
S : Type uS
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
⊢ Algebra.FiniteType R S ↔ ∃ s f, Function.Surjective ⇑f
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι)) volume volume
v : ι → ℝ
⊢ b * ↑(√(∑ x : ι, v x ^ 2) ^ 2) = ∑ x : ι, b * ↑(v x ^ 2)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set Y
x : X
y : Y
hs : s ∈ map Prod.snd (𝓝[Prod.fst ⁻¹' {(x, y).1}] (x, y))
⊢ s ∈ 𝓝 (x, y).2
X : Type u
α : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
a : X
l : Filter X
ha : a ∈ s
inst✝ : l.NeBot
hl : l ≤ 𝓟 s
f g : X → α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
ha' : f a ≤ g a
he : g ≤ᶠ[l] f
⊢ ∃ x ∈ s, f x = g x
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
Z : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ IsClosed Z ↔ ∃ s, Z = zeroLocus s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable (↑f) μ
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ x ∈ f.range, x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ f.range
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq : (T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) = (T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a))
h_left_eq' : (T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a)) = (T (⋃ y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
⊢ ∀ (i : G), MeasurableSet (↑f ⁻¹' {i})
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : α → ι
Fintype α
Fintype ι
DecidableEq α
DecidableEq ι
⊢ Fintype.card { g // f ∘ ⇑g = f } = ∏ i : ι, (Fintype.card { a // f a = i }).factorial
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} D
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
E : C₁ ≌ C₂
hW₁ : W₁ ≤ W₂.isoClosure.inverseImage E.functor
hW₂ : W₂.IsInvertedBy L₂
L₁.IsLocalization W₁
iso : E.functor.comp L₂ ≅ L₁
⊢ L₂.IsLocalization W₂
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
X : CategoryTheory.GradedObject I C
p : I → J
q : J → K
r : I → K
hpqr : ∀ (i : I), q (p i) = r i
X.HasMap p
(X.mapObj p).HasMap q
⊢ X.HasMap r
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
⊢ max (lsub fun i => ((-mk xl xr xL xR).moveRight i).birthday) (lsub fun i => ((-mk xl xr xL xR).moveLeft i).birthday) = max (lsub fun i => ((mk xl xr xL xR).moveLeft i).birthday) (lsub fun i => ((mk xl xr xL xR).moveRight i).birthday)
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderTop α
a : α
h : IsCoatom a
⊢ Set.Ici a = {⊤, a}
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b c : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsHomLift f φ
T : 𝒮
ψ : b ⟶ c
p.IsHomLift (𝟙 T) ψ
⊢ p.IsHomLift f (φ ≫ ψ)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
P✝ Q✝ R✝ : Algebra F
f✝ f'✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ : Q✝ ⟶ R✝
⊢ ((f✝ + f'✝) ≫ g✝).f = (f✝ ≫ g✝ + f'✝ ≫ g✝).f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℤ
⊢ ¬padicNorm p ↑m < 1 ↔ padicNorm p ↑m ≤ 1 ∧ ¬padicNorm p ↑m < 1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0
⊢ o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (x - y) + o.oangle (y - x) y = ↑π
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
n : ℕ
h : ∀ i < n + 1, m.IsCaratheodory (s i)
⊢ m.IsCaratheodory (⋃ i, ⋃ (_ : i < n + 1), s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t : Set α
h : s ⊆ t
a : α
ha : a ∈ s
⊢ f a ∈ f '' t
α : Type u
p : α → Prop
⊢ Cardinal.mk { x // p x } < Cardinal.aleph0 ↔ {x | p x}.Finite
V : Type u
G : SimpleGraph V
x : G.Subgraph
⊢ Function.Injective ⇑x.spanningHom
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
⊢ (P y / P z ^ 3 - Q y / Q z ^ 3) / ((P x * Q z ^ 2 - Q x * P z ^ 2) / (P z ^ 2 * Q z ^ 2)) = (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) / (P z * Q z * (P x * Q z ^ 2 - Q x * P z ^ 2))
k : Type u
inst✝¹ : Field k
K : Type v
inst✝ : Field K
H : ∀ (p : k[X]), p.Monic → Irreducible p → p.Separable → ∃ x, eval x p = 0
p : k[X]
hsep : p.Separable
q : k[X]
hq : Irreducible q
hdvd : q ∣ map (RingHom.id k) p
⊢ q.degree = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
i : I₁ × I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ i = i₁₂
⊢ K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) i i₁₂ h ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = K.d₁ c₁₂ i.1 i.2 i₁₂'
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
t : Set E
f : α → E
hf : ∀ (c : Dual 𝕜 E), (fun x => c (f x)) =ᶠ[ae μ] 0
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
d : Set E
d_count : d.Countable
hd : t ⊆ closure d
this : Encodable ↑d
s : ↑d → E →L[𝕜] 𝕜
hs : ∀ (x : ↑d), ‖s x‖ ≤ 1 ∧ (s x) ↑x = ↑‖↑x‖
A : ∀ a ∈ t, (∀ (x : ↑d), (s x) a = 0) → a = 0
hfs : ∀ (y : ↑d), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (s y) (f x) = 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < (lsub f).cof
hf : ∀ (i : ι), f i < lsub f
⊢ False
d x y : ℤ
⊢ x * x - y * (d * y) = 1 ↔ x * x + -(y * (d * y)) = 1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
this : DecidableEq E := Classical.decEq E
s : Set E := p.rootSet E
adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤
P : IntermediateField F E → Prop := fun K => Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K
⊢ ∀ (K : IntermediateField F E), ∀ x ∈ (p.aroots E).toFinset, P K → P (IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : α → β
h : Tendsto u atTop atTop
a : α
b b' : β
hb' : b < b'
⊢ ∃ a' ≥ a, b < u a'
α : Type u_2
β : Type u_3
Add α
Add β
f : α ≃+ β
⊢ ∀ (a : βᵃᵒᵖ), (AddEquiv.op f).symm a = (AddOpposite.op ∘ ⇑f.symm ∘ AddOpposite.unop) a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ integralCLM (f + g) = integralCLM f + integralCLM g
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
h : ∀ (u : H), ∀ s ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (φ u '' s)
s : Set α
hs : s ∈ 𝔖
⊢ ContinuousSMul 𝕜 H
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ a ∈ s.toFinset ↔ a ∈ s
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
C : ℝ≥0 := doublingConstant μ
hμ : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), μ (closedBall x (2 ^ n * ε)) ≤ ↑(C ^ n) * μ (closedBall x ε)
⊢ ∃ C, ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑C * μ (closedBall x ε)
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : K
i : K →+* ℂ
⊢ (∑ i : K →+* ℂ, ((latticeBasis K).repr ((canonicalEmbedding K) α)) ((equivReindex K) i) • (latticeBasis K) ((equivReindex K) i)) i = ((basisMatrix K)ᵀ *ᵥ fun i => ↑((((integralBasis K).reindex (equivReindex K).symm).repr α) i)) i
⊢ Module.rank ℚ ℝ = 𝔠
β : Type u_2
α : Type u_1
VAdd β α
b : β
a : α
⊢ OrderDual.toDual b +ᵥ a = b +ᵥ a
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
⊢ ∃ g, orderOf g = exponent G
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ {x} * Metric.ball 1 δ = Metric.ball x δ
h : Tendsto (fun z => z / 2 * Gamma (z / 2)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 1)
⊢ Tendsto (fun s => s * s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 0) (𝓝 2)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
inst✝ : HasPullbacks C
g : Z ⟶ X
W : C
⊢ pullbackArrows f (singleton g) = singleton (pullback.snd g f)
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
m : ↥M
⊢ ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid M S) m) * (algebraMap R S) ↑m = 1
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ a ≤ c → a ≤ max b c
V : Type u
G : SimpleGraph V
K : Set V
C D : G.ComponentCompl K
⊢ C.supp = D.supp ↔ C = D
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n m : ℕ
hn : ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
hm : m ∣ n
hm₁ : m ≠ 1
⊢ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = m
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s : Set β
⊢ (OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f ⁻¹' s)) m_empty) s ≤ ((map f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) s
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
NormedSpace ℝ F
hf_int : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(ProbabilityTheory.condexpKernel μ m) ω) μ
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂ᵒᵖ
L : Φ.op.LeftResolution X₂
⊢ L.unop.X₁ = Opposite.unop L.X₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
μ : Measure α
a : α
⊢ (κ ∘ₖ const α μ) a = μ.bind ⇑κ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ Continuous f
a b : Int
Ha : 0 ≤ a
Hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a.div b
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₁
h : J → I
j : J
X : (i : I) → C i
⊢ (CategoryTheory.Pi.comapEvalIsoEval C h j).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (X (h j))
F : Sort u_1
α : Sort u_2
β : α → Sort u_3
i : DFunLike F α β
f g : F
h₁ : f = g
x : α
⊢ f x = g x
α : Type u
CanonicallyOrderedCommMonoid α
a : α
⊢ a = 1 ∨ 1 < a
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FinitePresentation
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
ha : s ∈ 𝓝 a
⊢ Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 (f a))
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ sInf ↑s = s.min' h
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
μ ν : FiniteMeasure Ω
⊢ ⇑(μ + ν) = ⇑μ + ⇑ν
n : ℕ
G : Type u
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
hN1 : ¬Nat.card ↥N = 0
hN2 : ¬N.index = 0
⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ Mono f ↔ Function.Injective ((forget C).map f)
α : Type u_1
β : Type u_2
k : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing k
inst✝ : CharZero k
m n : ℤ
n_dvd : n ∣ m
hn : n ≠ 0
⊢ ↑(m / n) = ↑m / ↑n
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t✝ u t : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
⊢ (condCount s) t + (condCount s) tᶜ = 1
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_4
Semiring S
Module R S
SMulCommClass R R S
IsScalarTower R S S
M N : Submodule R S
ι : Type u_5
n : ι → ↥N
m : ι →₀ ↥M
⊢ (M.mulRightMap n) m = m.sum fun i m => ↑m * ↑(n i)
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α ≃ᵐ β
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ Filter.map (⇑f) (MeasureTheory.ae μ) = MeasureTheory.ae (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : X → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
g : X → E
hE : CompleteSpace E
hg : Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x))
⊢ IsClosed {f_1 | (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) ↑↑f_1}
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
⊢ ‖f‖ ^ p.toReal - ‖f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)‖ ^ p.toReal = ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
H : minpoly G F x = 1
this : Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x (minpoly G F x) = 0
⊢ 1 = 0
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.natDegree 1 = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : HasTerminal C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ f ≫ from Q = from P
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sᶜ → f x = 0 x
x : α
hx : x ∈ sᶜ → f x = 0 x
⊢ s.indicator f x = f x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → β
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
S : Set (Set β)
hSc : S.Countable
hc : MeasurableSpace.CountablyGenerated β
h : NullMeasurable f μ
T : Set β → Set α
hTf : ∀ s ∈ S, T s ⊆ f ⁻¹' s
hTm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (T s)
hTeq : ∀ s ∈ S, T s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
U : Set β → Set α
hUf : ∀ s ∈ S, U s ⊇ f ⁻¹' s
hUm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (U s)
hUeq : ∀ s ∈ S, U s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
⊢ AEMeasurable f μ
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f✝ : Filter τ
ϕ✝ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace β'
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
ϕ' : τ → α' → β'
ga : α → α'
s' : Set α'
hs : MapsTo ga s s'
gb : β → β'
hg : ∀ᶠ (t : τ) in f, EqOn (gb ∘ ϕ t) (ϕ' t ∘ ga) s
hgc : Continuous gb
⊢ ∀ ⦃x : β⦄, (∀ i ∈ f, x ∈ closure (image2 ϕ i s)) → ∀ i ∈ f, gb x ∈ closure (image2 ϕ' i s')
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ M' ≤ M, M'.FG → M'.LinearDisjoint N
⊢ M.LinearDisjoint N
⊢ (𝓝 ⊥).HasBasis (fun x => True) fun x => Set.Iio ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
sym : Symmetric r
h : Irreflexive r
⊢ ∀ (x y : α), s(x, y) ∈ fromRel sym → ¬s(x, y).IsDiag
α : Type u_1
β : Type u_2
Add β
Mul β
f : β → α
hf : Function.Injective f
Mul α
Add α
RightDistribClass α
add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y
⊢ RightDistribClass β
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
⊢ (∀ ⦃a : X⦄ ⦃b : Y⦄, b ∈ closure {f a} → ∃ a' ∈ closure {a}, f a' = b) ↔ ∀ (x : X), closure {f x} ⊆ f '' closure {x}
G : Type u_12
SubtractionCommMonoid G
⊢ (AddEquiv.neg G).symm = AddEquiv.neg G
V : Type u_1
W : Type u_2
f : V ↪ W
⊢ Function.Injective (SimpleGraph.map f)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → E
MeasureTheory.NoAtoms μ
h_int : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.uIcc a b) μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in x..b, f t ∂μ) (Set.uIcc a b)
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
X : CategoryTheory.Functor W.Localization D
⊢ ∀ {X_1 Y : C} (f : X_1 ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Localization.Construction.WhiskeringLeftEquivalence.functor W D).obj X).obj.map f = X.map (W.Q.map f)
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
hs : s ∈ nonZeroDivisors R
i : ℕ
⊢ i ∈ p.support → i ∈ (p.scaleRoots s).support
n : ℕ
NeZero n
a : ZMod n
⊢ (-a).val = (n - a.val) % n
q✝ a b c q : ℚ
h : q.den = 1
⊢ q = ↑q.num
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
⊢ (H ⊓ K).relindex K = H.relindex K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
h : μ t = μ u
htu : t ⊆ u
ht_ne_top : μ u ≠ ⊤
⊢ μ (u ∩ s) ≤ μ (t ∩ s)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
δ : Sort u_4
g : α → γ
F : γ → δ
f : α → β
e' : β → γ
b : β
⊢ F (Function.extend f g e' b) = Function.extend f (F ∘ g) (F ∘ e') b
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s t : Set Q
ht : t.Finite
h : t ⊆ interior s
⊢ ∀ y ∈ t, ∀ᶠ (δ : 𝕜) in 𝓝 1, (homothety x δ) y ∈ s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h₂' y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
s : Set E
x : E
hh : HasDerivAt h₂ h₂' y
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hy : y = f x
⊢ HasFDerivWithinAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') s x
M : Type u_5
N : Type u_6
Monoid M
Mul N
b₁ b₂ : N
⊢ (1, b₁) * (1, b₂) = (1, b₁ * b₂)
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Module.Finite R M
ι : Type u_3
f : ι → M
b : Basis ι (LocalRing.ResidueField R) (TensorProduct R (LocalRing.ResidueField R) M)
hb : ∀ (i : ι), 1 ⊗ₜ[R] f i = b i
⊢ Submodule.span R (Set.range f) = ⊤
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
α : Type u_3
Preorder α
Preorder N
f : N → α
CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Monotone f
m : M
⊢ Monotone fun x => f (μ m x)
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ compare a b = Ordering.gt ↔ a > b
α : Type u
AddMonoid α
a : AddUnits α
⊢ AddCommute ↑a ↑(-a)
n : ℕ
⊢ (SimpleGraph.pathGraph (n + 1)).Connected
α : Type u
f : Filter α
⊢ Filter.map id f = f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_2
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β
inst✝⁵ : DenselyOrdered β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
s : Set β
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
f : α → β
h : ∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
this : Encodable ↑s
u v : β → β → Set α
huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → μ (u p q ∩ v p q) = 0)
u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q
u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i)
f' : α → β := fun x => ⨅ i, (u' ↑i).piecewise (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x
f'_meas : Measurable f'
t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q
μt : μ t ≤ 0
⊢ AEMeasurable f μ
K : Type u_2
Field K
φ : K →+* ℂ
⊢ (NumberField.InfinitePlace.mk φ).IsReal ↔ NumberField.ComplexEmbedding.IsReal φ