ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
f : α → β' → γ
g : β → β'
A : Matrix l m α
B : Matrix n p β
⊢ Matrix.kroneckerMap f A (B.map g) = Matrix.kroneckerMap (fun a b => f a (g b)) A B
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set X
f : BumpCovering ι X s✝
x : X
s : Finset ι := ⋯.toFinset
hs : ↑s = {i | (f i) x ≠ 0}
A : (support fun i => f.toPOUFun i x) ⊆ ↑s
B : (mulSupport fun i => 1 - (f i) x) ⊆ ↑s
⊢ ∑ᶠ (i : ι), f.toPOUFun i x = 1 - ∏ᶠ (i : ι), (1 - (f i) x)
α : Type u
m : ℕ
u : Fin m.succ → α
⊢ Matrix.vecCons (Matrix.vecHead u) (Matrix.vecTail u) = u
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0∞
inst✝ : Infinite ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hr₀ : r ≠ 0
hr : ∀ (i : ι), r ≤ μ (s i)
t : Set ℕ
ht : t.Infinite
h : ∀ ⦃u : Set ℕ⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s ((Infinite.natEmbedding ι) n))
⊢ ∃ t, t.Infinite ∧ ∀ ⦃u : Set ι⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ i ∈ u, s i)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (-a).toProd = -a.toProd
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
ι : Sort u_1
ι' : Sort u_2
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
f : ι → ℝ≥0
g : ι' → ℝ≥0
a : ℝ≥0
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), a ≤ f i + g j
⊢ a ≤ (⨅ i, f i) + ⨅ j, g j
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ μ.InnerRegularWRT (fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤) fun s => MeasurableSet s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ ((Epi f.val.base ∧ OpenEmbedding ⇑f.val.base) ∧ ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), IsIso (Scheme.Hom.stalkMap f x)) ↔ IsIso f.val.base ∧ ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), IsIso (Scheme.Hom.stalkMap f x)
α : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
Mul α
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ s * ⋃ i, ⋃ j, t i j = ⋃ i, ⋃ j, s * t i j
α : Type u_1
SubNegMonoid α
x y : α
⊢ AddOpposite.op (x - y) = -AddOpposite.op y + AddOpposite.op x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y Z : Mon_ C
⊢ (α_ X Y Z).hom.hom = (α_ X.X Y.X Z.X).hom
ι : Type u_1
a : FreeGroup ι
⊢ freeGroupEquivCoprodI a = (FreeGroup.lift fun i => Monoid.CoprodI.of (FreeGroup.of ())) a
α : Type u_1
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
(𝓝 1).IsCountablyGenerated
⊢ (𝓤 α).IsCountablyGenerated
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
h : f.eraseLead = 0
⊢ f.eraseLead.natDegree ≤ f.natDegree - 1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
a : α
⊢ 𝓝[>] a ⊔ 𝓝[{a}] a = 𝓝[≥] a
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝ : ∀ (i : ι), T2Space (π i)
s : Set ((i : ι) → π i)
⊢ IsCompact (closure s) ↔ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (eval i '' s))
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
h_le : κ ≤ κ + η
⊢ ∫⁻ (x : γ) in s, ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) ∂(κ + η) a = (κ a) s
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
this : ↑(-↑b + (↑a + -↑b)) = ↑a + (-↑b + -↑b)
⊢ ↑a - ↑b + (↑a - ↑b) = ↑a.bit1 - ↑b.bit1
n : ℕ
hn : n > 0
⊢ (↑(n + 1) / ↑n)⁻¹ - 1 = -↑(↑(n + 1))⁻¹
α : Type u_1
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ∂ (a ⊔ b) ⊔ ∂ (a ⊓ b) = ∂ a ⊔ ∂ b
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
n : ℕ
⊢ a ^ (Int.negSucc (n + 1) + 1) = (a ^ (n + 1))⁻¹
b : Bool
⊢ (!b) = true ↔ ¬b = true
Ω : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_4
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {μ : MeasureTheory.Measure Ω} [mβ : MeasurableSpace β] [mγ : MeasurableSpace γ] {f : Ω → β}
  {g : Ω → γ},
  ProbabilityTheory.IndepFun f g μ → ∀ {s t : Set Ω}, MeasurableSet s → MeasurableSet t → μ (s ∩ t) = μ s * μ t
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ (0 + a✝).f = a✝.f
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K
⊢ (∃ y ∈ Iic a, r * y = x) ↔ x ∈ Iic (r * a)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : Memℒp f 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
⊢ (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), f x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, f x ∂μ
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q
⊢ p⁻¹ + q⁻¹ = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
W X Y Z : C
f : W ⊞ X ⟶ Y ⊞ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ 𝟙 W = 0 ∨
  CategoryTheory.Limits.biprod.inl ≫ f ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.fst ≠ 0 ∨
    CategoryTheory.Limits.biprod.inl ≫ f ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd ≠ 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) := {u | u ⊆ t ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
uT : u ∈ T
hu : ∀ v ∈ T, u ⊆ v → v = u
⊢ ∃ u ⊆ t, u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ b
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S₁ : Subsemiring Rᵐᵒᵖ
S₂ : Subsemiring R
⊢ S₁ ≤ S₂.op ↔ S₁.unop ≤ S₂
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ {x} / closedBall 1 δ = closedBall x δ
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
S : Submonoid M
g : N →* P
f : M →* N
⊢ Submonoid.map g (Submonoid.map f S) = Submonoid.map (g.comp f) S
M : Type u_4
MulOneClass M
self : Submonoid M
⊢ 1 ∈ self.carrier
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆
m : M
x : ↥I
n : M
hn : n ∈ N ⊔ N'
h : ⁅↑x, ↑⟨n, hn⟩⁆ = m
n₁ : M
hn₁ : n₁ ∈ N
n₂ : M
hn₂ : n₂ ∈ N'
hn' : n₁ + n₂ = n
⊢ ⁅↑x, ↑⟨n₂, hn₂⟩⁆ ∈ ⁅I, N'⁆ ∧ ⁅↑x, ↑⟨n₁, hn₁⟩⁆ + ⁅↑x, ↑⟨n₂, hn₂⟩⁆ = m
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Module.IsTorsionBySet R M ↑(Module.annihilator R M)
z : ℂ
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ HasDerivAt (fun x => jacobiTheta₂ x τ) (jacobiTheta₂' z τ) z
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
Y : D
f : Y ⟶ G.obj (unop X)
hf : (Sieve.coverByImage G (G.obj (unop X))).arrows f
⊢ a✝ ≫ α.app X ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).map.op = a✝ ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf).map.op ≫ α.app (op (Nonempty.some hf).1)
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : K
⊢ ∏ w : InfinitePlace K, w x ^ w.mult = Complex.abs (∏ σ : K →ₐ[ℚ] ℂ, σ x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
Nonempty ι
f : ι → α
hf : BddAbove (Set.range f)
hf' : ¬Order.IsSuccLimit (⨆ i, f i)
⊢ ∃ i, f i = ⨆ i, f i
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
⊢ ∃ d, d ≠ 0 ∧ p (d • x) < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ p (d • x) ∧ ‖d‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * p x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrderedSemifield 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid N
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 M
inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 N
h : ∀ ⦃a b : M⦄ ⦃c : 𝕜⦄, a < b → 0 < c → c • a ≤ c • b
hlt' : ∀ (a b : M) (c : 𝕜), a < b → 0 < c → c • a < c • b
a b : M
c : 𝕜ˣ
hab : ↑c • a < ↑c • b
hc : 0 < ↑c
⊢ 0 < ↑c * ↑c⁻¹
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
ι : Sort u_3
δ' : Type u_5
ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ x ∈ s, BddBelow (Set.range fun i => f i x)
h : ∀ (i : ι), UpperSemicontinuousOn (f i) s
⊢ UpperSemicontinuousOn (fun x' => ⨅ i, f i x') s
M : Type u_1
Monoid M
⊢ Function.LeftInverse Submonoid.units Subgroup.ofUnits
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
inst✝ : CompleteSpace E
f : v.FunSpace
hf : f.next = f
⊢ ∃ f, f ↑v.t₀ = v.x₀ ∧ ∀ t ∈ Icc v.tMin v.tMax, HasDerivWithinAt f (v.toFun t (f t)) (Icc v.tMin v.tMax) t
x✝ y✝ z✝ : ℝ
n : ℕ
x y z : ℝ
hy : 0 < y
hxy : y < x
hz : z < 0
hx : 0 < x
⊢ y ^ (-z) < x ^ (-z)
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
S : Subalgebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F ↥S
⊢ finrank F ↥S = 1 ↔ S = ⊥
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℝ}, x ∈ Set.Iio 1 → dist x 1 < δ → dist (((fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) ∘ ofReal') x) ↑l < ε
a✝⁴ : ℝ
a✝³ : a✝⁴ > 0
x✝ a✝² : ℝ
a✝¹ : a✝² ∈ Set.Iio 1
a✝ : dist a✝² 1 < x✝
⊢ dist (∑' (n : ℕ), f n * a✝² ^ n) l = dist (((fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) ∘ ofReal') a✝²) ↑l
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
s : Set M
x : M
mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x
h : ChartedSpace.LiftPropAt P g x
⊢ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g s x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.right
c : CategoryTheory.Limits.Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
⊢ (CategoryTheory.Limits.Multicofork.ofSigmaCofork I c).pt = c.pt
X : Type u
⊢ (CategoryTheory.Iso.refl X).toEquiv = Equiv.refl X
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
DecidableEq β
b : β
a : α
⊢ ∑' (b' : β), Pi.single b a b' = a
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Module.Dual R M
⊢ ∑ x : ι, f (b x) • b.coord x = f
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s₁ s₂ : Finmap β
h : a ∉ s₂
⊢ Finmap.lookup a (s₁ ∪ s₂) = Finmap.lookup a s₁
M : Type u_1
MulOneClass M
c d : Con M
⊢ c ≤ d ↔ ↑c ≤ ↑d
α : Type u_1
CircularPreorder α
a : α
⊢ ¬sbtw a a a
r : ℝ
h : 0 ≤ r
⊢ (ENNReal.ofReal r).toReal = r
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν
⊢ μ.singularPart ν = 0
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
f_comp : HasCompactSupport f
ν : Measure G := μ.inv
A : ∫ (x : G), f x ∂μ = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂⟨c, c_nonneg⟩ • μ
x y : SimplexCategory
f : x ⟶ y
⊢ CategoryTheory.Epi f → y.len ≤ x.len
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
m : ℕ
hm : 0 < m
⊢ Tendsto (fun x => ‖x ^ (-↑m)‖) (𝓝[≠] 0) atTop
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
x : L
FiniteDimensional K L
IsGalois K L
⊢ (algebraMap K L) ((Algebra.trace K L) x) = ∑ σ : L ≃ₐ[K] L, σ x
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x : α
t : Set α
h : s.OrdConnected
hs : x ∈ s
ht : s ⊆ t
⊢ s ⊆ t.ordConnectedComponent x
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : F
⊢ (Pretrivialization.linearMapAt R e b) ((Pretrivialization.symmₗ R e b) y) = y
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
y : E
hy : y ∈ closedBall x r
this : ContinuousWithinAt (fun c => c • (y - x) + x) (Ico 0 1) 1
⊢ y ∈ closure (ball x r)
α : Type u_1
M : Matroid α
D : Set α
hD : M.Dep D
⊢ D ⊆ M.E
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
⊢ inverse 0 = 0⁻¹
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ
hT₁ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₂ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
c : Opposite.unop T₂.obj₃ ⟶ Opposite.unop T₁.obj₃
hc₁ : T₂.mor₂.unop ≫ b.unop = c ≫ T₁.mor₂.unop
hc₂ : (shiftFunctor C 1).map T₂.mor₃.unop ≫ (shiftFunctor C 1).map c = ((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.hom.app T₂.obj₁).unop ≫ a.unop ≫ ((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₁.obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map T₁.mor₃.unop
⊢ (shiftFunctor C 1).map (T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a).unop = (shiftFunctor C 1).map (c.op ≫ T₂.mor₃).unop
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → ((∀ i ∈ s, Prime (f i)) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → f i ≠ f j) → (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i) → (∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)) → (∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j) → ((insert a s).inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ insert a s, f i ^ e i
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Finsupp.mapRange.linearEquiv (LinearEquiv.refl R M) = LinearEquiv.refl R (α →₀ M)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
s : Set M
hf : ContMDiffOn I' I n f s
hg : ContMDiffOn I' I n g s
⊢ ContMDiffOn I' I n (fun x => f x * (g x)⁻¹) s
β : Type v
inst✝¹ : NormedRing β
hn : IsAbsoluteValue norm
f : CauSeq β norm
inst✝ : IsComplete β norm
s : Set β
os : IsOpen s
lfs : f.lim ∈ s
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεs : Metric.ball f.lim ε ⊆ s
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ‖↑(const norm f.lim - f) j‖ < ε
⊢ ∃ a, ∀ b ≥ a, ↑f b ∈ s
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
g : P →ₐ[R] P'
⊢ FractionalIdeal.map g 0 = 0
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
I : (d : D) → colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}
d : D
this : Nonempty (StructuredArrow d F)
X₁ : C
f₁ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₁
X₂ : C
f₂ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₂
y₁ : colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) := colimit.ι (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) X₁ f₁
y₂ : colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) := colimit.ι (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) X₂ f₂
e : y₁ = y₂
⊢ Zigzag { left := { as := PUnit.unit }, right := X₁, hom := f₁ } { left := { as := PUnit.unit }, right := X₂, hom := f₂ }
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : ℕ → β
hu : Tendsto u atTop atTop
N k : ℕ
hku : ∀ l ≤ N, u l ≤ u k
⊢ ∃ n ≥ N, ∀ k < n, u k < u n
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range n, 2 ^ x * f (2 ^ x) ≤ ∑' (k : ℕ), 2 ^ k * f (2 ^ k)
α : Type u_1
s t : SetSemiring α
⊢ s + t = Set.up (SetSemiring.down s ∪ SetSemiring.down t)
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(MeasureTheory.Lp ℂ 2 AddCircle.haarAddCircle)
⊢ ∑' (i : ℤ), ‖fourierCoeff (↑↑f) i‖ ^ 2 = ∫ (t : AddCircle T), ‖↑↑f t‖ ^ 2 ∂AddCircle.haarAddCircle
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a✝ b✝ a b : R
x✝¹ : a ≠ 0
x✝ : gcd (b % a) a ∣ b % a ∧ gcd (b % a) a ∣ a
IH₁ : gcd (b % a) a ∣ b % a
IH₂ : gcd (b % a) a ∣ a
⊢ gcd a b ∣ a ∧ gcd a b ∣ b
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x
⊢ oddKernel (↑a) x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel (↑a) (1 / x)
α : Type u_1
M : Matroid α
D : Set α
⊢ M.Dep D ↔ ¬M.Indep D ∧ D ⊆ M.E
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.aeval MvPolynomial.X = AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
U : TopologicalSpace.Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
hx : x ∈ U
s : ↑((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.structureSheaf 𝒜).val.obj (Opposite.op U))
⊢ (AlgebraicGeometry.stalkToFiberRingHom 𝒜 x)
    (((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.germ ⟨x, hx⟩) s) =
  ↑s ⟨x, hx⟩
G : Type u_1
Add G
a : G
f g : AddConstMap G G a a
⊢ f * g = f.comp g
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ dist (a * b) a = ‖b‖
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
⊢ ∃ M, (Subalgebra.toSubmodule M).FG ∧ x ∈ M
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
x : β
f : α → β
hx : x < essInf f μ
hf : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) (MeasureTheory.ae μ) f := by isBoundedDefault
⊢ ∀ᵐ (y : α) ∂μ, x < f y
n : ℕ+
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
⊢ IsCyclotomicExtension {n} A B ↔ (∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑n) ∧ ∀ (x : B), x ∈ Algebra.adjoin A {b | b ^ ↑n = 1}
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
VAdd M α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M α μ
MeasurableVAdd M α
c : Mᵈᵃᵃ
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ edist (c +ᵥ f) (c +ᵥ g) = edist f g
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
x : S
p : R[X]
⊢ (p.sum fun e a => a • x ^ e) = p.sum (smul_pow x)
α : Type u_1
Infinite α
⊢ PartENat.card α = ⊤
α : Type u_1
inst✝² : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace β
f : α → β
inst✝ : T2Space β
hf : UniformContinuous f
a : α
⊢ pkg.extend f (pkg.coe a) = f a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
b : Basis ι A B
z : B
i : ι
⊢ ∑ x : ι, (trace A B) (b.equivFun z x • (b i * b x)) = (trace A B) (z * b i)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ W ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V • W ⊆ U
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CommRing S
L : Type u_3
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a b : S
hb : b ≠ 0
c : ↥(integralClosure R L)
d : R
d_ne : d ≠ 0
hx : (algebraMap S L) a / (algebraMap S L) b * (algebraMap R L) d = ↑c
⊢ (algebraMap R L) d * (algebraMap S L) a = (algebraMap S L) b * ((algebraMap S L) a / (algebraMap S L) b * (algebraMap R L) d)
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
x_r : R
x_a : A
y_r : R
y_a : A
⊢ (↑{ toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (inl x_r + ↑x_a + (inl y_r + ↑y_a)) = (↑{ toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (inl x_r + ↑x_a) + (↑{ toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (inl y_r + ↑y_a)
D : GlueData
i : D.J
⊢ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i ≫ ((PresheafedSpace.forget CommRingCat).mapIso (SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.mapIso (LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace.mapIso D.isoLocallyRingedSpace ≪≫ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.isoSheafedSpace) ≪≫ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.isoPresheafedSpace) ≪≫ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.gluedIso (PresheafedSpace.forget CommRingCat)).inv = (D.ι i).val.base
x y : Ordinal.{u_1}
b : Ordinal.{u_1}
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Ordinal.log b x + Ordinal.log b y ≤ Ordinal.log b (x * y)
x : ℝ
⊢ x ^ 2 = x ^ 2
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → α
a : α
l : List β
L : List (List β)
⊢ foldl f a (l :: L).join = foldl (foldl f) a (l :: L)