ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
H : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {a | (∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨ (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨ (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨ ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a})) x = 0
this : (α : Sort ?u.611507) → DecidableEq α
⊢ ∀ (a x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)), (∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), x.IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0) → ∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), (a • x).IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (a • x)) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : E'' → F''
x₀ : E''
n : ℕ
h : f =O[𝓝[univ] x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n
hn : n ≠ 0
⊢ f x₀ = 0
n : ℕ
⊢ Finset.image Fin.castSucc Finset.univ = {Fin.last n}ᶜ
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
hm : m ≠ 0
⊢ Irrational (x / ↑m)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
NormedAddCommGroup γ
f : α → β
g : α → γ
hf : MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ = ‖g a‖
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral g μ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
x✝ : R
h : x✝ ∈ closure s
x y : R
hx : x ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
q₁ q₂ : R
ihq₁ : x * q₁ ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
ihq₂ : x * q₂ ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
⊢ x * q₁ + x * q₂ ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
hz : z ∈ s
⊢ f z < f z
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
⊢ StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct W X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct W Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct W Z
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.map (𝟙 W) (f ≫ g) =
  CategoryTheory.Limits.coprod.map (𝟙 W) f ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.map (𝟙 W) g
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n x : ℕ
_hx : x ∈ p.support
⊢ ((C.comp f) (p.coeff x) * X ^ x).coeff n = f ((C (p.coeff x) * X ^ x).coeff n)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
y : 𝕜
hy : y ∈ s
this : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s y
⊢ derivWithin (fun z => c - f z) s y = derivWithin (fun z => -f z) s y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedRing α
inst✝ : NormOneClass α
a : α
n : ℕ
⊢ ‖a ^ Nat.zero‖₊ ≤ ‖a‖₊ ^ Nat.zero
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
n m : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n m → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (↑n) m
R : Type u
M₂ : Type w
ι : Type x
Semiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
DecidableEq ι
f : (i : ι) → M₂ →ₗ[R] φ i
c : M₂
i j : ι
b : M₂ →ₗ[R] φ i
⊢ (Function.update f i b j) c = Function.update (fun i => (f i) c) i (b c) j
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
⊢ (trace R M) (φ z ∘ₗ φ x) = 0
α : Type u
SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ a ⊔ b = a ⊔ c ↔ b ≤ a ⊔ c ∧ c ≤ a ⊔ b
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
P : C → Prop
inst✝² : MonoidalPredicate P
P' : C → Prop
inst✝¹ : MonoidalPredicate P'
inst✝ : BraidedCategory C
X Y : FullSubcategory P
⊢ (fullMonoidalSubcategoryInclusion P).μ X Y ≫ (fullMonoidalSubcategoryInclusion P).map (β_ X Y).hom = (β_ ((fullMonoidalSubcategoryInclusion P).obj X) ((fullMonoidalSubcategoryInclusion P).obj Y)).hom ≫ (fullMonoidalSubcategoryInclusion P).μ Y X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
Y : CategoryTheory.Over X
S : CategoryTheory.Sieve Y.left
hS : S ∈ J.sieves Y.left
⊢ (CategoryTheory.Sieve.overEquiv Y).symm S ∈ (J.over X).sieves Y
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
H : f.domain ≤ f.eqLocus g
⊢ f ≤ g
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : LocalRing R
T : Type u
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
x : PrimeSpectrum (ResidueField T)
⊢ (PrimeSpectrum.comap (residue T)) x = closedPoint T
a b n : ℕ
ha : Nat.Prime a
hb : b ≠ 0
⊢ (List.replicate n a).Subperm b.primeFactorsList ↔ a ^ n ∣ b
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
hX : IsInitial X
⊢ IsZero X
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
⊢ Collinear R {x, y, z}
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0
dim_pos : 0 < Fintype.card ι
ε : ℝ := ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
ε_eq : ε = ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
hε : 0 < ε
ε_le : ↑(normBound abv bS) * (abv b • ε) ^ ↑(Fintype.card ι) ≤ ↑(abv b) ^ ↑(Fintype.card ι)
μ : Fin (cardM bS adm).succ ↪ R := distinctElems bS adm
hμ : μ = distinctElems bS adm
s : ι →₀ R := bS.repr a
s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i
qs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i / b
rs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i % b
r_eq✝ : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ) (i : ι), rs j i = μ j * s i % b
μ_eq : ∀ (i : ι) (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j * s i = b * qs j i + rs j i
μ_mul_a_eq : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j • a = b • ∑ i : ι, qs j i • bS i + ∑ i : ι, rs j i • bS i
j k : Fin (adm.card ε ^ Fintype.card ι).succ
j_ne_k : j ≠ k
hjk : ∀ (k_1 : ι), ↑(abv (μ k * s k_1 % b - μ j * s k_1 % b)) < abv b • ε
hjk' : ∀ (i : ι), ↑(abv (rs k i - rs j i)) < abv b • ε
q : S := ∑ i : ι, (qs k i - qs j i) • bS i
r : R := μ k - μ j
r_eq : r = μ k - μ j
⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - b • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b))
m n k : Int
⊢ m % n = k % n ↔ (m - k) % n = 0
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsLowerSet α
s : Set α
⊢ IsClosed s ↔ IsUpperSet s
A : Type u_5
a b : ℝ
NormedRing A
NormedAlgebra ℝ A
CompleteSpace A
u v u' v' : ℝ → A
hu : ContinuousOn u [[a, b]]
hv : ContinuousOn v [[a, b]]
huu' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt u (u' x) x
hvv' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt v (v' x) x
hu' : IntervalIntegrable u' MeasureTheory.volume a b
hv' : IntervalIntegrable v' MeasureTheory.volume a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, u' x * v x + u x * v' x = u b * v b - u a * v a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : eLpNorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < p.toReal
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) atTop (𝓝 0)
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
h : p.degree = 0
this : p.degree ≤ 0
hc : p.coeff 0 ≠ 0
⊢ 1 = C (p.coeff 0) * C (p.coeff 0)⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α
⊢ IsBounded ∅
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_6
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + (c n)⁻¹ • v) - f x)) l (𝓝 (f' v))
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
DecidableRel f.SameCycle
x : α
⊢ (f.cycleOf x) (f x) = f (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t : Set ι'
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → Set α
h : ¬s.PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s
hne : i ≠ j
x : α
hx₁ : x ∈ f i
hx₂ : x ∈ f j
h_lt : j < i
⊢ ∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, i < j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s₁ : Set X
s₂ : Set Y
h₁ : IsClosed s₁
h₂ : IsClosed s₂
⊢ IsClosed (s₁ ×ˢ s₂)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x y : X
f : X → Y
h : x ~ᵢ y
hx : ContinuousAt f x
hy : ContinuousAt f y
⊢ f x ~ᵢ f y
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => Real.exp (f x)) s x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
hf : LipschitzOnWith K f s
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
h'u : range u ⊆ s
b : ℕ → ℝ
b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) ≤ b N
blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ((f ∘ u) n) ((f ∘ u) m) ≤ (fun n => ↑K * b n) N
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j : 𝒰.J
⊢ t 𝒰 f g i j ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) ≫ pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g = pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Precoherent C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology D) A} (f : X ⟶ Y) (X_1 : Cᵒᵖ),
  ((e.sheafCongrPrecoherent A).inverse.map f).val.app X_1 = f.val.app (Opposite.op (e.functor.obj (Opposite.unop X_1)))
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
P : PrimeSpectrum ↥A
⊢ ↑(A.primeSpectrumEquiv P) = A.ofPrime P.asIdeal
G : Type w
TopologicalSpace G
Inv G
ContinuousInv G
x : G
⊢ ContinuousAt Inv.inv x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S : CategoryTheory.ComposableArrows C (n + 2)
⊢ S.Exact ↔
  S.δlast.Exact ∧ (CategoryTheory.ComposableArrows.mk₂ (S.map' n (n + 1) ⋯ ⋯) (S.map' (n + 1) (n + 2) ⋯ ⋯)).Exact
R : Type u
CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
⊢ IsPrincipalIdealRing R
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
p : R
hp : f ∣ C p
⊢ p = 0
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ∣ b
hc : c > 0
⊢ (b / a) ^ c = b ^ c / a ^ c
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.cos (angle x (x + y)) = ‖x‖ / ‖x + y‖
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace Ω} {X : Ω → E} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {μ : MeasureTheory.Measure E},
  AEMeasurable X ℙ →
    (MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ ↔
      (MeasureTheory.Measure.map X ℙ).HaveLebesgueDecomposition μ ∧ MeasureTheory.Measure.map X ℙ ≪ μ)
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v w : V
hvw : G.Adj v w
a : V
ha✝ : a ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).verts
b : V
hb✝ : b ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).verts
ha : a = v ∨ a = w
hb : b = v ∨ b = w
⊢ (G.subgraphOfAdj hvw).coe.Reachable ⟨a, ha✝⟩ ⟨b, hb✝⟩
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x : R
n : ℕ
hx : x ∈ I
⊢ n • x ∈ I
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
T2Space M
Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
⊢ ∃ n e,
  Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧
    Function.Injective e ∧ ∀ (x : M), Function.Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)
R : Type u_1
n✝ x p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
y : ℕ
hxy : p ∣ x + (y + 1)
⊢ multiplicity p (x ^ n + (y + 1) ^ n) = multiplicity p (x + (y + 1)) + multiplicity p n
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
AlgebraicGeometry.HasAffineProperty P Q
X Y U V : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsAffine U
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion g
iV : V ⟶ X
f' : V ⟶ U
h : CategoryTheory.IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
⊢ Q.diagonal f'
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ 1 < s.ncard ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, a ≠ b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_3
NonUnitalSeminormedRing 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
⊢ ‖ContinuousLinearMap.mulLeftRight 𝕜 𝕜'‖ ≤ 1
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
a b : α
⊢ (Finset.Ioc a b).erase b = Finset.Ioo a b
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
Fintype (Sym2 α)
NonAssocSemiring R
a : α
Fintype ↑(G.neighborSet a)
⊢ (SimpleGraph.incMatrix R G * (SimpleGraph.incMatrix R G)ᵀ) a a = ↑(G.degree a)
α : Type u
β : α → Type v
m : Multiset ((a : α) × β a)
⊢ m.keys.Nodup ↔ m.NodupKeys
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
S₁ S₂ : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ S₁.toNonUnitalSubalgebra ≤ S₂.toNonUnitalSubalgebra ↔ S₁ ≤ S₂
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ s = 0 ∨ ∃ a, a ∈ s
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsCompact s
hs' : s.Infinite
⊢ ∃ z ∈ s, (𝓝[≠] z ⊓ 𝓟 s).NeBot
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this✝ : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
ha : Continuous (f a)
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
⊢ ‖f (a', x').1 z - f (a', x').1 y - (L z - L y)‖ < s * r
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u✝ t s s' u : Set α
⊢ (∀ x ∈ u, x ∈ t.ite s s') ↔ ∀ (x : α), (x ∈ u ∩ t → x ∈ s) ∧ (x ∈ u \ t → x ∈ s')
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ ∀ (X_1 : C), (F.commTensorLeft X).inv.app X_1 = (F.μIso X X_1).inv
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G H K : CategoryTheory.Functor C D
α : G ⟶ H
β : H ⟶ K
F : CategoryTheory.Functor D E
⊢ CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β) F =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerRight α F) (CategoryTheory.whiskerRight β F)
C : Type u_1
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} A
CategoryTheory.Abelian A
F : CategoryTheory.Functor C A
F.IsHomological
F.ShiftSequence ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) ((F.shift n₁).map T.mor₁) ⋯).Exact
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ
hf : f.support ⊆ s
⊢ s.sum ⇑f = n ↔ (f.sum fun x x => x) = n
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CommRing L
IsDomain L
Algebra K L
σ : L →ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
⊢ minpoly K σ.toLinearMap = Polynomial.X ^ orderOf σ - Polynomial.C 1
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
ha0 : a ≠ 0
ha1 : ¬IsUnit a
this✝¹ : DecidableEq R := Classical.decEq R
i j : ℕ
hij : (fun x => a ^ x) i = (fun x => a ^ x) j
this✝ : Nontrivial R := { exists_pair_ne := Exists.intro a (Exists.intro 0 ha0) }
this : NormalizationMonoid R := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid
⊢ i = j
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
p : β → Prop
g : (b : β) → p b → γ
f : α → β
l : List α
H : ∀ (a : β), a ∈ List.map f l → p a
⊢ List.pmap g (List.map f l) H = List.pmap (fun a h => g (f a) h) l ⋯
n : ℕ
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module (ZMod n) M
S : AddSubgroup M
⊢ ((AddSubgroup.toZModSubmodule n) S).toAddSubgroup = S
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_5
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun Si => IsVonNBounded 𝕜 Si.1 ∧ p Si.2) fun Si => {f | MapsTo (⇑f) Si.1 (b Si.2)}
α : Type u_1
M : Matroid α
B I X : Set α
hB : M.Base B
hBX : B ⊆ X
hIX : M.Basis I X
⊢ M.Base I
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
self : CategoryTheory.OplaxNatTrans F G
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.naturality (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g))
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (self.app a) (G.mapComp f g)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapComp f g) (self.app c))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (F.map g) (self.app c)).hom
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (self.naturality g))
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (self.app b) (G.map g)).inv
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (self.naturality f) (G.map g))
            (CategoryTheory.Bicategory.associator (self.app a) (G.map f) (G.map g)).hom))))
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
hf : Function.Injective f
⊢ (List.ofFn f).Nodup
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsIso (ComposableArrows.app' (AdicCompletion.firstRowToSecondRow I M f) 3 ⋯)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
w : { w // w.IsComplex }
⊢ ((NumberField.mixedEmbedding.stdBasis K).repr x) (Sum.inr (w, 1)) = (x.2 w).im
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
l : Filter α
f g₁ g₂ : α → β
h : f ~[l] g₁
h₂ : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ f ~[l] g₂
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q
⊢ ∑ i : Fin (a + 2), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i))) • (φ ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i))) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + ∑ i : Fin (a + 3), ((-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i)) * (-1) ^ (a + 1)) • (φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i)) = -(φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
x : A
⊢ ‖(WithLp.equiv 1 (Unitization 𝕜 A)).symm ↑x‖ = ‖x‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.right
⊢ I.multicoforkEquivSigmaCofork.unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun K =>
      CategoryTheory.Limits.Cocones.ext
        (CategoryTheory.Iso.refl ((CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.Limits.Multicofork I)).obj K).pt) ⋯)
    ⋯
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Subsingleton R
⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic