ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
⊢ FreeGroup.Red.Step L₁ L₂ → L₂.length + 2 = L₁.length
k : Type u_2
Field k
φ₁ φ₂ φ₃ : PowerSeries k
h : (PowerSeries.constantCoeff k) φ₃ ≠ 0
⊢ φ₁ = φ₂ * φ₃⁻¹ ↔ φ₁ * φ₃ = φ₂
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
hst : t ⊆ s
⊢ ∀ (i : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }), ∑ i_1 ∈ Finset.range i.1, edist (f (↑i.2 (i_1 + 1))) (f (↑i.2 i_1)) ≤ eVariationOn f s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
⊢ (CategoryTheory.Limits.equalizer.fork f g).π.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero =
  CategoryTheory.Limits.equalizer.ι f g
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
⊢ Measurable (fderiv 𝕜 f)
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f g : α → M
s t : Set α
h₀ : s = t
h₁ : ∀ x ∈ t, f x = g x
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), g i
n : Nat
i : Fin n
j : Fin (n + 1)
⊢ i.castSucc < j ↔ i.succ ≤ j
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type w
f : ι → Set α
i : ι
s : Finset ι
a✝ : i ∉ s
hs : ⨅ i ∈ s, 𝓟 (f i) = 𝓟 (⋂ i ∈ s, f i)
⊢ ⨅ i_1 ∈ insert i s, 𝓟 (f i_1) = 𝓟 (⋂ i_1 ∈ insert i s, f i_1)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 (E →WOT[𝕜]F) (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F) := seminormFamily 𝕜 E F
⊢ (Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun i => 𝓝 ((inducingFn 𝕜 E F) 0 i))).HasBasis (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets id
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DistribLattice α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x a b c : α
h : ∀ (x : α), x ∈ (fun b => [[b, a]]) b ↔ x ∈ (fun b => [[b, a]]) c
⊢ b = c
R : Type u
Ring R
n : ℤ
⊢ (↑n).natDegree = 0
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : Mul α
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R α
inst✝ : SMulCommClass R α α
M : Matrix m n α
a : R
N : Matrix n l α
i✝ : m
j✝ : l
⊢ (M * a • N) i✝ j✝ = (a • (M * N)) i✝ j✝
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod n
⊢ orderOf (r i) = n / n.gcd i.val
A : Type u_1
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
IsDomain A
IsIntegrallyClosed A
IsDomain B
IsIntegrallyClosed B
Module.Finite A B
NoZeroSMulDivisors A B
Module.Free A B
⊢ Algebra.intTrace A B = Algebra.trace A B
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v ↔ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' t x v
X : Type u_3
Y : Type u_2
A : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace A
f : X → Y
inj : IsLocallyInjective f
g₁ g₂ : A → X
h₁ : Continuous g₁
h₂ : Continuous g₂
he : f ∘ g₁ = f ∘ g₂
⊢ IsOpen {a | g₁ a = g₂ a}
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : OplaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g h : b✝ ⟶ c✝
η : g ⟶ h
⊢ F.map₂ (f ◁ η) = (F'.mapCompIso f g).hom ≫ F.map f ◁ F.map₂ η ≫ (F'.mapCompIso f h).inv
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
Group N
Group G
Group H
φ : G →* MulAut N
f₁ : N →* H
f₂ : G →* H
h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (f₂ g))).comp f₁
n : N
⊢ (SemidirectProduct.lift f₁ f₂ h) (SemidirectProduct.inl n) = f₁ n
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ici x) x
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Set.Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Set.Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Set.Ico a b, f x = B x → f' x < B' x
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Icc a b → f x ≤ B x
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
γ : Type u_3
UniformSpace γ
pkg'' : AbstractCompletion γ
δ : Type u_4
TopologicalSpace δ
f : α → β → γ
a : δ → pkg.space
b : δ → pkg'.space
ha : Continuous a
hb : Continuous b
⊢ Continuous fun d => pkg.map₂ pkg' pkg'' f (a d) (b d)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : α → β → Prop
⊢ (∀ (x : α) (y : β), p x y) ↔ ∀ (y : β) (x : α), p x y
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n m : ℕ
h : n ≠ m
hnzero : n > 0
hmzero : m > 0
⊢ ¬cyclotomic n ℚ ∣ cyclotomic m ℚ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
f : V → E
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → MeasureTheory.Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) MeasureTheory.volume
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ 𝓕 (iteratedFDeriv ℝ n f) = fun w => VectorFourier.fourierPowSMulRight (-innerSL ℝ) (𝓕 f) w n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
x : (b : β) → π b
h : 0 < 0 ∨ Nonempty β
⊢ sphere x 0 = (⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) 0) ∩ closedBall x 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
z : Sym2 α
x y : α
⊢ s(x, y) ∈ m.toFinset.sym2 ↔ s(x, y) ∈ m.sym2.toFinset
G : Type u_1
Group G
⊢ ↑⊥ = {1}
s : ℝ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
⊢ Real.Gamma s ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a ≤ b
hp : f b ∈ Icc (f a) (f b)
⊢ f b ∈ f '' Icc a b
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
p : P₁
⊢ ⇑(AffineEquiv.constVSub k p).symm = fun v => -v +ᵥ p
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hg : UniformConcaveOn s ψ g
⊢ UniformConcaveOn s (φ + ψ) (f + g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ s₃ : Finset α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ s₁ ∩ s₂ ∩ s₃ ↔ x✝ ∈ s₁ ∩ s₃ ∩ s₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν✝ ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
μ ν : Measure α
f : α → β
hf : Measurable f
⊢ map f (μ + ν) = map f μ + map f ν
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
N : ℕ∞
hg : ContDiff 𝕜 N g
hf : ContDiff 𝕜 N f
hn : ↑n ≤ N
x : E
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv 𝕜 i g (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ ≤ D ^ i
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (g ∘ f) x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
⊢ (pi f).NeBot ↔ ∀ (i : ι), (f i).NeBot
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LE α
s t : ClopenUpperSet α
h : ↑s = ↑t
⊢ s = t
x : ℝ≥0
⊢ x ^ 1 = x
s : Set ℕ
h₁ : s.Nonempty
h₂ : BddAbove s
⊢ sSup s ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hmg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hifg : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
⊢ IsCoprime x (∏ i ∈ t, s i) ↔ ∀ i ∈ t, IsCoprime x (s i)
n m step : Nat
i : Nat
H : i < (List.range' n m step).length
⊢ (List.range' n m step)[i] = n + step * i
α : Type u_1
S : Set (Set α)
⊢ ⋃₀ S = ∅ ↔ ∀ s ∈ S, s = ∅
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u_1
inst✝¹ : MvFunctor F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
pp : β → Prop
rr : β → β → Prop
x y : F (α ::: β)
⊢ ∀ (u : F fun i => { p_1 // ofRepeat (α.RelLast' rr i (prod.mk i p_1.1 p_1.2)) }), (fun i t => (↑t).1) <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> u = y ↔ (fun i t => (↑t).1) <$$> MvFunctor.f' rr n α <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> MvFunctor.f' rr n α <$$> u = y
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field L'
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
inst✝¹ : Algebra L' L
inst✝ : IsScalarTower K L' L
U V : IntermediateField L' L
H : restrictScalars K U = restrictScalars K V
x : L
⊢ x ∈ U ↔ x ∈ V
A : Type u_1
Add A
e : AddAut A
a : A
⊢ e (e⁻¹ a) = a
n : ℕ
hn : n % 4 = 1
⊢ ZMod.χ₄ ↑n = 1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
f' : 𝕜 →L[𝕜] F
⊢ HasFDerivAtFilter f f' x L ↔ HasDerivAtFilter f (f' 1) x L
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ≥0∞
h0 : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm f p μ ≤ c • eLpNorm g p μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : ArithmeticFunction M
x : ℕ
⊢ ∑ x ∈ x.divisorsAntidiagonal, ↑ζ x.1 • f x.2 = ∑ i ∈ x.divisors, f i
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : Completion α
⊢ ∀ (a : α), dist (↑α a) (↑α a) = 0
R : Type u_2
Ring R
NoZeroDivisors R
f g : Polynomial R
⊢ (f * g).reverse = f.reverse * g.reverse
α : Type u_1
Monoid α
a : Associates α
⊢ ∃ a0, Associates.mk a0 = a
l : List Bool
hl : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
h2 : Even l.length
b : Bool
⊢ List.count (!b) l = List.count b l
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
h_aJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
a₁ : R := choose ⋯
J₁ : Ideal R := choose ⋯
h_a₁J₁ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁)⁻¹ * ↑J₁
h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0
h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0
⊢ count K v I = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h₁ : IsIso (opcyclesMap φ)
h₂ : Mono φ.τ₃
h : (S₂.homologyι ≫ inv (opcyclesMap φ)) ≫ S₁.fromOpcycles = 0
⊢ IsIso (homologyMap φ)
n : ℕ
h : n = n := ⋯
⊢ finCongr h = Equiv.refl (Fin n)
x : SetTheory.PGame
⊢ -x ≈ 0 ↔ x ≈ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
hz : 0 < k
⊢ (s.orderEmbOfFin h) ⟨k - 1, ⋯⟩ = s.max' ⋯
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
blocks_fun : Fin k → ℕ
H : ⟨k, blocks_fun⟩ ∈ compPartialSumSource 2 (n + 1) n
K : (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.length = k
⊢ HEq (fun j => r * (a ^ ⟨k, blocks_fun⟩.snd j * p (⟨k, blocks_fun⟩.snd j))) fun j => r * (a ^ (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun j * p ((compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun j))
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c c' : CategoryTheory.Limits.Cocone F
φ : c.pt ≅ c'.pt
w : ∀ (j : J), c.ι.app j ≫ φ.hom = c'.ι.app j := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocones.ext φ w).inv.hom = φ.inv
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ ContDiff 𝕜 n f ↔ ∀ (x : E), ContDiffAt 𝕜 n f x
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
y : β
h : ∀ x ∈ s, Commute y (f x)
⊢ Commute y (s.noncommProd f comm)
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z W : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
a : W ⟶ X
b : W ⟶ Y
w : a ≫ f = b ≫ i
z : (forget Stonean).obj W
⊢ (lift f hi a b w ≫ snd f hi) z = b z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Finite α
x : α
m : M
x✝ : α
⊢ equivFunOnFinite (single x m) x✝ = Pi.single x m x✝
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
⊢ (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g) y = (range (lTensor Q f)).mkQ y
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
p : α.Arrow (TypeVec.repeat (n + 1) Prop)
⊢ TypeVec.dropFun (TypeVec.subtypeVal p) = TypeVec.subtypeVal (TypeVec.dropFun p)
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u v : α → β
l : Filter α
h : u ~[l] v
⊢ (u - v) =o[l] v
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝⁶ : CompleteSpace A
B : Type u_3
inst✝⁵ : NonUnitalNormedRing B
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 B
inst✝³ : CompleteSpace B
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 B B
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 B B
inst✝ : ProperSpace 𝕜
a : B
⊢ IsCompact (quasispectrum 𝕜 a)
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
a b : E
r : ℝ
n : ℕ
h : a ∈ Metric.closedBall b r
⊢ n • a ∈ Metric.closedBall (n • b) (n • r)
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
s₁ s₂ : Subsemigroup M
t₁ t₂ : Subsemigroup N
hs : s₁ ≤ s₂
ht : t₁ ≤ t₂
⊢ s₁.prod t₁ ≤ s₂.prod t₂
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
⊢ (∃ x ∈ H, x ≠ 1) ↔ Nontrivial ↥H
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
Nontrivial M₀
u : M₀ˣ
⊢ ↑u ≠ 0
F : Type u_6
α : outParam (Type u_7)
β : outParam (Type u_8)
Bornology α
Bornology β
FunLike F α β
self : LocallyBoundedMapClass F α β
f : F
⊢ Filter.comap (⇑f) (Bornology.cobounded β) ≤ Bornology.cobounded α
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
⊢ ⊥.N = ⊥
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'
Δ'' : SimplexCategory
e : unop Δ' ⟶ Δ''
i : Δ'' ⟶ unop A.fst
inst✝¹ : Epi e
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = θ.unop ≫ A.e
⊢ Sigma.ι (summand K A.fst) (Splitting.IndexSet.id A.fst) ≫ map K (A.e.op ≫ θ) = Termwise.mapMono K i ≫ Sigma.ι (summand K (op Δ'')) (Splitting.IndexSet.id (op Δ'')) ≫ map K (Splitting.IndexSet.mk e).e.op
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
hs : ∀ (x : ↥L), IsSeparable F x
x : E
h : x ∈ L
⊢ x ∈ separableClosure F E
a : Ordinal.{u_4}
⊢ Ordinal.IsNormal fun x => a + x
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
a b : α
Subsingleton α
⊢ Disjoint a b
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)
inst✝ : IsLocallyInjective J f₂
X : C
x : (forget A).obj (F₂.obj (op X))
S : Sieve X := imageSieve (f₁ ≫ f₂) ((f₂.app (op X)) x)
T : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → S.arrows f → Sieve Y := fun Y f hf => equalizerSieve ((f₁.app (op Y)) (localPreimage (f₁ ≫ f₂) ((f₂.app (op X)) x) f hf)) ((F₂.map f.op) x)
⊢ imageSieve f₁ x ∈ J.sieves X
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.33393, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q
⊢ ((Cochain.ofHom (inr φ)).comp ↑(fst φ) ⋯).v p q hpq = Cochain.v 0 p q hpq
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f 1 μ
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) 1 μ
n : ℕ
⊢ Memℒp (↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)) 1 μ
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_5
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (i : ι) → Ω → β i
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ iCondIndepFun m' hm' m f μ ↔ ∀ (S : Finset ι) {sets : (i : ι) → Set (β i)}, (∀ i ∈ S, MeasurableSet (sets i)) → μ[(⋂ i ∈ S, f i ⁻¹' sets i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ S, μ[(f i ⁻¹' sets i).indicator fun ω => 1|m']
α : Type u_1
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N <r N
⊢ False
X : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace ℝ F
L : E →L[𝕜] F
⊢ Continuous fun φ => ∫ (x : X), L (↑↑φ x) ∂μ
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0)
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
s : σ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R 0) (MvPowerSeries.X s) = 0
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
c x : E → F
R : E → ℝ
s : Set E
a : E
hc : DifferentiableWithinAt ℝ c s a
hR : DifferentiableWithinAt ℝ R s a
hx : DifferentiableWithinAt ℝ x s a
hne : x a ≠ c a
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun a => EuclideanGeometry.inversion (c a) (R a) (x a)) s a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
⊢ a ⊔ b ∈ s
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
H : B.IsAlt
x : M
⊢ (B x) x = 0
p q : ℚ≥0
⊢ p / q = NNRat.divNat (p.num * q.den) (p.den * q.num)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx0 : ↑x ≠ 0
x✝ : ℝ
⊢ cexp (↑(Real.log x) * -(↑(2 * π * x✝) * I)) • f (↑σ + ↑(2 * π * x✝) * I) = cexp (2 * ↑π * (↑x✝ * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑x✝ * I)
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i : J
s : Set (F.obj i)
⊢ ∀ {X Y : J} (g : X ⟶ Y) (a : ↑(⋂ f, F.map f ⁻¹' s)),
  (F.toPreimages s).map g a = Set.MapsTo.restrict (F.map g) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) ⋯ a
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
⊢ rexp (log (1 + s) * p) < rexp (log (1 + p * s))
k : Type u_1
Ring k
ι : Type u_4
s : Finset ι
DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
c : k
⊢ ∑ t ∈ s, Finset.affineCombinationLineMapWeights i j c t = 1
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
f₁ : α₁ → α₂
f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)
h₁ : Injective f₁
h₂ : ∀ (a : α₁), Injective (f₂ a)
i : α₁
x : β₁ i
h : Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, x⟩ = Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, x⟩
⊢ ⟨i, x⟩ = ⟨i, x⟩
X Y : Type u
CommSemiring X
CommSemiring Y
e : X ≃+* Y
⊢ e.toCommSemiRingCatIso.inv = e.symm.toRingHom
a b✝ m n✝ p✝ n p b : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
hb : n ≤ p ^ b
x : ℕ
h1 : p ^ x ∣ n
⊢ x < n ↔ x ≤ b
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
n : ℕ
v : Fin (n + 2) → F
N : 0 < n + 2
c : Composition (n + 2)
hc : c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset
j : ℕ
hj1 hj2 : j < c.length
this : ∀ (k : Fin c.length), c.blocksFun k < n + 2
⊢ applyComposition (fun k => if k < n + 2 then p.rightInv i k else 0) c v ⟨j, hj1⟩ = (p.rightInv i).applyComposition c v ⟨j, hj2⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
S : Set α
c : α
⊢ c ∈ Ici (sSup S) ↔ c ∈ ⨆ a ∈ S, Ici a
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocone.toStructuredArrow F).obj c = CategoryTheory.StructuredArrow.mk c.ι
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
⊢ (derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ∘ₗ Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S) = (kerTotal R S).mkQ
α : Type u_2
self : NormedLinearOrderedField α
x y : α
⊢ ‖x * y‖ = ‖x‖ * ‖y‖
x y : UInt32
⊢ x = y ↔ x.toNat = y.toNat
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
IsIntegralClosure A R B
x y : B
hx : IsIntegral R x
hy : IsIntegral R y
⊢ IsIntegralClosure.mk' A (x * y) ⋯ = IsIntegralClosure.mk' A x hx * IsIntegralClosure.mk' A y hy
a b : PartENat
⊢ ∀ (n n_1 : ℕ), ¬↑n_1 + ↑n = ⊤
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
⊢ p.scaleRoots 0 = p.leadingCoeff • Polynomial.X ^ p.natDegree
l : Filter ℂ
b₁ b₂ : ℝ
hl : IsExpCmpFilter l
hb : b₁ < b₂
m n : ℤ
⊢ (fun z => z ^ m * cexp (↑b₁ * z)) =o[l] fun z => z ^ n * cexp (↑b₂ * z)
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
a : ↥H
⊢ orderOf ↑a = orderOf a
R : Type u
Ring R
S : Set (Subring R)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
p : μ × μ
x✝¹ x✝ : { x // x ∈ s.finsuppAntidiag p.2 }
f : ι →₀ μ
hf✝ : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2
g : ι →₀ μ
hg✝ : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2
hf : s.sum ⇑f = p.2 ∧ f.support ⊆ s
hg : s.sum ⇑g = p.2 ∧ g.support ⊆ s
x : ι
h : x ∉ s
hfg : ∀ (x_1 : ι), (f.update x p.1) x_1 = (g.update x p.1) x_1
⊢ f x = g x
o : Ordinal.{u_1}
H : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
h : a < ω
n : ℕ
e : a = ↑n
⊢ succ ↑n ≤ o
M : Type u_1
Mul M
z : M
self : IsMulCentral z
a c : M
⊢ a * z * c = a * (z * c)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α ≃o β
s : Set α
⊢ f (sSup s) = sSup (⇑f.symm ⁻¹' s)
R : Type u_6
F : Filter R
LinearOrder R
F.NeBot
cobdd : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F
⊢ ∃ u, ∃ᶠ (x : R) in F, x ≤ u