ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
AddMonoidWithOne G
AddMonoidWithOne H
AddConstMapClass F G H 1 1
f : F
x : G
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ f (x + OfNat.ofNat n) = f x + OfNat.ofNat n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
h : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ CategoryTheory.IsPullback c.fst c.snd f g
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
⊢ 𝓝[∅] a = ⊥
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
ι : Type v
α : ι → TopCat
i : ι
x : ↑(α i)
⊢ (sigmaIsoSigma α).inv ⟨i, x⟩ = (Sigma.ι α i) x
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
n : ℕ
hn : (↑n)⁻¹ < a
⊢ n < 2 ^ n
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
TopologicalRing 𝕜
a b : 𝕜
h : a < b
x : ↑(Set.Icc 0 1)
⊢ ↑((iccHomeoI a b h).symm x) = (b - a) * ↑x + a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
U : Set E
⊢ IsOpen U ↔ ∀ x ∈ U, ∃ s, ∃ r > 0, (s.sup p).ball x r ⊆ U
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a₁ a₂ b c : α
hm : IsPrimal (a₁ * a₂)
h0 : a₁ * a₂ ≠ 0
a₁' a₂' : α
h₁ : a₁' ∣ b
h₂ : a₂' ∣ c
hn : IsPrimal (a₁' * a₂')
h : a₁' * a₂' ∣ b * c
⊢ ∃ a₁_1 a₂_1, a₁_1 ∣ a₁ * b ∧ a₂_1 ∣ a₂ * c ∧ a₁ * a₂ * (a₁' * a₂') = a₁_1 * a₂_1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
⊢ fderiv 𝕜 (⇑iso) x = ↑{ toLinearEquiv := iso.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
⊢ (𝟙 G).app X = 𝟙 (G.obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictAnti f
c : α
⊢ StrictAnti fun x => f x + c
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
x : R
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun _n => True) fun n => (fun y => x + y) '' ↑(I ^ n)
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
this : NumberField K
⊢ discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis = discr ℚ ⇑(subOnePowerBasis ℚ hζ).basis
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
⊢ s.einfsep = 0 ↔ ∀ C > 0, ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ edist x y < C
m n : ℤ
hmn : m ∣ n
⊢ n / m ∣ n
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
D1 D2 : LieDerivation R L M
s : Set L
h : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s
⊢ Set.EqOn ⇑D1 ⇑D2 ↑(LieSubalgebra.lieSpan R L s)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
LieRingModule L M
LieRingModule L N
LieRingModule L P
LieModule R L N
LieModule R L P
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
x : L
m : M
n : N
⊢ ⁅x, (f m) n⁆ = (f ⁅x, m⁆) n + (f m) ⁅x, n⁆
α : Type u
Semiring α
x : α
n : ℕ
⊢ MulOpposite.op (∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i) = ∑ i ∈ Finset.range n, MulOpposite.op x ^ i
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.7894, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_10, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.7906, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_8, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.7918, u_7} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
L₃ : C₃ ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W₃
X Y Z : C₁
⊢ Φ.homMap L₁ L₂ (𝟙 (L₁.obj X)) = 𝟙 (L₂.obj (Φ.functor.obj X))
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0
n : ι
hn : ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≤ δ
⊢ μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ δ
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
g : N →* G
hl : LeftInverse ⇑g ⇑f
hr : Function.RightInverse ⇑g ⇑f
H : Subgroup G
⊢ ↑(map f H) = ↑(comap g H)
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
x y : R
⊢ x ∈ s → y ∈ s → x * y ∈ s
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂)) x) * (F.map α) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂)) y) = (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₃ j₂)) x') * (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂)) y)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : ι →₀ α
t : ι → Finset α
⊢ (f.support ⊆ s ∧ ∀ i ∈ s, f i ∈ t i) → ∃ a ∈ s.pi t, { toFun := indicator s, inj' := ⋯ } a = f
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : Karoubi C
f : P.Hom Q
⊢ f.f ≫ Q.p = f.f
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : α → M
x : M
⊢ x ∈ Submodule.span R (Set.range v) ↔ ∃ c, (c.sum fun i a => a • v i) = x
G : Type u
Monoid G
S : Submonoid G
g : G
g_in_s : g ∈ S
⊢ g ^ Monoid.exponent ↥S = 1
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
δ : Type u_7
inst✝² : MeasurableSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
μa : Measure α
μc : Measure γ
inst✝¹ : SFinite μa
inst✝ : SFinite μc
hf : Measurable f
hg : Measurable g
i : ℕ × ℕ
s : Set β
t : Set δ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ (map (Prod.map f g) ((sFiniteSeq μa i.1).prod (sFiniteSeq μc i.2))) (s ×ˢ t) = (map f (sFiniteSeq μa i.1)) s * (map g (sFiniteSeq μc i.2)) t
d : ℕ
a : ℤ√↑d
⊢ a.Nonneg ↔ 0 ≤ a
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.169944}
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i < g i
x✝ : sum f ≥ prod g
F : ((i : ι) → Quotient.out (g i)) ↪ (i : ι) × Quotient.out (f i)
this : Inhabited ((i : ι) → Quotient.out (g i))
G : (i : ι) × Quotient.out (f i) → (i : ι) → Quotient.out (g i) := invFun ⇑F
sG : Surjective G
C : (i : ι) → Quotient.out (g i)
hc : ∀ (i : ι) (a : Quotient.out (f i)), G ⟨i, a⟩ i ≠ C i
⊢ False
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
x✝ : -[n+1] ≠ 0
⊢ 0 ^ -[n+1] = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
hf_int' : Integrable (fun a => f (X a, Y a)) μ
⊢ AEStronglyMeasurable' (MeasurableSpace.comap X mβ) (fun a => ∫ (y : Ω), f (X a, y) ∂(condDistrib Y X μ) (X a)) μ
K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
Ring K
AddCommGroup V
Module K V
AddCommGroup V'
Module K V'
Nontrivial K
⊢ LinearMap.rank 0 = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ j₃ k₁ k₂ l : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
f₂ : j₂ ⟶ k₁
f₃ : j₂ ⟶ k₂
f₄ : j₃ ⟶ k₂
g₁ : j₁ ⟶ l
g₂ : j₃ ⟶ l
l' : C
k₁l : k₁ ⟶ l'
k₂l : k₂ ⟶ l'
hl : f₂ ≫ k₁l = f₃ ≫ k₂l
⊢ ∃ s α β γ, f₁ ≫ α = g₁ ≫ β ∧ f₂ ≫ α = f₃ ≫ γ ∧ f₄ ≫ γ = g₂ ≫ β
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a b : α
h : Order.IsPredLimit a
⊢ a < Order.pred b ↔ a < b
α : Type u_1
f : Filter α
⊢ f ×ˢ f = f.lift' fun t => t ×ˢ t
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
SecondCountableTopology X
f : X → Y
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith C f s
⊢ dimH (Set.range f) ≤ dimH Set.univ
m k n : Nat
⊢ n + m = n + k ↔ m = k
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ g : ι → Set X
π : X → Sort u_6
f : ℕ → (x : X) → π x
U : X → Set X
hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | ((fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}) i ∩ U x).Nonempty}.Finite
N : X → ℕ
hN : ∀ (x : X), ∀ n ≥ N x + 1, ∀ y ∈ U x, f n y = f (N x + 1) y
x : X
⊢ ∀ a ∈ {x_1 | N x < x_1} ×ˢ U x, f a.1 a.2 = f (N a.2 + 1) a.2
α : Type u_2
Semiring α
a : α
h : Even a
⊢ Odd (1 + a)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → β
p : l.Palindrome
⊢ (List.map f l).Palindrome
α : Type u
β : Type v
Semiring α
Semiring β
f : α → β
hf : IsSemiringHom f
⊢ IsAddMonoidHom f
α : Type u_1
β : Type v
s : Multiset α
b : β
⊢ Multiset.map (fun x => b) s = Multiset.replicate (Multiset.card s) b
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Inducing f
s : Set X
⊢ IsOpen s ↔ ∃ t, IsOpen t ∧ f ⁻¹' t = s
B : Type u
self : CategoryTheory.Bicategory B
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h h' : c ⟶ d
η : h ⟶ h'
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) η =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft g η))
      (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h').inv)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y✝ : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CharZero 𝕜
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun x => y) (f (x + y))
α : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommSemigroup α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hb : AddLECancellable b
hca : c ≤ a
h : a - c + c - b < a - c
⊢ c < b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ e.unitInv.app (e.inverse.obj Y) = e.inverse.map (e.counit.app Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : Filter α
g : ι → Filter β
⊢ f.prod (⨅ i, g i) = ⨅ i, f.prod (g i)
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
⊢ HasDerivAt (fun z => term f z 0) (-term (logMul f) s 0) s
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : PerfectField E
eq : perfectClosure F E = ⊥
p : ℕ := ringExpChar F
⊢ PerfectField F
S✝ : Set Ordinal.{u}
S T : Set Ordinal.{u_1}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
hST : S ⊆ T
a b : Ordinal.{u_1}
H : ∀ k < b, enumOrd T k ≤ enumOrd S k
⊢ sInf (T ∩ {b_1 | ∀ c < b, enumOrd T c < b_1}) ≤ enumOrd S b
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
ι : Sort u_7
f : G →+ N
s : ι → AddSubgroup N
⊢ AddSubgroup.comap f (iInf s) = ⨅ i, AddSubgroup.comap f (s i)
p q✝ : ℤ[X]
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
m' : ℕ
x y z : ℤˣ
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑y ↑z
⊢ q = p ∨ q = -p ∨ q = p.mirror ∨ q = -p.mirror
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
hsc : count s = 0
⊢ s = ∅
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} {x_2 : NonAssocSemiring γ} {g : β →+* γ} {f₁ f₂ : α →+* β},
  Function.Injective ⇑g → (g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂)
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
a : A
⊢ 0 a = 0
G : Type u_5
Group G
Fintype G
S : Set G
(k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k
k : ℕ
⊢ Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(S ^ k) = Fintype.card ↑(S ^ Fintype.card G)
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x
hder : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → DifferentiableAt ℝ f x
hder_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → deriv f (x + 1) = deriv f x + 1 / x
hder_nat : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) = deriv f 1 + ↑(harmonic n)
derivLB : ∀ (n : ℕ), 0 < n → log ↑n ≤ deriv f (↑n + 1)
derivUB : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) ≤ log (↑n + 1)
⊢ -deriv f 1 ≤ γ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
FunLike F α β
MonoidWithZeroHomClass F α β
f : F
⊢ ⇑↑f = ⇑f
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
hIE : I ⊆ E
⊢ J ⊆ I → J ⊆ E
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ BddBelow (Set.Ioi a)
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.Ordered cmp t → Batteries.RBNode.Ordered (flip cmp) t.reverse
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
Semiring C
Algebra R C
Star C
f : A →⋆ₐ[R] B × C
⊢ StarAlgHom.prodEquiv.symm f = ((StarAlgHom.fst R B C).comp f, (StarAlgHom.snd R B C).comp f)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B
H : ∑ i : Fin pb.dim, (pb.basis.repr b) i • pb.basis i = b
⊢ b ≡ (algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩) [SMOD Ideal.span {pb.gen}]
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
Div β
f g : α →ᵤ[𝔖] β
⊢ (UniformOnFun.toFun 𝔖) (f / g) = (UniformOnFun.toFun 𝔖) f / (UniformOnFun.toFun 𝔖) g
ι : Type u_1
Fintype ι
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
b : ι → M
DecidableEq ι
A : Matrix ι ι R
f : Module.End R M
⊢ Matrix.Represents b A f ↔ ∀ (j : ι), ∑ i : ι, A i j • b i = f (b j)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
⊢ (S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom) ≫ S.leftHomologyIso.inv = S.leftHomologyπ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} ℰ
L : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor C (Type v₁)) ℰ
CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{v₁, max u₁ v₁, max u₁ v₁, v₁, max u₁ (v₁ + 1), u₂} L
CategoryTheory.yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension
    (CategoryTheory.yoneda.comp ((CategoryTheory.opOpEquivalence C).congrLeft.functor.comp L))
⊢ L.IsLeftAdjoint
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α
⊢ l.reverse.inits = (map reverse (map reverse l.reverse.inits).reverse).reverse
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
Y : Scheme
f : (x : 𝒰.J) → 𝒰.obj x ⟶ Y
hf : ∀ (x y : 𝒰.J), pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y) ≫ f x = pullback.snd (𝒰.map x) (𝒰.map y) ≫ f y
x : 𝒰.J
⊢ 𝒰.map x ≫ 𝒰.glueMorphisms f hf = f x
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ ∀ (c : α), CompleteLattice.IsCompactElement c → c ≤ a ⊓ sSup s → c ≤ ⨆ b ∈ s, a ⊓ b
ι : Type u_1
α : Type u_3
s : Finset ι
AddCommMonoid α
f : ι → α
h : ∀ c ∈ s, Even (f c)
⊢ Even (∑ i ∈ s, f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
x : Option α
g : (b : β) → b ∈ Option.map f x → Option γ
⊢ (Option.map f x).pbind g = x.pbind fun a h => g (f a) ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EDist α
x y : α
s✝ t : Set α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ (↑s).einfsep = s.offDiag.inf (uncurry edist)
α : Type u_1
Semiring α
a b : α
h : Commute a b
n : ℕ
⊢ Commute (↑n * a) b
K : Type u_1
RCLike K
n : ℕ
n.AtLeastTwo
z : K
⊢ RCLike.im (OfNat.ofNat n * z) = OfNat.ofNat n * RCLike.im z
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set α
x : M
⊢ x ∈ map (Finsupp.total α M R v) (supported R R s) ↔ ∃ l ∈ supported R R s, (Finsupp.total α M R v) l = x
α : Type u
⊢ ∀ (x : α), IsOpen {x}
α : Type u_1
as : List α
⊢ (List.toArray as).size = as.length
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : UniformInducing g
⊢ UniformContinuous f ↔ UniformContinuous (g ∘ f)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
g : N → M
h₁ : Function.LeftInverse g (↑f).toFun
h₂ : Function.RightInverse g (↑f).toFun
⊢ { toLieModuleHom := f, invFun := g, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toEquiv =
  { toFun := ⇑f, invFun := g, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s : Set X
hs : s.Finite
f : X → Y
⊢ ContinuousOn f s
n✝ m n : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
⊢ (p.predAbove i).rev = p.rev.predAbove i.rev
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
e_1✝ : α = αᵒᵈ
x✝¹ x✝ : α
⊢ x✝ ⋖ x✝¹ ↔ x✝¹ ⋖ x✝
I : Type u
f : I → Type v₁
DecidableEq I
(i : I) → Zero (f i)
i : I
⊢ Function.Injective (Pi.single i)
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝¹ : IsDomain R₁
inst✝ : IsNoetherianRing R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑I
M : Type u_1
CommMonoid M
k : ℕ
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℕ
hi : i.Coprime k
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : p₁ ∈ affineSpan k {p₂, p₃}
⊢ affineSpan k {p₁, p₃} ≤ affineSpan k {p₂, p₃}
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
⊢ r₁ /ₒ s₁ + (ra • r₂ /ₒ (sa * s₁) + rc • r₃ /ₒ (sc * (sa * s₁))) = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] M
g : N →ₗ[R] N
⊢ (trace R (M × N)) (f.prodMap g) = (trace R M) f + (trace R N) g
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : NontriviallyNormedField α
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ α
inst✝ : DecidableEq n
f : (n → α) →L[α] m → α
⊢ ‖{ toLinearMap := (LinearMap.toMatrix' ↑f).mulVecLin, cont := ⋯ }‖₊ = ‖f‖₊
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
⊢ Integrable (fun x => RCLike.re (f x)) μ ∧ Integrable (fun x => RCLike.im (f x)) μ ↔ Integrable f μ
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁴ : NormedField 𝕜
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹³ : MetricSpace P₁'
inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
f₁ : P₁' →ᵃⁱ[𝕜] P₂
x y : P
⊢ dist (f x) (f y) = dist x y
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
⊢ ∃ a, Pell.IsFundamental a
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
h : 0 < a
⊢ 0 < a / 2
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
H : Subgroup G
⊢ IsPGroup p ↥H
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
⊢ ∀ (s : Set ℝ), MeasurableSet s → Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
x y : E
s t : Set E
⊢ ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) * μ s * (ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) * μ t)⁻¹ = ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) * (ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E))⁻¹ * (μ s * (μ t)⁻¹)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁✝ f₂✝ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f₁ f₂ : α → β
⊢ EqOn f₁ f₂ univ ↔ f₁ = f₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace β
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {x_1 : MeasurableSpace γ} {f : α → γ → β},
  MeasureTheory.StronglyMeasurable (Function.uncurry f) → ∀ {y : γ}, MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => f x y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b
⊢ a / b < c ↔ a < b * c
R : Type u
CommSemiring R
f g : R[X]
hf : f.Separable
hg : IsUnit g
⊢ (f * g).Separable
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f : C(X, ℝ≥0)
⊢ φ (-{ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe }.comp f).toNNReal = φ 0
a b n : ℕ
ha : Nat.Prime a
hb : b ≠ 0
⊢ n ≤ padicValNat a b ↔ (List.replicate n a).Subperm b.primeFactorsList
n q : ℕ
hn' : 1 < n
hq : q ≠ 1
hq' : 1 < q
⊢ eval (↑q) (cyclotomic n ℝ) ≤ ↑|eval (↑q) (cyclotomic n ℤ)|
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
PredOrder α
a : α
h : ¬IsMax a
⊢ Order.pred (Order.succ a) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
AddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
hf : HasSum f a
G : Type u_5
FunLike G α γ
AddMonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Continuous ⇑g
⊢ HasSum (⇑g ∘ f) (g a)