ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
g' g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Set.Ioi x) x
g'int : MeasureTheory.IntegrableOn g' (Set.Icc a b) MeasureTheory.volume
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, g' y = g b - g a
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
Monoid R
Monoid S
FunLike F R S
MonoidHomClass F R S
FunLike G S R
MonoidHomClass G S R
f : F
g : G
r : R
h : Function.LeftInverse ⇑g ⇑f
⊢ ∀ (x : Invertible r), (invertibleEquivOfLeftInverse f g r h).symm x = Invertible.map f r
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq α
⊢ image2 f (↑s ∩ ↑s') ↑t ⊆ image2 f ↑s ↑t ∩ image2 f ↑s' ↑t
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
⊢ ((Quotient.mk P).comp C).IsIntegral
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq M
i : ι
bi : M
hbi : bi ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ
⊢ (Finsupp.single ⟨b i, ⋯⟩ 1) (((Equiv.refl M).subtypeEquiv ⋯).symm ⟨bi, hbi⟩) = (Finsupp.single ⟨b i, ⋯⟩ 1) ⟨bi, hbi⟩
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C X
x y : ↑X
h : x ⤳ y
⊢ ((TopCat.Presheaf.pushforward C f).obj F).stalkSpecializes ⋯ ≫ TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f F x =
  TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f F y ≫ F.stalkSpecializes h
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulBitraversable t
LawfulApplicative F
LawfulApplicative G
α₀ α₁ α₂ β : Type u
f : α₀ → F α₁
f' : α₁ → G α₂
⊢ Functor.Comp.mk ∘ Functor.map (Bitraversable.tfst f') ∘ Bitraversable.tfst f =
  Bitraversable.tfst (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map f' ∘ f)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
s : Set E
hc : DifferentiableOn ℂ f s
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun x => Complex.cosh (f x)) s
α : Type u_1
f g : Equiv.Perm α
⊢ f.Disjoint g → g.Disjoint f
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), ∀ p > 2, ¬LiouvilleWith p x
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
x : G
⊢ Filter.map (fun x_1 => x_1 + x) (𝓝 0) = 𝓝 x
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
IsEmpty β
⊢ Multipliable f
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hp0 : p ≠ 0
hp0_lt : 0 < p
hq0_lt : 0 < q
hq_top : ¬q = ⊤
hp_lt_top : p < ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hpq_real : p.toReal ≤ q.toReal
⊢ eLpNorm' f p.toReal μ ≤ eLpNorm' f q.toReal μ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal - 1 / q.toReal)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.HasForget₂ C Ab
CategoryTheory.Abelian C
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).Additive
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
x₃ : ↑((CategoryTheory.forget₂ C Ab).obj D.L₀.X₃)
x₂ : ↑((CategoryTheory.forget₂ C Ab).obj D.L₁.X₂)
x₁ : ↑((CategoryTheory.forget₂ C Ab).obj D.L₂.X₁)
h₂ : ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map D.L₁.g) x₂ = ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map D.v₀₁.τ₃) x₃
h₁ : ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map D.L₂.f) x₁ = ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map D.v₁₂.τ₂) x₂
⊢ ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map D.δ) x₃ = ((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map D.v₂₃.τ₁) x₁
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
x : R
⊢ x ∈ ⊤
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
s : ι → Set α
t : ι' → Set α
h : ∀ (j : ι'), ∃ i, s i ⊆ t j
⊢ ⋂ i, s i ⊆ ⋂ j, t j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (c • f') s x (c • v) ↔ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
M : Type u_1
AddZeroClass M
s : AddSubsemigroup M
h_one : 0 ∈ s.carrier
⊢ ↑{ toAddSubsemigroup := s, zero_mem' := h_one } = ↑s
K : Type u_1
n : ℤ
Field K
⊢ ↑↑n.negOnePow = (-1) ^ n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
i' : ι'
⊢ (b.repr ≪≫ₗ Finsupp.domLCongr e).symm (Finsupp.single i' 1) = b.repr.symm (Finsupp.single (e.symm i') 1)
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrderTop α
a : α
⊢ Finset.Ici a = Finset.cons a (Finset.Ioi a) ⋯
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
ι : Type u_1
B : ι → Opens ↑X
F : Presheaf C X
F' : Sheaf C X
h : Opens.IsBasis (Set.range B)
α : (inducedFunctor B).op ⋙ F ⟶ (inducedFunctor B).op ⋙ F'.val
i : ι
⊢ ((restrictHomEquivHom F F' h) α).app (op (B i)) = α.app (op i)
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
⊢ μ[f * g|m] =ᵐ[μ] f * μ[g|m]
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
μ : K
hμ : Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) μ
⊢ ∃ k, μ ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y✝ z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
y : α
h : y ∈ ball x (ε / 2)
⊢ dist y x ≤ ε / 2
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ comap (stdBasis R φ i) (⨅ i ∈ J, ker (proj i)) = ⊤
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Φ 2 = X ^ 4 - C W.b₄ * X ^ 2 - C (2 * W.b₆) * X - C W.b₈
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ IsIrreducible s ↔ (vanishingIdeal s).IsPrime
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : E
ha : a ∈ ⨆ i, U i
hay : ‖y - a‖ < ε
I : ι
hI : a ∈ U I
i : ι
hi : I ≤ i
⊢ ⨅ x, ‖y - ↑x‖ ≤ ‖y - ↑⟨a, ⋯⟩‖
β : TypeVec.{u_2} 0 → Sort u_1
f : β Fin2.elim0
⊢ TypeVec.casesNil f Fin2.elim0 = f
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α
t' : Multiset α
h : s ≤ t'
⊢ ∀ {l₁ l₂ : List α}, l₁ <+ l₂ → a ∉ ↑l₁ → a ∈ ↑l₂ → a ::ₘ ↑l₁ ≤ ↑l₂
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F₁
E₁ : B → Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₂
E₂ : B → Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)
inst✝⁴ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁
inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁'
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂
inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂'
b : B
hb : b ∈ (e₁.prod e₂).baseSet ∩ (e₁'.prod e₂').baseSet
⊢ ↑(coordChangeL 𝕜 (e₁.prod e₂) (e₁'.prod e₂') b) = (↑(coordChangeL 𝕜 e₁ e₁' b)).prodMap ↑(coordChangeL 𝕜 e₂ e₂' b)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
Xs : ι → Set α
⊢ M.closure (⋃ i, M.closure (Xs i)) = M.closure (⋃ i, Xs i)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₂ : f' =O[l] g'
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l k₁ k₂
c : ℝ
cpos : 0 < c
⊢ IsBigOWith c l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ∣ b
hc : c > 0
ha : a > 0
⊢ (b / a) ^ c = b ^ c / a ^ c
R : Type u
inst✝¹⁰ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁶ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝² : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x✝² : DirectSum ι G
H : Submodule.Quotient.mk x✝² = 0
ind : ι
x y : DirectSum ι G
x✝¹ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) x = 0
x✝ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support y, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) y = 0
i : ι
hi : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i
hxi : (DirectSum.toModule R ι (G i) fun i_1 => totalize G f i_1 i) x = 0
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support y, k ≤ j
hyj : (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) y = 0
k : ι
hik : i ≤ k
hjk : j ≤ k
⊢ (DirectSum.toModule R ι (G k) fun i => totalize G f i k) (x + y) = 0
α : Type u_1
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b a : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.fold op b (a ::ₘ s) = op a (Multiset.fold op b s)
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ ((∀ (i : LeftMoves 0), moveLeft 0 i ⧏ x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), 0 ⧏ x.moveRight j) ↔ ∀ (j : x.RightMoves), 0 ⧏ x.moveRight j
k m n : Nat
h : k ≤ m
⊢ n - k ≤ m - k ↔ n ≤ m
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
inst✝¹ : HasPullbacks C
inst✝ : P.RespectsIso
hP₂ : ∀ (X Y S : C) (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), P g → P (pullback.fst f g)
X Y Y' S : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : Y' ⟶ Y
g' : Y' ⟶ X
sq : IsPullback f' g' g f
hg : P g
e : Y' ≅ pullback f g := ⋯.isoPullback
⊢ P g'
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
H : Set.InjOn f s
⊢ (f '' s).ncard = s.ncard
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace Ω
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : L.IsCountablyGenerated
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : ℝ≥0
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0
fs_bdd : ∀ᶠ (i : ι) in L, ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (fs i) ω ≤ c
fs_lim : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun i => (fs i) ω) L (𝓝 (E.indicator (fun x => 1) ω))
⊢ μ E = ∫⁻ (ω : Ω), ↑(E.indicator (fun x => 1) ω) ∂μ
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
φ : L[[α]].Sentence
⊢ {p | φ ∈ p} = Set.univ ↔ (L.lhomWithConstants α).onTheory T ⊨ᵇ φ
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
sm : SplitMono f
F : C ⥤ D
⊢ F.map f ≫ F.map sm.retraction = 𝟙 (F.obj X)
R : Type u₁
S : Type u₂
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
M : ModuleCat R
s s' : S
m : ↑M
⊢ s • s' ⊗ₜ[R] m = (s * s') ⊗ₜ[R] m
α : Type u_1
r p : α → α → Prop
hp : ∀ (a b : α), r a b → p a b
a b : α
⊢ Relation.ReflGen r a b → Relation.ReflGen p a b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
𝕜' : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
hc : Differentiable 𝕜 c
hf : Differentiable 𝕜 f
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => c y • f y
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
⊢ 0 < measureUnivNNReal μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f1 f2 g1 g2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
hg : g1 ≈ g2
⊢ f1 * g1 - f2 * g2 = f1 * g1 - f2 * g1 + (f2 * g1 - f2 * g2)
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n
A : 0 < μ (u ∩ μ.everywherePosSubset s)
B : u ∩ μ.everywherePosSubset s =ᶠ[ae μ] u ∩ s
⊢ 0 < μ n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : IsOpen s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f₂ s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (deriv f₂) s₂
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
l : Filter α
a : α
l' : Filter α
h : IsExtrFilter f l a
hl : l' ≤ l
⊢ IsExtrFilter f l' a
n : Nat
i : Fin (list n).length
⊢ (list n).get i = cast ⋯ i
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : IsIrreducible R L M
aux : ⊥ ≠ ⊤
⊢ ∃ x y, x ≠ y
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x h : (i : ι) → M₁ i
⊢ ∑ x_1 ∈ filter (fun x => 2 ≤ x.card) Finset.univ.powerset, f (x_1.piecewise h x) + ∑ x_1 ∈ filter (fun x => ¬2 ≤ x.card) Finset.univ.powerset, f (x_1.piecewise h x) = f x + (f.linearDeriv x) h + ∑ s ∈ filter (fun x => 2 ≤ x.card) Finset.univ.powerset, f (s.piecewise h x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f g : LocallyConstant X Y
⊢ ⇑f = ⇑g ↔ f = g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.pOpcycles S.fromOpcycles = S.g
α : Type u_1
p : PMF α
⊢ p.support.Countable
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
hγ' : IsIntegralCurveAt γ' v t₀
h : γ t₀ = γ' t₀
v' : E → E := fun x => (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x)) (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
hv' : v' = fun x => (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x)) (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) (γ t₀)
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := γ t₀, snd := v (γ t₀) }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I (γ t₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))
K : NNReal
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))
hlip✝ : LipschitzOnWith K v' s
hlip : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K ((fun x => v') t) ((fun x => s) t)
hsrc : ∀ {g : ℝ → M}, IsIntegralCurveAt g v t₀ → ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, g ⁻¹' (extChartAt I (g t₀)).source ∈ 𝓝 t
hmem : ∀ {g : ℝ → M} {t : ℝ}, g ⁻¹' (extChartAt I (g t₀)).source ∈ 𝓝 t → g t ∈ (extChartAt I (g t₀)).source
hdrv : ∀ {g : ℝ → M}, IsIntegralCurveAt g v t₀ → γ t₀ = g t₀ → ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt (↑(extChartAt I (g t₀)) ∘ g) ((fun x => v') t ((↑(extChartAt I (g t₀)) ∘ g) t)) t ∧ (↑(extChartAt I (g t₀)) ∘ g) t ∈ (fun x => s) t
⊢ γ =ᶠ[𝓝 t₀] γ'
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd₁ : l₁.NodupKeys
nd₂ : l₂.NodupKeys
p : l₁ ~ l₂
⊢ lookupAll a l₁ = lookupAll a l₂
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : MetricSpace Q
inst✝² : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : NormedSpace ℝ W
p₁ p₂ p₃ p₄ : V
⊢ dist (midpoint ℝ p₁ p₂) (midpoint ℝ p₃ p₄) ≤ (dist p₁ p₃ + dist p₂ p₄) / 2
α : Type u_2
s t : Set α
ht : t.Finite
⊢ Filter.cofinite ⊓ 𝓟 (s \ t) = Filter.cofinite ⊓ 𝓟 s
G : Type u_1
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : TopologicalGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁶ : Countable ↥Γ
inst✝⁵ : Γ.Normal
inst✝⁴ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝³ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ✝ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : ν.IsHaarMeasure
inst✝ : ν.IsMulRightInvariant
K : PositiveCompacts (G ⧸ Γ)
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ⊤
c : ℝ≥0∞ := ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' ↑K ∩ 𝓕)
c_ne_top : c ≠ ⊤
μ : Measure (G ⧸ Γ) := c • haarMeasure K
hμK : μ ↑K = c
⊢ QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
NonUnitalCommSemiring α
Fintype m
Fintype n
A : Matrix m n α
B : Matrix m o α
x : n → α
⊢ (A *ᵥ x) ᵥ* B = x ᵥ* (Aᵀ * B)
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddCommMonoid P
f : M →+ P
g : N →+ P
p : M × N
⊢ (f.coprod g) p = f p.1 + g p.2
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
this✝ : ExpChar E q
this : ExpChar E[X] q
x✝ : ∃ n, Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = (X - C x) ^ q ^ n
n : ℕ
h : constantCoeff (Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x)) = constantCoeff ((X - C x) ^ q ^ n)
⊢ ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
α : Type u
PseudoMetricSpace α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun x => 0 < x) fun ε => {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
o : Type u_12
Fintype n
Fintype o
DecidableEq n
DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
P Q : Matrix n o R₂
⊢ (Matrix.toBilin' M).comp (Matrix.toLin' P) (Matrix.toLin' Q) = Matrix.toBilin' (P.transpose * M * Q)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
⊢ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p2 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.snd
G : Type u_3
SubNegMonoid G
a b c : G
⊢ a + (b - c) = a + b - c
α : Type u_1
MeasurableSpace α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ (r • j).posPart = r.toNNReal • j.posPart
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
Nonempty ι
P : Type u₁
L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
i : ι
x : G i
⊢ (FirstOrder.Language.DirectLimit.lift L ι G f g Hg) ⟦FirstOrder.Language.Structure.Sigma.mk f i x⟧ = (g i) x
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ I = ∅ → I ⊆ E
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
h₁ : LieAlgebra.IsNilpotent R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h₂ : Function.Injective ⇑f
⊢ LieAlgebra.IsNilpotent R L
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
h : p.degree < q.degree
⊢ p / q = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f
⊢ S.opcyclesIsoCokernel.hom = S.descOpcycles (CategoryTheory.Limits.cokernel.π S.f) ⋯
K : Type u_1
inst✝² : Field K
k : Type u_2
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Algebra k K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : IsConj φ σ
x : K
⊢ (conjugate φ) x = (φ.comp ↑σ.symm) x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : F ≃L[𝕜] G
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (⇑e ∘ f) s ↔ ContDiffOn 𝕜 n f s
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ A.adjugate.transpose = A.transpose.adjugate
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x y : α
⊢ y ∈ ConnectedComponents.mk ⁻¹' {ConnectedComponents.mk x} ↔ y ∈ connectedComponent x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : FunLike 𝓕 E F
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ = 1 → ‖f x‖ ≤ C
⊢ ‖f‖ ≤ C
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ : R⟦X⟧
⊢ (∀ m < n, (coeff R m) φ = 0) ↔ ∀ (m : Unit →₀ ℕ), m () < n → (MvPowerSeries.coeff R m) φ = 0
α : Type u_1
ts : List α
⊢ ts.permutations.Perm ts.permutations'
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
DecidableEq m
DecidableEq n
Zero α
One α
f : m ≃. n
⊢ f.symm.toMatrix = f.toMatrix.transpose
R : Type u
EuclideanDomain R
a b c : R
h : c ∣ b
⊢ c ∣ a % b ↔ c ∣ a