ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
⊢ leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left = (leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.homologyData.left S₁.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData h₁) ≫ γ.φH ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) h₂ S₂.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.leftHomologyData S₂.homologyData.left
R : Type u
CommSemiring R
σ : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring A
Algebra R A
m : σ →₀ ℕ
a : A
⊢ (MvPolynomial.algebraTensorAlgEquiv R A).symm ((MvPolynomial.monomial m) a) = a ⊗ₜ[R] (MvPolynomial.monomial m) 1
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : ι → R
h : abv.IsAdmissible
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n
⊢ ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : ι), t i₀ = t i₁ → ↑(abv (A i₁ % b - A i₀ % b)) < abv b • ε
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
h : X ≃ₜ Y
f : Y → Z
⊢ IsOpenMap (f ∘ ⇑h) ↔ IsOpenMap f
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : Flat R S
I : Ideal R
m : M
x : ↥I
⊢ (↑R (Module.Flat.auxLTensor R S M I)) (m ⊗ₜ[R] x) = (↑(TensorProduct.rid R M) ∘ₗ lTensor M (Submodule.subtype I)) (m ⊗ₜ[R] x)
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y : Set α
hI : M.Basis I X
R : Set α
hR : R ⊆ M.E
hX : X ⊆ (M ↾ R).E
⊢ (M ↾ R).Basis I X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
k n : ℕ
f : SchwartzMap E F
c : 𝕜
x : E
⊢ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (c • ⇑f) x‖ = ‖c‖ * ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖
α : Type u
ι : Sort w
minAx : Order.Coframe.MinimalAxioms α
f : ι → α
a : α
⊢ (⨅ i, f i) ⊔ a = ⨅ i, f i ⊔ a
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le
a b c d y : α
hya : a ≤ y
hyb : y ≤ b
z : α
hzc : c ≤ z
hzd : z ≤ d
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Icc (a * c) (b * d)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hg : ConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
⊢ (⨍ (x : α), f x ∂μ, ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ≤ g p.1}
X : Type u_2
TopologicalSpace X
DiscreteTopology X
x y : X
⊢ ⊥.proj x = ⊥.proj y ↔ x = y
R : CommRingCatᵒᵖ
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.toTop.obj R = AlgebraicGeometry.Spec.topObj (Opposite.unop R)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
σ τ : p.Gal
h : ∀ x ∈ p.rootSet p.SplittingField, σ x = τ x
x : p.SplittingField
⊢ AlgHom.equalizer ↑σ ↑τ = ⊤
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ∀ (n : ℕ), p n = q n
⊢ p = q
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J✝ : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I J : Ideal S
h : J ∈ I.minimalPrimes
this✝ : J.IsPrime
K : Ideal R
hK : K.IsPrime
e₁ : comap f I ≤ K
e₂ : K ≤ comap f J
this : RingHom.ker f ≤ K
⊢ map f K ∈ {p | p.IsPrime ∧ I ≤ p}
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
k : ℕ
⊢ I.lcs M (k + 1) = ⁅I, I.lcs M k⁆
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
r : R₁ ⟶ R₂
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRight L r).obj X).left = X.left
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ MeasurableSet s
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ Injective (preimage f) ↔ Surjective f
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ⇑f.toContinuousMap = ⇑f
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
β : Type u_7
m m0 : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
⊢ ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
⊢ HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg.deg 1 = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ p : MvPolynomial σ R
⊢ IsWeightedHomogeneous w p 0 ↔ weightedTotalDegree w p = 0
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ) μ
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) ((fun x => ‖g x‖) ⋆[mul ℝ ℝ, μ] fun x => ‖k x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) ν
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
⊢ Integrable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (μ.prod ν)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 -ᵥ p2 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p3 -ᵥ p2 = r • (p1 -ᵥ p2)
⊢ InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p1) (p3 -ᵥ p1) = 0
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike K
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace K E
inst✝ : FiniteDimensional K E
this : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ K E
⊢ ProperSpace E
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
⊢ MeasureTheory.ConvolutionExists f g L μ
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Mul β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
b : β
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.const α b * f = MeasureTheory.SimpleFunc.map (fun a => b * a) f
V : Type u_1
W : Type u_2
f : V ↪ W
G : SimpleGraph V
u v : W
⊢ (SimpleGraph.map f G).Adj u v ↔ ∃ u' v', G.Adj u' v' ∧ f u' = u ∧ f v' = v
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
x0 : α
hx0 : x0 ∈ s
this✝ : Inhabited ↑s
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
β : Type u
fβ : Fintype β
F : ↑s → β
hF : ∀ (x y : ↑s), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε
Finv : β → ↑s := Function.invFun F
x : α
xs : x ∈ s
x' : ↑s := Finv (F ⟨x, xs⟩)
this : F x' = F ⟨x, xs⟩
⊢ ∃ i, ∃ (_ : ∃ y, (Subtype.val ∘ Finv) y = i), x ∈ ball i ε
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
i : σ
e : ℕ
r : R
he : e ≠ 0
hr : r ≠ 0
⊢ ((MvPolynomial.monomial (Finsupp.single i e)) r).vars = {i}
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
I : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
⊢ ↑I⁻¹ ≤ traceDual A K 1 ↔ Submodule.map (↑A (Algebra.trace K L)) (restrictScalars A ↑I⁻¹) ≤ 1
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
U : ↥(unitary R)
⊢ star U = U⁻¹
a : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length
k : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.length).1
⊢ Primrec Nat.Partrec.Code.G
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a b : α
m : Multiset α
⊢ {a} = b ::ₘ m ↔ a = b ∧ m = 0
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
⊢ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x ≤ ∑ x ∈ Finset.Ico (0 + a) (b - a + a), f ↑x
R : Type u_1
Ring R
TopologicalSpace R
ContinuousMul R
u : Rˣ
x : R
⊢ ((ContinuousLinearEquiv.unitsEquivAut R) u).symm x = x * ↑u⁻¹
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasRightDual X
inst✝¹ : HasRightDual Y
inst✝ : HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (((((ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ X Xᘁ) ≫ Zᘁ ◁ (f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ)) ≫ (α_ Zᘁ Z Xᘁ).inv) ≫ ε_ Z Zᘁ ▷ Xᘁ) ≫ (λ_ Xᘁ).hom = (((((ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ Y Yᘁ) ≫ Zᘁ ◁ (g ⊗ (((((ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ) ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ) ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv) ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ) ≫ (λ_ Xᘁ).hom)) ≫ (α_ Zᘁ Z Xᘁ).inv) ≫ ε_ Z Zᘁ ▷ Xᘁ) ≫ (λ_ Xᘁ).hom
R : Type uR
M : Type uM
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type uM'
AddCommMonoid M'
Module R M'
φ : Module.Dual R M
ψ : Module.Dual R M'
⊢ (Module.dualProdDualEquivDual R M M') (φ, ψ) = LinearMap.coprod φ ψ
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
⊢ LinearIndependent ℝ G.lapMatrix_ker_basis_aux
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → G
C : ℝ≥0
hf : Differentiable 𝕜 f
bound : ∀ (x : E), ‖fderiv 𝕜 f x‖₊ ≤ C
⊢ LipschitzWith C f
R : Type u_3
CommRing R
⊢ Quaternion.im 0 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᴹᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom.unmop = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X.unmop).hom
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y✝ : E b✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module R F
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
y : E b
⊢ (Trivialization.linearMapAt R e b) y = if b ∈ e.baseSet then (↑e { proj := b, snd := y }).2 else 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤
p : P
hp : p ∈ s
this : s = {p}
⊢ Subsingleton P
α : Type u_1
AddCommGroup α
x x' : α
h : x = x'
⊢ x = Mathlib.Tactic.Abel.termg 1 x' 0
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
⊢ s ⊆ Finset.univ
α : Type u_1
IdemSemiring α
a b c : α
ha : a ≤ c
hb : b ≤ c
⊢ a + b ≤ c
α : Type u_1
Semifield α
LinearOrder α
PosMulReflectLT α
ZeroLEOneClass α
a : α
PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
n : ℤ
⊢ 0 ≤ a ^ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
h : (orthogonalProjection K) v = 0
⊢ v ∈ Kᗮ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
⊢ borel ℝ = generateFrom (⋃ a, {Iic ↑a})
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
hn : Squarefree n
t : Finset ℕ
ht : t ⊆ n.primeFactors
⊢ n = (∏ a ∈ n.primeFactors \ t, a) * ∏ a ∈ t, a
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ Polynomial.comp 0 p = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
X : C
hX : IsTerminal X
I : Type u_1
Y : I → C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
W : C
g : W ⟶ X
⊢ (∃ i, Nonempty (W ⟶ Y i)) → ∃ i a, g = a ≫ f i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C n
i : ℕ
hi : i ≤ n := by valid
⊢ F.map' i i ⋯ hi = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj ⟨i, ⋯⟩)
𝕜 : Type u_1
CommRing 𝕜
MeasurableSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
MeasurableAdd 𝕜
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : MeasureTheory.Measure 𝕜
μ.IsAddRightInvariant
f : 𝕜 → E
v₀ : 𝕜
⊢ Fourier.fourierIntegral e μ (f ∘ fun v => v + v₀) = fun w => e (v₀ * w) • Fourier.fourierIntegral e μ f w
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hmo : q.Monic
a✝ : Nontrivial R
⊢ degree 0 < q.degree
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF_int : Integrable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
f' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => ENNReal.ofReal (f n a - f 0 a)
F' : α → ℝ≥0∞ := fun a => ENNReal.ofReal (F a - f 0 a)
hf'_int_eq : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), f i a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
hF'_int_eq : ∫⁻ (a : α), F' a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), F a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
h_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F' a ∂μ))
h_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f' i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f' i a ≤ F' a
⊢ ∫⁻ (a : α), F' a ∂μ ≠ ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X₁ X₂ S : C
f₁ : X₁ ⟶ S
f₂ : X₂ ⟶ S
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ f₂
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f₁ f₂) (CategoryTheory.forget C)
x₁ : (CategoryTheory.forget C).obj X₁
x₂ : (CategoryTheory.forget C).obj X₂
h : f₁ x₁ = f₂ x₂
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f₁ f₂) (CategoryTheory.Limits.Concrete.pullbackMk f₁ f₂ x₁ x₂ h) = x₂
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : Ideal R → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : Ideal R → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : Ideal R → R
hu : ∀ M ∈ s, u M ∈ ⨅ M' ∈ s.erase M, M'
hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
hv : v ∈ I'
h : ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') * Submodule.span R {v}) = ⊤
M : Ideal R
hJM : Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') * Submodule.span R {v}) ≤ M
hM : M ∈ hf.toFinset
⊢ False
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
x : P
⊢ intrinsicClosure 𝕜 {x} = {x}
α : Type u
β : Type v
s : Set β
t : Set α
f : α → β
⊢ s ⊆ Set.kernImage f t ↔ f ⁻¹' s ⊆ t
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Under.mk f).right = Y
α : Type u_1
β : Type u_4
PartialOrder α
PartialOrder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
x : α
y : α
hy : l.closed y
⊢ u (l.toFun x) ≤ y ↔ x ≤ y
n : ℕ
hn : Even n
h : n ≠ 0
⊢ StrictMono fun x => ↑n * x ^ (n - 1)
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ Finset.Ioc a b = ∅
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ (ClosedEmbedding ⇑f.val.base ∧ ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)) ↔ ((topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => ClosedEmbedding) ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Surjective ⇑f) f
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit z
h1 : x = y * inverse z
⊢ x * z = y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
H : SimpleGraph β
f : G →g H
hf : Bijective ⇑f
x v✝ : α
y : G.Adj a v✝
p : G.Walk v✝ a
hp : (cons y p).IsHamiltonianCycle
⊢ List.count x p.support = 1
z : ℂ
⊢ ‖z‖ = Complex.abs z
K : Type u_1
Field K
NumberField K
DecidableEq (K →+* ℂ)
⊢ (NumberField.basisMatrix K).det ≠ 0
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
⊢ 1 = lift.{v, u} a ↔ 1 = a
R : Type u
Ring R
X₁ X₂ X₃ : ModuleCat R
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
hfg : LinearMap.range f ≤ LinearMap.ker g
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.moduleCatMkOfKerLERange f g hfg).X₂ = X₂
p : String.Pos
c : Char
⊢ (p + c).byteIdx = p.byteIdx + c.utf8Size
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : x < π / 2
⊢ 2 / π * x < sin x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
h : c ≤ b
⊢ Icc a b ∪ Ici c = Ici (min a c)
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : x - y ≠ 0
hyz' : y - z ≠ 0
hxz' : x - z ≠ 0
⊢ cardPowDegree (x - z) ≤ max (cardPowDegree (x - y)) (cardPowDegree (y - z))
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Field R
p q : R[X]
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : IsDomain k
f : R →+* k
x : k
hp : p ≠ 0
⊢ x ∈ (map f p).roots ↔ eval₂ f x p = 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
⊢ f.reverse.natDegree = f.natDegree - f.natTrailingDegree
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
self : f.NonlinearRightInverse
y : F
⊢ ‖self.toFun y‖ ≤ ↑self.nnnorm * ‖y‖
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
hδ : δ ≤ 0
E : Set α
x : α
⊢ x ∈ cthickening δ E ↔ x ∈ closure E
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
⊢ intrinsicClosure 𝕜 s ⊆ closure s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
A : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} A
P Q : CategoryTheory.Functor Dᵒᵖ A
hQ : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf K Q
⊢ Function.Bijective ((CategoryTheory.whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map
α : Type u_1
x : α
⊢ (pure x).HasBasis (fun x => True) fun x_1 => {x}
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
⊢ f.SurjectiveOnStalks ↔ ∀ (I : Ideal S), I.IsMaximal → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ (⊤ ^ (n + 1))⁻¹ = ⊤⁻¹ ^ (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ f =ᵐ[μ] MeasureTheory.AEStronglyMeasurable.mk f hf
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → G
f : α → G
bound : ι → α → ℝ
hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a
bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a
bound_integrable : Integrable (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a)
⊢ HasSum (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), f a ∂μ)
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d r : ℝ
h : -1 < r
⊢ ∀ (c : ℝ), IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume 0 c
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm' f q μ < ⊤
hp_nonneg : 0 ≤ p
hpq : p ≤ q
hp_pos : 0 < p
⊢ eLpNorm' f p μ < ⊤
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
exp_pos : 0 < Monoid.exponent M
m : M
⊢ BddAbove (Set.range fun a => MulAction.period m a)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
⊢ hζ.subOneIntegralPowerBasis.gen = ⟨ζ - 1, ⋯⟩
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : g ⟶ h
CategoryTheory.IsIso η
⊢ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η) =
  CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.inv η)
m n a b c✝ d c : ℕ
h : a % n = b % n
⊢ c * a % (c * n) = c * b % (c * n)
R : Type u
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x : R
⊢ IsRegular (star x) ↔ IsRegular x
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hMN : ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {m : ι → M} {n : ι → N}, ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0 → VanishesTrivially R m n
M' : Submodule R M
s : Finset (↥M' × N)
hx : (rTensor N M'.subtype) (∑ i ∈ s, i.1 ⊗ₜ[R] i.2) = 0
⊢ ∑ x ∈ s.attach, (↑x).1 ⊗ₜ[R] (↑x).2 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Finset β
a : α
⊢ {a} ×ˢ t = Finset.map { toFun := Prod.mk a, inj' := ⋯ } t
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
H : 2 * z.im * w.im ≠ 0
⊢ (z.re - w.re) ^ 2 + (z.im ^ 2 - 2 * z.im * (w.im * Real.cosh r) + w.im ^ 2 * (Real.sinh r ^ 2 + 1)) = (z.re - w.re) ^ 2 + z.im ^ 2 + w.im ^ 2 - 2 * z.im * w.im * Real.cosh r + w.im ^ 2 * Real.sinh r ^ 2
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
x : X
F : Filter ι
u : ι → X
⊢ MapClusterPt x F u ↔ ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ᶠ (a : ι) in F, u a ∈ s