ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ z₁' : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q
⊢ ((z₁ + z₁').comp z₂ h).v p q hpq = (z₁.comp z₂ h + z₁'.comp z₂ h).v p q hpq
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
⊢ n ≤ if h : ofSuppBddBelow f ⋯ = 0 then 0 else ⋯.min ⋯
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a x : E
ha : ¬a = 0
⊢ ⟪a, x⟫_ℝ • o.areaForm a - (o.areaForm a) x • (innerₛₗ ℝ) a = ‖a‖ ^ 2 • o.areaForm x
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.Adj v w
a✝ : V
⊢ a✝ ∈ ((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v}) ↔ a✝ ∈ (G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
FiberBundle F E
Nonempty F
⊢ Function.Surjective Bundle.TotalSpace.proj
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x) = (ghostComponent n) (g x)
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (g x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (ψ n)
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
⊢ ∀ (x : ℕ → ℤ), (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ k)) = (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ k))
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : Cocycle K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
⊢ δ n' (n' + 1) ((↑γ).rightShift a n' hn') = 0
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : MeasurableSpace H
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : BorelSpace G
μ✝ : Measure G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : μ✝.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : WeaklyLocallyCompactSpace G
inst✝² : NoncompactSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
K1 : K ∈ 𝓝 1
hK : IsCompact K
Kclosed : IsClosed K
K_pos : 0 < μ K
A : ∀ (L : Set G), IsCompact L → ∃ g, Disjoint L (g • K)
⊢ μ univ = ⊤
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
h : m₁ ≤ m₂
j : ι
hj₁ : j ∈ Set.Icc n m₁
hj₂ : u j ω ∈ s
⊢ ∃ j ∈ Set.Icc n m₂, u j ω ∈ s
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter α
a : α
hf : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) f := by isBoundedDefault
h : ∀ᶠ (n : α) in f, a ≤ n
⊢ a ≤ f.limsInf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
⊢ s.val = {a} ↔ s = {a}
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)
a : I
ha : ↑y a = true
hx : ↑x a = false
⊢ 1 - e (π C fun x => x ∈ s) a ∈ factors C s x
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : s.gcd r = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : (r * s).gcd m = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = r * s * m
hrsz : r * s ≠ 0
h2b0 : b' ≠ 0
i : ℤ
hi' : ¬m = -i ^ 2
hi : m = i ^ 2
d : ℤ
hd' : ¬r * s = -d ^ 2
hd : s * r = d ^ 2
j : ℤ
hj : r = j ^ 2 ∨ r = -j ^ 2
hj0 : j ≠ 0
k : ℤ
hk : s = k ^ 2 ∨ s = -k ^ 2
⊢ False
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
N : Type u_5
Group N
⊢ Subgroup.map 1 K = ⊥
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
hc : Differentiable ℂ f
⊢ Differentiable ℂ fun x => Complex.cosh (f x)
α : Type u_2
Bornology α
BoundedSpace α
s : Set α
⊢ Bornology.IsBounded s
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* MvPolynomial σ S
d : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ (bind₂ f) ((monomial d) r) = f r * (monomial d) 1
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
f : F
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
ζ : Mˣ
h : IsPrimitiveRoot (↑ζ) k
⊢ IsPrimitiveRoot (↑(ζ ^ i)) k
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ Dense s ↔ ∀ (x : α), ∀ r > 0, (Metric.ball x r ∩ s).Nonempty
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r
⊢ ⌈(↑b - ↑v) / ↑r⌉ - ⌈(↑0 - ↑v) / ↑r⌉ = ⌈(↑b - ↑(v % r)) / ↑r⌉
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
⊢ MeromorphicOn (-f) U ↔ MeromorphicOn f U
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
t : (a : α) → Finset (δ a)
x : (a : α) → δ a
⊢ x ∈ ↑(piFinset t) ↔ ∀ (i : α), x i ∈ ↑(t i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
l : List α
hl : l.length = n + 1
⊢ Tendsto (fun x => ↑(Vector.eraseIdx i x)) (𝓝 ⟨l, hl⟩) (𝓝 ↑(match ⟨l, hl⟩ with | ⟨l, p⟩ => ⟨l.eraseIdx ↑i, ⋯⟩))
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd G
g : G
⊢ (MeasurableEquiv.addLeft g).toEquiv = Equiv.addLeft g
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
v : Set M
hv : span R v = ⊤
x : M'
x✝ : x ∈ ⊤
m : M
s : ↥S
h : (m, s).2 • x = f (m, s).1
⊢ x ∈ span Rₛ (⇑f '' v)
M : Type u_2
N : Type u_3
φ : M → N
X : Type u_5
SMul M X
Y : Type u_6
SMul N Y
f g : X →ₑ[φ] Y
h : f = g
x : X
⊢ f x = g x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x : E
m : ℕ
hm : m ∉ Finset.range n
⊢ ((p m) fun x_1 => x) = 0
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
⊢ Embedding Units.val
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).sin * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝¹ l✝ : List α
x : α
l : List α
y : α
hp : l.reverse = l → l.Palindrome
hr : [y].reverse ++ l.reverse ++ [x] = x :: (l ++ [y])
⊢ (x :: (l ++ [y])).Palindrome
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ SeparationQuotient.mk x = SeparationQuotient.mk y ↔ (x ~ᵢ y)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r✝ : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
r : β → β → Prop
inst✝ : IsTrans β r
f : ℕ → β
a : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), a ≤ n → r (f n) (f (n + 1))
b c : ℕ
hab : a ≤ b
⊢ r (f b) (f b.succ)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : f ≈ g
⊢ -f ≈ -g
R : Type u
CommSemiring R
NoZeroDivisors R
t : Multiset R[X]
⊢ t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod
a b m n✝ p n : ℕ
⊢ Multiset.toFinsupp ↑n.primeFactorsList = 0 ↔ n = 0 ∨ n = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
hg : MeasureTheory.Integrable (↑g) μ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (f + g) =
  MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ f + MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ g
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
ι : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
A' : Type u_4
inst✝¹ : NormedCommRing A'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A'
f g : E → A
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : E
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => f y * g y) x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n - i) g x‖
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
⊢ μ.normalize.toFiniteMeasure = (μ.mass⁻¹ • μ.mass) • μ.normalize.toFiniteMeasure
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f✝ : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : ι → Y
l : Filter ι
y : Y
hg : Inducing g
⊢ Tendsto f l (𝓝 y) ↔ Tendsto (g ∘ f) l (𝓝 (g y))
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type uM
inst✝⁸ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁷ : ChartedSpace H M✝
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M✝
inst✝⁵ : SigmaCompactSpace M✝
inst✝⁴ : T2Space M✝
t : M✝ → Set F
n : ℕ∞
M : Type u_1
inst✝³ : MetricSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
K U : ι → Set M
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
δ : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
hδ0 : ∀ (x : M), 0 < δ x
hδ : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, EMetric.closedBall x (ENNReal.ofReal (δ x)) ⊆ U i
i : ι
x : M
hx : x ∈ K i
⊢ closedBall x (δ x) ⊆ U i
x : ℝ*
r : ℝ
⊢ x.IsSt r ↔ ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → |x - ↑r| < ↑δ
S : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
C : Type u_1
CommRing C
Algebra A C
h : IsCyclotomicExtension S A B
f : B ≃ₐ[A] C
⊢ IsCyclotomicExtension S A C
α : Type u_1
r : Rel α α
p : RelSeries r
⊢ p.reverse.length = p.length
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
r : R
⊢ (eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) 0) = f ((eval r) 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
f : E →L[𝕜] F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(range f)
f' : E →L[𝕜] ↥(range f) := f.codRestrict (range f) ⋯
g : ↥(range f) →L[𝕜] E
hg : f'.comp g = id 𝕜 ↥(range f)
⊢ (ker f).ClosedComplemented
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β
k : Filter α
l : Filter β
k.IsCountablyGenerated
⊢ Filter.Tendsto f k l ↔ ∀ (x : ℕ → α), Filter.Tendsto x Filter.atTop k → Filter.Tendsto (f ∘ x) Filter.atTop l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
self : SimplicialObject.Augmented.ExtraDegeneracy X
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
⊢ self.s (n + 1) ≫ X.left.δ i.succ = X.left.δ i ≫ self.s n
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ (Finset.Ioo s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, (count i t + 1 - count i s) - 2
α : Type u_1
Preorder α
InfiniteDimensionalOrder α
⊢ Nonempty α
f✝ f g : ℝ → ℝ
hg✝ : GrowsPolynomially g
hf : f =Θ[atTop] g
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_pos : 0 < b
c₁ : ℝ
hc₁_pos : 0 < c₁
hf_lb : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, c₁ * ‖g x‖ ≤ ‖f x‖
c₂ : ℝ
hc₂_pos : 0 < c₂
hf_ub : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖f x‖ ≤ c₂ * ‖g x‖
c₃ : ℝ
hc₃_pos : 0 < c₃
c₄ : ℝ
hc₄_pos : 0 < c₄
hg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => ‖g x‖) u ∈ Set.Icc (c₃ * (fun x => ‖g x‖) x) (c₄ * (fun x => ‖g x‖) x)
h_lb_pos : 0 < c₁ * c₂⁻¹ * c₃
h_ub_pos : 0 < c₂ * c₄ * c₁⁻¹
c₂_cancel : c₂⁻¹ * c₂ = 1
c₁_cancel : c₁⁻¹ * c₁ = 1
x : ℝ
hf_pos : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 ≤ f y
h_lb : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → c₁ * ‖g y‖ ≤ ‖f y‖
h_ub : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → ‖f y‖ ≤ c₂ * ‖g y‖
hg_bound : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (b * y) y, ‖g u‖ ∈ Set.Icc (c₃ * ‖g y‖) (c₄ * ‖g y‖)
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
⊢ f u ∈ Set.Icc (c₁ * c₂⁻¹ * c₃ * f x) (c₂ * c₄ * c₁⁻¹ * f x)
α : Type u_1
d y : α
x : WithTop α
⊢ WithTop.untop' d x = y ↔ x = ↑y ∨ x = ⊤ ∧ y = d
α : Type u_1
b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < 0 * b
⊢ 0 < 0 ∧ 0 < b ∨ 0 < 0 ∧ b < 0
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
⊢ a ∣ b ∨ a ∣ c
a b : Cardinal.{u_1}
ha : a < Cardinal.aleph0
hb : b < Cardinal.aleph0
⊢ a * b < Cardinal.aleph0
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
φ : Type u_5
f : α → β → σ → σ × φ
as : List α
bs : List β
s : σ
⊢ List.mapAccumr₂ f as bs s =
  List.foldr
    (fun ab s =>
      let r := f ab.1 ab.2 s.1;
      (r.1, r.2 :: s.2))
    (s, []) (as.zip bs)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ ⟪o.rightAngleRotation x, x⟫_ℝ = 0
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
h : x ≤ y
⊢ z ∈ Set.Icc x y ↔ ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ a * x + b * y = z
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedRing 𝕜
NormedAddCommGroup E
MulActionWithZero 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
φ : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hφ : MeasureTheory.Memℒp φ ⊤ μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (φ • f) p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
b : α → ℝ≥0∞ := fun a => 2 * ENNReal.ofReal (bound a)
hb : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ≤ b a
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ∂μ) atTop (𝓝 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : C
f g : A ⟶ B
self : CategoryTheory.IsCoreflexivePair f g
⊢ ∃ s,
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f s = CategoryTheory.CategoryStruct.id A ∧
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g s = CategoryTheory.CategoryStruct.id A
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
k : ℕ
hk : upperCrossingTime a b f N k ω = N
⊢ BddAbove {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}
R : Type u_1
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
SeminormedAddCommGroup E₃
Module R E
Module R E₂
Module R E₃
⊢ ⇑(LinearIsometryEquiv.prodAssoc R E E₂ E₃).symm = ⇑(Equiv.prodAssoc E E₂ E₃).symm
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a b : α
h : ¬Finite a b
n : ℕ
⊢ a ^ zero ∣ b
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
hp : NullMeasurableSet {x | p x} (μ.restrict s)
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → p x
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
s : SummableFamily Γ R α
g : Γ
hg : ∑ i ∈ ⋯.toFinset, (s i).coeff g ≠ 0
⊢ g ∈ ⋃ a, (s a).support
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
h : s.Finite
val✝ : Fintype ↑s
⊢ ∃ s', ↑s' = s
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
h : G.Adj u v
x✝ : V
⊢ (∃ w, (G.subgraphOfAdj h).Adj x✝ w) ↔ x✝ ∈ {u, v}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
R₁ R₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (CategoryTheory.ComposableArrows.mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (CategoryTheory.ComposableArrows.mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 0 ⋯)
h₂ : CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 2 ⋯)
h₃ : CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 3 ⋯)
⊢ CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 1 ⋯)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
x : M
⊢ AddMonoid.Coprod.fst (AddMonoid.Coprod.inl x) = x
k : ℕ
a : ℝ
ha : a ≤ 1
t : ℝ
n : ℕ
⊢ HurwitzKernelBounds.f_int k a t (Int.negSucc n) = HurwitzKernelBounds.f_nat k (1 - a) t n
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ⟪x, (LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry o.rightAngleRotationAux₂ (-o.rightAngleRotationAux₁) ⋯ ⋯) y⟫_ℝ = -(o.areaForm x) y
x : ℝ
⊢ Real.sin x = 1 ↔ ∃ k, Real.pi / 2 + ↑k * (2 * Real.pi) = x
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ (-x).IsOption (-y) ↔ x.IsOption y
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
f : α → E
c : 𝕜
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp.toLp (c • f) ⋯ = c • MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
as✝ : ι
this✝ : colimit.ι (F ⋙ forget C) { as := as✝ } = (Discrete.natIsoFunctor.hom.app { as := as✝ } ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) { as := as✝ }) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).inv
this : colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) { as := { as := as✝ }.as } = TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) { as := as✝ }.as ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).inv
⊢ OpenEmbedding ⇑(TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) { as := as✝ }.as)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
hu : ∃ u, a < u
hl : ∃ l, l < a
⊢ (⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b)) ⊓ ⨅ b ∈ Ioi a, 𝓟 (Iio b) = (⨅ i, ⨅ (_ : i < a), 𝓟 (Ioi i)) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : a < i), 𝓟 (Iio i)
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
h : v x < v y
⊢ v (x + y) = v y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
a : α
has : a ∉ s
⊢ (insert a s).offDiag = s.offDiag ∪ {a} ×ˢ s ∪ s ×ˢ {a}
α : Type u
HasSubset α
a b : α
IsRefl α fun x x_1 => x ⊆ x_1
⊢ a = b → a ⊆ b
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M✝
s : Set M✝
inst✝³ : AddZeroClass A✝
t : Set A✝
M : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike A M
inst✝ : SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
n : ℕ
⊢ x ^ (n + 1) ∈ S
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β
hx : IsMin x
⊢ IsMin x.1
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : MeasureTheory.Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), MeasureTheory.Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ
⊢ MeasureTheory.Supermartingale f 𝒢 μ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
x : E
r : ℝ
s : Set E
⊢ μ (⇑(AffineMap.homothety x r) '' s) = ENNReal.ofReal |r ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E| * μ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
c : Computation α
⊢ IsBisimulation fun c₁ c₂ => (HOrElse.hOrElse (empty α) fun x => c₂) = c₁
R : Type u
Semiring R
a n : ℕ
h : a.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat a).coeff (n + 1) = 0
a b : ℝ
h : a ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun x => ↑a ^ ↑x) b
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
⊢ AddSubmonoid.comap f ⊥ = AddMonoidHom.mker f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
q : α → Prop
⊢ (∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L →ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
⊢ minpoly K σ.toLinearMap = X ^ orderOf σ - C 1
α : Type u_5
E : Type u_6
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
⊢ MeasureTheory.L1.integral = ⇑MeasureTheory.L1.integralCLM
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P✝ P : R[X]
N : ℕ
hN : P.natDegree ≤ N
⊢ (∀ (i : ℕ), IsNilpotent ((reflect N P).coeff i)) ↔ ∀ (i : ℕ), IsNilpotent (P.coeff i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : γ →. δ
g : β →. γ
h : α →. β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
α : Type u_3
β : Type u_4
Mul α
Mul β
f : α →ₙ* β
I : Type u_5
h : I → α
⊢ ∀ (a : I), (f.compLeft I) h a = (⇑f ∘ h) a
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
h : Function.Surjective ⇑f
x : ↑↑(Spec S).toPresheafedSpace
this : (RingHom.toMorphismProperty fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Surjective ⇑f).RespectsIso
⊢ Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap (Spec.map f) x)
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M'' : Type u_4
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M''
Module R M
Module R M''
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
m : M
s : ↥S
⊢ LocalizedModule.lift' S g h (LocalizedModule.mk m s) = ↑⋯.unit⁻¹ (g m)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g : β → E
ν : MeasureTheory.Measure β
hg : MeasureTheory.Memℒp g p ν
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ ν
⊢ MeasureTheory.Memℒp (g ∘ f) p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Sum.map id id = id
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
x : FreeAddGroup α
⊢ (FreeAddGroup.map g) ((FreeAddGroup.map f) x) = (FreeAddGroup.map (g ∘ f)) x