ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ toIocMod hp a a = a + p
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Topology.WithLowerSet.toLowerSet a ≤ Topology.WithLowerSet.toLowerSet b ↔ a ≤ b
X : TwoP
⊢ (TwoP.swap.obj X).toTwoPointing = X.toTwoPointing.swap
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J✝ : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I J : Ideal S
h : J ∈ I.minimalPrimes
this✝ : J.IsPrime
K : Ideal R
hK : K.IsPrime
e₁ : comap f I ≤ K
e₂ : K ≤ comap f J
this : RingHom.ker f ≤ K
⊢ map f K ≤ J
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
HB : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace HB
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E
⊢ chartAt (ModelProd HB F) x = (trivializationAt F E x.proj).toPartialHomeomorph ≫ₕ (chartAt HB x.proj).prod (PartialHomeomorph.refl F)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
x y : α
hx : Irreducible x
⊢ gcd x y = 1 ↔ ¬x ∣ y
R : Type u
CommRing R
σ : Type u_1
i : σ
x : MvPolynomial σ R
⊢ (KaehlerDifferential.mvPolynomialBasis R σ).repr.symm (Finsupp.single i x) =
  x • (KaehlerDifferential.D R (MvPolynomial σ R)) (MvPolynomial.X i)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
⊢ (∀ (n : ℕ∞), ContDiff 𝕜 n f) ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiff 𝕜 (↑n) f
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
CommSemiring A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
Algebra A B
IsScalarTower R A B
d : Derivation R A ↥I
x : A
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) ((liftOfDerivationToSquareZero I hI d) x) = (algebraMap A (B ⧸ I)) x
α : Type u_1
s t : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ (∃ a ∉ s, insert a s = t) ↔ s ⊆ t ∧ s.ncard + 1 = t.ncard
⊢ Filter.Tendsto Real.eulerMascheroniSeq' Filter.atTop (𝓝 Real.eulerMascheroniConstant)
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → AddGroup (N a)
f g : Π₀ (a : α), N a
⊢ (-f).neLocus g = f.neLocus (-g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f✝ g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : ℕ → α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ ∃ f_lim, StronglyMeasurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
ι : Type u_5
fi : Filter ι
Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
f_lim : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ Filter.Tendsto f fi (𝓝 f_lim) ↔ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
α : Type u_1
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b : α
l : List α
⊢ Multiset.fold op b ↑l = List.foldr op b l
G : Type u₂
Monoid G
k : Type u_4
A : Type u_5
CommSemiring k
Semiring A
Algebra k A
H : Type u_6
F : Type u_7
Monoid H
FunLike F G H
MonoidHomClass F G H
f : F
⊢ ∀ (a : G →₀ A), (MonoidAlgebra.mapDomainAlgHom k A f) a = Finsupp.mapDomain (⇑f) a
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
m : Type u_3
Fintype m
DecidableEq m
b : Basis m R S
⊢ Function.Injective ⇑(Algebra.leftMulMatrix b)
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a + c = b + d - 1
⊢ b ≤ a ∨ d ≤ c
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : (multiplicity p (a * b)).Dom
⊢ (multiplicity p (a * b)).get h = (multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hq0 : 0 ≤ q
f g : α → ℝ≥0∞
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_nonzero : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ 0
hp0_inv_lt : 0 < 1 / p
⊢ ⊤ = ⊤ * (∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b✝ c✝ : α
P : Finpartition a
Q✝ Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
b : α
hb : b ∈ P.parts
c : α
hc : c ∈ P.parts
hbc : ⟨b, hb⟩ ≠ ⟨c, hc⟩
d : α
hdb : d ∈ (Q ↑⟨b, hb⟩ ⋯).parts
hdc : d ∈ (Q ↑⟨c, hc⟩ ⋯).parts
⊢ False
α : Type u_1
Neg α
a : α
⊢ -Part.some a = Part.some (-a)
A : Type u
TopologicalSpace A
ExtremallyDisconnected A
CompactSpace A
T2Space A
⊢ CompactT2.Projective A
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
IsNoetherianRing R
LocalRing R
Module.Finite R M
h : I ≠ ⊤
⊢ ⨅ i, I ^ i • ⊤ = ⊥
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
s : Finset α
⊢ addRothNumber s ≤ s.card
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
h : p.degrees.Disjoint q.degrees
⊢ p.degrees ≤ (p + q).degrees
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
SMul 𝕜 β
f : F → β
s : Set F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
g : E →ₗ[𝕜] F
⊢ ConvexOn 𝕜 (⇑g ⁻¹' s) (f ∘ ⇑g)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
u : γ → δ
h : IdentDistrib f g μ ν
hu : AEMeasurable u (Measure.map g ν)
⊢ AEMeasurable (u ∘ g) ν
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : (α : Type u_4) → [inst : Fintype α] → Prop
hbase : ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α] [inst_1 : Subsingleton α], P α
hstep : ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α] [inst_1 : Nontrivial α], (∀ (β : Type u_4) [inst_2 : Fintype β], card β < card α → P β) → P α
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α], card α = m → P α
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
hn : card α = n
hnontriv : Nontrivial α
⊢ P α
α : Type u
Monoid α
a : α
⊢ Quot.mk Setoid.r a = ConjClasses.mk a
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
⊢ ContinuousWithinAt f s x' → (ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x') ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑e.symm) (e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) (↑e x'))
s : Set ℕ
h : s.Nonempty
⊢ Nat.find h ∈ s
M₀ : Type u_7
CommMonoidWithZero M₀
Nontrivial M₀
⊢ IsPrimitiveRoot 0 0
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
h : a ∉ l₁.keys
⊢ dlookup a (l₁.kunion l₂) = dlookup a l₂
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ (x : ℝ), 0 < f' x
x : ℝ
⊢ 0 < deriv f x
G : Type u_1
AddGroup G
M : Type u_8
N : Type u_9
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : G →+ M
g : G →+ N
⊢ (f.prod g).ker = f.ker ⊓ g.ker
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
hz : ‖x - const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4
i : ι
hxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4
⊢ z i < y i
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Group α
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : ContinuousInv α
inst✝ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
f : β → α
hf : ∀ x ∈ s • t, f x ∈ s ∧ (f x)⁻¹ • x ∈ t
x : β
hx : x ∈ closure (s • t)
u : Ultrafilter β
hust : s • t ∈ u
hux : ↑u ≤ 𝓝 x
this : ↑(Ultrafilter.map f u) ≤ 𝓟 s
g : α
hg : g ∈ s
hug : ↑(Ultrafilter.map f u) ≤ 𝓝 g
⊢ x ∈ s • t
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : S ⊗[R] S
hx : x ∈ ideal R S
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1)
⊢ ∀ x ∈ Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1, ∃ (hx : x ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨x, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))
R : Type u
Semiring R
S : Type v
Semiring S
f : R →+* S
s : S
n : ℕ
h : s ∈ Set.range ⇑f
⊢ (Polynomial.monomial n) s ∈ Polynomial.lifts f
R : Type u_1
M : Type u_2
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
Ring R
Ring R₂
AddCommMonoid M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : M₂ →ₗ[R₂] M₂ ⧸ LinearMap.range f), u.comp f = v.comp f → u = v
⊢ LinearMap.range f = ⊤
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
f : ℝ ≃ᵐ ℝ
f' : ℝ → ℝ
h_deriv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑f) (f' x) x
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑f.symm) (ProbabilityTheory.gaussianReal μ v)) s =
  ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v (f x))
m n : ℕ∞
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
⊢ ContinuousWithinAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) (Set.Icc b₁ b₂) b₀
α : Type u_1
Preorder α
OrderBot α
f : Filter α
⊢ Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
α : Type u_1
f : Filter α
p : α × α → Prop
h : ∀ᶠ (i : α × α) in f ×ˢ f, p i
⊢ ∀ᶠ (i : α) in f, p (i, i)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
x : L
hx : x ∈ H
hx' : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x)
y : ↥H
comm : Commute ((toEnd K (↥H) L) ⟨x, hx⟩) ((toEnd K (↥H) L) y)
⊢ ((traceForm K (↥H) L) ⟨x, hx⟩) y = 0 y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hfy : f y < f (a • x + b • y)
⊢ f (a • x + b • y) < f x
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
self : IsPurelyInseparable F E
⊢ Algebra.IsIntegral F E
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫ (x : X) in s, t.indicator f x ∂μ = ∫ (x : X) in s ∩ t, f x ∂μ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ
hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ
hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior s
H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
⊢ False
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
⊢ (φ ⇔ ψ).Realize v xs ↔ (φ.Realize v xs ↔ ψ.Realize v xs)
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.degree 0 = ⊥
G : Type u_2
AddGroup G
s : Set G
⊢ (AddSubgroup.closure s).op = AddSubgroup.closure (AddOpposite.unop ⁻¹' s)
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n : ℕ
a b c : ℤ
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
HF : a ^ 0 + b ^ 0 + c ^ 0 = 0
⊢ IsCoprime a b
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} D
CategoryTheory.Preadditive C₁
CategoryTheory.Preadditive C₂
CategoryTheory.Preadditive D
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
f₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁
h₁ : Homotopy f₁ f₁'
K₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
f₂ : K₂ ⟶ L₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
F.Additive
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive
c : ComplexShape J
DecidableEq J
TotalComplexShape c₁ c₂ c
K₁.HasMapBifunctor K₂ F c
L₁.HasMapBifunctor L₂ F c
i₁ i₁' : I₁
hi₁ : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ i₂' : I₂
hi₂ : c₂.Rel i₂ i₂'
j : J
hj : c₁.π c₂ c (i₁', i₂) = j
⊢ c₁.ε₁ c₂ c (i₁, i₂) •
    (F.map (h₁.hom i₁' i₁)).app (K₂.X i₂) ≫
      (F.obj (L₁.X i₁)).map (f₂.f i₂) ≫ (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj L₁).obj L₂).d₂ c i₁ i₂ j =
  -(((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).d₂ c i₁' i₂ (c.next j) ≫
      HomologicalComplex.mapBifunctorMapHomotopy.hom₁ h₁ f₂ F c (c.next j) j
L : FirstOrder.Language
K : Set (CategoryTheory.Bundled L.Structure)
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : CategoryTheory.Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, FirstOrder.Language.Structure.FG L ↑M
hp : FirstOrder.Language.Hereditary K
jep : FirstOrder.Language.JointEmbedding K
⊢ ∃ M, FirstOrder.Language.Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
a b : α
s : Set α
f : ι → α
⊢ (sInf s)ᶜ = ⨆ i ∈ s, iᶜ
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b : α
⊢ (a * b)⁻¹ ≤ mabs a * mabs b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
⊢ ContinuousOn ((fun p => p.1 - p.2) ∘ fun x => (a, x)) {x | x ≠ ⊤}
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) =ᶠ[ae μ] fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x
R : Type u_1
M : Type u
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
HasRankNullity.{u, u_1} R
s t : Submodule R M
⊢ Module.rank R ↥(s ⊔ t) ≤ Module.rank R ↥s + Module.rank R ↥t
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Z → W
hf : Inducing f
hg : Inducing g
⊢ Inducing (Prod.map f g)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} D
inst✝ : Category.{?u.30099, u_2} E
X Y : C
e : X ≅ Y
F : C ⥤ D
⊢ F.map e.hom ≫ F.map e.inv = 𝟙 (F.obj X)
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
f : M ≃ N
hf : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y
⊢ ⇑{ toEquiv := f, map_add' := hf } = ⇑f
α : Type u
β : Type v
ι : Sort x
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
g : ι → α
⊢ f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
D : ℝ
x : E
⊢ ExistsContDiffBumpBase.y D (-x) = ExistsContDiffBumpBase.y D x
α : Type u_1
LE α
⊢ Function.Injective NonemptyInterval.toDualProd
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ τ : Equiv.Perm α
⊢ (τ * σ * τ⁻¹).cycleType = σ.cycleType
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ Multiset.filter p s = s ↔ ∀ a ∈ s, p a
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
x : σ
hx : x ∈ (p + q).degrees
⊢ x ∈ p.degrees ∨ x ∈ q.degrees
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (f x).toReal
α : Type u_1
β : Type u_4
SetLike α β
l : LowerAdjoint SetLike.coe
x y : α
⊢ l.toFun (↑(l.toFun ↑x) ∪ ↑y) = l.toFun (↑x ∪ ↑y)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
M N : Matrix m n α
⊢ (∀ (i : m) (j : n), M i j = N i j) → M = N
n : ℕ
i : Fin n
⊢ finSuccEquivLast i.castSucc = some i
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
i : ι
⊢ S i ≤ iSup S
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
n : ℕ
⊢ (algebraMap R S) x ^ n = (mk' S x y * (algebraMap R S) ↑y) ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β
⊢ (⋃ i, ⋃ j, s i j) ×ˢ t = ⋃ i, ⋃ j, s i j ×ˢ t
α : Type u_1
M : Type u_2
Zero M
f : α →₀ M
⊢ f.toAList.entries = List.map Prod.toSigma f.graph.toList
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
s : Set α
t : Set β
u : α → β → γ
l₁ : β → γ → α
l₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (l₁ b) (Function.swap u b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l₂ a) (u a)
⊢ sInf (Set.image2 u s t) = u (sInf s) (sInf t)
ι : Type u_1
α : Type u_2
κ : ι → Type u_5
CommSemiring α
DecidableEq ι
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
ι : Sort u_7
S : ι → Set X
H : ∀ (i : ι), StableUnderGeneralization (S i)
⊢ StableUnderGeneralization (⋃ i, S i)
α : Type u_1
n : ℕ
f : α → α
a : α
⊢ map (fun x => f^[x] a) (range n) = iterate f a n
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a x y : G₀
h : SemiconjBy a x y
⊢ SemiconjBy a x⁻¹ y⁻¹
ι : Type u
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
CompleteSpace E
I : BoxIntegral.Box ι
f : (ι → ℝ) → E
hb : ∃ C, ∀ x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ, ContinuousAt f x
⊢ BoxIntegral.Integrable I l f μ.toBoxAdditive.toSMul
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → α → α
hcomm : Commutative f
hassoc : Associative f
a b c : α
l : List α
⊢ foldl f (f (f a c) b) l = foldl f (f a c) (b :: l)
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
a : α
h✝ : a ∉ s
⊢ 0 = r a • 0
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑∅) => ↑x
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ x ∈ interior s ↔ ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ x ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
g : β → α
h : Function.RightInverse f g
s : Set α
⊢ Set.RightInvOn f g s
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
m : ℕ
CharP R m
h : m ∣ n
⊢ ZMod.cast 1 = 1
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ f.charpoly = ((LinearMap.toMatrix (Module.Free.chooseBasis R M) (Module.Free.chooseBasis R M)) f).charpoly
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurve γ v
dt : ℝ
⊢ IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x + dt) v
α : Type u_2
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Add M
ContinuousAdd M
b : M
c : M
f : α → M
l : Filter α
h : Filter.Tendsto (fun k => f k) l (𝓝 c)
⊢ Filter.Tendsto (fun k => f k + b) l (𝓝 (c + b))
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
x : ι → ℝ
h : x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I
⊢ (BoxIntegral.TaggedPrepartition.single I I ⋯ x h).IsHenstock
X : Type u_1
Y : Type u_2
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ OpenEmbedding f ↔ Embedding f ∧ IsOpen (Set.range f)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
⊢ LieSubmodule.map (LieSubmodule.Quotient.mk' N) N' = ⊥ ↔ N' ≤ N
α : Type u
TopologicalSpace α
R : Type u_2
PseudoMetricSpace R
Mul R
BoundedMul R
ContinuousMul R
f g : BoundedContinuousFunction α R
x : α
⊢ (f * g) x = f x * g x
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Γ' : Type u_3
PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x : HahnSeries Γ R
b : Γ'
hb : b ∉ Set.range ⇑f
⊢ (HahnSeries.embDomain f x).coeff b = 0
α : Type u
l₁ l₂ : List α
DecidableEq α
⊢ l₁.Nodup → (l₁.diff l₂).Nodup
a b c : ℕ
h : a / c < b / c
⊢ a < b
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
x y : α
q : ℚ≥0
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ q • a
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
hd : Disjoint I J
hu : univ ⊆ I ∪ J
hI : I.Finite
this : univ ⊆ ↑hI.toFinset ∪ J
⊢ ⨅ i ∈ J, ker (proj i) ≤ ⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i)
α : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MetrizableSpace X
inst✝ : Nonempty X
f : α → α
g : α → X
h : QuasiErgodic f μ
hgm : AEStronglyMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
⊢ ∃ c, g =ᶠ[ae μ] const α c
a : UnitAddCircle
⊢ Filter.Tendsto (fun s => HurwitzZeta.hurwitzZeta a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) (𝓝 1) (𝓝 (HurwitzZeta.hurwitzZeta a 1))
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕝
AddCommGroup E
Module 𝕝 E
TopologicalSpace E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : ∀ r > 0, p.ball 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ ContinuousAt (⇑p) 0