ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
x : C(↑s, 𝕜)
⊢ x ∈ ↑(StarAlgebra.adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}) ↔ x ∈ ↑(span 𝕜 {1}) + ↑(adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree
⊢ (p %ₘ q).degree < q.degree
R : Type u
CommRing R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
hφ : Function.Injective ⇑φ
⊢ Function.Injective fun E => E.map φ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
⊢ Convex 𝕜 (s ∩ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b x : α
h : IsAntichain r s
a : α
ha hb : a ∈ s
hab : r a a
⊢ r a a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
SecondCountableTopology E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
⊢ AEMeasurable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) ↔ AEMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
z : ℂ
⊢ HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / I) (sin z)
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List (List α)
i : ℕ
h : i < L.length
this : take i (map length L) = take i (map length (take (i + 1) L))
⊢ drop (Nat.sum (take i (map length L))) (take (Nat.sum (take (i + 1) (map length L))) L.join) = L[i]
M : Type u
PseudoMetricSpace M
Mul M
IsometricSMul M M
a b c : M
⊢ nndist (a * b) (a * c) = nndist b c
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
⊢ CotangentSpace.map (Hom.id P) = LinearMap.id
α : Type u
Zero α
⊢ Multiplicative.ofAdd 0 = 1
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCompletion I M
⊢ (map I f) x = 0 → x = 0
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
B : LinearMap.BilinForm R₂ M₂
i j : n
⊢ (BilinForm.toMatrix b) B i j = (B (b i)) (b j)
b c : Prop
α : Sort u_1
⊢ ∀ {x : Decidable b} [inst : Decidable c] {x_1 : b → α} {u : c → α} {y : ¬b → α} {v : ¬c → α} (h₁ : b = c),
  (∀ (h : c), x_1 ⋯ = u h) → (∀ (h : ¬c), y ⋯ = v h) → dite b x_1 y = dite c u v
α : Type u
R : α → α → Prop
a b : α
⊢ List.Chain R a [b] ↔ R a b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : ChainComplex C ℕ
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'
⊢ CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.summand K Δ) A ≫
    AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.map K θ =
  AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K (CategoryTheory.Limits.image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫
    CategoryTheory.Limits.Sigma.ι (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.summand K Δ') (A.pull θ)
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Ring R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
s : Set M₂
h₀ : s.Nonempty
h₁ : s ⊆ Set.range ⇑f
hk : span R (⇑f ⁻¹' s) = span R (⇑f ⁻¹' s) ⊔ ker f
⊢ range f ⊓ span R₂ s ≤ span R₂ s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
e : ι ≃ ι'
i : ι'
⊢ (b.reindex e).coord i = b.coord (e.symm i)
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝¹ l✝ : List α
x : α
l : List α
y : α
hp : l.reverse = l → l.Palindrome
hr : [y].reverse ++ l.reverse ++ [x] = x :: (l ++ [y])
this : l.Palindrome
⊢ (x :: (l ++ [x])).Palindrome
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Set.Iic a = Set.Ici (a / c)
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C
⊢ (MonoidalCategory.rightUnitor (__src✝.obj { as := n })).hom.app X = (MonoidalCategory.whiskerLeft (__src✝.obj { as := n }) h.zero.inv ≫ (fun m n => (h.add m.as n.as).inv) { as := n } (𝟙_ (Discrete A)) ≫ __src✝.map (MonoidalCategory.rightUnitor { as := n }).hom).app X
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ padicValNat p p = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
OrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
h : IsLinearMap 𝕜 f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {w | r < f w}
α : Type u_1
c : Batteries.RBColor
n : Nat
cut : α → Ordering
t : Batteries.RBNode α
h : t.Balanced c n
⊢ Batteries.RBNode.DelProp t.isBlack (Batteries.RBNode.del cut t) n
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t y : ↑I
yH : y ∈ {0, 1}
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I
⊢ ({ toFun := fun x_1 => { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ⋯, map_one_left := ⋯ }.toFun (t, x_1), continuous_toFun := ⋯ } y) y✝ = ((toLoop i p).toContinuousMap y) y✝
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
⊢ x ≤ s.min' H ↔ ∀ y ∈ s, x ≤ y
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.512830
Bₘ : Type ?u.512833
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this✝² : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝¹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : IsFractionRing B L
⊢ (norm (FractionRing A)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x) = (FractionRing.algEquiv A K).symm ((norm K) ((FractionRing.algEquiv B L) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
n : ℤ
K : CochainComplex C ℤ
i : ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftFunctor C n).obj K).X i = K.X (i + n)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f✝ g✝ : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → A
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : ContinuousOn g [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable (fun x => g x * f x) μ a b
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
NormalizationMonoid α
DecidableEq α
⊢ factorization 1 = 0
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hg : g ≠ 0
hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) < g
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, v (f i) < g) → v (∑ i ∈ s, f i) < g
hf : ∀ i ∈ insert a s, v (f i) < g
⊢ v (∑ i ∈ insert a s, f i) < g
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f₁ : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
f₂ : M₂ →SL[σ₂₁] M₁
h₁ : Function.LeftInverse ⇑f₂ ⇑f₁
h₂ : Function.RightInverse ⇑f₂ ⇑f₁
x : M₁
⊢ (ContinuousLinearEquiv.equivOfInverse f₁ f₂ h₁ h₂) x = f₁ x
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
n : ℕ
σ : Equiv.Perm α
h : n ∈ σ.cycleType
⊢ n ≤ σ.support.card
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hg₁ : S₁.g = 0
c₁ : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S₁.f
hc₁ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁
hg₂ : S₂.g = 0
c₂ : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S₂.f
hc₂ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₂
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
comm :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.τ₂ (CategoryTheory.Limits.Cofork.π c₂) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Cofork.π c₁) f
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.ofIsColimitCokernelCofork φ hg₁ c₁ hc₁ hg₂ c₂ hc₂ f comm).φH = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
AddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
T2Space γ
G : Type u_5
FunLike G α γ
AddMonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Inducing ⇑g
f : β → α
⊢ Summable f ↔ Summable (⇑g ∘ f) ∧ ∑' (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
ha : a < 0
b s : ℝ
this : (fun x => -x - (a * x ^ 2 + b * x)) = fun x => x * (-a * x - (b + 1))
⊢ Tendsto (fun x => x * (-a * x - (b + 1))) atTop atTop
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ AnalyticWithinOn 𝕜 f (s ∩ u)
⊢ AnalyticWithinOn 𝕜 f s
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ ∩ l₂ ⊆ l₁
n a b : ℕ
c : ℕ
h : c + a ≡ c + b [MOD n]
⊢ a ≡ b [MOD n]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
U : TopCat
X : PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
x : ↑U
V : OpenNhds (f x)
i : (⋯.functorNhds x).obj ((OpenNhds.map f x).obj V) ⟶ V := homOfLE ⋯
⊢ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) (op V) ≫ (X.restrictStalkIso h x).inv = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) (op V) ≫ Hom.stalkMap (X.ofRestrict h) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
xt : x ≠ ⊤
x0 : 0 < x
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun ε => Icc (x - ε) (x + ε)
α : Type u_1
π : α → Type u_11
t : (i : α) → Set (π i)
⊢ Set.univ.pi t = ⋂ i, Function.eval i ⁻¹' t i
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H K : Subgroup G
hH : f.ker ≤ H
hK : f.ker ≤ K
hf : comap f (map f H) = comap f (map f K)
⊢ H = K
a b c : Int
⊢ (a + b * c) % b = a % b
M : Type u_6
AddMonoid M
A : Type u_5
SetLike A M
AddSubmonoidClass A M
S : A
x : ↥S
n : ℕ
⊢ ↑(n • x) = n • ↑x
n k : ℕ
hk : k.succ ≤ n + 1
hk₁ : k.succ < n + 1
⊢ (n + 1).choose k.succ * k.succ ! * (n + 1 - k.succ)! = (n + 1)!
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
⊢ Γ₂N₁.inv.app X ≫ (Compatibility.υ toKaroubiCompN₂IsoN₁).hom.app X = (𝟙 (N₁ ⋙ Γ₂)).app X
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
⊢ (mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).birthday = (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
l : Filter α
CountableInterFilter l
s t : Set α
ht : EventuallyMeasurableSet m l t
hst : s =ᶠ[l] t
⊢ EventuallyMeasurableSet m l s
α : Type u
β : Type v
Add β
f : α → β
⊢ ⇑(FreeAddMagma.lift f) ∘ FreeAddMagma.of = f
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField R
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
ι : Type u_5
self : VectorBundleCore R B F ι
i j : ι
⊢ ContinuousOn (self.coordChange i j) (self.baseSet i ∩ self.baseSet j)
α : Type u
ι : Sort x
f : ι → Filter α
hn : Nonempty α
hd : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
hb : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
⊢ (iInf f).NeBot
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : f ≤ 𝓟 s
U : ↑s → Set X
hU : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)
hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f
t : Finset ↑s
ht : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
⊢ ⋂ i ∈ t, (U i)ᶜ ⊆ sᶜ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofZeros S hf hg).right =
  CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofZeros S hf hg
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ T ≤ S ⊔ T
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
k : ℕ
hg : (filter (fun v => Odd (G.degree v)) univ).card = k + k
hk : 0 < k
hc : (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) = fun w => Odd (G.degree w) ∧ w ≠ v
⊢ v ∈ filter (fun w => Odd (G.degree w)) univ
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p I : Ideal A
hI : I ≠ ⊥
⊢ p ∈ normalizedFactors I ↔ p.IsPrime ∧ p ∣ I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B : C
c₁ c₂ : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan A B
hc₁ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁
hc₂ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₂
⊢ CategoryTheory.Mono c₁.inl ↔ CategoryTheory.Mono c₂.inl
k n m : Nat
H1 : k.Coprime n
H2 : k ∣ m * n
⊢ k ∣ m
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
p : ℝ
m : ℕ
hf : ContDiff ℝ (↑m) f
h : ↑m ≤ p
⊢ ContDiff ℝ ↑m fun x => f x ^ p
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
⊢ ∀ {f : α × β → ℝ≥0∞}, Measurable f → Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν
α : Sort u_1
DecidableEq α
r a b : α
⊢ Equiv.swapCore a b (Equiv.swapCore a b r) = r
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
f : A →⋆ₙₐ[R] B
f' : A → B
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i✝ : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
v : ι → α
l : Line α ι'
x : α
i : ι ⊕ ι'
⊢ (fun x i => ((vertical v l).idxFun i).getD x) x i = Sum.elim v ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set 𝕜
hs : 0 ∉ s
r : ℝ
⊢ s • Metric.sphere 0 r = (fun x => ‖x‖) ⁻¹' ((fun x => ‖x‖ * r) '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
p : β → Type u_9
f : Sigma p → α
⊢ ⨅ x, f x = ⨅ i, ⨅ j, f ⟨i, j⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
inst✝² : DecidablePred q
s✝ t✝ : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
s t : Finset α
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ t)
i : α
⊢ i ∈ filter (fun i => i ∈ t) s ↔ i ∈ s ∩ t
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ (P.reflection i) (P.root i) = -P.root i
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A L
this✝ : Module.Free A C
this : IsNoetherian A C
⊢ FiniteDimensional.finrank A C = FiniteDimensional.finrank K L
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
ConditionallyCompleteLinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
f : ι → δ → α
s : Set ι
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)
⊢ Measurable fun x => sInf ((fun i => f i x) '' s)
Ω : Type u_1
Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize) ∧ Filter.Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass) ↔
  Filter.Tendsto μs F (𝓝 μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
⊢ StrictMono Sum.inr
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a₁ a₂ b : α
⊢ toIcoMod hp a₁ (toIocMod hp a₂ b) = toIcoMod hp a₁ b
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
AddCommMonoid N
Module R N
DecidableEq ι
(x : N) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
x : Π₀ (i : ι), M i
⊢ (DFinsupp.coprodMap f) x = (DFinsupp.mapRange (fun i => ⇑(f i)) ⋯ x).sum fun x => id
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
I J : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)
hJI : J ⊆ I
h_eq : ∀ (x : (i : ι) → α i), (fun i => x ↑i) ∈ S ↔ (fun i => x ↑i) ∈ T
f : (i : { x // x ∈ I }) → α ↑i
⊢ f ∈ S ↔ (fun j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ∈ T
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
hp : p.Monic
r : K
hr : (aeval r) p = 0
inv : A
h_inv : 1 = ↑(den A r) * inv
⊢ r = (algebraMap A K) (num A r * inv)
X : Type u_1
LinearOrder X
TopologicalSpace X
OrderTopology X
a : X
s : Set X
⊢ s.ordConnectedComponent a ∈ 𝓝 a ↔ s ∈ 𝓝 a
n : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : p < i
hp : p ≠ Fin.last n := ⋯
hi : i ≠ 0 := ⋯
⊢ (p.castPred hp).predAbove i = i.pred hi
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommRing R✝
n : ℕ
inst✝² : IsDomain R✝
h : 0 < n
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
⊢ ζ ^ n = 1 ↔ ∃ i ∈ n.divisors, (cyclotomic i R).IsRoot ζ
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
n : ℕ
⊢ (p ^ n).nextCoeff = n • p.nextCoeff
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : γ → β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
hf : Continuous ↿f
h0K : K.Nonempty
⊢ ∀ (x : γ), ContinuousAt (fun x => sSup (f x '' K)) x
G : Type u_1
Group G
S T : Set G
h : Subgroup.IsComplement S T
g : G
⊢ ∃! x, ↑x.1 * ↑x.2 = g
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
Y Z : C
f : Y ≅ Z
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeftIso X f).inv = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f.inv
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : C
⊢ (adj1.unit ≫ whiskerRight (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom G).app x = adj2.unit.app x
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
M' : Submonoid M
⊢ Function.Surjective ⇑(f.submonoidMap M')
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
inst✝ : Nontrivial α
⊢ (Associates.mk p).count (Associates.mk a).factors ≠ 0 ↔ Associates.mk p ≤ Associates.mk a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ (fun i => ∫⁻ (a : α), f a ∂dirac i) = fun a => f a
a : ℕ
⊢ Nat.floorRoot 1 a = a
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
⊢ (zeroLocus ↑I).Nonempty ↔ I ≠ ⊤
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞
R : Type u_4
SMul R ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
a : R
⊢ ∑' (i : α), a • f i = a • ∑' (i : α), f i
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalPreadditive C
P Q R S : C
J : Type u_2
s : Finset J
f : P ⟶ Q
g : J → (R ⟶ S)
⊢ (∑ j ∈ s, g j) ⊗ f = ∑ j ∈ s, g j ⊗ f
α : Type u
β : Type v
SemilatticeSup β
l : Filter α
f₁ f₂ g₁ g₂ : α → β
hf : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[l] g₂
⊢ f₁ ⊔ g₁ ≤ᶠ[l] f₂ ⊔ g₂
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
CompactSpace X
MetricSpace Y
CompactSpace Y
⊢ IsCompact (GromovHausdorff.candidatesB X Y)
R : Type u_1
E : Type u_5
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
Module R E
⊢ 1 = LinearIsometryEquiv.refl R E
n x y p : ℕ
hp : Prime p
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
⊢ x = p ∧ y = p
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f₁ : α → β → β'
f₂ : α → γ → γ'
g' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' (f₁ a b) (f₂ a c)
⊢ image2 f (↑s) (image2 g ↑t ↑u) ⊆ image2 g' (image2 f₁ ↑s ↑t) (image2 f₂ ↑s ↑u)