ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
IsSymm β s
⊢ IsSymm α r
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
s : Subsemiring R
⊢ s.prod ⊤ = Subsemiring.comap (RingHom.fst R S) s
α : Type u
Div α
x y : α
⊢ Additive.ofMul (x / y) = Additive.ofMul x - Additive.ofMul y
σ : Type u_1
Fintype σ
DecidableEq σ
k : ℕ
⊢ Disjoint (Finset.filter (fun t => t.1.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k))
  (Finset.filter (fun t => t.1.card = k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
LinearOrder E
s : Set E
f : E → β
hs : Convex 𝕜 s
hf :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x < y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • f x + b • f y < f (a • x + b • y)
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s f
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
a : α
s : Set α
hs : s ∈ memPartition f n
ha : a ∈ s
⊢ memPartitionSet f n a = s
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : F α
i : Fin2 n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
⊢ supp (abs ⟨a, g ⊚ f⟩) i = g i '' supp (abs ⟨a, f⟩) i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
h' : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₃ φ₄
⊢ (h.add h').h₁ = h.h₁ + h'.h₁
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n + 1] ⟶ Δ'
hθ : ∃ x x_1, (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) x_1 ∧ ¬x = x_1
⊢ ∃ i θ', θ = σ i ≫ θ'
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p ≠ 0
hn : ∀ m < n, p.coeff m = 0
⊢ n ≤ p.natTrailingDegree
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x : X
⊢ Continuous fun y => (x, y)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝³ : F.Full
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.EffectivelyEnough
inst✝ : Precoherent D
X : C
S : Sieve X
⊢ S ∈ (coherentTopology C).sieves X ↔ S ∈ (F.inducedTopology (coherentTopology D)).sieves X
α : Type u_1
r s : Setoid α
⊢ (r ⊓ s).Rel = r.Rel ⊓ s.Rel
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (f : ℕ → Set (α × β)), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun s => Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) (f i)) → (fun s => Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) (⋃ i, f i)
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Mul M
ContinuousMul M
a b c d : M
hab : Inseparable a b
hcd : Inseparable c d
⊢ Inseparable (a * c) (b * d)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g : G
hg : g ∈ N
ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤
c : G
hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N
hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)
h : ∀ (x : ↥N), (MulAut.conj c) ↑x ∈ N
hs : Surjective ⇑(((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h)
⊢ {⟨g, hg⟩} ⊆ ↑(comap (((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h) (normalClosure {⟨c * g * c⁻¹, hg'⟩}))
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
ExtremallyDisconnected X
e : X ≃ₜ Y
⊢ ExtremallyDisconnected Y
R : Type u
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : AddMonoid R
inst✝¹ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass R R (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : Tropical R
n : ℕ
⊢ (x + y) ^ n = x ^ n + y ^ n
α : Type u_1
s t : Finset α
h : s = t
⊢ s ⊆ t
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x p = ∑ i ∈ Finset.range n, f (p.coeff i) * x ^ i
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁴ : Ring k
inst✝¹³ : AddCommGroup V1
inst✝¹² : AffineSpace V1 P1
inst✝¹¹ : AddCommGroup V2
inst✝¹⁰ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁹ : AddCommGroup V3
inst✝⁸ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁷ : Module k V1
inst✝⁶ : Module k V2
inst✝⁵ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝² : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
h₂ : f 0 = g 0
⊢ f = g
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b : k
h : slope f a b = 0
⊢ f a = f b
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]
hpq : p • 1 + q • (mk W) Y = 0
h : ∑ i : Fin 2, ![p, q] i • (CoordinateRing.basis W) i = 0 → ∀ (i : Fin 2), ![p, q] i = 0
⊢ p = 0 ∧ q = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
⊢ Ideal.span {C r * X () - 1} = (Generators.localizationAway r).ker
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ I ⊔ J = I + J
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
f : Γ → Stmt Bool Λ' σ
v : σ
L R : ListBlank Γ
⊢ stepAux (read dec f) v (trTape' enc0 L R) = stepAux (f R.head) v (trTape' enc0 L R)
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
inst✝ : HasGroupoid M G
s U : Opens M
x : ↥U
e : PartialHomeomorph M H := chartAt H ↑x
heUx_nhds : (e.subtypeRestr ⋯).target ∈ 𝓝 (↑e ↑x)
⊢ ↑e.symm =ᶠ[𝓝 (↑e ↑x)] Subtype.val ∘ ↑(chartAt H x).symm
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : P1 →ᵃ[k] P2
p : P1
⊢ Function.Injective ⇑f.linear ↔ Function.Injective ⇑f
R : Type u_2
Add R
Mul R
Neg R
One R
Zero R
self : FirstOrder.Ring.CompatibleRing R
x : Fin 0 → R
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap FirstOrder.Ring.zeroFunc x = 0
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
e : C ≌ D
inst✝¹ : Precoherent C
A : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
⊢ IsSheaf (coherentTopology C) F ↔ IsSheaf (coherentTopology D) (e.inverse.op ⋙ F)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : β → α
hl : l.HasBasis p s
t : Set β
⊢ t ∈ Filter.comap f l ↔ ∃ i, p i ∧ f ⁻¹' s i ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a a' : α
h : b ∈ f.fix a
h' : b ∈ f.fix a'
fa : Sum.inr a' ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
⊢ (fixInduction h fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → C a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯) = hind a a' h' fa (fixInduction h' fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → (fun x => C x) a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯)
G : Type u_3
Group G
a b : G
⊢ a⁻¹ = b ↔ a * b = 1
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hab : b ≤ a
hcb : c ≤ b
⊢ a - b + (b - c) = a - c
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
⊢ (PartialHomeomorph.univBall c r).source = Set.univ
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} A
inst✝³ : ConcreteCategory A
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective A
X Y : Cᵒᵖ ⥤ A
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J f
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J f
⊢ J.W f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
x : α
s : Set β
a✝ : MeasurableSet s
⊢ ((const α 0) x) s = (0 x) s
ι : Type u_1
m : Multiset ℕ
k : ℕ
⊢ m.prod.Coprime k ↔ ∀ n ∈ m, n.Coprime k
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (↑e '' (e.source ∩ s))
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ K) ↑(p ^ k)
this : NumberField K
⊢ NumberField.discr K = (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
α : Type u
a : α
as : List α
eqv : α → α → Bool
⊢ List.nil.isEqv (a :: as) eqv = false
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
E : Type u_3
EquivLike E α β
OrderIsoClass E α β
e : E
s : Set α
hs : s.OrdConnected
⊢ (⇑e '' s).OrdConnected
α : Type u₁
X Y : CategoryTheory.Discrete α
i : X ⟶ Y
⊢ X.as = Y.as
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : 1 < ↑p
⊢ ↑p ≠ 0
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : s.Nonempty
C : ℝ
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist x y ≤ C
⊢ Metric.diam s ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
r : ℚ
hrx : x < ↑r
⊢ ↑(hf.stieltjesFunction a) x ≤ 1
⊢ Ordinal.Principal (fun x x_1 => x * x_1) Ordinal.omega
a b : Lean.Omega.LinearCombo
w₁ : a.const = b.const
w₂ : a.coeffs = b.coeffs
⊢ a = b
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
q : Products I
hq : q < (↑l).Tail
this : Inhabited I
⊢ List.Pairwise (fun x x_1 => x > x_1) (term I ho :: ↑q)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
φ : L ≃ᴸ L'
⊢ Function.LeftInverse φ.invLHom.onTerm φ.toLHom.onTerm
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ IsLinearMap α A.cramerMap
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
x : K
h : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B
i : ℕ
hx : IsIntegral ℚ x
z : A
hz : z ∈ (map (algebraMap ℚ A) (minpoly ℚ x)).roots
⊢ ‖z‖ ≤ B
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁻¹ ≤ 1 ↔ 1 ≤ a
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A✝ : Rep k G✝
G : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : MulAction G A
f : G → A
hf : IsOneCocycle f
g : G
⊢ g • f g⁻¹ = -f g
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
⊢ g.convs m = g.convs n
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E 0)
⊢ 0 ≤ ‖f‖
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : Finite ↑↑H
x : G
hx : ↑x ∈ MulAction.fixedPoints (↥H) (G ⧸ H)
ha : ∀ {y : G ⧸ H}, y ∈ orbit ↥H ↑x → y = ↑x
n : G
hn : n ∈ H
this : (n⁻¹ * x)⁻¹ * x ∈ H
⊢ x⁻¹ * n * x⁻¹⁻¹ ∈ H
⊢ ∀ {α : Sort u_1} {cmp : α → α → Ordering} {y z x : α},
  Batteries.RBNode.cmpEq cmp y z → (Batteries.RBNode.cmpLT cmp x y ↔ Batteries.RBNode.cmpLT cmp x z)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → X
this : IsPathConnected univ
⊢ ∃ γ, ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ
a b c d : Ordinal.{u}
⊢ a ⨳ (b ⨳ c) ≤ d ↔
  ∀ a' < a,
    ∀ b' < b,
      ∀ c' < c,
        a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c') < d ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c')
n : ℕ
⊢ Monoid.exponent (QuaternionGroup n) = lcm (2 * n) (2 * 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
f : Filter α
⊢ f.smallSets = generate (powerset '' f.sets)
x y : ℂ
h :
  ((∀ (k : ℤ), x ≠ (2 * ↑k + 1) * ↑Real.pi / 2) ∧ ∀ (l : ℤ), y ≠ (2 * ↑l + 1) * ↑Real.pi / 2) ∨
    (∃ k, x = (2 * ↑k + 1) * ↑Real.pi / 2) ∧ ∃ l, y = (2 * ↑l + 1) * ↑Real.pi / 2
⊢ Complex.tan (x + y) = (Complex.tan x + Complex.tan y) / (1 - Complex.tan x * Complex.tan y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)
this✝² : 0 ∈ C
this✝¹ : Convex ℝ C
this✝ : x₀ ∉ C
f : E →L[ℝ] ℝ
hf₁ : f x₀ = 1
hf₂ : ∀ x ∈ C, f x < 1
this : f b₀ = f a₀ + 1
forall_le : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a ≤ f b
b : E
hb : b ∈ t
⊢ sInf (⇑f '' t) ≤ f b
G : Type u_3
Group G
u v : UniformSpace G
hu : UniformGroup G
hv : UniformGroup G
h : 𝓝 1 = 𝓝 1
⊢ u = v
x : ℝ
⊢ Real.cos (2 * Real.pi - x) = Real.cos x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
α : F.op ≅ G.op
⊢ (CategoryTheory.NatIso.removeOp α).inv = CategoryTheory.NatTrans.removeOp α.inv
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ p = ⊥ ↔ ∀ x ∈ p, x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α
⊢ x ≤ b ∨ c ≤ x ∧ x ≤ d ↔ x ≤ b ∨ x ≤ d
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
s : Set β
hf : Measurable f
hs : MeasurableSet s
c : ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => c) (f a) ∂μ = c * μ (f ⁻¹' s)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
n k : ℕ
⊢ (deriv^[k] fun x => x ^ n) = fun x => (∏ i ∈ Finset.range k, (↑n - ↑i)) * x ^ (n - k)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
S : Submodule R M
⊢ Nat.card M = Nat.card ↥S * Nat.card (M ⧸ S)
α : Type u_1
I B✝ X : Set α
M : IndepMatroid α
B : Set α
hB₁ : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {Y | M.Indep Y ∧ ∅ ⊆ Y ∧ Y ⊆ M.E} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B
hB : M.Indep B
⊢ ∃ B, (fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) B
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
DecidableEq α
h : a < b
⊢ insert a (Finset.Ioo a b) = Finset.Ico a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Set α → Filter β
hf : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
hg : Monotone g
s : Set β
⊢ ∀ (x : Set α) (x_1 : ι), x ∈ f x_1 → s ∈ g x → s ∈ ⨅ i, (f i).lift g
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
s : Set E
hc : DifferentiableOn ℂ f s
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun x => Complex.sin (f x)) s
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
e : α ≃ β
⊢ (Finsupp.domCongr e).symm = Finsupp.domCongr e.symm
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
⊢ ↑2 * X y ^ (2 - 1) * 1 + (((0 * X x + C W'.a₁ * 0) * X y + C W'.a₁ * X x * 1) * X z + C W'.a₁ * X x * X y * 0) + ((0 * X y + C W'.a₃ * 1) * X z ^ 3 + C W'.a₃ * X y * (↑3 * X z ^ (3 - 1) * 0)) - (↑3 * X x ^ (3 - 1) * 0 + ((0 * X x ^ 2 + C W'.a₂ * (↑2 * X x ^ (2 - 1) * 0)) * X z ^ 2 + C W'.a₂ * X x ^ 2 * (↑2 * X z ^ (2 - 1) * 0)) + ((0 * X x + C W'.a₄ * 0) * X z ^ 4 + C W'.a₄ * X x * (↑4 * X z ^ (4 - 1) * 0)) + (0 * X z ^ 6 + C W'.a₆ * (↑6 * X z ^ (6 - 1) * 0))) = 2 * X y + C W'.a₁ * X x * X z + C W'.a₃ * X z ^ 3
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
⊢ dual A K I ≤ dual A K J ↔ J ≤ I
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f : α → β
s : Set α
e : α ≃ α
he : QuasiMeasurePreserving (⇑e) μ μ
he' : QuasiMeasurePreserving (⇑e.symm) μ μ
k : ℤ
hs : ⇑e '' s =ᵐ[μ] s
⊢ ⇑(e ^ k).symm ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
hH : H.Normal
K : AddSubgroup G
⊢ (H.addSubgroupOf K).Normal
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h.IsPreservedBy F
⊢ (h.map F).g' = F.map h.g'
α : Type u_2
SemilatticeInf α
OrderBot α
a b : α
ha : IsAtom a
hb : IsAtom b
hab : a ≠ b
⊢ a ⊓ b = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
e : C ≌ C
⊢ e ^ (-1) = e.symm
α : Type u
CommRing α
x y : α
n : ℕ
⊢ x - y ∣ x ^ n - y ^ n
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
n : ι
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
⊢ Memℒp (stoppedProcess u τ n) p μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
hSc : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
q : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hqs : q ∈ S
hpq : p ≤ q
hq : q.domain ≠ ⊤
⊢ ∃ z ∈ S, q ≤ z ∧ z ≠ q
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
g₁ g₂ : G
⊢ SemidirectProduct.inr g₁ = SemidirectProduct.inr g₂ ↔ g₁ = g₂
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
A : ℝ
x : α
⊢ |if f x ∈ Set.Ioc (-A) A then f x else 0| ≤ |A|
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hg : IsMulFreimanHom n B C g
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
h : s.prod = t.prod
⊢ (map g (map f s)).prod = (map g (map f t)).prod
α : Type u_2
s : Set α
⊢ IsCoatom s ↔ ∃ x, s = {x}ᶜ
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x : Z
⊢ x ∈ e.source ↔ proj x ∈ e.baseSet
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
ht : ∀ x ∈ t, f₁ x = f x
hx : f₁ x = f x
h₁ : t ⊆ s
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f₁ t x f'
X : Type u_1
TopologicalSpace X
ContractibleSpace X
⊢ Nonempty (X ≃ₕ Unit)
X : Type u_1
EDist X
a b : Additive X
⊢ edist (Additive.toMul a) (Additive.toMul b) = edist a b
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
σ : K ≃ₐ[k] K
φ : K →+* ℂ
h : NumberField.ComplexEmbedding.IsConj φ σ
⊢ NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k (NumberField.InfinitePlace.mk φ) ↔ σ = 1
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ E
InnerProductSpace ℝ F
f' : E →L[ℝ] F
h : IsConformalMap f'
u v : E
⊢ InnerProductGeometry.angle (f' u) (f' v) = InnerProductGeometry.angle u v
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
⊢ 0 < a / b ↔ 0 < b
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x < 0
⊢ StrictAntiOn f D
n x y : ℕ
h : n = x ^ 2 + y ^ 2
hc : x.Coprime y
⊢ IsSquare (-1)
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
ha : (Iio a).Nonempty
⊢ frontier (Iio a) = {a}
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
this : ∀ K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V, index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card
⊢ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K₁.carrier).Nonempty) s).card + (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K₂.carrier).Nonempty) s).card ≤ s.card
motive : Nat → Prop
x y : Nat
h₁ : y ≤ x → ∀ (k : Nat), x = y + k → motive k
h₂ : x < y → motive 0
⊢ motive (x - y)
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
NormedAddCommGroup β
Norm β₂
l : Filter α
f g₁ : α → β
g₂ : α → β₂
h : f ~[l] g₁
h₂ : g₁ =O[l] g₂
⊢ f =O[l] g₂
A : Type u_1
AddMonoid A
⊢ 0 = 0
R : Type u_1
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₁
Module R M
Module R M₁
Semiring S
Module R S
Module S M
IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
NoZeroSMulDivisors S M
⊢ f.smulRight x = 0 ↔ f = 0 ∨ x = 0
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
n : ℕ
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
m : Fin n.succ → A
⊢ ‖(ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n.succ A) m‖ ≤ 1 * ∏ i : Fin n.succ, ‖m i‖
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : InfinitePlace K
hw₀ : w₀.IsReal
B : ℝ≥0
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
this : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT K fun w => if w = w₀ then B else 1)
a : 𝓞 K
h_nz : a ≠ 0
h_le : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(if w = w₀ then B else 1)
⊢ ∃ a, ℚ⟮↑a⟯ = ⊤ ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(max B 1)