ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
B : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
f₁ : (TotalSpace (F₁ × F₂) fun x => E₁ x × E₂ x) → TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ := fun p => ({ proj := p.proj, snd := p.snd.1 }, { proj := p.proj, snd := p.snd.2 })
f₂ : TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ → (B × F₁) × B × F₂ := fun p => (↑e₁ p.1, ↑e₂ p.2)
f₃ : (B × F₁) × B × F₂ → B × F₁ × F₂ := fun p => (p.1.1, p.1.2, p.2.2)
hf₁ : Continuous f₁
hf₂ : ContinuousOn f₂ (e₁.source ×ˢ e₂.source)
hf₃ : Continuous f₃
⊢ MapsTo f₁ (TotalSpace.proj ⁻¹' (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet)) (e₁.source ×ˢ e₂.source)
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
i : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.CartesianClosed C
self : CategoryTheory.ExponentialIdeal i
B : C
⊢ B ∈ i.essImage → ∀ (A : C), (A ⟹ B) ∈ i.essImage
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
hp : 0 < p
n₁ : ℕ
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
k : ℕ
hg₁ : ((expand F (p ^ k)) g₂).Separable
hf : Irreducible ((expand F (p ^ n₁)) ((expand F (p ^ k)) g₂))
hf0 : (expand F (p ^ n₁)) ((expand F (p ^ k)) g₂) ≠ 0
⊢ n₁ = n₁ + k ∧ (expand F (p ^ k)) g₂ = g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hι : Nonempty ι
C : ℝ
hC₁ : 0 < C
hC₂ : eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u
Mul α
C : Magma.AssocQuotient α → Prop
x : Magma.AssocQuotient α
ih : ∀ (x : α), C (Magma.AssocQuotient.of x)
⊢ C x
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)
H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1
δ'0 : 0 < δ'
C : ℝ≥0 := max π₀.distortion π₀.compl.distortion
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
hπip : ∀ J ∈ π₀, (πi J).IsPartition
hπiδ' : ∀ J ∈ π₀, dist (integralSum f vol (πi J)) (integral J l f vol) ≤ δ'
hπiC : ∀ J ∈ π₀, l.MemBaseSet J C (h.convergenceR δ' C) (πi J)
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_2
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure α
⊢ μ.prod 0 = 0
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
⊢ ∃ a < (Order.succ (Cardinal.mk α)).ord,
  ∃ b < (Order.succ (Cardinal.mk α)).ord, a ≠ b ∧ OrdinalApprox.gfpApprox f x a = OrdinalApprox.gfpApprox f x b
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
U : OpenSubgroup G
g : G
⊢ g ∈ ↑U ↔ g ∈ U
m n n✝ : ℕ
a : ZMod (n✝ + 1)
⊢ n✝ + 1 ∣ 2 * a.val ↔ a = 0 ∨ 2 * a.val = n✝ + 1
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
⊢ (cs.rightInvSeq ω).length = ω.length
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℕ
⊢ x ≠ ↑m
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ g i
⊢ Summable f
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
IsLieAbelian L
ψ : Module.Dual R L
⊢ LieAlgebra.lieCharacterEquivLinearDual.symm ψ = { toLinearMap := ψ, map_lie' := ⋯ }
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M
r : MonoidAlgebra k G
m : RestrictScalars k (MonoidAlgebra k G) M
⊢ ((ofModule M).asAlgebraHom r) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm (r • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X ≃ Y
hf : Continuous ⇑f
⊢ ∀ (s : Set X), IsClosed s → IsClosed (⇑f.symm ⁻¹' s)
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
β : OreLocalization S X → Prop
c : ∀ (r : X) (s : ↥S), β (r /ₒ s)
⊢ ∀ (a : X × ↥S), β ⟦a⟧
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
h : a ∈ s
hba : b * a ∈ s
⊢ b ∈ s
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ
h_deriv : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt (fun t => f t - g t) (f' t - g' t) (Ici t) t
t : ℝ
ht : t ∈ Ico a b
⊢ ‖f' t - g' t‖ ≤ ↑K * ‖f t - g t‖ + (εf + εg)
α : Type u
AddGroup α
IsAddCyclic α
Fintype α
⊢ AddMonoid.exponent α = Fintype.card α
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
A.IsTrivial
f : Additive G →+ CoeSort.coe A
⊢ (groupCohomology.H1LequivOfIsTrivial A).symm f =
  (groupCohomology.H1_π A) ((groupCohomology.oneCocyclesLequivOfIsTrivial A).symm f)
G : Type u_2
Group G
⊢ ⊤.unop = ⊤
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
⊢ fp.IsEquipartition
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ
⊢ (descPochhammer ℤ n).smeval r = n.factorial • choose r n
α : Type u_5
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrder α
OrderTopology α
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom {S | ∃ l u, l < u ∧ Set.Ico l u = S}
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E✝ : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E✝
X : C
E : PreOneHypercover X
F : C ⥤ D
x✝¹ x✝ : E.I₀
j : E.I₁ x✝¹ x✝
⊢ (fun x x_1 j => F.map (E.p₁ j)) x✝¹ x✝ j ≫ (fun i => F.map (E.f i)) x✝¹ = (fun x x_1 j => F.map (E.p₂ j)) x✝¹ x✝ j ≫ (fun i => F.map (E.f i)) x✝
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Ioo a a = 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α
⊢ |a * a| = a * a
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
t_ne_zero' : t ≠ 0
t_ne_zero : ↑t ≠ 0
ν : Measure α := μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)
f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ
f_meas : Measurable f
A : ν (s ∩ f ⁻¹' {0}) ≤ (↑t ^ 2 • ρ) (s ∩ f ⁻¹' {0})
B : ν (s ∩ f ⁻¹' {⊤}) ≤ (↑t ^ 2 • ρ) (s ∩ f ⁻¹' {⊤})
⊢ (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s ≤ ↑t ^ 2 * ρ s
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
h_main : (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
n : ℕ
hn : q ↑(r i n) - q (b i * ↑n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
⊢ ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
N : Submodule R S
y : R
n : ↥N
⊢ N.lTensorOne ((algebraMap R ↥⊥) y ⊗ₜ[R] n) = y • n
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.piecewise hs κ η) a = if a ∈ s then κ a else η a
α : Type u_2
M : Matroid α
X I : Set α
h : M.Basis I X
⊢ X ⊆ M.closure I
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Set α
t : Finset α
h₁ : s ∩ Function.mulSupport f ⊆ ↑t
h₂ : ↑t ⊆ s
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ i ∈ t, f i
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t
V_cover : U ≤ iSup V
x y : ↥U
z : ↥(V x ⊓ V y)
⊢ (G.val.map ((iVU x).op ≫ ((V x).infLELeft (V y)).op) ≫ germ G.val z) t = (G.val.map ((iVU y).op ≫ ((V x).infLERight (V y)).op) ≫ germ G.val z) t
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a b : α
⊢ normalize (lcm a b) = lcm a b
G : Type u_1
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
CompactSpace G
DivisibleBy G ℤ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun g => n • g) μ μ
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
⊢ Continuous f ↔ ∀ (b : α), ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ (a : α), dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2
hu : IsUnit ↑(ringChar FF)
ψ₈ : PrimitiveAddChar (ZMod ↑8) F := primitiveZModChar 8 F ⋯
ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char
τ : FF := ψ₈char 1
τ_spec : τ ^ 4 = -1
χ : MulChar (ZMod 8) FF := χ₈.ringHomComp (Int.castRingHom FF)
hχ : χ (-1) = 1
hq : χ.IsQuadratic
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
⊢ ∀ {X Y : T} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Over.mapFunctor T).map f = CategoryTheory.Over.map f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + c * x) = ∫ (x : ℝ) in d + c * a..d + c * b, f x
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 = r.re
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ‖↑x ^ r‖) μ 0 c
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
⊢ Irrational (x - ↑q)
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ∅), f i = 1
b : Bool
n : ℕ
⊢ Int.bit b (Int.negSucc n) = Int.negSucc (Nat.bit (!b) n)
I : Type w₀
J : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
f : J → I
i' j' : J
h : i' = j'
⊢ (CategoryTheory.Pi.eqToEquivalenceFunctorIso C f h).inv = CategoryTheory.eqToHom ⋯
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
f g : S₁ ⟶ S₂
h₁ : f.τ₁ = g.τ₁
h₂ : f.τ₂ = g.τ₂
h₃ : f.τ₃ = g.τ₃
⊢ f = g
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
P : Type u_6
Q : Type u_7
NormedAddCommGroup V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedAddCommGroup W
MetricSpace Q
NormedAddTorsor W Q
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
f : P →ᴬ[R] Q
p : P
v : V
⊢ f (v +ᵥ p) = f.contLinear v +ᵥ f p
M : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
SMul M α
SMul M β
a : M
b : α
⊢ a • Sum.inl b = Sum.inl (a • b)
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ : X
p₀ p₁ : Path x₀ x₁
F : p₀.Homotopy p₁
⊢ F.eval 1 = p₁
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ
s : Set α
h : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn (fun y => Real.exp (f y)) s
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
⊢ (p - q).degree ≤ max p.degree q.degree
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
M₀ : Type u_6
M₀' : ?m.1161840
inst✝⁵ : AddCommGroup M₀
inst✝⁴ : Module R M₀
M₁ : Type u_7
M₁' : ?m.1162365
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
M₂ : Type u_8
M₂' : ?m.1162890
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
ex : Exact ⇑g ⇑h
y : LocalizedModule S M₁
m : M₁
s : ↥S
hy : ((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₁) (mkLinearMap S M₂)) h) (mk m s) = 0
⊢ mk m s ∈ Set.range ⇑((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Ideal R
x✝ : P'
⊢ x✝ ∈ (canonicalEquiv S P P') ↑I ↔ x✝ ∈ ↑I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.NormalizedMooreComplex.objD X (n + 1) ≫ AlgebraicTopology.NormalizedMooreComplex.objD X n = 0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ s ∈ coclosedCompact X ↔ ∃ t, IsClosed t ∧ IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ s
α : Type u_1
UniformSpace α
⊢ DenseRange ↑α
o : Ordinal.{u_3}
⊢ Nonempty (Quotient.out o).α ↔ o ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
c : E
hc : c ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hcs : Memℒp (↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0))) p μ
⊢ μ s < ⊤
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
⊢ HNNExtension.toSubgroup A B (-1) = B
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).mop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator { unmop := Z } { unmop := Y } { unmop := X }).symm
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
NonnegSpectrumClass R A
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ 0 ≤ a ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, 0 ≤ x
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
this : { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) } + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) } = { re := ↑(2 * a) * ↑(xn a1 (n + 1)), im := ↑(2 * a) * ↑(yn a1 (n + 1)) }
⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n = 2 * a * xn a1 (n + 1) ∧ yn a1 (n + 2) + yn a1 n = 2 * a * yn a1 (n + 1)
α : Type u_3
AddMonoid α
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise AddCommute
p : α → Prop
hom : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a + b)
unit : p 0
base : ∀ x ∈ s, p x
⊢ p (s.noncommSum comm)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
α : Type u_1
l : List α
a : α
acc : Array α
xs : List α
n : Nat
⊢ l = acc.data ++ xs → List.setTR.go l a xs n acc = acc.data ++ xs.set n a
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
x : K
⊢ (∃ a s, ∃ (hs : s ∈ S), x = IsLocalization.mk' K a ⟨s, ⋯⟩) ↔ ∃ a s, ∃ (_ : s ∈ S), x = (algebraMap A K) a * ((algebraMap A K) s)⁻¹
a b c : Prop
h : a → b = c
⊢ (a ∧ b) = (a ∧ c)
η : Type u_8
Fintype η
DecidableEq η
ι : η → Type u_9
(i : η) → Fintype (ι i)
𝕜 : Type u_10
RCLike 𝕜
E : η → Type u_11
(i : η) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : η) → InnerProductSpace 𝕜 (E i)
B : (i : η) → OrthonormalBasis (ι i) 𝕜 (E i)
j : (i : η) × ι i
⊢ (Pi.orthonormalBasis B) j = (WithLp.equiv 2 ((j : η) → E j)).symm (Pi.single j.fst ((B j.fst) j.snd))
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
h : IsUnit a
⊢ a / (a / b) = b
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
Module B P
IsScalarTower R A P
IsScalarTower R B P
SMulCommClass A B P
AddCommMonoid Q
Module R Q
f : M →ₗ[A] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.homTensorHomMap R A B M N P Q) (f ⊗ₜ[R] g) =
  TensorProduct.AlgebraTensorModule.map f g
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
S : Set ι
⊢ TopologicalSpace.induced S.restrict Pi.topologicalSpace = ⨅ i ∈ S, TopologicalSpace.induced (Function.eval i) (T i)
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
DivInvMonoid G₀
TopologicalSpace G₀
ContinuousMul G₀
f : α → G₀
TopologicalSpace α
hf : Continuous f
y : G₀
⊢ Continuous fun x => f x / y
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsLocalAtSource P
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Sort u_1
U : ι → X.Opens
hU : iSup U = ⊤
⊢ P f ↔ ∀ (i : ι), P ((U i).ι ≫ f)
u : PNat.XgcdType
hs : u.IsSpecial
⊢ u.reduce.IsSpecial'
α : Type u
β : Type v
as : List α
⊢ as.zipRight' [] = ([], as)
α : Sort u
⊢ ⇑(Equiv.refl α) = id
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype p
k : Subtype pᶜ
⊢ (if h : p ↑k then biproduct.ι (Subtype.restrict p f) ⟨↑k, h⟩ else 0) ≫ biproduct.π (Subtype.restrict p f) j = 0
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
lem2 : ∀ k > n, k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))
o : j = n ∨ n < j
jn : j > n
lem1 : j ≠ n → xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n → xn a1 i % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
⊢ ↑(xn a1 j % xn a1 n) < ↑(xn a1 (j + 1) % xn a1 n)
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : Type w
AddCommGroup N
Module R N
f : Module.Flat R M
e : N ≃ₗ[R] M
⊢ Module.Flat R N
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
h0 : p 0 = 0
⊢ ((p.leftInv i).comp p).comp (p.rightInv i) = (id 𝕜 E).comp (p.rightInv i)
R : Type u_1
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₁
Module R M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₂
B F : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
e : M₁ ≃ₗ[R] M
f : Module.End R M
⊢ B.IsPairSelfAdjoint F f ↔ (B.compl₁₂ ↑e ↑e).IsPairSelfAdjoint (F.compl₁₂ ↑e ↑e) (e.symm.conj f)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : ProbabilityTheory.IndepFun X Y μ
h_int_X : MeasureTheory.Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
h_int_Y : MeasureTheory.Integrable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun ω => rexp (t * (X + Y) ω)) μ
R : Type u_1
c d : R
Semiring R
⊢ { a := 0, b := 0, c := c, d := d }.toPoly.degree ≤ 1
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
p : R[X]
M : Matrix n n R[X]
⊢ matPolyEquiv (p • M) = Polynomial.map (algebraMap R (Matrix n n R)) p * matPolyEquiv M
K : Type uK
V : Type uV
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V
v : V
⊢ (∀ (φ : Dual K V), φ v = 0) ↔ v = 0
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
t : Set ↑s
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
ht : MeasurableSet t
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (Subtype.val '' t) μ
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
DecidablePred p
LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
⊢ Finset.map (Function.Embedding.subtype p) (Finset.Ioc a b) = Finset.Ioc ↑a ↑b
a : UnitAddCircle
⊢ Tendsto (fun s => s * completedCosZeta a s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (-1))
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ
⊢ (∑ a ∈ s, if ¬Even (f a) then f a % 2 else 0) % 2 = 0 ↔ Even (filter (fun x => Odd (f x)) s).card
X : Type u
TopologicalSpace X
CompactSpace X
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t, ⋃ x ∈ t, U x = Set.univ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set ↑s
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : ↑s) in t, f ↑x ∂MeasureTheory.Measure.comap Subtype.val μ = ∫⁻ (x : α) in Subtype.val '' t, f x ∂μ
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid β
s : Finset γ
t : Finset α
f : γ × α → β
⊢ ∑ x ∈ s ×ˢ t, f x = ∑ y ∈ t, ∑ x ∈ s, f (x, y)
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
⊢ ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R M ⊗ of R N) ⊗ (comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R P)).comul = Coalgebra.comul
R : Type u_11
Semiring R
S : Type u_13
Semiring S
N' : Type u_16
AddMonoid N'
DistribMulAction S N'
σ : R →* S
f g : R →ₑ+[σ] N'
h : f 1 = g 1
⊢ f = g
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a b : α
⊢ BddBelow s → a ∈ s → a < b → sInf s < b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ a = ((fun p => max p.1 p.2) ∘ fun y => (a, y)) a
α : Type u_1
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
hl' : l'.HasBasis p' s'
⊢ l ≤ l' ↔ ∀ (i' : ι'), p' i' → s' i' ∈ l
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
n : ℕ
h : n ∈ σ.cycleType
⊢ n ∣ orderOf σ
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
A B : Subalgebra R S
⊢ (A.mulMap B).toLinearMap = (Subalgebra.toSubmodule A).mulMap (Subalgebra.toSubmodule B)
G : Type u_1
Group G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
BorelSpace G
PolishSpace G
Γ : Subgroup G
Γ.Normal
T2Space (G ⧸ Γ)
SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : MeasureTheory.Measure (G ⧸ Γ)
ν : MeasureTheory.Measure G
ν.IsMulLeftInvariant
hasFun : MeasureTheory.HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
MeasureTheory.QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
⊢ μ.IsMulLeftInvariant