ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
this : (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (x - 1) = x ^ n - 1
⊢ (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (x - 1) = x ^ n - 1
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
N : Submonoid R
h₁ : M ≤ N
h₂ : ∀ r ∈ N, IsUnit ((algebraMap R S) r)
⊢ IsLocalization N S
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
F : Fintype { x // x ∈ s }
h : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ (fun x => x ∈ s) x
⊢ ∏ a ∈ s, f a = ∏ a : { x // x ∈ s }, f ↑a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜' E
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' E
c : 𝕜
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ c • ↑f ∈ Lp E p μ
B : Type u_5
C : Type u_6
F : Type u_7
Ring B
Ring C
b : B
FunLike F B C
RingHomClass F B C
f : F
hb : IsIntegral ℤ b
⊢ IsIntegral ℤ (f b)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
⊢ Finset.image f s = ∅ ↔ s = ∅
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
⊢ Continuous fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹
p q : ℤ[X]
⊢ p.IsUnitTrinomial ↔ (p * p.mirror).coeff (((p * p.mirror).natDegree + (p * p.mirror).natTrailingDegree) / 2) = 3
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
⊢ Subgroup.zpowers ζ = rootsOfUnity k R
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Iio a ∩ Set.Ici b = Set.Ico b a
R : Type u_1
AddMonoid R
Mul R
One R
Neg R
self : isSemireal R
⊢ ¬isSumSq (-1)
α : Sort v
β : Sort u
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : α → β
h₁ : a₁ = a₂
h₂ : ∀ (x : α), b₁ x = b₂ x
⊢ (let x := a₁;
  b₁ x) =
  let x := a₂;
  b₂ x
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k l : ℕ
a✝ : Nontrivial M
⊢ Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) k) ((f.genEigenspace μ₂) l)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
T : L.Theory
MT : M ⊨ T
h : L.ElementarilyEquivalent M N
⊢ N ⊨ T
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
G : K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j ≫ (CategoryTheory.Limits.HasColimit.isoOfEquivalence e w).hom =
  F.map (e.unit.app j) ≫
    w.inv.app ((e.functor ⋙ e.inverse).obj j) ≫
      CategoryTheory.Limits.colimit.ι G (e.functor.obj ((e.functor ⋙ e.inverse).obj j))
α : Type u_1
β : Type v
s : Multiset α
t u : Multiset β
⊢ s ×ˢ (t + u) = s ×ˢ t + s ×ˢ u
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
x : M
⊢ x ∈ AddMonoidHom.mker f ↔ f x = 0
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
f✝ g✝ : Arrow C
inst✝³ : HasImage f✝.hom
inst✝² : HasImage g✝.hom
sq✝ : f✝ ⟶ g✝
f g : Arrow C
inst✝¹ : HasImage f.hom
inst✝ : HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
F G : ImageMap sq
⊢ F.map = G.map
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x
f' : E → F
fx : f x = f' x
ef : f =ᶠ[𝓝[s] x] f'
hf' : AnalyticAt 𝕜 f' x
eg : g =ᶠ[𝓝[s] x] f'
⊢ ContinuousWithinAt g s x ∧ ∃ g_1, g =ᶠ[𝓝[s] x] g_1 ∧ AnalyticAt 𝕜 g_1 x
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
⊢ 1 = ⊤
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
FaithfulSMul M X
P Q : { P // IsLprojection X P }
⊢ ↑(P ⊔ Q) = ↑P + ↑Q - ↑P * ↑Q
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume) * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume
⊢ Gamma s * Gamma t = Gamma (s + t) * s.betaIntegral t
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
⊢ IsUnit A⁻¹.det
α : Type u_1
β : Type u_2
SemilatticeSup α
f : Filter β
u v : β → α
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u →
  Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v → Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => u a ⊔ v a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₁ : δ
Nx : Filter α := 𝓝 x₀
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
lim1 : Tendsto (fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (comap (⇑e) Nx ×ˢ comap (⇑e) Nx) (𝓝 (0, y₁))
lim2 : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, y₁)) (𝓝 0)
lim : ∀ W ∈ 𝓝 0, ∃ U ∈ comap (⇑e) Nx, ∀ (x x' : β), x ∈ U → x' ∈ U → ((fun p => (φ p.1) p.2) ∘ fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (x, x') ∈ W
⊢ ∃ U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W'
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
T2Space M
i : ι
x : M
⊢ (fs.toSmoothPartitionOfUnity i) x = ↑(fs.toFun i) x * ∏ᶠ (j : ι) (_ : WellOrderingRel j i), (1 - ↑(fs.toFun j) x)
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
Finite ι
F : ι → X → α
S : Set X
⊢ EquicontinuousOn F S ↔ ∀ (i : ι), ContinuousOn (F i) S
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
Finite ↥H
h : Nat.card ↥H ≤ 1
⊢ H = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
CompleteLattice β
f : α → β
hμν : ν ≪ μ
⊢ essSup f ν ≤ essSup f μ
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
x : α
adhs : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ f, t ×ˢ t ⊆ s ∧ ∃ y, (x, y) ∈ s ∧ y ∈ t
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 x
U : Set (α × α)
U_mem : U ∈ 𝓤 α
hU : U ○ U ⊆ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s}
t : Set α
t_mem : t ∈ f
ht : t ×ˢ t ⊆ U
y : α
hxy : (x, y) ∈ U
hy : y ∈ t
⊢ t ⊆ s
o o' : ONote
m : ℕ
o.NF
h : o.split = (o', m)
⊢ ω ∣ o'.repr
ι : Sort u_1
M : Type u_2
MulOneClass M
S : ι → Submonoid M
⊢ (iSup S).op = ⨆ i, (S i).op
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Submonoid α
a : α
ha : op a • ↑s = ↑s
⊢ a ∈ s
α : Type u_1
A : Type u_3
AddGroup A
GroupWithZero α
DistribMulAction α A
a : α
ha : a ≠ 0
S : AddSubgroup A
x : A
⊢ x ∈ a • S ↔ a⁻¹ • x ∈ S
M : Type u_1
AddSemigroup M
z : M
⊢ z ∈ Set.addCenter M ↔ ∀ (g : M), g + z = z + g
A : Type uA
AddCommGroup A
a : A
h : (CharacterModule.ofSpanSingleton a) ⟨a, ⋯⟩ = 0
⊢ a = 0
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
𝔖₁ 𝔖₂ : Set (Set E)
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : UniformAddGroup F
h : 𝔖₂ ⊆ 𝔖₁
⊢ instUniformSpace σ F 𝔖₁ ≤ instUniformSpace σ F 𝔖₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ 1 ≤ evenOdd Q 0
x y : ℝ
⊢ Real.cos x + Real.cos y = 2 * Real.cos ((x + y) / 2) * Real.cos ((x - y) / 2)
α : Type u_1
Preorder α
Nonempty α
NoMinOrder α
⊢ Infinite α
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
F G : CategoryTheory.Functor C CategoryTheory.Cat
α : F ⟶ G
X Y : CategoryTheory.Grothendieck F
f : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.Grothendieck.map α).map f).fiber =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.eqToHom ⋯).app X.fiber) ((α.app Y.base).map f.fiber)
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
k : α
lin_0 : ∀ (u : K →+* ℂ), ∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r)) = 0
this✝ : 0 = ∑ u : K →+* ℂ, (∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r))) * (NumberField.house.newBasis K) u
this : 0 = ∑ y : β, ∑ x_1 : K →+* ℂ, ↑(x (y, x_1)) * ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k y x_1 u) * (NumberField.house.newBasis K) u
⊢ 0 = (a *ᵥ NumberField.house.ξ K x) k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M
h : a ≠ a'
⊢ (single a b) a' = 0
x y z : Bool
⊢ x ≤ y → x ≤ z → x ≤ (y && z)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (Set.univ ×ˢ t) (κ a)
⊢ ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (b : β) in Set.univ, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C)
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K V
⊢ Function.LeftInverse ⇑(Submodule.dualRestrict W) ⇑W.dualLift
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.π₁.obj T = T.obj₁
α : Type u_1
⊢ ⇑AddOpposite.opEquiv.symm = AddOpposite.unop
α : Type u_1
ι : Type u_4
PartialOrder α
OrderBot α
s : Set ι
f : ι → α
h : s.PairwiseDisjoint f
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
⊢ i = j ∨ Disjoint (f i) (f j)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
t : Set ι
s : ι → Set β
w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤
x : β
p : x ∈ ⊤
⊢ ∃ i ∈ t, x ∈ s i
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
⊢ HasFPowerSeriesAt (dslope f z₀) p.fslope z₀
α : Sort u_1
IsEmpty α
p : α → Prop
⊢ (∃ a, p a) ↔ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
g : β →ₘ[ν] γ
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μ ν
⊢ g.compQuasiMeasurePreserving f hf = MeasureTheory.AEEqFun.mk (↑g ∘ f) ⋯
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
ProperSpace α
hc : IsClosed s
hb : Bornology.IsBounded s
⊢ IsCompact s
α : Type u
β : Type v
s : Computation α
f : α → Computation β
_T1 : s.Terminates
_T2 : (f s.get).Terminates
⊢ (s.bind f).length = (f s.get).length + s.length
t : ℝ
⊢ t ∈ unitInterval ↔ 1 - t ∈ unitInterval
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
r : ℝ
hr : r < 1
⊢ ∃ x₀ ∉ F, ∀ y ∈ F, r * ‖x₀‖ ≤ ‖x₀ - y‖
α : Type u
t : TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
I : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ I, IsOpen (s i)
⊢ ∃ T ⊆ I, T.Countable ∧ ⋃ i ∈ T, s i = ⋃ i ∈ I, s i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
S₁.unop.HasHomology
S₂.unop.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso (CategoryTheory.ShortComplex.unopMap φ)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
e : R ≃+* S
a : R[X]
⊢ (Polynomial.mapEquiv e) a = Polynomial.map (↑e) a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
i : ι
x : G i
⊢ hV.linearIsometryEquiv.symm (lp.single 2 i x) = (V i) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
x y : α
⊢ (↑K)⁻¹ * edist x y ≤ edist (f x) (f y)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0
hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤
x✝ : Finset α
⊢ Summable fun b => f ↑b
α : Type u
CommMonoid α
x y : α
ux uy : αˣ
⊢ x /ₚ ux * (y /ₚ uy) = x * y /ₚ (ux * uy)
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
x y z : α
⊢ ((x, y, z) ∈ (s \ (SimpleGraph.badVertices G ε s t ∪ SimpleGraph.badVertices G ε s u)).biUnion fun x => image (fun x_1 => (x, x_1)) (G.interedges (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u))) → (x, y, z) ∈ filter (fun x => match x with | (x, y, z) => G.Adj x y ∧ G.Adj x z ∧ G.Adj y z) (s ×ˢ t ×ˢ u)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
⊢ W.IsInvertedBy (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W)
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a + b ≤ c
hle : 0 ≤ b
⊢ a ≤ c
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : RankCondition R
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
f : (α → R) →ₗ[R] β → R
i : Surjective ⇑f
P : (Fin (Fintype.card α) → R) ≃ₗ[R] α → R := LinearEquiv.funCongrLeft R R (Fintype.equivFin α)
Q : (Fin (Fintype.card β) → R) ≃ₗ[R] β → R := LinearEquiv.funCongrLeft R R (Fintype.equivFin β)
⊢ Fintype.card β ≤ Fintype.card α
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
f : M₂ → M
h₁ : ∀ (x y : M), e (x + y) = e x + e y
h₂ : ∀ (m : R) (x : M), { toFun := ⇑e, map_add' := h₁ }.toFun (m • x) = σ m • { toFun := ⇑e, map_add' := h₁ }.toFun x
h₃ : Function.LeftInverse f { toFun := ⇑e, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }.toFun
h₄ : Function.RightInverse f { toFun := ⇑e, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }.toFun
⊢ { toFun := ⇑e, map_add' := h₁, map_smul' := h₂, invFun := f, left_inv := h₃, right_inv := h₄ }.symm =
  let __src := LinearEquiv.symm_mk.aux e f h₁ h₂ h₃ h₄;
  { toFun := f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := ⇑e, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j = 𝟙 (pullback (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k))
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f₀ f₁ : C(X, Y)
g₀ g₁ : C(Y, Z)
F : f₀.Homotopy f₁
G : g₀.Homotopy g₁
x : ↑I × X
⊢ (F.hcomp G) x = G (x.1, F x)
α : Type u_1
Monoid α
a b u : α
hu : IsUnit u
⊢ a * u ∣ b ↔ a ∣ b
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ TypeMax
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
v : s.pt
j : J
⊢ ↑((CategoryTheory.Limits.Types.limitConeIsLimit F).lift s v) j = s.π.app j v
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
Neg β
f : α → β
⊢ (UniformOnFun.ofFun 𝔖) (-f) = -(UniformOnFun.ofFun 𝔖) f
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
op' : β → β → β
Std.Commutative op'
Std.Associative op'
m : α → β
hm : ∀ (x y : α), m (op x y) = op' (m x) (m y)
b : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.fold op' (m b) (Multiset.map m s) = m (Multiset.fold op b s)
V : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : V → E
CompleteSpace E
hf : MeasureTheory.Integrable f MeasureTheory.volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
⊢ Filter.Tendsto
  (fun c => ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w)
  Filter.atTop (𝓝 (f v))
A : Type u_1
CommSemiring A
⊢ Function.Surjective ⇑(MvPolynomial.counitNat A)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hcd : IntervalIntegrable f μ c d
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in c..d, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..c, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in b..d, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Monotone f
a : α
⊢ Monotone fun x => a + f x
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝¹ : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝ : AddCommMonoid M
s✝ : Multiset M
a✝ : α
a : M
s : Multiset M
ih : single a✝ s.sum = (Multiset.map (single a✝) s).sum
⊢ single a✝ (a ::ₘ s).sum = (Multiset.map (single a✝) (a ::ₘ s)).sum
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
r : R
⊢ (algebraMap R A[T;T⁻¹]) r = LaurentPolynomial.C ((algebraMap R A) r)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
hIJ : I ≤ J
r : S
p : R[X]
p_ne_zero : Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p ≠ 0
hpI : eval₂ f r p ∈ I
hrJ : r ∈ ↑J
hrI : r ∉ ↑I
rbar_ne_zero : (Quotient.mk I) r ≠ 0
rbar_mem_J : (Quotient.mk I) r ∈ map (Quotient.mk I) J
quotient_f : ∀ x ∈ comap f I, ((Quotient.mk I).comp f) x = 0
rbar_root : eval₂ (Quotient.lift (comap f I) ((Quotient.mk I).comp f) quotient_f) ((Quotient.mk I) r) (Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p) = 0
i : ℕ
ne_zero : (Quotient.mk (comap f I)) (p.coeff i) ≠ 0
mem : (Quotient.mk (comap f I)) (p.coeff i) ∈ comap (Quotient.lift (comap f I) ((Quotient.mk I).comp f) quotient_f) (map (Quotient.mk I) J)
⊢ p.coeff i ∈ ↑(comap f I) → (Quotient.mk (comap f I)) (p.coeff i) = 0
n : ℕ
α : Type u_1
l : List α
c : Composition n
i : ℕ
h : i < (l.splitWrtComposition c).length
⊢ (l.splitWrtComposition c)[i] = List.drop (c.sizeUpTo i) (List.take (c.sizeUpTo (i + 1)) l)
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsPreimmersion g
inst✝ : IsPreimmersion (f ≫ g)
⊢ Embedding ⇑f.val.base
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semigroup β
f✝ f : α → β
x y : FreeSemigroup α
⊢ (fun x => List.foldl (fun a b => a * f b) (f x.head) x.tail) (x * y) = (fun x => List.foldl (fun a b => a * f b) (f x.head) x.tail) x * (fun x => List.foldl (fun a b => a * f b) (f x.head) x.tail) y
R : Type u_1
Semiring R
P : Polynomial R
⊢ IsNilpotent (Polynomial.X * P) ↔ IsNilpotent P
α : Type u_1
m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((μ.withDensity f).trim hm) s = ((μ.trim hm).withDensity f) s
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R
x : Rˣ
⊢ ∃ ε > 0, Metric.ball (↑x) ε ⊆ {x | IsUnit x}
α : Type u_1
σ : α → Type u_4
t : (a : α) → Multiset (σ a)
⊢ Multiset.sigma 0 t = 0
a✝¹ a✝ : ℕ
⊢ ↑a✝¹ + ↑a✝ = 1 ↔ ↑a✝¹ = 0 ∧ ↑a✝ = 1 ∨ ↑a✝¹ = 1 ∧ ↑a✝ = 0
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ (bit b ↑n).testBit m.succ = (↑n).testBit m
A : Sort u_2
B : Sort u_3
Unique A
Unique B
f : A → B
⊢ Function.Bijective f
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
⊢ a ∈ n • s ↔ a ∈ s
m n a b c d : ℕ
⊢ a ≡ 0 [MOD n] ↔ n ∣ a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : KernelFork f
⊢ Fork.ι s ≫ f = 0
x : ℝ
⊢ Real.toEReal '' Ici x = Ico ↑x ⊤
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} {f : ↥(MeasureTheory.lpMeasSubgroup F m p μ)}, ↑↑↑f = ↑↑↑f
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor T D
Y : CategoryTheory.Over X
⊢ (CategoryTheory.Over.post F).obj Y = CategoryTheory.Over.mk (F.map Y.hom)
H : Type u_5
TopologicalSpace H
self : Pregroupoid H
f g : H → H
u v : Set H
⊢ self.property f u → self.property g v → IsOpen u → IsOpen v → IsOpen (u ∩ f ⁻¹' v) → self.property (g ∘ f) (u ∩ f ⁻¹' v)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p : TangentBundle I H
⊢ (chartAt (ModelProd H E) p).toPartialEquiv = (Bundle.TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A
p : Subalgebra R A
x : ↥p
⊢ p.valA x = ↑x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → E
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
hs₀ : μ s ≠ 0
hsc₀ : μ sᶜ ≠ 0
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in sᶜ, f x ∂μ)
n : ℕ
c : Cardinal.{u_3}
⊢ ↑n = Cardinal.toPartENat c ↔ ↑n = c
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hA : A.Nonempty
hAB : A ⊆ B
h : ∀ A' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(A * C).card / ↑A.card ≤ ↑(A' * C).card / ↑A'.card
A' : Finset α
hAA' : A' ⊆ A
hA' : A'.Nonempty
hA₀ : 0 < ↑A.card
hA₀' : 0 < ↑A'.card
⊢ (A * C).card * A'.card ≤ (A' * C).card * A.card
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
hsurj : Surjective (Prod.map mk mk)
⊢ QuotientMap (Prod.map mk mk)
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
i : ι → κ
hi : ∀ a ∈ s, i a ∈ t
i_inj : Set.InjOn i ↑s
i_surj : Set.SurjOn i ↑s ↑t
h : ∀ a ∈ s, f a = g (i a)
⊢ ∏ x ∈ s, f x = ∏ x ∈ t, g x
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ {a} ⊻ {b} = {a ⊔ b}
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
h : IsUpperSet s
a : α
ha : a ∈ s
⊢ Set.Ioi a ⊆ s
ub i : Nat
h : i < ub
⊢ ub.Up (i + 1) i
α : Type u_1
LE α
s : Flag α
a : α
⊢ a ∈ ↑s ↔ a ∈ s
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : 0 < z
⊢ x < y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z < y