ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
⊢ ClosedEmbedding ⇑↑(Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯))
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
ι : Type u_11
α : Type u_12
Preorder ι
IsDirected ι (Function.swap fun x x_1 => x ≤ x_1)
s t : ι → Set α
hs : Antitone s
ht : Antitone t
⊢ ⋃ i, s i ∩ t i = (⋃ i, s i) ∩ ⋃ i, t i
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
h : Continuous f.toFun
⊢ ↑{ toLinearMap := f, cont := h } = f
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x
⊢ IsRelPrime y (z * x) ↔ IsRelPrime y z
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
v₁ v₂ v₃ v : V
⊢ EuclideanGeometry.angle (v₁ - v) (v₂ - v) (v₃ - v) = EuclideanGeometry.angle v₁ v₂ v₃
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l : Combinatorics.Subspace η α ι
η' : Type u_9
α' : Type u_10
ι' : Type u_11
eη : η ≃ η'
eα : α ≃ α'
eι : ι ≃ ι'
C : (ι' → α') → κ
⊢ Combinatorics.Subspace.IsMono C (l.reindex eη eα eι) ↔ Combinatorics.Subspace.IsMono (fun x => C (⇑eα ∘ x ∘ ⇑eι.symm)) l
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : Mono 0
⊢ IsZero X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.FinitaryPreExtensive C
⊢ CategoryTheory.HasPullbacksOfInclusions C
p : ℝ × ℝ
⊢ Complex.equivRealProd.symm p = ↑p.1 + ↑p.2 * Complex.I
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
⊢ (∑ i ∈ s, f i).toNNReal = ∑ a ∈ s, (f a).toNNReal
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
ι : Sort u_3
CompleteLattice β
f : ι → α →o β
x : α
⊢ (⨆ i, f i) x = ⨆ i, (f i) x
n : ℕ
⊢ (Equiv.swap 0 1).signAux = -1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
k : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℕ k).smeval (-r) = (-1) ^ k * (descPochhammer ℤ k).smeval r
Γ : Type u_1
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
M : Λ → Turing.TM1.Stmt Γ Λ σ
S : Finset Λ
q₁ q₂ : Turing.TM1.Stmt Γ Λ σ
h₁ : q₁ ∈ Turing.TM1.stmts₁ q₂
⊢ some q₂ ∈ Turing.TM1.stmts M S → some q₁ ∈ Turing.TM1.stmts M S
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p x : 𝕜
⊢ ↑(x + p) = ↑x
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ✝ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure (E × ℝ)
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
ν : Measure E := addHaar
A : ν.prod volume = (ν.prod volume).addHaarScalarFactor μ • μ
Hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (ν.prod volume)
Hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (ν.prod volume)
⊢ ∫ (x : E × ℝ), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E × ℝ), (B (f' x)) (g x) ∂μ
T : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
inst✝ : IsIso sq
⊢ sq.left ≫ g.hom ≫ inv sq.right = f.hom
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R →+* R'
j : S →+* S'
hi : Surjective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : (algebraMap R' S').comp i = j.comp (algebraMap R S)
r : R
x✝ : S
this : (algebraMap R' S') (i r) = j ((algebraMap R S) r)
⊢ ↑j (r • x✝) = ↑i r • ↑j x✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
x y : R
H : (iterateFrobenius R p n) x - (iterateFrobenius R p n) y = 0
⊢ x - y = 0
R : Type u
I : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
inst✝² : Fintype I
inst✝¹ : Nonempty I
inst✝ : DecidableEq I
⊢ (∃ μ, ∑ i : I, μ i * ∏ j ∈ {i}ᶜ, s j = 1) ↔ Pairwise (IsCoprime on s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
r₁✝ r₁ : List (List α)
l : List α
ih : ∀ (r₂ : List (List α)), sublists'Aux a r₁ r₂ = r₂ ++ map (cons a) r₁
r₂ : List (List α)
⊢ foldl (fun r l => r ++ [a :: l]) (foldl (fun r l => r ++ [a :: l]) r₂ r₁ ++ [a :: l]) [] = sublists'Aux a r₁ r₂ ++ [a :: l]
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
Zero β
Zero γ
DecidableEq n
f : α → β → γ
hf : ∀ (a : α), f a 0 = 0
A : Matrix l m α
b : n → β
⊢ Matrix.kroneckerMap f A (Matrix.diagonal b) = Matrix.blockDiagonal fun i => A.map fun a => f a (b i)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
f : κ → Ideal A
h : ∀ (i : κ), IsHomogeneous 𝒜 (f i)
i : ι
x : A
hx : ∀ (i : κ), x ∈ f i
⊢ ∀ (i_1 : κ), ↑(((decompose 𝒜) x) i) ∈ f i_1
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
⊢ (map ι f) x = x ↔ 0 < LinearMap.det ↑f
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ s.erase a < s ↔ a ∈ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
c : F
⊢ HasFDerivWithinAt (fun y => c + f y) f' s x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
a : α
⊢ μ.restrict {a}ᶜ = μ
R : Type u_1
Ring R
r u : R
hnil : IsNilpotent r
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r u
⊢ IsUnit (r + u)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
Fact (1 ≤ p)
⊢ Continuous fun f => MeasureTheory.Lp.negPart f
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
H : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f' : E → E →L[𝕜] F
hff' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
o : Set E
o_open : IsOpen o
xo : x ∈ o
ho : s ∩ o ⊆ u
this : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' (s ∩ o) x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s x
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ p ^ m ∣ x.appr n - x.appr m
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite τ
⊢ map (⇑MeasurableEquiv.prodAssoc) ((μ.prod ν).prod τ) = μ.prod (ν.prod τ)
n✝ b m n : ℕ
hb✝ : 0 < b
hb : succ 0 < b
⊢ b.digits n ++ b.digits m = b.digits (n + b ^ (b.digits n).length * m)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
F : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair ⥤ C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasCoequalizersOfHasPushoutsAndBinaryCoproducts.pushoutInl F =
  CategoryTheory.Limits.pushout.inr
    (CategoryTheory.Limits.coprod.desc (𝟙 (F.obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one))
      (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.left))
    (CategoryTheory.Limits.coprod.desc (𝟙 (F.obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one))
      (F.map CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.right))
α : Type u
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
Order.Frame α
a : α
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ Disjoint a (⨆ i, ⨆ j, f i j) ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), Disjoint a (f i j)
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
x y : MvPolynomial R ℤ
⊢ WittVector.teichmullerFun p (x * y) = WittVector.teichmullerFun p x * WittVector.teichmullerFun p y
α : Type u
f g : Filter α
s t : Set α
hs : s ∈ f
ht : t ∈ g
⊢ s ∪ t ∈ f ⊔ g
α : Sort u_1
a✝ b : α
h : a✝ = b
a : α
⊢ a✝ = a ↔ b = a
R : Type u
CommSemiring R
f g : R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus {f * g} = PrimeSpectrum.zeroLocus {f} ∪ PrimeSpectrum.zeroLocus {g}
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : ContinuousAdd M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : (𝓝[{x | IsUnit x}] 0).NeBot
s : Submodule R M
y : M
hy : ↑s ∈ 𝓝 y
x : M
this : Tendsto (fun c => y + c • x) (𝓝[{x | IsUnit x}] 0) (𝓝 y)
u : Rˣ
hu : y + ↑u • x ∈ s
⊢ x ∈ s
α : Type u
Preorder α
f : α → α
hf : StrictMono f
n : ℕ
⊢ StrictMono f^[n]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
⊢ ⨆ y, f x * (f y / f y) ≤ f x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
⊢ (s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w₁ = (s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w₂
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
v w : M₁ × M₂
h₁ : Q₁.IsOrtho v.1 w.1
h₂ : Q₂.IsOrtho v.2 w.2
⊢ (Q₁.prod Q₂).IsOrtho v w
α : Type u
xs : List α
n m : Fin xs.length
h : xs.get n = xs.get m
hne : n ≠ m
⊢ ¬xs.Nodup
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
s : Finset α
f g : α → β
comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)
comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)
comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)
⊢ (↑s).Pairwise fun x y => Commute ((f * g) x) ((f * g) y)
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
s : σ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R (Finsupp.single s 1)) (MvPowerSeries.X s) = 1
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
⊢ ↑(index (↑(K₁ ⊔ K₂)) U) / ↑(index (↑K₀) U) ≤ ↑(index (↑K₁) U) / ↑(index (↑K₀) U) + ↑(index (↑K₂) U) / ↑(index (↑K₀) U)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.num ≠ 0
⊢ ↑(↑p.den * q.num) ≠ 0
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
u : Set Y
hu : IsOpen u
⊢ IsOpen (inr '' u)
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
hs : IsCompact s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
hdU : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) U
⊢ ∃ i, s ⊆ U i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A : C
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
X : CategoryTheory.Subobject B
h : CategoryTheory.Subobject.mk f = X
⊢ (CategoryTheory.Subobject.isoOfMkEq f X h).hom = CategoryTheory.Subobject.ofMkLE f X ⋯
o : Ordinal.{u_2}
H : Order.IsSuccLimit o
⊢ (Cardinal.beth o).IsStrongLimit
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
⊢ ∀ᶠ (c_1 : ℕ) in atTop, seminormFromConst_seq c f x c_1 ≤ f x
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Add L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : AddHomClass F L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)
x y : L
⊢ μ (x + y) = μ x + μ y
α : Type u_1
f : α → α
x : α
hx : x ∈ Function.periodicPts f
⊢ x ∈ Function.periodicOrbit f x
k : Type u₁
G : Type u₂
H✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x y z : G
H : ∀ (a : G), a * x = z ↔ a = y
⊢ (f * single x r) z = f y * r
α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α
ha : IsRegular a
hb : IsRegular b
⊢ IsRegular (a ⇨ b)
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
h : p.coeff n ≠ 0
⊢ ↑n ≤ p.degree
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ pure ≤ 𝓝
G : Type u_2
α : Type u_3
Neg G
MeasurableSpace G
MeasurableNeg G
m : MeasurableSpace α
f : α → G
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => -f x
α : Type u_1
Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Ordnode.Valid' o₁ l ↑x
hr : Ordnode.Valid' (↑x) r o₂
H1 : ¬l.size + r.size ≤ 1
H2 : Ordnode.delta * r.size < l.size
H3 : 2 * l.size ≤ 9 * r.size + 5 ∨ l.size ≤ 3
⊢ Ordnode.Valid' o₁ (l.rotateR x r) o₂
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
i : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves
⊢ ((mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight i).birthday < max (lsub fun i => (a✝¹ i).birthday) (lsub fun i => (a✝ i).birthday)
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
hf : ¬BddBelow (range f)
⊢ ⋂ i, Iio (f i) ⊆ ⋂ i, Iic (f i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set X
h : X ≃ₜ Y
hs : IsPreconnected (⇑h '' s)
⊢ IsPreconnected s
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X✝ Y✝ : C
S✝ : Sieve X✝
R : Presieve X✝
J✝ J₂ : GrothendieckTopology C
Ps : Set (Cᵒᵖ ⥤ Type v)
J : GrothendieckTopology C
hJ : ∀ P ∈ Ps, Presieve.IsSheaf J P
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
hP : P ∈ Ps
Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
this : q * r = q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0
⊢ padicValRat p (q * r) = padicValRat p q + padicValRat p r
R : Type u_3
A : Type u_4
AddGroup R
AddGroup A
r₁ r₂ : R
⊢ Unitization.inl (r₁ - r₂) = Unitization.inl r₁ - Unitization.inl r₂
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
Ring A
Algebra R A
CharZero A
⊢ ℵ₀ ≤ #{ x // IsAlgebraic R x }
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
c : G
⊢ (IsometryEquiv.subRight c).toEquiv = Equiv.subRight c
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R →+* MvPolynomial σ R
hC : f.comp MvPolynomial.C = MvPolynomial.C
hX : ∀ (n : σ), f (MvPolynomial.X n) = MvPolynomial.X n
p : MvPolynomial σ R
⊢ f p = p
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
this : (sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2))) = sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))
i : ℕ × ℕ
⊢ ∀ (s : Set β) (t : Set α), MeasurableSet s → MeasurableSet t → (map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq ν i.1) s * (sFiniteSeq μ i.2) t
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s : Set G
hs : s ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v / w ∈ s
N : ℕ
γ : ↥(CongruenceSubgroup.Gamma0 N)
⊢ γ ∈ CongruenceSubgroup.Gamma1' N ↔ (CongruenceSubgroup.Gamma0Map N) γ = 1
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
⊢ ¬a ≡ b [PMOD p] ↔ ↑b ≠ ↑a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
i : ι
a : G i
f : ↥(lp G 2)
j : ι
⊢ ⟪↑(lp.single 2 i a) j, ↑f j⟫_𝕜 = if j = i then ⟪a, ↑f i⟫_𝕜 else 0
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ l.toFinset.card = l.dedup.length
z : ZFSet
⊢ ¬{y | ↑y ∈ ∅} z
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
v w : V
⊢ w ∈ G'.neighborSet v ↔ G'.Adj v w
R : Type u_1
Semiring R
C : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Linear R C
CategoryTheory.Linear R D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
self : CategoryTheory.Functor.Linear R F
X Y : C
f : X ⟶ Y
r : R
⊢ F.map (r • f) = r • F.map f
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
AddAction α β
A : Set β
a : α
x : β
⊢ x ∈ a +ᵥ A ↔ -a +ᵥ x ∈ A
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
v : V
⊢ k * (k - ℓ - 1) = (n - k - 1) * μ
b : Nat
a : Nat
⊢ a.max b = max a b
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b✝ : WithBot α
b : α
hb : b ≠ 0
⊢ ⊥ * ↑b = Option.bind ⊥ fun a => Option.some (a * b)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set β
f : β → Set α
hs : s.Countable
hd : s.Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on f)
h : ∀ b ∈ s, MeasureTheory.NullMeasurableSet (f b) μ
⊢ μ (⋃ b ∈ s, f b) = ∑' (p : ↑s), μ (f ↑p)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
i : Set α
hs : s.toJordanDecomposition.posPart i = 0 ∧ s.toJordanDecomposition.negPart i = 0
⊢ ↑s i = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g'✝ : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
C : ℝ
g : α → E
g' : α → F
h : ‖g x‖ ≤ C * ‖g' x‖
⊢ IsBigOWith C (𝓝[insert x s] x) g g' ↔ IsBigOWith C (𝓝[s] x) g g'
c : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.PartrecToTM2.trStmts₁ (Turing.PartrecToTM2.trNormal c k) ⊆ Turing.PartrecToTM2.codeSupp' c k
m n : ℕ
⊢ ¬Even n ↔ n % 2 = 1
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : Set α
⊢ ↑(upperClosure s) + t = ↑(upperClosure (s + t))
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
H : SimpleGraph V
s s₁ s₂ : Set (Sym2 V)
⊢ G.deleteEdges s = G ↔ Disjoint G.edgeSet s
X : Type u_1
n : Type u_5
R : Type u_8
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
DecidableEq n
f : X → n → R
hf : Summable f
⊢ Summable fun x => Matrix.diagonal (f x)
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
⊢ W.Nonsingular (W.neg P)
x y : ℂ
hre : |x.re| ≤ |y.re|
him : |x.im| ≤ |y.im|
⊢ normSq x ≤ normSq y
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s t : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), s i ⊆ t i
⊢ Set.iInter s ⊆ Set.iInter t
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
i j k : n
⊢ A i k * A.adjugate k j = A.transpose.cramer (Pi.single k (A i k)) j
α : Type u_1
OrderedSemiring α
h : 0 ∈ Set.Icc 0 1
⊢ ⟨0, h⟩ = 0
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α
x✝ : m
⊢ (1 *ᵥ v) x✝ = v x✝
l : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq l
CommRing R
⊢ (Matrix.J l R)ᵀ = -Matrix.J l R
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0
h : ↑ε < μ.innerContent U
h₂ : μ.innerContent U - ↑ε < μ.innerContent U
⊢ ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
h : IsCompl a b
⊢ ￢a = b
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
⊢ Submodule.baseChange A (Submodule.span R s) = Submodule.span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a < b
hc : 0 < c
⊢ a / c < b / c
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ a₁.y ≤ a.y
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type
inst✝ : Ring R
X✝ Y✝ Z✝ : Mat_ (SingleObj Rᵐᵒᵖ)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
i✝ : ↑({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj X✝)
j✝ : ↑({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj Z✝)
⊢ { obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.map (f ≫ g) i✝ j✝ = ({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.map f ≫ { obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.map g) i✝ j✝
x : ℝ
x_pos : 0 < x
hx : ∀ (n : ℕ), x ≤ stirlingSeq (n + 1)
⊢ ∃ a, 0 < a ∧ Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
f : α → ℝ≥0∞
t : ι → Set α
⊢ ∑' (x : ↑(⋃ i, t i)), f ↑x ≤ ∑' (b : ι) (x : ↑(t b)), f ↑x
β : Type u_4
AddCommMonoid β
b : β
n : ℕ
⊢ n • b = ∑ _k ∈ Finset.range n, b
a b : ℤ
r : ℤ
hr : 0 < r
⊢ ↑(Finset.filter (fun x => r ∣ x) (Finset.Ico a b)).card = max (⌈↑b / ↑r⌉ - ⌈↑a / ↑r⌉) 0
⊢ BddLat.dual ⋙ CategoryTheory.forget₂ BddLat BddOrd = CategoryTheory.forget₂ BddLat BddOrd ⋙ BddOrd.dual
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB : ∃ c < π / (b - a), ∃ B, f =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * |z.im|))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
⊢ ∃ c < π / (b - a), ∃ B, (fun z => f (z * -I)) =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
K : Type u_1
RCLike K
a : K
h : ‖a‖ ≤ RCLike.re a
⊢ RCLike.im a = 0
d : ℕ
a : ℤ√↑d
⊢ ∃ n, a ≤ ↑n
B : Type u₁
Quiver B
(a b : B) → Quiver (a ⟶ b)
C : Type u₂
Quiver C
(a b : C) → Quiver (a ⟶ b)
D : Type u₃
Quiver D
(a b : D) → Quiver (a ⟶ b)
F : CategoryTheory.PrelaxFunctorStruct B C
G : CategoryTheory.PrelaxFunctorStruct C D
⊢ (F.comp G).toPrefunctor = F.toPrefunctor ⋙q G.toPrefunctor
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
i : α
inst✝ : DecidableEq α
h : b ≠ 0
⊢ (f.update a b).support = insert a f.support