ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S
⊢ μ ^ (↑⋯.choose).val = f μ
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ f u < f v
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : ↑(MaxProducts C ho)
hm : term I ho ∈ ↑↑l
this : ord I (↑↑l).head! < Order.succ o
⊢ ord I (↑↑l).head! = o
α : Type u
l : List α
p : α → Bool
⊢ List.filter (fun x => p ↑x) l.attach = List.map (Subtype.map id ⋯) (List.filter p l).attach
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
μ : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝
self : PreErgodic f μ
s : Set α
⊢ MeasurableSet s → f ⁻¹' s = s → s =ᵐ[μ] ∅ ∨ s =ᵐ[μ] Set.univ
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hfg : ∀ (n : ℕ), f n ≤ g n
this : BoundedGENhdsClass ℝ
a : ι → ℝ
ha : a ∈ lowerBounds (range f)
⊢ x ∈ ↑(lowerClosure s)
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
ψ : AddChar A M
⊢ ψ.IsNontrivial ↔ ψ ≠ 1
n : ℕ
k : ℕ
⊢ 2 ≤ k → (n + 1) ^ k < (n + 1).ascFactorial k
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ : α
f : α → β
ha : ∀ x < a, f x = f a
hb : ∀ (x : α), b < x → f x = f b
x : α
hax : a ≤ x
⊢ IccExtend h (f ∘ Subtype.val) x = f x
ι : Type u_1
R : Type u_2
LinearOrderedCommRing R
s : Finset ι
f : ι → R
⊢ |∏ x ∈ s, f x| = ∏ x ∈ s, |f x|
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
G.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
CategoryTheory.Limits.HasCokernel (G.map f)
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair f 0) G
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesCokernel.iso G f).inv = CategoryTheory.Limits.cokernelComparison f G
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ Antiperiodic (fun x => f (x * a)) (c / a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
l : List α
inst✝ : Fintype α
x : α
hx : x ∈ l.formPerm.support
hx' : x ∈ {x | l.formPerm x ≠ x}
⊢ x ∈ l.toFinset
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
H : p.toList x = [y]
⊢ False
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
h2 : n ≤ p.natDegree
h3 : n < p.natTrailingDegree
⊢ p.mirror.coeff n = p.coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree - n)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h2s : μ s = 0
⊢ (map Prod.fst (μ.prod ν)) s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
h : Function.Semiconj f fa fb
s : Set β
hb : Set.InjOn fb s
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' s)
⊢ Set.InjOn fa (f ⁻¹' s)
x : ℂ
y : ℝ
⊢ (x ^ ↑y).im = abs x ^ y * Real.sin (x.arg * y)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ index K V ≤ index ((fun h => g * h) '' K) V
a b : ℕ
⊢ Disjoint (Finset.range a) (Finset.map (addLeftEmbedding a) (Finset.range b))
E : Type u_1
ι : Type u_2
V : Type u_4
W : Type u_5
Fintype ι
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
M : ι → Type u_6
(i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
(i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
f : V → ContinuousMultilinearMap ℝ M E
m : (i : ι) → M i
w : W
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ (VectorFourier.fourierIntegral Real.fourierChar μ L.toLinearMap₂ f w) m =
  VectorFourier.fourierIntegral Real.fourierChar μ L.toLinearMap₂ (fun x => (f x) m) w
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝² : HasBinaryCoproduct X Y
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
⊢ IsPushout 0 0 coprod.inl coprod.inr
r : ℝ
z : ℂ
⊢ r • ↑z = ↑r * ↑z
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → E
⊢ ∫ (x : α), f x - ⨍ (a : α), f a ∂μ ∂μ = 0
E : Type u_4
AddGroup E
x : E
⊢ 0 x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
MeasureTheory.SFinite μ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : α × β → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ ⊗ₘ κ)
⊢ MeasureTheory.Integrable f (μ ⊗ₘ κ) ↔
  (∀ᵐ (x : α) ∂μ, MeasureTheory.Integrable (fun y => f (x, y)) (κ x)) ∧
    MeasureTheory.Integrable (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂κ x) μ
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : map f p ≤ P
hP0 : P ≠ ⊥
⊢ ramificationIdx f p P ≠ 0
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
c : E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => c) p μ
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : ProjectiveResolution X
⊢ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app ((projectiveResolutions C).obj X).as) ≫ (G.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map P.iso.hom = (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map P.iso.hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
f : Filter α
hp : ∃ᶠ (x : α) in f, p x
H : ∀ᶠ (x : α) in f, ¬p x
⊢ False
α : Type u
s : Set α
hs : s.Infinite
t : Finset α
⊢ ∃ a ∈ s, a ∉ t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X' Y' Z' : C
iX : X ≅ X'
iY : Y ≅ Y'
iZ : Z ≅ Z'
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
wf : iX.hom ≫ f' = f ≫ iZ.hom
wg : iY.hom ≫ g' = g ≫ iZ.hom
⊢ (CategoryTheory.Limits.cospanExt iX iY iZ wf wg).hom.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.right = iY.hom
α : Type u_2
Monoid α
s : Set α
hs : s.Subsingleton
⊢ ThreeGPFree s
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a✝ b c d a : K
h : a ≠ 0
⊢ a / -a = -1
R : Type u
Ring R
s : Subring R
l : List R
⊢ (∀ x ∈ l, x ∈ s) → l.prod ∈ s
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
Field F
Field K
Field L
Algebra F K
Algebra F L
Algebra K L
IsScalarTower F K L
Normal F L
⊢ normalClosure F K L = ⨆ x, IntermediateField.adjoin F ((minpoly F x).rootSet L)
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
(i : ι) → Module R (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
Semiring S
Module S M₂
SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
⊢ (MultilinearMap.domDomCongrLinearEquiv' R S M₁ M₂ σ) f =
  { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S : CategoryTheory.ComposableArrows C (n + 2)
hS : S.Exact
⊢ S.δ₀.Exact
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring C
DistribMulAction R C
Star C
f : A →⋆ₙₐ[R] B
g : A →⋆ₙₐ[R] C
i : A
⊢ (f.prod g) i = (f i, g i)
a b : ℝ≥0∞
⊢ (a * b).toReal = a.toReal * b.toReal
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
h : p.degree = 1
this : p.coeff 1 ≠ 0
⊢ (C (p.coeff 1) * X + C (p.coeff 0)).IsRoot (-(p.coeff 0 / p.coeff 1))
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F₁ F₁' F₂ F₂' : J ⥤ C
f : F₁ ⟶ F₁'
g : F₂ ⟶ F₂'
j : J
⊢ (f ⊗ g).app j ≫ (fst F₁' F₂').app j = fst (F₁.obj j) (F₂.obj j) ≫ f.app j
P : TopCat → Prop
X Y : CompHausLike P
f : X ⟶ Y
bij : Function.Bijective ⇑f
⊢ CategoryTheory.IsIso f
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
OrderedAddCommGroup β
f : α → β
a : α
hf : IsLocalMin f a
⊢ IsLocalMax (fun x => -f x) a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
hk : n ≤ k
m : ℕ
hm : m ∈ Finset.range (n - k)
⊢ ((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 => x) = 0
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
⊢ IsCompl ⊤ ⊥
α : Type u_2
ι : Type u_5
LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α
⊢ a < s.sup' H f ↔ ∃ b ∈ s, a < f b
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
self : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ self.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) f).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (self.mapId a).hom (self.map f))
      (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (self.map f)).hom)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Functor.empty C) G
⊢ CategoryTheory.Limits.HasTerminal D
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
i : Fin r ⊕ Unit
k : ℕ
hk : k ≤ r
⊢ (M * (List.take k (Matrix.Pivot.listTransvecRow M)).prod) i (Sum.inr ()) = M i (Sum.inr ())
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → Lattice (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
DecidableEq ι
(i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
⊢ (f ⊔ g).support ∪ (f ⊓ g).support = f.support ∪ g.support
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
t : R
⊢ Polynomial.eval t ((⇑Polynomial.derivative)^[Polynomial.rootMultiplicity t p] p) =
  (Polynomial.rootMultiplicity t p).factorial •
    Polynomial.eval t (p /ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C t) ^ Polynomial.rootMultiplicity t p)
r : ℝ
hr_nonneg : 0 ≤ r
hr_le : r ≤ 1
x y : ℂ
hyx : ‖y - x‖ < r
⊢ ‖Complex.exp y - Complex.exp x‖ ≤ (1 + r) * ‖Complex.exp x‖ * ‖y - x‖
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
m n : ℕ
m.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat m < ↑n ↔ OfNat.ofNat m < n
M : Type u_1
CommMonoidWithZero M
p : M
L : List M
pp : Prime p
hL : ∀ a ∈ L, ¬p ∣ a
⊢ ¬p ∣ L.prod
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Set α
μ : Measure α
⊢ f.lintegral (μ.restrict s) = ∑ y ∈ f.range, y * μ (↑f ⁻¹' {y} ∩ s)
M : Type u_11
N : Type u_12
α : Type u_13
SMul M N
SMul N α
SMul M α
self : IsScalarTower M N α
x : M
y : N
z : α
⊢ (x • y) • z = x • y • z
n p : ℕ
hp : _root_.Prime ↑p
a b : ℕ
⊢ p ∣ a * b → p ∣ a ∨ p ∣ b
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalRing R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => -x) '' spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => f (-x)) a = cfc f (-a)
n : Nat
⊢ ↑n ≠ 0 ↔ n ≠ 0
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
this : map f g = (map f (AlgHom.id R D)).comp (map (AlgHom.id R A) g)
⊢ RingHom.ker ((↑(map f (AlgHom.id R D))).comp ↑(map (AlgHom.id R A) g)) = Ideal.map includeLeft (RingHom.ker ↑f) ⊔ Ideal.map includeRight (RingHom.ker ↑g)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
ha : Aᴴ.IsDiag
⊢ A = Aᴴᴴ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
G.PreservesMonomorphisms
(F ⋙ G).ReflectsMonomorphisms
⊢ F.ReflectsMonomorphisms
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
δ : Type u_3
inst✝ : CommGroup δ
f : ℕ → δ
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ ∏ k ∈ Ico m n, f k = (∏ k ∈ range n, f k) / ∏ k ∈ range m, f k
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Z : Type u_6
Semiring Z
e : X ≃ₜ Y
g : LocallyConstant Y Z
⊢ ∀ (a : X), ((LocallyConstant.congrLeftRingEquiv e).symm g) a = g (e a)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p n : ℕ
ExpChar R p
f : R[X]
PerfectRing R p
DecidableEq R
⊢ Finset.image (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((Polynomial.expand R (p ^ n)) f).roots.toFinset = f.roots.toFinset
n m k : ℕ
h₁ : k ≤ n
⊢ List.map (fun x => x - k) (List.Ico n m) = List.Ico (n - k) (m - k)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
R X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
a b : R ⟶ X✝
X Y Z A : C
g : Y ⟶ Z
a₁ a₂ : A ⟶ Y
h : IsKernelPair g a₁ a₂
f : X ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPullback f (a₁ ≫ g)
s : PullbackCone (pullback.fst f g) (pullback.fst f g)
⊢ (s.fst ≫ pullback.snd f g) ≫ g = (s.snd ≫ pullback.snd f g) ≫ g
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
h : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
⊢ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a ∪ {0}) ↔ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Inv α
a : Part α
ma : α
ha : ma ∈ a
⊢ ma⁻¹ ∈ a⁻¹
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : ℕ →o Submodule R M
m : M
⊢ m ∈ ⨆ k, a k ↔ ∃ k, m ∈ a k
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
W : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} W
CategoryTheory.Preadditive W
G : V ⥤ W
G.Additive
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
⊢ (G.mapHomologicalComplex c).map (Homotopy.nullHomotopicMap hom) = Homotopy.nullHomotopicMap fun i j => G.map (hom i j)
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
a y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a
⊢ (fderivWithin ℝ f s a) y = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
hf : Function.Surjective ⇑f
S T : AddSubsemigroup N
⊢ AddSubsemigroup.comap f S ≤ AddSubsemigroup.comap f T ↔ S ≤ T
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoEMetricSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ MeasureTheory.levyProkhorovDist μ μ = 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ ⨅ i, (m i).caratheodory ≤ (MeasureTheory.OuterMeasure.sum m).caratheodory
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 50 / 19 ≤ x
⊢ ↑⌈x⌉₊ < 1.38 * x
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
Invertible ↑p
⊢ xInTermsOfW p R 0 = MvPolynomial.X 0
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y₁ Y₂ : C
f : Y₁ ⟶ Y₂
⊢ 𝟙 X ⊗ f = X ◁ f
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ (-φ₁).τ₂ = S₁.g ≫ (-h.h₂) + (-h.h₁) ≫ S₂.f + (-φ₂).τ₂
n : ℕ
m : ℝ
hm : 2 ≤ m
⊢ (1 - 1 / m)⁻¹ * (1 / m ^ (n + 1)!) ≤ 1 / (m ^ n !) ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : min c d < b
⊢ Iio b ∪ Ioo c d = Iio (max b d)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u✝ : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivWithinAt (fun x => g i x) (g' i) s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => (Multiset.map ((fun x_1 => g x_1 x) ∘ Subtype.val) u.attach).prod) (Multiset.map ((fun x_1 => (Multiset.map (fun x_2 => g x_2 x) ((Multiset.map Subtype.val u.attach).erase x_1)).prod • g' x_1) ∘ Subtype.val) u.attach).sum s x
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
x : M₂ ⊗[R] N₁
hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₂) x) = 0
this : (LinearMap.rTensor N₂ f₂) ((LinearMap.lTensor M₂ g₁) x) = 0
⊢ (LinearMap.rTensor N₁ f₂) x = 0
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
this : 0 < |2 ^ (n + 1)|
⊢ |(f ^ 2 ^ n) 0 / 2 ^ n - (f ^ 2 ^ (n + 1)) 0 / 2 ^ (n + 1)| = |(f ^ 2 ^ n) 0 + (f ^ 2 ^ n) 0 - (f ^ 2 ^ n) ((f ^ 2 ^ n) 0)| / |2 ^ (n + 1)|
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : C
X Y : CategoryTheory.Subobject A
h : X = Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯) Y.arrow = X.arrow
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
⊢ LocallyIntegrableOn P.f_modif (Ioi 0) volume
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
h : s ∩ Function.support f = t ∩ Function.support f
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
R : Type u
CommRing R
f g : R[X]
⊢ (AdjoinRoot.mk f) g = 0 ↔ f ∣ g
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
π : ι → Set (Set α)
h : ∀ (n : ι), generateFrom (π n) ≤ m
S : Set ι
⊢ generateFrom (piiUnionInter π S) ≤ m
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂') = i₁₂
⊢ K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.X i₁).d i₂ i₂' ≫ K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂') i₁₂ h'
α : Type u_1
PartialOrder α
c : ClosureOperator α
⊢ {x | c.IsClosed x} = Set.range ⇑c
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
⊢ a ⊓ ⨆ i, f i = ⨆ i, a ⊓ f i
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
DecidableEq α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → Finset α
g : κ → Finset α
⊢ G.interedges (s.biUnion f) (t.biUnion g) = (s ×ˢ t).biUnion fun ab => G.interedges (f ab.1) (g ab.2)
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝¹¹ : SmallCategory J
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝⁹ : Small.{v, u₂} K
inst✝⁸ : FinCategory J
F✝ : J × K ⥤ Type v
inst✝⁷ : IsFiltered K
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape J C
inst✝³ : HasColimitsOfShape K C
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape J (forget C)
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape K (forget C)
inst✝ : PreservesLimitsOfShape J (forget C)
F : J ⥤ K ⥤ C
a : K
b : J
⊢ colimit.ι (F.obj b) a = (flipCompEvaluation F b).hom.app a ≫ colimit.ι (F.obj b) a
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
x : A
h : IsIntegral R x
⊢ IsIntegral R ((algebraMap A B) x)
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
A : DiscreteQuotient X
B : DiscreteQuotient Y
g : C(Y, Z)
C : DiscreteQuotient Z
h1 : DiscreteQuotient.LEComap g B C
h2 : DiscreteQuotient.LEComap f A B
⊢ DiscreteQuotient.map (g.comp f) ⋯ = DiscreteQuotient.map g h1 ∘ DiscreteQuotient.map f h2
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.φ 0 = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
s : Set F
hx : x ∈ s
h₀ : infDist x sᶜ = 0
⊢ closedBall x (infDist x sᶜ) ⊆ closure s
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
k₁ : ℕ
hk₁ : (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k₁) m₁ = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k₂) m₂ = 0
hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf_comm : Commute f₁ f₂
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1)
⊢ (k₁ + k₂ - 1).choose (i, j).1 • (f₁ ^ (i, j).1 * f₂ ^ (i, j).2) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0