ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq₁ sq₂ : CategoryTheory.Square C
self : sq₁.Hom sq₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp sq₁.f₁₂ self.τ₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.τ₁ sq₂.f₁₂
x : ℂ
y : ℝ
⊢ abs (x ^ ↑y) = abs x ^ y
α : Type u_1
AddCommGroup α
p : α
a : α
⊢ a ≡ a [PMOD p]
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
A s : Set M
⊢ (FirstOrder.Language.Substructure.closure (L.withConstants ↑A)).toFun s =
  ((FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun (A ∪ s)).withConstants ⋯
α : Type u_2
A : Set α
D : Set ↑A
⊢ A ∩ Subtype.val '' D = Subtype.val '' D
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
l : α →₀ R
s : Finset α
hs : l ∈ supported R R ↑s
x : α
x✝ : x ∈ s
hxg : x ∉ l.support
⊢ l x • v x = 0
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
f : G →* G'
⊢ (MonoidHom.toAdditive f).range = Subgroup.toAddSubgroup f.range
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
T : AddSubmonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
AddCommMonoid A
U : AddSubmonoid A
R : Type u_6
AddCommMonoid R
j : U.LocalizationMap R
l : P →+ A
hl : ∀ (w : ↥T), l ↑w ∈ U
⊢ (k.map hl j).comp (f.map hy k) = f.map ⋯ j
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Matrix n n α → Matrix n n α[X] := fun M => M.map ⇑C + X • 1
f' : Matrix n n α[X] →+* Matrix n n α := (evalRingHom 0).mapMatrix
f'_inv : ∀ (M : Matrix n n α), f' (g M) = M
f'_adj : ∀ (M : Matrix n n α), f' (g M).adjugate = M.adjugate
f'_g_mul : ∀ (M N : Matrix n n α), f' (g M * g N) = M * N
⊢ (A * B).adjugate = B.adjugate * A.adjugate
α β : Type u
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Cardinal.mk β ≤ Cardinal.mk α
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
BorelSpace α
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
BorelSpace β
μ.Regular
f : α ≃ₜ β
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ).Regular
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
⊢ a ⩿ b ↔ a ⋖ b ∨ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
⊢ ∃ p, Measurable p.2 ∧ p.1 ⟂ₘ ν ∧ μ = p.1 + ν.withDensity p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
inst✝ : Subsingleton α
s : Set α
⊢ s.ncard ≤ 1
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
b : Basis ι K L
⊢ (traceForm K L).Nondegenerate
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
s : Trident f
j : J
⊢ s.π.app zero ≫ f j = s.π.app one
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
j : J
Finj : ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
i : J
f : i ⟶ j
⊢ Function.Injective fun s => ↑s j
m : Type u_2
R : Type u_7
α : Type v
Fintype m
DecidableEq m
CommSemiring R
Semiring α
Algebra R α
⊢ AlgEquiv.refl.mapMatrix = AlgEquiv.refl
R : Type u_1
y : R
MonoidWithZero R
k : ℕ
hk : 1 < k
⊢ IsRadical y ↔ ∀ (x : R), y ∣ x ^ k → y ∣ x
x y z : ℤ
⊢ PythagoreanTriple x y z ↔ PythagoreanTriple y x z
ctx : Nat.Linear.Context
fuel : Nat
m₁ m₂ r₁ r₂ : Nat.Linear.Poly
h : Nat.Linear.Poly.denote_eq ctx (Nat.Linear.Poly.cancelAux fuel m₁ m₂ r₁ r₂)
⊢ Nat.Linear.Poly.denote_eq ctx (List.reverse r₁ ++ m₁, List.reverse r₂ ++ m₂)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.L₀.Exact
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F₁ F₂ F₃ : J ⥤ C
j : J
⊢ (α_ F₁ F₂ F₃).hom.app j ≫ snd (F₁.obj j) ((F₂ ⊗ F₃).obj j) = (α_ (F₁.obj j) (F₂.obj j) (F₃.obj j)).hom ≫ snd (F₁.obj j) ((F₂ ⊗ F₃).obj j)
V : SemiNormedGrp
Subsingleton ↑V
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero V
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
f : β → α
a : α
x : Filter β
hu : ∃ u, a < u
hl : ∃ l, l < a
h : ∀ (l u : α), l < a → a < u → ∀ᶠ (b : β) in x, l < f b ∧ f b < u
⊢ ∀ i < a, ∀ (i_2 : α), a < i_2 → ∀ᶠ (a : β) in x, f a ∈ Ioo i i_2
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hadp : MeasureTheory.Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), MeasureTheory.Integrable (f i) μ
⊢ MeasureTheory.Submartingale f 𝒢 μ ↔
  ∀ (τ π : Ω → ℕ),
    MeasureTheory.IsStoppingTime 𝒢 τ →
      MeasureTheory.IsStoppingTime 𝒢 π →
        τ ≤ π →
          (∃ N, ∀ (x : Ω), π x ≤ N) →
            ∫ (x : Ω), MeasureTheory.stoppedValue f τ x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), MeasureTheory.stoppedValue f π x ∂μ
M : Type u_1
Monoid M
z : M
⊢ z ∈ Submonoid.center M ↔ ∀ (g : M), g * z = z * g
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ 1 ≤ a⁻¹ ↔ a ≤ 1
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{vC, uC} C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{vD, uD} D
G : CategoryTheory.Functor C D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
self : G.IsLocallyFaithful K
U V : C
f₁ f₂ : U ⟶ V
⊢ G.map f₁ = G.map f₂ →
  CategoryTheory.Sieve.functorPushforward G (CategoryTheory.Sieve.equalizer f₁ f₂) ∈ K.sieves (G.obj U)
R : Type u_1
CommSemiring R
a b c d : R
x : R × R
⊢ ((Matrix.toLin (Basis.finTwoProd R) (Basis.finTwoProd R)) !![a, b; c, d]) x = (a * x.1 + b * x.2, c * x.1 + d * x.2)
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G
⊢ s / closure t = s / t
K : Type u_6
L : Type u_7
Field K
Field L
Algebra K L
Normal K L
x y : L
hy : IsAlgebraic K y
h_ev : (Polynomial.aeval x) (minpoly K y) = 0
⊢ ∃ σ, σ x = y
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S : Set (NonUnitalSubalgebra R A)
x : A
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
E : Type u_4
AddGroup E
p q : AddGroupSeminorm E
⊢ ⇑(p ⊔ q) = ⇑p ⊔ ⇑q
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝² : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_6
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0
μ : Measure α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
⊢ AEMeasurable (fun x => ∑' (i : ι), f i x) μ
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f : ↥(Lp F p μ)
hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
⊢ P f
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
i : ι
⊢ biprod.inr.f i ≫ biprod.snd.f i = 𝟙 (L.X i)
Ω : Type u_2
MeasurableSpace Ω
PseudoMetricSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hμν : MeasureTheory.levyProkhorovEDist μ ν < ENNReal.ofReal ε
f : BoundedContinuousFunction Ω ℝ
f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] ⇑f
⊢ ∫ (ω : Ω), f ω ∂μ ≤ (∫ (t : ℝ) in Set.Ioc 0 ‖f‖, (ν (Metric.thickening ε {a | t ≤ f a})).toReal) + ε * ‖f‖
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
f₁ : α₁ → α₂
f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)
x : α₁
y : β₁ x
⊢ Sigma.map f₁ f₂ ⟨x, y⟩ = ⟨f₁ x, f₂ x y⟩
M : Type u
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
VAdd M X
self : IsometricVAdd M X
c : M
⊢ Isometry fun x => c +ᵥ x
p q : Prop
h : Decidable p
⊢ (if p then q else False) ↔ p ∧ q
α : Type u_1
β : Type u_3
s : Set α
t : Set β
h : s.Nonempty
⊢ Set.image2 (fun x y => y) s t = t
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
h : (PartENat.find P).Dom
⊢ (PartENat.find P).get h = Nat.find h
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsOpen (OnePoint.some '' s)ᶜ ↔ IsClosed s ∧ IsCompact s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
Y Z : CategoryTheory.Subobject X
f : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Subobject.underlying.map f) Z.arrow = Y.arrow
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ CompleteLattice.IsCompactElement (Submodule.span R {x})
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
α✝ : Type w
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasFilteredColimitsOfSize.{w, w, v, u} C
α : Type w
⊢ HasColimitsOfShape (Discrete α) C
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X
this : ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 0, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∀ (i : ι), (ENNReal.ofReal x_1, y).2 ∈ K i → closedBall (ENNReal.ofReal x_1, y).2 (ENNReal.ofReal x_1, y).1 ⊆ U i
r : ℝ
hr0 : r > 0
hr : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∀ (i : ι), (ENNReal.ofReal r, y).2 ∈ K i → closedBall (ENNReal.ofReal r, y).2 (ENNReal.ofReal r, y).1 ⊆ U i
y : X
hy : ∀ (i : ι), (ENNReal.ofReal r, y).2 ∈ K i → closedBall (ENNReal.ofReal r, y).2 (ENNReal.ofReal r, y).1 ⊆ U i
⊢ r ∈ ENNReal.ofReal ⁻¹' ⋂ i, ⋂ (_ : y ∈ K i), {r | closedBall y r ⊆ U i}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s.toFinset.Nonempty ↔ s ≠ 0
α : Type u_1
R : α → α → Prop
DecidableRel R
l : List α
⊢ List.Pairwise R (List.pwFilter R l)
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.AEDisjoint μ sᶜ s
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
A B : J
f : A ⟶ B
⊢ J
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasRightDual X
inst✝¹ : HasRightDual Y
inst✝ : HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ((ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ X Xᘁ) ≫ Zᘁ ◁ (f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ) = ((ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ Y Yᘁ) ≫ Zᘁ ◁ (g ⊗ (((((ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ) ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ) ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv) ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ) ≫ (λ_ Xᘁ).hom)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
Hc : S.Countable
Hcomp : ∀ s ∈ S, IsCompact s
HU : ⋃₀ S = Set.univ
⊢ SigmaCompactSpace X
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (maximalIdeal ℤ_[p]).IsPrime
L₁ : FirstOrder.Language
L₂ : FirstOrder.Language
S : Type u_3
L₁.Structure S
L₂.Structure S
n : ℕ
R : L₁.Relations n
⊢ FirstOrder.Language.Structure.RelMap (Sum.inl R) = FirstOrder.Language.Structure.RelMap R
α : Type u_1
CompleteLattice α
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
g : ι' → α
e : ι ≃ ι'
s : Set ι'
⊢ ⨆ i ∈ ⇑e.symm '' s, g (e i) = ⨆ i ∈ s, g i
R A : Type u
CommRing R
CommRing A
IsDomain A
Algebra R A
NoZeroSMulDivisors R A
Infinite R
⊢ #{ x // IsAlgebraic R x } = #R
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
e : Arrow.mk T₁.mor₁ ≅ Arrow.mk T₂.mor₁
⊢ ∃ e', e'.hom.hom₁ = e.hom.left ∧ e'.hom.hom₂ = e.hom.right
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x : R
⊢ (algebraMap R (TensorAlgebra R M)) x = 0 ↔ x = 0
α : Sort u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ Equiv.swap a a = Equiv.refl α
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C₁ C₂ : HomologicalComplex V c
f : C₁.Hom C₂
j : ι
⊢ (f.sqTo j).right = f.f j
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f f' : 𝕜 → G
s : Set 𝕜
C : ℝ≥0
hs : Convex ℝ s
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖₊ ≤ C
⊢ LipschitzOnWith C f s
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set M
hs : IsOpen s
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate fun x => (chartAt H x).source
g : M → H → ℝ
g_supp : ∀ (c : M), support (g c) = (chartAt H c).target ∩ ↑(chartAt H c).symm ⁻¹' s
g_diff : ∀ (c : M), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) (g c)
hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1
h'g : ∀ (c : M) (x : H), 0 ≤ g c x
h''g : ∀ (c x : M), 0 ≤ (f c) x * g c (↑(chartAt H c) x)
⊢ ∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ ∀ (x : M), 0 ≤ f x
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℤ
⊢ f (x - ↑n) = f x - ↑n
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ (F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯).inv.app X =
  (F.shiftIso m a' a'' ha'').inv.app X ≫
    (F.shiftIso n a a' ha').inv.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C m).obj X) ≫
      (F.shift a).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C m n).inv.app X)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
x✝ : DecidablePred p
h : ∀ i ∈ s, p i
f : (i : α) → p i → β
g : (i : α) → ¬p i → β
⊢ (∏ i ∈ s, if hi : p i then f i hi else g i hi) = ∏ i : { x // x ∈ s }, f ↑i ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
v : E
w : E
⊢ ↑(‖v‖ ^ 2) • ↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) w) = ⟪v, w⟫_𝕜 • v
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} B
F : CategoryTheory.Functor A B
G₁ : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A) (CategoryTheory.Sheaf J A)
adj₁ : G₁ ⊣ CategoryTheory.sheafToPresheaf J A
G₂ : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ B) (CategoryTheory.Sheaf J B)
adj₂ : G₂ ⊣ CategoryTheory.sheafToPresheaf J B
J.HasSheafCompose F
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
α : G₂.obj (P.comp F) ⟶ (CategoryTheory.sheafCompose J F).obj (G₁.obj P)
hα :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj₂.unit.app (P.comp F)) ((CategoryTheory.sheafToPresheaf J B).map α) =
    CategoryTheory.whiskerRight (adj₁.unit.app P) F
⊢ α = (CategoryTheory.sheafComposeNatTrans J F adj₁ adj₂).app P
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
CategoryTheory.Simple X
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
w : CategoryTheory.IsIso f → False
⊢ f = 0
a u : PSet
⊢ a ∈ u.toSet ↔ a ∈ u
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
e : ι → M
ε : ι → Module.Dual R M
DecidableEq ι
h : Module.DualBases e ε
m : M
⊢ h.basis.repr m = h.coeffs m
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : (M ↾ X).Base I
hJ : (M ↾ X).Base J
hIJ : I \ J = {e}
⊢ ∃ f ∈ J \ I, J = insert f I \ {e}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
W : C
k l : s.pt ⟶ W
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.π k = CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.π l
j : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (s.ι.app j) k = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (s.ι.app j) l
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.ae μ ≤ MeasureTheory.ae ν ↔ μ.AbsolutelyContinuous ν
T : ℝ
n : ℤ
x : AddCircle T
⊢ (fourier n) x = ↑(n • x).toCircle
V : Type u₁
Quiver V
W : Type u₂
Quiver W
F : V ⥤q W
a b : V
p : Quiver.Path a b
c : V
q : Quiver.Path b c
⊢ F.mapPath (p.comp q) = (F.mapPath p).comp (F.mapPath q)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ : P
⊢ ∡ p₁ p₁ p₂ = 0
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
h : Ordinal.nfp f = id
⊢ Ordinal.deriv f = id
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
hM : ∀ (t : TransvectionStruct n R), Commute t.toMatrix M
⊢ Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ variationOnFromTo f s a b = -(eVariationOn f (s ∩ Set.Icc b a)).toReal
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) MeasureTheory.volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) MeasureTheory.volume
ha : ContinuousAt f a
hb : ContinuousAt f b
⊢ HasFDerivAt (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x)
  ((ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ).smulRight (f b) - (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ).smulRight (f a)) (a, b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ ∀ {X Y : Mon_ C} (f : X ⟶ Y) (x : CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}),
  ((Mon_.EquivLaxMonoidalFunctorPUnit.monToLaxMonoidal C).map f).app x = f.hom
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
a : α
b : β
⊢ ¬Sum.inl b < Sum.inr a
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
ι : Sort u_2
hι : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(⨆ i, S i) = ⋃ i, ↑(S i)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S T U : NonUnitalStarSubalgebra R A
hst : S ≤ T
htu : T ≤ U
x : ↥S
⊢ (NonUnitalStarSubalgebra.inclusion htu) ((NonUnitalStarSubalgebra.inclusion hst) x) =
  (NonUnitalStarSubalgebra.inclusion ⋯) x
a b : ZNum
⊢ (↑a).natAbs.gcd (↑b).natAbs = (↑a).gcd ↑b
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
⊢ LinearMap.det ↑(o.rotation θ).toLinearEquiv = 1
α : Type u_1
l : Array α
i : Fin l.size
⊢ l[i] ∈ l
x : ℂ
⊢ Complex.sin (x * Complex.I) = Complex.sinh x * Complex.I
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : ℕ → Subgroup G
hH : IsAscendingCentralSeries H
n : ℕ
x : G
hx : x ∈ H (n + 1)
⊢ x ∈ upperCentralSeries G (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
⊢ Set.image2 f s ∅ = ∅
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : SupSet α
inst✝¹ : SupSet β
inst✝ : sSupHomClass F α β
f : F
g : (i : ι) → κ i → α
⊢ f (⨆ i, ⨆ j, g i j) = ⨆ i, ⨆ j, f (g i j)
a b : UnitAddCircle
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven a s - completedHurwitzZetaEven b s) 1
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : WithLp ⊤ (α × β)
⊢ edist f f = 0
o o' : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
h : o.split = (o', m)
a : ONote
n : ℕ
e : o.split' = (a, n)
s₁ : a.NF
s₂ : o.repr = ω * a.repr + ↑n
⊢ o'.NF ∧ o.repr = o'.repr + ↑m
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R₁
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₁
inst✝³ : TopologicalSpace M₂
inst✝² : TopologicalSpace M₃
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
f : M₁ → M₂
g : M₂ → M₃
hg : Continuous g
K : Set M₂
hK : IsCompact K
hKf : f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0
⊢ IsCompactOperator (g ∘ f)
α : Type u_2
AddCommGroup α
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).alternatingSum = a - l.alternatingSum
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : Set α
a : ↑s
t : Set ↑s
⊢ t ∈ 𝓝 a ↔ Subtype.val '' t ∈ 𝓝[s] ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
x✝ : Option α
⊢ ((fun x => !x) ∘ isSome) x✝ = x✝.isNone
f : ℕ → ℂ
s a : ℂ
⊢ LSeriesHasSum f s a ↔ LSeriesSummable f s ∧ LSeries f s = a
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
⊢ compactOpen = ⨅ K, ⨅ (_ : IsCompact K), induced (restrict K) compactOpen
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ∩ t = (sᶜ ∪ tᶜ)ᶜ
α : Type u_5
self : NonUnitalNormedRing α
a b : α
⊢ ‖a * b‖ ≤ ‖a‖ * ‖b‖
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃+ G), H ≤ AddSubgroup.comap ϕ.toAddMonoidHom H
a : Nat
b c : Nat
h : b ≤ c
⊢ (a + b ≤ c) = (a ≤ c - b)
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : β → γ
g : α → Part β
hg : Continuous' g
⊢ Continuous' fun x => g x >>= pure ∘ f
a : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Set.Iio a) = ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
N : ℕ∞
hg : ContDiff 𝕜 N g
hf : ContDiff 𝕜 N f
hn : ↑n ≤ N
x : E
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv 𝕜 i g (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ ≤ D ^ i
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (g ∘ f) x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
DivisionRing k
Module k V
t : Set P
ht : affineSpan k t = ⊤
⊢ ∃ s ⊆ t, ∃ b, ⇑b = Subtype.val
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ rightHomologyMap' φ₁ h₁ h₂ = rightHomologyMap' φ₂ h₁ h₂
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ∂ a ≤ ∂ (a ⊔ b) ⊔ ∂ (a ⊓ b)
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
n : ℕ
hn : n < (permutations'Aux x s).length
⊢ (permutations'Aux x s).get ⟨n, hn⟩ = insertNth n x s
α : Type ua
UniformSpace α
K U : Set α
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
⊢ ∃ V ∈ 𝓤 α, IsOpen V ∧ ∀ x ∈ K, UniformSpace.ball x V ⊆ U