ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
B : ∀ z ∈ closedBall b ε, g z ∈ closedBall b ε → dist (f (g z)) y ≤ ↑c * ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
C : ∀ (n : ℕ) (w : E), dist w b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y → w ∈ closedBall b ε
D : ∀ (n : ℕ), dist (f (u n)) y ≤ (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n * dist (f b) y ∧ dist (u n) b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y
this : CauchySeq u
x : E
hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)
xmem : x ∈ closedBall b ε
⊢ y ∈ f '' closedBall b ε
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
⊢ (⊤ • μ.toFinite.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) s = 0 ∨ (⊤ • μ.toFinite.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) s = ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : IsPGroup p G
⊢ Group.IsNilpotent G
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ p.order = 0 ↔ p = 0 ∨ p 0 ≠ 0
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : V ↪ W
Subsingleton V
⊢ SimpleGraph.map f G ≤ G'
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset β
a : α
x : β
⊢ x ∈ a +ᵥ s ↔ ∃ y ∈ s, a +ᵥ y = x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
M : Subgroup H
hM : IsCoatom M
⊢ IsCoatom (comap φ M)
α : Type u_1
ι : Sort u_2
s : Set α
m : ι → OuterMeasure α
⊢ (restrict s) (⨅ i, (restrict s) (m i)) = (restrict (range Subtype.val)) (⨅ i, (restrict s) (m i))
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
H : 1 < ADEInequality.sumInv {p, q, r}
⊢ p < 3
α : Type u
a b : α
⊢ a ∉ {b} ↔ a ≠ b
X Y : CondensedSet
f : X ⟶ Y
S T : CompHausᵒᵖ
g : S ⟶ T
x : X.val.obj S
⊢ f.val.app T (X.val.map g x) = Y.val.map g (f.val.app S x)
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ Summable fun a_1 => ‖f_int k a t a_1‖
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
x : α
U : Set α
h_acc : AccPt x (𝓟 C)
hU : U ∈ 𝓝 x
this : 𝓝[≠] x ≤ 𝓟 U
⊢ AccPt x (𝓟 (U ∩ C))
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
s : AddSubsemigroup M
t : AddSubsemigroup N
u : AddSubsemigroup (M × N)
⊢ u ≤ s.prod t ↔ AddSubsemigroup.map (AddHom.fst M N) u ≤ s ∧ AddSubsemigroup.map (AddHom.snd M N) u ≤ t
ι : Type u
f : ι → AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ ∀ (x x_1 : ι) (x_2 : x ≠ x_1), (AlgebraicGeometry.disjointGlueData' f).f x x_1 x_2 = (f x).emptyTo
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
⊢ countP (fun x => true) l = l.length
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : Ordinal.IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
⊢ f i hi (o.nfpBFamily f a) = o.nfpBFamily f a
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set R
p : R → Prop
x : R
h : x ∈ NonUnitalSubsemiring.closure s
mem : ∀ x ∈ s, p x
zero : p 0
add : ∀ (x y : R), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : R), p x → p y → p (x * y)
⊢ p x
R : Type u
M : Type v
AddCommGroup M
Ring R
Module R M
S : Submodule R M
S.IsPrincipal
⊢ S = ⊥ ↔ Submodule.IsPrincipal.generator S = 0
G : Type u
Mul G
self : IsRightCancelMul G
a b c : G
⊢ a * b = c * b → a = c
F : Type u_1
inst✝ : CommSemiring F
q : ℕ
f✝ : F[X]
hf✝ : HasSeparableContraction q f✝
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction 1 f
⊢ hf.degree = f.natDegree
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
x : ℕ
⊢ 1 ≤ x → x ≤ n.factorization p → x < n
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : (t ∩ Function.mulSupport f).Finite
⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t \ s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
⊢ CauSeq.Completion.mk f - CauSeq.Completion.mk g = CauSeq.Completion.mk (f - g)
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
α : Type u_12
DecidableEq o
Fintype n
Fintype o
NonUnitalNonAssocSemiring α
M : o → Matrix m n α
N : o → Matrix n p α
⊢ (Matrix.blockDiagonal fun k => M k * N k) = Matrix.blockDiagonal M * Matrix.blockDiagonal N
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
⊢ ∀ (a : Fin 6 ⊕ ↑s), Finite (Subfield.Operands s a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
self : CorePresheafOfModules R
X : Cᵒᵖ
x : self.obj X
⊢ (self.map (𝟙 X)) x = x
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
a : G
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ a ∈ MulAction.stabilizer G s ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a • b ∈ s
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s✝ s : Set G
N : Subgroup G
hN : N.Normal
⊢ s * ↑N = ↑N * s
n : ℕ
⊢ (Set.range fun x => ↑x) = {y | ∀ (i : Fin n), 0 ≤ y i}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
FunLike F α β
self : ContinuousMapClass F α β
f : F
⊢ Continuous ⇑f
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
self : f.Flat
⊢ Algebra.Flat R S
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0
Q : R[X]
hQ : P * Q = 0
l : ℕ
IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0
hl : (P.coeff l • Q).natDegree = Q.natDegree
m : ℕ := Q.natDegree
⊢ ∀ (a b : ℕ), a + b = l + m → (a = l → ¬b = m) → P.coeff a * Q.coeff b = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
H₁ : (1 - X ^ 2) * U R n = X * T R (n + 1) - T R (n + 2)
H₂ : derivative (T R (n + 1)) = ↑(n + 1) * U R (n + 1 - 1)
⊢ (1 - X ^ 2) * derivative (T R (n + 1)) = (↑n + 1) * (T R n - X * T R (n + 1))
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
⊢ Nonempty (Φ.LeftResolution X₂) ↔ Nonempty (Φ.op.RightResolution (Opposite.op X₂))
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
G : SimpleGraph α
hG : G.IsHamiltonian
⊢ G.Connected
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
⊢ rdropWhile p l = l ↔ ∀ (hl : l ≠ []), ¬p (l.getLast hl) = true
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
t : Set α
ht_meas : MeasurableSet t
htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ : SigmaFinite ((μ.trim hm).restrict t)
this : SigmaFinite ((μ.restrict t).trim hm)
htf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0
hf_meas_m : StronglyMeasurable f
⊢ ((μ.restrict t).trim hm) {x | (fun x => f x = 0 x) x}ᶜ = 0
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 0
⊢ s ∈ map (fun x => ‖f x‖) (cocompact E)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X₁₁ X₁₂ X₂₁ X₂₂ X₃₁ X₃₂ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₃₁ : X₃₁ ⟶ X₃₂
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₂₁ : X₂₁ ⟶ X₃₁
v₂₂ : X₂₂ ⟶ X₃₂
s : CategoryTheory.IsPushout h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁
e : h₂₁ ≫ v₂₂ = v₂₁ ≫ h₃₁
⊢ CategoryTheory.IsPushout h₁₁ (v₁₁ ≫ v₂₁) (v₁₂ ≫ v₂₂) h₃₁ ↔ CategoryTheory.IsPushout h₂₁ v₂₁ v₂₂ h₃₁
α : Type u
p : α → Prop
DecidablePred p
f : Equiv.Perm (Subtype p)
x : Subtype p
⊢ (Equiv.Perm.ofSubtype f) ↑x = ↑(f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
la : Filter α
lb : Filter β
p : α × β → Prop
h : ∀ᶠ (x : α × β) in la ×ˢ lb, p x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in la, ∀ᶠ (y : β) in lb, p (x, y)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
s t : Set α
hst : (comap f μ) {a | ¬s a = t a} = 0
h_eq_α : {a | ¬s a = t a} = s \ t ∪ t \ s
h_eq_β : {a | ¬(f '' s) a = (f '' t) a} = f '' (s \ t ∪ t \ s)
⊢ μ {a | ¬(f '' s) a = (f '' t) a} = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Y' : C
g : Y ⟶ Y'
CategoryTheory.IsIso g
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation (f ≫ g)
⊢ F.ofCompIso.I = F.I
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
a : α
⊢ (𝓝 a).limsInf = a
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : μ sᶜ = 0
⊢ (fun x => if x ∈ s then f x else g x) =ᶠ[ae μ] f
M : Type u_1
Add M
ι : Sort u_4
p : ι → AddSubsemigroup M
⊢ ⨆ i, p i = AddSubsemigroup.closure (⋃ i, ↑(p i))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofAbelian S).p = CategoryTheory.Limits.cokernel.π S.f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
T : CategoryTheory.Monad C
T.Additive
F G : T.Algebra
α β : F ⟶ G
⊢ (α - β).f = α.f - β.f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
R : Type u_1
CommSemiring R
Algebra R 𝕜
q : R[X]
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun x => (Polynomial.aeval x) q) s x =
  ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative q))
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B A : Matrix n n α
b : n → α
h : IsUnit A.det
⊢ A.det • A⁻¹ *ᵥ b = A.cramer b
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
x : α
⊢ ↑f x ∈ f.range
α : Type u_1
a : α
z : Sym2 α
hd : ¬z.IsDiag
h : a ∈ z
⊢ Sym2.Mem.other h ≠ a
α : Type u_1
Preorder α
a b : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual a ⩿ OrderDual.ofDual b ↔ b ⩿ a
G : Type u_1
β : Type u_5
AddMonoid G
x : G
AddMonoid β
y : β
hx : IsOfFinAddOrder x
h : addOrderOf y ∣ addOrderOf x
⊢ IsOfFinAddOrder y
T : Type w
CommRing T
p : Polynomial T
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
DecidableEq S
⊢ p.rootSet S = ↑(p.aroots S).toFinset
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Type v
CategoryTheory.Groupoid D
φ : CategoryTheory.Functor C D
c : C
⊢ ∀ (a : c ⟶ c), (CategoryTheory.Groupoid.CategoryTheory.Functor.mapVertexGroup φ c) a = φ.map a
α : Type u
s t : Set α
⊢ {x | x ∈ s ∧ x ∈ t} = s ∩ t
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ x + ↑n * ↑m ≤ (⇑f)^[n] x ↔ x + ↑m ≤ f x
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
s : Set R
⊢ NonUnitalSubsemiring.map f (NonUnitalSubsemiring.closure s) = NonUnitalSubsemiring.closure (⇑f '' s)
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List M
hl₁ : ∀ x ∈ l, 1 ≤ x
⊢ 1 ≤ l.prod
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_3
Monoid N
f : M → N
hf : IsMonoidHom f
s : Set N
hs : IsSubmonoid s
⊢ IsSubmonoid (f ⁻¹' s)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N
hne : ¬f - const (padicNorm p) (↑f i) ≈ 0
hge : ε ≤ padicNorm p (↑(f - const (padicNorm p) (↑f i)) (stationaryPoint hne))
⊢ False
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
h_le : H ≤ K
⊢ (AddSubgroup.inclusion h_le).range = H.addSubgroupOf K
α : Type u_1
Preorder α
t : Ordnode α
o : WithBot α
x : α
⊢ t.Bounded o ↑x → Ordnode.All (fun x_1 => x_1 < x) t
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Group α
a✝ b a : α
⊢ mabs a⁻¹ = mabs a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
S : Set (ConvexCone 𝕜 E)
⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
x : ℝ
⊢ -(Real.pi / 2) < Real.arctan x
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Algebra R 𝕜
p : 𝕜[X]
q : R[X]
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ deriv (fun x => eval x p) x = eval x (derivative p)
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
C : (⨁ (i : ι), β i) → Prop
x : ⨁ (i : ι), β i
H_zero : C 0
H_basic : ∀ (i : ι) (x : β i), C ((of β i) x)
H_plus : ∀ (x y : ⨁ (i : ι), β i), C x → C y → C (x + y)
⊢ ∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → C f → C (DFinsupp.single i b + f)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ 3 * (MvPolynomial.eval P) W.polynomial =
  P 0 * (MvPolynomial.eval P) W.polynomialX + P 1 * (MvPolynomial.eval P) W.polynomialY +
    P 2 * (MvPolynomial.eval P) W.polynomialZ
i : String.Pos
c : Char
⊢ 0 ≠ i + c
M : Type u_1
AddMonoid M
r : M
⊢ (AddSubmonoid.multiples r).FG
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u_1
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
j j' : J
w : j = j'
⊢ CategoryTheory.eqToHom ⋯ ≫ CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f j' = CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f j
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ χ.FactorsThrough 1 ↔ χ = 1
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : MulOneClass G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x a : G
⊢ a * 1 = x ↔ a = x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set α
x✝ : BddAbove (l '' s)
x : β
hx : x ∈ upperBounds (l '' s)
⊢ u x ∈ upperBounds s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
p : R
z : S
hp : p ∈ comap (algebraMap R S) (conductor R x)
l : R →₀ S
H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I
H' : (l.sum fun i a => a • (algebraMap R S) i) = z
lem : ∀ {a : R}, a ∈ I → l a • (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) p ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)
⊢ (l.sum fun a c => c • (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) p) ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
n : ℕ
this : ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), log (x + 1 + ↑m) = ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), log (x + ↑(k + 1))
⊢ (x + 1) * log ↑n + log ↑n ! - ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), log (x + 1 + ↑m) = x * log (↑n + 1) + (log (↑n + 1) + log ↑n !) - (∑ m ∈ Finset.range (n + 1), log (x + 1 + ↑m) + log x) + log x - (x + 1) * (log (↑n + 1) - log ↑n)
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Small.{w, v} M
⊢ Module.Free R M ↔ ∃ I, Nonempty (Basis I R M)
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a b : ℝ
h1 : #↑((fun x => x - a) '' Ioo a b) ≤ #↑(Ioo a b)
h : 0 < b - a
⊢ 𝔠 ≤ #↑(Ioo 0 (b - a))
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I✝ I : Ideal R
i : ℕ
r : R
⊢ (monomial i) r ∈ reesAlgebra I ↔ r ∈ I ^ i
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ List.count a [a] = 1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
⊢ (p %ₘ q).degree < q.degree
R : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero R
x y : R
DecompositionMonoid R
⊢ Squarefree (x * y) ↔ IsRelPrime x y ∧ Squarefree x ∧ Squarefree y
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
j : N
f g : ↑(Ω^ N X x)
⊢ ⟦GenLoop.transAt i f g⟧ = ⟦GenLoop.transAt j f g⟧
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(sin y) * ↑(cos y) ^ (n - 1)) (↑(cos x) ^ n - (↑n - 1) * ↑(sin x) ^ 2 * ↑(cos x) ^ (n - 2)) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1) = (↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) - (↑n - 1) / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2)
α : Type u_6
β : Type u_7
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α →ᵈ β
h : ∃ r, r ≠ 0 ∧ ∀ (x y : α), nndist (f x) (f y) = r * nndist x y
⊢ Dilation.mkOfNNDistEq (⇑f) h = f
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
S : Set α
h : IsGenericPoint x S
⊢ IsClosed S
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hab : a + b ≤ 1
hp1 : 1 ≤ p
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ 1
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M : Submodule R A
n : ℕ
⊢ ↑M ^ n ⊆ ↑(M ^ n)
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂
⊢ y₁ * (x₂ - (((y₁ - y₂) / (x₁ - x₂)) ^ 2 + W.a₁ * ((y₁ - y₂) / (x₁ - x₂)) - W.a₂ - x₁ - x₂)) + y₂ * (((y₁ - y₂) / (x₁ - x₂)) ^ 2 + W.a₁ * ((y₁ - y₂) / (x₁ - x₂)) - W.a₂ - x₁ - x₂ - x₁) + ((y₁ - y₂) / (x₁ - x₂) * (((y₁ - y₂) / (x₁ - x₂)) ^ 2 + W.a₁ * ((y₁ - y₂) / (x₁ - x₂)) - W.a₂ - x₁ - x₂ - x₁) + y₁) * (x₁ - x₂) = 0
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E₁ E₂ : Set α
subset : E₁ ⊆ E₂
⊢ ⇑(thickenedIndicator δ_pos E₁) ≤ ⇑(thickenedIndicator δ_pos E₂)
β : Type u_7
γ : Type u_8
m m0 : MeasurableSpace β
hm : m ≤ m0
f : MeasureTheory.SimpleFunc β γ
⊢ ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.toLargerSpace hm f) = ↑f
s : ℂ
n : ℕ
⊢ term δ s n = if n = 1 then 1 else 0
S : Type u_1
α : Type u_2
InvolutiveStar α
SetLike S α
StarMemClass S α
s : S
⊢ star ↑s = ↑s
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set ℝ
p q : ℝ → ℝ
hp : MonotoneOn p s
hq : MonotoneOn q s
h : LocallyBoundedVariationOn (p - q) s
x : ℝ
hxp : x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ p s x
hxq : x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ q s x
xs : x ∈ s
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (p - q) s x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p μ
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) ⋯) =ᶠ[ae μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) ⋯
hx_tendsto : Tendsto (fun n => eLpNorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G ⟨toLp (x n) ⋯, ⋯⟩) atTop (𝓝 g)
α : Type u
β : Type v
g : Filter β
m : α → β
s : Set α
⊢ s ∈ Filter.comap m g ↔ ∃ t ∈ g, m ⁻¹' t ⊆ s
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x y : L
⊢ ((traceForm K L M) x) y = ∑ χ : Weight K L M, finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (χ x * χ y)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a✝ b : R
inst✝ : Nontrivial R
hx : IsTranscendenceBasis R x
a : A
⊢ ¬AlgebraicIndependent R fun o => o.elim a x
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
he : e ≈ e'
s : Set β
⊢ e.source ∩ ↑e ⁻¹' s = e'.source ∩ ↑e' ⁻¹' s
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℤ n).smeval r * (X + ↑n).smeval r = (ascPochhammer ℕ n).smeval r * (X + ↑n).smeval r
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
this : Nontrivial 𝕜
l u : 𝕜
hxI : toIcoMod hp a x ∈ Ioo l u
hIs : Ioo l u ⊆ s
d : 𝕜 := toIcoDiv hp a x • p
hd : toIcoMod hp a x ∈ Ico a (a + p)
y : 𝕜
⊢ (l < y - d ∧ y - d < a + p ∧ y - d < u) ∧ y ∈ Ici x → y ∈ toIcoMod hp a ⁻¹' s
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hμν : μ.AbsolutelyContinuous ν
⊢ (fun x => rexp (-MeasureTheory.llr μ ν x)) =ᵐ[μ] fun x => (ν.rnDeriv μ x).toReal
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b n : ℕ
⊢ Int.clog b ↑n = ↑(Nat.clog b n)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → G
⊢ ↑‖∫ (a : α), f a ∂μ‖₊ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
⊢ iteratedDerivWithin (n + 1) f univ x = derivWithin (iteratedDerivWithin n f univ) univ x
α : Type u_1
LinearOrderedField α
FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b = a + Int.fract ((b - a) / p) * p
i : ℤ
⊢ -i % 2 = i % 2