ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : F ⟶ L.comp F'
F'.IsLeftKanExtension α
G : CategoryTheory.Functor C H
i : F ≅ G
G' : CategoryTheory.Functor D H
β : G ⟶ L.comp G'
G'.IsLeftKanExtension β
⊢ (F'.leftKanExtensionUniqueOfIso α i G' β).hom =
  F'.descOfIsLeftKanExtension α G' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp i.hom β)
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ
⊢ -(x✝¹ * x✝) + -(x✝¹ * ↑n * x✝) = x✝¹ * -x✝ + x✝¹ * -(↑n * x✝)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : b ≤ c
⊢ Ioc a b ∪ Ioc b c = Ioc a c
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
f : Fin (n + 1) → G
a : k
⊢ (𝟙 ((linearization k G).obj (Action.leftRegular G)).V ⊗ (linearizationTrivialIso k G (Fin n → G)).hom.hom) ((finsuppTensorFinsupp k k k k (Action.leftRegular G).V (Fin n → G)).symm ((lcongr (Equiv.refl ((Action.leftRegular G).V × (Fin n → G))) (TensorProduct.lid k k).symm) (single ((actionDiagonalSucc G n).hom.hom f) a))) = single (f 0) 1 ⊗ₜ[k] single (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) a
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
nH : H.Normal
a b : G
h : a * b ∈ H
this : a⁻¹ * (a * b) * a⁻¹⁻¹ ∈ H
⊢ b * a ∈ H
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
c : M
hc : c ≠ 0
⊢ (Function.support fun x => c) = Set.univ
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Set α
⊢ IsAtom s → ∃ x, s = {x}
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m i : ℤ
z : Cochain F G 0
hz : z ∈ cocycle F G 0
⊢ z.v i i ⋯ ≫ G.d i (i + 1) = F.d i (i + 1) ≫ z.v (i + 1) (i + 1) ⋯
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
c : 𝕜
hc : IsUnit c
f : α → 𝕜
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => c * f x) μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ
n : ℕ
a b : ZMod n
h : a.val + b.val < n
⊢ (a + b).val = a.val + b.val
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ a.y * (1 + d * a₁.y ^ 2) - a₁.y * (d * (a.y * a₁.y) + a.x) < 0
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
F G : CategoryTheory.Functor J (Type w)
φ : F ⟶ G
x : ↑F.sections
j : J
⊢ ↑((CategoryTheory.Functor.sectionsFunctor J).map φ x) j = φ.app j (↑x j)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.SimplicialCategory C
K : C
⊢ (CategoryTheory.SimplicialCategory.homEquiv K K) (𝟙 K) = CategoryTheory.eId SSet K
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h2s : ν s = 0
⊢ (map Prod.snd (μ.prod ν)) s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
S : Set α
c : α
⊢ c ∈ Iic (sInf S) ↔ c ∈ ⨅ a ∈ S, Iic a
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
β : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
g : G
⊢ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g⁻¹ • (g • s ∩ t))) ↔ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g • s ∩ t))
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ (↑(Nat.bit b n)).testBit m.succ = (↑n).testBit m
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
hM : Finite R M
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
⊢ ∃ s, s • g₁ = s • g₂
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type w
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M : Matrix n n R
⊢ f M.det = (f.mapMatrix M).det
α : Type u_1
Lattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁺ᵐ / a⁻ᵐ = a
p : ℕ
R S : Type u
CommRing R
CommRing S
Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → WittVector p R → WittVector p R → WittVector p R
hf : WittVector.IsPoly₂ p f
g : R →+* S
x y : WittVector p R
⊢ (WittVector.map g) (f x y) = f ((WittVector.map g) x) ((WittVector.map g) y)
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h : H.IsComplement' K
⊢ IsCompl H K
a b m n✝ p✝ n p k : ℕ
hn : n ≠ 0
h : n.factorization = single p k
⊢ n = p ^ k
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x y : 𝓞 K
hy : x - 1 = λ * y
this : x ^ 3 - 1 = λ ^ 3 * (y * (y - 1) * (y - (↑η + 1)))
⊢ λ ^ 3 * λ ∣ λ ^ 3 * (y * (y - 1) * (y - (↑η + 1)))
α : Type u_1
r : Rel α α
p : RelSeries r
i : Fin (p.length + 1)
⊢ p.reverse.toFun i = p.toFun i.rev
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
m a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
⊢ t ∈ P.parts → (t \ (Finset.filter (fun u => u ⊆ t) (Finpartition.equitabilise h).parts).biUnion id).card ≤ m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s s' : Set β
h : s ⊆ s'
⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun n => κ.densityProcess ν n a x s
α : Type u_1
n : ℕ
v : Vector3 α (n + 1)
⊢ Vector3.cons v.head v.tail = v
α : Type u_1
t s : TopologicalSpace α
⊢ t ≤ s ↔ IsOpen ≤ IsOpen
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
P.RespectsIso
⊢ P.isoClosure = P
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
hts : t ⊆ s
ha : a ∈ t
⊢ s \ t ∪ t.erase a = s.erase a
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.323650
S' : Type ?u.323653
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.326084
S'' : Type ?u.326087
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P'.Hom P''
g : P.Hom P'
x : P.vars
⊢ (aeval P''.val) ((aeval f.val) (g.val x)) = (algebraMap S S'') (P.val x)
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
p q : R[X]
x : A
⊢ (Polynomial.aeval x) (p + q) = (Polynomial.aeval x) p + (Polynomial.aeval x) q
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l r : List α
h1 : (a :: l).length - 1 - 0 < ((a :: l).reverseAux r).length
x✝ : 0 < (a :: l).length
aux : ∀ (h1 : l.length < (l.reverseAux (a :: r)).length) (h2 : 0 < (a :: r).length), (l.reverseAux (a :: r)).get ⟨l.length, h1⟩ = (a :: r).get ⟨0, h2⟩
⊢ ((a :: l).reverseAux r)[(a :: l).length - 1 - 0] = (a :: l)[0]
𝕜 : Type u_11
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_12
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_13
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_14
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
⊢ MDifferentiableOn I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) (chartAt H x).source
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
⊢ StrictMono s.toFun
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ edist x y ≤ ENNReal.ofReal r ↔ dist x y ≤ r
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (γ : G) (x : α), f (γ • x) = f x
⊢ essSup f μ ≤ essSup f (μ.restrict s)
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
f : AddMonoidAlgebra k G
⊢ f ∈ Submodule.span k (AddMonoidAlgebra.of' k G '' ↑f.support)
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
TopologicalSpace M₂
T2Space M₂
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module S M₂
ContinuousConstSMul S M₂
ContinuousAdd M₂
σ : R →+* S
l : Filter α
f : M₁ → M₂
g : α → M₁ →ₛₗ[σ] M₂
l.NeBot
h : Filter.Tendsto (fun a x => (g a) x) l (𝓝 f)
⊢ ⇑(linearMapOfTendsto f g h) = f
α : Type u
β : Type u_1
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ range (n + 1), a / b ^ i) * (b - 1) ≤ a * b
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
M : Type (max u v)
Nonempty M
L.Structure M
M ⊨ T
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
v : α → M
xs : Fin n → M
⊢ φ.Realize v xs ↔ ψ.Realize v xs
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
a₁ b₁ : M
a₂ b₂ : ↥S
H : b₁ * ↑a₂ = a₁ * ↑b₂
⊢ f.mk' a₁ a₂ = f.mk' b₁ b₂
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ evalEval x y W.negPolynomial = W.negY x y
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h_meas : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
h_ae_covers : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ g, g • x ∈ s
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → MeasureTheory.AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ
⊢ MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
α : Type u
β : Type u_1
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ
⊢ a + ∑ i ∈ Ico 1 (n + 1), a / b ^ i ≤ a + a / (b - 1)
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
⊢ (⨆ i, μ i).trim = ⨆ i, (μ i).trim
M : Type u_2
AddCommMonoid M
f : ℕ → M
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ ∑ k ∈ Finset.range m, f k + ∑ k ∈ Finset.Ico m n, f k = ∑ k ∈ Finset.range n, f k
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ LinearIndependent R v ↔ LinearMap.ker ((LinearMap.lsum R (fun x => R) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (v i)) = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a : α
ha : MeasurableSet {a}
⊢ count {a} = 1
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j ∈ range (p ^ (n - i))
⊢ C (↑p ^ i) * ((C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i)) ^ (j + 1) * (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1))) * C (⅟↑p ^ n) = C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * frobeniusPolyAux p i ^ (j + 1) * C ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩)))
n : ℕ
i : Fin n
⊢ Fin.castSuccEmb i = Fin.castLE ⋯ i
K : Type u_3
V : Type u
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
x y : V
hx : x ≠ 0
⊢ LinearIndependent K ![x, y] ↔ ∀ (a : K), a • x ≠ y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
P : Sort u_5
x y x' y' : α
ltc : x < y ↔ x' < y'
gtc : y < x ↔ y' < x'
⊢ x = y ↔ x' = y'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.toCycles S.homologyπ = 0
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
⊢ c.symm.symm = c
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : List Γ
⊢ BlankExtends l (head (Quotient.mk'' l) :: l.tail)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
hj : j ∈ Ico 2 (n + 1)
⊢ a ^ j * ‖p.rightInv i j‖ = a ^ j * ‖(↑i.symm).compContinuousMultilinearMap (∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c)‖
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
X✝ Y✝ : Arrow (J ⥤ C)
τ : X✝ ⟶ Y✝
x✝¹ x✝ : J
α : x✝¹ ⟶ x✝
⊢ data.mapZ ({ left := X✝.left.map α, right := X✝.right.map α, w := ⋯ } ≫ { left := τ.left.app x✝, right := τ.right.app x✝, w := ⋯ }) = data.mapZ ({ left := τ.left.app x✝¹, right := τ.right.app x✝¹, w := ⋯ } ≫ { left := Y✝.left.map α, right := Y✝.right.map α, w := ⋯ })
G : Type u_1
AddGroup G
h : AddMonoid.ExponentExists G
⊢ AddMonoid.IsTorsion G
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hfi : Integrable f μ
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j
hj₂ : μ j = 0
⊢ ∫ (x : α) in j, f x ∂μ = 0
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.Finite
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).Finite
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
h : σ.Disjoint τ
⊢ (σ * τ).cycleType = σ.cycleType + τ.cycleType
X Y : CategoryTheory.RelCat
r : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.IsIso r ↔ ∃ f, CategoryTheory.RelCat.graphFunctor.map f.hom = r
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y x d : R
hd : d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
⊢ starAddEquiv d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace α'
One β
f : α → β
T2Space α'
hf : HasCompactMulSupport f
g : α → α'
cont : Continuous g
inj : Function.Injective g
⊢ mulTSupport (Function.extend g f 1) = g '' mulTSupport f
m a b c : ℕ
hmc : m.gcd c = 1
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
⊢ a ≡ b [MOD m]
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
v : Vector α n
⊢ a' ∈ (a ::ᵥ v).toList ↔ a' = a ∨ a' ∈ v.toList
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : Nonempty α
f : α →ᵇ β
M : ℝ
⊢ dist f 0 ≤ M ↔ ∀ (x : α), dist (f x) 0 ≤ M
x : ℝ*
h : x.InfinitePos
⊢ ¬x.Infinitesimal
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
E : Type u₄
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝² : Category.{v₄, u₄} E
L₁ : C₁ ⥤ C₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : L₂.IsLocalization W₂
W₃ : MorphismProperty C₁
hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁
E₂ : C₂ ≌ W₁.Localization := uniq L₁ W₁.Q W₁
W₂' : MorphismProperty W₁.Localization := W₂.map E₂.functor
Φ : LocalizerMorphism W₂ W₂' := { functor := E₂.functor, map := ⋯ }
this✝ : Φ.IsLocalizedEquivalence
E₃ : C₃ ≌ W₂'.Localization := (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q).asEquivalence
iso : (W₁.Q ⋙ W₂'.Q) ⋙ E₃.inverse ≅ L₁ ⋙ L₂ := Trans.trans (Trans.trans (W₁.Q.associator W₂'.Q E₃.inverse ≪≫ isoWhiskerRight (compUniqFunctor L₁ W₁.Q W₁).symm (W₂'.Q ⋙ E₃.inverse) ≪≫ L₁.associator (uniq L₁ W₁.Q W₁).functor (W₂'.Q ⋙ E₃.inverse)) (isoWhiskerLeft L₁ ((E₂.functor.associator W₂'.Q E₃.inverse).symm ≪≫ isoWhiskerRight (CatCommSq.iso Φ.functor L₂ W₂'.Q (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q)) E₃.inverse ≪≫ L₂.associator (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q) E₃.inverse))) (isoWhiskerLeft L₁ (isoWhiskerLeft L₂ E₃.unitIso.symm ≪≫ L₂.rightUnitor))
hW₃' : W₃.IsInvertedBy (W₁.Q ⋙ W₂'.Q)
hW₂₃' : W₂' ≤ W₃.map W₁.Q
this : (W₁.Q ⋙ W₂'.Q).IsLocalization W₃
⊢ (L₁ ⋙ L₂).IsLocalization W₃
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ Disjoint ⊥ a
R : Type u
Semiring R
⊢ 1 ≤ Polynomial.X.trailingDegree
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) := fun p => ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b => ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p => F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p => F ↑p) ⟨q, qt⟩
Npq : N p = N q
Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))
Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x => ↑(Ψ x)
main : ghDist p.Rep q.Rep ≤ ε + ε / 2 + ε
⊢ dist ↑⟨p, pt⟩ ↑⟨q, qt⟩ < δ
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z w : N
a : M × ↥S
ha : z * f.toMap ↑a.2 = f.toMap a.1
b : M × ↥S
hb : w * f.toMap ↑b.2 = f.toMap b.1
⊢ ∃ z' w' d, z * f.toMap ↑d = f.toMap z' ∧ w * f.toMap ↑d = f.toMap w'
M : Type u_1
m₁ m₂ : CancelCommMonoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
⊢ m₁ = m₂
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
H : k • 2 = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
n : ℕ
hn : chainLength α β = n + n
⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
β : Type u_5
MeasurableSpace β
μb : MeasureTheory.Measure β
𝕜 : Type u_6
NormedRing 𝕜
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
f : α → β
hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ μb
⊢ ∀ (a : ↥(MeasureTheory.Lp E p μb)),
  (MeasureTheory.Lp.compMeasurePreservingₗ 𝕜 f hf) a = (↑(MeasureTheory.Lp.compMeasurePreserving f hf)).toFun a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n : ℕ
ha : a ∈ s
⊢ a ^ 0 ∈ s ^ 0
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ π.IsPartition ↔ π.iUnion = ↑I
o₁ o₂ : ONote
inst✝¹ : o₁.NF
inst✝ : o₂.NF
a : ONote
m : ℕ
e₁ : o₁.split = (a, m)
N₁ : a.NF
r₁ : o₁.repr = a.repr + ↑m
⊢ (o₁ ^ o₂).repr = o₁.repr ^ o₂.repr
P : PFunctor.{u}
α : Type u
p : α → Prop
x : ↑P α
⊢ Functor.Liftp p x ↔ ∃ a f, x = ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), p (f i)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
h : contained C o
this : (∀ (i : I), ∀ x ∈ C, x i = true → ord I i < o) → (Proj fun x => ord I x < o) '' C = C
⊢ C = π C fun x => ord I x < o
α : Type u_1
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Filter.Tendsto m f (𝓝 b)
hb : b ≠ ⊤ ∨ a ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun b => a / m b) f (𝓝 (a / b))
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
⊢ Submodule.comap (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm) 1 = 1
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubgroup (AddUnits M)
x : M
hx : x ∈ S.ofAddUnits
⊢ IsAddUnit x
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ ((gradedMul R 𝒜 ℬ) 1) x = x
α : Type u_1
LinearOrderedField α
n : ℤ
hn : Even n
a : α
⊢ 0 ≤ a ^ n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
a x : R
⊢ x ∈ (p - C a).roots ↔ p ≠ C a ∧ eval x p = a
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ Nat.cast ⁻¹' Set.Ioi a = Set.Ioi ⌊a⌋₊
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // x ∉ s }), f ↑b) atTop (𝓝 0)
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
h : affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤
this : s = ⇑e.symm '' (⇑e '' s)
⊢ affineSpan k s = ⊤
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i
b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))
hb : 0 < b
⊢ ∃ a b, 0 < b ∧ ∀ x ∈ corootSpace α, (a • α + b • χ) x = 0
G : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N
R : Type u_7
M : Type u_8
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : ι → R
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ (∑ᶠ (i : ι), f i) • x = ∑ᶠ (i : ι), f i • x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
Primcodable σ
f : γ → σ
g : α → β → γ
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
⊢ Primrec₂ fun a b => f (g a b)
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
hα : F⟮α⟯ = ⊤
iso : ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] E := { toFun := fun e => ↑e, invFun := fun e => ⟨e, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
H : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F ↥F⟮α⟯) (minpoly F α)
⊢ Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = Fintype.card (↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] ↥F⟮α⟯)
α : Type u_1
a : α
n m : Nat
h : m < (List.replicate n a).length
⊢ (List.replicate n a)[m] = a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
f' : β → α
h : Set.LeftInvOn f' f s
hf : Set.MapsTo f s t
⊢ Set.SurjOn f' t s