ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_3
AddCommSemigroup G
a b c : G
⊢ a + (b + c) = b + (c + a)
α : Type u_1
EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
⊢ edist x (ContractingWith.efixedPoint f hf x hx) ≤ edist x (f x) / (1 - ↑K)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
X₁ X₂ : C
α β : Ext (X₁ ⊞ X₂) Y n
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
h₁ : (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inl ≫ α.hom = (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inl ≫ β.hom
h₂ : (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inr ≫ α.hom = (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inr ≫ β.hom
⊢ α.hom = β.hom
q' : Λ'
q : Option Γ' → Λ'
q_ih : ∀ (a : Option Γ'), q' ∈ trStmts₁ (q a) → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ (q a)
⊢ (q' ∈ Finset.univ.biUnion fun s => trStmts₁ (q s)) → trStmts₁ q' ⊆ insert (Λ'.read q) (Finset.univ.biUnion fun s => trStmts₁ (q s))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u_2
SemilatticeInf α
ι : Type u_4
f : ι → α
s : Set α
t : Finset ι
OrderTop α
hs : InfClosed s
ht : t.Nonempty
⊢ (∀ i ∈ t, f i ∈ s) → t.inf f ∈ s
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
⊢ op ⊤ = (Opens.map X.toΓSpec.val.base).op.obj (op ⊤)
G : Type u_1
inst✝¹³ : Group G
inst✝¹² : MeasurableSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁷ : Countable ↥Γ
inst✝⁶ : Γ.Normal
inst✝⁵ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁴ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝³ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝² : ν.IsMulRightInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite ν
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
x : G ⧸ Γ
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
x₁ : G
h : ⟦x₁⟧ = x
⊢ (map (fun x_1 => x * x_1) μ) A = μ A
ι : Type u_1
α : Type u_3
Preorder ι
Preorder α
l : Filter ι
u : ι → α
h : Monotone u
l.NeBot
hu : Filter.Tendsto u l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto u Filter.atTop Filter.atTop
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)} (φ : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor.map φ).τ₂ = φ.right.left
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z)
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.fst X Y)
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
this : ∀ (x : Fin pb.dim), ↑x + 1 ≤ pb.dim
⊢ ↑pb.dim * ↑pb.dim - (↑(pb.dim * (pb.dim - 1) / 2) + ↑pb.dim) = ↑(n * (n - 1) / 2)
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : R[X]
hsep : p.Separable
⊢ p.roots.Nodup
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts ys l : List α
⊢ l ∈ (permutationsAux2 t ts [] ys fun x => [] ++ x).2 ↔ ∃ l₁ l₂, l₂ ≠ [] ∧ ys = l₁ ++ l₂ ∧ l = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts
n : ℕ
⊢ n.succPNat.natPred = n
n m : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m
α✝ β : TypeVec.{u} m
α : TypeVec.{u} n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : ↑P α
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
xeq : x = ⟨a, f⟩
pf : ∀ (i : Fin2 n) (j : P.B a i), p (f i j)
⊢ (fun i => Subtype.val) <$$> ⟨a, fun i j => ⟨f i j, ⋯⟩⟩ = x
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ c ≤ min a b ↔ c ≤ a ∧ c ≤ b
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
⊢ TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ ε > 0, ∀ (x : β), ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ χ.conductor ∣ n
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
f : β → α
⊢ (∃ C, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ range f → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ range f → dist x y ≤ C) ↔ ∃ C, ∀ (x y : β), dist (f x) (f y) ≤ C
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hzero : n > 0
this : NeZero n
⊢ cyclotomic (n * p) ℤ ∣ (expand ℤ p) (cyclotomic n ℤ)
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
h : NeZero (MeasureTheory.Measure.map f μ)
⊢ AEMeasurable f μ
G : Type u_2
MeasurableSpace G
DivInvMonoid G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulRightInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => x / g) μ = μ
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
⊢ S.IsTotallyDisconnected ↔ ∀ (c d : C), (S.arrows c d).Nonempty → c = d
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : α
⊢ maximals r {a} = {a}
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
f : ((n : ℕ) → E n) → (n : ℕ) → E n := fun x => if x ∈ s then x else ⋯.some
⊢ ∃ f, (∀ x ∈ s, f x = x) ∧ range f = s ∧ LipschitzWith 1 f
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
⊢ μ.toFiniteMeasure ≠ 0
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : ¬x✝ = t
h✝ : ¬y✝ = t
⊢ G.Adj x✝ y✝ ↔ (G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) ∧ s(x✝, y✝) ∉ {s(t, t)}
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
self : AlgebraicGeometry.IsClosedImmersion f
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ Function.Surjective ⇑(AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap f x)
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ↑(↑r.den * m + r.num * ↑n) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n + ↑r
⊢ C / ↑n ^ p = ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id n) ^ p
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν✝
μ : Measure α
ν : Measure β
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : generateFrom C = inst✝⁶
hD : generateFrom D = inst✝⁴
h2C : IsPiSystem C
h2D : IsPiSystem D
h3C : μ.FiniteSpanningSetsIn C
h3D : ν.FiniteSpanningSetsIn D
μν : Measure (α × β)
h₁ : ∀ s ∈ C, ∀ t ∈ D, μν (s ×ˢ t) = μ s * ν t
⊢ μ.prod ν = μν
M : Type u
m₁ m₂ : Monoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
this✝ : toMulOneClass = toMulOneClass
h₁ : One.one = One.one
f : M →* M := { toFun := id, map_one' := h₁, map_mul' := ⋯ }
this : Monoid.npow = Monoid.npow
⊢ m₁ = m₂
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
b : ℕ → ℝ
hb : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
⊢ ∃ f, StrictMono f ∧ ∀ (n m : ℕ), m ≥ f n → dist (u m) (u (f n)) < b n
F : Type u_1
K : Type u_2
Field F
Field K
Algebra F K
E : Type u_3
Field E
Algebra F E
Algebra K E
IsScalarTower F K E
h : Normal F E
⊢ Normal K E
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
s : PullbackCone f g
⊢ (BinaryFan.mk (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)).π.app { as := WalkingPair.left } ≫ f = (BinaryFan.mk (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)).π.app { as := WalkingPair.right } ≫ g
X Y Z : MonCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensRange (CategoryTheory.Limits.pullback.fst g f) =
  (TopologicalSpace.Opens.map g.val.base).obj (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensRange f)
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
n : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R n) 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddCommMonoid β
ContinuousAdd β
γ : Type u_3
f : γ → C(α, β)
hf : Summable f
x : α
⊢ Summable fun i => (f i) x
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ (starRingEnd K) z = z ↔ ↑(RCLike.re z) = z
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
h : ∀ (i : ι), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (univ.pi s) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
la : Filter α
lb : Filter β
p : α → β → Prop
h✝ : ∃ᶠ (x : α) in la, ∃ᶠ (y : β) in lb, p x y
h : ∀ᶠ (x : α × β) in la ×ˢ lb, ¬(fun xy => p xy.1 xy.2) x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in la, ¬(fun x => ∃ᶠ (y : β) in lb, p x y) x
a : Ordinal.{u_1}
h : 1 < a
⊢ Ordinal.IsNormal fun x => a ^ x
α : Type u_1
Fintype α
CategoryTheory.SmallCategory α
CategoryTheory.FinCategory α
X Y : CategoryTheory.FinCategory.ObjAsType α
a : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.FinCategory.objAsTypeToAsType α).map a = (Fintype.equivFin (X ⟶ Y)) a
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ homogeneousCore' 𝒜 I = sSup {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ J ≤ I}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C 0
φ φ' : F ⟶ G
h : CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 0 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ' 0 ⋯
⊢ φ = φ'
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
n d : ℕ
⊢ (if d < n then (coeff R d) f.derivativeFun else 0) = (derivative (trunc (n + 1) f)).coeff d
α : Type u
β : α → Type v
a : α
s : Finmap β
⊢ a ∈ s ↔ a ∈ s.entries.keys
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Countable ι'
f : ι' → Set X
hf : ∀ (i : ι'), IsOpen (f i)
⊢ ∀ t ∈ range f, IsOpen t
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
X : ι → Type u_8
(i : ι) → TopologicalSpace (X i)
g : (i : ι) → π i → X i
hg : ∀ (i : ι), Continuous (g i)
⊢ Continuous fun f i => g i (f i)
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ Continuous ⇑h.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
h₁ : Set.SurjOn f s₁ t
h₂ : Set.SurjOn f s₂ t
h : Set.InjOn f (s₁ ∪ s₂)
⊢ Set.SurjOn f (s₁ ∩ s₂) t
α : Type u
Inhabited α
l : List α
h : l ≠ []
⊢ l.head! ∈ l
α : Type u
C : List α → Sort u_1
h : (n : ℕ) → (f : Fin n → α) → C (ofFn f)
n : ℕ
f : Fin n → α
this : Function.RightInverse ⇑equivSigmaTuple.symm ⇑equivSigmaTuple
⊢ ofFnRec h (ofFn f) = h n f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
x : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffAt I' I n (f i) x
⊢ ContMDiffAt I' I n (∑ i ∈ t, f i) x
n : ℕ
x a₁ b₁ a₂ b₂ : ℝ
e : |1 + x / ↑(n + 1) * a₂ - a₁| ≤ b₁ - |x| / ↑(n + 1) * b₂
h : |rexp x - expNear (n + 1) x a₂| ≤ |x| ^ (n + 1) / ↑(n + 1).factorial * b₂
⊢ |x| ^ (n + 1) / ↑(n + 1).factorial * b₂ + |x ^ n / ↑n.factorial| * |1 + x / (↑n + 1) * a₂ - a₁| ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial * b₁
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
G : C ⥤ D
G.Additive
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Hσ q).f n = G.map ((AlgebraicTopology.DoldKan.Hσ q).f n)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : IsCompact (closure sᶜ)
⊢ ∃ i, (IsClosed i ∧ IsCompact i) ∧ iᶜ ⊆ s
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
f : ι → E
val✝ : Fintype ι
hf : LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i)) = ⊥
K : ℝ≥0
K0 : K > 0
hK : AntilipschitzWith K ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i))
this : Tendsto (fun g => ∑ i : ι, ‖g i - f i‖) (𝓝 f) (𝓝 0)
g : ι → E
hg : ∑ i : ι, ‖g i - f i‖₊ < K⁻¹
v u : ι → 𝕜
⊢ dist ((⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (g i)) - ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i))) v) ((⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (g i)) - ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i))) u) ≤ ↑(∑ i : ι, ‖g i - f i‖₊) * dist v u
α : Type u_1
OrderedSemiring α
x y : ↑(Set.Ico 0 1)
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
X : Type u_1
a : FreeAbelianGroup X
⊢ (FreeAbelianGroup.equivFinsupp X) a = FreeAbelianGroup.toFinsupp a
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 < f' x
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
⊢ 0 < deriv f x
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
hf : Function.Injective ⇑f
S : AddSubsemigroup M
⊢ AddSubsemigroup.comap f (AddSubsemigroup.map f S) = S
D : GlueData
i : D.J
a : ↑(D.U i)
j : D.J
b : ↑(D.U j)
k : D.J
c : ↑(D.U k)
x : ↑(D.V (⟨i, a⟩.fst, ⟨j, b⟩.fst))
e₁ : (D.f ⟨i, a⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) x = ⟨i, a⟩.snd
e₂ : (D.f ⟨j, b⟩.fst ⟨i, a⟩.fst) ((D.t ⟨i, a⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) x) = ⟨j, b⟩.snd
y : ↑(D.V (⟨j, b⟩.fst, ⟨k, c⟩.fst))
e₃ : (D.f ⟨j, b⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) y = ⟨j, b⟩.snd
e₄ : (D.f ⟨k, c⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) ((D.t ⟨j, b⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) y) = ⟨k, c⟩.snd
z : ↑(pullback (D.f j i) (D.f j k))
eq₁ : (D.t j i) ((pullback.fst (D.f j i) (D.f j k)) z) = x
eq₂ : (pullback.snd (D.f j i) (D.f j k)) z = y
⊢ ∃ x, (D.f ⟨i, a⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) x = ⟨i, a⟩.snd ∧ (D.f ⟨k, c⟩.fst ⟨i, a⟩.fst) ((D.t ⟨i, a⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) x) = ⟨k, c⟩.snd
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i
⊢ update f i '' Ico (f i) b = Ico f (update f i b)
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝ : L.Structure M
iM : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
h2 : lift.{max w u v, w'} #M ≤ lift.{max w' u v, w} κ
N0 : (L.elementaryDiagram M).ModelType
hN0 : lift.{max (max u w') v w, w} κ ≤ #↑N0
N : Bundled L[[M]].Structure
hN : #↑N = κ
NN0 : ↑N ↪ₑ[L[[M]]] ↑N0
this : L.Structure ↑N := (L.lhomWithConstants M).reduct ↑N
h : ↑N ⊨ L.elementaryDiagram M
⊢ ∃ N, Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
h : M ≤ nonZeroDivisors R
I J : Ideal R
⊢ IsLocalization.coeSubmodule S I ≤ IsLocalization.coeSubmodule S J ↔ I ≤ J
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : Rˣ →* R'ˣ
⊢ MulChar.ofUnitHom χ = MulChar.equivToUnitHom.symm χ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : Preorder β
ψ : α → β
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
n : α
hψ : ∀ m < n, ψ m < ψ (succ m)
x : α
hx : x ≤ n
k : ℕ
ih : succ (succ^[k] x) ≤ n → x < succ (succ^[k] x) → ψ x < ψ (succ (succ^[k] x))
hxy : x < succ (succ (succ^[k] x))
hy : succ (succ (succ^[k] x)) ≤ n
hmax : ¬IsMax (succ^[k] x)
hmax' : ¬IsMax (succ (succ^[k] x))
⊢ ψ (succ (succ^[k] x)) < ψ (succ (succ (succ^[k] x)))
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0
⊢ I * J⁻¹ * J ≤ I
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≼i s
h : ¬∃ b, ∀ (x : β), s x b ↔ ∃ y, f y = x
b x : β
x✝¹ : ∀ (y : β), s y x → Acc s y
IH : ∀ (y : β), s y x → ∃ a, f a = y
hn : ∀ (x_1 : α), ¬f x_1 = x
y : β
x✝ : ∃ y_1, f y_1 = y
a : α
e : f a = y
⊢ s (f a) x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
X✝ Y✝ : C ⥤ D
τ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : D ⥤ E
f : X ⟶ Y
x✝ : C
⊢ f.app (X✝.obj x✝) ≫ Y.map (τ.app x✝) = X.map (τ.app x✝) ≫ f.app (Y✝.obj x✝)
M : Type u_2
AddCommGroup M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
A : Type u_5
CommRing A
Module A M
κ : Type u_6
Fintype κ
DecidableEq κ
b : Basis ι A M
c : Basis κ A M
f : M →ₗ[A] M
⊢ ((LinearMap.toMatrix b b) f).det = ((LinearMap.toMatrix c c) f).det
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.199790
S'' : Type ?u.199793
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x : P.Ring
⊢ (AlgHom.restrictScalars R (aeval P'.val)).comp f.toAlgHom = (IsScalarTower.toAlgHom R S S').comp (aeval P.val)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
h : Relator.LeftUnique r
⊢ Relator.RightUnique (flip r)
V : Type u
G : SimpleGraph V
hconn : G.Preconnected
u v : V
⊢ Set.univ.Nonempty
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
S : Set E
q : ℕ
inst✝¹ : ExpChar F q
n : ℕ
L : IntermediateField F E := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsSeparable F ↥L
M : IntermediateField F E := adjoin F ((fun x => x ^ q ^ n) '' S)
hi : M ≤ L
this : Algebra ↥M ↥L := (inclusion hi).toAlgebra
⊢ L = M
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : s S = 0
hS₃ : ν Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0
hT₃ : ν Tᶜ = 0
hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0
heq : (ν.withDensity f).restrict (S ∩ T) = (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).restrict (S ∩ T)
heq' : ∀ (A : Set α), MeasurableSet A → (ν.withDensity f) A = ((ν.withDensity f).restrict (S ∩ T)) A
⊢ ν.withDensity f = ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ gauge t (gaugeRescale s t x) = gauge s x
V : Type u
s t : Set (Sym2 V)
⊢ SimpleGraph.fromEdgeSet (s ∩ t) = SimpleGraph.fromEdgeSet s ⊓ SimpleGraph.fromEdgeSet t
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ (if a < b then Ordering.lt else if a = b then Ordering.eq else Ordering.gt) = Ordering.lt ↔ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
InfSet α
InfSet β
f : ι → α × β
⊢ (iInf f).swap = ⨅ i, (f i).swap
α : Type u_2
LinearOrder α
a : α
s : Finset α
as : a ∈ s
⊢ s.min ≤ ↑a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
A : (e.trans e.symm).source = e.source
⊢ e.trans e.symm ≈ ofSet e.source
⊢ Cardinal.aleph0 * Cardinal.aleph0 = Cardinal.aleph0
α : Type u_1
Ring α
n e1 e2 t1 t2 : α
h1 : n * e1 = t1
h2 : n * e2 = t2
⊢ n * (e1 - e2) = t1 - t2
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
f : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
f' : M₂ ≃SL[σ₂₃] M₃
⊢ (↑f').comp ↑f = ↑(f.trans f')
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x y : β
⊢ CauSeq.Completion.ofRat (x * y) = CauSeq.Completion.ofRat x * CauSeq.Completion.ofRat y
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ IsLocalHomeomorphOn (↑e) e.source
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
⊢ ↑‖x + y‖ * ↑‖x + y‖ - ↑‖x - y‖ * ↑‖x - y‖ + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ - -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖ = 𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖
F : Type u_3
Field F
Fintype F
hF : ringChar F = 2
⊢ Fintype.card F % 2 = 0
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hp : 1 < p
⊢ Splits (RingHom.id (ZMod p)) (X ^ p - X)
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
hf' : Integrable (fun x => x • f x) volume
w : ℝ
hf'' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) volume
⊢ HasDerivAt (𝓕 f) (𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) w) w
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n✝ : ℕ
x✝¹ x✝ : List α
h : x✝¹ <+ x✝
n : ℕ
⊢ drop (n + 1) x✝¹ <+ drop (n + 1) x✝
α : Type u_1
f : α → α
hf : Function.Involutive f
⊢ Function.Involutive (Set.preimage f)
α : Type u_1
⊢ ⊥.egirth = ⊤
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
g : α
⊢ ∃ h, Quotient.out' ↑g = g * ↑h
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
TopologicalSpace E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
UniformSpace F
UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
⊢ UniformConvergenceCLM.instUniformSpace σ F 𝔖 = UniformSpace.comap DFunLike.coe (UniformOnFun.uniformSpace E F 𝔖)
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
⊢ n ≤ n.sqrt * n.sqrt + n.sqrt + n.sqrt
S : Type u
CommRing S
X X' : ModuleCat S
i : X ≅ X'
f : CategoryTheory.End X
⊢ i.conj f = i.toLinearEquiv.conj f
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ s ∈ MeasureTheory.ae (MeasureTheory.Measure.map f μ) ↔ f ⁻¹' s ∈ MeasureTheory.ae μ