ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
Preorder α
s : Set α
hs : s.Subsingleton
⊢ s.IsPWO
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⇑(LinearEquiv.finTwoArrow R M).symm = fun x => ![x.1, x.2]
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x : E × F
hx : x ∈ g
⊢ x ∈ g.toLinearPMap.graph
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ upperClosure s ↔ ∃ a ∈ s, a ≤ x
cs cs' : List Char
⊢ { data := cs ++ cs' }.prev { byteIdx := utf8Len cs } = { byteIdx := utf8Len cs.dropLast }
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
h : ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I)
p : ℕ
p_pos : p > 0
hp_mixedChar : MixedCharZero R p
I : Ideal R
hI_ne_top : I ≠ ⊤
hI_p : CharP (R ⧸ I) p
⊢ False
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x y : AdicCompletion.AdicCauchySequence I M
⊢ x = y ↔ ∀ (n : ℕ), ↑x n = ↑y n
x y : ℤ[i]
hy : y ≠ 0
this : toComplex y ≠ 0
⊢ normSq (toComplex x - toComplex y * toComplex (x / y)) = normSq (toComplex y) * normSq (toComplex x / toComplex y - toComplex (x / y))
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
A : Set X
f : X → β
hf1 : Continuous f
hf2 : Function.Injective f
x : β
hx : x ∈ f '' derivedSet A
⊢ x ∈ derivedSet (f '' A)
G : Type u_1
Group G
k : Set G
⊢ Subgroup.closure (Subtype.val ⁻¹' k) = ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
f_Lp : ↥(Lp E 1 μ) := Memℒp.toLp f hf_Lp
hf_f_Lp : f =ᶠ[ae μ] ↑↑f_Lp
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
f : Filter ι
x₀ : α
p : ι × α → Prop
⊢ (∃ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → ∀ {i : ι}, pa i → p (x, i).swap) ↔ ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∃ ε > 0, ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → p (i, x)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
z : Sym2 α
ha : a ∈ z
hb : Sym2.Mem.other' ha ∈ z
⊢ Sym2.Mem.other' hb = a
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
p₁ p₂ : P
x : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : t ≤ 0
⊢ s.WOppSide x (t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂)
k : Type u_4
LinearOrderedField k
FloorRing k
m : ℤ
n : ℕ
⊢ Int.fract (↑m / ↑n) = ↑(m % ↑n) / ↑n
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
⊢ (Ordinal.lsub f).cof ≤ #ι
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
c : Set (Set α)
H1 : ∀ s ∈ c, x ∈ s
H2 : ∀ s ∈ c, IsPreconnected s
⊢ IsPreconnected (⋃₀ c)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
i : ι
⊢ Continuous ⇑(p i)
ι : Type u_1
DecidableEq ι
α : ι → Sort u_2
i : ι
l : List ι
r : ⦃i : ι⦄ → α i → α i → Prop
a₁ a₂ : α i
f₁ f₂ : (j : ι) → j ∈ l → α j
ha : r a₁ a₂
hf : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ l), r (f₁ i hi) (f₂ i hi)
j : ι
hj : j ∈ i :: l
⊢ r (List.Pi.cons i l a₁ f₁ j hj) (List.Pi.cons i l a₂ f₂ j hj)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
A : ∫⁻ (y : α), AEMeasurable.mk f hf y ∂μ ≠ ⊤
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, AEMeasurable.mk f hf y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (AEMeasurable.mk f hf x))
h'x : f x = AEMeasurable.mk f hf x
⊢ Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing R₁
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁵ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommSemiring R₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹¹ : CommRing R₃
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₃
inst✝⁹ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Fintype o
inst✝³ : DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
M₂' : Type u_13
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R₂ M₂'
c : Basis o R₂ M₂'
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
P Q : Matrix n o R₂
x y : M₂'
⊢ ((((toBilin b) M).comp ((toLin c b) P) ((toLin c b) Q)) x) y = (((toBilin c) (Pᵀ * M * Q)) x) y
α : Type u_1
k n m : ℕ
H : Raised n m
⊢ Raised (k + n) (k + m)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
h : a ∈ s
⊢ s ∩ insert a t = insert a (s ∩ t)
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
hf' : LocallyIntegrable f' μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = ∫ (x : M), g x • f' x ∂μ
this : ∀ᵐ (x : M) ∂μ, (f - f') x = 0
⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, f x = f' x
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
⊢ (fun t => Ring.inverse (↑x + t) - (∑ i ∈ Finset.range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun t => ‖t‖ ^ n
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : a ∈ s
h₀ : ∀ b ∈ s, b ≠ a → f b = 0
⊢ ∑ x ∈ s, f x = f a
R : Type u_1
CommRing R
self : Ring.DimensionLEOne R
p : Ideal R
⊢ p ≠ ⊥ → p.IsPrime → p.IsMaximal
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg : ∀ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧ ∃ ε_1 > 0, ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist ((φ x ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g x) (k x)) z₀ < ε
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
r : R
N : Submodule R M
this : span R (⋃ t ∈ N, {r • t}) = r • N
⊢ Ideal.span {r} • N = r • N
M : Type u_6
Add M
⊢ ⇑(AddEquiv.refl M) = id
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ¬p ∣ n
⊢ (p * n).totient = (p - 1) * n.totient
α : Type u_1
G : Type u_5
TopologicalSpace G
CommGroup G
TopologicalGroup G
f : α → G
⊢ Filter.Tendsto (fun s => ∏' (a : { x // x ∉ s }), f ↑a) Filter.atTop (𝓝 1)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
S₁ S₂ : StarSubalgebra R A
h : S₁ ≤ S₂
hS₁ : IsClosed ↑S₁
⊢ ∀ x ∈ S₁, id x ∈ S₂
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
hax : a ≤ x
hxb : x ≤ b
⊢ x ∈ ⊥
p : ZFSet → Prop
x y : ZFSet
⊢ y ∈ ZFSet.sep p x ↔ y ∈ x ∧ p y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Unique ι
f : ι → 𝕜
hf : f default = 1
⊢ f = fun x => 1
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
⊢ (ContinuousMap.isometryEquivBoundedOfCompact α β).toEquiv = ContinuousMap.equivBoundedOfCompact α β
p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
⊢ p.maxPowDiv (p * n) = p.maxPowDiv n + 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ s.lcm f ∣ a ↔ ∀ b ∈ s, f b ∣ a
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
u : U
⊢ ∀ (x : Γ'), ¬A (((of R).symm (B u)).coeff x) = 0 → ¬((of R).symm (B u)).coeff x = 0
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedCommRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (x + y) = NormedSpace.exp 𝕂 x * NormedSpace.exp 𝕂 y
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
f : LocallyConstant ↑C ℤ
⊢ ∃ s g, f = LocallyConstant.comap { toFun := ProjRestrict C fun x => x ∈ s, continuous_toFun := ⋯ } g
⊢ RingHom.RespectsIso fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x y L : R
⊢ span {(mk W) (C (X - C x)), (mk W) (Y - C (C y))} = span {(mk W) (C (X - C x)), (mk W) (Y - C (C L * (X - C x) + C y))}
n : Nat
⊢ n ≠ 0 → n.pred < n
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
n : Nat
⊢ List.count a (List.replicate n b) = if a = b then n else 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
motive : t2Quotient X → Prop
q : t2Quotient X
h : ∀ (x : X), motive (t2Quotient.mk x)
⊢ motive q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
⊢ (filter (fun a => a.1 = a.2) (s ×ˢ s)).card + (filter (fun a => a.1 ≠ a.2) (s ×ˢ s)).card = (s ×ˢ s).card
R : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_4
Monoid M
S : Submonoid M
OreLocalization.OreSet S
MulAction M X
SMul R X
SMul R M
IsScalarTower R M M
IsScalarTower R M X
r : R
x : OreLocalization S X
⊢ (r • 1) • x = r • x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (π i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : Set ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x₁ x₂ : π i
y : (i : ι) → π i
⊢ update y i '' openSegment 𝕜 x₁ x₂ = openSegment 𝕜 (update y i x₁) (update y i x₂)
a b r : ℤ
hr : 0 < r
x : ℤ
⊢ x ∈ filter (fun x => r ∣ x) (Ioc a b) ↔ x ∈ map { toFun := fun x => x * r, inj' := ⋯ } (Ioc ⌊↑a / ↑r⌋ ⌊↑b / ↑r⌋)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
HeytingAlgebra α
HeytingAlgebra β
HeytingAlgebra γ
f : HeytingHom α β
g₁ g₂ : HeytingHom β γ
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ Gᶜ.neighborSet v = (G.neighborSet v)ᶜ \ {v}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (DerivedCategory C)
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
⊢ DerivedCategory.HomologySequence.δ T n₀ n₁ h ≫ (DerivedCategory.homologyFunctor C n₁).map T.mor₁ = 0
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
⊢ ↑φ = 0 ↔ φ = 0
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
f : ((n : ℕ) → E n) → (n : ℕ) → E n
fs : ∀ x ∈ s, f x = x
frange : range f = s
hf : LipschitzWith 1 f
⊢ ∃ f, (∀ x ∈ s, f x = x) ∧ range f = s ∧ Continuous f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝² : Fintype ι'
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
ν : (i : ι) → Measure (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)
hf : ∀ (i : ι), MeasurePreserving (f i) (μ i) (ν i)
⊢ Measure.map (fun a i => f i (a i)) (Measure.pi μ) = Measure.pi ν
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
X : Type u_1
EMetricSpace X
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set X
t : Set X
⊢ IsMetricSeparated (⋃ i ∈ I, s i) t ↔ ∀ i ∈ I, IsMetricSeparated (s i) t
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
Fintype m
DecidableEq m
DecidableEq n
Semiring α
f : l ≃. m
g : m ≃. n
⊢ (f.trans g).toMatrix = f.toMatrix * g.toMatrix
β : Type u_1
γ : Type u_2
α : Type u_3
b : β × γ
⊢ (Equiv.sumProdDistrib α β γ).symm (Sum.inr b) = (Sum.inr b.1, b.2)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
X✝ Y✝ : C ⥤ Comon_ D
α : X✝ ⟶ Y✝
x : C
⊢ (α.app x).hom ≫ (Y✝.obj x).comul = (X✝.obj x).comul ≫ ((α.app x).hom ⊗ (α.app x).hom)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
h : |a - b| ≤ c
⊢ a - c ≤ b
I : Type u_1
J : Type u_2
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
X : CategoryTheory.GradedObject I C
p : I → J
j : J
c : X.CofanMapObjFun p j
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
X.HasMap p
i : I
hi : p i = j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Cofan.inj c ⟨i, hi⟩)
    (CategoryTheory.GradedObject.CofanMapObjFun.iso hc).hom =
  X.ιMapObj p i j hi
⊢ Fintype.card PUnit.{u_4 + 1} = 1
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ (AlgHom.op f).toRingHom = RingHom.op f.toRingHom
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
CommRing A
LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
hI : Ideal.IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ I.radical = sInf {J | Ideal.IsHomogeneous 𝒜 J ∧ I ≤ J ∧ J.IsPrime}
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f : α →o β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ dist p₁ p₃ / |(∡ p₁ p₂ p₃).sin| / 2 = s.radius
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
N : Type u_5
Group N
H : Subgroup N
e : G ≃* N
⊢ Subgroup.map (↑e.symm) H = K ↔ Subgroup.map (↑e) K = H
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
x : K
x✝² x✝¹ : A
x✝ : x✝¹ ∈ S
⊢ ((algebraMap A K) x✝¹)⁻¹ = ↑((IsUnit.liftRight ((IsLocalization.toLocalizationMap A⁰ K).toMap.restrict A⁰) ⋯) ⟨x✝¹, ⋯⟩)⁻¹
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
⊢ m.dedup.dedup = m.dedup
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ⇑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
⊢ Continuous fun x => ↑N * ‖f‖ * ‖x‖
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
S' : Type u_7
CommRing S'
Algebra A S
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
e : S ≃ₐ[A] S'
h₁ : (Polynomial.aeval pb.gen) (minpoly A (pb.map e).gen) = 0
h₂ : (Polynomial.aeval (pb.map e).gen) (minpoly A pb.gen) = 0
⊢ pb.equivOfRoot (pb.map e) h₁ h₂ = e
α : Type u_1
s : Heap α
le : α → α → Bool
n : Nat
hwf : WF le n s
⊢ WF le 0 ((Heap.tail? le s).getD Heap.nil)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≃r s
⊢ ⇑f.toEmbedding = ⇑f
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
B : LinearMap.BilinForm R₂ M₂
⊢ (Matrix.toBilin b) ((BilinForm.toMatrix b) B) = B
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
c : α
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ ∃ r, s ⊆ Metric.closedBall c r
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
B : Type u_2
Ring B
Algebra R B
e : A ≃ₐ[R] B
⊢ Algebra.IsAlgebraic R A ↔ Algebra.IsAlgebraic R B
G : Type u_7
Group G
self : GroupNorm G
x : G
⊢ self.toFun x = 0 → x = 1
A : Type u_1
A' : Type u_2
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring A'
inst✝⁵ : Algebra ℚ A
inst✝⁴ : Algebra ℚ A'
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring A'
inst✝¹ : Algebra ℚ A
inst✝ : Algebra ℚ A'
n : ℕ
f : A →+* A'
⊢ (algebraMap ℚ A) (1 / ↑0!) = 1
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
F : Filter X
⊢ ClusterPt x (F.lift' closure) ↔ ClusterPt x F
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
hyp : ∀ (n : ι), IndepSets (s n) s' κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ ⋃ n, s n
ht2 : t2 ∈ s'
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → f x = 0
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
e₁ e₂ : α ≃ᵢ β
⊢ e₁.toEquiv = e₂.toEquiv ↔ e₁ = e₂
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.condexpL1 hm μ f = (MeasureTheory.condexpL1CLM F' hm μ) (MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
S X X' Y Y' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S
g' : Y' ⟶ S
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
h₁ : P i₁
h₂ : P i₂
e₁ : f = i₁ ≫ f'
e₂ : g = i₂ ≫ g'
this✝ : P.RespectsIso
this : pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯ = ((pullbackSymmetry (Over.mk f).hom (Over.mk g).hom).hom ≫ ((Over.pullback (Over.mk f).hom).map (Over.homMk i₂ ⋯)).left) ≫ (pullbackSymmetry (Over.mk g').hom (Over.mk f).hom).hom ≫ ((Over.pullback g').map (Over.homMk i₁ ⋯)).left
⊢ P (pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
h_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hg : 0 ≤ᵐ[μ] g
h_int : MeasureTheory.Integrable (f + g) μ
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
x✝ y : ℂ
x : ℝ
⊢ (cos ↑x).im = 0
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
β : Type v'
g : α ≃ β
⊢ ∀ (a : L.Term α), (FirstOrder.Language.Term.relabelEquiv g) a = FirstOrder.Language.Term.relabel (⇑g) a
R : Type u_1
Semiring R
⊢ (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) 1 = 1
R : Type u_4
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
e : R ≃+* S
⊢ (↑e.symm).comp ↑e = RingHom.id R
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
b : H
AddCommGroupWithOne G
AddGroup H
AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
n : ℤ
x : G
⊢ f (↑n + x) = f x + n • b
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
a b : G
⊢ Doset.mk H K a = Doset.mk H K b ↔ ∃ h ∈ H, ∃ k ∈ K, b = h * a * k
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
x y : 𝕎 k
⊢ peval (polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i] = (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
t' : Set E
t'_meas : MeasurableSet t'
t't : t' ⊆ t
t'pos : 0 < μ t'
t'top : μ t' < ⊤
r : ℝ
hr : 0 < μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • t')
this✝ : μ (s ∩ ({x} + r • t')) ≠ 0
this : (s ∩ ({x} + r • t')).Nonempty
⊢ (s ∩ ({x} + r • t)).Nonempty
α : Type u_1
n : ℕ
s : Sym α n
⊢ (Sym.cast ⋯) s = s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ s x
⊢ fderivWithin ℝ (fun x => Real.cosh (f x)) s x = Real.sinh (f x) • fderivWithin ℝ f s x
m : Type u_3
α : Type u_5
Fintype m
SeminormedAddCommGroup α
DecidableEq m
v : m → α
⊢ ‖Matrix.diagonal v‖ = ‖v‖
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : D
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) univ x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ x_1 ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose x_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 x_1 f univ x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - x_1) g univ x‖
R : Type u
a : R
n : ℕ
Semiring R
⊢ (Polynomial.C a).coeff n = if n = 0 then a else 0
J : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J TopCat
F : J ⥤ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
j : J
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.pushforwardDiagramToColimit F).obj j =
  Opposite.op
    ((TopCat.Presheaf.pushforward C
          (CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F ⋙ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.forget C) j)).obj
      (F.obj j).presheaf)