ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc a (b i)) μ
hb : Tendsto b l atTop
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hφ : AECover (μ.restrict (Ioi a)) l fun i => Iic (b i)
⊢ IntegrableOn f (Ioi a) μ
α : Type u
inst✝³ : GroupWithZero α
a b : α
inst✝² : Invertible a
inst✝¹ : Invertible b
inst✝ : Invertible (a / b)
⊢ a / b * (b / a) = 1
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
x : (leftRegular G ⊗ X).V
⊢ (X.ρ x.1 * X.ρ x.1⁻¹) x.2 = x.2
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
x✝¹ : R
h : x✝¹ ∈ closure s
x✝ y : R
hx✝ : x✝ ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
q : R
hq : q ∈ ↑(Submonoid.closure s)
x : R
hx : x * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
f : -x * q = -(x * q)
⊢ -(x * q) ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F✝
inst✝² : Module ℝ F✝
inst✝¹ : TopologicalSpace F✝
inst✝ : T1Space F✝
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
F : Set (Set E)
hFS : F ⊆ S
hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F
⊢ ∃ lb ∈ S, ∀ s ∈ F, lb ⊆ s
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X
F G : Filter X
⊢ AccPt x (F ⊔ G) ↔ AccPt x F ∨ AccPt x G
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
x : α
hx : x ∈ A / C
⊢ B.card ≤ (bipartiteAbove (fun b ac => ac.1 * ac.2 = b) ((A / B) ×ˢ (B / C)) x).card
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DivisionMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
a b : G
⊢ f (a * b⁻¹) = f a * (f b)⁻¹
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝¹ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝¹ : Fin l → M
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n✝ : ℕ
φ : L[[α]].BoundedFormula β n✝
v : β → M
xs✝ : Fin n✝ → M
n : ℕ
R : L[[α]].Relations n
xs : Fin n → M
⊢ RelMap (((fun x => Equiv.sumEmpty (L.Relations x) ((constantsOn α).Relations x)) n) R) xs = RelMap R xs
xl xr : Type u
⊢ ∀ (i : (star.moveRight default).LeftMoves), (star.moveRight default).moveLeft i ⧏ 0
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hp : p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ ContinuousAt (⇑p) 0
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F G : A ⥤ B
H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
fst✝¹ : A
snd✝¹ : C
fst✝ : A
snd✝ : C
f : (fst✝¹, snd✝¹) ⟶ (fst✝, snd✝)
⊢ F.map f.1 ≫ α.app fst✝ = α.app fst✝¹ ≫ G.map f.1 ∧ H.map f.2 ≫ β.app snd✝ = β.app snd✝¹ ≫ I.map f.2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ g✝ h✝ : a✝ ⟶ b✝
η✝ : f✝ ⟶ g✝
θ✝ : g✝ ⟶ h✝
X : ↑({ obj := fun C => Cat.of (WithTerminal ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.obj a✝)
⊢ ({ obj := fun C => Cat.of (WithTerminal ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ (η✝ ≫ θ✝)).app X = ({ obj := fun C => Cat.of (WithTerminal ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ η✝ ≫ { obj := fun C => Cat.of (WithTerminal ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ θ✝).app X
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α
h : xs.Nodup
⊢ xs.sym2.Nodup
γ : Type w
MetricSpace γ
x y : γ
⊢ 0 = nndist x y ↔ x = y
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c d : α
h₁ : c < b
h₂ : a < d
⊢ Set.Ioo a b ∪ Set.Ioo c d = Set.Ioo (min a c) (max b d)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
ho : o ≠ 0
c : α
⊢ range (o.familyOfBFamily fun x x => c) = {c}
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
SupSet α
SupSet β
f : ι → α × β
⊢ (iSup f).1 = ⨆ i, (f i).1
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : (B (v.repr.symm vi)) (v i) = 0
⊢ vi i = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι ℝ F
⊢ a.toBasis.det ⇑b = 1 ∨ a.toBasis.det ⇑b = -1
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι✝ : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : SMul 𝕜 E
inst✝² : Zero E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
ι : Sort u_7
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set E
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), IsVonNBounded 𝕜 (s i)
I : Type u_1
J : Type u_2
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
X : CategoryTheory.GradedObject I C
p : I → J
X.HasMap p
A : C
j : J
φ : (i : I) → p i = j → (X i ⟶ A)
i : I
hi : p i = j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.ιMapObj p i j hi) (X.descMapObj p φ) = φ i hi
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
g : γ → β
hg : Function.Injective g
hf : ∀ x ∉ Set.range g, f x = 1
⊢ HasProd (f ∘ g) a ↔ HasProd f a
α : Type u_1
DecidableEq α
xs : List α
h : xs.Nodup
i : Fin xs.length
⊢ xs.formPerm (xs.get i) = xs.get ⟨(↑i + 1) % xs.length, ⋯⟩
M : Type u_1
AddMonoid M
x : M
⊢ IsAddUnit x ↔ ∃ b, x + b = 0 ∧ b + x = 0
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NonAssocSemiring R✝
inst✝⁴ : NoZeroDivisors R✝
inst✝³ : Nontrivial R✝
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
p : ℕ
hchar : CharP R p
h : Nat.Prime p
⊢ CharZero R ∨ ∃ p, Fact (Nat.Prime p) ∧ CharP R p
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
⊢ (image f s).sym2.val = (image (Sym2.map f) s.sym2).val
X Y S : Type v
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
x : CategoryTheory.Limits.Types.PullbackObj f g
⊢ c.fst ((CategoryTheory.Limits.PullbackCone.IsLimit.equivPullbackObj hc).symm x) = (↑x).1
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
x y : Tropical R
⊢ x + y = y ↔ y ≤ x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : AEMeasurable f ν
⊢ (μ.withDensity f).rnDeriv ν =ᵐ[ν] fun x => f x * μ.rnDeriv ν x
α : Type u_1
l : List α
⊢ Batteries.DList.lazy_ofList { fn := fun x => l } = Batteries.DList.ofList l
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ
⊢ fourierCoeff (AddCircle.liftIco T a f) n = fourierCoeffOn ⋯ f n
F : Type u_1
K : Type u_2
Field K
Field F
Algebra F K
E : IntermediateField F K
Normal F ↥E
f : ↥E →ₐ[F] K
⊢ f.fieldRange = E
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
c : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (x + c)) MeasureTheory.volume (a - c) (b - c)
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p : Finset σ × σ), p ∈ filter (fun t => t.1.card = a.1) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k) ↔ p.1 ∈ powersetCard a.1 univ ∧ p.2 ∈ univ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
⊢ LocallyConstant.map id = id
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
A : C
x : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)
A' : C
π : A' ⟶ A
w✝ : Epi π
x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀
w : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0
hx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀
⊢ x ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).inv.app (mappingCone S.f) ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).hom.app (mappingCone S.f) ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).inv.app S.X₁ ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).hom.app S.X₁ = x ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h ≫ 𝟙 (S.X₁.homology n₁)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α}, (some a).isNone = false
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : HasDerivWithinAt f f' S x
⊢ slope f x y ≤ f'
α : Type u_2
Group α
HasDistribNeg α
a : α
⊢ (-a)⁻¹ = -a⁻¹
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.1522, u_2} D
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
X : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
α : Type
w✝ : Finite α
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ X
inst✝ : (ofArrows Z π).Extensive
hc : IsColimit (Cofan.mk X π)
this : (ofArrows Z (Cofan.mk X π).inj).hasPullbacks
⊢ IsSheafFor F (ofArrows Z π)
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
⊢ ∏ i ∈ s, z i ^ w i ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h✝ : ∃ n, p n
n✝ m : ℕ+
h : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h1 : ¬p 1
n : ℕ+
⊢ 1 < PNat.find h₂ + 1 → ¬p 1
α : Type u_3
LE α
self : NoTopOrder α
a : α
⊢ ∃ b, ¬b ≤ a
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : IsTerminal X
f : X ⟶ Y
this : IsSplitMono f
⊢ Mono f
α : Type u_2
DecidableEq α
Group α
s : Finset α
h : s.Nonempty
⊢ 1 ∈ s / s
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R
⊢ IsCompact (Set.range ⇑(comap (algebraMap R (Localization (Submonoid.powers f)))))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : CategoryTheory.Dial C
F : X.Hom Y
G : Y.Hom Z
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp F G).f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp F.f G.f
G : Type u_1
Group G
a b : G
⊢ Commute a⁻¹ b ↔ Commute a b
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s₁ s₂ : Set α
h : μ (s₁ ∩ s₂) = 0
⊢ μ (s₁ \ s₂) = μ s₁
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
i : ι
⊢ ∀ (a : WithLp 2 (ι → 𝕜)), (EuclideanSpace.proj i) a = a i
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsPreconnected s
P : α → α → Prop
h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y
h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z
h'' : ∀ (x y : α), x ∈ s → y ∈ s → P x y → P y x
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
z : α
hz : z ∈ s
a : α
ha : P z a
h'a : a ∈ s
⊢ P z a ∧ P a z
x y : ℂ
⊢ cosh x ^ 2 = sinh x ^ 2 + (cosh x ^ 2 - sinh x ^ 2)
α' : Type u_6
TopologicalSpace α'
MeasurableSpace α'
μ : MeasureTheory.Measure α'
s : Set α'
h : μ (frontier s) = 0
⊢ μ (closure s) = μ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
r : 𝕜
x : E
θ : ℝ
⊢ θ ∈ {r_1 | 0 < r_1 ∧ ↑‖r‖ • x ∈ r_1 • s} ↔ θ ∈ {r_1 | 0 < r_1 ∧ r • x ∈ r_1 • s}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanIso 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A
⊢ f a * f b = f c * f d ↔ a * b = c * d
α : Type u_1
i : Nat
xs : List α
p : α → Bool
⊢ findIdx? p xs = some i ↔ map p (take (i + 1) xs) = replicate i false ++ [true]
α : Type u_1
UniformSpace α
β : Type u_2
UniformSpace β
T0Space β
CompleteSpace β
f : UniformSpace.Completion α → β
hf : UniformContinuous f
⊢ UniformSpace.Completion.extension (f ∘ ↑α) = f
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Mon_ (C ⥤ C)
f : X ⟶ Y
Z : C
⊢ (ofMon X).μ.app Z ≫ __src✝.app Z = ((ofMon X).map (__src✝.app Z) ≫ __src✝.app ((ofMon Y).obj Z)) ≫ (ofMon Y).μ.app Z
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
CategoryTheory.Limits.HasLimit G
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
w : F ≅ G
⊢ CategoryTheory.Limits.limit.lift F t ≫ (CategoryTheory.Limits.HasLimit.isoOfNatIso w).hom =
  CategoryTheory.Limits.limit.lift G ((CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose w.hom).obj t)
α β✝ γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (Option α ⊕ β)
pe : ∀ (v : Option α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
x✝ : {v | ∃ x, x ::ₒ v ∈ S} v
x : ℕ
hx : x ::ₒ v ∈ S
t : β → ℕ
ht : p (x ::ₒ v ⊗ t) = 0
⊢ p ((v ⊗ x ::ₒ t) ∘ (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some)) = 0
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
g : E → G
s : Set E
hf : AnalyticWithinOn 𝕜 f s
hg : AnalyticWithinOn 𝕜 g s
⊢ AnalyticWithinOn 𝕜 (fun x => (f x, g x)) s
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) - g (x, y) ∂ν) ∂μ = ∫⁻ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν) ∂μ
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Sigma β
tail✝ : List (Sigma β)
l : List (Sigma β)
⊢ (kerase a (s :: tail✝)).kunion (kerase a l) = kerase a ((s :: tail✝).kunion l)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
h0 : x ≠ 0
⊢ (x • μ).OuterRegular
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
a : X
hH : stabilizer G a ≤ H
g : G
h₁ h₂ : ↥H
h : (fun x => g • x) ((fun m => m • a) h₁) = (fun m => m • a) h₂
⊢ ↑h₂⁻¹ * g * ↑h₁ ∈ H
α : Type u
s t : Set α
h : t ⊆ s
e : s = ∅
⊢ t = ∅
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * ↑b < 2 ^ n.succ
⊢ ↑(b % pos a) * ↑(pos a) < 2 ^ n
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
n : ℕ
p : MvPolynomial σ R
⊢ p ∈ MvPolynomial.homogeneousSubmodule σ R n ↔ p.IsHomogeneous n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
self : e.IsTruncLE
i' : ι'
j : ι
h : c'.Rel i' (e.f j)
⊢ ∃ i, e.f i = i'
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Semigroup G
MeasurableMul G
μ : MeasureTheory.Measure G
α : Type u_4
SMul α G
SMulCommClass α Gᵐᵒᵖ G
MeasurableSpace α
MeasurableSMul α G
μ.IsMulRightInvariant
a : α
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (fun x => a • x) μ).IsMulRightInvariant
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s✝ : Finset ι
f : ι → Set α
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
hs : (s.sup f).WellFoundedOn r ↔ ∀ i ∈ s, (f i).WellFoundedOn r
⊢ ((cons a s ha).sup f).WellFoundedOn r ↔ ∀ i ∈ cons a s ha, (f i).WellFoundedOn r
G : Type u
AddMonoid G
⊢ AddMonoid.exponent G = 0 ↔ ¬AddMonoid.ExponentExists G
a : ℤ
b : ℕ
h : J(a | b) = 0
⊢ b ≠ 0 ∧ a.gcd ↑b ≠ 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
H : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf {x | ‖x‖ ^ 2 = ‖x₀‖ ^ 2} x₀
⊢ ∃ a b, (a, b) ≠ 0 ∧ a • x₀ + b • T x₀ = 0
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
self : L.Hom M N
n : ℕ
r : L.Relations n
x : Fin n → M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.RelMap r x → FirstOrder.Language.Structure.RelMap r (self.toFun ∘ x)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
TopologicalSpace β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
⊢ Prod.instMeasurableSpace ≤ borel (α × β)
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
f : M ≃+ N
x x' : M
⊢ x = x' → f x = f x'
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ Disjoint b c → Disjoint a c
a : ℤ
l : List ℕ
hl : ∀ n ∈ l, n ≠ 0
⊢ jacobiSym a l.prod = (List.map (fun n => jacobiSym a n) l).prod
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
⊢ CauchySeq f
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ (Monoid.PushoutI.of i).range ⊓ (Monoid.PushoutI.of j).range = (Monoid.PushoutI.base φ).range
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
⊢ π.biUnion πi ≤ π
a : ℕ
⊢ Nat.cast '' Set.Iio a = Set.Ico 0 ↑a
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
Ms : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
(i : ι) → Module R (Ms i)
Fintype ι
DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
⊢ ∀ (a : ((i : ι) → Ms i) ⧸ Submodule.pi Set.univ p) (i : ι),
  (Submodule.quotientPi p) a i = (Submodule.quotientPiLift p (fun i => (p i).mkQ) ⋯) a i
n : ℕ
p i : Fin n
h : i < p
⊢ i.succ ≠ Fin.last n
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
self : p.IsCartesian f φ
a' : 𝒳
φ' : a' ⟶ b
p.IsHomLift f φ'
⊢ ∃! χ, p.IsHomLift (𝟙 R) χ ∧ χ ≫ φ = φ'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
hT₁ : T₁ ∈ HomotopyCategory.Pretriangulated.distinguishedTriangles C
hT₂ : T₂ ∈ HomotopyCategory.Pretriangulated.distinguishedTriangles C
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
⊢ ∃ c,
  T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧
    T₁.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
α : Type u_1
a✝ : PosNum
⊢ -(neg a✝).succ = (-neg a✝).pred
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
DecidableEq ι
Fintype ι
i : ι
a b : 𝕜
⊢ nndist (EuclideanSpace.single i a) (EuclideanSpace.single i b) = nndist a b
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
CommRing A
Algebra R A
k : ℕ
⊢ LieModule.lowerCentralSeries A (TensorProduct R A L) (TensorProduct R A M) k =
  LieSubmodule.baseChange A (LieModule.lowerCentralSeries R L M k)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_C : ∀ (a : R), M (C a)
h_add : ∀ {p q : R[T;T⁻¹]}, M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T ↑n) → M (C a * T (↑n + 1))
h_C_mul_T_Z : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T (-↑n)) → M (C a * T (-↑n - 1))
A : ∀ {n : ℤ} {a : R}, M (C a * T n)
B : ∀ (s : Finset ℤ), M (∑ n ∈ s, C (p.toFun n) * T n)
a : ℤ
⊢ p a = (∑ x ∈ p.support, Finsupp.single x (p.toFun x)) a
α : Type u_1
Lattice α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ mabs ((a ⊓ c) / (b ⊓ c)) ≤ mabs (a / b)
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b✝ c✝ u : αˣ
b c : α
h : ↑a⁻¹ * b = c
⊢ b = ↑a * c
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x y : 𝕜
⊢ { toFun := fun x => ↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.im x) * I, invFun := fun x => ↑x.re + ↑x.im * RCLike.I, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x + y) = { toFun := fun x => ↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.im x) * I, invFun := fun x => ↑x.re + ↑x.im * RCLike.I, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun x => ↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.im x) * I, invFun := fun x => ↑x.re + ↑x.im * RCLike.I, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ
a✝ : (HMul.hMul 0)^[n] a ≤ id a
⊢ (HMul.hMul 0)^[n + 1] a ≤ id a
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
f g : P1 →ᵃ[k] P2
⊢ f = g ↔ ∀ (p : P1), f p = g p
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀
h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀
this : ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x)))) (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
b : B
⊢ Continuous (Bundle.TotalSpace.mk b)
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
⊢ ↑1 = Set.Ici 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : ChartedSpace H G
inst✝³ : Monoid G
inst✝² : SmoothMul I G
g h : G
M : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
r : 𝕜
X Y : LeftInvariantDerivation I G
f✝ f' : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
f : C^⊤⟮I, G; 𝕜⟯⟨g * h⟩
⊢ ((𝒅 (𝑳 I g) ((𝑳 I h) 1)) ((𝒅 (𝑳 I h) 1) ((evalAt 1) X))) f = ((evalAt h) X) (ContMDiffMap.comp f (𝑳 I g))