ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
self : Derivation R A M
a b : A
⊢ ↑self (a * b) = a • ↑self b + b • ↑self a
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
p : Filter ι
c : β
⊢ Filter.Tendsto (↿F) (p ×ˢ ⊤) (𝓝 c) ↔ TendstoUniformly F (fun x => c) p
d : ℕ
a b c : ℤ√↑d
h : c + a ≤ c + b
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
f : α → α
x : α
⊢ Set.InjOn (fun x_1 => f^[x_1] x) (Set.Iio (Function.minimalPeriod f x))
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
⊢ Filter.Tendsto (fun g => |(↑g • z).re|) Filter.cofinite Filter.atTop
ι : Sort u_1
α : Type u_2
f : ι → Filter α
⊢ (⨅ i, f i).ker = ⨅ i, (f i).ker
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList
H : q ∈ n.primeFactorsList
⊢ q < p.succ
M : Type u_5
N : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
p : M × N
⊢ (p.1, 0) + (0, p.2) = p
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
s t : Set P1
f : P1 →ᵃ[k] P2
⊢ ⇑f '' s -ᵥ ⇑f '' t = ⇑f.linear '' (s -ᵥ t)
p q : ℚ
⊢ p ≤ q ↔ p.num * ↑q.den ≤ q.num * ↑p.den
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair ⥤ C
X : CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair
⊢ (CategoryTheory.Limits.diagramIsoPair F).hom.app X =
  (CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec
      (CategoryTheory.Iso.refl (F.obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left }))
      (CategoryTheory.Iso.refl (F.obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right })) X.as).hom
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
nd : l.Nodup
h : ∀ (x : α), x ∈ l
a : α
⊢ ↑((List.Nodup.getEquivOfForallMemList l nd h).symm a) = List.indexOf a l
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r X : R
hr : r ≠ 0
hX : Prime X
this : Multiset.count (span {X}) (normalizedFactors (span {r})) = Multiset.count (normalize X) (normalizedFactors r)
⊢ Multiset.count (span {X}) (normalizedFactors (span {r})) = Multiset.count (normalize X) (normalizedFactors r)
s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ (↑s).GammaIntegral.re = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
InfSet α
f g : ι → α
p : ι → Prop
h : ∀ (i : ι), p i → f i = g i
⊢ ⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), g i
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (restrictScalars f).obj Y ⟶ X
y1 y2 : ↑Y
s : S
⊢ ((fun y => { toFun := fun s => g (s • y), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (y1 + y2)) s = ((fun y => { toFun := fun s => g (s • y), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) y1 + (fun y => { toFun := fun s => g (s • y), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) y2) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
DiscreteTopology α
f : α × β → γ
⊢ Continuous f ↔ ∀ (a : α), Continuous fun x => f (a, x)
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
x y : (forget D).obj (P.obj (op X))
h : mk (Meq.mk ⊤ x) = mk (Meq.mk ⊤ y)
⊢ x = y
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (↑n * x) ↔ LiouvilleWith p x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
g : α → ℝ
hg : MeasureTheory.HasFiniteIntegral g μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ ≤ g a
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F F' : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) C
α : F ⟶ F'
⊢ CategoryTheory.NatTrans.Equifibered α
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
x : α
⊢ OmegaCompletePartialOrder.ωSup c ≤ x ↔ ∀ (i : ℕ), c i ≤ x
σ : Type u_1
w : σ → ℕ
s : σ
hs : w s ≠ 0
f : σ →₀ ℕ
⊢ f s ≤ (Finsupp.weight w) f
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Module.IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Module.Dual R M
p : Submodule R M
⊢ (Submodule.map e.flip p).dualCoannihilator = Submodule.map e.symm p.dualAnnihilator
𝕜 : Type u_4
F : Type u_5
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
self : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y z : F
⊢ ⟪x + y, z⟫_𝕜 = ⟪x, z⟫_𝕜 + ⟪y, z⟫_𝕜
M : Type u_1
MulOneClass M
⊢ Nontrivial (Submonoid M) ↔ Nontrivial M
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i✝ : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
_i : Fact (finrank ℝ E = 0)
h : SameRay ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) (-AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1)
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
h : 𝟙 X = 0 ∧ 𝟙 Y = 0
⊢ ⋯ = ⋯
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R
⊢ u ⬝ᵥ (crossProduct v) w = det ![u, v, w]
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j₁ j₂ : JordanDecomposition α
hj : j₁.toSignedMeasure = j₂.toSignedMeasure
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure S ≤ VectorMeasure.restrict 0 S
hS₃ : VectorMeasure.restrict 0 Sᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure Sᶜ
hS₄ : j₁.posPart S = 0
hS₅ : j₁.negPart Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure T ≤ VectorMeasure.restrict 0 T
hT₃ : VectorMeasure.restrict 0 Tᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure Tᶜ
hT₄ : j₂.posPart T = 0
hT₅ : j₂.negPart Tᶜ = 0
hST₁ : ↑j₁.toSignedMeasure (symmDiff Sᶜ Tᶜ) = 0
i : Set α
hi : MeasurableSet i
hμ₁ : (j₁.posPart i).toReal = ↑j₁.toSignedMeasure (i ∩ Sᶜ)
hμ₂ : (j₂.posPart i).toReal = ↑j₂.toSignedMeasure (i ∩ Tᶜ)
⊢ ↑j₁.toSignedMeasure (i ∩ Sᶜ) = ↑j₁.toSignedMeasure (i ∩ Tᶜ)
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
⊢ (1 + s) ^ p < 1 + p * s
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
M' : Type u_5
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
v : ι → M
v' : ι' → M'
hv : LinearIndependent R v
hv' : LinearIndependent R v'
⊢ LinearIndependent R (Sum.elim (⇑(LinearMap.inl R M M') ∘ v) (⇑(LinearMap.inr R M M') ∘ v'))
α : Type u_1
β : Type u_4
SetLike α β
l : LowerAdjoint SetLike.coe
s : Set β
x : β
⊢ x ∈ l.toFun s ↔ ∀ (S : α), s ⊆ ↑S → x ∈ S
α : Type u_3
f : ℕ → α
l : Filter α
k : ℕ
⊢ Filter.Tendsto (fun n => f (n + k)) Filter.atTop l ↔ Filter.Tendsto f Filter.atTop l
R : Type u
A : Type w
M : Type v₁
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
MulAction A M
SMul R M
IsScalarTower R A M
r : R
x : M
⊢ (algebraMap R A) r • x = r • x
V : Type u_2
P : Type u_10
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedSpace ℝ V
x y : P
⊢ (AffineIsometryEquiv.pointReflection ℝ (midpoint ℝ x y)) x = y
b : ℝ
h : IntegrableOn (fun x => rexp (-b * x ^ 2)) (Ioi 0) volume
⊢ 0 < b
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
ι : Type w
Infinite ι
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ ℵ₀ ≤ Module.rank R M
X₁ X₂ Y : TopCat
f : C(↑X₁, ↑Y)
g : C(↑X₂, ↑Y)
x₀ x₁ : ↑X₁
x₂ x₃ : ↑X₂
p : Path x₀ x₁
q : Path x₂ x₃
hfg : ∀ (t : ↑I), f (p t) = g (q t)
⊢ (π.map f).map ⟦p⟧ = ContinuousMap.Homotopy.hcast ⋯ ≫ (π.map g).map ⟦q⟧ ≫ ContinuousMap.Homotopy.hcast ⋯
α : Sort u_2
p : α → Prop
β : Sort u_1
q : β → Prop
f : α → β
hpq : ∀ (a : α), p a → q (f a)
⊢ (∃ a, p a) → ∃ b, q b
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_ind : ∀ J ≤ I, (∀ (s : Set ι), p (J.splitCenterBox s)) → p J
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
⊢ p I
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
NormedRing 𝔹
NormedAlgebra 𝕂 𝔹
CompleteSpace 𝔸
CompleteSpace 𝔹
x : 𝔸 × 𝔹
⊢ (NormedSpace.exp 𝕂 x).1 = NormedSpace.exp 𝕂 x.1
α : Type u_6
r : α → α → Prop
a : α
⊢ [Acc r a, {b | Relation.ReflTransGen r b a}.WellFoundedOn r, {b | Relation.TransGen r b a}.WellFoundedOn r].TFAE
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : T2Space β
⊢ StronglyMeasurable f ↔ ∃ c, f = fun x => c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace γ
a b : α
h : a ≤ b
TopologicalSpace α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
x : γ
f : γ → ↑(Set.Icc a b) → β
g : γ → α
hf : ContinuousAt (↿f) (x, Set.projIcc a b h (g x))
hg : ContinuousAt g x
⊢ ContinuousAt (fun a_1 => Set.IccExtend h (f a_1) (g a_1)) x
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
n : ℕ
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : Function.Injective k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
⊢ (∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i).support = image k univ
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n m : A
h : n + m = 0
X : C
⊢ (shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorAdd' C n m 0 h).inv.app X ≫ (shiftFunctorZero C A).hom.app X) = (shiftFunctorAdd' C m n 0 ⋯).inv.app ((shiftFunctor C n).obj X) ≫ (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ Set.Ici (OrderDual.toDual a) = ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Set.Iic a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
i : ℤ
⊢ ((g * f * g⁻¹) ^ i) x = y ↔ (f ^ i) (g⁻¹ x) = g⁻¹ y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : Mon_ (CategoryTheory.Functor C C)
f : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.Monad.monToMonad C).map f).toNatTrans = f.hom
M : Type u_1
α : Type u_2
Group M
MulAction M α
⊢ Antitone fun P => MulAction.fixedPoints (↥P) α
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommGroup β
hle : τ ≤ π
ω : Ω
⊢ (stoppedValue u π - stoppedValue u τ) ω = (∑ i ∈ Finset.Ico (τ ω) (π ω), (u (i + 1) - u i)) ω
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank ≠ 0
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁴ : CommRing R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
B : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
M : Matrix ι ι R₁
h : M.Nondegenerate
x : ι → R₁
hx : ∀ (y : ι → R₁), (((Matrix.toLinearMap₂' R₁) M) x) y = 0
y : ι → R₁
⊢ x ⬝ᵥ M *ᵥ y = 0
G : Type u_8
α : Type u_9
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 0 → MeasureTheory.AEDisjoint μ (g +ᵥ s) s
h_qmp : ∀ (g : G), MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun x => g +ᵥ x) μ μ
⊢ Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on fun g => g +ᵥ s)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
b : Set V
hb₁ : b ⊆ ⇑(Equiv.vaddConst p).symm '' s
hb₂ : Submodule.span k b = Submodule.span k (⇑(Equiv.vaddConst p).symm '' s)
hb₃ : AffineIndependent k fun p_1 => ↑p_1
hb₀ : ∀ v ∈ b, v ≠ 0
⊢ ∃ t ⊆ s, affineSpan k t = affineSpan k s ∧ AffineIndependent k Subtype.val
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax)
⊢ f.next.toFun t = v.x₀ + ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑t, f.vComp τ
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
h : ¬Nonempty (T ∪ {Formula.not φ}).ModelType
M : T.ModelType
⊢ ↑M ⊨ φ
d : Nat
n : Int
d0 : d ≠ 0
this : normalize ?refine'_1 d d0 = normalize ?refine'_2 1 Nat.one_ne_zero ↔ ?refine'_1 * ↑1 = ?refine'_2 * ↑d
⊢ normalize n d d0 = 0 ↔ n = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set α
t : Set β
⊢ ⋃ a ∈ t, (fun x => x +ᵥ a) '' s = s +ᵥ t
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ Monotone (Function.leftLim f)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
this : SmoothManifoldWithCorners 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ↑(sphere 0 1)
⊢ ContMDiff 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) ⊤ Subtype.val
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a : α
⊢ a - a / 2 = a / 2
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
a : M
⊢ SemiconjBy a 1 1
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
i : R →+* S
x : S
Invertible x
N : ℕ
f : Polynomial R
hf : f.natDegree ≤ N
⊢ Polynomial.eval₂ i (⅟x) (Polynomial.reflect N f) = 0 ↔ Polynomial.eval₂ i x f = 0
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
G : Type u_8
hG : Group G
inst✝³ : DistribMulAction G R
inst✝² : DistribMulAction G M
inst✝¹ : IsScalarTower G R M
inst✝ : SMulCommClass G R M
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
w : ι → G
⊢ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • (w • v) i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : 0 ≤ z.im
⊢ z.arg ≤ π / 2 ↔ z.im < 0
R S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FormallyUnramified R S
inst✝ : EssFiniteType R S
x : M
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.lift (↑R (lsmul S S M).toLinearMap.flip).flip ∘ₗ sec R S M) x = LinearMap.id x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝² : HasImage f
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroObject C
⊢ (imageSubobject 0).arrow = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
⊢ ↑⊥ = ∅
α : Type u_1
s t : List α
⊢ ↑s + ↑t = ↑(s ++ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
self : ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
⊢ ∃ κs, (∀ (n : ℕ), ProbabilityTheory.IsFiniteKernel (κs n)) ∧ κ = ProbabilityTheory.Kernel.sum κs
α : Type u_1
UniformSpace α
T0Space α
ι : Sort u_2
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
hs : (𝓤 α).HasBasis p s
x y : α
h : ∀ {i : ι}, p i → (x, y) ∈ s i
⊢ x = y
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.support.card ≤ 1
⊢ C p.leadingCoeff * X ^ p.natDegree = p
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
a x✝ c : G
⊢ c + a = a + x✝ ↔ c = x✝
x y : Bool
⊢ (!x) = !y ↔ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
hf : Surjective f
s : Set β
⊢ (f ⁻¹' s).Nonempty ↔ s.Nonempty
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid M''
Module R M
Module R M'
Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] M''
⊢ (∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)) → ∃! l, l ∘ₗ f = g
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a₁₂₃ : A
h₁₂ : a₁ + a₂ = a₁₂
h₂₃ : a₂ + a₃ = a₂₃
h₁₂₃ : a₁ + a₂ + a₃ = a₁₂₃
⊢ a₁ + a₂₃ = a₁₂₃
α : Type u_2
Add α
ι : Sort u_5
a : α
f : ι → α
⊢ (Set.range fun i => a + f i) = a +ᵥ Set.range f
𝕜 : Type u_7
E : Type u_8
NormedDivisionRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
S : Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 S ↔ Filter.Tendsto (fun x => x • S) (𝓝 0) (𝓝 0).smallSets
ι : Type u_4
h : IsEmpty ι
f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4}
⊢ Ordinal.lsub f = 0
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Martingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
hbdd' : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |(-f) (i + 1) ω - (-f) i ω| ≤ ↑R
hup : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ BddBelow (Set.range fun n => f n ω)
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, ∀ (i : α), 0 < AkraBazziRecurrence.asympBound g a b (r i n)
n : ℕ
⊢ (2 * n).superFactorial = (∏ i ∈ Finset.range n, (2 * i + 1).factorial) ^ 2 * 2 ^ n * n.factorial
α : Type u_1
P : α → Bool
l : List α
⊢ ∀ (xs : List α) (acc : Array α) (r : Array (List α)), splitOnPTR.go P xs acc r = r.data ++ splitOnP.go P xs acc.data.reverse
α : Type u
PseudoMetricSpace α
f : ℝ → α
c : ℝ
hp : Function.Periodic f c
hc : c ≠ 0
hf : Continuous f
⊢ Bornology.IsBounded (Set.range f)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ
⊢ fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) =
  ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F).symm ∘ iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f
X Y Z : CommRingCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
R : Type u
ι : Type v
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
Semiring R
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₂
Module R M₃
TopologicalSpace M₂
TopologicalSpace M₃
ι' : Type u_1
e : ι ≃ ι'
f : ContinuousMultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
v : ι' → M₂
⊢ (ContinuousMultilinearMap.domDomCongr e f) v = f fun i => v (e i)
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →A[R] B
⊢ f 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Antitone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Antitone (aeSeq h_meas p)
⊢ ⨅ n, ∫⁻ (a : α), aeSeq h_meas p n a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ 𝒜.compls.upShadow = 𝒜.shadow.compls
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
n : ℕ
⊢ (f ^ n).support = f.support ↔ ¬orderOf f ∣ n
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
S : Type u_12
Semiring S
Module S N
SMulCommClass R S N
σ : ι ≃ ι'
f : M [⋀^ι']→ₗ[R] N
⊢ (AlternatingMap.domDomCongrₗ S σ).symm f = AlternatingMap.domDomCongr σ.symm f
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
DecidableEq m
DecidableEq n
Semiring α
SMulZeroClass R α
r : R
i : m
j : n
a : α
⊢ r • Matrix.stdBasisMatrix i j a = Matrix.stdBasisMatrix i j (r • a)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
self : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
⊢ SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' b)) (e.baseSet ∩ e'.baseSet)
G : Type u
Group G
F : Type v
Field F
MulSemiringAction G F
Fintype G
x : F
f g : Polynomial ↥(FixedPoints.subfield G F)
hf : f.Monic
hg : g.Monic
hfg : f * g = FixedPoints.minpoly G F x
⊢ f = 1 ∨ g = 1
X : Type u
α : Type u_1
x : X
TopologicalSpace X
Nonempty α
SemilatticeSup α
f : α → X
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 x) ↔ ∀ (U : Set X), x ∈ U → IsOpen U → ∃ N, ∀ (n : α), N ≤ n → f n ∈ U
α : Type u_1
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α
⊢ (l.balance2 v r).reverse = (r.reverse.balance1 v l.reverse).reverse.reverse
α : Type u
s t u : Set α
⊢ s \ (t ∩ u) = s \ t ∪ s \ u
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : G × G
⊢ (dOne A ∘ₗ dZero A) x g = 0 x g
op : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.Principal op 1 ↔ op 0 0 = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
⊢ t ∈ 𝒜.upShadow ↔ ∃ s ∈ 𝒜, s ⊆ t ∧ t.card = s.card + 1
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
AddCommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Set.InjOn e ↑s
hest : Set.MapsTo e ↑s ↑t
h' : ∀ i ∈ t, i ∉ e '' ↑s → g i = 0
h : ∀ i ∈ s, f i = g (e i)
⊢ ∑ i ∈ s, f i = ∑ j ∈ t, g j
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ (((κ + η).withDensity fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) a) s = (κ a) s
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
⊢ ∃ a, pb.gen ∣ b - (algebraMap A B) a
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k✝ : D ⟶ E
i✝ : ι
e f g : C ⟶ D
h : Homotopy e f
k : Homotopy f g
i : ι
⊢ e.f i = (dNext i) (h.hom + k.hom) + (prevD i) (h.hom + k.hom) + g.f i
S : Type u_2
CommRing S
A : Type u_6
CommRing A
IsDomain A
Algebra A S
M : Submonoid A
IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
⊢ IsDomain S
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => f y - c) x = fderiv 𝕜 f x
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
hn : ↑(numDerangements n) = ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (-1) ^ k * ↑((k + 1).ascFactorial (n - k))
⊢ ↑(numDerangements (n + 1)) = ∑ k ∈ Finset.range (n + 1 + 1), (-1) ^ k * ↑((k + 1).ascFactorial (n + 1 - k))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ CategoryTheory.Sieve.generate ⊤ = ⊤
R : Type u
Ring R
I : Ideal R
x : R
⊢ x ∈ I.jacobson ↔ ∀ (y : R), ∃ z, z * y * x + z - 1 ∈ I
m n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
⊢ (bif b then 1 else 0).bodd = b
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.EssentiallySmall.{w₁, v₂, u₂} J
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{w₁, w₁, v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
this : (2 * dValue N - 1) ^ nValue N ≤ (2 * dValue N) ^ nValue N
⊢ (2 * ↑(dValue N)) ^ nValue N ≤ ↑N
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasWidePullbacks C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasWidePullbacks C