ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ✝ φ : V ⥤q V'
Φ : FreeGroupoid V ⥤ V'
hΦ : of V ⋙q Φ.toPrefunctor = φ
⊢ Paths.of ⋙q (Quotient.functor redStep ⋙ Φ).toPrefunctor = Quiver.Symmetrify.lift φ
x : ℝ
hx : x ∈ closure (Ioo 0 π)
⊢ 0 ≤ sin x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z A : C
g : Y ⟶ Z
a₁ a₂ : A ⟶ Y
h : CategoryTheory.IsKernelPair g a₁ a₂
f : X ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp a₁ g)
⊢ CategoryTheory.IsKernelPair (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)
  (CategoryTheory.Limits.pullback.map f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp a₁ g) f g
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) a₁ (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z) ⋯ ⋯)
  (CategoryTheory.Limits.pullback.map f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp a₁ g) f g
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) a₂ (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z) ⋯ ⋯)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2
⊢ ‖p1 -ᵥ ?p₃ - (p3 -ᵥ ?p₃)‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖p3 -ᵥ p2‖ ↔ ∠ p1 p2 p3 = π
R : Type w
Ring R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
⊢ (CategoryTheory.linearCoyoneda R C).comp
    ((CategoryTheory.whiskeringRight C (ModuleCat R) AddCommGrp).obj
      (CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)) =
  CategoryTheory.preadditiveCoyoneda
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
m : Multiset α
hm : m.Nodup
⊢ { val := m, nodup := hm }.Nonempty ↔ m ≠ 0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f✝ : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝ : Algebra R S
f : R →+* S
I : Ideal R
hf₁ : RingHom.ker f ≤ I
hf₂ : f.IsIntegral
⊢ ¬I = ⊤ → ¬map f I = ⊤
α : Type u_1
n : ℕ
xs : List α
⊢ (List.sym n xs).length = xs.length.multichoose n
x y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ x < Real.log y ↔ Real.exp x < y
n m : Nat
h : n < m
⊢ n.succ ≤ m
d : ℤ
x y : ℤ
prop : x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1
⊢ ↑(Pell.Solution₁.mk x y prop) = { re := x, im := y }
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ AddMonoidHom.mker (AddMonoidHom.snd M N) = ⊤.prod ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
hs : a ∈ upperClosure ↑s
ht : a ∈ upperClosure ↑t
⊢ (filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t).inf' ⋯ ((fun x => id x) ∘ Function.uncurry fun x x_1 => x ⊔ x_1) = (filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t).inf' ⋯ fun i => id i.1 ⊔ id i.2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.MonoCoprod C
I : Type u_2
J : Type u_3
X : I → C
ι : J → I
hι : Function.Injective ι
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct (X ∘ ι)
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct X
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct fun k => X ↑k
⊢ CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.Limits.Sigma.map' ι fun j => 𝟙 ((X ∘ ι) j))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
n : Fin (List.map f l).length
⊢ (List.map f l).get n = f (l.get ⟨↑n, ⋯⟩)
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
x : β
r : ℝ
⊢ ⇑h ⁻¹' Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (h.symm x) r
x p : ℝ
hp : p > 2
hxp : LiouvilleWith p x
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
⊢ ∀ (y : ℝ), LiouvilleWith p y → y ∈ Ico 0 1 → ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |y - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type u
hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete
this✝¹ : ∀ (j : J), DiscreteTopology ↑(F'.obj j)
this✝ : ∀ (j : J), Finite ↑(F'.obj j)
this : ∀ (j : J), Nonempty ↑(F'.obj j)
⊢ F.sections.Nonempty
α : Type u_1
a : α
Preorder α
⊢ ↑⊤ = a
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂
inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄
inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.103896 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄
inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.109347 ⟶ X₂) true ≫ f₂)
inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
⊢ (pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).inv ≫ pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.fst f₁ f₂ = pullback.lift (pullback.fst f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)) (pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.fst f₃ f₄) ⋯ ≫ pullback.fst f₁ f₂
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hpn : p ^ n ≠ 0
⊢ n • ↑p.natDegree = ↑(n * p.natDegree)
m n : ℕ+
h : n.mod m = m
⊢ n.mod m ≤ n
R : Type u_1
CommRing R
NoZeroDivisors R
f : Polynomial R
h1 : ¬IsUnit f
h2 : ∀ (k : Polynomial R), f * f.mirror = k * k.mirror → k = f ∨ k = -f ∨ k = f.mirror ∨ k = -f.mirror
h3 : IsRelPrime f f.mirror
⊢ Irreducible f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x : M
f : M × M' → M''
p : M × M'
hf : MDifferentiableAt (I.prod I') I'' f p
⊢ (mfderiv (I.prod I') I'' f (p.1, p.2)).comp ((ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I p.1) (TangentSpace I' p.2)).prod 0 + ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I p.1) (TangentSpace I' p.2))) = mfderiv (I.prod I') I'' f p
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Profinite.NobelingProof.contained (Profinite.NobelingProof.C' C ho) o
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop (𝓝 0)
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ ↑r < ofSeq f
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ Function.Surjective ⇑AddMonoid.Coprod.mk
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Ι a b ⊆ Set.uIcc a b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
a b c : CategoryTheory.Quotient r
f : a.as ⟶ b.as
g : b.as ⟶ c.as
⊢ CategoryTheory.Quotient.comp r (Quot.mk (CategoryTheory.Quotient.CompClosure r) f)
    (Quot.mk (CategoryTheory.Quotient.CompClosure r) g) =
  Quot.mk (CategoryTheory.Quotient.CompClosure r) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
n : ℤ
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctor C n).map f).hom₂ = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₂
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R N
⊢ map e.flip.symm p.dualAnnihilator = (map e p).dualCoannihilator
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : InfiniteDimensionalOrder α
m✝ : WithBot (WithTop ℕ)
hm✝ : ∀ (i : LTSeries α), ↑i.length ≤ m✝
m : ℕ
hm : ∀ (i : LTSeries α), ↑i.length ≤ some (some m)
⊢ ⊤ ≤ some (some m)
α : Type u_1
s✝ t : Set α
s : Set (α × α)
⊢ diagonal α ⊆ s ↔ ∀ (x : α), (x, x) ∈ s
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h_le : κ ≤ κ + η
⊢ ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) = η
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b n : ℕ
⊢ Int.log b ↑n = ↑(Nat.log b n)
M : Type u_4
N : Type u_5
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
hmul : ∀ (x y : M), f (x * y) = f x * f y
⊢ { toFun := ⇑f, map_mul' := hmul } = f
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
CommSemiring S
Algebra S A
Algebra R S
Algebra S C
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S C
g h : A ⊗[R] B →ₐ[S] C
H : ∀ (a : A) (b : B), g (a ⊗ₜ[R] b) = h (a ⊗ₜ[R] b)
⊢ g = h
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
h : ∀ (a' : α), a' ≠ a → a' ∈ s → a' = 1
⊢ s.prod = a ^ count a s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
hκs : ∀ (a : α), IsFiniteMeasure (κ a)
⊢ (fun t => Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)) ∅
α : Type u_1
Preorder α
InfSet α
s : Set α
hs : s.Nonempty
h's : BddBelow s
⊢ ↑(sInf s) = sInf ((fun a => ↑a) '' s)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
h : s.Nonempty
n : ℕ
⊢ (s.sym n).Nonempty
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring S
CommSemiring A
Algebra S R
Algebra S A
g : R →ₐ[S] A
y : σ → A
x : R
⊢ (MvPolynomial.aevalTower g y) (MvPolynomial.C x) = g x
n a : ℕ
ha : Even a
⊢ Odd (n % a) ↔ Odd n
α : Type u
β : Type v
Group α
MulAction α β
Fintype α
Fintype β
Fintype (Quotient (MulAction.orbitRel α β))
(b : β) → Fintype ↥(MulAction.stabilizer α b)
φ : Quotient (MulAction.orbitRel α β) → β
hφ : Function.LeftInverse Quotient.mk'' φ
⊢ Fintype.card β = ∑ ω : Quotient (MulAction.orbitRel α β), Fintype.card α / Fintype.card ↥(MulAction.stabilizer α (φ ω))
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
⊢ f =o[l] g ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → Asymptotics.IsBigOWith c l f g
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y + g y) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 g x
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
h : H.Normal
a : G
_ha : a ∈ ⊤
b : G
hb : a * b * a⁻¹ ∈ H
⊢ b ∈ H
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
h : IsOpen t
⊢ (closure s ∩ t).Nonempty ↔ (s ∩ t).Nonempty
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
fA : f ∈ GromovHausdorff.candidates X Y
x y : X ⊕ Y
⊢ f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist x y
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
⊢ UniformContinuousOn f univ ↔ UniformContinuous f
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
⊢ ⨆ i, f i * c = ⨆ i, c * f i
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
⊢ ∀ (x : ℕ → ℤ), (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ verschiebungPoly) (wittPolynomial p ℤ n)) = (MvPolynomial.eval x) (if n = 0 then 0 else ↑p * wittPolynomial p ℤ (n - 1))
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
s : Set α
x : α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddBelow s
hlim : ¬IsPredLimit (sInf s)
y : α
hy : sInf s ⋖ y
i : α
his : i ∈ s
hi : i < y
⊢ sInf s ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
SuccOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioc (f n) (f (Order.succ n)))
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x + 1 < 0
hn : 1 < n
⊢ if Even n then ∑ i ∈ range n, x ^ i < 0 else 1 < ∑ i ∈ range n, x ^ i
R : Type u_1
CommRing R
m n : ℕ
⊢ Polynomial.dickson 1 1 (m * n) = (Polynomial.dickson 1 1 m).comp (Polynomial.dickson 1 1 n)
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
⊢ IsGreatest (Function.fixedPoints ⇑f) (OrderHom.gfp f)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
f' : S.X₁ ⟶ kernel S.g := kernel.lift S.g S.f ⋯
hf' : f' = kernel.lift γ f' ⋯ ≫ kernel.ι γ
wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0
e : Abelian.image S.f ≅ kernel γ := S.abelianImageToKernelIsKernel.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (parallelPair (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) 0))
⊢ S.LeftHomologyData
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support
h : ∀ (a : α), f a ∉ l.support
a : β
ha : a ∈ l.support
b : α
hb : b ∈ f ⁻¹' ↑l.support ∧ f b = a
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s s' t : Set α
f f' : α → β
(x : α) → Decidable (x ∈ t)
h : ContinuousOn f s
h' : ContinuousOn f' s'
H : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t
Heq : Set.EqOn f f' (s ∩ frontier t)
⊢ ContinuousOn (t.piecewise f f') (t.ite s s')
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
e : M ≃ₛₗ[τ₁₂] M₂
x : M₂
⊢ (∃ y ∈ p, ↑e y = x) ↔ e.symm x ∈ p
n : Nat
a b c : Fin n
⊢ a * b * c = a * (b * c)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.sup (Order.succ ∘ f) = Ordinal.lsub f
α : Type u
L L₁✝ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x✝¹ x✝ : α
H : of x✝¹ = of x✝
L₁ : List (α × Bool)
hx : L₁ = [(x✝¹, true)]
hy : L₁ = [(x✝, true)]
⊢ x✝¹ = x✝
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = ⊤
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
step3 : ∀ (y : α), swap x y ∈ H
⊢ closure {σ, swap x (σ x)} = ⊤
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_8
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
f : X → Matrix m n R
⊢ (Summable fun x => (f x)ᵀ) ↔ Summable f
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
⊢ e 0 = 0
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : QuasiSeparated (f ≫ g)
𝒰 : Y.OpenCover := (Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun x => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj x).affineCover
this : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
i : Z.affineCover.J
j : (pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover.J
⊢ (((Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun x => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj x).affineCover).pullbackCover f).obj ⟨i, j⟩ ⟶ pullback (f ≫ g) (Z.affineCover.map i)
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
this : x₀ ∈ s
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀_u : x₀ ∈ u
⊢ 0 < μ (u ∩ s)
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ Monotone SimpleGraph.Subgraph.verts
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hab : a ∣ b
h : b / a = 1
⊢ a = b
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
⊢ ↑0 = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ¬p₁ = p₂
⊢ ∡ (midpoint ℝ p₁ p₂) p₂ p₃ = ∡ p₁ p₂ p₃
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : β → γ
g : α → β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hf' : IsOpenMap f
hg' : IsOpenMap g
K : TopologicalSpace.PositiveCompacts α
⊢ TopologicalSpace.PositiveCompacts.map (f ∘ g) ⋯ ⋯ K =
  TopologicalSpace.PositiveCompacts.map f hf hf' (TopologicalSpace.PositiveCompacts.map g hg hg' K)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
s t : Set β
h : Disjoint (f ⁻¹' s) (f ⁻¹' t)
⊢ Disjoint s t
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
⊢ AddSubmonoid.closure s ≤ (Submodule.span R s).toAddSubmonoid
K : Type u_1
v : K
inst✝² : LinearOrderedField K
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Archimedean K
ε : K
ε_pos : ε > 0
N' : ℕ
one_div_ε_lt_N' : 1 / ε < ↑N'
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, |v - (of v).convs n| < ε
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
ε : Type u_9
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f₁ : α → γ → α'
f₂ : β → γ → β'
g' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f₁ a c) (f₂ b c)
⊢ Set.image2 f (Set.image2 g s t) u ⊆ Set.image2 g' (Set.image2 f₁ s u) (Set.image2 f₂ t u)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
a₁ b₁ : R
a₂ b₂ : ↥M
⊢ IsLocalization.mk' S a₁ a₂ = IsLocalization.mk' S b₁ b₂ ↔ ∃ c, ↑c * (↑b₂ * a₁) = ↑c * (↑a₂ * b₁)
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
⊢ (H ⊓ K).relindex H = K.relindex H
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
⊢ (Filter.limsup u f)ᶜ = Filter.liminf (compl ∘ u) f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ≤ √(re ⟪x, x⟫_𝕜) * √(re ⟪y, y⟫_𝕜)
α : Type u_1
Mul α
a x y : α
h : SemiconjBy a x y
⊢ SemiconjBy (MulOpposite.op a) (MulOpposite.op y) (MulOpposite.op x)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Z → W
hf : Embedding f
hg : Embedding g
⊢ Embedding (Prod.map f g)
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
E : L.RightExtension F
Y : D
h : E.IsPointwiseRightKanExtensionAt Y
⊢ L.HasPointwiseRightKanExtensionAt F Y
G : Type u_1
DivInvMonoid G
a : G
n : ℕ
⊢ a ^ OfNat.ofNat n = a ^ OfNat.ofNat n
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsUpperSet α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ IsUpperSet s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
s : Set α
a : α
di : DenseInducing i
hs : s ∈ 𝓝 a
⊢ closure (i '' s) ∈ 𝓝 (i a)
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
hpq : p ≠ q
hp₁ : p % 2 = 1
hq₁ : q % 2 = 1
hq₂ : ringChar (ZMod q) ≠ 2
h : (quadraticChar (ZMod p)) ↑q = (quadraticChar (ZMod q)) (↑(χ₄ ↑p) * ↑p)
⊢ legendreSym q ↑p * legendreSym p ↑q = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2))
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
⊢ ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), (-1) ^ m * ↑(n.choose m) = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ (φ.leftFun φ.pt, φ.rightFun φ.pt) ∈ φ.toPartialHomeomorph.target
α : Type u_1
G : Type u_2
ι : Type u_3
Group G
UniformSpace G
UniformGroup G
𝔖 : Set (Set α)
h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set G
h : (𝓝 1).HasBasis p b
⊢ (𝓝 1).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => {f | ∀ x ∈ Si.1, (UniformOnFun.toFun 𝔖) f x ∈ b Si.2}
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : TopologicalAddGroup N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f✝ g f : ContinuousMultilinearMap R (fun x => M) N
v : ι → M
i j : ι
hv : v i = v j
hne : i ≠ j
⊢ (∑ σ : Equiv.Perm ι, Equiv.Perm.sign σ • domDomCongr σ f).toFun v = 0
α : Type u_1
s t : Multiset α
a : α
⊢ a ::ₘ s ≤ a ::ₘ t ↔ s ≤ t
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
⊢ IsUnit a ↔ A.valuation ↑a = 1
n : ℕ
h : 2 ≤ n
hc : (pathGraph n).Colorable (Fintype.card Bool)
⊢ (pathGraph n).chromaticNumber = 2
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * (μ (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ))).toReal + δ * (μ (Icc a b)).toReal < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)
p : X
s : ℝ
hp : p ∈ v
hs : s ∈ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ)
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f p x - f q x‖ < δ
J : ∀ (r : X) (u v : ℝ), IntervalIntegrable (f r) μ u v
⊢ ‖∫ (t : ℝ) in a₀..s, f p t ∂μ - ∫ (t : ℝ) in a₀..b₀, f q t ∂μ‖ < ε
X✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
s : Set X
hs : IsOpen s
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsOpen t → t = s
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
U : Set X
hUo : IsOpen U
hU : Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)
hxU : x ∈ U
hyU : y ∉ U
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k✝ N : ℕ
x : Fin n → ℕ
k n✝¹ n✝ : ℕ
⊢ ∀ x ∈ image (⇑(map (2 * (n✝ + 1) - 1))) (sphere (n✝¹ + 1) (n✝ + 1) k), x < (2 * (n✝ + 1) - 1) ^ (n✝¹ + 1)
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing Rₘ
inst✝¹¹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Algebra R Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra R Q
I : Ideal Q
x✝ : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : Rₘ →ₐ[R] Q
a✝ : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂
⊢ f₁ = f₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f✝ : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
f g : α → β
b₁ b₂ : β
⊢ fold op (op b₁ b₂) (fun x => op (f x) (g x)) s = op (fold op b₁ f s) (fold op b₂ g s)
E : Type u_6
NormedGroup E
a b : E
h : ‖a / b‖ ≤ 0
⊢ a = b
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
⊢ Function.Injective p.succAbove
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x p = ∑ i ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), f (p.coeff i) * x ^ i
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul α α
s t : Set α
a b : α
h : s ∈ 𝓝 b
⊢ {a} * s ∈ 𝓝 (a * b)