ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : ProbabilityTheory.iIndepSet s μ
n : ℕ
⊢ ProbabilityTheory.Indep (MeasurableSpace.generateFrom {s (n + 1)}) (MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ k ≤ n, s k = t})
  μ
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : Subsingleton α
e : Perm α
⊢ ⇑e = id
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
e : X ≃ᵈ X
n : ℕ
⊢ Dilation.ratio (e ^ n) = Dilation.ratio e ^ n
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ
⊢ 0 = nndist x y ↔ x = y
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
h : constantCoeff Φ = 0
n : ℕ
inj : Function.Injective ⇑(Int.castRingHom ℚ)
⊢ (Int.castRingHom ℚ) (constantCoeff (wittStructureInt p Φ n)) = (Int.castRingHom ℚ) 0
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (μ : MeasureTheory.Measure α) [inst : MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ] (s : Set α),
  ↑(MulAction.aestabilizer G μ s) = {g | g • s =ᵐ[μ] s}
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ Function.Injective (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.sum_to C ho)
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x y : X
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ x ≤ y ∨ y ≤ x
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_7, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.17460, u_5} C₅
inst✝ : Category.{?u.17464, u_6} C₆
T✝ : C₁ ⥤ C₂
L✝ : C₁ ⥤ C₃
R✝ : C₂ ⥤ C₄
B✝ : C₃ ⥤ C₄
T : C₁ ≌ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ≌ C₄
h : CatCommSq T.functor L R B.functor
X : C₁
⊢ R.map (T.functor.map (T.unit.app X)) ≫ (iso T.functor L R B.functor).hom.app (T.inverse.obj (T.functor.obj X)) = R.map (T.functor.map (T.unitIso.hom.app X)) ≫ iso'.hom.app (T.inverse.obj (T.functor.obj X))
G : Type u_2
S : Type u_4
Group G
SetLike S G
SubgroupClass S G
s : S
a : G
ha : a ∈ s
⊢ a • ↑s = ↑s
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
⊢ f.natSepDegree = f.natDegree ↔ (f.aroots f.SplittingField).toFinset.card = f.natDegree
α : Type u
s₁ s₂ s₃ : Set α
⊢ s₁ ∩ (s₂ ∩ s₃) = s₂ ∩ (s₁ ∩ s₃)
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w + 1 ∨ cs.length (w * cs.simple i) + 1 = cs.length w
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
LinearOrderedCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : MonovaryOn f g₁ s
h₂ : AntivaryOn f g₂ s
⊢ MonovaryOn f (g₁ / g₂) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
hs : ⨆ i, ∑ i_1 ∈ s, (↑i).lintegral (μ i_1) = ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)
⊢ ∀ (i_1 j : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∃ k, (↑i_1).lintegral (μ i) + ∑ i ∈ s, (↑j).lintegral (μ i) ≤ (↑k).lintegral (μ i) + ∑ i ∈ s, (↑k).lintegral (μ i)
R : Type u
Ring R
M N U : ModuleCat R
f : M ⟶ N
g : N ⟶ U
⊢ f ≫ g = g ∘ₗ f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
b₁ : Basis ι₁ 𝕜 E
b₂ : Basis ι₂ 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (i₁ : ι₁) (i₂ : ι₂), ⟪A (b₁ i₁), b₂ i₂⟫_𝕜 = ⟪b₁ i₁, B (b₂ i₂)⟫_𝕜
⊢ A = adjoint B
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ
⊢ a.sqrt ^ 2 ≤ a
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
x y : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ (normAtPlace w) (x + y) ≤ (normAtPlace w) x + (normAtPlace w) y
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
b : α
A : P → α
⊢ (dite P A fun x => b) ≠ b ↔ ∃ h, A h ≠ b
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
hG : Group.FG G
H.FiniteIndex
⊢ Group.rank ↥H ≤ H.index * Group.rank G
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ DirSupInacc sᶜ ↔ DirSupClosed s
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
⊢ h.map Polynomial.X = h.root
J : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J TopCat
∀ (X : TopCat), CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (TopCat.Presheaf C X)
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑(CategoryTheory.Limits.colimit F)
j : J
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.colimitPresheafObjIsoComponentwiseLimit F U).inv ≫
    (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j).c.app (Opposite.op U) =
  CategoryTheory.Limits.limit.π (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.componentwiseDiagram F U) (Opposite.op j)
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.map (↑(opLinearEquiv A).symm ∘ₗ (↑(AlgEquiv.toOpposite A A)).toLinearMap) (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) (↑(toBaseChange A Q) x) = (TensorProduct.map LinearMap.id reverse) ((toBaseChange A Q) x)
x y : ℂ
⊢ tanh ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (tanh x)
X : (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape CategoryTheory.Limits.WalkingPair)ᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingSpanOpEquiv.unitIso.hom.app X = 𝟙 X
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : 𝕜 → F
f' g' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hg : HasDerivWithinAt g g' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => f y + g y) (f' + g') s x
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F G H : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
φ' : G ⟶ H
P : Karoubi C
h : (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f
h' : (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f
⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (φ'.app P.X).f = (F.map P.p).f ≫ ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ (φ'.app P.X).f
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
CauSeq.IsComplete β abv
x : β
⊢ (CauSeq.const abv x).lim = x
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
hε : ε ≤ 0
⊢ Metric.closedBall x ε = Metric.sphere x ε
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a b : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ padicValNat p (a * b).natAbs = padicValNat p a.natAbs + padicValNat p b.natAbs
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ s.piecewise f g i = f i
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
⊢ ⟨⊥, ⋯⟩ = ⊥
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
this✝² : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0
this✝¹ : Finite G
this✝ : Fintype G
this : Fintype ↥H
h : Fintype.card ↥H = Fintype.card G
⊢ H = ⊤
b : ℂ
hb : 0 < b.re
nv : ∀ {b : ℂ}, 0 < b.re → b ≠ 0
⊢ ContinuousOn (fun {b} => (↑π / b) ^ (1 / 2)) {c | 0 < c.re}
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : ∫⁻ (x : α), ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ν (Prod.mk x ⁻¹' s) < ⊤
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
t : (a : α) → Finset (δ a)
a : α
inst✝ : DecidableEq (δ a)
ht : ∀ (b : α), a ≠ b → (t b).Nonempty
⊢ image (fun f => f a) (piFinset t) = t a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H✝ : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : AddZeroClass N
f g : (α →₀ M) →+ N
H : ∀ (x : α) (y : M), f (single x y) = g (single x y)
⊢ f = g
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(condDistrib id id μ) (id ω)) μ
p q r : ℕ+
H : 1 < sumInv {p, q, r}
S : List ℕ+ := sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p, q, r}
hS : List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
hpqr : {p, q, r} = ↑S
⊢ (∃ q_1 r_1, A' q_1 r_1 = {p, q, r}) ∨ (∃ r_1, D' r_1 = {p, q, r}) ∨ E' 3 = {p, q, r} ∨ E' 4 = {p, q, r} ∨ E' 5 = {p, q, r}
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0
⊢ ↑(p - q) = ↑p - ↑q
n : Nat
x y : BitVec n
⊢ x.toInt = y.toInt ↔ x = y
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R A : Set α
hAX : A ⊆ R
I : Set α
hI : M.Indep I
right✝ : I ⊆ R
hIA : I ⊆ A
⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ A}).Nonempty
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.20862, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c
i j : ι
hij : ¬c.symm.Rel i j
⊢ (X.d j i).unop = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M
m : M
hm : m ∈ span R s
⊢ ∀ (x y : M), 1 ⊗ₜ[R] x ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s) → 1 ⊗ₜ[R] y ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s) → 1 ⊗ₜ[R] (x + y) ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ ∀ {X Y : Comon_ C} (f : X ⟶ Y),
  (Comon_.Comon_ToMon_OpOp C).map f = Opposite.op { hom := f.hom.op, one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }
m : ℝ
hm : 1 < m
⊢ Summable fun i => 1 / m ^ i !
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : Nonempty (↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ)
g : ↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ
⊢ ∃ g, ∀ (x : ↑s), g ↑x = f x
F : Type u
Field F
K : Type v
Field K
i : F →+* K
f : F[X]
sep : f.Separable
sp : Polynomial.Splits i f
⊢ ∃ s, Polynomial.map i f = Polynomial.C (i f.leadingCoeff) * ∏ a ∈ s, (Polynomial.X - Polynomial.C a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hle : f ≤ᶠ[ae μ] g
hg : AEMeasurable g μ
ε : ℝ≥0∞
φ : α → ℝ≥0∞
hφm : Measurable φ
hφ_le : φ ≤ f
hφ_eq : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), φ a ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ε * μ {x | f x + ε ≤ g x} ≤ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s✝ : α → α → Prop
s : Set β
f : β → α
⊢ DirectedOn r (f '' s) ↔ DirectedOn (f ⁻¹'o r) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₁ g₂
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₃ g₄
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₁ (g₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inl g₃ g₄)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasPushout (g₃ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inr g₁ g₂) g₄
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
FiberBundle F E
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
self : MemTrivializationAtlas e
⊢ e ∈ trivializationAtlas F E
X : Type u_2
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
TopologicalSpace X
f : X → E
s : Set X
c : X
y : E
h : IsLocalMaxOn (norm ∘ f) s c
hy : SameRay ℝ (f c) y
⊢ IsLocalMaxOn (fun x => ‖f x + y‖) s c
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
hωb : (upperBounds (Set.range fun n => f n ω)).Nonempty
i : ℕ
hi : hωb.some < ↑i
hib : ∀ (n : ℕ), f n ω < ↑i
heq : ∀ (n : ℕ), stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω = f n ω
⊢ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
R : Type u
CommRing R
IsDedekindDomain R
S : Set (IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R)
K : Type v
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
x : ↥(S.unit K)
⊢ ↑↑((S.unitEquivUnitsInteger K) x) = ↑↑x
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (E.variableChange C).Δ'⁻¹ = C.u ^ 12 * E.Δ'⁻¹
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
⊢ f' ≤ slope f x y
V : Type u
G : SimpleGraph V
Finite V
s : Set G.Finsubgraph
⊢ ↑(sInf s) = ⨅ G_1 ∈ s, ↑G_1
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ ⇑h.symm ∘ ⇑h = id
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
h : FreeGroup.Red L₁ L₂
⊢ ∃ n, L₁.length = L₂.length + 2 * n
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal
f : ↥(lp E p)
g : ↥(lp E q)
⊢ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Balanced
hr : r.Balanced
sl : l.Sized
sr : r.Sized
H :
  (∃ l', Ordnode.Raised l.size l' ∧ Ordnode.BalancedSz l' r.size) ∨
    ∃ r', Ordnode.Raised r' r.size ∧ Ordnode.BalancedSz l.size r'
⊢ Ordnode.All P (l.balanceR x r) ↔ Ordnode.All P l ∧ P x ∧ Ordnode.All P r
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
i : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Reflective i
⊢ CategoryTheory.equivEssImageOfReflective.functor = i.toEssImage
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq (Option α)
s : Finset (Option α)
⊢ map Embedding.some (eraseNone s) = s.erase none
α : Type u
ι : Sort x
Countable ι
t : ι → Set α
⊢ (⋃ i, t i).Countable ↔ ∀ (i : ι), (t i).Countable
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ List.map f List.nil = List.nil
⊢ HasDerivAt Gamma (-√π * (γ + 2 * log 2)) (1 / 2)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M : Sublattice α
f✝ : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
f : ι → Sublattice α
⊢ a ∈ ↑(⨅ i, f i) ↔ ∀ (i : ι), a ∈ f i
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ SeparatedNhds s t → SeparatedNhds t s
q✝ a b c q : ℚ
hq : q.den = 1
⊢ ↑q.num = q
V : Type u
G : SimpleGraph V
h : ∀ (v w : V) (p q : G.Path v w), p = q
⊢ G.IsAcyclic
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
f : ι → α
hf : BddAbove (Set.range f)
⊢ l (⨆ i, f i) = ⨆ i, l (f i)
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
x : G ⊕ H
⊢ Monoid.Coprod.mk (FreeMonoid.of (Sum.map Inv.inv Inv.inv x)) * Monoid.Coprod.mk (FreeMonoid.of x) = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
A B : Comon_ C
⊢ (A ⊗ B).X = A.X ⊗ B.X
α : Type u_1
f : α → ℚ → ℝ
a : α
self : ProbabilityTheory.IsRatStieltjesPoint f a
⊢ Filter.Tendsto (f a) Filter.atTop (𝓝 1)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
s : Set E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
⊢ μ (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det f| * μ s
R : Type u_1
CommSemiring R
⊢ PowerSeries.rescale 1 = RingHom.id (PowerSeries R)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x y : V
⊢ ↑e x + ↑e (-y) = ↑e x + ↑e y
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Icc a b) x
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab' : a < b
g : ℝ → ℝ := fun x => f x - m * x
⊢ m ∈ f' '' Ioo a b
a b : Int
n : Nat
h : b - a = ↑n
⊢ a ≤ b
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y y' : M
⊢ polar (⇑Q) x (y - y') = polar (⇑Q) x y - polar (⇑Q) x y'
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ (a :: l)[0]? = some a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : KleeneAlgebra α
a b c : α
hb : 1 ≤ b
⊢ a * b ≤ b → a∗ ≤ b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonAssocSemiring α
n : α
⊢ n * 1 + n * 1 = n + n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : a ≤ b
⊢ Metric.diam (Ico a b) = b - a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteColimits C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasFiniteWidePushouts C
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
x : ↑M
z : ↑N
y : R
⊢ x ⊗ₜ[R] (y • z) = (y • x) ⊗ₜ[R] z
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
x : α
⊢ (κ x) s ≤ IsFiniteKernel.bound κ
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
hdnf : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
hdng : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x
this : Tendsto (fun x => (f ∘ Neg.neg) x / (g ∘ Neg.neg) x) atTop l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ 1 + x + x ^ 2 / 2 = 1 / (↑0 + 1) + x / (↑0 + 1) + x ^ 2 / (↑0 + 1 + 1)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.Exact
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
F.PreservesRightHomologyOf S
(S.map F).HasHomology
⊢ (S.map F).Exact
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
i j : ι
AddRightCancelMonoid ι
GradedRing 𝒜
a b : A
b_mem : b ∈ 𝒜 j
⊢ ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) (a * b)) (i + j)) = ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) a) i) * b
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
h : (a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 = 0 ∧ a.imJ ^ 2 = 0) ∧ a.imK ^ 2 = 0
⊢ 0 ≤ a.imI ^ 2
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
x : ℕ × ℕ
hx : x ∈ antidiagonal n
⊢ ↑x.2 ≤ ↑n
a : ℤ
n : ℕ
h : (List.map (fun n => J(a | n)) n.primeFactorsList).prod = -1
hn₀ : n ≠ 0
hf₀ : ∀ p ∈ n.primeFactorsList, p ≠ 0
p : ℕ
hmem : p ∈ n.primeFactorsList
hj : J(a | p) = -1
⊢ ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ J(a | p) = -1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
s : ι → α
CompleteLattice β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ ⨆ i, f (s i) ≤ f (iInf s)
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ Function.Surjective ⇑(Ideal.Quotient.mk I)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
i : β → α
hi : Function.Injective i
⊢ Summable (f ∘ i)
α : Type u_1
s t : Set α
h : s.ncard < t.ncard
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ ∃ e ∈ t, e ∉ s
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : NonAssocSemiring R
inst✝³ : Semiring k
inst✝² : One G
g_hom : Type u_3
inst✝¹ : FunLike g_hom G R
inst✝ : OneHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom
⊢ (liftNC ↑f ⇑g) 1 = 1
α : Type u
β : Type v
Sup α
Sup β
p q : α × β
⊢ (p ⊔ q).2 = p.2 ⊔ q.2
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ ((∃ i, x ≤ moveLeft 0 i) ∨ ∃ j, x.moveRight j ≤ 0) ↔ ∃ j, x.moveRight j ≤ 0
x y : ℝ
⊢ Icc ↑↑x ↑↑y = Icc ↑x ↑y
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
t u : Multiset α
a b : α
⊢ ∀ {s : Multiset α}, s - t ≤ u ↔ s ≤ u + t
R : Type u_1
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
a : ι
b : κ
r₁ r₂ : R
⊢ (finsuppTensorFinsupp' R ι κ) (Finsupp.single a r₁ ⊗ₜ[R] Finsupp.single b r₂) = Finsupp.single (a, b) (r₁ * r₂)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
p q : R[X]
hpq : p • 1 + q • (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) Y = 0
⊢ p = 0 ∧ q = 0
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
n✝ : ℕ
n : ℕ∞
⊢ (∀ ⦃a : α⦄, a ≠ 1 → IsOfFinOrder a → n ≤ ↑(orderOf a)) ↔ ∀ ⦃s : Subgroup α⦄, s ≠ ⊥ → (↑s).Finite → n ≤ ↑(Nat.card ↥s)
i j : ℤ
⊢ (gcd i j).natAbs = i.gcd j
α : Type u_1
t : Ordnode α
h : t.Sized
⊢ t.toList.length = t.size
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
e : PartialHomeomorph M H
n : ℕ∞
x : H
h : e ∈ SmoothManifoldWithCorners.maximalAtlas I M
hx : x ∈ e.target
⊢ ContMDiffAt I I n (↑e.symm) x
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * g x) l Filter.atBot
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ : M
x : M × M'
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt (I.prod I') I' x Prod.snd) (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)) (range ↑(I.prod I')) (↑(extChartAt (I.prod I') x) x)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x₁ x₂ : R
y₁ y₂ : ↥M
⊢ IsLocalization.mk' S (x₁ * ↑y₂ + x₂ * ↑y₁) (y₁ * y₂) = IsLocalization.mk' S x₁ y₁ + IsLocalization.mk' S x₂ y₂
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Monoid β
p✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsTotal α r
f : α → α → β
p : α → Prop
hswap : ∀ {a b : α}, p a → p b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a → p b → p c → f a c = f a b * f b c
a b c : α
pa : p a
pb : p b
pc : p c
⊢ p b ∧ p c
R M : Type u
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
fp : Module.FinitePresentation R M
⊢ ∃ L x x_1 K x_2, Module.Free R L ∧ Module.Finite R L ∧ K.FG
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
TopologicalSpace α
f : α → E
a : α
h : ContinuousAt f a
⊢ ContinuousAt (fun x => ‖f x‖) a
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
m : ℕ
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
n : ℕ
hmb : m ≤ n
hm : P m
⊢ P (Nat.findGreatest P n)
b : ℕ
a : ℕ
hb : 0 < b
⊢ a < b * (a / b + 1)