ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
I : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} I
B : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory B
CategoryTheory.Bicategory.Strict B
F : CategoryTheory.Functor I B
i : CategoryTheory.LocallyDiscrete I
⊢ F.toOplaxFunctor.mapId i = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
Monoid α
f g : Multiplicative ℕ →* α
h : f (Multiplicative.ofAdd 1) = g (Multiplicative.ofAdd 1)
⊢ f = g
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ✝ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
β γ : Type u_4
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone fun x => Seq.seq (f x) fun x_1 => g x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
y : E
h : y ∈ (extChartAt I x).target
⊢ writtenInExtChartAt 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x) x) (↑(extChartAt I x).symm) y = y
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
⊢ (innerₗ F).flip = innerₗ F
z w : ℍ
r R : ℝ
⊢ dist z w = r ↔ dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im)) = sinh (r / 2)
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y
⊢ slope f x y ≤ f'
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
⊢ centroid k s p = centroid k univ fun x => ↑x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
A : C
B : D
e : MonoOver A ≌ MonoOver B
⊢ lower e.inverse ⋙ lower e.functor = ThinSkeleton.map (e.inverse ⋙ e.functor)
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
self : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis s
⊢ t = TopologicalSpace.generateFrom s
a : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length
k✝ : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.length).1
n✝ : Primrec Prod.snd
k : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).1
n : Primrec fun a => a.1.2
k' : Primrec Prod.snd
c : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).2
⊢ Primrec fun a => let z := (unpair a.1.1.2).1; Nat.casesOn (unpair a.1.1.2).2 (Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1) z) fun y => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 (a.1.2, (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).2) (Nat.pair z y) Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.2.1) (Nat.pair z (Nat.pair y i))
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
f : G →* G'
H : Subgroup G
⊢ Function.Surjective ⇑(f.subgroupMap H)
n : Nat
⊢ 0 ∣ n ↔ n = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.op.f₁₂ = sq.f₂₄.op
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
a : C
⊢ (CategoryTheory.toThinSkeleton C).obj a = Quotient.mk' a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
x : E
s : Set E
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
ht : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
hx : f₁ x = f x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f₁ s x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ Bimon_.toMon_ C ⋙ Mon_.forget C = Bimon_.forget C
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
r s : R
m : M
n : N
⊢ (r • m) ⊗ₜ[R] (s • n) = (r * s) • m ⊗ₜ[R] n
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (s ×ˢ t).card = s.card * t.card
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
⊢ Function.Injective LinearIsometryEquiv.toContinuousLinearEquiv
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
⊢ Finset.nonMemberSubfamily a (𝒜 ∩ ℬ) = Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜 ∩ Finset.nonMemberSubfamily a ℬ
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s ≤ t.dedup ↔ s ≤ t ∧ s.Nodup
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
⊢ FractionalIdeal.map g (I + J) = FractionalIdeal.map g I + FractionalIdeal.map g J
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
h : ∀ x ∈ [[a, b]], f x ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable (fun x => (f x)⁻¹) μ a b
M : Type u_2
α : Type u_4
VAdd M α
VAdd Mᵃᵒᵖ α
IsCentralVAdd M α
r : M
a : α
⊢ AddOpposite.op (r +ᵥ a) = AddOpposite.op r +ᵥ AddOpposite.op a
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x
htendsto : Tendsto f atBot (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic a, u' x * v x + u x * v' x = a' - b'
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderBot α
a x : α
⊢ x ∈ Finset.Iic a ↔ x ≤ a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f g : M →ₗ⁅R,L⁆ N
h : f = g
x : M
⊢ f x = g x
α : Type u_1
β : Type u_2
Finite α
f : α → β
surj : Function.Surjective f
hc : Nat.card α ≤ Nat.card β
⊢ Function.Bijective f
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
IsNoetherian R M
P : Submodule R M → Prop
hgt : ∀ (I : Submodule R M), (∀ J > I, P J) → P I
I : Submodule R M
⊢ P I
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable (↑f) μ
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
⊢ setToSimpleFunc T (map g f) = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X : C
inst✝ : IsConnected X
⊢ IsGalois X ↔ MulAction.IsPretransitive (Aut X) ↑(F.obj X)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
⊢ s.card * t.card ≤ Eₘ[s, t]
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
A s : Set M
⊢ A ⊆ ↑((FirstOrder.Language.Substructure.closure (L.withConstants ↑A)).toFun s)
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
⊢ Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
α : Type u_1
p : Prop
Decidable p
t e : α
⊢ (bif decide p then t else e) = if p then t else e
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
CoalgebraStruct R A
φ₁ φ₂ : A →ₐc[R] A
⊢ φ₁ * φ₂ = φ₁.comp φ₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β × γ → α
hf : Summable f
⊢ Summable fun p => f p.swap
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ HasFPowerSeriesAt f p x
α : Type u_1
Mul α
LE α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
bc : a * b ≤ a * c
⊢ b ≤ c
n m : Nat
⊢ ↑(Fin.clamp n m) = min n m
α : Type u_1
s : Set α
x : ↑s
⊢ ↑(s.opEquiv_self.symm x) = Opposite.op ↑x
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
⊢ ↑n < o.card ↔ ↑n < o
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(Profinite.NobelingProof.π C fun x => x ∈ s)
h : y ≠ x
⊢ (Profinite.NobelingProof.factors C s x).prod y = 0
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))
⊢ (comap (f ≫ g) (unop (op U✝)) ((TopologicalSpace.Opens.map (topMap (f ≫ g))).obj (unop (op U✝))) ⋯ ≫ (sheafedSpaceObj T).presheaf.map ((𝟙 (TopologicalSpace.Opens.map (sheafedSpaceMap (f ≫ g)).base).op).app (op U✝))) x✝ = ((sheafedSpaceMap g ≫ sheafedSpaceMap f).c.app (op U✝)) x✝
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : LipschitzWith K f
s : Set α
hs : Bornology.IsBounded s
⊢ Metric.diam (f '' s) ≤ ↑K * Metric.diam s
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ → σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Computable₂ h
⊢ Computable fun a => Nat.casesOn (f a) (g a) (h a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Zero α
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
SMul α β
SMul α γ
f : β → γ
PosSMulReflectLT α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b
⊢ PosSMulReflectLT α β
α : Type u_5
β : Type u_6
Bornology β
f : α → β
⊢ BoundedSpace α ↔ Bornology.IsBounded (Set.range f)
m : Type u_1 → Type u_2
σ : Type u_1
Monad m
f : σ → σ
s : σ
⊢ (modify f).run s = pure (PUnit.unit, f s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} D
X Y : C
e : X ≅ Y
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map e.inv) (F.map e.hom) = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj Y)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n n' : M
g : n ⟶ n'
X : C
⊢ (F.map g).app ((F.obj m).obj X) ≫ (F.μ m n').app X = (F.μ m n).app X ≫ (F.map (m ◁ g)).app X
α : Type u_1
I B✝ X : Set α
M : IndepMatroid α
B B' : Set α
hB : B ∈ {I | M.Indep I}
hBmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B
hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}
hB'max : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B' b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B'
e : α
he : e ∈ B \ B'
hnotmax : B \ {e} ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}
f : α
hfB : M.Indep (insert f (B \ {e}))
hf : f ∈ B' ∧ (f ∈ B → f = e)
hfB' : f ∉ B
⊢ ∃ b ∈ B' \ B, (fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) (insert b (B \ {e}))
α : Type u_1
Monoid α
p : Associates α → Prop
⊢ (∀ (a : Associates α), p a) ↔ ∀ (a : α), p (Associates.mk a)
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
g : M ⊗[R] N →ₗ[R] P
H : ∀ (x : M) (y : N), g (x ⊗ₜ[R] y) = (f x) y
m : M
n : N
⊢ g (m ⊗ₜ[R] n) = (lift f) (m ⊗ₜ[R] n)
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ((LinearMap.llcomp R (ι → R) (ι → R) M) ((Fintype.total R R) b)) 1 = (PiToModule.fromEnd R b) 1
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
head✝ : Sigma β
l : List (Sigma β)
⊢ (head✝ :: l).kunion [] = head✝ :: l
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
T2Space β
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hc₂ : ∀ᶠ (t : τ) in f, Set.MapsTo (ϕ t) s c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : omegaLimit f ϕ s ⊆ n
⊢ ∃ u ∈ f, closure (Set.image2 ϕ u s) ⊆ n
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'
hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
hJss : J ⊆ E₀
heI₀ : e ∉ I₀
⊢ False
Ω : Type u_1
β : Type u_6
β' : Type u_7
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun f g μ ↔
  MeasureTheory.Measure.map (fun ω => (f ω, g ω)) μ =
    (MeasureTheory.Measure.map f μ).prod (MeasureTheory.Measure.map g μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν
hs : s ⟂ₘ ν
hadd : μ = s + ν.withDensity f
⊢ ν.withDensity f = ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
f : (α → ℕ) → ℕ
⊢ DiophFn f = DiophPFun ↑f
R M : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
L : Type u
w✝¹ : AddCommGroup L
w✝ : Module R L
K : Submodule R L
ϕ : P ≃ₗ[R] L ⧸ K
left✝¹ : Free R L
left✝ : Finite R L
hK : K.FG
this✝ : Finite R ↥K
this : (h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ) ∘ₗ K.subtype = 0
κ : Type u
hκ : Fintype κ
a : L →ₗ[R] κ →₀ R
y : (κ →₀ R) →ₗ[R] M
hay : h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ = y ∘ₗ a
ha : a ∘ₗ K.subtype = 0
⊢ ∃ κ x h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_14
Norm E
NormedField 𝕜
f : α → E
l : Filter α
c : 𝕜
g : α → 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ (f =Θ[l] fun x => c * g x) ↔ f =Θ[l] g
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : FiniteDimensional K L
this✝ : DecidableEq L := Classical.decEq L
this : IsNoetherian K L := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
s' : Finset L := IsNoetherian.finsetBasisIndex K L
bs' : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex K L } K L := IsNoetherian.finsetBasis K L
y : A
hy : y ≠ 0
his' : ∀ x ∈ Finset.image (⇑bs') Finset.univ, IsIntegral A (y • x)
⊢ ∃ s b, ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
s : Set Rᵐᵒᵖ
⊢ (closure s).unop = closure (MulOpposite.op ⁻¹' s)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ ∫ (v : V), rexp (-b * ‖v‖ ^ 2) = (π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2)
α : Type u_1
LE α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
ht : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, b ≤ c → b ∈ t
⊢ IsUpperSet (s \ t)
α : Type u
f g : α → α
h : Function.Commute f g
n : ℕ
⊢ (f ∘ g)^[n] = f^[n] ∘ g^[n]
a b c : ℕ
h : a ≤ b + 1
x : ℕ
⊢ x = b + 1 ∨ a ≤ x ∧ x ≤ b ↔ a ≤ x ∧ x ≤ b + 1
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
OrderClosedTopology α
f g : ι → α
hf : Summable f
hg : Summable g
h : f < g
⊢ ∑' (n : ι), f n < ∑' (n : ι), g n
f : ℝ → ℝ
⊢ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f ↔ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially (-f)
I : Type u
f : I → Type v
DecidableEq I
(i : I) → One (f i)
i : I
x : f i
⊢ (OneHom.mulSingle f i) x = Pi.mulSingle i x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
DecidableEq ι
i : ι
a : 𝕜
⊢ (WithLp.equiv 2 ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i)) (EuclideanSpace.single i a) = Pi.single i a
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
⊢ UniformContinuous fun x => (f x)⁻¹
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : IsOpenMap f
s : Set Y
⊢ f ⁻¹' closure s ⊆ closure (f ⁻¹' s)
m n : ℕ
⊢ (finRotate (n + 1)) ⟨n, ⋯⟩ = ⟨0, ⋯⟩
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a✝ b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s
x✝ : α
⊢ x✝ = a → x✝ ∉ s
α : Sort ?u.31587
β : Sort ?u.31609
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x₀ : { a // p a } → β
x : { a // ¬p a } → β
x✝ : { a // ¬p a }
a : α
h : ¬p a
⊢ (if h : p a then x₀ ⟨a, h⟩ else x ⟨a, h⟩) = x ⟨a, h⟩
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
A : Set M
α : Type u₁
s t : L.DefinableSet A α
⊢ s ≤ t ↔ ↑s ≤ ↑t
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
⊢ (∀ (m : σ →₀ ℕ), MvPolynomial.coeff m p = MvPolynomial.coeff m q) → p = q
α : Type u_1
TopologicalSpace α
NormalSpace α
R1Space α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
WeaklyLocallyCompactSpace α
μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ MeasureTheory.Memℒp g (ENNReal.ofReal p) μ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
J : a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s / 2 * δ
invs_nonneg : 0 ≤ 2 / s
⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / s) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : N ≃* P
x : M
y : P
⊢ (f.ofMulEquivOfLocalizations k).toMap x = y ↔ f.toMap x = k.symm y
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
x : E
m : x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ ∃ y, x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(t.erase ↑y)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.N₂Γ₂ToKaroubiIso.hom.app X).f = AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime
⊢ span {↑(absNorm I)} ≠ ⊥
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} A
L : C ⥤ D
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddMonoid M
inst✝⁵ : HasShift C M
inst✝⁴ : HasShift D M
inst✝³ : L.CommShift M
inst✝² : G.ShiftSequence M
F' : M → D ⥤ A
e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful
n : M
X Y : C
f : X ⟶ (shiftFunctor C n).obj Y
a a' : M
h : n + a = a'
⊢ (F.shift a).map (L.map f) ≫ (F.shift a).map ((L.commShiftIso n).hom.app Y ≫ (L.commShiftIso n).inv.app Y) ≫ (e' a).hom.app ((shiftFunctor C n).obj Y) ≫ (G.shiftIso n a a' h).hom.app Y ≫ (e' a').inv.app Y = (e' a).hom.app X ≫ (G.shift a).map f ≫ (G.shiftIso n a a' h).hom.app Y ≫ (e' a').inv.app Y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
⊢ (⨆ i, f i).NeBot ↔ ∃ i, (f i).NeBot
R : Type u
Ring R
p : R[X]
⊢ (-p).support = p.support
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
CompactSpace α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
Fact (1 ≤ p)
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
f : C(α, E)
⊢ ↑((ContinuousMap.toLp p μ 𝕜) f) = ContinuousMap.toAEEqFun μ f
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
l : List α
a m : α
⊢ a ∈ l → l.maximum = ↑m → ¬m < a
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
⊢ ↑(Submodule.topEquiv.symm x) = x
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
f : ↥(lp E p)
hp₀ : 0 < p
hp' : 0 < p.toReal
⊢ HasSum (fun i => lp.single p i (↑f i)) f
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
S : Set α
hS : Unbounded r S
e : #↑S = (type r).cof
s : ↑S → ↑S → Prop
w✝ : IsWellOrder (↑S) s
e' : (#↑S).ord = type s
⊢ ∃ S, Unbounded r S ∧ type (Subrel r S) = (type r).cof.ord
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Algebra.adjoin (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
r : ↑↑s
n₁ : ℕ
hn₁ : (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) ((algebraMap R S) ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ * x) ∈ Algebra.adjoin R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ : ↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ((algebraMap R S) ↑r)) (s₁ r))
⊢ ↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ Subalgebra.toSubmodule (⨆ x, Algebra.adjoin R ↑(sf x))
G : Type u
AddGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
x₀ : G
U : Set G
⊢ U ∈ B → ∃ V ∈ B, V ⊆ (fun x => x₀ + x + -x₀) ⁻¹' U
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α
htu : t ~[l] u
hvw : v ~[l] w
⊢ (fun x => t x / v x) ~[l] fun x => u x / w x
𝕜 : Type u_1
V : Type u_3
W : Type u_4
NormedAddCommGroup V
NormedAddCommGroup W
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
NormedSpace 𝕜 W
f : V →ᴬ[𝕜] W
⊢ ((ContinuousAffineMap.toConstProdContinuousLinearMap 𝕜 V W) f).2 = f.contLinear
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂
h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval
V : Set G := V₁ ∩ V₂
⊢ closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑{ carrier := V⁻¹, is_open' := ⋯, mem' := ⋯ }.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' {0}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : β → ℝ≥0
r : ℝ≥0
hgf : ∀ (b : β), g b ≤ f b
hfr : HasSum f r
b : β
⊢ ↑(g b) ≤ ↑(f b)
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
⊢ 1 = ⟨1, ⋯⟩