ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.132496, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.RightHomologyData
inst✝ : Epi S.g
this : Mono h.g'
⊢ IsIso h.g'
α : Type u
β : Type v
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f : α → β
⊢ Filter.Tendsto f l₁ l₂ ↔ Filter.RTendsto (Function.graph f) l₁ l₂
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
m : M
⊢ (ExteriorAlgebra.ιMulti R n.succ).curryLeft m =
  (LinearMap.mulLeft R ((ExteriorAlgebra.ι R) m)).compAlternatingMap (ExteriorAlgebra.ιMulti R n)
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
g₁ g₂ : N →ₗ[S] Q
e : ∀ (x : M), g₁ (f x) = g₂ (f x)
x : N
⊢ ∀ (n₁ n₂ : N), g₁ n₁ = g₂ n₁ → g₁ n₂ = g₂ n₂ → g₁ (n₁ + n₂) = g₂ (n₁ + n₂)
M : Type u_2
MeasurableSpace M
Add M
self : MeasurableAdd₂ M
⊢ Measurable fun p => p.1 + p.2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
RingHomIsometric σ₁₃
c : 𝕜₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
⊢ (c • f).flip = c • f.flip
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
⊢ Function.Injective ⇑f ↔ ∀ (x : R), x ∈ ⇑f ⁻¹' {0} ↔ x ∈ ↑⊥
m n : Nat
⊢ Fin.natAdd n (Fin.last m) = Fin.last (n + m)
θ : Angle
⊢ (↑π + θ).sign = -θ.sign
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R
hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin (n + 1), M i j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)
⊢ (M.submatrix id j₁.succAbove).det = (↑↑j₁ - ↑↑j₂).negOnePow • (M.submatrix id j₂.succAbove).det
n : ℕ
⊢ Real.log (Stirling.stirlingSeq (n + 1)) - Real.log (Stirling.stirlingSeq (n + 2)) ≤
  (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2 / (1 - (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2)
G : Type u_1
DivisionMonoid G
a b : G
⊢ (a * b)⁻¹ = b⁻¹ * a⁻¹
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
this : Inhabited I
m : Products I →₀ ℤ
hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}
hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)
hse : LinearMap.range (πs C o) = LinearMap.ker (Linear_CC' C hsC ho)
n : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ
hn : ((πs C o) n + m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod) = Products.eval C ↑l
⊢ False
σ : Type u_1
R : Type u_2
Ring R
φ : MvPowerSeries σ R
u : Rˣ
h : (MvPowerSeries.constantCoeff σ R) φ = ↑u
⊢ φ * φ.invOfUnit u = 1
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E
this : FiniteDimensional F E
hx : IsIntegral F x
L : Type u_1 := (p * minpoly F x).SplittingField
⊢ IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α
g : (i' : ι') → κ' i' → α
h : ∀ (i : ι) (j : κ i), ∃ i' j', f i j ≤ g i' j'
⊢ ⨆ i, ⨆ j, f i j ≤ ⨆ i, ⨆ j, g i j
E : Type u_6
F : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
j : E →+ F
b : F
hb : b ∈ closure ↑j.range
f : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < f n
⊢ ∃ a,
  Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), j (a i)) Filter.atTop (𝓝 b) ∧
    ‖j (a 0) - b‖ < f 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖j (a n)‖ < f n
α : Type u_1
r : α → α → Prop
b : α
P : (a : α) → Relation.TransGen r a b → Prop
a : α
h : Relation.TransGen r a b
base : ∀ {a : α} (h : r a b), P a ⋯
ih : ∀ {a c : α} (h' : r a c) (h : Relation.TransGen r c b), P c h → P a ⋯
⊢ P a h
G : Type u_1
AddGroup G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
AddSubgroupClass S G
x : ↥H
⊢ (AddSubgroupClass.inclusion ⋯) x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
One M
f : α × β → M
⊢ Function.mulSupport (Function.curry f) = Prod.fst '' Function.mulSupport f
α : Type u_1
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f Filter.atTop g
n k : ℕ
hn : MeasureTheory.ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg n ≤ k
⊢ μ {x | 2⁻¹ ^ n ≤ dist (f k x) (g x)} ≤ 2⁻¹ ^ n
M : Type u_1
α : Type u_3
SMul M α
a : M
⊢ a • none = none
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
h_obj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X
h_map : autoParam (∀ (X Y : C) (f : X ⟶ Y), F.map f = eqToHom ⋯ ≫ G.map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
⊢ F = G
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
R : ℝ
ξ f : ℕ → Ω → ℝ
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hξ : Adapted 𝒢 ξ
hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R
hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω
hξbdd : ∀ (i : ℕ), ∃ C, ∀ (ω : Ω), |ξ i ω| ≤ C
⊢ Submartingale (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ξ k * (f (k + 1) - f k)) 𝒢 μ
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
x : ↑X.toTopCat
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.residueFieldMap (𝟙 X) x = 𝟙 (X.residueField x)
α : Type u
x y z : α
BooleanAlgebra α
h : IsCompl x y
⊢ zᶜ = y ↔ z = x
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
r : R → R → Prop
c : RingCon R
h : ∀ (x y : R), r x y → c x y
⊢ ringConGen r ≤ c
p✝ q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
p q : ℚ≥0
⊢ (↑p).num * ↑(↑q).den ≤ (↑q).num * ↑(↑p).den ↔ p.num * q.den ≤ q.num * p.den
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hM : Disjoint ↑M ↑I
⊢ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I) = I
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrans α R
a b : α
l : List α
h : R a b
hb : Chain R b l
⊢ ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ l → R a a_1
f : ℝ → ℝ
hf : Monotone f
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), HasDerivAt f (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal x
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
CommSemiring S
Algebra S A
CommSemiring R
Algebra R S
r : R
⊢ (RestrictScalars.ringEquiv R S A) ((algebraMap R (RestrictScalars R S A)) r) = (algebraMap S A) ((algebraMap R S) r)
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
x : M × M₂
⊢ (∃ y, (inl R M M₂) y = x) ↔ (snd R M M₂) x = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
D : ℝ
⊢ ExistsContDiffBumpBase.w D = fun x =>
  ((∫ (x : E), ExistsContDiffBumpBase.u x ∂MeasureTheory.Measure.addHaar) * |D| ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E)⁻¹ •
    ExistsContDiffBumpBase.u (D⁻¹ • x)
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
⊢ s ≤ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b✝ : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
v : V
b : AffineBasis ι k P
p : P
⊢ (((b.basisOf i).repr (p -ᵥ (v +ᵥ b i))).sum fun x => id) = ((b.basisOf i).repr (-v +ᵥ p -ᵥ b i)).sum fun x => id
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F F' : CategoryTheory.Functor C D
F.Initial
i : F ≅ F'
⊢ F'.Initial
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
b : P
hb : b ∈ I * J
⊢ IsInteger R ((aI * aJ) • b)
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
as bs : List α
⊢ List.partition.loop p l (as, bs) = (as.reverse ++ List.filter p l, bs.reverse ++ List.filter (not ∘ p) l)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
c : ℝ
c_nn : 0 ≤ c
⊢ closedBall 0 c = Icc 0 c.toNNReal
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
⊢ MvQPF.SuppPreservation ↔ MvQPF.IsUniform
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hμ : MeasureTheory.Integrable f μ
hν : MeasureTheory.Integrable f ν
⊢ MeasureTheory.Integrable f (μ + ν)
⊢ max (lsub fun i => (star.moveLeft i).birthday) (lsub fun i => (star.moveRight i).birthday) = 1
G : Type w
TopologicalSpace G
Sub G
ContinuousSub G
a : G
⊢ Continuous fun x => a - x
q : ℕ+
x y : LucasLehmer.X q
⊢ (x + y).2 = x.2 + y.2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
SeminormedAddCommGroup W₁
SeminormedAddCommGroup W₂
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
φ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ψ : NormedAddGroupHom W₁ W₂
hf : ψ.comp f₁ = f₂.comp φ
hg : ψ.comp g₁ = g₂.comp φ
C : ℝ
hφ : ‖φ.comp (NormedAddGroupHom.Equalizer.ι f₁ g₁)‖ ≤ C
⊢ ‖NormedAddGroupHom.Equalizer.map φ ψ hf hg‖ ≤ C
α : Type u_2
DecidableEq α
Monoid α
n : ℕ
Fintype α
hn : n ≠ 0
⊢ Finset.univ ^ n = Finset.univ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : CommRing T
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R T
ι✝ κ✝ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι✝
b✝ : Basis ι✝ R S
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
ι : Type u_4
κ : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite κ
b : Basis ι R S
c : Basis κ S T
x✝ : T
⊢ (trace R S ∘ₗ ↑R (trace S T)) x✝ = (trace R T) x✝
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.70958, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
⊢ IsZero S.X₂
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
A : Mon_ Cᵒᵖ
⊢ (λ_ A.X).hom.unop = (λ_ (unop A.X)).inv
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.comp 1 = Polynomial.C (Polynomial.eval 1 p)
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsStronglyCartesian f φ
R' : 𝒮
a' : 𝒳
g : R' ⟶ R
f' : R' ⟶ S
hf' : f' = g ≫ f
φ' : a' ⟶ b
p.IsHomLift f' φ'
ψ : a' ⟶ a
p.IsHomLift g ψ
hψ : ψ ≫ φ = φ'
⊢ ψ = CategoryTheory.Functor.IsStronglyCartesian.map p f φ hf' φ'
α : Type u_1
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
u : Set ℝ≥0∞
h : s.OrdConnected
⊢ (ENNReal.ofReal '' s).OrdConnected
G : Type w
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
x b : G
⊢ (Homeomorph.subRight x) b = b - x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f : ι → Set α
s t : Set ι
y : α
h_disjoint : s.PairwiseDisjoint f
hy : y ∈ ⋃ i ∈ s, f i
⊢ ∃! i, i ∈ s ∧ y ∈ f i
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
⊢ Polynomial.X ≠ 0
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
h : Red ((x, b) :: L) []
⊢ Red L [(x, !b)]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.kahler (o.rightAngleRotation x)) y = -Complex.I * (o.kahler x) y
β : Type u_3
MeasurableSpace β
α : Type u_7
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → β
hf : AEMeasurable f (μ.trim hm)
⊢ AEMeasurable f μ
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s t : Finset α
⊢ (s - t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∀ f ∈ t, f.Monic
a✝ : Nontrivial R
⊢ (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod ≠ 0
M : Type u_5
N : Type u_6
Add M
AddMonoid N
a₁ a₂ : M
⊢ (a₁, 0) + (a₂, 0) = (a₁ + a₂, 0)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
⊢ StarSubalgebra.map (StarAlgHom.id R A) S = S
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
h : t ⊆ s
⊢ (s + t).dedup = s.dedup
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I J : TwoSidedIdeal R
⊢ (I ⊓ J).ringCon = I.ringCon ⊓ J.ringCon
n : ℕ
⊢ 1 < 2 ^ (n + 1)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
inst✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), (filter (fun x => a ∈ x) B).card ≤ n
⊢ ∑ s ∈ B, s.card = ∑ s ∈ B, (univ ∩ s).card
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set (α →o β)
hc : ∀ ⦃x : α →o β⦄, x ∈ s → Continuous x
⊢ Continuous (⨆ i ∈ s, i)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f : N →ₗ[R] N
n : ℕ
⊢ LinearMap.lTensor M f ^ n = LinearMap.lTensor M (f ^ n)
b : ℂ
hb : 0 < b.re
f : ℂ → ℝ → ℂ := fun c x => cexp (-c * ↑x ^ 2)
d : ℝ
hd : 0 < d
hd' : d < b.re
f_meas : ∀ (c : ℂ), AEStronglyMeasurable (f c) volume
f_cts : ∀ (x : ℝ), ContinuousAt (fun c => f c x) b
⊢ ContinuousAt (fun c => ∫ (x : ℝ), cexp (-c * ↑x ^ 2)) b
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
x : M
n : ℕ
hn : x ^ n = 1
m : ℕ
hm : x ^ (m + 1) = 1
⊢ x ^ (m + 1).gcd n = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
this : ∀ (x : α), ↑‖(f x).toReal‖₊ = ↑⟨(f x).toReal, ⋯⟩
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑⟨(f a).toReal, ⋯⟩ ∂μ < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
F : ι → α → ℝ≥0∞
f bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, Measurable (F n)
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
⊢ Tendsto ((fun n => ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ) ∘ x) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ (List.filter p l).length < l.length ↔ ∃ x, x ∈ l ∧ ¬p x = true
α : Type u
β : Type v
l₁ : List α
l₂ : List β
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : l₂.Nodup
⊢ (l₁ ×ˢ l₂).Nodup
α : Type u_6
β : Type u_7
ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
b : β
hu_le : ∃ᶠ (x : α) in f, b ≤ u x
hu : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault
⊢ b ≤ Filter.limsup u f
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
Invertible A.det
Invertible A
⊢ ⅟A = ⅟A.det • A.adjugate
H : Type u_1
G : Type u_2
F : Type u_3
AddGroup H
AddGroup G
hH : IsAddCyclic H
FunLike F H G
AddMonoidHomClass F H G
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsAddCyclic G
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : ℍ → ℂ
A : SL(2, ℤ)
x : ℂ
this : (↑↑↑A).det = 1
x✝ : ℍ
⊢ (Function.const ℍ x ∣[0] A) x✝ = Function.const ℍ x x✝
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ GaloisConnection Submodule.annihilator fun I => Submodule.torsionBySet R M ↑(OrderDual.ofDual I)
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
Invertible 2
p₁ p₂ : P
⊢ nndist (midpoint 𝕜 p₁ p₂) p₂ = ‖2‖₊⁻¹ * nndist p₁ p₂
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
CommSemiring R
CommSemiring S
NonUnitalRing A
Module R A
Module S A
Algebra R S
a : A
f : S → R
self : QuasispectrumRestricts a f
⊢ Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
α : Type u_1
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
x✝ : UniformSpace α := ⊥
this : DiscreteTopology α
⊢ UniformEmbedding f
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α' : Type u_7
v : α → M
f : α' → α
⊢ Finsupp.total α' M R (v ∘ f) = Finsupp.total α M R v ∘ₗ Finsupp.lmapDomain R R f
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
Ibad : I ∈ nonPrincipals R
Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
a : R
ha : I ⊔ Ideal.span {y} = Submodule.span R {a}
b : R
hb : colon I (Ideal.span {y}) = Submodule.span R {b}
i : R
hi : i ∈ I
⊢ i ∈ Submodule.span R {a * b}
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
n : ℕ
u : ℕ → β
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t
⊢ ∑ j ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 ((n, ⟨u, ⋯⟩).1 - 1 - j + 1))) ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 ((n, ⟨u, ⋯⟩).1 - 1 - j))) ≤ eVariationOn f s
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
⊢ z - (starRingEnd K) z = ↑(re z) + ↑(im z) * I - (↑(re z) - ↑(im z) * I)
α : Type u_1
AddGroup α
s t : AddSubgroup α
h_le : s ≤ t
f : α ⧸ t → α
hf : Function.RightInverse f QuotientAddGroup.mk
a : α ⧸ s
⊢ (AddSubgroup.quotientEquivSumOfLE' h_le f hf) a =
  (Quotient.map' id ⋯ a, Quotient.map' (fun g => ⟨-f (Quotient.mk'' g) + g, ⋯⟩) ⋯ a)
J K : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.SmallCategory K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape K C
⊢ ∀ {j j' : J} (f : j ⟶ j'),
  ((CategoryTheory.Limits.DiagramOfCocones.mkOfHasColimits F).map f).hom = CategoryTheory.Limits.colim.map (F.map f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
J : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} J
hW : W.IsStableUnderLimitsOfShape J
X Y : CategoryTheory.Functor J C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
hf : W.functorCategory J f
⊢ W (CategoryTheory.Limits.lim.map f)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {s₁ t₁ s₂ t₂ : List α}, s₁ ++ t₁ = s₂ ++ t₂ → s₁.length = s₂.length → s₁ = s₂
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i✝ : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
f : FreeProduct R A →ₐ[R] B
i : I
a : A i
h : (f ∘ₐ ι R A i) a = maps a
⊢ (((f ∘ₐ RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) ∘ₗ DirectSum.lof R I A i) a = (((((lift R A) fun {i} => maps) ∘ₐ RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) ∘ₗ DirectSum.lof R I A i) a
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasEqualizers C
X Y : C
inst✝¹ : Simple Y
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
w : f ≠ 0
⊢ Epi (factorThruImage f ≫ image.ι f)
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : IsDomain R
h : I ≠ ⊤
x : R
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i
hx' : x ∉ ⊥
this : x ∈ ⨅ i, I ^ i ↔ ∃ r, ↑r * x = x
r : ↥I
hr : ↑r * x = x
⊢ False
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : B → C
F' : (a b : B) → CategoryTheory.Functor (a ⟶ b) (F a ⟶ F b)
⊢ (CategoryTheory.PrelaxFunctor.mkOfHomFunctors F F').toPrelaxFunctorStruct =
  CategoryTheory.PrelaxFunctorStruct.mkOfHomPrefunctors F fun a b => (F' a b).toPrefunctor
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f g φ ψ : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
⊢ ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (-φ)) = ShortComplex.homologyMap (-(shortComplexFunctor C c i).map φ)
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
h3 : ∀ (g : G) {K : Compacts G}, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
K : Compacts G
hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0
U : Opens G
hU : (↑U).Nonempty
this : (interior ↑U).Nonempty
s : Finset G
hs : K.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun x => g * x) ⁻¹' ↑U
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ ↑s.card * μ.innerContent U
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : A ⥤ B
R₂ : B ⥤ A
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H
b : B
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft (𝟭 A) β ≫ whiskerRight (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) H) = whiskerRight ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) G ≫ whiskerLeft (𝟭 B) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)
vcompb : adj₃.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H.map (adj₁.counit.app b)) = G.map (adj₂.unit.app (R₁.obj b)) ≫ G.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ G.map (R₂.map (adj₁.counit.app b)) ≫ adj₃.unit.app (G.obj (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (adj₂.counit.app b))
⊢ adj₃.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H.map (adj₁.counit.app b)) = G.map (adj₂.unit.app (R₁.obj b)) ≫ G.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ G.map (R₂.map (adj₁.counit.app b)) ≫ adj₃.unit.app (G.obj (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (adj₂.counit.app b))
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
⊢ ∀ (a : Π₀ (i : ι), β i), (DFinsupp.sigmaFinsetFunEquiv a).fst = a.support
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
e : V ≃ W
⊢ SimpleGraph.comap (⇑e.symm.toEmbedding) G = SimpleGraph.map e.toEmbedding G
a b c : ℕ
hba : b ≤ a
⊢ a - b < c ↔ a < c + b
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
a : α
⊢ l.getD n a = l[n]?.getD a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₁'
hp₃p₂ : p₃ ≠ p₂
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₁' p₂ p₃ + ↑π
α : Type u_1
⊢ ∀ {β : Type u_2} {f : α → β → β} {l : Batteries.AssocList α β} [inst : BEq α] {a : α},
  (Batteries.AssocList.modify a f l).length = l.length
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
Fintype α
hk : k ≤ Fintype.card α
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
⊢ ∑ r ∈ Finset.range (k + 1), ↑(𝒜 # (Fintype.card α - r)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - r)) ≤
  ↑(Finset.falling (Fintype.card α - k) 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - k))
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
x : α
t : Finset α
f : α → Set β
s : Set β
hx : x ∉ t
⊢ ⋂ i ∈ insert x t, Function.update f x s i = s ∩ ⋂ i ∈ t, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s✝ : Finset α
h : m ≤ n
hG : G.CliqueFree m
s : Finset α
hs : G.IsNClique n s
⊢ False