ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
P : R → R → Prop
a b : R
H0 : ∀ (x : R), P 0 x
H1 : ∀ (a b : R), a ≠ 0 → P (b % a) a → P a b
a0 : a = 0
⊢ P a b
α : Type u_1
Add α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
b c : α
bc : b < c
a : α
⊢ a + b < a + c
a x✝ z x : ℂ
hx : x ≠ 0
⊢ ↑(abs x) * cexp (↑x.arg * I) = x
x y : SetTheory.PGame
⊢ -y < -x ↔ x < y
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a✝ : α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s
⊢ (dirac a) s ≤ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
⊢ dickson 1 ((Int.castRingHom R) 1) (m * n) = (dickson 1 ((Int.castRingHom R) 1) m).comp (dickson 1 ((Int.castRingHom R) 1) n)
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
⊢ (Sum.inl x).swap = Sum.inr x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
S : ProperCone ℝ F
x : E
⊢ x ∈ ProperCone.comap f S ↔ f x ∈ S
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id X).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y
⊢ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD f
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt f (f' • 1) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
b : β
f : α → β
g : β → γ
hg : Function.Injective g
⊢ g ∘ f = Function.const α (g b) ↔ f = Function.const α b
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
h : H
w : Monoid.PushoutI.NormalWord d
⊢ (h • w).prod = (Monoid.PushoutI.base φ) h * w.prod
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ : Fin (n + 3)
p : P
h : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p ∈ s.mongePlane i₁ i₂
h' : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p -ᵥ s.mongePoint ∈ (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂})ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)
hi : p -ᵥ s.mongePoint ∈ (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))ᗮ
hu : ⋃ i, {s.points i₁ -ᵥ s.points ↑i} = (fun x => s.points i₁ -ᵥ x) '' (s.points '' (Set.univ \ {i₁}))
⊢ p -ᵥ s.mongePoint = 0
a : Int
H : a ≤ 0
⊢ ∃ n, a = -↑n
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
ι : Type u_5
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
S : ι → Submonoid N
⊢ Submonoid.map f (⨅ i, Submonoid.comap f (S i)) = iInf S
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Function.Injective f
s : Multiset α
l : List α
⊢ (map f (Quot.mk Setoid.r l)).dedup = map f (dedup (Quot.mk Setoid.r l))
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.843926, u_1} C
X✝ Y✝ Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
inst✝ : Mono i₃
⊢ (lift (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ⋯ ≫ lift (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯) (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯) ⋯) ≫ snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) = 𝟙 (pullback (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂)) ≫ snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂)
a : ℝ
⊢ ContinuousOn (fun x => ↑(sinKernel (↑a) x)) (Ioi 0)
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n ↪ α
⊢ Finset.map f Finset.univ = { val := ↑(List.ofFn ⇑f), nodup := ⋯ }
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
S S' : C
f : S' ⟶ S
X Y : Over S
g : X ⟶ Y
H : P g.left
⊢ P ((Over.pullback f).map g).left
α : Type u
β : Type v
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
s : Set α
⊢ f (sSup s) = ⨆ x ∈ s, f x
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ spectralRadius ℝ ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ≤ ↑t
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ (↑s).encard = ↑s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
t : Finset β
s : Finset α
f : α → Finset β
⊢ t ∩ s.biUnion f = s.biUnion fun x => t ∩ f x
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
f_int : MeasureTheory.Integrable f μ
f_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] f
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, 1 ≤ f x
⊢ μ s ≤ ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ)
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.2943, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.2947, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.2951, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
Y : D
g₁ g₂ : CostructuredArrow L Y
φ : g₁ ⟶ g₂
⊢ F.map φ.left ≫ E.hom.app g₂.left ≫ E.right.map g₂.hom = (E.hom.app g₁.left ≫ E.right.map (L.map φ.left ≫ g₂.hom)) ≫ 𝟙 (E.right.obj Y)
R : Type u_3
AddCommGroup R
StarAddMonoid R
Module ℚ R
x : R
n : ℚ
⊢ star (n • x) = n • star x
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.127674, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.127678, u_3} E
X : C
inst✝¹ : Projective X
F : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : EffectiveEpi f
inst✝ : (ofArrows (fun x => Y) fun x => f).regular
⊢ IsSheafFor F (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
⊢ ⋃ g, g • s =ᵐ[μ] Set.univ
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝³ : Semiring K
inst✝² : SMulWithZero R K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : IsScalarTower R K M
hinj : Injective fun r => r • 1
li : LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ∑ x ∈ s, g x • v x = 0
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A A' : C
k : K.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
hk : K.d j i ≫ k = 0
α : A ⟶ A'
⊢ K.descOpcycles k j hj hk ≫ α = K.descOpcycles (k ≫ α) j hj ⋯
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h : Asymptotics.IsBigOWith c₁ l f g
hc : c₁ = c₂
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c₂ l f g
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
u : ↥circle
v : E
⊢ ‖u • v‖ = ‖v‖
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor A B × CategoryTheory.Functor A C} (f : X ⟶ Y) (X_1 : A),
  ((CategoryTheory.prodFunctorToFunctorProd A B C).map f).app X_1 = (f.1.app X_1, f.2.app X_1)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ IsConnected (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsConnected s
b : ℂ
hb : b.re < 0
c d : ℂ
hb' : b ≠ 0
h : ∀ (x : ℝ), cexp (b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d) = cexp (- -b * (↑x + c / (2 * b)) ^ 2) * cexp (d - c ^ 2 / (4 * b))
⊢ (∫ (a : ℝ), cexp (- -b * (↑a + c / (2 * b)) ^ 2)) * cexp (d - c ^ 2 / (4 * b)) = (↑π / -b) ^ (1 / 2) * cexp (d - c ^ 2 / (4 * b))
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : R
⊢ Submodule.torsionBySet R M ↑(Submodule.span R {a}) = Submodule.torsionBy R M a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
P₁ P₂ : D
f : P₁ ⟶ P₂
⊢ W (fun x => x ∈ Set.range F.obj) f ↔ (MorphismProperty.isomorphisms C).inverseImage G f
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
U : Comonad C
X Y x✝ : Cokleisli U
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ x✝
⊢ ((U.δ.app X ≫ U.δ.app (U.obj X)) ≫ U.map (U.map f)) ≫ U.map g = ((U.δ.app X ≫ U.map f) ≫ U.δ.app Y) ≫ U.map g
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
hp : ∀ i ∈ t, IsRelPrime (s i) (∏ j ∈ t \ {i}, s j)
⊢ Pairwise (IsRelPrime on fun i => s ↑i)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ (p * X).degree = p.degree + 1
a b : Prop
⊢ (a ∨ b ↔ a) ↔ b → a
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
l l' : Filter α
hl : MeasureTheory.IntegrableAtFilter f l μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableAtFilter f (l' ⊓ l) μ
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b p : Associates α
hb : b ≠ 0
hp : Irreducible p
ha : ¬a = 0
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa
sb : Multiset { p // Irreducible p }
h : ↑sa ≤ ↑sb
h_sb : b.factors = ↑sb
⊢ Multiset.count ⟨p, hp⟩ sa ≤ Multiset.count ⟨p, hp⟩ sb
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
hg : Embedding ⇑g
H : Set.range ⇑f ⊆ Set.range ⇑g
⊢ IsIso (pullback.fst f g)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B✝ C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
hB : B.Nonempty
⊢ ∃ l a, B = {x | x ∈ A ∧ a ≤ l x}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : OpensMeasurableSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : ℝ≥0∞
h0 : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤
⊢ eLpNorm f p μ = eLpNorm g p ν
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1
v : ↑(sphere 0 1)
⊢ ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v) ∘ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v).source)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝ : ProperSpace E
this : FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
⊢ δ i ≫ σ j = σ (j.castLT ⋯) ≫ δ (i.pred ⋯)
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_3
f : ι → α → E
s : Finset ι
hfs : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f i) μ
hq1 : 1 ≤ q
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' (∑ i ∈ s, f i) q μ ≤ ∑ i ∈ s, MeasureTheory.eLpNorm' (f i) q μ
R : Type u_1
One R
Neg R
a : R × R × R × R
⊢ ((Quaternion.equivProd R).symm a).imK = a.2.2.2
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
p : Set β → Prop
⊢ (∃ t ⊆ f '' s, t.Finite ∧ p t) ↔ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ p (f '' t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a b : α
⊢ (∃ x, ¬IsUnit x ∧ a * x ~ᵤ b) ↔ ∃ x, ¬IsUnit x ∧ b = a * x
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
H : ∀ (x : G), x ≠ 0 → ∃ U ∈ 𝓝 0, x ∉ U
⊢ T2Space G
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I : Ideal α
hI : I.IsMaximal
x : α
hx : x ∉ I
⊢ ∃ y, ∃ i ∈ I, y * x + i = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
this : card s.powerset = 2 ^ card s
⊢ card s.antidiagonal = 2 ^ card s
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
U U' : Y.Opens
V V' : X.Opens
e : V ≤ (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U
e₁ : U = U'
e₂ : V = V'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
⊢ P (f.appLE U V e) ↔ P (f.appLE U' V' ⋯)
M : Type u_1
Monoid M
⊢ Monoid.FG M ↔ AddMonoid.FG (Additive M)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
⊢ T.adj.unit = { app := fun X => T.η.app X, naturality := ⋯ }
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι : Type u_5
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Fintype ι₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
b : Basis ι R M
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
k : ι₁
this : DecidableEq ι₂
i : ι₂
j : ι₁
⊢ ∑ j_1 : ι₂, (if i = j_1 ∧ j = k then 1 else 0) • b₂ j_1 = if j = k then b₂ i else 0
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
T2Space E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
⊢ (Set.extremePoints ℝ s).Nonempty
α : Type u_2
InvolutiveNeg α
s : Set α
⊢ Neg.neg '' s = -s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₁ p₂ : ι → P
⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂ i) = (s.weightedVSubOfPoint p₁ (Classical.choice ⋯)) w - (s.weightedVSubOfPoint p₂ (Classical.choice ⋯)) w
α : Type u_1
l l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l₁ l₂ : List α
h : b ∈ l₂
⊢ b :: l₁.bagInter (l₂.erase b) <+ b :: l₁
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v x✝ : V
he : s(x✝, v) ∈ G'.edgeSet
hv : v ∈ s(x✝, v)
⊢ v ∈ G'.verts
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ orderOf 1 = p ^ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ J₂ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
⊢ J₁ ≤ J₂ ↔ J₁.sieves ≤ J₂.sieves
α : Type u_1
s t : Set α
Fintype ↑s
Fintype ↑t
⊢ Disjoint s.toFinset t.toFinset ↔ Disjoint s t
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
LinearOrder β
φ : β → α
ψ : α → β
t : Set β
s : Set α
hφ : AntitoneOn φ t
φψs : Set.RightInvOn ψ φ s
ψts : Set.MapsTo ψ s t
⊢ AntitoneOn ψ s
E : Sort u_1
α : outParam (Sort u_2)
β : outParam (Sort u_3)
self : EquivLike E α β
e : E
⊢ Function.LeftInverse (EquivLike.inv e) (EquivLike.coe e)
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
f : R →+* S
⊢ IsAddGroupHom ⇑f
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
MulAction G α
a : α
Finite ↑(MulAction.orbit G a)
⊢ ∃ n, Nat.card ↑(MulAction.orbit G a) = p ^ n
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Semiring T
f : R →+* S
g : S →+* T
r : R
n✝ : ℕ
⊢ (coeff S n✝) ((map f) ((C R) r)) = (coeff S n✝) ((C S) (f r))
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
⊢ (FirstOrder.Language.LHom.id L).onBoundedFormula = id
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f₁ f₂ : Filter α
g : Filter β
h : f₁ ≤ f₂
⊢ Filter.map₂ m f₁ g ≤ Filter.map₂ m f₂ g
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
a✝ : Path a₁ a₂
b✝ : Path b₁ b₂
⊢ prod ⟦a✝⟧ ⟦b✝⟧ ⬝ prod r₁ r₂ = prod (⟦a✝⟧ ⬝ r₁) (⟦b✝⟧ ⬝ r₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
OrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulMono α β
a : α
ha : a ≤ 0
b₁ b₂ : β
⊢ a • min b₁ b₂ = max (a • b₁) (a • b₂)
K : Type u_1
ι : Type u_2
R : ι → Type u_3
AddGroup K
(i : ι) → AddAction K (R i)
r : K
S : Set ι
t : (i : ι) → Set (R i)
⊢ r +ᵥ S.pi t = S.pi (r +ᵥ t)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional K V
b : ι → V
lin_ind : LinearIndependent K b
card_eq : Fintype.card ι = finrank K V
ne_top : ¬span K (Set.range b) = ⊤
⊢ False
n : ℕ
⊢ (if false = true then ((binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 ^ 2 + (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 ^ 2, (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 * (2 * (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 + (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2)) else ((binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 * (2 * (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 - (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1), (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 ^ 2 + (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 ^ 2)) = let p := binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n; (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)
ι : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice G
inst✝¹ : CovariantClass G G (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → G
hf : BddBelow (range f)
a : G
⊢ (⨅ i, f i) / a = ⨅ i, f i / a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
H : AEMeasurable f μ
t : Set β
t_sep : IsSeparable t
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
⊢ AEStronglyMeasurable f μ
k n : ℕ
s : Finset ℕ
hs : ThreeAPFree ↑s
hsn : ∀ x ∈ s, x < n
hsk : s.card = k
⊢ k ≤ rothNumberNat n
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : D
G : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.CostructuredArrow F X)
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cocone.fromCostructuredArrow F G).pt = X
α : Type u_1
OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
u : Set α
hu : u.IsPWO
h : u ⊆ s
⊢ Finset.mulAntidiagonal hu ht a ⊆ Finset.mulAntidiagonal hs ht a
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ Submodule.map (f.coprod g) (p.prod q) = Submodule.map f p ⊔ Submodule.map g q
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
TopologicalSpace E
TopologicalSpace.MetrizableSpace E
Zero E
f : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (Function.support f) μ
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ (P.tensorBimod Q).X L.X U.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actRight ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ = coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ▷ U.X ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ ▷ U.X ≫ TensorBimod.actRight P (Q.tensorBimod L)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : PartialEquiv α β
f' : β ≃ γ
⊢ (e.transEquiv f').source = e.source
m n : ℕ
hn : 1 < m
h : n ! = m !
hnm : m < n
⊢ n = m
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : ¬AEMeasurable f μ
⊢ ¬Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
α : Type u_1
a : α
n m : Nat
l : List α
h : n < m
⊢ List.drop m (l.set n a) = List.drop m l
α : Type u_1
l : List α
n : ℕ
⊢ l.enum[n]? = Option.map (fun a => (n, a)) l[n]?
⊢ Filter.Tendsto Real.exp Filter.atBot (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
hab : a ≤ b
⊢ Ico a b ∪ {b} = Icc a b
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : Cochain F G (-1)
p : ℤ
⊢ (δ (-1) 0 z).v p p ⋯ = (Cochain.ofHom (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij => z.v i j ⋯)).v p p ⋯
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : Set α
⊢ s = ∅ ∨ s = univ → IsClopen s
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
u : R[X]ˣ
⊢ (↑u).natDegree = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : Field R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : CompleteSpace R
inst✝⁷ : TopologicalRing R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
a : A
ha : p a
⊢ cfcₙHom ha = cfcₙHom_of_cfcHom R ha
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
PartialOrder α
Preorder β
f g : β → α
PosMulStrictMono α
MulPosMono α
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
hf₀ : ∀ (x : β), 0 < f x
hg₀ : ∀ (x : β), 0 ≤ g x
⊢ StrictMono (f * g)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
S R : CategoryTheory.Sieve X
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
Hss : S ≤ R
sjx : S ∈ J.sieves X
⊢ R ∈ J.sieves X
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)
⊢ (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor.obj f).X₃ = f.left.right
α : Type u_1
n : ℕ
DecidableEq α
s : Sym (Option α) n.succ
h : none ∈ s
⊢ SymOptionSuccEquiv.encode s = Sum.inl (s.erase none h)
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
⊢ NonUnitalRingHom.srange (NonUnitalRingHom.snd R S) = ⊤