ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ (∃ a, (mixedEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap ((algebraMap (𝓞 K) K) a) = x) ↔ ∃ x_1, ((mixedEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)) x_1 = x
α : Type u_1
β : Type u_2
InfSet α
s : Set β
f : β → α
⊢ sInf (f '' s) = ⨅ a, f ↑a
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ L (fun n => ↑(ArithmeticFunction.vonMangoldt n)) s = -deriv riemannZeta s / riemannZeta s
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
p : P
⊢ Wbtw R (p -ᵥ x) (p -ᵥ y) (p -ᵥ z) ↔ Wbtw R x y z
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
l : A₁ ≃ₗ[R] A₂
map_one : l 1 = 1
map_mul : ∀ (x y : A₁), l (x * y) = l x * l y
⊢ (AlgEquiv.ofLinearEquiv l map_one map_mul).symm = AlgEquiv.ofLinearEquiv l.symm ⋯ ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
X : (C × D) × E
⊢ (CategoryTheory.prod.associator C D E).obj X = (X.1.1, X.1.2, X.2)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
⊢ f '' (f ⁻¹' s)ᶜ = Set.range f \ s
ι : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Monoid R
l : List α
fι : α → ι
fA : α → R
⊢ l.dProd fι fA = (map fA l).prod
n : ℕ
hn : n % 2 = 1
⊢ (if n % 2 = 0 then 0 else if n % 4 = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ (n / 2)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
μ : R
⊢ (f - (algebraMap R (Module.End R M)) μ).IsSemisimple ↔ f.IsSemisimple
α : Type u_2
A : Set α
D : Set ↑A
⊢ Subtype.val '' Dᶜ = A \ Subtype.val '' D
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasZeroObject D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
⊢ 0 ≫ 0 = 𝟙 (F.obj 0)
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w✝ : V
ι : Type u_2
f : ι → G.Subgraph
hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching
hd : Pairwise fun i j => Disjoint (f i).support (f j).support
v : V
hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts
i : ι
hi : v ∈ (f i).verts
w : V
hw : (fun w => (f i).Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (f i).Adj v w) y → y = w
y : V
hy : (⨆ i, f i).Adj v y
⊢ y = w
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
L : Φ.LeftResolution X₂
⊢ L.op.X₁ = Opposite.op L.X₁
A : Type u_2
CommRing A
⊢ PowerSeries.evalNegHom PowerSeries.X = -PowerSeries.X
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
u : Finset α
hu : u ∈ ↑(t \ s).powerset
v : Finset α
hv : v ∈ ↑(t \ s).powerset
huv : s ⊔ u = s ⊔ v
⊢ u = v
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : ¬Integrable f μ
h : Integrable (fun x => f x - ⨍ (a : α), f a ∂μ) μ
⊢ Integrable f μ
m n : Nat
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n
x : ℝ
⊢ WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Ioi ↑↑x) = Ioi x
α : Type u
β : Type v
Fintype α
Zero β
⊢ Cardinal.mk (α →₀ β) = Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk β) ^ Fintype.card α
G : Type u_2
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
f : ℤ → G
hf₁ : Summable fun n => f ↑n
hf₂ : Summable fun n => f (-↑n)
⊢ Summable f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
⊢ (∑' (i : ℕ), x ^ i) * (1 - x) = 1
n : ℕ
inst✝ : Fintype (ZMod n)
⊢ Fintype.card (ZMod n) = n
R : Type u_1
A : Type u_2
Star R
AddMonoid A
StarAddMonoid A
r : R
⊢ Unitization.inl (star r) = star (Unitization.inl r)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
hf : Smooth I I' f
⊢ MDifferentiableAt I I' f x
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
DecidableEq ι
i : ι
u v : s i →ₗ[R] t i
⊢ PiTensorProduct.map (Function.update f i (u + v)) =
  PiTensorProduct.map (Function.update f i u) + PiTensorProduct.map (Function.update f i v)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
b : CategoryTheory.Limits.Bicone f
j : J
⊢ (F.mapBicone b).π j = F.map (b.π j)
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β → β
H : LeftCommutative f
b : β
a : α
⊢ Multiset.foldr f H b {a} = f a b
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
g : G
w : HNNExtension.NormalWord d
⊢ g • w = { head := g * w.head, toList := w.toList, chain := ⋯, mem_set := ⋯ }
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁵ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
inst✝ : Nonempty ι
S : ι → Submodule R M
H : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ iSup S ↔ ∃ i, x ∈ S i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P Q T : PresheafOfModules R
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ T
⊢ (f ≫ g).hom = f.hom ≫ g.hom
ι : Type v
α : Option ι → Type w
(i : Option ι) → AddCommMonoid (α i)
f : (fun i => α i) none × Π₀ (i : ι), (fun i => α i) (some i)
⊢ (DirectSum.addEquivProdDirectSum.symm f).support' = Trunc.map (fun s => ⟨none ::ₘ Multiset.map some ↑s, ⋯⟩) f.2.support'
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l : List α
H : Symmetric R
H₁ : ∀ (x : α), x ∈ l → R x x
H₂ : Pairwise R l
⊢ Pairwise (flip R) l
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.28063, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y✝ Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y✝
z₂ : W.LeftFraction Y✝ Z
z₃ z₃' : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
h₃' : z₂.f ≫ z₃'.s = z₁.s ≫ z₃'.f
z₄ : W.LeftFraction z₃.Y' z₃'.Y'
fac : z₃'.s ≫ z₄.s = z₃.s ≫ z₄.f
eq : z₁.s ≫ z₃.f ≫ z₄.f = z₁.s ≫ z₃'.f ≫ z₄.s
Y : C
t : z₄.Y' ⟶ Y
ht : W t
fac' : z₃.f ≫ z₄.f ≫ t = z₃'.f ≫ z₄.s ≫ t
⊢ LeftFractionRel (z₁.comp₀ z₂ z₃) (z₁.comp₀ z₂ z₃')
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
H : a ∉ s
⊢ {a} ∩ s = ∅
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
h : f.NeBot
s t₁ : Set α
h₁ : t₁ ∈ f
t₂ : Set α
h₂ : t₂ ∈ f
hs : t₁ / t₂ ⊆ s
a : α
ha₁ : a ∈ t₁
ha₂ : a ∈ t₂
⊢ s ∈ 1
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ ν : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p ν ≤ MeasureTheory.eLpNorm f p μ
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ 1 / (↑n + 1)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
Nonempty α
h𝒜₁ : 𝒜.Nonempty
h𝒜₂ : Finset.univ ∉ 𝒜
⊢ AhlswedeZhang.supSum 𝒜 = ↑(Fintype.card α) * ∑ k ∈ Finset.range (Fintype.card α), (↑k)⁻¹
G : Type u_1
AddGroup G
self : IsAddKleinFour G
⊢ Nat.card G = 4
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n : ℕ
hmn : m ∣ n
hm : FermatLastTheoremFor m
⊢ FermatLastTheoremFor n
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
i : ℕ
fst✝ : α
snd✝ : β
⊢ (l₁.zip l₂)[i]? = some (fst✝, snd✝) ↔ l₁[i]? = some (fst✝, snd✝).1 ∧ l₂[i]? = some (fst✝, snd✝).2
α : Type u_2
LinearOrder α
x y : α
⊢ x < y ∨ y < x ↔ x ≠ y
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
L : IntermediateField k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k ↥L
x : K
hx : x ∈ L
y : k
hy : (algebraMap k ↥L) y = ⟨x, hx⟩
⊢ x ∈ ⊥
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module R F
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
v : F
⊢ { toFun := fun y => (↑e { proj := b, snd := y }).2, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (e.symm b v) = v
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : Preregular C
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
inst✝ : PreservesFiniteProducts G
U✝ : C
y : (forget (Type w)).obj (G.obj (op U✝))
α : Type
w✝ : Finite α
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ U✝
h : EffectiveEpiFamily Z π
h' : ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f y).arrows (π a)
x : (a : α) → F.obj (op (Z a)) := fun a => Exists.choose ⋯
x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α
i' : ((a : α) → F.obj (op (Z a))) ≅ F.obj (op (∐ Z)) := (Types.productIso fun a => F.obj (op (Z a))).symm ≪≫ (PreservesProduct.iso F fun a => op (Z a)).symm ≪≫ F.mapIso (opCoproductIsoProduct Z).symm
this : PreservesLimitsOfShape (Discrete α)ᵒᵖ G
⊢ ∀ (j : (Discrete α)ᵒᵖ), ((G.mapCone (Cocone.op (Cofan.mk (∐ Z) (Sigma.ι Z)))).π.app j) ((f.app (op (∐ Z))) (i'.hom x)) = ((G.mapCone (Cocone.op (Cofan.mk (∐ Z) (Sigma.ι Z)))).π.app j) ((G.map (Sigma.desc π).op) y)
α : Type u_2
DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
⊢ s ∈ Finset.falling k 𝒜 ↔ (∃ t ∈ 𝒜, s ⊆ t) ∧ s.card = k
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : ℕ → α
⊢ Measurable f
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h''t : μ t ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
εpos : 0 < ε
h't : μ t ≠ 0
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : μ (t \ closedBall 0 ↑n) < ε / 2 * μ t
⊢ ∀ᶠ (b : ℝ) in 𝓝[>] 0, μ (s ∩ ({x} + b • t)) / μ ({x} + b • t) < ε
M : Type u_3
N : Type u_4
G : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
CommGroup G
φ : N →* G
ψ : M →* N
⊢ φ⁻¹.comp ψ = (φ.comp ψ)⁻¹
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < ↑2
h2 : multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b) < ↑2
h3 : multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b) < ↑2
h1'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + S'.b)
h2'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η * S'.b)
h3' : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)
h1' : ↑((multiplicity λ (S'.a + S'.b)).get h1'✝) = multiplicity λ (S'.a + S'.b)
h2' : ↑((multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)).get h2'✝) = multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)
⊢ False
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : G.toPresheaf ⟶ F'
h : Presieve.IsSheaf J F'
U : Cᵒᵖ
s : G.toPresheaf.obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : (G.sieveOfSection ↑((homOfLe ⋯).app U s)).arrows i
this : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : G.toPresheaf.obj X), f.app Y (G.toPresheaf.map f_1 x) = F'.map f_1 (f.app X x)
⊢ F'.map i.op ((homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift f h).app U s) = F'.map i.op (f.app U s)
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
⊢ Normal F E
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
⊢ ∃ n ω, ω.length = n ∧ cs.wordProd ω = w
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x
hmono : MonotoneOn (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (Icc 0 (π / 2))
hconc : ConcaveOn ℝ (Icc (π / 2) π) fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
⊢ cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
n : Type u_1
DecidableEq n
Fintype n
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n (ZMod p)
⊢ (M ^ p).trace = M.trace ^ p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor C (Type w)
I : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} I
Small.{w, u₁} I
F : CategoryTheory.Functor I A.Elements
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape I C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape I A
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ A.map
    (CategoryTheory.Limits.limit.lift (F.comp (CategoryTheory.CategoryOfElements.π A))
      ((CategoryTheory.CategoryOfElements.π A).mapCone c))
    c.pt.snd =
  CategoryTheory.CategoryOfElements.CreatesLimitsAux.liftedConeElement F
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
L S : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLawson α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
h : IsUpperSet s
⊢ IsOpen s ↔ IsOpen s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
e : E →L[𝕜] F
s : Set E
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (⇑e) s
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
⊢ ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
α : Type u
a : α
s : Set α
h : s ⊆ {a}
⊢ s.Subsingleton
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hfi : HasFiniteIntegral f μ
⊢ IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
motive : Nat → Sort u_1
zero : motive 0
succ : (n : Nat) → motive n → motive (n + 1)
⊢ Nat.recAux zero succ 0 = zero
n : ℕ
f : ℕ →. ℕ
g : Mathlib.Vector ℕ n → ℕ
hf : Nat.Partrec' fun v => f v.head
hg : Nat.Partrec' ↑g
⊢ Nat.Partrec' fun v => f (g v)
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : ∃ y, ↑y = (fst✝, snd✝).1 ∧ ↑f y = (fst✝, snd✝).2
h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd
⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).2
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
⊢ x ∉ tsupport f → x ∉ support (deriv f)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p q : Submodule K V
hpq : p < q
hqp : q < span K {x} ⊔ p
⊢ span K {x} ⊔ p ≤ q
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
hx : 1 / 2 ≤ fract x
⊢ (if fract x < 1 / 2 then ⌊x⌋ else ⌈x⌉) = ⌊x + 1 / 2⌋
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
p : LTSeries β
f : α → β
comap : ∀ ⦃x y : α⦄, f x < f y → x < y
surjective : Function.Surjective f
i j : Fin (p.length + 1)
h : i < j
⊢ f ((fun i => ⋯.choose) i) < f ((fun i => ⋯.choose) j)
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.231592}
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ range fun x => f ↑x
⊢ #↑t ≤ #↑{x | x ∈ s ∧ f x ∈ t}
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
Algebra R S₁
g : σ → S₁
d : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ (MvPolynomial.aeval g) ((MvPolynomial.monomial d) r) = (algebraMap R S₁) r * d.prod fun i k => g i ^ k
E : Type u_3
SeminormedCommGroup E
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ n ≥ N, u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∏ k ∈ Finset.range (n + 1), v k
⊢ CauchySeq fun n => ∏ k ∈ Finset.range (n + 1), u k
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
f : β × α → E
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun y => ∫ (x : β), f (x, y) ∂κ y
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
h : IsCyclic α
⊢ ∃ g, orderOf g = Nat.card α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L
T : Submodule 𝕜 E
hT : IsCompl S T
M : (↥S × ↥T) ≃ₗ[𝕜] E := S.prodEquivOfIsCompl T hT
M_cont : Continuous ⇑M.symm
P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν
o : Ordinal.{u_1}
⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o ↔ o = 0 ∨ ∃ a, o = ω ^ a
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
j : J
I : IsInitial j
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), IsIso (F.map f)
⊢ Classical.choose ⋯ = 𝟙 (F.obj j)
E : Type u_2
NonUnitalNormedRing E
StarRing E
CstarRing E
x : E
⊢ x⋆ * x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ ψ : R⟦X⟧
m : ℕ
⊢ (trunc n (φ + ψ)).coeff m = (trunc n φ + trunc n ψ).coeff m
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
A : PseudoMetricSpace X := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric X
r : ℝ≥0∞
F : ℕ → Set X
F_closed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)
F_mono : Monotone F
hU : IsOpen (⋃ n, F n)
hr : r < ⨆ i, μ (F i)
n : ℕ
hn : r < μ (F n)
⊢ ∃ K ⊆ ⋃ n, F n, IsClosed K ∧ r < μ K
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α
⊢ s⁻¹ ⊆ t ↔ s ⊆ t⁻¹
X : Type u
α : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ Icc a b ⊆ s
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
v w : V
h : v ≠ w
⊢ Fintype.card ↑(⊤.commonNeighbors v w) = Fintype.card V - 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ map (addLeftEmbedding c) (Ico a b) = Ico (c + a) (c + b)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m : WithBot ℕ
p : R[X]
h_deg_le : p.degree ≤ m
coeff_ne_zero : p.coeff (WithBot.unbot' 0 m) ≠ 0
hh : m ≠ ⊥
⊢ p.degree = m
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b : V
s : Set G.Subgraph
⊢ (sInf s).Adj a b ↔ (∀ G' ∈ s, G'.Adj a b) ∧ G.Adj a b
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
⊢ (fun s => decide (a = s.fst)) = fun x => decide (a = x.fst)
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
v : V
Fintype ↑(G'.neighborSet v)
Fintype ↑(G'.spanningCoe.neighborSet v)
⊢ G'.spanningCoe.degree v = G'.degree v
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a b : α
h : a ^ 2 ≤ b ^ 2
hb : 0 ≤ b
⊢ -b ≤ a ∧ a ≤ b
G : Type u_6
AddGroup G
MeasurableSpace G
S : AddSubgroup G
⊢ Measurable QuotientAddGroup.mk
a b c : EReal
h : 0 ≤ a
h' : 0 ≤ b
⊢ (a + b) / c = a / c + b / c
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : LocallyConstant X Y
⊢ Continuous ⇑f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hs : x ∉ s
⊢ HasDerivWithinAt f f' s x ↔ Filter.Tendsto (slope f x) (𝓝[s] x) (𝓝 f')
m : ℕ
hm : m ≠ 1
⊢ schnirelmannDensity {n | n % m = 1} = (↑m)⁻¹
x✝ y x : ℝ
⊢ log (-x) = log x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ : Finset α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ s₁ ∩ s₂ ↔ x✝ ∈ s₂ ∩ s₁
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
n : ℕ
hgt : ¬Ideal.map f p ≤ P ^ n
⊢ Ideal.ramificationIdx f p P < n
α : Type u_1
m n : ZNum
h : Ordering.casesOn Ordering.gt (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m)
⊢ ↑m < ↑n ↔ Ordering.gt = Ordering.lt
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y x' y' : α
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
h₁' : x' < y' → P
h₂' : x' = y' → P
h₃' : y' < x' → P
ltc : x < y ↔ x' < y'
gtc : y < x ↔ y' < x'
hh'₁ : ∀ (h : x' < y'), h₁ ⋯ = h₁' h
hh'₂ : ∀ (h : x' = y'), h₂ ⋯ = h₂' h
hh'₃ : ∀ (h : y' < x'), h₃ ⋯ = h₃' h
⊢ ltByCases x y h₁ h₂ h₃ = ltByCases x' y' h₁' h₂' h₃'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U V : Submodule 𝕜 E
⊢ U ⟂ V ↔ U ≤ Vᗮ
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M
h : α → M → N
h_zero : ∀ a ∈ s, h a 0 = 0
⊢ (Finsupp.indicator s f).sum h = ∑ x ∈ s.attach, h (↑x) (f ↑x ⋯)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ✝ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
f : α → β
h : NeZero (Measure.map f μ)
h' : ¬AEMeasurable f μ
⊢ False
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B
⊢ adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (L₂.map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (L₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ (𝟭 D).map (α.app (R₁.obj b)))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupSet α
s : Set α
hs : BddAbove s
⊢ Injective fun a => ↑a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ IntegrableOn f (Ioc b a) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0
g : α → ℝ≥0
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
hf : ∀ (i : ι), Measurable fun x => ↑(f i x)
⊢ Tendsto (fun i x => ↑(f i x)) u (𝓝 fun x => ↑(g x))