ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
P : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid P
inst✝⁷ : Module R✝ P
f : M✝ →ₗ[R✝] P
R : Type u_4
S : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : Surjective ⇑(algebraMap R S)
X : Finset M
⊢ (restrictScalars R (span S ↑X)).FG
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
Invertible 2
x y : M
⊢ LinearMap.IsOrtho (QuadraticMap.associated Q) x y ↔ Q.IsOrtho x y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
f : ↥(groupCohomology.oneCocycles A)
h : f ∈ groupCohomology.oneCoboundaries A
⊢ ↑f ∈ LinearMap.range (groupCohomology.dZero A)
m n : ℕ
⊢ ↑(m / n) = (↑m).ediv ↑n
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
q : Seminorm 𝕜 E
hq : Continuous ⇑q
s : Finset ι
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hV : (s.sup p).ball 0 ε ∈ p.basisSets
hε : id ((s.sup p).ball 0 ε) ⊆ q.ball 0 1
⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ q ≤ C • s.sup p
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Set.Ici a = Set.Ici (a / c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : C
f g : A ⟶ B
s : B ⟶ A
sf : CategoryTheory.CategoryStruct.comp s f = CategoryTheory.CategoryStruct.id B
sg : CategoryTheory.CategoryStruct.comp s g = CategoryTheory.CategoryStruct.id B
⊢ CategoryTheory.IsReflexivePair f g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
I : Type u_1
Y : I → C
hY : J.CoversTop Y
F : CategoryTheory.Sheaf J A
c : CategoryTheory.Limits.Cone F.val
hc : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
X : A
f g : X ⟶ c.pt
h :
  ∀ (i : I),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (c.π.app (Opposite.op (Y i))) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (c.π.app (Opposite.op (Y i)))
⊢ f = g
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₁.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₁.f ⋯)
hf' : f' ≫ i = S₁.f
hf'' : f' = φ.τ₁ ≫ h.f'
⊢ S₁.LeftHomologyData
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ λ ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop := fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF : ∀ (t : Finset (α × ℝ)), P t → t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
⊢ ∀ p ∈ ⋃ n, ↑(u n), p.2 ∈ f p.1
K : Type v
Field K
P : K[X]
hmo : P.Monic
hP : Polynomial.Splits (RingHom.id K) P
⊢ P.nextCoeff = -P.roots.sum
G : Type u_1
CommGroup G
s : Set G
⊢ MulAction.stabilizer (G ⧸ MulAction.stabilizer G s) (QuotientGroup.mk '' s) = ⊥
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
⊢ finrank ℝ (({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)) = finrank ℚ K
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
⊢ Polynomial.eval 1 p.mirror = Polynomial.eval 1 p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
⊢ f '' s = t ↔ SurjOn f s t ∧ MapsTo f s t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ univ → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
⊢ Measurable f
R : Type u_2
A : Type u_3
M : Type u_1
CommSemiring R
Semiring A
a : A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
⊢ Function.Injective ⇑(Module.AEval.comapSubmodule R M a)
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.324351, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.324358, u_2} D
inst✝¹ : HasInitial C
ι : Type u_3
X : ι → C
c : Cofan X
hc : IsVanKampenColimit c
i j : ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ IsColimit (Cofan.mk (X i) fun k => if h : k = i then eqToHom ⋯ else eqToHom ⋯ ≫ initial.to (X i))
c d y : ℕ
h : 0 < c
⊢ ¬Zsqrtd.SqLe (y + 1) c 0 d
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
S : IntermediateField K L
f : L →ₐ[K] L'
⊢ (IntermediateField.map f S).toSubalgebra = Subalgebra.map f S.toSubalgebra
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
⊢ IsLocalizedModule.mk' f (s • m) s = f m
m : ℕ
⊢ (m + 1) % 2 = 1 ↔ m % 2 = 0
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
R : Type u_1
S : Type u_2
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
AddMonoid R
AddCommMonoid S
f : Π₀ (i : ι), β i
g : (i : ι) → β i → R →+ S
⊢ ⇑(f.sum g) = f.sum fun a b => ⇑(g a b)
G : Type u
inst✝¹ : Group G
X : Action FintypeCat (MonCat.of G)
inst✝ : IsConnected X
x y : ↑X.V
T : Set ↑X.V := MulAction.orbit G x
this✝ : Fintype ↑T
this : MulAction G ↑(FintypeCat.of ↑T) := inferInstanceAs (MulAction G ↑(MulAction.orbit G x))
T' : Action FintypeCat (MonCat.of G) := Action.FintypeCat.ofMulAction G (FintypeCat.of ↑T)
i : T' ⟶ X := { hom := Subtype.val, comm := ⋯ }
⊢ ∃ g, g • x = y
G : Type u_3
hG : Group G
h : ∀ (a b : G), a * b = b * a
⊢ IsSolvable G
α : Type u_1
β : Type u_7
M : Type u_8
N : Type u_10
DecidableEq β
Zero M
AddCommMonoid N
f : α →₀ M
g : α → M → β →₀ N
⊢ (f.sum g).support ⊆ f.support.biUnion fun a => (g a (f a)).support
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι
h : ¬span {f} = ⊥
⊢ ∑ i : ι, FiniteDimensional.finrank F (F[X] ⧸ span {smithCoeffs b (span {f}) h i}) = ∑ i : ι, (smithCoeffs b (span {f}) h i).natDegree
p✝ q : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p✝)
q_prime : Fact (Nat.Prime q)
neq : p✝ ≠ q
p : padicValRat p✝ ↑q = 0
⊢ (if ↑q = 0 then 0 else ↑p✝ ^ (-0)) = 1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
t : Set ((i : ι) → α i)
⊢ t ∈ MeasureTheory.measurableCylinders α ↔ ∃ s S, MeasurableSet S ∧ t = MeasureTheory.cylinder s S
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
⊢ Filter.comap norm Filter.atTop = Bornology.cobounded E
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
hg : AnalyticAt 𝕜 g z₀
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = g z) ∨ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ g z
α : Type u_1
AddCommGroup α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : AddDissociated t
⊢ AddDissociated s
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
h : e.toBasis.orientation = f.toBasis.orientation
⊢ e.toBasis.det ⇑f = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
⊢ UniformEmbedding ⇑(ContinuousMap.equivBoundedOfCompact α β)
α : Type u_2
One α
⊢ ⇑Filter.pureOneHom = pure
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f g : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α
h : ∀ (x : β), p x → q x
a : α
ha : a ∈ {a | ∀ᶠ (x : β) in f, q x → a ≤ u x}
⊢ ∀ (x : β), (q x → a ≤ u x) → p x → a ≤ u x
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
n : ℕ
⊢ ↑(B ^ n).card ≤ (↑(A / B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card
α : Type u
β : Type v
M : Matroid α
N : Matroid β
⊢ (M.sum N).E = Sum.inl '' M.E ∪ Sum.inr '' N.E
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.snd 0 = 0
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
⊢ a ∈ upperBounds s ↔ ∀ x ∈ s, x ≤ a
I : Type u
inst✝³ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : GradedObject I C
inst✝ : X.HasTensor Y
⊢ 𝟙 ((((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X).obj Y).mapObj fun x => x.1 + x.2) = 𝟙 (tensorObj X Y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₁ g₂
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₃ g₄
CategoryTheory.Limits.HasPushout (g₃ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inr g₁ g₂) g₄
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₁ (g₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inl g₃ g₄)
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inl g₁ (g₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inl g₃ g₄) ≫
    (CategoryTheory.Limits.pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).inv =
  CategoryTheory.Limits.pushout.inl g₁ g₂ ≫
    CategoryTheory.Limits.pushout.inl (g₃ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inr g₁ g₂) g₄
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ 0 ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M : Mat_ C
i : M.ι
⊢ biproduct.ι (fun i => F.obj ((embedding C).obj (M.X i))) i ≫ (biproduct.desc fun j => F.map (biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j)) ≫ F.map (biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) = F.map (biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i ≫ biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0)
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
⊢ Set.range ⇑(ιMulti R n) ⊆ ↑(⋀[R]^n M)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e e' : PartialHomeomorph X Y
⊢ e.EqOnSource e' ↔ e.EqOnSource e'.toPartialEquiv
n✝ n : ℕ
pos : 0 < n
np : ¬Prime n
h0 : n = n.minFac * 0
⊢ ¬0 < 0
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing Rₘ
inst✝⁶ : CommRing Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Rₘ
inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝³ : Algebra S Sₘ
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝¹ : Algebra Rₘ S
inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S
x : S
nontriv : Nontrivial Rₘ
p : Rₘ[X]
hp₁ : p.Monic
hp₂ : eval₂ (algebraMap Rₘ S) x p = 0
⊢ (p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff))).Monic
C : Type u_5
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_5} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
a b : A
X : C
h : whiskerLeft F (add F s i a b).hom = (i (a + b) ≪≫ isoWhiskerRight (shiftFunctorAdd C a b) F ≪≫ (shiftFunctor C a).associator (shiftFunctor C b) F ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a) (i b).symm ≪≫ ((shiftFunctor C a).associator F (s b)).symm ≪≫ isoWhiskerRight (i a).symm (s b) ≪≫ F.associator (s a) (s b)).hom
⊢ (add F s i a b).hom.app (F.obj X) = (i (a + b)).hom.app X ≫ F.map ((shiftFunctorAdd C a b).hom.app X) ≫ (i b).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (s b).map ((i a).inv.app X)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ℤ
hxy : ↑(x ^ 2 - a * y ^ 2) = 0
⊢ ↑x = 0 ∧ ↑y = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S : J.Cover X
⊢ S.sieve ∈ J.sieves X
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
a : α
⊢ Heyting.IsRegular a
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : γ → α
hf : Function.Injective f
hg : Function.Injective g
S : Function.Surjective (f ∘ g)
⊢ Function.Bijective f ∧ Function.Bijective g
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
a✝ : Nontrivial A
⊢ pb.minpolyGen = minpoly A pb.gen
u v a b c d : ℤ
ha : a = 1 ∨ a = -1
hb : b = 1 ∨ b = -1
hc : c = 1 ∨ c = -1
hd : d = 1 ∨ d = -1
⊢ a + b = c + d ↔ a = c ∧ b = d ∨ a = d ∧ b = c
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ a ∈ Set.Ioo a b ↔ False
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h : a ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ι a b, ‖f x‖ ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, ‖f x‖ ∂μ
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
N : Submodule R M
I : IsNoetherianRing R
hN : N.FG
⊢ IsNoetherian R ↥N
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
f_Lp : ↥(Lp E 1 μ) := Memℒp.toLp f hf_Lp
hf_f_Lp : f =ᶠ[ae μ] ↑↑f_Lp
⊢ ↑↑f_Lp =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
i : α
⊢ ‖lp.single p i (f i)‖ = ‖f i‖
α : Type u_1
X I : Set α
M : Matroid α
⊢ (M.restrictSubtype X).Indep (X ↓∩ I) ↔ M.Indep (X ∩ I)
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
⊢ primitiveRoots 1 R = {1}
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A B : Matrix n n R
c : n → R
k : n
hk : c k = 0
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
⊢ A.det = B.det
G : Type v
Group G
PseudoMetricSpace G
IsometricSMul G G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b c : G
⊢ nndist (a / b) (a / c) = nndist b c
α : Type u
h : Infinite α
⊢ Set.univ.Infinite
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ y ^ a ∈ {x | rexp 1 ≤ x}
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
p₁ p₂ : P
x : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : 0 ≤ t
⊢ s.WSameSide (t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂) x
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
f : A →⋆ₐ[R] B
f' : A → B
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul β α
p : Prop
Decidable p
a : α
b : p → β
c : ¬p → β
⊢ (if h : p then b h else c h) • a = if h : p then b h • a else c h • a
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.34757, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.34761, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.34765, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.34769, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.34773, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.34777, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
α : F ⟶ F'
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
φ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
⊢ ((F.obj (X₁ i₁)).map (φ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((α.app (X₁ i₁)).app (Y₂ i₂)).app (X₃ i₃) = ((α.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F'.obj (X₁ i₁)).map (φ i₂)).app (X₃ i₃)
p q : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
h₂ : d₂ ≠ 0
⊢ divNat n₁ d₁ = divNat n₂ d₂ ↔ n₁ * d₂ = n₂ * d₁
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ eval₂ f g 1 = 1
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn0 : n > 0
⊢ count p n.primeFactorsList = n.factorization p
n✝ m n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactors
⊢ ¬IsUnit ↑p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.Hom.id S).f₀ = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.L₀
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} H
∀ (F : CategoryTheory.Functor C H), L.HasLeftKanExtension F
G : CategoryTheory.Functor D H
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L.lanUnit.app (L.comp G))
    (CategoryTheory.whiskerLeft L ((L.lanAdjunction H).counit.app G)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.comp G)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Ioc a b ∪ Set.Ioi b = Set.Ioi a
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
s : Set α
Group H
MulAction H α
SMulCommClass H G α
g : H
⊢ MeasureTheory.fundamentalInterior G (g • s) = g • MeasureTheory.fundamentalInterior G s
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
n : ℕ
h : n.Coprime (addOrderOf x)
⊢ ∃ m, m • n • x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
x : α
⊢ e.symm (e x) = x
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝¹ t✝ u : Multiset α
a✝ b : α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
IH : ∀ (t : Multiset α), s ∩ t ≤ t
t : Multiset α
h : a ∈ t
⊢ (a ::ₘ s) ∩ t ≤ t
a b : Prop
Decidable a
⊢ a → b ↔ ¬a ∨ b
R : Type u
CommRing R
hdomain : IsDomain R
r : R
p q : Polynomial R
⊢ (RatFunc.laurentAux r) ((algebraMap (Polynomial R) (RatFunc R)) p / (algebraMap (Polynomial R) (RatFunc R)) q) =
  (algebraMap (Polynomial R) (RatFunc R)) ((Polynomial.taylor r) p) /
    (algebraMap (Polynomial R) (RatFunc R)) ((Polynomial.taylor r) q)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set X
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_union : univ ⊆ ⋃ n, u n
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ univ) μ
n : ℕ
⊢ IntegrableOn f (u n) μ
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a
i : F
his : i ∈ s
g g' : G
⊢ ∑ x ∈ s, g • (fun y => l y • (toFun G F) y) x (g⁻¹ * g') = ∑ x ∈ s, (fun y => l y • (toFun G F) y) x g'
R : Type u_2
self : AddMonoidWithOne R
n : ℕ
⊢ NatCast.natCast (n + 1) = NatCast.natCast n + 1
α : Type u_1
ι : Sort u_4
Preorder α
InfSet α
f : ι → α
h : BddBelow (Set.range f)
⊢ ↑(⨅ i, f i) = ⨅ i, ↑(f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
g : β → α
h : IsOrderRightAdjoint f g
e : γ ≃o α
⊢ IsOrderRightAdjoint (f ∘ ⇑e) (⇑e.symm ∘ g)
α : Type u_1
MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
⊢ dist x y ≤ (dist x (f x) + dist y (f y)) / (1 - ↑K)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y
h_non : (Ico x y).Nonempty
z : α
z_mem : z ∈ Ico x y
hz : ∀ x_1 ∈ Ico x y, ¬z < x_1
z_card : (Ico x z).card < (Ico x y).card
hzy : z ⋖ y
⊢ TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
e : α ≃o β
⊢ ∀ (a : Option α), e.withTopCongr a = Option.map (⇑e) a
n : ℕ
ihn : ∀ m < n + 1, m# ≤ 4 ^ m
⊢ (n + 1)# ≤ 4 ^ (n + 1)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ (f.hom ▷ P.X ≫ N.X ◁ g.hom) ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (f.hom ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ g.hom) (N.X ◁ g.hom) ⋯ ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 8 → β
⊢ f (castSucc 0) * f (castSucc 1) * f (castSucc 2) * f (castSucc 3) * f (castSucc 4) * f (castSucc 5) * f (castSucc 6) * f (last 7) = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4 * f 5 * f 6 * f 7
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
K : Type (max v u)
inst✝ : SmallCategory K
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
W : J.Cover X
i : W.Arrow
E : Cone (F ⋙ J.diagramFunctor D X ⋙ (evaluation (J.Cover X)ᵒᵖ D).obj (op W))
a b : K
f : a ⟶ b
⊢ 𝟙 E.pt ≫ E.π.app b ≫ Multiequalizer.ι (W.index (F.obj b)) i = (E.π.app a ≫ Multiequalizer.ι (W.index (F.obj a)) i) ≫ (F.map f).app (op i.Y)
R : Type u_6
S : Type u_7
Semiring R
Semiring S
F : Type u_8
FunLike F R S
RingHomClass F R S
f : F
n : ℕ
hn : NeZero ↑n
⊢ NeZero ↑n
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
m : α → β
⊢ Set.range m ∈ Filter.map m f
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
⊢ ∃ x ∈ s, l ≤ 𝓝 x
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
this : P ((f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑e.symm.symm) (↑e.symm.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s)) (↑e.symm (↑e x))
⊢ P f s x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
n : ℕ
e : Fin (n + 1) → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin (n + 1)), e i ∈ f.range
e' : Fin (n + 1) → R
h₁ : OrthogonalIdempotents e'
h₂ : ⇑f ∘ e' = e
i : Fin (n + 1)
⊢ (⇑f ∘ (fun x => x.elim (1 - ∑ i : Fin n, (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n)) i) (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n))) ∘ ⇑(finSuccEquiv n)) i = e i
α : Type u
x : α
⊢ (x, x) ∈ Set.diagonal α