ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
⊢ x.natAbs ≤ (↑n * 0 + x).natAbs
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ [a] <+ l ↔ a ∈ l
X : Type u
TopologicalSpace X
CompactSpace X
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t, ⋃ x ∈ t, interior (U x) = Set.univ
v : PrimeMultiset
⊢ v.prod.factorMultiset.toNatMultiset = v.toNatMultiset
R : Type u_1
CommSemiring R
φ ψ χ : R[X]
⊢ (φ.comp ψ).comp χ = φ.comp (ψ.comp χ)
R : Type u_1
CommRing R
u v w : Fin 3 → R
⊢ (crossProduct u) ((crossProduct v) w) + (crossProduct v) ((crossProduct w) u) + (crossProduct w) ((crossProduct u) v) =
  0
a b m✝ n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
m : ℕ
pr : n < m
⊢ (n.factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1) = ∏ p ∈ Finset.filter Prime (Finset.range m), p ^ padicValNat p n
L : Type u_1
SemilatticeSup L
TopologicalSpace L
ContinuousSup L
X : Type u_2
TopologicalSpace X
f : ℕ → X → L
n : ℕ
x : X
hf : ∀ k ≤ n, ContinuousAt (f k) x
⊢ ContinuousAt ((partialSups f) n) x
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
n : ℕ
⊢ (X ^ (n + 1) * p).smeval x = x ^ (n + 1) * p.smeval x
m n : ℕ
⊢ ↑((↑m).gcd -[n+1]) = ↑m * (↑m).gcdA -[n+1] + -(↑n + 1) * -(↑m).natAbs.gcdB n.succ
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
IsDomain R
Algebra R S
IsDomain S
NoZeroSMulDivisors R S
IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]
⊢ (Polynomial.aeval s) p = 0 ↔ minpoly R s ∣ p
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x : ℕ
⊢ (∃ n, n ^ 2 = x) ↔ x.sqrt ^ 2 = x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
⊢ 𝓝[>] a = ⊥ ↔ IsTop a ∨ ∃ b, a ⋖ b
α : Type u_1
LE α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
⊢ IsUpperSet sᶜ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (F.obj X) (F.obj Y)
⊢ F.biprodComparison X Y ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd = F.map CategoryTheory.Limits.biprod.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
x y : α
S U Z : Set α
h : IsGenericPoint x S
hU : IsOpen U
⊢ Disjoint S U ↔ x ∉ U
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ (c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT'
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
⊢ f = (fun y => f (x + y)) ∘ fun y => y - x
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ o.oangle x z - o.oangle x y = o.oangle y z
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
AddGroup G
TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ u.indicator (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * C) t
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type v
x y : CategoryTheory.Limits.limit F
⊢ x = y ↔ ∀ (j : J), CategoryTheory.Limits.limit.π F j x = CategoryTheory.Limits.limit.π F j y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
F : CategoryTheory.Functor C CategoryTheory.Cat
X Y : CategoryTheory.Grothendieck F
f g : X.Hom Y
w_base : f.base = g.base
w_fiber : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯) f.fiber = g.fiber
⊢ f = g
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom {S | ∃ l u, l < u ∧ Ioc l u = S}
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i j : N
h : i ≠ j
a b c d : ↑(Ω^ N X x)
⊢ GenLoop.transAt i (GenLoop.transAt j a b) (GenLoop.transAt j c d) =
  GenLoop.transAt j (GenLoop.transAt i a c) (GenLoop.transAt i b d)
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
x y : lc.pt
hn : x ≠ y
j : J
z : K.obj j
⊢ c.ι.app j z ∉ descSet hc {x} ∩ descSet hc {y}
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
n : σ →₀ ℕ
a : R
⊢ (MvPowerSeries.coeff R n) ((MvPowerSeries.monomial R n) a) = a
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
AddMonoid A
AddMonoid B
AddMonoid C
AddMonoid D
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
TopologicalSpace C
TopologicalSpace D
f : ContinuousAddMonoidHom A C
g : ContinuousAddMonoidHom B D
i : A × B
⊢ (f.sum_map g) i = (f.toAddMonoidHom i.1, g.toAddMonoidHom i.2)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
⊢ ↑(I.transDiffeomorph e) = ⇑e ∘ ↑I
A : Type u_3
AddGroup A
s : Set A
zero_mem : 0 ∈ s
sub_mem : ∀ {a b : A}, a ∈ s → b ∈ s → a - b ∈ s
⊢ IsAddSubgroup s
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}
hx : B' \ B = {f}
⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
z : S
i : ℕ
hi : i < f.natDegree
⊢ { toFun := Polynomial.coeff, map_add' := ⋯ } (h.modByMonicHom z) i = (h.modByMonicHom z).coeff i
n : ℕ
⊢ DifferentiableAt ℂ Gamma (↑n + 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : W.HasTwoOutOfThreeProperty
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ W g → W (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) → W f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
⊢ I.boundary M = (I.interior M)ᶜ
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
⊢ boundedBy 0 ≤ ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Monoid β
p r : α → α → Prop
inst✝ : IsTotal α r
f : α → α → β
hsymm : Symmetric p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b c : α
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
hmul' : ∀ {b c : α}, r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
⊢ f a c = f a b * f b c
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
S : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} S
F : CategoryTheory.Functor S T
X : T
f : (Y : S) → X ⟶ F.obj Y
h : ∀ {Y Z : S} (g : Y ⟶ Z), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f Y) (F.map g) = f Z
⊢ (F.toUnder X f ⋯).comp (CategoryTheory.Under.forget X) = F
R : Type u_1
CommSemiring R
⊢ ⇑Polynomial.toLaurentAlg = ⇑Polynomial.toLaurent
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
⊢ MeasureTheory.volume ≪ ProbabilityTheory.gaussianReal μ v
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
S : SSet
σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S
h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)
m : ℕ
f : Λ[n + 1, i] _[m]
⊢ σ₁.app (op [m]) f = σ₂.app (op [m]) f
M : Type u_1
Add M
c d : AddCon M
H : ⇑c = ⇑d
⊢ c = d
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} C₃
W : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
F : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
hF : W.IsInvertedBy F
G : CategoryTheory.Functor C₂ C₃
⊢ W.IsInvertedBy (F.comp G)
α : Type u_1
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ∂ (a ⊓ b) = ∂ a ⊓ b ⊔ a ⊓ ∂ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s✝ s : Finset α
⊢ (map (Embedding.subtype fun x => x ∈ s) s.attach).val = s.val
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x : α
xs : Fin n → α
i : Fin (n + 1)
⊢ cons x xs i = (append (cons x elim0) xs ∘ cast ⋯) i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
A : C
CategoryTheory.PreGaloisCategory.IsGalois A
a : ↑(F.obj A)
φ : CategoryTheory.Aut A
⊢ (CategoryTheory.PreGaloisCategory.evaluationEquivOfIsGalois F A a) φ = F.map φ.hom a
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
as : Array α
f : Fin as.size → α → m β
motive : Nat → Prop
h0 : motive 0
p : Fin as.size → β → Prop
hs : ∀ (i : Fin as.size), motive ↑i → SatisfiesM (fun x => p i x ∧ motive (↑i + 1)) (f i as[i])
⊢ SatisfiesM (fun arr => motive as.size ∧ ∃ eq, ∀ (i : Nat) (h : i < as.size), p ⟨i, h⟩ arr[i]) (as.mapIdxM f)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
⊢ 0 - 0 - (0 - a - b) = b + a
⊢ ∀ {α : Sort u_1} {β : α → Sort u_2} {x y : PSigma β}, x.fst = y.fst → HEq x.snd y.snd → x = y
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
hA : A.Nonempty
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hG : P.IsUniform G ε
⊢ ↑((P.nonUniforms G ε).biUnion fun x =>
        match x with
        | (U, V) => U ×ˢ V).card <
  4 * ε * ↑A.card ^ 2
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }
⊢ ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ i, (isFractionPrelocal 𝒜).pred fun x => (a * b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)
x y : ℝ
hx : x ∈ Set.Icc (-1) 1
hy : y ∈ Set.Icc (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ Real.arcsin x < y ↔ x < Real.sin y
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommGroup N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
TopologicalAddGroup N
⊢ ⇑(-f) = -⇑f
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulAction G M
f : G × G → M
hf : IsMulTwoCocycle f
g : G
⊢ f (1, g) = f (1, 1)
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
s : Set ℂ
f : ℂ → E
hd : DifferentiableOn ℂ f s
hs : IsOpen s
⊢ AnalyticOn ℂ f s
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.IsSeparated f ↔
  autoParam (AlgebraicGeometry.IsClosedImmersion (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal f)) _auto✝
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
i_pos : i ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
⊢ ¬IsUnit (c i)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ maximalIdeal ℤ_[p] = Ideal.span {↑p}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : FloorRing α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
inst✝ : TopologicalAddGroup α
n : ℤ
⊢ Tendsto fract (𝓝[<] ↑n) (𝓝 (↑n - (↑n - 1)))
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f : X ⟶ Z
⊢ f ≫ 𝟙 Z = 𝟙 X ≫ f
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v₁ v₂ : AddValuation R Γ₀
⊢ v₁ = v₂ ↔ ∀ (r : R), v₁ r = v₂ r
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : Continuous f
hx : a ∈ s
⊢ f '' connectedComponentIn s a ⊆ connectedComponentIn (f '' s) (f a)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
hv : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_ℝ = 0
this : FiniteDimensional ℝ E
hdim : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis hdim v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
⊢ ∏ x : Fin n.succ, |⟪b x, v x⟫_ℝ| = ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
⊢ Primrec₂ fun a x => a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
g : α → β
hg : MeasureTheory.MeasurePreserving g μ ν
f : β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β), f b ∂ν
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y < z \ x
hxz : x ≤ z
⊢ x ⊔ y < x ⊔ z \ x
α : Type u_4
β : Type u_5
SMul α β
TopologicalSpace β
ContinuousConstSMul α β
a : α
s : Set β
hs : IsCompact s
⊢ IsCompact (a • s)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P✝ : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P✝
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
inst✝ : Nonempty M
P : {m : ℕ} → L.BoundedFormula α m → Prop
φ : L.BoundedFormula α n
hqf : ∀ {m : ℕ} {ψ : L.BoundedFormula α m}, ψ.IsQF → P ψ
hall : ∀ {m : ℕ} {ψ : L.BoundedFormula α (m + 1)}, P ψ → P (∀'ψ)
hex : ∀ {m : ℕ} {φ : L.BoundedFormula α (m + 1)}, P φ → P (∃'φ)
hse : ∀ {m : ℕ} {φ₁ φ₂ : L.BoundedFormula α m}, ∅.SemanticallyEquivalent φ₁ φ₂ → (P φ₁ ↔ P φ₂)
⊢ ∀ {m : ℕ} {φ : L.BoundedFormula α m}, φ.IsPrenex → P φ
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
h : L.IsUltrahomogeneous M
N P Q : Bundled L.Structure
NP : ↑N ↪[L] ↑P
NQ : ↑N ↪[L] ↑Q
Nfg : Structure.FG L ↑N
Pfg : Structure.FG L ↑P
PM : ↑P ↪[L] M
Qfg : Structure.FG L ↑Q
QM : ↑Q ↪[L] M
g : M ≃[L] M
hg : (QM.comp NQ).comp (PM.comp NP).equivRange.symm.toEmbedding = g.toEmbedding.comp (PM.comp NP).toHom.range.subtype
s : L.Substructure M := (g.toHom.comp PM.toHom).range ⊔ QM.toHom.range
⊢ ∃ Q_1 NQ_1 PQ, Q_1 ∈ L.age M ∧ NQ_1.comp NP = PQ.comp NQ
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesColimit (Functor.empty C) (forget C)
X : C
h : Nonempty (IsInitial X)
⊢ IsEmpty ((forget C).obj X)
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ a % b % b = a % b
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : α
⊢ aᶜᶜᶜ = aᶜ
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n a : ℕ
hpa : p a
⊢ (∀ k < count p n, nth p k < a) ↔ n ≤ a
M : Type u_1
X : Type u_2
SMul M X
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
self : ContinuousSMul M X
⊢ Continuous fun p => p.1 • p.2
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o : Ordinal.{u}
h : isGood C l
hsC : contained C o
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬ord I i < o
x : ↑C
⊢ (eval C l) x = 0 x
o : ONote
b : Ordinal.{0}
h : o.NFBelow b
⊢ o.repr < ω ^ b
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.7542, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝¹ : Category.{?u.7594, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝ : G.IsCoverDense K
ℱ : SheafOfTypes K
X : D
s t : ℱ.val.obj (op X)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : G.obj Y ⟶ X), ℱ.val.map f.op s = ℱ.val.map f.op t
⊢ s = t
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
⊢ GaloisConnection r.image r.core
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace β
hα : TopologicalSpace α
h'α : OrderTopology α
f : α → β
a : α
h : 𝓝[<] a = ⊥
⊢ Function.leftLim f a = f a
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
s : Set ι
hs : s.Countable
t : ι → Set X
this : Encodable ↑s
⊢ dimH (⋃ i ∈ s, t i) = ⨆ i ∈ s, dimH (t i)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ : WSeq α
s1 s2 : Computation ℕ
l : List α
s : WSeq α
h : s1 = Computation.corec (fun x => match x with | (n, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl n | some (none, s') => Sum.inr (n, s') | some (some val, s') => Sum.inr (n + 1, s')) (l.length, s) ∧ s2 = Computation.map List.length (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l, s))
⊢ Computation.BisimO (fun c1 c2 => ∃ l s, c1 = Computation.corec (fun x => match x with | (n, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl n | some (none, s') => Sum.inr (n, s') | some (some val, s') => Sum.inr (n + 1, s')) (l.length, s) ∧ c2 = Computation.map List.length (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l, s))) (Computation.corec (fun x => match x with | (n, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl n | some (none, s') => Sum.inr (n, s') | some (some val, s') => Sum.inr (n + 1, s')) (l.length, s)).destruct (Computation.map List.length (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l, s))).destruct
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x y : X
f : X → Y
h : x ⤳ y
hf : Continuous f
⊢ f x ⤳ f y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u s : Set α
⊢ generateFrom {s} = MeasurableSpace.comap (fun x => x ∈ s) ⊤
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
s : Set P
e : P ≃ᵃ[k] P₂
this : ⇑e ∘ Subtype.val = Subtype.val ∘ ⇑((↑e).image s)
⊢ AffineIndependent k Subtype.val ↔ AffineIndependent k Subtype.val
n : Type u_3
α : Type v
ι : Type u_6
v : n → α
i : ι
j : n
⊢ Matrix.row ι v i j = v j
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : DecidableEq M
x : ⨁ (i : M), ↥(weightedHomogeneousSubmodule R w i)
⊢ (coeLinearMap fun i => weightedHomogeneousSubmodule R w i) x = DFinsupp.sum x fun x x_1 => ↑x_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
h : ↑f =ᶠ[ae μ] ↑g
⊢ setToSimpleFunc T f = setToSimpleFunc T g
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S₁ S₂ : StarSubalgebra R A
⊢ S₁.toSubalgebra ≤ S₂.toSubalgebra ↔ S₁ ≤ S₂
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f
⊢ Continuous fun ν => ν.map f
a✝ b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n a : ℕ
ha : 0 < a
⊢ (∃ k, a * k < n ∧ n < a * (k + 1)) ↔ ¬a ∣ n
α : Type u_1
f g : α → ℚ → ℝ
a : α
p : α → Prop
DecidablePred p
hf : p a → ProbabilityTheory.IsRatStieltjesPoint f a
hg : ¬p a → ProbabilityTheory.IsRatStieltjesPoint g a
⊢ ProbabilityTheory.IsRatStieltjesPoint (fun a => if p a then f a else g a) a
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C).det.coeff (Fintype.card n) = A.det
α : Type u_1
o : Option α
⊢ (∀ (x : α), some x ≠ o) ↔ o = none
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
Fintype σ
g : R →+* S₁
X : σ → S₁
f : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.eval₂ g X f = ∑ d ∈ f.support, g (MvPolynomial.coeff d f) * ∏ i : σ, X i ^ d i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
K : ConvexCone ℝ H
hc : IsClosed ↑K
x : H
hx : x ∈ ↑K
f : ℝ → H := fun x_1 => x_1 • x
fI : f '' Ioi 0 ⊆ ↑K
clf : closure (f '' Ioi 0) ⊆ ↑K
⊢ K.Pointed
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype m
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix m n 𝕜
⊢ ‖Aᴴ * A‖ = ‖A‖ * ‖A‖
α : Type u_1
n : ℕ
s : Finset α
⊢ Finset.powersetCard n s = Finset.filter (fun x => x.card = n) s.powerset
n : ℕ
⊢ LinearIndependent ℚ fun ν => bernsteinPolynomial ℚ n ↑ν
n : ℕ
p i : Fin n
h : i ≤ p
⊢ p.predAbove i.castSucc = i
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
i : ι
x : M i
hne_one : x ≠ 1
⊢ (Monoid.CoprodI.NeWord.singleton x hne_one).last = x
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
⊢ μ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} = 0
α : Type u_1
CompleteLattice α
One α
⊢ sInf 1 = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : DenselyOrdered α
s : Set α
hs : Dense s
x z : α
hz : z ∈ Ioi x
⊢ z ∈ ⋃ y ∈ s ∩ Ioi x, Ioi y
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
hf : OpenEmbedding ⇑f
F : Presheaf C X
x : ↑X
this : (⋯.functorNhds x).Initial
e_3✝ : ((pushforward C f).obj F).stalk (f x) = colimit ((OpenNhds.inclusion (f x)).op ⋙ (pushforward C f).obj F)
e_4✝ : F.stalk x = colim.obj (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj F)
⊢ stalkPushforward C f F x = ((Functor.Final.colimitIso (⋯.functorNhds x).op ((OpenNhds.inclusion (f x)).op ⋙ (pushforward C f).obj F)).symm ≪≫ colim.mapIso ?convert_2).hom
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
Ring A
Algebra R A
self : CliffordAlgebra.EvenHom Q A
m₁ m₂ m₃ : M
⊢ (self.bilin m₁) m₂ * (self.bilin m₂) m₃ = Q m₂ • (self.bilin m₁) m₃
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x / c) = ∫ (x : ℝ) in d - b / c..d - a / c, f x
x y : ℝ
⊢ Real.sin (x - y) = Real.sin x * Real.cos y - Real.cos x * Real.sin y
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β
a : α
l : List α
s : Stream' α
⊢ map f (a :: l ++ₛ s) = List.map f (a :: l) ++ₛ map f s
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder α r
IsWellOrder β s
h : r ≼i s
⊢ Ordinal.type r ≤ Ordinal.type s
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s t : Set E
h : t.Nonempty
⊢ s ⊆ convexJoin 𝕜 s t