ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace α
PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_open : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = Set.univ
⊢ Subsingleton ι
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
⊢ (factorThruImage f ≫ image.ι f) ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
e.IsRelIff
j k : ι
hj : ¬e.BoundaryGE j
hk : c.next j = k
⊢ ¬e.BoundaryGE k
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedAddCommMonoid N
f : ι → N
s t : Finset ι
h : s ⊆ t
hf : ∀ i ∈ t, i ∉ s → 0 ≤ f i
⊢ ∑ i ∈ s, f i ≤ ∑ i ∈ t, f i
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
g : α →₀ M
⊢ (Finsupp.mapRange.linearEquiv e) g = (Finsupp.mapRange.linearMap ↑e) g
p✝ x : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |x| ≤ p / 2
hx' : x ≠ p / 2
⊢ round (p⁻¹ * x) = 0
n : ℤ
hn : Odd n
⊢ n.negOnePow = -1
α : Type u_1
Countable α
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
p : PMF α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ p.toMeasure = μ ↔ p = μ.toPMF
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ
A : IsClosed (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)
B : x ∉ range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)ᶜ
δ : ℝ
hδ : δ ≤ ε
m : ℤ
hlt : dist (↑m / ↑n) x < δ
⊢ (fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m) m = ↑m / ↑n
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
H : ∀ (r : { x // x ∈ s }), (Localization.awayMap f ↑r).Finite
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
⊢ f.Finite
G : Type u_3
CommGroup G
a b c : G
⊢ a * b / (a / c) = b * c
m : Type u_1
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
R : Type v
CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
D : Matrix n n R
⊢ (Matrix.fromBlocks A B 0 D).det = A.det * D.det
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle (x - y) x = ↑(Real.arcsin (‖y‖ / ‖x - y‖))
β : Type u_2
AddCommMonoid β
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → β
⊢ ∑ i : Fin (n + 1), f i = f 0 + ∑ i : Fin n, f i.succ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂
⊢ (-∑ i₁_1 : PointsWithCircumcenterIndex 2, ∑ i₂_1 : PointsWithCircumcenterIndex 2, (mongePointWeightsWithCircumcenter 0 - reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂) i₁_1 * (mongePointWeightsWithCircumcenter 0 - reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂) i₂_1 * (dist (pointsWithCircumcenter t i₁_1) (pointsWithCircumcenter t i₂_1) * dist (pointsWithCircumcenter t i₁_1) (pointsWithCircumcenter t i₂_1))) / 2 = circumradius t * circumradius t
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : Nonempty n
i j k : n
⊢ diagonal (fun x => M i i) j k = M j k
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
s t : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
h : MDifferentiableOn I I' f s
h' : ∀ x ∈ t, f₁ x = f x
h₁ : t ⊆ s
⊢ MDifferentiableOn I I' f₁ t
α : Type u
DecidableEq α
Finite α
P : Equiv.Perm α → Prop
f : Equiv.Perm α
⊢ P 1 → (∀ (f : Equiv.Perm α) (x y : α), x ≠ y → P f → P (f * Equiv.swap x y)) → P f
R : Type u_1
AddGroup R
Fintype R
R' : Type u_2
CommRing R'
IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ ≠ 1
⊢ ∑ a : R, ψ a = 0
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
h : ∀ (a b : α), b ∈ f a → a = b
l : List α
⊢ ∀ (a b : α), b ∈ f a → id a = id b
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
hα : IsIntegral F α
⊢ finrank F p.SplittingField = p.natDegree * finrank (↥F⟮α⟯) p.SplittingField
k : ℕ
a t : ℝ
ha : 0 ≤ a
ht : 0 < t
n : ℕ
⊢ (↑n + a) ^ k * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t) ≤ g_nat k a t n
X Y : TopCat
f g : X ⟶ Y
h : f = g
⊢ TopologicalSpace.Opens.map f = TopologicalSpace.Opens.map g
α : Type u_1
β : Type u_2
Pow α β
a : α
b : Lex β
⊢ a ^ ofLex b = a ^ b
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
⊢ (p * q).natTrailingDegree = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : (forget C).PreservesMonomorphisms
⊢ MorphismProperty.injective C = monomorphisms C
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
f : D ≌ E
⊢ (e.trans f).unitIso =
  e.unitIso ≪≫ CategoryTheory.isoWhiskerLeft e.functor (CategoryTheory.isoWhiskerRight f.unitIso e.inverse)
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ M.E = ∅ ↔ M = emptyOn α
S : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
IsDomain B
h₁ : Finite ↑S
h₂ : IsCyclotomicExtension S A B
⊢ Module.Finite A B
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
ι : Sort u_3
δ' : Type u_5
ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, BddAbove (Set.range fun i => f i y)
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ i, f i x') s x
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map (kernel.ι g) ≫ G.map g = 0
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
v✝ w✝ : V
h : (fun a b => s(v, w) = s(a, b)) v✝ w✝
⊢ G.Adj v✝ w✝
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits T
A : CategoryTheory.StructuredArrow S T
P : CategoryTheory.Subobject A
⊢ ↑(A.subobjectEquiv P) = CategoryTheory.StructuredArrow.projectSubobject P
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
x₀ : G
h : HasCompactSupport fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
u : G ≃ₜ G := (Homeomorph.neg G).trans (Homeomorph.addRight x₀)
v : G ≃ₜ G := (Homeomorph.neg G).trans (Homeomorph.addLeft x₀)
A : AEStronglyMeasurable (g ∘ ⇑v) (μ.restrict (tsupport fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))))
x✝ : G
⊢ HSub.hSub ↑(toAddUnits x₀) = ⇑v
S : Type u_3
Add S
a : S
⊢ AddCommute a a
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
u v : Fin n
⊢ u ⋖ v ∨ v ⋖ u ↔ ↑u + 1 = ↑v ∨ ↑v + 1 = ↑u
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h : zeroRootSubalgebra R L H = H
⊢ (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer = zeroRootSubalgebra R L H
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid β
l : Filter α
f : α → β
C : β
hf : Filter.Tendsto (fun x => f x + C) l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
R : Type u_5
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
IsArtinian R M
⊢ WellFounded fun x x_1 => x < x_1
α : Type u
DecidableEq α
Fintype α
σ : Equiv.Perm α
n : ℕ
h : n.Coprime (orderOf σ)
⊢ (σ ^ n).support = σ.support
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, |↑f j| < ε ∧ |↑g j| < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i
H₁ : -ε < ↑f j ∧ ↑f j < ε
H₂ : -ε < ↑g j ∧ ↑g j < ε
⊢ -ε < ↑(f ⊓ g) j ∧ ↑(f ⊓ g) j < ε
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : GCDMonoid R
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M A
x y : R
hy : y ∈ M
⊢ ∃ a b, IsUnit (gcd a b) ∧ mk' A x ⟨y, hy⟩ * (algebraMap R A) b = (algebraMap R A) a
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
⊢ ¬cs.IsLeftDescent 1 i
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ
h : coeffIntegerNormalization M p i ≠ 0
⊢ i ∈ p.support
X : Type u
G : Type u_2
Group G
MulAction G X
H : Type u_3
Group H
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.ActionCategory G X) (CategoryTheory.SingleObj H)
g : G
⊢ ((CategoryTheory.ActionCategory.curry F) g).right = g
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S
this : DecidableEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) := Classical.decEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S)
⊢ (norm Rₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((norm R) a)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, 0 < μ.rnDeriv ν x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
h : f '' (f ⁻¹' s) = s
⊢ f '' (f ⁻¹' s) ⊆ range f
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
⊢ ↑(d ⟨u, hu'⟩) = 1 ↔ u = 1
a b c : ℕ
hb : 0 < b
⊢ a / b < c ↔ a < c * b
R : Type u_10
S : Type u_11
F : Type u_12
One R
One S
FunLike F R S
OneHomClass F R S
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
x : R
⊢ f x ≠ 1 ↔ x ≠ 1
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ ((∀ (i : x.LeftMoves), ¬(fun a' b' x => Sym2.GameAdd.fix wf_isOption (fun x y le => (∀ (i : x.LeftMoves), ¬le y (x.moveLeft i) ⋯) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), ¬le (y.moveRight j) x ⋯) a' b') y (x.moveLeft i) ⋯) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), ¬(fun a' b' x => Sym2.GameAdd.fix wf_isOption (fun x y le => (∀ (i : x.LeftMoves), ¬le y (x.moveLeft i) ⋯) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), ¬le (y.moveRight j) x ⋯) a' b') (y.moveRight j) x ⋯) ↔ (∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ⧏ y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), x ⧏ y.moveRight j
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C
⊢ (ρ_ X).inv ▷ Y ≫ (α_ X (𝟙_ C) Y).hom = X ◁ (λ_ Y).inv
ι : Type v
DecidableEq ι
α : ι → Type u
δ : (i : ι) → α i → Type w
(i : ι) → (j : α i) → AddCommMonoid (δ i j)
f : DirectSum ι fun i => DirectSum (α i) fun j => δ i j
i : ι
j : α i
⊢ (DirectSum.sigmaUncurry f) ⟨i, j⟩ = (f i) j
x : ℂ
⊢ Complex.exp x = Complex.exp ↑x.re * (Complex.cos ↑x.im + Complex.sin ↑x.im * Complex.I)
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
h : f.ker ≤ H
⊢ Subgroup.comap f (Subgroup.map f H) = H
a : ℝ≥0∞
n : ℕ
⊢ (n • a).toReal = n • a.toReal
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
x y : 𝕎 R
⊢ WittVector.truncateFun n (x - y) = WittVector.truncateFun n x - WittVector.truncateFun n y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
k : D
j : C
⊢ (F.flip.obj k).obj j = (F.obj j).obj k
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
hk : addOrderOf ↑k = n
a : ℤ
ha : ↑(a / ↑n) * p + (a % ↑n) • p / ↑n = k
h0 : ↑n ≠ 0
⊢ ∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n * p) = ↑k
a : ℝ
ha : 0 < a
b : ℝ
⊢ (fun x => rexp (-a * x)) =o[Filter.atTop] fun x => x ^ b
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
s : Set α
r : ℝ≥0∞
h : r < EMetric.infEdist x s
⊢ Disjoint (EMetric.closedBall x r) s
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
g : (i : ι) → α i → M₁ i
DecidableEq ι
Fintype ι
(i : ι) → Fintype (α i)
⊢ (f fun i => ∑ j : α i, g i j) = ∑ r : (i : ι) → α i, f fun i => g i (r i)
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
ι : Type u_5
f : M →ₙ* N
hf : Function.Injective ⇑f
S : ι → Subsemigroup M
⊢ Subsemigroup.comap f (⨅ i, Subsemigroup.map f (S i)) = iInf S
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
h :
  ∀ ⦃X₁' X₂' X₃' : C⦄ (u₁₂' : X₁' ⟶ X₂') (u₂₃' : X₂' ⟶ X₃'),
    ∃ X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ u₁₂ u₂₃ e₁ e₂ e₃,
      ∃ (_ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂' e₂.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp e₁.hom u₁₂) (_ :
        CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₂₃' e₃.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp e₂.hom u₂₃),
        ∃ v₁₂ w₁₂,
          ∃ (h₁₂ :
            CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈
              CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles),
            ∃ v₂₃ w₂₃,
              ∃ (h₂₃ :
                CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈
                  CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles),
                ∃ v₁₃ w₁₃,
                  ∃ (h₁₃ :
                    CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp u₁₂ u₂₃) v₁₃ w₁₃ ∈
                      CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles),
                    Nonempty (CategoryTheory.Triangulated.Octahedron ⋯ h₁₂ h₂₃ h₁₃)
⊢ CategoryTheory.IsTriangulated C
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : (map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x y : E
⊢ (o.areaForm x) y = (o.areaForm (f.symm (f x))) (f.symm (f y))
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
x : L
h : (ad R L) x = 0
⊢ x = 0
p q : ℚ
s t : Set ℚ
a✝ : (𝓝 ∞).IsCountablyGenerated
this : (cocompact ℚ).IsCountablyGenerated
⊢ False
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
h : 1 ≤ a
n : ℕ
⊢ a ^ n ≤ a * a ^ n
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
h : 𝒜.Countable
⊢ (MeasureTheory.generateSetAlgebra 𝒜).Countable
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t : Set α
b : α
⊢ b ∈ t → (fun a => a ⊔ b) '' s ⊆ s ⊻ t
R : Type u
Ring R
Nontrivial R
x : R
⊢ (Polynomial.X - Polynomial.C x).natDegree = 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
p' : Filter α
UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformContinuous g
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun i => g ∘ F i) (g ∘ f) p p'
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
a : α
DecidableEq α
⊢ (f.update a 0).support = f.support.erase a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ∫⁻ (x : α), 0 ∂μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x => f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
⊢ Tendsto (fun x => ∑' (k : β), f x k) 𝓕 (𝓝 (∑' (k : β), g k))
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M
⊢ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' ↑(span R s)) = span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
a b : α
⊢ (∃ n, Order.succ^[n] a = b) ↔ a ≤ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
Y Z : C
f : Z ⟶ Y
I : CategoryTheory.InjectiveResolution Y
J : CategoryTheory.InjectiveResolution Z
⊢ J.cocomplex.d 0 1 ≫ CategoryTheory.InjectiveResolution.descFOne f I J =
  CategoryTheory.InjectiveResolution.descFZero f I J ≫ I.cocomplex.d 0 1
a : ℕ
⊢ IsUpperSet (range ⇑castOrderEmbedding)
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F✝ F : Sheaf J A
this : (compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t)) ≫ { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } = (constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ (toSheafify J F.val).app (op t) ≫ (sheafify J F.val).map (ht.from (unop x✝)).op = ({ app := fun x => F.val.map (ht.from (unop x)).op, naturality := ⋯ } ≫ toSheafify J F.val).app x✝
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
⊢ count K v J ≤ count K v I
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
h𝒜 : 𝒜.Intersecting
s t : Set α
hs : s ∈ 𝒜
ht : t ∈ 𝒜
⊢ ∃ a ∈ s, a ∈ t
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : p ∣ (m ^ 2 - n ^ 2).natAbs
hp2 : p ∣ (m ^ 2 + n ^ 2).natAbs
⊢ False
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
⊢ Monotone (upperCentralSeries G)
α : Type u
s : Set α
⊢ s.Infinite ∨ s.Finite
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
f : β → α
p : α → Prop
ht : p ⊤
hp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊓ a₂)
hs : ∀ b ∈ s, p (f b)
⊢ p (s.inf f)
a b : Int
⊢ ¬a ≤ b ↔ b < a
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b c a : α
⊢ Icc a a = {a}
a : UnitAddCircle
h1 : Tendsto (fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).symm.Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (-1))
⊢ Tendsto (fun s => s * completedCosZeta a s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (-1))
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : TopologicalAddGroup N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f g x✝² x✝¹ : ContinuousMultilinearMap R (fun x => M) N
x✝ : ι → M
⊢ ({ toFun := fun f => { toContinuousMultilinearMap := ∑ σ : Equiv.Perm ι, Equiv.Perm.sign σ • domDomCongr σ f, map_eq_zero_of_eq' := ⋯ }, map_zero' := ⋯ }.toFun (x✝² + x✝¹)) x✝ = ({ toFun := fun f => { toContinuousMultilinearMap := ∑ σ : Equiv.Perm ι, Equiv.Perm.sign σ • domDomCongr σ f, map_eq_zero_of_eq' := ⋯ }, map_zero' := ⋯ }.toFun x✝² + { toFun := fun f => { toContinuousMultilinearMap := ∑ σ : Equiv.Perm ι, Equiv.Perm.sign σ • domDomCongr σ f, map_eq_zero_of_eq' := ⋯ }, map_zero' := ⋯ }.toFun x✝¹) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
l : Filter β
f : α → β
h : a < b
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f ↑x) Filter.atBot l ↔ Filter.Tendsto f (𝓝[>] a) l
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
e : ι → β
he : Injective e
f : ι → α
⊢ ⨆ j, extend e f ⊥ j = ⨆ i, f i
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
hf : Function.Injective ⇑f
S : Subsemigroup M
⊢ Subsemigroup.comap f (Subsemigroup.map f S) = S
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α
⊢ a ≤ a + c - (b + c) + b
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
h : ∀ (n : ℕ), (MvPolynomial.bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n) = (MvPolynomial.bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
I X : Set β
⊢ (∃ I₀ X₀, M.Basis I₀ X₀ ∧ I = ⇑f '' I₀ ∧ X = ⇑f '' X₀) ↔ M.Basis (⇑f ⁻¹' I) (⇑f ⁻¹' X) ∧ I ⊆ X ∧ X ⊆ range ⇑f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
n m : ℕ
c : R
hm : m ≠ 0
⊢ ↑n ∣ eval c ((⇑derivative)^[m] (f ^ n))
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
W' : C
g' : W' ⟶ ⨁ f
w : g' ≫ biproduct.toSubtype f p = 0
j : K
⊢ (g' ≫ biproduct.π f j ≫ if (p j)ᶜ then 𝟙 (f j) else 0) = g' ≫ biproduct.π f j
α : Type u
L₁ : List (α × Bool)
DecidableEq α
⊢ (FreeAddGroup.mk L₁).norm ≤ L₁.length
α : Type u
x : α
a b : Set α
h : x ∈ a ∩ b
⊢ x ∈ a
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ ¬IsBot a ↔ a ≠ ⊥
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i / ↑i ! ≤ CauSeq.lim ⟨fun n => (↑(exp' ↑x) n).re, ⋯⟩
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f' : α → γ → δ'
g' : β → δ' → ε
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' b (f' a c)
⊢ image2 (fun a b => f b a) (image2 g t u) s = image2 g' t (image2 (fun a b => f' b a) u s)
G : Type u_7
OrderedCommGroup G
⊢ Filter.atTop⁻¹ = Filter.atBot
m : Type u → Type v
α : Type u_1
ρ β : Type u
x : ContT.Label α m β
i : α
⊢ ContT.goto (ReaderT.mkLabel ρ x) i = monadLift (ContT.goto x i)
N : ℕ
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ ∑ n ∈ Finset.range N, term (n + 1) s = 1 / (s - 1) * (1 - 1 / (↑N + 1) ^ (s - 1)) - 1 / s * (∑ n ∈ Finset.range N, 1 / (↑n + 1) ^ s - ↑N / (↑N + 1) ^ s)