ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
a d : Ordinal.{u}
h₁ : a ≤ a
h₂ : 0 ≤ 0
⊢ 0 ⨳ a ≤ 0 ⨳ a
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
GroupWithZero α
Zero β
MulActionWithZero α β
PosSMulMono α β
PosSMulReflectLE α β
s : Set β
a : α
ha : 0 < a
⊢ upperBounds (a • s) = a • upperBounds s
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
a b : E
r : ℝ
c : E
⊢ c ∈ (fun x => b * x) ⁻¹' closedBall a r ↔ c ∈ closedBall (a / b) r
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
⊢ (GenContFract.IntFractPair.stream v).IsSeq
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
⊢ Injective ⇑(algebraMap R A)
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ I ^ n ≤ I
G : Type u_1
inst✝⁷ : CommGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : CompactSpace G
inst✝ : RootableBy G ℤ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
f : G →* G := zpowGroupHom n
hf : Continuous ⇑f
this : (map (⇑f) μ).IsHaarMeasure
C : ℝ≥0∞ := ↑((map (⇑f) μ).haarScalarFactor μ)
hC : map (⇑f) μ = C • μ
h_univ : (map (⇑f) μ) univ = μ univ
⊢ C = 1
f : C(↑I, ℝ)
n✝ : ℕ
n : Fin (n✝ + 1)
⊢ bernstein n✝ ↑n ∈ polynomialFunctions I
M : Type u_1
R : Type u_2
GroupWithZero M
Ring R
MulSemiringAction M R
a : M
ha : a ≠ 0
S : Subring R
x : R
⊢ a • x ∈ a • S ↔ x ∈ S
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
DecidableEq ι
i : ι
p : Monoid.CoprodI.Word.Pair M i
⊢ (Monoid.CoprodI.Word.equivPair i).symm p = Monoid.CoprodI.Word.rcons p
R : Type u
CommSemiring R
n k : ℕ
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[k] (Polynomial.X ^ n) = ↑(n.descFactorial k) * Polynomial.X ^ (n - k)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
i : α → β
hi : ∀ a ∈ s, i a ∈ t
i_inj : Set.InjOn i ↑s
i_surj : Set.SurjOn i ↑s ↑t
⊢ s.card = t.card
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 3
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂ (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₃ app₀ app₁ app₂ app₃ w₀ w₁ w₂).app 1 = app₁
X : Type u_1
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
ι : Type u_11
A : X → n → R
hA : Continuous A
⊢ Continuous fun x => Matrix.col ι (A x)
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b a : α
⊢ ￢∂ a = ⊤
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
this : ∀ K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V, index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card
⊢ ∀ x ∈ s, ((fun h => x * h) ⁻¹' V ∩ K₁.carrier).Nonempty → ¬((fun h => x * h) ⁻¹' V ∩ K₂.carrier).Nonempty
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
c : M'
s : Set M
x : M
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' (fun x => c) s x 0
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_4
(i : Fin (n + 1)) → PseudoMetricSpace (α i)
i : Fin (n + 1)
x y : α i
f g : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
⊢ nndist (i.insertNth x f) (i.insertNth y g) = max (nndist x y) (nndist f g)
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
⊢ (x - y).leadingCoeff = x.leadingCoeff
R : Type u_2
Field R
⊢ FiniteDimensional.finrank (LocalRing.ResidueField R) (LocalRing.CotangentSpace R) = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
k m n m' n' : α
hm' : m' ∣ m
hn' : n' ∣ n
h : gcd k (m * n) = m' * n'
hm'n' : m' * n' ∣ k
⊢ m' * n' ∣ gcd k m * gcd k n
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
a : Ordinal.{u_1}
⊢ a ^ 0 * a = a
α : Type u_1
β : Type u_2
self : Batteries.HashMap.Imp.Buckets α β
i : USize
d : Batteries.AssocList α β
h : i.toNat < self.val.size
⊢ (self.update i d h).val.data = self.val.data.set i.toNat d
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s t : Set E
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x
st : s ⊆ t
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Sort u_3
β : Sort u_4
γ : Sort u_5
f : α → β → γ
a : α
b : β
⊢ ∃ x y, f a b = f x y
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
a t : ℝ
ht : t ∈ {t | t * a ∈ s}
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (γ ∘ fun x => x * a) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((a • v) ((γ ∘ fun x => x * a) t)))
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
x : I → Bool
⊢ x ∈ Profinite.NobelingProof.C' C ho → x (Profinite.NobelingProof.term I ho) = false
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ insert a (Set.Ioc a b) = Set.Icc a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
f₁ f₂ : S.Arrow
⊢ S.preOneHypercover.I₁ f₁ f₂ = f₁.Relation f₂
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
AddCommMonoid S
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
Module R S
f : M ≃ₗ[R] P
g : N ≃ₗ[R] Q
g' : S ≃ₗ[R] N
⊢ LinearEquiv.lTensor M g' ≪≫ₗ TensorProduct.congr f g = TensorProduct.congr f (g' ≪≫ₗ g)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s ↔
  (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s) ∧
    ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ HasDerivAt negMulLog (-log x - 1) x
C : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C
r : HomRel C
D : Type u_4
inst✝ : Category.{u_2, u_4} D
Φ : Quotient r ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → (functor r ⋙ Φ).map f₁ = (functor r ⋙ Φ).map f₂
⊢ ∀ (X : Quotient r), Φ.obj X = (lift r (functor r ⋙ Φ) H).obj X
α : Type u_2
δ : Type u_4
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : ι → Set α
t : Finset ι
f g : α → δ
⊢ f =ᵐ[μ.restrict (⋃ i ∈ t, s i)] g ↔ ∀ i ∈ t, f =ᵐ[μ.restrict (s i)] g
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
Bot α
SemilatticeSup β
OrderBot β
f g : SupBotHom α β
a : α
⊢ (f ⊔ g) a = f a ⊔ g a
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x₁ x₂ : S
y₁ : R
s₁ : ↥M
e₁ : x₁ * (algebraMap R S) ↑s₁ = (algebraMap R S) y₁
y₂ : R
s₂ : ↥M
e₂ : x₂ * (algebraMap R S) ↑s₂ = (algebraMap R S) y₂
⊢ (algebraMap R T) (y₁ * ↑s₂) = (algebraMap R T) (y₂ * ↑s₁) → ∃ a, (algebraMap R S) (↑a * (y₁ * ↑s₂)) = (algebraMap R S) (↑a * (y₂ * ↑s₁))
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (f =O[l] fun x => ‖c • f' x‖) ↔ f =O[l] f'
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
⊢ (Prod.mk '' s).seq t = ((fun b a => (a, b)) '' t).seq s
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
⊢ ρ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0} = 0
R : Type u
Semiring R
s : Set (Ideal R)
x : R
⊢ x ∈ sInf s ↔ ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I ∈ s → x ∈ I
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ (∀ (x_1 : α), x⁻¹ * x_1 ∈ s ↔ y⁻¹ * x_1 ∈ s) ↔ x⁻¹ * y ∈ s
X : Type u
x : X
s₁ s₂ : Set X
TopologicalSpace X
h : x ∈ closure (s₁ ∪ s₂)
h₁ : s₁ᶜ ∈ 𝓝 x
⊢ x ∈ closure s₂
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
hxy : x < y
⊢ (fun x => ⟨(x⁻¹ + 1)⁻¹, ⋯⟩) x < (fun x => ⟨(x⁻¹ + 1)⁻¹, ⋯⟩) y
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f g : CuspForm Γ k
h : ∀ (x : ℍ), f x = g x
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
Archimedean 𝕜
⊢ QuotientAddGroup.mk '' Set.Ico a (a + p) = Set.univ
s : String
⊢ s.endPos = 0 ↔ s = ""
α : Sort u_1
ctx : Lean.Data.AC.Context α
e : Lean.Data.AC.Expr
⊢ Lean.Data.AC.evalList α ctx (Lean.Data.AC.norm ctx e) = Lean.Data.AC.eval α ctx e
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a b : α
m : ℕ
ha : (fun b => some a = b) ((↑s).get m)
n : ℕ
hb : (fun b_1 => some b = b_1) ((↑s).get n)
⊢ a = b
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
δ : ℕ → ℝ
hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)
this : SemilatticeSup Nat.Primes := Nat.Subtype.semilatticeSup Irreducible
μ : Measure 𝕊 := volume
u : Nat.Primes → 𝕊 := fun p => ↑(↑1 / ↑↑p * T)
hu₀ : ∀ (p : Nat.Primes), addOrderOf (u p) = ↑p
hu : Tendsto (addOrderOf ∘ u) atTop atTop
E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ
X : ℕ → Set 𝕊 := fun n => approxAddOrderOf 𝕊 n (δ n)
A : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ ¬p ∣ n
B : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ p ∣ n ∧ ¬p * p ∣ n
C : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ p ^ 2 ∣ n
hA₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (A p)
hB₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (B p)
hE₀ : NullMeasurableSet E μ
hE₁ : ∀ (p : ℕ), E = A p ∪ B p ∪ C p
⊢ (∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, ¬E x) ∨ ∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, E x
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℕ
c d : 𝕜
hn : n ≠ 0
hc : c < 0
⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ n = 0) ∧ c = d
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
hG : G.LocallyLinear
a b : α
h : G.Adj a b
⊢ ∃ s, (SimpleGraph.map f G).IsNClique 3 s ∧ f a ∈ s ∧ f b ∈ s
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R θ : ℝ
⊢ circleMap c R θ ∉ ball c R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
⊢ ↑↑(PadicInt.unitCoeff hx) = ↑x * ↑p ^ (-x.valuation)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e✝ : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : PartialHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid ⊤ I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : PartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : PartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf : (contDiffGroupoid ⊤ I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑e) (↑c.symm ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ c'.symm).source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑c'.symm ∘ ↑e ∘ ↑c) s
H₂ : EqOn (↑f) (↑c'.symm ∘ ↑e ∘ ↑c) s
⊢ f.source ∩ s ⊆ s
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝² : Countable G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α ν
s : Set α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν
⊢ (if funDom : HasFundamentalDomain G α ν then ν ⋯.choose else 0) = ν s
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Cat} (F : CategoryTheory.Functor ↑X ↑Y),
  CategoryTheory.WithInitial.prelaxfunctor.map F = CategoryTheory.WithInitial.map F
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
PredOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioo (f n) (f (Order.pred n)))
n : ℕ
x : ZMod n
⊢ x.valMinAbs = 0 ↔ x = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Bot α
Bot β
f g : BotHom α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
a : ℝ≥0∞
b : ℝ
h : a < ENNReal.ofReal b
⊢ a.toReal < b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹¹ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
M : Type u_5
G : Type u_6
G₀ : Type u_7
inst✝⁸ : Monoid M
inst✝⁷ : MulAction M β
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul M β
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G β
inst✝³ : ContinuousConstSMul G β
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : MulAction G₀ β
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ β
c : G
h : AEStronglyMeasurable (fun x => c • f x) μ
⊢ AEStronglyMeasurable f μ
R : Type u
ι : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝² : DecidableEq ι
L' : Type w₁
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'
hf : Pairwise fun i j => ∀ (x : L i) (y : L j), ⁅(f i) x, (f j) y⁆ = 0
x✝ y✝ : ⨁ (i : ι), L i
f' : (i : ι) → L i →ₗ[R] L' := fun i => ↑(f i)
i : ι
y x : L i
⊢ (toAddMonoid fun i => (↑(f i)).toAddMonoidHom) ⁅(of L i) x, (of L i) y⁆ = ⁅(↑(f i)).toAddMonoidHom x, (↑(f i)).toAddMonoidHom y⁆
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
⊢ ∀ {x : A}, x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ (quadraticChar F) a = -1 ↔ ¬(quadraticChar F) a = 1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : TopologicalSpace F
κ : ι → Type u_10
inst✝² : Nonempty ((i : ι) × κ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Nonempty (κ i)
p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)
t : ι → TopologicalSpace E
inst✝ : ∀ (i : ι), TopologicalAddGroup E
this : TopologicalAddGroup E
hp : ∀ (i : ι), t i = ⨅ i_1, UniformSpace.toTopologicalSpace
⊢ ⨅ i, t i = ⨅ i, ⨅ j, UniformSpace.toTopologicalSpace
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
p : AddMonoidAlgebra R ℕ
⊢ (erase n { toFinsupp := p }).degree ≤ { toFinsupp := p }.degree
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s t✝ : Set α
ι : Type u_2
l : ι → Filter α
t : Set ι
hd : t.PairwiseDisjoint l
ht : t.Finite
this : Finite ↑t
⊢ ∃ s, (∀ (i : ι), s i ∈ l i) ∧ t.PairwiseDisjoint s
b : Bool
n : ℤ
⊢ (Int.bit b n).div2 = n
x y : SetTheory.PGame
h₁ : x ≤ y
h₂ : x.LF y
⊢ x < y
ι : Type u_5
α : ι → Type u_6
β : ι → Type u_7
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → SMul (α i) (β i)
a : (i : ι) → α i
s : (i : ι) → Finset (β i)
⊢ (Fintype.piFinset fun i => a i • s i) = a • Fintype.piFinset s
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
s : ℤ
this : Valued.v ((single s) 1) = (Valued.v ((single (-s)) 1))⁻¹
⊢ Valued.v ((single s) 1) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-s))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hx : f x ≠ 0
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => Real.log (f x)) ((f x)⁻¹ • f') s x
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : CompleteSpace E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
hf_mk_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.trim hm) s < ⊤ → IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm) s (μ.trim hm)
hg_mk_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.trim hm) s < ⊤ → IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm) s (μ.trim hm)
⊢ AEStronglyMeasurable'.mk f hfm =ᶠ[ae (μ.trim hm)] AEStronglyMeasurable'.mk g hgm
M : Type u_3
AddMonoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
m n : ℕ
ha : 0 < a
⊢ m • a ≤ n • a ↔ m ≤ n
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootSystem ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
⊢ P₁ = P₂
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
hc : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ fderiv ℝ (fun x => Real.arctan (f x)) x = (1 / (1 + f x ^ 2)) • fderiv ℝ f x
z w : ℂ
h : z = 0 → w.re = 0 → w = 0
⊢ abs (z ^ w) = abs z ^ w.re / rexp (z.arg * w.im)
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
this✝² : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this✝¹ : IsCentralScalar R M
this✝ : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom N ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this : IsCentralScalar R N
⊢ (TrivSqZeroExt.sndHom R N ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap) ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ TrivSqZeroExt.sndHom R M ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap
X Y Z : Pointed
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g).toFun = g.toFun ∘ f.toFun
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
⊢ (sc • sa • r₁ + (sc • ra • r₂ + rc • r₃)) /ₒ (sc * (sa * s₁)) = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
n : ℕ
neq : p ≠ q
⊢ padicValNat p (q ^ n) = 0
X✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
s : Set X
hs : IsClosed s
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsClosed t → t = s
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
U : Set X
hUo : IsOpen U
hU : Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)
hxU : x ∈ U
hyU : y ∉ U
⊢ False
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
⊢ (cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ NonUnitalStarAlgHom.range (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.card • b < ↑s.card
⊢ ∃ y ∈ t, b < ↑(filter (fun x => f x = y) s).card
q : ℚ
x y : ℝ
n : ℕ
h : Irrational (x ^ (n + 1))⁻¹
⊢ Irrational x
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ
⊢ ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v (c * x) =
  |c⁻¹| * ProbabilityTheory.gaussianPDFReal (c⁻¹ * μ) (⟨(c ^ 2)⁻¹, ⋯⟩ * v) x
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ ↑(p ⊔ p') = ↑p + ↑p'
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
hts : t ⊆ s
hus : u ⊆ s
hstu : s.card < t.card + u.card
⊢ (t ∩ u).Nonempty
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
⊢ f = f' ↔ ∀ (x : (i : ι) → M₁ i), f x = f' x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
hf : Function.Injective ⇑f
S T : L.Substructure M
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.map f S ≤ FirstOrder.Language.Substructure.map f T ↔ S ≤ T
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : IsClosed ↑g.graph
this : CompleteSpace ↥g.graph := completeSpace_coe_iff_isComplete.mpr (IsClosed.isComplete hg)
⊢ Continuous ⇑g