ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : AddCommGroup β
a : FreeAbelianGroup α
f g : α → β
⊢ ∀ (x y : FreeAbelianGroup α), (lift (f + g)) x = (lift f) x + (lift g) x → (lift (f + g)) y = (lift f) y + (lift g) y → (lift (f + g)) (x + y) = (lift f) (x + y) + (lift g) (x + y)
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype n
Finite m
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
⊢ (Matrix.toLin v₁ v₂).symm = LinearMap.toMatrix v₁ v₂
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
⊢ image2 f (s ∪ s') t = image2 f s t ∪ image2 f s' t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
⊢ ApproximatesLinearOn (↑(hf.toPartialEquiv hc).symm) (↑f'.symm) (f '' s) (‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c)
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ
⊢ ∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) * g x ∂μ = ∑ i ∈ s, a i * ∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x (v i) * g x ∂μ
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
i : ι
s : Set (α i)
hs : s ∈ f i
⊢ Function.eval i ⁻¹' s ∈ Filter.pi f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f g : Filter α
IsTrans α r
IsDirected α r
⊢ Filter.IsBounded r f → Filter.IsBounded r g → Filter.IsBounded r (f ⊔ g)
m₁ m₂ n : ℕ
⊢ qrSign (m₁ * m₂) n = qrSign m₁ n * qrSign m₂ n
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), WellFoundedLT (α i)
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬a < 0
β : ι → Type u_2 := fun i => Antisymmetrization (α i) fun x x_1 => x ≤ x_1
e : (i : ι) → α i → β i := fun i => toAntisymmetrization fun x x_1 => x ≤ x_1
x✝¹ : (i : ι) → Zero (β i) := fun i => { zero := e i 0 }
this✝ : WellFounded (DFinsupp.Lex (Function.swap WellOrderingRel) fun x x_1 x_2 => x_1 < x_2)
x✝ y✝ : Π₀ (i : ι), α i
h : x✝ < y✝
this : IsStrictOrder ι (Function.swap WellOrderingRel)
i : ι
he : ∀ (j : ι), Function.swap WellOrderingRel j i → x✝ j ≤ y✝ j ∧ y✝ j ≤ x✝ j
hl : x✝ i < y✝ i
⊢ InvImage (DFinsupp.Lex (Function.swap WellOrderingRel) fun x x_1 x_2 => x_1 < x_2) (mapRange (fun i => e i) ⋯) x✝ y✝
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β → β
H : LeftCommutative f
b : β
l : List α
⊢ Multiset.foldr f H b ↑l = List.foldr f b l
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid A
inst✝¹⁰ : Module R A
inst✝⁹ : AddCommMonoid B
inst✝⁸ : Module R B
inst✝⁷ : AddCommMonoid C
inst✝⁶ : Module R C
inst✝⁵ : AddCommMonoid D
inst✝⁴ : Module R D
inst✝³ : CoalgebraStruct R A
inst✝² : CoalgebraStruct R B
inst✝¹ : CoalgebraStruct R C
inst✝ : CoalgebraStruct R D
⊢ map __src✝ __src✝ ∘ₗ comul = comul ∘ₗ __src✝
D : TopCat.GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : D.π x = D.π y
⊢ EqvGen (CategoryTheory.Limits.Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type v
Zero α
One α
DecidableEq m
DecidableEq l
e : l ≃ m
⊢ Matrix.submatrix 1 ⇑e ⇑e = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
b : E × F → G
n : ℕ∞
hb : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
⊢ ContDiff 𝕜 n b
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
hdm : d ∣ m
⊢ a ≡ 0 [MOD d] ↔ b ≡ 0 [MOD d]
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n k : ℕ
hk : k ≤ n
this : p ^ (n + 1) = p ^ k * p ^ (n - k + 1)
⊢ ↑p ^ (n - k + 1) ∣ (expand p) (wittStructureInt p Φ k) ^ p ^ (n - k) - wittStructureInt p Φ k ^ (p * p ^ (n - k))
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (bind₁ 0) (wittPolynomial p R n) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) 1 μ
α : Type u_1
DecidableEq α
CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ e • (Finset.mulDysonETransform e x).2 ⊆ (Finset.mulDysonETransform e x).1
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
eq_bot_or_top : ∀ (I : Ideal R), I = ⊥ ∨ I = ⊤
I J : Ideal S
hI : spanNorm R I = ⊤
hJ : spanNorm R J = ⊤
⊢ spanNorm R (I * J) ≤ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
S : Set (Set α)
⊢ generateFrom (insert ∅ S) = generateFrom S
f : CircleDeg1Lift
⊢ Filter.Tendsto (fun n => (f ^ n) 0 / ↑n) Filter.atTop (𝓝 f.translationNumber)
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
s' : Finset R
hs₁ : ↑s' ⊆ s
hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤
n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ
n₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s' }), ↑r ^ n₁ r • x ∈ M'
N : ℕ := s'.attach.sup n₁
hs' : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' ↑s') = ⊤
r : R
hr : r ∈ ↑s'
⊢ ↑⟨(fun x => x ^ N) r, ⋯⟩ • x ∈ M'
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
⊢ ∑' (j : ℕ), ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑j} < ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
SupSet α
⊢ ∀ {x : CompleteLattice β}, ⇑⊥ = ⊥
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
⊢ Collinear k {p₁, p₂}
α : Type u
s : Set α
x y : α
hxy : x ≠ y
h : {x, y} ⊆ s
⊢ s.Nontrivial
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableVAdd G α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ
g : G
t : Set α
⊢ (μ.restrict t).restrict (g +ᵥ s) = μ.restrict ((g +ᵥ s) ∩ t)
α : Type u_1
PartialOrder α
c₁ c₂ : ClosureOperator α
h : ∀ (x : α), c₁.IsClosed x ↔ c₂.IsClosed x
⊢ c₁ = c₂
G : Type u
inst✝ : Group G
⊢ Nat.card ↑(commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) = Nat.card ↑(⇑(closureCommutatorRepresentatives G).subtype '' commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G))
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U
H : ∀ (i : ι), (V i ∩ Wᶜ).Nonempty
this : (⋂ i, V i ∩ Wᶜ).Nonempty
⊢ False
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
α : Type u_2
MulAction G α
a : α
h1 : ∀ (h : ↥H), h • a = a → h = 1
h2 : ∀ (g : G), ∃ h, h • g • a = a
⊢ H.IsComplement' (MulAction.stabilizer G a)
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S✝
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : R
hr : IsUnit r
H : Function.Bijective ⇑(algebraMap R S)
x y : R
⊢ x = y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : ProperSpace 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty
⊢ ∃ k ∈ σ a, ↑‖k‖₊ = spectralRadius 𝕜 a
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
e : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ e.trans e.symm = LieEquiv.refl
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
⊢ WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XYIdeal W (W.addX x₁ x₂ L) (Polynomial.C (W.addY x₁ x₂ y₁ L)) =
  Ideal.span
      {(WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W)
          (W.negPolynomial - Polynomial.C (WeierstrassCurve.Affine.linePolynomial x₁ y₁ L))} ⊔
    WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XIdeal W (W.addX x₁ x₂ L)
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
this : sizeOf u.step < sizeOf u
⊢ u.step.reduce.IsReduced
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set α
hs : s.Subsingleton
f : α → β
⊢ ContinuousOn f s
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ Multiset.card s = 0 ↔ s = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : M → M' × N'
x : M
⊢ ContMDiffWithinAt I (I'.prod J') n f univ x ↔ ContMDiffWithinAt I I' n (Prod.fst ∘ f) univ x ∧ ContMDiffWithinAt I J' n (Prod.snd ∘ f) univ x
S : Type u_1
R : Type u_3
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
SMul S R
s : S
⊢ (s • a).imJ = s • a.imJ
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k✝ : ℕ
n : R
hn✝ : IsPrimePow n
k : ℕ
hk : k ≠ 0
p : R
k' : ℕ
hp : Prime p
hk' : 0 < k'
hn : p ^ k' = n
⊢ p ^ (k * k') = n ^ k
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
hinj : Injective ⇑f
hp : p.IsPath
⊢ (Walk.map f p).IsPath
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
g : β → γ
⊢ g '' range f ⊆ range g
F : Type u_1
Field F
x : F
⊢ (Lagrange.basisDivisor x x).degree = ⊥
R : Type u_1
Ring R
u : Rˣ
⊢ PowerSeries.invUnitsSub u * ((PowerSeries.C R) ↑u - PowerSeries.X) = 1
G : Type u_1
AddGroup G
S T : AddSubgroup G
x y : G
hx : x ∈ S
hy : y ∈ T
⊢ x + y ∈ S ⊔ T
a : ℝ
h : a ≠ 0
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => x * a) MeasureTheory.volume = ENNReal.ofReal |a⁻¹| • MeasureTheory.volume
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
he : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s1
p2 : P
hp2 : p2 ∈ ↑s2
v1 : V
hv1 : v1 ∈ s1.direction
v2 : V
hv2 : v2 ∈ s2.direction
hv1v2 : v1 +ᵥ p1 = -v2 +ᵥ p2
⊢ False
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
a : R
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' φ h₁ h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_7
f : ι → α
(j : α) → Decidable (j ∈ Set.range f)
g₁ g₂ : α → β
⊢ (Set.range f).piecewise g₁ g₂ ∘ f = g₁ ∘ f
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y z : α
⊢ dist x z ≤ dist x y + dist y z
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * sa • r₂ = rb * ↑s₁
hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S
⊢ ((sa • r₂ + ra • r₃) /ₒ (sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = rb • r₁ /ₒ (sb * (sa * s₂)) + (r₃ /ₒ s₃) • (r₁ /ₒ s₁)
α : Type u_1
S : Set (Set α)
H : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c → c.Nonempty → ∃ lb ∈ S, ∀ s ∈ c, lb ⊆ s
x : Set α
hx : x ∈ S
⊢ ∃ m ∈ S, m ⊆ x ∧ ∀ a ∈ S, a ⊆ m → a = m
F : Type u_1
AddCommGroup F
Module ℝ F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousSMul ℝ F
E : Submodule ℝ F
hcodim : 1 < Module.rank ℝ (F ⧸ E)
x : F
hx : x ∉ E
⊢ connectedComponentIn (↑E)ᶜ x = (↑E)ᶜ
R : Type u_3
n : Type w
Fintype n
CommRing R
DecidableEq n
Invertible 2
m : Type w
DecidableEq m
Fintype m
Q : QuadraticMap R (m → R) R
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
⊢ (Q.comp f).toMatrix' = (LinearMap.toMatrix' f).transpose * Q.toMatrix' * LinearMap.toMatrix' f
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M✝ : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
M : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousMul R
inst✝ : ContinuousSMul R M
z₁ z₂ : M
⊢ (ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₁).toMultilinearMap = (ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₂).toMultilinearMap ↔ z₁ = z₂
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
R : Type u_1
CommSemiring R
Algebra R 𝕜
q : R[X]
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x => (Polynomial.aeval x) q) s x = (Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative q)
G : Type w
TopologicalSpace G
InvolutiveInv G
ContinuousInv G
⊢ IsOpenMap Inv.inv
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
x y a b : X
hm : JordanHolderLattice.IsMaximal x a
ha : x ⊔ y = a
hb : x ⊓ y = b
⊢ JordanHolderLattice.Iso (x, a) (b, y)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)
hff' : ∀ᶠ (n : ι) in p, EqOn (F n) (F' n) s
⊢ ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ 𝓟 s, F n.1 n.2 = F' n.1 n.2
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (tensorRight U.X).map (coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft)) ≫ TensorBimod.actRight (P.tensorBimod Q) L ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ = (tensorRight U.X).map (coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ ▷ U.X ≫ TensorBimod.actRight P (Q.tensorBimod L)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing T
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra L F
inst✝² : Algebra R F
inst✝¹ : IsScalarTower R L F
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
⊢ (traceMatrix K ⇑pb.basis).det ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ : PMF α
s t : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
p q : PMF α
h : p.toMeasure = q.toMeasure
x : α
⊢ p x = q x
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ 0 < (MeasureTheory.Measure.haar.haarContent K₀).outerMeasure ↑K₀
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
this : (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) = fun b => (ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x)).toReal
⊢ ∫⁻ (x_1 : β), ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, x_1)) x) ∂ν a ≠ ⊤
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
x : α
s : Set α
y : β
Zero β
hs : IsClosed s
hy : y ≤ 0
⊢ LowerSemicontinuousAt (s.indicator fun _x => y) x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
W X Y Z : C
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso (biprod.map f g)
t : (fun p => biprod.inl ≫ p ≫ biprod.fst) (biprod.map f g ≫ inv (biprod.map f g)) = (fun p => biprod.inl ≫ p ≫ biprod.fst) (𝟙 (W ⊞ X))
⊢ f ≫ biprod.inl ≫ inv (biprod.map f g) ≫ biprod.fst = 𝟙 W
α : Type u_1
n : Nat
a : α
β : Type u_2
f : α → List β
⊢ (List.replicate n a).bind f = (List.replicate n (f a)).join
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
F : Type u_3
PseudoEMetricSpace F
f : E → F
C : ℝ≥0
hf : LipschitzWith C f
g : α → E
s : Set α
h : BoundedVariationOn g s
⊢ BoundedVariationOn (f ∘ g) s
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
⊢ ‖f‖ ≤ C
R : Type u_1
val : R
⊢ (PreQuasiregular.equiv val).val = val
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
s t : LeftExtension f g
i : s ⟶ t
x : B
h : c ⟶ x
⊢ ((s.whisker h).hom ≫ (precomp x f).map (i.right ▷ h)) ≫ (α_ f t.extension h).inv = (t.whisker h).hom ≫ (α_ f t.extension h).inv
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : f ≈ g
hpn : 0 < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) - padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
N : ℕ
hlt : padicNorm p (↑g (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg)))) < padicNorm p (↑f (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))))
h : padicNorm p (↑f (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg)))) ≠ padicNorm p (↑g (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))))
hN : ∀ j ≥ N, padicNorm p (↑(f - g) j) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) - padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
i : ℕ := max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))
hi : N ≤ i
hN' : padicNorm p (↑f (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg)))) < padicNorm p (↑f (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg)))) - padicNorm p (↑g (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))))
hpne : padicNorm p (↑f i) ≠ padicNorm p (-↑g i)
⊢ False
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁴ : Algebra R R'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
x : S
y : P.Ring
⊢ x • 1 ⊗ₜ[P'.Ring] (D R' P'.Ring) ((algebraMap P.Ring P'.Ring) y) = (algebraMap S S') x ⊗ₜ[P'.Ring] (D R' P'.Ring) (f.toAlgHom y)
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
a✝ b✝ : ℚ
h : dist a✝ b✝ < ε
⊢ dist (-a✝) (-b✝) < ε
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ (trace R M) (φ ⁅x, y⁆ ∘ₗ φ z) = (trace R M) ((φ x * φ y - φ y * φ x) * φ z)
α : Type u_2
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s : Finset ι
t : ι → Set α
⊢ μ.restrict (⋃ i ∈ s, t i) = ν.restrict (⋃ i ∈ s, t i) ↔ ∀ i ∈ s, μ.restrict (t i) = ν.restrict (t i)
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
ys : List α
⊢ (List.foldl (fun l x => { down := l.down + 1 }) { down := 0 } ys).down = ys.length
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : 0 ≤ r₂
h : r₁ ≤ r₂
⊢ Wbtw R x (r₁ • v +ᵥ x) (r₂ • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R x (r₂ • v +ᵥ x) (r₁ • v +ᵥ x)
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
AlgebraicGeometry.LocallyOfFiniteType (f ≫ g)
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyOfFiniteType f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀
x : α
hx : ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (ball x V ∩ s).Nonempty
y : α
hy : y ∈ ball x V₁
hy' : y ∈ s
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
a✝ : SymmetricRel V
z : α
hz : z ∈ ball x (V₁ ∩ V)
hz' : z ∈ s
⊢ (x, y) ∈ V
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ ⇑(ContinuousAlgHom.snd R A B) = Prod.snd
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
s : Set A
hs : s ⊆ ↑S
⊢ StarAlgebra.adjoin R s ≤ S
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
⊢ map f ⊤ = ⊤
ι : Type u_4
IsEmpty ι
f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4}
⊢ Ordinal.sup f = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
σ : R →+* S
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
M₂ : Type u_4
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module S M₂
self : M →SL[σ] M₂
⊢ Continuous (↑self).toFun
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
h : ∀ m ≤ n, ¬P m
h₁ : (find P).Dom
⊢ Nat.find h₁ ≤ n → ¬P (Nat.find h₁)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.4862, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasHomology
inst✝ : HasZeroObject C
⊢ S.Exact ↔ Nonempty (S.homology ≅ 0)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
m : σ →₀ ℕ
s : σ
p : MvPolynomial σ R
⊢ (if Finsupp.single s 1 ≤ m then coeff (m - Finsupp.single s 1) p * 1 else 0) = if s ∈ m.support then coeff (m - Finsupp.single s 1) p else 0