ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
U : TopologicalSpace.Opens G
hU : μ.outerMeasure ↑U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.outerMeasure ↑U ≤ μ.outerMeasure ↑K + ↑ε
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
v : E
hv : v ∈ ball 0 r
v_ne : v ≠ 0
⊢ v ∈ {x_1 | (fun x_2 => ‖f (x + x_2) - f x - L x_2‖ ≤ ε * ‖x_2‖) x_1}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : d < c
h₁ : a < c
h₂ : d < b
⊢ Icc a b ∪ Icc c d = Icc (min a c) (max b d)
α : Type u
CommGroup α
Fintype α
h : Monoid.exponent α = Fintype.card α
⊢ IsCyclic α
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
this : Nontrivial ↥H ↔ H ≠ ⊥
⊢ H = ⊥ ∨ Nontrivial ↥H
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
a : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
m n : ℤ
⊢ (f ^ m) a = (f ^ n) a ↔ m ≡ n [ZMOD ↑s.card]
K : Type u_1
RCLike K
r : ℝ
⊢ RCLike.im ↑r = 0
R : Type u_1
Semiring R
V : Type u_18
V₂ : Type u_17
⊢ ⇑(LinearEquiv.curry R V V₂).symm = Function.uncurry
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
hab : a ≤ b
hb : b ≠ 0
hcd : c < d
hd : d ≠ 0
ha : ¬a = 0
hc : c = 0
⊢ a * c < b * d
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : MulSemiringAction M R
m : M
n : ℕ
r : R
⊢ m • (monomial n) r = map (MulSemiringAction.toRingHom M R m) ((monomial n) r)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
g h : C
f : C
α : g ⟶ h
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft f α = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft f α
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R ≃+* R'
j : S ≃+* S'
hc : (algebraMap R' S').comp i.toRingHom = j.toRingHom.comp (algebraMap R S)
r : R
x✝ : S
this : ((algebraMap R' S').comp i.toRingHom) r = (j.toRingHom.comp (algebraMap R S)) r
⊢ ↑j (r • x✝) = ↑i r • ↑j x✝
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
τ : Type u_2
f : σ → MvPolynomial τ R
g : τ → R
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.eval (⇑(MvPolynomial.eval g) ∘ f)) p = (MvPolynomial.eval g) (MvPolynomial.eval₂ MvPolynomial.C f p)
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
D₁ : Type u_1
D₂ : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} D₁
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
F : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : Φ.HasRightResolutions
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ F
this✝ : Φ.IsRightDerivabilityStructure ↔ TwoSquare.GuitartExact (CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)).hom
e' : Φ.functor ⋙ W₂.Q ≅ W₁.Q ⋙ Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q := CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)
E₁ : W₁.Localization ≌ D₁ := uniq W₁.Q L₁ W₁
E₂ : W₂.Localization ≌ D₂ := uniq W₂.Q L₂ W₂
e₁ : W₁.Q ⋙ E₁.functor ≅ L₁ := compUniqFunctor W₁.Q L₁ W₁
e₂ : W₂.Q ⋙ E₂.functor ≅ L₂ := compUniqFunctor W₂.Q L₂ W₂
e'' : (Φ.functor ⋙ W₂.Q) ⋙ E₂.functor ≅ (W₁.Q ⋙ E₁.functor) ⋙ F := Φ.functor.associator W₂.Q E₂.functor ≪≫ isoWhiskerLeft Φ.functor e₂ ≪≫ e ≪≫ isoWhiskerRight e₁.symm F
e''' : Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q ⋙ E₂.functor ≅ E₁.functor ⋙ F := liftNatIso W₁.Q W₁ ((Φ.functor ⋙ W₂.Q) ⋙ E₂.functor) ((W₁.Q ⋙ E₁.functor) ⋙ F) (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q ⋙ E₂.functor) (E₁.functor ⋙ F) e''
this : TwoSquare.vComp' e'.hom e'''.hom e₁ e₂ = e.hom
⊢ TwoSquare.GuitartExact (CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)).hom ↔ TwoSquare.GuitartExact e.hom
n a b : ℕ
t : List ℕ
⊢ ofDigits (-1) (a :: b :: t) = (List.map (fun n => ↑n) (a :: b :: t)).alternatingSum
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : InvariantBasisNumber R
h : ¬Nontrivial R
⊢ False
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : S' →ₐ[R] A
h₁ : f.comp (toAlgHom R R' S') = g.comp (toAlgHom R R' S')
h₂ : f.comp (toAlgHom R S S') = g.comp (toAlgHom R S S')
x : S'
⊢ ∀ (s : S) (n : S'), f n = g n → f (s • n) = g (s • n)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
inst✝ : DecidableEq K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
hd : P.disc ≠ 0
⊢ ∃ x y z, (map φ P).roots = {x, y, z}
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ENNReal
hf : DifferentiableOn ℂ f (EMetric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ EMetric.ball c r
r' : NNReal
hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'
hr' : ↑r' < r
⊢ DifferentiableOn ℂ f (EMetric.ball c ↑r')
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ (ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1).re * (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z).re = (ε + sSupNormIm f 0) ^ (z.re - 1) * (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z.re)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A₁ A₂ A₃ : C
CategoryTheory.Closed A₁
CategoryTheory.Closed A₂
CategoryTheory.Closed A₃
f : A₁ ⟶ A₂
g : A₂ ⟶ A₃
⊢ CategoryTheory.MonoidalClosed.pre (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalClosed.pre g) (CategoryTheory.MonoidalClosed.pre f)
α : Type u_1
Ω✝ : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω✝
κ✝ : Kernel α Ω✝
μ✝ : Measure α
Ω : Type u_4
m : ι → MeasurableSpace Ω
m' m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
h_indep : ∀ (i : ι), Indep (m i) m' κ μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0
h_le' : m' ≤ m0
hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m
p : ι → Set (Set Ω) := fun n => {t | MeasurableSet t}
hp : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)
h_gen_n : ∀ (n : ι), m n = generateFrom (p n)
hp_supr_pi : IsPiSystem (⋃ n, p n)
p' : Set (Set Ω) := {t | MeasurableSet t}
hp'_pi : IsPiSystem p'
h_gen' : m' = generateFrom p'
h_pi_system_indep : IndepSets (⋃ n, p n) p' κ μ
⊢ Indep (⨆ i, m i) m' κ μ
α : Type u_1
σ : Type u_2
self : Ctop α σ
a b : σ
x : α
h : x ∈ self.f a ∩ self.f b
⊢ self.f (self.inter a b x h) ⊆ self.f a ∩ self.f b
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' G'' : G.Subgraph
h : G' ≤ G''
v : V
Fintype ↑(G'.neighborSet v)
Fintype ↑(G''.neighborSet v)
⊢ G'.degree v ≤ G''.degree v
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : ℕ → β
hf : CauchySeq f
hf1 : (map f atTop).NeBot
hf2 : ∀ s ∈ uniformity β, ∃ t ∈ map f atTop, t ×ˢ t ⊆ s
⊢ IsCauSeq norm f
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
f g : ExteriorAlgebra R M →ₗ[R] N
h : ∀ (i : ℕ), f.compAlternatingMap (ExteriorAlgebra.ιMulti R i) = g.compAlternatingMap (ExteriorAlgebra.ιMulti R i)
⊢ f = g
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l l' : List ι
hl : l.Perm l'
hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0
co : List.Pairwise (Nat.Coprime on s) l
⊢ ↑(Nat.chineseRemainderOfList a s l co) = ↑(Nat.chineseRemainderOfList a s l' ⋯)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
⊢ AntivaryOn f g⁻¹ s ↔ MonovaryOn f g s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeSup α
inst✝⁵ : OrderTop α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeSup β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑s
ha : a ∈ s
⊢ s.truncatedSup a ≤ a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 a
⊢ ContinuousOn f s ∧ DifferentiableAt 𝕜 f a → ContinuousOn (dslope f a) s
l : Filter ℂ
self : Complex.IsExpCmpFilter l
n : ℕ
⊢ (fun z => z.im ^ n) =O[l] fun z => Real.exp z.re
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β → γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f)
⊢ ∫⁻ (bc : β × γ), f bc.1 bc.2 ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), f b c ∂η (a, b) ∂κ a
α : Type u_2
s : Set (Filter α)
l : Filter α
⊢ l ∈ closure s ↔ ∀ t ∈ l, ∃ l' ∈ s, t ∈ l'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
f : α → β
R : RegularExpression α
⊢ ⨆ i, (Language.map f) (R.matches' ^ i) = (Language.map f) (⨆ i, R.matches' ^ i)
R : Type u
Field R
p : R[X]
⊢ IsUnit p ↔ p.degree = 0
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
v : m → α
⊢ ‖row ι v‖ = ‖(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm v‖
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x₁ x₂ y₁ y₂ : X
hsat₁ : JordanHolderLattice.IsMaximal (RelSeries.last s) x₁
hsat₂ : JordanHolderLattice.IsMaximal (RelSeries.last s) x₂
hsaty₁ : JordanHolderLattice.IsMaximal (RelSeries.snoc s x₁ hsat₁).last y₁
hsaty₂ : JordanHolderLattice.IsMaximal (RelSeries.snoc s x₂ hsat₂).last y₂
hr₁ : JordanHolderLattice.Iso (RelSeries.last s, x₁) (x₂, y₂)
hr₂ : JordanHolderLattice.Iso (x₁, y₁) (RelSeries.last s, x₂)
⊢ CompositionSeries.Equivalent ((RelSeries.snoc s x₁ hsat₁).snoc y₁ hsaty₁) ((RelSeries.snoc s x₂ hsat₂).snoc y₂ hsaty₂)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h'f : 0 ≤ f
M : MeasurableSet (Set.Ioc 0 A)
M' : MeasurableSet (Set.Ioc A 0)
hA : 0 ≤ A
⊢ ∫ (x : α), (fun z => (Set.Ioc 0 A).indicator id z ^ n) (f x) ∂μ = ∫ (y : ℝ) in 0 ..A, y ^ n ∂Measure.map f μ
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Ring α
StarRing α
d : ℤ
⊢ (↑d)ᴴ = ↑d
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
b : β
⊢ List.map (fun x => b) l = List.replicate l.length b
α : Type u_2
A : Set α
T : Set (Set ↑A)
hT : T.Nonempty
⊢ Subtype.val '' ⋂₀ T = ⋂₀ {x | ∃ B ∈ T, Subtype.val '' B = x}
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ : X
⊢ Equivalence Path.Homotopic
X Y : TopCat
c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsColimit c) ↔
  OpenEmbedding ⇑c.inl ∧ OpenEmbedding ⇑c.inr ∧ IsCompl (Set.range ⇑c.inl) (Set.range ⇑c.inr)
α : Type u_1
DecidableEq α
AddGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.addETransformLeft e x).1.card + (Finset.addETransformRight e x).1.card = 2 * x.1.card
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ Finset.range n, C ↑p ^ x * (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x) = ∑ x ∈ Finset.range n, C ↑p ^ x * wittStructureRat p Φ x ^ p ^ (n - x)
ι : Type u_1
Fintype ι
Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} =
  ENNReal.ofReal r ^ (2 * Fintype.card ι) *
    ENNReal.ofReal ((Real.pi * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ Fintype.card ι / Real.Gamma (2 * ↑(Fintype.card ι) / p + 1))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0
Q : R[X]
hQ : P * Q = 0
l : ℕ
IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0
hl : (P.coeff l • Q).natDegree = Q.natDegree
m : ℕ := Q.natDegree
⊢ ∀ b ∈ antidiagonal (l + m), b ≠ (l, m) → P.coeff b.1 * Q.coeff b.2 = 0
α : Type u_1
f g : Equiv.Perm α
⊢ f.Disjoint g⁻¹ ↔ f.Disjoint g
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Mul α
SemilatticeSup β
OrderBot β
s t : Finset α
f : α → β
a : β
⊢ (s * t).sup f ≤ a ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, f (x * y) ≤ a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : FiniteDimensional k V
p : ι → P
a✝ : Nontrivial ι
inhabited_h : Inhabited ι
hi : LinearIndependent k fun i => p ↑i -ᵥ p default
⊢ _root_.Finite ι
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
DecidableEq ι
(i : ι) → Preorder (π i)
x : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i
⊢ Function.update x i a ≤ Function.update x i b ↔ a ≤ b
⊢ borel ℝ = MeasurableSpace.generateFrom (⋃ a, {Set.Iic ↑a})
α : Type u_2
M : Type u_4
CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
a : α
s : Set α
f g : α → M
hfg : a ∈ s → f a ≤ g a
⊢ s.indicator f a ≤ g a
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
s : Set α
d : ℝ
hs : s.Nontrivial
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → d ≤ dist x y
⊢ d ≤ s.infsep
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n : ι
ω : Ω
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
m : ι
i : ι
hi : i ≤ m
⊢ MeasureTheory.hitting u s n m ω < i ↔ ∃ j ∈ Set.Ico n i, u j ω ∈ s
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
B : LinearMap.BilinForm R₂ (n → R₂)
M : Matrix n n R₂
⊢ M * LinearMap.BilinForm.toMatrix' B = LinearMap.BilinForm.toMatrix' (B.compLeft (Matrix.toLin' M.transpose))
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
f g : CategoryTheory.Over X
k : f ⟶ g
hk : CategoryTheory.Epi k.left
⊢ CategoryTheory.Epi k
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : ⨁ (n : ℕ), ⨂[R]^n M
⊢ TensorAlgebra.equivDirectSum.symm a = TensorAlgebra.ofDirectSum a
G : Type u
CommMonoid G
hG : Monoid.ExponentExists G
⊢ ∃ g, orderOf g = Monoid.exponent G
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a b : E
⊢ ⟪a, b⟫_ℝ ^ 2 + (o.areaForm a) b ^ 2 = ‖a‖ ^ 2 * ‖b‖ ^ 2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
⊢ ∃ p₀ v, ∀ p ∈ {p₁, p₂}, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : a ∈ s
h₀ : ∀ b ∈ s, b ≠ a → f b = 1
⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : α → β
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ ↔ MeasureTheory.HasFiniteIntegral g μ
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.IsReflexive R M
f : Module.Dual R M
g : Module.Dual R (Module.Dual R M)
⊢ f ((Module.evalEquiv R M).symm g) = g f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
NormedAddCommGroup E
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
NormedSpace ℝ E
f : β × γ → E
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f (s ×ˢ Set.univ) ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (z : β × γ) in s ×ˢ Set.univ, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β) in s, ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.53320, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.53324, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
e : F ≅ G
n : A
⊢ e.inv.hom n ≫ e.hom.hom n = 𝟙 (G.functor n)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
DecidableEq ι
AddMonoid ι
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
r x : A
hx₁ : SetLike.Homogeneous 𝒜 x
hx₂ : x ∈ I
j : ι
⊢ (GradedRing.proj 𝒜 j) (r * x) ∈ I
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ Metric.ball x ε ∪ Metric.sphere x ε = Metric.closedBall x ε
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
T2Space α
f : β → αᵐᵒᵖ
⊢ ∑' (x : β), MulOpposite.unop (f x) = MulOpposite.unop (∑' (x : β), f x)
α✝ β✝ : Type u
a b : Cardinal.{v}
α β : Type v
⊢ lift.{u, v} #α ≤ lift.{u, v} #β ↔ #α ≤ #β
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
f : M → E'
g : M → E''
hf : MDifferentiable I 𝓘(𝕜, E') f
hg : MDifferentiable I 𝓘(𝕜, E'') g
⊢ MDifferentiable I 𝓘(𝕜, E' × E'') fun x => (f x, g x)
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
s : Set α
(x : α) → Decidable (x ∈ s)
⊢ s.restrict (s.piecewise f g) = s.restrict f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
h : ∃ t, IsChain r s ∧ SuperChain r s t
⊢ SuperChain r s (SuccChain r s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
A : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ ((ContinuousLinearMap.toWOT 𝕜 E F) A) x = A x
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
f : Filter α
q : β → β → Prop
u : α → β
hu : ∀ (a₀ a₁ : α), r a₀ a₁ → q (u a₀) (u a₁)
⊢ Filter.IsBounded r f → Filter.IsBoundedUnder q f u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
⊢ (liminf u f)ᶜ = limsup (compl ∘ u) f
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
I I' : Ideal R
J J' : Ideal S
⊢ I.prod J = I'.prod J' ↔ I = I' ∧ J = J'
α : Type u_1
β : Type u_2
h : Set α → Set β
hh : Monotone h
⊢ ⊥.lift' h = 𝓟 (h ∅)
n : Nat
i : Fin n
h : i.succ ≠ 0
⊢ i.succ.pred h = i
α : Type u_1
β : Type u_2
Finite β
f : α ↪ β
⊢ Nat.card α ≤ Nat.card β
K' : Type u_3
Field K'
p : ℕ
hp : 1 < p
⊢ Polynomial.X ^ p - Polynomial.X ≠ 0
a b c : Cardinal.{u_1}
hc : ℵ₀ ≤ c
h1 : a < c
h2 : b < c
h : ℵ₀ ≤ max a b
⊢ max a b + max a b < c
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : a < b
⊢ (if h : ∃ y, a < y then ⋯.min {y | a < y} h else a) ≤ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
Y Z : C
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.prodComonad X).map g = CategoryTheory.Limits.prod.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) g
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
ν.IsMulRightInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.1, z.2 * z.1)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ -⊤ = ⊤
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰X : X.OpenCover
𝒰Y : Y.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
ij : 𝒰X.J × 𝒰Y.J
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.openCoverOfLeftRight 𝒰X 𝒰Y f g).obj ij =
  CategoryTheory.Limits.pullback (𝒰X.map ij.1 ≫ f) (𝒰Y.map ij.2 ≫ g)
n : ℕ
⊢ (Nat.unpair n).1 ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
⊢ (∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b) ↔ ∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
ε : Sort u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
f₁ : α → β
f₂ : β → ε
g₁ : γ → δ
g₂ : δ → ε
⊢ Sum.elim f₂ g₂ ∘ Sum.map f₁ g₁ = Sum.elim (f₂ ∘ f₁) (g₂ ∘ g₁)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ (o.oangle x (x + y)).sign = (o.oangle x y).sign
X : Type u
α : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set α
f : α → Set X
hs : s.Finite
h : ∀ i ∈ s, IsClosed (f i)
⊢ IsClosed (⋃ i ∈ s, f i)
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
⊢ MvFunctor.LiftP p ⟨a, f⟩ ↔ ∀ (i : Fin2 n) (x : P.B a i), p (f i x)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : F''
⊢ ((c = 0 → f'' =ᶠ[l] 0) ∧ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f'' x‖) → f'' =O[l] fun _x => c
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.Discrete α ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => X.obj { as := j }
CategoryTheory.Limits.HasLimit X
j : α
⊢ (CategoryTheory.Limits.Pi.isoLimit X).inv ≫ CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun j => X.obj { as := j }) j =
  CategoryTheory.Limits.limit.π X { as := j }
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
a : ℕ
h : a ∈ Multiset.replicate (Fintype.card α - σ.support.card) 1
⊢ ¬2 ≤ 1
α : Type u_1
R : Type u_7
Semiring R
f : α → R
r : R
h : (Function.support f).Finite
⊢ r * ∑ᶠ (a : α), f a = ∑ᶠ (a : α), r * f a
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
hφ : φ.IsSymmetric
e : σ ≃ τ
⊢ ((MvPolynomial.rename ⇑e) φ).IsSymmetric
m₁ m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
e : m = m₁ ++ m₂
⊢ ∀ (n : Nat), x✝.nextn n { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + utf8Len (List.take n m₂) }
a : PUnit.{u + 1}
⊢ aᶜ = PUnit.unit
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x₀ : E
m n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x₀
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiffAt 𝕜 m (fderiv 𝕜 f) x₀
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteLimits F
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteColimits F
⊢ (CategoryTheory.ExactFunctor.of F).obj = F
R : Type u_1
CommRing R
CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
⊢ Polynomial.eval 0 ((⇑Polynomial.derivative)^[ν] (bernsteinPolynomial R n ν)) ≠ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f (iso x)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K : Multicofork I
a : I.L
⊢ I.multispan.map (WalkingMultispan.Hom.snd a) ≫ K.ι.app (WalkingMultispan.right (I.sndFrom a)) = I.snd a ≫ K.π (I.sndFrom a)