ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C X
x y : ↑X
h : x ⤳ y
j✝ : (OpenNhds (f y))ᵒᵖ
⊢ (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso f x).inv) F).app (op { obj := (unop j✝).obj, property := ⋯ }) ≫ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj F) ((OpenNhds.map f x).op.obj (op { obj := (unop j✝).obj, property := ⋯ })) = (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso f y).inv) F).app j✝ ≫ (Cocone.whisker (OpenNhds.map f y).op { pt := (stalkFunctor C x).toPrefunctor.1 F, ι := { app := fun U => colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ F) (op { obj := (unop U).obj, property := ⋯ }), naturality := ⋯ } }).ι.app j✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
CommMonoid α
DecidableEq κ
Fintype κ
s : Finset ι
g : ι → κ
f : κ → α
⊢ ∏ j : κ, ∏ _i ∈ Finset.filter (fun i => g i = j) s, f j = ∏ i ∈ s, f (g i)
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hp : h.IsPrimitiveClassified
⊢ h.IsClassified
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
m : M
f : ℤ → M
hf : HasProd f m
⊢ HasProd (fun n => f ↑n * f (-(↑n + 1))) m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ ‖A x‖ = √(RCLike.re ⟪x, ((ContinuousLinearMap.adjoint A).comp A) x⟫_𝕜)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
⊢ (dirac a ⊗ₘ κ) s = (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
G : Type u_8
hG : Group G
inst✝³ : DistribMulAction G R
inst✝² : DistribMulAction G M
inst✝¹ : IsScalarTower G R M
inst✝ : SMulCommClass G R M
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
w : ι → G
⊢ LinearIndependent R (w • v)
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN
⊢ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
⊢ ε • μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≤ ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ)
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
k : Rˣ
hk : ↑k = p.leadingCoeff
⊢ k = ⋯.unit * 1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
H : J ⥤ K ⥤ C
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
k : K
W : C
f g : (colimit H).obj k ⟶ W
w : ∀ (j : J), (colimit.ι H j).app k ≫ f = (colimit.ι H j).app k ≫ g
⊢ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation H k).inv ≫ f = (colimitObjIsoColimitCompEvaluation H k).inv ≫ g
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => x⁻¹) {x | x ≠ 0}
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
e : (chainLength α β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑α) β
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
hxA : x ∈ A
hAx : ∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ A → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ A → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
⊢ ∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ A → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ A → ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ {x} → x_1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ ∈ {x} ∧ x₂ ∈ {x}
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproduct.isoCoproduct f).inv =
  CategoryTheory.Limits.Sigma.desc (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
G : Type u
AddCommMagma G
IsLeftCancelAdd G
⊢ IsCancelAdd G
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
P : Ideal S
P.IsPrime
⊢ Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap f P) P f ⋯) ↔
  ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ P, f r ∉ P ∧ c * f r * s = c * f x
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ : Finset α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
⊢ Eₘ[s, t] = ∑ a : α, (filter (fun x => match x with | (x, y) => x * y = a) (s ×ˢ t)).card ^ 2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedCommRing 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
⊢ B.polar ∅ = Set.univ
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
φ : G ≃g G'
v : V
C : G.ConnectedComponent
⊢ G'.connectedComponentMk (φ v) = SimpleGraph.ConnectedComponent.map (RelIso.toRelEmbedding φ).toRelHom C ↔
  G.connectedComponentMk v = C
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
x✝ y : R
n : ℕ
S : Type u_3
inst✝ : MonoidWithZero S
x : S
N : ℕ
hN : x ^ N = 0
⊢ IsNilpotent (x ^ n.succ)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b c : α
H : b ∈ Set.Ico a c
⊢ Set.Ioo a c ∈ 𝓝[>] b
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' d : 𝕜'
⊢ deriv (fun x => c x / d) x = deriv c x / d
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
f : R →+* S
⊢ ((MvPolynomial.map f) φ).IsHomogeneous n
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
⊢ p ≠ ⊤ →
  ∀ (x y : WithLp p (α × β)), nndist x y = (nndist x.1 y.1 ^ p.toReal + nndist x.2 y.2 ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
α : Type u
a : α
s : Set α
⊢ s ∩ {a} = ∅ ↔ a ∉ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
S : J.Cover X
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
I : S.Relation
⊢ (S.index P).right I = P.obj (Opposite.op I.r.Z)
X : Type u_2
E : Type u_3
TopologicalSpace X
AddCommGroup E
Module ℝ E
NormalSpace X
ParacompactSpace X
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul ℝ E
t : X → Set E
ht : ∀ (x : X), Convex ℝ (t x)
H : ∀ (x : X), ∃ c, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, c ∈ t y
⊢ ∃ g, ∀ (x : X), g x ∈ t x
I : Type u_1
J : Type u_2
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
X : CategoryTheory.GradedObject I C
p : I → J
X.HasMap p
⊢ CategoryTheory.GradedObject.mapMap (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) p =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.mapObj p)
α : Type u_2
M : Matroid α
X I : Set α
h : M.Basis I (M.closure X)
⊢ M.closure I = M.closure X
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
i : ι
⊢ iInf f ≤ f i
a b c d n : ℕ
z : ℝ
hz : z ≤ (↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries n
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : a ^ 2 * d ≤ (2 * d + c) * b ^ 2
hb' : 0 < ↑b
⊢ (↑a / ↑b) ^ 2 ≤ 2 + ↑c / ↑d
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
f✝ : α → α
s✝ : Set α
μ✝ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : α → α
μ : Measure α
h : Conservative f μ
this : ∀ s ∈ countableBasis α, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
x : α
hx : ∀ i ∈ countableBasis α, x ∈ i → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ i
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) = ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F).symm ∘ iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
D H : Subgroup G
inst✝ : D.FiniteIndex
hD_le_H : D ≤ H
t : Set ↥H
ht : t ∈ leftTransversals ↑(D.subgroupOf H) ∧ 1 ∈ t
⊢ ∃ t, ↑t ∈ leftTransversals ↑(D.subgroupOf H) ∧ ⋃ g ∈ t, ↑g • ↑D = ↑H
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
I : Type u_1
Y : I → C
Z X : C
g : Z ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.Sieve.ofObjects Y X).arrows g ↔ ∃ i, Nonempty (Z ⟶ Y i)
R : Type u_1
CommRing R
IsArtinianRing R
⊢ Finite ↑{I | I.IsMaximal}
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Submodule.traceDual A K I
⊢ IsIntegral A (Algebra.discr K ⇑b • a * x)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
⊢ IsIntegralClosure ↥(adjoin ℤ {ζ}) ℤ K
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
NatCast α
m : ℕ
m.AtLeastTwo
⊢ Matrix.diagonal (OfNat.ofNat m) = OfNat.ofNat m
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ : M
x : M × M'
this : ∀ᶠ (y : E × E') in 𝓝[range ↑(I.prod I')] ↑(extChartAt (I.prod I') x) x, (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.1
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt (I.prod I') I x Prod.fst) (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)) (range ↑(I.prod I')) (↑(extChartAt (I.prod I') x) x)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card
hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
g : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin P.parts.card
hg : ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(g t) < s.card % P.parts.card
z : { x // x ∈ s } → ℕ := fun a => P.parts.card * ↑(f a).snd + ↑(g (f a).fst)
gl : ∀ (a : { x // x ∈ s }), ↑(g (f a).fst) < P.parts.card
less : ∀ (a : { x // x ∈ s }), z a < s.card
z' : { x // x ∈ s } → Fin s.card := fun a => ⟨z a, ⋯⟩
⊢ ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % P.parts.card = ↑(f b) % P.parts.card
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
f : α → β
x : α
⊢ Set.MapsTo f {x} t ↔ f x ∈ t
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, deriv g x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atBot l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, DifferentiableAt ℝ g x
hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, HasDerivAt f (deriv f x) x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ (∀ (W : C), CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor (CategoryTheory.yoneda.obj W) S.arrows) ↔
  Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsColimit S.arrows.cocone)
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x✝¹ : B
f : B →ₐ[A] B'
hf : Injective ⇑f
x : B
x✝ : IsIntegral A x
⊢ ⋯.min (fun x_1 => x_1.Monic ∧ eval₂ (algebraMap A B') (f x) x_1 = 0) ⋯ = ⋯.min (fun x_1 => x_1.Monic ∧ eval₂ (algebraMap A B) x x_1 = 0) x✝
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ Nat.card ↥H = 1 ↔ H = ⊥
s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ ∃ M, 𝓝[Complex.stolzCone s] 1 ≤ 𝓝[Complex.stolzSet M] 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
𝔸' : Type u_7
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
hd : HasFDerivWithinAt d d' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun y => c y * d y) (c x • d' + d x • c') s x
x : Int
xs : List Int
i : Nat
⊢ Lean.Omega.IntList.get (x :: xs) (i + 1) = Lean.Omega.IntList.get xs i
X : Compactum
F : Ultrafilter X.A
⊢ ∀ (s : Set X.A), X.str F ∈ s → IsOpen s → s ∈ ↑F
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n k : ℕ
hk : ∀ m < k, ∀ (y : E), ((p m) fun x => y) = 0
psum_eq : p.partialSum (k + 1) = fun y => (p k) fun x => y
h : (fun y => 0 (x + y) - p.partialSum k.succ y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ k.succ
⊢ ∀ (y : E), ((p k) fun x => y) = 0
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X✝ Y✝ : limit (F ⋙ objects)
x✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ x✝ ≫ 𝟙 Y✝ = x✝
α : Type u_2
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (MeasureTheory.Measure.sum μ).restrict s = MeasureTheory.Measure.sum fun i => (μ i).restrict s
h : Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
h_eq : ∀ x ∈ Set.Iio 0, (-(fun x => log x * x) ∘ fun x => |x|) x = log x * x
⊢ 𝓝[<] 0 ≤ 𝓝[≠] 0
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
⊢ ∀ (a : ℕ), ↑a ∈ closure (Set.range Int.cast)
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a : R
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n ≠ 0
⊢ 1 < a ^ n ↔ 1 < a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
b : α
h : StrictMono f
⊢ f '' Set.Iio b ⊆ Set.Iio (f b)
x y : Nat
⊢ (x.beq y = true) = (x = y)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l l' : Filter α✝
α : Type u_17
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α
f : α → E
g : α → F
⊢ f =O[atTop] g ↔ ∀ᶠ (n₀ : α) in atTop, ∃ c, ∀ n ≥ n₀, ‖f n‖ ≤ c * ‖g n‖
x : ℝ
h : 0 < x
⊢ 0 < x.smoothTransition
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
N : Subgroup G
n : N.Normal
inst✝ : FirstCountableTopology G
u : ℕ → Set G
hu : (𝓝 1).HasBasis (fun x => True) u
u_anti : Antitone u
⊢ ∃ u, (𝓝 1).HasAntitoneBasis u ∧ ∀ (n : ℕ), u (n + 1) * u (n + 1) ⊆ u n
V : Type u
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
v w : V
⊢ (G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w}) =
  ((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v})
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y : ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace
h : 𝒰.fromGlued.val.base x = 𝒰.fromGlued.val.base y
⊢ x = y
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
α : Type v
s : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen (s a)
U : α → Set Y
hUo : ∀ (a : α), IsOpen (U a)
hU : ∀ (a : α), e ⁻¹' U a = s a
hu : ⋃ a, e ⁻¹' U a = univ
⊢ ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ e ⁻¹' U a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
⊢ s = univ ↔ ∀ (x : α), x ∈ s
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
K : Compacts ℝ
r : ℝ
hr : ↑K ⊆ Metric.closedBall 0 r
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖) =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
H : C ⥤ D
F : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C
X : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ (((CategoryTheory.SimplicialObject.whiskering C D).obj H).obj F).obj X = H.obj (F.obj X)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroOneClass M₀
s t : Set ι
i x✝ : ι
⊢ (s ∩ t).indicator 1 x✝ = (s ∩ t).indicator (fun j => 1) x✝
R : Type u
CommRing R
S T : Ideal R
H : S ≤ T
⊢ (Ideal.Quotient.factor S T H).comp (Ideal.Quotient.mk S) = Ideal.Quotient.mk T
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n✝ : ℕ
M : Fin n✝.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₂
ι' : Type u_1
k l n : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : MultilinearMap R (fun x => M') (MultilinearMap R (fun x => M') M₂)
x y : M'
⊢ ((curryFinFinset R M₂ M' hk hl).symm f) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y) = (f fun x_1 => x) fun x => y
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ ((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))).π.app WalkingCospan.left = ?refine_1.hom ≫ H.cone.π.app WalkingCospan.left
I : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} I
B : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory B
CategoryTheory.Bicategory.Strict B
F : CategoryTheory.Functor I B
i : CategoryTheory.LocallyDiscrete I
⊢ F.toOplaxFunctor.obj i = F.obj i.as
w : Nat
x : BitVec w
n : Nat
⊢ x.ushiftRight n = x >>> n
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
f : α
hf : f ∈ B₁ \ B₂
hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))
this : (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard < (B₂ \ B₁).encard
hencard : ((B₁ \ B₂) \ {f}).encard ≤ ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard
⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
s : Finset α
f : α → β
⊢ s.sup f = sSup (f '' ↑s)
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
⊢ Disjoint x yᶜ ↔ x ≤ y
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
⊢ ↑(∫ (t : ℝ) in Ioi 0, t ^ (a - 1) * rexp (-(r * t))) = (↑1 / ↑r) ^ ↑a * Complex.Gamma ↑a
α : Type u_2
DecidableEq α
s : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
h : ∀ a ∈ s, (Finset.filter (fun x => a ∈ x) B).card = n
⊢ ∑ t ∈ B, (s ∩ t).card = s.card * n
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁰ : Semifield R
inst✝¹⁹ : StarRing R
inst✝¹⁸ : MetricSpace R
inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁶ : ContinuousStar R
inst✝¹⁵ : Semifield S
inst✝¹⁴ : StarRing S
inst✝¹³ : MetricSpace S
inst✝¹² : TopologicalSemiring S
inst✝¹¹ : ContinuousStar S
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra S A
inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h0 : p 0
h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ SpectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(spectrum S a)
a : A
ha : p a
⊢ (starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯) (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = a
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
BoundedOrder α
Lattice β
BoundedOrder β
FunLike F α β
BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a b : α
h : Codisjoint a b
⊢ Codisjoint (f a) (f b)
α : Type u_1
Semiring α
n : ℕ
v w : Fin n → α
⊢ Matrix.circulant v * Matrix.circulant w = Matrix.circulant ((Matrix.circulant v).mulVec w)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s
⊢ (∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b) → ∃ a, s = {a}
⊢ AntitoneOn (fun x => Real.log x / √x) {x | Real.exp 2 ≤ x}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.isoRestrict f).hom ≫ Y.ofRestrict ⋯ = f
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
p : Z.TotalSpace
⊢ p ∈ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source ↔ p.proj ∈ Z.baseSet i
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
⊢ (filter (fun t => t.1.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k)).disjUnion (filter (fun t => t.1.card = k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k)) ⋯ = MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k
a b c : ℕ
hab : a = b
hbc : b = c
x : ZMod a
⊢ (ZMod.ringEquivCongr hbc) ((ZMod.ringEquivCongr hab) x) = (ZMod.ringEquivCongr ⋯) x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p0 : P
s : Set ι
p : ι → P
⊢ (∃ fs, ↑fs ⊆ s ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 = (affineCombination k fs p) w) ↔ ∃ fs w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 = (affineCombination k fs fun i => p ↑i) w
α : Type u_1
β : Type u_2
AddGroup α
AddAction α β
a : α
x : β
⊢ (Equiv.symm (AddAction.toPerm a)) x = -a +ᵥ x