ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
⊢ Module.rank k ↥⊥ ≤ 1
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{u_11, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{u_13, u_3} C₃
inst✝⁴ : Category.{u_14, u_4} C₄
inst✝³ : Category.{?u.57419, u_5} C₁₂
inst✝² : Category.{?u.57423, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ Y₃ : GradedObject I₃ C₃
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
inst✝¹ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
inst✝ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).HasMap p
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h ≫ mapMap ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).map f₁).app X₂).app X₃ ≫ (((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).map f₂).app X₃ ≫ (((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).map f₃) p j = ((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃) ≫ ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → CommRing (G i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
H :
  (Ideal.Quotient.mk
        (Ideal.span
          {a |
            (∃ i j,
                ∃ (H : i ≤ j),
                  ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨
              (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨
                (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨
                  ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))
      x =
    0
⊢ ∃ j s,
  ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j),
    x.IsSupported s ∧
      ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s],
        (FreeCommRing.lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((FreeCommRing.restriction s) x) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β × γ → E
hf : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ (fun x => ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x)) =ᶠ[ae (κ a)] fun x => ∫ (y : γ), AEStronglyMeasurable.mk f hf (x, y) ∂η (a, x)
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
eq : #α = #β
⊢ #(α ≃ β) = 2 ^ #α
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
f : Γ → R
h : (Function.support f).IsPWO
⊢ { coeff := f, isPWO_support' := h }.coeff = coeff 0 ↔ f = 0
p n : ℕ
pp : Nat.Prime p
⊢ p.Coprime n ↔ ¬p ∣ n
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y) ∣ orderOf y
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
v : l ⊕ m → α
⊢ (of fun i j => diagonal v (Sum.inr i) (Sum.inr j)) = diagonal fun i => v (Sum.inr i)
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
⊢ List.countP p (l₁ ++ l₂) = List.countP p l₁ + List.countP p l₂
α : Type u
L : List (α × Bool)
⊢ FreeGroup.Red [] L ↔ L = []
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
g : Filter β
⊢ (map Prod.mk f).seq g = (map (fun b a => (a, b)) g).seq f
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n
⊢ Irreducible (cyclotomic n ℤ)
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Cardinal.aleph0 * OfNat.ofNat n = Cardinal.aleph0
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
r : α
M : Matrix n n α
⊢ Commute ((scalar n) r) M ↔ r • M = MulOpposite.op r • M
P : Type u_1
Preorder P
⊢ Antitone Order.PFilter.principal
α : Type u_1
p : α → Bool
⊢ List.findIdx p [] = 0
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
g : G
a : α
⊢ MulAction.orbit G (g • a) = MulAction.orbit G a
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
n : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
a : R
⊢ (coeff R n) (φ * (C σ R) a) = (coeff R n) φ * a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
l : List α
this : DecidableEq α
x₁ x₂ : Multiset α
h : (x₁, x₂).1 + (x₁, x₂).2 = ↑l
⊢ ∃ a ≤ (x₁, x₂).1 + (x₁, x₂).2, (a, (x₁, x₂).1 + (x₁, x₂).2 - a) = (x₁, x₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
g : CauSeq β abv
hg : g.LimZero
⊢ (f * g).LimZero
F : Sort u_1
α : Sort u_2
β : α → Sort u_3
i : DFunLike F α β
f g : F
⊢ f ≠ g ↔ ∃ a, f a ≠ g a
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsClosedMap ⇑Multiplicative.toAdd
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ 0
i : α
⊢ UniformContinuous fun x => ↑x i
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Finite m
A : Matrix m n R
⊢ A.rank = finrank R ↥(Submodule.span R (Set.range A))
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
hf : Monotone f
hg : Antitone g
⊢ Antitone fun x => Set.Icc (f x) (g x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.LeftHomologyData
⊢ h.unop.p = h.i.unop
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
c : n ≃ n
hc : c ∈ univ.erase (Equiv.refl n)
⊢ ∑ i : n, (M.charmatrix (c i) i).natDegree ≤ (filter (fun x => c x = x) univ).card
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I : Ideal R
s : Set M
x : M
⊢ x ∈ I • Submodule.span R s ↔ x ∈ Submodule.span R (⋃ a ∈ I, ⋃ b ∈ s, {a • b})
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd : l₁.NodupKeys
⊢ Pairwise (fun a_1 b_1 => ∀ c ∈ if a = a_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none, ∀ d ∈ if a = b_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none, a_1 = b_1 ∧ c = d) l₁
x : ℂ
⊢ log ((starRingEnd ℂ) x) = if x.arg = π then log x else (starRingEnd ℂ) (log x)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} V
inst✝⁷ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.23606, u_2} W
inst✝⁵ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Category.{?u.23631, u_3} W₁
inst✝³ : Category.{?u.23635, u_4} W₂
inst✝² : HasZeroMorphisms W₁
inst✝¹ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C✝ D E : HomologicalComplex V c✝
f g : C✝ ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex W₁ c
i j : ι
w : ¬c.Rel i j
⊢ F.map (C.d i j) = 0
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, abs ((r • x) x_1) ^ p) ^ (1 / p) ≤ ‖r‖ * (∑ x_1 : ι, abs (x x_1) ^ p) ^ (1 / p)
⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
α : Type u_1
Fintype α
Ring α
⊢ ¬IsPrimePow ‖α‖ → ¬IsField α
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
UniformSpace β
f g : β → α
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
⊢ UniformContinuous fun x => f x / g x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderTopology α
⊢ 𝓝 ⊥ = ⨅ l, ⨅ (_ : ⊥ < l), 𝓟 (Iio l)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
hH : Group.IsNilpotent G
inst✝ : Nontrivial G
⊢ Group.nilpotencyClass G = Group.nilpotencyClass G - 1 + 1
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
P : R[X]
x : A
⊢ D ((aeval x) P) = (aeval x) (derivative P) • D x
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxV : ↑x ∈ V
g : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))
W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace := U ⊓ V
hxW : ↑x ∈ W
heq : (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) ((X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) f * (X.presheaf.map (U.infLERight V).op) g) = (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) 1
W' : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxW' : ↑x ∈ W'
i₁ i₂ : W' ⟶ W
heq' : (X.presheaf.map i₁.op) ((X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) f * (X.presheaf.map (U.infLERight V).op) g) = (X.presheaf.map i₂.op) 1
⊢ IsUnit ((X.presheaf.map (i₁ ≫ U.infLELeft V).op) f)
cs₁ cs₂ : List Char
⊢ String.utf8Len (cs₁ ++ cs₂) = String.utf8Len cs₁ + String.utf8Len cs₂
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun r => 0 < r) (closedBall x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
c : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
⊢ c.op.fst = c.inl.op
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
⊢ D.liftKaehlerDifferential.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = D
α : Type u_1
t : Set α
p : Set α → Prop
⊢ (∃ s, p (Subtype.val '' s)) ↔ ∃ s ⊆ t, p s
α : Type u
a : α
s t : Set α
hs : s.Nontrivial
z : α
H : ∀ x ∈ s, x = z
⊢ False
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x
⊢ LinearIndependent R x
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ≃ β
D : Set β
⊢ (∃ D₀, M.Dep D₀ ∧ D = ⇑f '' D₀) ↔ M.Dep (⇑f.symm '' D)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s
a : α
b : β
this✝ : type r * typein s b + type r ≤ c
this : type r * typein s b + typein r a < c
⊢ typein (Prod.Lex s r) (b, a) < c
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L
inst✝³ : IsZlattice ℝ L
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝² : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ ↥L
b₀ : Basis ι ℝ E
⊢ |b₀.det ⇑(Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b)| * (μ (parallelepiped ⇑b₀)).toReal = |b₀.det (Subtype.val ∘ ⇑b)| * (μ (parallelepiped ⇑b₀)).toReal
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
h : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[f j - f i|↑ℱ i]
α : Type u_1
Mul α
a b : α
⊢ AddOpposite.op (a * b) = AddOpposite.op a * AddOpposite.op b
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G.IsCocontinuous J K
∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
ℱ : CategoryTheory.Sheaf J A
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf K (G.op.ran.obj ℱ.val)
F : Type u
Field F
n : ℤ
⊢ (HahnSeries.single n) 1 = (HahnSeries.single 1) 1 ^ n
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : card (map f p).roots ≠ 0
⊢ 0 ≤ B
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i j : ι
p : B × F
⊢ p.1 ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j ∧ p.2 ∈ univ ↔ p.1 ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
⊢ ⋂ i, Iic (f i) = ∅ ↔ ¬BddBelow (range f)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s \ t = s ↔ Disjoint s t
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p✝ : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p✝
hp1 : f ↑p✝ < 1
hmin✝ : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p✝ ≤ m
p : ℕ
hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
⊢ ∃! p, ∃ (hp : Fact (Nat.Prime p)), f.equiv (mulRingNorm_padic p)
X : Type u_3
TopologicalSpace X
x : X
⊢ 𝓝 x = ⨅ s ∈ {s | x ∈ s ∧ IsOpen s}, 𝓟 s
R : Type u_7
A : Type u_8
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarMul A
Algebra R A
StarModule R A
a : R
⊢ (StarAlgHom.ofId R A) a = (algebraMap R A) a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero T.obj₂ ↔ CategoryTheory.IsIso T.mor₃
R : Type u_1
CommRing R
h : IsField R
⊢ IsPrincipalIdealRing R
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type w
b : ι → M
h : LinearIndependent R b
⊢ #ι ≤ ↑(finrank R M)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atBot
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atBot
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
hs : ∃ a, ∀ b ≤ a, b ∈ s
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
X : Type u_5
x : X
⊢ (FreeGroupBasis.ofFreeGroup X) x = FreeGroup.of x
R : Type u
Semiring R
⊢ ↑(SemiRingCat.of R) = R
n : ℕ
s : Multiset ℤ
hs : 2 * n - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = n ∧ ↑n ∣ t.sum
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
g : Y ⟶ X
hom_inv_id : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
⊢ g = CategoryTheory.inv f
ι : Type u_2
κ : Type u_3
𝕜₁ : Type u_4
𝕜₂ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
Nonempty κ
NontriviallyNormedField 𝕜₁
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module 𝕜₁ E
Module 𝕜₂ F
UniformSpace E
UniformSpace F
UniformAddGroup E
UniformAddGroup F
ContinuousSMul 𝕜₁ E
BarrelledSpace 𝕜₁ E
𝓕 : ι → E →SL[σ₁₂] F
q : SeminormFamily 𝕜₂ F κ
hq : WithSeminorms q
H : ∀ (k : κ) (x : E), BddAbove (Set.range fun i => (q k) ((𝓕 i) x))
⊢ UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ 𝓕)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : LinearOrder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List ι
f g : ι → M
h : (map f l).prod < (map g l).prod
⊢ ∃ i ∈ l, f i < g i
α : Type u_1
x : α
xs : List α
y : α
inst✝ : BEq α
⊢ findIdx (fun x => x == y) (x :: xs) = bif x == y then 0 else findIdx (fun x => x == y) xs + 1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ ‖derivWithin f s x‖ = ‖fderivWithin 𝕜 f s x‖
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b
t : b * { re := ↑a, im := -1 } ≤ pellZd a1 (n + 1) * { re := ↑a, im := -1 }
⊢ b * { re := ↑a, im := -1 } ≤ pellZd a1 n
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
α' : TypeVec.{u_2} (n + 1)
f : α.Arrow α'
⊢ TypeVec.splitFun (TypeVec.dropFun f) (TypeVec.lastFun f) = f
ι : Type u_1
η : Type v
R : Type w
s : ι → η
AddZeroClass R
f : ι → R
⊢ ∀ (a : η), (Function.ExtendByZero.hom R s) f a = Function.extend s f 0 a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
hf : LocallyLipschitz f
g : α → γ
hg : LocallyLipschitz g
⊢ LocallyLipschitz fun x => (f x, g x)
M : Type u_1
MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
q : ℚ
⊢ ENNReal.ofReal ↑((some q).getD 0) = ↑(↑q).toNNReal
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
⊢ S.Exact ↔ Nonempty (S.homology ≅ 0)
α : Type u_2
CancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
hs : ThreeGPFree s
⊢ ThreeGPFree (a • s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
α : G ⟶ F
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Endofunctor.Algebra.functorOfNatTrans α).map f).f = f.f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ CategoryTheory.Limits.pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ CategoryTheory.Limits.pullback f i
⊢ CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal f)
      (CategoryTheory.Limits.pullback.map (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i)
        (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i) f f (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i)
        (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i) i ⋯ ⋯) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i)
        (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i) ≫
      i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal f)
    (CategoryTheory.Limits.pullback.map (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i)
      (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i) f f (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i)
      (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i) i ⋯ ⋯)
f : ℂ → ℂ := fun s => riemannZeta s - 1 / (s - 1)
⊢ ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] 1, DifferentiableAt ℂ f z
K : Type u_4
NormedDivisionRing K
ξ : K
h : ‖ξ‖ < 1
⊢ Summable fun n => ξ ^ n
α : Type u_1
rα : α → α → Prop
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h : Prod.GameAdd rα rα (a₁, b₁) (a₂, b₂)
⊢ Sym2.GameAdd rα s(a₁, b₁) s(a₂, b₂)
a : Ordinal.{u_1}
⊢ NatOrdinal.toOrdinal (Ordinal.toNatOrdinal a) = a
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Inv α
SemilatticeInf β
OrderTop β
s : Finset α
f : α → β
⊢ s⁻¹.inf f = s.inf fun x => f x⁻¹
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.98000, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f g : W.LeftFraction X Y
⊢ f.map (Q W) ⋯ = g.map (Q W) ⋯ ↔ LeftFractionRel f g
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some '' Ioi a = Ioo ↑a ⊤
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b c a : α
⊢ a ≤ ⊤ᶜ ↔ a ≤ ⊥
α : Type u_3
β : Type u_4
Nonempty β
SemilatticeInf β
f : β → α
s : Set α
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓟 s) ↔ ∃ N, ∀ n ≤ N, f n ∈ s
R : Type u_1
CommSemiring R
a b₃ c : R
b₁ : R
b₂ : ℕ
⊢ a * b₃ = c → a * (b₁ ^ b₂ * b₃) = b₁ ^ b₂ * c
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
i : Fin n
x : TruncatedWittVector p m R
⊢ coeff i ((truncate hm) x) = coeff (Fin.castLE hm i) x
z : ℂ
n✝ n : ℕ
hz : z ≠ 0
⊢ (1 - z ^ 2 / (↑n + 1) ^ 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n + 2) = (2 * ↑n + 1) / (2 * ↑n + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)
⊢ ∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
r : R
j : ℕ
m : M
⊢ r • (⇑(Finsupp.lmapDomain M R Nat.succ))^[i] ((single R j) m) = (single R (i + j)) (r • m)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
a b c : Int
h : -c + a < b
⊢ a < b + c
a b c d : Prop
⊢ (a ∨ b) ∨ c ∨ d ↔ (a ∨ c) ∨ b ∨ d
α : Type u
ι : Sort w
s : ι → Set α
⊢ ⨆ x, 𝓟 (s x) = 𝓟 (⋃ i, s i)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁ + s₂).gcd = gcd s₁.gcd s₂.gcd
M : Type u_1
Add M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ Set.addCenter M
hz₂ : z₂ ∈ Set.addCenter M
⊢ z₁ + z₂ ∈ Set.addCenter M
a : Int
⊢ a.sign = 1 → 0 < a
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : Filter.limsup u f < a
hb : Filter.limsup v f < b
⊢ Filter.limsup (u + v) f < a + b
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
h : l₁ <+ l₂
a : α
⊢ List.count a l₁ ≤ List.count a l₂
m a b c : ℕ
hmc : m.gcd c = 1
h : a * c ≡ b * c [MOD m]
⊢ a ≡ b [MOD m]
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
v : n → α
⊢ IsUnit (diagonal v) ↔ IsUnit v
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∉ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
ht : t ≠ 1
hy' : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x -ᵥ z ∈ s.direction
⊢ x ∈ s