ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
CanonicallyOrderedCommSemiring α
Sub α
OrderedSub α
IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a * (b - 1) = a * b - a
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : S' →ₐ[R] A
h₁ : f.comp (toAlgHom R R' S') = g.comp (toAlgHom R R' S')
h₂ : f.comp (toAlgHom R S S') = g.comp (toAlgHom R S S')
x : S'
⊢ ∀ (m : R'), f ((toAlgHom R R' S').toLinearMap m) = g ((toAlgHom R R' S').toLinearMap m)
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
f : α → β
a : Option α
⊢ a.casesOn' b f = a.elim b f
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulOneClass α
MulOneClass β
f : α →*o β
⊢ (↑f.toMonoidHom).toFun = ⇑f
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ (Ici 0).OrdConnected
α : Type u
SemilatticeInf α
a b c : α
h1 : b ⊓ c ≤ a
h2 : a ⊓ c ≤ b
⊢ a ⊓ c = b ⊓ c
α : Type u
f : Filter α
⊢ ¬Disjoint f f ↔ f.NeBot
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
hb : AddLECancellable b
⊢ a ≤ a + b - b
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
m : (i : ι) → E i
⊢ ‖g‖ * ∏ i : ι, ‖f i‖ * ‖m i‖ = (‖g‖ * ∏ i : ι, ‖f i‖) * ∏ i : ι, ‖m i‖
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ a ⇔ b = a ⇔ c ↔ b = c
m n : ℕ
⊢ ↑m ∣ ↑n ↔ m ∣ n
s step m n : Nat
h : m + 1 < n + 1
⊢ (range' (s + step) n step)[m]? = some (s + step * (m + 1))
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapb : ∃ k₁, k₁ ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
hcpd : ∃ k₂, k₂ ≠ 1 ∧ d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)
⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p
α : Type u_2
CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Set.Iic a)
⊢ ↑(sInf S) = a ⊓ sInf (Subtype.val '' S)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ x : M
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I x id) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
α : Type u_1
G : Type u_6
AddGroup G
s : Set α
f g : α → G
⊢ s.indicator (f - g) = s.indicator f - s.indicator g
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
this : ∃ t ∈ 𝓝 a, t ×ˢ t ⊆ {x | ‖f x.1 - f x.2 - f' (x.1 - x.2)‖ ≤ (fun a => ↑a) c * ‖x.1 - x.2‖}
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 a, ApproximatesLinearOn f f' s c
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y z : α
⊢ dist x y ≤ dist x z + dist y z
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
x : E
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ HasFDerivAt (fun x => ‖x‖ ^ p) ((p * ‖x‖ ^ (p - 2)) • (innerSL ℝ) x) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
CategoryTheory.Mono h
CategoryTheory.Mono g
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g k
t : CategoryTheory.Limits.IsLimit (CategoryTheory.Limits.PullbackCone.mk f g comm)
p : CategoryTheory.Subobject Y
⊢ (CategoryTheory.Subobject.map g).obj ((CategoryTheory.Subobject.pullback f).obj p) =
  (CategoryTheory.Subobject.pullback k).obj ((CategoryTheory.Subobject.map h).obj p)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
⊢ mrange (inr M N) = ⊥.prod ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : DivisionRing γ
inst✝² : Module γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
⊢ ∑' (i : β), g • f i = g • ∑' (i : β), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → β
hf : Injective f
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ range f
g : α → M
⊢ ∏ᶠ (b : β) (h : b ∈ range f), g (Classical.choose h) = ∏ᶠ (a : α), g a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.172711, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ φ₁.τ₁ = h.h₀ + S₁.f ≫ h.h₁ + φ₂.τ₁
R : Type u
a : R
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
⊢ a ∈ p.roots ↔ p ≠ 0 ∧ p.IsRoot a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
{X Y : Cᵒᵖ} →
    (f : X ⟶ Y) →
      CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R Y)
        (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
∀ (X : Cᵒᵖ), CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R X)
j : J
⊢ (PresheafOfModules.colimitCocone F).ι.app j = PresheafOfModules.colimitCoconeιApp F j
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p : Associates α
hm : p ∈ factors 0
⊢ p ∣ 0
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m
t : pellZd a1 m = pellZd a1 n * pellZd a1 (m - n)
⊢ pellZd a1 (m - n) = pellZd a1 m * star (pellZd a1 n)
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
hxy : gcd x y = 0
⊢ x ∣ lcm x y
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.Scheme
f : U ⟶ TopCat.of ↑↑X.toPresheafedSpace
h : OpenEmbedding ⇑f
⊢ ∀ (U_1 : (X.restrict h).Opens),
  AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appIso (X.ofRestrict h) U_1 =
    CategoryTheory.Iso.refl
      (X.presheaf.obj (Opposite.op ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor (X.ofRestrict h)).obj U_1)))
S : Finset Turing.PartrecToTM2.Λ'
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
H : Turing.PartrecToTM2.contSupp k ⊆ S
⊢ Turing.PartrecToTM2.Supports (Turing.PartrecToTM2.contSupp k) S
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (Set.univ.pi t).Nonempty ↔ ∀ (i : ι), (t i).Nonempty
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
⊢ ⌈a + 1⌉₊ = ⌈a⌉₊ + 1
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
a : δ
⊢ Measurable fun f => f a
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Field α
p : ℕ
h✝ : CharP α p
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : Algebra (ZMod p) α := ZMod.algebra α p
b : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex (ZMod p) α } (ZMod p) α := IsNoetherian.finsetBasis (ZMod p) α
⊢ ‖{ x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex (ZMod p) α }‖ ≠ 0
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
⊢ ↑n ≠ ⊥
α : Type u_1
LE α
AddZeroClass α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : AddLECancellable a
⊢ a + b ≤ a ↔ b ≤ 0
X : Type u_1
x : FundamentalGroupoid X
⊢ (FundamentalGroupoid.equiv X) x = x.as
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
S₁ S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
⊢ cylinder s S₁ ∩ cylinder s S₂ = cylinder s (S₁ ∩ S₂)
γ : Type w
LinearOrder γ
a : γ
b : γ
s : Set γ
hs : IsGreatest s b
⊢ IsGreatest (insert a s) (max a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ
⊢ Filter.Tendsto (⇑(Equiv.prodAssoc α β γ).symm) (f ×ˢ g ×ˢ h) ((f ×ˢ g) ×ˢ h)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s t : Set E
st : t ∈ 𝓝[s] x
ht : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = fderivWithin 𝕜 f t x
a b : ℝ
f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
w : ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ x ∈ Metric.ball f i, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc a b)).toSubsemiring
m : ℝ[X]
H : ‖↑(Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom (Set.Icc a b)) m - f‖ < ε
⊢ ∃ p, ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b) - f‖ < ε
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
⊢ MeasurableSet {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ
h : 0 < |ξ - ↑q|
m : ℕ
hm : 1 / |ξ - ↑q| < ↑m
⊢ ∃ q', |ξ - ↑q'| < 1 / ↑q'.den ^ 2 ∧ |ξ - ↑q'| < |ξ - ↑q|
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
⊢ minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ deriv (fun x => 1 - ε x) x = (-deriv ε) x
R : Type u_1
CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
⊢ seminormFromConst' hf1 hc hpm c = f c
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
f : α → γ
g : β → δ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
a b : α × β
⊢ a < b → Prod.map f g a < Prod.map f g b
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
n : ℕ
⊢ |(-1) ^ n| = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Inv β
ContinuousInv β
f : C(α, β)
⊢ ⇑f⁻¹ = (⇑f)⁻¹
α : Type u_1
AddZeroClass α
PartialOrder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b ≤ 0
⊢ b = 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ × ℝ → E
B : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ := fun p => LinearMap.toContinuousLinearMap ((Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ)) !![cos p.2, -p.1 * sin p.2; sin p.2, p.1 * cos p.2])
A : ∀ p ∈ polarCoord.symm.source, HasFDerivAt (↑polarCoord.symm) (B p) p
B_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), (B p).det = p.1
⊢ ∫ (p : ℝ × ℝ), f p = ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑polarCoord.symm p)
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
x : S
a : Set R
⊢ x ∈ Ideal.span (⇑(algebraMap R S) '' a) ↔ ∃ y ∈ Ideal.span a, ∃ z, x = mk' S y z
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
NonUnitalNonAssocSemiring γ
g₁ g₂ : β →ₙ+* γ
f : α →ₙ+* β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
α : Type u_2
Div α
f g : Filter α
⊢ (f / g).NeBot ↔ f.NeBot ∧ g.NeBot
R : Type u
a : R
CommSemiring R
p : R[X]
q : R[X]
⊢ p.IsRoot a → (p * q).IsRoot a
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
I : Ideal S
inst✝¹¹ : Module.Finite R S
inst✝¹⁰ : Module.Free R S
M : Submonoid R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing Rₘ
inst✝⁸ : Algebra R Rₘ
inst✝⁷ : CommRing Sₘ
inst✝⁶ : Algebra S Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
h✝ : Nontrivial R
⊢ spanNorm Rₘ (map (algebraMap S Sₘ) I) = map (algebraMap R Rₘ) (spanNorm R I)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤
⊢ llr μ (c • ν) =ᶠ[ae μ] fun x => llr μ ν x - log c.toReal
K : Type u
L : Type v
DivisionRing K
DivisionRing L
f : K →+* L
s : Subfield L
⊢ Subfield.map f (Subfield.comap f s) = s ⊓ f.fieldRange
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
DecidableEq E
s : Set E
⊢ Orthonormal 𝕜 Subtype.val ↔ ∀ v ∈ s, ∀ w ∈ s, ⟪v, w⟫_𝕜 = if v = w then 1 else 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
f : α → E
hf : Integrable f μ
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∑' (a : α), (μ {a}).toReal • f a
R : Type u_1
AddCommMonoid R
Pow R ℕ
BinomialRing R
r : R
⊢ Ring.multichoose r 0 = r ^ 0
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
n' a : ℤ
γ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn : n' + a = n
⊢ (rightShiftAddEquiv K L n a n' hn).symm (-γ) = -γ.rightUnshift n hn
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
χ : DirichletCharacter R 1
x✝ : ℕ
⊢ χ ↑x✝ = 1 x✝
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
x : R
⊢ x ∈ -σ a ↔ x ∈ σ (-a)
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 0
⊢ (n ^ 2 - m ^ 2).natAbs.gcd (2 * n * m).natAbs = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
this : IsDomain C
⊢ IsLocalization (algebraMapSubmonoid C A⁰) L
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
d : α
⊢ l.minimum?.getD d = WithTop.untop' d l.minimum
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : p.leadingCoeff ∈ R⁰
x : R[X]
hx : x * p = 0
hx' : ¬x.leadingCoeff * p.leadingCoeff = 0
⊢ False
x✝ y x : ℝ
hx : 1 ≤ x
⊢ arccos x = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.SheafedSpace.IsOpenImmersion f
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ CategoryTheory.inv (AlgebraicGeometry.SheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp f U) =
  f.c.app (Opposite.op ((AlgebraicGeometry.SheafedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor f).obj U)) ≫
    X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
γ : Sort u_3
s : γ → Set A
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 (⋃ i, s i) = ⋂ i, ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 (s i)
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ^ n ∣ (↑P).index * Nat.card ↥↑P
⊢ p ^ n ∣ Nat.card ↥↑P
α : Type u_1
Inhabited α
a : Array α
i : Nat
⊢ a.get! i = (a.get? i).getD default
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
⊢ eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ = ↑‖c‖₊
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Inf α
Inf β
Inf γ
f : InfHom β γ
g : InfHom α β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
m : ℤ
even : Even m
⊢ 2 ≤ m ↔ 0 < m
G : Type u_1
Group G
⊢ ⊥.IsComplement' ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x : E
hs : ball 0 r ⊆ s
hr : 0 < r
⊢ r * gauge s x ≤ ‖x‖
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set (α ⊕ β)
⊢ IsConnected s ↔ (∃ t, IsConnected t ∧ s = Sum.inl '' t) ∨ ∃ t, IsConnected t ∧ s = Sum.inr '' t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
m : ℕ
l : List ℕ
n : ℕ
h₁ : ∀ m_1 ∈ m :: l, n ≤ m_1
h₂ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (m :: l)
this : n ≤ m
⊢ raise' (lower' (m :: l) n) n = m :: l
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat
F : C ⥤ D
S' R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
M N : PresheafOfModules (R ⋙ forget₂ CommRingCat RingCat)
φ : S ⟶ F.op ⋙ R
φ' : S' ⟶ R
d : M.Derivation φ
f : M ⟶ N
X : Cᵒᵖ
a : ↑(S.obj X)
⊢ (Hom.app f (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop X)))) (d.d ((φ.app X) a)) = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
self : Bimod A B
⊢ self.actLeft ▷ B.X ≫ self.actRight = (α_ A.X self.X B.X).hom ≫ A.X ◁ self.actRight ≫ self.actLeft
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K✝
inst✝³¹ : Field L✝
inst✝³⁰ : Algebra A K✝
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝
inst✝²⁸ : Algebra B L✝
inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁶ : Algebra A L✝
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝¹⁰ : IsIntegralClosure B A L
this✝⁹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝⁸ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝⁷ : IsScalarTower A Aₘ K
this✝⁶ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
this✝⁵ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra
this✝⁴ : IsScalarTower B Bₘ L
this✝³ : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra
this✝² : IsScalarTower Aₘ K L
this✝¹ : IsScalarTower Aₘ Bₘ L
this✝ : IsFractionRing Bₘ L := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ L
this : FiniteDimensional K L
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (H ⊔ f.ker).index ∣ H.index
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
f : R →+* S
s : Subring R
⊢ s ⊔ closure (⇑f ⁻¹' {0}) ≤ comap f (map f s)
f : ℝ → ℝ
x a c d : ℝ
l : Filter ℝ
hl : l ≤ 𝓝[≠] x
hf : Tendsto (fun y => (f y - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
h' : Tendsto (fun y => y + c * (y - x) ^ 2) l l
L : Tendsto (fun y => (y + c * (y - x) ^ 2 - x) / (y - x)) l (𝓝 1)
⊢ Tendsto (fun y => (f (y + c * (y - x) ^ 2) - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
α : Type u_1
β : Type u_2
Add α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictAntiOn f s
hg : StrictAntiOn g s
⊢ StrictAntiOn (fun x => f x + g x) s
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s✝ : LowerSet α
a : α
s t : LowerSet α
hst : s ⊔ t = Iic a
⊢ s = Iic a ∨ t = Iic a
R : Type u_17
S : Type u_18
M : Type u_19
N : Type u_20
Semiring R
Semiring S
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Module S M
Module S N
LinearMap.CompatibleSMul M N R S
R₁ : Type u_21
Semiring R₁
Module R₁ N
SMulCommClass S R₁ N
SMulCommClass R R₁ N
c : R₁
f : M →ₗ[S] N
⊢ ↑R (c • f) = c • ↑R f
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ Function.Bijective ⇑e
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
p : Subspace 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
FiniteDimensional 𝕜 (E ⧸ p)
hp : IsClosed ↑p
⊢ Submodule.ClosedComplemented p
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E
⊢ WithSeminorms fun x => normSeminorm 𝕜 E
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : α
g : G
⊢ g • a = a ↔ a ∈ fixedBy α g
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
m : M
order_pos : 0 < orderOf m
a : α
⊢ MulAction.period m a ≤ orderOf m
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
p₁ p₂ x : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : t ≤ 0
⊢ SameRay R (t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ x)
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CharP R 2
l : Multiset R
⊢ l.sum * l.sum = (Multiset.map (fun x => x * x) l).sum
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
⊢ epiWithInjectiveKernel f
z : ℂ
⊢ nndist z ((starRingEnd ℂ) z) = 2 * Real.nnabs z.im
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
⊢ {N | ∃ s, s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖}.Nonempty