ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable (↑f) μ
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ x ∈ f.range, x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
⊢ setToSimpleFunc T (map g f) = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) ((expand p) (W_ ℤ n))) Φ) = (map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n))
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
x✝ : ℕ
⊢ Disjoint (closure ((fun x => ∅) x✝)) s
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
N : LieSubmodule R L M
x : L
y : M
⊢ (∀ n ∈ N, (Φ n) y = 0) → ∀ n ∈ N, (Φ n) ⁅x, y⁆ = 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : Set.InjOn f s
⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ = μ (f '' s)
f : C(↑I, ℝ)
⊢ ∃ᶠ (x : ℕ) in atTop, bernsteinApproximation x f ∈ ↑(polynomialFunctions I).toSubsemiring
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
v : n → α
i : n
⊢ ((diagonal v).updateColumn i (Pi.single i 1)).det = diagonal (fun i => ∏ j ∈ univ.erase i, v j) i i
x y : ℂ
⊢ Complex.abs (x - y) = |Complex.abs x - Complex.abs y| ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ x.arg = y.arg
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ IsPathConnected (⇑h.symm '' s) ↔ IsPathConnected s
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ RingHom.ker f.rangeRestrict = RingHom.ker f
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
H H' : Set (X → α)
h : H.Equicontinuous
hH : H' ⊆ H
⊢ H'.Equicontinuous
r : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousAt f r
g : ℕ → ℝ
hxr : (ofSeq g).IsSt r
⊢ IsSt (Germ.map f (ofSeq g)) (f r)
α : Type u_1
β : α → Type u_4
p : (a : α) → β a → Prop
⊢ (∃ a b, p a b) ↔ ∃ x, p x.fst x.snd
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
t : (ι →₀ M) ⊗[R] N
i : ι
⊢ ((finsuppLeft R M N ι) t) i = (rTensor N (Finsupp.lapply i)) t
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
i : ι
a : G i
f : ↥(lp G 2)
⊢ ⟪f, lp.single 2 i a⟫_𝕜 = ⟪↑f i, a⟫_𝕜
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ Multiset.countP (fun x => False) s = 0
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
M✝ : ModuleCat R
M M' : ModuleCat R
g : M ⟶ M'
s : S
h : ↑(obj' f M)
t : S
⊢ g (h (t * s)) = (g ∘ₗ h) (t * s)
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsNat e n
⊢ 0 ≤ Real.log e
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
Add β
ContinuousAdd β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (f + g)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i
⊢ X.map (SimplexCategory.δ i.succ) ≫ X.map (SimplexCategory.σ j.castSucc) = X.map (SimplexCategory.σ j) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i)
n : ℕ
NeZero n
k : Fin n
⊢ k ≤ 0 ↔ k = 0
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
f : Dual R M
lin_comb : ι →₀ R := Finsupp.equivFunOnFinite.symm fun i => f (b i)
⊢ f ∈ range b.toDual
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : GCDMonoid R[X]
p : R[X]
t : R
h : p ≠ 0
⊢ 1 < rootMultiplicity t p ↔ (gcd p (derivative p)).IsRoot t
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (restrictScalars f).obj Y ⟶ X
s : S
y : ↑Y
t : S
⊢ g (t • s • y) = { toFun := fun s => g (s • y), map_add' := ⋯ } (t * s)
m n : Nat
h : m < n
⊢ (List.range n).get? m = some m
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
⊢ -(π / 2) ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.re ∨ 0 ≤ z.im
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
ε δ : ℝ
s : Set α
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
⊢ thickening ε (thickening δ s) ⊆ thickening (ε + δ) s
A : Type u_3
Ring A
Algebra ℂ A
a : A
⊢ SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM ↔ ∀ x ∈ spectrum ℂ a, x = ↑x.re
f : ℕ → ℝ
⊢ (∃ r, Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, |f i|) Filter.atTop (𝓝 r)) → Summable f
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ↪o β
he : (Set.range ⇑e).OrdConnected
x y : α
⊢ ⇑e '' Set.Ioo x y = Set.Ioo (e x) (e y)
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V c
i : ι
⊢ X.op.X i = Opposite.op (X.X i)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
x y : α
⊢ nndist (f x) (f y) ≤ 2 * ‖f‖₊
obj : Type u
self : CategoryTheory.Category.{v, u} obj
W X Y Z : obj
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
CommSemiring k
Monoid G
Monoid H
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
F : Type u_4
FunLike F G H
MonoidHomClass F G H
f : F
r : k
⊢ MonoidAlgebra.mapDomain (⇑f) ((algebraMap k (MonoidAlgebra A G)) r) = (algebraMap k (MonoidAlgebra A H)) r
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
⊢ ∫ (x : Ω), (X x - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2 ∂μ = ∫ (x : Ω), ((X - fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2) x ∂μ
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
⊢ ((Γ₂N₂ToKaroubiIso.app X).inv ≫ Γ₂N₂.natTrans.app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X)) ≫ (Compatibility.υ toKaroubiCompN₂IsoN₁).hom.app X = (𝟙 (N₁ ⋙ Γ₂)).app X
F : Type u_3
E : Type u_4
Field F
Field E
Algebra F E
FiniteDimensional F E
Algebra.IsSeparable F E
A : Type u_5
Field A
Algebra F A
hA : ∀ (x : E), Polynomial.Splits (algebraMap F A) (minpoly F x)
α : E
φ : E →ₐ[F] A
⊢ F⟮α⟯ = ⊤ ↔ ∀ (ψ : E →ₐ[F] A), φ α = ψ α → φ = ψ
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
DecidableEq n
MonoidWithZero α
Nontrivial α
⊢ Function.Injective PEquiv.toMatrix
x : ℝ*
hip : x.InfinitePos
⊢ 0 < x
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂
inst✝ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂
p q : ℤ
⊢ (p * q).negOnePow * 1 = q.negOnePow * ((p + 1) * q).negOnePow
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
f✝ g : X✝ ⟶ Y
X : C
f : X ⟶ X
hf : f ≫ f = f
c : Fork (𝟙 X) f
i : IsLimit c
⊢ c.ι ≫ i.lift (Fork.ofι f ⋯) = 𝟙 (((Functor.const WalkingParallelPair).obj c.pt).obj zero)
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.source
⊢ Q (↑(PartialHomeomorph.refl H) ∘ ↑e ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' univ) (↑e x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t✝ : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : LinearOrder γ
a b : γ
s t : Set γ
ha : IsLeast s a
hb : IsLeast t b
⊢ min a b ∈ s ∪ t
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Function.Injective LocallyConstant.toContinuousMap
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕂
CharZero 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕂
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasStrictDerivAt (fun u => NormedSpace.exp 𝕂 (u • x)) (NormedSpace.exp 𝕂 (t • x) * x) t
α : Type u
SubtractionMonoid α
a : α
h : IsAddUnit a
⊢ a - a = 0
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ S.Exact ↔ LinearMap.range S.f = LinearMap.ker S.g
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
s : SignedMeasure α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA₁ : MeasurableSet A
hB₁ : MeasurableSet B
hA₂ : ↑s A ≤ 0
hB₂ : ↑s B ≤ 0
hAB : ↑s A + ↑s B = 0
⊢ ↑s A = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
u v : E
⊢ v ∈ (Submodule.span 𝕜 {u})ᗮ ↔ ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
α β : Type u_1
x : Id α
f : α → id β
⊢ x >>= f = f x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
⊢ toOpen R ⊤ ≫ openToLocalization R ⊤ ↑⟨x, True.intro⟩ ⋯ = algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → diagonal v i j * w j = 0
⊢ diagonal v i ⬝ᵥ w = v i * w i
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
P : C(X, Y) → Prop
f₀ f₁ f₂ : C(X, Y)
F : f₀.HomotopyWith f₁ P
G : f₁.HomotopyWith f₂ P
x : ↑I × X
⊢ (F.trans G) x = if h : ↑x.1 ≤ 1 / 2 then F (⟨2 * ↑x.1, ⋯⟩, x.2) else G (⟨2 * ↑x.1 - 1, ⋯⟩, x.2)
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ (HomologicalComplex.HomologySequence.snakeInput hS i j hij).v₁₂ =
  S.mapNatTrans (HomologicalComplex.natTransOpCyclesToCycles C c i j)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
T2Space α
f : α → α
x y : α
hy : Filter.Tendsto (fun n => f^[n] x) Filter.atTop (𝓝 y)
hf : ContinuousAt f y
⊢ Function.IsFixedPt f y
a b c : ℕ
h : a ≤ b + 1
x : ℕ
⊢ x ∈ insert (b + 1) (Icc a b) ↔ x ∈ Icc a (b + 1)
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
c : ℝ
x : G
⊢ MeasureTheory.condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • MeasureTheory.condexpIndL1 hm μ s x
X : Type u_3
TopologicalSpace X
⊢ irreducibleComponents X = maximals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t s : Set α
σ : Equiv.Perm α
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ s
i : α
hi : σ i = i
⊢ i ∈ ⇑σ '' s ↔ i ∈ s
M : Type u_4
AddCommMonoid M
l₁ l₂ : List M
h : l₁ ~ l₂
⊢ l₁.sum = l₂.sum
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1
⊢ o.oangle y (y - x) = ↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖y - x‖))
M : Type u_4
AddCommMonoid M
l : List M
⊢ l.reverse.sum = l.sum
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
s t : Set β
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μa μb
h : s =ᵐ[μb] t
⊢ f ⁻¹' s =ᵐ[μa] f ⁻¹' t
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
h : σ.IsThreeCycle
⊢ Equiv.Perm.sign σ = 1
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
eq : cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
X : C
f : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ F
⊢ (CategoryTheory.CategoryOfElements.fromCostructuredArrow F).obj (Opposite.op (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk f)) =
  ⟨Opposite.op X, CategoryTheory.yonedaEquiv.toFun f⟩
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
N' : Submodule R S
h : N' ≤ N
inst✝ : Module.Flat R ↥M
i : ↥M ⊗[R] ↥N' →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion h)
hi : Function.Injective ⇑i
⊢ M.LinearDisjoint N'
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : PresheafedSpace C
α : X ⟶ Y
β : Y ⟶ Z
x : ↑↑X
⊢ colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op (α ≫ β).c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x).op = (colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op β.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map β.base (α.base x) ⋙ OpenNhds.inclusion (α.base x)).op) Y.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion (α.base x)).op ⋙ Y.presheaf) (OpenNhds.map β.base (α.base x)).op) ≫ colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (α.base x)).op α.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map α.base x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map α.base x).op
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
hu : Monotone u
hl : Monotone l
hul : ∀ (a : α), a ≤ u (l a)
hlu : ∀ (a : β), l (u a) ≤ a
⊢ GaloisConnection l u
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝² : Mul R
inst✝¹ : Add R
inst✝ : RightDistribClass R
a b c d : R
⊢ (a + b + c) * d = a * d + b * d + c * d
i j : ℕ
⊢ i.dist j = max i j - min i j
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
e_1✝ : ↑Γ(Spec Γ(X, U), PrimeSpectrum.basicOpen f) = ↑((structureSheaf ↑Γ(X, U)).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
he✝ : CommRing.toCommSemiring = CommRing.toCommSemiring
⊢ ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.map ((Opens.map hU.fromSpec.val.base).map (homOfLE ⋯).op.unop).op ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op = StructureSheaf.toOpen (↑Γ(X, U)) (PrimeSpectrum.basicOpen f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ T.invRotate.mor₃ = T.mor₂ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C (-1) 1 ⋯).inv.app T.3
α : Type u_1
β : Type u_2
p : PMF α
f : α → PMF β
s : Set β
MeasurableSpace β
hs : MeasurableSet s
⊢ (p.bind f).toMeasure s = ∑' (a : α), p a * (f a).toMeasure s
X : AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.forgetToTop.obj X = (AlgebraicGeometry.SheafedSpace.forget CommRingCat).obj X.toSheafedSpace
ctx : Nat.Linear.Context
k : Nat
p : Nat.Linear.Poly
⊢ Nat.Linear.Poly.denote ctx (Nat.Linear.Poly.mul.go k p) = k * Nat.Linear.Poly.denote ctx p
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
⊢ t ∈ ∂⁺ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, s ⊆ t ∧ (t \ s).card = k
M : Type u_1
Monoid M
n : ℕ
a : M
⊢ IsUnit (a ^ (n + 1)) ↔ IsUnit a
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
LinearOrderedField K
FloorRing K
⊢ 0 ≤ (GenContFract.of v).dens n
k : ℕ
r : ℝ
hr : |r| < 1
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑n ^ k * r ^ n) Filter.atTop (𝓝 0)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ (α_ X.X M.X N₁.X).inv ≫ M.actLeft ▷ N₁.X ≫ M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (((α_ X.X M.X N₁.X).inv ≫ (X.X ⊗ M.X) ◁ f.hom) ≫ M.actLeft ▷ N₂.X) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)
X : Type u
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
⊢ interior (⋂₀ S) ⊆ ⋂ s ∈ S, interior s
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3
⊢ W'.dblZ P = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ C
c₁ : CategoryTheory.Limits.Fan F.obj
c₂ : CategoryTheory.Limits.Fan fun f => F.obj f.fst.2
s t : c₁.pt ⟶ c₂.pt
hs : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), s ≫ c₂.π.app { as := f } = c₁.π.app { as := f.fst.1 } ≫ F.map f.snd
ht : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), t ≫ c₂.π.app { as := f } = c₁.π.app { as := f.fst.2 }
i : CategoryTheory.Limits.Fork s t
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.HasLimitOfHasProductsOfHasEqualizers.buildLimit s t hs ht i).π.app j = i.ι ≫ c₁.π.app { as := j }
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n✝ m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
k : ℕ
hk : upperCrossingTime a b f N k ω = N
n : ℕ
hn : upperCrossingTime a b f N n ω < N
hn' : ¬n ≤ k
⊢ False
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
x : Monoid.Coprod M N
⊢ (Monoid.Coprod.swap N M) ((Monoid.Coprod.swap M N) x) = x
a b c m : ℕ
hc : c ≠ 0
⊢ c * a ≡ c * b [MOD c * m] ↔ a ≡ b [MOD m]
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
CommRing R
CommRing S
Fintype n
DecidableEq n
f : R →+* S
M : n × n → S
i : ℕ
⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom f M) ((Matrix.charpoly.univ R n).coeff i) = (Matrix.of (Function.curry M)).charpoly.coeff i
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ R₂ R₃ : CategoryTheory.Functor D C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : R₁ ⟶ R₂
β : R₂ ⟶ R₃
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.conjugateEquiv adj₂ adj₃).symm β)
    ((CategoryTheory.conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α) =
  (CategoryTheory.conjugateEquiv adj₁ adj₃).symm (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β)
z τ : ℂ
n : ℤ
⊢ cexp (2 * ↑π * I * ↑n * (z + τ) + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ) = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z) + (2 * ↑π * I * (↑n + ↑1) * z + ↑π * I * (↑n + ↑1) ^ 2 * τ))
z : ℂ
this : 𝓝 (Complex.sin (↑π * z)) = 𝓝 (Complex.sin (↑π * z) * 1)
A : Tendsto (fun n => (↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) * ((∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n)))) atTop (𝓝 (Complex.sin (↑π * z) * 1))
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n))) atTop (𝓝 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
g : γ → β
hg : Function.Injective g
hf : ∀ x ∉ Set.range g, f x = 0
⊢ Summable (f ∘ g) ↔ Summable f
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩} = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
u : αˣ
h : a * b * ↑u = 1
⊢ a * (b * ↑u) = 1
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
α : Type u_4
x✝³ : α → α → Prop
x✝² : IsWellOrder α x✝³
β : Type u_4
x✝¹ : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β x✝¹
⊢ IsEmpty (β × α) ↔ IsEmpty α ∨ IsEmpty β
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
β : Type v
f : α ⊕ β → Ordinal.{max (max u v) w}
⊢ (sup fun b => f (Sum.inr b)) ≤ sup f
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
n : ℕ
x : Holor α [d]
y₁ y₂ : Holor α ds
hy₁ : y₁.CPRankMax1
hy₂ : CPRankMax n y₂
⊢ CPRankMax n (x ⊗ y₂)
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ WithBot.some ⁻¹' Set.Icc ↑a ↑b = Set.Icc a b
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∑ i ∈ s, f i ^ p ≤ 1
hg : ∑ i ∈ s, g i ^ q ≤ 1
hp_ne_zero : p.toNNReal ≠ 0
hq_ne_zero : q.toNNReal ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ 1
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q✝ : QuadraticMap R M N
Q : QuadraticForm R M
hB₁ : associated' Q ≠ 0
⊢ ∃ x, Q x ≠ 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : dist z c < R₁
hR₁ : 0 < R₁
⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[<] R₁, ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / r
G : Type u_3
InvolutiveInv G
⊢ Function.Injective Inv.inv
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : OpenEmbedding f
Nonempty X
⊢ ↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph f h) = f
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : G.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel (G.map f)
Z : C
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = 0
⊢ G.map f ≫ G.map h = 0
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Coalgebra R A
a : A
⊢ (LinearMap.lTensor A Coalgebra.counit) (Coalgebra.comul a) = a ⊗ₜ[R] 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
x : ↥I
m : ↥N
⊢ ⁅↑x, ↑m⁆ ∈ ⁅I, N⁆
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ toIcoMod hp a b = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
s : Set α
f : α → β
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
⊢ UniformContinuousOn f s
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
h : f.IsThreeCycle
⊢ f ∈ alternatingGroup α
α : Type u
a : α
⊢ [a].sublists' = [[], [a]]
ι : Type u_1
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq ι
s t : Finset ι
f : ι → β
⊢ ∑ i ∈ s, (↑t).indicator f i = ∑ i ∈ s ∩ t, f i
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
i : Fin (n + 1)
x : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
q : (j : Fin (n + 1)) → α j
⊢ i.insertNth x p ≤ q ↔ x ≤ q i ∧ p ≤ fun j => q (i.succAbove j)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
f : ↥(affineSpan 𝕜 s) ≃ₜ ↥(map φ.toAffineMap (affineSpan 𝕜 s)) := (isometryEquivMap φ (affineSpan 𝕜 s)).toHomeomorph
⊢ intrinsicInterior 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicInterior 𝕜 s