ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsUniversalColimit c₁
t₂ : IsUniversalColimit c₂
inst✝ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
F' : Fin (n + 1) → C
c : Cocone (Discrete.functor F')
α : Discrete.functor F' ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)
H₁ : IsColimit (Cofan.mk (pullback c₂.inr i) fun j => pullback.lift (α.app { as := j.succ } ≫ c₁.inj j) (c.ι.app { as := j.succ }) ⋯)
H₂ : IsColimit (BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (pullback.snd c₂.inr i))
j : Fin (n + 1)
⊢ Fin.cases (c.ι.app { as := 0 }) (fun i_1 => pullback.lift (α.app { as := i_1.succ } ≫ c₁.inj i_1) (c.ι.app { as := i_1.succ }) ⋯ ≫ pullback.snd c₂.inr i) { as := j }.as ≫ 𝟙 c.pt = c.ι.app { as := j }
R : Type u
CommSemiring R
⊢ algebraMap R R = RingHom.id R
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 3
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀.hom (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁.hom (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂.hom (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.isoMk₃ app₀ app₁ app₂ app₃ w₀ w₁ w₂).hom =
  CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₃ app₀.hom app₁.hom app₂.hom app₃.hom w₀ w₁ w₂
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ maximalAtlas M G
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
⊢ e.symm ≫ₕ e' ∈ G
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn Set.univ)
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
Algebra A B
e : B
FiniteDimensional A B
⊢ minpoly A e ≠ 0
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
C : G.ConnectedComponent
⊢ map Hom.id C = C
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasCoproduct f
inst✝ : HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
⊢ (Discrete.functor (f ∘ ⇑ε)).map ((Discrete.equivalence ε).unit.app { as := b }) ≫ colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε (ε.symm (ε b)) } = ι f (ε b)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : P.k < s.re
hc1 : MellinConvergent (fun x => P.f x - P.f₀) s
hc2 : HasMellin P.f_modif s (P.Λ₀ s)
hc3 : mellin (fun x => P.f_modif x - P.f x + P.f₀) s = (1 / s) • P.f₀ + (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀
this : mellin (fun x => P.f x - P.f₀) s = mellin P.f_modif s - (1 / s) • P.f₀ - (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀
⊢ mellin (fun x => P.f x - P.f₀) s = P.Λ s
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
y : R
hy : y ∈ ↑N
⊢ IsUnit ((algebraMap S T) ↑⟨(algebraMap R S) y, ⋯⟩)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
m : M
⊢ (B (v i)) m = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial R n ν = ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), X ^ m * (1 - X) ^ (n - m) * ↑(n.choose m)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : SeminormedRing α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : Module α β
h : ∀ (r : α) (x : β), ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖
a : α
b₁ b₂ : β
⊢ dist (a • b₁) (a • b₂) ≤ dist a 0 * dist b₁ b₂
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
hind : X.str = ⊤
F : Presheaf C X
it : IsTerminal (F.obj (op ⊥))
c : C
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
s : Sieve U
hs : s ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U
⊢ Presieve.IsSheafFor (F ⋙ coyoneda.obj (op c)) s.arrows
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Finset β
ht : 1 < t.card
⊢ t.Nontrivial
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
NormedDivisionRing 𝕜
c : ℝ
l : Filter α
u v : α → 𝕜
h : Asymptotics.IsBigOWith c l u v
hc : 0 ≤ c
⊢ ∃ φ, (∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x‖ ≤ c) ∧ u =ᶠ[l] φ * v
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
Ms : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
(i : ι) → Module R (Ms i)
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
r : R
x : ((i : ι) → Ms i) ⧸ Submodule.pi Set.univ p
⊢ Submodule.quotientPi_aux.toFun p (r • x) = (RingHom.id R) r • Submodule.quotientPi_aux.toFun p x
R : Type u
LinearOrder R
x y : Tropical R
h : y ≤ x
⊢ x + y = y
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ -(o.rotation ↑(-π / 2)) x = (o.rotation ↑(π / 2)) x
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
δ : Sort u_1
ab : α ≃ β
cd : γ ≃ δ
⊢ (ab.equivCongr cd).symm = ab.symm.equivCongr cd.symm
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : Tendsto (⇑f) (cocompact E) (cocompact F)
⊢ ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
n : PosNum
d : ZNum
⊢ subNatNat (↑d).natAbs (↑n.pred' % (↑d).natAbs + 1) = -(↑↑n.pred' + 1) % ↑d
R : Type u
ι✝ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L : Ideal R
ι : Type u_2
s : Finset ι
I : ι → R
hI : (↑s).Pairwise (IsCoprime on I)
x : R
⊢ (∀ i ∈ s, I i ∣ x) ↔ ∏ i ∈ s, I i ∣ x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u✝ v✝ a : Finset α
r : ℕ
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this : v \ u = v
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
α : Type u_4
Fintype α
⊢ Fintype.card (ULift.{u_5, u_4} α) = Fintype.card α
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
I : Ideal (R × S)
⊢ I = (Ideal.map (RingHom.fst R S) I).prod (Ideal.map (RingHom.snd R S) I)
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
_l : List α
⊢ countP p (Quot.mk Setoid.r _l) = card (Quot.mk Setoid.r _l) ↔ ∀ a ∈ Quot.mk Setoid.r _l, p a
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E' : ι' → Type wE'
Fintype ι
Fintype ι'
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
(i' : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i')
(i' : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i')
f : (i' : ι') → ContinuousMultilinearMap 𝕜 E (E' i')
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.pi f‖₊ = ‖f‖₊
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ EMetric.diam (Set.range ⇑f) = EMetric.diam Set.univ
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥↑E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u
ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
⊢ χ.coeff i = 0
R : Type u_1
Semiring R
⊢ (PowerSeries.coeff R 0) PowerSeries.X = 0
α : Type u_3
LinearOrder α
s : Set α
hs : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, x ≤ y
⊢ Filter.atTop = Filter.generate (Set.Ici '' s)
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ Polynomial.eval (v i) (Lagrange.basis s v i) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable (μ.restrict s) {x | u n ≤ ‖f x‖}
A : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤
⊢ s ⊆ ⋃ n, v n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Add α
Add β
Add γ
f : AddHom α β
g : AddHom β γ
⊢ WithZero.map (g.comp f) = (WithZero.map g).comp (WithZero.map f)
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
⊢ dist (midpoint 𝕜 p₁ p₂) (midpoint 𝕜 p₃ p₄) ≤ (dist p₁ p₃ + dist p₂ p₄) / ‖2‖
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
n : ℕ
h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom
hpn : ¬2 ^ ((multiplicity 2 (n + 1)).get h + 1) ∣ n + 1
k : ℕ
hk : n + 1 = 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h * k
⊢ multiplicity 2 (x ^ (n + 1) - y ^ (n + 1)) = multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑(n + 1)
α : Type u_1
β : α → Type u_2
F G : (a : α) → Equiv.Perm (β a)
⊢ Equiv.Perm.sigmaCongrRight F * Equiv.Perm.sigmaCongrRight G = Equiv.Perm.sigmaCongrRight (F * G)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
⊢ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) ≫ (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = ∑ j : IndexSet (op [n]), (s.πSummand j ≫ (s.cofan (op [n])).inj j) ≫ PInfty.f n
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R₂ M₂
⊢ ↑(Submodule.comap f p) = ⇑f ⁻¹' ↑p
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
OrderTop α
OrderBot β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
b₁ b₂ : β
⊢ Finset.Icc (Sum.inrₗ b₁) (Sum.inrₗ b₂) = Finset.map (Function.Embedding.inr.trans toLex.toEmbedding) (Finset.Icc b₁ b₂)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
hx : W.a₁ * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - (3 * W.addX x₁ x₂ L ^ 2 + 2 * W.a₂ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₄) = 0 ∧ 2 * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) + (W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₃) = 0
⊢ eval (W.addX x₁ x₂ L) (C 2 * (C L * (X - C x₁) + C y₁) * C L + (C W.a₁ * (C L * (X - C x₁) + C y₁) + (C W.a₁ * X + C W.a₃) * C L) - (C ↑3 * X ^ (3 - 1) + C W.a₂ * (C 2 * X) + C W.a₄)) = 0
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.fundamentalInterior G s ∪ MeasureTheory.fundamentalFrontier G s = s
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec Option.isSome
a b : Nat
⊢ a < b → ¬b ≤ a
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
f : α ≃ β
g : ⇑f ⁻¹'o s ≃r s
⊢ ∃ a', lift.{v, u} a' = type s
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Functor.mapConeOp G t).hom.hom = 𝟙 (Opposite.op (G.obj t.pt))
R : Type u
CommRing R
X Y : Type v
AddCommGroup X
Module R X
AddCommGroup Y
Module R Y
Q₁ : QuadraticForm R X
Q₂ : QuadraticForm R Y
e : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂
⊢ QuadraticModuleCat.ofIso e.symm = (QuadraticModuleCat.ofIso e).symm
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E → F
R : ℝ
⊢ ∫ (x : E), f (R • x) ∂μ = |(R ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (x : E), f x ∂μ
α : Type u_1
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (α × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) s = (ρ.condKernel x) s
α : Type u_1
CommGroup α
s : Set α
⊢ ¬MulDissociated s ↔ ∃ t u, ↑t ⊆ s ∧ ↑u ⊆ s ∧ Disjoint t u ∧ t ≠ u ∧ ∏ a ∈ t, a = ∏ a ∈ u, a
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
ha : multiplicity.Finite a a
⊢ (multiplicity a a).get ha = 1
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
⊢ CategoryTheory.Limits.WidePullback.lift f fs w ≫ CategoryTheory.Limits.WidePullback.base arrows = f
α : Type u
i✝ : Nat
a b : Array α
i j : Nat
h : a.size ≤ i
⊢ ∀ (i_1 : Nat) (hi₁ : i_1 < ((a ++ b).extract i j).size) (hi₂ : i_1 < (b.extract (i - a.size) (j - a.size)).size), ((a ++ b).extract i j)[i_1] = (b.extract (i - a.size) (j - a.size))[i_1]
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : LowerSet α
t₁ t₂ : LowerSet β
⊢ s ×ˢ (t₁ ⊓ t₂) = s ×ˢ t₁ ⊓ s ×ˢ t₂
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
x : X
g : G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 g
this : (fun x_1 => x_1 • x) = (fun x_1 => x_1 • g • x) ∘ fun x => x * g⁻¹
⊢ (fun g => g • x) '' U ∈ 𝓝 (g • x)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
⊢ min ↑a ↑b ≤ ↑c ↔ min a b ≤ c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k n a b : ℕ
h : a ≤ b
⊢ b = a + (b - a)
β : Type u_5
ConditionallyCompleteLattice β
s : Set (WithTop β)
hs : s.Nonempty
⊢ IsLUB s (sSup s)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
p : T[X]
a : S
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap T S)
ι : Type u
f : ι → AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ ∀ (x x_1 : ι) (x_2 : x ≠ x_1), (AlgebraicGeometry.disjointGlueData' f).t x x_1 x_2 = 𝟙 ((fun x x_3 x => ∅) x x_1 x_2)
α : Type u_1
p q : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ <+ l₂
⊢ countP p l₁ ≤ countP p l₂
α : Type u
β : Type v
f : β → α → β
b : β
l : List α
i : ℕ
h : i + 1 < (List.scanl f b l).length
⊢ (List.scanl f b l).nthLe (i + 1) h = f ((List.scanl f b l).nthLe i ⋯) (l.nthLe i ⋯)
p : ℕ
hp : Prime p
this✝ : p = p - 2 + 2
this : p.minFac = p
⊢ p.minFac :: (p / p.minFac).primeFactorsList = [p]
n : ℕ
h : 0 < n
c : Composition n
⊢ c = Composition.single n h ↔ c.length = 1
⊢ Filter.Tendsto Real.exp (𝓝 0) (𝓝 1)
G : Type u_1
Group G
S : Type u_6
SetLike S G
SubgroupClass S G
H K L : S
⊢ ↑H ⊆ ↑K ∪ ↑L ↔ H ≤ K ∨ H ≤ L
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ deriv (deriv fun x => x * log x) x = x⁻¹
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x✝ y✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
i : ι
c : ℝ≥0
h : I.distortion ≤ c
this : 0 ≤ ↑c * (I.upper i - I.lower i)
x : ι → ℝ
hx : x ∈ Box.Icc I
y : ι → ℝ
hy : y ∈ Box.Icc I
⊢ 0 ≤ I.upper i - I.lower i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
x : E
s t : Set E
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
ht : t ⊆ s
⊢ fderivWithin 𝕜 f₁ t =ᶠ[𝓝[s] x] fderivWithin 𝕜 f t
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocDiv hp a (-b) = -(toIcoDiv hp (-a) b + 1)
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set ι
hs : s.Finite
f : ι → Set X
h : ∀ i ∈ s, IsGδ (f i)
⊢ IsGδ (⋃₀ (f '' s))
α : Type u
β : Type v
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
p : α → Prop
q : β → Prop
f : α → β
c : Filter.Tendsto f l₁ l₂
w : ∀ (x : α), p x → q (f x)
h : ∃ᶠ (x : α) in l₁, p x
⊢ ∃ᶠ (y : β) in l₂, q y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i j : ι
⊢ b.equivFun (b i) j = if i = j then 1 else 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
hs : s ∈ (gaugeSeminormFamily 𝕜 E).basisSets
⊢ 0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Balanced 𝕜 s ∧ Convex ℝ s
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a₀ b₀ : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) volume
ha : Tendsto a l (𝓝 a₀)
hb : Tendsto b l (𝓝 b₀)
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I
i : ι
hi : ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ∂volume.restrict (Ioc a₀ b₀) ≤ I
a b : Int
⊢ b * (a / b) + a % b = a
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s \ (s \ t) = s ∩ t
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
⊢ 𝟙 X ∣_ U = 𝟙 ↑((TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 X).val.base).obj U)
⊢ Complex.slitPlane = {z | 0 < z.re} ∪ {z | z.im ≠ 0}
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.256266, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 3
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
⊢ g.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.inv = app₀.inv ≫ f.map' 0 1 ⋯ ⋯
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
i : Fin n
⊢ (Mathlib.Vector.replicate n a).get i = a
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Group G
f : α → G
rels : Set (FreeGroup α)
h : ∀ r ∈ rels, (FreeGroup.lift f) r = 1
g : PresentedGroup rels →* G
hg : ∀ (x : α), g (PresentedGroup.of x) = f x
x : PresentedGroup rels
⊢ g x = (toGroup h) x
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1
⊢ sin (-arcsin x) = -x
s : Set (ℚ × ℚ)
⊢ (∃ i, 0 < i ∧ {p | AbsoluteValue.abs (p.2 - p.1) < i} ⊆ s) ↔ ∃ i, 0 < i ∧ {p | dist p.1 p.2 < ↑i} ⊆ s
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
h0 : ¬‖↑(hf.approx n) x‖ = 0
h : c ≤ ‖↑(hf.approx n) x‖
⊢ ‖min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖)‖ * ‖↑(hf.approx n) x‖ ≤ c
α : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
g : ℕ → ℝ
h : f =o[atTop] g
hg : 0 ≤ g
h'g : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, g i) atTop atTop
A : ∀ (i : ℕ), ‖g i‖ = g i
⊢ (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ∑ i ∈ range n, g i
α : Type u
β : Type v
Group α
Monoid β
MulAction β α
H : Subgroup α
MulAction.QuotientAction β H
b : β
a : α
⊢ b • ↑a = ↑(b • a)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal
f : ↥(lp E p)
g : ↥(lp E q)
hf₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖
hg₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑g i‖
⊢ (Summable fun i => ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) ∧ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x y : α
⊢ ∀ {i j : Set (α × α)}, i ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel i → j ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel j → ∃ k, (k ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel k) ∧ ball x k ⊆ ball x i ∧ ball y k ⊆ ball y j
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
i : ι
hxy : |x i - y i| ≤ δ / 4
hz : |x i + 3 / 4 * δ - z i| ≤ δ / 4
⊢ y i < z i
n k : ℕ
h : k ≠ 0
⊢ n.primeFactorsList ⊆ (n * k).primeFactorsList
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
n : ℕ
⊢ 2 * a * yn a1 (n + 1) ≡ 2 * b * yn b1 (n + 1) [MOD c]
a b : Int
⊢ ¬a < b ↔ b ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
a b : α × β
⊢ Prod.GameAdd rβ rα a.swap b.swap ↔ Prod.GameAdd rα rβ a b
X Y : TopCat
H : X ≅ Y
⊢ (TopologicalSpace.Opens.mapMapIso H).functor = TopologicalSpace.Opens.map H.hom
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
⊢ ↑0 = 0
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
entry' : ℕ → ℕ → ℕ
h : entry' = ⇑T
⊢ ⇑(T.copy entry' h) = entry'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
f : S.Arrow
⊢ S.preOneHypercover.f f = f.f
ξ : ℝ
h : {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}.Infinite
a b : ℤ
H : ξ = ↑a / ↑b
q : ℚ
⊢ |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2 ↔ |↑a / ↑b - q| < 1 / ↑q.den ^ 2
x y z : SetTheory.PGame
h₁ : x ≤ y
h₂ : y ≈ z
⊢ x ≤ z
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
⊢ span K (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero}) = span K (range (Weight.toLinear K (↥H) L))
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : IsClosed ↑g.graph
this✝ : CompleteSpace ↥g.graph := completeSpace_coe_iff_isComplete.mpr (IsClosed.isComplete hg)
φ₀ : E →ₗ[𝕜] E × F := id.prod g
this : LeftInverse Prod.fst ⇑φ₀
⊢ Continuous ⇑g
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y p : P
⊢ (fun x => p -ᵥ x) '' affineSegment R x y = affineSegment R (p -ᵥ x) (p -ᵥ y)
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate fun x => (chartAt H ↑x).source