ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation.yoneda X).I = CategoryTheory.Discrete PUnit.{v + 1}
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
hs : NullMeasurableSet s μ
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → p x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
R₁ R₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 0 ⋯)
h₂ : CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 2 ⋯)
h₃ : CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 3 ⋯)
⊢ CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 1 ⋯)
R : Type u
CommSemiring R
ι : Type u_1
s : Finset ι
p : ι → R[X]
q : R[X]
⊢ (∏ j ∈ s, p j).comp q = ∏ j ∈ s, (p j).comp q
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h₁ : s ≤ᵐ[μ] t
h₂ : μ t ≤ μ s
hsm : MeasurableSet s
ht : μ t ≠ ⊤
⊢ s =ᵐ[μ] t
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i j : n
⊢ (↑(hA.eigenvalues i) • EuclideanSpace.single i 1) j = EuclideanSpace.single i (↑(hA.eigenvalues i)) j
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra ℚ R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤
a b : ℕ
h_ab : ↑a = ↑b
⊢ a = b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair ⥤ C
f : F.obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left } ⟶ G.obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left }
g : F.obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right } ⟶ G.obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right }
⊢ (CategoryTheory.Limits.mapPair f g).app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right } = g
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddMonoid β
StarAddMonoid β
ContinuousStar β
f : α →C_c β
⊢ ⇑(star f) = star ⇑f
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : μ.IsEverywherePos s
h : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, ν u = μ u
x : α
hx : x ∈ s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[s] x
t : Set α
t_mem : t ∈ 𝓝 x
ht : ∀ u ⊆ t, ν u = μ u
⊢ 0 < μ (n ∩ t)
R : Type u_3
CommRing R
a b : ℍ[R]
⊢ (a + b).imJ = a.imJ + b.imJ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt ℝ n f s x
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => Real.exp (f x)) s x
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ f.IsIdealMorphism ↔ ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
f : A →ₐ[R] B × C
⊢ AlgHom.prodEquiv.symm f = ((AlgHom.fst R B C).comp f, (AlgHom.snd R B C).comp f)
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n✝ m n : ℕ+
⊢ n < PNat.find h ↔ ∀ m ≤ n, ¬p m
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H✝ : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H✝
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
⊢ rootSpace H 0 ≤ H.toLieSubmodule
α : Type u
β : Type v
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
s : Set α
sne : s.Nonempty
sbdd : BddAbove s
⊢ f (sSup s) = sSup (f '' s)
l : List ℝ≥0
r : ℝ
⊢ (List.map (fun x => x ^ r) l).prod = l.prod ^ r
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
i : ℕ
⊢ #((L.sum L').Functions i) = Cardinal.lift.{u', u} #(L.Functions i) + Cardinal.lift.{u, u'} #(L'.Functions i)
α : Type u_1
la : Filter α
r : α → α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α × α) in la ×ˢ la, r x.1 x.2) ↔ ∃ t ∈ la, ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, r x y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᴹᵒᵖ
⊢ ∀ (X_1 : C), X.tensorLeftUnmopIso.hom.app X_1 = 𝟙 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X.unmop X_1)
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
S : L.ElementarySubstructure M
⊢ ⇑S.subtype = Subtype.val
α : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝³ : DecidableEq (Associates α)
inst✝² : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a : Associates α
ha : a ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
k : ℕ
⊢ k ∣ p.count (a ^ k).factors
h : Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
h_eq : ∀ x ∈ Set.Iio 0, (-(fun x => log x * x) ∘ fun x => |x|) x = log x * x
⊢ Tendsto (-(fun x => log x * x) ∘ fun x => |x|) (𝓝[<] 0) (𝓝 0)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
n : ℕ
e : Fin (n + 1) → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin (n + 1)), e i ∈ f.range
e' : Fin (n + 1) → R
h₁ : OrthogonalIdempotents e'
h₂ : ⇑f ∘ e' = e
this : ∀ (i : Fin (n + 1)), f (e' i) = e i
⊢ (⇑f ∘ (fun x => x.elim (1 - ∑ i : Fin n, (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n)) i) (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n))) ∘ ⇑(finSuccEquiv n)) ((finSuccEquiv n).symm none) = e ((finSuccEquiv n).symm none)
a b✝ c n : ℕ
hn : n ≠ 0
b : ℕ
⊢ b ∈ range n ↔ b ∈ Icc 0 (n - 1)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
A : Set α
B : Set β
n : ℕ
EquivLike F α β
MulEquivClass F α β
f : F
hfAB : Set.BijOn (⇑f) A B
⊢ IsMulFreimanIso n A B ⇑f
α : Type u
s : Stream' α
⊢ Stream'.unfolds Stream'.head Stream'.tail s = s
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : Ideal R → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : Ideal R → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
⊢ (↑I).IsPrincipal
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ (x / y).toNNReal = x.toNNReal / y.toNNReal
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
S : Type u_4
Monoid S
DistribMulAction S M
SMulCommClass R S M
LieDerivation.SMulBracketCommClass S L M
r : S
D : LieDerivation R L M
⊢ ↑(r • D) = r • ↑D
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
J : Type u_1
T : J → CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₁
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₂
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₃
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
T' : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
φ : (j : J) → T' ⟶ T j
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.productTriangle.lift T φ).hom₃ = CategoryTheory.Limits.Pi.lift fun j => (φ j).hom₃
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain K F m
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain K G n
n' m' : ℤ
α' : CochainComplex.HomComplex.Cochain F L m'
β' : CochainComplex.HomComplex.Cochain G L n'
h : n + 1 = m
h' : m' + 1 = n'
p : ℤ
hp : n + n' = p
⊢ (CochainComplex.mappingCone.liftCochain φ α β h).comp (CochainComplex.mappingCone.descCochain φ α' β' h') hp =
  α.comp α' ⋯ + β.comp β' ⋯
R : Type u
CommRing R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u
AddCommGroup N
Module R N
ι : Type u
Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor N (Submodule.span R (Set.range m)).subtype)
⊢ TensorProduct.VanishesTrivially R m n ↔ ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
xs ys : Lean.Omega.IntList
w : ∀ (x : Int), x ∈ xs → x = 0
⊢ xs.dot ys = 0
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hx : x ^ n = 0
⊢ y ^ m ∣ (y - x) ^ p * (-1) ^ p
s : ℝ
hs : s ≠ 0
⊢ (s + 1).doublingGamma = s * s.doublingGamma
C : Type u
X₁ X₂ : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
f : X₁.Hom X₂
Y : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
⊢ ⟦f.whiskerRight Y⟧ = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight ⟦f⟧ Y
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
z : S
x : R
y : ↥M
h : z * (algebraMap R S) ↑y = (algebraMap R S) x
hx : x = 0
⊢ z = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P
h : perpBisector p₁ p₂ = ⊤
⊢ p₁ ∈ ⊤
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
hs : IsChain r s
⊢ IsChain r (SuccChain r s)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.16016, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.16020, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.16024, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.16028, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.16032, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.16036, u_6} C₂₃
F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄
G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃
X₁ : C₁
X₂ Y₂ : C₂
φ✝ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ Y₃ : C₃
φ : X₃ ⟶ Y₃
⊢ (F.obj X₁).map ((G₂₃.obj X₂).map φ) ≫ (F.obj X₁).map ((G₂₃.map φ✝).app Y₃) = (F.obj X₁).map ((G₂₃.map φ✝).app X₃) ≫ (F.obj X₁).map ((G₂₃.obj Y₂).map φ)
s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hm : Squarefree m
hn : n ≠ 0
p : ℕ
this : m / m.gcd n ≠ 0
hp : (Prime p ∧ p ∣ m) ∧ (Prime p → ¬p ∣ n)
⊢ ¬p ∣ m.gcd n
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
a b : V
h : (a ∈ s(v, w)) = (a ∈ s(a, b))
⊢ a ∈ {v, w}
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
⊢ (-x).num * x.denom = -x.num * (-x).denom
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
h : J ≤ I
⊢ (single I J h).IsPartition ↔ J = I
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq γ
DecidableEq δ
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β → γ
g : γ → δ
⊢ Finset.image g (Finset.image₂ f s t) = Finset.image₂ (fun a b => g (f a b)) s t
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
f : R →+* S
g : S →+* P
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)
W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top P)
hUV : ∀ p ∈ V, (PrimeSpectrum.comap f) p ∈ U
hVW : ∀ p ∈ W, (PrimeSpectrum.comap g) p ∈ V
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
p : ↥(unop (op W))
⊢ (Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap (g.comp f)) ↑p).asIdeal (↑p).asIdeal (g.comp f) ⋯) (↑s ⟨(PrimeSpectrum.comap (g.comp f)) ↑p, ⋯⟩) = ↑(((comap g V W hVW).comp (comap f U V hUV)) s) p
α : Type u_1
CancelCommMonoid α
s : Submonoid α
b : ↥s
⊢ Function.Injective fun a => Localization.mk a b
α : Type u
β : Type v
s : Set α
f : α → β
hi : Set.InjOn f s
⊢ (f '' s).Finite ↔ s.Finite
a b : USize
⊢ a.toNat = b.toNat → a = b
n : Nat
m : Nat
⊢ n.pred ≤ m ↔ n ≤ m.succ
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
⊢ 𝒰.gluedCover.J = 𝒰.J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂
f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁
f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inr ≫ CategoryTheory.Biprod.ofComponents f₁₁ f₁₂ f₂₁ f₂₂ =
  f₂₁ ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.inl + f₂₂ ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.inr
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
x : Perm (Fin 5) := { toFun := ![1, 2, 0, 3, 4], invFun := ![2, 0, 1, 3, 4], left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
y : Perm (Fin 5) := { toFun := ![3, 4, 2, 0, 1], invFun := ![3, 4, 2, 0, 1], left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
z : Perm (Fin 5) := { toFun := ![0, 3, 2, 1, 4], invFun := ![0, 3, 2, 1, 4], left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
key : x = z * ⁅x, y * x * y⁻¹⁆ * z⁻¹
n : ℕ
⊢ x ∈ derivedSeries (Perm (Fin 5)) n
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
MonoidWithZero M₀
NoZeroDivisors M₀
n : ℕ
f : ι → M₀
hn : n ≠ 0
⊢ (Function.support fun a => f a ^ n) = Function.support f
l : Type u_4
R : Type u₂
DecidableEq l
CommRing R
Fintype l
⊢ (LieAlgebra.Orthogonal.PB l R).transpose * LieAlgebra.Orthogonal.JB l R * LieAlgebra.Orthogonal.PB l R =
  2 • Matrix.fromBlocks 1 0 0 (LieAlgebra.Orthogonal.S l R)
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f₁ f₂ : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f₁ ω) + ↑(f₂ ω) ∂↑μ = ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f₁ ω) ∂↑μ + ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f₂ ω) ∂↑μ
x : ℝ
⊢ ↑x + ⊤ = ⊤
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ ![x, x] 0 = ![x, x] 1
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
h : Function.Injective ⇑(algebraMap R A)
CharZero R
⊢ CharZero A
α : Type u_1
CommMonoid α
x : α
n : Multiplicative ℕ
⊢ ((powersMulHom α) x) n = x ^ Multiplicative.toAdd n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X₁₁ X₁₂ X₂₁ X₂₂ X₃₁ X₃₂ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₃₁ : X₃₁ ⟶ X₃₂
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₂ ⟶ X₃₂
v₂₁ : X₂₁ ⟶ X₃₁
s : CategoryTheory.IsPushout h₁₁ (v₁₁ ≫ v₂₁) v₁₃ h₃₁
t : CategoryTheory.IsPushout h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁
⊢ CategoryTheory.IsPushout h₂₁ v₂₁ (t.desc v₁₃ (v₂₁ ≫ h₃₁) ⋯) h₃₁
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
FiniteDimensional 𝕜 E
w : PiLp 2 fun μ => ↥(Module.End.eigenspace T (↑T μ))
⊢ hT.diagonalization.symm w = ∑ μ : Module.End.Eigenvalues T, ↑(w μ)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.sin (angle x (x - y)) * ‖x - y‖ = ‖y‖
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : c ≤ b
⊢ Set.Ico a b ∪ Set.Ici c = Set.Ici (min a c)
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
f : α → M
⊢ Function.mulSupport (s.mulIndicator f) ⊆ s
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
hl : l.Sized
size✝ : ℕ
l✝ : Ordnode α
x✝ : α
r✝ : Ordnode α
hr : (node size✝ l✝ x✝ r✝).Sized
⊢ (if l✝.size < ratio * r✝.size then l.node3L x l✝ x✝ r✝ else l.node4L x l✝ x✝ r✝).Sized
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder γ t
e : r ≃r s
f : r ≺i t
g : s ≺i t
⊢ f.top = g.top
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor (C × D) E} (T : X ⟶ Y) (X_1 : C) (Y_1 : D),
  ((CategoryTheory.curry.map T).app X_1).app Y_1 = T.app (X_1, Y_1)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
lfa lga lfb lgb : ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)
h : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f x - (lfb - lfa) * g x
hha : Tendsto h (𝓝[>] a) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))
hhb : Tendsto h (𝓝[<] b) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))
h' : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f' x - (lfb - lfa) * g' x
hhh' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt h (h' x) x
⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, (lgb - lga) * f' c = (lfb - lfa) * g' c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
⊢ ↑s = univ ↔ s = ⊥
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
B : LinearMap.BilinMap R M N
⊢ B.toQuadraticMap = 0 ↔ LinearMap.IsAlt B
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : Submodule R P
h : IsFractional S I
n : ℕ
⊢ IsFractional S (I ^ n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackConeOfRightIso f g).π.app none = f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : ℝ
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ c * ‖↑↑g x‖
hc : c < 0
⊢ ‖f‖ ≤ c * ‖g‖
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
W' : C
g' : W' ⟶ ⨁ f
w : g' ≫ biproduct.toSubtype f p = 0
j : K
⊢ ((fun {W} g x => g ≫ biproduct.toSubtype f pᶜ) g' w ≫ biproduct.fromSubtype f pᶜ) ≫ biproduct.π f j = g' ≫ biproduct.π f j
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝¹ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
inst✝ : PreservesFiniteLimits G
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
this : i.inv.app X✝ ≫ G.map (F.map f) ≫ i.hom.app Y✝ = f
⊢ HasKernel f
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ lowerBounds ↑(upperClosure s) = lowerBounds s
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype (Sym2 V)
inst✝ : DecidableEq V
v w : V
h : s(v, w) ∈ G.edgeSet
d : G.Dart := { toProd := (v, w), adj := h }
⊢ d ∉ {d.symm}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} B
F : CategoryTheory.Functor A B
CategoryTheory.HasWeakSheafify J B
CategoryTheory.HasWeakSheafify J A
X : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
⊢ (CategoryTheory.toPresheafToSheafCompComposeAndSheafify J F).app X =
  (CategoryTheory.presheafToSheaf J B).map (CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.toSheafify J X) F)
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a ^ 4 + b ^ 4 ≠ c ^ 2
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
⊢ ↑na * ⅟↑da * (↑nb * ⅟↑db) = ↑nc * ⅟↑dc
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
m : Multiset α
l : List α
⊢ List.pmap mk l ⋯ = List.pmap (fun a_1 h => ⟨↑⟨a_1, h⟩, ⋯⟩) l ⋯
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
seq : ℕ → F
hmem : ∀ (n : ℕ), ∃ x ∈ K, f x = seq n
htends : Tendsto seq atTop (nhds b)
y : F
hinner : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ K → 0 ≤ ⟪f x, y⟫_ℝ
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ ⟪y, seq n⟫_ℝ
m n : ℤ
even : Even (n - m)
⊢ m + 2 ≤ n ↔ m < n
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
hfg : ∀ (a : α), g a ≤ᵐ[κ a] f a
⊢ (κ.withDensity fun a x => f a x - g a x) + κ.withDensity g = κ.withDensity f
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {x | ‖x‖ < ε}
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
c : ENNReal
hc : c ≠ 0
⊢ μ.AbsolutelyContinuous (c • μ)
x p : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ deriv (fun x => x ^ p) x = p * x ^ (p - 1)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Module S N
SMulCommClass R S N
f : α → M →ₗ[R] N
⊢ ⇑((Finsupp.lsum S) f) = fun d => d.sum fun i => ⇑(f i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
⊢ Dilation.ratio e.toDilationEquiv = 1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a : Associates α
⊢ a.factors = ⊤ ↔ a = 0
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
M : Type u_3
Monoid M
f g : HNNExtension G A B φ →* M
hg : f.comp HNNExtension.of = g.comp HNNExtension.of
ht : f HNNExtension.t = g HNNExtension.t
⊢ f = g
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s t : Set α
x : α
r : ℝ
h : x ∈ s
H : Metric.hausdorffDist s t < r
fin : EMetric.hausdorffEdist s t ≠ ⊤
⊢ ∃ y ∈ t, dist x y < r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
𝔸' : Type u_7
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
c : E → 𝔸'
c' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸'
⊢ HasFDerivWithinAt (fun y => c y * d) (d • c') s x
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
x : α
⊢ h.symm (h x) = x
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : μ.restrict s = ν.restrict s
ht : μ.restrict t = ν.restrict t
u : Set α
hu : MeasurableSet u
⊢ μ (u ∩ s ∪ u ∩ t) = ν (u ∩ s ∪ u ∩ t)
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
h : a < 1
⊢ 1 < mabs a
x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun z => 1 + AkraBazziRecurrence.smoothingFn z) x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ toIocMod hp a a = a + p
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
⊢ LinearMap.range (Finsupp.restrictDom M R s) = ⊤
S : CategoryTheory.ShortComplex Ab
⊢ S.abLeftHomologyData.i = (AddMonoidHom.ker S.g).subtype
α : Type u_1
F' : Type u_7
E'' : Type u_9
SeminormedAddCommGroup F'
NormedAddCommGroup E''
g' : α → F'
f'' : α → E''
s : Set α
⊢ f'' =o[𝓟 s] g' ↔ ∀ x ∈ s, f'' x = 0
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ (finSuccEquiv' i) i = none
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
⊢ -(a + b) = -a - b
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s✝ t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y : (i : δ) → π i
i : δ
inst✝ : DecidableEq δ'
e : δ' → δ
he : Injective e
s : Finset δ'
f : ((i : δ') → π (e i)) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
x : (i : δ) → π i
h : Measurable fun x => (fun {x_1} => x) ∘' e
⊢ (∫⋯∫⁻_Finset.image e s, f ∘ fun x => (fun {x_1} => x) ∘' e ∂μ) x = (∫⋯∫⁻_s, f ∂(fun {x} => μ) ∘' e) ((fun {x_1} => x) ∘' e)
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
⊢ diam (range inl) + dist (inl default) (inr default) + diam (range inr) = diam univ + (dist default default + 1 + dist default default) + diam univ
A B : Type u
AddCommGroup A
AddCommGroup B
f : A →+ B
g : B →+ A
n : ℤ
⊢ QuotientAddGroup.homQuotientZSMulOfHom (f.comp g) n =
  (QuotientAddGroup.homQuotientZSMulOfHom f n).comp (QuotientAddGroup.homQuotientZSMulOfHom g n)
V : Type u
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
ha : G.Adj v w
⊢ (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - ℓ
v : Sat.Valuation
f₁ : Sat.Fmla
a : Prop
f₂ : Sat.Fmla
b : Prop
h₁ : Sat.Fmla.reify v f₁ a
h₂ : Sat.Fmla.reify v f₂ b
⊢ Sat.Fmla.reify v (f₁.and f₂) (a ∨ b)
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
⊢ P.toPoly = Polynomial.C P.d
α : Type u
p : α → Prop
s : Set α
⊢ setOf p ⊆ s ↔ ∀ (x : α), p x → x ∈ s