ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
Nonempty α
f : BoundedContinuousFunction α β
M : ℝ
⊢ ‖f‖ ≤ M ↔ ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ M
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
e : C ≌ D
inst✝¹ : Preregular C
A : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : IsSheaf (regularTopology D) (e.inverse.op ⋙ F)
⊢ F ≅ e.functor.op ⋙ e.inverse.op ⋙ F
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a : α
⊢ Associated (gcd 0 a) a
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
f : β → α
hf : Summable f
⊢ ∑' (i : β), UniformSpace.Completion.toCompl (f i) = ↑α (∑' (i : β), f i)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsDomain k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
this✝ : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
this : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
⊢ 0 < (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
CategoryTheory.Preregular C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : CategoryTheory.EffectiveEpi f], CategoryTheory.Limits.HasPullback f f
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) F ↔
  Nonempty (CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteProducts F) ∧ CategoryTheory.regularTopology.EqualizerCondition F
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → Nat.digits 0 n = [n]
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ s.max ∈ Finset.image WithBot.some s
x : ℝ
n : ℕ
⊢ 0 ≤ sin (π / 2 ^ (n + 2)) * 2
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : Filter α
⊢ l ≤ Filter.comap f ⊤
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ ((opcyclesFunctor C c i).mapShortComplex.obj S).Exact
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₁'.map f).τ₃ = f.f₃.τ₁
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
g_intble' : ∀ (t : ℝ), 0 ≤ t → IntervalIntegrable g volume 0 t
integrand_eq : ∀ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioc 0 (f ω), ENNReal.ofReal (g t)
⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → β
hs : s.Finite
⊢ (f '' s).Finite
α : Type u_1
MeasurableSpace α
E : Type u_5
MeasurableSpace E
NormedAddCommGroup E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : MeasureTheory.Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), ProbabilityTheory.IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
⊢ MeasureTheory.UniformIntegrable f p μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ : Set α
p q : ℝ≥0∞
f : α → E
s : Set α
hfq : Memℒp f q (μ.restrict (toMeasurable μ s))
hf : ∀ x ∉ s, f x = 0
hs : μ s ≠ ⊤
hpq : p ≤ q
this✝ : (toMeasurable μ s).indicator f = f
this : Fact (μ (toMeasurable μ s) < ⊤)
⊢ Memℒp f p (μ.restrict (toMeasurable μ s))
α : Type u
⊢ Cardinal.mk α ≤ 1 ↔ Subsingleton α
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.Stable
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F
⊢ ∀ (i : ℕ), (F.N i).FG
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.functor.map (e.unit.app X)) (e.counit.app (e.functor.obj X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (e.functor.obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
a : α
b : β
⊢ b ∈ PFun.res f s a ↔ a ∈ s ∧ f a = b
f : StieltjesFunction
s : Set ℝ
t : ℕ → Set ℝ
ht : s ⊆ ⋃ i, t i
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑ε
g : ℕ → Set ℝ
hg : ∀ (i : ℕ), t i ⊆ g i ∧ MeasurableSet (g i) ∧ f.outer (g i) ≤ f.length (t i) + ↑(ε' i)
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), f.outer t ≤ ∑' (a : ℕ), (f.length (t a) + ↑(ε' a))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂N₁.inv = AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂N₁.natTrans
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
r s : R''
x : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), r • m ⊗ₜ[R] n = (r • m) ⊗ₜ[R] n
m : M
n : N
⊢ (r + s) • m ⊗ₜ[R] n = r • m ⊗ₜ[R] n + s • m ⊗ₜ[R] n
S : Type v
σ : Type u_1
CommRing S
f : MvPolynomial σ ℤ →+* S
n : ℤ
⊢ f (MvPolynomial.C n) = ↑n
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : CentroidHom α
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f ∘ ⇑g
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
pmin : ∀ (q : A[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval x) q = 0 → p.degree ≤ q.degree
hx : IsIntegral A x
hnz : ¬minpoly A x - p = 0
⊢ (minpoly A x).leadingCoeff = p.leadingCoeff
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
a : M
N : Type u_4
F : Type u_5
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F
m : M
⊢ map f (powers m) = powers (f m)
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
a : α
Nonempty ↑(Set.Iio a)
⊢ (𝓝ˢ (Set.Ici a)).HasBasis (fun x => x < a) Set.Ioi
θ : Real.Angle
⊢ (θ + ↑(π / 2)).sin = θ.cos
a : UnitAddCircle
⊢ ContinuousOn (evenKernel a) (Ioi 0)
D : AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData
⊢ ∀ (a : D.J), D.oneHypercover.X a = D.U a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
⊢ pullbackConeOfLeftFst f g ≫ f = Y.ofRestrict ⋯ ≫ g
c : Lean.Omega.Constraint
h : c.isImpossible = true
x y : Lean.Omega.Coeffs
⊢ ¬c.sat' x y = true
m s n : Nat
⊢ (∃ i, i < n ∧ m = s + i) ↔ s ≤ m ∧ m < s + n
m : ℕ+
p : Nat.Primes
k : ℕ
e_1✝ : PrimeMultiset = Multiset Nat.Primes
⊢ Multiset.card (k • PrimeMultiset.ofPrime p) = k ∧ ∀ b ∈ k • PrimeMultiset.ofPrime p, b = p
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
⊢ EMetric.diam (Set.range ⇑f) = ↑(Dilation.ratio f) * EMetric.diam Set.univ
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
x y : A
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
⊢ x + y ∈ S
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f₁ s x
R : Type u
Ring R
J : Type
Finite J
f : J → ModuleCat R
x : ↑(CategoryTheory.Limits.biproduct.bicone f).toCone.pt
j : J
⊢ (ModuleCat.biproductIsoPi f).hom x j = (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j) x
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b : α
h : a₁ ≤ a₂
⊢ Finset.Ioc a₂ b ⊆ Finset.Ioc a₁ b
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ
A : Type u_1
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
NormOneClass A
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n A‖ = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ ContDiff 𝕜 n f
ι : Type u_1
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ι → Set α
s : Finset ι
h : ∀ b ∈ s, MeasureTheory.NullMeasurableSet (f b) μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet (⋃ b ∈ s, f b) μ
z : ℤ
⊢ z ≤ 0 → z.toNat = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
⊢ ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯) (zeta n K L) = μ
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R
⊢ (∃ x_1 ∈ Set.Icc 0 1, (1 - x_1) * 0 + x_1 * 1 = x) ↔ x ∈ Set.Icc 0 1
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
⊢ (logEmbedding K) x = 0 ↔ ∀ (w : InfinitePlace K), w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) = 1
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ ∀ ⦃a : ι → ℝ⦄, a ∈ {y | y i ≤ x} → a ∉ {y | x < y i}
α : Type u_1
as : Array α
⊢ as ++ #[] = as
x : EReal
⊢ IsOpen {z | x < ↑z.re}
m n : PosNum
⊢ ↑m < ↑n → ↑m.bit1 < ↑n.bit0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
q : PMF β
f : α → β → PMF γ
⊢ (p.bind fun a => q.bind (f a)) = q.bind fun b => p.bind fun a => f a b
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.45377, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.45429, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
⊢ ℱ'.val.map (Nonempty.some ⋯).lift.op (α.app (op (Nonempty.some ⋯).1) (ℱ.map (Nonempty.some ⋯).map.op x)) = α.app (op Y) (ℱ.map f.op x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂
⊢ dist t.orthocenter ((EuclideanGeometry.reflection (affineSpan ℝ (t.points '' {i₁, i₂}))) (circumcenter t)) = circumradius t
n m : ℕ+
⊢ ↑(n.gcd m) = (↑n).gcd ↑m
a b c : Prop
h : a → b
⊢ a ∧ c → b ∧ c
α : Type u
l : List α
⊢ l.tail.Sublist l
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
W : Set Y
hWo : W ∈ nhds 1
hWV : W ⊆ V
hWc : IsCompact W
S1 : Set (X →* Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S2 : Set (ContinuousMonoidHom X Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S3 : Set C(X, Y) := _root_.toContinuousMap '' S2
S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3
h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
hS4 : IsClosed S4
hS2 : (interior S2).Nonempty
⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s ∪ u = t ∪ u ↔ s ⊆ t ∪ u ∧ t ⊆ s ∪ u
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ ContinuousLinearMap.comp 0 f = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
a : C
z w : (CategoryTheory.FunctorToTypes.prod F G).obj a
h1 : z.1 = w.1
h2 : z.2 = w.2
⊢ z = w
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
FiberBundle F E
x : B
⊢ Continuous (Bundle.TotalSpace.mk x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max v u}
⊢ a < lsub f ↔ ∃ i, a ≤ f i
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.132496, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.RightHomologyData
inst✝ : Epi S.g
this✝ : Mono h.g'
this : Epi h.g'
⊢ IsIso h.g'
R : Type u
CommRing R
x : ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
f : R
⊢ (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.stalkToFiberRingHom R x) ((AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toStalk R x) f) =
  (algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal)) f
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
a : α
⊢ (InitialSeg.leAdd r s) a = Sum.inl a
R : Type u_1
CommRing R
Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))
⊢ ↑1 = 1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Sheaf J A
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget A)
F G : Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ G
⊢ Presheaf.IsLocallySurjective J f.val ↔ IsIso (imageSheafι f)
ι : Type u_1
Fintype ι
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
b : ι → M
DecidableEq ι
f : Module.End R M
i : ι
⊢ ((PiToModule.fromEnd R b) f) (Pi.single i 1) = f (b i)
R : Type u
N : Type w
CommSemiring R
σ : Type u_1
DecidableEq σ
AddCommMonoid N
Module R N
p : MvPolynomial σ R
n : N
d : σ →₀ ℕ
⊢ (MvPolynomial.scalarRTensor (p ⊗ₜ[R] n)) d = MvPolynomial.coeff d p • n
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : ∀ {ι : Type u} (t : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsClosed (t i)) → s ∩ ⋂ i, t i = ∅ → ∃ u, u.Countable ∧ s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
ι✝ : Type u
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
M : Type u_1
AddMonoid M
N : AddSubmonoid M
⊢ AddMonoid.FG ↥N ↔ N.FG
𝕜 : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_7
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
x : E
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x =
  if 𝓝[s \ {x}] x = ⊥ then 0 else if h : ∃ f', HasFDerivWithinAt f f' s x then Classical.choose h else 0
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
a : Args
⊢ ∀ (x : Args), (∀ (y : Args), ArgsRel y x → y.Numeric → P124 y) → x.Numeric → P124 x
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid β
s : Finset γ
t : Finset α
f : γ → α → β
⊢ ∏ x ∈ s ×ˢ t, f x.1 x.2 = ∏ x ∈ s, ∏ y ∈ t, f x y
α : Type u_1
f : α → ℂ
x : ℂ
h : HasSum f x
⊢ HasSum (fun x => (f x).re) x.re
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a b : K
h : D b = 0
⊢ ((b ^ 2)⁻¹ * b) • D a = b⁻¹ • D a
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (∃ k, r - ↑k • (p / ↑n) ∈ zmultiples p) ↔ ∃ k, r - ↑k • (p / ↑n) ∈ zmultiples p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β : Type u_1
AddCommGroup β
s : β
X : β → C
t : β
n : ℤ
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor (CategoryTheory.GradedObjectWithShift s C) n).obj X t = X (t + n • s)
x : ℝ
p : ℤ[X]
hx : Irrational x
p_nonzero : p ≠ 0
x_is_root : (aeval x) p = 0
rid : ¬1 < p.natDegree
⊢ False
α : Type u_1
DivInvMonoid α
x : α
z : ℤ
⊢ MulOpposite.op (x ^ z) = MulOpposite.op x ^ z
G : Type u_1
P : Type u_2
PartialOrder G
PartialOrder P
VAdd G P
IsOrderedCancelVAdd G P
s : Set G
t : Set P
u : Set G
hu : u.IsPWO
a : P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
h : u ⊆ s
⊢ Finset.VAddAntidiagonal hu ht a ⊆ Finset.VAddAntidiagonal hs ht a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
a₁ a₂ a₃ : ℤ
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : ℤ
h₁ : a₁ + b₁ = 0
h₂ : a₂ + b₂ = 0
h₃ : a₃ + b₃ = 0
⊢ 𝟙 ((shiftFunctor Cᵒᵖ a₃).obj X) = (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).hom.app X ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).inv.app (Opposite.op ((shiftFunctor C b₁).toPrefunctor.1 (Opposite.unop X))) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ a₂).map (𝟙 ((shiftFunctor C b₁).op.obj X)) ≫ (shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).hom.app ((shiftFunctor C b₁).op.obj X) ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).inv.app X
R : Type u_1
M : Type u_3
α : Type u_4
Finite α
AddCommMonoid M
Semiring R
Module R M
⊢ ∀ (a : α →₀ M) (a_1 : α), (Finsupp.linearEquivFunOnFinite R M α) a a_1 = a a_1
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
IH : ∀ m < d, m ∣ Fintype.card α → 0 < (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card → (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card = φ m
hd : d ∣ Fintype.card α
hpos : 0 < (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card
hd0 : d ≠ 0
⊢ (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card = φ d
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
c₁ : CategoryTheory.Limits.KernelFork S₁.g
hc₁ : CategoryTheory.Limits.IsLimit c₁
hf₂ : S₂.f = 0
c₂ : CategoryTheory.Limits.KernelFork S₂.g
hc₂ : CategoryTheory.Limits.IsLimit c₂
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
comm :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Fork.ι c₁) φ.τ₂ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.Limits.Fork.ι c₂)
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.ofIsLimitKernelFork φ hf₁ c₁ hc₁ hf₂ c₂ hc₂ f comm).φK = f
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
F : CategoryTheory.Discrete J ⥤ CategoryTheory.Over B
⊢ (CategoryTheory.Over.ConstructProducts.conesEquiv B F).functor =
  CategoryTheory.Over.ConstructProducts.conesEquivFunctor B F
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑(AdicCompletion.lTensorf I M f)
n k : ℕ
hermite_explicit : ℕ → ℕ → ℤ := fun n k => (-1) ^ n * ↑(2 * n - 1)‼ * ↑((2 * n + k).choose k)
⊢ (hermite (2 * (n + 1) + (k + 1))).coeff (k + 1) = (-1) ^ (n + 1) * ↑(2 * (n + 1) - 1)‼ * ↑((2 * (n + 1) + (k + 1)).choose (k + 1))
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S
⊢ ‖-x‖ = ‖x‖
a x z : ℂ
h₀ : abs x ≠ 0
hx_im : x.im < 0
⊢ ContinuousAt arg x
M : Type u_1
MulOneClass M
Pow M ℕ
NatPowAssoc M
x : M
⊢ x ^ 0 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
a : α
⊢ (uniformOfFintype α) a = (↑(Fintype.card α))⁻¹
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₃, p₄}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₃, p₄}
⊢ Collinear k {p₁, p₂, p₃, p₄}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
f_seq : ℕ → β →ₛ G := SimpleFunc.approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯
hf_seq_meas : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable ↑(f_seq n)
hf_seq_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) μ
hf_seq_int_m : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) (μ.trim hm)
⊢ ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C'
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
G : CategoryTheory.Functor C' C
X : CategoryTheory.Comma ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D H).obj L) (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F)
⊢ ((CategoryTheory.Functor.RightExtension.precomp L F G).obj X).right = X.right
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Z : Type u_6
MulOneClass Z
f : C(X, Y)
g : LocallyConstant Y Z
⊢ (LocallyConstant.comapMonoidHom f) g = LocallyConstant.comap f g
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ), cexp (-b * (↑x + ↑c * Complex.I) ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2)
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞
h : ∑' (a : α), f a ≠ ⊤
a : α
⊢ f a ≠ ⊤
α : Type u
DecidableEq α
⊢ Function.Injective FreeGroup.toWord
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
hc : G.chromaticNumber ≠ ⊤
⊢ ↑s.card ≤ G.chromaticNumber
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
s t : Set ((i : ι) × G i)
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ t
hxs : x.IsSupported s
j k : ι
hj : ∀ z ∈ s, z.fst ≤ j
hk : ∀ z ∈ t, z.fst ≤ k
hjk : j ≤ k
hst : s ⊆ t
⊢ (f' j k hjk) ((lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) 1)) = (lift fun ix => (f' (↑ix).fst k ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) 1)
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
s : Substring
⊢ s.Valid →
  s.toString.data = m₁ ++ c :: m₂ →
    s.next { byteIdx := String.utf8Len m₁ } = { byteIdx := String.utf8Len m₁ + c.utf8Size }
R : Type u_1
a b c d : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ { a := a, b := b, c := c, d := d }.toPoly.natDegree = 3
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
h : a - c = b
⊢ a = b + c
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Finite m
A : Matrix m n R
val✝ : Fintype m
⊢ A.rank = finrank R ↥(Submodule.span R (Set.range A))
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
Nontrivial ↥H
⊢ ∃ x ∈ H, x ≠ 0
α : Type u
self : SemilatticeSup α
a b : α
⊢ a ≤ a ⊔ b