ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
M₁' : ι → Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
(i : ι) → Module R (M₁' i)
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
⊢ MultilinearMap.compLinearMapMultilinear f = MultilinearMap.compLinearMapₗ f
α : Type u_1
β : Type u_2
Finite β
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Nat.card α ≤ Nat.card β
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
x : S ⊗[R] T
hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal
hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
h₁ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal
h₂ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∉ p₂.asIdeal
h₃ : t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal
h₄ : a ∉ Ideal.comap (algebraMap S (S ⊗[R] T)) p₂.asIdeal
⊢ False
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α
h : Relation.ReflTransGen r b a
⊢ Relation.ReflTransGen (Function.swap r) a b
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
x : R
hx : x ∈ I.jacobson
⊢ x ∈ I
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
⊢ Continuous toLevyProkhorov
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
p : α → Prop
step : ∀ (a : α), p a → a ≤ lfp f → p (f a)
s : Set α := {a | a ≤ lfp f ∧ p a}
hSup : p (sSup s)
⊢ sSup s = lfp f
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ ↑(↑(-θ).expMapCircle * (o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg - θ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
c : E
hc : c ≠ 0
⊢ Integrable (fun x => f x • c) μ ↔ Integrable f μ
M : Type u
Monoid M
x : Mˣ
⊢ ((Units.toAut M) x).hom = (CategoryTheory.SingleObj.toEnd M) ↑x
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
⊢ W.addX P Q =
  ((P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) ^ 2 +
            W.a₁ * (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) * P z * Q z * WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q -
          W.a₂ * P z ^ 2 * Q z ^ 2 * WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q ^ 2 -
        P x * Q z ^ 2 * WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q ^ 2 -
      Q x * P z ^ 2 * WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q ^ 2) /
    (P z * Q z) ^ 2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f (s ∩ t) x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
⊢ normUnit (a * ↑(normUnit a)) = 1
R : Type u
CommRing R
t : Multiset R
ht : 0 < Multiset.card t
⊢ (Multiset.map (fun x => Polynomial.X - Polynomial.C x) t).prod.coeff (Multiset.card t - 1) = -t.sum
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R).symm ∘ₗ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι) ∘ₗ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm ∘ₗ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R) = LinearMap.id
α : Type u_1
Zero α
One α
Neg α
⊢ ↑1 = 1
M : Type u_2
AddCommGroup M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
A : Type u_5
CommRing A
Module A M
b : Trunc (Basis ι A M)
f g : M →ₗ[A] M
⊢ (LinearMap.detAux b) (f ∘ₗ g) = (LinearMap.detAux b) f * (LinearMap.detAux b) g
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
S : Type u_1
T : Type u_2
CommRing S
CommRing T
f : T →+* R
g : R →+* S
⊢ Matrix.GeneralLinearGroup.map (g.comp f) = (Matrix.GeneralLinearGroup.map g).comp (Matrix.GeneralLinearGroup.map f)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ Ico a b - Ico c b = Ico a (min b c)
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
hp : p ≠ 0
this : p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ ↑(normUnit p) = C p.leadingCoeff⁻¹
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
hIJ : I ≤ J
r : S
p : R[X]
p_ne_zero : Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p ≠ 0
hpI : eval₂ f r p ∈ I
hrJ : r ∈ ↑J
hrI : r ∉ ↑I
rbar_ne_zero : (Quotient.mk I) r ≠ 0
rbar_mem_J : (Quotient.mk I) r ∈ map (Quotient.mk I) J
quotient_f : ∀ x ∈ comap f I, ((Quotient.mk I).comp f) x = 0
rbar_root : eval₂ (Quotient.lift (comap f I) ((Quotient.mk I).comp f) quotient_f) ((Quotient.mk I) r) (Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p) = 0
i : ℕ
ne_zero : (Quotient.mk (comap f I)) (p.coeff i) ≠ 0
mem : (Quotient.mk (comap f I)) (p.coeff i) ∈ comap (Quotient.lift (comap f I) ((Quotient.mk I).comp f) quotient_f) (map (Quotient.mk I) J)
⊢ (Quotient.mk I) (f (p.coeff i)) ∈ map (Quotient.mk I) J
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
hf : OpenEmbedding ⇑f
this : Mono f
U : Opens ↑X
V : Opens ↑Y
i : V ⟶ ⋯.functor.obj U
x : ↑Y
h : x ∈ V.1
⊢ x ∈ Set.range ⇑f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : p2 ∉ s1
hm : p2 -ᵥ p ∈ s1.direction
⊢ False
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ 1 ≤ μ s ↔ μ s = 1
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a : R
n : ℕ
ExistsAddOfLE R
hn : Even n
ha : a ≠ 0
⊢ 0 < a ^ n
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'_mono : MonotoneOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
R : Type u
EuclideanDomain R
a b c d : R
hac : c ∣ a
hbd : d ∣ b
⊢ a * b / (c * d) = a / c * (b / d)
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
hcd : d ≤ c
h₁ : b ≤ c
h₂ : d ≤ a
⊢ Ioc a b ∪ Ioc c d = Ioc (min a c) (max b d)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
σ : ι → Type u_12
s : Set (Sigma σ)
x : (i : ι) × σ i
⊢ (∃ i x_1, ⟨i, x_1⟩ ∈ s ∧ ⟨i, x_1⟩ = x) ↔ x ∈ s
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
StarRing A
CstarRing A
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ ‖a.toProd.2‖ = ‖a‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Preorder α
Preorder β
l : Filter γ
u : γ → α
v : α → β
hv : Antitone v
hl : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l u
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l (v ∘ u)
m n : ℕ
h : m ∈ n.properDivisors
⊢ 1 < n / m
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.attach.Nodup
hn : 2 ≤ l.attach.length
⊢ ∀ σ ∈ [l.attach.formPerm], σ.IsCycle
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
r : Set (α × α)
s : Set β
f g : β → α
hf : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
hg : ∀ x ∈ s, ContinuousAt g x
hfg : EqOn f g s
hr : r ∈ 𝓤 α
t : β → Set β
t_open : ∀ x ∈ s, IsOpen (t x)
xt : ∀ x ∈ s, x ∈ t x
ht : ∀ x ∈ s, ∀ z ∈ t x, (f z, g z) ∈ r
⊢ ∀ x ∈ ⋃ x ∈ s, t x, (f x, g x) ∈ r
α : Type u_4
self : DivisionRing α
q : ℚ≥0
a : α
⊢ DivisionRing.nnqsmul q a = ↑q * a
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
Fintype m
DecidableEq m
A : Matrix m m α
e₁ e₂ : n ≃ m
⊢ IsUnit (A.submatrix ⇑e₁ ⇑e₂) ↔ IsUnit A
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
l : List (Set E)
h : ∀ i ∈ l, Convex 𝕜 i
⊢ Convex 𝕜 l.sum
α : Type u
self : OrderedSemiring α
a b c : α
⊢ a ≤ b → 0 ≤ c → c * a ≤ c * b
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
IsLocalization.AtPrime S P
⊢ LocalRing S
R : Type u
σ : Type u_1
n : σ
CommSemiring R
⊢ IsRegular (MvPolynomial.X n)
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
⊢ f.iterateRange n = LinearMap.range (f ^ n)
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual (⨆ i, f i) = ⨅ i, OrderDual.ofDual (f i)
x : ℂ
hi : 0 < x.im
⊢ (-x).arg = x.arg - π
R : Type u_1
Semiring R
f : Polynomial R
⊢ f.reverse.natDegree = f.natDegree - f.natTrailingDegree
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h✝ : Nontrivial α
⊢ (X • 1 + A.map ⇑C).det.leadingCoeff = 1
w : Nat
x : BitVec w
r i : Nat
hi : i ≥ r
⊢ (x.rotateLeftAux r).getLsb i = (decide (i < w) && x.getLsb (i - r))
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
e e' : P₁ ≃ᵃ[k] P₁
⊢ ⇑(e * e') = ⇑e ∘ ⇑e'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α
ha : a ∈ s
has : ∀ b ∈ s, a ≤ b → b = a
⊢ s.erase a ⊔ Iic a = s
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.ΨSq 3 = W.Ψ₃ ^ 2
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
w✝ : TopologicalSpace α
left✝¹ : BorelSpace α
left✝ : PolishSpace α
s_closed : IsClosed s
right✝ : IsOpen s
⊢ StandardBorelSpace ↑s
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α
⊢ ((∃ h, a = c) ∨ ∃ h, b = c) ↔ P ∧ a = c ∨ ¬P ∧ b = c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
T2Space α
α' : Type u_5
AddCommMonoid α'
TopologicalSpace α'
e : α' → α
hes : Function.Surjective e
h1 : e 0 = 0
f : β → α
g : γ → α'
h : ∀ {a : α'}, HasSum f (e a) ↔ HasSum g a
⊢ ∑' (b : β), f b = e (∑' (c : γ), g c)
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
a₁ a₂ : Fin n
ha : ⟨a₁, a₂⟩.snd < ⟨a₁, a₂⟩.fst
b₁ b₂ : Fin n
hb : ⟨b₁, b₂⟩.snd < ⟨b₁, b₂⟩.fst
h : (if f a₂ < f a₁ then ⟨f a₁, f a₂⟩ else ⟨f a₂, f a₁⟩) = if f b₂ < f b₁ then ⟨f b₁, f b₂⟩ else ⟨f b₂, f b₁⟩
⊢ ⟨a₁, a₂⟩ = ⟨b₁, b₂⟩
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_gt : ∀ x ∈ interior D, C < deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x < y
hxyD : Icc x y ⊆ D
⊢ C * (y - x) < f y - f x
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → p.natDegree = m → ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hdeg : p.natDegree = n
erase_zero : ¬p.eraseLead = 0
deg_erase : p.eraseLead.natDegree < p.natDegree
pzero : p ≠ 0
lead_zero : p.coeff p.natDegree ≠ 0
lead : R[X]
hlead : map f lead = (monomial p.natDegree) (p.coeff p.natDegree) ∧ lead.degree = ((monomial p.natDegree) (p.coeff p.natDegree)).degree
deg_lead : lead.degree = ↑p.natDegree
⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
x y : A
⊢ φ (x * y) = φ x * φ y
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
H : IsJacobson R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsJacobson S
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃} → ¬sin (∠ p₁ p₂ p₃) = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp0 : ¬p.toReal = 0
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
⊢ liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) atTop ≤ ↑R ^ p.toReal
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
f g : K[X]
hf : Polynomial.Splits i f
hg : Polynomial.Splits i g
⊢ Polynomial.Splits i (f * g)
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hcs' : μ s ≠ ⊤
t : Set Ω
⊢ (ProbabilityTheory.cond μ s) t * μ s = μ (s ∩ t)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
r : ℝ
hr : r • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂ = s.center
⊢ midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
i j : ℕ
h : l₁.length ≤ l₂.length
e : (l₁ ++ List.replicate i default).length = (l₂ ++ List.replicate j default).length
⊢ j ≤ i
α : Type u
LE α
a b : α
⊢ { down := a } ≤ { down := b } ↔ a ≤ b
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b : α
⊢ a / b ⊔ b / a ⊔ 1 = mabs (b / a)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X : C
j : J
⊢ biproduct.ι f j ▷ X ≫ (rightDistributor f X).hom = biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
PreconnectedSpace X
f : LocallyConstant X Y
x : X
⊢ f = LocallyConstant.const X (f x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
⊢ (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).comp (CochainComplex.mappingCone.inl φ) ⋯ +
    (CochainComplex.mappingCone.snd φ).comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (CochainComplex.mappingCone.inr φ))
      ⋯ =
  CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (𝟙 (CochainComplex.mappingCone φ))
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
ι : Sort u_3
S : ι → L.Substructure M
x : M
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p q : F[X]
hpq : Splits (algebraMap F q.SplittingField) p
hp : IsSolvable p.Gal
hq : IsSolvable (Polynomial.map (algebraMap F p.SplittingField) q).Gal
K : Type u_1 := p.SplittingField
L : Type u_1 := q.SplittingField
this✝ : Fact (Splits (algebraMap F L) p)
ϕ : (L ≃ₐ[K] L) ≃* (Polynomial.map (algebraMap F K) q).Gal := (IsSplittingField.algEquiv L (Polynomial.map (algebraMap F K) q)).autCongr
ϕ_inj : Function.Injective ⇑ϕ.toMonoidHom
this : IsSolvable (K ≃ₐ[F] K)
⊢ IsSolvable q.Gal
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
h : CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete PEmpty.{w + 1}) C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete PEmpty.{w' + 1}) C
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
ν : Measure α
hν : IsFiniteMeasure ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
g : E₂ →ₛₗ[σ₂₁] E
h₁ : f.comp g = LinearMap.id
h₂ : g.comp f.toLinearMap = LinearMap.id
⊢ ⇑(LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry f g h₁ h₂) = ⇑f
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
⊢ (GenLoop.loopHomeo i) p = GenLoop.toLoop i p
β : Type u_1
α : Type u_2
CommSemiring β
f : α → β
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (∅.sum f) 0
a : NatOrdinal
⊢ NatOrdinal.toOrdinal a = 1 ↔ a = 1
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
⊢ (pushforwardFamily α x).Compatible
α : Type u_1
n : Type u_3
DecidableEq n
Zero α
v : n → α
⊢ (Matrix.diagonal v).IsSymm
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
⊢ EqvGen FreeAddGroup.Red.Step L₁ L₂ ↔ Relation.Join FreeAddGroup.Red L₁ L₂
β : Type u_1
α : Type u_2
b : β
l : List α
f : α → List β
⊢ b ∈ l.bind f → ∃ a, a ∈ l ∧ b ∈ f a
α : Type u_1
Monoid α
x y : α
hx : Irreducible x
hy : y ∣ x
⊢ IsUnit y ↔ ¬x ~ᵤ y
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
⊢ GenContFract.IntFractPair.stream v 0 = some (GenContFract.IntFractPair.of v)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)
W X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Z ⊗ Y ⟶ W
wh : Z ◁ f ≫ h = Z ◁ g ≫ h
⊢ Z ◁ CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g ≫
    (CategoryTheory.Limits.PreservesCoequalizer.iso (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft Z) f g).inv ≫
      CategoryTheory.Limits.coequalizer.desc h wh =
  h
X : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
A D E : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : TopologicalSpace D
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : ExtremallyDisconnected A
inst✝² : T2Space A
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : CompactSpace E
ρ : E → A
ρ_cont : Continuous ρ
ρ_surj : Surjective ρ
zorn_subset : ∀ (E₀ : Set E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → ρ '' E₀ ≠ univ
x₁ x₂ : E
hρx : ρ x₁ = ρ x₂
hx : ¬x₁ = x₂
G₁ G₂ : Set E
G₁_open : IsOpen G₁
G₂_open : IsOpen G₂
hx₁ : x₁ ∈ G₁
hx₂ : x₂ ∈ G₂
disj : Disjoint G₁ G₂
G₁_comp : IsCompact G₁ᶜ
G₂_comp : IsCompact G₂ᶜ
G₁_open' : IsOpen (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ
⊢ False
E : Type u_6
NormedAddGroup E
a : E
⊢ 0 < ‖a‖ ↔ a ≠ 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι
⊢ i ∉ Finset.univ → ((fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) i j = 0
a b c : Nat
⊢ max (max a b) c = max a (max b c)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
s : Set ↑(Metric.sphere 0 1)
r : ↑(Set.Ioi 0)
⊢ μ (Subtype.val '' (⇑(homeomorphUnitSphereProd E) ⁻¹' s ×ˢ Set.Iio r)) = μ (Set.Ioo 0 ↑r • Subtype.val '' s)
p x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
n : ℕ
⊢ LiouvilleWith p (↑n - x)
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
l : List α
a m : α
⊢ a ∈ l → l.minimum = ↑m → ¬a < m
α : Type u_1
Ring α
n : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt n.rawCast n
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
Subsingleton n
A : Matrix m n R
i : n
b : m → R
⊢ A.updateColumn i b = (Matrix.col (Fin 1) b).submatrix id (Function.const n 0)
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2
hu : IsUnit ↑(ringChar FF)
ψ₈ : PrimitiveAddChar (ZMod ↑8) F := primitiveZModChar 8 F ⋯
ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char
τ : FF := ψ₈char 1
τ_spec : τ ^ 4 = -1
χ : MulChar (ZMod 8) FF := χ₈.ringHomComp (Int.castRingHom FF)
hχ : χ (-1) = 1
hq : χ.IsQuadratic
h₁ : (fun a => ↑(χ₈ a) * τ ^ ↑a) = fun a => χ a * ψ₈char a
hg₁ : gaussSum χ ψ₈char = 2 * (τ - τ ^ 3)
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace E
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E p μ)
⊢ AEMeasurable (↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f)) μ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
p : P
hp : p ∈ s
p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s
hv : v = p1 -ᵥ p2
⊢ p1 -ᵥ p2 +ᵥ p ∈ s ↔ p1 -ᵥ p2 +ᵥ p ∈ s.carrier
α : Type u_1
β : Type u_2
SeminormedRing α
SeminormedAddCommGroup β
Module α β
h : ∀ (r : α) (x : β), ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖
⊢ BoundedSMul α β
R : Type u
Semiring R
⊢ { toFinsupp := 0 } = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0✝ : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal
hI0 : ⊥ < I
a : A
haI : a ∈ I
ha0 : a ≠ 0
J : Ideal A := span {a}
hJ0 : J ≠ ⊥
hJI : J ≤ I
⊢ ¬(↑I)⁻¹ ≤ 1
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
x✝ : M.Indep B ∧ ∀ (I : Set α), M.Indep I → B ⊆ I → B = I
h : M.Indep B
h' : ∀ (I : Set α), M.Indep I → B ⊆ I → B = I
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hBB' : B ⊆ B'
⊢ M.Base B
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
χ : DirichletCharacter ℂ N
k : ZMod N
⊢ 𝓕 (⇑χ) k = gaussSum χ (stdAddChar.mulShift (-k))
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
h : ⁅x + y, x⁆ + ⁅x + y, y⁆ = 0
⊢ -⁅y, x⁆ = ⁅x, y⁆
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
x : (a : α) → Part (β a)
⊢ x ∈ Part.Fix.approxChain f → x ≤ f x
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : OreSet R⁰
inst✝ : NoZeroDivisors R
⊢ 0⁻¹ = 0
ι : Type u_2
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomotopyCategory V c
f : C ⟶ D
g : D ⟶ E
⊢ (HomotopyCategory.quotient V c).map (Quot.out f ≫ Quot.out g) = f ≫ g
x : ℝ≥0
y : ℝ
h✝¹ : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ y
h✝ : 0 ≤ y
h : 0 = y
⊢ ContinuousAt (fun z => z ^ 0) x
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
S : NonUnitalSubsemiring R
s : Set R
hs : s = ↑S
⊢ S.copy s hs = S
R : Type u
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₃
f : M₂ →ₗ[R] M₃
I : Type u_1
h : I → M₂
⊢ ∀ (a : I), (f.compLeft I) h a = (⇑f ∘ h) a