ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n : ℕ
yr' : ‖y‖ < ↑r'
hr'0 : 0 < ↑r'
this : y ∈ EMetric.ball 0 r
ya : a * (‖y‖ / ↑r') ≤ a
⊢ ∀ (n : ℕ), ‖(p n) fun x => y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
R : Type u_1
A : Type u_2
Zero A
r : R
⊢ (Unitization.inl r).fst = r
α : Type u
β : Type v
Add β
f f' g g' : α → β
l : Filter α
h : f =ᶠ[l] g
h' : f' =ᶠ[l] g'
⊢ (fun x => f x + f' x) =ᶠ[l] fun x => g x + g' x
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
b c : α
MulPosStrictMono α
h : 0 < c
⊢ 0 ≤ b * c ↔ 0 ≤ b
α : Type u_3
β₁ : α → Type u_1
β₂ : α → Type u_2
F : (a : α) → β₁ a ≃ β₂ a
a : (a : α) × β₁ a
⊢ (Equiv.sigmaCongrRight F) a = ⟨a.fst, (F a.fst) a.snd⟩
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_6
𝔸' : Type u_8
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
g : ι → E → 𝔸'
DecidableEq ι
x : E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hg : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (g i) s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun x => ∏ i ∈ u, g i x) s x = ∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, g j x) • fderivWithin 𝕜 (g i) s x
α : Type u
l : List α
DecidableEq α
⊢ l.Nodup ↔ ∀ a ∈ l, List.count a l = 1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
X : Type u
MeasurableSpace X
⊢ ↑(MeasCat.of X) = X
a : Ordinal.{u_1}
H : ∀ ⦃b c : Ordinal.{u_1}⦄, b < a → c < a → b + c ≠ a
⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
h : a ≤ c * b
⊢ c * b / b = c
R : Type u_1
n : ℕ
w✝ : ℤ
⊢ 1 % 4 = 1
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
x : LocalRing.ResidueField R
⊢ (LocalRing.ResidueField.map (RingHom.id R)) x = x
M : Type u_1
α : Type u_3
Monoid M
TopologicalSpace α
MulAction M α
MulAction.IsMinimal M α
U : Set α
hUo : IsOpen U
hne : U.Nonempty
⊢ ⋃ c, (fun x => c • x) ⁻¹' U = Set.univ
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : (∏ i : n, (X - C (M i i)) - M.charpoly + M.charpoly).leadingCoeff = 1
⊢ (-(M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i)))).degree < ↑(Fintype.card n)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R → ℤ
h_exps : ∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, exps v = 0
⊢ count K v (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ exps v) = exps v
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → E
p δ : ℝ≥0∞
hδ : δ ≠ 0
this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
η : ℝ≥0∞
hη : LpAddConst p * (η + η) < δ
ηpos : 0 < η
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
Hf : eLpNorm f p μ ≤ η
Hg : eLpNorm g p μ ≤ η
⊢ eLpNorm (f + g) p μ < δ
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
h : 0 < (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasStrictFDerivAt (NormedSpace.exp 𝕂) 1 0
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
g g' : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ f.comp g = f.comp g' ↔ g = g'
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
i : 𝒰.gluedCover.J
x : ↑↑(𝒰.gluedCover.U i).toPresheafedSpace
j : 𝒰.gluedCover.J
y : ↑↑(𝒰.gluedCover.U j).toPresheafedSpace
h : (𝒰.map i).val.base x = (𝒰.map j).val.base y
e : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (𝒰.map i)) (forgetToTop.map (𝒰.map j))).pt ≅ (PullbackCone.mk (forgetToTop.map (pullback.fst (𝒰.map i) (𝒰.map j))) (forgetToTop.map (pullback.snd (𝒰.map i) (𝒰.map j))) ⋯).pt := (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (𝒰.map i)) (forgetToTop.map (𝒰.map j))).conePointUniqueUpToIso (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (𝒰.map i) (𝒰.map j))
⊢ (𝒰.gluedCover.f ⟨i, x⟩.fst ⟨j, y⟩.fst).val.base (e.hom ⟨(x, y), h⟩) = ⟨i, x⟩.snd ∧ (𝒰.gluedCover.t ⟨i, x⟩.fst ⟨j, y⟩.fst ≫ 𝒰.gluedCover.f ⟨j, y⟩.fst ⟨i, x⟩.fst).val.base (e.hom ⟨(x, y), h⟩) = ⟨j, y⟩.snd
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
F : Type u_1
EquivLike F A₁ A₂
AlgEquivClass F R A₁ A₂
f : F
x : A₂
⊢ f ((↑f).symm x) = x
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
n : ℕ
f : R →+* S
⊢ (map f) (esymm σ R n) = esymm σ S n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
a b c : ℤ
h : a + b = c
⊢ CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) a b c h = CochainComplex.shiftFunctorAdd' C a b c h
R : Type u_3
Mul R
StarMul R
x y : R
hx : IsSelfAdjoint x
hy : IsSelfAdjoint y
⊢ Commute x y ↔ IsSelfAdjoint (x * y)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₂ - f K₁
this : Continuous eval
⊢ 0 ≤ chaar K₀ K₂ - chaar K₀ K₁
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
⊢ Measurable fun p => κ.rnDeriv η p.1 p.2
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α (d :: ds)
i : ℕ
hid : i < d
⊢ ⟨i, ⋯⟩ ∉ (Finset.range d).attach → (if i = ↑⟨i, ⋯⟩ then x.slice ↑⟨i, ⋯⟩ ⋯ else 0) = 0
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
⊢ s = {a} ↔ s.Nonempty ∧ ∀ x ∈ s, x = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup Fₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Fₗ
v : E
f : E →L[𝕜] Fₗ
⊢ ((ContinuousLinearMap.apply 𝕜 Fₗ) v) f = f v
F : Type u → Type v
Applicative F
G : Type u → Type w
Applicative G
self : ApplicativeTransformation F G
α β : Type u
x : F (α → β)
y : F α
⊢ self.app β (Seq.seq x fun x => y) = Seq.seq (self.app (α → β) x) fun x => self.app α y
R : Type u
CommRing R
A B : Mon_ (ModuleCat R)
f : A ⟶ B
a : ↑A.X
⊢ (ModuleCat.MonModuleEquivalenceAlgebra.functor.map f) a = f.hom a
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ : 0 ≤ δ
hscard : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
htcard : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
⊢ |↑(Rel.edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(Rel.edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Finite
h : (f '' s).encard = s.encard
⊢ InjOn f s
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c✝ : G₀
s✝ : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E
c : G₀
s : Set E
⊢ closure (c • s) = c • closure s
α : Type u_1
p : α → Bool
t : Batteries.RBNode α
⊢ Batteries.RBNode.all p t = true ↔ Batteries.RBNode.All (fun x => p x = true) t
x : ℝ
hx✝ : cos x = 0
hx : Complex.cos ↑x = 0
⊢ Tendsto (fun x => Complex.abs (Complex.tan ↑x)) (𝓝[≠] x) atTop
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.HasShift D ℤ
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ (F.mapTriangleRotateIso.inv.app X).hom₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X.obj₂)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x✝ : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
x : M
i : ι
a✝ : Nontrivial R
⊢ (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩ = (b.repr x) i
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq m
i j : m
hij : b j ≤ b i
c : R
⊢ (⇑toDual ∘ b) i ≤ (⇑toDual ∘ b) j
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α
⊢ card (Quot.mk Setoid.r l) = countP p (Quot.mk Setoid.r l) + countP (fun x => ¬p x) (Quot.mk Setoid.r l)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ IsLocallyClosed s ↔ IsOpen (coborder s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)
⊢ 2 ^ Fintype.card α * Fintype.card (Finset α) + 2 * ((s.biUnion f').card * (f' i)ᶜ.card) ≤ 2 * 2 ^ Fintype.card α * (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card))
ι : Sort u_1
f✝ f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
⊢ (⨆ i, f i) * a = ⨆ i, f i * a
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {l r : List α}, (a :: l).reverseAux r = l.reverseAux (a :: r)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α × α
h : a ∈ s.offDiag
⊢ ¬(Sym2.mk a).IsDiag
α : Type u_1
α' : Type u_3
g : α → α'
t : α
ts ys : List α
⊢ List.map (List.map g) (List.permutationsAux2 t ts [] ys id).2 =
  (List.permutationsAux2 (g t) (List.map g ts) [] (List.map g ys) id).2
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
⊢ UniformContinuous fun p => p.2
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
t : ℕ
ht : t ∈ Finset.image (fun x => p ^ x) (Finset.range (padicValNat p n + 1))
⊢ t ∈ n.divisors
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ ¬SupIrred a ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, b ⊔ c = a ∧ b < a ∧ c < a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
φ : α → β
θ : α → γ
ψ : β → δ
ρ : γ → δ
H : ψ ∘ φ = ρ ∘ θ
G : Filter δ
⊢ comap φ (comap ψ G) = comap θ (comap ρ G)
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : a * p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (C a * p).coeff p.natDegree ≠ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
f : { p // p.degree ≤ 3 }
n : ℕ
⊢ { a := (↑f).coeff 3, b := (↑f).coeff 2, c := (↑f).coeff 1, d := (↑f).coeff 0 }.toPoly.coeff (4 + n) = (↑f).coeff (4 + n)
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
U : Set G
hU : IsOpen U
⊢ μ.outerMeasure U = μ.innerContent { carrier := U, is_open' := hU }
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f i
i✝ : I
a a' : α → γ
b b' : β → γ
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : One γ
i : α
c : γ
⊢ Sum.elim (Pi.mulSingle i c) 1 = Pi.mulSingle (inl i) c
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : α → M
s : Set α
⊢ Submodule.span R (v '' s) = Submodule.map (Finsupp.total α M R v) (Finsupp.supported R R s)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
⊢ |o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν
hfi' : Integrable f μ
hf' : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂ν
R : Type u
Ring R
G H : ModuleCat R
f : G ⟶ H
⊢ (ModuleCat.imageIsoRange f).hom ≫ ModuleCat.ofHom (LinearMap.range f).subtype = CategoryTheory.Limits.image.ι f
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K : Set X
hK : IsCompact K
⊢ (𝓝ˢ K).lift' closure = 𝓝ˢ K
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
φ : L.Sentence
h : φ ∈ T
⊢ T ⊨ᵇ φ
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
hb₀ : b ≠ 0
hb₁ : b ≠ ⊤
h : a / b = 1
⊢ a = b
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt f (derivWithin f s x) s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
γ : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace γ
m : Measure α
f : α → Measure β
g : β → Measure γ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α), ∫⁻ (x : β), ((fun μ => μ s) ∘ g) x ∂f a ∂m = ∫⁻ (a : α), (((fun m => m.bind g) ∘ f) a) s ∂m
α : Type u_1
AddCommSemigroup α
PartialOrder α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h₁ : b ≤ a
h₂ : c ≤ a
h₃ : a - b = a - c
⊢ b = c
R : Type u
CommRing R
x y : R
Submodule.IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
⊢ IsRelPrime x y ↔ IsCoprime x y
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
NatCast γ
n : ℕ
⊢ Sum.elim ↑n ↑n = ↑n
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ μ.withDensity (r • f) = r • μ.withDensity f
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
⊢ ∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset α
⊢ s₁ ∩ s₂ - (t₁ ∪ t₂) ⊆ s₁ - t₁ ∪ (s₂ - t₂)
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
S₃.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ' : CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ'
hφφ' : CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ φ')
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
⊢ span R {1} * span R ↑M = M
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
o : α → Option β
f : α → σ
g : α → β → σ
ho : Primrec o
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
a : α
⊢ (Nat.casesOn (encode (o a)) (encode (f a)) fun b => (encode ((decode (encode (a, b).1)).bind fun a => Option.map (g a) (decode b))).pred) = encode (Option.casesOn (o a) (f a) (g a))
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
⊢ 0 ≤ re z ∧ im z = 0 ↔ ∃ x ≥ 0, re ↑x = re z ∧ im ↑x = im z
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ eLpNorm f p μ ≤ ENNReal.ofReal C * μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
SMul G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α
⊢ μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) ≤ μ s
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
h : IsGLB s a
⊢ ⋃ x ∈ s, Ioi x = Ioi a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddSemigroup α
h : Periodic f c
a x : α
⊢ (fun x => f (a + x)) (x + c) = (fun x => f (a + x)) x
R : Type u
S : Type v
A : Type w
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra S A
Algebra R A
IsScalarTower R S A
⊢ ⇑(IsScalarTower.toAlgHom R S A) = ⇑(algebraMap S A)
k : Type u_1
inst✝⁵ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
F : Type u_3
inst✝³ : Field F
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic k K
w : InfinitePlace k
this : Algebra k ℂ := w.embedding.toAlgebra
⊢ (fun x => x.comap (algebraMap k K)) (mk IsAlgClosed.lift.toRingHom) = w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
x y : Ordinal.{u_4}
⊢ x * y % x = 0
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R
⊢ IsUnit A.det
M : Type u_4
AddMonoid M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ (List.map f (List.range n.succ)).sum = f 0 + (List.map (fun i => f i.succ) (List.range n)).sum
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ normalizedFactors (n + 1) = ↑(n + 1).primeFactorsList
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMinOrder (α ⊕ β)
a : β
b : α
h : inl b < inr a
⊢ ∃ b, b < a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a✝ : Unit
r r' : ℚ
hrr' : r ≤ r'
a : α
h1 : Monotone fun r => preCDF ρ r a
h2 : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1
h_ne_top : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≠ ⊤
⊢ (preCDF ρ r a).toReal ≤ (preCDF ρ r' a).toReal
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s = (s * ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) - ↑(rexp (-X)) * ↑X ^ s
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
h : p.coeff 0 = 0
hlt : 0 ≥ p.degree
this : p = C (p.coeff 0)
⊢ False
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Sbtw R w y z
h₂ : Sbtw R w x y
⊢ Sbtw R w x z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
fa : CPolynomialOn 𝕜 f Set.univ
⊢ Continuous f
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x : F
⊢ ↑(InnerProductSpace.Core.normSq x) = ⟪x, x⟫_𝕜
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ≤ b⁻¹ ↔ a * b ≤ 1
β : Type u_1
AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X Y : CategoryTheory.DifferentialObject ℤ (CategoryTheory.GradedObjectWithShift b V)
f : X ⟶ Y
i : β
⊢ ((HomologicalComplex.dgoToHomologicalComplex b V).map f).f i = f.f i
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
x : G
⊢ ∃ x_1 ∈ H, ∃ y ∈ K, x = x_1 * Quotient.out' (mk H K x) * y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (x : α), 0 ∂μ ≠ ⊤
K : Type u_1
RCLike K
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ RCLike.im (OfNat.ofNat n) = 0
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
a : α
⊢ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesFilteredColimits (forget C)
F G : Presheaf C X
f : F ⟶ G
h : ∀ (U : Opens ↑X), Function.Injective ⇑(f.app (op U))
x : ↑X
U₁ : Opens ↑X
hxU₁ : x ∈ U₁
s : (forget C).obj (F.obj (op U₁))
U₂ : Opens ↑X
hxU₂ : x ∈ U₂
t : (forget C).obj (F.obj (op U₂))
hst : (G.germ ⟨x, hxU₁⟩) ((f.app (op U₁)) s) = (G.germ ⟨x, hxU₂⟩) ((f.app (op U₂)) t)
W : Opens ↑X
hxW : x ∈ W
iWU₁ : W ⟶ U₁
iWU₂ : W ⟶ U₂
heq : (f.app (op W)) ((F.map iWU₁.op) s) = (f.app (op W)) ((F.map iWU₂.op) t)
⊢ (F.germ ⟨x, hxU₁⟩) s = (F.germ ⟨x, hxU₂⟩) t
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
x : R
⊢ ↑((NonUnitalRingHom.srangeRestrict f) x) = f x
b p : ℕ
x✝ : 2 ≤ b
hp : Odd p
⊢ (b ^ p - 1) / (b - 1) * ((b ^ p + 1) / (b + 1)) = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
α : Type u_1
f : Char → α → α
init : α
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝
⊢ Substring.foldr f init x✝ = List.foldr f init x✝.toString.data
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X) in {y | f y ≤ 0}, f x ∂μ ≤ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedCommMonoid N
f : ι → N
s : Finset ι
⊢ (∀ i ∈ s, 1 ≤ f i) → (∏ i ∈ s, f i = 1 ↔ ∀ i ∈ s, f i = 1)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal
⊢ ∃ x, I = vanishingIdeal {x}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a n
this : s.Terminates
⊢ ∃ m, s.Results a m ∧ n = m + 1
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) ⁅x, y⁆ = 0
⊢ y ∈ engel R x
R : Type u
CommRing R
P : Fin 3 → R
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P P = 0
x y : PartENat
⊢ PartENat.withTopEquiv x ≤ PartENat.withTopEquiv y ↔ x ≤ y
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
t : α
ts : List α
⊢ List.map (List.map f) (List.permutations'Aux t ts) = List.permutations'Aux (f t) (List.map f ts)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
W : C
g h : CategoryTheory.Limits.image f ⟶ W
CategoryTheory.Limits.HasLimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair g h)
w : CategoryTheory.Limits.factorThruImage f ≫ g = CategoryTheory.Limits.factorThruImage f ≫ h
⊢ g = h
θ : ℝ
⊢ θ ∈ Set.Ioc (-π) (-π + 2 * π) ↔ -π < θ ∧ θ ≤ π
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ p x ∈ p '' s
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Set.univ.Pairwise r ↔ Pairwise r
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
D : ℝ
x y : E
⊢ 0 ≤ ExistsContDiffBumpBase.w D y * ExistsContDiffBumpBase.φ (x - y)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ s \ s.erase a = {a}
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b c : α
hab : r a b
hbc : Relation.TransGen r b c
⊢ Relation.TransGen r a c
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec id
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
⊢ (FirstOrder.Language.Embedding.refl L M).toHom = FirstOrder.Language.Hom.id L M
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
⊢ Disjoint a.primeFactors b.primeFactors