ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
z : N
⊢ z = f.mk' x y ↔ z * f.toMap ↑y = f.toMap x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x y z : M
h : z ∈ (extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source
⊢ ↑(extChartAt I x) z ∈ ↑(extChartAt I x) '' ((extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source)
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ℙ K V
u : V
hu : u ≠ 0
h : (mk K u hu).submodule = v.submodule
⊢ mk K u hu = v
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace X
f : X → Y
a : X
b : Y
h : ∀ (u : ℕ → X), Tendsto u atTop (𝓝 a) → Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 b)
s : Set Y
hbs : b ∉ s
hsc : IsClosed s
⊢ a ∈ seqClosure (f ⁻¹' s) → b ∈ s
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
cg : Code
hg : Partrec cg.eval
⊢ ∃ h, Partrec h ∧ ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ h a, x ∈ cf.eval a ∨ x ∈ cg.eval a) ∧ ((h a).Dom ↔ (cf.eval a).Dom ∨ (cg.eval a).Dom)
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_7
β : Type u_8
VAdd M α
VAdd N α
VAdd M β
VAdd N β
VAddCommClass M N α
f : α → β
hf : Function.Surjective f
h₁ : ∀ (c : M) (x : α), f (c +ᵥ x) = c +ᵥ f x
h₂ : ∀ (c : N) (x : α), f (c +ᵥ x) = c +ᵥ f x
⊢ VAddCommClass M N β
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hN : ¬N = 0
h₁ : ∀ k ∈ Finset.Ico 1 (upcrossingsBefore a b f N ω + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 k = 1
h₂ : ∀ k ∈ Finset.Ico (upcrossingsBefore a b f N ω + 1) (N + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 k = 0
⊢ upcrossingsBefore a b f N ω = ∑ i ∈ Finset.Ico (Nat.succ 0) (upcrossingsBefore a b f N ω).succ, {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i + ∑ i ∈ Finset.Ico (upcrossingsBefore a b f N ω).succ N.succ, {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i
m k : Nat
n : Nat
H1 : m.Coprime k
⊢ (m ^ n).Coprime k
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
i j : α → ℕ
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
is_prime : ∀ p ∈ ∅, Prime p
is_coprime : ∀ p ∈ ∅, ∀ q ∈ ∅, p ∣ q → p = q
⊢ f (∏ p ∈ ∅, p ^ (i p + j p)) = f (∏ p ∈ ∅, p ^ i p) * f (∏ p ∈ ∅, p ^ j p)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
⊢ ↑↑hT.toSelfAdjoint = T
α : Type u
CommGroup α
⊢ IsGroupHom Inv.inv
β : Type u_2
CommMonoid β
n : ℕ
x : β
f : Fin n → β
⊢ ∏ i : Fin n.succ, Fin.cons x f i = x * ∏ i : Fin n, f i
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ inner_ 𝕜 (↑(-1) • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑(-1) * inner_ 𝕜 x y
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x : A →₀ A
⊢ (x.sum fun i a => a • (map R S A B) ((D R A) i)) = 0 ↔ ((Finsupp.mapRange ⇑(Algebra.linearMap A B) ⋯ (Finsupp.mapDomain (⇑(algebraMap A B)) x)).sum fun i a => a • (D S B) i) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x => f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k
h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖
h_suma : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, Summable fun x => ‖f n x‖
⊢ Tendsto (fun x => ∑' (k : β), f x k) 𝓕 (𝓝 (∑' (k : β), g k))
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
a_inv : R₁
nonzero✝ : a_inv ∈ R₁⁰
ha : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger R₁ (a_inv • b)
nonzero : a_inv ≠ 0
map_a_nonzero : (algebraMap R₁ K) a_inv ≠ 0
x : K
⊢ (∃ y' ∈ ↑(comap (Algebra.linearMap R₁ K) ↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) a_inv) * I)), x = ((algebraMap R₁ K) a_inv)⁻¹ * y') → x ∈ I
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ reflection ⊥ = LinearIsometryEquiv.neg 𝕜
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
n : G
ha : n ∈ center G
g h : G
⊢ g * g⁻¹ * n * h = g * n * g⁻¹ * h
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Type u_1
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set α
this : Finite ↑I
⊢ TotallyBounded (⋃ i ∈ I, s i) ↔ ∀ i ∈ I, TotallyBounded (s i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
M N : SheafOfModules R
s : M.sections
p : M ⟶ N
⊢ M.unitHomEquiv.symm s ≫ p = N.unitHomEquiv.symm (SheafOfModules.sectionsMap p s)
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K
⊢ J / spanSingleton R₁⁰ d = spanSingleton R₁⁰ d⁻¹ * J
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ I = ⊥ ↔ I.toIdeal = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
⊢ (Convex 𝕜 s ∧ (∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ max (f x) (f y)) ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → min (f x) (f y) ≤ f (a • x + b • y)) ↔ Convex 𝕜 s ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ∈ uIcc (f x) (f y)
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A B C : Matrix n n R
hC : C.det = 1
hA : A = B * C
⊢ B.det * C.det = B.det
R : Type u_1
MulZeroClass R
h : IsRegular 0
⊢ Subsingleton R
x : ℝ
⊢ |Real.sin x| = √(1 - Real.cos x ^ 2)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hR : R ≠ 0
hy' : inversion c R y ≠ c
⊢ dist (inversion c R x) y * dist x c = dist x (inversion c R y) * dist y c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
f : Filter β
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)
h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
hbot : f.NeBot
⊢ Tendsto u f (𝓝 (limsup u f))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F
h_compLp : ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a => (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)
⊢ (s.indicator fun x_1 => x) =ᶠ[ae μ] ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative
inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝² : W₂.ContainsIdentities
D : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D
L : C₂ ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W₂
X₂ : C₂
X₃ : D
y : L.obj X₂ ⟶ X₃
w : TwoSquare Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) := TwoSquare.mk Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) (Φ.functor ⋙ L).rightUnitor.inv
this : Nonempty (w.CostructuredArrowDownwards y)
c : C₁
g : X₂ ⟶ Φ.functor.obj c
x : L.obj (Φ.functor.obj c) ⟶ X₃
fac✝ : L.map g ≫ 𝟙 (L.obj (Φ.functor.obj c)) ≫ x = y
fac : L.map g ≫ x = y
⊢ ∃ Y, Zigzag (TwoSquare.CostructuredArrowDownwards.mk w y c g x fac✝) ((fromRightResolution Φ L y).obj Y)
α : Type u_1
s : Finset α
f✝ : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∉ s
f : α → ℕ
⊢ multinomial (insert a s) f = (f a + ∑ i ∈ s, f i).choose (f a) * multinomial s f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategoryStruct D
F : D ⥤ C
F.Faithful
fData : CategoryTheory.Monoidal.InducingFunctorData F
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.fromInduced F fData).ε = fData.εIso.hom
x : SetTheory.PGame
⊢ x.birthday = max (Ordinal.lsub fun i => (x.moveLeft i).birthday) (Ordinal.lsub fun i => (x.moveRight i).birthday)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s₁ s₂ : AList β
⊢ AList.lookup a (s₁ ∪ s₂) = some b ↔ AList.lookup a s₁ = some b ∨ a ∉ s₁ ∧ AList.lookup a s₂ = some b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
S.HasHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.asIsoHomologyι hg).inv S.homologyι = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.opcycles
z x✝ y x : ℝ
h : 0 ≤ x
⊢ √x = x ^ (1 / 2)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
Nontrivial R
Invertible 2
hΔ : IsUnit W.Δ
⊢ W.twoTorsionPolynomial.disc ≠ 0
α : Type u_1
s : Set α
hs : s.ncard ≠ 0
⊢ s.Nonempty
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
Zero β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
⊢ MeasureTheory.Adapted f 0
E : Type u_4
F : Type u_5
AddGroup E
AddGroup F
p : AddGroupSeminorm E
⊢ p.comp 0 = 0
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
h : p ^ (k - s + 1) = 2
⊢ ↑p ^ (k - s).succ = 2 ^ ?m.293414
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ
z : ℂ
hre : ↑n * ‖Real.log z.re‖ ≤ ‖z.re‖
him : |z.im| ^ n ≤ Real.exp z.re
h₁ : 1 < z.re
⊢ ↑n * ‖Real.log (max z.re |z.im|)‖ ≤ ‖z.re‖
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f
c : KernelFork f
i : IsLimit c
⊢ section_ f ≫ i.lift (Fork.ofι (Fork.ofι (𝟙 X - f ≫ section_ f) ⋯).ι ⋯) = 0
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ b ∧ (m.1, m.2 - 1) ∈ b
⊢ (m.1, m.2 - 1) ∈ Finset.erase b m
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
H : IsLeast s a
⊢ sInf s ∈ s
a n : ℕ
⊢ a = n.sqrt ↔ a * a ≤ n ∧ n < (a + 1) * (a + 1)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' (φ - φ') h₁ h₂ =
  CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' φ h₁ h₂ - CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' φ' h₁ h₂
α : Sort u
f : α → α
h : Function.Involutive f
⊢ Function.Surjective f
n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
hs : IsOpen s
⊢ PartialHomeomorph.ofSet s hs ∈ contDiffGroupoid n I
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
p : Poly α
v : Option α → ℕ
⊢ {v | (p (v ∘ some)).natAbs = v none} v ↔ (p (v ∘ some) - ↑(v none)) * (p (v ∘ some) + ↑(v none)) = 0
x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ‖x‖ • y = ‖y‖ • x ↔ ↑(abs y) / ↑(abs x) * x = y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊
this : eLpNorm (↑↑f) p μ ≤ c • eLpNorm (↑↑g) p μ
⊢ eLpNorm (↑↑f) p μ ≠ ⊤
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
self : LawfulBitraversable t
α β : Type u
x : t α β
⊢ bitraverse pure pure x = pure x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
CategoryTheory.Mono f
g : Z ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.Subobject.mk f).Factors g ↔ (CategoryTheory.MonoOver.mk' f).Factors g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
f : F → G
x : E × F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x.2
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x.2) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
⊢ 𝓝 (x, x) ≤ 𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : 𝕜 → G
s : Set 𝕜
C : ℝ≥0
hf : ∀ x ∈ s, DifferentiableAt 𝕜 f x
bound : ∀ x ∈ s, ‖deriv f x‖₊ ≤ C
hs : Convex ℝ s
⊢ LipschitzOnWith C f s
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
B : LinearMap.BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
b₃ : B.orthogonal W = ⊥
⊢ W = ⊤
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ (s₁ \ s₂).val = s₁.val - s₂.val
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
⊢ IsOpen {x} ↔ 𝓝[≠] x = ⊥
x : ℂ
n : ℕ
⊢ abs (x ^ (↑n)⁻¹) = abs x ^ (↑n)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
b : α
h : a ≠ b
⊢ ((if ¬a = b then count b ↑m else 0) + if b = a then count a ↑m else 0) = count b ↑m
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ MDifferentiableAt I I (↑e) x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
⊢ deriv (fun x => x⁻¹) x = -(x ^ 2)⁻¹
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
a : α
(𝓝[<] a).NeBot
p : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 a, p x
⊢ ∃ b < a, p b
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
n : ℤ
hn : n ≠ 0
⊢ logDeriv (fun x => f x ^ n) x = ↑n * logDeriv f x
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero β
SMulZeroClass α β
DecidableEq β
t : Finset β
a : α
Zero α
NoZeroSMulDivisors α β
ha : a ≠ 0
⊢ 0 ∈ a • t ↔ 0 ∈ t
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
h : X ≃ₜ Y
f : Y → Z
x : X
⊢ ContinuousAt (f ∘ ⇑h) x ↔ ContinuousAt f (h x)
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace Q
AddTorsor W Q
f : P →ᵃ[R] Q
h : Continuous f.toFun
⊢ { toAffineMap := f, cont := h }.toAffineMap = f
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
s : Set E
t : Set 𝕜'
x : E
hh : HasDerivWithinAt h₂ h₂' t (f x)
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hst : MapsTo f s t
hy : y = f x
⊢ HasFDerivWithinAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') s x
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s t : Multiset α
h : s ≤ t
⊢ Multiset.filter p s ≤ Multiset.filter p t
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝ : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this : Algebra.IsSeparable (↥L) K
⊢ x ∈ L
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
hs : s.SupIndep f
t : Finset { x // x ∈ s }
a✝¹ : t ⊆ s.attach
i : { x // x ∈ s }
a✝ : i ∈ s.attach
hi : i ∉ t
⊢ Disjoint ((fun a => f ↑a) i) (t.sup fun a => f ↑a)
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : S
b' : R
hb : (algebraMap R S) b' = b
⊢ (algebraMap R S) (a * b') = a • b
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x p = Polynomial.eval x (Polynomial.map f p)
a : ENNReal
⊢ a * a⁻¹ ≤ 1
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictAnti f
a b : α
⊢ f a ≤ f b ↔ b ≤ a
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝
inst✝ : NonAssocSemiring T
S : Set (Subsemiring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
this : Nonempty ↑S
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
ha : a ≠ 0
m n : ℤ
⊢ a ^ (m + n) = a ^ m * a ^ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 (E →WOT[𝕜]F) (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F) := seminormFamily 𝕜 E F
h : (Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun x => 𝓝 0)).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun i => ⇑(inducingFn 𝕜 E F) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)
⊢ ∀ (i : Set (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F) × (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F → ℝ)), (i.1.Finite ∧ ∀ i_1 ∈ i.1, 0 < i.2 i_1) → ∃ i', (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets i' ∧ id i' ⊆ ⇑(inducingFn 𝕜 E F) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
TopologicalSpace G
PreconnectedSpace G
TopologicalSpace P
ContinuousVAdd G P
⊢ ConnectedSpace P
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.prod.associator X (⊤_ C) Y).hom ≫
    CategoryTheory.Limits.prod.map (𝟙 X) (CategoryTheory.Limits.prod.leftUnitor Y).hom =
  CategoryTheory.Limits.prod.map (CategoryTheory.Limits.prod.rightUnitor X).hom (𝟙 Y)
x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x
hx : x ≤ π / 2
⊢ 1 - 2 / π * x ≤ cos x
α : Type u_3
DivisionRing α
⊢ ↑0 = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
⊢ 0 + μ' ≤ μ + μ'
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : TopologicalSpace.Opens X
hs : Nonempty ↥s
f f' : PartialHomeomorph X Y
⊢ (f.subtypeRestr hs).symm.trans (f'.subtypeRestr hs) ≈ (f.symm.trans f').restr (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
x y r : R
hr : r ∈ R⁰
h : x * r = y * r
⊢ x = y
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ x ∈ f.domain, x ∈ g.domain → x = 0
x : ↥f.domain
y : ↥g.domain
hxy : ↑x = ↑y
hy : y = 0
hx : x = 0
⊢ ↑f x = ↑g y
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
a : α
⊢ Measurable ((fun p => κ.rnDeriv η p.1 p.2) ∘ fun x => (a, x))
r : ℝ≥0
n : ℕ
hr : 0 < r
⊢ 0 < ProbabilityTheory.poissonPMFReal r n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
f' : E → E →L[𝕜] G
hs : Convex ℝ s
f : E → G
hder : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y
hcont : ContinuousWithinAt f' s x
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ : W.LeftFraction₂ X Y
h : CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction₂Rel z₁ z₂
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z₁.fst z₂.fst