ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α) → β a
a✝ : α
b✝ : β a✝
f : (a : α) → β a
a : α
b : β a
p : (a : α) → β a → Prop
⊢ (∀ (x : α), p x (update f a b x)) ↔ p a b ∧ ∀ (x : α), x ≠ a → p x (f x)
X : Type u_4
TopologicalSpace X
⊢ Inducing 𝓝
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t u : Finset α
⊢ s ⊻ (t ⊻ u) = t ⊻ (s ⊻ u)
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (J ⥤ C)
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.karoubiFunctorCategoryEmbedding J C).obj P =
  CategoryTheory.Idempotents.KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj P
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
hM : Finite R M
f : M →ₗ[R] N
hf : Surjective ⇑f
⊢ ⊤.FG
s : ℝ
h : 0 < s
⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) (Ioi 0) volume
x y : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : y - ↑n ≠ 0
⊢ x ^ (y - ↑n) = x ^ y / x ^ n
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
f g : Filter α
hg : g.NeBot
h_c : Cauchy f
h_le : g ≤ f
⊢ Cauchy g
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
j : ι
⊢ (b₂.coords x ᵥ* b.toMatrix ⇑b₂) j = (b.coord j) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b₂) fun i => (b₂.coord i) x)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
⊢ DiscreteValuationRing.HasUnitMulPowIrreducibleFactorization (𝕎 k)
ι : Sort u_1
c : ι → Set (↑I × ↑I)
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
ball_subset : ∀ x ∈ univ, ∃ i, Metric.ball x δ ⊆ c i
⊢ ∃ t, t 0 = 0 ∧ Monotone t ∧ (∃ n, ∀ m ≥ n, t m = 1) ∧ ∀ (n m : ℕ), ∃ i, Icc (t n) (t (n + 1)) ×ˢ Icc (t m) (t (m + 1)) ⊆ c i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : F
hy : y ∈ B.polar s
⊢ ‖(B.flip y) x‖ ≤ 1
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
z : S
y : R
s : ↥M
e : z * (algebraMap R S) ↑(y, s).2 = (algebraMap R S) (y, s).1
⊢ ∃ x, z * (algebraMap R S) ↑x.2 = (algebraMap R S) x.1
a : ℝ≥0∞
⊢ (a * ⊤).toReal = 0
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv
⊢ (const abv (f.lim + g.lim) - (f + g)).LimZero
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : CauSeq α abs
⊢ a ⊓ b = b ⊓ a
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
AddZeroClass Y
y : Y
⊢ LocallyConstant.constAddMonoidHom y = LocallyConstant.const X y
⊢ Tendsto (fun x => x ^ (1 / x)) atTop (𝓝 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat
F : C ⥤ D
R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
M : PresheafOfModules (R ⋙ CategoryTheory.forget₂ CommRingCat RingCat)
φ : S ⟶ F.op ⋙ R
self : M.Derivation φ
X : Dᵒᵖ
a b : ↑(R.obj X)
⊢ self.d (a * b) = a • self.d b + b • self.d a
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
S : Type u_4
Monoid S
AddCommMonoid M
Module R M
DistribMulAction S M
SMulCommClass S R M
s : Set S
t : Set M
⊢ s • Submodule.span R t = Submodule.span R (s • t)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsMaxOn f s a
g : β → γ
hg : Antitone g
⊢ IsMinOn (g ∘ f) s a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ≅ Y
⊢ f.unop.inv = f.inv.unop
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
hgi : IntegrableOn g k volume
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hsub : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ k
hfd : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], ‖deriv f z‖ ≤ C * ‖g z‖
⊢ False
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
n n' : ℤ
hf : (a ^ n).x = (-a ^ n').x
H : (a ^ n').x < 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
Ring 𝕜
Ring 𝕜₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →ₛₗ[σ] F
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
x : E
⊢ (f.mkContinuous C h) x = f x
n : ℕ
s : Multiset (ZMod n)
hs : 2 * n - 1 ≤ Multiset.card s
⊢ ∃ t ≤ s, Multiset.card t = n ∧ t.sum = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
c : F
⊢ HasFDerivAtFilter (fun x => c - f x) (-f') x L
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
⊢ e.op.inverse = e.inverse.op
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
x y : P
⊢ (pointReflection x) y -ᵥ y = 2 • (x -ᵥ y)
J : Type v'
inst✝⁸ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁶ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : FinitaryExtensive D
inst✝⁴ : HasFiniteCoproducts C
inst✝³ : HasPullbacks C
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms
this✝ : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
this : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
⊢ FinitaryExtensive C
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h : σ ≠ 1
⊢ 1 < (filter (fun x => ¬σ x = x) univ).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : β), ↑‖∫ (y : γ), ↑↑i (x, y) ∂η (a, x) - ∫ (y : γ), ↑↑g (x, y) ∂η (a, x)‖₊ ∂κ a) (𝓝 g) (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
c : F
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y - c) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
G : Type u_1
Group G
Finite G
x y : G
h : orderOf x = orderOf y
n : ℕ
⊢ (zpowersEquivZPowers h) ⟨x ^ n, ⋯⟩ = ⟨y ^ n, ⋯⟩
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
⊢ (a ⊓ b)ᶜᶜ = aᶜᶜ ⊓ bᶜᶜ
α : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq α
s : Finset α
CommSemiring R
x : α → R
n : ℕ
⊢ s.sum x ^ n = ∑ k ∈ s.sym n, ↑(↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑k).prod
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R
this✝ : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0
r : 𝕜
hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)
y : E
hy : y ∈ (fun x_1 => -x + x_1) ⁻¹' (r • s)
z : E
zs : z ∈ s
hz : r • z = -x + y
I : ‖r • z‖ ≤ ε
this : y = x + r • z
⊢ y ∈ u
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝ : FormallySmooth R S
this✝ : FormallySmooth S Sₘ
this : FormallySmooth R Sₘ
⊢ FormallySmooth Rₘ Sₘ
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ γ : Type
f : α → β → σ → σ × γ
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α) (b : β), ∀ s ∈ S, (f a b s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (b : β) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a b s).2 = (f a b s').2
⊢ ∀ {s : σ} {q : Unit} (a : α) (b : β), s ∈ S → (f a b s).1 ∈ S ∧ (f a b s).2 = ((), (f a b s₀).2).2
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
inst✝ : M.RkPos
hB : M.Base B
⊢ B ≠ ∅
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m : Multiset α
r : α → α → Prop
⊢ (∀ x ∈ 0, r x x) → Rel r 0 0
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
⊢ map p.mkQ p' = ⊤ ↔ p ⊔ p' = ⊤
n : ℕ
⊢ 0⁻¹ = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Ici a ↔ x✝ ∈ Ici ⌈a⌉
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
MulPosStrictMono α
ha : a < 1
bc : b ≤ c
a0 : 0 ≤ a
c0 : 0 < c
⊢ a * b < c
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
h : ComplexEmbedding.IsConj φ σ
x✝ : K ≃ₐ[k] K
⊢ x✝ ∈ ↑(Stab (mk φ)) ↔ x✝ ∈ {1, σ}
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
⊢ F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ (NatIso.ofComponents (fun X => (isColimitOfPreserves F (colimit.isColimit (J.diagram P (unop X)))).coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit (J.diagram P (unop X) ⋙ F)) ≪≫ HasColimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun W => (isLimitOfPreserves F (limit.isLimit ((unop W).index P).multicospan)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (((unop W).index P).multicospan ⋙ F)) ≪≫ HasLimit.isoOfNatIso (Cover.multicospanComp F P (unop W)).symm) ⋯)) ⋯).hom.app X = (NatIso.ofComponents (fun W => (isLimitOfPreserves F (limit.isLimit ((unop W).index P).multicospan)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (((unop W).index P).multicospan ⋙ F)) ≪≫ HasLimit.isoOfNatIso (Cover.multicospanComp F P (unop W)).symm) ⋯).hom.app W ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop X)) W
V : Type u
G : SimpleGraph V
Fintype V
⊢ G.Colorable (Fintype.card V)
x : ONote
inst✝ : x.NF
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
this : a.NF
⊢ (x + e).oadd n (x.scale a) = Mul.mul (x.oadd 1 0) (e.oadd n a)
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
D' : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
CategoryTheory.Category.{u_10, u_6} D'
L : CategoryTheory.Functor C D
L' : CategoryTheory.Functor C D'
G : CategoryTheory.Functor D D'
f : L' ⟶ L.comp G
F : CategoryTheory.Functor C H
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F) ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D' H).obj L')
⊢ ∀ (X_1 : C),
  ((CategoryTheory.Functor.LeftExtension.postcomp₁ G f F).obj X).hom.app X_1 =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.hom.app X_1) (X.right.map (f.app X_1))
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
⊢ LinearIndependent F fun (i : ↑(insert a ↑s)) => (toFun G F) ↑i
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
m : M
i : ι
⊢ (ε i) (lc e (h.coeffs m) - m) = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
x y : 𝕎 k
this : ↑p = 0
⊢ (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * ∑ x_1 ∈ range (n + 1 + 1), 0 ^ x_1 * x.coeff x_1 ^ p ^ (n + 1 - x_1) - x.coeff (n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), 0 ^ x * y.coeff x ^ p ^ (n + 1 - x) = (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ
Inhabited Γ'
F : Turing.PointedMap Γ Γ'
f : Γ → Γ
f' : Γ' → Γ'
H : ∀ (x : Γ), F.f (f x) = f' (F.f x)
n : ℕ
L : Turing.ListBlank Γ
⊢ Turing.ListBlank.map F (Turing.ListBlank.modifyNth f n L) = Turing.ListBlank.modifyNth f' n (Turing.ListBlank.map F L)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
υ : Type u_6
f : σ → MvPolynomial τ R
g : τ → MvPolynomial υ R
i✝ : σ
⊢ ((bind₁ g).comp (bind₁ f)) (X i✝) = (bind₁ fun i => (bind₁ g) (f i)) (X i✝)
p q : ℝ≥0
⊢ ↑p = ↑q ↔ p = q
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
⊢ z ≤ x ↔ Disjoint z (y \ x)
E : Type u_9
SeminormedAddCommGroup E
m : Multiset E
⊢ ‖m.sum‖ ≤ (Multiset.map (fun x => ‖x‖) m).sum
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝³ : SigmaFinite (μ.trim hm)
E : Type u_8
inst✝² : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ (condexpInd E hm μ s) x
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
α : Type u_4
h : 0 = 0 + 0
⊢ Matrix.vecAlt0 h ![] = ![]
γ : Type w
SemilatticeSup γ
s : Set γ
hs : BddAbove s
x₀ : γ
⊢ ∃ x, x₀ ≤ x ∧ ∀ y ∈ s, y ≤ x
Γ : Type u_1
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
Inhabited Λ
M : Λ → Turing.TM1.Stmt Γ Λ σ
S : Finset Λ
q : Turing.TM1.Stmt Γ Λ σ
ss : Turing.TM1.Supports M S
⊢ some q ∈ Turing.TM1.stmts M S → Turing.TM1.SupportsStmt S q
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α
⊢ x ∈ Ioc a b \ {b} ↔ x ∈ Ioo a b
β : Type u_4
LinearOrder β
NoMaxOrder β
u : ℕ → β
hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop Filter.atTop
N : ℕ
⊢ ∃ n ≥ N, ∀ k < n, u k < u n
z : ℂ
⊢ z.arg = 0 ↔ 0 ≤ z
α : Type u
S : Sieve α
⊢ S ∈ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α ↔ S ∈ typesGrothendieckTopology.sieves α
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f : α → β
Mul β
g : α → β
hf : Filter.EventuallyConst f l
hg : Filter.EventuallyConst g l
⊢ Filter.EventuallyConst (f * g) l
f : ℕ → ℝ
h_bdd : BddAbove (range f)
h_mon : Monotone f
B : ℝ
hB : IsLUB (range f) B
⊢ ∃ r, Tendsto f atTop (𝓝 r)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategoryStruct D
F : D ⥤ C
self : CategoryTheory.Monoidal.InducingFunctorData F
X₁ X₂ : D
f : X₁ ⟶ X₂
Y : D
⊢ F.map (f ▷ Y) = (self.μIso X₁ Y).inv ≫ F.map f ▷ F.obj Y ≫ (self.μIso X₂ Y).hom
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
⊢ (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) (X ^ orderOf σ - C 1) = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
hs : IsSubgroup s
x y : G
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ x / y ∈ s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p : R[X]
a : R
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
this : (X - C a).Monic
q : R[X] := p /ₘ (X - C a)
⊢ q.coeff n = p.coeff (n + 1) + a * q.coeff (n + 1)
L : Language
L' : Language
⊢ ((sum fun i => lift.{max u' v v', u} #(L.Functions i)) + sum fun i => lift.{max u v v', u'} #(L'.Functions i)) + ((sum fun i => lift.{max v' u u', v} #(L.Relations i)) + sum fun i => lift.{max v u u', v'} #(L'.Relations i)) = ((sum fun i => lift.{max v u' v', u} #(L.Functions i)) + sum fun i => lift.{max u u' v', v} #(L.Relations i)) + ((sum fun i => lift.{max v' u v, u'} #(L'.Functions i)) + sum fun i => lift.{max u' u v, v'} #(L'.Relations i))
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N✝ N₁ N₂ P P₁ P₂ N : Submodule R M
x : M
r : R
⊢ r ∈ N.colon (span R {x}) ↔ ∀ (a : R), r • a • x ∈ N
a b : Int
ha : a < 0
hb : 0 < b
⊢ a * b < 0
n : ℕ
G : Type u_6
Group G
h : (Nat.card G).Coprime n
g : G
⊢ (powCoprime h).symm g = g ^ (Nat.card G).gcdB n
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
f g : ℕ → R
hf : ∀ n > 0, f n ≠ 0
hg : ∀ n > 0, g n ≠ 0
n : ℕ
hn : n > 0
⊢ n ∈ s → ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, (fun n => if h : 0 < n then Units.mk0 (g n) ⋯ else 1) x.2 ^ μ x.1 = (fun n => if h : 0 < n then Units.mk0 (f n) ⋯ else 1) n ↔ n ∈ s → ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, g x.2 ^ μ x.1 = f n
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
s : ℕ
o₂ : WithTop α
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr : Ordnode α
l_ih✝ : ∀ {l : Ordnode α} {x : α} {o₁ : WithBot α}, Valid' o₁ (l.node' x rl) o₂ → Valid' o₁ (l.node' x rl).eraseMax ↑(findMax' x rl) ∧ (l.node' x rl).size = (l.node' x rl).eraseMax.size + 1
IHrr : ∀ {l : Ordnode α} {x : α} {o₁ : WithBot α}, Valid' o₁ (l.node' x rr) o₂ → Valid' o₁ (l.node' x rr).eraseMax ↑(findMax' x rr) ∧ (l.node' x rr).size = (l.node' x rr).eraseMax.size + 1
l : Ordnode α
x : α
o₁ : WithBot α
H : Valid' o₁ (l.node' x (rl.node' rx rr)) o₂
this : Ordnode.node rs rl rx rr = rl.node' rx rr
h : Valid' (↑x) (rl.node' rx rr).eraseMax ↑(findMax' rx rr)
e : (rl.node' rx rr).size = (rl.node' rx rr).eraseMax.size + 1
⊢ (l.node' x (rl.node' rx rr)).size = (l.node' x (rl.node' rx rr)).eraseMax.size + 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
H : X ≅ Y
⊢ ∀ (X_1 : (TopologicalSpace.Opens ↑Y)ᵒᵖ ⥤ C) (X_2 : (TopologicalSpace.Opens ↑Y)ᵒᵖ),
  ((TopCat.Presheaf.presheafEquivOfIso C H).counitIso.hom.app X_1).app X_2 = X_1.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
f : C(X, ℝ≥0)₀
⊢ φ ({ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe, map_zero' := ⋯ }.comp f).toNNReal = φ f
I : Type w₀
J : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
e : J ≃ I
⊢ (CategoryTheory.Pi.equivalenceOfEquiv C e).inverse =
  CategoryTheory.Functor.pi' fun i' => CategoryTheory.Pi.eval C (e i')
f : ℕ → ℝ
R : ℝ
⊢ [∃ a ∈ Set.Ioo (-R) R, f =o[Filter.atTop] fun x => a ^ x, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, f =o[Filter.atTop] fun x => a ^ x,
    ∃ a ∈ Set.Ioo (-R) R, f =O[Filter.atTop] fun x => a ^ x, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, f =O[Filter.atTop] fun x => a ^ x,
    ∃ a < R, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < R) ∧ ∀ (n : ℕ), |f n| ≤ C * a ^ n,
    ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), |f n| ≤ C * a ^ n, ∃ a < R, ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, |f n| ≤ a ^ n,
    ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, |f n| ≤ a ^ n].TFAE
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
⊢ a ≤ b → b ≠ a → a < b
n a b : ℕ
c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
⊢ a * c ≡ b * c [MOD n]
z τ : ℂ
⊢ jacobiTheta₂ z τ = 1 / (-Complex.I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * Complex.I * z ^ 2 / τ) * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ)
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
this : Tendsto (fun x => f x * -g x) l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
this : IsFiniteMeasure ρ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
h'x : (μ.withDensity f).rnDeriv μ x = f x
⊢ Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ((μ.withDensity f).rnDeriv μ x))
α : Type u
PseudoMetricSpace α
Preorder α
CompactIccSpace α
a b : α
⊢ Bornology.IsBounded (Set.Ioo a b)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
b : β
⊢ LipschitzWith 1 fun a => (a, b)
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f g φ ψ : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
⊢ ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ - ψ)) = ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ - (shortComplexFunctor C c i).map ψ)
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : ↑n ≠ -1
⊢ A ^ (↑n + 1) = A ^ ↑n * A
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hrank : rank K = 0
⊢ u ∈ [1, -1, η, -η, η ^ 2, -η ^ 2]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x
x✝ : TangentSpace I x
⊢ (_root_.mfderivWithin I I' f s x) x✝ = f' x✝
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
Countable G
MeasurableSpace G
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α ν
MeasurableSMul G α
μ : MeasureTheory.Measure (Quotient (MulAction.orbitRel G α))
s : Set α
fund_dom_s : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s ν
h : μ = MeasureTheory.Measure.map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel G α)) (ν.restrict s)
⊢ MeasureTheory.QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ