ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
Semiring R₃
Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
SeminormedAddCommGroup E₃
SeminormedAddCommGroup E₄
Module R E
Module R₂ E₂
Module R₃ E₃
Module R₄ E₄
eEE₂ : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
eE₂E₃ : E₂ ≃ₛₗᵢ[σ₂₃] E₃
eE₃E₄ : E₃ ≃ₛₗᵢ[σ₃₄] E₄
⊢ eEE₂.trans (eE₂E₃.trans eE₃E₄) = (eEE₂.trans eE₂E₃).trans eE₃E₄
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
Preorder ι'
Nonempty ι'
IsDirected ι' (Function.swap fun x x_1 => x ≤ x_1)
Order.Coframe α
s : Set ι
hs : s.Finite
f : ι → ι' → α
hf : ∀ i ∈ s, Monotone (f i)
⊢ ⨅ j, ⨆ i ∈ s, f i j = ⨆ i ∈ s, ⨅ j, f i j
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
r : R
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => r * x) '' spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => f (r * x)) a = cfc f (r • a)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i i' : ι
hi'_lub : IsLUB (Set.Iio i) i'
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ Scheme.Hom.app hU.fromSpec U = (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op
ι : Sort u_1
G : Type u_2
AddGroup G
S : ι → AddSubgroup Gᵃᵒᵖ
⊢ (iInf S).unop = ⨅ i, (S i).unop
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval
⊢ chaar K₀ ∈ eval ⁻¹' Ici 0
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K ↥E2
this : (adjoin ↥E1 ↑E2).toSubalgebra = Algebra.adjoin ↥E1 ↑E2
⊢ (E1 ⊔ E2).toSubalgebra = E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : (i : ι) → ι' i → Set α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
i : ι
⊢ (∃ b, (⟨i, b⟩.fst ∈ dom ∧ p ⟨i, b⟩.fst ⟨i, b⟩.snd) ∧ s ⟨i, b⟩.fst ⟨i, b⟩.snd ⊆ t) → i ∈ dom ∧ t ∈ l i
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
E : LinearRecurrence α
q : α
⊢ (E.IsSolution fun n => q ^ n) ↔ q ^ E.order - ∑ x : Fin E.order, E.coeffs x * q ^ ↑x = 0
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ (f * g) x = f (g x)
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime
⊢ x ∈ I ∨ xᶜ ∈ I
A : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
Ring A
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module A M
Module A M₂
TopologicalSpace M
TopologicalSpace M₂
R : Type u_4
Ring R
Module R M
Module R M₂
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R A
⊢ ContinuousLinearMap.restrictScalars R 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Set α)
t : Set β
f : α → β
⊢ Set.MapsTo f (⋃₀ S) t ↔ ∀ s ∈ S, Set.MapsTo f s t
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
m n : ℕ
f g : ℕ → α
⊢ (∑ i ∈ range (m + 1), f i) * ∑ i ∈ range (n + 1), g i = (∑ i ∈ range m, f i) * ∑ i ∈ range n, g i + f m * ∑ i ∈ range n, g i + (∑ i ∈ range m, f i) * g n + f m * g n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
as : List α
bs : List β
f : α → β → γ
i : Nat
⊢ (List.zipWith f as bs)[i]? =
  match as[i]?, bs[i]? with
  | some a, some b => some (f a b)
  | x, x_1 => none
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : β → γ
μ : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝
ν : autoParam (MeasureTheory.Measure β) _auto✝¹
self : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
⊢ MeasureTheory.Measure.map f μ = MeasureTheory.Measure.map g ν
n a b : ℕ
m : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
⊢ a ^ m ≡ b ^ m [MOD n]
R : Type u_1
η : Type u_2
Semiring R
Finite η
⊢ (Pi.basisFun R η).equivFun = LinearEquiv.refl R (η → R)
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
x : n → R
⊢ 0 ≤ star x ⬝ᵥ Mᵀ *ᵥ x
M₀ : Type u_4
MulZeroClass M₀
⊢ IsIdempotentElem 0
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
s : Set (β × β)
f : α → α → β
hf : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
hs : s ∈ 𝓤 β
⊢ ∃ u ∈ 𝓤 α, ∀ (a b c : α), (a, b) ∈ u → (f a c, f b c) ∈ s
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝³ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Finite (Sylow p G)
inst✝ : (↑P).FiniteIndex
hf : Function.Injective ⇑((transferSylow P hP).restrict ↑P) ∧ map (transferSylow P hP) ↑P = ⊤
⊢ (transferSylow P hP).ker.IsComplement' ↑P
Γ✝ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
f : ℍ → ℂ
γ : ↥Γ
z : ℍ
⊢ (↑(↑↑↑γ 1 0) * ↑z + ↑(↑↑↑γ 1 1)) ^ k ≠ 0
α β : Type u
f g : FreeSemigroup (α → β)
x : FreeSemigroup α
⊢ (Seq.seq (f * g) fun x_1 => x) = (Seq.seq f fun x_1 => x) * Seq.seq g fun x_1 => x
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Set α
t : Finset α
h : s ∩ Function.mulSupport f = ↑t ∩ Function.mulSupport f
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ i ∈ t, f i
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t : Set α
⊢ s ⊆ t → SupClosed t → supClosure s ⊆ t
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
x : α
s : Set α
s_compact : IsCompact s
hs : s ∈ 𝓝 x
r : ℝ
hr : closedBall x r ⊆ s
⊢ IsCompact (closedBall x r)
α : Type u_1
a : Array α
n : Nat
⊢ (a.shrink n).size = min a.size n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
Fintype ι
hfg : Antivary f g
⊢ Fintype.card ι • ∑ i : ι, f i • g i ≤ (∑ i : ι, f i) • ∑ i : ι, g i
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
hIJ : I ≤ J
J' : FractionalIdeal S P
⊢ J' + I ≤ J' + J
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
x y : 𝕎 k
this : ↑p = 0
⊢ (x * y).coeff (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * x.coeff (n + 1) * y.coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * x.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i) - x.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * y.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i) = (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
W : C
k : W ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f).Factors (k ≫ f)
R : Type u
CommRing R
⊢ ∀ {X Y : Type u} (f : X ⟶ Y), (AlgebraCat.free R).map f = (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
⊢ s₁ = s₂
z : ℂ
⊢ Complex.sin z = ∑' (n : ℕ), (z * Complex.I) ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / Complex.I
α : Type u_1
LE α
s : Set αᵒᵈ
⊢ IsUpperSet (⇑OrderDual.toDual ⁻¹' s) ↔ IsLowerSet s
k : Type u_1
Ring k
ι : Type u_4
DecidableEq ι
i j : ι
h : j ≠ i
⊢ Finset.affineCombinationSingleWeights k i j = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial M
Module.Finite R M
I : Ideal R
h : I ≤ (Module.annihilator R M).jacobson
⊢ ⊤ ≠ I • ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
g : β → γ
⊢ (v.sum fun a b => (single (f a) b).sum fun a => single (g a)) = mapDomain (g ∘ f) v
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ p.natDegree ≠ n → p.degree ≠ ↑n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
CategoryTheory.Abelian A
X : CategoryTheory.SimplicialObject A
i : ℕ
⊢ (CategoryTheory.Abelian.DoldKan.comparisonN.hom.app X).f i =
  ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubiEquivalence (ChainComplex A ℕ)).unitIso.hom.app
          (CategoryTheory.Abelian.DoldKan.N.obj X)).f
      i ≫
    ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubiEquivalence (ChainComplex A ℕ)).inverse.map
          ((AlgebraicTopology.DoldKan.N₁_iso_normalizedMooreComplex_comp_toKaroubi A).inv.app X)).f
      i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor E C
X : D
F : CategoryTheory.Functor C D
f : (Y : E) → X ⟶ F.obj (G.obj Y)
h : ∀ {Y Z : E} (g : Y ⟶ Z), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f Y) (F.map (G.map g)) = f Z
Y : E
⊢ (G.toStructuredArrow X F f h).obj Y = CategoryTheory.StructuredArrow.mk (f Y)
n : ℕ
⊢ ↑(Nat.fib (n + 1)) - φ * ↑(Nat.fib n) = ψ ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
⊢ (𝓝 a).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => Ioo (a - ε) (a + ε)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.support.Nodup
⊢ p.darts.Nodup
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
MeasurableSpace X
BorelSpace X
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hf : Isometry f
hd : 0 ≤ d ∨ Function.Surjective f
s : Set Y
⊢ μH[d] (f ⁻¹' s) = μH[d] (s ∩ Set.range f)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
self : L.Embedding M N
n : ℕ
r : L.Relations n
x : Fin n → M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.RelMap r (self.toFun ∘ x) ↔ FirstOrder.Language.Structure.RelMap r x
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Submonoid α
a₁ b₁ : α
a₂ b₂ b✝ : ↥s
a b : α
⊢ { toFun := fun a => mk a b✝, inj' := ⋯ } a ≤ { toFun := fun a => mk a b✝, inj' := ⋯ } b ↔ a ≤ b
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c x : α
u : αˣ
y : α
⊢ x /ₚ u * ↑u = y * ↑u ↔ y * ↑u = x
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
j : L →+* F
f : K[X]
h : Splits (j.comp i) f
lift : (a : F) → a ∈ (map (j.comp i) f).roots → L
lift_eq : ∀ (a : F) (a_1 : a ∈ (map (j.comp i) f).roots), j (lift a a_1) = a
⊢ map j (map i f) = map j (C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.pmap lift (map (j.comp i) f).roots ⋯)).prod)
a b : ℤ
Ha : a < 0
Hb : 0 < b
⊢ a.ediv b = -((-a - 1) / b + 1)
α : Type u_2
DecidableEq α
Inv α
s : Finset α
⊢ s⁻¹.Nonempty ↔ s.Nonempty
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
⊢ Measurable (uncurry u)
R : Type u
Ring R
M N : ModuleCat R
s : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Limits.pair M N)
⊢ (M.binaryProductLimitCone N).isLimit.lift s =
  LinearMap.prod (s.π.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left })
    (s.π.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right })
M : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : UniformSpace α
inst✝⁴ : AddGroup α
inst✝³ : UniformAddGroup α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : UniformAddGroup β
x : Completion α
⊢ IsClosed {a | (completion 0 ⋯) a = 0 a}
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
w : NumberField.InfinitePlace K
IsGalois k K
⊢ NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w ↔ Nat.card ↥(MulAction.stabilizer (K ≃ₐ[k] K) w) = 1
R : Type u
S : Type v
CommRing R
f : R[X]
CommSemiring S
Algebra S R
⊢ algebraMap S (AdjoinRoot f) = (AdjoinRoot.of f).comp (algebraMap S R)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
β : Type u_5
hα : IsEmpty α
f : α →ₛ β
⊢ ¬f.range.Nonempty
α : Type u
σ : Type v
M : NFA α σ
x : List α
a : α
⊢ M.eval (x ++ [a]) = M.stepSet (M.eval x) a
R : Type u
Ring R
s : Subring R
⊢ ↑s.toAddSubgroup = ↑s
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
x : S
⊢ h.map (h.repr x) = x
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Submodule R M
⊢ N.annihilator = ⊤ ↔ N = ⊥
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ c d : Con M
⊢ {x | c ≤ x ∧ d ≤ x} = {s | ∀ (x y : M), c x y ∨ d x y → s x y}
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
h : s.OrdConnected
x : ℝ
hx : x ∈ s
y : ℝ
hy : y ∈ s
z : ℝ≥0
hz : z ∈ Icc x.toNNReal y.toNNReal
hy₀ : y ≤ 0
⊢ z ∈ toNNReal '' s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂
h : K₁ ≤ K₂
n : ℕ
h_dim : FiniteDimensional.finrank 𝕜 ↥K₁ + n = FiniteDimensional.finrank 𝕜 ↥K₂
⊢ FiniteDimensional.finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂) = n
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
CategoryTheory.Limits.HasLimit G
w : F ≅ G
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.HasLimit.isoOfNatIso w).inv ≫ CategoryTheory.Limits.limit.π F j =
  CategoryTheory.Limits.limit.π G j ≫ w.inv.app j
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ x ∈ s, 0 ≤ g x
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
x : E
this : x ∈ p ⊔ ker f
⊢ ↑((p.linearProjOfIsCompl (ker f) ⋯) x) = ↑(f x)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f₁ f₂ : End R M
μ₁ μ₂ : R
m : M
k₁ : ℕ
hk₁ : ((f₁ - μ₁ • 1) ^ k₁) m = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : ((f₂ - μ₂ • 1) ^ k₂) m = 0
this : f₁ + f₂ - (μ₁ + μ₂) • 1 = f₁ - μ₁ • 1 + (f₂ - μ₂ • 1)
h : Commute (f₁ - μ₁ • 1) (f₂ - μ₂ • 1)
x✝ : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1)
⊢ ((f₁ - μ₁ • 1) ^ i * (f₂ - μ₂ • 1) ^ j) m = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x < y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] y = ⊥
⊢ rightLim f x ≤ leftLim f y
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
ι₁ : Type u_3
s₁ : Finset ι₁
w₁ : ι₁ → ℝ
p₁ : ι₁ → P
h₁ : ∑ i ∈ s₁, w₁ i = 0
ι₂ : Type u_4
s₂ : Finset ι₂
w₂ : ι₂ → ℝ
p₂ : ι₂ → P
h₂ : ∑ i ∈ s₂, w₂ i = 0
⊢ (-∑ x ∈ s₁, ∑ x_1 ∈ s₂, w₁ x * w₂ x_1 * (‖p₁ x -ᵥ p₂ x_1‖ * ‖p₁ x -ᵥ p₂ x_1‖)) / 2 = (-∑ i₁ ∈ s₁, ∑ i₂ ∈ s₂, w₁ i₁ * w₂ i₂ * (dist (p₁ i₁) (p₂ i₂) * dist (p₁ i₁) (p₂ i₂))) / 2
α : Type u
BooleanAlgebra α
⊢ Function.Involutive compl
n : Nat
α : Sort u_1
f : Fin (n + 1) → α → α
x : α
⊢ Fin.foldr (n + 1) f x = Fin.foldr n (fun x => f x.castSucc) (f (Fin.last n) x)
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v : V
w y : W
⊢ (fderiv ℝ (fun w => ↑(𝐞 (-(L v) w))) w) y = -2 * ↑π * I * ↑((L v) y) * ↑(𝐞 (-(L v) w))
v : Valuation
f₁ : Fmla
a : Prop
f₂ : Fmla
b : Prop
h₁ : reify v f₁ a
h₂ : reify v f₂ b
H : ¬v.satisfies_fmla (f₁.and f₂)
hn : ¬(a ∨ b)
c : Clause
h✝ : c ∈ f₁.and f₂
hn' : ¬v.satisfies c
h : c ∈ f₂
⊢ False
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddMonoid M
ContinuousAdd M
x : M
n : ℕ
⊢ ContinuousAt (fun x => n • x) x
m : Type u → Type v
α σ : Type u
f : σ → m α
r : σ
⊢ (ReaderT.mk f).run r = f r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
this : liminf s atTop ≤ limsup s atTop
⊢ μ (liminf s atTop) ≤ 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
j : ι
hj : e.BoundaryLE j
e.IsTruncGE
⊢ False
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h₁ : HasStrictDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ slitPlane
⊢ HasStrictDerivAt (fun t => log (f t)) ((f x)⁻¹ * f') x
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Ring B
inst✝⁶ : CommRing S✝
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra R B
f : R →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0
S : Subalgebra R A := adjoin R ↑p.coeffs
⊢ IsIntegral R x
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
⊢ 1 = Dilation.id α
x y : ℝ
⊢ abs (↑x + ↑y * I) = √(x ^ 2 + y ^ 2)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ K) ↑(p ^ k)
⊢ NumberField.discr K = (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b : G
⊢ a - (a + b) = -b
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ a ≠ b ↔ ↑a ≠ ↑b
C : Type u_1
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} A
CategoryTheory.Abelian A
F : CategoryTheory.Functor C A
F.IsHomological
F.ShiftSequence ℤ
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ F.homologicalKernel.W f ↔ ∀ (n : ℤ), CategoryTheory.IsIso ((F.shift n).map f)
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
n : ℕ
h : c ≤ ↑n
⊢ ∃ m ≤ n, c = ↑m
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : G ≃g G'
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype W
⊢ Fintype.card W = Fintype.card W
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
x : P
⊢ Function.Involutive ⇑(Equiv.pointReflection x)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
⊢ preNormEDS b c d 3 = c
X : AddGrp
⊢ ⇑(𝟙 X) = id
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f g : Π₀ (i : ι), α i
a✝ : ι
⊢ ¬f a✝ ⊔ g a✝ = ⊥ ↔ ¬f a✝ = ⊥ ∨ ¬g a✝ = ⊥
α : Type u
TopologicalSpace α
PreconnectedSpace α
P : α → α → Prop
h : ∀ (x : α), ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, P x y ∧ P y x
h' : Transitive P
x y : α
⊢ P x y
α : Type u
Monoid α
a : α
b : α
⊢ ∀ (x : Invertible b) (x_1 : Invertible a), (Invertible.mulRight a x) x_1 = invertibleMul a b
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
⊢ HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂ p.1 p.2) (jacobiTheta₂_fderiv z τ) (z, τ)
K : Type u_1
L : Type u_2
CommSemiring K
CommSemiring L
i : K →+* L
p : ℕ
ExpChar L p
PerfectRing L p
IsPerfectClosure i p
⊢ RingHom.ker i = pNilradical K p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
⊢ (s ⊆ t ∧ ∃ a ∈ t, a ∉ s) ↔ ∃ a ∉ s, a ∈ t ∧ s ⊆ t
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hMN : ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {m : ι → M} {n : ι → N}, ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0 → VanishesTrivially R m n
M' : Submodule R M
s : Finset (↥M' × N)
hx : ∑ x ∈ s, ↑x.1 ⊗ₜ[R] x.2 = 0
⊢ VanishesTrivially R (fun i => (↑i).1) fun i => (↑i).2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cocycle K F 1
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain K G 0
eq : CochainComplex.HomComplex.δ 0 1 β + (↑α).comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (CochainComplex.mappingCone.lift φ α β eq) =
  CochainComplex.mappingCone.liftCochain φ (↑α) β ⋯
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
Nonempty M
⊢ (L.completeTheory M).IsComplete
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : BoundedContinuousFunction α β
IsEmpty α
⊢ dist f g = 0
K : Type u₁
Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
CommRing O
Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
⊢ PreTilt.valAux K v O hv p 0 = 0
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
TopologicalSpace α
h : ContinuousAt f x
hg : Filter.Tendsto g p (𝓝 x)
hunif : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
⊢ Filter.Tendsto (fun n => F n (g n)) p (𝓝 (f x))
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n x : ℕ
hx : x ∈ range n
⊢ (↑p ^ x).vars ⊆ univ ×ˢ range n
α : Type u_7
β : Type u_8
MeasureTheory.MeasureSpace α
MeasureTheory.MeasureSpace β
⊢ MeasureTheory.volume = MeasureTheory.volume.prod MeasureTheory.volume
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
A : IsOpen (ball 0 1)
f : E → ℝ
f_support : support f = ball 0 1
f_smooth : ContDiff ℝ ⊤ f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
⊢ ∃ u, ContDiff ℝ ⊤ u ∧ (∀ (x : E), u x ∈ Icc 0 1) ∧ support u = ball 0 1 ∧ ∀ (x : E), u (-x) = u x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasImages C
CategoryTheory.Limits.HasImageMaps C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Arrow C} (st : X ⟶ Y), CategoryTheory.Limits.im.map st = CategoryTheory.Limits.image.map st
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
s t : Finset α
⊢ addRothNumber (s ∪ t) ≤ addRothNumber s + addRothNumber t
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
⊢ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff 0 = (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff 0 * num A r ^ 0