ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat
inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)
inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
s : Cocone F
U V : (Opens ↑↑s.pt)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ s.pt.presheaf.map i ≫ limit.lift ((pushforwardDiagramToColimit F).leftOp ⋙ (evaluation (Opens ↑(Limits.colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ C).obj (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V)))) { pt := s.pt.presheaf.obj V, π := { app := fun j => (s.ι.app (unop j)).c.app V ≫ (F.obj (unop j)).presheaf.map (eqToHom ⋯), naturality := ⋯ } } ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V)))).inv = (limit.lift ((pushforwardDiagramToColimit F).leftOp ⋙ (evaluation (Opens ↑(Limits.colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ C).obj (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop U)))) { pt := s.pt.presheaf.obj U, π := { app := fun j => (s.ι.app (unop j)).c.app U ≫ (F.obj (unop j)).presheaf.map (eqToHom ⋯), naturality := ⋯ } } ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop U)))).inv) ≫ (limit (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp).map ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).map i.unop).op
n k : ℕ
⊢ Polynomial.eval n (ascPochhammer ℕ k) = n.ascFactorial k
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
y : β
⊢ ‖(WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y)‖ = ‖y‖
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
k : α
lin_0 : ∀ (u : K →+* ℂ), ∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r)) = 0
this✝ : 0 = ∑ u : K →+* ℂ, (∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r))) * (NumberField.house.newBasis K) u
this : 0 = ∑ y : β, ∑ x_1 : K →+* ℂ, ↑(x (y, x_1)) * ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k y x_1 u) * (NumberField.house.newBasis K) u
l : β
⊢ ∑ x_1 : K →+* ℂ, ↑(x (l, x_1)) * ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k l x_1 u) * (NumberField.house.newBasis K) u = ∑ i : K →+* ℂ, (fun j => a k j) l * (↑(x (l, i)) * (NumberField.house.newBasis K) i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S₁ S₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C n
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.IsComplex
⊢ S₂.IsComplex
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)
i : Fin n
hl : i.castSucc < a
hu : b < i.succ
⊢ b < a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ WeakDual.polar 𝕜 s = {f | ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ 1}
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ p ∣ ringChar R ↔ p ∣ Fintype.card R
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u v : Finset α
hsu : s ⊆ u
htv : t ⊆ v
⊢ s ∪ t ⊆ u ∪ v
α : Type u
β : Type v
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b : α
⊢ Function.swap r a b ∨ a = b ∨ Function.swap r b a
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
⊢ f a = f b ↔ a⁻¹ * b ∈ ker f
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace G
f : F → G
g : E → F
s : Set F
t : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s (g x)
hg : AnalyticWithinAt 𝕜 g t x
h : MapsTo g t s
f' : F → G
left✝ : f (g x) = f' (g x)
ef : f =ᶠ[𝓝[s] g x] f'
hf' : AnalyticAt 𝕜 f' (g x)
g' : E → F
gx : g x = g' x
eg : g =ᶠ[𝓝[t] x] g'
hg' : AnalyticAt 𝕜 g' x
⊢ ContinuousWithinAt (f ∘ g) t x
R : Type v
CommRing R
a : R
⊢ !![a].det = a
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
s : Set ↥(LinearMap.range f)
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
⊢ lift.{v, v'} #↑↑⟨s, li⟩ ≤ lift.{v', v} (⨆ ι, #↑↑ι)
n d k : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ ThreeAPFree ↑(Finset.image (⇑(Behrend.map (2 * d - 1))) (Behrend.sphere n d k))
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : α → F α
x : α
⊢ Quot.mk Mcongr <$> abs (corecF g x).dest = corec g <$> g x
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α
⊢ s.card ^ 2 * t.card ^ 2 = (filter (fun x => match x with | (a, b) => a * b ∈ s * t) (s ×ˢ t)).card ^ 2
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
i : ι
this : s ∩ {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | min (τ ω) (π ω) ≤ i} = s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | min (τ ω) (π ω) ≤ i} ∩ {ω | min (τ ω) i ≤ min (min (τ ω) (π ω)) i}
⊢ Measurable fun a => min (min (τ a) (π a)) i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
⊢ 𝓤 α ≤ comap (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) ∧ comap (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α ↔ 𝓤 α ≤ comap (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) ∧ comap (Prod.map f f) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : c ⊔ a ≤ c ⊔ b
⊢ (c ⊔ a) \ c ≤ (c ⊔ b) \ c
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ : Γ₀
hγ : γ ≠ 0
⊢ Set.Iio γ ∈ 𝓝 0
m n✝ a✝ b✝ c✝ d a b n c : ℤ
ha : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ a - n * c ≡ b [ZMOD n]
M : Type u_1
AddZeroClass M
⊢ ↑⊤ = Set.univ
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (t i) ^ d
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
s : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f s
hg : f =ᶠ[𝓝ˢ s] g
⊢ AnalyticOn 𝕜 g s
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
a : Mˣ
ha : ∀ (g : M), g * ↑a = ↑a * g
⊢ ∀ (g : M), g * ↑a⁻¹ = ↑a⁻¹ * g
α : Type u_3
β : Type u_4
Zero β
Nonempty α
⊢ Set.range 0 = {0}
C : EReal
h : C ≠ ⊥
h' : C ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun n => C / ↑n) Filter.atTop (𝓝 0)
M : Type u_4
AddCommMonoid M
s : Set M
x : M
hx : x ∈ AddSubmonoid.closure s
⊢ ∃ l, (∀ y ∈ l, y ∈ s) ∧ l.sum = x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.61855, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
φ : S₁ ⟶ S₂
hg₁ : S₁.g = 0
c₁ : CokernelCofork S₁.f
hc₁ : IsColimit c₁
hg₂ : S₂.g = 0
c₂ : CokernelCofork S₂.f
hc₂ : IsColimit c₂
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
comm : φ.τ₂ ≫ Cofork.π c₂ = Cofork.π c₁ ≫ f
⊢ (LeftHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S₁ hg₁ c₁ hc₁).f' ≫ φ.τ₂ = φ.τ₁ ≫ (LeftHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S₂ hg₂ c₂ hc₂).f'
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g x₁ : G
x₂ : X.V
⊢ (X.ρ g * X.ρ x₁) x₂ = X.ρ g (X.ρ x₁ x₂)
ι : Type u_1
X : Type u_4
Y : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : ι → Set X
g : X → Y
hf : LocallyFinite f
h_cov : ⋃ i, f i = Set.univ
h_cl : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
h_cont : ∀ (i : ι), ContinuousOn g (f i)
⊢ Continuous g
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝³ : HasCoproduct X
inst✝² : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X) (a : α), HasPullback g (Sigma.ι X a)
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), HasCoproduct fun a => pullback g (Sigma.ι X a)
inst✝ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), Epi (Sigma.desc fun a => pullback.fst g (Sigma.ι X a))
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂ → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b
hg : g₁ ≫ Sigma.desc π = g₂ ≫ Sigma.desc π
a b : α
⊢ (pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ e a = ((pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ g₂) ≫ Sigma.desc e
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
h2 : Even n
⊢ DihedralGroup.reciprocalFactors n = 3 :: DihedralGroup.reciprocalFactors (n / 2)
I : Type u
DecidableEq I
R : Type v
CommSemiring R
A : I → Type w
(i : I) → Semiring (A i)
(i : I) → Algebra R (A i)
i : I
⊢ (LinearAlgebra.FreeProduct.lof R A i) 1 = 1
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
a✝ b a : α
h : destutter' R a l = a :: l
⊢ Chain' R (destutter' R a l)
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
x y : α
h : ‖x ⊓ y - 0 ⊓ 0‖ ≤ ‖x - 0‖ + ‖y - 0‖
⊢ ‖x ⊓ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
a : X
ha : a ∈ B
g : G
hg : g ∈ stabilizer G a
⊢ a ∈ g • B
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.ProjectivePlane P L
Fintype P
Finite L
⊢ Fintype.card P = Configuration.ProjectivePlane.order P L ^ 2 + Configuration.ProjectivePlane.order P L + 1
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
a : { x // p x }
⊢ Subtype.val '' Set.Iic a ⊆ Set.Iic ↑a
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
A.IsTrivial
f : ↥(groupCohomology.oneCocycles A)
x : Additive G
⊢ ((groupCohomology.H1LequivOfIsTrivial A) ((groupCohomology.H1_π A) f)) x = ↑f (Additive.toMul x)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).tan = dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
X : C
f : T.obj₃ ⟶ X
hf : T.mor₂ ≫ f = 0
⊢ ∃ g, f = T.mor₃ ≫ g
p q : Prop
Decidable q
h : p ↔ q
⊢ p ∧ q ∨ ¬p ∧ ¬q
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
x : E
⊢ s * Metric.closedBall x δ = x • Metric.cthickening δ s
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : G → ℝ≥0∞ := fun y => f y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s)
hg : Measurable g
x : G
hx : ν' ((fun y => y * x) ⁻¹' s) < ⊤
⊢ (fun x => ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s) * (f x / ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s))) x = f x
G : Type u_1
AddGroup G
M : Type u_7
AddZeroClass M
f : G →+ M
⊢ ↑f.ker = ⇑f ⁻¹' {0}
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ
⊢ y ∈ I.splitCenterBox s ↔ y ∈ I ∧ ∀ (i : ι), (I.lower i + I.upper i) / 2 < y i ↔ i ∈ s
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (0 < n) = true
⊢ 0 < e
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A
x : M
h : ∀ (x y : M), f x * f y + f y * f x = (algebraMap R A) (QuadraticMap.polar (⇑Q) x y)
⊢ 2 * (f x * f x) = 2 * (algebraMap R A) (Q x)
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
X : Type u_2
AddAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u + r₁ = v + ↑s₂
⊢ OreLocalization.vadd' r₁ s₁ r₂ s₂ = v +ᵥ r₂ -ₒ (u + s₁)
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
h : ∀ (i j : Fin n), i < j → (f ∘ ⇑σ) i ≤ (f ∘ ⇑σ) j
⊢ f ∘ ⇑σ = f ∘ ⇑(sort f)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
⊢ Continuous Subtype.val
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffAt I I' n f x
le : m ≤ n
⊢ ContMDiffAt I I' m f x
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝˣ
⊢ 2 • o.oangle x y = 2 • o.oangle x (r • y)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α' : Type u_7
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
⊢ Disjoint (Finsupp.supported M R s) (LinearMap.ker (Finsupp.lmapDomain M R f))
R S : Type u
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
x : R
⊢ (SemiRingCat.ofHom f) x = f x
x y : ℤ[i]
hy : y ≠ 0
⊢ (norm x).natAbs ≤ (norm (x * y)).natAbs
α : Type u_2
TopologicalSpace α
Preorder α
⊢ ⇑(EsakiaHom.id α) = id
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a : α
DecidableEq α
h : a ∈ UV.compression u v s
ha : a ∉ s
⊢ (a ⊔ v) \ u ∈ s
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (i : Fin2 n) (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' ⟹ α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f i '' univ ⊆ f' i '' univ
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
⊢ LiftP p x ↔ ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp x i, p i u
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g x y : Perm α
h : f.Disjoint g
hf : x.support ≤ f.support
hg : y.support ≤ g.support
⊢ x.Disjoint y
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a - x) ⁻¹' Ico b c = Ioc (a - c) (a - b)
s : Multiset ℂ
⊢ Complex.exp s.sum = (Multiset.map Complex.exp s).prod
n : ℕ
Hn : n ≠ 0
⊢ 0 < ∑ i ∈ Finset.range n, (↑(i + 1))⁻¹
a b : ENNReal
hb₀ : b ≠ 0
hb₁ : b ≠ ⊤
⊢ a / b = 1 ↔ a = b
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
⊢ ∃ V ∈ p.basisSets, V + V ⊆ U
G : Type u_1
Group G
S T : Set G
hST : Subgroup.IsComplement S T
g : G
h1 : 1 ∈ T
⊢ ↑(hST.equiv g).1 = g ↔ g ∈ S
⊢ ↑(T ^ 0) = !![1, 0; 0, 1]
α : Type ua
s : Set (UniformSpace α)
⊢ UniformSpace.toTopologicalSpace = ⨅ i ∈ s, UniformSpace.toTopologicalSpace
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝¹ y : E
r✝ : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
r : ℝ
x x✝ : E
⊢ x✝ ∈ (c • p).ball x r ↔ x✝ ∈ p.ball x (r / ↑c)
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
u v a : α
hva : Disjoint v a
hua : u ≤ a
⊢ UV.compress u v ((a ⊔ v) \ u) = a
o : ONote
x : Option ONote ⊕ (ℕ → ONote)
e : o.fundamentalSequence = x
⊢ o.fastGrowing =
  match (motive := (x : Option ONote ⊕ (ℕ → ONote)) → o.FundamentalSequenceProp x → ℕ → ℕ) x, ⋯ with
  | Sum.inl none, x => Nat.succ
  | Sum.inl (some a), x => fun i => a.fastGrowing^[i] i
  | Sum.inr f, x => fun i => (f i).fastGrowing i
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
r : R
h✝ : Subsingleton R
⊢ span {r} ∈ (Ideal R)⁰ ↔ r ∈ R⁰
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
L : Φ.LeftResolution X₂
⊢ ∃ X₁ w, ∃ (hw : W₂ w), L = CategoryTheory.LocalizerMorphism.LeftResolution.mk w hw
α : Type u_3
β : Type u_4
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
UniformSpace β
AddGroup β
UniformAddGroup β
⊢ AddMonoidHom.completion 0 ⋯ = 0
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ (LinearIsometryEquiv.refl R E).trans e = e
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
⊢ ⨅ x, ↑(f x) = ⊤ ↔ IsEmpty ι
α : Type u
x : Tree α
⊢ x.height ≤ x.numNodes
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
α : Type v
CommRing α
StarRing α
A : Matrix n n α
⊢ A ∈ Matrix.unitaryGroup n α ↔ A * star A = 1
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
n : ℕ
f : α → β
⊢ ∑ x ∈ s, n • f x = n • ∑ x ∈ s, f x
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
inst✝⁹ : Monoid R
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁷ : DistribMulAction R A
inst✝⁶ : Star A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : DistribMulAction R B
inst✝³ : Star B
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝¹ : DistribMulAction R C
inst✝ : Star C
f : A →⋆ₙₐ[R] B
g : A →⋆ₙₐ[R] C
x : A
⊢ __src✝.toFun (star x) = star (__src✝.toFun x)
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
⊢ lambda c t ≫ T.δ.app c.pt = lambda c t ≫ T.map (lambda c t)
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R[X]
r : R
i j : n
⊢ Polynomial.eval ((Matrix.scalar n) r) (matPolyEquiv M) i j = Polynomial.eval r (M i j)
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : IsLeftCancelMulZero α
x y : α
h : x * y = 0
hx : ¬x = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
f f' : CategoryTheory.StructuredArrow S T
g : f.right ≅ f'.right
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom (T.map g.hom) = f'.hom := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.StructuredArrow.isoMk g w).hom.right = g.hom
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ ae (μ.restrict (Ι a b)) = ae (μ.restrict (Ioc a b)) ⊔ ae (μ.restrict (Ioc b a))
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
⊢ n.sqrt ^ 2 ≤ n
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
H : ∀ ε > 0, ∃ s, s.Countable ∧ ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, EMetric.closedBall x ε = univ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ Disjoint ((a ⊔ b) \ (a ⊓ b)) (a ⊓ b)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
F G : CategoryTheory.Functor A B
H I : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
c : C
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.sum α β).app (Sum.inr c) = β.app c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
∀ (a b : C), CategoryTheory.Limits.HasProductsOfShape (a ⟶ b) D
c : C
Y : D
⊢ (CategoryTheory.evaluationAdjunctionLeft D c).counit.app Y =
  CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun x => Y) (CategoryTheory.CategoryStruct.id c)
q : ℍ
hq : q.re = 0
c s : ℝ
hc : HasSum (fun a => ↑((-1) ^ a * ‖q‖ ^ (2 * a) / ↑(2 * a)!)) ↑c
hs : HasSum (fun z => ((-1) ^ z * ‖q‖ ^ (2 * z + 1) / ↑(2 * z + 1)! / ‖q‖) • q) ((s / ‖q‖) • q)
⊢ HasSum (fun n => (expSeries ℝ ℍ n) fun x => q) (↑c + (s / ‖q‖) • q)
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huG : UniqueMul (filter (fun x => f x = aH) A) (filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = aG * bG
huH : f a * f b = aH * bH → f a = aH ∧ f b = bH
⊢ a = aG ∧ b = bG
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a < b
a✝ : ℕ
h : t.chainHeight = ↑a✝
⊢ ∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ (s ∪ t).subchain, l.length + a✝ ≤ l'.length + 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
N : Submodule R M
m : M
⊢ m ∈ B.orthogonal N ↔ ∀ n ∈ N, B.IsOrtho n m
α : Type u
s t : Set α
⊢ (s ∪ t) \ s = t \ s
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
⊢ Hamming.toHamming.symm = Hamming.ofHamming
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
self : AddConstMap G H a b
x : G
⊢ self.toFun (x + a) = self.toFun x + b
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => abs x.1 ^ x.2.re) (𝓝 (0, z)) (𝓝 0)
r n : ℕ
b : r ≤ n
⊢ n.choose r ≤ n.choose (n / 2)
α : Type u_4
BooleanAlgebra α
⊢ ∀ (a : α), (RelIso.symm (OrderIso.asBoolAlgAsBoolRing α)) a = toBoolAlg (toBoolRing a)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid R
inst✝ : StarAddMonoid R
x y : R
hx : IsSelfAdjoint x
hy : IsSelfAdjoint y
⊢ IsSelfAdjoint (x + y)
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R
⊢ star x < y ↔ x < star y
α : Type u_1
s t : Set α
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ ((MeasureTheory.OuterMeasure.restrict s) m) t = m (t ∩ s)
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
hf0 : ¬f = 0
n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
⊢ (val K v O hv p) f = 0 ↔ f = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂)) < π / 2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h_left : IntegrableOn f (Iic b) μ
h_right : IntegrableOn f (Ioi b) μ
⊢ μ = μ.restrict (Iic b ∪ Ioi b)
x : ℝ
n : ℤ
⊢ Real.cos (↑n * (2 * Real.pi) - x) = Real.cos x
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsAlgebraic F E
L : IntermediateField F E
⊢ separableClosure F E ≤ L ↔ IsPurelyInseparable (↥L) E
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C