ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
⊢ (∫ (x : E), ↑f x ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : E), ↑f x ∂μ = 1
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
P : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
prime : ∀ i ∈ s, Prime (P i)
coprime : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → P i ≠ P j
x : { x // x ∈ s } → R
⊢ ∃ y, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), y - x ⟨i, hi⟩ ∈ P i ^ e i
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ ↑(interedges r s t).card + ↑(interedges (fun x y => ¬r x y) s t).card = ↑s.card * ↑t.card
M : Type u_1
AddCommMonoid M
a : M
⊢ IsAddUnit a ↔ ∃ b, a + b = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
f f' : ℕ → α → β
g g' : α → β
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] f' n
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hff'' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i x = f' i x
x : α
hff'x : ∀ (i : ℕ), f i x = f' i x
hgg'x : g x = g' x
hfgx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ Tendsto (fun n => f' n x) atTop (𝓝 (g' x))
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' G'' : G.Subgraph
s s' : Set V
⊢ G'.induce s' ≤ G'.induce (s ∪ s')
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
hf : IsMulFreimanHom 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A
h : a * b = c * d
⊢ f a * f b = f c * f d
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
H : AddSubgroup G
a b : α
h : Quotient.mk'' a = Quotient.mk'' b
⊢ Quotient.mk'' a = Quotient.mk'' b
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (t : Set G), MeasurableSet t → (fun t => t • closure {1} = t) t → (fun t => t • closure {1} = t) tᶜ
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
⊢ (fun n => ENNReal.ofReal (‖a ^ n‖ ^ (1 / ↑n))) = fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1
⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₃ p₁).sin = dist p₁ p₃
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V
⊢ lift.{u, v} #V = lift.{v, u} #K ^ lift.{u, v} (Module.rank K V)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ dist p₃ p₂ / Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
s : σ
⊢ (X s)⁻¹ = 0
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a b : M
h : QuadraticMap.IsOrtho Q a b
⊢ (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 0 = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x y : B
r : R
hr : (algebraMap R B) r * y = 1
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R B) (x * y) p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap R B) x (p.scaleRoots r) = 0
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
ht : s ⊆ t
this : IsProbabilityMeasure (condCount s)
⊢ (condCount s) s ≤ (condCount s) t
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
T2Space M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
A B : Set α
hA : MeasurableSet A
hB : MeasurableSet B
h' : ↑v (B \ A) = 0
⊢ ↑v (A \ B) + ↑v B = ↑v A
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
a : AsBoolRing α
⊢ ofBoolRing (-a) = ofBoolRing a
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
hf : Differentiable ℂ f
c z : ℂ
⊢ HasSum (fun n => (↑n.factorial)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
N' : Type u_7
AddCommGroup N
AddCommGroup N'
Module R N
Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
IsLocalizedModule S g
h : M →ₗ[R] N
⊢ (IsLocalizedModule.map S f g) h ∘ₗ f = g ∘ₗ h
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Star A
Semiring B
Algebra R B
Star B
Semiring C
Algebra R C
Star C
f : A →⋆ₐ[R] B
g : A →⋆ₐ[R] C
⊢ ⇑(f.prod g) = Pi.prod ⇑f ⇑g
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ p₃ ≠ p₂
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₁'] M
x y : M₁
⊢ B.IsOrtho x y ↔ B.flip.IsOrtho y x
σ : Type u_1
Fintype σ
R : Type u_2
CommRing R
k : ℕ
A : Finset σ
h : A ∈ Finset.powersetCard k Finset.univ
⊢ ∑ j ∈ A, MvPolynomial.NewtonIdentities.weight σ R k (A, j) = ↑k * (-1) ^ k * ∏ i ∈ A, MvPolynomial.X i
F : Sort u_2
α : Sort u_3
β : Sort u_4
γ : Sort u_5
iF : EquivLike F β γ
f : α → β
e : F
⊢ Function.Surjective (⇑e ∘ f) ↔ Function.Surjective f
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
g' : cokernel S.f ⟶ S.X₃ := cokernel.desc S.f S.g ⋯
hg' : g' = cokernel.π γ ≫ cokernel.desc γ g' ⋯
wι : kernel.ι (cokernel.π γ) ≫ g' = 0
e : cokernel γ ≅ Abelian.coimage S.g := (colimit.isColimit (parallelPair (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) 0)).coconePointUniqueUpToIso S.cokernelToAbelianCoimageIsCokernel
he : cokernel.π γ ≫ e.hom = S.cokernelToAbelianCoimage
⊢ S.RightHomologyData
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
ht : ∀ x ∈ t, f₁ x = f x
hx : f₁ x = f x
h₁ : t ⊆ s
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f₁ t x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.singularPart ν ⟂ₘ ν
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ |max a b| ≤ max |a| |b|
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
s t : Set α
H1 : x ∈ s
H2 : x ∈ t
H3 : IsPreconnected s
H4 : IsPreconnected t
⊢ IsPreconnected (s ∪ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : p x
⊢ q (e.extendSubtype x)
δ' : Type u_5
π : δ' → Type u_6
(x : δ') → MeasurableSpace (π x)
Unique δ'
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.piUnique π) = fun f => f default
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s t u : Finset α
a b : α
⊢ _root_.Disjoint ↑s ↑t ↔ _root_.Disjoint s t
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = -1 ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, y = r • x
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
E : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} E
F G : CategoryTheory.Functor E ((i : I) → C i)
e : (i : I) → F.comp (CategoryTheory.Pi.eval C i) ≅ G.comp (CategoryTheory.Pi.eval C i)
⊢ (CategoryTheory.NatIso.pi' e).hom = CategoryTheory.NatTrans.pi' fun i => (e i).hom
α : Type u_2
DecidableEq α
Group α
t : Finset α
b : α
⊢ Finset.image (fun x => x * b) t = t.preimage (fun x => x * b⁻¹) ⋯
α : Type u_1
a b : ℂ
ha : a ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 a, x ≠ 0
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
s : Set A
p : A → Prop
a : A
h : a ∈ StarAlgebra.adjoin R s
mem : ∀ x ∈ s, p x
algebraMap : ∀ (r : R), p ((algebraMap R A) r)
add : ∀ (x y : A), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : A), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : A), p x → p (star x)
⊢ p a
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
DecidableEq β
t : Finset β
⊢ 0 • t ⊆ 0
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 _root_.id s x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 E
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hε_top : ¬ε = ⊤
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfs : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε.toNNReal
⊢ sᶜ ∈ μ.cofinite
M : Type u_5
N : Type u_6
M' : Type u_8
N' : Type u_9
Add M
Add N
Add M'
Add N'
f : AddHom M M'
g : AddHom N N'
⊢ f.prodMap g = (f.comp (AddHom.fst M N)).prod (g.comp (AddHom.snd M N))
n k : ℕ
hk : k ≤ n
⊢ n.choose (n - k) = n.choose k
a b m n p : ℕ
⊢ ((a.lcm b).factorization.prod fun p n => if b.factorization p ≤ a.factorization p then p ^ n else 1).Coprime ((a.lcm b).factorization.prod fun p n => if b.factorization p ≤ a.factorization p then 1 else p ^ n)
n : ℕ
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
hn : p n
⊢ Nat.find h ≤ n
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a b : α
⊢ a ≠ b → a ∈ s → a ∈ s.erase b
X : AlgebraicGeometry.RingedSpace
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
⊢ ∃ V i, ∃ (_ : ↑x ∈ V), IsUnit ((X.presheaf.map i.op) f)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
⊢ ‖y‖ * ‖y‖ ≤ ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖
n m : ℕ
f : SimplexCategory.mk n ⟶ SimplexCategory.mk m
⊢ CategoryTheory.Mono f → n ≤ m
α : Type u
AddMonoid α
a : AddUnits α
n : ℕ
⊢ ↑(n • a) = n • ↑a
f : ℂ → ℂ
f' x c : ℂ
hf : HasDerivAt f f' x
h0 : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasDerivAt (fun x => f x ^ c) (c * f x ^ (c - 1) * f') x
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : TensorProduct R M N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ ((TensorProduct.curry f) m) n = f (m ⊗ₜ[R] n)
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
h : Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v}) = ⊤
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
⊢ (↑↑I).IsPrincipal
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s₁ s₂ : Finset α
t : Finset β
DecidableEq α
⊢ s₁ ∩ s₂ +ᵥ t ⊆ (s₁ +ᵥ t) ∩ (s₂ +ᵥ t)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
f : M ≃ₗ[R] M
n : ℕ
⊢ LinearEquiv.rTensor N f ^ n = LinearEquiv.rTensor N (f ^ n)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
h : ∀ (u : ℕ → ι), Tendsto u atTop l → TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n)) f atTop s
u : ℕ → ι × α
hu : Tendsto u atTop (l ×ˢ 𝓟 s)
⊢ Tendsto ((fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) ∘ u) atTop (𝓤 β)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
x✝ : ℕ
⊢ Disjoint (closure ((fun x => univ) x✝)) ∅
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ ∀ i ∈ (a.lcm b).factorization.support, i ^ 0 = 1
L : FirstOrder.Language
K : Set (CategoryTheory.Bundled L.Structure)
Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)
⊢ (∃ M, Countable ↑M ∧ L.age ↑M = K) ↔
  K.Nonempty ∧
    (∀ (M N : CategoryTheory.Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)) ∧
      (Quotient.mk' '' K).Countable ∧
        (∀ M ∈ K, FirstOrder.Language.Structure.FG L ↑M) ∧
          FirstOrder.Language.Hereditary K ∧ FirstOrder.Language.JointEmbedding K
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
S : Type u_2
inst✝ : Field S
f : R[X] →+* S
this : (RingHom.ker f).IsMaximal
g : R[X] ⧸ RingHom.ker f →+* S := Quotient.lift (RingHom.ker f) f ⋯
hf : Function.Surjective (⇑g ∘ ⇑(Quotient.mk (RingHom.ker f)))
hfg : g.comp (Quotient.mk (RingHom.ker f)) = f
⊢ Function.Surjective ⇑g
p q : ℚ
hp : 0 ≤ p
⊢ q.toNNRat ≤ p.toNNRat ↔ q ≤ p
α : Type u_1
β : Type u_2
m m0 m0' : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
hm0 : m0 ≤ m0'
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f (μ.trim hm0)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ
κ : Type w
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
b : κ → B
i j : κ
⊢ Algebra.traceMatrix A b i j = ((Algebra.traceForm A B) (b i)) (b j)
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
k : Cardinal.{u_1}
hk : ↑m = ↑n * k
this : ↑n = 0 ∨ k = 0 ∨ ↑n < ℵ₀ ∧ k < ℵ₀
⊢ n ∣ m
P : Type u_1
LE P
s t : Order.Ideal P
⊢ ↑s = ↑t → s = t
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
h1 : (fun a => a.swap) '' ↑f.graph = ⇑↑(LinearEquiv.prodComm R E F).symm ⁻¹' ↑f.graph
h2 : (fun a => a.swap) '' _root_.closure ↑f.graph = ⇑↑(LinearEquiv.prodComm R E F).symm ⁻¹' _root_.closure ↑f.graph
⊢ _root_.closure (Prod.swap '' ↑f.graph) ⊆ Prod.swap '' _root_.closure ↑f.graph
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
f : E → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (Set.range f)
⊢ ∃ c, f = Function.const E c
m n a b c d✝ : ℤ
hm : 0 < m
h : a * c ≡ b * c [ZMOD m]
d : ℕ := m.gcd c
⊢ a ≡ b [ZMOD m / ↑(m.gcd c)]
x : ℂ
⊢ Complex.cos x ^ 2 = 1 / 2 + Complex.cos (2 * x) / 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Z =
  CategoryTheory.Limits.coprod.map f (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ b - toIocMod hp a b = toIocDiv hp a b • p
s : ℕ
⊢ (xgcd 0 s).2 = 1
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : 2 ≤ z.im
n : ℤ
hn : ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z ∈ verticalStrip (↑↑N) z.im
⊢ Complex.abs ((eisensteinSeries_SIF (a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod ↑N))) A)) k) (ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z)) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Set M
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure s) }
x : M
hx : x ∈ ↑(closure s)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Div G✝
inst✝³ : ContinuousDiv G✝
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousDiv G
b c : G
f : α → G
l : Filter α
⊢ Tendsto (fun k => b / f k) l (𝓝 (b / c)) ↔ Tendsto f l (𝓝 c)
b✝ : Game
b : PGame
c✝ : Game
c : PGame
h : Quot.mk Setoid.r b ⧏ Quot.mk Setoid.r c
a✝ : Game
a : PGame
⊢ Quot.mk Setoid.r a + Quot.mk Setoid.r b ⧏ Quot.mk Setoid.r a + Quot.mk Setoid.r c
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G
f : Fin n → G
a b : k
⊢ single (g • partialProd f) ((TensorProduct.lid k k) (a ⊗ₜ[k] b)) = single (g • partialProd f) (a * b)
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsOpen t
⊢ IsOpen (s • t)
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
⊢ ↑(fill a (filterNe a m).fst (filterNe a m).snd) = ↑m
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℝ
⊢ x ^ y = rexp (log x * y)
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Semiring S
Module S M
Module R M
SMul S R
IsScalarTower S R M
p : Submodule R M
⊢ Submodule.restrictScalars S p = ⊤ ↔ p = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Denumerable ι
κs : ι → Kernel α β
hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)
e : ℕ ≃ ι × ℕ := (Denumerable.eqv (ι × ℕ)).symm
hκ_eq : Kernel.sum κs = Kernel.sum fun n => Kernel.sum (κs n).seq
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∑' (i : ι) (m : ℕ), (((κs i).seq m) a) s = ∑' (n : ℕ), (fun im => (((κs im.1).seq im.2) a) s) (e n)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁ : t₁.points i₁ = t₂.points i₁
h₃ : t₁.points i₃ = t₂.points i₃
h₂ : 2 • ∡ (t₁.points i₁) (t₁.points i₂) (t₁.points i₃) = 2 • ∡ (t₂.points i₁) (t₂.points i₂) (t₂.points i₃)
⊢ Simplex.circumsphere t₁ = Simplex.circumsphere t₂
α : Type u_2
β : Type u_3
One α
f : α → β
⊢ f '' 1 = {f 1}
α : Type u_1
a : PosNum
⊢ -(Num.pos a).toZNum = neg a
G : Type u_1
Group G
p q : Subgroup G
⊢ p.toSubmonoid = q.toSubmonoid ↔ p = q
X : TopCat
T : ↑X → Type v
self : TopCat.LocalPredicate T
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
f : (x : ↥U) → T ↑x
⊢ (∀ (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ i, self.pred fun x => f ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) → self.pred f
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ φ W.b₂ ^ 2 - 24 * φ W.b₄ = φ (W.b₂ ^ 2 - 24 * W.b₄)
a b : ℕ
hb : 0 < b
⊢ a / b = 0 ↔ a < b
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
y : E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : a ≠ 0
⊢ (fun x => a • x) ⁻¹' p.ball y r = p.ball (a⁻¹ • y) (r / ‖a‖)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
u : αˣ
⊢ normalize ↑u = 1
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑(f x) ∂μ = ↑(∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ)
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
H : ¬∃ c ∈ P.parts, c ≤ b
c : α
hc : c ∈ P.parts
d : α
hd : d ∈ Q.parts
hcd : c ≤ d
⊢ b ≠ d
α : Type u
PartialOrder α
l : List α
h₁ : List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) l
h₂ : l.Nodup
⊢ List.Sorted (fun x x_1 => x < x_1) l
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hg✝ : GrowsPolynomially g
hf' : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg' : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => f x + g x) u ∈ Set.Icc (min c₁ c₃ * (fun x => f x + g x) x) (max c₂ c₄ * (fun x => f x + g x) x)
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
⊢ N ≠ ⊥
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
CategoryTheory.Limits.HasKernels Cᵒᵖ
CategoryTheory.Limits.HasCokernels Cᵒᵖ
X : (CategoryTheory.ShortComplex C)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyFunctorOpNatIso C).inv.app X = (Opposite.unop X).rightHomologyOpIso.hom
α : Sort u
r : α → α → Prop
IsTrans α r
a b c : α
⊢ r a b → r b c → r a c
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set α
⊢ f '' s \ f '' t ⊆ f '' (s \ t)
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
IsEmpty α
f g : α →C_c β
⊢ f = g
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
s : Ideal ℤ_[p]
hs : s ≠ ⊥
⊢ ∃ n, s = Ideal.span {↑p ^ n}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑(‖f a‖₊ ^ p) ≤ ↑(c ^ p * ‖g a‖₊ ^ p)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
⊢ StrictMono 𝓝ˢ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : E
ha : a ∈ ⨆ i, U i
hay : ‖y - a‖ < ε
I : ι
hI : a ∈ U I
⊢ ∃ I, ∀ i ≥ I, ‖↑((orthogonalProjection (U i)) y) - y‖ < ε
𝕜 : Type u_4
LinearOrderedField 𝕜
Archimedean 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
r : 𝕜
h₁ : 0 < r
h₂ : r < 1
⊢ Filter.Tendsto (fun n => r ^ n) Filter.atTop (𝓝[>] 0)
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Fintype α
g : α
hx : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g
⊢ orderOf g = Fintype.card α
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
hab : a ⋖ b
⊢ c < b → c ≤ a
n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
IsCyclotomicExtension {n} A B
⊢ IsCyclotomicExtension.zeta n A B ^ ↑n = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : E × F
L : Filter (E × F)
⊢ HasFDerivAtFilter Prod.snd (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 E F) p L
R : Type u_2
LinearOrderedRing R
FloorRing R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
MeasurableSpace R
BorelSpace R
⊢ Measurable Int.fract
α : Type u_1
LE α
a : α
⊢ a ∈ ⊥
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C 0
f : F.obj' 0 ⋯ ⟶ G.obj' 0 ⋯
i : Fin (0 + 1)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₀ f).app i =
  match i with
  | ⟨0, isLt⟩ => f
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Ideal.comap f ⊥ = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
G : CategoryTheory.Comonad C
self : G.Coalgebra
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.a (G.δ.app self.A) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.a (G.map self.a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
⊢ (f₁ ⊓ f₂) ×ˢ g = f₁ ×ˢ g ⊓ f₂ ×ˢ g