ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
⊢ IsCompact (s ∪ t)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
k : ℕ
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ LieIdeal.map f (LieModule.lowerCentralSeries R L L k) = LieModule.lowerCentralSeries R L' L' k
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y z : E
⊢ ⟪x, y - z⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪x, z⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
⊢ ⇑(Equiv.curry α β γ) = Function.curry
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
F : α → ℝ := fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) i‖ ^ p.toReal
hF : ∀ i ∉ s, F i = 0
hF' : ∀ i ∈ s, F i = ‖↑f i‖ ^ p.toReal
⊢ HasSum (fun b => ‖↑f b‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) b‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal)
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
x : B
hx : x ∈ e.baseSet
⊢ ↑e (zeroSection F E x) = (x, 0)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) + (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v = ↑x
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ Function.Injective ⇑(NumberField.Units.logEmbeddingQuot K)
R : outParam (Type u_17)
M : outParam (Type u_18)
M₂ : outParam (Type u_19)
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
F : Type u_20
FunLike F M M₂
LinearMapClass F R M M₂
f : F
r : R
x : M
⊢ f (r • x) = r • f x
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
r : R
x : A
hx : x ∈ s ∪ star s
⊢ p ((algebraMap R A) r) x
α : Type u_2
s : Set α
⊢ (Filter.principal s).ker = s
𝕜 : Type u
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁸ : AddCommGroup F'
inst✝⁷ : Module 𝕜 F'
inst✝⁶ : TopologicalSpace F'
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup F'
inst✝⁴ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝³ : CompleteSpace 𝕜
E' : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E'
⊢ 0 < let A := (Basis.ofVectorSpace ℝ E').equivFun.toContinuousLinearEquiv; max (‖↑A.symm‖₊ * ‖↑A‖₊) 1
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
MulAction G α
s : Set α
g : G
s_in_fixedBy : s ∈ MulAction.fixedBy (Set α) g
x : α
⊢ g • x ∈ s ↔ x ∈ s
a b : ℕ
⊢ Finset.Ico a b = { val := ↑(List.range' a (b - a)), nodup := ⋯ }
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₄ : p₄ ∈ s
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
ha : a ∈ s
ht : t ∈ 𝓝[s] a
⊢ a ∈ t
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
this : -((∑ i ∈ range n, x ^ i) * (x - 1)) = -(x ^ n - 1)
⊢ (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (1 - x) = 1 - x ^ n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : D × C
⊢ (CategoryTheory.Prod.braiding C D).counitIso.inv.app X =
  (CategoryTheory.CategoryStruct.id X.1, CategoryTheory.CategoryStruct.id X.2)
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_mem : x ∈ closure E
⊢ (thickenedIndicator δ_pos E) x = 1
α β : Sort u
h₁ h₂ : α = β
a : α
⊢ cast h₁ a = cast h₂ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
AddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
f : β → α
g : β → γ
a : α
b : γ
hf : HasSum f a
hg : HasSum g b
⊢ HasSum (fun x => (f x, g x)) (a, b)
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
⊢ (SzemerediRegularity.increment hP G ε).parts.card = SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card
R : Type u_1
M : Type u_2
NormedField R
SeminormedAddCommGroup M
NormedSpace R M
⊢ IsConformalMap (ContinuousLinearMap.id R M)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ
hR : IsJacobson R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsPrime
R' : Subring (R[X] ⧸ I) := ((Quotient.mk I).comp C).range
i : R →+* ↥R' := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict
hi : Function.Surjective ⇑i
hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I
R'_jacob : IsJacobson ↥R'
⊢ I.jacobson = I
I : Type u
f : I → Type v
DecidableEq I
(i : I) → AddGroup (f i)
i : I
x : f i
⊢ Pi.single i (-x) = -Pi.single i x
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
Sub n
v : n → α
f : α → β
⊢ (Matrix.circulant v).map f = Matrix.circulant fun i => f (v i)
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} A
L : C ⥤ D
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddMonoid M
inst✝⁵ : HasShift C M
inst✝⁴ : HasShift D M
inst✝³ : L.CommShift M
inst✝² : G.ShiftSequence M
F' : M → D ⥤ A
e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful
n : M
X Y : C
f : X ⟶ (shiftFunctor C n).obj Y
a a' : M
h : n + a = a'
⊢ (F.shift a).map (L.map f) ≫ (e' a).hom.app ((shiftFunctor C n).obj Y) ≫ (G.shiftIso n a a' h).hom.app Y ≫ (e' a').inv.app Y = (e' a).hom.app X ≫ (G.shift a).map f ≫ (G.shiftIso n a a' h).hom.app Y ≫ (e' a').inv.app Y
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
h : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (Polynomial.aeval h.gen) p = 0
⊢ ↑h.dim ≤ p.degree
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
hg : ConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
h0 : μ t ≠ 0
ht : μ t ≠ ⊤
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, f x ∈ s
hfi : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
hgi : MeasureTheory.IntegrableOn (g ∘ f) t μ
⊢ (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ, ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ≤ g p.1}
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : { p // f p.1 = g p.2 }
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g) ((TopCat.pullbackIsoProdSubtype f g).inv x) = (↑x).2
a b c : Int
H1 : 0 ≤ b
H2 : b ∣ c
H3 : a * b < c
⊢ a < c / b
X : AlgebraicGeometry.RingedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ X.basicOpen f ↔ IsUnit ((X.presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩) f)
α : Type u_2
BiheytingAlgebra α
a : α
⊢ (BiheytingHom.id α) a = a
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, stoppedValue f (leastGE f r i) ω ≤ r + ↑R
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
inst✝ : IsRefl α r
f : β → α
c : Set β
h : IsChain (f ⁻¹'o r) c
x✝¹ x✝ : { a // a ∈ c }
a : β
ha : a ∈ c
b : β
hb : b ∈ c
hab : a = b
⊢ ∃ a ∈ c, r (f b) (f a)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : k ≠ 0
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ k • p.ball 0 r ↔ x✝ ∈ p.ball 0 (‖k‖ * r)
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
TopologicalSpace α
Zero α
T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : Function.support f ⊆ k
h'f : Continuous f
⊢ f = 0 ∨ LocallyCompactSpace G
α : Type u
AddGroup α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ 0 < -a ↔ a < 0
α : Type u_2
LinearOrder α
Fintype α
LocallyFiniteOrderTop α
LocallyFiniteOrderBot α
a : α
⊢ (Finset.Ioi a).disjUnion (Finset.Iio a) ⋯ = {a}ᶜ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
⊢ Pairwise fun a b => ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f b⟫_𝕜 = 0
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
x : ↥p
y : ↥(ker f)
this : ↑x + ↑y ∈ p ⊔ ker f
⊢ ↑((p.linearProjOfIsCompl (ker f) ⋯) (↑x + ↑y)) = ↑(f (↑x + ↑y))
α : Type u_1
m : α → ℝ≥0∞
f : Filter α
⊢ Filter.Tendsto m f (𝓝 ⊤) ↔ ∀ (x : ℝ≥0), ∀ᶠ (a : α) in f, ↑x < m a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
Fₗ : Type u_7
Gₗ : Type u_9
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup Eₗ
SeminormedAddCommGroup Fₗ
SeminormedAddCommGroup Gₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Eₗ
NormedSpace 𝕜 Fₗ
NormedSpace 𝕜 Gₗ
L : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
⊢ ∀ (a : E), (ContinuousLinearMap.precompR Eₗ L) a = (ContinuousLinearMap.compL 𝕜 Eₗ Fₗ Gₗ) (L a)
α : Type v
G : Type u
AddGroup G
AddAction G α
j : ℤ
g : G
a : α
⊢ (j % ↑(AddAction.period g a)) • g +ᵥ a = j • g +ᵥ a
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ (Multiset.Ioo a b).Nodup
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
s : Set α
⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ ε > 0, ∃ y ∈ s, edist x y < ε
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} B
CategoryTheory.Category.{u_8, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
X : B
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₂CounitIso eB hF).hom.app X =
  eB.inverse.map (hF.inv.app (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj (eB.functor.obj X)))) ≫
    eB.inverse.map (e'.functor.map (eA.counitIso.hom.app (e'.inverse.obj (eB.functor.obj X)))) ≫
      eB.inverse.map (e'.counitIso.hom.app (eB.functor.obj X)) ≫ eB.unitIso.inv.app X
α : Type u_1
M : Type u_5
R : Type u_11
Zero M
f : α →₀ M
CommRing R
g : α → M → ℤ
⊢ ↑(f.sum g) = f.sum fun a b => ↑(g a b)
n : ℕ
α : Type u_1
CommGroup α
v : Mathlib.Vector α n
i : Fin n
a : α
⊢ (v.set i a).toList.prod = v.toList.prod * (v.get i)⁻¹ * a
z : ℂ
hz : z ∈ Complex.slitPlane
⊢ DifferentiableAt ℂ Complex.log z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
f : α → β
⊢ ContinuousAt f a ↔ ContinuousWithinAt f (Iic a) a ∧ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasColimits C
j : J
k : K
⊢ 𝟙 (G.obj (j, k)) ≫ colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k = colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x : α
l : List α
h : (x :: l).Nodup
n : ℕ
⊢ n = ↑⟨0, ⋯⟩ + n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
R : Type u
TopologicalSpace R
ChartedSpace H R
CommRing R
SmoothRing I R
x : ↑(TopCat.of M)
U : (TopologicalSpace.OpenNhds x)ᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (⇑(CategoryTheory.Limits.colimit.ι
        ((TopologicalSpace.OpenNhds.inclusion x).op.comp (smoothSheafCommRing IM I M R).presheaf) U))
    (smoothSheafCommRing.forgetStalk IM I M R x).hom =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι ((TopologicalSpace.OpenNhds.inclusion x).op.comp (smoothSheaf IM I M R).presheaf) U
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : Submodule R M
r : R
⊢ IsSMulRegular (M ⧸ N) r ↔ Submodule.comap ((LinearMap.lsmul R M) r) N = N
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
h : Epi f
y : (forget Stonean).obj Y
hy : ∀ (a : (forget Stonean).obj X), f a ≠ y
C : Set ((forget Stonean).obj Y) := Set.range ⇑f
hC : IsClosed C
⊢ False
a b : ℝ≥0∞
h : a < b
⊢ AddLECancellable a
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
ha : a < c
hb : b < c
⊢ c ∉ Set.uIcc a b
α : Type u_4
β : Type u_5
f : α → β
Fintype α
Fintype ↑(Set.range f)
⊢ Fintype.card ↑(Set.range f) ≤ Fintype.card α
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
I : Ideal R
S✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : CommSemiring S✝
inst✝¹⁰ : Algebra S✝ R
inst✝⁹ : Module S✝ M
inst✝⁸ : IsScalarTower S✝ R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R' M'
inst✝⁴ : Algebra R R'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : IsScalarTower R R' M'
S : Type u_6
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra S R
f : PolynomialModule S S
x : R
⊢ ∀ (f g : PolynomialModule S S), (aeval x) (equivPolynomial f) = (eval x) ((map R (Algebra.linearMap S R)) f) → (aeval x) (equivPolynomial g) = (eval x) ((map R (Algebra.linearMap S R)) g) → (aeval x) (equivPolynomial (f + g)) = (eval x) ((map R (Algebra.linearMap S R)) (f + g))
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu : y ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : y < v
⊢ f y < f v
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
Nontrivial R
n : ℤ
⊢ W.Φ n ≠ 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a c d : α
⊢ |a - a| ≤ 0
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a : 𝕜
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x✝ : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ({ toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (a • f)) x✝ = ((RingHom.id 𝕜) a • { toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun f) x✝
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, (r • f) a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, r * f a ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (MeasureTheory.AEStronglyMeasurable.mk f hf)
D : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Groupoid D
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalClosed C
F Y : D ⥤ C
X : D
⊢ (F.closedIhom.obj Y).obj X = (CategoryTheory.ihom (F.obj X)).obj (Y.obj X)
R : Type u
S : Type u₁
T : Type u_1
inst✝⁸ : Monoid R
inst✝⁷ : Monoid S
inst✝⁶ : Monoid T
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁴ : DistribMulAction R A
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝² : DistribMulAction S B
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝ : DistribMulAction T C
f g : A →ₛₙₐ[φ] B
h : ↑f = ↑g
a : A
⊢ f a = g a
α : Type u_1
s t : Multiset α
d₁ : s.Nodup
d₂ : t.Nodup
⊢ (s + t).Nodup ↔ s.Disjoint t
G : Type u_1
Monoid G
a : G
ha : IsOfFinOrder a
⊢ (↑(Submonoid.powers a)).Finite
V : Type u
Quiver V
a b : V
p : Quiver.Path a b
e : b ⟶ a
⊢ Quiver.Path.nil ≠ p.cons e
k n m : ℕ
⊢ (n + k).dist (m + k) = n.dist m
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiff I I' n f
hmn : 1 ≤ n
⊢ Continuous (tangentMap I I' f)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
n : ℕ
⊢ invariants f ≤ invariants f^[n]
a : ℕ
ha0 : 0 < a
⊢ 0 < ↑a
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ ∀ (a : ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)).L), (F.map (⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagramCompIso F P (unop x✝)).hom.app (op ⊤)) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)) a = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)) a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ 2 ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : EDist α
x y : α
s t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype ↑s
x✝ : ℝ≥0∞
⊢ x✝ ≤ s.einfsep ↔ x✝ ≤ s.offDiag.toFinset.inf (uncurry edist)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
M : Matroid α
I X : Set β
hf : Set.InjOn f M.E
⊢ (M.map f hf).Basis I X ↔ ∃ I₀ X₀, M.Basis I₀ X₀ ∧ I = f '' I₀ ∧ X = f '' X₀
o₁ o₂ : ONote
inst✝¹ : o₁.NF
inst✝ : o₂.NF
a : ONote
m : ℕ
e₁ : o₁.split = (a, m)
⊢ (o₁ ^ o₂).repr = o₁.repr ^ o₂.repr
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
x : β
f✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → β
⊢ sSup {a | ∀ᶠ (n : β) in map f (ae μ), a ≤ n} = sSup {a | μ {x | f x < a} = 0}
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
P : Sort v
p q : K[X]
f : K[X] → K[X] → P
f0 : ∀ (p : K[X]), f p 0 = f 0 1
H : ∀ {p q a : K[X]}, q ≠ 0 → a ≠ 0 → f (a * p) (a * q) = f p q
⊢ (RatFunc.mk p q).liftOn' f H = f p q
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b
h : leftZigzag η.hom ε.hom = (λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv
⊢ rightZigzag η.hom ε.hom = (ρ_ g).hom ≫ (λ_ g).inv
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
Fintype ι
x : ι → ℝ
⊢ (Finset.filter (fun J => x ∈ BoxIntegral.Box.Icc J) π.boxes).card ≤ 2 ^ Fintype.card ι
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
hom : Type u_3
UniformSpace β
AddGroup β
UniformAddGroup β
FunLike hom α β
AddMonoidHomClass hom α β
f : hom
h : Filter.Tendsto (⇑f) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ UniformContinuous ⇑f
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Preregular C
F G : Cᵒᵖ ⥤ D
f : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective (CategoryTheory.regularTopology C) f ↔
  ∀ (X : C) (y : (CategoryTheory.forget D).obj (G.obj (Opposite.op X))),
    ∃ X' φ, ∃ (_ : CategoryTheory.EffectiveEpi φ), ∃ x, (f.app (Opposite.op X')) x = (G.map (Opposite.op φ)) y
R : Type x
Ring R
a : R
NoZeroDivisors R
⊢ a ^ 2 ≠ 1 ↔ a ≠ 1 ∧ a ≠ -1
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ edist (MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c) (MeasureTheory.indicatorConstLp p ht hμt c) =
  ↑‖MeasureTheory.indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c‖₊
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : IsPRadical i p
⊢ Ideal.comap i (pNilradical L p) = pNilradical K p
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hm : m ≠ 0
hunion : (equitabilise h).parts = filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts ∪ filter (fun u => u.card = m + 1) (equitabilise h).parts
⊢ Disjoint (filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts) (filter (fun u => u.card = m + 1) (equitabilise h).parts)
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ [] ≠ l₂ ∧ ¬[] ∈ L
⊢ (Chain' R l₁ ∧ ((Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)) ∧ ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ (l₂ :: L).join.head? → R x y) ↔ (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧ (∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
M : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MonoidWithZero M₀
l✝ : List M₀
a : M₀
l : List M₀
h : 0 ∈ a :: l
⊢ (a :: l).prod = 0
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
M : T.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M
⊢ (ψ ⇔ φ).Realize v xs
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.133780, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
⊢ h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃ - (h'.h₃ + h'.h₂ ≫ S₂.g + φ₄.τ₃) = h.h₃ - h'.h₃ + (h.h₂ ≫ S₂.g - h'.h₂ ≫ S₂.g) + (φ₂.τ₃ - φ₄.τ₃)
ι : Type u_2
Fintype ι
a₁ a₂ b₁ b₂ : ι → ℝ
ha : a₂ ≤ a₁
h₁ : a₁ ≤ b₁
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ dist a₁ b₁ ≤ dist a₂ b₂