ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring R
inst✝⁴ : FloorSemiring R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : OpensMeasurableSpace R
f : α → R
n : R
⊢ MeasurableSet (ceil ⁻¹' {⌈n⌉₊})
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
⊢ ‖x‖ ≤ 1 ↔ 0 ≤ x.valuation
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
⊢ Measurable fun p => ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) p.1 p.2) / ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) p.1 p.2)
x y : EReal
hx : x ≠ ⊤
h'x : x ≠ ⊥
hy : y ≠ ⊤
h'y : y ≠ ⊥
⊢ (x + y).toReal = x.toReal + y.toReal
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Filter α
⊢ Filter.IsBounded r f ↔ ∃ s ∈ f.sets, ∃ b, s ⊆ {x | r x b}
F : Type u
Field F
f : F[X]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (f ^ n).natSepDegree = f.natSepDegree
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 ≤ ε
h : dist x z ≤ ε + δ
hε' : 0 < ε
hεδ : 0 < ε + δ
⊢ ∃ y, dist x y ≤ δ ∧ dist y z ≤ ε
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
a : α
⊢ a • ∅ = ∅
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp
r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹
r0_pos : 0 < r0
⊢ ∃ r > 0, Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
r : R
⊢ (algebraMap R (PowerSeries A)) r = (PowerSeries.C A) ((algebraMap R A) r)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → β
q : β → PMF γ
⊢ (PMF.map f p).bind q = p.bind (q ∘ f)
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
⊢ (p.comp q).natDegree ≤ p.natDegree * q.natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hμ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
⊢ Summable fun x => (μ (f x)).toReal
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ Collinear k (insert p₁ s) ↔ Collinear k {p₁, p₂, p₃}
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) l ↔ ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : N →ₗ[R] P
⊢ LinearMap.lTensor M (-f) = -LinearMap.lTensor M f
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
j : J
⊢ ι arrows j ≫ desc f fs w = fs j
α : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn₁ : n ≠ 1
⊢ minOrder (ZMod n) = ↑n.minFac
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.v₀₁.τ₂ S.v₁₂.τ₂ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : β → Measure α
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → Measurable fun b => (f b) s
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ borel ℝ≥0∞ ≤ MeasurableSpace.map (fun μ => μ s) (MeasurableSpace.map f inst✝)
α : Type u
PartialOrder α
BoundedOrder α
hα : ⊥ = ⊤
⊢ Subsingleton α
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
A : PseudoMetricSpace X := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric X
r : ℝ≥0∞
F : ℕ → Set X
F_closed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)
F_mono : Monotone F
hU : IsOpen (⋃ n, F n)
hr : r < μ (⋃ n, F n)
⊢ ∃ K ⊆ ⋃ n, F n, IsClosed K ∧ r < μ K
x : ℝ*
hp : 0 ≤ x
⊢ x.InfinitePos ↔ x.Infinite
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
h₁ : IsClosed s
h₂ : interior t = ∅
⊢ interior (s ∪ t) = interior s
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.97033, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
i j : ℤ
hij : i + 1 = j
⊢ homotopyCofiber.d φ i j ≫ homotopyCofiber.sndX φ j = homotopyCofiber.fstX φ i j hij ≫ φ.f j + homotopyCofiber.sndX φ i ≫ G.d i j
a : ℝ≥0∞
p : ℝ≥0
h : ↑p ≤ a
ha : a ≠ ⊤
⊢ p ≤ a.toNNReal
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℂ
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => Complex.exp (f x)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ μ.singularPart ν = μ ↔ μ ⟂ₘ ν
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
b : β
DecidablePred fun x => x = b
a : α
⊢ HasSum (fun b' => if b' = b then a else 0) a
R : Type u_1
Semiring R
f : PowerSeries R
i : ℤ
⊢ ((HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) f).coeff i = if i < 0 then 0 else (PowerSeries.coeff R i.natAbs) f
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
a : α
b : β
⊢ (∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → f x ∈ univ ∧ dist (f x) b < ε) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → dist (f x) b < ε
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
⊢ s = trivial G ↔ ∀ x ∈ s, x = 1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : ModuleCat R
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂
⊢ ∀ (x : ↑X₁) (y : ↑X₂), ((f ⊗ g) ≫ (Y₁.braiding Y₂).hom) (x ⊗ₜ[R] y) = ((X₁.braiding X₂).hom ≫ (g ⊗ f)) (x ⊗ₜ[R] y)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
a : α
MeasurableSingletonClass α
Decidable (a ∈ s)
⊢ (MeasureTheory.Measure.dirac a).restrict s = if a ∈ s then MeasureTheory.Measure.dirac a else 0
A : Type u_6
AddMonoidWithOne A
n : ℕ
⊢ n • 1 = ↑n
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Mul α
SemilatticeSup β
OrderBot β
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (s * t).sup f = s.sup fun x => t.sup fun x_1 => f (x * x_1)
α : Type u_2
DecidableEq α
DivisionMonoid α
s : Finset α
⊢ IsUnit s ↔ ∃ a, s = {a} ∧ IsUnit a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
Ring 𝕜
Ring 𝕜₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →ₛₗ[σ] F
h : ∃ C, ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
x : E
⊢ (f.mkContinuousOfExistsBound h) x = f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
TopologicalSpace γ
T3Space γ
b : β
f : α → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 b, ∃ c, Filter.Tendsto f (Filter.comap i (𝓝 x)) (𝓝 c)
⊢ ContinuousAt (di.extend f) b
C : Type v
CategoryTheory.Category.{v, v} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} D
F : CategoryTheory.Functor C D
I : (d : D) → CategoryTheory.Limits.colimit (F.comp (CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op d))) ≅ PUnit.{v + 1}
⊢ F.Final
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → M
⊢ f (0, n + 1) * ∏ x ∈ antidiagonal n, f (({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Function.Embedding.refl ℕ)) x) = f (0, n + 1) * ∏ p ∈ antidiagonal n, f (p.1 + 1, p.2)
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
c : F
hq_pos : 0 < q
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : X ^ n - 1 ≠ 0
σ τ : (X ^ n - 1).Gal
a : (X ^ n - 1).SplittingField
ha : a ^ n = 1
key : ∀ (σ : (X ^ n - 1).Gal), ∃ m, σ a = a ^ m
c : ℕ
hc : σ a = a ^ c
d : ℕ
hd : τ a = a ^ d
⊢ (σ * τ) a = (τ * σ) a
M : Type u_2
AddCommGroup M
K : Type u_3
Field K
Module K M
f g : Module.End K M
FiniteDimensional K M
PerfectField K
comm : Commute f g
hf : f.IsSemisimple
hg : g.IsSemisimple
a : Module.End K M
ha : a ∈ Algebra.adjoin K {f, g}
⊢ a.IsSemisimple
c : Cardinal.{u}
α : Type u
s : Set α
⊢ c ≤ Cardinal.mk ↑s ↔ ∃ p ⊆ s, Cardinal.mk ↑p = c
b e : Pos
x✝ : Substring
h₁✝ : x✝.Valid
h₂ : { str := x✝.toString, startPos := b, stopPos := e }.Valid
l m r : List Char
h₁ : ValidFor l m r x✝
⊢ (x✝.extract b e).Valid
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ⋖ b
⊢ Set.Ioo a b = ∅
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : R
y : P
⊢ (∃ x' ∈ Ideal.span {x}, (algebraMap R P) x' = y) ↔ ∃ z, z • (algebraMap R P) x = y
⊢ BddDistLat.dualEquiv.inverse = BddDistLat.dual
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
M : Matrix m m R
b : m → α
DecidableEq m
Fintype m
LinearOrder α
Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
⊢ M⁻¹.BlockTriangular b
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
⊢ map ((fun p => m p.1 p.2) ∘ Prod.mk a) g = map (m a) g
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a b : EReal
h : ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (a, b)
this : (fun p => p.1 * p.2) = (fun x => -x) ∘ (fun p => p.1 * p.2) ∘ fun p => (-p.1, p.2)
⊢ ContinuousAt ((fun x => -x) ∘ (fun p => p.1 * p.2) ∘ fun p => (-p.1, p.2)) (-a, b)
R : Type u_1
CommSemiring R
R' : Type u_2
Monoid R'
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
DistribMulAction R' M
SMulCommClass R R' M
x : TensorProduct R M N
⊢ 1 • x = x
α : Type u
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
H : a ∉ s
b : ↑s
⊢ (Equiv.Set.insert H) ⟨↑b, ⋯⟩ = Sum.inl b
α β γ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : CommApplicative F
inst✝ : CommApplicative G
g : α → G β
h : β → γ
s : Finset α
⊢ Functor.map h <$> Multiset.toFinset <$> Multiset.traverse g s.val = Multiset.toFinset <$> Multiset.traverse (Functor.map h ∘ g) s.val
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
n : ℤ
⊢ (↑n).val = ↑n
α : Type u
TopologicalSpace α
Group α
ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
⊢ interior s * interior t ⊆ interior (s * t)
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
S : Type u_2
NonAssocSemiring S
Module R S
Pow S ℕ
NatPowAssoc S
⊢ p.smeval 0 = p.coeff 0 • 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.P q).f n ≫ (AlgebraicTopology.DoldKan.P q).f n = (AlgebraicTopology.DoldKan.P q).f n
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
h : ∃ n, n • 1 = (↑(if addOrderOf a = 0 then 2 else addOrderOf a))⁻¹
⊢ a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s t : Set α
f g : α → β
(a : α) → Decidable (a ∈ t)
ht : ∀ a ∈ s ∩ frontier t, f a = g a
hf : ContinuousOn f (s ∩ closure t)
hg : ContinuousOn g (s ∩ closure tᶜ)
⊢ ContinuousOn (t.piecewise f g) s
s : List Char
⊢ go₂ s { byteIdx := 0 } { byteIdx := utf8Len s } = s
f : ℕ → ℝ
h_bdd : BddAbove (Set.range f)
h_mon : Monotone f
⊢ ∃ r, Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 r)
α : Type u
MulOneClass α
⊢ IsMonoidHom id
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s μ
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤
hg : Measurable g
hgf : g ≤ f
hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
this : 0 < μ {x | x ∈ s ∧ ⨍ (a : α) in s, (g a).toReal ∂μ ≤ (g x).toReal}
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
n : ℕ
h : Module.rank R M = ↑n
⊢ Module.Finite R M
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : α → β
g : β → α
hfg : Function.LeftInverse f g
hcard : Fintype.card α ≤ Fintype.card β
⊢ Function.RightInverse f g
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c d : α
⊢ max c d - max a b ≤ max |a - c| |b - d|
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ ∏ x ∈ Finset.subtype p s, f ↑x = ∏ x ∈ filter p s, f x
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ 1 ≤ a * b
p q : PosNum
⊢ p.lxor q = p ^^^ q
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y
hu : u ∈ S
this : slope f x u < slope f x y
⊢ f' < slope f x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq γ
s : Finset α
t : Finset β
f : α × β → Finset γ
⊢ (s ×ˢ t).biUnion f = s.biUnion fun a => t.biUnion fun b => f (a, b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' : F
s : Set E
x v : E
hf : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
h'f : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f₁ f' s x v
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x : α
⊢ (f.cycleOf x) (f x) = f (f x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesAt f p x n
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Subsingleton n
A : Matrix n n R
k : n
this : Unique n
⊢ A.det = A k k
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ cs.wordProd (take (j + 1) ω ++ drop (j + 1) ω) * ((cs.wordProd (drop (j + 1) ω))⁻¹ * (Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * cs.wordProd (drop (j + 1) ω)) = cs.wordProd (take j ω ++ drop (j + 1) ω)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor C D
X Y X' Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
⊢ F.δ X X' ≫ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (F.map f) (F.map g) =
  F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g) ≫ F.δ Y Y'
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s
⊢ IntegrableOn (fun x => (-x) ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (Ioi 0) volume
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ✝ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ✝
f : X →ᵇ ℝ≥0
μ : Measure X
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => ↑(f x)
x y : ℂ
⊢ (starRingEnd ℂ) (cexp x + cexp (-x)) / 2 = (starRingEnd ℂ) (cexp x + cexp (-x)) / (starRingEnd ℂ) 2
θ : Angle
h : θ ≠ ↑π
ht : θ.toReal = 0
⊢ SignType.sign θ.toReal = θ.sign
α : Type u
m : ℕ
f : Fin m → α
⊢ ofFn f = ofFn fun i => f (Fin.cast ⋯ i)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
Nontrivial R
hf : Module.Flat R ↥M ∨ Module.Flat R ↥N
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
⊢ ¬LinearIndependent R ![a, b]
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
F G : Filter X
⊢ AccPt x (F ⊔ G) ↔ AccPt x F ∨ AccPt x G
α : Type u_1
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α
⊢ 0 < s.addEnergy t ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
K : Compacts G
⊢ ∀ ⦃f : ℕ → Set G⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), IsOpen (f i)), μ.innerContent { carrier := ⋃ i, f i, is_open' := ⋯ } ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent { carrier := f i, is_open' := ⋯ }
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
A : Set M
α : Type u₁
s t : L.DefinableSet A α
x : α → M
⊢ x ∈ s ⊓ t ↔ x ∈ s ∧ x ∈ t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
X Y : C
f : J → C
⊢ ((CategoryTheory.asIso (CategoryTheory.CategoryStruct.id X) ⊗ CategoryTheory.leftDistributor Y f) ≪≫
    CategoryTheory.leftDistributor X fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y (f j)) =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y (⨁ f)).symm ≪≫
    CategoryTheory.leftDistributor (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) f ≪≫
      CategoryTheory.Limits.biproduct.mapIso fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y (f j)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : TopologicalSpace δ
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : TopologicalLattice β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f : α →ₘ[μ] β
x : α
hx_sup : ↑(f ⊔ -f) x = ↑f x ⊔ ↑(-f) x
hx_neg : ↑(-f) x = (-↑f) x
⊢ ↑(f ⊔ -f) x = ↑f x ⊔ -↑f x
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
p : A[X]
hm : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hl : ∀ (q : A[X]), q.degree < p.degree → q = 0 ∨ (Polynomial.aeval x) q ≠ 0
a✝ : Nontrivial A
hx : IsIntegral A x
h : minpoly A x %ₘ p = 0
r : A[X]
hr : minpoly A x = p * r
⊢ p = minpoly A x
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : ArtinianObject X
h : ¬IsZero X
this : Nontrivial (Subobject X)
⊢ ∃ Y, Simple (underlying.obj Y)
θ : ↑I
⊢ unitInterval.qRight (1, θ) = 1
E : Type u_3
SeminormedGroup E
a b : E
⊢ dist (a * b) b = ‖a‖
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
R' : Type v
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
ψ : AddChar R R'
a : Rˣ
⊢ ∑ x : R, χ (↑a * x) * ψ (↑a * x) = ∑ a : R, χ a * ψ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
CategoryTheory.MonoidalCoherence X Y
⊢  ⊗𝟙 = ⊗𝟙 ≫ (ρ_ Y).inv
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
ι : Type w
b : Basis ι R M
κ : Type w
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
⊢ #κ ≤ #ι
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ∉ s → f a = 1
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ insert a s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : e (1, 0) = 1
he₂ : e (0, 1) = I
he : ℝ → ℝ → True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e
hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s
hR : ⇑e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R
htc : ContinuousOn F R
htd : ∀ p ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ˢ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ t, HasFDerivAt F (F' p) p
⊢ IntegrableOn (fun x => ((fun p => -(I • F' p)) x) (1, 0) + (F' x) (0, 1)) ([[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]) volume
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasCoequalizer f g
inst✝ : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
Z : C
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = g ≫ h
⊢ coequalizer.π (G.map f) (G.map g) ≫ coequalizerComparison f g G ≫ G.map (coequalizer.desc h w) = coequalizer.π (G.map f) (G.map g) ≫ coequalizer.desc (G.map h) ⋯
k : Type u
Field k
self : IsAlgClosed k
p : k[X]
⊢ Polynomial.Splits (RingHom.id k) p
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
s : Set X
⊢ IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
⊢ (∃ s, s.card = r ∧ 𝒜 = initSeg s) → IsInitSeg 𝒜 r ∧ 𝒜.Nonempty
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
he : p = (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod * q
⊢ Multiset.card p.roots + q.natDegree = p.natDegree ∧ q.roots = 0
α : Type u
β : Type v
GroupWithZero α
MulAction α β
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ Function.Surjective fun x => a • x
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : CommRing T
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁷ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : Algebra R F
inst✝² : IsScalarTower R L F
pb : PowerBasis K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
⊢ Function.Surjective ⇑(trace K L)
R : Type w
Ring R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
Y : Cᵒᵖ
⊢ ((CategoryTheory.linearYoneda R C).map f).app Y =
  ModuleCat.ofHom (CategoryTheory.Linear.rightComp R (Opposite.unop Y) f)
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
CommSemiring S
Algebra R A
Algebra R B
Algebra R S
f : A →ₐ[R] S
g : B →ₐ[R] S
b : B
⊢ (Algebra.TensorProduct.productMap f g) (1 ⊗ₜ[R] b) = g b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : Cᵒᵖ
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CategoryTheory.CommSq f i p g
⊢ sq.HasLift ↔ ⋯.HasLift
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ φ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
a✝ : Rˣ
⊢ ((χ * φ).ringHomComp f) ↑a✝ = (χ.ringHomComp f * φ.ringHomComp f) ↑a✝
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
⊢ ProbabilityTheory.condCount ∅ = 0
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
z : N
⊢ f.mk' (f.sec z).1 (f.sec z).2 = z