ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℕ
hnp : ↑n < ↑p
hn : ‖↑r - ↑↑↑n‖ < 1
⊢ ‖↑x - ↑r + (↑r - ↑n)‖ < 1
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card
hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
g : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin P.parts.card
hg : ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(g t) < s.card % P.parts.card
z : { x // x ∈ s } → ℕ := fun a => P.parts.card * ↑(f a).snd + ↑(g (f a).fst)
gl : ∀ (a : { x // x ∈ s }), ↑(g (f a).fst) < P.parts.card
⊢ ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % P.parts.card = ↑(f b) % P.parts.card
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f g : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : f x ≠ 0
hg : g x ≠ 0
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hdg : DifferentiableAt 𝕜 g x
⊢ (deriv f x * g x + f x * deriv g x) / (f x * g x) = deriv f x / f x + deriv g x / g x
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
⊢ diam {x, y} = dist x y
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
⊢ hζ.integralPowerBasis.dim = φ (↑p ^ k)
J : Type w
X : CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape J
⊢ CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape.Hom.id X = 𝟙 X
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f g : MultilinearMap R M₁ M₂
⊢ ⇑f = ⇑g ↔ f = g
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
l : List ι
x : E
h : ∀ i ∈ l, HasFDerivAt (fun x => f i x) (f' i) x
⊢ HasFDerivAt (fun x => (List.map (fun x_1 => f x_1 x) l).prod) (∑ i : Fin l.length, (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.take (↑i) l)).prod • (f' (l.get i)).smulRight (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.drop (↑i).succ l)).prod) x
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
g : G
⊢ MeasureTheory.IsFundamentalDomain G (g • s) μ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
h₁ : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
x : E
hx : x ∈ s
⊢ (p x 0).uncurry0 = f₁ x
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
R : Type u_6
CommSemiring R
Module R α
SMulCommClass R α α
IsScalarTower R α α
x : R
a : α
⊢ (Module.toCentroidHom x) a = x • a
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B * C).card
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R
⊢ (∃ n, (PowerSeries.coeff R n) φ ≠ 0) ↔ φ ≠ 0
k : Type u_1
G : Type u_2
CommSemiring k
Group G
⊢ ∀ (a : G →₀ k),
  Representation.ofMulActionSelfAsModuleEquiv.symm a = (Representation.ofMulAction k G G).asModuleEquiv.invFun a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u s : Set α
x : α
⊢ s = ∅ → s ≠ {x}
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|) < 2
this✝ : 0 < finrank ℚ K
I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰
hI : ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)
this : Ideal.absNorm ↑I = 1
⊢ Submodule.IsPrincipal ⊤
α : Type u_1
LE α
s : LowerSet α
⊢ (RelIso.symm upperSetIsoLowerSet) s = s.compl
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
⊢ lowerClosure 0 = 0
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
this : 0 < f.natDegree
⊢ ¬f.natDegree = 0
α : Type u
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ sᶜ ↔ ¬x ∈ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
h : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x
R n : Type
CommSemiring R
Fintype n
DecidableEq n
d : DualNumber (Matrix n n R)
⊢ Matrix.dualNumberEquiv.symm d = Matrix.of fun i j => (TrivSqZeroExt.fst d i j, TrivSqZeroExt.snd d i j)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ (M₁.tensorBimod N).actLeft ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) = X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫ (M₂.tensorBimod N).actLeft
o₁ e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
h✝¹ : o₁ = e₁.oadd n₁ a₁
o₂ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
h✝ : o₂ = e₂.oadd n₂ a₂
h₁ : (namedPattern o₁ (e₁.oadd n₁ a₁) h✝¹).NF
h₂ : (namedPattern o₂ (e₂.oadd n₂ a₂) h✝).NF
⊢ (match Ordering.gt, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a) → (Ordering.gt.orElse ((_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂).orElse (a₁.cmp a₂))).Compares (namedPattern o₁ (e₁.oadd n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (e₂.oadd n₂ a₂) h✝)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (Cᵒᵖ ⥤ D)ᵒᵖ
η : F ⟶ G
⊢ ((unop G).rightOpLeftOpIso.hom ≫ η.unop).op = (NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp η.unop.op.unop) ≫ (unop F).rightOpLeftOpIso.hom).op
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P (W'.neg P) = 0
x : ℂ
h : x ∈ Complex.slitPlane
⊢ HasStrictDerivAt Complex.log x⁻¹ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι✝ : Sort u_6
s✝ t u : Set α
ι : Sort u_7
m : ι → MeasurableSpace α
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔ GenerateMeasurable {s | ∃ i, MeasurableSet s} s
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
OrderTop α
IsCoatomic α
OrderTop β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
h_coatom : ∀ (a : α), IsCoatom a → u (l a) = a
b : β
⊢ IsCoatom (u b) ↔ IsCoatom b
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
h : a ∈ s
⊢ insert a (s.erase a) = s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
n p : ℕ
inst✝⁴ : Module.Free R ↑S.X₁
inst✝³ : Module.Free R ↑S.X₃
inst✝² : Module.Finite R ↑S.X₁
inst✝¹ : Module.Finite R ↑S.X₃
hN : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₁ = n
hP : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₃ = p
inst✝ : StrongRankCondition R
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₂ = n + p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
h : a ∉ s
x✝ : (i : Fin (n + 1)) × { x // x ∈ s.sym (n - ↑i) }
i✝ : Fin (n + 1)
m : Sym α (n - ↑i✝)
hm : m ∈ s.sym (n - ↑i✝)
i : Fin (n + 1)
⊢ Function.Injective (?refine_2 i)
n : ℕ+
m : ℕ
u : PrimeMultiset := n.factorMultiset
⊢ (n ^ m).factorMultiset = m • n.factorMultiset
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
x : (CategoryTheory.forget D).obj (P.obj (Opposite.op X))
⊢ ((J.toPlus P).app (Opposite.op X)) x = CategoryTheory.GrothendieckTopology.Plus.mk (CategoryTheory.Meq.mk ⊤ x)
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
⊢ p.properDivisors = {1}
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
Q : AffineSubspace k P
⊢ (↑Q).Nonempty ↔ Q ≠ ⊥
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H : AddSubgroup G
f : G →+ N
⊢ AddSubgroup.map f H = ⊥ ↔ H ≤ f.ker
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_8
Fintype ι
card_ι : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
v : ι → E
s : Set ι
hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)
⊢ ∃ b, ∀ i ∈ s, b i = v i
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e : A ≃ₗc[R] B
⊢ ↑e.symm = (↑e).symm
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
B : ∀ z ∈ closedBall b ε, g z ∈ closedBall b ε → dist (f (g z)) y ≤ ↑c * ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
C : ∀ (n : ℕ) (w : E), dist w b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y → w ∈ closedBall b ε
D : ∀ (n : ℕ), dist (f (u n)) y ≤ (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n * dist (f b) y ∧ dist (u n) b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y
this : CauchySeq u
⊢ y ∈ f '' closedBall b ε
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
⊢ (Polynomial.idealX K).intValuationDef P = (idealX K).intValuationDef ↑P
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
h : HasFDerivAtFilter f f' x L
⊢ HasFDerivAtFilter (fun x => -f x) (-f') x L
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ : 0 ≤ δ
hscard : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
htcard : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
h : 1 ≤ δ
⊢ |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ δ + δ
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
SMul M α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure M α μ
MeasurableSMul M α
c : M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
b : E
⊢ DomMulAct.mk c • MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs b = MeasureTheory.indicatorConstLp p ⋯ ⋯ b
R : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring R
M N : AddSubmonoid R
⊢ ↑M * ↑N ⊆ ↑(M * N)
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : OrderTopology α
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : (i : ι) → LinearOrder (π i)
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderTopology (π i)
a b x : (i : ι) → π i
a' b' x' : ι → α
inst✝ : Nonempty ι
ha : ∀ (i : ι), a i < x i
hb : ∀ (i : ι), x i < b i
i : ι
x✝ : i ∈ univ
⊢ Ioc (a i) (b i) ∈ 𝓝 (x i)
n : Nat
i : Fin n
⊢ ↑i.rev = n - (↑i + 1)
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f g : SchwartzMap E F
x : E
⊢ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f + ⇑g) x‖ ≤
  ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ + ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑g) x‖
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ b c d : α
inst✝⁴ : IsRightCancelAdd α
inst✝³ : ZeroLEOneClass α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
ha : a ≤ 0
⊢ 0 ≤ a ^ 2
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y✝ : E
r✝ : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
x₁ x₂ y : E
r : ℝ
⊢ x₁ - x₂ ∈ p.ball y r ↔ x₁ ∈ p.ball (x₂ + y) r
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hle : a ≤ b + c
hb : b = ⊤ → a = ⊤
hc : c = ⊤ → a = ⊤
⊢ b + c = ⊤ → a = ⊤
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
x : α
h : IsLUB s x
⊢ IsLUB (id '' s) (id x)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
⊢ AffineIndependent k (p ∘ ⇑e) ↔ AffineIndependent k p
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
b : B
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯
⊢ Continuous (TotalSpace.mk b)
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
⊢ (IsLocalizedModule.fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s) = ↑⋯.unit⁻¹ (f m)
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
NoMaxOrder α
s : Set α
hs : Dense s
x : α
⊢ ∃ y ∈ s, x ≤ y
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ : 1 ≠ 0
⊢ StrictMono fun x => x ^ 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
hg₂ : S₂.g = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.ofZeros φ hf₁ hg₁ hf₂ hg₂).φQ = φ.τ₂
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w✝ : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
f : ℂ → E
z w : ℂ
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
hw : w ∈ ball z R
⊢ Continuous fun θ => (circleMap z R θ - w)⁻¹ • circleTransform R z w f θ
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : StandardBorelSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace Y
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Y
f : X → Y
inst✝ : SecondCountableTopology ↑(range f)
s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : Measurable f
this : UpgradedStandardBorel X := upgradeStandardBorel X
τ' : TopologicalSpace X
hle✝ : τ' ≤ UpgradedStandardBorel.toTopologicalSpace
hfc : Continuous f
hτ' : PolishSpace X
m' : MeasurableSpace X := borel X
b' : BorelSpace X
hle : borel X ≤ borel X
⊢ AnalyticSet (f '' s)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s✝ : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s t : Set α
f : α → E
x : α
⊢ dist (s.mulIndicator f x) (t.mulIndicator f x) = ‖(s ∆ t).mulIndicator f x‖
a c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a * ⊤ = 1
⊢ False
n : ℕ
NeZero n
i : Fin (n + 1)
⊢ Fin.predAbove 0 i = if hi : i = 0 then 0 else i.pred hi
E : ℕ → Type u_1
(n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
x : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
⊢ 0 < PiNat.shortestPrefixDiff x s
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ 0 ⧏ -x ↔ x ⧏ 0
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
inst✝³ : HasPushout g₁ g₂
inst✝² : HasPushout g₃ g₄
inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
⊢ pushout.inr (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄ ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).hom = pushout.inr g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
n : ℕ
⊢ ↑n ≤ Module.rank K V ↔ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ ↑s }) K Subtype.val
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
h : 0 ≈ 1
this✝ : (1 - 0).LimZero
this : LimZero 1
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ {a | AEStronglyMeasurable.mk f hf a ≤ AEStronglyMeasurable.mk g hg a} =ᶠ[ae μ] {a | f a ≤ g a}
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' : Ideal S
I : Ideal (R × S)
r : R
s : S
⊢ (r, s) ∈ I ↔ (r, s) ∈ (map (RingHom.fst R S) I).prod (map (RingHom.snd R S) I)
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
⊢ AddSubgroup.map f H.normalizer ≤ (AddSubgroup.map f H).normalizer
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ l.erase a <+~ l
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
D : LieDerivation R L M
⊢ ↑(-D) = -↑D
α : Type u_2
LinearOrder α
x : α
s : Finset α
s0 : (s.erase x).Nonempty
⊢ (s.erase x).min' s0 ≠ x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b = b ↔ a = ⊥
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : ¬f.IsClosable
⊢ f.closure = f
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
ι : Type u_5
f : AddHom M N
hf : Function.Injective ⇑f
S : ι → AddSubsemigroup M
⊢ AddSubsemigroup.comap f (⨅ i, AddSubsemigroup.map f (S i)) = iInf S
R₂ : Type u_2
Semiring R₂
M₂ : Type u_5
UniformSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
T0Space M₂
f : M₂ →ₗ[R₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
V : Submodule R₂ M₂
hV : ∀ v ∈ V, f v ∈ V
hcomplete : CompleteSpace ↥V
⊢ IsCompactOperator ⇑(f.restrict hV)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
⊢ T1Space (SeparationQuotient X) ↔ R0Space X
n : Nat
x : BitVec n
⊢ (-x).toNat = (2 ^ n - x.toNat) % 2 ^ n
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
⊢ bernoulli' 1 = 1 / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeSup α
inst✝⁴ : OrderTop α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a✝ b✝ b a : α
⊢ (if h : a ≤ b then (filter (fun b => a ≤ b) {b}).sup' ⋯ fun x => x else ⊤) = if a ≤ b then b else ⊤
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ f.toMap ↑y * f.mk' x y = f.toMap x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.N₁.obj X).p = AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
y : ↥M
⊢ IsUnit ((algebraMap R S) ↑y)
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
s : Set (Set α)
h₁ : s.PairwiseDisjoint id
h₂ : ∀ (a : α), ∃ x ∈ s, a ∈ x
h₃ : ∅ ∉ s
a : α
b₁ b₂ : Set α
hb₁ : b₁ ∈ s ∧ a ∈ b₁
hb₂ : b₂ ∈ s ∧ a ∈ b₂
⊢ ¬Disjoint (id b₁) (id b₂)
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
⊢ ∀ (n : ℕ), nats.get n = (0 :: map succ nats).get n
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
j : J
x : F.obj j
⊢ (colimitEquivQuot F).symm ((colimitEquivQuot F) (colimit.ι F j x)) = (colimitEquivQuot F).symm (Quot.mk (Quot.Rel F) ⟨j, x⟩)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
v : n → α
A : Matrix m n α
⊢ -A *ᵥ -v = A *ᵥ v
R : Type u_17
M₁ : Type u_18
M₂ : Type u_19
M₂₁ : Type u_20
M₂₂ : Type u_21
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₂₁
AddCommMonoid M₂₂
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₂₁
Module R M₂₂
e₁ : M₁ ≃ₗ[R] M₂
e₂ : M₂₁ ≃ₗ[R] M₂₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂₁
x : M₂
⊢ ((e₁.arrowCongr e₂) f) x = e₂ (f (e₁.symm x))
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
hz : 0 ≤ z
⊢ z = ↑‖z‖
a : Ordinal.{u}
h : a ≠ 0
⊢ (𝓝 a).HasBasis (fun x => x < a) fun x => Set.Ioc x a
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
i : ι
⊢ (dNext i) f = C.dFrom i ≫ (fromNext i) f
α : Type u_1
Preorder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
a : α
hf : Antitone f
ha : f 0 ≤ a
⊢ Antitone (Matrix.vecCons a f)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
⊢ ↑(Subgroup.zpowers ζ) = ↑(rootsOfUnity k R)
α : Type u_1
S : Set (Setoid α)
x y : α
⊢ ⟦x⟧ = ⟦y⟧ ↔ ∀ s ∈ S, s.Rel x y
R : Type u
ι : Type v
CommRing R
L : ι → Type w
(i : ι) → LieRing (L i)
(i : ι) → LieAlgebra R (L i)
DecidableEq ι
L' : Type w₁
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'
hf : Pairwise fun i j => ∀ (x : L i) (y : L j), ⁅(f i) x, (f j) y⁆ = 0
a : DirectSum ι fun i => L i
⊢ (DirectSum.toLieAlgebra L' f hf) a = (DirectSum.toModule R ι L' fun i => ↑(f i)) a
F : Type u_1
Field F
p : F[X]
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
Fact (Polynomial.Splits (algebraMap F E) p)
Normal F E
⊢ Function.Surjective ⇑(Polynomial.Gal.restrict p E)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
S : Set α
f : α → β
x : α →₀ M
hS : ↑x.support ⊆ S
hf : Set.InjOn f S
a : α
ha : a ∈ S
⊢ (Finsupp.mapDomain f x) (f a) = x a