ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set α
f g : α → β
(a : α) → Decidable (a ∈ s)
hs : ∀ a ∈ frontier s, f a = g a
hf : ContinuousOn f (closure s)
hg : ContinuousOn g (closure sᶜ)
⊢ Continuous (s.piecewise f g)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.3910, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : Karoubi (HomologicalComplex C c)
n : ι
⊢ P.p.f n ≫ P.p.f n = P.p.f n
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
⊢ ((pullbackRestrictIsoRestrict f U).inv ≫ pullback.snd f U.ι) ≫ U.ι = (f ⁻¹ᵁ U).ι ≫ f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
SubNegMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
x : M
n : ℕ∞
c : G
hf : ContMDiffAt I' I n f x
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x => f x - c) x
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
s : Set α
t : Set β
⊢ (∃ᶠ (x : α × β) in l.curry m, x ∈ s ×ˢ t) ↔ sᶜ ∉ l ∧ tᶜ ∉ m
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice
⊢ ⨆ g, ⨅ i, f (g i) (i (g i)) ≤ ⨆ i, ⨅ j, f i j
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
le_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x ≤ C
x✝ : ℝ
hx✝ : x✝ ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x✝ ≤ y
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
⊢ deriv f x ≤ C
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f ⊥
this : Continuous eval
⊢ clPrehaar ↑K₀ ⊤ ⊆ eval ⁻¹' {0}
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
SeminormedAddCommGroup W
SeminormedAddCommGroup V₁
f g : NormedAddGroupHom V W
ψ : NormedAddGroupHom V₁ ↥(f.equalizer g)
⊢ ↑(NormedAddGroupHom.Equalizer.liftEquiv.symm ψ) = (NormedAddGroupHom.Equalizer.ι f g).comp ψ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
⊢ padicNorm p (q + r) ≤ max (padicNorm p q) (padicNorm p r)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
a✝ : Nontrivial α
u : αˣ
hab : a ∣ a * ↑u
hba : a * ↑u ∣ a
⊢ normalize a = normalize (a * ↑u)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
⊢ x = y
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f g : L.Hom M N
h : ∀ (x : M), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : y = z ⊔ y \ x
⊢ x ≤ z
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : α
⊢ f '' {a} = {f a}
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hy : 0 < y
⊢ x ≤ logb b y ↔ b ^ x ≤ y
α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
this : Tendsto (Ultrafilter.extend f) (𝓝 b) (𝓝 (Ultrafilter.extend f b))
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ 𝓝 (Ultrafilter.extend f b)
o : Ordinal.{u_3}
x : ↑(Set.Iio o)
⊢ o.enumIsoOut x = Ordinal.enum (fun x x_1 => x < x_1) ↑x ⋯
α : Type u_2
_m0 : MeasurableSpace α
c : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ (c • μ).restrict s = c • μ.restrict s
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
this : ↑I.symm ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u
⊢ ↑I.symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑I x)
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
⊢ a₁ ⊓ a₂ ∉ J
α : Type u_1
β : Type u_2
n n✝ : ℕ
ih : ∀ (f : Fin n → Fin (n✝ + 1)), ∑ i : Fin n, ↑(f i) * (n✝ + 1) ^ ↑i < (n✝ + 1) ^ n
f : Fin (n + 1) → Fin (n✝ + 1)
⊢ (n✝ + 1) ^ n + n✝ * (n✝ + 1) ^ n = (n✝ + 1) ^ (n + 1)
X : Type u_1
EMetricSpace X
s t s' : Set X
h : IsMetricSeparated s t
h' : IsMetricSeparated s' t
⊢ IsMetricSeparated (s ∪ s') t
α : Type u_1
M : Type u_4
MulOneClass M
s : Set α
f g : α → M
⊢ s.mulIndicator (f * g) = s.mulIndicator f * s.mulIndicator g
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : z ≠ 0
⊢ 0 ≤ y ^ z⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : b = a⁻¹ * c
⊢ a * b = c
α : Type u_2
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Finset.map (addLeftEmbedding c) (Finset.Icc a b) = Finset.Icc (c + a) (c + b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α →. γ
g : β →. δ
x : α × β
y : γ × δ
⊢ y ∈ f.prodMap g x ↔ y.1 ∈ f x.1 ∧ y.2 ∈ g x.2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
⊢ Disjoint K Kᗮ
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
⊢ 0 ∈ lifts 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
n : ℕ∞
ι : Type u_3
Fintype ι
F' : ι → Type u_5
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
⊢ ContDiffOn 𝕜 n Φ s ↔ ∀ (i : ι), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => Φ x i) s
R : Type u
X : Type v
CommRing R
a b : lib R X
c : lib R X
h : FreeLieAlgebra.Rel R X a b
⊢ FreeLieAlgebra.Rel R X (a - c) (b - c)
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
⊢ Nat.count p 1 = if p 0 then 1 else 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : D
CategoryTheory.IsIso (h.counit.app X)
⊢ CategoryTheory.inv (R.map (h.counit.app X)) = h.unit.app (R.obj X)
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c✝ d c : M
h : a < a + c
⊢ a + d + c ∈ (fun x => x + d) '' Ioi a
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
t : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ ((QuaternionAlgebra.swapEquiv c₁ c₂) t).imI = t.imJ
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (W.map φ).a₄ = φ W.a₄
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
this : Mono S₁.f
⊢ Mono (e.inv.τ₁ ≫ S₁.f)
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
a : L
h : map i f = C a
this✝ : DecidableEq L := Classical.decEq L
ha : ¬a = 0
g✝ : L[X]
hg : Irreducible g✝
x✝ : g✝ ∣ map i f
p : L[X]
hp : map i f = g✝ * p
this : (map i f).degree = (g✝ * p).degree
⊢ g✝.degree = 0
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
s : Set M
⊢ ⇑e '' s = ⇑e.symm ⁻¹' s
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
d : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d
t : Set (α × α)
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
ht_comp : t ⊆ {p | ∃ x y, (p.1, x) ∈ s ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.2) ∈ s}
this✝ : s ⊆ interior d
this : interior d ∈ 𝓤 α
⊢ 𝓤 α ≤ (𝓟 ∘ interior) d
α : Type u_1
r : Setoid α
x y : α
x✝ : ∃ c ∈ r.classes, x ∈ c ∧ y ∈ c
z : α
hx : x ∈ {x | r.Rel x z}
hy : y ∈ {x | r.Rel x z}
⊢ r.Rel x y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
⊢ a + b - (a + c) = b - c
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
self : MultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
c : R
x : M₁ i
⊢ self.toFun (Function.update m i (c • x)) = c • self.toFun (Function.update m i x)
a r x : ℝ
hx : x < 0
⊢ gammaPDF a r x = 0
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
X : a ⟶ b
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitorNatIso a b).inv.app X = (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor X).inv
X : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
⊢ |↑f| ∈ A.topologicalClosure
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Γ' : Type u_3
PartialOrder Γ'
f : Γ → Γ'
hfi : Function.Injective f
hf : ∀ (g g' : Γ), f g ≤ f g' ↔ g ≤ g'
x : HahnSeries Γ R
a : Γ
⊢ (HahnSeries.embDomain { toFun := f, inj' := hfi, map_rel_iff' := ⋯ } x).coeff (f a) = x.coeff a
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h✝ : Y ⟶ Z
w : f ≫ h✝ = g ≫ h✝
inst✝³ : HasCoequalizer f g
inst✝² : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
inst✝¹ : PreservesColimit (parallelPair f g) G
X' Y' : D
f' g' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCoequalizer f' g'
p : G.obj X ⟶ X'
q : G.obj Y ⟶ Y'
wf : G.map f ≫ q = p ≫ f'
wg : G.map g ≫ q = p ≫ g'
Z' : D
h : Y' ⟶ Z'
wh : f' ≫ h = g' ≫ h
⊢ G.map (coequalizer.π f g) ≫ (PreservesCoequalizer.iso G f g).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (G.map f) (G.map g) f' g' p q wf wg) ≫ coequalizer.desc h wh = q ≫ h
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : ℕ
hc : CharP R p
hp : 2 ≤ p
d : ℕ
hdvd : ∃ e, p = d * e
e : ℕ
hmul : p = d * p
this✝³ : ↑p = 0
this✝² : ↑d * ↑e = 0
he : ↑e = 0
this✝¹ : p ∣ e
this✝ : e ∣ p
this : e = p
h₀ : 0 < p
⊢ d * p = 1 * p
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Stream'.WSeq α
⊢ (Stream'.WSeq.map f s).destruct = Computation.map (Option.map (Prod.map f (Stream'.WSeq.map f))) s.destruct
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : Field k
f : R →+* k
⊢ map f (p / q) = map f p / map f q
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 1 < a
hb : 1 < b
⊢ 1 < a * b
a b : Nat
⊢ range (a + b) = range a ++ map (fun x => a + x) (range b)
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ a ⊔ b = max a b
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
α : Type w
f : α → C
⊢ ∀ (b : FullSubcategory (FilteredClosure f)), ∃ a, CategoryTheory.IsFiltered.FilteredClosureSmall.abstractFilteredClosureRealization f a = b.obj
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : ↑n < Module.rank R M
⊢ ∃ x, LinearIndependent R (Fin.snoc v x)
R : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
m : Multiset R
l : List R
⊢ 0 < l.prod ↔ ∀ x ∈ ↑l, 0 < x
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 u t) s ⊆ convexJoin 𝕜 u (convexJoin 𝕜 t s)
α : Type u
p : α → Prop
DecidablePred p
l : List α
hp : ∃ a, a ∈ l ∧ p a
⊢ List.choose p l hp ∈ l ∧ p (List.choose p l hp)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : IsKilling R L
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Module.Free R L
inst✝² : IsNoetherian R L
inst✝¹ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
h : Codisjoint H.toSubmodule ↑(LieModule.posFittingComp R (↥H) L)
m₀ : L
h₀ : m₀ ∈ H
m₁ : L
h₁ : m₁ ∈ LieModule.posFittingComp R (↥H) L
⊢ ((killingForm R L) m₀) m₁ = 0
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b x : α
⊢ x ∈ Finset.Ioc a b ↔ a < x ∧ x ≤ b
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R₁
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
⊢ default = 0
n✝ : ℕ
c✝ : Composition n✝
n : ℕ
c : Composition n
n' : ℕ
c' : Composition n'
H : ⟨n, c⟩.snd.blocks = ⟨n', c'⟩.snd.blocks
this : n = n'
⊢ ⟨n, c⟩ = ⟨n', c'⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
f : α → β
hf : Function.Injective f
ht : t ⊆ Set.range f
⊢ (f ⁻¹' t).encard = t.encard
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
e : 𝕜 →ₗ[𝕜] F
⊢ HasDerivAt (⇑e) (e 1) x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C
⊢ (((α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X ⊗ M.X, N.X ⊗ N.X)) ≫ (M.X ◁ M.mul ⊗ N.X ◁ N.mul)) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul)
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
⊢ ‖A‖₊ = ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ }‖₊
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
H : AddSubgroup G
x : AddAction.orbitRel.Quotient G α
a b : ↑x.orbit
⊢ ⟦a⟧ = ⟦b⟧ ↔ ⟦↑a⟧ = ⟦↑b⟧
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E ⊤)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
a : α
this : Tendsto (fun k => ‖↑(F k) a‖) l (𝓝 ‖f a‖)
⊢ ‖f a‖ ≤ C
a b : ℝ≥0
⊢ a < b ↔ ∃ q, 0 ≤ q ∧ a < (↑q).toNNReal ∧ (↑q).toNNReal < b
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
h : HasConstantSpeedOnWith f s l
⊢ LocallyBoundedVariationOn f s
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
P : Ideal α
hmax : ∀ (m : Ideal α), P < m → ¬m.IsMaximal
J : Ideal α
hPJ : P < J
hnonmax : ¬J = ⊤
M : Ideal α
hM1 : M.IsMaximal
hM2 : J ≤ M
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
A : Set E
hA : Balanced 𝕜 A
⊢ Absorbs 𝕜 A A
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
⊢ ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * ‖f z‖
α : Type u_1
a b : α
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁.concat a = l₂.concat b → a = b
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
y : Y
z : Z
⊢ ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle z) 1 = ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle z) 1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt f f' s x ↔ Filter.Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - (x' - x) • f'‖) (𝓝[s] x) (𝓝 0)
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
N : Type u_4
AddCommGroup N
Module R N
V : Submodule R N
f : M →ₗ[R] N
hxy : f x ≡ f y [SMOD V]
⊢ x ≡ y [SMOD Submodule.comap f V]
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c'
e : c.Embedding c'
e.IsRelIff
⊢ ∀ (x x_1 : ι), (K.restriction e).d x x_1 = K.d (e.f x) (e.f x_1)
α : Type u_1
inst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝¹ : DecidableRel Disjoint
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a✝ b✝ a b : α
⊢ (b ⊔ a \ b) \ (b \ a) = a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization W) E
h :
  (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W).comp F₁ =
    (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W).comp F₂
⊢ F₁ = F₂
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
CommRing R''
CommRing S''
Algebra R'' S''
P'' : Algebra.Generators R'' S''
Algebra R R''
Algebra S S''
Algebra R S''
IsScalarTower R R'' S''
IsScalarTower R S S''
Algebra R' R''
Algebra S' S''
Algebra R' S''
IsScalarTower R' R'' S''
IsScalarTower R' S' S''
IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
⊢ Algebra.Generators.CotangentSpace.map (g.comp f) =
  ↑S (Algebra.Generators.CotangentSpace.map g) ∘ₗ Algebra.Generators.CotangentSpace.map f
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
self : α × β
⊢ OrderHom.snd self = self.2
α : Type u
L₁ L₂ L₃ : List (α × Bool)
⊢ FreeGroup.Red.Step L₁ L₂ → FreeGroup.Red.Step (L₁ ++ L₃) (L₂ ++ L₃)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G
⊢ ((((Linear.homCongr k (diagonalSucc k G n ≪≫ (Representation.ofMulAction k G G).repOfTprodIso 1) (Iso.refl A)).trans ((MonoidalClosed.linearHomEquivComm (of (Representation.ofMulAction k G G)) (of 1) A).trans ((ihom (of 1)).obj A).leftRegularHomEquiv)).trans (Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)).symm).symm f).hom (Finsupp.single x 1) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
a b : α
as : List α
h✝ : filter p (a :: b :: as) ≠ []
h' : p ((b :: as).getLast ⋯) = true
h : (if p a = true then a :: filter p (b :: as) else filter p (b :: as)) ≠ []
ha : p a = true
⊢ (if p a = true then a :: filter p (b :: as) else filter p (b :: as)).getLast ⋯ = (b :: as).getLast ⋯
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
Nontrivial α
s : Set α
⊢ Dense s ↔ ∀ (a b : α), a < b → ∃ c ∈ s, a < c ∧ c < b
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
f f' : PartialHomeomorph X Y
openness₁ : IsOpen (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)
⊢ ((f.symm.trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).symm).trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs)).trans f' ≈ ((ofSet (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s) openness₁).trans f.symm).trans f'
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s✝ t✝ : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s t : Finset δ
hst : Disjoint s t
⊢ ∫⋯∫⁻_s ∪ t, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_t, ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ∂μ
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
⊢ Nat.card ↥H.normalizer ≡ Nat.card G [MOD p ^ (n + 1)]
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H : AddSubgroup G
K : AddSubgroup N
⊢ H.prod K = ⊥ ↔ H = ⊥ ∧ K = ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
n : ℕ
h_meas_n : MeasurableSet (S n)
hμn : μ (S n) < ⊤
⊢ μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ spanningSets μ n) = 0
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : α → C
g : β → C
h : γ → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
CategoryTheory.Limits.HasProduct g
CategoryTheory.Limits.HasProduct h
p : β → α
p' : γ → β
q : (b : β) → f (p b) ⟶ g b
q' : (c : γ) → g (p' c) ⟶ h c
⊢ CategoryTheory.Limits.Pi.map' p q ≫ CategoryTheory.Limits.Pi.map' p' q' =
  CategoryTheory.Limits.Pi.map' (p ∘ p') fun c => q (p' c) ≫ q' c
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
⊢ reindex R M (Equiv.refl ι) = Equiv.refl (Orientation R M ι)
R : Type u_1
CommSemiring R
a : R
⊢ a ^ Nat.rawCast 1 = a
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : Finite 𝒰.J
fn : 𝒰.J → ℕ
hfn : ∀ (i : 𝒰.J), (Hom.app (𝒰.map i) U) s ^ fn i = 0
this : Fintype 𝒰.J
N : ℕ := Finset.univ.sup fn
⊢ IsNilpotent s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ✝ : R →+* A
C : VariableChange R
φ : R →+* A
hφ : Function.Injective ⇑φ
x✝¹ x✝ : VariableChange R
h✝ : map φ x✝¹ = map φ x✝
h : (Units.map ↑φ) x✝¹.u = (Units.map ↑φ) x✝.u
left✝¹ : φ x✝¹.r = φ x✝.r
left✝ : φ x✝¹.s = φ x✝.s
right✝ : φ x✝¹.t = φ x✝.t
⊢ x✝¹ = x✝