ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Preregular C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
F : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.regularTopology D) A
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), ((e.sheafCongrPreregular A).inverse.obj F).val.map f = F.val.map (e.functor.map f.unop).op
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ (insert t ↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
H : Type u_6
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
c : E → G →L[𝕜] H
d : E → F →L[𝕜] G
hc : Differentiable 𝕜 c
hd : Differentiable 𝕜 d
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => (c y).comp (d y)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u
hw₁ : ↑s w = 0
hw₂ : w ⊆ u
hwt : v ⊆ w
⊢ ↑s v = 0
ι : Type u
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
dec : DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → Zero (β₁ i)
(i : ι) → Zero (β₂ i)
(i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
(i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
g₁ : Π₀ (i : ι), β₁ i
g₂ : Π₀ (i : ι), β₂ i
⊢ DFinsupp.zipWith f hf g₁ g₂ = DFinsupp.mk (g₁.support ∪ g₂.support) fun i => f (↑i) (g₁ ↑i) (g₂ ↑i)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
h : N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X
e : α
x✝ : e ∈ X \ I
heX : e ∈ X
heI : e ∉ I
⊢ (N.comap f).Dep (insert e I)
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
n : ℤ
⊢ ↑n ∈ s
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
B : LinearMap.BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB' : B.IsSymm
ι : Type u_11
Finite ι
DecidableEq ι
FiniteDimensional K V
b : Basis ι K V
⊢ B.dualBasis hB (B.dualBasis hB b) = b
M : Type v
AddCommGroup M
R : Type u_1
CommRing R
StrongRankCondition R
IsDomain R
Module R M
Module.Finite R M
⊢ FiniteDimensional.finrank R M = 0 ↔ Module.IsTorsion R M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
M : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M
CategoryTheory.MonoidalCategory M
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)
m n : M
h₁ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m n ≅ 𝟙_ M
h₂ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj n m ≅ 𝟙_ M
H :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight h₁.hom m)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor m).hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator m n m).hom
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft m h₂.hom)
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor m).hom)
⊢ (CategoryTheory.equivOfTensorIsoUnit F m n h₁ h₂ H).functor = F.obj m
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
hx : x ≠ 0
⊢ Padic.addValuation x = ↑x.valuation
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
⊢ insepDegree F E = Module.rank F E
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
v : α → M
⊢ ⊤.Realize v ↔ True
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖f‖ ≤ C
R : Type u
CommRing R
U V : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
i : V ⟶ U
s : ↑((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.obj (Opposite.op U))
x : ↥V
⊢ ↑(((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.map i.op) s) x = ↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜
g' u : 𝕜
h : HasDerivAt g g' u
⊢ HasGradientAt g ((starRingEnd 𝕜) g') u
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
PartialOrder α
MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
a b : α
ha : μ {a} ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Icc a b) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioc a b) μ
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Function.Surjective ⇑(map R S A B)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ IsMax a ↔ ∀ (b : α), ¬a < b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : C
f : A ⟶ B
⊢ (HomologicalComplex.singleObjOpcyclesSelfIso c j A).hom ≫
    HomologicalComplex.opcyclesMap ((HomologicalComplex.single C c j).map f) j =
  f ≫ (HomologicalComplex.singleObjOpcyclesSelfIso c j B).hom
R✝ : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
M✝ : Type v
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
ι : Type w
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq κ
inst✝³ : Fintype κ
b : Basis ι R✝ M✝
c : Basis κ R✝ M✝
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : Module.End R M
⊢ (trace R M) ⁅f, g⁆ = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
EuclideanDomain R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
DecidableEq ι
Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
Infinite R
DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0
⊢ ∃ q,
  ∃ r ∈ ClassGroup.finsetApprox bS adm,
    abv ((Algebra.norm R) (r • a - b • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
f : E →ᵃ[𝕜] F
a b : E
⊢ ⇑f '' openSegment 𝕜 a b = openSegment 𝕜 (f a) (f b)
α : Type u_1
LinearOrder α
s t : Set α
⊢ IsPiSystem {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ t, l ≤ u ∧ Set.Icc l u = S}
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
⊢ LieIdeal.map f (I ⊔ I₂) = LieIdeal.map f I ⊔ LieIdeal.map f I₂
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
s1 s2 : Set ι
p0 : P
fs1 : Finset ι
hfs1 : ↑fs1 ⊆ s1
w1 : ι → k
hw1 : ∑ i ∈ fs1, w1 i = 1
hp0s1 : p0 = (affineCombination k fs1 p) w1
fs2 : Finset ι
hfs2 : ↑fs2 ⊆ s2
w2 : ι → k
hw2 : ∑ i ∈ fs2, w2 i = 1
hp0s2 : p0 = (affineCombination k fs2 p) w2
ha : (↑fs1).indicator w1 = (↑fs2).indicator w2
hnz : ∑ i ∈ fs1, w1 i ≠ 0
⊢ ∃ i, i ∈ s1 ∩ s2
R : Type x
Distrib R
a x y x' y' : R
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'
⊢ SemiconjBy a (x + x') (y + y')
G : Type u_1
Group G
Fintype (ConjClasses G)
Fintype G
(x : ConjClasses G) → Fintype ↑x.carrier
⊢ ∑ x : ConjClasses G, x.carrier.toFinset.card = Fintype.card G
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2
hc_lt_one : c < 1
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑x‖
n : ℕ
hn : ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑n‖
hn' : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
⊢ ↑(r i n) ≤ c * ↑n
R : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
a : L ⧸ LinearMap.ker ↑f
⊢ f.quotKerEquivRange a = (↑f).quotKerEquivRange a
B : Type u
F : Type v
E : B → Type w₁
B' : Type w₂
TopologicalSpace B'
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
f : B' → B
⊢ Continuous (Bundle.Pullback.lift f)
α : Type u_5
β : Type u_6
Monoid α
MulOneClass β
MulAction α β
IsScalarTower α β β
SMulCommClass α β β
⊢ ∀ (a : α × β), smulMonoidHom a = smulMulHom.toFun a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : ¬f * g ≈ 0
⊢ padicNorm p (↑(f * g) (max (stationaryPoint hfg) (max ?neg.v2✝ ?neg.v3✝))) = padicNorm p (↑f (max ?neg.v1✝ (max (stationaryPoint hf) ?neg.v3✝))) * padicNorm p (↑g (max ?neg.v1✝ (max ?neg.v2✝ (stationaryPoint hg))))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A X Y Y' : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
f : X ⟶ A ⟹ Y
g : Y ⟶ Y'
⊢ CategoryTheory.CartesianClosed.uncurry (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f ((CategoryTheory.exp A).map g)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.CartesianClosed.uncurry f) g
α : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hst : μ s = μ t
⊢ MeasureTheory.weightedSMul μ s = MeasureTheory.weightedSMul μ t
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
A : Matrix m n α
⊢ ‖A‖ ≤ r ↔ ∀ (i : m) (j : n), ‖A i j‖ ≤ r
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
s : Set E
m : ℝ
f : E → ℝ
⊢ StrongConcaveOn s m f ↔ ConcaveOn ℝ s fun x => f x + m / 2 * ‖x‖ ^ 2
n : ℕ
G : Type u
Group G
Finite G
hG : Nat.card G = n
N : Subgroup G
N.Normal
hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊
⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), ↑‖↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y)‖₊ ∂ν ∂μ) (𝓝 g) (𝓝 0)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x₁ x₂ : Filter α
y : Filter β
h : Filter.Tendsto f x₁ y
⊢ Filter.Tendsto f (x₁ ⊓ x₂) y
b x : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
⊢ Real.logb b x ≤ 0 ↔ x ≤ 1
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
r : R
a : A
⊢ r ∉ spectrum R a ↔ IsUnit ((algebraMap R A) r - a)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℂ
s : Set α
b : ℂ
hf : ContinuousOn f s
h : ∀ a ∈ s, f a ∈ Complex.slitPlane
⊢ ContinuousOn (fun x => f x ^ b) s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f✝ : X → Y
s : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
⊢ IsLocallyClosed s ↔ ∃ s', IsLocallyClosed s' ∧ f ⁻¹' s' = s
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
Div β
ContinuousDiv β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (f / g)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
X : CategoryTheory.CostructuredArrow (CategoryTheory.Functor.const J) F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cone.equivCostructuredArrow F).counitIso.inv.app X).right =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x✝ : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l.formPerm.toList x ~r l
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
u : ℕ → Set E := fun n => disjointed (spanningSets μ) n
⊢ μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
this : 1 / p.toReal * p.toReal = 1
⊢ (ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal}) ^ (1 / p.toReal) ≤ eLpNorm f p μ
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Icc a b = 0 ↔ ¬a ≤ b
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CharP R p
⊢ (↑p).coeff 1 = 1
⊢ (Int.bitwise fun a b => a && !b) = Int.ldiff
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K
⊢ (((limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ (HasLimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).hom) ≫ (limitIsoLimitCurryCompLim G).hom) ≫ limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k = limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
hp : 0 < p
n₁ : ℕ
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
hg₁ : ((expand F (p ^ 0)) g₂).Separable
hf : Irreducible ((expand F (p ^ n₁)) ((expand F (p ^ 0)) g₂))
hf0 : (expand F (p ^ n₁)) ((expand F (p ^ 0)) g₂) ≠ 0
⊢ n₁ = n₁ + 0 ∧ (expand F (p ^ 0)) g₂ = g₂
α : Type u_1
NormedOrderedAddGroup α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
ε : ℝ
⊢ IsLowerSet (Metric.cthickening ε s)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
x : M
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ ∃ x ∈ f.eigenspace μ, x ≠ 0
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hxy : x < y
⊢ logb b y < logb b x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hf_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ε
ε : ℝ
hε : 0 < ε
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
F : Fin N → α → β := fun n => f ↑n
hF : ∀ (n : Fin N), Memℒp (F n) p μ
⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
G : Type u_8
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
G' : Type u_9
TopologicalSpace G'
ChartedSpace H' G'
Monoid G'
SmoothMul I' G'
self : SmoothMonoidMorphism I I' G G'
⊢ Smooth I I' (↑self.toMonoidHom).toFun
K : Type u_1
Field K
NumberField K
w₁ : NumberField.InfinitePlace K
B : ℕ
hB : NumberField.mixedEmbedding.minkowskiBound K 1 < ↑(NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLTFactor K) * ↑B
n : ℕ
⊢ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑(NumberField.Units.dirichletUnitTheorem.seq K w₁ hB n) ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
MeasurableSpace δ
μ : MeasureTheory.Measure γ
μ' : MeasureTheory.Measure δ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ'
X : γ → α
X' : δ → α
Y : γ → β
Y' : δ → β
h_indep : ProbabilityTheory.IndepFun X Y μ
h_ident : ProbabilityTheory.IdentDistrib (fun ω => (X ω, Y ω)) (fun ω => (X' ω, Y' ω)) μ μ'
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun X' Y' μ'
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f [[b, a]] μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in x..b, f t ∂μ) [[b, a]]
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
t : Set Y
hs : t ⊆ e.target
h : IsOpen (↑e.symm '' t)
hs' : ↑e.symm '' t ⊆ e.source
⊢ IsOpen t
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
p q : ℚ≥0
⊢ NNRat.cast ⁻¹' Set.Ioo ↑p ↑q = Set.Ioo p q
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
b₁ : α
a d : β
hcd : a ≤ d
b₂ : α
hab : b₁ ≤ b₁ + b₂
⊢ b₁ • d + (b₁ + b₂) • a ≤ b₁ • a + (b₁ + b₂) • d
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁸ : OrderedRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : AddTorsor V P
inst✝⁴ : AddCommGroup V'
inst✝³ : Module R V'
inst✝² : AddTorsor V' P'
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
ι : Type u_6
p : ι → P
ha : AffineIndependent R p
w w₁ w₂ : ι → R
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
i : ι
his : i ∈ s
r : R
hs : w₁ i ≠ w₂ i ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1
hr : ∀ i ∈ s, w i = (r • (w₂ - w₁) + w₁) i
hz : (s.weightedVSub p) (w₁ - w₂) = 0
⊢ False
α : Type u_1
t : TopologicalSpace α
PolishSpace α
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), PolishSpace.IsClopenable (s n)
⊢ PolishSpace.IsClopenable (⋃ n, s n)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n✝ n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
inst✝ : CharZero K
⊢ (cyclotomic n ℤ).natDegree ≤ (minpoly ℤ μ).natDegree
P : MorphismProperty Scheme
inst✝ : P.RespectsIso
restrict : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : Y.Opens), P f → P (f ∣_ U)
of_sSup_eq_top : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
⊢ IsLocalAtTarget P
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → Option β
s : Multiset α
l : List α
⊢ List.filterMap f (List.filter (fun b => decide (p b)) l) = List.filterMap (fun x => if p x then f x else none) l
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
LieModule R L N
t : R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
m : M
⊢ (t • f) m = t • f m
x : ℂ
⊢ Complex.sinh x - Complex.cosh x = -Complex.exp (-x)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : f a = g a
t : ℝ
ht : t ∈ Icc a b
this : dist (f t) (g t) ≤ 0 * rexp (↑K * (t - a))
⊢ f t = g t
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
⊢ ((C σ k) 0)⁻¹ = (C σ k) 0⁻¹
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P
⊢ perpBisector p₁ p₂ ≠ ⊥
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : n > 0
⊢ Real.log ↑n ≤ ↑n ^ ε / ε
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ max a⁻¹ 1 = a⁻¹ * max a 1
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd G G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
a b c : G
⊢ edist (a - b) (a - c) = edist b c
R : Type u_1
Zero R
f : ArithmeticFunction R
⊢ f 0 = 0
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle y ((o.rotation (o.oangle x y)) x) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
x✝ : ℕ
⊢ Tendsto (fun x => x.eraseIdx x✝) (𝓝 []) (𝓝 ([].eraseIdx x✝))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
y : ↥U
x : ↑X
h : x ⤳ ↑y
⊢ F.germ y ≫ F.stalkSpecializes h = F.germ ⟨x, ⋯⟩
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : StrictMono f
hg : Monotone g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f^[n] x ≤ g^[n] x ↔ f x ≤ g x
α : Type u_2
M : Matroid α
X : Set α
⊢ M.Basis ∅ X ↔ X ⊆ M.closure ∅
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
⊢ Fintype.card ↥(Subgroup.zpowers f) = Fintype.card { x // x ∈ f.support }
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
AlgebraicGeometry.HasRingHomProperty P Q
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
H : P g
⊢ P (f ≫ g)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : RCLike 𝕜
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α →ᵇ 𝕜
⊢ (fun a => ⟪↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f) a, ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) g) a⟫_𝕜) =ᶠ[ae μ] fun a => (starRingEnd 𝕜) (f a) * g a
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
G₁ G₂ : W.Localization ⥤ D
h : W.Q ⋙ G₁ = W.Q ⋙ G₂
⊢ (Quotient.functor (relations W) ⋙ G₁).obj = (Quotient.functor (relations W) ⋙ G₂).obj
X✝ Y✝ Z✝ : CommRingCatᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ { obj := fun R => sheafedSpaceObj (unop R), map := fun {X Y} f => sheafedSpaceMap f.unop }.map (f ≫ g) = { obj := fun R => sheafedSpaceObj (unop R), map := fun {X Y} f => sheafedSpaceMap f.unop }.map f ≫ { obj := fun R => sheafedSpaceObj (unop R), map := fun {X Y} f => sheafedSpaceMap f.unop }.map g
α : Type u_1
L L' : List (List α)
⊢ L = L' ↔ L.join = L'.join ∧ List.map List.length L = List.map List.length L'
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
DecidableEq α
f : α →₀ M
⊢ Finset.image Prod.fst f.graph = f.support
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T T' : C
hT : CategoryTheory.Limits.IsTerminal T
hT' : CategoryTheory.Limits.IsTerminal T'
⊢ (hT.uniqueUpToIso hT').hom = hT'.from T
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S U : Set X
hS : IsPreirreducible S
hU : IsOpen U
h : (S ∩ U).Nonempty
⊢ S ⊆ closure (S ∩ U)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
j₁ j₂ : J
f : j₁ ⟶ j₂
⊢ CategoryTheory.Zag j₁ j₂
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α, SymmetricRel t ∧ t ○ t ○ t ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → γ
g : β → γ
h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν
p : γ → Prop
pmeas : MeasurableSet {x | p x}
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p (f x)
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂ν, p (g x)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ ∃ i, True ∧ abs ⁻¹' Ici i ⊆ Iic (a, b).1 ∪ Ici (a, b).2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s t : Set α
h : ∀ x ∈ mulSupport f, x ∈ s ↔ x ∈ t
⊢ s ∩ mulSupport f = t ∩ mulSupport f
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.lift a ≤ Booleanisation.comp b ↔ Disjoint a b
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x \ (y \ z) = x \ y ⊔ x ⊓ y ⊓ z
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hc : S.Countable
hcomp : ∀ (s : ↑S), IsSigmaCompact ↑s
this : Countable ↑S
⊢ IsSigmaCompact (⋃₀ S)