ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℤ
⊢ UniformContinuous fun x => n • f x
n : Int
⊢ 0 ∣ n ↔ n = 0
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁸ : CommRing A
inst✝³⁷ : CommRing B
inst✝³⁶ : Algebra A B
inst✝³⁵ : Field K✝
inst✝³⁴ : Field L✝
inst✝³³ : Algebra A K✝
inst✝³² : IsFractionRing A K✝
inst✝³¹ : Algebra B L✝
inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁹ : Algebra A L✝
inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²⁴ : CommRing Aₘ
inst✝²³ : CommRing Bₘ
inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝²¹ : Algebra A Aₘ
inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹³ : IsDomain A
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹¹ : IsDomain B
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁹ : Module.Finite A B
inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝⁶ : IsDomain Aₘ
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝⁴ : IsDomain Bₘ
inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing Aₘ) (FractionRing Bₘ)
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝ : IsIntegralClosure B A L
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intNorm A B) x) = (intNorm Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
DecidableEq ι
m m' : ι → M
t : Finset ι
⊢ f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
f : A →+* B
g : B →+* C
h : (g.comp f).FiniteType
x✝⁴ : Algebra A B := f.toAlgebra
x✝³ : Algebra B C := g.toAlgebra
x✝² : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra
x✝¹ : IsScalarTower A B C := RestrictScalars.isScalarTower A B C
x✝ : Algebra.FiniteType A C := h
⊢ g.FiniteType
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ inv (eqToHom ⋯) ≫ factorThruImage g = factorThruImage g
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t (μ.restrict s)
⊢ (μ.restrict s) t = μ (t ∩ s)
n : Type u_3
R : Type u_6
Fintype n
AddCommMonoid R
s : Multiset (Matrix n n R)
⊢ s.sum.trace = (Multiset.map Matrix.trace s).sum
α : Type u_2
r : α → α → Prop
IsRefl α r
IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
⊢ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}.PartiallyWellOrderedOn (List.SublistForall₂ r)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂} (φ : X ⟶ Y) (i : I₁ × I₂),
  (HomologicalComplex₂.toGradedObjectFunctor C c₁ c₂).map φ i = HomologicalComplex₂.toGradedObjectMap φ i
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x
hsep' : IsSeparable E x
⊢ (Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x)).natDegree = (minpoly E x).natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
g : β → β
x : α × β
a : α
b : β
m n : ℕ
⊢ minimalPeriod f x.1 ∣ (minimalPeriod f x.1).lcm (minimalPeriod g x.2)
R : Type u
Field R
DecidableEq R
f g : R[X]
α : R
hf : Polynomial.eval α f = 0
hg : Polynomial.eval α g = 0
⊢ Polynomial.eval α (EuclideanDomain.gcd f g) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β
hx : IsTop x
⊢ IsTop x.2
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
X : CategoryTheory.CostructuredArrow (CategoryTheory.Functor.const J) F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cone.equivCostructuredArrow F).counitIso.inv.app X).left =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝¹ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set α → Prop
s : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hne : s.Nonempty
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
x : α
hts : {x} ⊆ s
ht : {x}.Subsingleton
htl : {x} ∈ l
⊢ ∃ a ∈ s, {a} ∈ l
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F V)
(x : M) → AddCommGroup (V x)
(x : M) → Module 𝕜 (V x)
(x : M) → TopologicalSpace (V x)
FiberBundle F V
VectorBundle 𝕜 F V
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ ⇑(-s) = -⇑s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
s : Finset α
x : { x // x ∈ s }
⊢ f ↑x ∈ Finset.map f s
M : Type u_3
CanonicallyOrderedCommMonoid M
L : List M
⊢ Monotone fun i => (List.take i L).prod
α : Type u_1
Ring α
x : ℤ[i]
⊢ ↑(Zsqrtd.norm x).natAbs = ↑(Zsqrtd.norm x)
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ x \ y = x ⊓ yᶜ
α : Type u
lt : α → α → Prop
DecidableRel lt
a b : α
⊢ cmpUsing lt a b = Ordering.eq ↔ ¬lt a b ∧ ¬lt b a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
e : α ≃ β
he : UniformEmbedding ⇑e
⊢ CompleteSpace α ↔ CompleteSpace β
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
X : C
f : c.pt ⟶ X
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.desc F (c.extend f) = CategoryTheory.Limits.colimit.desc F c ≫ f
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
hlt : a < b
c : ℝ := (a + b) / 2
hac : a < c
hcb : c < b
hsub : c - a = b - c
g : Y →ᵇ ℝ
xl : Y → X
hxl : ∀ (y : Y), f (xl y) ≤ g y
hgb : ∀ (y : Y), g y ≤ b
hb' : ¬∃ x, f x = b
hd : Disjoint (range e ∪ ⇑g ⁻¹' Iic c) (⇑g ⁻¹' {b})
dg : Y →ᵇ ℝ
dg0 : EqOn (⇑dg) (Function.const Y 0) (range e ∪ ⇑g ⁻¹' Iic c)
dgb : EqOn (⇑dg) (Function.const Y (b - c)) (⇑g ⁻¹' {b})
dgmem : ∀ (x : Y), dg x ∈ Icc 0 (b - c)
hgf : ∀ (x : X), (g - dg) (e x) = f x
y : Y
hyb : (g - dg) y < b
xu : X
hyxu : (g - dg) y < f xu
right✝ : f xu ≤ b
hc : c < g y
⊢ ∃ x₁ x₂, (g - dg) y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)
α : Type u_1
γ : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → γ
g : β → γ
⊢ Sum.elim f g ∘ Sum.inr = g
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ↑⌈x⌉) (𝓝[>] ↑n) (𝓝[≥] (↑n + 1))
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : (f '' s).Subsingleton
x : α
xs : x ∈ s
y : α
ys : y ∈ s
⊢ edist (f x) (f y) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
k : β → α
l : Filter β
⊢ f =o[Filter.map k l] g ↔ (f ∘ k) =o[l] (g ∘ k)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ArithmeticFunction R
⊢ ⇑f ⍟ ⇑g = ⇑(f * g)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x : PrimeSpectrum R
hx : x ∈ imageOfDf f
⊢ { asIdeal := Ideal.map C x.asIdeal, isPrime := ⋯ } ∈ (zeroLocus {f})ᶜ
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
⊢ HasCompactSupport fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))
α : Type u
s : Computation α
a : α
n : ℕ
⊢ a ∈ s.thinkN n ↔ a ∈ s
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : Z.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : 𝒰.J
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f g).obj i =
  CategoryTheory.Limits.pullback (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f (𝒰.map i))
    (CategoryTheory.Limits.pullback.snd g (𝒰.map i))
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
⊢ ↑a - ↑b + (↑a - ↑b) + 1 = ↑a.bit1 - ↑b.bit0
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
⊢ ∀ {ι_1 : Type u} (U : ι_1 → Set X), (∀ (i : ι_1), IsOpen (U i)) → ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i → ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
𝕜' : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
hc : DifferentiableOn 𝕜 c s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => c y • f y) s
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
DecidableEq (α ⊕ β)
f : α ⊕ β → γ
i : α
j : β
x : γ
⊢ Function.update f (Sum.inl i) x (Sum.inr j) = f (Sum.inr j)
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Icc A B)) l fun i => Set.Ioc (a i) (b i)
α : Type u_1
m n : Nat
l : List α
⊢ List.take n (List.drop m l) = List.drop m (List.take (m + n) l)
α : Type u_1
⊢ Quiver.SingleObj.toPrefunctor id = 𝟭q (Quiver.SingleObj α)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
this : mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦wrepr ((P F).wMk a f' f)⟧
⊢ mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦(P F).wMk a f' f⟧
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D
L : CategoryTheory.Functor C D
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor C H
F₁' F₂' : CategoryTheory.Functor D H
α₁ : L.comp F₁' ⟶ F₁
α₂ : L.comp F₂' ⟶ F₂
e : F₁ ≅ F₂
e' : F₁' ≅ F₂'
h :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerLeft L e'.hom) α₂ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp α₁ e.hom
⊢ F₁'.IsRightKanExtension α₁ ↔ F₂'.IsRightKanExtension α₂
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
x x' : (Quotient.out o).α
⊢ ¬x' < x ↔ x ≤ x'
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₁ a₂ : α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Function.Injective e
hs : ∀ c ∉ Set.range e, 1 ≤ g c
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g (e i)
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
⊢ a₁ ≤ a₂
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
⊢ ∀ {α_1 : Type u_1} {p₁ : (α → α_1) → Prop} {f : m (α → α_1)} {p₂ : α → Prop} [inst : Applicative m]
  [inst_1 : LawfulApplicative m] {x : m α},
  SatisfiesM p₁ f → SatisfiesM p₂ x → SatisfiesM (fun c => ∃ f a, p₁ f ∧ p₂ a ∧ c = f a) (Seq.seq f fun x_1 => x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
Z : C → Prop
X Y : CategoryTheory.FullSubcategory Z
⊢ ∀ {Z_1 : CategoryTheory.FullSubcategory Z} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z_1),
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ⩿ b
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderTop α
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s.dedup.inf = s.inf
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
U V : Set β
hU : U ⊆ f '' s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ f '' s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V
⊢ IsCompact (f ⁻¹' U)
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
n : Nat
h : n ≤ l₁.length
⊢ List.drop n (l₁ ++ l₂) = List.drop n l₁ ++ l₂
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
hc : DifferentiableOn 𝕜 c s
hd : DifferentiableOn 𝕜 d s
hx : ∀ x ∈ s, d x ≠ 0
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => c x / d x) s
F : PFunctor.{u}
x y : F.M
H : ∀ (i : ℕ), x.approx i = y.approx i
⊢ x = y
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Finset.Ioo a b = Finset.fin n (Finset.Ioo ↑a ↑b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.unopUnop C).map f = f.unop.unop
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ -(CliffordAlgebra.EquivEven.e0 Q * (CliffordAlgebra.EquivEven.v Q) m) =
  (CliffordAlgebra.EquivEven.v Q) m * CliffordAlgebra.EquivEven.e0 Q
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm (Fin 5)
h : 3 ∈ (c * g').cycleType
hd : c.Disjoint g'
left✝ : c.IsCycle
h3 : c.support.card = 3
n : ℕ
hn : n ∈ g'.cycleType
⊢ ?a + g'.support.card ≤ ?a + 2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : CategoryTheory.Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X : Cᵒᵖ
r r' : ↑(R.val.obj X)
m : ↑(A.val.obj X)
⊢ PresheafOfModules.Sheafify.smul α φ (r * r') m =
  PresheafOfModules.Sheafify.smul α φ r (PresheafOfModules.Sheafify.smul α φ r' m)
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
P Q : Submodule R A
x : A
hx : x ∈ P * Q
⊢ ∃ T T', ↑T ⊆ ↑P ∧ ↑T' ⊆ ↑Q ∧ x ∈ Submodule.span R (↑T * ↑T')
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
⊢ Function.Injective OpenAddSubgroup.toAddSubgroup
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.IsConjExponent q
hp₁ : 1 / p * p = 1
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
A : Type u_1
inst✝⁸ : Ring A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Algebra ℝ A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
ha₁ : IsSelfAdjoint (x ^ 2)
ha₂ : SpectrumRestricts (x ^ 2) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ 0 ≤ x ^ 2
R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
AddCommMonoid M₂
(i : Fin n.succ) → Module R (M i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M M₂
x : M 0
m : (i : Fin n) → M i.succ
⊢ (f.curryLeft x) m = f (Fin.cons x m)
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ s.powerset ⊆ t.powerset ↔ s ⊆ t
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
⊢ f =o[l] g ↔ ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (x : α) in l, ↑n * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
M : Type u
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
VAdd M X
IsometricVAdd M X
c : M
⊢ Isometry fun x => c +ᵥ x
z : ℂ
⊢ z.arg = -(π / 2) ↔ z.re = 0 ∧ z.im < 0
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Sheaf J A
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
⊢ Presheaf.IsLocallySurjective J ((sheafToPresheaf J A).map φ) ↔ IsLocallySurjective φ
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace α
S : Set ι
⊢ ⨆ i ∈ S, m i ≤ generateFrom (piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) S)
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
X : B
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
α β γ : F ⟶ G
m : α ⟶ β
n : β ⟶ γ
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp m n).app X = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (m.app X) (n.app X)
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
e : α ≃ β
he : UniformEmbedding ⇑e
⊢ CompleteSpace α ↔ CompleteSpace β
α : Type u_1
inst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddBelow s
ht₀ : t.Nonempty
ht₁ : BddAbove t
⊢ sInf (s / t) = sInf s / sSup t
G : Type u
inst✝³ : Groupoid G
inst✝² : IsFreeGroupoid G
T : WideSubquiver (Symmetrify (Generators G))
inst✝¹ : Arborescence (WideSubquiver.toType (Symmetrify (Generators G)) T)
X : Type u
inst✝ : Group X
f : ↑(wideSubquiverEquivSetTotal (wideSubquiverSymmetrify T))ᶜ → X
f' : Labelling (Generators G) X := fun a b e => if h : e ∈ wideSubquiverSymmetrify T a b then 1 else f ⟨{ left := a, right := b, hom := e }, h⟩
⊢ ∃! F, ∀ (a : ↑(wideSubquiverEquivSetTotal (wideSubquiverSymmetrify T))ᶜ), F ((fun e => loopOfHom T (of (↑e).hom)) a) = f a
F : Type u_3
R : outParam (Type u_4)
R' : outParam (Type u_5)
CommMonoid R
CommMonoidWithZero R'
FunLike F R R'
self : MulCharClass F R R'
χ : F
a : R
⊢ ¬IsUnit a → χ a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
h : f.lintegral μ ≠ ⊤
⊢ f.FinMeasSupp μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrder α
CompactIccSpace α
Filter.atTop.IsMeasurablyGenerated
OrderBot α
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[Filter.atTop] g
hg : MeasureTheory.IntegrableAtFilter g Filter.atTop μ
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
α : Type u
Semiring α
a : α
h2 : IsUnit a
x : α
⊢ Ideal.span {a * x} = Ideal.span {x}
a✝ b✝ c : Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a ♯ b = b ♯ a
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₁
K : Type w₂
f : K → J
g : J → I
X : (i : I) → C i
b : K
⊢ (CategoryTheory.Pi.comapComp C f g).hom.app X b = CategoryTheory.CategoryStruct.id (X (g (f b)))
α : Type u_1
OrderedSemiring α
x y : ↑(Set.Icc 0 1)
⊢ x * y ≤ y
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
x : G
hx : x ∈ H
⊢ ↑⟨x, hx⟩ = x
J : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J TopCat
∀ (X : TopCat), CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (TopCat.Presheaf C X)
F : J ⥤ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
⊢ (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.colimit F).presheaf =
  CategoryTheory.Limits.limit (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.pushforwardDiagramToColimit F).leftOp
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Computable List.length
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h₁ : a₁ < b₁
h : Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂
x : α
xa : a₁ < x
xb : x < b₁
⊢ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W
this✝¹ : IsIso (L.map z₂.s)
this✝ : IsIso (L.map z₃.s)
this : IsIso (L.map (z₂.s ≫ z₃.s))
⊢ z₁.map L ⋯ ≫ z₂.map L ⋯ = (z₁.comp₀ z₂ z₃).map L ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
this : Monotone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), F x ∂μ))
q a b c : ℚ
n : ℤ
d : ℕ
hd : d ≠ 0
hn : ¬n = 0
⊢ n /. ↑d * (n /. ↑d)⁻¹ = 1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hn : 1 ≤ n
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ PiTensorProduct.injectiveSeminorm x = ⨆ p, ↑p x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν✝ : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hf_lt : ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ < ⊤
hmem : ∀ᶠ (y : ℝ≥0∞) in 𝓝 (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ), ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ < y + ↑ε
s : Finset ι
ν : Measure α
hs : ∑ i ∈ s, ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ i + ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂ν < ∑ b ∈ s, (fun i => ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ i) b + ↑ε
hf : Integrable f (∑ i ∈ s, μ i) ∧ Integrable f ν
hν : ∑ i ∈ s, μ i + ν = Measure.sum μ
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν < ↑ε
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
Preorder α
PartialOrder β
h₀ : ∀ (b : β), 0 < b → ∀ (a₁ a₂ : α), a₁ ≤ a₂ → a₁ • b ≤ a₂ • b
⊢ SMulPosMono α β
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
T2Space α
ha : HasProd f a
⊢ ∏' (b : β), f b = a
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ≤ b⁻¹ ↔ b * a ≤ 1
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.119255, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'.val
X : Dᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj (ℱ.obj X)).obj U
⊢ (pushforwardFamily (homOver (whiskerLeft G.op α) (unop U)) a✝).Compatible
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : Computation α
a : α
h1 : a ∈ s
h2 : a ∈ t
a' : α
ma : a' ∈ s
⊢ a' ∈ t
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
b c d : R
n : ℤ
⊢ f (normEDS b c d n) = normEDS (f b) (f c) (f d) n
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
hr : IsUnit r
a b : R[X]
e : a * p + b * q = 1
s : R := ↑hr.unit⁻¹
this : (a * p).natDegree = (b * q).natDegree
⊢ s ^ (a * p).natDegree • s ^ (a.natDegree + p.natDegree - (a * p).natDegree) • a.scaleRoots r * p.scaleRoots r + s ^ (a * p).natDegree • s ^ (b.natDegree + q.natDegree - (b * q).natDegree) • b.scaleRoots r * q.scaleRoots r = 1
a b : ℝ
n✝ m n : ℕ
hc : Continuous fun u => u ^ m * (1 - u ^ 2) ^ n
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ m * cos x ^ (2 * n + 1) = ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ m * (1 - sin x ^ 2) ^ n * cos x
F✝ : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace β
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
H : ∀ (x₀ : α), ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ↑A), dist (↑i x) (↑i x') < ε
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
εε₁ : ε₁ < ε
ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2
ε₂0 : ε₂ > 0
U : α → Set α
hU : ∀ (x : α), x ∈ U x ∧ IsOpen (U x) ∧ ∀ y ∈ U x, ∀ z ∈ U x, ∀ {f : α →ᵇ β}, f ∈ A → dist (f y) (f z) < ε₂
tα : Set α
left✝¹ : tα ⊆ univ
hfin✝ : tα.Finite
htα : univ ⊆ ⋃ x ∈ tα, U x
val✝¹ : Fintype ↑tα
tβ : Set β
left✝ : tβ ⊆ univ
hfin : tβ.Finite
htβ : univ ⊆ ⋃ y ∈ tβ, ball y ε₂
val✝ : Fintype ↑tβ
F : β → β
hF : ∀ (y : β), F y ∈ tβ ∧ dist y (F y) < ε₂
⊢ ∃ β_1 x F, ∀ (x y : ↑A), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε