ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
ι_mul : ∀ (x : CliffordAlgebra Q) (m : M), P x → P ((ι Q) m * x)
⊢ ∀ (x : CliffordAlgebra Q), P x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
M : Subgroup H
hM✝ : IsCoatom M
hM : M ≠ ⊤
⊢ comap φ M ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
⊢ insert a s ⊆ t ↔ a ∈ t ∧ s ⊆ t
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
X : C
inst✝ : Simple X
Y Z : C
i : X ≅ Y ⊞ Z
h : ¬biprod.inl = 0
⊢ IsZero Z
G : Type u
inst✝² : Groupoid G
inst✝¹ : IsFreeGroupoid G
T : WideSubquiver (Symmetrify (Generators G))
inst✝ : Arborescence (WideSubquiver.toType (Symmetrify (Generators G)) T)
a : G
p : Path (root (WideSubquiver.toType (Symmetrify (Generators G)) T)) a
⊢ treeHom T a = homOfPath T p
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
FloorRing K
Fintype ι
x : E
⊢ (Zspan.quotientEquiv b) (Submodule.Quotient.mk x) = Zspan.fractRestrict b x
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ Submodule.map p.mkQ p = ⊥
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
⊢ (if Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpL1 hm μ f)
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
μ.IsAddLeftInvariant
ν.IsAddLeftInvariant
f : G → G → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable (Function.uncurry f) (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f (y + x) (-x) ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f x y ∂ν ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
q : ι → Prop
hq : ∀ (i : ι), p i → ∃ j, p j ∧ q j ∧ s j ⊆ s i
t : Set α
ht : t ∈ l
⊢ ∃ i, (p i ∧ q i) ∧ s i ⊆ t
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_clopen : ∀ (i : ι), IsClopen (s i)
h_nonempty : ∀ (i : ι), s i ≠ ∅
i j : ι
h_ne : i ≠ j
⊢ False
k : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a b b' : E
r : k
hb : b ≤ b'
hr : 0 ≤ r
⊢ (AffineMap.lineMap a b) r ≤ (AffineMap.lineMap a b') r
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ 1 < b⁻¹ * a ↔ b < a
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hgc : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
hle : ∀ x ∈ Set.Ioc a b, f x ≤ g x
hlt : ∃ c ∈ Set.Icc a b, f c < g c
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x < ∫ (x : ℝ) in a..b, g x
n : ℕ
⊢ Multiset.Nat.antidiagonalTuple 0 n.succ = 0
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hω : ω.length = cs.length (cs.wordProd ω)
⊢ cs.lengthParity (cs.wordProd ω) = Multiplicative.ofAdd ↑(cs.length (cs.wordProd ω))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MulOneClass α
MulOneClass β
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
f : F
a : α
s : Set α
⊢ ⇑f '' (a • s) = f a • ⇑f '' s
x : PSet
y : PSet
⊢ x.Equiv y ↔ (∀ (i : x.Type), ∃ j, (x.Func i).Equiv (y.Func j)) ∧ ∀ (j : y.Type), ∃ i, (x.Func i).Equiv (y.Func j)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
ε : α
ε0 : 0 < ε
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, abv (f j - f i) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
k : ℕ
ik : k ≥ i
⊢ abv (f k - f i) < ε / 2
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
α : Type u_3
β : Type u_4
Encodable β
CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 0
s : β → α
⊢ ∑' (i : ℕ), m (⨆ b ∈ Encodable.decode₂ β i, s b) = ∑' (b : β), m (s b)
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
LinearOrder R
LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
F.NeBot
cobdd : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F
⊢ Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) F f
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝³ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝² : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
M' : Type u_6
N' : Type u_7
inst✝¹ : MulOneClass M'
inst✝ : MulOneClass N'
f : M →* N
g : M' →* N'
⊢ mker (f.prodMap g) = (mker f).prod (mker g)
a : ℝ≥0∞
r : ℝ≥0
⊢ a ≤ ↑r ↔ ∃ p, a = ↑p ∧ p ≤ r
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
U : ↥(unitary R)
⊢ U * star U = 1
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq n
Semiring α
i j : n
c : α
Fintype n
a b : n
hbj : b ≠ j
M : Matrix n n α
⊢ (M * Matrix.stdBasisMatrix i j c) a b = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
⊢ (fun x => if i = x then 1 else 0) ∈ stdSimplex 𝕜 ι
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0
⊢ Finset.image (fun t => p ^ (t + 1)) (Finset.range (padicValNat p n)) ⊆ n.divisors.erase 1
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
s : Set ι
⊢ I.splitCenterBoxEmb s = I.splitCenterBox s
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
xi : ι
xv : A xi
yi : ι
yv : A yi
⊢ (f (xi + yi)) (GradedMonoid.GMul.mul xv yv) = (f xi) xv * (f yi) yv
α : Type u
DivisionMonoid α
b : α
h : IsUnit b
a : α
⊢ a * b⁻¹ * b = a
y : ℝ
hy : 0 < y
b x : ℝ
hx : max b 0 ^ (1 / y) ≤ x
⊢ b ≤ x ^ y
F : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
FunLike F M N
AddMonoid M
AddMonoid N
AddMonoidHomClass F M N
f : F
x : M
h : IsAddUnit x
⊢ IsAddUnit (f x)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
b : Set (Set X)
hb : IsTopologicalBasis (range fun i => ↑i)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
hb' : b = range fun i => ↑i
s : Set ↑b
hs : s.Finite
hU : U = ⋃ i ∈ s, ↑i
this : Finite ↑s
x✝ : Fintype ↑s := Fintype.ofFinite ↑s
⊢ U = ⋃₀ (Subtype.val '' ↑s.toFinset)
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
r : HomRel C
CategoryTheory.Congruence r
hr : ∀ (a : R) ⦃X Y : C⦄ (f₁ f₂ : X ⟶ Y), r f₁ f₂ → r (a • f₁) (a • f₂)
a : R
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ a • (CategoryTheory.Quotient.functor r).map f = (CategoryTheory.Quotient.functor r).map (a • f)
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
⊢ w.GuitartExact ↔ ∀ (X₃ : C₃), (w.costructuredArrowRightwards X₃).Final
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MulHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
hm : Injective ⇑m
s t : Set β
hs : s ⊆ range ⇑m
ht : t ⊆ range ⇑m
⊢ ⇑m '' (⇑m ⁻¹' (s * t)) = ⇑m '' (⇑m ⁻¹' s * ⇑m ⁻¹' t)
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => Real.sin (f x)) (Real.cos (f x) * f') s x
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
Bint : B ∈ lifts (Int.castRingHom K)
⊢ cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_5
Finite ι
E : ι → Type u_6
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
I : Set ι
h : ∀ i ∈ I, UniqueDiffOn 𝕜 (s i)
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (I.pi s)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
NormedRing 𝕜
(i : α) → Module 𝕜 (E i)
∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
hp : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
IsDomain A
Algebra A K
IsFractionRing A K
L : Type u_4
Field L
C : Type u_5
CommRing C
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
Algebra C L
IsIntegralClosure C A L
Algebra A C
IsScalarTower A C L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsPrincipalIdealRing A
NoZeroSMulDivisors A L
⊢ FiniteDimensional.finrank A C = FiniteDimensional.finrank K L
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : Profinite
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget Profinite).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
⊢ ↑(a z) = ↑(b z)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
α : F ≅ G
X : C
x : G.obj X
⊢ α.hom.app X (α.inv.app X x) = x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I✝ : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'
this : sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ comap (algebraMap R S) P'
I : Ideal R
hI : I ∈ {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
⊢ map (algebraMap R S) I ∈ {J | P' ≤ J ∧ J.IsMaximal}
R : Type u
CommSemiring R
s t : Set (PrimeSpectrum R)
h : s ⊆ t
⊢ PrimeSpectrum.vanishingIdeal t ≤ PrimeSpectrum.vanishingIdeal s
α : Type u_1
Ring α
a : α
n : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a n → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a (Int.ofNat n)
a b c a' b' c' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
hb : b' < b
hc : c' < c
⊢ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c' < a ⨳ b ⨳ c ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c'
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x✝ y z : P
r R✝ R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P
⊢ inversion x R (inversion x R x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
h : (Function.mulSupport f).Finite
⊢ Multipliable f
ι : Type v
M : Type u_1
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
A : ι → AddSubmonoid M
h : DirectSum.IsInternal A
⊢ iSup A = ⊤
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h₁ : RespectsIso P
h₂ : ∀ ⦃R S T : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], P (algebraMap R T) → P Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom
R S R' S' : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : CommRing R'
inst✝⁷ : CommRing S'
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R' S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
h : Algebra.IsPushout R S R' S'
H : P (algebraMap R S)
e : TensorProduct R R' S ≃ₛₗ[id R'] S' := ⋯.equiv
⊢ P (algebraMap R' S')
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q r : R✝[X]
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
⊢ (↑n).coeff 0 = ↑n
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
F G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) D
φ : F ⟶ G
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ φ.app P =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map P.decompId_i)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (φ.app { X := P.X, p := CategoryTheory.CategoryStruct.id P.X, idem := ⋯ })
      (G.map P.decompId_p))
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
⊢ IsPGroup p G ↔ ∃ n, Nat.card G = p ^ n
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
⊢ 0 ≤ seminormFromBounded' f
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc α ℝ := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun x_1 => ↑(fs x_1) x) atTop (𝓝 (f x))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (x : α), ‖↑(fs n) x‖ ≤ c
⊢ μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ ⇑sqrt
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁
hR₂ : 0 < R₂
hc : dslope f c z = 0
⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
p q✝ : ℚ
q : ℚ≥0
hq : 0 < q
hp : p < 0
⊢ q ≤ p.toNNRat ↔ ↑q ≤ p
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a b : α
h : MonotoneOn f (Set.Icc a b)
⊢ Set.MapsTo f (Set.Icc a b) (Set.Icc (f a) (f b))
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1).succ
h : j ≤ i
this : j = castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩
⊢ ↑(i.cycleRange j) = ↑(if j = i then 0 else j + 1)
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)
i : Nat
x✝¹ : i + 1 ≤ as.size
x✝ : β
j : Nat
ij : j + (i + 1) = as.size
j_eq : j = as.size - 1 - i
this✝ : as.size - 1 - i < as.size
this : as[as.size - 1 - i] :: List.drop (j + 1) as.data = List.drop j as.data
⊢ (do let __do_lift ← f as[as.size - 1 - i] x✝ match __do_lift with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => forIn.loop as f i ⋯ b) = forIn (List.drop j as.data) x✝ f
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s✝ s : Set G
N : Subgroup G
hN : N.Normal
⊢ ⋃ a ∈ s, (fun x => a * x) '' ↑N = ⋃ a ∈ s, (fun x => x * a) '' ↑N
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
DecidableEq l
DecidableEq m
A : Matrix m n α
i : m
r : n → α
e : m ≃ l
f : n ≃ o
⊢ (Matrix.reindex e f) (A.updateRow i r) = ((Matrix.reindex e f) A).updateRow (e i) fun i => r (f.symm i)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : ℕ → β
g : CauSeq β abv
h : ∀ ε > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (f j - ↑g j) < ε
⊢ IsCauSeq abv f
ι : Type u_1
Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
⊢ (⇑b = fun x => 1) ∨ ⇑b = fun x => -1
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
self : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.id T) (CategoryTheory.Functor.fromPUnit X)
⊢ (CategoryTheory.Over.forgetCocone X).ι.app self = self.hom
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
Fintype ↥S
h : Fintype.card ↥S ≤ 1
⊢ S = ⊥
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.re
hz_im : 0 ≤ z.im
H : MapsTo Neg.neg (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) (Iio 0 ×ℂ Iio 0)
⊢ ∃ c < 2, ∃ B, (f ∘ Neg.neg) =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I✝ : C
Fm : I✝ ⟶ Y
m_mono✝¹ : Mono Fm
e✝¹ : X ⟶ I✝
Ffac : e✝¹ ≫ Fm = f
Fm' : I✝ ⟶ Y
m_mono✝ : Mono Fm'
e✝ : X ⟶ I✝
Ffac' : e✝ ≫ Fm' = f
hm : Fm = Fm'
⊢ e✝¹ = e✝
a b : ℕ
hb0 : b ≠ 0
hab : a ∣ b
p : ℕ
⊢ p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
n : ℕ∞
ι : Type u_3
Fintype ι
F' : ι → Type u_5
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n (fun x i => φ i x) (fun x m => ContinuousMultilinearMap.pi fun i => p' i x m) s ↔
  ∀ (i : ι), HasFTaylorSeriesUpToOn n (φ i) (p' i) s
a : ℕ
⊢ jacobiSymNat a 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
Semiring α
h : Function.Periodic f c
n : ℕ
⊢ f (↑n * c) = f 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
DivisionSemiring α
h : Function.Periodic f c
a : α
⊢ Function.Periodic (fun x => f (a * x)) (a⁻¹ * c)
n : ℕ
hn : 0 < n
w z : ℂ
h : w.re ≤ z.re
⊢ ‖↑n ^ w‖ ≤ ‖↑n ^ z‖
R : Type u_1
M : Type u_9
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
σ : R →+* R
f g : R →ₛₗ[σ] M
⊢ f = g ↔ f 1 = g 1
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
h : ringChar R = 1
⊢ False
α : Type u_2
MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : MeasureTheory.Conservative f μ
hsm : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
hs₀ : μ s ≠ 0
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[m] x ∈ s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i
⊢ Function.update f i '' Set.Icc (f i) b = Set.Icc f (Function.update f i b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
f✝ f g : α → ℚ → ℝ
a : α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hf : p a → IsRatStieltjesPoint f a
hg : ¬p a → IsRatStieltjesPoint g a
h : p a
⊢ Monotone (f a)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r p q : R[X]
n : ℕ
hp : p.natDegree ≤ n
hq : q.natDegree ≤ n
⊢ p = q ↔ ∀ i ≤ n, p.coeff i = q.coeff i
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
⊢ ∃ δ,
  ∃ (_ : 0 < δ),
    ∀ (s : Set α),
      MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → MeasureTheory.eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
h : CategoryTheory.AreEqualizedByLocalization W f g
L : CategoryTheory.Functor C D
L.IsLocalization W
⊢ L.map f = L.map g
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
s : Set α
⊢ x ∈ closure s ↔ EMetric.infEdist x s = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
x✝¹ : N
x✝ : Dual R N
⊢ (↑(e ≪≫ₗ e.flip.symm.dualMap) x✝¹) x✝ = ((Dual.eval R N) x✝¹) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : InfiniteDimensionalOrder α
m✝ : WithBot (WithTop ℕ)
hm✝ : ∀ (i : LTSeries α), ↑i.length ≤ m✝
m : ℕ
hm : ∀ (i : LTSeries α), ↑i.length ≤ some (some m)
⊢ some (some m) < ↑(LTSeries.withLength α (m + 1)).length
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace β
mα : MeasurableSpace α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace γ} {f : α → β} {μ : MeasureTheory.Measure γ} {g : γ → α},
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (MeasureTheory.Measure.map g μ) →
    AEMeasurable g μ → MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' (MeasurableSpace.comap g mα) (f ∘ g) μ
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x✝ : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
hf'✝ : TendstoUniformly f' g' l
hf✝ : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ (x : 𝕜), HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg✝ : ∀ (x : 𝕜), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : 𝕜
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ Set.univ, HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ Set.univ, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hf' : TendstoUniformlyOn f' g' l Set.univ
⊢ HasDerivAt g (g' x) x
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom f g).comp MvPolynomial.C = f
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h✝ : ContfracLegendre.Ass ξ u v
q : ℚ
h : |ξ - ↑q| < 1 / (2 * ↑q.den ^ 2)
⊢ IsCoprime q.num ↑q.den
M : Type u_1
S : Set M
CommSemigroup M
⊢ S.centralizer = Set.univ
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
⊢ log y / y ≤ log x / x
f : ℝ → ℝ
hf' : ∀ (x : ℝ), 0 < deriv f x
⊢ StrictMono f
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b c : α
⊢ Codisjoint a (b ⊔ c) ↔ Codisjoint b (a ⊔ c)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
p : α → Prop
q : β → Prop
r : γ → Prop
e : α ≃ β
f : β ≃ γ
h : ∀ (a : α), p a ↔ q (e a)
h' : ∀ (b : β), q b ↔ r (f b)
⊢ (e.subtypeEquiv h).trans (f.subtypeEquiv h') = (e.trans f).subtypeEquiv ⋯
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
⊢ Nat.find h = 0 ↔ p 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
this : ∀ (U : (Opens ↑↑(D.U i))ᵒᵖ), (D.f i j).c.app U ≫ (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i j).base).obj (unop U))) = ((D.f i k).c.app U ≫ (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i k).base).obj (unop U)))) ≫ (pullback (D.f i j) (D.f i k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
⊢ (D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) = (D.f i j).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) ((Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).toPrefunctor.1 U) ≫ (D.V (i, k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s
⊢ (PartialHomeomorph.ofSet s hs).toPartialEquiv = PartialEquiv.ofSet s
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex
rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n
rs_null : ∀ (n : ℕ), μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
Fthicks_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (Metric.thickening (rs n) F)
key : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs n) F)) L (𝓝 (μ (Metric.thickening (rs n) F)))
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
μF_finite : μ F < ⊤
keyB : Tendsto (fun r => μ (Metric.cthickening r F)) (𝓝 0) (𝓝 (μ F))
nhd : Iio (μ F + ↑ε) ∈ 𝓝 (μ F)
m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, μ (Metric.cthickening (rs b) F) < μ F + ↑ε
aux' : ∀ (i : ι), (μs i) F ≤ (μs i) (Metric.thickening (rs m) F)
⊢ limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F + ↑ε
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
⊢ ⋃ p ∈ associatedPrimes R M, ↑p = {r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r ∈ (Submodule.span R {x}).annihilator}
n : ℕ
⊢ ↑n ∈ Complex.slitPlane ↔ n ≠ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n : ℕ
yr' : ‖y‖ < ↑r'
hr'0 : 0 < ↑r'
this : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n / (1 - a)
α : Type u_1
Preorder α
a : α
x : WithZero α
⊢ ↑a ≤ x ↔ ∃ b, x = ↑b ∧ a ≤ b
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
this : log x ≠ 0
⊢ deriv ε x = -x⁻¹ / log x ^ 2
R : Type u_1
Ring R
BinomialRing R
r s : R
k : ℕ
h : Commute r s
⊢ Ring.choose (r + s) k = ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal k, Ring.choose r ij.1 * Ring.choose s ij.2
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
x : ↑I
⊢ (γ.truncate 0 1) x = γ x