ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
⊢ Q.actRight ≫ f.inv = f.inv ▷ Y.X ≫ P.actRight
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : Ring β
f : β →+* α
hf : Injective ⇑f
⊢ IsDomain β
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ≥0∞
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y
⊢ Continuous f
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Set (α × α) → Filter β
h : Monotone f
⊢ Monotone f
f✝ : ℝ → ℝ
x✝ f' : ℝ
s : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
h₁ : DifferentiableAt ℝ f x
h₂ : f x ≠ 0
⊢ deriv (log ∘ f) x = logDeriv f x
α : Type u_2
M : Matroid α
X : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ M.closure X = ⋂₀ {F | M.Flat F ∧ X ⊆ F}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_3
E : Type u_4
CategoryTheory.Category.{max v u, u_3} D
CategoryTheory.Category.{max v u, u_4} E
F : CategoryTheory.Functor D E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
(X : C) →
    (W : J.Cover X) →
      (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.ConcreteCategory E
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget E)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget E)
(CategoryTheory.forget D).ReflectsIsomorphisms
(CategoryTheory.forget E).ReflectsIsomorphisms
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (CategoryTheory.sheafToPresheaf J E).map
    ((CategoryTheory.sheafComposeNatTrans J F (CategoryTheory.plusPlusAdjunction J D)
          (CategoryTheory.plusPlusAdjunction J E)).app
      P) =
  (J.sheafifyCompIso F P).inv
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x) = (ghostComponent n) (g x)
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (g x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (ψ n)
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ : 𝕎 R✝
n : ℕ
⊢ (f x✝).coeff n = (g x✝).coeff n
R : Type u_3
StrictOrderedSemiring R
a : R
h : 1 < a
⊢ StrictMono fun x => a ^ x
P : TopCat → Prop
α : Type w
Finite α
X : α → CompHausLike P
CompHausLike.HasExplicitFiniteCoproduct X
a : α
⊢ OpenEmbedding ⇑(CategoryTheory.Limits.Sigma.ι X a)
A : Type u_10
A₂ : Type u_11
AddCommGroup A
AddCommGroup A₂
f : A →+ A₂
s : AddSubgroup A
⊢ Submodule.map f.toIntLinearMap (AddSubgroup.toIntSubmodule s) = AddSubgroup.toIntSubmodule (AddSubgroup.map f s)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
ι : Type u_4
Nonempty ι
K : ι → Subalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (Subalgebra.inclusion h)
T : Subalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
x : ↥T
hx : ↑x ∈ K i
⊢ (Subalgebra.iSupLift K dir f hf T hT) x = (f i) ⟨↑x, hx⟩
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[>] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[>] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ab : a < b
sab : Ioc a b ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo a b
ts : t ⊆ s
t_diff : DifferentiableOn ℝ f t
t_conv : Convex ℝ t
t_open : IsOpen t
t_closure : closure t = Icc a b
t_cont : ∀ y ∈ closure t, ContinuousWithinAt f t y
t_diff' : Tendsto (fun x => fderiv ℝ f x) (𝓝[t] a) (𝓝 (smulRight 1 e))
⊢ HasDerivWithinAt f e (Ici a) a
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[>] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[>] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ab : a < b
sab : Ioc a b ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo a b
ts : t ⊆ s
⊢ HasDerivWithinAt f e (Ici a) a
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
⊢ (⊤.toMultiequalizer P ≫ (J.diagram P X).map e.op ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
L.IsLocalization W
⊢ CategoryTheory.Localization.whiskeringLeftFunctor' L W E =
  (CategoryTheory.Localization.whiskeringLeftFunctor L W E).comp
    (CategoryTheory.inducedFunctor CategoryTheory.FullSubcategory.obj)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.toSubgraph ≤ ⊤.induce {v_1 | v_1 ∈ p.support}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
x z : E
hz : z ∈ s
hxz : dist x z < δ + ε
⊢ ∃ z, (∃ z_1 ∈ s, dist z z_1 < δ) ∧ dist x z < ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
c a : 𝕜
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
hac : a < c
⊢ (lineMap x y) a ∈ insert ((lineMap x y) c) (⇑(lineMap x ((lineMap x y) c)) '' Ioo 0 1 ∪ ⇑(lineMap ((lineMap x y) c) y) '' Ioo 0 1)
α : Type u_2
β : Type u_3
e : α ≃ β
s : Set β
⊢ (RelIso.symm e.toOrderIsoSet) s = ⇑e.symm '' s
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.L₀'.Exact
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
⊢ (imageMonoIsoSource f).hom ≫ (imageMonoIsoSource f).inv ≫ image.ι f = image.ι f
α : Type u_1
PartialOrder α
⊢ (fun x x_1 => x ⩿ x_1) = Relation.ReflGen fun x x_1 => x ⋖ x_1
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N' : Type u_6
AddCommGroup N'
Module R N'
ι : Type u_7
g : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
m : ι → M
⊢ (-g) m = -g m
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
x y : α
s : Multiset α
ih : x ∈ s → map f (s.erase x) = (map f s).erase (f x)
h : x ∈ y ::ₘ s
⊢ map f ((y ::ₘ s).erase x) = (map f (y ::ₘ s)).erase (f x)
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring R✝
r : R✝
p✝ : R✝[X]
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid S✝
inst✝³ : Pow S✝ ℕ
inst✝² : MulActionWithZero R✝ S✝
x✝ : S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : Semiring R
S : Type u_4
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
x : S
this : Module R S := f.toModule
⊢ (p.sum fun e a => f a * x ^ e) = p.sum (smul_pow x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ ∑ x ∈ f.range, ‖T (↑f ⁻¹' {x})‖ * ‖x‖ ≤ ∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ
⊢ ↑(Int.negSucc n) * (x✝¹ * x✝) = ↑(Int.negSucc n) * x✝¹ * x✝
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β → δ
s₁ : Stream' α
s₂ : Stream' β
⊢ Stream'.zip f s₁ s₂ = Stream'.cons (f s₁.head s₂.head) (Stream'.zip f s₁.tail s₂.tail)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
⊢ μ' ≤ μ + μ'
α : Type u
a : α
CommSemiring α
I : Ideal α
ha : a ∈ I
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ a ^ n ∈ I
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (type r).IsLimit
S : Set α
H : ∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b
Se : #↑S = (type r).cof
⊢ #α < #α ^ (type r).cof
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ ¬Filter.Tendsto f l₁ l₂ ↔ ∃ s ∈ l₂, ∃ᶠ (x : α) in l₁, f x ∉ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
h : HasMFDerivAt I I' f x f'
⊢ mfderiv I I' f x = f'
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
h : p ≠ 0
⊢ (∀ m ≤ 1, ((⇑derivative)^[m] p).IsRoot t) ↔ p.IsRoot t ∧ (derivative p).IsRoot t
R : Type u_1
S : Type u_3
M : Type u_2
CommRing R
Field S
AddCommGroup M
Algebra R S
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
B : LinearMap.BilinForm S M
N₁ N₂ : Submodule R M
⊢ N₁ ≤ B.flip.dualSubmodule N₂ ↔ N₂ ≤ B.dualSubmodule N₁
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h₂ : ∀ (z : ℂ), (f z).re = z.re
z : ℂ
h₁ : √(normSq (f z)) = √(normSq z)
⊢ (f z).im = z.im ∨ (f z).im = -z.im
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
ContinuousMul G
a : G
⊢ IsClosedMap fun x => a * x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a' : α → γ
b b' : β → γ
Div γ
⊢ Sum.elim (a / a') (b / b') = Sum.elim a b / Sum.elim a' b'
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
BorelSpace X
ConditionallyCompleteLinearOrder X
ConditionallyCompleteLinearOrder E
OrderTopology X
OrderTopology E
SecondCountableTopology E
hmono : MonotoneOn f s
a b : X
ha : IsLeast s a
hb : IsGreatest s b
hs : μ s ≠ ⊤
h's : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set α
⊢ sInf s = ⨅ a ∈ s, a
α : Type u_1
ι : Sort u_5
SupSet α
f : PLift ι → α
⊢ ⨆ i, f { down := i } = ⨆ i, f i
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f g : α → F
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ ≤ MeasureTheory.eLpNormEssSup g μ
R : Type u_1
Semiring R
f : { p // p.degree ≤ 3 }
⊢ (Cubic.equiv.symm f).a = (↑f).coeff 3
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
⊢ a + -b = a - b
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree (Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A))
this : ↑A = Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A)
⊢ False
S : Type u_5
Semiring S
M : Type u_6
AddCommMonoid M
Module S M
m : Submodule S M
F : Type u_7
FunLike F M M
f : F
self : LinearMap.IsProj m f
x : M
⊢ x ∈ m → f x = x
K : Type u_1
σ : Type u_2
Fintype K
Fintype σ
Field K
a b : σ → K
h : a ≠ b
⊢ (MvPolynomial.eval a) (MvPolynomial.indicator b) = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
x : H
⊢ Filter.map (↑I) (𝓝[s] x) = 𝓝[↑I '' s] ↑I x
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
x y : F
h : SameRay ℝ x y
hn : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ x = y
α : Type u
TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → TopologicalSpace.Opens α
⊢ (TopCat.GlueData.ofOpenSubsets U).J = J
n : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
⊢ (p.predAbove i).rev = p.rev.predAbove i.rev
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
hf : _root_.Embedding f
s : Set α
x : α
⊢ map f (𝓝[s] x) = 𝓝[f '' s] f x
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (α_ P.X Q.X (𝟙_ C)).hom ≫ P.X ◁ (ρ_ Q.X).hom ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
h : ∃ l, l < a
⊢ ∃ l < a, Set.Ioc l a ⊆ s
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
a : A
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NoZeroDivisors R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
p : R[X]
h : (aeval a) p = 0
h' : p ≠ 0
⊢ IsTorsion R[X] (AEval R M a)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : BoundedContinuousFunction α β
x : α
⊢ nndist (f x) (g x) ≤ nndist f g
n m : ℕ
h : 0 < m
⊢ 1 ≤ m ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ (MeasureTheory.SimpleFunc.map g f).lintegral μ = ∑ x ∈ f.range, g x * μ (↑f ⁻¹' {x})
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
s' : Finset α
hs' : s' ⊆ s
t' : Finset α
ht' : t' ⊆ t
hs : ↑s.card * 1 ≤ ↑s'.card
ht : ↑t.card * 1 ≤ ↑t'.card
⊢ |↑(G.edgeDensity s' t') - ↑(G.edgeDensity s t)| < 1
a b c : ℕ
hb : 0 < b
⊢ a ≤ c / b ↔ a * b ≤ c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
c : ℝ≥0∞
c_pos : 0 < c
hc : map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ map (⇑L) μ = c • ν
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
e : u ⟶ v
e' : u' ⟶ v'
⊢ cast hu hv e = e' ↔ HEq e e'
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
v : V
hv : v ∈ small
cf : G.CliqueFree (r + 1)
large_eq : fp.part w = large
small_eq : fp.part v = small
⊢ G.edgeFinset.card < (G.replaceVertex v w).edgeFinset.card
α : Type u_1
n : ℕ
s t : Multiset α
⊢ s ∈ Multiset.powersetCard n t ↔ s ≤ t ∧ Multiset.card s = n
V : Type (u + 1)
inst✝³ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
W : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory W
inst✝¹ : MonoidalCategory V
inst✝ : MonoidalCategory W
F : MonoidalFunctor V W
G : MonCat
X Y : Action V G
⊢ (inv ((F.mapAction G).μ X Y)).hom = inv (F.μ X.V Y.V)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : (CategoryTheory.Square C)ᵒᵖ} (φ : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Square.opFunctor.map φ).τ₁ = φ.unop.τ₄.op
n : ℕ
x y : EuclideanQuadrant n
h : ↑x = ↑y
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
la : Filter α
pa : α → Prop
ha : ∀ᶠ (x : α) in la, pa x
lb : Filter β
pb : β → Prop
hb : ∀ᶠ (y : β) in lb, pb y
⊢ ∀ᶠ (p : α × β) in la ×ˢ lb, pa p.1 ∧ pb p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0∞
a : α
⊢ (κ.withDensity f) a ≪ κ a
n k : ℕ
⊢ n.multichoose k = (n + k - 1).choose k
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
m : E
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ici a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : MeasureTheory.IntegrableOn f' (Set.Ioi a) MeasureTheory.volume
hf : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 m)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi a, f' x = m - f a
X : Scheme
inst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : IsNilpotent s
x : ↥U
⊢ (X.sheaf.presheaf.germ x) s = 0
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
⊢ comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap) = Q₁.tmul Q₃
M : Type u_6
Monoid M
u : Mˣ
⊢ ⇑u.mulLeft = fun x => ↑u * x
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ a ⋖ b ↔ IsCoatom ⟨a, h⟩
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Mul α
a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ b₁₁ b₁₂ b₁₃ b₂₁ b₂₂ b₂₃ b₃₁ b₃₂ b₃₃ : α
i j : Fin 3
⊢ (!![a₁₁, a₁₂, a₁₃; a₂₁, a₂₂, a₂₃; a₃₁, a₃₂, a₃₃] * !![b₁₁, b₁₂, b₁₃; b₂₁, b₂₂, b₂₃; b₃₁, b₃₂, b₃₃]) i j = !![a₁₁ * b₁₁ + a₁₂ * b₂₁ + a₁₃ * b₃₁, a₁₁ * b₁₂ + a₁₂ * b₂₂ + a₁₃ * b₃₂, a₁₁ * b₁₃ + a₁₂ * b₂₃ + a₁₃ * b₃₃; a₂₁ * b₁₁ + a₂₂ * b₂₁ + a₂₃ * b₃₁, a₂₁ * b₁₂ + a₂₂ * b₂₂ + a₂₃ * b₃₂, a₂₁ * b₁₃ + a₂₂ * b₂₃ + a₂₃ * b₃₃; a₃₁ * b₁₁ + a₃₂ * b₂₁ + a₃₃ * b₃₁, a₃₁ * b₁₂ + a₃₂ * b₂₂ + a₃₃ * b₃₂, a₃₁ * b₁₃ + a₃₂ * b₂₃ + a₃₃ * b₃₃] i j
K : Type u
V : Type v
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Ring E
inst✝ : Algebra F E
hr : finrank F E = 2
i : Nontrivial E := nontrivial_of_finrank_pos (LT.lt.trans_eq zero_lt_two (Eq.symm hr))
S : Subalgebra F E
this✝¹ : FiniteDimensional F E
this✝ : FiniteDimensional F ↥S
this : finrank F ↥S ≤ 2
⊢ S = ⊥ ∨ S = ⊤
α : Type u_1
n : Type u_4
m : Type u_5
Zero α
A : Matrix n n α
ha : A.IsDiag
f : m → n
hf : Function.Injective f
⊢ (A.submatrix f f).IsDiag
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
⊢ LinearMap.ker f.dualMap = (LinearMap.range (Module.Dual.eval R M' ∘ₗ f)).dualCoannihilator
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v✝ : Valuation R Γ₀
x✝ y z : R
v : Valuation K Γ₀
x : K
h : x ≠ 0
⊢ v x ≤ 1 ↔ 1 ≤ v x⁻¹
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : X ≅ 0
h : f = i.hom ≫ 𝟙 0 ≫ i.inv ≫ f
⊢ f = 0
P : PFunctor.{u}
α : Type u
p : α → Prop
a : P.A
f : P.B a → α
⊢ (∃ a_1 f_1, ⟨a, f⟩ = ⟨a_1, f_1⟩ ∧ ∀ (i : P.B a_1), p (f_1 i)) ↔ ∀ (i : P.B a), p (f i)
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a : R
⊢ (if a0 : 0 = 0 then a else let_fun x := ⋯; gcd (a % 0) 0) = a
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
Archimedean α
ExistsAddOfLE α
x y : α
hx : 0 < x
hy : 1 < y
⊢ ∃ n, x ∈ Set.Ico (y ^ n) (y ^ (n + 1))
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
hs : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)
u v : Set ((i : ι) → π i)
uo : IsOpen u
vo : IsOpen v
hsuv : univ.pi s ⊆ u ∪ v
f : (i : ι) → π i
hfs : f ∈ univ.pi s
hfu : f ∈ u
g : (i : ι) → π i
hgs : g ∈ univ.pi s
hgv : g ∈ v
hI : ∅.piecewise f g ∈ u
⊢ (univ.pi s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
N : ℕ
k n : ℤ
f : SlashInvariantForm (Gamma N) k
z : ℍ
Hn : ModularGroup.T ^ (↑N * n) ∈ Gamma (↑N).natAbs
⊢ f (ModularGroup.T ^ (↑N * n) • z) = f z
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalRing A
Module R A
a : A
r : Rˣ
hr : ¬IsQuasiregular (-(r⁻¹ • a))
⊢ ↑r ∈ quasispectrum R a
α β : HeytAlg
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget HeytAlg).obj β
⊢ ({ toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_bot' := ⋯, map_himp' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_bot' := ⋯, map_himp' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂(μ s)⁻¹ • μ.restrict s
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x ≤ y
⊢ derivWithin f S y ≤ derivWithin f S x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : α ≃ₜ β
g : β ≃ₜ γ
⊢ TopologicalSpace.Compacts.equiv (f.trans g) =
  (TopologicalSpace.Compacts.equiv f).trans (TopologicalSpace.Compacts.equiv g)
d n : ℕ
hd : d ≠ 0
hdn : d ≤ n
⊢ d ∣ n ↔ (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization
n : ℕ+
K : Type u
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
⊢ ∃ r < ↑n, x = ζ ^ r ∨ x = -ζ ^ r
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U V : X.Opens
W : (↑U).Opens
e : W ≤ U.ι ⁻¹ᵁ V
⊢ X.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (homOfLE ⋯).op) = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
α : Type u_1
BooleanRing α
a b : α
⊢ a ⊓ (a ⊔ b) = a
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
x✝ : X✝
⊢ FreeAlgebra.ι R (g✝ (f✝ x✝)) = ((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) (((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝)) (FreeAlgebra.ι R x✝))
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : Finite ι
⊢ MeasurableSet (fundamentalDomain b)
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ⌊OfNat.ofNat n⌋₊ = n
α : Type u_2
AddGroup α
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ -(AddOpposite.op a +ᵥ s) = -a +ᵥ -s
β : Type u_3
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
LE β
u₁ v₁ : α₁ → β
u₂ v₂ : α₂ → β
⊢ Sum.elim u₁ u₂ ≤ Sum.elim v₁ v₂ ↔ u₁ ≤ v₁ ∧ u₂ ≤ v₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β
⊢ Set.range (s.piecewise f g) = f '' s ∪ g '' sᶜ
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
hV : IsClosed V
⊢ IsClosed (UniformSpace.ball x V)
R : Type u_2
Add R
Mul R
c d : RingCon R
H : ⇑c = ⇑d
⊢ c = d
n m : ℕ
hm : m ≠ 0
⊢ n ∈ m.divisors ↔ n ∣ m ∧ m ≠ 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
⊢ f < g ∨ f ≈ g ∨ g < f