ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
⊢ (LocalizedModule.divBy s) (((algebraMap R (Module.End R (LocalizedModule S M))) ↑s) p) = p
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
hb : b < b'
hr : 0 < r
⊢ (1 - r) • a + r • b < (1 - r) • a + r • b'
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
⊢ ⇑(ContinuousMap.equivBoundedOfCompact α β).symm = BoundedContinuousFunction.toContinuousMap
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X : D
⊢ adj1.unit.app (G.obj X) ≫ f.app (F.obj (G.obj X)) ≫ G'.map (adj1.counit.app X) = f.app X
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f g : R →+* S
s : Set R
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(Subsemiring.closure s)
α : Type u_2
ι : Type u_5
DistribLattice α
OrderTop α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
⊢ a ⊔ s.inf f = s.inf fun i => a ⊔ f i
G : Type u_1
M : Type u_3
AddGroup G
AddMonoid M
AddAction G M
VAddCommClass G M M
VAddAssocClass G M M
m : M
g : G
h : IsAddUnit m
⊢ IsAddUnit (g +ᵥ m)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : InfConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
ha : IsGLB (range f) a
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 a)
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
⊢ ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a : α
h : StrictMono f
⊢ f '' Set.Ioi a ⊆ Set.Ioi (f a)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G
f : (Fin n → G) →₀ k
r : k
⊢ (diagonalSucc k G n).inv.hom (single g r ⊗ₜ[k] f) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k (Fin n → G)) fun f => single (g • partialProd f) r) f
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
C : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_5, u_4} C
X Y Z : GradedObject I C
φ : X ⟶ Y
e : X ≅ Y
ψ : Y ⟶ Z
p : I → J
j✝ : J
inst✝² : X.HasMap p
inst✝¹ : Y.HasMap p
inst✝ : Z.HasMap p
i : I
j : J
hij : p i = j
⊢ X.ιMapObj p i j hij ≫ mapMap φ p j = φ i ≫ Y.ιMapObj p i j hij
J : Type v'
CategoryTheory.Category.{u', v'} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G H : CategoryTheory.Functor J C
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
hα : CategoryTheory.NatTrans.Equifibered α
hβ : CategoryTheory.NatTrans.Equifibered β
⊢ CategoryTheory.NatTrans.Equifibered (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)
this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z
⊢ HasSum (fun n => (p.changeOrigin y n) fun x => z) ((p.changeOrigin y).sum z)
G : Type u_1
SubtractionMonoid G
a b : G
⊢ AddCommute (-a) (-b) ↔ AddCommute a b
α : Type u_1
n : Nat
v : α
⊢ (mkArray n v).data = List.replicate n v
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
f : α →o β
x : α
⊢ x ∈ c → f x ∈ c.map f
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
κ' : κ → Sort u_6
s : (i : κ) → κ' i → HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ (⨅ i, ⨅ j, s i j).toIdeal = ⨅ i, ⨅ j, (s i j).toIdeal
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
h : (↑P).Normal
this : Unique (Sylow p G)
⊢ (↑P).Characteristic
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : Set M
m : M
n : ℕ
⊢ (∃ f g, ∑ i : Fin n, f i • ↑(g i) = m) → ∃ x, (∀ (i : Fin n), (x i).2 ∈ s) ∧ ∑ i : Fin n, (x i).1 • (x i).2 = m
a : ℝ≥0∞
n : ℕ
h : a ^ n = ⊤
⊢ a = ⊤
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
h₀ : s ∈ 𝓝 0
⊢ Filter.comap (gauge s) (𝓝 0) = 𝓝 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ ∀ (x : α), x ∈ filter p univ ↔ p x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
u : E
⊢ (orthogonalProjection Kᗮ) u = ⟨u - ↑((orthogonalProjection K) u), ⋯⟩
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
S T : Submodule R M
⊢ -(S ⊓ T) = -S ⊓ -T
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁵ : DenselyOrdered X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : LinearOrder Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
l : Y
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 l)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 l)
⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, IsExtrOn f (Ioo a b) c
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
MulOneClass G
Nontrivial k
⊢ Function.Injective ⇑(MonoidAlgebra.of k G)
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
⊢ (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).Numeric ↔ (∀ (i : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i < (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight j) ∧ (∀ (i : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), ((mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i).Numeric) ∧ ∀ (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), ((mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight j).Numeric
k n : ℕ
hk : n.gcd k < k
⊢ ∃ m, n * m % k = n.gcd k
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ a) {p | p.swap ∈ {p | p.1 ∈ s}} = (κ a) {p | p.2 ∈ s}
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
TopologicalSpace α
h𝔖 : ∀ (x : α), ∃ V ∈ 𝔖, V ∈ 𝓝 x
⊢ ContinuousOn (fun fx => (UniformOnFun.toFun 𝔖) fx.1 fx.2) {fx | ContinuousAt ((UniformOnFun.toFun 𝔖) fx.1) fx.2}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
f : Filter α
g : Filter β
s : Set α
t : Set β
⊢ (𝓟 s).coprod (𝓟 t) = 𝓟 (sᶜ ×ˢ tᶜ)ᶜ
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
DecidableEq ι
i : ι
m : M i
w : Monoid.CoprodI.Word M
⊢ (Monoid.CoprodI.Word.equivPair i) (Monoid.CoprodI.of m • w) =
  { head := m * ((Monoid.CoprodI.Word.equivPair i) w).head, tail := ((Monoid.CoprodI.Word.equivPair i) w).tail,
    fstIdx_ne := ⋯ }
k G : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Group G
A : Rep k G
inst✝ : A.IsTrivial
f : Additive G →+ CoeSort.coe A
g h : G
⊢ (⇑f ∘ ⇑Additive.ofMul) (g * h) = (A.ρ g) ((⇑f ∘ ⇑Additive.ofMul) h) + (⇑f ∘ ⇑Additive.ofMul) g
x : ℝ
⊢ Ico ↑↑x ↑⊤ = Ico ↑x ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{v}
⊢ lift.{u, v} (succ a) = succ (lift.{u, v} a)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_7, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E✝ : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.62184, u_3} E✝
E : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} E
L' : C ⥤ E
eq : D ≌ E
inst✝ : L.IsLocalization W
e : L ⋙ eq.functor ≅ L'
⊢ L'.IsLocalization W
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N✝ N : Matroid β
⊢ ∀ I ⊆ (N.comap id).E, (N.comap id).Indep I ↔ N.Indep I
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℝ H
⊢ Set.innerDualCone 0 = ⊤
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
s : Set α
a : α
f : Filter α
⊢ a ∈ lowerBounds s → s ∈ f → (f ⊓ 𝓝 a).NeBot → IsGLB s a
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
⊢ e.toPartialEquiv.target = Set.univ
a b c d n : ℕ
z : ℝ
hz : z ≤ (↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries n
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : a ^ 2 * d ≤ (2 * d + c) * b ^ 2
⊢ (↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries n ≤ (√(2 + ↑c / ↑d)).sqrtTwoAddSeries n
α : Type u_3
DecidableEq α
CommMonoid α
S : Multiset α
⊢ S.toFinset.prod id ∣ S.prod
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
f_cont : SeqContinuous f
K : Set X
K_cpt : IsSeqCompact K
⊢ IsSeqCompact (f '' K)
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
s : Set E
hd : DifferentiableOn ℂ f s
⊢ IsOpen {z | s ∈ 𝓝 z ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) s z}
α : Type u
r : α → α → Prop
⊢ Cardinal.mk (Quot r) ≤ Cardinal.mk α
s : Set ℝ≥0∞
hf : ∀ r ∈ s, r ≠ ⊤
⊢ (sSup s).toReal = sSup (ENNReal.toReal '' s)
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ a ≤ b ↔ a < b
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
H : ∀ (f : Ultrafilter α), ↑f ≤ 𝓟 s → Cauchy ↑f
f : Filter α
hf : f.NeBot
hfs : f ≤ 𝓟 s
⊢ ∃ c ≤ f, Cauchy c
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
e₁ : M ≃* N
e₂ : N ≃* P
⊢ ↑(e₁.trans e₂) = (↑e₂).comp ↑e₁
I : Type u_1
J : Type u_2
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
X Y : CategoryTheory.GradedObject I C
φ : X ⟶ Y
p : I → J
X.HasMap p
Y.HasMap p
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
DecidableEq J
i : I
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.ιMapObjOrZero p i j) (CategoryTheory.GradedObject.mapMap φ p j) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (φ i) (Y.ιMapObjOrZero p i j)
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
x✝ : DecidablePred p
h : (find p).isSome = true
⊢ ∃ i, p i
α : Type u_1
β : Type v
f : α → Multiset β
⊢ Multiset.bind 0 f = 0
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
w : NormalWord d
⊢ 1 = - -1
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
F G : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi D)
φ : F ⟶ G
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.FunctorExtension₁.map φ).app P).f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map P.p).f (φ.app P.X).f
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U✝ : Set M
hU : IsOpen U✝
hSig : IsSigmaCompact U✝
hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U✝ → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
meas_U : MeasurableSet U✝
U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }
this : SigmaCompactSpace ↥U
⊢ LocallyIntegrable (fun x => f ↑x) (Measure.comap Subtype.val μ)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False
x y z : α
hne : x ≠ y ∧ y ≠ z ∧ x ≠ z
h₁ : y < x
h₂ : y < z
h₃ : x < z
⊢ False
R : Type u
CommSemiring R
ι : Type u_2
Fintype ι
I : ι → R
hI : ∀ (i j : ι), i ≠ j → IsCoprime (I i) (I j)
⊢ ⨅ i, Ideal.span {I i} = Ideal.span {∏ i : ι, I i}
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
i : F' ≅ F
⊢ ((adj1.natIsoEquiv adj2).symm i).inv = (adj2.natTransEquiv adj1).symm i.inv
α : Type u_1
DivisionRing α
a : α
b : ℤ
nb ne : ℕ
pb : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (a ^ nb)⁻¹ (Int.negOfNat ne)
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt (a ^ b) (Int.negOfNat ne)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ
f g : α → ENNReal
hf : AEMeasurable f μ
hp0 : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
⊢ (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤
  2 ^ (1 / p - 1) * ((∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p))
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.ΨSq 3 = W.Ψ₃ ^ 2
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
⊢ φ ≫ ((AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 1) n ≫ hσ' q n (n + 1) ⋯ + hσ' q (n + 1) (n + 2) ⋯ ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1)) = 0
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd G
g : G
⊢ (MeasurableEquiv.addRight g).toEquiv = Equiv.addRight g
𝕜 : Type u_1
E : Type u
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ (convexHull 𝕜) s = ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t
n : ℕ
c : Composition n
⊢ c.boundaries.card = c.length + 1
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
he : B₂ \ B₁ = ∅
⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
α : Type u_1
NormedAddCommGroup α
Lattice α
HasSolidNorm α
a b : α
h : |a| ≤ |b|
⊢ ‖a‖ ≤ ‖b‖
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
⊢ ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ≠ -1
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₂ ∈ eval f₂ a₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
b0 : f₂ b₂ = none
c₁ : σ₁
ac : Reaches f₁ a₁ c₁
bc : Reaches f₂ b₂ b₂
cc : tr c₁ b₂
d₁ : σ₁
hfc : f₁ c₁ = some d₁
d₂ : σ₂
left✝ : tr d₁ d₂
bd : Reaches₁ f₂ b₂ d₂
⊢ some d₁ = none
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ -x ≈ y ↔ x ≈ -y
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
g : G
⊢ ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, single (x * g) 1 = ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, single x 1
step s m n : Nat
h : m ≤ n
⊢ range' s m step <+ range' s n step
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
a b c d : α
⊢ Disjoint (a ⊓ b) c ↔ Disjoint a (b ⊓ c)
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞
g_ae_measurable : AEMeasurable g (map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕))
hπ : Measurable QuotientGroup.mk
⊢ essSup (g ∘ QuotientGroup.mk) (μ.restrict 𝓕) = essSup (fun x => g ↑x) μ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hio : i ∈ (orderOf μ).divisors
hiμ : (cyclotomic i K).IsRoot μ
⊢ False
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V) = ↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V)
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
this✝ : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal ((-f) x))
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(t + μ.withDensityᵥ f) i = ↑((t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)).toSignedMeasure - (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).toSignedMeasure) i
z : ℂ
⊢ 0 ≤ Complex.normSq z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f (iso x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
ha hb : a ∈ s
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := s.erase a } ↔ a ≤ a
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count a.factors = p.count b.factors
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa
sb : Multiset { p // Irreducible p }
h_sb : b.factors = ↑sb
⊢ a.factors = b.factors
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ IsCompact (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsCompact s
m n : Nat
H : m.gcd n = 0
⊢ m = 0
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s t : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
e : E
⊢ ∫ (x : X) in s, ↑↑(MeasureTheory.indicatorConstLp p ht hμt e) x ∂μ = (μ (t ∩ s)).toReal • e
α : Type u
β : Type v
bs : List β
⊢ [].zipLeft bs = []
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemiring α
LinearOrderedSemiring β
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
hg₁ : 0 ≤ g₁
hg₂ : 0 ≤ g₂
h₁ : Antivary f g₁
h₂ : Antivary f g₂
⊢ Antivary f (g₁ * g₂)
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
⊢ f (OrderHom.gfp f) = OrderHom.gfp f
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
f g : ι → ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hf_sum : Summable fun a => f a ^ p
hg_sum : Summable fun a => g a ^ p
⊢ (Summable fun a => (f a + g a) ^ p) ∧ (∑' (a : ι), (f a + g a) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (a : ι), f a ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (a : ι), g a ^ p) ^ (1 / p)
K : Type u_1
Field K
UniformSpace K
self : CompletableTopField K
F : Filter K
⊢ Cauchy F → 𝓝 0 ⊓ F = ⊥ → Cauchy (Filter.map (fun x => x⁻¹) F)
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
hm : m ≠ 0
⊢ Irrational (↑m / x)
⊢ ∀ {X Y : CommMonCat} (f : X ⟶ Y), CommMonCat.units.map f = CommGrp.ofHom (Units.map f)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure X
OpensMeasurableSpace X
LocallyCompactSpace X
T2Space X
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
SecondCountableTopologyEither X 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
f : X → E
g : X → 𝕜
s : Set X
hs : IsOpen s
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ
hg : ContinuousOn g s
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn (fun x => g x • f x) s μ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ⊤ (g n)
g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
δc : HasSum δ c
c_lt : c < 1
r : ℕ → ℝ
rpos : ∀ (n : ℕ), 0 < r n
hr : ∀ (n i : ℕ), i ≤ n → ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i (r n • g n) x‖ ≤ ↑(δ n)
S : ∀ (x : E), Summable fun n => (r n • g n) x
⊢ ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
a b : EReal
h₁ : b ≠ ⊥
h₂ : b ≠ ⊤
h₃ : b ≠ 0
⊢ a * (b * b⁻¹) = a
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
I : Ideal S
hI : comap (algebraMap R S) I ≤ P
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
Iₚ : Ideal Sₚ := map (algebraMap S Sₚ) I
hI' : Disjoint ↑(Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl) ↑I
this : Iₚ ≠ ⊤
M : Ideal Sₚ
hM : M.IsMaximal
hM' : Iₚ ≤ M
⊢ comap (algebraMap R S) (comap (algebraMap S Sₚ) M) ≤ P
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : CommRing A
⊢ (rescale (-1)) X = -X
b x : ℝ
hb : 1 < b
h : 0 < x
⊢ Real.logb b x < 0 ↔ x < 1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (Metric.sphere 0 ‖x₀‖) x₀
⊢ T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
α : Type u
s : Stream' α
⊢ [] ++ₛ s = s
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
x : E
⊢ ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x ≤ egauge 𝕜 s (c • x)
α : Type u
ι : Sort x
l : Filter α
Finite ι
s t : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), s i ≤ᶠ[l] t i
⊢ ⋃ i, s i ≤ᶠ[l] ⋃ i, t i
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
x : α
⊢ hs.equivQuotient (hs.index x) = hs.proj x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
⊢ Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) ↔ Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
⊢ Function.Injective ⇑(map I f)
S : Type u_1
AddMonoidWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
(CategoryTheory.shiftFunctor C 1).PreservesZeroMorphisms
P Q : CategoryTheory.DifferentialObject S C
⊢ CategoryTheory.DifferentialObject.Hom.f 0 = 0
α : Type u_1
CompleteLattice α
ι : Type u_9
s : Set ι
f : ι → α
⊢ ⨅ i, f ↑i = ⨅ t ∈ s, f t
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
f : M ↪[L] N
htv :
  ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → M) (a : N),
    φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) (f b))
a : M
⊢ (f.toElementaryEmbedding htv) a = f a
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid β
s : Finset γ
t : Finset α
f : γ → α → β
⊢ ∑ x ∈ s ×ˢ t, f x.1 x.2 = ∑ x ∈ s, ∑ y ∈ t, f x y
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
ho : Cardinal.lift.{v, u} o.card < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c.ord, f i hi b < c.ord
a : Ordinal.{max u v}
⊢ a < c.ord → o.nfpBFamily f a < c.ord
ι : Type u_7
R : ι → Type u_8
(i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (R i)
⊢ (RingEquiv.piCongrRight fun i => RingEquiv.refl (R i)) = RingEquiv.refl ((i : ι) → R i)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
FirstCountableTopology X
s : Set X
x : ℕ → X
hs : IsCompact s
hx : ∀ (n : ℕ), x n ∈ s
⊢ ∃ a ∈ s, ∃ φ, StrictMono φ ∧ Filter.Tendsto (x ∘ φ) Filter.atTop (𝓝 a)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
x y : α
hx : Irreducible x
⊢ gcd x y = 1 ↔ ¬x ∣ y
γ : Type w
MetricSpace γ
α : Type u_3
TopologicalSpace α
DiscreteTopology α
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f : α → γ
hf : Pairwise fun x y => ε ≤ dist (f x) (f y)
⊢ ClosedEmbedding f
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
CommSemiring S
Ring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
a : A
⊢ ⇑(algebraMap R S) ⁻¹' spectrum S a = spectrum R a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, I'⟯ M'
⊢ Continuous ⇑h
α : Type u_1
b : Bool
a : Lists' α b
l : Lists' α true
⊢ sizeOf ⟨b, a⟩ < sizeOf (a.cons' l)