ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
SemilatticeSup B
OrderBot B
Semiring R
AddMonoid A
AddMonoid B
CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
n : ℕ
f : AddMonoidAlgebra R A
⊢ (f ^ n).support.sup degb ≤ n • f.support.sup degb
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
⊢ (↑r * (Complex.cos ↑θ + Complex.sin ↑θ * Complex.I)).arg = toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
⊢ chainLength (-α) β = chainLength α β
d : ℤ
h₀ : 0 < d
a : Pell.Solution₁ d
⊢ ∃ b, 0 < b.x ∧ 0 ≤ b.y ∧ a ∈ {b, b⁻¹, -b, -b⁻¹}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
a : Option α
b : β
⊢ Option.map₂ f a (some b) = Option.map (fun a => f a b) a
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α × β → ℚ → ℝ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
self : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
q : ℚ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun c => f (a, c) q) (ν a)
α : Type u
Add α
⊢ ∀ (a : α), WithZero.coeAddHom a = ↑a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
h : ¬a = 0
⊢ 0 < a.val
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.11180, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
this✝¹ : HasZeroObject C
this✝ : Mono S.f
this : Epi S.g
⊢ IsIso S.g ↔ IsZero S.X₁
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ 2 * (image Sym2.mk s.offDiag).card = s.offDiag.card
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
S : Set α
V : Set (α × α)
x_in : x ∈ S
V_in : V ∈ 𝓤 α ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)
⊢ UniformSpace.ball x V ∈ 𝓝[S] x
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf : Function.Surjective ⇑f
tG : IsTorsion G
h : H
g : G
hg : f g = h
⊢ IsOfFinOrder (f g)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : Set (α × β)
p : α × β
⊢ IsLUB s p ↔ IsLUB (Prod.fst '' s) p.1 ∧ IsLUB (Prod.snd '' s) p.2
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
f : M → Bundle.TotalSpace F E
he : ∀ (x : M), f x ∈ e.source
⊢ Smooth IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) f ↔ (Smooth IM IB fun x => (f x).proj) ∧ Smooth IM 𝓘(𝕜, F) fun x => (↑e (f x)).2
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
n : ℕ
A : Set α
B : Set β
f : α → β
self : IsMulFreimanIso n A B f
⊢ Set.BijOn f A B
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ
hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ
hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior sᶜ
H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
ε : ℕ → ℝ
hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n
hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)
n : ℕ
this : 0 < ε n
⊢ 0 ≤ ε n / 4
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ
f_pos : Ω →ᵇ ℝ≥0 := f.nnrealPart
_def_f_pos : f_pos = f.nnrealPart
f_neg : Ω →ᵇ ℝ≥0 := (-f).nnrealPart
_def_f_neg : f_neg = (-f).nnrealPart
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i) - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ))
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a✝ b✝ c : α
P✝ : Finpartition a✝
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a✝
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
a b : α
h : a ≠ b
A : α
hA : A ∈ P.parts
ha : a ∈ (Q ↑⟨A, hA⟩ ⋯).parts
B : α
hB : B ∈ P.parts
hb : b ∈ (Q ↑⟨B, hB⟩ ⋯).parts
⊢ (Disjoint on id) a b
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c a b : α
⊢ (Ioo a b).card = (Icc a b).card - 2
α : Type u_1
Ring α
n e t : α
h1 : n * e = t
⊢ n * -e = -t
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
s : Set α
a : α
⊢ f a ∈ f '' s ↔ a ∈ s
a b : ℤ
ha : a ≠ 0
⊢ IsLeast {n | 0 < n ∧ a.gcd b ∣ n} (a.gcd b)
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
n m : ℕ
y : Mˣ
hn : y ^ ↑n = 1
hm : y ^ ↑(m + 1) = 1
⊢ y ^ ↑((m + 1).gcd n) = 1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
r : R
⊢ ∀ (f_1 g : PolynomialModule R M), (eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) f_1) = f ((eval r) f_1) → (eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) g) = f ((eval r) g) → (eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) (f_1 + g)) = f ((eval r) (f_1 + g))
p q : Prop
α : Sort u_1
s✝ : α → Prop
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
s : Set β
⊢ (s ≠ ∅) = s.Nonempty
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
inst✝¹ : Infinite α
inst✝ : Finite β
f : α → β
⊢ ∃ x y, x ≠ y ∧ f x = f y
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁴ : Countable G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
hasFun : HasFundamentalDomain G α ν
h : covolume G α ν ≠ ⊤
𝓕 : Set α
h𝓕 : IsFundamentalDomain G 𝓕 ν
⊢ IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
Y : ι' → Type u_8
(j : ι') → TopologicalSpace (Y j)
e : ι ≃ ι'
⊢ (Homeomorph.piCongrLeft e).toEquiv = Equiv.piCongrLeft Y e
E✝ : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E✝
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g✝ : E✝ → G
C : ℝ
s : Set E✝
x✝ y : E✝
f' g' : E✝ → E✝ →L[𝕜] G
φ : E✝ →L[𝕜] G
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : E → G
hf : Differentiable 𝕜 f
hg : Differentiable 𝕜 g
hf' : ∀ (x : E), fderiv 𝕜 f x = fderiv 𝕜 g x
x : E
hfgx : f x = g x
A : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 E
⊢ f = g
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
n : ℕ
⊢ ⌊↑n⌋₊ = n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ range n, ↑p ^ i * wittMul p i ^ p ^ (n - i)).vars ⊆ univ ×ˢ range n
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0
⊢ X - C z ∣ map (algebraMap ℝ ℂ) p
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R : ℝ
⊢ circleMap c R '' Ioc 0 (2 * π) = sphere c |R|
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
⊢ evalEval 0 0 W.polynomialY = W.a₃
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : b ≤ c
⊢ Set.Ioc a b ∪ Set.Ioc b c = Set.Ioc a c
n : Nat
a b c : Fin n
⊢ a < b → b < c → a < c
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
𝕜✝ : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β✝
f✝ g : α → β✝
𝕜 : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 β
f : α → β
c : β
f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
x : α
hx : f x = f' x
⊢ (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) x = (fun x => ⟪c, f' x⟫_𝕜) x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝¹ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
this✝ : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
this : e.source ∈ 𝓝 x
⊢ ↑e.symm ∘ ↑e =ᶠ[𝓝 x] id
α : Type u
G : Type u_1
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
ContinuousSub G
b : G
c : G
f : α → G
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x - b) l (𝓝 (c - b)) ↔ Filter.Tendsto f l (𝓝 c)
α : Type u
s : Set (Set α)
⊢ {t | MeasurableSpace.GenerateMeasurable s t} = ⋃ i, MeasurableSpace.generateMeasurableRec s i
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
a : α
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ {a}), f i = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
ConditionallyCompleteLattice γ
s : Set α
t : Set β
l : α → β → γ
u₁ : β → γ → α
u₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (Function.swap l b ∘ ⇑OrderDual.ofDual) (⇑OrderDual.toDual ∘ u₁ b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l a ∘ ⇑OrderDual.ofDual) (⇑OrderDual.toDual ∘ u₂ a)
⊢ s.Nonempty → BddBelow s → t.Nonempty → BddBelow t → sSup (Set.image2 l s t) = l (sInf s) (sInf t)
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
S : Set α
hS : Unbounded r S
e : #↑S = (type r).cof
s : ↑S → ↑S → Prop
w✝ : IsWellOrder (↑S) s
e' : (#↑S).ord = type s
T : Set α := {a | ∃ (aS : a ∈ S), ∀ (b : ↑S), s b ⟨a, aS⟩ → r (↑b) a}
a : α
this : {b | ¬r (↑b) a}.Nonempty
b : ↑S := ⋯.min {b | ¬r (↑b) a} this
ba : ¬r (↑b) a
c : ↑S
h : ¬r ↑c ↑b
⊢ ¬s c ⟨↑b, ⋯⟩
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ (deriv fun x => x ^ p) =Θ[Filter.atTop] fun x => x ^ (p - 1)
α : Type u_1
DecidableEq α
β : α → Type u_2
m : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (β a)
⊢ Multiset.card (m.pi t) = (Multiset.map (fun a => Multiset.card (t a)) m).prod
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup L
inst✝¹⁴ : Module R L
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ιM
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι'
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Module.Free R L
inst✝² : Nontrivial R
x : L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
⊢ ∃ x, φ.IsNilRegular x
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ l.toFinset.val = ↑l.dedup
⊢ StrictAntiOn Real.cos (Set.Icc 0 Real.pi)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
u : R
i : Fin 3
⊢ (⇑f ∘ (u • P)) i = (f u • ⇑f ∘ P) i
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
h : 0 < r
⊢ μ (sphere x r) = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
T : Submonoid P
Q : Type u_4
CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Algebra P Q
IsLocalization T Q
A : Type u_5
CommSemiring A
U : Submonoid A
W : Type u_6
CommSemiring W
Algebra A W
IsLocalization U W
l : P →+* A
hl : T ≤ Submonoid.comap l U
⊢ (IsLocalization.map W l hl).comp (IsLocalization.map Q g hy) = IsLocalization.map W (l.comp g) ⋯
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
hk : 0 < k
h1 : ζ ^ k = 1
h : ∀ (l : ℕ), 0 < l → l < k → ζ ^ l ≠ 1
l : ℕ
hl : ζ ^ l = 1
⊢ k ∣ l
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
x : ↥U
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxV : ↑x ∈ V.carrier
iVU : V ⟶ U
f g : R
hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
s_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s
h : R
hxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h
hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V
n : ℕ
c : R
hc : c * g = h ^ (n + 1)
⊢ ∃ f g i, ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen g ∧ const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map i.op) s
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
⊢ (norm ∘ f) w = Function.const E ‖f z‖ w
a : ℂ
ha : a ≠ 0
x y : ℂ
⊢ InnerProductGeometry.angle (x * a) (y * a) = InnerProductGeometry.angle x y
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
k' : Type u_3
G' : Type u_4
Semiring k'
f : G → G'
s : AddMonoidAlgebra k' G
v : G → k' → AddMonoidAlgebra k G
⊢ AddMonoidAlgebra.mapDomain f (Finsupp.sum s v) = Finsupp.sum s fun a b => AddMonoidAlgebra.mapDomain f (v a b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
f : E → 𝕜
hf1 : ∀ (x y : E), f (x + y) ≤ f x + f y
hf2 : ∀ ⦃c : 𝕜⦄ (x : E), 0 ≤ c → f (c • x) ≤ c * f x
B : 𝕜
⊢ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ {x | f x ≤ B} → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ {x | f x ≤ B} → [x-[𝕜]y] ⊆ {x | f x ≤ B}
R : Type u_2
Ring R
⊢ ⊥.unop = ⊥
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p ≤ r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
⊢ Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
x : M
⊢ (FirstOrder.Language.Equiv.refl L M) x = x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
ι : Type u_3
f : L.Hom M N
hf : Function.Injective ⇑f
S : ι → L.Substructure M
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.comap f (⨆ i, FirstOrder.Language.Substructure.map f (S i)) = iSup S
ι : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Fintype ι
AddCommGroup E
Module ℝ E
AddCommGroup F
Module ℝ F
f : E →ₗ[ℝ] F
v : ι → E
⊢ ⇑f '' parallelepiped v = parallelepiped (⇑f ∘ v)
R : Type u
Ring R
p : R[X]
a : R
⊢ (p - Polynomial.C a).natDegree = p.natDegree
n : ℕ
a : Fin n
⊢ (Ici a).card = n - ↑a
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
p : B × F
b : B
⊢ p ∈ (Z.localTrivAt b).target ↔ p.1 ∈ (Z.localTrivAt b).baseSet
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v v' w : U
p : Path u v
p' : Path u v'
e : v ⟶ w
e' : v' ⟶ w
h : p.cons e = p'.cons e'
⊢ Hom.cast ⋯ ⋯ e = e'
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
u : Set α := {x | x ∈ s ∧ f x ≠ 0}
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := toMeasurable μ u
A : IntegrableOn f v μ
B : IntegrableOn f (t \ v) μ
⊢ t ⊆ v ∪ t
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
ha : b * a = 1
⊢ Tendsto (fun x => a * x) (cocompact M) (cocompact M)
α : Type u_2
Fintype α
s t : Finset α
DecidableEq α
⊢ s.dens ≤ (s \ t).dens + t.dens
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
h_alg : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S)
⊢ comap (algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) (Ideal.map (algebraMap R S) I) ≤ Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I
R : Type v
CommRing R
P : Matrix.SpecialLinearGroup (Fin 2) R → Prop
h : ∀ (a b c d : R) (hdet : a * d - b * c = 1), P ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩
g : Matrix.SpecialLinearGroup (Fin 2) R
⊢ P g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
F.IsEquivalence
⊢ G.Initial ↔ (F.comp G).Initial
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w✝ w₁✝ w₂✝ : ι → k
p✝ : ι → V
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
⊢ (∃ r, r • ((affineCombination k s p) w₁ -ᵥ (affineCombination k s p) w₂) = (s.weightedVSub p) w) ↔ ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₁ i - w₂ i)
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : ∀ (m : ↥f.domain), f.toFun m = 0 → m = 0
a : E
b : F
ha : a ∈ f.domain
h1 : ↑f ⟨a, ⋯⟩ = 0
hv' : b = 0
⊢ a = 0
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ p : ℕ
f : R →+* S
q : R[X]
hp : ¬p = 0
n✝ : ℕ
⊢ f (if p ∣ n✝ then q.coeff (n✝ / p) else 0) = if p ∣ n✝ then (map f q).coeff (n✝ / p) else 0
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
ρ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
x₀ : M
hx₀ : x₀ ∈ s
⊢ ∀ {I_1 : Finset ι}, ρ.finsupport x₀ ⊆ I_1 → ∑ i ∈ I_1, (ρ i) x₀ = 1
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Module A P
Module B P
IsScalarTower R A P
IsScalarTower R B P
SMulCommClass A B P
f : TensorProduct R M N →ₗ[A] P
⊢ (TensorProduct.AlgebraTensorModule.lcurry R A B M N P) f = TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry f
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
Nontrivial M
⊢ Nonempty ι
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
c : F
x : E
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => c) 0 x
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n + Cardinal.aleph0 = Cardinal.aleph0
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s t : Multiset α
⊢ count a (s - t) + count a (s ∩ t) = count a (s - t) + min (count a s) (count a t)
R : Type u_3
Semiring R
S : Type u_4
Semiring S
f : R →+* S
p : Polynomial R
x : S
⊢ Polynomial.eval₂ f x p = p.smeval x
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ≤ -b ↔ b ≤ -a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b : β
q✝ : ℚ
ha : 0 < a
q : ℚ
hb : q ∈ {t | ↑t < a * a}
⊢ ↑q ≤ inducedMap α β a * inducedMap α β a
R : Type u_3
CommRing R
z : ℤ
⊢ (↑z).imK = 0
d : ℤ
h₀ : 0 ≤ d
a : Solution₁ d
hx : a.x = 0
h : 0 ≤ d * a.y ^ 2
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq
⊢ ↑(map f (cons a ⟨s, al⟩)) = ↑(cons (f a) (map f ⟨s, al⟩))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
st : t ∈ 𝓝[s] x
ht : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x
⊢ derivWithin f s x = derivWithin f t x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
mem : Q z ∈ nonZeroDivisors R
u : Rˣ
hz : (fun m => m • Q) u z = Q z
⊢ (fun m => m • Q) u = Q
x y z : SetTheory.PGame
⊢ x.Subsequent y → y.Subsequent z → x.Subsequent z
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ : α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
s : Finset α
⊢ (∃ a_1, (insert a a_1 ∈ 𝒜 ∧ a ∉ a_1) ∧ insert a a_1 = s) → s ∈ 𝒜 ∧ a ∈ s
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
n : ℕ
ih : res x n = res y n
hA : ¬x n = y n
⊢ (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ ∈ A (y n :: res x n)
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
Finite ι
F : ι → X → α
⊢ Equicontinuous F ↔ ∀ (i : ι), Continuous (F i)
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ a b c : α
l : List α
ih : (permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b) ~ (permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a)
⊢ (b :: a :: c :: l) :: (a :: b :: c :: l) :: (map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ (map (cons c) (permutations'Aux a l)).bind (permutations'Aux b)) ~ (a :: b :: c :: l) :: (b :: a :: c :: l) :: (map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ (map (cons c) (permutations'Aux b l)).bind (permutations'Aux a))
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 ≠ b
H : ∀ (d e : ℝ), 0 < d → Tendsto (fun x => x ^ n / (d * rexp x + e)) atTop (𝓝 0)
h : 0 < b
⊢ Tendsto (fun x => x ^ n / (b * rexp x + c)) atTop (𝓝 0)
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Liftr r x.dest y.dest
x y : Cofix F
rxy : r x y
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a → Cofix F
dxeq : x.dest = abs ⟨a, f₀⟩
dyeq : y.dest = abs ⟨a, f₁⟩
h' : ∀ (i : (P F).B a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
p : ℤ[X]
hp : p.IsUnitTrinomial
h : ∀ (z : ℂ), ¬((aeval z) p = 0 ∧ (aeval z) p.mirror = 0)
q : ℤ[X]
hq : q ∣ p
hq' : q ∣ p.mirror
hq'' : 0 < (map (algebraMap ℤ ℂ) q).degree
z : ℂ
hz : (aeval z) q = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
⊢ (∃ x, ∃ a ∈ s, x ∈ t a) ↔ ∃ x ∈ s, ∃ x_1, x_1 ∈ t x
C : Type u
X : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
n : (CategoryTheory.Discrete ∘ CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.NormalMonoidalObject) C
⊢ CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.normalizeIsoApp C X n =
  CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.normalizeIsoApp' C X n.as
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ht : IsPreirreducible t
f : Y → X
hf : OpenEmbedding f
U V : Set Y
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
x : Y
hx : x ∈ f ⁻¹' t
hx' : x ∈ U
y✝ : Y
hy : y✝ ∈ f ⁻¹' t
hy' : y✝ ∈ V
y : Y
h₂ : y ∈ U
h₁ : f y ∈ t
y' : Y
h₃ : y' ∈ V
h₄ : f y' = f y
⊢ (f ⁻¹' t ∩ (U ∩ V)).Nonempty
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
self : LieAlgebra.IsSolvable R L
⊢ ∃ k, LieAlgebra.derivedSeries R L k = ⊥