ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t
V_cover : U ≤ iSup V
x y : ↥U
⊢ (F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op) (sf x) = (F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op) (sf y)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
⊢ 0 ≤ chaar K₀ K
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f : A →ₐ[S] B
h : ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y
x : RingQuot s
a✝ b✝ : A
r : Rel s a✝ b✝
⊢ f a✝ = f b✝
M : Type u_4
N : Type u_5
⊢ ∀ {x : One M} {x_1 : One N} (f : OneHom M N) (f' : M → N) (h : f' = ⇑f), ⇑(f.copy f' h) = f'
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
P : Type u_1
L.Structure P
hnp : L.Equiv N P
hmn : L.Equiv M N
⊢ (hnp.comp hmn).toHom = hnp.toHom.comp hmn.toHom
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f
a b c : ℕ
h : c ∣ a + b
ha : ¬c ∣ a
⊢ c ≤ a % c + b % c
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
L' : FirstOrder.Language
φ : L →ᴸ L'
h : φ.Injective
(n : ℕ) → (f : L'.Functions n) → Decidable (f ∈ Set.range fun f => φ.onFunction f)
(n : ℕ) → (r : L'.Relations n) → Decidable (r ∈ Set.range fun r => φ.onRelation r)
M : T.ModelType
Inhabited ↑M
⊢ ↑(FirstOrder.Language.Theory.ModelType.defaultExpansion h M) = ↑M
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ h₁ h₂
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h₁.left.IsPreservedBy F
h₁.right.IsPreservedBy F
h₂.left.IsPreservedBy F
h₂.right.IsPreservedBy F
⊢ (ψ.map F).right = ψ.right.map F
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
⊢ (rfindOpt f).Dom
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
this : h ≠ 0
⊢ f ≠ 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
h : ∀ (x y : X), Inseparable x y → ∃ s, x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ T0Space ↑s
s : Set X
hs : T0Space ↑s
x y : { x // x ∈ s }
hxy : Inseparable x y
⊢ ↑x = ↑y
X : TopCat
ι : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} ι
B : ι ⥤ Opens ↑X
⊢ B.IsCoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) ↔ ∀ {U : Opens ↑X} {x : ↑X}, x ∈ U → ∃ U' ∈ Set.range B.obj, x ∈ U' ∧ U' ≤ U
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NoAtoms μ✝
h : s.Countable
μ : Measure α
inst✝ : NoAtoms μ
⊢ μ s = 0
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_3
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I J : Ideal R
⊢ ↑I = ↑J ↔ I = J
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : NullMeasurableSet s (μ.restrict t)
u : Set α
hu : MeasurableSet u
⊢ ((μ.restrict t).restrict s) u = (μ.restrict (s ∩ t)) u
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
(L.sum L').Structure M
FirstOrder.Language.LHom.sumInl.IsExpansionOn M
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap (Sum.inl f) x = FirstOrder.Language.Structure.funMap f x
α : Type u_1
DecidableEq α
x y s t : Finset α
h : x ⊆ y
h' : s ⊆ t
⊢ x ∩ s ⊆ y ∩ t
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ ⊥.toAddSubmonoid = ⊥
k : ℕ
x : Fin k → ℕ
⊢ ∀ (a : Fin k), ↑((Finset.Nat.sigmaAntidiagonalTupleEquivTuple k).symm x).snd a = x a
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑π
⊢ p₃ ≠ p₂
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
this : l.NeBot
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℚ
hqpos : 0 < q
hqε : ↑q < ε
hfg' : ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ↑q
⊢ ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) ((↑‖n.2 - x‖)⁻¹ • (f n.1.1 n.2 - f n.1.1 x) - (↑‖n.2 - x‖)⁻¹ • (f n.1.2 n.2 - f n.1.2 x)) < ε
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : BoundedContinuousFunction α β
⊢ nndist f g = ⨆ x, nndist (f x) (g x)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha0 : ↑a ≠ 0
⊢ legendreSym p ↑a = 1 ↔ IsSquare ↑a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ Finset.Icc f g = (f.support ∪ g.support).dfinsupp ⇑(f.rangeIcc g)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
T : C
f : T ⟶ X
g : T ⟶ Y
⊢ lift f g = f ≫ inl + g ≫ inr
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝕜' : Type u_4
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
CompleteSpace 𝕜'
f : E → 𝕜'
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hx : f x ≠ 0
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => (f x)⁻¹) x
M : Type u_1
S : Set M
Mul M
c : M
⊢ c ∈ S.centralizer ↔ ∀ m ∈ S, m * c = c * m
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
SemilatticeSup β
ContinuousSup β
f g : C(α, β)
⊢ ⇑(f ⊔ g) = ⇑f ⊔ ⇑g
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.ConcreteCategory D
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
F G : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.extensiveTopology C) D
f : F ⟶ G
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget D)
⊢ CategoryTheory.Sheaf.IsLocallySurjective f ↔ ∀ (X : C), Function.Surjective ⇑(f.val.app (Opposite.op X))
G : Type u_1
Group G
S : AddSubgroup (Additive G)
⊢ ↑((RelIso.symm Subgroup.toAddSubgroup) S) = ⇑Multiplicative.toAdd ⁻¹' ↑S
α : Type u
r : α → α → Prop
IsRefl α r
a b : α
⊢ a = b → r a b
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJY : M.Basis J Y
h : M.Indep (I ∪ J)
⊢ ∀ (i : Bool), M.Basis (bif i then I else J) (bif i then X else Y)
R : Type u_1
CommSemiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
X : Set R
⊢ (polynomialFunctions X).SeparatesPoints
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
h1 : ¬f (f x) = x
h : (swap x (f x) * f).support.card + 1 = f.support.card
⊢ Perm.sign (swap x (f x) * (swap x (f x) * f)) = -(-1) ^ f.support.card
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
g : ι → α
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
⊢ 1 ≤ ∏' (i : ι), g i
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim : ∀ (a : ℝ), 1 < a → ∃ c, (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧ Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n => u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - ↑n * l ≤ ε * (1 + ε + l) * ↑n
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
⊢ Tendsto (fun n => u n / ↑n) atTop (𝓝 l)
o : Ordinal.{v}
⊢ Ordinal.lift.{u, v} o.pred = (Ordinal.lift.{u, v} o).pred
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
FunLike F α β
OrderHomClass F α β
f : F
⊢ Monotone ⇑f
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
⊢ Independent p ↔ ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0
a x y : ℂ
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
⊢ angle x y ≤ π / 2 * ‖x - y‖
A B : Grp
f : A ⟶ B
⊢ (Equiv.symm τ) (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) = ∞
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
⊢ (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) 0).sum = 0
α : Type u
PartialOrder α
BoundedOrder α
hα : ⊥ = ⊤
x : α
⊢ x = ⊥
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
S : Set (LieSubmodule R L M)
⊢ ↑(sSup S) = ⨆ N ∈ S, ↑N
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))) → HasFPowerSeriesAt f p z₀
α : Type u_3
s : Set α
SemilatticeSup α
LocallyFiniteOrder α
OrderBot α
⊢ s.Finite ↔ BddAbove s
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
s : Subsemigroup M
t : Subsemigroup N
u : Subsemigroup (M × N)
⊢ u ≤ s.prod t ↔ Subsemigroup.map (MulHom.fst M N) u ≤ s ∧ Subsemigroup.map (MulHom.snd M N) u ≤ t
x : ℝ
⊢ 0 ≤ Real.arsinh x ↔ 0 ≤ x
C : Type u_1
D₁ : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_5} D₁
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L₁ : CategoryTheory.Functor C D₁
L₁.IsLocalization W
X Y : C
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
⊢ (CategoryTheory.Localization.homEquiv W L₁ L₁) f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ β
h1 : Measurable ⇑e
h2 : Measurable ⇑e.symm
⊢ ⇑{ toEquiv := e, measurable_toFun := h1, measurable_invFun := h2 } = ⇑e
C : Type u₁
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝¹⁰ : AddMonoid M
inst✝⁹ : HasShift C M
inst✝⁸ : HasShift D M
inst✝⁷ : W.IsCompatibleWithShift M
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : HasShift D M
inst✝⁴ : L.CommShift M
X Y Z T : C
inst✝³ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
inst✝² : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Z
inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Z
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z Z
a b c : M
f : SmallShiftedHom W X Y a
g : SmallShiftedHom W Y Z b
h : b + a = c
⊢ (SmallHom.equiv W L) f ≫ (L.commShiftIso a).hom.app Y ≫ (shiftFunctor D a).map ((SmallHom.equiv W L) g) ≫ (shiftFunctor D a).map ((L.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (L.obj Z) = (SmallHom.equiv W L) f ≫ (L.commShiftIso a).hom.app Y ≫ (shiftFunctor D a).map ((SmallHom.equiv W L) g) ≫ (shiftFunctor D a).map ((L.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (L.obj Z)
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x y : R
hxy : ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), y = x + p
⊢ ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), f y = f x + p
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : StrongFEPair E
s : ℂ
step1 : mellin (fun t => P.g (t ^ (-1))) (-s) = |(-1)|⁻¹ • mellin P.g (-s / ↑(-1))
⊢ mellin P.f (↑P.k - s) = P.ε • mellin P.g s
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : Cardinal.{u_2}
ha : ℵ₀ ≤ a
b1 : 1 < b
b0 : b ≠ 0
⊢ (b ^ a) ^ a < (b ^ a) ^ (b ^ a).ord.cof
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume
ha : ContinuousAt f a
⊢ HasStrictDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) (-f a) a
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}
⊢ ∃ h, Continuous h ∧ f ∘ h = φ
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
⊢ IsCompact (s ∪ t)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
hi : i ∈ s
hf : ∀ j ∈ s, j ≠ i → f j ∈ t j
⊢ Function.update f i ⁻¹' s.pi t = t i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring R
a b : R
h : Commute a b
⊢ a ^ 2 - b ^ 2 = (a + b) * (a - b)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
k : Fin pb.dim
⊢ ((Algebra.lmul A S) pb.gen) (pb.gen ^ ↑k) = ∑ x : Fin pb.dim, (if ↑k + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑x else if ↑x = ↑k + 1 then 1 else 0) • pb.gen ^ ↑x
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
c : S
F : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
i : ι
⊢ { toFun := fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (c • F) ∘ₗ lsingle i = ((RingHom.id S) c • { toFun := fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun F) ∘ₗ lsingle i
x : ℝ
⊢ Real.arccos x ≤ π
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
n : ℕ∞
x' : M
h : x' ∈ (chartAt H x).source
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E) n (↑(extChartAt I x)) x'
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Mul α
Mul β
FunLike F α β
MulHomClass F α β
m : F
s t : Set β
⊢ ⇑m ⁻¹' s * ⇑m ⁻¹' t ⊆ ⇑m ⁻¹' (s * t)
α : Type u_2
Preorder α
One α
⊢ NonemptyInterval.toProd 1 = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfSize.{v₁, u₁, v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : CommMonoid α✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
f✝ g : β✝ → α✝
a✝ b✝ : α✝
s : Finset β✝
inst✝⁵ : ContinuousMul α✝
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
a : α
hf : HasProd f a
b : β
a' : α
hf' : HasProd (fun n => if n = b then 1 else f n) a'
x✝ : β
⊢ update f b 1 x✝ = if x✝ = b then 1 else f x✝
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
⊢ IsUnramified k (σ • w) ↔ IsUnramified k w
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
Subsingleton A
a : A
⊢ spectrum R a = ∅
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
⊢ f.eraseLead + Polynomial.C f.leadingCoeff * Polynomial.X ^ f.natDegree = f
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : Measurable f
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
w : α → ℝ≥0
wpos : ∀ (x : α), 0 < w x
wmeas : Measurable w
wint : ∫⁻ (x : α), ↑(w x) ∂μ < ε / 2
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ε
x : ℝ
⊢ (↑x).abs = ENNReal.ofReal |x|
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (hurwitzZetaEven (↑a) s)
m : ℕ
⊢ (ack (m + 1) 0 + 1) ^ 2 ≤ ack (m + 1 + 3) 0
M : Type u_1
AddZeroClass M
ι : Sort u_4
S : ι → AddSubmonoid M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
one : C 0 ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, S i
⊢ C x hx
G : Type u_1
Group G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : MeasureTheory.IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
Countable ↥Γ
MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
BorelSpace (G ⧸ Γ)
μ.IsMulRightInvariant
⊢ MeasureTheory.Measure.map QuotientGroup.mk μ ≪ MeasureTheory.Measure.map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕)
n : ℕ
NeZero n
a : ℤ
⊢ (Int.divModEquiv n) a = (a / ↑n, ↑(a.natMod ↑n))
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s ⊆ a⁻¹ • s ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a • b ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable (Function.uncurry f)
a : α
⊢ (κ.withDensity f) a = (κ a).withDensity (f a)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
⊢ M ∈ Set.range ⇑(scalar n) ↔ ∀ (i j : n), Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ J.diagramNatTrans (CategoryTheory.CategoryStruct.id P) X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (J.diagram P X)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : ν ≪ μ
x : α
hx : rexp (llr μ ν x) = if μ.rnDeriv ν x = 0 then 1 else (μ.rnDeriv ν x).toReal
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
⊢ rexp (llr μ ν x) = (μ.rnDeriv ν x).toReal
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ (s.get? n).Terminates → (s.get? m).Terminates
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
⊢ (LieAlgebra.IsKilling.rootSystem H).IsCrystallographic
R : Type u
inst✝ : Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : Fan f
x y : ↑s.pt
⊢ (fun x j => (s.π.app { as := j }) x) (x + y) = (fun x j => (s.π.app { as := j }) x) x + (fun x j => (s.π.app { as := j }) x) y
G : Type w
AddGroup G
TopologicalSpace G
ContinuousAdd G
Γ : AddSubgroup G
x : G ⧸ Γ
⊢ Continuous fun g => g +ᵥ x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
hs : IsStrongAntichain r s
a b c : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hac : r a c
hbc : r b c
⊢ a = b
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : g ≅ h
⊢ f ◁ η.inv ≫ f ◁ η.hom = 𝟙 (f ≫ h)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
v : E
μ : Eigenvalues T
⊢ hT.diagonalization (T v) μ = ↑T μ • hT.diagonalization v μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackZeroZeroIso X Y).inv ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst 0 0 =
  CategoryTheory.Limits.prod.fst
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
this : Fact (μ ↑I < ⊤)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : ℕ → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x ↑(r x) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
x✝ : π.IsPartition
⊢ dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π) 0 ≤ ↑ε
α : Sort u_1
β : Sort u_3
p : α → β → Prop
x₀ x₁ : (a : α) ×' Subtype (p a)
⊢ x₀ = x₁ ↔ x₀.fst = x₁.fst ∧ x₀.snd.val = x₁.snd.val
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
⊢ (ConvexCone.strictlyPositive 𝕜 E).Blunt
α : Type u_1
P : Part α → Prop
a : Part α
hnone : P Part.none
hsome : ∀ (a : α), P (Part.some a)
⊢ P a
R : Type u
Ring R
n : ℤ
⊢ (↑n).natTrailingDegree = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι✝ : Type u_3
γ✝ : Path x y
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace ι
a b : ι → X
γ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h : Continuous ↿γ
⊢ 0 ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
s t : Set α
h : Function.Semiconj f fa fb
ha : Set.SurjOn fa s t
⊢ Set.SurjOn fb (f '' s) (f '' t)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x✝ : P
⊢ x✝ ∈ spanSingleton S 1 ↔ x✝ ∈ 1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} D
P : MorphismProperty C
F : C ⥤ D
E : Type u_2
inst✝ : Category.{u_4, u_2} E
G : D ⥤ E
⊢ P.map (F ⋙ G) ≤ (P.map F).map G
R : Type u
CommSemiring R
s s' : Set R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus (s ∪ s') = PrimeSpectrum.zeroLocus s ∩ PrimeSpectrum.zeroLocus s'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.SheafedSpace.IsOpenImmersion f
U : TopologicalSpace.Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ f.c.app (Opposite.op U) ≫
    AlgebraicGeometry.SheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp f ((TopologicalSpace.Opens.map f.base).obj U) =
  Y.presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ (s \ t).encard + (s ∩ t).encard = s.encard
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
⊢ PiNat.cylinder x n = (↑(Finset.range n)).pi fun i => {x i}
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Spec : Set (Ideal R) := {I | I.IsPrime}
s : Finset ↑Spec
H : ∀ I ∈ range fun x => x.inf Subtype.val, ¬I < (fun x => x.inf Subtype.val) s
⊢ Spec.Finite