ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
⊢ (convexHull 𝕜) s = ⋂ t, ⋂ (_ : s ⊆ t), ⋂ (_ : Convex 𝕜 t), t
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : M → M' × N'
x : M
⊢ ContMDiffAt I (I'.prod J') n f x ↔ ContMDiffAt I I' n (Prod.fst ∘ f) x ∧ ContMDiffAt I J' n (Prod.snd ∘ f) x
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
x : α
i : ℕ
⊢ (dirac x).prod (sFiniteSeq ν i) = map (Prod.mk x) (sFiniteSeq ν i)
α : Type u_1
a b : AsBoolRing α
⊢ ofBoolRing a = ofBoolRing b ↔ a = b
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
⊢ thickenedIndicatorAux δ E x ≤ 1
a : EReal
h : 0 < a
h' : a ≠ ⊤
⊢ ⊤ / a = ⊤
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
CommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
⊢ AEMeasurable (∏ i ∈ s, f i) μ
G : Type u_1
Group G
x : G
hx : IsOfFinOrder x
n : ℕ
⊢ (finEquivZPowers x hx).symm ⟨x ^ n, ⋯⟩ = ⟨n % orderOf x, ⋯⟩
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootSystem ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
⊢ MapsTo (⇑(preReflection (P₁.root i) (P₁.toLin.flip (P₁.coroot i)))) (range ⇑P₁.root) (range ⇑P₁.root)
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
⊢ (fun x => a - x) '' Ioo b c = Ioo (a - c) (a - b)
n : ℕ
hn : ¬n = 0
⊢ (n.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)) * ∏ p ∈ n.primeFactors, p = n * ∏ p ∈ n.primeFactors, (p - 1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
G : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ ⥤ C
⊢ ∀ (X_1 : (TopologicalSpace.Opens ↑Y)ᵒᵖ),
  ((TopCat.Presheaf.pushforward C f).obj G).obj X_1 =
    G.obj (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map f).obj (Opposite.unop X_1)))
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f✝ : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g✝ : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
f g : M →ₗ[R] M
h : Commute f g
p : Submodule R M
hf : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hg : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
⊢ (g * f).restrict ⋯ = g.restrict hg * f.restrict hf
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
⊢ (fun i => single i 1) '' s ⊆ ↑(supported R R s)
X : Type u
TopologicalSpace X
CompactSpace X
DiscreteTopology X
⊢ Finite X
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
⊢ ∀ (a : FractionRing B), a ∈ restrictScalars A I → ((traceForm (FractionRing A) (FractionRing B)) ((FractionRing.algEquiv B L).symm x)) a ∈ 1 ↔ (FractionRing.algEquiv B L).toEquiv a ∈ restrictScalars A (comap (FractionRing.algEquiv B L).symm.toLinearMap I) → ((traceForm K L) x) ((FractionRing.algEquiv B L).toEquiv a) ∈ 1
M₀ : Type u_1
MonoidWithZero M₀
r : M₀
⊢ r ∉ nonZeroDivisorsRight M₀ ↔ {s | r * s = 0 ∧ s ≠ 0}.Nonempty
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
r r' : R₁ ⟶ R₂
h : r = r'
X : CategoryTheory.Comma L R₁
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapRightEq L r r' h).inv.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
α : Type u_2
DistribLattice α
s t u : Set α
⊢ (t ⊻ u) ⊼ s ⊆ t ⊼ s ⊻ u ⊼ s
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
N₁ : Type u_4
G₁ : Type u_5
Group N₁
Group G₁
φ₁ : G₁ →* MulAut N₁
f₁ : N →* N₁
f₂ : G →* G₁
h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (φ₁ (f₂ g))).comp f₁
n : N
⊢ (SemidirectProduct.map f₁ f₂ h) (SemidirectProduct.inl n) = SemidirectProduct.inl (f₁ n)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative
inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝² : W₂.ContainsIdentities
D : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D
L : C₂ ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W₂
X₂ : C₂
X₃ : D
y : L.obj X₂ ⟶ X₃
w : TwoSquare Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) := TwoSquare.mk Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) (Φ.functor ⋙ L).rightUnitor.inv
this✝ : Nonempty (w.CostructuredArrowDownwards y)
c : C₁
g : X₂ ⟶ Φ.functor.obj c
x : L.obj (Φ.functor.obj c) ⟶ X₃
fac✝ : L.map g ≫ 𝟙 (L.obj (Φ.functor.obj c)) ≫ x = y
fac : L.map g ≫ x = y
ρ : Φ.arrow.RightResolution (Arrow.mk g) := Classical.arbitrary (Φ.arrow.RightResolution (Arrow.mk g))
this : Zigzag ((fromRightResolution Φ L x ⋙ w.costructuredArrowDownwardsPrecomp x y g fac).obj (RightResolution.mk (𝟙 (Φ.functor.obj c)) ⋯)) ((fromRightResolution Φ L x ⋙ w.costructuredArrowDownwardsPrecomp x y g fac).obj (RightResolution.mk ρ.w.right ⋯))
⊢ Zigzag ((fromRightResolution Φ L x ⋙ w.costructuredArrowDownwardsPrecomp x y g fac).obj (RightResolution.mk ρ.w.right ⋯)) ((fromRightResolution Φ L y).obj (RightResolution.mk ρ.w.left ⋯))
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Stream' α
⊢ Stream'.map f s.tail = (Stream'.map f s).tail
x r : ℝ
hr : 0 < r
hx : 0 < x
⊢ 0 < ProbabilityTheory.exponentialPDFReal r x
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
f : C(X, Y)
⊢ 𝓝 f = ⨅ K, ⨅ (_ : IsCompact K), ⨅ U, ⨅ (_ : IsOpen U), ⨅ (_ : MapsTo (⇑f) K U), 𝓟 {g | MapsTo (⇑g) K U}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
a b : 𝕜
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hfx : f x ≤ f (a • x + b • y)
⊢ f (a • x + b • y) ≤ f y
R : Type u_2
DivisionRing R
n : ℕ
⊢ ↑(-↑n) = -↑n
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
a : SatelliteConfig E (multiplicity E) (goodτ E)
b : SatelliteConfig E (multiplicity E) (goodτ E) := a.centerAndRescale
⊢ False
α : Type u
β : Type u_1
f : α → α → β
comm : ∀ (x y : α), f x y = f y x
l l' : List α
⊢ List.zipWith f l l' = List.zipWith f l' l
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.ProjectivePlane P L
Finite P
Finite L
⊢ Configuration.ProjectivePlane.order (Configuration.Dual L) (Configuration.Dual P) =
  Configuration.ProjectivePlane.order P L
α : Type u_2
OrderedAddCommMonoid α
s : Multiset α
f : α → α
h : ∀ x ∈ s, x ≤ f x
⊢ s.sum ≤ (Multiset.map f s).sum
α : Type u_3
β : Type u_4
Nonempty α
SemilatticeSup α
Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atTop ↔ ∀ (b : β), ∃ a, b ≤ f a
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
h : μ s ≠ 0
d : AddCircle T
I : ι → Set (AddCircle T) := fun j => closedBall d (T / (2 * ↑(n j)))
hd : Tendsto (fun j => μ (s ∩ I j) / μ (I j)) l (𝓝 1)
j : ι
hj : 0 < n j
this : addOrderOf (u j) = n j
⊢ μ (s ∩ I j) / μ (I j) = μ s / ENNReal.ofReal T
e : ONote
n : ℕ+
a₁ a₂ : ONote
h : a₁ < a₂
⊢ ω ^ e.repr * ↑↑n + a₁.repr < ω ^ e.repr * ↑↑n + a₂.repr
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ groupCohomology.dZero A ∘ₗ ↑(groupCohomology.zeroCochainsLequiv A) =
  ↑(groupCohomology.oneCochainsLequiv A) ∘ₗ (groupCohomology.inhomogeneousCochains A).d 0 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : C
CategoryTheory.ArtinianObject X
⊢ WellFounded fun x x_1 => x < x_1
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
⊢ P.toPoly.natDegree = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (c : β) ∂ν a, ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, c) q
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
w : InfinitePlace K
hw : w.IsComplex
⊢ w ∈ Finset.univ → Continuous fun a => ↑w.mult * (normAtPlace w) a
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x : P
y : P
h : x ∈ s
t : R
ht : t ≤ 0
⊢ s.WOppSide ((AffineMap.lineMap x y) t) y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ
this : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ (1 / 2) ^ i
⊢ 2 = ∑' (i : ℕ), (1 / 2) ^ i
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop Y) := Presheaf.imageSieve α ((R.val.map π) r) ⊓ Presheaf.imageSieve φ ((A.val.map π) m)
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop Y)
⊢ (A.val.map π) (smul α φ r m) = smul α φ ((R.val.map π) r) ((A.val.map π) m)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.54716, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasHomology
inst✝ : HasCokernel S.f
⊢ Arrow.mk (cokernel.desc S.f S.g ⋯) ≅ Arrow.mk S.fromOpcycles
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
δ : Type u_7
s : δ → Set α
this : DecidablePred fun x => x ∈ ⋃ i, s i
l : α →₀ M
⊢ l ∈ comap ((supported M R (⋃ i, s i)).subtype ∘ₗ restrictDom M R (⋃ i, s i)) (⨆ i, supported M R (s i))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
hT : Dense ↑T.domain
CompleteSpace E
y : ↥T.adjoint.domain
⊢ ↑T.adjoint y = (LinearPMap.adjointAux hT) y
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
⊢ ↑θ.cos * (o.kahler x) y + ↑θ.sin * (I * (o.kahler x) y) = (↑θ.cos + ↑θ.sin * I) * (o.kahler x) y
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
a✝ : α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : IsDirected β fun x x_1 => x ≥ x_1
inst✝ : Nontrivial β
a b : β
hne : a ≠ b
⊢ ∃ a b, a < b
m n k : ℕ
⊢ (m + n * k).Coprime n ↔ m.Coprime n
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
k : n
d : α
a b : n
⊢ (∑ x : n, (if i = a ∧ j = x then c else 0) * if j = x ∧ k = b then d else 0) = if i = a ∧ k = b then c * d else 0
M : Type u
α : Type v
Monoid M
AddMonoid α
DistribMulAction M α
a : α
⊢ a ∈ FixedPoints.addSubmonoid M α ↔ ∀ (m : M), m • a = a
V : Type u
G : SimpleGraph V
α : Type u_1
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
Fintype α
C : G.Coloring α
⊢ s.card ≤ Fintype.card α
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
n : ℤ
hn : Odd n
⊢ 0 ≤ a ^ n ↔ 0 ≤ a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
SecondCountableTopology E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
c : E
hf : AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) μ
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x : E
⊢ Metric.ball 0 δ - {x} = Metric.ball (-x) δ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
E : Type u₃
ℰ : CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
H : CategoryTheory.Functor D E
I : CategoryTheory.Functor E D
adj₁ : F ⊣ G
adj₂ : H ⊣ I
X : C
⊢ (adj₁.comp adj₂).unit.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj₁.unit.app X) (G.map (adj₂.unit.app (F.obj X)))
R : Type u_1
Semiring R
x : R[ε]
⊢ Commute x ε
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
⊢ centralMoment X 2 μ = variance X μ
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
⊢ OrderHom.fst.prod OrderHom.snd = OrderHom.id
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x : ↥S
⊢ minpoly K x = minpoly K ↑x
G : Type u
self : CommMagma G
a b : G
⊢ a * b = b * a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
fs : Set (Filter α)
⊢ (∃ᶠ (x : α) in sSup fs, p x) ↔ ∃ f ∈ fs, ∃ᶠ (x : α) in f, p x
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
⊢ μ.prod 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : α → β
g : α → γ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => (f x, g x)) μ
n : ℕ
a : Fin n
⊢ ↑a < n
γ : Type u_3
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace γ
BorelSpace γ
R1Space γ
K s : Set γ
hK : IsCompact K
hs : MeasurableSet s
hKs : K ⊆ s
⊢ closure K ⊆ s
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
⊢ ⨆ i, p i = span R (⋃ i, ↑(p i))
α₁ : Type ?u.41768
β₁ : Type ?u.41767
β₂ : Type ?u.41769
e : α₁ → β₁ ≃ β₂
α₂ : Type ?u.41770
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₂ : α₁ → β₁ ≃ β₂
x₁ : α₁
y₁ : β₁
⊢ (fun y => (e₁.symm y.1, (e₂ (e₁.symm y.1)).symm y.2)) ((fun x => (e₁ x.1, (e₂ x.1) x.2)) (x₁, y₁)) = (x₁, y₁)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f
U : Cᵒᵖ
s : (CategoryTheory.forget A).obj (G.obj U)
⊢ CategoryTheory.Presheaf.imageSieve f s ∈ J.sieves (Opposite.unop U)
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
o : Ordering
⊢ compare a b = o ↔ o.toRel a b
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s ⊂ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝
⊢ s.encard < t.encard
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α →. β
g : α → β →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec₂ g
n : ℕ
⊢ (((↑(decode n)).bind fun y => map (Nat.pair n) (map encode (f y))).bind fun n => (↑((decode (Nat.unpair n).1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a) (decode (Nat.unpair n).2))).bind fun a => map encode (g a.1 a.2)) = (↑(decode n)).bind fun a => (f a).bind fun y => map encode (g a y)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F₁ F₂ : C ⥤ D
F₁.PreservesZeroMorphisms
e : F₁ ≅ F₂
⊢ F₂.PreservesZeroMorphisms
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ a - b = a - min a b
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀
h : x = 0
⊢ ∃ a, x = 0 ∧ a ≠ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
m : Type u_3
Fintype m
DecidableEq m
b : Basis m R S
x : S
⊢ (LinearMap.toMatrix b b) (LinearMap.mulLeft R x) = (Algebra.leftMulMatrix b) x
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : CategoryTheory.Functor J CategoryTheory.Cat
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ∀ (a : { pt := ↑s.pt, π := { app := fun j => (s.π.app j).obj, naturality := ⋯ } }.pt),
  (CategoryTheory.Cat.HasLimits.limitConeLift F s).obj a =
    CategoryTheory.Limits.limit.lift (F.comp CategoryTheory.Cat.objects)
      { pt := ↑s.pt, π := { app := fun j => (s.π.app j).obj, naturality := ⋯ } } a
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
hs : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
⊢ ∃ x < s.re, LSeriesSummable f ↑x
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
f : A →ₗc[R] B
h : f.toFun 1 = 1
h₁ : ∀ (x y : A), f.toFun (x * y) = f.toFun x * f.toFun y
⊢ ↑{ toCoalgHom := f, map_one' := h, map_mul' := h₁ } = f
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
⊢ ∀ (x : ↑((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).obj Y)), ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') x = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) x
R : Type u_1
CommSemiring R
a b c : R
k : ℕ
d : R
⊢ a ^ k = b → b * b = c → c * a = d → a ^ (Nat.mul 2 k).add 1 = d
M : Type u_1
Mul M
s : Subsemigroup M
⊢ (MulMemClass.subtype s).srange = s
a b : ℕ
⊢ b ≤ Nat.pair a b
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 0)
this : ∀ᶠ (n : α) in l, ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖ = ‖d n‖
⊢ Tendsto d l (𝓝 0)
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
⊢ s(v, w) ∈ G.incidenceSet v ↔ w ∈ G.neighborSet v
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜'
NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜₂ G'
NormedSpace 𝕜' G'
SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
y : F
⊢ (f 0) y = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
⊢ ContDiff 𝕜 n Prod.fst
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : BorelSpace G
g : G → E'' →L[𝕜] E'
hf : LocallyIntegrable f μ
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x₀ : G
x : E''
this : ConvolutionExistsAt f g x₀ (precompR E'' L) μ
⊢ ∫ (x_1 : G), (((precompR E'' L) (f x_1)) (g (x₀ - x_1))) x ∂μ = ∫ (t : G), (L (f t)) ((g (x₀ - t)) x) ∂μ
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
k : ℕ
hk : f ^ k = den z
k' : ℕ
hk' : k ≤ k'
⊢ k' ∈ {x | (fun n => f ^ n • val z ∈ ⇑(algebraMap A (at Submonoid.powers f)) '' ↑(𝒜 (n • m))) x}
α : Type u_1
G : Type u_4
SubtractionCommMonoid G
f g : α → G
hf : (Function.support f).Finite
hg : (Function.support g).Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α), (f i - g i) = ∑ᶠ (i : α), f i - ∑ᶠ (i : α), g i
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype (ConjClasses G)
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : (x : ConjClasses G) → Fintype ↑x.carrier
⊢ ∑ x : ConjClasses G, x.carrier.toFinset.card = Fintype.card G
R : Type u
NonUnitalRing R
PartialOrder R
StarRing R
h_add : ∀ {x y : R}, x ≤ y → ∀ (z : R), z + x ≤ z + y
h_nonneg_iff : ∀ (x : R), 0 ≤ x ↔ x ∈ AddSubmonoid.closure (Set.range fun s => star s * s)
⊢ StarOrderedRing R
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a₁ a₂ : α
b : M
⊢ (Finsupp.single a₁ b) a₂ = (Finsupp.single a₂ b) a₁