ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hμν : levyProkhorovEDist μ ν < ENNReal.ofReal ε
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] ⇑f
key : (fun t => (μ {a | t ≤ f a}).toReal) ≤ fun t => (ν (thickening ε {a | t ≤ f a})).toReal + ε
intble₁ : IntegrableOn (fun t => (μ {a | t ≤ f a}).toReal) (Ioc 0 ‖f‖) volume
intble₂ : IntegrableOn (fun t => (ν (thickening ε {a | t ≤ f a})).toReal) (Ioc 0 ‖f‖) volume
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 ‖f‖, (ν (thickening ε {a | x ≤ f a})).toReal + ε ∂volume ≤ (∫ (t : ℝ) in Ioc 0 ‖f‖, (ν (thickening ε {a | t ≤ f a})).toReal) + ε * ‖f‖
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : Integrable f μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : Group H
inst✝⁹ : MulAction G α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MulAction H β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSMul G α
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝¹ : Countable G
ν : Measure α
inst✝ : Finite G
h : IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α
ht : ∀ (g : G), g • t =ᶠ[ae μ] t
this : Fintype G
⊢ ∑' (g : G), μ (g • t ∩ s) = Nat.card G • μ (t ∩ s)
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : (if 0 < a then 1 else if a < 0 then -1 else 0) = 0
⊢ a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t✝ s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝¹ : s.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : t.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ (s + t).singularPart μ = s.singularPart μ + t.singularPart μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
a : α
f : (a' : α) → a' ∈ (pure a).support → PMF β
b : β
a' : α
⊢ ((if a' = a then 1 else 0) * if h : (if a' = a then 1 else 0) = 0 then 0 else (f a' h) b) = if a' = a then (f a ⋯) b else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
inst✝ : μ.Regular
f : α ≃ₜ β
⊢ (map (⇑f) μ).Regular
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
CommSemiring k
Group G
AddCommMonoid V
Module k V
ρ : Representation k G V
⊢ ρ.invariants.carrier = ⋂ g, Function.fixedPoints ⇑(ρ g)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : LinearOrder β
s : Set α
f : α → β
h : s.Finite
⊢ ∃ a, ∀ b ∈ s, f a ≤ f b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
⊢ Tendsto (fun x => eval x P) atTop atTop ↔ 0 < P.degree ∧ 0 ≤ P.leadingCoeff
R : Type ?u.47046
S : Type ?u.47049
M : Type ?u.47052
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
r : R
x : ↥(B.dualSubmodule N)
y : ↥N
⊢ (algebraMap R S) (({ toFun := fun x => { toFun := B.dualSubmoduleParing x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x)) y) = (algebraMap R S) (((RingHom.id R) r • { toFun := fun x => { toFun := B.dualSubmoduleParing x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun x) y)
n : ℕ
self : Composition n
i : ℕ
⊢ i ∈ self.blocks → 0 < i
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
⊢ fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a b + LocalizedModule.mk a' b') = fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a b) + fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a' b')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
⊢ Filter.map (↑(f.extend I)) (𝓝[s] y) = 𝓝[↑(f.extend I) '' ((f.extend I).source ∩ s)] ↑(f.extend I) y
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
⊢ (Finset.filter Squarefree n.divisors).val =
  Multiset.map (fun x => x.val.prod) (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors n).toFinset.powerset.val
r : ℝ
⊢ Convex ℝ {c | r ≤ c.re}
x : ℝ
hx₁ : -Real.pi < x
hx₂ : x < Real.pi
⊢ Real.sin x = 0 ↔ x = 0
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S
hf : Injective ⇑f
⊢ ((map f) p).degrees = p.degrees
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
i j : Fin f.natDegree
⊢ (Finsupp.comapDomain Fin.val (h.modByMonicHom (h.root ^ ↑i)).toFinsupp ⋯) j = (Finsupp.single i 1) j
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
m : M
⊢ ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => of' R M ↑s) a = (of R M) (Multiplicative.ofAdd m)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Module ℝ E
SMulCommClass ℝ 𝕜 E
TopologicalSpace E
LocallyConvexSpace ℝ E
ContinuousSMul 𝕜 E
ContinuousSMul ℝ E
TopologicalAddGroup E
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => 0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Balanced 𝕜 s ∧ Convex ℝ s) id
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))
⊢ IsOpen (ToSpec.toFun f ⁻¹' (fun r => ↑(sbo r)) x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
⊢ ↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) =ᶠ[ae μ] ↑(-toSimpleFunc f).posPart
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
t : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Discrete.functor f)
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Bicone.ofLimitCone ht).ι j =
  ht.lift (CategoryTheory.Limits.Fan.mk (f j) fun j' => if h : j = j' then CategoryTheory.eqToHom ⋯ else 0)
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : NontriviallyNormedField α
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ α
inst✝ : DecidableEq n
f : (n → α) →L[α] m → α
⊢ ‖LinearMap.toMatrix' ↑f‖₊ = ‖f‖₊
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.Abelian.epiWithInjectiveKernel f
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ✝ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t✝ : γ✝ → γ✝ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≃r s
o : Ordinal.{u}
γ : Type u
t : γ → γ → Prop
wo : IsWellOrder γ t
g : t ≺i r
h : t ≺i s
⊢ f g.top = (g.ltEquiv f).top
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ ↑n = f ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c : β
⊢ c ≥ fold min b f s ↔ b ≤ c ∨ ∃ x ∈ s, f x ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ComplexMeasure α
inst✝ : c.HaveLebesgueDecomposition μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(c.singularPart μ + μ.withDensityᵥ (c.rnDeriv μ)) i = ↑((re c).toComplexMeasure (im c)) i
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_10
S : Type u_11
Semiring R
Semiring S
Module R M
Module S M₂
x : ℕ
a : M
⊢ f (↑x • a) = ↑x • f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t✝ : Set α
t : Set β
⊢ t ⊆ f '' s ↔ ∃ u ⊆ s, f '' u = t
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : Group H
inst✝⁵ : SMul G α
inst✝⁴ : SMul G β
inst✝³ : MulAction H α
inst✝² : SMul H β
inst✝¹ : SMulCommClass G H β
inst✝ : SMulCommClass G H α
s t : Set α
b : β
g : H
h : Supports G s b
g' : G
hg' : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g • s → g' • a = a
⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → g' • a = a
x y : ℝ*
⊢ x.InfinitePos → ¬(-y).Infinitesimal → 0 < -y → (x * -y).InfinitePos
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
⊢ p.leftInv i 0 = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ Measurable (s.rnDeriv μ)
α : Type u_3
β : α → Type u_4
γ : (a : α) → β a → Type u_5
(a : α) → (b : β a) → Inv (γ a b)
x : (a : α) → (b : β a) → γ a b
⊢ Sigma.uncurry x⁻¹ = (Sigma.uncurry x)⁻¹
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ max a b = a ↔ b ≤ a
a : Nat
xs : List Nat
m : a ∈ xs
h : a ≠ 0
⊢ 0 < xs.nonzeroMinimum
n : Nat
i : Int
⊢ (BitVec.ofInt n i).toNat = (i % ↑(2 ^ n)).toNat
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
x v : E
⊢ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f Set.univ x v ↔ LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E
inst✝ : Preregular C
W X w✝ Y : C
f : Y ⟶ X
hf : EffectiveEpi f
hS : ∃ f_1, ((ofArrows (fun x => Y) fun x => f) = ofArrows (fun x => w✝) fun x => f_1) ∧ EffectiveEpi f_1
this : (ofArrows (fun x => Y) fun x => f).regular
h_colim : IsColimit (Sieve.generate (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)).arrows.cocone
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)
hx : x.Compatible
x_ext : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (Sieve.generate (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)).arrows := x.sieveExtend
hx_ext : x.sieveExtend.Compatible
S : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun x => Y) fun x => match x with | PUnit.unit => f)
t : (yoneda.obj W).obj (op X)
t_amalg : x_ext.IsAmalgamation t
t_uniq : ∀ (y : (yoneda.obj W).obj (op X)), (fun t => x_ext.IsAmalgamation t) y → y = t
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
α : Type u_5
Monoid α
x : α
h : ¬IsUnit x
⊢ Irreducible x ∨ ∃ a b, ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b ∧ a * b = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
m : MeasurableSpace α
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂sum μ, f x ∈ t
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
r : R[X]
hq : p * r ≠ 0
⊢ p ∣ (p * r).primPart
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : β →ₛ γ
g : α → β
hgm : Measurable g
⊢ ↑(f.comp g hgm).range ⊆ ↑f.range
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x✝ : ↥A.unitGroup
⊢ x✝ ∈ A.unitGroupToResidueFieldUnits.ker ↔ A.unitGroupMulEquiv x✝ ∈ (Units.map ↑(LocalRing.residue ↥A)).ker
α : Type u
σ : Type v
M : εNFA α σ
start : Set σ
⊢ M.toNFA.evalFrom (M.εClosure start) = M.evalFrom start
X : AddMonCat
⊢ AddMonCat.uliftFunctor.obj X = AddMonCat.of (ULift.{v, u} ↑X)
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
d : ℤ
α : F
hα : α ≠ 0
⊢ (single d) α * (single (-d)) α⁻¹ = 1
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
v : V
h : ∀ (p : P), p = x ∨ p = y ∨ p = z → ∃ r, p = r • v +ᵥ x
⊢ Wbtw R x y z ∨ Wbtw R y z x ∨ Wbtw R z x y
n : ℕ
⊢ (-↑n.succ).succ = -↑n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
r : AdicCauchySequence I R
x : AdicCauchySequence I M
⊢ ↑r n • Submodule.Quotient.mk (↑x n) = ↑r m • Submodule.Quotient.mk (↑x m)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
x✝ : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (x✝ i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on x✝)
⊢ HasSum (fun i => if MeasurableSet (x✝ i) then μ (x✝ i) else 0) (if MeasurableSet (⋃ i, x✝ i) then μ (⋃ i, x✝ i) else 0)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork f
G : C ⥤ D
G.PreservesZeroMorphisms
⊢ G.map (CategoryTheory.Limits.Fork.ι c) ≫ G.map f = 0
A B : NonemptyFinLinOrd
f : A ⟶ B
a : ↑A
⊢ (CategoryTheory.forget NonemptyFinLinOrd).map f a = f.toFun a
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ addOrderOf (n • x) = addOrderOf x / (addOrderOf x).gcd n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
f✝ : α → β
l✝ : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
f : α → β
a : α
l hd : List α
tl : α
ih : argmax f (a :: hd) = Option.casesOn (argmax f hd) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a
m : α
h : argmax f hd = some m
⊢ Option.rec (some tl) (fun val => if f val < f tl then some tl else some val) (some (if f a < f m then m else a)) = Option.rec (some a) (fun val => if f a < f val then some val else some a) (some (if f m < f tl then tl else m))
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V1
inst✝ : Module k V2
c : P1
r₁ r₂ : k
p : P1
⊢ (homothety c (r₁ * r₂)) p = (homothety c r₁) ((homothety c r₂) p)
R : Type u
ι : Type v
A : Type w
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Coalgebra R A
i : ι
⊢ Coalgebra.comul ∘ₗ Finsupp.lapply i = TensorProduct.map (Finsupp.lapply i) (Finsupp.lapply i) ∘ₗ Coalgebra.comul
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
key : Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs n)).toReal) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toReal) ↔ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
lip : LipschitzWith 1 NNReal.toReal
f₀ : Ω →ᵇ ℝ := comp NNReal.toReal lip f
_def_f₀ : f₀ = comp NNReal.toReal lip f
f₀_eq : ⇑f₀ = NNReal.toReal ∘ ⇑f
⊢ Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs n)).toReal) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toReal)
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hc : s ∈ 𝓝[≠] c
hd : DifferentiableOn ℂ f s
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹
⊢ DifferentiableOn ℂ (Function.update f c (limUnder (𝓝[≠] c) f)) (insert c s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x = g x
r : ℝ
⊢ Complex.ofReal r = ↑r
x x₁✝ x₂✝ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y'✝ : PGame
ih : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 x y) → P124 a
x₁ x₂ y' : PGame
h₁ : x₁.IsOption x
h₂ : x₂.IsOption x
hy : y'.IsOption y
⊢ ArgsRel (Args.P24 x₁ x₂ y') (Args.P1 x y)
i j k : ℤ
⊢ i.gcd j ∣ i.gcd (j * k)
G : Type u
self : Group G
a : G
⊢ a⁻¹ * a = 1
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : AddGroup β
f : ℤ →+ β
n : ℤ
⊢ f n = n • f 1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ₁ ≤ μ₂ ↔ ∀ (s : Set α), μ₁ s ≤ μ₂ s
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : LipschitzWith K f
p : β → Prop
hp : ∀ (x : α), p (f x)
⊢ LipschitzWith K fun x => ⟨f x, ⋯⟩
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ (weightSpace M 0).normalizer = weightSpace M 0
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ ArithmeticFunction.cardDistinctFactors p = 1
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ Module.rank F ↥⊥ = 1
α : Sort u
β : Sort v
a a' : α
b b' : α → β
h₁ : a = a'
h₂ : ∀ (x : α), b x = b' x
⊢ (let x := a;
  b x) =
  let x := a';
  b' x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
⊢ StarConvex 𝕜 x s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • {x} + b • s ⊆ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
i : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ CategoryTheory.Epi c.π
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
i j : ι
Decidable (i = j)
⊢ (b.repr (b i)) j = if i = j then 1 else 0
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
S : Set (NonUnitalSubring R)
x : R
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z : C
X Y : C
P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
P' : C
inl' : X ⟶ P'
inr' : Y ⟶ P'
h : CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
h' : CategoryTheory.IsPushout f g inl' inr'
⊢ inr ≫ (CategoryTheory.IsPushout.isoIsPushout X Y h h').hom = inr'
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p : β → Prop
u : β → α
⊢ Filter.bliminf u f p = ⨆ s ∈ f, ⨅ b, ⨅ (_ : p b ∧ b ∈ s), u b
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : LinearOrder Γ
inst✝ : LocallyFiniteOrder Γ
f : Γ → R
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
⊢ n ∈ {x | ∀ ⦃a : Γ⦄, a ∈ Function.support f → x ≤ a}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : a * b ≤ c * d
⊢ (a ≤ c ∨ a ≤ d) ∨ b ≤ c ∨ b ≤ d
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
A B : Rep k G
f : A ⟶ B
g : G
x : CoeSort.coe A
⊢ f.hom ((A.ρ g) x) = (B.ρ g) (f.hom x)
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
⊢ (mapBilinear R M N M N).compr₂ (trace R (M ⊗[R] N)) = (lsmul R R).compl₁₂ (trace R M) (trace R N)
⊢ StrictConcaveOn ℝ (Set.Ioi 1) fun x => √x * Real.log x
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
homeo : ↑(X ⨯ Y) ≃ₜ ↑(of (↑X × ↑Y)) := homeoOfIso (X.prodIsoProd Y)
⊢ induced (Prod.fst ∘ ⇑homeo) X.topologicalSpace_coe ⊓ induced (Prod.snd ∘ ⇑homeo) Y.topologicalSpace_coe = induced (⇑prod.fst) X.str ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.str
α : Type u
m : ℕ
x : α
u : Fin m.succ.succ.succ → α
⊢ Matrix.vecCons x u 3 = Matrix.vecHead (Matrix.vecTail (Matrix.vecTail u))
σ : Type u
R : Type u_1
S : Type u_2
CommSemiring R
CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S
⊢ Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ p = (MvPolynomial.map f) p
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s.diag ∪ s.offDiag = s ×ˢ s
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
self : CategoryTheory.Bicategory.Adjunction f g
⊢ CategoryTheory.Bicategory.leftZigzag self.unit self.counit =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).inv
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
hc : HasDerivAt c c' x
hd : HasDerivAt d d' x
⊢ HasDerivAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') x
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
t : M ⊗[R] N
⊢ 0 ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderTop α
SemilatticeSup β
OrderTop β
a b : α
f : α ≃o β
ha : Codisjoint a b
⊢ Codisjoint (f a) (f b)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
Module.Flat R ↥N
⊢ Module.rank R ↥(M ⊓ N) ≤ 1
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
E' : Type u_2
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace ℝ E'
FiniteDimensional ℝ E'
s : Set α
f : α → E'
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
⊢ ∃ g, LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant E' * K) g ∧ Set.EqOn f g s
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I ≤ J
x : K
⊢ (∀ y ∈ J, x * y ∈ 1) → ∀ y ∈ I, x * y ∈ 1
A : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra ℂ A
inst✝¹ : StarModule ℂ A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A
⊢ IsStarNormal a ∧ SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM → IsSelfAdjoint a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
t : Set α
f g : Filter ↑t
h : Injective (m ∘ Subtype.val)
⊢ map m (map Subtype.val f ⊓ map Subtype.val g) = map m (map Subtype.val f) ⊓ map m (map Subtype.val g)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | (fun ω => min (τ ω) (π ω)) ω ≤ i}
α : Type u_1
SemilatticeSup α
a : α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) (Set.Ici a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
⊢ radius 0 = ⊤
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
h : x ≠ y
⊢ ∃ f, f x ≠ f y
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v : V
H : G.Subgraph
⊢ v ∈ H.verts → G.singletonSubgraph v ≤ H
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t✝ : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
s t : ℝ
h_meas : ∀ (t : ℝ), Measurable fun x => rexp (t * x)
⊢ IndepFun ((fun x => rexp (s * x)) ∘ X) ((fun x => rexp (t * x)) ∘ Y) μ
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
⊢ Classical.choose ⋯ • x = c • x
P : Type u_2
MetricSpace P
p : P
ps : Set P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
hp : p ∈ ps
hps : ps ⊆ Metric.sphere s.center s.radius
⊢ dist p s.center = s.radius