ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
i : σ
m : σ →₀ ℕ
k : ℕ
this : coeff m ((Finsupp.single i k).prod fun n e => X n ^ e) = if Finsupp.single i k = m then 1 else 0
⊢ X i ^ 0 = 1
K : Type u
inst✝ : Field K
A✝ A B : ValuationSubring K
h : A.principalUnitGroup = B.principalUnitGroup
⊢ A = B
F : Type u_3
Field F
Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ a ^ (Fintype.card F / 2) = 1 ∨ a ^ (Fintype.card F / 2) = -1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ₗ D
⊢ (CategoryTheory.LeftExactFunctor.forget C D).obj F = F.obj
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc' : c ≠ ⊤
⊢ c * a / (c * b) = a / b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f : α → M
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hf : (mulSupport f).Finite
x : α
hx : f x ≠ 1
⊢ x ≠ a ↔ x ∈ hf.toFinset.erase a
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.9321, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.9373, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
X : C
T : ↑(K.sieves (G.obj X))
Y : D
iYX : Y ⟶ G.obj X
hiYX : (↑T).arrows iYX
W : D
Z : C
iWZ : W ⟶ G.obj Z
iZY : G.obj Z ⟶ Y
⊢ Sieve.pullback (iWZ ≫ iZY) (Sieve.pullback iYX (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T))) ∈ K.sieves W
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => ((κ x) s).toReal) μ
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
ι : Type u_1
f : ι → R
⊢ ⋃ i, ↑(basicOpen (f i)) = ↑⊤ ↔ Ideal.span (Set.range f) = ⊤
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
h : f.Dom ∈ l₁
h' : ∀ s ∈ l₂, f.core s ∈ l₁
s : Set β
sl₂ : s ∈ l₂
⊢ f.core s ∩ f.Dom ∈ l₁
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
f : α × α × α → (α × α) × α × α := fun x => ((x.1 * x.2.2, x.1 * x.2.1), x.2)
this : Set.InjOn f ↑(univ ×ˢ t ×ˢ t)
a : (α × α) × α × α
⊢ a ∈ filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) (univ ×ˢ t ×ˢ t) ↔ a ∈ image f (univ ×ˢ t ×ˢ t)
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h₁ : P3 x₃ x₂ y₂ y₃
h₂ : P3 x₁ x₃ y₂ y₁
⊢ ⟦x₃ * y₂⟧ + (⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ + ⟦x₃ * y₃⟧) < ⟦x₃ * y₂⟧ + (⟦x₃ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₃⟧ + ⟦x₁ * y₂⟧)
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
⊢ ((Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (mk W) Y)).degree = max (2 • p.degree) (2 • q.degree + 3)
p : ℝ[X]
⊢ Tendsto (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (𝓝 0) (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
Monoid α
Monoid β
MulDistribMulAction α β
r : α
l : List β
⊢ r • l.prod = (List.map (fun x => r • x) l).prod
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
x : P.Ring
⊢ (f.sub g) (1 ⊗ₜ[P.Ring] (KaehlerDifferential.D R P.Ring) x) = Algebra.Generators.Cotangent.mk ((f.subToKer g) x)
p : Γ' → Bool
k₁ k₂ : K'
q : Λ'
s : Option Γ'
L₁ : List Γ'
o : Option Γ'
L₂ : List Γ'
S : K' → List Γ'
h₁ : k₁ ≠ rev ∧ k₂ ≠ rev ∧ k₁ ≠ k₂
h₂ : S rev = []
e : splitAtPred p (S k₁) = (L₁, o, L₂)
⊢ TransGen (fun a b => (match a with | { l := none, var := var, stk := stk } => none | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) = some b) (bif o.isSome then { l := some (Λ'.move (fun x => false) rev k₂ q), var := o, stk := update (update (update S k₁ L₂) rev (L₁.reverseAux (S rev))) k₁ (o.iget :: update (update S k₁ L₂) rev (L₁.reverseAux (S rev)) k₁) } else { l := some (Λ'.move (fun x => false) rev k₂ q), var := o, stk := update (update S k₁ L₂) rev (L₁.reverseAux (S rev)) }) { l := some q, var := none, stk := update (update S k₁ ((match (motive := Option Γ' → (List Γ' → List Γ') → (Γ' → List Γ' → List Γ') → List Γ' → List Γ') o, id, List.cons with | some x, x_1, f => f x | none, y, x => y) L₂)) k₂ (L₁ ++ S k₂) }
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : CategoryTheory.Dial C
⊢ (X.associator Y Z).inv.f =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift
    (CategoryTheory.Limits.prod.lift CategoryTheory.Limits.prod.fst
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.snd)
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
Hle : π₁ ≤ π₂
⊢ π₁.restrict J ≤ π₂.restrict J
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
IH : ∀ m < n, X m ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p m) = (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ m)
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
⊢ ∀ x ∈ range n, C (↑p ^ x) * (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x) * C (⅟↑p ^ n) - C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n + 1 - x) * C (⅟↑p ^ n) = ∑ i ∈ range (p ^ (n - x)), C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((X x ^ p) ^ (p ^ (n - x) - (i + 1)) * frobeniusPolyAux p x ^ (i + 1) * C ↑((p ^ (n - x)).choose (i + 1) / p ^ (n - x - v p ⟨i + 1, ⋯⟩) * p ^ (i - v p ⟨i + 1, ⋯⟩)))
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x✝ : K
ha : a ≠ 0
h : discrim a b c = 0
x : K
⊢ a * x * x + b * x + c = 0 ↔ x = -b / (2 * a)
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
⊢ (cs.simple i * cs.simple i') ^ M.M i i' = 1
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ ⇑e.toHomeomorph = ⇑e
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ ↑s = ∅ ↔ s = ∅
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n✝ m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hf : Adapted ℱ f
n i : ℕ
x✝ : i ∈ Finset.range N
⊢ MeasurableSet fun ω => {n | n < upperCrossingTime a b f N (i + 1) ω} n
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
a b c : E
⊢ convexJoin 𝕜 {a} (segment 𝕜 b c) = (convexHull 𝕜) {a, b, c}
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
⊢ (μ.singularPart ν).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
s : Set α
S : (i : ι) → Set (π i)
hs : s.Nonempty
⊢ IsBounded (s ×ˢ ∅) ↔ s = ∅ ∨ ∅ = ∅ ∨ IsBounded s ∧ IsBounded ∅
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc ℝ 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.integral f =
  ‖MeasureTheory.L1.SimpleFunc.posPart f‖ - ‖MeasureTheory.L1.SimpleFunc.negPart f‖
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ Continuous MulOpposite.op
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ ∀ (i : (Quotient.out o).α), IsNormal (o.familyOfBFamily f i)
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₂ : ManyOneDegree
p✝ : Set ℕ
⊢ of p✝ ≤ d₂ → d₂ ≤ of p✝ → of p✝ = d₂
n m k l : ℕ
h : n + m = k + l
⊢ n.dist k = l.dist m
α : Type u_1
DecidableEq α
Mul α
s t u : Finset α
⊢ (Finset.filter
        (fun x =>
          match x with
          | (a, b) => a * b ∈ u)
        (s ×ˢ t)).card ^
    2 ≤
  u.card * s.mulEnergy t
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
a x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup 𝕜'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
hh : HasDerivAt h h' (a + x)
⊢ HasDerivAt (fun x => h (a + x)) h' x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a b : α
⊢ (∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b) → ∀ (x : ℕ), a ^ (x + 1) ∣ b
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s s₁ s₂ : Set α
t✝ : Finset α
a b : α
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hG : G.CliqueFreeOn s m
t : Finset α
hts : ↑t ⊆ s
ht : G.IsNClique n t
⊢ False
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
⊢ MeasureTheory.IsStoppingTime f fun ω => min (τ ω) i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
this : IsFiniteKernel κ
S : Finset (Set γ)
hS_subset : ↑S ⊆ countablePartition γ n
hA : MeasurableSet (⋃₀ ↑S)
⊢ ∫ (x : γ) in ⋃ i, ↑i, κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a = ((κ a) ((⋃ i, ↑i) ×ˢ s)).toReal
ι : Type u_3
M : Type u_4
AddCommMonoid M
I : WithTop (BoxIntegral.Box ι)
self : BoxIntegral.BoxAdditiveMap ι M I
J : BoxIntegral.Box ι
⊢ ↑J ≤ I → ∀ (π : BoxIntegral.Prepartition J), π.IsPartition → ∑ Ji ∈ π.boxes, self.toFun Ji = self.toFun J
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a : α
u : αˣ
⊢ lcm a ↑u = normalize a
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
U : Set ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace
hU : ∀ (i : 𝒰.gluedCover.J), _root_.IsOpen (⇑(𝒰.gluedCover.ι i).val.base ⁻¹' U)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U
⊢ _root_.IsOpen (⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∩ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base) ∧ x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∩ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_6
DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommGroup (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
j : ι
x : AdicCompletion I (M j)
⊢ (AdicCompletion.sum I M) ((DirectSum.of (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) x) =
  (AdicCompletion.map I (DirectSum.lof R ι M j)) x
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
a l : List (ι →₀ M)
hd : List.Pairwise (_root_.Disjoint on Finsupp.support) l
hl : a.Perm l
⊢ List.Pairwise (_root_.Disjoint on Finsupp.support) a
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
⊢ ¬s.Nonempty ∨ ¬t.Nonempty ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e f : Pretrivialization F proj
⊢ (f.symm.trans e.toPartialEquiv).source = (e.baseSet ∩ f.baseSet) ×ˢ univ
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => 0) p μ
M : Type u_2
α : Type u_3
AddMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableAdd₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable l.sum μ
a b c : Int
h : a + b ≤ c
⊢ b ≤ c - a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b : α
ha : IsSquare a
hb : IsSquare b
⊢ IsSquare (a * b⁻¹)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
hroots : Multiset.card p.roots = p.natDegree
⊢ Multiset.card (map f p).roots ≤ Multiset.card (Multiset.map (⇑f) p.roots)
α : Type u_1
x : α
xs : FreeMonoid α
⊢ FreeMonoid.toList (FreeMonoid.of x * xs) = x :: FreeMonoid.toList xs
c : Char
⊢ (String.singleton c).data = c :: List.nil
R : Type u_1
inst✝ : MulZeroClass R
a b : R
hb : IsLeftRegular b
⊢ b * a = b * 0 ↔ a = 0
H : Type u_3
TopologicalSpace H
LocallyCompactSpace H
T2Space H
⊢ TotallyDisconnectedSpace H ↔ TotallySeparatedSpace H
f : Type u → Type v
Functor f
self : LawfulFunctor f
α : Type u
x : f α
⊢ id <$> x = x
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
⊢ μ (Metric.closedBall 0 1) = μ (Metric.ball 0 1)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
c : F
x : E
L : Filter E
⊢ HasFDerivAtFilter (fun x => c) 0 x L
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
⊢ 𝓟 s ×ˢ 𝓟 t = 𝓟 (s ×ˢ t)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q
⊢ (comp 0 z₂ h).v p q hpq = v 0 p q hpq
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G H I : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : F ⟶ G
θ : G ⟶ H
ι : H ⟶ I
a : B
⊢ (CategoryTheory.OplaxNatTrans.associator η θ ι).hom.app a =
  (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (θ.app a) (ι.app a)).hom
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
t : Multiset α
⊢ a ∈ s → (s + t).erase a = s.erase a + t
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a ≤ a + b - b
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
⊢ 0⁻¹ = 0
α : Type u_1
Inv α
a : α
⊢ ↑a⁻¹ = (↑a)⁻¹
α : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀ : H
bound✝ : α → ℝ
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ H
μ : Measure ℝ
F : H → ℝ → E
F' : H → ℝ → H →L[ℝ] E
a b : ℝ
bound : ℝ → ℝ
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1
⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
TopologicalSpace γ
Preorder γ
g : EsakiaHom β γ
f : EsakiaHom α β
⊢ ↑(g.comp f) = (↑g).comp ↑f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f
⊢ CategoryTheory.Limits.HasKernel (CategoryTheory.Limits.cokernel.desc S.f S.g ⋯)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
DecidablePred pred
⊢ (((Finset.subtype pred s).weightedVSub fun i => p ↑i) fun i => w ↑i) = ((Finset.filter pred s).weightedVSub p) w
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
U V : TopologicalSpace.Opens M
hUV : U ≤ V
x : ↥U
⊢ ↑(chartAt H (Set.inclusion hUV x)).symm =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H (Set.inclusion hUV x)) (Set.inclusion hUV x))]
  Set.inclusion hUV ∘ ↑(chartAt H x).symm
α : Type u
g : Ordinal.{u} → α
h_inj : InjOn g (Iio (succ #α).ord)
h : lift.{u, u + 1} #↑(Iio (succ #α).ord) ≤ lift.{u + 1, u} #α
mk_initialSeg_subtype : #↑(Iio (succ #α).ord) = lift.{u + 1, u} (succ #α)
⊢ False
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ω : Ω
hN : 0 < N
hab : a < b
hn : n ≤ MeasureTheory.upcrossingsBefore a b f N ω
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω < N
K : Type u_1
Field K
x : (𝓞 K)ˣ
n : ℕ
⊢ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑(x ^ n) = (algebraMap (𝓞 K) K) ↑x ^ n
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
c d : Concept α β r
h : c.toProd.1 = d.toProd.1
⊢ c = d
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
x : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
h : ∀ i ∈ t, SmoothAt I' I (f i) x
⊢ SmoothAt I' I (∏ i ∈ t, f i) x
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : (x : 𝒰.J) → (𝒰.obj x).OpenCover
x : (i : 𝒰.J) × (f i).J
⊢ (𝒰.bind f).obj x = (f x.fst).obj x.snd
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
CeilDiv α β
a : α
b : β
ha : 0 < a
⊢ b ≤ a • (b ⌈/⌉ a)
α : Type u_1
f : Equiv.Perm α
x : α
hffx : f (f x) = x
n : ℕ
⊢ (f ^ n) x = x ∨ (f ^ n) x = f x
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
⊢ LieModule.chainBotCoeff (⇑α) β ≤ LieAlgebra.IsKilling.chainLength α β
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
hb : ∀ (p : G.Walk v w), s(v, w) ∈ p.edges
c : G.Walk u u
hc : c.IsTrail
he : s(v, w) ∈ c.edges
hw : w ∈ (c.takeUntil v ⋯).support
⊢ False
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
H K : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.map f H ≤ AddSubgroup.map f K ↔ H ⊔ f.ker ≤ K ⊔ f.ker
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
r₁ : ℝ
s : Affine.Simplex ℝ P n
p p₁o : P
hp₁o : p₁o ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ ↑(s.orthogonalProjectionSpan (r₁ • (p -ᵥ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p)) +ᵥ p₁o)) = p₁o
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsUpperModularLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a : α
s : Set α
h : ∀ a ∈ s, IsAtom a
hab : a < sSup s
x : α
hx : x ∈ s
hcon : ∀ x ≤ sSup s, ¬a ⋖ x
⊢ x ≤ a
f : StieltjesFunction
⊢ f.measure = { toOuterMeasure := f.outer, m_iUnion := ⋯, trim_le := ⋯ }
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g✝ : S →+* T
f : R →+* S
hf : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
J : Ideal (S ⊗[R] T)
hJ : J.IsPrime
x : S ⊗[R] T
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g J
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
⊢ ∃ x_1 r, ∃ c ∉ J, (algebraMap S (S ⊗[R] T)) r ∉ J ∧ c * (algebraMap S (S ⊗[R] T)) r * x = c * (algebraMap S (S ⊗[R] T)) x_1
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
g : N → N'
r : Set N
y : N
fst✝ : M
snd✝ : N
hf : ContMDiffAt I I' n f (fst✝, snd✝).1
hg : ContMDiffAt J J' n g (fst✝, snd✝).2
⊢ ContMDiffAt (I.prod J) (I'.prod J') n (Prod.map f g) (fst✝, snd✝)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f✝ : X → Y
s : Set X
hs : IsLocallyClosed s
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsLocallyClosed (range f)
⊢ IsLocallyClosed (f '' s)
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝⁵ : SemilatticeSup α✝
inst✝⁴ : OrderBot α✝
s✝ s₁ s₂ : Finset β✝
f✝ g✝ : β✝ → α✝
a✝ : α✝
ι : Type u_7
κ : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → β
i : α × β
a : ι
ha : a ∈ s
b : κ
hb : b ∈ t
⊢ (∀ (a : ι) (b : κ), a ∈ s → b ∈ t → f a ≤ i.1 ∧ g b ≤ i.2) ↔ (∀ b ∈ s, f b ≤ i.1) ∧ ∀ b ∈ t, g b ≤ i.2
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set α
⊢ s.restrict f '' (Subtype.val ⁻¹' t) = f '' (t ∩ s)
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
x : M₁ i
⊢ f (update m i (-x)) + f (update m i x) = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
f : α →*₀ β
⊢ (MonoidWithZeroHom.id β).comp f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set β
f : β → Set α
hs : s.Finite
hfin : ∀ i ∈ s, μ (f i) ≠ ⊤
⊢ μ (⋃ i ∈ s, f i) < ⊤
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
s : optParam (Set X) Set.univ
self : PartitionOfUnity ι X s
⊢ 0 ≤ self.toFun
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : WithLp ⊤ (α × β)
⊢ edist ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) x) ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) y) ≤ edist x y
α : Type u
L : List (α × Bool)
⊢ Quot.mk FreeAddGroup.Red.Step L = FreeAddGroup.mk L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
h : r.dom ⊆ s
⊢ r.image s = r.codom
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
b : α
s : Multiset α
⊢ ∀ (a : List α), countP p (b ::ₘ Quot.mk Setoid.r a) = countP p (Quot.mk Setoid.r a) + if p b then 1 else 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hf : ¬AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ι a b))
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology
⊢ (K.homologyIsoSc' i j k hi hk).inv ≫ K.homologyι j = (K.sc' i j k).homologyι ≫ (K.opcyclesIsoSc' i j k hi hk).inv