ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ Set.uIcc a c ⊆ Set.uIcc a b ∪ Set.uIcc b c
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u✝ : Multiset α
a✝ b : α
s t u : Multiset α
h : ¬s ∩ t + u = (s + u) ∩ (t + u)
a : α
hl : a ::ₘ s ∩ t + u ≤ (s + u) ∩ (t + u)
⊢ False
b : ℂ
hb : 0 < b.re
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => cexp (-b * ↑x ^ 2)) MeasureTheory.volume
a b ab : ℕ
r : ℤ
hab : a % b = ab
hr : jacobiSymNat ab b = r
⊢ jacobiSym (↑a % ↑b) b = jacobiSym (↑(a % b)) b
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
⊢ Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf ↔ ∀ (U : Cᵒᵖ) (s : F.obj U), G.sieveOfSection s ∈ J.sieves (unop U) → s ∈ G.obj U
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
is : List ι
hl : (i :: is).Nodup
v w : TProd α (i :: is)
hvw : ∀ (i_1 : ι) (hi : i_1 ∈ i :: is), v.elim hi = w.elim hi
⊢ v.1 = w.1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
a b : E
⊢ dist a (a - b) = ‖b‖
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
hα : WellFounded rα
hβ : WellFounded rβ
⊢ WellFounded (Prod.GameAdd rα rβ)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
e : C ≌ D
inst✝¹ : Precoherent C
A : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : IsSheaf (coherentTopology D) (e.inverse.op ⋙ F)
⊢ IsSheaf (coherentTopology C) (e.functor.op ⋙ e.inverse.op ⋙ F)
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a : P
SMul G P
IsCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a)
⊢ (↑x).1 = (↑y).1 ↔ (↑x).2 = (↑y).2
R : Type u
σ : Type u_1
CommRing R
p : MvPolynomial σ R
r : R
⊢ (p - MvPolynomial.C r).totalDegree ≤ p.totalDegree
α : Type u_1
P : α → Bool
l : List α
⊢ splitOnP P l = splitOnPTR.go P l #[] #[]
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
f : (x : 𝒰.J) → (𝒰.obj x).OpenCover
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
y : ↑↑(𝒰.obj (𝒰.f x)).toPresheafedSpace := Exists.choose ⋯
⊢ x ∈ Set.range ⇑((fun x => (f x.fst).map x.snd ≫ 𝒰.map x.fst) ((fun x => ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose ⋯)⟩) x)).val.base
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.51945, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasHomology
inst✝ : HasKernel S.g
⊢ Arrow.mk S.toCycles ≅ Arrow.mk (kernel.lift S.g S.f ⋯)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
A : ∀ (ε N : ℝ≥0) (p : ℕ), 0 < ε → μ ({x | g x + ↑ε ≤ f x ∧ g x ≤ ↑N} ∩ spanningSets μ p) = 0
u : ℕ → ℝ≥0
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
s : ℕ → Set α := fun n => {x | g x + ↑(u n) ≤ f x ∧ g x ≤ ↑↑n} ∩ spanningSets μ n
μs : ∀ (n : ℕ), μ (s n) = 0
B : {x | f x ≤ g x}ᶜ ⊆ ⋃ n, s n
⊢ f ≤ᶠ[ae μ] g
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v x < 1
⊢ v (1 + x) = 1
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
p : Finset (Finset α) → Prop
𝒜 : Finset (Finset α)
empty : p ∅
singleton_empty : p {∅}
subfamily : ∀ (a : α) ⦃𝒜 : Finset (Finset α)⦄, p (nonMemberSubfamily a 𝒜) → p (memberSubfamily a 𝒜) → p 𝒜
u : Finset α := 𝒜.sup id
⊢ p 𝒜
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddZeroClass α
h : Periodic f c
⊢ f c = f 0
ι✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
A : ι✝ → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this✝
this : (Measure.map (⇑e.symm) volume).IsAddHaarMeasure
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
⊢ ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ p ∂μ ≤ ↑C * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂μ) ^ p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
n : ℕ
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor (Fin (n + 1)) C} (α : X ⟶ Y) (X_1 : Fin (n + 1)),
  ((G.mapComposableArrows n).map α).app X_1 = G.map (α.app X_1)
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b
⊢ ((Finset.erase b m).erase (m.1 - 1, m.2)).card + 2 = Finset.card b
n : Type u_1
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
Q : QuadraticForm ℝ (n → ℝ)
hQ : (LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap ((LinearMap.toMatrix₂' ℝ).invFun ((↑(LinearMap.toMatrix₂' ℝ)).toFun ((associatedHom ℝ) Q)))).PosDef
⊢ (toMatrix' Q).PosDef
R : Type u_1
DivisionRing R
CharZero R
p r : R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n • r ∈ AddSubgroup.zmultiples p ↔ ∃ k, r - ↑k • (p / ↑n) ∈ AddSubgroup.zmultiples p
S : Type u_1
T : Type u_2
R✝ : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ N
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
v✝ : Basis ι R✝ M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticMap R M R
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
j : ι
hj : j ∈ univ
⊢ (((associatedHom R) Q) (w j • v j)) (w j • v j) = (((associatedHom R) Q) (v j)) (v j) • (w j * w j)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
Unique αˣ
x : α
⊢ normalize x = x
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
m : Multiset α
f f' : α → Multiset β
hf : ∀ a ∈ m, f a = f' a
⊢ HEq (m.bind f) (m.bind f')
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
F_obj : C → D
e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)
he : ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y), (e X Y') (h ≫ g) = (e X Y) h ≫ G.map g
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
this : ∀ {X : C} {Y Y' : D} (f : X ⟶ G.obj Y) (g : Y ⟶ Y'), (e X Y').symm (f ≫ G.map g) = (e X Y).symm f ≫ g
⊢ f ≫ g = f ≫ (e X (F_obj X)) (𝟙 (F_obj X)) ≫ G.map ((e X Y).symm g)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
y : E
hy : y ≠ x
hr : 0 ≤ r
this : ‖y - x‖ ≠ 0
⊢ |r| * (‖y - x‖⁻¹ * ‖y - x‖) = r
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a : α
z : ℤ
⊢ ⌈-a⌉ ≤ z ↔ -⌊a⌋ ≤ z
R : Type u
CommRing R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
x : ↥U
s : ↑((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.obj (Opposite.op U))
⊢ (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.stalkToFiberRingHom R ↑x)
    (((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).presheaf.germ x) s) =
  ↑s x
V : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : V → E
CompleteSpace E
hf : MeasureTheory.Integrable f MeasureTheory.volume
h'f : MeasureTheory.Integrable (𝓕 f) MeasureTheory.volume
v : V
⊢ Filter.Tendsto
  (fun c => ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w)
  Filter.atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
s : Set P
x : P
⊢ ContinuousWithinAt (⇑e) s x
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p q : ℤ
q1 : 1 < q
a0 : ↑a / ↑b ≠ ↑p / ↑q
qR0 : 0 < ↑q
b0 : ↑b ≠ 0
bq0 : 0 < ↑b * ↑q
a1 : |a * q - ↑b * p| * q ^ (b + 1) < ↑b * q
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ ContinuousOn (↑(extChartAt I x).symm) (extChartAt I x).target
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
H : ∀ (f : ℕ → α → E), (∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ) → ∀ (B : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), B i < ⊤ → (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N) → ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n
hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
⊢ CompleteSpace ↥(Lp E p μ)
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
DecidableEq ι
(i : ι) → TopologicalSpace (β i)
x : (i : ι) → β i
i : ι
∀ (i : ι), T1Space (β i)
⊢ ClosedEmbedding (Function.update x i)
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing K
inst✝¹⁰ : CommRing L
inst✝⁹ : CommRing M
inst✝⁸ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁷ : ExpChar K p
inst✝⁶ : ExpChar L p
inst✝⁵ : ExpChar M p
inst✝⁴ : ExpChar N p
inst✝³ : PerfectRing M p
inst✝² : IsPRadical i p
inst✝¹ : IsPRadical g p
inst✝ : IsPRadical (g.comp i) p
⊢ lift g (lift i j p) p = lift (g.comp i) j p
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
s : Set α
f : α ↪ β
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique (⇑f '' s) ↔ G.IsClique s
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : Function.Surjective (pseudoApply f)
pbar : Pseudoelement P
hpbar : pseudoApply f pbar = Quot.mk (PseudoEqual Q) (Over.mk (𝟙 Q))
p : Over P
hp : ⟦p⟧ = pbar
this : ⟦Over.mk (p.hom ≫ f)⟧ = ⟦Over.mk (𝟙 Q)⟧
R : C
x : R ⟶ (Over.mk (p.hom ≫ f)).left
y : R ⟶ (Over.mk (𝟙 Q)).left
w✝ : Epi x
ey : Epi y
comm : x ≫ p.hom ≫ f = y ≫ 𝟙 Q
⊢ (x ≫ p.hom) ≫ f = y
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
tensorObj : Mon_ C → Mon_ C → Mon_ C := fun M N => { X := M.X ⊗ N.X, one := (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one), mul := tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul), one_mul := ⋯, mul_one := ⋯, mul_assoc := ⋯ }
X₁ Y₁ X₂ Y₂ : Mon_ C
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂
⊢ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (X₁.one ⊗ X₂.one)) ≫ (f.hom ⊗ g.hom) = (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (Y₁.one ⊗ Y₂.one)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.homMk f =
  f.map (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) ⋯
a b : ℕ
⊢ a ⌈/⌉ b = (a + b - 1) / b
α : Type u
β : Type v
⊢ Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk α) ≤ Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk β) ↔ Nonempty (α ↪ β)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : weightedTotalDegree w p = ⊥
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d p ≠ 0
⊢ (weight w) d = ⊥
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s t : Multiset α
⊢ Multiset.filter p (s + t) = Multiset.filter p s + Multiset.filter p t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
h : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1
⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, κ.density κ.fst a x univ = 1
α : Type u_1
β : α → Type u_2
s : (a : α) → Set (β a)
f : ↑(Set.univ.pi s)
a : α
⊢ ↑((Equiv.Set.univPi s) f a) = ↑f a
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
m : MeasureTheory.AddContent C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ∪ t ∈ C
h_dis : Disjoint s t
⊢ m (s ∪ t) = m s + m t
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
Archimedean α
a : α
⊢ ⋃ n, Set.Icc (a + ↑n) (a + ↑n + 1) = Set.univ
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
⊢ P ^ i ≤ I
α : Type u_1
BEq α
n : Nat
LawfulBEq α
a : α
⊢ (List.replicate n a).erase a = List.replicate (n - 1) a
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M✝ : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
M : Submonoid S
inst✝ : IsLocalization M S'
x : S
s : Finset S'
A : Subalgebra R S
hA₁ : ↑(finsetIntegerMultiple M s) ⊆ ↑A
hA₂ : M ≤ A.toSubmonoid
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
g : S →ₐ[R] S' := IsScalarTower.toAlgHom R S S'
y : ↥M := commonDenomOfFinset M s
⊢ ∃ m, m • x ∈ A
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (a * c)⁆ + ⁅L b, L (a * c)⁆ + ⁅L c, L (a * c)⁆) + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆ + (⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆) + (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) + (⁅L a, L (a * c)⁆ + ⁅L b, L (a * c)⁆ + ⁅L c, L (a * c)⁆ + (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆)) = ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + (⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆) + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆ + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆)) + (⁅L a, L (a * c)⁆ + ⁅L b, L (a * c)⁆ + ⁅L c, L (a * c)⁆ + (⁅L a, L (a * c)⁆ + ⁅L b, L (a * c)⁆ + ⁅L c, L (a * c)⁆)) + (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆ + (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
A B : LinearOrder α
A_le A_lt : α → α → Prop
le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝¹ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b → b ≤ a → a = b
A_min A_max : α → α → α
A_compare : α → α → Ordering
le_total✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a
A_decidableLE : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
A_decidableEq : DecidableEq α
A_decidableLT : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
A_min_def : ∀ (a b : α), min a b = if a ≤ b then a else b
A_max_def : ∀ (a b : α), max a b = if a ≤ b then b else a
A_compare_canonical : ∀ (a b : α), compare a b = compareOfLessAndEq a b
B_max : α → α → α
B_compare : α → α → Ordering
le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b → b ≤ a → a = b
le_total✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a
B_max_def : ∀ (a b : α), max a b = if a ≤ b then b else a
B_compare_canonical : ∀ (a b : α), compare a b = compareOfLessAndEq a b
B_min_def : ∀ (a b : α), min a b = if a ≤ b then a else b
⊢ mk le_total✝¹ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT A_min_def A_max_def A_compare_canonical = mk le_total✝ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT B_min_def B_max_def B_compare_canonical
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Inf β
f : α → β
hf : ∀ (a b : α), f (a ⊓ b) = f a ⊓ f b
⊢ ⇑{ toFun := f, map_inf' := hf } = f
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N' : Type u_6
AddCommGroup N'
Module R N'
ι : Type u_7
g : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
DecidableEq ι
Fintype ι
v : ι → M
σ : Equiv.Perm ι
⊢ g (v ∘ ⇑σ) = Equiv.Perm.sign σ • g v
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
v v' : V
p p' : P
⊢ dist (v +ᵥ p) (v' +ᵥ p') ≤ dist v v' + dist p p'
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)
huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : SimplexCategory.mk (n + 1) ⟶ Δ'
hθ : ¬Function.Injective ⇑(SimplexCategory.Hom.toOrderHom θ)
⊢ ∃ i θ', θ = SimplexCategory.σ i ≫ θ'
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : Seminorm 𝕜 F
hq : Continuous ⇑q
hq' : Tendsto (⇑q) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (x : F), q x ≤ C * ‖x‖
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
⊢ Measurable fun y => map (fun x => (x, y)) μ
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
DenselyOrdered α
a b : α
h : ∀ (ε : α), ε < 0 → a + ε ≤ b
⊢ a ≤ b
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : DiscreteTopology X
f : OnePoint X → Y
⊢ Continuous f ↔ Tendsto (fun x => f ↑x) cofinite (𝓝 (f ∞))
R : Type u_1
CommSemiring R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
x y : R
⊢ ∃ r, (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p + ↑p * r
α : Type u_1
Mod α
a b : Part α
hab : (a % b).Dom
⊢ (a % b).get hab = a.get ⋯ % b.get ⋯
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β
s t : List α
hf : Injective f
h : s.Disjoint t
⊢ (pmap (fun a x => f a) s ⋯).Disjoint (pmap (fun a x => f a) t ⋯)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
ba : b ≤ a
⊢ variationOnFromTo f s a b = 0 ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s ∩ Icc b a → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ Icc b a → edist (f x) (f y) = 0
G : Type u_3
DivInvMonoid G
⊢ ConjAct.ofConjAct 1 = 1
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
M : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
C : (⨁ (i : ι), M i) → Prop
x : ⨁ (i : ι), M i
H_zero : C 0
H_basic : ∀ (i : ι) (x : M i), C ((lof R ι M i) x)
H_plus : ∀ (x y : ⨁ (i : ι), M i), C x → C y → C (x + y)
⊢ C x
α : Type u
s : Set (Set α)
hs : #↑s ≤ 𝔠
⊢ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀ ≤ 𝔠
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
i : Set α
hi : ↑s i < 0
⊢ ∃ j,
  MeasurableSet j ∧
    j ⊆ i ∧ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s j ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 j ∧ ↑s j < 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ZMod p
hk : -1 = k * k
⊢ False
R : Type u
CommSemiring R
w x y z : R
⊢ Ideal.span {w, x} * Ideal.span {y, z} = Ideal.span {w * y, w * z, x * y, x * z}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
f : E →L[𝕜] F
⊢ ContDiff 𝕜 n ⇑f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
d : D
X✝ Y✝ : (StructuredArrow d F)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (𝟙 d ≫ (unop X✝).hom).op = (unop X✝).hom.op
n : ℕ
⊢ Real.eulerMascheroniConstant < Real.eulerMascheroniSeq' n
α : Type u
Add α
x : WithTop α
y : α
⊢ x + ↑y = ⊤ ↔ x = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
γ : Type u_6
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
hf : Measurable f
⊢ (κ.map (fun a => (a, f a)) ⋯).fst = κ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
⊢ affineSpan k Set.univ = ⊤
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
⊢ (gradedMul R 𝒜 ℬ).compr₂ ↑(gradedComm R 𝒜 ℬ) = (gradedMul R ℬ 𝒜 ∘ₗ ↑(gradedComm R 𝒜 ℬ)).compl₂ ↑(gradedComm R 𝒜 ℬ)
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝¹ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s✝ : Finset ι
f : ι → ℤ
n : ℤ
hf : ∀ i ∈ s✝, n ∣ f i
hn : n ≠ 0
s : ι
hs : s ∈ s✝
⊢ f s = f s / n * n
α : Type u_1
R : Type u_14
S : Type u_15
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
b : S
s : α →₀ R
f : α → R → S
⊢ b * s.sum f = s.sum fun a c => b * f a c
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
Semiring R
AddCommMonoid α
StarAddMonoid α
Module R α
c : ℕ
M : Matrix m n α
⊢ (↑c • M)ᴴ = ↑c • Mᴴ
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)
⊢ ∀ (t : ↑I), ∀ x_1 ∈ Cube.boundary N, { toFun := fun x_2 => { toContinuousMap := homotopyFrom i H, map_zero_left := ?refine_1, map_one_left := ?refine_2 }.toFun (t, x_2), continuous_toFun := ⋯ } x_1 = ↑p x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
i : ℕ
h : ∀ j ≥ i, abv (f j - f i) < 1
R : ℕ → α := Nat.rec (abv (f 0)) fun i c => max c (abv (f i.succ))
hR : R = Nat.rec (abv (f 0)) fun i c => max c (abv (f i.succ))
this : ∀ (i j : ℕ), j ≤ i → abv (f j) ≤ R i
j : ℕ
hij : i ≤ j
⊢ abv (f j) < R i + 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C n
X : C
f : X ⟶ F.left
⊢ CategoryTheory.ComposableArrows.Precomp.map F f 0 1 ⋯ = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
⊢ f.support.Nonempty ↔ f ≠ 0
X : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace X
AddMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
f : AddUnits C(X, M)
x : X
⊢ ↑((ContinuousMap.addUnitsLift.symm f) x) = ↑f x
a : Int
b c : Int
H : 0 < a
⊢ a * b % (a * c) = a * (b % c)
x y : ℤ
d : ℕ
hd : x.gcd y = d
h : d.beq 1 = false
⊢ ¬d = 1
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a c✝ d c : α
h : a ≤ a + c
⊢ a + (a + c - a) ≤ a + c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Icc 0 1
⊢ x + t • y ∈ s
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ 0 < a / b ↔ 0 < a