ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
NormedField F
CompleteSpace F
f : ℕ →* F
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ‖f p‖ < 1
s : Finset ℕ
⊢ (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ Finset.filter Nat.Prime s, (1 - f p)⁻¹)
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
ζ : R
k : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
⊢ (primitiveRoots k R).card = k.totient
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hi : i ∈ t
⊢ (∑ i_1 ∈ t, if i = i_1 then 1 else 0) = 1
α : Type u_5
self : ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
⊢ s.Nonempty → a ∈ lowerBounds s → a ≤ sInf s
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : A ⊗[R] L
⊢ ∀ (x : A) (y : L), ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (x ⊗ₜ[R] y)) (x ⊗ₜ[R] y) = 0
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
f : C → C → B
hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x
s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y
hxy : ∀ xi ∈ x, xi ∈ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
hyy : span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y) * span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y) ≤ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
⊢ ↑(Submonoid.closure ↑x) ⊆ ↑(restrictScalars A (span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)))
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ y ⊓ z ⊔ y \ z = x ⊓ (y ⊓ z) ⊔ y \ z
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
F : J ⥤ AddCommGrp
x y : AddCommGrp.Colimits.Prequotient F
⊢ Quot.mk Setoid.r (x.add y) = Quot.mk Setoid.r x + Quot.mk Setoid.r y
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
i : ι
⊢ HomologicalComplex.Hom.f 0 i = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
⊢ Set.image2 f (upperBounds s) (upperBounds t) ⊆ upperBounds (Set.image2 f s t)
ι : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
f : ι → E
g : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
hg : HasSum g a
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖₊ ≤ g i
⊢ ‖∑' (i : ι), f i‖₊ ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : β → σ
m : β → ℕ
l : β → List β
g : β → List σ → Option σ
hm : Primrec m
hl : Primrec l
hg : Primrec₂ g
Ord : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b
H : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)
this : DecidableEq β
mapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList
bindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n
graph : β → ℕ → List (β × σ) := fun b i => Nat.rec [] (fun i ih => List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i))) i
mapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph
bindList_primrec : Primrec₂ bindList
graph_primrec : Primrec₂ graph
⊢ Primrec f
m✝ n m : ℕ
⊢ (m + 1) % 2 = 1 ↔ m % 2 = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
self : S.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.i S.g = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
⊢ ⇑(comap f) '' Set.univ = zeroLocus ↑(ker f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β
g : γ → δ
x : α
y : γ
⊢ Prod.map f g { fst := x, snd := y } = { fst := f x, snd := g y }
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤
f_ne_top : ∀ (n : α), f n ≠ ⊤
h_f_coe : f = fun n => ↑(f n).toNNReal
⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Ring A✝
A : Type u_4
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ha : (spectrum ℝ a).Nonempty
ha' : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
x : ℝ
hx₁ : x ∈ spectrum ℝ a
hx₂ : ↑‖x‖₊ = spectralRadius ℝ a
⊢ ↑‖x‖₊ ∈ spectrum ℝ a
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
h : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ ↑(h.comp f) = (↑h).comp ↑f
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n : ℤ
x : R
⊢ ↑|a| = |↑a|
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Order.Frame α
a : α
ha : IsAtom a
f : ι → α
⊢ a ≤ iSup f → ∃ i, a ≤ f i
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
⊢ (toBaseChange A Q) (reverse x) = (TensorProduct.map LinearMap.id reverse) ((toBaseChange A Q) x)
α : Type u
h : Fintype ↑∅
⊢ Fintype.card ↑∅ = 0
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g
H : t.IsAbsKan
⊢ CategoryTheory.Bicategory.HasAbsLeftKanLift f g
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
⊢ Continuous (f ⋆[L, μ] g)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X A : C
f : A ⟶ X
CategoryTheory.Mono f
⊢ (CategoryTheory.MonoOver.mk' f).obj.left = A
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ -↑n.succ + -↑n.succ = -[n+1] + -[n+1]
R : Type u_1
CommSemiring R
a : R
b : ℕ
⊢ a ^ b = (a + 0) ^ b * Nat.rawCast 1
p : ℕ
w : 1 < p
⊢ lucasLehmerResidue p = 0 ↔ LucasLehmer.sMod p (p - 2) = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝¹ : CommMonoid M
a✝ : M
l✝ l₁ l₂ : List M
inst✝ : DecidableEq α
f : α → M
a b : α
l : List α
h : a ∈ b :: l
⊢ f a * (map f ((b :: l).erase a)).prod = (map f (b :: l)).prod
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : k ≫ S.g = 0
inst✝ : S.HasLeftHomology
⊢ h.liftK k hk ≫ h.cyclesIso.inv = S.liftCycles k hk
α : Type u_1
n : ℕ
a✝ : PosNum
⊢ ↑(pos (a✝ <<< n)) = ↑(pos a✝) <<< n
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
s : Multiset L
hs : map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
hf0 : ¬f = 0
p : L[X]
hp : Irreducible p
hdp : p ∣ map i f
⊢ p.degree = 1
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
⊢ ↑((DFinsupp.sum r fun i ai => DFinsupp.sum r' fun j aj => (of (fun i => ↥(A i)) (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)) n) = DFinsupp.sum r fun i ri => DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0
α : Type u_1
CompleteLattice α
a : α
s : Set α
⊢ sInf s ⊔ a ≤ ⨅ b ∈ s, b ⊔ a
x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x
hx : x ≤ Real.pi / 2
⊢ 2 / Real.pi * x ≤ Real.sin x
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset
⊢ x ∈ (derivative p).roots.toFinset
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α →ₘ[μ] E
⊢ f ∈ Lp E p μ ↔ Memℒp (↑f) p μ
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.116671, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ opcyclesMap' e.hom h₁ h₂ ≫ opcyclesMap' e.inv h₂ h₁ = 𝟙 h₁.Q
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
f : Fin (n + 1) → G
a : k
⊢ (𝟙 ((linearization k G).obj (Action.leftRegular G)).V ⊗ (linearizationTrivialIso k G (Fin n → G)).hom.hom) (↑(finsuppTensorFinsupp' k (Action.leftRegular G).V (Fin n → G)).symm ((lmapDomain k k (actionDiagonalSucc G n).hom.hom) (single f a))) = single (f 0) 1 ⊗ₜ[k] single (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) a
P : PFunctor.{u}
α : Type u
p : α → Prop
x : ↑P α
a : P.A
f : P.B a → α
xeq : x = ⟨a, f⟩
pf : ∀ (i : P.B a), p (f i)
⊢ Subtype.val <$> ⟨a, fun i => ⟨f i, ⋯⟩⟩ = x
R : Type u_1
CommSemiring R
b : R
⊢ 0 * b = 0
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
AddMonoid ιA
VAdd ιA ιB
(i : ιA) → AddMonoid (A i)
(i : ιB) → AddMonoid (M i)
GradedMonoid.GMonoid A
self : DirectSum.Gmodule A M
i : ιA
j : ιB
b : M j
⊢ GradedMonoid.GSMul.smul 0 b = 0
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a : R
ha : 0 < a
c : R
hc : IsRegular c
⊢ 0 < c * a * star c
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : s =ᵐ[μ] ∅
⊢ s ∩ t =ᵐ[μ] ∅
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ 𝓝[Set.Ico a b] a = 𝓝[≥] a
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
f : K →ₗ[ℚ] ↥(Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) := LinearMap.codRestrict (Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) (mixedEmbedding K).toRatAlgHom.toLinearMap ⋯
⊢ ↑(Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ∘ₗ f = ↑(integralBasis K).repr
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f y ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x => f x i) y
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
Fintype ↥S
h : Fintype.card ↥S = 1
⊢ S = ⊥
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
x : M ⊗[R] N
⊢ ∃ S, x = S.sum fun m n => m ⊗ₜ[R] n
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
h : Continuous (↑↑f.toRingHom).toFun
⊢ ↑{ toAlgHom := f, cont := h } = f
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T3Space Y
f : X → Y
hf : Embedding f
⊢ T3Space X
M : Type u_4
Monoid M
m n : ℕ
a : M
h : m ≤ n
⊢ a ^ m * a ^ (n - m) = a ^ n
α : Type u
n : ℕ
l xs : List α
acc : Array α
⊢ List.splitAt.go l xs n acc = if n < xs.length then (acc.toList ++ List.take n xs, List.drop n xs) else (l, [])
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
k : ℕ
⊢ f ^ k = (Polynomial.aeval f) (Polynomial.X ^ k %ₘ f.charpoly)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
F : CategoryTheory.Arrow C
G : X ⟶ F.augmentedCechNerve
⊢ (CategoryTheory.SimplicialObject.cechNerveEquiv X F).symm G =
  CategoryTheory.SimplicialObject.equivalenceRightToLeft X F G
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y
s : Set (SeparationQuotient X)
⊢ ContinuousOn (SeparationQuotient.lift f hf) s ↔ ContinuousOn f (SeparationQuotient.mk ⁻¹' s)
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M'
Module R M'
TopologicalSpace M'
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
ContinuousAdd N
ContinuousConstSMul R N
f : M →L[R] M'
g : M' [⋀^ι]→L[R] N
⊢ (ContinuousAlternatingMap.compContinuousLinearMapₗ f) g = g.compContinuousLinearMap f
⊢ Filter.comap NNReal.toReal Filter.atTop = Filter.atTop
R : Type u
LinearOrder R
AddMonoid R
CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass R R (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : Tropical R
n : ℕ
⊢ (x + y) ^ n = x ^ n + y ^ n
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
AddCommMonoid M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
AddCommMonoid N
Module R N
b : Basis ι S M
c : Basis κ R N
m : M
n : N
i : ι
j : κ
⊢ ((b.tensorProduct c).repr (m ⊗ₜ[R] n)) (i, j) = (c.repr n) j • (b.repr m) i
α : Type u
β : Type v
PartialOrder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
z : α
y : β
⊢ u y = z ↔ ∀ (x : α), x ≤ z ↔ l x ≤ y
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : LieRingModule L M₂
inst✝² : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : Codisjoint N₁ N₂
l : ℕ
hl : ∀ b ≥ l, ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥↑N₁) k = lowerCentralSeries R L (↥↑N₁) b ∧ ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥↑N₂) k = lowerCentralSeries R L (↥↑N₂) b ∧ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = lowerCentralSeries R L M b
hl₁ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥↑N₁) k = lowerCentralSeries R L (↥↑N₁) l
hl₂ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥↑N₂) k = lowerCentralSeries R L (↥↑N₂) l
hl₃ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = lowerCentralSeries R L M l
⊢ LieSubmodule.map N₁.incl (posFittingComp R L ↥↑N₁) ⊔ LieSubmodule.map N₂.incl (posFittingComp R L ↥↑N₂) = posFittingComp R L M
α : Type u_1
ι : Sort u_4
Preorder α
SupSet α
f : ι → α
h : BddAbove (Set.range f)
⊢ ↑(⨆ i, f i) = ⨆ i, ↑(f i)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto d l (𝓝 0)
α : Type u
LinearOrder α
DenselyOrdered α
AddMonoid α
ExistsAddOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : ∀ (ε : α), 0 < ε → a ≤ b + ε
⊢ a ≤ b
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
MeasurableSpace β
BorelSpace β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ AEMeasurable f μ
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
⊢ IsIntegral A (discr K ⇑b • a * x)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c x✝¹ x✝ : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x✝¹ * x✝) = { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x✝¹ * { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x✝
R : Type x
CommRing R
NoZeroDivisors R
a b : R
⊢ a ^ 2 = b ^ 2 ↔ a = b ∨ a = -b
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F
f✝ : V₀ ⟶ V₁
g : V₁ ⟶ V₂
f : V₀ ⟶ V₁
inst✝ : IsIso f.f
⊢ V₀.str ≫ F.map f.f ≫ F.map (inv f.f) = V₀.str
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
⊢ NormedAddGroupHom.ker 0 = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : TopCat
H : X ≅ Y
⊢ ∀ (X_1 : (TopologicalSpace.Opens ↑Y)ᵒᵖ ⥤ C) (X_2 : (TopologicalSpace.Opens ↑Y)ᵒᵖ),
  ((TopCat.Presheaf.presheafEquivOfIso C H).counitIso.inv.app X_1).app X_2 = X_1.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
n : ℕ
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A‖ ≤ ‖1‖
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
α : Type u_3
Monoid α
DistribMulAction α R
IsScalarTower α R R
SMulCommClass α R R
c : α
A : Matrix n n R
⊢ (c • A).det = c ^ Fintype.card n • A.det
R : Type u
CommSemiring R
StarRing R
x : R
⊢ (starRingEnd R) ((starRingEnd R) x) = x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (β × β)
F : ι → β → α
S : Set β
hβ : (𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)).HasBasis p s
⊢ (∀ ib ∈ 𝓤 α, ∃ ia, p ia ∧ ∀ x ∈ s ia, ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ UniformFun.gen ι α ib) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 2 = 0
hc : b / 2 = c
hr : jacobiSymNat a c = r
ha' : legendreSym 2 ↑a = 1
⊢ jacobiSymNat a b = r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor'.obj sq).hom.left = sq.f₁₃
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
self : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
a b c : B
f f' : a ⟶ b
η : f ⟶ f'
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η g)) (self.mapComp f' g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.mapComp f g)
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (self.map₂ η) (self.map g))
k : Type u
inst✝ : CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
f : ↑X.V →ₗ[k] ↑Y.V
g : ↑G
⊢ Y.ρ g ∘ₗ f ∘ₗ ((ρAut X) g).inv = f ↔ f ∘ₗ X.ρ g = Y.ρ g ∘ₗ f
J K : Type v
inst✝⁵ : SmallCategory J
inst✝⁴ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasColimit G
inst✝ : HasColimit (curry.obj G ⋙ colim)
j : J
k : K
⊢ colimit.ι G (j, k) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).hom = colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
R S : CommRingCat
p : PrimeSpectrum ↑R
Algebra ↑R ↑S
⊢ ∀ (a : ↑S),
  (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toPushforwardStalkAlgHom R S p) a =
    (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (AlgebraicGeometry.Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj
            (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf ↑S).val).germ
        ⟨p, trivial⟩)
      ((AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen ↑S ⊤) a)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
s : Set 𝕜
h : 0 ∉ s ∨ 0 ≤ m
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => x ^ m) s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder γ
f : β → α → γ
b : β
hf : Antitone fun a b => f b a
⊢ Antitone (f b)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
p q r : R[X]
C : Type z
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A ≃ₐ[R] B
g : B ≃ₐ[R] C
x : A[X]
⊢ map ((↑g).comp ↑f) x = map (↑(f.trans g)) x
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : FinitaryExtensive D
inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C
inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C
inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
this : (i : Discrete WalkingPair) → (Z : C) → (f : Z ⟶ X ⨿ Y) → PreservesLimit (cospan f ((BinaryCofan.mk coprod.inl coprod.inr).ι.app i)) F
⊢ IsVanKampenColimit (BinaryCofan.mk coprod.inl coprod.inr)
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ (l.rotate n).Nodup ↔ l.Nodup
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α
⊢ (⨅ i, ⨅ j, f i j).compl = ⨅ i, ⨅ j, (f i j).compl
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this : IsComplete univ
⊢ MeasurableSet {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x}