ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
s : Set E
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hfi : Integrable f μ
hfm : Measurable f
hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure s
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
h₀i : Integrable (fun x => y₀) μ
⊢ Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (approxOn f hfm s y₀ h₀ n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
p : CategoryTheory.CommSq f g h i
⊢ CategoryTheory.CommSq g f i h
α : Type u_2
Sub α
f g₁ g₂ : Filter α
⊢ g₁ ≤ g₂ → f - g₁ ≤ f - g₂
ι : Type u_1
G : Type u_4
Group G
H : ι → Type u_5
(i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i j k : ι
w : Monoid.CoprodI.NeWord H i j
hhead : k ≠ i
hlast : k ≠ j
⊢ (Monoid.CoprodI.lift f) w.prod ≠ 1
α : Type u_1
Primcodable α
p : α → Prop
⊢ OneOneEquiv p p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
p : α → β → Prop
⊢ (∀ a ∈ s, ∀ (b : β), p a b) ↔ ∀ (b : β), ∀ a ∈ s, p a b
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ |a + b + c| ≤ |a| + |b| + |c|
X : Type u_4
Y : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
h : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn (𝓝 ∘ f) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
J : Type
Fintype J
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
T : C
g : (j : J) → f j ⟶ T
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.desc g = ∑ j : J, CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j ≫ g j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ CategoryTheory.CommSq sq.f₁₂ sq.f₁₃ sq.f₂₄ sq.f₃₄
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x) = (ghostComponent n) (g x)
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (g x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (ψ n)
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : ℕ → ℤ
⊢ (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ k)) = (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ k))
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α
⊢ a ∆ b = ⊤ ↔ IsCompl a b
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
hn : 2 < n.natAbs
h : ↑n ≠ 0
⊢ 0 < (W.preΨ n).natDegree
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Infinite R
p q : R[X]
ext : ∀ (r : R), eval r p = eval r q
⊢ p - q = 0
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
x : ↥(⨆ f, f.fieldRange)
x✝ : x ∈ ⊤
⊢ ↑x ∈ IntermediateField.map (⨆ f, f.fieldRange).val (⨆ f, f.fieldRange)
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j : Fin n✝
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : Fin (n + 1)
⊢ i.succ.succAbove (succ 0) = (i.succAbove 0).succ
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
g : α → β
a : α
l : List α
ih : filterMap f l = map g l → ∀ (x : α), x ∈ l → f x = some (g x)
⊢ filterMap f (a :: l) = map g (a :: l) → ∀ (x : α), x ∈ a :: l → f x = some (g x)
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
hl : List.rdropWhile p l ≠ []
⊢ ¬p ((List.rdropWhile p l).getLast hl) = true
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
ty tz : R
h : ∀ (p : P), p = x ∨ p = ty • v +ᵥ x ∨ p = tz • v +ᵥ x → ∃ r, p = r • v +ᵥ x
hy0 : ty < 0
⊢ Wbtw R x (ty • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R (ty • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) x ∨ Wbtw R (tz • v +ᵥ x) x (ty • v +ᵥ x)
α : Sort ?u.56697
β : Sort ?u.56701
p : α → Prop
q : β → Prop
e : α ≃ β
h : ∀ (a : α), p a ↔ q (e a)
a : β
⊢ a = e (e.symm a)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
SuccOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ico (f (Order.succ n)) (f n))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
p q r : R[X]
f : A →ₐ[R] B
⊢ mapAlgHom f = eval₂AlgHom' (CAlgHom.comp f) X ⋯
α : Sort u_1
q : Prop
p : α → Prop
⊢ (∀ (x : α), q ∨ p x) ↔ q ∨ ∀ (x : α), p x
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q
⊢ dist a p * dist b p = |dist b q ^ 2 - dist p q ^ 2|
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : HasDerivWithinAt f f' s x
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin f s x = f'
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p r : α
h : ∀ {m : α}, m ∈ normalizedFactors r → m = p
hr : r ≠ 0
⊢ ∃ i, p ^ i ~ᵤ r
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
DecidablePred fun x => c ≤ x
hac : a ≤ c
⊢ Multiset.filter (fun x => c ≤ x) (Multiset.Ico a b) = Multiset.Ico c b
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 < p
f : α → ENNReal
a : α
⊢ ENNReal.funMulInvSnorm f p μ a ^ p = f a ^ p * (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ)⁻¹
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
CommSemiring S₂
Algebra R S₁
Algebra R S₂
f : S₁ →ₐ[R] S₂
⊢ ↑(MvPolynomial.mapAlgHom f) = MvPolynomial.map ↑f
a r : ℝ
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (ProbabilityTheory.gammaPDFReal a r)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
s : Set α
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, max (f x) (g x) ∂μ =
  ∫⁻ (x : α) in s ∩ {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in s ∩ {x | g x < f x}, f x ∂μ
A : Type u_17
AddCommGroup A
⊢ ∀ (a : A →+ A), (addMonoidEndRingEquivInt A) a = (↑(addMonoidHomLequivInt ℤ)).toFun a
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x y L : R
⊢ span {(mk W) (C (X - C x)), (mk W) (Y - C (C y) + C (X - C x) * C (C (-L)))} = span {(mk W) (C (X - C x)), (mk W) (Y - C (C L * (X - C x) + C y))}
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
a b : ℤ
⊢ shiftFunctorAdd (CochainComplex C ℤ) a b = shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯
β : Type u_2
CommMonoid β
f : Fin 3 → β
⊢ ∏ i : Fin 3, f i = f 0 * f 1 * f 2
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
⊢ Tendsto (fun w => μ.addHaarScalarFactor volume • ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂volume) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ τ f < ↑⌊τ f⌋ + 1
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
X : C
h : CategoryTheory.yoneda.obj X ⋙ CategoryTheory.uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones
Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ CategoryTheory.Limits.IsLimit.OfNatIso.homOfCone h (CategoryTheory.Limits.IsLimit.OfNatIso.coneOfHom h f) = f
α : Type u
β : Type v
Preorder α
LinearOrder β
f g : α → β
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
hg : MonotoneOn g s
⊢ MonotoneOn (fun x => max (f x) (g x)) s
n : ℕ
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
ih : ∀ m < Nat.card G, ∀ {G : Type u} [inst : Group G] [inst_1 : Finite G], Nat.card G = m → ∀ {N : Subgroup G} [inst_2 : N.Normal], (Nat.card ↥N).Coprime N.index → ∃ H, N.IsComplement' H
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h3 : ∀ (x : Subgroup G), ¬N.IsComplement' x
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
e : β → α
h_e : UniformInducing e
h_dense : DenseRange e
f : β → γ
T0Space γ
g : α → γ
hg : ∀ (b : β), g (e b) = f b
hc : Continuous g
⊢ ⋯.extend f = g
α : Type u_2
β : Type u_3
la : Filter α
lb : Filter β
f : α → Filter β
⊢ Filter.Tendsto f la (𝓝 lb) ↔ ∀ s ∈ lb, ∀ᶠ (a : α) in la, s ∈ f a
A : Type u_1
CommRing A
⊢ (RingHom.id A).FiniteType
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
⊢ yn a1 m < yn a1 (n + 1)
R : Type u_2
CommSemiring R
n : ℕ
f : PowerSeries R
⊢ PowerSeries.trunc n ↑(PowerSeries.trunc n f) = PowerSeries.trunc n f
ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
AddCommMonoid P
(i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Module R P
Fintype ι
DecidableEq ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
i : ι
x : Mᵢ i
j : ι
⊢ (QuadraticMap.Isometry.single Q i) x j = Pi.single i x j
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
⊢ Codisjoint Monoid.Coprod.inl.range Monoid.Coprod.inr.range
R✝ : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : Semiring S
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
I : ι → Ideal R
hI : Pairwise fun i j => IsCoprime (I i) (I j)
x : ι → R
y : R
hy : ∀ (i : ι), (Quotient.mk (I i)) y = (Quotient.mk (I i)) (x i)
⊢ ∃ r, ∀ (i : ι), r - x i ∈ I i
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Add α
SemilatticeInf β
OrderTop β
s t : Finset α
f : α → β
a : β
⊢ a ≤ (s + t).inf f ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, a ≤ f (x + y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s
⊢ StarConvex 𝕜 x s ↔ ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
a b : Int
⊢ ¬a ≤ b → b ≤ a
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * Complex.I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (HurwitzZeta.completedCosZeta (↑a) s)
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
h : f =O[atTop] fun n => ↑n ^ (x - 1)
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ‖f x_1‖ ≤ C * ‖↑x_1 ^ (x - 1)‖
m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, ‖f b‖ ≤ C * ‖↑b ^ (x - 1)‖
C' : ℝ := max C ((insert 0 (image (fun n => ‖f n‖ / ↑n ^ (x - 1)) (range m))).max' ⋯)
⊢ LSeriesSummable f s
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
U : Opens G
hU : μ.outerMeasure ↑U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.outerMeasure ↑U ≤ μ.outerMeasure ↑K + ↑ε
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
⊢ (List.map f l).head? = Option.map f l.head?
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝² : S.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
⊢ S₁.homologyπ ≫ homologyMap φ = cyclesMap φ ≫ S₂.homologyπ
ctx : Nat.Linear.Context
p₁ p₂ : Nat.Linear.Poly
⊢ Nat.Linear.Poly.denote ctx (p₁.combine p₂) = Nat.Linear.Poly.denote ctx p₁ + Nat.Linear.Poly.denote ctx p₂
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
n : ℕ∞
f : V →ᴬ[𝕜] W
⊢ ContDiff 𝕜 n ⇑f
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
t : ℝ
f : AddCircle T → ℝ≥0∞
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this : ∫⁻ (a : AddCircle T), f a ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫⁻ (a : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑a
⊢ ∫⁻ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫⁻ (b : AddCircle T), f b ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (volume.restrict (Ioc t (t + T)))
x : ℝ
⊢ Tendsto (fun y => Icc y x) (𝓝[<] x) ((vitaliFamily volume 1).filterAt x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
inst✝ : Fintype ι
μ : ι → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (sum μ) s = (∑ i : ι, μ i) s
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
Nontrivial E
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
⊢ ∃ x, ‖x‖ = c
R : Type u_1
CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ (QuaternionAlgebra.Basis.self R).i = { re := 0, imI := 1, imJ := 0, imK := 0 }
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (J.plusObj P) S
inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
Z : B.Arrow → C
e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I
e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X
he2 : ∀ (I : B.Arrow), S.sieve.arrows (e2 I)
h✝ : ∀ (I : B.Arrow), (fun Y f h => ((fun Y f hf => (T { Y := Y, f := f, hf := hf }).sieve) Y f h).arrows) (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)
a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f
w : Meq P B := meqOfSep P hsep X S s T t ht
⊢ ∃ t, Meq.mk S t = s
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α →₀ M
⊢ (Finsupp.filter p f).support = Finset.filter p f.support
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
r : R
⊢ (DirectSum.decompose 𝒜) ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R (⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))) r
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a⁻¹ < 1 ↔ 1 < a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set V
hs : ∀ v ∈ s, v ≠ 0
p₁ : P
h : (fun p => p -ᵥ p₁) '' (({p₁} ∪ (fun v => v +ᵥ p₁) '' s) \ {p₁}) = s
⊢ (LinearIndependent k fun (v : ↑s) => ↑v) ↔ LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p => p -ᵥ p₁) '' (({p₁} ∪ (fun v => v +ᵥ p₁) '' s) \ {p₁}))) => ↑v
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
⊢ zero + zero = 0 ↔ zero = -zero
x✝ : ℝ
⊢ ↑(↑x✝).toReal = ↑x✝
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
h_zero : (commMap K) x = 0
h_mem : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))
φ : K →+* ℂ
⊢ x φ = 0 φ
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
a : E
h : IsLocalMax f a
⊢ fderiv ℝ f a = 0
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ ↑(Finset.Ico a b) = Set.Ico a b
R : Type u
CommSemiring R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsEisensteinAt 𝓟
n : ℕ
hn : n ≠ f.natDegree
⊢ f.coeff n ∈ 𝓟
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
⊢ ‖x‖ * ‖y‖ = 0 → ⟪x, y⟫_ℝ = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
Preorder α
s : Finset ι
f : ι → Set α
⊢ (s.sup f).IsPWO ↔ ∀ i ∈ s, (f i).IsPWO
α : Type u_1
ι : Type u_3
CompleteLattice α
s t : ι → α
hs : CompleteLattice.Independent s
hst : t ≤ s
⊢ CompleteLattice.Independent t
α : Type u
MetricSpace α
x : α
⊢ LipschitzWith 1 fun s => Metric.infDist x ↑s
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
𝕜 : Type u_5
SMul 𝕜 γ
ContinuousConstSMul 𝕜 γ
c : 𝕜
f : α → γ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ c • MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf = MeasureTheory.AEEqFun.mk (c • f) ⋯
n : ℕ
⊢ ArithmeticFunction.moebius n ^ 2 = if Squarefree n then 1 else 0
α : Type u
Lattice α
a b : α
⊢ a ⊓ b < a ⊔ b ↔ a ≠ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.rightShiftAddEquiv K L n a n' hn') γ = γ.rightShift a n' hn'
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r L : List (List α)
l' : List α
this : (∃ a, a ∈ L ∧ ∃ l₁ l₂, ¬l₂ = [] ∧ a = l₁ ++ l₂ ∧ l' = l₁ ++ t :: (l₂ ++ ts)) ↔ ∃ l₁ l₂, ¬l₂ = [] ∧ l₁ ++ l₂ ∈ L ∧ l' = l₁ ++ t :: (l₂ ++ ts)
⊢ l' ∈ (L.bind fun y => (permutationsAux2 t ts [] y id).2) ++ r ↔ l' ∈ r ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ L ∧ l₂ ≠ [] ∧ l' = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Set.Ioi 0 ×ℂ Set.Iio 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Set.Ioi 0 ×ℂ Set.Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → f ↑x = 0
him : ∀ x ≤ 0, f (↑x * Complex.I) = 0
⊢ Set.EqOn f 0 {z | 0 ≤ z.re ∧ z.im ≤ 0}
α : Type u_1
M : Type u_4
Fintype α
CommMonoid M
f : Option α → M
⊢ ∏ i : Option α, f i = f none * ∏ i : α, f (some i)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
q : ℕ → Prop := fun i => p i ∧ 0 < r i
h₁ : blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p = blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop q
h₂ : blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p = blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop q
⊢ blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop q =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop q
α : Type u_1
ι : Type u_4
CompleteLattice α
B : Set ι
Bcbl : B.Countable
Bne : B.Nonempty
f : ι → α
⊢ ∃ x, ⨅ t ∈ B, f t = ⨅ i, f (x i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Z).op =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f.op (Opposite.op Z)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
α : ι → Type u_2
δ : (i : ι) → α i → Type v
inst✝² : (i : ι) → (j : α i) → Zero (δ i j)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
i : ι
j : α i
x : δ i j
i' : ι
j' : α i'
⊢ ((single i (single j x)) i') j' = (single ⟨i, j⟩ x) ⟨i', j'⟩
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.IsFiniteMeasure (μ.withDensity f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
A B : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
self : CategoryTheory.Limits.BinaryBiconeMorphism A B
⊢ self.hom ≫ B.fst = A.fst
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonAssocSemiring α
Fintype n
A : Matrix m n α
⊢ A *ᵥ 1 = fun i => ∑ j : n, A i j
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
s : optParam (Set X) Set.univ
self : PartitionOfUnity ι X s
x : X
⊢ x ∈ s → ∑ᶠ (i : ι), (self.toFun i) x = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸' : Type u_7
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
c d : E → 𝔸'
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
hd : DifferentiableAt 𝕜 d x
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => c y * d y) x = c x • fderiv 𝕜 d x + d x • fderiv 𝕜 c x
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
⊢ c₁₂.Rel (c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)) (c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂'))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.monomorphisms C f ↔ CategoryTheory.Mono f
n : ℕ
x y : ZMod n
⊢ (x - y).cast = (x.cast - y.cast) % ↑n
l r : List Char
it : String.Iterator
⊢ String.Iterator.ValidFor l r it → it = { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := String.utf8Len l.reverse } }
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a b : α
⊢ 0 - a + (0 - b) = 0 - (b + a)
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s t u : Set α
⊢ s ⊼ t ⊼ u = s ⊼ (t ⊼ u)
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
e : M ≃* N
S : Subsemigroup M
x : ↥(Subsemigroup.map (↑e) S)
⊢ ↑((e.subsemigroupMap S).symm x) = e.symm ↑x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : DecidableEq L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : IsDomain R
K' : Type u_4
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R K'
inst✝ : IsFractionRing R K'
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
⊢ mk ((Units.map ↑(canonicalEquiv R⁰ K K')) I) = mk I
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.229352}
f : α → β
s : Set β
h : Injective f
⊢ #↑(f ⁻¹' s) ≤ #↑s
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.268023, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
X : Cᵒᵖ
⊢ 𝟙 (Opposite.op ((shiftFunctor C (-1)).obj 0)) = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
U : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
hxU : x ∈ U
s : (forget CommRingCat).obj ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.obj (op U))
V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
hxV : ↑⟨x, hxU⟩ ∈ V
i : V ⟶ unop (op U)
n : ℕ
a b : ↥(𝒜 n)
h : ∀ (x : ↥V), ↑b ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
e : ∀ (x : ↥V), ↑s ⟨↑x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mk { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ }
t : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ht : t ∈ unop (op V)
⊢ HomogeneousLocalization.val (↑(((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (sectionInBasicOpen 𝒜 x { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ })) ⟨t, ht⟩) = HomogeneousLocalization.val (↑(((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.map i.op) s) ⟨t, ht⟩)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
r : k
p₁ p₂ : P
⊢ r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ ∈ affineSpan k {p₁, p₂}
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ p.count 0 = 0
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
hl : l₁.length = l₂.length
h : ∀ (n : Nat) (h₁ : n < l₁.length) (h₂ : n < l₂.length), l₁.get ⟨n, h₁⟩ = l₂.get ⟨n, h₂⟩
⊢ l₁ = l₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F G : CategoryTheory.Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.Sheaf.IsLocallySurjective f ↔ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.GrothendieckTopology.imageSheafι f)
α : Type u_1
Fintype α
h : Nontrivial α
⊢ Finset.univ.Nontrivial
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x₁ x₂ : R
y₁ y₂ : ↥M
⊢ (algebraMap R S) ↑y₁ * ((algebraMap R S) ↑y₁ * (algebraMap R S) ↑y₂) * (algebraMap R S) x₂ + (algebraMap R S) ↑y₁ * (algebraMap R S) ↑y₂ * (algebraMap R S) x₁ * (algebraMap R S) ↑y₂ = ((algebraMap R S) x₁ * (algebraMap R S) ↑y₂ + (algebraMap R S) x₂ * (algebraMap R S) ↑y₁) * (algebraMap R S) ↑y₁ * (algebraMap R S) ↑y₂
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))