ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
hp : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
l : Filter ι
hfg : Filter.Tendsto f l (𝓝 g)
⊢ MeasureTheory.TendstoInMeasure μ (fun n => ↑↑(f n)) l ↑↑g
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ⟪o.rightAngleRotationAux₁ x, y⟫_ℝ = (o.areaForm x) y
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Multiset α
a : α
h : a ∈ s
⊢ s.gcd ∣ a
s : Finset ℕ
m : ℕ
⊢ m ∈ factoredNumbers s ↔ ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ s
α : Type u_1
Ring α
⊢ Function.Injective RingTopology.toTopologicalSpace
z w : ℍ
r R : ℝ
⊢ dist z w ≤ r ↔ dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im)) ≤ sinh (r / 2)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hg : UnifIntegrable g p μ
hp : 1 ≤ p
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
⊢ UnifIntegrable (f + -g) p μ
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
A : ∑' (j : ℕ), ℙ {ω | X j ω ∈ Set.Ioi ↑j} < ⊤
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), (fun n => ∑ i ∈ range n, truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ range n, X i ω) =o[atTop] fun n => ↑n
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
f : Fin 2 → α
⊢ Finset.univ.SupIndep f ↔ Disjoint (f 0) (f 1)
α₁ : Type u
α₂ : Type v
β₁ : Type w
β₂ : Type x
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
m₁ : α₁ → β₁
m₂ : α₂ → β₂
⊢ Filter.map m₁ f₁ ×ˢ Filter.map m₂ f₂ = Filter.map (fun p => (m₁ p.1, m₂ p.2)) (f₁ ×ˢ f₂)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : L.IsLocalization W
⊢ (CategoryTheory.Localization.Construction.lift L ⋯).IsEquivalence
α : Type u_1
β : Type u_2
fa : α → α
fb : β → β
x : α
n : ℕ
hx : Function.IsPeriodicPt fa n x
g : α → β
hg : Function.Semiconj g fa fb
⊢ Function.IsPeriodicPt fb n (g x)
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
s : Set α
⊢ 𝓟 (exterior s) = 𝓝ˢ s
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this✝ : ExpChar K q
l : ι →₀ E
hl : (Finsupp.total ι K E v) l = 0
i : ι
f : ι → ℕ
n : ℕ := l.support.sup f
this : q ^ n ≠ 0
lF : ι → F
hlF : ∀ (i : ι), (algebraMap F E) (lF i) = l i ^ q ^ n
lF₀ : ι →₀ F := Finsupp.onFinset l.support lF ⋯
h : lF₀ = 0
⊢ lF i = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeInf α
s : Finset β
t : Finset γ
h : (s ×ˢ t).Nonempty
f : β × γ → α
⊢ (s ×ˢ t).inf' h f = s.inf' ⋯ fun i => t.inf' ⋯ fun i' => f (i, i')
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
inst✝ : Fintype ↑(G.neighborSet v)
⊢ 0 < G.degree v ↔ ∃ w, G.Adj v w
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
x : X
⊢ (𝓝 x).lift' closure = 𝓝 x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f'✝ : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + x • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖x - 0‖
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
x : ℚ_[p]
hx : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N
⊢ padicNormE (x - ↑f i) < ε
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t) ∨ StrictAntiOn f (Icc s t)
⊢ f x < f y
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
IsLocalization.AtPrime S P
⊢ Nontrivial S
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p : R[X]
h : p.Monic
hp : Irreducible p
a b : K[X]
H : Polynomial.map (algebraMap R K) p = a * b
hₐ : ¬IsUnit a
a' : R[X]
ha : Polynomial.map (algebraMap R K) a' * C a.leadingCoeff = a
b' : R[X]
hb : Polynomial.map (algebraMap R K) b' * C b.leadingCoeff = b
⊢ IsUnit b
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
i : Fin (s.length + 1)
hx : s.toFun i ≠ last s
hi : ↑i < (s.length - 1).succ
⊢ s.toFun i ∈ eraseLast s
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α (n + 1)
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
⊢ T.SemanticallyEquivalent (∃'φ) (∃'ψ)
x : ℕ
x.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat x).Dom
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V
h : G.chromaticNumber = 0
h' : G.Colorable (ENat.toNat 0)
⊢ IsEmpty V
α : Sort u_1
Unique α
a : α
⊢ default = a
S : LightProfinite
n : ℕ
⊢ Function.Surjective ⇑(S.proj n)
u v : ℤ
⊢ IsUnit u ↔ u.natAbs = 1
y : ℝ
h : y < 0
⊢ some 0 ^ y = ⊤
k : Type u₁
G : Type u₂
Ring k
AddZeroClass G
z : ℤ
⊢ ↑z = AddMonoidAlgebra.single 0 ↑z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
⊢ f ≤ f ⊔ g
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ s₂ : Set α
f : α → β
h : Set.InjOn f s
h₁ : s₁ ⊆ s
h₂ : s₂ ⊆ s
⊢ f '' s₁ = f '' s₂ ↔ s₁ = s₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = t.encard
⊢ s.Finite ↔ t.Finite
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ENNReal
hf : Measurable f
⊢ essSup f (μ.trim hm) = essSup f μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g✝ : Y → Z
g : Z → W
hf : Continuous f ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, f x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
hg : Continuous g ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter Z⦄ ⦃y : W⦄, Tendsto g (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, g x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
⊢ Continuous (Prod.map f g) ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter (X × Z)⦄ ⦃y : Y × W⦄, Tendsto (Prod.map f g) (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, Prod.map f g x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
⊢ range l.get? = insert none (some '' {x | x ∈ l})
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTrans α r
IsAntisymm α r
IsTotal α r
l : List α
⊢ Multiset.sort r ↑l = List.mergeSort r l
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, |↑f j| < ε ∧ |↑g j| < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i
H₁ : |↑f j| < ε
H₂ : |↑g j| < ε
⊢ |↑(f ⊔ g) j| < ε
α : Type u_1
Lattice α
Group α
⊢ 1⁻ᵐ = 1
Ω : Type u_1
m' : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepSet m' hm' s t μ ↔
  μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m'] =ᵐ[μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t.indicator fun ω => 1|m']
R : Type u_1
CommSemiring R
x y : R
n : ℕ
⊢ (x + y) ^ n = ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), x ^ m * y ^ (n - m) * ↑(n.choose m)
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ {x} / ball 1 δ = ball x δ
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
⊢ cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ = 0
⊢ (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
Ring A
Algebra R A
FunLike F A R
AlgHomClass F R A R
Nontrivial R
φ : F
a : A
⊢ φ a ∈ spectrum R a
α : Type u_1
γ : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → γ
g : β → γ
x : α
⊢ Sum.elim f g (Sum.inl x) = f x
E : Type u_1
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
T2Space E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ Euclidean.ball x r ∈ 𝓝 x
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ'₀
Ring R
v₁ : AddValuation R Γ₀
v₂ : AddValuation R Γ'₀
h : v₁.IsEquiv v₂
⊢ v₂.IsEquiv v₁
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
⊢ comap f (map f p) ≤ p ⊔ LinearMap.ker f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
h : LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
⊢ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x v
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.restrict Set.univ = μ
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
x : E
⊢ edist x 1 = ↑‖x‖₊
α : Type u_1
r : Rel α α
p q : RelSeries r
connect : p.last = q.head
i : Fin (p.length + q.length + 1)
⊢ (p.smash q connect).toFun i = if H : ↑i < p.length then p.toFun ⟨↑i, ⋯⟩ else q.toFun ⟨↑i - p.length, ⋯⟩
X Y : Type u
x : X
y : Y
⊢ (β_ X Y).inv (y, x) = (x, y)
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
hw : w ≠ 1
⊢ ∃ i, cs.IsRightDescent w i
α : Type u_1
DivisionSemiring α
q : ℚ≥0
a : α
⊢ q • a = ↑q * a
M : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Bornology M
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set E
inst✝¹ : AddZeroClass E
inst✝ : DistribSMul M E
h₁ : Absorbs M s₁ t₁
h₂ : Absorbs M s₂ t₂
x : M
hx₁ : t₁ ⊆ x • s₁
hx₂ : t₂ ⊆ x • s₂
⊢ t₁ + t₂ ⊆ x • (s₁ + s₂)
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
v : V
⊢ k = (G.neighborFinset v).card
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
⊢ r ≤ ↑b ^ clog b r
R : Type u_1
CommSemiring R
⊢ IsLocalization (Submonoid.closure {Polynomial.X}) R[T;T⁻¹]
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun μ => ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: β)
x : β
⊢ (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) (corecF g x)) = (TypeVec.id ::: corec g) <$$> g x
K : Type u_1
DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
Inhabited Λ
σ : Type u_4
Inhabited σ
M : Λ → Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
k : K
L : List (Γ k)
L₁ : Turing.ListBlank Turing.TM2to1.Γ'
L₂ : List (Γ k)
H₁ : L₁ ∈ Turing.TM1.eval (Turing.TM2to1.tr M) (Turing.TM2to1.trInit k L)
H₂ : L₂ ∈ Turing.TM2.eval M k L
⊢ ∃ S L',
  Turing.TM2to1.addBottom L' = L₁ ∧
    (∀ (k : K), Turing.ListBlank.map (Turing.proj k) L' = Turing.ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = L₂
x : ℝ
hx : x ≤ 0
y : ℝ
⊢ x ^ y = if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (Real.log x * y) * Real.cos (y * π)
G : Type u_1
Monoid G
x : G
⊢ orderOf x = 1 ↔ x = 1
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
hx : f (S.subtype y • x) ∈ Submodule.map f (Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
htm : NullMeasurableSet t μ
ht : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, ∀ (g : G), g ≠ 1 → g • x ≠ y
g₁ g₂ : G
hne : g₁ ≠ g₂
⊢ Disjoint (g₁ • t ∩ s) (g₂ • t ∩ s)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f✝ : ℕ → Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
val✝ : Encodable β
g : ℕ → Set α := fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg : g = fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (g i)
hg₂ : Pairwise (Disjoint on g)
this : ↑v (⋃ b, f b) = ∑' (i : ℕ), ↑v ((fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b) i)
hg₃ : (fun i => ↑v (f i)) = fun i => ↑v (g (Encodable.encode i))
⊢ ↑v ∅ = 0
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
φ : ↥p →ₗ[R] F
ψ : ↥q →ₗ[R] F
χ : E →ₗ[R] F
hφ : ∀ (u : ↥p), φ u = χ ↑u
hψ : ∀ (u : ↥q), ψ u = χ ↑u
w✝¹ : ↥p
w✝ : ↥q
right✝ : ∀ (r : ↥p) (s : ↥q), ↑r + ↑s = ↑w✝¹ + ↑w✝ → r = w✝¹ ∧ s = w✝
⊢ (ofIsCompl h φ ψ) (↑w✝¹ + ↑w✝) = χ (↑w✝¹ + ↑w✝)
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M'' : Type u_4
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M''
Module R M
Module R M''
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
⊢ LocalizedModule.lift S g h ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M = g
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
X Y Z : C
⊢ coprod.desc (coprod.desc coprod.inl (coprod.inl ≫ coprod.inr)) (coprod.inr ≫ coprod.inr) ≫ coprod.desc coprod.inr coprod.inl ≫ coprod.desc (coprod.desc coprod.inl (coprod.inl ≫ coprod.inr)) (coprod.inr ≫ coprod.inr) = coprod.map (coprod.desc coprod.inr coprod.inl) (𝟙 Z) ≫ coprod.desc (coprod.desc coprod.inl (coprod.inl ≫ coprod.inr)) (coprod.inr ≫ coprod.inr) ≫ coprod.map (𝟙 Y) (coprod.desc coprod.inr coprod.inl)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z1‖
hne : ¬‖z1‖ = ‖z2‖
⊢ max ‖z1‖ ‖z2‖ ≥ ‖z1‖
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
NoMaxOrder α
x : α
l : Filter β
l.NeBot
⊢ ¬Filter.Tendsto (fun x_1 => x) l Filter.atTop
M : Type u_1
A : Type u_4
Zero A
SMulZeroClass M A
p : Prop
Decidable p
a : M
b : A
⊢ (a • if p then b else 0) = if p then a • b else 0
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝² : DiscreteTopology ↥L
inst✝¹ : IsZlattice ℝ L
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝ : Measure.IsAddHaarMeasure μ
⊢ covolume L μ ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
f : α → β
s : Set α
a : α
has : a ∉ s
⊢ InjOn f (insert a s) ↔ InjOn f s ∧ f a ∉ f '' s
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
h : φ ≠ 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
⊢ (weight 1) d ≤ φ.support.sup fun s => ∑ x ∈ s.support, s x
n : PosNum
h : 1 < n
⊢ ↑n.pred = (↑n).pred
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑(f.extend I) ∘ ↑(f'.extend I).symm) (↑I.symm ⁻¹' (f'.symm ≫ₕ f).source ∩ range ↑I)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x y z : E
⊢ x ∈ [y-[𝕜]z] ↔ SameRay 𝕜 (x - y) (z - x)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : LowerSet α
⊢ s ×ˢ ⊥ = ⊥
R : Type u
CommRing R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ C.inv.comp C = WeierstrassCurve.VariableChange.id
V : Type u_1
α : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq V
A : Matrix V V α
Zero α
One α
h : A.IsSymm
⊢ A.compl.IsAdjMatrix
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
h : f x ≤ x + ↑m
n : ℕ
⊢ (⇑f)^[n] x ≤ x + ↑n * ↑m
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
IsDomain A
Algebra A K
IsFractionRing A K
⊢ IsDedekindDomainInv A ↔ ∀ (I : FractionalIdeal A⁰ K), I ≠ ⊥ → I * I⁻¹ = 1
n : ℕ
⊢ dimH Set.univ = ↑n
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
⊢ 1 < card α ↔ 1 < #α
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ ⋃ i, MeasureTheory.spanningSets μ i = Set.univ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
T : F →L[ℝ] F
hT : (↑T).IsSymmetric
x₀ : F
e_7✝ : Real.normedAddCommGroup = NonUnitalNormedRing.toNormedAddCommGroup
he✝ : InnerProductSpace.toNormedSpace = NormedAlgebra.toNormedSpace'
y : F
⊢ (2 • (innerSL ℝ) (T x₀)) y = ((fderivInnerCLM ℝ (T x₀, id x₀)).comp (T.prod (ContinuousLinearMap.id ℝ F))) y
v n : Nat
x : BitVec v
⊢ (x <<< n).toNat = x.toNat <<< n % 2 ^ v
α : Type u
β : Type v
s : Set α
t : Set β
ht : t.Infinite
hs : s.Nonempty
⊢ (s ×ˢ t).Infinite
x✝ y✝ z x y : ℝ
⊢ |x| ^ y ≤ rexp (log x * y)
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a : α
f : α →₀ M
⊢ (Finsupp.erase a f) a = 0
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
Unique β
f : β → C
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitConeOfUnique f).cone.pt = f default
α : Type u_1
M : Matroid α
I X Y : Set α
hI : M.Basis I X
hXY : X ⊆ Y
hY : Y ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ ∃ J, M.Basis J Y ∧ J ∩ X = I
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : DenselyOrdered (α ⊕ β)
a b : β
h : a < b
⊢ ∃ a_1, a < a_1 ∧ a_1 < b
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.IsFiltered J
F : J ⥤ AddGrp
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
h : ∃ k f g, (F.map f) x.snd = (F.map g) y.snd
⊢ AddGrp.FilteredColimits.G.mk F x = AddGrp.FilteredColimits.G.mk F y
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ s₃✝ : Finmap β
s₁ s₂ s₃ : AList β
⊢ ⟦s₁⟧ ∪ ⟦s₂⟧ ∪ ⟦s₃⟧ = ⟦s₁⟧ ∪ (⟦s₂⟧ ∪ ⟦s₃⟧)
n : ℕ
⊢ Submonoid.closure (Set.range fun i => Equiv.swap i.castSucc i.succ) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
i j : α
⊢ (i, j) ∈ (s ∪ t).diag ↔ (i, j) ∈ s.diag ∪ t.diag
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ f (Int.fract x) - Int.fract x = f x - x
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
S : Type v
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
x✝ : S ⧸ P
x : S
y✝ : S ⧸ P
y : S
h : (quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem) (Quotient.mk'' x) = (quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem) (Quotient.mk'' y)
⊢ Quotient.mk'' x = Quotient.mk'' y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
r : Set α
hinj : InjOn f r
hrs : r ⊆ s
u : Set α
hru : r ⊆ u
hus : u ⊆ s
h : BijOn f u (f '' s)
⊢ ∃ u, r ⊆ u ∧ u ⊆ s ∧ f '' u = f '' s ∧ InjOn f u
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
X : C
⊢ (CategoryTheory.Functor.CommShift.isoZero F A).inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X))
    (F.map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).inv.app X))
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
⊢ ∃ A f a, IsGalois A ∧ F.map f a = x
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝ : F.Full
α : F ≅ F'
X Y : C
f : F'.obj X ⟶ F'.obj Y
⊢ F'.map (F.preimage ((α.app X).hom ≫ f ≫ (α.app Y).inv)) = f
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
μ : R
x : ↥p
hx : ⟨f ↑x, ⋯⟩ = μ • x
⊢ f (p.subtype x) = μ • p.subtype x
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝¹ : MetricSpace γ
x : γ
s : Set γ
inst✝ : MetricSpace β
f : γ → β
⊢ UniformEmbedding f ↔ (∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {a b : γ}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε) ∧ ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : γ}, dist (f a) (f b) < ε → dist a b < δ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y : R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
hf : Function.Surjective ⇑f
x : R
⊢ ∃ a, (lift I f H) a = f x
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
⊢ ∃! ζe, x = ↑ζe.1 * ∏ i : Fin (NumberField.Units.rank K), NumberField.Units.fundSystem K i ^ ζe.2 i
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)
⊢ f =O[l] g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
LE α
LE β
LE γ
b : β
⊢ (OrderIso.sumLexAssoc α β γ) (toLex (Sum.inl (toLex (Sum.inr b)))) = toLex (Sum.inr (toLex (Sum.inl b)))
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ (z * z⁻¹) ≤ y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z ≤ y
m : Type u_1 → Type u_2
α ρ : Type u_1
p : α → Prop
x : ExceptT ρ m α
Monad m
LawfulMonad m
⊢ SatisfiesM p x ↔ SatisfiesM (fun x => ∀ (a : α), x = Except.ok a → p a) x
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
j : n
⊢ ↑hA.eigenvectorUnitary *ᵥ Pi.single j 1 = (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j)