ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝² : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this✝ : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj X)))
this : ∀ (X : C), IsIso (Gl.map (adj.unit.app X))
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
⊢ Nonempty (IsColimit c')
R : Type u
S : Type v
Semiring R
AddCommMonoid S
f : ℕ → R → S
hf : ∀ (i : ℕ), f i 0 = 0
n : ℕ
p : R[X]
hn : p.degree < ↑n
⊢ ∑ i : Fin n, f (↑i) (p.coeff ↑i) = p.sum f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Qiso s hs).inv =
  CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Qinv s hs
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
⊢ 1 ≤ ↑r ↔ 1 ≤ r
x : ℝ
⊢ 0 < x → Hyperreal.epsilon < ↑x
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ n • r ∈ zmultiples p ↔ ∃ k, r - ↑k • (p / ↑n) ∈ zmultiples p
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ z ∈ closedBall z₀ ρ, z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
r : ℝ := ρ ⊓ R
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
a₁ a₂ : α
⊢ (a₁, a₂) ∈ s.diag ↔ (a₁, a₂) ∈ image (fun a => (a, a)) s
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M N : Submodule R A
⊢ (M * N).toAddSubmonoid = M.toAddSubmonoid * N.toAddSubmonoid
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
m n : α
hm : IsPrimal m
hn : IsPrimal n
⊢ IsPrimal (m * n)
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
C : Type u_4
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_4} C
X Y Z : GradedObject I C
φ : X ⟶ Y
e : X ≅ Y
ψ : Y ⟶ Z
p : I → J
j : J
inst✝³ : X.HasMap p
inst✝² : Y.HasMap p
inst✝¹ : Z.HasMap p
c : X.CofanMapObjFun p j
hc : IsColimit c
inst✝ : X.HasMap p
i : I
hi : p i = j
⊢ X.ιMapObj p i j hi ≫ (iso hc).inv = Cofan.inj c ⟨i, hi⟩
α : Type u
HasSubset α
a b : α
IsRefl α fun x x_1 => x ⊆ x_1
⊢ ¬a ⊆ b → a ≠ b
a : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length
k✝ : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.length).1
n✝ : Primrec Prod.snd
k : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).1
n : Primrec fun a => a.1.2
k' : Primrec Prod.snd
c : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).2
⊢ Primrec fun p => (fun p k' => Code.recOn (ofNat (ℕ × Code) p.1.length).2 (some 0) (some p.2.succ) (some (unpair p.2).1) (some (unpair p.2).2) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cf) p.2 let y ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cg) p.2 some (Nat.pair x y)) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cg) p.2 Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cf) x) (fun cf cg x x => let z := (unpair p.2).1; Nat.casesOn (unpair p.2).2 (Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cf) z) fun y => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 (k', (ofNat (ℕ × Code) p.1.length).2) (Nat.pair z y) Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cg) (Nat.pair z (Nat.pair y i))) fun cf x => let z := (unpair p.2).1; let m := (unpair p.2).2; do let x ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cf) (Nat.pair z m) Nat.casesOn x (some m) fun x => Nat.Partrec.Code.lup p.1 (k', (ofNat (ℕ × Code) p.1.length).2) (Nat.pair z (m + 1))) p.1 p.2
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l : Combinatorics.Line (η → α) ι
C : (ι × η → α) → κ
⊢ Combinatorics.Subspace.IsMono C l.toSubspace ↔
  Combinatorics.Line.IsMono
    (fun x =>
      C fun x_1 =>
        match x_1 with
        | (i, e) => x i e)
    l
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
⊢ max ℵ₀ #(α ⊕ (i : ℕ) × L.Functions i) ≤ #((n : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin n))
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (o.oangle (x - r • y) y).sign = (o.oangle x y).sign
p q : Prop
α : Sort u_1
s : α → Prop
⊢ ¬p ∧ q ∨ ¬¬p ∧ ¬q ↔ p ∧ ¬q ∨ ¬p ∧ q
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a * c = b
⊢ a = b * c⁻¹
G : Type u
self : DivInvMonoid G
a : G
⊢ DivInvMonoid.zpow 0 a = 1
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q✝ q : ℚ
⊢ ↑(-q) = -↑q
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
⊢ (Fintype.card ↑fun x => x < n ∧ p x) = Fintype.card { k // k < n ∧ p k }
α : Type u
Semiring α
s : Set α
⊢ s ⊆ ↑(Ideal.span s)
X : Compactum
uux : Ultrafilter (Ultrafilter X.A)
⊢ X.str (X.join uux) = X.str (Ultrafilter.map X.str uux)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hs₁ : BddAbove s
hs₂ : s.Nonempty
p : Seminorm 𝕜 E
hp : p ∈ s
x : E
this : Nonempty ↑s
⊢ p x ≤ ⨆ i, ↑i x
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ Y : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
hx : Compatible P π x
i : {Z : C} → (g : Z ⟶ B) → ofArrows X π g → I
h : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ B) (hg : ofArrows X π g), X (i g hg) = Z
h' : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ B) (hg : ofArrows X π g), g = eqToHom ⋯ ≫ π (i g hg)
⊢ ∃ x', ∀ (i : I), x' (π i) ⋯ = x i
α : Type u_2
Preorder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ ¬b < a
ι : Type u_1
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
Nonempty ι
l : Filter ((i : ι) → α i)
⊢ Cauchy l ↔ ∀ (i : ι), Cauchy (Filter.map (Function.eval i) l)
α : Type u
TopologicalSpace α
f : ℝ → α
c : ℝ
hp : Function.Periodic f c
hc : c ≠ 0
hf : Continuous f
⊢ IsCompact (Set.range f)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
s : Set α
hf : AntitoneOn f s
hg : MonotoneOn g s
⊢ MonotoneOn (fun x => Set.Icc (f x) (g x)) s
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ x.and y = x &&& y
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → MeasureTheory.eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α
⊢ AntivaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → f i * g i + f j * g j ≤ f i * g j + f j * g i
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsDomain S
Nontrivial R
I : Ideal ↥(integralClosure R S)
⊢ Ideal.comap (algebraMap R ↥(integralClosure R S)) I = ⊥ → I = ⊥
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
⊢ Algebra.adjoin R (⇑(algebraMap S A) '' s ∪ t) = Subalgebra.restrictScalars R (Algebra.adjoin (↥(Algebra.adjoin R s)) t)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
b : β
hb₁ : b ∈ {b | f b ≤ g b}
hb₂ : b ∈ closure {b | f b ≤ g b}ᶜ
⊢ b ∈ closure {b | g b < f b}
α : Type u_2
BEq α
LawfulBEq α
⊢ ∀ {β : Type u_1} {b : β} {es : List (α × β)} {k : α}, List.lookup k ((k, b) :: es) = some b
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
h : EquicontinuousWithinAt F S x₀
u : κ → ι
⊢ EquicontinuousWithinAt (F ∘ u) S x₀
R : Type u_1
Mul R
Star R
x : R
IsStarNormal x
⊢ star x * x = x * star x
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h : H ≤ K
⊢ Function.Injective ⇑(Subgroup.inclusion h)
α : Type u
h✝ : Finite α
⊢ #(List α) ≤ max ℵ₀ #α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
p n : α
hp : Irreducible p
d : α
hdp : d ∣ p
hdn : d ∣ n
hpn : ¬IsUnit d
⊢ p ∣ n
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f g : α → β
a : α
h : IsLocalExtr f a
heq : f =ᶠ[𝓝 a] g
⊢ IsLocalExtr g a
G : Type w
TopologicalSpace G
InvolutiveInv G
ContinuousInv G
s : Set G
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen s⁻¹
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
OrderTopology 𝕜
p q : ℕ
hpq : p < q
⊢ (fun x => x ^ p) =o[Filter.atTop] fun x => x ^ q
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
C : Type u_5
Semiring C
Algebra R C
φ : Unitization R A →ₐ[R] C
⊢ Unitization.lift.symm φ = (NonUnitalAlgHomClass.toNonUnitalAlgHom φ).comp (Unitization.inrNonUnitalAlgHom R A)
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
p : P₁
hp : p ∈ s
⊢ (map f (affineSpan k s)).direction = (affineSpan k (⇑f '' s)).direction
α : Type u_1
DecidableEq α
n : ℕ
Fintype α
s : Sym α n
a : α
⊢ ↑((Sym.equivNatSumOfFintype α n) s) a = Multiset.count a ↑s
a b : ENNReal
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ ⊤
⊢ ∃ n, b < ↑n * a
α : Type u
p : α → Bool
⊢ List.splitOnP p [] = [[]]
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
i✝ : m × o
j✝ : n × o
⊢ blockDiagonal 0 i✝ j✝ = 0 i✝ j✝
X : Scheme
⊢ IsTopologicalBasis (Set.range fun i => ↑↑i)
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : Nontrivial R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M₁
inst✝⁷ : Module.Finite R M₁
inst✝⁶ : Module.Free R M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module.Finite R M₂
inst✝² : Module.Free R M₂
f : M →ₗ[R] M
ι : Type w
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
A : Matrix ι ι R := (toMatrix b b) f
b' : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
ι' : Type u_2 := ChooseBasisIndex R M
A' : Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := (toMatrix b' b') f
e : ι ≃ ChooseBasisIndex R M := b.indexEquiv b'
φ : Matrix ι ι R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R e e
φ₁ : Matrix ι ι' R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι' R := reindexLinearEquiv R R e (Equiv.refl ι')
φ₂ : Matrix ι' ι' R ≃ₗ[R] Matrix ι' ι' R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') (Equiv.refl ι')
φ₃ : Matrix ι' ι R ≃ₗ[R] Matrix ι' (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') e
P : Matrix ι (ChooseBasisIndex R M) R := b.toMatrix ⇑b'
Q : Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι R := b'.toMatrix ⇑b
⊢ ((toMatrix b b) f).charpoly = f.charpoly
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Finite G
x : F
val✝ : Fintype G
⊢ IsIntegral (↥(subfield G F)) x
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
f : α → β
hf : f 0 = 0
i✝ : (i : o) × m' i
j✝ : (i : o) × n' i
⊢ f (if h : i✝.fst = j✝.fst then M i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) else 0) = if h : i✝.fst = j✝.fst then f (M i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd)) else 0
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
⊢ CompleteLattice.IsCompactElement (span R {x})
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Y
g : Y → Z
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g
⊢ IsProperMap (g ∘ f)
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
h : f x = x + ↑m
n : ℕ
⊢ (⇑f)^[n] x = x + ↑n * ↑m
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
G : Type u_1
AddGroup G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Γ : AddSubgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
Countable ↥Γ
MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
BorelSpace (G ⧸ Γ)
μ.IsAddRightInvariant
g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞
g_ae_measurable : AEMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map QuotientAddGroup.mk (μ.restrict 𝓕))
⊢ essSup g (MeasureTheory.Measure.map QuotientAddGroup.mk (μ.restrict 𝓕)) = essSup (fun x => g ↑x) μ
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W✝ : WeierstrassCurve R
C✝ C C' : VariableChange R
W : WeierstrassCurve R
⊢ (↑C.u⁻¹ * ↑C'.u⁻¹) ^ 3 * (W.a₃ + (C.r * ↑C'.u ^ 2 + C'.r) * W.a₁ + 2 * (C.t * ↑C'.u ^ 3 + C.r * C'.s * ↑C'.u ^ 2 + C'.t)) = ↑C.u⁻¹ ^ 3 * (↑C'.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C'.r * W.a₁ + 2 * C'.t) + C.r * (↑C'.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C'.s)) + 2 * C.t)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ F
B : ℕ → Set X := compactCovering X
hBc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (F ∩ B n)
⊢ ∃ K ⊆ F, IsCompact K ∧ r < μ K
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a.factorizationLCMLeft b ∣ ∏ x ∈ (a.lcm b).factorization.support, x ^ a.factorization x
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
⊢ ⊤ ∈ fixedByFinite K L
G : Type u_1
DivisionMonoid G
a b : G
h : a * b = 1
⊢ b⁻¹ = a
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : x ≤ 1
n : ℕ
⊢ x ^ n * x ≤ 1
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ ⋃₀ memPartition f n = Set.univ
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Add L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : AddHomClass F L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)
x y : L
contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y
g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k
this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g y ⊓ g (x + y)
⊢ Disjoint (g x ⊓ g y) (g (x + y))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
f' : 𝕜 →L[𝕜] F
⊢ HasFDerivAtFilter f f' x L → HasDerivAtFilter f (f' 1) x L
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
this : ⇑β' = -n • -⇑α + ⇑β
⊢ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β') = ↑(chainBotCoeff (⇑α) β) + n
α : Type u_1
Primcodable α
n : ℕ
f : α → Fin n
⊢ (Primrec fun a => ↑(f a)) ↔ Primrec f
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
⊢ c.boundaries.Nonempty
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
x : P₁
⊢ e.symm.symm x = e x
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
A : Matrix m n α
⊢ ‖A‖ ≤ r ↔ ∀ (i : m) (j : n), ‖A i j‖ ≤ r
M : Type w
α : Type u'
β : Type v'
f : α → β
fα : α → M
fβ : β → M
h : fβ ∘ f = fα
⊢ (FirstOrder.Language.LHom.constantsOnMap f).IsExpansionOn M
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
ι : Type u_4
f : A →A[R] B
s : Finset ι
g : ι → A
⊢ f (∑ i ∈ s, g i) = ∑ i ∈ s, f (g i)
s : Set EReal
⊢ s ∈ 𝓝 ⊥ ↔ ∃ y, Set.Iio ↑y ⊆ s
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
a' : α
⊢ ∃ a, f a' = f a
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
⊢ ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (f ≫ g)) h) = ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map g) h)
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f g : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
⊢ Disjoint ((fun i => (ϕ i).range) i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), (fun i => (ϕ i).range) j)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma L R
⊢ (CategoryTheory.Comma.fst L R).obj X = X.left
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
t_bound : t ⊆ closedBall 0 1
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closedBall x 1) / μ ({x} + u)))
C : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r) * (μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u))) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
r : ℝ
rpos : 0 < r
⊢ μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r) * (μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u)) = μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
A : polarCoord.sourceᶜ ⊆ ↑(LinearMap.ker (LinearMap.snd ℝ ℝ ℝ))
B : volume ↑(LinearMap.ker (LinearMap.snd ℝ ℝ ℝ)) = 0
⊢ volume polarCoord.sourceᶜ = 0
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial M
Module.Finite R M
rs : List R
h : ∀ r ∈ rs, r ∈ (Module.annihilator R M).jacobson
⊢ RingTheory.Sequence.IsRegular M rs ↔ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M rs
α β : Type u
inst✝ : Finite α
s : Set α
t : Set β
h1 : #α = #β
h : #↑s = #↑t
⊢ #↑sᶜ = #↑tᶜ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
⊢ volume (EMetric.closedBall a ⊤) = 2 * ⊤
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : T2Space X
hs : IsClosed s ∨ IsOpen s
hf : ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn f k μ
x : X
hx : x ∈ s
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝[s] x) μ
a b : ℕ+
⊢ (Ico a b).card = (map (Embedding.subtype fun n => 0 < n) (Ico a b)).card
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
l : Filter ι
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
NormedAddCommGroup E
a : ι → ℝ
f : ℝ → E
I b : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioc (a i) b) μ
ha : Filter.Tendsto a l Filter.atBot
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a i..b, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Iic b) μ
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f : M → N
x x' y : M
⊢ polar f (x + x') y = polar f x y + polar f x' y ↔ f (x + x' + y) + f x + f x' + f y = f (x + x') + f (x' + y) + f (y + x)
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
⊢ legendreSym p (-1) = χ₄ ↑p
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a ≤ b + c
hle : b ≤ 0
⊢ a ≤ c
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℂ
this✝ : b ≠ 0
h : (-↑π * b).re < 0
t : ℝ
this : ∀ (x : ℝ), ↑(-2 * π * x * t) * I + -↑π * b * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * c * ↑x = -↑π * b * ↑x ^ 2 + (-2 * ↑π * I * ↑t + 2 * ↑π * c) * ↑x + 0
⊢ (↑π / (↑π * b)) ^ (1 / 2) * cexp (0 - (-(2 * ↑π * I * ↑t) + 2 * ↑π * c) ^ 2 / (4 * -(↑π * b))) = 1 / b ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / b * (↑t + I * c) ^ 2)
X Y Z : SemiRingCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α × β → M
⊢ Function.support (Function.curry f) = Prod.fst '' Function.support f
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H₁ : l.size = 0 → r.size ≤ 1
H₂ : 1 ≤ l.size → 1 ≤ r.size → r.size ≤ delta * l.size
H₃ : 2 * l.size ≤ 9 * r.size + 5 ∨ l.size ≤ 3
⊢ Valid' o₁ (l.balanceL x r) o₂
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MetricSpace E
u : Filter ι
u.NeBot
u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hfg : MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f u g
⊢ ∃ ns, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun i => f (ns i) x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
f : ContDiffBump 0
x : E
⊢ f.normed μ (-x) = f.normed μ x
α : Type u_5
β : Type u_6
TopologicalSpace α
AddCommMonoid α
T2Space α
ContinuousAdd α
DecidableEq β
f : β → α
a a' : α
hf : HasSum f a
b : β
x : α
hf' : HasSum (Function.update f b x) a'
⊢ a + x = a' + f b
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CoheytingAlgebra α
CoheytingAlgebra β
CoheytingAlgebra γ
f : CoheytingHom α β
g₁ g₂ : CoheytingHom β γ
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Mul α
Add α
LE α
Mul β
Add β
LE β
Mul γ
Add γ
LE γ
f : α ≃+*o β
g : β ≃+*o γ
a : α
⊢ (f.trans g) a = g (f a)
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} A
X : LightCondensed A
⊢ CategoryTheory.regularTopology.EqualizerCondition X.val