ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
δ : Type u_3
MeasurableSpace δ
SemilatticeSup α
MeasurableSup₂ α
f : ℕ → δ → α
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Measurable (f k)
⊢ Measurable fun x => (Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CommSemiring A
z : E
s : Set E
inst✝² : NormedRing B
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B
inst✝ : Algebra A B
f : E → B
hf : AnalyticAt 𝕜 f z
p✝ p q : A[X]
hp : AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) p) z
hq : AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) q) z
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) (p + q)) z
α : Sort u_1
a b c : α
h : b ≠ c
⊢ a ≠ b ∧ a = c ↔ a = c
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsUniversalColimit c₁
t₂ : IsUniversalColimit c₂
inst✝ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C
c : Cocone F
α : F ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)
F' : Fin (n + 1) → C := F.obj ∘ Discrete.mk
this : F = Discrete.functor F'
H₁ : IsColimit (Cofan.mk (pullback c₂.inr i) fun j => pullback.lift (α.app { as := j.succ } ≫ c₁.inj j) (c.ι.app { as := j.succ }) ⋯)
⊢ Nonempty (IsColimit c)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L₂ : Type w
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
x : L
⊢ f.rangeRestrict x = ⟨f x, ⋯⟩
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
ProperSpace X
s : Set X
hs : Bornology.IsBounded s
x : ℕ → X
hx : ∀ (n : ℕ), x n ∈ s
⊢ ∃ a ∈ closure s, ∃ φ, StrictMono φ ∧ Filter.Tendsto (x ∘ φ) Filter.atTop (𝓝 a)
R : Type u_1
Semiring R
n : ℤ
f : R[T;T⁻¹]
⊢ LaurentPolynomial.T n * f = f * LaurentPolynomial.T n
a b c : EReal
h₁ : c ≠ ⊥
h₂ : c ≠ ⊤
h₃ : c ≠ 0
⊢ c * (b⁻¹ * c⁻¹) = b⁻¹
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
γ : Type w
AddZeroClass γ
f g : (Π₀ (i : ι), β i) →+ γ
H : ∀ (i : ι) (y : β i), f (DFinsupp.single i y) = g (DFinsupp.single i y)
⊢ f = g
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
F : ↥↑(rootSpace H ⇑α) →ₗ[K] K := (killingForm K L) f ∘ₗ (↑(rootSpace H ⇑α)).subtype
hF : LinearMap.ker F ≠ ⊥
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → γ
g : β → δ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
hf : Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝 (f x))
hg : Tendsto g (𝓝[t] y) (𝓝 (g y))
⊢ Tendsto (Prod.map f g) (𝓝[s ×ˢ t] (x, y)) (𝓝 (Prod.map f g (x, y)))
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun γ => γ ≠ 0) Set.Iio
p q : ℕ
pp : Nat.Prime p
pq : Nat.Prime q
⊢ p.Coprime q ↔ p ≠ q
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
hf : f p.leadingCoeff ≠ 0
hp0 : p ≠ 0
⊢ p.degree ≤ (map f p).degree
x : ℂ
⊢ (∃ k, ↑k * (2 * ↑π) = x - ↑π) ↔ ∃ k, ↑π + ↑k * (2 * ↑π) = x
R : Type u_10
M : Type u_11
Ring R
Nontrivial R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
ι : Type u_12
Unique ι
⊢ Nonempty (Basis ι R M) ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ∀ (y : M), ∃ r, r • x = y
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
t : ↑(insert ⊥ c) → IntermediateField F E := fun i => (↑i).carrier
t' : ↑(insert ⊥ c) → Subalgebra F E := fun i => (t i).toSubalgebra
⊢ ∃ ub, ∀ a ∈ c, a ≤ ub
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing α
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ (a - b) * (a - b) = a * a + b * b - (1 + 1) * a * b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β
p : β → Prop
⊢ (∀ y ∈ f.range, p y) ↔ ∀ (x : α), p (↑f x)
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
⊢ H ≤ AddSubgroup.centralizer ↑K ↔ K ≤ AddSubgroup.centralizer ↑H
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
x : E
⊢ 0 x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
s : Set α
a : α
t : Set α
⊢ t ⊆ insert a s ↔ t ⊆ s ∨ ∃ x ⊆ s, insert a x = t
R : Type u_2
CommRing R
r : R
M : Type u_1
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M'
Module R M'
AddCommGroup M''
Module R M''
g : M' →ₗ[R] M''
f : M →ₗ[R] M'
⊢ (QuotSMulTop.map r) (g ∘ₗ f) = (QuotSMulTop.map r) g ∘ₗ (QuotSMulTop.map r) f
G : Type u_1
Group G
Fintype G
x : G
n : ℕ
⊢ x ^ n = 1 ↔ x ^ n.gcd (Fintype.card G) = 1
b b' : ℕ
c : ℤ
h : ↑b' ≡ c [ZMOD ↑b]
n : ℕ
⊢ ↑n ≡ Nat.ofDigits c (b'.digits n) [ZMOD ↑b]
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ Continuous (fderiv ℝ fun x => ‖x‖ ^ p)
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.IsLimit
⊢ aleph o ≤ ⨆ i, aleph ↑i
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
⊢ ⟦x.moveLeft i * y⟧ + ⟦x * y.moveLeft k⟧ - ⟦x.moveLeft i * y.moveLeft k⟧ < -(⟦x.moveLeft j * -y⟧ + ⟦x * (-y).moveLeft l⟧ - ⟦x.moveLeft j * (-y).moveLeft l⟧) ↔ ⟦x.moveLeft i * y⟧ + ⟦x * y.moveLeft k⟧ - ⟦x.moveLeft i * y.moveLeft k⟧ < ⟦x.moveLeft j * y⟧ + ⟦x * -(-y).moveLeft l⟧ - ⟦x.moveLeft j * -(-y).moveLeft l⟧
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
s : R
n : ℕ
hn : s ≤ n • r
⊢ ∀ᶠ (a : α) in l, s ≤ f a • r
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ Inseparable x y ↔ dist x y = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : CategoryTheory.GlueData C
i j : D.J
⊢ D.diagram.snd (i, j) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (D.t i j) (D.f j i)
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)
⊢ U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f ↔ U = ⨆ f, X.basicOpen ↑f
σ : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
n : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
⊢ (MvPowerSeries.coeff S n) ((MvPowerSeries.map σ f) φ) = f ((MvPowerSeries.coeff R n) φ)
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : False → α
⊢ iSup s = ⊥
x q : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ q
⊢ ContinuousAt (fun x => x ^ q) x
a : ℕ
x : ZMod a
⊢ (ZMod.ringEquivCongr ⋯) x = x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
a : R
p q : R[X]
h : C a ∣ p - q
⊢ gcd a ((Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ).gcd p.coeff) = gcd a q.content
α✝ β α : Type u
n : ℕ
⊢ #α = ↑n ↔ Nonempty (α ≃ Fin n)
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
hwf : WellFounded r
⊢ hwf.rank a = Ordinal.sup fun b => Order.succ (hwf.rank ↑b)
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
U : Ultrafilter M
U_idem : U * U = U
s₀ : Set M
sU : s₀ ∈ U
exists_elem : ∀ {s : Set M}, s ∈ U → (s ∩ {m | ∀ᶠ (m' : M) in ↑U, m * m' ∈ s}).Nonempty
elem : { s // s ∈ U } → M := fun p => ⋯.some
⊢ ∃ a, FP a ⊆ s₀
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra S C
f : A ⊗[R] B ≃ₗ[S] C
h_mul : ∀ (a₁ a₂ : A) (b₁ b₂ : B), f ((a₁ * a₂) ⊗ₜ[R] (b₁ * b₂)) = f (a₁ ⊗ₜ[R] b₁) * f (a₂ ⊗ₜ[R] b₂)
h_one : f (1 ⊗ₜ[R] 1) = 1
x : A ⊗[R] B
⊢ (Algebra.TensorProduct.algEquivOfLinearEquivTensorProduct f h_mul h_one) x = f x
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
Y : Scheme
f₁ f₂ : X ⟶ Y
h : ∀ (x : 𝒰.J), 𝒰.map x ≫ f₁ = 𝒰.map x ≫ f₂
⊢ 𝒰.fromGlued ≫ f₁ = 𝒰.fromGlued ≫ f₂
ι : Type u_1
I J J' : BoxIntegral.Box ι
h : J ≤ I
⊢ J' ∈ BoxIntegral.Prepartition.single I J h ↔ J' = J
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ
⊢ ∀ (x y : T), (∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • x ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ) → (∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ) → ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • (x + y) ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid N
AddCommMonoid N'
AddCommMonoid P
AddCommMonoid P'
Module R M
Module R M'
Module R N
Module R N'
Module R P
Module R P'
f₁₂ : M →ₗ[R] N
f₂₃ : N →ₗ[R] P
g₁₂ : M' →ₗ[R] N'
g₂₃ : N' →ₗ[R] P'
e₁ : M ≃ₗ[R] M'
e₂ : N ≃ₗ[R] N'
e₃ : P ≃ₗ[R] P'
h₁₂ : g₁₂ ∘ₗ ↑e₁ = ↑e₂ ∘ₗ f₁₂
h₂₃ : g₂₃ ∘ₗ ↑e₂ = ↑e₃ ∘ₗ f₂₃
H : Function.Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃
⊢ Function.Exact ⇑g₁₂ ⇑g₂₃
f : ℂ →+* ℂ
hf : Continuous ⇑f
⊢ f = RingHom.id ℂ ∨ f = starRingEnd ℂ
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : FirstCountableTopology β
f : α → β
c : β
hc : ∀ b < c, μ {x | f x ≤ b} = 0
H : IsLUB (Set.Iio c) c
h : ∃ b, b < c
u : ℕ → β
left✝ : StrictMono u
u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c)
⊢ μ {a | f a < c} = 0
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
h : Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v}) = ⊤
⊢ (↑↑I).IsPrincipal
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
y : N ⊗[R] Q
⊢ (inverse Q hfg hg) ((rTensor Q g) y) = Submodule.Quotient.mk y
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_nbot : ⊥ < limsup u f
v_nbot : ⊥ < limsup v f
v_ntop : limsup v f < ⊤
limsup_v_real : ↑(limsup v f).toReal = limsup v f
x : ℝ
hx : limsup u f + limsup v f < ↑x
y : ℝ
sum_lt_y : limsup u f + limsup v f < ↑y
y_lt_x : ↑y < ↑x
key₁ : limsup u f < ↑y - limsup v f
key₂ : limsup v f < limsup v f + ↑x - ↑y
⊢ ↑y - limsup v f + (limsup v f + ↑x - ↑y) = ↑x
E : Type u_4
AddGroup E
p q : NonarchAddGroupSeminorm E
⊢ p < q ↔ ⇑p < ⇑q
α : Type u_4
β : Type u_5
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
c : ClosureOperator β
⊢ e.equivClosureOperator.symm c = c.conjBy e.symm
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huG : UniqueMul (filter (fun x => f x = aH) A) (filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = aG * bG
huH : aH * bH = aH * bH → f a = aH ∧ f b = bH
⊢ a ∈ A ∧ f a = aH
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ SignedMeasure.rnDeriv ((μ.withDensityᵥ f).trim hm) (μ.trim hm) =ᶠ[ae μ] μ[f|m]
α : Type u
β : Type v
l : List α
x : α
xs : List α
n✝ : ℕ
d : α
r n : ℕ
⊢ (replicate r d)[n]?.getD d = d
α : Type u_3
M : Type u_6
CommMonoid M
f : α → Mˣ
s : Finset α
⊢ ↑(∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ↑(f i)
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin b
⊢ Set.Ioc a (Order.pred b) = Set.Ioo a b
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
f : X → 𝕜
hf : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X), ↑(re (f x)) ∂μ + (∫ (x : X), ↑(im (f x)) ∂μ) * I = ∫ (x : X), f x ∂μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₂ : CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
h₁ : CategoryTheory.Epi φ.τ₁
⊢ ∀ (h₁ : S₁.RightHomologyData) (h₂ : S₂.RightHomologyData),
  CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' φ h₁ h₂)
X : TopCat
ι : Type u_1
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
i : ι
x : ↑X
m : x ∈ U i
⊢ (fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ⟨x, m⟩ = ⟨x, ⋯⟩
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
x y : O
h : v ((algebraMap O F) x) ≤ v ((algebraMap O F) y)
hy : (algebraMap O F) y ≠ 0
⊢ v (((algebraMap O F) y)⁻¹ * (algebraMap O F) x) ≤ 1
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
⊢ LinearMap.id = ↑1
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a✝ : α
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
hr : RightUnique r
a : List α
b : List β
h₁ : Forall₂ r a b
c : List α
d : List β
h₂ : Forall₂ r c d
h : a ~ c
this : (flip (Forall₂ r) ∘r Perm ∘r Forall₂ r) b d
⊢ ((flip (Forall₂ r) ∘r Forall₂ r) ∘r Perm) b d
α : Sort u_1
β : Sort u_2
self : α ≃ β
⊢ Function.RightInverse self.invFun self.toFun
n a b : ℕ
ha' : 1 < a
hb' : 1 < b
hab : a.Coprime b
ha : ∑ i ∈ a.divisors, Λ i = Real.log ↑a
hb : ∑ i ∈ b.divisors, Λ i = Real.log ↑b
⊢ ∑ i ∈ (a * b).divisors, Λ i = Real.log ↑(a * b)
α : Type u
f g : α → α
hg : Function.RightInverse g f
n : ℕ
⊢ Function.RightInverse g^[n] f^[n]
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), Ordinal.IsNormal (f i hi)
⊢ o.derivBFamily f = Ordinal.enumOrd (⋂ i, ⋂ (hi : i < o), Function.fixedPoints (f i hi))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x
hx : f x ≠ 0
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => Real.log (f x)) x
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hzero : n > 0
this : NeZero n
⊢ (expand R p) (cyclotomic n R) = cyclotomic (n * p) R
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
LinearOrder α
LinearOrder β
Zero β
⊢ SMulPosMono α β ↔ SMulPosReflectLT α β
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
g : G
⊢ (SemidirectProduct.inr g).right = g
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
Z : ModuleCat R
⊢ f ▷ Z ≫ (Y.braiding Z).hom = (X.braiding Z).hom ≫ (𝟙 Z ⊗ f)
G : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : AddSubgroup H
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : f.SurjectiveOnWith K C
h : H
h_in : h ∈ K.topologicalClosure
hyp_h : ¬h = 0
b : ℕ → ℝ := fun i => (1 / 2) ^ i * (ε * ‖h‖ / 2) / C
b_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < b i
v : ℕ → H
lim_v : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), v k) atTop (𝓝 h)
v_in : ∀ (n : ℕ), v n ∈ K
hv₀ : ‖v 0 - h‖ < b 0
hv : ∀ n > 0, ‖v n‖ < b n
u : ℕ → G
hu : ∀ (n : ℕ), f (u n) = v n
hnorm_u : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ C * ‖v n‖
s : ℕ → G := fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), u k
this : CauchySeq s
⊢ ∃ g, f g = h ∧ ‖g‖ ≤ (C + ε) * ‖h‖
L : Type u_1
SemilatticeSup L
TopologicalSpace L
ContinuousSup L
X : Type u_2
TopologicalSpace X
f : ℕ → X → L
n : ℕ
s : Set X
hf : ∀ k ≤ n, ContinuousOn (f k) s
⊢ ContinuousOn ((partialSups f) n) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f g : Filter α
inst✝ : Preorder β
l : Filter α
u v : α → β
hu : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l u
hv : v ≤ᶠ[l] u
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l v
α : Type u_1
R : Type u_3
SMul R ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f : ι → MeasureTheory.OuterMeasure α
c : R
⊢ c • ⨆ i, f i = ⨆ i, c • f i
α : Type u_1
s t : List α
⊢ s.permutations'.Perm t.permutations' ↔ s.Perm t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasRightHomology
hg : S.g = 0
⊢ CategoryTheory.IsIso S.rightHomologyι
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1
this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤
N : ℕ := ι'.sup n
⊢ x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : WittVector p R
n : ℕ
⊢ (WittVector.ghostComponent (n + 1)) x.verschiebungFun = ↑p * (WittVector.ghostComponent n) x
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i j : ι
p : B × F
⊢ p ∈ (Z.trivChange i j).source ↔ p.1 ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j
G : Type u_1
AddGroup G
a : G
m n : ℕ
⊢ m • -a + n • a = n • a + m • -a
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
l : List Γ
⊢ (Turing.ListBlank.mk l).head = l.headI
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
j : ℕ
hj : b.natDegree - d ≤ j
hbj✝ : ↑j < ↑b.natDegree
hbj : j < b.natDegree
⊢ (A i₁).coeff j = (A i₀).coeff j
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hsep : p.Separable
x : R
⊢ Multiset.count x p.roots ≤ 1
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
h : p.IsRoot a
hlt : 0 ≥ p.degree
this : p = C (p.coeff 0)
⊢ False
z : ℂ
h₀ : z ≠ ↑Real.pi / 2
h₁ : -(Real.pi / 2) < z.re
h₂ : z.re ≤ Real.pi / 2
⊢ Complex.cos z ≠ 0
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
g : ℕ := x.gcd y
gpos : g > 0
m n : ℕ
h : m * g * (m * g) = d * (n * g) * (n * g)
co : m.Coprime n
hx : x = m * g
hy : y = n * g
⊢ False
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
hp : p ≠ 0
⊢ {x | p.IsRoot x}.Finite
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α
⊢ BddAbove (closure s) ↔ BddAbove s
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
⊢ (⨆ i, f i) * a = ⨆ i, f i * a
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hν : ν ≠ 0
s : Set G
sm : MeasurableSet s
hνs : ν s = 0
h1 : μ s * ∫⁻ (y : G), 1 y ∂ν = ∫⁻ (x : G), ν ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * 1 x⁻¹ ∂μ
⊢ μ s = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
h : UniformContinuous f
a : α
⊢ (mk ∘ f) a = mk (f a)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z
⊢ Sym2.Mem.other' h ∈ z
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Nontrivial ↥↑(LieModule.weightSpace M 0)
⊢ LieModule.Weight.IsZero 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
⊢ (e.adjustToOrientation x).toBasis = e.toBasis.adjustToOrientation x
R : Type u_3
R' : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
NonAssocSemiring R'
NonAssocSemiring S'
⊢ (RingEquiv.prodProdProdComm R R' S S').symm = RingEquiv.prodProdProdComm R S R' S'
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A✝ : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A✝
inst✝¹² : Algebra R A✝
inst✝¹¹ : Module A✝ M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A✝
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A✝ M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
A : Type u_6
Aₛ : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommSemiring Aₛ
inst✝² : Algebra A Aₛ
inst✝¹ : Algebra R Aₛ
inst✝ : IsScalarTower R A Aₛ
⊢ IsLocalizedModule S (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap ↔ IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid A S) Aₛ
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
⊢ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T) = ⊤
α β : Type u
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
f : β → α → m α
⊢ ⇑(Monoid.foldrM.ofFreeMonoid f) ∘ FreeMonoid.of = Monoid.foldrM.mk ∘ f
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : 1 ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
t : Set E
t_open : IsOpen t
xt : x ∈ t
tu : t ∩ insert x s ⊆ u
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert x s) x
α : Type u
s : Computation α
_h : s.Terminates
n : ℕ
⊢ (s.thinkN n).length = s.length + n
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
⊢ (Subalgebra.toSubmodule fourierSubalgebra.toSubalgebra).topologicalClosure = ⊤
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
⊢ p.closedBall x r = ⋂ ρ, ⋂ (_ : ρ > r), p.ball x ρ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝³ : FTCFilter a la la'
inst✝² : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb volume
ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
⊢ HasFDerivWithinAt (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x) ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (s ×ˢ t) (a, b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f₁ : E → F
f₁' : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
f₂ : E → G
f₂' : E →L[𝕜] G
hf₁ : HasFDerivAtFilter f₁ f₁' x L
hf₂ : HasFDerivAtFilter f₂ f₂' x L
⊢ HasFDerivAtFilter (fun x => (f₁ x, f₂ x)) (f₁'.prod f₂') x L
R : Type u
a : R
n : ℕ
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ ((Polynomial.monomial n) a).natTrailingDegree = n