ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
⊢ ContinuousWithinAt (stieltjesFunctionAux f a) (Ioi x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.EdgeDisjointTriangles
⊢ (G.cliqueFinset 3).card * 3 ≤ G.edgeFinset.card * 1
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
h_inf : s.Infinite
h_fin : (f '' s).Finite
⊢ ¬InjOn f s
R : Type u_1
LinearOrderedField R
x : R
z : ℤ
⊢ ↑(x ^ z) = ↑x ^ z
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
z : N
⊢ f.toMap (f.sec z).1 = f.toMap ↑(f.sec z).2 * z
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : σ → τ
c : ℤ →+* R
g : τ → R
p : MvPolynomial σ ℤ
⊢ MvPolynomial.eval₂ c (g ∘ f) p = MvPolynomial.eval₂ c g ((MvPolynomial.rename f) p)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
r : α → α → Prop
hr : ∀ (a : α), 1 < count a l → r a a
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b
⊢ ∀ {a b : α}, [a, b] <+ l → r a b
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_4
DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N
i : ι
⊢ ((TensorProduct.finsuppLeft R M N ι) (p ⊗ₜ[R] n)) i = p i ⊗ₜ[R] n
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
this : LocallyIntegrableOn (fun x => (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) (Ioi 0) volume
⊢ LocallyIntegrableOn P.f_modif (Ioi 0) volume
⊢ Hyperreal.epsilon⁻¹ = Hyperreal.omega
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S
V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}
hVo : IsOpen V
⊢ ContinuousAt (fun p => jacobiTheta₂' p.1 p.2) (z, τ)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : W ⟶ X
k : W ⟶ Y
comm : h ≫ f = k ≫ g
inst✝² : PreservesLimit (cospan f g) G
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPullback (G.map f) (G.map g)
⊢ (iso G f g).inv ≫ G.map (pullback.snd f g) = pullback.snd (G.map f) (G.map g)
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
Archimedean α
⊢ ⋃ n, Set.Icc (↑n) (↑n + 1) = Set.univ
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a : α
⊢ a ∆ ⊥ = a
α : Type u_1
a : α
n : Nat
Inhabited α
l : List α
⊢ (a :: l)[n + 1]! = l[n]!
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
n : ℕ
x : Holor α [d]
y₁ y₂ : Holor α ds
hy₁ : y₁.CPRankMax1
hy₂ : CPRankMax n y₂
⊢ CPRankMax (1 + n) (x ⊗ y₁ + x ⊗ y₂)
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
⊢ e₁.oadd n₁ a₁ * e₂.oadd n₂ a₂ = if e₂ = 0 then e₁.oadd (n₁ * n₂) a₁ else (e₁ + e₂).oadd n₂ (e₁.oadd n₁ a₁ * a₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Surjective f
h : Nat.card β = 0
⊢ Nat.card α = 0
m n : Nat
⊢ ↑(m % n) = ↑m % ↑n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ mongePoint t ∈ mongePlane t i₂ i₃
G : Type u_3
CommGroup G
⊢ Monoid.IsTorsionFree G ↔ CommGroup.torsion G = ⊥
R : Type u
Field R
q : R[X]
p : R[X]
hq : q.Monic
⊢ p /ₘ q = p / q
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α ≃ₜ β
⊢ TopologicalSpace.Compacts.equiv f.symm = (TopologicalSpace.Compacts.equiv f).symm
k : ℕ
⊢ (k + 2) / (k + 2).minFac < k + 2
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
⊢ MeasurePreserving (fun x => x / g) μ μ
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle x (x + y) = ↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x + y‖))
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
α : Type u_3
β : Type u_4
Countable β
CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 0
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∑' (i : ℕ), m (s i))
s : β → α
⊢ R (m (⨆ b, s b)) (∑' (b : β), m (s b))
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ_[p]
⊢ q ≠ 0 → ∃ n, ‖q‖ = ↑(↑p ^ (-n))
R : Type u_1
Semiring R
ι : Type u_4
M : ι → Type u_5
Finite ι
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
p : (i : ι) → Submodule R (M i)
hsb : ∀ (i : ι), (p i).FG
⊢ (Submodule.pi Set.univ p).FG
P : PFunctor.{u}
α : Type u
p : α → Prop
x : ↑P α
a : P.A
f : P.B a → α
xeq : x = ⟨a, f⟩
pf : ∀ (i : P.B a), p (f i)
⊢ Liftp p x
R : Type x
Mul R
HasDistribNeg R
a x y : R
⊢ SemiconjBy a (-x) (-y) ↔ SemiconjBy a x y
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : Ideal R
⊢ ↑(I ⊔ J) = ↑I + ↑J
V : Type u_1
W : Type u_2
SeminormedAddCommGroup V
SeminormedAddCommGroup W
f : NormedAddGroupHom V W
⊢ f.NormNoninc ↔ ‖f‖ ≤ 1
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
α : Type w
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasFilteredColimitsOfSize.{w, w, v, u} C
F : CategoryTheory.Discrete α ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.CoproductsFromFiniteFiltered.liftToFinsetColimitCocone F).isColimit.desc s =
  CategoryTheory.Limits.colimit.desc (CategoryTheory.Limits.CoproductsFromFiniteFiltered.liftToFinset F)
    { pt := s.pt, ι := { app := fun t => CategoryTheory.Limits.Sigma.desc fun x => s.ι.app ↑x, naturality := ⋯ } }
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
S : Type u_4
SMulZeroClass S R
s : S
⊢ (s • a).im = s • a.im
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L₂ : Type w
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K : LieSubalgebra R L
K' : LieSubalgebra R L₂
⊢ LieSubalgebra.map f K ≤ K' ↔ K ≤ LieSubalgebra.comap f K'
n : ℕ
⊢ Nat.fib (n + 2) - Nat.fib (n + 1) = Nat.fib n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
S₃.HasHomology
φ₁ : S₁ ⟶ S₂
φ₂ : S₂ ⟶ S₃
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁ φ₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ₁)
    (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ₂)
K : Type u_1
Field K
x : NumberField.RingOfIntegers K
⊢ (algebraMap (NumberField.RingOfIntegers K) K) x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
T2Space X
⊢ T4Space X
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
⊢ ⊤.prod ⊤ = ⊤
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : OrzechProperty R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Finite R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
i f : N →ₗ[R] M
hi : Injective ⇑i
hf : Surjective ⇑f
n : ℕ
g : (Fin n → R) →ₗ[R] M
hg : Surjective ⇑g
this✝¹ : Small.{u, v} M
this✝ : AddCommMonoid (Shrink.{u, v} M) := (equivShrink M).symm.addCommMonoid
this : Module R (Shrink.{u, v} M) := Equiv.module R (equivShrink M).symm
j : Shrink.{u, v} M ≃ₗ[R] M := Equiv.linearEquiv R (equivShrink M).symm
⊢ Injective ⇑f
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R[X]
m n : ℕ
H : m ≤ n
⊢ I.leadingCoeffNth m ≤ I.leadingCoeffNth n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
ι : Type u_4
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → C(α, β)
x✝ : α
⊢ (s.sup' H f) x✝ = s.sup' H (fun i => ⇑(f i)) x✝
α : Type u_1
SizeOf α
as : Array α
i : Nat
h : i < as.size
⊢ sizeOf as[i] < sizeOf as
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f
c : KernelFork f
i : IsLimit c
⊢ section_ f ≫ i.lift (Fork.ofι (Fork.ι (kernelForkOfFork (Fork.ofι (𝟙 X - f ≫ section_ f) ⋯))) ⋯) = 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace α
S : Set ι
pt : Finset ι
hpt : ↑pt ⊆ S
ft : ι → Set α
ht_m : ∀ x ∈ pt, ft x ∈ (fun n => {s | MeasurableSet s}) x
i : ι
hi : i ∈ pt
⊢ MeasurableSet (ft i)
K : semiOutParam (Type u_1)
self : RCLike K
⊢ (starRingEnd K) RCLike.I = -RCLike.I
G : Type u
Group G
self : GroupFilterBasis G
U : Set G
⊢ U ∈ GroupFilterBasis.toFilterBasis.sets → ∃ V ∈ GroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V * V ⊆ U
k : Type u_2
Field k
f : PowerSeries k
hf : f ≠ 0
⊢ ↑f.Unit_of_divided_by_X_pow_order = PowerSeries.divided_by_X_pow_order hf
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this✝ : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (range fun i => bK i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom K (RingHom.op L.subtype)
ιL : Type u
bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
⊢ False
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
m m' : M
ContinuousAdd M
f g : ℕ → M
hf : HasSum f m
hg : HasSum g m'
⊢ HasSum (fun t => Int.rec f g t) (m + m')
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : a ≤ 0
hb : b < 0
⊢ a + b < 0
n : ℕ
⊢ n.minFac = 2 ↔ 2 ∣ n
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
hx : x ≠ 0
r : R
hr : 0 < r
hy : r • x ≠ 0
⊢ SameRay R x (r • x)
n : ℕ
⊢ (List.finRange n).Nodup
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
⊢ IsClosed (convexBodySum K B)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
n : ℤ
h : S.f.f (n + 1) ≫ (σ (n + 1)).r = 𝟙 (S.X₁.X (n + 1))
⊢ S.f.f (n + 1) ≫ (S.g.f (n + 1) ≫ (mappingCone.inl (homOfDegreewiseSplit S σ)).v (n + 1) n ⋯ - (σ (n + 1)).r ≫ 𝟙 (S.X₁.X (n + 1)) ≫ (mappingCone.inr (homOfDegreewiseSplit S σ)).f n) = -(mappingCone.inr (homOfDegreewiseSplit S σ)).f n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g✝ : α → β
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : T2Space β
g : α → β
hg : FinStronglyMeasurable g μ
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0 ∧ SigmaFinite (μ.restrict t)
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : Group R
inst✝ : MulAction R M
p : SubMulAction R M
m : ↥p
⊢ MulAction.stabilizer R m = MulAction.stabilizer R ↑m
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C × D ⥤ E
X X' : C
f : X ⟶ X'
Y Y' : D
g : Y ⟶ Y'
⊢ F.map (f, 𝟙 Y) ≫ F.map (𝟙 X', g) = F.map (f, g)
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
⊢ Function.Injective S.hom.obj
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
⊢ ((R ⇒ P) ⇒ List.Forall₂ R ⇒ List.Forall₂ P) List.map List.map
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (x_1 : ℝ) in Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1), (x_1 - ↑(n + 1)) / x_1 ^ (x + 1) ∂volume) (Ici 1)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
o o' : Ordinal.{u}
ho : o < Ordinal.type r
ho' : o' < Ordinal.type r
⊢ ¬r (Ordinal.enum r o' ho') (Ordinal.enum r o ho) ↔ o ≤ o'
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
j : ι
hj : ¬c.Rel (c.prev j) j
⊢ c.prev j = j
α : Type u_1
Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
⊢ t.Bounded o₁ o₂ → Ordnode.nil.Bounded o₁ o₂
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
h : 0 < ↑n
m : ℕ
hn : m < n
h0 : 0 < m
k : ℕ
hk : n * k = m
⊢ False
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
φ : F
y : B
⊢ y ∈ NonUnitalStarAlgHom.range φ ↔ ∃ x, φ x = y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n : ℕ∞
f : E → H'
s : Set E
x : E
⊢ ContDiffWithinAtProp 𝓘(𝕜, E) I' n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f) s x
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
⊢ s.card < Fintype.card α ↔ s ≠ Finset.univ
α : Type u_1
a b c : α
Mul α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
PosMulReflectLT α
a0 : 0 < a
⊢ a * b < a * c ↔ b < c
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x : E
⊢ φ (o.rightAngleRotation x) = o.rightAngleRotation (φ x)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
D : LieDerivation R L L
a b : L
⊢ D ⁅a, b⁆ = ⁅a, D b⁆ + ⁅D a, b⁆
M : Type u_1
Monoid M
X : Type u
MulAction M X
x : X
⊢ CategoryTheory.ActionCategory.back ⟨(), x⟩ = x
α : Type u_1
R : α → α → Prop
a b : α
l : List α
p : List.Chain R a (b :: l)
⊢ List.Chain R b l
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
this : Inhabited I
m : Products I →₀ ℤ
hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}
hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)
hse : LinearMap.range (πs C o) = LinearMap.ker (Linear_CC' C hsC ho)
n : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ
w : { l // Products.isGood (π C fun x => ord I x < o) l } →₀ ℤ
hn : ((w.sum fun a b => (πs C o) (b • eval (π C fun x => ord I x < o) a)) + m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod) = Products.eval C ↑l
hc : (w.sum fun i a => a • eval (π C fun x => ord I x < o) i) = n
⊢ (w.sum fun a b => (πs C o) (b • eval (π C fun x => ord I x < o) a)) ∈ Submodule.span ℤ (Products.eval C '' {m | m < ↑l})
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ image (fun x => x % a) (Ico n (n + a)) = range a
α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → CompHaus
B : CompHaus
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (forget CompHaus).obj (X a)
⊢ (ι X a ≫ desc X π) x = (π a) x
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
F : (i : I) → CategoryTheory.Functor A (C i)
i : I
X : A
⊢ (CategoryTheory.Functor.pi'CompEval F i).hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F i).obj X)
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
NormedAddCommGroup E
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
htendsto : Filter.Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (ENNReal.ofReal I))
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
p : Option α → Prop
⊢ (∀ a ∈ insertNone s, p a) ↔ p none ∧ ∀ a ∈ s, p (some a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
s : Set E
⊢ ‖0‖₊ • EMetric.diam s ≤ EMetric.diam (0 • s)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ
x : α
h : ContinuousAt f x
⊢ ContinuousAt (fun x => √(f x)) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
A B : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
f g : A ⟶ B
h : f.left = g.left
⊢ f = g
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a : α
ha : IsMin a
⊢ ¬SupIrred a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
g : M' → M''
hg : ContMDiff I' I'' n g
hf : ContMDiff I I' n f
⊢ ContMDiff I I'' n (g ∘ f)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ
⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i + m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m * (proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i * f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
ι : Type u_3
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Nonempty ι
μ : Measure α
f : ι → α → β
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)
inhabited_h : Inhabited ι
hL : L.NeBot
p : α → (ι → β) → Prop := fun x f' => ∃ l, Tendsto (fun n => f' n) L (𝓝 l)
hp_mem : ∀ x ∈ aeSeqSet hf p, p x fun n => f n x
h_ae_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ι), aeSeq hf p n x = f n x
f_lim : α → β := fun x => if h : x ∈ aeSeqSet hf p then Exists.choose ⋯ else ⋯.some
hf_lim : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => aeSeq hf p n x) L (𝓝 (f_lim x))
h_ae_tendsto_f_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
h_f_lim_meas : Measurable f_lim
⊢ ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
n : ℕ
m : ℕ
⊢ m.pred < n → m ≤ n
G : Type u_2
Group G
⊢ ∀ (a : Submonoid G), ↑((RelIso.symm Submonoid.invOrderIso) a) = (↑a)⁻¹
α : Type u
TopologicalSpace α
f : BoundedContinuousFunction α ℝ
⊢ ⇑f.nnrealPart = Real.toNNReal ∘ ⇑f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.HomologyData
⊢ h.unop.left = h.right.unop
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSpace A
Semiring A
StarRing A
TopologicalSemiring A
ContinuousStar A
Algebra R A
StarModule R A
x : A
⊢ ClosedEmbedding Subtype.val
V : Type u
G : SimpleGraph V
H H' : G.Subgraph
hle : H ≤ H'
hv : H.verts = H'.verts
h : H.Connected
⊢ H'.Connected
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K
⊢ Set.Finite f.HasEigenvalue
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
a b : (i : ι) → α i
⊢ (Finset.Icc a b).card = ∏ i : ι, (Finset.Icc (a i) (b i)).card
α : Type u_1
LinearOrder α
CommSemigroup α
a b : α
⊢ max a b * min a b = a * b
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s
B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t
C : DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t) t x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p
k : ℕ
⊢ p ^ k = (Multiset.map Subtype.val (replicate k ⟨p, hp⟩)).prod
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
⊢ 1 + 1 / (2 * a + 1) ≠ 0
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ s = {a} ∨ s.Nontrivial
x : ℝ
n : ℕ
⊢ x.sqrtTwoAddSeries (n + 1) = (√(2 + x)).sqrtTwoAddSeries n
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r
⊢ Seminorm.ball 0 x r = Set.univ
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
⊢ (Function.Injective fun n => n • x) ↔ ¬IsOfFinAddOrder x
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a < b
a✝ : ℕ
h : t.chainHeight = ↑a✝
⊢ s.chainHeight + ↑a✝ ≤ (s ∪ t).chainHeight
G : Type u_1
H : Type u_2
Monoid G
Monoid H
f : G →* H
x : G
h : IsOfFinOrder x
⊢ IsOfFinOrder (f x)
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
⊢ ((interpolate s v) r).degree < ↑s.card
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
hf : f ≤ 1
⊢ ∏ i : ι, f i < 1 ↔ f < 1
R : Type u_3
S : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
⊢ (RingHom.fst S R).comp ↑RingEquiv.prodComm = RingHom.snd R S
α β γ : Type u
m : Type u → Type v
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
x : m α
g : α → m β
f : β → γ
⊢ (do let x ← x let a ← g x pure (f a)) = do let a ← x f <$> g a
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a - x) '' Ici b = Iic (a - b)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a : α
ha : 0 < a
x : α
⊢ x ∈ (Ioo 0 a)⁻¹ ↔ x ∈ Ioi a⁻¹
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f✝ : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
f : C(α, β)
⊢ (∀ (K : Set α), IsCompact K → ∀ (U : Set β), IsOpen U → MapsTo (⇑f) K U → ∀ᶠ (a : ι) in p, MapsTo (⇑(F a)) K U) ↔ ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K
R : Type u
NonAssocSemiring R
⊢ Subsemiring.closure ∅ = ⊥
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hg : IsMulFreimanIso n B C g
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
⊢ ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ map f t → x ∈ B
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
μ : Measure α
f : α → β
hf : Measurable f
s : Set β
a✝ : MeasurableSet s
⊢ (map f μ) s = (sum fun b => μ (f ⁻¹' {b}) • dirac b) s
R : Type u
M : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
q : Submodule R M
m : M
hm : m ∈ q
p : R[X]
f : Module.End R M
hq : q ≤ Submodule.comap f q
⊢ ((Polynomial.aeval f) p) m ∈ q
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup V
Algebra R A
Module R V
Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
z : A
⊢ (CliffordAlgebra.ofBaseChange A Q) (z ⊗ₜ[R] 1) = (algebraMap A (CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q))) z
d : ℤ
h₀ : d < 0
a : Solution₁ d
⊢ a.x = 0 ∨ a.y = 0
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
hac : a ⋖ c
hab : a < b
hbc : b ≤ c
⊢ a ⋖ b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β
⊢ a • ↑s ⊆ ↑t ↔ ↑s ⊆ a⁻¹ • ↑t
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring R
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike.GradedMonoid A
Sub ι
OrderedSub ι
ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
Decidable (i ≤ n)
⊢ ↑(((DirectSum.of (fun i => ↥(A i)) i) r * r') n) = if i ≤ n then ↑r * ↑(r' (n - i)) else 0