ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α
h : l.Nodup
i : ℕ
hi : i < l.length
j : ℕ
hj : j < l.length
this : l.get ⟨i, hi⟩ = l.get ⟨j, hj⟩ ↔ ⟨i, hi⟩ = ⟨j, hj⟩
⊢ l[i] = l[j] ↔ i = j
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : Fin 3 → R
u✝ : R
hu : IsUnit u✝
u : R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ W'.Equation (u • P)
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictAntiOn f s
hg : AntitoneOn g s
⊢ StrictAntiOn (fun x => f x * g x) s
β : Type u_2
α : Type u_1
SMul β α
b : β
a : α
⊢ toLex b • a = b • a
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a b : E
r r' : k
h : r < 1
⊢ (lineMap a b) r ≤ b ↔ (lineMap a b) r ≤ (lineMap a b) 1
ι : Type u_3
c : ComplexShape ι
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.CategoryWithHomology C
self : c.QFactorsThroughHomotopy C
K L : HomologicalComplex C c
f g : K ⟶ L
h : Homotopy f g
⊢ CategoryTheory.AreEqualizedByLocalization (HomologicalComplex.quasiIso C c) f g
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b c d : α
⊢ a - b - (c - d) = a + d - (b + c)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo b a
ts : t ⊆ s
t_diff : DifferentiableOn ℝ f t
t_conv : Convex ℝ t
t_open : IsOpen t
⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
d : ℝ≥0∞
⊢ diam s ≤ d ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, edist x y ≤ d
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
h : IsAddUnit a
⊢ ↑(-h.addUnit) + a = 0
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
q : ℚ
⊢ im ↑q = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
e : α ≃ᵐ β
⊢ MeasureTheory.Measure.map (⇑e) (MeasureTheory.Measure.map (⇑e.symm) ν) = ν
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
⊢ ‖a‖₊ = 0 ↔ a = 1
f : CircleDeg1Lift
x y : ℝ
h : x ≤ y
⊢ f x ≤ f y
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
⊢ p.natDegree = 0 ↔ p = 1
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Free R M
Module.Finite R M
IsReduced R
LieModule.IsNilpotent R L M
⊢ LieModule.traceForm R L M = 0
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
c : Set (Ideal R)
hs : c ⊆ nonPrincipals R
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
K : Ideal R
hKmem : K ∈ c
x : R
hx : sSup c = Submodule.span R {x}
hxmem : x ∈ sSup c
J : Submodule R R
hJc : J ∈ c
hxJ : x ∈ J
⊢ False
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
⊢ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) univ = 0 ↔ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
s : Set ℝ
hs : s.Nonempty
⊢ sInf (a • s) = a • sInf s
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
r : S
hr : r ∈ I
p : R[X]
hp : eval₂ f r p.divX * r + f (p.coeff 0) ∈ I
⊢ eval₂ f r p.divX * r ∈ I
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
f : ((k : K) → Option (Γ k)) → (k : K) → Option (Γ k)
L : Turing.ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n : ℕ
⊢ Turing.ListBlank.modifyNth (fun a => (a.1, f a.2)) n (Turing.TM2to1.addBottom L) =
  Turing.TM2to1.addBottom (Turing.ListBlank.modifyNth f n L)
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | Indep I}
hBmax : B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | Indep I}
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
s : Set A
p : ↥(NonUnitalAlgebra.adjoin R s) → Prop
a : ↥(NonUnitalAlgebra.adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
add : ∀ (x y : ↥(NonUnitalAlgebra.adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
zero : p 0
mul : ∀ (x y : ↥(NonUnitalAlgebra.adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
smul : ∀ (r : R) (x : ↥(NonUnitalAlgebra.adjoin R s)), p x → p (r • x)
⊢ p a
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s = ∅ ∨ s.encard = ⊤ ∨ ∃ a ∈ s, (s \ {a}).encard < s.encard
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
⊢ (trivializationAt E (TangentSpace I) x).baseSet = (chartAt H x).source
R : Type u_1
Ring R
r : R
hnil : IsNilpotent r
⊢ IsUnit (r + 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
f' : E →L[𝕜'] F
s : Set E
x : E
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ DifferentiableAt 𝕜' f x ↔ ∃ g', restrictScalars 𝕜 g' = fderiv 𝕜 f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x : E
r : 𝕜
hr : ‖r‖ ≤ 1
hx : x ∈ (a • r) • s
⊢ ∃ i, ∃ (_ : ‖i‖ ≤ 1), x ∈ i • s
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
f : R[M]
⊢ f ∈ adjoin R (of' R M '' ↑f.support)
α : Type u_2
AddMonoid α
s : Set α
a : α
n : ℕ
⊢ a ∈ n • s ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).sum = a
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedRing 𝕜
DenselyOrdered 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
Module 𝕜 E
ContinuousSMul 𝕜 E
x y : E
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ closure (openSegment 𝕜 x y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
i j : ι
hij : i < j
⊢ (gramSchmidtOrthonormalBasis h f).repr (f i) j = 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y✝ : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y✝
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop Y✝) := Presheaf.imageSieve α ((R.val.map π) r) ⊓ Presheaf.imageSieve φ ((A.val.map π) m)
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop Y✝)
Y : C
f : Y ⟶ Opposite.unop Y✝
r₀ : (forget RingCat).obj (R₀.obj (Opposite.op Y))
hr₀ : (α.app (Opposite.op Y)) r₀ = (R.val.map f.op) ((R.val.map π) r)
m₀ : (forget AddCommGrp).obj (M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) ((A.val.map π) m)
⊢ (A.val.map f.op) ((A.val.map π) (smul α φ r m)) = (A.val.map f.op) (smul α φ ((R.val.map π) r) ((A.val.map π) m))
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: β)
x : β
⊢ M.dest (P F) (corecF g x) = (TypeVec.id ::: corecF g) <$$> repr (g x)
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
inst✝ : HasGroupoid M G
s : Opens M
t : Opens H
ht : Nonempty ↥t
e' : PartialHomeomorph (↥t) H
xset : Set (PartialHomeomorph (↥t) H)
he' : e' ∈ xset
x : ↥t
hx : (fun x => {(chartAt H ↑x).subtypeRestr ⋯}) x = xset
⊢ ∃ x, e' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr ht
n : Nat
m : Nat
⊢ n < m.pred ↔ n.succ < m
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
t : Set β
a : α
b : β
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝[t] b) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → edist x a < δ → f x ∈ t ∧ edist (f x) b < ε
α : Type u_1
x : α
a : Array α
⊢ (a.push x).pop = a
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝³ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝² : GradedAlgebra ℬ
C : Type ?u.815509
inst✝¹ : Ring C
inst✝ : Algebra R C
i j : ι
a : ↥(𝒜 i)
b : ↥(ℬ j)
⊢ ↑↑((-1) ^ (j * i)) • (lof R ι (fun x => ↥(ℬ x)) j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι (fun x => ↥(𝒜 x)) i) a = ↑↑((-1) ^ (j * i)) • (decompose ℬ) ↑b ⊗ₜ[R] (decompose 𝒜) ↑a
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pushoutCoconeOfRightIso f g).inr = CategoryTheory.inv g ≫ f
R : Type u
σ : Type u_1
CommRing R
m : σ →₀ ℕ
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.coeff m (-p) = -MvPolynomial.coeff m p
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle R F E
b : B
⊢ Continuous (Bundle.TotalSpace.mk b)
α : Type u_2
Mul α
s₁ s₂ t : Set α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ * t ⊆ s₂ * t
⊢ ClosedEmbedding ⇑LightProfinite.natUnionInftyEmbedding
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t : Set α
r : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
k s : Set β
f : β → α
hk : IsCompact k
hf : ∀ x ∈ k, ContinuousWithinAt f s x
⊢ ∃ t, k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ IsBounded (f '' (t ∩ s))
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h
nhds_zero : Tendsto (fun n => 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2
npos' : 0 < n
npos : 0 < ↑n
x : ↑I
S : Finset (Fin (n + 1)) := bernsteinApproximation.S f ε h n x
⊢ ‖(bernsteinApproximation n f - f) x‖ < ε
α : Type u_1
f : α → α
a : α
n i : ℕ
h : i < (List.iterate f a n).length
⊢ (List.iterate f a n)[i] = f^[i] a
G : Type u
Group G
H₁ : Subgroup G
H₁.Normal
H₂ : Subgroup (G ⧸ H₁)
H₂.Normal
⊢ Subgroup.comap (QuotientGroup.mk' H₁) (Subgroup.comap (QuotientGroup.mk' H₂) (Subgroup.center ((G ⧸ H₁) ⧸ H₂))) =
  Subgroup.comap (QuotientGroup.mk' (Subgroup.comap (QuotientGroup.mk' H₁) H₂))
    (Subgroup.center (G ⧸ Subgroup.comap (QuotientGroup.mk' H₁) H₂))
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
⊢ I.ringFilterBasis.SubmodulesBasis fun n => I ^ n • ⊤
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
Monoid N
f g : Monoid.CoprodI M →* N
h : ∀ (i : ι), f.comp Monoid.CoprodI.of = g.comp Monoid.CoprodI.of
⊢ f = g
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)
μ : (X Y : C) → F.obj X ⊗ F.obj Y ⟶ F.obj (X ⊗ Y)
μ_natural : autoParam (∀ {X Y X' Y' : C} (f : X ⟶ Y) (g : X' ⟶ Y'), (F.map f ⊗ F.map g) ≫ μ Y Y' = μ X X' ≫ F.map (f ⊗ g)) _auto✝
associativity : autoParam (∀ (X Y Z : C), (μ X Y ⊗ 𝟙 (F.obj Z)) ≫ μ (X ⊗ Y) Z ≫ F.map (α_ X Y Z).hom = (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ (𝟙 (F.obj X) ⊗ μ Y Z) ≫ μ X (Y ⊗ Z)) _auto✝
left_unitality : autoParam (∀ (X : C), (λ_ (F.obj X)).hom = (ε ⊗ 𝟙 (F.obj X)) ≫ μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (λ_ X).hom) _auto✝
right_unitality : autoParam (∀ (X : C), (ρ_ (F.obj X)).hom = (𝟙 (F.obj X) ⊗ ε) ≫ μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ X).hom) _auto✝
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
X' : C
⊢ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map f ▷ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X' ≫ μ Y✝ X' = μ X✝ X' ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map (f ▷ X')
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
Algebra.IsAlgebraic k K
⊢ Function.Surjective fun x => x.comap (algebraMap k K)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : PseudoMetricSpace β
b : ℝ → ℝ
b_lim : Tendsto b (𝓝 0) (𝓝 0)
F : ι → β → α
H : ∀ (x y : β) (i : ι), dist (F i x) (F i y) ≤ b (dist x y)
⊢ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ (x y : β), dist x y < δ → ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i y) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : IsBigOWith c l f g
h₀✝ : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → g x = 0
x : α
h₀ : f x = 0 → g x = 0
hle : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hx : f x = 0
⊢ ‖(g x)⁻¹‖ ≤ c * ‖(f x)⁻¹‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
f : α → β
R S : RegularExpression α
⊢ (map f (R.comp S)).matches' = (Language.map f) (R.comp S).matches'
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
A : Type u
inst✝² : Category.{t, u} A
J✝ : GrothendieckTopology C
K✝ : GrothendieckTopology D
F₁ : C ⥤ D
F₂ : D ⥤ E
F₁₂ : C ⥤ E
e : F₁ ⋙ F₂ ≅ F₁₂
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
inst✝¹ : F₁.IsContinuous J K
inst✝ : F₂.IsContinuous K L
⊢ F₁₂.IsContinuous J L
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y
⊢ F.map f ≫ g = (adj.homEquiv X' Y).symm (f ≫ (adj.homEquiv X Y) g)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] M
e : M ≃ₗ[R] N
⊢ (LinearMap.trace R N) (e.conj f) = (LinearMap.trace R M) f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h : s1 < s2
⊢ ∃ p ∈ s2, p ∉ s1
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : E
h : SameRay ℝ x y
⊢ ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖
⊢ Gamma (1 / 2) = ↑(Real.Gamma (1 / 2))
⊢ ↑ModularGroup.T = !![1, 1; 0, 1]
α : Type u_1
f : List α → List α
n : Nat
l₁ l₂ : List α
⊢ modifyNthTail f (l₁.length + n) (l₁ ++ l₂) = l₁ ++ modifyNthTail f n l₂
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
n : ℕ
⊢ s.sym n ⊆ t.sym n
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 + ε ↑x) ≤ ↑(r i x) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i x))
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p : P
⊢ p -ᵥ z ∈ affineSegment R (p -ᵥ x) (p -ᵥ y) ↔ z ∈ affineSegment R x y
m : Type u_2
α : Type v
Fintype m
DecidableEq m
NonUnitalNonAssocSemiring α
v : m → α
x : α
i : m
⊢ Pi.single i x ⬝ᵥ v = x * v i
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
X : Action V G
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom.hom = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X.V).hom
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
A : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F
b : ↑(F.obj A.obj)
⊢ (CategoryTheory.PreGaloisCategory.autIsoFibers F).inv.app A b =
  (CategoryTheory.PreGaloisCategory.evaluationEquivOfIsGalois F A.obj A.pt).symm b
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
IH : L.sections = (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data
⊢ ((foldr sectionsTR.go #[[]] L).data.bind fun s => map (fun a => a :: s) l) = (Array.foldl (fun acc' l' => foldl (fun acc' a => acc'.push (a :: l')) acc' l) #[] (foldr sectionsTR.go #[[]] L) 0).data
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategoryStruct D
F : D ⥤ C
self : CategoryTheory.Monoidal.InducingFunctorData F
X Y Z : D
⊢ F.map (α_ X Y Z).hom =
  (((self.μIso (X ⊗ Y) Z).symm ≪≫ ((self.μIso X Y).symm ⊗ CategoryTheory.Iso.refl (F.obj Z))) ≪≫
      α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z) ≪≫
        (CategoryTheory.Iso.refl (F.obj X) ⊗ self.μIso Y Z) ≪≫ self.μIso X (Y ⊗ Z)).hom
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝² : HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
inst✝¹ : H.Additive
inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m
⊢ (↑(fst φ)).v n m ⋯ ≫ (inl φ).v m n ⋯ + (snd φ).v n n ⋯ ≫ (inr φ).f n = 𝟙 ((mappingCone φ).X n)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Zero X
r : NNReal
f : ContinuousMapZero X ℝ
⊢ (r • f).toNNReal = r • f.toNNReal
α : Type v
G : Type u
Group G
MulAction G α
g : G
a : α
⊢ MulAction.period g⁻¹ a = MulAction.period g a
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set β
a : α
⊢ {a} ×ˢ t = Prod.mk a '' t
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
J : C
⊢ (coyoneda.obj (op (op J))).PreservesEpimorphisms ↔ (yoneda.obj J).PreservesEpimorphisms
k : ℕ
⊢ 0 < Real.Wallis.W k
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
U : Set ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace
hU : ∀ (i : 𝒰.gluedCover.J), _root_.IsOpen (⇑(𝒰.gluedCover.ι i).val.base ⁻¹' U)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U
⊢ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∩ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base ⊆ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∧ _root_.IsOpen (⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∩ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base) ∧ x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∩ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Ring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
Nonempty ι
f : MultilinearMap R M₁ M₂
p : (i : ι) → Submodule R (M₁ i)
⊢ (↑(f.map p)).Nonempty
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < b → b < a → c ≠ 0
⊢ (a - b) / c = a / c - b / c
α : Type u
a✝ : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : IsCyclic H
f : G →* H
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : H
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
⊢ x ^ m = f a
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ (y ⊔ y ⊓ z) ⊓ (y ⊔ y ⊓ x) = y
E : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_5
CompleteSpace E
g : ι → E →SL[σ₁₂] F
h : ∀ (x : E), ∃ C, ∀ (i : ι), ‖(g i) x‖ ≤ C
⊢ ∃ C', ∀ (i : ι), ‖g i‖ ≤ C'
α : Type u
p : α → Prop
DecidablePred p
f : Equiv.Perm (Subtype p)
x : α
⊢ p x ↔ p ((Equiv.Perm.ofSubtype f) x)
R : Type u
CommSemiring R
a b x : R
h : IsCoprime a b
ha : x ∣ a
hb : x ∣ b
⊢ IsUnit x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
⊢ IsProperMap ⇑e
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
m : Type u_3
Fintype m
DecidableEq m
b : Basis m R S
x : S
⊢ (Algebra.leftMulMatrix b) x = (LinearMap.toMatrix b b) ((Algebra.lmul R S) x)
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι : Type u_3
κ✝ : Type u_4
l : Line α✝ ι
i : ι
a x : α✝
α : Type u
inst✝¹ : Fintype α
ihα : ∀ (κ : Type (max v u)) [inst : Finite κ], ∃ ι x, ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l
κ : Type (max v u)
inst✝ : Finite κ
val✝ : Fintype κ
h : Nonempty α
⊢ ∀ (r : ℕ), ∃ ι x, ∀ (C : (ι → Option α) → κ), (∃ s, Multiset.card s.lines = r) ∨ ∃ l, IsMono C l
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
AddGroup H
I : Type u_1
AddGroup I
M : AddSubgroup H
O : AddSubgroup I
M.Normal
O.Normal
f : G →+ H
g : H →+ I
hf : N ≤ AddSubgroup.comap f M
hg : M ≤ AddSubgroup.comap g O
hgf : N ≤ AddSubgroup.comap (g.comp f) O := ⋯
x : G ⧸ N
⊢ (QuotientAddGroup.map M O g hg) ((QuotientAddGroup.map N M f hf) x) = (QuotientAddGroup.map N O (g.comp f) hgf) x
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
ε : ℝ
⊢ IsUpperSet (thickening ε s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Mono g
H : CategoryTheory.IsPushout f g h i
H' : H.IsVanKampen
⊢ CategoryTheory.Mono h
m : Type u → Type u
Monad m
LawfulMonad m
⊢ ∀ (a : Type u), (CategoryTheory.ofTypeMonad m).obj a = m a
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ
⊢ A.EqId ↔ (Opposite.unop A.fst).len = (Opposite.unop Δ).len
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
α₃ : Type u_5
β₃ : Type u_6
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₁' : β₁ ≃ β₂
e₂ : α₂ ≃ α₃
e₂' : β₂ ≃ β₃
⊢ (e₁.trans e₂).arrowCongr' (e₁'.trans e₂') = (e₁.arrowCongr' e₁').trans (e₂.arrowCongr' e₂')
α : Type u_1
β : Type u_2
ma ma' : MeasurableSpace α
mb mb' : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
ha : ma ≤ ma'
hb : mb' ≤ mb
⊢ Measurable f
R : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup R
f g : ℕ → R
f' : ArithmeticFunction R := { toFun := fun x => if x = 0 then 0 else f x, map_zero' := ⋯ }
g' : ArithmeticFunction R := { toFun := fun x => if x = 0 then 0 else g x, map_zero' := ⋯ }
⊢ (∀ n > 0, ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f n
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
U U' : C
⊢ ((fun U => α_ X.fst Y.fst U ≪≫ whiskerLeftIso X.fst (Y.snd.β U) ≪≫ (α_ X.fst U Y.fst).symm ≪≫ whiskerRightIso (X.snd.β U) Y.fst ≪≫ α_ U X.fst Y.fst) (U ⊗ U')).hom = (α_ (X.fst ⊗ Y.fst) U U').inv ≫ ((fun U => α_ X.fst Y.fst U ≪≫ whiskerLeftIso X.fst (Y.snd.β U) ≪≫ (α_ X.fst U Y.fst).symm ≪≫ whiskerRightIso (X.snd.β U) Y.fst ≪≫ α_ U X.fst Y.fst) U).hom ▷ U' ≫ (α_ U (X.fst ⊗ Y.fst) U').hom ≫ U ◁ ((fun U => α_ X.fst Y.fst U ≪≫ whiskerLeftIso X.fst (Y.snd.β U) ≪≫ (α_ X.fst U Y.fst).symm ≪≫ whiskerRightIso (X.snd.β U) Y.fst ≪≫ α_ U X.fst Y.fst) U').hom ≫ (α_ U U' (X.fst ⊗ Y.fst)).inv
x : PSet
y : PSet
h : x.Equiv y
i : x.Type
⊢ ∃ j, (x.Func i).Equiv (y.Func j)