ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernels C
X : C
A B : Cᵒᵖ
g : B ⟶ op X
hg : Mono g
i : A ≅ B
hf : Mono (i.hom ≫ g)
⊢ (fun A f x => Subobject.mk (kernel.ι f.unop)) A (i.hom ≫ g) hf = (fun A f x => Subobject.mk (kernel.ι f.unop)) B g hg
f : Type u → Type v
Applicative f
self : LawfulApplicative f
α β : Type u
g : α → β
x : α
⊢ g <$> pure x = pure (g x)
α : Type u
x : FreeGroup α
⊢ (FreeGroup.lift FreeGroup.of) x = x
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
Λ : Module.Dual ℝ (ι → ℝ)
Λ₀ : ℝ
h0 : (Λ, Λ₀) ≠ 0
hsum : ∀ (x : E), Λ ((ContinuousLinearMap.pi f') x) + Λ₀ • φ' x = 0
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
⊢ Submodule.map₂ (TensorProduct.mk R M N) ⊤ ⊤ = ⊤
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0
ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset
ζ : ℝ
z0 : ζ > 0
U : closedBall α ζ ∩ ↑fR.roots.toFinset = {α}
xm : ℝ
hM : IsMaxOn (fun x => |eval x (derivative fR)|) (Icc (α - ζ) (α + ζ)) xm
y : ℝ
hy : y ∈ closedBall α ζ
⊢ dist ((fun y => eval y fR) α) ((fun y => eval y fR) y) ≤ dist α y * |eval xm (derivative fR)|
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
⊢ ⇑Nat.castOrderEmbedding = Nat.cast
R : Type u_1
Semiring R
f : PowerSeries R
hf : f ≠ 0
⊢ PowerSeries.X ^ f.order.get ⋯ * PowerSeries.divided_by_X_pow_order hf = f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M✝ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M✝
a b : α
s t : Set α
M : Type u_7
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
hf : (mulSupport f).Finite
i : ι
hi : 1 < f i
⊢ 1 < ∏ᶠ (i : ι), f i
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s a b : Set X
h : IsClopen s
cover : s ⊆ a ∪ b
ha : IsOpen a
hb : IsOpen b
hab : Disjoint a b
this : IsClosed (s ∩ bᶜ)
x : X
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : x ∈ bᶜ
⊢ x ∈ s ∩ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : α → β → γ
s : ι → Set α
t : Set β
⊢ Set.image2 f (⋂ i, s i) t ⊆ ⋂ i, Set.image2 f (s i) t
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Fintype I
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
he' : ∏ i : I, (1 - e i) = 0
⊢ ∑ i : I, e i = 1
f g : ℕ → ℂ
s a b : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
hg : LSeriesHasSum g s b
⊢ LSeriesHasSum (f ⍟ g) s (a * b)
n : Nat
x : BitVec n
⊢ x - 0#n = x
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
f : K ⟶ (shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj L
a a' : ℤ
h : n + a = a'
⊢ (homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap ((quotient C (up ℤ)).map f ≫ ((quotient C (up ℤ)).commShiftIso n).hom.app L) a a' h = (homologyFunctorFactors C (up ℤ) a).hom.app K ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap f a a' h ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) a').inv.app L
w : Nat
x : BitVec w
b : Bool
⊢ ~~~x.concat b = (~~~x).concat !b
α : Type u_1
f : α → α
x : α
n : ℕ
⊢ x ∈ Function.ptsOfPeriod f n ↔ Function.IsPeriodicPt f n x
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
X Y : Action V G
⊢ (Action.forgetMonoidal V G).μ X Y =
  𝟙 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj ((Action.forget V G).obj X) ((Action.forget V G).obj Y))
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
n : ℕ
v : Fin n → V
⊢ LinearIndependent K ((Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) ∘ some) ∧ (Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) none ∉ span K (range ((Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) ∘ some)) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_3
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I : Ideal R
⊢ ↑I = 1 ↔ I = 1
a b c : ℕ
hca : c ∣ b
⊢ (a + b) / c = a / c + b / c
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝ : Group G
g h : G
⊢ (orbitRel (ConjAct G) G).Rel g h = IsConj g h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hf : S.Finite
hc : ∀ s ∈ S, IsLindelof s
⊢ IsLindelof (⋃₀ S)
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B A : Matrix n n α
Xs : List (Matrix n n α)
⊢ (A :: Xs).prod⁻¹ = (List.map Inv.inv (A :: Xs).reverse).prod
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
A : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra A ℝ
c : A
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
⊢ c ^ 2 • variance X μ = (algebraMap A ℝ) c ^ 2 * variance X μ
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set β
hs : IsConnected s
f : α → β
hinj : Function.Injective f
hf : IsClosedMap f
hsf : s ⊆ Set.range f
⊢ IsConnected (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
⊢ pure a ×ˢ pure b = pure (a, b)
M : Type u_1
AddCommGroup M
S : AddSubmonoid M
hS : S ≤ IsAddUnit.addSubmonoid M
x : ↥S
⊢ ↑((S.leftNegEquiv hS).symm x) = -↑x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
P Q : C
S T : D
f : P ≅ Q
g : S ≅ T
⊢ (f.prod g).hom = (f.hom, g.hom)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
⊢ a ≠ b → a ∈ s → a ≠ b ∧ a ∈ s
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih' : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P24 x₁ x₂ y) → P124 a
z w : PGame
h : w.IsOption y
⊢ z.IsOption x₂ → P2 x₁ z w
U : Type u_1
Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
p : Quiver.Path u v
p' : Quiver.Path u' v'
⊢ Quiver.Path.cast hu hv p = p' ↔ HEq p p'
μ ν : YoungDiagram
x : ℕ × ℕ
⊢ x ∈ μ ⊓ ν ↔ x ∈ μ ∧ x ∈ ν
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₁.obj S = S.L₁
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
h : ∀ (b : β), ∃ a, f a ≤ b
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atBot
γ : Type u_3
β : Type u_4
TopologicalSpace γ
PolishSpace γ
TopologicalSpace β
T2Space β
MeasurableSpace β
OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous f
f_inj : Function.Injective f
⊢ MeasurableSet (Set.range f)
R : Type u_1
Semiring R
f : PowerSeries R
n : ℕ
⊢ (PowerSeries.trunc (n + 1) f).natDegree < n + 1
α : Type u
f : Equiv.Perm α
n : ℕ
⊢ (⇑f)^[n] = ⇑(f ^ n)
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
V2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
AddCommGroup V2
Module k V1
Module k V2
Semiring R
Module R V2
SMulCommClass k R V2
p : V2 × (V1 →ₗ[k] V2)
⊢ (AffineMap.toConstProdLinearMap R).symm p = p.2.toAffineMap + AffineMap.const k V1 p.1
α : Type u
DecidableEq α
n : ℕ
l : List α
f : Equiv.Perm α
e : α ≃ Fin n
_h : ∀ (x : α), f x ≠ x → x ∈ l
⊢ Equiv.Perm.signAux ((e.symm.trans f).trans e) = Equiv.Perm.signAux2 l f
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁷ : Semifield R
inst✝²⁶ : StarRing R
inst✝²⁵ : MetricSpace R
inst✝²⁴ : TopologicalSemiring R
inst✝²³ : ContinuousStar R
inst✝²² : Field S
inst✝²¹ : StarRing S
inst✝²⁰ : MetricSpace S
inst✝¹⁹ : TopologicalRing S
inst✝¹⁸ : ContinuousStar S
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁶ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁵ : StarRing A
inst✝¹⁴ : Module S A
inst✝¹³ : IsScalarTower S A A
inst✝¹² : SMulCommClass S A A
inst✝¹¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : IsScalarTower R S A
inst✝⁷ : StarModule R S
inst✝⁶ : ContinuousSMul R S
inst✝⁵ : CompleteSpace R
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝¹ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
a : A
hpa : p a
hqa : q a
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
inst✝ : CompactSpace ↑(σₙ S a)
⊢ cfcₙHom hpa = nonUnitalStarAlgHom (cfcₙHom hqa) h
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t
⊢ (range fun x => derivWithin f (Ici x) x) ⊆ closure ↑(Submodule.span ℝ (f '' t))
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
UniformSpace β
CompactSpace α
f : α → β
h : Continuous f
⊢ UniformContinuous f
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ici a ∩ Set.Iio b = Set.Ico a b
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
hP : P ∉ R[X]⁰
⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • P = 0
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f : α → β
CommMonoid β
DecidableEq α
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ ∏ x ∈ s₁ ∪ s₂, f x = (∏ x ∈ s₁, f x) * ∏ x ∈ s₂, f x
ι : Type u_3
α' : ι → Type u_4
(i : ι) → Top (α' i)
⊢ ⊤ = fun x => ⊤
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
⊢ (spectrum ℝ A).Finite
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
⊢ Function.Bijective DilationEquiv.symm
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape J ⥤ C
X : C
f : X ⟶ F.obj none
π : (j : J) → X ⟶ F.obj (some j)
w : ∀ (j : J), π j ≫ F.map (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape.Hom.term j) = f
j : CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape J
⊢ (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape.mkCone f π w).π.app j =
  match j with
  | none => f
  | some j => π j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
⊢ 0 ∉ map { toFun := succ, inj' := ⋯ } univ
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : IsCancelMul G
a b : G
h : ∀ (g : G), g ^ 2 = 1
⊢ Commute a b
α : Type u_2
CommSemiring α
s : Multiset (Multiset α)
⊢ (Multiset.map Multiset.sum s).prod = (Multiset.map Multiset.prod s.Sections).sum
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainTopCoeff (⇑α) β ≤ chainLength α β
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s : ι → Set (Set Ω)
h_indep : ProbabilityTheory.iIndepSets s μ
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ ProbabilityTheory.IndepSets (s i) (s j) μ
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : Semigroup α
inst✝² : IsCancelMul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ ∀ x ∈ s * {t.min' ht} ∩ ({s.max' hs} * t), x = s.max' hs * t.min' ht
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hf : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ ≤ M
hM : 0 ≤ M
h1 : ∀ w ∈ sphere z r, ‖((w - z) ^ 2)⁻¹ • f w‖ ≤ M / r ^ 2
h2 : ‖∮ (z_1 : ℂ) in C(z, r), ((z_1 - z) ^ 2)⁻¹ • f z_1‖ ≤ 2 * π * r * (M / r ^ 2)
⊢ 2 * π * r * M * r = M * (2 * π * r ^ 2)
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x✝ y : 𝕎 R
z : ℤ
x : 𝕎 R
⊢ mapFun (⇑f) (z • x) = z • mapFun (⇑f) x
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
⊢ 3 + 1 = 4
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)
r : 𝕜
⊢ ∫ (a : α), ⟪↑↑(r • f) a, ↑↑g a⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (a : α), (starRingEnd 𝕜) r • ⟪↑↑f a, ↑↑g a⟫_𝕜 ∂μ
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
⊢ UniformContinuous norm
k : Type u_1
Ring k
ι : Type u_4
DecidableEq ι
i j t : ι
hi : t ≠ i
hj : t ≠ j
⊢ Finset.weightedVSubVSubWeights k i j t = 0
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
b : β
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
⊢ limsup u f < b → ∀ᶠ (x : α) in f, u x < b
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : x ≤ z
⊢ y = z ⊔ y \ x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α →ₘ[μ] β
⊢ MeasureTheory.Integrable (↑f) μ ↔ f.Integrable
⊢ StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => f.IsIntegral
α : Type u_1
Preorder α
self : LocallyFiniteOrder α
a b x : α
⊢ x ∈ LocallyFiniteOrder.finsetIoo a b ↔ a < x ∧ x < b
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : LipschitzWith K f
⊢ ⇑(LipschitzWith.toLocallyBoundedMap f hf) = f
α : Type u_2
DecidableEq α
MulOneClass α
s : Finset α
t : Finset α
ht : 1 ∈ t
⊢ s ⊆ s * t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
g : F → G
n : ℕ∞
x : E
hg : ContDiffAt 𝕜 n g (f x)
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (g ∘ f) x
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ s ⊆ 0 ↔ s = 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k) * (P.ε * (↑(x ^ P.k))⁻¹) = 1
α : Type u_2
Preorder α
Add α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : NonemptyInterval α
⊢ (s + t).toProd.1 = s.toProd.1 + t.toProd.1
R : Type u_1
CommSemiring R
a₂ b₂ c : R
ea eb e : ℕ
x : R
⊢ ea + eb = e → a₂ * b₂ = c → x ^ ea * a₂ * (x ^ eb * b₂) = x ^ e * c
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
FirstCountableTopology ι
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
n : ι
h : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
⊢ MeasureTheory.stoppedValue f τ =ᵐ[μ.restrict {x | τ x = i}] μ[f n|hτ.measurableSpace]
α : Type u
inst✝¹ : EMetricSpace α
s✝ : Set α
inst✝ : CompleteSpace α
this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | (↑s).Nonempty ∧ IsCompact ↑s}
s : Closeds α
hs : s ∈ closure {s | (↑s).Nonempty ∧ IsCompact ↑s}
⊢ (↑s).Nonempty
A : Finset ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₁ : ε ≤ 1
n : ℕ := ⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1
⊢ ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t✝ : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A : Continuous fun t => x₀ + t • v
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
t : 𝕜
ht : ‖f (x₀ + t • v) - f x₀‖ ≤ C * (‖v‖ * ‖t‖)
⊢ ‖f (x₀ + t • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖t - 0‖
K : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited Λ
M : Λ → Stmt₂
S : Finset Λ
ss : Supports M S
l₁ : Λ
v : σ
T : (k : K) → List (Γ k)
c' : Cfg₂
h₁ : c' ∈ step M { l := some l₁, var := v, stk := T }
h₂ : SupportsStmt S (M l₁)
⊢ c'.l ∈ Finset.insertNone S
L : FirstOrder.Language
M : Type w'
L.Structure M
iM : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : Cardinal.lift.{w, max u v} L.card ≤ Cardinal.lift.{max u v, w} κ
h2 : Cardinal.lift.{w, w'} #M ≤ Cardinal.lift.{w', w} κ
⊢ ∃ N, Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
k : ℕ
⊢ (2 * ↑k + 1) / (2 * ↑k + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k) = (sin 0 ^ (2 * k + 1) * cos 0 - sin π ^ (2 * k + 1) * cos π) / (↑(2 * k) + 2) + (↑(2 * k) + 1) / (↑(2 * k) + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k)
G : Type u_1
inst✝⁷ : CommGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : CompactSpace G
inst✝ : RootableBy G ℤ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
f : G →* G := zpowGroupHom n
hf : Continuous ⇑f
this : (map (⇑f) μ).IsHaarMeasure
C : ℝ≥0∞ := ↑((map (⇑f) μ).haarScalarFactor μ)
⊢ map (fun g => g ^ n) μ = μ
n : ℕ+
⊢ Fintype.card ↥(rootsOfUnity n ℂ) = ↑n
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hz : ∀ i ∈ t, z i ∈ s
⊢ ∑ i ∈ t, w i • z i ∈ s
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
n : ℕ
⊢ spectralRadius 𝕜 a ≤ ↑‖a ^ (n + 1)‖₊ ^ (1 / (↑n + 1)) * ↑‖1‖₊ ^ (1 / (↑n + 1))
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
⊢ ∃ a, 1 < a.x ∧ 0 < a.y
α : Type u_1
Fintype α
elems : Finset α
complete : ∀ (x : α), x ∈ elems
⊢ Finset.univ = elems
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
f : M ≃ N
h : ∀ (x y : M), f.toFun (x + y) = f.toFun x + f.toFun y
⊢ { toEquiv := f, map_add' := h }.symm = { toEquiv := f.symm, map_add' := ⋯ }
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
W₁.ContainsIdentities
R : Φ.RightResolution X₂
⊢ (CategoryTheory.LocalizerMorphism.RightResolution.Hom.id R).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id R.X₁
x : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : 0 ≤ x.im
⊢ x.arg = Real.arcsin ((-x).im / Complex.abs x) + π
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
pₗ : Submodule R N
qₗ : Submodule R N₂
fₗ : N →ₗ[R] N₂
c : R
⊢ comap fₗ qₗ ≤ comap (c • fₗ) qₗ
H : Type u
TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
⊢ PartialHomeomorph.refl H ∈ G
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hs : s.Subsingleton
⊢ eVariationOn f s = 0
S : Type u_1
CommSemiring S
A : Type u_2
Semiring A
Algebra S A
B : Type u_3
Semiring B
Algebra S B
s : A → A → Prop
⊢ RingQuot.liftAlgHom S =
  { toFun := fun f' => RingQuot.preLiftAlgHom S ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (RingQuot.mkAlgHom S s), ⋯⟩,
    left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
h : s.pi t₁ ⊆ s.pi t₂
⊢ (s.pi t₁).Nonempty → ∀ i ∈ s, t₁ i ⊆ t₂ i
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
u v : α → 𝕜
h : u =o[l] v
⊢ u / v * v =ᶠ[l] u
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ₁ γ₂ : Path x y
⊢ ⇑γ₁ = ⇑γ₂ → γ₁ = γ₂
α : Type u_1
AddGroup α
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ SignType.sign (-a) = -SignType.sign a
M : Type u_2
AddCommMonoid M
f : ℕ → M
m n k : ℕ
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ioc m n, f i + ∑ i ∈ Finset.Ioc n k, f i = ∑ i ∈ Finset.Ioc m k, f i
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝 a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝 a) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[≠] a) l
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
d : m → α
M : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ (Matrix.diagonal d * M) i j = d i * M i j
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ
f g : α → ENNReal
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
⊢ (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
x : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
inst✝ : (i' : ι) → Decidable (i' ∈ {i})
j : ι
⊢ ((single i (x i)).piecewise (erase i x) {i}) j = x j
α : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
d : Dioph S
d' : Dioph S'
⊢ Dioph (S ∩ S')
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U✝ V✝ : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U✝
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V✝ ⟶ X
f' : V✝ ⟶ U✝
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
U V : Scheme
f₁ : U ⟶ pullback f g
f₂ : V ⟶ pullback f g
hU : IsAffine U
hV : IsAffine V
hf₁ : IsOpenImmersion f₁
hf₂ : IsOpenImmersion f₂
⊢ Q ((pullbackDiagonalMapIso f g f₁ f₂).hom ≫ pullback.mapDesc f₁ f₂ (pullback.snd f g))
k m n : Nat
⊢ k.Coprime (m * n) ↔ k.Coprime m ∧ k.Coprime n
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ ≃ᵐ ℝ
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
f' : ℝ → ℝ
hf' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑f) (f' x) x
g : ℝ → ℝ
hg : 0 ≤ᶠ[ae volume] g
hg_int : Integrable g volume
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |(ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' x)).det| * g (f x)) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * g (f x))
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
Mul β
ContinuousMul β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f * g) μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
F₁ : CategoryTheory.Discrete PEmpty.{w + 1} ⥤ C
F₂ : CategoryTheory.Discrete PEmpty.{w' + 1} ⥤ C
h : CategoryTheory.Limits.HasLimit F₁
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit F₂
F : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
r : outParam (α → α → Prop)
s : outParam (β → β → Prop)
FunLike F α β
self : RelHomClass F r s
f : F
a b : α
⊢ r a b → s (f a) (f b)
α : Type u_1
p : Set α
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ x ∈ p
Fintype ↑p
⊢ Fintype.card ↑p = s.card
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
ι : Sort u_2
U : ι → Set α
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hcover : K ⊆ ⋃ i, U i
ind : (x : α) → x ∈ K → ι
W : (x : α) → x ∈ K → Set (α × α)
hW : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), W x a ∈ 𝓤 α
hWU : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), ball x (W x a ○ W x a) ⊆ U (ind x a)
t : Finset ↑K
ht : K ⊆ ⋃ x ∈ t, ball (↑x) (W ↑x ⋯)
x : α
hx : x ∈ K
⊢ ∃ i, ball x (⋂ x ∈ t, W ↑x ⋯) ⊆ U i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ sq.op.f₁₃ = sq.f₃₄.op
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x✝ y✝ z a b : α
x y : ↑(Icc (a ⊓ b) a)
⊢ ↑x ⊔ b ≤ ↑y ⊔ b ↔ x ≤ y
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 d s x
hx : d x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x => c x / d x) s x = (derivWithin c s x * d x - c x * derivWithin d s x) / d x ^ 2