ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hs : s ∈ (if hUcard : U.card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card) then equitabilise ⋯ else equitabilise ⋯).parts
⊢ s.card = m ∨ s.card = m + 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
h₁ : Integrable f μ
h₂ : Integrable f ν
⊢ ↑‖∫ (x : α), f x ∂ν‖₊ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν
p q b : ℝ
hp : 0 < p
hq : -1 < q
hb : 0 < b
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi 0, x ^ q * rexp (-b * x ^ p) = b ^ (-(q + 1) / p) * (1 / p) * Real.Gamma ((q + 1) / p)
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
h3a : 3 ∣ a
HF : a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 0
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
hbc : IsCoprime (-b) (-c)
h3b : ¬3 ∣ b
⊢ False
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f : β → α
l : Filter β
a : α
h : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => min a (f i)) l (𝓝 a)
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ M.E.Nonempty ↔ M.Nonempty
R : Type u
M : Type v
N : Type w
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
self : QuadraticMap R M N
⊢ ∃ B, ∀ (x y : M), self.toFun (x + y) = self.toFun x + self.toFun y + (B x) y
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
ha : 0 < a
⊢ 0 ≤ ⌊a⌋
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
⊢ G.IsLocalization (W fun x => x ∈ Set.range F.obj)
s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hm : Squarefree m
hn : n ≠ 0
p : ℕ
⊢ p ∈ (m / m.gcd n).primeFactors ↔ p ∈ m.primeFactors \ n.primeFactors
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t
⊢ Computation.LiftRel Equiv (Computation.map (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct) (Computation.map (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) t.destruct)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T : Triangle Cᵒᵖ
⊢ T ∈ distinguishedTriangles ↔ Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T) ∈ distinguishedTriangles
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
B : Set (ι × α)
⊢ (Matroid.sum' M).Base B ↔ ∀ (i : ι), (M i).Base (Prod.mk i ⁻¹' B)
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)
⊢ ∃ i < n, ∃ j < n, (f i).gcd (f j) * n ≤ f i
⊢ ∃ α β x x_1, CompactSpace α ∧ T1Space β ∧ ∃ f, Continuous ⇑f ∧ ¬Continuous ⇑f.symm
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : AntivaryOn f g s
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (f • g)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]
⊢ ↑(x.appr n) - ↑(x.appr m) ∈ Ideal.span {↑p ^ m}
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ Set.univ), f i = ∏ᶠ (i : α), f i
α : Type u_2
L : List (List α)
i : ℕ
h : i < L.length
⊢ List.drop (List.take i (List.map List.length L)).sum
    (List.take (List.take (i + 1) (List.map List.length L)).sum L.join) =
  L[i]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r✝ C✝ : ℝ
f : ℕ → α
C : ℝ
u : ℕ → α
N : ℕ
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
v : ℕ → α := fun n => if n < N then 0 else u n
hC : 0 ≤ C
this : ∀ n ≥ N, u n = v n
⊢ ∀ (n : ℕ), ‖v n‖ ≤ ?m.158269 * r ^ n
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddMonoid M
ContinuousAdd M
s : AddSubmonoid M
⊢ IsClosed ↑s.topologicalClosure
J : Type w
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
inst✝ : Nonempty J
s : Trident f
W : C
k l : W ⟶ s.pt
h : k ≫ s.ι = l ≫ s.ι
⊢ k ≫ s.π.app one = l ≫ s.π.app one
a : ℝ≥0∞
h : a ≠ ⊤
n : ℕ
⊢ a ^ n ≠ ⊤
x : ℝ
⊢ 0 ≤ Real.cos (Real.arcsin x)
M : Type u_1
N : Type u_2
F : Type u_6
CommMonoid M
CommMonoid N
k : ℕ
ζ : M
f : F
FunLike F M N
MonoidHomClass F M N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ IsPrimitiveRoot (f ζ) k ↔ IsPrimitiveRoot ζ k
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n✝ : ℕ
δ : ℝ
n : ℕ
hm : 0 < m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ
⊢ (fun y => y ^ m) a ∈ approxOrderOf A n (↑m * δ)
C : Type u_1
C' : Type ?u.94612
D : Type u_2
D' : Type ?u.94618
H : Type u_3
H' : Type ?u.94624
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.94632, ?u.94612} C'
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁴ : Category.{?u.94640, ?u.94618} D'
inst✝³ : Category.{u_6, u_3} H
inst✝² : Category.{?u.94648, ?u.94624} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : RF.IsRightDerivedFunctor α W
this : RF.IsLeftKanExtension α
⊢ F.HasRightDerivedFunctor W
G : Type u_1
Group G
⊢ ∀ {x : Fintype G} {p : ℕ} [hp : Fact (Nat.Prime p)], Fintype.card G = p → ∀ {g g' : G}, g ≠ 1 → g' ∈ Subgroup.zpowers g
R : Type u_4
NormedRing R
CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
⊢ (1 - x) * ∑' (i : ℕ), x ^ i = 1
x✝ y x : ℝ
⊢ sin (arcsin x) / √(1 - x ^ 2) = x / √(1 - x ^ 2)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
U : Set (PrimeSpectrum R[X])
s : Set R[X]
z : zeroLocus s = Uᶜ
⊢ IsOpen (⋃ i, imageOfDf ↑i)
x y : ℂ
⊢ (∃ k, x = ↑k * ↑π * 2 + y) ↔ ∃ k, y = ↑k * ↑π * 2 + x
α : Type u_5
Monoid α
x y : α
⊢ Irreducible (x * y) → IsUnit x ∨ IsUnit y
G : Type w
TopologicalSpace G
Sub G
ContinuousSub G
a : G
⊢ Continuous fun x => x - a
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset β
a : α
⊢ a • s = ∅ ↔ s = ∅
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
huv : v ≤ᶠ[lt] u
t : ι
⊢ -(∫ (x : ℝ) in v t..u t, f x ∂μ - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • c) = ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ + (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
CategoryTheory.HasLeftDual X
⊢ (ᘁX)ᘁ = X
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
x : FreeMonoid (G ⊕ H)
⊢ mk (ofList (List.map (Sum.map Inv.inv Inv.inv) (toList x)).reverse) * mk x = 1
α : Type u_2
LT α
⊢ Set.univ.IsWF ↔ WellFounded fun x x_1 => x < x_1
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ Inf.inf = Inter.inter
G : Type u_3
Add G
IsLeftCancelAdd G
a : G
b c : G
⊢ a + b = a + c ↔ b = c
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
M' : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
⊢ map f N ≤ map f ⊤
w : Nat
x : BitVec w
n m : Nat
⊢ x <<< n <<< m = x <<< (n + m)
α : Type u
CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c : α
⊢ a ≤ b → a ≤ b * c
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
F : J ⥤ C
⊢ CategoryTheory.Limits.colim.obj F = CategoryTheory.Limits.colimit F
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set M
ChartedSpace H M
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
hc : ContinuousWithinAt f s x
⊢ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I] ↑(extChartAt I x) x =
  𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)] ↑(extChartAt I x) x
α : Type u_1
l : List α
i : Nat
h : i < l.length
⊢ l[i] :: List.drop (i + 1) l = List.drop i l
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelBiprodFstIso.inv =
  CategoryTheory.Limits.limit.lift (CategoryTheory.Limits.parallelPair CategoryTheory.Limits.biprod.fst 0)
    (CategoryTheory.Limits.biprod.fstKernelFork X Y)
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ s ⊆ s
a : UnitAddCircle
n : ℕ
⊢ sinZeta a (-2 * ↑n - 1) = 0
m : ℕ
n : ℕ∞
m.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat m = ↑n ↔ OfNat.ofNat m = n
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_2 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ n, {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
⊢ AnalyticSet (⋂ n, s n)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
h✝ : Nontrivial R
a✝ : Nontrivial S
this✝¹ : Algebra ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := (Algebra.adjoin ↥A ↑B).algebra
this✝ : SMul ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower R ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
⊢ Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
enc₀ : enc default = Vector.replicate n false
x✝ : Cfg₁
l₁ : Option Λ
v : σ
L R : ListBlank Γ
⊢ FRespects (step (tr enc dec M)) (trCfg enc enc₀) (trCfg enc enc₀ { l := l₁, var := v, Tape := Tape.mk' L R }) (step M { l := l₁, var := v, Tape := Tape.mk' L R })
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty C
j j' : C
f f' : j ⟶ j'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.IsCofiltered.eqHom f f') f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.IsCofiltered.eqHom f f') f'
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x y : P
⊢ x ∈ spanSingleton S y ↔ ∃ z, z • y = x
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Add α
s : ι → Set α
t : Set α
⊢ (⋂ i, s i) + t ⊆ ⋂ i, s i + t
R : Type u_1
Semiring R
P : Type u_2
AddCommMonoid P
Module R P
M : Type u_3
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_4
AddCommMonoid N
Module R N
h : Module.Projective R P
f : M →ₗ[R] N
g : P →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ ∃ h, f ∘ₗ h = g
n : ℕ
a✝ : ℕ × ℕ
⊢ a✝ ∈ divisorsAntidiagonal 1 ↔ a✝ ∈ {(1, 1)}
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a b : α
⊢ a ≠ b → a / b ≠ 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)).hom =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (𝟙_ C) X Y).inv ≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom (𝟙 Y)
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
r b : ↥R⁰
c : R_hat R K
h : a * ↑↑b = ↑c
⊢ a • Submodule.span (R_hat R K) {↑↑(r * b)} ≤ Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
⊢ Pairwise fun i j => ⟪(fun i => gramSchmidtNormed 𝕜 f ↑i) i, (fun i => gramSchmidtNormed 𝕜 f ↑i) j⟫_𝕜 = 0
M : Type u_1
AddSemigroup M
a : Stream' M
⊢ ∃ U, U + U = U ∧ ∀ᶠ (m : M) in ↑U, m ∈ Hindman.FS a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
a b : (i : ι) → α i
⊢ (Ico a b).card = ∏ i : ι, (Icc (a i) (b i)).card - 1
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
a a' : G
b : k
Decidable (a = a')
⊢ (AddMonoidAlgebra.single a b) a' = if a = a' then b else 0
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
⊢ xᶜ ≤ x ↔ x = ⊤
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder β
f : β → Finset α
h : Monotone f
h' : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ f n
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atTop
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
f : X → ℝ
m m0 : MeasurableSpace X
μ : Measure X
g : SimpleFunc X ℝ
hf : Integrable f μ
c : ℝ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const X c) (SimpleFunc.const X 0)) * f) μ
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul ℝ E
f : E → ℝ
a : E
h : IsLocalMin f a
⊢ lineDeriv ℝ f a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g : Equiv.Perm α
s t : Set α
h : Set.MapsTo (⇑g) s t
⊢ Set.MapsTo (⇑(g.extendDomain f)) (Subtype.val ∘ ⇑f '' s) (Subtype.val ∘ ⇑f '' t)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
this : Nontrivial 𝕜
h : ∃ l u, toIcoMod hp a x ∈ Ioo l u ∧ Ioo l u ⊆ s
⊢ ∃ u, (∃ l u_1, x ∈ Ioo l u_1 ∧ Ioo l u_1 ⊆ u) ∧ u ∩ Ici x ⊆ toIcoMod hp a ⁻¹' s
G : Type u
Group G
⊢ commutator G = Subgroup.closure (commutatorSet G)
G : Type u_1
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
MeasurableAdd G
μ.IsAddLeftInvariant
f : G → ENNReal
g : G
⊢ ∫⁻ (x : G), f (g + x) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ Continuous f ↔ ∀ (x : X), ContinuousAt f x
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
NormalSpace X
ParacompactSpace X
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
α : Type u_4
TopologicalSpace α
self : TopologicalSpace.IrreducibleCloseds α
⊢ IsIrreducible self.carrier
X Y : Grp
a : ↑X →* ↑Y
⊢ Grp.toAddGrp.map a = MonoidHom.toAdditive a
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ Int.fract a < 1
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
⊢ EuclideanGeometry.inversion = fun c R x => (R / dist x c) ^ 2 • (x -ᵥ c) +ᵥ c
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
H : AddSubgroup G
⊢ H ≤ AddSubgroup.comap f (AddSubgroup.map f H)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : F
hy : y ∈ B.polar s
⊢ ‖(B x) y‖ ≤ 1
α : Type u_2
self : MeasurableSpace.DynkinSystem α
⊢ self.Has ∅
m n : ℕ
hn : 0 < n
h : n < m
⊢ n ! < m !
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
f_zero : f 0 = 0
⊢ seminormFromBounded' f 0 = 0
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
⊢ lp.single p i (-a) = -lp.single p i a
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b a : K
⊢ 1 / a * -1 = -(1 / a)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ AnalyticSet ∅
α : Type u_1
rels : Set (FreeGroup α)
⊢ Subgroup.closure (Set.range PresentedGroup.of) = ⊤
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
⊢ (map N.subtype ↑P).normalizer ⊔ N = ⊤
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
b : AffineBasis ι 𝕜 E
i : ι
⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ ⇑(b.coord i)
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁ ∪ s₂).sup = s₁.sup ⊔ s₂.sup
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : Presieve.IsSheaf J F
hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
x : F.obj U
hx : x ∈ (sheafify J G).obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : (G.sieveOfSection x).arrows i
this : (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift (homOfLe h) hG') = (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe h)
⊢ F.map i.op x = F.map i.op ↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app U ⟨x, hx⟩)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f✝ g✝ : X → Y
f g : (i : ι) → π i
⊢ f ⤳ g ↔ ∀ (i : ι), f i ⤳ g i
R : Type u
CommSemiring R
n : ℕ
m : Fin n →₀ ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
⊢ MvPolynomial.coeff m (((MvPolynomial.finSuccEquiv R n) f).coeff i) = MvPolynomial.coeff (Finsupp.cons i m) f
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
i j : α
σ : Perm α
⊢ σ * swap i j * swap i j = σ
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι
f✝ g✝ : α✝ → β
mα : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
α : Type u_5
E : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : ContinuousAdd E
inst✝¹ : ContinuousNeg E
inst✝ : PseudoMetrizableSpace E
g f : α → E
hg : Measurable g
hf : StronglyMeasurable f
⊢ Measurable (g - f)
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
f : M₂ → M
h₁ : ∀ (x y : M₂), f (x + y) = f x + f y
h₂ : ∀ (m : S) (x : M₂), { toFun := f, map_add' := h₁ }.toFun (m • x) = σ' m • { toFun := f, map_add' := h₁ }.toFun x
h₃ : Function.LeftInverse ⇑e { toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }.toFun
h₄ : Function.RightInverse ⇑e { toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }.toFun
⊢ { toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂, invFun := ⇑e, left_inv := h₃, right_inv := h₄ } = e.symm
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ ContDiff 𝕜 (↑(n + 1)) f ↔ ∃ f', ContDiff 𝕜 (↑n) f' ∧ ∀ (x : E), HasFDerivAt f (f' x) x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ add' W f (L.map 0) = f
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
⊢ IsOpen e.source
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M (2 * k) = ⊥
m : M
⊢ (((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y) ^ k) m = 0 m
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
f : Module.End R M
⊢ CompleteLattice.Independent fun μ => ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ ¬s = ∅
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M'✝ : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
a b : R
x y : M
R' : Type u_8
M' : Type u_9
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
i : R' → R
j : M →+ M'
hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m
S : Finset ι
r' : ι → R'
H : ∑ i ∈ S, r' i • (⇑j ∘ v) i = 0
s : ι
hs : s ∈ S
⊢ r' s = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : PartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
A : (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I x) ∈ ↑I'.symm ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I'
this : ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑I'.symm) (↑I'.symm ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I') ((↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I x))
⊢ ↑I' ∘ (↑e' ∘ f) ∘ ↑I.symm = (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑I'.symm) ∘ ↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
r : R
⊢ r ∈ (Submodule.span R s).annihilator ↔ ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂
c₁ : α
c₁F : c₁ ∈ ↑F
c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁
c₂ : α
c₂F : c₂ ∈ ↑F
c₂J₂ : c₂ ∈ ↑J₂
⊢ a₁ ⊓ a₂ ∉ J
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →+* B
h : ∀ (c : R) (x : A), f (c • x) = c • f x
⊢ ⇑(AlgHom.mk' f h) = ⇑f
α : Type u
self : IdemSemiring α
a b : α
⊢ a + b = a ⊔ b
α : Type u_1
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ s ↔ s.boolIndicator x = true
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R ≃ₐ[R] MvPolynomial τ R
⊢ ⇑(MvPolynomial.comapEquiv f) = MvPolynomial.comap ↑f
α : Type u_2
One α
p : Prop
Decidable p
a b : α
LT α
ha : a < 1
hb : b < 1
⊢ (if p then a else b) < 1
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
a : G
ha : a ∈ H
⊢ orderOf ⟨a, ha⟩ = orderOf a