ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ Tendsto (fun b => dist ((μs b).testAgainstNN f) 0) F (𝓝 0)
α : Type u_2
M : Matroid α
Y : Set α
X : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ Y ⊆ M.closure X ↔ ∀ (F : Set α), M.Flat F → X ⊆ F → Y ⊆ F
R : Type u_1
NormedCommRing R
CompleteSpace R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) Filter.atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c : P
R : ℝ
x : P
⊢ EuclideanGeometry.inversion c R x -ᵥ c = (R / dist x c) ^ 2 • (x -ᵥ c)
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
AddMonoid ι
GradedMonoid.GMonoid A
x : GradedMonoid A
n : ℕ
⊢ (x ^ n).snd = GradedMonoid.GMonoid.gnpow n x.snd
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝³ : Unique Mˣ
inst✝² : Unique Nˣ
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ∈ normalizedFactors n
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} A
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A
G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B
adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B
inst✝ : J.HasSheafCompose F
⊢ ∀ (a : Cᵒᵖ ⥤ A), IsIso (G₂.map (whiskerRight (adj₁.unit.app a) F)) ↔ IsIso ((sheafComposeNatTrans J F adj₁ adj₂).app a)
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
R : Type u_5
SMulZeroClass R β
ContinuousConstSMul R β
r : R
f : α →C_c β
⊢ ⇑(r • f) = r • ⇑f
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
i j : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ HomogeneousLocalization.mk (i + j) = HomogeneousLocalization.mk i + HomogeneousLocalization.mk j
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R
⊢ finrank R ↥(LinearMap.range (A.mulVecLin ∘ₗ B.mulVecLin)) ≤ finrank R ↥(LinearMap.range A.mulVecLin)
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
m : M
ContinuousMul M
f : ℕ → M
k : ℕ
h : HasProd (fun n => f (n + k)) m
⊢ HasProd f ((∏ i ∈ Finset.range k, f i) * m)
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
h : FreeAddGroup.Red L₁ L₂
⊢ L₂.length ≤ L₁.length
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).inv g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)).inv
    (CategoryTheory.Bicategory.associator (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) f g).inv
ι : Type u_1
I J : Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ
i : ι
hs : i ∉ s
⊢ y i ∈ Set.Ioc (I.lower i) ((I.lower i + I.upper i) / 2) ↔ y i ∈ Set.Ioc (I.lower i) (I.upper i) ∧ y i ≤ (I.lower i + I.upper i) / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a : α
⊢ l.toFinset = l'.toFinset ↔ l.dedup ~ l'.dedup
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
⊢ toIcoMod hp a (b + c) = toIcoMod hp (a - c) b + c
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.20343, u_1} A
J : GrothendieckTopology C
S : C
E : J.OneHypercover S
i₁ i₂ : E.I₀
inst✝ : HasPullback (E.f i₁) (E.f i₂)
⊢ E.sieve₁' i₁ i₂ ∈ J.sieves (Limits.pullback (E.f i₁) (E.f i₂))
x : ℝ
h₁ : (2 * cos (π / 3) - 1) ^ 2 * (2 * cos (π / 3) + 2) = 0
h : 2 * cos (π / 3) + 2 = 0
⊢ cos (π / 3) = 1 / 2
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
f : V →ₗᵢ[𝕜] V₂
⊢ f.toAffineIsometry.toAffineMap = f.toAffineMap
V : Type u
G : SimpleGraph V
C : G.ConnectedComponent
v : V
⊢ v ∈ C.supp ↔ G.connectedComponentMk v = C
⊢ |Real.log 2 - 287209 / 414355| ≤ 1 / 10 ^ 10
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
⊢ P
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x y : K
⊢ spanSingleton R₁⁰ x / spanSingleton R₁⁰ y = spanSingleton R₁⁰ (x / y)
b n : ℕ
⊢ Nat.log b n = 1 ↔ n < b * b ∧ 1 < b ∧ b ≤ n
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ (∫ (t : ℝ) in Ioi 0, -(↑t ^ ((s + 1) / 2 - 1) • ↑(sinKernel a t))) / 2 = -((∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ ((s + 1) / 2 - 1) • ↑(sinKernel a t)) / 2)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
⊢ Filter.Tendsto f (Filter.coLindelof X) (Filter.coLindelof Y)
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapb : ∃ k₁, k₁ ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
hcpd : ∃ k₂, k₂ ≠ 1 ∧ d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)
q : P
r : ℝ
h' : ∀ p ∈ {a, b, c, d}, dist p q = r
ha : dist a q = dist b q
hb : dist b q = r
hc : dist c q = dist d q
hd : dist d q = r
⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
AddZeroClass α
AddZeroClass β
⊢ Function.Injective OrderAddMonoidHom.toAddMonoidHom
α : Type u_2
Preorder α
⊢ 𝓝 Filter.atBot = ⨅ x, 𝓟 (Set.Iic (𝓟 (Set.Iic x)))
ι : Type uι
inst✝¹⁰ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
u : E i →L[𝕜] E' i
⊢ ↑u = ↑(update f i u i) ∧ ∀ (x : ι), x ≠ i → ↑(f x) = ↑(update f i u x)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).hom g =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) f g).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)).hom
n : ℕ
α : Type u
p : Fin n → Type u
τ : Type u
f : Function.FromTypes (Matrix.vecCons α p) τ
a : α
args : (i : Fin n) → p i
⊢ f.uncurry (Fin.cons a args) = (f a).uncurry args
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ (p * q).coeff (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree) ≠ 0
b : Prop
l : List Prop
h : ∀ (a : Prop), a ∈ l → (a ↔ b)
⊢ l.TFAE
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : MulAction R M
inst✝² : SMul S R
inst✝¹ : SMul S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
p : SubMulAction R M
s : S
x : M
h : x ∈ p
⊢ (s • 1) • x ∈ p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
self : F.ReflectsIsomorphisms
A B : C
f : A ⟶ B
CategoryTheory.IsIso (F.map f)
⊢ CategoryTheory.IsIso f
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
s : Finset α
⊢ G.IsNClique 0 s ↔ s = ∅
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
l : ι → Filter α
hd : Pairwise (Disjoint on l)
s : ⦃i : ι⦄ → ⦃j : ι⦄ → { s // s ∈ l i }
t : ⦃i : ι⦄ → ⦃j : ι⦄ → { t // t ∈ l j }
hst : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → Disjoint ↑s ↑t
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ (Disjoint on fun i => ⋂ j, ↑s ∩ ↑t) i j
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
hb : b ∈ s
⊢ eVariationOn f (s ∩ Icc a b) + eVariationOn f (s ∩ Icc b c) = eVariationOn f (s ∩ Icc a c)
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ 1 ≤ a * b⁻¹ ↔ b ≤ a
a b c : ℕ
hac : a ≤ c
⊢ Finset.image (fun x => c - x) (Finset.Ico a b) = Finset.Ico (c + 1 - b) (c + 1 - a)
x y : Nat
⊢ max x.pred y.pred = (max x y).pred
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂ (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
w₃ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 3 4 ⋯ ⋯) app₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₃ (g.map' 3 4 ⋯ ⋯)
w₄ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 4 5 ⋯ ⋯) app₅ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₄ (g.map' 4 5 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₅ app₀ app₁ app₂ app₃ app₄ app₅ w₀ w₁ w₂ w₃ w₄).app ⟨5, ⋯⟩ = app₅
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f.op
⊢ CategoryTheory.IsIso f
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A
⊢ f ∈ ↑(vanishingIdeal t) ↔ f ∈ {f | ∀ x ∈ t, f ∈ x.asHomogeneousIdeal}
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
⊢ (∃ k, LieModule.lowerCentralSeries R L M k = ⊥) ↔ ∃ k, ucs k ⊥ = ⊤
α : Type u_1
Monoid α
a b : α
⊢ Irreducible (a * b) ↔ Irreducible a ∧ IsUnit b ∨ Irreducible b ∧ IsUnit a
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsLocalMinOn f s a
hs : s ∈ 𝓝 a
⊢ IsLocalMin f a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂') = i₁₂
⊢ K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.X i₁).d i₂ i₂' ≫ K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂' i₁₂ h'
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → α
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
⊢ Filter.limsup (fun n => (Set.preimage f)^[n] s) Filter.atTop =ᵐ[μ] s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ f : ℂ → E
z : ℂ
a b : ℝ
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
ha : ∀ z ∈ re ⁻¹' {0}, ‖f z‖ ≤ a
hb : ∀ z ∈ re ⁻¹' {1}, ‖f z‖ ≤ b
this : ‖interpStrip f z‖ ≤ sSupNormIm f 0 ^ (1 - z.re) * sSupNormIm f 1 ^ z.re
⊢ sSupNormIm f 0 ^ (1 - z.re) * sSupNormIm f 1 ^ z.re ≤ a ^ (1 - z.re) * b ^ z.re
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
j : ι
w : ι → kˣ
⊢ AffineIndependent k fun i => (AffineMap.lineMap (p j) (p i)) ↑(w i)
f : Char → Bool
s : Substring
⊢ s.Valid → s.all f = s.toString.data.all f
V : Type u
a b : Quiver.Empty V
⊢ (a ⟶ b) = PEmpty.{u}
G : Type u_1
Group G
x : G
p : ↥(Subgroup.zpowers x) → Prop
⊢ (∀ (g : ↥(Subgroup.zpowers x)), p g) ↔ ∀ (m : ℤ), p ⟨x ^ m, ⋯⟩
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.toCyclesNatTrans C).app S = S.toCycles
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝¹ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
hdet : w * z = (x * y).succPNat
hdet' : ↑w * ↑z = x * y + 1
x✝ : u.v = (↑a, ↑b)
hv : (↑a' * ↑d, ↑b' * ↑d) = (↑a, ↑b)
ha'' : ↑a = ↑a' * ↑d
hb'' : ↑b = ↑b' * ↑d
hza' : ↑z * ↑a' = x * ↑b' + 1
⊢ z * a' = (x * ↑b').succPNat ∧ w * b' = (y * ↑a').succPNat ∧ ↑z * ↑a = x * ↑b + ↑d ∧ ↑w * ↑b = y * ↑a + ↑d
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
a : β
s : Finset β
x✝ : a ∉ s
ih : (s ∪ s₂).gcd f = GCDMonoid.gcd (s.gcd f) (s₂.gcd f)
⊢ (insert a s ∪ s₂).gcd f = GCDMonoid.gcd ((insert a s).gcd f) (s₂.gcd f)
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
b : Bicone f
hb : b.IsBilimit
j : J
j' : Discrete J
⊢ (ι f j ≫ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (isLimit f)).inv) ≫ b.toCone.π.app j' = (ι f j ≫ desc b.ι) ≫ b.toCone.π.app j'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Subobject.pullback f).obj ⊤ = ⊤
n : Type u_3
R : Type u_7
Fintype n
DecidableEq n
NonUnitalNonAssocSemiring R
v : n → R
j : n
x : R
⊢ Pi.single j x ᵥ* Matrix.diagonal v = Pi.single j (x * v j)
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : (a : α) → β a → Type u_3
inst✝ : (x : α) → (y : β x) → OmegaCompletePartialOrder (γ x y)
c : Chain ((x : (a : α) × β a) → γ x.fst x.snd)
x : α
y : β x
⊢ ωSup (c.map (evalOrderHom ⟨x, y⟩)) = ωSup (((c.map (monotoneCurry α β γ)).map (evalOrderHom x)).map (evalOrderHom y))
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized
hm : m.Sized
hr : r.Sized
⊢ (l.node3R x m y r).Sized
α : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid α
s : Set α
hpos : ∀ x ∈ s, 0 ≤ x
h : s.IsPWO
⊢ (↑(AddSubmonoid.closure s)).IsPWO
α : Type u
β : Type v
as : List α
⊢ as.zipLeft' [] = (List.map (fun a => (a, none)) as, [])
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
⊢ ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
x v : E
f' : F
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f (c • f') x (c • v) ↔ HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
n : ℕ
c d : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun x => c * x ^ n) Filter.atTop (𝓝 d) ↔ n = 0 ∧ c = d
α : Type u_1
NormedLatticeAddCommGroup α
⊢ Continuous negPart
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
y : L
hy : ∃ y_1, (∃ a, a • x = y_1) ∧ ∃ z ∈ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule, y_1 + z = y
⊢ ∃ t, ∃ z ∈ I, y = t • x + z
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ K ⊓ Kᗮ → x ∈ ⊥
M : Type u_1
Mul M
s : Subsemigroup M
x : M
⊢ x ∈ s.carrier ↔ x ∈ s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
A' : ι → F
h : ∀ i ∈ u, HasStrictDerivAt (A i) (A' i) x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
MeasurableSingletonClass β
s : Set β
Decidable (g a ∈ s)
⊢ ∫⁻ (x : β) in s, f x ∂(ProbabilityTheory.Kernel.deterministic g hg) a = if g a ∈ s then f (g a) else 0
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ Function.Surjective ⇑e
ι : Type u_1
α : Type u_4
DivisionSemiring α
TopologicalSpace α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
a : α
T2Space α
⊢ ∑' (x : ι), a * f x = a * ∑' (x : ι), f x
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x✝ y : α
m n : ℕ
x : α
⊢ x ∈ ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), ptsOfPeriod f n ↔ x ∈ periodicPts f
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
⊢ x ∈ RingHom.ker toZMod ↔ x ∈ maximalIdeal ℤ_[p]
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝
s s₁ s₂ t : Set α✝
α : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Set α
hm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
hf : ∃ i, μ (f i) ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun i => μ (⋂ j ∈ {j | j ≤ i}, f j)) atTop (𝓝 (⨅ i, μ (⋂ j, ⋂ (_ : j ≤ i), f j)))
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
m : MeasureTheory.Measure α
f : α → MeasureTheory.Measure β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : Measurable f
⊢ (m.bind f) s = ∫⁻ (a : α), (f a) s ∂m
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
ht : IsOpen t
h't : IsPreconnected t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasDerivAt (g n) (g' n y) y
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun n => g n y₀
hy : y ∈ t
⊢ HasDerivAt (fun z => ∑' (n : α), g n z) (∑' (n : α), g' n y) y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s s' : Set β
h : s ⊆ s'
⊢ κ.density ν a x s ≤ κ.density ν a x s'
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = n + 1)
⊢ ContMDiff 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) ⊤ Subtype.val
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
R : ℝ≥0
c : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (Metric.closedBall c ↑R)
hd : ∀ z ∈ Metric.ball c ↑R \ s, DifferentiableAt ℂ f z
hR : 0 < R
⊢ HasFPowerSeriesOnBall f (cauchyPowerSeries f c ↑R) c ↑R
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : R1Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => closure (compactCovering β n) ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β) in s, f x ∂μ))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β
⊢ (⋃ i, ⋃ j, s i j) ×ˢ t = ⋃ i, ⋃ j, s i j ×ˢ t
α : Type u
Semiring α
s : Set α
⊢ Ideal.span s = ⊥ ↔ ∀ x ∈ s, x = 0
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det f ≠ 0
⊢ Measure.map (⇑f) volume = ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • volume
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
Preorder ι
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : ProbabilityTheory.iIndepSet s μ
i : ι
⊢ ProbabilityTheory.Indep (MeasurableSpace.generateFrom {s i}) (MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ j < i, s j = t}) μ
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ (CompHaus.pullback.cone f g).pt = CompHaus.pullback f g
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set M
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
t : Finset ↑s
⊢ LinearIndependent R fun i => ↑i
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg pkg' : AbstractCompletion α
⊢ pkg.compare pkg' ∘ pkg'.compare pkg = id
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
hj : c.next i = j
h : K.d i j = 0
K.HasHomology i
⊢ K.homologyι i ≫ (K.isoHomologyι i j hj h).inv = 𝟙 (K.homology i)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsIntegral X
U : X.Opens
Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
⊢ Function.Injective ⇑(X.germToFunctionField U)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg : ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ) μ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ) μ
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
⊢ (fun t => f t * g (x - t)) ≤ fun t => f t * g' (x - t)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.HasForget₂ C Ab
CategoryTheory.Preadditive C
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).Additive
(CategoryTheory.forget₂ C Ab).PreservesHomology
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ Function.Injective ⇑((CategoryTheory.forget₂ C Ab).map f)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
⊢ ∃ n, upperCrossingTime a b f N n ω = N
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_3
Semiring k
AddMonoid G
Semiring R
f g : AddMonoidAlgebra k G →+* R
h₀ : ∀ (b : k), f (AddMonoidAlgebra.single 0 b) = g (AddMonoidAlgebra.single 0 b)
h_of : ∀ (a : G), f (AddMonoidAlgebra.single a 1) = g (AddMonoidAlgebra.single a 1)
⊢ f = g