ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfi : IntegrableOn f s μ
hg : StronglyMeasurable g
hgi : IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h_meas_nonneg_g : MeasurableSet {x | 0 ≤ g x}
h_meas_nonneg_f : MeasurableSet {x | 0 ≤ f x}
h_meas_nonpos_g : MeasurableSet {x | g x ≤ 0}
h_meas_nonpos_f : MeasurableSet {x | f x ≤ 0}
⊢ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ g x}, g x ∂μ.restrict s ≤ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ.restrict s
U : Type u_1
Quiver U
Quiver.HasInvolutiveReverse U
u : U
e : Quiver.Costar u
⊢ ((Quiver.starEquivCostar u).symm e).fst = e.fst
G : Type u_1
AddGroup G
t t' : TopologicalSpace G
tg : TopologicalAddGroup G
tg' : TopologicalAddGroup G
h : 𝓝 0 = 𝓝 0
⊢ t = t'
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ { a := 1, b := -W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ ^ 2 - W.a₁ * W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ + W.a₂, c := 2 * x₁ * W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ ^ 2 + (W.a₁ * x₁ - 2 * y₁ - W.a₃) * W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ + (-W.a₁ * y₁ + W.a₄), d := -x₁ ^ 2 * W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ ^ 2 + (2 * x₁ * y₁ + W.a₃ * x₁) * W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ - (y₁ ^ 2 + W.a₃ * y₁ - W.a₆) } = { a := 1, b := -(x₁ + x₂ + W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)), c := x₁ * x₂ + x₁ * W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) + x₂ * W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂), d := -(x₁ * x₂ * W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) }
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
⊢ f.opensFunctor.obj ((TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj U) = f.opensRange ⊓ U
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a
⊢ Order.succ a ≤ b ↔ a < b
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
⊢ f.graph ≤ g.graph
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
motive : ℤ → Prop
zero : motive 0
one : motive 1
add_two : ∀ (n : ℕ), motive (↑n + 1) → motive ↑n → motive (↑n + 2)
neg_add_one : ∀ (n : ℕ), motive (-↑n) → motive (-↑n + 1) → motive (-↑n - 1)
n : ℕ
hn : motive (-↑n)
hnm : motive (-↑n + 1)
⊢ motive (Int.negSucc n)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
s : ι → Set X
x : X
h : (𝓝 x).HasBasis p s
⊢ ⋂ i, ⋂ (_ : p i), s i = {x}
l : List Bool
hl : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
h2 : Even l.length
b : Bool
⊢ 2 * List.count b l = l.length
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
p : ι → Prop
hc : ∀ (i : ι), p i → Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
⊢ Continuous fun x => ∏ᶠ (i : ι) (_ : p i), f i x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
this✝ : SigmaFinite ((μ.singularPart ν).withDensity f)
this : SigmaFinite ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f)
⊢ ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f + (μ.singularPart ν).withDensity f).rnDeriv ν
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
⊢ (-o).rotation θ = o.rotation (-θ)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
W : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} W
CategoryTheory.Preadditive W
F : V ⥤ W
F.Additive
h : HomotopyEquiv C D
⊢ (F.mapHomotopyEquiv h).homotopyInvHomId = ⋯.mpr (⋯.mpr (F.mapHomotopy h.homotopyInvHomId))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w✝ w₁✝ w₂✝ : ι → k
p✝ : ι → V
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
x✝ : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
⊢ (affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k {(affineCombination k s p) w₁, (affineCombination k s p) w₂} ↔ ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₂ i - w₁ i) + w₁ i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
t : Finset α
h : s ∩ mulSupport f = ↑t ∩ mulSupport f
x : α
hxf : f x ≠ 1
⊢ x ∈ s ↔ x ∈ t
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : DecidableEq p
inst✝⁵ : DecidableEq q
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : Fintype q
inst✝ : Fintype l
h : (PD l R)ᵀ * JD l R = fromBlocks 1 1 1 (-1)
⊢ (PD l R)ᵀ * JD l R * PD l R = 2 • S l R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
⊢ T_gen p F a = ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
gp_n : Pair K
s_nth_eq : (of v).s.get? n = some gp_n
⊢ ∃ ifp, IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp ∧ ↑ifp.b = gp_n.b
α : Type u_1
Max α
b : α
⊢ max none (some b) = some b
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
δ : ℝ
⊢ Convex ℝ (Metric.cthickening δ s)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f : α → M
a b c : α
⊢ ∏ x ∈ Ico a b, f (c + x) = ∏ x ∈ Ico (a + c) (b + c), f x
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring R
A✝ : Type v
inst✝⁸ : Semiring A✝
inst✝⁷ : Algebra R A✝
S T : Set A✝
M N P Q : Submodule R A✝
m n : A✝
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : Algebra B C
inst✝ : IsScalarTower A B C
I J : Submodule B C
⊢ restrictScalars A I * restrictScalars A J ≤ restrictScalars A (I * J)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
e : α → β
de : DenseEmbedding e
⊢ Embedding e
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Sub G
self : MeasurableSub G
c : G
⊢ Measurable fun x => x - c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ 2 = 0 ∨ re ⟪x, y⟫_ℝ = 0 ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
m : ℕ
hm : m < Nat.find ⋯
⊢ ¬MeasureTheory.SignedMeasure.ExistsOneDivLT s i m
α : Type u
β : Type v
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : β →o α
g : α →o β
⊢ f (OrderHom.gfp (g.comp f)) = OrderHom.gfp (f.comp g)
n : ℕ
s : Finset ℕ
hsub : s ⊆ n.properDivisors
⊢ ∑ x ∈ s, x = ∑ x ∈ n.properDivisors, x → s = n.properDivisors
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hX : Memℒp X 2 μ
hXint : ∫ (x : Ω), X x ∂μ = 0
⊢ Integrable (fun ω => X ω ^ 2) μ
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p q : α → Prop
hp : Measurable p
hq : Measurable q
⊢ Measurable fun a => p a ↔ q a
α : Type u_1
Monoid α
a : α
⊢ Associates.mk a = 1 ↔ IsUnit a
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
ha : a ∈ s
sne : s.Nonempty
⊢ ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Monotone Submodule.toAddSubmonoid
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
hd : p.degree = q.degree
hp0 : p ≠ 0
hlc : p.leadingCoeff = q.leadingCoeff
⊢ (p - q).degree < p.degree
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Prop
s : Finset α
hP : ∀ ⦃s t : Finset α⦄, P s → s ⊆ t → P t
x✝ : P s
h : ∀ ⦃y : Finset α⦄, P y → y ⊆ s → s = y
x : α
hx : x ∈ s
hxs : P (s.erase x)
⊢ False
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
MetricSpace X
MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x y : X ⊕ Y
⊢ Metric.glueDist Ψ Φ ε x.swap y.swap = Metric.glueDist Φ Ψ ε x y
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
g : M →ₗ[R] M
f : (M →ₗ[R] M)ˣ
⊢ (trace R M) (↑f * g * ↑f⁻¹) = (trace R M) g
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
⊢ 1 < a / b ↔ 0 < b ∧ b < a ∨ b < 0 ∧ a < b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : β →o α
g : α →o β
h : α →o α →o α
a : α := lfp (lfp.comp h)
⊢ (lfp.comp h) (lfp h.onDiag) ≤ lfp h.onDiag
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₃
σ : R →+* S
F : Type u_17
inst✝¹ : FunLike F M M₃
inst✝ : SemilinearMapClass F σ M M₃
f g : F
h : ↑f = ↑g
⊢ ∀ (x : M), f x = g x
G : Type u_7
Group G
L : List G
⊢ L.reverse.prod = (List.map (fun x => x⁻¹) L).prod⁻¹
α : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq α
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : MulZeroOneClass R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : MulZeroOneClass S
inst✝¹ : DecidableEq S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →*₀ S
hf : Function.Injective ⇑f
x : WithTop R
this : ∀ (z : WithTop R), map (⇑f) z = 0 ↔ z = 0
hx : x ≠ 0
⊢ { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (x * 0) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun x * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun 0
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.map f) ((MvPolynomial.bind₁ g) φ) =
  (MvPolynomial.bind₁ fun i => (MvPolynomial.map f) (g i)) ((MvPolynomial.map f) φ)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
p q : α → Prop
x : α
⊢ {x | x ∈ s ∧ p x} = ∅ ↔ ∀ x ∈ s, ¬p x
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Finset α
⊢ a ∈ stabilizer G ↑s ↔ a • ↑s ⊆ ↑s
R S : Type u
CommRing R
CommRing S
M : Submonoid R
R' : Type u
CommRing R'
Algebra R R'
Algebra R' S
Algebra R S
IsScalarTower R R' S
IsLocalization M R'
s : Set S
x : S
hx : x ∈ Algebra.adjoin R' s
⊢ ∃ t, t • x ∈ Algebra.adjoin R s
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : DiscreteTopology β
hA : VanishingDiam A
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
n : ℕ
hn : ∀ y ∈ A (res x n), ∀ z ∈ A (res x n), dist y z < ε
⊢ ∃ t, (∀ y ∈ t, dist ((inducedMap A).snd y) ((inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩) < ε) ∧ IsOpen t ∧ ⟨x, hx⟩ ∈ t
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
hy : y ∈ ⨆ x, weightSpace M (↑x • α + χ)
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b : Ordinal.{u}
h : a ≤ b
a' : Ordinal.{u}
h' : a' < a
⊢ ∃ b_1 < b, f (lfpApprox f x b_1) = f (lfpApprox f x a')
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q n a : ℕ
ha : n = a + q
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.hσ' q n (n + 1) ⋯ = (-1) ^ a • X.σ ⟨a, ⋯⟩
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hf : IntegrableOn f (↑I) μ
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
⊢ HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)
R : Type u
CommRing R
X : CoalgebraCat R
⊢ X.toComonObj.comul = ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
⊢ ∫⁻ (a : α), f a * r ∂μ = (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) * r
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, 0 < 1 - AkraBazziRecurrence.smoothingFn x
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
⊢ Filter.Tendsto (⇑e) Filter.atTop Filter.atTop
S : Finset Λ'
q : Λ'
K : Finset Λ'
H₁ : Λ'.Supports S q
H₂ : trStmts₁ q ∪ K ⊆ S
H₃ : K ⊆ S → Supports K S
⊢ Supports (trStmts₁ q ∪ K) S
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
f : X ⟶ Y
W.ContainsIdentities
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.ofHom W f).f = f
n : ℕ
⊢ HasDerivAt Gamma (↑n ! * (-↑γ + ↑(harmonic n))) (↑n + 1)
M✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M✝
a : M✝
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
s : Set M
x : M
hx : x ∈ closure s
⊢ ∃ l, (∀ y ∈ l, y ∈ s) ∧ l.prod = x
n : ℕ
NeZero n
⊢ default = 0
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f g : X ⟶ Y
hfg : f = g
x x' : ↑↑X.toPresheafedSpace
hxx' : x = x'
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap f x ≫ X.presheaf.stalkSpecializes ⋯ =
  Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯ ≫ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap g x'
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
a : A
r : R
ha : (aeval a) p = 0
⊢ Commute ((algebraMap R A) r) a
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α
⊢ (l.set n a)[n]? = (fun x => a) <$> l[n]?
α : Type u
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
p : α → Prop
DecidablePred p
h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x
⊢ Equiv.Perm.sign (f.subtypePerm h₁) = Equiv.Perm.sign f
R : Type u
S : Type v
A : Type w
Semifield R
StarRing R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
Semifield S
StarRing S
TopologicalSpace S
TopologicalSemiring S
ContinuousStar S
Ring A
StarRing A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
StarModule R S
ContinuousSMul R S
a : A
φ : C(↑(spectrum S a), S) →⋆ₐ[S] A
f : C(S, R)
h : SpectrumRestricts a ⇑f
⊢ ∀ (a_1 : C(↑(spectrum R a), R)),
  (SpectrumRestricts.starAlgHom φ h) a_1 =
    φ
      ({ toFun := ⇑(StarAlgHom.ofId R S), continuous_toFun := ⋯ }.comp
        (a_1.comp { toFun := Subtype.map ⇑f ⋯, continuous_toFun := ⋯ }))
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
⊢ lift.{v, max u v} (lift.{u, v} #↑s) ≤ lift.{max u v, v} #↑s
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing R
p q : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hp : ¬IsUnit p
h : 0 ≥ p.degree
⊢ False
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence
M : Type u_1
L.Structure M
M ⊨ T
Nonempty M
⊢ M ⊨ φ ↔ T ⊨ᵇ φ
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield K
p✝ q✝ p q : ℚ≥0
h : p < q
⊢ 0 < ↑p.den
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ cyclesMap' (-φ) h₁ h₂ = -cyclesMap' φ h₁ h₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ (∀ b ∈ Multiset.map f s.val, a ∣ b) ↔ ∀ b ∈ s, a ∣ f b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
NormedAddCommGroup E
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
NormedSpace ℝ E
f g : β × γ → E
hf : MeasureTheory.Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : MeasureTheory.Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) + g (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a =
  ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a + ∫ (x : β), ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
α : Type u_1
l : List α
⊢ l ⊆ [] ↔ l = []
α : Type u_2
AddGroup α
s t : Set α
⊢ Nat.card ↑(s - t) ≤ Nat.card ↑s * Nat.card ↑t
P : Type u_1
Preorder P
p : P
ι : Type u_2
Encodable ι
𝒟 : ι → Order.Cofinal P
⊢ p ∈ Order.idealOfCofinals p 𝒟
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
i j : n
Fintype n
a b : n
ha : a ≠ i
c : R
M : Matrix n n R
⊢ (Matrix.transvection i j c * M) a b = M a b
R : Type u_1
CommRing R
iic : IsIntegrallyClosed R
K : Type u_3
CommRing K
Algebra R K
ifr : IsFractionRing R K
⊢ integralClosure R K = ⊥
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
K.HasHomology j
(K.sc' i j k).HasHomology
⊢ (K.cyclesIsoSc' i j k hi hk).hom ≫ (K.sc' i j k).iCycles = K.iCycles j
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
x y : α
⊢ (const y - const x).Pos ↔ x < y
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
l : ℕ
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : ι → ι → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s t : Finset ι
x : 𝕜
hst : s ⊆ t
f : ι → 𝕜
d : 𝕜
hx : 0 ≤ x
hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|
ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
hscard : 0 < ↑s.card
⊢ d + ↑s.card / ↑t.card * x ^ 2 ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) / ↑t.card
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
⊢ essSup (fun x => a * f x) μ = a * essSup f μ
α : Type u
a : α
s t : Set α
h : a ∉ s
⊢ s ∩ insert a t = s ∩ t
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ ν : ProbabilityMeasure Ω
h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → μ s = ν s
s : Set Ω
s_mble : MeasurableSet s
⊢ ↑μ s = ↑ν s
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
m : Matrix n n R[X]
i j : n
k : ℕ
hk : (matPolyEquiv m).coeff k = 0
⊢ 0 i j = 0
α : Type u
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ Stream'.drop n.succ s = Stream'.drop n s.tail
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))
y : ↑((restrictScalars f).obj Y)
⊢ ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') (s' ⊗ₜ[R] y) = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) (s' ⊗ₜ[R] y)
n : ℕ+
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis =
  Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a) + ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a))) < 2 ^ n * 2
⊢ ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a)) < 2 ^ n
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
⊢ Metric.ball c r ⊆ (PartialHomeomorph.univBall c r).target
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
s_nhd : s ∈ 𝓝 0
a : 𝕜
ha : 1 < ‖a‖
⊢ IsBounded (polar 𝕜 s)
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ Multiset.map id s = s
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
Module.Free R M
⊢ Module.rank R (TensorAlgebra R M) = Cardinal.lift.{uR, uM} (Cardinal.sum fun n => Module.rank R M ^ n)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : ∀ (n : ℕ), (derivative f).coeff n = coeff 0 n
hf : f ≠ 0
f_nat_degree_pos : 0 < f.natDegree
m : ℕ := f.natDegree - 1
hm : m + 1 = f.natDegree
h2 : m + 1 = 0 ∨ f.coeff (m + 1) = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq β
i j : α
⊢ (Equiv.swap i j).sumCongr 1 = Equiv.swap (Sum.inl i) (Sum.inl j)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
⊢ ↑(hf.stieltjesFunction a) x ≤ 1
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
⊢ f.IsCycle → f x ≠ x → f y ≠ y → ∃ i, (f ^ i) x = y
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
h : x * y = 1
n : ℕ
⊢ Polynomial.eval (x + y) (Polynomial.dickson 1 1 n) = x ^ n + y ^ n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v ↔ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' t x v
K : Type u_1
RCLike K
r : ℝ
z : K
⊢ RCLike.re (↑r * z) = r * RCLike.re z
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
r : L.Relations 2
⊢ M ⊨ r.antisymmetric ↔ AntiSymmetric fun x y => FirstOrder.Language.Structure.RelMap r ![x, y]
α : Type u_1
f : α → Bool
l₁ l₂ : List α
H : List.Pairwise (fun a b => f a = true → f b = true → False) l₁
p : l₁ ~ l₂
⊢ List.eraseP f l₁ ~ List.eraseP f l₂
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizationMonoid R
p : R[X]
hp : p.Monic
⊢ normalize p = p
R : Type u_1
CommSemiring R
p q : Polynomial R
r : R
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p * q).scaleRoots r = p.scaleRoots r * q.scaleRoots r
α : Type u_1
Preorder α
NoMinOrder α
a : α
⊢ (Set.Iio a).Infinite
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Monoid S
DistribMulAction S N
SMulCommClass S R N
a : S
Q : QuadraticMap R M N
⊢ ⇑(a • Q) = a • ⇑Q
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
h : Module.FinitePresentation R M
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
hl' : (LinearMap.ker l).FG
⊢ Module.FinitePresentation R N
R : Type u
M : Type v
DivisionSemiring R
AddCommGroup M
Module Rᵐᵒᵖ M
Module R M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0
⊢ x⁻¹ * x = 1
a b : ℝ
h₁ : a ≠ 0
h₂ : b ≠ 0
c : ℝ
⊢ (Real.logb (a / b) c)⁻¹ = (Real.logb a c)⁻¹ - (Real.logb b c)⁻¹
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
n : ℕ
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => x ^ n) s x
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
p₁ p₂ p₃ : P₁
c : k
⊢ (AffineMap.lineMap p₁ p₂) c -ᵥ p₃ = (AffineMap.lineMap (p₁ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃)) c
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Add M
Add N
AddCommSemigroup P
Q : Type u_8
AddCommSemigroup Q
h : AddHom P Q
f : AddHom M P
g : AddHom N P
⊢ h.comp (f.coprod g) = (h.comp f).coprod (h.comp g)