ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ 0 ≤ᶠ[ae ((ν a).restrict s)] fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
L.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
⊢ K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ ≫ CategoryTheory.GradedObject.mapMap (HomologicalComplex₂.toGradedObjectMap φ) (c₁.π c₂ c₁₂) i₁₂ =
  (φ.f i₁).f i₂ ≫ L.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
LE α
LE β
LE γ
b : β
⊢ (OrderIso.sumAssoc α β γ).symm (Sum.inr (Sum.inl b)) = Sum.inl (Sum.inr b)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < asympBound g a b (r i x)
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictMonoOn f s
c : α
⊢ StrictMonoOn (fun x => f x * c) s
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R M₂
f : M →ₗ[R] M₂
x : M
h : f x ∈ LinearMap.range f
⊢ f.quotKerEquivRange.symm ⟨f x, h⟩ = (LinearMap.ker f).mkQ x
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
ha : IsMax a
h : a ≤ b
⊢ b = a
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ e.toHomeomorph.symm = e.symm.toHomeomorph
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s t : Finset β
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s -ᵥ t).Nonempty
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
x : E
⊢ x ∈ perfectClosure F E ↔ ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
R : Type u_1
n : ℕ
⊢ Squarefree ↑n ↔ Squarefree n
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
⊢ -g • z = g • z
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
h3 : ∀ (g : G) {K : Compacts G}, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
K : Compacts G
hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0
U : Opens G
hU : (↑U).Nonempty
⊢ 0 < μ.innerContent U
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
h : IsUnit A.det
n : ℤ
⊢ A ^ (n + 1) = A ^ n * A
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0 ↔ p₁ = p₃ ∧ p₁ ≠ p₂ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₃ p₁
G : Type u_1
Group G
g : G
H : Subgroup G
⊢ Subgroup.zpowers g ≤ H ↔ g ∈ H
α : Sort u
f : α → α
h : Function.Involutive f
⊢ f ∘ f = id
α : Type u_1
f : Filter α
⊢ f.lift 𝓟 = f
a b c d n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n✝ : ℕ
⊢ n✝ + 1 ≤ n.succ → (n✝ + 1).pred ≤ n
n : ℕ
⊢ Nat.Partrec' ↑Mathlib.Vector.head
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ] (s : Set α),
  AddAction.stabilizer G s ≤ AddAction.aestabilizer G μ s
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
⊢ (s ∪ t).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ t.Pairwise r ∧ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ≠ b → r a b ∧ r b a
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
x : ↥s
⊢ ↑x = 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
a : α
x : ℝ
⊢ (condCDF ρ a).measure (Iic x) = ENNReal.ofReal (↑(condCDF ρ a) x - 0)
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this✝ : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : NoZeroSMulDivisors R L
x✝ : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
⊢ 0 ∈ range (Q.natDegree + 1) → p ∣ Q.coeff 0
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊
nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊
hXY' : IndepFun (fun a => ‖X a‖₊) (fun a => ‖Y a‖₊) μ
hXY'' : IndepFun nX nY μ
hnX : AEMeasurable nX μ
hnY : AEMeasurable nY μ
hmul : ∫⁻ (a : Ω), nX a * nY a ∂μ = (∫⁻ (a : Ω), nX a ∂μ) * ∫⁻ (a : Ω), nY a ∂μ
⊢ Integrable (X * Y) μ
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
f : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)
n : ℕ
⊢ ↑((sum I M ∘ₗ sumInv I M) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) f)) n = ↑(LinearMap.id ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) f)) n
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
U : { U // ↑U ≤ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensRange f }
⊢ ↑((AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion.affineOpensEquiv f).symm U) = (TopologicalSpace.Opens.map f.val.base).obj ↑↑U
n m : ℕ+
u : PrimeMultiset := n.factorMultiset
v : PrimeMultiset := m.factorMultiset
this✝ : n = u.prod
this : m = v.prod
⊢ (u + v).prod.factorMultiset = u.prod.factorMultiset + v.prod.factorMultiset
α β : Type u
f : α → FreeMagma β
x y : FreeMagma α
⊢ x * y >>= f = (x >>= f) * (y >>= f)
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
h : IsCyclotomicExtension T A B
hS : S ⊆ T
⊢ IsCyclotomicExtension S A ↥(Algebra.adjoin A {b | ∃ a ∈ S, b ^ ↑a = 1})
c : Char
cs t : List Char
i : Nat
e : Pos
⊢ utf8Len cs + c.utf8Size + i = utf8Len cs + (i + c.utf8Size)
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α
⊢ map reverse (map reverse l.reverse.inits).reverse = l.reverse.inits.reverse
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.128478, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_6, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'
i : IsIso (whiskerLeft G.op α.val)
⊢ IsIso α
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
d : ℝ
d_pos : 0 < d
hd : Euclidean.closedBall x d ⊆ s
c : ContDiffBump (toEuclidean x) := { rIn := d / 2, rOut := d, rIn_pos := ⋯, rIn_lt_rOut := ⋯ }
f : E → ℝ := ↑c ∘ ⇑toEuclidean
f_supp : support f ⊆ Euclidean.ball x d
⊢ ∃ f, tsupport f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ f x = 1
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
a b : S
ha : IsLocalization.IsInteger R a
hb : IsLocalization.IsInteger R b
⊢ IsLocalization.IsInteger R (a * b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DistribLattice α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x a b c : α
h : (fun b => [[b, a]]) b = (fun b => [[b, a]]) c
⊢ b = c
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
⊢ P.toPoly.leadingCoeff = P.d
α : Type u_1
CompleteLinearOrder α
s : Set α
b : α
⊢ b < sSup s ↔ ∃ a ∈ s, b < a
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ (⇑(IsometryEquiv.vaddConst c) ∘ fun x => r • x) '' ball 0 1 = ball c r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inr g f ≫ (CategoryTheory.Limits.pushoutSymmetry f g).inv =
  CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ Filter.comap f (Filter.coLindelof Y) ≤ Filter.coLindelof X
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.73697, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift B
X : C
a b : B
eq : F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso (a + b)).hom.app X = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd D a b).inv.app (F.obj X)
⊢ F.map (((shiftFunctorAdd C a b).symm ≪≫ shiftFunctorAdd' C b a (a + b) ⋯).hom.app X) = F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso (a + b)).hom.app X ≫ (shiftFunctorAdd' D b a (a + b) ⋯).hom.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).inv.app ((shiftFunctor C b).obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
⊢ (∀ (x y : α), nndist x y ≤ K * nndist (f x) (f y)) ↔ ∀ (x y : α), ↑(nndist x y) ≤ ↑K * ↑(nndist (f x) (f y))
x : ℝ
h : x ≤ 0
⊢ ↑x = ↑↑x.toNNReal - ↑↑(-x).toNNReal
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K V
φ : Module.Dual K ↥W
w : ↥W
⊢ (W.dualLift φ) ↑w = φ w
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : Filter α
g : Filter β
hf : Cauchy f
hg : Cauchy g
this✝ : f.NeBot
this : g.NeBot
⊢ Cauchy (f ×ˢ g)
n : ℕ
⊢ n ≠ 1 → ZMod.val 1 = 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
⊢ (P.reflection i) (P.root j) = P.root j - P.pairing j i • P.root i
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s : Set α
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ a ⊔ b ∈ supClosure s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Full
⊢ Function.Surjective F.map
R : Type u_1
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₁
Module R M
Module R M₁
f : M →ₗ[R] M₁
p : Submodule R M
q : Submodule R M₁
hf : ∀ x ∈ p, f x ∈ q
x : ↥p
⊢ ↑((f.restrict hf) x) = f ↑x
G : Type u_2
CommGroup G
UniformSpace G
UniformGroup G
CompleteSpace G
f : ℤ → G
⊢ Multipliable f ↔ (Multipliable fun n => f ↑n) ∧ Multipliable fun n => f (-(↑n + 1))
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
S : Set X
hS : IsClosed S
hne : S.Nonempty
opens : Set (Set X) := {U | Sᶜ ⊆ U ∧ IsOpen U ∧ Uᶜ.Nonempty}
U : Set X
h : ∀ a ∈ opens, U ⊆ a → a = U
Uc : Sᶜ ⊆ U
Uo : IsOpen U
Ucne : Uᶜ.Nonempty
⊢ ∀ V' ⊆ Uᶜ, V'.Nonempty → IsClosed V' → V' = Uᶜ
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.80688, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting
⊢ s.s ≫ s.r = 0
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : ℕ
hn : Fact (Nat.Prime p)
⊢ cyclotomic p R * (X - 1) = X ^ p - 1
R : Type u_1
inst✝⁶ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
x✝ y✝ z : M
inst✝ : Subsingleton M
x y : M
⊢ SameRay R 0 y
o : Ordinal.{u_4}
h : o.IsLimit
a : Ordinal.{u_4}
⊢ o ≤ Order.succ a ↔ o ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
f : β × Ω → F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hf_int : MeasureTheory.Integrable (fun a => f (X a, Y a)) μ
⊢ μ[fun a => f (X a, Y a)|MeasurableSpace.comap X mβ] =ᵐ[μ] fun a =>
  ∫ (y : Ω), f (X a, y) ∂(ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) (X a)
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ p.rev.succAbove i = (p.succAbove i.rev).rev
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedCommRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
CharZero 𝕂
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasStrictFDerivAt (NormedSpace.exp 𝕂) (NormedSpace.exp 𝕂 x • 1) x
α : Type u_1
MonoidWithZero α
a b : α
h : a ~ᵤ b
⊢ a ≠ 0 ↔ b ≠ 0
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
Module.Free R M
Module.Finite R M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ : L → R
hχ : LieModule.weightSpace M χ ≠ ⊥
⊢ 0 < FiniteDimensional.finrank R ↥↑(LieModule.weightSpace M χ)
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R
h : NeZero ↑0
⊢ False
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ All P (l.rotateL x r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P r
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
motive : (PiTensorProduct R fun i => s i) → Prop
z : PiTensorProduct R fun i => s i
tprodCoeff : ∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), motive (PiTensorProduct.tprodCoeff R r f)
add : ∀ (x y : PiTensorProduct R fun i => s i), motive x → motive y → motive (x + y)
⊢ motive z
ι : Sort u_1
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
f : ι → Set α
⊢ closure (⋃ i, f i) = ⋃ i, closure (f i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
h : ∀ (x : X), f x ~ᵢ g x
⊢ Continuous f ↔ Continuous g
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ a ⊔ ￢a = ⊤
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset β
b : β
⊢ Finset.filter (fun a => a = b) s = if b ∈ s then {b} else ∅
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
⊢ 0 < normBound abv bS
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))
⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖∫ (y : β), ↑↑i (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), ↑↑g (x, y) ∂ν‖₊ ∂μ) (𝓝 g) (𝓝 0)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftLift f g
⊢ t.whiskerOfIdCompIsoSelf.inv.right = (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor t.lift).inv
R : Type u
inst✝² : Ring R
M✝ L M N : ModuleCat R
f : L ⟶ M
inst✝¹ : HasImage f
g : underlying.obj (imageSubobject f) ⟶ N
inst✝ : HasCokernel g
y : ↑N
l : ↑L
⊢ (cokernel.π g) (g ((factorThruImageSubobject f) l)) = 0
m✝ n✝ n m : ℕ
⊢ m ≤ n / 2 ↔ ↑m * 2 ≤ ↑n
n : PosNum
⊢ ↑n.minFac = (↑n).minFac
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : AddSubmonoid P
k : P ≃+ M
H : AddSubmonoid.map k.toAddMonoidHom T = S
x : P
⊢ (f.ofAddEquivOfDom H).toMap x = f.toMap (k x)
α : Type u_1
p : α → Bool
l : Array α
⊢ (Array.filter p l 0).size ≤ l.size
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I✝ I : Ideal R
x : R ⧸ I ^ 2
hx : x ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
⊢ ∀ r ∈ I.cotangentIdeal, ∀ n ∈ I.cotangentIdeal, r • n ∈ ⊥
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
⊢ G.IsUniform 1 s t
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ StrictMonoOn f Set.univ ↔ StrictMono f
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
n : ℕ
X₁ X₂ : Cᵒᵖ
f : X₁ ⟶ X₂
Y₁ Y₂ : C
g : Y₁ ⟶ Y₂
α : ↑(((fun X => extFunctorObj (Opposite.unop X) n) X₁).obj Y₁)
⊢ (AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f.unop).comp α ⋯) ⋯) ≫ AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ g).postcomp (Opposite.unop X₂) ⋯)) α = (AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ g).postcomp (Opposite.unop X₁) ⋯) ≫ AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f.unop).comp α ⋯) ⋯)) α
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ LiftPropWithinAt P g (s ∩ t) x ↔ LiftPropWithinAt P g s x
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
r : PGame.mk xl xr xL xR ≡r PGame.mk yl yr yL yR
⊢ (lsub fun i => (xR i).birthday) = lsub fun i => (yR i).birthday
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
val✝ : Fintype ι
⊢ (∀ x ∈ s, 𝓝 x ≤ 𝓟 s) ↔ ∀ f ∈ s, ∃ u, (∀ (a : ι), IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ univ.pi u ⊆ s
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ Set.Ico a b ⊆ Set.Iio b
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
inst✝¹ : HasMulticoequalizer D.diagram
inst✝ : PreservesColimit D.diagram.multispan F
i : D.J
this : HasColimit (D.mapGlueData F).diagram.multispan
⊢ (D.diagramIso F).hom.app (WalkingMultispan.right i) ≫ colimit.ι (D.mapGlueData F).diagram.multispan (WalkingMultispan.right i) = (D.mapGlueData F).ι i
α : Type u_2
Zero α
⊢ Finset.card 0 = 1
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace 𝕜 H
CompleteSpace H
u : ↥(unitary (H →L[𝕜] H))
⊢ ↑{ toLinearEquiv := (unitary.linearIsometryEquiv u).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ } = ↑u
α : Type u_1
β : Type u_4
SetLike α β
l : LowerAdjoint SetLike.coe
s : Set β
⊢ s ⊆ ↑(l.toFun s)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₂ ⟶ S₃
⊢ (h.compRight ψ).h₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.h₃ ψ.τ₃
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
Preorder β
f : β → α
hf : Monotone f
s : ι → β
hs : ∀ (x : β), ∃ i, x ≤ s i
⊢ ⨆ x, f (s x) = ⨆ y, f y
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F
⊢ ∃! s, ∀ (i : I), ↑s (Opposite.op (Y i)) = x i
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hUV : U = V
⊢ comap (RingHom.id R) U V ⋯ = eqToHom ⋯
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → G
x : G
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
z : ℤ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x ^ z) l (𝓝 (x ^ z))
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
f : α → E
g' : α → F'
l : Filter α
⊢ f =O[l] g' ↔ ∀ᶠ (c : ℝ) in Filter.atTop, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g' x‖
n : Nat
α : Sort u_1
m : Nat
f : Fin n → α → α
x : α
h : m < n
⊢ Fin.foldr.loop n f ⟨m + 1, h⟩ x = Fin.foldr.loop n f ⟨m, ⋯⟩ (f ⟨m, h⟩ x)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : F →L[𝕜] G
H : HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f'.comp ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) (iso.symm (iso x))
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s (iso x)
a b : ℝ≥0∞
⊢ a ⊔ b = max a b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
F_obj : C → D
e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)
he : ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y), (e X Y') (h ≫ g) = (e X Y) h ≫ G.map g
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ (f ≫ f') ≫ (e Z✝ (F_obj Z✝)) (𝟙 (F_obj Z✝)) = f ≫ f' ≫ (e Z✝ (F_obj Z✝)) (𝟙 (F_obj Z✝))
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
z : S
i : ℕ
hi : f.natDegree ≤ i
a✝ : Nontrivial R
⊢ { toFun := Polynomial.coeff, map_add' := ⋯ } (h.modByMonicHom z) i = 0
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
μ'.IsAddHaarMeasure
⊢ 0 < μ'.addHaarScalarFactor μ
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
x : ↑C
i : I
⊢ i ∈ ↑l → (↑(Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) i = true) = (↑x i = true)
α : Type u
β : Type v
f g : Filter α
m : α → β
h : Function.Injective m
⊢ Filter.map m (f ⊓ g) = Filter.map m f ⊓ Filter.map m g
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
OrderBot α
LE β
OrderBot β
f : BotHom α β
a : α
⊢ (BotHom.dual f) a = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
n : ℕ
⊢ μ (support ↑(hf.approx n) ∪ support ↑(hg.approx n)) < ⊤
α : Type u
Ring α
I : Ideal α
a b : α
⊢ a ∈ I → (a + b ∈ I ↔ b ∈ I)
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
n : ℕ
h : (multiplicity 2 n.succ).Dom
⊢ multiplicity 2 (x ^ (n + 1) - y ^ (n + 1)) = multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑(n + 1)
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => derivWithin f (Set.Ici x) x) μ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, Codisjoint (ker (f ^ n)) (range (f ^ n))
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
h : M ≃+ N
⊢ IsAddHom ⇑h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : TopologicalSpace α
s : Set β
f : α → β
⊢ IsClosed s ↔ IsClosed (f ⁻¹' s)