ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
S : Type u'
R : Type u
M : Type v
DivisionSemiring S
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
SMul S R
Module S M
IsScalarTower S R M
p : Submodule R M
s : S
x : M
s0 : s ≠ 0
⊢ s • x ∈ p ↔ x ∈ p
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
x : S
hx : Prime ((Algebra.norm ℤ) x)
y : ℤ
⊢ (Algebra.norm ℤ) x ∣ y ↔ x ∣ ↑y
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Finset α
f : α → R
g : α → M
hf : ∀ (a : α), f a ≠ 0 → a ∈ s
⊢ (Finsupp.total α M R g) (onFinset s f hf) = ∑ x ∈ s, f x • g x
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ (Equiv.refl α).sumCongr (Equiv.refl β) = Equiv.refl (α ⊕ β)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
F G : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
G.PreservesZeroMorphisms
F.PreservesLeftHomologyOf S
G.PreservesLeftHomologyOf S
F.PreservesRightHomologyOf S
G.PreservesRightHomologyOf S
h : S.HomologyData
τ : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData.natTransApp h τ).right =
  CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.natTransApp h.right τ
M₀ : Type u_1
Mul M₀
Zero M₀
IsRightCancelMulZero M₀
b : M₀
hb : b ≠ 0
⊢ Function.Injective fun a => a * b
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ star a.im = -a.im
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ 0⁻¹ = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
⊢ s₁ ∥ s₂ ↔ s₂ ∥ s₁
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
S.HasHomology
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.homologyIso.inv h₂.homologyIso.hom
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
⊢ p ∣ Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 }
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M₁
p : Submodule R M
⊢ Module.rank R ↥(Submodule.map f p) ≤ Module.rank R ↥p
c : Char
cs : List Char
⊢ String.utf8Len (c :: cs) = String.utf8Len cs + c.utf8Size
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : Preorder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hb : b ≤ 0
h : a ≤ 1
⊢ b ≤ a * b
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
⊢ (minpoly G F x).Monic
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
pb : PowerBasis R S
I : Ideal R
g : R[X]
⊢ (pb.quotientEquivQuotientMinpolyMap I).symm
    ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R pb.gen)}))
      (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) g)) =
  (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (algebraMap R S) I)) ((Polynomial.aeval pb.gen) g)
α : Type u
MonoidWithZero α
x : α
Invertible x
⊢ Ring.inverse x = ⅟x
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)
h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2
u : V
⊢ u ∈ ↑C
α : Type u
β : Type v
Mul β
f g : FreeSemigroup α →ₙ* β
h : ⇑f ∘ FreeSemigroup.of = ⇑g ∘ FreeSemigroup.of
⊢ f = g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
j : Fin (Composition.single n hn).length
i : ℕ
hi1 : i < (Composition.single n hn).blocksFun j
hi2 : i < n
⊢ ((Composition.single n hn).embedding j) ⟨i, hi1⟩ = ⟨i, hi2⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0∞
a_mble : Measurable a
c : ℝ≥0∞
tsum_le_c : ∫⁻ (a_1 : α), a a_1 ∂count ≤ c
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
ε_ne_top : ε ≠ ⊤
⊢ (∫⁻ (a_1 : α), a a_1 ∂count) / ε ≤ c / ε
p : ℕ
q : ℚ
⊢ padicNorm p (-q) = padicNorm p q
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ 0
⊢ a / 0 = ⊤
a b c : ENNReal
h : a < b / c
⊢ c * a < b
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n A
⊢ ∑ x : n × n, M x.1 x.2 • (stdBasisMatrix x.1 x.2 1).map ⇑(algebraMap R A) = M
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ (G.singletonSubgraph v).verts = {v}
V₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
NormedAddCommGroup V₁
NormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ‖f‖ = 0 ↔ f = 0
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s t : Finset α
a b : α
⊢ a ∈ s → b ∈ t → a * b ∈ s * t
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ HomogeneousLocalization.mk z ∈ carrier x ↔ ↑z.num ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ ((coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ▷ Q.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M (N.tensorBimod P) ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X M (N.tensorBimod P)) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M (N.tensorBimod P) ◁ Q.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M (N.tensorBimod P) Q) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight (M.tensorBimod N) P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux (M.tensorBimod N) P Q) ⋯ ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N (P.tensorBimod Q)) ⋯
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsUnit x
b : R
hb : b * x = 1
⊢ 1 * 0 + b * x = 1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
h : ∀ (x : E), finrank F ↥F⟮x⟯ = 1
y : E
⊢ y ∈ ⊥ ↔ y ∈ ⊤
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
x : R
⊢ (algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ Ideal.ramificationIdx f p P)) ((Ideal.Quotient.mk p) x) =
  (Ideal.Quotient.mk (P ^ Ideal.ramificationIdx f p P)) (f x)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
A : LinearMap.BilinForm R M
x y : M
⊢ ((LinearMap.BilinForm.flipHom A) x) y = (A y) x
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
DivisionRing k
Module k V
Fintype ι
FiniteDimensional k V
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1
⊢ Nonempty (AffineBasis ι k P)
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
a : R
⊢ Polynomial.erase n ((Polynomial.monomial n) a) = 0
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
δ : ℝ≥0∞
h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), δ < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε
ε : ℝ≥0∞
B : Set Ω
ε_gt : δ < ε
ε_lt_top : ε < ⊤
B_mble : MeasurableSet B
B_subset : B ⊆ (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ)ᶜ
Tc_mble : MeasurableSet (thickening ε.toReal B)ᶜ
⊢ 1 - ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieAlgebra.IsKilling K L
CharZero K
α : LieModule.Weight K (↥H) L
x : ↥H
⊢ ((LieModule.traceForm K (↥H) L) (LieAlgebra.IsKilling.coroot α)) x =
  2 • (α ((LieAlgebra.IsKilling.cartanEquivDual H).symm (LieModule.Weight.toLinear K (↥H) L α)))⁻¹ • α x
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y S : AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsAffine X
AlgebraicGeometry.IsAffine Y
AlgebraicGeometry.IsAffine S
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app g ⊤)
⊢ P (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) ⊤)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0
this : ∀ x ∈ Ioo a b, ∃ c ∈ Ioo a x, f x * g' c = g x * f' c
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
⊢ f.cycleFactorsFinset = ∅ ↔ f = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
A : D
CategoryTheory.IsIso (h.counit.app A)
⊢ A ∈ L.essImage
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
Zero β
TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
T1Space β
b : β
NeZero b
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (As i).indicator fun x => b) L (𝓝 (A.indicator fun x => b)) ↔
  Filter.Tendsto As L (Filter.pi fun x => pure (x ∈ A))
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
a : F
h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)
ha : ¬a = 0
ha' : (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
⊢ IsSolvable (X ^ n - C a).Gal
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : Field K
L : Type u_7
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
g : A →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : R
y : ↥(nonZeroDivisors R)
⊢ mk' K x y = 0 ↔ x = 0
a₀ a₁ a₂ : Type u
i : ℕ
⊢ lift.{v, u} #(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ i) = #(Sequence₂ (ULift.{v, u} a₀) (ULift.{v, u} a₁) (ULift.{v, u} a₂) i)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
a : M
h : m ≤ n
⊢ a ^ (n - m) * a ^ m = a ^ n
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
s : Set (Set X)
t : Set (Set Y)
hs : ⋃₀ s = univ
ht : ⋃₀ t = univ
G : TopologicalSpace (X × Y) := generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t)
u : Set X
hu : u ∈ s
⊢ ⋃ v ∈ t, u ×ˢ v = Prod.fst ⁻¹' u
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : L.comp F' ⟶ F
F'.IsRightKanExtension α
F'' : CategoryTheory.Functor D H
α' : L.comp F'' ⟶ F
F''.IsRightKanExtension α'
⊢ (F'.rightKanExtensionUnique α F'' α').inv = F'.liftOfIsRightKanExtension α F'' α'
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Part β
⊢ Part.none.bind f = Part.none
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : IsEmpty ι
⊢ dimH (Metric.ball x r) = ↑(Fintype.card ι)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ p x ∈ ↑t
X : TopCat
⊢ Function.Bijective ⇑(LightCondSet.topCatAdjunctionCounit X)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : SMul M R
inst✝¹ : Semigroup R
inst✝ : SMulCommClass M R R
x y : R
m : M
h : x ∣ y
k : R
hk : y = x * k
⊢ m • y = x * m • k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : DenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
Fintype ι
hfg : Antivary f g
⊢ ∑ i : ι, f i • g i < ∑ i : ι, f (σ i) • g i ↔ ¬Antivary (f ∘ ⇑σ) g
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : CliffordAlgebra 0
⊢ reverse x = x
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Group β
TopologicalGroup β
f : C(α, β)
z : ℤ
x : α
⊢ (f ^ z) x = f x ^ z
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c) volume
M : Type u_4
Monoid M
l : List M
p : M → Prop
hom : ∀ (a b : M), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
base : ∀ x ∈ l, p x
⊢ p l.prod
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V : Set (α × α)
h : V ∈ 𝓤 α
⊢ Prod.swap ⁻¹' V ∈ (𝓤 α).sets
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
α : G ⟶ F
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cocones.precompose α).obj c).ι = α ≫ c.ι
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ p < p.succAbove i ↔ p < i.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p✝ : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
l : Filter β
b : ι → Set β
q : ι → Prop
hl : l.HasBasis q b
u : β → Set α
p : β → Prop
x : α
hx : x ∈ ⨅ s ∈ l, ⨆ b, ⨆ (_ : p b ∧ b ∈ s), u b
⊢ ∃ f, ∀ (i : ↑{i | q i}), x ∈ u (f i) ∧ p (f i) ∧ f i ∈ b ↑i
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) pb.gen = y
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : α
y : β
⊢ Function.graph f x y ↔ f x = y
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : IsSemisimpleRing R
this✝ : Module R S := Module.compHom S f
this : RingHomSurjective f
e : S →ₛₗ[f] S := let __src := AddMonoidHom.id S; { toFun := (↑__src).toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
⊢ IsSemisimpleModule R S
G : Type u_1
P : Type u_2
VAdd G P
s₁ s₂ : Set G
t : Set P
a : P
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₁.vaddAntidiagonal t a ⊆ s₂.vaddAntidiagonal t a
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : PolishSpace G
ν : Measure G
Γ : Subgroup G
inst✝⁴ : Countable ↥Γ
inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝² : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
g : G
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
⊢ μ ((fun x => g • x) ⁻¹' A) = μ A
f✝ g : CircleDeg1Lift
f : CircleDeg1Liftˣ
⊢ τ ↑f⁻¹ + τ ↑f = 0
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
Monad m
f : α → m PUnit
a : α
as : List α
⊢ forM (a :: as) f = do
  f a
  forM as f
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
hikl : k + l ≤ i
⊢ ↑((i - l).choose k * i.choose l) = ↑((k + l).choose k * i.choose (k + l))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
x : R
⊢ (C x).roots = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
V : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
S T : V →ₗ[ℂ] V
⊢ (∀ (x : V), ⟪S x, x⟫_ℂ = ⟪T x, x⟫_ℂ) ↔ S = T
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
Z : C
I : CategoryTheory.InjectiveResolution Z
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk (I.ι.f 0) (I.cocomplex.d 0 1) ⋯).Exact
n m : ℕ
hm : NeZero m
h : n ∣ m
⊢ Function.Surjective ⇑(unitsMap h)
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
r : R
⊢ (Unitization.inlRingHom R A) r = Unitization.inl r
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
i : α
β : α → Type u_2
f : β i × ((j : { j // j ≠ i }) → β ↑j)
⊢ ((fun f => (f i, fun j => f ↑j)) ((fun f j => if h : j = i then ⋯ ▸ f.1 else f.2 ⟨j, h⟩) f)).1 = f.1
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
ι : Type u_1
Unique ι
h : FiniteDimensional.finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0
⊢ Set.range ⇑(FiniteDimensional.basisSingleton ι h v hv) = {v}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α
⊢ s ⊆ insert a t ↔ s.erase a ⊆ t
x : ℂ
⊢ 2 * Complex.cosh x = Complex.exp x + Complex.exp (-x)
α : Type u_1
CompleteLattice α
f : Bool → α
⊢ ⨆ b, f b = f true ⊔ f false
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f σ : Perm α
l : List (Perm α)
hn : l.Nodup
l' : List (Perm α)
hp' : l'.prod = σ
hc' : ∀ g ∈ l', g.IsCycle
hd' : List.Pairwise Disjoint l'
hl : Trunc.mk ⟨l', ⋯⟩ = σ.truncCycleFactors
ht : σ.cycleFactorsFinset = l'.toFinset
⊢ σ.cycleFactorsFinset = l.toFinset ↔ (∀ f ∈ l, f.IsCycle) ∧ List.Pairwise Disjoint l ∧ l.prod = σ
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
⊢ Module.rank R M = 0 ↔ ∀ (x : M), x = 0
α : Type u
β : Type v
f : α → β → β
b : β
x : α
xs : List α
⊢ List.foldr f b (xs ++ [x]) = List.foldr f (f x b) xs
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
⊢ (p * q).natDegree = p.natDegree + q.natDegree
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp
r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹
r0_pos : 0 < r0
r : ℝ≥0 := rp * rq * r0
r_pos : 0 < r
I : ∀ (i : (n : ℕ) × Composition n), ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst ≤ Cq / 4 ^ i.fst
⊢ ∃ r > 0, Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
R : Type u_1
p : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
x : R
⊢ (frobeniusEquiv R p) x = x ^ p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
CategoryTheory.Limits.HasImage f.hom
CategoryTheory.Limits.HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
CategoryTheory.Limits.HasImageMap sq
⊢ CategoryTheory.Limits.image.map sq ≫ CategoryTheory.Limits.image.ι g.hom =
  CategoryTheory.Limits.image.ι f.hom ≫ sq.right
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I✝ X R J I : Set α
⊢ uniqueBaseOn I I = freeOn I
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
StrongRankCondition R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
Fintype ι
b : Basis ι R ↥O
Fintype ι'
b' : Basis ι' R ↥N
⊢ Fintype.card ι' ≤ Fintype.card ι
ι : Sort u_2
Nonempty ι
f : ι → ℝ≥0∞
x : ℝ≥0∞
h : x ≠ ⊤
⊢ iInf f * x = ⨅ i, f i * x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν = ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)) s).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ord α
inst✝ : Ord β
a b : α × β
⊢ compare a b = compareLex (compareOn fun x => x.fst) (compareOn fun x => x.snd) a b
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.11500, u_1} A
S : C
E : PreOneHypercover S
i₁ i₂ : E.I₀
inst✝ : HasPullback (E.f i₁) (E.f i₂)
⊢ Sieve.pullback (𝟙 (pullback (E.f i₁) (E.f i₂))) (E.sieve₁' i₁ i₂) = Sieve.pullback (pullback.lift (pullback.fst (E.f i₁) (E.f i₂)) (pullback.snd (E.f i₁) (E.f i₂)) ⋯) (E.sieve₁' i₁ i₂)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : u n ≤ x
⊢ ∃ v m, Monotone v ∧ (∀ (i : ℕ), v i ∈ s) ∧ x ∈ v '' Iio m ∧ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ x ⧏ y ↔ x < y ∨ x ‖ y
R : Type u_1
AddSemigroup R
a b : R
ab : IsAddRightRegular (b + a)
⊢ IsAddRightRegular b
a : Ordinal.{u}
⊢ 𝓝 a = pure a ↔ ¬a.IsLimit
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
E : Type u₄
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝² : Category.{v₄, u₄} E
L₁ : C₁ ⥤ C₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₁
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : (L₁ ⋙ L₂).IsLocalization W₃
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ = W₃.map L₁
this : (L₁ ⋙ W₂.Q).IsLocalization W₃
⊢ L₂.IsLocalization W₂
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R
hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin (n + 1), M i j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)
⊢ ∑ j : Fin (n + 1), Mᵀ j = 0