ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s t : Set α
Hf : AntitoneOn f t
Hst : s ⊆ t
⊢ f '' (upperBounds s ∩ t) ⊆ lowerBounds (f '' s)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
M : Type u_2
VAdd M α
IsometricVAdd M α
c : M
x : α
s : Set α
⊢ EMetric.infEdist (c +ᵥ x) (c +ᵥ s) = EMetric.infEdist x s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ s : Set α
f : α → G
⊢ eLpNormEssSup (s.indicator f) μ ≤ eLpNormEssSup f μ
α : Type u
a b : α
⊢ {a, b} = {b, a}
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ ∅ ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε
⊢ ∃ t ⊆ ∅, t.Countable ∧ ∅ ⊆ closure t
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
⊢ ∀ (a : { j // j ≠ i } → K), ∑ x : { x // x ∘ Subtype.val = a }, ∏ j : σ, ↑x j ^ d j = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
H : IsClosedMap f
s : Set β
⊢ IsClosedMap (s.restrictPreimage f)
R : Type u_1
Ring R
p q : Polynomial R
comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
⊢ (p.cancelLeads q).natDegree < q.natDegree
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
H' : G.Subgraph
⊢ SimpleGraph.Subgraph.coeSubgraph (SimpleGraph.Subgraph.restrict H') = H ⊓ H'
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : ∃ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + t • y ∈ s
⊢ y ∈ posTangentConeAt s x
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
x : α
r' : ℝ≥0∞
⊢ Set.MapsTo (⇑f) (EMetric.closedBall x r') (EMetric.closedBall (f x) (↑(Dilation.ratio f) * r'))
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
f : α → Set (Set α)
s : Set α
h : v.FineSubfamilyOn f s
⊢ ∃ t,
  (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧
    (t.PairwiseDisjoint fun p => p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ v.setsAt p.1 ∩ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, p.2) = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ 𝓝[Set.Ioo a b] b = 𝓝[<] b
Γ : Type u_1
R : Type u_3
Zero Γ
PartialOrder Γ
MulZeroOneClass R
⊢ HahnSeries.order 1 = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
z₁ z₂ : W.LeftFraction X Y
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.homMk z₁ =
    CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.homMk z₂ ↔
  CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z₁ z₂
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
NormedSpace ℝ E
h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
f : α → E
t : Set α
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫ (x : α) in g • t ∩ s, f (g⁻¹ • x) ∂μ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ → Prop
a : ℝ
h : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, p x
⊢ 0 < volume {x | p x}
R : Type u
S₁ : Type v
CommSemiring R
a : MvPolynomial (Option S₁) R
⊢ (MvPolynomial.optionEquivLeft R S₁) a =
  (MvPolynomial.aeval fun o => o.elim Polynomial.X fun s => Polynomial.C (MvPolynomial.X s)) a
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := ↑w }.Nonneg
⊢ ({ re := ↑x, im := -↑y } + { re := ↑z, im := ↑w }).Nonneg
a b : ℝ
f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)
⊢ f ∈ (polynomialFunctions (Set.Icc a b)).topologicalClosure
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
s : Submodule R M
⊢ Module.rank R ↥s ≤ Module.rank R M
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : AddCommGroup β
inst✝ : Module α β
a : α
s : Set α
t : Set β
⊢ -s • t = -(s • t)
α σ : Type u
m : Type u → Type v
β : Type u
Monad m
x : m α
s : σ
k : α → σ → m β
⊢ (StateCpsT.lift x).runK s k = do
  let x ← x
  k x s
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
IsWellOrder ι r
o : Ordinal.{u}
ho : Ordinal.type r = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.lsub (Ordinal.familyOfBFamily' r ho f) = o.blsub f
α : Type u_1
Div α
a b : Part α
hab : (a / b).Dom
⊢ (a / b).get hab = a.get ⋯ / b.get ⋯
a x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ angle x y = |(x / y).arg|
R : Type u_2
M : Type u_5
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ Function.Injective fun c => c • x
β : Type v
ι : Sort u_1
Nonempty ι
u : ι → UniformSpace β
l : Filter β
⊢ Cauchy l ↔ ∀ (i : ι), Cauchy l
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a x : α
ane0 : a ≠ 0
hx : x ∈ Classical.choose ⋯
⊢ Prime x
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y * (z - x) ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
⊢ 0 < (y - x) * (z - y)
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t x✝¹ x✝ : V
⊢ (x✝¹ = s ∧ x✝ = s ∨ x✝¹ = s ∧ x✝ = s) ∧ x✝¹ ≠ x✝ ↔ ⊥.Adj x✝¹ x✝
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Memℒp (↑f) p μ
hg : MeasureTheory.Memℒp (↑g) p μ
⊢ MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp (f + g) ⋯ =
  MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp f hf + MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp g hg
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
⊢ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (a ≤ 0 ∨ 0 ≤ b) ∧ (b ≤ 0 ∨ 0 ≤ a)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.Exact
⊢ CategoryTheory.Epi S.f ↔ S.g = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
a : α
⊢ IsClosed (⇑WithLawson.ofLawson ⁻¹' Iic a)
α : Type u_1
s : Set α
n : ℕ
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ s.ncard = n + 1 ↔ ∃ a t, a ∉ t ∧ insert a t = s ∧ t.ncard = n
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x : X
h : 0 < s.length
⊢ x ∈ RelSeries.eraseLast s ↔ x ≠ RelSeries.last s ∧ x ∈ s
α : Type u_3
Preorder α
a : α
⊢ {b | b ≤ a} ∈ Filter.atBot
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
s✝ : Set P
x✝ : ∃ a ∈ S, ∀ b ∈ s✝, IsInteger R (a • b)
a : R
a_mem : a ∈ S
h : ∀ b ∈ s✝, IsInteger R (a • b)
b : P
hb : b ∈ span R s✝
s : R
x : P
hx : IsInteger R (a • x)
⊢ IsInteger R (a • s • x)
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
n : ℕ
v : V₁
⊢ AffineEquiv.constVAdd k P₁ (n • v) = AffineEquiv.constVAdd k P₁ v ^ n
ι : Type u_1
α : Type u_2
Preorder α
s : Finset ι
f : ι → Set α
⊢ (⋃ i ∈ s, f i).IsWF ↔ ∀ i ∈ s, (f i).IsWF
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
n : ℕ
⊢ (L.mapComposableArrows n).EssSurj
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Top α
Inf β
Top β
f : InfHom α β
hf : f.toFun ⊤ = ⊤
⊢ ⇑{ toInfHom := f, map_top' := hf } = ⇑f
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSemiring R
inst✝ : T2Space R
s : Set X
⊢ IsClosed ↑(idealOfSet R s)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder β
f : α → β
l : List α
m : α
DecidableEq α
⊢ List.argmin f l = some m ↔
  m ∈ l ∧ (∀ (a : α), a ∈ l → f m ≤ f a) ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → f a ≤ f m → List.indexOf m l ≤ List.indexOf a l
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → Prop
ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ + ν, p x) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x) ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂ν, p x
V : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.8253, u_1} V
inst✝ : Abelian V
X Y Z : Vᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
⊢ g.unop ≫ f.unop = 0
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
n : ℕ
⊢ p (Nat.nth p n)
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
t : Finset L[[α]].Sentence
⊢ List.foldr (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ t.toList ∈ p ↔ ↑t ⊆ ↑p
n : ℕ
α : Type u_1
AddCommGroup α
v : Mathlib.Vector α n
i : Fin n
a : α
⊢ (v.set i a).toList.sum = v.toList.sum + -v.get i + a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ Dᵒᵖ
X : Cᵒᵖ
⊢ F.unopOpIso.inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
α : Type u
Monoid α
a : α
u : αˣ
⊢ a /ₚ u * ↑u = a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : X ⟶ Z
CategoryTheory.Epi h
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = h
⊢ CategoryTheory.Epi g
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → Indep J → I.encard < J.encard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_bdd : ∃ n, ∀ (I : Set α), Indep I → I.encard ≤ ↑n
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
⊢ (IndepMatroid.ofBddAugment E Indep indep_empty indep_subset indep_aug indep_bdd subset_ground).E = E
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
∀ (i : ι), CompleteSpace (G i)
hVortho : OrthogonalFamily 𝕜 G V
hVtotal : ⊤ ≤ (⨆ i, LinearMap.range (V i).toLinearMap).topologicalClosure
⊢ IsHilbertSum 𝕜 G V
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ EuclideanGeometry.angle p₂ p₁ p₃ = 0
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bf * Complex.abs z ^ cf)
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bg * Complex.abs z ^ cg)
⊢ Bf ≤ max 0 (max Bf Bg)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Antitone f
TopologicalSpace α
OrderTopology α
x : α
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝[≥] Function.leftLim f x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq_pos : 0 < q
h0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ p * ENNReal.ofReal q ≠ 0
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hn : N.FG
hin : N ≤ I • N
r : R
hr : r - 1 ∈ I
hr' : ∀ n ∈ N, r • n = 0
⊢ ∃ r ∈ I, ∀ n ∈ N, r • n = n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
OrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
⊢ ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ≤ f (∑ i ∈ t, w i • p i)
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
x : I.Cotangent
⊢ ↑(I.cotangentEquivIdeal x) = I.cotangentToQuotientSquare x
V : Type u_1
TopologicalSpace V
AddCommGroup V
Module ℝ V
K L : ConvexBody V
h : ↑K = ↑L
⊢ K = L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
x : ↑(range f)
⊢ rangeFactorization f (rangeSplitting f x) = x
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.fundamentalInterior G s ⊆ s
R : Type u_1
Ring R
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
J : Type u_4
i : J ↪ I
⊢ OrthogonalIdempotents (e ∘ ⇑i)
e a : ONote
h₁ : e.NF
n : ℕ+
h₂ : a.NFBelow e.repr
⊢ (e.oadd n a).NF
a : ℕ∞
⊢ a - ⊤ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
hP : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P
⊢ (J.isoSheafify hP).hom = J.toSheafify P
α : Sort u
lt : α → α → Prop
IsTrichotomous α lt
a b : α
⊢ StrictWeakOrder.Equiv a b → a = b
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ LinearMap.ker (LinearMap.inr R M M₂) = ⊥
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ
⊢ lcs k ⊤ ≤ N ↔ LieModule.lowerCentralSeries R L M k ≤ N
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
ha : g ∈ alternatingGroup (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : g.cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
h : g.support.card ≤ card (Fin 5)
⊢ IsConj (swap 0 4 * swap 1 3) g
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
hA : 0 ≤ A
⊢ ∫ (x : α), truncation f A x ∂μ = ∫ (y : ℝ) in -A..A, y ∂Measure.map f μ
⊢ Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ ℂ = 1 + 1)
α : Type u
l✝ l' l : List α
⊢ l.cyclicPermutations.head? = some l
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y Z : Dial C
F : X.Hom Y
G : Y.Hom Z
⊢ (Subobject.pullback π(π₁, π(π₁, prod.map F.f (𝟙 Z.tgt) ≫ G.F) ≫ F.F)).obj X.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map (F.f ≫ G.f) (𝟙 Z.tgt))).obj Z.rel
q r : ℕ+
hqr : q ≤ r
H : 1 < sumInv {2, q, r}
h4 : 0 < 4
⊢ q < 4
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
⊢ (cyclotomic n R).roots.Nodup
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) := {x | x ∈ univ ∧ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0}.toFinset
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), (eval x) F = if x ∈ S then 1 else 0
key : ∑ x : σ → K, (eval x) F = ↑(Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 })
⊢ F.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
G H : PGame
e : G ≡r H
h : G.Impartial
⊢ H.Impartial
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Initial
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
⊢ (CategoryTheory.Functor.Initial.conesEquiv F G).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun c =>
      CategoryTheory.Limits.Cones.ext
        (CategoryTheory.Iso.refl
          (((CategoryTheory.Limits.Cones.whiskering F).comp CategoryTheory.Functor.Initial.extendCone).obj c).pt)
        ⋯)
    ⋯
a : Ordinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
⊢ b ≤ Ordinal.lift.{v, u} a ↔ ∃ a', Ordinal.lift.{v, u} a' = b ∧ a' ≤ a
z : ℍ
⊢ Filter.Tendsto (fun p => Complex.normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) Filter.cofinite Filter.atTop
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ HasFTaylorSeriesUpTo ⊤ f p ↔ ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpTo (↑n) f p
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
⊢ 0 ≤ EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
r : R
u : Rˣ
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
n : ℕ
hr : r = ↑u * ϖ ^ n
⊢ (addVal R) r = ↑n
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
t₁ t₂ : Set β
a : α
⊢ a • (t₁ ∩ t₂) ⊆ a • t₁ ∩ a • t₂
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
⊢ (FreeAddMonoid.lift fun p => p.1 • φ p.2) ((Equiv.refl (List (R × ((i : ι) → s i)))) [(1, f)]) = φ f
n k : ℕ
hnk : Odd (n + k)
⊢ (Polynomial.hermite n).coeff k = 0
w i : Nat
i_lt : i < w
x y : BitVec w
⊢ (x + y).getLsb i = (x.getLsb i).xor ((y.getLsb i).xor (BitVec.carry i x y false))
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
f : M →* N × P
⊢ ((MonoidHom.fst N P).comp f).prod ((MonoidHom.snd N P).comp f) = f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
self : CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation A
⊢ CategoryTheory.IsFiltered self.I
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]
⊢ (List.map (fun f => f.support.inf degt) l).sum ≤ l.prod.support.inf degt
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
r : k
p₁ p₂ : P
⊢ (AffineMap.lineMap p₁ p₂) r ∈ affineSpan k {p₁, p₂}
D : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Groupoid D
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalClosed C
X : D ⥤ C
⊢ CategoryTheory.Closed.adj =
  CategoryTheory.Adjunction.mkOfUnitCounit
    { unit := X.closedUnit, counit := X.closedCounit, left_triangle := ⋯, right_triangle := ⋯ }
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution' hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ 2 ≤ S'.multiplicity
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, |0 x| ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(-x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(x + y) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, |y x| ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℝ), ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖
⊢ volume {x | ∑ i : ι, |x i| ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
AddCommGroup V₂
Module k V₁
Module k V₂
AddTorsor V₁ P₁
AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
Nonempty ↥E
Nonempty ↥F
h : AffineSubspace.map φ E = F
⊢ Function.Surjective ⇑(φ.restrict ⋯)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ IsCoprime (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S)
α : Type u_2
Lattice α
BoundedOrder α
IsModularLattice α
ComplementedLattice α
IsCoatomic α
⊢ IsAtomic α
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
S T : Submodule R M
hST : T ≤ S
⊢ Nat.card ↥(Submodule.map T.mkQ S) * Nat.card (M ⧸ S) = Nat.card (M ⧸ T)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β
⊢ Set.range f = s ↔ (∀ (a : α), f a ∈ s) ∧ ∀ b ∈ s, ∃ a, f a = b
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
hfg : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs' : μ s < ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, (f x).toReal ∂μ = ∫ (x : α) in s, (g x).toReal ∂μ
G : Type u
AddGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
U : Set G
hU : U ∈ B
⊢ U ∈ 𝓝 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω ≤ k
⊢ ¬((∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ω < a) ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, b < f n ω)
p : ℝ
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
hp_lt_one : p < 1
this : 0 < 1 - p
⊢ 0 < (1 - p) ^ n * p
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
x : α
hx : (𝓝[s] x).NeBot
⊢ x ∈ s
α : Type u
n : α → Filter α
ι : α → Sort u_1
p : (a : α) → ι a → Prop
s : (a : α) → ι a → Set α
hb : ∀ (a : α), (n a).HasBasis (p a) (s a)
hpure : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → a ∈ s a i
hopen : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → ∀ᶠ (x : α) in n a, s a i ∈ n x
a : α
⊢ 𝓝 a = n a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
U : Comonad C
X Y x✝ : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ x✝
⊢ U.ε.app X ≫ f ≫ g = U.δ.app X ≫ U.map (U.ε.app X ≫ f) ≫ U.ε.app Y ≫ g
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Function.Surjective ⇑(mapBaseChange R A B)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
g : β → α
hfg : LeftInvOn g f s
F : Filter α
hF : F ≤ 𝓟 s
this : g ∘ f =ᶠ[𝓟 s] id
⊢ map g (map f F) = F
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : MulHomClass F α α₂
f : F
x y : MonoidAlgebra β α
⊢ ∀ (b : α₂) (m₁ m₂ : β), (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b * a₂) ((m₁ + m₂) * b₂)) = (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b * a₂) (m₁ * b₂)) + sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b * a₂) (m₂ * b₂)
α : Type u
LinearOrder α
s : Set α
a b : α
h : IsLUB s a
h' : a ∉ s
hb : b < a
⊢ ∃ c ∈ s, b < c ∧ c < a
n : ℕ
⊢ orderOf (DihedralGroup.r 1) = n
R : Type u_6
M : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Module.Finite R M ↔ ⊤.FG
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ (Equiv.prodComm α β).symm = Equiv.prodComm β α
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ μ ≠ 0