ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d.degree ≠ n
⊢ coeff d φ = 0
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
p : F[X]
hsep : p.Separable
hsplit : Splits (algebraMap F K) p
⊢ Fintype.card ↑(p.rootSet K) = p.natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f : β → α
a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasProd (f ∘ Subtype.val) a₁
⊢ HasProd (f ∘ Subtype.val) a₂ ↔ HasProd f (a₁ * a₂)
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), Ordinal.IsNormal (f i hi)
a b : Ordinal.{max v u}
hb : b < o.nfpBFamily f a
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
⊢ f i hi b < o.nfpBFamily f a
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
ι : Type u_5
Countable ι
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace X
BorelSpace X
TopologicalSpace.MetrizableSpace X
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
f : C(X, E)
s : ι → TopologicalSpace.Compacts X
hf : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal
hs : ⋃ i, ↑(s i) = Set.univ
⊢ MeasureTheory.Integrable (⇑f) μ
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
n : ℕ
α : Ext Z T n
⊢ 0 + 0 + n = n
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
k : ℕ
⊢ LieSubmodule.comap N.incl (LieSubmodule.ucs k ⊥) = LieSubmodule.ucs k ⊥
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
Invertible ↑p
⊢ ↑(WittVector.ghostEquiv p R) = WittVector.ghostMap
X : Type u_2
EMetricSpace X
m₁ m₂ : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
h0 : c ≠ 0
hle : m₁ ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] c • m₂
⊢ MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m₁ ≤ c • MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m₂
a b : Ordinal.{u_1}
h : a ≤ b
⊢ a.toPGame ≤ b.toPGame
γ : Type w
SemilatticeSup γ
a : γ
b : γ
s : Set γ
hs : IsLUB s b
⊢ IsLUB (insert a s) (a ⊔ b)
⊢ default = SetTheory.PGame.toLeftMovesNim ⟨0, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
r : β → β → Prop
m : Multiset α
h : {a | a ∈ m}.Pairwise fun a₁ a₂ => r (f a₁) (f a₂)
a₁ : α
H₁ : a₁ ∈ m
h₁ : f a₁ ∈ {b | b ∈ map f m}
a₂ : α
H₂ : a₂ ∈ m
h₂ : f a₂ ∈ {b | b ∈ map f m}
hn : f a₁ ≠ f a₂
⊢ r (f a₁) (f a₂)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
TopologicalSpace.NoetherianSpace α
Z : Set α
H : Z ∈ irreducibleComponents α
⊢ ∃ o, IsOpen o ∧ o ≠ ∅ ∧ o ≤ Z
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a✝ b : α
f : (i : ι) → κ i → α
a : α
⊢ a ⊔ ⨅ i, ⨅ j, f i j = ⨅ i, ⨅ j, a ⊔ f i j
α : Type u
β : Type v
m : Type v → Type w
Monad m
LawfulMonad m
f : α → β → m β
b : β
l : List α
⊢ List.foldrM f b l = List.foldr (fun a mb => mb >>= f a) (pure b) l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a : α
⊢ s ⊂ {a} ↔ s = ∅
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type w
f : ι → Filter α
m : α → β
p : ι → Prop
h : DirectedOn (f ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) {x | p x}
ne : ∃ i, p i
this : Nonempty (Subtype p)
⊢ map m (⨅ x, f ↑x) = ⨅ x, map m (f ↑x)
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ IsSquare a ↔ a ^ (Fintype.card F / 2) = 1
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsIrrefl α r
s : Multiset α
hs : ∀ a ∈ s, Acc (Relation.CutExpand r) {a}
⊢ Acc (Relation.CutExpand r) s
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : M → M' × N'
h : ContMDiff I I' n (Prod.fst ∘ f) ∧ ContMDiff I J' n (Prod.snd ∘ f)
⊢ ContMDiff I (I'.prod J') n f
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G' →* G
hf : Function.Surjective ⇑f
this✝ : Setoid G := QuotientGroup.leftRel H
this : Setoid G' := QuotientGroup.leftRel (comap f H)
key : ∀ (x y : G'), Setoid.r x y ↔ Setoid.r (f x) (f y)
⊢ Function.Injective (Quotient.map' ⇑f ⋯)
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
⊢ LSeriesSummable (-f) s
x y : SetTheory.PGame
h : x = y
⊢ x ≈ y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ (-s).restrict v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
⊢ ↑s (u \ v) = 0 ∧ ↑s (v \ u) = 0
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
⊢ Real.logb b x < y ↔ b ^ y < x
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
CharZero R
NoZeroSMulDivisors R M
x : M
hx : x ≠ 0
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : Submodule.span R Φ = ⊤
f g : Module.Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : Set.MapsTo (⇑(Module.preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : Set.MapsTo (⇑(Module.preReflection x g)) Φ Φ
⊢ f = g
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0
P : R[X]
hP : minpoly R f = X * P
⊢ False
α : Type u
⊢ (CategoryTheory.yoneda'.obj α).val = CategoryTheory.yoneda.obj α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
e : α ≃ᵐ β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → MeasurableSet (⇑e.symm '' s)
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
l : List α
⊢ powersetCardAux (n + 1) (a :: l) = powersetCardAux (n + 1) l ++ List.map (cons a) (powersetCardAux n l)
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
n : ℕ
h : n • x = 0
⊢ addOrderOf x ∣ n
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
M : Matrix p p 𝕜
e : p ≃ n
L₀ L₀' : List (TransvectionStruct n 𝕜)
D₀ : n → 𝕜
h₀ : (List.map toMatrix L₀).prod * (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀
this : M = (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e.symm) ((reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M)
⊢ (List.map toMatrix (List.map (reindexEquiv e.symm) L₀)).prod * M * (List.map toMatrix (List.map (reindexEquiv e.symm) L₀')).prod = diagonal (D₀ ∘ ⇑e)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite ν
f : α → β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry f)
hE : CompleteSpace E
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
this : SeparableSpace ↑(range (uncurry f) ∪ {0})
s : ℕ → SimpleFunc (α × β) E := SimpleFunc.approxOn (uncurry f) ⋯ (range (uncurry f) ∪ {0}) 0 ⋯
⊢ StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f x y ∂ν
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝ : NormedRing R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖
⊢ Summable fun n => ‖∑ kl ∈ antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2‖
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
p : α → Prop
Zero N
s : β →₀ N
h : β → N → α →₀ M
⊢ Finsupp.subtypeDomain p (s.sum h) = s.sum fun c d => Finsupp.subtypeDomain p (h c d)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ofTensorProduct I (ι → R) ∘ₗ ↑((piEquivOfFintype I fun x => R).trans (piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm) = LinearMap.id
α : Type u_2
β : Type u_3
f : α → β
l : Filter β
l.IsCountablyGenerated
h : Filter.Tendsto f Filter.cofinite l
⊢ (f ⁻¹' l.ker)ᶜ.Countable
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
⊢ I = span {x} * J ↔ (∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zJ = zI) ∧ ∀ z ∈ J, x * z ∈ I
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
hn : f ^ n ∈ Ideal.span (h '' ↑t)
⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : Norm E
a : 𝕜
f : 𝕜 → E
h : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (𝓝[≠] a) (norm ∘ f)
⊢ Tendsto (fun x => ‖x - a‖⁻¹) (𝓝[≠] a) atTop
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → G
hf : f =ᶠ[ae μ] 0
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = 0
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
hf : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }) 1 (closure s)
f_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }
t : Set G := f ⁻¹' {1}
t_closed : IsClosed t
t_comp : IsCompact t
⊢ μ' s ≤ ν s
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A : Type u_2
inst✝² : AddGroup A
η : Type u_3
f : η → Type u_4
inst✝¹ : (i : η) → Group (f i)
inst✝ : DecidableEq η
H : Subgroup ((i : η) → f i)
i : η
I : Finset η
hnmem : i ∉ I
ih : ∀ (x : (i : η) → f i), (∀ i ∉ I, x i = 1) → (∀ i ∈ I, Pi.mulSingle i (x i) ∈ H) → x ∈ H
x : (i : η) → f i
h1 : ∀ i_1 ∉ insert i I, x i_1 = 1
h2 : ∀ i_1 ∈ insert i I, Pi.mulSingle i_1 (x i_1) ∈ H
⊢ x ∈ H
α : Type u_2
PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ Metric.closedBall x 0 = closure {x}
α : Type u
f : Filter α
⊢ ¬∃ᶠ (x : α) in f, False
V : Type u_2
TopologicalSpace V
AddCommMonoid V
SMul ℝ V
self : ConvexBody V
⊢ IsCompact self.carrier
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x✝ : α
C : ℝ
x : α
⊢ ‖f x‖ = dist (f x) (0 x)
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
⊢ ↑(if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (Real.log x * y)) = if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else cexp (log ↑x * ↑y)
α : Type u_1
f : α → α
x : α
m n : ℕ
hn : Function.IsPeriodicPt f (n + m) x
hm : Function.IsPeriodicPt f m x
⊢ Function.IsPeriodicPt f n x
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
c : Chain α
z : β
⊢ ⊤ (ωSup c) ≤ z ↔ ωSup (c.map ⊤) ≤ z
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s : Finset α
⊢ ∅ - s = ∅
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ n) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℂ
⊢ Complex.abs (s.prod f) = ∏ I ∈ s, Complex.abs (f I)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
A : C
B : D
e : CategoryTheory.MonoOver A ≌ CategoryTheory.MonoOver B
⊢ (CategoryTheory.Subobject.lowerEquivalence e).functor = CategoryTheory.Subobject.lower e.functor
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: β)
x : β
⊢ MvPFunctor.M.dest (MvQPF.P F) (MvQPF.corecF g x) = (TypeVec.id ::: MvQPF.corecF g) <$$> MvQPF.repr (g x)
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
h : ⊥.jacobson = ⊥
f : R[X]
hf : f ∈ sInf (map C '' {J | J.IsMaximal})
n : ℕ
⊢ f.coeff n ∈ ⊥.jacobson
α : Type u_1
β : Type u_3
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
DecidableEq ε
DecidableEq ε'
s : Finset α
t : Finset β
γ : Type u_14
δ : Type u_15
u : Finset γ
v : Finset δ
DecidableEq ζ
DecidableEq ζ'
DecidableEq ν
f : ε → ζ → ν
g : α → β → ε
h : γ → δ → ζ
f' : ε' → ζ' → ν
g' : α → γ → ε'
h' : β → δ → ζ'
h_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ) (d : δ), f (g a b) (h c d) = f' (g' a c) (h' b d)
⊢ Finset.image₂ f (Finset.image₂ g s t) (Finset.image₂ h u v) =
  Finset.image₂ f' (Finset.image₂ g' s u) (Finset.image₂ h' t v)
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
SemilatticeSup β
Bot β
⊢ ⇑⊥ = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
m a : ℤ
γ' : CochainComplex.HomComplex.Cochain L ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj M) m
nm : ℤ
hnm : n + m = nm
nm' : ℤ
hnm' : nm + a = nm'
m' : ℤ
hm' : m + a = m'
⊢ (γ.comp γ' hnm).rightUnshift nm' hnm' = γ.comp (γ'.rightUnshift m' hm') ⋯
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
IsScalarTower 𝕜 A A
SMulCommClass 𝕜 A A
RegularNormedAlgebra 𝕜 A
x : Unitization 𝕜 A
⊢ ‖x‖ = ‖x.fst‖ ⊔ ‖(algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (ContinuousLinearMap.mul 𝕜 A) x.snd‖
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
⊢ Prime (minpoly R x)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
V : Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
sf : (i : ι) → (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (U i)))
h : IsCompatible F.val U sf
V_eq_supr_U : V = iSup U
⊢ ∃! s, ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = sf i
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ AddSubgroup.closure Set.univ = ⊤
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j : J
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
f : i ⟶ j
⊢ F.eventualRange j = Set.range (F.map f) ↔ ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), Set.range (F.map f) ⊆ Set.range (F.map (g ≫ f))
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ico a b) = ↑b - ↑a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
⊢ F.ε.app ((F.obj n).obj X) ≫ (F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X = 𝟙 ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X))
α : Type u_1
β δ : Type
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
C : Levenshtein.Cost α β δ
xs : List α
ys : List β
self : LevenshteinEstimator' C xs ys
⊢ self.pre_rev.reverse ++ self.suff = ys
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : ε < 1
h : ¬ε = 0
⊢ ε * spectralRadius 𝕜 a ≤ liminf (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
γ : Sort u_3
t : γ → Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
⊢ (vanishingIdeal (⋃ i, t i)).toIdeal = (⨅ i, vanishingIdeal (t i)).toIdeal
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f (EMetric.ball x r)
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
DecidableEq o
Zero α
⊢ Matrix.blockDiagonal 0 = 0
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : J ≠ 0
x : K
⊢ x ∈ I / J ↔ ∀ y ∈ J, x * y ∈ I
G : Type u
AddCommMagma G
IsRightCancelAdd G
⊢ IsLeftCancelAdd G
α : Type u_1
s : Finset α
f g : α → ℕ
h : ∀ a ∈ s, f a = g a
⊢ Nat.multinomial s f = Nat.multinomial s g
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
ha : IsLUB (range f) a
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 a)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
t : Set ℂ
ht : t ∈ 𝓝 w
g : ℝ → ℂ := fun x => w + ofReal x
this : Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 w)
⊢ (t ∩ (ball c R \ s)).Nonempty
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f g : α →₀ M
⊢ f.graph = g.graph ↔ f = g
α : Type u
DecidableEq α
a : α
l : List α
h : List.indexOf a l < l.length
⊢ l[List.indexOf a l] = a
k : Type u_1
V : Type u_2
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
s : Finset V
hp : AffineIndependent k Subtype.val
w₁ w₂ : V → k
hw : ∑ i ∈ s, w₁ i = ∑ i ∈ s, w₂ i
hwp : ∑ i ∈ s, w₁ i • i = ∑ i ∈ s, w₂ i • i
i : V
⊢ i ∈ s → w₁ i = w₂ i
x : ℝ
h : Real.cos x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt Real.tan (1 / Real.cos x ^ 2) x
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r✝ p : R[X]
n d : ℕ
r : R
⊢ (p * (monomial n) r).coeff (d + n) = p.coeff d * r
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
⊢ n.sqrt * n.sqrt + n.sqrt ≤ n.sqrt.succ.succ.mul (n.sqrt + 1)
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
p : ι → Prop
U : ι → Set (α × α)
H : (𝓤 α).HasBasis p U
s : Set α
⊢ TotallyBounded s ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ U i}
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S T : AddSubmonoid M
⊢ AddSubmonoid.map f S ≤ AddSubmonoid.map f T ↔ S ≤ T
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : ℝ≥0∞
⊢ a ∈ {a | ∀ᵐ (n : α) ∂μ.trim hm, f n ≤ a} ↔ a ∈ {a | ∀ᵐ (n : α) ∂μ, f n ≤ a}
n : ℕ
M : Type u_1
Zero M
t : Fin (n + 1) →₀ M
⊢ Finsupp.cons (t 0) t.tail = t
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
v : Projectivization K V
⊢ Projectivization.mk'' v.submodule ⋯ = v
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
⊢ Filter.Tendsto (fun a => ‖a‖) (𝓝 0) (𝓝 0)
ι : Type u_1
Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
⊢ MeasureTheory.volume s ≤ ∏ i : ι, EMetric.diam (Function.eval i '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r : List (List α)
n : ℕ
l : List α
L : List (List α)
ih : (∀ (l : List α), l ∈ L → l.length = n) → Nat.sum (map length L) = n * L.length
H : ∀ (l_1 : List α), l_1 ∈ l :: L → l_1.length = n
sum_map : Nat.sum (map length L) = n * L.length
⊢ Nat.sum (map length (l :: L)) = n * (l :: L).length
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
x : Dual K ((V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W')
⊢ ∃ y ∈ dualAnnihilator W, ∃ z ∈ dualAnnihilator W', y + z = F.dualMap x
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
iVU : V ⟶ U
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
p : ↥(unop (op V))
W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hpW : ↑((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) p) ∈ W
iWU : W ⟶ unop (op U)
h : (isFractionPrelocal R).pred fun x => ↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)
a b : R
h' : ∀ (x : ↥W), ∃ (hs : b ∉ (↑x).asIdeal), ↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x) = IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime (↑x).asIdeal) a ⟨b, hs⟩
hb₁ : b ∉ (↑⟨↑p, hpW⟩).asIdeal
s_eq₁ : ↑s ⟨↑p, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime (↑p).asIdeal) a ⟨b, hb₁⟩
hb₂ : b ∉ (↑⟨(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p, hpW⟩).asIdeal
s_eq₂ : ↑s ⟨(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime ((PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p).asIdeal) a ⟨b, hb₂⟩
⊢ (Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p).asIdeal (↑p).asIdeal (RingHom.id R) ⋯) (↑s ⟨(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p, ⋯⟩) = ↑(((structureSheaf R).val.map iVU.op) s) p
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hms : MeasurableSet s
hu : IsUniform X s ℙ μ
hnt : ¬μ s = ⊤
hns : ¬μ s = 0
⊢ pdf X ℙ μ =ᶠ[ae μ] s.indicator ((μ s)⁻¹ • 1)
⊢ Filter.comap Real.exp (𝓝[>] 0) = Filter.atBot
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → Set α
⊢ (⋂ i, f i).Nonempty ↔ ∃ x, ∀ (i : ι), x ∈ f i
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsLimit t.toCone
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), t.inl ≫ t.toCone.π.app j = (BinaryFan.mk (𝟙 X) 0).π.app j
this : Set.univ = Set.Iio 0 ∪ Set.Ioi 0 ∪ {0}
⊢ (Filter.Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[<] 0) (𝓝 0) ∧ Filter.Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)) ∧ Filter.Tendsto (fun x => log x * x) (pure 0) (𝓝 0)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
⊢ Y ^ 2 + (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃)) * Y - (C X ^ 3 + C (C W.a₂) * C X ^ 2 + C (C W.a₄) * C X + C (C W.a₆)) = 0 * Y ^ 3 + 1 * Y ^ 2 + (0 * C X ^ 3 + 0 * C X ^ 2 + C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃)) * Y + (-1 * C X ^ 3 + -C (C W.a₂) * C X ^ 2 + -C (C W.a₄) * C X + -C (C W.a₆))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
as : List α
⊢ pure ≤ traverse 𝓝
α : Type u
β : Type u_1
inst✝ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
a b c d : α
⊢ 0 < a * b ↔ 0 < a ∧ 0 < b
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
h : W.Nonsingular x y
⊢ W.Nonsingular x (W.negY x y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Monoid γ
TopologicalSpace α
AddCommMonoid α
DistribMulAction γ α
ContinuousConstSMul γ α
f : β → α
a : α
b : γ
hf : HasSum f a
⊢ HasSum (fun i => b • f i) (b • a)
R : Type u_1
CommRing R
Fintype R
DecidableEq R
R' : Type u_2
CommRing R'
IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
b : R
hψ : ψ.IsPrimitive
⊢ ∑ x : R, ψ (x * b) = ↑(if b = 0 then Fintype.card R else 0)
K : Type u
Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
σ : K[n√a] ≃ₐ[K] K[n√a]
⊢ ↑((autAdjoinRootXPowSubCEquiv hζ hn H).symm σ) • AdjoinRoot.root (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a) =
  σ (AdjoinRoot.root (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a))