ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hx : x ∈ s
L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
u₀ : Set (β × β)
hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β
u₁ : Set (β × β)
h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β
u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀
u₂ : Set (β × β)
h₂ : u₂ ∈ 𝓤 β
hsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ u₂ → (b, a) ∈ u₂
u₂₁ : u₂ ○ u₂ ⊆ u₁
t : Set α
tx : t ∈ 𝓝[s] x
F : α → β
hFc : ContinuousWithinAt F s x
hF : ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u₂
A : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, (f y, F y) ∈ u₂
⊢ u₀ ∈ map (fun x_1 => (f x_1, f x)) (𝓝[s] x)
F : Type u_1
Field F
f : F[X]
h : Irreducible f
⊢ 0 < f.natDegree
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E 2 μ)
c : E
h_mem_Lp : Memℒp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) 2 μ
h_eq : ↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) h_mem_Lp) =ᶠ[ae μ] fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) (Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜) ⋯)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) h_mem_Lp) x ∂μ
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
κ : Type u_6
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : Subsingleton M
f : M →ₗ[R] M
b : Basis (Fin 0) R M
⊢ ((toMatrix b b) f).det = 1
⊢ Smooth 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) UpperHalfPlane.coe
M₀ : Type u_4
MonoidWithZero M₀
Div M₀
self : MulDivCancelClass M₀
a b : M₀
⊢ b ≠ 0 → a * b / b = a
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X : C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : PreservesColimit (Functor.empty C) G
F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ D
⊢ HasColimit F
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C)).hom ≫ ((X₁ ◁ (λ_ X₂).inv ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).hom) ≫ (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ ((ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ c : Con M
f : M → N
H : ∀ (x y : M), f (x * y) = f x * f y
h : mulKer f H ≤ c
hf : Surjective f
⊢ c.mapGen f = conGen ⇑(c.mapOfSurjective f H h hf)
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)) Filter.atTop (𝓝 (Complex.Gamma s))
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ
this : n + k + 1 = n + (k + 1)
⊢ (n + k + 1).choose n * (k + 1) = (n + k + 1).choose n * (n + k + 1 - n)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
X : D
⊢ (CategoryTheory.Sum.swap C D).obj (Sum.inr X) = Sum.inl X
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
S : ConvexCone ℝ E
⊢ ConvexCone.comap LinearMap.id S = S
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
AddCommGroup V'
Module R V'
AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P ≃ᵃ[R] P'
⊢ (AffineSubspace.map (↑f) s).SOppSide (f x) (f y) ↔ s.SOppSide x y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ ⇑(tangentBundleModelSpaceHomeomorph H I) = ⇑(Bundle.TotalSpace.toProd H E)
α : Type u_1
G : Type u_9
AddGroup G
f : α →₀ G
a : α
⊢ Finsupp.erase a f = f - Finsupp.single a (f a)
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : R1Space X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : BorelSpace Y
inst✝² : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
l : Filter α
f : α → C(X, Y)
g : C(X, Y)
hfg : Tendsto f l (𝓝 g)
hf : ∀ᶠ (a : α) in l, MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν
this : ν.InnerRegularCompactLTTop
s : Set Y
hs : MeasurableSet s
hνs : ν s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hso : IsOpen s
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, μ ((⇑(f x) ⁻¹' s) ∆ (⇑g ⁻¹' s)) ≤ ε
m k n : Nat
H1 : m.Coprime k
H2 : n.Coprime k
⊢ (m * n).Coprime k
G : Type u_1
AddGroup G
s t : Set G
h : s ⊆ t
⊢ AddGroup.closure s ⊆ AddGroup.closure t
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
⊢ map f ⁅comap f J₁, comap f J₂⁆ ≤ ⁅J₁, J₂⁆
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
n : ℕ
h : 2 ≤ 2 + n
⊢ dickson k a (2 + n) = X * dickson k a (2 + n - 1) - C a * dickson k a (2 + n - 2)
α : Type u_1
s t : Multiset α
⊢ s ⋖ t ↔ ∃ a, a ::ₘ s = t
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
⊢ closure t ⊆ zeroLocus 𝒜 ↑(vanishingIdeal t)
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
CommRing A
Algebra R A
x : L
⊢ (LieModule.toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x) = LinearMap.baseChange A ((LieModule.toEnd R L M) x)
α : Type u_1
s t u : Set α
hs : Disjoint s u
ht : Disjoint t u
⊢ Disjoint (s ∪ t) u
n : ℕ
⊢ Fintype.card ↑(incl.obj (mk n)) = n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
x y : E
⊢ ⟪(r • x, y).1, (r • x, y).2⟫_𝕜 = r • ⟪(x, y).1, (x, y).2⟫_𝕜
M : Type u_1
Add M
c : AddCon M
x y : M
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ primitiveRoots 0 R = ∅
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
h : H ≤ K
⊢ H.relindex K ∣ H.index
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ AkraBazziRecurrence.asympBound g a b =O[Filter.atTop] T
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
⊢ ↑I '' e.target ⊆ ↑(I.restr e.target).symm ⁻¹' e.target
R : Type u_1
Semiring R
x y : R
p : R[X]
⊢ Polynomial.evalEval x y (Polynomial.C p) = Polynomial.eval x p
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
r : R
⊢ φ ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R B) r
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
z : S
⊢ ∃ r m, z = r • ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid M S) m)
p n r b : ℕ
hp : Nat.Prime p
hbn : Nat.log p n < b
⊢ p ^ r ∣ n ! ↔ r ≤ ∑ i ∈ Finset.Ico 1 b, n / p ^ i
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2
⊢ dist p1 p3 = |dist p1 p2 - dist p3 p2| ↔ EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3 = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
s t✝ : Set α
a b : α
s₁ s₂ : Set α
hs : s₁ ≤ s₂
h₂ : SupClosed s₂
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s₁
⊢ t.sup' ht id ∈ s₂
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
AddCommGroup U
Module R U
AddCommGroup V
Module R V
AddCommGroup W
Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
r : R
u : U
⊢ A.compHahnSeries B (r • u) = r • A.compHahnSeries B u
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
x : ↥H
⊢ ↑x⁻¹ = (↑x)⁻¹
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableEq V
DecidableRel G.Adj
v : V
⊢ Gᶜ.neighborFinset v = (G.neighborFinset v)ᶜ \ {v}
α : Type u_2
SemilatticeSup α
⊢ Monotone ⇑supClosure
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
i : ι
hxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4
hz : ‖(x - const ι (3 / 4 * δ) - z) i‖ ≤ δ / 4
⊢ z i < y i
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
hconn : G.Connected
u v : V
⊢ ∃ p, ↑p.length = G.edist u v
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Option β
l : List α
⊢ (List.filterMap f l).length ≤ l.length
α : Type u
s : Set α
⊢ s ∈ 𝓟 s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f : Π₀ (i : ι), α i
⊢ (Iic f).card = ∏ i ∈ f.support, (Iic (f i)).card
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : MultilinearMap 𝕜 E G
ε : ι → ℝ
C : ℝ
hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i
c : ι → 𝕜
hc : ∀ (i : ι), 1 < ‖c i‖
hf : ∀ (m : (i : ι) → E i), (∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖m i‖) → (∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε i) → ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
m m✝ : (i : ι) → E i
i✝ : ι
h : ‖m✝ i✝‖ = 0
⊢ ‖f m✝‖ = 0
α : Type u_1
A : Type u_3
AddGroup A
Monoid α
DistribMulAction α A
a : α
S : AddSubgroup A
⊢ (a • S).toAddSubmonoid = a • S.toAddSubmonoid
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ K₂' : HomologicalComplex C₂ c₂
φ : K₂ ⟶ K₂'
i₁✝ : I₁
i₂✝ i₂'✝ : I₂
a✝ : c₂.Rel i₂✝ i₂'✝
⊢ (F.obj (K₁.X i₁✝)).map (φ.f i₂✝) ≫ (F.obj (K₁.X i₁✝)).map (K₂'.d i₂✝ i₂'✝) = (F.obj (K₁.X i₁✝)).map (K₂.d i₂✝ i₂'✝) ≫ (F.obj (K₁.X i₁✝)).map (φ.f i₂'✝)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P P' Q Q' : Fin 3 → R
hP : P ≈ P'
hQ : Q ≈ Q'
⊢ W'.add P Q ≈ W'.add P' Q'
α : Type u
β : Type v
Preorder α
LinearOrder β
f g : α → β
hf : Antitone f
hg : Antitone g
⊢ Antitone fun x => max (f x) (g x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
n : ℤ
h : n = 0
X : CochainComplex C ℤ
i : ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftFunctorZero' C n h).hom.app X).f i = (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).hom
x : SetTheory.PGame
i : x.RightMoves
⊢ x.moveRight i = -(-x).moveLeft (SetTheory.PGame.toLeftMovesNeg i)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hx' : dist x c ≠ 0
hy' : dist y c ≠ 0
⊢ R ^ 2 / dist x c = R ^ 2 / (dist x c * dist y c) * dist x y ↔ dist x y = dist y c
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝¹ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
n✝ n : ℕ
⊢ derivative (p ^ n.succ) = C ↑n.succ * p ^ (n.succ - 1) * derivative p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
⊢ automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' b) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' b)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
U : Set (PrimeSpectrum R[X])
s : Set R[X]
z : zeroLocus s = Uᶜ
⊢ IsOpen (⋃ i, ⇑(PrimeSpectrum.comap C) '' (zeroLocus {↑i})ᶜ)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
⊢ n ≤ hitting u s n m ω
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
⊢ f 0 ((ComplexShape.up ℕ).prev 0) ≫ Q.d ((ComplexShape.up ℕ).prev 0) 0 = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs₀ : μ s ≠ 0
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ ⨍ (x : α) in s, c ∂μ = c
x y : ℕ
this : Nat.P x y (x.xgcdAux 1 0 y 0 1)
⊢ ↑(x.gcd y) = ↑x * x.gcdA y + ↑y * x.gcdB y
R : Type u
Ring R
s : Subring R
x : R
⊢ x ∈ s.toSubmonoid ↔ x ∈ s
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : f ≤ 0
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ 0
α : Type u_1
l₁ l₂ l : List α
p : l₁ ~ l₂
⊢ l₁ <+~ l ↔ l₂ <+~ l
α : Type u
s t u : Set α
hs : s ⊆ t ∪ u
ht : t ⊆ s ∪ u
⊢ s ∪ u = t ∪ u
n : ℕ
⊢ n < Nat.fib (n.greatestFib + 1)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : Option α}, a.isSome = false ↔ a.isNone = true
L : Type u_1
TopologicalSpace L
α : Type u_3
l : Filter α
f g : α → L
x y : L
Sup L
ContinuousSup L
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 y)
⊢ Filter.Tendsto (f ⊔ g) l (𝓝 (x ⊔ y))
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → X → α
x₀ : X
hα : (𝓤 α).HasBasis p s
⊢ (∀ (i : κ), p i → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α (s i)}) ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s k
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
h₁ : ↑⌈x⌉₊ < x + 1
h₂ : 1 - x ≤ 2 - ↑⌈x⌉₊
⊢ rexp (-2 * x) ≤ rexp (1 - x) / (x + 1)
R : Type u
A : Type v
Field R
Field A
Algebra R A
p : R[X]
x : A
hx : x ∈ p.rootSet A
⊢ IsAlgebraic R x
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
B : Matrix n m α
h : IsUnit A.det
⊢ A⁻¹ * (A * B) = B
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
g : β → α
h : Function.LeftInverse f g
⊢ f ∘ g = id
α : Type u_3
β : Type u_4
Group α
a : α
MulAction α β
b : β
n : ZMod (Function.minimalPeriod (fun x => a • x) b)
⊢ (MulAction.zpowersQuotientStabilizerEquiv a b).symm n = ↑⟨a, ⋯⟩ ^ n.cast
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
hE : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ).toReal ≤ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ).toReal ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ).toReal ^ (1 / q)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
hU' : IsQuasiSeparated U.carrier
f : ↑Γ(X, U)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
⊢ ∃ n y, (y |_ X.basicOpen f) ⋯ = (f |_ X.basicOpen f) ⋯ ^ n * x
α : Type u_1
CompleteLattice α
s t : Set α
⊢ sInf s ⊔ sInf t ≤ sInf (s ∩ t)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
⊢ ↑(padicNormE ↑q) = ↑(padicNorm p q)
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
S : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} S
F : CategoryTheory.Functor S T
X : T
f : (Y : S) → F.obj Y ⟶ X
h : ∀ {Y Z : S} (g : Y ⟶ Z), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map g) (f Z) = f Y
⊢ (F.toOver X f ⋯).comp (CategoryTheory.Over.forget X) = F
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
ho : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ ↑((CochainComplex.HomComplex.Cochain.equivHomotopy φ₁ φ₂) ho) = CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHomotopy ho
α : Type u_1
⊢ Function.Injective Finset.sym2
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
⊢ (π.toSubordinate r).IsHenstock
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∑ x ∈ s.erase a, f x + f a = ∑ x ∈ s, f x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝ : Algebra R S
hI : I.IsPrime
hIJ : I ≤ J
x : S
mem : x ∈ ↑J \ ↑I
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hpx : eval₂ (algebraMap R S) x p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap R S) x p ∈ I
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
inst✝⁵ : Fintype α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
n : ℕ
a b c : α
s : Finset α
inst✝² : DecidableRel H.Adj
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : DecidableEq β
f : α ↪ β
hn : n ≠ 1
⊢ ↑((SimpleGraph.map f G).cliqueFinset n) = ↑(map { toFun := map f, inj' := ⋯ } (G.cliqueFinset n))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ t
⊢ _root_.Disjoint (s.erase a) (insert a t) ↔ _root_.Disjoint s t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
this : ∀ (b : β), (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) ≤ (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t)
ht : MeasurableSet t
h2t : ((κ ⊗ₖ η) a) t ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) < ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i✝ : ℕ
x✝ : Fin i✝ → M
⊢ (((toDirectSum.comp ofDirectSum).toLinearMap ∘ₗ DirectSum.lof R ℕ (fun i => ⨂[R]^i M) i✝).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)) x✝ = (((AlgHom.id R (⨁ (n : ℕ), ⨂[R]^n M)).toLinearMap ∘ₗ DirectSum.lof R ℕ (fun i => ⨂[R]^i M) i✝).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
⊢ map f μ = 0 ↔ μ = 0
X : Compactum
A : Set X.A
⊢ A ⊆ Compactum.cl A
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
ab : a ≤ b
i : ℕ
cv : Icc a b ⊆ Ioo (c i) (d i) ∪ ⋃ x ∈ ↑(s.erase i), Ioo (c x) (d x)
cb : c i < b
is : i ∈ s
bd : b < d i
⊢ Icc a (c i) ⊆ ⋃ i_1 ∈ ↑(s.erase i), Ioo (c i_1) (d i_1)
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
r C : ℝ≥0∞
hr : r < 1
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
⊢ CauchySeq f
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ o.oangle x z - o.oangle y z = o.oangle x y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
Gₗ : Type u_9
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup Fₗ
SeminormedAddCommGroup Gₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 Fₗ
NormedSpace 𝕜 Gₗ
f : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
x x' : E
y y' : Fₗ
⊢ (f (x + x')) (y + y') = (f x) y + (f.deriv₂ (x, y)) (x', y') + (f x') y'
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
⊢ 𝟭 (W.Localization ⥤ D) = functor W D ⋙ inverse W D
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s s' : Set β
h : s ⊆ s'
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun n => κ.densityProcess ν n a x s'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
x : (b : β) → π b
r : ℝ
hr : 0 < r
p : (b : β) → π b
⊢ p ∈ ball x r ↔ p ∈ Set.univ.pi fun b => ball (x b) r
m : Type u_1
Fintype m
K : Type u
Field K
DecidableEq m
DecidableEq K
w : m → K
⊢ (Matrix.toLin' (Matrix.diagonal w)).rank = ↑(Fintype.card { i // w i ≠ 0 })
α : Type u_2
Fintype α
Encodable α
DecidableEq α
⊢ (Encodable.sortedUniv α).toFinset = Finset.univ
a b c d : ℤ
hb : b ≠ 0
hbc : b ∣ c
h : b * a = c * d
⊢ a = c / b * d
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ b ≤ -a + c ↔ a + b ≤ c
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : g ∘ ↑f = ↑gf
⊢ ↑f x ∈ ↑f.symm.symm.symm ⁻¹' gf.source
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
⊢ H ≤ H.normalizer
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0∞
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ∏ i ∈ s, f i ^ r = (∏ i ∈ s, f i) ^ r
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y : α
h : x = y
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
⊢ ltByCases x y h₁ h₂ h₃ = h₂ h
n : ℕ
⊢ List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) n.primeFactorsList
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
v : ι → M
hv : Submodule.span R (Set.range v) = ⊤
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ LinearMap.range (finsuppTotal ι M I v) ↔ ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • v i) = x✝
a b c : ℤ
hdvd : (¬3 ∣ a ∧ ¬3 ∣ b) ∧ ¬3 ∣ c
⊢ ¬↑(a ^ 3 + b ^ 3) = ↑(c ^ 3)
a b : SimplexCategory
f : Fin (a.len + 1) →o Fin (b.len + 1)
⊢ (SimplexCategory.Hom.mk f).toOrderHom = f
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
MeasurableSingletonClass Ω
s : Set Ω
u t : Set Ω
hs : s.Finite
⊢ (ProbabilityTheory.condCount (s ∩ u)) t * (ProbabilityTheory.condCount s) u +
    (ProbabilityTheory.condCount (s ∩ uᶜ)) t * (ProbabilityTheory.condCount s) uᶜ =
  (ProbabilityTheory.condCount s) t
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
⊢ ¬Module.Finite R R[X]