ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝓕 : Type u_1
α✝ : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedCommGroup E✝
inst✝² : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E✝
r r₁ r₂ : ℝ
α : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f✝ g : α → E
s : Set α
x✝ : α
f : E → F
hf : AntilipschitzWith K f
x y : E
⊢ ‖x / y‖ ≤ ↑K * ‖f x / f y‖
x : ℝ≥0∞
n : ℕ
z : ℝ
⊢ x ^ (↑n * z) = (x ^ n) ^ z
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
f g : AddConstMap G H a b
h : ∀ (x : G), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
IsRefl α r
f : β → α
c : Set β
h : IsChain (f ⁻¹'o r) c
⊢ Directed r fun x => f ↑x
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel j i
A : C
f g : X φ j ⟶ A
h₁ : inlX φ i j hij ≫ f = inlX φ i j hij ≫ g
h₂ : inrX φ j ≫ f = inrX φ j ≫ g
this : HasBinaryBiproduct (F.X i) (G.X j)
⊢ biprod.inr ≫ (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ f = biprod.inr ≫ (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ g
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
f : M →+ N
⊢ AddMonoidHom.comp 0 f = 0
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommMonoid M
Module R M
A : ι → Submodule R M
DecidableEq M
x : DirectSum ι fun i => ↥(A i)
⊢ (DirectSum.coeLinearMap A) x = DFinsupp.sum x fun i x => ↑x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D
F : C ⥤ D
ι : Type u_3
c : ComplexShape ι
inst✝¹⁰ : Preadditive C
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : CategoryWithHomology C
inst✝⁷ : CategoryWithHomology D
inst✝⁶ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝⁵ : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization
inst✝⁴ : F.Additive
inst✝³ : F.PreservesHomology
inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C
inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D
inst✝ : (HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)
K : HomologicalComplex C c
⊢ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map (𝟙 (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K))) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ 𝟙 (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.obj ((F.mapHomotopyCategory c).obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K))) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map (𝟙 ((F.mapHomotopyCategory c).obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K)))
α : Sort u_1
s₁ : Setoid α
a b : α
⊢ Setoid.r a b → Quotient.mk'' a = Quotient.mk'' b
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
a : M
ha : a ∈ S
⊢ ⟨a, ha⟩ = 1 ↔ a = 1
α : Type u
β : Type v
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
f : α → β
hf : RightOrdContinuous f
h : Function.Injective f
⊢ ⇑(RightOrdContinuous.toOrderEmbedding f hf h) = f
⊢ ¬Summable fun i => 1 / (↑i + 1)
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
s : Set α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
⊢ (f.subtypePerm ⋯).IsCycle
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a
⊢ ∀ x ∈ b :: l, 1 < x
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
f f' : ι → β → α
g g' : β → α
s : Set β
hf : TendstoUniformlyOn f g l s
hf' : TendstoUniformlyOn f' g' l s
⊢ TendstoUniformlyOn (f + f') (g + g') l s
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
f : A →+* B
hf : Surjective ⇑f
hker : (ker f).FG
⊢ f.FinitePresentation
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
CommRing k
CharP k p
a : kˣ
A : WittVector p k
hA : A.coeff 0 = ↑a
⊢ ↑(WittVector.mkUnit hA) = A
m n : Nat
H : n ∣ m
⊢ m.gcd n = n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.map norm f.posPart = f.posPart
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
DecidableEq β
s : Set α
t : Set β
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hf : (s • t).Finite := ⋯
⊢ Set.Finite.toFinset hf = hs.toFinset • ht.toFinset
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ [] ≠ l₂ ∧ ¬[] ∈ L
⊢ (Chain' R l₁ ∧ Chain' R l₂ ∧ (∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L) ∧ ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ↔ Chain' R l₁ ∧ Chain' R l₂ ∧ (∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧ (∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M✝ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M✝
a b : α
s t : Set α
M : Type u_7
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
hf : (mulSupport f).Finite
i : ι
hi : 1 < f i
⊢ i ∈ hf.toFinset
⊢ ∀ {α : Type u_1} {h₁ : α} {t₁ : List α} {h₂ : α} {t₂ : List α}, h₁ :: t₁ = h₂ :: t₂ → h₁ = h₂
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
h : MeasurableSpace.CountablyGenerated α
n : ℕ
s t : Set α
hs : s ∈ MeasurableSpace.countablePartition α n
ht : t ∈ MeasurableSpace.countablePartition α n
hst : s ≠ t
⊢ Disjoint s t
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : PartialOrder α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
a : α
x✝ : a ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑(upperClosure s)
b : α
hb : b ∈ s
hba : b ≤ a
right✝ : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ ↑(upperClosure s) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a → (fun x x_1 => x ≤ x_1) a b
⊢ a ∈ s
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
⊢ ofBoolRing 1 = ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter α
g : Filter β
t : Set β
⊢ t ∈ f +ᵥ g ↔ ∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ g, t₁ +ᵥ t₂ ⊆ t
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ MeasureTheory.measurableCylinders α
ht : t ∈ MeasureTheory.measurableCylinders α
⊢ s ∩ t ∈ MeasureTheory.measurableCylinders α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
⊢ MeasurableSet (liminf s atTop)
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
NonUnitalNonAssocRing α
Fintype n
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
⊢ M * -N = -(M * N)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β
hx : IsMax x
⊢ IsMax x.1
n : ℕ
⊢ ↑n < Cardinal.aleph0
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥S
⊢ S = ⊥
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
n : ℕ
⊢ ∃ q, (GenContFract.of v).convs n = ↑q
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ 1 ∈ Set.range fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ LineDifferentiableAt 𝕜 f₁ x v
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
⊢ ↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin = (toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂
X : Type u_1
TopologicalSpace X
p : X → Prop
x y : Subtype p
⊢ (x ~ᵢ y) ↔ (↑x ~ᵢ ↑y)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → ℕ
⊢ (Matrix.of fun i j => Polynomial.eval (↑(v i)) (descPochhammer ℤ ↑j)).det = ↑(∏ i : Fin n, (↑i)!) * (Matrix.of fun i j => ↑((v i).choose ↑j)).det
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
AddCommMonoid α
f : β → α
γ : Type u_5
DivisionRing γ
Module γ α
ContinuousConstSMul γ α
T2Space α
g : γ
⊢ ∑' (i : β), g • f i = g • ∑' (i : β), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
⊢ (fun j => ⨆ i, ∑ i_1 ∈ j, (↑i).lintegral (μ i_1)) = fun s => ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
StrongRankCondition R
Module.Free R M
Module.Free R M'
⊢ Module.rank R (M × M') = Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M) + Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R M')
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
⊢ Filter.limsup f ⊥ = ⊥
a : ℝ
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun x => cosKernel (↑a) x - 1) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
x : PartENat
hx : Decidable x.Dom
hy : Decidable ⊤.Dom
⊢ x.toWithTop ≤ ⊤.toWithTop ↔ x ≤ ⊤
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : LocallyConstant X (Fin 2)
h : ∀ (x : X), f x = 0 ↔ g x = 0
⊢ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p : α → Prop
f : β → α
hf : Injective f
hf' : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∈ range f
hf'' : ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → MeasurableSet (f '' s)
⊢ f '' univ ∈ ae μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
s : Finset ι
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting
this : DecidableEq ι
hs : s.card ≤ Fintype.card α
⊢ (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
α : Type u
a : α
l : List α
n : ℕ
h : n + 1 ≤ (a :: l).length
hnl : n ≤ l.length
⊢ (a :: l).rotate' (n + 1) = drop (n + 1) (a :: l) ++ take (n + 1) (a :: l)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
h : LieAlgebra.zeroRootSubalgebra R L H = H
⊢ H.IsCartanSubalgebra
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
Fintype ↑(G.neighborSet v)
⊢ Disjoint (G.neighborFinset v) {v}
α : Type u_1
β : Type u_4
f : α → ℝ
hf : Summable f
hn : ∀ (a : α), 0 ≤ f a
i : β → α
hi : Function.Injective i
⊢ tsum (f ∘ i) ≤ tsum f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.homologyπ S.leftHomologyIso.inv = S.leftHomologyπ
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t t₁ : Set β
⊢ s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t₁ ↔ s = s₁ ∧ t = t₁ ∨ (s = ∅ ∨ t = ∅) ∧ (s₁ = ∅ ∨ t₁ = ∅)
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hα : IsIntegral F α
hβ : IsIntegral F β
f : F[X] := minpoly F α
g : F[X] := minpoly F β
ιFE : F →+* E := algebraMap F E
ιEE' : E →+* (Polynomial.map ιFE g).SplittingField := algebraMap E (Polynomial.map ιFE g).SplittingField
c : F
hc : ∀ α' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) g).roots, -(α' - ιEE' α) / (β' - ιEE' β) ≠ (ιEE'.comp ιFE) c
γ : E := α + c • β
p : (↥F⟮γ⟯)[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) f).comp (C (AdjoinSimple.gen F γ) - C ⟨(algebraMap F E) c, ⋯⟩ * X)) (Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) g)
h : E[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map ιFE f).comp (C γ - C (ιFE c) * X)) (Polynomial.map ιFE g)
map_g_ne_zero : Polynomial.map ιFE g ≠ 0
h_ne_zero : h ≠ 0
h_sep : h.Separable
⊢ Polynomial.map (algebraMap (↥F⟮γ⟯) E) p = C h.leadingCoeff * (X - C β)
X : Type u
Preorder X
x y z : X
h : x ≤ y
k : y ≤ z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.homOfLE h) (CategoryTheory.homOfLE k) = CategoryTheory.homOfLE ⋯
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoDiv hp a (b - m • p) = toIcoDiv hp a b - m
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b
w₁ : m ∈ b
⊢ 2 ≤ Finset.card b
E : Type u_4
AddGroup E
p q : AddGroupNorm E
⊢ p ≤ q ↔ ⇑p ≤ ⇑q
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
⊢ (p * Polynomial.X).reverse = p.reverse
a : Int
⊢ ↑a.natAbs ∣ a
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x z
H2 : IsCoprime y z
a b : R
h1 : a * x + b * z = 1
c d : R
h2 : c * y + d * z = 1
⊢ (a * x + b * z) * (c * y + d * z) = 1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
C : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
ι : ∀ (x : M), C ((CliffordAlgebra.ι Q) x)
mul : ∀ (a b : CliffordAlgebra Q), C a → C b → C (a * b)
add : ∀ (a b : CliffordAlgebra Q), C a → C b → C (a + b)
a : CliffordAlgebra Q
s : Subalgebra R (CliffordAlgebra Q) := { carrier := C, mul_mem' := mul, one_mem' := ⋯, add_mem' := add, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := algebraMap }
h : AddCommMonoid ↥s := inferInstanceAs (AddCommMonoid ↥(Subalgebra.toSubmodule s))
of : { f // ∀ (m : M), f m * f m = (_root_.algebraMap R ↥s) (Q m) } := ⟨LinearMap.codRestrict (Subalgebra.toSubmodule s) (CliffordAlgebra.ι Q) ι, ⋯⟩
⊢ C a
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
this : Tendsto (fun ε => μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (f '' s)))
⊢ ∀ a ∈ Ioi 0, ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑a * μ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E
⊢ q.partialSum N (∑ i ∈ Finset.Ico 1 N, (p i) fun _j => z) =
  ∑ i ∈ FormalMultilinearSeries.compPartialSumTarget 0 N N, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => z
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y
g : Z → W
hf : Inducing f
hg : Inducing g
x✝ : X × Z
x : X
z : Z
⊢ 𝓝 (x, z) = comap (Prod.map f g) (𝓝 (Prod.map f g (x, z)))
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
m : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p m) f ≠ 0
⊢ valAux K v O hv p (f * g) = valAux K v O hv p f * valAux K v O hv p g
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ W.preΨ (-n) = -W.preΨ n
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ Polynomial.derivative p = p.sum fun n a => Polynomial.C (a * ↑n) * Polynomial.X ^ (n - 1)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C
⊢ (singleObjHomologySelfIso c j A).hom ≫ (singleObjOpcyclesSelfIso c j A).hom = ((single C c j).obj A).homologyι j
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible a
⊢ ⅟a * (a * b) = b
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
Ring R
Ring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
I : Ideal R
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Ideal.map f I = ⊥ ↔ I = ⊥
ι : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
V : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Invertible 2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
Q : QuadraticForm K V
hQ : LinearMap.SeparatingLeft (associated Q)
v : Basis (Fin (FiniteDimensional.finrank K V)) K V
hv₁ : LinearMap.IsOrthoᵢ ((associatedHom K) Q) ⇑v
⊢ ∃ w, Equivalent Q (weightedSumSquares K w)
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
Semiring C
Algebra R C
StarRing C
StarModule R C
φ : A →⋆ₙₐ[R] C
x : Unitization R A
⊢ (Unitization.starLift φ) x = (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
⊢ IsLocalDiffeomorphOn I J n f s ↔ ∀ (x : ↑s), IsLocalDiffeomorphAt I J n f ↑x
α : Type u_1
OrderedSemiring α
a b : α
ha : a < 0
hb : b = 0
⊢ a + b < 0
α : Type u
β : Type v
f : α → List β
⊢ List.nil.bind f = List.nil
β : Type u_2
ι : Type u_11
t : Set ι
s : ι → Set β
w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤
x : β
⊢ ∃ i ∈ t, x ∈ s i
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.60069, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
F : J ⥤ C
c : Cocone F
inst✝ : G.IsEquivalence
hc : IsVanKampenColimit c
e : F ⋙ G ⋙ G.inv ≅ F := NatIso.hcomp (Iso.refl F) G.asEquivalence.unitIso.symm
⊢ IsVanKampenColimit ((Cocones.precompose e.inv).obj (G.inv.mapCocone (G.mapCocone c)))
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
x : PiTensorProduct R fun i => s i
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
h : p ∈ x.lifts
a : R
⊢ List.map (fun y => (a * y.1, y.2)) p ∈ (a • x).lifts
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u}
h : Cardinal.lift.{max (u + 1) v, u} c < Cardinal.univ.{u, v}
S : Set Ordinal.{u}
H : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
Se : #↑S = (type fun x x_1 => x < x_1).cof
⊢ Cardinal.lift.{u + 1, u} c < #↑S
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : CommGroup β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s t u : Finset α
a : α
d : ℕ
ht : t ⊆ s
hu : u ⊆ s
⊢ ∏ a ∈ s, a ^ ((↑t).indicator 1 - (↑u).indicator 1) a = (∏ a ∈ t, a) / ∏ a ∈ u, a
a b : ℕ
a1 : a ≠ 1
b1 : b ≠ 1
⊢ ¬Nat.Prime (a * b)
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2 = ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, -(((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen))
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddGroup A
CategoryTheory.HasShift C A
n m : A
h : n + m = 0
X : C
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map ((CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C n m h).hom.app X) =
  (CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C m n ⋯).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj X)
V : Type u
G : SimpleGraph V
α : Type v
C : G.Coloring α
c : V
⊢ IsAntichain G.Adj {x | (Setoid.ker ⇑C).Rel x c}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c • μ s = ⊤ → μ s = ⊤
⊢ DominatedFinMeasAdditive μ T (c.toReal * C)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
A : Comon_ (Mon_ C)
⊢ ((Bimon_.toComon_ C).obj A).comul = A.comul.hom
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x✝ y✝ : F
h : W.Nonsingular x✝ y✝
a₂✝ : W.Point
hP : toClass (some h) = toClass a₂✝
⊢ some h = a₂✝
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set (α → β)
t : Set α
⊢ s.seq t = ⋃ f ∈ s, f '' t
α : Type u_1
x✝ y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C
this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹
N : ℕ
hN : ∀ k ≥ N, ↑k ^ n < rexp ↑k / (rexp 1 * C)
x : ℝ
hx : ↑N < x
hx₀ : 0 < x
⊢ x ^ n ≤ rexp x / C
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
this : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁
⊢ ¬a₁ < a₂ ∧ ¬b₁ < b₂
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
s : Set L
hs : s = ↑S
⊢ ↑(S.copy s hs) = s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
⊢ update f i '' Ioo a b = Ioo (update f i a) (update f i b)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
f : (i : ι) → α i → β i
⊢ (range fun g i => f i (g i)) = univ.pi fun i => range (f i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
hs : s.Nonempty
ht₁ : Convex ℝ ∅
ht₂ : IsClosed ∅
disj : Disjoint s ∅
⊢ ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ ∅, v < f b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w₁
CategoryTheory.Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
CategoryTheory.Category.{max v u, w₂} E
F : CategoryTheory.Functor D E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
(X : C) →
    (W : J.Cover X) →
      (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
X : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (J.plusFunctorWhiskerRightIso F).inv.app X = (J.plusCompIso F X).inv
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₁
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup M₁
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
NormedSpace 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
S : Set M₁
hS : Bornology.IsBounded S
⊢ ∃ K, IsCompact K ∧ ⇑f '' S ⊆ K
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v w : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
h : v.restrict i ≤ w.restrict i
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j
⊢ ↑((-w).restrict i) j ≤ ↑((-v).restrict i) j