ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀✝ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
n : ℕ
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)
v : Set (E × F)
hv : v ∈ 𝓝[insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)] (x₀, g x₀)
hvs : v ⊆ insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)
f' : E × F → E × F →L[𝕜] G
hvf' : ∀ x ∈ v, HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' x) (insert x₀ s ×ˢ t) x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑↑n) f' (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun x => (fun z => (f' (z, g z)).comp (ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E F)) x) s x₀
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
c : α
⊢ c + a ≡ c + b [PMOD p] → a ≡ b [PMOD p]
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : N ≃* P
⊢ f.mulEquivOfLocalizations (f.ofMulEquivOfLocalizations k) = k
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f_closed : IsClosedMap f
f_cont : Continuous f
F : Filter X
⊢ (map f F).lift' closure = map f (F.lift' closure)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : s =ᶠ[ae μ] ∅
⊢ s ∩ t =ᶠ[ae μ] ∅
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : cfc 0 a = cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x ^ 3) a
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
⊢ ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
R : Type u_1
ι : Type u_3
Semiring R
⊢ ⇑Finsupp.basisSingleOne = fun i => Finsupp.single i 1
R : Type u
CommSemiring R
t : Multiset R[X]
h : (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod ≠ 0
⊢ t.prod.natDegree = (Multiset.map (fun f => f.natDegree) t).sum
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
f : M →+ N
g : M →+ P
⊢ ⇑(f.prod g) = Pi.prod ⇑f ⇑g
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
G : Type u_2
inst✝ : Group G
n : ℕ
⊢ ∀ (x : Vector G 1), x.head = 1 → x = 1 ::ᵥ Vector.nil
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Submodule.span (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
r : ↑↑s
n₁ : ℕ
hn₁ : (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) ((algebraMap R S) ↑⟨↑r ^ n₁, ⋯⟩ * x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ : ⟨(fun x => ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ((algebraMap R S) ↑⟨↑r ^ n₁, ⋯⟩ * x) ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (s₁ r))
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
α : Type u_1
s : Finset α
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
⊢ Disjoint (Finset.filter p s) (Finset.filter q s) ↔ ∀ x ∈ s, p x → ¬q x
⊢ ADEInequality.Admissible (ADEInequality.E' 5)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
M : Matroid α
X : Set α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
⊢ M.closure X = ⋂₀ {F | M.Flat F ∧ X ⊆ F}
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
s s' : Set V
h : s ≤ s'
v : ↑s
⊢ (G.induceHomOfLE h) v = Set.inclusion h v
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : 0 < p.radius
⊢ ∃ C r, ∃ (_ : 0 < C) (_ : 0 < r), ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → E
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
y : ℝ
⊢ HasSum (fun n => ∫ (x : ℝ) in y + ↑n..y + ↑n + 1, f x ∂μ) (∫ (x : ℝ), f x ∂μ)
X : Type u_1
α : Type u_2
One α
TopologicalSpace X
f : X → α
⊢ IsClosed (mulTSupport f)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
f : Y ⟶ X
x : FamilyOfElements P S.arrows
h : x.SieveCompatible
W Z : C
f₁ : W ⟶ Y
f₂ : Z ⟶ W
hf : (Sieve.pullback f S).arrows f₁
⊢ (f₂ ≫ f₁) ≫ f = f₂ ≫ f₁ ≫ f
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ m.toNat ≤ n ↔ m ≤ ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : β → γ
⊢ Option.map g ∘ Option.map f = Option.map (g ∘ f)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
y✝ : L
hy✝ : y✝ ∈ engel K x
Ex : ↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} := ⟨engel K x, ⋯⟩
y : L
hy : y ∈ engel K x
hyx : ⟨engel K y, ⋯⟩ ≤ Ex
⊢ rank K L ≤ finrank K ↥(engel K y)
n : ℕ
⊢ (↑n).toNat = n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
h : UniformInducing f
⊢ Inducing f
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
this : g = (range g).subtype ∘ₗ g.rangeRestrict
⊢ range (rTensor Q g.rangeRestrict) = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
H : ↑f = ↑g
⊢ f = g
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ f.range = ⊤
x y : ZFSet
h : x.Nonempty
⊢ (∀ z ∈ x, y ∈ z) → y ∈ Set.Nonempty.some h
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
hs : Dense s
ht : Dense t
x : X × Y
⊢ x ∈ closure (s ×ˢ t)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : PProd α β → Prop
⊢ (∀ (x : PProd α β), p x) ↔ ∀ (a : α) (b : β), p ⟨a, b⟩
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
α : Type u_2
ed : EDist α
edist_self✝¹ : ∀ (x : α), edist x x = 0
edist_comm✝¹ : ∀ (x y : α), edist x y = edist y x
edist_triangle✝¹ : ∀ (x y z : α), edist x z ≤ edist x y + edist y z
U : UniformSpace α
hU : 𝓤 α = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | edist p.1 p.2 < ε}
ed' : EDist α
edist_self✝ : ∀ (x : α), edist x x = 0
edist_comm✝ : ∀ (x y : α), edist x y = edist y x
edist_triangle✝ : ∀ (x y z : α), edist x z ≤ edist x y + edist y z
U' : UniformSpace α
hU' : 𝓤 α = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | edist p.1 p.2 < ε}
h : toEDist = toEDist
⊢ U = U'
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
DecidableEq ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
⊢ ((s.erase i).weightedVSubOfPoint p (p i)) w = (s.weightedVSubOfPoint p (p i)) w
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
⊢ Setoid.r = fun x y => x⁻¹ * y ∈ s
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : NonAssocRing α
a✝ b : α
n✝ : ℤ
a : α
n : ℤ
⊢ n • a = a * ↑n
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
a : α
n : ℕ
⊢ a ∈ s.drop n → a ∈ s
α : Type u_1
a : α
ha : (Part.some a).Dom
⊢ (Part.some a).get ha = a
o : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.Principal (fun x x_1 => x + x_1) (Cardinal.aleph o).ord
α : Type u
Mul α
⊢ (MulEquiv.refl α).withOneCongr = MulEquiv.refl (WithOne α)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ↑n * Cardinal.aleph0 = Cardinal.aleph0
A : Type u_1
ι : Type u_2
Ring A
Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
V : Set A
⊢ V ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis ↔ ∃ i, V = ↑(B i)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
ha : fract a ≠ 0
⊢ ↑⌈a⌉ = a + 1 - (a + 1 - ↑⌈a⌉)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : SMul R L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : MulActionHomClass F R L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
t : R
x : L
⊢ μ (t • x) = t • μ x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
n : ℕ
f_norm_diff : ℕ → α → ℝ := fun i x => ‖f (i + 1) x - f i x‖
hgf_norm_diff : ∀ (n : ℕ), (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), f_norm_diff i
⊢ ∀ i ∈ Finset.range (n + 1), eLpNorm' (f (i + 1) - f i) p μ ≤ B i
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h' : Finite R N
this✝¹ : IsNoetherian R ↥(torsion R N)
this✝ : Finite R (N ⧸ torsion R N)
I : Type u
fI : Fintype I
p : I → R
hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)
e : I → ℕ
h : ↥(torsion R N) ≃ₗ[R] ⨁ (i : I), R ⧸ span R {p i ^ e i}
n : ℕ
g : (N ⧸ torsion R N) ≃ₗ[R] Fin n →₀ R
this : Projective R (N ⧸ torsion R N)
⊢ ∃ n ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (N ≃ₗ[R] (Fin n →₀ R) × ⨁ (i : ι), R ⧸ span R {p i ^ e i})
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
⊢ dimH univ = 1
⊢ addHaarMeasure Icc01 = volume ↑Icc01 • addHaarMeasure Icc01
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
S : Set (RingCon R)
⊢ (ringConGen fun x y => ∃ c ∈ S, c x y) = ringConGen (⨆ a ∈ S, ⇑a)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp E p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p hs ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), Disjoint (support f) (support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P f}
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p μ) (hg : Memℒp (↑g) p μ), Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P ↑(simpleFunc.toLp f hf) → P ↑(simpleFunc.toLp g hg) → P ↑(simpleFunc.toLp f hf + simpleFunc.toLp g hg)
α : Type u_1
e : Sym2 α
⊢ (Quot.out e).1 ∈ e
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : α
⊢ a ≤ aᶜᶜ
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s ∩ t ⊆ 0 ↔ s.Disjoint t
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (p - 1) * padicValNat p ((n + k).choose k) = (p.digits k).sum + (p.digits n).sum - (p.digits (n + k)).sum
x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1
⊢ Real.cos (Real.arccos x) = x
α : Sort u_1
o b : Ordinal.{u_2}
hb : 1 < b
ho : o.IsLimit
f : α → Ordinal.{u_2}
H : ∀ ⦃a : Ordinal.{u_2}⦄, a < o → ∃ i, a < f i
a : Ordinal.{u_2}
h : a < b ^ o
d : Ordinal.{u_2}
hd : d < o
h' : a < b ^ d
⊢ ∃ i, a < b ^ f i
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal
f : ↥(lp E p)
g : ↥(lp E q)
⊢ (Summable fun i => ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) ∧ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
r : R
⊢ v.valuation ((algebraMap R K) r) ≤ 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' f₀' f₁' : F
s t : Set E
x v : E
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v ↔ (fun t => f (x + t • v) - f x - t • f') =o[𝓝 0] fun t => t
bs : List Bool
i : Nat
⊢ (BitVec.ofBoolListBE bs).getMsb i = bs.getD i false
R : Type uR
Semiring R
r : R → R → Prop
⊢ { toQuot := Quot.mk (RingQuot.Rel r) 1 } = 1
a : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.lift.{v, u} a ≤ 1 ↔ a ≤ 1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
TopologicalSpace 𝕜
CommSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
y : F
⊢ Continuous fun x => (B x) y
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : MulZeroClass β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosMulMono β
inst✝ : MulPosMono β
l : Filter α
f₁ f₂ g₁ g₂ : α → β
hf : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[l] g₂
hg₀ : 0 ≤ᶠ[l] g₁
hf₀ : 0 ≤ᶠ[l] f₂
⊢ f₁ * g₁ ≤ᶠ[l] f₂ * g₂
α : Sort u_1
p : α → Prop
P : (x : α) → p x → Prop
⊢ (¬∀ (x : α) (h : p x), P x h) ↔ ∃ x h, ¬P x h
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
h : Measurable f
μa : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving f μa (MeasureTheory.Measure.map f μa)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
a b : α
⊢ ⇑e '' Set.Ioc a b = Set.Ioc (e a) (e b)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
⊢ s ×ˢ t ⊆ Prod.fst ⁻¹' s
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
b : β
⊢ LipschitzWith 0 fun x => b
α : Type u_2
PartialOrder α
One α
⊢ ↑1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
ha : 0 < a
hb : b < 0
⊢ a • b < 0
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
⊢ (LightProfinite.pullback.cone f g).pt = LightProfinite.pullback f g
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
⊢ Tendsto (r i) atTop atTop
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x y z : S
⊢ (z𝖣x * y) = ((z * x)𝖣y) + (z * y)𝖣x
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g : R[X]
h : (f * g).Separable
⊢ g.Separable
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A
⊢ Algebra.adjoin R {x} = (Polynomial.aeval x).range
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
s : Set X
x : ↑s
⊢ map Subtype.val (𝓝 x) = 𝓝[s] ↑x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
⊢ setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f = setToFun μ (weightedSMul μ) ⋯ f + setToFun ν (weightedSMul ν) ⋯ f
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
α : Type u_1
VAdd M α
g : ↥p
m : α
⊢ g +ᵥ m = ↑g +ᵥ m
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
S : Multiset (Multiset α)
⊢ Multiset.map f S.join = (Multiset.map (Multiset.map f) S).join
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
E : Set α
δ δ' : ℝ
hδ₀ : 0 < δ'
hδδ' : δ < δ'
x : α
hx : x ∈ thickening δ' E
y : α
hy₁ : y ∈ E
hy₂ : dist x y < δ'
⊢ x ∈ ⋃ x ∈ E, closedBall x δ'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
r : α → α → Prop
f : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
h : ∀ (x : ι), DirectedOn r (f x)
⊢ DirectedOn r (⋃ x, f x)
ι : Sort u_1
α : ι → Sort u_2
ne : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
p : ι → Prop
f : (i : Subtype p) → α i.val
this : DecidablePred p
⊢ ∃ g, (fun i => g i.val) = f
G : Type u_1
H : Type u_2
AddZeroClass G
AddZeroClass H
f : G ≃+ H
a : Multiplicative H
⊢ (AddEquiv.toMultiplicative f).symm a = (AddMonoidHom.toMultiplicative f.symm.toAddMonoidHom) a
F : Type u_1
Fintype F
Field F
hF : ringChar F ≠ 2
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(ZMod.χ₈ ↑(Fintype.card F))
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
f g : C(X, Y)
⊢ Inseparable ⇑f ⇑g ↔ Inseparable f g
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
hs : MeasurableSet s
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ + ∫ (x : X) in sᶜ, f x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ
m : Type u → Type v
Monad m
LawfulMonad m
α : Type u_1
f : ℕ → α → m PUnit.{u + 1}
as : List α
arr : Array PUnit.{u + 1}
⊢ List.mapIdxMAux' f arr.size as = SeqRight.seqRight (List.mapIdxM.go f as arr) fun x => pure PUnit.unit
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
h : M✶.RkPos
hB : M.Base M.E
⊢ False
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
⊢ reflect 1 X = 1
u v : ℤ
h : u * v = -1
⊢ u = 1 ∨ u = -1
α : Type u_2
Preorder α
Mul α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : NonemptyInterval α
⊢ ↑(s * t) = ↑s * ↑t
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
s t : Set α
left✝¹ : s ⊆ t
left✝ : MeasurableSet t
hμt : (⨆ i, μ i.down) t = (⨆ i, μ i.down).trim s ∧ ∀ (x : PLift ι), ((μ ∘ PLift.down) x) t = ((μ ∘ PLift.down) x).trim s
⊢ ⨆ i, (μ i.down) t = ⨆ i, (μ i.down).trim s
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ) φ
⊢ p.map φ = eqToHom ⋯ ≫ p.map φ ≫ eqToHom ⋯
α : Type u
Order.Frame α
a : α
s : Set α
⊢ Disjoint (sSup s) a ↔ ∀ b ∈ s, Disjoint b a
x : ℂ
⊢ Complex.cos x - Complex.sin x * Complex.I = Complex.exp (-x * Complex.I)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_2
PseudoMetricSpace α
TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
⊢ TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ ε > 0, ∀ (x : β), ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a t : α
ts is : List α
IH1 : ∀ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is), l ~ ts ++ t :: is
IH2 : ∀ l ∈ is.permutationsAux [], l ~ is ++ []
l : List α
m : l ∈ ts.permutationsAux (t :: is) ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ is :: is.permutationsAux [] ∧ l₂ ≠ [] ∧ l = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts
⊢ l ~ t :: ts ++ is
a : UInt32
⊢ sizeOf a = a.toNat + 2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : Cᵒᵖ ≌ Dᵒᵖ
⊢ e.unop.inverse = e.inverse.unop
α : Type u
f : Filter α
s : Set α
⊢ f ⊓ 𝓟 s = ⊥ ↔ sᶜ ∈ f
α : Type u_1
SemilatticeSup α
f : ℕ → α
hf : Monotone f
⊢ ⇑(partialSups f) = f
α : Type u
n : ℕ
x : α
LinearOrderedRing α
hx : 0 < x + 1
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤
f_ne_top : ∀ (n : α), f n ≠ ⊤
h_f_coe : f = fun n => ↑(f n).toNNReal
⊢ Tendsto (fun n => (f n).toNNReal) cofinite (𝓝 0)
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CharP R p
PerfectRing R p
⊢ Function.Bijective ⇑WittVector.frobenius
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
t : Finset ι
f : ι → M → G
h : ∀ i ∈ t, SmoothOn I' I (f i) s
⊢ SmoothOn I' I (∑ i ∈ t, f i) s
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℚ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a
⊢ (∑ a ∈ s, f a).toNNRat = ∑ a ∈ s, (f a).toNNRat
α : Type w
Finite α
X : α → Profinite
B : Profinite
e : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (Profinite.finiteCoproduct.ι X a) (Profinite.finiteCoproduct.desc X e) = e a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
x : E
y₁ y₂ : F
⊢ (fun y => (x, y)) '' openSegment 𝕜 y₁ y₂ = openSegment 𝕜 (x, y₁) (x, y₂)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
δ : ℝ
E : Set X
h : Bornology.IsBounded E
x : X
hx : x ∈ E
⊢ Bornology.IsBounded (thickening δ E)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s.ncard = 1
hft : Fintype ↑s
⊢ ∃ a, s = {a}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
𝕜' : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
f : E → F
s : Set E
hc : DiffContOnCl 𝕜 c s
hf : DiffContOnCl 𝕜 f s
⊢ DiffContOnCl 𝕜 (fun x => c x • f x) s
x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ y.moveLeft j = (- -y).moveLeft (toLeftMovesNeg (toRightMovesNeg j))
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b b' : β a
⊢ AList.insert a b (AList.singleton a b') = AList.singleton a b
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
⊢ {p | S ⊆ ↑p} = Set.univ ↔ ∀ φ ∈ S, (L.lhomWithConstants α).onTheory T ⊨ᵇ φ
n : ℕ
z : ℂ
h1 : z ^ n = z + 1
h2 : z ^ n + z ^ 2 = 0
h3 : z ^ 3 = 1
key : z ^ n = 1 ∨ z ^ n = z ∨ z ^ n = z ^ 2
⊢ False
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : AdicCauchySequence I M
k : ℕ
h : ∀ n ≥ k, ∃ m ≥ n, ∃ l ≥ n, ↑f m ∈ I ^ l • ⊤
n m : ℕ
hnm : m ≥ n + k
l : ℕ
hnl : l ≥ n + k
hl : ↑f m ∈ I ^ l • ⊤
⊢ ↑((mk I M) f) n = ↑0 n
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
f : FreeMonoid (M ⊕ N) →* P
hM₁ : f (FreeMonoid.of (Sum.inl 1)) = 1
hN₁ : f (FreeMonoid.of (Sum.inr 1)) = 1
hM : ∀ (x y : M), f (FreeMonoid.of (Sum.inl (x * y))) = f (FreeMonoid.of (Sum.inl x) * FreeMonoid.of (Sum.inl y))
hN : ∀ (x y : N), f (FreeMonoid.of (Sum.inr (x * y))) = f (FreeMonoid.of (Sum.inr x) * FreeMonoid.of (Sum.inr y))
x : M
⊢ (Monoid.Coprod.clift f hM₁ hN₁ hM hN) (Monoid.Coprod.inl x) = f (FreeMonoid.of (Sum.inl x))
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
x : K
h : IsFractionRing.num A x = 0
⊢ x = 0
R : Type u
m n : ℕ
Semiring R
p q : R[X]
h : p.natDegree + q.natDegree < m + n
⊢ (p * q).coeff (m + n) = 0