ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y z : E
h : SameRay 𝕜 (x - y) (z - x)
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hxy : x - y = a • (z - y)
hzx : z - x = b • (z - y)
⊢ x ∈ [y-[𝕜]z]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
F G : CategoryTheory.Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.Sheaf.IsLocallyInjective f ∧ CategoryTheory.Sheaf.IsLocallySurjective f ↔ CategoryTheory.IsIso f
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
m : ℕ
H : m < n
⊢ ↑p ^ m * 0 ^ p ^ (n - m) = 0
α : Type u
L : List (α × Bool)
β : Type v
f : List (α × Bool) → β
H : ∀ (L₁ L₂ : List (α × Bool)), FreeGroup.Red.Step L₁ L₂ → f L₁ = f L₂
⊢ Quot.liftOn (FreeGroup.mk L) f H = f L
ι : Type u_1
κ : Type u_2
M : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MonoidWithZero M₀
l✝ : List M₀
a : M₀
l : List M₀
h : 0 ∈ a :: l
ha : 0 = a
⊢ a * l.prod = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hx : 𝓟 {x} ≤ p'
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
⊢ (fun x_1 => (f x, F x_1 x)) ⁻¹' u ∈ p
R : Type u
Semiring R
r a : R
hr : r ≠ 0
⊢ ¬(Polynomial.C r).IsRoot a
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : SMul R L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : MulActionHomClass F R L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
t : R
x : L
contra : ¬μ (t • x) = t • μ x
g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k
this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g (t • x)
⊢ False
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
⊢ Tendsto (fun δ => (thickening δ E).mulIndicator f) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f))
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : Continuous f
a : α
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝[univ] a) μ
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s : Set α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ Set.iUnion t), ∑' (n : ℕ), m (t n)
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
x : R
⊢ Polynomial.eval x (p - q) = Polynomial.eval x p - Polynomial.eval x q
u : XgcdType
⊢ u.bp = u.ap ↔ u.ap = u.bp
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Projective R
X Y : R
⊢ W.NonsingularLift ⟦![X, Y, 1]⟧ ↔ W.toAffine.Nonsingular X Y
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
x : α
xs : List α
⊢ xs.Sublist (List.orderedInsert r x xs)
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : Q
h : p₁ ≠ p₂
c₁ c₂ : 𝕜
⊢ dist c₁ c₂ ≤ ↑(nndist p₁ p₂)⁻¹ * dist ((lineMap p₁ p₂) c₁) ((lineMap p₁ p₂) c₂)
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
SecondCountableTopology G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
μ'.IsMulLeftInvariant
⊢ μ' = μ'.haarScalarFactor μ • μ
Y : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace Y
a✝¹ a✝ : Y
⊢ (∀ (p₁ p₂ : Path a✝¹ a✝), p₁.Homotopic p₂) ↔ ∀ (x y : Path a✝¹ a✝), (Path.Homotopic.setoid a✝¹ a✝).Rel x y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
rι : ι → ι → Prop
rπ : (i : ι) → π i → π i → Prop
f : γ → ι
g : (i : ι) → γ → π i
s : Set γ
hι : s.WellFoundedOn (rι on f)
hπ : ∀ (i : ι), (s ∩ f ⁻¹' {i}).WellFoundedOn (rπ i on g i)
⊢ WellFounded (Sigma.Lex rι rπ on fun c => ⟨f ↑c, g (f ↑c) ↑c⟩)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ ((zmodEquivTrunc p n).symm.toRingHom.comp (zmodEquivTrunc p n).toRingHom).comp (PadicInt.toZModPow n) = PadicInt.toZModPow n
α : Type u_1
InfSet α
s : Set α
⊢ sInf s = ⨅ a, ↑a
α : Type u_4
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
a b : α
⊢ (a, b) ∈ G.interedges s t ↔ (b, a) ∈ G.interedges t s
α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Type u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
T : Set α
hT : T ⊆ Set.iUnion S
t : Set β
⊢ Set.iUnionLift S f hf T hT ⁻¹' t = Set.inclusion hT ⁻¹' ⋃ i, Set.inclusion ⋯ '' (f i ⁻¹' t)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
⊢ 1 ≤ a / b ↔ 0 < b ∧ b ≤ a ∨ b < 0 ∧ a ≤ b
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ t₁ t₂ : TopologicalSpace X
⊢ (∀ (x : Set X), IsOpen xᶜ ↔ IsOpen xᶜ) ↔ ∀ (s : Set X), IsClosed s ↔ IsClosed s
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Subsingleton ↥H
y : G
hy : y ∈ H
⊢ y = 1
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hn : x₁.Numeric
h : IH24 x₁ x₂ y
he : x₁ ≈ x₂
i : x₁.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ ⟦x₁.mulOption y i j⟧ < ⟦x₂ * y⟧
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix m n α
a : α
⊢ MulOpposite.op a • M = M * Matrix.diagonal fun x => a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
h6 : ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ (fun z => f z - v) y
key : ∀ᶠ (z_1 : ℂ) in 𝓝 z, f z_1 - v = f z - v
h7 : ∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝[≠] z, f w = f z
h8 : IsPreconnected (ball z₀ r)
h9 : EqOn f (fun x => f z) (ball z₀ r)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
A : Set α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
r : ℝ≥0∞
hr : μ A < r
⊢ ⨅ U, ⨅ (_ : A ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ U < r
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
l : Filter ι
hfg : Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)
⊢ MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f l g
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
SupSet α
SupSet β
f : ι → α × β
⊢ (iSup f).2 = ⨆ i, (f i).2
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
MulAction G α
hpα : ¬p ∣ Nat.card α
⊢ (MulAction.fixedPoints G α).Nonempty
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ
this : a ∈ (p ^ k).properDivisors ↔ ∃ j, ∃ (_ : j < k), a = p ^ j
⊢ a ∣ p ^ k ∧ a < p ^ k ↔ ∃ a_1 < k, p ^ a_1 = a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X
ht : IsCompact t
hf : Disjoint f (cocompact X)
⊢ f ×ˢ 𝓝ˢ t ≤ 𝓝ˢ (univ ×ˢ t)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L L' : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ (fun a => (L + L') (↑↑f a)) =ᶠ[ae μ] fun x => L (↑↑f x) + L' (↑↑f x)
a b c a' b' c' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
hb : b' < b
hc : c' < c
⊢ a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c') <
  a ⨳ (b ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c')
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f : α →o β
hf : OmegaCompletePartialOrder.Continuous f
⊢ ⇑{ toOrderHom := f, cont := hf } = ⇑f
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
S : Type w
CategoryTheory.SmallCategory S
F : S ⥤ J
F.Initial
⊢ CategoryTheory.InitiallySmall J
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹³ : Fintype ι
inst✝¹² : Fintype ι'
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁵ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → E i
i : ι
c : 𝕜
x : E i
x✝ : G
⊢ ((fun m => { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯) (update m i (c • x))) x✝ = (c • (fun m => { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯) (update m i x)) x✝
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : IsClosed ↑I
hI' : I.IsMaximal
x : X
hx : setOfIdeal I = {x}ᶜ
⊢ ∃ x, idealOfSet 𝕜 {x}ᶜ = I
q : Option Turing.PartrecToTM2.Γ' → Turing.PartrecToTM2.Λ'
⊢ Turing.PartrecToTM2.tr (Turing.PartrecToTM2.Λ'.read q) = Turing.TM2.Stmt.goto q
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
m : α → β
s : Set α
g : Ultrafilter β
h : m '' s ∈ g
f : Filter α := Filter.comap m ↑g ⊓ 𝓟 s
this✝ : f.NeBot
this : s ∈ f
⊢ s ∈ ofComapInfPrincipal h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤
hb : b ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤
ht : ∀ (b : ℝ≥0∞), b ≠ 0 → Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (⊤, b)) (𝓝 ⊤)
⊢ Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (a, b)) (𝓝 (a * b))
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
a b c : R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : NoZeroDivisors R
ha✝ : a ≠ 0
x : R
h : b ^ 2 - 4 * a * c = (2 * a * x + b) ^ 2
ha : 2 * 2 * a ≠ 0
⊢ a * x * x + b * x + c = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
y : β
⊢ f ⁻¹' {y} = ∅ ↔ y ∉ Set.range f
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖RCLike.I • (x + y) - z‖ * ‖RCLike.I • (x + y) - z‖ =
  (‖RCLike.I • (2 • x + y)‖ * ‖RCLike.I • (2 • x + y)‖ + ‖RCLike.I • y - 2 • z‖ * ‖RCLike.I • y - 2 • z‖) / 2 -
    ‖RCLike.I • x + z‖ * ‖RCLike.I • x + z‖
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h1 : Disjoint H K
h2 : ↑H * ↑K = univ
g : G
⊢ ∃ a, (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) a = g
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
p : Submodule 𝕜 E := (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ
⊢ eigenspace (T.restrict ⋯) μ = ⊥
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
∀ (x : α), (𝓝[<] x).NeBot
s : Set α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ interior s = ∅
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1
⊢ (o.oangle y (y - x)).tan * ‖y‖ = ‖x‖
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
i : ι
h₁ : CategoryTheory.Epi (HomologicalComplex.homologyMap φ.τ₂ i)
h₂ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → CategoryTheory.Epi (HomologicalComplex.homologyMap φ.τ₁ j)
h₃ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → CategoryTheory.Mono (HomologicalComplex.homologyMap φ.τ₂ j)
⊢ CategoryTheory.Epi (HomologicalComplex.homologyMap φ.τ₃ i)
R : Type u_1
b c d : R
Semiring R
hb : b ≠ 0
⊢ { a := 0, b := b, c := c, d := d }.toPoly.leadingCoeff = b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor F).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
⊢ ∀ (M : T.ModelType) (v : α → ↑M) (xs : Fin n → ↑M), ¬φ.Realize v xs ↔ ¬ψ.Realize v xs
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
m : P := midpoint ℝ p1 p2
⊢ ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
hG : (G.edgeFinset \ H.edgeFinset).card < tris.attach.card
fx fy : ⦃t : Finset α⦄ → t ∈ tris → α
hfx : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fx ht ∈ t
hfy : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fy ht ∈ t
hfne : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fx ht ≠ fy ht
fmem : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), s(fx ht, fy ht) ∈ G.edgeFinset \ H.edgeFinset
f : { x // x ∈ tris } → Sym2 α := fun t => s(fx ⋯, fy ⋯)
⊢ False
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : Sheaf J D
φ : F₁ ⟶ F₂
⊢ Presheaf.IsLocallyInjective J ((sheafToPresheaf J D).map φ) ↔ IsLocallyInjective φ
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S : AddSubmonoid M
⊢ AddSubmonoid.comap f (AddSubmonoid.map f S) = S
P : ℕ → Prop
seed : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
hs : P seed
hi : ∀ (x : ℕ), seed ≤ x → P x → ∃ y, x < y ∧ P y
n : ℕ
⊢ P n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioc (f a) b
ha : a ∈ Ici a
has : a ∈ s
b : β
hb : b > f a
⊢ ∀ᶠ (b_1 : α) in 𝓝[≥] a, f b_1 < b
α : Type u_1
β : α → Type u_4
p : (a : α) → β a → Prop
⊢ (∀ (a : α) (b : β a), p a b) ↔ ∀ (x : (a : α) × β a), p x.fst x.snd
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
⊢ Function.Injective ⇑(N.subtype ∘ₗ ↑N.lTensorOne)
α : Type u_1
z : Sym2 α
⊢ z.IsDiag → z ∈ Set.range Sym2.diag
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
⊢ ∀ {x : MulOneClass M} {x_1 : MulOneClass N} {x_2 : CommMonoid P} (f : M →* N →* P) (n : N), (f 1) n = 1
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α
m : a ∉ s
⊢ s ≤ a ::ₘ t ↔ s ≤ t
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
P : Sylow p G
⊢ P ∈ fixedPoints (↥H) (Sylow p G) ↔ H ≤ (↑P).normalizer
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
g : N →* P
f : G →* N
⊢ map g (map f ⊤) = map (g.comp f) ⊤
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
ψ : AddChar A M
x y : A
⊢ ψ (x + y) = ψ x * ψ y
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
DiscreteTopology α
SeminormedAddCommGroup β
f : α → β
C : ℝ
H : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
⊢ ⇑(BoundedContinuousFunction.ofNormedAddCommGroupDiscrete f C H) = f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
⊢ s.min = ⊤ ↔ s = ∅
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
φ : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ
h : ∀ (n : ℕ), (bind₁ φ) (W_ ℤ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ
k : ℕ
⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) (φ k) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) k
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
h : IsAddUnit a
⊢ ↑h.addUnit = a
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty
AlgebraicGeometry.HasAffineProperty P Q
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
∀ (i : 𝒰.J), AlgebraicGeometry.IsAffine (𝒰.obj i)
h𝒰 : ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), Q (𝒰.pullbackHom f i)
⊢ P f
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
X : Subobject B
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
h₁ : X ≤ mk f
h₂ : mk f ≤ mk g
⊢ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) ≫ (underlyingIso g).hom = underlying.map ⋯.hom ≫ (underlyingIso g).hom
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
x : ↥S
⊢ ↑x = 1 ↔ x = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : ι → α
g : α → Set β
⊢ ⋃ x, ⋃ y, ⋃ (_ : f y = x), g x = ⋃ y, g (f y)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)
⊢ IsLowerSet ↑(f' i)ᶜ
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
h : (fun y => ∃ x, f x = y) = fun x => True
⊢ Surjective f
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, eLpNorm (f - ⇑g) p μ ≤ ε ∧ Memℒp (⇑g) p μ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β
k : Filter α
l : Filter β
inst✝ : k.IsCountablyGenerated
s : Set β
hs : s ∈ l
H : s ∉ map f k
this : (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ)).NeBot
x : ℕ → α
hx : Tendsto x atTop k ∧ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, x a ∈ f ⁻¹' sᶜ
h : Tendsto (f ∘ x) atTop l
N : ℕ
hnmem : x N ∈ f ⁻¹' sᶜ
hmem : (f ∘ x) N ∈ s
⊢ False
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
x : M
y : M'
⊢ (B' (0 x)) y = (B x) (0 y)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
r : ℝ≥0∞
hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
A : ℕ → Set α
hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)
hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n
hAd : Pairwise (Disjoint on A)
hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)
hr : r > μ (⋃ n, A n)
HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤
⊢ ∃ U ⊇ ⋃ n, A n, IsOpen U ∧ μ U < r
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
f : E →SL[σ₁₂] F
a : ℝ
hf : ∀ (x : E), ‖f x‖ = a * ‖x‖
x : E
hx : 0 < ‖x‖
ha : 0 ≤ a
⊢ a ≤ ‖f‖
α : Type u
β : Type v
m : α → β
s : Set α
⊢ Filter.kernMap m (𝓟 s) = 𝓟 (Set.kernImage m s)
α : Type u_1
DecidableEq α
AddCommGroup α
Fintype α
s : Finset α
⊢ s.addEnergy Finset.univ = Fintype.card α * s.card ^ 2
α : Type u_2
Sub α
f₁ f₂ g₁ g₂ : Filter α
⊢ f₁ ≤ f₂ → g₁ ≤ g₂ → f₁ - g₁ ≤ f₂ - g₂
α : Type u_1
BooleanRing α
⊢ toBoolAlg 1 = ⊤
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
hn : ∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card
⊢ count p (nth p n + 1) = n + 1
α : Type u_1
s : Finset α
x : ↑↑s
h : ↑x ∈ ↑s
⊢ ⟨↑x, h⟩ = x
K : Type w
Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
⊢ (AdjoinRoot.powerBasis hf).gen = AdjoinRoot.root f
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
U : Type u_2
CommRing U
Algebra R U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
h'' : IsAdjoinRoot U f
x : S
⊢ (h'.aequiv h'') ((h.aequiv h') x) = (h.aequiv h'') x
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
J : Ideal R
hJ : comap f K < J
h : K = map f J
⊢ comap f (map f J) = J
R : Type u_4
TopologicalSpace R
LinearOrderedField R
OrderTopology R
FloorRing R
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ↑⌊x⌋₊ / x) Filter.atTop (𝓝 1)
α : Type u_1
a : α
v : Mathlib.Vector α 0
⊢ a ∉ v.toList
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : Bornology.IsCobounded s
c : α
⊢ ∃ r, (Metric.closedBall c r)ᶜ ⊆ s
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
x : M
⊢ ((FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun {x}).FG
α : Type u
inst✝¹ : EMetricSpace α
s : Set α
inst✝ : CompleteSpace α
this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | (↑s).Nonempty ∧ IsCompact ↑s}
⊢ IsClosed {s | (↑s).Nonempty ∧ IsCompact ↑s}
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s t : Subgroup α
h_le : s ≤ t
f : α ⧸ t → α
hf : Function.RightInverse f QuotientGroup.mk
⊢ LeftInverse (fun a => Quotient.map' (fun b => f a.1 * ↑b) ⋯ a.2) fun a => (Quotient.map' id ⋯ a, Quotient.map' (fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) ⋯ a)
α : Type u_1
l : List α
⊢ (↑l).toMultiset = ↑l
α : Type u_1
Fintype α
p : α → Prop
Fintype { x // p x }
Fintype { x // ¬p x }
⊢ Fintype.card { x // ¬p x } = Fintype.card α - Fintype.card { x // p x }
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
self : Homotopy f g
i : ι
⊢ f.f i = (dNext i) self.hom + (prevD i) self.hom + g.f i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
s : Y ⟶ X
hs : W s
⊢ (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.ofInv s hs).s = s
⊢ (Set.range fun x => Complex.exp (↑x * Complex.I)) = Metric.sphere 0 1
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
x : X
y : Y
s : Set (X × Y)
tx : Set X
ty : Set Y
⊢ s ∈ 𝓝[tx ×ˢ ty] (x, y) ↔ ∃ u ∈ 𝓝[tx] x, ∃ v ∈ 𝓝[ty] y, u ×ˢ v ⊆ s
α : Type u_1
BEq α
as : List α
b : α
LawfulBEq α
a : α
⊢ (a :: as).replace a b = b :: as
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
ha : 0 ≤ a
n : ℕ
⊢ ⌈a + ↑n⌉₊ = ⌈a⌉₊ + n
α : Sort u_1
DecidableEq α
i j a : α
⊢ (Equiv.swap i j) ((Equiv.swap i j) a) = a
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
v : Π₀ (i : ι), β i
f : (i : ι) → β i → γ
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 1
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
hi : i ∉ v.support
⊢ f i (v i) = 1