ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
f : ℕ → ℕ → ℕ
⊢ (Nat.Primrec' fun v => f v.head v.tail.head) ↔ Primrec₂ f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Balanced C
hS : S.Exact
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k S.g = 0
CategoryTheory.Mono S.f
⊢ ∃ l, CategoryTheory.CategoryStruct.comp l S.f = k
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
hfg : f =ᵐ[μ] g
⊢ μ.tilted f = μ.tilted g
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
this : q * r = q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
⊢ padicValRat p (q * r) = padicValRat p q + padicValRat p r
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
LocallyCompactSpace G
SecondCountableTopology G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite μ
μ.IsAddLeftInvariant
ν.IsAddHaarMeasure
⊢ μ ≪ ν
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
SemilatticeInf δ
OrderTop δ
g : γ → δ
⊢ (Finset.image₂ f s t).inf g = s.inf fun x => t.inf (g ∘ f x)
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ IsSubgroup (IsSubgroup.normalizer s)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ rexp (-t * ε) * mgf X μ t ≤ rexp (-t * ε + cgf X μ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
g : γ → β
f : β → α
hg : Function.Injective g
⊢ ∏' (x : ↑(Set.range g)), f ↑x = ∏' (x : γ), f (g x)
b : Ordinal.{u_1}
h : 1 < b
x : Ordinal.{u_1}
⊢ log b x = (sInf {o | x < b ^ o}).pred
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
Nontrivial R
Invertible 2
⊢ E.twoTorsionPolynomial.disc ≠ 0
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
⊢ f = g ↔ ∃ (_ : f.domain = g.domain), ∀ ⦃x : ↥f.domain⦄ ⦃y : ↥g.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₂ < a₁ ∧ b₂ ≤ b₁ → a₂ * b₂ < a₁ * b₁
S : Type u_1
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
SMulZeroClass S R
s : S
r : R
⊢ ↑(s • r) = s • ↑r
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↥U
⊢ hU.fromSpec.val.base (hU.primeIdealOf x) = ↑x
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
n : ℕ
dvd : q ^ n ∣ p
⊢ q ^ (n - 1) ∣ Polynomial.derivative p
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero β
SMulZeroClass α β
t : Set β
a : α
h : 0 ∈ t
⊢ 0 ∈ a • t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α →ₘ[μ] β
⊢ mk ↑f ⋯ = f
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
OpensMeasurableSpace α
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
⊢ β (coroot α) = ↑(↑(chainBotCoeff (⇑α) β) - ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
hA : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
y : α
hy : y ∈ A (res x n)
z : α
hz : z ∈ A (res x n)
⊢ dist y z < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
s : Set β
b : β
hf₀ : f b = 0
⊢ ∑' (a : ↑s), f ↑a = ∑' (a : ↑(s \ {b})), f ↑a
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : Aᵐᵒᵖ ≃ₐ[R] Bᵐᵒᵖ
⊢ ↑(AlgEquiv.unop f) = AlgHom.unop ↑f
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
φ : L.BoundedFormula (↑A ⊕ α) 0
x✝ : α → M
⊢ ∀ (n : ℕ) (t : L.Term ((↑A ⊕ α) ⊕ Fin n)) (xs : Fin n → M), Term.realize (Sum.elim x✝ xs) (Term.constantsVarsEquivLeft.symm t) = Term.realize (Sum.elim (Sum.elim Subtype.val x✝) xs) t
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
β : Type u_13
DecidableEq o
Zero α
Zero β
M : o → Matrix m n α
f : α → β
hf : f 0 = 0
⊢ (Matrix.blockDiagonal M).map f = Matrix.blockDiagonal fun k => (M k).map f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedDivisionRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
x : Set E
⊢ Metric.diam (c • x) = ‖c‖ * Metric.diam x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x ↔ HasFDerivAt f f' x
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
h : p ≤ i.castSucc
⊢ p.succAbove i = i.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)
hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x
this : ∀ (k : ℕ), ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, v k < v l
N : ℕ → ℕ
hN : ∀ (k : ℕ), k < N k
hvN : ∀ (k : ℕ), v k < v (N k)
⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
a b : String
h : a < b
⊢ a ≠ b
X : Type u_1
TopologicalSpace X
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
f : OnePoint X → Y
⊢ ContinuousAt f OnePoint.infty ↔
  ∀ s ∈ 𝓝 (f OnePoint.infty), ∃ t, IsClosed t ∧ IsCompact t ∧ Set.MapsTo (f ∘ OnePoint.some) tᶜ s
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
s : Set R
⊢ ⇑(Ideal.Quotient.mk I) ⁻¹' (⇑(Ideal.Quotient.mk I) '' s) = ⋃ x, (fun y => ↑x + y) '' s
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y : P
r : R
hxy : ¬x = y
⊢ Wbtw R x ((lineMap x y) r) y ↔ x = y ∨ r ∈ Set.Icc 0 1
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
H : AddSubgroup G
f : G →+ G'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (AddSubgroup.map f H).index ∣ H.index
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
J : Type w
F : CategoryTheory.Discrete J ⥤ CategoryTheory.Over B
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Over.ConstructProducts.widePullbackDiagramOfDiagramOver B F)}
  (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Over.ConstructProducts.conesEquivFunctor B F).map f).hom = CategoryTheory.Over.homMk f.hom ⋯
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ : X
p₀ p₁ : Path x₀ x₁
F : p₀.Homotopy p₁
⊢ F.eval 0 = p₀
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.coeff p.natTrailingDegree ≠ 0 ↔ p ≠ 0
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : y ≠ 0
⊢ (x ^ y⁻¹) ^ y = x
V : Type u
G : SimpleGraph V
self : G.Connected
⊢ G.Preconnected
α : Type u_2
DecidableEq α
AddGroup α
t : Finset α
a : α
⊢ Finset.image (fun b => a + b) t = t.preimage (fun b => -a + b) ⋯
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ Filter.Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u
CategoryTheory.Category.{t, u} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
F.IsContinuous J K
ℱ : CategoryTheory.Sheaf K A
X : Cᵒᵖ
⊢ ((F.sheafPushforwardContinuous A J K).obj ℱ).val.obj X = ℱ.val.obj (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop X)))
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (((α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X ▷ L.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ = R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ (R.X ◁ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ R.X ◁ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)
G : Type u_1
Group G
k : Set G
P : G
hP : P ∉ Subgroup.closure k
⊢ P ∉ k
R : Type uR
ι : Type uι
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
Semiring R
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₂
Module R M₃
Subsingleton ι
i : ι
f : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
x : M₂
⊢ ((MultilinearMap.ofSubsingleton R M₂ M₃ i).symm f) x = f fun x_1 => x
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
hp : p = ⊥
x : M
⊢ (p.quotEquivOfEqBot hp).symm x = Submodule.Quotient.mk x
R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
Fintype ι₁
Fintype ι₂
DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
⊢ ∀ (a : M₁ →ₗ[R] M₂), (b₁.linearMap b₂).repr a = (Matrix.stdBasis R ι₂ ι₁).repr ((LinearMap.toMatrix b₁ b₂) a)
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
Fintype n
Fintype m
Field R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
A : Matrix m n R
⊢ LinearMap.ker (Aᴴ * A).mulVecLin = LinearMap.ker A.mulVecLin
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι✝
v✝ : Set E
A : ι✝ → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
v : ι → E
s : Set ι
hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)
hsv : Injective (s.restrict v)
hX✝ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
Y : Finset E
b₀ : OrthonormalBasis { x // x ∈ Y } 𝕜 E
hX : range (s.restrict v) ⊆ ↑Y
hb₀ : ⇑b₀ = Subtype.val
hιY : Fintype.card ι = Y.card
hvsY : MapsTo v s ↑Y
⊢ ∃ b, ∀ i ∈ s, b i = v i
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : Module.End R M
m : M
k l : ℕ
hk : k ≤ l
hm : (f ^ k) m = 0
⊢ (f ^ l) m = 0
m n✝ a n : ℕ
⊢ ↑(a % n) = ↑a
R : Type u_1
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hn : ¬p ∣ n
this : Algebra (ZMod p) R := ZMod.algebra R p
⊢ cyclotomic (n * p) (ZMod p) = cyclotomic n (ZMod p) ^ (p - 1)
n m : ℕ
h : m ≤ n
⊢ m.dist n = n - m
G : Type u_1
Group G
IsFreeGroup G
H : Type u_2
Group H
e : G ≃* H
⊢ IsFreeGroup H
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ Continuous ↑I
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ max a b < max a c ↔ b < c ∧ a < c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
e : α ≃o β
s : Set γ
f : γ → α
hf : BddBelow (f '' s)
hne : s.Nonempty
⊢ e (⨅ i, f ↑i) = ⨅ i, e (f ↑i)
α : Type u_3
β : Type u_4
One β
s : Set β
Decidable (1 ∈ s)
⊢ 1 ⁻¹' s = if 1 ∈ s then Set.univ else ∅
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Add G
r : k
g g' : G
x : AddMonoidAlgebra k G
h : ¬∃ d, g' = d + g
⊢ (x * AddMonoidAlgebra.single g r) g' = 0
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
f : α → δ
s : Set α
s.OrdConnected
hs : s.Nonempty
hf : ContinuousOn f s
hbot : Filter.Tendsto (fun x => f ↑x) Filter.atBot Filter.atTop
htop : Filter.Tendsto (fun x => f ↑x) Filter.atTop Filter.atBot
⊢ Set.SurjOn f s Set.univ
p n k b : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
hnb : log p n < b
⊢ multiplicity p (n.choose k) = ↑(filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + (n - k) % p ^ i) (Ico 1 b)).card
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : (permutations'Aux x s).Nodup
H : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x
⊢ False
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ G.singletonSubgraph v = ⊤.induce {v}
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
inst✝² : HasImage f
g : B ⟶ C
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : ConcreteCategory V
w : f ≫ g = 0
x : (forget V).obj (Subobject.underlying.obj (imageSubobject f))
⊢ (kernelSubobject g).arrow ((imageToKernel f g w) x) = (imageSubobject f).arrow x
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
n : ℕ
hn : n < (List.pmap f l h).length
⊢ (List.pmap f l h)[n] = f l[n] ⋯
E : Type u_11
F : Type u_12
G : Type u_13
Monoid E
Monoid F
MulAction F G
MulAction.IsPretransitive F G
f : E →* F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ MulAction.IsPretransitive E G
α : Type u
DivisionRing α
x : α
hx : x ≠ 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, x ^ i = (x ^ n - x ^ m) / (x - 1)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ
⊢ ContDiffAt 𝕜 (↑(n + 1)) f x ↔ ∃ f', (∃ u ∈ 𝓝 x, ∀ x ∈ u, HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ￢(a ⊔ b) ≤ ￢a ⊓ ￢b
n : ℕ
⊢ Complex.normSq ↑n = ↑n * ↑n
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E 𝕜
z : G
⊢ ‖f‖₊ * ‖z‖₊ ≤ ‖f.smulRight z‖₊
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
hp : p = ⊥
⊢ ↑(p.quotEquivOfEqBot hp).symm = p.mkQ
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : A ⟶ F.obj X
v : B ⟶ F.obj Y
sq : CommSq u i (F.map p) v
adj : G ⊣ F
⊢ Nonempty ⋯.LiftStruct ↔ Nonempty sq.LiftStruct
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
e : ℕ
he : e ≠ 0
hle : map f p ≤ P ^ e
hnle : ¬map f p ≤ P ^ (e + 1)
⊢ ramificationIdx f p P ≠ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
EuclideanDomain R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
DecidableEq ι
Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
⊢ ↑(abv ((Algebra.norm R) a)) < ↑(ClassGroup.normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ℕ → R
⊢ (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f).IsMultiplicative
α : Type u_7
β : Type u_8
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
⊢ μ.prod ν = μ.bind fun x => MeasureTheory.Measure.map (Prod.mk x) ν
C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
inst✝⁸ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁶ : G.PreservesZeroMorphisms
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = 0
inst✝⁵ : HasKernel f
inst✝⁴ : HasKernel (G.map f)
inst✝³ : PreservesLimit (parallelPair f 0) G
X' Y' : C
g : X' ⟶ Y'
inst✝² : HasKernel g
inst✝¹ : HasKernel (G.map g)
inst✝ : PreservesLimit (parallelPair g 0) G
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ kernel.map (G.map f) (G.map g) (G.map p) (G.map q) ⋯ ≫ (PreservesKernel.iso G g).inv = (PreservesKernel.iso G f).inv ≫ G.map (kernel.map f g p q hpq)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
Y : D
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Over Y) (CategoryTheory.Over X)
h : ∀ (f : CategoryTheory.MonoOver Y), CategoryTheory.Mono (F.obj ((CategoryTheory.MonoOver.forget Y).obj f)).hom
f : CategoryTheory.MonoOver Y
⊢ ((CategoryTheory.MonoOver.lift F h).obj f).arrow = (F.obj ((CategoryTheory.MonoOver.forget Y).obj f)).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
hν : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
u : Set γ
hu : u ∈ countablePartition γ n
this✝ : IsFiniteKernel κ
hu_meas : MeasurableSet u
this : ∫⁻ (x : γ) in u, (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ∂ν a = ∫⁻ (x : γ) in u, (κ a) (u ×ˢ s) / (ν a) u ∂ν a
⊢ ∫⁻ (x : γ) in u, (κ a) (u ×ˢ s) / (ν a) u ∂ν a = (κ a) (u ×ˢ s)
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬map ϕ N < map ψ N
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
hgen : generator (map ϕ N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι
⊢ (b.repr x) i = (b.repr 0) i
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v w : HeightOneSpectrum R
hw : w ≠ v
hw_fact : ↑w.asIdeal = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑w.asIdeal
hw_ne_zero : ↑w.asIdeal ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
⊢ count K v ↑w.asIdeal = 0
n : ℕ
i j : Fin n.succ
h : j < i
⊢ ↑(i.cycleRange j) = ↑j + 1
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}
c : Ordinal.{u}
ho : o.card < c.cof
⊢ Cardinal.lift.{u, u} o.card < c.cof
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' m₁ m₂ mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
hm₁ : m₁ ≤ mΩ
hm₂ : m₂ ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ (∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ {s | MeasurableSet s} → t2 ∈ {s | MeasurableSet s} → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']) ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
S : Set (NonUnitalSubsemiring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
this : Nonempty ↑S
⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
α : Type u_1
s : Set α
a : α
P : α → Prop
h : {x | x ∈ s ∧ P x}.ncard = s.ncard
ha : a ∈ s
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ P a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
DecidableEq ι
⊢ HasFDerivAt (⇑f) (f.linearDeriv x) x
n : ℕ
⊢ 0 < n → ¬2 ∣ 2 * n - 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
hy : y ∈ closure K
⊢ ∃ x ∈ K, Inseparable x y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p : P
⊢ Coplanar k (insert p s)
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y
⊢ derivWithin f S y ≤ derivWithin f S x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingCospanᵒᵖ),
  (CategoryTheory.Limits.opCospan f g).inv.app X_1 =
    (Option.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Z))
        (fun val =>
          CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op X))
            (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Y)) val)
        (Opposite.unop X_1)).hom
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
f₀ : ((↑fun a => a ∈ (univ ×ˢ range (n + 1)).val) → k) → k
hf₀ : ∀ (x : Fin 2 × ℕ → k), f₀ (x ∘ Subtype.val) = (aeval x) (polyOfInterest p n)
this : ∀ (a : Multiset (Fin 2)) (b : Multiset ℕ), a ×ˢ b = a.product b
f : TruncatedWittVector p (n + 1) k → TruncatedWittVector p (n + 1) k → k := fun x y => f₀ fun a => Subtype.casesOn a fun a ha => Function.uncurry ![x, y] (a.1, ⟨a.2, ⋯⟩)
⊢ ∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = peval (polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i]
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
f' g' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hg : HasFDerivWithinAt g g' s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => f x - g x) (f' - g') s x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
S T : PointedCone 𝕜 E
h : ∀ (x : E), x ∈ S ↔ x ∈ T
⊢ S = T
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
Invertible 2
p₁ p₂ : P
⊢ nndist p₂ (midpoint 𝕜 p₁ p₂) = ‖2‖₊⁻¹ * nndist p₁ p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j₁ j₂ : JordanDecomposition α
hj : j₁.toSignedMeasure = j₂.toSignedMeasure
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure S ≤ VectorMeasure.restrict 0 S
hS₃ : VectorMeasure.restrict 0 Sᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure Sᶜ
hS₄ : j₁.posPart S = 0
hS₅ : j₁.negPart Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure T ≤ VectorMeasure.restrict 0 T
hT₃ : VectorMeasure.restrict 0 Tᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure Tᶜ
hT₄ : j₂.posPart T = 0
hT₅ : j₂.negPart Tᶜ = 0
hST₁ : ↑j₁.toSignedMeasure (symmDiff Sᶜ Tᶜ) = 0
⊢ j₁ = j₂
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
u : ℝ → E
v : ℝ → F
u' : ℝ → E
v' : ℝ → F
m n : G
CompleteSpace G
hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x
huv' : MeasureTheory.Integrable (fun x => (L (u x)) (v' x)) MeasureTheory.volume
hu'v : MeasureTheory.Integrable (fun x => (L (u' x)) (v x)) MeasureTheory.volume
h_bot : Filter.Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) Filter.atBot (𝓝 m)
h_top : Filter.Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) Filter.atTop (𝓝 n)
⊢ ∫ (x : ℝ), (L (u x)) (v' x) = n - m - ∫ (x : ℝ), (L (u' x)) (v x)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
h : IsUnit p
a✝ : Nontrivial R
⊢ p.natDegree = 0