ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
P : Prop
inst✝ : Decidable P
a : M
⊢ (a ^ if P then 1 else 0) = if P then a else 1
n✝ m n : ℕ
h : m ∈ n.properDivisors
h_dvd : m ∣ n
h_lt : m < n
⊢ 1 < n / m
R : Type u
Semiring R
S : Type v
Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
⊢ p ∈ Polynomial.lifts f ↔ p ∈ Set.range (Polynomial.map f)
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
s : Set (Subfield K)
x : K
⊢ (∀ p ∈ s, x ∈ p) ↔ x ∈ ⨅ t ∈ s, t.toSubring
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ ⇑μ = fun s => (↑μ s).toNNReal
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
n : ℕ
⊢ count a (replicate n a) = List.count a (List.replicate n a)
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n✝ : ℕ
n : ℤ
ha : a ≠ 0
⊢ a ^ (-n) * a ^ n = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
x✝ : S
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : Algebra S L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R S L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S L
x : S
y : L
h✝ : Subsingleton L
⊢ y ∈ coeSubmodule L (conductor R x) ↔ ∀ (z : S), y * (algebraMap S L) z ∈ adjoin R {(algebraMap S L) x}
p : ℝ × ℝ
h : p.1 ≠ 0 ∨ 0 < p.2
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) p
α : Type u_1
n : ℕ
s : Multiset α
h : s.Nodup
⊢ (Multiset.powersetCard n s).Nodup
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
p : Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ LinearMap.ker f ≤ Submodule.comap f p
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
ι : Type u_7
fs : ι → ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
l : Filter ι
hfs : Filter.Tendsto fs l (𝓝 f)
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) (fs i)) l (𝓝 ((MeasureTheory.L1.setToL1 hT) f))
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P : Sheaf J D
⊢ ((sheafificationAdjunction J D).counit.app P).val = (((sheafificationAdjunction J D).homEquiv P.val { val := P.val, cond := ⋯ }).symm (𝟙 P.val)).val
α : Type u_1
s : Multiset α
x : { x // x ∈ s }
⊢ x ∈ s.attach
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x : PiLp 2 β
⊢ ‖x‖ ^ 2 = ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ 2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
G.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
CategoryTheory.Limits.HasKernel (G.map f)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair f 0) G
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesKernel.iso G f).hom = CategoryTheory.Limits.kernelComparison f G
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ isomorphisms Scheme f✝ ↔ (@IsOpenImmersion ⊓ @Surjective) f✝
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ Measurable (MeasureTheory.llr μ ν)
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
CharZero R
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ 1 ≠ OfNat.ofNat n
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
⊢ e.symm.symm = e
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ LieHom.id.comp f = f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α
f' : β → ↑(range f) := fun c => ⟨f c, ⋯⟩
⊢ (range f).WellFoundedOn r ↔ WellFounded (r on f)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
n o n' : ℕ
hn : n ≤ n + n'
o' : ℕ
ho : o ≤ o + o'
⊢ n + o + (n' + o') - (n + o) = n + n' - n + (o + o' - o)
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F
hF : ringChar F = 2
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ (quadraticChar F) a = 1
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
n : σ →₀ ℕ
⊢ MvPowerSeries.coeff R n ∘ₗ MvPowerSeries.monomial R n = LinearMap.id
n k : ℕ
h : n ∈ k.smoothNumbers
l m : ℕ
H₁ : m ^ 2 * l = n
H₂ : Squarefree l
hl : l ∈ k.smoothNumbers
⊢ l = l.primeFactors.prod id
p : Prop
α : Sort u_1
hn : Decidable ¬p
h : Decidable p
x : ¬p → α
y : ¬¬p → α
⊢ dite (¬p) x y = dite p (fun h => y ⋯) x
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ Submodule.span R (⇑(map f g) '' {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}) = Submodule.span R {t | ∃ m n, f m ⊗ₜ[R] g n = t}
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure X
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → X → E
hf : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.LocallyIntegrable (f i) μ
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrable (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) μ
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderTop α
⊢ Multiset.inf 0 = ⊤
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L₁ : CategoryTheory.Functor A T
R₁ : CategoryTheory.Functor B T
X Y : CategoryTheory.Comma L₁ R₁
α : X ≅ Y
⊢ (CategoryTheory.Comma.rightIso α).inv = α.inv.right
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
⊢ ∃ p < 0, ∃ q > 0, weightSpace M (p • χ₁ + χ₂) = ⊥ ∧ weightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
⊢ univ.Nonempty ↔ Nonempty α
R : Type u_5
σ : Type u_6
CommRing R
IsDomain R
Infinite R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hG : G.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (MvPolynomial.eval r) F = (MvPolynomial.eval r) G
⊢ F = G
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
n : ℕ
e : Fin (n + 1) → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin (n + 1)), e i ∈ f.range
⊢ ∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
CommSemiring S
Algebra S R
Module S N
Module S M
IsScalarTower S R N
IsScalarTower S R M
Module S P
f : N →ₗ[S] P
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ (f.compQuadraticMap' Q) x = f (Q x)
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
⊢ ∀ x ∈ Finset.range (2 * n + 1), x ∉ Finset.range (2 * n / 3 + 1) → x ^ n.centralBinom.factorization x = 1
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
⊢ f.smulRight x = 0 ↔ f = 0 ∨ x = 0
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
s : Fin n → R
y : R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
φ : (MvPolynomial (Fin n) R)[X] →ₐ[R] R[X] := let __src := mapRingHom (eval s); { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }
⊢ ∀ (i : Fin (n + 1)), (aeval (Fin.cons y s)) (X i) = ((Polynomial.aeval y).comp (φ.comp ↑(finSuccEquiv R n))) (X i)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n✝ : ℕ
h : ¬IsOfFinOrder x
n m : ℕ
hnm : (fun n => x ^ n) n = (fun n => x ^ n) m
⊢ n = m
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ a * b ∈ ball a r ↔ ‖b‖ < r
A : Type u_1
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra ℂ A
ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A
ha : SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM
IsStarNormal a
⊢ IsSelfAdjoint a
R : Type u_1
AddSemigroup R
a b : R
rra : IsAddRegular a
rrb : IsAddRegular b
⊢ IsAddRegular (a + b)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p
⊢ 2 * 0 < p
α : Type u
β : Type v
l : Filter α
f : α → β
⊢ f =ᶠ[l] f
f : ℕ → ℕ →. ℕ
h : _root_.Partrec fun v => f v.head v.tail.head
v : ℕ × ℕ
⊢ f (v.1 ::ᵥ v.2 ::ᵥ nil).head (v.1 ::ᵥ v.2 ::ᵥ nil).tail.head = f v.1 v.2
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
Subsingleton m
A : Matrix m n R
i : m
b : n → R
⊢ A.updateRow i b = (Matrix.row (Fin 1) b).submatrix (Function.const m 0) id
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s₁ s₂ : Sphere P
⊢ s₁ ≠ s₂ ↔ s₁.center ≠ s₂.center ∨ s₁.radius ≠ s₂.radius
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
h : μ.InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤
A s : Set α
s_meas : MeasurableSet s
hs : μ (s ∩ A) ≠ ⊤
r : ℝ≥0∞
hr : r < (μ.restrict A) s
K : Set α
K_subs : K ⊆ toMeasurable μ (s ∩ A) ∩ s
pK : p K
rK : r < μ K
⊢ ∃ K ⊆ s, p K ∧ r < (μ.restrict A) K
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α ≃o β
s : Set β
x : α
⊢ IsLUB (⇑f ⁻¹' s) x ↔ IsLUB s (f x)
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
hg : ∃ a, a ≠ 1
⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Preorder Y
OrderClosedTopology Y
f : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalExtrOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
⊢ IsLocalExtrOn f (closure s) a
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ ≃ τ
p : MvPolynomial τ R
⊢ (rename ⇑f) ((rename ⇑f.symm) p) = p
R✝ : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
x✝ : M✝
p✝ p'✝ : Submodule R✝ M✝
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R✝ →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M✝ M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M✝ M₂
s t : Set M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ (p ⊔ p').toAddSubgroup ↔ x ∈ p.toAddSubgroup ⊔ p'.toAddSubgroup
x y z : SetTheory.PGame
⊢ x * y * z ≈ x * (y * z)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : Associates α
⊢ p ≤ 1 ↔ p = 1
α : Type u_1
δ : α → Type u_7
(i : α) → Preorder (δ i)
s : Set α
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
f₁ f₂ g₁ g₂ : (i : α) → δ i
h₁ : ∀ i ∈ s, f₁ i ≤ g₁ i
h₂ : ∀ i ∉ s, f₂ i ≤ g₂ i
⊢ s.piecewise f₁ f₂ ≤ s.piecewise g₁ g₂
α : Type u
Primcodable α
Inhabited α
p : Set α
⊢ ManyOneEquiv (toNat p) p
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K : Multifork I
b : I.R
⊢ K.π.app (WalkingMulticospan.left (I.sndTo b)) ≫ I.multicospan.map (WalkingMulticospan.Hom.snd b) = K.ι (I.sndTo b) ≫ I.snd b
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
x✝ : A
hx✝ : x✝ ∈ Algebra.adjoin R (↑S ∪ ↑T)
x : A
hx : x ∈ ↑S ∪ ↑T
⊢ x ∈ toSubmodule S * toSubmodule T
R : Type u
M : Type v₁
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : Module.Dual R M
m : M
⊢ Module.Dual.transpose ((dualTensorHom R M M) (f ⊗ₜ[R] m)) =
  (dualTensorHom R (Module.Dual R M) (Module.Dual R M)) ((Module.Dual.eval R M) m ⊗ₜ[R] f)
ds₁ ds₂ ds₃ is : List ℕ
h : Forall₂ (fun x x_1 => x < x_1) is (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)
⊢ ↑(assocRight ⟨is, h⟩).take = ↑(take ⟨is, h⟩).take
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
hx : x ∈ e.source
y : X
hy : ↑e.symm (↑e y) = y
⊢ p (↑e.symm (↑e y)) ↔ p y
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
H : ∀ (n : α), f n = g n
⊢ Partrec g
α : Type u_2
TopologicalSpace α
T1Space α
a b : α
⊢ a ∈ TopologicalSpace.Closeds.singleton b ↔ a = b
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike K
z : K
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace K E
n : ℕ
x : E
⊢ ‖n • x‖ = n • ‖x‖
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
val✝ : Fintype ι
⊢ Continuous fun p => p.1 p.2
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PosMulStrictMono α
a0 : 0 < a
ha : a < 1
⊢ ∃ b, b * b ≤ a
α : Type u_2
AddGroup α
n : ℤ
⊢ Even n → ∀ (a : α), Even (n • a)
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Nat.card G = 1 ∨ p ∣ Nat.card G
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
s : Finset ι
f : Π₀ (i : ι), α i
t✝ : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
t : Π₀ (i : ι), Finset (α i)
ht : t.support ⊆ s
i : ι
h : f i ∈ t i
hi : i ∈ f.support
H : t i = 0
⊢ f i = 0
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
⊢ ker (f.prod g) = ker f ⊓ ker g
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun y => fderiv 𝕜 f y) s
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = g ≫ h
inst✝² : HasCoequalizer f g
inst✝¹ : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f g) G
⊢ G.map (coequalizer.π f g) ≫ (PreservesCoequalizer.iso G f g).inv = coequalizer.π (G.map f) (G.map g)
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
P : Sort v
p q : K[X]
f : K[X] → K[X] → P
f0 : ∀ (p : K[X]), f p 0 = f 0 1
H' : ∀ {p q p' q' : K[X]}, q ≠ 0 → q' ≠ 0 → q' * p = q * p' → f p q = f p' q'
H : ∀ {p q p' q' : K[X]}, q ∈ K[X]⁰ → q' ∈ K[X]⁰ → q' * p = q * p' → f p q = f p' q' := ⋯
⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).liftOn f H = f p q
R : Type u
σ : Type u_1
τ : Type u_2
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
f : σ → τ
h : Function.Injective f
⊢ ((MvPolynomial.rename f) p).degrees = Multiset.map f p.degrees
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
inst✝ : IsReflexive K V₂
⊢ (ker B).dualAnnihilator = range (B.dualMap ∘ₗ ↑(evalEquiv K V₂))
m n : ℕ
⊢ n = 1 ∨ m ≤ n.minFac ↔ ∀ (p : ℕ), 2 ≤ p → p ∣ n → m ≤ p
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup N✝
N : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ s ∈ S, f s = 0
g : NormedAddGroupHom (M ⧸ S) N
h : g.comp S.normedMk = f
x : M
⊢ g (S.normedMk x) = (lift S f hf) (S.normedMk x)
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
⊢ 𝓝 0 = ⨅ γ, ⨅ (_ : γ ≠ 0), 𝓟 (Iio γ)
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
S✝ : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup S✝
inst✝⁴ : Pow S✝ ℕ
inst✝³ : Module R S✝
p q✝ : R[X]
x : S✝
S : Type u_3
inst✝² : NonAssocRing S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
q : ℕ[X]
n : ℕ
⊢ q.sum (smul_pow (-↑n)) = ↑(q.sum (smul_pow (-↑n)))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
g : F → G
g' : F →L[𝕜] G
t : Set F
hg : HasFDerivWithinAt g g' t (f x)
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hst : Set.MapsTo f s t
⊢ HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (g'.comp f') s x
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
r : Rᵐᵒᵖ
⊢ (Polynomial.opRingEquiv R).symm ((Polynomial.monomial n) r) =
  MulOpposite.op ((Polynomial.monomial n) (MulOpposite.unop r))
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
TopologicalSpace M₄
AddCommMonoid M₄
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
Module R₁ M₃
Module R₁ M₄
f₁ : M₁ →L[R₁] M₂
f₂ : M₃ →L[R₁] M₄
⊢ ⇑(f₁.prodMap f₂) = Prod.map ⇑f₁ ⇑f₂
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
IsNoetherianRing R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
Module.Finite R M
Module.Finite R N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑(TensorProduct.AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
⊢ EuclideanGeometry.inversion c R x ∈ AffineSubspace.perpBisector c (EuclideanGeometry.inversion c R y) ↔
  dist x y = dist y c ∧ x ≠ c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' 0 h₁ h₂ = 0
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
TopologicalSpace α
Zero α
T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : Function.support f ⊆ k
h'f : Continuous f
⊢ f = 0 ∨ LocallyCompactSpace G
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
f : α → β
⊢ ∀ (a : α) (s : Multiset α), (s.bind fun x => {f x}) = map f s → ((a ::ₘ s).bind fun x => {f x}) = map f (a ::ₘ s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : TopologicalSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace δ
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β
inst✝⁹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁸ : BorelSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : PseudoMetrizableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : SecondCountableTopologyEither β γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : PseudoMetrizableSpace δ
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace δ
inst✝ : SecondCountableTopology δ
g : β → γ → δ
hg : Measurable (uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ
⊢ ↑(comp₂Measurable g hg f₁ f₂) =ᶠ[ae μ] fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
M N : CategoryTheory.Mat_ C
f g : M ⟶ N
i : M.ι
j : N.ι
⊢ (f + g) i j = f i j + g i j
α : Type u_1
Fintype α
s t : Finset α
⊢ Codisjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∉ t → a ∈ s
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
⊢ IsLocallySurjective J f ↔ Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf (whiskerRight f (forget A))) = ⊤
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
β : Type u_2
MulOneClass β
Preorder β
CovariantClass β β (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass β β (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : α → β
a : α
h₁ : 1 ≤ f a
h₂ : 1 ≤ f (-a)
⊢ f |a| ≤ f a * f (-a)
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : V → E
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) volume
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ 𝓕 (iteratedFDeriv ℝ n f) = fun w => fourierPowSMulRight (-innerSL ℝ) (𝓕 f) w n
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
hp : Irreducible p
x y : ↑(p.rootSet E)
hx : p * C p.leadingCoeff⁻¹ = minpoly F ↑((rootsEquivRoots p E).symm x)
⊢ ∃ g, g • x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
f' : Filter α
g' : Filter β
⊢ Disjoint (f ×ˢ g) (f' ×ˢ g') ↔ Disjoint f f' ∨ Disjoint g g'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Center.ofBraidedObj X).fst = X
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
a b : WithBot α
⊢ a * b = ⊥ ↔ a ≠ 0 ∧ b = ⊥ ∨ a = ⊥ ∧ b ≠ 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
h : Reflexive r
x y : α
⊢ x ≠ y → r x y ↔ r x y
G : Type u_3
Add G
IsLeftCancelAdd G
a : G
b c : G
⊢ a + b ≠ a + c ↔ b ≠ c
a b : Bool
⊢ b = (a && b) ↔ b = true → a = true
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
g : β → γ
h : QuotientMap f
s : Set β
hs : IsOpen s
⊢ ContinuousOn g s ↔ ContinuousOn (g ∘ f) (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
a : α
b✝ : β
a₁ a₂ b : α
h : rα a₁ a₂
⊢ GameAdd rα s(b, a₁) s(a₂, b)
α : Sort u
β : Sort v
⊢ ¬Uncountable α ↔ Countable α
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
A : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id A).val = CategoryTheory.CategoryStruct.id A.obj
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f : A →ₐ[S] B
h : ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y
toQuot✝¹ : Quot (Rel s)
x : A
toQuot✝ : Quot (Rel s)
y : A
⊢ { toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯ }.toFun ({ toQuot := Quot.mk (Rel s) x } * { toQuot := Quot.mk (Rel s) y }) = { toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯ }.toFun { toQuot := Quot.mk (Rel s) x } * { toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯ }.toFun { toQuot := Quot.mk (Rel s) y }