ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
LinearOrder α
OrderTop α
l : List α
a : α
x : α
hx : x ∈ l
h : x ≤ a
⊢ List.foldr min ⊤ l ≤ a
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x : E₂
⊢ e (e.symm x) = x
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
⊢ (∀ (x y : Quot r), x = y) ↔ ∀ (i i_1 : α), ⊤ ≤ EqvGen r i i_1
a : NatOrdinal
⊢ Order.succ a = Ordinal.toNatOrdinal (NatOrdinal.toOrdinal a + 1)
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
a b : R
hp : Irreducible (a * b)
hI : span R {a * b} < span R {a}
hb : IsUnit b
⊢ span R {a} ≤ span R {a * b}
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c x : α
⊢ a ⊔ b ⊔ c ≤ x ↔ a ⊔ (b ⊔ c) ≤ x
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f k + g k ≤ f i + g j
⊢ iInf f + iInf g = ⨅ a, f a + g a
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : NormOneClass A
a : A
⊢ spectralRadius 𝕜 a ≤ ↑‖a‖₊
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
CommSemiring R
e : α ≃ β
Semiring β
Algebra R β
r : R
⊢ let semiring := e.semiring;
let algebra := Equiv.algebra R e;
(algebraMap R α) r = e.symm ((algebraMap R β) r)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : (x : M) → x ∈ span R s → Prop
mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
add : ∀ (x : M) (hx : x ∈ span R s) (y : M) (hy : y ∈ span R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
smul : ∀ (a : R) (x : M) (hx : x ∈ span R s), p x hx → p (a • x) ⋯
x : M
hx : x ∈ span R s
⊢ p x hx
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
⊢ addOrderOf x • x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
x✝ : α
⊢ (∃ y, ∃ a ∈ g x✝, y ∈ f a) ↔ ∃ y, ∃ x ∈ f y, y ∈ g x✝
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : IsWeakAntichain s
⊢ t ⊆ s → IsWeakAntichain t
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t y : ↑I
yH : y ∈ {0, 1}
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I
⊢ ((t, y).2, y✝).1 = 0 ∨ ((t, y).2, y✝).1 = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
X : CategoryTheory.ComposableArrows Cᵒᵖ n
⊢ ∀ (X_1 : Fin (n + 1)),
  ((CategoryTheory.ComposableArrows.opEquivalence C n).counitIso.hom.app X).app X_1 =
    X.map
      (((CategoryTheory.orderDualEquivalence (Fin (n + 1))).symm.trans Fin.revOrderIso.equivalence).symm.counitInv.app
          (Opposite.op X_1)).unop
n m a b n✝ : ℕ
ha : a < n✝ + 1 + 1
hb : b < n✝ + 1 + 1
h : ⟨a, ha⟩ < ⟨b, hb⟩
⊢ ⟨a, ha⟩ + 1 ≤ ⟨b, hb⟩
m n : Nat
h : m < n
⊢ (range n).get? m = some m
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
Nontrivial α
p : Associates.FactorSet α
⊢ p.prod = 0 ↔ p = ⊤
n : ℕ
this : π < (√(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2 + 1 / (2 ^ n) ^ 3 / 4) * 2 ^ (n + 2)
⊢ 2 ^ (2 * n) ≠ 0
R : Type u
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₂
Algebra R S₂
f : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), MvPolynomial.coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, f i = 0
⊢ (MvPolynomial.aeval f) φ = 0
α : Type u_1
m₁ m₂ : MeasurableSpace α
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔ MeasurableSpace.GenerateMeasurable (MeasurableSet ∪ MeasurableSet) s
n : ℕ
⊢ Gamma (↑n + 1) = ↑n !
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → M
⊢ ∑ a : α, single a ((equivFunOnFinite.symm f) a) = ∑ a : α, single a (f a)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : F
p : Submodule R M
⊢ Submodule.map f p ≤ LinearMap.range f
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
⊢ inftyValuationDef Fq RatFunc.X = ↑(Multiplicative.ofAdd 1)
F : Type u_1
Field F
p q : F[X]
hq : q.natDegree ≠ 0
⊢ Polynomial.Splits (algebraMap F (p.comp q).SplittingField) p
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
ε : C ≌ D
h : IsIdempotentComplete C
X' : D
p : X' ⟶ X'
hp : p ≫ p = p
φ : (𝟭 D).obj X' ≅ (ε.inverse ⋙ ε.functor).obj X' := ε.counitIso.symm.app X'
⊢ ∃ Y' i' e', i' ≫ e' = 𝟙 Y' ∧ e' ≫ i' = φ.inv ≫ p ≫ φ.hom
α : Type u_1
ι : Sort v
Nonempty ι
l : ι → Language α
m : Language α
⊢ (⨆ i, l i) + m = ⨆ i, l i + m
E : Type u_1
ι : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
Fintype ι
DecidableEq ι
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
BorelSpace E
μ.IsAddHaarMeasure
b₀ : Basis ι ℝ E
⊢ μ (Zspan.fundamentalDomain b) = ENNReal.ofReal |b₀.det ⇑b| * μ (Zspan.fundamentalDomain b₀)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
f : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
⊢ ((Finsupp.onFinset Finset.univ f.toFun ⋯).sum fun i a => a • spanFinBasis C s i) = f
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
⊢ s ∈ 𝓝[t] x ↔ ∃ ε > 0, Metric.ball x ε ∩ t ⊆ s
R : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero R
UniqueFactorizationMonoid R
a b : R
hb : b ≠ 0
⊢ ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
n : ℕ
ifp_n : GenContFract.IntFractPair K
stream_nth_eq : GenContFract.IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
⊢ (GenContFract.of v).s.get? n = some { a := 1, b := ↑(GenContFract.IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).b }
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l✝ l₁ l₂ l l' : List M
h : l.length = l'.length
⊢ l.prod * l'.prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) l l').prod
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
⊢ affineSpan k s = ⊥ ↔ s = ∅
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
s₁ s₂ : Set Ω
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ (↑μ s₁).toNNReal ≤ (↑μ s₂).toNNReal
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT₀ : T.mor₃ = 0
inr : T.obj₃ ⟶ T.obj₂
inr_snd : inr ≫ T.mor₂ = 𝟙 T.obj₃
fst : T.obj₂ ⟶ T.obj₁
total : fst ≫ T.mor₁ + T.mor₂ ≫ inr = 𝟙 T.obj₂
⊢ BinaryBiproductData T.obj₁ T.obj₃
ι : Type u_1
M : Type u_3
AddGroup M
f g : ι →₀ M
⊢ (f - g).toDFinsupp = f.toDFinsupp - g.toDFinsupp
G : Type u_2
AddGroup G
S : AddSubgroup Gᵃᵒᵖ
⊢ S.unop.op = S
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
CommSemiring R
Semiring A₁
Algebra R A₁
⊢ AlgEquiv.refl.toLinearEquiv = LinearEquiv.refl R A₁
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
φ ψ : W.RightFraction X Y
⊢ φ.map L ⋯ = ψ.map L ⋯ ↔ CategoryTheory.MorphismProperty.RightFractionRel φ ψ
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬Irreducible W.polynomial
f g : R[X]
h0 : { a := -1, b := -W.a₂, c := -W.a₄, d := -W.a₆ }.toPoly.degree = (f * g).degree
h1 : { a := 0, b := 0, c := W.a₁, d := W.a₃ }.toPoly.degree = (f + g).degree
⊢ False
α : Type u
n : ℕ
l : List α
h : l.Nodup
⊢ (List.sublistsLen n l).Nodup
n : ℕ∞
⊢ ContDiff ℝ n Real.sinh
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x : F
⊢ RCLike.im ⟪x, x⟫_𝕜 = 0
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
s : Set α
Finite ↑s
hs : s.Nontrivial
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ s.infsep = dist x y
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
⊢ 𝓤 (α × β) = Filter.comap (fun p => (p.1.1, p.2.1)) (𝓤 α) ⊓ Filter.comap (fun p => (p.1.2, p.2.2)) (𝓤 β)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
X : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cone.equivCostructuredArrow F).unitIso.hom.app X).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.pt
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ x = y ↔ o.oangle x y = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R
this : ‖c‖ / R < 1
x : E
xF : x ∉ F
hx : ∀ y ∈ F, ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖
x0 : x ≠ 0
⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x₀ - y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
SupSet α
g : β → α
f : ι → β
⊢ ⨆ b, g ↑b = ⨆ i, g (f i)
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β✝
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
β : Type u_7
s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : MeasurableSet s
⊢ t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s)) ↔ μ ((f ⁻¹' t)ᶜ ∩ s) = 0
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct g
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproduct.whiskerEquiv e w).inv =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.desc fun k =>
    CategoryTheory.eqToHom ⋯ ≫ (w (e.symm k)).hom ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f (e.symm k)
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
u : AddUnits M
h : AddCommute a ↑u
m : ℤ
⊢ AddCommute a ↑(m • u)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (⇑f) μ μ
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
s : Set α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
hs : s.Finite
⊢ (⋃ a ∈ s, Iic a).Finite
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
⊢ (∃ z, (∃ x, spanSingleton R⁰ x = ↑z) ∧ ↑↑I * ↑z = ↑↑J) ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ spanSingleton R⁰ x * ↑↑I = ↑↑J
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ T2Space X ↔ IsClosed (Set.diagonal X)
d : ℤ
a : Solution₁ d
hax : 0 < a.x
hay : 0 < a.y
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ 0 < (a ^ n).y
x : ℝ≥0
⊢ NNReal.sqrt x ≤ 1 ↔ x ≤ 1
r : ℝ≥0
⊢ ↑r = ENNReal.ofReal ↑r
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} C'
D : CategoryTheory.GlueData C
F : CategoryTheory.Functor C C'
H : (i j k : D.J) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
i : D.J × D.J
⊢ (D.mapGlueData F).V i = F.obj (D.V i)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
p : (g : G₀) → g ≠ 0 → Prop
⊢ (∃ g hg, p g hg) ↔ ∃ g, p ↑g ⋯
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P✝ : Ideal S
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsNoetherian R S
inst✝ : p.IsMaximal
P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }
⊢ inertiaDeg (algebraMap R S) p ↑P ≠ 0
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
this : Encodable ↑S
⊢ ⋂ x, s ↑x ⋯ ≤ᶠ[l] ⋂ x, t ↑x ⋯
u v : ℤ
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v
⊢ u = v ∨ u = -v
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set (Submodule R M)
m : M
⊢ m ∈ sSup S ↔ ∃ s, ↑s ⊆ S ∧ m ∈ ⨆ i ∈ s, i
μ : ℝ
v : ℝ≥0
⊢ ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v = fun x => (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-(x - μ) ^ 2 / (2 * ↑v))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
CeilDiv α β
f : ι →₀ β
a : α
⊢ (f ⌈/⌉ a).support ⊆ f.support
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y x : V
⊢ arccos (⟪0, x⟫_ℝ / (‖0‖ * ‖x‖)) = π / 2
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a : ℝ
hfi✝ : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc a (b i)) μ
hb : Tendsto b l atTop
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hφ : AECover (μ.restrict (Ioi a)) l fun i => Iic (b i)
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Iic (b i)) (μ.restrict (Ioi a))
i : ι
hbi : a ≤ b i
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I → ∫ (x : ℝ) in Iic (b i), ‖f x‖ ∂μ.restrict (Ioi a) ≤ I
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
inst✝¹⁰ : BorelSpace V
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝⁷ : MeasurableSpace W
inst✝⁶ : BorelSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
f : V → ContinuousMultilinearMap ℝ M E
m : (i : ι) → M i
w : W
he : Continuous ⇑e
hf : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : V), (e (-(L.toLinearMap₂ x) w) • f x) m ∂μ = fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ (fun x => (f x) m) w
R : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
x✝ : L ⧸ f.ker
x : L
y✝ : L ⧸ f.ker
y : L
⊢ { toFun := ⇑(↑f).quotKerEquivRange, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⁅Quot.mk Setoid.r x, Quot.mk Setoid.r y⁆ = ⁅{ toFun := ⇑(↑f).quotKerEquivRange, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (Quot.mk Setoid.r x), { toFun := ⇑(↑f).quotKerEquivRange, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (Quot.mk Setoid.r y)⁆
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preregular C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ S ∈ (CategoryTheory.regularTopology C).sieves X ↔ ∃ Y π, CategoryTheory.EffectiveEpi π ∧ S.arrows π
R : Type u
Semiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
x : R
⊢ star x < 1 ↔ x < 1
a b m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ((Multiset.toFinsupp ↑n.primeFactorsList).prod fun x x_1 => x ^ x_1) = n
α : Type u_1
Denumerable α
n : ℕ
b : α
h : Encodable.decode n = some b
⊢ Denumerable.ofNat α n = b
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ (TruncatedWittVector.truncate hm).comp (WittVector.truncate m) = WittVector.truncate n
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ range (n + 1), (monomial (n - x)) (_root_.bernoulli x * ↑(n.choose x)) = (monomial (n - x)) (_root_.bernoulli (n - (n - x)) * ↑(n.choose (n - x)))
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ z ⊓ (z \ x ⊔ y) ⊓ (z \ y ⊔ z ⊓ y ⊓ x) = z ⊓ (z \ x ⊔ y) ⊓ (z ⊓ (z \ y ⊔ x))
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
⊢ ↑(s ×ˢ t) = ↑s ×ˢ ↑t
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ c.toStructuredArrow.comp ((CategoryTheory.StructuredArrow.toUnder c.pt F).comp (CategoryTheory.Under.forget c.pt)) = F
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
Module ℚ α
PosSMulMono ℚ α
q : ℚ
a : α
⊢ |q • a| = |q| • |a|
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
ContinuousAdd α
RegularSpace α
γ : β → Type u_5
f : (b : β) × γ b → α
ha : Summable f
hf : ∀ (b : β), Summable fun c => f ⟨b, c⟩
⊢ Summable fun b => ∑' (c : γ b), f ⟨b, c⟩
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (J.plusFunctor D).obj P = J.plusObj P
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
AddCommMonoid γ
s : Multiset ι
f : α → β → γ
hf : ∀ (a b : α) (c d : β), f (a + b) (c + d) = f a c + f b d
hf' : f 0 0 = 0
f₁ : ι → α
f₂ : ι → β
⊢ (Multiset.map (fun i => f (f₁ i) (f₂ i)) s).sum = f (Multiset.map f₁ s).sum (Multiset.map f₂ s).sum
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
j : ι
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → toLex x j_1 = toLex (update x i a) j_1
h : x j < update x i a j
⊢ x i < a
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
R : Type u_6
Ring R
TopologicalSpace R
Module R V
ContinuousSMul R V
l : Filter α
f₁ f₂ : α → P
g : α → R
p₁ p₂ : P
c : R
h₁ : Filter.Tendsto f₁ l (𝓝 p₁)
h₂ : Filter.Tendsto f₂ l (𝓝 p₂)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 c)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => (AffineMap.lineMap (f₁ x) (f₂ x)) (g x)) l (𝓝 ((AffineMap.lineMap p₁ p₂) c))
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdim : FiniteDimensional.finrank K ↥s + FiniteDimensional.finrank K ↥t = FiniteDimensional.finrank K V
hdisjoint : Disjoint s t
⊢ s ⊔ t = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹³ : TopologicalSpace α
inst✝¹² : MeasurableSpace α
inst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β
inst✝⁹ : MeasurableSpace β
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁷ : TopologicalSpace γ
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ₂
inst✝³ : MeasurableSpace γ₂
inst✝² : BorelSpace γ₂
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
inst✝ : R1Space γ
K s : Set γ
hK : IsCompact K
hs : MeasurableSet s
hKs : K ⊆ s
⊢ ∀ i ∈ K, {y | Inseparable i y} ⊆ s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
NoMinOrder α
FirstCountableTopology α
x : α
⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
LinearOrder β
t : TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : StrictMono f
hc : (Set.range f).OrdConnected
⊢ TopologicalSpace.induced f t = Preorder.topology α
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : S.HasLeftHomology
⊢ cyclesMap' (𝟙 S) S.leftHomologyData h ≫ h.i = S.leftHomologyData.i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᴹᵒᵖ
⊢ ∀ (X_1 : Cᴹᵒᵖ), (X.tensorRightIso.hom.app X_1).unmop = 𝟙 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X.unmop X_1.unmop)
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
⊢ IsLinearMap R fun x => x.1 - x.2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
st : MapsTo f s t
hg : ContMDiffWithinAt I' I'' n g t (f x)
⊢ ContMDiffWithinAt I I'' n (g ∘ f) s x
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0
⊢ t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff t).prod
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
⊢ h.symm.toEquiv = h.symm
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
p2 : P
⊢ p2 -ᵥ p ∈ s.direction ↔ p2 ∈ s
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r✝ : ℝ
p q : Seminorm 𝕜 E
e : E
r : ℝ
⊢ (p ⊔ q).ball e r = p.ball e r ∩ q.ball e r
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
this : Nontrivial 𝕜
l u : 𝕜
hxI : toIcoMod hp a x ∈ Ioo l u
hIs : Ioo l u ⊆ s
d : 𝕜 := toIcoDiv hp a x • p
hd : toIcoMod hp a x ∈ Ico a (a + p)
⊢ l < x - d ∧ x - d < a + p ∧ x - d < u
G : Type u_3
Group G
Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Nat.card G
⊢ ∃ x, orderOf x = p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor E C
X : D
F : CategoryTheory.Functor C D
f : (Y : E) → X ⟶ F.obj (G.obj Y)
h : ∀ {Y Z : E} (g : Y ⟶ Z), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f Y) (F.map (G.map g)) = f Z
⊢ (G.toStructuredArrow X F f ⋯).comp (CategoryTheory.StructuredArrow.proj X F) = G
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
h₂ : ‖-x + y‖ = ‖x - y‖
⊢ 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ + -(𝓚 ‖I • x + -y‖ * 𝓚 ‖I • x + -y‖) + I * (𝓚 ‖x + -y‖ * 𝓚 ‖x + -y‖) + -(I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖)) = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖) + -(-I * (𝓚 ‖x + -y‖ * 𝓚 ‖x + -y‖)) + 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ + -(𝓚 ‖I • x + -y‖ * 𝓚 ‖I • x + -y‖)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Finset E
P : IntermediateField F E → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (K : IntermediateField F E), ∀ x ∈ S, P K → P (restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
⊢ P (adjoin F ↑S)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ X₂ : C
self : CategoryTheory.Limits.CoproductDisjoint X₁ X₂
X : C
⊢ ∀ (X₁_1 : X₁ ⟶ X) (X₂_1 : X₂ ⟶ X),
  CategoryTheory.Limits.IsColimit (CategoryTheory.Limits.BinaryCofan.mk X₁_1 X₂_1) → CategoryTheory.Mono X₁_1
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
Preorder β
CompleteSpace α
u : β → α
h : CauchySeq u
⊢ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 (limUnder Filter.atTop u))