ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair} (h : X ⟶ Y),
  I.parallelPairDiagram.map h =
    match X, Y, h with
    | x, .(x), CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.id .(x) =>
      CategoryTheory.CategoryStruct.id
        (match x with
        | CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero => ∏ᶜ I.left
        | CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one => ∏ᶜ I.right)
    | .(CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero), .(CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one),
      CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.left => I.fstPiMap
    | .(CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero), .(CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one),
      CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom.right => I.sndPiMap
L : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeSup L
inst✝² : TopologicalSpace L
inst✝¹ : ContinuousSup L
X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
f : ℕ → X → L
n : ℕ
s : Set X
x : X
hf : ∀ k ≤ n, ContinuousAt (f k) x
⊢ ContinuousAt ((partialSups f) n) x
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup A
inst✝⁴ : CompactSpace A
inst✝³ : ConnectedSpace A
inst✝² : MeasurableSpace A
inst✝¹ : BorelSpace A
μ : Measure A
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
ξ : A
n : ℕ
hn : 0 < n
δ : ℝ
hδ : μ univ ≤ (n + 1) • μ (closedBall 0 (δ / 2))
this : IsFiniteMeasure μ
B : ↑(Icc 0 n) → Set A := fun j => closedBall (↑j • ξ) (δ / 2)
hB : ∀ (j : ↑(Icc 0 n)), IsClosed (B j)
h : Pairwise (Disjoint on B)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
AddGroup β
ContinuousSub β
hf : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable (f - g) μ
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
p : Set X → Prop
he : p ∅
hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → p t → p s
hunion : ∀ ⦃s t : Set X⦄, p s → p t → p (s ∪ t)
hnhds : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, p t
f : Filter X := comk p he ⋯ ⋯
⊢ p s
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
c : 𝕜
f : ↥(Lp F p μ)
s : Set X
⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x → ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
Hf : Monotone f
s : Set α
⊢ BddBelow s → BddBelow (f '' s)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
c : ℝ≥0
⊢ dist x y ≤ ↑c ↔ nndist x y ≤ c
α : Type u_1
PartialOrder α
BoundedOrder α
a b : α
⊢ IsCompl a b ↔ Disjoint a b ∧ Codisjoint a b
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
hs : s ∈ 𝒜
ha : a ∉ s
⊢ insert a s ∈ 𝒜.upShadow
a b c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : b ∣ a
hb : b ≠ 0
d : ℕ
⊢ c = a / b * d ↔ b * c = a * d
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
k : ℕ
hk : k < padicValNat p n + 1
⊢ p ^ k ∣ n ∧ n ≠ 0
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero HomologicalComplex.zero
b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ Summable fun n => |↑↑n| ^ (-b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β → γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f)
h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b
h_mono : Monotone F
⊢ ⨆ n, ∫⁻ (a : β × γ), ↑(F n) a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b) ∂κ a
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
⊢ f a = f b ↔ f (a * b⁻¹) = 1
α : Type u_4
Bornology α
⊢ Bornology.cobounded α ≤ Filter.cofinite
α : Type u_1
a : α
⊢ ↑a ≠ ⊤
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.LaxFunctor B C
∀ (a : B), CategoryTheory.IsIso (F.mapId a)
∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c), CategoryTheory.IsIso (F.mapComp f g)
⊢ ∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c), ((CategoryTheory.Pseudofunctor.mkOfLax' F).mapComp f g).inv = F.mapComp f g
b n : ℕ
n0 : 0 < n
nb : n < b
⊢ b.digits n = [n] ∧ 1 < b ∧ 0 < n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
f : F
hf : Injective ⇑f
s t : Finset α
⊢ map { toFun := ⇑f, inj' := hf } (s ⊼ t) = map { toFun := ⇑f, inj' := hf } s ⊼ map { toFun := ⇑f, inj' := hf } t
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : (S.map F).HasHomology
this : S.HasHomology
h : 𝟙 S.leftHomologyData.H = 0
⊢ (S.map F).Exact
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
p : Set β
f : r ≺i s
H : ∀ (a : α), f.toRelEmbedding a ∈ p
H₂ : f.top ∈ p
⊢ (PrincipalSeg.codRestrict p f H H₂).top = ⟨f.top, H₂⟩
M : Type u_4
Monoid M
l : List M
⊢ MulOpposite.op l.prod = (List.map MulOpposite.op l).reverse.prod
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
K : Type u_5
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : Module K E
inst✝ : Module K F
f : E →ₗ.[K] F
x : E
y : F
hx : x ∉ f.domain
x' : E
hx' : x' ∈ f.domain
c : K
⊢ c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y ⋯).domain
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitEpi f
⊢ (CategoryTheory.Limits.coconeOfIsSplitEpi f).π = f
I : Type u_5
X : I → Type u_7
(i : I) → TopologicalSpace (X i)
i : I
snd : X i
⊢ (ContinuousMap.sigmaMk i) snd = ⟨i, snd⟩
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
X : Set (C(α, β) × C(α, β))
⊢ X ∈ 𝓤 C(α, β) ↔ ∃ K V, IsCompact K ∧ V ∈ 𝓤 β ∧ {fg | ∀ x ∈ K, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ V} ⊆ X
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
x y : X
l : List X
⊢ d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum
α : Type u_1
r : α → α → Prop
x : Cardinal.{u_2}
hx : x < ℵ₀
⊢ 2 ^ x < ℵ₀
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z = 0
⊢ W'.add P Q = -(Q x * P z) • P
n m : ℕ
α : Type u_1
f : Fin (m + n) → α
a : α
⊢ Fin.snoc f a ∘ Fin.natAdd m = Fin.snoc (f ∘ Fin.natAdd m) a
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
hg : Monotone g
hf : Monotone f
⊢ { toFun := g, monotone' := hg }.comp { toFun := f, monotone' := hf } = { toFun := g ∘ f, monotone' := ⋯ }
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ a ::ₘ Ioo a b = Ico a b
α β : Type u
f : α → β
x : FreeGroup α
⊢ f <$> x⁻¹ = (f <$> x)⁻¹
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p = Polynomial.C (p.coeff 0) ↔ p.natDegree = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f g : α → ℝ
s : Set α
x : α
hf : ContinuousWithinAt f s x
hg : ContinuousWithinAt g s x
h : f x ≠ 0 ∨ 0 < g x
⊢ ContinuousWithinAt (fun t => f t ^ g t) s x
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ ↑0 = 0
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
⊢ ⨆ x, dist (f x) (g x) = ↑(⨆ x, nndist (f x) (g x))
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∑' (i : ℕ), f i ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)) Filter.atTop (𝓝 0)
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝¹⁰ : Ring K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V'
inst✝⁴ : Module K V'
inst✝³ : AddCommGroup V''
inst✝² : Module K V''
inst✝¹ : AddCommGroup V'₁
inst✝ : Module K V'₁
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V'₁
⊢ (f ∘ₗ g).rank ≤ g.rank
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
x : X
y : Y
⊢ 1 ≤ Sum.dist (Sum.inl x) (Sum.inr y)
α : Type u_1
⊢ (Num.ofNat' 0).toZNum = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
bc : b ≤ c
⊢ variationOnFromTo f s a b ≤ variationOnFromTo f s a c
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
i j : n
Finite n
c : R
⊢ Matrix.updateRow 1 i (1 i + c • 1 j) = Matrix.transvection i j c
Ω : Type u_1
MeasureTheory.MeasureSpace Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : MeasureTheory.Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => ProbabilityTheory.IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), ProbabilityTheory.IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω),
  Filter.Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range ⌊c ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c ^ n⌋₊) Filter.atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
h : IsLUB s a
⊢ upperBounds s = Set.Ici a
a : Int
b : Int
H : b ≠ 0
⊢ (a * b).div b = a
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n j : ℕ
⊢ i < j → j < n → Pell.xn a1 i % Pell.xn a1 n < Pell.xn a1 j % Pell.xn a1 n
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate
hΦ_inv✝ : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ✝
Φ : LinearMap.BilinForm R L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hL : ∀ (I : LieIdeal R L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
contra : I ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
⊢ False
X : Type u
x : X
p : PUnit.{u + 1}
⊢ (ρ_ X).hom (x, p) = x
a b : ℕ
⊢ Finset.uIcc a b = { val := ↑(List.range' (min a b) (max a b + 1 - min a b)), nodup := ⋯ }
α : Type u_1
a : α
l₁ : List α
l₂ : List α
h : a ∈ l₂
⊢ a ∈ l₁ ++ l₂
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
s : Set ℂ
h₁ : HasDerivWithinAt f f' s x
h₂ : f x ∈ slitPlane
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => log (f t)) (f' / f x) s x
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
a b : Xᵒᵈ
⊢ nndist (OrderDual.ofDual a) (OrderDual.ofDual b) = nndist a b
α : Type u
p : α → Prop
PartialOrder α
OrderTop α
OrderTop (Subtype p)
htop : p ⊤
⊢ ⟨⊤, htop⟩ = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : α → β
e : γ ≃ᵐ α
h : MeasurePreserving (⇑e) μc μa
⊢ MeasurePreserving (g ∘ ⇑e) μc μb ↔ MeasurePreserving g μa μb
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ : Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) = minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
key₂' : finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = g.natDegree
⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
x : ℂ
⊢ x⁻¹.arg = if x.arg = π then π else -x.arg
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
ι' : Type u_5
s : Finset ι'
f : ι' → ⨁ (i : ι), ↥(ℳ i)
⊢ (DirectSum.decompose ℳ).symm (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, (DirectSum.decompose ℳ).symm (f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompactSpace α
this : (𝓤 (α × α)).HasBasis (fun U => U ∈ 𝓤 α) fun U => (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ⁻¹' U ×ˢ U
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
⊢ ⋃ x ∈ diagonal α, ball x ((fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ⁻¹' U ×ˢ U) ∈ 𝓤 α
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
h : (x, y) ∈ f.graph
⊢ x ∈ f.domain
R : Type u
CommSemiring R
ι₁ : Type v₁
DecidableEq ι₁
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₂' : Type w₂'
(i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
AddCommMonoid M₂'
(i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
Module R M₂'
i : ι₁
x : M₁ i
y : M₂'
⊢ (TensorProduct.directSumLeft R M₁ M₂') ((DirectSum.lof R ι₁ M₁ i) x ⊗ₜ[R] y) =
  (DirectSum.lof R ι₁ (fun i => TensorProduct R (M₁ i) M₂') i) (x ⊗ₜ[R] y)
p n : ℕ
hp : Prime p
h : ¬p ∣ n
⊢ φ (p * n) = (p - 1) * φ n
R : Type u
Semiring R
a : R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ n).leadingCoeff = a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4360, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
this : S.HasHomology
⊢ S.Exact ↔ IsZero h.right.H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ HasFiniteIntegral (fun x => ↑(f x).toNNReal) μ
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
r : ↑Γ(↑U, ⊤)
⊢ (Hom.appIso (X.ofRestrict ⋯) ⊤).inv = 𝟙 (X.presheaf.obj (op (⋯.functor.obj ⊤)))
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ Multiset.map (fun x => x) s = s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
⊢ lineDerivWithin 𝕜 f s x v = lineDerivWithin 𝕜 f t x v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β
g : β → γ
s : Set γ
⊢ g ∘ ↑f ⁻¹' s = ↑f ⁻¹' (g ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
G : Type u_6
H : Type u_7
F : Type u_8
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : CommSemigroup N
inst✝ : CommSemigroup P
g : N →ₙ* P
f₁ f₂ : M →ₙ* N
x✝ : M
⊢ (g.comp (f₁ * f₂)) x✝ = (g.comp f₁ * g.comp f₂) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α
⊢ s.toJordanDecomposition.toSignedMeasure = s
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
CommMonoid β
R : Setoid α
DecidableRel Setoid.r
⊢ ∏ x ∈ s, f x = ∏ xbar ∈ Finset.image Quotient.mk'' s, ∏ y ∈ Finset.filter (fun x => ⟦x⟧ = xbar) s, f y
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
x : E
⊢ s * Metric.ball x δ = x • Metric.thickening δ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
n m : ℕ
h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a
h_lt : n < m
this : succ (succ^[n] a) = succ^[n + 1] a
⊢ succ^[n + 1] a ≤ succ^[m] a
α : Type u_1
Preorder α
DenselyOrdered α
a b : α
h : a < b
⊢ (Set.Icc a b).Infinite
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
AddMonoid ι
self : GradedMonoid.GMonoid A
a : GradedMonoid A
⊢ a * 1 = a
α : Type u_1
n : Nat
a : α
⊢ (List.replicate n a).dropLast = List.replicate (n - 1) a
q : Turing.PartrecToTM2.Λ'
s : Option Turing.PartrecToTM2.Γ'
L : List ℕ
c d : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ Turing.Reaches₁ (Turing.TM2.step Turing.PartrecToTM2.tr)
  { l := some (Turing.PartrecToTM2.head Turing.PartrecToTM2.K'.main q), var := s,
    stk := Turing.PartrecToTM2.K'.elim (Turing.PartrecToTM2.trList L) [] c d }
  { l := some q, var := none, stk := Turing.PartrecToTM2.K'.elim (Turing.PartrecToTM2.trList [L.headI]) [] c d }
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
f : ℤ → M
hf : Multipliable f
⊢ Multipliable fun n => f ↑n * f (-(↑n + 1))
S : SSet
filler :
  ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃i : Fin (n + 3)⦄ (σ₀ : SSet.horn (n + 2) i ⟶ S),
    0 < i →
      i < Fin.last (n + 2) →
        ∃ σ,
          ∀ (j : Fin (n + 3)) (h : j ≠ i),
            CategoryTheory.SimplicialObject.δ S j σ =
              σ₀.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1))) (SSet.horn.face i j h)
⊢ S.Quasicategory
R : Type u
Ring R
s : Subring R
l : List R
⊢ (∀ x ∈ l, x ∈ s) → l.sum ∈ s
z : ℂ
⊢ Complex.I * z = { re := -z.im, im := z.re }
a : ℝ≥0∞
⊢ ↑a.toNNReal ≤ a
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ Function.Periodic (toIcoMod hp a) p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
T : C
g : T ⟶ Y
hg : g ≫ CategoryTheory.Limits.cokernel.π f = 0
⊢ CategoryTheory.Abelian.monoLift f g hg ≫ f = g
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : 0 < x
⊢ arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y)) + π
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
h : 0 < b
⊢ a * b⁻¹ < c ↔ a < c * b
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
h : IsPell { re := ↑x, im := ↑y }
⊢ ↑(x * x) - ↑(Pell.d a1 * y * y) = ↑1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
⊢ a ∉ Ι b c ↔ a ≤ b ∧ a ≤ c ∨ c < a ∧ b < a
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Mul N
a x y : M
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
h : SemiconjBy (f a) (f x) (f y)
⊢ f (a * x) = f (y * a)
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : Fin n
⊢ (List.ofFn f).nthLe ↑i ⋯ = f i
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
P : R[X]
hmo : P.Monic
hP : (Polynomial.aeval s) P = 0
Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree
hs : IsIntegral R s
⊢ minpoly R s - P = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₁'}
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁'p₂ : p₁' ≠ p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁' p₂ p₃
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
⊢ ⇑1 = id
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
r C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0, x ∈ Ioi 0 → ‖((fun x => P.g x - P.g₀) ∘ fun x => x⁻¹) x‖ ≤ C * ‖((fun x => x ^ (-(r + P.k))) ∘ fun x => x⁻¹) x‖
⊢ ∃ c, ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0, x ∈ Ioi 0 → ‖P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀‖ ≤ c * ‖x ^ r‖
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.L₂'.Exact
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
x : G
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f.completion‖ * ‖x‖
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h : |x| ≠ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
⊢ False
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i ∈ ∅, (↑(f i)).Intersecting
hs : ∅.card ≤ Fintype.card α
⊢ (∅.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - ∅.card)
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : K
⊢ ∏ w : InfinitePlace K, w x ^ w.mult = ↑|(Algebra.norm ℚ) x|
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
⊢ Submodule.span K ↑(Submodule.span ℤ (Set.range ⇑b)) = ⊤
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
J : Box ι
hJ : ↑J ≤ ↑I
π : Prepartition J
hπ : π.IsPartition
⊢ ∑ Ji ∈ π.boxes, (fun J => integral J l f vol) Ji = (fun J => integral J l f vol) J
α : Type u
β : Type v
Preorder β
s : Set α
a : α
b : β
⊢ IsMaxOn (fun x => b) s a
L : Type v
LieRing L
x y : L
⊢ -⁅y, x⁆ = ⁅x, y⁆
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
v : ℝ → E → E
tMin t₀ tMax : ℝ
x₀ : E
L : ℝ≥0
R C : ℝ
self : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C
t : ℝ
⊢ t ∈ Set.Icc tMin tMax → ∀ x ∈ Metric.closedBall x₀ R, ‖v t x‖ ≤ C
R : Type u
CommRing R
C C' : WeierstrassCurve.VariableChange R
E : EllipticCurve R
⊢ E.variableChange (C.comp C') = (E.variableChange C').variableChange C
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
v : Vector α n
i : Fin n
⊢ (a ::ᵥ v).get i.succ = v.get i
a b c : Cardinal.{u_1}
⊢ a ≤ b → a ^ c ≤ b ^ c
⊢ max (lsub fun i => (moveLeft 1 i).birthday) (lsub fun i => (moveRight 1 i).birthday) = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N✝ : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N✝
inst✝⁹ : ChartedSpace G N✝
Js : SmoothManifoldWithCorners J N✝
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
v : TangentSpace I x
N : ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∈ 𝓝 (↑I (↑(chartAt H x) x))
A : MDifferentiableAt I I.tangent (fun x => { proj := x, snd := 0 }) x
B : (fderivWithin 𝕜 (fun x' => (x', 0)) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))) v = (v, 0)
⊢ tangentMap I I.tangent (zeroSection E (TangentSpace I)) { proj := x, snd := v } = { proj := { proj := { proj := x, snd := v }.proj, snd := 0 }, snd := ({ proj := x, snd := v }.snd, 0) }
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
⊢ Field.sepDegree F ↥⊥ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
n : ℕ
⊢ eLpNorm ((fun x => κ.densityProcess ν n a x s) - Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a)) 1 (ν a) = eLpNorm ((fun i x => κ.densityProcess ν i a x s) n - fun x => κ.density ν a x s) 1 (ν a)
α : Type u_3
β : Type u_4
One α
Preorder α
a : α
ha : a ≤ 1
⊢ Function.const β a ≤ 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
f : β → α
a : α
x : Filter β
⊢ Tendsto f x (𝓝 a) ↔ (∀ a' < a, ∀ᶠ (b : β) in x, a' < f b) ∧ ∀ a' > a, ∀ᶠ (b : β) in x, f b < a'
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
p : Filter ι
p' : Filter α
γ : Type u_1
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
g : γ → α
⊢ UniformCauchySeqOnFilter (fun n => F n ∘ g) p (Filter.comap g p')