ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
x : I → Bool
hx : x ∈ Profinite.NobelingProof.C0 C ho
⊢ Profinite.NobelingProof.Proj (fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o) x = x
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ a * c = b → a = b / c
A : Type u_5
Add A
S : Set (Multiplicative A)
⊢ Subsemigroup.toAddSubsemigroup' (Subsemigroup.closure S) = AddSubsemigroup.closure (⇑Multiplicative.ofAdd ⁻¹' S)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 0 f = ⇑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm ∘ f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L L' : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ (fun a => (L + L') (↑↑f a)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(L.compLp f) + ↑↑(L'.compLp f)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
i : ι
hi : ¬c.Rel (c.prev i) i
⊢ (prevD i) f = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
Bot α
SemilatticeSup β
OrderBot β
f g : BotHom α β
a : α
⊢ (f ⊔ g) a = f a ⊔ g a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X X' Y : C
p : X = X'
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom p) g = f ↔
  g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯) f
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
⊢ {i}.piecewise f g = update g i (f i)
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R✝ N
R : Type u_6
A : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A M
S : Set M
hSfin : S.Finite
hSgen : span R S = ⊤
this : span R S ≤ restrictScalars R (span A S)
⊢ ⊤ ≤ span A S
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
hα : (uniformity α).HasBasis p s
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (x : X) in nhdsWithin x₀ S, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s k
α : Type u
x y : List α
⊢ x ++ y = y ↔ x = []
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
⊢ whiskerRight (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) U ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val = (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U).hom ≫ (sheafificationAdjunction J B).unit.app ((const Cᵒᵖ).obj (U.obj (F.val.obj (op t)))) ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
AddCommMonoid C
Module R A
Module R B
Module R C
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
CoalgebraStruct R C
e₁₂ : A ≃ₗc[R] B
e₂₃ : B ≃ₗc[R] C
⊢ ∀ (a : A), (e₁₂.trans e₂₃) a = e₂₃ (e₁₂ a)
ι : Type u_4
α : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : α
⊢ tsum (fun i => f i) x = ∑' (i : ι), f i x
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
s : Set α
t : Set β
f : α' → β → γ
g : α → α'
f' : α → β → δ
g' : δ → γ
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β), f (g a) b = g' (f' a b)
⊢ Set.image2 f (g '' s) t = g' '' Set.image2 f' s t
α : Type u
TopologicalSpace α
R : Type u_2
SeminormedRing R
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ⇑(OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
R : Type u_1
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hn : ¬p ∣ n
this : Algebra (ZMod p) R := ZMod.algebra R p
⊢ (fun x => cyclotomic n (ZMod p) * x) (cyclotomic (n * p) (ZMod p)) = (fun x => cyclotomic n (ZMod p) * x) (cyclotomic n (ZMod p) ^ (p - 1))
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ s - t₁ ∩ t₂ ⊆ (s - t₁) ∩ (s - t₂)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
X : C
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.unitBackward η X ∘ CategoryTheory.OverPresheafAux.unitForward η X = id
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
x₀ : G
h : HasCompactSupport fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
u : G ≃ₜ G := (Homeomorph.neg G).trans (Homeomorph.addRight x₀)
v : G ≃ₜ G := (Homeomorph.neg G).trans (Homeomorph.addLeft x₀)
⊢ ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
α β : Preord
e : ↑α ≃o ↑β
⊢ (Preord.Iso.mk e).hom = ↑e
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
u : Set α := {x | x ∈ s ∧ f x ≠ 0}
hu : IntegrableOn f u μ
⊢ IntegrableOn f t μ
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]
⊢ degt 0 ≤ 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : 0 < t
h : t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂ ∈ s
⊢ x ∈ s
α : Type u_2
Mul α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set α
⊢ s₁ ⊆ t₁ → s₂ ⊆ t₂ → s₁ * s₂ ⊆ t₁ * t₂
α : Type u_1
E : Type u_4
𝕜 : Type u_6
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedRing 𝕜
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E p μ)
⊢ ↑(c • f) = c • ↑f
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p : α
⊢ Prime (Associates.mk p) ↔ Prime p
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
⊢ o.oangle ((o.rotation θ) x) ((o.rotation θ) y) = o.oangle x y
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable
⊢ ∃! f', f.graph.topologicalClosure = f'.graph
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ MvPolynomial.constantCoeff (WittVector.wittMul p n) = 0
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
Module.Free ℤ R
Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I₀ : Ideal R
⊢ FractionalIdeal.absNorm ↑I₀ = ↑(Ideal.absNorm I₀)
n✝ : ℕ
x : ℤ × ℤ
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
⊢ (n.succ + 1 + n.succ) * (n.succ + 1 + n.succ) = 8 * (n + 1) + (n + 1 + n) * (n + 1 + n)
x : ℤ[i]
⊢ ↑(Zsqrtd.norm x).natAbs = Zsqrtd.norm x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ (λ_ (X ⊗ Y)).inv = ((λ_ X).inv ⊗ 𝟙 Y) ≫ (α_ (𝟙_ C) X Y).hom
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
n : ℕ
hint : ∀ k < n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))
⊢ ∑ k ∈ Finset.range n, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a 0 ..a n, f x ∂μ
R : Type u_1
m : Type u_9
n : Type u_10
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
⊢ (Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B).det = A.det ^ Fintype.card n * B.det ^ Fintype.card m
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
ContinuousAdd M₁
n : ℕ
m : M₁
⊢ ↑n m = n • m
z : ℂ
⊢ z.im ^ 2 ≤ z.re ^ 2 + z.im ^ 2
X : Type u_1
n : Type u_5
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
Fintype n
AddCommMonoid R
ContinuousAdd R
A : X → Matrix n n R
hA : Continuous A
⊢ Continuous fun x => (A x).trace
R : Type u
CommRing R
M : ModuleCat R
⊢ Module.Flat R ↑M ↔
  ∀ (C : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)),
    C.Exact → (C.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft M)).Exact
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ re (⟪y, x⟫_𝕜 * (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪y, x⟫_𝕜 * (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜‖
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
a : R
n : ℕ
⊢ C (0 * ↑n) * X ^ (n - 1) = 0
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
⊢ (a ⊔ b) ⊓ a ⇔ b = a ⊓ b
G : Type u_2
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.op.toAddSubmonoid = H.op
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
f : S₁.Hom S₂
g : S₂.Hom S₃
⊢ (f.comp g).f₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f₁ g.f₁
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
DecidableEq (α ⊕ β)
f : α ⊕ β → γ
i : α
x : γ
⊢ Function.update f (Sum.inl i) x ∘ Sum.inr = f ∘ Sum.inr
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasLeftHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.toCycles S.iCycles = S.f
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
a : R
⊢ (vandermonde fun i => v i - a).det = (vandermonde fun i => v i + -a).det
α : Type u_1
a a' a₁ a₂ b b' b₁ b₂ c : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
n : ℕ
p : a - b = 0
H : (a' - b') ^ n - (a - b) = 0
⊢ (a' - b') ^ n = 0
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
⊢ f.smulRight 0 = 0 ↔ f = 0 ∨ 0 = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
⊢ Function.Injective CoalgHomClass.toCoalgHom
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
h : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ HasDerivWithinAt f f' (s ∩ t) x ↔ HasDerivWithinAt f f' s x
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
⊢ Polynomial.Splits i Polynomial.X
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
m : Basis ι R ↥M
H : LinearMap.ker (mulLeftMap N ⇑m) = ⊥
this : AddCommGroup (ι →₀ ↥N) := Finsupp.instAddCommGroup
⊢ M.LinearDisjoint N
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i)
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx✝ : Quot.mk Setoid.r x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
hx : x ∈ P ^ i
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i
⊢ ∃ a_1, (quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem) a_1 = Quot.mk Setoid.r ⟨Quot.mk Setoid.r x, hx✝⟩
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
J : Type
Fintype J
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
T : C
g : (j : J) → T ⟶ f j
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.lift g = ∑ j : J, g j ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j
α : Type u_2
Mul α
a : α
s t : Set α
⊢ Doset.doset a s t = Set.image2 (fun x x_1 => x * a * x_1) s t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : Associates α
⊢ Associates.mk (Quot.out a) = a
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.9321, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.9373, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
X : C
T : ↑(K.sieves (G.obj X))
Y : D
iYX : Y ⟶ G.obj X
hiYX : (↑T).arrows iYX
⊢ Sieve.pullback iYX (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T)) ∈ K.sieves Y
ι : Type u_1
M : Type u_4
Fintype ι
OrderedAddCommMonoid M
f : ι → M
hf : 0 ≤ f
⊢ 0 ≤ ∑ i : ι, f i
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
⊢ ProbabilityTheory.mgf X μ 0 = (μ Set.univ).toReal
p q : ℤ[X]
hp : p.IsUnitTrinomial
h : IsRelPrime p p.mirror
⊢ Irreducible p
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
S : Type v
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
p : S[X]
⊢ p ∈ lifts f ↔ p ∈ liftsRing f
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism
⊢ map f (comap f J) ≤ f.idealRange ⊓ J
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s t : Subgroup α
h_le : s ≤ t
f : α ⧸ t → α
hf : Function.RightInverse f QuotientGroup.mk
a : (α ⧸ t) × ↥t ⧸ s.subgroupOf t
⊢ α ⧸ s
E : Type u_4
Group E
p q : GroupSeminorm E
⊢ ⇑p < ⇑q ↔ p < q
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r : List β
ys : List α
f : List α → β
⊢ (List.permutationsAux2 t ts [] ys f).2 ++ r = (List.permutationsAux2 t ts r ys f).2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
f : SeparationQuotient α × SeparationQuotient β → γ
⊢ UniformContinuous f ↔ UniformContinuous fun p => f (SeparationQuotient.mk p.1, SeparationQuotient.mk p.2)
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
⊢ IsPrimal p
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : OnePoint ℕ → Y
⊢ Continuous f ↔ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop (𝓝 (f ∞))
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t✝ : Set α
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
hfs : ∀ b ∈ t, InjOn (fun a => f a b) s
hft : ∀ a ∈ s, InjOn (f a) t
⊢ s.Infinite ∧ t.Nonempty ∨ t.Infinite ∧ s.Nonempty → (image2 f s t).Infinite
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ l.rotate' (l.length * (n + 1)) = (l.rotate' (l.length * n)).rotate' (l.rotate' (l.length * n)).length
⊢ ∀ {α : Type u_1} {o : Option α}, o ≠ none ↔ ∃ x, some x = o
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
b : α → ℝ≥0∞ := fun a => 2 * ENNReal.ofReal (bound a)
hb : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ≤ b a
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ∂μ) atTop (𝓝 0)
R : Type u_3
S : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
⊢ ⇑(NonUnitalRingHom.snd R S) = Prod.snd
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ Y
φ : { obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.obj (op X)
W : Over (unop (op Z))
⊢ ({ obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.map (op f ≫ op g) φ).app (op W) = (({ obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.map (op f) ≫ { obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.map (op g)) φ).app (op W)
n a : ℤ
⊢ a + n ≡ a [ZMOD n]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)
hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᶠ[ae μ] f i
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
⊢ {x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i) =ᶠ[ae μ] {x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
⊢ Disjoint (𝓝 x) (Bornology.cobounded α)
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
L.HasPointwiseLeftKanExtension F
Y : D
⊢ (L.pointwiseLeftKanExtension F).obj Y =
  CategoryTheory.Limits.colimit ((CategoryTheory.CostructuredArrow.proj L Y).comp F)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27982, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : Karoubi (HomologicalComplex C c)
i j : ι
x✝ : c.Rel i j
⊢ P.p.f i ≫ P.p.f i ≫ P.X.d i j = P.X.d i j ≫ P.p.f j
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ (M.X ◁ g.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ Q.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ Q.actLeft) (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ Q.X) (f.hom ▷ Q.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ g.hom) (N.X ◁ g.hom) ⋯ ⋯)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
f : G ⟶ K
m : ℤ
⊢ CochainComplex.HomComplex.δ n m (z₁.comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom f) ⋯) =
  (CochainComplex.HomComplex.δ n m z₁).comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom f) ⋯
α : Type u_2
β : Type u_3
HasCompl α
HasCompl β
a : α × β
⊢ aᶜ.2 = a.2ᶜ
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsLindelof s
this : ∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x
t : Set X
ht : t.Countable
left✝ : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hssubt : s ⊆ t
⊢ s.Countable
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
⊢ (CategoryTheory.Limits.imageSubobjectIso f).inv ≫ (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f).arrow =
  CategoryTheory.Limits.image.ι f
f : ℕ → ℂ
c s : ℂ
n : ℕ
⊢ term (c • f) s n = c * term f s n
s : Finset ℕ
m p : ℕ
hp₁ : 1 + s.sup id ≤ p
hp₂ : Prime p
H : ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ s
h : m = 0
⊢ p < p
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f g : β → α
hfg : ∀ (b : β), f b = g b
⊢ ∏' (b : β), f b = ∏' (b : β), g b
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H₁ : l.size = 0 → r.size ≤ 1
H₂ : 1 ≤ l.size → 1 ≤ r.size → r.size ≤ delta * l.size
H₃ : 2 * l.size ≤ 9 * r.size + 5 ∨ l.size ≤ 3
⊢ Valid' o₁ (l.balance' x r) o₂
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
f : α × β → E
h1f : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
⊢ MeasureTheory.Integrable f (μ.prod ν) ↔
  (∀ᵐ (y : β) ∂ν, MeasureTheory.Integrable (fun x => f (x, y)) μ) ∧
    MeasureTheory.Integrable (fun y => ∫ (x : α), ‖f (x, y)‖ ∂μ) ν
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Group α
MulAction α β
ContinuousInv α
ContinuousSMul α β
CompactSpace α
⊢ IsClosedMap Quotient.mk'
α : Type u_1
β : Type u_2
AddGroup α
AddAction α β
g : α
x y : β
⊢ g +ᵥ x = g +ᵥ y ↔ x = y
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ (AffineEquiv.pointReflection R (midpoint R x y)) y = x
α : Type u_1
Preorder α
o : Ordering
a b : α
⊢ o.Compares a b → (o = Ordering.eq ↔ a = b)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p : ℕ
a b : R
h : ↑p ∣ a - b
k : ℕ
ih : ↑p ^ (k + 1) ∣ a ^ p ^ k - b ^ p ^ k
⊢ ↑p * ↑p ^ (k + 1) ∣ (∑ i ∈ Finset.range p, (a ^ p ^ k) ^ i * (b ^ p ^ k) ^ (p - 1 - i)) * (a ^ p ^ k - b ^ p ^ k)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
⊢ p 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
f : α → β
⊢ List.argmax f [] = none
o : Ordinal.{u_1}
⊢ (Cardinal.aleph' o).alephIdx = o
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
q : ℚ_[p]
ε : ℚ
hε : 0 < ε
q' : CauSeq ℚ (padicNorm p)
this : ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, padicNorm p (↑q' m - ↑q' n) < ε
N : ℕ
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, padicNorm p (↑q' m - ↑q' n) < ε
⊢ (q' - const (padicNorm p) (↑q' N)).norm < ε
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
h : f ≠ 1
⊢ ∃ a b, ¬(f a = a ∨ f b = b ∨ a = b)
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ 𝓤 (Multiplicative α) = Filter.map (Prod.map ⇑Multiplicative.ofAdd ⇑Multiplicative.ofAdd) (𝓤 α)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t : Finset β
⊢ 0 ≤ edgeDensity r s t
n a b c d : ℤ
h₁ : a ≡ b [ZMOD n]
h₂ : a + c ≡ b + d [ZMOD n]
⊢ c ≡ d [ZMOD n]
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
f : (fun x x_1 => x < x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1
x : α
⊢ f.orderEmbeddingOfLTEmbedding x = f x