ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), AEStronglyMeasurable' m f μ → AEStronglyMeasurable' m g μ → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f : ↥(Lp F p μ)
hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
f' : ↥(lpMeas F ℝ m p μ) := ⟨f, hf⟩
g : ↥(Lp F p (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm) f'
hfg : f' = (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g
⊢ ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p (μ.trim hm)) (hg : Memℒp g p (μ.trim hm)), Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → (fun g => P ↑((lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g)) (Memℒp.toLp f hf) → (fun g => P ↑((lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g)) (Memℒp.toLp g hg) → (fun g => P ↑((lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g)) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.67791, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.67795, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s
⊢ Qinv s hs ≫ (Q W).map s = 𝟙 ((Q W).obj Y)
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
M₀' : Type u_3
G₀' : Type u_4
inst✝⁴ : Mul M₀
inst✝³ : Zero M₀
inst✝² : Mul M₀'
inst✝¹ : Zero M₀'
f : M₀ → M₀'
hf : Injective f
zero : f 0 = 0
mul : ∀ (x y : M₀), f (x * y) = f x * f y
inst✝ : IsRightCancelMulZero M₀'
a✝ b✝ c✝ : M₀
Hne : b✝ ≠ 0
He : a✝ * b✝ = c✝ * b✝
this : f a✝ * f b✝ = f c✝ * f b✝
⊢ a✝ = c✝
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt f p s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ∃ g, f =ᶠ[𝓝[s] x] g ∧ HasFPowerSeriesAt g p x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
h : torsion' R M S = ⊤
x : M
⊢ ∃ a, a • x = 0
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
EquivLike F A B
AlgEquivClass F R A B
f : F
a : A
⊢ spectrum R (f a) = spectrum R a
n : ℕ
⊢ Real.log ↑n = log n
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
m : ℕ
CharP R m
h : m ∣ n
a : ZMod n
k : ℕ
⊢ (a ^ k).cast = a.cast ^ k
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
a : α
k r : ℕ
t : Finset α
x✝ : t ∈ 𝒜
hst : t ⊆ t✝
⊢ (t✝ \ t).card = k ↔ t✝.card = t.card + k
α : Type u
CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c : α
⊢ a * b ≤ c → a ≤ c
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
X : C
⊢ presheafHom φ (yoneda.obj X) = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X) ≫ whiskerLeft F.op ((compYonedaIsoYonedaCompLan F).inv.app X ≫ φ.app X)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α
⊢ ↑(⨅ i, ⨅ j, f i j) = ⋂ i, ⋂ j, ↑(f i j)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Zero α
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
SMul α β
SMul α γ
f : β → γ
PosSMulReflectLE α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b
⊢ PosSMulReflectLE α β
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ (λ_ (X ⊗ Y)).hom = (α_ (𝟙_ C) X Y).inv ≫ ((λ_ X).hom ⊗ 𝟙 Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x✝ y✝ z : α
s : Set α
x y : α
⊢ edist x y ≤ ↑(ratio f)⁻¹ * edist (f x) (f y)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝¹ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ (op a • s)⁻¹ ↔ a✝ ∈ a⁻¹ • s⁻¹
α : Sort u
r : α → α → Prop
h : WellFounded r
⊢ WellFounded (TC r)
a : ℕ
a1 : 1 < a
y n : ℕ
⊢ 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ Pell.yz a1 n * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ n) - Pell.xz a1 n
X✝ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X✝
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
s : (i : ι) → Set (X i)
⊢ (∀ (i : ι), IsCompact (s i)) → IsCompact {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i}
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = fderivWithin 𝕜 f t x
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
A : CostructuredArrow S T
P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
inst✝ : Mono f.unop.left.op
⊢ f.unop.left.op.unop ≫ (Subobject.underlyingIso f.unop.left.op).hom.unop = (Subobject.mk f.unop.left.op).arrow.unop
p : Prop
⊢ (False ↔ p) = ¬p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
hs : IsOpen s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ≠ x
H : y < x
⊢ ∃ a b, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s
R : Type u_1
B : Type u_3
CommRing R
Ring B
Algebra R B
⊢ IsNoetherian R B → ∀ (x : B), IsIntegral R x
p : ENNReal
h : p ≤ 1
n : ℕ
⊢ (PMF.binomial p h n) ↑n = p ^ n
a : ℂ
⊢ ↑Complex.polarCoord a = (abs a, a.arg)
α : Type u
One α
LT α
a : α
⊢ ↑a < 1 ↔ a < 1
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a₁₂₃ : A
h₁₂ : a₁ + a₂ = a₁₂
h₂₃ : a₂ + a₃ = a₂₃
h₁₂₃ : a₁ + a₂ + a₃ = a₁₂₃
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.shiftFunctor C a₃).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a₁ a₂ a₁₂ h₁₂).inv.app X))
    ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a₁₂ a₃ a₁₂₃ ⋯).inv.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a₂ a₃ a₂₃ h₂₃).inv.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a₁).obj X))
    ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a₁ a₂₃ a₁₂₃ ⋯).inv.app X)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTrans α r
IsAntisymm α r
IsTotal α r
s : Multiset α
⊢ (Multiset.sort r s).length = Multiset.card s
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
⊢ (AdjoinRoot.isAdjoinRoot f).root = root f
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
⊢ -Int.clog b r⁻¹ = Int.log b r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s : Finset α
f : α ≃ β
b : β
⊢ b ∈ map f.toEmbedding s ↔ f.symm b ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
h : ¬MeasureTheory.SFinite μ
⊢ μ ⊗ₘ κ = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y
⊢ TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ DifferentiableAt ℝ ε x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
ι : Type u_3
X : ι → C
c : CategoryTheory.Limits.Cofan X
hc : CategoryTheory.IsVanKampenColimit c
i j : ι
DecidableEq ι
⊢ CategoryTheory.IsPullback
  (if h : j = i then CategoryTheory.eqToHom ⋯
  else CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯) (CategoryTheory.Limits.initial.to (X i)))
  (if h : j = i then CategoryTheory.eqToHom ⋯
  else CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯) (CategoryTheory.Limits.initial.to (X j)))
  (c.inj i) (c.inj j)
R : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass R
b : R
inst✝ : Nontrivial R
la : IsLeftRegular 0
x y : R
xy : x ≠ y
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Finset β
t : β → Set α
hd : (↑s).PairwiseDisjoint t
hm : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (t b)
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α) in ⋃ b ∈ s, t b, f a ∂μ = ∑ b ∈ s, ∫⁻ (a : α) in t b, f a ∂μ
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ l.rotate n ~ l
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoMod hp a (b + m • p) = toIcoMod hp a b
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
𝕜 : Type u_4
CommSemiring 𝕜
A : Type u_5
TopologicalSpace A
Semiring A
TopologicalSemiring A
Star A
ContinuousStar A
Algebra 𝕜 A
f : C(X, Y)
g : C(Y, A)
⊢ (ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A f) g = g.comp f
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
f : G ⧸ H → G
hf : ∀ (q : G ⧸ H), ↑(f q) = q
⊢ Set.range f ∈ AddSubgroup.leftTransversals ↑H
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
⊢ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (CategoryTheory.Limits.BinaryBiproduct.isLimit X Y)).inv =
  CategoryTheory.Limits.biprod.desc b.inl b.inr
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n✝ : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : n ≥ cornersTheoremBound (ε / 3)
A : Finset ℕ
hs₁ : A ⊆ range n
hs₂ : A.card = rothNumberNat n
hs₃ : ThreeAPFree ↑A
⊢ ↑(rothNumberNat n) ≤ ε * ↑n
M : Type u_1
inst✝⁴ : Mul M
inst✝³ : Finite M
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
⊢ 0 < ↑(Nat.card (G ⧸ H))
⊢ ∀ {X Y : TopCat} (f : X ⟶ Y) (x : LightProfiniteᵒᵖ) (g : ((fun X => X.toLightCondSet) X).val.obj x),
  (topCatToLightCondSet.map f).val.app x g = ContinuousMap.comp f g
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀✝ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F : 𝕜 → α → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
F' : 𝕜 → α → E
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) μ
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F' x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, HasDerivAt (fun x => F x a) (F' x a) x
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
diff_x₀ : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasDerivAt (fun x => F x a) (F' x₀ a) x₀
this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (ball x₀ ε)
⊢ Integrable (F' x₀) μ ∧ HasDerivAt (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), F' x₀ a ∂μ) x₀
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder β
l : Filter α
f : α → Filter β
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 Filter.atBot) ↔ ∀ (y : β), ∀ᶠ (a : α) in l, Set.Iic y ∈ f a
α : Type u_1
S : Set (Set α)
t : Set α
h : ∀ t' ∈ S, t ⊆ t'
⊢ t ⊆ ⋂₀ S
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
TopologicalSpace E
T2Space E
F : ι → Set E
h_convex : ∀ (i : ι), Convex 𝕜 (F i)
h_compact : ∀ (i : ι), IsCompact (F i)
h_inter : ∀ (I : Finset ι), I.card ≤ FiniteDimensional.finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty
⊢ (⋂ i, F i).Nonempty
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module.Free R M
inst✝⁸ : Module.Finite R M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module.Finite R M₁
inst✝⁴ : Module.Free R M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module.Finite R M₂
inst✝ : Module.Free R M₂
f : M →ₗ[R] M
e : M₁ ≃ₗ[R] M₂
φ : Module.End R M₁
b : Basis (ChooseBasisIndex R M₁) R M₁ := chooseBasis R M₁
⊢ LinearMap.charpoly (e.conj φ) = LinearMap.charpoly φ
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
⊢ p.mirror.trailingCoeff = p.leadingCoeff
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
a : R
⊢ (PowerSeries.coeff R n) ((PowerSeries.C R) a) = if n = 0 then a else 0
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
hK : IsPGroup p ↥K
K.Normal
⊢ IsPGroup p ↥(H ⊔ K)
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Finite ι
P : RootPairing ι R M N
NoZeroSMulDivisors ℤ M
⊢ Set.InjOn (⇑((Submodule.span R (Set.range ⇑P.root)).subtype.dualMap ∘ₗ P.toLin.flip)) (Set.range ⇑P.coroot)
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f✝ : R →ₙ+* S
s : Set R
x✝ : R
h : x✝ ∈ closure s
x y : R
hx : x ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
z : R
hz : x * z ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
f : x * -z = -(x * z)
⊢ -(x * z) ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
G : Type u
Group G
H : Type v
Group H
f : G →* H
I : Type w
Group I
g : H →* I
⊢ (Abelianization.map g).comp (Abelianization.map f) = Abelianization.map (g.comp f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
α : F.op ⟶ G.op
X : C
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.removeOp α).app X = (α.app (Opposite.op X)).unop
a b c : Int
H1 : b ≠ 0
H2 : a = c * b
⊢ a.div b = c
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Set.Ioi x) x
⊢ f' ≤ slope f x y
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
k : ℕ
⊢ GaloisConnection (fun N => LieSubmodule.lcs k N) fun N => LieSubmodule.ucs k N
n : ℕ
⊢ ArithmeticFunction.vonMangoldt n ≠ 0 ↔ IsPrimePow n
B : Type u_1
F : Type u_2
E : B → Type u_3
b : B
⊢ Function.Injective (Bundle.TotalSpace.mk b)
M : Type u_1
AddMonoid M
s : Set (AddSubmonoid M)
⊢ (sInf s).addUnits = ⨅ S ∈ s, S.addUnits
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsCartesian (p.map φ) φ
⊢ 𝟙 a✝ = IsCartesian.map p (p.map φ) φ φ
a : ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
Nonempty ι
b : ι → ℝ≥0∞
hr : a < ⊤
⊢ a - ⨆ i, b i = ⨅ i, a - b i
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (cocompact X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
K : Set X
hKc : IsCompact K
hKs : Kᶜ ⊆ f ⁻¹' s
⊢ ∃ x ∈ insert y (range f), ClusterPt x l
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a : α
n m : ℕ
h_eq : Order.pred^[n] a = Order.pred^[m] a
h_lt : n < m
⊢ IsMin (Order.pred^[n] a)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
⊢ p.degree + q.degree ≤ ↑(p.natDegree + q.natDegree)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
m n k : ℕ
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k
⊢ (∏ i ∈ Ioc m n, f i) * ∏ i ∈ Ioc n k, f i = ∏ i ∈ Ioc m k, f i
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝² : G.IsCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
⊢ ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
A : ι → Submodule R M
inst✝ : DecidableEq M
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
⊢ (coeLinearMap A) x = DFinsupp.sum x fun i x => ↑x
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
t : Set β
⊢ ∅ +ᵥ t = ∅
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
f : M →ₛₗ[σ] M₃
f' : M → M₃
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝⁴ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hba : b < a
hdc : d < c
⊢ b * c + a * d < b * d + a * c
a : Prop
h : a = False
⊢ (¬a) = True
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
⊢ HasProd (fun p => (1 - χ ↑↑p * ↑↑p ^ (-s))⁻¹) (∑' (n : ℕ), (dirichletSummandHom χ ⋯) n)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : StandardBorelSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace Y
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Y
f : X → Y
inst✝ : SecondCountableTopology ↑(range f)
s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : Measurable f
this : UpgradedStandardBorel X := upgradeStandardBorel X
τ' : TopologicalSpace X
hle : τ' ≤ UpgradedStandardBorel.toTopologicalSpace
hfc : Continuous f
hτ' : PolishSpace X
⊢ AnalyticSet (f '' s)
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
x : α
⊢ IsRelPrime 0 x ↔ IsUnit x
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}
⊢ nfp id a = id a
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β
CommMonoid β
DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ ∏ x ∈ {a, b}, f x = f a * f b
α : Type u
l : List α
hl : l.Nodup
i j : ℕ
hn : l ≠ []
⊢ l.rotate i = l.rotate j ↔ i % l.length = j % l.length ∨ l = []
R : Type u
CommRing R
Nontrivial R
a : R
n : ℕ
⊢ Polynomial.rootMultiplicity a ((Polynomial.X - Polynomial.C a) ^ n) = n
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (range f)
c : ℂ
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : ∀ (z : ℂ), ‖f z‖ ≤ C
⊢ deriv f c = 0
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : C
⊢ (reflectorAdjunction i).unit.app (i.obj ((reflector i).obj X)) ≫ i.map ((reflectorAdjunction i).counit.app ((reflector i).obj X)) = i.map ((reflector i).map ((reflectorAdjunction i).unit.app X) ≫ (reflectorAdjunction i).counit.app ((reflector i).obj X))
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x y z : L
hx : x ∈ H.normalizer
hy : y ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
hz : z ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
⊢ ⁅y, z⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
a : G
b₁ b₂ : k
⊢ AddMonoidAlgebra.single a (b₁ + b₂) = AddMonoidAlgebra.single a b₁ + AddMonoidAlgebra.single a b₂
w x y z : ℝ
ι : Type u_1
l : List ι
f : ι → ℝ
hl : ∀ i ∈ l, 0 ≤ f i
r : ℝ
⊢ (List.map (fun x => f x ^ r) l).prod = (List.map ((fun x => x ^ r) ∘ f) l).prod
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
⊢ ∀ (x x_1 : (C × D) × E) (f : x ⟶ x_1), (CategoryTheory.prod.associator C D E).map f = (f.1.1, f.1.2, f.2)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain R
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : Nontrivial L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsDomain S
s : S
hs : IsIntegral R s
⊢ (map (algebraMap R K) (minpoly R s)).Monic
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
x : M
⊢ f (-x) = -f x
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ (fderivWithin 𝕜 f₁ s x) 1 = (fderivWithin 𝕜 f s x) 1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
P : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q 1 → Prop
ι : ∀ (v : M), P ((CliffordAlgebra.ι Q) v) ⋯
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1) (hy : y ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P y hy → P (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul : ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁ * (CliffordAlgebra.ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ evenOdd Q 1
⊢ P x hx
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
x : α
h : e.IsImage s t
hx : x ∈ e.source
⊢ ↑e x ∈ t ↔ x ∈ s
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X Y Z : CategoryTheory.Comma L R
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).right = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.right g.right
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
g : LocallyConstant ↑(Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o₁) ℤ
⊢ ∀ (a : ↑(Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o₂)),
  ((Profinite.NobelingProof.πs' C h) g) a = g (Profinite.NobelingProof.ProjRestricts C ⋯ a)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
A : C
x : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)
A' : C
π : A' ⟶ A
w✝ : Epi π
x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀
w : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0
hx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀
⊢ x ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ = x ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K✝ : Type w
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
inst✝² : Algebra E K✝
inst✝¹ : IsScalarTower F E K✝
f : F[X]
hsep : f.Separable
hirr : Irreducible f
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
K : Type v := AlgebraicClosure E
⊢ Irreducible (Polynomial.map (algebraMap F E) f)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsLocalExtrOn f s a
hs : s ∈ 𝓝 a
⊢ IsLocalExtr f a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
⊢ N.FG ↔ ∃ n s, span R (range s) = N
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ 0 ≡ 0 [ZMOD n]
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ (fun x => -x⁻¹ / log x ^ 2) = fun x => (-x * log x ^ 2)⁻¹