ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → p.natDegree = m → ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hdeg : p.natDegree = n
erase_zero : ¬p.eraseLead = 0
deg_erase : p.eraseLead.natDegree < n
pzero : p ≠ 0
lead_zero : p.coeff p.natDegree ≠ 0
lead : R[X]
hlead : map f lead = (monomial p.natDegree) (p.coeff p.natDegree) ∧ lead.degree = ((monomial p.natDegree) (p.coeff p.natDegree)).degree
deg_lead : lead.degree = ↑p.natDegree
erase : R[X]
herase : map f erase = Polynomial.erase p.natDegree p ∧ erase.degree = (Polynomial.erase p.natDegree p).degree
⊢ (Polynomial.erase p.natDegree p).degree < p.degree
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
x : β
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous' (Function.const α x)
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
AddCommMonoid R
m : Matrix I J (Matrix K L R)
ik : I × K
jl : J × L
⊢ (Matrix.compAddEquiv I J K L R) m ik jl = m ik.1 jl.1 ik.2 jl.2
M₀ : Type u_4
Mul M₀
Zero M₀
self : NoZeroDivisors M₀
a b : M₀
⊢ a * b = 0 → a = 0 ∨ b = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Add α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm (x + y) = (equivShrink α).symm x + (equivShrink α).symm y
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
⊢ ∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
⊢ ⇑e ⁻¹' (⇑e '' s) = s
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
ZeroLEOneClass α
NeZero 1
PosMulStrictMono α
u : αˣ
⊢ 0 < ↑u⁻¹ ↔ 0 < ↑u
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
⊢ Kᗮ = ⊤ ↔ K = ⊥
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
⊢ IsClosed s ↔ ∀ {o : Ordinal.{u}}, o ≠ 0 → ∀ (f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}), (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ∈ s) → o.bsup f ∈ s
G : AddCommGrp
g : ↑G
i : ℤ
⊢ (AddCommGrp.asHom g) i = i • g
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
h : f ≠ 0
⊢ ((finSuccEquiv R n) f).support.Nonempty
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
h : b ≤ c
ha : a ≤ 1
hb : 0 ≤ b
⊢ b * a ≤ c
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R : ℝ
z w : ℂ
f : ℂ → E
⊢ Periodic (circleTransformDeriv R z w f) (2 * π)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2
this : NumberField K
H : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p ^ 1
⊢ hζ.toInteger - 1 ∣ ↑↑↑p
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
n : ℕ
⊢ s.ι (unop (IndexSet.id (op [n])).fst).len = s.ι n
R : Type u₁
L : Type u₂
M : Type u₄
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
hnp : IsNilpotent ((LieModule.toEnd R L M) x)
hIM : LieModule.IsNilpotent R (↥↑I) M
⊢ LieModule.IsNilpotent R L M
n : ℕ
h : 2 ≤ n
hc : (pathGraph n).Colorable (Fintype.card Bool)
⊢ 2 ≤ (pathGraph n).chromaticNumber
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
hgf : ∀ (x : α), g x = 0 → f x = 0
⊢ f =o[l] g ↔ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) l (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : M → E'
g : M → F'
hf : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E') (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
hg : ContinuousWithinAt g s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F') (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => (f x, g x)) s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E' × F') (f x, g x)) ∘ (fun x => (f x, g x)) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝ : DecidableEq α
hxy : x ≠ y
a : α
ha : (if a = x then y else if a = y then x else a) ≠ a
hya : ¬y = a
⊢ (if y = x then y else if y = y then x else y) = a
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f g : α → β
a : α
heq : f =ᶠ[𝓝 a] g
⊢ IsLocalMin f a ↔ IsLocalMin g a
o o' : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
g : (a : Ordinal.{u}) → a < o' → Ordinal.{max u v}
h : o.brange f ⊆ o'.brange g
⊢ o.bmex f ≤ o'.bmex g
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
q : Submodule R N
⊢ Submodule.map₂ f ⊥ q = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
⊢ (DerivedCategory.triangleOfSES hS).mor₂ = DerivedCategory.Q.map S.g
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α
⊢ ¬Disjoint f f ↔ f.NeBot
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal)
M : Type u_5
N : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ (MonoidHom.fst M N).comp (MonoidHom.inl M N) = MonoidHom.id M
α : Type u_3
UniformSpace α
AddGroup α
h₁ : UniformContinuous fun p => p.1 + p.2
h₂ : UniformContinuous fun p => -p
⊢ UniformAddGroup α
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
⊢ x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l : List α
_p : List.Pairwise R l
⊢ List.Pairwise R l.tail
R : Type u_2
CommRing R
S : Subring R
⊢ ⇑(algebraMap (↥S) R) = Subtype.val
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Sub Y
f g : LocallyConstant X Y
x : X
⊢ (f - g) x = f x - g x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : Convex 𝕜 s
h : s.Nonempty
⊢ StarConvex 𝕜 x s ↔ x ∈ s
α : Type u_1
Ring α
UniformSpace α
⊢ ↑α 1 = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : CategoryTheory.Limits.Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
⊢ CategoryTheory.RanIsSheafOfIsCocontinuous.liftAux hF α s f ≫ F.map a.op =
  CategoryTheory.RanIsSheafOfIsCocontinuous.liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
Hf : Monotone f
a : α
s : Set α
Ha : IsLeast s a
⊢ IsLeast (f '' s) (f a)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b = toIcoMod hp 0 (b - a) + a
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j ≫ ((CategoryTheory.Limits.colimit.isColimit F).coconePointUniqueUpToIso hc).hom =
  c.ι.app j
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
H : ∀ (x : (i : ι) → M₁ i), f x = f' x
⊢ f = f'
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ q : R[X]
P : R[X] → Prop
p✝ : R[X]
h0✝ : 0 < p✝.degree
hC : ∀ {a : R}, a ≠ 0 → P (C a * X)
hX : ∀ {p : R[X]}, 0 < p.degree → P p → P (p * X)
hadd : ∀ {p : R[X]} {a : R}, 0 < p.degree → P p → P (p + C a)
p : R[X]
x✝ : p ≠ 0
ih : 0 < p.degree → P p
h0' : 0 < (C (p.coeff 0) * X).degree
h0 : ¬0 < p.degree
⊢ P (C (p.coeff 0) * X)
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
f : E → F
K : ℝ≥0
h : AntilipschitzWith K f
hf : f 1 = 1
x : E
⊢ ‖x‖₊ ≤ K * ‖f x‖₊
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
Semiring R₁
Semiring R₂
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
α : Type u_18
f : α → M₁
g : α → M₂
⊢ f = ⇑e₁₂.symm ∘ g ↔ ⇑e₁₂ ∘ f = g
a : Int
b : Int
hb : 0 ≤ b
⊢ a.fmod b = a % b
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
n : ℕ
⊢ f.support.card = n ↔
  ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, Polynomial.C (x i) * Polynomial.X ^ k i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C E
G : CategoryTheory.Functor C D
H : D ≌ E
i : F ≅ G.comp H.functor
X : C
⊢ i.compInverseIso.hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (H.inverse.map (i.hom.app X)) (H.unitIso.inv.app (G.obj X))
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_6
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
Module R M
N₂ : Type u_9
TopologicalSpace N₂
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
N₃ : Type u_10
TopologicalSpace N₃
AddCommMonoid N₃
Module R N₃
f g : M × N₂ →L[R] N₃
⊢ f = g ↔
  f.comp (ContinuousLinearMap.inl R M N₂) = g.comp (ContinuousLinearMap.inl R M N₂) ∧
    f.comp (ContinuousLinearMap.inr R M N₂) = g.comp (ContinuousLinearMap.inr R M N₂)
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
⊢ ∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
b : R
hb : b ^ 2 = 0
h : IsCoprime 0 b
h' : 0 ^ 2 + b ^ 2 = 0
ha : 0 ^ 2 = 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
U V : Opens M
h : U ≤ V
x : M
hx : x ∈ U
y : H
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I y)
F : Type u_1
L : Type u_3
Field F
Field L
Algebra F L
K : IntermediateField F L
⊢ K ≤ normalClosure F (↥K) L
n : ℕ
⊢ ↑n ∈ slitPlane ↔ n ≠ 0
α : Type u
n m : ℕ
v : Mathlib.Vector α m
⊢ (Mathlib.Vector.drop n v).toList = List.drop n v.toList
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
LinearOrder ι
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : ProbabilityTheory.iCondIndepSet m' hm' s μ
i : ι
k : ι
hk : i < k
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m' (MeasurableSpace.generateFrom {s k})
  (MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ j ≤ i, s j = t}) hm' μ
R : Type u_3
OrderedSemiring R
a : R
H : 1 ≤ a
n : ℕ
⊢ 1 ≤ a ^ n
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
⊢ s ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∈ 𝒜 ∨ s ∉ 𝒜 ∧ insert a s ∈ 𝒜 → s.erase a ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∈ 𝒜 ∨ s.erase a ∉ 𝒜 ∧ insert a (s.erase a) ∈ 𝒜
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.77057, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X✝ X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
n : ℕ
⊢ ((alternatingFaceMapComplex C).map f ≫ (fun x => PInfty) Y).f n = ((fun x => PInfty) X ≫ (alternatingFaceMapComplex C).map f).f n
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : 1 - y ≠ 0
⊢ x ^ (1 - y) = x / x ^ y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P
pred : ι → Prop
DecidablePred pred
⊢ (((Finset.subtype pred s).weightedVSubOfPoint (fun i => p ↑i) b) fun i => w ↑i) =
  ((Finset.filter pred s).weightedVSubOfPoint p b) w
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
⊢ (List.modifyNth f n l)[n]? = f <$> l[n]?
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
hC_univ : ∀ (i : ι), Set.univ ∈ C i
⊢ IsPiSystem (MeasureTheory.squareCylinders C)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → Seq1 β
g : β → Seq1 γ
a : α
s : Seq α
⊢ (join (map g (f a), Seq.map (map g ∘ f) s)).join = join ((map g (f a)).join, Seq.map (join ∘ map g ∘ f) s)
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
c c' : A →ₗ[R] CharacterModule B
x : A ⊗[R] B
⊢ ((fun c => liftAddHom c.toAddMonoidHom ⋯) (c + c')) x = ((fun c => liftAddHom c.toAddMonoidHom ⋯) c + (fun c => liftAddHom c.toAddMonoidHom ⋯) c') x
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
β : Type u_5
SeminormedAddCommGroup β
Nonempty ι
b : β
⊢ ‖(WithLp.equiv p (ι → β)).symm (Function.const ι b)‖₊ = ↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖b‖₊
α : Type u
n : ℕ
⊢ Function.Injective fun l => l.rotate n
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ o.volumeForm ![x, x] = 0
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
x : ℍ
⊢ f (A • x) * g (A • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k1 + k2 - 1) * denom A x ^ (-(k1 + k2)) = ↑(↑↑A).det * (f (A • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k1 - 1) * denom A x ^ (-k1)) * (g (A • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k2 - 1) * denom A x ^ (-k2))
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
⊢ Function.Injective ⇑e
C : Type uC
inst✝² : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
X Y : W.Localization
f : X ⟶ Y
⊢ P f = ⊤ f
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : I.IsMaximal
h : (idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)).IsMaximal
x : X
hx : opensOfIdeal I = (Closeds.singleton x).compl
⊢ ∃ x, setOfIdeal I = {x}ᶜ
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : α
⊢ aᶜ ⊓ a = ⊥
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i : Fin 2
⊢ CategoryTheory.ComposableArrows.Mk₁.map f i i ⋯ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.ComposableArrows.Mk₁.obj X₀ X₁ i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x y z : M
⊢ tangentCoordChange I x y z =
  fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I y) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (Set.range ↑I) (↑(extChartAt I x) z)
α : Type u
l✝ l' l : List α
hn : l.Nodup
hl : l ≠ []
⊢ l.cyclicPermutations.Nodup
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
Std.IdempotentOp ga
h : Function.Semiconj₂ f ga gb
h_surj : Function.Surjective f
⊢ Std.IdempotentOp gb
α : Type u_2
TopologicalSpace α
S : Set (TopologicalSpace.Closeds α)
⊢ ↑(sSup S) = closure (⋃₀ (SetLike.coe '' S))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : p.NeBot
hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
hF' : ∀ᶠ (x : α) in p', Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ t → (b, a) ∈ t
htmem : t ○ t ⊆ u
⊢ ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ p', (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u
m : Type u → Type v
Monad m
LawfulMonad m
α : Type u_1
β : Type u
f : α → m β
⊢ f >=> pure = f
z w : ℍ
r R a y₁ y₂ : ℝ
⊢ dist (mk { re := a, im := rexp y₁ } ⋯) (mk { re := a, im := rexp y₂ } ⋯) = dist y₁ y₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β × γ
b : Filter β
c : Filter γ
⊢ Filter.comap f (b ×ˢ c) = Filter.comap (Prod.fst ∘ f) b ⊓ Filter.comap (Prod.snd ∘ f) c
α β γ : Type u
m : Type u → Type v
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
x : m α
g : α → m β
f : β → γ
⊢ f <$> (x >>= g) = do let a ← x f <$> g a
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F
⊢ Integrable (fun x => ↑|(f' x).det|.toNNReal • (g ∘ f) x) (μ.restrict s) ↔ IntegrableOn (fun x => |(f' x).det| • g (f x)) s μ
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
x y : P
⊢ nndist x y = ‖y -ᵥ x‖₊
K : Type u_1
Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
self : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution' hζ
⊢ hζ.toInteger - 1 ∣ self.c
α : Type u_1
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
Preorder γ
TopologicalSpace γ
OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
⊢ IsGLB s a → s.Nonempty → Filter.Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) → IsGLB (f '' s) b
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
f : ι → M
⊢ ↑(∏ i : ι, w i)⁻¹ = ∏ i : ι, ↑(w i)⁻¹
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_1, u_3} C
r : HomRel C
D : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_2, u_4} D
F : CategoryTheory.Functor C D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
Φ : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Quotient r) D
hΦ : (CategoryTheory.Quotient.functor r).comp Φ = F
⊢ Φ = CategoryTheory.Quotient.lift r F H
α : Type u_1
Fintype α
⊢ ⊤ = Finset.univ
x : ℤ
x✝ : ∃ n, n * n = x
n : ℤ
hn : n * n = x
⊢ sqrt x * sqrt x = x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.v₁₂.τ₂ S.v₂₃.τ₂ = 0
K : Type u_1
Field K
f : NumberField.InfinitePlace K → NNReal
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLT K f
⊢ -x ∈ NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLT K f
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
hs : IsOpen s
⊢ IsQuasiSeparated s ↔ QuasiSeparatedSpace ↑s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
f : β → Filter α
s : Set β
h : DirectedOn (f ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) s
ne : s.Nonempty
t : Set α
this : Nonempty ↑s
⊢ t ∈ ⨅ i ∈ s, f i ↔ ∃ i ∈ s, t ∈ f i
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
n : ℕ
⊢ 0 ^ n = if n = 0 then 1 else 0
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Set R[X]
s_fin : s.Finite
n : ℕ
h✝ : Submodule.span R s ≤ degreeLE R ↑n
⊢ ∃ n, Submodule.span R s ≤ degreeLT R n
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
hlt : p.natDegree < pb.dim
i : Fin pb.dim
root : ∑ x : Fin pb.dim, p.coeff ↑x • pb.basis x = 0
⊢ (monomial ↑i) (p.coeff ↑i) = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝² : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
X : C
h : E.IsPointwiseRightKanExtensionAt (L.obj X)
inst✝¹ : L.Full
inst✝ : L.Faithful
⊢ IsIso (E.hom.app X)
α : Type u
β : Type v
as : List α
bs : List β
⊢ as.zipLeft bs = (as.zipLeft' bs).1
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
H : 2 * ↑u' - 1 ≤ (2 * ↑v - 1) * fract ξ
help₁ : ∀ {a b c : ℝ}, a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → |a⁻¹ - b / c| = |(a - c / b) * (b / c / a)|
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹