ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
⊢ (CochainComplex.mappingCone.triangle φ).obj₁ = K
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
val : α
⊢ (RelEmbedding.sumLexInl r s) val = Sum.inl val
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
⊢ a ∆ (b ∆ c) = b ∆ (a ∆ c)
o : Ordinal.{u_4}
⊢ (Order.succ o).pred = o
R : Type u_1
AddCommSemigroup R
a b : R
⊢ IsAddRegular (a + b) ↔ IsAddRegular a ∧ IsAddRegular b
a : UnitAddCircle
⊢ Filter.Tendsto (fun s => (s - 1) * HurwitzZeta.hurwitzZeta a s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
S : Set α
h : S.Finite
S0 : Set α
hS0 : S0 ⊆ S
H0 : C S0
H1 : ∀ s ⊂ S, C s → ∃ a ∈ S \ s, C (insert a s)
this : Finite ↑S
⊢ C S
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : α → Finset β
h : (↑s).PairwiseDisjoint t
⊢ (s.disjiUnion t h).val = s.val.bind fun a => (t a).val
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
inst✝ : Infinite α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
⊢ ∑' (x : α), c = ⊤
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x y : CoeSort.coe A
g : G
⊢ (A.ρ g) x - x + ((A.ρ g) y - y) = ((fun g => (A.ρ g) x - x) + fun g => (A.ρ g) y - y) g
L : Type v
LieRing L
x : L
⊢ ⁅x, x⁆ = 0
M : Type u_1
R : Type u_2
Group M
Ring R
MulSemiringAction M R
a : M
S T : Subring R
⊢ S ≤ a • T ↔ a⁻¹ • S ≤ T
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
this : ∀ (f : ℕ → ℕ), Nat.Primrec f → Primrec' fun v => f v.head
hf : Primrec f
i : Vector ℕ n
⊢ ((fun m => encode (Option.map f (decode m))) (encode i)).pred = f i
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
f : (j : ι) → i = j → α
⊢ (∏ j : ι, if h : i = j then f j h else 1) = f i ⋯
R : Type u_1
Semiring R
p : PowerSeries R
n d : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R (d + n)) (PowerSeries.X ^ n * p) = (PowerSeries.coeff R d) p
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u_1
inst✝¹ : MvFunctor F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
β✝ : Type u
pp : β✝ → Prop
β : Type u
P : β → Prop
x : F (α ::: β)
⊢ MvFunctor.f P n α ⊚ MvFunctor.g P n α = TypeVec.id
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
S : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid S
inst✝² : Pow S ℕ
inst✝¹ : Module R✝ S
x : S
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
r : R
a✝ : R[X]
⊢ (a✝.sum fun e a => a * r ^ e) = a✝.sum (smul_pow r)
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
⊢ ∀ (j : ℕ), j ≠ p.natDegree → ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
p : G.Path v v
⊢ p = SimpleGraph.Path.nil
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
⊢ ∀ x_1 ∈ s ∩ Ico x y, s ∈ 𝓝[>] x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α
inst✝¹³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹² : TopologicalSpace β
inst✝¹¹ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : MeasurableSpace γ
inst✝⁷ : BorelSpace γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ₂
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁴ : BorelSpace γ₂
inst✝³ : MeasurableSpace δ
α' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace α'
inst✝¹ : MeasurableSpace α'
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g sᶜ
hs : MeasurableSet s
t : Set γ
ht : IsOpen t
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' t ∩ s ∪ g ⁻¹' t \ s)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0
Q : R[X]
hQ : P * Q = 0
l : ℕ
IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0
hl : (P.coeff l • Q).natDegree = Q.natDegree
m : ℕ := Q.natDegree
⊢ P.coeff l * Q.leadingCoeff = 0
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
⊢ Real.logb b x ≤ y ↔ x ≤ b ^ y
⊢ ∀ {α : Type u_1} {γ : Type u_2} {r : α → γ → Prop} {β : Type u_3} {δ : Type u_4} {s : β → δ → Prop} {a : α} {d : δ},
  ¬Sum.LiftRel r s (Sum.inl a) (Sum.inr d)
z : ℂ
⊢ (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) = fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
a b : X
s : Set X
h : a ≠ b
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] a, x ≠ b
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a - (b + c) = a - b + (0 - c)
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
⊢ (map ι f) x = -x ↔ LinearMap.det ↑f < 0
n : ℕ
c✝ c : Composition n
⊢ (¬∀ i ∈ c.blocks, i = 1) ↔ ∃ i ∈ c.blocks, 1 < i
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
n : ℕ
⊢ im ↑n = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
A : Set E
x : E
⊢ x ∈ Set.exposedPoints 𝕜 A ↔ IsExposed 𝕜 A {x}
α : Type u_1
s : Set α
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
h : s.OrdConnected
⊢ MeasurableSet s
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
⊢ ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_12
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ (s.sup p).closedBall x r = ⋂ i ∈ s, (p i).closedBall x r
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ
⊢ (Function.support fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a)).IsPWO
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
s : Subsemiring R
t : Subsemiring S
⊢ ↑(s.prod t) = ↑s ×ˢ ↑t
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.87228, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
i j k : ℤ
hij : i + -1 = j
hik : k + -1 = i
⊢ -F.d i k ≫ homotopyCofiber.inlX φ k i ⋯ + φ.f i ≫ homotopyCofiber.inrX φ i = φ.f i ≫ homotopyCofiber.inrX φ i - F.d i k ≫ homotopyCofiber.inlX φ k i ⋯
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ (↑(η ^ 2 * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S)⁻¹) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3) * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) = 0 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η)
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
x y : M
S : Type u_5
OrderedCommSemiring S
Algebra S R
Module S M
SMulPosMono S R
IsScalarTower S R M
a : S
h : SameRay R x y
ha : 0 ≤ a
⊢ SameRay R x (a • y)
k : Type u
Field k
G : Type u
Group G
V W : FDRep k G
g : G
⊢ (FDRep.of (Representation.linHom V.ρ W.ρ)).character g = V.character g⁻¹ * W.character g
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ((ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure ∘ fun i => (μs i).normalize) i).testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
h_mass : ¬μ.mass = 0
lim_pair : Tendsto (fun i => ((μs i).mass, (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f)) F (𝓝 (μ.mass, μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))
⊢ Tendsto (fun i => (μs i).mass * (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.mass * μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
⊢ sInf I.minimalPrimes = I.radical
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E → F
v : E
inst✝ : SecondCountableTopology E
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜
this✝ : BorelSpace 𝕜
g : E × E → 𝕜 → F := fun p t => f (p.1 + t • p.2)
⊢ MeasurableSet {p | LineDifferentiableAt 𝕜 f p.1 p.2}
α : Type u_1
M : Matroid α
B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
⊢ M✶.Basis (M.E \ B ∩ (M.E \ X)) (M.E \ X)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
s : Set ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ X.zeroLocus s = ⋂ f ∈ s, (X.basicOpen f).carrierᶜ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
K : HomologicalComplex (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) (ComplexShape.down α)
i j : α
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.karoubiChainComplexEquivalence C α).inverse.obj K).X.d i j = (K.d i j).f
m n : ℕ
⊢ m ≤ n.greatestFib ↔ Nat.fib m ≤ n
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp x y = cmp x' y'
⊢ x = y ↔ x' = y'
G : Type u_1
P : Type u_2
LinearOrder G
LinearOrder P
VAdd G P
IsOrderedCancelVAdd G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
⊢ Finset.VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ (hs.min hns +ᵥ ht.min hnt) = {(hs.min hns, ht.min hnt)}
R : Type u_1
A : Type u_2
Zero R
a : A
⊢ (↑a).snd = a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
⊢ Irreducible ↑p
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M t
hf : f.IsSubordinate fun x => sᶜ
g : SmoothPartitionOfUnity ι I M t := f.toSmoothPartitionOfUnity
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ⟨fun x => ∑ᶠ (i : ι), (g i) x, ⋯⟩ x = 0 x
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsRefl α r
c : Cardinal.{u_1}
⊢ c ≤ Order.cof r ↔ ∀ {S : Set α}, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) → c ≤ #↑S
α : Type u
β : Type v
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α → β
hf : RightOrdContinuous f
s : Set α
⊢ f (sInf s) = sInf (f '' s)
n m : Nat
⊢ n < m + 1 → n ≤ m
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
⊢ (GenContFract.of v).Terminates ↔ ∃ q, v = ↑q
z : ℍ
⊢ ↑π * (↑π * ↑z).cot = ↑π * Complex.I - 2 * ↑π * Complex.I * ∑' (n : ℕ), cexp (2 * ↑π * Complex.I * ↑z) ^ n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
M N : Mon_ C
⊢ (M ⊗ N).X = M.X ⊗ N.X
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₂ ∈ eval f₂ a₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
b0 : f₂ b₂ = none
c₁ : σ₁
ac : Reaches f₁ a₁ c₁
bc : Reaches f₂ b₂ b₂
cc : tr c₁ b₂
d₁ : σ₁
hfc : f₁ c₁ = some d₁
d₂ : σ₂
left✝ : tr d₁ d₂
bd : Reaches₁ f₂ b₂ d₂
e : σ₂
h : e ∈ f₂ b₂
right✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) e d₂
⊢ some d₁ = none
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m n : ℕ
⊢ (↑(powers a)).Finite ↔ IsOfFinOrder a
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ✝ σ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
⊢ (fun τ => τ⁻¹.cycleType = τ.cycleType) σ
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s ∩ (t ∪ u) = s ∩ t ∪ s ∩ u
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
CeilDiv α β
f : ι →₀ β
a : α
⊢ f ⌈/⌉ a = Finsupp.mapRange (fun x => x ⌈/⌉ a) ⋯ f
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (i : Fin2 n) (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' ⟹ α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f i '' univ ⊆ f' i '' univ
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
h' : ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp x i, p i u
⊢ ∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), p i (f i j)
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h0 : n ≠ 0
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
f : ℕ → α
⊢ ∑ i ∈ filter Squarefree n.divisors, f i = ∑ i ∈ (normalizedFactors n).toFinset.powerset, f i.val.prod
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)
⊢ ∃ x ∈ f '' s, ClusterPt x l
a b c d✝ n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
d : ℕ
h1 : n * k < n * d
h2 : n * d < n * (k + 1)
⊢ False
α : Type u
s : Set α
h : s.Finite
⊢ (𝒫 s).Finite
K : Type u_1
GroupWithZero K
Fintype K
n : ℕ
a : K
⊢ a ^ q ^ n = a
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
h2 : |↑b - ↑a| < ↑m
⊢ Int.ofNat b - Int.ofNat a = 0
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
toSemilatticeSup✝ : SemilatticeSup α
toInf✝¹ : Inf α
inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
toInf✝ : Inf α
inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
⊢ mk inf_le_left✝¹ inf_le_right✝¹ le_inf✝¹ = mk inf_le_left✝ inf_le_right✝ le_inf✝
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
Nonempty α
b : β
⊢ ‖BoundedContinuousFunction.const α b‖₊ = ‖b‖₊
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
b₁ b₂ : β
a : α
ha : a ∈ s
h : f a + b₁ = f a + b₂
⊢ ∑ a ∈ s, f a + b₁ = ∑ a ∈ s, f a + b₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.unitIso C).hom.app X =
  ((CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk (Opposite.unop X).mor₁ (Opposite.unop X).mor₂
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
            ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app
                (Opposite.op (Opposite.unop X).obj₃)).unop
            ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map
              (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
                ((CategoryTheory.shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map (Opposite.unop X).mor₃.op).unop
                ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app
                    (Opposite.op (Opposite.unop X).obj₁)).unop)))).homMk
      (Opposite.unop X) (CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.unop X).obj₁)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.unop X).obj₂)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.unop X).obj₃) ⋯ ⋯ ⋯).op
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ s ⊆ ⋂ i, ⋂ j, t i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), s ⊆ t i j
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp (p + a) b = toIocDiv hp a b - 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelBiprodSndIso.inv =
  CategoryTheory.Limits.limit.lift (CategoryTheory.Limits.parallelPair CategoryTheory.Limits.biprod.snd 0)
    (CategoryTheory.Limits.biprod.sndKernelFork X Y)
α : Type u_1
Preorder α
Nonempty α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
u : ℕ → α
hx : Filter.Tendsto u Filter.atTop Filter.atBot
⊢ BddAbove (Set.range u)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ z ∈ closedBall z₀ ρ, z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
r : ℝ := ρ ⊓ R
hr : 0 < r
h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ
h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.11640, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
x : S.X₃ ⟶ A
hx : k = S.g ≫ x
⊢ S.f ≫ k = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f✝ : α → ℝ≥0∞
hf✝ : Measurable f✝
s : ℕ → Finset ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ≥0∞), Measurable (f n r)
hm : Monotone fun n μ => ∑ r ∈ s n, r * f n r μ
⊢ (fun n => ∑ r ∈ s n, r * ∫⁻ (μ : Measure α), f n r μ ∂m) = fun n => ∫⁻ (a : Measure α), ∑ r ∈ s n, r * f n r a ∂m
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
BR : RingFilterBasis R
B : ι → Submodule R M
hB : BR.SubmodulesBasis B
x✝ : TopologicalSpace R := BR.topology
this : TopologicalSpace R := BR.topology
m : M
i : ι
V : Set R
V_in : V ∈ BR
hV : V ⊆ (fun x => x • m) ⁻¹' ↑(B i)
⊢ ∀ᶠ (a : R) in 𝓝 0, a • m ∈ B i
n : Nat
⊢ List.range n = [] ↔ n = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
⊢ ClosedEmbedding ⇑(cfcₙHom ha)
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
U : Set ℂ
hU : IsOpen U
c w₀ : ℂ
R : ℝ
f : ℂ → E
hc : Metric.closedBall c R ⊆ U
hf : DifferentiableOn ℂ f U
hw₀ : w₀ ∈ Metric.ball c R
⊢ ((2 * ↑π * Complex.I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((z - w₀) ^ 2)⁻¹ • f z) = deriv f w₀
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : Nat.Prime p
⊢ ∃ n g, g.Separable ∧ (expand F (p ^ n)) g = f
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
⊢ (e.subtypeRestr hs).source = Subtype.val ⁻¹' e.source
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid A
Monoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
⊢ Embedding ContinuousMonoidHom.toContinuousMap
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
hn : 0 < n
h : p ≠ 0
⊢ p.degree = ↑n ↔ p.natDegree = n
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
h : weightedTotalDegree w φ < n
⊢ (weightedHomogeneousComponent w n) φ = 0
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X →ᵇ ℝ≥0
x : X
⊢ f x ≤ nndist 0 f
a : ℕ
⊢ Finset.Ico a (a + 1) = {a}
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
h : H.relindex K = 0
⊢ H.index = 0
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
b : δ a
s : Finset α
hs : a ∉ s
e₁ e₂ : (a : α) → a ∈ s → δ a
eq : cons s a b e₁ = cons s a b e₂
e : α
h : e ∈ a ::ₘ s.val
⊢ e ∈ insert a s
x✝ y✝ z✝ : ℝ
n : ℕ
x y z : ℝ
h : 0 ≤ x
h₁ : x ≤ y
h₂ : 0 ≤ z
⊢ x ^ z ≤ y ^ z
c d a b n : ℕ
z : ℝ
hz : (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries n ≤ z
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : (2 * b + a) * d ^ 2 ≤ c ^ 2 * b
hb' : 0 < ↑b
hd' : 0 < ↑d
⊢ (2 * ↑b + ↑a) * ↑d ^ 2 ≤ ↑c ^ 2 * ↑b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
⊢ (f.symm.trans f).symm = (ofSet {b | (f.symm b).isSome = true}).symm
α : Type u
TopologicalSpace α
⊢ Continuous preStoneCechUnit
α : Type u_1
β : Type u_2
Finite α
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Nat.card β ≤ Nat.card α
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ ⌊a - 1⌋ = ⌊a⌋ - 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ ‖MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT‖ ≤ max C 0
l r : List Char
it : String.Iterator
⊢ String.Iterator.ValidFor l r it → (it.atEnd = true ↔ r = [])
α : Type u
s t u v : Set α
⊢ s ∪ t ∪ (u ∪ v) = s ∪ u ∪ (t ∪ v)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Balanced C
hS : S.Exact
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
(S.map F).HasHomology
⊢ CategoryTheory.Epi S.g →
  CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair S.f 0) F → (S.map F).Exact
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
a : G
a_min : a ∈ lowerBounds {g | g ∈ H ∧ 0 < g}
a_in : a ∈ H
a_pos : 0 < a
⊢ H ≤ closure {a}
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C × D
⊢ (CategoryTheory.Prod.fst C D).obj X = X.1
α : Type u
β : Type v
EmptyCollection β
Insert α β
Singleton α β
self : LawfulSingleton α β
x : α
⊢ insert x ∅ = singleton x
α : Type u_1
a : α
s : Finset α
⊢ a ∈ s.toList ↔ a ∈ s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k✝ n✝ k n : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ Set.BijOn Nat.cast ↑(range k) ↑(Iio ↑k)
G : Type u_2
Group G
g : G
H : Subgroup G
h : H.Normal
⊢ MulAut.conj g • H = H
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.201719}
α : Type u
ι : Type v
f : ι → Set α
⊢ lift.{v, u} #↑(⋃ i, f i) ≤ lift.{u, v} #ι * ⨆ i, lift.{v, u} #↑(f i)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
DivisionSemiring α
Neg β
h : Function.Antiperiodic f c
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ Function.Antiperiodic (fun x => f (a * x)) (a⁻¹ * c)
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
AddCommGroup P
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : AddCommGroup.DirectLimit G f →+ P
x : AddCommGroup.DirectLimit G f
⊢ F x = (AddCommGroup.DirectLimit.lift G f P (fun i => F.comp (AddCommGroup.DirectLimit.of G f i)) ⋯) x
n : ℕ
⊢ n.factorization.support = n.primeFactors
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hf : f ≠ 0
⊢ ∃ x, f x ≠ 0
E : Type u_1
V : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : V → E
NormedAddCommGroup V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
InnerProductSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
μ : MeasureTheory.Measure V
μ.IsAddHaarMeasure
⊢ Filter.Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ) (Filter.cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)