ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : Nonempty ι
B : ι → Submodule R M
hB✝ hB : SubmodulesBasis B
this : TopologicalSpace M := hB.topology
U : Set M
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ V, ↑V ⊆ U
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s t : TopologicalSpace.NonemptyCompacts α
⊢ ↑(s ⊔ t) = ↑s ∪ ↑t
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ f =ᵐ[μ.restrict t] g
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
I : Type u₁
J : Type u₁'
f : J → C
g : I → J
X : CategoryTheory.Discrete I
⊢ (CategoryTheory.Discrete.functorComp f g).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (f (g X.as))
n✝ a c n0 : ℕ
hn✝ : n0 > 1
h : ∀ n ≥ n0, (a * c) ^ n < (n - 1)!
n : ℕ
hn : n ≥ n0
⊢ a * c ^ n ≤ (a * c) ^ n
α : Type u_1
m n : ℕ
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector α m
x : α
⊢ ((x ::ᵥ xs).append ys).get ⟨0, ⋯⟩ = x
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α
⊢ (fun i => adjMatrix α G i v) = adjMatrix α G v
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
H : Function.Surjective ⇑f
x : S
s : R
hs : s ∈ ↑M
⊢ ∃ a, (IsLocalization.map S' f ⋯) a = IsLocalization.mk' S' x ⟨f s, ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
hst : Disjoint s t
⊢ ∃ C, Convex 𝕜 C ∧ Convex 𝕜 Cᶜ ∧ s ⊆ C ∧ t ⊆ Cᶜ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
d : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ ∀ (b : τ) (m₁ m₂ : ℕ), X b ^ (m₁ + m₂) = X b ^ m₁ * X b ^ m₂
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
a : α
l : Batteries.AssocList α β
⊢ Batteries.AssocList.find? a l = Option.map (fun x => x.snd) (List.find? (fun x => x.fst == a) l.toList)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
MeasurableSpace 𝕜
OpensMeasurableSpace 𝕜
MeasurableSpace F
BorelSpace F
f : 𝕜 → F
⊢ Measurable (deriv f)
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
this : ∑ k ∈ range m, x ^ k * y ^ (n - 1 - k) = ∑ k ∈ range m, x ^ k * (y ^ (n - m) * y ^ (m - 1 - k))
⊢ (x - y) * (∑ k ∈ range n, x ^ k * y ^ (n - 1 - k) - ∑ k ∈ range m, x ^ k * (y ^ (n - m) * y ^ (m - 1 - k))) = x ^ n - x ^ m * y ^ (n - m)
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
hA : A.IsTrivial
f : Additive G →+ CoeSort.coe A
a : Additive G
⊢ ↑((groupCohomology.oneCocyclesLequivOfIsTrivial A).symm f) a = f a
ι : Type u_7
κ : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
s : Finset ι
t : Finset κ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f : ι → α
g : κ → β
⊢ (s.inf' hs f, t.inf' ht g) = (s ×ˢ t).inf' ⋯ (Prod.map f g)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₂ : R₂.Exact
hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Epi (app' φ 2 ⋯)
ψ : mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 ⟶ mk₃ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 := homMk₃ (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) (𝟙 ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).obj' 3 ⋯)) ⋯ ⋯ ⋯
⊢ Epi (app' φ 1 ⋯)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
h : f.support.sup WithBot.some = ⊥
⊢ f = 0
α : Sort u_4
β : Sort u_5
r : α → α → Prop
hwf : WellFounded r
a bot : α
C : β → Prop
f : α → β
ih : ∀ (b : α), f b ≠ f bot → C (f b) → ∃ c, r c b ∧ C (f c)
⊢ C (f a) → C (f bot)
a b : Prop
⊢ ¬(a ∧ ¬b) ↔ a → b
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
e : σ →₀ ℕ
r : R
n : N
d : σ →₀ ℕ
⊢ (scalarRTensor ((monomial e) r ⊗ₜ[R] n)) d = if e = d then r • n else 0
α : Type u_2
Preorder α
TopologicalSpace α
BoundedGENhdsClass α
a : α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
u : ℕ → α
h : Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 a)
⊢ BddBelow (Set.range u)
D : Type u_1
DivisionRing D
Finite D
hD : LittleWedderburn.InductionHyp D
⊢ Subring.center D = ⊤
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : F α → α
x : F (Fix F)
this : recF g ∘ fixToW = rec g
a : (P F).A
f : (P F).B a → Fix F
h : repr x = ⟨a, f⟩
⊢ recF g (PFunctor.W.mk ((P F).map fixToW ⟨a, f⟩)) = g (rec g <$> x)
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
ψ : ι → Type u_2
χ : ι → Type u_3
inst✝¹² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (ψ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (ψ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (χ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (χ i)
S : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : ι → M
g : ι → R
⊢ ((piRing R M ι S).symm f) g = ∑ i : ι, g i • f i
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
⊢ LpAddConst p = 1
R : Type u
CommSemiring R
x : PrimeSpectrum R
⊢ PrimeSpectrum.vanishingIdeal {x} = x.asIdeal
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : Module.End.HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 ≤ RCLike.re ⟪x, T x⟫_𝕜
⊢ 0 ≤ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a b : α
⊢ DvdNotUnit (Associates.mk a) (Associates.mk b) ↔ DvdNotUnit a b
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
h : 0 < ↑n
m : ℕ
hn : m < n
h0 : 0 < m
⊢ ¬↑(↑m * (p / ↑n)) = 0
z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
⊢ abs z ≠ 0
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ a ♯ b = c ♯ b → a = c
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ (Finset.Ioo a b).card = (Finset.Ioc a b).card - 1
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra A R
m : A
⊢ (algebraMap R (Localization M)) ((algebraMap A R) m) = (algebraMap A (Localization M)) m
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Submodule R M
r : R
⊢ r ∈ N.annihilator ↔ N ≤ Submodule.comap (r • LinearMap.id) ⊥
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
⊢ Metric.diam Set.univ = Metric.diam Set.univ
R : Type u_1
E : Type u_5
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
Module R E
f g : E →ₗᵢ[R] E
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f ∘ ⇑g
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Submodule.span (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
⊢ ⊤.FG
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : Fintype α
f : α → E
hf : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = ∑ x : α, (μ {x}).toReal • f x
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ AEMeasurable (fun x => |(f' x).det|) (μ.restrict s)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
m n : ℕ
ha : a ≠ 0
h : n ≤ m
⊢ a⁻¹ ^ (m - n) = (a ^ m)⁻¹ * a ^ n
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderTop α
a b c : α
hb : Codisjoint a b
hc : Codisjoint a c
⊢ Codisjoint a (b ⊓ c)
α : Type u_1
t : α
ts ys l : List α
⊢ l ∈ (List.permutationsAux2 t ts [] ys id).2 ↔ ∃ l₁ l₂, l₂ ≠ [] ∧ ys = l₁ ++ l₂ ∧ l = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ
⊢ ↑(T ^ n • z) = ↑z + ↑n
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsCartesian f φ
a' : 𝒳
ψ ψ' : a' ⟶ a
p.IsHomLift (𝟙 R) ψ
p.IsHomLift (𝟙 R) ψ'
h : ψ ≫ φ = ψ' ≫ φ
⊢ ψ = ψ'
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
Archimedean α
ExistsAddOfLE α
x y : α
xpos : 0 < x
hx : x ≤ 1
ypos : 0 < y
hy : y < 1
⊢ ∃ n, y ^ (n + 1) < x ∧ x ≤ y ^ n
G : Type u_1
Monoid G
n : ℕ
x : G
⊢ Function.IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) n 1 ↔ x ^ n = 1
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ (Filter.coLindelof X).NeBot → NonLindelofSpace X
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α
⊢ (s + t).Nonempty → s.Nonempty
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝ : LocallyCompactSpace (X × Y)
⊢ Continuous ((Function.uncurry fun x y => (Function.uncurry (fun x y => x.curry y) x) y) ∘ ⇑(Homeomorph.prodAssoc C(X × Y, Z) X Y).symm)
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hx : 1 ≤ x
h_one_le : 1 ≤ z
⊢ x ^ 1 ≤ x ^ z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y x' y' : α
l l' : List α
hd : (x :: y :: l).Nodup
hd' : (x' :: y' :: l').Nodup
h : ∀ (x_1 : α), (x :: y :: l).formPerm x_1 = (x' :: y' :: l').formPerm x_1
hx : x' ∈ x :: y :: l
n : ℕ
hn : n < (x :: y :: l).length
hx' : (x :: y :: l).get ⟨n, hn⟩ = x'
hl : (x :: y :: l).length = (x' :: y' :: l').length
⊢ ((x :: y :: l).rotate n).length = (x' :: y' :: l').length
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α'
inst✝⁴ : One β
inst✝³ : One γ
inst✝² : One δ
g✝ : β → γ
f✝ : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x✝ : α
inst✝¹ : T2Space α'
hf : HasCompactMulSupport f✝
g : α → α'
cont✝ : Continuous g
inst✝ : TopologicalSpace β
U : Set α'
hU : IsOpen U
f : ↑U → β
cont : Continuous f
supp : HasCompactMulSupport f
x : α'
h : x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)
⊢ ContinuousAt f ⟨x, ⋯⟩
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
x : M
hx : x ∈ S
⊢ ∀ (m : M), (∀ m_1 ∈ S, m_1 * m = m * m_1) → m * x = x * m
α : Type u_1
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ m ∅ = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : SmoothWithinAt I I' f s x
ht : s ∈ 𝓝 x
⊢ SmoothAt I I' f x
α : Type u
⊢ List.sublistsAux = fun a r => r.bind fun l => [l, a :: l]
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
r ε : ℝ
L : E →L[𝕜] F
x : E
hx : x ∈ FDerivMeasurableAux.A f L r ε
y z : E
hy : y ∈ Metric.closedBall x (r / 2)
hz : z ∈ Metric.closedBall x (r / 2)
⊢ ‖f z - f y - L (z - y)‖ ≤ ε * r
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set α
a : α
h : a < sSup s
⊢ ∃ b ∈ s, a < b
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s.val.toFinset = s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
H₁ : (Set.Ioi a).Nonempty
H₂ : a ≤ b
⊢ (𝓝[Set.Ioi a] b).NeBot
α : Type u_1
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
neg_trans : ∀ {x y z : α}, R x z → R x y ∨ R y z
a : α
l : List α
⊢ (∀ (b : α), b ∈ pwFilter R l → R a b) ↔ ∀ (b : α), b ∈ l → R a b
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ ∃ m, x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧ |x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id n) ^ p
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
⊢ 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 ≤ a * b
ι : Sort u_1
α : Type u_2
M : Type u_4
CompleteLattice M
One M
Nonempty ι
h1 : ⊥ = 1
s : ι → Set α
f : α → M
x : α
⊢ (⋂ i, s i).mulIndicator f x = ⨅ i, (s i).mulIndicator f x
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕂
inst✝² : NormedCommRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → 𝔸
⊢ (↑s).Pairwise fun i j => Commute (f i) (f j)
α : Type u_2
Preorder α
a : α
⊢ (PseudoEpimorphism.id α) a = a
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod n)ˣ
this : ↑u * (↑u)⁻¹ = 1
⊢ (↑u)⁻¹ = ↑u⁻¹
M : Type u
N : Type v
Monoid M
Monoid N
f : M →* N
P : Type w
Monoid P
g : N →* P
⊢ (g.comp f).toFunctor = f.toFunctor ⋙ g.toFunctor
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : Ω[S⁄R]
⊢ __src✝.toFun ((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential x) = x
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ MonoidHom.mker (MonoidHom.inr M N) = ⊥
R : Type u
ι : Type y
CommSemiring R
t : Multiset ι
f : ι → R[X]
h : ∀ i ∈ t, (f i).Monic
⊢ (Multiset.map f t).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) t).sum
α : Type u
v : Mathlib.Vector α 0
⊢ v = Mathlib.Vector.nil
α : Type u
Preorder α
⊢ upperBounds ∅ = Set.univ
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasLeftDual X
inst✝¹ : HasLeftDual Y
inst✝ : HasLeftDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (λ_ ᘁZ).inv ≫ (η_ (ᘁX) X ≫ ᘁX ◁ f ≫ ᘁX ◁ g) ▷ ᘁZ = (λ_ ᘁZ).inv ≫ (η_ (ᘁY) Y ≫ ((λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ ᘁY ≫ (α_ (ᘁX) Y ᘁY).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ ᘁX).hom ⊗ g)) ▷ ᘁZ
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a b : α
⊢ Int.cast ⁻¹' Set.Ioo a b = Set.Ioo ⌊a⌋ ⌈b⌉
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ ⇑(LinearMap.inl R M M₂) = fun x => (x, 0)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
I : (FractionalIdeal (nonZeroDivisors (NumberField.RingOfIntegers K)) K)ˣ
⊢ ∃ a ∈ ↑I,
  a ≠ 0 ∧
    ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ≤
      ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑I) * (4 / Real.pi) ^ NumberField.InfinitePlace.NrComplexPlaces K *
            ↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K).factorial /
          ↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K) ^ FiniteDimensional.finrank ℚ K *
        √|↑(NumberField.discr K)|
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x : α
hf : Monotone f
hx : x ≤ f x
n : ℕ
⊢ f^[n] x ≤ f^[n] (f x)
α : Type u_1
AddCommGroup α
s : Set α
⊢ AddDissociated (-s) ↔ AddDissociated s
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H H' : G.Subgraph
hle : H ≤ H'
hv : H.verts = H'.verts
h : H.Connected
⊢ H'.Connected
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
m : ℕ
hm : 0 < m
⊢ Tendsto (fun x => ‖x⁻¹‖ ^ m) (𝓝[≠] 0) atTop
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_ne : (aeval x) p.divX ≠ 0
⊢ (aeval x) (p.divX * X + C (p.coeff 0)) = (aeval x) p.divX * x + (algebraMap K L) (p.coeff 0)
R : Type u
CommRing R
⊢ Set.range MaximalSpectrum.toPrimeSpectrum = {x | IsClosed {x}}
α : Type u_1
m n : Nat
l : List α
⊢ List.drop (m + n) l = List.drop m (List.drop n l)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A[X]
⊢ ∀ (n : ℕ) (a : A), (toFunAlgHom R A) (invFun R A ((monomial n) a)) = (monomial n) a
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
f : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det f ≠ 0
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
val✝ : Fintype ι
⊢ map (⇑f) μ = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • μ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : F →L[𝕜] G
⊢ HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f'.comp ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s (iso x)
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
IsPurelyInseparable F E
⊢ separableClosure F E = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᴹᵒᵖ
⊢ ∀ (X_1 : C), X.tensorRightUnmopIso.hom.app X_1 = 𝟙 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X_1 X.unmop)
u : PSet
⊢ u.Nonempty ↔ ∃ x, x ∈ u
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 8 = 2 ^ ↑3
⊢ log 2 * 2 ^ 2 * log 2 ≤ ↑3 * log 2
x : ℤ[i]
⊢ toComplex x = { re := ↑x.re, im := ↑x.im }
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j✝ n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j✝ ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j✝ % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j✝ ≡ j' [MOD 4 * n]
j q : ℕ
IH : xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
⊢ xn a1 (j + 4 * n * (q + 1)) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ e.trans (PartialHomeomorph.refl Y) = e
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a b : α
l : List α
ab : a ≠ b
⊢ a ∈ l.erase b ↔ a ∈ l
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, C ≤ deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y
⊢ C * (y - x) ≤ f y - f x
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
h : b = c / a
⊢ a * b = c
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
i : ℕ
hi : i < e
this : Field (R ⧸ p) := Quotient.field p
⊢ Module.rank (R ⧸ p) ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) = Module.rank (R ⧸ p) (↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i)) + Module.rank (R ⧸ p) ↥(LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i))
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
DecidablePred fun x => f x = 0
⊢ s.gcd f = (Finset.filter (fun x => f x ≠ 0) s).gcd f
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (x : X) (F : Filter X), F.NeBot → F ≤ 𝓟 s → F ≤ 𝓝 x → x ∈ s
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
F.ShiftSequence M
n : M
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ F.map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f) ≫ (F.isoShift n).hom.app Y =
  (F.isoShift n).hom.app X ≫ (F.shift n).map f
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Add M
ContinuousAdd M
a b c d : M
hab : Inseparable a b
hcd : Inseparable c d
⊢ Inseparable (a + c) (b + d)
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : Finset σ × σ
⊢ a ∈ univ ∧ ((a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)) ∧ a.1.card < k ∨ (a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)) ∧ a.1.card = k) ↔ a ∈ univ ∧ a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)
p q : Prop
⊢ (¬(p ∨ q)) = (¬p ∧ ¬q)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hts : s ⊆ t
h't : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
h'aux : IntegrableOn f t μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
⊢ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
p n : ℕ
pp : Nat.Prime p
hn : n ≠ 0
⊢ p ∣ n ↔ 1 ≤ n.factorization p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g✝ : α → β
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : T2Space β
g : α → β
hg : FinStronglyMeasurable g μ
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hgt_zero : ∀ x ∈ tᶜ, g x = 0
htμ : SigmaFinite (μ.restrict t)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ tᶜ → g x = 0 x
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y x : V
hx : x ≠ 0
⊢ angle x (-x) = π
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ 𝓟 (Set.univ.pi s) ≤ Filter.pi fun i => 𝓟 (s i)
V : Type u
Quiver V
V' : Type u'
CategoryTheory.Groupoid V'
φ : V ⥤q V'
⊢ CategoryTheory.Groupoid.Free.of V ⋙q (CategoryTheory.Groupoid.Free.lift φ).toPrefunctor = φ
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ ‖log (1 - z)⁻¹ + logTaylor (n + 1) (-z)‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * (1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ AEMeasurable (fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) (μ.restrict s)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {l₁ l₂ : List α}, a :: l₁ <+ a :: l₂ ↔ l₁ <+ l₂
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h : ↥K
⊢ h ∈ H.subgroupOf K ↔ ↑h ∈ H
n m k : ℕ
motive : (m : ℕ) → n ≤ m → Sort u_1
refl : motive n ⋯
le_succ_of_le : ⦃k : ℕ⦄ → (h : n ≤ k) → motive k h → motive (k + 1) ⋯
hnm : n ≤ m
hmk : m ≤ k
⊢ Nat.leRec refl le_succ_of_le ⋯ =
  Nat.leRec (Nat.leRec refl (fun x h => le_succ_of_le h) hnm) (fun x h => le_succ_of_le ⋯) hmk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
⊢ Kᗮ = ⊥ ↔ K = ⊤
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
⊢ ∃ x, ‖x‖ = c
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' (s ∩ t) =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H x) x)] ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s
Δ' Δ : SimplexCategory
i : Δ' ⟶ Δ
hi : Mono i
hi' : Δ ≠ Δ'
h : Δ'.len = Δ.len
⊢ Δ'.len < Δ.len