ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
h : μ K ≠ 0
U : Set G
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty
⊢ μ U ≠ 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M X✝ Y✝ : Comon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (unop ((fun A => op (Comon_ToMon_OpOp_obj' C A)) Y✝)).one ≫ f.hom.op = (unop ((fun A => op (Comon_ToMon_OpOp_obj' C A)) X✝)).one
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
t : ℝ
ht : t ≤ 0
x : X
⊢ (F.extend t) x = f₀ x
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g₁ g₂ : β →CO γ
f : α →CO β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
α : Type u_5
TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
SecondCountableTopology α
LinearOrder α
OrderTopology α
BorelSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hμν : μ Set.univ = ν Set.univ
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Set.Ico a b) = ν (Set.Ico a b)
⊢ μ = ν
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
⊢ yn a1 (m + n) = xn a1 m * yn a1 n + yn a1 m * xn a1 n
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x
hr : ‖f'‖ < r
this : ∃ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] x, ‖x_1 - x‖⁻¹ * (‖f x_1‖ - ‖f x‖) < r
⊢ ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, (z - x)⁻¹ * (‖f z‖ - ‖f x‖) < r
J : Type u
inst✝ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
h : F.IsMittagLeffler
f : j ⟶ i
k : J
g : k ⟶ j
hg : F.eventualRange j = range (F.map g)
x : F.obj k
hx : F.map (g ≫ f) x ∈ F.eventualRange i
⊢ F.map (g ≫ f) x ∈ F.map f '' range (F.map g)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G
x : ↑((resolution k G).X 1).V
⊢ ((resolution k G).d 1 0 ≫ ε k G).hom x = (Action.Hom.hom 0) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Set β
p : Set γ
f : α → β
g : β → γ
f' : β → α
g' : γ → β
hf : Set.RightInvOn f' f t
hg : Set.RightInvOn g' g p
g'pt : Set.MapsTo g' p t
⊢ Set.RightInvOn (f' ∘ g') (g ∘ f) p
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝³ : Traversable t
inst✝² : LawfulTraversable t
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m β
x : β
xs : t α
⊢ foldrm f x xs = (foldrM.ofFreeMonoid f) (FreeMonoid.ofList (toList xs)) x
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S
⊢ False
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ τ : Equiv.Perm α
⊢ (σ * τ * σ⁻¹).support = Finset.map (Equiv.toEmbedding σ) τ.support
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
⊢ gauge ∅ = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜.Shatters s
u : Finset α
left✝ : u ∈ 𝒜
⊢ s ∩ u ⊆ s
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
PartialOrder α
MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
a b : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Icc a b) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioc a b) μ
α : Type u_1
f g : α → ℝ≥0∞
i : α
hfi : tsum f ≠ ⊤
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
hi : f i < g i
⊢ ∑' (x : α), f x < ∑' (x : α), g x
d : ℕ
dnsq : Zsqrtd.Nonsquare d
x y : ℕ
⊢ (x + 1) * (x + 1) ≠ d * (y + 1) * (y + 1)
R : Type u
CommRing R
ι : Type u_1
I : ι → Ideal R
x : R
⊢ (Ideal.quotientInfToPiQuotient I) ((Ideal.Quotient.mk (⨅ i, I i)) x) = fun i => (Ideal.Quotient.mk (I i)) x
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
H : SimpleGraph V
p : G.Walk u v
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
pp : p.IsPath
⊢ (p.transfer H hp).IsPath
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ 0 < abs y / abs x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Nonempty α
inst✝³ : Preorder β
f : α → β
inst✝² : NoMaxOrder α
inst✝¹ : SuccOrder β
inst✝ : IsSuccArchimedean β
hf : StrictMono f
m : β
hm : m ∈ upperBounds (range f)
hm' : ∀ (a : α), f a ≤ m
a₀ : α
⊢ ∀ (b : β), f a₀ ≤ b → ∃ a, b < f a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
⊢ c.unop.pt = Opposite.unop c.pt
it : String.Iterator
⊢ String.Iterator.ValidFor it.s.data.reverse [] it.toEnd
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
r s t : CategoryTheory.Limits.Cone F
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
⊢ Q.lift r ≫ (P.conePointUniqueUpToIso Q).inv = P.lift r
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
⊢ Pairwise fun x y => Disjoint (Ico (a * b ^ x) (a * b ^ (x + 1))) (Ico (a * b ^ y) (a * b ^ (y + 1)))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete CategoryTheory.Limits.WalkingPair) C
X X' Y Y' : C
g : X ⟶ Y
g' : X' ⟶ Y'
⊢ CategoryTheory.Limits.diag (X ⨯ X') ≫
    CategoryTheory.Limits.prod.map (CategoryTheory.Limits.prod.fst ≫ g) (CategoryTheory.Limits.prod.snd ≫ g') =
  CategoryTheory.Limits.prod.map g g'
⊢ ∀ (x x_1 : ℝ),
  Real.sup x x_1 =
    match x, x_1 with
    | { cauchy := x }, { cauchy := y } => { cauchy := Quotient.map₂ (fun x x_2 => x ⊔ x_2) ⋯ x y }
R : Type u
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.toCycles S.moduleCatCyclesIso.hom = S.moduleCatToCycles
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
g : (b : β) → b ∈ (p.bindOnSupport f).support → PMF γ
a : γ
⊢ (∑' (a_1 : β) (i : α), (p i * if h : p i = 0 then 0 else (f i h) a_1) * if h : ∀ (i : α), (p i * if h : p i = 0 then 0 else (f i h) a_1) = 0 then 0 else (g a_1 ⋯) a) = ∑' (a_1 : α) (i : β), p a_1 * if h : p a_1 = 0 then 0 else (f a_1 h) i * if h : (f a_1 h) i = 0 then 0 else (g i ⋯) a
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
nne : ↑n ≠ 0
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n = ↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)
⊢ (1 - 4 * z ^ 2 / ↑n ^ 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n = (↑n - 1) / ↑n * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.HomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).left =
  CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h.left
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
SemilatticeSup ι
NoMaxOrder ι
Nonempty ι
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndep m hm s μ
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A
⊢ 1 ∈ S.toNonUnitalStarSubalgebra
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
CommSemiring R
Semiring A₁
Algebra R A₁
⊢ AlgEquiv.toLinearMap 1 = 1
M : Type u_1
Add M
s : Set M
S : AddSubsemigroup M
h₁ : s ⊆ ↑S
h₂ : S ≤ AddSubsemigroup.closure s
⊢ AddSubsemigroup.closure s = S
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin Neg.neg s x = -1
α : Type u_1
x : α
BEq α
LawfulBEq α
xs : List α
m : x ∈ xs
⊢ List.indexOf x xs ∈ List.indexesOf x xs
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
⊢ limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
⊢ a + -a ≡ b + -b [ZMOD n]
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 < r
x : E
⊢ gauge (Metric.ball 0 r) x = ‖x‖ / r
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : 0 ≤ f'
x : ℝ
⊢ 0 ≤ deriv f x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a
⊢ ↑(map (g ∘ f) ⟨s, al⟩) = ↑(map g (map f ⟨s, al⟩))
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms E
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X : C
hX : IsZero X
⊢ IsZero (F.obj X)
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g ∣ map (algebraMap R K) f
g_ne_0 : g ≠ 0
g_mul_dvd : g * C g.leadingCoeff⁻¹ ∣ map (algebraMap R K) f
algeq : ↥(integralClosure R K) ≃ₐ[R] R := ((integralClosure R K).equivOfEq ⊥ ⋯).trans (Algebra.botEquivOfInjective ⋯)
this : (algebraMap R K).comp (↑algeq).toRingHom = (integralClosure R K).toSubring.subtype
⊢ ∃ g', map (algebraMap R K) g' = g * C g.leadingCoeff⁻¹
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (W.variableChange C).a₃ = ↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Subsingleton ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
hε_top : ¬↑ε = ⊤
i : ι
⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : AddGroup ι
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : CovariantClass ι ι (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
hi : 0 ≤ i
j : ι
⊢ MeasurableSet {ω | (fun ω => τ ω + i) ω ≤ j}
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s✝ : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
s : Set M
⊢ ↑(closure s) ≤ {1} ∪ ↑(Subsemigroup.closure s)
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
ha : c ≤ a
⊢ c ∉ Set.Ioc a b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ
⊢ b = b * ↑u * ↑u⁻¹
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
t : (i : ι) → Set (α i)
s : Set ι
ht : ∀ (i : ι), (t i).Nonempty
⊢ Sigma.fst '' s.sigma t = s
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
⊢ (E.variableChange C).a₁ = ↑C.u⁻¹ * (E.a₁ + 2 * C.s)
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ yn a1 0 ≡ 0 [MOD a - 1]
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass M'
AddZeroClass N'
f : M →+ M'
g : N →+ N'
⊢ (AddMonoid.Coprod.map f g).comp AddMonoid.Coprod.inl = AddMonoid.Coprod.inl.comp f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
x : α × β × γ
DecidableEq α
DecidableEq β
DecidableEq γ
hx : x ∈ t
⊢ (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).IsNClique 3 (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.toTriangle x)
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂ν
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ν_finite : IsFiniteMeasure ν
⊢ μ F = ν F
α : Type u_2
A : Set α
T : Set (Set ↑A)
⊢ Subtype.val '' ⋃₀ T = ⋃₀ {x | ∃ B ∈ T, Subtype.val '' B = x}
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
G₂ : Type u_2
inst✝² : Group G₂
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ : Subgroup G
H₂ : Subgroup G₂
inst✝¹ : Finite ↥H₁
inst✝ : Finite ↥H₂
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
n₁ n₂ : ℕ
⊢ (p₁ ^ n₁).Coprime (p₂ ^ n₂)
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.hurwitzZetaEven a s = (HurwitzZeta.hurwitzZeta a s + HurwitzZeta.hurwitzZeta (-a) s) / 2
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v✝ : Valuation R Γ₀
J : Ideal R
v : Valuation (R ⧸ J) Γ₀
⊢ J ≤ (comap (Ideal.Quotient.mk J) v).supp
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hx : s ∈ 𝓝 x
⊢ ContDiffAt 𝕜 n f x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.PreGaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
X : C
h : CategoryTheory.Limits.IsInitial X → False
⊢ Nat.card ↑(F.obj X) ≠ 0
V : Type u_1
W : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
w : W
⊢ Differentiable ℝ fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ I * J ≤ I
M : Type u
Monoid M
⊢ (MonoidHom.id M).toFunctor = 𝟭 (CategoryTheory.SingleObj M)
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
⊢ LieAlgebra.rootSpaceProduct R L H = LieAlgebra.rootSpaceWeightSpaceProduct R L H L
α : Type u
TopologicalSpace α
β : Type v
TopologicalSpace β
T2Space β
g₁ g₂ : StoneCech α → β
h₁ : Continuous g₁
h₂ : Continuous g₂
h : g₁ ∘ stoneCechUnit = g₂ ∘ stoneCechUnit
⊢ g₁ = g₂
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
⊢ toLex (update x i a) < toLex x → a < x i
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
u v u' v' : ℝ → A
hu : ContinuousOn u [[a, b]]
hv : ContinuousOn v [[a, b]]
huu' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt u (u' x) (Ioi x) x
hvv' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt v (v' x) (Ioi x) x
hu' : IntervalIntegrable u' volume a b
hv' : IntervalIntegrable v' volume a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, u' x * v x + u x * v' x = u b * v b - u a * v a
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
x y : L
⊢ LieSubmodule.Quotient.mk ⁅x, y⁆ = ⁅LieSubmodule.Quotient.mk x, LieSubmodule.Quotient.mk y⁆
α : Type u_1
x : α
t : Ordnode α
⊢ Ordnode.Emem x t ↔ ∀ (P : α → Prop), Ordnode.All P t → P x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
p : P
⊢ vectorSpan ℝ {p, s.points i} = (s.altitude i).direction ↔ p ≠ s.points i ∧ p -ᵥ s.points i ∈ vectorSpan ℝ (Set.range s.points) ∧ p -ᵥ s.points i ∈ (vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)))ᗮ
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff + q.leadingCoeff ≠ 0
HEq : p.degree = q.degree
hlt : q.degree > (p + q).degree
⊢ p.leadingCoeff + q.leadingCoeff = 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
n✝ : ℕ
x✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) (n✝ + 1) x✝).f = ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) n✝ x✝ + x✝).f
α : Type u_1
β : Type u_3
f : α → β → β
a : α
h : ∀ (b : β), f a b = b
t : Set β
⊢ Set.image2 f {a} t = t
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑(orthogonal Φ hΦ_inv I)
G : Type u_1
X : Type u_2
SMul G X
a : X
⊢ MulAction.IsBlock G {a}
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : TensorProduct R M N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ (((TensorProduct.lift.equiv R M N P).symm f) m) n = f (m ⊗ₜ[R] n)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f g : MonoidAlgebra k G
x : G
⊢ (f * g) x = sum f fun a₁ b₁ => sum g fun a₂ b₂ => if a₁ * a₂ = x then b₁ * b₂ else 0
X : Type u
ι : Sort w
TopologicalSpace X
Finite ι
s : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
⊢ IsOpen (⋂ i, s i)
n : ℕ
a : Fin n
⊢ min (↑a) n = ↑a
a b : Prop
⊢ Xor' (¬a) b ↔ (a ↔ b)
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹² : Monoid A
inst✝¹¹ : Monoid B
inst✝¹⁰ : Monoid C
inst✝⁹ : Monoid D
inst✝⁸ : CommGroup E
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace C
inst✝⁴ : TopologicalSpace D
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalGroup E
inst✝¹ : ContinuousMul B
inst✝ : T2Space B
⊢ IsClosed ({a | a 1 = 1} ∩ ⋂ i, ⋂ i_1, {x | x (i * i_1) = x i * x i_1})
α : Type u_2
β : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
f g : α →ₙ+* β
⊢ (∀ (x : α), f x = g x) → f = g
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
s : Set V
t : Set P
hs : IsClosed s
ht : IsCompact t
u : ℕ → P
p : P
hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)
a : ℕ → V
ha : ∀ (n : ℕ), a n ∈ s
v : ℕ → P
hv : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hav : ∀ (n : ℕ), (fun x x_1 => x +ᵥ x_1) (a n) (v n) = u n
q : P
hqt : q ∈ t
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hφq : Tendsto (v ∘ φ) atTop (𝓝 q)
n : ℕ
⊢ (u ∘ φ -ᵥ v ∘ φ) n = a (φ n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
R : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Linear R C
o : CategoryTheory.HomOrthogonal s
α β : Type
Finite α
Finite β
f : α → ι
g : β → ι
⊢ ∀ (a : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)) (i : ι),
  o.matrixDecompositionLinearEquiv a i = o.matrixDecompositionAddEquiv.toFun a i
α : Type u_3
Nonempty α
SemilatticeInf α
s : Set α
⊢ s ∈ Filter.atBot ↔ ∃ a, ∀ b ≤ a, b ∈ s
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
g : Y → Z
⊢ IsLocallyConstant (g ∘ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ : ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k = ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum : ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤ ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
⊢ ∑ k ∈ filter (fun k => max N M + 1 ≤ k) (range K), abv (f k) * abv (∑ k ∈ range (K - k), g k - ∑ k ∈ range K, g k) < ε / (4 * Q) * (2 * Q)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_3
n : ℕ
a : α
l : List α
f : β → α
g : β → List α
b : Filter β
hf : Filter.Tendsto f b (𝓝 a)
hg : Filter.Tendsto g b (𝓝 l)
⊢ Filter.Tendsto (fun b => List.insertNth n (f b) (g b)) b (𝓝 (List.insertNth n a l))
M : Type u_1
OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Monotone u
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.range n, (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1)) ≤ ∑ k ∈ Finset.Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f k
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
b : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (M * r₁ (f j))
B : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (r₁ (f j))
h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j
h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j
h₃ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, Disjoint (b j) (W ∩ B j)
h₄ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)
j : ℕ
hB : ↑C⁻¹ * μ (B j) ≠ ⊤
hj₁ : Disjoint (b j) (W ∩ B j)
hj₂ : ↑C⁻¹ * μ (B j) ≤ μ (b j)
⊢ μ (W ∩ B j) ≤ μ (B j) - ↑C⁻¹ * μ (B j)
R : Type u
CommRing R
f g : R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hu : ∀ x ∈ U, g ∈ x.asIdeal.primeCompl
x : ↥U
hx : g ∈ (↑x).asIdeal.primeCompl
⊢ ↑(AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f g U hu) x =
  IsLocalization.mk' (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.Localizations R ↑x) f ⟨g, hx⟩
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Dist E
l : Filter ι
f f' : ι → α → E
g : α → E
h : ∀ (i : ι), f i =ᵐ[μ] f' i
h_tendsto : MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f l g
⊢ MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f' l g
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
Finite ι
LinearOrderedField 𝕜
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
h : ∀ i ∈ s, x i ∈ (convexHull 𝕜) (t i)
⊢ x ∈ (convexHull 𝕜) (s.pi t)
n m : ℕ
hnm : n < m
r : min m (n + 1) = n + 1
⊢ filter (fun x => decide (x < n + 1)) (Ico n m) = [n]
α : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
Div α
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ s / ⋃ i, ⋃ j, t i j = ⋃ i, ⋃ j, s / t i j
c : Type u → Type u
hom : ⦃α β : Type u⦄ → c α → c β → (α → β) → Prop
self : CategoryTheory.UnbundledHom hom
α : Type u
ia : c α
⊢ hom ia ia id
α : Type u_4
a : α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∑' (b : α), ⨆ (_ : a = b), f b = f a
q : ℝ
hq' : 1 < q
⊢ eval q (cyclotomic 1 ℝ) ≤ (q + 1) ^ φ 1