ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
k₁ : ℕ
hk₁ : (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k₁) m₁ = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k₂) m₂ = 0
hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
⊢ ∃ k, ((f₁ + f₂) ^ k) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
α : Type u_4
r : α → α → Prop
DecidableRel r
s t : Finset α
a b : α
hr : Symmetric r
⊢ (a, b) ∈ Rel.interedges r s t ↔ (b, a) ∈ Rel.interedges r t s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
f : β → α
g : γ → β
⊢ MeasurableSpace.comap g (MeasurableSpace.comap f m) = MeasurableSpace.comap (f ∘ g) m
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∑' (n : ℕ), f n = ⊤
hf0 : f 0 ≠ ⊤
⊢ ∑' (n : ℕ), f (n + 1) = ⊤
α : Type u_1
a✝ : List α
h : Nodup (Quotient.mk'' a✝)
⊢ Nontrivial (Quotient.mk'' a✝) ↔ ¬length (Quotient.mk'' a✝) ≤ 1
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' : Set α
hB : M.Base B
h : B.Finite
hB' : M.Base B'
⊢ B'.Finite
R : Type u
CommRing R
X : Type v
Ring X
Bialgebra R X
⊢ (BialgebraCat.of R X).instBialgebra = inferInstance
o : Ordinal.{u_1}
⊢ ℵ₀ ≤ Cardinal.aleph' o ↔ ω ≤ o
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
⊢ (↑(s.product t)).PairwiseDisjoint f → ((↑s).PairwiseDisjoint fun i => t.sup fun i' => f (i, i')) ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun i' => s.sup fun i => f (i, i')
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ ‖a‖ = ‖DoubleCentralizer.toProdMulOppositeHom a‖
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u + 1}
h : c < univ.{u, u + 1}
this✝ : c.ord < Ordinal.univ.{u, u + 1}
o : Ordinal.{u}
e : lift.principalSeg.toRelEmbedding o = c.ord
this : lift.{u + 1, u} o.card = c
⊢ ∃ c', c = lift.{u + 1, u} c'
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
s : Set β
⊢ 0 • s ⊆ 0
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hp : 0 < p.degree
⊢ (p - C a).degree = p.degree
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
Monoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
F : G →* A
⊢ ⇑((MonoidAlgebra.lift k G A) F) = ⇑(MonoidAlgebra.liftNC ↑(algebraMap k A) ⇑F)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε✝ δ : 𝕜
u✝ v✝ u v : Finset α
ε : 𝕜
⊢ (u, v) ∈ P.sparsePairs G ε ↔ u ∈ P.parts ∧ v ∈ P.parts ∧ u ≠ v ∧ ↑(G.edgeDensity u v) < ε
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
r : S
x : P.Ring
i : P.vars
⊢ (P.cotangentSpaceBasis.repr (r ⊗ₜ[P.Ring] (KaehlerDifferential.D R P.Ring) x)) i =
  r * (MvPolynomial.aeval P.val) ((MvPolynomial.pderiv i) x)
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
⊢ ∀ (a : αᵒᵈ), (RelIso.symm (OrderIso.compl α)) a = (OrderDual.ofDual a)ᶜ
n : ℤ
g : SL(2, ℤ)
j : Fin 2
⊢ ↑(T ^ n * g) 1 j = ↑g 1 j
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
h : n < l.length
a : α
⊢ a ∈ l.set n a
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕂
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasStrictDerivAt (fun u => exp 𝕂 (u • x)) (x * exp 𝕂 (t • x)) t
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
c₁ c₂ : R
q : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
⊢ q.i * q.k = c₁ • q.j
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : a < b
⊢ ⋯.min {y | a < y} ⋯ ≤ b
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hi : I.radical.IsMaximal
this : I.radical = I.jacobson
x y : R
hxy : x * y ∈ I
x✝ : ∃ y_1, y_1 * y - 1 ∈ I
z : R
hz : z * y - 1 ∈ I
⊢ x ∈ I
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hIY : I ⊆ Y
hYX : Y ⊆ X
⊢ ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ Y → I = J
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s✝ : Set M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : (closure L).toFun s = ⊤
Hs : ∀ x ∈ s, p x
Hfun : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n), ClosedUnder f (setOf p)
⊢ p x
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : ENNReal.ofReal a.toReal = a
⊢ ENNReal.ofReal a.toReal ≠ ⊤
α : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
f : α → α
g : α → M
⊢ birkhoffSum f g 0 = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Final
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E
t : CategoryTheory.Limits.ColimitCocone G
⊢ (CategoryTheory.Functor.Final.colimitCoconeComp F t).isColimit =
  (CategoryTheory.Functor.Final.isColimitWhiskerEquiv F t.cocone).symm t.isColimit
α : Type u_1
Mul α
PartialOrder α
DecidableEq α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
LocallyFiniteOrderBot α
a b : α
⊢ Finset.Iic a * Finset.Iio b ⊆ Finset.Iio (a * b)
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ τ f = ↑m / ↑n ↔ ∃ x, (f ^ n) x = x + ↑m
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
h₀ : x = abs ⟨a, f⟩
h₁ : ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), p (f i j)
⊢ LiftP p x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L₂ M₂
inst✝¹ : LieModule R L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hf : Surjective ⇑f
hg : Surjective ⇑g
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
inst✝ : LieModule.IsNilpotent R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
⊢ lowerCentralSeries R L₂ M₂ k = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S : C
self : J.OneHypercover S
i₁ i₂ : self.I₀
W : C
p₁ : W ⟶ self.X i₁
p₂ : W ⟶ self.X i₂
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp p₁ (self.f i₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp p₂ (self.f i₂)
⊢ self.sieve₁ p₁ p₂ ∈ J.sieves W
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ b * r • a * c = b * (r • a * c)
x : ℂ
hx : Complex.abs x ≤ 1
⊢ Complex.abs (Complex.exp x - 1) ≤ 2 * Complex.abs x
α : Type u_2
β : Type u_3
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
DecidableEq β
⊢ (s₁ ∪ s₂).gcd f = gcd (s₁.gcd f) (s₂.gcd f)
n : ℕ
⊢ ↑(numDerangements (n + 1)) = (↑n + 1) * ↑(numDerangements n) - (-1) ^ n
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
hb : RelSeries.head s₁ = RelSeries.head s₂
ht : RelSeries.last s₁ = RelSeries.last s₂
hs₁0 : s₁.length = 0
⊢ s₁ = s₂
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B✝ : Matrix n n α
B : Matrix m n α
h : IsUnit A.det
⊢ B * A * A⁻¹ = B
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x✝ y : M
f✝ f : M →* P
g : P → M
hf : Function.RightInverse g ⇑f
x : (ker f).Quotient
⊢ (kerLift f) ((toQuotient ∘ g) ((kerLift f) x)) = (kerLift f) x
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
m : ℕ
h : multiplicity.Finite a b
hm : (multiplicity a b).get h < m
⊢ ¬a ^ m ∣ b
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ z₁ z₂ : ℝ≥0∞
hw' : w₁ + w₂ = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![w₁, w₂] i = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f₁ f' x v
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0
⊢ x ^ z < y ^ z ↔ y < x
α : Type u_1
LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h : b₁ ≤ b₂
⊢ Set.Ioo a₁ b₁ ∩ Set.Ioc a₂ b₂ = Set.Ioo (max a₁ a₂) b₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, s ∈ 𝓝[>] x
M : α → α
hM : ∀ x ∈ s, x < M x
⊢ (s \ interior s).Countable
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h✝ : Nonempty ((i : ι) → A i)
inhabited_h : Inhabited ((i : ι) → A i)
H : ∅ ≤ Finset.univ
⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ^ (1 - (↑#ι - 1) * p) * ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ p ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ (1 + p)
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq σ
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
⊢ (∑ i ∈ s, f i).degrees ≤ s.sup fun i => (f i).degrees
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a x y : α
⊢ (∀ (A : Set α), MeasurableSet A → (x ∈ A ↔ y ∈ A)) ↔ ∀ (x_1 : Set α), MeasurableSet x_1 → x ∈ x_1 → y ∈ x_1
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : ι → α
f' : α → γ
g : ι → β
h : Monovary f g
hf : Monotone f'
⊢ Monovary (f' ∘ f) g
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
hP0 : ¬P = ⊥
P' : Submonoid S := Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
this✝¹ : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S
this✝ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime P) (Localization P')
h : P' ≤ S⁰
this : IsDomain (Localization P')
⊢ map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R (I * J)) = map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R I * spanNorm R J)
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
⊢ False
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
Mul β
MeasurableMul₂ β
f : ι → Ω → β
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
hf_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (f i * f j) (f k * f l) κ μ
α : Type u_1
LinearOrder α
Add α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ min (a + b) (a + c) = a + min b c
n m : ℕ
h : n * m + m = 0
⊢ n.succ = 0 ∨ m = 0
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
Monoid M₁
Monoid M₂
⊢ Monoid.exponent (M₁ × M₂) = lcm (Monoid.exponent M₁) (Monoid.exponent M₂)
α : Type u_2
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
⊢ f ∈ Subgroup.closure {σ | σ.IsSwap} ↔ (MulAction.fixedBy α f)ᶜ.Finite
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
⊢ Set.range ContinuousAlternatingMap.toContinuousMultilinearMap =
  {f | ∀ (v : ι → M) (i j : ι), v i = v j → i ≠ j → f v = 0}
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
hn : IsPrimePow ↑n
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
h : n ≠ 2
this : 2 < n
hprime : Fact (Nat.Prime (↑n).minFac) := { out := minFac_prime (IsPrimePow.ne_one hn) }
⊢ ↑(eval 1 (cyclotomic ((↑n).minFac ^ (↑n).factorization (↑n).minFac) ℤ)) = ↑(↑n).minFac
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
d : n → R
⊢ (∀ (i : n), 0 ≤ d i) → (diagonal d).PosSemidef
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
f g h : ↑(Ω^ N X x)
H0 : GenLoop.Homotopic f g
H1 : GenLoop.Homotopic g h
⊢ GenLoop.Homotopic f h
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r : R[X]
hp : p ≠ 0
hq : 0 = 1
⊢ False
α : Type u_2
Top α
a : α
⊢ (TopHom.id α) a = a
g' g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Set.Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, 0 ≤ g' x
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn g' (Set.Ioc a b) MeasureTheory.volume
M : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁸ : UniformSpace α
inst✝⁷ : AddGroup α
inst✝⁶ : UniformAddGroup α
inst✝⁵ : UniformSpace β
inst✝⁴ : AddGroup β
inst✝³ : UniformAddGroup β
γ : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup γ
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : UniformAddGroup γ
f g : α →+ γ
hf : Continuous ⇑f
hg : Continuous ⇑g
hfg : Continuous fun x => f x + g x
x : Completion α
⊢ ((f + g).completion ⋯) x = (f.completion hf + g.completion hg) x
X Y : Type u
Add X
Add Y
e : X ≃+ Y
⊢ ∀ (a : X), e.toAddMagmaCatIso.hom a = e.toFun a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
s t : Set α
ht : IsOpen t
⊢ frontier (s ∩ t) ∩ t = frontier s ∩ t
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
v : V
h : ∀ p ∈ {x, y, z}, ∃ r, p = r • v +ᵥ x
⊢ Wbtw R x y z ∨ Wbtw R y z x ∨ Wbtw R z x y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
x : X
⊢ IsOpen {x}ᶜ
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : AddMonoid β
inst✝¹ : BoundedAdd β
inst✝ : ContinuousAdd β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
⊢ ⇑(nsmulRec 0 f) = 0 • ⇑f
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r : R
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
k : J
f : x.fst ⟶ k
g : y.fst ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget (ModuleCat R)).map f x.snd = (F ⋙ forget (ModuleCat R)).map g y.snd
⊢ ∃ k f g, (F.map f) ⟨x.fst, r • x.snd⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, r • y.snd⟩.snd
α : Type u
β✝ : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
β : Type u_1
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
h : CauchySeq u
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
this✝ : Nonempty β
this : Tendsto (Prod.map u u) atTop (𝓤 α)
⊢ ∃ k₀, ∀ (i j : β), k₀ ≤ i → k₀ ≤ j → (u i, u j) ∈ V
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
h : s.OrdConnected
x : ℝ
hx : x ∈ s
y : ℝ
hy : y ∈ s
z : ℝ≥0
hz : z ∈ Icc x.toNNReal y.toNNReal
⊢ z ∈ toNNReal '' s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hf : f =O[l] g
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hg : IntegrableAtFilter g l μ
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖
⊢ IntegrableAtFilter f l μ
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
⊢ ↑2 = 2
d : ℤ
a b : Pell.Solution₁ d
hax : 0 < a.x
hay : 0 < a.y
hbx : 0 < b.x
hby : 0 < b.y
⊢ 0 < (a * b).y
σ : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.rename id) p = p
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
b : β
⊢ (OrderIso.sumDualDistrib α β).symm (Sum.inr (OrderDual.toDual b)) = OrderDual.toDual (Sum.inr b)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Iic
⊢ Indep (limsup s atTop) (limsup s atTop) κ μα
a b c : Int
H1 : 0 < c
H2 : a ≤ b / c
⊢ a * c ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Option α ≃ Option β
x : α
h : ∃ x', e (some x) = some x'
⊢ some (e.removeNone_aux x) = e (some x)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ : Type u
X Y : AlgebraCat R
i : X ≅ Y
x : ↑Y
⊢ (i.inv ≫ i.hom) x = x
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasDerivWithinAt d d' univ x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c * d y) (c * d') univ x
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
⊢ ∀ (i : ℕ), ∃ j, ↑(I ^ j) * ↑(I ^ j) ⊆ ↑(I ^ i)
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Nonempty ι
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
x✝ : ι → M₂
⊢ (f.compLinearMap 0) x✝ = 0 x✝
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
⊢ (𝟙_ (CategoryTheory.Dial C)).rel = ⊤
X : Type u_1
TopologicalSpace X
self : SequentialSpace X
s : Set X
⊢ IsSeqClosed s → IsClosed s
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
PartialOrder α
a b : α
⊢ μ.restrict (Set.Ioo a b) = μ.restrict (Set.Ico a b)
X : Type u
Preorder X
x : X
h : x ≤ x
⊢ h.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ AEMeasurable id μ
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Preorder ι
u✝ v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝¹ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
u : ι → Ω → β
hum : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)
i : ι
⊢ StronglyMeasurable (u i)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
r : R
h : r - 1 ∈ ⊥.jacobson
⊢ IsUnit r
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
AddCommGroup V'
Module R V'
AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.WOppSide x y
f : P →ᵃ[R] P'
⊢ (AffineSubspace.map f s).WOppSide (f x) (f y)
a b : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a / b
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝³ : CommRing O
inst✝² : Algebra O R
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x y : O
h : x ∣ y
z : O
hz : y = x * z
⊢ v ((algebraMap O R) x) * v ((algebraMap O R) z) ≤ v ((algebraMap O R) x) * 1
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
A : Mon_ Cᵒᵖ
⊢ ((α_ A.X A.X A.X).inv ≫ A.mul ▷ A.X ≫ A.mul).unop = (A.mul ▷ A.X ≫ A.mul).unop ≫ (α_ (unop A.X) (unop A.X) (unop A.X)).hom
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k✝ k : Set G
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure k) }
x : G
hx : x ∈ ↑(closure k)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
g₁ : G
g₂ : g₁ ∈ closure k
hg₁ : G
hg₂ : hg₁ ∈ closure k
⊢ ⟨g₁, g₂⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' k) → ⟨hg₁, hg₂⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' k) → ⟨g₁ * hg₁, ⋯⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' k)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : C
t : CategoryTheory.Limits.BinaryFan P Q
I : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
s : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Limits.pair Q P)
⊢ I.swapBinaryFan.lift s = I.lift (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.swap s)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ Down.compression a (Down.compression a 𝒜) = Down.compression a 𝒜
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
Module R M
Module R₂ M₂
F : Type u_10
EquivLike F M M₂
SemilinearEquivClass F σ₁₂ M M₂
e : F
⊢ LinearMap.range e = ⊤
n : ℕ
l : List ℕ
h₁ : l.prod = n
h₂ : ∀ p ∈ l, Nat.Prime p
⊢ l.Perm n.primeFactorsList
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F✝
F F' : Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ F'
⊢ Presieve.IsSheaf J F'.val
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
CategoryTheory.Limits.HasKernels Cᵒᵖ
CategoryTheory.Limits.HasCokernels Cᵒᵖ
X : (CategoryTheory.ShortComplex C)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyFunctorOpNatIso C).hom.app X = (Opposite.unop X).rightHomologyOpIso.inv
f : CauSeq.Completion.Cauchy abs
⊢ { cauchy := f⁻¹ } = { cauchy := f }⁻¹
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
b : α
⊢ Order.IsSuccLimit b ↔ ∀ a < b, Order.succ a < b
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
U : Opens X
hU : Nonempty ↥U
y : Y
hy : y ∈ (e.subtypeRestr hU).target
⊢ ↑e ((Subtype.val ∘ ↑(e.subtypeRestr hU).symm) y) = y
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
CharZero R
n : ℕ
⊢ ↑n = 0 ↔ n = 0
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ ⊤.distortion = I.distortion
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
One G
NeZero 1
⊢ Finsupp.support 1 = 1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
r : R
⊢ (X - C r).roots = {r}