ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : StronglyMeasurable f
⊢ ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), ↑‖f (x, y)‖₊ ∂ν ∂μ < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∫⁻ (a : β), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂ν < ⊤) ∧ ∫⁻ (a : α), ↑‖∫ (y : β), ‖f (a, y)‖ ∂ν‖₊ ∂μ < ⊤
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R✝ N
R : Type u_6
A : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A M
hM : ∃ S, S.Finite ∧ span R S = ⊤
⊢ ∃ S, S.Finite ∧ span A S = ⊤
A : Class
x : ZFSet
⊢ A.powerset x ↔ ↑x ⊆ A
R : Type u
CommSemiring R
s : Set R
⊢ ⨆ i ∈ s, PrimeSpectrum.basicOpen i = ⊤ ↔ Ideal.span s = ⊤
E : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : AddCommGroup L
inst✝⁴ : Countable L
inst✝³ : AddAction L E
inst✝² : MeasurableSpace L
inst✝¹ : MeasurableVAdd L E
inst✝ : VAddInvariantMeasure L E μ
fund : IsAddFundamentalDomain L F μ
hS : NullMeasurableSet s μ
h : ∀ (x y : L), x ≠ y → Disjoint (x +ᵥ s) (y +ᵥ s)
⊢ μ s ≤ μ F
α : Type u
c✝ d : Cardinal.{u}
c : Cardinal.{v}
⊢ toNat (lift.{u, v} c) = toNat c
ι : Sort u_2
f : ι → ℝ≥0
⊢ ⨆ i, ↑(f i) = ⊤ ↔ ¬BddAbove (Set.range f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
hf : BddBelow (range f)
⊢ Iic (⨅ i, f i) = ⋂ i, Iic (f i)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
κ' : κ → Sort u_6
f : (i : κ) → κ' i → Ideal A
h : ∀ (i : κ) (j : κ' i), Ideal.IsHomogeneous 𝒜 (f i j)
⊢ Ideal.IsHomogeneous 𝒜 (⨅ i, ⨅ j, f i j)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
j : J
⊢ c.toUnder.π.app j = CategoryTheory.Under.homMk (c.π.app j) ⋯
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set (WithTop α)
⊢ IsGLB s (sInf s)
α : Type u_1
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
a : α
⊢ UniformEmbedding fun x => x * a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
s : Set β
⊢ s ⊆ toMeasurable (map f μ) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂ν a, Filter.Tendsto (fun m => κ.density ν a x (seq m)) Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a₁ : α
b₂ : β
⊢ Finset.Ioc (Sum.inl a₁) (Sum.inr b₂) = ∅
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
e : Basis ι R M
w : ι → R
hw : ∀ (i : ι), IsUnit (w i)
⊢ e.det ⇑(e.isUnitSMul hw) = ∏ i : ι, w i
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : ∃ i, ∃ (_ : μH[↑i] s = ⊤), ↑d < ↑i
⊢ μH[↑d] s = ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
c₁ c₂ : R
q : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
⊢ q.lift 1 = 1
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this✝ : NeZero n
h0 : eval 0 (cyclotomic n ℝ) = 1
hx : eval (-1) (cyclotomic n ℝ) ≤ 0
this : Set.Icc (eval (-1) (cyclotomic n ℝ)) (eval 0 (cyclotomic n ℝ)) ⊆ Set.range fun x => eval x (cyclotomic n ℝ)
⊢ False
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
⊢ AffineIsometry.id.toAffineMap = AffineMap.id 𝕜 P
α : Type u_1
Add α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ min a c + min b d ≤ min (a + b) (c + d)
α : Type u_2
β : Type u_3
f : α → β
s : Set (Set α)
⊢ f '' sSup s = sSup (Set.image f '' s)
α : Type u_1
t : ℕ → Set α
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (⋃ n, memPartition t n) = MeasurableSpace.generateFrom (Set.range t)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
inst✝ : Fintype ι
hμ : iIndep m μ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ μ (⋂ i, s i) = ∏ i : ι, μ (s i)
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N✝ : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N✝
inst✝⁹ : ChartedSpace G N✝
Js : SmoothManifoldWithCorners J N✝
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
v : TangentSpace I x
N : ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∈ 𝓝 (↑I (↑(chartAt H x) x))
⊢ tangentMap I I.tangent (zeroSection E (TangentSpace I)) { proj := x, snd := v } = { proj := { proj := { proj := x, snd := v }.proj, snd := 0 }, snd := ({ proj := x, snd := v }.snd, 0) }
S : Type u_1
Add S
a x y : S
h : AddSemiconjBy a x y
⊢ a + x = y + a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitEpi f
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork f
i : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.Limits.binaryBiconeOfIsSplitEpiOfKernel i).snd = f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h : ε < ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε.toReal / 3
hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal
hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)
δ₁ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ₁
heLpNorm₁ : ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
δ₂ : ℝ
hδ₂ : 0 < δ₂
heLpNorm₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
t : Set α
htm : MeasurableSet t
ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε.toReal / (3 * ↑(measureUnivNNReal μ) ^ (1 / p.toReal))
n : ℕ
hn : n ≥ N
hnf : eLpNorm (t.indicator (f n)) p μ ≤ ε / 3
hng : eLpNorm (t.indicator g) p μ ≤ ε / 3
hlt : eLpNorm (tᶜ.indicator (f n - g)) p μ ≤ ε / 3
this : ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3) = ε / 3
⊢ eLpNorm (t.indicator (f n)) p μ + eLpNorm (-t.indicator g) p μ + eLpNorm (tᶜ.indicator (f n + -g)) p μ ≤ ε
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
Fintype α
⊢ Finset.univ.Shatters s
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
inst✝ : DecidableEq V
v : V
x✝ : ↑(G.neighborSet v)
w : V
hw : w ∈ G.neighborSet v
⊢ (fun e => ⟨G.otherVertexOfIncident ⋯, ⋯⟩) ((fun w => ⟨s(v, ↑w), ⋯⟩) ⟨w, hw⟩) = ⟨w, hw⟩
α : Type u_1
LinearOrderedField α
CauSeq.IsComplete α abs
f : CauSeq α abs
x : α
h : CauSeq.const abs x < f
⊢ x < f.lim
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
v w : V
hvw : G.Adj v w
⊢ SimpleGraph.Subgraph.map f (G.subgraphOfAdj hvw) = G'.subgraphOfAdj ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
x : α
s : Set β
⊢ x ∈ f.core s ↔ ∀ y ∈ f x, y ∈ s
α : Type u_1
ι : Sort u_2
Nonempty ι
ConditionallyCompleteLattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a g : α
h : ι → α
H : ∀ (j : ι), g + h j ≤ a
⊢ g + iSup h ≤ a
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x₀ s ∂μ) (x₀, b₀)
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
AddCommMonoid α
DecidableEq κ
s : Finset ι
t : Finset κ
g : ι → κ
f : ι → α
⊢ ∑ j ∈ t, ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => g i = j) s, f i = ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => g i ∈ t) s, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B I : Set α
h : BijOn f E N.E
⊢ (N.comapOn E f)✶ = N✶.comapOn E f
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.1522, u_2} D
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
X : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
α : Type
w✝ : Finite α
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ X
inst✝ : (ofArrows Z π).Extensive
hc : IsColimit (Cofan.mk X π)
this : (ofArrows Z (Cofan.mk X π).inj).hasPullbacks
val✝ : Fintype α
⊢ IsSheafFor F (ofArrows Z π)
R : Type u_1
AddSemigroup R
a b : R
lra : IsAddLeftRegular a
lrb : IsAddLeftRegular b
⊢ IsAddLeftRegular (a + b)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 < p
f : α → ℝ≥0∞
a : α
⊢ funMulInvSnorm f p μ a ^ p = f a ^ p * (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4}
⊢ IsEmpty (Quotient.out o).α ↔ o = 0
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M₂
inst✝ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f₁ f₂ : MultilinearMap R M₁ M₂
x✝ : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
⊢ ((fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (f₁ + f₂)) x✝ = ((fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) f₁ + (fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) f₂) x✝
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
w : InfinitePlace K
h₁ : x ≠ 0
h₂ : ∀ ⦃w' : InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1
h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1
⊢ ℚ⟮↑x⟯ = ⊤
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => Real.cosh (f x)) (Real.sinh (f x) * f') s x
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
⊢ ↑(Nat.card α) = Cardinal.toPartENat (Cardinal.mk α)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n m : ℕ
h : n ≠ m
hnzero : n > 0
hmzero : m > 0
⊢ IsCoprime (cyclotomic n ℚ) (cyclotomic m ℚ)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
i : ℕ
m : M
⊢ (PolynomialModule.eval r) ((PolynomialModule.single R i) m) = r ^ i • m
S : Type u_1
T : Type u_2
R✝ : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ N
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
v✝ : Basis ι R✝ M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticMap R M R
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
j : ι
hj : j ∈ univ
⊢ (((associatedHom R) Q) (∑ i : ι, w i • v i)) (w j • v j) = Q (v j) • (w j * w j)
α : Type u_1
Div α
a b : αᵃᵒᵖ
⊢ AddOpposite.unop (a / b) = AddOpposite.unop a / AddOpposite.unop b
α : Type u_1
n : ℕ
h : 2 ≤ n
⊢ ⊥.CliqueFree n
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p.natDegree = 0
⊢ Polynomial.derivative p = 0
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
X : (c d : C) → Set (c ⟶ d)
c d : C
⊢ X c d ⊆ ⋂ S ∈ {S | ∀ (c d : C), X c d ⊆ S.arrows c d}, S.arrows c d
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹³ : Zero β
inst✝¹² : One β
inst✝¹¹ : Add β
inst✝¹⁰ : Mul β
inst✝⁹ : Neg β
inst✝⁸ : Sub β
inst✝⁷ : SMul ℕ β
inst✝⁶ : SMul ℤ β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : NatCast β
inst✝³ : IntCast β
f : β → α
hf : Injective f
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : Add α
inst✝ : RightDistribClass α
add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y
x y z : β
⊢ f ((x + y) * z) = f (x * z + y * z)
t : |2⁻¹| = 2⁻¹
z : |∑ i ∈ range 34, 2⁻¹ ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - 2⁻¹)| ≤ |2⁻¹| ^ (34 + 1) / (1 - |2⁻¹|)
⊢ |log 2 - 287209 / 414355| ≤ 1 / 17179869184 + (1 / 10 ^ 10 - 1 / 2 ^ 34)
α : Type u_1
a b : α
⊢ a ∉ {b} ↔ a ≠ b
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
k : σ → τ
g : τ → R
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.eval g) ((MvPolynomial.rename k) p) = (MvPolynomial.eval (g ∘ k)) p
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)
h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary
I : Set ((i : ι) × α i)
hI : ∀ J ⊆ I, J.Finite → ∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' J)
⊢ ∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' I)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
R : Dᵒᵖ ⥤ RingCat
S : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
φ : S ⟶ F.op ⋙ R
M : PresheafOfModules R
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
m : ↑((ModuleCat.restrictScalars (φ.app X)).obj (M.obj (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop X)))))
⊢ (((PresheafOfModules.pushforward φ).obj M).map f) m = (M.map (F.map f.unop).op) m
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
x y : 𝕎 k
⊢ (aeval (Function.uncurry ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i])) (wittMul p (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * X (1, n + 1)) - x.coeff (n + 1) * (aeval (Function.uncurry ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i])) ((rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) - y.coeff (n + 1) * (aeval (Function.uncurry ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i])) ((rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) = (x * y).coeff (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * x.coeff (n + 1) * y.coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * x.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i) - x.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * y.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
S : AddSubmonoid P
g : N →+ P
f : M →+ N
⊢ AddSubmonoid.comap f (AddSubmonoid.comap g S) = AddSubmonoid.comap (g.comp f) S
X : TopCat
T : ↑X → Type v
U : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (X.presheafToTypes T).obj U = ((x : ↥(Opposite.unop U)) → T ↑x)
ι : Type u_1
α : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring α
TopologicalSpace α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
T2Space α
a : α
hf : Summable f
⊢ ∑' (i : ι), a * f i = a * ∑' (i : ι), f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
⊢ FinStronglyMeasurable (f ⊔ g) μ
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
X✝ Y✝ Z✝ : J ⥤ C
α : X✝ ⟶ Y✝
β : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map (α ≫ β) = { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map α ≫ { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map β
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : TopologicalSpace.Opens M
hs : Nonempty ↥s
e : PartialHomeomorph (↥s) H
he : e ∈ atlas H ↥s
⊢ ∃ x, e = (chartAt H ↑x).subtypeRestr hs
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
ι : Type u_5
Countable ι
s : ι → Set X
hm : ∀ (i : ι), MeasureTheory.NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on s)
hfi : MeasureTheory.IntegrableOn f (⋃ i, s i) μ
⊢ ∫ (x : X) in ⋃ n, s n, f x ∂μ = ∑' (n : ι), ∫ (x : X) in s n, f x ∂μ
α : Type u_1
CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), u i = ⨆ i, u (i + n)
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Small.{v, u} R
flat : Module.Flat R M
N N' N'' : Type v
AddCommGroup N
AddCommGroup N'
AddCommGroup N''
Module R N
Module R N'
Module R N''
f : N →ₗ[R] N'
g : N' →ₗ[R] N''
exact : Function.Exact ⇑f ⇑g
⊢ Function.Exact ⇑(LinearMap.lTensor M f) ⇑(LinearMap.lTensor M g)
M : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing M
a : M
ha : a ∈ center M
x✝ : M
⊢ -a * x✝ = x✝ * -a
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
⊢ Function.leftLim f x ≤ Function.rightLim f y
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℝ F
StrictConvexSpace ℝ E
MetricSpace PE
MetricSpace PF
NormedAddTorsor E PE
NormedAddTorsor F PF
f : PF → PE
hi : Isometry f
p : PF
⊢ hi.affineIsometryOfStrictConvexSpace p = f p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β
x : Part α
g : β → Part γ
⊢ (map f x).bind g = x.bind fun y => g (f y)
x : ℂ
⊢ Complex.cos (2 * x) = 2 * Complex.cos x ^ 2 - 1
o : Ordinal.{u}
o' : Ordinal.{v}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max (max u v) w}
g : (a : Ordinal.{v}) → a < o' → Ordinal.{max (max u v) w}
h : o.brange f ⊆ o'.brange g
⊢ o.bsup f ≤ o'.bsup g
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
C : Type u_2
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_2} C
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : Linear R C
inst✝¹⁰ : MonoidalCategory C
inst✝⁹ : MonoidalPreadditive C
inst✝⁸ : MonoidalLinear R C
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_3} D
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : Linear R D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : MonoidalPreadditive D
F : MonoidalFunctor D C
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : Functor.Linear R F.toFunctor
X Y Z : D
r : R
f : Y ⟶ Z
⊢ X ◁ (r • f) = r • X ◁ f
α : Type u_11
β : Type u_12
s : Set α
f : ↑s → Set β
⊢ ⋂ i, f i = ⋂ i, ⋂ (h : i ∈ s), f ⟨i, h⟩
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
f : α → β → m (ForInStep β)
b : β
⊢ forIn List.nil b f = pure b
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t
V_cover : U ≤ iSup V
x y : ↥U
z : ↥(V x ⊓ V y)
⊢ (F.presheaf.germ z) ((F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op) (sf x)) = (F.presheaf.germ z) ((F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op) (sf y))
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
n : Nat
a b : α
h : (!b == a) = true
⊢ List.insert b (List.replicate n a) = b :: List.replicate n a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSet (Sum.inl '' univ)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
f : α → Option γ
g : β → Option δ
hfg : (R ⇒ Option.Rel P) f g
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
h₁ : R a b
h₂ : Forall₂ R as bs
⊢ Forall₂ P (match f a with | none => filterMap f as | some b => b :: filterMap f as) (match g b with | none => filterMap g bs | some b => b :: filterMap g bs)
n : Nat
a b : Fin n
h : a ≥ b
⊢ ↑b ≤ ↑a
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
hs : IsPreconnected s
hinj : Function.Injective f
hf : IsOpenMap f
hsf : s ⊆ Set.range f
⊢ IsPreconnected (f ⁻¹' s)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.45682, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.45686, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.45690, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.45694, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.45698, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.45702, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
e : F ≅ F'
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
⊢ ((e.hom.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((e.inv.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) = 𝟙 (((F.obj (X₁ i₁)).obj (X₂ i₂)).obj (X₃ i₃))
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
P Q : Submodule R M
hf : Submodule.map (↑(LinearEquiv.refl R M)) P = Q
⊢ Submodule.Quotient.equiv P Q (LinearEquiv.refl R M) hf = P.quotEquivOfEq Q ⋯
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
⊢ DirSupClosed sᶜ ↔ DirSupInacc s
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E : Set α
hE✝ : E.Finite
f : Matroid α → Set α × Set (Set α) := fun M => (M.E, {B | M.Base B})
hf : Function.Injective f
M : Matroid α
hE : M.E ⊆ E
⊢ f M ∈ {b | b ⊆ E} ×ˢ {b | b ⊆ {b | b ⊆ E}}