ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
hi : i.gcd ↑k = 1
h0 : ¬0 ≤ i
i' : ℕ
hi' : ↑i' = -i
⊢ i'.Coprime k
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hc : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) s
inst✝ : p.NeBot
x : α
hx : x ∈ s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝[s] x
H : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
h : CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete PEmpty.{w + 1}) C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (CategoryTheory.Discrete PEmpty.{w' + 1}) C
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
a b c : A
h : a + b = c
e₁ : (CategoryTheory.shiftFunctor C a).comp F ≅ F.comp (CategoryTheory.shiftFunctor D a)
e₂ : (CategoryTheory.shiftFunctor C b).comp F ≅ F.comp (CategoryTheory.shiftFunctor D b)
X : C
⊢ (CategoryTheory.Functor.CommShift.isoAdd' h e₁ e₂).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b c h).hom.app X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e₂.hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor D b).map (e₁.hom.app X))
        ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' D a b c h).inv.app (F.obj X))))
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
s t : Set α
⊢ r.image (s ∩ t) ⊆ r.image s ∩ r.image t
n m l : ℕ
hnm : n ≤ m
hml : m ≤ l
⊢ List.Ico n m ++ List.Ico m l = List.Ico n l
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
h_ac : ν ≪ ν + ν'
h₁ : (μ.singularPart ν' + ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae (ν + ν')] (μ.singularPart ν').rnDeriv (ν + ν') + (ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv (ν + ν')
⊢ (μ.singularPart ν' + ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν' + ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv ν
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
S T : CategoryTheory.Sieve X
h : S ≤ T
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Sieve.natTransOfLe h) T.functorInclusion = S.functorInclusion
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ (l.balanceR x r).dual = r.dual.balanceL x l.dual
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
hf : IsCoveringMap f
⊢ Continuous f
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ : P
h : p₁ -ᵥ p₂ = 0
⊢ p₁ = p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
Preorder α
Preorder β
PosSMulReflectLT α β
SMulPosReflectLT α β
hab : 0 < a • b
⊢ 0 < a ↔ 0 < b
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
r : ℕ
A : Finset α
⊢ A ∈ 𝒜 → A ∈ powersetCard r univ ↔ A ∈ ↑𝒜 → A.card = r
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : ∑ x ∈ vi.support, vi x * (B (v x)) (v i) = 0
⊢ ∀ b ∈ vi.support, b ≠ i → vi b * (B (v b)) (v i) = 0
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
hA : IsLeftRegular A.det
hB : IsLeftRegular B.det
hAB : IsLeftRegular (A * B).det
⊢ (A * B).adjugate = B.adjugate * A.adjugate
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
⊢ W ◁ g ≫ f ▷ Z = f ▷ Y ≫ X ◁ g
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀
hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
haux : ∀ y ∈ s, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧ f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y
t : ℝ
ht : t ∈ s
xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)
h : HasDerivAt f ((tangentCoordChange I xₜ x₀ xₜ) (v xₜ)) t
hf3 : f t ∈ interior (extChartAt I x₀).target
hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target
hft1 : ↑(extChartAt I x₀).symm (f t) ∈ (extChartAt I x₀).source
hft2 : xₜ ∈ (extChartAt I xₜ).source
⊢ HasFDerivAt (↑(extChartAt I xₜ) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (tangentCoordChange I x₀ xₜ xₜ) (f t)
α : Type u_1
β : Type u_2
h : Nonempty α
⊢ Function.Surjective Prod.snd
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
Ring A
Algebra R A
f : CliffordAlgebra.EvenHom Q A
m₁ m₂ : M
x : A × ↥(CliffordAlgebra.even.lift.S f)
⊢ (((CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) m₁) (((CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) m₂) x)).1 = (f.bilin m₁) m₂ * x.1
X : Type u
TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ IsClosed (Subtype.val ⁻¹' t) ↔ s ∩ closure (s ∩ t) ⊆ t
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
⊢ Monoid.Coprod.snd.comp Monoid.Coprod.inr = MonoidHom.id N
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
a : α
⊢ f ⟦a⟧.out' = f a
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : TopologicalSpace.Opens ↑Z
⊢ (TopologicalSpace.Opens.mapComp f g).hom.app U = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
u : Set α
huI : u ∈ I
hu_diffFinset₀ : u ∈ hC.diffFinset₀ hs hI
h_disj : u = ∅
⊢ False
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
l : ℕ
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : ι → ι → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s t : Finset ι
x : 𝕜
hst : s ⊆ t
f : ι → 𝕜
d : 𝕜
hx : 0 ≤ x
hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|
ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
hscard : 0 = ↑s.card
⊢ d + ↑s.card / ↑t.card * x ^ 2 ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) / ↑t.card
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s t : Finset α
⊢ s / t = Finset.image (fun p => p.1 / p.2) (s ×ˢ t)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ Continuous fun p => p.1 p.2
α : Type u
p : α → Bool
as : List α
⊢ (List.zipWith (fun x x_1 => x ++ x_1) (List.splitOnP p as) (List.map (fun x => [x]) (List.filter p as) ++ [[]])).join =
  as
E : Type u_4
Group E
p q : GroupNorm E
x : E
⊢ (p ⊔ q) x = p x ⊔ q x
k : Type u₁
G : Type u₂
CommSemiring k
Monoid G
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
F : G →* A
a : G
b : k
⊢ ((MonoidAlgebra.lift k G A) F) (MonoidAlgebra.single a b) = b • F a
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc α ℝ := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun x_1 => ↑(fs x_1) x) atTop (𝓝 (f x))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
⊢ μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
α β✝ : Type u
c b : Cardinal.{u}
β γ : Type u
this✝ : {c' | Quot.mk Setoid.r γ < c'}.Nonempty
hlt : Quot.mk Setoid.r γ < Quot.mk Setoid.r β
f : γ ↪ β
this : ∃ x, ¬∃ a, f a = x
⊢ Quot.mk Setoid.r γ + 1 ≤ Quot.mk Setoid.r β
⊢ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ Iio 0 → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ Iio 0 → x ≠ y → ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • log x + b • log y < log (a • x + b • y)
R : Type u_1
CommSemiring R
a : R
⊢ a ^ 1 = a
α β : Type u
m : Type u → Type v
x : OptionT m α
inst✝¹ : Monad m
f : α → β
inst✝ : LawfulMonad m
⊢ (do let x ← x.run match x with | some a => (pure (f a)).run | none => pure none) = do let a ← x.run pure (Option.map f a)
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
p : l₁.Perm l₂
⊢ (Multiset.powersetAux l₁).Perm (Multiset.powersetAux l₂)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
CommSemiring R₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
IsCancelAdd M
a b c : M₁
hAdd : a + b + c = 0
⊢ (B a) b = (B b) c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
W : C
fst : W ⟶ X
snd : W ⟶ Y
eq : fst ≫ f = snd ≫ g
⊢ (CategoryTheory.Limits.PullbackCone.mk fst snd eq).π.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.one = fst ≫ f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor D E} (α : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D E).obj F).map α = CategoryTheory.whiskerLeft F α
α : Type u_2
Add α
a : α
⊢ Set.singletonAddHom a = {a}
α : Type u_1
n : Nat
⊢ [][n]? = none
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
G : Type u_6
Pow G M
a : G
n : M
⊢ ↑(a ^ n) = ↑a ^ n
α : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring α
x : ↑(Icc 0 1)
⊢ x = 0 ↔ ↑x = 0
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
m : M
a : α
n : ℕ
⊢ Function.IsPeriodicPt (fun x => m +ᵥ x) n a ↔ n • m +ᵥ a = a
α : Type u
f : Equiv.Perm α
s : Set α
⊢ ⇑f⁻¹ '' s = ⇑f ⁻¹' s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
a : α
⊢ 𝓝[<] a ⊔ 𝓝[>] a = 𝓝[≠] a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x y : M
⊢ y ∈ span R {x} ↔ ∃ y_1, (toSpanSingleton R M x) y_1 = y
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
x : α
rlt : α → α → Prop
IsNonstrictStrictOrder α r rlt
⊢ x ∈ maximals r s ↔ x ∈ s ∧ ∀ ⦃y : α⦄, rlt x y → y ∉ s
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ Codisjoint (x ⇨ y) x
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
⊢ Equicontinuous F ↔ Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ Function.swap F)
m : ℕ
_h : 0 < m + 1
⊢ ack 0 0 < ack (m + 1) 0
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a : ℝ
hfi✝ : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc a (b i)) μ
hb : Tendsto b l atTop
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hφ : AECover (μ.restrict (Ioi a)) l fun i => Iic (b i)
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Iic (b i)) (μ.restrict (Ioi a))
i : ι
hbi : a ≤ b i
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a (b i), ‖f x‖ ∂μ ≤ I → ∫ (x : ℝ) in Ioi a ∩ Iic (b i), ‖f x‖ ∂μ ≤ I
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
⊢ TensorAlgebra.ofDirectSum ((DirectSum.of (fun n => ⨂[R]^n M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)) =
  (TensorAlgebra.tprod R M n) x
s : ℂ
n : ℕ
h1 : -s.re < ↑n
u : ∀ (k : ℕ), GammaAux (⌊1 - s.re⌋₊ + k) s = Gamma s
⊢ Gamma s = GammaAux n s
α : Type u_1
Lattice α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ mabs ((a ⊔ c) / (b ⊔ c)) ⊔ mabs ((a ⊓ c) / (b ⊓ c)) ≤ mabs (a / b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
n : ℕ∞
ι : Type u_21
Fintype ι
Fi : ι → Type u_22
(i : ι) → NormedAddCommGroup (Fi i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fi i)
φ : M → (i : ι) → Fi i
⊢ ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, (i : ι) → Fi i) n φ s ↔ ∀ (i : ι), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, Fi i) n (fun x => φ x i) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
U : CategoryTheory.Comonad C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Cokleisli.Adjunction.toCokleisli U).obj X = X
R : Type u_1
CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
Fintype l
DecidableEq l
f₁ : m → k
e₂ : n ≃ l
M : Matrix k l R
⊢ Matrix.toLin' (M.submatrix f₁ ⇑e₂) = LinearMap.funLeft R R f₁ ∘ₗ Matrix.toLin' M ∘ₗ LinearMap.funLeft R R ⇑e₂.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EDist α
x y : α
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : s.Nontrivial
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ s.einfsep = edist x y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.PushoutCocone.ofCocone t).ι = (CategoryTheory.Limits.diagramIsoSpan F).inv ≫ t.ι
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
⊢ map H.subtype ⊤ ≤ closure ((fun x => H.subtype ⟨x * (↑(toFun hR x))⁻¹, ⋯⟩) '' (R * S))
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
f : M →ₗ[R] N
m : Fin n → M
⊢ ((map f).toLinearMap.compAlternatingMap (ιMulti R n)) m = ((ιMulti R n).compLinearMap f) m
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ b₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₁ ∈ eval f₁ a₁
ab : Reaches f₁ a₁ b₁
b0 : f₁ b₁ = none
⊢ ∃ b₂, tr b₁ b₂ ∧ b₂ ∈ eval f₂ a₂
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
x : α
⊢ x ∈ {a | CompleteLattice.IsCompactElement a} ↔ x ∈ {c | CompleteLattice.IsCompactElement c ∧ c ≤ ⊤}
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m : ℤ
n : ℕ
x : 𝕜
k : ℕ
⊢ deriv^[k] (fun x => x ^ n) x = (∏ i ∈ Finset.range k, (↑n - ↑i)) * x ^ (n - k)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.Hom.τ₂ 0 = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
b0 : 0 < b
d0 : 0 < d
⊢ a / b ≤ c / d ↔ a * d ≤ c * b
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
e : α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂
hxB₁ : e ∈ B₁
hxB₂ : e ∉ B₂
⊢ ∃ y, (y ∈ B₂ ∧ y ∉ B₁) ∧ M.Base (insert y (B₁ \ {e}))
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r
h_meas : Measurable fun ω => (1 + ‖ω‖) ^ (-r)
h_pos : ∀ (x : E), 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r)
h_int : ∀ (t : ℝ), 0 < t → μ {a | t ≤ (1 + ‖a‖) ^ (-r)} = μ (Metric.closedBall 0 (t ^ (-r⁻¹) - 1))
⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Ioi 0, μ (Metric.closedBall 0 (x ^ (-r⁻¹) - 1)) ∂volume < ⊤
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : AList β
⊢ AList.lookup a (AList.erase a s) = none
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
i : ℕ
fst✝ : α
snd✝ : β
⊢ (∃ x y, l₁[i]? = some x ∧ l₂[i]? = some y ∧ (x, y) = (fst✝, snd✝)) ↔ l₁[i]? = some (fst✝, snd✝).1 ∧ l₂[i]? = some (fst✝, snd✝).2
f : StieltjesFunction
⊢ f.length ∅ = 0
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
AddCommMonoid E
Module R E
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
⊢ (PiTensorProduct.liftAux φ) ((PiTensorProduct.tprod R) f) = φ f
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddCommMonoid α
t : Finset ι
f₁ f₂ : ι → Set α
hf : ∀ i ∈ t, f₁ i ⊆ f₂ i
⊢ ∑ i ∈ t, f₁ i ⊆ ∑ i ∈ t, f₂ i
d : ℝ := ∑' (k : ℕ), 1 / ↑(k + 1) ^ 2
log_stirlingSeq' : ℕ → ℝ := fun k => Real.log (stirlingSeq (k + 1))
n : ℕ
⊢ Real.log (stirlingSeq 1) - Real.log (stirlingSeq (n + 1)) ≤ 1 / 4 * d
b o✝ : Ordinal.{u}
x : Ordinal.{u} × Ordinal.{u}
o : Ordinal.{u}
ho : o ≠ 0
IH : x ∈ CNF b (o % b ^ log b o) → 0 < x.2
⊢ x ∈ (log b o, o / b ^ log b o) :: CNF b (o % b ^ log b o) → 0 < x.2
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n + 1
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
a : ℕ
a1 : 1 < a
⊢ Pell.xn a1 1 = a
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : I.IsMaximal
⊢ ∃ x, setOfIdeal I = {x}ᶜ
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H
⊢ ((traceForm K (↥H) L) (coroot α)) x = 2 • (α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)))⁻¹ • α x
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.IsConjExponent q
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
IsPredArchimedean α
a b : α
⊢ (∃ n, Order.pred^[n] b = a) ↔ a ≤ b
α : Type u_1
n : ℕ
a b : α
s : Sym α n
⊢ a ::ₛ b ::ₛ s = b ::ₛ a ::ₛ s
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ I = X ∧ X ⊆ E → (freeOn E).Basis I X
α : Type u_1
LinearOrder α
⊢ IsPiSystem (Set.range Set.Ioi)
α : Type u_2
Lattice α
BoundedOrder α
self : ComplementedLattice α
a : α
⊢ ∃ b, IsCompl a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution Z
n : ℕ
⊢ P.π.f (n + 1) = 0
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)
H : Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤
⊢ ⊤ ≤ M
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : H → G
j : Y →ₑ[φ] X
B : Set X
hB : IsBlock G B
g : H
⊢ ⇑j ⁻¹' (φ g • B) = ⇑j ⁻¹' B ∨ Disjoint (⇑j ⁻¹' (φ g • B)) (⇑j ⁻¹' B)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X
⊢ Function.Injective ⇑(TopologicalSpace.productOfMemOpens X)
G : Type u_1
AddGroup G
A' A : AddSubgroup G
B : AddSubgroup G
hA : A' ≤ A
hN : (A'.addSubgroupOf A).Normal
⊢ ((A' ⊓ B).addSubgroupOf (A ⊓ B)).Normal
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T1Space X
x : X
U : ℕ → Set X
hU : ∀ (i : ℕ), x ∈ U i ∧ IsOpen (U i)
h_basis : (𝓝 x).HasAntitoneBasis fun i => U i
⊢ IsGδ (⋂ i, ⋂ (_ : True), U i)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
x : m → 𝕜
y : n → 𝕜
inst✝ : Invertible A
hA : A.IsHermitian
⊢ star (x ⊕ᵥ y) ᵥ* fromBlocks A B Bᴴ D ⬝ᵥ (x ⊕ᵥ y) = star (x + (A⁻¹ * B) *ᵥ y) ᵥ* A ⬝ᵥ (x + (A⁻¹ * B) *ᵥ y) + star y ᵥ* (D - Bᴴ * A⁻¹ * B) ⬝ᵥ y
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ 𝟙 X ⊗ (ρ_ Y).inv = (ρ_ (X ⊗ Y)).inv ≫ (α_ X Y (𝟙_ C)).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t) ∩ t = t
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
Fintype ι
DecidableEq M
x : { x // x ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ }
⊢ b.reindexFinsetRange x = ↑x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
u : H →L[𝕜] K
⊢ (∀ (x : H), ‖u x‖ = ‖x‖) ↔ (adjoint u).comp u = 1
x✝ y x : ℝ
⊢ π / 4 ∈ Ioc (-(π / 2)) (π / 2)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
self : ConvexCone 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ self.carrier → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ self.carrier → x + y ∈ self.carrier
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α
⊢ Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s ↔ Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
a : Ordinal.{u_1}
b c : Ordinal.{u_1}
h : b ≤ c
⊢ a ^ b ∣ a ^ c
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
P✝ Q✝ R✝ : Algebra F
f✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ g'✝ : Q✝ ⟶ R✝
⊢ (f✝ ≫ (g✝ + g'✝)).f = (f✝ ≫ g✝ + f✝ ≫ g'✝).f
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
AddCommMonoid S
AddCommMonoid T
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
Module R S
Module R T
f : M →ₗ[R] Q
g : N →ₗ[R] S
h : P →ₗ[R] T
⊢ TensorProduct.map (TensorProduct.map f g) h ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc R M N P).symm =
  ↑(TensorProduct.assoc R Q S T).symm ∘ₗ TensorProduct.map f (TensorProduct.map g h)
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderTop α
a b : α
hab : Codisjoint a b
⊢ a = b ↔ a = ⊤ ∧ b = ⊤
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
c : G
⊢ (IsometryEquiv.addRight c).toEquiv = Equiv.addRight c
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ T R (n + 2) = X * T R (n + 1) - (1 - X ^ 2) * U R n
z : ℂ
h₁ : z ≠ Complex.I
h₂ : z ≠ -Complex.I
⊢ Complex.tan z.arctan = z
α : Type u_1
f : α → α
x : α
m n : ℕ
hm : Function.IsPeriodicPt f m x
hn : Function.IsPeriodicPt f n x
⊢ Function.IsPeriodicPt f (m - n) x
α : Type u
x y : FreeMagma α
⊢ x.mul y = x * y
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R
⊢ (HahnModule.of R).symm (x • (HahnModule.of R) y) = x * y
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
κ : ι → Type
x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)
w : (i : ι) → κ i → 𝕜
f : (i : ι) → κ i → E i
hw₀ : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), 0 ≤ w i i_1
hw₁ : ∀ (i : ι), ∑ i_1 : κ i, w i i_1 = 1
hft : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f i i_1 ∈ t i
hf : ∀ (i : ι), ∑ i_1 : κ i, w i i_1 • f i i_1 = x i
i : ι
⊢ (∑ i : (i : ι) → κ i, (fun k => ∏ i : ι, w i (k i)) i • (fun g i => f i (g i)) i) i = x i
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
f g : End K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
p : K[X]
⊢ ((aeval f).toRingHom p).IsSemisimple