ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
⊢ IsLUB (l '' {a₁, a₂}) (l a₁ ⊔ l a₂)
K✝ : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝³ : DivisionRing K✝
inst✝² : DivisionRing L
inst✝¹ : DivisionRing M
s✝¹ : Set K✝
K : Type u
inst✝ : Field K
s✝ : Subfield K
s : Set K
x : K
⊢ x ∈ Subfield.commClosure s ↔ ∃ y ∈ Subring.closure s, ∃ z ∈ Subring.closure s, y / z = x
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
hsg : t = TopologicalSpace.generateFrom s
hsi : FiniteInter s
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.Square.flipEquivalence.counitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.Square.flipFunctor.comp CategoryTheory.Square.flipFunctor)
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
huv : u ~[l] v
hwv : w =o[l] v
⊢ u + w ~[l] v
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
n : Type u_8
inst✝ : Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : EuclideanSpace ℝ n
this : 0 ≤ ∑ i : n, x i ^ 2
⊢ x ∈ Metric.sphere 0 r ↔ x ∈ {x | ∑ i : n, x i ^ 2 = r ^ 2}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_7
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → α
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : (s.inf fun i => (t i).sup (f i)) = (s.pi t).sup fun g => s.attach.inf fun i => f (↑i) (g ↑i ⋯)
c : α
h : ∀ (b : (a : ι) → a ∈ insert i s → κ a), (∀ (a : ι) (h : a ∈ insert i s), b a h ∈ t a) → f i (b i ⋯) ⊓ s.attach.inf ((fun i_1 => f (↑i_1) (b ↑i_1 ⋯)) ∘ fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ≤ c
a : κ i
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
ha : a ∈ t i
hg : ∀ (a : ι) (h : a ∈ s), g a h ∈ t a
aux : ∀ (j : { x // x ∈ s }), ↑j ≠ i
j : ι
hj✝ : j ∈ insert i s
hj : j = i ∨ j ∈ s
⊢ (fun j hj => if hji : j = i then cast ⋯ a else g j ⋯) j hj✝ ∈ t j
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s t : Set E
h : 𝓝[s] x = 𝓝[t] x
⊢ tangentConeAt 𝕜 s x = tangentConeAt 𝕜 t x
α : Type u_1
Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, c ≤ b → b ∈ t
⊢ lowerClosure t ⊔ s.sdiff t = s
E : Type u_4
Group E
⊢ ⇑0 = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_7
s : Set α
T : Set (Set β)
f : α → β
h : ∀ t ∈ T, IsOpen (s ∩ f ⁻¹' t)
⊢ ContinuousOn f s
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Set α)
h : SeparatesPoints α
this : MeasurableSpace α := generateFrom S
x y : α
hxy : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (x ∈ s ↔ y ∈ s)
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
h : Function.Semiconj f fa fb
ha : Function.Surjective fa
⊢ Set.SurjOn fb (Set.range f) (Set.range f)
M : Type u_1
AddZeroClass M
s : Set M
S : AddSubmonoid M
⊢ AddSubmonoid.closure s ≤ S ↔ s ⊆ ↑S
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Pi.prod Prod.snd Prod.fst = Prod.swap
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Equiv M N
a : M
⊢ f.symm (f a) = a
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c
⊢ span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ (span {XClass W x₁} ⊔ (span {XClass W x₂} ⊔ span {(mk W) (Y - W.negPolynomial)})) * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))}) = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
H : ∀ b < a, ∃ i, f i = b
⊢ a ≤ mex f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := B.toSeminormFamily
⊢ (Filter.comap (fun x y => (B x) y) (Filter.pi fun i => 𝓝 ((B 0) i))).HasBasis B.toSeminormFamily.basisSets _root_.id
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
f : R[X]
⊢ (expand R p) f = map (↑(frobeniusEquiv R p).symm) f ^ p
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f✝ f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
n : ℕ
x : β
this : Nonempty ↑s
⊢ Nat.casesOn 0 y₀ (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s) ∈ s
⊢ Nat.divisorsAntidiagonal 1 = {(1, 1)}
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ u : Rˣ
P : Fin 3 → R
h✝ : W.Nonsingular (u • P)
h : W.Equation (u • P)
h' : W.a₁ * P 1 * P 2 = 3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2 ∧ P 1 * P 2 = -P 1 * P 2 - W.a₁ * P 0 * P 2 - W.a₃ * P 2 ^ 2 ∧ P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 = W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2
⊢ W.a₁ * (u • P) 1 * (u • P) 2 = 3 * (u • P) 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * (u • P) 0 * (u • P) 2 + W.a₄ * (u • P) 2 ^ 2 ∧ (u • P) 1 * (u • P) 2 = -(u • P) 1 * (u • P) 2 - W.a₁ * (u • P) 0 * (u • P) 2 - W.a₃ * (u • P) 2 ^ 2 ∧ (u • P) 1 ^ 2 + W.a₁ * (u • P) 0 * (u • P) 1 + 2 * W.a₃ * (u • P) 1 * (u • P) 2 = W.a₂ * (u • P) 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * (u • P) 0 * (u • P) 2 + 3 * W.a₆ * (u • P) 2 ^ 2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U V : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection U
HasOrthogonalProjection V
h : U ≤ V
x : E
⊢ (orthogonalProjection U) ↑((orthogonalProjection V) x) = (orthogonalProjection U) x
s n : Nat
⊢ range' s n = range' (s + 0) n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
⊢ l ≤ l' ↔ ∀ (i' : ι'), p' i' → ∃ i, p i ∧ s i ⊆ s' i'
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb✝ : limsup v f ≤ b
hb : limsup v f = b
⊢ limsup (u + v) f ≤ a + b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u''
CategoryTheory.Category.{v'', u''} D
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks D
CategoryTheory.Adhesive C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
CategoryTheory.Limits.HasPushouts C
H₂ : ∀ {X Y S : D} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : CategoryTheory.Mono f], CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
Gl : CategoryTheory.Functor C D
Gr : CategoryTheory.Functor D C
adj : Gl ⊣ Gr
Gr.Full
Gr.Faithful
CategoryTheory.Limits.PreservesLimitsOfShape CategoryTheory.Limits.WalkingCospan Gl
⊢ CategoryTheory.Adhesive D
p q : NNReal
h : p.IsConjExponent q
⊢ p.conjExponent = q
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
TopologicalSpace N'
ChartedSpace H'' N'
V : Type u_10
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
r : 𝕜
g : C^⊤⟮I'', N'; 𝓘(𝕜, V), V⟯
h : C^⊤⟮I, N; I'', N'⟯
⊢ (r • g).comp h = r • g.comp h
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
inst✝ : Nontrivial A
r : R
hp : p 0
⊢ (fun x => r) '' spectrum R 0 = {r}
n : Type u_4
α : Type u_5
ι : Type u_7
Fintype n
Unique ι
SeminormedAddCommGroup α
v : n → α
⊢ ‖Matrix.col ι v‖ = ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v‖
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
CommSemiring R
S : Type u_9
Ring S
Algebra R S
Fintype ι
b : Basis ι R S
v : ι' → S
⊢ ⇑b ᵥ* (b.toMatrix v).map ⇑(algebraMap R S) = v
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hsc : SupClosed s
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : sSup s = t.sup id
⊢ sSup s ∈ s
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
hf : (mulSupport (f ∘ PLift.down)).Finite
s : Finset (PLift α)
hs : hf.toFinset ⊆ s
⊢ ∏ i ∈ ?hc.toFinset, f i.down = ∏ i ∈ s, f i.down
α : Type u
LinearOrder α
DenselyOrdered α
Monoid α
ExistsMulOfLE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : ∀ (ε : α), 1 < ε → a < b * ε
⊢ a ≤ b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁷ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁵ : S₁.HasHomology
inst✝⁴ : S₂.HasHomology
inst✝³ : (S₁.map F).HasHomology
inst✝² : (S₂.map F).HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂
⊢ leftHomologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (S₁.map F).homologyData.left (S₂.map F).homologyData.left ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).homologyData.left (S₂.map F).leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).leftHomologyData (S₂.homologyData.left.map F) = (leftHomologyMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).homologyData.left (S₁.map F).leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).leftHomologyData (S₁.homologyData.left.map F)) ≫ F.map (leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left)
α : Type u_1
R R' : Set α
M : Matroid α
h : R ⊂ R'
⊢ (M.restrict R).StrictRestriction (M.restrict R')
α : Type u_1
OrderedRing α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
⊢ Finset.box 0 = {0}
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.1400, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ (cokernel.π f).op ≫ f.op = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 y t
⊢ StarConvex 𝕜 (x + y) ((fun x => x.1 + x.2) '' s ×ˢ t)
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Semiring R
MulSemiringAction M R
a : M
S : Subsemiring R
⊢ a • S = Subsemiring.map (MulSemiringAction.toRingHom M R a) S
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
x : R
n : ℤ
⊢ (algebraMap R A) (Polynomial.eval x (Polynomial.Chebyshev.T R n)) =
  Polynomial.eval ((algebraMap R A) x) (Polynomial.Chebyshev.T A n)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
ι : Type u_1
Y : ι → C
f : (i : ι) → Y i ⟶ X
Z : C
g : Z ⟶ X
hg : CategoryTheory.Presieve.ofArrows Y f g
⊢ ∃ i, ∃ (h : Y i = Z), g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯) (f i)
o : Ordinal.{u}
i : (SetTheory.PGame.nim o).LeftMoves
⊢ (SetTheory.PGame.nim o).moveLeft i = SetTheory.PGame.nim ↑(SetTheory.PGame.toLeftMovesNim.symm i)
γ : Type u
⊢ Function.LeftInverse (WType.ofList γ) (WType.toList γ)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ M
hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0
n : ℕ
x : σ
⊢ n = 0 ∨ w x = 0 → n = 0
x y a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ Gamma y ^ (1 - a) ≠ 0
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p : Submodule R E
f : { f // ∀ (x : ↥p), f ↑x = x }
⊢ ↑(p.isIdempotentElemEquiv.symm f) = p.subtype ∘ₗ ↑f
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
S : AddSubgroup G
hS : Filter.Tendsto (⇑S.subtype) Filter.cofinite (Filter.cocompact G)
⊢ ProperlyDiscontinuousVAdd (↥S) G
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hf_lt : ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ < ⊤
hmem : ∀ᶠ (y : ℝ≥0∞) in 𝓝 (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ), ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ < y + ↑ε
⊢ ∀ᶠ (x : Finset ι) in atTop, ∫ (a : α), f a ∂∑ i ∈ x, μ i ∈ Metric.ball (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum μ) ↑ε
α : Type u_1
v : α
⊢ Array.singleton v = #[v]
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
l.NeBot
Filter.TendstoIxxClass Set.Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Filter.Tendsto (fun x => ‖f x‖) l Filter.atTop
hfg : deriv f =O[l] g
⊢ ¬MeasureTheory.IntegrableOn g k MeasureTheory.volume
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderClosedTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
ι : Sort u_4
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iInf g)
Af : Antitone f
bdd : autoParam (BddBelow (range g)) _auto✝
⊢ sSup (range (f ∘ g)) = sSup (range fun i => f (g i))
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
⊢ a ⊓ sSup s ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι✝
v✝ : Set E
A : ι✝ → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
v : ι → E
s : Set ι
hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)
hsv : Injective (s.restrict v)
hX✝ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
Y : Finset E
b₀ : OrthonormalBasis { x // x ∈ Y } 𝕜 E
hX : range (s.restrict v) ⊆ ↑Y
hb₀ : ⇑b₀ = Subtype.val
hιY : Fintype.card ι = Y.card
hvsY : MapsTo v s ↑Y
hsv' : InjOn v s
g : ι ≃ { x // x ∈ Y }
hg : ∀ i ∈ s, ↑(g i) = v i
⊢ ∃ b, ∀ i ∈ s, b i = v i
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
f : ↑(Set.Icc a b) → β
hx : b ≤ x
⊢ Set.IccExtend h f x = f ⟨b, ⋯⟩
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation K Γ₀
x y : K
γ : Γ₀ˣ
y_ne : y ≠ 0
h : v (x - y) < min (↑γ * (v y * v y)) (v y)
hyp1 : v (x - y) < ↑γ * (v y * v y)
⊢ v (x⁻¹ - y⁻¹) < ↑γ
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
l : A₁ ≃ₗ[R] A₂
map_one : l 1 = 1
map_mul : ∀ (x y : A₁), l (x * y) = l x * l y
⊢ (AlgEquiv.ofLinearEquiv l map_one map_mul).toLinearEquiv = l
R : Type u
CommRing R
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
P A : Matrix n n R
h : Invertible P
⊢ (P.lieConj h) A = P * A * P⁻¹
r : ℝ
h : |r| < 1
⊢ HasSum (fun n => r ^ n) (1 - r)⁻¹
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R
⊢ (zeroLocus {f})ᶜ = ↑⊥ ↔ IsNilpotent f
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
r : R
⊢ (liftAlternating f) ((algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) r) = r • (f 0) 0
G : Type u_1
P : Type u_2
AddCommGroup G
AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ p₃ -ᵥ p₂ - (p₃ -ᵥ p₁) = p₁ -ᵥ p₂
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivAt h₂ h₂' y
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hy : y = h x
⊢ HasDerivWithinAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') s x
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty J
⊢ Equivalence (CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.Rel F)
n : ℕ
⊢ (∃ x y, n = x ^ 2 + y ^ 2) ↔ ∀ {q : ℕ}, Prime q → q % 4 = 3 → Even (padicValNat q n)
α : Type u_1
β : Type u_2
Semiring α
AddCommGroup β
Module α β
NoZeroSMulDivisors α β
Preorder α
PartialOrder β
PosSMulMono α β
⊢ PosSMulStrictMono α β
G : Type u_3
P : Type u_4
LE G
LE P
VAdd G P
self : IsOrderedVAdd G P
a b : P
⊢ a ≤ b → ∀ (c : G), c +ᵥ a ≤ c +ᵥ b
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
⊢ normalClosure F (↥K) L = ⨆ f, map f K
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
⊢ Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
⊢ (PEquiv.refl α).trans f = f
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s : Set Ω
hcs : μ s ≠ 0
hs : μ s ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (ProbabilityTheory.cond μ s)
α : Type u_1
l₂ : List (Lists α)
head✝ : Lists α
tail✝ : List (Lists α)
l₁_ih : tail✝ ⊆ l₂ → ofList tail✝ ⊆ ofList l₂
h : head✝ ∈ l₂ ∧ tail✝ ⊆ l₂
⊢ head✝ ∈ (ofList l₂).toList
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
⊢ memberSubfamily a (image (fun x => x.erase a) 𝒜) = ∅
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b : β
hf : Function.Injective2 f
⊢ f a b ∈ Finset.image₂ f s t ↔ a ∈ s ∧ b ∈ t
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ι a b))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hba : b ≤ a
⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ↔ a < b ∧ 0 < μ (support f ∩ Ioc a b)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
b : Set M
h : LinearIndependent R fun (x : ↑b) => ↑x
⊢ b.Finite
R : Type u_1
M : Type u_3
a b : R
CommSemigroup R
SMul R M
IsScalarTower R R M
⊢ IsSMulRegular M (a * b) ↔ IsSMulRegular M a ∧ IsSMulRegular M b
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
N : Submodule R M
⊢ IsArtinian R M → IsArtinian R ↥N
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
ρ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
x₀ : M
i : ι
⊢ i ∈ ρ.fintsupport x₀ ↔ x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
Countable ι
f : ι → δ → α
g g' : δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
hg : ∀ b ∈ s, IsGLB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
hg' : Set.EqOn g g' sᶜ
g'_meas : Measurable g'
⊢ Measurable g
α : Type u_2
MeasureTheory.MeasureSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasureTheory.Measure.map Subtype.val MeasureTheory.volume = MeasureTheory.volume.restrict s
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
hnodup : ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
⊢ discr K ⇑pb.basis = (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) * (norm K) ((aeval pb.gen) (derivative (minpoly K pb.gen)))
J : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} K
h : ∀ (j₁ j₂ : J), ∃ l, List.Chain Zag j₁ l ∧ (j₁ :: l).getLast ⋯ = j₂
⊢ IsPreconnected J
n : ℕ
h : 0 < n + 1
⊢ ⟨0, h⟩.cycleRange = 1
K : Type u_1
Field K
f : NumberField.InfinitePlace K → NNReal
w₀ : { w // w.IsComplex }
NumberField K
⊢ MeasureTheory.volume (NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLT' K f w₀) =
  ↑(NumberField.mixedEmbedding.convexBodyLT'Factor K) * ↑(∏ w : NumberField.InfinitePlace K, f w ^ w.mult)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
s : ι → Set α
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0
hsν : ∀ (i : ι), ν (s i)ᶜ = 0
⊢ ν (⋂ i, s i)ᶜ = 0
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulBitraversable t
LawfulApplicative F
LawfulApplicative G
α₀ α₁ β₀ β₁ : Type u
f : α₀ → F α₁
f' : β₀ → G β₁
x : t α₀ β₀
⊢ Functor.Comp.mk (Bitraversable.tfst f <$> Bitraversable.tsnd f' x) =
  bitraverse (Functor.Comp.mk ∘ pure ∘ f) (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map pure ∘ f') x
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
R : ℝ≥0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ¬Filter.Tendsto (fun n => f n ω) Filter.atTop Filter.atBot
a b : Int
H : a ≤ b
⊢ a - 1 < b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : MeasureTheory.Measure E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
μ.IsOpenPosMeasure
⊢ 0 < ∫ (x : E), ↑f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MulZeroOneClass A
inst✝¹ : FunLike F ℕ A
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F ℕ A
f g : F
h_pos : ∀ {n : ℕ}, 0 < n → f n = g n
⊢ f = g
α : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderBot α
CompactIccSpace α
⊢ Filter.cocompact α ≤ Filter.atTop
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
A : C
⊢ ∀ (a : CategoryTheory.Over A) {X Y : CategoryTheory.Over A} (k : X ⟶ Y),
  a.coprodObj.map k = CategoryTheory.Over.homMk (CategoryTheory.Limits.coprod.map (𝟙 ((𝟭 C).obj a.left)) k.left) ⋯
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
TopologicalSpace P₁
⊢ ↑(ContinuousAffineEquiv.refl k P₁) = AffineEquiv.refl k P₁