ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle (-x) y = o.oangle x (-y)
α : Type u
a : α
s t : Set α
⊢ s ∪ insert a t = insert a (s ∪ t)
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
hs : IsAddSubgroup s
⊢ AddGroup.closure s = s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁹ : StrictConvexSpace ℝ V
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝³ : MetricSpace PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor E PE
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
r : ℝ
f : PF → PE
x y z : PE
hxy : dist x y = r * dist x z
hyz : dist y z = (1 - r) * dist x z
⊢ y = (AffineMap.lineMap x z) r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Abelian.Ext.mk₀ f).comp (CategoryTheory.Abelian.Ext.mk₀ g) ⋯ =
  CategoryTheory.Abelian.Ext.mk₀ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)
ι : Type u_11
σ : ι → Type u_12
s : Set (Sigma σ)
⊢ ⋃ i, Sigma.mk i '' (Sigma.mk i ⁻¹' s) = s
α : Type u_1
DecidableEq α
f : Π₀ (x : α), ℕ
⊢ Multiset.toDFinsupp (DFinsupp.toMultiset f) = f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ s x
⊢ fderivWithin ℝ (fun x => Real.exp (f x)) s x = Real.exp (f x) • fderivWithin ℝ f s x
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
TopologicalSemiring A
ContinuousStar A
s : StarSubalgebra R A
⊢ s ≤ s.topologicalClosure
n : ℕ
⊢ 0 < Nat.fib n ↔ 0 < n
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : C
⊢ (e.functor.mapIso (e.unitIso.app X) ≪≫ e.counitIso.app (e.functor.obj X)).hom = (Iso.refl (e.functor.obj ((𝟭 C).obj X))).hom
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝¹ : TopologicalSpace ι
inst✝ : T2Space α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_clemb : ClosedEmbedding (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
s : Set ι
s_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn (F ∘ Subtype.val) K
s_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ i ∈ s, F i x ∈ Q
⊢ CompactSpace ↑(closure s)
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
g : ι → β
a : α
s : Set ι
⊢ MonovaryOn (Function.const ι a) g s
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
⊢ ⇑AffineMap.snd = Prod.snd
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
⊢ ∃ c < π / (π / 2 - 0), ∃ B, (f ∘ cexp) =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α
⊢ -a + 0 = -a + -a + a
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
a : M
⊢ IsUnit a ↔ ∃ b, b * a = 1
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
⊢ Ideal.comap f K.jacobson = (Ideal.comap f K).jacobson
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
x : R⟦X⟧
n : ℕ
⊢ (coeff R n) ((rescale 0) x) = (coeff R n) (((C R).comp (constantCoeff R)) x)
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
⊢ cs.wordProd (take j ω) * (Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * (cs.wordProd (take j ω))⁻¹ * cs.wordProd (take j ω ++ ω[j]?.toList ++ drop (j + 1) ω) = cs.wordProd (take j ω ++ drop (j + 1) ω)
a b : ℚ
⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
⊢ tris.card ≤ G.edgeFinset.card - H.edgeFinset.card
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A T : C
hT : IsTerminal T
inst✝ : Mono (hT.from A)
Z : C
f g : Z ⟶ A
⊢ f = g
α : Type u_1
LinearOrder α
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f^[n] x = g^[n] x ↔ f x = g x
q : ℍ
⊢ NormedSpace.exp ℝ q = NormedSpace.exp ℝ q.re • (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im)
ctx : Nat.Linear.Context
c : Nat.Linear.ExprCnstr
h : c.toNormPoly.isUnsat = true
⊢ Nat.Linear.ExprCnstr.denote ctx c = False
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R
⊢ Y - (-(C (C L) * (C (C (W.addX x₁ x₂ L)) - C (C x₁)) + C (C y₁)) - C (C W.a₁) * C (C (W.addX x₁ x₂ L)) - C (C W.a₃)) + (C X - C (C (W.addX x₁ x₂ L))) * (C (C W.a₁) + C (C L)) = C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃) + (C (C L) * (C X - C (C x₁)) + C (C y₁)) + Y
F : Type u_1
CommSemiring F
q : ℕ
f : Polynomial F
hf : Polynomial.HasSeparableContraction q f
⊢ hf.degree ∣ f.natDegree
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
e : V ≃ₗᵢ[𝕜] V₂
⊢ e.toAffineIsometryEquiv.toAffineIsometry = e.toLinearIsometry.toAffineIsometry
α : Type u
s t : Set α
⊢ ¬Disjoint s t ↔ (s ∩ t).Nonempty
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h✝ : x ∈ l
y : α
h : x ∈ y :: l
hy : x ≠ y
hx : x = (y :: l).getLast ⋯
hl : l.Nodup
⊢ (y :: l).next x h = y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C → D
CategoryTheory.Functorial F
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.map F (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.map F f) (CategoryTheory.map F g)
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
hs : MeasurableSet s
t : Set G
ht : MeasurableSet t
h1 : ν' s * ∫⁻ (y : G), t.indicator (fun x => 1) y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s) ∂ν' = ν' t
h2 : μ' s * ∫⁻ (y : G), t.indicator (fun x => 1) y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s) ∂ν' = μ' t
⊢ μ' s * ν' t = ν' s * μ' t
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ η.app x✝ ≫ Multiequalizer.lift (⊤.index Q) (Q.obj (op (unop x✝))) (fun I => Q.map I.f.op) ⋯ = Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op (unop x✝))) (fun I => P.map I.f.op) ⋯ ≫ (J.diagramNatTrans η (unop x✝)).app (op ⊤)
R' : Type u
M : Type v
CommSemiring R'
AddCommMonoid M
Module R' M
Module R'ᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R' M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R' N
Module R'ᵐᵒᵖ N
IsCentralScalar R' N
f : M →ₗ[R'] N
⊢ (TrivSqZeroExt.map f).toLinearMap ∘ₗ TrivSqZeroExt.inrHom R' M = TrivSqZeroExt.inrHom R' N ∘ₗ f
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
inst✝ : Finite R
e : AddChar R R'
r x : R
h : x * r = 0
h' : ¬x = 0
⊢ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), ¬(e.mulShift r).mulShift x ≠ 1
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
⊢ a < o.bsup f ↔ ∃ i, ∃ (hi : i < o), a < f i hi
a b : ℝ
h : 0 ∉ [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.log x = b * Real.log b - a * Real.log a - b + a
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α
δ ε : ℝ
h : δ + ε ≤ dist x y
⊢ Disjoint (Metric.ball x δ) (Metric.ball y ε)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
⊢ LipschitzOnWith K f s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ᵣ D
α : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.RightExactFunctor.forget C D).map α = α
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x' y' : WeakDual 𝕜 E
⊢ WeakDual.toNormedDual x' = WeakDual.toNormedDual y' ↔ x' = y'
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖f.mkContinuous C h‖ ≤ max C 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = ↑k * ↑p
hk₀ : 0 < ↑k
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
x : M
⊢ x ∈ ↑(lieSpan R L s) ↔ ∀ (N : LieSubmodule R L M), s ⊆ ↑N → x ∈ N
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
s : Set α
⊢ f =O[𝓟 s] g ↔ ∃ c, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : optParam (Set M) Set.univ
self : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
x : M
⊢ x ∈ s → ∑ᶠ (i : ι), (self.toFun i) x = 1
α : Type u_2
LE α
⊢ ⇑(OrderIso.dualDual α) = ⇑OrderDual.toDual ∘ ⇑OrderDual.toDual
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
x y z : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x y ≤ hammingDist x z + hammingDist y z
α : Type u
f : Ultrafilter α
p : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in ↑f, p x) ∨ ∀ᶠ (x : α) in ↑f, ¬p x
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
δ : Type u_7
s : δ → Set α
this : DecidablePred fun x => x ∈ ⋃ i, s i
⊢ supported M R (⋃ i, s i) ≤ ⨆ i, supported M R (s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ↑s i < 0
hi₁ : MeasurableSet i
h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
hn : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
A : Set α := i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
hA : A = i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l
bdd : ℕ → ℕ := fun n => MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)
hn' : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₁ : ↑s i = ↑s A + ∑' (l : ℕ), ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)
h₂ : ↑s A ≤ ↑s i
h₃' : Summable fun n => 1 / (↑(bdd n) + 1)
⊢ ∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ restrict s j ≤ restrict 0 j ∧ ↑s j < 0
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝²⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝²³ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝²² : Category.{u_5, u_3} E
inst✝²¹ : HasShift C ℤ
inst✝²⁰ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁹ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹⁸ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹⁷ : G.CommShift ℤ
inst✝¹⁶ : HasZeroObject C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject D
inst✝¹⁴ : HasZeroObject E
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : Preadditive D
inst✝¹¹ : Preadditive E
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor E n).Additive
inst✝⁷ : Pretriangulated C
inst✝⁶ : Pretriangulated D
inst✝⁵ : Pretriangulated E
H : C ⥤ E
e : F ⋙ G ≅ H
inst✝⁴ : H.CommShift ℤ
inst✝³ : H.IsTriangulated
inst✝² : F.IsTriangulated
inst✝¹ : F.mapArrow.EssSurj
inst✝ : NatTrans.CommShift e.hom ℤ
⊢ G.IsTriangulated
A : Type uA
AddCommGroup A
a : A
⊢ (CharacterModule.intSpanEquivQuotAddOrderOf a) ⟨a, ⋯⟩ = Submodule.Quotient.mk 1
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
A : Set X
f : X → β
hf1 : Continuous f
hf2 : Function.Injective f
y : X
hy1 : AccPt y (𝓟 A)
⊢ f y ∈ derivedSet (f '' A) ↔ AccPt (f y) (map f (𝓟 A))
m k n : ℕ+
⊢ ↑m ∣ ↑k → (↑k).Coprime ↑n → (↑m).Coprime ↑n
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : R
hroot : f.IsRoot x
hmo : f.Monic
i : ℕ
hi : f.natDegree ≤ i
k : ℕ
hk : i = f.natDegree + k
⊢ x ^ f.natDegree ∈ 𝓟
K : Type u_1
Field K
NumberField K
N : ℕ
hK : |NumberField.discr K| ≤ ↑N
⊢ NumberField.mixedEmbedding.minkowskiBound K 1 < ↑(NumberField.hermiteTheorem.boundOfDiscBdd N)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
⊢ IsEmpty (⊤ ↪g turanGraph n r)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
e : L
he₀ : e ≠ 0
he : ∀ (x : ↥H), ⁅x, e⁆ = α x • e
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
⊢ (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α) ∈ corootSpace ⇑α
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
TopologicalSpace A
ContinuousAdd A
ContinuousStar A
ContinuousConstSMul R A
⊢ Continuous ⇑(selfAdjointPart R)
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : Fintype.card α ≤ l
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
h₁ : MonotoneOn f (Iic a)
h₂ : MonotoneOn f (Ici a)
⊢ MonotoneOn f (Iic a ∪ Ici a)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E ≃L[𝕜] E'
s : Set E
x : E
⊢ MDifferentiableWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') (⇑f) s x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
self : CategoryTheory.Congruence r
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g g' : Y ⟶ Z
⊢ r g g' → r (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g')
α : Type u_1
LinearOrder α
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f^[n] x ≤ g^[n] x ↔ f x ≤ g x
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : H) (y : H'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hn : 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
x : H := ↑I.symm 0
y : H' := ↑I'.symm 0
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
⊢ ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)) (↑I '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : BorelSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
⊢ MeasurableSpace.comap Prod.fst (borel α) ≤ borel (α × β)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
SeminormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
μ' : MeasureTheory.Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
⊢ MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ' T C
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid L
inst✝⁶ : TopologicalSpace L
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : TopologicalSpace N
v✝ v₁ v₂ : VectorMeasure α M
w w₁ w₂ : VectorMeasure α N
inst✝¹ : T2Space N
inst✝ : ContinuousAdd M
u : Set α
hmu : MeasurableSet u
hu₁ : ∀ t ⊆ u, ↑v₁ t = 0
hu₂ : ∀ t ⊆ uᶜ, ↑w t = 0
v : Set α
hmv : MeasurableSet v
hv₁ : ∀ t ⊆ v, ↑v₂ t = 0
hv₂ : ∀ t ⊆ vᶜ, ↑w t = 0
t : Set α
ht : t ⊆ (u ∩ v)ᶜ
hmt : MeasurableSet t
⊢ ↑w t = 0
α : Type u
β : Type v
l : Filter α
f g : α → β
h : f =ᶠ[l] g
p : α → β → Prop
hf : ∀ᶠ (x : α) in l, p x (f x)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, p x (g x)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
R : Type u_3
M : Type u_5
TopologicalSpace M
SMul R M
ContinuousConstSMul R M
r : R
f : C(β, M)
g : C(α, β)
⊢ (r • f).comp g = r • f.comp g
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ measurableCylinders α
ht : t ∈ measurableCylinders α
⊢ s ∩ t ∈ measurableCylinders α
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ Function.Injective ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a✝ : α
d : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ d n
hd : Summable d
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n m : ℕ
hnm : m ≥ n
⊢ Summable fun k => d (n + k)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : IsNormal f
a o : Ordinal.{u}
ha : a.IsLimit
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hg : a.IsFundamentalSequence o g
⊢ o ≤ (f a).cof.ord
α : Sort u_1
p : α → Prop
⊢ IsEmpty (Subtype p) ↔ ∀ (x : α), ¬p x
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
u v : E
c : ℝ
hc : c ≠ 0
li : E →ₗᵢ[ℝ] F
⊢ angle ((c • li.toContinuousLinearMap) u) ((c • li.toContinuousLinearMap) v) = angle u v
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
⊢ Finset.map f ∅ = ∅
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ e.trans e.symm ≈ PartialHomeomorph.ofSet e.source ⋯
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)
H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1
δ'0 : 0 < δ'
C : ℝ≥0 := max π₀.distortion π₀.compl.distortion
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
hπip : ∀ J ∈ π₀, (πi J).IsPartition
hπiδ' : ∀ J ∈ π₀, dist (integralSum f vol (πi J)) (integral J l f vol) ≤ δ'
hπiC : ∀ J ∈ π₀, l.MemBaseSet J C (h.convergenceR δ' C) (πi J)
this : l.MemBaseSet I C (h.convergenceR δ' C) (π₀.biUnionTagged πi)
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : Set (Set α)
⊢ (∀ {i : Set (Set α)}, i.Finite ∧ i ⊆ s → (⋂₀ i).Nonempty) ↔ ∀ t ⊆ s, t.Finite → (⋂₀ t).Nonempty
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
v : Associates (Ideal R)
J : Ideal R
hv : Irreducible J
hJv : Associates.mk J = v
⊢ (Associates.mk J).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk J).count (Associates.mk I).factors
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
E F : IntermediateField K L
hEF : E ≤ F
e : ↥E
⊢ ↑((IntermediateField.inclusion hEF) e) = ↑e
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ : X ≃ₜ Y
e'✝ : Y ≃ₜ Z
e : X ≃ₜ Y
e' : Y ≃ₜ Z
f'' : PartialHomeomorph Z Z'
⊢ (e.trans e').transPartialHomeomorph f'' = e.transPartialHomeomorph (e'.transPartialHomeomorph f'')
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
x : α
a✝ : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)
hx : x ∉ Quot.mk Setoid.r a✝
⊢ (formPerm (Quot.mk Setoid.r a✝) h) x = x
𝕜 : Type u_1
NormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
x : E
r : ℝ≥0
hc : 1 < ‖c‖
h₀ : r ≠ 0 ∨ x ≠ 0
⊢ egauge 𝕜 (Metric.ball 0 ↑r) x ≤ ↑‖c‖₊ * ↑‖x‖₊ / ↑r
α : Type u
Ring α
a b : α
u : αˣ
⊢ a /ₚ u + b /ₚ u = (a + b) /ₚ u
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P R
t : x.Compatible
⊢ CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.restrict ⋯ x.sieveExtend = x
R : Type u_5
CommRing R
StrongRankCondition R
m n : ℕ
A : Matrix (Fin m) (Fin n) R
⊢ A.rank ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝ : LT α
hM : M.BlockTriangular b
hN : N.BlockTriangular b
i j : m
h : b j < b i
⊢ (M + N) i j = 0