ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
s1 s2 : Set (Set Ω)
μ : Measure Ω
⊢ IndepSets s1 s2 μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ s1 → t2 ∈ s2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
r : A
s : ↥(nonZeroDivisors A)
⊢ Localization.mk r s = (algebraMap A (FractionRing A)) r / (algebraMap A (FractionRing A)) ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x : ℝ≥0∞
⊢ (min t x).toReal ≤ t.toReal
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ StrictConvex 𝕜 s ↔ s.OrdConnected
α : Type u
l : List α
⊢ l.sublists' = List.map List.reverse l.reverse.sublists
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
α : Type u
f : CategoryTheory.Limits.Types.Quot F → α
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
x : CategoryTheory.Limits.Types.Quot F
⊢ hc.desc (CategoryTheory.Limits.Types.toCocone f) (CategoryTheory.Limits.Types.Quot.desc c x) = f x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f g : ι → ℝ≥0∞
h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k
h✝ : Nonempty ι
⊢ iSup f + iSup g = ⨆ a, f a + g a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
⊢ ∀ (i : ↑s), IsClosed ↑{↑i}.innerDualCone
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hb : b < 0
h : 1 < a
⊢ a * b < b
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁸ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁴ : G.IsContinuous J K
inst✝³ : HasWeakSheafify J A
inst✝² : HasWeakSheafify K A
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Dᵒᵖ ⥤ A
adj₁ : (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op ⊣ G.op.ran := G.op.ranAdjunction A
adj₂ : presheafToSheaf J A ⊣ sheafToPresheaf J A := sheafificationAdjunction J A
adj₃ : presheafToSheaf K A ⊣ sheafToPresheaf K A := sheafificationAdjunction K A
adj₄ : G.sheafPushforwardContinuous A J K ⊣ G.sheafPushforwardCocontinuous A J K := G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K
⊢ (adj₁.homEquiv F ((sheafToPresheaf J A).obj ((presheafToSheaf K A ⋙ G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F))) (adj₂.unit.app (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F) ≫ (sheafToPresheaf J A).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F)) = (adj₁.homEquiv F ((sheafToPresheaf J A).obj ((presheafToSheaf K A ⋙ G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F))) (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F))
a : ℕ
b₁ b₂ : ℕ
h : b₁ < b₂
⊢ Nat.pair a b₁ < Nat.pair a b₂
Ω : Type u_1
f : ℕ → Ω → ℝ
π : Ω → ℕ
r : ℝ
n : ℕ
hπn : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ n
⊢ MeasureTheory.stoppedValue (fun i => MeasureTheory.stoppedValue f (MeasureTheory.leastGE f r i)) π =
  MeasureTheory.stoppedValue (MeasureTheory.stoppedProcess f (MeasureTheory.leastGE f r n)) π
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
⊢ (HomologicalComplex₂.flipEquivalence C c₁ c₂).counitIso = HomologicalComplex₂.flipEquivalenceCounitIso C c₁ c₂
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.L₁'.X₂ = S.L₀.X₃
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
i j : K
F : J ⥤ K ⥤ C
f : i ⟶ j
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitObjIsoLimitCompEvaluation F i).inv ≫ (CategoryTheory.Limits.limit F).map f =
  CategoryTheory.Limits.limMap (CategoryTheory.whiskerLeft F ((CategoryTheory.evaluation K C).map f)) ≫
    (CategoryTheory.Limits.limitObjIsoLimitCompEvaluation F j).inv
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
h : b + a = c
⊢ a = -b + c
⊢ ∀ {α : Sort u_1} {cmp : α → α → Ordering} {x y : α} [inst : Batteries.OrientedCmp cmp],
  cmp x y = Ordering.eq ↔ cmp y x = Ordering.eq
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
hi₀ : i₀ ∈ t
⊢ ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x y : α
⊢ (f.cycleOf x)⁻¹ y = (f⁻¹.cycleOf x) y
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d < ↑d
⊢ μH[↑d] s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
inst✝ : IsSymm α r
⊢ maximals r s = minimals r s
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
r : ↥R⁰
⊢ ∃ j, a • Submodule.span (R_hat R K) {↑↑j} ≤ Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r}
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.109587
inst✝ : MulAction R X
r₁ r₂ : R
s t : ↥S
⊢ r₁ * ↑s /ₒ t * (r₂ /ₒ s) = r₁ * r₂ /ₒ t
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hn : n ∈ p.smoothNumbers
⊢ p.Coprime n
α : Type u_2
SemilatticeInf α
a : α
⊢ ¬InfPrime a ↔ IsMax a ∨ ∃ b c, b ⊓ c ≤ a ∧ ¬b ≤ a ∧ ¬c ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrder α
DenselyOrdered α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Set.Ioo a b)
ha : Filter.Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)
⊢ ContinuousOn (extendFrom (Set.Ioo a b) f) (Set.Ico a b)
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Submodule R M
S.IsPrincipal
⊢ ∃ a, S = Submodule.span R {a}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit F (CategoryTheory.forget C)
D : CategoryTheory.Limits.Cocone F
hD : CategoryTheory.Limits.IsColimit D
x : (CategoryTheory.forget C).obj D.pt
⊢ ∃ j y, (D.ι.app j) y = x
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
r : N → N → Prop
CovariantClass M N μ r
IsTrans N r
m : M
a b c : N
ab : r a b
rr : r c (μ m a)
⊢ r c (μ m b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : CommMon_ C
⊢ ((CommMon_.EquivLaxBraidedFunctorPUnit.counitIso C).hom.app X).hom = 𝟙 X.X
C : Type u₁
𝒞 : CategoryTheory.EnrichedCategory (Type v) C
D : Type u₂
𝒟 : CategoryTheory.EnrichedCategory (Type v) D
F : CategoryTheory.EnrichedFunctor (Type v) C D
X : C
⊢ (CategoryTheory.enrichedFunctorTypeEquivFunctor F).obj X = F.obj X
α : Type u_3
Preorder α
𝕆 : Type u_5
Preorder 𝕆
GradeOrder 𝕆 α
WellFoundedLT 𝕆
⊢ WellFoundedLT α
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
AddMonoid β
ContinuousAdd β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (n • f)
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
p : G.Walk v v
hp : p.IsCycle
⊢ ¬p.Nil
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
H : ¬μ {x | x ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} = 0
⊢ False
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
⊢ a * ↑u = 1 ↔ a = ↑u⁻¹
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'
hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
hJss : J ⊆ E₀
heI₀ : e ∉ I₀
heI₀i : Indep (insert e I₀)
⊢ False
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X
hS : J₁.IsClosed S
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : J₁.Covers (Sieve.pullback f S) g
⊢ J₁.Covers S (g ≫ f)
a : Ordinal.{u_1}
⊢ a ^ 0 = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F G : CategoryTheory.Functor C D
H : CategoryTheory.Functor E C
hmap : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), HEq (F.map f) (G.map f)
X Y : E
f : X ⟶ Y
⊢ HEq ((H.comp F).map f) ((H.comp G).map f)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
inst✝¹¹ : Category.{u_9, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_3} D
inst✝⁸ : Preadditive C₁
inst✝⁷ : Preadditive C₂
inst✝⁶ : Preadditive D
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
f₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁
h₁ : Homotopy f₁ f₁'
K₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
f₂ : K₂ ⟶ L₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
inst✝⁵ : F.Additive
inst✝⁴ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive
c : ComplexShape J
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝¹ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F c
inst✝ : L₁.HasMapBifunctor L₂ F c
i₁ i₁' : I₁
hi₁ : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ i₂' : I₂
hi₂ : c₂.Rel i₂ i₂'
j : J
hj : c₁.π c₂ c (i₁', i₂) = j
⊢ c₁.ε₁ c₂ c (i₁, i₂) • (F.map (h₁.hom i₁' i₁)).app (K₂.X i₂) ≫ (F.obj (L₁.X i₁)).map (f₂.f i₂) ≫ (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj L₁).obj L₂).d₂ c i₁ i₂ j = -(((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).d₂ c i₁' i₂ (c.next j) ≫ hom₁ h₁ f₂ F c (c.next j) j
G : Type u_2
S : Type u_4
AddGroup G
SetLike S G
AddSubgroupClass S G
s : S
a : G
ha : a ∈ s
⊢ a +ᵥ ↑s = ↑s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f g : CategoryTheory.Aut X
⊢ α.conjAut (f * g) = α.conjAut f * α.conjAut g
α : Type u_1
s : Cycle α
⊢ s.Subsingleton ↔ s.length ≤ 1
R : Type u_1
R' : Type u_2
CommRing R
CommRing R'
Fintype Rˣ
a : Rˣ
χ : MulChar R R'
⊢ (MulChar.equivToUnitHom χ) a ∈ rootsOfUnity ⟨Fintype.card Rˣ, ⋯⟩ R'
p : ℂ
⊢ (Summable fun x => ‖1 / ↑(x + 1) ^ p‖) ↔ Summable fun n => 1 / ↑(n + 1) ^ p.re
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
⊢ Module.Finite R A ↔ Algebra.IsIntegral R A ∧ Algebra.FiniteType R A
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
⊢ f.toFun = ⇑f
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
DecidableEq α
s t : Multiset α
h : t ≤ s
⊢ Multiset.countP p (s - t) = Multiset.countP p s - Multiset.countP p t
ι : Type u
γ : Type w
DecidableEq ι
p : ι → Prop
DecidablePred p
AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
x : γ
⊢ x ∈ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i ↔ ∃ f, (DFinsupp.sumAddHom fun i => (S i).subtype) (DFinsupp.filter p f) = x
α : Type u_2
DecidableEq α
Finite α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ σ ∈ S, σ.IsSwap
MulAction.IsPretransitive (↥(Subgroup.closure S)) α
⊢ Subgroup.closure S = ⊤
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝ : DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ s : Finset α
⊢ s ∈ 𝒜 # k ∪ ∂ (falling (k + 1) 𝒜) ↔ s ∈ falling k 𝒜
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
Field F
Field E
Field K
Algebra F E
Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Polynomial.Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
⊢ Nonempty (↥(IntermediateField.adjoin F S) →ₐ[F] K)
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
G : Type u_6
Pow G M
f : α → G
n : M
⊢ ↑(f ^ n) = ↑f ^ n
V : Type u
G : SimpleGraph V
⊢ G.deleteEdges Set.univ = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type w
Semiring R
CategoryTheory.Linear R C
X Y : C
Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Linear.leftComp R Z f) g = f ≫ g
α : Type u
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ {a, b} ⊆ s
⊢ ⋂ n, Set.Ici ↑n = {⊤}
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≤ b
⊢ insert b (Ico a b) = Icc a b
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
this✝ : l.NeBot
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℚ
hqpos : 0 < q
hqε : ↑q < ε
hfg' : ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ↑q
this : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.1) (f' (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.1 (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.2) (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.2 ∧ HasFDerivAt (f (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.1) (f' (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.1 (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.2) (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.2
a : ι × ι → Prop
b : ∀ᶠ (x : ι × ι) in l ×ˢ l, a x
c : E → Prop
d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y
e : ∀ {x : ι × ι}, a x → ∀ {y : E}, c y → dist (0 (x, y).2) (f' (x, y).1.1 (x, y).2 - f' (x, y).1.2 (x, y).2) < ↑q ∧ HasFDerivAt (f ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.1) (f' ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.1 ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.2) ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.2 ∧ HasFDerivAt (f ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.1) (f' ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.1 ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.2) ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.2
r : ℝ
hr : 0 < r
hr' : ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ Metric.ball x r → c x_1
⊢ ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) ((↑‖n.2 - x‖)⁻¹ • (f n.1.1 n.2 - f n.1.1 x) - (↑‖n.2 - x‖)⁻¹ • (f n.1.2 n.2 - f n.1.2 x)) < ε
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ IsOpenMap id
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝ : IsDomain B
⊢ NeZero ↑↑n
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
ι : Type u_3
R : Type u_4
M : Type u_5
v : ι → M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hv : CompleteLattice.Independent fun i => Submodule.span R {v i}
h_ne_zero : ∀ (i : ι), torsionOf R M (v i) = ⊥
⊢ LinearIndependent R v
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
⊢ (groupCohomology.resolution k G).d 1 0 ≫ groupCohomology.resolution.ε k G = 0
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ (ofNat' (n + 1)).toZNum = (ofNat' n).toZNum + 1
α : Type u
p : α → Prop
f g : Equiv.Perm α
hf : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
hg : ∀ (x : α), p x ↔ p (g x)
⊢ f.subtypePerm hf * g.subtypePerm hg = (f * g).subtypePerm ⋯
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : ℕ → Set X
hs : ∀ (n : ℕ), IsMeagre (s n)
⊢ IsMeagre (⋃ n, s n)
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablyGenerated α
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (Set.range (MeasurableSpace.natGeneratingSequence α)) = m
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝
⊢ s.ncard ≤ t.ncard ↔ (s \ t).ncard ≤ (t \ s).ncard
R : Type u_1
Ring R
Nontrivial R
⊢ orderOf (-1) = if ringChar R = 2 then 1 else 2
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
w : Word M
h : w ≠ empty
⊢ ∃ i j w', w'.toWord.toList = w.toList
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
c : Cardinal.{u_1}
⊢ c ≤ (Ordinal.type r).cof ↔ ∀ (S : Set α), Set.Unbounded r S → c ≤ #↑S
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
S : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid S
inst✝² : Pow S ℕ
inst✝¹ : Module R✝ S
x : S
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
r : R
⊢ leval r = smeval.linearMap R r
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n i j : ℕ
hi : i ≤ n
hj : j < p ^ (n - i)
m : ℕ
h : v p ⟨j + 1, ⋯⟩ = m
hle : p ^ m ≤ j + 1
⊢ m ≤ n - i ∧ m ≤ j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : P.RespectsIso
X Y Z : C
e : Y ≅ Z
f : X ⟶ Y
hf : P f
⊢ P (f ≫ e.hom)
o b : Ordinal.{u_4}
h : ¬∃ a, o = Order.succ a
⊢ Order.succ b < o ↔ b < o
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((κ.compProd η) a) s = ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a
o : Ordinal.{u_1}
⊢ o.toPGame.Numeric
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
A : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
η : Type u_3
f : η → Type u_4
inst✝² : (i : η) → Group (f i)
inst✝¹ : Finite η
inst✝ : DecidableEq η
H : Subgroup ((i : η) → f i)
x : (i : η) → f i
h : ∀ (i : η), Pi.mulSingle i (x i) ∈ H
⊢ x ∈ H
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
⊢ e.unit.app (e.inverse.obj Y) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsNoetherianRing R₁
I : Ideal R₁
⊢ ∀ J ≤ ↑I, (↑J).FG
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ DiscreteTopology ↥((zmultiplesHom ℝ) a).range
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableOn 𝕜 f s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y - g y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 g s
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : support f ⊆ Ioc a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ), f x ∂μ
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
s : Set S
⊢ NonUnitalSubsemiring.closure (⇑f ⁻¹' s) ≤ NonUnitalSubsemiring.comap f (NonUnitalSubsemiring.closure s)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
hl : l.reverse ≠ []
hl' : optParam (0 < l.length) ⋯
⊢ l.get ⟨l.length - 1 - ↑⟨l.reverse.length - 1, ⋯⟩, ?hn'⟩ = l.get ⟨0, hl'⟩
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, Metric.ball x ε ⊆ s
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
h₁ : LieAlgebra.IsNilpotent R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L' L' k = ⊥
⊢ LieIdeal.map f (lowerCentralSeries R L L k) ≤ lowerCentralSeries R L' L' k
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
⊢ ∃ i, j < c.sizeUpTo (i + 1) ∧ i < c.length
α : Type u_1
xs : List α
⊢ xs.dropLast.length = xs.length - 1
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
c : F
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => f y + c) f' x
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
⊢ a.primeFactorsList.Disjoint b.primeFactorsList
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
Add M
ContinuousAdd M
f g : X → M
x : X
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
⊢ ContinuousAt (fun x => f x + g x) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ Convex 𝕜 s ↔ s.OrdConnected
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
⊢ ¬cs.IsRightDescent 1 i
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → MeasureTheory.Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ : MeasureTheory.Measure ((i : ι) → α i)
∀ (i : Finset ι), MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (P i)
hμ : MeasureTheory.IsProjectiveLimit μ P
⊢ MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : Measurable f
⊢ MeasureTheory.Measure.map f (μ + ν) = MeasureTheory.Measure.map f μ + MeasureTheory.Measure.map f ν
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
G' : ι → Type v'
(i : ι) → CommRing (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+* G' j
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
e : (i : ι) → G i ≃+* G' i
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (e j).toRingHom.comp (f i j h) = (f' i j h).comp ↑(e i)
i : ι
g : G' i
⊢ (Ring.DirectLimit.congr e he).symm ((Ring.DirectLimit.of G' (fun x x_1 h => ⇑(f' x x_1 h)) i) g) =
  (Ring.DirectLimit.of G (fun x x_1 h => ⇑(f x x_1 h)) i) ((e i).symm g)
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ ω = (ω ^ e.repr) ^ ω