ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
SubtractionMonoid G
a b : G
⊢ AddCommute a b → AddCommute (-a) (-b)
x : UInt8
n : Nat
⊢ (x.modn n).toNat = x.toNat % n
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ
⊢ A ^ (- -[n+1]) = (A ^ -[n+1])⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
⊢ (∀ (a b : α), a ∈ s → b ∈ s → a = b) ↔ ∀ (x : α), ¬∃ b, x ∈ s ∧ b ∈ s ∧ x ≠ b
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
NoZeroDivisors R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0
⊢ (W.ΨSq n).coeff (n.natAbs ^ 2 - 1) ≠ 0
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
⊢ Finset.filter (fun x => a ≤ x) (s ⊼ t) = Finset.filter (fun x => a ≤ x) s ⊼ Finset.filter (fun x => a ≤ x) t
α : Type u_1
LT α
s : Set α
⊢ s.chainHeight = 0 ↔ s = ∅
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝² : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
inst✝¹ : L.NeBot
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ Tendsto (fun i => μ (As i)) L (𝓝 (μ A))
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
μ : Measure X
ε : ℝ≥0∞
h₀ : 0 < ε
h : ∀ (s : Set X), diam s ≤ ε → μ s ≤ m (diam s)
⊢ μ.toOuterMeasure ≤ OuterMeasure.mkMetric m
α : Type u
m : ℕ
a : Fin m → α
n : ℕ
⊢ ofFn (Fin.repeat n a) = (replicate n (ofFn a)).join
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S✝ : Set σ
x : List α
s✝ : σ
a : α
M : NFA α σ
start S : Set σ
s : α
x✝ a✝¹ : σ
a✝ : a✝¹ ∈ S
⊢ x✝ ∈ M.toεNFA.εClosure (M.toεNFA.step a✝¹ (some s)) ↔ x✝ ∈ M.step a✝¹ s
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : CompactSpace M
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M
this : Fintype ι
⊢ ∃ n e, Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧ ClosedEmbedding e ∧ ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
h : Set.InjOn f s
⊢ Set.BijOn f s (f '' s)
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ ‖F_nat 1 a t‖ ≤ rexp (-π * (a ^ 2 + 1) * t) / (1 - rexp (-π * t)) ^ 2 + a * rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
f : (i : ι) → κ i → Set E
h : ∀ (i : ι) (j : κ i), Balanced 𝕜 (f i j)
⊢ Balanced 𝕜 (⋂ i, ⋂ j, f i j)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : PreservesLimit (cospan h i) F
s : IsPullback f g h i
⊢ ((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone s.cone)).π.app WalkingCospan.right = ?refine_1.hom ≫ ⋯.cone.π.app WalkingCospan.right
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a : α
m n : ℤ
⊢ (m * n) • a = n • m • a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : ∀ x ∈ f.support, f x = g x
hx : f x = g x
hx' : x ∈ f.support
hx'' : x ∈ g.support
this : f.support ⊆ g.support
⊢ f = g
N : Type u_2
r : N → N → Prop
mu : N → N → N
IsSymmOp N N mu
⊢ Covariant N N (flip mu) r ↔ Covariant N N mu r
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ coeff 1 n = if 0 = n then 1 else 0
α : Type u_2
Sub α
f g : Filter α
s : Set α
⊢ s ∈ f - g ↔ ∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ g, t₁ - t₂ ⊆ s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
Y : C
⊢ CategoryTheory.preadditiveYoneda.obj Y =
  (CategoryTheory.preadditiveYonedaObj Y).comp (CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat (CategoryTheory.End Y)) AddCommGrp)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
C : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
ι : ∀ (x : M), C ((CliffordAlgebra.ι Q) x)
mul : ∀ (a b : CliffordAlgebra Q), C a → C b → C (a * b)
add : ∀ (a b : CliffordAlgebra Q), C a → C b → C (a + b)
a : CliffordAlgebra Q
s : Subalgebra R (CliffordAlgebra Q) := { carrier := C, mul_mem' := mul, one_mem' := ⋯, add_mem' := add, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := algebraMap }
h : AddCommMonoid ↥s := inferInstanceAs (AddCommMonoid ↥(Subalgebra.toSubmodule s))
of : { f // ∀ (m : M), f m * f m = (_root_.algebraMap R ↥s) (Q m) } := ⟨LinearMap.codRestrict (Subalgebra.toSubmodule s) (CliffordAlgebra.ι Q) ι, ⋯⟩
of_id : AlgHom.id R (CliffordAlgebra Q) = s.val.comp ((lift Q) of)
⊢ C a
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₂
⊢ v ∈ f.range ↔ ∃ w, f w = v
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
𝒢 : Set C
h𝒢 : CategoryTheory.IsCoseparating 𝒢
⊢ CategoryTheory.IsCoseparating ((CategoryTheory.StructuredArrow.proj S T).obj ⁻¹' 𝒢)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a✝ b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
i : ι
a : R
ha : a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i}))
⊢ a = 0
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x : ℂ
⊢ (RCLike.complexRingEquiv h).symm x = ↑x.re + ↑x.im * RCLike.I
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
i i' : δ
h : i = i'
⊢ Measurable ⋯.mp
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β
f : ↑s ≃o ↑t
x : α
hx✝ : x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hx : x ∈ Subtype.val '' minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) univ
⊢ ↑(f ⟨x, ⋯⟩) ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).im = 0
f : Type u₀ → Type u₁
Applicative f
LawfulApplicative f
α β : Type u₀
h : ∀ (γ : Type u₀), Function.Injective pure
⊢ Function.Injective (EquivFunctor.mapEquiv f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ Function.Bijective Homeomorph.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
a : α
⊢ (𝓟 {a}).IsCountablyGenerated
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : γ) in s, ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) ∂(κ + η) a = (κ a) s
z : ℂ
⊢ (starRingEnd ℂ) z = z ↔ ∃ r, z = ↑r
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
m : M
ContinuousMul M
f : ℕ → M
h : HasProd (fun n => f (n + 1)) m
⊢ HasProd f (f 0 * m)
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
hs : Dense s
ht : Dense t
hto : IsOpen t
⊢ Dense (s ∩ t)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ↥(Lp E p μ)
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ ↑C
⊢ ‖f‖ ≤ ↑(measureUnivNNReal μ) ^ p.toReal⁻¹ * ↑C
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (WittVector.wittNeg p n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
⊢ pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).fst = s.fst
A : Type u_4
M₁ : Type u_5
SetLike A M₁
One M₁
hA : OneMemClass A M₁
S' : A
x : ↥S'
⊢ ↑x = 1 ↔ x = 1
R : Type u
EuclideanDomain R
m k : R
⊢ m / k * k + m % k = m
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α
⊢ inst✝¹ = scott α
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι
⊢ MeasurableSet s ↔ MeasurableSet s ∧ MeasurableSet s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x' : NormedSpace.Dual 𝕜 E
c : 𝕜
hc : ∀ z ∈ s, ‖x' z‖ ≤ ‖c‖
⊢ c⁻¹ • x' ∈ NormedSpace.polar 𝕜 s
M₀ : Type u_2
MulZeroClass M₀
a b : M₀
h : a * b ≠ 0
⊢ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq : ∀ (i j : ι), IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose
N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n
basic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
i : ι
a✝ : i ∈ t
⊢ const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1))) ⋯ = const R ((fun i => a i * h i ^ N) i) ((fun i => h i ^ (N + 1)) i) (PrimeSpectrum.basicOpen ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)) ⋯
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
NormedSpace ℝ F
hf_int : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun ω => ‖∫ (y : Ω), f y ∂(ProbabilityTheory.condexpKernel μ m) ω‖) μ
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
Q : Algebra.Generators S T
P : Algebra.Generators R S
⊢ ∀ (a : Q.vars ⊕ P.vars), (Q.comp P).val a = Sum.elim Q.val (⇑(algebraMap S T) ∘ P.val) a
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
⊢ a • c < b • d
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f⁻¹.Disjoint g
⊢ f.Disjoint g
n : ℕ
⊢ n.properDivisors ⊆ n.divisors
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ ∀ {X Y : ChainComplex C ℕ} (f : X ⟶ Y) (Δ : SimplexCategoryᵒᵖ),
  (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.map f).app Δ =
    (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting X).desc Δ fun A =>
      f.f (Opposite.unop A.fst).len ≫ ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting Y).cofan Δ).inj A
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a : α
x : α
⊢ x ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a → Irreducible x
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
F : Filter X
⊢ ClusterPt x F ↔ ¬Disjoint (𝓝 x) F
C : Type u_1
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_6} D₂
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L₁ : CategoryTheory.Functor C D₁
L₁.IsLocalization W
L₂ : CategoryTheory.Functor C D₂
L₂.IsLocalization W
X Y : C
f : Y ⟶ X
hf : W f
⊢ (CategoryTheory.Localization.homEquiv W L₁ L₂) (CategoryTheory.Localization.isoOfHom L₁ W f hf).inv =
  (CategoryTheory.Localization.isoOfHom L₂ W f hf).inv
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
x : α
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
w : Set α
w_nhds : w ∈ 𝓝 x
hw : IntegrableOn f w μ
⊢ ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, IntegrableOn f a μ
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ _mΩ
h_indep : ProbabilityTheory.iIndep m μ
S T : Set ι
hST : Disjoint S T
⊢ ProbabilityTheory.Indep (⨆ i ∈ S, m i) (⨆ i ∈ T, m i) μ
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
f g : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.filter p (f + g) = DFinsupp.filter p f + DFinsupp.filter p g
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
⊢ t ∈ 𝓝[insert a s] a ↔ a ∈ t ∧ t ∈ 𝓝[s] a
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s t : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hmt : MeasurableSet t
hcs : μ s ≠ ⊤
⊢ ProbabilityTheory.cond (ProbabilityTheory.cond μ s) t = ProbabilityTheory.cond μ (s ∩ t)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n✝ : Type u_4
R : Type u_5
α : Type u_6
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
n : ℕ
⊢ (circulant fun i => if ↑i = 0 then 1 else 0) = 1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
i j : ι
ha : LinearIndependent k fun i => p ↑i -ᵥ p j
hij : p i = p j
hij' : ¬i = j
⊢ p ↑⟨i, hij'⟩ = p j
n : ℕ
NeZero n
x : ZMod n
⊢ x.valMinAbs.natAbs ≤ n / 2
M : Type u_1
Monoid M
X : Type u
MulAction M X
x : CategoryTheory.ActionCategory M X
⊢ ↑(CategoryTheory.CategoryStruct.id x) = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
t₁ t₂ : List α
h : t₁ ~ t₂
⊢ l.diff t₁ = l.diff t₂
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
DecidableEq α
f : α → M
x : α
⊢ Function.support (Function.update f x 0) = Function.support f \ {x}
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f univ
hmn : 1 ≤ n
⊢ ContinuousOn (tangentMap I I' f) univ
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MulAction G α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁵ : Countable G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝² : MeasurableSMul G α
hasFun : HasFundamentalDomain G α ν
μ μ' : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'
⊢ μ = μ'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → β
⊢ ∏ i : Fin (n + 1), f i = (∏ i : Fin n, f i.castSucc) * f (last n)
x y : ℝ
⊢ √x ≤ 1 ↔ x ≤ 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀
x : α
hx : ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (ball x V ∩ s).Nonempty
⊢ x ∈ s
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.IsReflexive R M
⊢ ↑(Module.evalEquiv R M).symm.dualMap = Module.Dual.eval R (Module.Dual R M)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommSemiring α
s : Multiset ι
f g : ι → α
⊢ (map (fun i => f i + g i) s).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) s.antidiagonal).sum
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
⊢ SameRay R (f.linear (x -ᵥ p₁)) (f.linear (p₂ -ᵥ y))
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f.nnrealPart x) ∂↑(μs i) - ∫ (x : Ω), ↑((-f).nnrealPart x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f.nnrealPart x) ∂↑μ - ∫ (x : Ω), ↑((-f).nnrealPart x) ∂↑μ))
ι : Type u_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : K' ⟶ L'
e : CategoryTheory.Arrow.mk φ ≅ CategoryTheory.Arrow.mk φ'
∀ (i : ι), K.HasHomology i
∀ (i : ι), L.HasHomology i
∀ (i : ι), K'.HasHomology i
∀ (i : ι), L'.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ
⊢ QuasiIso φ'
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace 𝕜 H
CompleteSpace H
K : Type u_6
NormedAddCommGroup K
InnerProductSpace 𝕜 K
CompleteSpace K
u : H →L[𝕜] K
⊢ (∀ (x : H), ‖u x‖ = ‖x‖) ↔ (ContinuousLinearMap.adjoint u).comp u = 1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
RingHomIsometric σ₂₁
α : Type u_7
f : α → E
l : Filter α
⊢ f =O[l] fun x' => e (f x')
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
f : α → β
s t : Set β
ht : MeasureTheory.AEDisjoint ν s t
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μ ν
⊢ MeasureTheory.AEDisjoint μ (f ⁻¹' s) (f ⁻¹' t)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
t : CategoryTheory.Limits.IsLimit (CategoryTheory.Limits.PullbackCone.mk (𝟙 X) (𝟙 X) ⋯)
⊢ CategoryTheory.Mono f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
b : WithBot β
⊢ WithBot.map₂ f ⊥ b = ⊥
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 0, ‖f (x + x_1) - f x - L x_1‖ ≤ ε * ‖x_1‖
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s s' : Set α
⊢ μ.restrict (s ∪ s') ≤ μ.restrict s + μ.restrict s'
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
x : α
⊢ fixedPoint f hf = efixedPoint f hf x ⋯
α✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
F✝ : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
g✝ : E✝ → F✝
c : ℝ≥0
α : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
K' : ℝ≥0
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : E → F
hL : Memℒp (g ∘ f) p μ
hg : UniformContinuous g
hg' : AntilipschitzWith K' g
g0 : g 0 = 0
A : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ↑K' * ‖g (f x)‖
B : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ Memℒp f p μ
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
hf : UniformInducing f
⊢ TotallyBounded (f '' s) ↔ TotallyBounded s
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ.restrict s + μ.restrict sᶜ = μ
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n)‖ < ε
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Submonoid M
t : Submonoid N
⊢ s.prod t = ⊤ ↔ s = ⊤ ∧ t = ⊤
b o : Ordinal.{u_2}
C : Ordinal.{u_2} → Sort u_1
ho : o ≠ 0
H0 : C 0
H : (o : Ordinal.{u_2}) → o ≠ 0 → C (o % b ^ log b o) → C o
⊢ b.CNFRec H0 H o = H o ho (b.CNFRec H0 H (o % b ^ log b o))
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
u : Set E
u_sep : IsSeparable u
hu : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, f x ∈ u
c : Dual ℝ E
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, c (f x) ∂μ = 0
S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Nontrivial S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain S
inst✝³ : Module.Free ℤ S
inst✝² : Module.Finite ℤ S
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ S
I : Ideal S
bI : Basis ι ℤ ↥I
e : S ≃ₗ[ℤ] ↥I := b.equiv bI (Equiv.refl ι)
⊢ (b.det (Subtype.val ∘ ⇑bI)).natAbs = absNorm I
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x : α
h : l.formPerm x ∈ l
⊢ x ∈ l
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
n : ℕ
a : α
⊢ a ∈ Set.Ico (↑n) (↑n + 1) → ⌊a⌋₊ = n
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
𝓕 : Type u_10
FunLike 𝓕 E E₂
f : 𝓕
x x' : E
⊢ x = x' → f x = f x'
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
T2Space M
⊢ HasCompactSupport ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
CompleteSpace α
T0Space α
f : β → γ → α
h : Multipliable (Function.uncurry f)
⊢ ∏' (c : γ) (b : β), f b c = ∏' (b : β) (c : γ), f b c
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ ν : ProbabilityMeasure Ω
h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ↑μ s = ↑ν s
⊢ ↑μ = ↑ν
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
ε : ℝ
hε : 0 < ε
x : ℝ
hx : DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x
this : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[≥] x, ‖f x_1 - f x - (x_1 - x) • derivWithin f (Ici x) x‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
m : ℝ
xm : m ∈ Ioi x
hm : Ico x m ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f x_2 - f x - (x_2 - x) • derivWithin f (Ici x) x‖ ≤ ε / 2 * ‖x_2 - x‖) x_1}
⊢ ∃ R > 0, ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ε
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ H.relindex ⊥ = 1
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
s : Finset ι
x y : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
⊢ (if H : i ∈ s then (x + y) ⟨i, H⟩ else 0) = (if H : i ∈ s then x ⟨i, H⟩ else 0) + if H : i ∈ s then y ⟨i, H⟩ else 0