ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq
⊢ map id ⟨s, al⟩ = ⟨s, al⟩
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ : α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
s : Finset α
⊢ s ∈ image (insert a) (memberSubfamily a 𝒜) ↔ s ∈ filter (fun x => a ∈ x) 𝒜
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
a : RBNode α
x : α
parent : Path α
b : RBNode α
hb : RBNode.Ordered cmp b
hp : Ordered cmp parent
ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a
xp : RootOrdered cmp parent x
ap : All (RootOrdered cmp parent) a
ha : RBNode.Ordered cmp a
H : All (RootOrdered cmp (right black a x parent)) b
xb : All (cmpLT cmp x) b
bp : All (RootOrdered cmp parent) b
⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.ins (a.balance2 x b))
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ interior (Metric.sphere x r) = ∅
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
⊢ ∃ n, μ = ↑n
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ IsClosed ({a | 0 ≤ a} ∩ ⋂ i, {x | ‖f i‖ ≤ x * ‖i‖})
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
⊢ (↑r * (Complex.cos ↑θ + Complex.sin ↑θ * Complex.I)).arg - θ = 2 * π * ↑⌊(π - θ) / (2 * π)⌋
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → LE (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ ⇑f ≤ ⇑g ↔ f ≤ g
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
f : α →₀ M
h : α → M → Multiset N
⊢ (f.sum h).sum = f.sum fun a b => (h a b).sum
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂
inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄
inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.103896 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄
inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.109347 ⟶ X₂) true ≫ f₂)
inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
⊢ pullback.lift (pullback.fst f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)) (pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.fst f₃ f₄) ⋯ ≫ pullback.fst f₁ f₂ = pullback.fst f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
n p : ℕ
hp : _root_.Prime ↑p
h : p = 1
⊢ False
α : Type u_5
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ_fin : MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
f_bdd : ∃ c, ∀ (x : α), f x ≤ ↑c
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ < ⊤
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
⊢ (Equiv.optionSubtypeNe a).symm b = if h : b = a then none else some ⟨b, h⟩
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s : Set α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
x y : β
hx : x ∈ t
hy : y ∈ t
⊢ variationOnFromTo (f ∘ φ) t x y = variationOnFromTo f (φ '' t) (φ x) (φ y)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
SecondCountableTopology α
⊢ MeasurableSet {p | p.1 < p.2}
α : Type u_1
PartialOrder α
s t u : Finset α
DecidableEq α
hus : u ⊆ s
hut : u ⊆ t
⊢ { ofColex := s \ u } < { ofColex := t \ u } ↔ { ofColex := s } < { ofColex := t }
α : Type u_1
a b : α
LE α
o : Option α
⊢ b ∈ o → (↑a ≤ o ↔ a ≤ b)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B
n m : ℤ
hn : n < 0
hm : 0 ≤ m
⊢ selfZPow x B (n + m) = selfZPow x B n * selfZPow x B m
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Multiset α
xs : List α
⊢ card (Multiset.sym2 ⟦xs⟧) = (card ⟦xs⟧ + 1).choose 2
n : ℕ
G : Type u_3
Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
⊢ (Fin.partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * Fin.partialProd g (j.succAbove k).succ =
  j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g k
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x y : R
m : ↥M
⊢ x • mk' S y m = mk' S (x * y) m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} ℰ
A : CategoryTheory.Functor C ℰ
CategoryTheory.yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
L : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)) ℰ
α : A ⟶ CategoryTheory.yoneda.comp L
L.IsLeftKanExtension α
⊢ CategoryTheory.IsIso α
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
f : G ⧸ H → G
hf : ∀ (q : G ⧸ H), ↑(f q) = q
q : G ⧸ H
⊢ ↑((AddSubgroup.MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q) = f q
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f₀ : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
⊢ IsClosed (DFunLike.coe '' Metric.closedBall f₀ r)
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ Int.fract (a + 1) = Int.fract a
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hμν : levyProkhorovEDist μ ν < ENNReal.ofReal ε
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] ⇑f
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 ‖f‖, (μ {a | t ≤ f a}).toReal ≤ (∫ (t : ℝ) in Ioc 0 ‖f‖, (ν (thickening ε {a | t ≤ f a})).toReal) + ε * ‖f‖
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) ↔ Set.Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s
α : Sort u
β : Sort v
f : α → β
h : Function.Surjective f
b : β
⊢ f (Function.surjInv h b) = b
α : Type u_1
a : α
Min α
LE α
le_min_iff : ∀ (a b c : α), a ≤ min b c ↔ a ≤ b ∧ a ≤ c
xs : List α
⊢ xs.minimum? = some a → ∀ (x : α), x ≤ a ↔ ∀ (b : α), b ∈ xs → x ≤ b
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End K M
⊢ [¬φ.HasEigenvalue 0, ¬(minpoly K φ).IsRoot 0, constantCoeff (charpoly φ) ≠ 0, LinearMap.det φ ≠ 0, ker φ = ⊥, ∀ (m : M), φ m = 0 → m = 0].TFAE
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
hs : s.SupIndep fun i => t.sup fun i' => f (i, i')
ht : t.SupIndep fun i' => s.sup fun i => f (i, i')
u : Finset (ι × ι')
hu : u ⊆ s ×ˢ t
i : ι
i' : ι'
hi : (i, i') ∈ s ×ˢ t
hiu : (i, i') ∉ u
j : ι
j' : ι'
hj : (j, j') ∈ u
⊢ Disjoint (f (i, i')) (f (j, j'))
R : Type u
CommRing R
Invertible 3
⊢ (EllipticCurve.ofJ0 R).j = 0
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h0 : p.comp q = 0
⊢ 0 ≤ p.natDegree * q.natDegree
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
n : Type u_5
Fintype n
⊢ Matrix.mulVecLin 0 = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x✝ : M
h : x✝ ∈ torsionBy R M 1
⊢ x✝ ∈ ⊥
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
S : Type u_3
Ring S
SMul S R
Module S M
IsScalarTower S R M
P : Submodule R M
x : M
⊢ (Submodule.Quotient.restrictScalarsEquiv S P) (Submodule.Quotient.mk x) = Submodule.Quotient.mk x
x y : SetTheory.PGame
h : x.LF y
⊢ ¬x ≈ y
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ Q.IsOrtho 0 x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
α β : Type u
f : β → α → α
⊢ ⇑(Monoid.Foldr.ofFreeMonoid f) ∘ FreeMonoid.of = Monoid.Foldr.mk ∘ f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
S R : CategoryTheory.Sieve (F.obj X)
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPullback F (S ⊓ R) =
  CategoryTheory.Sieve.functorPullback F S ⊓ CategoryTheory.Sieve.functorPullback F R
p x : ℝ
r : ℚ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (x * ↑r)
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ re z * re z ≤ normSq z
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (δ a)
t : (a : α) → Finset (δ a)
a : α
x : δ a
hx : x ∉ t a
⊢ ∀ ⦃x_1 : (a : α) → δ a⦄, (∀ (a : α), x_1 a ∈ t a) → ¬x_1 a = x
G : Type u_2
Group G
S T : Set G
⊢ Subgroup.closure (S * T) ≤ Subgroup.closure S ⊔ Subgroup.closure T
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
i : IsIso 0
⊢ 𝟙 X = 0 ∧ 𝟙 Y = 0
x : ℂ
⊢ Complex.cos x = -1 ↔ ∃ k, ↑Real.pi + ↑k * (2 * ↑Real.pi) = x
R : Type u_1
M : Type u_2
OrderedSemiring R
OrderedAddCommMonoid M
SMulWithZero R M
self : OrderedSMul R M
a b : M
c : R
⊢ c • a < c • b → 0 < c → a < b
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
f : α ↪o β
x y : α
⊢ f x ⊔ f y ≤ f (x ⊔ y)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
x y✝ y : (i : ι) → α i
⊢ (y ∈ univ.pi fun i => Ici (x i)) ↔ y ∈ Ici x
a b c : Prop
⊢ a ∨ b ∨ c ↔ (a ∨ b) ∨ a ∨ c
p n k : ℕ
h : ¬(n.choose k).factorization p = 0
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
⊢ (Finset.filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + (n - k) % p ^ i) (Finset.Ico 1 (log p n + 1))).card ≤ log p n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
hc : DifferentiableAt ℂ f x
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun x => Complex.cosh (f x)) x
p : Nat.Primes
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ ↑↑p ^ (-s).re ≤ 1 / 2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
h : ContinuousWithinAt f s x
hg : Tendsto g p (𝓝[s] x)
hunif : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
u₀ : Set (β × β)
hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β
⊢ u₀ ∈ map (fun x_1 => (f x, F x_1 (g x_1))) p
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
hf₁ : ∀ (a : α₁) (b : β₁), f₁ a b ⊆ f₁' a b
hf₂ : ∀ (a : α₂) (b : β₂), f₂ a b ⊆ f₂' a b
hg₁ : ∀ (a : α₁) (b : β₂), g₁ a b ⊆ g₁' a b
hg₂ : ∀ (a : α₁) (b : β₂), g₂ a b ⊆ g₂' a b
val✝¹ : α₁
val✝ : β₁
⊢ sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ (inl val✝¹) (inl val✝) ⊆ sumLexLift f₁' f₂' g₁' g₂' (inl val✝¹) (inl val✝)
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set α
⊢ DirSupClosed s ↔ ∀ ⦃d : Set α⦄, d.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d → d ⊆ s → sSup d ∈ s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
n : ℕ
π : Fin (n + 1) → Type u_7
(i : Fin (n + 1)) → TopologicalSpace (π i)
i : Fin (n + 1)
f : α → π i
a : α
s : Set α
hf : ContinuousWithinAt f s a
g : α → (j : Fin n) → π (i.succAbove j)
hg : ContinuousWithinAt g s a
⊢ ContinuousWithinAt (fun a => i.insertNth (f a) (g a)) s a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
t : Set ℝ
hfs : HasConstantSpeedOnWith f s l
hft : HasConstantSpeedOnWith f t l
x : ℝ
hs : IsGreatest s x
ht : IsLeast t x
⊢ HasConstantSpeedOnWith f (s ∪ t) l
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s
⊢ 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (-a).im = -a.im
α : Type u_3
AddCommMonoid α
s : Multiset α
DecidableEq α
a : α
h : ∀ (a' : α), a' ≠ a → a' ∈ s → a' = 0
⊢ s.sum = Multiset.count a s • a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
l : Finset ι
S : ι → Set α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ (fun f => ∏ i ∈ l, f i) '' (↑l).pi S ↔ x✝ ∈ ∏ i ∈ l, S i
M : Type u_2
N : Type u_3
Monoid M
Monoid N
f : M →* N
a b : M
⊢ a ∣ b → f a ∣ f b
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
a b : α
as : List α
h : filter p (a :: b :: as) ≠ []
h' : p ((a :: b :: as).getLast ⋯) = true
⊢ (filter p (a :: b :: as)).getLast h = (a :: b :: as).getLast ⋯
R : Type u_2
Add R
Mul R
r s : R → R → Prop
h : ∀ (x y : R), r x y → s x y
⊢ ringConGen r ≤ ringConGen s
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑((AlgebraicGeometry.Proj.toLocallyRingedSpace 𝒜).restrict ⋯).toTopCat
⊢ (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.toSpec 𝒜 f).val.base x =
  (AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.toSpec 𝒜 f) x
α : Type u
x y : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y ≤ x
⊢ x \ (x \ y) = y
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : G < 0
h' : -0 < -G
⊢ False
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
DivisionMonoid β
f : α →* β
g h : α
⊢ f (g / h) = f g / f h
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
j j' : J
x : F.obj j
x' : F.obj j'
j'' : J
f : j ⟶ j''
f' : j' ⟶ j''
w : F.map f x = F.map f' x'
⊢ colimit.ι F j x = colimit.ι F j' x'
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p q : Polynomial R
hpq : p * q ≠ 0
⊢ (p * q).roots = p.roots + q.roots
a : ℕ
l : List ℕ
x : Γ'
h : x ∈ trList (a :: l)
⊢ x ≠ Γ'.consₗ
α : Type u_2
l : Filter α
⊢ Disjoint l Filter.cofinite ↔ ∃ s ∈ l, s.Finite
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h : Epi (cyclesMap φ)
⊢ Epi (homologyMap φ)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
V : Type u_10
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
r : 𝕜
f : C^⊤⟮I, N; 𝓘(𝕜, V), V⟯
⊢ ⇑(r • f) = r • ⇑f
α : Type u_3
LinearOrder α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s
⊢ Filter.atTop = Filter.generate (Set.Ici '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
l8 : log 8 = ↑3 * log 2
⊢ (↑3 * (69 / 50)) ^ 2 * log 2 * log 2 ≤ ↑12 * log 2
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
hx : eval (W.addX x₁ x₂ L) (derivative (W.addPolynomial x₁ y₁ L)) ≠ 0
⊢ evalEval (W.addX x₁ x₂ L) (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) (C (C W.a₁) * Y - C (C 3 * X ^ 2 + C (2 * W.a₂) * X + C W.a₄)) ≠ 0 ∨ evalEval (W.addX x₁ x₂ L) (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) (C (C 2) * Y + C (C W.a₁ * X + C W.a₃)) ≠ 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_7
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x i => φ i x) (ContinuousLinearMap.pi φ') x ↔ ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (φ i) (φ' i) x
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : Bornology α} {s t : Set α}, Bornology.IsCobounded s → s ⊆ t → Bornology.IsCobounded t
α : Type u_3
Preorder α
self : PredOrder α
a : α
⊢ a ≤ PredOrder.pred a → IsMin a
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
x : 𝕎 R
⊢ WittVector.mapFun (⇑f) (-x) = -WittVector.mapFun (⇑f) x
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
f : α → β
hf✝ : IsRingHom f
x y : α
hf : IsRingHom f
⊢ f 0 = f 0 + f 0 - f 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f g : Filter α
h : f ≤ g
⊢ Filter.IsBounded r g → Filter.IsBounded r f
α : Type
d✝ : ℕ
ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
d : ℕ
ds : List ℕ
x : Holor α (d :: ds)
h_summands : ∀ (i : { x // x ∈ Finset.range d }), CPRankMax ds.prod (unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
h_dds_prod : (d :: ds).prod = (Finset.range d).card * ds.prod
this : CPRankMax ((Finset.range d).attach.card * ds.prod) (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
h_cprankMax_sum : CPRankMax ((Finset.range d).card * ds.prod) (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
⊢ CPRankMax (d :: ds).prod x
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1) = ‖f‖₊
n : ℕ
⊢ 1 = DihedralGroup.r 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
hap : a ≠ 0
he : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x ≠ 0 ∧ x ≤ p / 2
hep : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x < p
hpe : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → ¬p ∣ x
⊢ Multiset.map (fun x => (a * ↑x).valMinAbs.natAbs) (Ico 1 (p / 2).succ).val = Multiset.map (fun a => a) (Ico 1 (p / 2).succ).val
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
⊢ ideal R S ≤ Ideal.span (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1)
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing Rₘ
inst✝⁶ : CommRing Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Rₘ
inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝³ : Algebra S Sₘ
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝¹ : Algebra Rₘ S
inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S
x : S
nontriv : Nontrivial Rₘ
p : Rₘ[X]
hp₁ : p.Monic
hp₂ : eval₂ (algebraMap Rₘ S) x p = 0
⊢ ∃ m, IsIntegral R (m • x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A) (CategoryTheory.Sheaf J A)
adj : F ⊣ CategoryTheory.sheafToPresheaf J A
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteLimits F
⊢ CategoryTheory.HasSheafify J A
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d a : α
k : ℤ
⊢ 0 ≤ a ^ (k + k)
a₀ a₁ a₂ : Type u
⊢ #(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ 0) + (#(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ (0 + 1)) + (#(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ (0 + 1 + 1)) + sum fun i => #(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ (i + 1 + 1 + 1)))) = #a₀ + #a₁ + #a₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
∀ (X : Cᵒᵖ),
    Small.{v, max u₂ v}
      ↑((F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R X) ⋙ CategoryTheory.forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X : Cᵒᵖ
⊢ (PresheafOfModules.limitBundledCore F).obj X = CategoryTheory.Limits.limit (F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R X)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x₀ : 𝕜
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ‖deriv f x₀‖ ≤ C
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
DecidableEq J
j : J
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : J
h : i = j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIsoOfEq j X i h).inv
    ((CategoryTheory.GradedObject.single j).map f i) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIsoOfEq j Y i h).inv
α : Type u_1
AddZeroClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : { x // 0 ≤ x }
⊢ ↑(a + b) = ↑a + ↑b
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
LE E
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
i : ι
⊢ MeasureTheory.Integrable (f i) μ
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
C : M → Prop
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, p i
hp : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ p i, C x
h0 : C 0
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
⊢ C x
x₀ : ℝ
a : ℕ
f : ℝ → ℝ
hf : MonotoneOn f (Set.Icc x₀ (x₀ + ↑a))
⊢ ∑ i ∈ Finset.range a, f (x₀ + ↑i) ≤ ∫ (x : ℝ) in x₀..x₀ + ↑a, f x
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j : n
b✝ : n → α
c : m → α
inst✝ : Subsingleton m
A : Matrix m n R
i : m
b : n → R
x : m
y : n
⊢ A.updateRow i b x y = (row (Fin 1) b).submatrix (Function.const m 0) id x y
α : Type u_1
LinearOrder α
AddGroup α
a : α
ha : 0 < a⁺
⊢ a⁺ = a
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
hb : 0 ≤ b
⊢ a = b ∨ a = -b → |a| = b
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |(μ[f|m]) x| ≤ ↑R
m n : Nat
⊢ min m (min m n) = min m n
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h : ∀ (s : Set X), IsClosed s → s.Nonempty → IsClosed (f '' s)
s : Set X
hs : IsClosed s
h2s : s.Nonempty
⊢ IsClosed (f '' s)
α : Type u
a b : α
CommMonoid α
⊢ a ∈ nonunits α → a * b ∈ nonunits α
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
P : Sylow p G
H : Subgroup G
hP : ↑P ≤ H
h : ↥H
⊢ ↑(h • P) ≤ H
α : Type u
a : α
s : Set α
⊢ insert a s = s ↔ a ∈ s
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
S : Multiset α
⊢ ((range (card S + 1)).bind fun k => powersetCard k S) = S.powerset
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r : R
hnil : IsNilpotent r
⊢ IsUnit (-r - 1)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t s : Set α
⊢ 𝓟 s ⊔ 𝓟 sᶜ = ⊤
α : Type u
β : Type v
Group α
MulAction α β
b : β
Fintype α
Fintype ↑(MulAction.orbit α b)
Fintype ↥(MulAction.stabilizer α b)
⊢ Fintype.card ↑(MulAction.orbit α b) * Fintype.card ↥(MulAction.stabilizer α b) = Fintype.card α
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α x : E
⊢ ∀ (s : Set (IntermediateField F E)), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → x ∈ ⨆ a, ↑a → ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ s), x ∈ x_1
α : Type u_1
AddGroup α
H : Type u_2
AddGroup H
K : AddSubgroup H
f : α →+ H
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Nat.card ↥(AddSubgroup.comap f K) ∣ Nat.card ↥K
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝² : Traversable t
inst✝¹ : LawfulTraversable t
inst✝ : Monoid γ
f : α → β
g : β → γ
xs : t α
⊢ foldMap g (f <$> xs) = foldMap (g ∘ f) xs
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b a : α
s : Multiset α
⊢ fold op b (a ::ₘ s) = fold op (op a b) s
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x (x + y) = Real.arccos (‖x‖ / ‖x + y‖)
α : Type u
β : Type v
EMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
h : Isometry f
⊢ Function.Injective f