ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
f : α → β → γ
⊢ List.zipWith f l List.nil = List.nil
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
s : Finset α
a x : α
hx : x ∈ s
hb : f x ≠ f a
⊢ ∃ a_1, (a_1 ≠ a ∧ a_1 ∈ s) ∧ f a_1 = f x
m n : Nat
h : m ≤ n
⊢ ∃ k, n = m + k
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
hp : 1 ≤ 1
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ 1) ^ (1 / 1) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ 1) ^ (1 / 1) + (∑ i ∈ s, g i ^ 1) ^ (1 / 1)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : f ≈ g
⊢ padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
B✝ : PowerBasis S A
hB✝ : IsIntegral R B✝.gen
B B' : PowerBasis K S
P : R[X]
h : (aeval B.gen) P = B'.gen
hB : IsIntegral R B.gen
hmin : minpoly K B.gen = Polynomial.map (algebraMap R K) (minpoly R B.gen)
i✝ : Fin B.dim
j : Fin B'.dim
i : Fin B.dim
⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr B'.gen) i)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.WeaklyRegular
⊢ μ.InnerRegularWRT IsClosed fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
IsDirected β fun x x_1 => x ≥ x_1
f : α → β
hf : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) Filter.cofinite f
⊢ BddBelow (Set.range f)
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
⊢ ∑ w : InfinitePlace K, w.mult = FiniteDimensional.finrank ℚ K
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
Ring R
S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
w : ι' → ↑S.X₃
hw : LinearIndependent R w
⊢ LinearIndependent R (Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w))
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : ContinuousOn g K
hg' : IntegrableOn g' A μ
hK : IsCompact K
hA : MeasurableSet A
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g x‖ ≤ C
⊢ IntegrableOn (fun x => g x * g' x) A μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
P : C → Prop
h : CategoryTheory.Limits.ClosedUnderColimitsOfShape J P
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
⊢ (∀ (j : J), P (F.obj j)) → P (CategoryTheory.Limits.colimit F)
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
H : J ≤ comap f I
h : comap f I ≤ J
r : R
ha : f r ∈ I
⊢ (Quotient.mk J) r = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
hq : q.Monic
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree
this : ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux hq).2.degree < q.degree
⊢ (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).2.degree < q.degree
x n : ℂ
hx : x.arg ≠ π
⊢ x ^ (starRingEnd ℂ) n = (starRingEnd ℂ) ((starRingEnd ℂ) x ^ n)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
⊢ Filter.map SeparationQuotient.mk (𝓝 x) = 𝓝 (SeparationQuotient.mk x)
R : Type u_1
AddMonoid R
l : List (Tropical R)
⊢ Tropical.untrop l.prod = (List.map Tropical.untrop l).sum
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
E : L.LeftExtension F
h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
⊢ E.right.IsLeftKanExtension E.hom
x y z : ℝ
n : ℕ
hx1 : 0 < x
hx2 : x < 1
hz : z < 0
⊢ 1 = x ^ 0
F : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
Field F
Field K
Field L
Algebra F K
Algebra F L
s : Finset K
⊢ (∀ x ∈ s, IsIntegral F x ∧ Polynomial.Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)) → Nonempty (↥(Algebra.adjoin F ↑s) →ₐ[F] L)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)
H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1
δ'0 : 0 < δ'
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
b : I.R
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp I.sndPiMap (CategoryTheory.Limits.Pi.π I.right b) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Pi.π I.left (I.sndTo b)) (I.snd b)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
p : Submodule 𝕜 E := (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ
⊢ Disjoint (eigenspace T μ) (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y : L
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0 y
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f₁ f₂ f₃ : ArithmeticFunction R
x✝ : ℕ
⊢ ((f₁.pmul f₂).pmul f₃) x✝ = (f₁.pmul (f₂.pmul f₃)) x✝
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
rhs : ℕ → ℕ →* ℤ := fun a => { toFun := fun x => qrSign x a * J(↑x | a), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
⊢ J(↑a | b) = qrSign b a * J(↑b | a)
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I
h : π.IsPartition
⊢ π.compl = ⊥
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hPα' : stepBound P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPpos : 0 < stepBound P.parts.card
⊢ ((filter (fun x => (↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).card + (filter (fun x => ¬(↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).card) * 4 ^ P.parts.card = stepBound P.parts.card
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S
f : R ≃+* S
⊢ EquivLike.inv f = ⇑f.symm
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₃ : A ⟶ S.L₀.X₃
x₂ : A ⟶ S.L₁.X₂
x₁ : A ⟶ S.L₂.X₁
h₂ : x₂ ≫ S.L₁.g = x₃ ≫ S.v₀₁.τ₃
h₁ : x₁ ≫ S.L₂.f = x₂ ≫ S.v₁₂.τ₂
H : x₃ ≫ S.δ = pullback.lift x₂ x₃ h₂ ≫ S.φ₁ ≫ S.v₂₃.τ₁
⊢ x₃ ≫ S.δ = x₁ ≫ S.v₂₃.τ₁
R : Type u₁
S : Type u₂
Ring R
Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : Y ⟶ (ModuleCat.coextendScalars f).obj X
y : ↑Y
⊢ (ModuleCat.RestrictionCoextensionAdj.HomEquiv.toRestriction f g) y = (g y).toFun 1
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
f g : M ↪ₑ[L] N
⊢ f = g ↔ ∀ (x : M), f x = g x
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v {t | t + dt ∈ s}
⊢ s = {t | t + -dt ∈ {t | t + dt ∈ s}}
x : SimplexCategory
e : x ≅ x
⊢ e = CategoryTheory.Iso.refl x
α : Type u_1
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : (↑t).Nonempty
⊢ ∃ u, Nat.card ↑u * Nat.card ↑↑t ≤ Nat.card ↑(↑s * ↑t) ∧ ↑s ⊆ u * ↑t / ↑t ∧ u.Finite
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set (α → β)
hs : s ∈ pure g
t : Set α
ht : t ∈ f
⊢ s.seq t ∈ map g f
𝕜 : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
Field 𝕜
CharZero 𝕜
CommRing R
AddCommGroup M
Algebra 𝕜 R
Module 𝕜 M
Module R M
Module Rᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R M
IsScalarTower 𝕜 R M
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
TopologicalRing R
TopologicalAddGroup M
ContinuousSMul R M
ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
T2Space R
T2Space M
x : tsze R M
⊢ (NormedSpace.exp 𝕜 x).fst = NormedSpace.exp 𝕜 x.fst
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
self : S.LocalizationMap N
y : ↥S
⊢ IsUnit ((↑self.toMonoidHom).toFun ↑y)
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M✝ N✝ P Q : Submodule R A
m n : A
M N : Submodule R A
⊢ ⨆ i, (map ((LinearMap.mul R A) ↑i) N).toAddSubmonoid = ⨆ s, AddSubmonoid.map (AddMonoidHom.mulLeft ↑s) N.toAddSubmonoid
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
J : Type u
LinearOrder J
j : J
F : CategoryTheory.Functor { i // i ≤ j } C
i : J
hi : i ≤ j
⊢ ∀ (x : { k // k < i }),
  (CategoryTheory.Functor.Iteration.coconeOfLE F hi).ι.app x =
    match x with
    | ⟨k, hk⟩ => F.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯)
xl xr : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → PGame
x : PGame := mk ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (f ((equivShrink ι).symm i)).LeftMoves) PEmpty.{u + 1} (fun x => (f ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveLeft x.snd) PEmpty.elim
i : ι
⊢ (∀ (i_1 : (f ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).LeftMoves), (f ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).moveLeft i_1 ⧏ x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), f ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i)) ⧏ x.moveRight j
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
s : S
t : (ι →₀ M) ⊗[R] N
⊢ (finsuppLeft R M N ι) (s • t) = s • (finsuppLeft R M N ι) t
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f✝ : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝ : Algebra R S
f : R →+* S
I : Ideal R
hf₁ : RingHom.ker f ≤ I
hf₂ : f.IsIntegral
h : ¬I = ⊤
m : Ideal R
left✝ : m.IsMaximal
hm : I ≤ m
⊢ ¬map f I = ⊤
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |martingalePart f ℱ μ (i + 1) ω - martingalePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑(2 * R)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K U V : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection U
h : (orthogonalProjection U).comp V.subtypeL = 0
u : E
hu : u ∈ U
v : E
hv : v ∈ V
this : (orthogonalProjection U) v = 0
⊢ v = v - ↑((orthogonalProjection U) v)
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
⊢ [].toFinmap = ∅
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : N₁.normalizer = N₁
k : ℕ
⊢ ucs k ⊥ ≤ N₁
α : Sort u_1
β : Sort u_2
δ : Sort u_3
f : β → δ
g : α → β
⊢ f ∘ g = fun x => f (g x)
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ IsClosed (Profinite.NobelingProof.C1 C ho)
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.IsRightDescent w⁻¹ i ↔ cs.IsLeftDescent w i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
x : M × M'
⊢ MDifferentiableAt (I.prod I') I Prod.fst x
R : Type u_1
B : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
fe : { _fe // _fe.2 * _fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute _fe.2 (_fe.1 a) }
a : A[ε]
⊢ (DualNumber.lift fe) a = (↑fe).1 (TrivSqZeroExt.fst a) + (↑fe).1 (TrivSqZeroExt.snd a) * (↑fe).2
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
f✝ : R[X]
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring S
i : R →+* S
x : S
inst✝ : Invertible x
N : ℕ
f : R[X]
hf : f.natDegree ≤ N
⊢ ∀ (f g : R[X]), f.natDegree < g.natDegree → g.natDegree ≤ N → (fun f => eval₂ i (⅟x) (reflect N f) * x ^ N = eval₂ i x f) f → (fun f => eval₂ i (⅟x) (reflect N f) * x ^ N = eval₂ i x f) g → (fun f => eval₂ i (⅟x) (reflect N f) * x ^ N = eval₂ i x f) (f + g)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
⊢ x ∈ insert y s ↔ x ∈ insert y ↑s
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
B : ℝ := (minkowskiBound K I * ↑(convexBodySumFactor K)⁻¹).toReal ^ (1 / ↑(finrank ℚ K))
h_le : minkowskiBound K I ≤ volume (convexBodySum K B)
x✝ : K
⊢ ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑I) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial * √|↑(discr K)| / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K = (minkowskiBound K I * ↑(convexBodySumFactor K)⁻¹).toReal / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
⊢ 0 < finrank R M ↔ ∃ x, x ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
l : Filter α
Filter.TendstoIxxClass Set.Icc l l
f g : β → α
lb : Filter β
hf : Filter.Tendsto f lb l
hg : Filter.Tendsto g lb l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Set.uIcc (f x) (g x)) lb l.smallSets
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ IsCountablySpanning (Set.range (MeasureTheory.spanningSets μ))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t✝ : Set α
f : α → β
t : Set β
⊢ f '' (f ⁻¹' t) = t ∩ range f
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M✝ M : ModuleCat R
⊢ (LinearMap.baseChange S (𝟙 M)) 0 = 0
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
hd : DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)
⊢ ‖f z‖ ≤ C
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
χ : L → R
x : L
⊢ (trace R ↥↑(weightSpace M χ)) ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) = finrank R ↥↑(weightSpace M χ) • χ x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
InfSet α
InfSet β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ ⨅ i, (f i, g i) = (⨅ i, f i, ⨅ i, g i)
G : Type w
H : Type x
α✝ : Type u
β✝ : Type v
inst✝¹ : Group α✝
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : Group β
f : α → β
t' : GroupTopology β
ht' : t' ∈ {b | TopologicalSpace.coinduced f t ≤ b.toTopologicalSpace}
⊢ Continuous f
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ : M
hm₀ : m₀ ∈ weightSpace M 0
hB : ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
x : L
m₁ : M
hm₁ : m₁ ∈ posFittingCompOf R M x
⊢ (B m₀) m₁ = 0
T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ := by volume_tac
⊢ MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥(AddSubgroup.zmultiples T).op) (Set.Ioc t (t + T)) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
hf_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_bound : ∀ (n : ℕ), f n ≤ᶠ[ae μ] g
h_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ 0), f i a ∂μ ≠ ⊤
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List M
n : M
h : ∀ x ∈ l, x ≤ n
⊢ l.sum ≤ l.length • n
G : Type u_1
α : Type u_3
SMul G α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ MulAction.Supports G s a
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.expand R p) f).coeff (n * p) = f.coeff n
α : Type u_1
β : Type u_2
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
Std.IdempotentOp op
g : α → β
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ Finset.fold op b (fun i => if p i then f i else g i) s =
  op (Finset.fold op b f (Finset.filter p s)) (Finset.fold op b g (Finset.filter (fun i => ¬p i) s))
α : Type u
self : LinearOrder α
a b : α
⊢ compare a b = compareOfLessAndEq a b
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder β
f : α → β
a : α
l : List α
⊢ List.argmax f (a :: l) = Option.casesOn (List.argmax f l) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a
α : Type u_1
LinearOrder α
b x : α
hx : x ∈ Set.Iic b
⊢ Set.projIic b x = ⟨x, hx⟩
R : Type u
CommSemiring R
I J K : Ideal R
h : I ⊔ J = ⊤
⊢ I ⊔ J * K = I ⊔ K
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
h : Multiset.Rel r s t
⊢ Multiset.Rel (flip r) t s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : s.Nonempty
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ s.ite Set.univ (0 ⁻¹' {x}) = s
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : SecondCountableTopology V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
μ : Measure V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
w : W
⊢ iteratedFDeriv ℝ n (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w = fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fun v => fourierPowSMulRight L f v n) w
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
hd : HasStrictFDerivAt d d' x
⊢ d x • c' = c'.smulRight (d x)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c✝ c₁ c₂ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ c : P
⊢ c ∈ perpBisector p₁ p₂ ↔ c ∈ perpBisector p₂ p₁
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
n : ℕ
f : C ⟶ D
i : ι
⊢ (n • f).f i = n • f.f i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
x : M
⊢ (extChartAt (I.transDiffeomorph e) x).target = ⇑e.symm ⁻¹' (extChartAt I x).target
x a r : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ ∀ᵐ (x_1 : ℝ), x_1 ∈ Iio x → gammaPDF a r x_1 = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_6
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (f' v))
f : ℝ → ℝ
hf : Monotone f
x : ℝ
hx : HasDerivAt (↑hf.stieltjesFunction) (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal x
h'x : ¬¬ContinuousAt f x
⊢ HasDerivAt f (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal x
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
⊢ P ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
OrderedAddCommMonoid M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α
hi : ¬MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 i ≤ v.restrict i
⊢ MeasurableSet i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Square C} (φ : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Square.flipFunctor.map φ).τ₄ = φ.τ₄
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.comp a ≤ Booleanisation.comp b ↔ b ≤ a
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℤ
hf : ∀ i ∈ s, 0 ∣ f i
⊢ (∑ i ∈ s, f i) / 0 = ∑ i ∈ s, f i / 0
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : LipschitzWith K f
⊢ UniformContinuous f
G : Type u_1
Group G
H₁ : Subgroup G
⊢ ⁅⊥, H₁⁆ = ⊥
y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0∞
⊢ (x ^ y) ^ y⁻¹ = x
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
A : Set α
B₁ B₂ : Set β
f₁ f₂ : α → β
n : ℕ
h₁ : IsAddFreimanHom n A B₁ f₁
h₂ : IsAddFreimanHom n A B₂ f₂
⊢ IsAddFreimanHom n A (B₁ + B₂) (f₁ + f₂)