ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I J : Ideal A
HI : IsHomogeneous 𝒜 I
HJ : IsHomogeneous 𝒜 J
⊢ IsHomogeneous 𝒜 (I ⊔ J)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ OpenEmbedding ⇑h
S : CategoryTheory.ShortComplex Ab
hS : S.ShortExact
⊢ Function.Surjective ⇑S.g
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
ι : Type u_2
f : ι → Set (α → M)
hf : ∀ (i : ι), A.Definable L (f i)
s : Finset ι
⊢ A.Definable L (⋃ i ∈ s, f i)
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ a / b ≤ a ↔ 1 ≤ b
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
s₁ s₂ s₃ : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets s₁ s₂ κ μ
h32 : s₃ ⊆ s₂
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets s₁ s₃ κ μ
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
CategoryTheory.Limits.HasLimit G
α : F ⟶ G
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.limMap α ≫ CategoryTheory.Limits.limit.π G j = CategoryTheory.Limits.limit.π F j ≫ α.app j
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
hr₁ : ↑p * r = 0
u : R
hu : u * ↑p = 1
⊢ False
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℂ
hy : y.re ≠ 0
⊢ abs (↑x ^ y) = x ^ y.re
α : Type u_2
OrderedCommMonoid α
s : NonemptyInterval α
n : ℕ
⊢ ↑(s ^ n) = ↑s ^ n
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ Ideal.span {x} * I = Ideal.span {x} * J ↔ I = J
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
⊢ (map f p).natDegree = p.natDegree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p.natDegree = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
T : C
g : T ⟶ W
hg : (GrothendieckTopology.Cover.sieve ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩).arrows g
eq₁ : liftAux hF α s f ≫ F.map (a.op ≫ g.op) = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ R.map (𝟙 (op (G.obj T))) ≫ α.app (op T)
eq₂ : liftAux hF α s f' ≫ F.map (b.op ≫ g.op) = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ R.map (𝟙 (op (G.obj T))) ≫ α.app (op T)
⊢ (liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map g.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map g.op
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommGroup α
AddCommGroup β
x : WithLp p (α × β)
⊢ (-x).2 = -x.2
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
⊢ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, f x ≤ ∑ i ∈ Finset.Ico a b, f ↑(i + 1)
R : Type u_3
CommRing R
IsDomain R
Finite R
⊢ IsField R
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
α : X ≅ Y
f : CategoryTheory.Aut X
⊢ F.mapIso (α.conjAut f) = (F.mapIso α).conjAut (F.mapIso f)
α : Type u_2
DecidableEq α
MulZeroClass α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ s * 0 = 0
α : Type u_1
s : Finset α
f✝ : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
ha : a ∉ s
f : α → ℕ
⊢ multinomial (cons a s ha) f = (f a + ∑ i ∈ s, f i).choose (f a) * multinomial s f
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 - ε ↑y
h_smoothing_gt_half : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 1 / 2 < 1 - ε ↑y
h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)
h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
n₀_pos : 0 < n₀
h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 - ε ↑(r i y)
bound1 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), ↑(r i y) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i y)) ≤ b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 - ε ↑y)
h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 - ε ↑y
h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), c₁ * g ↑y ≤ sumTransform (p a b) g (r i y) y
h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)
h_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty
base_max : ℝ := (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).sup' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 - ε ↑n) * asympBound g a b n)
C : ℝ := max (2 * c₁⁻¹) base_max
hC : C = max (2 * c₁⁻¹) base_max
n : ℕ
hn : n ≥ n₀
h_base : ∀ n ∈ Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀, T n ≤ C * ((1 - ε ↑n) * asympBound g a b n)
h_asympBound_pos' : 0 < asympBound g a b n
h_one_sub_smoothingFn_pos' : 0 < 1 - ε ↑n
⊢ T n ≤ C * ((1 - ε ↑n) * asympBound g a b n)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t
⊢ (∀ (i : ι), Disjoint (t i) (sSup (t '' {j | j ≠ i}))) ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (t i) (sSup {a | ∃ j, j ≠ i ∧ t j = a})
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t t' : Finset β
ht : Disjoint t t'
⊢ Disjoint (interedges r s t) (interedges r s t')
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
s : Set ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))
⊢ ⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' PrimeSpectrum.zeroLocus s = X.toRingedSpace.zeroLocus s
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a
h' : b ≠ 0
hb : b < ℵ₀
this : b ≤ a
⊢ a ≤ a * b
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCompletion I M
a : AdicCauchySequence I M
hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0
n : ℕ
x✝ : n ≥ 42
⊢ ↑a (n + k) ∈ I ^ n • ⊤
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
f : A ≃ₐc[R] B
⊢ f.toAlgEquiv = ↑f
x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℝ
⊢ x ^ y = rexp (Real.log x * y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (φ₁ + φ₂) =
  CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ₁ + CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ₂
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Profinite.NobelingProof.Products I
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
hl : ∀ i ∈ ↑l, Profinite.NobelingProof.ord I i < o₁
⊢ Profinite.NobelingProof.Products.eval (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o₂) ''
    {m | m < l} =
  ⇑(Profinite.NobelingProof.πs' C h) ''
    (Profinite.NobelingProof.Products.eval
        (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o₁) ''
      {m | m < l})
a : UnitAddCircle
s : ℂ
h : a ≠ 0 ∨ s ≠ 0
⊢ HurwitzZeta.hurwitzZetaEven a s = HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
f4 : φ 4 = 4
⊢ φ P.b ^ 2 * φ P.c ^ 2 - φ 4 * φ P.a * φ P.c ^ 3 - φ 4 * φ P.b ^ 3 * φ P.d - φ 27 * φ P.a ^ 2 * φ P.d ^ 2 + φ 18 * φ P.a * φ P.b * φ P.c * φ P.d = (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2
α : Type u
s : Set (Set α)
i✝ i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
IH : ∀ (y : (Quotient.out (aleph 1).ord).α), (Quotient.out (aleph 1).ord).r y i → #↑(generateMeasurableRec s y) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
A : ℵ₀ ≤ aleph 1
B : aleph 1 ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
C : ℵ₀ ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
J : #↑(⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
⊢ #↑(range fun f => ⋃ n, ↑(f n)) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t s : Set E
⊢ Bornology.IsBounded ((convexHull ℝ) s) ↔ Bornology.IsBounded s
α : Type u_6
LE α
⊢ (OrderIso.refl α).symm = OrderIso.refl α
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
y : Y
⊢ Filter.comap (⇑h) (𝓝 y) = 𝓝 (h.symm y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
s : Set α
a : α
di : DenseInducing i
U : Set β
sub : i ⁻¹' U ⊆ s
haU : i a ∈ U
hUo : IsOpen U
⊢ closure (i '' s) ∈ 𝓝 (i a)
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h : ∀ (x : G), x ∈ H ↔ x ∈ K
⊢ H = K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cofan fun i => f i.succ
c₂ : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : CategoryTheory.IsVanKampenColimit c₁
t₂ : CategoryTheory.IsVanKampenColimit c₂
∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), CategoryTheory.Limits.HasPullback c₂.inr i
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ CategoryTheory.IsVanKampenColimit (CategoryTheory.extendCofan c₁ c₂)
ι : Type u_1
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} W₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_4} W₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms W₂
e : W₁ ≌ W₂
e.functor.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
⊢ (e.mapHomologicalComplex c).unitIso =
  (CategoryTheory.Functor.mapHomologicalComplexIdIso W₁ c).symm ≪≫
    CategoryTheory.NatIso.mapHomologicalComplex e.unitIso c
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
ι : Type u_2
Fintype ι
E : ι → Type u_3
f : (i : ι) → E i → 𝕜
(i : ι) → MeasureTheory.MeasureSpace (E i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite MeasureTheory.volume
hf : ∀ (i : ι), MeasureTheory.Integrable (f i) MeasureTheory.volume
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => ∏ i : ι, f i (x i)) MeasureTheory.volume
α : Type u_2
Zero α
s : Set α
⊢ 0 ⊆ s ↔ 0 ∈ s
R : Type u
M : Type v
AddCommGroup M
CommRing R
Module R M
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
(ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
x : M
hx : x ∈ N
⊢ Submodule.IsPrincipal.generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ ϕ ⟨x, ⋯⟩
Fq : Type
Field Fq
DecidableEq (RatFunc Fq)
x y : RatFunc Fq
⊢ FunctionField.inftyValuationDef Fq (x + y) ≤
  max (FunctionField.inftyValuationDef Fq x) (FunctionField.inftyValuationDef Fq y)
R✝ : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R✝
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_6
inst✝ : CommRing R
M : Matrix m n R
⊢ (Function.Injective fun x => M *ᵥ x) ↔ LinearIndependent R fun i => Mᵀ i
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s
p' : ℕ → X := fun k => if h : k < n + 1 then p ⟨k, h⟩ else p ⟨0, ⋯⟩
γ : Path (p' 0) (p' n)
hγ : (∀ i ≤ n, p' i ∈ range ⇑γ) ∧ range ⇑γ ⊆ s
⊢ ∃ γ, range ⇑γ ⊆ s ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
U V : Submodule R (Module.Dual R M)
hUV : U ≤ V
⊢ V.dualCoannihilator ≤ U.dualCoannihilator
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
f : End R M
μ : R
⊢ f.maxGenEigenspace μ = (f.genEigenspace μ) (f.maxGenEigenspaceIndex μ)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Mul α
Mul β
Mul γ
e₁ : α ≃* β
e₂ : β ≃* γ
⊢ e₁.withOneCongr.trans e₂.withOneCongr = (e₁.trans e₂).withOneCongr
X : Scheme
U : X.Opens
this : Scheme.Spec.map (X.presheaf.map (𝟙 (op U))).op = 𝟙 (Scheme.Spec.obj (op Γ(X, U)))
W : (Spec Γ(X, U)).Opens
⊢ Hom.app (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)) W = eqToHom ⋯
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b
s : Set α
⊢ Dense s ↔ ∀ o ∈ b, o.Nonempty → (o ∩ s).Nonempty
S : Type u_1
CommSemiring S
A : Type u_2
Semiring A
Algebra S A
B : Type u_3
Semiring B
Algebra S B
s : A → A → Prop
f : A →ₐ[S] B
h : ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y
⊢ RingQuot.preLiftAlgHom S h =
  { toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯,
    commutes' := ⋯ }
Γ : Type u_1
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ
AddCommMonoid V
SMul R V
⊢ (HahnModule.of R) 0 = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : G ⊣ F
F.Full
F.Faithful
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Localization.LeftBousfield.W (fun x => x ∈ Set.range F.obj) f ↔ CategoryTheory.IsIso (G.map f)
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
h : ¬FiniteDimensional K V
⊢ FiniteDimensional.finrank K V = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
hd : AEDisjoint μ s t
⊢ ∀ (i : Bool), NullMeasurableSet (bif i then s else t) μ
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), H ≤ comap ϕ.symm.toMonoidHom H
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
⊢ UniformEmbedding f ↔ Function.Injective f ∧ UniformContinuous f ∧ ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, dist (f a) (f b) < ε → dist a b < δ
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
m : Multiset α
n : α → Multiset β
f : β → γ
⊢ Multiset.map f (m.bind n) = m.bind fun a => Multiset.map f (n a)
α : Type u_1
Mul α
Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm (x * y) = (equivShrink α).symm x * (equivShrink α).symm y
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
AddCommMonoid ι
DirectSum.GCommSemiring A
a b : DirectSum ι fun i => A i
⊢ a * b = b * a
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
p : α → Prop
x : F α
⊢ Functor.Liftp p x ↔ ∃ u, QPF.abs u = x ∧ ∀ (i : (QPF.P F).B u.fst), p (u.snd i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
⊢ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ univ) / (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
⊢ n + 1 ≤ ⌈a⌉₊ ↔ ↑n < a
R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Field R
d : n → R
μ : R
⊢ μ ∈ spectrum R (diagonal d) ↔ μ ∈ Set.range d
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithBot.some ⁻¹' Set.Ici ↑a = Set.Ici a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
f : F → G
x : E
y : F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f y
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x.2) (x, y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 x t
⊢ StarConvex 𝕜 x (s ∩ t)
ι : Type v
ι' : Type v'
f : ι → Cardinal.{v}
f' : ι' → Cardinal.{v'}
hf : BddAbove (Set.range f)
hf' : BddAbove (Set.range f')
g : ι → ι'
h : ∀ (i : ι), Cardinal.lift.{v', v} (f i) ≤ Cardinal.lift.{v, v'} (f' (g i))
⊢ Cardinal.lift.{v', v} (iSup f) ≤ Cardinal.lift.{v, v'} (iSup f')
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
a : A
n : ℕ
⊢ mulRight R a ^ n = mulRight R (a ^ n)
R : Type u
ι : Type v
A : Type w
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Coalgebra R A
i : ι
a : A
⊢ Coalgebra.counit (Finsupp.single i a) = Coalgebra.counit a
ι : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
CommMonoid M
ContinuousMul M
f : ι → X → M
p : ι → Prop
hc : ∀ (i : ι), p i → Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => Function.mulSupport (f i)
⊢ Continuous fun x => ∏ᶠ (i : ι) (_ : p i), f i x
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
s : ℕ
⊢ Valued.v ((ofPowerSeries ℤ K) PowerSeries.X ^ s) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑s))
α : Type u
β : Type v
M : Type w
DecidableEq β
Fintype α
Fintype β
f : α → β
b : M
LinearOrderedCommSemiring M
hb : Fintype.card β • b < ↑(Fintype.card α)
⊢ ∃ y, b < ↑(Finset.filter (fun x => f x = y) Finset.univ).card
G : Type u_1
DivInvMonoid G
a : G
n : ℕ
⊢ 0 < n → a ^ (-↑n) = (a ^ n)⁻¹
x y : ℝ
⊢ sinh x - cosh x = -rexp (-x)
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : NatPowAssoc R
n : ℤ
m : ℕ
⊢ ↑(n ^ (m + 1)) = ↑n ^ (m + 1)
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h : j.castSucc ≥ i
⊢ i.cycleRange (i.succAbove j) = j.succ
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
M : ModuleCat R
inst✝ : Subsingleton ↑M
X : ModuleCat R
f : M ⟶ X
x : ↑M
⊢ f x = default x
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Finset α
hs : a ∉ s
⊢ t.erase a = s ↔ t = s ∨ t = insert a s
a x z✝ z : ℂ
hz : z.im < 0
h₀ : z ≠ 0
⊢ -z.arg ≤ π
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : TopologicalSpace V
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁷ : T2Space V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
inst✝⁵ : BorelSpace V
inst✝⁴ : Module ℝ V
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
V' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ V))
A : V ≃L[ℝ] V'
this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'
this✝ : BorelSpace V'
Aₘ : V ≃ᵐ V' := A.toHomeomorph.toMeasurableEquiv
Adualₗ : (V →L[ℝ] ℝ) ≃ₗ[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toFun := fun t => t.comp ↑A.symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun t => t.comp ↑A, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
Adual : (V →L[ℝ] ℝ) ≃L[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toLinearEquiv := Adualₗ, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
⊢ Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
f : ↥(affineSpan 𝕜 s) ≃ₜ ↥(map φ.toAffineMap (affineSpan 𝕜 s)) := (isometryEquivMap φ (affineSpan 𝕜 s)).toHomeomorph
⊢ intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 s
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
⊢ ∀ (y : R), IsUnit (-x * y + 1)
n : ℕ
K : Type u_2
Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
CharZero K
⊢ minpoly ℤ μ ∣ Polynomial.cyclotomic n ℤ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t✝ u : Set α
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
hf : Measurable f
h : {x | f x ≠ g x}.Countable
t : Set β
ht : MeasurableSet t
⊢ MeasurableSet (g ⁻¹' t)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
inst✝ : Monoid H
f : G →* H
hf : Injective ⇑f
⊢ IsOfFinOrder (f x) ↔ IsOfFinOrder x
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
⊢ x.valMinAbs * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
Subsingleton α
hε : ε ≠ 0
⊢ Metric.sphere x ε = ∅
α : Type u_1
M : Matroid α
I X Y : Set α
hI : M.Basis I X
hIY : I ⊆ Y
hYX : Y ⊆ X
⊢ M.Basis I Y
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Set α → Set α → Filter β
⊢ (f.lift fun s => f.lift (g s)) ≤ f.lift fun s => g s s
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
i : Fin (n + 1)
x : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
⊢ i.insertNth x p i = x
x : ℝ
h : Irrational x
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ x ≠ OfNat.ofNat n
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
⊢ T_gen p F a > 0
n : ℕ
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module (ZMod n) M
S : Submodule (ZMod n) M
⊢ (AddSubgroup.toZModSubmodule n) S.toAddSubgroup = S
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
⊢ nil = some <$> Seq.nil
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
⊢ (∫⁻ (a : α) in s, preCDF ρ r a ∂ρ.fst).toReal = ((ρ.IicSnd ↑r) s).toReal
o : Ordinal.{u_1}
a : Ordinal.{u_1}
h : a < o * ω
⊢ ∃ i, a < o * ↑i + o
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
⊢ (convexHull 𝕜) s ⊆ ↑(affineSpan 𝕜 s)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree < p.degree
⊢ (p - q).leadingCoeff = p.leadingCoeff
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H✝ H : Subgroup G
h : H.Normal
f : G →* N
hf : Surjective ⇑f
⊢ (Subgroup.map f H).Normal
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
f : M →ₛₗ[σ] M₃
⊢ f.toFun = ⇑f
⊢ HurwitzZeta.hurwitzZeta 0 = riemannZeta
k : ℕ
⊢ k.rawCast = Nat.rawCast 1 * k
self : IncidenceGeometry
α β : IncidenceGeometry.Circle
⊢ IncidenceGeometry.circlesInter α β →
  ∃ a b,
    a ≠ b ∧
      IncidenceGeometry.onCircle a α ∧
        IncidenceGeometry.onCircle a β ∧ IncidenceGeometry.onCircle b α ∧ IncidenceGeometry.onCircle b β
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
c : R
hac : 0 = a + c
d : R
hbd : 0 = b + d
hd : 0 ≤ d
⊢ a ^ n + (c ^ n + d ^ n) < b ^ n + (c ^ n + d ^ n)
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} F
G : CategoryTheory.Functor C E
H : CategoryTheory.Functor D F
L₁ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ : CategoryTheory.Functor D C
L₂ : CategoryTheory.Functor E F
R₂ : CategoryTheory.Functor F E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁.comp G ⟶ H.comp R₂
c : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map (adj₁.unit.app c)) (α.app (L₁.obj c)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj₂.unit.app (G.obj ((CategoryTheory.Functor.id C).obj c)))
    (R₂.map (((CategoryTheory.mateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app ((CategoryTheory.Functor.id C).obj c)))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
⊢ ∀ (a : α) (b : ℕ) (f : α →₀ ℕ), a ∉ f.support → b ≠ 0 → (toMultiset f).toFinset = f.support → (toMultiset (single a b + f)).toFinset = (single a b + f).support
G : Type u_1
AddGroup G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
AddSubgroupClass S G
x y : ↥H
⊢ ↑(x - y) = ↑x - ↑y
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
AddGroup α
AddAction α β
s : Finset β
a : α
b : β
⊢ -a +ᵥ b ∈ s ↔ b ∈ a +ᵥ s