ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
A : Type u_4
CommSemiring A
Algebra A R
m : A
⊢ Localization.mk ((algebraMap A R) m) 1 = (algebraMap A (Localization M)) m
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α
h : ∀ (i j : ℕ) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → l[i] ≠ l[j]
i : ℕ
hi : i < l.length
j : ℕ
hj : j < l.length
hg : (fun i => l[↑i]) ⟨i, hi⟩ = (fun i => l[↑i]) ⟨j, hj⟩
hji : j < i
⊢ ⟨i, hi⟩ = ⟨j, hj⟩
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Gmodule A M
a b : ⨁ (i : ιA), A i
c : ⨁ (i : ιB), M i
⊢ (a * b) • c = a • b • c
R : Type u_1
M : Type u_2
NormedField R
SeminormedAddCommGroup M
NormedSpace R M
c : R
hc : c ≠ 0
⊢ IsConformalMap (c • ContinuousLinearMap.id R M)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Subspace 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] 𝕜
this✝¹ : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E
this✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E := RestrictScalars.isScalarTower ℝ 𝕜 E
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
fr : ↥p →L[ℝ] ℝ := reCLM.comp (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f)
⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x✝ c : ℂ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r ≠ -1
⊢ HasDerivAt (fun y => ↑y ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) x
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
a : (i : ι) × α i
⊢ (A a.fst).subtype ((v a.fst) a.snd) = ↑((v a.fst) a.snd)
R : Type u
CommSemiring R
s t : Set R
h : s ⊆ t
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus t ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus s
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
v : V
p₁ p₂ : P
hv : v ≠ 0
r : ℝ
⊢ dist (r • v +ᵥ p₁) p₂ = dist p₁ p₂ ↔ r = 0 ∨ r = -2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
u : Rˣ
v : Module.Ray R M
⊢ u • v = v ↔ 0 < ↑u
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b b' : β a
s✝ : Finmap β
s : AList β
⊢ insert a b' (insert a b ⟦s⟧) = insert a b' ⟦s⟧
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
hf : Inducing f
h : StableUnderGeneralization (Set.range f)
x y : X
e : f y ⤳ f x
⊢ ∃ a', (fun x x_1 => x ⤳ x_1) a' x ∧ f a' = f y
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : Comon_ C
f g : X ⟶ Y
w : f.hom = g.hom
⊢ f = g
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
α : Ext X Y n
m : ℕ
β : Ext Y Z m
p : ℕ
h : n + m = p
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
⊢ ((-α).comp β h).hom = (-α.comp β h).hom
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
D₁ : Type u_1
D₂ : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} D₁
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
F : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : Φ.HasRightResolutions
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ F
⊢ Φ.IsRightDerivabilityStructure ↔ TwoSquare.GuitartExact e.hom
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
(i : ι) → Preorder (π i)
a b c : (i : ι) → π i
hab : a ≤ b
hbc : StrongLT b c
⊢ StrongLT a c
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
x : A
p : Submodule R A
⊢ Submodule.span R {x} * p = x • p
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E
Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F
Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G
isoE : Eu ≃L[𝕜] E
isoF : Fu ≃L[𝕜] F
isoG : Gu ≃L[𝕜] G
fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE
fu_diff : ContDiffOn 𝕜 n fu (⇑isoE ⁻¹' s)
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm ∘ g) ∘ ⇑isoF
gu_diff : ContDiffOn 𝕜 n gu (⇑isoF ⁻¹' t)
main : ContDiffOn 𝕜 n (gu ∘ fu) (⇑isoE ⁻¹' s)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
α₁ : Type u_1
β₁ : Type u_2
β₂ : Type u_3
α₂ : Type u_4
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₂ : α₁ → β₁ ≃ β₂
⊢ ⇑(e₁.prodShear e₂) = fun x => (e₁ x.1, (e₂ x.1) x.2)
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E ⊤)
⊢ ‖-f‖ = ‖f‖
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ lieIdealSubalgebra R L I = I.incl.range
K : Type u_1
n : Type u_2
NormedField K
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix n n K
h : ∀ (k : n), ∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖ < ‖A k k‖
⊢ A.det ≠ 0
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x c : ℂ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hg : HasDerivWithinAt g g' s x
h0 : f x ∈ slitPlane
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => f x ^ g x) (g x * f x ^ (g x - 1) * f' + f x ^ g x * Complex.log (f x) * g') s x
R✝ : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R✝
m n : ℕ
inst✝³ : Semiring R✝
p✝ q r : R✝[X]
inst✝² : Semiring S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
p : R[X]
i : ℤ
⊢ eval (↑i) (map f p) = f (eval (↑i) p)
R : Type u
Ring R
⊢ ↑(Subring.center R) = Set.center R
R : Type u_7
S : Type u_8
CommRing R
Ring S
Algebra R S
self : PowerBasis R S
i : Fin self.dim
⊢ self.basis i = self.gen ^ ↑i
α : Type u
s : Set α
⊢ s ⊆ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
b : ℝ≥0∞
h : ∑ x ∈ insert b (f.range \ {0}), x * μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
⊢ b * μ (↑f ⁻¹' {b}) ≠ ⊤
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)
⊢ ((cons i s hi).biUnion f').card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ e.IsImage e.source e.target
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a✝ b : G₀
u : G₀ˣ
hu : ∀ (g : G₀ˣ), g * u = u * g
a : G₀
⊢ a * ↑u = ↑u * a
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective (Submonoid.map f)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
x : R
w : p ≠ 0
⊢ x ∈ p.roots ↔ (aeval x) p = 0
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
F : J ⥤ AddCommGrp
⊢ Quot.mk Setoid.r AddCommGrp.Colimits.Prequotient.zero = 0
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : Submonoid P
k : P ≃* M
H : Submonoid.map k.toMonoidHom T = S
x : P
⊢ (f.ofMulEquivOfDom H).toMap x = f.toMap (k x)
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
S : Type u_9
SetLike S E
AddSubgroupClass S E
s : S
x : ↥s
⊢ ‖x‖ = ‖↑x‖
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
j : ι
⊢ (b₂.coords x ᵥ* b.toMatrix ⇑b₂) j = (b.coord j) x
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
x : L
h : (charpoly (φ x)).coeff (charpoly (φ x)).natTrailingDegree = 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r ε : ℝ
hε : 0 < ε
hr : 0 < r
x : E
L₁ L₂ : E →L[𝕜] F
h₁ : x ∈ A f L₁ r ε
h₂ : x ∈ A f L₂ r ε
⊢ ∀ (x : E), r / 2 / ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < r / 2 → ‖(L₁ - L₂) x‖ ≤ 4 * ‖c‖ * ε * ‖x‖
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : 0 < C
⊢ ∃ η < 1, ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (W ∩ closedBall (w j) (r₁ (f j))) / μ (closedBall (w j) (r₁ (f j))) ≤ ↑η
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : T0Space α
s : Set α
h : IsComplete s
a : α
ha : ClusterPt a (𝓟 s)
f : Filter α := 𝓝[s] a
this : Cauchy f
⊢ a ∈ s
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
⊢ x ^ y * x ^ z ≤ x ^ (y + z)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r : R
hr : ‖r‖ < 1
⊢ Summable fun n => ‖↑n ^ k * r ^ n‖
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
this : Tendsto (fun r => μ (toMeasurable μ s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
r : ℝ
⊢ μ (toMeasurable μ s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t) = μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)
M : Type u
N : Type v
Monoid M
Monoid N
e : M ≃* N
⊢ e.toSingleObjEquiv.unitIso.hom = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
m n : PosNum
⊢ Ordering.casesOn (m.cmp n) (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m) → (m.cmp n = Ordering.eq ↔ m = n)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : Type u_3
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F ↥L
⊢ Module.rank E ↥(IntermediateField.adjoin E ↑L) ≤ Module.rank F ↥L
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
conjeq : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) ((mateEquiv h h) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))) = (conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))
B : C
⊢ (h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ prodComparison (L ⋙ F) (F.obj A) (F.obj B)) ≫ prod.map (F.map (h.counit.app A)) (F.map (h.counit.app B)) = 𝟙 (F.obj A ⨯ F.obj B)
R : Type u
N : Type w
CommSemiring R
σ : Type u_1
DecidableEq σ
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
CommSemiring N
Algebra R N
⊢ MvPolynomial.rTensorAlgHom.toLinearMap = ↑MvPolynomial.rTensor
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
f : β → α
g : β → Mathlib.Vector α n
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun b => Mathlib.Vector.insertNth (f b) i (g b)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
hs : s ∈ 𝒜
h : s.erase a ∉ 𝒜
⊢ insert a (s.erase a) ∈ 𝒜
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N : L.Substructure M
⊢ N.FG ↔ ∃ n s, (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun (Set.range s) = N
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ a ♯ b < a ♯ c → b < c
m n : ℕ∞
hm : m ≠ ⊤
⊢ ¬IsMax m
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < wellOrderSucc b
this : b < a
⊢ False
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ : P
h : (∡ p₁ p p₂).sign = 0
⊢ p₁ = p ∨ p₂ = p ∨ ∠ p₁ p p₂ = 0 ∨ ∠ p₁ p p₂ = π
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝ : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
f g : F[X]
sf : Multiset E := (Polynomial.map ϕ f).roots
sg : Multiset E := (Polynomial.map ϕ g).roots
s : Finset E := (sf.bind fun α' => Multiset.map (fun β' => -(α' - α) / (β' - β)) sg).toFinset
s' : Finset F := s.preimage ⇑ϕ ⋯
⊢ ∃ c, ∀ α' ∈ (Polynomial.map ϕ f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map ϕ g).roots, -(α' - α) / (β' - β) ≠ ϕ c
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
⊢ s.head.Terminates ↔ s.destruct.Terminates
M : Type u_1
Add M
c d : AddCon M
H : ∀ (x y : M), c x y ↔ d x y
⊢ c = d
α : Type u_1
MonoidWithZero α
⊢ ¬Irreducible 0
R : Type u_1
M : Type u_2
Monoid R
MulAction R M
Monoid M
IsScalarTower R M M
SMulCommClass R M M
p : SubMulAction R M
n : ℕ
⊢ ↑p ^ n ⊆ ↑(p ^ n)
K : Type u_1
NontriviallyNormedField K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
n : ℕ∞
ι : Type u_6
Fintype ι
F' : ι → Type u_8
(i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
(i : ι) → NormedSpace K (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
hΦ : ∀ (i : ι), ContDiff K n fun x => Φ x i
⊢ ContDiff K n Φ
β : Type ub
V W M : Set (β × β)
hW' : SymmetricRel W
p : β × β
⊢ p ∈ V ○ M ○ W ↔ (UniformSpace.ball p.1 V ×ˢ UniformSpace.ball p.2 W ∩ M).Nonempty
z w : ℍ
r R : ℝ
h : z.re = w.re
h₀ : 0 < z.im / w.im
⊢ dist z.im (w.im * ((z.im / w.im + w.im / z.im) / 2)) = w.im * |(z.im / w.im - w.im / z.im) / 2|
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K✝ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : AddCommGroup M✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M'
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M''
inst✝⁹ : Module R M✝
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
a b : R
x y : M✝
K : Type u_8
M : Type u_9
L : Type u_10
inst✝⁶ : CommRing K
inst✝⁵ : Semiring M
inst✝⁴ : Algebra K M
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K L
⊢ Injective fun r => (algebraMap K L) r
B : Type u
self : CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g h i : b ⟶ c
η : g ⟶ h
θ : h ⟶ i
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp η θ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η)
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f θ)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
a : 𝕜'
ha : a ≠ 0
⊢ logDeriv (fun z => f z * a) x = logDeriv f x
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
⊢ (↑(Finset.range s.card)).PairwiseDisjoint fun k => Finset.map { toFun := fun i => (i, (f ^ k) i), inj' := ⋯ } s
R : Type u
CommSemiring R
x y : R
⊢ x • y = x * y
n : ℕ
x✝ x : ℤ × ℤ
⊢ ∃! n, x ∈ box n
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
t : Set F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (s ×ˢ t)
R : Type u
Semiring R
I : Ideal R
⊢ Ideal.map (RingHom.id R) I = I
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R
⊢ W'.addX (u • P) (v • Q) = ((u * v) ^ 2) ^ 2 * W'.addX P Q
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : F
hf : LinearMap.range f = ⊤
p p' : Submodule R₂ M₂
⊢ Submodule.comap f p ≤ Submodule.comap f p' ↔ p ≤ p'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
self : CategoryTheory.Limits.InitialMonoClass C
I : C
X : C
hI : CategoryTheory.Limits.IsInitial I
⊢ CategoryTheory.Mono (hI.to X)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
A : C
i₁₂ : I₁₂
f g : (K.total c₁₂).X i₁₂ ⟶ A
h : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (hi : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂), K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ hi ≫ f = K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ hi ≫ g
⊢ f = g
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ p.removeZero 0 = 0
n m : ℕ
α : Type u_1
f : Fin (n + m) → α
a : α
⊢ Fin.snoc f a ∘ Fin.castAdd (m + 1) = f ∘ Fin.castAdd m
G : Type u_1
AddCommGroup G
A : Finset (G × G)
hs : IsCornerFree ↑A
⊢ SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.NoAccidental (Corners.triangleIndices A)
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a
⊢ a * b ≤ max a b
α : Type u_1
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
s : Set α
x : F
⊢ (MeasureTheory.weightedSMul μ s) (c • x) = c • (MeasureTheory.weightedSMul μ s) x
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} J
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
∀ (n : ι), CategoryTheory.Limits.HasLimit (F ⋙ HomologicalComplex.eval C c n)
n : ι
⊢ (HomologicalComplex.coneOfHasLimitEval F).pt.X n = CategoryTheory.Limits.limit (F ⋙ HomologicalComplex.eval C c n)
a b : ℂ
h : b ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun x => a ^ x) b
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
a b : R
⊢ min ((DiscreteValuationRing.addVal R) a) ((DiscreteValuationRing.addVal R) b) ≤ (DiscreteValuationRing.addVal R) (a + b)
R : Type u_1
Add R
Mul R
c : RingCon R
⊢ RingCon.opOrderIso c = c.op
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a b : α
h : ¬Finite a b
n : ℕ
⊢ 1 ∣ b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hf : MonotoneOn f s
hs : Convex 𝕜 s
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ r ≤ f x}
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁺ + a⁻ = |a|
Γ : Type u_1
R : Type u_2
Zero R
LinearOrder Γ
LocallyFiniteOrder Γ
f : Γ → R
hf : BddBelow (Function.support f)
⊢ ∀ (a : Γ), (HahnSeries.ofSuppBddBelow f hf).coeff a = f a
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁ + s₂).lcm = lcm s₁.lcm s₂.lcm
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f₀ f₁ : E → F
f' : F
s : Set E
x v : E
h : f₀ =ᶠ[𝓝[s] x] f₁
hx : x ∈ s
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f₀ f' s x v ↔ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f₁ f' s x v
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
ι : Type u_5
s : Finset ι
φ : ι → MvPolynomial σ R
n : ℕ
h : ∀ i ∈ s, (φ i).IsHomogeneous n
⊢ (∑ i ∈ s, φ i).IsHomogeneous n
V : Type u
G : SimpleGraph V
K : Set V
C : G.ComponentCompl K
⊢ ∃ v, ∃ (h : v ∉ K), G.componentComplMk h = C
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
⊢ MDifferentiableOn I I' f univ ↔ MDifferentiable I I' f
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
x : PrimeSpectrum R
⊢ x ∈ support R N → x ∈ support R M ∪ support R P
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
⊢ φ.totalDegree ≤ n
ι : Type u_1
α : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring α
TopologicalSpace α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
T2Space α
a : α
h : ∀ (i : ι), Commute (f i) a
⊢ Commute (∑' (i : ι), f i) a
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a => ∀ (n : ℤ), t.LE n ≤ t.LE (n + ↑a)
⊢ ∀ (a : ℕ), H a