ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ f.toMap ↑y + f.mk' x y = f.toMap x
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α → M
⊢ Function.support f = ∅ ↔ f = 0
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
⊢ slope f x y < f'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s
⊢ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s = f' ⁻¹' (s₁ ∩ s) ∩ f '' s
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
hn : n ≤ FiniteDimensional.finrank R M
⊢ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent R Subtype.val
α : Type u
a b : α
CommSemiring α
I : Ideal α
m n k : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
hb : b ^ n ∈ I
hk : m + n ≤ k + 1
⊢ (a + b) ^ k ∈ I
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
⊢ Continuous fun x => Metric.infNndist x s
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0
q r : ℚ
hqr : q ≤ r
x : ℝ
hx : x ≤ -↑r
⊢ x ≤ -↑q
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ μ.withDensity g = μ.withDensity f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : MeasureTheory.Measure β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑e) μ μ'
⊢ PreErgodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' ↔ PreErgodic f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
f : α → β
g : α → List β
⊢ map f l ++ l.bind g ~ l.bind fun x => f x :: g x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Mul G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
⊢ Smooth (I.prod I) I fun p => p.1 * p.2
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
x : α
adhs : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ f, t ×ˢ t ⊆ s ∧ ∃ y, (x, y) ∈ s ∧ y ∈ t
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 x
U : Set (α × α)
U_mem : U ∈ 𝓤 α
hU : U ○ U ⊆ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s}
⊢ s ∈ f
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
w : #α < #β
w' : ℵ₀ ≤ #α
⊢ ∃ a, ℵ₀ ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
a b : Ordinal.{u}
⊢ a ♯ b = max (a.blsub fun a' x => a' ♯ b) (b.blsub fun b' x => a ♯ b')
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
f : F[X]
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
eval_f : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = r i
⊢ f = (interpolate s v) r
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0
⊢ X ^ f.order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order hf = f
α : Type u
AddMonoid α
⊢ ↑0 = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace β
μb : Measure β
g : β →ₘ[μb] E
hg : g ∈ Lp E p μb
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μ μb
⊢ g.compMeasurePreserving f hf ∈ Lp E p μ
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α →o β
g : α →o γ
⊢ OrderHom.snd.comp (f.prod g) = g
R : Type u_2
K : Type ?u.52420
L : Type ?u.52423
S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : DecidableEq S
y : S
hy : (aeval y) (minpoly R x) = 0
⊢ eval₂ ((RingHom.id S).comp (algebraMap R S)) y (minpoly R x) = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
f : CategoryTheory.yoneda.obj (Opposite.unop X) ⟶ F
g : X ⟶ Y
⊢ F.map g (CategoryTheory.yonedaEquiv f) =
  CategoryTheory.yonedaEquiv (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.yoneda.map g.unop) f)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f g : A
x : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ x ∈ zeroLocus 𝒜 {f * g} ↔ x ∈ zeroLocus 𝒜 {f} ∪ zeroLocus 𝒜 {g}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
S : Set (Set α)
hS : ∀ s ∈ S, IsOpen s
h : ∀ s ∈ S, TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p (⋃₀ S)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G H : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
⊢ CategoryTheory.NatTrans.rightOp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.NatTrans.rightOp β) (CategoryTheory.NatTrans.rightOp α)
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
f : k →+* K
w : NumberField.InfinitePlace K
hφ : w.IsReal
⊢ (w.comap f).IsReal
α : Type u
β : Type v
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
σ : Perm (m ⊕ n)
⊢ Set.MapsTo (⇑σ) (Set.range Sum.inl) (Set.range Sum.inl) ↔ Set.MapsTo (⇑σ) (Set.range Sum.inr) (Set.range Sum.inr)
x : ℝ
h : x ≤ 0
⊢ √x = 0
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
φ : α ≃ₜ β
s : Set β
⊢ (interior s).Nonempty ↔ (interior (⇑φ ⁻¹' s)).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
hs : (f '' s).Nontrivial
⊢ s.Nontrivial
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
a : Γ
r : R
h : r ≠ 0
⊢ ((HahnSeries.single a) r).orderTop = ↑a
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
x y : E
h : r ∈ Icc 0 1
⊢ (1 - 0) * dist y x = dist y x
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
⊢ Disjoint (s₁ ×ˢ t₁) (s₂ ×ˢ t₂) ↔ Disjoint s₁ s₂ ∨ Disjoint t₁ t₂
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A
h0 : m ≠ 0
⊢ ∃ g', ∀ (x : ℤ) (mem : x ∈ Submodule.span ℤ {m}), g' x = g ⟨x, mem⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
ContinuousMul G₀
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f g : α → G₀
h : α → G₀ → β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hh : ∀ (a : α), g a ≠ 0 → ContinuousAt (↿h) (a, f a / g a)
h2h : ∀ (a : α), g a = 0 → Filter.Tendsto (↿h) (𝓝 a ×ˢ ⊤) (𝓝 (h a 0))
⊢ Continuous fun x => h x (f x / g x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
a : α
c : γ
⊢ (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).Adj (Sum3.in₂ c) (Sum3.in₀ a) ↔ ∃ x ∈ t, x.2.2 = c ∧ x.1 = a
x : ℝ
n : ℕ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
h : DifferentiableAt 𝕜 (fun y => c + f y) x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
v : V
e : Sym2 V
h : e ∈ G.incidenceSet v
⊢ e ∈ G.incidenceSet (G.otherVertexOfIncident h)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
inst✝ : Fintype ι
⊢ ∑ i : ι, e.toMatrix v i j • e i = v j
R : Type u_1
CommRing R
Module R (Additive ℤˣ)
u : ℤˣ
z : ℤ
⊢ u ^ ↑z = u ^ z
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
self : ULift.{w, v} M
⊢ ULift.moduleEquiv self = self.down
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico 1 n, a / b ^ i ≤ a / (b - 1)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
z₁ z₂ : S
⊢ IsLocalization.mk' S x y + z₁ = z₂ ↔ (algebraMap R S) x + z₁ * (algebraMap R S) ↑y = z₂ * (algebraMap R S) ↑y
α : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring α
⊢ 1 = NonUnitalRingHom.id α
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : σ → τ
x : τ → R
⊢ comap (rename f) x = x ∘ f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)
hf₂ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict 0 (f n) ≤ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) (f n)
hf₃ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) (f n)ᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 (f n)ᶜ
A : Set α := ⋂ n, (f n)ᶜ
hAmeas : MeasurableSet A
hA₂ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) A ≤ VectorMeasure.restrict 0 A
hA₃ : ∀ (n : ℕ), μ A ≤ ↑(1 / (↑n + 1)) * ν A
hμ : μ A = 0
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → ν sᶜ ≠ 0
this : ν Aᶜ ≠ 0
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∃ E, MeasurableSet E ∧ 0 < ν E ∧ VectorMeasure.restrict 0 E ≤ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - (ε • ν).toSignedMeasure) E
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
h : Set α → Set β
m : β → γ
hh : Monotone h
⊢ Filter.map m (f.lift' h) = f.lift' (Set.image m ∘ h)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
s : Set ↥H := {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}
u : L
⊢ (∃ (x : u ∈ H), ⟨u, ⋯⟩ ∈ {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}) ↔ ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = u
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y z : α
h : edist x y = 0
⊢ edist z x = edist z y
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k →+* K
φ : K →+* ℂ
hφ : IsReal φ
x : k
⊢ (star (φ.comp f)) x = (φ.comp f) x
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k l : ℕ
⊢ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L (k + l) I =
  LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k (LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L l I)
R : Type u
S : Type v
A : Type w
CommSemiring R
CommSemiring S
CommSemiring A
Algebra R S
Algebra S A
Algebra R A
IsScalarTower R S A
t : Set A
⊢ Subalgebra.restrictScalars R (Algebra.adjoin (↥(IsScalarTower.toAlgHom R S A).range) t) =
  Subalgebra.restrictScalars R (Algebra.adjoin S t)
R : Type u_2
Add R
Mul R
c : RingCon R
⊢ Setoid.r = ⇑c
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : S' →ₐ[R] A
h₁ : f.comp (toAlgHom R R' S') = g.comp (toAlgHom R R' S')
h₂ : f.comp (toAlgHom R S S') = g.comp (toAlgHom R S S')
x : S'
⊢ f x = g x
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E
w : V
⊢ 𝓕⁻ f w = 𝓕 f (-w)
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ (groupCohomology.dZeroArrowIso A).hom.right = ↑(groupCohomology.oneCochainsLequiv A)
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
Semiring B
StarRing B
Algebra R B
StarModule R B
S₁ S₂ : StarSubalgebra R A
f : A →⋆ₐ[R] B
⊢ S₁ ≤ S₂ → StarSubalgebra.map f S₁ ≤ StarSubalgebra.map f S₂
M : Type u_1
CommMonoid M
k l : ℕ+
h : k ∣ l
⊢ rootsOfUnity k M ≤ rootsOfUnity l M
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ d n
hd : Summable d
a : α
ha : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ dist (f n) a ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
⊢ dist a p * dist b p = |dist b q ^ 2 - dist p q ^ 2|
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
⊢ orderOf x = 1 ↔ x = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.mulETransformLeft e x).1 * (Finset.mulETransformLeft e x).2 ⊆ x.1 * x.2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalSingleObj.endMonoidalStarFunctorEquivalence C).counitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl
    ({ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.comp
      (CategoryTheory.MonoidalSingleObj.endMonoidalStarFunctor C).toFunctor)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ dist (1 • x) (a • x + b • z) = b * dist x z ∧ dist (a • x + b • z) (1 • z) = a * dist x z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
x : α
⊢ x ∈ insert a (insert a s) ↔ x ∈ insert a s
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
⊢ t ∈ (atomise s F).parts ↔ t.Nonempty ∧ ∃ Q ⊆ F, filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ Q ↔ i ∈ u) s = t
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ a • Metric.ball b r = Metric.ball (a • b) r
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
a : α
l : List α
Monad m
f : α → m β
⊢ List.mapM' f (a :: l) = do
  let __do_lift ← f a
  let __do_lift_1 ← List.mapM' f l
  pure (__do_lift :: __do_lift_1)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
hg : AnalyticAt 𝕜 g z₀
⊢ (∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = g z) ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = g z
α : Type u_1
G : Type u_9
NegZeroClass G
g : α →₀ G
⊢ ⇑(-g) = -⇑g
R : Type u_1
Semiring R
r : R
p : Polynomial R
S : Type u_2
NonAssocSemiring S
Module R S
SMulCommClass R S S
Pow S ℕ
NatPowAssoc S
x : S
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.monomial n) r * p).smeval x = r • (x ^ n * p.smeval x)
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝³ : Unique Mˣ
inst✝² : Unique Nˣ
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
this : Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩) = ↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)
⊢ Prime ↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
⊢ o.rightAngleRotation.trans o.rightAngleRotation = LinearIsometryEquiv.neg ℝ
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ₁ θ₂ : Real.Angle
x : V
⊢ (o.rotation θ₁) ((o.rotation θ₂) x) = (o.rotation (θ₁ + θ₂)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a✝ b✝ : α
p : G.Walk a✝ b✝
hG : G.IsHamiltonian
a b : α
⊢ G.Reachable a b
α : Type u
β : Type v
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset β
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑s) ↑s
⊢ Finset.image f (s.preimage f ⋯) = s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x✝ y : X
ι : Type u_3
x : ι
t : Finset ι
hx : x ∉ t
ih : ∀ {s : Set X}, IsCompact s → ∀ (U : ι → Set X), (∀ i ∈ t, IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i → ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ t, K i
s : Set X
hs : IsCompact s
U : ι → Set X
hsC : s ⊆ U x ∪ ⋃ x ∈ t, U x
hU : IsOpen (U x) ∧ ∀ x ∈ t, IsOpen (U x)
hU' : ∀ i ∈ t, IsOpen (U i)
⊢ ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ insert x t, K i
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x
⊢ insertNth k x s = insertNth (k + 1) x s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
s : Set ι
i : ι
hi : i ∉ s
l : ι →₀ 𝕜
hl : l ∈ Finsupp.supported 𝕜 𝕜 s
⊢ ⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l, v i⟫_𝕜 = 0
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, √(2 * ↑x * π) * (↑x / rexp 1) ^ x = 0 → ↑x ! = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
p : PMF α
f : α → PMF β
⊢ (p.bind f).support = ⋃ a ∈ p.support, (f a).support
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
ι : Type
f : ι → C
g : (i : ι) → f i ⟶ X
hl : IsColimit (Cofan.mk X g)
hc : ∀ (i : ι), IsConnected (f i)
he : Finite ι
this : Fintype ι
s : Cocone (Discrete.functor f ⋙ F) := F.mapCocone (Cofan.mk X g)
s' : IsColimit s := isColimitOfPreserves F hl
j : ι
z : (forget FintypeCat).obj ((Discrete.functor f ⋙ F).obj { as := j })
h : (s.ι.app { as := j }) z = x
⊢ ∃ Y i y, F.map i y = x ∧ IsConnected Y ∧ Mono i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
J : Type u
LinearOrder J
j : J
F : CategoryTheory.Functor { i // i ≤ j } C
i : J
hi : i ≤ j
k₁ k₂ : { k // k < i }
φ : k₁ ⟶ k₂
⊢ (CategoryTheory.Functor.Iteration.restrictionLT F hi).map φ = F.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯)
n✝ m n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactors
⊢ ¬p.Coprime n
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
GradedAlgebra 𝒜
GradedAlgebra ℬ
i₂ : ι
a₁ : A
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
⊢ a₁ ᵍ⊗ₜ[R] 1 * ↑a₂ ᵍ⊗ₜ[R] b₂ = (a₁ * ↑a₂) ᵍ⊗ₜ[R] b₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
s t : Finset α
f : Finset α → β
inst✝ : DecidableEq α
⊢ StrictMono f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄, a ∉ s → f s < f (insert a s)
F : Sort u_1
α : Sort u_2
β : α → Sort u_3
i : DFunLike F α β
∀ (a : α), Subsingleton (β a)
⊢ Subsingleton F
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a b : Γ
⊢ ((HahnSeries.single b) r * x).coeff (a + b) = r * x.coeff a
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m : ℕ
hm : FermatLastTheoremWith α m
a b c : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
k : ℕ
⊢ (a ^ k) ^ m + (b ^ k) ^ m ≠ (c ^ k) ^ m
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
δ : ℕ → ℝ
hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)
this : SemilatticeSup Nat.Primes := Nat.Subtype.semilatticeSup Irreducible
μ : Measure 𝕊 := volume
u : Nat.Primes → 𝕊 := fun p => ↑(↑1 / ↑↑p * T)
hu₀ : ∀ (p : Nat.Primes), addOrderOf (u p) = ↑p
hu : Tendsto (addOrderOf ∘ u) atTop atTop
E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ
X : ℕ → Set 𝕊 := fun n => approxAddOrderOf 𝕊 n (δ n)
A : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ ¬p ∣ n
B : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ p ∣ n ∧ ¬p * p ∣ n
C : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ p ^ 2 ∣ n
hA₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (A p)
⊢ (∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, ¬E x) ∨ ∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, E x
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
OrderBot α
⊢ Order.pred ⊥ = ⊥
α : Type u
β : Type v
mab : α → β
mba : β → α
f : Filter α
g : Filter β
h₁ : mab ∘ mba =ᶠ[g] id
h₂ : Filter.Tendsto mba g f
⊢ g ≤ Filter.map mab f
x y : ℝ
a b : Cauchy abs
⊢ (Real.mul { cauchy := a } { cauchy := b }).cauchy = { cauchy := a }.cauchy * { cauchy := b }.cauchy
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
DecidableEq α
(x : α) → Decidable ¬p x
s : Finset α
⊢ Finset.filter p s ∪ Finset.filter (fun a => ¬p a) s = s
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal S P
x✝ : P
⊢ x✝ ∈ (algebraMap R P) ↑I.den • ↑I ↔ x✝ ∈ I.den • ↑I
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Inhabited F.M
bisim : IsBisimulation R
ps : List F.Idx
ps_ih : ∀ (a : F.A) (f f' : F.B a → F.M), R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩) → IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a, f'⟩) → (isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩)).head ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)
a : F.A
f f' : F.B a → F.M
h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)
i : F.B a
hh : IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)
h₁ : R (f i) (f' i)
⊢ (isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩)).head = (isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)).head ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
h : ¬s.Infinite
⊢ IsOfFinOrder x
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
n : ℕ
f : ι → ℕ
⊢ f ∈ map { toFun := fun m a => Multiset.count a ↑m, inj' := ⋯ } (s.sym n) ↔ f ∈ s.piAntidiag n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T'' hT'' f = MeasureTheory.setToFun μ T hT f + MeasureTheory.setToFun μ T' hT' f
α : Type u
SemilatticeInf α
a b c : α
h : b ≤ c
⊢ a ⊓ b ≤ c
X : Type u_1
EMetricSpace X
s t s' t' : Set X
hs : s ⊆ s'
ht : t ⊆ t'
⊢ IsMetricSeparated s' t' → IsMetricSeparated s t
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f✝ : X → Y
g✝ : Y → Z
f : X → Y
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
g_inj : Injective g
ℱ : Filter X
y : Y
h : MapClusterPt y ℱ f
⊢ ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x ℱ
m : Type u
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
CommRing α
e : m ≃ n
A : Matrix m m α
⊢ ((Matrix.reindex e e) A).adjugate = (Matrix.reindex e e) A.adjugate
α : Type u_5
ι : Type u_6
self : Combinatorics.Line α ι
⊢ ∃ i, self.idxFun i = none