ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s.OrdConnected
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hyx : y ≤ x
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ s
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
τ π : Ω → ℕ
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
i : ℕ
ω : Ω
⊢ τ ω + π ω ≤ i ↔ ∃ i_1 ≤ i, π ω = i_1 ∧ τ ω + i_1 ≤ i
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ t₁ t₂ : TopologicalSpace X
⊢ t₁ = t₂ ↔ ∀ (s : Set X), IsClosed s ↔ IsClosed s
α : Type u
Monoid α
a : α
Invertible a
Invertible ⅟a
⊢ ⅟⅟a = a
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
h : Function.Injective f
⊢ PartENat.card ↑(f '' s) = PartENat.card ↑s
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
⊢ Int.fract 0 = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
x :
  ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj
          (CommRingCat.of (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f))).toPresheafedSpace
⊢ (AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.toSpec 𝒜 f)
    (AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.toFun f_deg hm x) =
  x
α : Type u_1
β : Type u_2
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
g : α → β
hb : op b b = b
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ Finset.fold op b (fun i => if p i then f i else g i) s =
  op (Finset.fold op b f (Finset.filter p s)) (Finset.fold op b g (Finset.filter (fun i => ¬p i) s))
x : ℂ
⊢ (Complex.log x).im ≤ Real.pi
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
f : ℝ ≃ᵐ ℝ
f' : ℝ → ℝ
h_deriv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑f) (f' x) x
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
⊢ (Measure.map (⇑f.symm) (gaussianReal μ v)) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * gaussianPDFReal μ v (f x))
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
e : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I
i j : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
⊢ (latticeBasis K).toMatrix (⇑(mixedEmbedding K) ∘ ⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e) i j = (algebraMap ℚ ℝ).mapMatrix ((integralBasis K).toMatrix (⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e)) i j
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
this : (s.singularPart μ).toJordanDecomposition = JordanDecomposition.mk (s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ) (s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ) ⋯
⊢ (s.singularPart μ).totalVariation = s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ + s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ
α : Type u
a✝ : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : IsCyclic H
f : G →* H
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : H
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
⊢ y ^ (-n) * b ∈ f.ker
α : Type u_1
β : Type v
f : β → α → β
H : RightCommutative f
b : β
a : α
s : Multiset α
⊢ Multiset.foldl f H b (a ::ₘ s) = Multiset.foldl f H (f b a) s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ s.face ⋯ = Affine.Simplex.mkOfPoint k (s.points i)
α : Type u_1
SizeOf α
x : α
s : Multiset α
hx : x ∈ s
⊢ sizeOf x < sizeOf s
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
p : Ideal R
P : Ideal S
Algebra R S
Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
h : Function.Injective ⇑(algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P))
⊢ Ideal.comap (algebraMap R S) P = p
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
⊢ X.restrictTopIso.hom = X.ofRestrict ⋯
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s✝ : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
a✝ : α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
hf' : AntitoneOn f s
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
c : α
hc : c ∈ s
hac : a ≤ c
hbc : b ≤ c
⊢ f a = f b
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : γ → β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
hf : Continuous ↿f
h0K : K.Nonempty
x : γ
y : β
hyK : y ∈ K
h2y : sSup ((fun y => f x y) '' K) = f x y
hy : ∀ y_1 ∈ K, f x y_1 ≤ f x y
⊢ (∀ a' < f x y, ∀ᶠ (b : γ) in 𝓝 x, a' < sSup (f b '' K)) ∧ ∀ a' > f x y, ∀ᶠ (b : γ) in 𝓝 x, sSup (f b '' K) < a'
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : H → G
j : Y →ₑ[φ] X
B : Set X
hB : IsBlock G B
g : H
⊢ g • ⇑j ⁻¹' B = ⇑j ⁻¹' B ∨ Disjoint (g • ⇑j ⁻¹' B) (⇑j ⁻¹' B)
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
s : S
n : ℕ
hzero : ¬s = 0
q : R[X]
hq : map f q = (monomial n) s
⊢ ∃ q, map f q = (monomial n) s ∧ q.degree = ((monomial n) s).degree
G : SetTheory.PGame
⊢ G.grundyValue = Ordinal.mex fun i => (G.moveLeft i).grundyValue
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι
h : ¬span {f} = ⊥
⊢ FiniteDimensional.finrank F (S ⧸ span {f}) = ((Algebra.norm F[X]) f).natDegree
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
M : SheafOfModules R
∀ (X : C), (J.over X).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
∀ (X : C), CategoryTheory.HasWeakSheafify (J.over X) AddCommGrp
∀ (X : C), (J.over X).WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
q : M.QuasicoherentData
i : q.I
⊢ q.localGeneratorsData.generators i = (q.presentation i).generators
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
Field K
Field L
Field F
Algebra K L
Algebra K F
Algebra L F
IsScalarTower K L F
Algebra.IsSeparable K F
x : F
⊢ (Algebra.norm K) ((Algebra.norm L) x) = (Algebra.norm K) x
α : Type u
a : α
l : List α
⊢ a ∈ l ↔ ∃ n h, l.nthLe n h = a
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
l : List α
e : ⟦l⟧ = univ.val
this : univ.val.Nodup ∧ ∀ (x : α), x ∈ univ.val
⊢ ∃ l, l.Nodup ∧ ∀ (x : α), x ∈ l
z : ℂ
⊢ (cexp (2 * I * (↑π * z)) + 1) / (I * (1 - cexp (2 * I * (↑π * z)))) = (cexp (2 * ↑π * I * z) + 1) / (I * (1 - cexp (2 * ↑π * I * z)))
α : Type u
DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit b
⊢ a * b⁻¹ = c ↔ a = c * b
M : Type u
AddZeroClass M
P : Prop
Decidable P
a b : M
⊢ (if P then a + b else 0) = (if P then a else 0) + if P then b else 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
hf : DifferentiableOn ℝ f s
hs : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ DifferentiableOn ℝ (fun y => √(f y)) s
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
One M
f : α × β → M
a : α
⊢ (Function.mulSupport fun b => f (a, b)) ⊆ Prod.snd '' Function.mulSupport f
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
x : O
hvx : v ((algebraMap O F) x) = 1
⊢ IsUnit x
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset ℕ
n✝ n : ℕ
hn : 2 ≤ n
a₁✝ a₂✝ : Finset ℕ
h : (fun s => ∑ i ∈ s, n ^ i) a₁✝ = (fun s => ∑ i ∈ s, n ^ i) a₂✝
⊢ a₁✝ = a₂✝
α : Type u_1
S : Set (Set α)
x y : α
⊢ (∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (x ∈ s ↔ y ∈ s)) ↔ ∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
L.IsLocalization W
⊢ CategoryTheory.AreEqualizedByLocalization W f g ↔ L.map f = L.map g
α : Type u_3
Lattice α
BoundedOrder α
⊢ BoundedLatticeHom.dual (BoundedLatticeHom.id α) = BoundedLatticeHom.id αᵒᵈ
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
Fintype α
⊢ ↑(FinBoolAlg.of α).toBoolAlg = α
α : Type u
β : Type v
g : Filter β
x : β
h : ∀ t ∈ g, x ∈ t
⊢ Filter.comap (fun x_1 => x) g = ⊤
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ¬∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
⊢ False
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
⊢ Submodule.traceDual A K ⊤ = if Submodule.restrictScalars A (LinearMap.range (Algebra.trace K L)) ≤ 1 then ⊤ else ⊥
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l : Combinatorics.Subspace η α ι
η' : Type u_9
α' : Type u_10
ι' : Type u_11
eη : η ≃ η'
eα : α ≃ α'
eι : ι ≃ ι'
C : (ι → α) → κ
hl : Combinatorics.Subspace.IsMono C l
⊢ Combinatorics.Subspace.IsMono (fun x => C (⇑eα.symm ∘ x ∘ ⇑eι)) (l.reindex eη eα eι)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x
n : N
⊢ ((CliffordAlgebra.foldl Q f hf) n) 1 = n
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hQz : Q z = 0
⊢ W'.negAddY P Q = (-(Q x * P z)) ^ 3 * W'.negY P
α : Type u_1
CoheytingAlgebra α
a : α
⊢ ∂ a ≤ ￢a
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝ : Add α
a₀ a₁ b₀ b₁ : α
⊢ ![a₀, a₁] + ![b₀, b₁] = ![a₀ + b₀, a₁ + b₁]
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
i j : ι
w : NeWord M i j
⊢ w.toList.getLast? = some ⟨j, w.last⟩
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsEisensteinAt 𝓟
hprime : 𝓟.IsPrime
hu : f.IsPrimitive
hfd0 : 0 < f.natDegree
⊢ Irreducible f
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
f : α → β
Nonempty β
p : Set β → Prop
HasCountableSeparatingOn β p Set.univ
h : ∀ (U : Set β), p U → (∀ᶠ (x : α) in l, f x ∈ U) ∨ ∀ᶠ (x : α) in l, f x ∉ U
⊢ ∃ a, f =ᶠ[l] Function.const α a
a b c : ℝ≥0
c0 : c ≠ 0
cb : c ≤ b
⊢ a / b ≤ a / c
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β✝ : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
β : ι → Type u_4
i : ι
f : (j : ι) → α j
a : α i
t : (j : ι) → α j → Set (β j)
⊢ (univ.pi fun j => t j (update f i a j)) = {x | x i ∈ t i a} ∩ {i}ᶜ.pi fun j => t j (f j)
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, abs ((r • x) x_1) ^ p) ^ (1 / p) ≤ ‖r‖ * (∑ x_1 : ι, abs (x x_1) ^ p) ^ (1 / p)
⊢ 2 * ↑(card ι) / p + 1 = ↑(finrank ℝ (ι → ℂ)) / p + 1
R : Type u_1
Semiring R
φ ψ : PowerSeries R
h : ∀ (n : ℕ), (PowerSeries.coeff R n) φ = (PowerSeries.coeff R n) ψ
⊢ φ = ψ
α : Type u_1
R : Type u_2
StrictOrderedRing R
Archimedean R
f : α → ℤ
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ↑(f n)) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atTop
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : Set.InjOn f s
g : E → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : E) in f '' s, g x ∂μ = ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| * g (f x) ∂μ
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
⊢ (of R 𝒜 ℬ).symm.symm ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm (((gradedMul R (fun x => ↥(𝒜 x)) fun x => ↥(ℬ x)) ((decompose 𝒜) a₁ ⊗ₜ[R] (decompose ℬ) ↑b₁)) ((decompose 𝒜) ↑a₂ ⊗ₜ[R] (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
P : CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation A
η : A ⟶ B
CategoryTheory.IsIso η
⊢ (P.extend η).F = P.F
α : Type u
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderTopology α
a : α
⊢ 𝓝[≤] a = (⨅ l, ⨅ (_ : l < a), 𝓟 (Set.Ioi l)) ⊓ 𝓟 (Set.Iic a)
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
X : CategoryTheory.Functor W.Localization D
⊢ ∀ (X_1 : C),
  ((CategoryTheory.Localization.Construction.WhiskeringLeftEquivalence.functor W D).obj X).obj.obj X_1 =
    X.obj (W.Q.obj X_1)
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
⊢ TensorProduct.AlgebraTensorModule.map LinearMap.id LinearMap.id = LinearMap.id
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : PolishSpace X
inst✝ : T2Space Y
s : Set Y
hs : AnalyticSet s
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ AnalyticSet (f ⁻¹' s)
n : ℕ
hn : n > 0
⊢ n.divisors.sum φ = n
ι : Sort u_1
α : Type u_3
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
f : ι → Set α
⊢ interior (⋂ i, f i) = ⋂ i, interior (f i)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : ¬b ≤ a
⊢ Set.uIcc a b = Set.Icc a b
ι : Sort u_3
Nonempty ι
f : ι → ℝ≥0
⊢ ↑(iInf f) = ⨅ a, ↑(f a)
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ Function.Injective BoxIntegral.Prepartition.boxes
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t : Finset α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
hst : G.IsUniform ε s t
⊢ ↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card ≤ ↑s.card * ε
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₁₂ : Type u_3
C₂₃ : Type u_4
C₃ : Type u_5
C₄ : Type u_6
inst✝⁹ : Category.{u_15, u_1} C₁
inst✝⁸ : Category.{u_14, u_2} C₂
inst✝⁷ : Category.{u_12, u_5} C₃
inst✝⁶ : Category.{u_11, u_6} C₄
inst✝⁵ : Category.{u_13, u_3} C₁₂
inst✝⁴ : Category.{u_17, u_4} C₂₃
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄
G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃
associator : bifunctorComp₁₂ F₁₂ G ≅ bifunctorComp₂₃ F G₂₃
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r
ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝³ : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
inst✝² : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q
inst✝¹ : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p
inst✝ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q
H₁₂ : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃
H₂₃ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
this✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r
this : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₂₃ F G₂₃) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r
⊢ ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (mapBifunctorComp₁₂MapObjIso F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃).inv j ≫ mapMap ((((mapTrifunctorMapNatTrans associator.hom I₁ I₂ I₃).app X₁).app X₂).app X₃) r j ≫ (mapBifunctorComp₂₃MapObjIso F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃).hom j = ((associator.hom.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, f x = 0
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
v v' : V
p p' : P
⊢ midpoint R v v' +ᵥ midpoint R p p' = midpoint R (v +ᵥ p) (v' +ᵥ p')
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
⊢ s.chainHeight = ⨆ i ∈ s, (s ∩ Iic i).chainHeight
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hf_int : Integrable f μ
hX : Measurable id
⊢ μ[f|m ⊓ mΩ] =ᶠ[ae μ] fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(condexpKernel μ m) ω
L : Type u_2
LieRing L
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
⊢ IsSl2Triple (-h) f e
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid (α i)
DecidableEq ι
f g : Π₀ (i : ι), α i
⊢ (f ⊔ g).support = f.support ∪ g.support
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F
f : CategoryTheory.End F
A : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F
⊢ F.map
    ((CategoryTheory.PreGaloisCategory.AutGalois.π F A)
        (MulOpposite.unop ((CategoryTheory.PreGaloisCategory.endMulEquivAutGalois F) f))).hom
    A.pt =
  f.app A.obj A.pt
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
γ : Type u_2
TopologicalSpace γ
h : α ≃ᵢ β
f : γ → α
s : Set γ
⊢ ContinuousOn (⇑h ∘ f) s ↔ ContinuousOn f s
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
F₁ F₁' : CategoryTheory.Functor J C
f : F₁ ⟶ F₁'
F₂ : CategoryTheory.Functor J C
j : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f F₂).app j)
    (CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd (F₁'.obj j) (F₂.obj j)) =
  CategoryTheory.ChosenFiniteProducts.snd (F₁.obj j) (F₂.obj j)
F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤) n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 : map (algebraMap K (SplittingFieldAux n.succ f)) f ≠ 0
⊢ Algebra.adjoin K ↑(map (algebraMap K (SplittingFieldAux n.succ f)) f).roots.toFinset = ⊤
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K S
x : S
h : IsIntegral K x
g : Fin (minpoly K x).natDegree → K
i : Fin (minpoly K x).natDegree
hg : (aeval x) (∑ x_1 : Fin (minpoly K x).natDegree, (monomial ↑x_1) (g x_1)) = 0
hn0 : ¬g i = 0
h0 : ∑ x_1 : Fin (minpoly K x).natDegree, (monomial ↑x_1) (g x_1) = 0
⊢ g i = 0
n : ℕ
⊢ Finset.univ = Finset.cons 0 (Finset.map { toFun := Fin.succ, inj' := ⋯ } Finset.univ) ⋯
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
this✝ : Module ℝ (Fin 2 → ℝ) := NormedSpace.toModule
π₀ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 0
π₁ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 1
f : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℂ := π₀.smulRight ↑z + π₁.smulRight 1
f_def : ⇑f = fun p => ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)
this : (fun p => normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) = ⇑normSq ∘ ⇑f ∘ fun p => Int.cast ∘ p
⊢ Tendsto (fun p => normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) cofinite atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
v v₁ v₂ : ℕ
e : unpair v = (v₁, v₂)
h : (v₁, v₂).2 ≤ v
a : List α
h₁ : decodeList v₂ = some a
h₂ : encodeList a = v₂
⊢ ∃ a ∈ decodeList v.succ, encodeList a = v.succ
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯
⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
s₁ s₂ : Finset α
a : α
h : a ∈ s₁
⊢ s₁ ∩ insert a s₂ = insert a (s₁ ∩ s₂)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.limit.coneMorphism c).hom ≫ CategoryTheory.Limits.limit.π F j = c.π.app j
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ (permsOfList l).length = l.length !
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
c : 𝕜
f : ↥(lpMeas F 𝕜 m p μ)
⊢ ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm (c • f)) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
n : ℕ
hn : p.Coprime n
g : G
⊢ (orderOf g).Coprime n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s s' : Set β
h : s ⊆ s'
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h_ne_top : ∀ (s : Set β), (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤
⊢ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s') / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
α₁ : Type u_1
β₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β₂ : Type u_4
hα : α₁ ≃ α₂
hβ : β₁ ≃ β₂
f : α₁ → β₁
⊢ ∀ (a : α₂), (hα.arrowCongr' hβ) f a = hβ (f (hα.symm a))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
⊢ (s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s) → ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
r : ℝ
⊢ r.toNNReal ≤ 1 ↔ r ≤ 1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddMonoid β
StarAddMonoid β
ContinuousStar β
f : α →C_c β
x : α
⊢ (star f) x = star (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
⊢ a = b / c ↔ a * c = b
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero β
l : Filter α
f : α → β
hf : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ 0
s t : Set α
h : s.indicator f =ᶠ[l] t.indicator f
⊢ s =ᶠ[l] t
α : Type u
Ring α
I : Ideal α
a : α
⊢ -a ∈ I ↔ a ∈ I
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
⊢ dist x x ≤ max (dist x y) (dist y x)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t t' : Finset β
ht : t ⊆ t'
⊢ Finset.image₂ f s t ⊆ Finset.image₂ f s t'
α : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ a - b = 0 ↔ a ≤ b