ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
d : ℕ := finrank ℝ E
this : ∀ (r : ℝ≥0), 1 < r → μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)
⊢ μ (closure s) ≤ μ (interior s)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
s : Set α
⊢ range (map Subtype.val) = {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
⊢ (Filter.bliminf u f fun x => p x ∨ q x) ≤ Filter.bliminf u f p
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : -(|x| ^ 4 * (5 / 96)) ≤ sin x - (x - x ^ 3 / 6)
⊢ x - x ^ 3 / 4 < sin x
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f g : α →₀ M
⊢ f = g ↔ f.support = g.support ∧ ∀ x ∈ f.support, f x = g x
α : Type u
L L₃ L₄ : List (α × Bool)
p : α × Bool
LL₁ LL₂ L₁ L₂ : List (α × Bool)
eq₁ : p :: L₁ = LL₂
eq₂ : p :: L₂ = LL₂
⊢ Red L₁ L₂
y z : ℤ
h : PythagoreanTriple 0 y z
hc : Nat.gcd 0 y.natAbs = 1
⊢ h.IsPrimitiveClassified
n : ℤ
y : ℂ
⊢ 0 ^ (↑n * y) = (0 ^ y) ^ n
α : Type u_1
Add α
x y : αᵃᵒᵖ
⊢ AddCommute (AddOpposite.unop x) (AddOpposite.unop y) ↔ AddCommute x y
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
⊢ W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3) = -W.dblU P / W.dblZ P
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
hs : UniqueMDiffOn I s
⊢ UniqueMDiffOn I.tangent (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s)
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
PartialOrder ι
τ : Ω → ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
F : Type u_1
Γ : outParam (Subgroup SL(2, ℤ))
k : outParam ℤ
FunLike F ℍ ℂ
self : SlashInvariantFormClass F Γ k
f : F
γ : ↥Γ
⊢ ⇑f ∣[k] γ = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set (Setoid α)
x y : α
⊢ (∃ r ∈ s, r.Rel x y) ↔ (⨆ a ∈ s, a.Rel) x y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : AntivaryOn f g s
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (-f • -g)
n : ℕ
s x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑n) (↑n + 1)
⊢ 0 ≤ (x - ↑n) / x ^ (s + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsCompact s
h's : MeasurableSet s
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ∈ t
b✝ x y : ℝ
b : ℕ
r : ℝ
hb : 1 < b
hr✝ : 0 ≤ r
hr : 0 < r
hb1' : 1 < ↑b
⊢ ⌈logb (↑b) r⌉ ≤ Int.clog b r
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
ns : List ℕ
IH : ∀ {l : List α}, ns.sum ≤ l.length → map length (l.splitWrtCompositionAux ns) = ns
l : List α
h : n + ns.sum ≤ l.length
this : n ≤ l.length
⊢ (take n l).length :: map length ((drop n l).splitWrtCompositionAux ns) = n :: ns
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : HasSum (fun n => -I * ↑↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) * ↑(rexp (-π * ↑↑n ^ 2 * t)) + -I * ↑(-↑n) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑n) ^ 2 * t))) ↑(sinKernel (↑a) t)
n : ℕ
⊢ 2 * ↑n * ((cexp (-↑(2 * π * a * ↑n) * I) - cexp (↑(2 * π * a * ↑n) * I)) * I / 2) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t)) = (-I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + -(-I * ↑n) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n))) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s a b : Set X
h : IsClopen s
cover : s ⊆ a ∪ b
ha : IsOpen a
hb : IsOpen b
hab : Disjoint a b
this : IsClosed (s ∩ bᶜ)
⊢ s ∩ bᶜ ⊆ s ∩ a
α : Type u_2
Bot α
⊢ ⇑(BotHom.id α) = id
α : Type u_1
l : List (Option α)
x : Option α
⊢ (l.concat x).reduceOption = l.reduceOption ++ x.toList
α : Type u
AddCommGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ -c + a ≤ b ↔ a ≤ b + c
M : Type v
X : Type x
Y : Type y
UniformSpace X
UniformSpace Y
VAdd M X
VAdd M Y
UniformContinuousConstVAdd M Y
f : X → Y
hf : UniformInducing f
hsmul : ∀ (c : M) (x : X), f (c +ᵥ x) = c +ᵥ f x
⊢ UniformContinuousConstVAdd M X
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : CharP R n
inst✝ : Fintype R
h : Fintype.card R = n
⊢ Bijective ⇑(castHom ⋯ R)
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.Pairwise ⊤
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s t : Set G
ht : IsOpen t
⊢ IsOpen (s / t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
⊢ 0 x = 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
g₁ : G
hg₁ : g₁ ∈ s
⊢ ∀ (a : G), g₁ * a ∈ ↑K₀ → a ∈ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (CochainComplex.mappingCone.inr φ)).comp (CochainComplex.mappingCone.snd φ) ⋯ =
  CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (𝟙 G)
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
μ.IsMulRightInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.1 * z.2, z.2)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
n : ℕ
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ (n + 1)
⊢ ∏ k ∈ Finset.range n, (1 - μ ^ (k + 1)) = ↑n + 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖ × C} (f : X ⟶ Y) (h : Opposite.unop X.1 ⟶ X.2), (CategoryTheory.Functor.hom C).map f h = f.1.unop ≫ h ≫ f.2
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
Preorder α
Preorder β
SMulPosReflectLT α β
h : a • b < 0
hb : 0 ≤ b
⊢ a < 0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
⊢ IsNilpotent ⊥.jacobson
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Affine.Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
⊢ t₂.orthocenter = t₁.points i₁
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
r : ℝ
h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r
i : ι
this : 0 < r
hn0 : Real.nnabs r ≠ 0
⊢ ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b) / Real.nnabs r) / (Real.nnabs (J.upper i - J.lower i) / Real.nnabs r)) = ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b)) / Real.nnabs (J.upper i - J.lower i))
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
i : Fin r ⊕ Unit
A : (listTransvecRow M).length = r
⊢ (M * (listTransvecRow M).prod) i (inr ()) = M i (inr ())
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s ∩ Finset.filter p t = Finset.filter p (s ∩ t)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x y z : α
h : x ∈ y :: z :: l
hy : x ≠ y
hz : x = z
⊢ (y :: z :: l).prev x h = y
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝³ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝² : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid A
U : Submonoid A
R : Type u_6
inst✝ : CommMonoid R
j : U.LocalizationMap R
l : P →* A
hl : ∀ (w : ↥T), l ↑w ∈ U
x : N
⊢ (k.map hl j) ((f.map hy k) x) = ((k.map hl j).comp (f.map hy k)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
h : (fun x => ‖f x‖) =ᶠ[l] fun x => ‖g x‖
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ 1 * ‖g x‖
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
⊢ ∀ (i : α), Indep (⨆ n ∈ ns i, s n) (limsup s f) κ μα
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)
h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary
I : Set ((i : ι) × α i)
hI : ∀ J ⊆ I, J.Finite → (Matroid.sigma M).Indep J
⊢ (Matroid.sigma M).Indep I
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
L : IntermediateField F E
Algebra.IsSeparable F ↥L
⊢ L ≤ separableClosure F E
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α✝
α : ι → Type u_4
inst✝ : Finite ι
s : Set ((i : ι) → α i)
⊢ (sᶜ ∈ Filter.coprodᵢ fun i => cofinite) ↔ sᶜ ∈ cofinite
α : Type u_1
a b c : α
LinearOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
⊢ a < b - c ↔ c < b - a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
d : CategoryTheory.Factorisation f
⊢ d.terminalHom.h = d.π
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
⊢ P24 x₁ x₂ y ↔ P24 (-x₂) (-x₁) y
α : Type u
TopologicalSpace α
ι : Type u_3
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)
K : ∀ (i j : ι), Relation.ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty) i j
⊢ IsPreconnected (⋃ n, s n)
n : ℕ
⊢ ↑(Nat.fib n) = (φ ^ n - ψ ^ n) / √5
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
i k' : ℕ
hi : abv (∑ i ∈ range (k' + max n i), f i - ∑ i ∈ range (max n i), f i) ≤ ∑ k ∈ range (k' + max n i), a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k
⊢ abv (∑ i ∈ range (k' + 1 + max n i), f i - ∑ i ∈ range (max n i), f i) ≤ ∑ k ∈ range (k' + 1 + max n i), a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k
J : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} J
self : CategoryTheory.CountableCategory J
⊢ Countable J
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
r : ℝ
V : Set E
hr : 0 < r
hV : V ∈ 𝓝 0
hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U
⊢ balancedCore 𝕜 U ∈ 𝓝 0
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
SMul M α
ContinuousConstSMul M α
TopologicalSpace β
g : β → α
s : Set β
hg : ContinuousOn g s
c : M
⊢ ContinuousOn (fun x => c • g x) s
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
hf : OpenEmbedding ⇑f.val.base
∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), CategoryTheory.IsIso (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap f x)
⊢ AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop
f : Π₀ (i : ι), β i
h0 : p 0
ha : ∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → p f → p (f + DFinsupp.single i b)
⊢ p f
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : Dial C
f : W✝ ⟶ X✝
g : X✝ ⟶ Y✝
h : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ (f ≫ g) ≫ h = f ≫ g ≫ h
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[Filter.atTop] fun t => rexp (-p * t)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
inst✝ : Mono f
abar abar' : Pseudoelement P
a a' : Over P
ha : pseudoApply f ⟦a⟧ = pseudoApply f ⟦a'⟧
⊢ a ≈ a'
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
⊢ fp.parts.card = min (Fintype.card V) r
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
a : M₀
NoZeroDivisors M₀
n : ℕ
⊢ a ^ n = 0 → a = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
⊢ ∃ f, Set.EqOn (⇑f) 0 s ∧ Set.EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Set.Icc 0 1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I : Ideal α
⊢ ¬I.IsPrime ↔ I = ⊤ ∨ ∃ x, ∃ (_ : x ∉ I), ∃ y, ∃ (_ : y ∉ I), x * y ∈ I
X : Type u_1
TopologicalSpace X
BaireSpace X
S : Set (Set X)
ho : ∀ s ∈ S, IsOpen s
hS : S.Countable
hd : ∀ s ∈ S, Dense s
⊢ Dense (⋂₀ S)
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
⊢ e 0 = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_3
CommMonoid S
DistribMulAction S M
SMulCommClass S R M
⊢ Module.IsTorsion' (↥(Submodule.torsion' R M S)) S
α : Type u_1
n : ℕ
xs : Mathlib.Vector α n
x : α
⊢ (x ::ᵥ xs).reverse = xs.reverse.snoc x
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
i j : α
h : i ≠ j + 1
⊢ (if h : i = j + 1 then eqToHom ⋯ ≫ d j else 0) = 0
𝕜 : Type u
n : ℕ
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
m : (i : Fin n) → Ei i.castSucc
x : Ei (Fin.last n)
⊢ ‖f (Fin.snoc m x)‖ ≤ (‖f‖ * ∏ i : Fin n, ‖m i‖) * ‖x‖
R : Type u_1
E : Type u_5
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
Module R E
⊢ LinearIsometry.id.toLinearMap = LinearMap.id
a : Cardinal.{u}
n : ℕ
⊢ Cardinal.lift.{v, u} a < ↑n ↔ a < ↑n
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y
⊢ HasFDerivAt g (↑f'.symm) a
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
⊢ ¬↑p ^ (1 + 1) ∣ ∑ i ∈ range p, x ^ i * y ^ (p - ↑1 - i)
a b : String.Pos
⊢ a < b → b ≠ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : CommSemiring R
⊢ (∀ (n : ℕ) (x : R), x ^ n ∈ Ideal.span {y} → x ∈ Ideal.span {y}) ↔ (Ideal.span {y}).IsRadical
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
i j k : ι
K : HomologicalComplex C c
⊢ ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor' C c i j k).obj K).g = K.d j k
α : Type u
β✝ : α → Type v
β : α → Type u
inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)
⊢ max (lift.{u, u} #α) ℵ₀ = max #α ℵ₀
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂
⊢ dist p₁ p₂ / Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h : b ∈ f a
h₂ : Turing.Reaches₀ f b c
⊢ Turing.Reaches₀ f a c
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : β →CO γ
g : α →CO β
⊢ ⇑(f.comp g) = ⇑f ∘ ⇑g
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, 1 < f i
hs : s.Nonempty
⊢ 1 < ∏ i ∈ s, f i
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a + b = c + b
⊢ a = c
A B : CommGrp
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
α' : Type u_3
β : Type u_4
TopologicalSpace α'
Zero β
T2Space α'
TopologicalSpace β
U : Set α'
hU : IsOpen U
f : ↑U → β
cont : Continuous f
supp : HasCompactSupport f
⊢ Continuous (Function.extend Subtype.val f 0)
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace α'
One β
f : α → β
hf : HasCompactMulSupport f
g : α' → α
hg : ClosedEmbedding g
⊢ HasCompactMulSupport (f ∘ g)
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
n : ℕ
heq : Nat.card ↥↑P = p ^ n
⊢ Nat.card ↥↑P ∣ Nat.card G
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y P : C
f : X ⟶ Y
ι : P ⟶ X
w : ι ≫ f = 0
⊢ CategoryTheory.Limits.Fork.ι (CategoryTheory.Limits.KernelFork.ofι ι w) = ι
α : Type u_1
σ : Type u_2
PartialOrder α
self : CFilter α σ
a b : σ
⊢ self.f (self.inf a b) ≤ self.f b
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
⊢ (IsLocalization.toLocalizationMap M S).sec = IsLocalization.sec M
R : Type u
M : Type v
Ring R
N : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Function.Injective ⇑f
n : ℕ
⊢ Disjoint (f.tailing i n) (OrderDual.ofDual ((f.tunnel i) (n + 1)))
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x : W.CoordinateRing
h : ∑ i : Fin 2, (CoordinateRing.basis W).equivFun x i • (CoordinateRing.basis W) i = x
⊢ ∃ p q, p • 1 + q • (mk W) Y = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → β
s : Set α
⊢ Prod.fst '' graphOn f s = s
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeInf α
s t : Finset α
⊢ Finset.image (Function.uncurry fun x x_1 => x ⊓ x_1) (s ×ˢ t) = s ⊼ t
ι : Type u_4
Fintype ι
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(WithLp.equiv 2 (ι → ℝ))) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (𝟙_ (Mon_ C)).mul = (λ_ (𝟙_ C)).hom
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X✝ Y✝ : Mon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (F.μ X✝.X X✝.X ≫ F.map X✝.mul) ≫ F.map f.hom = (F.map f.hom ⊗ F.map f.hom) ≫ F.μ Y✝.X Y✝.X ≫ F.map Y✝.mul
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapId a).inv (F.map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (F.map f)).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).inv)
      (F.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) f).hom)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero X ↔ 𝟙 X = 0
a b : ℕ
h : a < b
⊢ insert a (Finset.Ico a.succ b) = Finset.Ico a b
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h : -(CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map T.mor₁ = 0 ↔ Epi T.mor₃
⊢ T.mor₁ = 0 ↔ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map T.mor₁ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasImage 0
⊢ CategoryTheory.Limits.image.ι 0 = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
r : ℝ≥0
⊢ (r • j).negPart = r • j.negPart
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) l
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n.succ → α
h : List.ofFn f ≠ [] := ⋯
⊢ (List.ofFn f).getLast h = f (Fin.last n)
σ : Type u
R✝ : Type v
inst✝² : CommSemiring R✝
p✝ m : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S
⊢ Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ p = (map f) p
F : Type u_1
Field F
n : ℕ
x : F
⊢ IsSolvable (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C x).Gal
α : Type u
β : Type v
M : Type w
DecidableEq β
Fintype α
Fintype β
f : α → β
w : α → M
b : M
LinearOrderedCancelAddCommMonoid M
hb : Fintype.card β • b < ∑ x : α, w x
⊢ ∃ y, b < ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => f x = y) Finset.univ, w x
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
g : N →+ G
h : Function.LeftInverse ⇑g ⇑f
x : G
⊢ ↑((AddMonoidHom.ofLeftInverse h) x) = f x
p : Prop
α : Sort u_1
Nonempty α
P : α → Prop
f : p → α
a : p
h : P (f a)
⊢ P (Function.sometimes f)
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring B
Algebra R B
⊢ Algebra.TensorProduct.lift Algebra.TensorProduct.includeLeft Algebra.TensorProduct.includeRight ⋯ =
  AlgHom.id S (A ⊗[R] B)
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₁
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup M₁
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
NormedSpace 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
T2Space M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
r : ℝ
⊢ IsCompact (closure (⇑f '' Metric.ball 0 r))
x : ℂ
n : ℕ
⊢ x ^ ↑n = x ^ n
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
α : Type u_3
Preorder α
Preorder N
f : N → α
CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Antitone f
m : M
⊢ Antitone fun x => f (μ m x)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y + g y) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : CategoryTheory.IsSplitMono f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.retraction f) = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
f : V → E
⊢ Real.fourierIntegralInv f = Real.fourierIntegral fun x => f (-x)