ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
⊢ (tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op (ModuleCat.mk N)) (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op (ModuleCat.mk N))).unop ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul = ↑(tensorTensorTensorComm R M M N N) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
ContinuousAdd N
α : Type u_7
f : α → M [⋀^ι]→L[R] N
m : ι → M
s : Finset α
⊢ (∑ a ∈ s, f a) m = ∑ a ∈ s, (f a) m
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 + ε ↑n) ≤ ↑(r i n) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i n))
M : Type u_1
Mul M
Subsingleton (Subsemigroup M)
⊢ Subsingleton M
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
⊢ LiftProp Q id
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
toFun : M → N
toFun_smul : ∀ (a : R) (x : M), toFun (a • x) = (a * a) • toFun x
polar_add_left : ∀ (x x' y : M), polar toFun (x + x') y = polar toFun x y + polar toFun x' y
polar_smul_left : ∀ (a : R) (x y : M), polar toFun (a • x) y = a • polar toFun x y
x✝² : R
x✝¹ x✝ : M
⊢ polar toFun x✝¹ (x✝² • x✝) = x✝² • polar toFun x✝¹ x✝
α : Type u
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Invertible 2
⊢ 2 * (1 - ⅟2) = 2 * ⅟2
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Zero α
v : n → α
i : n
x : α
⊢ (Matrix.diagonal v).updateRow i (Pi.single i x) = Matrix.diagonal (Function.update v i x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (β i)
x : (i : ι) → β i
i : ι
inst✝ : ∀ (i : ι), T1Space (β i)
⊢ Injective (update x i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.LocallySmall.{max v w, v, u} C
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕝 E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 𝕝
s : Set E
x : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
⊢ StrictConvex 𝕜 (0 • s)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v w : Fin 3 → R
⊢ (crossProduct v) w + (crossProduct w) v = 0
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy₁ : Submodule.Quotient.mk x₁ = Submodule.Quotient.mk y₁
hxy₂ : Submodule.Quotient.mk x₂ = Submodule.Quotient.mk y₂
⊢ Submodule.Quotient.mk (x₁ + x₂) = Submodule.Quotient.mk (y₁ + y₂)
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
⊢ ↑0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
TopologicalSpace α
h : RestrictGenTopology 𝔖
⊢ IsClosed {f | Continuous ((UniformOnFun.toFun 𝔖) f)}
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
r : R
⊢ (C r * φ).IsHomogeneous m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddZeroClass M
a : α
f : α →₀ M
⊢ erase a f + single a (f a) = f
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
a₁ b₁ : ℝ
h₁ : a₁ ≤ b₁
a₂ b₂ : ℝ
Hcf : ContinuousOn f ([[a₁, b₁]] ×ˢ [[a₂, b₂]])
Hcg : ContinuousOn g ([[a₁, b₁]] ×ˢ [[a₂, b₂]])
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a₁ b₁) (max a₁ b₁) ×ˢ Set.Ioo (min a₂ b₂) (max a₂ b₂) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a₁ b₁) (max a₁ b₁) ×ˢ Set.Ioo (min a₂ b₂) (max a₂ b₂) \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) ([[a₁, b₁]] ×ˢ [[a₂, b₂]]) volume
h₂ : a₂ ≤ b₂
⊢ ∫ (x : ℝ) in a₁..b₁, ∫ (y : ℝ) in a₂..b₂, (f' (x, y)) (1, 0) + (g' (x, y)) (0, 1) = (((∫ (x : ℝ) in a₁..b₁, g (x, b₂)) - ∫ (x : ℝ) in a₁..b₁, g (x, a₂)) + ∫ (y : ℝ) in a₂..b₂, f (b₁, y)) - ∫ (y : ℝ) in a₂..b₂, f (a₁, y)
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
v : E
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
⊢ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, x • v ∈ U
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
c' : 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => x ^ 1) (↑1 * x ^ (1 - 1)) x
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(Lp E 2 μ)
hg : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ
⊢ ⟪f, g⟫_𝕜 = ⟪↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f), g⟫_𝕜
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
f : { x // x ∈ ↑σ.support } ≃ { x // x ∈ ↑τ.support }
hf : ∀ (x : α) (hx : x ∈ ↑σ.support), ↑(f ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑(f ⟨x, hx⟩)
⊢ f.extendSubtype * σ * f.extendSubtype⁻¹ = τ
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_2
PseudoMetricSpace α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
⊢ TendstoUniformly F f p ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : β), dist (f x) (F n x) < ε
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ (IsMin a ∨ ∃ b c, b ⊔ c = a ∧ b ≠ a ∧ c ≠ a) ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, b ⊔ c = a ∧ b < a ∧ c < a
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : i < c.length
⊢ 1 ≤ c.blocks[i]
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : CategoryTheory.Functor J CategoryTheory.Cat
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ∀ {X Y : ↑s.pt} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Cat.HasLimits.limitConeLift F s).map f =
    CategoryTheory.Limits.Types.Limit.mk
      (CategoryTheory.Cat.HasLimits.homDiagram
        (CategoryTheory.Limits.limit.lift (F.comp CategoryTheory.Cat.objects)
          { pt := ↑s.pt, π := { app := fun j => (s.π.app j).obj, naturality := ⋯ } } X)
        (CategoryTheory.Limits.limit.lift (F.comp CategoryTheory.Cat.objects)
          { pt := ↑s.pt, π := { app := fun j => (s.π.app j).obj, naturality := ⋯ } } Y))
      (fun j =>
        CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((s.π.app j).map f) (CategoryTheory.eqToHom ⋯)))
      ⋯
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K₁ L₁ K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b) (a ≫ φ₂)
⊢ (CochainComplex.mappingCone.trianglehMapOfHomotopy H).hom₃ =
  (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.mapOfHomotopy H)
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ ε : ℝ
ProperSpace E
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
a b : E
⊢ Metric.closedBall a ε - Metric.closedBall b δ = Metric.closedBall (a - b) (ε + δ)
α : Type u_1
Preorder α
NoMinOrder α
a b : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x > x_1) (Set.Ico a b)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α
h : List.count a l = l.length
⊢ List.replicate (List.count a l) a = l
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ a < b ⊔ c ↔ a < b ∨ a < c
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
CommRing B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Surjective ⇑f
hker : (RingHom.ker f.toRingHom).FG
Algebra.FinitePresentation R A
⊢ Algebra.FinitePresentation R B
R : Type u_1
M : Type u_3
a : R
Monoid R
MulAction R M
n : ℕ
ra : IsSMulRegular M a
⊢ IsSMulRegular M (a ^ n)
motive : Nat → Sort u_1
ind : (n : Nat) → ((m : Nat) → m < n → motive m) → motive n
t : Nat
⊢ t.strongRecOn ind = ind t fun m x => m.strongRecOn ind
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : ¬(q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0)
⊢ (if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).2 else p) = p - q * if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).1 else 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x y : P.Elements
f : x ⟶ y
eq₁ : yoneda.map (↑f).unop ≫ yonedaEquiv.symm x.snd = yonedaEquiv.symm y.snd
eq₂ : (G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst))) ((G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.1))).map (F.map (↑f).unop).op ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop x.fst))))) = (G.obj P).map (F.map (↑f).unop).op ((G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop x.fst)))))
eq₃ : (φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst)) ≫ F.map (↑f).unop) = (G.map (yoneda.map (↑f).unop)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) ((φ.app (Opposite.unop y.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))))
eq₄ : ∀ (a : F.obj (Opposite.unop x.fst) ⟶ F.obj (Opposite.unop x.fst)), (φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst))) (F.map (↑f).unop ≫ a) = (G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.fst))).map (F.map (↑f).unop).op ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) a)
⊢ yoneda.map (↑f).unop ≫ coconeApp φ x = coconeApp φ y
z τ : ℂ
hτ : τ ≠ 0
aux1 : -2 * ↑π / (2 * ↑π * I) = I
⊢ 1 / (-I * τ) ^ (3 / 2) * (-I * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ))) = 1 / (-I * τ) ^ (3 / 2) * (-2 * ↑π * jacobiTheta₂'' z (-1 / τ))
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
s : Finset α
⊢ s.compls.card = s.card
⊢ (fun n => ↑(Nat.fib n)) = fun n => (φ ^ n - ψ ^ n) / √5
x✝ y z x : ℝ
⊢ 1 ^ x = 1
n k : ℕ
⊢ k ≤ n → n.choose k * k ! * (n - k)! = n !
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))
⊢ Sigma.mk i '' (g i ⁻¹' s) ⊆ Sigma.map f g ⁻¹' (Sigma.mk (f i) '' s)
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S₁ S₂ : Subalgebra R Aᵐᵒᵖ
⊢ S₁.unop ≤ S₂.unop ↔ S₁ ≤ S₂
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
⊢ Function.FactorsThrough f f
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
h2 : Nat.card ↥(_root_.commutator G) ∣ (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ^ ((center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index * Nat.card ↑(commutatorSet G) + 1)
h1 : (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ (2 * Nat.card ↑(commutatorSet G))
⊢ Nat.card ↥(_root_.commutator G) ≤ cardCommutatorBound (Nat.card ↑(commutatorSet G))
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
h : HasDerivAtFilter f f' x L
⊢ HasDerivAtFilter (fun x => -f x) (-f') x L
motive : Nat → Nat → Sort u_1
zero_zero : motive 0 0
zero_succ : (n : Nat) → motive 0 (n + 1)
succ_zero : (m : Nat) → motive (m + 1) 0
succ_succ : (m n : Nat) → motive (m + 1) (n + 1)
m n : Nat
⊢ Nat.casesDiagOn (m + 1) (n + 1) zero_zero zero_succ succ_zero succ_succ = succ_succ m n
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ
⊢ multiplicity p n ! ≤ ↑(n / (p - 1))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R
this : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0
r : 𝕜
hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)
y : E
hy : y ∈ (fun x_1 => -x + x_1) ⁻¹' (r • s)
z : E
zs : z ∈ s
hz : r • z = -x + y
⊢ y ∈ u
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ ({a} ∩ mulSupport f).Finite
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
⊢ orderOf x = 0 ↔ ∀ (n : ℕ), 0 < n → x ^ n ≠ 1
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ
⊢ (fun a => ↑(ProbabilityTheory.condCDF ρ a) ↑r) =ᵐ[ρ.fst] fun a => (ProbabilityTheory.preCDF ρ r a).toReal
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
LinearOrder 𝕜
OrderClosedTopology 𝕜
x y : 𝕜
h : x < y
⊢ HasDerivWithinAt f f' (Set.Ioo x y) x ↔ HasDerivWithinAt f f' (Set.Ioi x) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
CategoryTheory.Limits.HasKernel f'
sq : CategoryTheory.Arrow.mk f ⟶ CategoryTheory.Arrow.mk f'
⊢ CategoryTheory.Limits.kernel.map f f' sq.left sq.right ⋯ ≫ (CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectIso f').inv =
  (CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectIso f).inv ≫ CategoryTheory.Limits.kernelSubobjectMap sq
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right
b : I.R
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp I.fstPiMap (CategoryTheory.Limits.Pi.π I.right b) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Pi.π I.left (I.fstTo b)) (I.fst b)
m e : Nat
⊢ Rat.ofScientific m true e = if true = true then mkRat (↑m) (10 ^ e) else ↑(m * 10 ^ e)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α
⊢ d ≤ a ⇨ b ⇨ c ↔ d ≤ a ⊓ b ⇨ c
i j : ℕ
hne : i ≠ j
h : i < j
⊢ 0 < j - i
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin 1 → ℂ) → E
c : Fin 1 → ℂ
R : Fin 1 → ℝ
H₁ : (⇑(MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ).symm ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π)
H₂ : torusMap c R = fun θ x => circleMap (c 0) (R 0) (θ 0)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (∏ i : Fin 1, ↑(R i) * cexp (↑((MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ).symm x i) * I) * I) • f ((fun θ x => circleMap (c 0) (R 0) (θ 0)) ((MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ).symm x)) = ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), deriv (circleMap (c 0) (R 0)) x • f fun x_1 => circleMap (c 0) (R 0) x ∂volume
α : Type u_1
Zero α
⊢ OrderDual.toDual 0 = 0
E : Type u_6
SeminormedGroup E
⊢ Filter.comap norm (𝓝 0) = 𝓝 1
n : ℕ
hn : Even n
h : n ≠ 0
⊢ StrictConvexOn ℝ Set.univ fun x => x ^ n
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ closure ∅ = ∅
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x a : M
ha : 1 < a
k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ 1 < a ^ k
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
s : Finset V
h : induce (↑s) G = ⊤
inst✝ : Fintype α
C : G.Coloring α
f : ⊤ ↪g G
⊢ s.card = card ↑↑s
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ o.oangle x (r • x + y) = 0 ∨ o.oangle x (r • x + y) = ↑π ↔ o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊆ t
⊢ s.val ≤ t.val
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
⊢ Function.Injective (Ι a)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
t : Set β
⊢ Nat.card ↑({a} ×ˢ t) = Nat.card ↑t
a b : Int
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 < a + b
M : Type u_1
N : Type u_2
S : Type u_3
M₀ : Type u_4
M₁ : Type u_5
R : Type u_6
G : Type u_7
G₀ : Type u_8
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : Monoid N
inst✝⁵ : Semigroup S
inst✝⁴ : MulZeroClass M₀
inst✝³ : MulOneClass M₁
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : CancelMonoidWithZero G₀
p : N
n✝ : ℕ
h : IsIdempotentElem p
n : ℕ
x✝ : IsIdempotentElem (p ^ n)
⊢ p ^ n.succ * p ^ n.succ = (p * p) ^ n.succ
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
σ : K ≃ₐ[k] K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ ∀ (a : K), ↑(SMul.smul σ w) a = ↑w (σ.symm a)
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Polynomial.map f p ≠ 0 ↔ p ≠ 0
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : μ.IsNegInvariant
h : ConvolutionExistsAt f g x L μ
x✝ : G
⊢ x✝ = x - (x - x✝)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
DiscreteTopology β
f : α × β → γ
s : Set (α × β)
x : α × β
⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x_1, x.2)) {a | (a, x.2) ∈ s} x.1
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
x : X
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ 0
⊢ 0 < μ (EMetric.closedBall x r)
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f✝ : ↥(Lp F p μ)
hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ
f g : α → F
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
h_disj : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hPf : P (Memℒp.toLp f hf)
hPg : P (Memℒp.toLp g hg)
s_f : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hs_f : MeasurableSet s_f
hs_f_eq : s_f =ᶠ[ae μ] Function.support f
s_g : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)
hs_g : MeasurableSet s_g
hs_g_eq : s_g =ᶠ[ae μ] Function.support g
h_inter_empty : s_f ∩ s_g =ᶠ[ae μ] ∅
f' : α → F := (s_f \ s_g).indicator (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf'_Lp : Memℒp f' p μ
g' : α → F := (s_g \ s_f).indicator (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'
hg'_meas : StronglyMeasurable g'
hg'_Lp : Memℒp g' p μ
⊢ P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.forgetToTop.obj X =
  (AlgebraicGeometry.SheafedSpace.forget CommRingCat).obj X.toSheafedSpace
α : Type u_1
ι : Sort u_5
InfSet α
f : ι → α
⊢ sInf (Set.range f) = iInf f
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
vars : Type u_1
val : vars → S
h : Function.Surjective ⇑(MvPolynomial.aeval val)
⊢ ∀ (a : vars), (Algebra.Generators.ofSurjective val h).val a = val a
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
Finite Y
s : Y → Set X
h : ∀ (i : Y), IsClopen (s i)
⊢ IsClopen (⋃ i, s i)
M : Type u_3
f : ℕ → M
n : ℕ
AddCommGroup M
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), f i - ∑ i ∈ Finset.range n, f i = f n
α : Type u_6
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.toMeasurable μ s =
  if h : ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ t =ᵐ[μ] s then h.choose
  else
    if h' : ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t ∩ u) = μ (s ∩ u) then h'.choose
    else ⋯.choose
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
⊢ CNF 0 o = [(0, o)]
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
ι : Type u_2
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
g : σ → R
⊢ (MvPolynomial.eval g) (∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, (MvPolynomial.eval g) (f i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CommGroup β
s : Set α
t u : Finset α
d : ℕ
a : α
⊢ ¬MulDissociated s ↔ ∃ t u, ↑t ⊆ s ∧ ↑u ⊆ s ∧ Disjoint t u ∧ t ≠ u ∧ ∏ a ∈ t, a = ∏ a ∈ u, a
α : Type u
SubtractionMonoid α
a : α
h : IsAddUnit a
⊢ IsAddUnit (-a)
α : Type u_1
AddZeroClass α
LT α
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a + b < b
⊢ a < 0
α : Sort u_1
s : α → Prop
h : ∃ a, (fun b => a = b) = s
⊢ (fun b => out ⟨s, h⟩ = b) = s