ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
⊢ σ 0 = {0}
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A B : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
x : ℍ
⊢ f ((A * B) • x) * ↑(↑↑(A * B)).det ^ (k - 1) * (denom A (smulAux B x) * denom B x) ^ (-k) = f (A • B • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * denom A (B • x) ^ (-k) * ↑(↑↑B).det ^ (k - 1) * denom B x ^ (-k)
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb✝ : 1 ≤ b
hb : 1 < b
⊢ Monotone fun x => b ^ x
w x y z✝ z : ℝ
h : 0 ≤ z
h0 : 0 = z
⊢ Monotone fun x => x ^ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s : Set E
x : E
hx : x ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
⊢ x ∈ s
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
α : Type u_6
l : Filter α
f : α → Z
z : Z
hz : z ∈ e.source
⊢ ((Tendsto (fun n => ((↑e ∘ f) n).1) l (𝓝 (proj z)) ∧ Tendsto (fun n => ((↑e ∘ f) n).2) l (𝓝 (↑e z).2)) ∧ ∀ᶠ (a : α) in l, f a ∈ e.source) ↔ Tendsto (proj ∘ f) l (𝓝 (proj z)) ∧ Tendsto (fun x => (↑e (f x)).2) l (𝓝 (↑e z).2)
α : Type u
CommMonoid α
Subsingleton αˣ
a b : α
h : a * b = 1
⊢ b = 1
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
⊢ PseudoEMetricSpace.toUniformSpace = uniformSpaceOfEDist edist ⋯ ⋯ ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S S' : D
T : CategoryTheory.Functor C D
f : S ⟶ S'
X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit S') T
⊢ ((CategoryTheory.StructuredArrow.map f).obj X).right = X.right
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
U V : CategoryTheory.Over X
f : U.left ⟶ V.left
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f V.hom = U.hom := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Over.homMk f w).left = f
R : Type u_2
K : Type ?u.68264
L : Type ?u.68267
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
⊢ (minpolyDiv R x).natDegree < (minpolyDiv R x).natDegree + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
hs : MeasurableSet s
a : α
f : β → ℝ≥0∞
t : Set β
⊢ ∫⁻ (b : β) in t, f b ∂(κ.restrict hs) a = ∫⁻ (b : β) in t ∩ s, f b ∂κ a
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ W'.negY (u • P) = u ^ 3 * W'.negY P
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
⊢ ↑s.toSubmonoid = ↑s
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I J : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ (I + J).toIdeal = I.toIdeal + J.toIdeal
θ : Real.Angle
⊢ -θ ≠ θ ↔ θ ≠ 0 ∧ θ ≠ ↑π
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
𝕜 : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
StarRing A
NormedRing B
NormedAlgebra 𝕜 B
CompleteSpace B
StarRing B
NormedRing C
NormedAlgebra 𝕜 C
CompleteSpace C
StarRing C
ψ₂ : B →⋆ₐ[𝕜] C
ψ₁ : A →⋆ₐ[𝕜] B
⊢ WeakDual.CharacterSpace.compContinuousMap (ψ₂.comp ψ₁) =
  (WeakDual.CharacterSpace.compContinuousMap ψ₁).comp (WeakDual.CharacterSpace.compContinuousMap ψ₂)
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.10116, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex (Karoubi C) c
i j k : ι
x✝¹ : c.Rel i j
x✝ : c.Rel j k
⊢ (fun i j => (K.d i j).f) i j ≫ (fun i j => (K.d i j).f) j k = 0
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
N : Type uN
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
a : A
x : TensorProduct R M N
⊢ a • x = (LinearMap.rTensor N ((Algebra.lsmul R R M) a)) x
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
⊢ ⋂ s ∈ range fun i => p i, ↑s = ⋂ i, ↑(p i)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : C), Mono (h.unit.app X)
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : L.map f = L.map g
⊢ (h.homEquiv X (L.obj Y)).symm (f ≫ h.unit.app Y) = (h.homEquiv X (L.obj Y)).symm (g ≫ h.unit.app Y)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ StrictMono (AddSubmonoid.comap f)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
⊢ NumberField.discr K = (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal 1) μ
⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (⇑g) (ENNReal.ofReal 1) μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
P : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprod.rightUnitor P).hom =
  CategoryTheory.Limits.coprod.desc (𝟙 P) (CategoryTheory.Limits.initial.to P)
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_one : f 0 = 0
hp_one : p 0
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a + b) ≤ f a + f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a + b)
s : Multiset α
hps : ∀ a ∈ s, p a
⊢ f s.sum ≤ (Multiset.map f s).sum
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Mul G
μ : MeasureTheory.Measure G
self : μ.IsMulRightInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.Measure.map (fun x => x * g) μ = μ
α : Type u_1
LinearOrder α
succ : α → α
hn : ∀ {a : α}, ¬IsMax a → ∀ (b : α), a < b ↔ succ a ≤ b
hm : ∀ (a : α), IsMax a → succ a = a
⊢ ∀ (a : α), SuccOrder.succ a = succ a
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
⊢ Irreducible p ↔ Irreducible (Polynomial.map (algebraMap R K) p)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.LeftHomologyData
⊢ h.unop.Q = Opposite.unop h.K
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : { x // x.SieveCompatible }
f f' : S.arrows.categoryᵒᵖ
g : f ⟶ f'
⊢ ↑x (unop f').obj.hom ⋯ = ↑x (g.unop.left ≫ (unop f).obj.hom) ⋯
α : Type u
β : Type v
⊢ Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk α) = Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk β) ↔ Nonempty (α ≃ β)
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective (AddSubmonoid.map f)
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a = b ∨ a < b
⊢ a ≤ b
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
⊢ Exact ⇑(rTensor Q f) ⇑(rTensor Q g)
R : Type u_2
K : Type ?u.2896
L : Type ?u.2899
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
⊢ map (algebraMap R S) (minpoly R x) /ₘ (X - C x) * (X - C x) = map (algebraMap R S) (minpoly R x)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
H : p ≠ 0
⊢ p.natDegree ∈ p.support
n : Nat
i : Fin (n + 2)
h : ↑i < n + 1
⊢ (i + 1).pred ⋯ = i.castLT h
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
CategoryTheory.IsPreconnected Jᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.IsPreconnected J
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
S : Set (Set α)
x y : α
H : ∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s
s : Set α
⊢ ∀ t ∈ S, x ∈ t ↔ y ∈ t
n : ℕ
⊢ ∏ x ∈ Finset.Ico 1 (n + 1), x = n !
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
ClosedIciTopology α
f : β → α
a b : α
x : Filter β
x.NeBot
lim : Filter.Tendsto f x (𝓝 a)
h : ∀ᶠ (c : β) in x, b ≤ f c
⊢ b ≤ a
n k : ℕ
e : (n + 1) * n.choose k = n.choose (k + 1) * (k + 1) + n.choose k * (k + 1)
⊢ n.choose (k + 1) * (k + 1) = n.choose k * (n - k)
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
Pow β γ
MeasurablePow β γ
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
g : α → γ
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (fun x => f x ^ g x) μ
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : AddCommMonoid N'
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid P'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N'
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R P'
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
e : N ≃ₗ[R] N'
⊢ Exact ⇑(↑e ∘ₗ f) ⇑(g ∘ₗ ↑e.symm) ↔ Exact ⇑f ⇑g
m : ℕ
h : 1 < m
⊢ Filter.Tendsto (fun n => m ^ n) Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → ℝ
this : (fun x => g x * (f x).toReal) = fun x => (f x).toReal • g x
⊢ Integrable g (μ.withDensity f) ↔ Integrable (fun x => g x * (f x).toReal) μ
u : Level
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Nontrivial α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h : decide (num✝¹ * ↑db < num✝ * ↑da) = true
⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da < ↑num✝ * ⅟↑db
G : Type u_1
AddGroup G
h : IsAddCyclic G
σ : G →+ G
⊢ ∃ m, ∀ (g : G), σ g = m • g
z : Complex.UnitDisc
⊢ (-z).re = -z.re
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι), ∀ w ∈ U, ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
hc : TendstoLocallyUniformlyOn (fun t x => ∑ n ∈ t, F n x) (fun x => ∑' (n : ι), F n x) atTop U
s : Finset ι
⊢ ∑ b ∈ s, deriv (F b) z = (deriv ∘ fun t x => ∑ n ∈ t, F n x) s z
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
x : K
hsep : IsSeparable E x
f : E[X] := minpoly E x
hf : f = minpoly E x
E' : IntermediateField F E := adjoin F ↑f.coeffs
this : FiniteDimensional F ↥E'
g : (↥E')[X]
h : Polynomial.map (algebraMap (↥E') E) g = f
hx : x ∈ restrictScalars F (↥E')⟮x⟯
hzero : (aeval x) g = 0
halg : IsIntegral (↥E') x
⊢ IsSeparable F x
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
⊢ 0 ≤ p.degree ↔ p ≠ 0
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(b : B) → TopologicalSpace (E b)
FiberBundle F E
Nonempty F
⊢ QuotientMap Bundle.TotalSpace.proj
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ x.or y = x ||| y
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
μ : R
h : f.HasEigenvalue μ
n : ℕ
⊢ (f ^ n).HasEigenvalue (μ ^ n)
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : IsSkewAdjoint B f
hg : IsSkewAdjoint B g
hfg : IsAdjointPair B B (f * g) (g * f)
hgf : IsAdjointPair B B (g * f) (f * g)
⊢ IsAdjointPair B B (f * g - g * f) (g * f - f * g)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : NullMeasurableSet s μ
hs₀ : μ s ≠ 0
hsc₀ : μ sᶜ ≠ 0
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ ∈ openSegment ℝ≥0∞ (⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍⁻ (x : α) in sᶜ, f x ∂μ)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
⊢ l₁.erase a ~ l₂.erase a
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedRing 𝔹
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝² : CompleteSpace 𝔸
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F 𝔸 𝔹
inst✝ : RingHomClass F 𝔸 𝔹
f : F
hf : Continuous ⇑f
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ f (exp 𝕂 x) = exp 𝕂 (f x)
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
X_emp : Nonempty Ω
xs : ℕ → Ω
xs_dense : DenseRange xs
⊢ ∃ As, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), diam (As n) ≤ ε) ∧ ⋃ n, As n = univ ∧ Pairwise fun n m => Disjoint (As n) (As m)
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
hθ : 0 ∈ Ioo (-π) π
⊢ (fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2)) (r, 0) ∈ {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}
ι : Type u
α : Type v
DecidableEq α
t : ι → Finset α
Fintype ι
x : ι
a : α
ha : ∀ (s : Finset ι), s.Nonempty → s ≠ Finset.univ → s.card < (s.biUnion t).card
s' : Finset ↑{x' | x' ≠ x}
⊢ s'.card ≤ (s'.biUnion fun x' => (t ↑x').erase a).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : Countable β
x : β
s : β → Set β
hs : ∀ y ∉ measurableAtom x, x ∈ s y ∧ MeasurableSet (s y) ∧ y ∉ s y
this : measurableAtom x = ⋂ y ∈ (measurableAtom x)ᶜ, s y
⊢ MeasurableSet (⋂ y ∈ (measurableAtom x)ᶜ, s y)
X : TopCat
p₀ : ↑X
(U : TopologicalSpace.Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
A : C
hd : (U : TopologicalSpace.Opens ↑(TopCat.of PUnit.{u + 1})) → Decidable (PUnit.unit ∈ U)
⊢ skyscraperPresheaf p₀ A =
  (TopCat.Presheaf.pushforward C (ContinuousMap.const (↑(TopCat.of PUnit.{u + 1})) p₀)).obj
    (skyscraperPresheaf PUnit.unit A)
n : ℕ
⊢ HasDerivAt Complex.Gamma (↑n ! * (-↑γ + ↑(harmonic n))) (↑n + 1)
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
s : Set α
f : α → M
g : M →+ N
h₀ : (s ∩ Function.support f).Finite
⊢ g (∑ᶠ (j : α) (_ : j ∈ s), f j) = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g (f i)
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Injective ⇑f
x : R
h : ∀ (m : M'), x • m = 0
⊢ ∀ (m : M), x • m = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
la : Filter α
lb : Filter β
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
hla : la.HasBasis pa sa
hlb : lb.HasBasis pb sb
⊢ (la ×ˢ lb).HasBasis (fun i => pa i.1 ∧ pb i.2) fun i => sa i.1 ×ˢ sb i.2
α : Type u
β : Type u_1
Semiring α
Semiring β
x y : α
n : ℕ
f : α →+* β
⊢ f (∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) = ∑ i ∈ Finset.range n, f x ^ i * f y ^ (n - 1 - i)
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : Basis n R M
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
x : M
⊢ { toFun := ⇑((toLin b b) A), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (((toLin b b) A⁻¹) x) = x
α : Type u_1
a y : Lists α
l : Lists' α true
⊢ a ∈ Lists'.cons y l ↔ a ~ y ∨ a ∈ l
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
n : N
⊢ 0 ⊗ₜ[R] n = 0
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s : Set α
⊢ s =ᵐ[μ] Set.univ ↔ μ sᶜ = 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
a : α
l : List α
a✝ : (∀ a ∈ ↑l, ∀ b ∈ ↑l, r a b) → Chain r ↑l
hs : ∀ a_1 ∈ ↑(a :: l), ∀ b ∈ ↑(a :: l), r a_1 b
Ha : a ∈ ↑(a :: l)
Hl : ∀ {b : α}, b ∈ l → b ∈ ↑(a :: l)
⊢ List.Pairwise r (a :: (l ++ [a]))
α : Type u_1
Zero α
One α
Add α
Neg α
n : PosNum
⊢ ↑(ZNum.pos n) = ↑n
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) ≤ f x / (y - x) + f z / (z - y)
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.quotientInfToSupQuotient p p')
α : Type u
β' : Type v
⊢ #(α ≃ β') ≤ #(α ↪ β')
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
h : HasDerivAt f f' x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t : Finset α
c : α
⊢ c ∈ s ⊻ t ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a ⊔ b = c
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
cne : c.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)
P : (x : ↥(sSup (domain '' c))) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }
⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
t : ℝ
⊢ t ∈ Metric.ball (t₀ - dt) ε ↔ t ∈ {t | t + dt ∈ Metric.ball t₀ ε}
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
K : Type u_4
Field K
Module K M
Algebra R K
D : Derivation R K M
a : K
⊢ D a⁻¹ = -a⁻¹ ^ 2 • D a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
DecidableEq α
DecidableEq β
DecidableEq γ
x y : α ⊕ β ⊕ γ
hxy : (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).Adj x y
⊢ ∃ z ∈ t, x ∈ SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.toTriangle z ∧ y ∈ SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.toTriangle z
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
⊢ SuperpolynomialDecay l k (f * k) ↔ SuperpolynomialDecay l k f
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
this : 3 * (S.multiplicity - 1) = 2 + (3 * S.multiplicity - 5)
⊢ ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 = λ ^ 2 * (λ ^ (3 * S.multiplicity - 5) * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S ^ 3)
n : ℕ
f : PSet.Resp (n + 1)
x : PSet
⊢ PSet.Resp.eval (n + 1) f (ZFSet.mk x) = PSet.Resp.eval n (f.f x)
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝¹ : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
b : Basis (↑(this✝.extend ⋯)) K V := Basis.extend this✝
b_eq : b = Basis.extend this✝
i1 : Fintype ↑(this✝.extend ⋯) := ⋯.fintype
i2 : Fintype ↑(Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
i3 : Fintype ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
this : Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S = this✝.extend ⋯
⊢ S = ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
AddGroup α
AddAction α β
a : α
Fintype β
⊢ a +ᵥ Finset.univ = Finset.univ
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h.IsPreservedBy F
⊢ (h.map F).H = F.obj h.H
α : Type u_1
MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
n : ℕ
a : α
⊢ MeasurableSet (memPartitionSet t n a)
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
K : Type u_5
Field K
L : Type u_7
Field L
Algebra A K
IsFractionRing A K
g : A →+* L
hg : Function.Injective ⇑g
x : A
⊢ (IsFractionRing.lift hg) ((algebraMap A K) x) = g x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
b : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
p : E × F
⊢ HasStrictFDerivAt b (h.deriv p) p
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ jacobiTheta₂' z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) / τ * (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ))
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderTop α
h : IsCoatomic α
b : αᵒᵈ
⊢ b = ⊥ ∨ ∃ a, IsAtom a ∧ a ≤ b
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : V
f : A ⟶ B
⊢ eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ = (singleObjXSelf c j A).hom ≫ f ≫ (singleObjXSelf c j B).inv
α : Type u_2
Neg α
s t : Set α
⊢ -(s ∪ t) = -s ∪ -t
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)
⊢ R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
k : ℕ
⊢ Summable fun l => ‖p.changeOriginSeries k l‖₊ * r ^ l
A : Type u_1
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra ℝ A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : T2Space A
s : Set ℝ
inst✝ : CompactSpace ↑s
φ ψ : C(↑s, ℝ) →ₐ[ℝ] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)
⊢ ⊤ ≤ AlgHom.equalizer φ ψ
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
x : β
r : ℝ
⊢ ⇑h ⁻¹' Metric.ball x r = Metric.ball (h.symm x) r
a : UnitAddCircle
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven₀ a s - ((if a = 0 then 1 else 0) / s + (1 / (1 - s) + 1 / (s - 1)))) 1
n m m' : Nat
i : Fin n
h : n + m' = n + m
⊢ Fin.cast h (Fin.castAdd m' i) = Fin.castAdd m i
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝¹ : IsIntegral Y
inst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this : U = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U
⊢ IsDomain ↑Γ(X, f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
π : ι ⊕ ι' → Type u_4
t : (i : ι ⊕ ι') → Set (π i)
x✝ : ((i : ι) → π (Sum.inl i)) × ((i' : ι') → π (Sum.inr i'))
⊢ x✝ ∈ ⇑(sumPiEquivProdPi π).symm ⁻¹' univ.pi t ↔ x✝ ∈ (univ.pi fun i => t (Sum.inl i)) ×ˢ univ.pi fun i => t (Sum.inr i)
R : Type u_1
A : Type u_3
M : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
a : A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
t : R
m : Module.AEval R M a
⊢ Polynomial.C t • m = t • m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D
X : C
⊢ F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom =
  CategoryTheory.inv (F.μ (𝟙_ C) X) ≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.inv F.ε) (F.obj X) ≫
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (F.obj X)).hom
⊢ √3 / 2 / (1 / 2) = √3
x₁ y₁ x₂ y₂ : SetTheory.PGame
hx : x₁ ≈ x₂
hy : y₁ ≈ y₂
⊢ x₁.Fuzzy y₁ ↔ x₂.Fuzzy y₂