ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i✝ j✝ : Set α
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : MeasurableSet i
hj : MeasurableSet j
hi' : restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ restrict s iᶜ ≤ restrict 0 iᶜ
hj' : restrict 0 j ≤ restrict s j ∧ restrict s jᶜ ≤ restrict 0 jᶜ
⊢ ↑s (i ∆ j) = 0 ∧ ↑s (iᶜ ∆ jᶜ) = 0
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
a : Fin (n + 2)
h : a ≠ last (n + 1)
⊢ a.succAbove (last n) = last (n + 1)
α : Type u_1
CircularOrder α
a b : α
⊢ (Set.cIcc a b)ᶜ = Set.cIoo b a
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
h : μ ⟂ₘ ν
s : Set α
⊢ μ.restrict s ⟂ₘ ν
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x : A
⊢ ↑((selfAdjointPart R) x) + ↑((skewAdjointPart R) x) = x
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁
⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
x : ↥(integralClosure R A)
⊢ IsIntegral R x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
P : Type u_7
NormedAddCommGroup P
f : α → P
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∫ (x : α), ‖f x‖ ∂μ = (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ).toReal
x : SetTheory.PGame
j : x.RightMoves
⊢ x.LF (x.moveRight j)
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
n : ℕ
p q : R[ℕ]
⊢ ({ toFinsupp := p } * { toFinsupp := q }).coeff n = ∑ x ∈ antidiagonal n, { toFinsupp := p }.coeff x.1 * { toFinsupp := q }.coeff x.2
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Cycle α
h : s.Nodup
hn : s.Nontrivial
⊢ (s.formPerm h).IsCycle
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
Finite α
⊢ ∀ (a : α →₀ M) (a_1 : α), Finsupp.equivFunOnFinite a a_1 = a a_1
α : Type u_1
a : ZNum
⊢ ↑(0 * a) = ↑0 * ↑a
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ s ∪ ⋂ i, ⋂ j, t i j = ⋂ i, ⋂ j, s ∪ t i j
G : Type u_1
AddGroup G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
PolishSpace G
ν : MeasureTheory.Measure G
Γ : AddSubgroup G
T2Space (G ⧸ Γ)
SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : MeasureTheory.Measure (G ⧸ Γ)
MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
ν.IsAddLeftInvariant
hasFun : MeasureTheory.HasAddFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
⊢ MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G (G ⧸ Γ) μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
f : Y ⟶ X
⊢ CategoryTheory.IsSplitEpi f
f : ℕ → ℝ
hfa : Antitone f
hf0 : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i
K : Type u_1
Field K
x y : NumberField.RingOfIntegers K
⊢ ↑x = ↑y ↔ x = y
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K✝ : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
K : Type u_9
E : Type u_10
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module K E
s : Submodule K E
x : E
H : x ∈ s → x = 0
y : E
hy : y ∈ s
hyx : y ∈ span K {x}
⊢ y = 0
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Module.Free R M₁
Module.Finite R M₁
Module.Free R M₂
Module.Finite R M₂
B : LinearMap.BilinForm R M₁ ⊗[R] LinearMap.BilinForm R M₂
⊢ (LinearMap.BilinMap.tensorDistribEquiv R) B = (LinearMap.BilinMap.tensorDistrib R R) B
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
x y : ZMod N
hxy : toAddCircle x = toAddCircle y
⊢ x = y
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
t_ne_zero' : t ≠ 0
t_ne_zero : ↑t ≠ 0
ν : Measure α := μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)
f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ
f_meas : Measurable f
A : ν (s ∩ f ⁻¹' {0}) ≤ (↑t ^ 2 • ρ) (s ∩ f ⁻¹' {0})
⊢ (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s ≤ ↑t ^ 2 * ρ s
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ s ⊆ interior s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ x ∈ t
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R
⊢ (∃ x_1 ∈ Set.Icc 0 1, (lineMap 0 1) x_1 = x) ↔ x ∈ Set.Icc 0 1
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
⊢ (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) * (P y * Q z ^ 3 - W'.negY Q * P z ^ 3) = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p q : R[X]
x : A
⊢ (aeval x) p ∈ Algebra.adjoin R {x}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
Z : C
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution Z
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk (P.complex.d 1 0) (P.π.f 0) ⋯).Exact
α : Type u
a : α
⊢ {a}ᶜ = {x | x ≠ a}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
⊢ (∫⁻ (a : α), (↑‖f a‖₊ * ↑‖g a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊
⊢ Tendsto (fun x => x) (𝓝 g) (𝓝 g)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β γ : Type w
e : β ≃ γ
⊢ (CategoryTheory.GradedObject.comapEquiv C e).functor = CategoryTheory.GradedObject.comap C ⇑e.symm
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : SMul G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
c : G
⊢ μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) = μ ((fun x => c • x) ⁻¹' toMeasurable μ s)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∉ s
⊢ dist p ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p) ≠ 0
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α x : E
⊢ (∃ a a_1, (aeval α) a / (aeval α) a_1 = x) ↔ ∃ r s, x = (aeval α) r / (aeval α) s
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X₁ Y₁ X₂ Y₂ : Center C
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂
U : C
⊢ (f.f ⊗ g.f) ▷ U ≫ ((Y₁.tensorObj Y₂).snd.β U).hom = ((X₁.tensorObj X₂).snd.β U).hom ≫ U ◁ (f.f ⊗ g.f)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
hF : F.Representable
X : Cᵒᵖ
f : unop X ⟶ F.reprX
⊢ (F.reprW.app X).hom f = F.map f.op F.reprx
α β : GrpWithZero
e : ↑α ≃* ↑β
x✝ : (forget GrpWithZero).obj α
⊢ (↑e ≫ ↑e.symm) x✝ = (𝟙 α) x✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : ℕ → α
l : Filter α
k : ℕ
⊢ Tendsto (f ∘ fun n => n + k) atTop l ↔ Tendsto f atTop l
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.IsIdempotentComplete D
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.karoubiUniversal C D).functor = CategoryTheory.Idempotents.functorExtension C D
α : Type u
Preorder α
s : Set α
⊢ BddBelow s ∧ BddAbove s ↔ ∃ a b, s ⊆ Set.Icc a b
α : Type u_1
Preorder α
s t : Set α
⊢ lowerClosure (s ∪ t) = lowerClosure s ⊔ lowerClosure t
d : ℤ
a b : ℤ
⊢ ↑a ∣ ↑b ↔ a ∣ b
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
Preorder δ
h : PseudoEpimorphism γ δ
g : PseudoEpimorphism β γ
f : PseudoEpimorphism α β
⊢ (h.comp g).comp f = h.comp (g.comp f)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
h : p ∈ affineSpan k s
⊢ Collinear k (insert p s) ↔ Collinear k s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ‖x - y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 - 2 * RCLike.re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ ^ 2
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s) = Submodule.span R ↑(Submonoid.closure s)
α : Type u
DecidableEq α
x y : FreeGroup α
⊢ x.toWord = y.toWord ↔ x = y
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
f : F[X]
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
eval_f : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = r i
⊢ ((interpolate s v) fun i => eval (v i) f) = (interpolate s v) r
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
x y : F
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ ¬SameRay ℝ x y ↔ x ≠ y
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
⊢ Mᵀ.PosSemidef
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x => ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
vf_cont : ∀ (n : ℕ), Continuous (v n ∘ f)
I : ∀ (ν : Measure G), IsFiniteMeasureOnCompacts ν → Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂ν) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂ν))
M : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
I1 : Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'))
J1 : ∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
J2 : (μ' (f ⁻¹' {1})).toReal = ((μ'.haarScalarFactor μ • μ) (f ⁻¹' {1})).toReal
⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : CategoryTheory.Functor A B
G : CategoryTheory.Functor B C
H : CategoryTheory.Functor C D
⊢ ∀ (x : A), (F.associator G H).inv.app x = CategoryTheory.CategoryStruct.id ((F.comp (G.comp H)).obj x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
⊢ IsOpen (Ico 0 b)
α : Type u_1
DecidableEq α
s s' : Finset α
P : Prop
Decidable P
⊢ (if P then s else s') ⊆ s ∪ s'
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a b : α
ha : IsLUB s a
⊢ a < b ↔ ∃ c ∈ upperBounds s, c < b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
⊢ Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂
𝕜 : Type u
A : Type v
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : Polynomial 𝕜
hnon : (spectrum 𝕜 a).Nonempty
⊢ spectrum 𝕜 ((Polynomial.aeval a) p) = (fun k => Polynomial.eval k p) '' spectrum 𝕜 a
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
H : ∀ {a : α} {m n : ℕ}, m ≤ n → a ∈ f m → a ∈ f n
a : α
⊢ a ∈ Nat.rfindOpt f ↔ ∃ n, a ∈ f n
X : TopCat
U : Opens ↑X
⊢ ↑(⋯.functor.obj ⊤) = ↑U
n : ℕ
hn : 1 < n
⊢ 0 ∈ range n ∧ ¬n.Coprime 0
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
X : I₁ ⊕ I₂ → C
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ Sum.inl)
c₂ : Cofan (X ∘ Sum.inr)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
hc₂ : IsColimit c₂
inst✝ : MonoCoprod C
inr : c₂.pt ⟶ c.pt
hinr : ∀ (i₂ : I₂), c₂.inj i₂ ≫ inr = c.inj (Sum.inr i₂)
⊢ Mono inr
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (deriv f) volume
x : ℝ
⊢ 𝓕 (deriv f) x = (2 * ↑π * I * ↑x) • 𝓕 f x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ Inducing ⇑h
α : Type u_1
ι : Type u_2
s : ι → Set α
S : Set ι
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (piiUnionInter (fun k => {s k}) S) = MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ k ∈ S, s k = t}
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f : α → β
Nonempty β
⊢ Filter.EventuallyConst f l ↔ ∃ c, f =ᶠ[l] fun x => c
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a : E
⊢ Monotone fun s => posTangentConeAt s a
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
U V : OpenSubgroup G
⊢ ↑(U ⊓ V) = ↑U ⊓ ↑V
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
⊢ dist t v.t₀ ≤ v.tDist
R : Type u
CommSemiring R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑⊥ = Set.univ
R : Type u_2
CommRing R
ι : Type u_3
Finite ι
I : ι → Ideal R
hf : Pairwise fun i j => IsCoprime (I i) (I j)
x : (i : ι) → R ⧸ I i
⊢ ∃ r, ∀ (i : ι), (Ideal.Quotient.mk (I i)) r = x i
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ f : α → β
g₁ g₂ : β → α
h₁ : LeftInverse g₁ f
h₂ : RightInverse g₂ f
⊢ g₁ ∘ f ∘ g₂ = g₂
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hxy : s.WSameSide x y
hyz : s.WSameSide y z
hy : y ∉ s
⊢ s.WSameSide x z
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ : QuasiIso φ
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')
⊢ QuasiIso φ'
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
x : Lex ((i : ι) → β i)
i : ι
⊢ ofLex x i = x i
z : ℂ
⊢ (z - (starRingEnd ℂ) z).re = (↑(2 * z.im) * I).re ∧ (z - (starRingEnd ℂ) z).im = (↑(2 * z.im) * I).im
a b : Cardinal.{u_1}
ha : a < Cardinal.aleph0
hb : b < Cardinal.aleph0
⊢ a + b < Cardinal.aleph0
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h : toNonUnitalNonAssocSemiring = toNonUnitalNonAssocSemiring
h_zero : Zero.zero = Zero.zero
h_one' : MulOneClass.toOne = MulOneClass.toOne
h_one : One.one = One.one
⊢ inst₁ = inst₂
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : IsDomain A
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_5
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (integralClosure A L) ≤ Submodule.span A (Set.range ⇑((traceForm K L).dualBasis ⋯ b))
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n
⊢ (toMatrix v₁ v₂) f i j = (v₂.repr (f (v₁ j))) i
α : Type u_1
ι : Type u_3
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
I : Set ι
t : ι → Set α
h : I.PairwiseDisjoint t
hI : I.Finite
ht : ∀ i ∈ I, (t i).Finite
⊢ ∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃ x ∈ I, t x), f a = ∏ᶠ (i : ι) (_ : i ∈ I) (j : α) (_ : j ∈ t i), f j
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hem : B' ⊆ B ∪ X ∧ e ∉ B'
f : α
hfb : f ∈ B' \ B
hBf : M.Base (insert f (B \ {e}))
⊢ False
n m : Nat
h : n ≤ m
i : Nat
⊢ n ^ i ≤ m ^ i
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulLeftInvariant
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving Inv.inv μ μ
q : ℕ+
x y : LucasLehmer.X q
h₁ : x.1 = y.1
h₂ : x.2 = y.2
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ { i // ↑i < m } ≃ Fin m
α : Type u
a : α
⊢ (pure a).sets = {s | a ∈ s}
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
h : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
A' : ι → F
h : ∀ i ∈ u, HasStrictDerivAt (A i) (A' i) x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) x
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Ioc a c ⊆ Set.Ioo a b ∪ Set.Icc b c
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.inr R M M₂)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
r : R
IsLocalization.Away r S
⊢ ∀ (x : Unit), (Algebra.Generators.localizationAway r).val x = IsLocalization.Away.invSelf r
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
c : ℝ
a : ↥circle
⊢ (∃ map, restrictScalars ℝ map = c • (conjLIE.trans (rotation a)).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (c • (conjLIE.trans (rotation a)).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap).comp ↑conjCLE
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ ↑(sphere n d k) + ↑(sphere n d k) ⊆ {x | ∀ (i : Fin n), x i < 2 * d - 1}
α : Type u_3
β : Type u_4
Add α
AddCommSemigroup β
g : AddHom α β
a : α
⊢ (AddHom.coeFn α β) g a = g a
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (J ⥤ C)
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj P).obj j).X = P.X.obj j
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
s : Opens M
hs : Nonempty ↥s
G : StructureGroupoid H
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
e' : PartialHomeomorph (↥s) H
he' : e' ∈ atlas H ↥s
x : ↥s
this : e' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr hs
⊢ (e.subtypeRestr hs).symm ≫ₕ e' ∈ G ∧ e'.symm ≫ₕ e.subtypeRestr hs ∈ G
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝¹ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
inst✝ : AddCommMonoid N
f : (i : ι) × αs i → M → N
⊢ l.sum f = ∑ i ∈ l.splitSupport, (l.split i).sum fun a b => f ⟨i, a⟩ b
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
h : ∃ x ∈ (exponent G).primeFactorsList, List.count x (orderOf t).primeFactorsList < List.count x (exponent G).primeFactorsList
⊢ False
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
⊢ #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
⊢ x - x ^ 3 / 4 < sin x
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc0 : ¬c = 0
⊢ a / c + b / c ≤ a / c + b / c + if c ≤ a % c + b % c then 1 else 0
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ I + J = 1 ↔ ∃ i ∈ I, ∃ j ∈ J, i + j = 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan h i) F
s : CategoryTheory.IsPullback f g h i
⊢ CategoryTheory.IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f₁ : MeasureTheory.SimpleFunc α γ
g : α → β
hg : MeasurableEmbedding g
f₂ : MeasureTheory.SimpleFunc β γ
⊢ ↑(f₁.extend g hg f₂) ∘ g = ↑f₁
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hc : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) s
inst✝ : p.NeBot
x : α
hx : x ∈ s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝[s] x
H : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
n : ι
hFc : ContinuousOn (F n) s
hF : ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ↑ε
M : Type u_1
Mul M
ι : Sort u_4
f : ι → Con M
⊢ ⇑(iInf f) = ⨅ i, ⇑(f i)
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
hb : RelSeries.head s₁ = RelSeries.head s₂
ht : RelSeries.last s₁ = RelSeries.last s₂
hs₁ : s₁.length = 0
⊢ s₂.length = 0
a b : Prop
⊢ (a ↔ a ∨ b) ↔ b → a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (chartAt H x).source
hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x' ↔
  ContinuousWithinAt f s x' ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) (↑(extChartAt I x) x')
α : Type u_1
G : Type u_2
AddCommGroup G
UniformSpace G
UniformAddGroup G
NonarchimedeanAddGroup G
CompleteSpace G
f : α → G
hf : Filter.Tendsto f Filter.cofinite (𝓝 0)
⊢ Summable f