ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f : C(X, ℝ≥0)
⊢ φ ({ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe }.comp f).toNNReal = φ f
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
h : p x = true
⊢ rdropWhile p (l ++ [x]) = rdropWhile p l
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
⊢ ↑(Nat.find ⋯) = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
CompleteSpace G''
NormedLatticeAddCommGroup G'
NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : ↥(MeasureTheory.Lp G' 1 μ)
hfg : f ≤ g
⊢ (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) f ≤ (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) g
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
inst✝ : OrderTopology β
hf : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun a => |k a ^ n * f a|) l (𝓝 0)
hfg : abs ∘ g ≤ᶠ[l] abs ∘ f
⊢ ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun a => |k a ^ n * g a|) l (𝓝 0)
S : Type u_3
Add S
a b : S
⊢ AddCommute a b ↔ a + b = b + a
Δ₁ Δ₂ : SimplexCategory
f : Δ₁ ⟶ Δ₂
⊢ SimplexCategory.skeletalFunctor.map f = SimplexCategory.Hom.toOrderHom f
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤
b : α
this : ∃ m ∈ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}, ∀ a ∈ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}, m ⊆ a → a = m
⊢ ∃ s, CompleteLattice.SetIndependent s ∧ IsCompl b (sSup s) ∧ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → IsAtom a
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
a : (i : ι) × α i
⊢ (toModule R ι M fun i => (A i).subtype) ((DFinsupp.mapRange.linearEquiv fun i => (v i).repr).symm (DFinsupp.single a.fst (Finsupp.single a.snd 1))) = ↑((v a.fst) a.snd)
α : Type u_1
β : Type u_2
m m' : MeasurableSpace α
hsep : CountablySeparated α
h : m ≤ m'
⊢ CountablySeparated α
n p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hnpos : n > 0
y : ℤ
hm : y ^ n ≠ 0
hv : (multiplicity (↑p) (y ^ n)).get ⋯ % n ≠ 0
this : y ≠ 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
f : ↑(Ici a) → β
⊢ range (IciExtend f) = range f
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
⊢ q.compRingHom p = p.comp q
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
J : Ideal R
hJ : comap f K < J
h : K = map f J
⊢ comap f ⊥ ≤ J
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F F' : CategoryTheory.Functor C D
i : F ≅ F'
⊢ F.Final ↔ F'.Final
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
OrderedAddCommGroup β
f : α → β
a : α
hf : IsLocalMax f a
⊢ IsLocalMin (fun x => -f x) a
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
S T : Submodule R M
h : S ≤ T
x : M ⧸ S
⊢ (S.quotientQuotientEquivQuotientAux T h) (Submodule.Quotient.mk x) = (S.mapQ T LinearMap.id h) x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction X Y
hα : f = α.map L ⋯
⊢ add' W f (L.map 0) = f
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') s x
α : Type u_2
Add α
f g : Filter α
⊢ Filter.map₂ (fun x x_1 => x + x_1) f g = f + g
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β
f : ↑s ≃o ↑t
x : { x // x ∈ s }
h : x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) univ
hx : ↑x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ ↑(f ⟨↑x, ⋯⟩) ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
LE α
LE β
φ : α ≃o β
⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (⇑φ '' s) ↔ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
A : Type u_1
B : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Star B
f : A →⋆ₙ+* B
⊢ f.comp (NonUnitalStarRingHom.id A) = f
⊢ WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Iio ↑⊤) = univ
α : Type u
Inhabited α
l l' : List α
n : ℕ
h : n < l.length
⊢ (l ++ l').getI n = l.getI n
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph β
e : α ≃ β
⊢ (SimpleGraph.comap (⇑e) G).LocallyLinear ↔ G.LocallyLinear
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
⊢ IsUnit f ↔ IsUnit (Polynomial.map φ f)
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
x y : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x y = hammingDist y x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g✝ : ι → α
g : ι → β
b : β
hg : Tendsto g p (𝓝 b)
p' : Filter α
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n x => g n) (fun x => b) p p'
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ R.X ◁ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft R.X) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (R.X ◁ R.mul ▷ P.X) (R.X ◁ ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ((α_ R.X (R.X ⊗ R.X) P.X).inv ≫ (α_ R.X R.X R.X).inv ▷ P.X ≫ R.mul ▷ R.X ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).inv ≫ R.mul ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ = R.X ◁ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ ≫ P.actLeft
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
q : PMF β
f : (a : α) → a ∈ p.support → (b : β) → b ∈ q.support → PMF γ
c : γ
⊢ (∑' (a : α) (i : β), p a * if h : p a = 0 then 0 else q i * if h : q i = 0 then 0 else (f a ⋯ i h) c) = ∑' (a : β) (i : α), q a * if h : q a = 0 then 0 else p i * if h : p i = 0 then 0 else (f i h a ⋯) c
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c : ℝ
⊢ c⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c) = ∫ (x : ℝ) in a / c..b / c, f x
R : Type u
S : Type v
Field R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X ^ n).rootSet S = {0}
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K✝ : Type w
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
inst✝² : Algebra E K✝
inst✝¹ : IsScalarTower F E K✝
f : F[X]
hsep : f.Separable
hirr : Irreducible f
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
K : Type v := AlgebraicClosure E
x : K
hx : (aeval x) f = 0
ha : Associated f (minpoly F x)
ha' : Associated (Polynomial.map (algebraMap F E) f) (Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x))
heq : Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = minpoly E x
⊢ Irreducible (minpoly E x)
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
g : N →ₙ* M
h₁ : g.comp f = MulHom.id M
h₂ : f.comp g = MulHom.id N
⊢ ⇑(f.toMulEquiv g h₁ h₂) = ⇑f
α : Type u
CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α
a : α
⊢ min a 1 = 1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
VSub α β
s : Set β
t : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ s -ᵥ ⋂ i, ⋂ j, t i j ⊆ ⋂ i, ⋂ j, s -ᵥ t i j
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
⊢ ↑(Submonoid.toAddSubmonoid S) = ⇑Additive.toMul ⁻¹' ↑S
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : G.Subgraph
⊢ H.Preconnected ↔ H.coe.Preconnected
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
DecidableEq α
⊢ (∀ (x : α), x ∈ l₁ ∪ l₂ → p x) ↔ (∀ (x : α), x ∈ l₁ → p x) ∧ ∀ (x : α), x ∈ l₂ → p x
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
f : M →ₛₗ[σ] M₃
h : ∀ (m : R) (x : M), (↑f).toFun (m • x) = σ m • (↑f).toFun x
⊢ { toAddHom := ↑f, map_smul' := h } = f
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
hc : 0 < c
⊢ c * a ≡ c * b [ZMOD c * n]
M : Type u_4
AddCommGroup M
R : Type u_6
DivisionRing R
Module R M
⊢ IsSimpleModule R M ↔ FiniteDimensional.finrank R M = 1
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
x : Mˣ
h : x ∈ S.units
⊢ ⟨(Units.coeHom M) x, ⋯⟩ * ⟨(Units.coeHom M) x⁻¹, ⋯⟩ = 1
α β γ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : CommApplicative F
inst✝¹ : CommApplicative G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Multiset.toFinset <$> s.val = s
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsGδ s
ht : IsGδ t
⊢ IsGδ (s ∩ t)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Projective R
P : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ W.Equation (u • P) ↔ W.Equation P
α : Type u_1
l : List α
x : α
⊢ List.Duplicate x l ↔
  ∃ n, ∃ (hn : n < l.length), ∃ m, ∃ (hm : m < l.length) (_ : n < m), x = l.nthLe n hn ∧ x = l.nthLe m hm
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
A : LinearMap.BilinForm R M
x : M
⊢ (LinearMap.BilinForm.toLinHom A) x = A x
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
hw : w ≠ 0
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
hs : (o.oangle w x).sign = (o.oangle y z).sign
⊢ InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z ↔ o.oangle w x = o.oangle y z
x : EReal
⊢ 0 < x → x * ⊥ = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
a b n : ℤ
h : a + b = n
X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ ((CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctorAdd' C a b n h).inv.app X).hom₁ =
  (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b n h).inv.app X.obj₁
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
⊢ ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
n : ℕ
NeZero n
⊢ ⊤.rev = ⊥
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
p q : X ⊕ Y
x : X
y : Y
⊢ Metric.Sum.dist p q = Metric.glueDist (fun x_1 => ⋯.some) (fun x => ⋯.some) 1 p q
β : Sort u_2
α : Sort u_3
h : Finite α
f : α ≃ β
⊢ Finite β
α : Type u
β : Type v
f : α → β
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ t₃ : TopologicalSpace β
⊢ Continuous f ↔ Continuous f ∧ Continuous f
xs ys : Lean.Omega.IntList
i : Int
⊢ (i * xs).dot ys = i * xs.dot ys
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
F : Type u_3
E : ι → Type u_4
NormedField 𝕜
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
Nonempty ι
s : Set ((i : ι) → E i)
hs : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (⇑f '' s)
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
Pow β γ
MeasurablePow β γ
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
c : γ
⊢ AEMeasurable (fun x => f x ^ c) μ
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Nonempty ((i : ι) → α i)
s t : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ t }) → α ↑i)
DecidableEq ι
⊢ Disjoint (MeasureTheory.cylinder s S) (MeasureTheory.cylinder t T) ↔
  Disjoint ((fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S) ((fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' T)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
⊢ (N₁Γ₀.app K).inv = (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).inv ≫ (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.hom
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
f₁ : F → 𝕜
h : HasGradientWithinAt f f' s x
hs : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
hx : x ∈ s
⊢ HasGradientWithinAt f₁ f' s x
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
CommRing R
CommRing A
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Algebra R A
Module R M₁
Module A M₁
SMulCommClass R A M₁
IsScalarTower R A M₁
Module R M₂
Invertible 2
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm A M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ QuadraticMap.polarBilin (Q₁.tmul Q₂) = ⅟2 • (QuadraticMap.polarBilin Q₁).tmul (QuadraticMap.polarBilin Q₂)
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
α : Type w'
ie : IsEmpty α
⊢ (L.lhomWithConstants α).comp ((LHom.id L).sumElim (LHom.ofIsEmpty (constantsOn α) L)) = LHom.id (L[[α]])
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
(CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
X Y : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
hf : OpenEmbedding ⇑f.base
H : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), CategoryTheory.IsIso (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x)
⊢ AlgebraicGeometry.SheafedSpace.IsOpenImmersion f
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
k : K
S : List (Γ k)
n : ℕ
hL : ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some S).reverse
⊢ (Option.map some (S.reverse.get? n)).iget = S.reverse.get? n
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
I : (Submodule R A)ˣ
this : 1 ∈ ↑I * ↑I⁻¹
T T' : Finset A
hT : ↑T ⊆ ↑↑I
hT' : ↑T' ⊆ ↑↑I⁻¹
one_mem : 1 ∈ span R (↑T * ↑T')
⊢ ↑I ≤ span R ↑T
X : Type u_1
Dist X
a b : Multiplicative X
⊢ dist (Multiplicative.toAdd a) (Multiplicative.toAdd b) = dist a b
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f g
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.lanLeftExtension f g).extension = CategoryTheory.Bicategory.lan f g
M : Type w
N : Type w'
f : M ↪ N
⊢ (Embedding.empty f).toEmbedding = f
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : LinearMap.BilinForm R M
h : LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
⊢ CliffordAlgebra.changeForm h' ∘ₗ CliffordAlgebra.changeForm h = CliffordAlgebra.changeForm ⋯
α : Type u_2
Preorder α
x y : α
h : x < y
⊢ y ≠ x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
A : C
hA : CategoryTheory.IsSubterminal A
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct A A
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.diag A)
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
⊢ nth p (count p n) = sInf {i | p i ∧ n ≤ i}
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
x y : G
hy : y ∈ closure {x}
⊢ ∃ n, x ^ n = 1
k : ℕ
⊢ 2 / π * W k = 2 / π * ∏ x ∈ range k, (2 * ↑x + 2) / (2 * ↑x + 1) * ((2 * ↑x + 2) / (2 * ↑x + 3))
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞
⊢ Cardinal.lift.{u, v} x < ↑m ↔ x < ↑m
M : Type u_3
Mul M
t₁ t₂ : TopologicalSpace M
h₁ : ContinuousMul M
h₂ : ContinuousMul M
⊢ ContinuousMul M
n : ℤ
h : cos (↑n * (2 * π)) = 1
hx₁ : -n < 1
hx₂ : n < 1
⊢ ↑n * (2 * π) = 0
R : Type u_1
CommRing R
x y z : R
⊢ IsRelPrime (y * z + x) y ↔ IsRelPrime x y
x y z : SetTheory.PGame
⊢ y ≈ z → x + y ≈ x + z
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
x : M₀
h : IsUnit x
⊢ x * Ring.inverse x = 1
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
⊢ ↑(chartAt H x) x ∈ (chartAt H x).target
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
x : Set α
⊢ ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
x : ℝ
⊢ Real.arccos x ≤ π / 4 ↔ √2 / 2 ≤ x
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
r : R
⊢ 0 ≤ r * star r
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
l : List α
⊢ l.erase a = List.eraseP (fun x => a == x) l
ι : Type u_2
Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
⊢ IsClosed ↑(lowerClosure s)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
pn : p.natDegree ≤ n
p1 : p.coeff n = 1
⊢ p.Monic
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N₁ : LieSubmodule R L M
h : N₁.normalizer = N₁
k : ℕ
⊢ LieSubmodule.ucs k N₁ = N₁
b n : ℕ
hb : 1 < b
hbn : b ≤ n
⊢ 0 < Nat.log b n
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E
f' : E →L[𝕜] G
⊢ HasFDerivAt (f ∘ ⇑iso) f' x ↔ HasFDerivAt f (f'.comp ↑iso.symm) (iso x)
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
A : Set (β → α)
S : Set β
hA : A.UniformEquicontinuousOn S
⊢ (closure A).UniformEquicontinuousOn S
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
F : IntermediateField K L
E : IntermediateField K ↥F
⊢ IntermediateField.lift E ≤ F
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
a₁ a₂ : α
b : β
⊢ (a₁, b) < (a₂, b) ↔ a₁ < a₂
F : Sort u_1
α : Sort u_2
β : Sort u_3
FunLike F α β
i : EmbeddingLike F α β
f : F
⊢ Function.Injective ⇑f
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R
hp : p ≠ 0
q : Polynomial R
⊢ (gcd p q).degree ≤ p.degree
a b : EReal
⊢ a / b = b⁻¹ * a
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
x : Unitization 𝕜 A
⊢ ‖((addEquiv 𝕜 A) x).2‖ ≤ 2 * (‖x.fst‖ ⊔ ‖(algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd‖)
g : Equiv.Perm (Fin 5)
ha : g ∈ alternatingGroup (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : ∀ n ∈ g.cycleType, n = 2
⊢ IsConj (Equiv.swap 0 4 * Equiv.swap 1 3) g
G : Type u_2
Group G
S : Submonoid G
⊢ ↑S⁻¹ = (↑S)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
self : Buckets α β
i : USize
d d' : AssocList α β
h : i.toNat < self.val.size
h' : i.toNat < (self.update i d h).val.size
⊢ (self.val.set ⟨i.toNat, h⟩ d).set ⟨i.toNat, h'⟩ d' = self.val.set ⟨i.toNat, h⟩ d'
α : Type u_1
Add α
a b : Part α
hab : (a + b).Dom
⊢ b.Dom
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
x✝ : α
⊢ x✝ = x✝ - 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
a : R
this : ((X - C a) ^ rootMultiplicity a p).Monic
⊢ (X - C a) ^ rootMultiplicity a p * (p /ₘ (X - C a) ^ rootMultiplicity a p) = p
a : ℤ
b : ℕ
h : a.gcd ↑b = 1
⊢ jacobiSym a b = 1 ∨ jacobiSym a b = -1
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
a : α
h : ∀ b ≤ f b, b ≤ a
⊢ OrderHom.gfp f ≤ a
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
x : α
h : x ∈ 0
⊢ map f (erase 0 x) = (map f 0).erase (f x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ (balancedCore 𝕜 s).Nonempty ↔ 0 ∈ s
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set (OnePoint X)
t s : Set X
⊢ IsOpen (some '' s) ↔ IsOpen s
R : Type u_1
CommSemiring R
CharP R 2
l : Multiset R
⊢ l.sum ^ 2 = (Multiset.map (fun x => x ^ 2) l).sum
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingParallelPairOpEquiv.unitIso.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero =
  CategoryTheory.Iso.refl CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ d n
hd : tsum d ≠ ⊤
⊢ CauchySeq f
m n : Nat
⊢ Int.negSucc m * Int.negSucc n = ↑m.succ * ↑n.succ
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝² : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝¹ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
this : Finite A₂ B₁
⊢ Finite A₂ B₂
α : Type u_1
β : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
Add β
ContinuousAdd β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ
hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m g μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (f + g) μ
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
u : ℕ → E
hu : Bornology.IsBounded (range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : MeasurableSet s
R : ℝ
n : ℕ
⊢ {u n} + s ∩ closedBall 0 R ≤ {u n} + s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
G.IsEquivalence
⊢ F.Final ↔ (F.comp G).Final
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hx : f x = x
n : ℕ
⊢ HasStrictFDerivAt f^[n] (f' ^ n) x
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
⊢ f⁻¹.IsThreeCycle ↔ f.IsThreeCycle
α : Type u
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
⊢ m.IsCaratheodory sᶜ ↔ m.IsCaratheodory s
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
a b : ℕ
⊢ Finset.Ioc a b = { val := ↑(List.range' (a + 1) (b - a)), nodup := ⋯ }
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)
⊢ ↑n / ↑m ≤ ↑(image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m))).card
R : Type u
inst₁ inst₂ : AddMonoidWithOne R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_one : One.one = One.one
h_monoid : toAddMonoid = toAddMonoid
h_zero' : AddMonoid.toZero = AddMonoid.toZero
⊢ inst₁ = inst₂