ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
p : Filter ι
UniformSpace β
F : ι → α →ᵤ β
f : α →ᵤ β
⊢ Filter.Tendsto F p (𝓝 f) ↔ TendstoUniformly (⇑UniformFun.toFun ∘ F) (UniformFun.toFun f) p
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
x : α
h : Bornology.IsBounded (Set.range fun x_1 => g (f^[x_1] x))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => birkhoffAverage 𝕜 f g n (f x) - birkhoffAverage 𝕜 f g n x) Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α ↪ β
⊢ (Finset.map f s).card = s.card
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
this✝⁷ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
this✝⁶ : 0 ≤ ε₂
this✝⁵ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)
this✝⁴ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝⁵
Fl : X → X ⊕ Y := inl
Fr : Y → X ⊕ Y := inr
Il : Isometry Fl
Ir : Isometry Fr
this✝³ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)
this✝² : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr)
this✝¹ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr)
this✝ : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁
this : hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ
⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Semiring B
hB : IsField B
e : A ≃* B
x y : A
⊢ e (x * y) = e (y * x)
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℝ H
s : Set H
⊢ s.innerDualCone.Pointed
x : Nat
⊢ (↑x + 1).sign = 1
a x z : ℂ
⊢ I.arg = π / 2
x : ℝ
⊢ expMapCircle (-x) = (expMapCircle x)⁻¹
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[f i - f (i + 1)|↑𝒢 i]
⊢ Supermartingale (- -f) 𝒢 μ
a : ZMod 4
⊢ ZMod.χ₄ a =
  match a with
  | 0 => 0
  | 2 => 0
  | 1 => 1
  | 3 => -1
α : Type u
⊢ Filter.generate Set.univ = ⊥
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝³ : HasCoproduct X
inst✝² : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X) (a : α), HasPullback g (Sigma.ι X a)
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), HasCoproduct fun a => pullback g (Sigma.ι X a)
inst✝ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), Epi (Sigma.desc fun a => pullback.fst g (Sigma.ι X a))
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂ → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b
a b : α
hg : pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ π a = pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc π
⊢ (pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ π a = pullback.snd (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ π b
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
habk : k ∣ p.count (a * b).factors
ha : ¬a = 0
⊢ k ∣ p.count a.factors
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
x1 x2 : Matrix m n₁ R
y1 y2 : Matrix m n₂ R
⊢ (∀ (i : m) (j : n₁ ⊕ n₂), x1.fromColumns y1 i j = x2.fromColumns y2 i j) → (∀ (i : m) (j : n₁), x1 i j = x2 i j) ∧ ∀ (i : m) (j : n₂), y1 i j = y2 i j
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace β
f : α → β
⊢ MeasurableSpace.comap f m = MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ s, MeasurableSet s ∧ f ⁻¹' s = t}
α : Type u_2
β : Type u_3
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
x : WithLp 2 (α × β)
⊢ ‖x‖ = √(‖x.1‖ ^ 2 + ‖x.2‖ ^ 2)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℤ := modPart p r
⊢ ↑p ∣ r.num - n * ↑r.den
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X : W.Localization
⊢ (CategoryTheory.Localization.Construction.objEquiv W).symm X = X.as.obj
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
⊢ ⁅-h, e⁆ = -(2 • e)
a b : ℤ
⊢ |a / b| ≤ |a|
R : Type u
N : Type w
CommSemiring R
σ : Type u_1
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
CommSemiring N
Algebra R N
p : MvPolynomial σ S
n : N
d : σ →₀ ℕ
⊢ MvPolynomial.coeff d (MvPolynomial.rTensorAlgHom (p ⊗ₜ[R] n)) = MvPolynomial.coeff d p ⊗ₜ[R] n
a b : Prop
Decidable a
Decidable b
⊢ (¬a ↔ b) ↔ (¬b ↔ a)
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
n : ℕ
h : Squarefree (x ^ n)
h' : 2 ≤ n
this : x * x ∣ x ^ n
⊢ IsUnit x
n : ℕ
hn0 : n ≠ 0
⊢ n < 521 → ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))
m n : ℕ
mn : m < n
h2' : (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))
⊢ False
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
b : α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (Order.succ a)
hl : (a : α) → Order.IsSuccLimit a → C a
hb : Order.IsSuccLimit b
⊢ Order.isSuccLimitRecOn b hs hl = hl b hb
k : Type u
inst✝² : Field k
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsAlgClosed k
f : R →+* k
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
⊢ (map f p).degree ≠ 0
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Set E
hs : Balanced 𝕜 s
ht : Balanced 𝕜 t
⊢ Balanced 𝕜 (s - t)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
n : ℕ
hn : r < (μ.restrict (spanningSets μ n)) s
⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ t ⊆ s ∧ r < μ t ∧ μ t < ⊤
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ n * (n - 1).factorial = n.factorial
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : (forget C).Corepresentable
J : Type w
inst✝¹ : Category.{t, w} J
G : J ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
⊢ HasLimit (G ⋙ forget C)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : DifferentiableAt 𝕜' h₂ y
hh : DifferentiableAt 𝕜 h x
hy : y = h x
⊢ deriv (h₂ ∘ h) x = deriv h₂ (h x) * deriv h x
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Splits (algebraMap F K) (minpoly F α)
⊢ (minpoly F α).Separable
F : Type u_1
Field F
p q : F[X]
⊢ Fact (Polynomial.Splits (algebraMap F q.SplittingField) p) → IsSolvable q.Gal → IsSolvable p.Gal
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
i j : ℤ
h : ¬i = j
hij : -i + j ≠ 0
⊢ ∫ (x : AddCircle T), (fourier (-i + j)) x ∂haarAddCircle = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
a : α
⊢ List.filter (fun x => decide (x = a)) l = List.replicate (List.count a l) a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : ℕ → Set α
t : ℕ → Set β
⊢ ⋃ n, s (unpair n).1 ×ˢ t (unpair n).2 = ⋃ x, s x.1 ×ˢ t x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a : α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ (fun i => ↑(d i)) n
hd : Summable fun i => ↑(d i)
⊢ Summable d
a b r : ℤ
hr : 0 < r
v x : ℤ
⊢ x ∈ filter (fun x => x ≡ v [ZMOD r]) (Ioc a b) ↔ x ∈ map { toFun := fun x => x + v, inj' := ⋯ } (filter (fun x => r ∣ x) (Ioc (a - v) (b - v)))
A : Type u_4
K : Type u_5
C : Type u_6
CommRing A
IsDomain A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
CommRing C
Algebra A C
Algebra K C
IsScalarTower A K C
⊢ Algebra.IsAlgebraic A C ↔ Algebra.IsAlgebraic K C
n m : ℕ
⊢ (SetTheory.PGame.nim ↑n + SetTheory.PGame.nim ↑m).grundyValue = ↑(n ^^^ m)
G : Type u_2
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
f : ℕ → G
hf : Summable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∑' (n : ↑t), f ↑n ∈ e
x : WithBot ℕ
⊢ x < 1 ↔ x ≤ 0
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a : α
m n : ℤ
⊢ (m * n) • a = m • n • a
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
t : ℝ
ht1 : γ ⁻¹' (extChartAt I (γ t₀)).source ∈ 𝓝 t
ht2 : HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))
⊢ HasDerivAt (↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ) ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t))) t
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
x : α
hx : x ∈ s
hxc : x ∈ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s
⊢ False
α : Type u
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑MeasurableEquiv.finTwoArrow) (MeasureTheory.Measure.pi fun x => μ) (μ.prod μ)
α : Type u_1
xs ys zs : LazyList α
⊢ (xs.append { fn := fun x => ys }).append { fn := fun x => zs } = xs.append { fn := fun x => ys.append { fn := fun x => zs } }
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ι → α
htriv : ¬∀ (i : ι), f i = ⊥
⊢ ⨆ i, f ↑i = ⨆ i, f i
a b : ℕ
⊢ Nat.unpair (Nat.pair a b) = (a, b)
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
DecidablePred p
(x : α) → Decidable ¬p x
f : α → β
⊢ ∑ x ∈ Finset.filter p s, f x + ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => ¬p x) s, f x = ∑ x ∈ s, f x
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
C₀ C₁ C₂ : Set X
h₀ : C₀ ⊆ C₁ ∪ C₂
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
f₁ : LocallyConstant (↑C₁) Z
f₂ : LocallyConstant (↑C₂) Z
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁
hf : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f₁ ⟨x, ⋯⟩ = f₂ ⟨x, ⋯⟩
x : ↑C₀
hx : ↑x ∈ C₁
this : (j : ↑C₀) → Decidable (j ∈ Subtype.val ⁻¹' C₁) := fun j => decidable_of_iff (↑j ∈ C₁) ⋯
⊢ (piecewise' h₀ h₁ h₂ f₁ f₂ hf) x = f₁ ⟨↑x, hx⟩
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ toIcoMod hp a (a + p) = a
R : CommRingCat
⊢ Spec.map (Scheme.ΓSpecIso R).hom = adjunction.unit.app (Spec R)
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
i : Ordinal.{u}
hi : i < (mk xl xr xL xR).birthday
j : (mk xl xr xL xR).RightMoves
hj : i ≤ ((mk xl xr xL xR).moveRight j).birthday
⊢ i ♯ (mk yl yr yL yR).birthday < max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday)
α : Type u_5
H : Preorder α
⊢ OrderDual.instPreorder αᵒᵈ = H
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : f a = g a
t : ℝ
ht : t ∈ Icc a b
⊢ f t = g t
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ (associatedHom R) (comp Q₂ ↑(TensorProduct.lid R M₂)) = (associatedHom R) (QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q₂)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
hI : IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ InfSet.sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime} ≤ InfSet.sInf {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ I ≤ J ∧ J.IsPrime}
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
S : AddSubgroup M
m : M
⊢ ‖(QuotientAddGroup.mk' S) m‖ ≤ ‖m‖
a b c : Int
⊢ a + b < c ↔ a < -b + c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : (α → ℕ) → ℤ
⊢ IsPoly f → IsPoly (-f)
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
s : Finset α
f : α → β
⊢ s.inf f = ⨅ a ∈ s, f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
h₂ : PrimrecRel fun a b => f a = b
g : α → ℕ
pg : Primrec g
hg : ∀ (x : α), f x ≤ g x
n : α
⊢ Nat.findGreatest (fun b => f n = b) (g n) = f n
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n✝ : ℕ
s : Finset α
n : ℕ
f : ⊤ ↪g G
⊢ induce (↑(map f.toEmbedding univ)) G = ⊤ ∧ (map f.toEmbedding univ).card = n
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
⊢ r ↪r s → ∀ [inst : IsPartialOrder β s], IsPartialOrder α r
α : Type ua
β : Type ub
f : α → β
u : UniformSpace β
⊢ UniformSpace.toTopologicalSpace = TopologicalSpace.induced f UniformSpace.toTopologicalSpace
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
⊢ 0 ≤ ∫ (a : α), f a ∂μ
M : Type u_1
α : Type u_2
Bornology M
SMul M α
s : Set α
⊢ Absorbent M s ↔ ∀ (x : α), Absorbs M s {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x₀ x₁ : α
hx a✝ : (x₀, x₁) ∈ ↑s.diag
h : s(x₀, x₁) = s(x₀, x₁)
⊢ (x₀, x₁) = (x₀, x₁)
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ AddSubgroup.closure {0} = ⊥
R : Type u_3
Zero R
Pow R ℕ
self : IsReduced R
x : R
⊢ IsNilpotent x → x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
g : β →ₛ ℝ≥0∞
ν : Measure β
H : ∀ (y : ℝ≥0∞), μ (↑f ⁻¹' {y}) = ν (↑g ⁻¹' {y})
x✝ : α
a✝¹ : ↑f x✝ ≠ 0
a✝ : ν (↑g ⁻¹' {↑f x✝}) ≠ 0
⊢ ↑f x✝ ∈ g.range
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
r' : NNReal
hr' : ↑r' < r
hr'₀ : 0 < ↑r'
hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'
hz' : z - c ∈ EMetric.ball 0 ↑r'
H : HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (iteratedFDeriv ℂ n f c) fun x => z - c) (f z)
n : ℕ
⊢ (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c = (iteratedFDeriv ℂ n f c) fun x => z - c
α : Type u_1
ι : Type u_4
r : α → α → Prop
f : ι → α
s : Set ι
h : s.Pairwise (r on f)
⊢ (f '' s).Pairwise r
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
M : G.Subgraph
h : M.IsMatching
⊢ Function.Surjective h.toEdge
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : Set.LeftInvOn g₁ f₁ s₁
h₂ : Set.LeftInvOn g₂ f₂ s₂
⊢ Set.LeftInvOn (fun x => (g₁ x.1, g₂ x.2)) (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) (s₁ ×ˢ s₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
⊢ Tendsto u f (𝓝 a) ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in f, u x ∈ Icc (a - ε) (a + ε)
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
G : CategoryTheory.Functor C D
hG : W.IsInvertedBy G
a b : CategoryTheory.Quotient (CategoryTheory.Localization.Construction.relations W)
hf : a ⟶ b
⊢ (CategoryTheory.Localization.Construction.lift G hG).map hf =
  Quot.liftOn hf
    (fun f =>
      CategoryTheory.composePath
        ({ obj := fun X => G.obj X.obj,
              map := fun {X Y} a =>
                Sum.rec (fun val => G.map val) (fun val => CategoryTheory.inv (G.map ↑val)) a }.mapPath
          f))
    ⋯
α : Type u_1
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
b✝ b : α
l : List α
hb : ∀ {a : α}, Chain R a l → destutter' R a l = a :: l
a : α
h : Chain R a (b :: l)
⊢ destutter' R a (b :: l) = a :: b :: l
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S T U : Subalgebra R A
hST : S = T
hTU : T = U
⊢ (S.equivOfEq T hST).trans (T.equivOfEq U hTU) = S.equivOfEq U ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s
⊢ ∀ (a : ℝ≥0∞) (h₁ : a ∈ f.range) (h₂ : a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ 0), a * μ (↑f ⁻¹' {a}) = (fun r x x => r) a h₁ h₂ * μ (↑f ⁻¹' {(fun r x x => r) a h₁ h₂})
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
this : ∃ c, φ.obj c = d'
⊢ Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
ha : (Ioi a).Nonempty
⊢ frontier (Ioi a) = {a}
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a (-b) = -(toIocDiv hp (-a) b + 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
Fact (1 ≤ p)
f g : α →ᵇ E
μ.IsOpenPosMeasure
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
⊢ (BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜) f = (BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜) g ↔ f = g
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
DecidablePred Subgroup.FiniteIndex
⊢ ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ = 1 → (↑(Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s)).PairwiseDisjoint fun i => g i • ↑(H i)
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (μ[f|m]) 1 μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm f 1 μ
A B : Type u
CommGroup A
CommGroup B
f : A →* B
g : B →* A
n : ℤ
i : Function.RightInverse ⇑g ⇑f
⊢ (QuotientGroup.homQuotientZPowOfHom f n).comp (QuotientGroup.homQuotientZPowOfHom g n) =
  MonoidHom.id (B ⧸ (zpowGroupHom n).range)
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
m : ℕ
inst✝ : CharP R m
n✝ : ℕ
h : m ∣ n✝ + 1
a b : ZMod (n✝ + 1)
⊢ ↑a.val + ↑b.val = ↑(val (a + b))
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
hf : Monotone f
k : ℕ
⊢ ⋃ n, f (n + k) = ⋃ n, f n
α β ε : Type u
m : Type u → Type v
Monad m
LawfulMonad m
x : ExceptT ε m α
y : ExceptT ε m β
⊢ (SeqLeft.seqLeft x fun x => y) = Seq.seq (Function.const β <$> x) fun x => y
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C
⊢ ‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ‖ ≤ C * (μ s).toReal
α : Type u_1
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : NoMaxOrder α
b : α
n : ℕ
h : IsSuccLimit (succ^[n + 1] b)
hb : b ≤ succ^[n + 1] b
⊢ succ^[n + 1] b ≤ b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : Group α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : MulAction β α
H : Subgroup α
a : α
q : α ⧸ H
⊢ (Quotient.out' q)⁻¹ * a ^ minimalPeriod (fun x => a • x) q * Quotient.out' q ∈ H
α : Type u_3
β : Type u_4
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ ν : MeasureTheory.Measure α} [inst : CompleteLattice β] {f : α → β},
  ν ≤ μ → essSup f ν ≤ essSup f μ
α : Type u
β : Type v
s : Set α
t : Set β
hs : s.Countable
ht : t.Countable
⊢ (s ×ˢ t).Countable
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
⊢ (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂).symm = Matrix.toLinearMap₂ b₁ b₂
ι : Type u_1
Fintype ι
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
b : ι → M
DecidableEq ι
⊢ Matrix.Represents b 1 1
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
p : α × Bool
⊢ FreeGroup.Red (p :: L₁) (p :: L₂) ↔ FreeGroup.Red L₁ L₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atBot l
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w : V
hM : M.IsMatching
hM' : M'.IsMatching
hd : Disjoint M.support M'.support
v : V
hv : v ∈ (M ⊔ M').verts
aux : ∀ {N N' : G.Subgraph}, N.IsMatching → Disjoint N.support N'.support → v ∈ N.verts → ∃! w, (N ⊔ N').Adj v w
⊢ ∃! w, (M ⊔ M').Adj v w
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
f : MvPolynomial σ R
⊢ eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) f)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) f
α : Type u_1
f : (α → ℕ) → ℤ
⊢ IsPoly f → IsPoly (-f)
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
Algebra K L
f : K[X]
Polynomial.IsSplittingField K L f
⊢ Polynomial.Splits (algebraMap K L) f
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
f : LocallyConstant ↑C ℤ
hf : (Profinite.NobelingProof.Linear_CC' C hsC ho) f = 0
⊢ ∃ y, (Profinite.NobelingProof.πs C o) y = f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
μ : Measure (Measure α)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : Measure α), (map f a) s ∂μ = ∫⁻ (μ : Measure α), μ (f ⁻¹' s) ∂μ
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
H : Embedding ⇑f
g : Y ⟶ S
⊢ ⇑(pullback.snd f g) = ⇑(homeoOfIso (asIso (pullback.snd (𝟙 S) g))) ∘ ⇑(pullback.map f g (𝟙 S) g f (𝟙 Y) (𝟙 S) ⋯ ⋯)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hv : ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
c : 𝕜
⊢ ⟪c • u, v⟫_𝕜 = 0
this : Tendsto eulerMascheroniSeq atTop (𝓝 (⨆ i, eulerMascheroniSeq i))
⊢ Tendsto eulerMascheroniSeq atTop (𝓝 eulerMascheroniConstant)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
CommMonoid A
U : Submonoid A
R : Type u_6
CommMonoid R
j : U.LocalizationMap R
l : P →* A
hl : ∀ (w : ↥T), l ↑w ∈ U
⊢ (k.map hl j).comp (f.map hy k) = f.map ⋯ j