ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K✝ : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.119287, u_1} K✝
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.119294, u_2} D
K : Type u_3
inst✝ : Category.{u_4, u_3} K
e : J ≌ K
F : K ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ e.functor ⋙ F
f : c'.pt ⟶ (Cocone.whisker e.functor c).pt
e' : α ≫ (Cocone.whisker e.functor c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Cocone.whisker e.functor c).ι.app j)
⊢ Nonempty (IsColimit c')
G : Type u_7
Group G
L : List G
i : ℕ
p : i < L.length
⊢ (List.drop (i + 1) L).prod = (L.get ⟨i, p⟩)⁻¹ * (List.drop i L).prod
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝² : Pretriangulated C
inst✝¹ : HasShift D ℤ
inst✝ : L.CommShift ℤ
H : ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
T₁ T₂ : Triangle D
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
T₁' : Triangle C
e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'
hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles
T₂' : Triangle C
e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'
hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles
comm₁ : L.map T₁'.mor₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁
comm₁' : T₂.mor₁ ≫ e₂.hom.hom₂ = e₂.hom.hom₁ ≫ L.map T₂'.mor₁
comm₂ : T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ = e₁.hom.hom₂ ≫ L.map T₁'.mor₂
comm₂' : T₂.mor₂ ≫ e₂.hom.hom₃ = e₂.hom.hom₂ ≫ L.map T₂'.mor₂
comm₃' : T₂.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₂.hom.hom₁ = e₂.hom.hom₃ ≫ L.map T₂'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₂'.obj₁
comm₃ : L.map T₁'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₁'.obj₁ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₁.inv.hom₁ = e₁.inv.hom₃ ≫ T₁.mor₃
φ : L.mapTriangle.obj T₁' ⟶ L.mapTriangle.obj T₂'
hφ₁ : φ.hom₁ = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
hφ₂ : φ.hom₂ = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
h₂ : (L.mapTriangle.obj T₁').mor₂ ≫ φ.hom₃ = φ.hom₂ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₂
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b : CauSeq α abs
h : b ≤ a
⊢ a ⊔ b ≈ a
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.C 1 = 1
α : Sort u
p : α → Prop
a b : α
h₁ : b = a
h₂ : p a
⊢ p b
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 = r.re
c : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ‖↑x ^ r‖) μ 0 c
X✝ : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace X✝
m✝ : MeasurableSpace X✝
μ✝ : Measure X✝
inst✝³ : μ✝.IsOpenPosMeasure
X : Type u_2
inst✝² : MetricSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : NoAtoms μ
x : X
r : ℝ
h : 0 < μ (closedBall x r)
⊢ 0 < r
α : Type u_1
f g h : Perm α
x : α
hfx : f x = x
n : ℕ
⊢ (f ^ (n + 1)) x = x
ι : Type u_2
α✝ : ι → Type ?u.38171
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
s t : Set ((i : ι) → α✝ i)
α : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
⊢ ∅ᶜ ∈ measurableCylinders α
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
w₁ : m ∈ b
w₂ : (m.1, m.2 - 1) ∈ Finset.erase b m
i₁ : (Finset.erase b m).card < Finset.card b
i₂ : 0 < (Finset.erase b m).card
⊢ 2 ≤ Finset.card b
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
Zero β
PosSMulMono α β
SMulPosStrictMono α β
ha : a₁ < a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h₁ : 0 ≤ a₁
h₂ : 0 < b₂
⊢ a₁ • b₁ < a₂ • b₂
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
hmn : m ≤ n
⊢ HasFTaylorSeriesUpTo m f p
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
Semiring S
Algebra R S
I : Ideal R
c : ↥I
⊢ ↑((Algebra.idealMap S I) c) = (algebraMap R S) ↑c
z w : ℍ
r R a y₁ y₂ : ℝ
⊢ dist (log (mk { re := a, im := rexp y₁ } ⋯).im) (log (mk { re := a, im := rexp y₂ } ⋯).im) = dist y₁ y₂
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
h : ↥H
ht : IsSl2Triple (↑h) e f
key : α h = 2
α' : ↥H := (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
hef : ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑α'
hα' : α' = (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
h_eq : h = ((killingForm K L) e) f • α'
⊢ ∃ s, s • h = coroot α
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyFunctor C).obj S = S.leftHomology
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hfi' : ∫⁻ (x : X) in S, ↑‖f x‖₊ ∂μ < ⊤
hSm : MeasurableSet S
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
f : M → B
x : M
hf : SmoothAt IM IB f x
he : f x ∈ e.baseSet
he' : f x ∈ e'.baseSet
⊢ SmoothAt IM 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun y => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' (f y))) x
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
hf : Continuous f
a b : ℝ
⊢ HasStrictDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in a..u, f x) (f b) b
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ eLpNorm (f + g) 0 μ ≤ LpAddConst 0 * (eLpNorm f 0 μ + eLpNorm g 0 μ)
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
p : α
hp0 : ¬p = 0
h : Irreducible p
⊢ Prime p
P : (X : AlgebraicGeometry.Scheme) → ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop
h₁ : ∀ (R : CommRingCat) (x : ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec R).toPresheafedSpace), P (AlgebraicGeometry.Spec R) x
h₂ :
  ∀ {X Y : AlgebraicGeometry.Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f]
    (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P X x → P Y (f.val.base x)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ P X x
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
NoZeroSMulDivisors R M
x : L
φ₁ φ₂ : R
h : φ₁ ≠ φ₂
⊢ Disjoint (LieModule.weightSpaceOf M φ₁ x) (LieModule.weightSpaceOf M φ₂ x)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x : E
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {y | ‖y / x‖ < ε}
a b c d m n : ℤ
n✝ : ℕ
h : 0 < n✝ + 1
⊢ ↑(n✝ + 1 - 1) = ↑(n✝ + 1) - 1
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
h : ‖t‖ < 1
⊢ inverse (1 - t) = ↑(Units.oneSub t h)⁻¹
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Subtype.val '' Set.univ = s
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)
hxy : mk' K x y = 1
hy : (algebraMap A K) ↑y ≠ 0
⊢ x = ↑y
α : Type u
HasSubset α
a b : α
IsRefl α fun x x_1 => x ⊆ x_1
⊢ ¬a ⊆ b → b ≠ a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : CategoryTheory.GlueData C
⊢ D.diagram.R = D.J
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
DecidableEq α
Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
f : ↥(lp E p)
⊢ HasSum (fun i => lp.single p i (↑f i)) f
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
f : α → β
hf : ↑e = f
g : β → α
hg : ↑e.symm = g
s : Set α
hs : e.source = s
t : Set β
ht : e.target = t
⊢ (e.copy f hf g hg s hs t ht).source = s
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
n : ℕ
⊢ (p ^ (n + 1)).Monic
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 F
S : PointedCone 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
⊢ ↑(PointedCone.map f S) = ConvexCone.map f ↑S
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
⊢ (hasseDeriv 1) f = derivative f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U
⊢ (Filter.comap (fun x => x.2⁻¹ * x.1) (𝓝 1)).HasBasis p fun i => {x | x.2⁻¹ * x.1 ∈ U i}
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α → β
hf : Function.Injective f
x z : α
y : M
⊢ (Finsupp.single (f x) y) (f z) = (Finsupp.single x y) z
x z : Nat
⊢ (x + z) % z = x % z
G H K : Type u_1
CommGroup G
CommGroup H
CommGroup K
f : G →* H
g : H →* K
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.cokernelOpUnop f).inv =
  (CategoryTheory.Limits.cokernel.desc f.op (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f).op ⋯).unop
α : Type u_1
Add α
a b : α
⊢ Part.some a + Part.some b = Part.some (a + b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.FinitaryPreExtensive C
α : Type
Finite α
X : C
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ X
Y : C
f : Y ⟶ X
hπ : CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.Sigma.desc π)
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.Sigma.desc fun x => CategoryTheory.Limits.pullback.fst f (π x))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
f : D ≌ E
⊢ (e.trans f).inverse = f.inverse.comp e.inverse
α : Type u_1
β : Type u_2
ea : Equiv.Perm α
eb : Equiv.Perm β
x : α ⊕ β
⊢ (ea.sumCongr eb) x = Sum.map (⇑ea) (⇑eb) x
ι : Sort u_1
α : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
Countable ι
s t : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), s i ≤ᶠ[l] t i
⊢ ⋂ i, s i ≤ᶠ[l] ⋂ i, t i
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.37850, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
inst✝¹ : Preregular C
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
⊢ IsSheaf (coherentTopology C) F ↔ IsSheaf (extensiveTopology C) F ∧ IsSheaf (regularTopology C) F
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
h : CategoryTheory.Congruence r
X Y : C
f f' : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Quotient.functor r).map f = (CategoryTheory.Quotient.functor r).map f' ↔ r f f'
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
b : A
han : (orderOf a).Coprime (orderOf b)
hb : orderOf b = n
c : A
hc : c ∈ ball (a * b) δ
⊢ orderOf (a * b) = orderOf a * orderOf b
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
t : ℝ
ht : t < y
ht' : x < t
⊢ t ∈ S
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a - b + c = a + (c - b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasImages C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
A B : C
X Y : CategoryTheory.Subobject B
f : A ⟶ B
P : Y.Factors f
⊢ (X ⊔ Y).Factors f
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α✝ → Type u_5
fa : α✝ → α✝
fb : β✝ → β✝
f : α✝ → β✝
g : β✝ → γ
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LinearOrder β
φ : β → α
ψ : α → β
t : Set β
s : Set α
hφ : MonotoneOn φ t
φψs : RightInvOn ψ φ s
ψts : MapsTo ψ s t
x : α
xs : x ∈ s
y : α
ys : y ∈ s
l : x ≤ y
ψyx : ψ y ≤ ψ x
⊢ ψ x ≤ ψ y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
f : α → β
g : α → γ
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
⊢ (fun x => (f x, g x)) x ∈ (f '' s) ×ˢ (g '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
hx : 0 ≠ ⊤
⊢ (0 • μ).OuterRegular
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
acc : Array β
G : α → β
⊢ (List.foldl (fun acc a => acc.push (G a)) acc l).data = acc.data ++ List.map G l
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
⊢ Subgroup.map f.toMonoidHom H.normalizer = (Subgroup.map f.toMonoidHom H).normalizer
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)
μ :
  (X Y : C) →
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (F.obj X) (F.obj Y) ⟶
      F.obj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)
μ_natural :
  ∀ {X Y X' Y' : C} (f : X ⟶ Y) (g : X' ⟶ Y'),
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (F.map f) (F.map g) ≫ μ Y Y' =
      μ X X' ≫ F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g) := by
  aesop_cat
associativity :
  ∀ (X Y Z : C),
    CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (μ X Y) (𝟙 (F.obj Z)) ≫
        μ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z ≫
          F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom =
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫
        CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (𝟙 (F.obj X)) (μ Y Z) ≫
          μ X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z) := by
  aesop_cat
left_unitality :
  ∀ (X : C),
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (F.obj X)).hom =
      CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom ε (𝟙 (F.obj X)) ≫
        μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom := by
  aesop_cat
right_unitality :
  ∀ (X : C),
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (F.obj X)).hom =
      CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (𝟙 (F.obj X)) ε ≫
        μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor.ofTensorHom F ε μ μ_natural associativity left_unitality right_unitality).ε = ε
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
⊢ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j) = restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map ((ModuleCat.restrictScalars (R.map g)).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv
x : ℝ≥0
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (x ^ (↑n)⁻¹) ^ n = x
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
⊢ ‖f z‖ ≤ C
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g f' g' : X ⟶ Y
α : CategoryTheory.Limits.parallelPair f g ⟶ CategoryTheory.Limits.parallelPair f' g'
c : CategoryTheory.Limits.Cofork f' g'
⊢ CategoryTheory.Limits.Cofork.π ((CategoryTheory.Limits.Cocones.precompose α).obj c) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (α.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one) c.π
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a : A
⊢ a ∈ Subalgebra.center R A ↔ ∀ (b : A), b * a = a * b
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
l : Filter ι
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioc (a i) (b i)) μ
ha : Filter.Tendsto a l Filter.atBot
hb : Filter.Tendsto b l Filter.atTop
h : Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b i, ‖f x‖ ∂μ) l (𝓝 I)
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
h : finrank ℚ K = 1
this : NrRealPlaces K + 2 * NrComplexPlaces K = finrank ℚ K
⊢ NrRealPlaces K = 1
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
H✝ : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : Nontrivial L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
e : H = ⊥
⊢ False
R : Type u_1
ι : Type u_2
A₁ : ι → Type u_3
A₂ : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → Semiring (A₁ i)
(i : ι) → Semiring (A₂ i)
(i : ι) → Algebra R (A₁ i)
(i : ι) → Algebra R (A₂ i)
e : (i : ι) → A₁ i ≃ₐ[R] A₂ i
x : (i : ι) → A₁ i
j : ι
⊢ (AlgEquiv.piCongrRight e) x j = (e j) (x j)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : H × E
q : TM
⊢ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target ∧ (↑((chartAt H q.proj).prod (PartialEquiv.refl E)).symm p).1 ∈ (chartAt H q.proj).source ↔ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial M
Module.Finite R M
s : Set R
h : s ⊆ ↑(Module.annihilator R M).jacobson
⊢ ⊤ ≠ s • ⊤
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R
x : Rˣ
y : R
hy : ‖y - ↑x‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
⊢ y ∈ {x | IsUnit x}
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁴ : AddCommGroup F'
inst✝³ : Module 𝕜 F'
inst✝² : TopologicalSpace F'
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F'
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F'
l : E →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
hs₁ : IsOpen s
hs₃ : ∀ x ∈ s, l x ≠ 0
hl : Dense ↑(ker l)
x : E
hx : x ∈ s
this : x ∈ interior (↑(ker l))ᶜ
⊢ False
x : ℝ*
⊢ ¬x.Infinite ↔ ∃ r s, ↑r < x ∧ x < ↑s
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : M
H : 1 ≤ a
n : ℕ
⊢ 1 ≤ a ^ n
α : Type u
A : α → PSet
y : PSet
x✝ : ∃ z ∈ mk α A, y ∈ z
β : Type u
B : β → PSet
a : (mk α A).Type
e : (mk β B).Equiv (mk (A a).Type (A a).Func)
b : (mk β B).Type
yb : y.Equiv ((mk β B).Func b)
⊢ y ∈ ⋃₀ mk α A
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
n : ℕ
hn : n < (pmap f l h).length
⊢ (pmap f l h).get ⟨n, hn⟩ = f (l.get ⟨n, ⋯⟩) ⋯
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
h : a' ^ n * g ^ n ∣ b' ^ n * g ^ n
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0
⊢ a' * g ∣ b' * g
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset γ
⊢ Finset.image₂ f s t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, Finset.image (fun b => f a b) t ⊆ u
α : Type u_1
l : Filter α
⊢ Filter.EventuallyConst id l ↔ l.Subsingleton
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
⊢ (List.sym (n + 1) (x :: xs)).length = (x :: xs).length.multichoose (n + 1)
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : ι ≃ κ
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
⊢ ((fun f => mapRange (fun i => ⇑(Equiv.cast ⋯)) ⋯ (comapDomain' ⇑h ⋯ f)) (comapDomain' ⇑h.symm ⋯ f)) i = f i
a b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
h : a < ω ^ ω ^ b
b0 : ¬b = 0
x : Ordinal.{u_1}
xb : x < ω ^ b
ax : a < ω ^ x
⊢ a * ω ^ ω ^ b ≤ ω ^ ω ^ b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : F.Nonempty ∧ ∀ a ∈ F, ∀ a_2 ∈ F, JoinedIn (f '' F) (f a) (f a_2)
x : X
hx : x ∈ F
y : X
hy : y ∈ F
γ : Path (f x) (f y)
γ' : ↑I → X
hγ' : ∀ (t : ↑I), γ' t ∈ F
hγγ' : ∀ (t : ↑I), f (γ' t) = γ t
key₁ : Inseparable x (γ' 0)
key₂ : Inseparable (γ' 1) y
⊢ Continuous γ'
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
AddCommMonoid P
Module R P
Q : QuadraticMap R N P
f : M →ₗ[R] N
x : M
⊢ (Q.comp f) x = Q (f x)
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : n ≤ chainLength α β
hα : ¬α.IsZero
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) β)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α β)
⊢ rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) ≠ ⊥
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
k : Fin n
h : k.succ ≠ 0
⊢ (predAbove 0 k.succ).succ = k.succ
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K V : Set G
hK : IsCompact K
hV : (interior V).Nonempty
⊢ ∃ n, n ∈ Finset.card '' {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g + h) ⁻¹' V}
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
NormedLatticeAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] ↑↑f ↔ 0 ≤ f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Finset α
a : α
⊢ mulRothNumber (map (mulLeftEmbedding a) s) = mulRothNumber s
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯
⊢ (let e := Classical.choice ⋯; (relabel (fun a => Sum.map id (⇑e) (f a)) φ).alls).Realize v ↔ ∀ (i : γ → M), φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
⊢ ((g ^ k) ∘ₗ H.subtype) ⟨x, hx⟩ = 0
z : ℂ
⊢ |Complex.abs z| = Complex.abs z
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v v' w : U
p : Path u v
p' : Path u v'
e : v ⟶ w
e' : v' ⟶ w
h : p.cons e = p'.cons e'
⊢ HEq p p'