ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : Integrable f μ
I : Integrable (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ y - AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : f x = AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x
a : Set α
⊢ ∫⁻ (y : α) in a, ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ y - AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s✝ s : Set G
⊢ closure s⁻¹ = closure s
x : ℝ
n : ℤ
⊢ sin (↑n * π - x) = -((-1) ^ n * sin x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
inst✝ : Fintype ι
f : ι → Set α
a : α
⊢ (∃ g, ∃ (_ : ∀ {i : ι}, i ∈ Finset.univ → g i ∈ f i), ∏ i : ι, g i = a) ↔ ∃ g, ∃ (_ : ∀ (i : ι), g i ∈ f i), ∏ i : ι, g i = a
L : Type v
LieRing L
x y z : L
⊢ ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ + ⁅y, ⁅z, x⁆⁆ + ⁅z, ⁅x, y⁆⁆ = 0
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
hg : ∀ (y : ↥S), IsAddUnit (g ↑y)
j : N →+ P
hj : ∀ (x : M), j (f.toMap x) = g x
⊢ f.lift hg = j
S : Type v
Ring S
r : S
⊢ (Polynomial.X - Polynomial.C r).leadingCoeff = 1
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
n : ℕ
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : R
e : α ^ n = a
⊢ Polynomial.nthRoots n a = Multiset.map (fun x => ζ ^ x * α) (Multiset.range n)
α : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
y : Scott α
h : Monotone (notBelow y)
⊢ IsOpen (notBelow y)
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
⊢ (Stream'.WSeq.map Stream'.WSeq.ret s).join ~ʷ s
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∉ MonoidHom.range f
⊢ Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.g f ≠ Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.h f
M : Type u_11
N : Type u_12
α : Type u_13
AddMonoid N
VAdd M N
AddAction N α
VAdd M α
VAddAssocClass M N α
AddAction.IsPretransitive M α
⊢ AddAction.IsPretransitive N α
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : CompleteSpace E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : NoAtoms ν
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
hf : IntegrableOn f (Ioi 0) ν
hg : IntegrableOn g (Ioi 0) μ
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, (L (f t)) (g (x - t)) ∂ν ∂μ = (L (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x ∂ν)) (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, g x ∂μ)
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
DecidablePred p
⊢ (Finset.filter p Finset.univ).card =
  if p 0 then (Finset.filter (p ∘ Fin.succ) Finset.univ).card + 1 else (Finset.filter (p ∘ Fin.succ) Finset.univ).card
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
s : Y ⟶ X
hs : W s
L : CategoryTheory.Functor C D
hL : W.IsInvertedBy L
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.MorphismProperty.RightFraction.ofInv s hs).map L hL) (L.map s) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.obj X)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
h : derivative 0 = 0
⊢ natDegree 0 = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
X : CategoryTheory.SingleObj ↑G ⥤ V
⊢ ∀ (X_1 : CategoryTheory.SingleObj ↑G),
  (Action.FunctorCategoryEquivalence.counitIso.hom.app X).app X_1 = 𝟙 (X.obj PUnit.unit)
α : Type u
β : Type v
OrderedAddCommGroup β
f : α → β
a : α
l : Filter α
hf : IsExtrFilter f l a
⊢ IsExtrFilter (fun x => -f x) l a
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
⊢ T ⊨ᵇ φ ∨ T ⊨ᵇ Formula.not φ
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
u : U
⊢ ∀ (a : Quiver.Star u), (φ.star u a).snd = φ.map a.snd
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ
hz : ¬z = 0
⊢ (if ↑z = 0 then 0 else ↑p ^ (-padicValRat p ↑z)) ≤ 1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f✝ : ι → α
a : α
f : ι → α
⊢ ∃ i ∈ s, s.sup' H f = f i
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
x y : ℕ → α
n : ℕ
ih : (∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m) → res x n = res y n
h : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n + 1 → x m = y m
⊢ x n = y n ∧ res x n = res y n
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
⊢ ∑' (i : ℤ), ‖↑(fourierBasis.repr f) i‖ ^ 2 = ∫ (t : AddCircle T), ‖↑↑f t‖ ^ 2 ∂haarAddCircle
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalOpposite.unmopEquiv C).counitIso.hom.app X = 𝟙 X
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : CategoryTheory.OplaxNatTrans F G
a b : B
a' : C
f g : a ⟶ b
β : f ⟶ g
h : G.obj b ⟶ a'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.map₂ β) (η.app b)) h)
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (η.naturality g) h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (η.naturality f) h)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (G.map f) h).hom
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (η.app a) (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (G.map₂ β) h))
        (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (G.map g) h).inv))
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
MulZeroOneClass M₀
s : Set ι
i : ι
Nontrivial M₀
⊢ s.indicator 1 i = 0 ↔ i ∉ s
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝³ : Unique Mˣ
inst✝² : Unique Nˣ
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
this✝ : Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩) = ↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)
this : DecidableEq (Associates M) := Classical.decEq (Associates M)
⊢ Prime ↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)
α : Type u
β : Type v
f : α → α
a : α
l : List β
⊢ List.foldl (fun b x => f b) a l = f^[l.length] a
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
⊢ w.IsReal ↔ ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
m : ℕ
CharP R m
h : m ∣ n
i : ZMod n
⊢ (ZMod.castHom h R) i = i.cast
b : Bool
n : PosNum
⊢ ↑(PosNum.bit b n) = Nat.bit b ↑n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
ys : ℕ → α
h : Tendsto ys atTop atTop
xs : ℕ → α := fun n => (Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ ys
⊢ ∃ xs, Monotone xs ∧ Tendsto xs atTop atTop
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
h₂ : ¬G.IsUniform ε U V
hX : G.nonuniformWitness ε U V ∈ P.nonuniformWitnesses G ε U
q : G.nonuniformWitness ε U V \ (star hP G ε hU V).biUnion id ⊆ (filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts).biUnion fun B => B \ (filter (fun x => x ⊆ B) (chunk hP G ε hU).parts).biUnion id
⊢ (filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts).card ≤ 2 ^ (P.parts.card - 1)
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
hs : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s
⊢ IsNormal (enumOrd s) ↔ IsClosed s
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁹ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁸ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝¹³ : AddCommMonoid S
inst✝¹² : AddCommMonoid T
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module R P
inst✝⁸ : Module R Q
inst✝⁷ : Module R S
inst✝⁶ : Module R T
inst✝⁵ : DistribMulAction R' M
inst✝⁴ : Module R'' M
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
f : M →ₗ[R] P
g₁ g₂ : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N
⊢ (((mk R M N).compr₂ (map f (g₁ + g₂))) x✝¹) x✝ = (((mk R M N).compr₂ (map f g₁ + map f g₂)) x✝¹) x✝
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
this : f x ∈ map f s
⊢ x ∈ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w✝ w₁✝ w₂✝ : ι → k
p✝ : ι → V
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
x✝ : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
⊢ (∃ r, ∀ i ∈ s, (w - w₁) i = r * (w₂ i - w₁ i)) ↔ ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₂ i - w₁ i) + w₁ i
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s : Finset (Option α)
⊢ ∏ x ∈ eraseNone s, f x = ∏ x ∈ s, Option.elim' 1 f x
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_nbot : ⊥ < limsup u f
v_nbot : ⊥ < limsup v f
v_ntop : limsup v f < ⊤
limsup_v_real : ↑(limsup v f).toReal = limsup v f
x : ℝ
hx : limsup u f + limsup v f < ↑x
y : ℝ
sum_lt_y : limsup u f + limsup v f < ↑y
y_lt_x : ↑y < ↑x
key₁ : limsup u f < ↑y - limsup v f
key₂ : limsup v f < limsup v f + ↑x - ↑y
⊢ limsup (u + v) f ≤ ↑x
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
ι : Type u_2
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f : HomotopyEquiv C D
⊢ (quotient V c).map f.inv ≫ (quotient V c).map f.hom = 𝟙 ((quotient V c).obj D)
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
M : ℝ
hM : 1 < M
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
g : ℂ → ℂ := fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
B₁ : ℕ
hB₁ : ∀ n ≥ B₁, ‖∑ i ∈ range n, f i - l‖ < ε / 4 / M
F : ℝ := ∑ i ∈ range B₁, ‖l - s (i + 1)‖
z : ℂ
zn : ‖z‖ < 1
zm : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)
zd : ‖z - 1‖ < ε / 4 / (F + 1)
B₂ : ℕ
hB₂ : ‖l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n - (1 - z) * ∑ i ∈ range (max B₁ B₂), (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i‖ < ε / 2
⊢ ‖∑' (n : ℕ), f n * z ^ n - l‖ < ε
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
SeminormedAddCommGroup H
T0Space H
CompleteSpace H
f : NormedAddGroupHom G H
v : G
⊢ f.extension (↑G v) = f v
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
x : R
⊢ (iterateFrobeniusEquiv R p (m + n)) ((iterateFrobeniusEquiv R p (m + n)).symm x) = (iterateFrobeniusEquiv R p (m + n)) ((iterateFrobeniusEquiv R p m).symm ((iterateFrobeniusEquiv R p n).symm x))
n k : ℕ
h : n < k
⊢ (ascPochhammer ℕ k).smeval (-↑n) = 0
M : Type u_6
Monoid M
u : Mˣ
⊢ Equiv.symm u.mulRight = u⁻¹.mulRight
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
⊢ (X ^ d - 1) * cyclotomic n R ∣ X ^ n - 1
a b c : Ordinal.{u_1}
h₁✝ : 0 < a
h₂ : b ≤ c
h₁ : 1 = a
⊢ a ^ b ≤ a ^ c
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (φ.polyCharpoly b).coeff (φ.nilRankAux b) ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Monoid β
p✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsTotal α r
f : α → α → β
p : α → Prop
hswap : ∀ {a b : α}, p a → p b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a → p b → p c → f a c = f a b * f b c
a b c : α
pa : p a
pb : p b
pc : p c
⊢ f a c = f a b * f b c
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : ∀ (x : L) (m n : M), (B ⁅x, m⁆) n = -(B m) ⁅x, n⁆
m₀ m₁ : M
hm₀ : m₀ ∈ weightSpace M 0
hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M
⊢ (B m₀) m₁ = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R N
Module R P
Module R Q
g : N →ₗ[R] P
q : Q
⊢ LinearMap.range g ≤ Submodule.comap ((TensorProduct.mk R Q P) q) (LinearMap.range (LinearMap.lTensor Q g))
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ slope f x y < deriv f x
P : Type u_1
LE P
s : Order.Ideal P
⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑s
α : Type u_1
β : Type u_7
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
CommMonoid N
v : α →₀ M
f : α ↪ β
g : β → M → N
⊢ (Finsupp.embDomain f v).prod g = v.prod fun a b => g (f a) b
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
H : I.IsMaximal
x y : α
hxy : x * y ∈ I
hx : x ∉ I
J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)
IJ : I ≤ J
xJ : x ∈ J
⊢ y ∈ I
R A : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A
⊢ lift.{u, u} #{ x // IsAlgebraic R x } ≤ lift.{u, u} #R[X] * ℵ₀
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
ι : Type v
hs : IsCompact s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
⊢ ∃ u, s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
G : Type u_1
Group G
H K L : Subgroup G
hKL : K ≤ L
⊢ (H.subgroupOf L).relindex (K.subgroupOf L) = H.relindex K
⊢ Filter.Tendsto Real.sin (𝓝[>] (-(Real.pi / 2))) (𝓝 (-1))
R : Type u
CommSemiring R
S : Type u_1
T : Type u_2
CommSemiring S
Semiring T
Module R S
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
a : Set S
⊢ Submodule.span R (⇑(algebraMap S T) '' a) = Submodule.map (↑R (Algebra.linearMap S T)) (Submodule.span R a)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
DecidableEq α
⊢ Finset.image Prod.fst (s ×ˢ t) ⊆ s
M : Type u
m₁ m₂ : AddRightCancelMonoid M
h_mul : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
⊢ m₁ = m₂
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
hX : MeasureTheory.Memℒp X 2 μ
hXint : ∫ (x : Ω), X x ∂μ = 0
⊢ ProbabilityTheory.variance X μ = ∫ (x : Ω), (X ^ 2) x ∂μ
ι : Type u_1
I✝ J I : Box ι
s t : Set ι
h : s ≠ t
⊢ Disjoint ↑(I.splitCenterBox s) ↑(I.splitCenterBox t)
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hns : n ≤ s.ncard
⊢ ∃ t ⊆ s, t.ncard = n
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ (AdjoinRoot.mk W.polynomial) (C (X - C x₁)) * (AdjoinRoot.mk W.polynomial) (C (X - C x₂)) * (AdjoinRoot.mk W.polynomial) (C (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))) = XClass W x₁ * XClass W x₂ * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
⊢ UniformInducing f ↔ UniformContinuous f ∧ comap (Prod.map f f) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
F : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
CompleteSpace F
u : α → ℝ
NormedSpace 𝕜 F
g g' : α → 𝕜 → F
t : Set 𝕜
y₀ y : 𝕜
hu : Summable u
ht : IsOpen t
h't : IsPreconnected t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasDerivAt (g n) (g' n y) y
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun x => g x y₀
hy : y ∈ t
⊢ Summable fun n => g n y
R : Type u_1
Semiring R
r : R → R → Prop
⊢ RingQuot.zero r = { toQuot := Quot.mk (RingQuot.Rel r) 0 }
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
Nonempty M
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin n → M
⊢ (FirstOrder.Language.BoundedFormula.liftAt 1 n φ).all.Realize v xs ↔ φ.Realize v xs
x y : ℂ
⊢ Complex.sinh (x - y) = Complex.sinh x * Complex.cosh y - Complex.cosh x * Complex.sinh y
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
π : ι → Set (Set α)
h : ∀ (n : ι), generateFrom (π n) ≤ m
S : Set ι
⊢ ∀ t ∈ piiUnionInter π S, MeasurableSet t
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Finset.Iio s = s.ssubsets
I : Type u
C : Set (I → Bool)
J : I → Prop
(i : I) → Decidable (J i)
⊢ ∀ (a : ↑C) (a_1 : I), ↑(Profinite.NobelingProof.ProjRestrict C J a) a_1 = Profinite.NobelingProof.Proj J (↑a) a_1
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
S : Set α
⊢ IsGenericPoint x S ↔ closure {x} = S
n : Nat
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {p : α → Bool},
  List.filter p (List.replicate n a) = if p a = true then List.replicate n a else []
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
⊢ hA.sqrt * hA.sqrt = A
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ degree 0 = ↑n ↔ natDegree 0 = n
n : ℕ
⊢ Finset.range (n + 1) = insert 0 (Finset.map { toFun := fun i => i + 1, inj' := ⋯ } (Finset.range n))
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom + (algebraMap K[X] (RatFunc K)) y.num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) y.denom = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * y.denom + x.denom * y.num) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.denom * y.denom)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction
⊢ s.WOppSide (v +ᵥ x) y ↔ s.WOppSide x y
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ∀ (x : α), dlookup x s₁.entries = dlookup x s₂.entries
⊢ s₁.entries ~ s₂.entries
n : ℤ
hx₁ : -(2 * π) < ↑n * (2 * π)
hx₂ : ↑n < 1
h : cos (↑n * (2 * π)) = 1
⊢ ↑n * (2 * π) = 0
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μs : ℕ → LevyProkhorov (ProbabilityMeasure Ω)
ν : LevyProkhorov (ProbabilityMeasure Ω)
hμs : Tendsto μs atTop (𝓝 ν)
P : ProbabilityMeasure Ω := ν.toProbabilityMeasure
Ps : ℕ → ProbabilityMeasure Ω := fun n => (μs n).toProbabilityMeasure
⊢ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑((toProbabilityMeasure ∘ μs) i)) atTop (𝓝 (∫ (ω : Ω), f ω ∂↑P))
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ |dist a₁ b₁ - dist a₂ b₂| ≤ dist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : s ⊆ t
h : μ.restrict t = ν.restrict t
⊢ μ.restrict s = ν.restrict s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → β
⊢ MeasureTheory.Integrable f ((μ Set.univ)⁻¹ • μ) ↔ MeasureTheory.Integrable f μ
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E✝ : EllipticCurve R
C✝ C C' : WeierstrassCurve.VariableChange R
E : EllipticCurve R
⊢ E.variableChange (C.comp C') = (E.variableChange C').variableChange C
R : Type u_1
Semiring R
StarRing R
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ IsSelfAdjoint (OfNat.ofNat n)
X : Compactum
A : Set X.A
x✝ : X.A
⊢ x✝ ∈ Compactum.cl A ↔ x✝ ∈ closure A
a b : Ordinal.{u_4}
h₁ : 0 < a
h₂ : 0 < b
⊢ 0 < a * b
R : Type u
S₁ : Type v
CommSemiring R
x : S₁
⊢ (MvPolynomial.optionEquivLeft R S₁) (MvPolynomial.X (some x)) = Polynomial.C (MvPolynomial.X x)
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun ω => ((condexpKernel μ m) ω) s
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a ≥ b
⊢ ¬a < b
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
n : ℕ
a : α
s : Fin n → Finset α
⊢ a ∈ (List.ofFn s).sum ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).sum = a
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq2 : q ^ 2 = -↑(normSq q)
k : ℝ := ↑(2 * n)!
⊢ (↑(2 * n)!)⁻¹ • q ^ (2 * n) = ↑((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!)
M : Type u_1
CommMonoid M
ζ : M
k : ℕ
⊢ IsPrimitiveRoot ζ k ↔ ζ ^ k = 1 ∧ ∀ (l : ℕ), ζ ^ l = 1 → k ∣ l
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s₁ s₂ : Set P
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ vectorSpan k s₁ ≤ vectorSpan k s₂
R : Type v
inst : Ring R
self : HasRankNullity.{u, v} R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
⊢ ∃ s, #↑s = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.encard + sᶜ.encard = Set.univ.encard
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
i : Fin n
j : Fin n.succ
hik : ¬i = k
hik2 : ¬k < i
⊢ N i.succ j + c i * M i.castSucc j = N i.succ j + c i * M.updateRow k.succ (N k.succ) i.castSucc j
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ ((α_ X Y Z).inv ≫ (β_ X Y).hom ▷ Z ⊗≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ⊗≫ (β_ Y Z).hom ▷ X) ≫ (α_ Z Y X).hom = ((α_ X Y Z).inv ≫ 𝟙 ((X ⊗ Y) ⊗ Z) ⊗≫ (X ◁ (β_ Y Z).hom ⊗≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ⊗≫ Z ◁ (β_ X Y).hom) ⊗≫ 𝟙 ((Z ⊗ Y) ⊗ X)) ≫ (α_ Z Y X).hom
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : β → Option (α × β)
b : β
h✝ : corec' (Corec.f f) (some b) 0 = (Corec.f f (some b)).1
a : α
b' : β
h : f b = some (a, b')
⊢ tail ⟨corec' (Corec.f f) (some b), ⋯⟩ = ⟨corec' (Corec.f f) (some b'), ⋯⟩
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ Disjoint (Ioc a b) (Ioc b c)