ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
Field k
AddCommGroup E
Module k E
AddTorsor E PE
f : k → E
c : PE
⊢ (slope fun x => f x +ᵥ c) = slope f
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
⊢ finrank ℤ (Additive ((𝓞 K)ˣ ⧸ torsion K)) = rank K
α : Type u_1
DecidableEq α
a b c d : α
⊢ {a, b, c, d}.card ≤ 4
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
h : IsEllSequence W
x : R
m n r : ℤ
⊢ (x • W) (m + n) * (x • W) (m - n) * (x • W) r ^ 2 = (x • W) (m + r) * (x • W) (m - r) * (x • W) n ^ 2 - (x • W) (n + r) * (x • W) (n - r) * (x • W) m ^ 2
R : Type u_9
M : Type u_10
Zero R
Zero M
SMul R M
⊢ NoZeroSMulDivisors R M ↔ ∀ {c : R} {x : M}, c • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι✝ → M
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
this : DecidableEq M
val✝ : Fintype ι
⊢ ∃ n, Nonempty (Basis (Fin n) R ↥N)
R : Type u_1
CommSemiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
X : Set R
p : R[X]
⊢ (Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom X) p = p.toContinuousMapOn X
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ (P.X ⊗ Q.X) L.X U.X).hom ≫ (((P.X ⊗ Q.X) ◁ L.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ▷ U.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ▷ U.X ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ ▷ U.X) ≫ TensorBimod.actRight P (Q.tensorBimod L)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : DenselyOrdered (α ⊕ β)
a b : α
h : a < b
c : α
ha : inl a < inl c
hb : inl c < inl b
⊢ ∃ a_1, a < a_1 ∧ a_1 < b
α : Type u_1
Fintype α
⊢ Fintype.card α = 1 ↔ ∃ x, ∀ (y : α), y = x
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
X : Type u
inst✝³ : MulAction M X
x : X
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
H : Type u_3
inst✝ : Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
z : X
γ₁ γ₂ : G
hy : ⟨(), γ₁⁻¹ • z⟩ = ⟨(), γ₁⁻¹ • z⟩
⊢ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map ((eqToHom ⋯ ≫ homOfPair (γ₁⁻¹ • z) γ₂ ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯) = { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (eqToHom ⋯ ≫ homOfPair (γ₁⁻¹ • z) γ₂ ≫ eqToHom ⋯) ≫ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯)
α : Type u_1
MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (Besicovitch.SatelliteConfig α N τ)
q : Besicovitch.BallPackage β α
⊢ ∃ s,
  (∀ (i : Fin N), (s i).PairwiseDisjoint fun j => Metric.closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧
    Set.range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ s i, Metric.ball (q.c j) (q.r j)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
hg : IsCauSeq abs fun n => ∑ i ∈ range n, a i
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
j : ℕ
ji : j ≥ max n i
hi₁ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
hi₂ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) (max n i) - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
sub_le : |∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k| ≤ |∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range i, a k| + |∑ k ∈ range i, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k|
this : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| + |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) (max n i) - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2 + ε / 2
⊢ abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) (max n i)) < ε
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
f : α × β → E
s : Set α
t : Set β
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f (s ×ˢ t) (μ.prod ν)
⊢ ∫ (z : α × β) in s ×ˢ t, f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α) in s, ∫ (y : β) in t, f (x, y) ∂ν ∂μ
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
H H' : Set (X → α)
S : Set X
x₀ : X
h : H.EquicontinuousWithinAt S x₀
hH : H' ⊆ H
⊢ H'.EquicontinuousWithinAt S x₀
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
⊢ ↑a.valMinAbs.natAbs = if a.val ≤ n / 2 then a else -a
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : Module.rank R M < ↑n
⊢ Module.rank R M < ℵ₀
w x✝ y z p : ℝ
x : ℝ≥0
hx_pos : 0 < x
rpow_pos_of_nonneg : ∀ {p : ℝ}, 0 < p → 0 < x ^ p
hp_pos : 0 < p
⊢ 0 < x ^ p
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : α → β
⊢ (∀ (i' : ℝ≥0∞), 0 < i' → ∃ i, 0 < i ∧ Prod.map f f ⁻¹' {p | edist p.1 p.2 < i} ⊆ {p | edist p.1 p.2 < i'}) ↔ ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, edist (f a) (f b) < ε → edist a b < δ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : CategoryTheory.Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X : Cᵒᵖ
Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r : ↑(R.val.obj X)
m : ↑(A.val.obj X)
⊢ (A.val.map π) (PresheafOfModules.Sheafify.smul α φ r m) =
  PresheafOfModules.Sheafify.smul α φ ((R.val.map π) r) ((A.val.map π) m)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
as✝ : ι
this✝ : colimit.ι (F ⋙ forget C) { as := as✝ } = (Discrete.natIsoFunctor.hom.app { as := as✝ } ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) { as := as✝ }) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).inv
this : colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) { as := { as := as✝ }.as } = TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) { as := as✝ }.as ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).inv
⊢ OpenEmbedding ⇑((((Discrete.natIsoFunctor.hom.app { as := as✝ } ≫ TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) { as := as✝ }.as) ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).inv) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).inv) ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).inv)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ (a \ b) \ c = (a \ c) \ b
α : Type u_1
β : Type u_2
Neg β
f : α →ᵤ β
⊢ UniformFun.toFun (-f) = -UniformFun.toFun f
ι : Type u_1
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
⊢ s.inf' H f = sInf (f '' ↑s)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∀ (p q : ℝ≥0), p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
⊢ AEMeasurable f μ
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
ht : t ∈ s.powerset
h : a ∉ s
⊢ a ∉ t
θ : ℂ
h : (cexp (θ * I) + cexp (-θ * I)) / 2 = 0 ↔ cexp (2 * θ * I) = -1
x : ℤ
⊢ 2 * I * θ = ↑π * I + ↑x * (2 * ↑π * I) ↔ θ = (2 * ↑x + 1) * ↑π / 2
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a \ b ≤ a ⊓ ￢b
α : Type u_1
MulOneClass α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 ≤ b
hab : a * b ≤ 1
⊢ a = 1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
t : Set E
x : E
⊢ convexJoin 𝕜 {x} t = ⋃ y ∈ t, segment 𝕜 x y
α : Type u
β : α → Type v
a : α
s : Finmap β
⊢ a ∈ s.keys ↔ a ∈ s
n : Nat
⊢ n = 0 ∨ n = n - 1 + 1
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I.radical = PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ cyclotomic n ℤ = ⋯.choose
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
d : α
⊢ Primrec₂ fun l n => l.getD n d
n m k : Nat
h : n ≤ m
⊢ n ≤ m + k
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
x : X
s : Set X
⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ Filter.PTendsto (PFun.res f s) (𝓝 x) (𝓝 (f x))
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
x : k
n : ℕ
hn : NeZero ↑n
⊢ ∃ z, z ^ n = x
a : EReal
⊢ (-a)⁻¹ = -a⁻¹
p : ℕ
hp : Nat.blt 1 p = true
h : LucasLehmer.norm_num_ext.sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2) = 0
⊢ LucasLehmerTest p
n : ℕ
⊢ (Polynomial.hermite n).Monic
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
h : 1 ≤ 4 ^ P.parts.card
⊢ Fintype.card α / P.parts.card ≤ Fintype.card α / P.parts.card / 4 ^ P.parts.card * 4 ^ P.parts.card + 4 ^ P.parts.card - 1
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a + x) '' [[b, c]] = [[a + b, a + c]]
ι : Type u_1
α : Type u_3
CanonicallyOrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
hf : Multipliable f
⊢ ∏' (i : ι), f i = 1 ↔ ∀ (x : ι), f x = 1
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
U : Set M
a b : M
hpc : IsPreconnected U
hc : IsCompact U
ho : IsOpen U
ha : a ∈ U
hb : b ∈ U
f : M → F
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hb₀ : f b = 0
⊢ f a = f b
r s : ℤ
h : IsCoprime r s
⊢ IsCoprime (r ^ 2 + s ^ 2) s
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t : Set α
⊢ s ⊻ t = t ⊻ s
α : Type u
β : Type v
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Function.Injective (Filter.comap f)
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : LocalizedModule S M
m : M
s : ↥S
⊢ mk m s + 0 = mk m s
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q : Submodule R N
⊢ Submodule.map₂ f.flip q p = Submodule.map₂ f p q
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (F.obj X)).inv ≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X) F.ε ≫ F.μ X (𝟙_ C) =
  F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv
I : Type u_1
J : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
Fintype I
Fintype J
m : Matrix I I (Matrix J J R)
ik jl : I × J
⊢ (Matrix.compRingEquiv I J R) m ik jl = m ik.1 jl.1 ik.2 jl.2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ : Fin (n + 3)
p : P
h : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p ∈ s.mongePlane i₁ i₂
⊢ p = s.mongePoint
G : Type u_3
α : Type u_7
AddGroup G
AddAction G α
g : G
a : α
⊢ g +ᵥ (-g +ᵥ a) = a
u v m n✝ n : ℤ
⊢ ¬2 ∣ 2 * n + 1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
⊢ ∃ C, ∀ (z : E), ‖f z‖ ≤ C * ‖z‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α × β
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ sphere x r = sphere x.1 r ×ˢ closedBall x.2 r ∪ closedBall x.1 r ×ˢ sphere x.2 r
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
X Y X' Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
⊢ F.δ X X' ≫ (F.map f ⊗ F.map g) = F.map (f ⊗ g) ≫ F.δ Y Y'
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ (CategoryTheory.opOpEquivalence C).functor = CategoryTheory.unopUnop C
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : C), IsSplitEpi (h.unit.app X)
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ L.map ((h.homEquiv X (L.obj Y)) f ≫ section_ (h.unit.app Y)) = f
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℝ
hε : 0 < ε
ε' : ℚ
hε' : ↑ε' < ε
hε'0 : 0 < ε'
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (mk (nthHomSeq f_compat r) - ↑(↑(nthHomSeq f_compat r) i)) < ε'
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n)‖ < ε
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
n : ℕ
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
f : F
hfAB : Set.MapsTo (⇑f) A B
⊢ IsAddFreimanHom n A B ⇑f
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
⊢ (erase i f + single i (f i)) i = f i
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p
g : G
hg : orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
hpk : p ^ k ∣ orderOf t
hpk' : orderOf (t ^ p ^ k) = orderOf t / p ^ k
a : ℕ
ha : (exponent G).factorization p = k + a + 1
hcoprime : (orderOf (t ^ p ^ k)).Coprime (orderOf g)
⊢ 1 < p ^ (a + 1)
self : CircleDeg1Lift
x : ℝ
⊢ self.toFun (x + 1) = self.toFun x + 1
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e e' : A ≃ₗc[R] B
h : ∀ (x : A), e x = e' x
⊢ e = e'
G : Type w
TopologicalSpace G
Div G
ContinuousDiv G
a : G
⊢ Continuous fun x => a / x
y z : ℝ
f : ℝ → ℝ≥0∞
hzy : z ≤ y
⊢ Iio z ∩ Icc z y ⊆ ∅
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ w * cs.simple i * cs.simple i = w
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_10, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_11, u_4} D₁
CategoryTheory.Category.{u_12, u_5} D₂
CategoryTheory.Category.{u_13, u_6} D₃
F₁₂ : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
F₂₃ : CategoryTheory.Functor C₂ C₃
F₁₃ : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
α : F₁₃ ⟶ F₁₂.comp F₂₃
G₁₂ : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
G₂₃ : CategoryTheory.Functor D₂ D₃
G₁₃ : CategoryTheory.Functor D₁ D₃
β : G₁₂.comp G₂₃ ⟶ G₁₃
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
L₃ : CategoryTheory.Functor C₃ D₃
e₁₂ : F₁₂.comp L₂ ⟶ L₁.comp G₁₂
e₂₃ : F₂₃.comp L₃ ⟶ L₂.comp G₂₃
e₁₃ : F₁₃.comp L₃ ⟶ L₁.comp G₁₃
A : Type u_7
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C₁ A
CategoryTheory.HasShift C₂ A
CategoryTheory.HasShift C₃ A
CategoryTheory.HasShift D₁ A
CategoryTheory.HasShift D₂ A
CategoryTheory.HasShift D₃ A
F₁₂.CommShift A
F₂₃.CommShift A
F₁₃.CommShift A
CategoryTheory.NatTrans.CommShift α A
G₁₂.CommShift A
G₂₃.CommShift A
G₁₃.CommShift A
CategoryTheory.NatTrans.CommShift β A
L₁.CommShift A
L₂.CommShift A
L₃.CommShift A
CategoryTheory.NatTrans.CommShift e₁₂ A
CategoryTheory.NatTrans.CommShift e₂₃ A
h₁₃ :
  e₁₃ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerRight α L₃)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F₁₂.associator F₂₃ L₃).hom
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerLeft F₁₂ e₂₃)
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F₁₂.associator L₂ G₂₃).inv
            (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerRight e₁₂ G₂₃)
              (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L₁.associator G₁₂ G₂₃).hom (CategoryTheory.whiskerLeft L₁ β))))))
⊢ CategoryTheory.NatTrans.CommShift e₁₃ A
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
p : E × E
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun p => ⟪p.1, p.2⟫_𝕜) p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
P Q : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
⊢ c.toCocone.ι.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right } = c.inr
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
⊢ Polynomial.evalEval x y W.polynomial = y ^ 2 + W.a₁ * x * y + W.a₃ * y - (x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆)
K : Type u_1
p : ℕ
Field K
ExpChar K p
PerfectRing K p
⊢ PerfectField K
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
Subsingleton F
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s
α : Type u_2
Mul α
s t : Set α
⊢ s.Finite → t.Finite → (s * t).Finite
n m : ℕ
h : n = m
⊢ Fin.cast h = cast ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t
⊢ P s → ((∀ ⦃y : Set α⦄, P y → y ⊆ s → s = y) ↔ ∀ x ∈ s, ¬P (s \ {x}))
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
⊢ WittVector.ghostFun (x + y) = WittVector.ghostFun x + WittVector.ghostFun y
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f : α → E → F
c : E
h : ∀ n ∈ ∅, AnalyticAt 𝕜 (f n) c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => ∑ n ∈ ∅, f n z) c
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
CompactSpace X
Nonempty X
MetricSpace Y
CompactSpace Y
Nonempty Y
g : GromovHausdorff.Cb X Y
hg : g ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y
⊢ GromovHausdorff.HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) ≤ GromovHausdorff.HD g
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace Y
inst✝ : (𝓤 Y).IsCountablyGenerated
f : X → Y
U : ℕ → Set (Y × Y)
left✝ : ∀ (i : ℕ), U i ∈ 𝓤 Y ∧ IsOpen (U i) ∧ SymmetricRel (U i)
hU : (𝓤 Y).HasAntitoneBasis fun i => id (U i)
k : ℕ
x : X
s : Set X
hsU : ∀ x ∈ s ×ˢ s, (f x.1, f x.2) ∈ U k
hsx : x ∈ s
hso : IsOpen s
⊢ {x | ∃ ia, (x ∈ ia ∧ IsOpen ia) ∧ ∀ x ∈ ia ×ˢ ia, (f x.1, f x.2) ∈ U k} ∈ 𝓝 x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.span f g).obj CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.left = Y
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
S₁ S₂ : AffineSubspace k P₁
Nonempty ↥S₁
Nonempty ↥S₂
h : S₁ = S₂
⊢ (AffineEquiv.ofEq S₁ S₂ h).linear = LinearEquiv.ofEq S₁.direction S₂.direction ⋯
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
⊢ 0 ≤ (f i) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
f : γ → β
⊢ ⨅ s ∈ 𝔖, UniformSpace.comap ((fun x => f ∘ x) ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑s) β) = ⨅ i ∈ 𝔖, UniformSpace.comap ((⇑UniformFun.ofFun ∘ i.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) ∘ fun x => f ∘ x) (UniformFun.uniformSpace (↑i) β)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
t : Set E
hts : t ⊆ s
ht : IsOpen t
xt : x ∈ t
this : f '' t ∈ 𝓝 (f x)
⊢ f '' s ∈ 𝓝 (f x)
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
R1Space X
TopologicalSpace Y
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
R1Space Y
μ : MeasureTheory.Measure X
ν : MeasureTheory.Measure Y
μ.InnerRegularCompactLTTop
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ν
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
Fact (1 ≤ p)
Z : Type u_5
TopologicalSpace Z
f : Z → ↥(MeasureTheory.Lp E p ν)
g : Z → C(X, Y)
z : Z
hf : ContinuousAt f z
hg : ContinuousAt g z
hgm : ∀ (z : Z), MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(g z)) μ ν
hp : p ≠ ⊤
⊢ ContinuousAt (fun z => (MeasureTheory.Lp.compMeasurePreserving ⇑(g z) ⋯) (f z)) z
M : Type u_1
Add M
s : Set M
S : AddSubsemigroup M
⊢ AddSubsemigroup.closure s ≤ S ↔ s ⊆ ↑S
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
h' : ν > 0
⊢ 0 < eval (n - (ν - 1)) (ascPochhammer ℕ ν)
n : ℕ
⊢ Nat.clog 0 n = 0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
Fintype α
DecidableRel G.Adj
hε : G.FarFromTriangleFree ε
h : δ ≤ ε
⊢ G.FarFromTriangleFree δ
α : Type u_1
β : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
f g : α → E✝
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ c = 0 ∨ (μ.restrict s) univ ≠ ⊤
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S : B
l : List ↥S
⊢ (List.map Subtype.val l).prod ∈ S
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α
H : IsGLB s a
ne : s.Nonempty
⊢ sInf s = a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((CliffordAlgebra.ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
v : M
x_fx : CliffordAlgebra Q × N
⊢ ((CliffordAlgebra.foldr'Aux Q f) v) (((CliffordAlgebra.foldr'Aux Q f) v) x_fx) = Q v • x_fx
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a \ (a ⊓ b) = a \ b
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : ℚ
x y : E
this : ↑r.den ≠ 0
⊢ inner_ 𝕜 ((↑r.den * (↑↑r.num / ↑↑r.den)) • x) y = ↑r.den * ((starRingEnd 𝕜) (↑↑r.num / ↑↑r.den) * inner_ 𝕜 x y)