ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
u : Level
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Nontrivial α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h✝¹ : decide (num✝¹ * ↑db < num✝ * ↑da) = true
h✝ : (fun x => ↑x) (num✝¹ * ↑db) < (fun x => ↑x) (num✝ * ↑da)
ha : 0 < ⅟↑da
hb : 0 < ⅟↑db
h : ↑num✝¹ * ⅟↑da < ⅟↑db * ↑num✝
⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da < ↑num✝ * ⅟↑db
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x✝ : TruncatedWittVector p m (ZMod p)
⊢ ((zmodEquivTrunc p n).symm.toRingHom.comp (truncate hm)) x✝ = ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n))).comp (zmodEquivTrunc p m).symm.toRingHom) x✝
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence
hφn : T ⊨ᵇ Formula.not φ
⊢ T ⊨ᵇ Formula.not φ ↔ ¬T ⊨ᵇ φ
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJY : M.Basis J Y
h : M.Indep (I ∪ J)
⊢ M.Basis (⋃ b, bif b then I else J) (⋃ b, bif b then X else Y)
α : Type u_1
ι : Type u_9
SupSet α
f : ULift.{u_10, u_9} ι → α
⊢ ⨆ i, f i = ⨆ i, f { down := i }
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ Metric.cthickening δ E = ⋂ ε, ⋂ (_ : max 0 δ < ε), Metric.thickening ε E
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
y : ↥f.inverse.domain
x : ↥f.domain
hxy : ↑f x = ↑y
⊢ ↑f.inverse y = ↑x
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
h : IsNilpotent y
⊢ IsNilpotent (x * y)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → ℝ≥0∞
⊢ ∑' (a : α) (b : β), f a b = ∑' (b : β) (a : α), f a b
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
l.NeBot
h : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / r) l Filter.atBot ↔ r < 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
hι : lift.{v, u} #ι < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c.ord, f i b < c.ord
a : Ordinal.{max u v}
ha : a < c.ord
⊢ lift.{v, u} #ι < c
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
⊢ (quadraticChar F) 0 = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
h : ∀ (S : CategoryTheory.ShortComplex C), S.ShortExact → (S.map F).Exact ∧ CategoryTheory.Mono (F.map S.f)
⊢ F.PreservesMonomorphisms
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f✝ : ↥(Lp F p μ)
hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ
f g : α → F
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
h_disj : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hPf : P (Memℒp.toLp f hf)
hPg : P (Memℒp.toLp g hg)
s_f : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
⊢ P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
⊢ f.support.card = 2 ↔
  ∃ k m,
    ∃ (_ : k < m),
      ∃ x y, ∃ (_ : x ≠ 0) (_ : y ≠ 0), f = Polynomial.C x * Polynomial.X ^ k + Polynomial.C y * Polynomial.X ^ m
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : α → E
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h₁ : RespectsIso P
h₂ : ∀ ⦃R S T : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], P (algebraMap R T) → P Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom
R S R' S' : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : CommRing R'
inst✝⁷ : CommRing S'
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R' S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
h : Algebra.IsPushout R S R' S'
H : P (algebraMap R S)
e : TensorProduct R R' S ≃ₛₗ[id R'] S' := ⋯.equiv
f' : TensorProduct R R' S →ₐ[R] S' := Algebra.TensorProduct.productMap (IsScalarTower.toAlgHom R R' S') (IsScalarTower.toAlgHom R S S')
this : ∀ (x : TensorProduct R R' S), e x = f' x
⊢ TensorProduct R R' S ≃+* S'
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ Isometry ⇑e
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s✝ : Finset ι
i : ι
s : Finset ι
is : i ∉ s
IH : (∀ i ∈ s, A i =o[l] g') → (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) =o[l] g'
h : ∀ i_1 ∈ insert i s, A i_1 =o[l] g'
⊢ (fun x => ∑ i ∈ insert i s, A i x) =o[l] g'
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l : List α
o✝ : Option α
a✝ m✝ : α
hr₀ : Irreflexive r
hr₁ : Transitive r
tl : List α
a : α
ih : ∀ {a m : α} {o : Option α}, a ∈ tl → m ∈ foldl (argAux r) o tl → ¬r a m
b m : α
o : Option α
hb : b ∈ tl ++ [a]
ho : m ∈ Option.casesOn (foldl (argAux r) o tl) (some a) fun c => if r a c then some a else some c
⊢ ¬r b m
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_ne : (aeval x) p.divX ≠ 0
⊢ (aeval x) p = (aeval x) p.divX * x + (algebraMap K L) (p.coeff 0)
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F✝ F : Sheaf J A
this : (compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t)) ≫ { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } = (constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ U.map (F.val.map (ht.from (unop x✝)).op ≫ (toSheafify J F.val).app x✝) = U.map ((toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).app x✝ ≫ ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val)).val.app x✝)
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : y + ↑n ≠ 0
⊢ x ^ (y + ↑n) = x ^ y * x ^ n
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
⊢ (BoxIntegral.Prepartition.splitMany I s).IsPartition
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f g : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : IsNormal f
hg : IsNormal g
x✝ : f 0 = g 0 ∧ ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)
h₁ : f 0 = g 0
h₂ : ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)
o✝ : Ordinal.{u}
a✝ : f o✝ = g o✝
⊢ f (succ o✝) = g (succ o✝)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.StructuredArrow S T
⊢ f.eta.inv.right = CategoryTheory.CategoryStruct.id f.right
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
⊢ LowerSet.Iic a = LowerSet.Iic b ↔ a = b
K : Type u_1
RCLike K
⊢ ‖RCLike.ofRealCLM‖ = 1
n n' : Int
d' : Nat
z' : d' ≠ 0
c : n'.natAbs.Coprime d'
w✝ : Nat
z : ¬w✝ = 0
h : mkRat (-n) w✝ = { num := n', den := d', den_nz := z', reduced := c }
⊢ ∃ m, ¬m = 0 ∧ n = n' * m ∧ -↑w✝ = ↑d' * m
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : LinearOrder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : M
h : a ^ 2 ≤ b * c
⊢ a ≤ max b c
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ
⊢ (∃ j ≤ k, a = p ^ j) ↔ a ∈ map { toFun := fun x => p ^ x, inj' := ⋯ } (range (k + 1))
M : Type u_1
TopologicalSpace M
x : Mᵈᵃᵃ
⊢ Filter.comap (⇑DomAddAct.mk) (𝓝 x) = 𝓝 (DomAddAct.mk.symm x)
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
⊢ (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
α : Type u_1
I : Set α
M : Matroid α
⊢ M.Basis I ∅ ↔ I = ∅
α : Type u_1
r c : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
hfg : f =O[l] g
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
⊢ (fun x => √(f x)) =O[l] fun x => √(g x)
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
⊢ HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
⊢ M.Basis ∅ X ↔ X ⊆ M.closure ∅
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
p : X → Prop
a : X
ha : a ∈ {x | ∀ᶠ (y : X) in 𝓝[≠] x, p y}
⊢ {x | ∀ᶠ (y : X) in 𝓝[≠] x, p y} ∈ 𝓝 a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
⊢ _root_.Set.univ = {x | (f.subtypePerm ⋯) x ≠ x}
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α
⊢ (Ioc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
⊢ (ρ_ (P.X ⊗ S.X)).inv ≫ (P.X ⊗ S.X) ◁ S.one ≫ ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ 𝟙 (coequalizer (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul))
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
r : R
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ TensorProduct.map (r • f) g = r • TensorProduct.map f g
R : Type u_1
CommSemiring R
n : ℕ
⊢ ↑n.rawCast = n.rawCast
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
f : ℕ → ℕ → α
⊢ ⨆ n, f (unpair n).1 (unpair n).2 = ⨆ i, ⨆ j, f i j
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
a : A
i : ι
⊢ ∃ j, ↑(B j).toAddSubgroup ⊆ (fun y => a * y) ⁻¹' ↑(B i).toAddSubgroup
α : Type u_1
I B X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
⊢ ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : T2Space β
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hc₂ : ∀ᶠ (t : τ) in f, MapsTo (ϕ t) s c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
⊢ ∀ᶠ (t : τ) in f, MapsTo (ϕ t) s n
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ AddMonoidHom.mker (AddMonoidHom.fst M N) = ⊥.prod ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
f g : β → α
x : Filter β
a b : α
hf : Filter.Tendsto f x (𝓝 a)
hg : Filter.Tendsto g x (𝓝 b)
⊢ Filter.Tendsto (fun x => edist (f x) (g x)) x (𝓝 (edist a b))
n : PosNum
⊢ -ZNum.neg n = ZNum.pos n
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Setoid α
⊢ Measurable Quotient.mk'
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
hf : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ HasMFDerivAt I I'' (g ∘ f) x ((mfderiv I' I'' g (f x)).comp (mfderiv I I' f x))
R : Type u
R' : Type u'
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
Ring R'
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R' M'
i : R' → R
j : M →+ M'
hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0
hj : Function.Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m
⊢ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M) ≤ Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R' M')
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x✝¹ x✝ : α
⊢ (fun x y => y * x⁻¹ ∈ s) x✝¹ x✝ ↔ RightCosetEquivalence (↑s) x✝¹ x✝
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : a ≠ 0
⊢ a * b = a ↔ b = 1
n : ℕ
⊢ (n + 1) * (n + 1).centralBinom = 2 * (2 * n + 1) * n.centralBinom
M₀ : Type u_8
CommMonoidWithZero M₀
a b : M₀
⊢ Ring.inverse (a * b) = Ring.inverse b * Ring.inverse a
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hy : y ≠ 0
hxy : x + y ≠ 0
hx : ¬x = 0
⊢ (x + y).intDegree ≤ max x.intDegree y.intDegree
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
⊢ Set.Icc (min a b) (max a b) = Set.uIcc a b
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
tensorObj : Mon_ C → Mon_ C → Mon_ C := fun M N => { X := M.X ⊗ N.X, one := (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one), mul := tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul), one_mul := ⋯, mul_one := ⋯, mul_assoc := ⋯ }
X₁ Y₁ X₂ Y₂ : Mon_ C
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂
⊢ tensor_μ C (X₁.X, X₂.X) (X₁.X, X₂.X) ≫ ((f.hom ⊗ f.hom) ⊗ g.hom ⊗ g.hom) ≫ (Y₁.mul ⊗ Y₂.mul) = (tensor_μ C (X₁.X, X₂.X) (X₁.X, X₂.X) ≫ ((f.hom ⊗ f.hom) ⊗ g.hom ⊗ g.hom)) ≫ (Y₁.mul ⊗ Y₂.mul)
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ StrictMono AddSubgroup.toAddSubmonoid
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁸ : CommRing A
inst✝³⁷ : CommRing B
inst✝³⁶ : Algebra A B
inst✝³⁵ : Field K✝
inst✝³⁴ : Field L✝
inst✝³³ : Algebra A K✝
inst✝³² : IsFractionRing A K✝
inst✝³¹ : Algebra B L✝
inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁹ : Algebra A L✝
inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²⁴ : CommRing Aₘ
inst✝²³ : CommRing Bₘ
inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝²¹ : Algebra A Aₘ
inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹³ : IsDomain A
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹¹ : IsDomain B
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁹ : Module.Finite A B
inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝⁶ : IsDomain Aₘ
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝⁴ : IsDomain Bₘ
inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing Aₘ) (FractionRing Bₘ)
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝⁹ : IsIntegralClosure B A L
this✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝⁷ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝⁶ : IsScalarTower A Aₘ K
this✝⁵ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
this✝⁴ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower B Bₘ L
this✝² : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra
this✝¹ : IsScalarTower Aₘ K L
this✝ : IsScalarTower Aₘ Bₘ L
this : IsFractionRing Bₘ L := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ L
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intNorm A B) x) = (intNorm Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_7
γ : Type u_8
MeasurableSingletonClass α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
x : α
f : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
⊢ MeasurableEmbedding fun y => (x, f y)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hfg : Set.EqOn f g s
⊢ Set.EqOn (iteratedDerivWithin n f s) (iteratedDerivWithin n g s) s
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Filter.Tendsto Int.floor (𝓝[≥] ↑n) (pure n)
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ (cthickening δ s)⁻¹ = cthickening δ s⁻¹
α : Type u_1
a b : α
⊢ Topology.WithLawson.toLawson a = Topology.WithLawson.toLawson b ↔ a = b
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hk : 0 < k
⊢ IsPrimitiveRoot ζ k ↔ ζ ^ k = 1 ∧ ∀ (l : ℕ), 0 < l → l < k → ζ ^ l ≠ 1
α : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
h : a < b
⊢ 0 < b - a
α : Type u_1
Neg α
x : αᵐᵒᵖ
⊢ MulOpposite.unop (-x) = -MulOpposite.unop x
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ v.intValuationDef x ≠ 0
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 < (z - y) / (z - x)
hb : 0 < (y - x) / (z - x)
⊢ f y < ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
α : Type u
Preorder α
f : α → α
hf : LeftOrdContinuous f
n : ℕ
⊢ LeftOrdContinuous f^[n]
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ IsCyclotomicExtension {n} A ↥(Algebra.adjoin A {ζ})
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α✝ : Type u_12
β : Type u_13
inst✝⁴ : DecidableEq o
inst✝³ : Zero α✝
inst✝² : Zero β
α : Type u_14
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
M : o → Matrix m n α
⊢ (blockDiagonal M)ᴴ = blockDiagonal fun k => (M k)ᴴ
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
⊢ ↑↑0 =ᵐ[μ] 0
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
a₁ a₂ : α
h_anti : Antitone f
h_fa : f a₁ = f a₂
i : α
h₁ : a₁ ≤ i
h₂ : i ≤ a₂
⊢ f a₁ ≤ f i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h✝ : s ~ʷ t
a b : Option (α × WSeq α)
h : BisimO (fun x x_1 => x ~ʷ x_1) a b
⊢ Computation.LiftRel Equiv ((Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o) a) ((Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o) b)
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
x : E
⊢ x ∈ (fun x => f.rIn⁻¹ • (x - c)) ⁻¹' ball 0 (f.rOut / f.rIn) ↔ x ∈ ball c f.rOut
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
⊢ (HomologicalComplex.cyclesIsoSc' (inhomogeneousCochains A) 0 1 2 isoOneCocycles.proof_2 isoOneCocycles.proof_3).hom ≫ cyclesMap { τ₁ := ↑(zeroCochainsLequiv A), τ₂ := ↑(oneCochainsLequiv A), τ₃ := ↑(twoCochainsLequiv A), comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ≫ (shortComplexH1 A).iCycles = iCocycles A 1 ≫ ↑(oneCochainsLequiv A)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
Invertible D
⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D).det = D.det * (A - B * ⅟D * C).det
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
inst✝ : Module.Finite R M
v : ι → M
h : LinearIndependent R v
⊢ lift.{?u.168006, w} #ι ≤ ?b
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u v : Set α
h : Disjoint s t
⊢ AEDisjoint μ s t
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : MetricSpace E
f✝ : ℕ → α → E
g✝ : α → E
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f u g
⊢ ∃ ns, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K
⊢ (∃ y, (a ≤ y ∧ y ≤ b) ∧ r * y = x) ↔ r * a ≤ x ∧ x ≤ r * b
x : ℝ
⊢ Real.sinh x < 0 ↔ x < 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
f : R →+* S
s : Subring R
⊢ comap f (map f s) ≤ s ⊔ closure (⇑f ⁻¹' {0})
n : ℕ
⊢ (2 * n + 2) * (2 ^ n * n !) = 2 ^ n * 2 * ((n + 1) * n !)
M : Type u_4
CommMonoid M
S : Submonoid M
ι : Type u_5
t : Finset ι
f : ι → M
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S
⊢ ∏ c ∈ t, f c ∈ S
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
⊢ |Rel.edgeDensity r s₂ t₂ - Rel.edgeDensity r s₁ t₁| ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)
x : ℝ
⊢ ContinuousAt Real.log x ↔ x ≠ 0
ι : Type u_1
Fintype ι
a b : ι → ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Set.univ.pi fun i => Set.Ico (a i) (b i)) = ∏ i : ι, ENNReal.ofReal (b i - a i)
α : Type u_2
M : Type u_4
LE M
One M
s : Set α
g : α → M
a : α
y : M
hfg : a ∈ s → y ≤ g a
hf : a ∉ s → y ≤ 1
⊢ y ≤ s.mulIndicator g a
α : Type u
β✝ : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
β : Type u_1
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
h : CauchySeq u
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ k₀, ∀ (i j : β), k₀ ≤ i → k₀ ≤ j → (u i, u j) ∈ V
α : Type u
s : Set α
⊢ Filter.generate {s} = 𝓟 s