ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w₁
CategoryTheory.Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
CategoryTheory.Category.{max v u, w₂} E
F : CategoryTheory.Functor D E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
(X : C) →
    (W : J.Cover X) →
      (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
hP : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J ((J.plusObj P).comp F)
⊢ (J.plusCompIso F P).inv = J.plusLift (CategoryTheory.whiskerRight (J.toPlus P) F) hP
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
⊢ a.natAbs = b.natAbs ↔ ↑a.natAbs = ↑b.natAbs
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf : Continuous ⇑f
h✝ : Nonempty ι
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m‖ < ε → ‖f m‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
this : 0 < (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ : F ⟶ G
⊢ ((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) 0 a✝).f = Coalgebra.Hom.f 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
I : IsNoetherianRing R
hN : N.FG
s : Finset M
hs : span R ↑s = N
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq R
this : ∀ x ∈ s, x ∈ N
⊢ IsNoetherian R ↥N
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a✝ b✝ c d a b : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ a ^ 2 * b / a = a * b
σ : Type u_1
Fintype σ
DecidableEq σ
k : ℕ
⊢ (Finset.filter (fun t => t.1.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k)).disjUnion
    (Finset.filter (fun t => t.1.card = k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k)) ⋯ =
  MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k
cf : Code
⊢ cf.encodeCode < 2 * (2 * cf.encodeCode + 1) + 1 + 4
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f : Perm α
⊢ f.cycleFactorsFinset = ∅ ↔ f = 1
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
⊢ GenLoop.fromLoop i (Path.trans (GenLoop.toLoop i p) (GenLoop.toLoop i q)) = GenLoop.transAt i p q
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
⊢ EMetric.infEdist x s ≤ EMetric.infEdist x (Metric.cthickening δ s) + ENNReal.ofReal δ
xl xr : Type u
x y : PGame
⊢ x < y ∨ x ≈ y ∨ y ⧏ x
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |MeasureTheory.predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - MeasureTheory.predictablePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑R
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hx : x ∈ s ∧ x ∉ s ∨ x ∈ s ∧ (↑(G.edgeDensity s t) - ε) * ↑t.card ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card ∧ (↑(G.edgeDensity s u) - ε) * ↑u.card ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(image (fun x_1 => (x, x_1)) (filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u))).card
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f g : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
p : (j : J) → f j ⟶ g j
j : J
⊢ ι f j ≫ map p = p j ≫ ι g j
α : Type u_1
r : Setoid α
y : α
⊢ {x | r.Rel x y} ∈ r.classes
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace N
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
p : M × N
aux : interior (range ↑I) ×ˢ interior (range ↑J) = interior (range ↑(I.prod J))
⊢ p ∈ (I.prod J).interior (M × N) ↔ p ∈ I.interior M ×ˢ J.interior N
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
L : Type u_6
inst✝ : RCLike L
r : L
f : α → L
⊢ ∫ (a : α), f a * r ∂μ = (∫ (a : α), f a ∂μ) * r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x y : E
s : Set E
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hy : x = y
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 s y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
CategoryTheory.IsIso f
⊢ f ≫ g = 0 ↔ g = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Fintype R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : card R = p ^ n
hR : ∀ i ≤ n, ↑p ^ i = 0 → i = n
i : ℕ
hi : i ≤ n
hc : CharP R (p ^ i)
hcpn : p ^ i ∣ p ^ n
⊢ CharP R (p ^ n)
α : Type u_1
s : Set α
Nonempty α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ s.ncard ≤ 1 ↔ ∃ x, s ⊆ {x}
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
⊢ a ∈ exterior s ↔ ∀ (U : Set α), IsOpen U → s ⊆ U → a ∈ U
R : Type u_1
TopologicalSpace R
Ring R
TopologicalRing R
I : Ideal R
⊢ ↑I.closure = closure ↑I
S : Finset Λ'
W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q
p✝ : Γ' → Bool
k₁✝ k₂✝ : K'
q : Λ'
q_ih : Λ'.Supports S q → trStmts₁ q ⊆ S → Supports (trStmts₁ q) S
H₁ : Λ'.Supports S (Λ'.move p✝ k₁✝ k₂✝ q)
HS₁ : insert (Λ'.move p✝ k₁✝ k₂✝ q) (trStmts₁ q) ⊆ S
h₁ : Λ'.move p✝ k₁✝ k₂✝ q ∈ S
h₂ : trStmts₁ q ⊆ S
h₃ : q ∈ S
⊢ Supports (insert (Λ'.move p✝ k₁✝ k₂✝ q) (trStmts₁ q)) S
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
ex : x ∈ e.source
⊢ map proj (𝓝 x) = 𝓝 (proj x)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
s : σ →₀ ℕ
a : R
⊢ Finsupp.single s a = (MvPolynomial.monomial s) a
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x y : ↥p
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
x y : PartENat
hx : x ≠ ⊤
h : x + 1 ≤ y
⊢ x < y
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f✝ : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝ : Algebra R S
f : R →+* S
I : Ideal R
hf₁ : Function.Injective ⇑f
hf₂ : f.IsIntegral
⊢ RingHom.ker f ≤ I
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
x : R
⊢ LinearMap.toMatrix' ((algebraMap R (Module.End R (n → R))) x) = (Matrix.scalar n) x
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I✝ : Ideal R
F F' : I✝.Filtration M
I : Ideal R
N : Submodule R M
i : ℕ
⊢ I ^ 1 • I ^ i • N ≤ I ^ i • N
R : Type u_2
M : Type u_5
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
u : Rˣ
x : M
⊢ -u • x = -(u • x)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
r : R
f : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => f x + r) a = cfc f a + (algebraMap R A) r
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
C : M → Prop
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x * y)
x : M
hx : x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
⊢ C x
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p : Finset σ × σ), p ∈ filter (fun t => t.1.card = k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k) ↔ p.1 ∈ powersetCard k univ ∧ p.2 ∈ p.1
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
w✝ : α
h₂ : (inl w✝).isLeft = true
h₁ : ∃ a c, r a c ∧ inl w✝ = inl a ∧ y = inl c
⊢ ∃ a c, r a c ∧ inl w✝ = inl a ∧ y = inl c
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
s : Finset α
h : a ≠ b
⊢ (insert a s).erase b = insert a (s.erase b)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
hk : MeasurableSet k
h's : IntegrableOn f s μ
A : ∀ (u : Set X), ∫ (x : X) in u ∩ k, f x ∂μ = 0
⊢ t \ k ∪ s \ k =ᶠ[ae μ] s \ k
n : ℕ∞
⊢ ContDiffOn ℝ n Real.arccos {-1, 1}ᶜ
α : Type u_1
β : Type v
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → β
finj : Function.Injective f
s t : Multiset α
⊢ Multiset.map f (s ∪ t) = Multiset.map f s ∪ Multiset.map f t
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a b✝ : ValueGroup A K
b : K
xa ya : A
hya : ya ∈ nonZeroDivisors A
⊢ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya) ≤ Quot.mk Setoid.r b ∨ Quot.mk Setoid.r b ≤ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
MetricSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
SemilatticeSup ι
Nonempty ι
Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f n)
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
⊢ μ (MeasureTheory.Egorov.iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg) ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ RingHom.StableUnderComposition @RingHom.Finite
α : Type u_1
m n : ZNum
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
a b : α
h : ¬R b a
⊢ destutter' R b (a :: l) = destutter' R b l
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F✝ F : J ⥤ C
X : Cone F
⊢ ((fun c => ⟨op c.pt, c.π⟩) ≫ fun c => { pt := unop c.fst, π := c.snd }) X = 𝟙 (Cone F) X
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : Semiring α
n : ℕ
u v : V
⊢ (adjMatrix α G ^ n) u v = ↑(G.finsetWalkLength n u v).card
M : Type u_1
CommMonoid M
a : M
⊢ IsUnit a ↔ ∃ b, b * a = 1
s : ℝ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑s ≠ -↑m
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hf : MeasureTheory.Integrable (fun x => rexp (f x)) ν
⊢ μ.rnDeriv (ν.tilted f) =ᵐ[ν] fun x => ENNReal.ofReal (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * μ.rnDeriv ν x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q✝ : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
hb : 0 ≤ b
q : ℚ
hq : 0 < q
hbq : b < ↑(q ^ 2)
hqa : ↑q * ↑q < inducedMap α β a * inducedMap α β a
⊢ ↑(q * q) < a * a
n : ℕ+
K : Type u_1
Field K
L : Type u_2
μ : L
CommRing L
IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {n} K L
⊢ Function.Injective ⇑(IsPrimitiveRoot.autToPow K hμ)
X : Type u_1
Y : Type u_2
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
f : X → Y
self : ClosedEmbedding f
⊢ IsClosed (Set.range f)
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
⊢ c.boundaries.card = c.length + 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝ : L.Additive
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁
b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂
fac : L.map T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂.mor₁
α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁
hα : a = α.map L ⋯
β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂
hβ : (MorphismProperty.RightFraction.mk α.s ⋯ T₂.mor₁).f ≫ β.s = (MorphismProperty.RightFraction.mk α.s ⋯ T₂.mor₁).s ≫ β.f
γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'
hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯
⊢ ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
n : Type u_12
n' : Type u_14
CommRing R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
Fintype n
Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
DecidableEq n
DecidableEq n'
⊢ ((Matrix.toLinearMap₂ b₁ b₁) J).IsAdjointPair ((Matrix.toLinearMap₂ b₂ b₂) J') ((Matrix.toLin b₁ b₂) A)
    ((Matrix.toLin b₂ b₁) A') ↔
  J.IsAdjointPair J' A A'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ
l : List α
f : List α → β
g : β → γ
r : List β
s : List γ
⊢ List.sublistsLenAux n l (g ∘ f) (List.map g r ++ s) = List.map g (List.sublistsLenAux n l f r) ++ s
α : Type u_1
t : Ordnode α
⊢ t.merge Ordnode.nil = t
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝³ : Semiring R₁
inst✝² : Semiring R₂
inst✝¹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ : R₁ →+* R₂
σ' : R₂ →+* R₁
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
x : R₁
⊢ (RingHom.id R₁) x = x
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
S : Type u_3
SMul S R
ContinuousConstSMul S R
SMulZeroClass S A
IsScalarTower S R A
IsScalarTower S R (R → R)
s : S
a : A
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => s • x) a = s • a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
i : ι
hi : e.f i = i'
hi' : ¬c.Rel i (c.next i)
⊢ (K.extend e).d i' j' = 0
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => if ↑n + a = 0 then 0 else 1 / 2 * ↑(rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t))) ((↑(evenKernel (↑a) t) - ↑(if ↑a = 0 then 1 else 0)) / 2)
n : ℤ
⊢ s.Gammaℝ / ↑|↑n + a| ^ s / 2 = s.Gammaℝ * (1 / 2) / ↑|↑n + a| ^ s
J : Type u
inst✝ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i)
h : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
j k : J
g : k ⟶ j
⊢ range (F.map (𝟙 j)) ⊆ range (F.map g)
x y : ℤ
⊢ x.gcd y = x.natAbs.gcd y.natAbs
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X Y
inst✝ : PreservesBinaryBiproduct X Y F
W : C
f : X ⟶ W
g : Y ⟶ W
⊢ (F.mapBiprod X Y).hom ≫ desc (F.map f) (F.map g) = F.map (desc f g)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
ha : a ≠ 0
n : ℤ
⊢ a ^ (n + 1) = a ^ n * a
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U✝ : Set M
hU : IsOpen U✝
hSig : IsSigmaCompact U✝
hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U✝ → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
meas_U : MeasurableSet U✝
U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }
this : SigmaCompactSpace ↥U
g : ↥U → ℝ
g_smth : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g
g_supp : HasCompactSupport g
⊢ ∫ (x : ↥U), g x • f ↑x ∂Measure.comap Subtype.val μ = 0
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
h : ∀ (i : ι), ∃ ι x_1 w z, (∀ (i : ι), 0 ≤ w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ (∀ (i_1 : ι), z i_1 ∈ t i) ∧ ∑ i_1 : ι, w i_1 • z i_1 = x i
⊢ x ∈ (convexHull 𝕜) (Set.univ.pi t)
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y
x : X.A
g : Ultrafilter X.A
h : ↑g ≤ 𝓝 x
⊢ Tendsto f.f (↑g) (𝓝 (f.f x))
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
Semiring β
Zero α
Zero α₂
F : Type u_6
FunLike F α α₂
ZeroHomClass F α α₂
f : F
⊢ AddMonoidAlgebra.mapDomain (⇑f) 1 = 1
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t✝ : Set α
μ : F
s t : Set α
⊢ μ s ≤ μ (s ∩ t) + μ (s \ t)
ι : Type u_1
M : Type u_3
AddZeroClass M
f g : ι →₀ M
⊢ (f + g).toDFinsupp = f.toDFinsupp + g.toDFinsupp
α : Sort u_1
β : Sort u_2
inst✝ : Nonempty α
f : α → β
a : α
b✝ : β
g : β → α
hf : Injective f
hg : RightInverse g f
b : β
⊢ f (invFun f b) = b
x : ℝ≥0
⊢ |↑x| = ↑x
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
⊢ Monotone Projectivization.Subspace.span
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
U V : ↑X.affineOpens
s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)
hs' : ↑s' ⊆ s
e : Ideal.span ↑s' = ⊤
i : ↑↑s'
⊢ IsCompact (↑↑V ∩ ↑(X.basicOpen ↑i))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.StructuredArrow S T
⊢ f.eta.hom.right = CategoryTheory.CategoryStruct.id f.right
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
f' : β → α
hf : Set.InjOn f s
hf' : Set.LeftInvOn f f' t
h₁ : Set.MapsTo f s t
h₂ : Set.MapsTo f' t s
⊢ Set.RightInvOn f f' s
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
inst✝ : Monoid H
f : G →* H
x : G
h : IsOfFinOrder x
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : x ^ n = 1
⊢ ∃ n, 0 < n ∧ f x ^ n = 1
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
CommSemiring k
Monoid G
Monoid H
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
e : G ≃* H
f : MonoidAlgebra A G
⊢ ((MonoidAlgebra.domCongr k A e) f).support = Finset.map (↑e).toEmbedding f.support
α : Type u₁
as : α
⊢ (CategoryTheory.discreteEquiv.symm as).as = as
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
h : IsRelPrime x y
⊢ IsRelPrime x (-y)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
⊢ (α_ (R.X ⊗ R.X) P.X Q.X).inv ≫ ((α_ R.X R.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (R.X ◁ P.actLeft) ▷ Q.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ R.X R.X (P.X ⊗ Q.X)).hom ≫ R.X ◁ (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ R.X ◁ P.actLeft ▷ Q.X ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ P.actLeft ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
⊢ AntitoneOn (dist x) (Iic x)
α : Type u
β : Type v
a : Thunk α
b : Thunk β
⊢ (a.prod b).get.fst = a.get
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor D C
Z : D
T : CategoryTheory.Presieve (F.obj Z)
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P T
h : x.Compatible
⊢ (CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.functorPullback F x).Compatible
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ENNReal
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.Memℒp (f n) p μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ
hfg : Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n - g) p μ) Filter.atTop (nhds 0)
⊢ MeasureTheory.UnifTight f p μ
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
H : IsNormal f
⊢ fixedPoints f = ⋂ i, fixedPoints f
⊢ Function.Antiperiodic Complex.exp (↑Real.pi * Complex.I)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f g : α ↪ β
⊢ (∀ (x : α), f x = g x) ↔ f = g
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℤ
⊢ (1 / a) ^ n = 1 / a ^ n
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0
⊢ jacobiTheta₂' z τ = 0
m n : Nat
h : m ≤ n
⊢ ↑(n - m) = ↑n - ↑m
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f : Filter α
g : Filter β
⊢ f ×ˢ g = f.lift fun s => g.lift' fun t => s ×ˢ t
α : Type u_2
s : Set α
Preorder α
SupSet α
Inhabited ↑s
t : Set ↑s
ht : ¬BddAbove t
⊢ sSup t = default
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
⊢ ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ((P.equivSigmaParts.trans ((Equiv.refl { x // x ∈ P.parts }).sigmaCongr fun t => (↑t).equivFin)) a).fst = ((P.equivSigmaParts.trans ((Equiv.refl { x // x ∈ P.parts }).sigmaCongr fun t => (↑t).equivFin)) b).fst
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsPath
⊢ p.reverse.IsPath
G : Type u_2
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd G
MeasurableNeg G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddLeftInvariant
μ.IsNegInvariant
x : G
⊢ Filter.map (fun t => x - t) (MeasureTheory.ae μ) = MeasureTheory.ae μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ord α
inst✝ : Ord β
⊢ compare = compareLex (compareOn fun x => x.fst) (compareOn fun x => x.snd)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommGroup α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝¹ : T2Space α
inst✝ : DecidableEq β
hf : Multipliable f
b : β
⊢ ∏' (n : β), f n = f b * ((∏' (b : β), f b) / f b)
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α ≃ᵐ β
g : β → F
⊢ MeasureTheory.Memℒp g p (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ) ↔ MeasureTheory.Memℒp (g ∘ ⇑f) p μ
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
m n : ℤ
a : α
ha : 1 ≤ a
h : m ≤ n
⊢ a ^ m ≤ a ^ n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f✝ : 𝕜 → E
a✝ b✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E →L[𝕜] F
g : 𝕜 → E
a b : 𝕜
H : a = b → DifferentiableAt 𝕜 g a
⊢ dslope (⇑f ∘ g) a b = f (dslope g a b)