ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝¹ : Fin l → M
g : α ≃ β
k : ℕ
φ : L.BoundedFormula α k
v : β → M
xs✝ : Fin k → M
n : ℕ
t : L.Term (α ⊕ Fin n)
xs : Fin n → M
⊢ realize (Sum.elim v xs ∘ ⇑(g.sumCongr (_root_.Equiv.refl (Fin n)))) t = realize (Sum.elim (v ∘ ⇑g) xs) t
n k : ℕ
⊢ (n + 1).ascFactorial (k + 1) ≤ (n + (k + 1)) ^ (k + 1)
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set E
x : E
⊢ egauge 𝕜 (c • s) x = egauge 𝕜 s x / ↑‖c‖₊
L : Type u_2
LieRing L
h e f : L
self : IsSl2Triple h e f
⊢ ⁅h, f⁆ = -(2 • f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
⊢ ⊤.toConvexCone = ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_3
s : Finset ι
N : ι → Submodule R M
h : ∀ i ∈ s, (N i).FG
⊢ (⨆ i ∈ s, N i).FG
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
Fintype ι
⊢ stdSimplex 𝕜 ι = (⋂ x, {f | 0 ≤ f x}) ∩ {f | ∑ x : ι, f x = 1}
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
⊢ ∃ g, Set.EqOn f (⇑g) s
R : Type u
inst✝ : Semiring R
q n : ℕ
x y : R
h : Commute x y
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)
⊢ (x + y) ^ q ^ n = x ^ q ^ n + y ^ q ^ n
R : Type u
CommSemiring R
f : R[X]
n : ℕ
_h : (f ^ n).Separable
⊢ IsUnit f ∨ f.Separable ∧ n = 1 ∨ n = 0
t : ℝ
ht : |t| ≤ 1
x : ℝ
⊢ rexp (t * x) ≤ Real.cosh x + t * Real.sinh x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h : l.formPerm x ∈ l
⊢ x ∈ l
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
c s' s : Computation α
h : (HOrElse.hOrElse (empty α) fun x => s) = s'
⊢ BisimO (fun c₁ c₂ => (HOrElse.hOrElse (empty α) fun x => c₂) = c₁) (HOrElse.hOrElse (empty α) fun x => s).destruct s.destruct
R : Type u
Monoid R
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
self : A × B
⊢ (NonUnitalAlgHom.snd R A B) self = self.2
m n b : ℕ
hm : m ≠ 1
hn : 0 < n
hb : log m n < b
i : ℕ
⊢ i ∈ Ico 1 ((multiplicity m n).get ⋯ + 1) ↔ i ∈ filter (fun i => m ^ i ∣ n) (Ico 1 b)
E : Type u_1
X : Type u_2
c : E
f : ContDiffBump c
⊢ 1 < f.rOut / f.rIn
α : Type u
ι : Type u_2
f : ι → Filter α
s : Set α
⊢ s ∈ iInf f ↔ ∃ t, s ∈ ⨅ i ∈ t, f i
D : Type u_1
C : Type u_2
OrderedAddCommMonoid C
Γ : ValuedCSP D C
ι : Type u_3
self : Γ.Term ι
⊢ ⟨self.n, self.f⟩ ∈ Γ
α : Type u_1
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
u : γ → α
l : Filter γ
IsTrans α r
l.NeBot
h : Filter.IsBoundedUnder r l u
⊢ Filter.IsCoboundedUnder (flip r) l u
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
⊢ P.Λ (↑P.k - s) = P.ε • P.symm.Λ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderBot β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
h₁ : autoParam (∀ i ∈ s, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
h₂ : autoParam (∀ i ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
⊢ limsup (fun a => s.sup fun i => F i a) f = s.sup fun i => limsup (F i) f
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
H : C ⥤ D
F : J ⥤ C
E : K ⥤ J
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ H.mapConeWhisker.inv.hom = 𝟙 (H.obj c.pt)
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
l : List α
e : (a :: l).length = n.succ
i : ℕ
h : i < n
⊢ (tail ⟨a :: l, e⟩).toList[i] = l[i]
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hα : IsIntegral F α
hβ : IsIntegral F β
f : F[X] := minpoly F α
g : F[X] := minpoly F β
ιFE : F →+* E := algebraMap F E
ιEE' : E →+* (Polynomial.map ιFE g).SplittingField := algebraMap E (Polynomial.map ιFE g).SplittingField
c : F
hc : ∀ α' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) g).roots, -(α' - ιEE' α) / (β' - ιEE' β) ≠ (ιEE'.comp ιFE) c
γ : E := α + c • β
p : (↥F⟮γ⟯)[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) f).comp (C (AdjoinSimple.gen F γ) - C ⟨(algebraMap F E) c, ⋯⟩ * X)) (Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) g)
h : E[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map ιFE f).comp (C γ - C (ιFE c) * X)) (Polynomial.map ιFE g)
map_g_ne_zero : Polynomial.map ιFE g ≠ 0
h_ne_zero : h ≠ 0
h_sep : h.Separable
h_root : eval β h = 0
⊢ Polynomial.map (algebraMap (↥F⟮γ⟯) E) p = C h.leadingCoeff * (X - C β)
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α →₀ M
h : α → M → N
h_zero : ∀ (a : α), h a 0 = 1
h_add : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ * h a b₂
⊢ (f + g).prod h = f.prod h * g.prod h
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : StronglyMeasurable f
this : ∀ (x : α), ∀ᵐ (y : β) ∂ν, 0 ≤ ‖f (x, y)‖
⊢ ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), ↑‖f (x, y)‖₊ ∂ν ∂μ < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∫⁻ (a : β), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂ν < ⊤) ∧ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (∫⁻ (a_1 : β), ↑‖f (a, a_1)‖₊ ∂ν).toReal ∂μ < ⊤
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hna : IsNonarchimedean ⇑f
x y : R
n : ℕ
hmax : f ((x + y) * c ^ n) ≤ max (f (x * c ^ n)) (f (y * c ^ n))
⊢ seminormFromConst_seq c f (x + y) n ≤ max (seminormFromConst_seq c f x n) (seminormFromConst_seq c f y n)
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s✝ : Finset α
a b c : α
hn : 1 < n
f : α ↪ β
s : Finset α
hs : G.IsNClique n s
⊢ (∃ s_1, G.IsClique ↑s_1 ∧ map f s_1 = map f s) ∧ (map f s).card = n
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E✝ : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E✝
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}
D_comp : CompactSpace ↑D
π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val
π₁_cont : Continuous π₁
π₁_surj : Surjective π₁
E : Set ↑D
left✝ : CompactSpace ↑E
E_onto : π₁ '' E = univ
E_min : ∀ (E₀ : Set ↑E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → E.restrict π₁ '' E₀ ≠ univ
ρ : ↑E → A := E.restrict π₁
ρ_cont : Continuous ρ
⊢ ∃ h, Continuous h ∧ f ∘ h = φ
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
e' : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
b : B
y : E b
⊢ { proj := b, snd := y } ∈ e'.source ↔ b ∈ e'.baseSet
α : Type u
l : List α
⊢ (Batteries.DList.ofList l).toList = l
α : Type u
β : Type v
p : List α → Prop
base : p []
ind : ∀ (l : List α) (e : α), p l → p (l ++ [e])
q : List α → Prop := fun l => p l.reverse
pq : ∀ (l : List α), p l.reverse → q l
qp : ∀ (l : List α), q l.reverse → p l
⊢ ∀ (l : List α), p l
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
I : Ideal R
hI : Submodule.IsPrincipal I
⊢ (Ideal.associatesEquivIsPrincipal R).symm ⟨I, hI⟩ = Associates.mk (Submodule.IsPrincipal.generator I)
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ (OrderIso.mulLeft₀' ha).toEquiv = Equiv.mulLeft₀ a ha
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
g : N → N'
r : Set N
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hg : ContMDiffOn J J' n g r
⊢ ContMDiffOn (I.prod J) (I'.prod J') n (Prod.map f g) (s ×ˢ r)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t✝ s t : Set α
inst✝¹ : Fintype ↑s
inst✝ : Fintype ↑t
h : s.toFinset = t.toFinset
⊢ s = t
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
v : V
⊢ ∀ a ∈ G.neighborFinset v, (bipartiteAbove G.Adj (Gᶜ.neighborFinset v) a).card = k - ℓ - 1
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarModule R A
inst✝⁶ : TopologicalSemiring A
inst✝⁵ : ContinuousStar A
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : T2Space B
S : StarSubalgebra R A
φ ψ : ↥S.topologicalClosure →⋆ₐ[R] B
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ.comp (inclusion ⋯) = ψ.comp (inclusion ⋯)
⊢ φ = ψ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D} (η : X ⟶ Y), (J.plusFunctor D).map η = J.plusMap η
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
K : Type u_4
Field K
Module K M
Algebra R K
D : Derivation R K M
a : K
n : ℤ
⊢ D (a ^ n) = n • a ^ (n - 1) • D a
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
f g : Perm α
n : ℕ
e : α ≃ Fin n
l : List α
hs : ∀ (x : α), x ∈ ⟦l⟧
⊢ signAux2 l (f * g) = signAux2 l f * signAux2 l g ∧ Pairwise fun x y => signAux2 l (swap x y) = -1
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
f : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf Mg mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
hMg : Mg ≤ mΩ
h_ind : Indep Mf Mg μ
h_meas_f : Measurable f
h_measM_f : Measurable f
⊢ ∀ ⦃f_1 : ℕ → Ω → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f_1 n)) → Monotone f_1 → (∀ (n : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), f ω * f_1 n ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), f_1 n ω ∂μ) → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * (fun x => ⨆ n, f_1 n x) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), (fun x => ⨆ n, f_1 n x) ω ∂μ
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
j i : Fin n.succ
x✝ : i ∈ univ
⊢ (-1) ^ (↑j + ↑i) * Aᵀ j i * (Aᵀ.submatrix j.succAbove i.succAbove).det = (-1) ^ (↑i + ↑j) * A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det
α : Type u_1
ι : Type u_5
π : α → Type u_6
(x : α) → CommMonoid (π x)
(x : α) → TopologicalSpace (π x)
f : ι → (x : α) → π x
g : (x : α) → π x
⊢ HasProd f g ↔ ∀ (x : α), HasProd (fun i => f i x) (g x)
n : ℕ
⊢ Primrec fun i => ↑i
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ✝ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R✝ M
r✝ : R✝
R : Type u
σ : Type v
r : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype σ
⊢ Prime (C r) ↔ Prime r
n : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : p < i
hi : i ≠ 0 := ⋯
⊢ p.succAbove (i.pred hi) = i
w k : Nat
x : BitVec w
⊢ (BitVec.truncate (k + 1) x).msb = x.getLsb k
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
n : ℕ
a : ℤ
⊢ (GenContFract.of ↑a).convs' n = ↑a
α : Type u_2
TopologicalSpace α
f : BoundedContinuousFunction α ℝ
⊢ 0 ≤ BoundedContinuousFunction.const α ‖f‖ - f
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
y : ↑(Icc (x + R) (x + S))
⊢ c * ‖|↑y| ^ (-b)‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
s : Set α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
hs : s.Finite
⊢ (↑(lowerClosure s)).Finite
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
DecidableEq α
⊢ a ∈ s → (s.erase a).card + 1 = s.card
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
f : F
⊢ ↑(map f ⊥) = ↑⊥
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
e₁ : V ≃ W
e₂ : W ≃ X
⊢ (e₁.trans e₂).simpleGraph = e₁.simpleGraph.trans e₂.simpleGraph
k : ℕ
h : MinFacHelper 0 k
this : 2 < minFac 0
⊢ 1 < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hε_top : ¬ε = ⊤
⊢ ∀ᶠ (s : Set α) in μ.cofinite.smallSets, ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ε
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : A
h : IsUnit x
hxS : x ∈ S
hx : IsUnit (star x * x)
⊢ ↑h.unit⁻¹ ∈ S
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (shiftZero A X).hom ≫ f ≫ (shiftZero A Y).inv = (shiftFunctor C 0).map f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x y z : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ s ↔ [x-[𝕜]y] ⊆ s
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
n : ℕ
A : Set α
B : Set β
f : α → β
self : IsAddFreimanIso n A B f
⊢ Set.BijOn f A B
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (μ.everywherePosSubset s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
h : ⊤ ∈ {x | x ≠ ⊤}
⊢ False
ι : Sort u_1
α : Type u_3
t : ι → TopologicalSpace α
⊢ (∀ (i : ι), AlexandrovDiscrete α) → AlexandrovDiscrete α
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedCommMonoid N
f : ι → N
s : Finset ι
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
⊢ 1 ≤ ∏ i ∈ s, f i
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ (((associatedHom S) Q) x) x = Q x
a✝ b✝ m n p✝ a b p : ℕ
⊢ a * b / p ^ (a * b).factorization p = a / p ^ a.factorization p * (b / p ^ b.factorization p)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.order
⊢ 0 < x.orderTop
α : Type u_1
CommGroup α
DecidableEq α
A B : Finset α
hAB : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
n : ℕ
⊢ ↑(A * B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddGroup G
f : α →₀ G
a : α
b : G
⊢ f.update a b = f - single a (f a) + single a b
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
H : Subgroup G
hH : IsCompact ↑H
t : Set G
ht : IsClosed t
⊢ ⋃ x, ⋃ (hx : x ∈ H), (fun x_1 => x_1 * ↑⟨x, hx⟩) '' t = ⋃ a ∈ ↑H, (fun x => x * a) '' t
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
⊢ eLpNorm f p (μ.trim hm) = eLpNorm f p μ
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
StrictOrderedRing A
h : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.ble 1 n = true
⊢ e ≠ 0
α : Type u
AddCommGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ -b ≤ a - c ↔ c ≤ a + b
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
dm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).natDegree ≤ m + n := fun {m n} {p q} => natDegree_mul_le_of_le
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
cm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).coeff (m + n) = p.coeff m * q.coeff n := fun {m n} {p q} => coeff_mul_of_natDegree_le
h : ∀ {n : ℕ}, (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) := fun {n} => WeierstrassCurve.natDegree_coeff_preΨ' W n
n : ℕ
hd : (n + 1 + 1) ^ 2 = 1 + 2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 2) + if Even (n + 1) then 0 else 3
hd' : (n + 1 + 1) ^ 2 = WeierstrassCurve.expDegree (n + 3) + WeierstrassCurve.expDegree (n + 1) + if Even (n + 1) then 3 else 0
hc : 1 = (1 * WeierstrassCurve.expCoeff (n + 2) ^ 2 * if Even (n + 1) then 1 else 4) - WeierstrassCurve.expCoeff (n + 3) * WeierstrassCurve.expCoeff (n + 1) * if Even (n + 1) then 4 else 1
⊢ (W.Φ ↑(n + 1 + 1)).natDegree ≤ (n + 1 + 1) ^ 2 ∧ (W.Φ ↑(n + 1 + 1)).coeff ((n + 1 + 1) ^ 2) = 1
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpaηb : p ∣ 1 * S.a + ↑η * S.b
hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b
this : p ∣ ↑η ^ 2 - ↑η
⊢ p ∣ λ
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
f : ℕ → α
n : ℕ
⊢ (partialSups f) n = ⨆ i, ⨆ (_ : i ≤ n), f i
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
fi : (i : ι) → M i →* N
⊢ ∀ (x y : FreeMonoid ((i : ι) × M i)), Rel M x y → (Con.ker (FreeMonoid.lift fun p => (fi p.fst) p.snd)) x y
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ M.toAddSubmonoid ^ n ≤ (M ^ n).toAddSubmonoid
x x₁✝ x₂✝ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y'✝ : PGame
ih : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 x y) → P124 a
x₁ x₂ y' : PGame
h₁ : x₁.IsOption x
h₂ : x₂.IsOption x
hy : y'.IsOption y
⊢ TransGen (CutExpand IsOption) (Args.P24 x₁ x₂ y').toMultiset {x, y'}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ
a : α
l : List α
⊢ sublistsLen (n + 1) l ++ map (cons a) (sublistsLen n l) <+ l.sublists' ++ map (cons a) l.sublists'
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
S : Submonoid R
⊢ Subsingleton (LocalizedModule S M) ↔ ∀ (m : M), ∃ r ∈ S, r • m = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → List β
g : α → β → Option σ
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
⊢ Primrec fun a => List.filterMap (g a) (f a)
α : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 ≤ 3
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
H : ∀ (a : β), NumberField.house.ξ K x a = 0 a
l : β
r : K →+* ℂ
⊢ x (l, r) = 0 (l, r)
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ
⊢ ∫ (x : E), g x • lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) ∂μ = ∑ i ∈ s, ∫ (a_1 : E), g a_1 • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) a_1 ∂μ
α : Type u_1
f : α → ℝ
hf_nonneg : ∀ (n : α), 0 ≤ f n
hf : Summable f
⊢ HasSum (fun n => (f n).toNNReal) (∑' (n : α), f n).toNNReal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : AddGroup G
f g : α →₀ G
⊢ (f - g).support ⊆ f.support ∪ g.support
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L
⊢ _root_.IsNilpotent (φ x ∘ₗ φ y)
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
⊢ y ∈ PiNat.cylinder x n ↔ dist y x ≤ (1 / 2) ^ n
M : Type u_1
AddMonoid M
a b c : M
h : IsAddUnit a
⊢ a + b = a + c → b = c
⊢ ArithmeticFunction.cardDistinctFactors 1 = 0
x y : Int
n : Nat
⊢ (x + y.bmod n).bmod n = (x + y).bmod n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
hg : IsCauSeq abs fun n => ∑ i ∈ range n, a i
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
j : ℕ
ji : j ≥ max n i
hi₁ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
hi₂ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) (max n i) - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
⊢ abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) (max n i)) < ε
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w : V
ι : Type u_2
f : ι → G.Subgraph
hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching
hd : Pairwise fun i j => Disjoint (f i).support (f j).support
v : V
hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts
⊢ ∃! w, (⨆ i, f i).Adj v w
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
h' : ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable
T0 : Finset L.Sentence
hT0 : ↑T0 ⊆ ⋃ i, T i
⊢ IsSatisfiable ↑T0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
u v : α → β
l : Filter α
inst✝ : OrderTopology β
huv : u ~[l] v
hu : Tendsto u l atBot
⊢ Tendsto v l atBot
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
g : Y' ⟶ Z'
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ add W eX eY ((homEquiv eX eY).symm f₁) ((homEquiv eX eY).symm f₂) ≫ g = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f₁ ≫ g) ((homEquiv eX eY).symm f₂ ≫ g)
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
x : AddUnits ↥S
⊢ ↑↑(-x) + ↑↑x = 0