ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S✝ : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r
n₁ : ℕ
hn₁ : (f r) (↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ : ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple S (f r) (s₁ r))
⊢ ↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
R : Type u
ι : Type u_1
CommSemiring R
I : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, I ⊔ J i = ⊤
⊢ I ⊔ ⨅ i ∈ s, J i = ⊤
X : MonCat
⊢ ⇑(𝟙 X) = id
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hu : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ y ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}, y - u ∈ U
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set M₂
hV : V ∈ 𝓝 0
hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U
SV : Set M₁ × Set M₂ := (closedBall 0 1, -V)
v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}
huv : v - u ∈ {f | ∀ x ∈ SV.1, f x ∈ SV.2}
T : Set M₂
hT : T.Finite
hTv✝ : closure (⇑↑v '' closedBall 0 1) ⊆ ⋃ y ∈ T, y +ᵥ V
hTv : ⇑v '' closedBall 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ T, y +ᵥ V
⊢ ∃ t, t.Finite ∧ ⇑u '' closedBall 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ t, y +ᵥ U
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
F : Type u_5
FunLike F α β
RelHomClass F r s
f : F
⊢ WellFounded s → WellFounded r
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
n : ℕ
h : PseudoMetricSpace ((n : ℕ) × X n) := inductivePremetric I
x✝ : TopologicalSpace ((n : ℕ) × X n) := UniformSpace.toTopologicalSpace
x : X n
⊢ (toInductiveLimit I n.succ ∘ f n) x = toInductiveLimit I n x
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
⊢ K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G ⊤)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : H × E
q : TM
⊢ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target ∧ (↑((chartAt H q.proj).symm.prod (PartialEquiv.refl E).symm) p).1 ∈ (chartAt H q.proj).source ↔ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target
R : Type u_3
CommRing R
x y : R
⊢ ↑x = ↑y ↔ x = y
n a b n' a' : ℕ
H : Mathlib.Meta.NormNum.IsFibAux n a b
hn : 2 * n + 1 = n'
h : a * a + b * b = a'
⊢ Nat.fib n' = a'
p₁ p₂ : String.Pos
⊢ (p₁ + p₂).byteIdx = p₁.byteIdx + p₂.byteIdx
x : ℂ
⊢ Complex.sin x ^ 2 + Complex.cos x ^ 2 = 1
x : ℝ
h : Irrational x
⊢ x ≠ 1
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
h : x ∈ span R (↑p ∪ ↑p')
⊢ ∀ (x y : M), (∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x) → (∃ y_1 ∈ p, ∃ z ∈ p', y_1 + z = y) → ∃ y_1 ∈ p, ∃ z ∈ p', y_1 + z = x + y
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
h₂ : W.Nonsingular x₂ y₂
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ = W.negY x₂ y₂
⊢ WeierstrassCurve.Affine.Point.some h₁ + WeierstrassCurve.Affine.Point.some h₂ = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimit (constPUnitFunctor C)
x✝ : Nonempty (colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1})
h : colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1}
this : Nonempty C
c d : C
⊢ Zigzag c d
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : C
hA : IsSubterminal A
inst✝ : HasBinaryProduct A A
⊢ A ⨯ A ≅ A
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
s : S.Splitting
⊢ s.homologyData.iso = CategoryTheory.Iso.refl 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
e : ι ≃ ι'
i : ι'
⊢ (b.reindex e).basisOf i = (b.basisOf (e.symm i)).reindex (e.subtypeEquiv ⋯)
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Set.Ioi ia, rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
m n : ℕ
⊢ max m n = 0 ↔ m = 0 ∧ n = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A
f : A →A[R] A
⊢ ↑f = AlgHom.id R A ↔ f = ContinuousAlgHom.id R A
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
B : ι → Submodule R A
self : SubmodulesRingBasis B
a : A
i : ι
⊢ ∃ j, a • B j ≤ B i
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
h_proper : ProperSMul G X
inst✝ : T2Space G
f : X → G × X := fun x => (1, x)
proper_f : IsProperMap f
⊢ IsClosed (diagonal X)
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp ppred pred : Pair K
succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp
nth_conts_eq : g.conts n = ppred
succ_nth_conts_eq : g.conts (n + 1) = pred
⊢ g.conts (n + 2) = { a := gp.b * pred.a + gp.a * ppred.a, b := gp.b * pred.b + gp.a * ppred.b }
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
(↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0
⊢ I * I⁻¹ = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
b : β
hb : b ∈ t
⊢ (fun a => (a, b)) '' s ⊆ s ×ˢ t
α : TypeVec.{u_1} 0
⊢ α.repeatEq = TypeVec.nilFun
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
⊢ (C a + p).natDegree = p.natDegree
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulRightInvariant
t : G
p : G → Prop
⊢ (∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (x / t)) ↔ ∀ᵐ (x : G) ∂μ, p x
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
hf : StrictMono f
x y : α
⊢ cmp (f x) (f y) = cmp x y
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTrans α r
hts : t ⊆ s
h : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, r y x
a : α
x✝ : a ∈ minimals r t
hat : a ∈ t
hmin : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ t → r b a → r a b
b : α
hbs : b ∈ s
hba : r b a
⊢ r a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
s : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Functor.empty C)
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
t : CategoryTheory.Limits.BinaryFan s.pt X
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.leftUnitor P Q).inv =
  Q.lift
    (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk (P.lift { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } })
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt))
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ'₀
Ring R
v₁ : AddValuation R Γ₀
v₂ : AddValuation R Γ'₀
h : v₁.IsEquiv v₂
r : R
⊢ v₁ r ≠ ⊤ ↔ v₂ r ≠ ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
f : E → F
x : E
c : R
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun y => c • f y) univ x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f i • g (σ i) < ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ ¬MonovaryOn f (g ∘ ⇑σ) ↑s
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Set R
p : R → R → Prop
x y : R
hx : x ∈ Subsemiring.closure s
hy : y ∈ Subsemiring.closure s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
H0_left : ∀ (x : R), p 0 x
H0_right : ∀ (x : R), p x 0
H1_left : ∀ (x : R), p 1 x
H1_right : ∀ (x : R), p x 1
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
⊢ p x y
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
x : α
⊢ (∀ t ∈ l, x ∈ t) ↔ ∀ (i : ι), p i → x ∈ s i
I : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} I
B : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory B
CategoryTheory.Bicategory.Strict B
F : CategoryTheory.Functor I B
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.LocallyDiscrete I} (f : X ⟶ Y), F.toOplaxFunctor.map f = F.map f.as
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_2
inst✝ : Nonempty ι
X : ι → Set α
hI : ∀ (i : ι), M.Basis I (X i)
⊢ M.Indep I
a : Rat
⊢ a.num /. ↑a.den = a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
j : (FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom)ᵒᵖ
⊢ F.map (eqToHom ⋯ ≫ (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows.cocone.op.π.app j) = (Cone.whisker (generateEquivalenceOpensLe U hY).op.functor (Functor.mapCone F (opensLeCoverCocone U).op)).π.app j
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
⊢ padicValRat p q ≤ padicValRat p (q + r)
G : Type u_1
Group G
S T : Set G
hST : Subgroup.IsComplement S T
g : G
h1 : 1 ∈ T
hg : g ∈ S
⊢ (hST.equiv g).2 = ⟨1, h1⟩
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
hf' : Integrable (fun x => x • f x) volume
w : ℝ
hf'' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) volume
L : ℝ →L[ℝ] ℝ →L[ℝ] ℝ := ContinuousLinearMap.mul ℝ ℝ
⊢ HasDerivAt (𝓕 f) (𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) w) w
α : Type u_1
f : α → Char → α
init : α
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝
⊢ Substring.foldl f init x✝ = List.foldl f init x✝.toString.data
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : Y →. X
l : Filter Y
x : X
⊢ Filter.PTendsto f l (𝓝 x) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → x ∈ s → f.core s ∈ l
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F →L[𝕜] G
g : E → F
n : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : ContDiff 𝕜 n g
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => (f x) (g x)
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (g x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (ψ n)
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : ℕ → ℤ
h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x i })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x i })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
⊢ ULift.ringEquiv.symm ((eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (φ i)) (wittPolynomial p ℤ k)) = ULift.ringEquiv.symm ((eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (ψ i)) (wittPolynomial p ℤ k))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
⊢ HasFDerivAtFilter f f' x L ↔ Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
ha : s ⊆ Ioi a
hs : ∀ b' > a, ∃ b > a, Ioo a b ⊆ s
⊢ map Subtype.val atBot = 𝓝[>] a
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
PartialOrder N
⊢ (Contravariant M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1) ↔
  (Contravariant M N μ fun x x_1 => x < x_1) ∧ Contravariant M N μ fun x x_1 => x = x_1
α : Type u_1
OrderedSemiring α
t : ↑(Set.Icc 0 1)
⊢ t ≤ 1
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝
⊢ (f z✝ - f y✝) / (z✝ - y✝) ≤ (f y✝ - f x✝) / (y✝ - x✝)
R : Type u_1
CommRing R
f : PowerSeries R
Invertible f
⊢ (PowerSeries.derivative R) ⅟f = -⅟f ^ 2 * (PowerSeries.derivative R) f
α : Type u_1
a b : α
as bs : Array α
h : as.push a = bs.push b
⊢ as = bs ∧ a = b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i : Fin 3
⊢ {t.orthocenter, t.points i} ⊆ ↑(altitude t i)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
f : α → α'
l : α' →₀ R
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑l.support)
⊢ ((comapDomain f l hf).sum fun i a => a • v i) = ∑ i ∈ l.support.preimage f hf, l (f i) • v i
R : Type u_3
CommRing R
StrongRankCondition R
⊢ Module.rank R ℍ[R] = 4
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
t : CategoryTheory.Limits.Cone G
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
w : F ≅ G
j : J
⊢ (P.conePointsIsoOfNatIso Q w).inv ≫ s.π.app j = t.π.app j ≫ w.inv.app j
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y X : C
s : Cone (Functor.empty C)
P : IsLimit s
t : BinaryFan X s.pt
Q : IsLimit t
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), (t.fst ≫ Q.lift (mk (𝟙 X) (P.lift { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }))) ≫ t.π.app j = 𝟙 t.pt ≫ t.π.app j
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).sin = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃
α : Type u_1
Group α
H : Type u_2
Group H
f : α →* H
a : α
g : ↥f.ker
⊢ ↑((f.fiberEquivKer a).symm g) = a * ↑g
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
ha0 : a ≠ 0
a0 : α
hm : p ∈ ↑(factors' a0)
nza : a0 ≠ 0
ha' : Associates.mk a0 = a
⊢ p ∣ (Multiset.map Subtype.val (factors' a0)).prod
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
i : Ordinal.{u}
hi : i < a.cof.ord
⊢ a.cof.ord ≤ o
R : Type u
CommRing R
q : ℕ
hR : ExpChar R q
n : ℕ
x y : R
⊢ (x - y) ^ q ^ n = x ^ q ^ n - y ^ q ^ n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.RightHomologyData
⊢ h.unop.π = h.ι.unop
p : ℕ
⊢ padicValRat p 1 = 0
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝¹ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n✝ n : ℕ
h : n ≠ 0
g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X
hp : 1 < p
aux : g_poly ≠ 0
key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField p n)) = g_poly.natDegree
nat_degree_eq : g_poly.natDegree = p ^ n
⊢ FiniteDimensional.finrank (ZMod p) (GaloisField p n) = n
F : Type u_1
E : Type u_2
Field F
Field E
Algebra F E
FiniteDimensional F E
Algebra.IsSeparable F E
L : Type u_3
Field L
Algebra F L
hL : ∀ (x : E), Polynomial.Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
⊢ Fintype.card (E →ₐ[F] L) = FiniteDimensional.finrank F E
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G H : J ⥤ C
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
X : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cones.postcomposeComp α β).inv.app X).hom = 𝟙 X.pt
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
hf : Multipliable f
i : ι
hb : ∀ (j : ι), j ≠ i → 1 ≤ f j
⊢ f i ≤ ∏' (i : ι), f i
α : Type u_1
UniformSpace α
β : Type u_2
UniformSpace β
f : α → β
⊢ Continuous (UniformSpace.Completion.map f)
α : Type u_2
OrderedAddCommGroup α
s t : Interval α
⊢ s + t = 0 ↔ ∃ a b, s = Interval.pure a ∧ t = Interval.pure b ∧ a + b = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
b : WithTop α
⊢ ⊤ * b = if b = 0 then 0 else ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
sXY : CategoryTheory.Limits.BinaryFan X Y
sYZ : CategoryTheory.Limits.BinaryFan Y Z
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit sYZ
s : CategoryTheory.Limits.BinaryFan sXY.pt Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.assoc Q s).snd =
  Q.lift (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.fst sXY.snd) s.snd)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_3
W : Type u_4
NormedAddCommGroup V
NormedAddCommGroup W
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
NormedSpace 𝕜 W
f : V →ᴬ[𝕜] W
⊢ ‖f‖ = max ‖f 0‖ ‖f.contLinear‖
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : HasTerminal C
inst✝⁴ : HasBinaryProducts C
inst✝³ : HasTerminal D
inst✝² : HasBinaryProducts D
inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
Y : C
⊢ prod.map (terminalComparison F) (𝟙 (F.obj Y)) ≫ prod.snd = prod.map (terminalComparison F) (𝟙 (F.obj Y)) ≫ prod.map (CategoryTheory.inv (terminalComparison F)) (𝟙 (F.obj Y)) ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F (⊤_ C) Y) ≫ F.map prod.snd
R : Type u
ι : Type u_1
CommSemiring R
I : Ideal R
J : ι → Ideal R
s : Finset ι
hf : ∀ j ∈ s, IsCoprime I (J j)
⊢ IsCoprime I (⨅ j ∈ s, J j)
α : Type u_5
IsEmpty α
⊢ Option.choice α = none
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
SeminormedRing R
NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₁ : f₁ =O[l] g₁
h₂ : f₂ =O[l] g₂
⊢ (fun x => f₁ x * f₂ x) =O[l] fun x => g₁ x * g₂ x
x y z : PSet
⊢ x.Equiv y → (x ⊆ z ↔ y ⊆ z)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)
⊢ f ^ n ∈ 𝒜 (m * n)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
⊢ ‖a⁻¹‖ = ‖a‖
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : a < liminf u f
hb : b < liminf v f
ha' : a ≠ ⊤
hb' : b ≠ ⊤
h : limsup (-(u + v)) f = limsup (-u + -v) f
⊢ a + b < liminf (u + v) f
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
u : Set γ
⊢ u ∈ Filter.map₂ m f g ↔ ∃ s ∈ f, ∃ t ∈ g, Set.image2 m s t ⊆ u
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t
x : ℝ
⊢ (fun x => derivWithin f (Ici x) x) x ∈ closure ↑(Submodule.span ℝ (f '' t))
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
hf : f.Monic
g : R[X]
h0 : g ≠ 0
hd : g.degree < f.degree
⊢ (AdjoinRoot.mk f) g ≠ 0
α✝ β α : Type u
⊢ #α < ℵ₀ ↔ Finite α
X Y : Scheme
inst✝¹ : IsAffine X
inst✝ : IsAffine Y
f : X ⟶ Y
h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Γ.map f.op)
⊢ IsClosedImmersion (Spec.map (Scheme.Γ.map f.op))
a b p q : ℝ≥0
h✝ : p.IsConjExponent q
h : 1 < p
⊢ p.IsConjExponent q ↔ q = p / (p - 1)
a✝ b m n p a : ℕ
h : ∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ 0 / p ^ (factorization 0) p
⊢ a ∣ 0
B : Type u
inst✝¹ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : g ⟶ h
inst✝ : IsIso η
⊢ f ◁ η ≫ f ◁ inv η = 𝟙 (f ≫ g)
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
a b : α
DenselyOrdered α
h : a < b
⊢ sInf (Set.Ioc a b) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
hμν : μ ≪ ν.singularPart μ + μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hνs : (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)) s = 0
t : Set α
left✝ : MeasurableSet t
ht1 : (ν.singularPart μ) t = 0
ht2 : μ tᶜ = 0
⊢ μ s = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
a : R
ha : ¬IsUnit a
⊢ (↑{ toFun := fun x => if IsUnit x then 1 else 0, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun a = 0
R : Type u_1
Ring R
n : ℕ
a : ℤ
⊢ (↑a).coeff n = ↑(if n = 0 then a else 0)
R : Type u
CommRing R
p : ℕ
ExpChar R p
f : R[X]
r : R
⊢ Polynomial.rootMultiplicity r ((Polynomial.expand R p) f) = p * Polynomial.rootMultiplicity (r ^ p) f
x₁ x₂ y₁ y₂ : SetTheory.PGame
h : ∀ (i : x₂.LeftMoves), Surreal.Multiplication.IH3 x₁ (x₂.moveLeft i) x₂ y₁ y₂
hs : ∀ (i : (-x₁).LeftMoves), Surreal.Multiplication.IH3 (-x₂) ((-x₁).moveLeft i) (-x₁) y₁ y₂
hl : x₁ < x₂
⊢ Surreal.Multiplication.P3 x₁ x₂ y₁ y₂
α : Type u
S T : Stream'.WSeq (Stream'.WSeq α)
⊢ (S.append T).join ~ʷ S.join.append T.join
α : Type u
h : Fintype α
⊢ Cardinal.mk α = ↑(Fintype.card α)
m : Type u_2
α : Type u_4
Fintype m
DecidableEq m
CommRing α
ι : Type u_5
Unique ι
A : Matrix m m α
hA : IsUnit A.det
u v : m → α
⊢ (A + Matrix.col ι u * Matrix.row ι v).det = A.det * (1 + Matrix.row ι v * A⁻¹ * Matrix.col ι u).det
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
this : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced f t
⊢ (∃ t_1, IsOpen t_1 ∧ f ⁻¹' t_1 = sᶜ) ↔ ∃ t_1, IsOpen t_1ᶜ ∧ f ⁻¹' t_1 = s