ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℂ
⊢ Tendsto (re ∘ f) l atBot ↔ Tendsto (fun x => (f x).re) l atBot
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z (dist w z)) z
hne : dist w z ≠ 0
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hm : Monotone s
⊢ Tendsto (⇑μ ∘ s) atTop (𝓝 (μ (⋃ n, s n)))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Antivary f⁻¹ g ↔ Monovary f g
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : (↑η - 1) * λ ∣ (↑η - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S
⊢ False
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ : ℕ
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
h : a ≤ ↑n
⊢ ⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S : ComposableArrows C n
hS : S.IsComplex
i : ℕ
hk : autoParam (i + 1 + 1 ≤ n) _auto✝
⊢ S.map' i (i + 1) ⋯ ⋯ ≫ S.map' (i + 1) (i + 1 + 1) ⋯ hk = 0
R : Type u
Ring R
Γ₀ : Type v
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
x : R
h : Valued.v x ≠ 0
⊢ {y | Valued.v y = Valued.v x} ∈ 𝓝 x
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
Ring R
(i : η) → AddCommGroup (Ms i)
(i : η) → Module R (Ms i)
DecidableEq η
v : (j : η) → ιs j → Ms j
hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)
⊢ LinearIndependent R fun ji => (LinearMap.stdBasis R Ms ji.fst) (v ji.fst ji.snd)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
F.PreservesZeroMorphisms
A : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q
⊢ ((CategoryTheory.Limits.BinaryBicones.functoriality P Q F).obj A).inl = F.map A.inl
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝ : CompleteSpace F
ε : ℝ
x✝ : 0 < ε
r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
⊢ ((∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π ∧ π.IsPartition} ×ˢ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π ∧ π.IsPartition}, (integralSum f vol x.1, integralSum f vol x.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}) ↔ (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ → π₁.IsPartition → l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ → π₂.IsPartition → dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s₁ s₂ : AList β
⊢ s₁.entries ~ s₂.entries → (AList.replace a b s₁).entries ~ (AList.replace a b s₂).entries
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ : Γ₀
h₀ : γ ≠ 0
⊢ 𝓝 γ = pure γ
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
⊢ ∫ (x : X) in ∅, f x ∂μ = 0
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ IsEquiv (M × ↥S) (LocalizedModule.r S M)
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
G.LocallyFinite
n : ℕ
u v : V
⊢ {p | p.length = n}.toFinset = G.finsetWalkLength n u v
G : Type u_1
AddGroup G
MeasurableSpace G
ν : MeasureTheory.Measure G
Γ : AddSubgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
μ : MeasureTheory.Measure (G ⧸ Γ)
MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving QuotientAddGroup.mk (ν.restrict 𝓕) μ
α : Type u
β : Type v
MulOneClass α
MulOneClass β
f : α →* β
a : Additive α
⊢ (MonoidHom.toAdditive f) a = Additive.ofMul (f (Additive.toMul a))
α : Type u
self : BooleanAlgebra α
x y : α
⊢ x \ y = x ⊓ yᶜ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow C
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
i : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ f.augmentedCechNerve.hom.app i = CategoryTheory.Limits.WidePullback.base fun x => f.hom
α : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing α
m : ℤ
⊢ ∀ (n : ℤ), ↑(m * n) = ↑m * ↑n
α : Type u
Preorder α
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain α
⊢ c.map OrderHom.id = c
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : β → E
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
hf : StronglyMeasurable f
⊢ ∫ (x : β), f x ∂(deterministic g hg) a = f (g a)
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : Nonempty ι
⊢ (map ι f) x = x ↔ 0 < LinearMap.det ↑f
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
p : K[X]
i : K →+* L
hsplit : Polynomial.Splits i p
⊢ Polynomial.map i p =
  Polynomial.C (i p.leadingCoeff) *
    (Multiset.map (fun a => Polynomial.X - Polynomial.C a) (Polynomial.map i p).roots).prod
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct Y Y
⊢ CategoryTheory.Limits.diag X ≫ CategoryTheory.Limits.prod.map f f = f ≫ CategoryTheory.Limits.diag Y
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
a b : WithBot ℕ
hp : p.degree ≤ a
hq : q.degree ≤ b
⊢ (p + q).degree ≤ max a b
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = a * b
ha : ∃ a_1, a_1 * ϖ = a
hb : ∃ a, a * ϖ = b
⊢ False
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
A : Type u_1
Semiring A
Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
cond : ∀ (m : M), f m * f m = 0
⊢ ((ExteriorAlgebra.lift R) ⟨f, cond⟩).toLinearMap ∘ₗ ExteriorAlgebra.ι R = f
x y : ℝ
⊢ Real.toEReal '' Set.Icc x y = Set.Icc ↑x ↑y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ≥0∞
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y
⊢ Continuous f
a b : Prop
Decidable a
Decidable b
⊢ (¬a ↔ ¬b) ↔ (a ↔ b)
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a b : ValueGroup A K
xa ya : A
hya : ya ∈ nonZeroDivisors A
xb yb : A
hyb : yb ∈ nonZeroDivisors A
this✝ : (algebraMap A K) ya ≠ 0
this : (algebraMap A K) yb ≠ 0
c : A
h : xa * yb * c = xb * ya
⊢ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya) ≤ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb) ∨ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb) ≤ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya)
b : Bool
⊢ b.toNat = 1 ↔ b = true
R : Type u_1
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
Monoid R
MulAction R M₁
MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
FunLike F M₁ M₂
MulActionHomClass F R M₁ M₂
c : R
s : Set M₁
⊢ ⇑h '' (c • s) = c • ⇑h '' s
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
this : ↑(2 * k + 1)! = (2 * ↑k + 1) * Complex.Gamma (2 * ↑k + 1)
⊢ (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k + 1) / 2 / ↑(2 * k + 1)! = (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k + 1) / (2 * ↑k + 1).Gammaℂ
a b c : ℕ
hc : a % c + b % c < c
⊢ (a + b) % c = a % c + b % c
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hz_re : 0 ≤ z.re
hz_im : 0 ≤ z.im
hzne : z ≠ 0
⊢ ‖f z‖ ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
c : Cardinal.{u_3}
n : ℕ
⊢ toPartENat c ≤ ↑n ↔ c ≤ ↑n
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x y : P.Elements
f : x ⟶ y
⊢ yoneda.map (↑f).unop ≫ coconeApp φ x = coconeApp φ y
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hac : Commute a c
hbc : Commute b c
⊢ Commute (a / b) c
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
g : M₁ →ₛₗ[σ₁₃] M₃
⊢ f = g.comp ↑e₁₂.symm ↔ f.comp ↑e₁₂ = g
R : Type u
M : Type v
Add R
Add M
x₁ x₂ : tsze R M
⊢ (x₁ + x₂).snd = x₁.snd + x₂.snd
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
Y : D
f : Y ⟶ G.obj (unop X)
hf : (Sieve.coverByImage G (G.obj (unop X))).arrows f
this : { val := ℱ'.val ⋙ coyoneda.obj (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X)), cond := ⋯ }.val.map (Nonempty.some hf).map.op ((whiskerRight α (coyoneda.obj (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X)))).app (op (unop X)) (𝟙 (unop (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X))))) = (whiskerRight α (coyoneda.obj (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X)))).app (op (Nonempty.some hf).obj) ((ℱ ⋙ coyoneda.obj (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X))).map (Nonempty.some hf).map.op (𝟙 (unop (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X)))))
⊢ α.app X ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).map.op = ℱ.map (Nonempty.some hf).map.op ≫ α.app (op (Nonempty.some hf).1)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.PushoutCocone.ofCocone t).pt = t.pt
p n : ℕ
⊢ padicValRat p ↑n = ↑(padicValNat p n)
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ Lagrange.basis s v i ≠ 0
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
⊢ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, f x ≤ ∑ x ∈ Finset.Ico a b, f ↑x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.v₀₁.τ₂ ≫ S.v₁₂.τ₂ = 0
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
R : Type u_10
Semiring R
MulSemiringAction M R
S : Type u_12
Semiring S
MulSemiringAction N S
f : R →ₑ+*[φ] S
x y : R
⊢ f (x * y) = f x * f y
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
DecidableEq G
Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
a : G
⊢ (f * MonoidAlgebra.single a r).support ⊆ Finset.image (fun x => x * a) f.support
α : Type u_1
c : Set (Set α)
H : ∀ (a : α), ∃! b, b ∈ c ∧ a ∈ b
x : α
⊢ {y | (Setoid.mkClasses c H).Rel x y} ∈ c
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
⊢ FirstOrder.Language.BoundedFormula.sigmaImp ⟨n, φ⟩ ⟨n, ψ⟩ = ⟨n, φ.imp ψ⟩
ctx : Nat.Linear.Context
k : Nat
v : Nat.Linear.Var
p : Nat.Linear.Poly
⊢ Nat.Linear.Poly.denote ctx ((k, v) :: p) = k * Nat.Linear.Var.denote ctx v + Nat.Linear.Poly.denote ctx p
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
⊢ CauSeq.Completion.mk f ≠ 0 ↔ ¬f ≈ 0
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
x : H
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.target
⊢ LiftPropAt Q (↑e.symm) x
A : Type u_1
AddMonoid A
M : Type u_2
Monoid M
self : AddChar A M
a b : A
⊢ self.toFun (a + b) = self.toFun a * self.toFun b
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
RCLike 𝕜
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)
⊢ ⟪f, g⟫_𝕜 = ∫ (a : α), ⟪↑↑f a, ↑↑g a⟫_𝕜 ∂μ
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ (A * B).adjugate = B.adjugate * A.adjugate
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R
⊢ Set.EqOn ((zeroLocus ∘ SetLike.coe) ∘ vanishingIdeal) id (irreducibleComponents (PrimeSpectrum R))
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α
⊢ f x = (toReal ∘ ⇑f.nnrealPart - toReal ∘ ⇑(-f).nnrealPart) x
R : Type u_1
CommRing R
c₁ c₂ : R
c : CliffordAlgebra (CliffordAlgebraQuaternion.Q c₁ c₂)
⊢ CliffordAlgebraQuaternion.ofQuaternion (CliffordAlgebraQuaternion.toQuaternion c) = c
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
x : α
hx : -llr μ ν x = llr ν μ x
hx_exp_log : rexp (llr ν μ x) = (ν.rnDeriv μ x).toReal
⊢ rexp (-llr μ ν x) = (ν.rnDeriv μ x).toReal
ι : Type u_1
I J✝ J₁ J₂ : Box ι
π π₁ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
hi : ∀ J ∈ π₁, πi₁ J = πi₂ J
J : Box ι
⊢ J ∈ π₁.biUnion πi₁ ↔ J ∈ π₁.biUnion πi₂
a b : ENNReal
⊢ a < b⁻¹ ↔ b < a⁻¹
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b
⊢ b * ((of v).contsAux (n + 1)).b ≤ ((of v).contsAux (n + 2)).b
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
uas : Set (UniformSpace α)
ubs : Set (UniformSpace β)
ua : UniformSpace α
ub : UniformSpace β
uc : UniformSpace γ
ha : ua ∈ uas
hb : ub ∈ ubs
hf : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ (-s).restrict v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
⊢ ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ x : ι → ℝ
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ π
hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁
J₂ : Box ι
h₂ : J₂ ∈ π
hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂
i : ι
H : ∀ (x_1 : ι), J₁.lower x_1 = x x_1 ↔ J₂.lower x_1 = x x_1
⊢ (Set.Ioc (J₁.lower i) (J₁.upper i) ∩ Set.Ioc (J₂.lower i) (J₂.upper i)).Nonempty
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I : FractionalIdeal B⁰ L
⊢ FractionalIdeal.dual A K I⁻¹ = FractionalIdeal.dual A K 1 * I
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : ↥(simpleFunc E p μ)
a✝ : α
⊢ ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ → ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ → ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ - ↑↑↑g a✝ → ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑(toSimpleFunc f) a✝ - ↑(toSimpleFunc g) a✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E →WOT[𝕜]F
x : E
⊢ (-f) x = -f x
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
k : ℤ
i : Fin 2 → ℤ
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : ∀ (a b c d u v : ℂ), c * ↑z + d ≠ 0 → (u * ((a * ↑z + b) / (c * ↑z + d)) + v) ^ (-k) = (c * ↑z + d) ^ k * ((u * a + v * c) * ↑z + (u * b + v * d)) ^ (-k)
⊢ (↑(i 0) * ↑(A • z) + ↑(i 1)) ^ (-k) = denom (↑A) z ^ k * ((↑(i 0) * ↑(↑A 0 0) + ↑(i 1) * ↑(↑A 1 0)) * ↑z + (↑(i 0) * ↑(↑A 0 1) + ↑(i 1) * ↑(↑A 1 1))) ^ (-k)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
⊢ (hasseDeriv n) p = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ ∏ i : ι, ∑ j ∈ t i, f i j = ∑ x ∈ piFinset t, ∏ i : ι, f i (x i)
x y : ℝ
hx : 0 < x
⊢ log x ≤ y ↔ x ≤ rexp y
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x => F⟮α + x • β⟯
x y : F
hneq : x ≠ y
heq : f x = f y
⊢ F⟮α, β⟯ = F⟮α + x • β⟯
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), ↑(f x) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ↑δ
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ↑ε
α : Type u_1
f : α → ℚ → ℝ
a : α
⊢ ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF.stieltjesFunctionAux f a = fun t => ⨅ r, f a ↑r
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝³ : HasCoproduct X
inst✝² : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X) (a : α), HasPullback g (Sigma.ι X a)
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), HasCoproduct fun a => pullback g (Sigma.ι X a)
inst✝ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), Epi (Sigma.desc fun a => pullback.fst g (Sigma.ι X a))
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂ → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b
hg : g₁ ≫ Sigma.desc π = g₂ ≫ Sigma.desc π
a b : α
⊢ pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ e a = pullback.snd (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ e b
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
t : MeasureTheory.SignedMeasure α
f : α → ℝ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
⊢ t = s.singularPart μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} C'
D : CategoryTheory.GlueData C
F : CategoryTheory.Functor C C'
H : (i j k : D.J) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
CategoryTheory.Limits.HasMulticoequalizer D.diagram
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit D.diagram.multispan F
i : D.J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((D.mapGlueData F).ι i) (D.gluedIso F).inv = F.map (D.ι i)
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀
h : ∀ (y : M₀), x = 0 ∨ y = 0 → y = 0
⊢ x ≠ 0
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f : (i : ι) → C₁.X i ≅ C₂.X i
hf : autoParam (∀ (i j : ι), c.Rel i j → (f i).hom ≫ C₂.d i j = C₁.d i j ≫ (f j).hom) _auto✝
i : ι
⊢ ({ f := fun i => (f i).hom, comm' := hf } ≫ { f := fun i => (f i).inv, comm' := ⋯ }).f i = (𝟙 C₁).f i
a b : UInt32
h : a = b
⊢ a.val = b.val
F : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
Group α
OrderedAddCommMonoid β
FunLike F α β
self : GroupNormClass F α β
f : F
a : α
⊢ f a = 0 → a = 1
G : Type u_1
Group G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
SubgroupClass S G
x : ↥H
n : ℤ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v w : VectorMeasure α M
⊢ v = w ↔ ∀ (i : Set α), ↑v i = ↑w i
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
M : α → Type u_3
(a : α) → Zero (N a)
(a : α) → Zero (M a)
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → DecidableEq (M a)
f g : Π₀ (a : α), N a
F : (a : α) → N a → M a
F0 : ∀ (a : α), F a 0 = 0
hF : ∀ (a : α), Function.Injective (F a)
⊢ (DFinsupp.mapRange F F0 f).neLocus (DFinsupp.mapRange F F0 g) = f.neLocus g
X : Type u_5
Y : Type u_6
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
p : X × Y → Prop
px : X → Prop
py : Y → Prop
hp : ∀ {x : X}, px x → ∀ {y : Y}, py y → p (x, y)
hs : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ s, px x
ht : ∀ᶠ (y : Y) in 𝓝ˢ t, py y
⊢ ∀ᶠ (q : X × Y) in 𝓝ˢ (s ×ˢ t), p q
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
x : ↥(nonZeroDivisors R)
⊢ 0 < v.intValuationDef ↑x
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
this : ¬IsFixedPt f x
⊢ ↑K * dist x (f x) < dist x (f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι✝ : Type u_5
π : ι✝ → Type u_6
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
ι : Sort u_7
f : α → β
s : ι → Set α
hs : ∀ (x : α), ∃ i, s i ∈ 𝓝 x
hf : ∀ (i : ι), ContinuousOn f (s i)
x : α
i : ι
hi : s i ∈ 𝓝 x
⊢ ContinuousAt f x
n a : ℕ
⊢ Set.InjOn (fun x => x % a) ↑(Finset.Ico n (n + a))
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑s
⊢ (Equiv.Set.sumDiffSubset h) (Sum.inl x) = Set.inclusion h x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hs : s ⟂ₘ ν
hadd : μ = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ s = μ.singularPart ν
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
Semiring R
AddZeroClass A
SemilatticeSup B
OrderBot B
D : A → B
p : AddMonoidAlgebra R A
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree D p ≠ ⊥ → p ≠ 0
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁸ : OrderedRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : AddTorsor V P
inst✝⁴ : AddCommGroup V'
inst✝³ : Module R V'
inst✝² : AddTorsor V' P'
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
ι : Type u_6
p : ι → P
ha : AffineIndependent R p
w w₁ w₂ : ι → R
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
i : ι
his : i ∈ s
r : R
hs : w₁ i ≠ w₂ i ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1
hr : ∀ i ∈ s, w i = (r • (w₂ - w₁) + w₁) i
⊢ Sbtw R ((Finset.affineCombination R s p) w₁) ((Finset.affineCombination R s p) w) ((Finset.affineCombination R s p) w₂)
R : Type u_1
M : Type u
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
HasRankNullity.{u, u_1} R
StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ #↑t = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
α : Type u
β : Type u_1
AddGroup α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
Preorder β
f : β → α
s : Set β
hf : StrictMonoOn f s
⊢ StrictAntiOn (fun x => -f x) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D E)
⊢ ∀ (a : CategoryTheory.ThinSkeleton C),
  (CategoryTheory.ThinSkeleton.map₂ F).obj a = CategoryTheory.ThinSkeleton.map₂Functor F a