ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
k : ℕ
hk : 0 < k
hμ : f.HasEigenvalue μ
⊢ f.HasGenEigenvalue μ (Nat.succ 0)
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
x : M
i : ι
h : b i ∈ Set.range ⇑b := ⋯
⊢ (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, h⟩ = (b.repr x) i
m : ℕ
f : ℕ → ℝ := fun k => 1 / (2 * ↑k + 1) * ((1 / (2 * ↑(m + 1) + 1)) ^ 2) ^ k
⊢ f = fun i => (↑(m + 1) + 1 / 2) * (2 * (1 / (2 * ↑i + 1)) * (1 / (2 * (↑m + 1) + 1)) ^ (2 * i + 1))
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ angle (r • x) y = angle (-x) y
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Add M
Add N
Add P
f : AddHom M N
g : AddHom M P
x : M
⊢ (f.prod g) x = (f x, g x)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 (0 * ‖y‖))
⊢ Tendsto d l (𝓝 0)
ι : Type u_1
DecidableEq ι
α : ι → Sort u_2
i : ι
l : List ι
a : α i
f : (j : ι) → j ∈ l → α j
α' : ι → Sort u_3
φ : ⦃j : ι⦄ → α j → α' j
⊢ (List.Pi.cons i l (φ a) fun j hj => φ (f j hj)) = fun j hj => φ (List.Pi.cons i l a f j hj)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
hp0 : a ≠ 0
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M
⊢ ⊥.IsMaximal
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
e₁ : m ≃ n
e₂ : n ≃ p
⊢ LinearEquiv.funCongrLeft R M (e₁.trans e₂) = LinearEquiv.funCongrLeft R M e₂ ≪≫ₗ LinearEquiv.funCongrLeft R M e₁
G : Type u_1
Group G
UniqueProds G
⊢ TwoUniqueProds G
α : Type u_2
Mul α
a b : α
⊢ {a} * {b} = {a * b}
n : Nat
h : n.isValidChar
⊢ LT.lt n UInt32.size
α : Type u_1
l : List (α → Prop)
H : ∀ (a : α), (map (fun p => p a) l).TFAE
⊢ (map (fun p => ∀ (a : α), p a) l).TFAE
⊢ Primrec₂ fun x x_1 => x - x_1
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
⊢ Substructure.map (lift L ι G f g Hg).toHom ⊤ = ⨆ i, Substructure.map (g i).toHom ⊤
f : ℕ → ℝ
hf : Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atTop
⊢ (Hyperreal.ofSeq f).InfinitePos
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
x : M
i : ι
⊢ b i = x ↔ b.repr x = Finsupp.single i 1
r : ℝ
⊢ ENNReal.ofReal r = 1 ↔ r = 1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p₁ q₁ p₂ q₂ : F[X]
hq₁ : q₁ ≠ 0
hq₂ : q₂ ≠ 0
h₁ : Splits (algebraMap F q₁.SplittingField) p₁
h₂ : Splits (algebraMap F q₂.SplittingField) p₂
⊢ Splits (algebraMap F (q₁ * q₂).SplittingField) p₂
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
s : Set ℝ
⊢ sSup (a • s) = a • sSup s
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
⊢ (coeff R d) (f ^ n) = 0
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0
⊢ angle x (x + -y) < π / 2
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ IsConnected {y | SameRay ℝ x y ∧ y ≠ 0}
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace β'
F : ι → β' → α
S : Set β'
k : κ
hk : UniformEquicontinuousOn F S
⊢ UniformEquicontinuousOn F S
α : Type u_1
s : Set α
Star α
⊢ star ⁻¹' s = star s
X : Type u_2
TopologicalSpace X
T2Space X
CompactSpace X
disc : TotallyDisconnectedSpace X
x y : X
h : ∀ (Q : DiscreteQuotient X), Q.proj x = Q.proj y
⊢ x = y
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : dist x y < ε
⊢ ∃ ε' < ε, dist x y < ε'
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → ℝ≥0
hf : Summable fun a => ↑(f a)
i : β → α
hi : Function.Injective i
⊢ Summable fun a => ↑((f ∘ i) a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
self : CategoryTheory.EssentiallySmall.{w, v, u} C
⊢ ∃ S x, Nonempty (C ≌ S)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
hf : Function.Surjective f
⊢ Filter.map f ⊤ = ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
Monoid R
MulAction R M
One M
⊢ ↑1 = Set.range fun r => r • 1
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
⊢ Real.arcsin x = π / 2
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
t : Set α
x : α
(𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
ht : t.Nonempty
⊢ ∃ u, Monotone u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ≤ x) ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
x y : ℤ
⊢ qrSign m n * x = y ↔ x = qrSign m n * y
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
⊢ 0 ≤ |D| ^ finrank ℝ E
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
⊢ min p.radius q.radius ≤ (p.prod q).radius
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S✝ T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
this : H' = map H.subtype H''
S : Set ↥H
cmem : S ∈ rightTransversals ↑H''
⊢ ∃ S, ↑(map H.subtype H'') * S = ↑H ∧ Nat.card ↥(map H.subtype H'') * Nat.card ↑S = Nat.card ↥H
F : Type w
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
⊢ GaloisConnection (NonUnitalSubring.map f) (NonUnitalSubring.comap f)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsJacobson R
σ : Type u_2
inst✝¹ : _root_.Finite σ
S : Type u_3
inst✝ : Field S
f : MvPolynomial σ R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
val✝ : Fintype σ
e : Fin (Fintype.card σ) ≃ σ
f' : MvPolynomial (Fin (Fintype.card σ)) R →+* S := f.comp (renameEquiv R e).toRingEquiv.toRingHom
⊢ (f.comp MvPolynomial.C).IsIntegral
α : Type u
f g : Ultrafilter α
⊢ ↑f ≤ ↑g ↔ f = g
n : ℕ
⊢ n < n * n ↔ 1 < n
X : Type u_1
Y : Type u_2
NormedAddCommGroup X
NormedAddCommGroup Y
NormedSpace ℝ X
NormedSpace ℝ Y
f : X → Y
x : X
⊢ ConformalAt f x ↔ IsConformalMap (fderiv ℝ f x)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : TopologicalSpace.Opens X
hs : Nonempty ↥s
⊢ (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).source = Set.univ
c : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.lift.{v, u} c ≤ Cardinal.continuum ↔ c ≤ Cardinal.continuum
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
⊢ IsUnit x ↔ |↑((RingOfIntegers.norm ℚ) x)| = 1
α : Type u_1
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ box n
hn : n = 0
⊢ x = 0
α : Type u
β : Type u_1
l : List (α × β)
⊢ l.unzip = (List.map Prod.fst l, List.map Prod.snd l)
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
n : ℕ
h : G.Colorable n
⊢ G.chromaticNumber = ↑(sInf {n' | G.Colorable n'})
α : Type u_1
ι : Type u_5
π : α → Type u_6
(x : α) → CommMonoid (π x)
(x : α) → TopologicalSpace (π x)
∀ (x : α), T2Space (π x)
f : ι → (x : α) → π x
x : α
hf : Multipliable f
⊢ tprod (fun i => f i) x = ∏' (i : ι), f i x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
ι : X → Sort u_3
p : (a : X) → ι a → Prop
s : (a : X) → ι a → Set X
h₁ : ∀ (a : X), (𝓝 a).HasBasis (p a) (s a)
h₂ : ∀ (a : X) (i : ι a), p a i → IsClosed (s a i)
⊢ RegularSpace X
X : Type u_1
TopologicalSpace X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s
⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), γ (t i) = p i
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < p ^ (n - i)
⊢ ↑p * (↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) * ↑p ^ (i + j + (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩))) = ↑p ^ j * ↑p * (↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) * ↑p ^ i) * ↑p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩)
α : Type u
β : Type v
fa : α → α
fb : β → β
g : α → β
h : Function.Semiconj g fa fb
⊢ Set.MapsTo g (Function.fixedPoints fa) (Function.fixedPoints fb)
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
AddMonoid ιA
VAdd ιA ιB
(i : ιA) → AddMonoid (A i)
(i : ιB) → AddMonoid (M i)
GradedMonoid.GMonoid A
self : DirectSum.Gmodule A M
i : ιA
j : ιB
a a' : A i
b : M j
⊢ GradedMonoid.GSMul.smul (a + a') b = GradedMonoid.GSMul.smul a b + GradedMonoid.GSMul.smul a' b
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : AddZeroClass δ
inst✝ : Min δ
C : Cost α β δ
xs : List α
ys : List β
⊢ (suffixLevenshtein C xs ys).val = List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n m : ℕ
h : 0 ≠ m
⊢ IsCoprime (cyclotomic 0 ℚ) (cyclotomic m ℚ)
α : Type u_2
Preorder α
Add α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : NonemptyInterval α
⊢ ↑(s + t) = ↑s + ↑t
α : Type u_1
MetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
ProperSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
s : Set α
hs : IsCompact s
⊢ Filter.Tendsto (fun r => μ (Metric.cthickening r s)) (𝓝 0) (𝓝 (μ s))
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
𝕜' : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
p'✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜' E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜' n f s x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
u_mem : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜' E F
hp' : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p' u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
α β : Type u
β' : Type v
⊢ #(α → β') = 0 ↔ #α ≠ 0 ∧ #β' = 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : E → ℝ
f' g' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
c p : ℝ
n : ℕ∞
m : ℕ
hf : ContDiffAt ℝ (↑m) f x
h : ↑m ≤ p
⊢ ContDiffAt ℝ (↑m) (fun x => f x ^ p) x
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
hb : Order.IsSuccLimit b
⊢ Order.succ a < b ↔ a < b
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y => cexp (2 * ↑π * I * ↑n * y / ↑T)) (cexp (2 * ↑π * I * ↑n * ↑x / ↑T) * (2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)) ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
ConditionallyCompleteLattice γ
s : Set α
t : Set β
u : α → β → γ
l₁ : β → γ → α
l₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (l₁ b) (Function.swap u b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (⇑OrderDual.toDual ∘ l₂ a) (u a ∘ ⇑OrderDual.ofDual)
⊢ s.Nonempty → BddBelow s → t.Nonempty → BddAbove t → sInf (Set.image2 u s t) = u (sInf s) (sSup t)
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
hA : star A * A = 1
⊢ A * star A = 1
m k : ℕ+
⊢ ↑(k.modDivAux (↑m % ↑k) (↑m / ↑k)).1 = if ↑m % ↑k = 0 then ↑k else ↑m % ↑k
q✝ q : ℚ
n : ℕ
⊢ (q.num.natAbs ^ n).Coprime (q.den ^ n)
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
H : ∀ (r : ↑s), ↑r • x ∈ M'
⊢ x ∈ M'
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
c : Chain (Part α)
a b : α
i : ℕ
ha : a ∈ c i
j : ℕ
hb : b ∈ c j
hji : j ≤ i
⊢ a = b
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ρ : MeasureTheory.Measure (α × β)
⊢ (MeasureTheory.Measure.map Prod.swap ρ).snd = ρ.fst
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
H : ¬∃ c ∈ P.parts, c ≤ b
c : α
hc : c ∈ P.parts
d : α
hd : d ∈ Q.parts
hcd : c ≤ d
⊢ Disjoint b (id c)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
_m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
s : Set α
⊢ μ.FiniteAtFilter (𝓝[s] x)
D : AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData
x : ↑↑D.glued.toPresheafedSpace
⊢ ∃ i y, (D.ι i).val.base y = x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
p : 𝕜[X]
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x => Polynomial.eval x p) s x = Polynomial.eval x (Polynomial.derivative p)
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a.toPGame ≈ b.toPGame ↔ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h : b ∈ f.fix a
H : (a' : α) → b ∈ f.fix a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'
⊢ PFun.fixInduction h H = H a h fun a' h' => PFun.fixInduction ⋯ H
C : Type u
X Y : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
⊢ X.tensor Y = CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
⊢ Y - W.negPolynomial = W.polynomialY
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁴ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝³ : G.IsCocontinuous J K
inst✝² : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Sheaf K A
⊢ (G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val ≫ G.op.ran.map ((G.sheafPushforwardContinuousCompSheafToPresheafIso A J K).inv.app F) ≫ 𝟙 ((G.sheafPushforwardCocontinuous A J K).obj ((G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F)).val = (G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace α
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
⊢ s.infsep = 0 ↔ s.Subsingleton
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
hr : r < 1
⊢ HasSum (fun a => ↑r ^ a) (↑(1 - r))⁻¹
R : Type u_2
Ring R
f : R[X]
⊢ f - (Polynomial.monomial f.natDegree) f.leadingCoeff = f.eraseLead
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y : Mon_ C
⊢ (X ⊗ Y).mul = CategoryTheory.tensor_μ C (X.X, Y.X) (X.X, Y.X) ≫ (X.mul ⊗ Y.mul)
α : Type u_1
β : Type u_2
DistribLattice α
LinearOrderedCommSemiring β
ExistsAddOfLE β
f₁ f₂ f₃ f₄ : α → β
Fintype α
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ (a b : α), f₁ a * f₂ b ≤ f₃ (a ⊓ b) * f₄ (a ⊔ b)
⊢ (∑ a : α, f₁ a) * ∑ a : α, f₂ a ≤ (∑ a : α, f₃ a) * ∑ a : α, f₄ a
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
AddCommMonoid M
CommMonoid N
f1 f2 : α →₀ M
g1 g2 : α → M → N
h1 : f1.support ⊆ f2.support
h2 : ∀ a ∈ f1.support, g1 a (f1 a) ∣ g2 a (f2 a)
⊢ f1.prod g1 ∣ f2.prod g2
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
⊢ s₁ ∩ s₂ = s₂ ∩ s₁
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑(insert a ↑s)) => ↑i
⊢ LinearIndependent F fun (i : ↑(insert a ↑s)) => (toFun G F) ↑i
a : Int
⊢ -a ≤ ↑a.natAbs
self : Rat
⊢ self.num.natAbs.Coprime self.den
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
g : β × γ → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (c : β × γ), g c ∂(κ ×ₖ η) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), g (b, c) ∂η a ∂κ a
α : Type u_1
f : ℕ → α
⊢ Filter.EventuallyConst f Filter.atTop ↔ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f (m + 1) = f m
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
pmin : ∀ (q : A[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval x) q = 0 → p.degree ≤ q.degree
hx : IsIntegral A x
hnz : ¬minpoly A x - p = 0
⊢ False
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
m : Type u_8
n : Type u_9
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix m n 𝕜
v : EuclideanSpace 𝕜 n
⊢ (WithLp.equiv 2 (m → 𝕜)) ((Matrix.toEuclideanLin M) v) = M.mulVec ((WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)) v)
R : Type u
CommRing R
_M _N : QuadraticModuleCat R
f : _M ⟶ _N
⊢ QuadraticModuleCat.cliffordAlgebra.map f = CliffordAlgebra.map f.toIsometry
α : Type u
Mul α
HasDistribNeg α
a b : α
⊢ -a * b = -(a * b)
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
hz : ‖z‖ = 1
⊢ (starRingEnd K) z * z = 1
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E
x : E
⊢ Metric.ball x δ - s = x +ᵥ Metric.thickening δ (-s)
α : Type u
s t : Set α
h : t ⊆ s
⊢ s \ t ∪ t = s
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
β : Type u_5
ConditionallyCompleteLattice β
f : α → β
hf : MonotoneOn f s
hs : s.Nonempty
⊢ f (sInf s) = sInf (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n
hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n
hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p μ
h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) ⋯) =ᶠ[ae μ] ↑(x n)
hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) ⋯
hx_tendsto : Tendsto (fun n => eLpNorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ ↑↑↑g =ᶠ[ae μ] ↑↑↑g
α : Type u_1
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → α
i : Ordinal.{u_4}
hi : i < o
⊢ f i hi ∈ o.brange f
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
K✝¹ : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β
α : Type u_4
inst✝¹ : MetricSpace α
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
inst✝ : ProperSpace α
hK : AntilipschitzWith K✝ f
f_cont : Continuous f
hf : Function.Surjective f
x₀ : β
r : ℝ
K : Set α := f ⁻¹' closedBall x₀ r
A : IsClosed K
B : IsBounded K
⊢ IsCompact (closedBall x₀ r)
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f g : ℝ → E
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ Continuous fun x => inner_ 𝕜 (f x) (g x)
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
x : Monoid.Coprod M N
⊢ Monoid.Coprod.snd ((Monoid.Coprod.swap M N) x) = Monoid.Coprod.fst x
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
h : ↑p ^ (k - s + 1) = 2 ^ 1
coe_two : ↑2 = 2
⊢ False
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosMono α
ha : a ≤ 1
h : b < c
hb : 0 ≤ b
⊢ a * b < c
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I
⊢ Disjoint I (orthogonal Φ hΦ_inv I)
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Field S
NonUnitalRing A
Module R A
Module S A
IsScalarTower S A A
SMulCommClass S A A
Algebra R S
a : A
f : S → R
IsScalarTower R S A
h : QuasispectrumRestricts a f
s : S
hs : s ∈ quasispectrum S a
⊢ f s ∈ quasispectrum R a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝ : α → β
f : ℕ → α
n : ℕ
h : ∀ (j : ℕ), n ≤ j → f j = f n
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ f (m + 1) = f m
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
⊢ ∏ i ∈ range n, (coeff R (k i)) f = 0
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
⊢ Submonoid.map (MonoidHom.id M) S = S
n p : ℕ
⊢ List.count p n.primeFactorsList = n.factorization p
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype l
inst✝¹ : DecidableEq l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m n 𝕜
⊢ ‖Aᴴ‖ = ‖A‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).InnerRegularWRT p MeasurableSet
hs : univ ⊆ ⋃ n, s n
hmono : Monotone s
F : Set α
hF : MeasurableSet F
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ F
hBU : ⋃ n, F ∩ s n = F
this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ s n)
⊢ ∃ K ⊆ F, p K ∧ r < μ K
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Multiset R
⊢ trop s.inf = (map trop s).sum
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup G
⊢ ∀ (x : Gᵐᵒᵖ), (∀ (b : G), b * unop x ∈ s ↔ b ∈ s) ↔ unop x ∈ s
x y : SetTheory.Game
⊢ ¬x.LF y ↔ y ≤ x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.IsThreeCycle
⊢ (-1) ^ ({3}.sum + card {3}) = 1
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
x y z : L
hx : x ∈ H.normalizer
hy : y ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
hz : z ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
⊢ ⁅y, z⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
α : Type u_1
β : α → Type u_4
x₀ x₁ : Sigma β
⊢ x₀ = x₁ ↔ x₀.fst = x₁.fst ∧ HEq x₀.snd x₁.snd
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ (MeasureTheory.ae μ).NeBot
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
hs : s.Nonempty
t : Set β
⊢ Prod.snd '' s ×ˢ t = t
R : Type u_1
L : Type u_2
Field R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (LieDerivation.ad R L).range.toSubmodule
x : L
⊢ (LieDerivation.ad R L) (D x) ∈
  Submodule.map (LieDerivation.ad R L).range.subtype (LinearMap.ker (killingForm R ↥(LieDerivation.ad R L).range))