ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ
h : 0 < |ξ - ↑q|
m : ℕ
hm : 1 / |ξ - ↑q| < ↑m
m_pos : 0 < ↑m
q' : ℚ
hbd : |ξ - ↑q'| ≤ 1 / ((↑m + 1) * ↑q'.den)
hden : q'.den ≤ m
den_pos : 0 < ↑q'.den
md_pos : 0 < (↑m + 1) * ↑q'.den
⊢ 1 / ((↑m + 1) * ↑q'.den) < 1 / ↑q'.den ^ 2
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I J : TwoSidedIdeal R
x : R
⊢ x ∈ I ⊔ J ↔ ∃ y ∈ I, ∃ z ∈ J, y + z = x
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
ha₂ : ∀ (x : ℝ), -x ∈ σ ℝ a → 0 ≤ x
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ a
this : 0 ≤ x
⊢ x = 0
α : Type u
t : TopologicalSpace α
β : Type u_1
TopologicalSpace β
FirstCountableTopology β
f : α → β
hf : Embedding f
⊢ FirstCountableTopology α
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
L : (J ⥤ C) ⥤ C
adj : const J ⊣ L
F : J ⥤ C
s : Cone F
j : J
eq : ((L ⋙ const J).map s.π ≫ adj.counit.app F).app j = (adj.counit.app ((const J).obj s.pt) ≫ (𝟭 (J ⥤ C)).map s.π).app j
eq' : ((const J).map (adj.unit.app s.pt) ≫ adj.counit.app ((const J).obj s.pt)).app j = (𝟙 ((const J).obj s.pt)).app j
⊢ (fun s => (adj.homEquiv s.pt F) s.π) s ≫ (coneOfAdj adj F).π.app j = s.π.app j
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s✝ : LowerSet α
a : α
s t : LowerSet α
hst : s ⊔ t = Iic a
this : a ∈ Iic a
⊢ s = Iic a ∨ t = Iic a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.singularPart 0 = μ
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ω : Ω
hω₁ : ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
hω₂ : ∀ (i : ℕ), |predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
⊢ |martingalePart f ℱ μ (i + 1) ω - martingalePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑(2 * R)
n₁ n₂ : Int
d₁ d₂ : Nat
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0
⊢ Rat.normalize n₁ d₁ z₁ * Rat.normalize n₂ d₂ z₂ = Rat.normalize (n₁ * n₂) (d₁ * d₂) ⋯
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
x : M₁
⊢ e.symm.symm x = e x
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
⊢ H.IsComplement' K ↔ Subgroup.IsComplement ↑H ↑K
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
Subsingleton α
f : α → β
⊢ StrictAnti f
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
CommSemiring k
Monoid G
AddCommMonoid V
Module k V
g : G
v : V
⊢ ((Representation.trivial k) g) v = v
N : ℕ
hN : ¬Nat.Prime N
⊢ N.succ.smoothNumbers = N.smoothNumbers
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
h : SameRay R x y
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ r, 0 ≤ r ∧ r • x = y
X : Type u_4
Y : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
self : X ≃ₜ Y
⊢ Continuous self.toFun
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
⊢ (Turing.Respects f₁ f₂ fun a b => tr a = b) ↔ ∀ ⦃a₁ : σ₁⦄, Turing.FRespects f₂ tr (tr a₁) (f₁ a₁)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
h : X ≃ₜ Y
f : Z → X
s : Set Z
⊢ ContinuousOn (⇑h ∘ f) s ↔ ContinuousOn f s
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α ι
i : ι
a✝ x : α
l : Line (η → α) ι
a : η → α
ie : ι × η
⊢ ↑l.toSubspace a ie = (fun x i => (l.idxFun i).getD x) a ie.1 ie.2
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v w : V
h : G.Adj v w
hn : P.partOfVertex v = P.partOfVertex w
⊢ False
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
R : ℝ
ξ f : ℕ → Ω → ℝ
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hξ : Adapted 𝒢 ξ
hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R
hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω
hξbdd : ∀ (i : ℕ), ∃ C, ∀ (ω : Ω), |ξ i ω| ≤ C
hint : ∀ (m : ℕ), Integrable (∑ k ∈ Finset.range m, ξ k * (f (k + 1) - f k)) μ
⊢ Submartingale (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ξ k * (f (k + 1) - f k)) 𝒢 μ
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : a < b
⊢ Set.Ioo a b ∪ Set.Ici b = Set.Ioi a
M : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
Monoid M
MulAction M X
ContinuousSMul M X
N : Type u_5
TopologicalSpace N
Monoid N
f : N →* M
hf : Continuous ⇑f
⊢ ContinuousSMul N X
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : NormOneClass A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ < ‖k‖
⊢ ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
a : α
l : List α
a✝ : (∀ a ∈ ↑l, ∀ b ∈ ↑l, r a b) → Chain r ↑l
hs : ∀ a_1 ∈ ↑(a :: l), ∀ b ∈ ↑(a :: l), r a_1 b
Ha : a ∈ ↑(a :: l)
Hl : ∀ {b : α}, b ∈ l → b ∈ ↑(a :: l)
⊢ (∀ a' ∈ l ++ [a], r a a') ∧ List.Pairwise r (l ++ [a])
α : Type u_1
p : α → Bool
x : α
xs l₂ : List α
h : ∀ (b : α), b ∈ x :: xs → ¬p b = true
⊢ eraseP p (x :: xs ++ l₂) = x :: xs ++ eraseP p l₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪y, x⟫_ℝ * ⟪y, x⟫_ℝ ≤ ‖⟪y, x⟫_ℝ * ⟪y, x⟫_ℝ‖
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
⊢ StrictMono NonUnitalSubsemiring.toSubsemigroup
F : Type u_1
Field F
ι : Sort u_2
S : ι → Set F
h : ∀ (y : ι), IsSubfield (S y)
⊢ IsSubfield (Set.iInter S)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
b : ℝ
⊢ ∃ r > 0, μ (Icc (b - r) (b + r)) ≠ ⊤
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
b : m → α
Preorder α
DecidableEq m
i j : m
hij : b i ≤ b j
c : R
⊢ (Matrix.transvection i j c).BlockTriangular b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
⊢ map pure l <+ l.sublists
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
r : R
m : M
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) r • Submodule.Quotient.mk m = Submodule.Quotient.mk (r • m)
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
s' : Multiset α
h : s' = a ::ₘ s.val
⊢ (s'.pi fun a => (t a).val).dedup = ((t a).val.bind fun b => (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup).dedup
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
P : CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation A
η : A ⟶ B
CategoryTheory.IsIso η
X : P.I
⊢ ∀ (X_1 : Cᵒᵖ) (a : ((Opposite.unop (Opposite.op (P.F.comp CategoryTheory.yoneda))).obj X).obj X_1),
  ((P.extend η).ι.app X).app X_1 a = η.app X_1 ((P.cocone.ι.app X).app X_1 a)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ x ⤳ y ↔ y ∈ closure {x}
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ_[p]
⊢ padicNormE (q + r) ≤ max (padicNormE q) (padicNormE r)
n k : ℕ
h : k + 1 + 2 ≤ n
⊢ (n.succ - (k + 1 + 1)) ^ (k + 2) < n.descFactorial (k + 2)
x : SetTheory.PGame
⊢ x.LF 0 ↔ ∃ j, ∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), ((x.moveRight j).moveLeft i).LF 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
Fintype β
i : { x // x ∈ s } ≃ β
⊢ s.card = Fintype.card β
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn f (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
f'int : IntervalIntegrable f' volume a b
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
DecidableEq o
DecidableEq n
A : Matrix m n α
j : o
c : l → α
e : l ≃ m
f : o ≃ n
⊢ (A.submatrix ⇑e ⇑f).updateColumn j c = (A.updateColumn (f j) fun i => c (e.symm i)).submatrix ⇑e ⇑f
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x \ y = y ↔ x = ⊥ ∧ y = ⊥
b : Prop
α : Sort u_3
i : Nonempty α
Subsingleton α
⊢ (∃! x, b) ↔ b
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : BoundedContinuousFunction α β
⊢ 0 ≤ dist f g
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s t : Set X
x : X
hx : x ∈ s
h : x ∉ t → x ∉ s
⊢ x ∈ t
A : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : Module ℂ A
inst✝³ : IsScalarTower ℂ A A
inst✝² : SMulCommClass ℂ A A
inst✝¹ : StarModule ℂ A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A
⊢ IsSelfAdjoint a ↔ IsStarNormal a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM
n : ℕ
I : BoxIntegral.Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
⊢ Set.MapsTo (i.insertNth x) (BoxIntegral.Box.Icc (I.face i)) (BoxIntegral.Box.Icc I)
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
h : hζ.toInteger - 1 ∣ 2
this : NumberField K
⊢ False
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field L'
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional (↥F) L
h_le : F ≤ E
h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L
⊢ F = E
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ◁ T.mul ≫ actRight P Q = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
hne : y ≠ x
⊢ x ≠ z
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
h : ContDiffOn 𝕜 n f₂ s₂
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
hn : 1 ≤ n
⊢ ContinuousOn (derivWithin f₂ s₂) s₂
s t : Set ℝ
⊢ (convexHull ℝ) (⇑equivRealProdLm ⁻¹' s ×ˢ t) = ⇑equivRealProdLm ⁻¹' (convexHull ℝ) (s ×ˢ t)
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g₁ g₂ : Fix F → α
h : ∀ (x : F (Fix F)), g₁ <$> x = g₂ <$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x✝ : Fix F
a : (P F).A
f : (P F).B a → WType (P F).B
ih : ∀ (a : (P F).B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f a)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f a))
⊢ g₁ ⟦WType.mk a f⟧ = g₂ ⟦WType.mk a f⟧
n : ℕ∞
⊢ ↑n ≤ Cardinal.aleph0
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
⊢ Continuous fun f x => f x
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
hx : IsIntegral A x
⊢ (⋯.min (fun x_1 => x_1.Monic ∧ eval₂ (algebraMap A B) x x_1 = 0) hx).Monic
n : ℕ+
K : Type u
Field K
CharZero K
h : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
⊢ NumberField.InfinitePlace.NrComplexPlaces K = (↑n).totient / 2
G : Type u_1
A : Type u_2
Monoid G
AddCommGroup A
MulAction G A
f : G × G → A
hf : groupCohomology.IsTwoCocycle f
g : G
⊢ f (g, 1) = g • f (1, 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
n : ℕ
⊢ a + ↑(n + 1) ≤ b + ↑(n + 1) ↔ a ≤ b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
⊢ K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ i₁').f i₂ ≫ K.ιTotalOrZero c₁₂ i₁' i₂ i₁₂
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r : R[X]
hp : 0 ≠ 0
hq : 0 = 1
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι✝ : Sort x
κ : ι✝ → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
ι : Sort x
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
hf : ∀ (i : ι) (hi : p i), u (l (f i hi)) = f i hi
⊢ l (⨅ x, f ↑x ⋯) = ⨅ x, l (f ↑x ⋯)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type u_1
K : Type u_2
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
CategoryTheory.Limits.HasProduct g
⊢ (CategoryTheory.Limits.Pi.whiskerEquiv e w).hom =
  CategoryTheory.Limits.Pi.map' ⇑e.symm fun k => (w (e.symm k)).inv ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} D
G : C ⥤ D
G.ReflectsIsomorphisms
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits G
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
⊢ F.IsSheaf ↔ TopCat.Presheaf.IsSheaf (F ⋙ G)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
⊢ M ∈ Set.range ⇑(scalar n) ↔ ∀ (i j : n), i ≠ j → Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
R : Type u_1
DivisionSemiring R
StarRing R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ IsSelfAdjoint x⁻¹
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
hx : x ≠ 0
⊢ f.smulRight x = 0 ↔ f = 0 ∨ x = 0
𝕜 : Type u_1
F : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
q : Seminorm 𝕜 F
hq : Continuous ⇑q
x : F
hx : ‖x‖ = 0
⊢ q x = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, UV.IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
⊢ v = ∅ → u = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
AddMonoid α
AddGroup β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℕ
⊢ f (x + n • c) = (-1) ^ n • f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
⊢ -a - b = -b - a
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
⊢ Prime (hζ.toInteger - 1)
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ 1 - ↑n
⊢ HurwitzZeta.expZeta a (1 - s) =
  (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s *
    (cexp (↑π * Complex.I * s / 2) * HurwitzZeta.hurwitzZeta a s +
      cexp (-↑π * Complex.I * s / 2) * HurwitzZeta.hurwitzZeta (-a) s)
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ✝ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ✝.IsMulLeftInvariant
s : Set G
μ : Measure G
t : Set G
kt : s ⊆ t
t_meas : MeasurableSet t
⊢ μ (s * closure {1}) ≤ μ t
R : Type u_1
StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x : M
NoZeroSMulDivisors R M
h : SameRay R x (-x)
⊢ x = 0
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
F : Type u_2
AddGroup F
AddAction F G
AddAction.QuotientAction F H
f : F
T : ↑(AddSubgroup.leftTransversals ↑H)
q : G ⧸ H
⊢ f +ᵥ ↑((AddSubgroup.MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q) = ↑((AddSubgroup.MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) (f +ᵥ q))
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 1
m0 : ℤ
hm2 : m = m0 * 2 + 1
n0 : ℤ
hn2 : n = n0 * 2 + 1
⊢ 2 ∣ m ^ 2 + n ^ 2 ∧ 2 ∣ m ^ 2 - n ^ 2 ∧ (m ^ 2 - n ^ 2) / 2 % 2 = 0 ∧ ((m ^ 2 - n ^ 2) / 2).gcd ((m ^ 2 + n ^ 2) / 2) = 1
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p : P
v : V
⊢ s.secondInter p v = p ↔ ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ = 0
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
x : R
n : ℕ
hx : (x - x ^ 2) ^ n = 0
P : Polynomial ℤ := 1 - (1 - Polynomial.X ^ n) ^ n
this✝ : (Polynomial.X - Polynomial.X ^ 2) ^ n ∣ P - P ^ 2
this : (Polynomial.aeval x) ((Polynomial.X - Polynomial.X ^ 2) ^ n) ∣ (Polynomial.aeval x) (P - P ^ 2)
⊢ IsIdempotentElem (1 - (1 - x ^ n) ^ n)
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
r : ℝ
⊢ ↑(ℑ ↑r) = ↑0
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
f : (R ⧸ j)[X]
hf : f ∈ ⊥.jacobson
r1 : X ≠ 0
r2 : f * X = 0
⊢ f ∈ ⊥
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
LT α
DecidableEq α
BEq α
LawfulBEq α
Batteries.BEqCmp cmp
Batteries.LTCmp cmp
x y : α
Decidable (x < y)
⊢ cmp x y = compareOfLessAndEq x y
α : Type u_2
ι : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Finset ι
f : ι → α → ENNReal
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
p : ι → ℝ
hp : ∑ i ∈ s, p i = 1
h2p : ∀ i ∈ s, 0 ≤ p i
⊢ ∫⁻ (a : α), ∏ i ∈ s, f i a ^ p i ∂μ ≤ ∏ i ∈ s, (∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) ^ p i
X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
H : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this✝ : ∃ x y, x ≠ y
this : NoZeroDivisors ↑(X.presheaf.obj (op U))
⊢ IsDomain ↑Γ(X, U)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
X Y : CategoryTheory.StructuredArrow S T
f g : X ⟶ Y
⊢ f = g ↔ f.right = g.right
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
f_inv : Nonempty α → β → α
hf : ∀ (h : Nonempty α), Function.LeftInverse (f_inv h) f
⊢ Equiv.ofLeftInverse f f_inv hf = Equiv.ofInjective f ⋯
R : Type u
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
⊢ LinearMap.range ((Polynomial.aeval f) p) ⊔ LinearMap.range ((Polynomial.aeval f) q) = ⊤
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ↑(fs.toFun (fs.ind x hx)) x = 1
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
v v' : V
p p' : P
⊢ edist (v +ᵥ p) (v' +ᵥ p') ≤ edist v v' + edist p p'
G : Type u
AddCommMonoid G
⊢ AddMonoid.exponent G = if ∃ g, addOrderOf g = 0 then 0 else ⨆ g, addOrderOf g
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SL(2, R)
i✝ j✝ : Fin 2
⊢ ↑A⁻¹ i✝ j✝ = ↑⟨![![↑A 1 1, -↑A 0 1], ![-↑A 1 0, ↑A 0 0]], ⋯⟩ i✝ j✝
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} D
CategoryTheory.Abelian D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
G.PreservesZeroMorphisms
i : F.comp G ≅ CategoryTheory.Functor.id C
adj : G ⊣ F
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteLimits G
F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.AbelianOfAdjunction.coimageIsoImage F G i adj f).hom = CategoryTheory.Abelian.coimageImageComparison f
x : SetTheory.PGame
h : x ≤ 0
i : x.LeftMoves
⊢ (x.moveLeft i).moveRight (SetTheory.PGame.rightResponse h i) ≤ 0
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
u : Finset α
hu : u ⊆ s ∧ (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t
hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x
a : α
ha : a ∈ s
hau : a ∉ u
H : ∃ b ∈ u, ¬Disjoint (a • t) (b • t)
⊢ a ∈ u * (t / t)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
W : D
f' : W ⟶ F.obj X✝
w✝ : EffectiveEpi f'
i : W ⟶ F.obj Z✝
w : i ≫ F.map g = f' ≫ F.map f
⊢ ∃ W h, ∃ (_ : EffectiveEpi h), ∃ i, i ≫ g = h ≫ f
f : ℂ → ℂ
x : ℂ
hc : DifferentiableAt ℂ f x
⊢ deriv (fun x => Complex.sin (f x)) x = Complex.cos (f x) * deriv f x
R : Type u
Semiring R
⊢ Polynomial.derivative 0 = 0
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
f : X → Y
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith C f s
⊢ dimH (f '' univ) ≤ dimH univ
α : Type u
s t : Set α
h : (s ∩ t).Nonempty
⊢ s.Nonempty
m n✝ n : ℕ
hi : 3 ≤ n
this : 0 < n
⊢ n < n !
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I : Ideal α
hI : I.IsMaximal
x : α
hx : x ∉ I
H₁ : 1 ∉ I
H₂ : ∀ (J : Ideal α) (x : α), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J
y z : α
hz : z ∈ span ↑I
hy : 1 = y * x + z
⊢ z ∈ I
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
Group α
DistribMulAction α A
a : α
S T : AddSubmonoid A
⊢ S ≤ a • T ↔ a⁻¹ • S ≤ T
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
⊢ UpperHalfPlane.IsBoundedAtImInfty ((EisensteinSeries.eisensteinSeries_SIF a k).toFun ∣[k] A)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
I : Set ι
s t : (i : ι) → Set (α i)
h : ∀ i ∈ I, s i ≤ᵐ[μ i] t i
⊢ I.pi s ≤ᵐ[MeasureTheory.Measure.pi μ] I.pi t
E : Type u_6
NormedGroup E
⊢ ⇑(normGroupNorm E) = norm
α : Type u_1
M : Type u_2
PartialOrder α
CommMonoid M
f : α → M
a b : α
LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b
⊢ f a * ∏ x ∈ Finset.Ioc a b, f x = ∏ x ∈ Finset.Icc a b, f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
CommSemiring 𝕜
StarRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
StarAddMonoid E
NormedStarGroup E
Module 𝕜 E
StarModule 𝕜 E
x : E
⊢ (starₗᵢ 𝕜) x = x⋆
L : Type u
CommRing L
IsDomain L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
c : ZMod (Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L))
hc : ∀ (t : ↥(rootsOfUnity n L)), g ↑↑t = ↑(↑t ^ c.val)
⊢ c = ModularCyclotomicCharacter.toFun n g
b : ℕ
hb2 : b % 2 = 1
a : ℤ
ha2 : 2 * a % 2 = 0
⊢ (if b % 8 = 3 ∨ b % 8 = 5 then -J(a | b) else J(a | b)) = (if b % 8 = 1 ∨ b % 8 = 7 then 1 else -1) * J(a | b)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : Monoid P
f✝ : M →* P
g : N →* P
comm : ∀ (m : M) (n : N), Commute (f✝ m) (g n)
f : M × N →* P
x : M × N
⊢ ((f.comp (inl M N)).noncommCoprod (f.comp (inr M N)) ⋯) x = f x
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
g : ℝ[X]
a✝ : X
⊢ Polynomial.eval (↑((↑f).attachBound a✝)) g = Polynomial.eval (↑f a✝) g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
x : α
⊢ ↑(⌊x⌋ + 1) - 1 ≤ x
b : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
⊢ 0 < b ^ succ (log b 0)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0
⊢ log (1 + z * I) + -log (1 - z * I) = log ((1 + z * I) / (1 - z * I))
R M : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
x : ι → M
⊢ IsTrivialRelation f x ↔ VanishesTrivially R f x
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cone (Discrete.functor f)
j : Discrete β
h : j = default
⊢ (fun s => s.π.app default) s ≫ { pt := f default, π := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.π.app j = s.π.app j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y : C
s : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y
h : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
f g : s.pt ⟶ W
h₁ : s.inl ≫ f = s.inl ≫ g
h₂ : s.inr ≫ f = s.inr ≫ g
⊢ f = g
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h1 : Disjoint H K
h2 : ↑H * ↑K = univ
⊢ H.IsComplement' K