ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → ℝ≥0∞
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ (μ.withDensity (s.indicator f)) t = ((μ.restrict s).withDensity f) t
n m d : ℕ
hm : n ∣ m
hd : m ∣ d
⊢ Units.map ((↑(castHom hm (ZMod n))).comp ↑(castHom hd (ZMod m))) = Units.map ↑(castHom ⋯ (ZMod n))
α : Sort u₁
β : Sort u₂
f : α → β
g : β → α
h : Function.RightInverse g f
⊢ Function.Surjective f
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
s : Set β
⊢ Metric.diam (⇑h ⁻¹' s) = Metric.diam s
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ < ‖x‖ * ‖y‖ ↔ ‖y‖ • x ≠ ‖x‖ • y
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsPreimmersion g
inst✝ : IsPreimmersion (f ≫ g)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap g (f.val.base x) ≫ Scheme.Hom.stalkMap f x)
⊢ Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → E
x : ℝ
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hg : DifferentiableAt ℝ g x
⊢ deriv (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) x = ⟪f x, deriv g x⟫_𝕜 + ⟪deriv f x, g x⟫_𝕜
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
s : Finset ι
f : ι → α
hs : s.Nonempty
⊢ ((∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ 2) / ↑s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
hinj : Injective f
z z' : Sym2 α
⊢ map f z = map f z' → z = z'
D : Type u_1
inst✝² : Finite D
inst✝¹ : Ring D
inst✝ : IsDomain D
⊢ IsField D
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
⊢ (PiTensorProduct.tprodL 𝕜).toMultilinearMap = PiTensorProduct.tprod 𝕜
ι : Type u_1
m : Type u_2
n✝ : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n✝
inst✝¹ : Fintype p
n : ℕ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
⊢ M 0 0 + ∑ i : Fin n, (M.submatrix Fin.succ Fin.succ).diag i = ∑ i : Fin n.succ, M.diag i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
A : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F
B : C
f : A.obj ⟶ B
⊢ ((CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject.cocone F).ι.app (Opposite.op A)).app B f = F.map f A.pt
α : Type u
β : Type u_1
l : List α
f : α → β
⊢ List.map (fun x => (f x, x)) l = (List.map f l).zip l
ι : Type u_1
R : Type u_2
N : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid N
Module R N
DecidableEq ι
β : ι → Type u_6
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
S : Submodule R N
f : Π₀ (i : ι), β i
g : (i : ι) → β i → N
h : ∀ (c : ι), f c ≠ 0 → g c (f c) ∈ S
⊢ f.sum g ∈ S
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
CommRing A
Field K
Field L
Algebra A K
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsDomain A
IsFractionRing A K
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
x : L
hx : Algebra.adjoin K {x} = ⊤
hAx : IsIntegral A x
⊢ (Algebra.traceForm K L).dualSubmodule (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin A {x})) =
  ((Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative (minpoly K x)))⁻¹ • Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin A {x})
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
x✝¹ : f.SameCycle x y
x✝ : f.SameCycle y z
i : ℤ
hi : (f ^ i) x = y
j : ℤ
hj : (f ^ j) y = z
⊢ (f ^ (j + i)) x = z
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ι' : Type u_7
Countable ι'
m : MeasureTheory.Measure α
m' : ι' → MeasureTheory.Measure β
∀ (n : ι'), MeasureTheory.SFinite (m' n)
⊢ m.prod (MeasureTheory.Measure.sum m') = MeasureTheory.Measure.sum fun p => m.prod (m' p)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
x₀ : X
U : Set X
U_cpct : IsCompact U
U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖uncurry f x‖) '' U ×ˢ s)
⊢ Y → ℝ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
⊢ e.target ⊆ e.target
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hE : IsCompact ∅
⊢ cthickening δ ∅ = ⋃ x ∈ ∅, closedBall x δ
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ (⨅ i, (comap f) (m i)) s ≤ ((comap f) (⨅ i, m i)) s
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
n : ℕ
⊢ nth p n = ↑((Subtype.orderIsoOfNat (setOf p)) n)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
t : Finset α
h : s ∩ mulSupport f = ↑t ∩ mulSupport f
x : α
hxf : x ∈ mulSupport f
⊢ x ∈ s ↔ x ∈ t
a b c : Ordinal.{u}
f : (c : Ordinal.{u}) → c < a ♯ b → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{u}} (hi : i < a ♯ b) (hj : j < a ♯ b), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
⊢ (a ♯ b).blsub f = max (a.blsub fun a' ha' => f (a' ♯ b) ⋯) (b.blsub fun b' hb' => f (a ♯ b') ⋯)
o : Ordinal.{u_1}
⊢ 0 < Cardinal.beth o
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
⊢ f.SurjectiveOnStalks ↔ ∀ (I : Ideal S), I ≠ ⊤ → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
n : ℕ
hp : (setOf p).Finite
hlt : n < hp.toFinset.card
⊢ Nat.count p (Nat.nth p n) = n
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ 0 (⇑f) x‖ ≤ d
⊢ ⇑f =O[cocompact E] fun x => ‖x‖ ^ (-↑k)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G : Type u_10
H : Type u_11
inst✝ : Group G
a b : G
⊢ (fun b => b / a) ((fun b => b * a) b) = b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
⊢ BddAbove s → BddBelow t → BddAbove (Set.image2 f s t)
a b c d n : ℕ
z : ℝ
hz : z ≤ (↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries n
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : a ^ 2 * d ≤ (2 * d + c) * b ^ 2
⊢ z ≤ (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries (n + 1)
α : Type u_1
n : ℤ
x : α → ℕ
⊢ (Poly.const n) x = n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}
H : IsNormal f
o : Ordinal.{u}
h : o.IsLimit
⊢ (o.blsub fun x x_1 => f x) = f o
ι : Type u_4
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
s : Finset ι
f a : ι → E
⊢ dist (∏ b ∈ s, f b) (∏ b ∈ s, a b) ≤ ∑ b ∈ s, dist (f b) (a b)
α : Type u_1
LinearOrderedCommMonoidWithZero α
a : α
⊢ 0 ≤ a
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
β : Type u_2
Fintype β
DecidableEq β
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g : Equiv.Perm α
⊢ (g.extendDomain f).cycleType = g.cycleType
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L' : LieSubalgebra R L
x y : ↥L'
⊢ ↑⁅x, y⁆ = ⁅↑x, ↑y⁆
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a : α
hp : Prime p
ha : multiplicity.Finite p a
k : ℕ
⊢ (multiplicity p (a ^ k)).get ⋯ = k * (multiplicity p a).get ha
α : Type u_1
CircularPreorder α
a b x : α
⊢ x ∈ Set.cIcc a b ↔ btw a x b
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ : Setoid α
f✝ f : α → β
r : Setoid β
x y : α
⊢ Setoid.r x y ↔ ⟦f x⟧ = ⟦f y⟧
α : Type u_5
self : DenselyNormedField α
x y : ℝ
⊢ 0 ≤ x → x < y → ∃ a, x < ‖a‖ ∧ ‖a‖ < y
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Submodule.span (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
r : ↑↑s
n₁ : ℕ
hn₁ : ⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) x ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ q✝ : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p✝
inst✝² : DecidablePred q✝
s✝ t✝ s t : Finset α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : _root_.Disjoint p q
a : α
left✝¹ : a ∈ s
hp : p a
left✝ : a ∈ t
hq : q a
⊢ False
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
MulPosStrictMono α
h : 0 ≤ a * b
hb : 0 < b
⊢ 0 ≤ a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A
self : CategoryTheory.HasSheafify J A
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteLimits (CategoryTheory.sheafToPresheaf J A).leftAdjoint)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ HasSeparatingCover s t ∧ HasSeparatingCover t s ↔ SeparatedNhds s t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : Fin 1 → E
f : SchwartzMap E F
⊢ (SchwartzMap.iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (SchwartzMap.pderivCLM 𝕜 (m 0)) f
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
⊢ (∀ n > 0, n ∈ s → ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, n ∈ s → ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f n
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
hg : HasSum g a
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖₊ ≤ g i
⊢ ‖∑' (i : ι), f i‖₊ ≤ a
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
hf : Continuous f
x₀ : β
h : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β, f x₀ ≤ f x
⊢ ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 univ, f x₀ ≤ f x
α : Type u_2
M : Matroid α
X B : Set α
hB : M.Base B
hBX : B ⊆ X
⊢ M.closure X = M.E
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s.dedup = 0 ↔ s = 0
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
z : ℤ
⊢ a ≡ b [PMOD p] → a + z • p ≡ b [PMOD p]
α : Type u
Group α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ a * b⁻¹ < d⁻¹ * c ↔ d * a < c * b
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r
f : Fin 3 → ℝ
hf : ∀ (i : Fin 3), p i = f i • v +ᵥ p 0
hsd : ∀ (i : Fin 3), dist (f i • v +ᵥ p 0) c = r
hf0 : f 0 = 0
⊢ False
α : Type u_1
AddZeroClass α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b ≤ 0
⊢ a = 0
c : Cardinal.{u_1}
⊢ Cardinal.toPartENat c = ⊤ ↔ Cardinal.aleph0 ≤ c
α : Type u_1
LT α
a : WithTop α
b : WithBot αᵒᵈ
⊢ WithTop.toDual a < b ↔ WithBot.ofDual b < a
q : ℚ
p : ℚ≥0
⊢ q.toNNRat ≤ p ↔ q ≤ ↑p
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal.IsPrime
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ (c ∈ Set.Ioc a (a + p) ∧ ∃ z, b = c + z • p) → toIocMod hp a b = c
K : Type u_5
LinearOrderedField K
p q : ℚ
⊢ Rat.cast ⁻¹' Ι ↑p ↑q = Ι p q
a b c n : ℕ
⊢ image (fun x => x % 0) (Ico n (n + 0)) = range 0
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x ≤ f y ↔ x ≤ y
s : Set α
x : α
hx : IsGLB (f '' s) (f x)
⊢ IsGLB s x
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R R' : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R ⟶ R'
⊢ ∀ {X Y : SheafOfModules R'} (φ : X ⟶ Y),
  ((SheafOfModules.restrictScalars α).map φ).val = (PresheafOfModules.restrictScalars α.val).map φ.val
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCommMonoid G
⊢ ∀ (x y : k[G]ᵐᵒᵖ), __src✝ (x * y) = __src✝ x * __src✝ y
G : Type u_2
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddLeftInvariant
g : G
A : Set G
⊢ μ ((fun h => g + h) ⁻¹' A) = μ A
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ 0 < (MeasureTheory.Measure.haar.haarContent K₀).outerMeasure (closure ↑K₀)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
k : ℤ
f : X ⟶ Y
⊢ (k • f).op = k • f.op
s : ℝ
⊢ (fun x => x ^ s) =o[Filter.atTop] rexp
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V'
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V'
⊢ ((map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o).oangle x y = o.oangle (f.symm x) (f.symm y)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 G
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' G'
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
c : R
x : M
y : F
⊢ (f (c • x)) y = ρ₁₂ c • (f x) y
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiff 𝕜 n f
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring R
inst✝¹ : ExistsAddOfLE R
s : Finset ι
f g : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
h' : 0 < ∑ i ∈ s, g i ^ 2
⊢ (∑ i ∈ s, g i ^ 2) * (∑ j ∈ s, f j * g j) ^ 2 + (∑ i ∈ s, g i ^ 2) * (∑ i ∈ s, f i * g i) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ s, g i ^ 2) * (∑ j ∈ s, f j * g j) ^ 2 + (∑ i ∈ s, g i ^ 2) * ((∑ i ∈ s, f i ^ 2) * ∑ i ∈ s, g i ^ 2)
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ TypeMax
x✝¹ : Cone F
x✝ : x✝¹.pt ⟶ (limitCone F).pt
w : ∀ (j : J), x✝ ≫ (limitCone F).π.app j = x✝¹.π.app j
x : x✝¹.pt
j : J
⊢ ↑(x✝ x) j = ↑((fun s v => ⟨fun j => s.π.app j v, ⋯⟩) x✝¹ x) j
α : Type u_1
MeasurableSpace α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ r • j = -((-r).toNNReal • j)
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℤ
N : ℕ
hn : 0 < N
h : ↑N = -n
⊢ Tendsto (fun x => x ^ n) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
M₁ M₂ : Matroid α
⊢ M₁ = M₂✶ ↔ M₂ = M₁✶
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
g : E → ℂ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ Filter.map g (𝓝 z₀)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν ν' : MeasureTheory.Measure α
h : μ ≤ ν
⊢ μ ≤ ν' + ν
α : Type u_1
BooleanRing α
a b c : α
⊢ (a + b + a * b) * (a + c + a * c) = a + b * c + a * (b * c)
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
fi : (i : ι) → M i →* N
i : ι
x : M i
⊢ ((fun f i => f.comp of) ((fun fi => (conGen (Rel M)).lift (FreeMonoid.lift fun p => (fi p.fst) p.snd) ⋯) fi) i) x = (fi i) x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → (P ⟶ Q)
⊢ (∑ x ∈ s, f x).f = ∑ x ∈ s, (f x).f
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
i : ι
a : α i
b : β i
x : γ i
⊢ ⟨i, x⟩ ∈ sigmaLift f ⟨i, a⟩ ⟨i, b⟩ ↔ x ∈ f a b
R : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
hp : Pairwise (IsCoprime on fun i => s ↑i)
i : I
hi : i ∈ t
j : I
hj : j ∈ t \ {i}
⊢ IsCoprime (s i) (s j)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfmono : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), f n ω ≤ f (n + 1) ω
hf : Adapted ℱ f
hint : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), |f (n + 1) ω - f n ω| ≤ ↑R
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => predictablePart f ℱ μ n ω) atTop atTop
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
P : Type u_8
Zero M
Zero N
Zero P
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
g₁ : α →₀ M
g₂ : α →₀ N
a : α
⊢ (Finsupp.zipWith f hf g₁ g₂) a = f (g₁ a) (g₂ a)
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a : α
⊢ |a * a| = a * a
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re • 1 + x.imI • q.i + x.imJ • q.j + x.imK • q.k) * (y.re • 1 + y.imI • q.i + y.imJ • q.j + y.imK • q.k)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝² : AddMonoid α
inst✝¹ : Group γ
inst✝ : DistribMulAction γ α
h : Periodic f c
a : γ
⊢ Periodic (fun x => f (a⁻¹ • x)) (a • c)
α : Type u_1
s t : Set α
h : t.ncard ≤ s.ncard
ht : t.Finite := by toFinite_tac
⊢ s ⊆ t ↔ s = t
α : Type u_1
β : α → Type u_2
P : (x : α) → β x → Prop
(a : α) → Encodable (β a)
(x : α) → (y : β x) → Decidable (P x y)
⊢ (∀ (x : α), ∃ y, P x y) ↔ ∃ f, ∀ (x : α), P x (f x)
⊢ Nat.castRingHom ℕ = RingHom.id ℕ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t : Set β
a : α
s : Set α
⊢ (op 0 • s)⁻¹ = 0⁻¹ • s⁻¹
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasurableSingletonClass (MeasureTheory.NullMeasurableSpace α μ)
hs : s.Finite
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
δ : Type u_5
TopologicalSpace δ
f : β × γ → δ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂κ a, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun y => f (x, y)) (η (a, x))
E : Type u_6
SeminormedGroup E
⊢ ‖1‖ = 0
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b c : α
H : b ∈ Set.Ioc a c
⊢ Set.Icc a c ∈ 𝓝[≤] b
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
f g : Π₀ (_a : α), ℕ
⊢ toMultiset f ≤ toMultiset g ↔ f ≤ g
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set α
⊢ sInf s = ⊤ ↔ ∀ a ∈ s, a = ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hf : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable g μ
⊢ f =ᵐ[μ] g
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ (MvPolynomial.eval fun x => 0) = MvPolynomial.constantCoeff
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → F) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Memℒp f p μ → Memℒp g p μ → StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → F⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f p μ → P f → P g
f : α → F
hf : Memℒp f p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
f_Lp : ↥(Lp F p μ) := toLp f hf
hfm_Lp : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f_Lp) μ
⊢ P ↑↑f_Lp
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedRing β
FloorRing α
FloorRing β
FunLike F α β
RingHomClass F α β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
⊢ Int.fract (f a) = f (Int.fract a)
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : FiniteMeasure Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
⊢ μ.toFiniteMeasure.normalize = μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : One β
x : β
⊢ x ∈ SimpleFunc.range 1 ↔ x ∈ {1}
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ (∃ S, (∀ t ∈ S, IsNowhereDense t) ∧ S.Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ S) → ∃ x, (∀ ⦃x_1 : Set X⦄, x_1 ∈ x → IsClosed x_1 ∧ IsNowhereDense x_1) ∧ (compl '' x).Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ x
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X : OppositeShift C A
a b c : A
h : a + b = c
⊢ (shiftFunctorAdd (OppositeShift C A) a b).hom.app X = ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app (Opposite.unop X)).op
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
⊢ ⇑0 = 0
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
m : M
n : M₂
⊢ (m, 0) ∈ fst R M M₂ ⊔ snd R M M₂
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ] {s t : Set α},
  s =ᵐ[μ] t → AddAction.aestabilizer G μ s = AddAction.aestabilizer G μ t
l : List Char
c : Char
m r : List Char
n : Nat
⊢ (if h : { data := l ++ c :: m ++ r }.atEnd { byteIdx := utf8Len l } = true then n else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.offsetOfPosAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) (n + 1)) = n + (c :: m).length