ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
⊢ univ.pi t₁ ⊆ univ.pi t₂ ↔ (∀ (i : ι), t₁ i ⊆ t₂ i) ∨ ∃ i, t₁ i = ∅
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : O
hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x ≠ 0
r : O
hr : r * ↑p = (Quotient.mk'' x).out' - x
⊢ preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x) = v ((algebraMap O K) x)
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
d : R
hd : d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
⊢ star d = d
α : Type u_2
M : Matroid α
I : Set α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
⊢ M.closure (⋂₀ Js) = ⋂ J ∈ Js, M.closure J
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ : V → E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither V (W →L[ℝ] ℝ)
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
μ : Measure V
hf : AEStronglyMeasurable f μ
aux0 : Continuous fun p => p.1.smulRight p.2
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => (L x).smulRight (f x)) μ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a✝ : α
inst✝¹ : FunLike F β α
inst✝ : SupHomClass F β α
hs : SupClosed s
f : F
a : β
ha : a ∈ ⇑f ⁻¹' s
b : β
hb : b ∈ ⇑f ⁻¹' s
⊢ a ⊔ b ∈ ⇑f ⁻¹' s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
⊢ (insert a s).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ ∀ b ∈ s, a ≠ b → r a b ∧ r b a
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
⊢ IsMinOn f s a ↔ ∀ x ∈ s, f a ≤ f x
x✝ y✝ z✝ : ℝ
n : ℕ
x y z : ℝ
h : 0 ≤ x
h₁ : x ≤ y
h₂ : 0 ≤ z
h₁' : x < y
⊢ x ^ z ≤ y ^ z
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Inf β
f : SupHom αᵒᵈ βᵒᵈ
a : αᵒᵈ
⊢ (InfHom.dual.symm f) a = f a
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
s : Set M
κ : Cardinal.{w'}
h3 : lift.{w', max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w'} κ
h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M
s' : Set (ULift.{w', w} M)
h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ #↑s'
h1 : ℵ₀ ≤ #↑s'
hs' : #↑s' = lift.{w, w'} κ
⊢ ∃ S, s ⊆ ↑S ∧ lift.{w', w} #↥S = #↑s'
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactors
⊢ ¬IsUnit ↑p
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
ι : Type w
t : Finset ι
f : ι → A
h : ∀ x ∈ t, f x ∈ S
⊢ ∑ x ∈ t, f x ∈ S
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ ⌊a⌋ ≤ z - 1 ↔ a < ↑z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᴹᵒᵖ
⊢ ∀ (X_1 : C), X.tensorRightUnmopIso.inv.app X_1 = 𝟙 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X_1 X.unmop)
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
n : ℕ
⊢ Pell.xn a1 n ≡ Pell.xn b1 n [MOD c] ∧ Pell.yn a1 n ≡ Pell.yn b1 n [MOD c]
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hf : BoxIntegral.Integrable I l f vol
hg : BoxIntegral.Integrable I l g vol
⊢ BoxIntegral.Integrable I l (f - g) vol
α : Type u_1
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
DistribLattice α
OrderBot α
DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → Finset ι
f : ι → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup f
hg : ∀ i' ∈ s, (g i').SupIndep f
⊢ (s.biUnion g).SupIndep f
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
Unique ι
s : ι → α
⊢ ⨆ i, s i = s default
R : Type u_3
A : Type u_4
Zero R
Zero A
⊢ Unitization.snd 0 = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : HomologicalComplex₂ C (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)
a b y : ℤ
⊢ K.shiftFunctor₂XXIso a b y (b + y) ⋯ =
  CategoryTheory.Iso.refl ((((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₂ C y).obj K).X a).X b)
a b m n p : ℕ
f : ℕ →₀ ℕ
hf : ∀ p ∈ f.support, Prime p
h : ∀ x ∈ f.support, x ^ f x ≠ 0
⊢ ∑ x ∈ f.support, (x ^ f x).factorization = f.sum single
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
⊢ ∑ x : R, ∑ y : R, χ (y * x⁻¹) * ψ (y - x) = ↑(Fintype.card R)
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
⊢ x - 1 ∣ x ^ n - 1
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
h : Sbtw R x y z
⊢ ¬Wbtw R y x z
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
ι : Type u_1
Nonempty ι
Fintype ι
b : ι → V
lin_ind : LinearIndependent K b
card_eq : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank K V
⊢ ⇑(basisOfLinearIndependentOfCardEqFinrank lin_ind card_eq) = b
M : Type u_1
inst✝⁶ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : MulSemiringAction M S
G : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulSemiringAction G S
g : G
f : S[X]
x : S
⊢ eval x (g • f) = g • eval (g⁻¹ • x) f
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
TopologicalSpace α
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ α
ContinuousConstSMul G₀ α
TopologicalSpace β
f : β → α
c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ (Continuous fun x => c • f x) ↔ Continuous f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u_2
f : ι → Cardinal.{u_2}
c : Cardinal.{u_2}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
⊢ #ι < c.ord.cof
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁✝ ν₂✝ : Measure α
s t : Set α
μ ν₁ ν₂ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : μ + ν₁ = μ + ν₂
⊢ ∀ (i : ℕ), ν₁.restrict (spanningSets μ i) = ν₂.restrict (spanningSets μ i)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ p.divX.natDegree = p.natDegree - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : Zero α
A : Matrix m m α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
h : (Matrix.fromBlocks A 0 C D).IsSymm
ha : A.IsDiag
hd : D.IsDiag
⊢ (Matrix.fromBlocks A 0 0ᵀ D).IsDiag
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
C : CoprodI M → Prop
m : CoprodI M
one : C 1
mul : ∀ {i : ι} (m : M i) (x : CoprodI M), C x → C (of m * x)
⊢ C m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
⊢ CategoryTheory.Presieve.singleton f f
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
S : Submodule R E
h : f.HasCore S
⊢ (f.domRestrict S).closure = f
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : Tendsto (fun x => ∑ i ∈ range x, ↑(f i)) atTop (𝓝 ↑l)
⊢ Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
n : ℕ
K : Type u_1
CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
⊢ IsIntegral ℤ μ
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
t_ne_zero' : t ≠ 0
t_ne_zero : ↑t ≠ 0
⊢ ρ s ≤ ↑t * (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : D ⥤ C
e.IsEquivalence
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasInitial D
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Fintype R
R' : Type v
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : IsDomain R'
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
F' : Type u_2
inst✝¹ : Field F'
inst✝ : Fintype F'
χ : MulChar F F'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F
hch₂ : ringChar F' ≠ 2
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
n' : ℕ+
hp' : Nat.Prime (ringChar F')
hc' : Fintype.card F' = ringChar F' ^ ↑n'
ψ : PrimitiveAddChar F F' := FiniteField.primitiveChar F F' hch₁
FF' : Type u_2 := CyclotomicField ψ.n F'
hchar : ringChar F' = ringChar FF'
⊢ ((algebraMap F' FF') (χ (-1)) * ↑(Fintype.card F)) ^ (ringChar FF' ^ ↑n' / 2) = (algebraMap F' FF') (χ (↑(ringChar FF') ^ ↑n'))
α : Type u
t : TopologicalSpace α
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace Y
π : X → Y
V : Set (Set X)
hV : IsTopologicalBasis V
h' : QuotientMap π
h : IsOpenMap π
⊢ ∀ u ∈ image π '' V, IsOpen u
R : Type u_1
S : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : CommSemiring P
inst✝⁴ : CommSemiring Q
M : Submonoid R
T : Submonoid P
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization T Q
g : R →+* P
hT : Submonoid.map g M = T
x : R
s : ↥M
⊢ mk' S x s ∈ RingHom.ker (map Q g ⋯) ↔ mk' S x s ∈ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker g)
α : Type u_2
β : Type u_3
Top α
Top β
f : TopHom α β
⊢ f.comp (TopHom.id α) = f
α : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
inst✝ : Unique α
β : α → Sort u_1
f : (i : α) → β i
⊢ uniqueElim ((fun f => f default) f) default = f default
u v : ℤ
n : ℕ
⊢ IsUnit ↑n ↔ IsUnit n
k : Type u
CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
f : X ⟶ Y
⊢ ↑((Representation.linHom.invariantsEquivRepHom X Y).symm f) = f.hom
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0
⊢ n ≠ 0
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a n x✝ : M
⊢ x✝ ∈ powers n ↔ x✝ ∈ closure {n}
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L
⊢ F.toSubalgebra = E.toSubalgebra ↔ F = E
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
x✝ : Cᵒᵖ
⊢ (α.inv.app (unop x✝) ≫ α.hom.app (unop x✝)).op = 𝟙 (op (G.obj (unop x✝)))
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsLindelof s
a : X
⊢ IsLindelof (insert a s)
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroupWithOne G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
n : ℤ
⊢ f (x - ↑n) = f x - n • b
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
j : J
I : IsInitial j
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), IsIso (F.map f)
⊢ colimit.ι F j ≫ colimit.desc F (coconeOfDiagramInitial I F) = 𝟙 (F.obj j)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
L : E ≃L[𝕜] F
φ : X → E
this : CompleteSpace E ↔ CompleteSpace F
left✝ : CompleteSpace E
right✝ : CompleteSpace F
⊢ ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S✝ T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
this : H' = map H.subtype H''
S : Set ↥H
cmem : S ∈ leftTransversals ↑H''
⊢ ∃ S, S * ↑(map H.subtype H'') = ↑H ∧ Nat.card ↑S * Nat.card ↥(map H.subtype H'') = Nat.card ↥H
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
b : β
l : List α
⊢ List.foldr f b l = List.foldrM f b l
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : E → ℝ
f' g' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hg : HasFDerivWithinAt g g' s x
h : 0 < f x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => f x ^ g x) ((g x * f x ^ (g x - 1)) • f' + (f x ^ g x * Real.log (f x)) • g') s x
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
α : Type u_1
inst✝ : (constantsOn α).Structure M
a : α
x : Fin 0 → M
⊢ funMap (Sum.inr a) x = ↑(L.con a)
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁴ : OrderedRing α
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : a < 0
⊢ a • b₁ < a • b₂ ↔ b₂ < b₁
α : Type u_2
LE α
⊢ WithTop.toDualBotEquiv ⊤ = ⊤
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
H : IsCoprime x y
⊢ IsCoprime (x ^ m) y
M : Type u_1
E : Type u_2
Bornology M
Zero E
SMulZeroClass M E
s : Set E
hs : 0 ∈ s
⊢ Absorbs M s 0
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : DivisionRing 𝕜
inst✝³ : HasKernels C
inst✝² : Linear 𝕜 C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : (X ≅ Y) → False
f : X ⟶ Y
p : ¬IsIso f ↔ f = 0
⊢ f = 0
n : ℕ
α : Type u_1
Preorder α
f : α → Fin (n + 1)
hf : ∀ (a : α), f a ≠ Fin.last n
hf₂ : Monotone f
⊢ Monotone fun a => (f a).castPred ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) ⊤ = (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict (Set.range f)) ⊤
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ : UniformSpace α✝
inst✝⁴ : UniformSpace β
inst✝³ : UniformSpace γ
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : DiscreteTopology α
inst✝ : T0Space β
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
⊢ ClosedEmbedding f
M : Type u_6
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ Function.Injective AddEquiv.toAddMonoidHom
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁵ : HasZeroObject C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms S.P
⊢ S.P 0
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h✝ : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
hoy : 0 < orderOf y
hxy : orderOf x ∣ orderOf y
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : p ∣ orderOf y
hd : orderOf (x * y) ∣ orderOf y / p
h : p ∣ orderOf x
⊢ p * orderOf x ∣ orderOf y
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
s t : LeftLift f g
i : s ⟶ t
x : B
h : x ⟶ c
⊢ (s.whisker h).hom ≫ (postcomp x f).map (h ◁ i.right) = (t.whisker h).hom
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a b : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ (a - b).im = a.im - b.im
G : Type u_3
Group G
a b c : G
⊢ a / b = c ↔ a = c * b
α : Type u_1
AddGroup α
LinearOrder α
x : α
⊢ |x| = x ∨ |x| = -x
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0
this : p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p * C p.leadingCoeff⁻¹).Monic
θ : ↑I
⊢ ↑θ ≤ 1
f : ZFSet → ZFSet
H : Definable 1 f
x z : ZFSet
zx : z ∈ x
y : ZFSet
yx : (fun w => z.pair w ∈ map f x) y
w : ZFSet
left✝ : w ∈ x
we : w.pair (f w) = z.pair y
⊢ y = f z
ι : Type u_1
α : Type u_3
CommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → Additive α
⊢ Additive.toMul (∑ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, Additive.toMul (f i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (CommMon_.equivLaxBraidedFunctorPUnit C).unitIso = CommMon_.EquivLaxBraidedFunctorPUnit.unitIso C
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
e : Basis ι R M
IsEmpty ι
⊢ e.det = AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1
S : ShortComplex Ab
⊢ AddMonoidHom.ker S.g ≤ AddMonoidHom.range S.f ↔ AddMonoidHom.range S.f = AddMonoidHom.ker S.g
R : Type u_1
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
p : Polynomial R
s : Set R
⊢ ContinuousOn (fun x => Polynomial.eval x p) s
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ s ∩ ⋃ i, ⋃ j, t i j = ⋃ i, ⋃ j, s ∩ t i j
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
e : M ≃+ N
e' : N → M
h₁ : Function.LeftInverse e' ⇑e
h₂ : Function.RightInverse e' ⇑e
h₃ :
  ∀ (x y : M),
    { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x + y) =
      { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x +
        { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
⊢ { toFun := ⇑e, invFun := e', left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_add' := h₃ } = e
R : Type u_6
Ring R
Fintype R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : Fintype.card R = p ^ n
hR : ∀ i ≤ n, ↑p ^ i = 0 → i = n
⊢ CharP R (p ^ n)
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
⊢ IsOpen (f ⁻¹' s)
x y : ℝ
⊢ cosh x ^ 2 = sinh x ^ 2 + 1
M : Type u_1
Mul M
c d : Con M
x y : M
⊢ (c ⊓ d) x y ↔ c x y ∧ d x y
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
f : α → β → γ
em : m ≃ m'
en : n ≃ n'
M : Matrix l l' α
N : Matrix m n β
⊢ Matrix.kroneckerMap f M ((Matrix.reindex em en) N) =
  (Matrix.reindex ((Equiv.refl l).prodCongr em) ((Equiv.refl l').prodCongr en)) (Matrix.kroneckerMap f M N)
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
hs : s₁ = s₂
hfg : ∀ a ∈ s₂, f a = g a
⊢ s₁.inf f = s₂.inf g
f : Bool → Bool → Bool
m : ℕ
⊢ Nat.bitwise f 0 m = if f false true = true then m else 0
𝕜 : Type u_4
F : Type u_5
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
self : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
r : 𝕜
⊢ ⟪r • x, y⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) r * ⟪x, y⟫_𝕜
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
δ : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
⊢ Convex ℝ (Metric.cthickening δ s)
s : Set SetTheory.Game
Small.{u, u + 1} ↑s
⊢ BddBelow s
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
l : List (α ⊕ (i : ℕ) × L.Functions i)
⊢ FirstOrder.Language.Term.encoding.decode l =
  (do
      let a ← (FirstOrder.Language.Term.listDecode l).head?
      pure (some a)).join
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u
CategoryTheory.Category.{t, u} A
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
F.IsContinuous J K
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Sheaf K A} (f : X ⟶ Y) (X_1 : Cᵒᵖ),
  ((F.sheafPushforwardContinuous A J K).map f).val.app X_1 = f.val.app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop X_1)))
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S T : Subalgebra R A
h : S = T
x : ↥S
⊢ (S.equivOfEq T h) x = ⟨↑x, ⋯⟩
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), ‖-x‖ = ‖x‖
nm_add : ∀ (x y : ι → ℝ), ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
⊢ volume {x | ∑ i : ι, |x i| ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
m : ℕ
hmn : ↑m ≤ n
x : E
⊢ p x m = iteratedFDeriv 𝕜 m f x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
OrderTop α
OrderBot β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a : α
b : β
⊢ Finset.Icc (Sum.inrₗ b) (Sum.inlₗ a) = ∅
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
⊢ eLpNorm 0 p μ < ⊤
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → α
⊢ MeasurableSpace.invariants f ≤ inst✝
α : Sort u_1
β : Sort u_2
⊢ IsEmpty (α → β) ↔ Nonempty α ∧ IsEmpty β
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
⊢ (M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree < ↑(Fintype.card n - 1)
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
ϕ : L →ᴸ L'
L'' : FirstOrder.Language
ψ : L'' →ᴸ L'
⊢ (ϕ.sumElim ψ).comp FirstOrder.Language.LHom.sumInl = ϕ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
⊢ f.eta.hom.left = CategoryTheory.CategoryStruct.id f.left
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ closure (closure s) = closure s
s : ℂ
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Ioi 0) volume
⊢ False
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
p : ℝ
hp_nonneg : 0 ≤ p
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f_lim a‖₊ ^ p ∂μ = ∫⁻ (a : α), liminf (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop ∂μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF_int : Integrable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a
f' : ℕ → α → ℝ := fun i a => -f i a
F' : α → ℝ := fun a => -F a
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f' i a) atTop (𝓝 (F' a))
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
⊢ {a} ×ˢ {b} = {(a, b)}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
TopologicalSpace γ
T2Space γ
b : β
f : α → γ
g : β → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : α) in Filter.comap i (𝓝 b), g (i x) = f x
hg : ContinuousAt g b
⊢ di.extend f b = g b
x : ℤ
r : ℝ
⊢ Int.cast ⁻¹' Metric.ball (↑x) r = Metric.ball x r
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
a b : M
h : b * a = 1
⊢ IsUnit b
m : Type u_2
α : Type v
β : Type w
Fintype m
DecidableEq m
NonAssocSemiring α
NonAssocSemiring β
f : α ≃+* β
⊢ f.mapMatrix.symm = f.symm.mapMatrix
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x : ↥p
⊢ ↑x = 0 ↔ x = 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℂ
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
a : ℂ
⊢ MellinConvergent (fun t => f t / a) s
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
⊢ G.IsUniform ε {a} {b} ↔ 0 < ε
M : Type u_2
x : M
Preorder M
Zero M
h : 0 < x
⊢ NeZero x
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
x : P
hx : x ∈ I * J
⊢ ∃ T T', ↑T ⊆ ↑I ∧ ↑T' ⊆ ↑J ∧ x ∈ Submodule.span R (↑T * ↑T')