ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
CanonicallyOrderedCommSemiring α
Sub α
OrderedSub α
IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ a * (b - c) = a * b - a * c
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
hp' : p ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f g : α → β
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : ∀ x ∈ s, dist (f x) (g x) ≤ c
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (s.indicator (f - g)) p μ ≤ ENNReal.ofReal c * μ s ^ (1 / p.toReal)
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven a s =
  HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven₀ a s - (if a = 0 then 1 else 0) / s - 1 / (1 - s)
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
M : ℝ
hM : 1 < M
⊢ Tendsto (fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n) (𝓝[stolzSet M] 1) (𝓝 l)
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
R : L.Relations 1
t : L.Term (α ⊕ Fin l)
x✝ : Fin 1
⊢ realize (Sum.elim v xs) (![t] x✝) = ![realize (Sum.elim v xs) t] x✝
n : PosNum
fuel : ℕ
ih : ∀ {k : PosNum}, (↑n).sqrt < fuel + ↑k.bit1 → ↑(n.minFacAux fuel k) = (↑n).minFacAux ↑k.bit1
k : PosNum
h : (↑n).sqrt < fuel + 1 + ↑k.bit1
⊢ ↑(if n < k.bit1 * k.bit1 then n else if k.bit1 ∣ n then k.bit1 else n.minFacAux fuel k.succ) = if ↑n < ↑(k.bit1 * k.bit1) then ↑n else if ↑k.bit1 ∣ ↑n then ↑k.bit1 else (↑n).minFacAux (↑k.bit1 + 2)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ
⊢ (addOppositeEquiv.symm x).orderTop = (AddOpposite.unop x).orderTop
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
h : IsSupClosedCompact α
a : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x > x_1
⊢ sSup (range ⇑a) ∈ range ⇑a
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
W : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory W
CategoryTheory.MonoidalCategory V
CategoryTheory.MonoidalCategory W
F : CategoryTheory.MonoidalFunctor V W
G : MonCat
⊢ (F.mapAction G).ε.hom = F.ε
a b : ℕ
hb : 0 < b
⊢ b < a * b ↔ 1 < a
α : Type u_1
CancelMonoidWithZero α
PartialOrder α
⊢ PosMulReflectLE α ↔ PosMulReflectLT α
α : Sort u
β : Sort v
inst✝ : Nonempty α
⊢ Uncountable α ↔ ∀ (f : ℕ → α), ¬Surjective f
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
H H' : G.Subgraph
⊢ SimpleGraph.Subgraph.map f (H ⊔ H') = SimpleGraph.Subgraph.map f H ⊔ SimpleGraph.Subgraph.map f H'
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hg : UnifIntegrable g p μ
hp : 1 ≤ p
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε2 : 0 < ε / 2
δ₁ : ℝ
hδ₁_pos : 0 < δ₁
hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
δ₂ : ℝ
hδ₂_pos : 0 < δ₂
hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ + eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : E
⊢ ContDiffOn ℝ ⊤ (stereoToFun v) {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
i : ι
x : ℝ
⊢ I.splitLower i x = ⊥ ↔ x ≤ I.lower i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
ι : Sort u_5
s : ι → Set E
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
hc : ∀ ⦃i : ι⦄, Convex 𝕜 (s i)
⊢ Convex 𝕜 (⋃ i, s i)
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x < ↑(f x)) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, ⊥ < g x) ∧ ∫ (x : α), f x ∂μ < ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ + ε
K : Type u_1
Field K
φ : K →+* ℂ
x : K
⊢ (NumberField.canonicalEmbedding K) x φ = φ x
α : Type u_2
Fintype α
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t).dens ≤ s.dens + t.dens
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
module_M : Module R M
p : Submodule R M
x : M
r : R
h : x ∈ p
⊢ r • x ∈ p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
One M'
⊢ ContMDiff I I' n 1
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a : α
⊢ SupClosed {a}
R : Type u_1
Semiring R
r x : R
⊢ (Polynomial.taylor r) (Polynomial.C x) = Polynomial.C x
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c d : B
f : a ⟶ b
g g' : b ⟶ c
η : g ⟶ g'
h : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η) h)
      (CategoryTheory.Bicategory.associator f g' h).hom)
n : ℕ+
K : Type u_1
Field K
L : Type u_2
CommRing L
IsDomain L
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {n} K L
h : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (↑n) K)
t : (ZMod ↑n)ˣ
⊢ (IsCyclotomicExtension.autEquivPow L h).symm t =
  (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hα : IsIntegral F α
hβ : IsIntegral F β
f : F[X] := minpoly F α
g : F[X] := minpoly F β
ιFE : F →+* E := algebraMap F E
ιEE' : E →+* (Polynomial.map ιFE g).SplittingField := algebraMap E (Polynomial.map ιFE g).SplittingField
c : F
hc : ∀ α' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) g).roots, -(α' - ιEE' α) / (β' - ιEE' β) ≠ (ιEE'.comp ιFE) c
γ : E := α + c • β
p : (↥F⟮γ⟯)[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) f).comp (C (AdjoinSimple.gen F γ) - C ⟨(algebraMap F E) c, ⋯⟩ * X)) (Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) g)
h : E[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map ιFE f).comp (C γ - C (ιFE c) * X)) (Polynomial.map ιFE g)
⊢ β ∈ F⟮γ⟯
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
i : ι
j : ι
hj : j ≤ i
⊢ MeasurableSet (s j)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.mopFunctor C).map f = f.mop
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
ε : 𝕜
Fintype α
DecidableRel G.Adj
Nonempty α
h₀ : G.FarFromTriangleFree ε
h₁ : G.CliqueFree 3
⊢ ε ≤ 0
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ Continuous fun x => 1 + x ^ 2
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Surjective (AddSubsemigroup.map f)
α : Type u
r : α → α → Prop
h : Reflexive r
a : α
s : Set α
hd : DirectedOn r s
ha : ∀ b ∈ s, ∃ c ∈ s, r a c ∧ r b c
⊢ DirectedOn r (insert a s)
a b : ℕ
⊢ Nat.cast '' Set.Icc a b = Set.Icc ↑a ↑b
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
f₁ : n → p
f₂ : m → n
⊢ LinearMap.funLeft R M (f₁ ∘ f₂) = LinearMap.funLeft R M f₂ ∘ₗ LinearMap.funLeft R M f₁
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
hn : IsPrimePow ↑n
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
h : n ≠ 2
this : 2 < n
hprime : Fact (Nat.Prime (↑n).minFac) := { out := minFac_prime (IsPrimePow.ne_one hn) }
⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = ↑(↑n).minFac
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a : R
n : ℕ
ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
⊢ 0 < a ^ n ↔ 0 < a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_4
CompleteLattice α
f : β × γ → α
s : Set β
t : Set γ
⊢ ⨆ x ∈ s ×ˢ t, f x = ⨆ a ∈ s, ⨆ b ∈ t, f (a, b)
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
(F.comp G).EssSurj
G.Faithful
G.Full
⊢ F.EssSurj
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
⊢ (-o).oangle x (x - y) = ↑(Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖))
G : Type u_7
AddCommGroup G
L : List G
⊢ -L.sum = (List.map (fun x => -x) L).sum
α : Type u
a : α
s t : Set α
⊢ insert a s ∪ t = insert a (s ∪ t)
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
CommMonoid β
b : β
⊢ b ^ s.card * ∏ a ∈ s, f a = ∏ a ∈ s, b * f a
⊢ ∀ {α : Sort u_1} {a b : α} {P : Prop} [inst : Decidable P], (if P then a else b) = a ↔ ¬P → b = a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
M' : Submodule R ↥M₁
N' : Submodule R ↥N₁
left✝¹ : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥N'
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
⊢ ∃ M' N', ∃ (hM : M' ≤ M₁) (hN : N' ≤ N₁), Module.Finite R ↥M' ∧ Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion hN)))
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n✝ : ι
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
n : ι
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_sf_min : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ.restrict {x | σ x ≤ τ x}, (μ[stoppedValue f τ|⋯.measurableSpace]) x = (μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]) x
G : Type u_1
AddMonoid G
Nontrivial G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ AddMonoid.exponent G = p ↔ ∀ (g : G), g ≠ 0 → addOrderOf g = p
p : Nat.Primes
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ 2 ^ (-s).re ≤ 1 / 2
α : Type u
β : Type v
AddGroup α
AddAction α β
x : β
g : α ⧸ AddAction.stabilizer α x
⊢ AddAction.ofQuotientStabilizer α x g ∈ AddAction.orbit α x
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (fun x => (μ (s (n + 1))).toReal) ω
⊢ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) k]) ω) atTop atTop} =ᶠ[ae μ] Set.univ
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set ↑M.E
⊢ (M.restrictSubtype M.E).Base B ↔ M.Base ↑B
α : Type u_5
r₁₁ : α → α → Prop
hr : ∀ (a : α), r₁₁ a a
⊢ Relator.BiTotal r₁₁
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
haef : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯)
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯
hui' : UnifIntegrable (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯) p μ
hut' : UnifTight (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯) p μ
hg : StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯)
hgg' : g =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable.mk g ⋯
hg'' : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ
haefg' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯ x))
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this✝ : FiniteDimensional ℝ E
this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)
b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v
hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, 0 ≤ |⟪b i, v i⟫_ℝ|
α✝ : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝³ : Primcodable α✝
inst✝² : Primcodable σ
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
n : ℕ
⊢ Nat.unpaired (fun z n => Nat.casesOn n 0 fun y => Nat.unpaired (fun z n => Nat.casesOn n 0 fun y => (Nat.unpair (Nat.pair z y)).1.succ) (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.pair z y)).2 (encode (decode (Nat.unpair (Nat.pair z y)).1)))) (Nat.pair (Nat.unpair n).2 (encode (decode (Nat.unpair n).1))) = encode (Option.map Prod.fst (decode n))
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
h : a ⋖ b
⊢ Set.Ioc a b = {b}
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_6
FunLike F α β
SupSet α
SupSet β
sSupHomClass F α β
f : F
g : ι → α
⊢ f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
P : CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation A
η : A ⟶ B
CategoryTheory.IsIso η
s : CategoryTheory.Limits.Cocone (P.F.comp CategoryTheory.yoneda)
X : Cᵒᵖ
⊢ ∀ (a : (P.cocone.extend η).pt.obj X),
  ((P.extend η).isColimit.desc s).app X a = (P.coconeIsColimit.desc s).app X (CategoryTheory.inv (η.app X) a)
α : Type u_1
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≤ 1
hab : b ≤ a
⊢ mabs a ≤ mabs b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Tendsto m f (𝓝 a)
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun x => m x * b) f (𝓝 (a * b))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
a0 : ¬a = 0
⊢ a % a = 0
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hf : BddBelow (f '' Ioi x)
hf_mono : Monotone f
⊢ ⨅ q, f ↑↑q ≤ ⨅ r, f ↑r
α : Type u_1
Finite α
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : p x
⊢ q (e.extendSubtype x)
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
x : ℝ
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hx : f x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ s x
⊢ derivWithin (fun x => √(f x)) s x = derivWithin f s x / (2 * √(f x))
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
m : ↥M
x✝ : S
⊢ m • x✝ = (algebraMap R S) ↑m * x✝
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_5
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
⊢ Injective ⇑(algebraMap R S)
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c✝ d c : α
⊢ a / c ≤ b / c ↔ a ≤ b
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
this : IsSymm E fun x y => 1 ≤ ‖x - y‖
⊢ ∀ (s : Finset E), (∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ R) → ∃ y, ‖y‖ ≤ R ∧ ∀ x ∈ s, 1 ≤ ‖x - y‖
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬p.content = 0
⊢ p.content * p.primPart.content = p.content * 1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P : C
f g h : Over P
R : C
p : R ⟶ f.left
q : R ⟶ g.left
ep : Epi p
Eq : Epi q
comm : p ≫ f.hom = q ≫ g.hom
R' : C
p' : R' ⟶ g.left
q' : R' ⟶ h.left
ep' : Epi p'
eq' : Epi q'
comm' : p' ≫ g.hom = q' ≫ h.hom
⊢ (pullback.fst q p' ≫ p) ≫ f.hom = (pullback.snd q p' ≫ q') ≫ h.hom
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ y
⊢ x (Nat.find ⋯) ≠ y (Nat.find ⋯)
V : Type u
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
v w : V
⊢ ⟪coercive.continuousLinearEquivOfBilin v, w⟫_ℝ = (B v) w
x y : ℝ≥0
⊢ NNReal.sqrt x = y ↔ x = y ^ 2
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.StableUnderBaseChange @AlgebraicGeometry.QuasiSeparated
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x✝ y z : V
x : { x // x ∈ ofVectorSpaceIndex K V }
⊢ ↑x = (ofVectorSpace K V) x
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_8, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_12, u_4} D₁
inst✝¹ : Category.{u_9, u_5} D₂
inst✝ : Category.{u_10, u_6} D₃
H₁ : C₁ ⥤ D₁
L₁ : C₁ ⥤ C₂
R₁ : D₁ ⥤ D₂
H₂ : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare H₁ L₁ R₁ H₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
R₂ : D₂ ⥤ D₃
H₃ : C₃ ⥤ D₃
w'✝ : TwoSquare H₂ L₂ R₂ H₃
E : C₂ ≌ C₃
E' : D₂ ≌ D₃
w' : H₂ ⋙ E'.functor ≅ E.functor ⋙ H₃
L₁₂ : C₁ ⥤ C₃
R₁₂ : D₁ ⥤ D₃
eL : L₁ ⋙ E.functor ≅ L₁₂
eR : R₁ ⋙ E'.functor ≅ R₁₂
⊢ (w.vComp' w'.hom eL eR).GuitartExact ↔ w.GuitartExact
q : ℚ
x : ℝ
⊢ Irrational (↑q * x) ↔ q ≠ 0 ∧ Irrational x
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
⊢ g.sum k x = g.sum fun i b => k i b x
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
hq : q ≠ 0
h : ¬p = 1
⊢ ¬q = 0 ∧ ¬p.degree = ⊥
α : Type u_1
s t : Set α
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
⊢ (s * t).IsPWO
α : Type u_1
β : Type u_2
as : Array α
f : α → β
motive : Nat → Prop
h0 : motive 0
p : Fin as.size → β → Prop
hs : ∀ (i : Fin as.size), motive ↑i → p i (f as[i]) ∧ motive (↑i + 1)
⊢ motive as.size ∧ ∃ eq, ∀ (i : Nat) (h : i < as.size), p ⟨i, h⟩ (Array.map f as)[i]
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.98653, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.99132, u_2} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
X : C
s : ↑(F ⋙ yoneda.obj X).sections
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ 𝟙 (op X) ≫ (↑s j').op = (↑s j).op ≫ F.map f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.N₁Γ₀.hom.app K =
  (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv ≫
    (CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀NondegComplexIso K).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a : α
z : Sym2 α
hd : ¬z.IsDiag
h : a ∈ z
⊢ Mem.other h ≠ a
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ
⊢ stabilizer G ↑s = s.unop
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Norm α
inst✝ : Norm β
n : ℕ
h : p = ↑n
f : WithLp p (α × β)
⊢ ‖f‖ = (‖f.1‖ ^ n + ‖f.2‖ ^ n) ^ (1 / ↑n)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
s t : Associates α
d : Associates α
eq : t = s * d
⊢ s.factors ≤ t.factors
n : ℕ
m : ℕ
⊢ ∀ (a : Fin n), (Fin.castAddOrderEmb m) a = Fin.castAdd m a
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E
⊢ (trivializationAt F E x.proj).toPartialEquiv ≫ (chartAt HB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F) ≫ IB.prod (PartialEquiv.refl F) = (trivializationAt F E x.proj).toPartialEquiv ≫ ((chartAt HB x.proj).toPartialEquiv ≫ IB.toPartialEquiv).prod (PartialEquiv.refl F)
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l l' : Filter α
h : f =O[l'] g
hl : l ≤ l'
⊢ f =O[l] g
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
s t : Finset ι
DecidableEq ι
⊢ ∏ i ∈ s \ t, f i < ∏ i ∈ t \ s, f i ↔ ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ t, f i
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (⇑(measurableEquivIoc T t).symm) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ((measurableEquivIoc T t).symm x)
⊢ ∫ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫ (b : AddCircle T), f b
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : MulPosStrictMono α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
or_a : 0 ≤ a ∨ a ≤ 0
or_b : 0 ≤ b ∨ b ≤ 0
⊢ (0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0) ∨ (0 ≤ b ∧ 0 ≤ c ∨ b ≤ 0 ∧ c ≤ 0) ∨ 0 ≤ c ∧ 0 ≤ a ∨ c ≤ 0 ∧ a ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t) ∩ s = s
α : Type u_2
β : Type u_3
SupSet α
SupSet β
f : sSupHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
d : ℕ
h : d ≠ 0
n : ℕ
c : (↑n).natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
e : divNat a b = ⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩
hd : ↑d ≠ 0
⊢ ↑⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩ = ↑a / ↑b
n q : ℕ
hn' : 1 < n
hq : q ≠ 1
⊢ (q - 1) ^ n.totient < (Polynomial.eval (↑q) (Polynomial.cyclotomic n ℤ)).natAbs