ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Star A
Module R A
S : Type w''
SetLike S A
NonUnitalSubsemiringClass S A
hSR : SMulMemClass S R A
StarMemClass S A
s : S
⊢ ⇑(NonUnitalStarSubalgebraClass.subtype s) = Subtype.val
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
⊢ ∑' (x : ↑Set.univ), f ↑x = ∑' (x : β), f x
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
x : R ⧸ I ⊓ J
⊢ ((I.quotientInfEquivQuotientProd J coprime) x).2 = (Ideal.Quotient.factor (I ⊓ J) J ⋯) x
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : ∀ (x : M), ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g u
⊢ LiftPropOn P g univ
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
γ : Type u_1
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
g : γ → α
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
⊢ ∀ᶠ (m : (ι × ι) × γ) in (p ×ˢ p) ×ˢ comap g p', ((fun n => F n ∘ g) m.1.1 m.2, (fun n => F n ∘ g) m.1.2 m.2) ∈ u
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → G
C : ℝ
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ ≤ C * (μ Set.univ).toReal
ι : Type u_6
Y₁ : ι → Type u_7
Y₂ : ι → Type u_8
(i : ι) → TopologicalSpace (Y₁ i)
(i : ι) → TopologicalSpace (Y₂ i)
F : (i : ι) → Y₁ i ≃ₜ Y₂ i
⊢ (Homeomorph.piCongrRight F).toEquiv = Equiv.piCongrRight fun i => (F i).toEquiv
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0
⊢ 0 < angle x (x - y)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
⊢ MeasurableSet {p | p.2 = f p.1}
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a : α
⊢ Function.Injective fun x => x ∆ a
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
Preorder α
Preorder β
gi : GaloisInsertion l u
s : Set β
a : α
hs : IsGLB (u '' s) a
⊢ IsGLB s (l a)
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
⊢ (lineMap p₀ p₁) 0 = p₀
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
I : (Submodule R A)ˣ
this : 1 ∈ ↑I * ↑I⁻¹
T T' : Finset A
hT : ↑T ⊆ ↑↑I
hT' : ↑T' ⊆ ↑↑I⁻¹
one_mem : 1 ∈ span R (↑T * ↑T')
⊢ (↑I).FG
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Unique X
y : Y
x : X
⊢ (Homeomorph.continuousMapOfUnique y) x = y
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
k : K
hk : I = spanSingleton R⁰ k
n : R := choose ⋯
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯})).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑(choose ⋯)})).factors)) = I
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
M : ℝ
hM : 1 < M
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
g : ℂ → ℂ := fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n
hm : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (∑ i ∈ range n, f i) l < ε
⊢ Tendsto (fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n) (𝓝[stolzSet M] 1) (𝓝 l)
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B' ∪ J
⊢ J ⊆ X \ B'
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
HasDistribNeg α
GCDMonoid α
a b : α
⊢ Associated (gcd (-a) b) (gcd a b)
α : Type u_1
s : Set α
Fintype ↑s
⊢ s.ncard = s.toFinset.card
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : C
⊢ Symmetric (CategoryTheory.Abelian.PseudoEqual P)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
h : a ≤ b
ha : 0 ≤ a
⊢ ⌊a⌋₊ ≤ ⌊b⌋₊
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
this : x₀ ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
x : ((i : ι) → Ms i) ⧸ pi Set.univ p
x' : (i : ι) → Ms i
⊢ invFun p (toFun p (Quotient.mk'' x')) = Quotient.mk'' x'
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
x : S
p q : R[X]
⊢ Polynomial.eval₂ (algebraMap R S) x (p * q) =
  Polynomial.eval₂ (algebraMap R S) x p * Polynomial.eval₂ (algebraMap R S) x q
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
m : ℤ
⊢ ((autEquivZmod H L hζ).symm (Multiplicative.ofAdd ↑m)) α = ζ ^ m • α
α : Type u
Preorder α
a : α
⊢ IsGreatest (Set.Iic a) a
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
h₁ : DifferentiableAt ℝ f x
h₂ : f x ≠ 0
⊢ deriv (Real.log ∘ f) x = logDeriv f x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ : S₁ ⟶ S₂
φ₂ : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
h₃ : S₃.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁ φ₂) h₁ h₃ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' φ₁ h₁ h₂)
    (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' φ₂ h₂ h₃)
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
⊢ (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) ((expand p) (W_ ℤ n))) Φ = (bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {x : α}, (x :: List.nil).dropLast = List.nil
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ Filter.comap f (Filter.cocompact Y) ≤ Filter.cocompact X
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)
n n₁ n₂ : ℤ
h : n₁ + n₂ = n
⊢ (n₁ * y + x * y).negOnePow • 𝟙 ((K.X (n₁ + x)).X (n₂ + y)) ≫ K.ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) (n₂ + y) (n + x + y) ⋯ ≫ 𝟙 ((K.total (up ℤ)).X (n + x + y)) = (n₁ * y + x * y).negOnePow • ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) n₁ (n₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f (n + y) ≫ ((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).hom.app (K.total (up ℤ))).f n
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ a • ↑s = ↑s
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
⊢ x ∈ LinearMap.ker (killingForm K L)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
s : Set α
x : α
⊢ fract x ∈ s ↔ ∃ i, x - ↑i ∈ s ∧ x - ↑i ∈ Ico 0 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
f : E → F
g : F →L[𝕜] G
hf : ContDiff 𝕜 n f
x : E
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 i (⇑g ∘ f) x = g.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDeriv 𝕜 i f x)
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
S : Submodule R M
S' : Submodule R M₂
⊢ Submodule.map (f.coprod g) (S.prod S') = Submodule.map f S ⊔ Submodule.map g S'
α : Type u_1
MulZeroClass α
Preorder α
PosMulMono α
a b : { x // 0 ≤ x }
⊢ ↑(a * b) = ↑a * ↑b
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
⊢ (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts).card = P.parts.card - s.card % P.parts.card
α : Type u
t t' : TopologicalSpace α
⊢ Continuous id ↔ t ≤ t'
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
e : ι₂ ↪ ι
p : ι → P
⊢ Finset.centroid k (Finset.map e s₂) p = Finset.centroid k s₂ (p ∘ ⇑e)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
hxA : x ∈ A
hAx : ∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ A → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ A → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
⊢ IsExtreme 𝕜 A {x}
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
F.CommShift A
X Y : C
f : X ⟶ Y
a : A
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).map f)) ((F.commShiftIso a).hom.app Y) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.commShiftIso a).hom.app X) ((CategoryTheory.shiftFunctor D a).map (F.map f))
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f g : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ μ.testAgainstNN f ≤ μ.testAgainstNN g + nndist f g * μ.mass
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
j : ι
h : ¬c.Rel (c.prev j) j
⊢ (C.xPrevIsoSelf h).inv ≫ C.dTo j = 0
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊥, ⊥)
α : Type u
AddGroup α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
h : a ≤ 0
⊢ a ≤ -a
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma L R
⊢ (CategoryTheory.Comma.snd L R).obj X = X.right
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ ContinuousWithinAt f s x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ T2Space (SeparationQuotient X) ↔ R1Space X
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ extremePoints 𝕜 B → x✝ ∈ extremePoints 𝕜 A
I : Type u_1
J : Type u_2
R : Type u_5
K : Type u_6
CommSemiring K
Semiring R
Fintype I
Fintype J
Algebra K R
DecidableEq I
DecidableEq J
m : Matrix I I (Matrix J J R)
ik jl : I × J
⊢ (Matrix.compAlgEquiv I J R K) m ik jl = m ik.1 jl.1 ik.2 jl.2
R : Type u_2
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
zero_eq_one : 0 = 1
⊢ x = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
U V : TopologicalSpace.Opens ↑X
i : U ⟶ V
x : ↥U
CategoryTheory.ConcreteCategory C
s : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj (Opposite.op V))
⊢ (F.germ x) ((F.map i.op) s) = (F.germ ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) s
α : Type u_2
OrderedCommGroup α
a : α
⊢ (NonemptyInterval.pure a)⁻¹ = NonemptyInterval.pure a⁻¹
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
⊢ (F.obj n).map (F.ε.app X) = 𝟙 ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X)) ≫ (F.map (λ_ n).inv).app X ≫ (F.μIso (𝟙_ M) n).inv.app X
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α✝ : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
M : Type u_11
α : Type u_12
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : SMul Mᵐᵒᵖ α
inst✝ : IsCentralScalar M α
a : α
X✝ : M
⊢ MulOpposite.unop (MulOpposite.op X✝) • a = MulOpposite.op X✝ • a
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
⊢ G.Preconnected ∧ Nonempty V ↔ ∃ v, ∀ (w : V), G.Reachable v w
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
c : ComplexShape ι
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.mk (HomologicalComplex.homologyMap S.g i) (hS.δ i j hij) ⋯).Exact
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : DecidableEq R
⊢ ↑(Finset.filter IsUnit Finset.univ).card = ↑(Finset.map { toFun := Units.val, inj' := ⋯ } Finset.univ).card
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : Set α
t : Set β
x✝ : γ
⊢ x✝ ∈ image2 f s t ↔ x✝ ∈ ⋃ i ∈ s, ⋃ j ∈ t, {f i j}
α : Type u
⊢ Multiplicative.ofAdd.symm = Multiplicative.toAdd
R : Type u
Semiring R
ι : Sort u_1
S : ι → Ideal R
i : ι
x : R
⊢ x ∈ S i → x ∈ iSup S
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
this : Continuous fun p => (p.1⁻¹, p.2)
H : (Subtype.val ⁻¹' ((fun a => a.1⁻¹ * a.2) '' K ×ˢ L)).Finite
x : ↥S
⊢ S.equivOp x • K ∩ L ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a, b) ∈ K ×ˢ L ∧ a⁻¹ * b = ↑x
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
hI : IsHomogeneous 𝒜 I
I_ne_top : I ≠ ⊤
homogeneous_mem_or_mem : ∀ {x y : A}, Homogeneous 𝒜 x → Homogeneous 𝒜 y → x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
x y : A
hxy : x * y ∈ I
⊢ x ∈ I ∨ y ∈ I
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ ArithmeticFunction.cardFactors p = 1
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : M →ₗ[R] M
h : Commute f g
⊢ ker f ⊔ ker g ≤ ker (f ∘ₗ g)
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ l₁ ⊆ l₁ ++ l₂
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
x : OreLocalization S R
⊢ 1 * x = x
R : Type u_2
Add R
Mul R
Neg R
One R
Zero R
self : FirstOrder.Ring.CompatibleRing R
x : Fin 2 → R
⊢ FirstOrder.Language.Structure.funMap FirstOrder.Ring.addFunc x = x 0 + x 1
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : Aˣ
⊢ 0 ∈ resolventSet R ↑a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e✝ : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : PartialHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid ⊤ I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : PartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : PartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf : (contDiffGroupoid ⊤ I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑e) (↑c.symm ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ c'.symm).source
⊢ x ∈ s
z : ℂ
hz : z = 0
⊢ |z.re / abs z| ≤ 1
A B : AddGrp
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ AddMonoidHom.ker f = ⊥
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
p : Cardinal.{u_1}
k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
hpk : p ^ k = ↑a
key : p ^ 1 ≤ ↑a
⊢ ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ -(∡ p₁ p₂ p₃).sign = (∡ p₂ p₁ p₃).sign
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x : A
⊢ ⅟2 • (x - star x) ∈ skewAdjoint A
R : CommRingCat
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top ↑R)
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen (↑R) U =
  (AlgebraicGeometry.Scheme.ΓSpecIso R).inv ≫ (AlgebraicGeometry.Spec R).presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
α : Type u_4
OrderedSemiring α
self : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
⊢ n ≤ FloorSemiring.floor a ↔ ↑n ≤ a
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
inst✝ : T1Space X
hs : s.Countable
⊢ IsGδ (⋂ i ∈ s, {i}ᶜ)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
g✝ : σ → S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
φ : S₁ →+* S₂
p : MvPolynomial σ R
⊢ φ ((eval₂Hom f g) p) = (eval₂Hom (φ.comp f) fun i => φ (g i)) p
α : Type u_1
CommMonoid α
x : α
⊢ IsUnit x ↔ x ∣ 1
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℕ n).smeval r * (X + ↑n).smeval r = (ascPochhammer ℕ n).smeval r * (X + ↑n).smeval r
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
he : ∀ e ∈ X \ I, M.Dep (insert e I)
⊢ M.Basis I X
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.101327, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
S₁ S₂ : Split C
Φ : S₁ ⟶ S₂
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
⊢ (S₁.s.cofan (op [i])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [i])) ≫ ((alternatingFaceMapComplex C).obj S₁.X).d i j ≫ ((alternatingFaceMapComplex C).map Φ.F).f j ≫ S₂.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) = ((S₁.s.cofan (op [i])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [i])) ≫ K[S₁.X].d i j ≫ S₁.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j]))) ≫ Φ.f j
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
Countable δ
t : (i : δ) → Set (π i)
ht : ∀ (i : δ), MeasurableSet (t i)
⊢ MeasurableSet (Set.univ.pi t)
R : Type u_1
LinearOrderedRing R
a b : ℤ
⊢ ↑(max a b) = max ↑a ↑b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ ‖MeasureTheory.L1.setToL1 hT‖ ≤ max C 0
A₁ : Type u_1
A₂ : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup A₁
inst✝¹ : AddCommGroup A₂
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ A₂
f : A₁ →+ A₂
n : ℕ
g : A₁
hg : n • g ∈ f.ker
⊢ n = 0 ∨ g ∈ f.ker
a : Int
⊢ a.NonNeg → ∃ n, a = ↑n
x : ℝ
h₁✝ : x ≠ -1
h₂✝ : x ≠ 1
h₁ : -1 < x
h₂ : 1 < x
⊢ HasStrictDerivAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) x ∧ ContDiffAt ℝ ⊤ arcsin x
α : Type u_1
xs : List α
z : Sym2 α
⊢ z ∈ xs.sym2 ↔ ∀ y ∈ z, y ∈ xs
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
⊢ spectralRadius 𝕜 a ≤ ⨆ i, ⨅ i_1, ↑‖a ^ (i_1 + i)‖₊ ^ (1 / ↑(i_1 + i)) * ε⁻¹
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩
IΦ' : Isometry Φ'
IΨ' : Isometry Ψ'
this✝¹ : IsCompact s
this✝ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance
this : CompactSpace (Subtype s)
⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ)
α : Type u
s : Computation α
⊢ s.think.destruct = Sum.inr s
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
Algebra R S₁
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.aeval 0) p = (algebraMap R S₁) (MvPolynomial.constantCoeff p)
α : Type u_1
x : α
⊢ Nat.card α = 2 ↔ ∃! y, y ≠ x
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set M
hs : IsOpen s
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate fun x => (chartAt H x).source
⊢ ∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ ∀ (x : M), 0 ≤ f x
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' MeasureTheory.volume a b
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
α : Type u
S : Stream'.WSeq (Computation α)
a : α
h : a ∈ Computation.parallel S
⊢ ∃ c, c ∈ S ∧ a ∈ c
w : Nat
x : BitVec w
i : Nat
⊢ x.getMsb i = (decide (i < w) && x.getLsb (w - 1 - i))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ x ∈ t.preimage p ⋯