ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_3
E : Type u_4
K : Type u_5
Field F
Ring E
CommRing K
IsDomain K
Algebra F E
Algebra F K
FiniteDimensional F E
⊢ Function.Injective (minpoly.rootsOfMinPolyPiType F E K)
α : Type u_1
EuclideanDomain α
x y : α
h : Irreducible x
⊢ x ∣ y ∨ IsCoprime x y
⊢ RingHom.StableUnderComposition @RingHom.FinitePresentation
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.succ
c : R
x : M 0
⊢ f (cons (c • x) m) = c • f (cons x m)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : γ → α → β
x : α → β
i : Option γ
y : α
⊢ i.elim x f y = i.elim (x y) fun j => f j y
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ IsClosed (polar 𝕜 s)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f s x (mfderivWithin I I' f s x)
α : Type u_1
AddCommMonoid α
m : ℕ
a : Fin m → α
⊢ FinVec.sum a = ∑ i : Fin m, a i
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj
self : Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
⊢ b ∈ e.baseSet → IsLinearMap R fun x => (↑e { proj := b, snd := x }).2
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_3
CommRing A
Algebra R A
f : ℕ → A
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.aeval f) (W_ R n) = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑p ^ i * f i ^ p ^ (n - i)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ (s + t).toFinset = s.toFinset ∪ t.toFinset
β : Type u_2
AddGroup β
u₁ u₂ : UniformSpace β
h₁ : UniformAddGroup β
h₂ : UniformAddGroup β
⊢ UniformAddGroup β
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
E' : IntermediateField F E := adjoin F (Set.range v)
this : Algebra.IsSeparable F ↥E'
v' : ι → ↥E' := fun i => ⟨v i, ⋯⟩
h' : LinearIndependent F v'
⊢ LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
h : ∀ (x : E), finrank F ↥F⟮x⟯ = 1
y : E
⊢ y ∈ ⊥
hp₀✝ : 0 ≤ 1
hp₁ : 1 ≤ 1
hp₀ : 0 < 1
⊢ ConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ 1
α β : GrpWithZero
e : ↑α ≃* ↑β
x✝ : (forget GrpWithZero).obj β
⊢ (↑e.symm ≫ ↑e) x✝ = (𝟙 β) x✝
ι : Type v
M : Type u_1
S : Type u_2
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike S M
AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
i j : ι
x : ↥(A i)
⊢ ↑(((DirectSum.of (fun i => ↥(A i)) i) x) j) = ↑(if i = j then x else 0)
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x : ↥A.unitGroup
⊢ ↑x ∈ A.principalUnitGroup ↔ A.unitGroupMulEquiv x ∈ (Units.map ↑(LocalRing.residue ↥A)).ker
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
DiscreteTopology α
f : α × β → γ
x : α × β
⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (fun x_1 => f (x.1, x_1)) x.2
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
m₁ m₂ m₃ _mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
h_indep : ProbabilityTheory.Kernel.Indep m₁ m₂ κ μ
h31 : m₃ ≤ m₁
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.Indep m₃ m₂ κ μ
G : Type u_1
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddHaarMeasure
⊢ μ.addHaarScalarFactor μ = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.21579, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z : W.LeftFraction X Y
⊢ W (z.s ≫ 𝟙 z.Y')
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
c : E
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => ⟪f x, c⟫_𝕜) μ
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
v : 𝕜 → 𝕜'
u : 𝕜'
⊢ (deriv fun x => u * v x) = fun x => u * deriv v x
ι : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ℝ → E
c : E
l l' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a : ℝ
intervalIntegral.FTCFilter a l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' MeasureTheory.volume
hf : Filter.Tendsto f (l' ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 c)
u v : ι → ℝ
hu : Filter.Tendsto u lt l
hv : Filter.Tendsto v lt l
⊢ (fun t => (∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x) - (v t - u t) • c) =o[lt] (v - u)
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E
⊢ ∀ i ∈ p.addGroupFilterBasis, ∃ i', 0 < i' ∧ (normSeminorm 𝕜 E).ball 0 i' ⊆ id i
G : Type u_1
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
BorelSpace G
μ.IsMulLeftInvariant
μ.Regular
NeZero μ
f : G → ENNReal
hf : Continuous f
⊢ ∫⁻ (x : G), f x ∂μ = 0 ↔ f = 0
ι : Type u_1
Nontrivial ι
G : Type u_1
Group G
a : ι → G
α : Type u_4
MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hYdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (Y i) (Y j)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
⊢ Function.Injective ⇑(FreeGroup.lift a)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
f g : HahnSeries ℕ R
n : ℕ
⊢ (PowerSeries.coeff R n) ({ toFun := fun f => PowerSeries.mk f.coeff, invFun := fun f => { coeff := fun n => (PowerSeries.coeff R n) f, isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (f * g)) = (PowerSeries.coeff R n) ({ toFun := fun f => PowerSeries.mk f.coeff, invFun := fun f => { coeff := fun n => (PowerSeries.coeff R n) f, isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun f => PowerSeries.mk f.coeff, invFun := fun f => { coeff := fun n => (PowerSeries.coeff R n) f, isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun g)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
k m n : ℕ
hm : m ≠ 0
hkmn : m * k ≤ n
s t : Multiset (Fin (n + 1))
hsA : ∀ ⦃x : Fin (n + 1)⦄, x ∈ s → x ∈ Iic ↑k
htA : ∀ ⦃x : Fin (n + 1)⦄, x ∈ t → x ∈ Iic ↑k
hs : card s = m
ht : card t = m
this✝ : ∀ (u : Multiset (Fin (n + 1))), (Nat.castRingHom (Fin (n + 1))) (map val u).sum = u.sum
this : ∀ {u : Multiset (Fin (n + 1))}, (∀ x ∈ u, x ≤ ↑k) → card u = m → (map val u).sum < n + 1
⊢ (map val s).sum = (map val t).sum ↔ (Nat.castRingHom (Fin (n + 1))) (map val s).sum = (Nat.castRingHom (Fin (n + 1))) (map val t).sum
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsSplitEpi f
c : CategoryTheory.Limits.KernelFork f
i : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
⊢ (CategoryTheory.Limits.binaryBiconeOfIsSplitEpiOfKernel i).pt = X
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
x y : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x y ≤ Fintype.card ι
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁸ : Ring K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommGroup V''
inst✝ : Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''
⊢ lift.{v', v''} (Module.rank K ↥(Submodule.map f (range g))) ≤ lift.{v'', v'} (Module.rank K ↥(range g))
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ IsConnected s ↔
  ∀ (U : Finset (Set α)),
    (∀ (u v : Set α), u ∈ U → v ∈ U → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty → u = v) → (∀ u ∈ U, IsOpen u) → s ⊆ ⋃₀ ↑U → ∃ u ∈ U, s ⊆ u
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSingletonClass β
a : α
f : α → β
hf : Measurable f
⊢ f =ᵐ[MeasureTheory.Measure.dirac a] Function.const α (f a)
α : Type u_1
x : ℕ × α
n : ℕ
l : List α
h : x ∈ List.enumFrom n l
⊢ n ≤ x.1
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a * b < a * (a⁻¹ * c) ↔ a * b < c
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
G : Comonad C
A B : G.Coalgebra
f : A ⟶ B
inst✝ : IsIso f.f
⊢ B.a ≫ G.map (inv f.f) = inv f.f ≫ A.a
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Nonempty β
Preorder β
IsDirected β fun x x_1 => x ≤ x_1
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ ∃ C, ∀ (x : α), ↑f x ≤ C
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
⊢ μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᵐ[ν] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x
h : Part.Dom 1
⊢ Part.get 1 h = 1
M : Type u_1
A : Type u_5
Mul M
SetLike A M
hA : MulMemClass A M
S' : A
⊢ ⇑(MulMemClass.subtype S') = Subtype.val
α : Type u
s : Finset α
⊢ Finset.univ = s.attach
n : Type u_1
R : Type u₂
DecidableEq n
CommRing R
i j : n
hij : i ≠ j
c : R
⊢ { i := i, j := j, hij := hij, c := c }.toMatrix = Matrix.transvection i j c
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0
⊢ ∑ a ∈ d.support, d a ≤ d.sum fun i c => c • 1 i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
⊢ HasFDerivAt id (ContinuousLinearMap.id 𝕜 E) x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
s : SimplicialObject.Splitting X
CategoryTheory.Preadditive C
Z : C
n : ℕ
f : Z ⟶ X _[n]
⊢ f ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n = 0 ↔
  f ≫ s.πSummand (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op [n])) = 0
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ↑n ^ (s + 1) * ↑n ! / ((∏ x ∈ Finset.range n, (s + 1 + ↑x)) * (s + 1 + ↑n) * s) = ↑n / (↑n + 1 + s) * s.GammaSeq n
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → ℝ
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K
this : (K.indicator fun x => g x • f x) = fun x => g x • f x
⊢ Integrable (K.indicator f) μ
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix n n R
h : Fintype.card n = 0
⊢ A.det = 1
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
r : ↑s
b : R
n : ℕ
e' : (Localization.awayMap f ↑r) (IsLocalization.mk' (Localization.Away ↑r) b ⟨(fun x => ↑r ^ x) n, ⋯⟩) = (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) x
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R S)
α : Type u_3
Nonempty α
SemilatticeSup α
⊢ Filter.atTop.NeBot
ι : Type u_1
α : Type u_2
A : ι → Type u_3
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GMonoid A
l : List α
f : α → GradedMonoid A
⊢ (List.map f l).prod = mk (l.dProdIndex fun i => (f i).fst) (l.dProd (fun i => (f i).fst) fun i => (f i).snd)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
f✝ g : α → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
f : α → β
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ StronglyMeasurable f
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
⊢ (BoxIntegral.Prepartition.splitMany I s).iUnion = ↑I
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
b : α
h : Monotone f
⊢ f '' Set.Iic b ⊆ Set.Iic (f b)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
β : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
⊢ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s) ↔ AEStronglyMeasurable f (sum fun g => μ.restrict (g • t ∩ s))
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
a : α
⊢ (κ.singularPart η) a ⟂ₘ η a
n : ℕ
i : Fin2 n
⊢ i.rev.rev = i
G : Type u
AddMonoid G
⊢ AddMonoid.exponent G = 1 ↔ Subsingleton G
n i : ℕ
h : i ≤ n
l₁ : ↑i + 1 ≠ 0
l₂ : ↑n - ↑i + 1 ≠ 0
h₁ : ↑(i + 1).centralBinom = (↑i + 1) * ↑(i + 1).centralBinom / (↑i + 1)
h₂ : ↑(n - i + 1).centralBinom = (↑n - ↑i + 1) * ↑(n - i + 1).centralBinom / (↑n - ↑i + 1)
h₃ : (↑i + 1) * ↑(i + 1).centralBinom = 2 * (2 * ↑i + 1) * ↑i.centralBinom
h₄ : (↑n - ↑i + 1) * ↑(n - i + 1).centralBinom = 2 * (2 * (↑n - ↑i) + 1) * ↑(n - i).centralBinom
⊢ ↑(i + 1).centralBinom * ↑(n - i).centralBinom * (2 * (↑i + 1) - (↑n + 1)) / (2 * (↑n + 1) * (↑n + 1 + 1)) - ↑i.centralBinom * ↑(n + 1 - i).centralBinom * (2 * ↑i - (↑n + 1)) / (2 * (↑n + 1) * (↑n + 1 + 1)) = ↑i.centralBinom / (↑i + 1) * ↑(n - i).centralBinom / (↑n - ↑i + 1)
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
I : (Submodule R A)ˣ
⊢ (↑I).FG
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥↑I
J' : LieIdeal R L := let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J; { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : J' = I
⊢ J = ⊤
α : Type u_1
Preorder α
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Ordnode.Valid' o₁ l ↑x
hm : Ordnode.Valid' (↑x) m ↑y
hr : Ordnode.Valid' (↑y) r o₂
Hm : 0 < m.size
H :
  l.size = 0 ∧ m.size = 1 ∧ r.size ≤ 1 ∨
    0 < l.size ∧
      Ordnode.ratio * r.size ≤ m.size ∧
        Ordnode.delta * l.size ≤ m.size + r.size ∧
          3 * (m.size + r.size) ≤ 16 * l.size + 9 ∧ m.size ≤ Ordnode.delta * r.size
⊢ Ordnode.Valid' o₁ (l.node4L x m y r) o₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α
⊢ x ∈ Icc a b \ {a} ↔ x ∈ Ioc a b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieModule.IsTrivial L M
⊢ LieModule.traceForm R L M = 0
α : Type u
β : Type v
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
f : α → β
h : Monotone f
x y : α
⊢ f (x ⊓ y) ≤ f x ⊓ f y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasKernel S.g
hf : S.f = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofHasKernel S hf).ι = CategoryTheory.Limits.kernel.ι S.g
m n : ℕ
⊢ (↑m).gcd ↑n = m.gcd n
𝕜 : Type u_1
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₁' : Type u_9
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V₁'
NormedSpace 𝕜 V₁'
MetricSpace P₁'
NormedAddTorsor V₁' P₁'
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f₁ : P₁' →ᵃⁱ[𝕜] P₂
x y : P₁'
⊢ f₁ x = f₁ y ↔ x = y
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ M = Matroid.emptyOn α ∨ M.Nonempty
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLinearOrder γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
f : α → γ
⊢ LowerSemicontinuous f ↔ ∀ (x : α), f x ≤ liminf f (𝓝 x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
DecidableRel c.Rel
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber (CategoryTheory.Limits.biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} D
H : HomologicalComplex C c ⥤ D
hH : (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c).IsInvertedBy H
⊢ H.map (HomologicalComplex.cylinder.ι₀ K) = H.map (HomologicalComplex.cylinder.ι₁ K)
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ
⊢ replicate n p = (p ^ n).primeFactorsList
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
⊢ ContinuousWithinAt f s x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
this✝ : CompleteSpace E
this : CompleteSpace F
⊢ ⟪x, ↑(ContinuousLinearMap.adjoint (toContinuousLinearMap ↑(toContinuousLinearMap A))) y⟫_𝕜 = ⟪↑(toContinuousLinearMap A) x, y⟫_𝕜
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
⊢ ⨅ i, ↑(f i) = ⊤ ↔ IsEmpty ι
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
κ : ι✝ → Sort w'
inst✝ : Frame α
s✝ t✝ : Set α
a b : α
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
f : ι → α
g : ι' → α
s : Set ι
t : Set ι'
⊢ (⨆ i ∈ s, f i) ⊓ ⨆ j ∈ t, g j = ⨆ p ∈ s ×ˢ t, f p.1 ⊓ g p.2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
f : β → α
⊢ ⨆ i, ⨆ b ∈ decode₂ β i, f b = ⨆ b, f b
β : Type u_2
α : Type u_1
SMul β α
b : β
a : α
⊢ OrderDual.toDual (b • a) = b • OrderDual.toDual a
α : Type u_1
Primcodable α
DecidableEq α
⊢ Primrec₂ List.indexOf
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Group α
a : α
ha : 1 < a
⊢ 1 < a⁺ᵐ
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : (↑η - 1) * λ ∣ (↑η - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S
⊢ False
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ
hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ
hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior sᶜ
H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
ε : ℕ → ℝ
hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n
hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)
n : ℕ
this : 0 < ε n
⊢ ENNReal.ofReal ((2 * ε n) ^ Fintype.card ι) ≠ 0
x✝ y x : ℝ
hx : ¬x = 0
⊢ log x⁻¹ = -log x
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f : PiLp p β
h : 0 < p.toReal
⊢ edist f f = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} H
∀ (F : CategoryTheory.Functor C H), L.HasLeftKanExtension F
G : CategoryTheory.Functor D H
⊢ CategoryTheory.IsIso ((L.lanAdjunction H).counit.app G) ↔
  G.IsLeftKanExtension (CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.comp G))
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
hI : a₂ ≤ b₂
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ < b₂
⊢ Finset.Icc a₁ b₁ ⊂ Finset.Icc a₂ b₂
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R
⊢ W'.addY (u • P) (v • Q) = ((u * v) ^ 2) ^ 3 * W'.addY P Q
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v
⊢ (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * ∫ (a : ℝ), rexp (-(a - μ) ^ 2 / (2 * ↑v)) = 1
f : ℍ → ℂ
z : ℍ
⊢ (f ∘ ↑ofComplex) ↑z = f z
ι : Type u_3
α : ι → Type u_4
(i : ι) → Lattice (α i)
(i : ι) → AddCommGroup (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
⊢ f⁻ i = (f i)⁻
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
x y : E
⊢ Metric.closedBall x δ * {y} = Metric.closedBall (x * y) δ
α : Type u_1
s : Set α
⊢ Subtype.val ⁻¹' s = Set.univ
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ Polynomial.mapAlgEquiv AlgEquiv.refl = AlgEquiv.refl
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M✝ : Type u_2
M'✝ : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'✝
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M✝
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝
f✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝
g : M✝ →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (-m) s) = -(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s)
𝕜 : Type u_2
NormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
L : E →L[𝕜] F
⊢ Measurable ⇑L
x : ℂ
h : cos x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt tan (1 / cos x ^ 2) x
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) * ↑(g a) ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), ↑(f a) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑(g a) ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α
hs : s.card = Fintype.card α
⊢ s = Finset.univ
α : Type u_1
a : α
⊢ Multiset.card {a} = 1
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : p.nextCoeff ≠ 0
⊢ 0 < p.natDegree
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
n_pos : 0 < n
⊢ n.centralBinom ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : ℕ → β
hu : Tendsto u atTop atTop
⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ k < n, u k < u n