ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
C : Computation α → Computation β → Prop
a : α
cb : Computation β
⊢ Computation.LiftRelAux R C (Sum.inl a) cb.destruct ↔ ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (esymm σ R n).support = (powersetCard n univ).biUnion fun t => {∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1}
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0
this : IsTrans X fun x y => d x y = 0
n : ℕ
ihn : ∀ m < n, ∀ (x y : X) (l : List X), l.length = m → d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum
x y : X
l : List X
hn : l.length = n
⊢ d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
m : ↥M
⊢ m • ↑((toInvSubmonoid M S) m) = 1
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
f g : M₁ →L[R₁] M₁
⊢ ⇑(f * g) = ⇑f ∘ ⇑g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
v : (p q : ℤ) → p + n = q → (F.X p ⟶ G.X q)
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.mk v).v p q hpq = v p q hpq
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α
⊢ x ∈ connectedComponent x
a b : ℤ
⊢ a.natAbs < b.natAbs ↔ a ^ 2 < b ^ 2
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
this : μ.restrict μ.sigmaFiniteSet = (μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSet
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : x ∈ s ∧ ¬μ.densityToFinite x = ⊤
⊢ μ.densityToFinite x = if μ.densityToFinite x ≠ ⊤ then μ.densityToFinite x else 1
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
VAdd M β
m : MeasurableSpace α
f : α → M
g : α → β
MeasurableVAdd₂ M β
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ AEMeasurable (fun x => f x +ᵥ g x) μ
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
U : Type u_2
inst✝¹ : CommRing U
inst✝ : Algebra R U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot U f
e : S ≃ₐ[R] T
a : T
⊢ ((h.ofEquiv e).aequiv h') a = (e.symm.trans (h.aequiv h')) a
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : α ↪ β
h : ∀ {a b : α}, s (f a) (f b) ↔ r a b
⊢ ⇑{ toEmbedding := f, map_rel_iff' := h } = ⇑f
G : Type u_1
InvOneClass G
⊢ 1⁻¹ = 1
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ MeasurableSet (MeasureTheory.toMeasurable μ s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m✝ : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
y : E
hy : y - x ∈ EMetric.ball 0 r
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ f y = p.partialSum m (y - x)
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ dist a b = ‖b / a‖
s b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ Filter.Tendsto (fun x => rexp (b * x) / x ^ s) Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u
s t : Set α
DecidableEq α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
h : (s ∩ t).Finite
⊢ h.toFinset = hs.toFinset ∩ ht.toFinset
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
s t : Finset α
⊢ (s ⊻ t)ᶜˢ = sᶜˢ ⊼ tᶜˢ
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ { obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map f ≫ { obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map g
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hs : s ≠ univ
this : ∀ (t : Finset α), (↑(card α) - ↑({s}.truncatedSup t).card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = if t ⊆ s then (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) else 0
⊢ ∑ j ∈ range (s.card + 1), ∑ t ∈ powersetCard j s, (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = ∑ i ∈ range (s.card + 1), ↑(s.card.choose i) * (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑i) * ↑((card α).choose i))
V : Type u
G : SimpleGraph V
H H' : G.Subgraph
hle : ∀ (v w : V), H.Adj v w → H'.Adj v w
hv : H.verts = H'.verts
h : H.Connected
⊢ H'.Connected
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
B : LinearMap.BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB₀ : B.IsRefl
W : Submodule K V
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥(B.orthogonal W) = FiniteDimensional.finrank K V - FiniteDimensional.finrank K ↥W
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
A : IsOpen (ball 0 1)
f : E → ℝ
f_support : support f = ball 0 1
f_smooth : ContDiff ℝ ⊤ f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
B : ∀ (x : E), f x ∈ Icc 0 1
⊢ ∃ u, ContDiff ℝ ⊤ u ∧ (∀ (x : E), u x ∈ Icc 0 1) ∧ support u = ball 0 1 ∧ ∀ (x : E), u (-x) = u x
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
h : f =O[atTop] fun n => ↑n ^ (x - 1)
⊢ LSeriesSummable f s
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h : toNonUnitalNonAssocSemiring = toNonUnitalNonAssocSemiring
h_zero : Zero.zero = Zero.zero
⊢ inst₁ = inst₂
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
t : (a : α) → Finset (δ a)
a : α
inst✝ : DecidableEq (δ a)
ht : ∀ (b : α), a ≠ b → (t b).Nonempty
x : δ a
h : x ∈ t a
⊢ ∃ a_1 ∈ piFinset t, a_1 a = x
M : Type u_4
N : Type u_5
⊢ ∀ {x : AddZeroClass M} {x_1 : AddZeroClass N} (f : M →+ N) (f' : M → N) (h : f' = ⇑f), ⇑(f.copy f' h) = f'
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
x : E
⊢ -x ∈ p.ball 0 r ↔ x ∈ p.ball 0 r
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : IsDomain α
x y : α
⊢ span {x} < span {y} ↔ DvdNotUnit y x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
o : Part α
⊢ ∀ (a : o.Dom), (Part.map f o).get a = (f ∘ o.get) a
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
StarRing A
CstarRing A
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ ‖a.toProd.1‖ = ‖a‖
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Topology.IsUpperSet α
Topology.IsUpperSet β
f : α → β
⊢ Monotone f ↔ Continuous f
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : Mul α
inst✝² : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Preorder α
⊢ PosMulReflectLE α ↔ MulPosReflectLE α
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
a : ι
t : Multiset ι
ih : (∀ i ∈ t, (f i).Monic) → (Multiset.map f t).prod.Monic
ht : ∀ i ∈ a ::ₘ t, (f i).Monic
⊢ (f a * (Multiset.map f t).prod).Monic
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
P : Set X → Prop
hP : ∀ (s t : Set X), s ⊆ t → P s → P t
⊢ (∀ (i : Set X), x ∈ i ∧ IsOpen i → P i) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → x ∈ s → P s
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L' : LieSubalgebra R L
t : R
x : L
h : x ∈ L'
⊢ t • x ∈ L'
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
n : ℕ
hn : p.Coprime n
g : G
⊢ (hG.powEquiv hn) g = g ^ n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq κ
b₁ : Basis ι R M
b₂ : Basis ι' R M
b₃ : Basis κ R N
A : Matrix ι' κ R
this : b₁.toMatrix ⇑b₂ * (toMatrix b₃ b₂) ((toLin b₃ b₂) A) = (toMatrix b₃ b₁) ((toLin b₃ b₂) A)
⊢ b₁.toMatrix ⇑b₂ * A = (toMatrix b₃ b₁) ((toLin b₃ b₂) A)
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ z
H : firstDiff x z < firstDiff x y ∧ firstDiff x z < firstDiff y z
⊢ x (firstDiff x z) = z (firstDiff x z)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
R : Type u_6
CommSemiring R
Semiring Y
Algebra R Y
y : Y
⊢ ∀ (a : X), ((LocallyConstant.constₐ R) y) a = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, s ∈ 𝓝[>] x
M : α → α
hM : ∀ x ∈ s, x < M x
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, y x ∈ Ioi x
h'y : ∀ x ∈ s, Ioo x (y x) ⊆ s
B : (s \ interior s).PairwiseDisjoint fun x => Ioo x (y x)
⊢ (s \ interior s).Countable
⊢ ∀ ⦃R S T : Type u_1⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], Function.Surjective ⇑(algebraMap R T) → Function.Surjective ⇑includeLeftRingHom
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u : Set V
c : (⊤.deleteVerts u).coe.ConnectedComponent
hM : M.IsPerfectMatching
codd : Odd (Nat.card ↑c.supp)
⊢ ∃ w ∈ u, ∃ v, M.Adj (↑v) w ∧ v ∈ c.supp
α : Type u_2
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [self : μ.IsComplete] (s : Set α), μ s = 0 → MeasurableSet s
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f : Π₀ (i : ι), α i
⊢ (Finset.Iio f).card = ∏ i ∈ f.support, (Finset.Iic (f i)).card - 1
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
d : σ →₀ ℕ
n : N
e : σ →₀ ℕ
⊢ coeff e ((monomial d) 1) ⊗ₜ[R] n = coeff e (↑rTensor ((monomial d) 1 ⊗ₜ[R] n))
k m : ℕ+
⊢ ↑m % ↑k = 0 ↔ m.mod k = k
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
F : ι → α → ℝ≥0∞
f bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, Measurable (F n)
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
⊢ Tendsto ((fun n => ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ) ∘ x) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_2
DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
f' : ι → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, HasDerivWithinAt (f i) (f' i) s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => ∏ i ∈ u, f i x) (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • f' i) s x
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X✝ Y✝ : W.FunctorsInverting D
τ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ Y✝.obj = W.Q ⋙ (fun G => lift G.obj ⋯) Y✝
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
z : ℤ
⊢ ⌊↑z⌋ = z
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E i
n : ℕ
⊢ PiTensorProduct.mapL (f ^ n) = PiTensorProduct.mapL f ^ n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ C
adj : F ⊣ G
V₁ V₂ : Coalgebra G
f : V₁ ⟶ V₂
⊢ F.map f.f ≫ (adj.homEquiv V₂.V V₂.V).symm V₂.str = (adj.homEquiv V₁.V V₁.V).symm V₁.str ≫ f.f
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hs : s.Nonempty
hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i
p_pos : 0 < ∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i
s_pos : 0 < ∑ i ∈ s, w i * (z i)⁻¹
this : (∑ i ∈ s, w i * (z i)⁻¹)⁻¹ ≤ (∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i)⁻¹
⊢ (∑ i ∈ s, w i / z i)⁻¹ ≤ ∏ i ∈ s, z i ^ w i
M : Type u_2
AddMonoid M
a : M
⊢ 3 • a = a + (a + a)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
⊢ mk (ComplexEmbedding.conjugate φ) = mk φ
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
a x : α
f : ↑(Set.Ici a) → β
hx : x ∈ Set.Ici a
⊢ Set.IciExtend f x = f ⟨x, hx⟩
R : Type u
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : Nontrivial R
x : R
hx : IsRegular x
⊢ 0 ≠ x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : ⨂[R]^i M
b : ⨂[R]^j M
⊢ ((((TensorProduct.mk R (⨂[R]^i M) (⨂[R]^j M)).compr₂ ↑mulEquiv).compr₂ toTensorAlgebra) a) b = (((LinearMap.mul R (TensorAlgebra R M)).compl₂ toTensorAlgebra ∘ₗ toTensorAlgebra) a) b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
𝒯 : CategoryTheory.Limits.LimitCone (CategoryTheory.Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → CategoryTheory.Limits.LimitCone (CategoryTheory.Limits.pair X Y)
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalOfChosenFiniteProducts.tensorHom ℬ f (CategoryTheory.CategoryStruct.id 𝒯.cone.pt))
    (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.rightUnitor 𝒯.isLimit (ℬ X₂ 𝒯.cone.pt).isLimit).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.rightUnitor 𝒯.isLimit (ℬ X₁ 𝒯.cone.pt).isLimit).hom f
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
ι : Type u_2
I : ι → TwoSidedIdeal R
x : R
⊢ (∀ x_1 ∈ ringCon '' Set.range I, x_1 x 0) ↔ ∀ (i : ι), x ∈ I i
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : x ~ᵤ y
⊢ y ∣ x
R : Type u_1
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a b : ℤ
⊢ ↑a = ↑b ↔ a ≡ b [ZMOD ↑p]
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
this : g = (range g).subtype ∘ₗ g.rangeRestrict
⊢ Function.Surjective ⇑(rTensor Q g.rangeRestrict)
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u v : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) (convexJoin 𝕜 u v) = convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s u) (convexJoin 𝕜 t v)
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
Field F
Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (Cubic.map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ P.disc ≠ 0 ↔ x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α
⊢ mapIdx f l = [] ↔ l = []
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
TopologicalSpace 𝕜
CommSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
⊢ Continuous fun x y => (B x) y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap' φ h₁ h₂) h₂.ι =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.ι (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap' φ h₁ h₂)
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
F : Type u_2
inst✝ : Field F
f : F[X]
hu : ¬IsUnit f
hf✝ : ¬f = 0
g : F[X]
hi : Irreducible g
hf : g ∣ f
⊢ ∃ g, g.Monic ∧ Irreducible g ∧ g ∣ f
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e : A ≃ₐc[R] B
⊢ e.toEquiv.symm = ↑e.symm
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
A B : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
f g : A ⟶ B
⊢ f = g ↔ f.left = g.left
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (β_ (X ⊗ Y) Z).hom = (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : Set α
⊢ OrderDual.toDual (sInf s) = sSup (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s)
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
m : Multiset R[X]
⊢ Polynomial.map f m.prod = (Multiset.map (Polynomial.map f) m).prod
α : Type u_1
a : α
Min α
min_eq_or : ∀ (a b : α), min a b = a ∨ min a b = b
xs : List α
⊢ xs.minimum? = some a → a ∈ xs
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (↑‖a‖₊)⁻¹
n : ℕ
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiRing 𝕜 (Fin n) (a ^ n)‖₊ * r ^ n ≤ max 1 ‖1‖₊
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
v : ℕ
hv : v ≠ 1
hr : CharP R v
h : ↑1 = 0
⊢ v = 1
C : Type u
CategoryTheory.CategoryStruct.{v, u} C
X : C
xs ys : CategoryTheory.End X
⊢ xs * ys = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ys xs
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
⊢ logb b x < y ↔ x < b ^ y
α : Type u_1
OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
⊢ (s.mulAntidiagonal t a).Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Closeds α
⊢ ∀ (x : Closeds α), (∀ y < x, ∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t) ∧ y = sSup S) → ∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t) ∧ x = sSup S
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b
⊢ a / b ≤ c ↔ a ≤ b * c
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Algebra.adjoin (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
r : ↑↑s
n₁ : ℕ
hn₁ : (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) ((algebraMap R S) ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ * x) ∈ Algebra.adjoin R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ : ↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (s₁ r))
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ Subalgebra.toSubmodule (⨆ x, Algebra.adjoin R ↑(sf x))
p : ℕ
R : Type u
CommRing R
Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (MvPolynomial.bind₁ 0) (wittPolynomial p R n) = 0
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
Fintype m
DecidableEq m
(i : m) → Fintype (n' i)
(i : m) → DecidableEq (n' i)
Field 𝕂
Ring 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
T2Space 𝔸
v : (i : m) → Matrix (n' i) (n' i) 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (Matrix.blockDiagonal' v) = Matrix.blockDiagonal' (NormedSpace.exp 𝕂 v)
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
l : List ι
fs : (i : ι) → List (α i)
f : (i : ι) → i ∈ l → α i
⊢ f ∈ l.pi fs ↔ f ∈ ↑(l.pi fs)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
x✝ : ℕ
⊢ 0 ≤ 1 / ↑x✝
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁷ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R₁
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R₂
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₃
inst✝⁹ : AddCommGroup M₃
inst✝⁸ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
A : Type u_11
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Module A M₃
B₃ : BilinForm A M₃
ι : Type u_12
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
M : Matrix ι ι R₃
h : M.Nondegenerate
x : ι → R₃
hx : ∀ (n : ι → R₃), ((Matrix.toBilin' M) x) n = 0
y : ι → R₃
⊢ x ⬝ᵥ M *ᵥ y = 0
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U✝ V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
ι : Sort u_1
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)
i : ι
⊢ P ((Y.openCoverOfISupEqTop Subtype.val ⋯).pullbackHom f ⟨U i, ⋯⟩)