ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
τ : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace τ
inst✝² : AddCommGroup τ
inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : Filter τ
ϕ : Flow τ α
s : Set α
hf : ∀ (t : τ), Tendsto (fun x => t + x) f f
⊢ ∀ (x : α), (∀ n ∈ 𝓝 x, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (ϕ.toFun x '' ω f ϕ.toFun s ∩ n).Nonempty) → ∀ n ∈ 𝓝 x, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (ϕ.toFun x '' s ∩ n).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Part β
a : Part α
h : (a.bind f).Dom
⊢ a.Dom
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
i : ι
s : Set (α i)
hs : (μ i) s = 0
⊢ (Measure.pi μ) (eval i ⁻¹' s) = 0
n : ℕ
z : ℂ
h1 : z ^ n = z + 1
h2 : z ^ n + z ^ 2 = 0
⊢ False
R : Type u
CommSemiring R
n : ℕ
⊢ ↑(MvPolynomial.finSuccEquiv R n) =
  MvPolynomial.eval₂Hom (Polynomial.C.comp MvPolynomial.C) fun i =>
    Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (MvPolynomial.X k)) i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (⇑iso ∘ f) s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ 1 ⊗ₜ[R] ∑ a : n × n, M a.1 a.2 • stdBasisMatrix a.1 a.2 1 = 1 ⊗ₜ[R] M
α : Sort u_1
p : α → Prop
q : Subtype p → Prop
a : Subtype q
⊢ ↑((Equiv.subtypeSubtypeEquivSubtypeExists p q) a) = ↑↑a
α : Type u_1
σ τ : Equiv.Perm α
hστ : σ.Disjoint τ
⊢ σ * τ = 1 ↔ σ = 1 ∧ τ = 1
α : Type u_3
β : Type u_4
Group α
a : α
MulAction α β
b : β
Fintype ↑(MulAction.orbit (↥(Subgroup.zpowers a)) b)
⊢ Function.minimalPeriod (fun x => a • x) b = Fintype.card ↑(MulAction.orbit (↥(Subgroup.zpowers a)) b)
x : ℝ
⊢ Real.sinh x ^ 2 = Real.cosh x ^ 2 - 1
a b : Int
h : 0 < b
⊢ a / b ≥ 0 ↔ a ≥ 0
n : ℕ
f : PSet.Resp (n + 1)
x : PSet
⊢ PSet.Resp.eval (n + 1) f ⟦x⟧ = PSet.Resp.eval n (f.f x)
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₂
φ : S₁ →+* S₂
p : MvPolynomial σ R
⊢ eval₂ φ g ((map f) p) = eval₂ (φ.comp f) g p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
H : Surjective f
⊢ f '' (s ∪ sᶜ) = univ
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
e : M ≃* N
S : Subsemigroup M
x : ↥S
⊢ ↑((e.subsemigroupMap S) x) = e ↑x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ z x y : E
⊢ insert x (insert y (openSegment 𝕜 x y)) = [x-[𝕜]y]
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
Star R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
⊢ (A₁.fromRows A₂).conjTranspose = A₁.conjTranspose.fromColumns A₂.conjTranspose
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖setToFun μ T hT f‖ ≤ C * ‖Integrable.toL1 f hf‖
x y : PartENat
⊢ ((∃ (h : y.Dom → x.Dom), ∀ (hy : y.Dom), x.get ⋯ ≤ y.get hy) ∧ ∀ (x_1 : x.Dom → y.Dom), ¬∀ (hy : x.Dom), y.get ⋯ ≤ x.get hy) ↔ ∃ (hx : x.Dom), ∀ (hy : y.Dom), x.get hx < y.get hy
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a : A
ha : ∃ y, y + ↑a + ↑a * y = 0 ∧ ↑a + y + y * ↑a = 0
⊢ ∃ y, y + a + a * y = 0 ∧ a + y + y * a = 0
x y : SetTheory.PGame
⊢ y ≤ -x ↔ x ≤ -y
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
n : ℕ
c : R
m : ℕ
hm : m.succ ≠ 0
⊢ ↑n ∣ ↑n * eval c ((⇑derivative)^[m] (f ^ (n - 1) * derivative f))
a✝ b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hdn : d ∣ n
a : ℕ
⊢ a < n / d ↔ d * a < n
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x ≠ y
⊢ ↑x.toCircle ≠ ↑y.toCircle
α : Type u_1
s : Setoid α
⊢ Subsingleton (Quotient s) ↔ s = ⊤
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
CharP R p
NoZeroDivisors R
f : R[X]
hf : Polynomial.derivative f = 0
hp : p ≠ 0
⊢ (Polynomial.expand R p) (Polynomial.contract p f) = f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
F : CategoryTheory.Functor C C
F.Additive
A₁ A₂ : CategoryTheory.Endofunctor.Algebra F
r : ℤ
α : A₁ ⟶ A₂
⊢ (r • α).f = r • α.f
α : Type u_1
f : α → α
⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun n => Function.ptsOfPeriod f ↑n
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
h : constantCoeff Φ = 0
n : ℕ
⊢ constantCoeff (wittStructureInt p Φ n) = 0
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring R
s : Set R
⊢ sInf {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} = sInf {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}
R : Type u_1
CommSemiring R
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_4
DecidableEq ι
i : ι
n : N
⊢ (TensorProduct.finsuppScalarLeft R N ι).symm (Finsupp.single i n) = Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : g = ⊥
⊢ comap m g = ⊥
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i₁ i₁' : I₁
h : ¬c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
⊢ (K.d i₁ i₁').f i₂ = 0
a : ENNReal
⊢ a * a⁻¹ ≠ ⊤
n : Nat
⊢ 1 - n = if n = 0 then 1 else 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
r : R
a : A
ha : a ∈ s.centralizer
x : A
hx : x ∈ s
⊢ x * r • a = r • a * x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
e : 𝕜 →ₗ[𝕜] F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (⇑e) s x = e 1
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : ∀ (s t : R), s • x + t • y = 0 → s = 0 ∧ t = 0
g : Fin (Nat.succ 0).succ → R
hg : g 0 • x + g 1 • y = 0
⊢ g ⟨0, ⋯⟩ = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
X : J
tX : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
F : J ⥤ C
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfDiagramInitial tX F).π.app j = F.map (tX.to j)
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
f : CentroidHom α
⊢ (↑f.toAddMonoidHom).toFun = ⇑f
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
n : v ≠ 0
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
this : Nontrivial R
⊢ Module.rank R M = 1
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
hpq : p ≠ q
⊢ ↑q ≠ 0
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
f : α → E
g' : α → F'
l : Filter α
⊢ (f =O[l] fun x => -g' x) ↔ f =O[l] g'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
l : Filter α
a : α
hf : IsExtrFilter f l a
g : β → γ
hg : Monotone g
⊢ IsExtrFilter (g ∘ f) l a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
⊢ b < a ∧ a ≤ c ∨ c < a ∧ a ≤ b → a < b ∧ b ≤ c ∨ c < b ∧ b ≤ a → a = b
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
T : Type u_1
AddCommGroup T
Module R T
h : IsAdjoinRootMonic S f
g : R[X] →ₗ[R] T
⊢ ∀ (a : S), (h.liftPolyₗ g) a = g (h.modByMonicHom a)
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ a ⇔ b = a ⇨ b
this : ∀ (a : ℤ) (n : ℕ), |a / ↑n| ≤ |a|
a b : ℤ
n : ℕ
⊢ |a / ↑n| ≤ |a|
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
X : TopCat
ℱ 𝒢 : TopCat.Presheaf C X
T : ℱ ⟶ 𝒢
⊢ TopCat.Presheaf.IsLocallySurjective T ↔
  ∀ (U : TopologicalSpace.Opens ↑X) (t : (CategoryTheory.forget C).obj (𝒢.obj (Opposite.op U))),
    ∀ x ∈ U, ∃ V ι, (∃ s, (T.app (Opposite.op V)) s = TopCat.Presheaf.restrict t ι) ∧ x ∈ V
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}
⊢ (o.blsub f).cof ≤ o.card
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
⊢ ∃ p < 0, ∃ q > 0, LieModule.weightSpace M (p • χ₁ + χ₂) = ⊥ ∧ LieModule.weightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ QuotientMap ⇑DomMulAct.mk
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm (Fin 5)
h : 3 ∈ (c * g').cycleType
hd : c.Disjoint g'
left✝ : c.IsCycle
h3 : c.support.card = 3
⊢ (c * (g' * g' * c)).IsThreeCycle
R : Type u_1
A : Type u_2
Ring R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid R
StarAddMonoid A
StarModule R A
r : R
hr : r ∈ skewAdjoint R
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
⊢ r • a ∈ skewAdjoint A
⊢ IsPiSystem (⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Set.Ioo ↑a ↑b})
R : Type u_1
K : Type u_2
Semiring R
CommSemiring K
i : R →+* K
a b : R
N : ℕ
f g : R[X]
⊢ DenomsClearable a b N f i → DenomsClearable a b N g i → DenomsClearable a b N (f + g) i
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactorsList
hn : n > 0
⊢ p ∣ n
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
H : φ.comp ↑σ.symm = φ
⊢ σ = 1
k G A : Type u
CommRing k
Monoid G
AddCommGroup A
Module k A
DistribMulAction G A
SMulCommClass G k A
g : G
a : A
⊢ ((Rep.ofDistribMulAction k G A).ρ g) a = g • a
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
F : Type u_6
Field F
Algebra K F
x : L
hf : Polynomial.Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
⊢ (algebraMap K F) ((Algebra.trace K ↥K⟮x⟯) (IntermediateField.AdjoinSimple.gen K x)) = ((minpoly K x).aroots F).sum
α : Type u
β : Type v
M : Type w
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
LinearOrderedCancelAddCommMonoid M
ht : ∀ y ∉ t, 0 ≤ ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => f x = y) s, w x
hb : ∑ x ∈ s, w x < t.card • b
⊢ ∃ y ∈ t, ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => f x = y) s, w x < b
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
⊢ W.addXYZ P Q = WeierstrassCurve.Jacobian.addU P Q • ![1, 1, 0]
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
φ : L.Hom M N
S : L.Substructure M
⊢ ↑(FirstOrder.Language.Substructure.map φ S) = ⇑φ '' ↑S
M : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing M
a : M
ha : a ∈ center M
x✝¹ x✝ : M
⊢ x✝¹ * -a * x✝ = x✝¹ * (-a * x✝)
ι : Type u_3
M : Type u_7
OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
h' : ∃ i, 1 < f i
hf : (Function.mulSupport f).Finite
⊢ 1 < ∏ᶠ (i : ι), f i
R : Type u
CommRing R
P Q : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q = P x * Q z * Q z
f : ℕ → ℝ
h_bdd : BddAbove (range f)
h_mon : Monotone f
⊢ ∃ r, Tendsto f atTop (𝓝 r)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
e : α ≃* β
hα : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
a : β
ha : a ≠ 0
w : Multiset α
hp : ∀ b ∈ w, Prime b
u : αˣ
h : w.prod * ↑u = e.symm a
⊢ ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
α : Type u
Preorder α
s : Set α
⊢ s ⊆ lowerBounds (upperBounds s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
W X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.map (CategoryTheory.Limits.coprod.associator W X Y).hom (𝟙 Z) ≫
    (CategoryTheory.Limits.coprod.associator W (X ⨿ Y) Z).hom ≫
      CategoryTheory.Limits.coprod.map (𝟙 W) (CategoryTheory.Limits.coprod.associator X Y Z).hom =
  (CategoryTheory.Limits.coprod.associator (W ⨿ X) Y Z).hom ≫ (CategoryTheory.Limits.coprod.associator W X (Y ⨿ Z)).hom
α : Sort u
p : α → Prop
⊢ (∃! x, p x) → ∃ x, p x
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
p : α → Prop
⊢ ∑ᶠ (j : Subtype p), f ↑j = ∑ᶠ (i : α) (_ : p i), f i
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
t : ℕ
ht : (image (fun v => G.degree v) univ).max = ↑t
⊢ G.degree v ≤ G.maxDegree
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
s : Finset α
h : (image f s).Nonempty
⊢ (image f s).max' h = f (s.max' ⋯)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
s✝ : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
s : Multiset α
ih : s.Nodup → (∀ a ∈ s, (t a).Nodup) → (s.pi t).Nodup
hs✝ : (a ::ₘ s).Nodup
ht : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, (t a_1).Nodup
has : a ∉ s
hs : s.Nodup
⊢ ∀ a_1 ∈ t a, ∀ b ∈ t a, a_1 ≠ b → (Multiset.map (Pi.cons s a a_1) (s.pi t)).Disjoint (Multiset.map (Pi.cons s a b) (s.pi t))
n : ℕ
⊢ ↑(harmonic n) ≤ 1 + Real.log ↑n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h2 : p2 ≠ p1
h3 : p3 ≠ p1
⊢ InnerProductGeometry.angle (p3 -ᵥ p1) (p2 -ᵥ p1) + InnerProductGeometry.angle (p3 -ᵥ p1) (p3 -ᵥ p1 - (p2 -ᵥ p1)) + InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p1) (p2 -ᵥ p1 - (p3 -ᵥ p1)) = π
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => -Complex.I * ↑n.sign * cexp (2 * ↑π * Complex.I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (HurwitzZeta.sinZeta (↑a) s)
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : PartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
h2f : f ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝[s] x
h3f : ↑e' ∘ f ⁻¹' e'.symm.source ∈ 𝓝[s] x
⊢ P (↑e' ∘ f) s x ↔ P f s x
G : Type u_2
AddGroup G
S₁ S₂ : AddSubgroup G
⊢ (S₁ ⊓ S₂).op = S₁.op ⊓ S₂.op
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
x : α
l₁ l₂ : List α
⊢ x ∈ l₁ ∩ l₂ ↔ x ∈ l₁ ∧ x ∈ l₂
z : ℂ
⊢ HasSum (fun n => z ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) (Complex.cosh z)
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
⊢ ∀ (a : A ≃ₐ[R] Bᵐᵒᵖ) (a_1 : Aᵐᵒᵖ), (AlgEquiv.opComm a) a_1 = MulOpposite.unop (a (MulOpposite.unop a_1))
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
p : P
⊢ ⇑(Equiv.constVSub p) = fun x => p -ᵥ x
b : ℕ
n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ Nat.clog b n ≤ Nat.clog b m
α : Type u_1
Monoid α
LinearOrder α
a b : αˣ
⊢ ↑(min a b) = min ↑a ↑b
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
a b : α
a' b' : β
h : ∀ {o : Ordering}, o.Compares a b → o.Compares a' b'
o : Ordering
⊢ o.Compares a b ↔ o.Compares a' b'
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix n p R
h : Bᴴ * (Aᴴ * A * B) = Bᴴ * 0
⊢ A * B = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
⊢ ↑↑((compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1 + indicatorConstLp 2 ht hμt 1))) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1
G : Type u_1
AddGroup G
H K L : AddSubgroup G
hH : H.relindex L ≠ 0
hK : K.relindex L ≠ 0
⊢ (H ⊓ K).relindex L ≠ 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite ν
MeasureTheory.SigmaFinite μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ ν.rnDeriv (r • μ) =ᵐ[μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
a : ℝ≥0∞
⊢ a.toNNReal ≠ 0 ↔ a ≠ 0 ∧ a ≠ ⊤
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPushouts C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x : Under X
y : Under Y
u : (pushout f).obj x ⟶ y
⊢ x.hom ≫ pushout.inl x.hom f ≫ u.right = f ≫ ((pushout f).obj x).hom ≫ u.right
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
h : HasMFDerivAt I I' f x f'
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ HasMFDerivAt I I' f₁ x f'
a : ℕ
a.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat a ≠ ⊤
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ (P.tensorBimod Q).X L.X U.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actRight ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ = ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ▷ U.X ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ ▷ U.X) ≫ TensorBimod.actRight P (Q.tensorBimod L)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f g : β → α
TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ {b | f b < g b} ⊆ interior {b | f b ≤ g b}
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
ut : u ⊆ t
⊢ ∃ u ⊆ t, u.Countable ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ μ (s \ ⋃ a ∈ u, B a) = 0
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁹ : PartialOrder Γ✝
inst✝⁸ : PartialOrder Γ'
inst✝⁷ : VAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁶ : IsOrderedCancelVAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid Γ
inst✝³ : AddAction Γ Γ'
inst✝² : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝¹ : MonoidWithZero R
inst✝ : MulActionWithZero R V
x : HahnModule Γ' R V
g : Γ'
⊢ ((of R).symm (1 • x)).coeff g = ((of R).symm x).coeff g
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : ℕ → Set Ω
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]) ω) atTop atTop
G : Type u_1
AddSemigroup G
IsCancelAdd G
h : ∀ {A : Finset G}, A.Nonempty → ∃ a1 ∈ A, ∃ a2 ∈ A, UniqueAdd A A a1 a2
⊢ UniqueSums G
α : Type u_3
AddCommMonoid α
s : Multiset α
h : ∀ x ∈ s, x = 0
⊢ s.sum = 0
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
⊢ Function.support 0 = ∅
a t : ℝ
ht : 0 < t
h : -2 * ↑π ≠ 0
n : ℤ
⊢ -2 * ↑π * (-I * ↑n) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n + -↑π * ↑n ^ 2 * ↑t) = 2 * ↑π * I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑n * ↑a + ↑π * I * ↑n ^ 2 * (I * ↑t))
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
P : R[X]
hmo : P.Monic
hP : (Polynomial.aeval s) P = 0
Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree
hs : IsIntegral R s
hnz : ¬minpoly R s - P = 0
⊢ (minpoly R s - P).degree < (minpoly R s).degree
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
c : ℝ
g : α → F
f' : α → E'
l : Filter α
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l (fun x => -f' x) g ↔ Asymptotics.IsBigOWith c l f' g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : adjoint T = T
S : E →L[𝕜] F
⊢ adjoint (S.comp (T.comp (adjoint S))) = S.comp (T.comp (adjoint S))
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
⊢ IsLprojection X (P + Q - P * Q)
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
m : Multiset ℕ
⊢ (∃ g, g.cycleType = m) ↔ m.sum ≤ Fintype.card α ∧ ∀ a ∈ m, 2 ≤ a
n m l : ℕ
hnl : n ≤ l
⊢ List.filter (fun x => decide (l ≤ x)) (List.Ico n m) = List.Ico l m
β : Type u_2
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
⊢ MeasureTheory.Measure.dirac () ⊗ₘ ProbabilityTheory.Kernel.const Unit μ = MeasureTheory.Measure.map (Prod.mk ()) μ
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : i.Coprime n
⊢ (∃ n_1, ↑n * (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ↑n_1 * (2 * ↑π * I)) ∧ ∀ (l : ℕ), (∃ n_1, ↑l * (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ↑n_1 * (2 * ↑π * I)) → n ∣ l
a b : ℝ≥0∞
⊢ (a + b).toReal ≤ a.toReal + b.toReal
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
⊢ infEdist x (closure s) = infEdist x s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β
x : Part α
g : β → Part γ
⊢ (x.bind fun x => ((some ∘ f) x).bind g) = x.bind fun y => g (f y)
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
V : Type u
AddCommGroup V
Module k V
ρ : G →* V →ₗ[k] V
⊢ CoeSort.coe (Rep.of ρ) = V