ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
A : Set α
B : Set β
n : ℕ
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
f : F
hfAB : Set.MapsTo (⇑f) A B
⊢ IsMulFreimanHom n A B ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s'✝ : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
s' : Set α
⊢ (𝓟 s' ⊓ l).HasBasis p fun i => s' ∩ s i
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel ν
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set (β × ℝ)
hs : MeasurableSet s
⊢ ((ν ⊗ₖ IsCondKernelCDF.toKernel f hf) a) s = (κ a) s
R : Type u_2
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
r : R
x : M
⊢ ((smulAddHom R M) r) x = r • x
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ PerfectSpace X ↔ ∀ (x : X), (𝓝[≠] x).NeBot
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
L : Type u_3
Field L
Algebra K L
Algebra R L
IsScalarTower R K L
IsDomain R
FiniteDimensional K L
⊢ IsIntegrallyClosed ↥(integralClosure R L)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹³ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁰ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : IsSmooth IB a
e✝ e'✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
this✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
this✝ : FiberBundle F E := a.toFiberBundle
this : VectorBundle 𝕜 F E := toVectorBundle a
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
⊢ ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') b) v = (smoothCoordChange IB a he he' b) v
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
X Y : C
CategoryTheory.Simple X
f : X ⟶ Y
w : f ≠ 0
⊢ CategoryTheory.Mono f
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
⊢ SetLike.GradedMonoid (MvPolynomial.weightedHomogeneousSubmodule R w)
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x ^ y) Filter.atTop Filter.atTop
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
p : PerfectPairing R M N
⊢ p.flip.flip = p
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
S : Type u_10
Semiring S
Module S M'
SMulCommClass R S M'
Fintype ι
b : Basis ι R M
f : ι → M'
x : M
⊢ ((b.constr S) f) x = ∑ i : ι, b.equivFun x i • f i
n : ℕ
⊢ ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), n.choose m = 2 ^ n
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
NoMinOrder α
⊢ closure (Set.Iio a) = Set.Iic a
n : Type u_1
Fintype n
R : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
b : Basis n R M
DecidableEq n
A : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
a : M
⊢ (Matrix.toLinearEquiv b A hA) a = ((Matrix.toLin b b) A) a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀ (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁ (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 2 3 ⋯ ⋯) app₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₂ (g.map' 2 3 ⋯ ⋯)
w₃ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 3 4 ⋯ ⋯) app₄ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₃ (g.map' 3 4 ⋯ ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₄ app₀ app₁ app₂ app₃ app₄ w₀ w₁ w₂ w₃).app 0 = app₀
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
s : Set β
⊢ l (sSup (u '' s)) = sSup s
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n✝ : ℕ
a✝ : F ⟶ G
⊢ ((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (Int.negSucc n✝) a✝).f = (-(fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (↑n✝.succ) a✝).f
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Finite R S
inst✝ : Module.Free R S
⊢ (relNorm R) ⊤ = ⊤
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
⊢ rdropWhile p [x] = if p x = true then [] else [x]
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
fin : EMetric.hausdorffEdist s t ≠ ⊤
⊢ s = ∅ ∧ t = ∅ ∨ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
m n b : ℕ
hm : m ≠ 1
hn : 0 < n
hb : log m n < b
i : ℕ
⊢ 1 ≤ i ∧ m ^ i ∣ n ↔ (1 ≤ i ∧ m ^ i ∣ n) ∧ i < b
a✝ b✝ c p q a b : ℚ
na : ℤ
da : ℕ
ha : da ≠ 0
hared : na.natAbs.Coprime da
nb : ℤ
db : ℕ
hb : db ≠ 0
hbred : nb.natAbs.Coprime db
⊢ (if (decide ({ num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.num < 0) && decide (0 ≤ { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.num)) = true then true else if { num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.num = 0 then decide (0 < { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.num) else if (decide (0 < { num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.num) && decide ({ num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.num ≤ 0)) = true then false else decide ({ num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.num * ↑{ num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.den < { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.num * ↑{ num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.den)) = false ↔ 0 ≤ { num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred } - { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ p.closedBall x r = ∅
K : Type u
Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
L : Type u_1
Field L
Algebra K L
Polynomial.IsSplittingField K L (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
⊢ (adjoinRootXPowSubCEquiv hζ H hα).symm α = AdjoinRoot.root (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
SeminormedRing R
NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
h : (f ^ n) =o[l] (g ^ n)
hn : n ≠ 0
⊢ f =o[l] g
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
⊢ xn a1 (4 * n + j) + xn a1 (2 * n + j) ≡ 0 [MOD xn a1 n]
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α β : PartialFun
e : α ≃ β
⊢ ↑(⇑e ∘ ⇑e.symm) = 𝟙 β
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
Fintype ι
Fintype ι'
π : ι ⊕ ι' → Type u_4
(i : ι ⊕ ι') → MeasureTheory.MeasureSpace (π i)
∀ (i : ι ⊕ ι'), MeasureTheory.SigmaFinite MeasureTheory.volume
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.sumPiEquivProdPi π)) MeasureTheory.volume MeasureTheory.volume
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ∃ x, dist (f x) 0 ≤ 1 / 2 * ‖0‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖0‖
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
s : Set α
⊢ ⇑e ⁻¹' (⇑e '' s) = s
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
SemilatticeSup ι
NoMaxOrder ι
Nonempty ι
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndep m hm s μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m (Filter.limsup s Filter.atTop) (Filter.limsup s Filter.atTop) hm μ
α : Type
Finite α
X : α → Stonean
B : Stonean
f g : Stonean.finiteCoproduct X ⟶ B
h : ∀ (a : α), Stonean.finiteCoproduct.ι X a ≫ f = Stonean.finiteCoproduct.ι X a ≫ g
⊢ f = g
a x✝ z x : ℂ
hr : x.re < 0
hi : x.im < 0
⊢ (if 0 ≤ x.re then -Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ -x.im then Real.arcsin (x.im / abs x) + π else Real.arcsin (x.im / abs x) - π) = if x.re < 0 ∧ x.im = 0 then π else -if 0 ≤ x.re then Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ x.im then -Real.arcsin (x.im / abs x) + π else -Real.arcsin (x.im / abs x) - π
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a : α
n : ℕ
hp : Prime p
y z : α
hb : ¬p ^ 2 ∣ p * (p * z)
hbdiv : p ∣ (p * (p * z)) ^ n
hy : a ^ n.succ * (p * (p * z)) ^ n = p ^ n.succ * y
this : a ^ n.succ * (p * z) ^ n = p * y
hdvdx : p ∣ (p * z) ^ n
⊢ p ^ 2 ∣ p * (p * z)
α : Type u_1
GroupWithZero α
a b : α
m n : ℕ
hab : Commute a b
hmn : m.Coprime n
⊢ a ^ m = b ^ n ↔ ∃ c, a = c ^ n ∧ b = c ^ m
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ ((α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight) ≫ P.actLeft = (α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight ≫ P.actLeft
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso f
⊢ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f) =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.inv f)
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R✝ M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R✝ M'
b b₁ : Basis ι✝ R✝ M
i✝ : ι✝
c : R✝
x✝ : M
ι : Type u_10
R : Type u_11
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : Semiring R
x : R
i : ι
⊢ ((Basis.singleton ι R).repr x) i = x
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
h : {I | I.IsPrime}.Finite
⊢ Submodule.IsPrincipal ⊥
α : Type u_6
MeasurableSpace α
self : MeasureTheory.Measure α
f : ℕ → Set α
⊢ (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) →
  Pairwise (Disjoint on f) → self.toOuterMeasure (⋃ i, f i) = ∑' (i : ℕ), self.toOuterMeasure (f i)
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : β → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun b => G.obj (f b)
P : C
g : (j : β) → P ⟶ f j
⊢ G.map (CategoryTheory.Limits.Pi.lift g) ≫ CategoryTheory.Limits.piComparison G f =
  CategoryTheory.Limits.Pi.lift fun j => G.map (g j)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
M₂ : Type w₁
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L M₂
LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
k : ℕ
x : L
m : M
⊢ ((LieModule.toEnd R L M₂) x ^ k) (f m) = f (((LieModule.toEnd R L M) x ^ k) m)
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.4626, u_2} D
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
W X : C
R : Presieve X
Y : Type
α : Finite Y
Z : Y → C
π : (a : Y) → Z a ⟶ X
hR : R = ofArrows Z π
hi : IsIso (Sigma.desc π)
this✝ : IsIso (Sigma.desc (Cofan.mk X π).inj)
this : R.Extensive
⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) R
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
t : OrderClosedTopology α
TopologicalSpace β
f g : β → α
s : Set β
h : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x
hf : ContinuousOn f (closure s)
hg : ContinuousOn g (closure s)
x : β
hx : x ∈ closure s
⊢ f x ≤ g x
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ ((mapRingHom f) (W.preΨ n) ^ 2 * if Even n then (mapRingHom f) W.Ψ₂Sq else 1) = (mapRingHom f) (W.preΨ n ^ 2 * if Even n then W.Ψ₂Sq else 1)
x : ℂ
y : ℝ
⊢ x ^ ↑y = ↑(abs x ^ y) * (↑(Real.cos (x.arg * y)) + ↑(Real.sin (x.arg * y)) * I)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
m : Set (Measure α)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
⊢ ∀ ⦃x : Measure α⦄, x ∈ m → ∀ (i : Set α), t ⊆ i → MeasurableSet i → (⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t ∩ s)) + ⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t \ s) ≤ x i
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x✝¹ : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
hf0 : Summable fun n => f n x₀
x : E
x✝ : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
⊢ Summable fun n => f n x
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
TopologicalSpace M₂
T2Space M₂
Mul M₁
Mul M₂
ContinuousMul M₂
⊢ IsClosed {f | ∀ (x y : M₁), f (x * y) = f x * f y}
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
Field F
Field K
Field L
Algebra F K
Algebra F L
ne : Nonempty (K →ₐ[F] L)
h : Normal F L
⊢ normalClosure F K L = ⨆ x, IntermediateField.adjoin F ((minpoly F x).rootSet L)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
hnm : ¬n + 1 = m
z : Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + m = q
⊢ ¬(ComplexShape.up ℤ).Rel (p + n) q
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
s : Set X
h₁ : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[s] y
h₂ : x ∈ s
⊢ x ⤳ y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → Zero (α i)
i : ι
a b : α i
⊢ Pi.single i '' Set.Ico a b = Set.Ico (Pi.single i a) (Pi.single i b)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
DivisionRing β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
i : ℕ
⊢ ↑(f.inv hf) i = (↑f i)⁻¹
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
f : Ultrafilter α
hs : TotallyBounded s
h : ↑f ≤ 𝓟 s
⊢ Cauchy ↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
g : δ → γ → δ
f : α → β → γ
i : δ
⊢ List.foldl g i (List.zipWith f l₁ l₂) = List.foldl (fun r p => g r (f p.fst p.snd)) i (l₁.zip l₂)
K : Type u_1
Field K
hk : ∀ (x : K), 1 + x ^ 2 ≠ 0
v : { p // p.1 ^ 2 + p.2 ^ 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }
⊢ (circleEquivGen hk).symm v = (↑v).1 / ((↑v).2 + 1)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
M' : Submodule R ↥M₁
N' : Submodule R ↥N₁
left✝¹ : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥N'
hM : Submodule.map M₁.subtype M' ≤ M₁
hN : Submodule.map N₁.subtype N' ≤ N₁
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion hN) ∘ₗ map (M₁.subtype.submoduleMap M') (N₁.subtype.submoduleMap N')))
⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion hN)))
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
f : σ → τ
h : Injective f
i : σ
⊢ degreeOf (f i) ((rename f) p) = degreeOf i p
ι : Type u
α : Type v
DecidableEq α
t : ι → Finset α
Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n + 1
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ Finset.univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
hs : IsOpen s
⊢ UniqueMDiffOn I s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Ioi a₁ ∩ Iic b₁ ∩ (Ioi a₂ ∩ Iic b₂) = Ioi a₁ ∩ Ioi a₂ ∩ (Iic b₁ ∩ Iic b₂)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.282116, u_1} D
F G : C ⥤ D
η : F ⟶ G
X Y : WithInitial C
f : X ⟶ Y
⊢ (map F).map f ≫ (fun X => match X with | of x => η.app x | star => 𝟙 star) Y = (fun X => match X with | of x => η.app x | star => 𝟙 star) X ≫ (map G).map f
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
⊢ W.Nonsingular 0 0 ↔ W.a₆ = 0 ∧ (W.a₃ ≠ 0 ∨ W.a₄ ≠ 0)
M : Type u_4
Monoid M
l : List M
⊢ l.prod = List.foldr (fun x x_1 => x * x_1) 1 l
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∩ t).card + (s ∪ t).card = s.card + t.card
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
⊢ ∀ (a : α), ↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = ↑(toSimpleFunc (-f)).posPart a → ↑(toSimpleFunc (-f)) a = (-↑(toSimpleFunc f)) a → ↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = ↑(-toSimpleFunc f).posPart a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
f : A ⨯ Y ⟶ X
g : Y ⟶ A ⟹ X
⊢ CategoryTheory.CartesianClosed.curry f = g ↔ f = CategoryTheory.CartesianClosed.uncurry g
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
TopologicalSpace β
F : ι → β → α
x₀ : β
⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) < ε
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
i : Fin (n + 1)
x : β
p : Fin n → β
⊢ ∀ (x_1 : Fin n), i.insertNth x p (i.succAbove x_1) = p x_1
α : Type u_4
a b : α
Preorder α
IsStronglyCoatomic α
h : a < b
⊢ ∃ x, a ≤ x ∧ x ⋖ b
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
⊢ (basisDivisor x x).degree = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p✝ : ℝ≥0∞
x✝ : MeasurableSpace α
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
⊢ μ ∅ ≠ ⊤
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
⊢ ∃ f, StrictMono f ∧ Summable fun i => dist (u (f (i + 1))) (u (f i))
a b : ℝ
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, 1 / x = Real.log (b / a)
G : Type u_1
AddCommGroup G
Fintype G
A : Finset (G × G)
ε : ℝ
DecidableEq G
hε : ε * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ ↑A.card
⊢ (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph (Corners.triangleIndices A)).FarFromTriangleFree (ε / 9)
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
hs : s ∈ 𝓝 0
⊢ ContinuousAt (gauge s) 0
R S : Type u
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
⊢ Algebra.FormallyUnramified R S ↔ Subsingleton (Ω[S⁄R])
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
x : Sigma γ
i : ι
a : α i
b : β i
⊢ x ∈ sigmaLift f ⟨i, a⟩ ⟨i, b⟩ ↔ ∃ (ha : ⟨i, a⟩.fst = x.fst) (hb : ⟨i, b⟩.fst = x.fst), x.snd ∈ f (ha ▸ ⟨i, a⟩.snd) (hb ▸ ⟨i, b⟩.snd)
α : Type u_1
x : WithTop α
hx : x ≠ ⊤
⊢ ↑(x.untop hx) = x
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ 0 ≤ -x ↔ x ≤ 0
X : Type u
TopologicalSpace X
self : ExtremallyDisconnected X
U : Set X
⊢ IsOpen U → IsOpen (closure U)
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℝ
ht : t ≠ -1
this : ∀ (x s : ℝ), ↑((1 + x ^ 2) ^ s) = (1 + ↑x ^ 2) ^ ↑s
⊢ ↑((1 + b ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1)) - (1 + a ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1))) = (1 + ↑?convert_2 ^ 2) ^ (↑t + 1) / (2 * (↑t + 1)) - (1 + ↑?convert_1 ^ 2) ^ (↑t + 1) / (2 * (↑t + 1))
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • MeasureTheory.eLpNorm f p μ
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
⊢ P.toPoly = Polynomial.C P.b * Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.C P.c * Polynomial.X + Polynomial.C P.d
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hq0 : 0 ≤ q
f g : α → ℝ≥0∞
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_nonzero : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ 0
⊢ ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
⊢ MonovaryOn f g⁻¹ s ↔ AntivaryOn f g s
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
IF : Type u_2 := { K // ∃ x, K = F⟮x⟯ }
this : Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ FiniteDimensional F E
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
this✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
this : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ IsIso (ΓSpec.adjunction.unit.app X)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l.next (l.prev x hx) ⋯ = x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν s : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hs : s ⟂ₘ ν
hadd : μ = s + ν.withDensity f
⊢ ν.withDensity f = ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
P : Finpartition Finset.univ
Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ 0 < m
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
Ring R
v : AddValuation R Γ₀
x y : R
⊢ v (x - y) = v (y - x)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
MulZeroOneClass γ
MulZeroOneClass δ
f : α →*₀ β
g : β →*₀ γ
h : γ →*₀ δ
⊢ (h.comp g).comp f = h.comp (g.comp f)
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Fintype k
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq k
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Semiring α
a : m
b : n
c : k
M : Matrix k l α
⊢ (single a b).toMatrix * ((single b c).toMatrix * M) = (single a c).toMatrix * M
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr
⊢ succ e.repr * b ≤ e.repr * ω
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
⊢ cofinite ≤ atTop
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
⊢ ∀ (x : C(X, 𝕜)), x ∈ A.topologicalClosure
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
ys₁ ys₂ : List β
⊢ ∃ xs', xs' <:+ xs ∧ levenshtein C xs' ys₂ ≤ levenshtein C xs (ys₁ ++ ys₂)