ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
σ : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
Fintype σ
n : ℕ
f : R →+* S
⊢ (MvPolynomial.map f) (MvPolynomial.esymm σ R n) = MvPolynomial.esymm σ S n
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.karoubiUniversal₁ C D).unitIso =
  (CategoryTheory.Idempotents.functorExtension₁CompWhiskeringLeftToKaroubiIso C D).symm
α : Type u_1
y : α
a : α
l : List α
⊢ a ∈ l → a ∈ y :: l
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ Ioc (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map (Embedding.inl.trans toLex.toEmbedding) (Ioc a₁ a₂)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ x : M
⊢ HasMFDerivAt I I id x (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x))
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Setoid X
f : X → Y
h : Continuous f
hs : ∀ (a b : X), Setoid.r a b → f a = f b
⊢ Continuous fun x => x.liftOn' f hs
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : Subgroup G
hG✝ : Group.IsNilpotent G
n : ℕ
hG : lowerCentralSeries G n = ⊥
⊢ lowerCentralSeries (↥H) n = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
⊢ Set.BijOn (⇑e) s (⇑e '' s)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
i : α
⊢ (⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) ⊓ ⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a) ≤ ker (lapply i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᴹᵒᵖ
⊢ Function.Injective Quiver.Hom.unmop
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
a : B
⊢ (CategoryTheory.OplaxFunctor.id B).mapId a = CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.CategoryStruct.id a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ x y
⊢ |‖x‖ - ‖y‖| < ‖x - y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
s₁ s₂ : List β
h : List.map f l = s₁ ++ s₂
⊢ ∃ l₁ l₂, l = l₁ ++ l₂ ∧ List.map f l₁ = s₁ ∧ List.map f l₂ = s₂
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C
⊢ ((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)).symm (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective A ⋯).symm (curry (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective B ⋯).symm (curry ((PreservesLimitPair.iso i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)).inv ≫ i.map (𝟙 ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))))) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))))) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))) = prodComparison (reflector i) A B
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_nbot : ⊥ < limsup u f
v_nbot : ⊥ < limsup v f
v_ntop : limsup v f < ⊤
limsup_v_real : ↑(limsup v f).toReal = limsup v f
⊢ ∀ (z : ℝ), limsup u f + limsup v f < ↑z → limsup (u + v) f ≤ ↑z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : Filter α
v : α → β
l : β → γ
u : γ → β
gc : GaloisConnection l u
hlv : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => l (v x)) _auto✝
hv_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝
c : γ
hc : ∀ᶠ (n : γ) in map (fun x => l (v x)) f, n ≤ c
⊢ l (limsup v f) ≤ c
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
s t : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
η : s ⟶ t
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.unit (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η.right) = t.unit
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
NormedRing R
f : ι → R
g : ι' → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖
⊢ Summable fun x => ‖f x.1 * g x.2‖
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp1 : 1 ≤ p
⊢ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p) ≤ a + b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
h_ac : ν ≪ ν + ν'
⊢ μ.rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv ν
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ ↑0 = 0
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
σ✝ : α → Type u_4
a : α
s : Multiset α
t✝ : (a : α) → Multiset (σ✝ a)
σ : α → Type u_5
t : (a : α) → Multiset (σ a)
l₁ : List α
f : (a : α) → List (σ a)
hf : ∀ (a : α), ⟦f a⟧ = t a
⊢ Nodup (Quot.mk Setoid.r l₁) → (∀ (a : α), (t a).Nodup) → (Multiset.sigma (Quot.mk Setoid.r l₁) t).Nodup
R : Type u_1
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : StarMul R
u : Rˣ
h_mul : star ↑u * ↑u = 1
⊢ ↑u * star ↑u = 1
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.MonoidalCategory V
A B : Action V G
⊢ ((Action.functorCategoryMonoidalEquivalence V G).μIso A B).inv.app PUnit.unit =
  𝟙
    (((Action.functorCategoryMonoidalEquivalence V G).obj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj A B)).obj
      PUnit.unit)
n : ℕ
⊢ IsPrimePow n ↔ ∃ p k, 0 < k ∧ n.factorization = Finsupp.single p k
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c : X ⟶ Y
⊢ a - b + c = a - (b - c)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
DecidableEq σ
DecidableEq R
DecidableEq M
x : DirectSum M fun i => ↥(MvPolynomial.weightedHomogeneousSubmodule R w i)
⊢ (DirectSum.coeLinearMap fun i => MvPolynomial.weightedHomogeneousSubmodule R w i) x = DFinsupp.sum x fun x x_1 => ↑x_1
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : QuotientMap f
s : Set Y
⊢ IsClopen (f ⁻¹' s) ↔ IsClopen s
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ : Seminorm 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ (s.sup p).closedBall x r = s.inf fun i => (p i).closedBall x r
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (tensorRight L.X ⋙ tensorRight U.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (α_ (P.tensorBimod Q).X L.X U.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actRight ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ = (tensorRight L.X ⋙ tensorRight U.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ▷ U.X ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ ▷ U.X) ≫ TensorBimod.actRight P (Q.tensorBimod L)
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ W.preΨ (2 * (↑m + 3)) =
  W.preΨ (↑m + 2) ^ 2 * W.preΨ (↑m + 3) * W.preΨ (↑m + 5) - W.preΨ (↑m + 1) * W.preΨ (↑m + 3) * W.preΨ (↑m + 4) ^ 2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p : α → Prop
q : Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in f, p x ∨ q) ↔ (∀ᶠ (x : α) in f, p x) ∨ q
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 < δ
a b : E
⊢ Metric.closedBall a ε + Metric.ball b δ = Metric.ball (a + b) (ε + δ)
n✝ b b' : ℕ
h : b' % b = 1
n : ℕ
⊢ b ∣ n ↔ b ∣ ofDigits 1 (b'.digits n)
s₁ s₂ : String
⊢ s₁ ≤ s₂ ↔ s₁.toList ≤ s₂.toList
r₁ r₂ : ℝ≥0
⊢ ↑r₁ < ↑r₂ ↔ r₁ < r₂
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ MeasureTheory.Measure.count ∅ = 0
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : M
H : a ≤ 0
n : ℕ
⊢ n • a ≤ 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
x : α
⊢ hs.piecewise f x = f (hs.index x) x
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddGroup G
hfg : MeasureTheory.ConvolutionExists f g L μ
hfg' : MeasureTheory.ConvolutionExists f' g L μ
⊢ MeasureTheory.convolution (f + f') g L μ = MeasureTheory.convolution f g L μ + MeasureTheory.convolution f' g L μ
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup n R
⊢ ↑(Matrix.SpecialLinearGroup.toLin' A).symm = Matrix.toLin' ↑A⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c : α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
⊢ (Ioc a b).erase b = Ioo a b
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
β : Type u_3
Zero β
TopologicalSpace β
f : α → β
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun i => (φ i).indicator f x) l (𝓝 (f x))
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥S
h1 : ¬Module.rank F ↥S = 1
⊢ S = ⊥
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
cramer : (traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ (traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ (traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z
i : Fin B.dim
⊢ ((traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z) i ∈ ⊥
α : Type u_2
DecidableEq α
Inv α
s : Finset α
⊢ s⁻¹ = ∅ ↔ s = ∅
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ 0 < a / b ↔ a ≠ 0 ∧ b ≠ ⊤
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p q : α → Prop
hp : Measurable p
hq : Measurable q
⊢ Measurable fun a => p a ∨ q a
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i
⊢ (AddCommGroup.DirectLimit.of G f j) ((f i j hij) x) = (AddCommGroup.DirectLimit.of G f i) x
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set G
MeasurableInv G
μ.IsMulLeftInvariant
ν.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ μ s * ∫⁻ (y : G), f y ∂ν = ∫⁻ (x : G), ν ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * f x⁻¹ ∂μ
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
a : α
x✝ : Set α
hx✝ : x✝ ∈ Set.range toSet
s : Finset α
t : Set α
ht : t ∈ Set.Icc x✝ ↑s
⊢ t ∈ Set.range toSet
M : Type u_1
Monoid M
P : Type u_2
CommSemiring P
MulSemiringAction M P
Q : Type u_3
CommSemiring Q
MulSemiringAction M Q
g : P →+*[M] Q
⊢ ⇑g.polynomial = Polynomial.map ↑g
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s t : Set α
AlexandrovDiscrete α
⊢ exterior s ⊆ t ↔ ∃ U, IsOpen U ∧ s ⊆ U ∧ U ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r : ℝ
hr : 1 < r
this : Tendsto (fun x => x ^ k) (𝓝[>] 1) (𝓝 1)
r' : ℝ
hr' : r' ^ k < r
h1 : 1 < r'
h0 : 0 ≤ r'
⊢ (fun n => ↑n ^ k) =O[atTop] fun n => (r' ^ n) ^ k
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
⊢ (∑ x ∈ univ.erase (Equiv.refl n), ↑↑(Equiv.Perm.sign x) * ∏ i : n, M.charmatrix (x i) i).degree < ↑(Fintype.card n - 1)
α : Type u_2
CanonicallyOrderedCommMonoid α
m : Multiset α
a : α
ha : a ∈ m
⊢ a ≤ m.prod
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x : α
h : x ∈ l
⊢ l.prev x h ∈ l
i j : ℤ
⊢ i.gcd j = i.natAbs.gcd j.natAbs
v✝ : ℤ
hv : 2 ≤ v✝
v : ℕ
ih : ∀ m < v, ∀ {ξ : ℝ} {u : ℤ}, ContfracLegendre.Ass ξ u ↑m → ∃ n, ↑u / ↑m = ξ.convergent n
ξ : ℝ
u : ℤ
h : ContfracLegendre.Ass ξ u ↑v
ht : 1 < v
⊢ ∃ n, ↑u / ↑v = ξ.convergent n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : Unique Rˣ
p₁ p₂ : R
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₁
h : p₁ ^ k₁ = p₂ ^ k₂
⊢ p₁ = p₂
α β : Type u
f : α → β
x : FreeAddSemigroup α
⊢ (Seq.seq (pure f) fun x_1 => x) = f <$> x
α : Type u_1
BooleanRing α
a b : AsBoolAlg α
⊢ ofBoolAlg (a ⊓ b) = ofBoolAlg a * ofBoolAlg b
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
⊢ Measure.map (fun x => x * c) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
S' : Type u_7
Ring S'
Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h₁ : (Polynomial.aeval pb.gen) (minpoly A pb'.gen) = 0
h₂ : (Polynomial.aeval pb'.gen) (minpoly A pb.gen) = 0
⊢ (pb.equivOfRoot pb' h₁ h₂) pb.gen = pb'.gen
R : Type u_1
CommRing R
q : Quaternion (DualNumber R)
⊢ (TrivSqZeroExt.snd (Quaternion.dualNumberEquiv q)).imJ = TrivSqZeroExt.snd q.imJ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T : Set (Set X)
T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t
T_count : T.Countable
T_int : t = ⋂₀ T
T_nonempty : T.Nonempty
⊢ HasSeparatingCover s t
a b c : ℕ
hc0 : 0 < c
⊢ (a + b) / c = a / c + b / c + if c ≤ a % c + b % c then 1 else 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
S : F →L[𝕜] E
⊢ IsSelfAdjoint ((ContinuousLinearMap.adjoint S).comp (T.comp S))
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
n : ℕ
φ : MvPolynomial σ R
⊢ ((MvPolynomial.homogeneousComponent n) φ).IsHomogeneous n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' φ h₁ h₂ = γ.left.φH
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
p : ℝ
⊢ MeasureTheory.lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p =
  let ι := Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ E);
  let_fun this := ⋯;
  let e := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this;
  let c := μ.addHaarScalarFactor (MeasureTheory.Measure.map (⇑e.symm) MeasureTheory.volume);
  c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p * (c ^ p)⁻¹
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
a b : D
mcf : HasMaxCutPropertyAt f a b
hab : a ≠ b
ω : FractionalOperation D 2
symmega : ω.IsSymmetric
r : Fin 2 → D
rin : ∃ a_1 ∈ ω, (fun i => a_1 (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) = r
⊢ f ![a, b] < f r
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
L.HasPointwiseRightKanExtension F
Y : D
⊢ (L.pointwiseRightKanExtension F).obj Y = CategoryTheory.Limits.limit ((CategoryTheory.StructuredArrow.proj Y L).comp F)
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, (sign x • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (x i) i).coeff (Fintype.card n) = sign x • ∏ i : n, A (x i) i
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Fintype R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : card R = p ^ n
hR : ∀ i ≤ n, ↑p ^ i = 0 → i = n
c : ℕ
hc : CharP R c
hcpn : c ∣ p ^ n
⊢ CharP R (p ^ n)
α : Type u
x y : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ≤ y \ x ↔ x = ⊥
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
CommMonoid γ
f : Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
hyp : ∀ (i : ι), h i (f i) = 1
⊢ f.prod h = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0
⊢ μ Set.univ ^ (1 / p.toReal) ≠ ⊤
n : Nat
a : Fin (n + 1)
⊢ 0 < a ↔ a ≠ 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y1 y2 : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ (y1 - y2).val = y1.val - y2.val
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
⊢ ⋀[R]^n M ≤ Submodule.span R (Set.range ⇑(ιMulti R n))
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ Set.Ici (Order.succ a) = Set.Ioi a
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹² : MeasurableSpace α✝
inst✝¹¹ : BorelSpace α✝
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁹ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁸ : BorelSpace β✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace γ
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : TopologicalSpace β
hβ : BorelSpace β
e : α → β
h'e : MeasurableEmbedding e
h''e : Inducing e
this : MeasurableSpace.comap e (borel β) = inst✝³
⊢ inst✝³ = borel α
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ ↑(↑((f j) (r * s)).val - ↑((f j) r).val * ↑((f j) s).val) = 0
R : Type u
inst✝¹¹ : Ring R
P : Type v
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : Module R P
R₀ : Type ?u.49012
M : Type u_1
N : Type ?u.52304
inst✝⁸ : CommRing R₀
inst✝⁷ : Algebra R₀ R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R₀ M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : IsScalarTower R₀ R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R₀ N
inst✝ : Projective R M
i : P →ₗ[R] M
s : M →ₗ[R] P
H : s ∘ₗ i = LinearMap.id
g : M →ₗ[R] P →₀ R
hg : Finsupp.total P P R id ∘ₗ g = s
x : P
⊢ (Finsupp.total P P R id) ((g ∘ₗ i) x) = x
S : Type u_1
T : Type u_2
R✝ : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ N
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
v✝ : Basis ι R✝ M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticMap R M R
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
⊢ (Q.basisRepr v) w = (weightedSumSquares R fun i => Q (v i)) w
α : Type u
⊢ Mathlib.Vector.nil.toList = []
α : Type u_4
Fintype α
⊢ Fintype.card (Additive α) = Fintype.card α
α : Type u_6
β : Type u_7
HeytingAlgebra α
HeytingAlgebra β
self : HeytingHom α β
a b : α
⊢ self.toFun (a ⇨ b) = self.toFun a ⇨ self.toFun b
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.InducedCategory Profinite LightDiagram.toProfinite} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z)
  (a : ↑(LightDiagram.toProfinite X).toTop), (f ≫ g) a = g (f a)
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hu : Measure.map X ℙ = ProbabilityTheory.cond μ s
⊢ Measure.map X ℙ = ProbabilityTheory.cond μ (toMeasurable μ s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
a : α
f : (a' : α) → a' ∈ (pure a).support → PMF β
b : β
⊢ ((pure a).bindOnSupport f) b = (f a ⋯) b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Epi g
s : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
hs : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
⊢ CategoryTheory.Epi s.fst
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ ≃ᵐ ℝ
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
g : ℝ → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ ⇑f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : IntegrableOn g (⇑f '' s) volume
f' : ℝ → ℝ
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt (⇑f) (f' x) s x
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |(ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' x)).det| * g (f x)) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * g (f x))
⊢ riemannZeta 1 = (↑γ - Complex.log (4 * ↑π)) / 2
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 4
h₀ : f.obj' 0 ⋯ = g.obj' 0 ⋯
h₁ : f.obj' 1 ⋯ = g.obj' 1 ⋯
h₂ : f.obj' 2 ⋯ = g.obj' 2 ⋯
h₃ : f.obj' 3 ⋯ = g.obj' 3 ⋯
h₄ : f.obj' 4 ⋯ = g.obj' 4 ⋯
w₀ :
  f.map' 0 1 ⋯ ⋯ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom h₀)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (g.map' 0 1 ⋯ ⋯) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
w₁ :
  f.map' 1 2 ⋯ ⋯ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom h₁)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (g.map' 1 2 ⋯ ⋯) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
w₂ :
  f.map' 2 3 ⋯ ⋯ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom h₂)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (g.map' 2 3 ⋯ ⋯) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
w₃ :
  f.map' 3 4 ⋯ ⋯ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom h₃)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (g.map' 3 4 ⋯ ⋯) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
⊢ f = g
R : Type u_1
CommMonoid R
DecidableRel Dvd.dvd
r : R
⊢ Squarefree r ↔ ∀ (x : R), multiplicity x r ≤ 1 ∨ IsUnit x