ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : MeasurableSpace H
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : BorelSpace G
μ✝ : Measure G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : μ✝.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : WeaklyLocallyCompactSpace G
inst✝² : NoncompactSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
K1 : K ∈ 𝓝 1
hK : IsCompact K
Kclosed : IsClosed K
K_pos : 0 < μ K
g : Set G → G
hg : ∀ (L : Set G), IsCompact L → Disjoint L (g L • K)
L : ℕ → Set G := fun n => (fun T => T ∪ g T • K)^[n] K
Lcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (L n)
Lclosed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (L n)
M : ∀ (n : ℕ), μ (L n) = ↑(n + 1) * μ K
⊢ μ univ = ⊤
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommSemiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommSemiring T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
g' : O →ₗ[T] Q
e : ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i
⊢ ↑R (↑S g' ∘ₗ g) ∘ₗ f = ↑R (↑S (hg.lift (hf.lift i)) ∘ₗ g) ∘ₗ f
R : Type u
Ring R
M N : ModuleCat R
⊢ (M.biprodIsoProd N).inv ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd = LinearMap.snd R ↑M ↑N
G : Type u
inst✝ : Monoid G
h : Subsingleton G
⊢ exponent G ≤ 1
self : TopCat.GlueData.MkCore
i : self.J
⊢ self.V i i = ⊤
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s t : Set ℝ
x : ℝ
hfs : HasUnitSpeedOn f s
hft : HasUnitSpeedOn f t
hs : IsGreatest s x
ht : IsLeast t x
⊢ HasUnitSpeedOn f (s ∪ t)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
hl : 1 < l.length
⊢ l.formPerm (l.get ⟨0, ⋯⟩) = l.get ⟨1, hl⟩
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Finset E
⊢ IsCompactElement (adjoin F ↑S)
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
h : a ∉ s
⊢ (Finset.cons a s h).val = a ::ₘ s.val
a b : ℤ
H : b ∣ a
⊢ (a / b).natAbs = a.natAbs / b.natAbs
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.InnerRegular
inst✝ : μ'.InnerRegular
s : Set G
hs : MeasurableSet s
K : Set G
_Ks : K ⊆ s
K_comp : IsCompact K
⊢ μ' K = (μ'.haarScalarFactor μ • μ) K
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F✝
inst✝ : Module ℝ F✝
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
e : ι ≃ Fin 1
B : parallelepiped ⇑(b.reindex e) = parallelepiped ⇑b
F : ℝ → Fin 1 → ℝ := fun t _i => t
A : Icc 0 1 = F '' Icc 0 1
⊢ parallelepiped ⇑(b.reindex e) = Icc 0 1 ∨ parallelepiped ⇑(b.reindex e) = Icc (-1) 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : C
hA : ∀ ⦃Z : C⦄ (f g : Z ⟶ A), f = g
inst✝ : HasBinaryProduct A A
⊢ prod.fst ≫ diag A = 𝟙 (A ⨯ A)
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
⊢ Projectivization.map LinearMap.id ⋯ = id
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : T2Space β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : IsClopenable s
⊢ MeasurableSet s
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
R : Type w
inst✝ : CommRing R
a b : R
ha : a ∈ R⁰
x : R ⧸ Submodule.span R {a * b}
⊢ a • x = 0 ↔ ∃ a_1, a_1 • (mk (Submodule.span R {a * b})) b = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor C D
⊢ ∀ {X Y : Comon_ C} (f : X ⟶ Y), (F.mapComon.map f).hom = F.map f.hom
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : t < 0
⊢ s.SOppSide x (t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂)
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M
⊢ (fun x => a + x) '' Ioc b c = Ioc (a + b) (a + c)
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
h_pow_liminf : liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop ^ p = liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ ^ p) atTop
⊢ liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ p ∂μ) atTop = liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop ^ p
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
H H' : C ⥤ D
α : H ≅ H'
X : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ ((CategoryTheory.Functor.functorialityCompPrecompose α).hom.app X).hom = α.hom.app X.pt
α : Type u
β : Type v
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
h : Function.Injective f
⊢ ⇑(LeftOrdContinuous.toOrderEmbedding f hf h) = f
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
i : Fin r ⊕ Unit
k : ℕ
hk : k ≤ r
⊢ ((List.drop k (listTransvecCol M)).prod * M) (inr ()) i = M (inr ()) i
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝ : AddCommMonoid M
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M
⊢ ((cons i σ).sum fun x e => e) = i + σ.sum fun x e => e
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Preorder α
t : OrderTopology α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ GenerateOpen {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a} s
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w y z
h₂ : Sbtw R w x y
⊢ Sbtw R w x z
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s✝ : Set α
x✝ y z : α
s : ℕ → Set α
h0 : IsComplete (s 0)
hs : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
h's : ∀ (n : ℕ), IsBounded (s n)
h : ∀ (N : ℕ), (⋂ n, ⋂ (_ : n ≤ N), s n).Nonempty
h' : Tendsto (fun n => diam (s n)) atTop (𝓝 0)
u : ℕ → α := fun N => ⋯.some
I : ∀ (n N : ℕ), n ≤ N → u N ∈ s n
this : CauchySeq u
x : α
xlim : Tendsto (fun n => u n) atTop (𝓝 x)
⊢ (⋂ n, s n).Nonempty
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
h : n < m
f : ℕ → ℚ := fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
hf : f = fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹
i : ℕ
h₁✝ : i < n + 1
h₁ : i ≤ n
⊢ f i - f (i + 1) = ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i))
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 2 = 1
⊢ p % 8 ≠ 5 ∧ p % 8 ≠ 7 ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 3
R : Type u
Ring R
S S' : Subsemiring R
h₁ : ∀ {x : R}, x ∈ S.carrier → -x ∈ S.carrier
h₂ : ∀ {x : R}, x ∈ S'.carrier → -x ∈ S'.carrier
⊢ { toSubsemiring := S, neg_mem' := h₁ } ≤ { toSubsemiring := S', neg_mem' := h₂ } ↔ S ≤ S'
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
W : C
g : W ⟶ Y
i : S.Arrow
h : G.obj W ⟶ i.Y
w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f
⊢ s.ι { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ } = s.ι i ≫ R.map h.op
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ ⊥.IsEquipartition
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
U✝ : TopCat
X : Scheme
f : U✝ ⟶ TopCat.of ↑↑X.toPresheafedSpace
h : OpenEmbedding ⇑f
U : (X.restrict h).Opens
⊢ (Hom.appIso (X.ofRestrict h) U).hom = (Iso.refl Γ(X, X.ofRestrict h ''ᵁ U)).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)
huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
hfgE : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict E, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ffmE : Fact (μ E < ⊤)
hInner : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε
N : ℕ
hfngε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε / 3
n : ℕ
hn : n ≥ N
hmfngE : AEStronglyMeasurable (E.indicator (f n - g)) μ
hfngEε : eLpNorm (E.indicator (f n - g)) p μ ≤ ε / 3
hmgEc : AEStronglyMeasurable (Eᶜ.indicator g) μ
hgEcε : eLpNorm (Eᶜ.indicator g) p μ ≤ ε / 3
hmfnEc : AEStronglyMeasurable (Eᶜ.indicator (f n)) μ
hfnEcε : eLpNorm (Eᶜ.indicator (f n)) p μ ≤ ε / 3
hmfngEc : AEStronglyMeasurable (Eᶜ.indicator (f n - g)) μ
hfngEcε : eLpNorm (Eᶜ.indicator (f n - g)) p μ ≤ ε / 3 + ε / 3
⊢ eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A B : C
e_1✝ : (F.obj ((𝟭 C).obj B) ⟶ (F ⋙ exp (F.obj A)).obj (A ⨯ B)) = (F.obj ((𝟭 C).obj B) ⟶ (F ⋙ exp (F.obj A)).obj ((prod.functor.obj A).obj B))
e_4✝ : (prod.functor.obj (F.obj A) ⋙ exp (F.obj A)).obj (F.obj B) = (prod.functor.obj (F.obj A) ⋙ exp (F.obj A)).obj (F.obj ((𝟭 C).obj B))
e_5✝ : (F.obj A ⟹ F.obj (A ⨯ B)) = (F.obj A ⟹ (prod.functor.obj A ⋙ F).obj ((𝟭 C).obj B))
e_6✝ : (prod.functor.obj (F.obj A)).obj (F.obj B) = (prod.functor.obj (F.obj A)).obj (F.obj ((𝟭 C).obj B))
e_7✝ : F.obj (A ⨯ B) = (prod.functor.obj A ⋙ F).obj ((𝟭 C).obj B)
⊢ inv (prodComparison F A B) = (prodComparisonNatIso F A).inv.app ((𝟭 C).obj B)
x : ℝ
m : ℕ
h : Irrational (x / ↑m)
⊢ Irrational x
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : 0 < r
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
ε : ℝ≥0∞
left✝ : 0 < ε
εr : ε < r
u : Set X
x : X
hxs : x ∈ s
hxu : x ∈ u
y : X
hyt : y ∈ t
hyu : y ∈ u
this : ε < diam u
⊢ extend (fun s x => m s) u = ⊤
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ ↑(TopCat.of X) = X
z : ℝ≥0
⊢ nndist 0 z = z
x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ ⟦x.moveLeft i * y⟧ = ⟦y * x.moveLeft i⟧
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
Φ : CategoryTheory.Functor C C
ε : CategoryTheory.Functor.id C ⟶ Φ
J : Type u
LinearOrder J
IsWellOrder J fun x x_1 => x < x_1
OrderBot J
j : J
iter₁ iter₂ iter₃ : CategoryTheory.Functor.Iteration ε j
f : iter₁.Hom iter₂
g : iter₂.Hom iter₃
⊢ (f.comp g).natTrans = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.natTrans g.natTrans
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : ↥(LinearMap.ker f) →ₗ[R] M), f.comp u = f.comp v → u = v
⊢ LinearMap.ker f = ⊥
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂
inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄
inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.121835 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄
inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.127286 ⟶ X₂) true ≫ f₂)
inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
⊢ (pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).hom ≫ pullback.fst f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) = pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.fst f₁ f₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
m : M
h : torsionOf R M m = ⊥
contra : m = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
f : α → ℕ
g : α → β
h : α → ℕ → β
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
⊢ Primrec fun a => Nat.casesOn (f a) (g a) (h a)
q : Λ'
c : List Γ'
x : Γ'
b : List Γ'
IH : ∀ (s : Option Γ') (a d : List Γ'), Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.copy, var := s, stk := elim a b c d } { l := some q, var := none, stk := elim (b.reverseAux a) [] c (b.reverseAux d) }
s : Option Γ'
a d : List Γ'
⊢ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.copy, var := s, stk := elim a (x :: b) c d } { l := some q, var := none, stk := elim ((x :: b).reverseAux a) [] c ((x :: b).reverseAux d) }
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
w : NumberField.InfinitePlace K
h : NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w
⊢ MulAction.stabilizer (K ≃ₐ[k] K) w = ⊥
f : ℕ → ℂ
h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C
⊢ abscissaOfAbsConv f ≤ 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
b✝ : ι → M
S : Type u_4
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
i : ι
hi : smithCoeffs b I hI i = 0
⊢ (selfBasis b I hI) i = 0
α : Type u
β : Type v
m : α → β
t : Set β
⊢ Filter.comap m (𝓟 t) = 𝓟 (m ⁻¹' t)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a : α
ha : a ∈ Iio b
⊢ map Subtype.val atTop = 𝓝[<] b
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
x : Fin n → R
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
q : MvPolynomial (Fin n) R
⊢ (eval fun s => (eval x) (Polynomial.eval q (Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (X k)) s))) f = (eval fun i => Fin.cases ((eval x) q) x i) f
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R r : ℝ
hr : r < R
hr' : 0 ≤ r
z : ℂ
cts : ContinuousOn (⇑abs ∘ circleTransformBoundingFunction R z) (closedBall z r ×ˢ univ)
⊢ ∃ x, ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑x)
k : ℕ
a : ℝ
ha : a ∈ Set.Icc 0 1
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ HurwitzKernelBounds.F_int k (↑a) t = HurwitzKernelBounds.F_nat k a t + HurwitzKernelBounds.F_nat k (1 - a) t
α : Type u_5
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
PseudoEMetricSpace α
f : α → E
⊢ LocallyLipschitz f⁻¹ ↔ LocallyLipschitz f
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ IsColimit (ShortComplex.π₃.mapCocone (CokernelCofork.ofπ (S.mapNatTrans (natTransHomologyπ C c j)) ⋯))
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool
⊢ l.length - 1 ≤ if Even l.length then l.length else if (some b == l.head?) = true then l.length + 1 else l.length - 1
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
hne : z ≠ y
⊢ x ∈ affineSpan R {z, y}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ⊕ β → γ
b : β
⊢ ((Equiv.sumArrowEquivProdArrow α β γ) f).2 b = f (Sum.inr b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
r : ℝ≥0∞
hr : μ K < r
V : Set α
hKV : V ⊇ K
hVo : IsOpen V
hμV : μ V < ⊤
this : Fact (μ V < ⊤)
⊢ ∃ U, K ⊆ U ∧ IsOpen U ∧ μ U < r
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : PMF α
a : α
h : MeasurableSet {a}
⊢ p.toMeasure {a} = p a
α : Type u_1
β : Type u_2
la : Filter α
lb : Filter β
ι : Type u_6
LinearOrder ι
p : ι → Prop
sa : ι → Set α
sb : ι → Set β
hla : la.HasBasis p sa
hlb : lb.HasBasis p sb
hsa : AntitoneOn sa {i | p i}
hsb : AntitoneOn sb {i | p i}
⊢ (la ×ˢ lb).HasBasis p fun i => sa i ×ˢ sb i
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E
⊢ gauge s x = sInf {r | r ∈ Set.Ioi 0 ∧ x ∈ r • s}
α : Type u
β : Type v
b : β
bs : List β
⊢ [].zipRight (b :: bs) = (none, b) :: List.map (fun b => (none, b)) bs
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : LaurentSeries R
⊢ (ofPowerSeries ℤ R) x.powerSeriesPart = (single (-order x)) 1 * x
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
⊢ ((NormedSpace.expSeries ℝ ℍ (2 * n + 1)) fun x => q) = ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / ‖q‖) • q
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
⊢ Primrec' fun v => (unpair (f v)).2
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
⊢ ∀ ⦃x : ℕ⦄, x ∈ Finset.Ico 1 (log p n + 1) → k % p ^ x + (n - k) % p ^ x < p ^ x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_2
DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hf : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (f i) s x
⊢ derivWithin (fun x => ∏ i ∈ u, f i x) s x = ∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • derivWithin (f i) s x
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
M : Matrix p p 𝕜
e : p ≃ n
L₀ L₀' : List (TransvectionStruct n 𝕜)
D₀ : n → 𝕜
h₀ : (List.map toMatrix L₀).prod * (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀
⊢ (List.map toMatrix (List.map (reindexEquiv e.symm) L₀)).prod * M * (List.map toMatrix (List.map (reindexEquiv e.symm) L₀')).prod = diagonal (D₀ ∘ ⇑e)
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
⊢ op ((1 - x) * ∑ i ∈ range n, x ^ i) = op (1 - x ^ n)
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : 0 < a
⊢ |a| = a
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K₁ K₂ : TopologicalSpace.Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ K₂.carrier
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.prehaar (↑K₀) U K₁ ≤ MeasureTheory.Measure.haar.prehaar (↑K₀) U K₂
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
⊢ UniformInducing f
α : Type u
l₁ l₂ : List α
hl : l₁.length = l₂.length
h : ∀ (n : ℕ) (h₁ : n < l₁.length) (h₂ : n < l₂.length), l₁.nthLe n h₁ = l₂.nthLe n h₂
⊢ l₁ = l₂
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
e : ℝ
⊢ ∀ (a : ℝ), 1 ⊔ b ^ e ≤ a → logb b a ≤ e
α : Type u
DecidableEq α
β : Type v
Fintype α
DecidableEq β
Fintype β
f : Equiv.Perm β
e : α ≃ β
⊢ Equiv.Perm.sign ((e.trans f).trans e.symm) = Equiv.Perm.sign f
α : Type u_1
n : ℕ
x : α
xs : List α
⊢ List.enumFrom n (x :: xs) = (n, x) :: List.map (Prod.map Nat.succ id) (List.enumFrom n xs)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasWideEqualizers C
T : C
hT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)
endos : Type v := T ⟶ T
i : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id
this✝ : Nonempty endos
this : (X : C) → Unique (wideEqualizer id ⟶ X)
⊢ HasInitial C
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup A
inst✝⁴ : CompactSpace A
inst✝³ : ConnectedSpace A
inst✝² : MeasurableSpace A
inst✝¹ : BorelSpace A
μ : Measure A
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
ξ : A
n : ℕ
hn : 0 < n
δ : ℝ
this : IsFiniteMeasure μ
B : ↑(Icc 0 n) → Set A := fun j => closedBall (↑j • ξ) (δ / 2)
hB : ∀ (j : ↑(Icc 0 n)), IsClosed (B j)
h : Pairwise (Disjoint on B)
h' : ⋃ j, B j = univ
hδ : 0 ≤ δ / 2
⊢ n = 0
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
x y a b : α
h : IsCompl x y
⊢ a ≤ b ⊔ y ↔ a ⊓ x ≤ b
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommGroup M
TopologicalSpace M
TopologicalAddGroup M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ ↑(-v) = -↑v
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt f 0 (Set.Ici x) x
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Icc a b → f x = f a
α : Type u_1
inst✝⁴ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
f✝ : α → β
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace γ
inst✝¹ : CompleteSpace γ
inst✝ : T0Space γ
f : β → γ
g : α → β
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
a : α
⊢ f (g a) = (f ∘ g) a
A : Type u
B : Type v
Group A
Group B
f : A →* B
h : ∀ (u v : ↥f.ker →* A), f.comp u = f.comp v → u = v
⊢ f.ker = ⊥
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ Submodule.map₂ f (Submodule.span R s) (Submodule.span R t) = Submodule.span R (Set.image2 (fun m n => (f m) n) s t)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
⊢ 1 ∉ ker f
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
PartialOrder α
a b : α
⊢ Set.Ioc a b =ᵐ[μ] Set.Icc a b
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
n : Nat
h✝ : ¬a = b
⊢ count a (replicate n b) = 0
X : Type u
Preorder X
x y : X
h : x ⟶ y
⊢ x ≤ y
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s : Set α
a : α
⊢ IsGLB (infClosure s) a ↔ IsGLB s a
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
T2Space M
SmoothManifoldWithCorners I M
⊢ Continuous ↑f
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.cos x ^ (n + 2) =
  (Real.cos b ^ (n + 1) * Real.sin b - Real.cos a ^ (n + 1) * Real.sin a +
      (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.cos x ^ n) -
    (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, Real.cos x ^ (n + 2)
X : Type u
PartialOrder X
x y : X
f : x ≅ y
⊢ x = y
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
P : Ideal R[X]
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff Rₘ
inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)) Sₘ
P' : Ideal R := comap C P
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff
⊢ (IsLocalization.map Sₘ (quotientMap P C ⋯) ⋯).IsIntegral
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
s : Set α := OrderHom.lfp F
hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s
hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ
g' : α → β := invFun g
g'g : LeftInverse g' g
⊢ ∃ h, Bijective h