ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
DivisionSemiring α
DivisionSemiring β
RingHomClass F α β
f : F
q : ℚ≥0
⊢ f ↑q = ↑q
α : Type u_1
DivisionRing α
n : ℤ
h : Odd n
a : α
⊢ (-a) ^ n = -a ^ n
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
AddCommMonoid M
Module R M
s : ↥S
⊢ LocalizedModule.mk 0 s = 0
γ : Type w
ι₁ : Type u_3
ι₂ : Type u_4
β₁ : ι₁ → Type u_1
β₂ : ι₂ → Type u_2
DecidableEq ι₁
DecidableEq ι₂
(i : ι₁) → Zero (β₁ i)
(i : ι₂) → Zero (β₂ i)
(i : ι₁) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
(i : ι₂) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
CommMonoid γ
f₁ : Π₀ (i : ι₁), β₁ i
f₂ : Π₀ (i : ι₂), β₂ i
h : (i : ι₁) → β₁ i → (i : ι₂) → β₂ i → γ
⊢ (f₁.prod fun i₁ x₁ => f₂.prod fun i₂ x₂ => h i₁ x₁ i₂ x₂) = f₂.prod fun i₂ x₂ => f₁.prod fun i₁ x₁ => h i₁ x₁ i₂ x₂
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Real.cos (x + ↑n * (2 * Real.pi)) = Real.cos x
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
AddCommGroup V₂
Module k V₁
Module k V₂
AddTorsor V₁ P₁
AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
Nonempty ↥E
Nonempty ↥F
hEF : AffineSubspace.map φ E ≤ F
x : ↥E
⊢ ↑((φ.restrict hEF) x) = φ ↑x
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : CompleteSpace α
hdiam : VanishingDiam A
hanti : ClosureAntitone A
hnonempty : ∀ (l : List β), (A l).Nonempty
x : ℕ → β
u : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n)
umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n)
this : CauchySeq u
y : α
hy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
n : ℕ
⊢ ∃ a, ∀ b ≥ a, u b ∈ A (x n :: res x n)
α : Type u
⊢ Function.Surjective TopologicalSpace.generateFrom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
⊢ eLpNorm (fun x => κ.densityProcess ν n a x s) 1 (ν a) ≤ (ν a) univ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ p.applyComposition (Composition.ones n) = fun v i => (p 1) fun x => v (Fin.castLE ⋯ i)
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝕜
⊢ HasDerivAt (fun x => x * c) c x
X : Type u_2
TopologicalSpace X
self : NonLindelofSpace X
⊢ ¬IsLindelof Set.univ
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
⊢ ∃ I J, M.Basis I X ∧ M.Basis J Y ∧ I ⊆ J
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
⊢ ↑e.toPartialEquiv = ↑e
α : Type u_1
inst✝ : BEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
h : l₁ <+ l₂
⊢ eraseP (fun x => x == a) l₁ <+ eraseP (fun x => x == a) l₂
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹² : CommSemiring R₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁹ : CommRing R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
P Q : Matrix n o R₂
⊢ BilinForm.toMatrix' ((toBilin' M).comp (toLin' P) (toLin' Q)) = BilinForm.toMatrix' (toBilin' (Pᵀ * M * Q))
α : Type u_1
a b c : α
Lattice α
BoundedOrder α
IsModularLattice α
h : Disjoint a b
hcomp : IsCompl (a ⊔ b) c
⊢ IsCompl a (b ⊔ c)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t t' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A
hf : f ∈ (vanishingIdeal t).toIdeal
g : A
hg : g ∈ (vanishingIdeal t').toIdeal
x : ProjectiveSpectrum 𝒜
hxt : x ∈ t
hxt' : x ∈ t'
⊢ f + g ∈ x.asHomogeneousIdeal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
s : β → Set α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α) in ⋃ i, s i, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂sum fun i => μ.restrict (s i)
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p μ
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
right✝ : CharP R p
hp : Nat.Prime p
⊢ ∃ q, ExpChar R q
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N n : ℕ
ih : ∀ {x : Fin n → ℕ} ⦃x₁ : Fin n → ℕ⦄, x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → ∀ ⦃x₂ : Fin n → ℕ⦄, x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → (map d) x₁ = (map d) x₂ → x₁ = x₂
x x₁ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₁ : x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
x₂ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₂ : x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
h : (map d) x₁ = (map d) x₂
⊢ x₁ = x₂
k : ℕ
cf : Code
hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ cf.eval n
n x : ℕ
left✝ : n ≤ k
h : ∃ a, evaln (k + 1) cf n = some a ∧ (if a = 0 then some (unpair n).2 else evaln k cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) = some x
⊢ ∃ a, (0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (a + (unpair n).2)) ∧ ∀ {m : ℕ}, m < a → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m + (unpair n).2)), ¬a = 0) ∧ a + (unpair n).2 = x
α : Type u
f : Filter α
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, True) ↔ f.NeBot
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂
f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁
f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂
⊢ CategoryTheory.Biprod.ofComponents f₁₁ f₁₂ f₂₁ f₂₂ ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.fst =
  CategoryTheory.Limits.biprod.fst ≫ f₁₁ + CategoryTheory.Limits.biprod.snd ≫ f₂₁
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
⊢ PartialHomeomorph.MDifferentiable I I (chartAt H x)
F : Type u_1
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
FunLike F ℍ ℂ
SlashInvariantFormClass F Γ k
f : F
γ : ↥Γ
⊢ ⇑f ∣[k] γ = ⇑f
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a : α
s : l₁ ⊆ l₂
⊢ a :: l₁ ⊆ a :: l₂
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ⌊a⌋₊ = n ↔ ↑n ≤ a ∧ a < ↑n + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
f' : α → ℝ≥0∞
hf'm : Measurable f'
hle : f' ≤ f
hf' : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f' a ∂μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f' x ≤ g x
α : Type u_1
F' : Type u_3
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → F'
hm : m ≤ m0
hμm_not : ¬MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f|m] = 0
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(Profinite.NobelingProof.π C fun x => x ∈ s)
a : I
ha : ↑y a = true
hx : ↑x a = false
⊢ 1 - Profinite.NobelingProof.e (Profinite.NobelingProof.π C fun x => x ∈ s) a ∈ Profinite.NobelingProof.factors C s x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq β
f g : α →. β
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (f x).Dom
inst✝ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
t : Finset α
b : β
h₂ : ∀ x ∈ t, f x = g x
y : β
⊢ y ∈ pimage f t ↔ y ∈ pimage g t
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Add G
A : Type u₃
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction k A
φ₁ φ₂ : AddMonoidAlgebra k G →ₙₐ[k] A
h : φ₁.toMulHom.comp (AddMonoidAlgebra.ofMagma k G) = φ₂.toMulHom.comp (AddMonoidAlgebra.ofMagma k G)
⊢ φ₁ = φ₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a✝ p : α
hp : Prime p
a b : α
k l : ℕ
x✝³ : p ^ k ∣ a
x✝² : p ^ l ∣ b
x✝¹ : p ^ (k + l + 1) ∣ a * b
x : α
hx : a = p ^ k * x
y : α
hy : b = p ^ l * y
z : α
hz : a * b = p ^ (k + l + 1) * z
h : p ^ (k + l) * (x * y) = p ^ (k + l) * (p * z)
hp0 : p ^ (k + l) ≠ 0
hpd : p ∣ x * y
x✝ : p ∣ y
d : α
hd : y = p * d
⊢ b = p ^ (l + 1) * d
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
Monoid α
MulDistribMulAction α G
m : G
a : α
S : Subgroup G
⊢ m ∈ a • S ↔ ∃ s ∈ S, a • s = m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
h : CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P S.arrows
f : S.functor ⟶ P
t : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ P
ht : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.functorInclusion t = f
⊢ t = h.extend f
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
φ : K →+* ℂ
⊢ IsUnramified k (mk φ) ↔ ∀ (σ : K ≃ₐ[k] K), ComplexEmbedding.IsConj φ σ → σ = 1
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
hb : b ≠ ⊥
hab : Disjoint a b
hc : a ⊔ b = c
⊢ (insert b P.parts).sup id = c
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a x✝ : ℝ≥0
h : a < x✝
ha : a ≠ 0
⊢ x✝⁻¹ < a⁻¹
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion f
U V : (TopologicalSpace.Opens ↑X.toTopCat)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ X.presheaf.map i ≫ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion.invApp f (Opposite.unop V) =
  AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion.invApp f (Opposite.unop U) ≫
    Y.presheaf.map ((AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor f).op.map i)
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
⊢ Filter.Tendsto (fun r => r⁻¹) Filter.atTop (𝓝[>] 0)
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hL : L ≤ adjoin F S
⊢ ∃ φ, φ.comp (inclusion hL) = f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
H : J.OneHypercoverFamily
H.IsGenerating
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
⊢ ∃ E, ∃ (_ : H E), E.sieve₀ ≤ S
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.IsRightInversion w (cs.simple i) ↔ cs.IsRightDescent w i
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : L₂ ⟶ L₁
d : D
this : L₂.map (((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)).app d) ≫ adj₂.counit.app ((𝟭 D).obj d) = (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv).app (R₁.obj d) ≫ (𝟭 D).map (adj₁.counit.app d)
⊢ L₂.map (adj₂.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj d)) ≫ α.app (R₁.obj d) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app d)) ≫ adj₂.counit.app d = α.app (R₁.obj d) ≫ adj₁.counit.app d
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
⊢ 2 ^ Fintype.card α * (𝒜 ∩ ℬ).card ≤ 𝒜.card * ℬ.card
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
h : G ≤ H
⊢ G.IsClique ↑s ∧ s.card = n → H.IsClique ↑s ∧ s.card = n
α : Type u_3
Nontrivial α
LinearOrder α
⊢ ∃ x y, x < y
α : Type u_2
OrderedAddCommMonoid α
s : Multiset α
⊢ (∀ x ∈ s, 0 ≤ x) → s.sum = 0 → ∀ x ∈ s, x = 0
w : CategoryTheory.uliftFunctor.{u, v}.EssSurj
⊢ UnivLE.{max u v, v}
ι : Type u_1
α : Type u_2
κ : ι → Type u_5
(i : ι) → Fintype (κ i)
s : Finset ι
f : Sigma κ → Set α
⊢ ⋂ ij ∈ s.sigma fun x => Finset.univ, f ij = ⋂ i ∈ s, ⋂ j, f ⟨i, j⟩
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
A : ↥(sl n R) := Eb R i j hij
⊢ ¬IsLieAbelian ↥(sl n R)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x : α
s : Set α
⊢ s ⊆ insert x (s \ {x})
I : Type u
f : I → Type v₁
x y : (i : I) → f i
(i : I) → Sub (f i)
⊢ x - y = fun i => x i - y i
l₁ l₂ : Lean.Omega.LinearCombo
v : Lean.Omega.Coeffs
⊢ (l₁ - l₂).eval v = l₁.eval v - l₂.eval v
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : α ≃ β
o : ∀ {a b : α}, s (f a) (f b) ↔ r a b
⊢ ⇑{ toEquiv := f, map_rel_iff' := o }.symm = ⇑f.symm
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
s : CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A
⊢ ∀ (a : CategoryTheory.OverPresheafAux.OverArrows (CategoryTheory.OverPresheafAux.yonedaCollectionPresheafToA F) s.hom),
  (CategoryTheory.OverPresheafAux.counitAuxAux F s).inv a = CategoryTheory.OverPresheafAux.counitBackward F s a
𝕜 : Type u
n : ℕ
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
k l : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
mk : Fin k → G
ml : Fin l → G
⊢ (((ContinuousMultilinearMap.curryFinFinset 𝕜 G G' hk hl) f) mk) ml =
  f fun i => Sum.elim mk ml ((finSumEquivOfFinset hk hl).symm i)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
self : HasContDiffBump E
⊢ Nonempty (ContDiffBumpBase E)
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
this : Nat.choose 4 2 = 6
⊢ bernoulli' 4 = -1 / 30
G : Type w
H : Type x
α✝ : Type u
β✝ : Type v
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Inv G
inst✝⁵ : ContinuousInv G
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Group α
inst✝² : Group β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousInv β
f : F
_tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ
⊢ ContinuousInv α
A : Type u_1
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
CommRing Aₘ
CommRing Bₘ
Algebra Aₘ Bₘ
Algebra A Aₘ
Algebra B Bₘ
Algebra A Bₘ
IsScalarTower A Aₘ Bₘ
IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
IsLocalization M Aₘ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
IsDomain A
IsIntegrallyClosed A
IsDomain B
IsIntegrallyClosed B
Module.Finite A B
NoZeroSMulDivisors A B
IsDomain Aₘ
IsIntegrallyClosed Aₘ
IsDomain Bₘ
IsIntegrallyClosed Bₘ
NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((Algebra.intTrace A B) x) = (Algebra.intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
s t : Set M
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
⊢ IsCompact (s * t)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ I.incl.idealRange = I
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
h : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E' F
⊢ ((liftIsometry 𝕜 E' F) h).comp (mapL f) = (liftIsometry 𝕜 E F) (h.compContinuousLinearMap f)
x : ℝ≥0∞
hx_top : ¬x = ⊤
hx_zero : ¬x = 0
hx_pos : 0 < x.toReal
⊢ x.log.exp = x
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
γ : Type u_5
g : γ → β
hg : Function.Injective g
f : γ → α
⊢ ∏' (y : β), Function.extend g f 1 y = ∏' (x : γ), f x
c : Cardinal.{u}
⊢ lift.{v, u} c ≤ 𝔠 ↔ c ≤ 𝔠
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
b : m → α
Preorder α
DecidableEq m
d : m → R
⊢ (Matrix.diagonal d).BlockTriangular b
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝ : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
b : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V := Basis.extend this
b_eq : b = Basis.extend this
⊢ S = ⊤
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S₁ S₂ : StarSubalgebra R A
h : S₁ ≤ S₂
⊢ S₂.subtype.comp (StarSubalgebra.inclusion h) = S₁.subtype
α : Type u
r r' : α → α → Prop
s : Set α
hs : DirectedOn r s
h : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → r a b → r' a b
⊢ DirectedOn r' s
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hM : IsNilpotent M
h✝ : Nonempty n
⊢ IsNilpotent M.trace
θ : Angle
⊢ θ.toReal < 0 ↔ Real.sin θ.toReal < 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ (s.reindex e).circumcenter = s.circumcenter
α : Type u_2
M : Type u_4
LinearOrderedCommGroup M
s t : Set α
f : α → M
x : α
⊢ mabs ((symmDiff s t).mulIndicator f x) = mabs (s.mulIndicator f x / t.mulIndicator f x)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
p : X → Prop
⊢ IsOpen {x | ∀ᶠ (y : X) in 𝓝[≠] x, p y}
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
x : α
h : Bornology.IsBounded (range fun x_1 => g (f^[x_1] x))
C : ℝ
hC : ∀ (x_1 y : ℕ), dist (g (f^[x_1] x)) (g (f^[y] x)) ≤ C
⊢ Tendsto (fun n => birkhoffAverage 𝕜 f g n (f x) - birkhoffAverage 𝕜 f g n x) atTop (𝓝 0)
q : ℚ≥0
⊢ 0 < q.den
c : Type u → Type v
α : Type u
str : c α
⊢ ↑{ α := α, str := str } = α
α : Type u_1
β : Type u_2
Lattice α
Group α
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
hf : Measurable f
MeasurableInv α
MeasurableSup₂ α
⊢ Measurable fun x => mabs (f x)
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
c : C
γ : c ⟶ c
⊢ γ⁻¹ = CategoryTheory.inv γ
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
w : HNNExtension.NormalWord d
⊢ HNNExtension.NormalWord.ReducedWord.prod φ w.toReducedWord • HNNExtension.NormalWord.empty = w
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
⊢ Γ₂N₁.natTrans.app X = (Γ₂N₂ToKaroubiIso.app X).inv ≫ (N₂ ⋙ Γ₂).map ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).decompId_i ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom ≫ Γ₂N₁.natTrans).app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).decompId_p
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I✝ I : Ideal R
x : R ⧸ I ^ 2
hx : x ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
⊢ ∀ (x y : R ⧸ I ^ 2), x ∈ ⊥ → y ∈ ⊥ → x + y ∈ ⊥
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f₁ : E → F
s : Set E
f₂ : E → G
hf₁ : DifferentiableOn 𝕜 f₁ s
hf₂ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun x => (f₁ x, f₂ x)) s
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
AddCommMonoid P'
Module R P'
AddCommMonoid Q'
Module R Q'
f₂ : P →ₗ[R] P'
f₁ : M →ₗ[R] P
g₂ : Q →ₗ[R] Q'
g₁ : N →ₗ[R] Q
⊢ TensorProduct.map (f₂ ∘ₗ f₁) (g₂ ∘ₗ g₁) = TensorProduct.map f₂ g₂ ∘ₗ TensorProduct.map f₁ g₁
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Real.cos (x + ↑n * Real.pi) = (-1) ^ n * Real.cos x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
p2 : P
⊢ (∃ p2_1 ∈ s, p -ᵥ p2 = p -ᵥ p2_1) ↔ p2 ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
⊢ (f.coprod g).NeBot ↔ f.NeBot ∧ Nonempty β ∨ Nonempty α ∧ g.NeBot
R : Type u
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type w
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
AddCommMonoid M₂
(i : Fin n.succ) → Module R (M i)
Module R M₂
(i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.succ
c : R
x : M 0
⊢ f (Fin.cons (c • x) m) = c • f (Fin.cons x m)
M : Type u_3
Monoid M
LinearOrder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
m n : ℕ
ha : 1 < a
⊢ a ^ m < a ^ n ↔ m < n
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
Invertible A
⊢ Function.Injective fun x => x * A
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (⇑f) f.toFormalMultilinearSeries 0 (Fintype.card ι + 1) ⊤
R : Type u
CommRing R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
Z : ModuleCat R
⊢ f ▷ Z ≫ (Y.braiding Z).hom = (X.braiding Z).hom ≫ Z ◁ f
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ : List α✝
x✝ : l₁ <+: l₂
r : List α✝
e : l₁ ++ r = l₂
⊢ r.reverse ++ l₁.reverse = l₂.reverse
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSemisimpleRing R
I : Ideal R
⊢ ∃ e, IsIdempotentElem e ∧ I = Ideal.span {e}
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
FirstCountableTopology ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i j : ι
hle : i ≤ j
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
M : Type u_1
CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ i ∈ n.divisorsAntidiagonal, f i.1 i.2 = ∏ i ∈ n.divisors, f i (n / i)
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
h : LinearMap.ker ((LinearMap.lsmul R M) r) = ⊥
⊢ IsSMulRegular M r
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
hs : s.SupIndep fun i => t.sup fun i' => f (i, i')
ht : t.SupIndep fun i' => s.sup fun i => f (i, i')
u : Finset (ι × ι')
hu : u ⊆ s ×ˢ t
i : ι
i' : ι'
hi : (i, i').1 ∈ s ∧ (i, i').2 ∈ t
hiu : (i, i') ∉ u
j : ι
j' : ι'
hij✝ : (i, i') ≠ (j, j')
hj : (j, j').1 ∈ s ∧ (j, j').2 ∈ t
hij : i ≠ j
⊢ Disjoint (f (i, i')) (f (j, j'))