ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
Q : Type u_4
CommSemiring Q
Algebra R Q
IsLocalization M Q
a : S
⊢ (IsLocalization.algEquiv M S Q) a = (IsLocalization.map Q (RingHom.id R) ⋯) a
α : Type u_1
l : List α
s : Multiset α
⊢ s ∈ Multiset.powersetAux l ↔ s ≤ ↑l
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
b : β
⊢ f ×ˢ pure b = map (fun a => (a, b)) f
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
l : List ι
fs : (i : ι) → List (α i)
f : (i : ι) → i ∈ l → α i
⊢ f ∈ l.pi fs ↔ f ∈ (↑l).pi fun x => ↑(fs x)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
⊢ Inseparable ↑x ↑y ↔ Inseparable x y
α : Sort u_1
f : Bool → α
H : f false ≠ f true
hxy : f true = f true
⊢ true = true
α : Type u_1
Preorder α
IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
h : t.Valid
⊢ (Ordnode.insert x t).Valid
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
x y : M × ↥S
h : ↑y.2 + x.1 = ↑x.2 + y.1
⊢ (AddLocalization.r S) x y
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E✝ : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup E✝
inst✝⁸ : Module ℝ E✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace E✝
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E✝
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E✝
E : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
x y : E
s : Set E
h : [x-[ℝ]y] ⊆ s
A : Continuous fun t => (1 - t) • x + t • y
⊢ JoinedIn s x y
a b c : Prop
⊢ a ∨ b ∨ c ↔ b ∨ c ∨ a
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
r₁ r₂ : R
s₁ s₂ : ↥S
r' : R
s' : ↥S
huv : ↑s' * r₁ = r' * ↑s₂
⊢ r₁ /ₒ s₁ * (r₂ /ₒ s₂) = r' * r₂ /ₒ (s' * s₁)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
s : Multiset R
⊢ (s.bind fun a => (X - C a).roots) = s
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
⊢ (W.baseChange B).Ψ₃ = Polynomial.map (↑f) (W.baseChange A).Ψ₃
s n : Nat
⊢ range.loop (s + 1) (range' (s + 1) n) = range' 0 (n + (s + 1))
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (2 < p)
h : ↑2 = 0
this✝ : p ∣ 2
this : p ≤ 2
⊢ False
α : Type u_1
l l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
h : xs ⊆ ys
⊢ xs ∪ ys = ys
α : Type u_1
E : Type u_2
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f = 0
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Field K
Field L
Algebra A K
IsFractionRing A K
Algebra B L
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A B L
IsScalarTower A K L
IsIntegralClosure B A L
FiniteDimensional K L
IsDomain A
IsIntegrallyClosed A
IsDomain B
IsIntegrallyClosed B
Module.Finite A B
NoZeroSMulDivisors A B
Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
⊢ (algebraMap A K) ((Algebra.intNorm A B) x) = (Algebra.norm K) ((algebraMap B L) x)
α : Type u_3
β : Type u_4
Encodable α
e : β ≃ α
n : ℕ
⊢ Encodable.decode n = Option.map (⇑e.symm) (Encodable.decode n)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Embedding M N
s : L.Substructure M
⊢ (FirstOrder.Language.Substructure.map f.toHom s).subtype.comp (f.substructureEquivMap s).toEmbedding = f.comp s.subtype
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
NormedRing R
CompleteSpace R
f : ι → R
g : ι' → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖
⊢ (∑' (x : ι), f x) * ∑' (y : ι'), g y = ∑' (z : ι × ι'), f z.1 * g z.2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
⊢ kernImage f ∅ = (range f)ᶜ
G : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N
R : Type u_7
M : Type u_8
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : ι → R
⊢ (∑ᶠ (i : ι), f i) • 0 = ∑ᶠ (i : ι), f i • 0
⊢ ContinuousOn (fun x => sin x / cos x) {x | cos x ≠ 0}
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ ThreeAPFree ↑(image (⇑(map (2 * d - 1))) (sphere n d k))
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝² : MeasurableSpace ι
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : ContinuousMul β
U : γ → ι → Ω → β
s : Finset γ
h : ∀ c ∈ s, ProgMeasurable f (U c)
⊢ (fun i a => ∏ c ∈ s, U c i a) = ∏ c ∈ s, U c
α : Type u
S T : Stream'.Seq (Stream'.Seq1 α)
⊢ (S.append T).join = S.join.append T.join
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤
p : P
hp : p ∈ s
⊢ s = univ
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
x₁ : X₁
x₂ : X₂
⊢ CategoryTheory.Limits.Types.Pushout.Rel' f g (Sum.inl x₁) (Sum.inr x₂) ↔ ∃ s, x₁ = f s ∧ x₂ = g s
z : ℝ
hz : z < 0
x : ℝ≥0
hx1 : 0 < ↑x
hx2 : ↑x < 1
⊢ 1 < ↑x ^ z
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
⊢ ∀ (a : Concept β α (Function.swap r)), (RelIso.symm Concept.swapEquiv) a = (⇑OrderDual.toDual ∘ Concept.swap) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ image2 f s (⋃ i, ⋃ j, t i j) = ⋃ i, ⋃ j, image2 f s (t i j)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteLattice β
⊢ essInf (fun x => ⊤) μ = ⊤
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h : S.P T.obj₁
⊢ S.W T.mor₂
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
DecidableEq β
s : Finset β
h : s.Nonempty
⊢ 0 • s = 0
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : q.degree < p.degree
⊢ (p + q).leadingCoeff = p.leadingCoeff
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄ μ
hi : Integrable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (μ.prod ν)
⊢ ∫ (t : G), ∫ (s : G), (L₃ (f s)) ((L₄ (g (t - s))) (k (x₀ - t))) ∂ν ∂μ = ∫ (s : G), ∫ (t : G), (L₃ (f s)) ((L₄ (g (t - s))) (k (x₀ - t))) ∂μ ∂ν
α : Type u_1
s : Set α
⊢ 1 < s.encard ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : MeasurableSpace F
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : BorelSpace F
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SigmaCompactSpace F
b : Basis ι ℝ E
f : E ≃L[ℝ] F
⊢ Measure.map (⇑f) b.addHaar = (b.map f.toLinearEquiv).addHaar
n : ℕ
c : Composition n
⊢ List.ofFn c.blocksFun = c.blocks
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a b : α
l : List α
h : a ∈ List.insert b l
⊢ a = b ∨ a ∈ l
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
this✝² : ↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv ∘ₗ Algebra.linearMap B (FractionRing B) = Algebra.linearMap B L
H : (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B)).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).symm.toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).symm.toRingEquiv).comp (algebraMap K L)
this✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : Algebra.IsIntegral A B
⊢ Submodule.traceDual A K (Submodule.map (FractionRing.algEquiv B L) 1) = Submodule.traceDual A K 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
h : ⋃₀ 𝔖 = univ
⊢ ∀ (i : α), UniformContinuous fun x => (toFun 𝔖) x i
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
x y z : ℝ
hfs : HasConstantSpeedOnWith f (Icc x y) l
hft : HasConstantSpeedOnWith f (Icc y z) l
⊢ HasConstantSpeedOnWith f (Icc x z) l
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
x✝ : E
a b : 𝕜
x : E
⊢ Absorbs 𝕜 s {x} ↔ ∀ᶠ (c : 𝕜) in 𝓝[≠] 0, c • x ∈ s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
v : V
s : Set ι
p : ι → P
⊢ (∃ fs, ↑fs ⊆ s ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = 0 ∧ v = (fs.weightedVSub p) w) ↔
  ∃ fs w, ∑ i ∈ fs, w i = 0 ∧ v = (fs.weightedVSub fun i => p ↑i) w
α : Type u_13
β : Type u_14
γ : Type u_15
Zero γ
fg : (α →₀ γ) × (β →₀ γ)
y : β
⊢ (Finsupp.sumFinsuppEquivProdFinsupp.symm fg) (Sum.inr y) = fg.2 y
A : Type u_1
CommRing A
Algebra ℚ A
k : ℕ
⊢ PowerSeries.exp A ^ k = (PowerSeries.rescale ↑k) (PowerSeries.exp A)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
α : F ⟶ G
⊢ F.a ≫ U.map (-α.f) = (-α.f) ≫ G.a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : β → γ
g : α → β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hf' : IsOpenMap f
hg' : IsOpenMap g
K : TopologicalSpace.CompactOpens α
⊢ TopologicalSpace.CompactOpens.map (f ∘ g) ⋯ ⋯ K =
  TopologicalSpace.CompactOpens.map f hf hf' (TopologicalSpace.CompactOpens.map g hg hg' K)
α : Type u_1
A : Finset α
i : ℕ
h₁ : i ≤ A.card
⊢ ∃ B ⊆ A, B.card = i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
⊢ ∃ b c, a ∈ Icc b c ∧ Icc b c ∈ 𝓝 a ∧ Icc b c ⊆ s
self : AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.forgetToLocallyRingedSpace.obj self = self.toLocallyRingedSpace
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ Finset.cons n n.properDivisors ⋯ = n.divisors
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 0
⊢ (m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ
⊢ ∀ (a : ι) (b : M), ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single a b ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = (Finsupp.single a b) i ⊗ₜ[R] g k
n : WithBot ℕ
⊢ n < 0 ↔ n = ⊥
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F → G
g : E → F
n : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 n (Function.uncurry f)
hg : Continuous g
hn : 1 ≤ n
⊢ Continuous fun x => fderiv 𝕜 (f x) (g x)
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
⊢ False
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
x y : G.Subgraph
h✝ : x ≤ y
v w : ↑x.verts
h : ↑(RelHom.instFunLike.1 { toFun := fun v => ⟨↑v, ⋯⟩, map_rel' := ⋯ } v) = ↑(RelHom.instFunLike.1 { toFun := fun v => ⟨↑v, ⋯⟩, map_rel' := ⋯ } w)
⊢ v = w
α : Type u
β : Type v
s : Set α
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
⊢ ¬MonotoneOn f s ∧ ¬AntitoneOn f s ↔
  ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, ∃ c ∈ s, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : Semiring R
α : Type u_3
x : HahnSeries Γ R
s : SummableFamily Γ R α
g : Γ
⊢ ∑ᶠ (i : α), ∑ ij ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, x.coeff ij.1 * (s i).coeff ij.2 = ∑ x_1 ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, x.coeff x_1.1 * ∑ᶠ (i : α), (s i).coeff x_1.2
R : Type u
CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
⊢ Function.Exact ⇑(KaehlerDifferential.mapBaseChange R A B) ⇑(KaehlerDifferential.map R A B B)
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
S : Set F
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : F →+* K
⊢ IsSubfield (Set.range ⇑f)
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
m : M
a : α
⊢ MulAction.orbit M (m • a) ⊆ MulAction.orbit M a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
⊢ μ.withDensityᵥ f ≪ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S✝ : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
F : Type u_9
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_10
S : Type u_11
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module S M₂
x : ℕ
a : M
⊢ f (↑x • a) = ↑x • f a
a b c : ℝ≥0∞
h0 : a ≠ 0
hinf : a ≠ ⊤
⊢ a * b = a * c ↔ b = c
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalPreadditive C
W X Y Z : C
f : Y ⟶ Z
⊢ 0 ⊗ f = 0
M : Type u_1
Monoid M
x : M
m n : ℕ
hm : x ^ m = 1
hn : x ^ n = 1
⊢ x ^ m.gcd n = 1
G : Type u
H : Type v
Mul G
Mul H
f : H →ₙ* G
hf : ∀ ⦃a b c d : H⦄, a * b = c * d → f a = f c ∧ f b = f d → a = c ∧ b = d
UniqueProds G
⊢ UniqueProds H
α : Type u
DecidableEq α
x : FreeGroup α
⊢ FreeGroup.mk x.toWord = x
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x c : ℂ
⊢ ((g x * f x ^ (g x - 1)) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 f' + (f x ^ g x * log (f x)) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 g') 1 = g x * f x ^ (g x - 1) * f' + f x ^ g x * log (f x) * g'
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
DecidableEq α
⊢ (s₁ ∪ s₂) • (t₁ ∩ t₂) ⊆ s₁ • t₁ ∪ s₂ • t₂
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
hab : a ≤ b
⊢ Set.Ioc a b ∪ {a} = Set.Icc a b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
f : F → G
hf : ContDiff 𝕜 n f
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => f x.2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α
hs : s.Subsingleton
⊢ ¬0 < s.infsep
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
htm : NullMeasurableSet t μ
ht : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, ∀ (g : G), g ≠ 1 → g • x ≠ y
g₁ g₂ : G
hne : g₁ ≠ g₂
⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g₁ • t → a ∉ g₂ • t
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ℕ m
i n : ι
ω : Ω
hx : ∃ j ≤ n, u j ω ∈ s
hi : i < n
⊢ hitting u s ⊥ n ω ≤ i ↔ ∃ j ≤ i, u j ω ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving Prod.snd (μ.prod ν) ν
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
⊢ 𝓝[{a}] a = pure a
α : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedGroup E
TopologicalSpace α
f : α → E
hf : HasCompactMulSupport f
h'f : Continuous f
⊢ ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ a < lsub f, succ a < lsub f
i : ι
hle : sup f ≤ f i
heq : succ (sup f) = lsub f
⊢ False
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
i : (unop ((J.pullback f).op.obj (op S))).Arrow
⊢ ↑((Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) (((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x))) i = ↑(x.pullback f) i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
c d : β
h : ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b → c ^ n ∣ d
this : Decidable (Finite a b) := Classical.dec (Finite a b)
hab : Finite a b
⊢ multiplicity a b ≤ multiplicity c d
α : Type u_1
ι : Type u_4
Preorder ι
l : Filter α
s : ι → Set α
hs : l.HasAntitoneBasis s
i : ι
⊢ s i ∈ l
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
size✝ : ℕ
l✝ : Ordnode α
x✝ : α
r✝ : Ordnode α
hm : (node size✝ l✝ x✝ r✝).Sized
⊢ (if l✝.size < ratio * r✝.size then l.node3L x l✝ x✝ r✝ else l.node4L x l✝ x✝ r✝).size = l.size + (l✝.size + r✝.size + 1) + 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
i : ℤ
⊢ (F.HomComplex G).X i = AddCommGrp.of (CochainComplex.HomComplex.Cochain F G i)
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∀ (f : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p μ ∧ IsBounded (range f) → AEStronglyMeasurable f μ
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a * b⁻¹ ≠ 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
⊢ ↑(↑s).toSeq = ↑s
G : Type u_3
AddGroup G
g : G
P : G → Prop
h_one : P 0
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a + g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a + -g)
n : ℤ
⊢ P (n • g)
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a.succ ≠ Fin.last (n + 1)
⊢ b < a.succ.castPred ha ↔ b ≤ a
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
r : R
x : A
⊢ φ (r • x) = r • φ x
B : Type u
F : Type v
E : B → Type w₁
B' : Type w₂
f✝ : B' → B
inst✝¹ : TopologicalSpace B'
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
f : B' → B
⊢ Continuous TotalSpace.proj
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
r : ℕ
f : (i : ι) → κ i → Set (Finset α)
⊢ Set.Sized r (⋃ i, ⋃ j, f i j) ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), Set.Sized r (f i j)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
ι : Type u_21
Fintype ι
Fi : ι → Type u_22
(i : ι) → NormedAddCommGroup (Fi i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fi i)
φ : M → (i : ι) → Fi i
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, (i : ι) → Fi i) n φ s x ↔ ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, Fi i) n (fun x => φ x i) s x
G : Type u_2
Group G
Finite G
⊢ (↑(Nat.card ↥(commutator G)))⁻¹ ≤ commProb G
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.284404, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
F : V ⥤ W
inst✝ : F.Additive
f g : C ⟶ D
h : Homotopy f g
i : ι
H : f.f i = (dNext i) h.hom + (prevD i) h.hom + g.f i
⊢ ((F.mapHomologicalComplex c).map f).f i = (((dNext i) fun i j => F.map (h.hom i j)) + (prevD i) fun i j => F.map (h.hom i j)) + ((F.mapHomologicalComplex c).map g).f i
α : Type u_1
l₁ l₂ l₃ : List α
h : l₁.Perm l₂
⊢ l₁ ⊆ l₃ ↔ l₂ ⊆ l₃
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
⊢ (TensorProduct.assoc R A B C) ((1 ⊗ₜ[R] 1) ⊗ₜ[R] 1) = 1
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁷ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁶ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝⁵ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝⁴ : K.HasTotal c
inst✝³ : K.flip.HasTotal c
inst✝² : DecidableEq J
inst✝¹ : TotalComplexShapeSymmetry c₂ c₁ c
inst✝ : TotalComplexShapeSymmetrySymmetry c₁ c₂ c
j : J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j
⊢ c₂.σ c₁ c i₂ i₁ • K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j ⋯ = K.ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ (K.totalFlipIso c).inv.f j
x : SetTheory.PGame
⊢ SetTheory.PGame.LF 0 (-x) ↔ x.LF 0
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re
S : Set ℂ := {z | y < z.re}
h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖
⊢ LSeriesSummable (logMul f) s ∧ HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
self : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
J : BoxIntegral.Box ι
⊢ self.tag J ∈ BoxIntegral.Box.Icc I
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ (Set.Ioc a b).Finite
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
μ : R
x : M
⊢ x ∈ f.eigenspace μ ↔ f x = μ • x
a0 a1 a2 a3 : Int
t : List Int
⊢ (Lean.Omega.LinearCombo.coordinate 3).eval (Lean.Omega.Coeffs.ofList (a0 :: a1 :: a2 :: a3 :: t)) = a3
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Monotone fun r => preCDF ρ r a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
⊢ ContinuousAt (dslope f a) b ↔ ContinuousAt f b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
α : F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.equivOfNatIso α).functor =
  CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.functorOfNatTrans α.hom
n : ℕ+
A : Type u
K : Type w
CommRing A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap A (CyclotomicRing n A K))
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
s : Set α
φ : ι → Set α
hs : MeasurableSet s
ae_eventually_mem : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ∀ᶠ (n : ι) in l, x ∈ φ n
measurable : ∀ (n : ι), MeasurableSet (φ n)
⊢ MeasureTheory.AECover (μ.restrict s) l φ