ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_7
Y : Type u_8
TopologicalSpace X
Group X
TopologicalGroup X
UniformSpace Y
CommGroup Y
UniformGroup Y
T0Space Y
CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
h : EquicontinuousAt (fun f => ⇑↑f) 1
⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.IsReflexive R M
⊢ Function.Bijective ⇑(Module.Dual.eval R M)
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : StandardBorelSpace α
inst✝¹ : Infinite α
inst✝ : Countable α
this : PolishSpace ↑(range Nat.cast)
⊢ Nonempty (α ≃ᵐ ↑(range Nat.cast))
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
ProperSpace α
hne : s.Nonempty
x : α
⊢ ∃ y ∈ closure s, Metric.infDist x s = dist x y
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
AddGroup α
AddAction α β
Fintype β
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ s +ᵥ Finset.univ = Finset.univ
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ HasIntegral I l (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
X : Subobject B
h₁ : mk f ≤ mk g
h₂ : mk g ≤ X
⊢ (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) = (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map ⋯.hom
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : (Opens α)ᵒᵈ
⊢ (⇑toDual ∘ compl) ((Opens.compl ∘ ⇑ofDual) s) = s
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.prodZeroIso X).inv ≫ CategoryTheory.Limits.prod.fst = 𝟙 X
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
s : Set E
⊢ (map (⇑f) μ) s = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| * μ s
R : Type u_1
Distrib R
r : R
⊢ ⇑(AddHom.mulRight r) = fun a => a * r
q : ℚ
n : ℕ
⊢ (q ^ n).num = q.num ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
hfg : ∀ (a : α), f a =ᶠ[ae (κ a)] g a
a : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ ((κ.withDensity f) a) s✝ = ((κ.withDensity g) a) s✝
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
⊢ Ring.inverse 0 = 0
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq A
inst✝ : One B
a : A
b b' : B
hb : b ≠ 1
hb' : b' ≠ 1
i j : A
⊢ Disjoint (mulSupport (mulSingle i b)) (mulSupport (mulSingle j b')) ↔ i ≠ j
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
b : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (M * r₁ (f j))
B : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (r₁ (f j))
⊢ ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (W ∩ closedBall (w j) (r₁ (f j))) / μ (closedBall (w j) (r₁ (f j))) ≤ ↑(1 - C⁻¹)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E
Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F
Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G
isoE : Eu ≃L[𝕜] E
isoF : Fu ≃L[𝕜] F
isoG : Gu ≃L[𝕜] G
fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE
fu_diff : ContDiffOn 𝕜 n fu (⇑isoE ⁻¹' s)
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm ∘ g) ∘ ⇑isoF
gu_diff : ContDiffOn 𝕜 n gu (⇑isoF ⁻¹' t)
main : ContDiffOn 𝕜 n (gu ∘ fu) (⇑isoE ⁻¹' s)
this : gu ∘ fu = (⇑isoG.symm ∘ g ∘ f) ∘ ⇑isoE
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
α : Type u
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length
⊢ List.findIdx p xs = i ↔ p (xs.get ⟨i, h⟩) = true ∧ ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Mathlib.Vector α n
ys : Mathlib.Vector β n
γ σ₁ ζ σ₂ : Type
s₂ : σ₂
s₁ : σ₁
f₁ : γ → β → σ₁ → σ₁ × ζ
f₂ : α → σ₂ → σ₂ × γ
⊢ Mathlib.Vector.mapAccumr₂ f₁ (Mathlib.Vector.mapAccumr f₂ xs s₂).2 ys s₁ =
  let m :=
    Mathlib.Vector.mapAccumr₂
      (fun x y s =>
        let r₂ := f₂ x s.2;
        let r₁ := f₁ r₂.2 y s.1;
        ((r₁.1, r₂.1), r₁.2))
      xs ys (s₁, s₂);
  (m.1.1, m.2)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c
⊢ f (c - x) = -f (-x)
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
v : Mathlib.Vector α n
i : Fin n
⊢ (a ::ᵥ v).get i.succ = v.get i
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ 1 ∈ Set.range fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
h : IsCyclic α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g
⊢ orderOf g = Nat.card α
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ (y : ℝ), x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * y) y, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f y) (c₂ * f y)
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ max x 1
hx₀ : f x₀ = 0
⊢ f x = 0
n : ℕ
⊢ (↑n).toENatAux = ↑n
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ List.map (fun x => x.toProd.1) p.darts = p.support.dropLast
n : ℕ
A : Type u_2
AddGroup A
f : { f // f ↑n = 0 }
x : ℤ
⊢ ((ZMod.lift n) f) ((Int.castAddHom (ZMod n)) x) = ↑f x
R : Type u_1
S : Type u_2
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
x y : S
⊢ Polynomial.eval₂RingHom (Polynomial.eval₂RingHom f x) y =
  (Polynomial.evalEvalRingHom x y).comp (Polynomial.mapRingHom (Polynomial.mapRingHom f))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
M : Type u_5
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
ι : Type u_6
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f i) μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (∏ i ∈ s, f i) μ
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
Unique α
f g : α →₀ M
⊢ f = g ↔ f default = g default
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.nthLe k hk ∈ l
lpos : 0 < l.length
key : l.length - 1 - k < l.length
⊢ l.length - 1 - k < (pmap l.reverse.prev l.reverse ⋯).length
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
⊢ Finsupp.mapRange.zeroHom (ZeroHom.id M) = ZeroHom.id (α →₀ M)
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ n.divisors, ArithmeticFunction.vonMangoldt i = Real.log ↑n
α : Type u
SemilatticeInf α
a b : α
⊢ a ⊓ b = b ⊓ a
u v m n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ Even ↑n ↔ Even n
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_5
LinearOrder α
OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
SemilatticeSup β
OrderBot β
g : α → β
mono_g : Monotone g
bot : g ⊥ = ⊥
⊢ g (s.sup f) = s.sup (g ∘ f)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
n : ℕ
h : l ~r l.rotate n
⊢ l.next (l.get k) hx = (l.rotate n).next (l.get k) ⋯
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder β
NoMinOrder β
f : α → β
l : Filter α
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
c : β
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, f x < c
hp₀ : 0 ≤ 0
hp₁ : 0 ≤ 1
⊢ ConcaveOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T
⊢ FinMeasAdditive μ T
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ r.sign = -1
α : Type u_2
X Y : Set α
M : Matroid α
hXY : X ⊆ Y
hX : X ⊆ M.E := by aesop_mat
⊢ X ⊆ M.closure Y
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
s : Set E
m : ℝ
f : E → ℝ
⊢ StrongConvexOn s m f ↔ ConvexOn ℝ s fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
⊢ ↑(1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
DivisionMonoid β
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
m : F
s t : Set β
⊢ ⇑m ⁻¹' s / ⇑m ⁻¹' t ⊆ ⇑m ⁻¹' (s / t)
α : Type u_1
Semiring α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
⊢ min (multiplicity p a) (multiplicity p b) ≤ multiplicity p (a + b)
σ : Type u_1
k : Type u_3
Field k
r : k
φ : MvPowerSeries σ k
⊢ (r • φ)⁻¹ = r⁻¹ • φ⁻¹
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime y x
H2 : IsCoprime z x
⊢ IsCoprime (y * z) x
α : Type u
l : List α
⊢ l.enum = (List.range l.length).zip l
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Add M
Add N
Add P
e₁ : M ≃+ N
e₂ : N ≃+ P
⊢ ⇑(e₁.trans e₂) = ⇑e₂ ∘ ⇑e₁
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
hH : H.Normal
K : Subgroup G
⊢ (H.subgroupOf K).Normal
n : ℕ
⊢ ↑n = { val := ↑n }
x y : ℝ
hx : x < -1
this : 1 < -x
⊢ 0 < log (-x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
⊢ ContinuousWithinAt f (s ×ˢ t) (x, y)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁸ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁴ : G.IsContinuous J K
inst✝³ : HasWeakSheafify J A
inst✝² : HasWeakSheafify K A
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Dᵒᵖ ⥤ A
adj₁ : (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op ⊣ G.op.ran := G.op.ranAdjunction A
adj₂ : presheafToSheaf J A ⊣ sheafToPresheaf J A := sheafificationAdjunction J A
adj₃ : presheafToSheaf K A ⊣ sheafToPresheaf K A := sheafificationAdjunction K A
adj₄ : G.sheafPushforwardContinuous A J K ⊣ G.sheafPushforwardCocontinuous A J K := G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K
eq : adj₁.unit.app F ≫ G.op.ran.map (adj₂.unit.app (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F)) ≫ G.op.ran.map ((sheafToPresheaf J A).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F)) = adj₃.unit.app F ≫ (sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F))
⊢ adj₃.unit.app F ≫ (sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F)) = (adj₁.homEquiv F ((sheafToPresheaf J A).obj ((presheafToSheaf K A ⋙ G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F))) (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F))
z w : ℂ
⊢ normSq (z - w) = normSq z + normSq w - 2 * (z * (starRingEnd ℂ) w).re
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : Summable fun n => ξ ^ n
⊢ ‖ξ‖ < 1
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
ψ : AddChar A M
⊢ ψ 0 = 1
b x : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.log b x ≤ x
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Set.Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Set.Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Set.Ico a b, ∀ (r : ℝ), B' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
x : ℝ
⊢ x ∈ Set.Icc a b → f x ≤ B x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
c : 𝕜
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ (integralCLM' 𝕜) (c • f) = c • (integralCLM' 𝕜) f
G : Type u_10
Group G
a : G
⊢ ⇑(Equiv.symm (Equiv.mulLeft a)) = fun x => a⁻¹ * x
α : Type u_1
s : Cycle α
⊢ s.reverse.Nodup ↔ s.Nodup
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
x : M
f : Module.Dual R M
y : M
h : f x = 2
⊢ (Module.reflection h) y = y - f y • x
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
⊢ (List.lookupAll a l).head? = List.dlookup a l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P Q R : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f g.f
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : CategoryTheory.CategoryStruct.id a ≅ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g
ε : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g f ≅ CategoryTheory.CategoryStruct.id b
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.rightZigzagIso η ε).symm = CategoryTheory.Bicategory.leftZigzagIso ε.symm η.symm
m n k : ℕ
h : k < n
⊢ ↑((finRotate (n + 1)) ⟨k, ⋯⟩) = ↑⟨k + 1, ⋯⟩
α : Type u
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ List.map Prod.swap (l₁.zip l₂) = l₂.zip l₁
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂ν a, Filter.Tendsto (f (a, b)) Filter.atBot (𝓝 0)
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
CommSemiring α
Fintype n
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
a : α
⊢ (M * Matrix.of fun i j => a * N i j) = a • (M * N)
α : Type u_1
β : Type u_2
x : PProd α β
⊢ Equiv.pprodEquivProd x = (x.fst, x.snd)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f.symm (a • x + b • y) ≤ a • f.symm x + b • f.symm y
α : Type u_3
AddMonoid α
s t : Multiset α
comm : {x | x ∈ s + t}.Pairwise AddCommute
⊢ (s + t).noncommSum comm = s.noncommSum ⋯ + t.noncommSum ⋯
T : ℝ
x : AddCircle T
this : (fourier 0) x = ↑(toCircle 0)
⊢ ↑(toCircle 0) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ m : OuterMeasure α
s : ℕ → Set α
h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)
h0 : ∑' (k : ℕ), m (s (k + 1) \ s k) ≠ ⊤
n : ℕ
h' : Monotone s
x : α
this : ∃ i, x ∈ s i
j : ℕ
hj : x ∈ s j
hlt : ∀ m < j, x ∉ s m
⊢ x ∈ s n ∪ ⋃ i, s (i + n + 1) \ s (i + n)
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ 0 < Nat.card α ↔ Nonempty α ∧ Finite α
S : Set ℝ
hne : S.Nonempty
hbdd : BddBelow S
hne' : (-S).Nonempty
hbdd' : BddAbove (-S)
⊢ IsGLB S (-Classical.choose ⋯)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
δ : Type u_4
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderTopology δ
g : γ → δ
f : α → γ
hg : ContinuousAt g (f x)
hf : UpperSemicontinuousAt f x
gmon : Antitone g
⊢ LowerSemicontinuousAt (g ∘ f) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
u v : E
hvm : v ∈ K
hvo : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0
⊢ orthogonalProjectionFn K u = v
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ μ (iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg) ≤ ENNReal.ofReal ε
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α n.succ
⊢ ∃ a as, v = a ::ᵥ as
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : ∀ (x : ↑s), f ↑x ∈ t
⊢ Set.codRestrict (s.restrict f) t h = Set.MapsTo.restrict f s t ⋯
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop
⊢ ⋃ n, (x ^ n).support ⊆ ↑(AddSubmonoid.closure x.support)
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
f : R[X] →ₐ[R] A
⊢ eval₂ (algebraMap R A) (f X) p = f (p.sum fun n a => C a * X ^ n)
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
⊢ P3 x₁ x₂ y₁ y₂ ↔ P3 y₁ y₂ x₁ x₂
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c d : α
hac : a < c
hbd : d ≤ b
c0 : 0 ≤ c
d0 : 0 < d
⊢ a / b < c / d
α : Type u_1
DecidableEq α
AddCommGroup α
s : Finset α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
⊢ ∃ u, u.card * t.card ≤ (s + t).card ∧ s ⊆ u + t - t
x : ℝ
⊢ sin (π / 3) = √3 / 2
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
MeasurableSpace Ω
MeasurableSpace Ω'
f : Ω → Ω'
f_mble : Measurable f
ν₁ ν₂ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ (ν₁ + ν₂).map f = ν₁.map f + ν₂.map f
θ : Real.Angle
⊢ (-θ).sin = -θ.sin
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
⊢ card α ≤ 1 ↔ #α ≤ ↑1
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f : C ⟶ D
hom : (i j : ι) → c.Rel j i → (D.X i ⟶ E.X j)
⊢ f ≫ Homotopy.nullHomotopicMap' hom = Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij => f.f i ≫ hom i j hij
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
S : AddSubmonoid N
f : F
⊢ AddSubmonoid.map f (AddSubmonoid.comap f S) ≤ S
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
⊢ Polynomial.derivative (↑((n + 1).choose (ν + 1)) * X ^ (ν + 1) * (1 - X) ^ (n + 1 - (ν + 1))) = (↑n + 1) * (bernsteinPolynomial R n ν - bernsteinPolynomial R n (ν + 1))
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
this✝ : l.NeBot
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℚ
hqpos : 0 < q
hqε : ↑q < ε
hfg' : ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ↑q
this : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.1) (f' (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.1 (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.2) (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.2 ∧ HasFDerivAt (f (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.1) (f' (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.1 (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.2) (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.2
a : ι × ι → Prop
b : ∀ᶠ (x : ι × ι) in l ×ˢ l, a x
c : E → Prop
d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y
e : ∀ {x : ι × ι}, a x → ∀ {y : E}, c y → dist (0 (x, y).2) (f' (x, y).1.1 (x, y).2 - f' (x, y).1.2 (x, y).2) < ↑q ∧ HasFDerivAt (f ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.1) (f' ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.1 ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.2) ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.2 ∧ HasFDerivAt (f ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.1) (f' ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.1 ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.2) ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.2
r : ℝ
hr : 0 < r
hr' : ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ Metric.ball x r → c x_1
n : ι × ι
hn : a n
y : E
hy : (fun e => Metric.ball x r e) y
hyz' : ¬x = y
⊢ ‖y - x‖⁻¹ * ‖f n.1 y - f n.1 x - (f n.2 y - f n.2 x)‖ ≤ ↑q
K : Type u_1
Field K
x : NumberField.RingOfIntegers K
⊢ (algebraMap (NumberField.RingOfIntegers K) K) x = 0 ↔ x = 0
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Subsingleton V
v w : V
⊢ G.Adj v w → (fun x => 0) v ≠ (fun x => 0) w
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ g : ι → Set X
π : X → Sort u_6
f : ℕ → (x : X) → π x
U : X → Set X
hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | ((fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}) i ∩ U x).Nonempty}.Finite
N : X → ℕ
hN : ∀ (x : X), ∀ n ≥ N x + 1, ∀ y ∈ U x, f n y = f (N x + 1) y
⊢ ∃ F, ∀ (x : X), ∀ᶠ (p : ℕ × X) in atTop ×ˢ 𝓝 x, f p.1 p.2 = F p.2
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
X : C
h : coyoneda.obj (op X) ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cocones
s : Cocone F
s_pt : C
s_ι : F ⟶ (const J).obj s_pt
⊢ h.hom.app s_pt { down := (h.inv.app s_pt s_ι).down } = s_ι
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_4
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] E'
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
⊢ reflection (Submodule.map (↑f.toLinearEquiv) K) = f.symm.trans ((reflection K).trans f)
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder β
f : LatticeHom α β
⊢ f.withTopWithBot'.toLatticeHom = f.withBot'.withTop'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp α.inv f ↔ CategoryTheory.CategoryStruct.comp α.hom g = f