ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝³ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
h : x' ∈ polar 𝕜 (closedBall 0 r)
z : E
x✝ : z ∈ ball 0 r
⊢ ‖x' z‖ ≤ r⁻¹ * ‖z‖
ι : Type u_1
LinearOrder ι
i : ι
⊢ i ≤ LinearLocallyFiniteOrder.succFn i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
⊢ ¬(¬a ≤ b ∧ a ≤ c ∨ ¬a ≤ c ∧ a ≤ b) ↔ a ≤ b ∧ a ≤ c ∨ ¬a ≤ c ∧ ¬a ≤ b
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range (2 ^ n), f k = f 0 + ∑ k ∈ Ico 1 (2 ^ n), f k
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
⊢ Function.Injective AddMonoidHom.toIntLinearMap
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
⊢ Monoid.CoprodI.Word.empty.toList = []
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
t : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g
H : t.IsAbsKan
⊢ CategoryTheory.Bicategory.HasAbsLeftKanExtension f g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 F
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
b₁ : Basis ι₁ 𝕜 E
b₂ : Basis ι₂ 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
⊢ A = LinearMap.adjoint B ↔ ∀ (i₁ : ι₁) (i₂ : ι₂), ⟪A (b₁ i₁), b₂ i₂⟫_𝕜 = ⟪b₁ i₁, B (b₂ i₂)⟫_𝕜
X : Type u_2
EMetricSpace X
S : Set (Set X)
hS : S.Countable
⊢ dimH (⋃₀ S) = ⨆ s ∈ S, dimH s
x y : ℝ
⊢ x.rpow y = x ^ y
α : Type u_1
Preorder α
a : α
SuccOrder α
h : Order.IsSuccLimit (Order.succ a)
⊢ IsMax a
R : Type u_2
Add R
Mul R
S : Set (RingCon R)
⊢ (sInf S).toSetoid = sInf ((fun x => x.toSetoid) '' S)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
z : W.RightFraction X Y
⊢ CategoryTheory.MorphismProperty.RightFractionRel z z
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ (⨆ μ, Module.End.eigenspace T μ)ᗮ = ⊥
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
CommSemiring S₂
g : S₁ →+* S₂
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.map g) ((MvPolynomial.map f) p) = (MvPolynomial.map (g.comp f)) p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompactSpace α
this : (𝓤 (α × α)).HasBasis (fun U => U ∈ 𝓤 α) fun U => (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ⁻¹' U ×ˢ U
⊢ 𝓤 α ≤ 𝓝ˢ (diagonal α)
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
h : 0 < y
⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ y) x
R : Type u
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type i
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
⊢ ⨅ i, LinearMap.ker (LinearMap.proj i) = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
adj : L ⊣ R
j : R.comp L ≅ CategoryTheory.Functor.id D
⊢ CategoryTheory.IsIso adj.counit
a b c : ℕ
⊢ a / c * b / a ≤ b / c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
n : ℤ
x✝ : (f ^ n).SameCycle x y
m : ℤ
h : ((f ^ n) ^ m) x = y
⊢ (f ^ (n * m)) x = y
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulLeftInvariant
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun p => p.1 / p.2) (μ.prod ν) μ
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
p : β → β → Prop
⊢ (∃ y₁ y₂, p y₁ y₂) ↔ ∃ x₁ x₂, p (f x₁) (f x₂)
a : Prop
⊢ a → ¬a ↔ ¬a
α : Type u
β : Type v
PartialOrder β
f : α → β
s : Set α
h : (f '' s).Finite
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ a ∈ s, ∀ a' ∈ s, f a' ≤ f a → f a = f a'
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
his : i ∈ s
hwi : w i = 1
hw0 : ∀ i2 ∈ s, i2 ≠ i → w i2 = 0
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w = p i
α : Type u_1
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × ℝ)
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
⊢ κ.fst ⊗ₖ κ.condKernelReal = κ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
a : E
x b c : E
⊢ a + x ∈ [a + b-[𝕜]a + c] ↔ x ∈ [b-[𝕜]c]
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t
Ssep' : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) (s ∩ t)
S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t
⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) ≤ μ s
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.forget F).obj t = t.pt
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ : List α
l₂ : List β
⊢ l₂.length ≤ l₁.length → List.map Prod.snd (l₁.zip l₂) = l₂
α : Sort u_1
r p✝ q✝ : α → Prop
P Q : (x : α) → p✝ x → Prop
b : Prop
inst✝ : Nonempty α
p : α → Prop
q : Prop
⊢ (∀ (x : α), p x ∧ q) ↔ (∀ (x : α), p x) ∧ q
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Filter X
⊢ IsClosed (⋂ i, {x | (¬∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, i x) ∨ ∃ᶠ (x : X) in f, i x})
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
t : Set 𝕜
h : Dense t
⊢ range (derivWithin f univ) ⊆ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f✝ : β → α
t : Finset γ
h : (s ×ˢ t).Nonempty
f : β × γ → α
a : α
⊢ (s ×ˢ t).sup' h f ≤ a ↔ (s.sup' ⋯ fun i => t.sup' ⋯ fun i' => f (i, i')) ≤ a
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : abs ⟨a, f⟩ = x
h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ
p : α → Prop
h' : ∀ u ∈ supp x, p u
⊢ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Add G
MeasurableAdd G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddRightInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun x => x + g) μ μ
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : E
⊢ FiniteDimensional.finrank F ↥F⟮α⟯ = 1 ↔ α ∈ ⊥
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ ({ X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.whiskerLeft f).hom = ((isoOfIso { hom := LeftUnitorBimod.hom M, inv := LeftUnitorBimod.inv M, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ f ≫ (isoOfIso { hom := LeftUnitorBimod.hom N, inv := LeftUnitorBimod.inv N, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv).hom
θ : ℝ
hθ : Real.cos θ ≠ 0
⊢ Real.tan θ = 0 ↔ ∃ k, ↑k * Real.pi = θ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z Z' : C
h : Z ⟶ Z'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)) h)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z').hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y) h))
α : Type u
a✝ : α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
h : ∀ (t : G), t ^ a.val = t ^ b.val
⊢ a = b
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝¹ : P.IsStableUnderComposition
inst✝ : P.RespectsIso
hP'' : P.StableUnderBaseChange
X✝ Y✝ Z✝ : C
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : Y✝ ⟶ Z✝
h₁ : P.diagonal x✝¹
h₂ : P.diagonal x✝
⊢ P.diagonal (x✝¹ ≫ x✝)
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
j : Discrete WalkingPair
⊢ (inl ≫ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (BinaryBiproduct.isLimit X Y)).inv) ≫ b.toCone.π.app j = (inl ≫ desc b.inl b.inr) ≫ b.toCone.π.app j
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
h : s.Infinite
⊢ Nat.card ↑s = s.ncard
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : R
h : IsUnit n
⊢ ¬IsPrimePow n
S : Type u_1
R : Type u_3
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
SMul S R
s : S
⊢ (s • a).imI = s • a.imI
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ 0 < Multiset.card s ↔ ∃ a, a ∈ s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0
⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atBot ↔ Tendsto f l atTop
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β
k : Filter α
l : Filter β
inst✝ : k.IsCountablyGenerated
⊢ Tendsto f k l ↔ ∀ (x : ℕ → α), Tendsto x atTop k → Tendsto (f ∘ x) atTop l
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
B : Type u_3
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
⊢ Function.Surjective ⇑(KaehlerDifferential.map R S B B)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_4
(i : ι) → Group (G i)
N : Type u_5
Group N
f : (i : ι) → G i →* N
s : Subgroup N
h : ∀ (i : ι), (f i).range ≤ s
⊢ (Monoid.CoprodI.lift f).range ≤ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → ℝ
h_meas : AEStronglyMeasurable f μ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
h_int : Integrable (f + g) μ
⊢ Integrable f μ
⊢ Tendsto cos (𝓝[>] (-(π / 2))) (𝓝 0)
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : ι ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ (algebraMap K E) (discr K b) = (embeddingsMatrixReindex K E b e).det ^ 2
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ RCLike.normSq (-z) = RCLike.normSq z
R : Type u_1
M : Type u_3
α : Type u_4
Finite α
AddCommMonoid M
Semiring R
Module R M
f : α →₀ M
⊢ (Finsupp.linearEquivFunOnFinite R M α).symm ⇑f = f
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n k : ℕ
hk : k ∈ Finset.range (n + 1)
⊢ (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) (↑p ^ k * (expand p) (wittStructureInt p Φ k) ^ p ^ (n - k)) = (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) (C (↑p ^ k) * wittStructureInt p Φ k ^ p ^ (n + 1 - k))
n : ℕ
⊢ ⊤ ≠ ↑n
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
k : ℤ
z : ℍ
⊢ (EisensteinSeries.eisensteinSeries_SIF a k) z = eisensteinSeries a k z
α : Type u_2
M : Type u_4
Preorder M
One M
s t : Set α
f : α → M
h : s ⊆ t
hf : ∀ (a : α), 1 ≤ f a
a : α
⊢ s.mulIndicator f a ≤ t.mulIndicator f a
α : Type u_1
G : Type u_5
TopologicalSpace G
AddCommGroup G
TopologicalAddGroup G
f : α → G
⊢ Filter.Tendsto (fun s => ∑' (a : { x // x ∉ s }), f ↑a) Filter.atTop (𝓝 0)
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
S : Set (Projectivization K V)
W : Projectivization.Subspace K V
⊢ Projectivization.Subspace.span S ≤ W ↔ S ⊆ ↑W
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G
n : ℤ
⊢ f (x - n • a) = f x - n • b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G K : CochainComplex C ℤ
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n₁
z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
⊢ (-z₁).comp z₂ h = -z₁.comp z₂ h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
BorelSpace β
MeasurableSpace γ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace γ
OpensMeasurableSpace γ
SecondCountableTopology γ
g : β → γ
hg : Measurable g
f : α →ₘ[μ] β
⊢ ↑(MeasureTheory.AEEqFun.compMeasurable g hg f) =ᵐ[μ] g ∘ ↑f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemiring α
LinearOrderedSemiring β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
hg : ∀ i ∈ s, 0 ≤ g i
hfg : MonovaryOn f g s
n : ℕ
⊢ MonovaryOn f (g ^ n) s
motive : Nat → Sort u_1
ind : (n : Nat) → ((m : Nat) → m < n → motive m) → motive n
t : Nat
⊢ Nat.strongRec ind t = ind t fun m x => Nat.strongRec ind m
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ 3 = sin b - sin a - (sin b ^ 3 - sin a ^ 3) / 3
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
g : G
⊢ ∫ (x : G), f (x * g) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
n : ℕ
⊢ ↑(numDerangements n) = ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (-1) ^ k * ↑((k + 1).ascFactorial (n - k))
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
R' : Type u_5
M' : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'
r✝ : R'
n : M'
hn : n ∈ N
r : R'
h : r ∈ s
⊢ r • n ∈ s • N
R : Type u_1
CommSemiring R
P : Type u_3
CommSemiring P
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
J : Ideal P
J.IsPrime
f : R →+* P
hIJ : I = Ideal.comap f J
x : R
y : ↥I.primeCompl
⊢ (Localization.localRingHom I J f hIJ) (IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime I) x y) =
  IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime J) (f x) ⟨f ↑y, ⋯⟩
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
h : a✝ ≤ b✝
⊢ __src✝ a✝ ≤ __src✝ b✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : α → β
g : β → γ
h : QuotientMap f
s : Set β
hs : IsOpen s
⊢ ContinuousOn g s ↔ ContinuousOn (g ∘ f) (f ⁻¹' s)
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
⊢ Function.Surjective (⇑(↑U).isoSpec.inv.val.base ∘ ⇑(Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)).val.base)
α : Type u_2
OrderedCommGroup α
s : NonemptyInterval α
⊢ s⁻¹.toProd.1 = s.toProd.2⁻¹
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c * g ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
x : ℚ
t : Set α
x✝¹ : MeasurableSet t
x✝ : ρ.fst t ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (x_1 : α) in t, ↑‖(preCDF ρ x x_1).toReal‖₊ ∂ρ.fst ≤ ρ.fst univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
xt : 0 ≠ ⊤
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun ε => Icc (0 - ε) (0 + ε)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ b - -⌊(a + p - b) / p⌋ • p ∈ Set.Ioc a (a + p)
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
σ : L ≃ₐ[K] L
ζ : K
hζ'✝ : ζ ∈ primitiveRoots n K
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ (autEquivRootsOfUnity ⋯ hn H L) σ • α = σ α
R : Type u
CommRing R
X : Type v
Ring X
HopfAlgebra R X
⊢ Coalgebra.comul = Coalgebra.comul
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b
h : ¬b ≡ a [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]
⊢ False
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
⊢ ↑(I.splitUpper i x) = ↑I ∩ {y | x < y i}
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
h : ¬ringChar R = 2
⊢ orderOf (-1) = 2
R : Type u
NonUnitalSemiring R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
x : R
⊢ 0 ≤ star x ↔ 0 ≤ x
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
α : Type u_2
f : OnePoint X → α
l : Filter α
⊢ Tendsto f (𝓝 ∞) l ↔ Tendsto f (pure ∞) l ∧ Tendsto (f ∘ some) (coclosedCompact X) l
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeSup α
inst✝⁵ : OrderTop α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeSup β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : a ∈ lowerClosure ↑s
ht : a ∈ lowerClosure ↑t
⊢ (s ∪ t).truncatedSup a = s.truncatedSup a ⊔ t.truncatedSup a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
⊢ X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (M.actLeft ≫ f.hom) ≫ (λ_ N.X).inv ≫ X.one ▷ N.X ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
AddCommMonoid P
(i : ι) → Module R (Mᵢ i)
(i : ι) → Module R (Nᵢ i)
Module R P
Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
Q' : (i : ι) → QuadraticMap R (Nᵢ i) P
e : (i : ι) → (Q i).IsometryEquiv (Q' i)
⊢ (QuadraticMap.IsometryEquiv.pi e).toLinearEquiv = LinearEquiv.piCongrRight fun i => (e i).toLinearEquiv
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
P : Ideal Rₘ
hpP : p < P
hPm : P.IsMaximal
hpP' : ⟨p, hpp⟩ < ⟨P, ⋯⟩
⊢ False
K₁ K₂ S : Finset Turing.PartrecToTM2.Λ'
⊢ Turing.PartrecToTM2.Supports (K₁ ∪ K₂) S ↔ Turing.PartrecToTM2.Supports K₁ S ∧ Turing.PartrecToTM2.Supports K₂ S
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
⊢ (fun x => a • x) y ∈ r • s
X✝ X : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toRingedSpace.toPresheafedSpace
⊢ ∀ (x_1 : x ∈ U), ¬IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩) 0)
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
⊢ ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)
⊢ Ordinal.lift.principalSeg.top = Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb✝ hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
x y : Module.End R M
e : (fromEnd R b) x = (fromEnd R b) y
m : ι → R
⊢ x (((Fintype.total R R) b) m) = y (((Fintype.total R R) b) m)
α : Type u
TopologicalSpace α
β : Type v
TopologicalSpace β
T2Space β
CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
⊢ Continuous (stoneCechExtend hg)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b c : α
⊢ a * a + b * c + a * (b * c) + (a * b + a * a * b) + (a * c + a * a * c) + (a * b * c + a * a * b * c) = a + b * c + a * (b * c)
R : Type u_1
Semiring R
m n o : ℕ
a : R
p : R[X]
h_pow : p.natDegree ≤ n
h_exp : m * n ≤ o
h_pow_bas : p.coeff n = a
⊢ (p ^ m).coeff o = if o = m * n then a ^ m else 0
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Irrational (x ^ n) → Irrational x
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ |a - b| < c ↔ a - b < c ∧ b - a < c
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
hp : p.Monic
r : K
hr : (aeval r) p = 0
inv : A
h_inv : 1 = ↑(den A r) * inv
⊢ num A r * inv ∣ p.coeff 0
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
MulZeroOneClass R
a : α
e : Sym2 α
h : e ∈ G.incidenceSet a
⊢ SimpleGraph.incMatrix R G a e = 1
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℤ
h : Odd n
⊢ (-1) ^ n = -1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
Z : C
h : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Mono h
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (f ≫ h) = CategoryTheory.Limits.kernelSubobject f
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥N
ι : Type u_1
m : ι → ↥M
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.total ι (↥M) R m)
⊢ Function.Injective (⇑(M.mulMap N) ∘ ⇑(LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.total ι (↥M) R m)))
X : (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape CategoryTheory.Limits.WalkingPair)ᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingCospanOpEquiv.unitIso.hom.app X = 𝟙 X
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ p * X ^ n * q = p * q * X ^ n
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
m : Type u_3
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
b : Basis m R S
x : S
i j : m
⊢ (toMatrix b b) ((lmul R S) x) i j = (b.repr (x * b j)) i
x : ℚ
⊢ (∃ q, q * q = x) ↔ Rat.sqrt x * Rat.sqrt x = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ (CommMon_.equivLaxBraidedFunctorPUnit C).functor = CommMon_.EquivLaxBraidedFunctorPUnit.laxBraidedToCommMon C
n : ℕ
⊢ (treesOfNumNodesEq n).card = catalan n
ι : Type u_3
X : Type u_4
t : ι → TopologicalSpace X
ht : ∀ (i : ι), R1Space X
⊢ R1Space X
α : Type u_1
l : List α
h : Subsingleton (Quot.mk Setoid.r l)
⊢ Nodup (Quot.mk Setoid.r l)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ Function.Surjective ⇑(algebraMap R A) ↔ ⊤ = ⊥
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤
h : μ.rnDeriv (c • ν) =ᶠ[ae ν] c⁻¹ • μ.rnDeriv ν
x : α
hx_eq : μ.rnDeriv (c • ν) x = (c⁻¹ • μ.rnDeriv ν) x
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤
⊢ log c⁻¹.toReal + log (μ.rnDeriv ν x).toReal = log (μ.rnDeriv ν x).toReal - log c.toReal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Mono g
h : f ≫ g = 0
⊢ f = 0
n✝¹ : ℕ
hy : Decidable (↑n✝¹).Dom
n✝ : ℕ
hx : Decidable (↑n✝).Dom
⊢ (↑n✝).toWithTop ≤ (↑n✝¹).toWithTop ↔ ↑n✝ ≤ ↑n✝¹