ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : AlgebraicGeometry.Scheme
∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)
⊢ AlgebraicGeometry.IsReduced X
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq : ∀ (i j : ι), IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose
N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n
basic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
i : ι
a✝ : i ∈ t
⊢ a i * (fun i => h i ^ (N + 1)) i = (fun i => a i * h i ^ N) i * h i
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional K ↥E
h_basis : E.fixingSubgroup.carrier ∈ galGroupBasis K L
⊢ IsOpen ↑E.fixingSubgroup
α : Type u
s t : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ (s ∪ t).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α
hs : ¬s.Nontrivial
⊢ ¬0 < s.infsep
a b c d a' b' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
hb : b' < b
⊢ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b' < a ⨳ b ♯ a' ⨳ b'
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
lb : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)
⊢ ContinuousOn (extendFrom (Ioo a b) f) (Ioc a b)
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
c : n ≃ n
hc : c ∈ univ.erase (Equiv.refl n)
⊢ ∀ i ∈ univ, (M.charmatrix (c i) i).natDegree ≤ if c i = i then 1 else 0
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrderBot α
b : α
⊢ Finset.Iic b = Finset.cons b (Finset.Iio b) ⋯
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
Nontrivial R
⊢ Function.Injective ⇑b
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
Invertible 2
y : P₁
⊢ Function.Injective fun x => (AffineEquiv.pointReflection k x) y
α : Type u
β : Type v
ι : Sort x
m : α → β
f : ι → Filter β
⊢ Filter.comap m (⨅ i, f i) = ⨅ i, Filter.comap m (f i)
α : Type u_1
Fintype α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hα : ¬p ∣ Fintype.card α
σ : Equiv.Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
⊢ ∃ a, σ a = a
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
⊢ ∀ a ∈ s, p a ∨ ¬p a
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
x : P₂
s : AffineSubspace k P₁
⊢ x ∈ AffineSubspace.map f s ↔ ∃ y ∈ s, f y = x
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
ut : u ⊆ t
u_count : u.Countable
x : α
x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a
v : Set ι := {a | a ∈ u ∧ (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty}
vu : v ⊆ u
K : ℝ
μK : μ (closedBall x K) < ⊤
hK : ∀ a ∈ u, (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty → B a ⊆ closedBall x K
ε : ℝ≥0∞
εpos : 0 < ε
I : ∑' (a : ↑v), μ (B ↑a) < ⊤
⊢ μ ((s \ ⋃ a ∈ u, B a) ∩ ball x (R x)) ≤ ε
α : Type u_2
M : Type u_4
AddCommMonoid M
p : α → Prop
DecidablePred p
f g : α → M
l : List α
⊢ (List.map (fun a => if p a then f a else g a) l).sum =
  (List.map f (List.filter (fun b => decide (p b)) l)).sum + (List.map g (List.filter (fun a => decide ¬p a) l)).sum
R : Type u
Ring R
Nontrivial R
r : R
⊢ Polynomial.X - Polynomial.C r ≠ 0
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
a b : α
⊢ a ∈ s → b ∈ t → a \ b ∈ s.diffs t
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v : V
⊢ P.partOfVertex v ∈ P.parts
R : Type u_1
Semiring R
C : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Linear R C
CategoryTheory.Linear R D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
CategoryTheory.Functor.Linear R F
X Y : C
r : Rˣ
f : X ⟶ Y
⊢ F.map (r • f) = r • F.map f
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, i ≠ a → i ≠ b → (f i).IsPrime
I : Ideal R
this aux : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ x ∈ s, I ≤ f x
⊢ ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) ↔ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ Finset.Icc a b = Finset.cons b (Finset.Ico a b) ⋯
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
f' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => Complex.sinh (f x)) (Complex.cosh (f x) • f') x
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s
⊢ ∃ f, Inducing f
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
inst✝ : IsOpenImmersion g
e : Set.range ⇑f.base = Set.range ⇑g.base
⊢ (lift g f ⋯ ≫ lift f g ⋯) ≫ f = 𝟙 X ≫ f
S : Finset Λ'
k : Cont'
H : contSupp k ⊆ S
⊢ Supports (contSupp k) S
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
a : α✝
l : List α✝
p : Pairwise R (a :: l)
⊢ Chain R a l
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
f : { x // x ∈ ↑σ.support } ≃ { x // x ∈ ↑τ.support }
hf : ∀ (x : α) (hx : x ∈ ↑σ.support), ↑(f ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑(f ⟨x, hx⟩)
⊢ f.extendSubtype * σ = τ * f.extendSubtype
M : Type u_1
Monoid M
⊢ ⊥.ofUnits = ⊥
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
ι' : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
b : Basis ι R M
v : ι' → M
e : ι ≃ ι'
⊢ (b.reindex e).det v = b.det (v ∘ ⇑e)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
hn : ↑n < φ.order + ψ.order
i j : ℕ
hij : (i, j).1 + (i, j).2 = n
hi : φ.order ≤ ↑i
hj : ψ.order ≤ ↑j
⊢ (coeff R (i, j).1) φ * (coeff R (i, j).2) ψ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L✝ L : CompleteSublattice α
t : Set α
ht : t ⊆ ↑L
hs : ⇑f '' t ⊆ { carrier := ⇑f '' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier
⊢ sInf (⇑f '' t) ∈ { carrier := ⇑f '' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : ℝ
x : 𝕜
m : (i : ι) → E i
a✝ : (x, m) ∈ p
h : ‖x‖ * ∏ x : ι, ‖m x‖ = a
⊢ 0 ≤ ‖x‖ * ∏ x : ι, ‖m x‖
R : Type u_4
Mul R
Add R
⊢ (RingEquiv.refl R).symm = RingEquiv.refl R
α : Type u_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α
⊢ (equivShrink α) (x - y) = (equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm ((equivShrink α) x) - (equivShrink α).symm ((equivShrink α) y))
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ ker (map g g') = range (lTensor N f') ⊔ range (rTensor N' f)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
a b : V
h : G.Adj (a, b).1 (a, b).2
u v : V
⊢ { toProd := (a, b), adj := h }.edge = s(u, v) ↔ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.1 = u ∧ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.2 = v ∨ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.1 = v ∧ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.2 = u
k G : Type u
CommRing k
n : ℕ
Group G
A : Rep k G
f : Rep.ofMulAction k G (Fin (n + 1) → G) ⟶ A
x : Fin n → G
⊢ (Rep.diagonalHomEquiv n A) f x = f.hom (Finsupp.single (Fin.partialProd x) 1)
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R \ s
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
F : ℂ → E := dslope f w
hws : (insert w s).Countable
hcF : ContinuousOn F (closedBall c R)
hdF : ∀ z ∈ ball c R \ insert w s, DifferentiableAt ℂ F z
⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f w
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hxy : s.SSameSide x y
hyz : s.SSameSide y z
⊢ s.SSameSide x z
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M'
v : Basis ι R M
v' : Basis ι R M'
⊢ Matrix ι ι R
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : SubMulAction R M
x : ↥p
⊢ ↑(-x) = -↑x
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ interior ∅ = ∅
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
⊢ x ∈ I • span R (Set.range f) → ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x
I : Type u
inst✝⁵ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
f₁ : X₁ ⟶ X₂
f₂ : X₂ ⟶ X₃
g₁ : Y₁ ⟶ Y₂
g₂ : Y₂ ⟶ Y₃
inst✝² : X₁.HasTensor Y₁
inst✝¹ : X₂.HasTensor Y₂
inst✝ : X₃.HasTensor Y₃
⊢ (mapMap (((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map (f₁ ≫ f₂)).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₃).map (g₁ ≫ g₂)) fun x => x.1 + x.2) = (mapMap (((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map f₁).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₂).map g₁) fun x => x.1 + x.2) ≫ mapMap (((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map f₂).app Y₂ ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₃).map g₂) fun x => x.1 + x.2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
h : UniformContinuous f
a : α
⊢ map f (mk a) = mk (f a)
M : Type u_1
Add M
s t : Set M
⊢ AddSubsemigroup.closure (s ∪ t) = AddSubsemigroup.closure s ⊔ AddSubsemigroup.closure t
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
i : ι
⊢ h.basis.repr (e i) = Finsupp.single i 1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k✝ : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
k : β → α
l : Filter β
⊢ f =o[map k l] g ↔ (f ∘ k) =o[l] (g ∘ k)
R : Type u
LinearOrder R
x y : Tropical R
⊢ max x y = Tropical.trop (max (Tropical.untrop x) (Tropical.untrop y))
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
h : M✶.Basis (M.E \ B ∩ (M.E \ X)) (M.E \ X)
⊢ M.Basis (B ∩ X) X
α : Type u_3
DecidableEq α
Fintype α
s : Multiset α
⊢ ∑ a : α, Multiset.count a s = Multiset.card s
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ → E
c : ℂ
r : ENNReal
hf✝ : DifferentiableOn ℂ f✝ (EMetric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ EMetric.ball c r
f : ℂ → ℂ
hf : DifferentiableOn ℂ f (EMetric.ball c r)
n : ℕ
⊢ (↑n !)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c
a b : ℝ≥0∞
⊢ a < b ↔ ∃ r, 0 ≤ r ∧ a < ENNReal.ofReal r ∧ ENNReal.ofReal r < b
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C 1
left : F.obj' 0 ⋯ ⟶ G.obj' 0 ⋯
right : F.obj' 1 ⋯ ⟶ G.obj' 1 ⋯
w :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map' 0 1 ⋯ ⋯) right =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp left (G.map' 0 1 ⋯ ⋯) := by
  aesop_cat
i : Fin (1 + 1)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₁ left right w).app i =
  match i with
  | ⟨0, isLt⟩ => left
  | ⟨1, isLt⟩ => right
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
z : ↑((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.stalk x)
⊢ AlgebraicGeometry.homogeneousLocalizationToStalk 𝒜 x ((AlgebraicGeometry.stalkToFiberRingHom 𝒜 x) z) = z
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : (f '' s).ncard = s.ncard
hs : autoParam s.Finite _auto✝
⊢ InjOn f s
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
ℐ : Set (Ideal A)
h : ∀ I ∈ ℐ, Ideal.IsHomogeneous 𝒜 I
⊢ Ideal.IsHomogeneous 𝒜 (sSup ℐ)
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
A : Fin n → Fq[X]
t : Fin n → Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
ht : ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
⊢ ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : b ≤ a
⊢ Set.Ioo a b = ∅
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ z⁻¹ = (starRingEnd K) z * ↑(‖z‖ ^ 2)⁻¹
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
⊢ ∀ {X_1 Y : SheafOfModules R} (f : X_1 ⟶ Y),
  ((SheafOfModules.forgetToSheafModuleCat R X hX).map f).val =
    (PresheafOfModules.forgetToPresheafModuleCat X hX).map f.val
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (μ.everywherePosSubset s)
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLower α
s : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
⊢ Continuous f ↔ ∀ (a : α), IsClosed (f ⁻¹' Ici a)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
φ : E →L[𝕜] G
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
bound : ∀ x ∈ s, ‖fderivWithin 𝕜 f s x - φ‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
⊢ ‖f y - f x - φ (y - x)‖ ≤ C * ‖y - x‖
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
a : α
ha : a ∈ {a | a ∈ l}
b : α
hb : b ∈ {a | a ∈ l}
⊢ l.formPerm.SameCycle a b
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
hf : Ordinal.IsNormal f
a : Ordinal.{u_2}
⊢ a.cof ≤ (f a).cof
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
s : Multiset A
h : ∀ x ∈ s, IsIntegral R x
⊢ IsIntegral R s.prod
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν
hfi' : Integrable f μ
hf' : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂ν ≠ ⊤
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s
HP : tl.prod = L.prod
hhd : hd ∈ s
⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
α : Type u
Preorder α
a b c : α
⊢ a ≤ b → b < c → a < c
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ CharP (TruncatedWittVector p n (ZMod p)) (p ^ n)
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
⊢ ∀ (S : X.Opens), IsCompact S.carrier → ∀ (U : ↑X.affineOpens), (IsQuasiSeparated S.carrier → ∀ (f : ↑Γ(X, S)) (x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)), ∃ n y, (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * x) → IsQuasiSeparated (S ⊔ ↑U).carrier → ∀ (f : ↑Γ(X, S ⊔ ↑U)) (x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)), ∃ n y, (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * x
R₁ : Type u_6
R₂ : Type u_7
R₃ : Type u_8
A : Type u_9
Semifield R₁
Field R₂
Field R₃
NonUnitalRing A
Module R₁ A
Module R₂ A
Module R₃ A
Algebra R₁ R₂
Algebra R₂ R₃
Algebra R₁ R₃
IsScalarTower R₁ R₂ R₃
IsScalarTower R₂ R₃ A
IsScalarTower R₃ A A
SMulCommClass R₃ A A
a : A
f : R₃ → R₂
g : R₂ → R₁
e : R₃ → R₁
hfge : g ∘ f = e
hf : QuasispectrumRestricts a f
hg : QuasispectrumRestricts a g
⊢ QuasispectrumRestricts a e
α : Type u
β : Type v
f : α → β → β
b : β
⊢ List.scanr f b [] = [b]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
hab : a ≤ b
hc : 0 ≤ c
⊢ (fun x => x * c) '' Icc a b = Icc (a * c) (b * c)
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (F.map f ≫ F.map β) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂) ≫ F.map γ) y = (F.map g ≫ F.map β) x' * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂) ≫ F.map γ) y
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
CommMonoid β
f g h i : α → β
⊢ (∏ a ∈ s, f a * g a) * ∏ a ∈ s, h a * i a = (∏ a ∈ s, f a * h a) * ∏ a ∈ s, g a * i a
n✝ n : ℕ
pos : 0 < n
np : ¬Prime n
h1 : n = n.minFac * 1
⊢ n.minFac ≤ n / n.minFac
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
NormedSpace ℝ 𝕜
Module 𝕜 E
SMul ℝ E
IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
⊢ ConvexOn ℝ Set.univ ⇑p
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Tendsto u atTop (𝓝 l)
⊢ (fun x => (↑x)⁻¹ • ∑ i ∈ range x, u i - l) =o[atTop] fun _x => 1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ a * b / c = a / c * b
x y : ℝ
hx : 0 < x
⊢ 0 < log x ↔ 1 < x
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f✝ : ↥(Lp F p μ)
hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ
f g : α → F
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
h_disj : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hPf : P (Memℒp.toLp f hf)
hPg : P (Memℒp.toLp g hg)
s_f : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hs_f : MeasurableSet s_f
hs_f_eq : s_f =ᶠ[ae μ] Function.support f
s_g : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)
hs_g : MeasurableSet s_g
hs_g_eq : s_g =ᶠ[ae μ] Function.support g
h_inter_empty : s_f ∩ s_g =ᶠ[ae μ] ∅
f' : α → F := (s_f \ s_g).indicator (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
⊢ P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
X : CategoryTheory.SheafOfTypes CategoryTheory.typesGrothendieckTopology
⊢ CategoryTheory.typeEquiv.inverse.obj X = X.val.obj (Opposite.op PUnit.{u + 1})
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
a : CliffordAlgebra Q
⊢ CliffordAlgebra.reverse (CliffordAlgebra.reverse a) = a
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
LinearOrder ι
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
i : ι
ω : Ω
h : τ ω ≤ i
⊢ MeasureTheory.stoppedProcess u τ i ω = u (τ ω) ω
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Finite σ
p : MvPolynomial σ K
h : ∀ (v : σ → K), (eval v) p = 0
hp : p ∈ restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1)
p' : R σ K := ⟨p, hp⟩
this : p' ∈ ker (evalᵢ σ K)
⊢ p' = 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
this : ∀ K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V, index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card
⊢ (Finset.filter (fun x => ((fun h => x * h) ⁻¹' V ∩ K₁.carrier).Nonempty ∨ ((fun h => x * h) ⁻¹' V ∩ K₂.carrier).Nonempty) s).card ≤ s.card
n : Nat
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0
⊢ ∃ j, i = j.succ
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
key : (bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) ((expand p) (W_ (ZMod (p ^ (n + 1))) n))) ((map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) Φ) = (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) ((bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n))
⊢ (bind₁ fun i => (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) ((rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℤ (n + 1)))) ((map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) Φ) = (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n + 1 - i))