ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬μ univ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
e : E
f : E → F
g : E → G
s : Set E
r t : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s e r
hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q s e t
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall (fun x => (f x, g x)) (p.prod q) s e (min r t)
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
ms : ∀ (x : G), Measurable fun y => ((fun z => z * x) ⁻¹' s).indicator (fun x => 1) y
⊢ ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), s.indicator (fun x => 1) (y * x) * f x⁻¹ ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : G), ν ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * f x⁻¹ ∂μ
R✝ : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
x y z : R✝
s : I → R✝
t : Finset I
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : ℕ
h : IsCoprime ↑a ↑b
⊢ IsCoprime ↑↑a ↑↑b
E : Type u_6
NormedGroup E
⊢ Filter.comap norm (𝓝[>] 0) = 𝓝[≠] 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
M N : SheafOfModules R
f : SheafOfModules.unit R ⟶ M
p : M ⟶ N
⊢ N.unitHomEquiv (f ≫ p) = SheafOfModules.sectionsMap p (M.unitHomEquiv f)
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : G
⊢ 0 • (A.ρ g) x = 0
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
⊢ p = 0 ∨ p = ⊤ ∨ 0 < p.toReal
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.59648, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A : C
k : K.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
i' : ι
x : K.X i' ⟶ A
hx : k = K.d i i' ≫ x
⊢ K.d j i ≫ k = 0
ι : Type u_4
κ : Type u_5
G : Type u_8
SeminormedGroup G
f : ι → κ → G
s : Set κ
l : Filter ι
⊢ UniformCauchySeqOn f l s ↔ TendstoUniformlyOn (fun n z => f n.1 z / f n.2 z) 1 (l ×ˢ l) s
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableAt ℝ f y
⊢ deriv f y ≤ slope f x y
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
v : EuclideanSpace 𝕜 ι
⊢ ∑ i : ι, v i • b i = b.repr.symm v
α : Type u_3
Countable α
Infinite α
⊢ Nonempty (Denumerable α)
α : Type u_2
LinearOrder α
s t : Finset α
st : s ⊆ t
⊢ t.min ≤ s.min
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝³ : NormedRing A✝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A✝
A : Type u_9
inst✝¹ : NormedCommRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f : α → E → A
c : E
a : α
B : Finset α
aB : a ∉ B
hB : (∀ n ∈ B, AnalyticAt 𝕜 (f n) c) → AnalyticAt 𝕜 (fun z => ∏ n ∈ B, f n z) c
h : ∀ n ∈ insert a B, AnalyticAt 𝕜 (f n) c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => ∏ n ∈ insert a B, f n z) c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
o : CategoryTheory.HomOrthogonal s
α β γ : Type
Finite α
Fintype β
Finite γ
f : α → ι
g : β → ι
h : γ → ι
z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)
w : (⨁ fun b => s (g b)) ⟶ ⨁ fun c => s (h c)
i : ι
⊢ o.matrixDecomposition (CategoryTheory.CategoryStruct.comp z w) i = o.matrixDecomposition w i * o.matrixDecomposition z i
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ l.reverse.formPerm = l.formPerm⁻¹
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
⊢ (⇑(algebraMap ℝ 𝕜) ⁻¹' spectrum 𝕜 A).Finite
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
⊢ M.Basis I (insert e I) ↔ e ∈ M.closure I
ι : Type u_2
R : Type u_3
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
⊢ DirectSum.IsInternal (AddMonoidAlgebra.grade R)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ =
  h₂.liftH (h₁.descH (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.i h₂.p) ⋯) ⋯
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
H : PGame
⊢ G ≈ H ↔ G + H ≈ 0
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
a : R
⊢ (MvPolynomial.C a).degrees = 0
α : Type u_3
Preorder α
NoMinOrder α
x : α
⊢ Set.Iio x ∈ Filter.atBot
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
h : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
⊢ Module.rank (↥⊥) E = Module.rank F E
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ x • ball 1 δ = ball x δ
α : Type u_1
β : Type u_2
AddGroupWithOne α
AddGroupWithOne β
n : ℤ
⊢ (↑n).1 = ↑n
a b : UInt64
⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallySurjective J (whiskerLeft H.op f)
X : D
a : (forget A).obj (G.obj (Opposite.op X))
Y : D
g : Y ⟶ X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ X
fac : lift ≫ map = g
⊢ Sieve.pullback g (imageSieve f a) ∈ K.sieves Y
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
⊢ BddBelow s.measureOfNegatives
α : Type u
DivisionMonoid α
b : α
h : IsUnit b
a : α
⊢ a * b / b = a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO : f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)
g : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => cexp (↑ε * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → Complex.abs (g ε w) ≤ 1
R : ℝ
hzR : |z.re| < R
hR : ∀ (w : ℂ), |w.re| = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C
hR₀ : 0 < R
⊢ ‖g ε z • f z‖ ≤ C
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
One M
One N
g : M → N
hg : ∀ {x : M}, g x = 1 ↔ x = 1
f : α → M
⊢ Function.mulSupport (g ∘ f) = Function.mulSupport f
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M : Submodule R S
⊢ M.LinearDisjoint 1
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set Y
hs : IsOpen s
⊢ e.trans (PartialHomeomorph.ofSet s hs) = e.restr (↑e ⁻¹' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a : α
s : Set (β × γ)
⊢ κ.compProdFun η a s = ∑' (n : ℕ), (κ.seq n).compProdFun η a s
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ |-x - ↑(-m) / ↑n| = |x - ↑m / ↑n|
K : Type u_1
Field K
NumberField K
⊢ NumberField.discr K ≠ 0
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_5
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
this : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => {f | ∀ x ∈ Si.1, f x ∈ b Si.2}
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p✝ : G.Walk u v
p : G.Walk u u
hinj : Injective ⇑f
⊢ (Walk.map f p).IsCycle ↔ p.IsCycle
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
FunLike F α β
DivisionRing α
DivisionRing β
RingHomClass F α β
f : F
q : ℚ
⊢ f ↑q = ↑q
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α →. σ
h : α → ℕ × σ →. σ
hf : Computable f
hg : Partrec g
hh : Partrec₂ h
⊢ Partrec fun a => Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) (f a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ x ∈ extremePoints 𝕜 (univ.pi s) ↔ x ∈ univ.pi fun i => extremePoints 𝕜 (s i)
α : Type u_1
Zero α
a : α
⊢ SymAlg.sym a = 0 ↔ a = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
⊢ ∀ {X Y : F.Elementsᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.CategoryOfElements.toCostructuredArrow F).map f =
    CategoryTheory.CostructuredArrow.homMk (↑f.unop).unop ⋯
f : StieltjesFunction
l : ℝ
hf : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 l)
x : ℝ
⊢ Tendsto (fun x_1 => ofReal (leftLim (↑f) x_1 - leftLim (↑f) x)) atTop (𝓝 (ofReal (l - leftLim (↑f) x)))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.karoubiChainComplexEquivalence C α).counitIso.inv = CategoryTheory.eqToHom ⋯
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b c : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - c * x) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in d - c * b..d - c * a, f x
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s
⊢ LSeries.abscissaOfAbsConv f ≤ ↑s.re
a b : CauSeq ℚ abs
⊢ { cauchy := ⟦a ⊓ b⟧ } = { cauchy := ⟦a⟧ } ⊓ { cauchy := ⟦b⟧ }
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
n : ℕ∞
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ n f s x
hx : f x ≠ 0
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (fun y => √(f y)) s x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
n : ℕ
f : Fin n → σ
hf : Function.Injective f
p : MvPolynomial (Fin n) R
h : ∀ (x : σ → R), (eval x) ((rename f) p) = 0
⊢ p = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
f.NeBot
Nonempty β
⊢ (f.coprod g).NeBot
n : ℤ
z τ : ℂ
f : ℂ × ℂ → ℂ := fun p => 2 * ↑π * I * ↑n * p.1 + ↑π * I * ↑n ^ 2 * p.2
⊢ HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂_term n p.1 p.2) (jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (z, τ)
Ω : Type u_1
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
_mβ : MeasurableSpace β
_mβ' : MeasurableSpace β'
_mγ : MeasurableSpace γ
_mγ' : MeasurableSpace γ'
φ : β → γ
ψ : β' → γ'
hfg : ProbabilityTheory.IndepFun f g μ
hφ : Measurable φ
hψ : Measurable ψ
⊢ ProbabilityTheory.IndepFun (φ ∘ f) (ψ ∘ g) μ
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f✝ f g : R[X]
ihf : (expand R p) ((expand R q) f) = (expand R (p * q)) f
ihg : (expand R p) ((expand R q) g) = (expand R (p * q)) g
⊢ (expand R p) ((expand R q) (f + g)) = (expand R (p * q)) (f + g)
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
this : ∀ (M : Type ?u.11614) (N : Type ?u.11613) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ Ioi a * Ici b ⊆ Ioi (a * b)
α : Type u_1
δ : Type u_2
β : Type u_3
f : α → δ
l : Batteries.AssocList α β
⊢ (Batteries.AssocList.mapKey f l).toList =
  List.map
    (fun x =>
      match x with
      | (a, b) => (f a, b))
    l.toList
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
f✝ : R →+* S
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hx : eval₂ (algebraMap R A) x f = 0
⊢ IsIntegral R ((algebraMap A B) x)
L : FirstOrder.Language
⊢ ∀ (x : ℕ), L.skolem₁.Relations x = Empty
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
⊢ f.coprod g ∘ₗ LinearMap.inr R M M₂ = g
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ : ℝ
hr₁ : r₁ ≠ 0
r₂ : ℝ
⊢ ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ r₁ → ∀ (b : E), p b < r₂ → ‖a‖ * p b < r₁ * r₂
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
H : ∀ m < n, (bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R m) = X m
i : ℕ
h : i ∈ range n
⊢ C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n - i) = (bind₁ (W_ R)) (C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p R i ^ p ^ (n - i))
z τ : ℂ
hτ : τ ≠ 0
aux1 : -2 * ↑π / (2 * ↑π * I) = I
⊢ -(jacobiTheta₂' (z / τ) (-(1 / τ)) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-(1 / τ))) = -jacobiTheta₂' (z / τ) (-(1 / τ)) + z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-(1 / τ)) * (2 * ↑π * I)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
r : R
⊢ Finsupp.degree 0 = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
p : ι → Submodule R M
m : M
hm : m ∈ ⨆ i, p i
⊢ ∃ s, m ∈ ⨆ i ∈ s, p i
n m : Nat
⊢ ↑n < ↑m ↔ n < m
α : Type ua
UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
n : ℕ
⊢ ∀ᶠ (t : Set (α × α)) in (𝓤 α).smallSets, (fun x => t ○ x)^[n] t ⊆ s
M : Type u_1
α : Type u_3
AddMonoid M
TopologicalSpace α
AddAction M α
AddAction.IsMinimal M α
x : α
U : Set α
hUo : IsOpen U
hne : U.Nonempty
⊢ ∃ c, c +ᵥ x ∈ U
α : Type u_1
DecidableEq α
G : SimpleGraph α
a : α
p : G.Walk a a
hp : p.IsHamiltonianCycle
⊢ List.count a p.support = 2
X : MonCat
⊢ MonCat.uliftFunctor.obj X = MonCat.of (ULift.{v, u} ↑X)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f'✝ f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : MDifferentiableWithinAt I' I'' g u (f x)
hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
h : s ⊆ f ⁻¹' u
f' : E →L[𝕜] E'
hf' : HasFDerivWithinAt (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) f' (↑I.symm ⁻¹' (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))
⊢ MDifferentiableWithinAt I I'' (g ∘ f) s x
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
l₁ l₂ : List α
⊢ foldl erase ⋯ ↑l₁ ↑l₂ = ↑(List.foldl List.erase l₁ l₂)
F : Type u_1
inst✝ : Field F
S T : Set F
hT : IsSubfield T
H : S ⊆ T
p : F
hp : p ∈ Ring.closure S
q : F
hq : q ∈ Ring.closure S
⊢ p / q ∈ T
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hi : Disjoint x z
hs : x ⊔ z = y
h : y ⊓ x = x
⊢ y ⊓ x ⊓ z = ⊥
R : Type u
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type v
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
x : Kˣ
⊢ ↑(v.valuationOfNeZeroToFun x) = v.valuation ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
x : α
⊢ ∃ r > x, ∀ (i : ℕ), abv (f i) < r
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
x y : α
⊢ (x, y) ∈ filter (fun x => match x with | (x, y) => G.Adj x y ∧ ¬(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj x y) (A ×ˢ A) → (x, y) ∈ ((P.nonUniforms G (ε / 8)).biUnion fun x => match x with | (U, V) => U ×ˢ V) ∪ P.parts.biUnion offDiag ∪ (P.sparsePairs G (ε / 4)).biUnion fun x => match x with | (U, V) => G.interedges U V
V : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
One α
A : Matrix V V α
self : A.IsAdjMatrix
⊢ A.IsSymm
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ M₁
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝³ : TopologicalAddGroup M₁
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁
inst✝¹ : TopologicalAddGroup M₂
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
this : UniformSpace M₂ := TopologicalAddGroup.toUniformSpace M₂
⊢ Continuous ⇑f
x : Int
xs : List Int
y : Int
ys : List Int
⊢ (x :: xs) * (y :: ys) = x * y :: xs * ys
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
MeasurableSpace M
BorelSpace M
SigmaCompactSpace M
T2Space M
f : M → F
μ : MeasureTheory.Measure M
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, f x = 0
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
m₂ m : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h2 : m₂ ≤ m
hp2 : IsPiSystem p2
hpm2 : m₂ = MeasurableSpace.generateFrom p2
hyp : ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ p1
ht1m : MeasurableSet t1
ht2m : MeasurableSet t2
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
E : Type u₅
CategoryTheory.Category.{v₅, u₅} E
F : CategoryTheory.Functor (C₁ × C₂) E
hF : (W₁.prod W₂).IsInvertedBy F
W₁.ContainsIdentities
W₂.ContainsIdentities
⊢ (W₁.Q.prod W₂.Q).comp (CategoryTheory.Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget.prodLift F hF) = F
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
⊢ ∀ ⦃x : E⦄, (∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_1, ∃ (_ : i_1 ∈ t), x ∈ [i-[𝕜]i_1]) → ∀ ⦃y : E⦄, (∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_1, ∃ (_ : i_1 ∈ t), y ∈ [i-[𝕜]i_1]) → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_1, ∃ (_ : i_1 ∈ t), a • x + b • y ∈ [i-[𝕜]i_1]
α✝ : Sort u_1
cmp : α✝ → α✝ → Ordering
x y : α✝
inst✝ : OrientedCmp cmp
⊢ cmp x y = Ordering.gt ↔ cmp y x = Ordering.lt
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
k l : ℕ
⊢ ‖p.changeOriginSeries k l‖₊ ≤ ∑' (x : { s // s.card = l }), ‖p (k + l)‖₊
α : Type u
β : Type v
⊢ Nonempty (α ↪ β) ∨ Nonempty (β ↪ α)
x y a b : ZFSet
⊢ a.pair b ∈ x.prod y ↔ a ∈ x ∧ b ∈ y
α : Type u_1
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.Nodup
hf : (s.formPerm hs).IsCycle
hs' : ∀ (y : Cycle α), (fun s_1 => ∃ (h : s_1.Nodup), s_1.formPerm h = s.formPerm hs) y → y = s
⊢ ∃! s_1, (↑s_1).formPerm ⋯ = s.formPerm hs
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
n : ℕ
x : OreLocalization S X
inst : Module ℕ (OreLocalization S X) := instModuleOfIsScalarTower
⊢ n • x = n • x
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
A : Set (X → α)
S : Set X
hA : A.EquicontinuousOn S
⊢ (closure A).EquicontinuousOn S
a : UnitAddCircle
⊢ Tendsto (fun s => (s - 1) * hurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NonUnitalSemiring α
s✝ : Multiset α
a x : α
s : Multiset α
ih : (∀ x ∈ s, a ∣ x) → a ∣ s.sum
h : ∀ x_1 ∈ x ::ₘ s, a ∣ x_1
⊢ a ∣ (x ::ₘ s).sum
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
hfg : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs' : μ s < ⊤
⊢ (∫⁻ (a : α) in s, ENNReal.ofReal (f a).toReal ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α) in s, ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ).toReal
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_2
H : ι → AddSubgroup G
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → AddCommute x y
i j : ι
hne : i ≠ j
x : ↥(H i)
y : ↥(H j)
⊢ AddCommute ((H i).subtype x) ((H j).subtype y)
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
⊢ sInf ∅ = 0
ι : Type u_1
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
AddGroup G
SubtractionMonoid H
AddMonoidHomClass F G H
f : F
g : ι → G
n : ℕ
⊢ ⇑f ∘ (n • g) = n • ⇑f ∘ g
n a : ℤ
⊢ n + a ≡ a [ZMOD n]
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ Convex ℝ (f' '' s)