ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A✝ : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁹ : Field A✝
inst✝⁸ : Ring B
inst✝⁷ : Algebra A✝ B
x✝ : B
A : Type u_3
K : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : Algebra A R
inst✝¹ : Algebra K R
inst✝ : IsScalarTower A K R
x : R
⊢ (Polynomial.aeval x) (map (algebraMap A K) (minpoly A x)) = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
this✝¹ : IsIso (toSpec 𝒜 f).val.base
this✝ : ∀ (x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat), IsIso (LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (toSpec 𝒜 f) x)
this : LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion (toSpec 𝒜 f)
⊢ IsIso (toSpec 𝒜 f)
α : Type u
a : α
t : Set α
s : Set α
h : a ∉ t
⊢ insert a s \ t = insert a (s \ t)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ ℱ' : CategoryTheory.SheafOfTypes K
i : G.op.comp ℱ.val ≅ G.op.comp ℱ'.val
X : Dᵒᵖ
⊢ ∀ (a : ℱ'.val.obj X),
  (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.presheafIso i).inv.app X a =
    CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.appHom i.inv (Opposite.unop X) a
p n : ℕ
hpp : Nat.Prime p
hp : p ∣ n
hs : IsSquare (-1)
⊢ p % 4 ≠ 3
n : Nat
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {p : α → Bool},
  List.findIdx? p (List.replicate n a) = if 0 < n ∧ p a = true then some 0 else none
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
x : X
y : Y
⊢ e.IsImage s t ↔ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (e.source ∩ s) = e.target ∩ t
α : Type u_2
DivisionMonoid α
f : Filter α
⊢ IsUnit f ↔ ∃ a, f = pure a ∧ IsUnit a
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
a : G
b : H
LinearOrderedAddCommGroup G
Archimedean G
OrderedAddCommGroup H
AddConstMapClass F G H a b
f : F
ha : 0 < a
l : G
⊢ StrictMono ⇑f ↔ StrictMonoOn (⇑f) (Set.Icc l (l + a))
c : ℂ
R θ : ℝ
⊢ circleMap c R θ ∈ Metric.sphere c |R|
α : Type u_1
Preorder α
a b x : α
⊢ x ∈ Set.Icc a b ↔ a ≤ x ∧ x ≤ b
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
b : Multiset β
⊢ (0 = 0 ∧ b = 0 ∨ ∃ a b_1 as bs, r a b_1 ∧ Rel r as bs ∧ 0 = a ::ₘ as ∧ b = b_1 ::ₘ bs) ↔ b = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set X
this : Fact (1 ≤ 1)
h_comp : (fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ) = integral (μ.restrict s) ∘ fun f => ↑↑((LpToLpRestrictCLM X E ℝ μ 1 s) f)
⊢ Continuous (integral (μ.restrict s) ∘ fun f => ↑↑((LpToLpRestrictCLM X E ℝ μ 1 s) f))
β : Type u_2
Primcodable β
H : Nat.Primrec fun n => Encodable.encode (Encodable.decode n)
⊢ Primrec List.reverse
x : ℝ*
⊢ x.Infinitesimal → ∀ (r : ℝ), 0 < r → -↑r < x
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
a c : R
b d : ↥M
⊢ Localization.mk a b - Localization.mk c d = Localization.mk (↑d * a - ↑b * c) (b * d)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup L
inst✝⁹ : Module R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ι'
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
b✝ b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
k : ℕ
H : (φ.polyCharpoly b).coeff k = 0
⊢ (φ.polyCharpoly b').coeff k = 0
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ False
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l₁ l₂ : Filter α
h : 𝓝 l₁ ≤ 𝓝 l₂
⊢ l₁ ≤ l₂
E : Type u_1
i : SeminormedAddCommGroup E
r : ℝ
v : ↑(Metric.ball 0 r)
⊢ ↑(-v) = -↑v
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R
X : D
⊢ ((CategoryTheory.Monad.comparison h).obj X).a = R.map (h.counit.app X)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT‖ ≤ C
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid N₁
AddCommMonoid N₂
AddCommMonoid P
Module R M₁
Module R M₂
Module R N₁
Module R N₂
Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
Q₁' : QuadraticMap R N₁ P
Q₂' : QuadraticMap R N₂ P
e₁ : Q₁.IsometryEquiv Q₁'
e₂ : Q₂.IsometryEquiv Q₂'
⊢ (e₁.prod e₂).toLinearEquiv = e₁.prod e₂.toLinearEquiv
a b c d : ℝ
h : a * d - b * c = 1
h_denom : ∀ (z : ℍ), denom (toGLPos ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩) z ≠ 0
hc : c ≠ 0
z : ℂ
hz : 0 < z.im
⊢ (↑a * z + ↑b) / (↑c * z + ↑d) = ↑a / ↑c - (↑c * ↑d + ↑c * ↑c * z)⁻¹
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
inst✝ : DenselyOrdered α
⊢ Disjoint (Ioo a₁ a₂) (Ioo b₁ b₂) ↔ min a₂ b₂ ≤ max a₁ b₁
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
s_finite : μ s ≠ ⊤
f_mble : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
M : ℝ
f_bdd : ∀ᵐ (a : α) ∂μ.restrict s, ‖f a‖ ≤ M
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + c * x) = ∫ (x : ℝ) in d + c * a..d + c * b, f x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : ¬μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ μ.singularPart ν = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α
⊢ ∀ x ∈ s ×ˢ t, match x with | (a, b) => a * b ∈ s * t
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs'✝ : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0
hs' : s ≠ 1
⊢ DifferentiableAt ℂ (cosZeta a) s
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
v : Vector3 α n
⊢ Vector3.insert a v Fin2.fz = Vector3.cons a v
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ y
⊢ ¬↑p ^ (1 + 1) ∣ ∑ i ∈ range p, x ^ i * y ^ (p - ↑1 - i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
(CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.IsIso f ↔ Function.Bijective ((CategoryTheory.forget C).map f)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T3Space X
h : X ≃ₜ Y
⊢ T3Space Y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
⊢ φ ∈ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ)
α : Type u_1
self : Order.Coframe α
a : α
s : Set α
⊢ ⨅ b ∈ s, a ⊔ b ≤ a ⊔ sInf s
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
(i : ι) → DecidableEq (M i)
DecidableEq ι
i : ι
w : Monoid.CoprodI.Word M
⊢ Monoid.CoprodI.of ((Monoid.CoprodI.Word.equivPair i) w).head • ((Monoid.CoprodI.Word.equivPair i) w).tail = w
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
⊢ 0 ≤ Real.log e
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H : Subgroup G
a b : G
⊢ (∃ a_1 ∈ H, ∃ b_1 ∈ ⊥, b = a_1 * a * b_1) ↔ b * a⁻¹ ∈ H
α : Type u
s : Set (Set α)
i j : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
h✝ : i ≤ j
x : Set α
hx : x ∈ generateMeasurableRec s i
h : i < j
⊢ x ∈ generateMeasurableRec s j
M₀ : Type u_1
inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁶ : MonoidWithZero M
inst✝⁵ : MonoidWithZero M'
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M₁
inst✝³ : Ring R
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : FunLike F M M'
inst✝ : Finite R
a : R
ha : a ∈ R⁰
⊢ IsUnit a
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ ↑⌊a⌋₊ = ↑⌊a⌋
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
⊢ s.πSummand (IndexSet.id (op [i])) ≫ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j]))
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f g : α → β
AddCommMonoid β
DecidableEq α
h : s₁ ⊆ s₂
hg : ∀ x ∈ s₂ \ s₁, g x = 0
hfg : ∀ x ∈ s₁, f x = g x
⊢ ∑ i ∈ s₁, f i = ∑ i ∈ s₂, g i
D : TopCat.GlueData
U : Set ↑D.glued
⊢ IsOpen U ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(D.ι i) ⁻¹' U)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
F : ι → X → α
f : X → α
s : Set X
x : X
z : α
hF : EquicontinuousAt F x
hf : ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, f x ∈ {y | (y, z) ∈ id i}
hs : ∀ y ∈ s, Tendsto (fun x => F x y) l (𝓝 (f y))
hx : (𝓝[s] x).NeBot
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVs : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, F x_1 x ∈ {y | (y, z) ∈ id U}
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α
hf : f x = x
hg : g (g x) = g x
⊢ (f * g) x = (g * f) x
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] N₂
i : n
j : m
⊢ (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂) B i j = (B (b₁ i)) (b₂ j)
a : EReal
h : a < 0
h' : a ≠ ⊥
⊢ ⊤ / a = ⊥
R : Type u_2
StrictOrderedRing R
Archimedean R
p : R → Prop
h : ∀ᶠ (x : R) in Filter.atBot, p x
⊢ ∀ᶠ (n : ℤ) in Filter.atBot, p ↑n
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x, π ≫ g₁ = x ≫ app' φ 1 ⋯
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K
hd : ¬d = 0
⊢ J / spanSingleton R₁⁰ d = 1 / spanSingleton R₁⁰ d * J
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
K : Set Y
hK : IsCompact K
⊢ IsCompact (f ⁻¹' K)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f✝ f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s✝ : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
f : (i : ι) → Filter (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
i : ι
s : Set (α i)
hs : s ∈ map (eval i) (pi f)
I : Set ι
hIf : I.Finite
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hI : eval i '' I.pi t ⊆ s
⊢ (I.pi t).Nonempty
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
f : M →ₙ* N
⊢ ↑f.srange = Set.range ⇑f
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
s : Set X
f g : X → Y
h : f =ᵐ[μ.restrict s] g
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
hU : s ⊆ closure (interior s)
⊢ Set.EqOn f g s
A : Type u_7
B : Type u_8
AddMonoid A
AddMonoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
self : ContinuousAddMonoidHom A B
⊢ Continuous (↑self.toAddMonoidHom).toFun
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬map ϕ N < map ψ N
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
hgen : generator (map ϕ N) = 0
⊢ ∀ x ∈ N, x = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : CharP R n
I : Ideal R
x✝ : CharP (R ⧸ I) n
x : ℕ
hx : ↑x ∈ I
⊢ n ∣ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
s : Set β
⊢ (∑' (x : β), if x ∈ s then ∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h) x else 0) = ∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else ∑' (x : β), if x ∈ s then (f a ⋯) x else 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : IsProperMap f
𝒰 : Ultrafilter X
y : Y
hy : Filter.Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y)
⊢ ∃ x, f x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
h : P = Q
⊢ W'.add P Q = W'.dblXYZ P
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
(i : ι) → Module R (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
Semiring S
Module S M₂
SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R (fun i => M₁ (σ.symm i)) M₂
⊢ (MultilinearMap.domDomCongrLinearEquiv' R S M₁ M₂ σ).symm f =
  { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
x : G
z : ℤ
⊢ ContinuousAt (fun x => z • x) x
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
StarRing R
StarRing A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
StarModule R A
Semiring C
StarRing C
Algebra R C
StarModule R C
f : A →⋆ₙₐ[R] C
⊢ (Unitization.starLift f).range = StarAlgebra.adjoin R ↑(NonUnitalStarAlgHom.range f)
α : Type u
x y : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ y \ x = ⊥
b : Bool
⊢ (BitVec.ofBool b).toNat = b.toNat
m n : ℕ
f : SimplexCategory.mk m ⟶ SimplexCategory.mk (n + 1)
j : Fin (n + 2)
hj : ∀ (k : Fin (m + 1)), (SimplexCategory.Hom.toOrderHom f) k ≠ j
⊢ SimplexCategory.factor_δ f j ≫ SimplexCategory.δ j = f
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
TopologicalSpace X
TopologicalSpace X'
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Y'
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : PartialHomeomorph Y Z
e' : PartialHomeomorph X' Y'
f' : PartialHomeomorph Y' Z'
⊢ (e.prod e').trans (f.prod f') = (e.trans f).prod (e'.trans f')
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
⊢ Set.Ioc (Order.pred a) b = Set.Icc a b
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
Nontrivial R
i j : n
⊢ (M.charmatrix i j).natDegree = if i = j then 1 else 0
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_3
CommSemiring S
Algebra R S
B : Type u_4
Ring B
TopologicalSpace B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
C : Type u_5
Ring C
TopologicalSpace C
Algebra R C
Algebra S C
IsScalarTower R S C
f : B →A[S] C
⊢ ⇑(ContinuousAlgHom.restrictScalars R f) = ⇑f
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
⊢ Multiset.map Associates.mk fx = Multiset.replicate (Multiset.card fx) (Associates.mk ϖ)
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (k : ℕ), F.N (n₀ + k) = I ^ k • F.N n₀
⊢ ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, F.N n = I ^ (n - n₀) • F.N n₀
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ (Set.Ico a b).Finite
ι : Type u
β₂ : ι → Type v₂
(i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
⊢ (DFinsupp.mapRange.addMonoidHom fun i => AddMonoidHom.id (β₂ i)) = AddMonoidHom.id (Π₀ (i : ι), β₂ i)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : {X : Type u} → (MvQPF.Cofix F α → X) → (β → X) → β → F (α ::: X)
x : β
h :
  ∀ (X Y : Type u) (f : MvQPF.Cofix F α → X) (f' : β → X) (k : X → Y),
    g (k ∘ f) (k ∘ f') x = (TypeVec.id ::: k) <$$> g f f' x
⊢ (MvQPF.Cofix.corec₁ g x).dest = g id (MvQPF.Cofix.corec₁ g) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder β s
f g : r ≼i s
a : α
⊢ f a = g a
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
⊢ midpoint R x y = z ↔ (Equiv.pointReflection z) x = y
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime (z * y + x) y
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
m n : ℤ
⊢ A ^ (m * n) = (A ^ n) ^ m
α : Type u
β : Type v
AddGroup β
f g : α → β
l : Filter α
⊢ f =ᶠ[l] g ↔ f - g =ᶠ[l] 0
a b n : ℕ
⊢ (b - 1) * ∑ i ∈ Finset.range n.succ, a / b ^ i ≤ a * b - a / b ^ n
α : Type u
⊢ ↑[] = Stream'.WSeq.nil
α : Type u_1
m : ℕ
P : (Fin m → α) → Prop
⊢ FinVec.Forall P ↔ ∀ (x : Fin m → α), P x
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
SemilatticeSup β
ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
⊢ f ≤ f ⊔ g
α : Type u
⊢ Cardinal.mk (List α) = Cardinal.sum fun n => Cardinal.mk α ^ n
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∃ c, HasSum (fun i => ε' ↑i) c ∧ c ≤ ε
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
s t : Set X
⊢ s ∩ t ⊆ s ∩ closure (s ∩ t)
m : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ZMod m
this : NeZero m
h : ∀ (n : ℕ), {n | ↑n = k - 1}.indicator (fun n => 1 / ↑(n + 1)) n = if ↑n = k - 1 then 1 / (↑n + 1) else 0
⊢ ¬Summable fun n => 1 / ↑(n + 1)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
l : ℕ
v : α → M
xs : Fin l → M
R : L.Relations 1
t : L.Term (α ⊕ Fin l)
⊢ (R.boundedFormula₁ t).Realize v xs ↔
  FirstOrder.Language.Structure.RelMap R ![FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim v xs) t]
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
hf : IsCoveringMap f
A : Type u_3
TopologicalSpace A
g₁ g₂ : A → E
PreconnectedSpace A
h₁ : Continuous g₁
h₂ : Continuous g₂
he : f ∘ g₁ = f ∘ g₂
a : A
ha : g₁ a = g₂ a
⊢ g₁ = g₂
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a b c : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a b ∈ M
hbc : swap b c ∈ M
⊢ swap a c ∈ M
n : ℕ
K : Type u
Field K
f : K[X]
_hfn : f.natDegree = n
⊢ Polynomial.Splits (algebraMap K (Polynomial.SplittingFieldAux n f)) f
α : Type u_1
⊢ MulOpposite.op ∘ MulOpposite.unop = id
n : ℕ
⊢ (↑n).ord = ↑n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedRing β
FloorRing α
FloorRing β
FunLike F α β
RingHomClass F α β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
⊢ ⌈f a⌉ = ⌈a⌉
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cone F✝
F : J ⥤ C
s : Cone F
G : K ⥤ C
t : Cone G
P : IsLimit s
Q : IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
j : J
⊢ (Q.lift ((Cones.postcompose (whiskerLeft e.inverse w.inv ≫ (e.invFunIdAssoc G).hom)).obj (Cone.whisker e.inverse s)) ≫ P.lift ((Cones.postcompose w.hom).obj (Cone.whisker e.functor t))) ≫ s.π.app j = 𝟙 s.pt ≫ s.π.app j
R : Type u_4
Semiring R
s : Set R
n : ℕ
⊢ AddSubmonoid.closure s ^ n = AddSubmonoid.closure (s ^ n)
β : Sort u_1
α : Sort u_2
p : β → Prop
e : α ≃ Subtype p
⊢ ∀ (a : α), e.asEmbedding a = ↑(e a)
s t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioi t) MeasureTheory.volume ↔ s < -1
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
this : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0
⊢ H = ⊤
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{u_1, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{u_2, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
W : D
h : F.obj Z ⟶ W
⊢ F.map (f ≫ g) ≫ h = F.map f ≫ F.map g ≫ h
α : Type u_1
CompleteLattice α
ι : Type u_9
a : α
s : Set ι
hs : s.Nonempty
⊢ ⨅ i ∈ s, a = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hle : f ≤ᶠ[ae μ] g
hg : AEMeasurable g μ
ε : ℝ≥0∞
φ : α → ℝ≥0∞
hφm : Measurable φ
hφ_le : φ ≤ f
hφ_eq : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), φ a ∂μ
x : α
hx₁ : f x ≤ g x
⊢ φ x + {x | φ x + ε ≤ g x}.indicator (fun x => ε) x ≤ g x
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
D₁ : Type u₄
D₂ : Type u₅
D₃ : Type u₆
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D₁
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} D₂
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
G : D₁ ⥤ D₂
h : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝ : CatCommSq Φ.functor L₁ L₂ G
⊢ (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q).IsEquivalence
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0
⊢ ‖x‖ / Real.cos (InnerProductGeometry.angle x (x - y)) = ‖x - y‖
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Fintype R
f g : R[X]
hf2 : f.degree = 2
hg2 : g.degree = 2
hR : Fintype.card R % 2 = 1
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hd : Disjoint (image (fun x => eval x f) univ) (image (fun x => eval x (-g)) univ)
⊢ 0 < 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.Limits.span f g)
⊢ CategoryTheory.Limits.PushoutCocone.inl (CategoryTheory.Limits.colimit.cocone (CategoryTheory.Limits.span f g)) =
  CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : Preorder δ
g : β →Co γ
f₁ f₂ : α →Co β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hfg : Function.LeftInverse g f
⊢ Function.LeftInverse (Filter.map g) (Filter.map f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
x : CategoryTheory.Subobject X
⊢ (CategoryTheory.Subobject.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)).obj x = x
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
m : M
p : ι →₀ R
⊢ (TensorProduct.finsuppScalarRight R M ι) (m ⊗ₜ[R] p) = p.sum fun i n => Finsupp.single i (n • m)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ⊤ (g n)
g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
δc : HasSum δ c
c_lt : c < 1
this : ∀ (n : ℕ), ∃ r, 0 < r ∧ ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i (r • g n) x‖ ≤ ↑(δ n)
⊢ ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsBezout R
GCDMonoid R
x y : R
⊢ Ideal.span {gcd x y} = Ideal.span {IsBezout.gcd x y}
X Y : HeytAlg
f : X ⟶ Y
a : ↑X
⊢ (CategoryTheory.HasForget₂.forget₂.map f).toSupHom a = f a
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ Fintype.card n - 1 ≤ k
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
hfg' : f + g ≈ f
⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm