ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w
f : ℤ[X] → ℤ[X] := fun p => { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) p.toFinsupp }
h : C ↑v * (C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n)) = C ↑v * (C ↑u * X ^ (m' + n) + C ↑w * X ^ (n - m' + k + n))
⊢ q = p ∨ q = p.mirror
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
t : Set α
h : t ∈ 𝓝 a
⊢ 𝓝[s] a = 𝓝[s ∩ t] a
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
hc : c ≠ 0
⊢ b + a / c = (b * c + a) / c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
P : C → Prop
CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P
X : CategoryTheory.FullSubcategory P
⊢ ∀ (x x_1 : CategoryTheory.FullSubcategory P) (f : x ⟶ x_1),
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X f = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X.obj f
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ Complex.slitPlane
⊢ ContinuousOn (fun t => (1 + t • z)⁻¹) (Set.Icc 0 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hpd : deriv f z₀ = p.coeff 1
hp0 : p.coeff 0 = f z₀
hp : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))
⊢ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff (n + 1)) (dslope f z₀ (z₀ + z))
α : Type u
n : ℕ
o' : Type uₒ
NonUnitalNonAssocSemiring α
x : α
v : Fin n → α
B : Fin n.succ → o' → α
⊢ Matrix.vecMul (Matrix.vecCons x v) (Matrix.of B) = x • Matrix.vecHead B + Matrix.vecMul v (Matrix.of (Matrix.vecTail B))
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → R
⊢ ∏ i ∈ s, trop (f i) = (Multiset.map (fun i => trop (f i)) s.val).prod
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₁
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
LieAlgebra.IsSolvable R L'
⊢ LieAlgebra.IsSolvable R ↥f.range
α : Type u_1
x : α
⊢ Nontrivial α ↔ ∃ y, y ≠ x
M : Type u_1
MulOneClass M
c : Con M
⊢ MonoidHom.mrange c.mk' = ⊤
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K✝
inst✝¹¹ : Algebra F K✝
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Field K₁
inst✝⁸ : Field K₂
inst✝⁷ : Field K₃
inst✝⁶ : Algebra F K₁
inst✝⁵ : Algebra F K₂
inst✝⁴ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
K : Type u_6
L : Type u_7
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Normal K L
x y : L
hy : IsAlgebraic K y
h_ev : (Polynomial.aeval x) (minpoly K y) = 0
hx : IsAlgebraic K x
f : ↥K⟮x⟯ ≃ₐ[K] ↥K⟮y⟯ := algEquiv hx ⋯
⊢ ∃ σ, σ x = y
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ a ≤ b + (a - b)
α : Type u_3
Nontrivial α
⊢ ¬Subsingleton α
f : ℂ → ℂ
c z : ℂ
R R₁ R₂ : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R)
h_maps : MapsTo f (ball c R) (ball c R)
hc : f c = c
hz : z ∈ ball c R
⊢ dist (f z) c ≤ dist z c
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ a * b = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0
α : Type u_2
LinearOrder α
x y : α
p : α → Prop
hx : p x
hy : p y
⊢ p (max x y)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
⊢ ∀ b_1 ∈ Finset.univ, b_1 ≠ j → ((Finsupp.single i 1) i * (Finsupp.single b_1 1) j) • b.coord i ⊗ₜ[R] c.coord b_1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ μ₁ μ₂ ν : Measure α
inst✝¹ : μ₁.HaveLebesgueDecomposition ν
inst✝ : μ₂.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ μ₁ + μ₂ = μ₁.singularPart ν + μ₂.singularPart ν + (ν.withDensity (μ₁.rnDeriv ν) + ν.withDensity (μ₂.rnDeriv ν))
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
Nontrivial R
CharP R 1
⊢ False
s : (n : ℕ) × Finset (Fin n)
⊢ (FormalMultilinearSeries.changeOriginIndexEquiv.symm s).snd.fst = s.snd.card
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
xy : SqLe (x + 1) 1 (y + 1) d
yx : SqLe (y + 1) d x.succ 1
t : (x + 1) * (x + 1) = d * (y + 1) * (y + 1)
⊢ { re := -[x+1], im := ↑(y + 1) } = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.59971, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.59975, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => Hom.mk (ofHom W f) }.map (f ≫ g) = Hom.comp ({ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => Hom.mk (ofHom W f) }.map f) ({ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => Hom.mk (ofHom W f) }.map g)
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M₂
Module R M₂
Module.Finite R M₂
Module.Free R M₂
n : ℕ
N : Fin n → Type u_5
(i : Fin n) → AddCommGroup (N i)
(i : Fin n) → Module R (N i)
∀ (i : Fin n), Module.Finite R (N i)
∀ (i : Fin n), Module.Free R (N i)
⊢ Module.Free R (MultilinearMap R N M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R N M₂)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor A B
G : CategoryTheory.Functor A C
⊢ ∀ {X Y : A} (f : X ⟶ Y), (F.prod' G).map f = (F.map f, G.map f)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
p : Submodule K V
v : V
hpv : v ∉ p
f : V →ₗ[K] K
hf : f ∘ₗ ({ domain := p, toFun := 0 }.supSpanSingleton v 1 hpv).domain.subtype = ({ domain := p, toFun := 0 }.supSpanSingleton v 1 hpv).toFun
⊢ ∃ f, f ≠ 0 ∧ p ≤ ker f
α : Type u
β : Type v
Sup α
Sup β
p q : α × β
⊢ (p ⊔ q).1 = p.1 ⊔ q.1
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : G.obj c ⟶ a'
⊢ η.naturality (f ≫ g) ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map (f ≫ g)) h).hom ≫ η.app a ◁ G.mapComp f g ▷ h = F.mapComp f g ▷ η.app c ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (η.app c)).hom ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g ≫ η.app c) h).hom ≫ F.map f ◁ η.naturality g ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (η.app b ≫ G.map g) h).inv ≫ (α_ (F.map f) (η.app b) (G.map g)).inv ▷ h ≫ η.naturality f ▷ G.map g ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (G.map g)).hom ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f ≫ G.map g) h).hom
G : Type u_2
Group G
H : Subgroup G
⊢ Subgroup.opEquiv H = H.op
ι : Type u_1
R : Type u_5
Zero R
One R
NeZero 1
⊢ Function.mulSupport 0 = Set.univ
α : Type u
Zero α
a : α
LE α
⊢ ↑a ≤ 0 ↔ a ≤ 0
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : AEStronglyMeasurable X ℙ
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
A : ↑c ≠ 0
B : AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (a : Ω), X a) ℙ
⊢ ℙ {ω | ↑c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} = ℙ {x | ↑c ≤ ↑‖(X - fun x => ∫ (a : Ω), X a) x‖₊}
c : Code
hf : Partrec c.eval
⊢ Partrec' fun v => c.eval v.head
R : Type u
S : Type v
a : R
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
⊢ Polynomial.map f (Polynomial.C a) = Polynomial.C (f a)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ ∀ (a : CliffordAlgebra Q), CliffordAlgebra.reverseEquiv.symm a = CliffordAlgebra.reverse a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.f k = 0
S.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.pOpcycles (S.descOpcycles k hk) = k
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
⊢ m.IsCaratheodory (⋃ i, s i)
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s t : Finset α
⊢ (s / t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
AddCommGroup V'
Module R V'
AddTorsor V' P'
f : P →ᵃ[R] P'
a b : P
⊢ f (midpoint R a b) = midpoint R (f a) (f b)
R : Type u_1
M : Type u_9
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⇑LinearMap.id = id
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F G : CategoryTheory.Functor C D
H : CategoryTheory.Functor D E
H.Full
H.Faithful
comp_iso : F.comp H ≅ G.comp H
X : C
⊢ (CategoryTheory.Functor.fullyFaithfulCancelRight H comp_iso).inv.app X = H.preimage (comp_iso.inv.app X)
K : Type u_1
Field K
NumberField K
α β : K
⊢ NumberField.house (α * β) ≤ NumberField.house α * NumberField.house β
i : Nat
⊢ ∀ {α : Type u_1} {xs : List α} {j : Nat}, i < xs.length → xs.Nodup → xs.get? i = xs.get? j → i = j
a b c : ℝ≥0∞
h0 : a ≠ 0
hinf : a ≠ ⊤
⊢ a * b < a * c ↔ b < c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
⊢ {a, b}.Pairwise r ↔ a ≠ b → r a b ∧ r b a
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
α : Type u_12
DecidableEq o
(i : o) → DecidableEq (m' i)
Fintype o
(i : o) → Fintype (m' i)
NonAssocSemiring α
M : (i : o) → Matrix (m' i) (m' i) α
⊢ (Matrix.blockDiagonal'RingHom m' α) M = Matrix.blockDiagonal' M
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
a b : G
⊢ x /ᵒᶠ (a + b) = x /ᵒᶠ a /ᵒᶠ b
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
M : Matrix n n α
v : n → α
⊢ M = (diagonal v)ᴴ ↔ M = diagonal (star v)
x y : ℂ
h : x.arg = y.arg
⊢ Complex.abs (x + y) = Complex.abs x + Complex.abs y
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ IsSquare (Units.mk0 a ha) ↔ IsSquare a
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
p : α → Prop
x : F α
⊢ Functor.Liftp p x ↔ ∃ a f, x = QPF.abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : (QPF.P F).B a), p (f i)
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
ha : IsUnit A.det
m n : ℤ
⊢ A ^ (m + n) = A ^ m * A ^ n
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
⊢ c • MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction m m_empty = MeasureTheory.OuterMeasure.ofFunction (c • m) ⋯
R : Type u_1
A : Type u_2
x y : Unitization R A
h1 : x.fst = y.fst
h2 : x.snd = y.snd
⊢ x = y
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Continuous f
t : Set Y
⊢ frontier (f ⁻¹' t) ⊆ f ⁻¹' frontier t
α : Type u
PseudoMetricSpace α
⊢ UniformContinuous fun p => dist p.1 p.2
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
i j : ℕ
a : ⨂[R]^i M
b : ⨂[R]^j M
⊢ GradedMonoid.GMul.mul a b = (((TensorProduct.mk R (⨂[R]^i M) (⨂[R]^j M)).compr₂ ↑TensorPower.mulEquiv) a) b
G : Type u_1
AddGroup G
t t' : TopologicalSpace G
tg : TopologicalAddGroup G
tg' : TopologicalAddGroup G
⊢ t = t' ↔ 𝓝 0 = 𝓝 0
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a x : E
⊢ ⟪a, x⟫_ℝ • (innerₛₗ ℝ) a + (o.areaForm a) x • o.areaForm a = ‖a‖ ^ 2 • (innerₛₗ ℝ) x
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ max (max a b) c = max (max a c) b
A : Type u_17
B : Type u_18
R : Type u_19
Semiring R
AddCommGroup A
AddCommGroup B
Module R B
f : A →+ B
⊢ (addMonoidHomLequivInt R) f = f.toIntLinearMap
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε✝ : ℝ
l✝ : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
l : ℕ
⊢ 100 < 4 ^ initialBound ε l * ε ^ 5
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
y : E
hy : y ≠ x
hr : 0 ≤ r
this : ‖y - x‖ ≠ 0
⊢ r • ‖y - x‖⁻¹ • (y - x) + x ∈ sphere x r
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
⊢ (q + r).num * ↑q.den * ↑r.den = (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) * ↑(q + r).den
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X
ι : Type u_1
Y : ι → C
f : (i : ι) → Y i ⟶ X
i : ι
⊢ ∃ i_1, ∃ (h : Y i_1 = Y i), f i = eqToHom ⋯ ≫ f i_1
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
x✝ : x ∈ univ
this : 0 < 1 + ‖x‖ ^ 2
⊢ (fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x) x ∈ ball 0 1
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
s t : Set G
⊢ s - interior t ⊆ interior (s - t)
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : Set R
x : R
⊢ x ∈ NonUnitalSubring.closure s ↔ x ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hu : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ y ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}, y - u ∈ U
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set M₂
hV : V ∈ 𝓝 0
hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U
SV : Set M₁ × Set M₂ := (closedBall 0 1, -V)
v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}
huv : v - u ∈ {f | ∀ x ∈ SV.1, f x ∈ SV.2}
T : Set M₂
hT : T.Finite
hTv✝ : closure (⇑↑v '' closedBall 0 1) ⊆ ⋃ y ∈ T, y +ᵥ V
x : M₁
hx : x ∈ closedBall 0 1
hTv : x ∈ ⋃ i ∈ T, ⇑v ⁻¹' (i +ᵥ V)
⊢ x ∈ ⋃ i ∈ T, ⇑u ⁻¹' (i +ᵥ U)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
hm : Injective ⇑m
s t : Set β
hs : s ⊆ range ⇑m
ht : t ⊆ range ⇑m
⊢ ⇑m '' (⇑m ⁻¹' (s / t)) = ⇑m '' (⇑m ⁻¹' s / ⇑m ⁻¹' t)
α : Type u
AddMonoid α
self : AddUnits α
⊢ ↑self + self.neg = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ (C a * p).comp r = C a * p.comp r
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
γ : Type u_3
CompleteLinearOrder γ
DenselyOrdered γ
f : α → γ
⊢ UpperSemicontinuousWithinAt f s x ↔ Filter.limsup f (𝓝[s] x) ≤ f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : StronglyMeasurable f
this : IsSeparable (closure (⋃ n, range ↑(hf.approx n)))
⊢ range f ⊆ closure (⋃ n, range ↑(hf.approx n))
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α
⊢ ⋃ n, Ioc (↑n) (↑n + 1) = univ
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : f p.content * eval₂ f s p.primPart = 0
hcont : f p.content ≠ f 0
⊢ eval₂ f s p.primPart = 0
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
CommRing B
IsDomain B
Algebra R B
⊢ LinearIndependent B AlgHom.toLinearMap
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
x : S.functor ⟶ P
g : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ P
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.functorInclusion g = x ↔
  (↑(CategoryTheory.Presieve.natTransEquivCompatibleFamily x)).IsAmalgamation (CategoryTheory.yonedaEquiv g)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
⊢ r.core Set.univ = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f₁ : α → β
f₂ : α → γ
g₁ : β → δ
g₂ : γ → δ
h : g₁ ∘ f₁ = g₂ ∘ f₂
a : α
⊢ WithBot.map g₁ (WithBot.map f₁ ↑a) = WithBot.map g₂ (WithBot.map f₂ ↑a)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lip : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
⊢ IntegrableOn F' (Ι a b) μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
a b c : A
h : a + b = c
e₁ : (CategoryTheory.shiftFunctor C a).comp F ≅ F.comp (CategoryTheory.shiftFunctor D a)
e₂ : (CategoryTheory.shiftFunctor C b).comp F ≅ F.comp (CategoryTheory.shiftFunctor D b)
X : C
⊢ (CategoryTheory.Functor.CommShift.isoAdd' h e₁ e₂).inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' D a b c h).hom.app (F.obj X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor D b).map (e₁.inv.app X))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e₂.inv.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X))
        (F.map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b c h).inv.app X))))
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ v ∈ p.toSubgraph.verts
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ⇑(f - g) = ⇑f - ⇑g
ε : Type u_1
p : ε → Prop
DecidablePred p
ep ep' : Equiv.Perm { a // p a }
en en' : Equiv.Perm { a // ¬p a }
⊢ Equiv.trans (ep.subtypeCongr en) (ep'.subtypeCongr en') =
  Equiv.Perm.subtypeCongr (Equiv.trans ep ep') (Equiv.trans en en')
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ : V
d₀ : X₀ ⟶ X₁
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₀ ⟶ X₁) → (X₂ : V) ×' (d : X₁ ⟶ X₂) ×' f ≫ d = 0
⊢ (CochainComplex.mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} => succ').X 1 = X₁
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : I ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type u₂)
A : C
i : I
⊢ (colimitHomIsoLimitYoneda F A).inv ≫ (coyoneda.map (colimit.ι F i).op).app A = limit.π (F.op ⋙ yoneda.obj A) (op i)
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
self : AddOreLocalization.AddOreSet S
r : R
s : ↥S
⊢ ↑(AddOreLocalization.AddOreSet.oreSubtra r s) + r = AddOreLocalization.AddOreSet.oreMin r s + ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β
⊢ MeasurableSet (support ↑f)
Y : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace Y
left✝ : PathConnectedSpace Y
right✝ : ∀ (x y : Y), Subsingleton (Path.Homotopic.Quotient x y)
⊢ Nonempty Y ∧ ∀ (x y : Y), Nonempty (Unique (Path.Homotopic.Quotient x y))
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
this : Nat.choose 4 2 = 6
⊢ 1 - ∑ k ∈ range 4, ↑(Nat.choose 4 k) / (↑4 - ↑k + 1) * bernoulli' k = -1 / 30
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} C
inst✝ : HasTerminal C
A a b : C
f : a ⟶ b
U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ (skyscraperPresheaf p₀ a).map i ≫ (fun U => if h : p₀ ∈ unop U then eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj U)) V = (fun U => if h : p₀ ∈ unop U then eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj U)) U ≫ (skyscraperPresheaf p₀ b).map i
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
Zero β
SemilatticeInf β
ContinuousInf β
hf : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
hg : MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable (f ⊓ g) μ
G : Type v
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
Group G
MulAction G X
IsometricSMul G X
c : G
x : X
⊢ (IsometryEquiv.constSMul c) x = c • x
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SFinite μ
h : μ μ.sigmaFiniteSetᶜ = 0
⊢ SigmaFinite μ
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder β
NoMaxOrder β
f : α → β
l : Filter α
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
c : β
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, c < f x
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : PerfectRing L p
x : K
h : x ∈ pNilradical K p
⊢ x ∈ ker i
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, Disjoint (ker (f ^ n)) (range (f ^ n))
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i j : ι
this : {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | τ ω ≤ min i j}
⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ j})
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
AddCommMonoid M
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
Module S M
r : R
s : S
x : M
⊢ (RestrictScalars.addEquiv R S M).symm ((r • s) • x) = r • (RestrictScalars.addEquiv R S M).symm (s • x)
α : Type u
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α
a b c : α
⊢ min a (b * c) = min a (min a b * min a c)
R✝ : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R✝
R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
⊢ b * (a / b) + a % b - b * (a / b) = a - b * (a / b)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ ⊥.jacobson
⊢ N = ⊥
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
ContinuousAdd G
H : AddSubgroup G
U : OpenAddSubgroup G
h : ↑U ≤ H
⊢ IsOpen ↑H
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
FiniteDimensional ℝ E
μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
g : E → G
g' : E → E →L[ℝ] G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : MeasureTheory.Integrable (fun x => (B ((f' x) v)) (g x)) μ
hfg' : MeasureTheory.Integrable (fun x => (B (f x)) ((g' x) v)) μ
hfg : MeasureTheory.Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasFDerivAt f (f' x) x
hg : ∀ (x : E), HasFDerivAt g (g' x) x
⊢ ∫ (x : E), (B (f x)) ((g' x) v) ∂μ = -∫ (x : E), (B ((f' x) v)) (g x) ∂μ
b : ℕ
hb : b > 0
a : ℕ
ha : a + 1 + 1 ≠ 0
h : (a + 1 + 1).primeFactorsList <+~ b.primeFactorsList
⊢ b = (a + 1 + 1) * (b.primeFactorsList.diff a.succ.succ.primeFactorsList).prod
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryBiproduct.bicone X Y).inl = CategoryTheory.Limits.biprod.inl
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
F : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor C D
G : CategoryTheory.OplaxMonoidalFunctor D E
⊢ (F ⊗⋙ G).η = G.map F.η ≫ G.η
R : Type u_1
p : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p
a : R
⊢ (frobeniusEquiv R p) a = (frobenius R p) a
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
M : α → Type u_3
P : α → Type u_4
(a : α) → Zero (N a)
(a : α) → Zero (M a)
(a : α) → Zero (P a)
(a : α) → DecidableEq (M a)
(a : α) → DecidableEq (P a)
F : (a : α) → M a → N a → P a
F0 : ∀ (a : α), F a 0 0 = 0
f₁ f₂ : Π₀ (a : α), M a
g : Π₀ (a : α), N a
hF : ∀ (a : α) (g : N a), Function.Injective fun f => F a f g
⊢ (DFinsupp.zipWith F F0 f₁ g).neLocus (DFinsupp.zipWith F F0 f₂ g) = f₁.neLocus f₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
⊢ ¬x ⤳ y ↔ ∃ S, IsClosed S ∧ x ∈ S ∧ y ∉ S
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ
x : (i : ι) → E i
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (⇑f) x‖ ≤ ↑((Fintype.card ι).descFactorial n) * ‖f‖ * ‖x‖ ^ (Fintype.card ι - n)