ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ k < n, u (k + 1) < c * u k
⊢ u n < c ^ n * u 0
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
h : ↑e.symm '' (e.target ∩ t) = e.source ∩ s
⊢ e.IsImage s t
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
⊢ ∃ M', Module.Finite R ↥M' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor N M'.subtype))
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Basis B' (I ∪ B)
hIB' : I ⊆ B'
⊢ ∃ B', M.Base B' ∧ I ⊆ B' ∧ B' ⊆ I ∪ B
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
CommRing R
CommRing S
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Algebra R S
Module S N
IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
IsLocalizedModule p f
P : Type w
AddCommGroup P
Module R P
Q : Type w'
AddCommGroup Q
Module R Q
Module S Q
IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
⊢ Submodule.localized' S p f (LinearMap.ker g) =
  LinearMap.ker (LinearMap.extendScalarsOfIsLocalization p S ((IsLocalizedModule.map p f f') g))
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ
⊢ PowerSeries.coeff R n ∘ₗ PowerSeries.monomial R n = LinearMap.id
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalFunctor.diag C).ε = 𝟙 (𝟙_ (C × C))
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
i : ℕ
⊢ i ∈ (p.toSubring T hp).support ↔ i ∈ p.support
M : Type u_2
α : Type u_3
Monoid M
MeasurableSpace M
MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, Measurable f
⊢ Measurable l.prod
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
x : ↥(f.equalizer g)
⊢ (f.comp (ι f g)) x = (g.comp (ι f g)) x
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ
⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.deg + { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.deg, num := ⟨↑{ deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.num * ↑{ deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.num, ⋯⟩, den := ⟨↑{ deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.den * ↑{ deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.den, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
⊢ (CategoryTheory.Limits.equalizer.fork f g).ι = CategoryTheory.Limits.equalizer.ι f g
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
LieRing L
LieAlgebra K L
Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I
⊢ (Φ.restrict (lieIdealSubalgebra K L I).toSubmodule).Nondegenerate
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R✝ : Sheaf J RingCat
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N
φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf
hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom
X : Cᵒᵖ
r : ↑(R.obj X)
y : ↑(M₂.presheaf.obj X)
⊢ (φ.app X) (r • y) = r • (φ.app X) y
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
⊢ ∀ (i : ι) (y : A i), ((mulHom A).flip One.one) ((of A i) y) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) y)
a n : ℕ
⊢ (filter a.Coprime (Ico n (n + a))).card = φ a
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
hbdd : BddBelow (range fun n => u n / ↑n)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ sInf ((fun n => u n / ↑n) '' Ici 1) ≤ u n / ↑n
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
Quiver.IsThin C
hC : CategoryTheory.Skeletal C
⊢ CategoryTheory.Skeletal (CategoryTheory.Functor D C)
n k : ℕ
hk : k.succ ≤ n + 1
hk₁ : k.succ = n + 1
⊢ (n + 1).choose k.succ * k.succ ! * (n + 1 - k.succ)! = (n + 1)!
G : Type u_3
Group G
⊢ Group.FG G ↔ ⊤.FG
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
⊢ HNNExtension.toSubgroupEquiv φ (-1) = φ.symm
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
h : A.det = 0
⊢ ∃ k, 0 ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
k : ℕ
⊢ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k ⊥ = ⊥
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A[X]
hx : IsIntegral A x
hamonic : a.Monic
hdvd : DvdNotUnit a (minpoly A x)
⊢ (Polynomial.aeval x) a ≠ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial E
e : E
he : e ≠ 0
this : ‖e‖ ≤ ‖fst 𝕜 E F‖ * max ‖e‖ ‖0‖
⊢ 1 ≤ ‖fst 𝕜 E F‖
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : LieModule.weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ LieAlgebra.rootSpace H α
y : M
hy : y ∈ LieModule.weightSpaceChain M α χ p q
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ LieModule.weightSpaceChain M α χ p q
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasLeftDual X
inst✝¹ : HasLeftDual Y
inst✝ : HasLeftDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (λ_ ᘁZ).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁZ ≫ (ᘁX ◁ f ≫ ᘁX ◁ g) ▷ ᘁZ ≫ (α_ (ᘁX) Z ᘁZ).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁZ) Z ≫ (ρ_ ᘁX).hom = (λ_ ᘁZ).inv ≫ η_ (ᘁY) Y ▷ ᘁZ ≫ ((λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ ᘁY ≫ (α_ (ᘁX) Y ᘁY).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ ᘁX).hom ⊗ g) ▷ ᘁZ ≫ (α_ (ᘁX) Z ᘁZ).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁZ) Z ≫ (ρ_ ᘁX).hom
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C₁ : HomologicalComplex V c
i : ι
⊢ HomologicalComplex.Hom.sqFrom (𝟙 C₁) i = 𝟙 (CategoryTheory.Arrow.mk (C₁.dFrom i))
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
h_inf : s.Infinite
h_fin : (f '' s).Finite
this✝ : Finite ↑(f '' s)
this : Infinite ↑s
⊢ ¬InjOn f s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).left =
  CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
t : Set α
a x y : α
⊢ exterior ∅ = ∅
X : Type u
Y Z : Type u
f : Y ⟶ Z
p : X ⊗ Y
⊢ (X ◁ f) p = (p.1, f p.2)
α : Type u_1
l : List α
⊢ List.countP (fun x => true) l = l.length
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G✝ : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G✝
G : W.FunctorsInverting D
⊢ 𝟙 W.Q ◫ { obj := fun G => lift G.obj ⋯, map := fun {X Y} τ => natTransExtension (eqToHom ⋯ ≫ τ ≫ eqToHom ⋯) }.map (𝟙 G) = 𝟙 W.Q ◫ 𝟙 ({ obj := fun G => lift G.obj ⋯, map := fun {X Y} τ => natTransExtension (eqToHom ⋯ ≫ τ ≫ eqToHom ⋯) }.obj G)
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
h : IsGreatest s a
⊢ IsLUB s a
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
k : ℕ
a₁ a₂ : A
p₁ p₂ : R[X]
⊢ (algebraMap R A) ((p₁ * p₂).coeff k) = ∑ i ∈ Finset.antidiagonal k, (algebraMap R A) (p₂.coeff i.2) * (algebraMap R A) (p₁.coeff i.1)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : SMul α β
s s₁ s₂ t u : Finset β
a : α
b x : β
⊢ x ∈ a • s ↔ ∃ y ∈ s, a • y = x
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nontrivial E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
⊢ 𝔠 ≤ #↑s
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p ≠ 0
n : ℕ
hn✝ : ¬n ∉ p.degree
hn : p.degree = Option.some n
⊢ p.degree = ↑p.natDegree
K : Type u_1
RCLike K
r : ℝ
h : 0 ≤ r
⊢ ‖↑r‖ = r
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
s : optParam (Set X) Set.univ
self : PartitionOfUnity ι X s
⊢ LocallyFinite fun i => Function.support ⇑(self.toFun i)
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ∀ (x : α), dlookup x s₁.entries = dlookup x s₂.entries
⊢ ⟦s₁⟧ = ⟦s₂⟧
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁸ : CommRing A
inst✝³⁷ : CommRing B
inst✝³⁶ : Algebra A B
inst✝³⁵ : Field K✝
inst✝³⁴ : Field L✝
inst✝³³ : Algebra A K✝
inst✝³² : IsFractionRing A K✝
inst✝³¹ : Algebra B L✝
inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁹ : Algebra A L✝
inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²⁴ : CommRing Aₘ
inst✝²³ : CommRing Bₘ
inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝²¹ : Algebra A Aₘ
inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹³ : IsDomain A
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹¹ : IsDomain B
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁹ : Module.Finite A B
inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝⁶ : IsDomain Aₘ
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝⁴ : IsDomain Bₘ
inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing Aₘ) (FractionRing Bₘ)
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝¹ : IsIntegralClosure B A L
this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
⊢ (algebraMap A Aₘ) ((intNorm A B) x) = (intNorm Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
⊢ RingHom.RespectsIso @RingHom.FiniteType
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p✝² p✝¹ p✝ : Set ℕ
⊢ of p✝² + of p✝¹ ≤ of p✝ ↔ of p✝² ≤ of p✝ ∧ of p✝¹ ≤ of p✝
R : Type u
CommSemiring R
r : R
⊢ ⇑(Polynomial.evalRingHom r) = Polynomial.eval r
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝ : SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
hne : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
u : Set α
u_countable : u.Countable
u_dense : Dense u
⊢ Countable ι
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0
⊢ #↑s = #E
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
hxy : ‖x + y‖ ^ 2 ≠ 0
⊢ Real.arcsin √((‖x + y‖ ^ 2 - ‖x‖ ^ 2) / ‖x + y‖ ^ 2) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : t.Nonempty
⊢ (s ∪ t).Nonempty
α : Type u
DecidableEq α
x : FreeGroup α
⊢ x⁻¹.toWord = FreeGroup.invRev x.toWord
m n k : ℕ
⊢ m.psub (n + k) = do let __do_lift ← m.psub n __do_lift.psub k
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
B : C
ι : Type w
inst✝² : Nonempty ι
X : ι → C
f : (j : ι) → X j ⟶ B
inst✝¹ : HasWidePullback B X f
inst✝ : PreservesLimit (wideCospan B X f) (forget C)
x y : (forget C).obj (widePullback B X f)
h : ∀ (j : ι), (π f j) x = (π f j) y
inhabited_h : Inhabited ι
⊢ (base f) x = (base f) y
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
Coalgebra R A
Coalgebra R B
⊢ Coalgebra.comul ∘ₗ LinearMap.fst R A B =
  TensorProduct.map (LinearMap.fst R A B) (LinearMap.fst R A B) ∘ₗ Coalgebra.comul
A : Type u_4
AddGroup A
H : AddSubgroup A
self : H.Characteristic
ϕ : A ≃+ A
⊢ AddSubgroup.comap ϕ.toAddMonoidHom H = H
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
LinearOrder ι
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : ProbabilityTheory.iIndepSet s μ
i : ι
k : ι
hk : i < k
⊢ ProbabilityTheory.Indep (MeasurableSpace.generateFrom {s k}) (MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ j ≤ i, s j = t}) μ
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
H : s ≤ᵐ[μ] t
ht : μ t = 0
⊢ μ s = 0
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → AddGroup (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
f g : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.filter p (f - g) = DFinsupp.filter p f - DFinsupp.filter p g
R : Type u
AddMonoid R
StarAddMonoid R
⊢ ∀ (a : R), starAddEquiv a = star a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
h_mon : f.Monic
h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)
a b : R[X]
h : f = a * b
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
P : CategoryTheory.MorphismProperty W.Localization
P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (CategoryTheory.Localization.Construction.wInv w hw)
⊢ P = ⊤
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
h_le : f ≤ᵐ[μ] g
s : Set α
hμs : μ s ≠ 0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x < g x
⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ < ∫⁻ (x : α), g x ∂μ
M : Type u_2
α : Sort u_4
AddCommMonoid M
f g : α → M
h : ∀ (x : α), f x = g x
⊢ finsum f = finsum g
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.147899, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁
⊢ (ψ ≫ φ₁).τ₁ = S₃.f ≫ ψ.τ₂ ≫ h.h₁ + ψ.τ₁ ≫ h.h₀ + (ψ ≫ φ₂).τ₁
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ num (-g) z * denom g z = num g z * denom (-g) z
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : InfClosed s
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s
⊢ ((t ×ˢ u).sup' ⋯ fun i => id i.1 ⊓ id i.2) ∈ supClosure s
R : Type u
S₁ : Type v
CommSemiring R
⊢ (MvPolynomial.optionEquivRight R S₁) (MvPolynomial.X none) = MvPolynomial.C Polynomial.X
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
ContinuousAdd M₂
f g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
⊢ ↑(f + g) = ↑f + ↑g
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝² : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
inst✝¹ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝ : DecidableEq (Ideal A)
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
hI : I ≠ ⊥
⊢ ∀ (l l' : { l // l ∣ I }), ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv l) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
a b c : ℕ
h : a ≤ b
⊢ a / c ≤ b / c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : Seq α
⊢ (cons a s).head = some a
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type s
CommRing S
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x y : A
⊢ (WeierstrassCurve.baseChange W B).toAffine.negY (f x) (f y) = f ((WeierstrassCurve.baseChange W A).toAffine.negY x y)
M : Type u_2
AddMonoid M
S : Set M
⊢ (AddSubmonoid.centralizer S).toAddSubsemigroup = AddSubsemigroup.centralizer S
F : Type u
Field F
W : WeierstrassCurve.Projective F
P : Fin 3 → F
h : W.Nonsingular P
hPz : P 2 ≠ 0
⊢ W.toAffine.Nonsingular (P 0 / P 2) (P 1 / P 2)
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ψ : NormedAddGroupHom W₁ W₂
φ' : NormedAddGroupHom V₂ V₃
ψ' : NormedAddGroupHom W₂ W₃
hf : ψ.comp f₁ = f₂.comp φ
hf' : ψ'.comp f₂ = f₃.comp φ'
⊢ (ψ'.comp ψ).comp f₁ = f₃.comp (φ'.comp φ)
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
hb : head s₁ = head s₂
ht : last s₁ = last s₂
⊢ ¬0 < s₂.length → ¬0 < s₁.length
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
hf : LinearMap.det f = 0
⊢ ⊥ < ker f
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
s : Multiset α
H : ∀ a ∈ s, p a
hf : ∀ (a : α) (ha : p a) (b : α) (hb : p b), f a ha = f b hb → a = b
⊢ s.Nodup → (Multiset.pmap f s H).Nodup
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
ht : IsOpen t
h't : IsPreconnected t
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun n => g n y₀
hy : y ∈ t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)) y
⊢ HasFDerivAt (fun z => ∑' (n : α), g n z) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (∑' (n : α), g' n y)) y
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate
hΦ_inv✝ : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ✝
Φ : LinearMap.BilinForm R L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hL : ∀ (I : LieIdeal R L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
⊢ Disjoint I (orthogonal Φ hΦ_inv I)
G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : TopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Countable ↥Γ
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁵ : SigmaFinite ν
inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
i : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
K : PositiveCompacts G
K' : PositiveCompacts (G ⧸ Γ) := PositiveCompacts.map QuotientGroup.mk ⋯ ⋯ K
this : μ.IsMulLeftInvariant
⊢ μ.IsHaarMeasure
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
r : R
hri : r ∈ I
s : R
hsj : s ∈ J
⊢ f (r * s) ∈ map f I * map f J
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : PreErgodic f μ
hsm : MeasurableSet s
hs : f ⁻¹' s = s
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s) ∨ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∃ t, IsOpen t ∧ x ∈ t ∧ ContinuousOn f (s ∩ t)
⊢ ContinuousOn f s
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
⊢ IsLocalDiffeomorph I J n f ↔ ∀ (x : M), IsLocalDiffeomorphAt I J n f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ✝ ε δ : ℝ
s : Set E
x : E
hδ : 0 < δ
⊢ infEdist x (cthickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β
⊢ ∀ (x : α), (∀ (i : ι) (i_1 : κ i), x ∈ s i i_1) → ∀ y ∈ t, ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f x y ∈ image2 f (s i i_1) t
R : Type u_1
Semiring R
self : LocalRing R
a b : R
h : a + b = 1
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
β : Type u_2
E : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace E
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
BorelSpace E
f : β → E
μ : MeasureTheory.Measure β
fmeas : Measurable f
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
n : ℕ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯ n)) p μ
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁷ : Field 𝕂
inst✝⁶ : Ring 𝔸
inst✝⁵ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝³ : TopologicalRing 𝔸
inst✝² : T2Space 𝔸
inst✝¹ : StarRing 𝔸
inst✝ : ContinuousStar 𝔸
x : 𝔸
⊢ star (exp 𝕂 x) = exp 𝕂 (star x)
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ MeasureTheory.Memℒp f ⊤ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ENNReal
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f n)
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
hg' : MeasureTheory.Memℒp g p μ
hui : MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
hut : MeasureTheory.UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (nhds (g x))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => MeasureTheory.eLpNorm (f n - g) p μ) Filter.atTop (nhds 0)
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (x : X), (∃ᶠ (y : X) in 𝓝 x, y ∈ s) → x ∈ s
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : N →* G
x : N
⊢ (∀ (h : G), h ∈ H ↔ f x * h * (f x)⁻¹ ∈ H) → ∀ (h : N), f h ∈ H ↔ f (x * h * x⁻¹) ∈ H
𝕜 : Type u_1
NormedField 𝕜
B : Type u_3
NonUnitalNormedRing B
NormedSpace 𝕜 B
CompleteSpace B
IsScalarTower 𝕜 B B
SMulCommClass 𝕜 B B
ProperSpace 𝕜
a : B
⊢ IsCompact (quasispectrum 𝕜 a)