ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P : LocalPredicate T
x : ↑X
w : ∀ (U V : OpenNhds x) (fU : (y : ↥U.obj) → T ↑y), P.pred fU → ∀ (fV : (y : ↥V.obj) → T ↑y), P.pred fV → fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩ → ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w)
U : (OpenNhds x)ᵒᵖ
fU : (x_1 : ↥(unop ((OpenNhds.inclusion x).op.obj U))) → T ↑x_1
hU : P.pred fU
V : (OpenNhds x)ᵒᵖ
fV : (x_1 : ↥(unop ((OpenNhds.inclusion x).op.obj V))) → T ↑x_1
hV : P.pred fV
h : stalkToFiber P x (colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ (Type v)).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (subsheafToTypes P).presheaf) U ⟨fU, hU⟩) = stalkToFiber P x (colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ (Type v)).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (subsheafToTypes P).presheaf) V ⟨fV, hV⟩)
⊢ ∃ W s, ∃ (hW : P.pred s), colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate) U ⟨fU, hU⟩ = (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩ ∧ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate) V ⟨fV, hV⟩ = (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
j : Fin (Composition.single n hn).length
i : ℕ
hi1 : i < (Composition.single n hn).blocksFun j
hi2 : i < n
⊢ (v ∘ ⇑((Composition.single n hn).embedding j)) ⟨i, hi1⟩ = v ⟨i, hi2⟩
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism
⊢ Submodule.comap (↑f) (Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}) = Submodule.comap (↑f) (Submodule.span R (⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}))
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
ι : Type u_4
DecidableEq ι
DecidableEq σ
f : ι → MvPowerSeries σ R
d : σ →₀ ℕ
s : Finset ι
⊢ (MvPowerSeries.coeff R d) (∏ j ∈ s, f j) = ∑ l ∈ s.finsuppAntidiag d, ∏ i ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (l i)) (f i)
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝ : MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α
h : e ∉ G.incidenceSet a
⊢ incMatrix R G a e = 0
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : Monoid γ
s : Finset α
a : α
f : α → β
ha : a ∉ s
comm : (↑(cons a s ha)).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
⊢ (cons a s ha).noncommProd f comm = s.noncommProd f ⋯ * f a
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
⊢ FreeAddGroup.Red L₁ L₂ → L₂.Sublist L₁
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ (s.sup p).ball 0 (√r * √r) ⊆ U
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊂ t
h✝ : IsEmpty α
⊢ 0 < ↑(Fintype.card α)
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s : Set α
⊢ s ⊆ s ⊻ s
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Multiset α
h : t ≤ s
⊢ a ::ₘ s - t = a ::ₘ (s - t)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeInf α
inst✝⁵ : BoundedOrder α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : a ∈ upperClosure ↑s
ht : a ∉ upperClosure ↑t
⊢ (s ∪ t).truncatedInf a = s.truncatedInf a
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
r : ℕ
hr : x = (-ζ) ^ r
⊢ (-ζ) ^ r = ζ ^ r ∨ (-ζ) ^ r = -ζ ^ r
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X✝ Y✝ X'✝ Y'✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : X'✝ ⟶ Y'✝
j✝ : J
⊢ ((limMap f ⊗ limMap g) ≫ limit.lift (Y✝ ⊗ Y'✝) { pt := limit Y✝ ⊗ limit Y'✝, π := { app := fun j => limit.π Y✝ j ⊗ limit.π Y'✝ j, naturality := ⋯ } }) ≫ limit.π (Y✝ ⊗ Y'✝) j✝ = (limit.lift (X✝ ⊗ X'✝) { pt := limit X✝ ⊗ limit X'✝, π := { app := fun j => limit.π X✝ j ⊗ limit.π X'✝ j, naturality := ⋯ } } ≫ limMap (f ⊗ g)) ≫ limit.π (Y✝ ⊗ Y'✝) j✝
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
hf : LocallyLipschitz f
a : ℝ
⊢ LocallyLipschitz fun x => max a (f x)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
C : ℝ
D : ℝ := max C 1
D_pos : 0 ≤ D
H : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ D * ∏ i : ι, ‖m i‖
⊢ Continuous ⇑f
n : ℕ
⊢ (↑n).re = ↑n
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α x : E
s : Set (IntermediateField F E)
hne : s.Nonempty
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hx : x ∈ ⨆ a, ↑a
this : Nonempty ↑s
⊢ ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ s), x ∈ x_1
G₀ : Type u_3
MulZeroClass G₀
x y : G₀
⊢ SemiconjBy 0 x y
α β : Type u
s : Set (α → β)
t : Set α
⊢ (Seq.seq s fun x => t) = s.seq t
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
H : Type u_6
inst✝ : Monoid H
ψ : G →* H
x : G
⊢ orderOf (ψ x) ∣ orderOf x
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ ndinsert a s ↔ a_1 ∈ a ::ₘ s
R : Type u
Ring R
Nontrivial R
⊢ Module.rank R PUnit.{u_1 + 1} = 0
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : ν.IsHaarMeasure
inst✝² : ν.IsMulRightInvariant
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
V : Set (G ⧸ Γ)
hV : (interior V).Nonempty
meas_V : MeasurableSet V
hμK : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ 𝓕)
neTopV : μ V ≠ ⊤
⊢ μ V ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hfg : (f - g).LimZero
⊢ (g - f).LimZero
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
π : R
mem : π ∈ v.asIdeal
nmem : π ∉ v.asIdeal ^ 2
hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0
⊢ -↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors) = -1
G : Type u_1
Group G
H N : Subgroup G
hN : N.Normal
⊢ N ≤ H.normalCore ↔ N ≤ H
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₀) ≤ F'.N n
F : PFunctor.{u}
n : ℕ
x : F.M
⊢ PFunctor.M.Agree' n x x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
n : ℤ
⊢ f.SameCycle x ((f ^ n) y) ↔ f.SameCycle x y
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
⊢ M.Indep X ∨ M.Dep X
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V
⊢ Module.rank K V ≤ 1 ↔ ⊤.IsPrincipal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.left
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct I.right
c : CategoryTheory.Limits.Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
⊢ I.ofSigmaCoforkFunctor.obj c = CategoryTheory.Limits.Multicofork.ofSigmaCofork I c
α : Type u
a : α
l : List α
n : ℕ
h : n + 1 ≤ (a :: l).length
⊢ (a :: l).rotate' (n + 1) = drop (n + 1) (a :: l) ++ take (n + 1) (a :: l)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
x : α
hx : (μ.rnDeriv ν)⁻¹ x = ν.rnDeriv μ x
⊢ (-llr μ ν) x = llr ν μ x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable β
f : β → Set α
C : Set α → Prop
H0 : C ∅
H1 : ∀ (b : β), C (f b)
n : ℕ
b : β
⊢ ⋃ b_1 ∈ some b, f b_1 = f b
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul A B a0 b0
x✝¹ x✝ : G
ha : x✝¹ ∈ A
hb : x✝ ∈ B
k : x✝¹ ≠ a0 ∨ x✝ ≠ b0
⊢ x✝¹ * x✝ ≠ a0 * b0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₁ : ι → P
p₂ b : P
⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂) = (s.weightedVSubOfPoint p₁ b) w - (∑ i ∈ s, w i) • (p₂ -ᵥ b)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
F : CategoryTheory.Functor C C
F.Additive
A₁ A₂ : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
α β : A₁ ⟶ A₂
⊢ (α + β).f = α.f + β.f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L
T : Submodule 𝕜 E
hT : IsCompl S T
M : (↥S × ↥T) ≃ₗ[𝕜] E := S.prodEquivOfIsCompl T hT
M_cont : Continuous ⇑M.symm
P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T
P_cont : Continuous ⇑P
I✝ : Function.Bijective ⇑(L.domRestrict T)
L' : ↥T ≃ₗ[𝕜] F := LinearEquiv.ofBijective (L.domRestrict T) I✝
L'_cont : Continuous ⇑L'
A : L = ↑L' ∘ₗ P ∘ₗ ↑M.symm
I : map (⇑L) μ = map (⇑L') (map (⇑P) (map (⇑M.symm) μ))
μS : Measure ↥S := addHaar
μT : Measure ↥T := addHaar
c₀ : ℝ≥0∞
c₀_pos : c₀ ≠ 0
c₀_fin : c₀ ≠ ⊤
h₀ : map (⇑M.symm) μ = c₀ • μS.prod μT
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν
R : Type u_1
Semiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype m
DecidableEq m
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
a : m → R
⊢ ∀ (a_1 : n), (Matrix.toLinearEquivRight'OfInv hMM' hM'M).symm a a_1 = (Matrix.toLinearMapRight' M) a a_1
q r : ℕ+
hqr : q ≤ r
h4 : 0 < 4
H : 4 ≤ q
⊢ (↑↑2)⁻¹ + (↑↑q)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹ ≤ 1
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
β₁ : ι₁ → Type u_1
β₂ : ι₂ → Type u_2
γ : Type u_3
DecidableEq ι₁
DecidableEq ι₂
(i : ι₁) → AddZeroClass (β₁ i)
(i : ι₂) → AddZeroClass (β₂ i)
AddCommMonoid γ
f₁ : Π₀ (i : ι₁), β₁ i
f₂ : Π₀ (i : ι₂), β₂ i
h : (i : ι₁) → (j : ι₂) → β₁ i →+ β₂ j →+ γ
⊢ (DFinsupp.sumAddHom fun i₂ => (DFinsupp.sumAddHom fun i₁ => h i₁ i₂) f₁) f₂ =
  (DFinsupp.sumAddHom fun i₁ => (DFinsupp.sumAddHom fun i₂ => (h i₁ i₂).flip) f₂) f₁
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
δ : Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : AddCommMonoid γ
inst✝ : AddCommMonoid δ
g : γ →+ δ
f : (i : ι) → β i →+ γ
a : ι
⊢ liftAddHom.symm (g.comp (liftAddHom f)) a = g.comp (f a)
α : Type u_5
MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_6
L : Filter ι
L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
A_mble : MeasurableSet A
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
B : Set α
B_mble : MeasurableSet B
B_finmeas : μ B ≠ ⊤
As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ Filter.Tendsto (fun i => μ (As i)) L (𝓝 (μ A))
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Ioc a b ∪ Set.Ioc b c ∪ Set.Ioc c a = Set.Ioc (min a (min b c)) (max a (max b c))
a : SignType
⊢ 0 ≤ a ↔ a = 0 ∨ a = 1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f₀ : 𝕜 → E
g₀ : 𝕜 → E'
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure 𝕜
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
hf : LocallyIntegrable f₀ μ
hcg : HasCompactSupport g₀
hg : ContDiff 𝕜 1 g₀
x₀ : 𝕜
⊢ (f₀ ⋆[L, μ] deriv g₀) x₀ = ((f₀ ⋆[precompR 𝕜 L, μ] fderiv 𝕜 g₀) x₀) 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
LieModule R L N
f : ↥(LieModule.maxTrivSubmodule R L (M →ₗ[R] N))
⊢ ⇑(LieModule.maxTrivLinearMapEquivLieModuleHom f) = ⇑↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ : ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k = ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum : ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤ ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
⊢ abv (∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k)) < ε
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
TopologicalSpace.MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
BorelSpace β
u : ι → Ω → β
hum : ∀ (i : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (u i)
⊢ MeasureTheory.Adapted (MeasureTheory.Filtration.natural u hum) u
G : Type u_2
MeasurableSpace G
DivisionMonoid G
MeasurableMul G
MeasurableInv G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsInvInvariant
μ.IsMulLeftInvariant
g : G
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun t => g / t) μ μ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 < ε
⊢ Disjoint (closedBall x δ) (ball y ε) ↔ δ + ε ≤ dist x y
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L' : LieSubalgebra R L
x : L
⊢ x ∈ ↑L' ↔ x ∈ L'
α : Type u_7
β : Type u_8
Mul β
SMul α β
SMulCommClass α β β
s : α
x y : β
⊢ x * s • y = s • (x * y)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ NoncompactSpace (X × Y) ↔ NoncompactSpace X ∧ Nonempty Y ∨ Nonempty X ∧ NoncompactSpace Y
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
P : LieSubmodule R L M → Prop := fun N => IsCompl (weightSpace (↥↑N) 0) (posFittingComp R L ↥↑N)
N : LieSubmodule R L M
hN : ∀ y < N, P y
N' : LieSubmodule R L ↥↑N
hN' : N' < ⊤
⊢ IsCompl (weightSpace (↥↑N') 0) (posFittingComp R L ↥↑N')
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace G
inst✝ : μ.InnerRegular
E : Set G
hE : MeasurableSet E
hEpos : 0 < μ E
K : Set G
hKE : K ⊆ E
hK : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
hKpos : 0 < μ K
g : G
hg : μ (g • K \ K) < μ K
this : ¬Disjoint (g • K) K
x : G
hxK : x ∈ K
hgxK : (fun x => g • x) x ∈ K
⊢ g ∈ E / E
n : ℕ
a b : Fin n
h : a ≠ b
⊢ a < b ∨ b < a
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
TopologicalSpace α
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ α
ContinuousConstSMul G₀ α
TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c : G₀
hc : c ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun x => c • f x) b ↔ ContinuousAt f b
l : List ℕ
n : ℕ
⊢ (∀ m ∈ l, n ≤ m) → List.Sorted (fun x x_1 => x < x_1) l → Denumerable.raise' (Denumerable.lower' l n) n = l
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
f : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
HasGroupoid M' G'
hf : f ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
⊢ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g s x ↔ ContinuousWithinAt g s x ∧ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P (↑f ∘ g) s x
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
⊢ AntivaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → f i * g i + f j * g j ≤ f i * g j + f j * g i
a b : Int
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0
⊢ a * b ≤ 0
E : Type u
F : Type v
PseudoEMetricSpace F
TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
hD : D ∈ 𝓝 x
⊢ oscillationWithin f D x = oscillation f x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q
⊢ ∀ (j : Fin q), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd (a + 2) j))) • (φ ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd (a + 2) j))) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ = 0
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : MulOneClass α
inst✝ : Group β
f : α → β
hf : IsMulHom f
⊢ f 1 * f 1 = f 1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν✝ ν₁ ν₂ μ ν : Measure α
h_ac : μ ≪ ν
h_ms : μ ⟂ₘ ν
⊢ μ ⟂ₘ μ
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
μ' : Measure (G ⧸ Γ) := map QuotientGroup.mk (ν.restrict s)
has_fund : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'
this✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
this : SigmaFinite μ'
⊢ MeasurableSet (QuotientGroup.mk ⁻¹' V)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : G ⊣ F
F.Full
F.Faithful
X : D
⊢ CategoryTheory.Localization.LeftBousfield.W (fun x => x ∈ Set.range F.obj) (adj.unit.app X)
G : Type u_1
LeftCancelMonoid G
a : G
⊢ (↑(Submonoid.powers a)).Infinite ↔ ¬IsOfFinOrder a
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizationMonoid R
p : R[X]
⊢ (normalize p).roots = p.roots
α : Type u
s : Set α
h : s.Countable
default : α
⊢ s ⊆ Set.range (Set.enumerateCountable h default)
α : Type u_1
β : Type u_2
c : α
Add α
CommMonoid β
s : Multiset (α → β)
hs : ∀ f ∈ s, Function.Periodic f c
⊢ Function.Periodic s.prod c
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
Semiring R₁
Semiring S₁
Semiring R₂
Semiring S₂
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
Module S₁ N₂
Module S₂ N₂
SMulCommClass S₁ R N₂
SMulCommClass S₂ R N₂
SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
f : Matrix n m N₂
⊢ (LinearMap.toMatrix₂Aux R (fun i => (LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1) fun j =>
      (LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1)
    (Matrix.toLinearMap₂'Aux σ₁ σ₂ f) =
  f
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
inst✝² : HasColimit F
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasColimit (F ⋙ G)
E : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} E
H : D ⥤ E
h : HasColimit ((F ⋙ G) ⋙ H)
j : J
⊢ ι ((F ⋙ G) ⋙ H) j ≫ post (F ⋙ G) H ≫ H.map (post F G) = ι ((F ⋙ G) ⋙ H) j ≫ post F (G ⋙ H)
a b : ℕ
⊢ Nat.cast '' Set.Ico a b = Set.Ico ↑a ↑b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => hf.toContinuousLinearMap
⊢ Real.tan '' Set.Ioo (-(Real.pi / 2)) (Real.pi / 2) = Set.univ
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
h : l₁.length < l₂.length
l : List α
p : l ~ l₁
s : l <+ l₂
⊢ l.length < l₂.length → ∃ a, a :: l <+~ l₂
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : Set ((i : ι) → α i)
⊢ piPremeasure m (univ.pi fun i => eval i '' s) = piPremeasure m s
X Y : Type u_1
Mul X
Mul Y
e : X ≃* Y
⊢ ⇑↑e = ⇑e
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
n : Nat
⊢ List.count a (List.replicate n a) = n
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
h₁ : ↑j✝ = ↑j
h₂ : j✝ = j
⊢ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
α : Type u_1
s : Set α
DecidableEq α
Fintype ↑s
Fintype α
Fintype ↑sᶜ
⊢ sᶜ.toFinset = s.toFinsetᶜ
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ grade ℕ s = s.card
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⇑normalize = Associates.out ∘ Associates.mk
⊢ (normalizedFactors x + normalizedFactors y).prod ~ᵤ (normalizedFactors (x * y)).prod
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ z ≤ 0 ↔ ∃ x ≤ 0, ↑x = z
θ : Real.Angle
⊢ 0 ≤ θ.toReal ↔ 0 ≤ θ.sign
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
⊢ (toMatrixAlgEquiv v₁) id = 1
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Ideal.ofList [] = ⊥