ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
⊢ eLpNorm (s.indicator fun x => c) 0 μ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / ENNReal.toReal 0)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
hne : L.NeBot
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
a✝ : ↑μ F < ⊤
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq
key₁ : Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂↑μ) atTop (𝓝 (↑μ F))
room₁ : ↑μ F < ↑μ F + ↑ε / 2
⊢ limsup (fun i => ↑(μs i) F) L ≤ ↑μ F + ↑ε
M : Type u_1
MulOneClass M
s : Set M
p : (x : M) → x ∈ Submonoid.closure s → Prop
mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
one : p 1 ⋯
mul : ∀ (x : M) (hx : x ∈ Submonoid.closure s) (y : M) (hy : y ∈ Submonoid.closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
x : M
hx : x ∈ Submonoid.closure s
⊢ p x hx
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
⊢ HasFDerivAt (f ⋆[L, μ] g) ((f ⋆[precompR G L, μ] fderiv 𝕜 g) x₀) x₀
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
s : CategoryTheory.Functor A B
CategoryTheory.Preregular C
CategoryTheory.FinitaryExtensive C
∀ (X : C), CategoryTheory.Projective X
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteProducts s
hF : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) F
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) (F.comp s)
S : Type u_5
G : Type u_6
InvolutiveInv G
⊢ ∀ {x : SetLike S G} [inst : InvMemClass S G] {H : S} {x_1 : G}, x_1⁻¹ ∈ H ↔ x_1 ∈ H
z : ℍ
h : Complex.normSq ↑z < 1
⊢ z.im < (ModularGroup.S • z).im
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
⊢ 0 ≤ a / b ↔ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0
M : Type u_1
AddMonoid M
A : Type u_3
AddMonoid A
f : M → A
hf : IsAddMonoidHom f
s : Set M
⊢ f '' AddMonoid.Closure s = AddMonoid.Closure (f '' s)
α : Type u_2
γ : Type u_5
TopologicalSpace α
f : α → γ
TopologicalSpace γ
One γ
h : HasCompactMulSupport f
⊢ Filter.Tendsto f (Filter.cocompact α) (𝓝 1)
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : StarRing B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : StarRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : StarModule R C
S : StarSubalgebra R A
s : Set A
z : A
⊢ (∀ x ∈ s, x * z = z * x) → ((∀ x ∈ star s, x * z = z * x) ↔ ∀ x ∈ s, star x * z = z * star x)
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ x₁ x₂ y₁ y₂ : α
h : x₂ ≤ x₁ ∨ x₂ ≤ y₁
hx : x₁ < x₂
h2 : x₂ ∈ Ico y₁ y₂
⊢ y₁ = x₂
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
L : List (List (Sigma β))
l₁ l₂ : List (Sigma β)
⊢ (∀ x ∈ l₁, ∀ y ∈ l₂, x.fst ≠ y.fst) ↔ l₁.keys.Disjoint l₂.keys
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
v : ι → E
i j : ι
hij : i < j
⊢ ⟪gramSchmidt 𝕜 v j, v i⟫_𝕜 = 0
R : Type u_1
CommRing R
Ring.DimensionLEOne R
P Q : Ideal R
hP : P.IsPrime
hQ : Q.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
⊢ P ≤ Q ↔ P = Q
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ℕ → Measure Ω
inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
same : ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μs i) atTop
⊢ (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ).toReal ≤ liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂μs i) atTop
self : Aesop.LocalRuleSet
⊢ 0 < self.simpTheoremsArray.size
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁰ : CommRing A
inst✝²⁹ : CommRing B
inst✝²⁸ : Algebra A B
inst✝²⁷ : Field K
inst✝²⁶ : Field L
inst✝²⁵ : Algebra A K
inst✝²⁴ : IsFractionRing A K
inst✝²³ : Algebra B L
inst✝²² : Algebra K L
inst✝²¹ : Algebra A L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.320996
Bₘ : Type ?u.320999
inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹³ : Algebra A Aₘ
inst✝¹² : Algebra B Bₘ
inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Module.Free A B
x : B
this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
⊢ (intTrace A B) x = (trace A B) x
α : Type u
f : Ultrafilter α
⊢ Ultrafilter.map id f = f
n : ℕ
⊢ (hermite n).degree ≤ ↑n
x : ℝ
⊢ HasDerivAt Real.arsinh (√(1 + x ^ 2))⁻¹ x
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p q : Submodule K V
hpq : p < q
hqp : q < span K {x} ⊔ p
c : K
z : V
hz : z ∈ p
hyq : c • x + z ∈ q
hyp : c • x + z ∉ p
hc : c ≠ 0
⊢ span K {x} ⊔ p ≤ q
M : Type u_2
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
Module R M
X : Type u_7
Module S M
SMulCommClass R S M
f : X → M
x : X →₀ R
⊢ ((Finsupp.llift M R S X) f) x = ((Finsupp.lift M R X) f) x
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
hbc : b < c
ha : 1 ≤ a
⊢ b < c * a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
f : ℕ → α → β
hf : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 l)
⊢ ∃ f_lim,
  MeasureTheory.StronglyMeasurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (f_lim x))
ι : Type u_1
R : Type u_4
CompleteLinearOrder R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
x : R
as : ι → R
x_lt : ∀ (i : ι), x < as i
F : Filter ι
F.NeBot
as_lim : Filter.Tendsto as F (𝓝 x)
⊢ ⋃ i, Set.Ici (as i) = Set.Ioi x
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : WithBot ℕ
h : n < p.degree
⊢ p ≠ 0
V : Type u
Quiver V
r : V
Quiver.RootedConnected r
a : V
p : Quiver.Path r a
⊢ (Quiver.shortestPath r a).length ≤ p.length
M : Type u
Add M
PseudoEMetricSpace M
IsometricVAdd M M
a : M
⊢ Isometry fun x => a + x
x : ℝ*
⊢ x.InfiniteNeg → (-x).InfinitePos
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : Set E
⊢ ↑(IntermediateField.adjoin F S) = Set.range ⇑(algebraMap (↥(IntermediateField.adjoin F S)) E)
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
⊢ (BoundedLatticeHom.id α).asBoolRing = RingHom.id (AsBoolRing α)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype m
A : Matrix m n α
x y : m → α
⊢ (x + y) ᵥ* A = x ᵥ* A + y ᵥ* A
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hp : p.IsMaximal
hQ : Subsingleton (S ⧸ P)
this : P = ⊤
⊢ inertiaDeg f p P = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' : ι'
hi' : ∀ (i : ι), e.f i ≠ i'
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero ((K.extend e).X i')
α : Type u
CompleteLattice α
J : Type u
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ α
⊢ CategoryTheory.Limits.limit F = iInf F.obj
P : Type u_1
LE P
I : Order.Ideal P
⊢ I.IsProper ↔ ↑I ≠ Set.univ
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < 1 + ε ↑(r i x)
I : Type u_1
J : Type u_2
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
X : CategoryTheory.GradedObject I C
p : I → J
X.HasMap p
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
DecidableEq J
i : I
j : J
h : p i = j
⊢ X.ιMapObjOrZero p i j = X.ιMapObj p i j h
α : Type u
e : Computability.Encoding α
⊢ Function.Injective e.encode
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable f
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.sum fun n => (κ.seq n).map f hf) = κ.map f hf
X : Type u_4
Y : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : Continuous f
⊢ Continuous (𝓝 ∘ f)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
a : R
p q : R[X]
h : C a ∣ p - q
⊢ gcd a p.content = gcd a q.content
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
h'f : 0 ≤ f
A : ℝ
x : α
⊢ truncation f A x ≤ f x
M : Type u_1
α : Type u_2
Monoid M
MulAction M α
⊢ Antitone fun P => MulAction.fixedPoints (↥P) α
a b : Bool
⊢ ((a == b) = true) = (a = b)
x : ONote
x.NF
o : ONote
o.NF
⊢ (x.scale o).repr = ω ^ x.repr * o.repr
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
x : X
h : ContinuousAt f x
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 (f x))
α : Type u_1
u : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), u i = ⋃ i, u (i + n)
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
AddCommMonoid β
p : α → Prop
DecidablePred p
hp : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0 → p x
⊢ ∑ x ∈ Finset.filter p s, f x = ∑ x ∈ s, f x
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
F : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
a : A
X : C
⊢ (F.shiftIso 0 a a ⋯).inv.app X = (CategoryTheory.shiftFunctorZero D A).inv.app ((F.functor a).toPrefunctor.1 X)
α : Type u
C : FreeCommRing α → Prop
z : FreeCommRing α
hn1 : C (-1)
hb : ∀ (b : α), C (of b)
ha : ∀ (x y : FreeCommRing α), C x → C y → C (x + y)
hm : ∀ (x y : FreeCommRing α), C x → C y → C (x * y)
hn : ∀ (x : FreeCommRing α), C x → C (-x)
h1 : C 1
m✝ : Multiplicative (Multiset α)
a : α
m : Multiset α
ih : C (FreeAbelianGroup.of m)
⊢ FreeAbelianGroup.of (a ::ₘ m) = of a * FreeAbelianGroup.of m
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N₁ N₂ : Bimod Y Z
f : N₁ ⟶ N₂
⊢ (α_ M.X N₁.X Z.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actRight ≫ M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ▷ Z.X ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M N₂
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (mulETransformLeft e x).1.card + (mulETransformLeft e x).2.card + ((mulETransformRight e x).1.card + (mulETransformRight e x).2.card) = x.1.card + x.2.card + (x.1.card + x.2.card)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
⊢ MonotoneOn f s ∨ AntitoneOn f s ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ s, c ∈ Set.uIcc a b → f c ∈ Set.uIcc (f a) (f b)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i j k : Fin 2
hjk : 1 ≤ k
hij : 0 ≤ 1
⊢ map f 0 k ⋯ = map f 0 1 hij ≫ map f 1 k hjk
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ ⊤.index = 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
ht : Set.EqOn f₁ f t
hx : f₁ x = f x
h₁ : t ⊆ s
⊢ HasFDerivWithinAt f₁ f' t x
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
h : ↑(1 + 1) = 0
⊢ ringChar R = 2
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
f : ↑I → ↑I
hfcont : Continuous f
hf₀ : f 0 = 0
hf₁ : f 1 = 1
⊢ ⇑(γ.reparam f hfcont hf₀ hf₁) = ⇑γ ∘ f
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : F
⊢ LinearMap.range f = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : _root_.Disjoint f.support g.support
⊢ _root_.Disjoint f.cycleFactorsFinset g.cycleFactorsFinset
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), ↑fs x ≤ f x
int_fs : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑fs x) ∂μ + ε / 2
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N✝ : Matroid β
X I : Set α
M N : Matroid α
hN : N.E = M.E
h : M.restrictSubtype M.E = N.restrictSubtype M.E
⊢ M = N
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
m : ℕ
inst✝ : CharP R m
n✝ : ℕ
h : m ∣ n✝ + 1
a b : ZMod (n✝ + 1)
⊢ ↑a.val * ↑b.val = ↑(val (a * b))
α : Type u
f : Ultrafilter α
p q : α → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in ↑f, p x ∨ q x) ↔ (∀ᶠ (x : α) in ↑f, p x) ∨ ∀ᶠ (x : α) in ↑f, q x
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ Q.IsOrtho x 0
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
⊢ ∀ (i : Finset α), ⨆ (_ : ↑i ⊆ s \ {a}), a ⊓ i.sup id = ⊥
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (γ : G) (x : α), f (γ • x) = f x
a : ℝ≥0∞
ha : μ ({x | a < f x} ∩ s) = 0
γ : G
x : α
⊢ x ∈ γ • {x | a < f x} ↔ x ∈ {x | a < f x}
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A ≃ₐ[R] B
⊢ ↑(AlgEquiv.op f) = AlgHom.op ↑f
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} A
inst✝² : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
inst✝¹ : J.PreservesSheafification F
inst✝ : HasWeakSheafify J B
P₁ P₂ : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P₁ ⟶ P₂
hf : J.W f
⊢ J.W (whiskerRight f F)
α : Type u_1
MulZeroClass α
PartialOrder α
⊢ MulPosMono α ↔ CovariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => y * ↑x) fun x x_1 => x ≤ x_1
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
⊢ (∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, integralSum f vol x ∈ closedBall y ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f vol π) y ≤ ε
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
⊢ γ.truncate 0 0 = (refl a).cast ⋯ ⋯
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩
IΦ' : Isometry Φ'
IΨ' : Isometry Ψ'
this✝⁴ : IsCompact s
this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance
this✝² : CompactSpace (Subtype s)
this✝¹ : Nonempty (Subtype s)
ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'
ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'
this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
F : Subtype s → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤) := kuratowskiEmbedding (Subtype s)
this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
A : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤) := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := ⋯, nonempty' := ⋯ }
B : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤) := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := ⋯, nonempty' := ⋯ }
AX : ⟦A⟧ = toGHSpace X
BY : ⟦B⟧ = toGHSpace Y
⊢ 0 ∈ lowerBounds ((fun p => hausdorffDist ↑p.1 ↑p.2) '' {a | ⟦a⟧ = toGHSpace X} ×ˢ {b | ⟦b⟧ = toGHSpace Y})
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ (b \ a) = a ⊔ b
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
x : E
r : ℝ
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ (p.comp f).ball x r ↔ x✝ ∈ ⇑f ⁻¹' p.ball (f x) r
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x y : Ordinal.{u}
hxy : p.index x = p.index y
x_le_y : x ≤ y
H : x < y
h : ∃ x, p.c x ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r x
A : p.c (p.index y) ∉ p.iUnionUpTo y
⊢ x = y
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S
hr : ¬r = 0
this : Fintype (S ⧸ span {r}) := (span {r}).fintypeQuotientOfFreeOfNeBot ⋯
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S
⊢ (LinearMap.det (↑ℤ (Submodule.subtype (span {r})) ∘ₗ (↑(b.equiv (basisSpanSingleton b hr) (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S)))).toIntLinearMap)).natAbs = (LinearMap.det ((Algebra.lmul ℤ S) r)).natAbs
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
⊢ ∀ (m m' : A), (∀ (y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (m * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun m * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y) → (∀ (y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (m' * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun m' * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y) → ∀ (y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun ((m + m') * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (m + m') * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y
K : Type u_2
Field K
d n : ℤ
f g : LaurentSeries K
H : Valued.v (g - f) ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-d))
⊢ n < d → g.coeff n = f.coeff n
K : Type u_1
NontriviallyNormedField K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
n : ℕ∞
⊢ ContDiff K n fun x => x
R : Type u_1
⊢ ↑ζ * μ = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
F' : D ⥤ C
A B : C
adj : F ⊣ F'
f : A ⟶ B
h₁ : F'.PreservesMonomorphisms
h₂ : F.PreservesEpimorphisms
CategoryTheory.StrongEpi f
⊢ CategoryTheory.StrongEpi (F.map f)
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
hq : q.natDegree ≠ 0
⊢ (p.comp q).leadingCoeff = p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ^ p.natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : ι → α
⊢ range f = ∅ ↔ IsEmpty ι
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP✝ : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ P.parts.card
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ↑P.parts.offDiag.card * ε < ↑(P.nonUniforms G ε).card
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ∑ x ∈ P.parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity x.1 x.2) ^ 2 + ↑P.parts.card ^ 2 * (ε ^ 5 / 4) ≤ ∑ x ∈ P.parts.offDiag.attach, (∑ i ∈ SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : V
inst✝ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)
⊢ (G'.neighborSet v).toFinset.card = G'.degree v
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.integral (f + g) = MeasureTheory.L1.integral f + MeasureTheory.L1.integral g
a : Cardinal.{max u v}
⊢ Cardinal.lift.{u, max u v} a = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommMonoid E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
x y : E
h : x ≤ y
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ Set.Icc x y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddGroup α
inst✝² : SeminormedAddGroup β
inst✝¹ : SMulZeroClass α β
inst✝ : BoundedSMul α β
s : α
x y : β
⊢ dist (s • x) (s • y) ≤ ‖s‖ * dist x y
R : Type u
σ : Type u_1
CommRing R
p : MvPolynomial σ R
q : MvPolynomial σ R
f : σ → R
⊢ (MvPolynomial.eval f) (p - q) = (MvPolynomial.eval f) p - (MvPolynomial.eval f) q
x a' : ℝ
⊢ cosKernel (-↑a') x = cosKernel (↑a') x
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
X : C
⊢ ∀ (a : F ⟶ (CategoryTheory.Functor.const J).obj X),
  (CategoryTheory.Limits.limitCompYonedaIsoCocone F X).inv a =
    (CategoryTheory.Limits.Types.limitEquivSections (F.op ⋙ CategoryTheory.yoneda.obj X)).symm
      ((CategoryTheory.Limits.opCompYonedaSectionsEquiv F X).symm a)
z : ↥circle
⊢ circle.toUnits z = Units.mk0 ↑z ⋯
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
ha0 : a ≠ 0
a0 : α
hm : p ∈ ↑(factors' a0)
nza : a0 ≠ 0
ha' : Associates.mk a0 = a
⊢ p ∈ Multiset.map Subtype.val (factors' a0)