ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
P : ∃ x', 1 < x' ∧ ∃ y', 0 < y' ∧ ↑x' ^ 2 - d * y' ^ 2 = 1
⊢ ∃ a, IsFundamental a
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Set.Icc ↑a ↑b)
⊢ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, f x ≤ ∑ i ∈ Finset.Ico a b, f ↑(i + 1)
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ Continuous ⇑Multiplicative.toAdd
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
f : α → α
hf : Involutive f
m : ℕ
⊢ f^[m + m] = id
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
inst✝ : Algebra R S
h : (aeval x) p = 0
⊢ IsIntegral R (p.leadingCoeff • x)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w x : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk u w
r : G.Walk w x
⊢ (p.reverseAux q).append r = p.reverseAux (q.append r)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ CliffordAlgebra.reverse ((CliffordAlgebra.ι Q) m) = (CliffordAlgebra.ι Q) m
b : Bool
m n : ℕ
IH : shiftLeft' b m n ≠ 0 → (shiftLeft' b m n).size = m.size + n
h : ¬bit b (shiftLeft' b m n) = 0
⊢ (bit b (shiftLeft' b m n)).size = m.size + (n + 1)
α : Type u_1
DecidableEq α
x y : α
xs : List α
h : (x :: y :: xs).Nodup
⊢ (x :: y :: xs).formPerm x = y
f : ℝ → ℝ
hf : Continuous f
hf'_mono : StrictMono (deriv f)
⊢ StrictConvexOn ℝ Set.univ f
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
s : ↥Γ
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
⊢ (s • g) • z = (↑↑s * g) • z
α : Type u_3
β : α → Type u_4
γ : (a : α) → β a → Type u_5
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (β a)
(a : α) → (b : β a) → One (γ a b)
i : (a : α) × β a
x : γ i.fst i.snd
⊢ Sigma.curry (Pi.mulSingle i x) = Pi.mulSingle i.fst (Pi.mulSingle i.snd x)
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
Add M
ContinuousAdd M
f g : X → M
s : Set X
x : X
hf : ContinuousWithinAt f s x
hg : ContinuousWithinAt g s x
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f x + g x) s x
⊢ 𝔠 ^ ℵ₀ = 𝔠
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
⊢ Filter.comap (gauge s) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
C : ℕ∞ → Sort u_1
d : C ⊤
f : (a : ℕ) → C ↑a
⊢ ENat.recTopCoe d f 0 = f 0
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set α
a : α
h : IsLUB s a
⊢ IsLUB (l '' s) (l a)
α : Type u_1
Ring α
f g : RingTopology α
h : TopologicalSpace.IsOpen = TopologicalSpace.IsOpen
⊢ f = g
α : Type u_1
t : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ MeasurableSet (t n)
α : Type u_1
Mul α
IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
PartialOrder α
a b c : α
hc : MulLECancellable c
⊢ a * c = b * c ↔ a = b
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
⊢ ⟪f, g⟫_𝕜 = ∑' (i : ι), ⟪↑f i, ↑g i⟫_𝕜
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) f = (MeasureTheory.L1.setToL1 hT') f
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx0 : ↑x ≠ 0
⊢ ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (x_1 : ℝ), ↑x ^ (-(↑(2 * π * x_1) * I)) • f (↑σ + ↑(2 * π * x_1) * I) = ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (y : ℝ), cexp (2 * ↑π * (↑y * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
⊢ (β_ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom = (λ_ (𝟙_ C)).hom
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
S : Set α
⊢ #↑S < (type r).cof → Bounded r S
S : ShortComplex Ab
⊢ Function.Surjective ⇑S.abToCycles ↔ Function.Surjective ⇑S.abToCycles
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[id] Y₁
g : Y₁ → X
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
m : M
x : Y₁
⊢ g (m • f (g x)) = g (f (m • g x))
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
DecidableEq α
h : FreeGroup.Red L₁ L₂
⊢ FreeGroup.Red L₁ (FreeGroup.reduce L₂)
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ (s ∪ t).ncard ≤ s.ncard + t.ncard
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s : Multiset α
⊢ a ∈ s.toList ↔ a ∈ s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
DiscreteTopology α
⊢ borel α = ⊤
R : Type u_1
DivisionRing R
q : ℚ
n : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat q n → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (↑q) n
α : Type u_1
x : ℕ × α
l : List α
⊢ x ∈ l.enum ↔ l.get? x.1 = some x.2
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
v : Projectivization K V
⊢ Projectivization.mk K v.rep ⋯ = v
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f g : α → β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
⊢ s.piecewise f g =ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
r : R
⊢ ((Polynomial.monomial n) r).toFinsupp = Finsupp.single n r
α : Type u_6
β : Type u_7
AddCommMonoid β
Unique α
s : Finset α
f : α → β
h : s.Nonempty
⊢ ∑ x ∈ s, f x = f default
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F →L[𝕜] G
g : E → F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) (g y)) s x‖ ≤
  ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ AEStronglyMeasurable' m (SignedMeasure.rnDeriv ((μ.withDensityᵥ f).trim hm) (μ.trim hm)) μ
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv' : IntegrableOn (fun i => u i * v' i) (Iic a) volume
hu'v : IntegrableOn (fun i => u' i * v i) (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[<] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic a, u x * v' x = a' - b' - ∫ (x : ℝ) in Iic a, u' x * v x
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
p : M → Prop
h_zero : p 0
h_homogeneous : ∀ {i : ι} (m : ↥(ℳ i)), p ↑m
h_add : ∀ (m m' : M), p m → p m' → p (m + m')
m : M
⊢ p m
n : ℕ
NeZero n
j : Fin (n + 1)
h : j ≠ 0
⊢ (Fin.predAbove 0 j).succ = j
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
⊢ (fun x => (f' x, g' x)) =O[l] k' → g' =O[l] k'
n : ℕ
G : Type u
AddCommGroup G
I₀ : BoxIntegral.Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f : ℝ → BoxIntegral.Box (Fin n) → G
fb : ↑(Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) → BoxIntegral.BoxAdditiveMap (Fin n) G ↑(I₀.face i)
hf : ∀ (x : ℝ) (hx : x ∈ Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) (J : BoxIntegral.Box (Fin n)), f x J = (fb ⟨x, hx⟩) J
J : BoxIntegral.Box (Fin (n + 1))
⊢ (BoxIntegral.BoxAdditiveMap.upperSubLower I₀ i f fb hf) J = f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsLowerModularLattice α
a b : α
⊢ b ⋖ a ⊔ b → a ⊓ b ⋖ a
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
⊢ p * q = Finsupp.sum p fun m a => Finsupp.sum q fun n b => (MvPolynomial.monomial (m + n)) (a * b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.Limits.span f g)
⊢ CategoryTheory.Limits.PushoutCocone.inr (CategoryTheory.Limits.colimit.cocone (CategoryTheory.Limits.span f g)) =
  CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
dm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).natDegree ≤ m + n := fun {m n} {p q} => natDegree_mul_le_of_le
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
cm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).coeff (m + n) = p.coeff m * q.coeff n := fun {m n} {p q} => coeff_mul_of_natDegree_le
h : ∀ {n : ℕ}, (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) := fun {n} => WeierstrassCurve.natDegree_coeff_preΨ' W n
⊢ (W.Φ ↑n).natDegree ≤ n ^ 2 ∧ (W.Φ ↑n).coeff (n ^ 2) = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_3
f : (i : ι) → E i → 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → MeasureSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite volume
e : Fin (card ι) ≃ ι := (equivFin ι).symm
⊢ ∫ (x : (i : ι) → E i), ∏ i : ι, f i (x i) = ∏ i : ι, ∫ (x : E i), f i x
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ
⊢ ↑(range (n + 1)) ⊆ (fun n => X ^ n) ⁻¹' ↑(degreeLE R ↑n)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
a✝ a : α
ha : a ∉ s
⊢ s ⋖ insert a s
α : Sort u_1
DecidableEq α
a b : α
⊢ Equiv.trans (Equiv.swap a b) (Equiv.swap a b) = Equiv.refl α
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
c : F
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => f x - c) f' x
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
⊢ 𝓤 α = Filter.comap (fun x => x.1 - x.2) (𝓝 0)
B : Type u_1
F : Type u_2
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
⊢ Inducing ⇑(Bundle.TotalSpace.toProd B F)
α : Type u_1
Preorder α
self : ClosureOperator α
x : α
⊢ self.toFun (self.toFun x) = self.toFun x
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
h : AffineIndependent k fun p => ↑p
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ (AffineIndependent k fun p => ↑p) ∧ affineSpan k t = ⊤
M : Type u_1
inst✝²⁴ : Monoid M
N : Type u_2
inst✝²³ : Monoid N
P : Type u_3
inst✝²² : Monoid P
φ : M →* N
φ' : N →* M
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
inst✝²¹ : AddMonoid A
inst✝²⁰ : DistribMulAction M A
B : Type u_5
inst✝¹⁹ : AddMonoid B
inst✝¹⁸ : DistribMulAction N B
B₁ : Type u_6
inst✝¹⁷ : AddMonoid B₁
inst✝¹⁶ : DistribMulAction M B₁
C : Type u_7
inst✝¹⁵ : AddMonoid C
inst✝¹⁴ : DistribMulAction P C
A' : Type u_8
inst✝¹³ : AddGroup A'
inst✝¹² : DistribMulAction M A'
B' : Type u_9
inst✝¹¹ : AddGroup B'
inst✝¹⁰ : DistribMulAction N B'
R : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : MulSemiringAction M R
R' : Type u_11
inst✝⁷ : Ring R'
inst✝⁶ : MulSemiringAction M R'
S : Type u_12
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : MulSemiringAction N S
S' : Type u_13
inst✝³ : Ring S'
inst✝² : MulSemiringAction N S'
T : Type u_14
inst✝¹ : Semiring T
inst✝ : MulSemiringAction P T
f : R →ₑ+*[φ] S
x : R
⊢ (f.comp (MulSemiringActionHom.id M)) x = f x
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
s : IntermediateField K L
x : L
⊢ x ∈ s.carrier ↔ x ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
b : 𝕜
s : Set 𝕜
hc : ContinuousOn f s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
h : s ∈ 𝓝 x
hd : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ContinuousWithinAt (dslope f x) s x
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W Y Y
α : SmallHom W X Y
⊢ (equiv W W.Q) (α.comp (mk W (𝟙 Y))) = (equiv W W.Q) α
K : Type u_1
Field K
NumberField K
i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (NumberField.RingOfIntegers K)
⊢ (NumberField.canonicalEmbedding.latticeBasis K) i = (NumberField.canonicalEmbedding K) ((NumberField.integralBasis K) i)
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
val✝² : List α
property✝ : val✝².length = n
val✝¹ : ℕ
isLt✝¹ : val✝¹ < n
val✝ : ℕ
isLt✝ : val✝ < n
h : ⟨val✝¹, isLt✝¹⟩ ≠ ⟨val✝, isLt✝⟩
⊢ val✝¹ ≠ val✝
M : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module ℚ M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module ℚ M₂
f g : M →+ M₂
h : f.toRatLinearMap = g.toRatLinearMap
x : M
⊢ f x = g x
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
s : Set R
⊢ (closure s).op = closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f (a * b⁻¹) = 1
⊢ f a = f b
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
n : ℕ
⊢ (2 * n).div2 = n
α : Type u_1
a : α
Fintype ↑{a}
⊢ {a}.toFinset = {a}
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b : α
h : a₁ ≤ a₂
⊢ Finset.Ioo a₂ b ⊆ Finset.Ioo a₁ b
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
hasFun : MeasureTheory.HasAddFundamentalDomain G α ν
μ μ' : MeasureTheory.Measure (Quotient (AddAction.orbitRel G α))
MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'
⊢ μ = μ'
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
⊢ (Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ) ⊆ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hAB : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
hA : A.Nonempty
n : ℕ
ih : ↑(A * B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card
⊢ 0 < ↑A.card
α : Type u
β : Type v
f : α → β
F : Filter β
⊢ ⋂₀ (Filter.comap f F).sets = ⋂ U ∈ F, f ⁻¹' U
α : Type u_1
NormedAddCommGroup α
Lattice α
HasSolidNorm α
r : ℝ
⊢ LatticeOrderedAddCommGroup.IsSolid (Metric.ball 0 r)
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
x : F
h : v x ≤ 1
a : O
ha : (algebraMap O F) a = x
⊢ ∃ a, x = (algebraMap O F) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap O F) a
α : Type u_1
MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
self : Besicovitch.SatelliteConfig α N τ
i : Fin (N + 1)
⊢ i < Fin.last N → dist (self.c i) (self.c (Fin.last N)) ≤ self.r i + self.r (Fin.last N)
u : XgcdType
wp x y zp ap bp : ℕ
⊢ { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.wp + { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.zp + { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.wp * { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.zp = { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.x * { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.y ↔ { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.w * { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.z = ({ wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.x * { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.y).succPNat
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
⊢ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
α : Type u_1
⊢ (Equiv.refl α).finsetCongr = Equiv.refl (Finset α)
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.encard = 0 ↔ s = ∅
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
w₀ : { w // w.IsComplex }
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : (∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsReal), |x.1 ⟨a, b⟩| < ↑(f a)) ∧ ∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsComplex), x.2 ⟨a, b⟩ ∈ if ⟨a, b⟩ = w₀ then {x | |x.re| < 1 ∧ |x.im| < ↑(f a) ^ 2} else ball 0 ↑(f a)
⊢ (∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsReal), |x.1 ⟨a, b⟩| < ↑(f a)) ∧ ∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsComplex), -x.2 ⟨a, b⟩ ∈ if ⟨a, b⟩ = w₀ then {x | |x.re| < 1 ∧ |x.im| < ↑(f a) ^ 2} else ball 0 ↑(f a)
s : Set Ordinal.{u}
a✝ : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}
⊢ 𝓝[<] a = 𝓝[≠] a
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
j : K →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
PerfectRing M p
IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
h : i y = x ^ p ^ n
⊢ (PerfectRing.lift i j p) x = (iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y)
R : Type u
M : Type v
N : Type z
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Module.Free R M
AddCommMonoid N
Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
⊢ Module.Free R N
a b : ℕ
⊢ a + b = a ↔ b = 0
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α✝
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α✝
inst✝² : OrderTopology α✝
l : Filter β
f g : β → α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
h_nhds : ∀ (a : α), 𝓝 a = ⨅ r, ⨅ (_ : r > 0), 𝓟 {b | |a - b| < r}
a : α
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α := { topology_eq_generate_intervals := rfl }
⊢ ⨅ r, ⨅ (_ : r > 0), 𝓟 {b | |a - b| < r} = 𝓝 a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
x✝ a✝ : α
⊢ (∃ a, f x✝ = some a ∧ f a✝ = some a) ↔ a✝ = x✝ ∧ a✝ ∈ {a | ∃ a_1, f a = some a_1}
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ setToSimpleFunc T (c • f) = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (c • x)
n : Int
d : Nat
z : d ≠ 0
⊢ -Rat.normalize n d z = Rat.normalize (-n) d z
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
i : ι
⊢ ⋯.measurableSpace = ↑f i
G : Type u
AddMonoid G
S : AddSubmonoid G
g : G
g_in_s : g ∈ S
⊢ AddMonoid.exponent ↥S • g = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace β
BorelSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace γ
SecondCountableTopology γ
MeasurableSpace γ
OpensMeasurableSpace γ
g : β → γ
hg : Measurable g
f : α →ₘ[μ] β
⊢ (MeasureTheory.AEEqFun.compMeasurable g hg f).toGerm = Filter.Germ.map g f.toGerm
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F
H : Presieve.IsSheaf J F
⊢ ∃ x_1, ∀ (i : I), ↑x_1 (Opposite.op (Y i)) = x i
self : IncidenceGeometry
a : IncidenceGeometry.Point
α : IncidenceGeometry.Circle
⊢ IncidenceGeometry.centerCircle a α → IncidenceGeometry.inCircle a α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)
⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
X : outParam (Type u_3)
Y : outParam (Type u_4)
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
F : Type u_5
f₀ f₁ : outParam C(X, Y)
FunLike F (↑I × X) Y
self : ContinuousMap.HomotopyLike F f₀ f₁
f : F
x : X
⊢ f (1, x) = f₁ x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
Quiver.IsThin C
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor D C
h : F₁ ≅ F₂
⊢ CategoryTheory.ThinSkeleton.map F₁ = CategoryTheory.ThinSkeleton.map F₂
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
R1Space X
TopologicalSpace Y
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
R1Space Y
μ : MeasureTheory.Measure X
ν : MeasureTheory.Measure Y
μ.InnerRegularCompactLTTop
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ν
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
Fact (1 ≤ p)
α : Type u_5
l : Filter α
f : α → ↥(MeasureTheory.Lp E p ν)
f₀ : ↥(MeasureTheory.Lp E p ν)
g : α → C(X, Y)
g₀ : C(X, Y)
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 f₀)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 g₀)
hgm : ∀ (a : α), MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(g a)) μ ν
hgm₀ : MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑g₀) μ ν
hp : p ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto (fun a => (MeasureTheory.Lp.compMeasurePreserving ⇑(g a) ⋯) (f a)) l
  (𝓝 ((MeasureTheory.Lp.compMeasurePreserving (⇑g₀) hgm₀) f₀))
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (α × β)
p : α × β
H : IsLUB s p
a : α
ha : a ∈ upperBounds (Prod.fst '' s)
⊢ p.1 ≤ a
m n : Nat
⊢ m ∣ n ↔ n % m = 0
E : Type u_1
PE : Type u_2
F : Type u_3
PF : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MetricSpace PE
inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MetricSpace PF
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
x y : PE
z : PE := midpoint ℝ x y
s : Set (PE ≃ᵢ PE) := {e | e x = x ∧ e y = y}
this : Nonempty ↑s
h_bdd : BddAbove (range fun e => dist (↑e z) z)
R : PE ≃ᵢ PE := (pointReflection ℝ z).toIsometryEquiv
f : PE ≃ᵢ PE → PE ≃ᵢ PE := fun e => ((e.trans R).trans e.symm).trans R
hf_dist : ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), dist ((f e) z) z = 2 * dist (e z) z
hf_maps_to : MapsTo f s s
⊢ ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), e x = x → e y = y → e z = z
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s
⊢ (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ f '' A → ∀ ⦃b : β⦄, b ∈ f '' A → ∀ ⦃c : β⦄, c ∈ f '' A → a * c = b * b → a = b) ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ A → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ A → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ A → a * c = b * b → a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hle : f ≤ᶠ[ae μ] g
hg : AEMeasurable g μ
ε : ℝ≥0∞
φ : α → ℝ≥0∞
hφm : Measurable φ
hφ_le : φ ≤ f
hφ_eq : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), φ a ∂μ
x : α
hx₁ : f x ≤ g x
⊢ (φ x + if x ∈ {x | φ x + ε ≤ g x} then ε else 0) ≤ g x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ φ n = n.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
(i : ι) → TopologicalSpace (X i)
as bs : (i : ι) → X i
i : ι
paths : (i : ι) → Path.Homotopic.Quotient (as i) (bs i)
⊢ Path.Homotopic.proj i (Path.Homotopic.pi paths) = paths i
G : Type u_1
Group G
g : G
⊢ Subgroup.zpowers g = ⊥ ↔ g = 1
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
⊢ ⨅ z ∈ s, edist y z + edist x y = (⨅ z ∈ s, edist y z) + edist x y
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
s : Finset α
a : α
⊢ a ∈ s.compls ↔ aᶜ ∈ s
α : Type u_1
Preorder α
Add α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ a + b - b ≤ a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
s : Finset ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
⊢ (∑ i ∈ s, f i) • ∑ i ∈ s, g i ≤ s.card • ∑ i ∈ s, f i • g i
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
⊢ ClosedEmbedding Sum.inl