ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L
T : Submodule 𝕜 E
hT : IsCompl S T
M : (↥S × ↥T) ≃ₗ[𝕜] E := S.prodEquivOfIsCompl T hT
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N : L.Substructure M
⊢ (∃ S, S.Countable ∧ (closure L).toFun S = N) ↔ ↑N = ∅ ∨ ∃ s, (closure L).toFun (range s) = N
M : Type u_1
Add M
z : M
self : IsAddCentral z
a : M
⊢ z + a = a + z
G : Type u_10
Group G
a b : G
⊢ (Equiv.divLeft a).symm b = b⁻¹ * a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
φ φ₀ : W.LeftFraction X Y
hφ : φ₀.map L ⋯ = φ.map L ⋯
hφ₀ : neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ₀.neg.map L ⋯
⊢ neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ.neg.map L ⋯
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J → C
B : CategoryTheory.Limits.Bicone F
j j' : J
h : j ≠ j'
⊢ B.ι j ≫ B.π j' = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFiltered C
⊢ CategoryTheory.IsConnected C
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ Continuous fun x => x
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
⊢ selfAdjointPart R ∘ₗ (skewAdjoint.submodule R A).subtype = 0
n : ℕ
⊢ Fin.cycleRange 0 = 1
α : Type u
p q : α → Prop
f : Filter α
h : ∃ᶠ (x : α) in f, p x
hpq : ∀ᶠ (x : α) in f, p x → q x
⊢ ∃ᶠ (x : α) in f, q x
G : Type u_1
Mul G
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul A B a0 b0
⊢ UniqueMul (Finset.map { toFun := MulOpposite.op, inj' := ⋯ } B) (Finset.map { toFun := MulOpposite.op, inj' := ⋯ } A)
  (MulOpposite.op b0) (MulOpposite.op a0)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
⊢ ↑(p.append p').support = ↑p.support + ↑p'.support - {v}
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
S : Type u_4
Monoid S
AddCommMonoid M
Module R M
DistribMulAction S M
SMulCommClass S R M
s : Set S
t : Set M
⊢ Submodule.span R (s • t) = s • Submodule.span R t
G : Type u_1
CommMonoid G
tG : Monoid.IsTorsion G
⊢ CommMonoid.torsion G = ⊤
M : Type u_2
α : Sort u_4
AddCommMonoid M
IsEmpty α
f : α → M
⊢ ∑ᶠ (i : α), f i = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ SpecializingMap f ↔ ∀ (x : X), IsClosed (f '' closure {x})
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ HasDerivAt (fun x => jacobiTheta₂ x τ) (jacobiTheta₂' z τ) z
α : Type u
a b : α
s : Set α
⊢ b ∈ insert a s → b ∉ s → b = a
α : Type u_1
E : Set α
hE : E.Finite
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → Indep J → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
subset_ground : ∀ ⦃I : Set α⦄, Indep I → I ⊆ E
⊢ (IndepMatroid.ofFinite hE Indep indep_empty indep_subset indep_aug subset_ground).Indep = Indep
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
y₁ y₂ : β
⊢ edist ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y₁)) ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y₂)) = edist y₁ y₂
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : Pseudofunctor B C
a✝ b✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
⊢ F.map₂ (ρ_ f).inv = (ρ_ (F.map f)).inv ≫ F.map f ◁ (fun a => (F.mapId a).inv) b✝ ≫ (fun {a b c} f g => (F.mapComp f g).inv) f (𝟙 b✝)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
m : ι → MeasurableSpace Ω
s : ι → Set (Set Ω)
hms : ∀ (n : ι), m n = MeasurableSpace.generateFrom (s n)
h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndep m' hm' m μ
⊢ ProbabilityTheory.iCondIndepSets m' hm' s μ
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
GroupWithZero α
Preorder α
Preorder β
MulAction α β
PosSMulMono α β
PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a
⊢ a⁻¹ • b₁ ≤ b₂ ↔ b₁ ≤ a • b₂
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
⊢ 0 ≤ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Append α
a b : Part α
hab : (a ++ b).Dom
⊢ (a.bind fun y => map (fun x => y ++ x) b).get ⋯ = a.get ⋯ ++ b.get ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
x : α
h : x ∈ e.source
⊢ ↑e.symm (↑e x) = x
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
φ₁ φ₂ : A →ₗc[R] B
H : φ₁ = φ₂
x : A
⊢ φ₁ x = φ₂ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M
⊢ ⇑(single a b) = {a}.indicator fun x => b
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : PseudoEMetricSpace X
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : X → X
g l : X → E
hf : LipschitzWith 1 f
hg : UniformContinuous g
⊢ UniformEquicontinuous (birkhoffAverage 𝕜 f g)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
t : Set H
f : H → H'
hts : s ∈ 𝓝[t] x
h : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' n f t x
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α✝
α : Type u_1
s : Set α
x✝ : ∃ x y z, x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z ∧ s = {x, y, z}
x y z : α
hxy : x ≠ y
hyz : x ≠ z
hxz : y ≠ z
hs : s = {x, y, z}
⊢ s.encard = 3
G : Type u_1
inst✝ : AddMonoid G
a x✝ : G
⊢ ((fun c => Multiplicative.toAdd c +ᵥ AddConstMap.id) 1) x✝ = 1 x✝
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
s₁ : C ≌ AsSmall C := AsSmall.equiv
s₂ : D ≌ AsSmall D := AsSmall.equiv
hF : ∀ (G : AsSmall D ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)), IsIso (colimit.pre G (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor))
s₃ : E ≌ AsSmall E := AsSmall.equiv
_i : s₁.inverse ⋙ (F ⋙ G) ⋙ s₃.functor ≅ (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor := isoWhiskerLeft (s₁.inverse ⋙ F) (isoWhiskerRight s₂.unitIso (G ⋙ s₃.functor))
H : AsSmall E ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)
hFG : IsIso (colimit.pre H ((s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))
⊢ IsIso (colimit.pre H (s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g x₁ : G
x₂ : X.V
⊢ X.ρ ((leftRegular G).ρ g x₁) x₂ = X.ρ g (X.ρ x₁ x₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : s ⊆ t
⊢ (t \ s).card = (t \ s ∪ s).card - s.card
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
DecidableEq ι
Fintype ι
ι' : Type u_8
Fintype ι'
DecidableEq ι'
e : ι' ≃ ι
i' : ι'
v : 𝕜
⊢ (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft 2 𝕜 𝕜 e) (EuclideanSpace.single i' v) = EuclideanSpace.single (e i') v
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
Semiring A
f : R →+* A
H : Function.Injective ⇑f
p : ℕ
⊢ ExpChar R p ↔ ExpChar A p
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Comma L R)
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (F.comp (CategoryTheory.Comma.snd L R)) R
c₁ : CategoryTheory.Limits.Cone (F.comp (CategoryTheory.Comma.fst L R))
c₂ : CategoryTheory.Limits.Cone (F.comp (CategoryTheory.Comma.snd L R))
t₂ : CategoryTheory.Limits.IsLimit c₂
j : J
⊢ ((CategoryTheory.Comma.coneOfPreserves F c₁ t₂).π.app j).left = c₁.π.app j
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x : ↑s
⊢ ↑x ∈ s.ordConnectedComponent (s.ordConnectedProj x)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ Multiset.toFinsupp (s ∩ t) = Multiset.toFinsupp s ⊓ Multiset.toFinsupp t
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
Fintype n
RCLike 𝕜
M : Matrix n n 𝕜
hM : M.PosSemidef
x : n → 𝕜
⊢ 0 ≤ RCLike.re (Matrix.dotProduct (star x) (M.mulVec x))
α : Type u_1
Group α
s t : Subgroup α
H : Subgroup α
h : s ≤ t
g : ↥s
⊢ (Subgroup.quotientSubgroupOfEmbeddingOfLE H h) ↑g = ↑((Subgroup.inclusion h) g)
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
m n k : ℕ
hx : x ^ m = 0
hy : y ^ n = 0
h : m + n ≤ k + 1
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal k
hi : ¬m ≤ i
⊢ n ≤ j
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
J : Type u_1
obj : J → AlgebraicGeometry.Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj (e₁ i)
⊢ ∀ (e₂_1 : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map (e₁ i)) (i : J), (𝒰.copy J obj map e₁ e₂ e₂_1).map i = map i
M : Type u_4
N : Type u_5
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
⊢ f 0 = 0
B : Type u_1
B' : Type u_2
M : CoxeterMatrix B
e : B ≃ B'
i : B'
⊢ (M.reindexGroupEquiv e) ((CoxeterMatrix.reindex e M).simple i) = M.simple (e.symm i)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
sneg : { x // x ∈ P.parts ∧ ¬x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card } := (Equiv.refl (Finset α)).subtypeEquiv ⋯
el : { x // (↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (s.card % P.parts.card)
es : { x // ¬(↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (P.parts.card - s.card % P.parts.card)
f : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin (s.card % P.parts.card + (P.parts.card - s.card % P.parts.card)) := (Equiv.sumCompl fun a => (↑a).card = s.card / P.parts.card + 1).symm.trans ((el.sumCongr es).trans finSumFinEquiv)
⊢ ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑((f.trans (finCongr ⋯)) t) < s.card % P.parts.card
α : Type u_1
β : Type u_2
Add β
Mul β
f : β → α
hf : Function.Injective f
Mul α
Add α
LeftDistribClass α
add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y
⊢ LeftDistribClass β
n a b c d : ℤ
h₁ : c ≡ d [ZMOD n]
h₂ : a + c ≡ b + d [ZMOD n]
⊢ a ≡ b [ZMOD n]
C : Type w
CategoryTheory.Category.{u, w} C
j : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology LightProfinite) C
⊢ (LightCondensed.underlying C).obj j = j.val.obj (Opposite.op (LightProfinite.of PUnit.{u + 1}))
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : OnePoint X → Y
x : X
⊢ Tendsto (f ∘ some) (𝓝 x) (𝓝 (f ↑x)) ↔ Tendsto (f ∘ some) (𝓝 x) (𝓝 ((f ∘ some) x))
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
S : Set G
⊢ S ∈ AddSubgroup.rightTransversals ↑H ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientAddGroup.rightRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f g : α →ᵈ β
h : f = g
x : α
⊢ f x = g x
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
β : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set (Set α)
hs : IsTopologicalBasis s
t : Set (Set β)
ht : IsTopologicalBasis t
⊢ ∀ (a : α ⊕ β) (u : Set (α ⊕ β)), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ (fun u => Sum.inl '' u) '' s ∪ (fun u => Sum.inr '' u) '' t, a ∈ v ∧ v ⊆ u
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
M' : Type u_8
N' : Type u_9
Add M
Add N
Add M'
Add N'
Add P
f : AddHom P M
g : AddHom P N
f' : AddHom M M'
g' : AddHom N N'
⊢ (f'.prodMap g').comp (f.prod g) = (f'.comp f).prod (g'.comp g)
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ≥0
⊢ ↑(∑ a ∈ s, f a) = ∑ a ∈ s, ↑(f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b : α
⊢ a + b + (a * b + a * b * (a * b)) + (a * (b * b) + a * a * b) = a + b
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
this : ∀ (M : Type ?u.9430) (N : Type ?u.9429) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ Iic a * Iio b ⊆ Iio (a * b)
α : Type u
s t u : Set α
⊢ (s \ t) \ u = (s \ u) \ t
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
ifp_n' : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n'
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n'.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹ = ifp_succ_n
⊢ ifp_succ_n.fr.num < ifp_n.fr.num
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
R : Type u_5
Monoid R
DistribMulAction R ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
h : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
c : R
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (c • μ)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
hinj : Injective ⇑f
u v : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
p' : G.Walk u v
hp' : p'.IsPath
h : Walk.map f p = Walk.map f p'
⊢ ⟨p, hp⟩ = ⟨p', hp'⟩
d₁ d₂ : Nat
n₁ n₂ : Int
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0
⊢ mkRat n₁ d₁ = mkRat n₂ d₂ ↔ n₁ * ↑d₂ = n₂ * ↑d₁
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
⊢ ((evaluation C D).obj X).map (cokernel.π α) ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).hom = (Iso.refl (((evaluation C D).obj X).obj G)).hom ≫ cokernel.π (α.app X)
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * (μ (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ))).toReal + δ * (μ (Icc a b)).toReal < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, dist (f p x) (f q x) < δ
⊢ ∀ᶠ (x : X × ℝ) in 𝓝 (q, b₀), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..x.2, f x.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..(q, b₀).2, f (q, b₀).1 t ∂μ) < ε
α : Type u_1
a : ℝ≥0∞
m : OuterMeasure α
s : Set α
h : MeasurableSet s
t : Set α
⊢ (a • m) t = (a • m) (t ∩ s) + (a • m) (t \ s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.Functor.equiv.inverse = CategoryTheory.Functor.const (CategoryTheory.Discrete PUnit.{w + 1})
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
⊢ ((MvPolynomial.rename f) φ).IsHomogeneous n
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
⊢ (↑n).comp p = ↑n
β : Type u_3
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
LE β
b : β
u₁ : α₁ → β
u₂ : α₂ → β
⊢ Sum.elim u₁ u₂ ≤ Function.const (α₁ ⊕ α₂) b ↔ u₁ ≤ Function.const α₁ b ∧ u₂ ≤ Function.const α₂ b
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ ≃ P₂
f' : V₁ ≃ₗ[k] V₂
h : ∀ (p : P₁) (v : V₁), f (v +ᵥ p) = f' v +ᵥ f p
⊢ ↑{ toEquiv := f, linear := f', map_vadd' := h } = { toFun := ⇑f, linear := ↑f', map_vadd' := h }
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} A
⊢ J.W = CategoryTheory.Localization.LeftBousfield.W fun x => x ∈ Set.range (CategoryTheory.sheafToPresheaf J A).obj
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Fintype m
Fintype n
NonUnitalNonAssocSemiring α
x y : n → α
e : m ≃ n
⊢ x ∘ ⇑e ⬝ᵥ y ∘ ⇑e = x ⬝ᵥ y
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
⊢ (∀ (x : ↥(toEnd R L M).range), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥(toEnd R L M).range) M) x)) ↔ ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
hi : i.gcd ↑k = 1
h0 : ¬0 ≤ i
this : 0 ≤ -i
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
hnc : ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
⊢ (↑P).normalizer = ⊤
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsColimit t.toCocone
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), t.toCocone.ι.app j ≫ t.snd = (BinaryCofan.mk 0 (𝟙 Y)).ι.app j
G : Type u
inst✝¹ : Group G
X : Action FintypeCat (MonCat.of G)
inst✝ : IsConnected X
x y : ↑X.V
T : Set ↑X.V := MulAction.orbit G x
this✝² : Fintype ↑T
this✝¹ : MulAction G ↑(FintypeCat.of ↑T) := inferInstanceAs (MulAction G ↑(MulAction.orbit G x))
T' : Action FintypeCat (MonCat.of G) := Action.FintypeCat.ofMulAction G (FintypeCat.of ↑T)
i : T' ⟶ X := { hom := Subtype.val, comm := ⋯ }
this✝ : Mono i
this : IsIso i
⊢ ∃ g, g • x = y
M : Type u_1
Semigroup M
s : Set M
⊢ Subsemigroup.centralizer s = ⊤ ↔ s ⊆ ↑(Subsemigroup.center M)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
hu : u = u'
hv : v = v'
⊢ (p.copy hu hv).IsTrail ↔ p.IsTrail
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R : ℝ
z w : ℂ
f : ℂ → E
x✝ : ℝ
⊢ ((2 * ↑π * I)⁻¹ * deriv (circleMap z R) x✝ * ((circleMap z R x✝ - w) ^ 2)⁻¹) • f (circleMap z R x✝) = ((circleMap z R x✝ - w)⁻¹ * (2 * ↑π * I)⁻¹ * deriv (circleMap z R) x✝ * (circleMap z R x✝ - w)⁻¹) • f (circleMap z R x✝)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Type u_3
CommMonoid S
DistribMulAction S M
SMulCommClass S R M
x : M
⊢ x ∈ Submodule.torsion' R M S ↔ ∃ a, a • x = 0
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₁'}
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁'p₂ : p₁' ≠ p₂
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁' p₂ p₃
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ {a}.diag = {(a, a)}
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
j j' : J
w : j = j'
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯ = CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j'
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃+ G), H ≤ AddSubgroup.map ϕ.toAddMonoidHom H
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
H : Valid' o₁ (Ordnode.node s l x r) o₂
this : Ordnode.node s l x r = l.node' x r
⊢ Valid' o₁ (l.node' x r).eraseMax ↑(findMax' x r) ∧ (l.node' x r).size = (l.node' x r).eraseMax.size + 1
o : Ordinal.{u_1}
i : ↑(Set.Iio o)
⊢ (SetTheory.PGame.nim o).moveLeft (SetTheory.PGame.toLeftMovesNim i) = SetTheory.PGame.nim ↑i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MulOneClass α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < a * b
⊢ a * 1 < a * b
α : Type u
x y : α
u : Fin 0 → α
⊢ Set.range (Matrix.vecCons x (Matrix.vecCons y u)) = {x, y}
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
p q : ℕ
_hp : CharP R p
_hq : CharP R q
⊢ p = q
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CountablyGenerated α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y
n : ℕ
⊢ decide (x ∈ natGeneratingSequence α n) = decide (y ∈ natGeneratingSequence α n)
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Neg α
s : ι → Set α
⊢ -⋂ i, s i = ⋂ i, -s i
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
IsDedekindDomain R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
x : DedekindDomain.ProdAdicCompletions R K
⊢ x.IsFiniteAdele ↔ {v | x v ∉ IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum.adicCompletionIntegers K v}.Finite
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ ↑e.symm '' e.target = e.source
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
Zero I
DecidableEq I
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
F : CategoryTheory.Functor D (CategoryTheory.Functor C D)
Y : C
e : F.flip.obj Y ≅ CategoryTheory.Functor.id D
(X : D) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C) (F.obj X)
p : J × I → J
hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j
X X' : CategoryTheory.GradedObject J D
φ : X ⟶ X'
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F J I).obj X).obj ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj Y)).HasMap
    p
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F J I).obj X').obj ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj Y)).HasMap
    p
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapMap F p φ
      (CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I).obj Y)))
    (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorRightUnitor F Y e p hp X').hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorRightUnitor F Y e p hp X).hom φ
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ t₁ t₂ : List α
hl : l₁.Perm l₂
ht : t₁.Perm t₂
⊢ (l₁.bagInter t₁).Perm (l₂.bagInter t₂)
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommGroup M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
m : (i : ι) → M₁ i
⊢ (-f) m = -f m
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝³ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid X
inst✝¹ : Module R X
T : Type u_3
inst✝ : Semiring T
f : R →+* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
r : R
⊢ (universalHom f fS hf) (numeratorHom r) = f r
α : Type u_1
AddGroup α
DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
mul : (x.1 + x.2).card ≤ (y.1 + y.2).card
hadd : y.1.card + y.2.card < x.1.card + x.2.card
⊢ DevosAddRel x y