ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
⊢ ∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
α : Type u_1
n : Nat
f : Fin n → α
⊢ ofFn f = ofFnTR.go f n ⋯ []
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
SecondCountableTopology β
hf : Embedding f
⊢ SecondCountableTopology α
I : Type u_3
B : I → Type u_4
(i : I) → NormedRing (B i)
∀ (i : I), NormOneClass (B i)
n : ℕ
⊢ Memℓp ↑n ⊤
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieRing L'
inst✝² : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝¹ : IsSolvable R L
inst✝ : Nontrivial L
⊢ derivedSeries R L 1 < ⊤
M : Type u_1
Monoid M
⊢ GaloisConnection Subgroup.ofUnits Submonoid.units
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrictOrderedSemiring Γ
n : Γ
⊢ ((ofPowerSeries Γ R) PowerSeries.X).coeff n = ((single 1) 1).coeff n
α : Type u_13
β : Type u_14
f : α ↪ β
v : α →₀ ℕ
⊢ (Finsupp.mapDomainEmbedding f) v = Finsupp.mapDomain (⇑f) v
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
K : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁴ : Semifield K
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
p : Submodule K V
a : K
⊢ map (a • f) p = ⨆ (_ : a ≠ 0), map f p
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 (ZMod p)
⊢ frobenius x = x
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
ha : IsMin a
h : b ≤ a
⊢ b = a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
⊢ 𝟙 (X _[n]) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) = PInfty.f n ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n]))
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
NormedSpace ℝ E
MeasureTheory.SFinite μ
f : α → E
⊢ ∫ (z : α × β), f z.1 ∂μ.prod ν = (ν Set.univ).toReal • ∫ (x : α), f x ∂μ
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (s.sigma fun i => t₁ i ∪ t₂ i) = s.sigma t₁ ∪ s.sigma t₂
z : ℂ
n : ℤ
⊢ (z / ↑n).im = z.im / ↑n
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁷ : Semifield R
inst✝²⁶ : StarRing R
inst✝²⁵ : MetricSpace R
inst✝²⁴ : TopologicalSemiring R
inst✝²³ : ContinuousStar R
inst✝²² : Field S
inst✝²¹ : StarRing S
inst✝²⁰ : MetricSpace S
inst✝¹⁹ : TopologicalRing S
inst✝¹⁸ : ContinuousStar S
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁶ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁵ : StarRing A
inst✝¹⁴ : Module S A
inst✝¹³ : IsScalarTower S A A
inst✝¹² : SMulCommClass S A A
inst✝¹¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : IsScalarTower R S A
inst✝⁷ : StarModule R S
inst✝⁶ : ContinuousSMul R S
inst✝⁵ : CompleteSpace R
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝¹ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
a : A
hpa : p a
hqa : q a
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
inst✝ : CompactSpace ↑(σₙ S a)
⊢ Continuous ⇑(nonUnitalStarAlgHom (cfcₙHom hqa) h)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : BoundedContinuousFunction α β
C : ℝ
CompactSpace α
C0 : 0 < C
⊢ dist f g < C ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
T1Space X
hs : s.Finite
⊢ IsGδ sᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ↪o β
x y : α
⊢ ⇑e ⁻¹' Set.Ico (e x) (e y) = Set.Ico x y
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Polynomial.natDegree 1 ≤ 0
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
f' : M →ₗ[R] M
p : Submodule R M
n : ℕ
h : ∀ x ∈ p, f' x ∈ p
h' : optParam (∀ x ∈ p, (f' ^ n) x ∈ p) ⋯
x : ↥p
this : Semiconj Subtype.val ⇑(f'.restrict h) ⇑f'
⊢ ↑((f'.restrict h ^ n) x) = ↑(((f' ^ n).restrict h') x)
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α
inst✝ : Nontrivial R
⊢ incMatrix R G a e = 0 ↔ e ∉ G.incidenceSet a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p < r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
⊢ Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
⊢ Kᗮ.topologicalClosure = Kᗮ
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Ioi a)
⊢ Subtype.val '' Set.Ici b = Set.Ici ↑b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
n : ℕ
j : Fin (n + 2)
i : Fin (n + 1)
H : j = i.castSucc
⊢ X.δ j ≫ X.σ i = 𝟙 (X.obj (SimplexCategory.mk n))
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : CommMonoid N
inst✝³ : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ+
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
p k : ℕ
m : ℕ+
inst✝ : ExpChar R p
ζ : Rˣ
⊢ ζ ∈ rootsOfUnity (⟨p, ⋯⟩ ^ k * m) R ↔ ζ ∈ rootsOfUnity m R
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this✝ : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (range fun i => bK i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom K (RingHom.op L.subtype)
ιL : Type u
bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
⊢ False
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
⊢ a - b ≤ c ↔ a ≤ b + c
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : ∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
g g' : G
⊢ (g'⁻¹ * g) • B = B → g • B = g' • B
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
h₁ : (cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ closure (⇑(cfcₙAux ⋯ a ha) '' ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id ⋯}))
⊢ (cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ NonUnitalStarAlgHom.range (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : Mul M
inst✝³ : Mul N
inst✝² : Mul P
S : Subsemigroup M
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : Nonempty N
s : Subsemigroup M
t : Subsemigroup N
⊢ s.prod t = ⊤ ↔ s = ⊤ ∧ t = ⊤
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
⊢ multiplicity 2 (x ^ 2 ^ n - y ^ 2 ^ n) = multiplicity 2 (x - y) + ↑n
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
⊢ ((Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).comp (Quotient.mk (comap C P)) = (quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯).comp ((Quotient.mk P).comp C)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : Y → Prop
hx : x ∈ e.source
⊢ (∀ᶠ (y : Y) in 𝓝 (↑e x), p y) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p (↑e x)
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (chartAt H' y).source
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt (↑(chartAt H' y) ∘ f) s x ∧ ContDiffWithinAtProp I I' n ((↑(chartAt H' y) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' y) ∘ f) s x ∧ ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ (∀ (m : ℕ), m < n + 1 → ¬p m) ↔ (∀ (m : ℕ), m < n → ¬p m) ∧ ¬p n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : S.HasLeftHomology
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S
⊢ (S.mapCyclesIso F).hom ≫ F.map S.iCycles = (S.map F).iCycles
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
⊢ ¬Summable f
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n' = q
p' : ℤ
hp' : p' + n = q
⊢ p' = p + a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
T : C
g : T ⟶ W
hg : (GrothendieckTopology.Cover.sieve ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩).arrows g
⊢ (liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map g.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map g.op
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i ≃ₗᵢ[𝕜] E₁ i
this : g = (g.compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
⊢ ‖(g.compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }‖ ≤ ‖g.compContinuousLinearMap fun i => (f i).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap‖
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
h : (Filter.map₂ m f g).NeBot
⊢ g.NeBot
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
Field F
Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (Cubic.map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ (Cubic.map φ P).toPoly =
  Polynomial.C (φ P.a) * (Polynomial.X - Polynomial.C x) * (Polynomial.X - Polynomial.C y) *
    (Polynomial.X - Polynomial.C z)
n : ℕ
⊢ ZMod.unitsMap ⋯ = MonoidHom.id (ZMod n)ˣ
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
P : K[X]
hmo : P.Monic
hP : Splits (RingHom.id K) P
⊢ ∀ a ∈ P.roots, (X - C a).Monic
B : Type u
self : CategoryTheory.Bicategory B
a b c d : B
f : a ⟶ b
g g' : b ⟶ c
η : g ⟶ g'
h : c ⟶ d
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f η) h =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η h))
      (CategoryTheory.Bicategory.associator f g' h).inv)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
Fintype ι
hfg : Monovary f g
⊢ ∑ i : ι, f i • g (σ i) = ∑ i : ι, f i • g i ↔ Monovary f (g ∘ ⇑σ)
R : Type u
CommRing R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.obj (Opposite.op U))
x : ↥U
⊢ ∃ f g i,
  ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen g ∧
    AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯ =
      ((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.map i.op) s
α : Type u
Group α
DecidableEq α
Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (Finset.filter (fun a => a ^ n = 1) Finset.univ).card ≤ n
⊢ IsCyclic α
t : ↑I
⊢ Path.Homotopy.transAssocReparamAux t ∈ I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (ChainComplex C ℕ)} (f : X ⟶ Y) (Δ : SimplexCategoryᵒᵖ),
  (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂.map f).f.app Δ =
    (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting X.X).desc Δ fun A =>
      f.f.f (Opposite.unop A.fst).len ≫ ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting Y.X).cofan Δ).inj A
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CharP R p
⊢ (↑p).coeff 0 = 0
n : PosNum
fuel : ℕ
ih : ∀ {k : PosNum}, (↑n).sqrt < fuel + ↑k.bit1 → ↑(n.minFacAux fuel k) = (↑n).minFacAux ↑k.bit1
k : PosNum
h : (↑n).sqrt < fuel + 1 + ↑k.bit1
h✝¹ : ¬n < k.bit1 * k.bit1
h✝ : ¬k.bit1 ∣ n
⊢ ↑(n.minFacAux fuel k.succ) = (↑n).minFacAux (↑k.bit1 + 2)
α : Type u_1
AddMonoid α
LinearOrder α
⊢ ⇑AddUnits.orderEmbeddingVal = AddUnits.val
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ ContinuousOn (↑(f.extend I)) (f.extend I).source
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
u : (ZMod p)ˣ
⊢ orderOf u ∣ p - 1
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
Module.Finite R L
Module.Free R L
Nontrivial R
IsDomain R
Infinite R
⊢ ∃ x, φ.IsNilRegular x
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
TopologicalGroup G
μ.IsMulLeftInvariant
μ.Regular
h3μ : μ ≠ 0
s : Set G
hs : IsOpen s
⊢ 0 < μ s ↔ s.Nonempty
γ : Type u_3
t : TopologicalSpace γ
CompactSpace γ
u u' : UniformSpace γ
h : UniformSpace.toTopologicalSpace = t
h' : UniformSpace.toTopologicalSpace = t
⊢ u = u'
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring α
inst✝³ : Preorder α
a b c d : α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : MulPosMono α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a2 : 2 ≤ a
b0 : 0 ≤ b
⊢ a + (a + a * b) ≤ a * (2 + b)
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
⊢ lift.{?u.585050, v} (Module.rank R ↥(LinearMap.range (Finsupp.total (↑s) M R Subtype.val))) ≤ lift.{?u.585050, v} #↑s
⊢ CategoryTheory.RelCat.opEquivalence.inverse = CategoryTheory.RelCat.unopFunctor
z : ℂ
hz : z = 0
⊢ |z.im / abs z| ≤ 1
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (y : Cardinal.{u}), a ∣ y
ha : a ≠ 0
t : Cardinal.{u}
ht : a * t = 1
⊢ 1 ≤ a
E : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
Pow α E
Pow β E
c : E
a : α
b : β
⊢ (a, b) ^ c = (a ^ c, b ^ c)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LocalRing R
q : ℕ
char_R_q : CharP R q
⊢ ¬q = 0 → IsPrimePow q
R : Type u
inst✝ : CommRing R
u : Rˣ
a✝ : Nontrivial R
hn : IsUnit ↑0
⊢ (X ^ 0 - C ↑u).Separable
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousAt f x
hg : LowerSemicontinuousAt g x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (f x, g x)
⊢ LowerSemicontinuousAt (fun z => f z + g z) x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.EssSurj
X : C
eX : L.obj X ≅ f.left
Y : C
eY : L.obj Y ≅ f.right
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : eX.hom ≫ f.hom ≫ eY.inv = φ.map L ⋯
⊢ f ≅ L.mapArrow.obj (Arrow.mk φ.f)
A B A' B' : ℝ
hA : A ≤ A'
hB : B' ≤ B
⊢ UpperHalfPlane.verticalStrip A B ⊆ UpperHalfPlane.verticalStrip A' B'
α : Type u_1
σ : Type u_2
Primcodable α
Primcodable σ
c : α → Nat.Partrec.Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Nat.Partrec.Code → Nat.Partrec.Code → σ → σ → σ
hpr : Primrec fun a => pr a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2
co : α → Nat.Partrec.Code → Nat.Partrec.Code → σ → σ → σ
hco : Primrec fun a => co a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2
pc : α → Nat.Partrec.Code → Nat.Partrec.Code → σ → σ → σ
hpc : Primrec fun a => pc a.1 a.2.1 a.2.2.1 a.2.2.2.1 a.2.2.2.2
rf : α → Nat.Partrec.Code → σ → σ
hrf : Primrec fun a => rf a.1 a.2.1 a.2.2
⊢ let F := fun a c => Nat.Partrec.Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (pr a) (co a) (pc a) (rf a);
Primrec fun a => F a (c a)
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
⊢ RightOrdContinuous f → LeftOrdContinuous (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T (c • f) = c • MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
g g' : G
f : ℤ → M
hf : HasProd f m
this : Injective Int.negSucc
⊢ HasProd (fun n => f ↑n * f (Int.negSucc n)) m
x : ℝ*
⊢ |x|.Infinite ↔ x.Infinite
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.restrict t).restrict s = (μ.restrict s).restrict t
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s : Multiset F[X]
hs : ∀ p ∈ s, IsSolvable p.Gal
⊢ IsSolvable (Multiset.prod 0).Gal
x : ℂ
⊢ Complex.normSq x = Complex.abs x ^ 2
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
h : Normal F K
inst✝ : FiniteDimensional F K
s : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)) F K := Basis.ofVectorSpace F K
⊢ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin F ((∏ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K), minpoly F (s x)).rootSet K)) = Subalgebra.toSubmodule ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
hs : s₁ ⊆ s₂
ht : t₁ ⊆ t₂
⊢ s₁ ×ˢ t₁ ⊆ s₂ ×ˢ t₂
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), map ϕ.toMonoidHom H ≤ H
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a : α
⊢ 0 < a ↔ a ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
n : ℕ
f : Fin n → C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasProduct f
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
TopologicalSpace γ
Preorder γ
g : β →Co γ
f₁ f₂ : α →Co β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
α : Type u_1
e : α
⊢ {e}.encard = 1
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
φ ψ : (α →₀ M) →ₗ[R] N
h : ∀ (a : α), φ ∘ₗ Finsupp.lsingle a = ψ ∘ₗ Finsupp.lsingle a
⊢ φ = ψ
α : Type u_2
Sub α
f g : Filter α
⊢ (f - g).NeBot → g.NeBot
α : Type u
l₁ l₂ : List α
a b : α
⊢ (a :: l₁).Sublist (b :: l₂) ↔ (a :: l₁).Sublist l₂ ∨ a = b ∧ l₁.Sublist l₂
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : Countable E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ MeasurableSet {x | f x = g x}
n m k : Nat
⊢ (n - m) * k = n * k - m * k
α : Type u
l : List α
⊢ List.drop 0 l = l
G₀ : Type u_2
MeasurableSpace G₀
GroupWithZero G₀
MeasurableMul G₀
g : G₀
hg : g ≠ 0
⊢ (MeasurableEquiv.mulRight₀ g hg).symm = MeasurableEquiv.mulRight₀ g⁻¹ ⋯
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U✝ : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
c : ℝ≥0∞
U : Set α
hU : q U
r : ℝ≥0∞
hr : r < (c • μ) U
⊢ ∃ K ⊆ U, p K ∧ r < (c • μ) K