ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Sort u_1
P : Prop
Decidable P
a b : α
⊢ (if P then a else b) ≠ b ↔ P ∧ a ≠ b
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b c : α
ha : b < c
⊢ AntitoneOn (fun x => (x - c)⁻¹) (Set.Icc a b)
f g : ℕ → ℕ
hf : Nat.Primrec f
hg : Nat.Primrec g
⊢ Nat.Primrec (Nat.unpaired fun z n => Nat.casesOn n (f z) fun y => g (Nat.pair z y))
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
FunLike F α β
self : DilationClass F α β
f : F
⊢ ∃ r, r ≠ 0 ∧ ∀ (x y : α), edist (f x) (f y) = ↑r * edist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Inf β
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
a : α
⊢ ↑(f ⊓ g) a = ↑f a ⊓ ↑g a
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯
⊢ ∀ (a : Fin (Classical.choose ⋯) → M), (Realize φ (fun x => Sum.elim (fun x => v x) (fun x => a (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x))) (f x)) fun x => a (natAdd (Classical.choose ⋯) x)) ↔ φ.Realize fun a_1 => Sum.elim v (?refine_1 a) (f a_1)
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < n / p ^ n.factorization p
α : Type u
LT α
WellFoundedGT α
⊢ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
⊢ IsOpenMap f ↔ ∀ (i : ι), IsOpenMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
p : P
⊢ affineSpan ℝ {p, s.points i} = s.altitude i ↔ p ≠ s.points i ∧ p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points) ∧ p -ᵥ s.points i ∈ (affineSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i))).directionᗮ
α : Type u
CanonicallyOrderedCommMonoid α
a : α
⊢ 1 < a ↔ a ≠ 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x (n + 1) r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball x r
⊢ (fun z => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) z = fderiv 𝕜 f z
μ ν : YoungDiagram
⊢ μ.cells ⊂ ν.cells ↔ μ < ν
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x y : L
h : x ∈ I
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
self : CategoryTheory.Triangulated.TStructure C
⊢ self.LE 0 ≤ self.LE 1
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra 𝕜 A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : T2Space A
s : Set 𝕜
inst✝ : CompactSpace ↑s
φ ψ : C(↑s, 𝕜) →⋆ₐ[𝕜] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)
⊢ φ = ψ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
p : ℝ
n : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ n f
h : ∀ (x : E), f x ≠ 0
⊢ ContDiff ℝ n fun x => f x ^ p
α : Type u_1
AddGroupWithOne α
n : ZNum
⊢ ↑n.bit0 = ↑n + ↑n
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀
⊢ closure s ⊆ s
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
⊢ Continuous TrivSqZeroExt.snd
M : Type u_6
AddCommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) - f i) = f n - f 0
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
g : HNNExtension G A B φ
w : HNNExtension.NormalWord d
⊢ HNNExtension.NormalWord.ReducedWord.prod φ (g • w).toReducedWord =
  g * HNNExtension.NormalWord.ReducedWord.prod φ w.toReducedWord
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
this✝ : fixedPoints (↥↑P) (Sylow p G) = {P}
this : Nat.card ↑(fixedPoints (↥↑P) (Sylow p G)) = 1
⊢ Nat.card (Sylow p G) ≡ 1 [MOD p]
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
x : V
⊢ midpoint R (-x) x = 0
⊢ HurwitzZeta.cosZeta 0 = riemannZeta
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ ∀ (a : Mᵐᵒᵖ), MulOpposite.opHomeomorph.symm a = MulOpposite.unop a
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommMonoid β
l : Filter α
f g : α → β
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
hg : ∀ (x : α), 0 ≤ g x
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atTop
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Monoid α
DecidableEq β
Monoid β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ mulRothNumber s * mulRothNumber t ≤ mulRothNumber (s ×ˢ t)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : I.IsPrime
⊢ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toIdeal.IsPrime
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
f : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
x : ↥U
⊢ ↑x ∈ X.basicOpen f ↔ IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
H : f x < g x
⊢ f^[n] x < g^[n] x ↔ f x < g x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
h : x ∈ evenOdd Q 1
⊢ involute x = -x
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
aux : ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e
α' : ↥H := (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
⊢ ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑α'
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
T0Space α
f : α → β
hf : UniformInducing f
⊢ UniformEmbedding f
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
c : α
⊢ comap (dist c) atTop = cobounded α
p : ZFSet → ZFSet → Prop
x y z : ZFSet
⊢ z ∈ pairSep p x y ↔ ∃ a ∈ x, ∃ b ∈ y, z = a.pair b ∧ p a b
α : Type u_1
β : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m f μ
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (MeasureTheory.AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
p : R[X]
⊢ ∑ x ∈ p.support, a • ((algebraMap R A[X]) (p.coeff x) * X ^ x) = ∑ x ∈ p.support, (monomial x) (a * (algebraMap R A) (p.coeff x))
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
x : M
i j : ι
hij : i ≠ j
a : α j
hx : x ∈ A i
⊢ ((sigmaFinsuppLequivDFinsupp R).symm (DFinsupp.mapRange (fun i => ⇑(v i).repr) ⋯ (↑(LinearEquiv.ofBijective (coeLinearMap A) h).symm x))) ⟨j, a⟩ = 0
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
NonarchimedeanAddGroup G
H : Type u_2
AddGroup H
TopologicalSpace H
TopologicalAddGroup H
f : G →+ H
emb : OpenEmbedding ⇑f
⊢ NonarchimedeanAddGroup H
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : Preorder ι✝
f✝ : Filtration ι✝ m
τ✝ π : Ω → ι✝
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime f τ
h✝ : IsEmpty ι
⊢ hτ.measurableSpace ≤ m
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
c : E
inst✝ : NeZero μ
hp_zero : p ≠ 0
this : μ ≠ 0
⊢ (↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal)).toReal = ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
hω : ¬IsSuccLimit (⨆ i, f i)
⊢ BddAbove (range f)
A : Type u_2
CommRing A
I : Ideal A
x₁ x₂ y₁ y₂ : A
hxy₁ : x₁ ≡ y₁ [SMOD I]
hxy₂ : x₂ ≡ y₂ [SMOD I]
⊢ x₁ * x₂ ≡ y₁ * y₂ [SMOD I]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f g h : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
CategoryTheory.Limits.HasCokernel g
CategoryTheory.Limits.HasCokernel h
w₁ : f = g
w₂ : g = h
⊢ CategoryTheory.Limits.cokernelIsoOfEq w₁ ≪≫ CategoryTheory.Limits.cokernelIsoOfEq w₂ =
  CategoryTheory.Limits.cokernelIsoOfEq ⋯
G : Type u_6
Group G
H K : Subgroup G
h : (Nat.card ↥H).Coprime (Nat.card ↥K)
⊢ H ⊓ K = ⊥
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set Y
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f ⁻¹' s) = ⊤
this : μH[↑d] s ≠ ⊤
⊢ ↑K ^ ↑d * μH[↑d] s ≠ ⊤
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y z : P
x : V
⊢ midpoint R x (-x) = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
⊢ ¬MonotoneOn f s ∧ ¬AntitoneOn f s ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, ∃ c ∈ s, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h✝ h : α ≃ᵢ β
x : β
r : ℝ
⊢ ⇑h ⁻¹' Metric.ball x r = Metric.ball (h.symm x) r
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : DivisionMonoid M
a b : M
ha : a ∈ center M
⊢ ∀ (g : M), g * a⁻¹ = a⁻¹ * g
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ ↑(LieModule.lowerCentralSeries R L (L ⧸ I) k) = ↑(LieModule.lowerCentralSeries R (L ⧸ I) (L ⧸ I) k)
b c n : ℕ
hc : 1 < c
hb : c ≤ b
⊢ clog b n ≤ clog c n
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X
S R✝ : Sieve X
R : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
f : R ⟶ yoneda.obj X
Y Z : C
t : R.obj (Opposite.op Y)
g : Z ⟶ Y
⊢ f.app (Opposite.op Z) (R.map g.op t) = g ≫ f.app (Opposite.op Y) t
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
h : angle x y = 0
⊢ ‖x‖ ^ 2 - 2 * (‖x‖ * ‖y‖) + ‖y‖ ^ 2 = (‖x‖ - ‖y‖) ^ 2
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
CommRing k
AddCommGroup V1
AffineSpace V1 P1
Module k V1
c : P1
r : k
⊢ (AffineMap.homothety c r) c = c
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
x : ↑C
⊢ ∀ (a : I), (a ∈ ↑l → ↑(Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) a = true) = (a ∈ ↑l → ↑x a = true)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
x : α
Zero β
⊢ 0 x = 0
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
ht : (Set.univ.pi t).Nonempty
⊢ (fun f => f i) '' Set.univ.pi t = t i
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
d : ℝ≥0∞
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, edist x y ≤ d
⊢ EMetric.diam s ≤ d
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
P : { P // IsLprojection X P }
⊢ ↑P * ↑Pᶜ = 0
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : α
⊢ (FreeAddMagma.map f) (FreeAddMagma.of x) = FreeAddMagma.of (f x)
α : Type u_3
β : Type u_4
Fintype α
CommMonoid β
s t : Finset α
h : IsCompl s t
f : α → β
⊢ (∏ i ∈ s, f i) * ∏ i ∈ t, f i = ∏ i : α, f i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
CategoryTheory.Limits.HasKernel f'
p : X ≅ X'
q : Y ≅ Y'
w : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'
⊢ (CategoryTheory.Limits.kernel.mapIso f f' p q w).hom = CategoryTheory.Limits.kernel.map f f' p.hom q.hom w
α : Type u_2
β : Type u_3
Nonempty α
LinearOrder β
f : α → β
hf : Filter.Tendsto f Filter.cofinite Filter.atTop
⊢ ∃ a₀, ∀ (a : α), f a₀ ≤ f a
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice
g : ((i : ι) → κ i) → ι
a : ι
ha : ∀ (b : κ a), ∃ f, ∃ (h : a = g f), h ▸ b = f (g f)
b : κ a
⊢ ⨅ i, f (g i) (i (g i)) ≤ f a b
V : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace ℝ V
K✝ L✝ K L : ConvexBody V
⊢ EMetric.hausdorffEdist ↑K ↑L ≠ ⊤
f g : CircleDeg1Lift
C : ℝ
H : ∀ (n : ℕ), dist ((f ^ n) 0) ((g ^ n) 0) ≤ C
⊢ f.translationNumber = g.translationNumber
p₁ p₂ : String.Pos
⊢ p₁ + p₂ = { byteIdx := p₁.byteIdx + p₂.byteIdx }
α : Type u_1
P : α → Prop
⊢ Antitone fun s => ∀ x ∈ s, P x
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
⊢ q * p %ₘ q = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty β
s : Set (α × β)
⊢ (∃ f, s = Set.graphOn f (Prod.fst '' s)) ↔ Set.InjOn Prod.fst s
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
s : Set (α × β)
s_mble : MeasurableSet s
⊢ (μ.prod ν) s = (∫⁻ (x : α), ↑ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂↑μ).toNNReal
α : Type u_2
SemilatticeSup α
⊢ SupClosed Set.univ
R : Type u
S : Type v
T : Type w
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
Semiring T
g : S →+* T
p : R[X]
⊢ Polynomial.map g (Polynomial.map f p) = Polynomial.map (g.comp f) p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X X
⊢ f + g = CategoryTheory.Limits.biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X) ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.desc f g
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)
⊢ sSup S = sInf {s | ∀ (x y : M), (∃ c ∈ S, c x y) → s x y}
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
x y : X
h : y ≠ x
⊢ {x}ᶜ ∈ 𝓝 y
α : Type u
HasSubset α
HasSSubset α
IsNonstrictStrictOrder α (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun x x_1 => x ⊂ x_1
a b : α
IsRefl α fun x x_1 => x ⊆ x_1
IsAntisymm α fun x x_1 => x ⊆ x_1
⊢ a ⊆ b ↔ a ⊂ b ∨ a = b
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ h₁.π ≫ (leftHomologyMap' (𝟙 S₁) h₁ S₁.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData S₁.homologyData.left) ≫ leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left ≫ ((S₂.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.homologyData.right S₂.rightHomologyData) ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.rightHomologyData h₂) ≫ h₂.ι = h₁.i ≫ φ.τ₂ ≫ h₂.p
H : Type u
H' : Type u_1
x y : ModelProd H H'
h₁ : x.1 = y.1
h₂ : x.2 = y.2
⊢ x = y
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a b : α
hf : AntitoneOn f s
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ f (min a b) = max (f a) (f b)
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun x => √x * Real.log x) ((2 + Real.log x) / (2 * √x)) x
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₄ p₅ p₆
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃} ↔ Collinear ℝ {p₄, p₅, p₆}
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M N : Submodule R Aᵐᵒᵖ
⊢ Submodule.map (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm) (M * N) =
  Submodule.map (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm) N * Submodule.map (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm) M
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
⊢ whiskerRight (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) U ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val = toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)) ⋙ U) ≫ ((presheafToSheaf J B).map (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U).hom).val ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
s : Finset ℕ
a : ℕ
ha : a < n
⊢ ⟨a, ha⟩ ∈ Finset.fin n s ↔ ↑⟨a, ha⟩ ∈ s
α : Type u_1
C : Set (Set α)
⊢ (MeasurableSpace.DynkinSystem.generate C).Has = MeasurableSpace.DynkinSystem.GenerateHas C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
g : γ → α
e : ↑(mulSupport f) ≃ ↑(mulSupport g)
he : ∀ (x : ↑(mulSupport f)), g ↑(e x) = f ↑x
this : (g ∘ Subtype.val) ∘ ⇑e = f ∘ Subtype.val
⊢ HasProd f a ↔ HasProd g a
α : Type u
r : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
inst✝¹ : Inhabited α
inst✝ : Preorder α
a : α
l : List α
h : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (l.head! :: l.tail)
ha : a ∈ l.head! :: l.tail
⊢ l.head! ≤ a
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex
rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)
rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n
rs_null : ∀ (n : ℕ), μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
Fthicks_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (Metric.thickening (rs n) F)
key : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs n) F)) L (𝓝 (μ (Metric.thickening (rs n) F)))
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
μF_finite : μ F < ⊤
keyB : Tendsto (fun r => μ (Metric.cthickening r F)) (𝓝 0) (𝓝 (μ F))
nhd : Iio (μ F + ↑ε) ∈ 𝓝 (μ F)
⊢ limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F + ↑ε
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r✝ : α → β → Prop
f : α → γ
g : β → δ
c : γ
d : δ
r : α → β → Prop
f₁ : α → γ
g₁ : β → δ
f₂ : γ → ε
g₂ : δ → ζ
a : ε
b : ζ
⊢ (∃ b_1 b_2 b_3 a_1, (r b_1 b_2 ∧ f₁ b_1 = b_3 ∧ g₁ b_2 = a_1) ∧ f₂ b_3 = a ∧ g₂ a_1 = b) ↔ ∃ a_1 b_1, r a_1 b_1 ∧ f₂ (f₁ a_1) = a ∧ g₂ (g₁ b_1) = b
α : Type u_1
a b : Specialization α
⊢ Specialization.ofEquiv a = Specialization.ofEquiv b ↔ a = b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
R : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)
f : R ⟶ CategoryTheory.yoneda.obj X
Y : C
g : Y ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.Sieve.sieveOfSubfunctor f).arrows g = ∃ t, f.app (Opposite.op Y) t = g
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
j₁ j₂ : J
t : Cotrident f
⊢ f j₁ ≫ t.π = f j₂ ≫ t.π
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
⊢ f a = f b ↔ a⁻¹ * b ∈ IsGroupHom.ker f
α : Type u_4
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : 0 < b
⊢ a / b ≠ 0
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C✝ : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝
D : Type u''
inst✝³ : Category.{v'', u''} D
X Y : C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C
T : C
HT : IsTerminal T
c₀ : BinaryCofan T T
hc₀ : IsColimit c₀
H : ∀ {X' Y' : C} (c' : BinaryCofan X' Y') (αX : X' ⟶ T) (αY : Y' ⟶ T) (f : c'.pt ⟶ c₀.pt), αX ≫ c₀.inl = c'.inl ≫ f → αY ≫ c₀.inr = c'.inr ≫ f → (Nonempty (IsColimit c') ↔ IsPullback c'.inl αX f c₀.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c₀.inr)
⊢ ∀ {X Y : C} (c : BinaryCofan X Y), IsColimit c → ∀ {X' Y' : C} (c' : BinaryCofan X' Y') (αX : X' ⟶ X) (αY : Y' ⟶ Y) (f : c'.pt ⟶ c.pt), αX ≫ c.inl = c'.inl ≫ f → αY ≫ c.inr = c'.inr ≫ f → (Nonempty (IsColimit c') ↔ IsPullback c'.inl αX f c.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c.inr)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
hne : x ≠ y
⊢ z ∈ affineSpan R {x, y}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ →. σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Partrec₂ h
a : α
⊢ Nat.rec (↑g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h (a, y, i).1 (f (a, y, i).1).pred) (f a) = Nat.casesOn (f a) (Part.some (g a)) (h a)
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ
i' : ι
m : M
⊢ ∀ (a : κ) (b : N), ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] Finsupp.single a b)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] (Finsupp.single a b) k
A : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.25322, u_1} A'
inst✝¹ : Category.{?u.25326, u_2} B'
inst✝ : Category.{?u.25330, u_3} T'
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T
R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T
L' : A' ⥤ T'
R' : B' ⥤ T'
F₁ : A ⥤ A'
F₂ : B ⥤ B'
F : T ⥤ T'
α : F₁ ⋙ L' ⟶ L ⋙ F
β : R ⋙ F ⟶ F₂ ⋙ R'
X Y : Comma L R
φ : X ⟶ Y
⊢ L'.map (F₁.map φ.left) ≫ α.app Y.left ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = (α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ β.app X.right) ≫ R'.map (F₂.map φ.right)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ : Set α
inst✝ : Finite ι
t : ι → Set α
h : Pairwise (Disjoint on t)
ht : ∀ (i : ι), (t i).Finite
val✝ : Fintype ι
⊢ ∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃ i, t i), f a = ∏ᶠ (i : ι) (a : α) (_ : a ∈ t i), f a
α : Type u
ι : Sort v
x : α
s : ι → Set α
⊢ x ∈ ⋂ i, s i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ s i
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y z : F
⊢ ⟪x - y, z⟫_𝕜 = ⟪x, z⟫_𝕜 - ⟪y, z⟫_𝕜
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : PadicSeq p
ha : ¬a ≈ 0
k : ℚ
hk : a.norm = padicNorm p k
hk' : k ≠ 0
⊢ ∃ z, a.norm = ↑p ^ (-z)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f g : α → β
s s₁ : Set α
h : ContinuousOn f s
h' : EqOn g f s₁
h₁ : s₁ ⊆ s
x : α
hx : x ∈ s₁
⊢ Tendsto g (𝓝[s₁] x) (𝓝 (g x))
R : Type u_1
One R
Neg R
a : R × R × R × R
⊢ ((Quaternion.equivProd R).symm a).imI = a.2.1
K : Type v
Field K
f g : K[X]
⊢ IsCoprime f g ↔
  ∀ {A : Type v} [inst : CommRing A] [inst_1 : IsDomain A] [inst_2 : Algebra K A] (a : A),
    (Polynomial.aeval a) f ≠ 0 ∨ (Polynomial.aeval a) g ≠ 0
m n : ℕ
u : ℕˣ
⊢ ↑u = 1
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
⊢ W'.Nonsingular P ↔ W'.Equation P ∧ (W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4) ≠ 0 ∨ 2 * P y + W'.a₁ * P x * P z + W'.a₃ * P z ^ 3 ≠ 0 ∨ W'.a₁ * P x * P y + 3 * W'.a₃ * P y * P z ^ 2 - (2 * W'.a₂ * P x ^ 2 * P z + 4 * W'.a₄ * P x * P z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * P z ^ 5) ≠ 0)