ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
γ : Type u_6
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : Filter α
u : α → β
g : β ≃o γ
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
hu_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
hgu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g (u x)) _auto✝
hgu_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g (u x)) _auto✝
⊢ g (limsup u f) = limsup (fun x => g (u x)) f
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ (↑n + 1) * ∑ k ∈ range n, ↑(n.choose k) / (↑n - ↑k + 1) * bernoulli' k = ∑ x ∈ range n, ↑(n.succ.choose x) * bernoulli' x
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
hn : IsNilpotent f
hs : f.IsSemisimple
n : ℕ
h0 : f ^ n = 0
⊢ f = 0
a b : Nat
h₀ : a < b
⊢ a / b = 0
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
K : Type u_3
inst✝ : Group K
f : G ∗ H →* K
⊢ f.range = (f.comp inl).range ⊔ (f.comp inr).range
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j ≫ CategoryTheory.Limits.colim.map α = α.app j ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.ι G j
b p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_int 0 (↑b) t - if ↑b = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
⊢ (fun x => evenKernel (↑b) x - if ↑b = 0 then 1 else 0) =ᶠ[atTop] fun t => HurwitzKernelBounds.F_int 0 (↑b) t - if ↑b = 0 then 1 else 0
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
⊢ ∑ᶠ (m : M), (weightedHomogeneousComponent w m) φ = φ
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
h's : r < μ s
⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ t ⊆ s ∧ r < μ t ∧ μ t < ⊤
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : ι → Set α
t : Set α
tfin : t.Finite
h : t ⊆ ⋃ i, s i
I : Set ι
Ifin : I.Finite
hI : t ⊆ ⋃ i ∈ I, s i
x : α
⊢ x ∈ t ↔ ∃ i, x ∈ s ↑i ∩ t
α : Type u_1
o : Option α
a b : α
⊢ o.getD a = b ↔ o = some b ∨ o = none ∧ a = b
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
p : Submodule K V
⊢ Module.rank K (V ⧸ p) + Module.rank K ↥p = Module.rank K V
α : Type u_1
TopologicalSpace α
R : Type u_2
PartialOrder R
NonUnitalRing R
StarRing R
StarOrderedRing R
TopologicalSpace R
ContinuousStar R
TopologicalRing R
sqrt : R → R
h_continuousOn : ContinuousOn sqrt {x | 0 ≤ x}
h_sqrt : ∀ (x : R), 0 ≤ x → star (sqrt x) * sqrt x = x
⊢ StarOrderedRing C(α, R)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero β
f : α →₀ β
g : α → β → σ →₀ ℕ
a : R
⊢ (MvPolynomial.monomial (f.sum g)) a = MvPolynomial.C a * f.prod fun a b => (MvPolynomial.monomial (g a b)) 1
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hyo : y % 2 = 1
hzpos : 0 < z
h0 : ¬x = 0
v : ℚ := ↑x / ↑z
w : ℚ := ↑y / ↑z
hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1
hvz : v ≠ 0
hw1 : w ≠ -1
hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0
hp : (v, w) ∈ {p | p.1 ^ 2 + p.2 ^ 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1}
q : ℚ := (circleEquivGen hQ).symm ⟨(v, w), hp⟩
ht4 : v = 2 * q / (1 + q ^ 2) ∧ w = (1 - q ^ 2) / (1 + q ^ 2)
m : ℤ := ↑q.den
n : ℤ := q.num
hm0 : m ≠ 0
hq2 : q = ↑n / ↑m
hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2
hm2n20 : ↑m ^ 2 + ↑n ^ 2 ≠ 0
hx1 : ∀ {j k : ℚ}, k ≠ 0 → k ^ 2 + j ^ 2 ≠ 0 → (1 - (j / k) ^ 2) / (1 + (j / k) ^ 2) = (k ^ 2 - j ^ 2) / (k ^ 2 + j ^ 2)
hw2 : w = (↑m ^ 2 - ↑n ^ 2) / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
hx2 : ∀ {j k : ℚ}, k ≠ 0 → k ^ 2 + j ^ 2 ≠ 0 → 2 * (j / k) / (1 + (j / k) ^ 2) = 2 * k * j / (k ^ 2 + j ^ 2)
hv2 : v = 2 * ↑m * ↑n / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)
hnmcp : n.gcd m = 1
hmncp : m.gcd n = 1
hm2 : m % 2 = 0
hn2 : n % 2 = 0
⊢ h.IsPrimitiveClassified
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
n : ℕ
⊢ |Real.cos (2 * π * a * (↑n + 1))| * rexp (-π * (↑n + 1) ^ 2 * t) ≤ rexp (-π * (↑n + 1) ^ 2 * t)
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
⊢ (α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (((𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (f₁ ⊗ (g₁ ⊗ f₂) ⊗ g₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
this : findIdx p xs = xs.length ↔ xs.length ≤ findIdx p xs
⊢ xs.length ≤ findIdx p xs ↔ ¬∃ x ∈ xs, p x = true
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n✝ : ℕ
M : Fin n✝.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
g : (i : ι) → α i → M₁ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
this : (i : ι) → DecidableEq (α i) := fun i => Classical.decEq (α i)
n : ℕ
IH : ∀ m < n, ∀ (A : (i : ι) → Finset (α i)), ∑ i : ι, (A i).card = m → (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)
A : (i : ι) → Finset (α i)
h : ∑ i : ι, (A i).card = n
Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅
i₀ : ι
hi₀ : 1 < (A i₀).card
j₁ j₂ : α i₀
left✝ : j₁ ∈ A i₀
hj₂ : j₂ ∈ A i₀
right✝ : j₁ ≠ j₂
B : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ (A i₀ \ {j₂})
C : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ {j₂}
B_subset_A : ∀ (i : ι), B i ⊆ A i
C_subset_A : ∀ (i : ι), C i ⊆ A i
A_eq_BC : (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j + ∑ j ∈ C i₀, g i₀ j)
Beq : update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j) = fun i => ∑ j ∈ B i, g i j
Ceq : update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ C i₀, g i₀ j) = fun i => ∑ j ∈ C i, g i j
Brec : (f fun i => ∑ j ∈ B i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset B, f fun i => g i (r i)
Crec : (f fun i => ∑ j ∈ C i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset C, f fun i => g i (r i)
D : Disjoint (piFinset B) (piFinset C)
pi_BC : piFinset A = piFinset B ∪ piFinset C
⊢ ((∑ r ∈ piFinset B, f fun i => g i (r i)) + ∑ r ∈ piFinset C, f fun i => g i (r i)) = ∑ r ∈ piFinset B ∪ piFinset C, f fun i => g i (r i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
hf : (mulSupport f).Infinite
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = 1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ cyclotomic (p ^ (n + 1)) R = ∑ i ∈ range p, (X ^ p ^ n) ^ i
ι : Type u_1
α : Type u_2
PartialOrder α
Zero α
LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α
⊢ (Finset.Ioc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Finset.Icc (f i) (g i)).card - 1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
this : (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) = fun b => (ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x)).toReal
⊢ Integrable (fun b => (ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x)).toReal) (ν a)
R : Type u_4
Ring R
x : ℤ
f : MulRingNorm R
⊢ f ↑x.natAbs = f ↑x
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : K_hat R K
hx : {x_1 | x x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite
hy : {x | y x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite
⊢ {x_1 | (x * y) x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
h : IsTerminal (colimit (F ⋙ yoneda))
d : D
⊢ colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E
hα : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F ↥F⟮α⟯) (minpoly F α)
this : Fintype (↥F⟮α⟯ →ₐ[F] ↥F⟮α⟯) := IntermediateField.fintypeOfAlgHomAdjoinIntegral F hα
⊢ Fintype.card (↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] ↥F⟮α⟯) = (minpoly F α).natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ↑(MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf) = MeasureTheory.AEEqFun.mk f ⋯
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a : α
⊢ a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
α : Type u_1
BooleanRing α
a b : AsBoolAlg α
⊢ ofBoolAlg (a \ b) = ofBoolAlg a * (1 + ofBoolAlg b)
R S : CommRingCat
f : AlgebraicGeometry.Spec S ⟶ AlgebraicGeometry.Spec R
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.map (AlgebraicGeometry.Spec.preimage f) = f
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
r : R
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
⊢ r * OfNat.ofNat n = n • r
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
s : Set R[X]
hs : s.Finite
contra : Submodule.span R s = ⊤
n : ℕ
hn : Submodule.span R s ≤ degreeLE R ↑n
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C
CategoryTheory.Limits.HasMulticoequalizer I
W : C
i j : CategoryTheory.Limits.multicoequalizer I ⟶ W
h :
  ∀ (b : I.R),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Multicoequalizer.π I b) i =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Multicoequalizer.π I b) j
⊢ i = j
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
a b : α
⊢ ReflTransGen (hasse α).Adj a b
m n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
h : n = 0 → b = true
a✝ : n.bodd = n.bits.headI
⊢ (bit b n).bodd = (bit b n).bits.headI
α : Type u_1
ι : Type u_5
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), MeasureTheory.NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on As)
Union_As_finite : μ (⋃ i, As i) ≠ ⊤
⊢ {i | ε ≤ μ (As i)}.Finite
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ (∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ Set.univ → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ Set.univ → f i • g j + f j • g i ≤ f i • g i + f j • g j) ↔ ∀ (i j : ι), f i • g j + f j • g i ≤ f i • g i + f j • g j
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
s : Set A
n : ℕ
⊢ span R s ^ (n + 1) = span R (s ^ (n + 1))
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasInjectiveResolutions C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
⊢ Homotopy (desc f (injectiveResolution Y) (injectiveResolution X) ≫ ((injectiveResolution Y).homotopyEquiv J).hom) (((injectiveResolution X).homotopyEquiv I).hom ≫ φ)
α : Type u
a : Set α
⊢ a ∪ ∅ = a
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddZeroClass β
AddCommMonoid γ
f : α → β →+ γ
s : Finset α
b : β
⊢ (∑ x ∈ s, f x) b = ∑ x ∈ s, (f x) b
α : Type u_1
Lattice α
a b : α
h : a < b
⊢ Set.uIcc a b = Set.Icc a b
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun x => Complex.sinh (f x)) (Complex.cosh (f x) * f') x
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
ι : Type u_3
f : ι → R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (∀ (i : ι), ContinuousOn (f i) (spectrum R a)) _auto✝
i : ι
⊢ cfc (f i) a = (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict (f i), continuous_toFun := ⋯ }
i : ℕ
⊢ (fastGrowing 0)^[i] i = 2 * i
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
⊢ s.Nodup → (Multiset.ndinsert a s).Nodup
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
StarRing 𝕜
StarRing A
StarModule 𝕜 A
NormedStarGroup A
a : 𝓜(𝕜, A)
b : A
⊢ (star a).toProd.2 b = star (a.toProd.1 (star b))
b : ℕ
hb : 1 < b
x : ℕ
ih : ∀ m < x, ∀ {y : ℕ}, m ≤ b ^ y ↔ clog b m ≤ y
n✝ : ℕ
b_pos : 0 < b
⊢ x ≤ b ^ (n✝ + 1) ↔ clog b x ≤ n✝ + 1
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b : α
x✝ : a ∣ 1 ∧ b ∣ 1
c : α
hc : 1 = a * c
d : α
hd : 1 = b * d
⊢ lcm ↑(Units.mkOfMulEqOne a c ⋯) ↑(Units.mkOfMulEqOne b d ⋯) = 1
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ
hfint : MeasureTheory.Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ r
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ Set.univ * ENNReal.ofReal r
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ.restrict (s i))
⊢ AEMeasurable f (μ.restrict (⋃ i, s i))
α : Type u_1
s : Set α
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : IsOpen s
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
self : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn₀ : self.n₀ ≤ n
⊢ T n = ∑ i : α, a i * T (r i n) + g ↑n
R : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
SMul R ℝ
SMul R ℝ≥0
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ (r • p) x = r • p x
n m : ℕ
z : ℂ
⊢ -π < ↑m * (↑n).arg
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
v' : Fin 0 → M
⊢ Realize (Formula.iExs f φ) v v' ↔ ∃ i, φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
n : ℕ
hint : ∀ k < n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))
⊢ ∑ k ∈ Finset.Ico 0 n, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a 0 ..a n, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
F : Ctop.Realizer α
f : β → Set α
⊢ LocallyFinite f ↔ Nonempty (LocallyFinite.Realizer F f)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ b ∈ Ι a c → c ∈ Ι a b → b = c
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
L R : CategoryTheory.Functor C C
adj : L ⊣ R
α : R ⟶ CategoryTheory.Functor.id C
c : C
⊢ ((CategoryTheory.conjugateEquiv adj CategoryTheory.Adjunction.id).symm α).app c =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj.unit.app c) (α.app (L.obj c))
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β
a : α
s : Stream' α
⊢ map f (a :: s) = f a :: map f s
a b c : Nat
hle : b ≤ a
h : a - b = c
⊢ a = c + b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℤ
h : l.prod = -1
⊢ -1 ∈ l
α : Type u_1
β : Type u_2
KleeneAlgebra α
KleeneAlgebra β
a : α × β
⊢ a∗.2 = a.2∗
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.length ≤ p.bypass.length
⊢ p.bypass = p
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ sf 2 * (n + 1) = (∏ i ∈ range (n + 1), (2 * i + 1)!) ^ 2 * 2 ^ (n + 1) * (n + 1)!
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
x y : α
⊢ e x < e y ↔ x < y
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
TopologicalSemiring A
ContinuousStar A
s t : StarSubalgebra R A
h : s ≤ t
ht : IsClosed ↑t
⊢ s.topologicalClosure ≤ t
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.HasTrivialRadical R L
I : LieIdeal R L
hI : LieAlgebra.IsSolvable R ↥↑I
⊢ I = ⊥
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Mul G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
self : SmoothMul I G
⊢ Smooth (I.prod I) I fun p => p.1 * p.2
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
F : C ⥤ CommMon_ D
X : C
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.CommMonFunctorCategoryEquivalence.inverse.obj F).one.app X = (F.obj X).one
x : ENNReal
⊢ x.log < ⊤ ↔ x < ⊤
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g : widePushout B objs arrows ⟶ X
j : J
⊢ (arrows j ≫ ι arrows j) ≫ g = head arrows ≫ g
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
w : InfinitePlace K
h₁ : x ≠ 0
h₂ : ∀ ⦃w' : InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1
h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1
⊢ ∀ (x : K), Polynomial.Splits (algebraMap ℚ ℂ) (minpoly ℚ x)
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
x : ↑R
x' : ↥(unop (op ⊤))
⊢ ↑((toSpecΓ R ≫ Γ.map (Spec.toLocallyRingedSpace.map f.op).op) x) x' = ↑((f ≫ toSpecΓ S) x) x'
α : Type u_1
s : Set α
a : α
⊢ (s \ {a}).ncard ≤ s.ncard
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
Φ : CategoryTheory.Functor (Fin (n + 1)) (Fin (m + 1))
F : CategoryTheory.ComposableArrows C m
X : Fin (n + 1)
⊢ ((CategoryTheory.ComposableArrows.whiskerLeftFunctor Φ).obj F).obj X = F.obj (Φ.obj X)
m n k : ℕ+
h : k.Coprime n
⊢ (↑k * ↑m).gcd ↑n = (↑m).gcd ↑n
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
⊢ ∃ n, Nat.Prime p ∧ q = p ^ ↑n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W X X' Y Z Z' : C
f : W ⟶ X
f' : X ⟶ X'
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
h' : X' ⟶ Z'
i : Y ⟶ Z
i' : Z ⟶ Z'
hsq₁ : CategoryTheory.CommSq f g h i
hsq₂ : CategoryTheory.CommSq f' h h' i'
⊢ CategoryTheory.CommSq (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f f') g h' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp i i')
d : ℤ
a : ℤ√d
⊢ a.re.gcd a.im = 0 ↔ a = 0
α : Type u_1
s : Set (Set α)
⊢ (Filter.FilterBasis.ofSets s).sets = Set.sInter '' {t | t.Finite ∧ t ⊆ s}
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : N →ₗ[R] P
⊢ Function.Bijective ⇑(LinearMap.lTensor M f) ↔ Function.Bijective ⇑(LinearMap.rTensor M f)
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Algebra.adjoin (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
x : S
⊢ x ∈ ⨆ x, Algebra.adjoin R ↑(sf x)
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(Lp F p μ)
⊢ f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ ↔ AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hns : μ s ≠ 0
hnt : μ s ≠ ⊤
hu : IsUniform X s ℙ μ
⊢ ℙ Set.univ = 1
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
h : a ≤ c \ b
hbc : b ≤ c
⊢ a ⊔ b ≤ c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_7
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ (s.inf fun i => (t i).sup (f i)) = (s.pi t).sup fun g => s.attach.inf fun i => f (↑i) (g ↑i ⋯)
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a✝ b : G₀
u : G₀ˣ
hu : ∀ (g : G₀ˣ), g * u = u * g
a : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ a * ↑u = ↑u * a
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
DecidableEq ι
i : ι
x : ℝ
h : x ∈ Set.Ioo (I.lower i) (I.upper i)
h' : ∀ (j : ι), I.lower j < Function.update I.upper i x j := ⋯
⊢ I.splitLower i x = ↑{ lower := I.lower, upper := Function.update I.upper i x, lower_lt_upper := h' }
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → E
f' g' : E
x : ℝ
⊢ HasDerivAt f f' x → HasDerivAt g g' x → HasDerivAt (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) (⟪f x, g'⟫_𝕜 + ⟪f', g x⟫_𝕜) x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
⊢ (∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B) → ∀ (g g' : G), g • B = g' • B ∨ Disjoint (g • B) (g' • B)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
haef : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯)
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯
hui' : UnifIntegrable (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯) p μ
hut' : UnifTight (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯) p μ
hg : StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯)
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
f : α → M
⊢ Set.EqOn (s.mulIndicator f) f s
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
CommRing k
IsDomain k
CharP k p
PerfectRing k p
m : ℤ
x : WittVector.StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ (WittVector.Isocrystal.frobenius p k) x = ↑p ^ m • (WittVector.FractionRing.frobeniusRingHom p k) x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
⊢ ContDiff 𝕜 n f ↔ (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → Continuous (iteratedDeriv m f)) ∧ ∀ (m : ℕ), ↑m < n → Differentiable 𝕜 (iteratedDeriv m f)
α : Type u
SemilatticeInf α
OrderBot α
a : α
⊢ a ⊓ ⊥ = ⊥
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
a b c : ℕ
hab : a = b
hbc : b = c
x : ZMod a
⊢ (ringEquivCongr hbc) ((ringEquivCongr hab) x) = ((ringEquivCongr hab).trans (ringEquivCongr hbc)) x
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIicTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ Set.Ioi a ∈ 𝓝 b
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ⥤ D
e.IsEquivalence
CategoryTheory.EnoughInjectives D
⊢ CategoryTheory.EnoughInjectives C
s : Set ZFSet
hs : Small.{u, u + 1} ↑s
⊢ (ZFSet.mk (PSet.mk (Shrink.{u, u + 1} ↑s) fun x => Quotient.out ↑((equivShrink ↑s).symm x))).toSet = s
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
x y : G.Subgraph
h✝ : x ≤ y
v w : ↑x.verts
h : (inclusion h✝) v = (inclusion h✝) w
⊢ v = w