ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hF_meas : AEMeasurable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
g : ℕ → α → ℝ≥0∞
gmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)
gf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n
hg : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g n a ∂μ
g' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun t => Nat.rec (motive := fun x => α → ℝ≥0∞) (g 0) (fun n I x => max (g (n + 1) x) (I x)) t
M : ∀ (n : ℕ), Measurable (g' n)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
γ : (a : α) → β a → Sort u_3
p q : (a : α) → (b : β a) → γ a b → Prop
h : ∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b), p a b c ↔ q a b c
⊢ (∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b), p a b c) ↔ ∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b), q a b c
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N
⊢ ∀ (f g : ι →₀ M), ((finsuppLeft R M N ι) (f ⊗ₜ[R] n) = f.sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)) → ((finsuppLeft R M N ι) (g ⊗ₜ[R] n) = g.sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)) → (finsuppLeft R M N ι) ((f + g) ⊗ₜ[R] n) = (f + g).sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → β → σ
⊢ Primrec₂ f ↔ Primrec₂ fun m n => (Encodable.decode m).bind fun a => Option.map (f a) (Encodable.decode n)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : Y ⟶ Z
⊢ 0 ≫ f = 0
u v : Level
n : ℕ
pn : NormNum.IsNat n 0
⊢ Multiset.range n = 0
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
⊢ UniformEmbedding DoubleCentralizer.toProdMulOpposite
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
fst✝¹ : ι
snd✝¹ : E fst✝¹
fst✝ : ι
snd✝ : E fst✝
h : ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst ≠ ⟨fst✝, snd✝⟩.fst
⊢ 1 ≤ dist ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩ ⟨fst✝, snd✝⟩
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : SMul G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
c : G
⊢ μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) = μ s
α : Type u_1
p : Prop
h : Decidable p
a : Bool
x y u v : α
⊢ ((if p then x else y) = bif a then u else v) ↔ (if p then x else y) = if a = true then u else v
K : Type u_1
Field K
UniformSpace K
TopologicalDivisionRing K
CompletableTopField K
UniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
⊢ x * x.hatInv = 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : StrongFEPair E
r : ℝ
⊢ P.f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ r
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → AddGroup (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
v v' : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.subtypeDomain p (v - v') = DFinsupp.subtypeDomain p v - DFinsupp.subtypeDomain p v'
α : Type
ds₁ ds₂ : List ℕ
Distrib α
x y : Holor α ds₁
z : Holor α ds₂
⊢ (x + y).mul z = x.mul z + y.mul z
α : Type u_16
ι : Type u_17
M : Type u_18
DecidableEq α
AddCommMonoid M
g : ι → α →₀ M
s : Finset ι
h : ∀ (i₁ i₂ : ι), i₁ ≠ i₂ → Disjoint (g i₁).support (g i₂).support
⊢ (∑ i ∈ s, g i).support = s.biUnion fun i => (g i).support
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ
A : Summable fun i => if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0
B : (∑ i ∈ Finset.range n, if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0) = 0
⊢ (∑' (i : ℕ), if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0) = 2 * 2⁻¹ ^ n
α : Type u_1
l : List (List α)
⊢ (↑(List.map (fun l => ↑l) l)).Sections = ↑(List.map (fun l => ↑l) l.sections)
M : Type u_1
CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
n m : M
h : n < m
⊢ 0 < m
R : Type u
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ((cyclotomic p ℤ).comp (X + 1)).IsEisensteinAt (Submodule.span ℤ {↑p})
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
⊢ IsUnit (1 + -x * y)
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ico (-(π / 2)) (π / 2)
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : 1 < x
⊢ arcsin x ≤ y ↔ x ≤ sin y
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
J : LieIdeal R L'
⊢ f.ker ≤ LieIdeal.comap f J
F : Type u_1
E : Type u_2
CommRing F
StrongRankCondition F
Ring E
Algebra F E
Nontrivial E
Module.Free F E
⊢ ⊥ = ⊤ ↔ FiniteDimensional.finrank F E = 1
α : Type u_1
MeasurableSpace α
P : (α → ℝ≥0∞) → Prop
h_ind : ∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → P (s.indicator fun x => c)
h_add :
  ∀ ⦃f g : α → ℝ≥0∞⦄,
    Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Measurable f → Measurable g → P f → P g → P (f + g)
h_iSup :
  ∀ ⦃f : ℕ → α → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), P (f n)) → P fun x => ⨆ n, f n x
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ P f
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.22854, u_3} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_4} D₁
inst✝² : Category.{u_9, u_5} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : C₁ ≌ C₂
E' : D₁ ≌ D₂
inst✝ : CatCommSq E.functor L₁ L₂ E'.functor
hW₁ : W₁ ≤ W₂.isoClosure.inverseImage E.functor
hW₂ : W₂.IsInvertedBy L₂
this : (E.functor ⋙ L₂).IsLocalization W₁
⊢ L₂.IsLocalization W₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
s : CompleteSublattice (Submodule R M) := (AEval.comapSubmodule R M f).range
⊢ f.IsSemisimple ↔ ∀ p ≤ Submodule.comap f p, ∃ q ≤ Submodule.comap f q, IsCompl p q
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph ≤ g.graph
x : E
hx✝ : x ∈ f.domain
y : E
hx : y ∈ f.domain
hy : y ∈ g.domain
hxy : x = y
⊢ (y, ↑f ⟨x, hx✝⟩) ∈ f.graph
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => Real.exp (f x)) (Real.exp (f x) * f') s x
X : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A D E : Type u
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : TopologicalSpace D
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space A
inst✝ : CompactSpace D
π : D → A
π_cont : Continuous π
π_surj : Surjective π
S : Set (Set D) := {E | IsClosed E ∧ π '' E = univ}
C : Set (Set D)
C_sub : C ⊆ S
C_chain : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) C
⊢ ∃ s ∈ S, ∀ c ∈ C, s ⊆ c
R : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
a : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
⊢ MultilinearMap.alternatization ↑a = (Fintype.card ι).factorial • a
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
y : 𝕜
⊢ (fderiv 𝕜 f x) y = (fderiv 𝕜 f x) (y • 1)
r s : ℝ
f : ℝ → ℝ → ℝ
hf : ContinuousAt (Function.uncurry f) (r, s)
x : ℕ → ℝ
hxr : (ofSeq x).IsSt r
y : ℕ → ℝ
hys : (ofSeq y).IsSt s
⊢ IsSt (Germ.map₂ f (ofSeq x) (ofSeq y)) (f r s)
A B : Grp
f : A ⟶ B
⊢ (Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.tau f) (Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) =
  Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.infinity
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∃ b, s.min = ↑b
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
x : α
⊢ Tendsto (fun i => (thickening i E).mulIndicator f x) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
parent✝ : Path α
v✝ : α
r✝ x✝ : RBNode α
⊢ RBNode.Ordered cmp ((left c✝ parent✝ v✝ r✝).fill x✝) ↔ Ordered cmp (left c✝ parent✝ v✝ r✝) ∧ RBNode.Ordered cmp x✝ ∧ All (RootOrdered cmp (left c✝ parent✝ v✝ r✝)) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : Option β → α
c : α
⊢ ⨆ o, f o ≤ c ↔ f none ⊔ ⨆ b, f (some b) ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p✝ : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
l : Filter β
b : ι → Set β
hl : l.HasBasis (fun x => True) b
u : β → Set α
p : β → Prop
x : α
hx : x ∈ blimsup u l p
f : ↑{i | True} → β
hf : ∀ (i : ↑{i | True}), x ∈ u (f i) ∧ p (f i) ∧ f i ∈ b ↑i
⊢ ∃ f, ∀ (i : ι), x ∈ u (f i) ∧ p (f i) ∧ f i ∈ b i
a b c d m n : ℕ
p q : ℕ → Prop
n✝ : ℕ
⊢ (m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1)) % (n✝ + 1) = if n✝ + 1 ≤ m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1) then m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1) - (n✝ + 1) else m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
a : α
h : -f < const a
⊢ (f - const (-a)).Pos
α : Type u_1
⊢ MeasurableSpace.generateFrom {Set.univ} = ⊥
a : ℝ≥0∞
⊢ 0 ≤ a.toReal
R : Type u_1
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₁
Module R M
Module R M₁
f : M →ₗ[R] M₁
p : Submodule R M
⊢ Function.Surjective ⇑(f.submoduleMap p)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffAt 𝕜 n f x
⊢ ContinuousAt f x
a : ℝ≥0∞
⊢ ENNReal.ofReal a.toReal = a ↔ a ≠ ⊤
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ s ⊆ s
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedAddCommMonoid N
f : ι → N
s : Finset ι
i j : ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hne : i ≠ j
⊢ f i + f j ≤ ∑ k ∈ s, f k
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ ((topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => OpenEmbedding) ⊓ topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => Function.Surjective) f ↔ (isomorphisms TopCat).inverseImage Scheme.forgetToTop f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Preregular C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
F : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.regularTopology C) A
X : Dᵒᵖ
⊢ ((e.sheafCongrPreregular A).functor.obj F).val.obj X = F.val.obj (Opposite.op (e.inverse.obj (Opposite.unop X)))
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
tris_big : ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑tris.card
⊢ G.FarFromTriangleFree ε
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
⊢ (∀ (i : ι), IsOpenMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)) → IsOpenMap f
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
u : Aˣ
⊢ spectrum R (↑u * a * ↑u⁻¹) = spectrum R a
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
v : n → α
⊢ (diagonal fun m => star (v m)) = diagonal (star v)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
L : E →L[𝕜] F
r ε : ℝ
x : E
r' : ℝ
r'_mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ ball x r', ∀ z ∈ ball x r', ‖f z - f y - L (z - y)‖ < ε * r
s : ℝ
s_gt : r / 2 < s
s_lt : s < r'
this : s ∈ Ioc (r / 2) r
x' : E
hx' : x' ∈ ball x (r' - s)
B : ball x' s ⊆ ball x r'
⊢ ∀ y ∈ ball x' s, ∀ z ∈ ball x' s, ‖f z - f y - L (z - y)‖ < ε * r
ι : Type u_1
α : Type u_3
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
hf : Summable f
i : ι
⊢ f i ≤ ∑' (i : ι), f i
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
x : F
hx : ¬x = 0
⊢ IsSolvable (X ^ n - C x).Gal
M : Type u_1
Monoid M
u : Mˣ
x : M
⊢ SemiconjBy (↑u) x (↑u * x * ↑u⁻¹)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
⊢ ∃ r > 0, Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type s
CommRing S
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
hf : Function.Injective ⇑f
x y : A
⊢ (WeierstrassCurve.baseChange W B).toAffine.Nonsingular (f x) (f y) ↔
  (WeierstrassCurve.baseChange W A).toAffine.Nonsingular x y
α : Type u_1
u : ℕ → Set α
n : ℕ
⊢ ⋂ k, ⋂ (_ : k < n + 1), u k = u 0 ∩ ⋂ k, ⋂ (_ : k < n), u (k + 1)
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
σ : K ≃ₐ[k] K
φ : K →+* ℂ
⊢ σ • NumberField.InfinitePlace.mk φ = NumberField.InfinitePlace.mk (φ.comp ↑σ.symm)
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a✝ b✝ c : α
P✝ : Finpartition a✝
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a✝
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
a : α
ha : a ∈ ↑(P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts)
b : α
hb : b ∈ ↑(P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts)
h : a ≠ b
⊢ (Disjoint on id) a b
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
comm : a ≫ f₁ = b ≫ f₁
big_k : IsKernelPair (f₁ ≫ f₂) a b
s : PullbackCone f₁ f₁
s' : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂) := PullbackCone.mk s.fst s.snd ⋯
m✝ : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt
m₁ : m✝ ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).fst = s.fst
m₂ : m✝ ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).snd = s.snd
⊢ ∀ (j : WalkingCospan), m✝ ≫ (IsPullback.cone big_k).π.app j = (IsPullback.isLimit big_k).lift s' ≫ (IsPullback.cone big_k).π.app j
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E 𝕜
z : G
⊢ ‖f.smulRight z‖ = ‖f‖ * ‖z‖
R : Type u_2
Ring R
S : Subring R
⊢ S.op.unop = S
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
⊢ ↑⊥.topologicalClosure = closure {0}
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ M.E ⊆ M.E
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.IsClosedImmersion f ↔
  ClosedEmbedding ⇑f.val.base ∧
    ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), Function.Surjective ⇑(AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
MetricSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
SemilatticeSup ι
Nonempty ι
Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f n)
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (g x))
n : ℕ
⊢ μ
    (s ∩
      MeasureTheory.Egorov.notConvergentSeq f g n
        (MeasureTheory.Egorov.notConvergentSeqLTIndex hε hf hg hsm hs hfg n)) ≤
  ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs_m : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
⊢ ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 < ⊤ → IntegrableOn (s.indicator (μ.restrict s[f|m])) s_1 μ
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
s : Finset α
a : α
f : α → β
ha : a ∉ s
comm : (↑(Finset.cons a s ha)).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
⊢ (Finset.cons a s ha).noncommProd f comm = s.noncommProd f ⋯ * f a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_3
NonUnitalSeminormedRing 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
⊢ ⇑(NonUnitalAlgHom.Lmul 𝕜 𝕜') = ⇑(ContinuousLinearMap.mul 𝕜 𝕜')
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
⊢ iteratedDerivWithin n (-f) s x = -iteratedDerivWithin n f s x
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ (Equiv.pointReflection (midpoint R x y)) x = y
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e : PartialHomeomorph M H
f : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
HasGroupoid M G
HasGroupoid M' G'
he : e ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
⊢ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g s x ↔
  ContinuousWithinAt g s x ∧ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ ∀ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ s ∩ t ↔ x ∈ s
α : Type u
β : Type v
EMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
⊢ UniformEmbedding f
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
F.IsEquivalence
h : CategoryTheory.Limits.HasStrongEpiMonoFactorisations C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasStrongEpiMonoFactorisations D
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Fintype R
R' : Type v
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : IsDomain R'
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
F' : Type u_2
inst✝¹ : Field F'
inst✝ : Fintype F'
χ : MulChar F F'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F
hch₂ : ringChar F' ≠ 2
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
n' : ℕ+
hp' : Nat.Prime (ringChar F')
hc' : Fintype.card F' = ringChar F' ^ ↑n'
ψ : PrimitiveAddChar F F' := FiniteField.primitiveChar F F' hch₁
FF' : Type u_2 := CyclotomicField ψ.n F'
hchar : ringChar F' = ringChar FF'
this✝ : Fact (Nat.Prime (ringChar F'))
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF'))
⊢ ((χ.ringHomComp (algebraMap F' FF')) (-1) * ↑(Fintype.card F)) ^ (ringChar FF' ^ ↑n' / 2) = (χ.ringHomComp (algebraMap F' FF')) (↑(ringChar FF') ^ ↑n')
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
x : (PreQuasiregular A)ˣ
⊢ ↑(↑((Unitization.unitsFstOne_mulEquiv_quasiregular R).symm x))⁻¹ = 1 + ↑(PreQuasiregular.equiv.symm ↑x⁻¹)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
P Q : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.biprod.braiding' P Q).inv =
  CategoryTheory.Limits.biprod.desc CategoryTheory.Limits.biprod.inr CategoryTheory.Limits.biprod.inl
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype V
inst✝⁴ : DecidableEq V
G✝ : SimpleGraph V
inst✝³ : DecidableRel G✝.Adj
inst✝² : DecidableEq G✝.ConnectedComponent
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
c : G.ConnectedComponent
⊢ (fun i => if G.connectedComponentMk i = c then 1 else 0) ∈ LinearMap.ker (toLin' (lapMatrix ℝ G))
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => Real.cos (f x)) s x
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
u v : R
⊢ W'.addX (u • P) (v • Q) = ((u * v) ^ 2) ^ 2 * W'.addX P Q
α : Type u_1
s : Set α
x : α
⊢ s.encard - 1 ≤ (s \ {x}).encard
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
x : P₁
⊢ (AffineEquiv.pointReflection k x).symm = AffineEquiv.pointReflection k x
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y z : α
⊢ f.SameCycle x y → f.SameCycle y z → f.SameCycle x z
a b c d a' : List Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ Function.update (Turing.PartrecToTM2.K'.elim a b c d) Turing.PartrecToTM2.K'.main a' =
  Turing.PartrecToTM2.K'.elim a' b c d
s : Set ℝ≥0
⊢ ↑(sSup s) = sSup (NNReal.toReal '' s)
R : Type u
A : Type w
M : Type v₁
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R A)
s : Set M
⊢ ↑(Submodule.span A s) = ↑(Submodule.span R s)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hNF : ¬IsField A
⊢ ¬(↑I)⁻¹ ≤ 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
⊢ S₁.ShortExact ↔ S₂.ShortExact
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p q : R[X]
h1 : p ∣ q
h2 : q ≠ 0
⊢ p.natDegree ≤ q.natDegree
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕝 : Type u_9
NontriviallyNormedField 𝕝
NormedAlgebra 𝕜 𝕝
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (1 - x)⁻¹) 0
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ico (a + n • b) (a + (n + 1) • b))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N
x : α
hxs : x ∈ s
hx : ∀ k ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N, dist (f k x) (g x) ≤ 1 / (↑N + 1)
⊢ dist (f n x) (g x) < δ
s : String
i : String.Pos
h : i ≠ 0
⊢ (s.prev i).byteIdx < i.byteIdx
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
f' : α → ℝ := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
hadd' : s = t + μ.withDensityᵥ f'
this : s.HaveLebesgueDecomposition μ
⊢ μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ) = μ.withDensityᵥ f
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : ⊤ = ⊥
⊢ Splits ((RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).symm.toRingHom.comp (RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).toRingHom) f
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsTrans α r
β : Type u_2
γ : Type u_3
Nonempty γ
f : γ → α
Finite β
D : Directed r f
g : β → γ
⊢ ∃ z, ∀ (i : β), r (f (g i)) (f z)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
f : X → Y
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith C f s
⊢ dimH (range f) ≤ dimH univ