ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
a b : X
h : a ≠ b
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 a, x ≠ b
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
b : ℝ
hb : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) |(g a).im| b
⊢ ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) |(f a).arg * (g a).im| (π * b)
P : Type u_1
BooleanAlgebra P
I : Order.Ideal P
I.IsProper
⊢ I.IsPrime ↔ ∀ {x : P}, x ∈ I ∨ xᶜ ∈ I
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
DecidableEq ι
x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hs : Acc (DFinsupp.Lex r s) (DFinsupp.single i (x i))
hu : Acc (DFinsupp.Lex r s) (DFinsupp.erase i x)
⊢ Acc (DFinsupp.Lex r s) x
α : Type u_2
Sub α
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set α
⊢ s₁ ∩ s₂ - (t₁ ∪ t₂) ⊆ s₁ - t₁ ∪ (s₂ - t₂)
α : Type u
DecidableEq α
i j : α
⊢ Equiv.swap i j = 1 ↔ i = j
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝ : Closed A
⊢ (ihom.coev A).app ((𝟭 C).obj X) ≫ 𝟙 ((ihom A).obj (A ⊗ (𝟭 C).obj X)) = (ihom.coev A).app X
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
⊢ LinearMap.trace R M = contractLeft R M ∘ₗ ↑(dualTensorHomEquiv R M M).symm
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
v : V
p : P
direction : Submodule k V
hv : v ∈ direction
⊢ v +ᵥ p ∈ AffineSubspace.mk' p direction
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι
h₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.Iic n }) 𝕜 (f ∘ Subtype.val)
h : gramSchmidt 𝕜 f n = 0
⊢ False
α : Type u_1
s : Cycle α
h : s.Subsingleton
⊢ s.Nodup
G : Type u_1
Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
⊢ Group.closure s = s
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
⊢ f.eqLocusM f = ⊤
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))
mf : Module.Finite K L
se : Algebra.IsSeparable K L
⊢ (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) * (↑p ^ k * (↑p - 1) - 1) / 2) * (Algebra.norm K) ((aeval ζ) (derivative (cyclotomic (↑p ^ (k + 1)) K))) = (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
α : Sort u_1
DecidableEq α
a : α
p : α → Prop
⊢ (p a ∧ ∀ (b : α), b ≠ a → p b) ↔ ∀ (b : α), p b
α : Type u_2
β : Type u_3
HImp α
HImp β
a b : α × β
⊢ (a ⇨ b).2 = a.2 ⇨ b.2
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
⊢ (F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ (J.diagramCompIso F Q (unop X)).hom.app W) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W
R : Type u
Monoid R
A : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
B₁ : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring B₁
DistribMulAction R B₁
f : A →ₙₐ[R] B₁
g : B₁ → A
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ ⇑(f.inverse g h₁ h₂) = g
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
s : Set F
hs : IsClosed s
this : (fun x => derivWithin f (Ici x) x) ⁻¹' s = {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ s} ∪ {x | ¬DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x} ∩ {_x | 0 ∈ s}
⊢ MeasurableSet ((fun x => derivWithin f (Ici x) x) ⁻¹' s)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
h : LinearMap.IsProj p f
Module.Free R ↥p
Module.Finite R ↥p
Module.Free R ↥(LinearMap.ker f)
Module.Finite R ↥(LinearMap.ker f)
⊢ (LinearMap.trace R M) f = ↑(FiniteDimensional.finrank R ↥p)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
⊢ b ∈ Ι a b ↔ a < b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
⊢ ∀ a ∈ 𝓤 β, True
B : Type u_1
F : Type u_2
E : B → Type u_3
b : B
⊢ range (mk b) = proj ⁻¹' {b}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ S ∈ ⊤.sieves X
A : Type u_7
B : Type u_8
MulZeroClass A
MulZeroClass B
NoZeroDivisors B
e : A ≃* B
⊢ NoZeroDivisors A
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ
aux : ∀ (n : ℤ), 0 < ↑p ^ n
hx0 : ¬x = 0
⊢ ‖x‖ ≤ ↑p ^ n ↔ ‖x‖ < ↑p ^ (n + 1)
f✝ : Bool → Bool → Bool
C : ℕ → Sort u_1
z : C 0
f : (b : Bool) → (n : ℕ) → C n → C (bit b n)
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ binaryRec z f n = ⋯ ▸ f n.bodd n.div2 (binaryRec z f n.div2)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ ↑N = ⊤ ↔ N = ⊤
x y : ℂ
⊢ cosh ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (cosh x)
R : Type u_1
B : Type u_3
CommRing R
Ring B
Algebra R B
x : B
T : Subring R
hx : IsIntegral (↥T) x
⊢ IsIntegral R x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
NormedField 𝕜₂
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
s : Finset ι
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ (s.sup q).comp f = s.sup (q.comp f)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : MeasureTheory.Measure E
X : Ω → E
MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ
⊢ ∫⁻ (x : E), MeasureTheory.pdf X ℙ μ x ∂μ = ℙ Set.univ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
⊢ (∀ (g : G), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = Quotient.mk'' g) ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q
β : Type u_1
o : Ordinal.{u_1}
c : Cardinal.{u_1}
ho : o.card ≤ c
hc : ℵ₀ ≤ c
A : Ordinal.{u_1} → Set β
hA : ∀ j < o, #↑(A j) ≤ c
⊢ #↑(⋃ j, ⋃ (_ : j < o), A j) ≤ c
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ : PartialHomeomorph X Y
e : X ≃ₜ Y
⊢ ⇑e '' univ = univ
N : Type u_2
r : N → N → Prop
AddGroup N
⊢ Covariant N N (fun x x_1 => x + x_1) r ↔ Contravariant N N (fun x x_1 => x + x_1) r
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs✝ : s.IsPWO
ht✝ : t.IsPWO
a✝ : P
u : Set G
hu : u.IsPWO
v : Set P
hv : v.IsPWO
x : G × P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
x✝ : a ∈ {a | (SMulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}
b : G × P
hb : b.1 ∈ s ∧ b.2 ∈ t ∧ b.1 • b.2 = a
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x • y = a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
X : ↑(prelaxfunctor.obj a✝)
⊢ (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.leftUnitor f✝).hom).app X = (((fun {a b c} => mapComp) (𝟙 a✝) f✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight ((fun C => mapId ↑C) a✝).hom (prelaxfunctor.map f✝) ≫ (Bicategory.leftUnitor (prelaxfunctor.map f✝)).hom).app X
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝² : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x✝¹ : E
hh : HasStrictFDerivAt h₂ (smulRight 1 h₂') (f x✝¹)
hf : HasStrictFDerivAt f f' x✝¹
x : E →L[𝕜] 𝕜'
x✝ : E
⊢ (h₂' • x) x✝ = ((ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 (smulRight 1 h₂')).comp x) x✝
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
ii : o
ix : n' ii
ji : o
jx : m' ji
⊢ (blockDiagonal' M)ᵀ ⟨ii, ix⟩ ⟨ji, jx⟩ = blockDiagonal' (fun k => (M k)ᵀ) ⟨ii, ix⟩ ⟨ji, jx⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
a b : α
h : p a ∧ p b
c : α
hc : c ∈ s(a, b)
⊢ p c
x : ℝ≥0
⊢ NNReal.sqrt x = 1 ↔ x = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ (AlgebraicTopology.normalizedMooreComplex C).obj X = AlgebraicTopology.NormalizedMooreComplex.obj X
α : Type u_1
inst✝ : AddGroup α
n : ℕ
hn : (Nat.card α).Coprime n
a : α
⊢ n • (↑n)⁻¹.val • a = a
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P x = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P y
x y : P.M α
r : R x y
⊢ ∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
R : Type u_1
AddGroupWithOne R
H : ∀ (n : ℕ), ↑n = 0 → n = 0
⊢ CharZero R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ℤ
hxy : ↑x ^ 2 - ↑a * ↑y ^ 2 = 0
⊢ ↑x = 0 ∧ ↑y = 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → γ
k : γ → β
h : ∀ x ∈ s, ¬p x
⊢ (∏ x ∈ s, if p x then k (f x) else k (g x)) = ∏ x ∈ s, k (g x)
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
Ibad : I ∈ nonPrincipals R
Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
a : R
ha : I ⊔ Ideal.span {y} = Submodule.span R {a}
b : R
hb : colon I (Ideal.span {y}) = Submodule.span R {b}
⊢ Ideal.span {a} * Ideal.span {b} ≤ I
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ N' : LieSubmodule R L M
⊢ (∀ x ∈ ⊤, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ ∈ N') ↔ N ≤ N'.normalizer
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
SemilatticeInf α
SemilatticeSup β
h : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → f (x ⊓ y) = f x ⊔ f y
⊢ AntitoneOn f s
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
e : M ≃ₛₗ[τ₁₂] M₂
x : M₂
⊢ x ∈ map (↑e) p ↔ e.symm x ∈ p
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
w : V
hn : ↑0 ≤ N
Z : ‖w‖ ^ 0 * (‖w‖ ^ 0 * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤ ‖w‖ ^ 0 * ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ 0 * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (0 + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
⊢ ‖w‖ ^ 0 * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ 0 * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (0 + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
M : Type u_1
CommMonoid M
μ : M
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot μ ↑n
⊢ ↑↑h.toRootsOfUnity = μ
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
⊢ (C r).vars = ∅
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ (indicator s f) i = if hi : i ∈ s then f i hi else 0
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J
π' : Prepartition I
⊢ π' ≤ π.biUnion πi ↔ π' ≤ π ∧ ∀ J ∈ π, π'.restrict J ≤ πi J
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y₁ Y₂ : Center C
f : Y₁ ⟶ Y₂
U : C
⊢ (X.fst ◁ f.f) ▷ U ≫ ((X.tensorObj Y₂).snd.β U).hom = ((X.tensorObj Y₁).snd.β U).hom ≫ U ◁ X.fst ◁ f.f
G : Type u_1
AddGroup G
K : AddSubgroup G
ι : Type u_3
t : Finset ι
f : ι → G
comm : (↑t).Pairwise fun a b => AddCommute (f a) (f b)
⊢ (∀ c ∈ t, f c ∈ K) → t.noncommSum f comm ∈ K
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
⊢ ∀ (t : Set α), (OuterMeasure.ofFunction m h₀) (t ∩ s) + (OuterMeasure.ofFunction m h₀) (t \ s) ≤ (OuterMeasure.ofFunction m h₀) t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ Disjoint {a} s
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
x : K
x✝² x✝¹ : A
x✝ : x✝¹ ∈ S
⊢ ((algebraMap A K) x✝¹)⁻¹ = (↑((IsUnit.liftRight ((IsLocalization.toLocalizationMap A⁰ K).toMap.restrict A⁰) ⋯) ⟨x✝¹, ⋯⟩))⁻¹
α : Type u_1
InvolutiveStar α
s : Set α
⊢ (star s).Nonempty ↔ s.Nonempty
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
h0 : p 0 = 0
n : ℕ
v : Fin n → F
⊢ (p.comp (p.rightInv i) n) v = (id 𝕜 F n) v
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.homologyι S.fromOpcycles = 0
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
f : E → F
g : ι → E
hf : f =O[𝓝 0] id
hg : Summable fun x => ‖g x‖
⊢ Summable fun x => ‖f (g x)‖
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
a b : α
h : a ≤ b
S : Set ↑(Set.Icc a b)
hS : S.Nonempty
⊢ ↑(sSup S) = sSup (Subtype.val '' S)
a b c k : ℤ
hk0 : k ≠ 0
⊢ Fermat42 a b c ↔ Fermat42 (k * a) (k * b) (k ^ 2 * c)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
Monoid K
(i : ι) → Monoid (G i)
Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
hn : Nonempty ι
f g : Monoid.PushoutI φ →* K
h : ∀ (i : ι), f.comp (Monoid.PushoutI.of i) = g.comp (Monoid.PushoutI.of i)
⊢ f = g
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
𝕜 : Type u_15
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
NormedDivisionRing 𝕜
g : α → F
f' : α → E'
l : Filter α
Module 𝕜 E'
BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ (fun x => c • f' x) =o[l] g ↔ f' =o[l] g
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ AddSubmonoid.closure {p | ∃ n a, p = (monomial n) a} = ⊤
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
f : R[X]
⊢ ∀ (a : ℕ), f.coeff a ∈ I ^ a ↔ a ∈ f.support → f.coeff a ∈ I ^ a
M : Type v
Monoid M
J : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.SingleObj M) (Type u)
p : ↑(MulAction.fixedPoints M (J.obj (CategoryTheory.SingleObj.star M)))
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.SingleObj M), ↑((CategoryTheory.Limits.SingleObj.Types.sections.equivFixedPoints J).symm p) x = ↑p
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
p' : Filter ι'
h : TendstoUniformly F f p
h' : TendstoUniformly F' f' p'
⊢ TendstoUniformly (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ p')
m n : ℕ
⊢ ↑(-[m+1].gcd -[n+1]) = -(↑m + 1) * -m.succ.gcdA -[n+1].natAbs + -(↑n + 1) * - -[m+1].natAbs.gcdB n.succ
s : ℂ
n : ℕ
h1 : -s.re < ↑n
u : ∀ (k : ℕ), GammaAux (⌊1 - s.re⌋₊ + k) s = Gamma s
⊢ n = ⌊1 - s.re⌋₊ + (n - ⌊1 - s.re⌋₊)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Limits.imageSubobject S.f = CategoryTheory.Limits.kernelSubobject S.g
G : Type u_1
Group G
h : IsCyclic G
σ : G →* G
⊢ ∃ m, ∀ (g : G), σ g = g ^ m
I : Type u
β : Type u_2
DecidableEq I
Zero β
i : I
x : β
i' : I
⊢ Pi.single i x i' = if i' = i then x else 0
α : Type u
Zero α
One α
⊢ 1 = !![1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1]
x : ℝ≥0∞
h : 0 < x.toReal
⊢ x.log = ↑(Real.log x.toReal)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.1522, u_2} D
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
X : C
S : Presieve X
inst✝¹ : S.Extensive
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
inst✝ : PreservesFiniteProducts F
⊢ IsSheafFor F S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
h : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (⊤, ⊤)) (𝓝 (⊤ - ⊤))
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
f : α → ℝ
g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ.tilted f = ∫⁻ (x : α) in s, ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * g x ∂μ
n : ℕ
x : Turing.PartrecToTM2.Γ'
⊢ x ∈ Turing.PartrecToTM2.trNat n → Turing.PartrecToTM2.natEnd x = false
α : Type u
β : Type v
l : List α
k : Nat
hk : k < l.length
l' : List α
⊢ (l ++ l').eraseIdx k = l.eraseIdx k ++ l'
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
n : ℕ
v : Fin (n + 2) → F
N : 0 < n + 2
c : Composition (n + 2)
hc : c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset
j : ℕ
hj1 hj2 : j < c.length
⊢ applyComposition (fun k => if k < n + 2 then p.rightInv i k else 0) c v ⟨j, hj1⟩ = (p.rightInv i).applyComposition c v ⟨j, hj2⟩
R : Type u
inst✝ : Semiring R
q : ℕ
h : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
⊢ ringExpChar R = q
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
r : α
A : Matrix n n α
⊢ (of fun i => (r ^ (Fintype.card n - 1) • Aᵀ.cramer) (Pi.single i 1)) = r ^ (Fintype.card n - 1) • of fun i => Aᵀ.cramer (Pi.single i 1)
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
n : ℕ
h : p.natDegree < n
⊢ (Polynomial.hasseDeriv n) p = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f
g' : cokernel S.f ⟶ S.X₃ := cokernel.desc S.f S.g ⋯
⊢ S.RightHomologyData
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a : Option α
b : Option β
f : γ → β → δ
g : α → γ
⊢ Option.map₂ f (Option.map g a) b = Option.map₂ (fun a b => f (g a) b) a b
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
e : Perm α
⊢ ∀ (f : Perm α) (x y : α), x ≠ y → Perm.sign (optionCongr f) = Perm.sign f → Perm.sign (optionCongr (swap x y * f)) = Perm.sign (swap x y * f)
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
⊢ ↑(DoubleQuot.quotQuotEquivCommₐ R I J) = DoubleQuot.quotQuotEquivComm I J
R : Type uR
CommRing R
A : Type uA
AddCommGroup A
Module R A
c : CharacterModule A
r : R
a : A
⊢ (r • c) a = c (r • a)
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
α : Type u_6
l : Filter α
f : α → Z
z : Z
hz : z ∈ e.source
⊢ Tendsto f l (𝓝 z) ↔ Tendsto (proj ∘ f) l (𝓝 (proj z)) ∧ Tendsto (fun x => (↑e (f x)).2) l (𝓝 (↑e z).2)
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t => ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
⊢ ↑(d ⟨c₁ 1, ⋯⟩) ^ s = ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)
α : Type u
SemilatticeInf α
S : Set α
H : ∀ ⦃i j : α⦄, i ∈ S → j ∈ S → i ⊓ j ∈ S
⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ≥ x_1) S
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace X
s : Set X
a : X
⊢ a ∈ closure s ↔ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 a)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
e : V ≃ₗᵢ[𝕜] V₂
⊢ e.toAffineIsometryEquiv.toAffineEquiv = e.toAffineEquiv
α : Type u_1
M' : Type u_6
N : Type u_7
Zero N
f : α → M'
g : α → N
hf : Function.Injective f
⊢ Function.support (Function.extend f g 0) = f '' Function.support g
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₁ * d₂
⊢ Associated (d₁ ^ k) a
A : Type u_5
CommRing A
m : Type u_6
n : Type u_7
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
M : Matrix n m A
N M' : Matrix m n A
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
⊢ (M * N).det = (N * M).det
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
hp2 : p2 ∈ s
r1 r2 : ℝ
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
⊢ ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + |r1 - r2| * |r1 - r2| * ‖v‖ * ‖v‖ = dist p1 p2 * dist p1 p2 + (r1 - r2) * (r1 - r2) * (‖v‖ * ‖v‖)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
P : C → Prop
self : CategoryTheory.ClosedUnderIsomorphisms P
X Y : C
⊢ (X ≅ Y) → P X → P Y
R : Type u
CommSemiring R
ι : Type u_1
s : Finset ι
p : ι → R[X]
x : R
⊢ Polynomial.eval x (∏ j ∈ s, p j) = ∏ j ∈ s, Polynomial.eval x (p j)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : CategoryTheory.GlueData C
⊢ D.diagram.left = D.V
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y✝ : α
s t : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x (closure s) < ⊤
ε0 : 0 < ↑ε / 2
this : infEdist x (closure s) < infEdist x (closure s) + ↑ε / 2
y : α
ycs : y ∈ closure s
hy : edist x y < infEdist x (closure s) + ↑ε / 2
⊢ infEdist x s ≤ infEdist x (closure s) + ↑ε
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α✝ : F✝ ⟶ G
inst✝ : HasColimitsOfShape K C
F : J ⥤ C
E₁ E₂ : K ⥤ J
α : E₁ ⟶ E₂
j✝ : K
⊢ ι (E₁ ⋙ F) j✝ ≫ pre F E₁ = ι (E₁ ⋙ F) j✝ ≫ colim.map (whiskerRight α F) ≫ pre F E₂