ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : 0 ∉ t
a✝ : Nontrivial R
⊢ t.prod.natDegree = (Multiset.map natDegree t).sum
α : Type u_1
Lattice α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ Set.Icc a₁ b₁ ∩ Set.Icc a₂ b₂ = Set.Icc (a₁ ⊔ a₂) (b₁ ⊓ b₂)
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Polynomial.eval x P) Filter.atTop Filter.atBot ↔ 0 < P.degree ∧ P.leadingCoeff ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : ↥(MeasureTheory.Lp β 1 μ)
hf : MeasureTheory.Integrable (↑↑f) μ
⊢ MeasureTheory.Integrable.toL1 (↑↑f) hf = f
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a : α
C : α → Sort u_2
WellFoundedGT α
H_pred : (a : α) → ¬IsMin a → C a → C (Order.pred a)
H_lim : (a : α) → Order.IsPredLimit a → ((b : α) → b > a → C b) → C a
ha : Order.IsPredLimit a
⊢ PredOrder.limitRecOn a H_pred H_lim = H_lim a ha fun x x_1 => PredOrder.limitRecOn x H_pred H_lim
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β
s t : Set β
⊢ r.core (s ∩ t) = r.core s ∩ r.core t
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
W : Type u₂
inst✝ : Quiver W
F_obj : V → W
map✝¹ map✝ : {X Y : V} → (X ⟶ Y) → (F_obj X ⟶ F_obj Y)
h_obj : ∀ (X : V), { obj := F_obj, map := map✝¹ }.obj X = { obj := F_obj, map := map✝ }.obj X
h_map : ∀ (X Y : V) (f : X ⟶ Y), { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ ({ obj := F_obj, map := map✝ }.map f))
⊢ map✝¹ = map✝
R : Type u
CommRing R
X Y : AlgebraCat R
i : X ≅ Y
a : ↑Y
⊢ i.toAlgEquiv.symm a = i.inv a
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
m n : ℕ
hm : p m
hn : p n
heq : Nat.count p m = Nat.count p n
⊢ m = n
g : Int
⊢ Lean.Omega.IntList.sdiv [] g = []
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X Y : C
R : CategoryTheory.Presieve X
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P R
t : x.Compatible
f : Y ⟶ X
hf : R f
⊢ x.sieveExtend f ⋯ = x f hf
R : Type u
CommSemiring R
n : ℕ
j : Fin n
⊢ (MvPolynomial.finSuccEquiv R n) (MvPolynomial.X j.succ) = Polynomial.C (MvPolynomial.X j)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
a : Set (α × α)
ha : a ∈ 𝓤 α
n : ℕ
hn : ∀ k ≥ n, ∀ l ≥ n, (s k, s l) ∈ a
m : ℕ
hm : m ≤ n
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ {k | k ≤ n}), s m ∈ {x | (x, s i) ∈ a}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : Type w
CategoryTheory.Category.{t, w} J
F : J ⥤ C
X : Cᵒᵖ
s : ↑(F ⋙ CategoryTheory.coyoneda.obj X).sections
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneOfSectionCompCoyoneda F X s).pt = Opposite.unop X
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Add G
f g : AddMonoidAlgebra k G
x : G
s : Finset (G × G)
hs : ∀ {p : G × G}, p ∈ s ↔ p.1 + p.2 = x
⊢ (f * g) x = ∑ p ∈ s, f p.1 * g p.2
α : Type u_1
l l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ t : List α
s : t <+ l₁
e : t ++ l₂ = l₁ ∪ l₂
h : ¬a ∈ l₁ ∪ l₂
⊢ a :: t ++ l₂ = a :: l₁ ∪ l₂
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
μ.IsComplete
⊢ MeasurableSet s
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
I : Type u_1
Y : I → C
X : C
i : I
g : X ⟶ Y i
Z : C
h : Z ⟶ X
⊢ (ofObjects Y X).arrows h
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
m : Fin (n + 1) →₀ ℕ
⊢ (∃ a ∈ (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support, cons i a = m) ↔ coeff m f ≠ 0 ∧ m 0 = i
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivWithinAt g₁ g₁' t' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hst : MapsTo h s t'
hy : y = h x
⊢ HasDerivWithinAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') s x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f g : α → β
t : Set α
inst✝ : (x : α) → Decidable (x ∈ t)
a : α
s : Set α
l : Filter β
h₀ : Tendsto f (𝓝[s ∩ t] a) l
h₁ : Tendsto g (𝓝[s ∩ tᶜ] a) l
⊢ Tendsto (t.piecewise f g) (𝓝[s] a) l
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n => ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
L : R
n : ℕ
hL : f n - L ∈ I ^ n
⊢ (1 + -(x * y)) * L - 1 - 0 ∈ I ^ n
α : Type u
OrderedAddCommGroup α
⊢ ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
f : Arrow D
⊢ f ∈ L.mapArrow.essImage
n i : Nat
x : BitVec n
⊢ (BitVec.truncate i x).toNat = x.toNat % 2 ^ i
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : BorelSpace G
g : G → E'' →L[𝕜] E'
hf : LocallyIntegrable f μ
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x₀ : G
x : E''
this : ConvolutionExistsAt f g x₀ (precompR E'' L) μ
⊢ ((f ⋆[precompR E'' L, μ] g) x₀) x = (f ⋆[L, μ] fun a => (g a) x) x₀
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F K[X] R[X]
inst✝ : MonoidHomClass F K[X] R[X]
φ : F
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰
f : RatFunc K
⊢ (map φ hφ) f = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ f.num) / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ f.denom)
R : Type u
Semiring R
h : IsField R
⊢ Nontrivial R
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
h : Fintype.card P = Fintype.card L
n : ℕ := lineCount L p₂
hp₂ : lineCount L p₂ = n
hl₁ : pointCount P l₁ = n
hp₃ : lineCount L p₃ = n
⊢ lineCount L p = lineCount L q
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
inst✝ : Nonempty γ
h : ∃ e, g = e ∘ f
x✝¹ x✝ : α
hf : f x✝¹ = f x✝
⊢ g x✝¹ = g x✝
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
MulAction R X
r : X
s : ↥S
t : R
hst : t * ↑s ∈ S
⊢ r /ₒ s = t • r /ₒ ⟨t * ↑s, hst⟩
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
⊢ (α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂) = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hε' : ε ≠ ⊤
⊢ ε * μ {x | ε ≤ f x} ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
LE α
S : Set (UpperSet α)
⊢ ↑(sSup S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
R : CommRingCat
U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))
⊢ ((structureSheaf ↑R).val.map (𝟙 (op ((TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 (topObj R))).obj U✝)))) ((eqToHom ⋯) x✝) = (𝟙 ((structureSheaf ↑R).val.obj (op U✝))) x✝
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
H : (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤
this : ∑ x ∈ s, ↑(f x).toNNReal * ↑(g x).toNNReal ≤ (∑ x ∈ s, ↑(f x).toNNReal ^ p) ^ p⁻¹ * (∑ x ∈ s, ↑(g x).toNNReal ^ q) ^ q⁻¹
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
m : ↥M
⊢ x • mk' S 1 m = mk' S x m
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : 1 < p
⊢ pNilradical R p = nilradical R
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x : R₁
hx : x ≠ 0
⊢ ↑(Ideal.span {x}) / ↑(Ideal.span {x}) = 1
ι : Type u_1
R : Type u_2
LinearOrderedSemiring R
a b : ι → R
OrderTop R
s : Finset ι
ha : ∀ i ∈ s, 0 ≤ a i
hb : ∀ i ∈ s, 0 ≤ b i
⊢ s.inf a * s.inf b ≤ s.inf (a * b)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (𝟙_ C)).hom = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (𝟙_ C)).hom
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ multiplicity a b ≠ 0 ↔ a ∣ b
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
F : CategoryTheory.Functor J C
j : J
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor F).inv.app j = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (F.obj j)).inv
x y : ℝ≥0
⊢ 1 ≤ sqrt x ↔ 1 ≤ x
M : Type u_2
σ : Type u_3
CanonicallyOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
NoZeroSMulDivisors ℕ M
hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0
⊢ MvPolynomial.NonTorsionWeight w
R : Type u
Neg R
x : Tropical R
⊢ Tropical.untrop x⁻¹ = -Tropical.untrop x
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : HasDerivWithinAt f f' S x
⊢ S ∈ 𝓝[>] x
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ abs (∑ k ∈ filter (fun k => n ≤ k) (range j), x ^ k / ↑k.factorial) ≤ abs x ^ n * (↑n.succ * (↑n.factorial * ↑n)⁻¹)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
f : β → Set α
hf : Pairwise (Disjoint on f)
s : Set α
h'f : ∀ (t : β), f t ⊆ s
hs : Countable ↑s
⊢ Countable ↑{t | (f t).Nonempty}
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
M₂ : Type u_10
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
f : M₂ →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective fun g => g.compLinearMap f
α : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi =ᶠ[l] t i hi
⊢ ⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), s i h =ᶠ[l] ⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), t i h
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))
n : Nat
n_pos : n > 0
⊢ (2 * n - 1) % 2 = 1
α : Type u_3
MeasurableSpace α
M : Type u_4
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
self : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ ↑self ∅ = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoMetricSpace X
PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
⊢ dist (f x) (f y) ≤ ↑C * dist x y ^ ↑r
a b : ℤ
⊢ a < b ∨ b ≤ a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
x : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffAt I' I n (f i) x
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) x
n m : ℕ
i : ℕ
H : i < (List.range' n m).length
⊢ (List.range' n m).nthLe i H = n + i
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
r : ℝ≥0∞
⊢ EMetric.diam (EMetric.ball x r) ≤ 2 * r
G : Type u_1
CommGroup G
⊢ CommMonoid.torsion G = (CommGroup.torsion G).toSubmonoid
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
h : u ∈ c.support
⊢ (c.rotate h).support.tail ~r c.support.tail
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
F.IsContinuous J K
G : CategoryTheory.SheafOfTypes K
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J (F.op.comp G.val)
α : Type u_2
DecidableEq α
Group α
s : Finset α
⊢ IsUnit s ↔ ∃ a, s = {a}
β : Type u_2
AddGroup β
γ : Type u_3
AddGroup γ
u : UniformSpace γ
UniformAddGroup γ
F : Type u_4
FunLike F β γ
AddMonoidHomClass F β γ
f : F
⊢ UniformAddGroup β
n : ℕ
hn : NeZero n
h : orderOf (a 1) < 2 * n
h1 : a 1 ^ orderOf (a 1) = 1
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : CategoryTheory.Subobject X
h : P.Factors P.arrow
⊢ P.factorThru P.arrow h = 𝟙 (CategoryTheory.Subobject.underlying.obj P)
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
hf : UniformInducing f
ι : Sort u_1
p : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
H : (𝓤 β).HasBasis p s
⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun i => Prod.map f f ⁻¹' s i
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q) ((ν a).restrict s)
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
h : a ≠ 0
g : G₀
⊢ (fun g => g * a) (g * a⁻¹) = g
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : -x = r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x)
⊢ o.oangle (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x - x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal S P
z✝ : P
h : z✝ ∈ I
⊢ ↑I.den • z✝ ∈ I
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
⊢ C x₁ hx₁
k : ℕ
⊢ W k ≤ π / 2
𝓕 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
FunLike 𝓕 E F
OneHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
K : ℝ≥0
h : AntilipschitzWith K ⇑f
x : E
⊢ ‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
m n✝ a✝ b✝ c d a b n : ℤ
⊢ a ≡ b [ZMOD n] ↔ ∃ t, b = a + n * t
P : Type u_1
DistribLattice P
I J : Order.Ideal P
⊢ ↑(I ⊔ J) = {x | ∃ i ∈ I, ∃ j ∈ J, x = i ⊔ j}
a b c b' c' : ℕ
h1 : a.pow b' = c'
hb : 2 * b' + 1 = b
hc : c' * (c' * a) = c
⊢ (Int.negOfNat a).pow b = Int.negOfNat c
𝕜 : Type u
n : ℕ
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.castSucc) (Ei (Fin.last n) →L[𝕜] G)
m : (i : Fin n.succ) → Ei i
⊢ ‖(f (Fin.init m)) (m (Fin.last n))‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : Fin n.succ, ‖m i‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
DecidableEq α
DecidableEq β
DecidableEq γ
SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.ExplicitDisjoint t
⊢ (↑(Finset.map SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.toTriangle t)).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
⊢ rootOfSplitsXPowSubC hn a L ^ n = (algebraMap K L) a
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
ι₁ : Type u_4
s₁ : Finset ι₁
w₁ : ι₁ → ℝ
v₁ : ι₁ → F
h₁ : ∑ i ∈ s₁, w₁ i = 0
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₂ : ι₂ → ℝ
v₂ : ι₂ → F
h₂ : ∑ i ∈ s₂, w₂ i = 0
⊢ ⟪∑ i₁ ∈ s₁, w₁ i₁ • v₁ i₁, ∑ i₂ ∈ s₂, w₂ i₂ • v₂ i₂⟫_ℝ =
  (-∑ i₁ ∈ s₁, ∑ i₂ ∈ s₂, w₁ i₁ * w₂ i₂ * (‖v₁ i₁ - v₂ i₂‖ * ‖v₁ i₁ - v₂ i₂‖)) / 2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
ι : Type u_1
DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C
⊢ (HomologicalComplex.singleObjCyclesSelfIso c j A).inv ≫ ((HomologicalComplex.single C c j).obj A).homologyπ j =
  (HomologicalComplex.singleObjHomologySelfIso c j A).inv
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
f : M ↪ₑ[L] N
⊢ f.toEmbedding.toHom = f.toHom
x : ℕ
x.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat x ≠ ⊤
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h : IsLowerSet ↑𝒜
s t : Finset α
hts : t ≤ s
⊢ s ∈ ↑(Finset.memberSubfamily a 𝒜) → t ∈ ↑(Finset.memberSubfamily a 𝒜)
m n k : ℕ
⊢ m.gcd (k * m + n) = m.gcd n
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
⊢ volume (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) ≠ 0
X : HeytAlg
⊢ CategoryTheory.HasForget₂.forget₂.obj X = BddDistLat.of ↑X
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
⊢ s ⊆ ↑↑(lieSpan R L s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : D
⊢ ∀ (x x_1 : D) (f : x ⟶ x_1), X ◁ f = e.functor.map (e.inverse.obj X ◁ e.inverse.map f)
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Ring S
r : S
⊢ (X - C r).leadingCoeff = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
a b : WithBot α
⊢ a * b = if a = 0 ∨ b = 0 then 0 else WithBot.map₂ (fun x x_1 => x * x_1) a b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
p : Set β → Prop
⊢ (∃ s, ∃ (_ : s ⊆ Set.range f), p s) ↔ ∃ s, p (f '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
b : ℝ
⊢ Tendsto (fun δ => μ (Icc (b - δ) (b + δ))) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ {b}))
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
LocallyConnectedSpace X
f : X → Y
h : ∀ (U : Set X), IsConnected U → IsClopen U → ∀ x ∈ U, ∀ y ∈ U, f y = f x
⊢ IsLocallyConstant f
xs ys : Lean.Omega.IntList
i : Nat
⊢ (xs + ys).get i = xs.get i + ys.get i
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ
⊢ IsBigOWith c l (fun x => ‖f' x‖) g ↔ IsBigOWith c l f' g
R : Type u_6
F : Filter R
LinearOrder R
F.NeBot
cobdd : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F
⊢ ∃ l, ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : LipschitzWith K f
hK : K ≠ 0
x : α
r : ℝ
⊢ Set.MapsTo f (Metric.ball x r) (Metric.ball (f x) (↑K * r))
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
Group α
DistribMulAction α A
a : α
S T : AddSubmonoid A
⊢ a • S ≤ T ↔ S ≤ a⁻¹ • T
E : Type u_1
ι : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
Finite ι
⊢ MeasurableSet (Zspan.fundamentalDomain b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : SchwartzMap E F
x : E
⊢ ((SchwartzMap.fderivCLM 𝕜) f) x = fderiv ℝ (⇑f) x
n : ℕ
hn : 2 < n
this✝ : Fact (1 < n)
this : NeZero n
⊢ Even (φ n)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
F : CategoryTheory.Functor E C
{X B : E} →
    (π : X ⟶ B) →
      [inst : CategoryTheory.EffectiveEpi π] →
        CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan π π) F
F.PreservesEffectiveEpis
hP : CategoryTheory.regularTopology.EqualizerCondition P
⊢ CategoryTheory.regularTopology.EqualizerCondition (F.op.comp P)
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
h : s ≠ t
⊢ (edge s t).edgeSet = {s(s, t)}
M G✝ : Type v
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Group G✝
G : Type v
inst✝ : Group G
J : SingleObj G ⥤ Type u
x y : J.obj (SingleObj.star G)
h : ∀ (g : G), y = g • x ↔ g • x = y
⊢ Types.Quot.Rel J ⟨SingleObj.star G, x⟩ ⟨SingleObj.star G, y⟩ ↔ (MulAction.orbitRel G (J.obj (SingleObj.star G))).Rel x y
p : ℕ → Prop
n : ℕ
h : ∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card
⊢ IsLeast {i | p i ∧ ∀ k < n, Nat.nth p k < i} (Nat.nth p n)
x : ℝ
hl : -(Real.pi / 2) ≤ x
hu : x ≤ Real.pi / 2
⊢ 0 ≤ Real.cos x
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Primrec₂ fun l a => l ++ [a]
R : Type u_1
Bornology R
Sub R
BoundedSub R
s t : Set R
hs : Bornology.IsBounded s
ht : Bornology.IsBounded t
⊢ Bornology.IsBounded (s - t)
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
this : Fact (μ ↑I < ⊤)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : ℕ → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x ↑(r x) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
x✝ : π.IsPartition
⊢ ∀ b ∈ Finset.image (fun J => N (π.tag J)) π.boxes, ‖integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul (π.filter fun x => N (π.tag x) = b)‖ ≤ ↑(δ b)
R : Type u
Ring R
M N : ModuleCat R
φ : (CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).obj M ⟶ (CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).obj N
hφ : ∀ (r : R), φ ≫ N.smul r = M.smul r ≫ φ
a : ↑((CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).obj M)
⊢ (ModuleCat.homMk φ hφ) a = φ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f₁ f₁' : α → β
f₂ f₂' : α → γ
h₁ : f₁ =ᵐ[μ] f₁'
h₂ : f₂ =ᵐ[μ] f₂'
g : β → γ → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), g (f₁ a) (f₂ a) ∂μ = ∫⁻ (a : α), g (f₁' a) (f₂' a) ∂μ