ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h✝ : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr
h : ω ≤ e.repr
⊢ succ e.repr * b ≤ e.repr * ω
K : Type u
Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
L : Type u_1
Field L
Algebra K L
Polynomial.IsSplittingField K L (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
⊢ (adjoinRootXPowSubCEquiv hζ H hα) (AdjoinRoot.root (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)) = α
α : Type u_1
β : α → Type u_2
p : α → Prop
DecidablePred p
s : (i : α) → Set (β i)
⊢ ⇑(Equiv.piEquivPiSubtypeProd p β).symm ⁻¹' Set.univ.pi s = (Set.univ.pi fun i => s ↑i) ×ˢ Set.univ.pi fun i => s ↑i
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t : Set G
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
⊢ IsClosed (op '' s • t)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f g : α → β
⊢ ↑f = ↑g ↔ f =ᶠ[l] g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.HasLiftingProperty i p ↔ CategoryTheory.HasLiftingProperty p.op i.op
α : Type u_1
f : Part α →o Part α
hc : OmegaCompletePartialOrder.Continuous f
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous (Part.toUnitMono f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
K : ConvexCone ℝ H
hc : IsClosed ↑K
x : H
hx : x ∈ ↑K
f : ℝ → H := fun x_1 => x_1 • x
⊢ K.Pointed
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
h : Module.rank R M = 0
⊢ FiniteDimensional.finrank R M = 0
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this✝ : SeparableSpace ↑s
this : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k => Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i => ↑(φ k) ∘ X i
A : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
x : M
⊢ x ∈ ⊤
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (x : σ → R), (eval x) p = (eval x) p
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α
h : Nodup ⟦l⟧
⊢ ∀ x ∈ l.sublists', ∀ y ∈ l.sublists', ↑x = ↑y → x = y
x : ℝ
⊢ Int.fract x ∈ unitInterval
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : σ → τ
hf : Function.Injective f
φ : MvPolynomial σ R
d : σ →₀ ℕ
⊢ MvPolynomial.coeff (Finsupp.mapDomain f d) ((MvPolynomial.rename f) φ) = MvPolynomial.coeff d φ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ L (fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L 1) s / L 1 s
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Antitone f
x y : α
h : x < y
⊢ f y ≤ Function.rightLim f x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
γ' : Cochain L M 0
⊢ (γ.comp γ' ⋯).leftShift a n' hn' = (γ.leftShift a n' hn').comp γ' ⋯
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : chainLength α β < n + chainTopCoeff (⇑α) β
this : rootSpace H (-((n + chainTopCoeff (⇑α) β) • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥
⊢ rootSpace H (-↑n • ⇑α + ⇑β) = ⊥
X : Type u
α : Type v
TopologicalSpace X
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
PreconnectedSpace X
a : X
l : Filter X
l.NeBot
f g : X → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
ha : f a ≤ g a
he : g ≤ᶠ[l] f
⊢ ∃ x, f x = g x
R : Type x
NonUnitalNonAssocRing R
a b c : R
⊢ Commute a c → Commute b c → Commute (a - b) c
n k : ℕ
h : k ≤ n
i j : ℕ
⊢ i + j = n ∧ j ≤ k ↔ ∃ a, a + j = k ∧ a + (n - k) = i
α β : Sort u
a : α
b : β
p : (T : Sort u) → T → Prop
h₁ : HEq a b
h₂ : p α a
⊢ p β b
K : Type u_1
DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
Nontrivial Γ₀
v : Valuation K Γ₀
x : K
⊢ v x = 0 ↔ x = 0
α : Type u_2
DecidableEq α
CommSemigroup α
s t : Finset α
⊢ s ∩ t * (s ∪ t) ⊆ s * t
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑(v.restrict univ) i = ↑v i
α : Type u_1
s₁ s₂ : Finset α
⊢ ↑s₁ ⊂ ↑s₂ ↔ s₁ ⊂ s₂
R : Type u
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
Ring R
StrongRankCondition R
(i : η) → AddCommGroup (φ i)
(i : η) → Module R (φ i)
∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
Finite η
⊢ Module.rank R ((i : η) → φ i) = Cardinal.sum fun i => Module.rank R (φ i)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
W : α → Sort w
Z : β → Sort z
h₁ : α ≃ β
h₂ : (a : α) → W a ≃ Z (h₁ a)
f : (a : α) → W a
a : α
⊢ (h₁.piCongr h₂) f (h₁ a) = (h₂ a) (f a)
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
ha : 0 ≤ a
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ⌊a + OfNat.ofNat n⌋₊ = ⌊a⌋₊ + OfNat.ofNat n
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.26109, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.26113, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
a : A
X : C
⊢ (F.shiftIso 0 a a ⋯).hom.app X = (shiftFunctorZero D A).hom.app ((F.functor a).obj X)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
⊢ gauge s x = 1 ↔ x ∈ frontier s
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
⊢ c.toComposition.length = c.length
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid β
l : Filter α
f g : α → β
C : β
hC : ∀ᶠ (x : α) in l, C ≤ g x
h : Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto f l Filter.atBot
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
P : CategoryTheory.Subobject Y
f : X ⟶ Y
⊢ P.Factors f ↔ (CategoryTheory.Subobject.representative.obj P).Factors f
⊢ ∀ {X Y : TopCat} (f : X ⟶ Y), topToLocale.map f = Quiver.Hom.op (TopologicalSpace.Opens.comap f)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
s : Finset α
⊢ (Finset.mapEmbedding f) s = Finset.map f s
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsOpenImmersion f
H : P g
⊢ P (f ≫ g)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ -y = 0
⊢ ‖x‖ / Real.cos (angle x (x - y)) = ‖x - y‖
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
a : α
⊢ (κ.singularPart η) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hr : S.RightHomologyData
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
S.HasRightHomology
F.PreservesRightHomologyOf S
⊢ S.mapRightHomologyIso F = (hr.map F).rightHomologyIso ≪≫ F.mapIso hr.rightHomologyIso.symm
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
⊢ (CategoryTheory.Limits.colimit.cocone F).pt = CategoryTheory.Limits.colimit F
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c✝ d c : α
⊢ a / c < b / c ↔ a < b
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
hz : ‖z‖ = 1
⊢ z.inv * z = 1
x y : ℝ
⊢ ↑x ≠ ↑y ↔ x ≠ y
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
⊢ Subalgebra.centralizer R s = ⊤ ↔ s ⊆ ↑(Subalgebra.center R A)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj F G).map f = G.map (F.map f)
α : Type u
R : α → α → Prop
H : Symmetric R
⊢ Symmetric (Computation.LiftRel R)
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ x • ↑y = ↑(x * y)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
⊢ ∃ a, ∀ (b : ℕ), a ≤ b → seminormFromConst_seq c f x b ≤ f x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α
⊢ (a ⇨ b)ᶜᶜ ≤ aᶜᶜ ⇨ bᶜᶜ
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
n : ℕ
M : Submodule R Aᵐᵒᵖ
⊢ Submodule.map (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm) (M ^ n) = Submodule.map (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm) M ^ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ f = 0 ↔ ∀ (a : CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement P), CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f a = 0
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
fA : f ∈ GromovHausdorff.candidates X Y
⊢ LipschitzWith (2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) f
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_3
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
Nontrivial R
I : FractionalIdeal R⁰ K
⊢ I.num = 0 ↔ I = 0
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module ℂ M
FiniteDimensional ℂ M
Q : QuadraticForm ℂ M
hQ : LinearMap.SeparatingLeft (QuadraticMap.associated Q)
⊢ QuadraticMap.Equivalent Q (QuadraticMap.weightedSumSquares ℂ 1)
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a₀ b₀ : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) volume
ha : Tendsto a l (𝓝 a₀)
hb : Tendsto b l (𝓝 b₀)
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I
i : ι
hi : ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i) ∩ Ioc a₀ b₀, ‖f x‖ ∂volume ≤ I
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x✝² : (p : R[X]) ×' p ≠ 0
a✝¹ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y x✝² → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
p✝ : R[X]
x✝¹ : p✝ ≠ 0
a✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p✝, x✝¹⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
p : R[X]
hp : p ≠ 0
x✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p, hp⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
⊢ (p /ₘ (X - C x)).natDegree < p.natDegree
M : Type u_2
MulOneClass M
S₁ S₂ : Submonoid Mᵐᵒᵖ
⊢ (S₁ ⊔ S₂).unop = S₁.unop ⊔ S₂.unop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a_1 : γ), κ.density ν a a_1 (seq i) ∂ν a) atTop (𝓝 (∫ (a : γ), 0 ∂ν a))
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R✝ S
I : Ideal S
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
⊢ ∀ ⦃S : Type u_3⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → (∀ {x : S}, IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x) → (∀ {x : S ⧸ I}, IsUnit ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J)) x) → IsUnit x) → ∀ {x : S}, IsUnit ((Ideal.Quotient.mk J) x) → IsUnit x
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
⊢ lift.{max w u, w} #↥((closure L).toFun s) ≤ max ℵ₀ (lift.{max w u, w} #↑s + lift.{w, u} #((i : ℕ) × L.Functions i))
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
x : α
⊢ (PFunctor.M.corec g x).dest = P.map (PFunctor.M.corec g) (g x)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α
⊢ (IsMin a ∨ ∃ b c, a ≤ b ⊔ c ∧ ¬a ≤ b ∧ ¬a ≤ c) ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, a ≤ b ⊔ c ∧ ¬a ≤ b ∧ ¬a ≤ c
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Stream'.Seq1 α
⊢ s.bind (Stream'.Seq1.ret ∘ f) = Stream'.Seq1.map f s
A : Type u_1
B : Type u_2
DecidableEq A
One B
b b' : B
hb : b ≠ 1
hb' : b' ≠ 1
i j : A
⊢ Disjoint (Function.mulSupport (Pi.mulSingle i b)) (Function.mulSupport (Pi.mulSingle j b')) ↔ i ≠ j
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
z : V
h : Submodule.span ℝ {x} = Submodule.span ℝ {y}
⊢ 2 • o.oangle x z = 2 • o.oangle y z
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
⊢ ∀ b ∈ {p | ∃ G x x_1, p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)}, b ≤ projectiveSeminorm
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
x : ↑(M F)
⊢ 1 • x = x
z : ℂ
⊢ (↑z).imK = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
a : C
x : F.obj a
y : G.obj a
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.snd.app a (CategoryTheory.FunctorToTypes.prodMk x y) = y
α : Sort u_2
β : α → Sort u_1
⊢ (Equiv.psigmaCongrRight fun a => Equiv.refl (β a)) = Equiv.refl ((a : α) ×' β a)
α : Type u_2
Add α
a : αᵃᵒᵖ
⊢ Even (AddOpposite.unop a) ↔ Even a
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
G' : ι → Type v'
(i : ι) → AddCommGroup (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+ G' j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
e : (i : ι) → G i ≃+ G' i
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (e j).toAddMonoidHom.comp (f i j h) = (f' i j h).comp ↑(e i)
i : ι
g : G i
⊢ (AddCommGroup.DirectLimit.congr e he) ((AddCommGroup.DirectLimit.of G f i) g) =
  (AddCommGroup.DirectLimit.of G' f' i) ((e i) g)
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
n : ℕ
a c : K
⊢ ∃ p > n, Nat.Prime p ∧ a * c ^ p / ↑(p - 1).factorial < 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Preregular C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.regularTopology C) A} (f : X ⟶ Y) (X_1 : Dᵒᵖ),
  ((e.sheafCongrPreregular A).functor.map f).val.app X_1 = f.val.app (Opposite.op (e.inverse.obj (Opposite.unop X_1)))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
ht_range : MeasurableSpace.generateFrom (Set.range t) = m
⊢ ⨆ n, ↑(ProbabilityTheory.partitionFiltration ht) n = m
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x
⊢ IsRelPrime y (x * z) ↔ IsRelPrime y z
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
pn : p.natDegree ≤ n
ns : n ∈ p.support
⊢ p.natDegree = n
α : Type u
β : Type v
f g : Filter α
m : α → β
hm : Function.Injective m
⊢ Filter.map m f ≤ Filter.map m g ↔ f ≤ g
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : ⇑f '' ↑I = ↑J
⊢ J ≤ map f I
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
x : P.Ring
i : P.vars
⊢ (P.cotangentSpaceBasis.repr (1 ⊗ₜ[P.Ring] (KaehlerDifferential.D R P.Ring) x)) i =
  (MvPolynomial.aeval P.val) ((MvPolynomial.pderiv i) x)
X : Type u_1
UniformSpace X
(𝓤 X).IsCountablyGenerated
⊢ CompactSpace X ↔ SeqCompactSpace X
p : ℕ
⊢ padicValNat p 1 = 0
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h₁ : o₁ < Ordinal.type r
h₂ : o₂ < Ordinal.type r
⊢ Ordinal.enum r o₁ h₁ = Ordinal.enum r o₂ h₂ ↔ o₁ = o₂
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
StarRing 𝕜
StarRing A
StarModule 𝕜 A
NormedStarGroup A
a : 𝓜(𝕜, A)
b : A
⊢ (star a).toProd.1 b = star (a.toProd.2 (star b))
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227632}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : f '' (f ⁻¹' s) = s
⊢ lift.{u, v} #↑s ≤ lift.{v, u} #↑(f ⁻¹' s)
motive : Nat → Nat → Sort u_1
zero_zero : motive 0 0
zero_succ : (n : Nat) → motive 0 n → motive 0 (n + 1)
succ_zero : (m : Nat) → motive m 0 → motive (m + 1) 0
succ_succ : (m n : Nat) → motive m n → motive (m + 1) (n + 1)
⊢ Nat.recDiagOn 0 0 zero_zero zero_succ succ_zero succ_succ = zero_zero
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
hb : b < 0
h : a ≤ b
⊢ 1 / b ≤ 1 / a
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot
this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))
y : 𝕜
hy : y ∈ (s ∩ t) \ {x}
⊢ slope f x y ∈ ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
DiscreteTopology X
⊢ IsLindelof s ↔ s.Countable
α : Type u_2
DistribLattice α
s : Set α
hs : InfClosed s
⊢ InfClosed (supClosure s)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (W.map φ).b₄ = φ W.b₄
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
φ : C(↑(σₙ R a), R)₀ →⋆ₙₐ[R] A
hφ₁ : Continuous ⇑φ
hφ₂ : φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } = a
⊢ (cfcₙHom ha) { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } = φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ }
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
⊢ toSheafify J P ≫ (isoSheafify J hP).inv = 𝟙 P
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : Set β
t : ι → Set β
⊢ (⋃ i, t i) ∩ s = ⋃ i, t i ∩ s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s.antidiagonal = map (fun t => (s - t, t)) s.powerset
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_4
Monoid N
α : Type u_5
β : Type u_6
MulAction M α
MulAction N β
TopologicalSpace β
T2Space β
ContinuousConstSMul N β
σ : M → N
⊢ IsClosed {f | ∀ (c : M) (x : α), f (c • x) = σ c • f x}
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
⊢ ↑(λ ^ 2) = ↑(-3 * ↑η)
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁴ : Countable G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
i : SigmaFinite ν
i' : HasFundamentalDomain G α ν
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
A : ℕ → Set α
hA_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (A i)
hA : ∀ (i : ℕ), ν (A i) < ⊤
hA' : ⋃ i, A i = univ
⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn univ)
X Y : Type u
f : X ⟶ Y
hf : CategoryTheory.Epi f
⊢ Function.Surjective f
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
⊢ eVariationOn (f ∘ φ) t ≤ eVariationOn f s
α : Type u
SemilatticeInf α
a b : α
⊢ b = a ⊓ b ↔ b ≤ a
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s t : LowerSet α
⊢ ↑(s * t) = ↑s * ↑t
α : Sort u_1
a b : α
⊢ a ≠ b ↔ b ≠ a
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I ≤ J
x : K
⊢ x ∈ (fun a => ↑a) J⁻¹ → x ∈ (fun a => ↑a) I⁻¹
α : Type u
a : α
⊢ pure a = Computation.pure a
ξ : ℚ
f : ℚ → ℤ × ℕ := fun q => (q.num, q.den)
s : Set ℚ := {q | |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2}
hinj : Function.Injective f
H : f '' s ⊆ ⋃ y ∈ Ioc 0 ξ.den, Icc (⌈ξ * ↑y⌉ - 1) (⌊ξ * ↑y⌋ + 1) ×ˢ {y}
⊢ (⋃ y ∈ Ioc 0 ξ.den, Icc (⌈ξ * ↑y⌉ - 1) (⌊ξ * ↑y⌋ + 1) ×ˢ {y}).Finite
α : Type u_1
a y : Lists α
l : Lists' α true
⊢ a ∈ cons y l ↔ a ~ y ∨ a ∈ l
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
G' : Type wG'
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
SeminormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
m : (i : ι) → E i
x : G
⊢ (f.flipMultilinear m) x = (f x) m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type (max v u))
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
z₁ z₂ : CategoryTheory.Equalizer.Sieve.SecondObj P S
h :
  ∀ (Y Z : C) (g : Z ⟶ Y) (f : Y ⟶ X) (hf : S.arrows f),
    CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun f => P.obj (Opposite.op f.snd.fst)) ⟨Y, ⟨Z, ⟨g, ⟨f, hf⟩⟩⟩⟩ z₁ =
      CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun f => P.obj (Opposite.op f.snd.fst)) ⟨Y, ⟨Z, ⟨g, ⟨f, hf⟩⟩⟩⟩ z₂
⊢ z₁ = z₂
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hβ : β.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
hα : ¬α.IsZero
⊢ β = -α ∨ β = α
R : Type u
inst✝ : Ring R
M✝ : ModuleCat R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x : ↥(LinearMap.ker f)
⊢ (LinearMap.ker f).subtype x = ↑x
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
r s : R
hr : r ∈ I
hs : s ∈ J
⊢ r * s ∈ I * J
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
AddMonoid X
DistribMulAction R X
r r' : X
s s' : ↥S
rb : R
sb : ↥S
h : ↑sb * ↑s = rb * ↑s'
⊢ r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sb • r + rb • r') /ₒ (sb * s)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν μ : Measure α
⊢ μ.singularPart 0 = μ.singularPart 0 + withDensity 0 (μ.rnDeriv 0)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α
f' : β → ↑(range f) := fun c => ⟨f c, ⋯⟩
h : WellFounded (r on f)
c : β
⊢ ∀ {a : β} {b : ↑(range f)}, r ↑b ↑(f' a) → ∃ c, f' c = b
c : ℝ
c_nn : 0 ≤ c
⊢ Metric.closedBall 0 c = Set.Icc 0 c.toNNReal