ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
y : M
hy : y ∈ W
b₁ : (B x) y = 0
⊢ B.IsOrtho x y
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 4 = 0
hb : b % 2 = 1
hc : a / 4 = c
hr : Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat c b = r
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat a b = r
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Closeds α
⊢ (Opens.compl ∘ ⇑ofDual) ((⇑toDual ∘ compl) s) = s
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
⊢ p.comp 0 = C (eval 0 p)
E : Type u_1
X : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup X
NormedSpace ℝ X
HasContDiffBump E
n : ℕ∞
c g : X → E
f : (x : X) → ContDiffBump (c x)
x : X
hc : ContDiffAt ℝ n c x
hr : ContDiffAt ℝ n (fun x => (f x).rIn) x
hR : ContDiffAt ℝ n (fun x => (f x).rOut) x
hg : ContDiffAt ℝ n g x
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x => ↑(f x) (g x)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, AEStronglyMeasurable f μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => (List.map (fun f => f x) l).prod) μ
R : Type u
CommRing R
M : ModuleCat R
m : ↑M
⊢ (𝟙 M) m = m
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.284, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.288, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.292, u_3} E
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasShift D ℤ
inst✝² : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ F.map X✝.mor₂ ≫ F.map f.hom₃ = F.map f.hom₂ ≫ F.map Y✝.mor₂
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
S₁ S₂ : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥S₂
hle : S₁ ≤ S₂
hd : finrank K ↥S₂ ≤ finrank K ↥(comap S₂.subtype S₁)
⊢ S₁ = S₂
d : ℤ
h₀ : d < 0
a : Pell.Solution₁ d
⊢ a.x = 0 ∨ a.y = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Set.preimage (Set.rangeSplitting f) = Set.image (Set.rangeFactorization f)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ ↑s ∩ ↑(mk' p s.directionᗮ) = {↑((orthogonalProjection s) p)}
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
LieModule.LinearWeights R L M
χ : L → R
x : L
m : ↥(LieModule.shiftedWeightSpace R L M χ)
⊢ ↑⁅x, m⁆ = ⁅x, ↑m⁆ - χ x • ↑m
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
⊢ (List.map f s.toList).sum = s.sum f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
GroupWithZero G
SmoothInv₀ I G
SmoothMul I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f g : M → G
hf : Smooth I' I f
hg : Smooth I' I g
h₀ : ∀ (x : M), g x ≠ 0
⊢ Smooth I' I (f / g)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
CategoryTheory.Projective Z
⊢ (CategoryTheory.ProjectiveResolution.self Z).complex = (ChainComplex.single₀ C).obj Z
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ f ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiff 𝕜 (↑n) f
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : β → α
s : Set β
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
a : α
hf' : ∀ b ∈ s, a < f b
hs' : s.Nonempty
⊢ ∃ a', a < a' ∧ ∀ b ∈ s, a' ≤ f b
α : Type u
CommGroup α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
hab : a < b
hcd : c < d
⊢ a / d < b / c
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E × F
⊢ Tendsto (fun y => f (y.1 - x.1, y.2) + f (x.1, y.2 - x.2)) (𝓝 x) (𝓝 (0 + 0))
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
f : Module.End R M
hfn : IsNilpotent f
μ : R
hf : f.HasEigenvalue μ
⊢ IsNilpotent μ
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Field K
Field L
Algebra A K
IsFractionRing A K
Algebra B L
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A B L
IsScalarTower A K L
IsIntegralClosure B A L
FiniteDimensional K L
IsGalois K L
IsIntegrallyClosed A
x : B
⊢ ∏ σ : L ≃ₐ[K] L, ((galRestrict A K L B) σ) x =
  (algebraMap A B) (IsIntegralClosure.mk' A ((Algebra.norm K) ((algebraMap B L) x)) ⋯)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
s : Set α
T : Set (Set β)
f : α → β
x : α
x✝ : x ∈ s
⊢ (∀ (i : Set β), f x ∈ i → i ∈ T → ∀ᶠ (a : α) in 𝓝[s] x, f a ∈ i) ↔ ∀ t ∈ T, f x ∈ t → f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
n : ℕ
a : R
p : R[ℕ]
⊢ (p * Finsupp.single 0 a) n = p n * a
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
r' : NNReal
hr' : ↑r' < r
hr'₀ : 0 < ↑r'
hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'
hz' : z - c ∈ EMetric.ball 0 ↑r'
H : HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (iteratedFDeriv ℂ n f c) fun x => z - c) (f z)
⊢ HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
χ : L → R
h : LieModule.weightSpace M χ ≠ ⊥
⊢ ⇑{ toFun := χ, weightSpace_ne_bot' := h } = χ
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝¹ j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i✝¹)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), ∃ i f, (range (F.map f)).Finite
j i✝ : J
hi : i✝ ⟶ j
hf : (range (F.map hi)).Finite
m : Finset (F.obj j)
hmin : ∀ x ∈ {s | ∃ i f, ↑s = range (F.map f)}, ¬x < m
i : J
f : i ⟶ j
hm : ↑m = range (F.map f)
k : J
g : k ⟶ j
k' : J
g' : k' ⟶ j
hl : (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨k', g'⟩ ≤ (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩
⊢ ¬(fun f => range (F.map f.snd)) ⟨k', g'⟩ < (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (δ a)
t : (a : α) → Finset (δ a)
a : α
x : δ a
hx : x ∉ t a
⊢ filter (fun x_1 => x_1 a = x) (piFinset t) = ∅
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp (-a) b = p - toIcoMod hp a (-b)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f g : β → α
b : Filter β
a₁ a₂ : α
hf : Filter.Tendsto f b (𝓝 a₁)
hg : Filter.Tendsto g b (𝓝 a₂)
⊢ Filter.Tendsto (fun b => min (f b) (g b)) b (𝓝 (min a₁ a₂))
X Y : Type u
CommRing X
CommRing Y
e : X ≃+* Y
⊢ e.toCommRingCatIso.inv = e.symm.toRingHom
x : SetTheory.PGame
⊢ SetTheory.PGame.LF 0 x.inv'
x✝¹ x✝ : ℝ
⊢ (↑x✝¹ + ↑x✝).expMapCircle = (↑x✝¹).expMapCircle * (↑x✝).expMapCircle
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
⊢ x ∈ integralClosure A K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
hla : la.HasBasis pa sa
⊢ Tendsto f la lb ↔ ∀ t ∈ lb, ∃ i, pa i ∧ MapsTo f (sa i) t
α : Type u
DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
⊢ (l.erase a).length + 1 = l.length
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r : List β
ys : List α
f : List α → β
⊢ (permutationsAux2 t ts r ys f).2 = map (fun x => f (x ++ ts)) (permutationsAux2 t [] [] ys id).2 ++ r
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
f : X ⟶ Y
U : CategoryTheory.Under Y
⊢ ((CategoryTheory.Under.map f).obj U).hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f U.hom
α : Type u
Monoid α
u : αˣ
a : α
h : ↑u = a
⊢ ↑u⁻¹ * a = 1
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A B : Matrix m m R
hA : A.PosDef
hB : B.PosSemidef
x : m → R
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < star x ⬝ᵥ A *ᵥ x + star x ⬝ᵥ B *ᵥ x
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
X : C
⊢ ∀ (x : J), ((CategoryTheory.Functor.const J).obj X).obj x = X
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
⊢ HasFDerivAt f L x
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
TopologicalSpace M₄
AddCommMonoid M₄
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
Module R₁ M₃
Module R₁ M₄
f₁ : M₁ →L[R₁] M₂
f₂ : M₃ →L[R₁] M₄
⊢ ↑(f₁.prodMap f₂) = (↑f₁).prodMap ↑f₂
α : Type u_1
p q : PMF α
⊢ p.toOuterMeasure = q.toOuterMeasure ↔ p = q
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
a : ↥(CliffordAlgebra.even Q)
⊢ (CliffordAlgebra.evenEquivEvenNeg Q) a = (CliffordAlgebra.evenToNeg Q (-Q) ⋯) a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
D H : Subgroup G
inst✝ : D.FiniteIndex
hD_le_H : D ≤ H
⊢ ∃ t, ↑t ∈ leftTransversals ↑(D.subgroupOf H) ∧ ⋃ g ∈ t, ↑g • ↑D = ↑H
o : Ordinal.{u_1}
⊢ (SetTheory.PGame.nim o).RightMoves = (Quotient.out o).α
α : Type u_1
s : Set α
n : ℕ
hns : n ≤ s.ncard
⊢ ∃ t ⊆ s, t.ncard = n
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
TopologicalSpace β
k : Set β
f : β → α
hk : IsCompact k
hf : ∀ x ∈ k, ContinuousAt f x
⊢ ∃ t, k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ Bornology.IsBounded (f '' t)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ Finset.image (fun x => x.1 • x.2) (s ×ˢ t) = s • t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasImages C
f g : CategoryTheory.Over X
k : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.MonoOver.image.map k =
  (CategoryTheory.MonoOver.forget X).preimage
    (CategoryTheory.Over.homMk
      (CategoryTheory.Limits.image.lift
        (CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation.mk (CategoryTheory.Limits.image g.hom)
          (CategoryTheory.Limits.image.ι g.hom)
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp k.left (CategoryTheory.Limits.factorThruImage g.hom)) ⋯))
      ⋯)
n : Nat
x y : BitVec n
⊢ x * y = { toFin := x.toFin * y.toFin }
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
Ring α
h : Function.Periodic f c
n : ℤ
⊢ f (x - ↑n * c) = f x
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s t : LowerSet α
⊢ ↑(s / t) = ↑s / ↑t
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : ι → α
f' : α → γ
g : ι → β
s : Set ι
h : MonovaryOn f g s
hf : Antitone f'
⊢ AntivaryOn (f' ∘ f) g s
E : Type u
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nontrivial E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s.Countable
⊢ Dense sᶜ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
X : Augmented C
F : Arrow C
G : X ⟶ F.augmentedCechNerve
this : (𝟭 (SimplicialObject C)).map G.left ≫ F.augmentedCechNerve.hom = X.hom ≫ (const C).map G.right
⊢ (𝟭 C).map (G.left.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0)) ≫ WidePullback.π (fun x => F.hom) 0) ≫ F.hom = (Augmented.toArrow.obj X).hom ≫ (𝟭 C).map G.right
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝕜' : Type u_6
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
c' : E →L[𝕜] 𝕜'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
f : F
⊢ HasFDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c'.smulRight f) s x
n x y : ℕ
hxy : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
b : ℕ
h : 1 < b + 2
hxb : x < b + 2
⊢ (b + 2).digits (x + (b + 2) * y) = x :: (b + 2).digits y
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t₁ t₂ : Set α
⊢ s ⊻ (t₁ ∩ t₂) ⊆ s ⊻ t₁ ∩ s ⊻ t₂
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
⊢ IsMinOn (⇑OrderDual.toDual ∘ f) s a ↔ IsMaxOn f s a
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
i : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Reflective i
⊢ CategoryTheory.equivEssImageOfReflective.counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents CategoryTheory.equivEssImageOfReflective_counitIso_app ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
⊢ CauSeq.const abv 1 = 1
n : ℕ
A : Type u
α : TypeVec.{u} n
x : A
⊢ (MvQPF.Const.mk x).get = x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h'r : r < 1
⊢ Tendsto (fun n => ↑n * r ^ n) atTop (𝓝 0)
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = a + c
ha : a < ℵ₀
⊢ b = c
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
x✝ : R
hx : x✝ ∈ M.nonUnitalSubsemiringClosure
H1 : NonUnitalSubsemiring R
H2 : H1 ∈ {S | ↑M ⊆ ↑S}
⊢ x✝ ∈ (fun h => ↑H1) H2
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
a : A
b : B
⊢ (Algebra.TensorProduct.comm R A B).symm (b ⊗ₜ[R] a) = a ⊗ₜ[R] b
R : Type u_1
NonUnitalRing R
x y : R
z : ℤ
h : x ∣ y
⊢ x ∣ z • y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
⊢ Ioo (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map (Embedding.inr.trans toLex.toEmbedding) (Ioo b₁ b₂)
R : Type u_2
Ring R
S : Subring R
⊢ Subring.opEquiv S = S.op
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ GaloisConnection (⇑OrderDual.toDual ∘ Submodule.dualAnnihilator) (Submodule.dualCoannihilator ∘ ⇑OrderDual.ofDual)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
⊢ a • f.symm x + b • f.symm y ≤ f.symm (a • x + b • y)
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
s : Set ι
t : Set ι'
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f : ι → ℝ≥0∞
g : ι' → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ t, f i + g j ≤ a
⊢ (⨆ i ∈ s, f i) + ⨆ j ∈ t, g j ≤ a
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
⊢ (equiv K) (mk0 I) = (equiv K) (mk0 J) ↔ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), spanSingleton R⁰ x * ↑↑I = ↑↑J
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
x✝ : R
h : x✝ ∈ closure s
x y : R
hx : x ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
⊢ x * 0 ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
R : Type u
Semiring R
f : Polynomial R
I : Ideal (Polynomial R)
cf : ∀ (i : ℕ), Polynomial.C (f.coeff i) ∈ I
⊢ Ideal.span {g | ∃ i, g = Polynomial.C (f.coeff i)} ≤ I
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
⊢ Module.rank F ↥F⟮α⟯ = 1 ↔ α ∈ ⊥
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
S.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.rightHomologyIso.hom h.ι =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.rightHomologyι h.opcyclesIso.hom
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice β
a : α
s : α → β
⊢ ⨅ x ∈ {a}, s x = s a
R : Type u
CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
⊢ (p /ₘ q).leadingCoeff = p.leadingCoeff
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
H : Ordinal.IsNormal f
⊢ Ordinal.deriv f = Ordinal.enumOrd (Function.fixedPoints f)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
G : C ⥤ D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G.IsCocontinuous J K
U : C
S : CategoryTheory.Sieve (G.obj U)
hS : S ∈ K.sieves (G.obj U)
⊢ CategoryTheory.Sieve.functorPullback G S ∈ J.sieves U
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l x : Filter α
g : Filter (α → β)
h : Filter (β → γ)
s : Set (β → γ)
hs : s ∈ h
t : Set β
ht : t ∈ g.seq x
⊢ s.seq t ∈ ((map (fun x x_1 => x ∘ x_1) h).seq g).seq x
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η) a) s = (κ a) s
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
β : Type u_7
inst✝ : Group β
f g : α → β
h : f / g =ᶠ[ae μ] 1
x : α
hx : (f / g) x = 1 x
⊢ f x = g x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
B A : C
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
X : CategoryTheory.Subobject B
h : CategoryTheory.Subobject.mk f ≤ X
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Subobject.ofMkLE f X h) X.arrow = f
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝ : Invertible 2
m : M
h : IsUnit ((ι Q) m)
⊢ IsUnit (Q m)
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₃ : M₃
⊢ (TensorProduct.prodLeft R M₁ M₂ M₃).symm (m₁ ⊗ₜ[R] m₃, m₂ ⊗ₜ[R] m₃) = (m₁, m₂) ⊗ₜ[R] m₃
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
B : Type uB
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
g : CliffordAlgebra.EvenHom Q A
f : A →ₐ[R] B
⊢ (g.compr₂ f).bilin = g.bilin.compr₂ f.toLinearMap
c : Code
h : c.Ok
v : List ℕ
⊢ (fun v => Turing.eval step (Cfg.ret Cont.halt v)) = fun a => pure (Cfg.halt a)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
d✝ : Derivation R A M
a : A
d : Derivation R A M
f : R[X]
⊢ (AEval.of R M a).symm ((d.compAEval a) f) = (aeval a) (derivative f) • d a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : WSeq α
⊢ Option.map (g ∘ f) = Option.map g ∘ Option.map f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedCommRing 𝕜
inst✝² : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x, y]
s t : 𝕜
c : E
hs : -1 * s - t * -1 = 0
⊢ s = t
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
AddGroup G
AddAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α
⊢ Filter.EventuallyConst (c +ᵥ s) (MeasureTheory.ae μ) ↔ Filter.EventuallyConst s (MeasureTheory.ae μ)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
x : α × β
⊢ x ∈ interedges r s t ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t ∧ r x.1 x.2
α : Type u_1
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
s : Set α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hs_m : MeasurableSet s
hf_int : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ μ.restrict s[f|m] =ᵐ[μ.restrict s] μ[f|m]
m : Type u_2
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
v w : m → α
x : m
⊢ (Matrix.diagonal v *ᵥ w) x = v x * w x
s : Set ℝ
⊢ Set.MapsTo Real.sin s (Set.Icc (-1) 1)
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
hq0_lt : 0 < q
hf_zero : f =ᵐ[μ] 0
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' f q μ = 0
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S S₁ S₂ S₃ : SnakeInput C
f : S₁ ⟶ S₂
⊢ S₁.φ₁ ≫ f.f₂.τ₁ = functorP.map f ≫ S₂.φ₁
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
M' : Type u_5
N' : Type u_6
Mul M'
Mul N'
f : M →ₙ* N
g : M' →ₙ* N'
S : Subsemigroup N
S' : Subsemigroup N'
⊢ Subsemigroup.comap (f.prodMap g) (S.prod S') = (Subsemigroup.comap f S).prod (Subsemigroup.comap g S')
α : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ Memℒp f 2 μ ↔ Integrable (fun x => ‖f x‖ ^ 2) μ
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
t : ℝ
ht1 : γ ⁻¹' (extChartAt I (γ t₀)).source ∈ 𝓝 t
ht2 : HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))
hsrc : t ∈ γ ⁻¹' (extChartAt I (γ t₀)).source
⊢ HasDerivAt (↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ) ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t))) t
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable (↑f) μ
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ x ∈ f.range, x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ f.range
⊢ (T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) = ∑ x ∈ filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)