ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : Field 𝕜
inst✝¹⁷ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁶ : Ring R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹³ : Module 𝕜 M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁸ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : TopologicalSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalRing R
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : T2Space R
inst✝ : T2Space M
m : M
⊢ exp 𝕜 (inr m) = 1 + inr m
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
s : S
n : ℕ
hzero : ¬s = 0
q : R[X]
hq : (map f q).coeff n = ((monomial n) s).coeff n
hcoeff : f (q.coeff n) = s
⊢ ((monomial n) (q.coeff n)).degree = ((monomial n) s).degree
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
h : (mk φ).IsReal
⊢ ComplexEmbedding.IsReal φ
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
PartialOrder α
Preorder β
gi : GaloisCoinsertion l u
a : α
⊢ u (l a) = a
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
q : ℝ
hq_pos : 0 < q
h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), eLpNormEssSup f μ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ q⁻¹ ≤ (eLpNormEssSup f μ ^ q * μ Set.univ) ^ q⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
l : ℝ≥0∞
hl : l < μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, l < (⇑μ ∘ s) b
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
a b c : List α
hx : x = a ++ b ++ c
hlen : a.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hnil : b ≠ []
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) b = M.evalFrom M.start a
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) c = M.evalFrom M.start x
ab : List α
hab : ∃ a_1 ∈ {a}, ∃ b_1 ∈ {b}∗, a_1 ++ b_1 = ab
c' : List α
hc' : c' ∈ {c}
⊢ ab ++ c' ∈ M.accepts
α : Type u_1
s : Finset α
⊢ { ofColex := s }.ofColex = s
α : Type u_1
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace γ
AddGroup γ
TopologicalAddGroup γ
f g : α →ₘ[μ] γ
⊢ ↑(f - g) =ᵐ[μ] ↑f - ↑g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s t : Set E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
ht : IsOpen t
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (s ∩ t)
α : Type u
Preorder α
Nonempty α
⊢ BddAbove ∅
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
⊢ i.succ.succAbove j.succ = (i.succAbove j).succ
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0
⊢ ¬Summable fun b => jacobiTheta₂'_term b z τ
R : Type u
CommSemiring R
I J K : Ideal R
h : K ⊔ J = ⊤
⊢ I * K ⊔ J = I ⊔ J
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : OplaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ : B
f✝ g✝ : a✝ ⟶ b✝
η : f✝ ⟶ g✝
h : b✝ ⟶ c✝
⊢ F.map₂ (η ▷ h) = (F'.mapCompIso f✝ h).hom ≫ F.map₂ η ▷ F.map h ≫ (F'.mapCompIso g✝ h).inv
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_5
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : iCondIndepFun m' hm' m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
⊢ CondIndepFun m' hm' (fun a => (f i a, f j a)) (fun a => (f k a, f l a)) μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprodZeroIso X).inv = CategoryTheory.Limits.coprod.inl
α : Type u
c₁ c₂ : Computation α
⊢ Computation.LiftRel (fun x x_1 => x = x_1) c₁ c₂ ↔ c₁.Equiv c₂
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
f : PiLp ⊤ β
⊢ ‖(WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) f‖₊ = ‖f‖₊
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e e' : Trivialization F proj
⊢ (e.symm.trans e'.toPartialEquiv).source = (e.baseSet ∩ e'.baseSet) ×ˢ Set.univ
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : α → Prop
q : β → Prop
f : α → β
h : ∀ (a : α), p a → q (f a)
⊢ Subtype.map f h = fun x => ⟨f ↑x, ⋯⟩
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C ↔ (CategoryTheory.Functor.const J).IsLeftAdjoint
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
x : E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
hx : ¬x = 0
this✝ : ‖c‖ ≠ 0
this : ‖x‖ ≠ 0
⊢ T.rayleighQuotient (c • x) = T.rayleighQuotient x
α : Type u_1
R : Type u_2
TopologicalSpace R
Star R
ContinuousStar R
TopologicalSpace α
f : α → R
x : α
hf : ContinuousAt f x
⊢ ContinuousAt (fun x => star (f x)) x
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
h : ∃ k f g, (F.map f) x.snd = (F.map g) y.snd
⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk F x = MonCat.FilteredColimits.M.mk F y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
s : Set α
x✝ : s ∈ ⊥
⊢ m ⁻¹' ∅ ⊆ s
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : DecompositionMonoid R
y a b : R
ha : a ∣ y
hb : b ∣ y
hx : Squarefree (a * b)
hy : a * b ∣ y ^ 2
⊢ a * b ∣ y
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
H : f x = g x
⊢ f^[n] x < g^[n] x ↔ f x < g x
⊢ hyperoperation 3 = fun x x_1 => x ^ x_1
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
p' : Filter α
hF : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
⊢ UniformCauchySeqOnFilter F p p'
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕝
inst✝⁹ : Module 𝕝 E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁴ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝² : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
p : SeminormFamily 𝕝 E ι
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
x✝¹ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
x✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : IsBounded p q f
this : TopologicalAddGroup E
i : ι'
s : Finset ι
C : ℝ≥0
hC : (q i).comp f ≤ C • s.sup p
⊢ Continuous ⇑((q i).comp f)
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ Wbtw R y x ((AffineEquiv.pointReflection R x) y)
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
⊢ DoubleCentralizer.toProd 1 = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G H : CategoryTheory.Functor C C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator F G H).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    ((CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj F G) H).obj X)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : AffineSubspace k P
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k ↑s
⊢ v +ᵥ p1 ∈ ↑s
𝕜✝ : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E✝ : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜 : Type u_7
E : Type u_8
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
S : Set E
⊢ IsVonNBounded 𝕜 S ↔ Tendsto (fun x => x • S) (𝓝 0) (𝓝 0).smallSets
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
h : FiniteType R R[M]
S : Finset M
hS : adjoin R (of' R M '' ↑S) = ⊤
m : M
hm : of' R M m ∈ span R ↑(Submonoid.closure (of' R M '' ↑S))
⊢ m ∈ closure ↑S
α : Type u_2
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s ∩ t).powerset = s.powerset ⊼ t.powerset
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₂₁ X₂₂ X₂₃ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₁₂ : X₁₂ ⟶ X₁₃
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₂₂ : X₂₂ ⟶ X₂₃
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₃ ⟶ X₂₃
s : CategoryTheory.IsPullback h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁
t : CategoryTheory.IsPullback h₁₂ v₁₂ v₁₃ h₂₂
⊢ CategoryTheory.IsPullback (h₁₁ ≫ h₁₂) v₁₁ v₁₃ (h₂₁ ≫ h₂₂)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
c : α
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ ∃ r, s ⊆ Metric.ball c r
S : Type u
SetTheory.PGame.State S
s t : S
m : t ∈ SetTheory.PGame.State.l s
n : ℕ
h : SetTheory.PGame.State.turnBound s ≤ n + 1
⊢ SetTheory.PGame.State.turnBound t ≤ n
f : ℝ → ℝ
hf : AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f
⊢ (∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, f x = 0) ∨ (∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, 0 < f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.atTop, f x < 0
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ f₃ : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ add' W (add' W f₁ f₂) f₃ = add' W f₁ (add' W f₂ f₃)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ AnalyticWithinOn 𝕜 f (s ∩ u)
x : E
m : x ∈ s
u : Set E
ou : IsOpen u
xu : x ∈ u
fu : AnalyticWithinOn 𝕜 f (s ∩ u)
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
Preorder β
CompleteSpace α
u : β → α
H : CauchySeq u
⊢ ∃ x, Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f✝ : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝ : Algebra R S
f : R →+* S
I : Ideal R
hf₁ : RingHom.ker f ≤ I
hf₂ : f.IsIntegral
h : ¬I = ⊤
m : Ideal R
left✝ : m.IsMaximal
hm : I ≤ m
x✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : Algebra.IsIntegral R S
⊢ ¬map f I = ⊤
α : Type u_1
x : α
xs : List α
p : α → Bool
⊢ (if p x = true then 0 :: foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs 1 else foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs 1) = bif p x then 0 :: map (fun x => x + 1) (foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs) else map (fun x => x + 1) (foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs)
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
⊢ ‖f z‖ ≤ C
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω = i} ∪ {ω | i < τ ω}
⊢ MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}
b : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
x : Ordinal.{u_1}
⊢ x < b ^ succ (log b x)
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a : α
m n : ℤ
⊢ a ^ (m * n) = (a ^ n) ^ m
N : ℕ
NeZero N
j : ZMod N
⊢ ZMod.stdAddChar j = ↑(ZMod.toCircle j)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
⊢ f.norm ≠ 0
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
x : E
r : ℝ
p q : Seminorm 𝕜 E
h : q ≤ p
⊢ p.ball x r ⊆ q.ball x r
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasProduct f
inst✝ : HasProduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
⊢ (HasLimit.isoOfEquivalence (Discrete.equivalence ε) (Discrete.natIso fun x => Iso.refl (f (ε x.as)))).hom ≫ π f (ε b) = π (f ∘ ⇑ε) b
α : Type u
β : Type v
𝕜 : Type u_2
PseudoMetricSpace 𝕜
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
Semiring 𝕜
AddCommMonoid β
Module 𝕜 β
BoundedSMul 𝕜 β
BoundedAdd β
ContinuousAdd β
self : BoundedContinuousFunction α β
⊢ (BoundedContinuousFunction.toContinuousMapLinearMap α β 𝕜) self = self.toContinuousMap
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
k : R
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q
⊢ (z₁.comp (k • z₂) h).v p q hpq = (k • z₁.comp z₂ h).v p q hpq
ι : Type u_1
DecidableEq ι
DecidableEq (ι → ℕ)
s : Finset ι
m : ℕ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ SMul.smul n (s.piAntidiag m) = Finset.filter (fun f => ∀ i ∈ s, n ∣ f i) (s.piAntidiag (n * m))
E : Type u_4
AddGroup E
p q : AddGroupSeminorm E
x : E
⊢ (p + q) x = p x + q x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
inst✝ : HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ pullback f i
⊢ snd (diagonal f) (map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i ⋯ ⋯) ≫ snd (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) ≫ i₂ ≫ fst f i = fst (diagonal f) (map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i ⋯ ⋯) ≫ 𝟙 X
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso (CategoryTheory.ShortComplex.opMap φ) ↔ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ T.rotate.obj₃ = (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj T.obj₁
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
⊢ evalEval 0 0 W.polynomialX = -W.a₄
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : Nat.Prime (orderOf σ)
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
⊢ n = orderOf σ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M N : Mon_ C
f : M.X ≅ N.X
one_f : M.one ≫ f.hom = N.one := by aesop_cat
mul_f : M.mul ≫ f.hom = (f.hom ⊗ f.hom) ≫ N.mul := by aesop_cat
⊢ (Mon_.mkIso f one_f mul_f).inv.hom = f.inv
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
p : P
⊢ p -ᵥ z ∈ affineSegment R (p -ᵥ x) (p -ᵥ y) ↔ z ∈ affineSegment R x y
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
⊢ (a * b).primeFactorsList ~ a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList
α : Type u_1
CompleteLattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
⊢ sInf (s + t) = sInf s + sInf t
α : Type u_1
AddCommMonoid α
n : ℕ
x a k a' : α
h : a + k = a'
⊢ Mathlib.Tactic.Abel.term n x a + k = Mathlib.Tactic.Abel.term n x a'
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : Function.Injective ⇑((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
i : ι
x : ↥(p i)
v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)
hv : ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x
⊢ x = 0
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.95502, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.96011, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
τ : F ⟶ (const J).obj X
j j' : Jᵒᵖ
f : j ⟶ j'
⊢ (F.op ⋙ yoneda.obj X).map f ((fun j => τ.app (unop j)) j) = (fun j => τ.app (unop j)) j'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A B : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct A B
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A B)
⊢ F.map CategoryTheory.Limits.coprod.inr ≫ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A B) =
  CategoryTheory.Limits.coprod.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ x y
⊢ ‖y‖ - ‖x‖ < ‖x - y‖
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)
H₂ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
⊢ (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧ (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω), f x ∂κ a
n p : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.Ico 1 (n + 1), ↑k ^ p =
  ∑ i ∈ Finset.range (p + 1), bernoulli' i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / (↑p + 1)
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
v : V
⊢ n - k - 1 = (Gᶜ.neighborFinset v).card
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a x : α
s t : List α
h : permutations'Aux x s = permutations'Aux x t
hl : s.length = t.length
⊢ (permutations'Aux x s).get ⟨s.length, ⋯⟩ = (permutations'Aux x t).get ⟨s.length, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
b : β
⊢ b ∈ Set.range f ↔ ∃! a, f a = b
α : Type u_11
β : Type u_12
f : α → β
⊢ ⋃ x, {f x} = Set.range f
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : Set.InjOn f s
⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : ¬IsAlgebraic F α
⊢ finSepDegree F ↥F⟮α⟯ ∣ finrank F ↥F⟮α⟯
K : Type u
Field K
s : Subfield K
m : Multiset K
⊢ (∀ a ∈ m, a ∈ s) → m.prod ∈ s
a : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
ha : a < Ordinal.omega
b : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.omega ∣ b → a * b = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 ≤ ε
h : Disjoint (ball x δ) (closedBall y ε)
hxy : dist x y < ε + δ
z : E
hxz : dist z x < δ
hzy : dist z y ≤ ε
⊢ False
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : H → G
j : Y →ₑ[φ] X
B : Set X
hB : IsBlock G B
⊢ ∀ (g : H), g • ⇑j ⁻¹' B = ⇑j ⁻¹' B ∨ Disjoint (g • ⇑j ⁻¹' B) (⇑j ⁻¹' B)
B : Type u_1
F : Type u_2
E : B → Type u_3
B' : Type u_4
f : B' → B
⊢ ∀ (a : Bundle.TotalSpace F (f *ᵖ E)), (Bundle.Pullback.lift f a).snd = a.snd
α : Type u_2
Mul α
m : α
⊢ IsSquare (m * m)
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
⊢ OuterMeasure.ofFunction (c • fun s => ⨆ (_ : s.Nonempty), m s) ⋯ = OuterMeasure.ofFunction (fun s => ⨆ (_ : s.Nonempty), (c • m) s) ⋯
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c₁ c₂ p₁ p₂ : P
hc₁ : dist p₁ c₁ = dist p₂ c₁
hc₂ : dist p₁ c₂ = dist p₂ c₂
⊢ ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
hs : span s = ⊤
n : ℕ
⊢ 1 ∈ span ((fun x => x ^ n) '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
⊢ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ ∅) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ s * ball x δ = x • thickening δ s
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
x : ℂ
this : 1 < 2
⊢ ∀ a ∈ Metric.ball 0 1, ‖cexp (x + a) - cexp x - a • cexp x‖ ≤ ‖cexp x‖ * ‖a ^ 2‖
α : Type u_1
F : Type u_3
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
NormedSpace ℝ F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
⊢ MeasureTheory.condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • MeasureTheory.condexpIndL1 hm μ s x
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
hAs : ∅.Definable (L[[↑A]]) s
hAB : A ⊆ B
⊢ ∅.Definable (L[[↑B]]) s
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a
⊢ 1 ≤ (b :: l).prod
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
f : C(X, R)
⊢ f ∈ idealOfSet R ∅ ↔ f ∈ ⊥
V : Type u_1
W : Type u_2
NormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
NormedAddCommGroup W
NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v : V
w : W
⊢ HasFDerivAt (fun w => ↑(𝐞 (-(L v) w))) ((-2 * ↑π * Complex.I * ↑(𝐞 (-(L v) w))) • Complex.ofRealCLM.comp (L v)) w
α : Type u_1
x✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
hf : Measurable fun x => rexp (f x)
⊢ Measurable f
S : Set ℝ
h₁ : S.Nonempty
h₂ : BddBelow S
⊢ IsLUB (-S) (sSup (-S))
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
⊢ Module.rank R ↥(Submodule.span R s) = #↑s
m n : ℤ
k : ℕ
⊢ (m.ldiff n).testBit k = (m.testBit k && !n.testBit k)
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace β
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
OrderTopology β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r : β
⊢ StrictConvex 𝕜 (Set.Ici r)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝ : Invertible 2
m : M
h : IsUnit ((ι Q) m)
val✝ : Invertible ((ι Q) m)
this : Invertible (Q m) := invertibleOfInvertibleι Q m
⊢ IsUnit (Q m)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : CategoryTheory.WithTerminal C
⊢ (CategoryTheory.WithTerminal.mapId C).inv.app X =
  (match X with
    | CategoryTheory.WithTerminal.of x => CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.WithTerminal.of x)
    | CategoryTheory.WithTerminal.star => CategoryTheory.Iso.refl CategoryTheory.WithTerminal.star).inv
M : Type u_1
Monoid M
M' : Type u_3
Monoid M'
P : Submonoid M
h : P.FG
e : M →* M'
⊢ (Submonoid.map e P).FG
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S✝ M
inst✝¹ : SMul S✝ R
inst✝ : IsScalarTower S✝ R M
p q S T : Submodule R M
this : S ≤ S ⊔ T
⊢ ∀ {x : M}, x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
s : Set A
z : A
⊢ (∀ g ∈ s ∪ star s, g * z = z * g) ↔ ∀ g ∈ s, g * z = z * g ∧ star g * z = z * star g
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))
⊢ ↑↑1 = 1