ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F' G' : C ⥤ D
F : C ⥤ D
β : F' ⟶ G'
X : C
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.FunctorCategory.whiskerLeft F β).app X = F.obj X ◁ β.app X
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Finset α
f : α → Set β
x : α
h : x ∈ s
⊢ f x ⊆ ⋃ y ∈ s, f y
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
z : F
h : (b, z) ∈ e.target
⊢ ↑e.symm (b, z) = { proj := b, snd := (continuousLinearEquivAt R e b hb).symm z }
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
self : S.LocalizationMap N
x y : M
⊢ (↑self.toAddMonoidHom).toFun x = (↑self.toAddMonoidHom).toFun y → ∃ c, ↑c + x = ↑c + y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.QInfty.f n ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.QInfty.f n = AlgebraicTopology.DoldKan.QInfty.f n
z : ℂ
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun x => jacobiTheta₂ x τ) z
C✝ : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C✝
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
F : C✝ ⥤ D✝
A : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C✝
K✝ : GrothendieckTopology D✝
L : GrothendieckTopology A
G✝ : C✝ ⥤ D✝
hG : CompatiblePreserving K✝ G✝
ℱ✝ : SheafOfTypes K✝
Z✝ : C✝
T✝ : Presieve Z✝
x✝ : FamilyOfElements (G✝.op ⋙ ℱ✝.val) T✝
h : x✝.Compatible
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D
K : GrothendieckTopology D
G : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
e : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
c : Cone (cospan g₁ g₂ ⋙ G) := (Cones.postcompose (diagramIsoCospan (cospan g₁ g₂ ⋙ G)).inv).obj (PullbackCone.mk f₁ f₂ e)
c' : Cone (c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G) := IsCofiltered.cone (c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G)
eq₁ : f₁ = (c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app left).right) ≫ eqToHom ⋯
eq₂ : f₂ = (c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app right).right) ≫ eqToHom ⋯
⊢ ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
⊢ |rexp x - 1 - x| ≤ x ^ 2
M : Type u_5
N : Type u_6
Add M
Add N
p q : M × N
⊢ p + q = (p.1 + q.1, p.2 + q.2)
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h : T.mor₂ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C (-1) 1 ⋯).inv.app T.3 = 0 ↔ Epi T.mor₁
⊢ T.mor₂ = 0 ↔ Epi T.mor₁
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₁ : ¬p₂ = p₁
hp₃p₁ : ¬p₃ = p₁
⊢ ∠ p₂ p₁ p₃ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α ↪ β
v : α →₀ M
⊢ (Finsupp.embDomain f v).support = Finset.map f v.support
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p : FractionRing K[X]
h : { toFractionRing := p } ≠ 0
⊢ { toFractionRing := p } * { toFractionRing := p }⁻¹ = 1
M : Type u_4
MulOneClass M
f : Monoid.End M
n : ℕ
⊢ ⇑(f ^ n) = (⇑f)^[n]
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
U : Set X
hU : IsOpen U
hx : x ∈ U
K : Set X
h1K : K ∈ 𝓝 x
h2K : K ⊆ U
h3K : IsCompact K
⊢ ∃ K, IsCompact K ∧ x ∈ interior K ∧ K ⊆ U
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable f
hf₀ : f 0 = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∃ N₀, ∀ N ≥ N₀, ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers (range N))), f ↑m‖ < ε
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝¹ : Epi π₁
f₁ : A₁ ⟶ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₃ : (f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝ : Epi π₂
g₀ : A₂ ⟶ ((mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hg₀ : π₂ ≫ f₁ ≫ app' φ 1 ⋯ = g₀ ≫ ((mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).f
⊢ f₂ = 0
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ
⊢ (fun a => ENNReal.ofReal (↑(ProbabilityTheory.condCDF ρ a) ↑r)) =ᵐ[ρ.fst] ProbabilityTheory.preCDF ρ r
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : ↑x = 0
⊢ x = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
x : X
⊢ c.lim x ≤ 1
α : Type u_2
LinearOrderedAddCommGroup α
s : Multiset α
⊢ |s.sum| ≤ (Multiset.map abs s).sum
I : Type u_3
B : I → Type u_4
(i : I) → NonUnitalNormedRing (B i)
f g : (i : I) → B i
hf : Memℓp f ⊤
hg : Memℓp g ⊤
⊢ Memℓp (f * g) ⊤
a b : ONote
a.NF
b.NF
⊢ a.repr = b.repr ↔ a = b
α : Type u_1
Zero α
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
ha : a < 0
⊢ SignType.sign a = -1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
hB₀ : B.IsRefl
h : Disjoint W (B.orthogonal W)
⊢ finrank K V + finrank K ↥(W ⊓ B.orthogonal ⊤) ≤ finrank K ↥(W ⊔ B.orthogonal W) + finrank K ↥(W ⊓ B.orthogonal W)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
s t : Set E
h : DifferentiableOn 𝕜 f s
h' : ∀ x ∈ t, f₁ x = f x
h₁ : t ⊆ s
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f₁ t
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c d : ℝ
⊢ c⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x / c) = ∫ (x : ℝ) in d + a / c..d + b / c, f x
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set Y
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
⊢ dimH (f ⁻¹' s) ≤ dimH s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
⊢ eLpNormEssSup 0 μ = 0
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm_not : ¬m ≤ m0
⊢ μ[f|m] = 0
α : Type u_3
SubtractionCommMonoid α
m : Multiset α
⊢ (Multiset.map Neg.neg m).sum = -m.sum
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
W : C
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
w : f ≫ h = g ≫ k
⊢ t.inr ≫ CategoryTheory.Limits.PushoutCocone.IsColimit.desc ht h k w = k
p : ℕ → Prop
x : ℕ
h : p x
hf : (setOf p).Infinite
⊢ ∃ n, (∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card) ∧ nth p n = x
α : Type u
Subsingleton α
s : Set α
⊢ s.Countable
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
DirectSum.GRing 𝒜
DirectSum.GRing ℬ
DirectSum.GAlgebra R 𝒜
DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
r : R
⊢ ((TensorProduct.gradedMul R 𝒜 ℬ) x) ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1) = r • x
θ ψ : ℝ
⊢ Real.sin θ = Real.sin ψ ↔ ↑θ = ↑ψ ∨ ↑θ + ↑ψ = ↑π
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor D E
⊢ CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.CategoryStruct.id G) F = CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.comp F)
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x
h : LiftPropWithinAt P g s x
hts : t ⊆ s
⊢ LiftPropWithinAt P g t x
x : ℝ
h : cos x = 1
n : ℤ
hn : ↑n * π = x
hn0 : n % 2 = 0
⊢ ↑(n / 2) * (2 * π) = x
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a n : ℕ
h : a.AtLeastTwo
⊢ (↑a).coeff (n + 1) = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Simple 0
⊢ False
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
h : a * b < c
hle : 1 ≤ b
ha : 0 ≤ a
⊢ a < c
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
X : Cᵒᵖ
p :
  CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection (CategoryTheory.OverPresheafAux.restrictedYonedaObj η)
    (Opposite.unop X)
⊢ η.app X (CategoryTheory.OverPresheafAux.unitForward η (Opposite.unop X) p) = p.yonedaEquivFst
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
⊢ Orthonormal 𝕜 ⇑b
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ M₁
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝³ : TopologicalAddGroup M₁
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁
inst✝¹ : TopologicalAddGroup M₂
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
this✝ : UniformSpace M₂ := TopologicalAddGroup.toUniformSpace M₂
this : UniformAddGroup M₂
U : Set M₂
hU : U ∈ 𝓝 0
K : Set M₂
hK : IsCompact K
hKf : ⇑f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0
⊢ U ∈ map (⇑f) (𝓝 0)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
⊢ (pushforwardFamily (homOver α (unop U)) a✝).IsAmalgamation (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this)
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ map (fun x => x + c) (Icc a b) = Icc (a + c) (b + c)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : IsBigOWith c₁ l f₁ g
h₂ : IsBigOWith c₂ l f₂ g
⊢ IsBigOWith (c₁ + c₂) l (fun x => f₁ x - f₂ x) g
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i →+ β₂ i
f₂ : (i : ι) → β i →+ β₁ i
⊢ ∀ (i : ι), ((fun i x => (f i) x) i ∘ (fun i x => (f₂ i) x) i) 0 = 0
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), B' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
Hr : ∀ x ∈ Icc a b, ∀ r > 0, f x ≤ B x + r * (x - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
⊢ f x ≤ B x
x : ℝ
h : Real.cos x ≠ 0
⊢ deriv (fun y => Real.tan y - y) x = 1 / Real.cos x ^ 2 - 1
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
⊢ μ.toFinite (s ∩ μ.sigmaFiniteSetᶜ) = 0 ∨ ⊤ * μ.toFinite (s ∩ μ.sigmaFiniteSetᶜ) = ⊤
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
⊢ frontier (s ×ˢ t) = closure s ×ˢ frontier t ∪ frontier s ×ˢ closure t
a b c d : Int
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d
⊢ a + c < b + d
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
p : α × Bool
LL₁ : List (α × Bool)
eq₁ : p :: L₁ = LL₁
LL₂ : List (α × Bool)
eq₂ : p :: L₂ = LL₂
h : Red LL₁ LL₂
⊢ Red L₁ L₂
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : sheafify J P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : toSheafify J P ≫ η = toSheafify J P ≫ γ
⊢ η = γ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
f : β → ℝ≥0∞
g : α ≃ᵐ β
hg : MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑g) μ ν
⊢ ∫⁻ (a : β), f a ∂ν = ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx : x ≤ z
hy : y ≤ z
b : α
h₀ : b ∈ x
b' : α
h₁ : b' ∈ y
⊢ b' ∈ x
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
(i : ι) → Module R (M₁ i)
ι' : Type u_1
M' : ι' → Type u_2
(i : ι') → AddCommMonoid (M' i)
(i : ι') → Module R (M' i)
f : (i : ι') → MultilinearMap R M₁ (M' i)
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι'
⊢ (MultilinearMap.pi f) m i = (f i) m
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
⊢ ↑(HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg.den 1) = 1
R : Type u
Monoid R
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
NonUnitalNonAssocSemiring C
DistribMulAction R B
DistribMulAction R C
f : A →ₙₐ[R] B
g : A →ₙₐ[R] C
⊢ ⇑(f.prod g) = Pi.prod ⇑f ⇑g
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Group S
DistribMulAction S M
SMulCommClass S R M
s : S
⊢ ∀ (a : M), (DistribMulAction.toLinearEquiv R M s).symm a = s⁻¹ • a
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
n : ℕ
g : Equiv.Perm α
hn2 : Fintype.card α < n + 2
hng : n ∈ g.cycleType
⊢ g.cycleType = {n}
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
⊢ Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
a : α
⊢ _root_.Disjoint (s.sup f) a ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → _root_.Disjoint (f i) a
α : Type u
inst✝ : MetricSpace α
⊢ LipschitzWith 2 fun p => infDist p.1 ↑p.2
α : Type u_1
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidablePred SupIrred
a b : α
⊢ (if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) (a ⊔ b) = (if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) a ∪ (if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) b
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
⊢ toList 1 x = []
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
I : Type u_1
Y : I → C
X : C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
W : C
g : W ⟶ X
hg : ∃ i a, g = a ≫ f i
⊢ (ofObjects Y X).arrows g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
x✝ : ι
⊢ a * f x✝ = f x✝ * a
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r✝ : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
m : Set X → ℝ≥0∞
hcl : ∀ (s : Set X), m (closure s) = m s
r : ℝ≥0∞
s : Set X
hs : diam s ≤ r
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), (pre m r) t ≤ m s
J : Type
Finite J
K : Type
Finite K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
f : J → C
g : K → C
m : (j : J) → (k : K) → f j ⟶ g k
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.matrix m =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.lift fun k => m j k
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ ‖log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * (1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1)
α : Type u_1
l : Filter α
⊢ l.HasBasis (fun s => s ∈ l) id
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → Zero (α i)
i : ι
a b : α i
⊢ Pi.single i '' Set.Ioc a b = Set.Ioc (Pi.single i a) (Pi.single i b)
n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
IsCyclotomicExtension {n} A B
IsDomain B
NeZero ↑↑n
⊢ (Polynomial.cyclotomic (↑n) B).IsRoot (IsCyclotomicExtension.zeta n A B)
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X : C
P : ProjectiveResolution X
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
h₁ : HomologicalComplex.opcyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map (lift (𝟙 X) P (projectiveResolution X))) 0 ≫ (projectiveResolution X).fromLeftDerivedZero' F = P.fromLeftDerivedZero' F ≫ F.map (𝟙 X)
⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj ((projectiveResolutions C).obj X).as) ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj ((projectiveResolutions C).obj X).as).homologyι 0 ≫ (projectiveResolution X).fromLeftDerivedZero' F = ((HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) 0).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex)) ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex).homologyι 0 ≫ P.fromLeftDerivedZero' F
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ (f.extend I).source = f.source
R : Type u_3
CommRing R
a b : ℍ[R]
⊢ ↑(Quaternion.normSq (a + b)) = ↑(Quaternion.normSq a) + a * star b + b * star a + ↑(Quaternion.normSq b)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
⊢ LeftCosetEquivalence (↑K) g ↑(hSK.equiv g).1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → X
this : IsPathConnected univ
γ : Path (p 0) (p ↑n)
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ
⊢ ∃ γ, ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
⊢ ⇑(ContinuousMap.isometryEquivBoundedOfCompact α β).symm = BoundedContinuousFunction.toContinuousMap
α : Type u
as : List α
i : Nat
h : as.length ≤ i
⊢ List.drop i as = List.nil
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S) * λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * λ * ↑η + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₃ S) * λ * ↑η ^ 2 = 0
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
f' : F
x₀ : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ‖f'‖ ≤ C
l : List Char
c : Char
r : List Char
h : ValidFor l (c :: r) { s := { data := l.reverse ++ c :: r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }
⊢ ValidFor (c :: l) r { s := { data := l.reverse ++ c :: r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse + c.utf8Size } }
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T f = MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T' f
α : Type u_3
β : Type u_4
Sup α
SemilatticeSup β
f g : SupHom α β
⊢ ⇑(f ⊔ g) = ⇑(f ⊔ g)
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
χ : LieModule.Weight R L M
x : L
⊢ LieModule.weightSpaceOf M (χ x) x ≠ ⊥
α : Type u_1
Zero α
p : Prop
Decidable p
a b : α
LT α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < if p then a else b
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n
succ_nth_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0
⊢ ∃ ifp_n, IntFractPair.stream v n = some ifp_n ∧ ifp_n.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddCommGroup α
hf : Periodic f c
x : α
m : ℤ
⊢ f (⟨(fun x => x • c) m, ⋯⟩ +ᵥ x) = f x