ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ≫ (Multicoequalizer.isoCoequalizer D.diagram).inv) x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ≫ (Multicoequalizer.isoCoequalizer D.diagram).inv) y
⊢ EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
H : normalizedFactors (normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J).prod = normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J
this : (normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J).prod ≠ 0
⊢ I ⊔ J = (normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J).prod
α : Type u_1
M : Type u_4
Monoid M
f g : FreeMonoid α →* M
h : ∀ (x : α), f (FreeMonoid.of x) = g (FreeMonoid.of x)
⊢ f = g
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cocone (Discrete.functor f)
m : { pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.pt ⟶ s.pt
w : m = s.ι.app default
⊢ m = (fun s => s.ι.app default) s
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_3, u_4} C
r : HomRel C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
X : C
⊢ (CategoryTheory.Quotient.lift.isLift r F H).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
S : Set ↥L
⊢ ↑(sInf S) = ⨅ N ∈ S, ↑N
σ : Type u_1
R : Type u
CommSemiring R
s : Set σ
x : R
⊢ (MvPolynomial.supportedEquivMvPolynomial s).symm (MvPolynomial.C x) = (algebraMap R ↥(MvPolynomial.supported R s)) x
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h₁ : Turing.Reaches₀ f a b
h : c ∈ f b
⊢ Turing.Reaches₀ f a c
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
⊢ (ThreeGPFree s ∧ (∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a) → ThreeGPFree (insert a s)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : LocallyConstant X Y
s : Set X
hs : IsPreconnected s
x y : X
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ f x = f y
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f₀ : 𝕜 → E
g₀ : 𝕜 → E'
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure 𝕜
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
hf : LocallyIntegrable f₀ μ
hcg : HasCompactSupport g₀
hg : ContDiff 𝕜 1 g₀
x₀ : 𝕜
⊢ HasDerivAt (f₀ ⋆[L, μ] g₀) ((f₀ ⋆[L, μ] deriv g₀) x₀) x₀
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
h : HasMFDerivAt I I' f x f'
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ HasMFDerivAt I I' f₁ x f'
G : Type u
inst✝ : Monoid G
eq_one : exponent G = 1
a b : G
⊢ a = b
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α
e : β' ↪ α
⊢ #(β' → α) ≤ #(β' ↪ α × α)
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
s : Submodule k V
x : V
⊢ x ∈ s.toAffineSubspace.direction ↔ x ∈ s
α : Type u_2
γ : Type u_5
TopologicalSpace α
CompactSpace α
One γ
f : α → γ
⊢ HasCompactMulSupport f
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
BF : ℝ
hBF : ∀ a ∈ verticalClosedStrip 0 1, ‖F f ε a‖ ≤ BF
⊢ ∀ᶠ (x : ℂ) in comap (_root_.abs ∘ im) atTop, x ∈ re ⁻¹' Ioo 0 1 → ‖invInterpStrip f x ε • f x‖ ≤ 1 * ‖Real.exp (BF * Real.exp (0 * |x.im|))‖
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
DecidableEq (α ⊕ β)
f : α ⊕ β → γ
i : β
x : γ
⊢ Function.update f (Sum.inr i) x ∘ Sum.inl = f ∘ Sum.inl
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
RingHomIsometric σ₁₃
f g : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
⊢ (f + g).flip = f.flip + g.flip
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
CategoryTheory.Limits.HasPullback f.op g.op
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g ≫ (CategoryTheory.Limits.pushoutIsoUnopPullback f g).hom =
  (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f.op g.op).unop
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : P →ₗ[R] Q →ₗ[R] M
p : Submodule R P
q : Submodule R Q
⊢ Submodule.map₂ f p q = range (lift f ∘ₗ mapIncl p q)
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
⊢ Continuous ⇑f
m n : ℕ
⊢ m.sqrt < n ↔ m < n ^ 2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ WittVector.wittNeg p 0 = -MvPolynomial.X (0, 0)
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
μ.IsAddLeftInvariant
U : Set G
hU : IsOpen U
h'U : U.Nonempty
h : μ U ≠ ⊤
K : Set G
hK : IsCompact K
⊢ μ K < ⊤
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
a✝ b✝ c✝ : A₁ ⟶ A₂
⊢ (a✝ + b✝ + c✝).f = (a✝ + (b✝ + c✝)).f
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R
⊢ finrank R ↥(LinearMap.range (A.mulVecLin ∘ₗ B.mulVecLin)) ≤ finrank R ↥(LinearMap.range B.mulVecLin)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Sort u_4
U : ι → Submodule 𝕜 E
V : Submodule 𝕜 E
⊢ iSup U ⟂ V ↔ ∀ (i : ι), U i ⟂ V
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
U : Submodule R M
x₁ x₂ y₁ y₂ : M
hxy₁ : x₁ ≡ y₁ [SMOD U]
hxy₂ : x₂ ≡ y₂ [SMOD U]
⊢ x₁ - x₂ ≡ y₁ - y₂ [SMOD U]
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Iic
hnsp : ∀ (i : ι), BddAbove (ns i)
⊢ Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
P : LieSubmodule R L M → Prop := fun N => IsCompl (weightSpace (↥↑N) 0) (posFittingComp R L ↥↑N)
N : LieSubmodule R L M
hN : ∀ y < N, P y
⊢ P N
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
i' : Δ'' ⟶ Δ'
i : Δ' ⟶ Δ
inst✝¹ : Mono i'
inst✝ : Mono i
h₁ : ¬Δ = Δ'
h₂ : ¬Δ' = Δ''
k : ℕ
hk : Δ.len = Δ'.len + k + 1
k' : ℕ
hk' : Δ'.len = Δ''.len + k' + 1
⊢ mapMono K i ≫ mapMono K i' = mapMono K (i' ≫ i)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure X
l : Filter X
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
f : X → E
b : E
h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)
hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
s✝ : ι → Set X
li : Filter ι
hs : Tendsto s✝ li l.smallSets
m : optParam (ι → ℝ) fun i => (μ (s✝ i)).toReal
hsμ : autoParam ((fun i => (μ (s✝ i)).toReal) =ᶠ[li] m) _auto✝
ε : ℝ
ε₀ : 0 < ε
this : ∀ᶠ (s : Set X) in l.smallSets, ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ∈ closedBall b ε
s : Set X
hμs : μ s < ⊤
h_integrable : IntegrableOn f s μ
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
h_norm : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x - b‖ ≤ ε
⊢ ‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ - (μ s).toReal • b‖ ≤ ε * ‖(μ s).toReal‖
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
hT : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
hT' : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T'
⊢ MeasureTheory.FinMeasAdditive μ (T + T')
a b c : Ordinal.{u}
⊢ 0 ♯ a = a
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b : A
⊢ r • a * b = b * r • a
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
h : A ∈ symplecticGroup l R
⊢ -A ∈ symplecticGroup l R
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hq : q.leadingCoeff = -1
hpq : p.degree < q.degree
⊢ (p - q).Monic
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
W : C
k l : CategoryTheory.Limits.coequalizer f g ⟶ W
h :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g) k =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g) l
⊢ k = l
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
DecidableEq N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
⊢ GenLoop.fromLoop i (Path.symm (GenLoop.toLoop i p)) = GenLoop.symmAt i p
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
f : F
I J : Ideal R
h : I ≤ J
⊢ Ideal.map f I ≤ Ideal.map f J
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
n : ℕ
⊢ edist (f 0) (f n) ≤ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f i) (f (i + 1))
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
h : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑(Classical.choose ⋯) * μ (closedBall x ε)
⊢ ∃ R, 0 < R ∧ ∀ (x : α) (t r : ℝ), t ∈ Ioc 0 K → r ≤ R → μ (closedBall x (t * r)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K) * μ (closedBall x r)
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this : ω ^ e.repr ≤ (e.oadd n a).repr
⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ ω = (ω ^ e.repr) ^ ω
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype m
i : n
j : m
c : α
x : m → α
i' : n
⊢ (∑ x_1 : m, if i = i' ∧ j = x_1 then c * x x_1 else 0) = Function.update 0 i (c * x j) i'
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
SetLike S R
One R
Zero ι
A : ι → S
SetLike.GradedOne A
⊢ ↑GradedMonoid.GOne.one = 1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
h : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (fun x => ‖g x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) μ
hmf : AEStronglyMeasurable f μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) μ)
⊢ ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
B : ℝ
h : minkowskiBound K I ≤ volume (convexBodySum K B)
hB : 0 ≤ B
h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹
h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx✝ : x ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
hx : x ∈ ⇑(mixedEmbedding K) '' ↑↑I
h_nz : ⟨x, hx✝⟩ ≠ 0
h_mem : ↑⟨x, hx✝⟩ ∈ convexBodySum K B
⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
x y : α
h : Inseparable x y
⊢ 𝓝 (x, y) ≤ 𝓤 α
α : Type u
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set α
h₁ : s₁ ⊆ t₁
h₂ : s₂ ⊆ t₂
⊢ s₁ ∩ s₂ ⊆ t₁ ∩ t₂
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1
hr : ‖↑r * ↑r.den‖ = ‖↑r.num‖
⊢ False
a b : UInt16
h : a < b
⊢ ¬b < a
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ ⊤
n : ℕ
hn : b / a < ↑n
⊢ b < ↑n * a
α : Type u_1
EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
⊢ ∃ y,
  Function.IsFixedPt f y ∧
    Filter.Tendsto (fun n => f^[n] x) Filter.atTop (𝓝 y) ∧
      ∀ (n : ℕ), edist (f^[n] x) y ≤ edist x (f x) * ↑K ^ n / (1 - ↑K)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.num ≠ 0
⊢ ↑q⁻¹ = (↑q)⁻¹
n : ℕ
l : List ℕ
h₁ : l.prod = n
h₂ : ∀ p ∈ l, Prime p
⊢ ∀ p ∈ n.primeFactorsList, _root_.Prime p
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ I.splitUpper i x ≤ ↑I
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
g : N → N'
r : Set N
y : N
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f univ x
hg : ContMDiffWithinAt J J' n g univ y
⊢ univ = univ ×ˢ univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4}
⊢ o.bsup f = 0 ↔ ∀ (i : Ordinal.{u_4}) (hi : i < o), f i hi = 0
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
f : G × G → CoeSort.coe A
⊢ f ∈ groupCohomology.twoCocycles A ↔ ∀ (g h j : G), (A.ρ g) (f (h, j)) - f (g * h, j) + f (g, h * j) - f (g, h) = 0
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
t : Set α
f : ℕ → Set α
hf : t ⊆ ⋃ i, f i
⊢ t ∩ s ⊆ ⋃ i, (fun i => f i ∩ s) i
X : Type u_1
TopologicalSpace X
A B : Set X
h : A ⊆ B
⊢ derivedSet A ⊆ derivedSet B
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
n : ℕ
i : Fin n
v : Fin n.succ → M
⊢ ∏ j ∈ Ioi i.succ, v j = ∏ j ∈ Ioi i, v j.succ
s : ℂ
⊢ Filter.Tendsto s.GammaSeq Filter.atTop (𝓝 (Complex.Gamma s))
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t✝ s : Set A
t : Set B
⊢ (adjoin R s).prod (adjoin R t) ≤ adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1}))
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac
⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
R : Type u
a : R
Semiring R
p : R[X]
⊢ (Polynomial.C a).comp p = Polynomial.C a
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
hq0 : 0 ≤ q
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
h : MeasureTheory.eLpNorm' f q μ = 0
⊢ f =ᵐ[μ] 0
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
f : α →ᵤ[singleton '' s] E
⊢ ∀ x ∈ s, Tendsto (fun i => id i x) (𝓝 f) (𝓝 (f x))
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (J.plusObj P) S
inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
Z : B.Arrow → C
e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I
e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X
he2 : ∀ (I : B.Arrow), S.sieve.arrows (e2 I)
h✝ : ∀ (I : B.Arrow), (fun Y f h => ((fun Y f hf => (T { Y := Y, f := f, hf := hf }).sieve) Y f h).arrows) (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)
a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f
w : Meq P B := meqOfSep P hsep X S s T t ht
I : S.Arrow
II : (T I).Arrow
e0 : (J.pullback II.f).obj (T I) ⟶ (J.pullback II.f).obj ((J.pullback I.f).obj B) := homOfLE ⋯
IV : ((J.pullback II.f).obj (T I)).Arrow
IA : B.Arrow := { Y := IV.Y, f := (IV.f ≫ II.f) ≫ I.f, hf := ⋯ }
IB : S.Arrow := IA.fromMiddle
IC : (T IB).Arrow := IA.toMiddle
ID : (T I).Arrow := { Y := IV.Y, f := IV.f ≫ II.f, hf := ⋯ }
⊢ ((J.toPlus P).app (op IV.Y)) (↑(t IB) IC) = ((J.toPlus P).app (op IV.Y)) (↑(t I) ID)
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
g : α → N
x : α
⊢ (x ∈ mulSupport fun x => (f x, g x)) ↔ x ∈ mulSupport f ∪ mulSupport g
α : Type u
a : α
l : List α
⊢ (ofFn fun i => (a :: l)[↑i]) = a :: l
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_5
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg :
  ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F),
    Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 x) → Filter.Tendsto (⇑g ∘ u) Filter.atTop (𝓝 y) → y = g x
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.ofSeqClosedGraph hg) = g
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
(j : Fin (n + 1)) → AddGroup (α j)
i : Fin (n + 1)
x y : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
⊢ i.insertNth x p - i.insertNth y p = Pi.single i (x - y)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f l₁ l₂ ↔ ∀ s ∈ l₂, f ⁻¹' s ∈ l₁
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : ∀ y_1 ∈ engel R x, ⁅y, y_1⁆ ∈ engel R x
⊢ y ∈ engel R x
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (fun x => (μ (s (n + 1))).toReal) ω
ω : Ω
hω : ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (μ (s (n + 1))).toReal
⊢ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) k]) ω) atTop atTop} ω = Set.univ ω
k : Type u
Field k
IsSepClosed k
p : k[X]
hp : p.degree ≠ 0
hsep : p.Separable
⊢ ∃ x, p.IsRoot x
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
⊢ ↑φ = 1 ↔ φ = 1
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
a : ι
t : Multiset ι
ih : (∀ i ∈ t, (f i).Monic) → (Multiset.map f t).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) t).sum
ht : ∀ i ∈ a ::ₘ t, (f i).Monic
⊢ (Multiset.map f (a ::ₘ t)).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) (a ::ₘ t)).sum
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p q : Submodule R M
⊢ p.carrier = q.carrier ↔ p = q
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax)
⊢ f.toFun t ∈ Metric.closedBall v.x₀ ↑v.R
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n✝¹ n✝ x✝ : ℕ
h : x✝ = n✝¹.mul (10 ^ n✝)
⊢ ↑(Rat.ofScientific (OfNat.ofNat ↑n✝¹) false (OfNat.ofNat ↑n✝)) = ↑x✝
α : Type u_1
m n : ℕ
a : α
⊢ Multiset.replicate (m + n) a = Multiset.replicate m a + Multiset.replicate n a
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K L : CochainComplex C ℕ
φ : K ⟶ L
inst✝¹ : HomologicalComplex.HasHomology K 0
inst✝ : HomologicalComplex.HasHomology L 0
⊢ HomologicalComplex.homologyMap φ 0 ≫ L.isoHomologyπ₀.inv = K.isoHomologyπ₀.inv ≫ HomologicalComplex.cyclesMap φ 0
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
Ring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ p ≠ q ↔ ∃ n, p n ≠ q n
a a' c : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a a' → a'.succ = c → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a.succ c
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a c : α
⊢ a ≤ a + c
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsMinOn f s a
t : Set α
⊢ IsMinOn f (s ∩ t) a