ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
⊢ evariance X μ < ⊤ → Memℒp X 2 μ
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i < 0 ↔ Even n ∧ x + 1 < 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Ord α
Ord β
⊢ compare = compareLex (compareOn fun x => x.fst) (compareOn fun x => x.snd)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[>] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[>] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ab : a < b
sab : Ioc a b ⊆ s
⊢ HasDerivWithinAt f e (Ici a) a
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
ha : ¬(p a ∧ ContinuousOn f (spectrum R a))
⊢ cfc f a = 0
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B✝ B : ℝ
hB✝ : B ≤ 0
hB : B < 0
⊢ volume (convexBodySum K B) = 0
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
⊢ Ioi a * Ici b ⊆ Ioi (a * b)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
g : γ → α
e : ↑(Function.mulSupport f) ≃ ↑(Function.mulSupport g)
he : ∀ (x : ↑(Function.mulSupport f)), g ↑(e x) = f ↑x
⊢ Multipliable f ↔ Multipliable g
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
OrderTop α
OrderTop β
f : α ≃o β
⊢ IsCoatomic α ↔ IsCoatomic β
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℚ_[p]
property✝ : ‖k‖ ≤ 1
h : ‖⟨k, property✝⟩‖ = 1
hk : k ≠ 0
⊢ (⟨k, property✝⟩ * match ⟨k, property✝⟩ with | ⟨k, property⟩ => if h : ‖k‖ = 1 then ⟨k⁻¹, ⋯⟩ else 0) = 1
R : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
a : A
⊢ spectrum R a ⊆ quasispectrum R a
m n : Num
⊢ ↑(m &&& n) = ↑m &&& ↑n
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ HasFTaylorSeriesUpTo (↑(n + 1)) f p ↔ (∀ (x : E), (p x 0).uncurry0 = f x) ∧ (∀ (x : E), HasFDerivAt (fun y => p y 0) (p x 1).curryLeft x) ∧ HasFTaylorSeriesUpTo (↑n) (fun x => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) fun x => (p x).shift
f : ℕ → ℝ≥0∞
⊢ ∑' (i : ℕ), f i = Filter.limsup (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
hf : (Function.support f).Finite
⊢ ∑ᶠ (i : α), f i = ∑ i ∈ hf.toFinset, f i
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
h : HasDerivAt f f' x
hf' : f' ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[≠] x) (𝓝[≠] f x)
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
m : Type u_8
n : Type u_9
Fintype n
A B : Matrix m n 𝕜
i j : m
⊢ ⟪(WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)).symm (A i), (WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)).symm (B j)⟫_𝕜 = (B * A.conjTranspose) j i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
f : α → γ
g : β → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) = f x
hg : ContinuousAt g b
s : Set γ
hs : s ∈ 𝓝 (g b)
⊢ f ⁻¹' s ∈ comap i (𝓝 b)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v u' v' u'' v'' : V
p : G.Walk u v
hu : u = u'
hv : v = v'
hu' : u' = u''
hv' : v' = v''
⊢ (p.copy hu hv).copy hu' hv' = p.copy ⋯ ⋯
P : ℤ → Prop
m : ℤ
h0 : P m
h1 : ∀ (n : ℤ), n ≤ m → P n → P (n - 1)
n : ℤ
⊢ n ≤ m → P n
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
x : α
s : Set α
t : Set β
h : ContinuousWithinAt f s x
ht : t ∈ 𝓝 (f x)
⊢ f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
DecidableEq α
⊢ (insert a s).card = if a ∈ s then s.card else s.card + 1
α : Type u
DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit b
⊢ a / b = c ↔ a = c * b
R : Type u_1
Ring R
I : TwoSidedIdeal R
x : ↥I
⊢ I.subtype x = ↑x
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
⊢ Disjoint (span R (v '' s)) (span R (v '' t))
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ IsClosed (range ENNReal.toEReal)
α : Type u
f : Ultrafilter α
⊢ ∅ ∉ f
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ λ * S.b = λ * S.b
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
⊢ (finSuccEquiv' i).symm (some j) = i.succAbove j
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : MulAction R M
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : IsScalarTower R M M
inst✝ : SMulCommClass R M M
p : SubMulAction R M
⊢ 1 ⊆ ↑1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β
abv : β → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : Nontrivial β
x : β
hx1 : abv x < 1
⊢ IsCauSeq abv fun n => ∑ m ∈ range n, x ^ m
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : MeasurableSpace H
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : BorelSpace G
μ✝ : Measure G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : μ✝.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : WeaklyLocallyCompactSpace G
inst✝² : NoncompactSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
K1 : K ∈ 𝓝 1
hK : IsCompact K
Kclosed : IsClosed K
K_pos : 0 < μ K
g : Set G → G
hg : ∀ (L : Set G), IsCompact L → Disjoint L (g L • K)
L : ℕ → Set G := fun n => (fun T => T ∪ g T • K)^[n] K
Lcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (L n)
Lclosed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (L n)
M : ∀ (n : ℕ), μ (L n) = ↑(n + 1) * μ K
N : Tendsto (fun n => μ (L n)) atTop (𝓝 ⊤)
⊢ μ univ = ⊤
n : ℕ
r : ℝ
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n ≤ r.toNNReal ↔ OfNat.ofNat n ≤ r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E ≃ₗ[𝕜] E'
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
hf : Orthonormal 𝕜 (⇑f ∘ ⇑v)
⊢ (f.isometryOfOrthonormal hv hf).toLinearEquiv = f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν
⊢ (μ.singularPart ν) Set.univ = 0
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f : α → M
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range n, (n - 1) = n * (n - 1)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
c : 𝕜
h₁ : HasSum (fun x => re (f x)) (re c)
h₂ : HasSum (fun x => im (f x)) (im c)
⊢ HasSum f c
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid M
f : ι → M
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, f i ≤ 0
hs : ∃ i ∈ s, f i < 0
⊢ ∑ i ∈ s, f i < 0
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
M : (Matrix n n R)[X]
r : R
⊢ (aeval r).mapMatrix.comp ↑matPolyEquiv.symm = eval₂AlgHom' (AlgHom.id R (Matrix n n R)) ((scalar n) r) ⋯
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
hd : DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)
h₀ : 0 ∈ e ⁻¹' U
⊢ ‖f z‖ ≤ C
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J I : Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
πip : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsPartition
πiH : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsHenstock
πir : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsSubordinate r
h✝ : ∀ (J J_1 : Box ι), J_1 ∈ πi J → ∃ m, ∀ (i : ι), J_1.upper i - J_1.lower i = (J.upper i - J.lower i) / 2 ^ m
πid : ∀ (J : Box ι), (πi J).distortion = J.distortion
⊢ (π.boxes.sup fun J => (πi J).distortion) = π.distortion
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
P Q : C
S T : D
f : P ≅ Q
g : S ≅ T
⊢ (f.prod g).inv = (f.inv, g.inv)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
⊢ ¬w.IsReal ↔ w.IsComplex
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Real.BohrMollerup.logGammaSeq (x + 1) n =
  Real.BohrMollerup.logGammaSeq x (n + 1) + Real.log x - (x + 1) * (Real.log (↑n + 1) - Real.log ↑n)
a b : Prop
⊢ (a ∨ b ↔ b) ↔ a → b
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0
⊢ padicValNat p n < padicValNat p n + 1
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
G : Type u_1
Group G
S : Type u_6
SetLike S G
SubgroupClass S G
H K : S
hH : H ≤ K
⊢ (↑K).comp (SubgroupClass.inclusion hH) = ↑H
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
sm : CategoryTheory.SplitMono f
F : CategoryTheory.Functor C D
⊢ (sm.map F).retraction = F.map sm.retraction
R : Type u_1
A : Type u_2
Zero A
⊢ Function.Injective Unitization.inl
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r✝ : ℝ
inst✝ : ProperSpace α
c : α
r : ℝ
h : (closedBall c r)ᶜ ⊆ s
⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ s
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ (∀ (n : ℕ∞), ContDiff 𝕜 n f) ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiff 𝕜 (↑n) f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
hf : LipschitzOnWith K f s
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
h'u : range u ⊆ s
⊢ CauchySeq (f ∘ u)
R : Type u
CommRing R
b c d : R
⊢ preNormEDS b c d 0 = 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom = X ◁ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv
h : 1 ≠ -1
⊢ HasDerivWithinAt arcsin (1 / √(1 - 1 ^ 2)) (Ici 1) 1
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
⊢ HurwitzZeta.sinZeta a (1 - s) =
  2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * Complex.sin (↑π * s / 2) * HurwitzZeta.hurwitzZetaOdd a s
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ (groupCohomology.shortComplexH1Iso A).inv =
  CategoryTheory.ShortComplex.homMk ↑(groupCohomology.zeroCochainsLequiv A).symm
    ↑(groupCohomology.oneCochainsLequiv A).symm ↑(groupCohomology.twoCochainsLequiv A).symm ⋯ ⋯
α : Type u_1
AddZeroClass α
LT α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b : α
⊢ a + b < b ↔ a < 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.L₁'.f = S.L₀.g
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
M : Submonoid R
B : Type w
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ algebraMapSubmonoid A M ≤ Submonoid.comap f.toRingHom (Submonoid.map f (algebraMapSubmonoid A M))
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : B
p : R[X]
⊢ (aeval x) (map (algebraMap R A) p) = (aeval x) p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj F G).obj X = G.obj (F.obj X)
z : ℍ
⊢ mk ((↑((algebraMap ℤ ℝ) (↑↑ModularGroup.S 0 0)) * ↑z + ↑((algebraMap ℤ ℝ) (↑↑ModularGroup.S 0 1))) / (↑((algebraMap ℤ ℝ) (↑↑ModularGroup.S 1 0)) * ↑z + ↑((algebraMap ℤ ℝ) (↑↑ModularGroup.S 1 1)))) ⋯ = mk (-↑z)⁻¹ ⋯
α : Type u
n : ℕ
f : α → α
a : α
⊢ (Stream'.iterate f a).get n.succ = f ((Stream'.iterate f a).get n)
a b : Bool
⊢ ((!a == b) = true) = ¬a = b
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
⊢ dist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄) ≤ dist p₁ p₃ + dist p₂ p₄
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
hs : a ∈ upperClosure ↑s
ht : a ∈ upperClosure ↑t
⊢ (s ⊻ t).truncatedInf a = s.truncatedInf a ⊔ t.truncatedInf a
⊢ Module.rank ℚ ℂ = 𝔠
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
H : AddSubgroup G
f : G →+ G'
⊢ (AddSubgroup.map f H).index = (H ⊔ f.ker).index * f.range.index
M : Type u_1
Mul M
s t : Set M
⊢ Subsemigroup.closure (s ∪ t) = Subsemigroup.closure s ⊔ Subsemigroup.closure t
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
ha : a < 0
h : b < 1
⊢ a < a * b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
j : J
⊢ t.ι.app j ≫ (P.coconePointUniqueUpToIso Q).inv = s.ι.app j
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
e : Basis ι R M
⊢ e.det ⇑e = 1
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
h : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ↑p ≠ 0
⊢ CharZero R
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
Field k
AddCommGroup E
Module k E
AddTorsor E PE
F : Type u_4
PF : Type u_5
AddCommGroup F
Module k F
AddTorsor F PF
f : PE →ᵃ[k] PF
g : k → PE
a b : k
⊢ slope (⇑f ∘ g) a b = f.linear (slope g a b)
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
C : G.ConnectedComponent
φ : G →g G'
ψ : G' →g G''
⊢ SimpleGraph.ConnectedComponent.map ψ (SimpleGraph.ConnectedComponent.map φ C) =
  SimpleGraph.ConnectedComponent.map (ψ.comp φ) C
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IntegrableOn f s (μ.restrict t)
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (s ∩ t) μ
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℤ
n : ℤ
hf : ∀ i ∈ s, n ∣ f i
⊢ (∑ i ∈ s, f i) / n = ∑ i ∈ s, f i / n
P : Type u_1
LE P
IsDirected P fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty P
I : Order.Ideal P
⊢ I.IsProper → I ≠ ⊤
α : Type u_1
β : α → Type u_4
f : (x : α) × β x → ℝ≥0
⊢ Summable f ↔ (∀ (x : α), Summable fun y => f ⟨x, y⟩) ∧ Summable fun x => ∑' (y : β x), f ⟨x, y⟩
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.49535, u_1} E
F : D ⥤ E
G✝ : E ⥤ D
inst✝² : HasWeakSheafify J D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget D)
G : Type (max v₁ u₁) ⥤ D
adj : G ⊣ forget D
X : Sheaf J D
⊢ toSheafify J (((whiskeringRight Cᵒᵖ (Type (max u₁ v₁)) D).obj G).obj ((sheafToPresheaf J (Type (max u₁ v₁))).obj ((sheafEquivSheafOfTypes J).inverse.obj ((sheafForget J).obj X)))) ≫ (((sheafCompose J (forget D)).associator (sheafEquivSheafOfTypes J).symm.inverse ((sheafEquivSheafOfTypes J).symm.functor ⋙ composeAndSheafify J G)).hom.app X).val ≫ ((whiskerLeft (sheafCompose J (forget D)) (whiskerRight (sheafEquivSheafOfTypes J).symm.toAdjunction.counit (composeAndSheafify J G))).app X).val ≫ sheafifyLift J (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv (X.val ⋙ forget D) X.val).symm (𝟙 (X.val ⋙ forget D))) ⋯ = (X.1.associator (forget D) G).hom ≫ (Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).counit.app X.1
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
Invertible 2
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
⊢ nndist (midpoint 𝕜 p₁ p₂) (midpoint 𝕜 p₃ p₄) ≤ (nndist p₁ p₃ + nndist p₂ p₄) / ‖2‖₊
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
x y : P
⊢ nndist (f x) (f y) = nndist x y
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
μ' : Measure (G ⧸ Γ) := map QuotientGroup.mk (ν.restrict s)
has_fund : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'
⊢ μ U = (map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G)) (ν.restrict s)) U
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
f : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
g : α → E
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp f p (μ.restrict s)
hg : Memℒp g p (μ.restrict sᶜ)
hp_zero : ¬p = 0
⊢ eLpNorm (s.piecewise f g) p μ < ⊤
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ F.map₂ (inv (λ_ f).hom) = inv (((fun {a b c} => F'.mapCompIso) (𝟙 a) f).hom ≫ (F'.mapIdIso a).hom ▷ F.map f ≫ (λ_ (F.map f)).hom)
R : Type u
Semiring R
x : R
k n : ℕ
⊢ (Polynomial.C x * Polynomial.X ^ k).coeff n = if n = k then x else 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
DecidableEq α
DecidableEq β
DecidableEq γ
a : α
b : β
c : γ
f : α ≃. β
h : b ∈ f a
⊢ f.trans (PEquiv.single b c) = PEquiv.single a c
n : ℕ
⊢ eulerMascheroniSeq n < eulerMascheroniSeq (n + 1)
m n : Nat
⊢ m >>> (n + 1) = (m / 2) >>> n
⊢ Tendsto (fun z => z * Gamma z) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (Gamma (0 + 1)))
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]
hpq : p • 1 + q • (mk W) Y = 0
h : ![p, q] 0 • 1 + ![p, q] (Fin.succ 0) • (mk W) Y = 0 → ∀ (i : Fin 2), ![p, q] i = 0
⊢ p = 0 ∧ q = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsOpenMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsOpen s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
x : β
hx : x ∈ U i
⊢ (∃ y ∈ s, f y = x) ↔ ∃ y ∈ s, f y ∈ U i ∧ f y = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
b : α → ℝ≥0∞ := fun a => 2 * ENNReal.ofReal (bound a)
hb : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ≤ b a
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), 0 ∂μ))
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
N : Matrix n o R
i : m
⊢ (M * N).toMvPolynomial i = (bind₁ N.toMvPolynomial) (M.toMvPolynomial i)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
hs : (s ∩ mulSupport f).Infinite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ 0 < Multiset.count a s ↔ a ∈ s
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F G : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
α : F ⟶ G
CategoryTheory.IsIso α.toNatTrans
⊢ CategoryTheory.IsIso α
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F✝
inst✝² : Module ℝ F✝
inst✝¹ : TopologicalSpace F✝
inst✝ : T1Space F✝
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
F : Set (Set E)
hFS : F ⊆ S
hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F
hFnemp : F.Nonempty
⊢ ∃ lb ∈ S, ∀ s ∈ F, lb ⊆ s
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Add G
a b : Multiplicative G
⊢ (fun a => single a 1) (a * b) = (fun a => single a 1) a * (fun a => single a 1) b
α : Type u_1
s t : Set (Set α)
⊢ MeasurableSpace.generateFrom s ⊔ MeasurableSpace.generateFrom t = MeasurableSpace.generateFrom (s ∪ t)
α : Type u_1
r p : α → α → Prop
hr : Pairwise r
h : ∀ ⦃i j : α⦄, r i j → p i j
⊢ Pairwise p
σ : Type u_1
Fintype σ
R : Type u_2
CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ Finset.antidiagonal k
⊢ ∑ A ∈ Finset.powersetCard a.1 Finset.univ, ∑ j : σ, MvPolynomial.NewtonIdentities.weight σ R k (A, j) =
  (-1) ^ a.1 * MvPolynomial.esymm σ R a.1 * MvPolynomial.psum σ R a.2
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[<] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic a, u' x * v x + u x * v' x = a' - b'
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s : Set P
⊢ intrinsicInterior 𝕜 s ∪ intrinsicFrontier 𝕜 s = intrinsicClosure 𝕜 s
A : Type u_3
AddGroup A
s : Set A
⊢ IsSubgroup s ↔ IsAddSubgroup s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Set α → Filter β
h : Filter β
⊢ h ≤ f.lift g ↔ ∀ s ∈ f, h ≤ g s
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (2 < p)
h : ↑2 = 0
this : p ∣ 2
⊢ False
G : Type u_2
CommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
f : ℕ → G
hf : Multipliable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∏' (n : ↑t), f ↑n ∈ e
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : F
t : R
y : F
⊢ (homothety x t) y = t • (y - x) + x
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ Polynomial.X - Polynomial.C (v i) ∣ Lagrange.nodal s v