ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
InvolutiveStar R
StarRing A
StarModule R A
r : R
a : A
⊢ star r ∈ resolventSet R a ↔ r ∈ resolventSet R (star a)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : PartialHomeomorph E F
n : ℕ
⊢ ∀ (a : F), ↑(PartialHomeomorph.restrContDiff 𝕜 f n).symm a = ↑f.symm a
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
⊢ (fun x => f' x - f' x) =O[l] g'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
h : C ≌ D
⊢ CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty D
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
⊢ centroid ℝ fs s.points = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (centroidWeightsWithCircumcenter fs)
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
⊢ (b + 2) ^ (l.length - 1) ≤ (b + 2) ^ (l.length - 1) * l.getLast hl
n : ℕ∞
⊢ ContDiff ℝ n Real.smoothTransition
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
h's : IsSeparable s
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ∈ f '' s
s : ℕ
H : 1 ≤ s
⊢ ¬s ≤ Ordnode.delta * 0
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle x y) * (‖x‖ * ‖y‖) = √(⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
i' : ι
j' : κ
⊢ ((dualDistrib R M N ∘ₗ dualDistribInvOfBasis b c) ((b.tensorProduct c).dualBasis (i, j))) ((b.tensorProduct c) (i', j')) = (LinearMap.id ((b.tensorProduct c).dualBasis (i, j))) ((b.tensorProduct c) (i', j'))
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : β → C
s : CategoryTheory.Limits.Cofan f
desc : (t : CategoryTheory.Limits.Cofan f) → s.pt ⟶ t.pt
fac : ∀ (t : CategoryTheory.Limits.Cofan f) (j : β), s.inj j ≫ desc t = t.inj j := by aesop_cat
uniq : ∀ (t : CategoryTheory.Limits.Cofan f) (m : s.pt ⟶ t.pt), (∀ (j : β), s.inj j ≫ m = t.inj j) → m = desc t := by
  aesop_cat
t : CategoryTheory.Limits.Cofan f
⊢ (CategoryTheory.Limits.mkCofanColimit s desc fac uniq).desc t = desc t
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
c : K[X]ˣ
⊢ LinearMap.ker ((aeval f) (C ((↑c).coeff 0))) = ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (f y)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
F : Ultrafilter X
x : X
h : ↑F ≤ 𝓝 x
⊢ ↑F ≤ 𝓝 F.lim
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
h : Surjective ⇑f
⊢ lift.{v, v'} (Module.rank R M') ≤ lift.{v', v} (Module.rank R M)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
x✝ : R
h : x✝ ∈ closure s
x y : R
hx : x ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
z : R
hz : x * z ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
f : x * -z = -(x * z)
⊢ -(x * z) ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
hv' : ⟪v, v⟫_ℝ ≠ 0
⊢ ((-2 * (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ + ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) + -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) / ⟪v, v⟫_ℝ) • v = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
y : E
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x ↔ HasFDerivWithinAt f f' t x
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
this : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
w : ℝ≥0∞
hw : w < ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
⊢ ∃ i, w < ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : Submodule R M
h : ∀ {x : L} {m : M}, m ∈ N.carrier → ⁅x, m⁆ ∈ N.carrier
⊢ { toSubmodule := N, lie_mem := h } = ⊤ ↔ N = ⊤
K : Type u_2
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ w.IsReal ∨ w.IsComplex
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
hn : p ^ n ≤ Nat.card G
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : Finite G
⊢ ∃ H, Nat.card ↥H = p ^ n
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
⊢ γ.reparam id ⋯ ⋯ ⋯ = γ
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A L
⊢ FiniteDimensional.finrank A C = FiniteDimensional.finrank K L
n x : Nat
p : x ≥ 2 ^ n
⊢ ∃ i, i ≥ n ∧ x.testBit i = true
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
⊢ TendstoUniformly F f p ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : β), edist (f x) (F n x) < ε
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t✝ : Set β
f : Filter β
m : α → β
t' t : Set β
ht : t ∈ f
sub : m ⁻¹' t ⊆ m ⁻¹' t'
⊢ t' ∈ f ⊓ 𝓟 (range m)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h_left : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Iio b) μ
h_right : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ici b) μ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Iio b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Set.Ici b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ), f x ∂μ
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
IsDomain A
Algebra A K
IsFractionRing A K
L : Type u_4
Field L
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
FiniteDimensional K L
⊢ ∃ s b, ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
⊢ (List.Forall₂ R ⇒ (R ⇒ List.Forall₂ P) ⇒ List.Forall₂ P) List.bind List.bind
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h₁ : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
⊢ ∀ {X Y Z : Scheme} (e : X ≅ Y) (f : Y ⟶ Z) [inst : IsAffine Z], sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f → sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (e.hom ≫ f)
α : Type u
SemilatticeInf α
a b c : α
hb : a ⊓ c ≤ b
hc : a ⊓ b ≤ c
⊢ a ⊓ b = a ⊓ c
f : Type u₀ → Type u₁
EquivFunctor f
α β : Type u₀
e : α ≃ β
y : f β
⊢ (EquivFunctor.mapEquiv f e).symm y = EquivFunctor.map e.symm y
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : 1 ≤ x
n : ℕ
⊢ 1 ≤ x ^ n * x
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
M : Type u_8
AddCommMonoid M
Module R M
Subsingleton ι
i₀ : ι
m : M
⊢ (PiTensorProduct.subsingletonEquiv i₀).symm m = (PiTensorProduct.tprod R) fun x => m
x : ℝ
h : 0 < x
⊢ arctan (√(1 - x ^ 2) / x) = π / 2 - arcsin x
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : Monoid.PushoutI.NormalWord d
⊢ (g • w).prod = (Monoid.PushoutI.of i) g * w.prod
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : X → E
⊢ (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G.op ⊣ F.op
X : C
⊢ (CategoryTheory.Adjunction.adjointOfOpAdjointOp F G h).unit.app X =
  (CategoryTheory.opEquiv (Opposite.op (G.obj (F.obj X))) (Opposite.op X))
    ((h.homEquiv (Opposite.op (F.obj X)) (Opposite.op X)).symm
      ((CategoryTheory.opEquiv (Opposite.op (F.obj X)) (Opposite.op (F.obj X))).symm (𝟙 (F.obj X))))
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : AddZeroClass E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : DistribSMul 𝕜 E
s t : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
ht : IsVonNBounded 𝕜 t
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set E
hVo : IsOpen V
hV : 0 ∈ V
hVU : V + V ⊆ U
⊢ Absorbs 𝕜 U (s + t)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cochain F K m
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K n
h : m + 1 = n
⊢ (CochainComplex.mappingCone.inl φ).comp (CochainComplex.mappingCone.descCochain φ α β h) ⋯ = α
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
⊢ x✝.reduce.IsReduced
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
⊢ LinearMap.range (mfderiv 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) Subtype.val v) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSet (Sum.inr '' univ)
R : Type w₁
A : Type w₂
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Function.Surjective ⇑f
Algebra.FinitePresentation R A
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
x y : S
d : ℕ
this : (Set.range fun i => x ^ ↑i) = (fun i => x ^ i) '' ↑(Finset.range d)
⊢ (∃ l, (∀ (x : ℕ), d ≤ x → l x = 0) ∧ ∑ x_1 ∈ l.support, (algebraMap R S) (l x_1) * x ^ x_1 = y) ↔ ∃ q, (∀ (m : ℕ), d ≤ m → q m = 0) ∧ ∑ x_1 ∈ q.support, (algebraMap R S) (q x_1) * x ^ x_1 = y
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℕ
⊢ padicNorm p ↑m ≤ 1
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
a : α
⊢ a ≤ s.inf' H f ↔ ∀ b ∈ s, a ≤ f b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X : C
Y : CategoryTheory.Subobject X
⊢ CategoryTheory.Simple (CategoryTheory.Subobject.underlying.obj Y) ↔ IsAtom Y
a b : Ordinal.{u_1}
h : a ≤ b
i : a.toPGame.LeftMoves
⊢ a.toPGame.moveLeft i ⧏ b.toPGame
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b : α
inst✝ : OrderBot α
⊢ a ≤ succ ⊥ ↔ a = ⊥ ∨ a = succ ⊥
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
p q : Subspace 𝕜 E
h : IsCompl p q
hp : IsClosed ↑p
hq : IsClosed ↑q
⊢ Submodule.ClosedComplemented p
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ : Split C
F₁ : S₁.X ⟶ S₂.X
f₁ : (n : ℕ) → S₁.s.N n ⟶ S₂.s.N n
c₁ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₁.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n
F₂ : S₁.X ⟶ S₂.X
c₂ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₂.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n
h : ∀ (n : ℕ), { F := F₁, f := f₁, comm := c₁ }.f n = { F := F₂, f := f₁, comm := c₂ }.f n
⊢ ∀ (n : ℕ), S₁.s.φ F₁ n = S₁.s.φ F₂ n
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
h3 : ∀ (g : G) {K : Compacts G}, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
K : Compacts G
hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0
U : Opens G
hU : (↑U).Nonempty
this : (interior ↑U).Nonempty
⊢ 0 < μ.innerContent U
R : Type u
Semiring R
x : R
⊢ Polynomial.eval x Polynomial.X = x
α : Type u_1
Ring α
CharZero α
a b : α
a' b' : ℤ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a a' → Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b b' → decide (a' = b') = false → ¬a = b
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
⊢ abs ((P F).map id ⟨a, f⟩) = abs ⟨a, f⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ f₁ =o[l] g₁ ↔ f₂ =o[l] g₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ (extChartAt I x).target ∈ 𝓝[Set.range ↑I] ↑(extChartAt I x) x
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq n
Semiring α
Fintype n
i j k : n
M : Matrix n n α
hM : Commute (Matrix.stdBasisMatrix i j 1) M
hkj : k ≠ j
⊢ M j k = 0
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
p✝ q✝ : R[X]
hq✝ : q✝ ≠ 0
⊢ (laurent r) ((laurent s) ((algebraMap R[X] (RatFunc R)) p✝ / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) q✝)) = (laurent (r + s)) ((algebraMap R[X] (RatFunc R)) p✝ / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) q✝)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : H.IsComplement' K
ϕ : ↥H × ↥K ≃ ↥K × ↥H := { toFun := fun x => (x.2⁻¹, x.1⁻¹), invFun := fun x => (x.2⁻¹, x.1⁻¹), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
ψ : G ≃ G := { toFun := fun g => g⁻¹, invFun := fun g => g⁻¹, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
⊢ K.IsComplement' H
n m k : Nat
mp : 0 < m
h : n * m = k * m
⊢ n = k
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (range fun i => bK i.1 i.2)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
⊢ IsUpperSet s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Ioi a ⊆ s
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
S : Type u_3
Monoid S
DistribMulAction S A
SMulCommClass 𝕜 S A
ContinuousConstSMul S A
IsScalarTower S A A
SMulCommClass S A A
s : S
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ (s • a).toProd.1 = s • a.toProd.1
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
e : M ≃* N
x y : M
⊢ e x = e y ↔ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Fintype α
t : Finset β
hαt : Fintype.card α = t.card
s : Set α
f : α → β
hfst : MapsTo f s ↑t
hfs : InjOn f s
⊢ ∃ g, ∀ i ∈ s, ↑(g i) = f i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
hp : p.IsHamiltonian
⊢ p.support.toFinset = univ
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M : Submodule R A
n : ℕ
⊢ M ^ n = Submodule.span R (↑M ^ n)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a ≤ bᶜ ↔ Disjoint a b
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ (D.f i i).c.app (op U) ≫ (D.V (i, i)).presheaf.map (𝟙 (op ((Opens.map (D.f i i).base).obj U)) ≫ eqToHom ⋯) ≫ invApp (D.f i i) ((Opens.map (D.t i i).base).toPrefunctor.1 ((Opens.map (D.f i i).base).obj U)) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op = (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯)
n k : ℕ
⊢ Ring.multichoose (-↑n) (n + k + 1) = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β → α → α
g : γ → α → α
hfg : Set.range f ⊆ Set.range g
a : α
⊢ Set.range (List.foldr f a) ⊆ Set.range (List.foldr g a)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (c : β) ∂ν a, ∀ ⦃a_1 b : ℚ⦄, a_1 ≤ b → f (a, c) a_1 ≤ f (a, c) b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
Y : C
P : Subobject Y
⊢ IsIso P.arrow ↔ P = ⊤
α : Type u
CommGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
⊢ b⁻¹ ≤ a / c ↔ c ≤ a * b
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_right : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (w * cs.simple i)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
⊢ ∀ (x : W) (hx : x ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)) (y : W) (hy : y ∈ Set.range cs.simple), p' x hx → p' (x * y) ⋯
q✝ q : ℚ
n : ℕ
⊢ (q.num ^ n).natAbs.Coprime (q.den ^ n)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
⊢ 0 - 0 - (-b - a) = b + a
α : Type u
PseudoMetricSpace α
a : α
⊢ nndist a a = 0
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
X Y : T
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Arrow.mk f).right = Y
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q r : ℝ≥0
⊢ ↑(↑r).toNNReal ≤ ↑r
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
⊢ ‖f x‖ / ‖x‖ ≤ ‖f‖
l : Type u_4
R : Type u₂
DecidableEq l
CommRing R
Fintype l
Invertible 2
⊢ LieAlgebra.Orthogonal.PB l R * Matrix.fromBlocks 1 0 0 ⅟(LieAlgebra.Orthogonal.PD l R) = 1
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s t₁ t₂ : Finset α
⊢ s / (t₁ ∪ t₂) = s / t₁ ∪ s / t₂
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hcst : μ[|s] t ≠ 0
⊢ (μ s)⁻¹ * μ (s ∩ t) ≠ 0
⊢ ∑' (n : ℕ), (1 / 2) ^ n = 2
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : IsClosed s
hs : s.Nonempty
⊢ x ∈ s ↔ infDist x s = 0
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
t : Finset M
h : finrank R M < t.card
g : { x // x ∈ t } → R
sum : ∑ i : { x // x ∈ t }, g i • ↑i = 0
z : { x // x ∈ t }
nonzero : g z ≠ 0
⊢ ∑ i : ↑↑t, Function.extend Subtype.val g 0 ↑i • ↑i = 0
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
⊢ ∀ x ∈ s, p a x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a : A
X : C
⊢ ((CategoryTheory.Functor.id C).commShiftIso a).inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (((CategoryTheory.Functor.id C).comp (CategoryTheory.shiftFunctor C a)).obj X)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
⊢ Dilation.ratio f ≠ 0
r n : ℕ
⊢ (2 * n).choose r ≤ n.centralBinom
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
⊢ ∃ u n, (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)) = ↑↑u * ↑↑p ^ n
R : Type u
CommRing R
X Y : Type v
Ring X
Ring Y
HopfAlgebra R X
HopfAlgebra R Y
e : X ≃ₐc[R] Y
⊢ e.toHopfAlgebraCatIso.inv.toBialgHom = ↑e.symm
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
IsDedekindDomain A
Algebra A K
IsFractionRing A K
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
⊢ I⁻¹ ≤ J ↔ J⁻¹ ≤ I
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ ℙ {ω | c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} ≤ evariance X ℙ / ENNReal.ofReal (c ^ 2)
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
VAdd M α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M α μ
MeasurableVAdd M α
c : Mᵈᵃᵃ
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ c +ᵥ -f = -(c +ᵥ f)
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
⊢ μ (closedBall 0 1) ≤ μ (ball 0 1)
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
f g : PseudoEpimorphism α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Finite L
val✝ : Fintype L
p : P
⊢ Fintype.card P = order P L ^ 2 + order P L + 1
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ a - b = a - min a b
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
b : Con (M × ↥S)
H : b ∈ {c | ∀ (y : ↥S), c 1 (↑y, y)}
x✝² x✝¹ : M × ↥S
p : M
q : ↥S
x : M
y : ↥S
x✝ : (r' S) (p, q) (x, y)
t : ↥S
ht : ↑t * (↑(x, y).2 * (p, q).1) = ↑t * (↑(p, q).2 * (x, y).1)
⊢ b (1 * (p, q)) (1 * (x, y))
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y : ↥S
z : N
H : f ↑y * z = 1
⊢ ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y)⁻¹ = z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLinearOrder β
f g : α →o β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
c : Chain α
z : β
⊢ (f ⊓ g) (ωSup c) ≤ z ↔ ωSup (c.map (f ⊓ g)) ≤ z