ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSpace A
Semiring A
StarRing A
TopologicalSemiring A
ContinuousStar A
Algebra R A
StarModule R A
TopologicalSpace B
Semiring B
StarRing B
Algebra R B
T2Space B
F : Type u_4
a : A
FunLike F (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
AlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
StarAlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
φ ψ : F
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩
⊢ φ = ψ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁ ++ l₂).sublists = do let x ← l₂.sublists map (fun x_1 => x_1 ++ x) l₁.sublists
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs_nonempty : s.Nonempty
hs_ne_univ : s ≠ Set.univ
x y : β
⊢ (MeasureTheory.SimpleFunc.piecewise s hs (MeasureTheory.SimpleFunc.const α x)
      (MeasureTheory.SimpleFunc.const α y)).range =
  {x, y}
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ n ≥ N, u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∏ k ∈ range (n + 1), v k
d : ℕ → E := fun n => ∏ k ∈ range (n + 1), u k / v k
⊢ ∀ n ≥ N, d n = d N
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
⊢ AnalyticWithinOn 𝕜 f Set.univ ↔ AnalyticOn 𝕜 f Set.univ
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
K : ℚ
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(x - f) j
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j) ∧ K ≤ ↑(x - f) j ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K / 2
⊢ ↑(↑f i) < mk x
R : Type u
Ring R
S : Set (Subring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(sSup S) = ⋃ s ∈ S, ↑s
θ : Angle
⊢ (θ + ↑π).sign = -θ.sign
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : α
⊢ ⇑e '' Icc a b = Icc (e a) (e b)
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝¹ : AddCommGroup P
g✝ : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) ((f i j hij) x) = (g✝ i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
h✝ : Nonempty ι
injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g✝ i) a = 0 → a = 0
i✝ : ι
g : G i✝
hz : (g✝ i✝) g = 0
⊢ (of G f i✝) g = 0
α : Type u_1
Preorder α
a₁ a₂ b : α
h : a₁ ≤ a₂
⊢ Set.Ioo a₂ b ⊆ Set.Ioo a₁ b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : β → Option (α × β)
b : β
h✝ : corec' (Corec.f f) (some b) 0 = (Corec.f f (some b)).1
a : α
b' : β
h : f b = some (a, b')
⊢ ↑(tail ⟨corec' (Corec.f f) (some b), ⋯⟩) = ↑⟨corec' (Corec.f f) (some b'), ⋯⟩
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
hst : ↑s₂.card * ↑t₂.card ≠ 0
⊢ interedges r s₂ t₂ ⊆ interedges r s₁ t₁
n : ℕ
F : TypeVec.{u_2} n → Type u_1
MvFunctor F
self : LawfulMvFunctor F
α β γ : TypeVec.{u_2} n
g : α ⟹ β
h : β ⟹ γ
x : F α
⊢ (h ⊚ g) <$$> x = h <$$> g <$$> x
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
q : ι → Prop
hq : ∀ (i : ι), p i → ∃ j, p j ∧ q j ∧ s j ⊆ s i
⊢ l.HasBasis (fun i => p i ∧ q i) s
P : Nat → Sort u_1
Q : (i : Nat) → P i → Prop
n : Nat
f : (i : Fin n) → P ↑i → P (↑i + 1)
s : P 0
init : Q 0 s
step : ∀ (k : Fin n) (s : P ↑k), Q (↑k) s → Q (↑k + 1) (f k s)
⊢ Q n (Fin.hIterate P s f)
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
CompleteSpace F
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => derivWithin f (Set.Ioi x) x) μ
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NonUnitalSemiring α
s✝ : Multiset α
a x : α
s : Multiset α
ih : (∀ x ∈ s, a ∣ x) → a ∣ s.sum
h : ∀ x_1 ∈ x ::ₘ s, a ∣ x_1
⊢ a ∣ x + s.sum
n m a b : ℕ
han : a ≤ n
hbn : b ≤ n
⊢ ↑a < ↑b ↔ a < b
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ { a := 0, b := 1, c := { a := 0, b := 0, c := W.a₁, d := W.a₃ }.toPoly, d := { a := -1, b := -W.a₂, c := -W.a₄, d := -W.a₆ }.toPoly }.toPoly.natDegree = 2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
⊢ ∀ x ∈ {p | ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y p.2 < r' → ∀ (z : E), dist z p.2 < r' → ‖f p.1 z - f p.1 y - (L z - L y)‖ < s * r}, {p | ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y p.2 < r' → ∀ (z : E), dist z p.2 < r' → ‖f p.1 z - f p.1 y - (L z - L y)‖ < s * r} ∈ 𝓝 x
R : Type u
a✝ b✝ : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : SMulZeroClass S R
a : S
n : ℕ
b : R
⊢ a • Finsupp.single n b = Finsupp.single n (a • b)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hcf : ContinuousOn f (Ico a b)
hcg : ContinuousOn g (Ico a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0
hfa : f a = 0
hga : g a = 0
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l
⊢ Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : δ → γ
hf : MeasurableEmbedding f
a : α
t : Set (β × δ)
ht : MeasurableSet t
⊢ MeasurableSet ((fun x => (id x.1, f x.2)) '' t)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
⊢ M.id'.hom = 𝟙 M.X
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 < y 0
n✝ : ℕ
hx : ∀ (k : ℕ), k < n✝ + 1 → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n✝ + 1 → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x (n✝ + 1) < y (n✝ + 1)
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
a✝ a i : α
ha0 : a ≠ 0
hi : Irreducible i
ih : a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a
x✝ : i * a ≠ 0
s : Multiset α
hs : (∀ b ∈ s, Irreducible b) ∧ s.prod ~ᵤ a
⊢ (i ::ₘ s).prod ~ᵤ i * a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
Finite ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
r : (i : ι) → α i → Finset (α i) → Prop
H_ex : ∀ (i : ι) (s : Finset (α i)), s.Nonempty → ∃ x ∈ s, r i x (s.erase x)
p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop
f : (i : ι) → Finset (α i)
h0 : p fun x => ∅
step : ∀ (g : (i : ι) → Finset (α i)) (i : ι) (x : α i), r i x (g i) → p g → p (Function.update g i (insert x (g i)))
⊢ p f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.factorThruImage f ≫ (CategoryTheory.Abelian.coimageIsoImage' f).inv =
  CategoryTheory.Limits.cokernel.π (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f)
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Submodule.baseChange A ⊥ = ⊥
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : μ o = μ s
a : BallPackage (↑s) α := { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ i, s ∩ v i
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
α : Type u_3
SemilatticeSup α
a : α
⊢ Filter.map Subtype.val Filter.atTop = Filter.atTop
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ StronglyMeasurable (μ[f|m])
M : Type u_2
MulOneClass M
x : M
S : Submonoid Mᵐᵒᵖ
⊢ x ∈ S.unop ↔ MulOpposite.op x ∈ S
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℝ
x y : ℝ
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 y)
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
⊢ Filter.Tendsto (fun t => f t ^ g t) l (𝓝 (x ^ y))
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0
⊢ LipschitzOnWith K f Set.univ ↔ ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) Set.univ
α : Type u_2
OrderedAddCommMonoid α
s : Multiset α
⊢ (∀ x ∈ s, 0 ≤ x) → 0 ≤ s.sum
k : Type u₁
G : Type u₂
A : Type u_3
CommSemiring k
Semiring A
Algebra k A
Monoid G
a : G
b : k
⊢ MonoidAlgebra.single a ((algebraMap k A) b) = (algebraMap k (MonoidAlgebra A G)) b * (MonoidAlgebra.of A G) a
w x : Nat
⊢ ↑x = BitVec.ofNat w x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
⊢ MeasurableSet {x | DifferentiableAt 𝕜 f x}
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
AddCommGroup M₃
AddCommGroup M₄
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
⊢ QuadraticMap.comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap) = Q₁.tmul Q₃
p b : ℝ
hp : 0 < p
hb : 0 < b
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-b * x ^ p) = b ^ (-1 / p) * Gamma (1 / p + 1)
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
⊢ n.totient ≤ (minpoly ℤ μ).natDegree
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
ℱ : TopCat.Presheaf C X
U : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (TopCat.Presheaf.Pushforward.id ℱ).hom.app U = 𝟙 (((TopCat.Presheaf.pushforward C (𝟙 X)).obj ℱ).obj U)
ι : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
f : ι → E
hf : Summable fun i => ‖f i‖₊
⊢ ‖∑' (i : ι), f i‖₊ ≤ ∑' (i : ι), ‖f i‖₊
𝕜 : Type u
n : ℕ
G : Type wG
G' : Type wG'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
k l : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) (ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G')
x y : G
⊢ ((ContinuousMultilinearMap.curryFinFinset 𝕜 G G' hk hl).symm f) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y) =
  (f fun x_1 => x) fun x => y
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S : Subgroupoid C
Sw : S.IsWide
c : C
⊢ 𝟙 c ∈ S.arrows c c
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝³ : Nonempty α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
f : α → β
h : Tendsto f atTop atTop
M : β
hM : M ∈ upperBounds (range f)
a : α
ha : ∀ b ≥ a, b ∈ f ⁻¹' Ioi M
⊢ M < M
α : Type u
⊢ Cardinal.toNat (Cardinal.mk α) = 1 ↔ Subsingleton α ∧ Nonempty α
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
h : IsNoetherian R M
f : Module.End R M
μ : R
⊢ f.maxGenEigenspace μ = (f.genEigenspace μ) (f.maxGenEigenspaceIndex μ)
α : Type u
β : Type v
f : α → β
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ t₃ : TopologicalSpace β
h₁ : t₂ ≤ t₃
h₂ : Continuous f
⊢ Continuous f
α : Type u_1
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
s : ι → Set α
self : Filter.IsBasis p s
⊢ ∃ i, p i
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalSemiring α
Fintype m
StarRing α
M : Matrix m n α
v : m → α
⊢ star (v ᵥ* M) = Mᴴ *ᵥ star v
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → G
hf : f =ᵐ[μ] 0
⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
c : 𝕜
g : α → 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ (f =Θ[l] fun x => c * g x) ↔ f =Θ[l] g
R : Type u_1
S : Type ?u.189967
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.190432
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.191572
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f✝ ⇑g
inst✝ : FinitePresentation R M
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
I : Type (max u_2 u_1) := Free.ChooseBasisIndex k (k ⊗[R] M)
b : Basis I k (k ⊗[R] M) := Free.chooseBasis k (k ⊗[R] M)
this✝¹ : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))
f : k ⊗[R] M → M
hf : ∀ (b : k ⊗[R] M), ((TensorProduct.mk R k M) 1) (f b) = b
i : (I →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total I M R (f ∘ ⇑b)
hi : Surjective ⇑i
this✝ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)
this : Surjective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
hi' : Function.Bijective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
⊢ ∀ (y : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)), y = 0
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q
⊢ j ≠ 0
G : Type u_1
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
μ.IsAddLeftInvariant
μ.Regular
NeZero μ
f : G → ENNReal
hf : Continuous f
⊢ ∫⁻ (x : G), f x ∂μ = 0 ↔ f = 0
Ω : Type u_1
β : Type u_6
β' : Type u_7
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace β} {x_1 : MeasurableSpace β'},
  ProbabilityTheory.IndepFun f g μ → ProbabilityTheory.IndepFun g f μ
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
ab : Turing.Reaches f a b
⊢ Turing.eval f a = Turing.eval f b
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
⊢ ⁅g₁, g₂⁆⁻¹ = ⁅g₂, g₁⁆
x : ℝ
⊢ sin x = 0 ↔ 0 = sin x * sin x
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
inst✝¹ : HasPullbacks C
inst✝ : P.RespectsIso
hP₂ : ∀ (X Y S : C) (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), P g → P (pullback.fst f g)
X Y Y' S : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : Y' ⟶ Y
g' : Y' ⟶ X
sq : IsPullback f' g' g f
hg : P g
⊢ P g'
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : Ω → E
Filter.atTop.IsCountablyGenerated
TopologicalSpace ι
OrderTopology ι
FirstCountableTopology ι
MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
⊢ μ[f|hτ.measurableSpace] =ᵐ[μ.restrict {x | τ x = i}] μ[f|↑ℱ i]
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
hnc : ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
K : Subgroup G
hK : IsCoatom K
hNK : (↑P).normalizer ≤ K
⊢ (↑P).normalizer = ⊤
α : Type u
β : Type v
M : Type w
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
b : M
LinearOrderedCommSemiring M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.card • b < ↑s.card
⊢ ∃ y ∈ t, b < ↑(Finset.filter (fun x => f x = y) s).card
α : Type u_1
f : Filter α
f.IsCountablyGenerated
⊢ ∃ x, f.HasAntitoneBasis x
m : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
Fintype m
Fintype n
RCLike 𝕜
A : Matrix m n 𝕜
DecidableEq m
i : m
⊢ 0 ≤ ⋯.eigenvalues i
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
PredOrder α
i : α
n : ℕ
hin : ¬IsMax (Order.succ^[n - 1] i)
⊢ Order.pred^[n] (Order.succ^[n] i) = i
p b : ℝ
hp : 0 < p
hb : 0 < b
⊢ b ^ (-1 / p) * Gamma (1 / p + 1) = b ^ (-(0 + 1) / p) * (1 / p) * Gamma ((0 + 1) / p)
M : Type u
Monoid M
C : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} C
F G : CategoryTheory.SingleObj M ⥤ C
u : F.obj (CategoryTheory.SingleObj.star M) ⟶ G.obj (CategoryTheory.SingleObj.star M)
h : ∀ (a : M), F.map a ≫ u = u ≫ G.map a
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.SingleObj M), (CategoryTheory.SingleObj.natTrans u h).app x = u
X✝ Y✝ : LocallyRingedSpace
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : RingedSpace
f g : X ⟶ Y
H : f = g
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
h : IsLocalRingHom (PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x)
⊢ IsLocalRingHom (eqToHom ⋯ ≫ PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x)
α : Type u_1
l : List α
n : ℕ
⊢ List.map (Prod.map (fun x => x + n) id) l.enum = List.enumFrom n l
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
hμν : ν ≪ μ
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup f ν ≤ MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ
R : Type u
⊢ Function.RightInverse Tropical.trop Tropical.untrop
α : Type u_1
σ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable σ
f : α → σ
⊢ (Primrec fun a => Encodable.encode (f a)) ↔ Primrec f
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroOneClass M₀
s t✝ : Set ι
i : ι
t : Set κ
j : κ
⊢ (s ×ˢ t).indicator 1 (i, j) = s.indicator 1 i * t.indicator 1 j
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X →. Y
h : PContinuous f
⊢ IsOpen f.Dom
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
h : ∃! x, ∃! hx, q x hx
y₁ y₂ : α
hpy₁ : p y₁
hqy₁ : q y₁ hpy₁
hpy₂ : p y₂
hqy₂ : q y₂ hpy₂
⊢ y₁ = y₂
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b + m • p - (toIcoDiv hp a b • p + m • p) = b - toIcoDiv hp a b • p
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
hI : I.IsRadical
hJ : J.IsRadical
⊢ (I ⊓ J).IsRadical
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(simpleFunc E p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p μ) (hg : Memℒp (↑g) p μ), Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
f : ↥(simpleFunc E p μ)
⊢ P f
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ Nontrivial ↥H ↔ ∃ x ∈ H, x ≠ 0
R : Type u_1
G : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
Group G
Fintype G
f : G →* R
hf : f ≠ 1
⊢ ∑ g : G, f g = 0
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
f : α → β → E
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable (Function.uncurry f)
⊢ MeasurableSet {x | MeasureTheory.Integrable (f x) ν}
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_nbot : ⊥ < limsup u f
⊢ limsup (u + v) f ≤ limsup u f + limsup v f
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ IsIso (h₁.homologyIso.hom ≫ γ.φH ≫ h₂.homologyIso.inv) ↔ IsIso γ.φH
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
t : Finset β
s : Finset α
f : α → Finset β
⊢ t ∩ s.biUnion f = s.biUnion fun x => t ∩ f x
R : Type u_2
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
H : ∀ t ⊆ s, t.Finite → LinearIndependent R fun (x : ↑t) => ↑x
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
a b c d✝ m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n d : ℕ
h : n / d * d = n
⊢ d ∣ n / d * d
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
m n✝ : ℕ
h : m < n✝ + 1
⊢ Disjoint (disjointed f m) (disjointed f (n✝ + 1))
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ Quot.mk Setoid.r I = (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)).range) ((MonoidHom.id (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ) I)
n m : ℕ
ζ μ : ℂ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hμ : IsPrimitiveRoot μ m
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0
h : ζ.arg = μ.arg
⊢ ζ = μ
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
a : E
f' : E →L[ℝ] ℝ
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => Real.arsinh (f x)) ((√(1 + f a ^ 2))⁻¹ • f') a
α : Type u_1
Add α
PartialOrder α
DecidableEq α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap HAdd.hAdd) LT.lt
LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
⊢ Finset.Ico a b + Finset.Ioc c d ⊆ Finset.Ioo (a + c) (b + d)
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Finite J
F : J → Karoubi C
j : J
⊢ (biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.map fun j => (F j).p) = (F j).p ≫ (biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ { X := ⨁ fun j => (F j).X, p := biproduct.map fun j => (F j).p, idem := ⋯ }.p
K : Type u_1
RCLike K
z w : K
⊢ RCLike.re (z * w) = RCLike.re z * RCLike.re w - RCLike.im z * RCLike.im w
A : Type u_1
NormedRing A
CompleteSpace A
StarRing A
CstarRing A
NormedAlgebra ℂ A
StarModule ℂ A
⊢ StarOrderedRing A
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
T : E →ₗ[𝕜] E
x : E
⊢ 0 ≤ re ⟪x, (adjoint T * T) x⟫_𝕜
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
g f' : R[X]
hf : (g * f').Separable
⊢ g.Separable
M : Type u_1
TopologicalSpace M
⊢ Continuous MulOpposite.unop
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
r : R
x y : S
this : SMulZeroClass R S := inferInstance
⊢ (y𝖣r • x) = r • y𝖣x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : ι → M → G
h : ∀ (i : ι), Smooth I' I (f i)
hfin : LocallyFinite fun i => Function.mulSupport (f i)
⊢ Smooth I' I fun x => ∏ᶠ (i : ι), f i x
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
CharZero α
m n : PosNum
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n