ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
z : M
F' : Type u_11
NormedRing F'
NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
hp : MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, F') p z
hq : MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, F') q z
⊢ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, F') (p * q) z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s t : Set β
⊢ ∀ (x : α), x ∈ r.core (s ∩ t) ↔ x ∈ r.core s ∩ r.core t
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : HasTerminal C
inst✝⁴ : HasBinaryProducts C
inst✝³ : HasTerminal D
inst✝² : HasBinaryProducts D
inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y Z : C
⊢ MonoidalCategory.whiskerRight (asIso (prodComparison F X Y)).inv (F.obj Z) ≫ (asIso (prodComparison F (MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z)).inv ≫ F.map (prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd)) = prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd) ≫ MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X) (asIso (prodComparison F Y Z)).inv ≫ (asIso (prodComparison F X (MonoidalCategory.tensorObj Y Z))).inv
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
Semiring β
One α
One α₂
F : Type u_6
FunLike F α α₂
OneHomClass F α α₂
f : F
⊢ MonoidAlgebra.mapDomain (⇑f) 1 = 1
⊢ Differentiable ℂ fun s => s.Gammaℝ⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ NullMeasurableSet {a | f a < g a} μ
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o : Ordinal.{u}
hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o
f : LocallyConstant ↑C ℤ
⊢ ∀ (a : Products I), a < l ∧ eval C a = f ↔ a < l ∧ (πs C o) (eval (π C fun x => ord I x < o) a) = f
ι : Type u
DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
δ : (i : ι) → α i → Type v
(i : ι) → (j : α i) → Zero (δ i j)
f : Π₀ (i : (x : ι) × α x), δ i.fst i.snd
i : ι
j : α i
⊢ (f.sigmaCurry i) j = f ⟨i, j⟩
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ IsLocalizedModule.mk' f m₁ s₁ + IsLocalizedModule.mk' f m₂ s₂ = IsLocalizedModule.mk' f (s₂ • m₁ + s₁ • m₂) (s₁ * s₂)
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ { re := a.re, imI := a.imI, imJ := a.imJ, imK := a.imK } = a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
⊢ ((AlgebraicTopology.alternatingFaceMapComplex C).obj X).X n = X _[n]
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
inst✝ : Mono f
g₁ g₂ : ↑G
h : f g₁ = f g₂
t0 : asHom g₁ ≫ f = asHom g₂ ≫ f
⊢ g₁ = g₂
α : Type u_1
l : List α
hl : l.Nodup
⊢ (↑l).Nontrivial ↔ 2 ≤ l.length
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
⊢ 0 = 0 + μ.withDensityᵥ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : Disjoint s t
⊢ (s ∪ t).encard = s.encard + t.encard
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
⊢ index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V = index K₁.carrier V + index K₂.carrier V
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
this✝ : l.NeBot
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℚ
hqpos : 0 < q
hqε : ↑q < ε
hfg' : ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ↑q
this : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.1) (f' (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.1 (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.2) (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.2 ∧ HasFDerivAt (f (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.1) (f' (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.1 (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.2) (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.2
a : ι × ι → Prop
b : ∀ᶠ (x : ι × ι) in l ×ˢ l, a x
c : E → Prop
d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y
r : ℝ
hr : 0 < r
hr' : ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ Metric.ball x r → c x_1
n : ι × ι
hn : a n
y : E
hy : (fun e => Metric.ball x r e) y
hyz' : ¬x = y
hyz : 0 < ‖y - x‖
e : ∀ {x : ι × ι}, a x → ∀ {y : E}, c y → ‖f' x.1 y - f' x.2 y‖ < ↑q ∧ HasFDerivAt (f x.1) (f' x.1 y) y ∧ HasFDerivAt (f x.2) (f' x.2 y) y
⊢ ‖f n.1 y - f n.2 y - (f n.1 x - f n.2 x)‖ ≤ ↑q * ‖y - x‖
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
hr : IsUnit r
a b : R[X]
e : a * p + b * q = 1
s : R := ↑hr.unit⁻¹
this : (a * p).natDegree = (b * q).natDegree
⊢ IsCoprime (p.scaleRoots r) (q.scaleRoots r)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
SetLike S R
Monoid R
AddMonoid ι
A : ι → S
SetLike.GradedMonoid A
n : ℕ
r : R
i : ι
h : r ∈ A i
⊢ r ^ n ∈ A (n • i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
f g : X ⟶ Y
⊢ f = g
α : Type u
DecidableEq α
β : Type v
Fintype α
DecidableEq β
Fintype β
e : Equiv.Perm α
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
⊢ Equiv.Perm.sign (e.extendDomain f) = Equiv.Perm.sign e
α : Type u_1
a : α
as : List α
h : 0 < (a :: as).length
⊢ getElem (a :: as) 0 h = a
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
Archimedean α
a : α
⊢ ⋃ n, Set.Ioc (a + ↑n) (a + ↑n + 1) = Set.univ
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
⊢ p.comp q = (Polynomial.aeval q) p
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
r s : R
m : PolynomialModule R M
⊢ { toFun := fun p => Finsupp.sum p fun i m => r ^ i • m, map_add' := ⋯ }.toFun (s • m) = (RingHom.id R) s • { toFun := fun p => Finsupp.sum p fun i m => r ^ i • m, map_add' := ⋯ }.toFun m
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255779}
a : Cardinal.{u_1}
⊢ a ^< 0 = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
hf : ↑↑f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ 0
α : Type u_1
N : α → Type u_2
DecidableEq α
(a : α) → DecidableEq (N a)
(a : α) → Zero (N a)
f g : Π₀ (a : α), N a
a : α
⊢ a ∉ f.neLocus g ↔ f a = g a
α : Type u
Monoid α
u : αˣ
a : α
h : a * ↑u = 1
⊢ ↑u⁻¹ = a
m n✝ n : ℕ
b : Bool
hn : n = 0 → b = true
⊢ (bit b n).bits = b :: n.bits
α : Type u
a : α
l : List α
⊢ ↑(a :: l) = Stream'.Seq.cons a ↑l
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
h : constantCoeff Φ = 0
n : ℕ
inj : Function.Injective ⇑(Int.castRingHom ℚ)
⊢ constantCoeff (wittStructureInt p Φ n) = 0
γ : Type w
SemilatticeSup γ
DenselyOrdered γ
a b : γ
hab : a < b
⊢ lowerBounds (Set.Ioo a b) = Set.Iic a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α
⊢ IsOpen s ↔ IsUpperSet s ∧ DirSupInacc s
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
a : X
hH : stabilizer G a ≤ H
⊢ IsBlock G (orbit (↥H) a)
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b_pos : 0 < b
d_pos : 0 < d
⊢ ↑a / ↑b ≤ ↑c / ↑d ∧ ¬↑c / ↑d ≤ ↑a / ↑b ↔ a * d ≤ c * b ∧ ¬c * b ≤ a * d
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hdeg : finSepDegree F E = 1
x : E
hsep : IsSeparable F x
this✝ : Algebra.IsAlgebraic (↥F⟮x⟯) E
this : finSepDegree F ↥F⟮x⟯ * finSepDegree (↥F⟮x⟯) E = finSepDegree F E
⊢ x ∈ (algebraMap F E).range
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x' : Dual 𝕜 E
c : 𝕜
hc : ∀ z ∈ s, ‖x' z‖ ≤ ‖c‖
c_zero : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ • x' ∈ polar 𝕜 s
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : a * b ≤ c * d
⊢ min a b ≤ max c d
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k✝ : T.LocalizationMap Q
hg : Injective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
z w : N
hizw : (f.map ⋯ k) z = (f.map ⋯ k) w
⊢ z = w
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z : C
X Y : C
P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
P' : C
inl' : X ⟶ P'
inr' : Y ⟶ P'
h : CategoryTheory.IsPushout f g inl inr
h' : CategoryTheory.IsPushout f g inl' inr'
⊢ inl ≫ (CategoryTheory.IsPushout.isoIsPushout X Y h h').hom = inl'
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z₁ z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cocycle F G n
⊢ z₁ = z₂ ↔ ↑z₁ = ↑z₂
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
b : Associates N
hb : b < ↑(d ⟨p, ⋯⟩)
⊢ b = ⊥
x : ℂ
⊢ |(x ^ 2⁻¹).im| = √((Complex.abs x - x.re) / 2)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
S : CategoryTheory.Triangulated.Subcategory C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : S.P T.obj₃
⊢ S.W T.mor₁
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ i.succ ≤ p ∨ p ≤ i.castSucc
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
⊢ AddCommGrp.factorThruImage f ≫ AddCommGrp.image.ι f = f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
r : ℚ
hrx : x < ↑r
⊢ ⨅ r, ↑(hf.stieltjesFunction a) ↑↑r ≤ 1
f : ℕ → ℂ
c : ℂ
s a : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
⊢ LSeriesHasSum (c • f) s (c * a)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
x : Rˣ
⊢ (x • γ).leftShift a n' hn' = x • γ.leftShift a n' hn'
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ map (addRightEmbedding c) (Ico a b) = Ico (a + c) (b + c)
α : Type u
s : Set (Option α)
⊢ s.Finite ↔ {x | some x ∈ s}.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ b ∈ Ioc a b ↔ a < b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t x : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x_le : x ≤ t
⊢ t.truncateToReal x = x.toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ → σ
g : α → List σ → Option σ
hg : Computable₂ g
H : ∀ (a : α) (n : ℕ), g a (List.map (f a) (List.range n)) = Option.some (f a n)
this : Computable₂ fun a n => List.map (f a) (List.range n)
a : α × ℕ
⊢ (fun a b => (List.map (f (a, b).1) (List.range (a, b).2.succ)).get? (a, b).2) a.1 a.2 = Option.some (f a.1 a.2)
m : ℕ∞
⊢ 1 < ↑m ↔ 1 < m
R : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ↑(AlgEquiv.opOp R A) = RingEquiv.opOp A
X : Type u_1
NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
Ring M
Module M X
FaithfulSMul M X
⊢ ↑⊤ = 1
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.ProjectivePlane P L
Finite P
Finite L
p : P
l : L
⊢ Configuration.lineCount L p = Configuration.pointCount P l
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
x : ℚ≥0
⊢ x = ↑x.num * ↑x.den ^ (n - 1) * (↑x.den)⁻¹ ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hsum : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤
⊢ HasSum (fun x => (f x).toReal) (∑' (x : α), (f x).toReal)
α : Sort u_3
⊢ Finite α ∨ Infinite α
R : Type u_1
CommSemiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
X : Set R
⊢ ↑(polynomialFunctions X) = Set.range ⇑(Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom X)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c p₁ p₂ : P
⊢ c ∈ AffineSubspace.perpBisector p₁ p₂ ↔ dist p₁ c = dist p₂ c
a : ℝ
⊢ closure {z | a < z.re} = {z | a ≤ z.re}
s : ℝ
h : 0 < s
⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) (Ioc 0 1) volume ∧ IntegrableOn (fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) (Ioi 1) volume
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s
A : ∀ y ∈ s, f y = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) (p y 0)
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => p x 0) ((↑{ toLinearEquiv := (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1))) s x
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq α
M : α → Type u_3
P : α → Type u_4
inst✝⁴ : (a : α) → Zero (N a)
inst✝³ : (a : α) → Zero (M a)
inst✝² : (a : α) → Zero (P a)
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (M a)
f g : Π₀ (a : α), N a
F : (a : α) → N a → M a
F0 : ∀ (a : α), F a 0 = 0
a : α
⊢ a ∈ (mapRange F F0 f).neLocus (mapRange F F0 g) → a ∈ f.neLocus g
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ (fun s => ↑((MeasureTheory.Measure.haar.haarContent K₀).toFun s)) K₀.toCompacts = 1
k m n : Nat
H1 : k.Coprime m
H2 : k.Coprime n
⊢ k.Coprime (m * n)
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
ι : Type u_10
t : Finset ι
f : ι → M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ ⇑(∑ i ∈ t, f i) = ∑ i ∈ t, ⇑(f i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
L : D
R : CategoryTheory.Functor C D
L' : B
R' : CategoryTheory.Functor A B
F : CategoryTheory.Functor C A
G : CategoryTheory.Functor D B
α : L' ⟶ G.obj L
β : R.comp G ⟶ F.comp R'
X Y : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit L) R
φ : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.StructuredArrow.map₂ α β).map φ).right = F.map φ.right
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
e : σ →₀ ℕ
s : S
n : N
d : σ →₀ ℕ
⊢ coeff d (rTensorAlgHom ((monomial e) s ⊗ₜ[R] n)) = if e = d then s ⊗ₜ[R] n else 0
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
a : α
CommMonoid β
ha : a ∉ s
f : Finset α → β
⊢ ∏ t ∈ (Finset.cons a s ha).powerset, f t = (∏ t ∈ s.powerset, f t) * ∏ t ∈ s.powerset.attach, f (Finset.cons a ↑t ⋯)
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
m : M
⊢ ‖inr m‖₊ = ‖m‖₊
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
s : Submonoid M
t : Submonoid N
⊢ ↑(s.prod t) = ↑s ×ˢ ↑t
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
f : γ →CO δ
g : β →CO γ
h : α →CO β
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty J
⊢ F.IsMittagLeffler ↔ ∀ (j : J), ∃ i f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), Set.range (F.map f) ⊆ Set.range (F.map (g ≫ f))
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : α → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct f
CategoryTheory.Limits.HasProduct g
p : (b : α) → f b ⟶ g b
⊢ CategoryTheory.Limits.Pi.map' id p = CategoryTheory.Limits.Pi.map p
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
T : Type u_3
Semiring T
I : Ideal T
f : R →+* S
g : S →+* T
⊢ Ideal.comap f (Ideal.comap g I) = Ideal.comap (g.comp f) I
s : Finset ℕ
m n✝ p✝ n p : ℕ
hn : Squarefree n
hn' : n ≠ 0
⊢ n.factorization p ≤ 1
R : Type u_1
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
Semiring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
Module R M
Module R M₂
f : M → M₂
lin : IsLinearMap R f
x : M
⊢ f (-x) = -f x
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
e : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂
⊢ map (e.symm.toIsometry.comp e.toIsometry) = AlgHom.id R (CliffordAlgebra Q₁)
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
Algebra ℚ R
Algebra ℚ S
f : R →+* S
⊢ ↑f.toRatAlgHom = f
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
⊢ prodSnd = (X.prodBinaryFan Y).snd
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
DecidablePred fun x => x < c
hbc : b ≤ c
⊢ Finset.filter (fun x => x < c) (Finset.Ico a b) = Finset.Ico a b
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p : R[X]
⊢ (p.sum fun e a => C ((algebraMap R S) a) * X ^ e) = p.sum fun e a => (⇑C ∘ ⇑(algebraMap R S)) a * X ^ e
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
TopologicalSpace β
Zero β
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf_meas : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hft_zero : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ : MeasureTheory.SigmaFinite (μ.restrict t)
⊢ MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : TopologicalSpace F
hι : Nonempty ι
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ WithSeminorms (q.comp f)
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
z : N
⊢ k.toMap (g ↑(f.sec z).2) * (f.map hy k) z = k.toMap (g (f.sec z).1)
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
d : Module.Dual R M
r : R
⊢ (changeForm h) ((contractLeft d) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) = (contractLeft d) ((changeForm h) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r))
a b c d : ℤ
hb0 : 0 < b
hd0 : 0 < d
h1 : a.natAbs.Coprime b.natAbs
h2 : c.natAbs.Coprime d.natAbs
h : ↑a / ↑b = ↑c / ↑d
⊢ a = c ∧ b = d
α : Type u_1
Zero α
p : Prop
Decidable p
a b : α
Preorder α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
⊢ 0 ≤ if p then a else b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
⊢ StarConvex 𝕜 (-x) (Neg.neg '' s)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m
hA : A.det ≠ 0
B : E ≃L[ℝ] E := A.toContinuousLinearEquivOfDetNeZero hA
⊢ {x | (fun δ => ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → ↑m * μ s ≤ μ (f '' s)) x} ∈ 𝓝 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj X
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.mk f g h).mor₁ = f
K : Type uK
V : Type uV
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
inst✝⁶ : Free K V
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : M ≃ₗ[R] N
ed : Dual R (Dual R N) ≃ₗ[R] Dual R (Dual R M) := e.symm.dualMap.dualMap
this : Dual.eval R N = ↑ed.symm ∘ₗ Dual.eval R M ∘ₗ ↑e.symm
⊢ Bijective (⇑(Dual.eval R M) ∘ ⇑e.symm)
K : Type u_1
DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation K Γ₀
x : K
⊢ v x ≤ 1 ∨ v x⁻¹ < 1
n : ℕ
NeZero n
a : Fin n
⊢ a.castSucc ≠ 0 ↔ a ≠ 0
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
⊢ (f (update (s.piecewise b a) k (s.piecewise b a k - b k)) + ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j) = (f fun j => if j = k ∨ j ∈ s → j < k then a j else if k = j then a j - b j else b j) + ∑ x ∈ s, f fun j => if j = k ∨ j ∈ s → j < x then a j else if x = j then a j - b j else b j
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
Semiring 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
(i : ι) → Module 𝕜 (α i)
(i : ι) → Module 𝕜 (β i)
e : (i : ι) → α i ≃ₗᵢ[𝕜] β i
DecidableEq ι
i : ι
v : α i
⊢ (LinearIsometryEquiv.piLpCongrRight p e) ((WithLp.equiv p ((i : ι) → α i)).symm (Pi.single i v)) =
  (WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i ((e i) v))