ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
r : ↑s
b : R
n : ℕ
e' : IsLocalization.mk' (Localization.Away (f ↑r)) (f b) ⟨f ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n, ⋯⟩, ⋯⟩ = (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) x
⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R S)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : ℕ → Set (β × γ)
hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf_disj : Pairwise (Disjoint on f)
h_Union : (fun b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ ⋃ i, f i}) = fun b => (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i})
h_tsum : (fun b => (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i})) = fun b => ∑' (i : ℕ), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ f i}
⊢ ∀ (i : ℕ), AEMeasurable (fun b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ f i}) (κ a)
α : Type u_1
l : Batteries.RBNode α
v : α
r : Batteries.RBNode α
⊢ (l.balance1 v r).reverse = r.reverse.balance2 v l.reverse
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
inst✝ : CompleteSpace H
K : ConvexCone ℝ H
ne : (↑K).Nonempty
hc : IsClosed ↑K
b : H
disj : b ∉ K
z : H
hzK : z ∈ ↑K
infi : ‖b - z‖ = ⨅ w, ‖b - ↑w‖
hinner : ∀ w ∈ ↑K, ⟪b - z, w - z⟫_ℝ ≤ 0
⊢ (∀ x ∈ K, 0 ≤ ⟪x, z - b⟫_ℝ) ∧ ⟪z - b, b⟫_ℝ < 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y P Q : C
t : BinaryFan P Q
I : IsLimit t
s : Cone (pair Q P)
m : s.pt ⟶ t.swap.pt
w : ∀ (j : Discrete WalkingPair), m ≫ t.swap.π.app j = s.π.app j
h : (∀ (j : Discrete WalkingPair), m ≫ t.π.app j = (BinaryFan.swap s).π.app j) → m = I.lift (BinaryFan.swap s)
⊢ m = (fun s => I.lift (BinaryFan.swap s)) s
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a b c : α
d : α
⊢ a - b = c - d ↔ b - a = d - c
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
p : BoxIntegral.Box ι → Prop
⊢ (π.filter p).boxes.val = Multiset.filter p π.boxes.val
i : ℕ
⊢ (ComplexShape.down ℕ).next (i + 1) = i
R : Type u
CommRing R
A B : Type u
CommRing A
Algebra R A
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
IsScalarTower R A B
Algebra.Etale R A
Algebra.Etale A B
⊢ Algebra.Etale R B
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
Fintype σ
X : σ → R
f : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.eval X) f = ∑ d ∈ f.support, MvPolynomial.coeff d f * ∏ i : σ, X i ^ d i
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.2006, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.2010, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
p q : ℤ
hpq : p + -1 = q
⊢ p = q + 1
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
m : M
_hm : m ∈ p
n : N
hn : n ∈ ⊥
⊢ (f m) n ∈ ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D ⥤ E
X Y : C
e : X ≅ Y
Z : D
⊢ CategoryTheory.inv ((F.map e.inv).app Z) = (F.map e.hom).app Z
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
a b c : CategoryTheory.Over X
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).left = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.left g.left
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
⊢ a / 2 < a ↔ 0 < a
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
⊢ ↑(tensorQuotEquivQuotSMul M I) ∘ₗ LinearMap.lTensor M (Submodule.mkQ I) = (I • ⊤).mkQ ∘ₗ ↑(TensorProduct.rid R M)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
ContinuousAdd M
f : ι → α → M
x : Filter α
a : ι → M
s : Finset ι
⊢ (∀ i ∈ s, Filter.Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))) → Filter.Tendsto (fun b => ∑ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (∑ c ∈ s, a c))
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : 1 ≤ ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
p_roots2 : ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card ≤ 3
n : ℕ := ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
hn : 2 ∣ n
key : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
⊢ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 2
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
⊢ (r • μ).withDensity (ν.rnDeriv (r • μ)) = (r • μ).withDensity (r⁻¹ • ν.rnDeriv μ)
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
μ.IsMulLeftInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.2, z.2 * z.1)) (μ.prod ν) (ν.prod μ)
n : ℕ
⊢ Function.Involutive Fin.rev
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
Module.Free ℤ R
Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal (nonZeroDivisors R) K
a : ↥(nonZeroDivisors R)
I₀ : Ideal R
h : a • ↑I = Submodule.map (Algebra.linearMap R K) I₀
⊢ FractionalIdeal.absNorm I = ↑(Ideal.absNorm I₀) / ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑a|
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
⊢ ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 = ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)) 1
α : Type u_1
i : α
x : α → ℕ
⊢ (Poly.proj i) x = ↑(x i)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
PartialOrder β
f g : C(α, β)
⊢ f < g ↔ (∀ (a : α), f a ≤ g a) ∧ ∃ a, f a < g a
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝ : DecidableEq μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
p : μ × μ
x✝¹ x✝ : { x // x ∈ s.finsuppAntidiag p.2 }
f : ι →₀ μ
hf✝ : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2
g : ι →₀ μ
hg✝ : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2
hfg : (fun f => (↑f).update a p.1) ⟨f, hf✝⟩ = (fun f => (↑f).update a p.1) ⟨g, hg✝⟩
hf : s.sum ⇑f = p.2 ∧ f.support ⊆ s
hg : s.sum ⇑g = p.2 ∧ g.support ⊆ s
⊢ ↑⟨f, hf✝⟩ = ↑⟨g, hg✝⟩
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
e₁ e₂ : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
h : ∀ (m : M), e₁ m = e₂ m
⊢ e₁ = e₂
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ a ∈ toArray l ↔ a ∈ l
ι : Type u_1
α : Type u_2
Lattice α
Zero α
LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α
⊢ (Finset.uIcc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Finset.uIcc (f i) (g i)).card
α : Sort u
s : Setoid α
q₁ q₂ : Quotient s
⊢ q₁ = q₂ → Quotient.rel q₁ q₂
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V × V
hx1 : x.1 ≠ 0
hx2 : x.2 ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun y => o.oangle y.1 y.2) x
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
a : ↥G
a_mul_emb : ↥G ↪ ↥G := mulLeftEmbedding a
h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ
h_sum_map : ∑ x : ↥G, ↑↑x = ↑↑a * ∑ x : ↥G, ↑↑x
hzero : ↑↑a - 1 = 0 ∨ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0
ha : ↑↑a - 1 = 0
⊢ a = 1
n x y p : ℕ
hp : Prime p
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
⊢ x * y = p ^ 2 ↔ x = p ∧ y = p
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
x : N
⊢ e (e.symm x) = x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
G_obj : D → C
e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)
he : ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y), (e X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (e X Y) g
X : C
Y Y' : D
g : F.obj X ⟶ Y
h : Y ⟶ Y'
⊢ (e X Y') (g ≫ h) = (e X Y) g ≫ (rightAdjointOfEquiv e he).map h
s : Set ℝ
⊢ interior (Complex.im ⁻¹' s) = Complex.im ⁻¹' interior s
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
X : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace X
hX : Pairwise fun x y => ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
S : Set X
hS : IsPreconnected S
x : X
hx : x ∈ S
y : X
hy : y ∈ S
hxy : x ≠ y
U : Set X
hU : IsClopen U
hxU : x ∈ U
hyU : y ∉ U
⊢ False
ι✝ : Type u'
ι'✝ : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι✝ → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
s : Set ι
f : ι → ι'
g : ι' → M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => g (f ↑x)
a✝ : Nontrivial R
this : InjOn f s
⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(f '' s)) => g ↑x
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
x y : α × β
⊢ x.swap < y.swap ↔ x < y
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : O
hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x ≠ 0
r : O
hr : r * ↑p = (Quotient.mk'' x).out' - x
⊢ ¬v ((algebraMap O K) x) ≤ v ((algebraMap O K) (Quotient.out' ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x)) - (algebraMap O K) x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasKernel S.g
CategoryTheory.Limits.HasCokernel (CategoryTheory.Limits.kernel.lift S.g S.f ⋯)
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofHasKernelOfHasCokernel S).H =
  CategoryTheory.Limits.cokernel (CategoryTheory.Limits.kernel.lift S.g S.f ⋯)
⊢ HasDerivAt Gamma (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2)) (1 / 2)
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A✝ B A : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A
u v : n → α
hM : u = A *ᵥ v
⊢ A⁻¹ *ᵥ u = v
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
n j : ℕ
hn : 0 < n
⊢ ∑ m ∈ range (j - n), 1 / ↑(m + n).factorial ≤ ∑ m ∈ range (j - n), (↑n.factorial * ↑n.succ ^ m)⁻¹
α : Type u
β : α → Type v
a : α
l : List (Sigma β)
⊢ a ∉ l.keys ↔ ∀ s ∈ l, a ≠ s.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0
g : α → ℝ≥0
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
lim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))
hf : ∀ (i : ι), Measurable fun x => ↑(f i x)
⊢ ∀ (x : α), Tendsto (fun i => ↑(f i x)) u (𝓝 ↑(g x))
p n : ℕ
⊢ W_ (ZMod (p ^ (n + 1))) (n + 1) = (MvPolynomial.expand p) (W_ (ZMod (p ^ (n + 1))) n)
R : Type u_1
CommSemiring R
x : R
⊢ IsNilpotent x ↔ ∀ (J : Ideal R), J.IsPrime → x ∈ J
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
⊢ (if 1 = ⊤ then eLpNormEssSup f μ else ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ).toReal
X Y : Type u
e : X ≅ Y
⊢ equivEquivIso.symm e = e.toEquiv
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : α
hp : Prime p
n : ℕ
⊢ multiplicity p (p ^ n) = ↑n
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial σ S
⊢ (MvPolynomial.bind₂ f).comp MvPolynomial.C = f
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x y : n → α
e : n ≃ m
⊢ u ⬝ᵥ x ∘ ⇑e.symm = u ∘ ⇑e ⬝ᵥ x
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K : LieSubalgebra R L
⊢ (∃ I, lieIdealSubalgebra R L I = K) ↔ ∀ (x y : L), y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
hμ : ProbabilityTheory.Kernel.iIndep m κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSets (fun x => {s | MeasurableSet s}) κ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f : β → α
a : α
DecidableEq β
hf : HasProd f a
b : β
⊢ HasProd (fun n => if n = b then 1 else f n) (a / f b)
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
⊢ RCLike.re (⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
q : PMF β
f : (a : α) → a ∈ p.support → (b : β) → b ∈ q.support → PMF γ
c : γ
⊢ (p.bindOnSupport fun a ha => q.bindOnSupport (f a ha)) c = (q.bindOnSupport fun b hb => p.bindOnSupport fun a ha => f a ha b hb) c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : β → α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
a : α
⊢ a ∈ lowerBounds (closure s) ↔ a ∈ lowerBounds s
n m k : ℕ
h' : k ∣ m
h : m ∈ factoredNumbers (Finset.range n)
⊢ k ∈ factoredNumbers (Finset.range n)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
t : Finset ((i : ι) × β i)
ht : t ⊆ s.sigma g
i : ι
b : β i
hi : ⟨i, b⟩ ∈ s.sigma g
hit : ⟨i, b⟩ ∉ t
j : ι
c : β j
hbc : ⟨i, b⟩ ≠ ⟨j, c⟩
hj : ⟨j, c⟩ ∈ s.sigma g
⊢ Disjoint (f ⟨i, b⟩) (f ⟨j, c⟩)
n k : ℕ
⊢ (n + 1).ascFactorial k = k ! * ((n + 1).ascFactorial k / k !)
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.gcd d = 1
⊢ Rat.normalize n d h = { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
z : ℂ
⊢ z.re * z.re ≤ normSq z
y₁ y₂ : SetTheory.PGame
⊢ y₁ ≈ y₂ ↔ ∀ (x₁ : SetTheory.PGame), x₁ ≈ y₁ ↔ x₁ ≈ y₂
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0
dim_pos : 0 < Fintype.card ι
ε : ℝ := ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
ε_eq : ε = ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))
hε : 0 < ε
ε_le : ↑(normBound abv bS) * (abv b • ε) ^ ↑(Fintype.card ι) ≤ ↑(abv b) ^ ↑(Fintype.card ι)
μ : Fin (cardM bS adm).succ ↪ R := distinctElems bS adm
hμ : μ = distinctElems bS adm
s : ι →₀ R := bS.repr a
s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i
qs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i / b
rs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i % b
r_eq✝ : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ) (i : ι), rs j i = μ j * s i % b
μ_eq : ∀ (i : ι) (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j * s i = b * qs j i + rs j i
μ_mul_a_eq : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j • a = b • ∑ i : ι, qs j i • bS i + ∑ i : ι, rs j i • bS i
j k : Fin (adm.card ε ^ Fintype.card ι).succ
j_ne_k : j ≠ k
hjk : ∀ (k_1 : ι), ↑(abv (μ k * s k_1 % b - μ j * s k_1 % b)) < abv b • ε
hjk' : ∀ (i : ι), ↑(abv (rs k i - rs j i)) < abv b • ε
q : S := ∑ i : ι, (qs k i - qs j i) • bS i
r : R := μ k - μ j
r_eq : r = μ k - μ j
this : r • a - b • q = ∑ x : ι, (rs k x • bS x - rs j x • bS x)
⊢ abv ((Algebra.norm R) (∑ x : ι, (rs k x • bS x - rs j x • bS x))) < abv b ^ Fintype.card ι
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
hs : Disjoint e.source e'.source
ht : Disjoint e.target e'.target
(x : α) → Decidable (x ∈ e.source)
(y : β) → Decidable (y ∈ e.target)
⊢ (e.disjointUnion e' hs ht).source = e.source ∪ e'.source
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
X : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi D)
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ (((CategoryTheory.Idempotents.KaroubiUniversal₁.counitIso C D).hom.app X).app P).f = (X.map P.decompId_p).f
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
⊢ (Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) (((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)) = (Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))
S : Type u_1
AddSemigroup S
a x y x' y' : S
h : AddSemiconjBy a x y
h' : AddSemiconjBy a x' y'
⊢ AddSemiconjBy a (x + x') (y + y')
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
K : CompactExhaustion X
s : Set X
hs : IsCompact s
⊢ s ⊆ ⋃ i, (interior ∘ ⇑K) i
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
⊢ ⇑(prodAssoc α β γ) '' (s ×ˢ t) ×ˢ u = s ×ˢ t ×ˢ u
D : Type u_3
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup D
MeasurableSpace D
BorelSpace D
SecondCountableTopology D
μ : MeasureTheory.Measure D
μ.HasTemperateGrowth
f : D → E
C₁ C₂ : ℝ
k : ℕ
hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁
h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂
h''f : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => ‖x‖ ^ k * ‖f x‖) μ
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
this : Inhabited I
m : Products I →₀ ℤ
hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}
hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)
hse : LinearMap.range (πs C o) = LinearMap.ker (Linear_CC' C hsC ho)
n : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ
w : { l // Products.isGood (π C fun x => ord I x < o) l } →₀ ℤ
hn : ((w.sum fun a b => (πs C o) (b • eval (π C fun x => ord I x < o) a)) + m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod) = Products.eval C ↑l
hc : (w.sum fun i a => a • eval (π C fun x => ord I x < o) i) = n
⊢ (m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod) ∈ Submodule.span ℤ (Products.eval C '' {m | m < ↑l})
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l✝ l' : List α
a : α
l : List α
⊢ l.toFinset.Nonempty ↔ l ≠ []
α β : BoolAlg
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget BoolAlg).obj α
⊢ ((let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
x : ℝ
⊢ √(x * x) = |x|
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
𝒜 : Finset (Finset α)
⊢ ∑ s : Finset α, ↑(𝒜ᶜˢ.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) + ∑ s : Finset α, ↑(𝒜.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹ + 1
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
ι : Sort ?u.161801
inst✝² : _root_.Finite ι
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
this : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance
f : ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) →ₗ[R] ↥(LinearMap.ker l) := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype = (LinearMap.ker l).subtype ∘ₗ f
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (LinearMap.ker π).FG
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
p : β × γ → Prop
hp : MeasurableSet {x | p x}
h : ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, ∀ᵐ (c : γ) ∂η (a, b), p (b, c)
⊢ ∀ᵐ (bc : β × γ) ∂(κ.compProd η) a, p bc
α : Type u_1
AddGroup α
One α
n : ZNum
⊢ ↑(-n) = -↑n
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_3
K' : Type u_4
Field K
Field K'
Algebra R K
IsFractionRing R K
Algebra R K'
IsFractionRing R K'
I : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
Nontrivial R
hI : I ≠ 0
⊢ FractionalIdeal.map h I ≠ 0
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
hI : I.IsPrimary
⊢ I.radical ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I)
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
⊢ P.toPoly = C P.c * X + C P.d
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a b✝ c d b : G₀
h : a ≠ 0
⊢ 1 / (a * b) * a = 1 / b
x y : ℂ
n : ℕ
⊢ x ^ (y * ↑n) = (x ^ y) ^ n
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x y : E
x' y' : F
hx : (x, x') ∈ f.graph
hy : (y, y') ∈ f.graph
hxy : x = y
⊢ x' = y'
x : ℝ
⊢ ⊥ < ↑x
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : AddZeroClass δ
inst✝ : Min δ
C : Cost α β δ
x : α
xs : List α
y : β
ys : List β
w : 0 < (suffixLevenshtein C (x :: xs) (y :: ys)).val.length
⊢ (impl C (x :: xs) y ⟨levenshtein C (x :: xs) ys :: (suffixLevenshtein C xs ys).val, ⋯⟩).val[0] = min (C.delete x + (suffixLevenshtein C xs (y :: ys)).val[0]) (min (C.insert y + (levenshtein C (x :: xs) ys :: (suffixLevenshtein C xs ys).val)[0]) (C.substitute x y + (suffixLevenshtein C xs ys).val[0]))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
hst : Disjoint s t
S : Set (Set E) := {C | Convex 𝕜 C ∧ Disjoint C t}
C : Set E
hC : C ∈ S
hsC : s ⊆ C
hCmax : ∀ a ∈ S, C ⊆ a → a = C
x : E
hx : x ∈ Cᶜ
y : E
hy : y ∈ Cᶜ
z : E
hz : z ∈ segment 𝕜 x y
hzC : z ∈ C
⊢ ∀ c ∈ Cᶜ, ∃ a ∈ C, (segment 𝕜 c a ∩ t).Nonempty
α : Type u
MeasurableSpace α
β : Type v
self : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ (Set.range ↑self).Finite
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <+ l₂ → l₁.length = l₂.length → l₁ = l₂
α : Type u_1
A : Type u_3
AddGroup A
GroupWithZero α
DistribMulAction α A
a : α
ha : a ≠ 0
S T : AddSubgroup A
⊢ S ≤ a • T ↔ a⁻¹ • S ≤ T
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
S : Set (Set X)
hS : S.Countable
⊢ dimH (⋃₀ S) = ⨆ s ∈ S, dimH s