ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
s : Finset V
hs : s.Nonempty
lin_ind : LinearIndependent K Subtype.val
card_eq : s.card = FiniteDimensional.finrank K V
⊢ ∀ (a : V),
  (finsetBasisOfLinearIndependentOfCardEqFinrank hs lin_ind card_eq).repr a =
    lin_ind.repr ((LinearMap.codRestrict (Submodule.span K (Set.range Subtype.val)) LinearMap.id ⋯) a)
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
AddGroup X
DistribMulAction R X
x : OreLocalization S X
⊢ -x + x = 0
R : Type u
CommRing R
A B C D : ModuleCat R
⊢ CategoryTheory.tensor_μ (ModuleCat R) (A, B) (C, D) = ↑(TensorProduct.tensorTensorTensorComm R ↑A ↑B ↑C ↑D)
M : Type u_6
Add M
⊢ (AddEquiv.refl M).symm = AddEquiv.refl M
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
ιM' : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ιM'
inst✝ : DecidableEq ιM'
bₘ' : Basis ιM' R M
f : Polynomial (MvPolynomial ι R) → Polynomial (MvPolynomial ι R) := Polynomial.map (aeval X).toRingHom
⊢ φ.polyCharpolyAux b bₘ = φ.polyCharpolyAux b bₘ'
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Function.Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g MeasureTheory.volume t₁ t₂
h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
hT : 0 < T
⊢ Filter.Tendsto (fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) Filter.atBot Filter.atBot
m n : ℕ
x : { x // x ≠ Fin.last n }
⊢ some ((finSuccAboveEquiv (Fin.last n)).symm x) = some ((↑x).castLT ⋯)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
hIJ : I ≤ J
r : S
p : R[X]
p_ne_zero : Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p ≠ 0
hpI : eval₂ f r p ∈ I
hrJ : r ∈ ↑J
hrI : r ∉ ↑I
rbar_ne_zero : (Quotient.mk I) r ≠ 0
rbar_mem_J : (Quotient.mk I) r ∈ map (Quotient.mk I) J
quotient_f : ∀ x ∈ comap f I, ((Quotient.mk I).comp f) x = 0
rbar_root : eval₂ (Quotient.lift (comap f I) ((Quotient.mk I).comp f) quotient_f) ((Quotient.mk I) r) (Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p) = 0
i : ℕ
ne_zero : (Quotient.mk (comap f I)) (p.coeff i) ≠ 0
mem : (Quotient.mk (comap f I)) (p.coeff i) ∈ comap (Quotient.lift (comap f I) ((Quotient.mk I).comp f) quotient_f) (map (Quotient.mk I) J)
⊢ ∃ i, p.coeff i ∈ ↑(comap f J) \ ↑(comap f I)
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
u : Set τ
hu : u ∈ f
⊢ ⋂ u, closure (image2 ϕ (↑u) s) ⊆ closure (image2 ϕ u s)
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
Hf : LocallyCompactSpace G
D : G → ℝ := fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂ν
D_cont : Continuous D
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
S : StarSubalgebra R A
h : ∀ (x : A), x ∈ S
x : A
⊢ x ∈ S ↔ x ∈ ⊤
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h' : Finite R N
hN : IsTorsion R N
⊢ ∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : ι), R ⧸ span R {p i ^ e i})
α : Sort u_1
ctx : Lean.Data.AC.Context α
l r : List Nat
h₁ : l ≠ []
h₂ : r ≠ []
⊢ Lean.Data.AC.evalList α ctx (l.append r) = ctx.op (Lean.Data.AC.evalList α ctx l) (Lean.Data.AC.evalList α ctx r)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : CategoryTheory.Functor C D
A B : CategoryTheory.StructuredArrow S T
f g : A ⟶ B
⊢ f = g ↔ f.right = g.right
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
hg : AntitoneOn g s
⊢ AntitoneOn (fun x => Set.Ico (f x) (g x)) s
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
⊢ ((∡ p₂ p₁ s.center).tan / 2) • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂ = s.center
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
⊢ Pi.topologicalSpace ≤ generateFrom {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s}
α : Type u_1
γ : Type u_3
ι : Type u_4
𝔖 : Set (Set α)
u : ι → UniformSpace γ
⊢ UniformOnFun.uniformSpace α γ 𝔖 = ⨅ i, UniformOnFun.uniformSpace α γ 𝔖
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
i : M
⊢ (f.prod g) i = Pi.prod (⇑f) (⇑g) i
n : ℕ
a : Composition n
b : Composition a.length
i : Fin b.length
j : Fin (b.blocksFun i)
⊢ (a.sigmaCompositionAux b ⟨↑i, ⋯⟩).blocksFun ⟨↑j, ⋯⟩ = a.blocksFun ((b.embedding i) j)
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
a b : α
⊢ (AddAction.orbitRel G α).Rel a b ↔ a ∈ AddAction.orbit G b
α : Type u
x : α
⊢ x ∈ Set.univ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
r : ↑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X))
⊢ X.toΓSpecSheafedSpace.c.app (Opposite.op (PrimeSpectrum.basicOpen r)) = X.toΓSpecCApp r
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
⊢ Function.Injective Diffeomorph.toEquiv
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hca : c ≤ a
⊢ ∅.val = ∅
m n a b c d : ℕ
⊢ a ≡ b [MOD n] ↔ ↑n ∣ ↑b - ↑a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
⊢ r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
s : S.Splitting
⊢ s.leftHomologyData.K = S.X₁
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x ∂ν ≠ ⊤
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClopen s
⊢ IsOpen s
R : Type u
σ : Type v
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Finite σ
ϕ : MvPolynomial σ R →+* S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ϕ p = MvPolynomial.eval₂ (ϕ.comp MvPolynomial.C) (fun s => ϕ (MvPolynomial.X s)) p
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i / ↑i ! ≤ ∑ i ∈ range j, x ^ i / ↑i !
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ ∀ (X_1 : Over X), (map (f ≫ g)).obj X_1 = (map f ⋙ map g).obj X_1
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : z ≠ 0
⊢ x = y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z = y
x : ℝ
⊢ DifferentiableAt ℝ Real.cos x
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
⊢ e = e' ↔ ∀ (x : M), e x = e' x
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
x y : Fin (n + 2)
hxy : x ≠ y
h2n : 2 ≤ n + 2
⊢ (swap x y).signAux = -1
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
g : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ.tilted f = ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * g x ∂μ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
direction_le : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) ≤ vectorSpan k (Set.range Subtype.val)
finrank_le : finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1 ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1
⊢ s.card ≤ t.card
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
f g : X → Y
hU : IsOpen U
hf : ContinuousOn f U
hg : ContinuousOn g U
h : μ {a | a ∈ U ∧ ¬f a = g a} = 0
this : IsOpen (U ∩ {a | f a ≠ g a})
⊢ EqOn f g U
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid D
φ : CategoryTheory.Functor C D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
T : CategoryTheory.Subgroupoid D
⊢ CategoryTheory.Subgroupoid.map φ hφ S ≤ T ↔ S ≤ CategoryTheory.Subgroupoid.comap φ T
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R
this : ‖c‖ / R < 1
x : E
xF : x ∉ F
hx : ∀ y ∈ F, ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖
x0 : x ≠ 0
d : 𝕜
d0 : d ≠ 0
dxlt : ‖d • x‖ < R
ledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖
y : E
hy : y ∈ F
y' : E := d⁻¹ • y
yy' : y = d • y'
⊢ 1 ≤ ‖d • x - y‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Preorder Y
OrderClosedTopology Y
f : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsExtrOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
⊢ IsExtrOn f (closure s) a
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
DecidableEq ι
i j : ι
⊢ (b.coord i) (b j) = if i = j then 1 else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrder α
DenselyOrdered α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la lb : β
hab : a ≠ b
hf : ContinuousOn f (Set.Ioo a b)
ha : Filter.Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)
hb : Filter.Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)
⊢ ContinuousOn (extendFrom (Set.Ioo a b) f) (Set.Icc a b)
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f✝ : ↥(Lp F p μ)
hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ
f g : α → F
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
h_disj✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hPg : P (Memℒp.toLp g hg)
s_f : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hs_f : MeasurableSet s_f
hs_f_eq : s_f =ᶠ[ae μ] Function.support f
s_g : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)
hs_g : MeasurableSet s_g
hs_g_eq : s_g =ᶠ[ae μ] Function.support g
h_inter_empty : s_f ∩ s_g =ᶠ[ae μ] ∅
f' : α → F := (s_f \ s_g).indicator (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf'_Lp : Memℒp f' p μ
hPf : P (Memℒp.toLp f' hf'_Lp)
g' : α → F := (s_g \ s_f).indicator (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'
hg'_meas : StronglyMeasurable g'
hg'_Lp : Memℒp g' p μ
h_disj : Disjoint (Function.support f') (Function.support g')
⊢ P (Memℒp.toLp f' hf'_Lp + Memℒp.toLp g hg)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f.op g.op = (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g).op
a b c : ENNReal
h : a ≤ b / c
⊢ c * a ≤ b
K : Type u_3
V : Type u_4
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
⊢ ⇑(Basis.ofVectorSpace K V) = Subtype.val
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
this✝¹ : Nontrivial S
this✝ : Nontrivial R
a : R
ha : a ≠ 0
a_inv : S
ha_inv : (algebraMap R S) a * a_inv = 1
this : Invertible a_inv := (Units.mkOfMulEqOne a_inv ((algebraMap R S) a) ⋯).invertible
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R S) a_inv p = 0
⊢ (aeval ((algebraMap R S) a)) p.reverse = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
X✝ Y✝ : Mod_ B
g : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (f.hom ▷ X✝.X ≫ X✝.act) ≫ g.hom = (f.hom ▷ X✝.X ≫ B.X ◁ g.hom) ≫ Y✝.act
x y : ℂ
⊢ sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
⊢ dropWhile p (dropWhile p l) = dropWhile p l
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K
this : Continuous eval
⊢ closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' {0}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a' : α
s : Set α
⊢ ∑' (x : α), s.indicator (⇑(pure a)) x = if a ∈ s then 1 else 0
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v y < v x
⊢ v (y + x) = v x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
a b : X
γ : Path a b
t : ℝ
ht : t ≤ 0
⊢ γ.extend t = a
R : Type u_1
CommRing R
p x : R
n : ℕ
⊢ p ^ 2 ∣ (x + p) ^ n - x ^ (n - 1) * p * ↑n - x ^ n
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : Besicovitch.SatelliteConfig E N τ
⊢ a.centerAndRescale.c (Fin.last N) = 0
a : ℕ+
⊢ a + 1 = (↑a).succPNat
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a b : α
h : a ^ 2 < b ^ 2
hb : 0 ≤ b
⊢ -b < a ∧ a < b
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ 0 = m * n ↔ m = 0 ∨ n = 0
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
S : Type v
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
x✝ : S ⧸ P
x : S
y✝ : S ⧸ P
y : S
h : (quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem) (Quotient.mk'' x) = (quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem) (Quotient.mk'' y)
Pe_le_Pi1 : P ^ e ≤ P ^ (i + 1)
⊢ Quotient.mk'' x = Quotient.mk'' y
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hXm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬MeasureTheory.Memℒp X 2 μ
⊢ ProbabilityTheory.evariance X μ = ⊤
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi (G.map f)
this : Epi (G.map f ≫ (α.app Y).inv)
⊢ F.map f = (α.app X).hom ≫ G.map f ≫ (α.app Y).inv
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Semiring T
g : S →+* T
x : T
⊢ eval₂ g x (map f p) = eval₂ (g.comp f) x p
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : c ⊔ a ≤ c ⊔ b
⊢ a \ c ≤ b \ c
A : Type u
AddGroup A
self : AddGroupFilterBasis A
x₀ : A
U : Set A
⊢ U ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets →
  ∃ V ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V ⊆ (fun x => x₀ + x + -x₀) ⁻¹' U
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
c : ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ (MeasureTheory.SimpleFunc.const α c).lintegral (μ.restrict s) = c * μ s
y : ℂ
hs : 0 < y.re
⊢ Continuous fun x => ↑x ^ y
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
hf : {i | ((fun i => support ⇑(f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
y : X
hyU : y ∈ U
⊢ f.toPOUFun i y = (f i) y * ∏ c ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) hf.toFinset, (1 - f c) y
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
CategoryTheory.IsPreconnected J
e : J ≌ K
⊢ CategoryTheory.IsPreconnected K
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
x : R ⧸ I * J
⊢ ((I.quotientMulEquivQuotientProd J coprime) x).1 = (Ideal.Quotient.factor (I * J) I ⋯) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
b : β
c : γ
⊢ (SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).Adj (Sum3.in₁ b) (Sum3.in₂ c) ↔ ∃ x ∈ t, x.2.1 = b ∧ x.2.2 = c
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
ι : Type u_1
inst✝ : Unique ι
h✝ : finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0
b : Basis ι K V := basisUnique ι h✝
h : (b.repr v) default ≠ 0 := mt basisUnique_repr_eq_zero_iff.mp hv
f : ι →₀ K
⊢ f default * (b.repr v) default / (b.repr v) default = f default
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J
⊢ (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π Y j ⊗ limit.π Z j) = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.π Y j ⊗ limit.π Z j) ≫ (limit.π X j ⊗ 𝟙 ((Y ⊗ Z).obj j))
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
⊢ MeasureTheory.cylinder s S = ∅ ↔ S = ∅
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F✝ F : Sheaf J A
this : (compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t)) ≫ { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } = (constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)
⊢ toSheafify J ((const Cᵒᵖ ⋙ (whiskeringRight Cᵒᵖ A B).obj U).obj (F.val.obj (op t))) ≫ ((presheafToSheaf J B).map { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app F.val).val = toSheafify J ((const Cᵒᵖ ⋙ (whiskeringRight Cᵒᵖ A B).obj U).obj (F.val.obj (op t))) ≫ ((sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafCompose J U).map ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val))).val
cf : Code
this : cf.encodeCode ≤ 2 * (2 * cf.encodeCode)
⊢ 2 * (2 * cf.encodeCode) ≤ 2 * (2 * cf.encodeCode + 1) + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
p : LTSeries β
f : α → β
comap : ∀ ⦃x y : α⦄, f x < f y → x < y
surjective : Function.Surjective f
i : Fin (p.length + 1)
⊢ (p.comap f comap surjective).toFun i = ⋯.choose
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrder α
LinearOrder β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Antivary f g ↔ Antivary g f
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ (Icc a b).card = ↑b + 1 - ↑a
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X✝
inst✝³ : R1Space X✝
x✝ y✝ : X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : R1Space Y
f : X → Y
x : X
K : Set X
s : Set Y
hf : Continuous f
hs : s ∈ 𝓝 (f x)
hKc : IsCompact K
hKx : K ∈ 𝓝 x
hc : IsCompact (f '' K \ interior s)
U V : Set Y
Uo : IsOpen U
Vo : IsOpen V
hxU : {f x} ⊆ U
hV : f '' K \ interior s ⊆ V
hd : Disjoint U V
y : X
hy : y ∈ K \ f ⁻¹' V
⊢ f y ∈ s
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
U : UniqueMDiffWithinAt I s x
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
h₁ : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f₁'
⊢ f' = f₁'
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
a : α
ha : a ∈ s
⊢ AddOpposite.op a +ᵥ ↑s = ↑s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : ∃ f', HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt f (fderiv 𝕜 f x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
g : α → γ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ ≤ ‖g a‖
hg : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖g a‖ ∂μ < ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ < ⊤
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
b : List α
hnil : b ≠ []
c' a' b' : List α
hb' : b' ∈ {b}∗
hlen : a'.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a') b = M.evalFrom M.start a'
hx : x = a' ++ b ++ c'
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a') c' = M.evalFrom M.start x
h : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a') b' = M.evalFrom M.start a'
⊢ a' ++ b' ++ c' ∈ M.accepts
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)
⊢ a ∈ closure (Ioo a b)
α : Type u
s : Stream'.Seq α
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ s.get? m = none → s.get? n = none