ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
f : Fin (r + 1) ↪ Fin n
ha : ∀ {a b : Fin (r + 1)}, (turanGraph n r).Adj (f a) (f b) ↔ ⊤.Adj a b
⊢ False
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).cos = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃
α : Type u_1
S : Set (Set α)
t : Set α
tS : t ∈ S
⊢ ⋂₀ S ⊆ t
G : Type u_1
AddGroup G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
PolishSpace G
Γ : AddSubgroup G
Γ.Normal
T2Space (G ⧸ Γ)
SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : MeasureTheory.Measure (G ⧸ Γ)
ν : MeasureTheory.Measure G
ν.IsAddLeftInvariant
hasFun : MeasureTheory.HasAddFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
⊢ μ.IsAddLeftInvariant
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasInitial C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
X Y Z : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom =
  CategoryTheory.Limits.coprod.desc
    (CategoryTheory.Limits.coprod.desc CategoryTheory.Limits.coprod.inl
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.coprod.inl CategoryTheory.Limits.coprod.inr))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.coprod.inr CategoryTheory.Limits.coprod.inr)
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
SeminormedGroup G
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 1)
hg : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ g)
op : E → F → G
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ ‖x‖ * ‖y‖
⊢ Filter.Tendsto (fun x => op (f x) (g x)) l (𝓝 1)
α : Type u_1
ι : Type u_4
s : ι → Set α
⊢ Filter.limsup s Filter.cofinite = {x | {n | x ∈ s n}.Infinite}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
SMul 𝕜 E
SMul 𝕜 F
x : E
y : F
s : Set E
t : Set F
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 y t
⊢ StarConvex 𝕜 (x, y) (s ×ˢ t)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : Mul α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : DistribMulAction R α
inst✝ : IsScalarTower R α α
x : R
v w : m → α
⊢ x • v ⬝ᵥ w = x • (v ⬝ᵥ w)
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
g : L →+* M
f : K →+* L
⊢ Subfield.map g f.fieldRange = (g.comp f).fieldRange
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ha : Irreducible a
p : α
a_assoc : a ~ᵤ p
hp : normalizedFactors a = {p}
p_mem : p ∈ normalizedFactors a
⊢ normalizedFactors a = {normalize a}
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
⊢ ENNReal.ofReal (p * q) = ENNReal.ofReal p * ENNReal.ofReal q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5}
a : Ordinal.{max u_5 u_4}
ha : a < o.bmex f
⊢ ∃ i, ∃ (hi : i < o), f i hi = a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCommMonoid α
s t : Multiset α
a : α
l : List α
hl : ∀ x ∈ ⟦l⟧, 1 ≤ x
⊢ 1 ≤ prod ⟦l⟧
m n k : Int
i : Int
H : m % n = k % n
⊢ (m + i) % n = (k + i) % n
α : Type u_1
DecidableEq α
xs ys : List α
h : xs.Disjoint ys
⊢ xs ∪ ys = xs.dedup ++ ys
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a : α
h : Antitone f
⊢ f '' Set.Ici a ⊆ Set.Iic (f a)
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁶ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace T
inst✝⁴ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : MulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
x : α
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : c ≠ 0
⊢ c • s ∈ 𝓝 (c • x)
α : Type u_1
CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), u i = ⨅ i, u (i + n)
E : Type u_3
E'' : Type u_9
Norm E
NormedAddCommGroup E''
f : ℕ → E
g'' : ℕ → E''
h : f =O[Filter.atTop] g''
⊢ ∃ C > 0, ∀ ⦃x : ℕ⦄, g'' x ≠ 0 → ‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖
x y : ℚ≥0
⊢ ↑x ≠ ↑y ↔ x ≠ y
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P (generate R).arrows
t : x.Compatible
⊢ (FamilyOfElements.restrict ⋯ x).sieveExtend = x
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ o.oangle x (r • y) = o.oangle x y
α : Type u_1
n : Nat
a : α
⊢ (a :: List.replicate n a).dropLast = List.replicate n a
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : k ≠ 0
⊢ ArithmeticFunction.cardDistinctFactors (p ^ k) = 1
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs✝ : s.IsPWO
ht✝ : t.IsPWO
a✝ : P
u : Set G
hu : u.IsPWO
v : Set P
hv : v.IsPWO
x : G × P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
x✝ : a ∈ {a | (SMulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}
b : G × P
hb : b.1 ∈ s ∧ b.2 ∈ t ∧ b.1 • b.2 = a
⊢ b.2 ∈ t ∧ b.1 • b.2 = a
x z : ℝ
hx : 1 < x
hz : 0 < z
⊢ 1 < x ^ z
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
l : Dual R M
i : ι
⊢ b.dualBasis.equivFun l i = l (b i)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
x y z : α
h : z ∈ {x, y}ᶜ
⊢ z ∈ fixedBy α (swap x y)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : Submodule R M
S : Set (Submodule R M) := {T | ∃ m ∈ p, m ≠ 0 ∧ T = span R {m}}
⊢ sSup {T | ∃ m ∈ p, m ≠ 0 ∧ T = span R {m}} ≤ p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
a : C
x : F.obj a
⊢ (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryCoproductIso F G).hom.app a (CategoryTheory.Limits.coprod.inl.app a x) = Sum.inl x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : LinearOrderedCommRing S
n : Type u_3
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
abv : AbsoluteValue R S
x : S
hx : ∀ (i j : n), abv (A i j) ≤ x
⊢ ∑ _σ : Perm n, x ^ Fintype.card n = (Fintype.card n).factorial • x ^ Fintype.card n
p : ℕ
R : Type u_1
x : ℕ → R
⊢ (WittVector.mk p x).coeff = x
α : Type u_1
n : Type u_4
AddGroup n
v w : n → α
⊢ Matrix.circulant v = Matrix.circulant w ↔ v = w
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
S : Set α
h : Set.Unbounded r S
⊢ (Ordinal.type r).cof ≤ #↑S
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a : α
ha : ∃ u, a < u
⊢ (𝓝[≥] a).HasBasis (fun u => a < u) fun u => Set.Ico a u
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
⊢ f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w✝ w₁✝ w₂✝ : ι → k
p✝ : ι → V
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
x✝ : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
⊢ ∑ i ∈ s, (w - w₁) i = 0
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : LinearOrder α
f : α → β
h : ∀ (x y : α), x < y → f x ≠ f y
x y : α
hf : f x = f y
hxy : y < x
⊢ x = y
a b c : ℕ
⊢ Ico a (a + 1) = {a}
G : Type w
H : Type x
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
AddGroup H
TopologicalSpace H
TopologicalAddGroup H
f : G →+ H
hf : Continuous ⇑f
hf' : DenseRange ⇑f
s : AddSubgroup G
hs : s.topologicalClosure = ⊤
⊢ (AddSubgroup.map f s).topologicalClosure = ⊤
J : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} J
K : CategoryTheory.Functor J (Type u)
c : CategoryTheory.Limits.Cocone K
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
lc : CategoryTheory.Limits.Cocone (K.comp CategoryTheory.uliftFunctor.{v, u})
⊢ CategoryTheory.Limits.Types.descSet hc ∅ = ∅
α : Type u_1
DecidableEq α
AddCommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (Finset.addDysonETransform e x).1.card + (Finset.addDysonETransform e x).2.card = x.1.card + x.2.card
γ : Type w
EMetricSpace γ
x y : γ
⊢ 0 = edist x y ↔ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
C : Ordinal.{u_4} → Sort u_5
o : Ordinal.{u_4}
H₁ : C 0
H₂ : (o : Ordinal.{u_4}) → C o → C (succ o)
H₃ : (o : Ordinal.{u_4}) → o.IsLimit → ((o' : Ordinal.{u_4}) → o' < o → C o') → C o
h : o.IsLimit
⊢ o.limitRecOn H₁ H₂ H₃ = H₃ o h fun x _h => x.limitRecOn H₁ H₂ H₃
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset α
f : α × α → β
⊢ ∑ i ∈ s.diag, f i = ∑ i ∈ s, f (i, i)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a : α
⊢ Associated (gcd 1 a) 1
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
n : ℕ∞
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
MemTrivializationAtlas e'
x : B
h : x ∈ e.baseSet
h' : x ∈ e'.baseSet
⊢ ContMDiffAt IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' b)) x
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn : 0 ≤ n
h : a ≤ b
⊢ a ^ n ≤ b ^ n
R : Type u
Ring R
a : R[ℕ]
⊢ { toFinsupp := -a } = -{ toFinsupp := a }
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
⊢ ⊤.toNonUnitalSubalgebra = ⊤
R : Type u_1
DivisionSemiring R
StarRing R
q : ℚ≥0
⊢ star ↑q = ↑q
α : Type u_1
AddGroup α
ι : Type u_2
f : ι → AddSubgroup α
H : AddSubgroup α
g : ↥H
i : ι
⊢ (AddSubgroup.quotientiInfAddSubgroupOfEmbedding f H) (↑g) i = ↑g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α
this : a + a = a + a + (a + a)
⊢ a + a = 0
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
h : IsCompl a b
⊢ a ⇔ b = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_4
PartialOrder α
Preorder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
x : α
⊢ u (l.toFun (u (l.toFun x))) = u (l.toFun x)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a : α
hs : IsChain r s
ha : ∀ b ∈ s, a ≠ b → r a b ∨ r b a
⊢ IsChain r (insert a s)
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ (x y : Ω[S⁄R]), f x = f' x → f y = f' y → f (x + y) = f' (x + y)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp a (-b) = p - toIcoMod hp (-a) b
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
p : R[X]
f : R →+* S
⊢ Polynomial.derivative (Polynomial.map f p) = Polynomial.map f (Polynomial.derivative p)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {b | |b| < ε}
M : Type u_1
α : Type u_2
Group M
MulAction M α
⊢ Antitone (fixingSubgroup M)
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w
hne : v ≠ w
⊢ (((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v})).card = n - (2 * k - μ) - 2
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (∫ (x_1 : α) in s, φ x x_1 • g x_1 ∂μ) 0 < ε
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
h : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → Differentiable 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 m f)
⊢ ContDiff 𝕜 n f
α : Type u
l₁ : List α
l₂ : List α
⊢ l₁ ≠ [] → (l₁ ++ l₂).head? = l₁.head?
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
⊢ ∃ k, (↑r * (↑(Real.cos θ) + ↑(Real.sin θ) * I)).arg - θ = 2 * π * ↑k
α : Type u
s t : Set α
DecidableEq α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
h : (symmDiff s t).Finite
⊢ h.toFinset = symmDiff hs.toFinset ht.toFinset
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(Profinite.NobelingProof.GoodProducts.MaxProducts C ho)
⊢ (Profinite.NobelingProof.Linear_CC' C hsC ho) (Profinite.NobelingProof.Products.eval C ↑l) =
  Profinite.NobelingProof.Products.eval (Profinite.NobelingProof.C' C ho) (↑l).Tail
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : Monoid P
f : M →* P
g : N →* P
⊢ MonoidHom.mrange (lift f g) = MonoidHom.mrange f ⊔ MonoidHom.mrange g
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
⊢ (LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier ≤ (Submodule.restrictScalars R (map includeRight I)).carrier
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
B : Matrix n m α
h : IsUnit A.det
⊢ A * (A⁻¹ * B) = B
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
self : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
i : ι
⊢ Function.Injective ⇑(φ i)
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ ε : ℝ
ProperSpace E
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
a b : E
⊢ Metric.closedBall a ε + Metric.closedBall b δ = Metric.closedBall (a + b) (ε + δ)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
⊢ Disjoint (sSup s) a ↔ ∀ b ∈ s, Disjoint b a
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
M : Type u_5
AddMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => (List.map (fun f => f x) l).sum) μ
L : Type u
CommRing L
IsDomain L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
c : ZMod (Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L))
hc : ∀ t ∈ rootsOfUnity n L, g ↑t = ↑t ^ c.val
⊢ c = ↑((ModularCyclotomicCharacter' L n) g)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
LinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≤] a
hfs : Set.SurjOn f s (Set.Iio (f a))
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Iic a) a
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₁
Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
DecidableEq m
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
a : M₂
⊢ (Matrix.toLinOfInv v₁ v₂ hMM' hM'M).symm a = ((Matrix.toLin v₂ v₁) M') a
α : Type u_6
β : Type u_7
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
⊢ ∀ (a : β →o β), f.conj.symm a = EquivLike.inv (f.arrowCongr f) a
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
⊢ Irreducible PowerSeries.X
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
R : Type u_17
StrictOrderedSemiring R
Archimedean R
f : R → E
g : R → F
h : f =O[Filter.atTop] g
⊢ (fun n => f ↑n) =O[Filter.atTop] fun n => g ↑n
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : FloorSemiring α
m n : ℕ
⊢ ⌊↑m / ↑n⌋₊ = m / n
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
x : P₁
s : AffineSubspace k P₂
⊢ x ∈ AffineSubspace.comap f s ↔ f x ∈ s
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
⊢ 0 < orderOf x ↔ IsOfFinOrder x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s✝ s t : Set X
r : RegularSpace X
inst✝ : LindelofSpace X
s_cl : IsClosed s
t_cl : IsClosed t
st_dis : Disjoint s t
nonempty_X : Nonempty X
u : X → Set X
u_open : ∀ (a : X), IsOpen (u a)
u_dis : ∀ (a : X), Disjoint (closure (u a)) t
u_nhd : ∀ a ∈ s, a ∈ u a
f : ℕ → X
f_cov : s ⊆ ⋃ n, u (f n)
⊢ _root_.HasSeparatingCover s t
α : Type u
head✝ : α
tail✝ : List α
⊢ (ofList (head✝ :: tail✝)).toList = head✝ :: tail✝
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
p : X → Prop
⊢ (∃ t, (∀ x ∈ t, p x) ∧ IsGδ t ∧ Dense t) ↔ ∃ t, IsGδ t ∧ Dense t ∧ ∀ x ∈ t, p x
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : NonUnitalCommSemiring R
A : Matrix m n R
B : Matrix n p R
C : Matrix p m R
⊢ (A * B * C).trace = (C * A * B).trace
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²² : Semifield R
inst✝²¹ : StarRing R
inst✝²⁰ : MetricSpace R
inst✝¹⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁸ : ContinuousStar R
inst✝¹⁷ : Field S
inst✝¹⁶ : StarRing S
inst✝¹⁵ : MetricSpace S
inst✝¹⁴ : TopologicalRing S
inst✝¹³ : ContinuousStar S
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module S A
inst✝⁸ : IsScalarTower S A A
inst✝⁷ : SMulCommClass S A A
inst✝⁶ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
a : A
φ : C(↑(σₙ S a), S)₀ →⋆ₙₐ[S] A
hφ : ClosedEmbedding ⇑φ
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h_cpct : CompactSpace ↑(σₙ S a)
this : CompactSpace ↑(σₙ R a)
⊢ ClosedEmbedding ⇑(nonUnitalStarAlgHom φ h)
m : ℕ∞
⊢ ↑m + ℵ₀ = ℵ₀
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < Fintype.card σ
F : Unit → MvPolynomial σ K := fun x => f
this : ∑ i : Unit, (F i).totalDegree < Fintype.card σ
x✝ : σ → K
⊢ (eval x✝) f = 0 ↔ ∀ i ∈ univ, (eval x✝) (F i) = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
f : ι' → ι
hf : Function.Injective f
⊢ Orthonormal 𝕜 (v ∘ f)
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
g : S →+* T
u : Set S
x : S
hx : x ∈ Subring.closure u
⊢ g x ∈ Subring.closure (⇑g '' u)
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : Fintype Ω
s : Set Ω
⊢ (condCount Set.univ) s = Measure.count s / ↑(Fintype.card Ω)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
B F : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
e : M₁ ≃ₗ[R] M
f : Module.End R M
⊢ B.IsPairSelfAdjoint F f ↔ (B.compl₁₂ ↑e ↑e).IsPairSelfAdjoint (F.compl₁₂ ↑e ↑e) (e.symm.conj f)
a : ℕ
h : 0 < a
⊢ Finset.Ico (a - 1) a = {a - 1}
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
e : G ≃+c[a, b] H
⊢ e.symm.trans e = AddConstEquiv.refl b
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ (Polynomial.X * p).coeff 0 = 0
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_4
DecidableEq ι
S : Type u_5
CommSemiring S
Algebra R S
Module S M
IsScalarTower R S M
x : (ι →₀ M) ⊗[R] N
⊢ (TensorProduct.finsuppLeft' R M N ι S) x = (TensorProduct.finsuppLeft R M N ι) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : Fintype β
f : β → α
⊢ ∀ b ∉ univ, f b = 1
α : Type u_1
Primcodable α
n : ℕ
⊢ Computable Mathlib.Vector.tail
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
this : (sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2))) = sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))
i : ℕ × ℕ
s : Set β
t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ (map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq ν i.1) s * (sFiniteSeq μ i.2) t
F : Type u
Field F
f : F[X]
h : Irreducible f
⊢ f.natSepDegree ∣ f.natDegree
⊢ ∀ {X Y : Type u} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.yoneda'.map f).val = CategoryTheory.yoneda.map f
m : Type u_1
DecidableEq m
Fintype m
R : Type v
CommRing R
M : Matrix m m R
n : ℕ
⊢ (M ^ n).det = M.det ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
ha : ¬IsUnit a
hb : IsUnit b
⊢ ¬a ^ (0 + 1) ∣ b
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.reverse = l → l.Palindrome
X : Type u_1
TopologicalSpace X
LocallyCompactSpace X
T2Space X
x y : X
h : x ≠ y
⊢ ∃ u v, u ∈ 𝓝 x ∧ v ∈ 𝓝 y ∧ IsCompact u ∧ IsCompact v ∧ Disjoint u v
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
M : G.Subgraph
h : M.IsMatching
⊢ M.support = M.verts
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H✝
inst✝⁵ : Mul G
μ : Measure G
inst✝⁴ : MeasurableMul G
H : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : MeasurableMul H
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G →ₙ* H
hf : Measurable ⇑f
h_surj : Surjective ⇑f
g : G
⊢ Measure.map ((fun x => f g * x) ∘ ⇑f) μ = Measure.map (⇑f ∘ fun x => g * x) μ
α : Type u
a : α
f : Filter α
⊢ 𝓝 a = pure a ⊔ f
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Multiset R
⊢ ∀ (a : List R), trop (sum ⟦a⟧) = (map trop ⟦a⟧).prod