ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
t : Set M'
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
ht : LinearIndependent R fun (x : ↑t) => ↑x
⊢ Disjoint (span R (⇑(inl R M M') '' s)) (span R (⇑(inr R M M') '' t))
α : Type u_1
MonoidWithZero α
x y : α
nonzero : ¬(x = 0 ∧ y = 0)
H : ∀ (z : α), ¬IsUnit z → z ≠ 0 → z ∣ x → ¬z ∣ y
⊢ IsRelPrime x y
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]] volume
hG : CompleteSpace G
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
h_der : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β → β
b : β
a : α
as : List α
start : ℕ
⊢ List.foldrIdxSpec f b (a :: as) start = f start a (List.foldrIdxSpec f b as (start + 1))
m k n : Nat
H1 : m.Coprime k
⊢ (m ^ n).Coprime k
α : Type u_3
AddGroupWithOne α
CharZero α
⊢ Function.Injective Int.cast
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a : R
ha : 0 ≤ a
⊢ 1 ≤ a ^ 2 ↔ 1 ≤ a
E : Type u_3
SeminormedCommGroup E
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
r₁ r₂ : ℝ
h₁ : dist a₁ b₁ ≤ r₁
h₂ : dist a₂ b₂ ≤ r₂
⊢ dist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂) ≤ r₁ + r₂
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
⊢ μ.toFinite.AbsolutelyContinuous μ
n : ℕ
hn : n % 4 = 3
⊢ χ₄ ↑3 = -1
α : Type u
UniformSpace α
⊢ ⇑(UniformEquiv.prodPunit α) = fun p => p.1
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b : Ordinal.{u}
h : a ≤ b
a' : Ordinal.{u}
h' : a' < a
⊢ a' < b ∧ f (lfpApprox f x a') = f (lfpApprox f x a')
k : Type u
Field k
K : Type v
Field K
Algebra k K
self : IsSepClosure k K
⊢ IsSepClosed K
x✝ y✝ z : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
n : ℕ
⊢ x ^ (y - ↑n) = x ^ y / x ^ n
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s₁ s₂ : AList β
p : s₁.entries ~ s₂.entries
⊢ AList.lookup a s₁ = AList.lookup a s₂
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x y : X
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ x ≤ y ∨ y ≤ x
x : ℂ
this : CauSeq.IsComplete ℂ norm
⊢ (exp' x).lim = (fun x => ∑' (n : ℕ), x ^ n / ↑n !) x
κ μ : Cardinal.{u}
H1✝ : ℵ₀ ≤ κ
H2 : μ < ℵ₀
n✝ : ℕ
H3 : μ = ↑n✝
α : Type u
H1 : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
n : ℕ
ih : ⟦α⟧ ^ ↑n ≤ ⟦α⟧
⊢ ⟦α⟧ ^ ↑n.succ ≤ ⟦α⟧ * ⟦α⟧
M : Type u_1
Monoid M
x : M
⊢ Monoid.Closure {x} = powers x
α : Type u_1
s : Set α
m : MeasurableSpace α
⊢ MeasurableSet sᶜ ↔ MeasurableSet s
v : Nat
x y : BitVec v
⊢ (x ||| y).toNat = x.toNat ||| y.toNat
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Equiv M N
⊢ ⇑f.toHom = ⇑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
⊢ x ∈ closure s ∧ x ∉ interior s ↔ x ∈ frontier s
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
⊢ ↑0 = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring α
a : α
n : ℕ
⊢ n • a = a * ↑n
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)
h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary
I : Set ((i : ι) × α i)
hI : ∀ J ⊆ I, J.Finite → ∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' J)
i : ι
⊢ ∀ J ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' I, J.Finite → (M i).Indep J
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
⊢ ⇑(DoubleQuot.liftSupQuotQuotMkₐ R I J) = ⇑(DoubleQuot.liftSupQuotQuotMk I J)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)
v : F
hv : v ∈ K
w_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)
h_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖
this : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 ‖u - v‖)
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0
hsum : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤
⊢ HasSum (fun x => ((fun i => ↑(f i)) x).toReal) (∑' (x : α), ((fun i => ↑(f i)) x).toReal)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y
⊢ HasStrictFDerivAt g (↑f'.symm) a
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid M''
Module R M
Module R M'
Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
⊢ IsLocalizedModule.lift S f g h ∘ₗ f = g
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
L' : LieSubalgebra R L
x : ↥L'
y : L
hy : y ∈ L'
⊢ ((LieModule.traceForm R (↥L') M) x) ⟨y, hy⟩ = ((LieModule.traceForm R L M) ↑x) y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α
⊢ a ≤ x ∧ x ≤ b ∨ c ≤ x ↔ a ≤ x ∨ c ≤ x
ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F'✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'✝
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'✝
inst✝¹ : CompleteSpace F'✝
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
han : (orderOf a).Coprime n
b : A
hb : orderOf b = n
c : A
hc : c ∈ ball (a * b) δ
⊢ c ∈ ⋃ x, ⋃ (_ : orderOf x = orderOf a * n), ball x δ
R : Type u
Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
hi : f.degree ≠ ↑i
⊢ f.integralNormalization.coeff i = f.coeff i * f.leadingCoeff ^ (f.natDegree - 1 - i)
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Small.{v, u} R
⊢ Flat R M ↔ ∀ ⦃N N' N'' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : AddCommGroup N''] [inst_3 : Module R N] [inst_4 : Module R N'] [inst_5 : Module R N''] ⦃f : N →ₗ[R] N'⦄ ⦃g : N' →ₗ[R] N''⦄, Function.Exact ⇑f ⇑g → Function.Exact ⇑(lTensor M f) ⇑(lTensor M g)
n : ℕ
⊢ finRotate n.succ = Equiv.Perm.decomposeFin.symm (1, finRotate n)
α : Type u
β : Type v
LE β
l : Filter α
f f' g g' : α → β
hf : f =ᶠ[l] f'
hg : g =ᶠ[l] g'
⊢ f ≤ᶠ[l] g ↔ f' ≤ᶠ[l] g'
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
s : A' ⥤ Type (max v₁ u₁)
inst✝² : HasLimits A'
inst✝¹ : PreservesLimits s
inst✝ : s.ReflectsIsomorphisms
this : HasLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, max u₁ v₁, u₂} A'
⊢ IsSheaf J P' ↔ IsSheaf J (P' ⋙ s)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
⊢ p₂ -ᵥ p₁ ∈ vectorSpan k {p₁, p₂}
G : Type u
AddGroup G
H : AddSubgroup G
g : G
g_in_H : g ∈ H
⊢ AddMonoid.exponent ↥H • g = 0
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Set.Ioc a b = Set.Ico (b / c) (a / c)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
f : FreeMonoid (M ⊕ N) →* P
hM₁ : f (FreeMonoid.of (Sum.inl 1)) = 1
hN₁ : f (FreeMonoid.of (Sum.inr 1)) = 1
hM : ∀ (x y : M), f (FreeMonoid.of (Sum.inl (x * y))) = f (FreeMonoid.of (Sum.inl x) * FreeMonoid.of (Sum.inl y))
hN : ∀ (x y : N), f (FreeMonoid.of (Sum.inr (x * y))) = f (FreeMonoid.of (Sum.inr x) * FreeMonoid.of (Sum.inr y))
⊢ (Monoid.Coprod.clift f hM₁ hN₁ hM hN).comp Monoid.Coprod.mk = f
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₁ c x ε) → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
δ₂ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₂ c x ε) → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
ε0' : 0 < ε / 2
H0 : 0 < 2 ^ Fintype.card ι
εs : (ι → ℝ) → ℝ
hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i
hεs : ∀ (t : Finset (ι → ℝ)), ↑t ⊆ s → ∑ i ∈ t, 2 ^ Fintype.card ι * εs i ≤ ε / 2
ε' : ℝ
ε'0 : 0 < ε'
hεI : B I * ε' < ε / 2
δ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun c x => if x ∈ s then δ₁ c x (εs x) else δ₂ c x ε'
⊢ ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, integralSum f vol x ∈ Metric.closedBall (g I) ε
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ gramSchmidt 𝕜 f i ∈ span 𝕜 (gramSchmidtNormed 𝕜 f '' ↑{i})
R : Type u_1
AddCommMonoid R
Pow R ℕ
self : BinomialRing R
r : R
n : ℕ
⊢ n.factorial • BinomialRing.multichoose r n = (ascPochhammer ℕ n).smeval r
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommGroup β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : StrictConvexOn 𝕜 s g
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s (f - g)
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
Nonempty ι
l.NeBot
l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
⊢ ⨆ i, ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
α : Type u
P : α → ℕ → Prop
(x : α) → DecidablePred (P x)
b : ℕ
⊢ (Set.range fun x => Nat.findGreatest (P x) b).Finite
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
e : ι → M
ε : ι → Module.Dual R M
DecidableEq ι
h : Module.DualBases e ε
l : ι →₀ R
⊢ h.basis.repr.symm l = Module.DualBases.lc e l
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
s : Set M
r : R
⊢ (∀ n ∈ span R s, r • n = 0) ↔ ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M
⊢ y ∈ ⇑(IsometryEquiv.subLeft x).symm ⁻¹' {m | ↑m = ↑x} ↔ y ∈ ↑S
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
x : E
g : F → G
hg : DifferentiableAt 𝕜 g (f x)
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ fderiv 𝕜 (g ∘ f) x = (fderiv 𝕜 g (f x)).comp (fderiv 𝕜 f x)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
p : Prop
⊢ IsLocalExtrOn f s a → (IsLocalMinOn f s a → p) → (IsLocalMaxOn f s a → p) → p
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid α
CommMonoid β
s : Multiset (α × β)
⊢ s.prod.1 = (Multiset.map Prod.fst s).prod
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.RightHomologyData
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).Q = h.Q
α : Type u_2
Add α
IsRightCancelAdd α
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
⊢ s ∩ t + {a} = (s + {a}) ∩ (t + {a})
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ ↑μ.toSignedMeasure i = (μ i).toReal
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
K : Type w
L : Type z
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h₁ : Finite ↑S
h : Fintype ↑S
A : Type u
B : Type v
⊢ ∀ [inst : CommRing A] [inst_1 : CommRing B] [inst_2 : Algebra A B] [inst_3 : IsDomain B] [h₂ : IsCyclotomicExtension ∅ A B], Module.Finite A B
α : Type u_1
f : α → α
x : α
hx : x ∈ Function.periodicPts f
⊢ Function.periodicOrbit f (f x) = Function.periodicOrbit f x
α : Type u_2
MetricSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
IsUnifLocDoublingMeasure μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
⊢ IsUnifLocDoublingMeasure.vitaliFamily μ K =
  let R := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingScaleOf μ (max (4 * K + 3) 3);
  let_fun Rpos := ⋯;
  let_fun A := ⋯;
  (Vitali.vitaliFamily μ (IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ (max (4 * K + 3) 3)) A).enlarge (R / 4) ⋯
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
⊢ Commute P Q
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ x ∈ s, f x ≤ 0
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ ≤ 0
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set α
l : α →₀ M
DecidablePred fun x => x ∈ s
⊢ ↑((Finsupp.restrictDom M R s) l) = Finsupp.filter (fun x => x ∈ s) l
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) μ
ha : Tendsto a l atBot
hb : Tendsto b l atTop
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a i..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
⊢ Integrable f μ
α : Type u_1
β : Type v
CommMonoid β
s : Multiset α
t : α → Multiset β
⊢ (s.bind t).prod = (Multiset.map (fun a => (t a).prod) s).prod
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ e • x.2 * e⁻¹ • x.1 ⊆ x.1 * x.2
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
hH : Group.IsNilpotent H
this : Group.IsNilpotent G
⊢ Nat.find ⋯ ≤ Group.nilpotencyClass H + 1
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
a : α
l₃ : List α
h : l₁ <+ l₂
⊢ l₁.diff (a :: l₃) <+ l₂.diff (a :: l₃)
α : Type u_1
M : Matroid α
E B X R J : Set α
⊢ ∅ ⊆ E
α : Type u_1
self : CircularPreorder α
a b c d : α
⊢ sbtw a b c → sbtw b d c → sbtw a d c
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
R : Type u_1
CommSemiring R
Algebra R 𝕜
q : R[X]
x : 𝕜
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => (Polynomial.aeval x) q) ((Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative q)) x
x : ℂ
hx₁ : -Real.pi < x.im
hx₂ : x.im ≤ Real.pi
⊢ Complex.log (Complex.exp x) = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₂, v₁} I
F : CategoryTheory.Functor Iᵒᵖ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
i : I
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda' F).inv
    (CategoryTheory.coyoneda.map (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F (Opposite.op i)).op) =
  CategoryTheory.Limits.limit.π (F.rightOp.comp CategoryTheory.coyoneda) i
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
h : f.lintegral μ ≠ ⊤
⊢ f.FinMeasSupp μ
α : Type u_1
ms : Set (MeasurableSpace α)
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔ MeasurableSpace.GenerateMeasurable {s | ∃ m ∈ ms, MeasurableSet s} s
𝕜 : Type u_1
n : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype n
DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
⊢ ‖U‖ ≤ 1
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ IsLUB (Set.Icc a b) b
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
f : ι → α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasBasis p s
⊢ Filter.limsup f v = sInf (⋃ j, ⋂ i, Set.Ici (f ↑i))
α : Type u_2
One α
p : Prop
Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
LE α
ha : ∀ (h : p), 1 ≤ a h
hb : ∀ (h : ¬p), 1 ≤ b h
⊢ 1 ≤ dite p a b
m : Type u → Type u_1
α ε : Type u
Monad m
x : m α
⊢ (ExceptCpsT.lift x).run = do
  let a ← x
  pure (Except.ok a)
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
f : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ Matrix.of.symm f i j = f i j
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
ι : Type u_5
Countable ι
SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, MeasureTheory.IntegrableOn f (s i) μ
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (∫ (x : X) in ⋂ n, s n, f x ∂μ))
x y : PGame
k : (x * y).RightMoves
P : (x * y).RightMoves → Prop
hl : ∀ (ix : x.LeftMoves) (jy : y.RightMoves), P (toRightMovesMul (Sum.inl (ix, jy)))
hr : ∀ (jx : x.RightMoves) (iy : y.LeftMoves), P (toRightMovesMul (Sum.inr (jx, iy)))
⊢ P (toRightMovesMul (toRightMovesMul.symm k))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
⊢ Iic b \ Iic a = Ioc a b
⊢ |rexp 1 - expNear 0 1 (363916618873 / 133877442384)| ≤ |1| ^ 0 / ↑(Nat.factorial 0) * (1 / 10 ^ 20)
R : Type u_1
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
AddCommGroup M₃
AddCommGroup M₄
Module R M
Module R M₂
Module R M₃
Module R M₄
rs : List R
f₁ : M →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
f₃ : M₃ →ₗ[R] M₄
h₁₂ : Function.Exact ⇑f₁ ⇑f₂
h₂₃ : Function.Exact ⇑f₂ ⇑f₃
h₃ : Function.Surjective ⇑f₃
h₄ : RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M₄ rs
⊢ Function.Exact ⇑((Ideal.ofList rs • ⊤).mapQ (Ideal.ofList rs • ⊤) f₁ ⋯)
  ⇑((Ideal.ofList rs • ⊤).mapQ (Ideal.ofList rs • ⊤) f₂ ⋯)
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
this✝ : u = n.factorMultiset
this : v = m.factorMultiset
⊢ (n.factorMultiset ⊓ v).prod = n.gcd m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
UnivLE.{v₂, v₁}
UnivLE.{u₂, u₁}
CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfSize.{v₁, u₁, v, u} C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfSize.{v₂, u₂, v, u} C
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set (α × α)
⊢ s ∈ 𝓤 α ↔ ∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, edist a b < ε → (a, b) ∈ s
α : Type u_5
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
PseudoEMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → E
s : Set α
⊢ LipschitzOnWith K f⁻¹ s ↔ LipschitzOnWith K f s
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
m : α → β → γ
f : Filter α
b : β
⊢ Filter.map₂ m f (pure b) = Filter.map (fun x => m x b) f
α : Type u_1
β : Type u_2
Group α
Monoid β
MulAction α β
SMulCommClass α β β
IsScalarTower α β β
g : α
m : β
⊢ IsUnit (g • m) ↔ IsUnit m
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x : T
y : S
s : ↥N
eq₁ : x * (algebraMap S T) ↑(y, s).2 = (algebraMap S T) (y, s).1
z : R
t : ↥M
eq₂ : y * (algebraMap R S) ↑(z, t).2 = (algebraMap R S) (z, t).1
z' : R
t' : ↥M
eq₃ : ↑s * (algebraMap R S) ↑(z', t').2 = (algebraMap R S) (z', t').1
⊢ ∃ y, x * (algebraMap R T) ↑y.2 = (algebraMap R T) y.1
α : Type u
x : α
BooleanAlgebra α
⊢ ￢x = xᶜ
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
e : L ≃ₐ[K] L'
E : IntermediateField K L
a : ↥(IntermediateField.map (↑e) E)
⊢ ↑((IntermediateField.intermediateFieldMap e E).symm a) = e.symm ↑a
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
m₁ m₁' : M₁
⊢ (((associatedHom R) (comp Q₁ ↑(TensorProduct.rid R M₁))) (m₁ ⊗ₜ[R] 1)) (m₁' ⊗ₜ[R] 1) = (((associatedHom R) (Q₁.tmul QuadraticMap.sq)) (m₁ ⊗ₜ[R] 1)) (m₁' ⊗ₜ[R] 1)
α : Type u_1
LinearOrderedSemiring α
n : PosNum
⊢ 1 ≤ ↑n
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
not_field : ¬IsField R
h : M = ⊥
_h1 : ⊥ ≠ ⊤
h2 : ∀ (b : Ideal R), ⊥ < b → b = ⊤
I : Ideal R
hIbot : ⊥ < I
hItop : I < ⊤
⊢ False
M : Type u_1
Monoid M
s : Submonoid M
l : List ↥s
⊢ ↑l.prod = (List.map Subtype.val l).prod
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
X : Cᵒᵖ
x : F.obj X
property✝ : x ∈ G.obj X
⊢ F.map (𝟙 X) x = x
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
⊢ q = p ∨ q = p.mirror
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
n : ℕ
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : Function.Injective k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
⊢ (∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i).support.card = n
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
⊢ x - x ^ 3 / 4 < sin x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s t : Set X
p : X → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (s ∪ t), p x) ↔ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ s, p x) ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ t, p x
α : Type u
s u : Set α
h : s ⊆ u
t : Set α
⊢ s ⊆ t ∪ u
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : y ∈ s
⊢ infDist x s ≤ dist x y
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => Complex.cos (f x)) (-Complex.sin (f x) * f') x
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₁₂₄₅ : affineSpan ℝ {p₁, p₂} ∥ affineSpan ℝ {p₄, p₅}
h₃₂₆₅ : affineSpan ℝ {p₃, p₂} ∥ affineSpan ℝ {p₆, p₅}
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₄ p₅ p₆
α : Type u_1
P : α → Prop
encA : Encodable α
decP : DecidablePred P
a : Subtype P
⊢ Encodable.encode a = Encodable.encode ↑a
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle (x + y) y = ↑(Real.arctan (‖x‖ / ‖y‖))
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
AddMonoid ι
GradedMonoid.GMonoid A
x : GradedMonoid A
n : ℕ
⊢ (x ^ n).fst = n • x.fst