ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
CategoryTheory.Limits.HasKernel S.g
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofHasKernel S hf).iso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofHasKernel S hf).H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α → σ
hf : ∀ (i : Fin (n + 1)), Primrec (f i)
⊢ Primrec fun a => List.ofFn fun i => f i a
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : LinearOrder R
g : α → R
F : R → ℝ≥0∞ := fun t => μ {a | t ≤ g a}
t : R
ht : t ∈ {t | μ {a | t ≤ g a} ≠ μ {a | t < g a}}
⊢ t ∈ {x | ∃ z < F x, ∀ (y : R), x < y → F y ≤ z}
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
⊢ Inducing (tensorProductTo R S T)
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X✝ : Scheme
U✝ : X✝.Opens
s : Type u_1
X : Scheme
U : s → X.Opens
hU : ⨆ i, U i = ⊤
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ ↑(U ((fun x => ⋯.choose) x))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X Y Z : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
α : X ⟶ Y
β : Y ⟶ Z
x : ↑↑X
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap (α ≫ β) x =
  AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap β (α.base x) ≫ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap α x
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring R
⊢ S.op.toSubmonoid = S.op
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ a - b ∈ Set.Ioc c d ↔ a ∈ Set.Ioc (c + b) (d + b)
w : List ℕ
hw : List.Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) w
i : Fin w.length
⊢ (YoungDiagram.ofRowLens w hw).rowLen ↑i = w.get i
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
⊢ hζ.integralPowerBasis.gen = hζ.toInteger
α : Type u_1
s : Set α
x : α
⊢ x ∉ s ↔ s.boolIndicator x = false
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
v w : List (Symbol T g.NT)
hvw : g.Derives v w
p : List (Symbol T g.NT)
⊢ g.Derives (v ++ p) (w ++ p)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C
⊢ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ tensor_μ C (M.X ⊗ M.X, N.X ⊗ N.X) (M.X, N.X) ≫ ((α_ M.X M.X M.X).hom ⊗ (α_ N.X N.X N.X).hom) ≫ (M.X ◁ M.mul ⊗ N.X ◁ N.mul) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul)
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
x : G
f : G → F
f' : G →L[ℝ] F
hf : HasFDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt (fun x => ‖f x‖ ^ 2) (2 • ((innerSL ℝ) (f x)).comp f') x
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
x : L
⊢ x ∈ f.ker ↔ f x = 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hc : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) s
inst✝ : p.NeBot
x : α
hx : x ∈ s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (a : σ →₀ ℕ), coeff a p ≠ 0 → (weight w) a = 0 ↔ a ∈ p.support → ∀ (x : σ), a x = 0
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithTop.some '' Set.Iic a = Set.Iic ↑a
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.reverse.length = p.length
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
self : CategoryTheory.SplitEpi f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.section_ f = CategoryTheory.CategoryStruct.id Y
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.Nonempty
hb : t.card • b ≤ ↑s.card
⊢ ∃ y ∈ t, b ≤ ↑(filter (fun x => f x = y) s).card
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ InnerProductGeometry.angle (-x) (-y) = InnerProductGeometry.angle x y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
a b : α
m : ℕ
inst✝ : IsCancelAdd α
hab : a + b = 0
k : ℕ
ih : a ^ (2 * k + 1) + b ^ (2 * k + 1) = 0
this : a ^ 2 = b ^ 2
⊢ a ^ (2 * (k + 1) + 1) + b ^ (2 * (k + 1) + 1) + b ^ (2 * k + 1) * a ^ 2 = 0 + b ^ (2 * k + 1) * a ^ 2
K : Type u_1
Field K
NumberField K
w' : NumberField.InfinitePlace K
e : { w // w ≠ w' } ≃ Fin (NumberField.Units.rank K)
⊢ NumberField.Units.regulator K =
  |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(NumberField.Units.fundSystem K (e i))))).det|
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
⊢ TendstoUniformlyOn F f p s ↔ TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (Polynomial.erase n p).coeff n = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
StarRing 𝕜
TrivialStar 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
StarAddMonoid F
NormedSpace 𝕜 F
StarModule 𝕜 F
ContinuousStar F
f : E → F
s : Set E
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => star (f y)) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
α : Type u
σ σ' : Type v
M : NFA α σ
x : List α
⊢ x ∈ M.accepts ↔ ∃ S ∈ M.accept, S ∈ M.evalFrom M.start x
F : Sort u_1
α : Sort u_2
β : α → Sort u_3
i : DFunLike F α β
f g : F
h : f ≠ g
⊢ ∃ x, f x ≠ g x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hι : Nonempty ι
C : ℝ
hC₁ : 0 < C
hC₂ : eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
this : {x | ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖f i x‖₊} = {x | C ≤ ‖f i x‖}
F : E → ℝ := fun x => if ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖x‖₊ then ‖x‖ else 0
⊢ eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f i x‖}.indicator (fun a => ‖f i a‖) x) p μ = eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f j x‖}.indicator (fun a => ‖f j a‖) x) p μ
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
InvolutiveInv α
MeasurableInv α
⊢ MeasurableEmbedding Inv.inv
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
PriestleySpace α
x y : α
⊢ ¬x ≤ y → ∃ U, IsClopen U ∧ IsUpperSet U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
MeasurableSpace Ω
MeasurableSpace Ω'
f : Ω → Ω'
c : ℝ≥0
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ (c • ν).map f = c • ν.map f
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
h : P.parts = ∅
⊢ P.parts.sup id = ⊥
α : Type u_1
β : α → Type u
DecidableEq α
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
f : (a : α) → a ∈ s → β a
⊢ f ∈ s.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ s), f a h ∈ t a
G : Type u_1
Group G
IsFreeGroup G
⊢ ∀ (a : FreeGroup (IsFreeGroup.Generators G)), (IsFreeGroup.toFreeGroup G).symm a = (IsFreeGroup.mulEquiv G) a
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
x : Rˣ
⊢ 1 = 1 ↑x
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ last n
⊢ (i.castPred h).castSucc = i
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
⊢ padicNorm p (q * r) = padicNorm p q * padicNorm p r
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e : A ≃ₗc[R] B
⊢ ⇑↑e = ⇑e
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑π
⊢ y ≠ 0
α : Type u_1
A : α → PSet
⊢ (PSet.mk α A).Func = A
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_int : Integrable ({ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue (fun n => f n) τ)) μ
⊢ μ[{ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue f τ)|hσ.measurableSpace] =ᶠ[ae μ] {ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue f τ)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanIso 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A
⊢ {f a, f b}.prod = {f c, f d}.prod ↔ {a, b}.prod = {c, d}.prod
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
⊢ (CategoryTheory.Limits.imageMonoIsoSource f).hom ≫ f = CategoryTheory.Limits.image.ι f
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩
IΦ' : Isometry Φ'
IΨ' : Isometry Ψ'
this✝² : IsCompact s
this✝¹ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance
this✝ : CompactSpace (Subtype s)
this : Nonempty (Subtype s)
ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'
⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ)
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : Fintype τ
inst✝ : Algebra R S
f : σ → S
n : ℕ
⊢ (aeval f) (esymm σ R n) = (Multiset.map f univ.val).esymm n
a b : UInt32
⊢ a + b = { val := a.val + b.val }
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →*₀ F
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
H : (fun p => (1 - f ↑p)⁻¹) = fun p => ∑' (e : ℕ), f (↑p ^ e)
⊢ HasProd (fun p => (1 - f ↑p)⁻¹) (∑' (n : ℕ), f n)
α : Type u
OmegaCompletePartialOrder α
s t : Set α
⊢ Scott.IsOpen α s → Scott.IsOpen α t → Scott.IsOpen α (s ∩ t)
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : c.length ≤ i
⊢ c.sizeUpTo i = n
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
⊢ span R ↑{1} = Subalgebra.toSubmodule ⊥
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SemilatticeSup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsLocalMaxOn f s a
hg : IsLocalMaxOn g s a
⊢ IsLocalMaxOn (fun x => f x ⊔ g x) s a
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
⊢ AlgebraicGeometry.Spec.toPresheafedSpace.map f.op = AlgebraicGeometry.Spec.sheafedSpaceMap f
m n : ℕ
⊢ ↑m < ↑n ↔ m < n
δ : Type u_1
π : δ → Type u_3
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
∀ (i : δ), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
DecidableEq δ
Fintype δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
⊢ ∫⋯∫⁻_Finset.univ, f ∂μ = fun x => ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂MeasureTheory.Measure.pi μ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup L
inst✝⁹ : Module R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ι'
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
x : L
⊢ Polynomial.map (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) (φ.polyCharpoly b) = charpoly (φ x)
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.lift a \ Booleanisation.lift b = Booleanisation.lift (a \ b)
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
k : αˣ
h : IsUnit A.det
⊢ k⁻¹ • A⁻¹ * k • A = 1
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u
TopologicalSpace A
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A
⊢ IsClosed ↑s.topologicalClosure
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
hab : a < b
h₁ : ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, f n ω < a
h₂ : ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, b < f n ω
⊢ MeasureTheory.upcrossings a b f ω = ⊤
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : x < 1
⊢ P.f_modif (1 / x) = (P.ε * ↑(x ^ P.k)) • P.g_modif x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hg : EqOn f g (EMetric.ball x r)
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ g (x + y) = f (x + y)
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
Semifield S
StarRing S
MetricSpace S
TopologicalSemiring S
ContinuousStar S
Ring A
StarRing A
Algebra S A
Algebra R S
Algebra R A
IsScalarTower R S A
StarModule R S
ContinuousSMul R S
a : A
φ : C(↑(spectrum S a), S) →⋆ₐ[S] A
f : C(S, R)
h : SpectrumRestricts a ⇑f
h_id : φ (ContinuousMap.restrict (spectrum S a) (ContinuousMap.id S)) = a
⊢ (SpectrumRestricts.starAlgHom φ h) (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = a
K : Type u_1
Field K
NumberField K
IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ
DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S =
  ⋯.unit * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₃ S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S)⁻¹
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p : S[X]
r : R
hp : p ∈ lifts (algebraMap R S)
⊢ r • p ∈ lifts (algebraMap R S)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
Y : C
j✝ : J
⊢ (∑ x : J, if h : x = j✝ then (𝟙 X ⊗ biproduct.π f x) ≫ eqToHom ⋯ ⊗ 𝟙 Y else (𝟙 X ⊗ biproduct.π f x) ≫ 0 ⊗ 𝟙 Y) = ∑ x : J, if h : x = j✝ then (α_ X (⨁ f) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ (biproduct.π f x ⊗ 𝟙 Y) ≫ eqToHom ⋯) ≫ (α_ X (f j✝) Y).inv else (α_ X (⨁ f) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ (biproduct.π f x ⊗ 𝟙 Y) ≫ 0) ≫ (α_ X (f j✝) Y).inv
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'
⊢ 0[f|⊥] =ᶠ[ae 0] fun x => (0 Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂0
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
h : n < l.length
⊢ l[n]? = some l[n]
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : ArtinianObject X
h : ¬IsZero X
⊢ ∃ Y, Simple (underlying.obj Y)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
⊢ essSup (s.indicator f) μ = essSup f (μ.restrict s)
ι : Sort u_1
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
f : ι → Set α
x : α
⊢ EMetric.infEdist x (⋃ i, f i) = ⨅ i, EMetric.infEdist x (f i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X₁ X₂ : C
⊢ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom =
  (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ CategoryTheory.tensor_μ C (𝟙_ C, 𝟙_ C) (X₁, X₂) ≫ ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)
α : Type u_2
DecidableEq α
MulOneClass α
⊢ ⇑Finset.singletonMonoidHom = singleton
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
m' : MeasurableSpace β
f : α → β
⊢ MeasurableSpace.comap f m' ≤ m ↔ m' ≤ MeasurableSpace.map f m
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝ : SeqCompactSpace X
f_cont : SeqContinuous f
⊢ IsSeqCompact (Set.range f)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
⊢ ‖x + y‖ = ‖x - y‖ ↔ angle x y = π / 2
K : Type u_1
Field K
Fintype K
i : ℕ
⊢ (∀ (x : Kˣ), x ^ i = 1) ↔ q - 1 ∣ i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
R : Type u_6
NormedDivisionRing R
NormedAlgebra 𝕜 R
CompleteSpace R
x : R
hx : x ≠ 0
s : Set R
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => x⁻¹) s x
ι✝ : Type u_1
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α✝ → β✝
x✝ y✝ z : α✝
s : Set α✝
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (α i)
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
hf : ∀ (i : ι), Isometry (f i)
x y : (i : ι) → α i
⊢ edist ((fun g i => f i (g i)) x) ((fun g i => f i (g i)) y) = edist x y
a : ℝ
⊢ frontier {z | a ≤ z.im} = {z | z.im = a}
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ ⇑(MulOpposite.opLinearEquiv R) = MulOpposite.op
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b : ι
⊢ ∀ a < b, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f b⟫_𝕜 = 0
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) < ε
x : UInt32
⊢ x.toUSize.toNat = x.toNat
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h_card : Fintype.card n - Nat.succ 0 + Nat.succ 0 = Fintype.card n
⊢ A.adjugate.det = A.det ^ (Fintype.card n - 1)
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ ψ : MvPowerSeries σ k
h : (constantCoeff σ k) ψ ≠ 0
⊢ ψ⁻¹ = φ ↔ φ * ψ = 1
n : ℕ
k : ℕ
n0 : 0 < n
i : ℕ
e : k = 2 * i + 3
ih : ∀ (m : ℕ), Nat.Prime m → m ∣ n → k ≤ m
⊢ n.MinSqFacProp (n.minSqFacAux k)
M : Type u_1
AddMonoid M
a : M
⊢ IsAddUnit (a + a) ↔ IsAddUnit a
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
Finite ι
Ring 𝕜
⊢ (PiLp.basisFun p 𝕜 ι).equivFun = WithLp.linearEquiv p 𝕜 (ι → 𝕜)
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero α
Zero β
SMul α β
NoZeroSMulDivisors α β
a : α
b : β
Preorder α
ha : 0 < a
hb : b ≠ 0
⊢ a • b ≠ 0
ι : Type u_1
Finite ι
s : Finset (BoxIntegral.Box ι)
⊢ ∀ᶠ (t : Finset (ι × ℝ)) in Filter.atTop,
  ∀ (I J : BoxIntegral.Box ι), J ∈ s → ∀ J' ∈ BoxIntegral.Prepartition.splitMany I t, ¬Disjoint ↑J ↑J' → J' ≤ J
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : PartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
A : (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I x) ∈ ↑I'.symm ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I'
this : ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑I'.symm) (↑I'.symm ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I') ((↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I x))
⊢ ↑I' ∘ (↑e' ∘ f) ∘ ↑I.symm = (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑I'.symm) ∘ ↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm
α : Type u_1
⊢ ↑∅ = ∅
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
a : α
f : α →₀ M
⊢ Finsupp.erase a f + Finsupp.single a (f a) = f
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
self : HopfAlgebra R A
⊢ LinearMap.mul' R A ∘ₗ LinearMap.lTensor A HopfAlgebra.antipode ∘ₗ Coalgebra.comul =
  Algebra.linearMap R A ∘ₗ Coalgebra.counit
α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → Profinite
B : Profinite
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (forget Profinite).obj (X a)
⊢ (ι X a ≫ desc X π) x = (π a) x
R : Type u_1
Semiring R
r : R
⊢ (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) ((PowerSeries.C R) r) = HahnSeries.C r
ι : Type u_4
⊢ (Set.range singleton).PairwiseDisjoint id
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
⊢ t ∈ 𝒜.upShadow ↔ ∃ a ∈ t, t.erase a ∈ 𝒜
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} D
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts D
F : C ⥤ D
F.Additive
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Mat_ C} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Mat_.lift F).map f = CategoryTheory.Limits.biproduct.matrix fun i j => F.map (f i j)
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α γ : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ γ
a : P.A
f' : P.drop.B a ⟹ α
f : P.last.B a → P.W α
⊢ (g ::: P.wMap g) <$$> P.objAppend1 a f' f = P.objAppend1 a (g ⊚ f') fun x => P.wMap g (f x)
α : Type u_1
IntCast α
n : ℤ
⊢ AddOpposite.unop ↑n = ↑n
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq κ
b₁ : Basis ι R M
b₂ : Basis ι' R M
b₃ : Basis κ R N
A : Matrix ι' κ R
⊢ b₁.toMatrix ⇑b₂ * A = (toMatrix b₃ b₁) ((toLin b₃ b₂) A)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : DecidableEq L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : IsFractionRing R K
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
⊢ (∃ x, ∀ (y : ClassGroup R), y = x) → IsPrincipalIdealRing R
R✝ : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : StrongRankCondition R✝
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : StrongRankCondition R
n m : ℕ
v : Fin m → Fin n → R
h : LinearIndependent R v
⊢ m ≤ n
M : Type u
N : Type v
AddMonoid M
AddMonoid N
f : M →+ N
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective ⇑(AddUnits.map f)