ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ((r • μ).bind ⇑κ) s = (r • μ.bind ⇑κ) s
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
a : α
hu : Tendsto u atTop (𝓝 a)
⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ (u (φ 0), a) ∈ V 0 ∧ ∀ (n : ℕ), (u (φ (n + 1)), u (φ n)) ∈ V (n + 1)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset α
t : Finset β
⊢ ↑(s +ᵥ t) = ↑s +ᵥ ↑t
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a : α
DecidableEq α
h₁ : a ∈ l₁
h₂ : a ∈ l₂
⊢ a ∈ l₁ ∩ l₂
a : ℂ
r : ℝ
⊢ volume (Metric.ball a r) = ENNReal.ofReal r ^ 2 * ↑NNReal.pi
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
a✝ : Nontrivial E
⊢ μ.toSphere univ = ↑(dim E) * μ (ball 0 1)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ Disjoint (thickening δ s) (thickening δ t)
m : ℕ
hm : 0 < m
⊢ m - Nat.fib m.greatestFib < m
n : ℕ
⊢ (Int.ofNat n).natAbs = n
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G →g G'
u : V
p : G.Walk u u
hinj : Function.Injective ⇑f
⊢ (SimpleGraph.Walk.map f p).IsCycle ↔ p.IsCycle
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
hxz : x ≠ z
hxy : x ≠ y
⊢ dist x z ≤ max (dist x y) (dist y z)
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a < b⁻¹ ↔ b < a⁻¹
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
h : ∀ (f : X → Prop), (∀ s ∈ S, ContinuousOn f s) → Continuous f
⊢ RestrictGenTopology S
α : Type u_1
AddGroup α
s : Set α
x : α
a : α
⊢ x ∈ AddOpposite.op a +ᵥ s ↔ x + -a ∈ s
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S B
U V : Subalgebra S A
H : restrictScalars R U = restrictScalars R V
x : A
⊢ x ∈ U ↔ x ∈ V
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
p : K[X]
i : K →+* L
p_ne_zero : Polynomial.map i p ≠ 0
hsplit : Polynomial.Splits i p
⊢ (Polynomial.map i p).degree = ↑(Multiset.card (Polynomial.map i p).roots)
α : Type u
p : α → Bool
xs : List α
⊢ List.findIdx p xs ≤ xs.length
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ 𝓝ˢ (Set.Icc a b) = 𝓝 a ⊔ 𝓝 b ⊔ 𝓟 (Set.Ioo a b)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : QuasiSober α
inst✝ : IrreducibleSpace α
⊢ IsGenericPoint (genericPoint α) ⊤
R : Type u_1
n : Type u_12
CommRing R
Fintype n
J A₁ A₂ : Matrix n n R
DecidableEq n
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
⊢ (Pᵀ * J * P).IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) A₁ A₂ ↔ J.IsAdjointPair J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₂ * P⁻¹)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f.hom
sq : f ⟶ g
CategoryTheory.IsIso sq
⊢ (F.ofArrowIso sq).e = CategoryTheory.inv sq.left ≫ F.e
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
i : ι
v : ι → F
r : ι → F
⊢ (Lagrange.interpolate {i} v) r = Polynomial.C (r i)
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝² : MonoCoprod D
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : F.ReflectsMonomorphisms
A B : C
c : BinaryCofan A B
h : IsColimit c
c' : BinaryCofan (F.obj ((pair A B).obj { as := WalkingPair.left })) (F.obj ((pair A B).obj { as := WalkingPair.right })) := BinaryCofan.mk (F.map c.inl) (F.map c.inr)
⊢ Mono (F.map c.inl)
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac
hprime : Fact (Prime p)
hroot : (cyclotomic k (ZMod p)).IsRoot ((castRingHom (ZMod p)) b)
hpb : ¬p ∣ b
habs : p ≤ n
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
R S : CategoryTheory.Sieve X
hR : CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P R.arrows
hR' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    S.arrows f → CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor P (CategoryTheory.Sieve.pullback f R).arrows
hS :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P (CategoryTheory.Sieve.pullback f S).arrows
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor P S.arrows
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ M.X ◁ g.hom ≫ f.hom ▷ Q.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ g.hom) (N.X ◁ g.hom) ⋯ ⋯)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B' X✝ Y✝ Y'✝ : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i' : B✝ ⟶ B'
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p'✝ : Y✝ ⟶ Y'✝
A B X Y X' Y' : C
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
p' : X' ⟶ Y'
e : Arrow.mk p ≅ Arrow.mk p'
hip : HasLiftingProperty i p
⊢ HasLiftingProperty i (e.inv.left ≫ p ≫ e.hom.right)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
f : Filter α
g : Filter β
i : γ → α
h : range i ∈ f
⊢ Tendsto (m ∘ i) (comap i f) g ↔ Tendsto m f g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
x y : ⨁ (i : ι), ↥(V i)
hx : (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) x) = x i
hy : (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) y) = y i
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) (x + y)) = (x + y) i
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : p₁ ∈ affineSpan k {p₂, p₃}
⊢ Collinear k {p₂, p₃}
α : Type u_1
Neg α
a : α
⊢ OrderDual.toDual (-a) = -OrderDual.toDual a
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ ∑ a : n × n, M a.1 a.2 • stdBasisMatrix a.1 a.2 1 = ∑ i : n, ∑ j : n, stdBasisMatrix i j (M i j)
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
P : Type u_6
NormedAddCommGroup V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedAddCommGroup W
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
⊢ ContinuousAffineMap.contLinear 0 = 0
z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
⊢ Filter.Tendsto Complex.log (nhdsWithin z {z | z.im < 0}) (nhds (↑(Real.log (Complex.abs z)) - ↑Real.pi * Complex.I))
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : List Γ
i j : ℕ
h : i ≤ j
⊢ l ++ List.replicate j default = l ++ List.replicate i default ++ List.replicate (j - i) default
M : Type u_1
Add M
r : M → M → Prop
c : AddCon M
h : ∀ (x y : M), r x y → c x y
⊢ addConGen r ≤ c
α : Type u
TopologicalSpace α
s : Set α
h : IsConnected s
⊢ s.Nonempty
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hg : DifferentiableWithinAt ℝ g s x
hne : f x ≠ g x
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun y => ‖f y - g y‖) s x
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
a b : α → β
⊢ max ↑a ↑b = map₂ max ↑a ↑b
R : Type u
I : Type v
CommSemiring R
x : R
s : I → R
t : Finset I
⊢ (∀ i ∈ t, IsCoprime (s i) x) → IsCoprime (∏ i ∈ t, s i) x
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
LinearOrderedCommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
self : P.IsRootPositive B
i : ι
⊢ 0 < (B (P.root i)) (P.root i)
R : Type u_2
CommSemiring R
⊢ LaurentPolynomial.invert.symm = LaurentPolynomial.invert
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
⊢ (if a0 : a = 0 then b else let_fun x := ⋯; gcd (b % a) a) = gcd (b % a) a
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ m : ℕ
hm : m < minimalPeriod f x
n : ℕ
hn : n < minimalPeriod f x
hmn : f^[m] x = f^[n] x
⊢ m = n
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder α r
IsWellOrder β s
f : r ≺i s
⊢ Ordinal.typein s f.top = Ordinal.type r
α : Type u_2
β : Option α → Type u_1
f : (a : Option α) → β a
⊢ Equiv.piOptionEquivProd f = (f none, fun a => f (some a))
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
f : β → α
s₁ s₂ : Finset β
h : s₁ ⊆ s₂
h₁ : s₁.Nonempty
⊢ s₂.inf' ⋯ f ≤ s₁.inf' h₁ f
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i✝ : M →ₗ[R] N
f✝ : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i✝)
h : Baer R Q
X Y : Type v
x✝³ : AddCommGroup X
x✝² : AddCommGroup Y
x✝¹ : Module R X
x✝ : Module R Y
i : X →ₗ[R] Y
hi : Function.Injective ⇑i
f : X →ₗ[R] Q
⊢ ∃ h, ∀ (x : X), h (i x) = f x
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : ConcreteCategory C
inst✝⁵ : HasForget₂ C Ab
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝² : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝¹ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
inst✝ : S.HasHomology
⊢ S.Exact ↔ ∀ (x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj S.X₂)), ((forget₂ C Ab).map S.g) x₂ = 0 → ∃ x₁, ((forget₂ C Ab).map S.f) x₁ = x₂
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
x : R
⊢ (Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)) (C ((Quotient.mk (comap C P)) x)) = (quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯) ((Quotient.mk P) (C x))
ι : Type u_1
s : Finset ι
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
π : ι → Type u_3
f g h : (i : ι) → π i
(i : ι) → Preorder (π i)
hf : f ≤ h
hg : g ≤ h
⊢ s.piecewise f g ≤ h
I : Type w₀
J : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝² : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
D : I → Type u₂
inst✝¹ : (i : I) → Category.{v₂, u₂} (D i)
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
f : (i : I) → A ⥤ C i
i : I
⊢ autoParam (∀ (X Y : A) (f_1 : X ⟶ Y), (pi' f ⋙ Pi.eval C i).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ (f i).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
⊢ rootMultiplicity t p = rootMultiplicity 0 (p.comp (X + C t))
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
f : E → F × G
s : Set E
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x).1) s
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ Disjoint a ⊥
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q
⊢ φ ≫ (Hσ q).f (n + 1) = -φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f₁ : α → β
f₂ : α → γ
g₁ : β → δ
g₂ : γ → δ
h : g₁ ∘ f₁ = g₂ ∘ f₂
a : α
⊢ Option.map g₁ (Option.map f₁ (some a)) = Option.map g₂ (Option.map f₂ (some a))
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
ContinuousMul G₀
f g : α → G₀
TopologicalSpace α
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
h₀ : ∀ x ∈ s, g x ≠ 0
⊢ ContinuousOn (fun x => f x / g x) s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
G.PreservesZeroMorphisms
CategoryTheory.Limits.HasCokernel f
CategoryTheory.Limits.HasCokernel (G.map f)
⊢ CategoryTheory.Limits.cokernel.π (G.map f) ≫ CategoryTheory.Limits.cokernelComparison f G =
  G.map (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty C
⊢ ∀ {F G : C ⥤ D}, (F ≅ G) → P.map F = P.map G
F : Type u → Type u
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
α β : Type u_1
h : α → β
x✝ : List α
⊢ (Functor.map h ∘ Coe.coe) x✝ = (Coe.coe ∘ Functor.map h) x✝
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.Functor.equiv.unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun X =>
      CategoryTheory.Discrete.natIso fun i =>
        CategoryTheory.Iso.refl
          (((CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete PUnit.{w + 1}) C)).obj X).obj
            i))
    ⋯
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
⊢ 1 * x = x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
CompleteLinearOrder δ
f : ι → α → δ
h : ∀ (i : ι), UpperSemicontinuous (f i)
⊢ UpperSemicontinuous fun x' => ⨅ i, f i x'
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ x ∈ Metric.ball 0 ε, ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖f‖ ≤ C
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
f g : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ f = g ↔ ∀ (x : A₁), f x = g x
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
c : ℝ
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
h : Asymptotics.IsBigOWith c l (fun x => (f' x, g' x)) k'
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l g' k'
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
𝕜' : Type u_11
NormedField 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' F
c : 𝕜'
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosStrictMono α
ha : a < 1
h : b ≤ c
hb : 0 < b
⊢ a * b < c
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
⊢ BoxIntegral.integralSum f vol (π₁.disjUnion π₂ h) = BoxIntegral.integralSum f vol π₁ + BoxIntegral.integralSum f vol π₂
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : ConcreteCategory.forget.obj (pullback f g)
⊢ (↑((pullbackIsoProdSubtype f g).hom x)).1 = (↑⟨((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x), ⋯⟩).1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
J : C
⊢ Injective J ↔ (preadditiveYoneda.obj J).PreservesEpimorphisms
x : SetTheory.PGame
⊢ 0 ≤ -x ↔ x ≤ 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
⊢ γ.map ⋯ = γ
G : Type u_1
AddCommMonoid G
A B : Set (G × G)
hAB : A ⊆ B
hB : IsCornerFree B
⊢ IsCornerFree A
α : Type u_1
β✝ : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t : (a : α) → Finset (β✝ a)
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → β
⊢ ((fun a x => f a) ∈ s.pi fun a => {f a}) ∧ ∀ x ∈ s.pi fun a => {f a}, x = fun a x => f a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hg : S.g = 0
S.HasHomology
⊢ (S.asIsoHomologyι hg).hom = S.homologyι
α : Type u
r : α → α → Prop
IsTrichotomous α r
IsIrrefl α r
a b : α
H : ∀ (x : α), r x a ↔ r x b
⊢ a = b
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : K
n : ℕ
ih : (⇑(frobenius (PerfectClosure K p) p))^[n] (mk K p (n, x)) = (of K p) x
⊢ (⇑(frobenius (PerfectClosure K p) p))^[n + 1] (mk K p (n + 1, x)) = (of K p) x
α : Type u_1
Primcodable α
DecidableEq α
⊢ Primrec₂ BEq.beq
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ : ℝ
⊢ (o.oangle x (-r₁ • x + (r₁ • x + r₂ • y))).sign = SignType.sign r₂ * (o.oangle x y).sign
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
hg : IsCauSeq abs fun n => ∑ i ∈ range n, a i
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
j : ℕ
ji : j ≥ max n i
hi₁ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
hi₂ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) (max n i) - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
sub_le : |∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k| ≤ |∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range i, a k| + |∑ k ∈ range i, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k|
this : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| + |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i - ∑ k ∈ range (max n i), a k| < ε
⊢ abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) (max n i)) < ε
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
hU : IsOpen U
⊢ U =ᶠ[ae μ] ∅ ↔ U = ∅
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
ht : TopologicalSpace α
h : PolishSpace α
⊢ polishSpaceMetric α = ⋯.choose
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M i)
N : Type u₁
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
φ : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
ψ ψ' : (⨁ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
a : ι
⊢ DFinsupp.equivFunOnFintype ((lof R ι M i) m) a = Pi.single i m a
cf cg : Code
⊢ encode cf < encode (cf.pair cg) ∧ encode cg < encode (cf.pair cg)
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring R
⊢ ∀ (a : (↥S)ᵐᵒᵖ), ↑(S.mopRingEquivOp a) = MulOpposite.op ↑(MulOpposite.unop a)
ι : Type u_1
α : Type u_4
NonUnitalNonAssocSemiring α
TopologicalSpace α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
a₁ : α
a₂ : α
h : HasSum f a₁
⊢ HasSum (fun i => a₂ * f i) (a₂ * a₁)
xs ys : Lean.Omega.IntList
⊢ xs - ys = xs + -ys
n m : ℕ
a : Fin n
⊢ ↑↑↑a = ↑a.castSucc
α : Type u
One α
⊢ 1 ≠ ⊥
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
t : Set 𝕜
h : Dense t
⊢ univ ⊆ closure (univ ∩ t)
n : ℕ
hn : Odd n
⊢ Nat.card { p // Commute p.1 p.2 } = n * (n + 3)
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S
⊢ M = Submonoid.map h.symm.toMonoidHom (Submonoid.map h.toMonoidHom M)
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
N' : AddSubmonoid N
x : ↥(AddSubmonoid.comap f N')
⊢ ↑((f.addSubmonoidComap N') x) = f ↑x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
self : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D
X Y : C
X' : C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (self.obj X') (self.map f) ≫ self.μ X' Y =
  self.μ X' X ≫ self.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X' f)
α : Type u
GroupWithZero α
a : α
Invertible a
⊢ a * a⁻¹ = 1
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
h : g.comp f = 0
v : V₁
⊢ f v ∈ g.ker
M : Type u_1
SubNegMonoid M
a : M
n : ℤ
⊢ DomAddAct.mk (n • a) = n • DomAddAct.mk a
α : Type u
OrderedCommGroup α
⊢ ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
hP : P.StableUnderCobaseChange
A B A' : C
f : A ⟶ A'
g : A ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
H : P f
⊢ P (CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g)
α : Type u_1
q : Semiquot α
p : q.IsPure
⊢ q.get p ∈ q
a c d : Ordinal.{u}
h₂✝ : 0 ≤ c
h₁ : a ≤ a
h₂ : 0 < c
⊢ c ⨳ a ≤ c ⨳ a
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
hf : StronglyMeasurable f
c : ℝ
x : α
hfx : ‖f x‖ ≤ c
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (f x))
hfx0 : ¬‖f x‖ = 0
⊢ Tendsto (fun n => min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖) • ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (f x))
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
∀ (a : B), CategoryTheory.IsIso (F.mapId a)
∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c), CategoryTheory.IsIso (F.mapComp f g)
⊢ ∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c), ((CategoryTheory.Pseudofunctor.mkOfOplax' F).mapComp f g).hom = F.mapComp f g
K : Type u_1
RCLike K
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ‖OfNat.ofNat n‖ = OfNat.ofNat n
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
g : G
p₁ p₂ : P
⊢ g +ᵥ p₁ -ᵥ p₂ = g + (p₁ -ᵥ p₂)
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
x✝¹ x✝ : A
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (x✝¹ + x✝)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) x✝¹) 0) + ↑(((decompose 𝒜) x✝) 0)
α : Type u_1
l : List α
n : ℕ
⊢ l.enum.get? n = Option.map (fun a => (n, a)) (l.get? n)