ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
x✝ : ∃ a, lift.{u, v} o = succ a
a : Ordinal.{max v u}
h : lift.{u, v} o = succ a
b : Ordinal.{v}
e : lift.{u, v} b = a
⊢ lift.{u, v} o = lift.{u, v} (succ b)
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ ¬a ≤ b → b ≤ a
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
⊢ ProbabilityTheory.cond μ Set.univ = μ
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
φ : L.Sentence
⊢ φ ∈ L.completeTheory M ∨ Formula.not φ ∈ L.completeTheory M
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂
h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
hT : 0 < T
⊢ Tendsto (fun n => sSup ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Icc 0 T) + ⌊n / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x) atBot atBot
P : MorphismProperty Scheme
inst✝ : P.RespectsIso
restrict : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : Y.Opens), P f → P (f ∣_ U)
of_sSup_eq_top : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
⊢ P f → ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), P (𝒰.pullbackHom f i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
⊢ mfderivWithin I I' f Set.univ = mfderiv I I' f
α : Type u
ι : Sort v
t : ι → TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ IsOpen s ↔ ∀ (i : ι), IsOpen s
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
f : R →+* T
h : ∀ ⦃x y : R⦄, r x y → f x = f y
⊢ (↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun 0 = 0
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_3
Ring A
Algebra R A
⊢ Module.support R A = PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(RingHom.ker (algebraMap R A))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → β
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
h_zero : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤
⊢ Integrable (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) μ
R : Type u_1
m : Type u_2
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
i : m
j : n₂
⊢ A₁.fromColumns A₂ i (Sum.inr j) = A₂ i j
C : Type u_1
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_2, u_3} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
s : A → CategoryTheory.Functor D D
i : (a : A) → F.comp (s a) ≅ (CategoryTheory.shiftFunctor C a).comp F
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D D).obj F).Full
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
a : A
⊢ F.commShiftIso a = (i a).symm
m n : ℕ
IH : shiftLeft' true m n ≠ 0 → (shiftLeft' true m n).size = m.size + n
h : ¬bit true 0 = 0
s0 : shiftLeft' true m n = 0
this : (m + 1) * 2 ^ n = 1
⊢ (size 0).succ = (m.size + n).succ
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
⊢ y ≠ z
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.280541, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.280548, u_2} D
X✝ Y✝ : C
inst✝ : HasInitial C
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c
⊢ IsPullback (𝟙 ((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right })) (𝟙 ((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right })) c.inr c.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
MeasurableSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
BorelSpace β
MeasurableSpace γ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace γ
OpensMeasurableSpace γ
SecondCountableTopology γ
g : β → γ
hg : Measurable g
f : α →ₘ[μ] β
⊢ MeasureTheory.AEEqFun.compMeasurable g hg f = MeasureTheory.AEEqFun.mk (g ∘ ↑f) ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
ChartedSpace H M
x : M
hs : s ⊆ (chartAt H x).source
⊢ Set.MapsTo (↑(extChartAt I x)) s (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I)
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s t : Set α
ht : IsLowerSet t
⊢ IsLowerSet (s * t)
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ↑(rTensorHomEquivHomRTensor R M P Q) = rTensorHomToHomRTensor R M P Q
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
⊢ Multiset.card p.roots ≤ p.natDegree
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
x✝ : hs.Quotient
x y : α
⊢ y ∈ hs.proj ⁻¹' {Quotient.mk'' x} ↔ y ∈ s (hs.equivQuotient.symm (Quotient.mk'' x))
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.49739, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.49743, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.49747, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_10, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.49759, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
hf : W f
⊢ (homEquiv W L₁ L₂) (isoOfHom L₁ W f hf).inv = (isoOfHom L₂ W f hf).inv
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
⊢ Nontrivial S
R : Type u
S : Type u'
M✝ : Type v
N : Type w
K : Type u_1
M : Type u_2
L : Type v
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Ring M
inst✝⁵ : Algebra K M
inst✝⁴ : Module.Free K M
inst✝³ : Module.Finite K M
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
⊢ Nat.card (M →ₐ[K] L) ≤ finrank K M
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (∃ a ∉ s, insert a s = t) ↔ s ⊆ t ∧ s.card + 1 = t.card
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
⊢ Tendsto (fun s => s • (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀) (𝓝[≠] 0) (𝓝 0)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
k : ℕ
M₂ : Type w₁
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L M₂
LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ LieSubmodule.map f (LieModule.lowerCentralSeries R L M k) = LieModule.lowerCentralSeries R L M₂ k
F : Sort u_1
α : Sort u_2
β : Sort u_3
i : FunLike F α β
f g : F
x y : α
h₁ : f = g
h₂ : x = y
⊢ f x = g y
n : ℕ
n2 : 2 ≤ n
k i : ℕ
⊢ k = 2 * i + 3 → (∀ (m : ℕ), 2 ≤ m → m ∣ n → k ≤ m) → Nat.minFacProp n (n.minFacAux k)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.OuterRegular
A : Set α
r : ℝ≥0∞
hr : μ A < r
⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < r
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : CategoryTheory.Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J φ
J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
F : PresheafOfModules R.val
hF : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J F.presheaf
f : M₀ ⟶ (PresheafOfModules.restrictScalars α).obj F
⊢ φ ≫ ((PresheafOfModules.sheafifyHomEquiv' α φ hF).symm f).hom = f.hom
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
this✝ : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]
this : f * μ[g|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g|m]
⊢ Integrable (AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g) μ
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
𝔸 : Type u_6
Fintype m
DecidableEq m
Field 𝕂
Ring 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
T2Space 𝔸
v : m → 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 (Matrix.diagonal v) = Matrix.diagonal (NormedSpace.exp 𝕂 v)
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
⊢ MeasureTheory.Measure.haar.addCHaar K₀ ∈ MeasureTheory.Measure.haar.addHaarProduct ↑K₀
a✝ b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring α
a : α
b : ℤ
nb ne : ℕ
pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : IsNat (a ^ nb)⁻¹ ne
⊢ IsNat (a ^ b) ne
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ (MeasureTheory.Measure.dirac μ).join = μ
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
SeminormedAddCommGroup G
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NontriviallyNormedField 𝕜₃
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜₃ G
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
RingHomIsometric σ₂₃
RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
⊢ ‖f.flip‖ = ‖f‖
X : Type u
TopologicalSpace X
Y : Type u_5
p : X → Prop
l : Filter Y
f : Y → Subtype p
x : Subtype p
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 x) ↔ Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 ↑x)
α : Sort u_1
β : Type u_2
f : α → β
f_inv : Nonempty α → β → α
hf : ∀ (h : Nonempty α), Function.LeftInverse (f_inv h) f
b : ↑(Set.range f)
⊢ (Equiv.ofLeftInverse f f_inv hf).symm b = f_inv ⋯ ↑b
α : Type w
CommRing α
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) α
i j : Fin n.succ
⊢ A.adjugate i j = (-1) ^ (↑j + ↑i) * (A.submatrix j.succAbove i.succAbove).det
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁷ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁶ : Countable ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : MeasurableSpace ι
inst✝³ : BorelSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass ι
inst✝ : SecondCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = π ω}
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
DecidablePred Subgroup.FiniteIndex
⊢ ⋃ k ∈ Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s, g k • ↑(H k) = Set.univ ∧
  1 ≤ ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ ∧
    (∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ = 1 →
      (↑(Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s)).PairwiseDisjoint fun i => g i • ↑(H i))
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x ^ z < y ^ z ↔ x < y
α : Type u_2
M : Matroid α
e : α
I : Set α
hI : M.Indep I
heI : e ∉ I
⊢ e ∈ M.closure I ↔ M.Dep (insert e I)
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
x : AddMonoidAlgebra k G
⊢ x.divOf 0 = x
X : Type u_1
R : Type u_2
TopologicalSpace X
Semiring R
TopologicalSpace R
TopologicalSemiring R
Nontrivial R
⊢ ContinuousMap.setOfIdeal ⊤ = Set.univ
E : Type u_2
Norm E
x : ULift.{u_5, u_2} E
⊢ ‖x.down‖ = ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α → Set β
⊢ Function.Surjective (Set.sigmaToiUnion t)
α : Type u_1
l l' : List α
h : l = l'
i : Nat
w : i < l.length
⊢ l[i] = l'[i]
x : ℝ
hx : Irrational x
a b : ℤ
p_nonzero : C a * X + C b ≠ 0
x_is_root : (aeval x) (C a * X + C b) = 0
⊢ False
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ c :: m₂
⊢ x✝.get { byteIdx := utf8Len m₁ } = c
G : Type u_1
Group G
M : Type u_7
MulOneClass M
f : G →* M
x y : G
⊢ f x = f y ↔ y⁻¹ * x ∈ f.ker
R : Type u
Ring R
S : Type u_1
Ring S
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ Polynomial.map f ↑n = ↑n
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ Continuous ⇑OrderDual.ofDual
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : P.k < s.re
h_re1 : -1 < (s - 1).re
⊢ mellin (fun x => P.f_modif x - P.f x + P.f₀) s = (1 / s) • P.f₀ + (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
⊢ s.toFinset.Nonempty ↔ s ≠ 0
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x₁ x₂ : S
y₁ : R
s₁ : ↥M
e₁ : x₁ * (algebraMap R S) ↑s₁ = (algebraMap R S) y₁
y₂ : R
s₂ : ↥M
e₂ : x₂ * (algebraMap R S) ↑s₂ = (algebraMap R S) y₂
⊢ (∃ c, ↑c * (y₁ * ↑s₂) = ↑c * (y₂ * ↑s₁)) → ∃ a c, ↑c * (↑a * (y₁ * ↑s₂)) = ↑c * (↑a * (y₂ * ↑s₁))
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H₁ : r.size = 0 → l.size ≤ 1
H₂ : 1 ≤ r.size → 1 ≤ l.size → l.size ≤ delta * r.size
H₃ : 2 * r.size ≤ 9 * l.size + 5 ∨ r.size ≤ 3
this : (r.dual.size = 0 → l.dual.size ≤ 1) → (1 ≤ r.dual.size → 1 ≤ l.dual.size → l.dual.size ≤ delta * r.dual.size) → 2 * r.dual.size ≤ 9 * l.dual.size + 5 ∨ r.dual.size ≤ 3 → Valid' o₂ (r.dual.balanceL x l.dual) o₁
⊢ Valid' o₂ (r.dual.balanceL x l.dual) o₁
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
K : ℚ
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(x - f) j
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j) ∧ K ≤ ↑(x - f) j ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K / 2
⊢ const abs ↑(↑f i) < x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
f : X ⟶ Y
self : W₁.MapFactorizationData W₂ f
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.i self.p = f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a < b * a ↔ 1 * a < b * a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
⊢ HasFPowerSeriesAt f p z₀ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
Zero M
⊢ Continuous 0
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : S ∈ l
hl_ne : l.NeBot
hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s
t : Set α
htS : t ⊆ S
htl : t ∈ l
htU : t ×ˢ t ⊆ U
i : ι
hi : t ⊆ s i
x : α
hxs : x ∈ s i
hlx : l ≤ 𝓝 x
⊢ ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : s.Nonempty
hs_univ : s ≠ Set.univ
⊢ ∑ x_1 ∈ (piecewise s hs (const α x) (const α 0)).range, (T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 = (T s) x
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
⊢ (p.transfer H hp).length = p.length
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
NormedDivisionRing 𝕜
(i : α) → Module 𝕜 (E i)
∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
hp : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖c • f‖ = ‖c‖ * ‖f‖
M : Type w'
LE M
⊢ M ⊨ FirstOrder.Language.order.noBotOrderSentence ↔ NoBotOrder M
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
L : Filter E
f₂ : E → F × G
f₂' : E →L[𝕜] F × G
h : HasFDerivAtFilter f₂ f₂' x L
⊢ HasFDerivAtFilter (fun x => (f₂ x).2) ((ContinuousLinearMap.snd 𝕜 F G).comp f₂') x L
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
a : α
⊢ f ≤ pure a ↔ {a} ∈ f
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
hp : 1 ≤ 1
⊢ 1 + 1 * s ≤ (1 + s) ^ 1
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
hK : IsZero (K.sc i).homology
⊢ IsIso (ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map f)) ↔ IsZero (L.sc i).homology
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
⊢ ‖p1 -ᵥ p3‖ * ‖p1 -ᵥ p3‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖p3 -ᵥ p2‖ * ‖p3 -ᵥ p2‖ - 2 * ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p3 -ᵥ p2‖ * Real.cos (∠ p1 p2 p3)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
x₀ : M
f : ι → M → G
n : ℕ∞
lf : LocallyFinite fun i => Function.support (f i)
h : ∀ (i : ι), ContMDiffAt I' I n (f i) x₀
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x => ∑ᶠ (i : ι), f i x) x₀
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
⊢ dist (↑(extChartAt I c) c) (↑(extChartAt I c) c) < f.rIn
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b c : α
⊢ Codisjoint (￢￢a) b ↔ Codisjoint a b
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
f : α →* β
hf : Function.Surjective ⇑f
b : β
⊢ ∃ a, map f a = ConjClasses.mk b
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ Filter.Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ Filter.Tendsto (fun i => (μs i).toWeakDualBCNN) F (𝓝 μ.toWeakDualBCNN)
n : Nat
a b : Fin n
⊢ ↑(a + b) = (↑a + ↑b) % n
x : PartENat
n : ℕ
⊢ (∃ (h : True → x.Dom), ∀ (hy : (↑n).Dom), x.get ⋯ ≤ (↑n).get hy) ↔ ∃ (h : x.Dom), x.get h ≤ n
θ ψ : Angle
h : 2 • θ = 2 • ψ
⊢ |θ.cos| = |ψ.cos|
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
self : SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.ExplicitDisjoint t
a : α
b : β
c : γ
a' : α
⊢ (a, b, c) ∈ t → (a', b, c) ∈ t → a = a'
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α✝ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
x y : G
i : ℤ
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
hx : x ∈ zpowers y
a : α
hs : y • a = a
⊢ x • a = a
p q : Polynomial ℤ
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w : ℤˣ
hp : p = Polynomial.trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = Polynomial.trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w
h : p * p.mirror = q * q.mirror
⊢ q = p ∨ q = p.mirror
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
hx : f x ≤ x
⊢ ↑(f.prevFixed x hx) ≤ x
R : Type u
M : Type v
One R
Zero M
⊢ TrivSqZeroExt.fst 1 = 1
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
Ring R
v : AddValuation R Γ₀
x y : R
h : v x < v (y - x)
⊢ v y = v x
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
I : Type u₁
F G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete I) C
f : (i : CategoryTheory.Discrete I) → F.obj i ⟶ G.obj i
i : CategoryTheory.Discrete I
⊢ (CategoryTheory.Discrete.natTrans f).app i = f i
𝕂 : Type u_1
RCLike 𝕂
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕂 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n
⊢ f a ∈ (ContDiffAt.toPartialHomeomorph f hf hf' hn).target
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
h₁ : (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fx = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fy
Hdrop : dropFun fx = dropFun fy
⊢ ∀ (i : (P.B ax).last), R (lastFun fx i) (lastFun fy i)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : Filter α
s : Set α
h : f ⊓ 𝓟 sᶜ = ⊥
⊢ s ∈ f
α : Type u
LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, x ^ i ≤ x ^ m / (1 - x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
g : ↥⊤ →ₗ[ℝ] ℝ
hfg : ∀ ⦃x : ↥f.domain⦄ ⦃y : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑{ domain := ⊤, toFun := g } y
hgs : ∀ (x : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑{ domain := ⊤, toFun := g } x
⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ x ∈ s, 0 ≤ g x
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoidWithOne A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : AddCommMonoidWithOne B
inst✝ : Module R B
n : ℕ
⊢ ↑n = 1 ⊗ₜ[R] ↑n
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
NoMaxOrder α
f : β → α
s : Set β
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
a : α
hf' : ∀ b ∈ s, a < f b
⊢ ∃ a', a < a' ∧ ∀ b ∈ s, a' ≤ f b
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
h :
  ∀ (P : Ideal R) (x : P.IsMaximal),
    Ideal.map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) I = Ideal.map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) J
⊢ I = J
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Fintype o
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq R
w : m → R
⊢ (diagonal w).rank = Fintype.card { i // w i ≠ 0 }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
⊢ univ.card = Fintype.card α
m : Type u_1 → Type u_2
α ρ : Type u_1
p : α → Prop
x : StateT ρ m α
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
x✝ : ∃ f, ∀ (x_1 : ρ), Subtype.val <$> f x_1 = x x_1
f : ρ → m { a // (fun x => p x.fst) a }
h : ∀ (x_1 : ρ), Subtype.val <$> f x_1 = x x_1
⊢ SatisfiesM p x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{w', w} D
K : Type z
inst✝¹ : Category.{z', z} K
inst✝ : HasLimitsOfShape K D
F : K ⥤ Sheaf J D
E : Cone (F ⋙ sheafToPresheaf J D)
hE : IsLimit E
⊢ Presheaf.IsSheaf J E.pt
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hf_eq_ae : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x = f n x
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g hg x))
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (equiv W W.Q) ((mk W f).comp (mk W g)) = (equiv W W.Q) (mk W (f ≫ g))