ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
⊢ (llcomp R M N M).compr₂ (trace R M) = (llcomp R N M N).flip.compr₂ (trace R N)
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
⊢ Filter.Tendsto (⇑f) (Bornology.cobounded α) (Bornology.cobounded β)
⊢ CategoryTheory.typesGrothendieckTopology = CategoryTheory.Sheaf.canonicalTopology (Type u)
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
WeaklyLocallyCompactSpace X
x : X
⊢ ∃ K ∈ 𝓝 x, IsCompact K ∧ IsClosed K
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.25254, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
c : KernelFork S.g
hc : IsLimit c
⊢ ((hc.lift (KernelFork.ofι S.f ⋯) ≫ 𝟙 c.pt) ≫ 𝟙 c.pt) ≫ Fork.ι c = 0 ≫ Fork.ι c
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hgi : IntervalIntegrable g μ a b
hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g
hlt : (μ.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ < ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ Ordnode.All P (l.balance' x r) ↔ Ordnode.All P l ∧ P x ∧ Ordnode.All P r
α : Type u_2
Lattice α
self : IsModularLattice α
x : α
y : α
z : α
⊢ x ≤ z → (x ⊔ y) ⊓ z ≤ x ⊔ y ⊓ z
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
ν : MeasureTheory.Measure β
⊢ MeasureTheory.Measure.prod 0 ν = 0
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
F : Type u
Field F
Algebra R F
K : Type v
Field K
Algebra R K
L : Type w
Field L
Algebra R L
Algebra F K
IsScalarTower R F K
Algebra F L
IsScalarTower R F L
f : K →ₐ[F] L
P : WeierstrassCurve.Affine.Point (WeierstrassCurve.baseChange W F)
⊢ (WeierstrassCurve.Affine.Point.map W f) ((WeierstrassCurve.Affine.Point.baseChange W F K) P) =
  (WeierstrassCurve.Affine.Point.baseChange W F L) P
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
f : ℝ≥0∞ × β → γ
H₁ : Measurable fun p => f (↑p.1, p.2)
H₂ : Measurable fun x => f (⊤, x)
⊢ Measurable f
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
⊢ IsLocalizedModule.fromLocalizedModule' S f (x + y) =
  IsLocalizedModule.fromLocalizedModule' S f x + IsLocalizedModule.fromLocalizedModule' S f y
K : Type u
Field K
L : Type v
M : Type w
Field L
Algebra K L
Field M
Algebra K M
IsAlgClosed M
E : Type u_1
Field E
Algebra K E
Algebra L E
IsScalarTower K L E
Algebra.IsAlgebraic L E
⊢ Function.Surjective fun φ => φ.comp (IsScalarTower.toAlgHom K L E)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ MeasureTheory.Integrable.toL1 (f - g) ⋯ = MeasureTheory.Integrable.toL1 f hf - MeasureTheory.Integrable.toL1 g hg
α : Sort u_1
p : α → Prop
a : { a // p a }
b : α
h : ↑a = b
⊢ a = ⟨b, ⋯⟩
n : Nat
a b : Fin n
⊢ a + b = ⟨(↑a + ↑b) % n, ⋯⟩
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
CommMonoid β
R : Setoid α
DecidableRel Setoid.r
h : ∀ x ∈ s, ∏ a ∈ Finset.filter (fun y => y ≈ x) s, f a = 1
⊢ ∏ x ∈ s, f x = 1
C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.52301, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{?u.52308, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : HasShift E M
X Y Z T : C
inst✝ : Preadditive C
a b c : M
β : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
⊢ comp 0 β h = 0
X Y : TopCat
f g : X ⟶ Y
h : f = g
U : TopologicalSpace.Opens ↑Y
⊢ (TopologicalSpace.Opens.mapIso f g h).hom.app U = CategoryTheory.eqToHom ⋯
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set ι
hs : s.Countable
t : (i : ι) → i ∈ s → Set X
ht : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), IsGδ (t i hi)
⊢ IsGδ (⋂ x, t ↑x ⋯)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
t : Set α
hf : IntegrableOn f t μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ (s ∩ t) < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h's : (μ.restrict t) s < ⊤
⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center < s.radius
⊢ p' ≠ s.secondInter p (p' -ᵥ p)
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
A✝ B✝ : C
f✝ g✝ : A✝ ⟶ B✝
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : HasReflexiveCoequalizers C
A B : C
f g : A ⟶ B
r : B ⟶ A
rf : r ≫ f = 𝟙 B
rg : r ≫ g = 𝟙 B
this : IsReflexivePair f g := IsReflexivePair.mk' r rf rg
⊢ HasCoequalizer f g
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
x : X
y : Y
u : Set X
hu : u ∈ 𝓝 x
v : Set Y
hv : v ∈ 𝓝 y
H : u ×ˢ v ⊆ {x_1 | x_1 ∈ Prod.snd ⁻¹' {(x, y).2} → x_1 ∈ Prod.fst ⁻¹' s}
⊢ s ∈ 𝓝 (x, y).1
R₁ : Type u₁
R₂ : Type u₂
R₃ : Type u₃
Ring R₁
Ring R₂
Ring R₃
f : R₁ →+* R₂
g : R₂ →+* R₃
gf : R₁ →+* R₃
hgf : gf = g.comp f
M N : ModuleCat R₃
φ : M ⟶ N
⊢ (ModuleCat.restrictScalars f).map ((ModuleCat.restrictScalars g).map φ) ≫
    (ModuleCat.restrictScalarsComp'App f g gf hgf N).inv =
  (ModuleCat.restrictScalarsComp'App f g gf hgf M).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars gf).map φ
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
MeasurableSpace δ
LinearOrder α
OrderTopology α
SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hg : ∀ (b : δ), IsGLB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
⊢ Measurable g
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
⊢ A.Definable L s ↔ ∃ φ, s = {v | φ.Realize (Sum.elim Subtype.val v)}
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
μ : K
h : f.HasEigenvalue μ
⊢ (minpoly K f).IsRoot μ
b n : ℕ
hb : 1 < b
⊢ log b n ≤ clog b n
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.54716, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasHomology
inst✝ : HasCokernel S.f
⊢ Mono S.fromOpcycles ↔ Mono (cokernel.desc S.f S.g ⋯)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ W.Equation P ∧ (W.a₁ * P 1 * P 2 ≠ 3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2 ∨ 2 * P 1 * P 2 + W.a₁ * P 0 * P 2 + W.a₃ * P 2 ^ 2 ≠ 0 ∨ P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 ≠ W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2) ↔ W.Equation P ∧ (W.a₁ * P 1 * P 2 ≠ 3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2 ∨ P 1 * P 2 - (-P 1 * P 2 - W.a₁ * P 0 * P 2 - W.a₃ * P 2 ^ 2) ≠ 0 ∨ P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 ≠ W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2)
α : Type u_1
DecidableEq α
⊢ ∅.offDiag = ∅
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
A : ↥(sl n R) := Eb R i j hij
B : ↥(sl n R) := Eb R j i ⋯
c : IsLieAbelian ↥(sl n R)
c' : ↑A * ↑B = ↑B * ↑A
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : Cᴹᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).hom.unmop = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X.unmop).hom
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B A : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
⊢ A.adjugate⁻¹ = h.unit⁻¹ • A
B : Type u_1
W : Type u_3
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
G : Type u_5
Monoid G
f : B → G
hf : M.IsLiftable f
i : B
⊢ (cs.lift ⟨f, hf⟩) (cs.simple i) = f i
G : Type u
LeftCancelMonoid G
Finite G
⊢ Monoid.exponent G ≠ 0
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ IsPrimePow p
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
a : α
f : ι → α
H : BddBelow (Set.range f)
c : ι
h : f c ≤ a
⊢ iInf f ≤ a
α : Type u_1
hd : α
tl : List α
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl.get? ix = l'.get? (f ix)) → tl <+ l'
l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl).get? ix = l'.get? (f ix)
w : f 0 < l'.length
h : l'.get ⟨f 0, w⟩ = hd
f' : ℕ ↪o ℕ := OrderEmbedding.ofMapLEIff (fun i => f (i + 1) - (f 0 + 1)) ⋯
⊢ hd :: tl <+ l'
β : Type u_2
Nonempty β
SemilatticeSup β
f : β → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ∈ Set.Icc (a - ε) (a + ε)
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.17551
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
y : Y
U : Set X
inj : Set.InjOn (fun x => y) U
x' : X
x✝ : ∃ U ∈ 𝓝 x', Set.InjOn (fun x => y) U
hU : U ∈ 𝓝 x'
⊢ x' ∈ U
α : Sort u_1
β : α → Sort v
(a : α) → Inhabited (β a)
a : α
⊢ default a = default
K : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited Λ
M : Λ → Stmt₂
S : Finset Λ
q : Stmt₂
ss : Supports M S
⊢ ∀ x ∈ S, q ∈ stmts₁ (M x) → SupportsStmt S q
α : Type u
n : ℕ
l l' : List α
⊢ l' ∈ List.sublistsLen n l ↔ l'.Sublist l ∧ l'.length = n
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
z : G
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiRing 𝕜 ι z‖ = ‖z‖
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
f g : Equiv.Perm α
hf : f ∈ g.cycleFactorsFinset
⊢ f.cycleType ≤ g.cycleType
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
this : ‖x‖ ≤ ↑p ^ (-↑1) ↔ ↑p ∣ x
⊢ ‖x‖ < 1 ↔ ↑p ∣ x
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (if p.natDegree ≤ n then p.coeff n else 0) = if n = p.natDegree then p.leadingCoeff else 0
α : Type u
a : α
⊢ ∀ {α_1 : Type u_1} {f : α → α_1 → α_1} {b : α_1} (l : List α), List.foldr f b (a :: l) = f a (List.foldr f b l)
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (t₀ / a)
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a : Associates α
ha : a ≠ 0
b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ p.count (a * b).factors = p.count a.factors + p.count b.factors
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
t✝ : Set X
x✝ : X
inst✝ : SequentialSpace X
h : ∀ ⦃u : ℕ → X⦄ ⦃x : X⦄, Tendsto u atTop (𝓝 x) → insert x (range u) ∈ S
t : Set X
ht : ∀ s ∈ S, IsClosed (Subtype.val ⁻¹' t)
u : ℕ → X
x : X
hut : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)
s : Set X
hsc : IsClosed s
hst : Subtype.val ⁻¹' s = Subtype.val ⁻¹' t
⊢ x ∈ t
G H : AddCommGrp
⊢ (G.binaryProductLimitCone H).cone.π.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right } = AddMonoidHom.snd ↑G ↑H
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
⊢ o.oangle x y = θ ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x ∨ θ = 0 ∧ (x = 0 ∨ y = 0)
R : Type w₁
A : Type w₂
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
⊢ Algebra.FinitePresentation R A ↔ ∃ ι x f, Function.Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
n q p : ℕ
prime_p : Prime p
covering : p ≤ 2 * q
H : n < q → ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
hn : n < p
h : ¬p ≤ 2 * n
⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
⊢ InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (-(p1 -ᵥ p2)) = π
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
h₁ : ↑⌈x⌉₊ < x + 1
h₂ : 1 - x ≤ 2 - ↑⌈x⌉₊
⊢ x + 1 ≤ rexp (x + 1)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v w : Fin 3 → R
⊢ -(crossProduct v) w = (crossProduct w) v
α : Sort u_1
b c : α
⊢ (∀ {a : α}, a = b ↔ a = c) ↔ b = c
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
n : ℤ
f : AddCircle T → AddCircle T := fun y => n • y + x
e : AddCircle T ≃ᵐ AddCircle T := MeasurableEquiv.addLeft (DivisibleBy.div x (n - 1))
he : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
h : n - 1 ≠ 0
hnx : n • DivisibleBy.div x (n - 1) = x + DivisibleBy.div x (n - 1)
⊢ ⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm = fun y => n • y
d : ℤ
x : ℤ√d
⊢ ↑(star x).norm = ↑x.norm
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
r : ↑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X))
f :
  (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf ↑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X))).val.obj
      (Opposite.op (PrimeSpectrum.basicOpen r)) ⟶
    X.presheaf.obj (Opposite.op (X.toΓSpecMapBasicOpen r))
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen (↑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X)))
        (PrimeSpectrum.basicOpen r))
      f =
    X.toToΓSpecMapBasicOpen r ↔
  f = X.toΓSpecCApp r
α : Type u_1
Mul α
LT α
i : ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
bc : b * a < c * a
⊢ b < c
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
R : Type u_10
SMul R α
c : R
M : Matrix m n α
⊢ (c • M)ᵀ = c • Mᵀ
α : Type u_1
DecidableEq α
AddGroup α
x : Finset α × Finset α
⊢ Finset.addETransformLeft 0 x = x
V : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace ℝ V
K L : ConvexBody V
⊢ EMetric.hausdorffEdist ↑K ↑L = edist K L
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Supermartingale f ℱ μ
⊢ Submartingale (-f) ℱ μ
K : Type uK
V : Type uV
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V
⊢ Function.Injective ⇑(eval K V)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
Nontrivial A
⊢ spectrum R 0 = {0}
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Lattice (α i)
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (α i)
i : ι
a : α i
⊢ Pi.single i '' Set.uIcc a 0 = Set.uIcc (Pi.single i a) 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete PUnit.{w + 1}) C
⊢ CategoryTheory.Functor.equiv.functor.obj F = F.obj { as := PUnit.unit }
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
E : MorphismProperty.LeftFraction.Localization W ≌ D := uniq (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W
e : MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W ⋙ E.functor ≅ L := compUniqFunctor (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W
g : X ⟶ Y
⊢ ∃ φ, e.inv.app X ≫ E.functor.map g ≫ e.hom.app Y = φ.map L ⋯
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module S M₃
σ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f✝ g✝ : M →ₛₗ[σ] M₃
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
x : R
⊢ f x = g x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
t : Set E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f t x
α : Type u_1
E : Type u_3
E''' : Type u_12
Norm E
SeminormedAddGroup E'''
f : α → E
l : Filter α
g : α → E'''
⊢ f =O[l] g ↔ ∃ c > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ (F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯).hom.app X = (F.shift a).map ((shiftFunctorAdd C m n).hom.app X) ≫ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app ((shiftFunctor C m).obj X) ≫ (F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup H
inst✝⁷ : Module 𝕜 H
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
h : ∀ (u : H), ∀ s ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (φ u '' s)
s : Set α
hs : s ∈ 𝔖
this : TopologicalSpace H := TopologicalSpace.induced (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑φ) (UniformFun.topologicalSpace (↑s) E)
⊢ ContinuousSMul 𝕜 H
R : Type u_1
LinearOrderedRing R
a : ℤ
h : a < 0
⊢ ↑a ≤ -1
R : Type u_1
A : Type u_2
OrderedCommRing R
OrderedRing A
Algebra R A
OrderedSMul R A
⊢ Monotone ⇑(algebraMap R A)
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
h : I ≤ J
⊢ ⇑(DoubleQuot.quotQuotEquivQuotOfLEₐ R h).symm = ⇑(DoubleQuot.quotQuotEquivQuotOfLE h).symm
α : Type u
β : Type v
m : α → β
s : Set α
g : Ultrafilter β
h : m '' s ∈ g
⊢ (Filter.comap m ↑g ⊓ 𝓟 s).NeBot
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v₁, u_1} D
F : CategoryTheory.Functor C D
Y : C
X : Cᵒᵖ
f : Opposite.unop X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.yonedaMap F Y).app X f = F.map f
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M✝ : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M✝
inst✝ : Module R M✝
inst : IsNoetherianRing R
I : Ideal R[X]
M : Submodule R R := ⋯.min (Set.range I.leadingCoeffNth) ⋯
hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth
N : ℕ
HN : I.leadingCoeffNth N = M
s : Finset R[X]
hs : Submodule.span R ↑s = I.degreeLE ↑N
hm2 : ∀ (k : ℕ), I.leadingCoeffNth k ≤ M
hs2 : ∀ {x : R[X]}, x ∈ I.degreeLE ↑N → x ∈ Ideal.span ↑s
this : Submodule.span R[X] ↑s = Ideal.span ↑s
k : ℕ
ih : ∀ m < k, ∀ ⦃p : R[X]⦄, p ∈ I → p.natDegree = m → p ∈ Ideal.span ↑s
p : R[X]
hp : p ∈ I
hn : p.natDegree = k
⊢ p ∈ Ideal.span ↑s
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
σ : Equiv.Perm α
hσ : σ.IsCycle
n : ℕ
⊢ hσ.zpowersEquivSupport ⟨σ ^ n, ⋯⟩ = ⟨(σ ^ n) (Classical.choose hσ), ⋯⟩
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x y₁ : L
hy₁ : y₁ ∈ I₁
y₂ : L
hy₂ : y₂ ∈ I₂
hx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x
fy₁ : ↥(map f I₁) := ⟨f y₁, ⋯⟩
fy₂ : ↥(map f I₂) := ⟨f y₂, ⋯⟩
⊢ ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ ∈ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : IntermediateField F E
⊢ IntermediateField.equivOfEq ⋯ = AlgEquiv.refl
n : ℤ
⊢ ZNum.ofInt' (-n) = -ZNum.ofInt' n
α✝ α : Type u
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b c : α
bc : swap (fun x x_1 => x * x_1) a b ≤ swap (fun x x_1 => x * x_1) a c
⊢ b ≤ c
⊢ CliffordAlgebraComplex.ofComplex.comp CliffordAlgebraComplex.toComplex =
  AlgHom.id ℝ (CliffordAlgebra CliffordAlgebraComplex.Q)
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
hB : B < 0
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
⊢ p.natDegree = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
h₁ : l ~ l₁
h₂ : l <+ l₂
⊢ ∃ l, l ~ l₂ ∧ l₁ <+ l
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ a ⊓ c ≤ b ∧ b ≤ a ⊔ c → a ⊓ b ≤ c ∧ c ≤ a ⊔ b → b = c
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
h : P ≈ Q
u v : R
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v
⊢ W'.add (u • P) (v • Q) = u ^ 4 • W'.add P Q
M : Type u_3
CommMonoid M
n : ℕ
v : Fin n.succ → M
⊢ ∏ i ∈ Finset.Ioi 0, v i = ∏ j : Fin n, v j.succ
α : Type u
r : α → α → Prop
IsIrrefl α r
Subsingleton α
x y : α
⊢ ¬r x y
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f₁ f₂ f₃ : α → β
h₁ : Set.EqOn f₁ f₂ s
h₂ : Set.EqOn f₂ f₃ s
⊢ Set.EqOn f₁ f₃ s
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
R : Type u_2
K : Type ?u.11266
L : Type ?u.11269
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
e : minpolyDiv R x = 0
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
⊢ ∀ {X Y : Bimon_ C} (f : X ⟶ Y), ((Bimon_.toMon_Comon_ C).map f).hom = (Bimon_.toComon_ C).map f
M : Type u_1
One M
Mul M
m : M
Invertible m
⊢ Commute m ⅟m
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : AlgebraicGeometry.IsAffineOpen U
⊢ IsCompact ↑U
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
g₁ g₂ : DirectSum ι fun i => β i
i : ι
⊢ (g₁ + g₂) i = g₁ i + g₂ i
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ (α_ M₁.X N.X Z.X).hom ≫ (f.hom ▷ (N.X ⊗ Z.X) ≫ M₂.X ◁ N.actRight) ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ▷ Z.X ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M₂ N
ι : Type u_7
π : ι → Type u_8
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
i : ι
s : Set ((i : ι) → π i)
⊢ ContinuousOn (fun p => p i) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
h : ∀ (s : Set β), IsCompact s → IsCompact (f ⁻¹' s)
s : Set β
hs : s ∈ cocompact β
t : Set β
ht : IsCompact t
hts : tᶜ ⊆ s
⊢ (f ⁻¹' t)ᶜ ⊆ f ⁻¹' s
n m p : ℕ
pp : 1 < p
h : 1 = 1 ∨ m ≤ minFac 1
d : p ∣ 1
⊢ m ≤ p