ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_6
S : Type u_7
CommRing R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ IsField R ↔ IsField S
G : Type u_2
AddCommGroup G
UniformSpace G
UniformAddGroup G
CompleteSpace G
f : ℕ → G
⊢ Summable f ↔ ∀ e ∈ 𝓝 0, ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∑' (n : ↑t), f ↑n ∈ e
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : LocallyCompactSpace X
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
F : ι → C(X, E)
hF : ∀ (K : Compacts X), Summable fun i => ‖restrict (↑K) (F i)‖
K : Compacts X
A : ∀ (s : Finset ι), restrict (↑K) (∑ i ∈ s, F i) = ∑ i ∈ s, restrict (↑K) (F i)
⊢ ∃ f, Tendsto (fun i => restrict (↑K) (∑ b ∈ i, F b)) atTop (𝓝 f)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
⊢ (laurentAux r) ((algebraMap R[X] (RatFunc R)) p) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) ((taylor r) p)
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
Decidable (Function.mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = if h : (Function.mulSupport f).Finite then ∏ i ∈ h.toFinset, f i else 1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace W
TopologicalSpace ε
TopologicalSpace ζ
g : X × Y × Z × ζ → ε
hg : Continuous g
e : W → X
he : Continuous e
f : W → Y
hf : Continuous f
k : W → Z
hk : Continuous k
l : W → ζ
hl : Continuous l
⊢ Continuous fun w => g (e w, f w, k w, l w)
α : Type u_1
Monoid α
p q : α
h : p ~ᵤ q
⊢ Irreducible p ↔ Irreducible q
n : ℕ
h : 2 ≤ n
⊢ (finRotate n).support = Finset.univ
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
⊢ (⨆ i, p i).toAddSubmonoid = ⨆ i, (p i).toAddSubmonoid
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasLeftDual X
inst✝ : HasLeftDual Y
f : X ⟶ Y
g : ᘁX ⟶ Z
⊢ 𝟙 ᘁY ⊗≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ⊗≫ ᘁX ◁ f ▷ ᘁY ⊗≫ (ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ g ▷ 𝟙_ C) ⊗≫ 𝟙 Z = (λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (g ⊗ f) ▷ ᘁY ≫ (α_ Z Y ᘁY).hom ≫ Z ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ Z).hom
x y : ℝ
h : √x < y
⊢ x < y ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a b : α
h : StrictMono f
⊢ f '' Set.Ioo a b ⊆ Set.Ioo (f a) (f b)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMapIso' e h₁ h₂).hom = CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' e.hom h₁ h₂
α : Type u_1
EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : Set.MapsTo f s s
hf : ContractingWith K (Set.MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
⊢ edist x (ContractingWith.efixedPoint' f hsc hsf hf x hxs hx) < ⊤
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x y : AdicCompletion.AdicCauchySequence I M
h : ∀ (n : ℕ), ↑x n = ↑y n
⊢ x = y
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M : Submodule R A
C : (n : ℕ) → (x : A) → x ∈ M ^ n → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C 0 ((algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (i : ℕ) (hx : x ∈ M ^ i) (hy : y ∈ M ^ i), C i x hx → C i y hy → C i (x + y) ⋯
mul_mem : ∀ (i : ℕ) (x : A) (hx : x ∈ M ^ i), C i x hx → ∀ (m : A) (hm : m ∈ M), C i.succ (x * m) ⋯
n : ℕ
x : A
hx : x ∈ M ^ n
⊢ C n x hx
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
f g : α →C₀ β
h : f.toBCF = g.toBCF
x : α
⊢ f x = g x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) s
k : ι
hk : μ (s k) ≠ ⊤
this : ∀ t ⊆ s k, μ t ≠ ⊤
⊢ μ (s k) - ⨆ i, μ (s k \ s i) = μ (s k) - ⨆ i, μ (s k) - μ (s i)
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
f : α → β → m (ForInStep β)
s : ForInStep β
l : List α
⊢ (s.bind fun a => ForInStep.bindList f l (ForInStep.yield a)) = ForInStep.bindList f l s
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h
nhds_zero : Tendsto (fun n => 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2
npos' : 0 < n
npos : 0 < ↑n
⊢ ∀ (x : ↑I), ‖(bernsteinApproximation n f - f) x‖ < ε
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
⊢ S.fromLeftNeg 0 = 0
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)
this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n
𝒜 : Finset (Finset ℕ) := image (fun n => (f n).primeFactors) (Iio n)
⊢ False
α : Type u_2
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s : Set ι
t : ι → Set α
hc : s.Countable
⊢ μ.restrict (⋃ i ∈ s, t i) = ν.restrict (⋃ i ∈ s, t i) ↔ ∀ i ∈ s, μ.restrict (t i) = ν.restrict (t i)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s t : TopologicalSpace.PositiveCompacts α
⊢ ↑(s ⊔ t) = ↑s ∪ ↑t
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖x‖ / (o.oangle (x + y) y).sin = ‖x + y‖
E : Type u_1
PE : Type u_2
F : Type u_3
PF : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MetricSpace PE
NormedAddTorsor E PE
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
MetricSpace PF
NormedAddTorsor F PF
f : PE ≃ᵢ PF
x y : PE
⊢ f (midpoint ℝ x y) = midpoint ℝ (f x) (f y)
a b c : ℝ≥0
⊢ a * (b ⊔ c) = a * b ⊔ a * c
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : DecidableEq n
A : (Matrix n n R)ˣ
⊢ (↑A).rank = Fintype.card n
α : Type u
l : List α
x : α
n k : ℕ
hk' : n + k < l.length
hk : n + k + 1 < (List.insertNth n x l).length := ⋯
⊢ (List.insertNth n x l).nthLe (n + k + 1) hk = l.nthLe (n + k) hk'
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
hs : s.Nonempty
Hlt : ∀ i ∈ s, g i < f i
⊢ ∏ i ∈ s, g i < ∏ i ∈ s, f i
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
f : S ⊗[R] T
J : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
hJ : f ∉ J.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g J.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * f = a ⊗ₜ[R] t
⊢ J ∈ tensorProductTo R S T ⁻¹' (basicOpen a).carrier ×ˢ (basicOpen t).carrier
G : Type u_2
AddGroup G
S₁ S₂ : AddSubgroup Gᵃᵒᵖ
⊢ (S₁ ⊔ S₂).unop = S₁.unop ⊔ S₂.unop
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
⊢ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
l : List α
⊢ Multiset.countP p ↑l = List.countP (fun b => decide (p b)) l
α : Type u_2
NonUnitalSemiring α
s : Multiset α
a : α
⊢ (∀ x ∈ s, a ∣ x) → a ∣ s.sum
Cont : Type u_1
Elem : Type u_2
Dom : Cont → Nat → Prop
n : Nat
h : GetElem? Cont Nat Elem Dom
a : Cont
i : Fin n
Decidable (Dom a ↑i)
⊢ getElem? a i = getElem? a ↑i
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ fderivWithin 𝕜 f₁ s x = fderivWithin 𝕜 f s x
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b x : α
⊢ x ∈ Multiset.Ico a b ↔ a ≤ x ∧ x < b
α : Type u_1
n : ℕ
s : Sym α n
a b : α
⊢ a ∈ b ::ₛ s ↔ a = b ∨ a ∈ s
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
m n k : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f ≠ 0
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g ≠ 0
hk : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) (f + g) ≠ 0
h : ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f + (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ≤ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f)
⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f + (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ^ p ^ max (max m n) k ≤ max (ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f) ^ p ^ max (max m n) k) (ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ^ p ^ max (max m n) k)
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
y z : ℕ
yz : y ≤ z
⊢ y = y - z + z ∨ y ≤ z ∧ y - z = 0
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
x y : α
⊢ Setoid.r x y ↔ y + -x ∈ s
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : f =ᶠ[cofinite] g
hf : LSeriesSummable f s
⊢ ∀ᶠ (i : ℕ) in cofinite, ‖term g s i‖ ≤ ‖term f s i‖
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ IsNilpotent R L (M ⧸ posFittingComp R L M)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x✝ : P
x' : R
⊢ x' • 1 = x✝ ↔ (algebraMap R P) x' = x✝
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝¹ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset β
inst✝ : (x : β) → Decidable (x ∈ Set.range f)
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑s)
⊢ {x | x ∈ ↑s ∧ x ∈ Set.range f} = {x | x ∈ s ∧ x ∈ Set.range f}
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
⊢ ∃ g, g ∘ₗ f = id
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Div α
a b : α
⊢ some a / some b = some (a / b)
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
I' : Ideal R
hI : ↑I = ↑I'
⊢ ↑1 = ↑⊤
b x : Bool
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (x :: l)
h2 : Even (x :: l).length
⊢ count (!b) (x :: l) = count b (x :: l)
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
ContinuousMul G
a : G
⊢ IsOpenMap fun x => a * x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
n : ℕ
a : α
e : decode n = Option.some a
⊢ (fun n => Part.map (fun m => decide (m = 0)) (Part.map (fun b => bif b then 0 else 1) (p a n))) = p a
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a✝ b : WithBot α
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ ⊥ = Option.bind ⊥ fun b => Option.some (a * b)
α : Type u_1
a : α
⊢ (Equiv.optionEquivSumPUnit α) (some a) = Sum.inl a
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
n x : ℕ
⊢ ↑x = PerfectClosure.mk K p (n, ↑x)
n : ℕ
α : Type u_1
l : List α
c : Composition n
⊢ (l.splitWrtComposition c).length = c.length
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M
⊢ ((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (Finsupp.single yi yv) = (((AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (Finsupp.single yi yv)
n p : ℕ
hp : Prime p
a b : ℤ
h : p ∣ a.natAbs ∨ p ∣ b.natAbs
⊢ ↑p ∣ a ∨ ↑p ∣ b
α : Type u
s : Set (Set α)
U : Set α
⊢ U ∈ Filter.generate s ↔ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ ⋂₀ t ⊆ U
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
f : ι → M
φ : M →SL[σ] M₂
x : M
hf : HasSum f x
⊢ HasSum (fun b => φ (f b)) (φ x)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀
⊢ ContMDiffWithinAt IM (𝓘(𝕜, EB).prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1, (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2)) s x₀ ↔ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (fun x => ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x).proj) s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) s x₀
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s t : Set β
⊢ f ⁻¹' (s ∩ t) = f ⁻¹' s ∩ f ⁻¹' t
β : Type u_1
AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
⊢ (HomologicalComplex.dgoEquivHomologicalComplex b V).inverse = HomologicalComplex.homologicalComplexToDGO b V
α : Type u_1
AddMonoid α
LE α
⊢ AddLECancellable 0
d : ℤ
a : Pell.Solution₁ d
h : Pell.IsFundamental a
⊢ 0 < d
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
⊢ StrictMonoOn (⇑OrderDual.toDual ∘ f) s ↔ StrictAntiOn f s
R : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
⊢ Module.Finite R M ↔ Module.Finite R N
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x : A
hx : IsIntegral R x
⊢ {x} ⊆ ↑(integralClosure R A)
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α
⊢ map reverse l.tails = l.reverse.inits.reverse
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {μ : MeasureTheory.Measure α} [inst : MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ] {s : Set α},
  Filter.EventuallyConst s (MeasureTheory.ae μ) → MulAction.aestabilizer G μ s = ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I M : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hIM : I ≤ M
hM : M.IsMaximal
Z₀ : Multiset (PrimeSpectrum A)
hZ₀ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≠ ⊥
⊢ ∃ Z, (M ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → α → E
f_ℒp : ∀ (n : ι), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ
n : ι
a✝ : α
hx₁ : ↑↑(Memℒp.toLp (f n - f_lim) ⋯) a✝ = (f n - f_lim) a✝
hx₂ : ↑↑(Memℒp.toLp (f n) ⋯ - Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp) a✝ = (↑↑(Memℒp.toLp (f n) ⋯) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) a✝
⊢ (↑↑(Memℒp.toLp (f n) ⋯) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) a✝ = (f n - f_lim) a✝
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
s : Set P
v : P → G
hv : ContDiffOn 𝕜 n v s
f : G → E
g : P → G → E'
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ s ⊆ (fun x => (_root_.id x, v x)) ⁻¹' s ×ˢ univ
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.112486, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S S₁ S₂ S₃ : SnakeInput C
f : S₁.Hom S₂
g : S₂.Hom S₃
⊢ (f.f₀ ≫ g.f₀) ≫ S₃.v₀₁ = S₁.v₀₁ ≫ f.f₁ ≫ g.f₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b
i : ι
hi : i ∈ Iio b
hia : i ≠ a
hia₁ : i < a
⊢ ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f i⟫_𝕜 = 0
a : Int
⊢ ↑(a.natAbs * a.natAbs) = a * a
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
f : α → E
g' : α → F'
l : Filter α
h : f =O[l] g'
⊢ ∃ c ≥ 0, Asymptotics.IsBigOWith c l f g'
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
a b : M
d : ↥S
⊢ f.mk' a d = f.mk' b d ↔ ∃ c, ↑c * a = ↑c * b
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G✝ : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G✝
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x✝ : FamilyOfElements (G✝.op ⋙ ℱ.val) T
h : x✝.Compatible
hF₁ : CompatiblePreserving K F
hF₂ : CoverPreserving J K F
G : SheafOfTypes K
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : FamilyOfElements (F.op ⋙ G.val) S.arrows
hx : x.Compatible
⊢ ∃ x_1, x.IsAmalgamation x_1
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
⊢ n ≤ s.card ↔ ∃ t ⊆ s, t.card = n
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Fintype β
f : α ↪ β
⊢ (map f s).dens ≤ s.dens
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
h✝ : Nonempty α
⊢ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}.PartiallyWellOrderedOn (List.SublistForall₂ r)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
e : ι' ≃ ι
K : (ι' → ℝ) ≃ (ι → ℝ) := Equiv.piCongrLeft' (fun _a => ℝ) e
this : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1
⊢ (fun t => ∑ i : ι', t i • (v ∘ ⇑e) i) '' Icc 0 1 = (fun t => ∑ i : ι, t i • v i) ∘ ⇑K '' Icc 0 1
q : ℚ
h : q.isInt = true
⊢ q = ↑q.num
α : Type u_2
self : IndepMatroid α
I J : Set α
⊢ self.Indep J → I ⊆ J → self.Indep I
K : Type u_2
Field K
NumberField K
⊢ Fintype.card { φ // NumberField.ComplexEmbedding.IsReal φ } = NumberField.InfinitePlace.NrRealPlaces K
k : Type u
Field k
IsSepClosed k
x : k
h2 : NeZero 2
⊢ ∃ z, x = z * z
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
f : M →* N × P
x : M
⊢ (((fst N P).comp f).prod ((snd N P).comp f)) x = f x
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W.negY Q * P z ^ 3
⊢ IsUnit (W.dblU P)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f✝ : α → β
f : β → ↑(Ioi a)
⊢ Tendsto f l atBot ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[>] a)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
I : Ideal R
hx : Ideal.comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
h_alg : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥(Algebra.adjoin R {x})) S)
⊢ Ideal.comap (algebraMap (↥(Algebra.adjoin R {x})) S) (Ideal.map (algebraMap R S) I) =
  Ideal.map (algebraMap R ↥(Algebra.adjoin R {x})) I
s : ℂ
⊢ completedRiemannZeta (1 - s) = completedRiemannZeta s
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
AddMonoid ι
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
self : DirectSum.GSemiring A
n : ℕ
⊢ DirectSum.GSemiring.natCast (n + 1) = DirectSum.GSemiring.natCast n + GradedMonoid.GOne.one
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
i : ι
⊢ ∀ (a : M), (b.coord i) a = (b.repr a) i
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
u : E → F
hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u
uf : EqOn (f - ⇑f') u s
g : E → F := fun x => f' x + u x
fg : EqOn f g s
hg : ApproximatesLinearOn g (↑f') univ (lipschitzExtensionConstant F * c)
this : FiniteDimensional ℝ E
⊢ ∃ g, EqOn f (⇑g) s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
F : CategoryTheory.Functor C (Type v₁)
x : F.obj X
Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.coyonedaEquiv.symm x).app Y f = F.map f x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
⊢ IsOpen s ↔ (OnePoint.infty ∈ s → IsCompact (OnePoint.some ⁻¹' s)ᶜ) ∧ IsOpen (OnePoint.some ⁻¹' s)
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R C))) = Submodule.restrictScalars R (Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f))
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
(L.withConstants α).Structure M
(L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
t : L.Term (α ⊕ β)
v : β → M
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize v t.varsToConstants =
  FirstOrder.Language.Term.realize (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) t
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
n b : ℕ
⊢ Nat.log p n < b → multiplicity p n ! = ↑(∑ i ∈ Finset.Ico 1 b, n / p ^ i)