ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p : Nat
s : Substring
⊢ s.Valid → (s.atEnd { byteIdx := p } = true ↔ p = s.toString.utf8ByteSize)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
CategoryTheory.GaloisCategory C
F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat
f g : CategoryTheory.PreGaloisCategory.AutGalois F
h :
  ∀ (A : CategoryTheory.PreGaloisCategory.PointedGaloisObject F),
    (CategoryTheory.PreGaloisCategory.AutGalois.π F A) f = (CategoryTheory.PreGaloisCategory.AutGalois.π F A) g
⊢ f = g
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : Type u_4
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
Zero β
One β
m : MeasurableSpace β
s : ι → Set Ω
hs : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSet s κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun (fun _n => m) (fun n => (s n).indicator fun _ω => 1) κ μ
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {as : List α} {p : α → Bool},
  List.find? p (a :: as) =
    match p a with
    | true => some a
    | false => List.find? p as
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
a : α
h : a ≤ f a
⊢ a ≤ OrderHom.gfp f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
X : Type u_3
TopologicalSpace X
c x : X → P
R : X → ℝ
s : Set X
hc : ContinuousOn c s
hR : ContinuousOn R s
hx : ContinuousOn x s
hne : ∀ a ∈ s, x a ≠ c a
⊢ ContinuousOn (fun a => EuclideanGeometry.inversion (c a) (R a) (x a)) s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
b : E
hb✝ : b ∈ f.range
hb : b ≠ 0
⊢ ‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ * ‖b‖ ≤ C * (μ (↑f ⁻¹' {b})).toReal * ‖b‖
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s t : Finset α
⊢ (s / t).Nonempty → s.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
⊢ MapsTo (fun y => (a, y)) {x | x ≠ ⊤} {p | p ≠ (⊤, ⊤)}
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4}
i : Ordinal.{u_4}
h : i < o
⊢ f i h < o.blsub f
p : Fin 2 → Type u
τ : Type u
f : Function.FromTypes p τ
⊢ f.uncurry = Function.uncurry f ∘ ⇑(piFinTwoEquiv p)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
⊢ f.unop ≫ (inv f).unop = 𝟙 (unop Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : Measurable Y
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 < ⊤ → IntegrableOn (fun a => (((condDistrib Y X μ) (X a)) s).toReal) s_1 μ
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]
⊢ ((toZModPow n) x).cast = ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ m))).comp (toZModPow n)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosMono α β
ha : a ≤ 0
hb : 0 ≤ b
⊢ a • b ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
s : Set β
f : β → α
⊢ sSup (f '' s) = ⨆ a ∈ s, f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
PseudoEMetricSpace γ
Kg : ℝ≥0
g : β → γ
hg : AntilipschitzWith Kg g
Kf : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith Kf f
⊢ AntilipschitzWith (Kf * Kg) (g ∘ f)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsWellOrder α r
h0 : 0 < Ordinal.type r
a : α
⊢ ¬r a (Ordinal.enum r 0 h0)
α : Type u_2
Preorder α
p : α → Prop
⊢ ⇑(OrderHom.Subtype.val p) = Subtype.val
α : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
Add α
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
⊢ s + ⋂ i, ⋂ j, t i j ⊆ ⋂ i, ⋂ j, s + t i j
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
P : Subgroup G
hP : IsPGroup p ↥P
Q : Sylow p G
⊢ P ⊓ (↑Q).normalizer = P ⊓ ↑Q
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
RCLike 𝕜
TopologicalSpace α
CompactSpace α
f : C(α, 𝕜)
⊢ NormedSpace.exp 𝕜 f = { toFun := NormedSpace.exp 𝕜 ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯ }
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
s : AddSubgroup E
x : ↥s
⊢ ‖↑x‖ = ‖x‖
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n + 1,
    (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) =
      wittStructureRat p ((MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
⊢ (MvPolynomial.bind₁ fun b => (MvPolynomial.rename fun i => (b, i)) ((MvPolynomial.expand p) (W_ ℤ n))) Φ =
  (MvPolynomial.bind₁ fun i => (MvPolynomial.expand p) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n)
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
DivisionRing β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x : β
hx : x ≠ 0
⊢ CauSeq.const abv x⁻¹ = (CauSeq.const abv x).inv ⋯
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
l.NeBot
m.NeBot
s : Set α
t : Set β
⊢ (∀ᶠ (x : α × β) in l.curry m, x ∈ s ×ˢ t) ↔ s ∈ l ∧ t ∈ m
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
G : Type u_10
Monoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H' G
SmoothMul I' G
f : C^⊤⟮I, N; I', G⟯
n : ℕ
⊢ ⇑(f ^ n) = ⇑f ^ n
ι : Type u_1
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
AddCommGroup V
AffineSpace V P
DivisionRing k
Module k V
CharZero k
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (b.coord i) (Finset.centroid k s ⇑b) = (↑s.card)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : ℕ → α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
g : α → β
left✝ : Measurable g
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ ∃ f_lim, StronglyMeasurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
x r : ℝ
⊢ Metric.ball x r = Set.Ioo (x - r) (x + r)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
⊢ T.rotate.obj₁ = T.obj₂
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
s t : Set M
h : s ⊆ t
⊢ LieSubmodule.lieSpan R L s ≤ LieSubmodule.lieSpan R L t
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono g
h : f ≫ g = 0
⊢ f = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_5
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
Union_As_finite : μ (⋃ i, As i) ≠ ⊤
posmeas : Set ι := {i | 0 < μ (As i)}
posmeas_def : posmeas = {i | 0 < μ (As i)}
as : ℕ → ℝ≥0∞
left✝ : StrictAnti as
as_mem : ∀ (n : ℕ), as n ∈ Ioo 0 1
as_lim : Tendsto as atTop (𝓝 0)
⊢ posmeas.Countable
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h_le : κ ≤ κ + η
this : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
⊢ (((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) + (κ + η).withDensity fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) = κ + η
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
hmeas✝ : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
htendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun M => {x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x) atTop (𝓝 0)
hmeas : ∀ (M : ℕ), AEStronglyMeasurable ({x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ
hbound : HasFiniteIntegral (fun x => ‖f x‖) μ
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖{x | ↑n ≤ ‖f x‖₊}.indicator f a - 0‖ ∂μ ≤ ε
⊢ ∃ M, ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
α : Type u_1
Inv α
a : αᵒᵈ
⊢ OrderDual.ofDual a⁻¹ = (OrderDual.ofDual a)⁻¹
n : ℤ
h : ¬3 ∣ n
⊢ ↑n ^ 3 = 1 ∨ ↑n ^ 3 = 8
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => x ^ (p - 1) • f (x ^ p)) (Set.Ioi 0) MeasureTheory.volume ↔
  MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioi 0) MeasureTheory.volume
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), f' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, f x = B x → f' x < B' x
s : Set ℝ := {x | f x ≤ B x} ∩ Icc a b
⊢ Icc a b ⊆ {x | f x ≤ B x}
R : Type u
CommRing R
X Y : BialgebraCat R
f : X ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (BialgebraCat R) (AlgebraCat R)).map f = ↑f.toBialgHom
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e✝ : α
hB : M.Base B
hBX : B ⊆ X
hIX : M.Basis I X
h : ¬M.Base I
e : α
heBI : e ∈ B \ I
he : M.Indep (insert e I)
⊢ False
a b : ℕ
⊢ multiplicity.Finite a b ↔ a ≠ 1 ∧ 0 < b
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
ι✝ : Type u_5
π : ι✝ → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (π i)
ι : Type u_7
α : ι → Type u_8
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (α i)
I : Set ι
s : (i : ι) → Set (α i)
x : (i : ι) → α i
⊢ x ∈ closure (I.pi s) ↔ ∀ i ∈ I, x i ∈ closure (s i)
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
⊢ Squarefree 2
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
a : Set E
⊢ (convexHullAddMonoidHom R E) a = (convexHull R) a
V : Type u
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
DecidableEq V
d : G.Dart
⊢ Finset.filter (fun d' => d'.edge = d.edge) Finset.univ = {d, d.symm}
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero β
SMulPosStrictMono α β
hb : 0 < b
⊢ StrictMono fun x => x • b
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
B : C
F : CategoryTheory.Discrete J ⥤ CategoryTheory.Over B
⊢ (CategoryTheory.Over.ConstructProducts.conesEquiv B F).counitIso =
  CategoryTheory.Over.ConstructProducts.conesEquivCounitIso B F
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
⊢ Tendsto f l (𝓝 0) ↔ ∀ (γ₀ : Γ₀), γ₀ ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, f x < γ₀
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
self : CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).hom ≫ (β_ X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom = (β_ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (β_ X Z).hom
⊢ Tendsto eulerMascheroniSeq' atTop (𝓝 eulerMascheroniConstant)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
Y : C
P : CategoryTheory.CostructuredArrow L (L.obj Y) → Prop
hP₀ : P (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.obj Y)))
hP₁ :
  ∀ ⦃X₁ X₂ : C⦄ (f : X₁ ⟶ X₂) (φ : L.obj X₂ ⟶ L.obj Y),
    P (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk φ) →
      P (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L.map f) φ))
hP₂ :
  ∀ ⦃X₁ X₂ : C⦄ (w : X₁ ⟶ X₂) (hw : W w) (φ : L.obj X₁ ⟶ L.obj Y),
    P (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk φ) →
      P
        (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk
          (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Localization.isoOfHom L W w hw).inv φ))
g : CategoryTheory.CostructuredArrow L (L.obj Y)
⊢ P g
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
A : Matrix n n R[X]
M : Matrix n n R
⊢ eval 0 (A + X • M.map ⇑C).det = eval 0 A.det
α : Type u_2
β : Type u_3
Add α
Add β
f : α ≃+ β
⊢ AddEquiv.mulOp f = MulOpposite.opAddEquiv.symm.trans (f.trans MulOpposite.opAddEquiv)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
h : Embedding f
⊢ Embedding (s.restrictPreimage f)
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S
r : ℝ
⊢ r ∈ norm '' {m | ↑m = -x} ↔ r ∈ norm '' {m | ↑m = x}
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
a : α
⊢ ∏ᶠ (_ : f a ≠ 1), f a = f a
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
t : Set ↑s
hs : NullMeasurableSet s μ
ht : MeasurableSet t
⊢ NullMeasurableSet (Subtype.val '' t) μ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
hx : x ≠ c
⊢ inversion c R x ∈ perpBisector c (inversion c R y) ↔ dist x y = dist y c ∧ x ≠ c
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End R M
h : IsNilpotent φ
⊢ LinearMap.charpoly φ = X ^ finrank R M
z : ℤ
h₀ : z ≠ 0
⊢ 1 ≤ |z|
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
a : F.A
x : F.B a → F.M
i : F.B (M.mk ⟨a, x⟩).head
⊢ (M.mk ⟨a, x⟩).children i = x (cast ⋯ i)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ
⊢ (HahnSeries.addOppositeEquiv.symm x).leadingCoeff = AddOpposite.op (AddOpposite.unop x).leadingCoeff
x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x
hx : x ≤ Real.pi / 2
⊢ 1 - 2 / Real.pi * x ≤ Real.cos x
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
h : IsComplement S {g}
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
y : ↑S × ↑{g}
hy : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) y = x * ↑y.2
⊢ x ∈ S
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
a b : α
⊢ s (f a) (f b) ↔ r a b
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
z : Bundle.TotalSpace F E
hz : z.proj ∈ e.baseSet
⊢ e.symm z.proj (↑e z).2 = z.snd
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
w : InfinitePlace K
σ : K ≃ₐ[k] K
⊢ w.comap (algebraMap k K) = (σ • w).comap (algebraMap k K)
z : ℂ
⊢ ∃ c, ‖c‖ = 1 ∧ ↑‖z‖ = c * z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t✝ : Set β
f : Filter α
g : Filter β
p : α × α → Prop
h : ∀ᶠ (i : α × α) in f ×ˢ f, p i
t : α → Prop
ht : ∀ᶠ (x : α) in f, t x
s : α → Prop
hs : ∀ᶠ (y : α) in f, s y
hst : ∀ {x : α}, t x → ∀ {y : α}, s y → p (x, y)
⊢ ∀ᶠ (i : α) in f, p (i, i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
x : M
n : ℕ∞
f : M → M'
g : M → N'
hf : ContMDiffAt I I' n f x
hg : ContMDiffAt I J' n g x
⊢ ContMDiffAt I (I'.prod J') n (fun x => (f x, g x)) x
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
n : ℕ
f : ↑s →₀ α
hf✝ : (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) f = 1
hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1
this : 1 ∈ span ((fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support)
⊢ 1 ∈ span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
g h : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h ↔ g = h
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G
⊢ ∀ (n : ℕ), (∃ H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥) → ∃ H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.87374, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : Localization W ⥤ E
h : Q W ⋙ F₁ = Q W ⋙ F₂
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ F₁.map f = eqToHom ⋯ ≫ F₂.map f ≫ eqToHom ⋯
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
LocallyCompactSpace E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ LocallyCompactSpace H
l : Type u_4
R : Type u₂
DecidableEq l
CommRing R
Fintype l
Invertible 2
⊢ LieAlgebra.Orthogonal.PD l R * ⅟2 • (LieAlgebra.Orthogonal.PD l R).transpose = 1
Γ : Type u_1
R : Type u_2
LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
CommRing R
IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop
⊢ (1 - x) * (HahnSeries.SummableFamily.powers x hx).hsum = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
h : t ∈ 𝓝[s] a
⊢ insert a t ∈ 𝓝[insert a s] a
R : Type u
CommRing R
S : Type u_1
CommRing S
Algebra R S
r : R
⊢ Subsingleton (AdjoinRoot (Polynomial.C r * Polynomial.X - 1) →ₐ[R] S)
n : ℕ
⊢ ∏ x ∈ Finset.range (n + 1), x.factorial = n.superFactorial
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
R' : Type u_11
Ring R'
MulSemiringAction M R'
S' : Type u_13
Ring S'
MulSemiringAction N S'
f : R' →ₑ+*[φ] S'
x y : R'
⊢ f (x - y) = f x - f y
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ Monotone (Finset.subtype p)
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ x ^ y = ⊤ ↔ x = ⊤
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
L : CategoryTheory.Functor C D
hL : W.IsInvertedBy L
⊢ (φ.map L hL).op = φ.op.map L.op ⋯
α : Type u_1
a : α
n m : Nat
l : List α
h : n < m
i : Nat
⊢ (drop m (l.set n a))[i]? = (drop m l)[i]?
M N K : SemiNormedGrp₁
f : M ⟶ N
g : N ⟶ K
⊢ ⇑(f ≫ g) = ⇑g ∘ ⇑f
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255346}
a : Cardinal.{u_1}
h : a ≠ 0
⊢ ?m.255561 ^ 0 ≤ 0 ^< a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
direction_le : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) ≤ vectorSpan k (Set.range Subtype.val)
⊢ s.card ≤ t.card
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C
⊢ ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ M.mul = ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
⊢ ∀ {ι : Type u_1} [inst : _root_.Finite ι] (W : ι → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)
R : Type
Ring R
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Mat_ (CategoryTheory.SingleObj Rᵐᵒᵖ)} (f : X ⟶ Y) (i : ↑((fun X => FintypeCat.of X.ι) X))
  (j : ↑((fun X => FintypeCat.of X.ι) Y)),
  (CategoryTheory.Mat.equivalenceSingleObjInverse R).map f i j = MulOpposite.unop (f i j)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l t₁ t₂ : List α
h : t₁ ~ t₂
⊢ l.diff t₁ = l.diff t₂
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝ : IsDomain R
p : R := Classical.choose hR
spec : Irreducible (Classical.choose hR) ∧ ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (Classical.choose hR ^ n) x := Classical.choose_spec hR
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ Associated f.prod x
ι : Type u_1
M : Type u_4
OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
s t : Finset ι
h : s ⊆ t
i : ι
ht : i ∈ t
hs : i ∉ s
hlt : 1 < f i
hle : ∀ j ∈ t, j ∉ s → 1 ≤ f j
⊢ ∏ j ∈ s, f j < ∏ j ∈ t, f j
M : Type u_4
CommMonoid M
l₁ l₂ : List M
h : l₁ ~ l₂
⊢ l₁.prod = l₂.prod
α : Type u_1
f : α → Char → α
l m r : List Char
a : α
⊢ String.foldlAux f { data := l ++ m ++ r } { byteIdx := String.utf8Len l + String.utf8Len m }
    { byteIdx := String.utf8Len l } a =
  List.foldl f a m
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
I : IntegrableOn (φ i) t μ
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u) μ
⊢ IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ {a}.diffs {b} = {a \ b}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A C : Set E
hA : Convex 𝕜 A
l : E →L[𝕜] 𝕜
hAB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
hB : {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}.Nonempty
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
G : K ⥤ D
h : CategoryTheory.Limits.Cocone G ≌ CategoryTheory.Limits.Cocone F
c : CategoryTheory.Limits.Cocone G
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ ((CategoryTheory.Limits.IsColimit.ofCoconeEquiv h).symm P).desc s =
  (h.functor.map (P.descCoconeMorphism (h.inverse.obj s))).hom ≫ (h.counit.app s).hom
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ min a (max b c) = max (min a b) (min a c)
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N✝ : Matroid β
E B I : Set α
N : Matroid β
f : α → β
⊢ f ⁻¹' N.E = (N.comap f).E
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
NormedAddCommGroup E''
NormedAddCommGroup F''
l : Filter α
l.NeBot
d : E''
c : F''
⊢ ((fun _x => d) =o[l] fun _x => c) ↔ d = 0
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
n : ℤ
⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map S.f ≫ (mappingConeHomOfDegreewiseSplitIso S σ).inv).f n = (-mappingCone.inr (homOfDegreewiseSplit S σ)).f n
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
x w v : V
⊢ cexp (-(2 * ↑π * ↑⟪w, v⟫_ℝ * I) + (-(b * ↑‖v‖ ^ 2) + 2 * ↑π * I * ↑⟪x, v⟫_ℝ)) = cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪x - w, v⟫_ℝ)
K : Type u
Field K
Γ : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
v : Valuation K Γ
⊢ v.IsEquiv v.valuationSubring.valuation
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
g : G
⊢ ∫ (x : G), f (x * g⁻¹) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
α : Type u_4
Infinite α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
⊢ ∑' (x : α), c = ⊤
b : Bool
⊢ (b.toNat == 0) = !b