ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : (map φ P).a ≠ 0
⊢ Splits ((RingHom.id K).comp φ) P.toPoly ↔ card (map φ P).roots = 3
β : Type u_2
TopologicalSpace β
ι : Type u_3
U : ι → TopologicalSpace.Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (i : ι), IsClosed (Subtype.val ⁻¹' s)
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_5
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I : Ideal R
⊢ (IsLocalization.coeSubmodule K I).IsPrincipal ↔ Submodule.IsPrincipal I
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x y : E
hy : y ∈ p.closedBall 0 r
hx : (fun x => a • x) y = x
⊢ x ∈ p.closedBall 0 r
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
s : Set β
hs : NullMeasurableSet s (map f μ)
⊢ (map f μ) s = μ (f ⁻¹' s)
R : Type u
Semiring R
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ (Polynomial.C x * Polynomial.X ^ k + Polynomial.C y * Polynomial.X ^ m +
        Polynomial.C z * Polynomial.X ^ n).support.card =
  3
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => -t + x₀) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (μ.restrict s))
⊢ Integrable (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) μ
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
hg : HasStrictDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasStrictDerivAt h h' x
⊢ HasStrictDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x
a b c : Ordinal.{u_4}
h : b.IsLimit
⊢ a + b ≤ c ↔ ∀ b' < b, a + b' ≤ c
α : Type u_2
DecidableEq α
Monoid α
a : α
⊢ IsUnit a → IsUnit {a}
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ xᶜ ≤ y ↔ yᶜ ≤ x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
u : ℕ → E
x y : E
hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop (nhds x)
hTu : Filter.Tendsto (⇑T ∘ u) Filter.atTop (nhds y)
hlhs : ∀ (k : ℕ), ⟪T (u k) - T x, y - T x⟫_𝕜 = ⟪u k - x, T (y - T x)⟫_𝕜
⊢ ⟪y - T x, y - T x⟫_𝕜 = 0
α β : FinBoolAlg
e : ↑α.toBoolAlg ≃o ↑β.toBoolAlg
x✝ : (forget FinBoolAlg).obj β
⊢ ((let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ c * (↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num) = c * ((↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_5
TopologicalSpace X
g : X → F →L[𝕜] G
f : X → E →L[𝕜] F
s : Set X
hg : ContinuousOn g s
hf : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn (fun x => (g x).comp (f x)) s
α : Type u_1
DivisionSemiring α
a : α
b : ℤ
nb ne : ℕ
pb : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a ^ nb)⁻¹ ne
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (a ^ b) ne
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y P : C
π₁ : P ⟶ X
π₂ : P ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk π₁ π₂).snd = π₂
I : Type u_1
J : Type u_2
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
X Y Z : CategoryTheory.GradedObject I C
φ : X ⟶ Y
ψ : Y ⟶ Z
p : I → J
X.HasMap p
Y.HasMap p
Z.HasMap p
⊢ CategoryTheory.GradedObject.mapMap (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ ψ) p =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.mapMap φ p) (CategoryTheory.GradedObject.mapMap ψ p)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
f g : CategoryTheory.MonoOver X
Y : C
h : Y ⟶ X
e : f ≅ g
⊢ f.Factors h ↔ g.Factors h
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
U : Set G
hU : U ∈ B
⊢ ∃ i ∈ B, id i ⊆ U
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
hf : ∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)
a b : M
⊢ f a * f b + f b * f a = f a * f a + f b * f a + (f a * f b + f b * f b) - f a * f a - f b * f b
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
hd : HasFDerivAt d d' x
z : E
⊢ (d x • c') z = (c'.smulRight (d x)) z
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : Function.Injective ⇑((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
⊢ Independent p
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - 2 * ‖x‖ * ‖y‖ * Real.cos (angle x y)
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
IsNoetherianRing R
Module.Finite R M
N : Submodule R M
⊢ ∃ k, ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ N = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ N)
M : Type u_1
Monoid M
a : Mˣ
h : IsUnit ↑a
⊢ h.unit = a
α : Type u_1
CompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
s : Set α
hs : s.Nonempty
hc : IsClosed s
⊢ sInf s ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
Finite α
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : MeasurableSingletonClass α] [inst : TopologicalSpace β] (f : α → β),
  MeasureTheory.StronglyMeasurable f
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
s t : Set α
hd : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hft : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ [⨍ (x : α) in s, f x ∂μ-[ℝ]⨍ (x : α) in t, f x ∂μ]
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
x y : α
⊢ e x ≤ e y ↔ x ≤ y
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : IsTorsionBySet K[X] (AEval K M f) ↑(Ideal.span {p})
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}
this✝² : IsReduced R
this✝¹ : FiniteDimensional K R
this✝ : IsArtinianRing R
this : IsSemisimpleRing R
⊢ f.IsSemisimple
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g✝ : α → M
a : α
g : M → N
hg : g 1 = 1
x✝ : α
⊢ s.mulIndicator (g ∘ f) x✝ = (g ∘ s.mulIndicator f) x✝
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
x : E
hx : DifferentiableAt 𝕜 f x
δ : ℝ := ε / 2 / 2
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ y ∈ ball x R, ‖f y - f x - (fderiv 𝕜 f x) (y - x)‖ ≤ δ * ‖y - x‖
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo 0 R
⊢ x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ε
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ log (1 - z)⁻¹ - z = log (1 - z)⁻¹ + logTaylor (1 + 1) (-z)
m : Type u_2
n : Type u_3
m' : Type u_6
n' : Type u_7
R : Type u_11
A : Type u_12
Semiring R
AddCommMonoid A
Module R A
eₘ : m ≃ m'
eₙ : n ≃ n'
M : Matrix m n A
⊢ (Matrix.reindexLinearEquiv R A eₘ eₙ) M = (Matrix.reindex eₘ eₙ) M
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁ == l₂) = decide (l₁ = l₂)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
S : Type u_6
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Module S N
SMulCommClass R S N
f : α → M →ₗ[R] N
i : α
⊢ (Finsupp.lsum S) f ∘ₗ Finsupp.lsingle i = f i
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ : List α
f : α → β
l : List β
hl : l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f}
⊢ l ∈ range (map f)
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Preorder M
inst✝³ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝² : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → M
i : ι
l : List ι
ihl : (∀ i ∈ l, f i ≤ g i) → (∃ i ∈ l, f i < g i) → (map f l).prod < (map g l).prod
h₁ : f i ≤ g i ∧ ∀ x ∈ l, f x ≤ g x
h₂ : f i < g i ∨ ∃ a ∈ l, f a < g a
⊢ f i * (map f l).prod < g i * (map g l).prod
o : ONote
b₁ b₂ : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
eb b : Ordinal.{0}
h₁ : e.NFBelow eb
h₂ : a.NFBelow e.repr
h₃ : e.repr < b
a_ih✝¹ : eb ≤ b₂ → e.NFBelow b₂
a_ih✝ : e.repr ≤ b₂ → a.NFBelow b₂
bb : b ≤ b₂
⊢ e.NFBelow ?oadd'.eb
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hf : p.Monic
hfd : p.natDegree = 0
⊢ p = 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : Nonempty Y
f : LocallyConstant X Y
hX : ¬Nonempty X
⊢ ∃ y, f = const X y
⊢ Filter.Tendsto Finset.range Filter.atTop Filter.atTop
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, a ≤ x → p a → p x
⊢ map (Embedding.subtype p) (Ici a) = Ici ↑a
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ ∀ (x : Equiv.Perm n), (sign x • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (x i) i).coeff (Fintype.card n) = sign x • ∏ i : n, A (x i) i
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ Set.univ) ρ
⊢ ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in Set.univ, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ LieAlgebra.IsEngelian R L ↔ LieAlgebra.IsEngelian R L₂
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
s : Set β
⊢ MeasurableSet (↑f ⁻¹' s)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
Nonempty ι
f : ι → α
hf : BddAbove (Set.range f)
⊢ Set.Ici (⨆ i, f i) = ⋂ i, Set.Ici (f i)
B : Type u
Quiver B
a b c : B
p : Quiver.Path a b
f g : CategoryTheory.FreeBicategory.Hom b c
η : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft ((CategoryTheory.FreeBicategory.preinclusion B).map { as := p }) η)
    (CategoryTheory.FreeBicategory.normalizeIso p g).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.FreeBicategory.normalizeIso p f).hom
    ((CategoryTheory.FreeBicategory.preinclusion B).map₂ (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
⊢ ContinuousAt (fun p => jacobiTheta₂' p.1 p.2) (z, τ)
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
⊢ ∫ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ 0
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
s : Set V
⊢ (induce s G).Connected ↔ (⊤.induce s).Connected
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
s : Set ι
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
f₁ f₂ g₁ g₂ : (i : ι) → α i
h₁ : ∀ i ∈ s, f₁ i ∈ Set.Icc (g₁ i) (g₂ i)
h₂ : ∀ i ∉ s, f₂ i ∈ Set.Icc (g₁ i) (g₂ i)
⊢ s.piecewise f₁ f₂ ∈ Set.Icc g₁ g₂
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
⊢ π₁ ⊓ π₂ = π₁.biUnion fun J => π₂.restrict J
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.coeffs 0 = ∅
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
x : M
⊢ x ∈ ⊥ ↔ x = 0
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ I = (homogeneousCore 𝒜 I).toIdeal ↔ ∃ S, I = span (Subtype.val '' S)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
g : τ → α
p : MvPolynomial σ R
⊢ (rename g) (eval₂ C (X ∘ f) p) = (rename (g ∘ f)) p
R : Type u_3
CommRing R
r : R
a : ℍ[R]
⊢ ↑r * a = a * ↑r
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
W X Y Z : C
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso (biprod.map f g)
⊢ IsIso ((biprod.braiding X W).hom ≫ biprod.map f g ≫ (biprod.braiding Y Z).hom)
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
DecidableEq (α ⊕ β)
f : α ⊕ β → γ
i : α
j : β
x : γ
⊢ Function.update f (Sum.inr j) x (Sum.inl i) = f (Sum.inl i)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
b : α
⊢ toIcoMod hp 0 b = Int.fract (b / p) * p
α : Sort u_1
p : α → Prop
a b : Subtype p
⊢ ↑a ≠ ↑b ↔ a ≠ b
α : Type u_1
N : Type u_2
Zero N
r : α → α → Prop
s : N → N → Prop
hbot : ∀ ⦃n : N⦄, ¬s n 0
hs : WellFounded s
hr : WellFounded (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1)
⊢ WellFounded (Finsupp.Lex r s)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ Type w
a : C
z w : (F ⨯ G).obj a
h1 : Limits.prod.fst.app a z = Limits.prod.fst.app a w
h2 : Limits.prod.snd.app a z = Limits.prod.snd.app a w
⊢ z = w
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
p : α × β
⊢ p ∈ s ×ˢ t ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
⊢ Filter.Germ.map id = id
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
n : ℕ
m : M
a : α
⊢ (AddAction.period m a + n) • m +ᵥ a = n • m +ᵥ a
R : Type uR
ι : Type uι
M₂ : Type v₂
M' : Type v'
CommSemiring R
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid M₂
Module R M'
Module R M₂
ι' : Type u_1
f : MultilinearMap R (fun x => M') M₂
u : ι → M'
v : ι' → M'
⊢ (f.currySum u) v = f (Sum.elim u v)
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A
B : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : TopologicalRing B
inst✝ : Algebra R B
f : B →ₐ[R] A
f' : B ≃ₜ A
w : ⇑f = ⇑f'
⊢ ⇑f' ⁻¹' ↑s.topologicalClosure = closure (⇑f' ⁻¹' ↑s)
n d : ℕ
hd : d ≠ 0
hn : 2 ≤ n
⊢ ↑d ^ (n - 2) / ↑n ≤ ↑(rothNumberNat ((2 * d - 1) ^ n))
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_5
Nₗ : Type u_10
Pₗ : Type u_11
AddCommMonoid M
AddCommMonoid Nₗ
AddCommMonoid Pₗ
Module R M
Module R Nₗ
Module R Pₗ
f : M →ₗ[R] Nₗ
g : Nₗ →ₗ[R] Pₗ
⊢ (LinearMap.lcomp R Pₗ f) g = g ∘ₗ f
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
⊢ Equivalence Turing.BlankRel
S : CategoryTheory.Functor Type uᵒᵖ (Type u)
hs : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf CategoryTheory.typesGrothendieckTopology S
α : Type u
s : S.obj (Opposite.op α)
x : α
⊢ (CategoryTheory.evalEquiv S hs α) s x = CategoryTheory.eval S α s x
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x y✝ : G
n m : ℕ
inst✝ : Monoid β
y : β
hx : 0 < orderOf x
h : orderOf y ∣ orderOf x
⊢ 0 < orderOf y
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
t : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Functor.mapConeOp G t).inv.hom = 𝟙 (Opposite.op (G.obj t.pt))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
n m : ℕ
h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a
h_lt : n < m
⊢ IsMax (succ^[n] a)
this : -(π / 2) < π / 2
⊢ Tendsto (fun x => tan ↑x) atTop atTop
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
this : P ((f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑e) (↑e ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s)) x
⊢ (f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑e =ᶠ[𝓝 x] f
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
B : LinearMap.BilinForm R₂ M₂
M : Matrix n n R₂
⊢ (BilinForm.toMatrix b) B * M = (BilinForm.toMatrix b) (B.compRight ((Matrix.toLin b b) M))
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set G
⊢ f '' Group.closure s = Group.closure (f '' s)
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
φ : (↑(⋃₀ 𝔖) → α) ≃ₜ (X → α) := Homeomorph.piCongrLeft (Equiv.subtypeUnivEquiv 𝔖_covers)
⊢ Inducing (⇑φ.symm ∘ F) ↔ Inducing F
α : Type u_1
LT α
DecidableRel LT.lt
DecidableEq α
lt_irrefl : ∀ (x : α), ¬x < x
lt_trans : ∀ {x y z : α}, x < y → y < z → x < z
lt_antisymm : ∀ {x y : α}, ¬x < y → ¬y < x → x = y
⊢ Batteries.LTCmp fun x x_1 => compareOfLessAndEq x x_1
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ interior sᶜ = (closure s)ᶜ
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
isrfl : IsRefl (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
istrns : IsTrans (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n))
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderClosedTopology α
Nonempty β
SemilatticeSup β
f : β → α
a : α
hf : Monotone f
ha : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
⊢ IsLUB (Set.range f) a
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
⊢ Tendsto arg (𝓝[{z | 0 ≤ z.im}] z) (𝓝 π)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P
⊢ (pointReflection R (midpoint R x y)) x = y
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x : ↑(Metric.sphere 0 1) × ↑(Set.Ioi 0)
⊢ ↑((homeomorphUnitSphereProd E).symm x) = ↑x.2 • ↑x.1
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ (Monotone f ∧ ∀ (i j : Fin n), i < j → f (id i) = f (id j) → id i < id j) ↔ Monotone f
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ
⊢ rightLim (↑f) x = ↑f x
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
this : prod.snd = uncurry (t.to (A ⟹ I))
⊢ prod.snd ≫ t.to (A ⨯ I) = 𝟙 (A ⨯ I)
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
H₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
H₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
⊢ ∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, integralSum f vol x ∈ Metric.closedBall (g I) ib
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ frontier s ⊆ s ↔ IsClosed s
R : Type u
a : R
CommRing R
IsDomain R
ha : a ≠ 0
n : ℕ
⊢ ((Polynomial.monomial n) a).roots = n • {0}
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
⊢ (monomial m) 1 = m.prod fun n e => X n ^ e
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
Fact (1 ≤ p)
⊢ UniformInducing Subtype.val
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
DecidableRel f.SameCycle
x : α
k : ℕ
⊢ (f.cycleOf x) ((f ^ k) x) = (f ^ (k + 1)) x
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
u v : ℙ K V
⊢ ¬v.rep = 0 ∨ u = v
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
x y : ZMod p
hy : y ≠ 0
hxy : x ^ 2 = -y ^ 2
⊢ p % 4 ≠ 3
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.orderTop ≠ ⊤
hx : x ≠ 0
hg : ⋯.min ⋯ = g
⊢ x.coeff g ≠ 0
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : ↥s
⊢ ↑p ∈ s
α : Type u_1
AddZeroClass α
LT α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
b : α
h : b < 0
⊢ a + b < a
f : ℕ → ℝ
h : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 0)
⊢ (Hyperreal.ofSeq f).Infinitesimal