ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : Continuous f
s : TopologicalSpace.Compacts α
⊢ ↑(TopologicalSpace.Compacts.map f hf s) = f '' ↑s
𝕆 : Type u_1
α : Type u_3
Preorder 𝕆
LinearOrder α
GradeOrder 𝕆 α
⊢ Function.Injective (grade 𝕆)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
s : Cone F.rightOp
m : s.pt ⟶ (coneRightOpOfCocone c).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (coneRightOpOfCocone c).π.app j = s.π.app j
j : Jᵒᵖ
⊢ (c.ι.app j ≫ m.unop).op = (c.ι.app j ≫ ((fun s => (hc.desc (coconeOfConeRightOp s)).op) s).unop).op
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
U : Set ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace
hU : _root_.IsOpen U
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U
⊢ ∃ t ⊆ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U, _root_.IsOpen t ∧ x ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α × β →₀ M
x : α
y : β
⊢ (f.curry x) y = f (x, y)
q r : ℚ
hqd : ↑q.den ≠ 0
⊢ q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
s : Set E
⊢ Metric.cthickening ε (Metric.cthickening δ s) = Metric.cthickening (ε + δ) s
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
DecidableEq α
Fintype α
⊢ AddAction.stabilizer G Finset.univ = ⊤
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s✝ t✝ : Set α
a✝ b a : α
s t : Set α
⊢ IsLeast (s ∪ t) a ↔ IsLeast s a ∧ a ∈ lowerBounds t ∨ a ∈ lowerBounds s ∧ IsLeast t a
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
⊢ Equiv.Perm.support 1 = ∅
M : Type u_4
AddZeroClass M
l : List M
⊢ (0 :: l).sum = l.sum
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
hI : 1 ≤ I
⊢ I ≤ I * I
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
B : LinearMap.BilinForm R₂ M₂
⊢ (BilinForm.toMatrixAux ⇑b) B = (BilinForm.toMatrix b) B
R : Type u_1
a : R
Monoid R
n : ℕ
n0 : 0 < n
⊢ IsLeftRegular (a ^ n) ↔ IsLeftRegular a
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β
⊢ x.swap.isLeft = x.isRight
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
w : (lift R).symm f = (lift R).symm g
⊢ f = g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
Y : TopologicalSpace.Opens ↑X
hY : Y = iSup U
⊢ (F.whiskerIsoMapGenerateCocone U hY).inv.hom = F.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
α : Type u_1
a : α
⊢ ↑a ≠ ⊥
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative
inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝² : W₂.ContainsIdentities
D : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D
L : C₂ ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W₂
X₂ : C₂
X₃ : D
y : L.obj X₂ ⟶ X₃
w : TwoSquare Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) := TwoSquare.mk Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) (Φ.functor ⋙ L).rightUnitor.inv
this : Nonempty (w.CostructuredArrowDownwards y)
X : w.CostructuredArrowDownwards y
⊢ ∃ Y, Zigzag X ((fromRightResolution Φ L y).obj Y)
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ Fin.last n
hb : b ≠ 0
⊢ a.castPred ha ≤ b.pred hb ↔ a < b
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
X : CategoryTheory.Functor C D
P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C
⊢ (((CategoryTheory.Idempotents.functorExtension₂ C D).obj X).obj P).X = X.obj P.X
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : CommSemiring A'
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R A'
inst✝² : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x✝ : A
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Algebra R S
p : R[X]
x : S
⊢ (aeval x) p = ∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), p.coeff i • x ^ i
r : ℝ≥0
hr : r < 1
⊢ ∑' (n : ℕ), r ^ n = (1 - r)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
⊢ ⋃ i, spanningSets μ i = univ
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
Fintype V
NonAssocSemiring α
i : V
⊢ (SimpleGraph.adjMatrix α G * SimpleGraph.adjMatrix α G) i i = ↑(G.degree i)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
⊢ (algEquiv M S) (mk x y) = mk' S x y
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
C : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
F : CategoryTheory.Functor T C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L R} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Comma.post L R F).map f).left = f.left
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ f '' s ⊆ f '' t ↔ s ⊆ t
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e₁ : S₁.X₁ ≅ S₂.X₁
e₂ : S₁.X₂ ≅ S₂.X₂
e₃ : S₁.X₃ ≅ S₂.X₃
comm₁₂ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp e₁.hom S₂.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.f e₂.hom := by
  aesop_cat
comm₂₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp e₂.hom S₂.g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g e₃.hom := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.isoMk e₁ e₂ e₃ comm₁₂ comm₂₃).hom.τ₃ = e₃.hom
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
t : ι → Set X
htd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t
htc : ∀ (i : ι), IsCompact (t i)
htcl : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
i₀ : ι := hι.some
htn : ∀ (i : ι), t i ≠ ∅
⊢ t i₀ ∩ ⋂ i, t i ≠ ∅
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
s : σ →₀ ℕ
a : R
⊢ (MvPolynomial.map f) ((MvPolynomial.monomial s) a) = (MvPolynomial.monomial s) (f a)
v : PrimeMultiset
p : ℕ+
h : p ∈ v.toPNatMultiset
val✝ : ℕ
hp' : Nat.Prime val✝
left✝ : ⟨val✝, hp'⟩ ∈ v
h_eq : Coe.coe ⟨val✝, hp'⟩ = p
⊢ p.Prime
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
Preorder ι
m : MeasurableSpace Ω
self : MeasureTheory.Filtration ι m
⊢ Monotone ↑self
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_3
NonUnitalNormedRing 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
RegularNormedAlgebra 𝕜 𝕜'
Nontrivial 𝕜'
⊢ ‖ContinuousLinearMap.mul 𝕜 𝕜'‖₊ = 1
R : Type uR
inst✝⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
ψ : Dual R M₂
⊢ f.dualMap ψ ∈ (ker f).dualAnnihilator
R : Type u_4
S : Type u_5
ConditionallyCompleteLinearOrder R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
ConditionallyCompleteLinearOrder S
TopologicalSpace S
OrderTopology S
F : Filter R
F.NeBot
f : R → S
f_decr : Antitone f
f_cont : ContinuousAt f F.limsInf
cobdd : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F := by isBoundedDefault
bdd_below : Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F := by isBoundedDefault
⊢ f F.limsInf = Filter.limsup f F
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁✝ : QuadraticForm R M₁
Q₂✝ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
f : Q₁ →qᵢ Q₂
hf : Function.Surjective ⇑f
r : R
⊢ (map f) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q₁)) r) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q₂)) r
R : Type u_3
CommRing R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hn : N.FG
hin : N ≤ I • N
⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f : { f // ∀ (x : P.Ring), (MvPolynomial.aeval P'.val) (f x) = (algebraMap S S') ((MvPolynomial.aeval P.val) x) }
i : P.vars
⊢ (Algebra.Generators.Hom.equivAlgHom.symm f).val i = ↑f (MvPolynomial.X i)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
(i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
i : Fin (n + 1)
x : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
q : (j : Fin (n + 1)) → α j
⊢ q ≤ i.insertNth x p ↔ q i ≤ x ∧ (fun j => q (i.succAbove j)) ≤ p
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f₀ : E' →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
f : E' →SL[σ₁₂] F
hf : ⇑f ∈ closure (DFunLike.coe '' closedBall f₀ r)
⊢ f ∈ closedBall f₀ r
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
⊢ S₂.homologyData.iso.inv.op ≫ leftHomologyMap' (opMap φ) S₂.homologyData.op.left S₁.homologyData.op.left ≫ S₁.homologyData.iso.hom.op = (((rightHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.rightHomologyData S₂.homologyData.right ≫ S₂.homologyData.iso.inv).op ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂.op) S₂.rightHomologyData.op S₂.op.leftHomologyData) ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂.op) S₂.op.leftHomologyData S₂.op.homologyData.left) ≫ leftHomologyMap' (opMap φ) S₂.op.homologyData.left S₁.op.homologyData.left ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁.op) S₁.op.homologyData.left S₁.op.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁.op) S₁.op.leftHomologyData S₁.rightHomologyData.op ≫ (S₁.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.homologyData.right S₁.rightHomologyData).op
A : Type u
AddGroup A
self : AddGroupFilterBasis A
U : Set A
⊢ U ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets → ∃ V ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V ⊆ (fun x => -x) ⁻¹' U
X : Type u
α : Type u_1
x : X
TopologicalSpace X
f : Filter α
⊢ Filter.Tendsto (fun x_1 => x) f (𝓝 x)
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → α
s : Set α
⊢ Tendsto f atTop (𝓟 s) ↔ ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ∈ s
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a (x + y).num * (Polynomial.eval₂ f a x.denom * Polynomial.eval₂ f a y.denom) = (Polynomial.eval₂ f a x.num * Polynomial.eval₂ f a y.denom + Polynomial.eval₂ f a x.denom * Polynomial.eval₂ f a y.num) * Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : C
CategoryTheory.HasLeftDual X
CategoryTheory.HasLeftDual Y
CategoryTheory.HasLeftDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (ᘁf ≫ g) = (ᘁg) ≫ ᘁf
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : SemilatticeInf γ
a b : γ
s : Set γ
hs : IsGLB s b
⊢ IsGLB ({a} ∪ s) (a ⊓ b)
A : Type u_1
Add A
a : A
⊢ 1 a = a
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
⊢ ∀ (x : ℝ × ℝ), (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1) = ∑ i : Fin (1 + 1), (![f', g'] i x) (e.symm (Pi.single i 1))
n : Nat
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ 0
⊢ (i.pred h).succ = i
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : 0 < b
x✝ : c + b * d = a ∧ c < b
h₁ : c + b * d = a
h₂ : c < b
⊢ c / b + d = d ∧ c % b = c
α✝ : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α✝
s : Set α✝
α : Type u_2
⊢ IsOpen univ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
CategoryTheory.Limits.HasCokernels C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.cyclesFunctor C).obj S = S.cycles
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
VAdd αᵃᵒᵖ β
VAdd β γ
VAdd α γ
a : α
s : Set β
t : Set γ
h : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), AddOpposite.op a +ᵥ b +ᵥ c = b +ᵥ (a +ᵥ c)
⊢ AddOpposite.op a +ᵥ s +ᵥ t = s +ᵥ (a +ᵥ t)
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
a b : R
⊢ (match { toQuot := Quot.mk (Rel r) a }, { toQuot := Quot.mk (Rel r) b } with | { toQuot := a }, { toQuot := b } => { toQuot := Quot.map₂ (fun x x_1 => x * x_1) ⋯ ⋯ a b }) = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a * b) }
α : Type u_2
One α
s : Finset α
⊢ 1 ⊆ s ↔ 1 ∈ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
⊢ HasFDerivAt f h.toContinuousLinearMap x
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
f : ℤ√d →+* R
⊢ f sqrtd * f sqrtd = ↑d
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
⊢ ∃ s, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ μ (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, f x ≤ ↑n) ∧ ⋃ i, s i = Set.univ
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f g : ι → α
hf : Multipliable f
hg : Multipliable g
h : f ≤ g
⊢ ∏' (n : ι), f n ≤ ∏' (n : ι), g n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
⊢ (r • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • ν.rnDeriv μ
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq β
t : Finset β
a : α
ht : t.Nonempty
⊢ image (fun f => f a) (piFinset fun _i => t) = t
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s✝ t✝ : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
s : Set α
sl : s ∈ l
hs : IntegrableOn f s μ
t : Set α
tl : t ∈ l
ht : IntegrableOn g t μ
⊢ IntegrableAtFilter (f + g) l μ
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x✝ : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α), Differentiable 𝕜 (f n)
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖fderiv 𝕜 (f n) x‖ ≤ u n
hf0 : Summable fun n => f n x₀
x : E
⊢ fderiv 𝕜 (fun y => ∑' (n : α), f n y) x = ∑' (n : α), fderiv 𝕜 (f n) x
M : Type u_4
N : Type u_5
⊢ ∀ {x : Add M} {x_1 : Add N} (f : AddHom M N) (f' : M → N) (h : f' = ⇑f), ⇑(f.copy f' h) = f'
R : Type u_1
Zero R
x : ℕ
⊢ 0 x = 0
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
a b c : ℤ
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0
hn : n ≠ 0
⊢ ¬(a = 0 ∧ b = 0)
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ Complex.slitPlane
⊢ Complex.log (1 + z) = z * ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, (1 + t • z)⁻¹
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Mul M✝
inst✝² : ContinuousMul M✝
M : Type u
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
⊢ ContinuousMul M
α : Type u_2
SemilatticeInf α
a : α
⊢ infClosure {a} = {a}
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
i : IsIso (expComparison F A)
⊢ IsIso (frobeniusMorphism F h A)
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ
⊢ IsUnit (A ^ (n + 1)).det
α : Type u_1
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} {β : Type u_5} [inst : PseudoMetricSpace β] {f g : α → β},
  MeasureTheory.StronglyMeasurable f →
    MeasureTheory.StronglyMeasurable g → MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => dist (f x) (g x)
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y
⊢ (structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h ≫ (stalkIso R x).hom = (stalkIso R y).hom ≫ let_fun this := PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h; this
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
⊢ ∀ (x : N ⊗[R] Q), (inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ rTensor Q g) x = (range (rTensor Q f)).mkQ x
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M₂ →ₗ[R] φ i
c : M₂
⊢ c ∈ ker (pi f) ↔ c ∈ ⨅ i, ker (f i)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : Differentiable 𝕜 f
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
x : ℝ
k : ℤ
h : arctan x = (2 * ↑k + 1) * π / 2
lb : -1 < 2 * ↑k + 1
ub : arctan x < π / 2
⊢ False
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
f : S₁.Hom S₂
g : S₂.Hom S₃
⊢ (f.comp g).f₀ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f₀ g.f₀
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f₁ : E → F
f₁' : E →L[𝕜] F
x : E
f₂ : E → G
f₂' : E →L[𝕜] G
hf₁ : HasFDerivAt f₁ f₁' x
hf₂ : HasFDerivAt f₂ f₂' x
⊢ HasFDerivAt (fun x => (f₁ x, f₂ x)) (f₁'.prod f₂') x
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn ⊤ f p s ↔
  (∀ x ∈ s, (p x 0).uncurry0 = f x) ∧ ∀ (m : ℕ), ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y => p y m) (p x m.succ).curryLeft s x
M₀ : Type u_1
MulZeroClass M₀
NoZeroDivisors M₀
a b : M₀
⊢ a * b = 0 ↔ b * a = 0
n ν : ℕ
x : ↑I
⊢ 0 ≤ (bernstein n ν) x
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a \ b = ⊥ ↔ a ≤ b
α : Type u_2
ι : Type u_5
DistribLattice α
OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
⊢ a ⊓ s.sup f = s.sup fun i => a ⊓ f i
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
v : E
hv : v ∈ s
w : E
hw : w ∈ t
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
h : (fun x x_1 => x + x_1) v w ≠ (fun x x_1 => x + x_1) x y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hvx : v ≠ x
⊢ a • v + b • x + (a • w + b • y) ∈ interior (s + t)
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : FinitePresentation R A
inst✝ hfpB : FinitePresentation A B
⊢ FinitePresentation R B
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝓤 : X.OpenCover
j : 𝓤.J
⊢ (𝟙 𝓤).idx j = j
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 1 ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ)
p_roots2 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 3
⊢ Function.Bijective ⇑(galActionHom p ℂ)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
this : 0 ≤ chaar K₀ K ∧ chaar K₀ K ≤ ↑(index ↑K ↑K₀)
⊢ 0 ≤ chaar K₀ K
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
i : ι
b₁ : β₁ i
b₂ : β₂ i
j : ι
hij : i ≠ j
⊢ f j ((single i b₁) j) ((single i b₂) j) = (single i (f i b₁ b₂)) j
M : Type u_1
Mul M
c : Con M
a b : M
⊢ ↑a = ↑b ↔ c a b
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
s : ι → Finset α
hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i
⊢ ∑' (a : α), f a = ⨆ i, ∑ a ∈ s i, f a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg : StrictConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • g x + b • g y ≤ a • (f x ⊔ g x) + b • (f y ⊔ g y)
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
x : α
⊢ preStoneCechExtend hg (preStoneCechUnit x) = g x
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
h20 : 2 ≠ 0
h4 : ¬(2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).gcd (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ 2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)
hp2 : ↑p ∣ 2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1
⊢ p ∣ (n0 * 2 + 1).natAbs
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
inst✝⁷ : HasPullbacks D
inst✝⁶ : Adhesive C
inst✝⁵ : HasPullbacks C
inst✝⁴ : HasPushouts C
H₂ : ∀ {X Y S : D} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan Gl
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{?u.108100, ?u.108099, v, v'', u, u''} Gl
this : PreservesLimitsOfSize.{?u.108151, ?u.108150, v'', v, u'', u} Gr
W X Y Z : D
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f
H : IsPushout f g h i
⊢ H.IsVanKampen
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
S : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid S
inst✝² : Pow S ℕ
inst✝¹ : Module R✝ S
x : S
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
r : R
x✝ : R[X]
⊢ (leval r) x✝ = (smeval.linearMap R r) x✝
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
PartialOrder α
MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : MeasureTheory.Measure α
a b : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ico a b) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Ioo a b) μ