ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
⊢ G.map (kernel.ι f ≫ p) = G.map (kernel.map f g p q hpq ≫ kernel.ι g)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u}
h : lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}
⊢ lift.{max (u + 1) v, u} (2 ^ c) < univ.{u, v}
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
x : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace
i : ℕ
z : A
hzi : z ∈ 𝒜 i
⊢ z ∈ (↑(FromSpec.toFun f_deg hm ((toSpec 𝒜 f) x))).asHomogeneousIdeal ↔ z ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β : Type w
f : β → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
P : C
p : (b : β) → f b ⟶ P
b : β
⊢ CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f b ≫ CategoryTheory.Limits.Sigma.desc p = p b
E : Type u_1
ι : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
U K : Set ℂ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : Metric.cthickening δ K ⊆ U
⊢ TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (Complex.cderiv δ f) φ K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
⊢ H.Connected
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : i.Coprime n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ 0 < ↑n
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
⊢ Function.Injective IntermediateField.toSubalgebra
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
inst✝¹ : HasCokernels C
inst✝ : NormalEpiCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
l : IsLimit (KernelFork.ofι 0 ⋯)
Z✝ : C
u v : Z✝ ⟶ X
huv : u ≫ f = v ≫ f
W : C
w : W ⟶ X
hw : w ≫ coequalizer.π u v = 0
hl : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (coequalizer.π u v) hw)
m : coequalizer u v ⟶ Y
hm : coequalizer.π u v ≫ m = f
reassoced : ∀ {W_1 : C} (h : coequalizer u v ⟶ W_1), w ≫ coequalizer.π u v ≫ h = 0 ≫ h
hwf : w ≫ f = 0
n : W ⟶ (KernelFork.ofι 0 ⋯).pt
hn : 0 = w
⊢ u = v
α : Type u_1
TopologicalSpace α
PartialOrder α
s : Set α
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s → x ∈ t
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
sm : Submodule k V
FiniteDimensional k ↥sm
hle : vectorSpan k ↑(Finset.image p s) ≤ sm
hc : s.card = FiniteDimensional.finrank k ↥sm + 1
⊢ vectorSpan k ↑(Finset.image p s) = sm
a b : Cardinal.{u}
⊢ Cardinal.lift.{v, u} (a ^ b) = Cardinal.lift.{v, u} a ^ Cardinal.lift.{v, u} b
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ IntervalIntegrable f μ a b
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
F : Set X
h : IsPathConnected F
x_in : x ∈ F
y_in : y ∈ F
⊢ y ∈ pathComponent x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ‖x + y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
a : M
b : CliffordAlgebra Q
⊢ (contractLeft d) ((ι Q) a * b) = d a • b - (ι Q) a * (contractLeft d) b
m n : ℕ+
⊢ m ∣ n ↔ n.gcd m = m
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : AddGroup β
inst✝¹ : DistribMulAction α β
inst✝ : DecidableEq β
a : α
s : Finset α
t : Finset β
⊢ a • -t = -(a • t)
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ f.mk' (x + ↑y) y = f.toMap x
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
h : ∀ (S : Finset ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ S, s i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (s i)
S : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ S, f i ∈ (fun i => {s i}) i
a : α
ha : (κ a) (⋂ i ∈ S, s i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (s i)
this : ∀ i ∈ S, (κ a) (f i) = (κ a) (s i)
⊢ (κ a) (⋂ i ∈ S, f i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (f i)
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hzero : n > 0
⊢ (expand R p) (cyclotomic n R) = cyclotomic (n * p) R
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.6070, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.6074, u_3} J
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (n : ι), HasLimit (F ⋙ eval C c n)
n m : ι
h : ¬c.Rel n m
j : J
⊢ limit.π (F ⋙ eval C c n) j ≫ { app := fun j => (F.obj j).d n m, naturality := ⋯ }.app j = 0 ≫ limit.π (F ⋙ eval C c m) j
q : ℚ
n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ
⊢ n₁ /. d₁ * (n₂ /. d₂) = n₁ * n₂ /. (d₁ * d₂)
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hsc : IsClosed s
hs : s ⊆ (chartAt H c).source ∧ ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
this : IsClosed (↑e '' s)
r : ℝ
hrR : r ∈ Ioo 0 f.rOut
hr : ↑e '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) r
⊢ ∃ r ∈ Ioo 0 f.rOut, s ⊆ (chartAt H c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) r
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
AddMonoid ι
GradedMonoid.GMul A
GradedMonoid.GOne A
a : GradedMonoid A
⊢ GradedMonoid.mk (0 • a.fst) (GradedMonoid.GMonoid.gnpowRec 0 a.snd) = 1
N i : ℕ
h : N < i
⊢ (Polynomial.revAt N) i = i
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ c < (succ c).ord.cof
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
A : C
x : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)
A' : C
π : A' ⟶ A
w✝ : Epi π
x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀
w : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0
hx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀
a : A' ⟶ S.X₁.X n₁
b : A' ⟶ S.X₂.X n₀
hab : x' = a ≫ (inl S.f).v n₁ n₀ ⋯ + b ≫ (inr S.f).f n₀
⊢ (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀ ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ = HomologicalComplex.liftCycles S.X₃ (x' ≫ (descShortComplex S).f n₀) n₁ ⋯ ⋯ ≫ HomologicalComplex.homologyπ S.X₃ n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h
p x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
⊢ LiouvilleWith p (-x)
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x < y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z < y
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℂ
h : Continuous f
⊢ Continuous fun y => Complex.exp (f y)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
γ' : CochainComplex.HomComplex.Cochain L M 0
⊢ (γ.comp γ' ⋯).leftShift a n' hn' = (γ.leftShift a n' hn').comp γ' ⋯
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional k V
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1
s : Finset P
b : AffineBasis (↑↑s) k P
hb : ⇑b = Subtype.val
⊢ Fintype.card ↑↑s = Fintype.card ι
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CharP R p
x : WittVector p R
i : ℕ
⊢ (x * ↑p).coeff (i + 1) = x.coeff i ^ p
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ ∀ (i : ℕ → Set β), s ⊆ ⋃ i_1, f ⁻¹' i i_1 → ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (f '' t n) ≤ ∑' (n : ℕ), ⨅ i_2, (m i_2) (i n)
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →* β) (h₁ : (↑f).toFun 0 = 0)
  (h₂ : ∀ (x_2 y : α), (↑f).toFun (x_2 + y) = (↑f).toFun x_2 + (↑f).toFun y),
  ⇑{ toMonoidHom := f, map_zero' := h₁, map_add' := h₂ } = ⇑f
α : Type u
TopologicalSpace α
TotallyDisconnectedSpace α
x : α
⊢ connectedComponent x = {x}
m n : ℤ
⊢ Odd (m - n) ↔ (Odd m ↔ Even n)
n k : ℕ
h : k + 1 + 2 ≤ n
⊢ (n - (k + 1)) ^ (k + 2) < n.descFactorial (k + 2)
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
i : ℕ
x : X i
hx : ⟨i, x⟩.fst ≤ 0
j : ℕ
y : X j
hy : ⟨j, y⟩.fst ≤ 0
⊢ inductiveLimitDist f ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ = dist (leRecOn hx (fun {k} => f k) ⟨i, x⟩.snd) (leRecOn hy (fun {k} => f k) ⟨j, y⟩.snd)
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ eval (v i) (C (r i) * Lagrange.basis s v i) + ∑ x ∈ s.erase i, eval (v i) (C (r x) * Lagrange.basis s v x) = r i
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
x : S
⊢ (Algebra.norm R) x = LinearMap.det ((Algebra.lmul R S) x)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
X₁ X₂ : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct X₁ X₂
inst✝ : PreservesLimit (pair X₁ X₂) (forget C)
x : (forget C).obj X₁ × (forget C).obj X₂
⊢ prod.fst ((prodEquiv X₁ X₂).symm x) = x.1
α : Type u_1
f : α → α
a : α
n : ℕ
b : α
⊢ b ∈ List.iterate f a n ↔ ∃ m < n, b = f^[m] a
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : 0 < c
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Set.Ico a b = Set.Ico (a / c) (b / c)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X : C
⊢ ((CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.functorObj A).obj X).comul = A.comul.app X
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
n : ℕ
x : α
⊢ (f ^ (n % orderOf (f.cycleOf x))) x = (f ^ n) x
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
r : R
⊢ Valued.v ↑r = v.valuation ↑r
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablyGenerated α
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (⋃ n, MeasurableSpace.countablePartition α n) = m
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose
⊢ orderOf hμ.toRootsOfUnity = orderOf ↑↑hμ.toRootsOfUnity
K : Type u_1
Field K
NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ ‖x‖₊ = Finset.univ.sup fun w => ⟨(NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) x, ⋯⟩
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ M = loopyOn E ↔ M.E = E ∧ ∀ X ⊆ M.E, M.Indep X → X = ∅
R : Type u
Field R
p : R[X]
hp : Irreducible p
⊢ 0 < p.degree
b : ℂ
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
FiniteDimensional ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : V
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ)) MeasureTheory.volume
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
⊢ Module.rank R M ≤ Module.rank R (M ⧸ M')
J : Type w
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
X Y : C
b : Bicone (pairFunction X Y)
⊢ b.ι WalkingPair.left ≫ b.π WalkingPair.left = 𝟙 X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
h₁ : autoParam (∀ i ∈ s, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
h₂ : autoParam (∀ i ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
bddsup : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup' hs fun i => F i a
⊢ limsup (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f ≤ s.sup' hs fun i => limsup (F i) f
α : Type u_1
EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : Set.MapsTo f s s
hfs : ContractingWith K (Set.MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
t : Set α
htc : IsComplete t
htf : Set.MapsTo f t t
hft : ContractingWith K (Set.MapsTo.restrict f t t htf)
y : α
hyt : y ∈ t
hy : edist y (f y) ≠ ⊤
hxy : edist x y ≠ ⊤
⊢ ContractingWith.efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx = ContractingWith.efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
z : S
w w' v : P
⊢ ((toLocalizationWithZeroMap M S).lift g.toMonoidWithZeroHom hg) z * w + w' = v ↔ g ((toLocalizationMap M S).sec z).1 * w + g ↑((toLocalizationMap M S).sec z).2 * w' = g ↑((toLocalizationMap M S).sec z).2 * v
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
J : Type
inst✝¹ : Fintype J
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
T : C
g : (j : J) → f j ⟶ T
j : J
⊢ ι f j ≫ desc g = ι f j ≫ ∑ j : J, π f j ≫ g j
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
Add ι
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
DirectSum.GNonUnitalNonAssocSemiring A
a b : DirectSum ι fun i => A i
⊢ ((DirectSum.mulHom A) a) b = a * b
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module A V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module K W
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0
⊢ Surjective ⇑(↑K f)
α : Type u_1
Div α
a b : Part α
hab : (a / b).Dom
⊢ b.Dom
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
ha : IsUnit a
hb : IsUnit b
⊢ IsUnit (a * b⁻¹)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 ≤ ε
⊢ Disjoint (closedBall x δ) (closedBall y ε) ↔ δ + ε < dist x y
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
hq0_lt : 0 < q
⊢ (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
p m n : ℕ
pp : Nat.Prime p
Hm : ¬p ∣ m
Hn : ¬p ∣ n
⊢ ¬p ∣ m * n
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
x₀ : X
U : Set X
U_cpct : IsCompact U
U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖uncurry f x‖) '' U ×ˢ s)
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (f x) (μ.restrict s)
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : CompleteLattice β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h : ∃ᶠ (a : α) in f, u a ≤ x
⊢ sSup {a | ∀ᶠ (n : α) in f, a ≤ u n} ≤ x
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : Algebra S K
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R K
inst✝¹ : IsFractionRing S K
inst✝ : IsScalarTower R S K
⊢ Algebra.IsAlgebraic R S ↔ Algebra.IsAlgebraic R K
α : Type u_1
⊢ FreeMonoid.toList 1 = []
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
⊢ ⊤.prod ⊤ = ⊤
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
A : Type u_4
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
CategoryTheory.HasShift D A
F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0
⊢ F.map ((CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C a b h).hom.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.commShiftIso b).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X))
      ((CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId D a b h).hom.app (F.obj X)))
R : Type u
Ring R
UnivLE.{v, w}
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{t, v, w, max (w + 1) u} (ModuleCat R)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
l : Filter α
a : α
hf : IsMinFilter f l a
g : β → γ
hg : Antitone g
⊢ IsMaxFilter (g ∘ f) l a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : OrderBot β
f : γ → α →ₛ β
s : Finset γ
a : α
⊢ ↑(s.sup f) a = s.sup fun c => ↑(f c) a
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
f : E →ₗᵢ[ℝ] F
u v : E
⊢ angle (f u) (f v) = angle u v
E : Type u_2
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
TopologicalAddGroup E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
t : Set E
x : E
LocallyConvexSpace ℝ E
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : x ∉ t
⊢ ∃ f u, f x < u ∧ ∀ b ∈ t, u < f b
α : Type u
Monoid α
u₁ u₂ : αˣ
h : ↑u₁ = ↑u₂
⊢ ↑u₁⁻¹ = ↑u₂⁻¹
R : Type u
S₁ : Type v
CommSemiring R
a : (MvPolynomial S₁ R)[X]
⊢ (MvPolynomial.optionEquivLeft R S₁).symm a = (Polynomial.aevalTower (MvPolynomial.rename some) (MvPolynomial.X none)) a
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
n : ℕ
⊢ filter p (n • 0) = n • filter p 0
a b c d : Ordinal.{u}
⊢ d < a ⨳ (b ⨳ c) ↔
  ∃ a' < a,
    ∃ b' < b,
      ∃ c' < c,
        d ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c') ≤ a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c')
M : Type u_1
Monoid M
s t : Set M
h : s ⊆ t
⊢ Monoid.Closure s ⊆ Monoid.Closure t
S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Nontrivial S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain S
inst✝³ : Module.Free ℤ S
inst✝² : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
E : Type u_2
inst✝¹ : EquivLike E S ↥I
inst✝ : AddEquivClass E S ↥I
e : E
hI : ¬I = ⊥
ι : Type u_1 := Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S
h✝ : Nonempty ι
⊢ (LinearMap.det (↑ℤ (Submodule.subtype I) ∘ₗ (↑e).toIntLinearMap)).natAbs = absNorm I
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
s₁ : C ≌ AsSmall C := AsSmall.equiv
s₂ : D ≌ AsSmall D := AsSmall.equiv
hF : ∀ (G : AsSmall D ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)), IsIso (colimit.pre G (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor))
s₃ : E ≌ AsSmall E := AsSmall.equiv
hFG : ∀ (G_1 : AsSmall E ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)), IsIso (colimit.pre G_1 ((s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))
_i : s₁.inverse ⋙ (F ⋙ G) ⋙ s₃.functor ≅ (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor := isoWhiskerLeft (s₁.inverse ⋙ F) (isoWhiskerRight s₂.unitIso (G ⋙ s₃.functor))
⊢ ∀ (G_1 : AsSmall E ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)), IsIso (colimit.pre G_1 (s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
P' : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
i : P ≅ P'
h : CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J P
⊢ CategoryTheory.Presieve.IsSheaf J P'
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f : α → β
hf : OmegaCompletePartialOrder.Continuous' f
⊢ Monotone f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
g : M' → M''
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
p : TangentBundle I M
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f p.proj)
hf : MDifferentiableAt I I' f p.proj
⊢ tangentMap I I'' (g ∘ f) p = tangentMap I' I'' g (tangentMap I I' f p)
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G ≃+ N
K : AddSubgroup G
x : N
⊢ x ∈ AddSubgroup.map f.toAddMonoidHom K ↔ f.symm x ∈ K
M : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
VAdd M α
VAdd M β
a : M
x : α ⊕ β
⊢ a +ᵥ x = Sum.map (fun x => a +ᵥ x) (fun x => a +ᵥ x) x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
a : ℕ
h : a ∈ Multiset.replicate (Fintype.card α - σ.support.card) 1
⊢ ¬2 ≤ a
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
ha : a ∈ s
sne : s.Nonempty
hsb : b ∈ upperBounds s
sbd : BddAbove s
c : B := sSup s
hsc : IsLUB s c
hc : c ∈ Icc a b
ec : Trivialization F TotalSpace.proj
hec : Icc a c ⊆ ec.baseSet
hlt : c < b
d : B
hdcb : d ∈ Ioc c b
hd : Ico c d ⊆ ec.baseSet
had : Ico a d ⊆ ec.baseSet
⊢ ∃ d ∈ Ioc c b, ∃ e, Icc a d ⊆ e.baseSet
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝ : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : ⋃ x ∈ T, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x)) = ⋃ x, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x))
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → ↑T → Set E := fun n z => {x | x ∈ s ∧ ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n), ‖f y - f x - (f' ↑↑z) (y - x)‖ ≤ ↑(r (f' ↑↑z)) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z
⊢ ∃ t A, (∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, t n ∧ (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))) ∧ (s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y)
R : Type u_1
Semiring R
u : Rˣ
x : R
⊢ (AddAut.mulRight u) x = x * ↑u
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).support = {k, m, n}