ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
M : Type u_5
N : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
M' : Type u_8
N' : Type u_9
MulOneClass M'
MulOneClass N'
mnmn : (M × N) × M' × N'
⊢ (MulEquiv.prodProdProdComm M N M' N') mnmn = ((mnmn.1.1, mnmn.2.1), mnmn.1.2, mnmn.2.2)
α : Type u_1
DecidableEq α
m₁ m₂ : Multiset α
h : m₁ ≤ m₂
⊢ m₁.toEnumFinset ⊆ m₂.toEnumFinset
α : Type u
n : ℕ
t : Set α
⊢ Cardinal.mk ↑t ≤ ↑n ↔ ∀ (s : Finset α), ↑s ⊆ t → s.card ≤ n
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
⊢ (aevalTower (Polynomial.aeval (X none)) fun i => X (Option.some i)).comp (aeval fun o => o.elim (C Polynomial.X) X) = AlgHom.id R (MvPolynomial (Option S₁) R)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Precoherent C
X : C
α : Type
Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : CategoryTheory.EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
∀ (a : α), Finite (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), CategoryTheory.EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
⊢ CategoryTheory.EffectiveEpiFamily (fun c => Y_n c.fst c.snd) fun c =>
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (π_n c.fst c.snd) (π c.fst)
α : Type u_2
Mul α
f : Filter α
⊢ f * ⊥ = ⊥
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
p : Submodule R M
f : M₂ →ₛₗ[τ₂₁] M
hf : ∀ (c : M₂), f c ∈ p
⊢ comap f ⊥ = ker f
α : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
n : ℤ
hn : 0 < n
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x ^ n) Filter.atTop Filter.atTop
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
hf : BddAbove (Set.range f)
g : Cardinal.{v} → Cardinal.{max v w}
⊢ BddAbove (Set.range (g ∘ f))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ (a ⇨ b) ⊓ a = b ⊓ a
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ a b : A
h : a * b = 1
⊢ D a + a ^ 2 • D b = 0
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
K m n : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
w : m → K
v : n → K
a✝ : Nontrivial K
⊢ Module.rank K (Fin 1 → K) = 1
K : Type u_2
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ NumberField.InfinitePlace.mk w.embedding = w
α : Type u
s : Stream' α
⊢ s.even.tail = s.tail.tail.even
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x : PrimeSpectrum R
⊢ x ∈ imageOfDf f ↔ x ∈ ⇑(PrimeSpectrum.comap C) '' (zeroLocus {f})ᶜ
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
g : ℝ → F
a : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ), g (x / a) = |a| • ∫ (y : ℝ), g y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
f : Filter α
hp : ∃ᶠ (x : α) in f, p x
⊢ ∃ x, p x
x : ℂ
⊢ Complex.cos (↑Real.pi - x) = -Complex.cos x
b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ Summable fun n => |↑n| ^ (-b)
m : Type u_2
α : Type v
Semiring α
StarRing α
Fintype m
M : (Matrix m m α)ᵐᵒᵖ
⊢ (Matrix.conjTransposeRingEquiv m α).symm M = (MulOpposite.unop M)ᴴ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ t • x ∈ s
x : ℝ
⊢ 1 < Real.exp x ↔ 0 < x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ∃ U ∈ 𝓝[≠] x, Disjoint U s
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
SMul M α
MeasurableSMul M α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure M α μ
c : Mᵈᵐᵃ
b : β
⊢ c • MeasureTheory.AEEqFun.const α b = MeasureTheory.AEEqFun.const α b
F : Type u_1
E : Type u_2
Field F
Field E
Algebra F E
Finite (IntermediateField F E)
⊢ Algebra.IsAlgebraic F E
k : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a b : E
r r' : k
h : r < r'
⊢ (AffineMap.lineMap a b) r < (AffineMap.lineMap a b) r' ↔ a < b
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
I J : HasZeroMorphisms C
w : ∀ (X Y : C), Zero.zero = Zero.zero
this : zero = zero
⊢ I = J
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0
⊢ SameRay R x (AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1) ∨ SameRay R x (-AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K✝ : ℝ≥0
s t : Set α
f : α → β
hf : LocallyLipschitzOn t f
h : s ⊆ t
x : α
hx : x ∈ s
K : ℝ≥0
u : Set α
hu : u ∈ 𝓝[t] x
hfu : LipschitzOnWith K f u
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
P : Prop
Q : P → Prop
R : ¬P → Prop
Decidable P
⊢ dite P Q R ↔ (∀ (h : P), Q h) ∧ ∀ (h : ¬P), R h
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Inf β
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ ↑(f ⊓ g) = ↑f ⊓ ↑g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
⊢ Tendsto (fun m => ((κ a) (univ ×ˢ seq m)).toReal) atTop (𝓝 ((κ a) univ).toReal)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
self : G.IsCoverDense K
U : D
⊢ CategoryTheory.Sieve.coverByImage G U ∈ K.sieves U
F : Type u_2
E : Type u_3
CommRing F
Ring E
Algebra F E
⊢ Module.rank F ↥⊤ = Module.rank F ↥⊤
a b : USize
h : 0 < b
⊢ a % b < b
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
(i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
i : Fin (n + 1)
x : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
q₁ q₂ : (j : Fin (n + 1)) → α j
⊢ i.insertNth x p ∈ Set.Icc q₁ q₂ ↔
  x ∈ Set.Icc (q₁ i) (q₂ i) ∧ p ∈ Set.Icc (fun j => q₁ (i.succAbove j)) fun j => q₂ (i.succAbove j)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : N →+ P
f₂ : M →+ N
⊢ (⇑f ∘ ⇑f₂) 0 = 0
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
N : Submodule R S
n : ↥N
⊢ N.lTensorOne' (1 ⊗ₜ[R] n) = n
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
m : ℕ
hm : m < hf.toFinset.card
n : ℕ
hn : n < hf.toFinset.card
h : m < n
⊢ nth p m < nth p n
M : Type u_2
AddZeroClass M
S₁ S₂ : AddSubmonoid M
⊢ (S₁ ⊓ S₂).op = S₁.op ⊓ S₂.op
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : OpenEmbedding ⇑f
H₂ : OpenEmbedding ⇑g
e_2✝ : ↑((cospan f g).obj WalkingCospan.one) = ↑S
⊢ ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.right ≫ (cospan f g).map WalkingCospan.Hom.inr) = ⇑(pullback.snd f g ≫ g)
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ nndist ((AffineMap.homothety p₁ c) p₂) p₁ = ‖c‖₊ * nndist p₁ p₂
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
⊢ cos (angle x y) = 1 ↔ angle x y = 0
θ : Angle
⊢ θ = -θ ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hMin : I ∈ minimalPrimes R
x : Localization I.primeCompl
⊢ (∀ (J : Ideal (Localization I.primeCompl)), J.IsPrime → x ∈ J) ↔ x ∈ LocalRing.maximalIdeal (Localization I.primeCompl)
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hf : MonotoneOn f (Icc x₀ (x₀ + ↑a))
⊢ ∑ i ∈ Finset.range a, f (x₀ + ↑i) ≤ ∫ (x : ℝ) in x₀..x₀ + ↑a, f x
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s (comap f μ)
⊢ NullMeasurableSet (f '' s) μ
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
⊢ (SimpleGraph.Walk.cons h p).reverse = p.reverse.append (SimpleGraph.Walk.cons ⋯ SimpleGraph.Walk.nil)
a b : Prop
⊢ a ∨ b → b ∨ a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : f.ker = ⊥
⊢ comap f (map f N) = N
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : Type w
f : J → C
inst✝⁶ : HasProduct f
D : Type t
inst✝⁵ : Category.{r, t} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
F : C ⥤ D
inst✝³ : PreservesLimit (Discrete.functor f) F
inst✝² : HasProduct fun j => F.obj (f j)
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan (forget D)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun b => F.obj (f b)) (forget D)
x y : (forget D).obj (F.obj (∏ᶜ f))
h : ∀ (i : J), (F.map (Pi.π f i)) x = (F.map (Pi.π f i)) y
j : J
⊢ ((forget D).map (piComparison F f) ≫ (forget D).map (limit.π (Discrete.functor fun b => F.obj (f b)) { as := j })) x = ((forget D).map (piComparison F f) ≫ (forget D).map (limit.π (Discrete.functor fun b => F.obj (f b)) { as := j })) y
α : Type u_1
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
⊢ Set.Sized r ↑(𝒜 # r)
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : r ≤ 1
⊢ Int.log b r = -↑(Nat.clog b ⌈r⁻¹⌉₊)
x y : Nat
h₁ : ¬x.blt y = true
h₂ : ¬y.blt x = true
⊢ x = y
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p : R[X]
h : p.Monic
⊢ Irreducible p ↔ Irreducible (Polynomial.map (algebraMap R K) p)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π
⊢ ∠ p1 p3 p2 + ∠ p1 p3 p4 = π
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
α : Type u_1
g : GenContFract α
n : ℕ
gp : GenContFract.Pair α
s_nth_eq : g.s.get? n = some gp
⊢ g.partDens.get? n = some gp.b
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
W : C
f : ULift.{u₁, v} (W ⟶ CategoryTheory.Limits.limit F)
⊢ (CategoryTheory.Limits.limit.homIso F W).hom f =
  (CategoryTheory.Functor.const J).map f.down ≫ (CategoryTheory.Limits.limit.cone F).π
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
⊢ ((hasseDeriv k) f).coeff n = ↑((n + k).choose k) * f.coeff (n + k)
E' : Type u_1
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace ℝ E'
FiniteDimensional ℝ E'
⊢ lipschitzExtensionConstant E' =
  let A := (Basis.ofVectorSpace ℝ E').equivFun.toContinuousLinearEquiv;
  max (‖↑A.symm‖₊ * ‖↑A‖₊) 1
s : Finset ℕ
m : ℕ
⊢ m ∈ Nat.factoredNumbers s ↔ ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ m → p ∈ s
α : Type u_1
G : Type u_2
ι : Type u_3
Group G
UniformSpace G
UniformGroup G
p : ι → Prop
b : ι → Set G
h : (𝓝 1).HasBasis p b
⊢ (𝓝 1).HasBasis p fun i => {f | ∀ (x : α), UniformFun.toFun f x ∈ b i}
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ ￢a \ b = ￢b \ a
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hiμ : (cyclotomic i K).IsRoot μ
hio : i ∣ orderOf μ
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
f : α → β
h : s ∩ t = ∅
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
⊢ f '' s ∩ f '' t = ∅
G : Type u_1
Group G
ι : Sort u_5
p : ι → Subgroup G
⊢ ⨆ i, p i = Subgroup.closure (⋃ i, ↑(p i))
G : Type u_1
X : Type u_2
AddGroup G
AddAction G X
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
h_proper : ProperVAdd G X
T2Space G
⊢ T2Space X
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F G : CategoryTheory.Functor A B
H I : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
X : A × C
⊢ (CategoryTheory.NatTrans.prod α β).app X = (α.app X.1, β.app X.2)
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
c : 𝕜
f : ↥(lpMeas F 𝕜 m p μ)
⊢ StronglyMeasurable (c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f))
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f ↔ 0 ≤ f
α : Type u_1
MetricSpace α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ s.infsep = 0 ↔ s.Subsingleton
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
ι : Type u_2
Fintype ι
b : ι → M
⊢ Set.finrank R (Set.range b) ≤ Fintype.card ι
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s
k : Type u₁
G : Type u₂
Monoid G
CommSemiring k
V : Type u₃
W : Type u₄
AddCommMonoid V
Module k V
Module (MonoidAlgebra k G) V
IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
AddCommMonoid W
Module k W
Module (MonoidAlgebra k G) W
IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
f : V →ₗ[k] W
h : ∀ (g : G) (v : V), f (MonoidAlgebra.single g 1 • v) = MonoidAlgebra.single g 1 • f v
v : V
⊢ (MonoidAlgebra.equivariantOfLinearOfComm f h) v = f v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → α
H : ∀ (x : α), f x = x
o : Part α
⊢ map id o = o
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
ContinuousMul G₀
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f : X → G₀
hf : Continuous f
m : ℤ
h0 : ∀ (a : X), f a ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
⊢ Continuous fun x => f x ^ m
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : f' ≤ 0
⊢ Antitone f
n : ℕ
hn : 2 ≤ 2 + n
⊢ fib (2 + n) < fib (2 + n + 1)
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
x : ↑X.toTopCat
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (𝟙 X) x = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.permutations.length = l.length !
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
R1Space X
TopologicalSpace Y
MeasurableSpace Y
BorelSpace Y
R1Space Y
μ : MeasureTheory.Measure X
ν : MeasureTheory.Measure Y
μ.InnerRegularCompactLTTop
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ν
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
Fact (1 ≤ p)
Z : Type u_5
TopologicalSpace Z
f : Z → ↥(MeasureTheory.Lp E p ν)
g : Z → C(X, Y)
s : Set Z
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
hgm : ∀ (z : Z), MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(g z)) μ ν
hp : p ≠ ⊤
⊢ ContinuousOn (fun z => (MeasureTheory.Lp.compMeasurePreserving ⇑(g z) ⋯) (f z)) s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
f : M → M'
x : M
s : Set M
⊢ ContMDiffWithinAt (I.transDiffeomorph e) I' n f s x ↔ ContMDiffWithinAt I I' n f s x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : EDist α
x y : α
s t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype ↑s
⊢ s.einfsep = s.offDiag.toFinset.inf (uncurry edist)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
⊢ ∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), (x * y).coeff (n + 1) = x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y)
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
v : M
⊢ (∀ (l : ℕ →₀ R), (l.sum fun i a => a • (f ^ i) v) = 0 → l = 0) ↔ ∀ (q : AddMonoidAlgebra R ℕ), ({ toFinsupp := q }.sum fun n b => b • (f ^ n) v) = 0 → q = 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f : End F
A : PointedGaloisObject F
⊢ (limit.π (incl F ⋙ (F ⋙ FintypeCat.incl) ⋙ uliftFunctor.{u₁, u₂}) A ((colimitCoyonedaHomIsoLimit' (incl F) (F ⋙ FintypeCat.incl)).hom ((colimit.isoColimitCocone { cocone := cocone F, isColimit := isColimit F }).hom ≫ ((FullyFaithful.ofFullyFaithful FintypeCat.incl).whiskeringRight C).homEquiv f))).down = f.app A.obj A.pt
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α
⊢ ¬IsCyclic α ↔ exponent α = p
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ s ∈ μ.cofinite ↔ μ sᶜ < ⊤
α : Type u_1
LE α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
ht : IsLowerSet t
⊢ IsUpperSet (s \ t)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℤ
h : ↑p ∣ k ^ 2
⊢ p ∣ k.natAbs
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
AddCommMonoid α
g : γ → β
hg : Function.Injective g
f : β → α
hf : ∀ x ∉ Set.range g, f x = 0
⊢ Filter.map (fun s => ∑ i ∈ s, f (g i)) Filter.atTop = Filter.map (fun s => ∑ i ∈ s, f i) Filter.atTop
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
M : Matrix p p 𝕜
e : p ≃ n
L₀ L₀' : List (TransvectionStruct n 𝕜)
D₀ : n → 𝕜
h₀ : (List.map toMatrix L₀).prod * (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀
this : M = (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e.symm) ((reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M)
⊢ (reindex e.symm e.symm) (List.map toMatrix L₀).prod * (reindex e.symm e.symm) ((reindex e e) M) * (reindex e.symm e.symm) (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal (D₀ ∘ ⇑e)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
h : MDifferentiableAt I I' f x
hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x
⊢ mfderivWithin I I' f s x = mfderiv I I' f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
J : Type
Fintype J
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
f g : J → C
h : (j : J) → f j ⟶ g j
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.map h =
  ∑ j : J, CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j ≫ h j ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.ι g j
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
Zero β
MeasurableSingletonClass β
hf : Measurable f
⊢ MeasurableSet (Function.support f)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
L S : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLawson α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
h : IsLowerSet s
⊢ IsLowerSet s ∧ DirSupClosed s ↔ DirSupClosed s
F : Type u_1
AddCommGroup F
Module ℝ F
TopologicalSpace F
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
s : Set E
L : E ≃ᵃL[ℝ] F
⊢ AmpleSet (⇑L '' s) ↔ AmpleSet s
α : Type u
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
U : Set α
I : Set ι
I_fin : I.Finite
V : ↑I → Set α
hV : ∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i
hU : ⋂ i, V i ⊆ U
⊢ U ∈ ⨅ i, s i
α : Type u_1
b : Bool
a : Lists α
l : Lists' α b
⊢ a ∈ l ↔ ∃ a' ∈ l.toList, a ~ a'
α : Type u_1
CompleteSemilatticeSup α
s : Set α
a : α
⊢ a ≤ sSup s ↔ ∀ b ∈ upperBounds s, a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Injective f
g : α → γ
g' : β → γ
⊢ Set.range (Function.extend f g g') = Set.range g ∪ g' '' (Set.range f)ᶜ
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
x : P
h : ∀ (o : Set P), IsOpen o → x ∈ o → (o ∩ s).Nonempty
⊢ ∀ (o : Set ↥(affineSpan 𝕜 s)), IsOpen o → ⟨x, ?h.refine_3⟩ ∈ o → (o ∩ Subtype.val ⁻¹' s).Nonempty
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F H K : CategoryTheory.Functor C C
β : H ⟶ K
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft F β).app X = β.app (F.obj X)
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hgt₂ : b < 0
⊢ a = 0 ∨ b = 0
α : Type u_2
r : α → α → Prop
⊢ ∅.PartiallyWellOrderedOn r
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
H : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
x : ↑Γ(X, V)
⊢ U ⊓ X.basicOpen x = ⊥ → X.basicOpen x = ⊥
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
f_cont : Continuous f
⊢ IsOpen (closure U)
M : Type u_4
AddZeroClass M
self : AddSubmonoid M
⊢ 0 ∈ self.carrier
x y : ℝ
hxy : x < y
⊢ Metric.closedBall ((x + y) / 2) ((y - x) / 2) ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt x
a : ℂ
r : ℝ
ha : 0 < a.re
hr : 0 < r
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (a - 1) * cexp (-(↑r * ↑t)) = (1 / ↑r) ^ a * Gamma a
n : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ n
⊢ (δ * fun n_1 => χ ↑n_1) = δ
X : Type u_1
Y : Type u_2
p : X → Prop
q : Y → Prop
e : X ≃ Y
h : ∀ (x : X), p x ↔ q (e x)
⊢ ⇑(e.subtypeEquiv h) = Subtype.map ⇑e ⋯
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
hi : Irreducible f
h : f.natSepDegree = 1
⊢ ∃ n y, (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = X ^ q ^ n - C y
α : Type u
TopologicalSpace α
f : BoundedContinuousFunction α ℝ
⊢ ⇑f.nnnorm = nnnorm ∘ ⇑f
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J
⊢ ((limit.lift (X ⊗ Y) { pt := limit X ⊗ limit Y, π := { app := fun j => limit.π X j ⊗ limit.π Y j, naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit Z)) ≫ limit.lift ((X ⊗ Y) ⊗ Z) { pt := limit (X ⊗ Y) ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π (X ⊗ Y) j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } } ≫ limMap (α_ X Y Z).hom) ≫ limit.π (X ⊗ Y ⊗ Z) j = ((α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ limit.lift (X ⊗ Y ⊗ Z) { pt := limit X ⊗ limit (Y ⊗ Z), π := { app := fun j => limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j, naturality := ⋯ } }) ≫ limit.π (X ⊗ Y ⊗ Z) j
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Algebra ℝ≥0 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : ContinuousSMul ℝ≥0 𝕜
⊢ 0 = (algebraMap ℝ≥0 𝕜) 0