ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set Mᵐᵒᵖ
⊢ sInf {a | s ⊆ MulOpposite.unop ⁻¹' ↑a} = sInf {S | MulOpposite.op ⁻¹' s ⊆ ↑S}
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ω : Ω
M : ℕ
hNM : N ≤ M
h : MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n ω < N
⊢ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f M n ω = MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω ∧
  MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f M n ω = MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n ω
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
g : β →ₛ ℝ≥0∞
ν : Measure β
H : ∀ (y : ℝ≥0∞), μ (↑f ⁻¹' {y}) = ν (↑g ⁻¹' {y})
⊢ ∑ x ∈ f.range, x * μ (↑f ⁻¹' {x}) = ∑ x ∈ g.range, x * μ (↑f ⁻¹' {x})
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁷ : Ring 𝕜
inst✝⁶ : Ring 𝕜₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f✝ : E →ₛₗ[σ] F
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair σ₂₁ σ
a : ℝ
ha : 0 < a
f : E ≃ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (x : E), ‖f x‖ = a * ‖x‖
y : F
⊢ ‖f.symm y‖ = a⁻¹ * ‖y‖
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : R
e : α ^ n = a
hn : n > 0
⊢ nthRoots n a = Multiset.map (fun x => ζ ^ x * α) (Multiset.range n)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
m : (i : ι) → MeasureTheory.OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : (Set.univ.pi s).Nonempty
⊢ MeasureTheory.piPremeasure m (Set.univ.pi s) = ∏ i : ι, (m i) (s i)
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ ↑(-1) < ↑a ∧ ↑a < ↑(1 + ↑b)
s : Set ℝ
h : BddBelow s
h' : s.Nonempty
a : ℝ
⊢ (∀ (ε : ℝ), 0 < ε → sInf s < a + ε) ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x ∈ s, x < a + ε
x y : ℂ
⊢ sin (x * I) = sinh x * I
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology
⊢ (K.sc' i j k).iCycles ≫ ((natIsoSc' C c i j k hi hk).inv.app K).τ₂ = (K.sc' i j k).iCycles
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → Finset ι
f : ι → α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint fun i => (g i).sup f
hg : ∀ i' ∈ s, (↑(g i')).PairwiseDisjoint f
⊢ (⋃ x ∈ ↑s, ↑(g x)).PairwiseDisjoint f
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝⁹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝³ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι' : Type u_5
inst✝² : Fintype ι'
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
z : PiLp p fun x => E
⊢ (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft p 𝕜 E e).symm z = (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft p 𝕜 E e.symm) z
a b : Prop
ha : ¬a
hb : ¬b
⊢ ¬(a ∨ b)
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hf : ¬MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ι a b))
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s : AList β
⊢ (AList.insert a b s).entries = ⟨a, b⟩ :: List.kerase a s.entries
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝¹ y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
x y : ι → ℝ
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ nndist ((x ⊓ y) i) ((x ⊔ y) i) = nndist (x i) (y i)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
⊢ D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ (D.U i).presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ (D.U i).presheaf.map ((opensFunctor (D.f i i)).op.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ eqToHom ⋯)) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s✝ t✝ : Set α
x✝ y z : α
s t : Set α
x : α
⊢ (s ∩ t).ordConnectedComponent x = s.ordConnectedComponent x ∩ t.ordConnectedComponent x
α : Type u
f : Ultrafilter α
s : Set α
⊢ s ∈ f ∨ sᶜ ∈ f
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
r : R
⊢ x.fst •> 0 + x.snd <• r = x.snd <• r
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
h : f ≠ 0
⊢ f.eraseLead.support.card < f.support.card
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hcst : μ[|s] t ≠ 0
⊢ 0 < μ (s ∩ t)
α : Type u_1
a b : Topology.WithLowerSet α
⊢ Topology.WithLowerSet.ofLowerSet a = Topology.WithLowerSet.ofLowerSet b ↔ a = b
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ MDifferentiable I 𝓘(𝕜, E) ↑I
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
x✝ : Fin (n + 1)
⊢ x✝ ∈ ↑(Iio (last n)) ↔ x✝ ∈ ↑(map castSuccEmb univ)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
⊢ (⨆ x ∈ s, infEdist x t) ⊔ ⨆ y ∈ t, infEdist y s = (⨆ y ∈ t, infEdist y s) ⊔ ⨆ x ∈ s, infEdist x t
α : Type u_2
DecidableEq α
Group α
s t : Finset α
⊢ 1 ∈ s / t ↔ ¬Disjoint s t
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
L.IsCountablyGenerated
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
c : ℝ≥0
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0
fs_bdd : ∀ᶠ (i : ι) in L, ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (fs i) ω ≤ c
fs_lim : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Filter.Tendsto (fun i => (fs i) ω) L (𝓝 (E.indicator (fun x => 1) ω))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂μ) L (𝓝 (μ E))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
G : CategoryTheory.Functor D C
iso : e.inverse ≅ G
⊢ (e.changeInverse iso).inverse = G
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
x₀ : G
h : HasCompactSupport fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
u : G ≃ₜ G := (Homeomorph.neg G).trans (Homeomorph.addRight x₀)
v : G ≃ₜ G := (Homeomorph.neg G).trans (Homeomorph.addLeft x₀)
⊢ AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => ↑(toAddUnits x₀) - t) (μ.restrict (tsupport fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t)))))
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ Ioc a b = ∅ ↔ ¬a < b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
D : CategoryTheory.Functor J T.Algebra
c : CategoryTheory.Limits.Cone (D.comp T.forget)
X : J
⊢ (CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesLimits.newCone D c).π.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (T.map (c.π.app X)) (D.obj X).a
g✝ : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
this✝ : Nonempty { g // ↑g 1 = cd }
g : { g // ↑g 1 = cd }
hg : ∀ (a : { g // ↑g 1 = cd }), |(↑g • z).re| ≤ |(↑a • z).re|
g1 : SL(2, ℤ)
hg1 : ↑↑g 1 = ↑g1 1
this : g1 ∈ (fun g => ↑g 1) ⁻¹' {cd}
⊢ |(↑g • z).re| ≤ |(g1 • z).re|
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.Mono T.mor₁
⊢ T.mor₃ = 0
α : Type u
Inhabited α
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).head! = a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
⊢ Irreducible (↑a * b) ↔ Irreducible b
w : Nat
x : BitVec w
r i : Nat
hr : r < w
⊢ (x.rotateLeft r).getLsb i = bif decide (i < r) then x.getLsb (w - r + i) else decide (i < w) && x.getLsb (i - r)
α : Type u
l✝ l' l : List α
hn : l.Nodup
⊢ l.cyclicPermutations.Nodup
⊢ Real.sin (Real.pi / 8) = √(2 - √2) / 2
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hUAB : ⋃ x ∈ A, ball x (id U) ⊆ Bᶜ
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ⊆ U
x : α
⊢ (∃ i, ∃ (_ : i ∈ A), x ∈ ball i V) → ¬∃ i, ∃ (_ : i ∈ B), x ∈ ball i V
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α✝
x✝ y✝ : α✝
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hfx : f x ≠ x
hffx : f (f x) = x
y z : α
hz : f z ≠ z ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle z y
i : ℤ
hi : (f ^ i) z = x
hyx : ¬y = x
hfyx : ¬y = f x
hy : ¬f y = y
j : ℤ
hj : (f ^ (j - i)) x = y
hji : (f ^ (j - i)) x = f x
⊢ False
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ s t : Set X
hs : IsClosed s
h : s ⊆ t
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcov : ⋃ n, K n = t
⊢ ⋃ n, (fun n => s ∩ K n) n = s
m e : Nat
⊢ Rat.ofScientific m true e = mkRat (↑m) (10 ^ e)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct P Q
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct Q P
⊢ (CategoryTheory.Limits.prod.braiding P Q).hom ≫ (CategoryTheory.Limits.prod.braiding Q P).hom = 𝟙 (P ⨯ Q)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
⊢ ∀ (a : PrimeSpectrum R) (u : Set (PrimeSpectrum R)), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ Set.range fun r => ↑(basicOpen r), a ∈ v ∧ v ⊆ u
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
G H : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct G H
⊢ CategoryTheory.IsCoseparator (G ⨯ H) ↔ CategoryTheory.IsCoseparating {G, H}
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y R₁ R₂ : Set α
M : Matroid α
hR : R₂ ⊆ R₁
⊢ ∀ I ⊆ R₂, I ⊆ R₂ → M.Indep I → I ⊆ R₁
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f g : R[M]
ihf : ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => of' R M ↑s) a = f
ihg : ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => of' R M ↑s) a = g
⊢ ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => of' R M ↑s) a = f + g
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
s : Set α
hsf : s ∈ ⊤
hs : IntegrableOn f s μ
⊢ Integrable f μ
a : UnitAddCircle
⊢ (HurwitzZeta.hurwitzOddFEPair a).k = 3 / 2
α : Type u_1
β : Type u_4
PartialOrder α
PartialOrder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
x : α
⊢ u (l.toFun x) ∈ l.closed
x y : ℝ
f g : Cauchy abs
⊢ { cauchy := f / g } = { cauchy := f } / { cauchy := g }
x z : ℝ
hx1 : 0 < x
hx2 : x < 1
hz : z < 0
⊢ 1 < x ^ z
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]
⊢ a.re * b.re + -1 * a.imI * b.imI + -1 * a.imJ * b.imJ - -1 * -1 * a.imK * b.imK = a.re * b.re - a.imI * b.imI - a.imJ * b.imJ - a.imK * b.imK
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
f : α → β
h₁ : Set.MapsTo f s₁ t₁
h₂ : Set.BijOn f s₂ t₂
h₃ : s₂ ∩ f ⁻¹' t₁ ⊆ s₁
⊢ Set.BijOn f (s₁ ∩ s₂) (t₁ ∩ t₂)
i : ℕ
f g : ℕ → ℝ
h0 : ∀ (b : ℕ), 0 ≤ f b
h : ∀ (b : ℕ), f b ≤ g b
hi : f i < g i
hg : Summable g
⊢ ∑' (n : ℕ), f n < ∑' (n : ℕ), g n
z : ℝ
h : 0 < z
⊢ StrictMono fun x => x ^ z
K : Type u_3
DivisionMonoid K
HasDistribNeg K
a : K
⊢ 1 / -a = -(1 / a)
m : Type u_1 → Type u_2
α β ε : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
f : α → β
x : ExceptT ε m α
⊢ (f <$> x).run = Except.map f <$> x.run
X : FintypeCat
⊢ fintypeToFinBoolAlgOp.obj X = Opposite.op (FinBoolAlg.of (Set ↑X))
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
l : List α
a : α
⊢ count a l = count a (filter (fun b => decide (P b)) l) + count a (filter (fun x => decide ¬P x) l)
α : Type u
SemilatticeSup α
β : Type u_1
Preorder β
f g : α → β
hf : Monotone f
hg : Antitone g
h : f ≤ g
m n : α
⊢ f m ≤ g n
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → Set α
⊢ ⋃ i, f i.down = ⋃ i, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
hd : l.Nodup
n : ℕ
⊢ l.formPerm = (l.rotate n).formPerm
a : Int
b : Int
h : 0 ≤ b
⊢ a - b ≤ a
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
Invertible 2
p₁ p₂ : P
⊢ nndist p₁ (midpoint 𝕜 p₁ p₂) = ‖2‖₊⁻¹ * nndist p₁ p₂
L : Type v
M : Type w
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
x : L
m : M
n : ℕ
⊢ ⁅n • x, m⁆ = n • ⁅x, m⁆
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
f : α → β
φ : L[[↑A]].Formula α
x✝ : β → M
⊢ x✝ ∈ (fun g => g ∘ f) ⁻¹' setOf φ.Realize ↔ x✝ ∈ setOf (Formula.relabel f φ).Realize
R : Type u_1
CommRing R
P : Polynomial R
⊢ IsUnit P ↔ IsUnit (Polynomial.eval 0 P) ∧ IsNilpotent (P /ₘ Polynomial.X)
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ Function.Surjective ⇑e
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
⊢ (⋂₀ S)ᶜ = ⋃₀ (compl '' S)
R : Type u_1
Ring R
p : R[X]
hp : p.Monic
⊢ IsRegular p
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedRing 𝔹
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝² : CompleteSpace 𝔸
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F 𝔸 𝔹
inst✝ : RingHomClass F 𝔸 𝔹
f : F
hf : Continuous ⇑f
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ ∑' (b : ℕ), f ((↑b !)⁻¹ • x ^ b) = ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • f x ^ n
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x y : B
r : R
hr : (algebraMap R B) r * y = 1
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R B) (x * y) p = 0
⊢ IsIntegral R x
α : Type u
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty α
s : Set α
⊢ ¬BddAbove s → s.Infinite
a b : ℕ+
⊢ (PNat.XgcdType.start a b).IsSpecial
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b : A
⊢ ⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L a, L (a * b)⁆ + (⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ = ⁅L b, L (a * a)⁆ + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
hconn : G.Connected
p : G.Walk u v
hp : p.length = G.dist u v
⊢ G.dist u w ≤ G.dist u v + G.dist v w
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
y : X
⊢ JoinedIn {y} y y
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u
inst✝¹ : Finite α
κ : Type v
inst✝ : Finite κ
ι : Type
ιfin : Fintype ι
hι : ∀ (C : (ι → α) → ULift.{u, v} κ), ∃ l, IsMono C l
C : (ι → α) → κ
l : Line α ι
c : ULift.{u, v} κ
hc : ∀ (x : α), (ULift.up ∘ C) ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) = c
x : α
⊢ C ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) = c.down
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
⊢ a.natAbs ≤ b.natAbs ↔ a * a ≤ b * b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤
⊢ s = univ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
f : X → X
h : Continuous f
n : ℕ
⊢ Continuous f^[n]
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
SMul 𝕜 β
ContinuousConstSMul 𝕜 β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
c : 𝕜
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => c • f x
L : Type v
M : Type w
LieRing L
AddCommGroup M
LieRingModule L M
x : L
m : M
⊢ ⁅-x, m⁆ = -⁅x, m⁆
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁
y : F.obj j₃
hy : y ∈ F.eventualRange j₃
h₃ : F.map (f₃ ≫ f₂) y = F.map f₂ x
⊢ (F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁) ⟨x, hx⟩ ∈ range ((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁))
α : Type u
β : Type v
a : α
f : α → Stream'.Seq1 β
⊢ (Stream'.Seq1.ret a).bind f = f a
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, f' x < 0
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
⊢ deriv f x < 0
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Semiring 𝕜
AddCommGroup α
AddCommGroup β
x : WithLp p (α × β)
c : 𝕜
Module 𝕜 α
Module 𝕜 β
⊢ (c • x).2 = c • x.2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a < 1
hb : 1 ≤ b
this : (mabs (a * b) = a⁻¹ * b ↔ b ≤ 1) ↔ (mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1)
⊢ mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : MeasurableSpace E] [inst_1 : OpensMeasurableSpace E]
  [inst_2 : SecondCountableTopology E] {c : E} {f : α → E}, Measurable f → Measurable fun t => ⟪f t, c⟫_𝕜
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.LocallySmall.{w, v, u} C
⊢ ∀ {X Y Z : CategoryTheory.ShrinkHoms.{u} C} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z),
  f ≫ g =
    (equivShrink (X.fromShrinkHoms ⟶ Z.fromShrinkHoms))
      ((equivShrink (X.fromShrinkHoms ⟶ Y.fromShrinkHoms)).symm f ≫
        (equivShrink (Y.fromShrinkHoms ⟶ Z.fromShrinkHoms)).symm g)
K : Type u_1
S : Type u_2
Field K
CommRing S
Algebra K S
x : S
B : PowerBasis K S
hint : IsIntegral K x
hx : B.gen ∈ Algebra.adjoin K {x}
⊢ (B.ofGenMemAdjoin hint hx).gen = x
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s)
c : ℝ
f✝ g : ℕ → Bool
n✝ : ℕ
f : ℕ → Bool
n : ℕ
⊢ cantorFunctionAux c f (n + 1) = c * cantorFunctionAux c (fun n => f (n + 1)) n
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h₁ : f₁ =o[l] g
h₂ : f₂ =o[l] g
⊢ (fun x => f₁ x + f₂ x) =o[l] g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Add G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
⊢ Smooth (I.prod I) I fun p => p.1 + p.2
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
i : ι
p : π i → Prop
hf : p (f i)
hg : p (g i)
⊢ p (s.piecewise f g i)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0
hμ : 0 < (μ univ).toReal
H : ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
⊢ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < (μ univ).toReal * C
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
F : ι → Submodule 𝕜 E
∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(F i)
hFortho : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(F i)) fun i => (F i).subtypeₗᵢ
hFtotal : ⊤ ≤ (⨆ i, F i).topologicalClosure
⊢ IsHilbertSum 𝕜 (fun i => ↥(F i)) fun i => (F i).subtypeₗᵢ
f g : ℕ → ℂ
h : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = g n
s : ℂ
n : ℕ
⊢ term f s n = term g s n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : r ≺i s
g : s ≼i t
a : α
⊢ (f.ltLe g).toRelEmbedding a = g (f.toRelEmbedding a)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 0 < n
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F E
v : Fin n → F
A : univ = {c | 1 < c.length}.toFinset ∪ {Composition.single n hn}
⊢ (p.comp q n) v = ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, (p c.length) (q.applyComposition c v) + (p 1) fun x => (q n) v
α : Type u
β : Type v
PartialOrder β
l : Filter α
f g : α → β
⊢ f =ᶠ[l] g ↔ f ≤ᶠ[l] g ∧ g ≤ᶠ[l] f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_5
SemilatticeSup α
OrderBot α
SemilatticeSup β
OrderBot β
FunLike F α β
SupBotHomClass F α β
f : F
s : Finset ι
g : ι → α
⊢ f (s.sup g) = s.sup (⇑f ∘ g)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : X → Z
g : Y → Z
⊢ Continuous (Sum.elim f g) ↔ Continuous f ∧ Continuous g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
x : E × F
⊢ f.fpowerSeriesBilinear x 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 (E × F) G).symm (f.deriv₂ x)
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
FunLike F α β
AddMonoid α
AddMonoid β
AddMonoidHomClass F α β
f : F
l : List (Set α)
⊢ ⇑f '' l.sum = (List.map (fun s => ⇑f '' s) l).sum
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
hmn : m ≤ n
⊢ HasFTaylorSeriesUpTo m f p