ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
m n : ℕ∞
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (Function.uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffAt J I m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
  (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P Q : C × CategoryTheory.Functor C (Type v₁)
α : P ⟶ Q
β : (CategoryTheory.coyonedaPairing C).obj P
⊢ (CategoryTheory.coyonedaPairing C).map α β =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.coyoneda.map α.1.op) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp β α.2)
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
⊢ ⊤ ≤ ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hg : ConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
⊢ (⨍ (x : α), f x ∂μ, ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ g p.1 ≤ p.2}
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J
⊢ (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π Y j ⊗ limit.π Z j) = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j)
α β : Type u
α' β' : Type v
F : Type u → Type v → Type w
Bifunctor F
LawfulBifunctor F
h : α ≃ β
h' : α' ≃ β'
x : F α α'
⊢ (Bifunctor.mapEquiv F h h') x = bimap (⇑h) (⇑h') x
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
m : MeasureTheory.AddContent C
hC : MeasureTheory.IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ m s = ∑ i ∈ I, m i + ∑ i ∈ hC.diffFinset₀ hs hI, m i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : ¬(Finite p a ∧ Finite p b)
⊢ multiplicity p (a * b) = multiplicity p a + multiplicity p b
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
c d : Concept α β r
⊢ (c ⊔ d).toProd.1 = extentClosure r (c.toProd.2 ∩ d.toProd.2)
F : Type u_1
CommRing F
Algebra F ℝ
p : Polynomial F
⊢ Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) ≤ Fintype.card ↑((Polynomial.derivative p).rootSet ℝ) + 1
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ (enumFrom n l).unzip = (range' n l.length, l)
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
⊢ Nat.count p 0 = 0
n : Nat
⊢ range n = [] ↔ n = 0
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
K : Type w
L : Type z
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h₁ : Finite ↑S
h : Fintype ↑S
⊢ ∀ (A : Type u) (B : Type v) [inst : CommRing A] [inst_1 : CommRing B] [inst_2 : Algebra A B] [inst_3 : IsDomain B] [h₂ : IsCyclotomicExtension S A B], Module.Finite A B
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
s : Multiset R
⊢ s.prod ∈ I ↔ ∃ p ∈ s, p ∈ I
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x y z : E
hx : x ≠ z
hy : y ≠ z
hz : z ∈ [x-[𝕜]y]
⊢ z ∈ openSegment 𝕜 x y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₃.obj S = S.L₃
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
hg : ConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
h0 : μ t ≠ 0
ht : μ t ≠ ⊤
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, f x ∈ s
hfi : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
hgi : MeasureTheory.IntegrableOn (g ∘ f) t μ
⊢ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
⊢ 2 + 1 = 3
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : StrictOrderedSemiring α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x z : α
hz : 0 < z
hy1 : 1 < 1 + z
⊢ ∃ n, x < (z + 1) ^ n
x : ℤ[i]
⊢ ↑x.im = (GaussianInt.toComplex x).im
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
CategoryTheory.IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.inv f) h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id V) g)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.CategoryStruct.id V) h)
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
d : ℕ
h : d ≠ 0
n : ℕ
c : (↑n).natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
hd : ↑d ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hd' : d ≠ 0
e : a * d = n * b
⊢ ↑n * ↑b = ↑a * ↑d
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
m : M
x : ↥I
n : ↥N
hn : ⁅↑x, ↑n⁆ = m
⊢ ⁅↑x, ↑n⁆ ∈ ↑N
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
H : OpenEmbedding ⇑f
g : Y ⟶ S
⊢ ⇑(pullback.snd f g) = ⇑(pullback.map f g (𝟙 S) g f (𝟙 Y) (𝟙 S) ⋯ ⋯ ≫ (asIso (pullback.snd (𝟙 S) g)).hom)
x : ℝ
⊢ Real.toEReal '' Iio x = Ioo ⊥ ↑x
b a c : Nat
h : b ≤ a
⊢ a - b = c ↔ a = b + c
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f : X → Y
s : Set X
hgf : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn f s
⊢ IsLocalHomeomorphOn g (f '' s)
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
i' : ι
j' : ι'
⊢ ((b.smulTower c).repr (b (i, j).1 • c (i, j).2)) (i', j') = (single (i, j) 1) (i', j')
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
a : α
as : List α
⊢ List.elem a as = true ↔ a ∈ as
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x y : Associates R
⊢ ↑((associatesEquivIsPrincipal R) (x * y)) = ↑((associatesEquivIsPrincipal R) x) * ↑((associatesEquivIsPrincipal R) y)
n m : ℕ
a b : Fin n
⊢ a.castSucc < b.succ ↔ a ≤ b
α : Type u_1
AddGroup α
N : AddSubgroup α
s : Set α
⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' (QuotientAddGroup.mk '' s) = ⋃ x, (fun x_1 => x_1 + ↑x) ⁻¹' s
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p a : Associates α
hp : Irreducible p
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
a✝ : Nontrivial α
hph : p ^ n ≠ 0
ha : a ≠ 0
eq_zero_of_ne : ∀ (q : Associates α), Irreducible q → q ≠ p → q.count a.factors = 0
q : Associates α
hq : Irreducible q
⊢ q.count a.factors = p.count a.factors * q.count p.factors
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v✝ : K
n : ℕ
v : K
⊢ (match IntFractPair.stream v (Nat.succ 0) with | some x => some { a := 1, b := ↑x.b } | none => none) = (IntFractPair.stream v 1).bind (some ∘ fun p => { a := 1, b := ↑p.b })
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
g : G
X : LeftInvariantDerivation I G
f : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
⊢ ((LeftInvariantDerivation.evalAt g) X) f = (X f) g
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
s : Submonoid M
t : Submonoid N
⊢ s.prod t = ⊤ ↔ s = ⊤ ∧ t = ⊤
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
r : c.Rel i j
⊢ (C.xPrevIso r).inv ≫ C.dTo j = C.d i j
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
toMonoidHom✝¹ : R →* R'
map_nonunit'✝¹ : ∀ (a : R), ¬IsUnit a → (↑toMonoidHom✝¹).toFun a = 0
toMonoidHom✝ : R →* R'
map_nonunit'✝ : ∀ (a : R), ¬IsUnit a → (↑toMonoidHom✝).toFun a = 0
h : ∀ (a : R), { toMonoidHom := toMonoidHom✝¹, map_nonunit' := map_nonunit'✝¹ } a = { toMonoidHom := toMonoidHom✝, map_nonunit' := map_nonunit'✝ } a
⊢ toMonoidHom✝¹ = toMonoidHom✝
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ (fun x => p -ᵥ x) '' s ⊆ s -ᵥ s
α : Type u_2
Preorder α
s : Set α
Finite α
⊢ s.IsPWO
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape K C
E : K ⥤ J
⊢ CategoryTheory.Limits.lim.map α ≫ CategoryTheory.Limits.limit.pre G E =
  CategoryTheory.Limits.limit.pre F E ≫ CategoryTheory.Limits.lim.map (CategoryTheory.whiskerLeft E α)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
⊢ sx₁.circumcenter = sx₂.circumcenter
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β
b : β
hb : b ∈ f.range
⊢ g b * μ (↑(map g f) ⁻¹' {g b}) = ∑ x ∈ Finset.filter (fun c' => g c' = g b) f.range, g x * μ (↑f ⁻¹' {x})
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
p : α → Prop
q : β → Prop
h : p ≤₁ q
⊢ ComputablePred q → ComputablePred p
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
X Y : C
⊢ ⇑F.mapAddHom = F.map
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.reverse.next ⋯ x ⋯ = s.prev hs x hx
ι : Type u_1
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
⊢ 𝓤 ((i : ι) → α i) = ⨅ i, Filter.comap (fun a => (a.1 i, a.2 i)) (𝓤 (α i))
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P : TopCat.LocalPredicate T
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
x : ↥U
f : (TopCat.subsheafToTypes P).presheaf.obj (Opposite.op U)
⊢ TopCat.stalkToFiber P (↑x) ((TopCat.subsheafToTypes P).presheaf.germ x f) = ↑f x
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
b : ℝ
hb_neg : b < 0
s : Set α := {x | f x ≤ b}
⊢ μ {x | f x ≤ b} = 0
P : TopCat → Prop
CompHausLike.HasExplicitFiniteCoproducts P
self : CompHausLike.HasExplicitPullbacksOfInclusions P
X Y Z : CompHausLike P
f : Z ⟶ X ⨿ Y
⊢ CompHausLike.HasExplicitPullback CategoryTheory.Limits.coprod.inl f
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.342, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
⊢ (f ≫ g) ≫ 𝟙 X₃ = f ≫ g
n : ℕ
⊢ (hermite n).coeff n ≠ 0
α : Type u_1
LinearOrder α
a b x : α
h : a < b
⊢ Set.projIcc a b ⋯ x = ⟨b, ⋯⟩ ↔ b ≤ x
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f p : R[X]
a✝ : Nontrivial R
hp : p ≠ 0
⊢ (p * X).reverse = p.reverse
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
GroupWithZero α
DistribMulAction α A
a : α
ha : a ≠ 0
S : AddSubmonoid A
x : A
⊢ a • x ∈ a • S ↔ x ∈ S
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
h : spectrum ℂ a = ∅
H₀ : resolventSet ℂ a = Set.univ
H₁ : Differentiable ℂ fun z => resolvent a z
H₃ : resolvent a 0 = 0
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
N : E → ℝ
N_hom : ∀ (c : ℝ), 0 < c → ∀ (x : E), N (c • x) = c * N x
N_add : ∀ (x y : E), N (x + y) ≤ N x + N y
hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x
s : ConvexCone ℝ (E × ℝ) := { carrier := {p | N p.1 ≤ p.2}, smul_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯ }
⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ N x
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
Countable ι
⊢ MeasurableSet (BoxIntegral.Box.Icc I)
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
ι : Sort u_1
rb : β → β → Prop
g : α → β
f : ι → α
hg : ∀ ⦃x y : α⦄, r x y → rb (g x) (g y)
hf : Directed r f
⊢ Directed rb (g ∘ f)
R : Type u_2
CommSemiring R
φ ψ : Polynomial R
⊢ ↑φ = ↑ψ ↔ φ = ψ
x : ℝ
⊢ (Complex.log ↑x).re = Real.log x
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c : C
γ : c ⟶ c
hγ : γ ∈ S.arrows c c
⊢ 𝟙 c = γ ≫ Groupoid.inv γ
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
s : S
z : ↑((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).obj Y)
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
⊢ (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (s • z) = (RingHom.id S) s • (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) z
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : u.r = 0
hs : x✝.IsSpecial
⊢ x✝.reduce.IsSpecial
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s t : Set α
a b : α
f : ι → α
⊢ ∀ x ∈ ⋃ i, Iic (f i), ∃ y ∈ range fun i => f i, x ≤ y
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E
⊢ (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x) = ↑((↑j).extend I) x
f : ArithmeticFunction ℕ
x : ℕ
⊢ (f * ArithmeticFunction.zeta) x = ∑ i ∈ x.divisors, f i
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α
f : α → β
hf : ∀ (a : α), ‖f a‖ = ‖a‖
⊢ ‖A.map f‖ = ‖A‖
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
α : Type u_3
AddRightCancelSemigroup α
One α
K : HomologicalComplex (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) (ComplexShape.up α)
i j : α
⊢ ((CategoryTheory.Idempotents.karoubiCochainComplexEquivalence C α).inverse.obj K).X.d i j = (K.d i j).f
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
H : G.Subgraph
v : V
⊢ H = G.singletonSubgraph v ↔ H.verts = {v}
x : ℝ
⊢ (↑(Set.projIcc 0 1 ⋯ x)).smoothTransition = x.smoothTransition
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
Nontrivial R
x : R
⊢ WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.XClass W x ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
DecidableEq α
DecidableEq β
⊢ Finset.image₂ f (s ∪ s') (t ∩ t') ⊆ Finset.image₂ f s t ∪ Finset.image₂ f s' t'
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ (OfNat.ofNat n).card = OfNat.ofNat n
α : Type u_1
X : α → Type u_11
⊢ Set.univ = ⋃ a, Set.range (Sigma.mk a)
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
AddCommGroup M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
x : (i : ι) → M₁ i
i : ι
v : M₁ i
⊢ f (Function.update x i v) = f x - f (Function.update x i (x i - v))
α : Type u_1
M₀ : Type u_7
CommMonoidWithZero M₀
f : α → M₀
x : α
hx : f x = 0
hf : (Function.mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (x : α), f x = 0
a b : Prop
h : a ↔ b
⊢ b ↔ a
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e'✝ : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : PartialHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑e'.symm ⁻¹' s
hxs : x ∈ s
⊢ ∃ e ∈ G, EqOn (f ∘ ↑e'.symm) (↑e.toPartialEquiv) (↑e'.symm ⁻¹' s ∩ e.source) ∧ ↑e' x ∈ e.source
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
Field F
Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (Cubic.map φ P).roots = {x, y, z}
⊢ φ P.d = φ P.a * -(x * y * z)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 0 f s x ↔ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContinuousOn f (s ∩ u)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atTop l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atTop
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atTop
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atTop
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
hs : s ∈ atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
α : Type u_2
β : Type u_3
NonAssocSemiring α
Preorder α
NonAssocSemiring β
Preorder β
f : α →+*o β
⊢ (OrderRingHom.id β).comp f = f
x : ℝ
⊢ HasDerivAt Real.cosh (Real.sinh x) x
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set β
⊢ (MeasureTheory.Measure.map f μ) s = μ (f ⁻¹' s)
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U✝ : Set M
hU : IsOpen U✝
hSig : IsSigmaCompact U✝
hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U✝ → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
meas_U : MeasurableSet U✝
U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }
this : SigmaCompactSpace ↥U
⊢ ∀ᵐ (x : ↥U) ∂Measure.comap Subtype.val μ, f ↑x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
hμν : μ ≤ ν
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : ν s < ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x ∂ν ≤ ∫⁻ (x : α) in s, 1 x ∂ν
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
⊢ ∀ x ∈ ker (f ^ n) ⊓ range (f ^ m), x = 0
a b : Int
⊢ ↑(a.gcd b) ∣ a
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
⊢ C ↑v * (monomial (m + n)) ↑u + C ↑v * (monomial (n - m + k + n)) ↑w = { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (k + k) (↑u * ↑w) + Finsupp.single (k + (n - m + k)) (↑u * ↑v) + Finsupp.single (k + n) (↑u * ↑u) + (Finsupp.single (m + k) (↑v * ↑w) + Finsupp.single (m + (n - m + k)) (↑v * ↑v) + Finsupp.single (m + n) (↑v * ↑u)) + (Finsupp.single (n + k) (↑w * ↑w) + Finsupp.single (n + (n - m + k)) (↑w * ↑v) + Finsupp.single (n + n) (↑w * ↑u))) }
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
x_r : R
x_a : A
y_r : R
y_a : A
⊢ (algebraMap R C) x_r * (algebraMap R C) y_r + (x_r • φ y_a + y_r • φ x_a + φ x_a * φ y_a) = (algebraMap R C) x_r * (algebraMap R C) y_r + (algebraMap R C) x_r * φ y_a + ((algebraMap R C) y_r * φ x_a + φ x_a * φ y_a)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝ : Preorder ι
x : α
⊢ x ∈ notConvergentSeq f g n j ↔ ∃ k ≥ j, 1 / (↑n + 1) < dist (f k x) (g x)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b c : α
⊢ (fun x => a * x) '' [[b, c]] = [[a * b, a * c]]
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
pos : 0 < p
H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤
this : ↑((∑ i ∈ s, ((fun i => (f i).toNNReal) i + (fun i => (g i).toNNReal) i) ^ p) ^ (1 / p)) ≤ ↑((∑ i ∈ s, (fun i => (f i).toNNReal) i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, (fun i => (g i).toNNReal) i ^ p) ^ (1 / p))
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
One γ
LE γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ
hg : 1 ≤ g
he : 1 ≤ e
⊢ 1 ≤ Function.extend f g e
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : β ≃ α
⊢ (type fun x y => r (f x) (f y)) = type r
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
F : α
F0 : F > 0
hF : ∃ i, ∀ j ≥ i, F ≤ ↑f j
H : g.LimZero
i : ℕ
h : ∀ j ≥ i, F ≤ ↑f j ∧ |↑g j| < F / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
h₁ : F ≤ ↑f j
h₂ : |↑g j| < F / 2
⊢ F / 2 ≤ ↑(f + g) j
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
s : Finset G
h1s : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K V
g₁ g₂ : G
hg₂ : g₂ ∈ s
hg₁ : g₂ * g₁ ∈ V
⊢ g₂ * g⁻¹ * (g * g₁) ∈ V
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (p.append q).IsPath
⊢ q.IsPath
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
s : Set G
MeasurableInv G
μ' ν' : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite μ'
MeasureTheory.SigmaFinite ν'
μ'.IsMulLeftInvariant
ν'.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ μ' s * ∫⁻ (y : G), f y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s) ∂ν' = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ'