ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
AddMonoid β
BoundedAdd β
ContinuousAdd β
f g : BoundedContinuousFunction α β
TopologicalSpace γ
h : C(γ, α)
⊢ (g + f).compContinuous h = g.compContinuous h + f.compContinuous h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
ConditionallyCompleteLattice β
Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
f : ι → β
hf : BddBelow (Set.range f)
⊢ u (⨅ i, f i) = ⨅ i, u (f i)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.reverse.Nodup
x : α
hx : x ∈ s.reverse
⊢ s.reverse.prev hs x hx = s.next ⋯ x ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
f : α → γ
g : β → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) = f x
hg : ContinuousAt g b
s : Set γ
hs : s ∈ 𝓝 (g b)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
m : Type u_5
n : Type u_6
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
v₁ : OrthonormalBasis n 𝕜 E
v₂ : OrthonormalBasis m 𝕜 F
A : Matrix m n 𝕜
i : m
j : n
⊢ ⟪∑ j : n, Aᴴ j i • v₁.toBasis j, v₁.toBasis j⟫_𝕜 = ⟪v₂.toBasis i, ∑ j_1 : m, A j_1 j • v₂.toBasis j_1⟫_𝕜
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
F.ShiftSequence M
X Y : C
n a a' : M
ha' : n + a = a'
f : X ⟶ Y
⊢ (F.shift a').map f ≫ (F.shiftIso n a a' ha').inv.app Y =
  (F.shiftIso n a a' ha').inv.app X ≫ (F.shift a).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
q : Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hV : (s.sup p).ball 0 ε ∈ p.basisSets
hε : id ((s.sup p).ball 0 ε) ⊆ q.ball 0 1
x✝¹ : SeminormedAddCommGroup E := (s.sup p).toSeminormedAddCommGroup
x✝ : NormedSpace 𝕜 E := NormedSpace.mk ⋯
this : Continuous ⇑q
C : ℝ
C_pos : 0 < C
hC : ∀ (x : E), q x ≤ C * ‖x‖
⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ q ≤ C • s.sup p
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ
IH : ∀ (s : Seq α), (s.drop n).head = s.get? n
s : Seq α
⊢ (s.drop (n + 1)).head = s.get? (n + 1)
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace Ω
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : ℝ≥0
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0
fs_bdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), (fs n) ω ≤ c
fs_lim : Tendsto (fun n ω => (fs n) ω) atTop (𝓝 (E.indicator fun x => 1))
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂μ) atTop (𝓝 (μ E))
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
K : Type (max v u)
inst✝⁴ : SmallCategory K
inst✝³ : FinCategory K
inst✝² : HasLimitsOfShape K D
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)
inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
S : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))
k : K
j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ
⊢ colimit.ι (J.diagram (limit F) X) j ≫ colimMap (J.diagramNatTrans (limit.π F k) X) = colimit.ι (J.diagram (limit F) X) j ≫ (HasColimit.isoOfNatIso ((isLimitOfPreserves (J.diagramFunctor D X) (limit.isLimit F)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (F ⋙ J.diagramFunctor D X)))).hom ≫ (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D X)).hom ≫ (HasLimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun k => colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k) ⋯).symm).inv ≫ limit.π (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X)) k
n : ℕ
nz : √5 ≠ 0
⊢ √5 * (√5)⁻¹ * (1 / 2 + √5 * (-1 / 2)) ^ n = (1 / 2 + √5 * (-1 / 2)) ^ n
h : LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) 1
⊢ Summable fun b => -↑({p | Nat.Prime p}.indicator (fun n => 1 / ↑n) b)
α : Type u_1
LE α
Mul α
i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : MulLECancellable a
⊢ b * a ≤ c * a ↔ b ≤ c
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
v✝ : α → M
v' : α' → M'
inst✝ : Unique α
l : α →₀ R
v : α → M
⊢ (Finsupp.total α M R v) l = l default • v default
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β
g : γ → δ
⊢ Prod.map f g ∘ Prod.swap = Prod.swap ∘ Prod.map g f
K : Type u
CommRing K
⊢ Function.Injective RatFunc.toFractionRing
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
r : ℝ
h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r
i : ι
this : 0 < r
⊢ ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b) / Real.nnabs r) / (Real.nnabs (J.upper i - J.lower i) / Real.nnabs r)) = ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b)) / Real.nnabs (J.upper i - J.lower i))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
h : CategoryTheory.Limits.IsInitial X
c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y
⊢ Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsColimit c) ↔ CategoryTheory.IsIso c.inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
⊢ IsTopologicalBasis {s | IsClopen s}
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
⊢ (Algebra.TensorProduct.comm R A B).symm = Algebra.TensorProduct.comm R B A
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
a : 𝕜'
x✝ : 𝕜
⊢ logDeriv (fun x => a) x✝ = 0 x✝
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
a b : α
hab : a ≤ b
f : α → δ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
⊢ Set.Ioc (f b) (f a) ⊆ f '' Set.Ico a b
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Set σ
⊢ (aeval fun x => X ↑x).range = (aeval (X ∘ Subtype.val)).range
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s : Set α
⊢ μ s = 0 ↔ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∉ s
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ (Finset.univ.sup' ⋯ fun w => (normAtPlace w) x) ≤ convexBodySumFun x
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set α
t₁ t₂ : Set β
⊢ t₁ ⊆ t₂ → s +ᵥ t₁ ⊆ s +ᵥ t₂
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : MeasureTheory.NullMeasurableSet sᶜ μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_5
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
⊢ (Filter.comap toUniformOnFun (𝓝 (toUniformOnFun 0))).HasBasis (fun Si => IsVonNBounded 𝕜 Si.1 ∧ p Si.2) fun Si => {f | MapsTo (⇑f) Si.1 (b Si.2)}
z τ : ℂ
⊢ jacobiTheta₂' (z + 1) τ = jacobiTheta₂' z τ
ι : Type u_1
𝕜₁ : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
SeminormedAddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
NormedSpace 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
UniformSpace M₂
UniformAddGroup M₂
ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
T2Space M₂
CompleteSpace M₂
l : Filter ι
l.NeBot
F : ι → M₁ →SL[σ₁₂] M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hf : Filter.Tendsto F l (𝓝 f)
hF : ∀ᶠ (i : ι) in l, IsCompactOperator ⇑(F i)
⊢ IsCompactOperator ⇑f
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₁
h : J → I
f : (i : I) → C i
i : J
⊢ (CategoryTheory.Pi.comap C h).obj f i = f (h i)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
h : x ~ᵢ y
⊢ 𝓝 x = 𝓝 y
x : ℝ
⊢ Real.arcsin (-x) = -Real.arcsin x
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
I : Ideal S
⊢ (∀ a ∈ I, a = 0) ↔ ∀ ⦃x : S⦄, x ∈ I → x ∈ ⊥
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ wittPolyProd p (n + 1) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + remainder p n
K : Type u_1
Field K
x : K
⊢ (NumberField.mixedEmbedding.commMap K) ((NumberField.canonicalEmbedding K) x) = (NumberField.mixedEmbedding K) x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
Preorder ι'
Nonempty ι'
IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1
Order.Coframe α
s : Set ι
hs : s.Finite
f : ι → ι' → α
hf : ∀ i ∈ s, Antitone (f i)
⊢ ⨅ j, ⨆ i ∈ s, f i j = ⨆ i ∈ s, ⨅ j, f i j
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
⊢ o.oangle x (x + y) = ↑(Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖))
α : Type u_1
β : Type u_2
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
ι : Type u_4
s : Finset ι
t : ι → Finset α
b : ι → β
b₀ : β
h : (↑s).PairwiseDisjoint t
⊢ Finset.fold op (Finset.fold op b₀ b s) f (s.disjiUnion t h) =
  Finset.fold op b₀ (fun i => Finset.fold op (b i) f (t i)) s
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid D
φ : CategoryTheory.Functor C D
E : Type u_2
CategoryTheory.Groupoid E
ψ : CategoryTheory.Functor D E
⊢ CategoryTheory.Subgroupoid.ker (φ.comp ψ) = CategoryTheory.Subgroupoid.comap φ (CategoryTheory.Subgroupoid.ker ψ)
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ sInf (a • ∅) = a • sInf ∅
R : Type u
CommSemiring R
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
s : (i : ι) → κ i → Set R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus (⋃ i, ⋃ j, s i j) = ⋂ i, ⋂ j, PrimeSpectrum.zeroLocus (s i j)
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
C : CochainComplex V ℕ
i j : ℕ
w : ¬(ComplexShape.up ℕ).Rel i j
⊢ ¬(ComplexShape.up ℕ).Rel (i + 1) (j + 1)
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
Monoid.FG ↥M
⊢ Algebra.FiniteType R S
K : Subfield ℂ
ψ : ↥K →+* ℂ
hc : UniformContinuous ⇑ψ
this✝ : TopologicalDivisionRing ℂ := TopologicalDivisionRing.mk
this : TopologicalRing ↥K.topologicalClosure := Subring.instTopologicalRing K.topologicalClosure.toSubring
⊢ (↑↑ψ).toFun = ⇑K.subtype ∨ (↑↑ψ).toFun = ⇑(starRingEnd ℂ) ∘ ⇑K.subtype
D : TopCat.GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)
⊢ ⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U) = ⇑(D.f j i) '' (⇑(D.t j i ≫ D.f i j) ⁻¹' U)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Ordinal.{max u v}
hc : ℵ₀ < c.cof
hc' : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.cof
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c, f i b < c
a : Ordinal.{max u v}
ha : a < c
⊢ Ordinal.nfpFamily f a < c
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
p : G.Walk v w
⊢ v ≠ w → ¬p.Nil
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f
h : IsClosedMap f
⊢ Continuous f ∧ IsClosedMap f ∧ ∀ (y : Y), IsCompact (f ⁻¹' {y})
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
α : Type u_6
inst✝ : AddCommMonoid α
m M N : ℕ
f : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ) → α
g : (n : ℕ) × Composition n → α
h : ∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource m M N), f e = g (compChangeOfVariables m M N e he)
⊢ ∀ (a : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (ha : a ∈ compPartialSumSource m M N), compChangeOfVariables m M N a ha ∈ compPartialSumTarget m M N
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ
h₁ : x⁻¹ ≠ 1
⊢ ∑ i ∈ range n, x⁻¹ ^ i = (x - 1)⁻¹ * (x - x⁻¹ ^ n * x)
M₀ : Type u_1
MulZeroClass M₀
⊢ 0 ∈ Set.center M₀
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
φ : A →ₐ[R] B
x : A
⊢ φ x ∈ φ.range
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p q : R[X]
inst✝ : Semiring S
hq : q.Monic
p₁ p₂ : R[X]
a✝ : Nontrivial R
f : R[X]
sub_eq : p₁ - p₂ = q * f
⊢ p₂ %ₘ q + q * (p₂ /ₘ q + f) = p₁
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : β → E
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
Decidable (g a ∈ s)
⊢ ∫ (x : β) in s, f x ∂(ProbabilityTheory.Kernel.deterministic g hg) a = if g a ∈ s then f (g a) else 0
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
i : σ
⊢ (X i).IsHomogeneous 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x y : E
⊢ [x-[𝕜]y] = (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Set.Icc 0 1
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α} (a : α), a :: l₁ <+: a :: l₂ ↔ l₁ <+: l₂
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
r : ↑Γ(X, U)
e : f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen ((Hom.appIso f U).inv r) = X.basicOpen r
⊢ f ''ᵁ X.basicOpen r = Y.basicOpen ((Hom.appIso f U).inv r)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
R : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Coreflective R
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{v, u, v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfSize.{v, u, v₂, u₂} D
a b : ℝ
ha : a ≤ 0
z : ℂ
hz : |z.im| ≤ b
hb : b ≤ π / 2
⊢ a * ((rexp z.re + rexp (-z.re)) * Real.cos |z.im|) ≤ a * (rexp |z.re| * Real.cos b)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ Function.Injective f ↔ Setoid.ker f = ⊥
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
f : HomologicalComplex.homotopyCofiber φ ⟶ K
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
⊢ f =
  HomologicalComplex.homotopyCofiber.desc φ (HomologicalComplex.homotopyCofiber.inr φ ≫ f)
    ((Homotopy.ofEq ⋯).trans
      (((HomologicalComplex.homotopyCofiber.inrCompHomotopy φ hc).compRight f).trans (Homotopy.ofEq ⋯)))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
hf : Measurable (Function.uncurry f)
fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n
h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n
h_zero : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → fs n a b = 0
hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n
n : ℕ
a : α
b : β
⊢ fs n a b ≤ ↑(n + 1)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : InnerProductGeometry.angle x y = 0
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
ι : Type u_3
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Nonempty ι
μ : Measure α
f : ι → α → β
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)
inhabited_h : Inhabited ι
hL : L.NeBot
p : α → (ι → β) → Prop := fun x f' => ∃ l, Tendsto (fun n => f' n) L (𝓝 l)
hp_mem : ∀ x ∈ aeSeqSet hf p, p x fun n => f n x
h_ae_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ι), aeSeq hf p n x = f n x
f_lim : α → β := fun x => if h : x ∈ aeSeqSet hf p then Exists.choose ⋯ else ⋯.some
hf_lim : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => aeSeq hf p n x) L (𝓝 (f_lim x))
h_ae_tendsto_f_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
⊢ ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => c ≤ x
hac : a ≤ c
⊢ filter (fun x => c ≤ x) (Ico a b) = Ico c b
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Booleanisation.lift a < Booleanisation.lift b ↔ a < b
α : Type u
p q : α → Prop
f : Filter α
hp : ∀ᶠ (x : α) in f, p x
hq : ∀ᶠ (x : α) in f, p x → q x
⊢ ∀ᶠ (x : α) in f, q x
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
CategoryTheory.Limits.HasWideEqualizer f
j₁ j₂ : J
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.wideEqualizer.ι f) (f j₁) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.wideEqualizer.ι f) (f j₂)
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Set M
x : M
hx : x ∈ Submodule.span R S
⊢ ∃ T, ↑T ⊆ S ∧ x ∈ Submodule.span R ↑T
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
P Q : CochainComplex V ℕ
e : P ⟶ Q
zero : P.X 1 ⟶ Q.X 0
comm_zero : e.f 0 = P.d 0 1 ≫ zero
one : P.X 2 ⟶ Q.X 1
comm_one : e.f 1 = zero ≫ Q.d 0 1 + P.d 1 2 ≫ one
succ :
  (n : ℕ) →
    (p :
        (f : P.X (n + 1) ⟶ Q.X n) ×'
          (f' : P.X (n + 2) ⟶ Q.X (n + 1)) ×' e.f (n + 1) = f ≫ Q.d n (n + 1) + P.d (n + 1) (n + 2) ≫ f') →
      (f'' : P.X (n + 3) ⟶ Q.X (n + 2)) ×' e.f (n + 2) = p.snd.fst ≫ Q.d (n + 1) (n + 2) + P.d (n + 2) (n + 3) ≫ f''
⊢ Homotopy.mkCoinductiveAux₂ e zero comm_zero one comm_one succ 0 = ⟨0, ⟨(HomologicalComplex.xNextIso P ⋯).hom ≫ zero, ⋯⟩⟩
α : Type u
x : α
⊢ (FreeAddSemigroup.of x).head = x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : μ.MutuallySingular ν
⊢ (μ.withDensity f).MutuallySingular ν
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x : α
m n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n : ℕ
⊢ ∃ a < minimalPeriod f x, f^[a] x = f^[n] x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
h : Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (p ×ˢ p') (𝓤 β)
g : γ → α
⊢ Tendsto (fun q => ((f ∘ g) q.2, (F q.1 ∘ g) q.2)) (p ×ˢ comap g p') (𝓤 β)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
hf : Adapted ℱ f
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_eq_sum : μ[martingalePart f ℱ μ j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] f 0 + ∑ k ∈ Finset.range j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i])
⊢ μ[martingalePart f ℱ μ j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] martingalePart f ℱ μ i
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
x y : E
⊢ dist x⁻¹ y = dist x y⁻¹
a : Cardinal.{u}
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ Cardinal.lift.{v, u} a = OfNat.ofNat n ↔ a = OfNat.ofNat n
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp x y = cmp x' y'
⊢ y < x ↔ y' < x'
α : Type u_1
Semiring α
a : α
m n : ℕ
⊢ Commute (↑m * a) (↑n * a)
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k
h : ↑j < ↑k
⊢ j.contractNth op g k = g (j.succAbove k)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s t : Seq α
⊢ IsBisimulation fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f (s.append t) ∧ s2 = (map f s).append (map f t)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
f : α → β
s : (i : ι) → κ i → Set β
⊢ f ⁻¹' ⋃ i, ⋃ j, s i j = ⋃ i, ⋃ j, f ⁻¹' s i j
x y : ℤ
⊢ (toComplex { re := x, im := y }).im = ↑y
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddMonoid R
Γ' : Type u_3
PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x y : HahnSeries Γ R
⊢ HahnSeries.embDomain f (x + y) = HahnSeries.embDomain f x + HahnSeries.embDomain f y
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)
U : Type u_1
V : Type u_2
Quiver U
Quiver V
φ : U ⥤q V
⊢ ∀ (a : U), φ.symmetrify.obj a = φ.obj a
xl xr : Type u
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
i : xr
⊢ (xR i).IsOption (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR)
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ s
⊢ (↑(fill x m s)).multinomial = n.choose ↑m * (↑s).multinomial
α : Type u
PseudoMetricSpace α
c : α
⊢ Filter.comap (fun x => dist x c) Filter.atTop = Bornology.cobounded α
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = 0
hnR : ↑n ≤ #R
⊢ F = 0
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
p : 𝕜
x : 𝕜
⊢ ↑(-x) = -↑x
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
⊢ image₂ f s t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
𝕜 : Type u_4
LinearOrderedField 𝕜
Archimedean 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
r : 𝕜
h₁ : 0 ≤ r
h₂ : r < 1
⊢ Filter.Tendsto (fun n => r ^ n) Filter.atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
σ : Equiv.Perm α
m n : ℤ
x : α
⊢ (σ ^ m) ((σ ^ n) x) = (σ ^ n) ((σ ^ m) x)
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x✝ : α
x : G
s : Set G
⊢ (∀ i ∈ 𝓝 1, ∃ y ∈ s, y ∈ {y | y / x ∈ id i}) ↔ ∀ U ∈ 𝓝 1, ∃ y ∈ s, y / x ∈ U
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
f : A →+* B
g : B →+* C
h : (g.comp f).Finite
this✝³ : Algebra A B := f.toAlgebra
this✝² : Algebra B C := g.toAlgebra
this✝¹ : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A B C := RestrictScalars.isScalarTower A B C
this : Module.Finite A C := h
⊢ g.Finite
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
CoalgebraStruct R C
φ₁ : B →ₐc[R] C
φ₂ : A →ₐc[R] B
⊢ ⇑(φ₁.comp φ₂) = ⇑φ₁ ∘ ⇑φ₂
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : SizeOf α
x : α
l : List α
hx : x ∈ Quot.mk Setoid.r l
⊢ sizeOf x < sizeOf (Quot.mk Setoid.r l)
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G
a : G
ha : a ∈ s
b : G
hb : ∀ (o : Set G), IsOpen o → b ∈ o → (o ∩ t).Nonempty
hbU : b ∈ s⁻¹ * {a * b}
⊢ a * b ∈ s * t
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a ≤ b ⇔ c ↔ a ⊓ b ≤ c ∧ a ⊓ c ≤ b