ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : Multiset.card s = n
⊢ Splits i (X ^ n - 1)
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (γ i)
f : (i : ι) → γ i → β i
x : (i : ι) → γ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
⊢ (hammingNorm fun i => f i (x i)) ≤ hammingNorm x
α : Sort u_1
p : α → Prop
a' : α
⊢ (∀ (a : α), a = a' → p a) ↔ p a'
n : ℕ
⊢ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = n
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a b : α
⊢ a < Order.succ b → a ≤ b
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
⊢ fibRec.IsSolution fun x => ψ ^ x
τ : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace τ
inst✝² : AddCommGroup τ
inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : Filter τ
ϕ : Flow τ α
s : Set α
hf : ∀ (t : τ), Tendsto (fun x => t + x) f f
⊢ ω f ϕ.toFun (ω f ϕ.toFun s) ⊆ ω f ϕ.toFun s
ιA : Type u_1
ιM : Type u_3
A : ιA → Type u_4
M : ιM → Type u_5
VAdd ιA ιM
GradedMonoid.GSMul A M
i : ιA
j : ιM
a : A i
b : M j
⊢ GradedMonoid.mk i a • GradedMonoid.mk j b = GradedMonoid.mk (i +ᵥ j) (GradedMonoid.GSMul.smul a b)
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
s : ι → MeasurableSpace Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.iIndep s μ
t : Set ι
⊢ ProbabilityTheory.Indep (⨆ n ∈ t, s n) (⨆ n ∈ tᶜ, s n) μ
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ l ++ [a] ~ a :: l
k : ℕ
⊢ Polynomial.derivative (Polynomial.bernoulli k) = ↑k * Polynomial.bernoulli (k - 1)
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
CharP R n
a : ZMod n
k : ℕ
⊢ (a ^ k).cast = a.cast ^ k
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
⊢ LieIdeal.map f I = ⊥ ↔ I ≤ f.ker
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
f : Filter α✝
g : Filter β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
ι : Type u_8
a : α
b : β
i : ι
⊢ (map (fun x => b) (𝓟 {a})).coprod (map id (𝓟 {i})) = 𝓟 ({b} ×ˢ univ ∪ univ ×ˢ {i})
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x y : ℝ
s s' : Set ℝ
hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y
hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s
hs' : s' ∈ 𝓝[s] y
hy : y ∈ s'
h : s' ⊆ s
k : ℕ
hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s
hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y
coe_lt_succ : ↑k < ↑k.succ
hdiff : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s'
hk : HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x) (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y
⊢ HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x + (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s t) ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k.succ) • iteratedDerivWithin k.succ.succ f s y) s' y
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0
⊢ p.degree = ↑n ↔ p.natDegree = n
D : AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData
i j : D.J
⊢ D.t i j ≫ D.f j i ≫ D.ι j = D.f i j ≫ D.ι i
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
⊢ ∃ y, closedBall y (δ / 4) ⊆ closedBall x δ ∧ closedBall y (δ / 4) ⊆ interior s
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : LinearOrder α
s✝ s : Set α
⊢ (s \ ⋃ x, Ioo ↑x.1 ↑x.2).Finite
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ'₀
Ring R
v₁ : AddValuation R Γ₀
v₂ : AddValuation R Γ'₀
S : Type u_7
Ring S
f : S →+* R
h : v₁.IsEquiv v₂
⊢ (AddValuation.comap f v₁).IsEquiv (AddValuation.comap f v₂)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
H : ∀ (i : ι) (a : R), a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i})) → a = 0
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
i : ι
hn : ¬l i = 0
⊢ (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i (l i) - l) = l i • v i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
Z : C
π : Y ⟶ Z
self : CategoryTheory.IsSplitCoequalizer f g π
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f π = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g π
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.aeval id = MvPolynomial.join₁
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
CompleteSpace F
LocallyCompactSpace 𝕜
MeasurableSpace 𝕜
OpensMeasurableSpace 𝕜
MeasurableSpace F
BorelSpace F
f : α → 𝕜 → F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
⊢ Measurable fun p => deriv (f p.1) p.2
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ m.factorial ∣ n.factorial
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 8 = 2 ^ ↑3
⊢ (log 2 * 2) ^ 2 ≤ ↑3 * log 2
α : Type u_1
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup G
s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
⊢ MeasureTheory.eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ = ↑‖c‖₊
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
K : CochainComplex C ℕ
X : C
φ : X ⟶ K.X 0
inst✝ : HomologicalComplex.HasHomology K 0
hφ✝ : φ ≫ K.d 0 1 = 0
hφ : φ ≫ K.d 0 ((ComplexShape.up ℕ).next 0) = 0
α : ShortComplex.mk 0 0 ⋯ ⟶ HomologicalComplex.sc K 0 := { τ₁ := 0, τ₂ := φ, τ₃ := 0, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
⊢ IsIso (HomologicalComplex.liftCycles K φ ((ComplexShape.up ℕ).next 0) ⋯ hφ) ↔ (ShortComplex.mk φ (K.d 0 ((ComplexShape.up ℕ).next 0)) hφ).Exact ∧ Mono φ
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
S : Submonoid M
e : M ≃* N
⊢ S.equivMapOfInjective ↑e ⋯ = e.submonoidMap S
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : Monoid M
l : List M
⊢ op l.prod = (map op l).reverse.prod
R : Type u_2
AddMonoid R
Γ : Type u_3
LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : y.orderTop < x.orderTop
⊢ (x + y).orderTop = y.orderTop
α : Type u_1
a : α
⊢ ((Equiv.sigmaPUnit α).symm a).fst = a
α : Type u_1
Mul α
Add α
One α
OfNat α 2
Invertible 2
a b : αˢʸᵐ
⊢ SymAlg.unsym (a * b) = ⅟2 * (SymAlg.unsym a * SymAlg.unsym b + SymAlg.unsym b * SymAlg.unsym a)
M : Type u_2
AddMonoid M
a : M
m n : ℕ
⊢ AddCommute (m • a) (n • a)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ
⊢ AddOpposite.unop (addOppositeEquiv.symm x).leadingCoeff = AddOpposite.unop (AddOpposite.op (AddOpposite.unop x).leadingCoeff)
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hμ : NeZero μ
f : α → F'
hμ_finite : IsFiniteMeasure μ
h_meas : StronglyMeasurable (μ[f|⊥])
c : F'
h_eq : μ[f|⊥] = fun x => c
⊢ μ[f|⊥] = fun x => (μ Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x * f x ∂ν = ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T T' : Set α → F →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α) (x : F), (T s) x ≤ (T' s) x
f : α →ₛ F
⊢ ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x ≤ ∑ x ∈ f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
α : Type u_12
e : M ≃* N
f : α → M
g : α → N
⊢ f = ⇑e.symm ∘ g ↔ ⇑e ∘ f = g
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
a : AdjoinRoot (minpoly R x)
⊢ (aeval ⟨x, ⋯⟩) (minpoly R x) = 0
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : MonCat
M N : Action V G
f : M.V ≅ N.V
comm : autoParam (∀ (g : ↑G), M.ρ g ≫ f.hom = f.hom ≫ N.ρ g) _auto✝
g : ↑G
w : (M.ρ g ≫ f.hom) ≫ f.inv = (f.hom ≫ N.ρ g) ≫ f.inv
⊢ N.ρ g ≫ f.inv = f.inv ≫ M.ρ g
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
hb : b < 0
⊢ 1 < a / b ↔ a < b
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
x : G ⊕ H
⊢ AddMonoid.Coprod.mk (FreeAddMonoid.of (Sum.map Neg.neg Neg.neg x)) + AddMonoid.Coprod.mk (FreeAddMonoid.of x) = 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
h : ∀ s ∈ S, IsGδ s
hS : S.Countable
⊢ IsGδ (⋂₀ S)
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
⊢ μ[f - g|m] =ᶠ[ae μ] μ[f|m] - μ[g|m]
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
h✝ : Y✝ ⟶ Z✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso g
hh : IsIso (f ≫ g)
w : f ≫ g = h
this : IsIso (f ≫ g)
⊢ IsIso f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
⊢ p = p₁ ∨ p = p₂
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
⊢ p.degree < (p * Polynomial.X).degree
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
ι : Type u_1
Finite ι
ξ : Basis ι 𝕜 E
⊢ Continuous ⇑ξ.equivFun
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X Y : C
x : ↑(F.obj X)
y : ↑(F.obj Y)
⊢ ((Types.binaryProductIso ↑(F.obj X) ↑(F.obj Y)).inv ≫ (PreservesLimitPair.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) X Y).inv ≫ (F ⋙ FintypeCat.incl).map prod.snd) (x, y) = y
V : Type u
G : SimpleGraph V
x y : V
p : G.Walk x y
hp : ¬p.Nil
⊢ x :: (p.tail hp).support = p.support
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : IsBigOWith c₁ l f₁ g
h₂ : IsBigOWith c₂ l f₂ g
⊢ IsBigOWith (c₁ + c₂) l (fun x => f₁ x + f₂ x) g
α : Type u_2
LinearOrder α
a : α
⊢ {a}.max' ⋯ = a
q : ℚ
⊢ q < 1 ↔ q.num < ↑q.den
R : Type u
Ring R
Q : Type v
AddCommGroup Q
Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Module.Baer R Q
y : N
x : R
mem : x ∈ Module.Baer.ExtensionOfMaxAdjoin.ideal i f y
⊢ (Module.Baer.ExtensionOfMaxAdjoin.extendIdealTo i f h y) x = (Module.Baer.ExtensionOfMaxAdjoin.idealTo i f y) ⟨x, mem⟩
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
S S' : C
f : S' ⟶ S
X Y : Over S
g : X ⟶ Y
H : P g.left
this : P.RespectsIso
⊢ P ((Over.pullback f).map g).left
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
⊢ AddMonoidHom.mrange (AddMonoidHom.inr M N) = ⊥.prod ⊤
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ IsClosed s ↔ ∀ (x : X) (F : Filter X), F.NeBot → F ≤ 𝓟 s → F ≤ 𝓝 x → x ∈ s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
f : G → E
⊢ Differentiable 𝕜 (⇑iso ∘ f) ↔ Differentiable 𝕜 f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a) = (κ a) (A ×ˢ s)
G : Type u
self : Semigroup G
a b c : G
⊢ a * b * c = a * (b * c)
α : Type u
HasSubset α
a : α
IsRefl α fun x x_1 => x ⊆ x_1
⊢ a ⊆ a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
R : Type u_6
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
h : HasStrictFDerivAt f f' x
c : R
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => c • f x) (c • f') x
F : Type u
Field F
f : RatFunc F
⊢ (RatFunc.coeAlgHom F) f = ↑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
⊢ (orthogonalProjection K) v = 0 ↔ v ∈ Kᗮ
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : AddZeroClass β
f g : Multiset α →+ β
h : ∀ (x : α), f {x} = g {x}
a : α
s : Multiset α
ih : f s = g s
⊢ f (a ::ₘ s) = g (a ::ₘ s)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
⊢ Disjoint (Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (x i) (Function.update y i₀ m i))
  (Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (Function.update x i₀ m i) (y i))
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : MulAction M α
inst✝² : Mul α
r s : M
x y : α
inst✝¹ : IsScalarTower M α α
inst✝ : SMulCommClass M α α
⊢ r • x * s • y = (r * s) • (x * y)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
X : G.Elements
⊢ ((CategoryTheory.Grothendieck.grothendieckTypeToCatInverse G).obj X).base = X.fst
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
this : (vanishingIdeal (zeroLocus 𝒜 ↑(vanishingIdeal t).toIdeal)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal
⊢ vanishingIdeal (closure t) = vanishingIdeal t
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Add G
A : Type u₃
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module k A
IsScalarTower k A A
SMulCommClass k A A
F : AddMonoidAlgebra k G →ₙₐ[k] A
⊢ (AddMonoidAlgebra.liftMagma k).symm F = F.toMulHom.comp (AddMonoidAlgebra.ofMagma k G)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
hk : MeasurableSet k
h's : IntegrableOn f s μ
A : ∀ (u : Set X), ∫ (x : X) in u ∩ k, f x ∂μ = 0
⊢ ∀ᵐ (a : X) ∂μ, a ∉ t \ k
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ -x ⧏ 0 ↔ 0 ⧏ x
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
r : List α
⊢ l₁ ++ drop l₁.length (l₁ ++ r) = l₁ ++ r
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
Algebra R S₁
f : σ → S₁
B : Type u_2
CommSemiring B
Algebra R B
φ : S₁ →ₐ[R] B
⊢ φ.comp (MvPolynomial.aeval f) = MvPolynomial.aeval fun i => φ (f i)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid β
CommMonoid γ
r : β → γ → Prop
f : α → β
g : α → γ
s : Finset α
h₁ : r 1 1
h₂ : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), r b c → r (f a * b) (g a * c)
⊢ r (∏ x ∈ s, f x) (∏ x ∈ s, g x)
a b c d : Nat
⊢ a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
U✝ V : OpenSubgroup G
g : G
inst✝ : ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G
x : G
hx : x ∈ (↑U)ᶜ
⊢ x ∈ (fun y => y * x⁻¹) ⁻¹' ↑U
R : Type u_1
Semiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype m
DecidableEq m
M : Matrix m n R
i : m
j : n
⊢ ((LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) 1 ᵥ* M) j = M i j
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : 2 < ‖a.c i‖
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / ‖a.c i‖) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
G : Type u_1
Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
DecidablePred Subgroup.FiniteIndex
⊢ ⋃ k ∈ Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s, g k • ↑(H k) = Set.univ
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := g - t.indicator fun x => a
A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) l (𝓝 a)
⊢ (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) =ᶠ[l] fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
SecondCountableTopology Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ SecondCountableTopology X
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
h✝ : I ≤ ⊥.jacobson
a : R
h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)
y : R ⧸ ⊥.jacobson
h1 : (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) a * y = 1
h2 : y * (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) a = 1
⊢ IsUnit a
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s t : Finset β
⊢ (s -ᵥ t).Nonempty → t.Nonempty
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
⊢ x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s) ↔ x ∈ closure s
a x : ℝ
⊢ (jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x) / (-2 * ↑π) + jacobiTheta₂' ((starRingEnd ℂ) ↑a) (-(starRingEnd ℂ) (I * ↑x)) / (starRingEnd ℂ) (-2 * ↑π)) / 2 = jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x) / (-2 * ↑π)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.1672, u_1} C
P : Karoubi (Karoubi C)
⊢ P.p.f ≫ P.p.f = P.p.f
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.23191, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.23198, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
hc : IsUniversalColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)
this : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι
⊢ Nonempty (IsColimit c'')
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
this : ((∫⁻ (x : Ω), ↑‖(X - fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) x‖₊ ^ ENNReal.toReal 2 ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal 2)) ^ 2 < ⊤
⊢ evariance X μ < ⊤
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsAlgClosed K
h : ∀ a ∈ S, NeZero ↑↑a
⊢ IsCyclotomicExtension S K K
α : Sort u_1
s₁ : Setoid α
p : Quotient s₁ → Prop
h : ∀ (a : α), p (Quotient.mk'' a)
q : Quotient s₁
⊢ p q
x y z t : EReal
h1 : x < y
h2 : z < t
⊢ x + z < y + t
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
Field F
Field K
Field L
Algebra F K
Algebra F L
Algebra.IsAlgebraic F K
⊢ normalClosure F K L ≤ ⨆ x, IntermediateField.adjoin F ((minpoly F x).rootSet L)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
g : R →+* P
T : Submonoid P
Q : Type u_4
CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Algebra P Q
IsLocalization T Q
⊢ (IsLocalization.map Q g hy).comp (algebraMap R S) = (algebraMap P Q).comp g
α : Type u_1
β : Type u_2
Bornology α
Bornology β
s : Set α
t : Set β
hs : Bornology.IsBounded s
ht : Bornology.IsBounded t
⊢ Bornology.IsBounded (s ×ˢ t)
F : PFunctor.{u}
DecidableEq F.A
Inhabited F.M
ps : PFunctor.Approx.Path F
x : F.M
h : ¬PFunctor.M.IsPath ps x
⊢ PFunctor.M.iselect ps x = default.head
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
π : δ' → Type u_6
π' : δ' → Type u_7
inst✝² : (x : δ') → MeasurableSpace (π x)
inst✝¹ : (x : δ') → MeasurableSpace (π' x)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_8
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
⊢ Measurable fun x => (Equiv.piFinSuccAbove α i).symm x (i.succAbove j)
R : Type u
Mul R
StarMul R
x : R
⊢ starMulEquiv x = MulOpposite.op (star x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
X : CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra F
⊢ (CategoryTheory.Endofunctor.Coalgebra.functorOfNatTransId.hom.app X).f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.V
Γ : Type u_1
R : Type u_3
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
NonAssocSemiring R
r : R
h : r ≠ 0
⊢ HahnSeries.C r ≠ 0
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
Fintype m
DecidableEq m
NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Matrix m n R
i : m
x : R
⊢ Pi.single i x ᵥ* M = fun j => x * M i j
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
⊢ ↑p.support + ↑p'.support.tail = ↑p.support + ↑p'.support - {v}
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ xn a1 (n * 0) ≡ xn a1 n ^ 0 [MOD yn a1 n ^ 2] ∧ yn a1 (n * 0) ≡ 0 * xn a1 n ^ (0 - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
α : Type u_1
CommMonoid α
x y : α
H : IsRelPrime x y
⊢ IsRelPrime y x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
⊢ ∃ s, s.Countable ∧ Dense s ∧ 0 ∉ s ∧ ⊤ ∉ s
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
J : Ideal R
hJ : comap f K < J
⊢ J = ⊤
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
e₁ e₂ : α ≃ᵢ α
x : α
⊢ (e₁ * e₂) x = e₁ (e₂ x)
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
⊢ range b.toDual = ⊤
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : AddMonoid N
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup H
P : AddSubgroup H
⊢ P.FG ↔ (toSubgroup P).FG
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_3
Finite ι
N : ι → Submodule R M
h : ∀ (i : ι), (N i).FG
⊢ (iSup N).FG