ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra A S
inst✝³ : IsScalarTower R A S
inst✝² : IsIntegralClosure A R S
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : Nontrivial R
I : Ideal A
⊢ comap (algebraMap R A) I = ⊥ → I = ⊥
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : AEMeasurable f μ
h' : ν ≤ μ
⊢ AEMeasurable f ν
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ
⊢ (addOppositeEquiv.symm x).support = (AddOpposite.unop x).support
α : Type u
s : Set α
hs : s.Finite
t : Set α
ht : t ⊆ s
⊢ t.Finite
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
x y : α
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
⊢ ⟨x, hx⟩ / ⟨y, hy⟩ = ⟨x / y, ⋯⟩
α : Type u_1
f : Filter α
⊢ f.IsCountablyGenerated ↔ ∃ x, f.HasAntitoneBasis x
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : α → F'
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (μ[f|m]) x = ↑↑(condexpL1 hm μ f) x → ↑↑(c • condexpL1 hm μ f) x = (c • μ[f|m]) x
α : Sort u_1
p : α → Prop
q : Subtype p → Prop
a : { a // ∃ h, q ⟨a, h⟩ }
⊢ ↑↑((Equiv.subtypeSubtypeEquivSubtypeExists p q).symm a) = ↑a
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c : 𝕜 → 𝕜'
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
d : 𝕜'
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => c x / d) s x
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
x✝ : R
a✝ : x✝ ∈ fx
⊢ x✝ ∈ fx
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
x : P × P × P
hx12 : x.1 ≠ x.2.1
hx32 : x.2.2 ≠ x.2.1
⊢ ContinuousAt (fun y => ∡ y.1 y.2.1 y.2.2) x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
AddGroup G
LieAddGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
n : ℕ∞
f g : M → G
s : Set M
hf : ContMDiffOn I' I n f s
hg : ContMDiffOn I' I n g s
⊢ ContMDiffOn I' I n (fun x => f x - g x) s
ι : Sort u_1
α : Type u_2
M : Type u_4
One M
ConditionallyCompleteLattice M
Nonempty ι
f : ι → α → M
⊢ (Function.mulSupport fun x => ⨅ i, f i x) ⊆ ⋃ i, Function.mulSupport (f i)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
f : G ⧸ H → G
hf : ∀ (q : G ⧸ H), ↑(f q) = q
q₁ q₂ : G ⧸ H
h : (range f).restrict Quotient.mk'' ⟨f q₁, ⋯⟩ = (range f).restrict Quotient.mk'' ⟨f q₂, ⋯⟩
⊢ ⟨f q₁, ⋯⟩ = ⟨f q₂, ⋯⟩
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
A : C
k : L.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
hk : L.d j i ≫ k = 0
φ : K ⟶ L
⊢ HomologicalComplex.opcyclesMap φ i ≫ L.descOpcycles k j hj hk = K.descOpcycles (φ.f i ≫ k) j hj ⋯
α : Type u_2
β : Type u_3
CommMonoid α
CommMonoid β
s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : IsMulFreimanHom 2 s t f
hf' : Set.InjOn f s
ht : ThreeGPFree t
⊢ ThreeGPFree s
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
L.HasRightKanExtension F
G : CategoryTheory.Functor D H
γ₁ γ₂ : G ⟶ L.rightKanExtension F
hγ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerLeft L γ₁) (L.rightKanExtensionCounit F) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerLeft L γ₂) (L.rightKanExtensionCounit F)
⊢ γ₁ = γ₂
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : {x | ¬‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖}.Finite
C' : ℝ
hC' : ∀ i ∈ Finset.image (fun x => ‖f x‖ / ‖g'' x‖) hC.toFinset, i ≤ C'
⊢ ∃ C > 0, ∀ ⦃x : α⦄, g'' x ≠ 0 → ‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
f g : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ⇑(f - g) = ⇑f - ⇑g
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G
hs : IsAddSubgroup s
⊢ s = IsAddSubgroup.trivial G ↔ ∀ x ∈ s, x = 0
n : PosNum
⊢ (if (match Num.pos n with | Num.zero => [] | Num.pos n => encodePosNum n) = [] then Num.zero else ↑n) = Num.pos n
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
⊢ f.srange = AddSubsemigroup.map f ⊤
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X
S✝ R✝ : Sieve X
R : Presieve X
S : Sieve X
ss : R ≤ S.arrows
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
g : Z ⟶ X
hg : R g
⊢ S.arrows (f ≫ g)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
hb : LinearIndependent ℝ b
hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction
hv : ∀ v ∈ s.direction, ∃ t₁ t₂, v = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)
t₁ t₂ : ℝ
hop : t₁ = 0
hps : t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ ∈ s
hpc₁ : dist (t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁) c₁ = r₁
hpc₂ : dist (t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁) c₂ = r₂
⊢ t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ = p₁ ∨ t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ = p₂
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
p : ℕ
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (rename f) ((expand p) φ) = (expand p) ((rename f) φ)
α : Type u_1
xs ys : List α
⊢ FreeAddMonoid.ofList (xs ++ ys) = FreeAddMonoid.ofList xs + FreeAddMonoid.ofList ys
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α β : PartialFun
e : α ≃ β
⊢ ↑(⇑e.symm ∘ ⇑e) = 𝟙 α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
v w : E
⊢ w ∈ K → ⟪v - ↑((orthogonalProjection K) v), w⟫_𝕜 = 0
R : Type u
A : Type z
B : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
C : Type z
Semiring C
Algebra R C
f : A ≃ₐ[R] B
g : B ≃ₐ[R] C
⊢ (Polynomial.mapAlgEquiv f).trans (Polynomial.mapAlgEquiv g) = Polynomial.mapAlgEquiv (f.trans g)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
g : C^⊤⟮I', M'; I'', M''⟯
f : C^⊤⟮I, M; I', M'⟯
x : M
⊢ 𝒅 (g.comp f) x = 𝒅 g (f x) ∘ₗ 𝒅 f x
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
⊢ ↑(den A r) ∣ p.leadingCoeff * num A r ^ p.natDegree
α : Type u_1
β : Type u_7
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
AddCommMonoid N
f : α →₀ M
g : α → M → β →₀ N
a₂ : β
⊢ (f.sum g) a₂ = f.sum fun a₁ b => (g a₁ b) a₂
α : Type u_1
s t : Multiset α
⊢ s ≤ t + s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
iso : E ≃L[𝕜] F
⊢ HasFDerivWithinAt (⇑iso) (↑iso) s x
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : ℕ → Subgroup G
hH : IsAscendingCentralSeries H
n : ℕ
x : G
hx : x ∈ H (n + 1)
⊢ ∀ (y : G), x * y * x⁻¹ * y⁻¹ ∈ upperCentralSeries G n
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
R : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
h : ∀ x ∈ s, ∏ a ∈ filter (fun y => y ≈ x) s, f a = 1
⊢ ∀ x ∈ image Quotient.mk'' s, ∏ y ∈ filter (fun x_1 => ⟦x_1⟧ = x) s, f y = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X X' Y Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
⊢ (f ⊗ g) ≫ (β_ Y' Y).inv = (β_ X' X).inv ≫ (g ⊗ f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.Limits.image.ι f)
CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.Limits.factorThruImage f)
⊢ CategoryTheory.Epi f
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
g : α → ℝ := Exists.choose h_meas
hg_meas : StronglyMeasurable g
hg_eq : g =ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddCommMonoid M
PartialOrder M
v w : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ v ≤ w ↔ ∀ (i : Set α), MeasurableSet i → ↑v i ≤ ↑w i
α✝ α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - i) = ∑ x_1 ∈ range n, x ^ x_1 * y ^ (n - 1 - x_1 + 1)
K : Type u_2
LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
⊢ r • Set.Ioo a b = Set.Ioo (r • a) (r • b)
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
hc : 0 < c
⊢ a < b / c ↔ c * a < b
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
T1Space Y
⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ IsClosedMap f ∧ Filter.Tendsto f (Filter.cocompact X) Filter.cofinite
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Filter α
m : α → β
m' : β → γ
⊢ Filter.map m' (Filter.map m f) = Filter.map (m' ∘ m) f
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
h : m.WF
⊢ m.size = m.buckets.size ∧ m.buckets.WF
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y : Set α
hX : M.Dep X
R : Set α
hXE : autoParam (X ⊆ (M ↾ R).E) _auto✝
⊢ (M ↾ R).Dep X
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : SimpleGraph V
h : H ≤ G
⊢ (SimpleGraph.toSubgraph H h).IsSpanning
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
⊢ SeparatedNhds s t ↔ Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝ˢ t)
R : Type u
CommRing R
X : HopfAlgebraCat R
⊢ (CategoryTheory.Iso.refl X).toHopfAlgEquiv = BialgEquiv.refl R ↑X.toBundled
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
H H' : C ⥤ D
α : H ≅ H'
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Functor.precomposeWhiskerLeftMapCocone α c).hom.hom = α.hom.app c.pt
p : ℕ
hpos : 0 < p
digits : List ℕ
w₁ : ∀ l ∈ digits, l < p
⊢ Nat.ofDigits p digits / p = Nat.ofDigits p digits.tail
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
Countable G
hs : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ
ht : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f (μ.restrict s) ↔ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f (μ.restrict t)
α : Type u_1
LinearOrder α
Mul α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₁ * b₁ < a₂ * b₂ → a₁ < a₂ ∨ b₁ < b₂
α : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} (μ : MeasureTheory.Measure α),
  MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ (MeasureTheory.weightedSMul μ) 1
G : Type u_1
LinearOrderedRing G
x : G
⊢ orderOf x ≤ 2
α : Sort u_1
h : α = α := ⋯
⊢ Equiv.cast h = Equiv.refl α
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
⊢ ε ^ 4 / 3 ≤ ↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card / 16 ^ P.parts.card * (9 / 16) * ε ^ 2
ι : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace α
f : ι → TopologicalSpace.Opens α
s : Finset ι
⊢ ↑(s.inf f) = s.inf (SetLike.coe ∘ f)
α : Type u
AddCommMonoid α
Mul α
a₀ a₁ a₂ b₀ b₁ b₂ : α
⊢ Matrix.dotProduct ![a₀, a₁, a₂] ![b₀, b₁, b₂] = a₀ * b₀ + a₁ * b₁ + a₂ * b₂
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p
nonZ1 : ↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2 ≠ 0
this : Int.cast ∘ p ≠ 0
nonZ2 : ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1) ≠ 0
⊢ ↑(g • z) = ↑((lcRow0 p) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) g)) / (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) + (↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U : Set ℂ
hU : IsOpen U
c w₀ : ℂ
R : ℝ
f : ℂ → E
hc : closedBall c R ⊆ U
hf : DifferentiableOn ℂ f U
hw₀ : w₀ ∈ ball c R
⊢ ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((z - w₀) ^ 2)⁻¹ • f z) = deriv f w₀
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝¹ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderBot α
b : α
h₁ : ¬wellOrderSucc b = ⊥
h₂ : ¬∃ b_1, wellOrderSucc b = wellOrderSucc b_1 ∧ b_1 < wellOrderSucc b
hb : b < wellOrderSucc b
⊢ ∃ c, b < c ∧ c < wellOrderSucc b
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : L.Substructure M
⊢ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).closed ↑S
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
⊢ AntivaryOn f⁻¹ g⁻¹ s ↔ AntivaryOn f g s
α : Type u
self : PseudoMetricSpace α
x y : α
⊢ PseudoMetricSpace.edist x y = ENNReal.ofReal (dist x y)
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ HasCompactSupport g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
𝕜' : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
c' : E →L[𝕜] 𝕜'
hc : HasFDerivAt c c' x
f : F
⊢ HasFDerivAt (fun y => c y • f) (c'.smulRight f) x
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
⊢ ∀ (x : X), {i | x ∈ closure (support ⇑(ρ i))} ⊆ {i | x₀ ∈ closure (support ⇑(ρ i))} → ρ.fintsupport x ⊆ ρ.fintsupport x₀
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
i✝ j✝ : n
t_hij : i✝ ≠ j✝
c✝ : R
⊢ { i := i✝, j := j✝, hij := t_hij, c := c✝ }.inv.toMatrix * { i := i✝, j := j✝, hij := t_hij, c := c✝ }.toMatrix = 1
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
degree_g_lt : g.degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ i ∈ s, Polynomial.eval (v i) f = Polynomial.eval (v i) g
⊢ f = g
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
⊢ (‖(2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x) + (‖(2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 - 4) • v = ↑x
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s
⊢ (map (fun x => X + C (-x)) s).prod.coeff k = (-1) ^ (card s - k) * s.esymm (card s - k)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
t : Set β
ht : MeasurableSet t
hf : Measurable f
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' t)
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
hf : Injective f
⊢ Injective ⇑(rename f)
C : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α
CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J α
J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
CategoryTheory.HasWeakSheafify J AddCommGrp
M₀ : PresheafOfModules R₀
⊢ ((PresheafOfModules.sheafificationAdjunction α).unit.app M₀).hom = CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
hx : x ≠ 0
r : R
hr : 0 ≤ r
⊢ SameRay R x (r • x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : TopologicalSpace γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : PseudoMetrizableSpace γ
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝ : SecondCountableTopology γ
g : β → γ
hg : Measurable g
f : α →ₘ[μ] β
⊢ compMeasurable g hg f = mk (g ∘ ↑f) ⋯
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν✝
μ : Measure α
ν : Measure β
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : generateFrom C = inst✝⁶
hD : generateFrom D = inst✝⁴
h2C : IsPiSystem C
h2D : IsPiSystem D
h3C : μ.FiniteSpanningSetsIn C
h3D : ν.FiniteSpanningSetsIn D
μν : Measure (α × β)
h₁ : ∀ s ∈ C, ∀ t ∈ D, μν (s ×ˢ t) = μ s * ν t
s : Set α
hs : s ∈ C
t : Set β
ht : t ∈ D
this : SigmaFinite ν
⊢ (μ.prod ν) ((fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t) = μν ((fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t)
n : ℕ
⊢ eulerMascheroniSeq' (n + 1) < eulerMascheroniSeq' n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ c₀ * d₁
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
hcd : 0 < c₀ * d₁
⊢ (a₀ * b₁ + a₁ * b₀) * (c₀ * d₁) ≤ (c₀ * d₁ + c₁ * d₀) * (c₀ * d₁)
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
h : G.IsNClique n s
f : α ↪ β
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique (⇑f '' ↑s)
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
I : Ideal A
⊢ Function.Surjective ⇑(Ideal.Quotient.mkₐ R₁ I)
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x y : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑y) r o₂
s : ℕ
ml : Ordnode α
z : α
mr : Ordnode α
hm : Valid' (↑x) (Ordnode.node s ml z mr) ↑y
Hm : 0 < (Ordnode.node s ml z mr).size
H : l.size = 0 ∧ (Ordnode.node s ml z mr).size = 1 ∧ r.size ≤ 1 ∨ 0 < l.size ∧ ratio * r.size ≤ (Ordnode.node s ml z mr).size ∧ delta * l.size ≤ (Ordnode.node s ml z mr).size + r.size ∧ 3 * ((Ordnode.node s ml z mr).size + r.size) ≤ 16 * l.size + 9 ∧ (Ordnode.node s ml z mr).size ≤ delta * r.size
⊢ Valid' o₁ (l.node4L x (Ordnode.node s ml z mr) y r) o₂
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Surjective (Submonoid.comap f)
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
F : IntermediateField K L
⊢ Function.Injective fun E => IntermediateField.extendScalars ⋯
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
ho : OrthocentricSystem s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
ha : AffineIndependent ℝ p
⊢ affineSpan ℝ (Set.range p) = affineSpan ℝ s
R : Type u_1
M : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I : R →+* R
⊢ LinearMap.IsSymm 0
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2
⊢ IsCyclic (G ⧸ center G)
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x
⊢ (powerBasis hx).dim = (minpoly K x).natDegree
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ T ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : r ↪r s
g : s ↪r t
⊢ ⇑(f.trans g) = ⇑g ∘ ⇑f
α : Type u
p : α → Prop
DecidablePred p
pair : Equiv.Perm { a // p a } × Equiv.Perm { a // ¬p a }
⊢ (Equiv.Perm.subtypeCongrHom p) pair = pair.1.subtypeCongr pair.2
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H : Subgroup N
⊢ Monotone fun K => K.prod H