ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K K' V : Set G
hK' : IsCompact K'
h : K ⊆ K'
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : K' ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K' V
⊢ index K V ≤ index K' V
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
S : Subalgebra R A
g : B →ₐ[R] C
f : A →ₐ[R] B
⊢ Subalgebra.map g (Subalgebra.map f S) = Subalgebra.map (g.comp f) S
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
h : ∀ (k : α), IsCompactElement k
⊢ IsCompactlyGenerated α
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
⊢ MeasureTheory.volume Set.univ = ENNReal.ofReal T
X : Type u_1
Y : Sort u_2
f : X → Y
⊢ Set.range (toPullbackDiag f) = Function.pullbackDiagonal f
M : Type u_1
Monoid M
s : Submonoid M
l : List M
hl : ∀ x ∈ l, x ∈ s
⊢ l.prod ∈ s
α : Type u_1
TopologicalSpace α
T2Space α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasureTheory.AnalyticSet s
hsc : MeasureTheory.AnalyticSet sᶜ
⊢ MeasurableSet s
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h : l.Nodup
⊢ ∀ (n : ℕ) (h₁ : n < (pmap l.prev l ⋯).length) (h₂ : n < (l.rotate (l.length - 1)).length), (pmap l.prev l ⋯).nthLe n h₁ = (l.rotate (l.length - 1)).nthLe n h₂
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
w : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)
⊢ A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁ ≤ √2 ^ 3 • 1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i
⊢ Function.update f i '' Set.Ioc a (f i) = Set.Ioc (Function.update f i a) f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v : Fin 1 → E
this : {Composition.ones 1} = Finset.univ
⊢ (q.comp p 1) v = (q 1) fun _i => (p 1) v
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
h : s.Countable
default : α
h_mem : default ∈ s
n : ℕ
⊢ enumerateCountable h default n ∈ range (enumerateCountable h default)
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀
ha : a ≠ 0
m n : ℤ
⊢ a ^ (m - n) = a ^ m / a ^ n
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
l : Filter X
h : l = ⊥
⊢ ⊥.lift' closure = ⊥
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : InvariantBasisNumber R
h : ¬Nontrivial R
this : Subsingleton R
⊢ (Fin 0 → R) ≃ₗ[R] Fin 1 → R
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
b : Bicone f
j j' : J
⊢ F.map (b.ι j ≫ b.π j') = if h : j = j' then eqToHom ⋯ else 0
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
a : α
n : ℕ
x y : α →₀ ℕ
⊢ (x, y) ∈ antidiagonal (single a n) ↔ (x, y) ∈ map ({ toFun := single a, inj' := ⋯ }.prodMap { toFun := single a, inj' := ⋯ }) (antidiagonal n)
ι : Type u_12
M : ι → Type u_13
(j : ι) → Mul (M j)
Unique ι
x : M default
i : ι
⊢ (MulEquiv.piUnique M).symm x i = uniqueElim x i
a b c : ℕ
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioo a b) = b - a - 1
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I
⊢ (Φ.restrict (lieIdealSubalgebra K L (orthogonal Φ hΦ_inv I)).toSubmodule).Nondegenerate
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
inst✝¹² : Semiring R₁
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₃
inst✝⁹ : CommSemiring R₄
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₁₄ : R₁ →+* R₄
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : TopologicalAddGroup M₄
f g : M₁ → M₄
hf : IsCompactOperator f
hg : IsCompactOperator g
⊢ IsCompactOperator (f - g)
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ AddCommGrp
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit F ↔ Small.{u, max u v} ↑(F ⋙ CategoryTheory.forget AddCommGrp).sections
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑q)).toReal ≤ ∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (completedSinZeta (↑a) s)
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this✝² : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U
hL'U : ↑L' ⊆ U
hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'
this✝¹ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'
this✝ : Nonempty { M // ↑M ⊆ ↑U' \ closure ↑L }
M : Compacts G
hM : ↑M ⊆ ↑U' \ ↑L'
M' : Compacts G := { carrier := closure ↑M, isCompact' := ⋯ }
hM' : ↑M' ⊆ ↑U' \ ↑L'
this : ↑(L' ⊔ M') ⊆ ↑U'
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) (L' ⊔ M') = (fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + (fun s => ↑(μ.toFun s)) M'
α : Type u
TopologicalSpace α
R : Type u_2
SeminormedRing R
f : BoundedContinuousFunction α R
n : ℕ
⊢ ⇑(npowRec n f) = ⇑f ^ n
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α 1
⊢ (v.head ::ᵥ v.tail).toList = [(v.head ::ᵥ v.tail).head]
α : Type u
CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b : α
⊢ 1 < a * b ↔ 1 < a ∨ 1 < b
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R
a x : R
⊢ x ∈ (p - Polynomial.C a).roots ↔ p ≠ Polynomial.C a ∧ Polynomial.eval x p = a
c f : Bool
⊢ (bif c then false else f) = (!c && f)
α : Type u_1
DecidableEq α
G : SimpleGraph α
a : α
p : G.Walk a a
⊢ p.IsHamiltonianCycle ↔ ∃ (h : p.IsCycle), (p.tail ⋯).IsHamiltonian
a n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ a ∣ n.ceilRoot a ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
n : ℕ
s : Multiset α
⊢ Multiset.powersetCard n (Multiset.map f s) = Multiset.map (Multiset.map f) (Multiset.powersetCard n s)
F : Type u
Γ₀ : Type v
Field F
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
CommRing O
Algebra O F
hv : v.Integers O
x : O
hvx : v ((algebraMap O F) x) = 1
⊢ IsUnit x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)
⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
f g : R'[A]
⊢ supDegree D (f + -g) ≤ supDegree D f ⊔ supDegree D (-g)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
Semiring R
Semiring A
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
Module A M
ι' : Type u_6
M' : ι' → Type u_7
(i : ι') → AddCommMonoid (M' i)
(i : ι') → TopologicalSpace (M' i)
∀ (i : ι'), ContinuousAdd (M' i)
(i : ι') → Module R (M' i)
(i : ι') → Module A (M' i)
∀ (i : ι'), SMulCommClass A R (M' i)
∀ (i : ι'), ContinuousConstSMul R (M' i)
⊢ ∀ (a : M [⋀^ι]→L[A] ((i : ι') → M' i)) (i : ι'),
  ContinuousAlternatingMap.piLinearEquiv.symm a i = (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousAlternatingMap a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i < n
this : Nontrivial R
⊢ ¬1 = 0
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h_meas_s : MeasurableSet s
⊢ (μ - ν).restrict s = μ.restrict s - ν.restrict s
r : ℕ+
h6 : 0 < 6
H : 6 ≤ r
⊢ sumInv {2, 3, r} ≤ 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
CategoryTheory.Limits.HasKernel S.g
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.Limits.kernel.lift S.g S.f ⋯)
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ (∀ (x : α), x ∉ s) → s = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : (SimplicialObject.Augmented C)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
x : SimplexCategory
⊢ f.unop.right.op ≫ ((unop Y✝).hom.app (op x)).op = ((unop X✝).hom.app (op x)).op ≫ (f.unop.left.app (op x)).op
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : Finset σ × σ
ha : a ∈ univ ∧ a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)
⊢ a ∈ univ ∧ ((a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)) ∧ a.1.card < k ∨ (a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)) ∧ a.1.card = k)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
s : Set X
h : (interior s).Nonempty
⊢ 0 < μ s
m n a b c d : ℕ
h : a ≤ b
⊢ a ≡ b [MOD n] ↔ n ∣ b - a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ ‖MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1S T f‖ ≤ C * ‖f‖
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
x y : F.Elements
f : x.fst ⟶ y.fst
hf : F.map f x.snd = y.snd
⊢ ↑(CategoryTheory.CategoryOfElements.homMk x y f hf) = f
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedRing α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * g x) l Filter.atBot
G : Type u_2
Group G
IsFreeGroup G
⊢ IsFreeGroup.mulEquiv G = ⋯.some.repr.symm
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2
⊢ ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (Padic.lim f - ↑f i) < ε
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤
M : ℝ
hM' : 0 ≤ M
hM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
x : α
⊢ ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal = ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
c : ℝ≥0∞
⊢ eLpNorm f 1 (c • μ) = c * eLpNorm f 1 μ
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1
⊢ ContMDiff I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf')
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
K : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
a b : α → β
h : ↑a ≤ ↑b
⊢ min ↑a ↑b = map₂ min ↑a ↑b
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a : α
⊢ a = 0 ∨ 0 < a
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hp : 1 < p
h1 : (X ^ p - X).roots = univ.val
⊢ Splits (RingHom.id (ZMod p)) (X ^ p - X)
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (↑n / ↑d < -1) = true
⊢ 0 < Real.log e
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some ⁻¹' Ioc ↑a ↑b = Ioc a b
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ StrictMono (Submonoid.comap f)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
r : ℚ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
⊢ ρ.fst.withDensity (ProbabilityTheory.preCDF ρ r) = ρ.IicSnd ↑r
k : Type u
Field k
K : Type v
Field K
IsSepClosed k
f : k →+* K
p : k[X]
h : p.Separable
⊢ Polynomial.Splits f p
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasLeftHomology
inst✝² : S₂.HasLeftHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂
⊢ cyclesMap' (F.mapShortComplex.map φ) (F.mapShortComplex.obj S₁).leftHomologyData (F.mapShortComplex.obj S₂).leftHomologyData ≫ cyclesMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).leftHomologyData (S₂.leftHomologyData.map F) = cyclesMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).leftHomologyData (S₁.leftHomologyData.map F) ≫ F.map (cyclesMap' φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
⊢ x ∈ Convex.toCone s hs ↔ ∃ c, 0 < c ∧ ∃ y ∈ s, c • y = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ (fun x => F (∫ (y : γ), f (x, y) - g (x, y) ∂η (a, x))) =ᶠ[ae (κ a)] fun x => F (∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) - ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
hl : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.get ⟨k, hk⟩ ∈ l
⊢ l.formPerm (l.get ⟨k, hk⟩) = l.get ⟨k, hk⟩ ↔ l.length ≤ 1
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : D ⥤ C ⥤ D
Y : C
e : F.flip.obj Y ≅ 𝟭 D
inst✝² : (X : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.obj X)
p : J × I → J
hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j
X X' : GradedObject J D
φ : X ⟶ X'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F J I).obj X).obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F J I).obj X').obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p
Y' : ?m.145927
⊢ mapBifunctorMapMap F p φ (𝟙 ((single₀ I).obj Y)) ≫ (mapBifunctorRightUnitor F Y e p hp X').hom = (mapBifunctorRightUnitor F Y e p hp X).hom ≫ φ
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
⊢ AddAction.stabilizer G Set.univ = ⊤
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K V : Set G
hK : IsCompact K
hV : (interior V).Nonempty
⊢ ∃ t, K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V ∧ t.card = index K V
ι : Sort u_1
α : Type u_2
CompletePartialOrder α
f : ι → α
a : α
hf : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
ha : ∀ (i : ι), f i ≤ a
⊢ ⨆ i, f i ≤ a
x y : ℂ
⊢ sin ((x - y) / 2) = 0 ∨ sin ((x + y) / 2) = 0 ↔ (∃ k, y = 2 * ↑k * ↑π + x) ∨ ∃ k, y = 2 * ↑k * ↑π - x
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
nz : v ≠ 0
⊢ finrank K V = 1 ↔ ∀ (w : V), ∃ c, c • v = w
n m l : ℕ
hml : m ≤ l
k : ℕ
hk : k ∈ Ico n m
⊢ ¬l ≤ k
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
⊢ (KernelFork.ofι (HomologicalComplex.iCycles (inhomogeneousCochains A) 0) ⋯).mapOfIsLimit ⋯.fIsKernel (dZeroArrowIso A).hom ≫ A.ρ.invariants.subtype = iCocycles A 0 ≫ ↑(zeroCochainsLequiv A)
α : Type u_2
Preorder α
Mul α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
t : Interval α
⊢ ⊥ * t = ⊥
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
CoalgebraStruct R A
⊢ ↑(CoalgHom.id R A) = LinearMap.id
ι : Type u_1
α : Type u_2
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
DecidableEq ι
f g : ι →₀ α
⊢ (f ⊓ g).support = f.support ∩ g.support
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
⊢ Bornology.cobounded (WithLp p (α × β)) = Bornology.cobounded (α × β)
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
a b : V
⊢ (G.subgraphOfAdj hvw).Adj a b = (s(v, w) = s(a, b))
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
h : s.Disjoint t
⊢ s.ndunion t = s.dedup + t
n : ℕ
⊢ n = 1 ↔ ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ¬p ∣ n
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₗ[R] B
a : A
r : R
⊢ f ((algebraMap R A) r * a) = (algebraMap R B) r * f a
f : Turing.ToPartrec.Code
k : Turing.PartrecToTM2.Cont'
⊢ Turing.PartrecToTM2.tr (Turing.PartrecToTM2.Λ'.ret (Turing.PartrecToTM2.Cont'.fix f k)) =
  Turing.PartrecToTM2.pop' Turing.PartrecToTM2.K'.main
    (Turing.TM2.Stmt.goto fun s =>
      bif Turing.PartrecToTM2.natEnd s.iget then Turing.PartrecToTM2.Λ'.ret k
      else
        Turing.PartrecToTM2.Λ'.clear Turing.PartrecToTM2.natEnd Turing.PartrecToTM2.K'.main
          (Turing.PartrecToTM2.trNormal f (Turing.PartrecToTM2.Cont'.fix f k)))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, x ≤ a → p a → p x
⊢ map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Iic ↑a)) = Iic ↑a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
f : CategoryTheory.Functor C D
hf : f.FullyFaithful
X : C
e : f.obj X ≅ f.obj X
⊢ ((hf.autMulEquivOfFullyFaithful X).symm e).inv = hf.preimage e.inv
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
DiscreteTopology α
f : α → β
C : ℝ
h : ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ C
⊢ ∀ (a : α), (BoundedContinuousFunction.mkOfDiscrete f C h) a = f a
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
V : Set X
⊢ s ⊆ interior V ↔ ∀ x ∈ s, V ∈ 𝓝 x
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
⊢ ∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
w x : Nat
lt : x < 2 ^ w
⊢ { toFin := ⟨x, lt⟩ } = BitVec.ofNat w x
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
TopologicalSpace A
TopologicalSemiring A
p : Polynomial R
⊢ Continuous fun x => (Polynomial.aeval x) p
R : Type u_1
Semigroup R
StarMul R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ IsStarNormal x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
⊢ Nonempty (α ≃o β)
Y : Type v
n : ℕ
π : Fin (n + 1) → Type u_8
(i : Fin (n + 1)) → TopologicalSpace (π i)
i : Fin (n + 1)
f : Y → π i
l : Filter Y
x : π i
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
g : Y → (j : Fin n) → π (i.succAbove j)
y : (j : Fin n) → π (i.succAbove j)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 y)
⊢ Filter.Tendsto (fun a => i.insertNth (f a) (g a)) l (𝓝 (i.insertNth x y))
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
m₂ : M₂
⊢ (toProd Q₁ Q₂) (1 ᵍ⊗ₜ[R] (ι Q₂) m₂) = (ι (QuadraticMap.prod Q₁ Q₂)) (0, m₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s t : Multiset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : Multiset α
d : l.Nodup
⊢ a ∈ l.erase b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ l
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
s t : Finset α
⊢ sᶜˢ ⊼ t = t \\ s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
⊢ ↑(⨅ i, p i) = ⋂ i, ↑(p i)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ⟪o.rightAngleRotation x, o.rightAngleRotation y⟫_ℝ = ⟪x, y⟫_ℝ
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x (x - y) < π / 2
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
⊢ ↑⊤ = Set.univ
ι : Type u
f : ι → Scheme
i : ι
x : ↑↑(f i).toPresheafedSpace
⊢ (TopCat.sigmaCofan fun x => (f x).toTopCat).inj i ≫ (colimit.isoColimitCocone { cocone := TopCat.sigmaCofan fun x => (f x).toTopCat, isColimit := TopCat.sigmaCofanIsColimit fun x => (f x).toTopCat }).inv ≫ (PreservesCoproduct.iso Scheme.forgetToTop f).symm.hom = Scheme.forgetToTop.map (Sigma.ι f i)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁸ : Category.{u_15, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_16, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_14, u_3} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_4} C₄
inst✝⁴ : Category.{u_13, u_5} C₁₂
inst✝³ : Category.{?u.204416, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝² : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
inst✝¹ : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q
H : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃
inst✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r
j : J
A : C₄
f g : mapBifunctorMapObj G ρ₁₂.q (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂) X₃ j ⟶ A
h : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (i₃ : I₃) (h : r (i₁, i₂, i₃) = j), ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g
⊢ ∀ (i : ↑(r ⁻¹' {j})), Cofan.inj (cofan₃MapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ j) i ≫ f = Cofan.inj (cofan₃MapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ j) i ≫ g