ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : Submodule 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
b : Basis (Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))) 𝕜 ↥(LinearMap.range f) := finBasis 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
e : ↥(LinearMap.range f) ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → 𝕜 := b.equivFunL
fi : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → ↥p →L[𝕜] 𝕜 := fun i => (LinearMap.toContinuousLinearMap (b.coord i)).comp (f.codRestrict (LinearMap.range f) ⋯)
⊢ ∃ g, f = g.comp p.subtypeL
R : Type u
inst✝¹⁰ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁶ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝² : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x✝² : DirectSum ι G
H : Submodule.Quotient.mk x✝² = 0
ind : ι
x y : DirectSum ι G
x✝¹ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) x = 0
x✝ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support y, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) y = 0
i : ι
hi : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i
hxi : (DirectSum.toModule R ι (G i) fun i_1 => totalize G f i_1 i) x = 0
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support y, k ≤ j
hyj : (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) y = 0
k : ι
hik : i ≤ k
hjk : j ≤ k
⊢ (f i k hik) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) x) + (f j k hjk) ((DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) y) = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
⊢ lieSpan R L s = ⊥ ↔ ∀ m ∈ s, m = 0
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K✝ : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
h : TendstoLocallyUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p
K : Set α
hK : IsCompact K
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : SemilatticeInf β
f : F
inst✝ : InfHomClass F α β
hf : Injective ⇑f
x y : α
⊢ f x ≤ f y ↔ x ≤ y
α : Type u_1
l : List α
n i : ℕ
h : i < (List.enumFrom n l).length
⊢ (List.enumFrom n l)[i] = (n + i, l[i])
self : IncidenceGeometry
a b : IncidenceGeometry.Point
⊢ ∃ L, IncidenceGeometry.onLine a L ∧ IncidenceGeometry.onLine b L
C : Type u
n : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.NormalMonoidalObject C
X Y : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.inclusionObj n) f)
    (CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.normalizeIsoApp' C Y n).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.normalizeIsoApp' C X n).hom
    (CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.inclusion.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯))
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
⊢ Function.Injective AffineEquiv.toAffineMap
ι : Type u
X : Type v
inst✝² : TopologicalSpace X
s : Set X
f✝ : BumpCovering ι X s
inst✝¹ : NormalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hsV : s ⊆ ⋃ i, V i
hVf : LocallyFinite V
hVU : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
f : BumpCovering ι X s
hf : f.IsSubordinate V
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
A B : Set E
hA : Balanced 𝕜 A
hB : Balanced 𝕜 B
⊢ Balanced 𝕜 (A ∩ B)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
l : Filter α
x : ℝ≥0
f : ℝ≥0∞ → α
⊢ Tendsto f (𝓝 ↑x) l ↔ Tendsto (f ∘ ofNNReal) (𝓝 x) l
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : MvQPF.Cofix F α
⊢ Quot.mk MvQPF.Mcongr x.repr = x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
a2 : 2 ≤ a
⊢ (1 - 1 / a)⁻¹ ≤ 2
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
hf : Function.Bijective f
g : γ → α
⊢ Function.Bijective (f ∘ g) ↔ Function.Bijective g
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U
⊢ U • {x} ∈ 𝓝 x
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
h : ∀ (x : S), ∃ r s, IsUnit (f s) ∧ f s * x = f r
⊢ f.SurjectiveOnStalks
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
⊢ adjoint (id 𝕜 E) = id 𝕜 E
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat
F : C ⥤ D
R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
M : PresheafOfModules (R ⋙ CategoryTheory.forget₂ CommRingCat RingCat)
φ : S ⟶ F.op ⋙ R
d : M.Derivation φ
self : d.Universal
M' : PresheafOfModules (R ⋙ CategoryTheory.forget₂ CommRingCat RingCat)
⊢ ∀ (φ_1 φ' : M ⟶ M'), d.postcomp φ_1 = d.postcomp φ' → φ_1 = φ'
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
p : R[X]
i : ℕ
⊢ a • ((algebraMap R A[X]) (p.coeff i) * X ^ i) = (monomial i) (a * (algebraMap R A) (p.coeff i))
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
⊢ ∫ (x : X) in univ, f x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
i : I
ho : ord I i < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ term I ho = i
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : β → α
s t : Set β
⊢ s ⊆ t → ⨆ x ∈ s, f x ≤ ⨆ x ∈ t, f x
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
⊢ (↑{ toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun 0 = 0
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h✝ : ContfracLegendre.Ass ξ u v
q : ℚ
h : |ξ - ↑q| < 1 / (2 * ↑q.den ^ 2)
hd : ↑q.den = 1
⊢ -(1 / 2) < ξ - ↑q.num
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset
⊢ ∏ᶠ (a : α), ∏ b ∈ s, f a b = ∏ b ∈ s, ∏ᶠ (a : α), f a b
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a₁ a₂ b : α
⊢ toIcoMod hp a₁ (toIcoMod hp a₂ b) = toIcoMod hp a₁ b
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Subtype Numeric
⊢ BddAbove (Set.range fun i => ⟦f i⟧)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF f
a : α
q : ℚ
⊢ ⨅ r, f a ↑r = f a q
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius
⊢ 0 ≤ ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ
α : Type u_1
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
InfSet α
f : ι → α
g : ι' → α
e : ι ≃ ι'
h : ∀ (x : ι), g (e x) = f x
⊢ ⨅ x, f x = ⨅ y, g y
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
OpensMeasurableSpace α
μ.WeaklyRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ F ⊆ A, IsClosed F ∧ μ (A \ F) < ε
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p p' : P
⊢ Collinear ℝ {p, p', s.secondInter p (p' -ᵥ p)}
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ y
⊢ x (PiNat.firstDiff x y) ≠ y (PiNat.firstDiff x y)
z : ℍ
r : ℝ
⊢ (z.center r).re = z.re
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
ht : NullMeasurableSet t (μ.restrict s)
⊢ (μ.restrict s) t = μ (t ∩ s)
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ b ∧ (m.1, m.2 - 1) ∈ b
⊢ (m.1, m.2 - 1) ≠ m
X : Type u
α : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set α
f : α → Set X
h : ∀ i ∈ s, IsOpen (f i)
⊢ IsOpen (⋃ i ∈ s, f i)
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n : ℕ
inst : CharP α n
a b : α
na : ℕ
na' : α
p : IsNat ((↑n - 1) * a) na
pa : ↑na = na'
⊢ -(a * b) = na' * b
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ : α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
s : Finset α
⊢ (∃ a_1, (insert a a_1 ∈ 𝒜 ∧ a ∉ a_1) ∧ insert a a_1 = s) ↔ s ∈ 𝒜 ∧ a ∈ s
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Martingale g ℱ μ
⊢ Martingale (f - g) ℱ μ
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
α : Type v
CommRing α
StarRing α
A : Matrix n n α
⊢ A ∈ Matrix.unitaryGroup n α ↔ star A * A = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Multiset α
⊢ a ::ₘ (s ∪ t) = a ::ₘ s ∪ a ::ₘ t
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)
⊢ Bimod.TensorBimod.X P Q ◁ T.mul ≫ Bimod.TensorBimod.actRight P Q =
  (α_ (Bimod.TensorBimod.X P Q) T.X T.X).inv ≫ Bimod.TensorBimod.actRight P Q ▷ T.X ≫ Bimod.TensorBimod.actRight P Q
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
⊢ W_ R n = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), MvPolynomial.C (↑p ^ i) * MvPolynomial.X i ^ p ^ (n - i)
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ (z₁ + z₂) ^ p ≤ 2 ^ (p - 1) * (z₁ ^ p + z₂ ^ p)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
ha : a ∈ upperBounds s
hb : b ∈ upperBounds t
⊢ f a b ∈ lowerBounds (Set.image2 f s t)
ι α : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi =ᶠ[l] t i hi
⊢ ⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), s i h =ᶠ[l] ⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), t i h
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S : StarSubalgebra ℂ A
a✝ : Nontrivial A
a' : ↥(elementalStarAlgebra ℂ a) := ⟨a, ⋯⟩
h : IsUnit (star a * a)
h₁ : ↑‖star a * a‖ ≠ 0
u : (↥(elementalStarAlgebra ℂ a))ˣ := (Units.map ↑(algebraMap ℂ ↥(elementalStarAlgebra ℂ a))) (Units.mk0 (↑‖star a * a‖) h₁)
⊢ ‖star a' * a' - ↑u‖ < ‖↑u⁻¹‖⁻¹
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n : ℕ
inst : CharP α n
b : α
a : ℕ
a' : α
p : IsNat (↑n - 1) a
pa : ↑a = a'
⊢ -1 * b = (↑n - 1) * b
α : Type u_1
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype α
x : α
hx : f x ≠ x
hy : ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
⊢ (↑(f.toList x)).formPerm ⋯ = f
⊢ Function.LeftInverse WType.ofNat WType.toNat
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m₁✝ m₂✝ : M × R
m₁ : M
r₁ : R
m₂ : M
r₂ : R
⊢ ↑((toEven Q) ((ofEven Q) (((even.ι (Q' Q)).bilin (m₁, r₁)) (m₂, r₂)))) = (e0 Q * (v Q) m₁ + (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) r₁) * (e0 Q * (v Q) m₂ - (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) r₂)
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
k : ℕ
⊢ (bind₁ (xInTermsOfW p R)) (W_ R k) = X k
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
A : Set Ω
⊢ μ.restrict A = 0 ↔ μ A = 0
R : Type u_1
x : R
MonoidWithZero R
Nontrivial R
⊢ 0 < nilpotencyClass x ↔ IsNilpotent x
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
self : CategoryTheory.LaxFunctor B C
a b c : B
f f' : a ⟶ b
η : f ⟶ f'
g : b ⟶ c
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.mapComp f g) (self.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight η g)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (self.map₂ η) (self.map g))
    (self.mapComp f' g)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
hpq : q < p
⊢ Tendsto (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) atTop atTop
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ F.inv.map (F.map f) = F.asEquivalence.unitInv.app X ≫ f ≫ F.asEquivalence.unit.app Y
X : (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape CategoryTheory.Limits.WalkingPair)ᵒᵖ
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingCospanOpEquiv.unitIso.inv.app X = 𝟙 X
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
f : α → E
g' : α → F'
l l' : Filter α
h : f =O[l] g'
h' : f =O[l'] g'
⊢ f =O[l ⊔ l'] g'
F : Type u_1
inst✝ : Field F
f : F[X]
h : Irreducible f
H : f.natDegree = 0
x : F
hf : C x = f
hx : ¬x = 0
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedDivisionRing α
SeminormedAddGroup β
MulActionWithZero α β
BoundedSMul α β
r : α
x : β
⊢ ‖r • x‖ = ‖r‖ * ‖x‖
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l
⊢ (J l R).det * (J l R).det = 1
X : AlgebraicGeometry.Scheme
⊢ (𝟙 X).val.base = 𝟙 ↑X.toPresheafedSpace
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (F.mapId b).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (F.map f)).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).inv)
      (F.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.id b)).hom)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : R → R
n : ℕ
a : A
hf : ContinuousOn f ((fun x => x ^ n) '' spectrum R a) := by cfc_cont_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfc (fun x => f (x ^ n)) a = cfc f (a ^ n)
x : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
⊢ CategoryTheory.Limits.walkingParallelFamilyEquivWalkingParallelPair.inverse.obj x =
  match x with
  | CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero => CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.zero
  | CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one => CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.one
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
n : ℕ
⊢ (1 / A) ^ n = 1 / A ^ n
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝² : S.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
⊢ S₁.rightHomologyι ≫ opcyclesMap φ = S₁.rightHomologyIso.hom ≫ S₁.homologyι ≫ opcyclesMap φ
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
i : ℕ
a✝¹ : i ∈ ↑(Finset.range N)
j : ℕ
a✝ : j ∈ ↑(Finset.range N)
hij : i ≠ j
hij' : i < j
⊢ min (upperCrossingTime a b f N (i + 1) ω) (upperCrossingTime a b f N (j + 1) ω) ≤ max (lowerCrossingTime a b f N i ω) (lowerCrossingTime a b f N j ω)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
M N : Mon_ C
⊢ (M ⊗ N).one = (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Injective ⇑f
x : M
h : IsAssociatedPrime (Submodule.span R {x}).annihilator M
⊢ (Submodule.span R {x}).annihilator = (Submodule.span R {f x}).annihilator
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type uM
inst✝⁸ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁷ : ChartedSpace H M✝
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M✝
inst✝⁵ : SigmaCompactSpace M✝
inst✝⁴ : T2Space M✝
t : M✝ → Set F
n : ℕ∞
M : Type u_1
inst✝³ : MetricSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
K U : ι → Set M
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
⊢ ∃ δ, (∀ (x : M), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, closedBall x (δ x) ⊆ U i
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : sᶜ ∉ f
⊢ ∃ x ∈ s, sᶜ ∉ 𝓝 x ⊓ f
R : Type u_1
inst✝⁴⁵ : Semiring R
S : Type u_2
inst✝⁴⁴ : Semiring S
R₂ : Type u_3
inst✝⁴³ : Semiring R₂
S₂ : Type u_4
inst✝⁴² : Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
M₂ : Type u_8
N₂ : Type u_9
P₂ : Type u_10
Nₗ : Type u_11
Pₗ : Type u_12
M' : Type u_13
N' : Type u_14
P' : Type u_15
inst✝⁴¹ : AddCommMonoid M
inst✝⁴⁰ : AddCommMonoid N
inst✝³⁹ : AddCommMonoid P
inst✝³⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝³⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝³⁶ : AddCommMonoid P₂
inst✝³⁵ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝³⁴ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝³³ : AddCommGroup M'
inst✝³² : AddCommGroup N'
inst✝³¹ : AddCommGroup P'
inst✝³⁰ : Module R M
inst✝²⁹ : Module S N
inst✝²⁸ : Module R₂ P
inst✝²⁷ : Module S₂ P
inst✝²⁶ : Module R M₂
inst✝²⁵ : Module S N₂
inst✝²⁴ : Module R P₂
inst✝²³ : Module S₂ P₂
inst✝²² : Module R Pₗ
inst✝²¹ : Module S Pₗ
inst✝²⁰ : Module R M'
inst✝¹⁹ : Module S N'
inst✝¹⁸ : Module R₂ P'
inst✝¹⁷ : Module S₂ P'
inst✝¹⁶ : SMulCommClass S₂ R₂ P
inst✝¹⁵ : SMulCommClass S R Pₗ
inst✝¹⁴ : SMulCommClass S₂ R₂ P'
inst✝¹³ : SMulCommClass S₂ R P₂
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
R' : Type u_16
S' : Type u_17
inst✝¹² : Semiring R'
inst✝¹¹ : Semiring S'
inst✝¹⁰ : Module R' M
inst✝⁹ : Module S' N
inst✝⁸ : Module R' Pₗ
inst✝⁷ : Module S' Pₗ
inst✝⁶ : SMulCommClass S' R' Pₗ
inst✝⁵ : SMul S' S
inst✝⁴ : IsScalarTower S' S N
inst✝³ : IsScalarTower S' S Pₗ
inst✝² : SMul R' R
inst✝¹ : IsScalarTower R' R M
inst✝ : IsScalarTower R' R Pₗ
B : M →ₗ[R] N →ₗ[S] Pₗ
r' : R'
m : M
x✝ : N
⊢ (B (r' • m)) x✝ = r' • (B m) x✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R
⊢ ![u 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2 - u 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1, u 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0 - u 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2, u 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1 - u 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0] = ![![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 1 * w 2 - ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 2 * w 1 + (v 1 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 2 - v 2 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 1), ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 2 * w 0 - ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 0 * w 2 + (v 2 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 0 - v 0 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 2), ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 0 * w 1 - ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 1 * w 0 + (v 0 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 1 - v 1 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 0)]
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
⊢ 1 < o.card ↔ 1 < o
α : Type u_1
Bot α
a : α
⊢ ⊥ = ↑a ↔ ⊥ = a
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.Colorable n
⊢ n ∈ {n | G.Colorable n}
a b c d b' : List Γ'
⊢ update (elim a b c d) rev b' = elim a b' c d
F : Type u_4
SeminormedCommGroup F
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
K : ℝ≥0
f : E → F
hf : AntilipschitzWith K f
x y : E
⊢ ‖x / y‖ ≤ ↑K * ‖f x / f y‖
C : Type ?u.25950
inst✝¹ : Category.{?u.25954, ?u.25950} C
r : HomRel C
D : Type ?u.25982
inst✝ : Category.{?u.25986, ?u.25982} D
F✝ : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F✝.map f₁ = F✝.map f₂
F G : Quotient r ⥤ D
τ : functor r ⋙ F ≅ functor r ⋙ G
⊢ natTransLift r τ.hom ≫ natTransLift r τ.inv = 𝟙 F
m n a✝ b✝ c d : ℤ
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hgcd : a.gcd b = 1
⊢ ↑a * a.gcdA b + ↑b * a.gcdB b ≡ 1 [ZMOD ↑b]
ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : UniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F)) 1
φ : G →* ι →ᵤ M := { toFun := swap (DFunLike.coe ∘ F), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
⊢ Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F))
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
i : α → β
di : DenseInducing i
b : β
⊢ (𝓝[Set.range i] b).NeBot
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
p1 : P
p2 : P
hp1 : p1 ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ dist p1 p2 * dist p1 p2 =
  dist p1 ↑(s.orthogonalProjectionSpan p2) * dist p1 ↑(s.orthogonalProjectionSpan p2) +
    dist p2 ↑(s.orthogonalProjectionSpan p2) * dist p2 ↑(s.orthogonalProjectionSpan p2)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
⊢ IsOpen (coborder s) ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (coborder (Subtype.val ⁻¹' s))
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
hh₂ : DifferentiableAt 𝕜' h₂ (h x)
hh : DifferentiableAt 𝕜 h x
⊢ deriv (h₂ ∘ h) x = deriv h₂ (h x) * deriv h x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hp : (Polynomial.aeval s) p = 0
⊢ ↑(minpoly R s).natDegree ≤ ↑p.natDegree
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e : A ≃ₐc[R] B
⊢ ↑e = ↑↑e
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : z ⊔ x ⊓ y = x \ y ⊔ x ⊓ y
i : x ⊓ y ⊓ z = ⊥
⊢ x \ y = z
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤
h : μ.rnDeriv (c • ν) =ᶠ[ae ν] c⁻¹ • μ.rnDeriv ν
x : α
hx_eq : μ.rnDeriv (c • ν) x = (c⁻¹ • μ.rnDeriv ν) x
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤
⊢ c⁻¹.toReal ≠ 0