ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
⊢ t₁.points i₁ ∈ altitude t₂ j₃
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.Functor.IsDenseSubsite J K G
⊢ G.IsCoverDense K
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
⊢ ¬s.Terminates ↔ ∀ (n : ℕ), (s.get? n).isSome = true
S : Type u'
M : Type v
N : Type u_1
α : Type u_2
SetLike S α
SMul M N
SMul M α
Monoid N
MulAction N α
SMulMemClass S N α
IsScalarTower M N α
s : S
r : M
x : ↥s
⊢ r • x = ⟨r • ↑x, ⋯⟩
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
p : Sort u_4
f : M → ↥S → M → ↥S → p
H : ∀ {a a' : M} {b b' : ↥S} {c c' : M} {d d' : ↥S}, (r S) (a, b) (a', b') → (r S) (c, d) (c', d') → f a b c d = f a' b' c' d'
a c : M
b d : ↥S
⊢ ((monoidOf S).mk' a b).liftOn₂ ((monoidOf S).mk' c d) f H = f a b c d
α : Type u_2
l : Filter α
⊢ ⋂₀ {s | s ∈ 𝓝 l} = Set.Iic l
α : Type u_1
ι : Sort u_7
m : ι → MeasurableSpace α
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔ MeasurableSpace.GenerateMeasurable {s | ∃ i, MeasurableSet s} s
α β : Type u
c : Cardinal.{u}
f : α → β
hf : ∀ (b : β), #↑(f ⁻¹' {b}) ≤ c
⊢ #α ≤ #β * c
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
Fintype α
f : α → M
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ i : α, f i
M : Type u_1
AddMonoid M
⊢ ⊤.addUnits = ⊤
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
M : Type u_2
AddCommMonoid M
boxes : Finset (WithBot (BoxIntegral.Box ι))
le_of_mem : ∀ J ∈ boxes, J ≤ ↑I
pairwise_disjoint : (↑boxes).Pairwise Disjoint
f : BoxIntegral.Box ι → M
⊢ ∑ J ∈ (BoxIntegral.Prepartition.ofWithBot boxes le_of_mem pairwise_disjoint).boxes, f J =
  ∑ J ∈ boxes, Option.elim' 0 f J
n : ℕ
⊢ Stream'.Seq.nats.get? n = some n
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
M : Type u_5
SMul M β
c : α → M
f : α → β
⊢ ↑(c • f) = ↑c • ↑f
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
L : List α
⊢ L ⊆ [a] ↔ ∃ n, L = replicate n a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s
this : BijOn f A (f '' A)
⊢ (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ f '' A → ∀ ⦃b : β⦄, b ∈ f '' A → ∀ ⦃c : β⦄, c ∈ f '' A → a * c = b * b → a = b) ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ A → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ A → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ A → a * c = b * b → a = b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0
zero_mem : 0 ∈ EMetric.ball 0 r
this : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → ((pf i) fun j => 0) = 0
⊢ (pf 0) v = f x
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
⊢ H.normalizer ≤ H
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
hJ_ne_zero : J ≠ 0
hJ : ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) = ↑J
ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0
ha : ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors) = ↑(Ideal.span {a})
⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)) = (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors)) * ∏ᶠ (x : HeightOneSpectrum R), (↑x.asIdeal ^ ↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors))⁻¹
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β → γ
hf : Function.Injective2 f
Nonempty α
⊢ Function.Injective fun b a => f a b
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <+: l₂ → l₁.length = l₂.length → l₁ = l₂
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
⊢ map₂ m (pure a) g = map (m a) g
S : Type u_3
AddGroup S
Mul S
t : RingCon S
a b : S
h : t a b
⊢ t (-a) (-b)
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.Regular
inst✝ : μ'.Regular
A : ∀ (U : Set G), IsOpen U → μ' U = (μ'.haarScalarFactor μ • μ) U
s : Set G
_hs : MeasurableSet s
⊢ μ' s = (μ'.haarScalarFactor μ • μ) s
α✝ β✝ : Type u
a : Cardinal.{u}
b : Cardinal.{max u v}
α : Type u
β : Type (max u v)
⊢ Nonempty (β ↪ α) → ∃ a', lift.{max u v, u} a' = lift.{max u v, max u v} #β
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
PartialOrder X
x y : X
hy : μ {y} = 0
⊢ ∫ (t : X) in Set.Ioc x y, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Set.Ioo x y, f t ∂μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
DecidableEq α
DecidableEq β
DecidableEq γ
a : α
b : β
c : γ
⊢ (PEquiv.single a b).trans (PEquiv.single b c) = PEquiv.single a c
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
B : ∀ z ∈ closedBall b ε, g z ∈ closedBall b ε → dist (f (g z)) y ≤ ↑c * ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
C : ∀ (n : ℕ) (w : E), dist w b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y → w ∈ closedBall b ε
D : ∀ (n : ℕ), dist (f (u n)) y ≤ (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n * dist (f b) y ∧ dist (u n) b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y
this : CauchySeq u
x : E
hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)
xmem : x ∈ closedBall b ε
hx' : Tendsto u atTop (𝓝[closedBall b ε] x)
T1 : Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 (f x))
T2 : Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 y)
⊢ f x = y
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ ((f j) r * (f j) s).cast - ((f j) r).cast * ((f j) s).cast = 0
o : ONote
f : ℕ → ONote
⊢ o.FundamentalSequenceProp (Sum.inr f) ↔
  o.repr.IsLimit ∧ (∀ (i : ℕ), f i < f (i + 1) ∧ f i < o ∧ (o.NF → (f i).NF)) ∧ ∀ a < o.repr, ∃ i, a < (f i).repr
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
hxy : dist x y = 0
h : x ≠ y
⊢ x = y
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Pow M ℕ+
inst✝ : PNatPowAssoc M
m n : ℕ+
x : M
⊢ x ^ m * x ^ n = x ^ n * x ^ m
X : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace X
AddMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
f : AddUnits C(X, M)
x : X
⊢ ↑(-(ContinuousMap.addUnitsLift.symm f) x) = ↑(-f) x
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s✝ t : Set α
ℬ : Set (Set α)
h : 𝒜 ⊆ ℬ
hℬ : IsSetAlgebra ℬ
s : Set α
hs : s ∈ generateSetAlgebra 𝒜
⊢ s ∈ ℬ
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ (↑s).infsep = if hs : s.offDiag.Nonempty then s.offDiag.inf' hs (Function.uncurry dist) else 0
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : β → Option (α × β)
b : β
h✝ : corec' (Corec.f f) (some b) 0 = (Corec.f f (some b)).1
a : α
b' : β
h : f b = some (a, b')
⊢ (corec' (Corec.f f) (some b)).tail = corec' (Corec.f f) (some b')
ι : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List ι
f g : ι → M
h₁ : ∀ i ∈ l, f i ≤ g i
h₂ : ∃ i ∈ l, f i < g i
⊢ (List.map f l).prod < (List.map g l).prod
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
y : ↥S
⊢ (AddLocalization.r S) 0 (↑y, y)
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
n m : ℕ
h : n ≤ m
⊢ 1 / (↑m + 1) ≤ 1 / (↑n + 1)
n : Type u_1
Fintype n
DecidableEq n
S : Type u_2
LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (i : n), 0 < ∑ j : n, A i j
⊢ A.det ≠ 0
Ω : Type u_1
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
s1 s2 : Set (Set Ω)
h_indep : ProbabilityTheory.Indep (MeasurableSpace.generateFrom s1) (MeasurableSpace.generateFrom s2) μ
⊢ ProbabilityTheory.IndepSets s1 s2 μ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
⊢ Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | ¬b ≤ a}) ↔ Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
h_aJ : I = FractionalIdeal.spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
⊢ FractionalIdeal.count K v I =
  ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) -
    ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
S : SSet
σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S
h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)
m : ℕ
f : Λ[n + 1, i] _[m]
f' : unop (op [m]) ⟶ [n + 1]
hf : (standardSimplex.objEquiv [n + 1] (op [m])).symm f' = ↑f
⊢ σ₁.app (op [m]) f = σ₂.app (op [m]) f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f i • g (σ i) = ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ AntivaryOn f (g ∘ ⇑σ) ↑s
α : Sort u
p : PLift α → Prop
⊢ (∃ x, p x) ↔ ∃ x, p { down := x }
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
T : Turing.Tape Γ
i : ℤ
⊢ (Turing.Tape.move Turing.Dir.left T).nth i = T.nth (i - 1)
R : Type u_1
M : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I : R →+* R
B : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
H : B.IsSymm
⊢ B.IsRefl
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
⊢ μ s = 0 → μ s = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : T1Space α
inst✝ : Countable α
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
⊢ ∀ b ∈ s, MeasurableSet {b}
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h₁ : s ≠ t
h₂ : ¬G.IsUniform ε s t
gt : WellOrderingRel t s
⊢ ε ≤ ↑|G.edgeDensity (if WellOrderingRel s t then (G.nonuniformWitnesses ε s t).1 else (G.nonuniformWitnesses ε t s).2) (if WellOrderingRel t s then (G.nonuniformWitnesses ε t s).1 else (G.nonuniformWitnesses ε s t).2) - G.edgeDensity s t|
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
h : OpenEmbedding ⇑f
⊢ CoverPreserving (Opens.grothendieckTopology ↑X) (Opens.grothendieckTopology ↑Y) ⋯.functor
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
X : a ⟶ b
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitorNatIso a b).hom.app X = (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor X).hom
⊢ RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Surjective ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
op₁ : γ → δ
op₂ : β → γ
f : l.Germ β
⊢ Filter.Germ.map op₁ (Filter.Germ.map op₂ f) = Filter.Germ.map (op₁ ∘ op₂) f
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i
⊢ C x hx
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
a₁ a₂ a₃ : ℤ
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : ℤ
h₁ : a₁ + b₁ = 0
h₂ : a₂ + b₂ = 0
h₃ : a₃ + b₃ = 0
⊢ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' Cᵒᵖ a₁ a₂ a₃ h).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.Pretriangulated.shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).hom.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        ((CategoryTheory.Pretriangulated.shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).inv.app
          (Opposite.op ((CategoryTheory.shiftFunctor C b₁).toPrefunctor.1 (Opposite.unop X))))
        ((CategoryTheory.shiftFunctor Cᵒᵖ a₂).map
          ((CategoryTheory.Pretriangulated.shiftFunctorOpIso C a₁ b₁ h₁).inv.app X))))
α : Type u_1
r : α → α → Prop
S : Set (Set α)
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
h : ∀ x ∈ S, DirectedOn r x
⊢ DirectedOn r (⋃₀ S)
s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hm : Squarefree m
hn : n ≠ 0
p : ℕ
this : m / m.gcd n ≠ 0
⊢ p ∈ (m / m.gcd n).primeFactors ↔ p ∈ m.primeFactors \ n.primeFactors
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x✝ : α ⊕ β
hs✝ : s.Nodup
ht✝ : t.Nodup
x : α ⊕ β
hs : x ∈ Multiset.map inl s
ht : x ∈ Multiset.map inr t
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
Preorder α
OrderClosedTopology α
SemilatticeSup β
f : β → α
a : α
hf : Monotone f
ha : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 a)
b : β
⊢ f b ≤ a
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_5
TopologicalSpace α
One β
One γ
f : α → β
f' : α → γ
hf : HasCompactMulSupport f
hff' : Function.mulSupport f' ⊆ mulTSupport f
⊢ HasCompactMulSupport f'
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞
h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I' n f (s ∩ u)
⊢ ContMDiffOn I I' n f s
α : Type u_1
a : Array α
i : Fin a.data.length
⊢ a[i] = a.data.get i
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ Complex.log (1 + z * Complex.I) + -Complex.log (1 - z * Complex.I) =
  Complex.log ((1 + z * Complex.I) / (1 - z * Complex.I))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S S₁ : CategoryTheory.ShortComplex C
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.f k = 0
S.HasRightHomology
φ : S₁ ⟶ S
S₁.HasRightHomology
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap φ) (S.descOpcycles k hk) =
  S₁.descOpcycles (CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.τ₂ k) ⋯
p : ℝ × ℝ
⊢ Complex.abs (↑Complex.polarCoord.symm p) = |p.1|
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
NormalSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ (x : X), {i | x ∈ u i}.Finite
uU : ⋃ i, u i = Set.univ
⊢ ∃ v, Set.iUnion v = Set.univ ∧ (∀ (i : ι), IsOpen (v i)) ∧ ∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
T : CategoryTheory.Monad C
⊢ ∀ {x Y : CategoryTheory.Kleisli T} (f : x ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Kleisli.Adjunction.fromKleisli T).map f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (T.map f) (T.μ.app Y)
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
z : ℂ
hz : 1 ≤ z.re
h2 : 0 < √2
hz' : 1 ≤ abs z
hm₀ : 0 < max z.re |z.im|
⊢ 0 < √2 * max z.re |z.im|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ ↑{ deg := z.deg, num := ⟨(RingHom.id A) ↑z.num, ⋯⟩, den := ⟨(RingHom.id A) ↑z.den, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.num ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal.primeCompl ↔ ↑z.num ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} {f g : α →+* β}, f = g → ∀ (x_2 : α), f x_2 = g x_2
M : Type u_5
N : Type u_6
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ ⇑(MonoidHom.snd M N) = Prod.snd
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.121039, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K : CochainComplex C ℤ
A : C
n i : ℤ
f : A ⟶ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K).X i
j : ℤ
hf : f ≫ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K).d i j = 0
i' : ℤ
hi' : n + i = i'
j' : ℤ
hj : i + 1 = j
hj' : i' + 1 = j'
⊢ (f ≫ (K.shiftFunctorObjXIso n i i' ⋯).hom) ≫ K.d i' j' = 0
α : Type u
SubtractionMonoid α
a : α
h : IsAddUnit a
b : α
⊢ a + (-a + b) = b
α : Type u_2
Div α
s t : Set α
a b : α
⊢ a ∈ s → b ∈ t → a / b ∈ s / t
α : Type u_1
inst✝³ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace γ
f : α → β → γ
inst✝ : CompleteSpace γ
⊢ UniformContinuous₂ (pkg.extend₂ pkg' f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → β → γ
hf : Measurable (Function.uncurry f)
x : α
⊢ Measurable (f x)
α : Type u_2
M : Type u_4
LE M
Zero M
s : Set α
g : α → M
a : α
y : M
hfg : a ∈ s → y ≤ g a
hf : a ∉ s → y ≤ 0
⊢ y ≤ s.indicator g a
α : Type u_1
Preorder α
NoMinOrder α
a : α
⊢ Set.Bounded (fun x x_1 => x > x_1) (Set.Ici a)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l✝ : ListBlank Γ
n : ℕ
l : List Γ
⊢ (map f ⟦l⟧).nth n = f.f (nth ⟦l⟧ n)
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ 2 ∣ S'.a + S'.b
⊢ ∃ a' b', a' ^ 3 + b' ^ 3 = ↑S'.u * S'.c ^ 3 ∧ IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ λ ^ 2 ∣ a' + b'
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
⊢ ∀ (s s_1 : Multiset α), (∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s_1, Irreducible a) → (∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a) → (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s_1).prod = (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod → Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s_1 = Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s
α : Type u_4
Finite α
l : List (Equiv.Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Equiv.Perm.Disjoint l
σ : Equiv.Perm α
⊢ σ ∈ l ↔ σ.IsCycle ∧ ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
pm : p.natDegree ≤ m
qn : q.natDegree ≤ n
⊢ (p.toFinsupp * q.toFinsupp) (m + n) = p.toFinsupp m * q.toFinsupp n
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
t : Set Ω
h_indep : ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) (t ∩ t) = (κ a) t * (κ a) t
a : α
ha : (κ a) (t ∩ t) = (κ a) t * (κ a) t
h0 : ¬(κ a) t = 0
h_top : ¬(κ a) t = ⊤
⊢ (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1 ∨ (κ a) t = ⊤
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Type u
τ : Type u
a : Function.FromTypes p τ
⊢ (Function.fromTypes_succ_equiv p τ) a = a
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : Set β
t : ι → Set β
⊢ (⋃ i, t i) \ s = ⋃ i, t i \ s
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
a : α
h : a ∉ s
⊢ a ∉ s \ t
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a : B
⊢ (CategoryTheory.Pseudofunctor.mkOfOplax F F').mapId a = F'.mapIdIso a
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SecondCountableTopology H
s : Set M
hs : ⋃ x ∈ s, (chartAt H x).source = Set.univ
hsc : s.Countable
⊢ SecondCountableTopology M
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A[X]
hx : IsIntegral A x
hamonic : a.Monic
ha : (Polynomial.aeval x) a = 0
left✝ : a ≠ 0
c : A[X]
hu : ¬IsUnit c
he : minpoly A x = a * c
hcm : c.Monic
⊢ 0 < c.natDegree
α : Type u_1
LinearOrderedField α
FloorRing α
x : ℚ
⊢ round ↑x = round x
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddMonoid ι
l : List α
fι : α → ι
⊢ l.dProdIndex fι = (List.map fι l).sum
α : Type u_1
LE α
MulOneClass α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : MulLECancellable a
⊢ a * b ≤ a ↔ b ≤ 1
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
⊢ (Homotopy.nullHomotopicMap hom).f k₀ = hom k₀ k₁ ≫ D.d k₁ k₀
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_6
𝔸' : Type u_8
NormedCommRing 𝔸'
NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivWithinAt (fun x => g i x) (g' i) s x
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) u).prod)
  (Multiset.map (fun i => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) (u.erase i)).prod • g' i) u).sum s x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
⊢ (HomologicalComplex₂.flipEquivalence C c₁ c₂).unitIso = HomologicalComplex₂.flipEquivalenceUnitIso C c₁ c₂
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
x✝ : M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
i j : n
r : α
hr : (scalar n) r = M
⊢ Commute ((scalar n) r) (stdBasisMatrix i j 1)
α : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝³ : DecidableEq (Associates α)
inst✝² : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
a p : Associates α
hp : Irreducible p
inst✝ : (n : ℕ) → Decidable (a ∣ p ^ n)
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
⊢ Nat.find ⋯ ≤ p.count a.factors
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
x : R
⊢ (DoubleQuot.quotQuotEquivComm I J) ((algebraMap R ((A ⧸ I) ⧸ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J)) x) =
  (algebraMap R ((A ⧸ J) ⧸ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) I)) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
h₀ : 0 ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
⊢ ‖↑(approxOn f hf s 0 h₀ n) x‖ ≤ ‖f x‖ + ‖f x‖
n p : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.range n, ↑k ^ p =
  ∑ i ∈ Finset.range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / (↑p + 1)