ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocDiv hp (a - m • p) b = toIocDiv hp a b + m
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f f' : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
g : f.left ≅ f'.left
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.map g.hom) f'.hom = f.hom := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.CostructuredArrow.isoMk g w).hom.left = g.hom
I : Type w₀
J✝ : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝ : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
J : Type w₁
K : Type w₂
f : K → J
g : J → I
X Y : (i : I) → C i
f' : X ⟶ Y
x✝ : K
⊢ (({ obj := fun f i => f (g i), map := fun {X Y} α i => α (g i), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun f_1 i => f_1 (f i), map := fun {X Y} α i => α (f i), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).map f' ≫ fun b => 𝟙 (Y (g (f b)))) x✝ = ((fun b => 𝟙 (X (g (f b)))) ≫ fun i => f' (g (f i))) x✝
α : Type u_1
Ω : Type u_2
_mα : MeasurableSpace α
s₁ s₂ s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets (s₁ ∪ s₂) s' κ μ ↔
  ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets s₁ s' κ μ ∧ ProbabilityTheory.Kernel.IndepSets s₂ s' κ μ
α : Type u_5
E : Type u_6
⊢ ∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : AddCommGroup E] [inst_1 : TopologicalSpace E] [inst_2 : MeasurableSpace E]
  [inst_3 : BorelSpace E] [inst_4 : ContinuousAdd E] [inst_5 : ContinuousNeg E]
  [inst_6 : TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace E] {g f : α → E},
  Measurable g → MeasureTheory.StronglyMeasurable f → Measurable (g - f)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
he : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
⊢ s1.direction ⊔ s2.direction < (s1 ⊔ s2).direction
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
x y : PiTensorProduct R fun i => s i
p q : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
hp : p ∈ x.lifts
hq : q ∈ y.lifts
⊢ p + q ∈ (x + y).lifts
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))
x : ℕ → ι
hx : Tendsto x atTop u
this : (fun y => liminf (fun n => f (x n) y) atTop) = g
⊢ Measurable g
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
⊢ nndist p₂ ((AffineMap.homothety p₁ c) p₂) = ‖1 - c‖₊ * nndist p₁ p₂
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
c : α
⊢ (cobounded α).HasBasis (fun x => True) fun i => (fun x => dist x c) ⁻¹' Ici i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M
s : Set E
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen ((extChartAt I x).source ∩ ↑(extChartAt I x) ⁻¹' s)
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing Rₘ
inst✝¹¹ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Algebra R Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
Q : Type u
inst✝¹ : CommRing Q
inst✝ : Algebra R Q
I : Ideal Q
e : I ^ 2 = ⊥
f : Rₘ →ₐ[R] Q ⧸ I
this✝ : ∀ (x : ↥M), IsUnit ((algebraMap R Q) ↑x)
this : Rₘ →ₐ[R] Q := let __src := IsLocalization.lift this✝; { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }
⊢ ↑((Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp this) = ↑f
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x : P
⊢ s.WSameSide x x ↔ (↑s).Nonempty
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : Semiring R
α : Type u_3
x : HahnSeries Γ R
s : SummableFamily Γ R α
g : Γ
a : α
⊢ ∑ ij ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, x.coeff ij.1 * (s a).coeff ij.2 = ∑ b ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, x.coeff b.1 * (s a).coeff b.2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t
h : ∀ (i : { i // t i ≠ ⊥ }), Disjoint (t ↑i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t ↑j)
i : ι
hi : t i ≠ ⊥
⊢ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t j = ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ ⟨i, hi⟩), t ↑j
b : SetTheory.PGame.Domineering.Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ SetTheory.PGame.Domineering.right b
⊢ Finset.card (SetTheory.PGame.Domineering.moveRight b m) + 2 = Finset.card b
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a : R
ha : a ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
c x y : R
hx : 0 ≤ star c * x * c
hy : 0 ≤ star c * y * c
⊢ 0 ≤ star c * (x + y) * c
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 2 = 0
hc : b / 2 = c
hr : jacobiSymNat a c = r
⊢ jacobiSymNat a b = r
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
⊢ minpoly K σ.toLinearMap = X ^ orderOf σ - C 1
F : Type u_1
E : Type u_2
Field F
Field E
Algebra F E
⊢ (Algebra.IsAlgebraic F E ∧ ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤) ↔ Finite (IntermediateField F E)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : Presieve.FamilyOfElements P R
b✝ : x.Compatible
⊢ (∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∃! x_1, forkMap P R x_1 = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm x
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
h2x : x ∉ tsupport f
⊢ x ∉ support (deriv f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso α
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.inv α) f = g ↔ f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp α g
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
fpow : ∀ {c x : ℝ}, 0 < c → ∀ (u : ℝ), 0 < x → rexp (-x) * x ^ (u - 1) = f c u x ^ (1 / c)
f_mem_Lp : ∀ {c u : ℝ}, 0 < c → 0 < u → Memℒp (f c u) (ENNReal.ofReal (1 / c)) (volume.restrict (Ioi 0))
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (a * s + b * t - 1) = ∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, f a s a_1 * f b t a_1
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
b : Con (M × ↥S)
H : b ∈ {c | ∀ (y : ↥S), c 1 (↑y, y)}
x✝² x✝¹ : M × ↥S
p : M
q : ↥S
x : M
y : ↥S
x✝ : (r' S) (p, q) (x, y)
t : ↥S
ht : ↑t * (↑y * p) = ↑t * (↑q * x)
⊢ (↑t * ↑y * p, t * y * q) = (↑t * ↑q * x, t * q * y)
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
u : ℕ → α
hu : DenseRange u
s : Set (ℕ → ℕ) := {x | (⋂ n, closedBall (u (x n)) ((1 / 2) ^ n)).Nonempty}
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f
α : Type u_2
β : Type u_3
UniformSpace β
f g : α → β
l : Filter α
b : β
hfg : Filter.Tendsto (fun x => (f x, g x)) l (𝓤 β)
⊢ Filter.Tendsto f l (𝓝 b) ↔ Filter.Tendsto g l (𝓝 b)
x : ℝ
hx : -(Real.pi / 2) ≤ x
hx₀ : x ≤ 0
⊢ Real.sin x ≤ 2 / Real.pi * x
t : ℝ
f : UnitAddCircle → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : ℝ) in Set.Ioc t (t + 1), f ↑a = ∫⁻ (b : UnitAddCircle), f b
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
p : P2
⊢ (AffineMap.const k P1 p).linear = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
s : Set α
f : α → β
this : CanLift β (↑s) (f ∘ Subtype.val) fun y => y ∈ f '' s := { prf := fun y x => match x with | Exists.intro x ⟨hxt, hy⟩ => Exists.intro ⟨x, hxt⟩ hy }
t : Finset ↑s
⊢ image f (map (Embedding.subtype fun x => x ∈ s) t) = image (f ∘ Subtype.val) t
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
SeminormedRing 𝕜
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
AddCommGroup E
AddCommGroup E₂
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
⊢ Seminorm.comp 0 f = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
⊢ (CategoryTheory.MonoOver.imageMonoOver f).arrow = CategoryTheory.Limits.image.ι f
k : ℕ
⊢ (2 * ↑k + 1) / (2 * ↑k + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k) ≤ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1)
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝ : Fintype P
⊢ lineCount L p = lineCount L q
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Finset.image (fun t => p ^ (t + 1)) (Finset.range (padicValNat p 0)) ⊆ (divisors 0).erase 1
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F : C ⥤ D
inst✝² : HasBinaryBiproducts C
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : PreservesBinaryBiproducts F
X Y : C
f g : X ⟶ Y
⊢ F.map (f + g) = F.map f + F.map g
p a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hpb : p ∈ b.primeFactorsList
⊢ (a * b).factorization p = b.factorization p
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : ↑u * a = 1
⊢ ↑u⁻¹ * 1 = a
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
ht : IsAntichain r t
h : minimals r s ⊆ t
hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → ∃ b ∈ minimals r s, r a b
⊢ minimals r s = t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable g ν
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
γ : J.sheafify P ⟶ Q
h : J.toSheafify P ≫ γ = η
⊢ (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P)) ≫ γ = η
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m₁ s₁) = (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m₂ s₂) ↔ ∃ s, s • s₁ • m₂ = s • s₂ • m₁
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
φ : L.Formula α
⊢ T.SemanticallyEquivalent φ φ.not.not
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
S : ConvexCone 𝕜 E
⊢ S.Salient ↔ ¬S.Flat
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : InjOn f₁ s₁
h₂ : InjOn f₂ s₂
x : α₁ × α₂
hx : x ∈ s₁ ×ˢ s₂
y : α₁ × α₂
hy : y ∈ s₁ ×ˢ s₂
⊢ f₁ x.1 = f₁ y.1 ∧ f₂ x.2 = f₂ y.2 → x.1 = y.1 ∧ x.2 = y.2
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q✝ : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
q : ℚ
this : ↑↑q.den ≠ 0
⊢ addOrderOf ↑(↑q * p) = q.den
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ [CategoryTheory.Bicategory.IsLeftAdjoint f,
    CategoryTheory.Bicategory.HasAbsLeftKanExtension f (CategoryTheory.CategoryStruct.id a),
    ∃ (x : CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f (CategoryTheory.CategoryStruct.id a)),
      CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith f (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) f].TFAE
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
U : CategoryTheory.Comonad C
U.Additive
F G : U.Coalgebra
α β : F ⟶ G
⊢ (α - β).f = α.f - β.f
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
⊢ ⊤.FG
α : Type u_2
AddGroup α
One α
i : α
⊢ (ComplexShape.up α).prev i = i - 1
α : Type u_1
SemilatticeSup α
a b : α
⊢ Set.Ici a ∩ Set.Ici b = Set.Ici (a ⊔ b)
X : Type u
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → Set X
⊢ closure (⋃ i ∈ s, f i) = ⋃ i ∈ s, closure (f i)
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
h : (multiplicity p n.succ).Dom
⊢ multiplicity (↑p) (x ^ (n + 1) - y ^ (n + 1)) = multiplicity (↑p) (x - y) + multiplicity p (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
⊢ (f ×ˢ g).NeBot ↔ f.NeBot ∧ g.NeBot
m n✝ n : ℕ
⊢ Nontrivial (ZMod n) ↔ n ≠ 1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} A
CategoryTheory.Abelian A
Y : CategoryTheory.SimplicialObject A
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.homotopyEquivNormalizedMooreComplexAlternatingFaceMapComplex.homotopyInvHomId =
  (Homotopy.ofEq ⋯).trans (AlgebraicTopology.DoldKan.homotopyPInftyToId Y)
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
s : Multiset (Ideal R)
⊢ s.prod = ⊥ ↔ ∃ I ∈ s, I = ⊥
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume (Metric.closedBall x r) =
  ENNReal.ofReal r ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E *
    ENNReal.ofReal (√Real.pi ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E / Real.Gamma (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E) / 2 + 1))
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : Cofork f g
W : C
k l : s.pt ⟶ W
h : s.π ≫ k = s.π ≫ l
⊢ s.ι.app zero ≫ k = s.ι.app zero ≫ l
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x : α
f : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β
a✝² a'✝ : { x // x ∈ s }
a✝¹ : a✝² ∈ univ
a✝ : a'✝ ∈ univ
⊢ a✝² ≤ a'✝ ↔ ↑a✝² ≤ ↑a'✝
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c ≤ 0
h : b ≤ a
⊢ a * (1 / c) ≤ b * (1 / c)
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : LocalizedModule S M →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ mkLinearMap S M = g
m : M
s : ↥S
⊢ l (mk m 1) = l (mk (↑s • m) s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
h : CategoryTheory.Limits.IsZero X
⊢ CategoryTheory.Projective X
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : F → E
hf : Differentiable ℝ f
x : F
p : NNReal
hp : 1 < p
⊢ ‖fderiv ℝ (fun x => ‖f x‖ ^ ↑p) x‖₊ ≤ p * ‖f x‖₊ ^ (↑p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖₊
α : Type u_1
Group α
n : ℕ∞
⊢ n ≤ Monoid.minOrder α ↔ ∀ ⦃s : Subgroup α⦄, s ≠ ⊥ → (↑s).Finite → n ≤ ↑(Nat.card ↥s)
K : Type u
Field K
⊢ Function.Injective ValuationSubring.unitGroup
α : Type u
c d : Cardinal.{u}
⊢ toNat c = 0 ↔ c = 0 ∨ ℵ₀ ≤ c
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
CommRing Rₘ
Algebra R Rₘ
CommRing Sₘ
Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
IsLocalization M Rₘ
IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
Algebra Rₘ Sₘ
Algebra R Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
IsScalarTower R S Sₘ
Module.Free R S
Module.Finite R S
a : S
b : R
hM : M ≤ R⁰
⊢ (Algebra.norm R) a = b ↔ (Algebra.norm Rₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) b
X : Type u_5
UniformSpace X
(𝓤 X).IsCountablyGenerated
s : Set X
hs : IsClosed s
⊢ IsGδ s
R M : Type u
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
i j k : ℕ
⊢ I ^ (i + k) • F.N j ≤ I ^ k • F.N (i + j)
α : Type u_1
LinearOrderedCommMonoid α
a : α
⊢ 1 < a * a ↔ 1 < a
F : Type u_1
Field F
Fintype F
R : Type u_2
CommRing R
DecidableEq F
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(MulChar.Monoid.orderUnits F)
⊢ ∃ χ, orderOf χ = Fintype.card Fˣ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' f₁' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
H : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hg : HasFDerivWithinAt f f₁' s x
⊢ f' = f₁'
cs cs' : List Char
i p : Nat
hp : i + utf8Len cs = p
⊢ utf8GetAux (cs ++ cs') { byteIdx := i } { byteIdx := p } = cs'.headD default
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
ha : a * b = 1
⊢ Tendsto (fun x => x * a) (cocompact M) (cocompact M)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f g h i : α → β
⊢ (∏ a ∈ s, f a * g a) * ∏ a ∈ s, h a * i a = (∏ a ∈ s, f a * h a) * ∏ a ∈ s, g a * i a
I : Type u
AddMonoid I
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X₁ X₂ : CategoryTheory.GradedObject I C
X₁.HasTensor X₂
A : C
j : I
f g : CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₁ X₂ j ⟶ A
h :
  ∀ (i₁ i₂ : I) (hi : i₁ + i₂ = j),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj X₁ X₂ i₁ i₂ j hi) f =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj X₁ X₂ i₁ i₂ j hi) g
⊢ f = g
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ ∀ (x y : A), (fun a => a • baseChangeHom R A M N) (x + y) = (fun a => a • baseChangeHom R A M N) x + (fun a => a • baseChangeHom R A M N) y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v✝ : ι → M
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing R₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M''
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
G : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : DistribMulAction G R
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : span R (Set.range v) = ⊤
w : ι → G
j : M
hj : j ∈ span R (Set.range v)
⊢ j ∈ span R (Set.range (w • v))
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
u : Set α
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝 0, closedBall x r ⊆ u
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
Algebra.IsAlgebraic E K
⊢ Field.finSepDegree F E * Field.finSepDegree E K = Field.finSepDegree F K
R : Type u
a : R
m n : ℕ
Semiring R
⊢ ((Polynomial.monomial n) a).coeff m = if n = m then a else 0
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} {F : Type u_5} [inst : FunLike F α β]
  [inst_1 : RingHomClass F α β] (f : F) (p : Prop) [inst_2 : Decidable p], f (if p then 1 else 0) = if p then 1 else 0
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ convexBodySumFun (-x) = convexBodySumFun x
s : Substring
⊢ s.Valid → ∃ l m r, Substring.ValidFor l m r s
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M
p : (m : M) → m ∈ closure s → Prop
one : p 1 ⋯
mul_right : ∀ (x : M) (hx : x ∈ closure s) (y : M) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y) ⋯
x : M
h : x ∈ closure s
m : Mᵐᵒᵖ
hm : m ∈ closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
⊢ MulOpposite.unop m ∈ closure s
α : Type u_1
Lattice α
CommGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a ⊔ b = b * (a / b)⁺ᵐ
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
α β : K
⊢ ‖(canonicalEmbedding K) α * (canonicalEmbedding K) β‖ ≤ ‖(canonicalEmbedding K) α‖ * ‖(canonicalEmbedding K) β‖
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
⊢ HomogeneousLocalization.val 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
s' : Set α
t' : Set β
h : e.IsImage s t
h' : e.IsImage s' t'
⊢ e.IsImage (s \ s') (t \ t')
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
⊢ a / b ≤ c ↔ a ≤ b * c
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
CharZero K
α : LieModule.Weight K (↥H) L
⊢ LieAlgebra.corootSpace ⇑α = ⊥ ↔ α.IsZero
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M
⊢ comap p.subtype (p ⊓ p') ≤ comap p.subtype ((p ⊔ p') ⊓ p')
p q : ℚ
s t : Set ℚ
a✝ : FirstCountableTopology ℚ∞
⊢ False
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
TopologicalSpace β
k s : Set β
f : β → α
hk : IsCompact k
hs : IsOpen s
hks : k ⊆ s
hf : ContinuousOn f s
⊢ ∃ t, k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ Bornology.IsBounded (f '' t)
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B
u : ℤˣ
w : HNNExtension.NormalWord d
⊢ HNNExtension.NormalWord.unitsSMul φ (-u) (HNNExtension.NormalWord.unitsSMul φ u w) = w
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this : { data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ + c.utf8Size }
⊢ { byteIdx := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ + c.utf8Size }.byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
⊢ j % (4 * n) = j' % (4 * n)
α : Type u
LinearOrder α
OrderBot α
a : α
⊢ max ⊥ a = a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
s : Set ι'
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ ∀ (a : (b : ι) → α b), (piCongrLeft α f).symm a ∈ ⇑(piCongrLeft α f) ⁻¹' (⇑f '' s).pi t ↔ (piCongrLeft α f).symm a ∈ s.pi fun i => t (f i)
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
C : ChainComplex V ℕ
⊢ C.augmentTruncate.inv.f 0 = 𝟙 (C.X 0)
n p : ℕ
hp : Prime p
⊢ (p - 1) * (↑(∑ x ∈ range (log p n + 1), n / p ^ (x + 1))).get ⋯ = (p - 1) * ∑ i ∈ range (log p n).succ, n / p ^ i.succ
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p n : ℕ
ExpChar R p
f : R[X]
DecidableEq R
x : { x // x ∈ ((Polynomial.expand R (p ^ n)) f).roots.toFinset }
⊢ ↑((Polynomial.rootsExpandPowToRoots p n f) x) = ↑x ^ p ^ n