ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n : ℕ
yr' : ‖y‖ < ↑r'
hr'0 : 0 < ↑r'
this : y ∈ EMetric.ball 0 r
ya : a * (‖y‖ / ↑r') ≤ a
⊢ ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n / (1 - a)
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace W
TopologicalAddGroup W
f g : P →ᴬ[R] W
⊢ ⇑(f - g) = ⇑f - ⇑g
γ : Type w
EMetricSpace γ
s : Set γ
hs : IsCompact s
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s = closure t
ι : Sort u_1
α : Type u_2
CompletePartialOrder α
f : ι → α
hf : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
i : ι
⊢ f i ≤ ⨆ j, f j
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Embedding M N
p : L.Substructure N
h : ∀ (b : M), f b ∈ p
⊢ p.subtype.comp (FirstOrder.Language.Embedding.codRestrict p f h) = f
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : I ⊔ K = ⊤
⊢ I ⊔ K * J = I ⊔ J
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CommSemiring A
z : E
s : Set E
inst✝² : NormedRing B
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B
inst✝ : Algebra A B
f : E → B
hf : AnalyticAt 𝕜 f z
p✝ : A[X]
p : ℕ
i : A
hp : AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) (C i * X ^ p)) z
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) (C i * X ^ (p + 1))) z
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
v : M
hv : v ≠ 0
r : R
hr : r ≠ 0
⊢ SameRay R v (r • v) ↔ 0 < r
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
r : ↥⊥
m : ↥M
⊢ ↑(TensorProduct.comm R ↥⊥ ↥M ≪≫ₗ M.rTensorOne) (r ⊗ₜ[R] m) = ↑M.lTensorOne (r ⊗ₜ[R] m)
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
⊢ W'.dblX P = (P x ^ 2) ^ 2
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ ↑l₁ = ↑l₂ ↔ l₁ ~ l₂
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup γ
F : Filter α
G : Filter β
f : α → γ
g : β → γ
hf : Tendsto f F atTop
hg : Tendsto g G atTop
⊢ Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) (atTop ×ˢ atTop)
d : ℤ
x : ℤ√d
⊢ (star x).norm = x.norm
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X : Cᵒᵖ
j : J
⊢ limMap (whiskerLeft F (restriction R (𝟙 X))) ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R X ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) j = ((ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R X))).inv ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) (F ⋙ evaluation R X)).hom) ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R X ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) j
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
x✝³ x✝² x✝¹ x✝ : Associates α
⊢ DvdNotUnit x✝¹ x✝ ↔ x✝¹ < x✝
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
b : Basis ι 𝕜 E
⊢ ⇑(gramSchmidtBasis b) = gramSchmidt 𝕜 ⇑b
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n + 1
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
ha : ∀ (s : Finset ι), s.Nonempty → s ≠ univ → s.card < (s.biUnion t).card
this✝ : Nonempty ι
this : DecidableEq ι
x : ι := Classical.arbitrary ι
y : α
hy : y ∈ t x
ι' : Set ι := {x' | x' ≠ x}
t' : ↑ι' → Finset α := fun x' => (t ↑x').erase y
card_ι' : Fintype.card ↑ι' = n
f' : ↑ι' → α
hfinj : Function.Injective f'
hfr : ∀ (x : ↑ι'), f' x ∈ t' x
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Semiring R
TopologicalSpace F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
AddCommMonoid F
Module R F
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
Trivialization.IsLinear R e'
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
⊢ ⇑(Trivialization.coordChangeL R e e' b) =
  ⇑((Trivialization.linearEquivAt R e b ⋯).symm ≪≫ₗ Trivialization.linearEquivAt R e' b ⋯)
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
Fintype ι
DecidableEq ι
Nonempty ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι
⊢ (e.adjustToOrientation x).orientation = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α
φ : α → β
hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)
h : u =ᶠ[l] φ * v
⊢ ∃ φ, ∃ (_ : Tendsto φ l (𝓝 1)), (fun x => (u x)⁻¹) =ᶠ[l] φ * fun x => (v x)⁻¹
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G H : CategoryTheory.Functor C C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator F G H).inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    ((CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj F (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj G H)).obj X)
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
x : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace
⊢ ∀ (i : ℕ), ∀ x_1 ∈ 𝒜 i, x_1 ∈ (↑(FromSpec.toFun f_deg hm ((toSpec 𝒜 f) x))).asHomogeneousIdeal ↔ x_1 ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
Zero β
TopologicalSpace β
hf : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEFinStronglyMeasurable f μ
p q : ℤ[X]
⊢ p.IsUnitTrinomial ↔ p.support.card = 3 ∧ ∀ k ∈ p.support, IsUnit (p.coeff k)
E : ℕ → Type u_1
(n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
x y : (n : ℕ) → E n
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
H : PiNat.longestPrefix x s < PiNat.firstDiff x y
xs : x ∉ s
ys : y ∉ s
⊢ PiNat.cylinder x (PiNat.longestPrefix x s) = PiNat.cylinder y (PiNat.longestPrefix y s)
α : Type u_2
Div α
s t : Set α
⊢ (s / t).Nonempty → t.Nonempty
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
inst✝² : Module.Free R ↑S.X₁
inst✝¹ : Module.Free R ↑S.X₃
inst✝ : StrongRankCondition R
this : Module.Free R ↑S.X₂
⊢ Nonempty (Module.Free.ChooseBasisIndex R ↑S.X₂ ≃ Module.Free.ChooseBasisIndex R ↑S.X₁ ⊕ Module.Free.ChooseBasisIndex R ↑S.X₃)
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : Zero Γ
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : MulZeroOneClass R
⊢ order 1 = 0
σ : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
T : Type u_4
Semiring R
Semiring S
Semiring T
f : R →+* S
g : S →+* T
⊢ MvPowerSeries.map σ (g.comp f) = (MvPowerSeries.map σ g).comp (MvPowerSeries.map σ f)
R : Type u_1
ι : Type u_5
α : Type u_7
LinearOrderedField R
LinearOrderedAddCommGroup α
Module R α
OrderedSMul R α
s : Finset ι
f : ι → α
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ s, w i
⊢ s.inf' ⋯ f ≤ s.centerMass w f
R : Type u
inst✝² : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
⊢ (IsInternal fun i => A ↑i) ↔ IsInternal A
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsProper
hxc : xᶜ ∈ I
hx : x ∈ I
ht : x ⊔ xᶜ ∈ I
⊢ ⊤ ∈ I
n : Type u_1
Fintype n
R : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
b : Basis n R M
DecidableEq n
A : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
⊢ LinearMap.range ((Matrix.toLin b b) A) = ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
⊢ prod 0 ν = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
h : f ≤ᶠ[ae μ] g
A : CompleteSpace ℝ
⊢ (if h : True then if hf : Integrable (fun a => f a) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => f a) hf) else 0 else 0) ≤ if h : True then if hf : Integrable (fun a => g a) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => g a) hf) else 0 else 0
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
inst✝¹ : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))
⊢ Function.Bijective ⇑((ΓSpec.adjunction.unit.app X).val.c.app (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
R : Type u_6
CommSemiring R
Semiring Y
Algebra R Y
⊢ ∀ (a : LocallyConstant X Y) (a_1 : X), (LocallyConstant.coeFnAlgHom R) a a_1 = a a_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
⊢ (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (2 * m + 6)) = 2 * (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 2))) + 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 3)) + 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 5)) ∧ 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (2 * m + 6)) = 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 1)) + 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 3)) + 2 * (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 4)))) ∧ (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (2 * m + 4 + 1)) = 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 4)) + 3 * (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 2))) + 2 * if Even m then 6 else 0) ∧ 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (2 * m + 4 + 1)) = 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 1)) + 3 * (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 3))) + 2 * if Even m then 0 else 6
α : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
u : Set α
hu : u.IsPWO
h : u ⊆ t
⊢ Finset.addAntidiagonal hs hu a ⊆ Finset.addAntidiagonal hs ht a
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Ring B
inst✝⁶ : CommRing S✝
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra R B
f : R →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0
S : Subalgebra R A := adjoin R ↑p.coeffs
this : Module.Finite R ↥S
p' : (↥S)[X] := p.toSubring S.toSubring ⋯
⊢ IsIntegral R x
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Gmodule A M
a b : ⨁ (i : ιA), A i
c : ⨁ (i : ιB), M i
ai : ιA
ax : A ai
bi : ιA
bx : A bi
ci : ιB
cx : M ci
⊢ (((((((compHom (smulAddMonoidHom A M)).comp (mulHom A)).comp (of A ai)) ax).comp (of A bi)) bx).comp (of M ci)) cx = (((((((compHom flipHom) ((compHom (smulAddMonoidHom A M).flip).comp (smulAddMonoidHom A M))).flip.comp (of A ai)) ax).comp (of A bi)) bx).comp (of M ci)) cx
x y : ℂ
⊢ cosh (x * I * I) = cosh x
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
Monoid P
f : M →* P
g : N →* P
x : Monoid.Coprod N M
⊢ (Monoid.Coprod.lift f g) ((Monoid.Coprod.swap N M) x) = (Monoid.Coprod.lift g f) x
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Monoid α
DistribMulAction α M
SMulCommClass α R M
a : α
⊢ a • ⊥ = ⊥
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f g : ℝ → ℝ
hdf : DifferentiableOn ℝ f (Set.Ioo a b)
hg' : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, deriv g x ≠ 0
hfb : Filter.Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hgb : Filter.Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)
hdiv : Filter.Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] b) l
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] b) l
α : Type u_2
InvolutiveNeg α
f : Filter α
⊢ -f ≤ f ↔ -f = f
M : Type u_4
N : Type u_5
R₂ : Type u
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M
Module R₂ M
PartialOrder N
AddCommMonoid N
Module R₂ N
Q : QuadraticMap R₂ M N
hQ : Q.PosDef
⊢ Q.Anisotropic
R : Type u
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x y : R
⊢ star (x * star y) = y * star x
𝓕 : Type u_1
α✝ : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedCommGroup E✝
inst✝² : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E✝
r r₁ r₂ : ℝ
α : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
s : Set α
x : α
hf : LipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
⊢ LipschitzWith (Kf + Kg) fun x => f x / g x
K : semiOutParam (Type u_1)
self : RCLike K
z : K
⊢ (algebraMap ℝ K) (RCLike.re z) + (algebraMap ℝ K) (RCLike.im z) * RCLike.I = z
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
F : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
⊢ (CliffordAlgebra.lift Q).symm F = ⟨F.toLinearMap ∘ₗ CliffordAlgebra.ι Q, ⋯⟩
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
f : M →+ N →+ P
g : P →+ Q
m : M
n : N
⊢ ((f.compr₂ g) m) n = g ((f m) n)
V : Type u
G : SimpleGraph V
self : G.Subgraph
v w : V
⊢ self.Adj v w → G.Adj v w
d : ℕ
u : PrimeMultiset
⊢ (d • u).prod = u.prod ^ d
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : IsSeparable s
⊢ SeparableSpace ↑s
m : Type u_2
α : Type v
ι : Type u_6
Nonempty ι
v w : m → α
⊢ Matrix.col ι v = Matrix.col ι w ↔ v = w
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : IsOpen s
hn : 1 ≤ n
⊢ ContinuousOn (fun x => fderiv 𝕜 f x) s
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
v : E
i : Fin n
⊢ (hT.eigenvectorBasis hn).repr (T v) i = ↑(hT.eigenvalues hn i) * (hT.eigenvectorBasis hn).repr v i
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ✝ : μ.FiniteAtFilter l
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
C : ℝ
hC✝ : ∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
s : Set α
hsl : s ∈ l
hsm : MeasurableSet s
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hμ : μ s < ⊤
hC : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
f : Fin n → ↑↑(LinearMap.range (ι R))
hu : (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n
⊢ (List.ofFn fun i => (ι R) (ιInv ↑(f i))).prod = (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β
⊢ image2 f (⋂ i, ⋂ j, s i j) t ⊆ ⋂ i, ⋂ j, image2 f (s i j) t
x : ℂ
⊢ Complex.cos (x + ↑Real.pi / 2) = -Complex.sin x
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
t : Set α
⊢ μ (s ∪ t) + μ (s ∩ t) = μ s + μ t
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
⊢ Function.LeftInverse ⇑ExteriorAlgebra.algebraMapInv ⇑(algebraMap R (ExteriorAlgebra R M))
α : Type u
One α
d : α
⊢ WithBot.unbot' d 1 = 1
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffAt I I' n f x
⊢ ContinuousAt f x
R : Type u_3
M : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
IsCancelAdd R
NoZeroDivisors R
CharZero R
B : LinearMap.BilinMap R M R
x y : M
h : LinearMap.IsSymm B
⊢ B.toQuadraticMap.IsOrtho x y ↔ LinearMap.IsOrtho B x y
a b c : Int
h : a < b + c
⊢ a - b < c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h.f' h.i = S.f
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a : α
OrderTop α
⊢ a < Order.succ a ↔ a ≠ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : v.restrict i ≤ w.restrict i
hj₁ : MeasurableSet j
hj₂ : v.restrict j ≤ w.restrict j
⊢ v.restrict (⋃ b, bif b then i else j) ≤ w.restrict (⋃ b, bif b then i else j)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set α
⊢ (μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) s = 0 ∨ (μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) s = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
this : ∃ U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W
⊢ ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y✝ : Y
hf : Tendsto f (cocompact X) (𝓝 y✝)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
hle : l ≤ 𝓟 (insert y✝ (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y✝
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
K : Set X
hKc : IsCompact K
hKs : Kᶜ ⊆ f ⁻¹' s
this : f '' K ∈ l
y : Y
hy : y ∈ f '' K
hyl : ClusterPt y l
⊢ ∃ x ∈ insert y✝ (range f), ClusterPt x l
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
Fintype ι
FiniteDimensional 𝕜 E
h : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
i j : ι
hij : i < j
⊢ (gramSchmidtOrthonormalBasis h f).repr (f i) j = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x✝ y : α
m n✝ : ℕ
r : α → α → Prop
f : α → α
x : α
hx : x ∈ periodicPts f
H : ∀ n < minimalPeriod f x, r (f^[n] x) (f^[n + 1] x)
n : ℕ
⊢ r (f^[n] x) (f^[n + 1] x)
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
f : α → β
hf✝ : IsRingHom f
x y : α
hf : IsRingHom f
⊢ f 0 = f (0 + 0) - f 0
I : Type w₁
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
⊢ ∀ (x : (i : I) × (fun i => C (id i)) i),
  (CategoryTheory.Sigma.mapId I C).inv.app x = CategoryTheory.CategoryStruct.id ⟨x.fst, x.snd⟩
a b : ℕ
hba : b ≤ a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a / b
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n
⊢ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ ↑‖c‖₊ ^ q ≠ ⊤
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p q : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K
⊢ 0 ≤ ↑q ↔ 0 ≤ q
α : Type u_7
β : Type u_8
x : α × β
⊢ x.toSigma.snd = x.snd
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
p : R[X][Y]
h : Polynomial.evalEval x y p = 0
g : R[X][Y]
⊢ (AdjoinRoot.evalEval h) ((AdjoinRoot.mk p) g) = Polynomial.evalEval x y g
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
x : H
U : Set H
memU : x ∈ U
hU : IsOpen U
s : Set H
comp : IsCompact s
xs : x ∈ interior s
sU : s ⊆ U
⊢ ∃ v ∈ {s | IsClopen s}, x ∈ v ∧ v ⊆ U
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : Cochain F G 0
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q
⊢ (δ 0 1 z).v p q hpq = z.v p p ⋯ ≫ G.d p q - F.d p q ≫ z.v q q ⋯
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : ∀ (x : α), f x ≤ g x
⊢ MeasureTheory.lintegral μ f ≤ MeasureTheory.lintegral μ g
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ L (fun n => ↑(ζ n)) s = riemannZeta s
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ ∀ (p : G.Walk u v), SimpleGraph.Walk.map SimpleGraph.Hom.id p = p
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
aeval_q_eq : ↑ₐ (eval k p) - (aeval a) p = (aeval a) q
hcomm : Commute ((aeval a) (C k - X)) ((aeval a) (-(q / (X - C k))))
⊢ ¬IsUnit ((aeval a) (C k - X))
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom = x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LE α
s : ClopenUpperSet α
⊢ IsClopen ↑s
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C
⊢ (tensor_μ C (M.X, 𝟙_ C) (M.X, 𝟙_ C) ≫ (M.mul ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).hom)) ≫ (ρ_ M.X).hom = ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ M.mul
R : Type u
CommRing R
X : Type v
Ring X
Bialgebra R X
⊢ (BialgEquiv.refl R X).toBialgebraCatIso = CategoryTheory.Iso.refl (BialgebraCat.of R X)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂
X₂ : C₂
L : Φ.RightResolution X₂
⊢ L.op.w = L.w.op
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
y : β
⊢ e (e.symm y) = y
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
⊢ ∀ (a : 𝒰.J), 𝒰.gluedCover.U a = 𝒰.obj a
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : Jᵒᵖ ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.coneRightOpOfCocone c).π = CategoryTheory.NatTrans.rightOp c.ι
ι : Type u_1
Γ : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Inhabited (Γ i)
i : ι
L : ListBlank ((i : ι) → Γ i)
n : ℕ
⊢ (ListBlank.map (proj i) L).nth n = L.nth n i
R : Type u_3
CommRing R
⊢ Quaternion.imI 0 = 0