ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K✝
inst✝³¹ : Field L✝
inst✝³⁰ : Algebra A K✝
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝
inst✝²⁸ : Algebra B L✝
inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁶ : Algebra A L✝
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝¹¹ : IsIntegralClosure B A L
this✝¹⁰ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝⁹ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝⁸ : IsScalarTower A Aₘ K
this✝⁷ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
this✝⁶ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra
this✝⁵ : IsScalarTower B Bₘ L
this✝⁴ : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower Aₘ K L
this✝² : IsScalarTower Aₘ Bₘ L
this✝¹ : IsFractionRing Bₘ L := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ L
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsIntegralClosure Bₘ Aₘ L
⊢ (algebraMap Aₘ K) ((algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x)) = (algebraMap Aₘ K) ((intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m
z : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
⊢ z ∈ CochainComplex.HomComplex.cocycle F G n ↔ CochainComplex.HomComplex.δ n m z = 0
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M
f : M ≃ₗ[R] N
v : Ray R M
⊢ (map f) (-v) = -(map f) v
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
b : ℝ≥0
x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤
⊢ ∀ (x : ℝ≥0), ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (⊤, ↑b), ↑x < a.1 - a.2
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.triangleRotation C).inverse = CategoryTheory.Pretriangulated.invRotate C
M : Type u_3
G : Type u_6
H : Type u_7
AddZeroClass M
AddCommGroup G
AddCommGroup H
f : G →+ H
g h : M →+ G
⊢ f.comp (g - h) = f.comp g - f.comp h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hf : HasFiniteIntegral f μ
l : Filter ι
s : ι → Set α
hs : Tendsto (⇑μ ∘ s) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun a => ↑‖∫ (x : α) in s a, f x ∂μ‖₊) l (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : PartialHomeomorph M M'
hf : ChartedSpace.LiftPropOn (contDiffGroupoid ⊤ I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
⊢ SmoothOn I I (↑f) f.source
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
l : Filter β
f : β → α
n : ℕ
h : Tendsto (fun x => x ^ n) atTop atTop
hn : n = 0
⊢ False
α : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
Mul α
A B : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ A.hadamard B i j = A i j * B i j
xs : Lean.Omega.IntList
g : Nat
⊢ xs.gcd = g ↔ (∀ {a : Int}, a ∈ xs → ↑g ∣ a) ∧ ∀ (c : Nat), (∀ {a : Int}, a ∈ xs → ↑c ∣ a) → c ∣ g
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
this : (μ.toFinite.withDensity fun a => ∑' (n : ℕ), (sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite a) = μ.toFinite.withDensity (∑' (n : ℕ), (sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite)
n : ℕ
s✝ : Set α
a✝ : MeasurableSet s✝
⊢ sFiniteSeq μ n ≪ μ.toFinite
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
Div β
f g : α → β
⊢ (UniformOnFun.ofFun 𝔖) (f / g) = (UniformOnFun.ofFun 𝔖) f / (UniformOnFun.ofFun 𝔖) g
α : Type u_1
⊢ (Set.range singleton).PairwiseDisjoint id
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
BorelSpace X
ConditionallyCompleteLinearOrder X
ConditionallyCompleteLinearOrder E
OrderTopology X
OrderTopology E
SecondCountableTopology E
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
hanti : Antitone f
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝[>] a)
⊢ Tendsto (fun i => max (f i) a) l (𝓝[>] a)
X : CommMonCat
⊢ ⇑(𝟙 X) = id
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : CategoryTheory.End X
⊢ α.symm.conj (α.conj f) = f
n i : ℕ
h : i < (List.finRange n).length
⊢ (List.finRange n)[i] = ⟨i, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'
mulVec_def : A *ᵥ v = fun i => ∑ j : β, A i j * v j
i : α
j : β
a✝ : j ∈ univ
hsign : 0 ≤ A i j
⊢ v j * A i j ≤ ↑B * (A i j)⁺
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l₂ : List β
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : l₂.Nodup
a₁ a₂ : α
n : a₁ ≠ a₂
x : α × β
h₁ : x ∈ map (Prod.mk a₁) l₂
h₂ : x ∈ map (Prod.mk a₂) l₂
⊢ False
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
α : L → R
β : LieModule.Weight R L M
⊢ LieModule.chainTopCoeff (-α) β = LieModule.chainBotCoeff α β
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
h : 𝓝 0 = AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter
⊢ 𝓝 0 = 𝓝 0
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
⊢ z = g • z
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β
hx : IsBot x
⊢ IsBot x.1
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → αᵐᵒᵖ
a : αᵐᵒᵖ
⊢ HasSum (fun a => MulOpposite.unop (f a)) (MulOpposite.unop a) ↔ HasSum f a
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a : α
m : M
f : α →₀ M
h : (a, m) ∈ f.graph
⊢ f a = m
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)
H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup
h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L
W : Set (L ≃ₐ[K] L)
hWH : W ⊆ ↑H
hW_open : IsOpen W
hW_1 : 1 ∈ W
w1 : L ≃ₐ[K] L
hw1 : w1 ∈ W
w2 : L ≃ₐ[K] L
hw2 : w2 ∈ W
h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g
h_in_H : x ∈ E → φ x = x
hxE : x ∈ E
⊢ False
μ : YoungDiagram
a b : ℕ
⊢ a < μ.colLen b ↔ a < μ.colLen b
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
p : X = Y
q : Y ⟶ Z
⊢ cast ⋯ q = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom p) q
α : Sort u_1
Setoid α
p : α → Prop
⊢ Equivalence HasEquiv.Equiv
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∃ x, ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e : β → α
h_e : UniformInducing e
h_dense : DenseRange e
f : β → γ
h_f : UniformContinuous f
inst✝ : CompleteSpace γ
a : α
⊢ Tendsto f (comap e (𝓝 a)) (𝓝 (⋯.extend f a))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
n : ℕ
⊢ μ (support ↑(hf.approx n)) < ⊤
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
Preorder α
PosMulStrictMono α
PosMulReflectLT α
h : 0 < a
⊢ 0 < a * b ↔ 0 < b
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
⊢ p = Polynomial.X ^ p.natDegree + ∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, Polynomial.C (p.coeff i) * Polynomial.X ^ i
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsTrail
h : u ∈ c.support
⊢ (c.rotate h).IsTrail
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i =
  (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
n d : PosNum
⊢ -↑(n.pred' / Num.pos d).succ' = -↑n / ↑d
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
P.RespectsIso
F : C ⥤ D
F.IsEquivalence
⊢ (P.map F).inverseImage F = P
α : Type u_1
r : α → α → Prop
P : {a b : α} → Relation.ReflTransGen r a b → Prop
a b : α
h : Relation.ReflTransGen r a b
ih₁ : ∀ (a : α), P ⋯
ih₂ : ∀ {a b : α} (h : r a b), P ⋯
ih₃ : ∀ {a b c : α} (h₁ : Relation.ReflTransGen r a b) (h₂ : Relation.ReflTransGen r b c), P h₁ → P h₂ → P ⋯
⊢ P h
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
n : ℕ∞
g : M' → M''
x : M
hg : ContMDiffAt I' I'' n g (f x)
hf : ContMDiffAt I I' n f x
⊢ ContMDiffAt I I'' n (g ∘ f) x
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass M'
AddZeroClass N'
f : M →+ M'
g : N →+ N'
x : AddMonoid.Coprod M N
⊢ (AddMonoid.Coprod.swap M' N') ((AddMonoid.Coprod.map f g) x) =
  (AddMonoid.Coprod.map g f) ((AddMonoid.Coprod.swap M N) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s t : Set α
⊢ f.image (s ∪ t) = f.image s ∪ f.image t
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
hw : w ≠ 1
⊢ w⁻¹ ≠ 1
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
this : LocallyCompactSpace G
⊢ (haarMeasure K₀) ↑K₀ = 1
x : ℝ
⊢ cos (π / 6) = √3 / 2
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝕂
x : 𝕂
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝕂).radius
⊢ (algebraMap 𝕂 𝔸) (NormedSpace.exp 𝕂 x) = NormedSpace.exp 𝕂 ((algebraMap 𝕂 𝔸) x)
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
⊢ -⟦-a✝² i * a✝¹ j⟧ = ⟦a✝² i * a✝¹ j⟧
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
i : ι
⊢ biprod.inl.f i ≫ biprod.fst.f i = 𝟙 (K.X i)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
F_le_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ENNReal.ofReal ‖F i a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖f a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)
ι : Type u_4
ι' : ι → Type u_6
α : ι → Type u_7
s : (i : ι) → Set (ι' i)
f : (i : ι) → ι' i → Set (α i)
hs : ∀ (i : ι), (s i).PairwiseDisjoint (f i)
⊢ (Set.univ.pi s).PairwiseDisjoint fun I => Set.univ.pi fun i => f i (I i)
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ∀ i < n, (coeff R i) φ = 0
H : φ.order < ↑n
⊢ False
ι : Sort u
α : Type v
LinearOrder α
f : ι → α
hf : ¬BddBelow (Set.range f)
⊢ ⋂ i, Set.Iio (f i) = ∅
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
j : ℕ
hj : j ≥ n
⊢ ↑(cauSeqAbs (exp' x + -const (⇑abs) (∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial))) j ≤ ↑(const _root_.abs (abs x ^ n * (↑n.succ * (↑n.factorial * ↑n)⁻¹))) j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
s : Set β
hf : mulSupport f ⊆ s
⊢ ∀ x ∉ Set.range fun a => ↑a, f x = 1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
inst✝ : Finite R
e : AddChar R R'
r : R
hr : ¬IsUnit r
⊢ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), ¬(e.mulShift r).mulShift x ≠ 1
x : ℝ
⊢ Function.leftLim (↑StieltjesFunction.id) x = x
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
z x y : α
⊢ dist (x ⊔ z) (y ⊔ z) ≤ ↑1 * dist x y
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), x + z < f x
⊢ z < τ f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
r : { q' // y < ↑q' }
⊢ { q' // x < ↑q' }
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
c : G
⊢ (IsometryEquiv.subRight c).symm = IsometryEquiv.addRight c
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∀ ⦃f g : α → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (support f) (support g) → Measurable f → Measurable g → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) f → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) g → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) (f + g)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f₁) f' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Finite α
g : α
hg : orderOf g = Nat.card α
val✝ : Fintype α
⊢ IsCyclic α
M : Type u_1
A : Type u_5
Mul M
SetLike A M
hA : MulMemClass A M
S' : A
x y : ↥S'
⊢ ↑(x * y) = ↑x * ↑y
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ j : I
α : Type u_3
β : α → Type u_4
γ : (a : α) → β a → Type u_5
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (β a)
inst✝ : (a : α) → (b : β a) → One (γ a b)
i : (a : α) × β a
x : γ i.fst i.snd
⊢ curry (Pi.mulSingle i x) = Pi.mulSingle i.fst (Pi.mulSingle i.snd x)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
α : Type u_11
TopologicalSpace α
g : α → E
⊢ Continuous (⇑f ∘ g) ↔ Continuous g
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hb : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ, ContinuousAt f x
l : IntegrationParams
⊢ HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝³ : MeasurableSpace ι
t : ι → Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
inst✝ : MetrizableSpace ι
h : ProgMeasurable f u
ht : ProgMeasurable f t
ht_le : ∀ (i : ι) (ω : Ω), t i ω ≤ i
i : ι
this : (fun p => u (t (↑p.1) p.2) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨t (↑p.1) p.2, ⋯⟩, p.2)
⊢ StronglyMeasurable ((fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨t (↑p.1) p.2, ⋯⟩, p.2))
T z✝ : ℝ
⊢ Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑0 * ↑z✝ / ↑T) = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
⊢ Function.graph f = Function.graph g ↔ f = g
α : Type u_1
Preorder α
x : LTSeries α
⊢ StrictMono x.toFun
α : Type u
s : Set (Set α)
⊢ #↑{t | MeasurableSpace.GenerateMeasurable s t} ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
Semifield R
Field S
NonUnitalRing A
Module R A
Module S A
Algebra R S
a : A
f : S → R
h : QuasispectrumRestricts a f
⊢ f 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
i j : ℕ
hij : i ≤ j
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ (s_1 : Set γ), MeasurableSet s_1 → (ν a) s_1 < ⊤ → IntegrableOn (fun x => κ.densityProcess ν i a x s) s_1 (ν a)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs (x (n + k)) a‖ ≤ bound a
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
e₁ e₂ : ENorm 𝕜 V
⊢ ↑e₁ = ↑e₂ ↔ e₁ = e₂
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : y ∈ H
hx : ∀ (y_1 : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y_1 ^ k) ⁅x, y⁆ = 0
k : ℕ
hk : ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) ⁅y, x⁆ = 0
⊢ ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) x = 0
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q P Q : MvPolynomial σ R
hPQ : X n * P = X n * Q
i : σ →₀ ℕ
⊢ coeff i P = coeff i Q
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
DenselyOrdered α
a b : α
⊢ a ≤ b ↔ ∀ (ε : α), 1 < ε → a ≤ b * ε
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
h : t ⊆ s
hs : s.Pairwise r
⊢ t.Pairwise r
X : Type u
TopologicalSpace X
self : NormalSpace X
s t : Set X
⊢ IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → SeparatedNhds s t
n : ℕ∞
⊢ ContDiff ℝ n Real.sin
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.85209
inst✝ : MulAction R X
r : R
hr : r ∈ S
⊢ ∃ u v, u • 1 = v • r ∧ ↑u * ↑1 = v * ↑⟨r, hr⟩
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H₁ : l.size = 0 → r.size ≤ 1
H₂ : 1 ≤ l.size → 1 ≤ r.size → r.size ≤ delta * l.size
H₃ : 2 * l.size ≤ 9 * r.size + 5 ∨ l.size ≤ 3
⊢ 2 * r.size ≤ 9 * l.size + 5
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
hi : toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ ∈ Ioc (-π) π
⊢ cos ↑θ + sin ↑θ * I = cos ↑(toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ) + sin ↑(toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ) * I
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ (mabs a)⁻¹ ≤ a⁻¹
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
s : Subring S
⊢ ⊤.prod s = Subring.comap (RingHom.snd R S) s
α : Type u_1
P : RegularExpression α
n : ℕ
⊢ (P ^ n).matches' = P.matches' ^ n
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
rs : List R
⊢ RingTheory.Sequence.IsWeaklyRegular M rs ↔
  ∀ (i : Fin rs.length), IsSMulRegular (M ⧸ Ideal.ofList (List.take (↑i) rs) • ⊤) (rs.get i)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
E : Set α
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
⊢ Metric.cthickening δ E ∈ 𝓝ˢ E
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f✝ : α ≃o β
s✝ t : UpperSet α
a : α
b : β
f : α ≃o β
s : UpperSet β
⊢ ↑((map f).symm s) = ↑((map f.symm) s)
J : Type u
inst✝³ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j k : J
s✝ : Set (F.obj i✝)
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J
inst✝¹ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
inst✝ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
this : ∀ (j : J), Nonempty ((F.toPreimages s).obj j)
sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j
h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections
⊢ ∃ a, (fun s => ↑s i) a = x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃
⊢ CochainComplex.mappingCone.map φ₁ φ₃ (a ≫ a') (b ≫ b') ⋯ =
  CochainComplex.mappingCone.map φ₁ φ₂ a b comm ≫ CochainComplex.mappingCone.map φ₂ φ₃ a' b' comm'
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ∀ (i₁ i₂ : Finset σ), i₁ ≠ i₂ → Disjoint (Finsupp.single (∑ i ∈ i₁, Finsupp.single i 1) 1).support (Finsupp.single (∑ i ∈ i₂, Finsupp.single i 1) 1).support
p : ℕ
⊢ Irreducible p ↔ Prime p