ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
⊢ 𝟙 (J.plusObj (J.plusObj P) ⋙ F) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom = (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M
⊢ comap (inclusion ⋯) (comap (p ⊔ p').subtype p') ≤ comap p.subtype (p ⊓ p')
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
inst✝ : (v : V) → Fintype ↑(M.neighborSet v)
⊢ M.IsPerfectMatching ↔ ∀ (v : V), M.degree v = 1
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x y : α
n : ℕ
⊢ (f ^ n).SameCycle x y → f.SameCycle x y
α : Type
d✝ : ℕ
ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
d : ℕ
ds : List ℕ
x : Holor α (d :: ds)
h_summands : ∀ (i : { x // x ∈ Finset.range d }), CPRankMax ds.prod (unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
h_dds_prod : (d :: ds).prod = (Finset.range d).card * ds.prod
⊢ CPRankMax (d :: ds).prod x
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
f : R →+* S
p : R[X]
i : ℤ
⊢ Polynomial.eval (↑i) (Polynomial.map f p) = f (Polynomial.eval (↑i) p)
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
χ₁ : L → R
a✝ : χ₁ ∈ {χ | weightSpace M χ ≠ ⊥}
χ₂ : L → R
hχ₁₂ : weightSpace M χ₁ = weightSpace M χ₂
hχ₂ : χ₁ ≠ χ₂
⊢ χ₂ ∉ {χ | weightSpace M χ ≠ ⊥}
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
⊢ (closure L).toFun ↑∅ = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
hμν : μ ≤ ν
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : ν s < ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x ∂ν ≤ ν s
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N₁ N₂ : L.Substructure M
hN₁ : N₁.CG
hN₂ : N₂.CG
⊢ (N₁ ⊔ N₂).CG
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
⊢ map f (𝓝 x) = 𝓝 (f x)
n : ℕ
R : Type u_1
Ring R
NeZero n
i : ZMod n
⊢ ↑i.val = i.cast
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
f : α →Co β
⊢ f.toFun = ⇑f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : Nonempty ι
i : ι
⊢ f (Function.update x i (y i)) = (domDomCongr (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯) (f.compContinuousLinearMap ContinuousLinearMap.proj)) (Function.update (fun x_1 => x) ((Fintype.equivFinOfCardEq ⋯) i) y)
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : T
p₁ p₂ : LocalizedModule S A
⊢ p₁ * x • p₂ = x • (p₁ * p₂)
α : Type u
n : ℕ
s : Stream' α
⊢ s.even.get n = s.get (2 * n)
w x y z r : ℝ
l : List ℝ≥0
this : (List.map toReal (List.map (fun x => x ^ r) l)).prod = (List.map toReal l).prod ^ r
⊢ (List.map (fun x => x ^ r) (List.map toReal l)).prod = (List.map toReal l).prod ^ r
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : Semifield R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
⊢ {0} = {r | ¬IsUnit r}
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (insert x s) ↔ IsVonNBounded 𝕜 s
f : C(↑I, ℝ)
n : ℕ
⊢ bernsteinApproximation n f ∈ ↑(polynomialFunctions I).toSubsemiring
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝ : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : ⋃ x ∈ T, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x)) = ⋃ x, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x))
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → ↑T → Set E := fun n z => {x | x ∈ s ∧ ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n), ‖f y - f x - (f' ↑↑z) (y - x)‖ ≤ ↑(r (f' ↑↑z)) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z
closure_M_subset : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T), s ∩ closure (M n z) ⊆ M n z
d : ℕ → E
hd : DenseRange d
K : ℕ → ↑T → ℕ → Set E := fun n z p => closure (M n z) ∩ closedBall (d p) (u n / 3)
K_approx : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T) (p : ℕ), ApproximatesLinearOn f (f' ↑↑z) (s ∩ K n z p) (r (f' ↑↑z))
K_closed : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T) (p : ℕ), IsClosed (K n z p)
⊢ ∃ t A, (∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, t n ∧ (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))) ∧ (s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
⊢ s.singularPart μ ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
n : ℕ
x : ↑I
k : Fin (n + 1)
m : k ∈ (S f ε h n x)ᶜ
⊢ 1 ≤ δ f ε h ^ (-2) * (↑x - ↑k/ₙ) ^ 2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, True) ↔ f.NeBot
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
⊢ IntervalIntegrable f μ a a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₁'}
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁'p₂ : p₁' ≠ p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
hw : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₁'
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁' p₂ p₃
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
⊢ f.natSepDegree ≤ f.natDegree
α : Type u
Ord α
a b : α
⊢ compare { down := a } { down := b } = compare a b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
hf : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ s ∩ mulSupport f = ↑hf.toFinset ∩ mulSupport f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.SimpleFunc.setToL1SCLM α E μ hT) f = 0
R : Type u_2
Ring R
S₁ : Subring Rᵐᵒᵖ
S₂ : Subring R
⊢ S₁ ≤ S₂.op ↔ S₁.unop ≤ S₂
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
X : Type u_2
AddMonoid X
DistribMulAction R X
x : OreLocalization S X
⊢ 0 + x = x
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L R₂} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).inverse.map f).left = f.left
z w : ℂ
⊢ z = w ↔ z.re = w.re ∧ z.im = w.im
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
U : Set X
hs : IsPreconnected U
a b : Set X
h : U ⊆ a ∪ b
ha : (U ∩ derivedSet a).Nonempty
hb : (U ∩ derivedSet b).Nonempty
⊢ (U ∩ (derivedSet a ∩ derivedSet b)).Nonempty
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
h : b ∈ f a
⊢ Turing.Reaches₀ f a b
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ s
⊢ compress u v a ∈ 𝓒 u v s
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
a : (i : ι) × α i
⊢ ((DFinsupp.lsum ℕ) fun i => (A i).subtype) (DFinsupp.single a.fst ((v a.fst) a.snd)) = ↑((v a.fst) a.snd)
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid α
Monoid β
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
f : F
⊢ f (s.noncommProd comm) = (Multiset.map (⇑f) s).noncommProd ⋯
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ ‖MeasureTheory.condexpInd G hm μ s‖ ≤ (μ s).toReal
q : ℚ
n : ℕ
⊢ q ^ n = { num := q.num ^ n, den := q.den ^ n, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁵ : Module R N₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₁
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹¹ : Semiring S₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₂
inst✝⁹ : Module S₁ N₂
inst✝⁸ : Module S₂ N₂
inst✝⁷ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq m
T : Type u_17
inst✝ : CommSemiring T
M : Matrix n m T
v : n → T
w : m → T
x✝¹ : n
x✝ : x✝¹ ∈ univ
⊢ ∑ j : m, v x✝¹ •> w j •> M x✝¹ j = v x✝¹ * ∑ x : m, M x✝¹ x * w x
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
x : ↥L
i : ι
⊢ ((ofZlatticeBasis K L b).repr ↑x) i = ↑((b.repr x) i)
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : yn a1 m ∣ yn a1 n
hp : n % m > 0
co : (yn a1 m).Coprime (xn a1 (m * (n / m)))
⊢ False
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω
inst✝ : Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
hμ : IsFiniteMeasure μ
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
h_indep : CondIndepSet m hm t t μ
this : ∀ (a : Ω), IsFiniteMeasure ((condexpKernel μ m) a)
h : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, ((condexpKernel μ m) x) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) x) t = 1
ω : Ω
hω_eq : (((condexpKernel μ m) ω) t).toReal = (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω
hω : ((condexpKernel μ m) ω) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) ω) t = 1
⊢ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
⊢ IntegrableOn (fun θ => f (const (Fin n → ℝ) c θ)) (Icc 0 fun x => 2 * π) volume
α : Type u_1
CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
⊢ ⨅ k, ⨅ (_ : k ≤ n + 1), u k = u 0 ⊓ ⨅ k, ⨅ (_ : k ≤ n), u (k + 1)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α' : Type u_7
f : α → α'
s : Set α
⊢ Submodule.map (Finsupp.lmapDomain M R f) (Finsupp.supported M R s) = Finsupp.supported M R (f '' s)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
g : Y → Z
f : X → Y
hg : IsLocallyConstant g
hf : Continuous f
s : Set Z
⊢ IsOpen (f ⁻¹' (g ⁻¹' s))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y x' y' : α
l l' : List α
hd : (x :: y :: l).Nodup
hd' : (x' :: y' :: l').Nodup
h : ∀ (x_1 : α), (x :: y :: l).formPerm x_1 = (x' :: y' :: l').formPerm x_1
hx : x' ∈ x :: y :: l
n : ℕ
hn : n < (x :: y :: l).length
hx' : (x :: y :: l).get ⟨n, hn⟩ = x'
hl : (x :: y :: l).length = (x' :: y' :: l').length
⊢ ∀ (n_1 : ℕ) (h₁ : n_1 < ((x :: y :: l).rotate n).length) (h₂ : n_1 < (x' :: y' :: l').length), ((x :: y :: l).rotate n).get ⟨n_1, h₁⟩ = (x' :: y' :: l').get ⟨n_1, h₂⟩
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a : α
h : ¬IsMin a
⊢ Order.pred a ⋖ a
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a : α
h_a : a ∈ Function.fixedPoints ⇑f
h_le_init : a ≤ x
i : Ordinal.{u}
⊢ a ≤ OrdinalApprox.gfpApprox f x i
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hxy : s.WOppSide x y
hyz : s.WOppSide y z
hy : y ∉ s
⊢ s.WSameSide x z
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ ∫⁻ (_x : α) in s, ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → β → Bool
l : Batteries.AssocList α β
⊢ (Batteries.AssocList.eraseP p l).toList =
  List.eraseP
    (fun x =>
      match x with
      | (a, b) => p a b)
    l.toList
α : Type u
L L₁✝ L₂✝ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
a₁✝ : FreeGroup α
L₁ : List (α × Bool)
a₂✝ : FreeGroup α
L₂ : List (α × Bool)
⊢ toWord (Quot.mk Red.Step L₁) = toWord (Quot.mk Red.Step L₂) → Quot.mk Red.Step L₁ = Quot.mk Red.Step L₂
a b : Bool
H : a = true
⊢ (a || b) = true
α : Type u
β : Type v
f : α → β
hi : Function.Injective f
⊢ (Set.range f).Infinite ↔ Infinite α
N k : ℕ
⊢ (Finset.filter (fun x => x ≠ 0) (Finset.range N.succ)).card = N
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
s : Set ι
⊢ span 𝕜 (gramSchmidtNormed 𝕜 f '' s) = span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 f '' s)
α : Type u
Monoid α
a : α
b : α
⊢ ∀ (x : Invertible b) (x_1 : Invertible (a * b)), (Invertible.mulRight a x).symm x_1 = invertibleOfMulInvertible a b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0
x : α
hmem : x ∈ s
hx : ∀ (i : ι), ∃ k ≥ i, 1 / (↑n + 1) < dist (f k x) (g x)
N : ι
⊢ ∃ n_1 ≥ N, 1 / (↑n + 1) ≤ dist (f n_1 x) (g x)
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : BinomialRing R
r s : R
k : ℕ
h : Commute r s
x : ℕ × ℕ
hx : x ∈ antidiagonal k
⊢ ↑(k.choose x.1) * ((descPochhammer ℤ x.1).smeval r * (descPochhammer ℤ x.2).smeval s) = k.factorial • (choose r x.1 * choose s x.2)
n : ℕ
r : ℝ
hn : n ≠ 0
⊢ ↑n ≤ r.toNNReal ↔ ↑n ≤ r
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
a : R
f : R[X]
⊢ (C a).natDegree + f.natDegree = 0 + f.natDegree
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ (s.diffs t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
P : RatFunc K → Prop
x : RatFunc K
_pq : ∀ (p q : K[X]), q ≠ 0 → P (RatFunc.mk p q)
⊢ P x
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPullback (G.map f) (G.map g)
W : C
h : W ⟶ X
k : W ⟶ Y
w : h ≫ f = k ≫ g
⊢ G.map (pullback.lift h k w) ≫ pullbackComparison G f g = pullback.lift (G.map h) (G.map k) ⋯
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M
⊢ BijOn (fun x => x + d) (Ici a) (Ici (a + d))
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p ^ n).leadingCoeff = p.leadingCoeff ^ n
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
⊢ (Polynomial.map f p).natDegree = p.natDegree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p.natDegree = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
⊢ Nat.rec [] (fun n IH => IH ++ [n]) n = List.range n
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
a : R
⊢ Module.IsTorsionBySet R M {a} ↔ Module.IsTorsionBy R M a
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ s ∪ (s ∪ t) = s ∪ t
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A S
inst✝ : Nontrivial A
pb : PowerBasis A S
⊢ (minpoly A pb.gen).degree = ↑pb.dim
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a b : ℝ
hb : 0 < b
this : ∀ (c : ℝ), MeasurableSet (Ioi c)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, g (b * x) = b⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Ioi (b * a), g x
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteLattice β
f : α → β
c : β
hf : f ≤ᵐ[μ] fun x => c
⊢ essSup f μ ≤ c
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
hs : IsChain r s
h : ¬∃ t, IsChain r s ∧ SuperChain r s t
⊢ IsChain r (SuccChain r s)
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ
h2 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ closure s
hy : y ∈ interior s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior s
α : Type u_9
β : α → Type u_10
ι : Sort u_11
(i : α) → SupSet (β i)
f : ι → (a : α) → β a
a : α
⊢ (⨆ i, f i) a = ⨆ i, f i a
m n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ Odd (m ^ n) ↔ Odd m ∨ n = 0
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w✝ : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
f : ℂ → E
z w : ℂ
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
hw : w ∈ ball z R
⊢ Continuous fun x => (circleMap z R x - w)⁻¹
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
I : Set ι
s t : (i : ι) → Set (α i)
h : ∀ i ∈ I, s i =ᵐ[μ i] t i
⊢ I.pi s =ᵐ[MeasureTheory.Measure.pi μ] I.pi t
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
p : Submodule K V
FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
⊢ Set.InjOn ⇑f ↑p ↔ Set.SurjOn ⇑f ↑p ↑p
n : ℕ
⊢ Nat.Prime (Nat.nth Nat.Prime n)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : (forget C).obj X), f x = g x
⊢ (forget C).map f = (forget C).map g
x : ℝ
y : ℂ
h : 0 < y.re ∨ x ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun a => ↑a ^ y) x
a b : Rat
⊢ a * b = Rat.normalize (a.num * b.num) (a.den * b.den) ⋯
n : ℕ
⊢ Finset.range n = ∅ ↔ n = 0
R' : Type v
CommMonoid R'
F : Type u
Field F
ψ : AddChar F R'
hψ : ψ ≠ 1
⊢ ψ.IsPrimitive
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
CharZero K
α : LieModule.Weight K (↥H) L
⊢ Disjoint LieModule.Weight.ker (lieIdealSubalgebra K (↥H) (LieAlgebra.corootSpace ⇑α)).toSubmodule
⊢ |rexp 1 - expNear 13 1 ((((((((((((((2244083 / 825552 - 1) * 1 - 1) * 2 - 1) * 3 - 1) * 4 - 1) * 5 - 1) * 6 - 1) * 7 - 1) * 8 - 1) * 9 - 1) * 10 - 1) * 11 - 1) * 12 - 1) * 13)| ≤ |1| ^ 13 / ↑(Nat.factorial 13) * (1 / 10 ^ 10 * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ MulOpposite.op (CliffordAlgebra.reverse x) = CliffordAlgebra.reverseOp x
L : Type u_1
TopologicalSpace L
Sup L
self : ContinuousSup L
⊢ Continuous fun p => p.1 ⊔ p.2
n m : ℕ
⊢ Finset.filter (fun x => x = m) (Finset.range n) = if m < n then {m} else ∅
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : α
⊢ ∀ (a_1 : α), Relation.ReflGen r a a_1 ↔ a_1 = a ∨ r a a_1
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E
⊢ ‖m.prod‖ ≤ (Multiset.map (fun x => ‖x‖) m).sum
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]
hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]
⊢ xn a1 (n * (k + 1)) ≡ xn a1 n ^ (k + 1) [MOD yn a1 n ^ 2] ∧ yn a1 (n * (k + 1)) ≡ (k + 1) * xn a1 n ^ (k + 1 - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : M → Prop
h : x ∈ AddSubmonoid.closure (univ • s)
zero : p 0
add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
smul_mem : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p (r • x)
⊢ p x
n : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ n
this : (1 ⍟ fun x => ↑(μ x)) = δ
⊢ (fun n_1 => χ ↑n_1) ⍟ ((fun n_1 => χ ↑n_1) * fun n => ↑(μ n)) = δ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
⊢ CauchySeq f
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin n → α
i : Fin (n + 1)
⊢ vecCons x u (i + i + 1) = (vecCons x u ∘ fun n_1 => n_1 + n_1 + 1) i
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
fmeas : AEMeasurable f μ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ε
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
g : γ → δ
f' : α → β' → δ
g' : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' a (g' b)
⊢ image2 f' ((fun a => a) '' s) (g' '' t) = image2 f' s (g' '' t)
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
CompleteSpace E'
NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ MeasureTheory.Integrable (↑↑↑((MeasureTheory.condexpL2 E' 𝕜 hm) (MeasureTheory.indicatorConstLp 2 hs hμs x))) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ Function.Bijective PartialEquiv.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℕ
⊢ a⁻¹ ^ Int.negSucc n = (a ^ Int.negSucc n)⁻¹