ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.compatibilityOfZerosOfIsColimitCokernelCofork S hf hg c hc).φK =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofZeros S hf hg).K
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : N
⊢ ∃ m, f m = n ∧ ‖m‖ < ‖n‖ + ε
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
i j : ι
w : Monoid.CoprodI.NeWord M i j
x : M i
hnotone : x * w.head ≠ 1
⊢ (w.mulHead x hnotone).head = x * w.head
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
⊢ ∀ (a : ι × ι →₀ R),
  b.end.repr.symm a = (Matrix.toLin b b) ((Finsupp.total (ι × ι) (Matrix ι ι R) R ⇑(Matrix.stdBasis R ι ι)) a)
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝² : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b c : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsHomLift f φ
ψ : b ⟶ c
inst✝ : p.IsHomLift (𝟙 S) ψ
⊢ p.IsHomLift f (φ ≫ ψ)
α : Type u_1
s : Set α
⊢ ((PartialEquiv.refl α).restr s).source = s
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
f : ↥(lp E p)
hp₀ : 0 < p
hp' : 0 < p.toReal
this : HasSum (fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)
⊢ HasSum (fun i => lp.single p i (↑f i)) f
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
Ms : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
(i : ι) → Module R (Ms i)
Fintype ι
DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
⊢ Function.RightInverse (Submodule.quotientPi_aux.invFun p) (Submodule.quotientPi_aux.toFun p)
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x : R
m : M
s t : ↥S
⊢ s • IsLocalization.mk' A x s • t • mk' f m t = (fun m => (s * t) • m) (mk' f (x • m) (s * t))
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.op.unop = s
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
H : SimpleGraph V'
e : G ≃g H
⊢ G.Connected ↔ H.Connected
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : AddTorsor G P
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : PreconnectedSpace G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : ContinuousVAdd G P
⊢ Set.univ = ⇑(Equiv.vaddConst (Classical.arbitrary P)) '' Set.univ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : C ⥤ D
self : CategoryTheory.CoverPreserving J K G
U : C
S : CategoryTheory.Sieve U
⊢ S ∈ J.sieves U → CategoryTheory.Sieve.functorPushforward G S ∈ K.sieves (G.obj U)
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
t : R[T;T⁻¹] := T 1
t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)
p : R[T;T⁻¹] := ((scalar n) t - M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
q : R[T;T⁻¹] := (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
ht : t_inv * t = 1
hp : toLaurentAlg M.charpoly = p
hq : toLaurentAlg M.charpolyRev = q
⊢ M.charpoly.reverse = M.charpolyRev
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : L₃ ⟶ L₂
b : B
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquare.vcomp α (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv)) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) α) ((mateEquiv adj₂ adj₃) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv))
⊢ ((mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquareConjugate.vcomp α β)).app b = (rightAdjointSquareConjugate.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) α) ((conjugateEquiv adj₂ adj₃) β)).app b
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ 0 < a * b⁻¹
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀
h1 : (fun x => (f x).proj) ⁻¹' (trivializationAt F E (f x₀).proj).baseSet ∈ 𝓝[s] x₀
⊢ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (Prod.fst ∘ fun x => (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1, (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2)) s x₀ ↔ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (fun x => ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x).proj) s x₀
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
DecidableEq β
s : Finset α
f : α → M
g : α → β
⊢ (Function.mulSupport fun b => (Finset.filter (fun a => g a = b) s).prod f) ⊆ ↑(Finset.image g s)
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D
inst✝³ : MeasurableSpace D
inst✝² : BorelSpace D
inst✝¹ : SecondCountableTopology D
inst✝ : FiniteDimensional ℝ D
C₁ C₂ : ℝ
k l : ℕ
x f : ℝ
hx : 0 ≤ x
hf : 0 ≤ f
h₁ : f ≤ C₁
h₂ : x ^ (k + l) * f ≤ C₂
this✝ : 0 ≤ C₂
this : 2 ^ l * (C₁ + C₂) * (1 + x) ^ (-↑l) = ((1 + x) / 2) ^ (-↑l) * (C₁ + C₂)
h'x : 1 ≤ x
⊢ x ^ k * f ≤ ((1 + x) / 2) ^ (-↑l) * (C₁ + C₂)
G : Type u_2
AddGroup G
g : G
h : Gᵃᵒᵖ
s : Set G
⊢ (fun y => h +ᵥ y) '' ((fun x => g + x) ⁻¹' s) = (fun x => g + x) ⁻¹' ((fun y => h +ᵥ y) '' s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
⊢ re ⟪x, x⟫_𝕜 = ‖↑(re ⟪x, x⟫_𝕜)‖
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s : LowerSet α
t : LowerSet β
⊢ ↑(s ×ˢ t) = ↑s ×ˢ ↑t
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin n
⊢ b.flag k.castSucc ≤ b.flag k.succ
K : Type u
V : Type v
W : Type w
Field K
Field V
Algebra K V
FiniteDimensional K V
Field W
Algebra K W
⊢ Cardinal.mk (V →ₐ[K] W) ≤ ↑(FiniteDimensional.finrank W (V →ₗ[K] W))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
I : Type u_7
inst✝ : Finite I
l : I → Filter α
ι : I → Sort u_6
p : (i : I) → ι i → Prop
s : (i : I) → ι i → Set α
hd✝ : Pairwise (Disjoint on l)
h : ∀ (i : I), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : I → Set α
htl : ∀ (i : I), t i ∈ l i
hd : Pairwise (Disjoint on t)
⊢ ∃ ind, (∀ (i : I), p i (ind i)) ∧ Pairwise (Disjoint on fun i => s i (ind i))
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
Ring k
Module k V
b : AffineBasis ι k P
DecidableEq ι
⊢ b.toMatrix ⇑b = 1
α : Sort u_1
p : α → Prop
a' : α
⊢ (∃ a, a = a' ∧ p a) ↔ p a'
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
b : Basis ι S M
c : Basis κ R N
m : M
n : N
i : ι
j : κ
⊢ ((b.tensorProduct c).repr (m ⊗ₜ[R] n)) (i, j) = (c.repr n) j • (b.repr m) i
G : Type u
Monoid G
n : ℕ
⊢ ∀ (a : (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (Action.leftRegular G) (Action.diagonal G n)).V),
  (Action.diagonalSucc G n).inv.hom a = (Equiv.piFinSuccAbove (fun a => G) 0).symm a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.δ ≫ S.L₃.f = 0
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (o.oangle (x + r • y) y).sign = (o.oangle x y).sign
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : SMulZeroClass R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
s : Set Γ'
hs : s.IsPWO
hys : ((of R).symm y).support ⊆ s
b : Γ × Γ'
hb : (x.coeff b.1 ≠ 0 ∧ b.2 ∈ s ∧ b.1 +ᵥ b.2 = a) ∧ (x.coeff b.1 ≠ 0 → b.1 +ᵥ b.2 = a → ((of R).symm y).coeff b.2 = 0)
⊢ x.coeff b.1 • ((of R).symm y).coeff b.2 = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : Center C
⊢ (𝟙 (X ⊗ 𝟙_ (Center C))).f = 𝟙 (X ⊗ 𝟙_ (Center C)).fst
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
ν : ProbabilityMeasure Ω
s : Set Ω
⊢ ↑(ν s) = ↑ν s
a b : ℤ
⊢ multiplicity.Finite a b ↔ multiplicity.Finite a.natAbs b.natAbs
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra R S
b : Basis ι R S
x : S
hx : x ≠ 0
i : ι
⊢ ↑((basisSpanSingleton b hx) i) = x * b i
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
a b : α
⊢ MeasurableSet (Set.uIcc a b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
x : E
r : ℝ
y : E
⊢ y ∈ c • ball x r ↔ y ∈ ball (c • x) (‖c‖ * r)
G : Type u_1
Group G
α : Type u_2
MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
⊢ H ≤ MulAction.stabilizer G s ↔ ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype σ
f : σ →₀ ℕ
n : σ
⊢ 1 ≤ Fintype.card K
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Option β
l : Array α
b : β
⊢ b ∈ Array.filterMap f l 0 ↔ ∃ a, a ∈ l ∧ f a = some b
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
⊢ nndist a b = ‖a - b‖₊
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1
hn : n.factorization p ≤ 0
⊢ p ^ n.factorization p = 1
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
IH : ∀ m < n, X m ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p m) = (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ m)
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n
⊢ C (↑p ^ i) * (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ i) ^ p ^ (n - i) * C (⅟↑p ^ n) - C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n + 1 - i) * C (⅟↑p ^ n) = ∑ i_1 ∈ range (p ^ (n - i)), C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (i_1 + 1)) * frobeniusPolyAux p i ^ (i_1 + 1) * C ↑((p ^ (n - i)).choose (i_1 + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨i_1 + 1, ⋯⟩) * p ^ (i_1 - v p ⟨i_1 + 1, ⋯⟩)))
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y✝ : (i : δ) → π i
i : δ
x y : (i : δ) → π i
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
h : ∀ i ∉ s, x i = y i
⊢ (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) x = (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LT α
a b : αᵒᵈ
⊢ eq.Compares (ofDual a) (ofDual b) ↔ eq.Compares b a
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
hk : k ∈ ρ a
⊢ HasDerivAt (resolvent a) (-resolvent a k ^ 2) k
M : Type u_2
α : Type u_4
AddCommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableAdd₂ M
m : MeasurableSpace α
l : Multiset (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, Measurable f
⊢ Measurable l.sum
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
⊢ (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) =O[atTop] fun n => deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Finite ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι
⊢ ((Finsupp.total ι (Module.Dual R M) R b.coord) f) (b i) = f i
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
f : Filter α
g : Filter β
m : α → γ → δ
n : β → γ
⊢ Filter.map₂ m f (Filter.map n g) = Filter.map₂ (fun a b => m a (n b)) f g
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
⊢ ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
α β : Type u
x : Cardinal.{u_1}
⊢ x ∈ range Nat.cast ↔ x ∈ Iio ℵ₀
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.eta c).hom.hom = 𝟙 c.pt
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
Zero β
PosSMulMono α β
SMulPosMono α β
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h₂ : 0 ≤ a₂
h₁ : 0 ≤ b₁
⊢ a₁ • b₁ ≤ a₂ • b₂
ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : UniformSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : UniformGroup G
inst✝² : UniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F)) 1
⊢ UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F))
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hνμ : ν ≪ μ
⊢ (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν)⁻¹ = ν
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : 0 < G
h' : -G < -0
⊢ False
K : Type u
Field K
ζ : K
k : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
⊢ ↑hζ.toInteger = ζ
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ₁ δ₂ : ℝ
δ₁_pos : 0 < δ₁
δ₂_pos : 0 < δ₂
hle : δ₁ ≤ δ₂
E : Set α
x : α
⊢ thickenedIndicatorAux δ₁ E x ≤ thickenedIndicatorAux δ₂ E x
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ Set.Ioo a b ⊆ Set.Ico a b
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
⊢ (DoubleQuot.quotQuotEquivComm I J).symm = DoubleQuot.quotQuotEquivComm J I
α : Type u
β : Type v
f : α → β → α
hf : ∀ (a : α) (b c : β), f (f a b) c = f (f a c) b
a : α
l : List β
⊢ List.foldl f a l = List.foldr (flip f) a l
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
h2 : ∀ (t : G), ‖(L (f t)) (g (x₀ - t)) - (L (f t)) z₀‖ ≤ ‖L (f t)‖ * ε
h3 : ∀ (t : G), ‖L (f t)‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖
⊢ ∫ (a : G), ‖L (f a)‖ ∂μ ≤ ‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ
⊢ SemilatSupCatEquivSemilatInfCat.functor = SemilatSupCat.dual
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
conjeq : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) ((mateEquiv h h) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))) = (conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))
B : C
⊢ ({ toFun := fun α => whiskerLeft (F ⋙ prod.functor.obj (F.obj A)) h.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft F α) F ≫ whiskerRight h.counit (prod.functor.obj A ⋙ F), invFun := fun β => whiskerRight h.unit (prod.functor.obj (F.obj A) ⋙ L) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L β) L ≫ whiskerLeft (L ⋙ prod.functor.obj A) h.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))).app B = (prodComparisonNatIso F A).inv.app B
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
⊢ ((Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.g f) x) Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.infinity =
  Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.infinity
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
x : TensorProduct R M N
⊢ (LinearMap.lTensor M LinearMap.id) x = x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Semiring β
b : α
m n : ℕ
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
f : F
a : α
⊢ Odd (f (2 * a + 1))
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
⊢ Integrable (↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)) μ
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
ha : 0 < a
⊢ StrictMono fun x => x • a
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝ : DecidableEq μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
p : μ × μ
x✝¹ x✝ : { x // x ∈ s.finsuppAntidiag p.2 }
f : ι →₀ μ
hf✝ : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2
g : ι →₀ μ
hg✝ : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2
hf : s.sum ⇑f = p.2 ∧ f.support ⊆ s
hg : s.sum ⇑g = p.2 ∧ g.support ⊆ s
hfg : ∀ (x : ι), (f.update a p.1) x = (g.update a p.1) x
x : ι
hx : x ≠ a
⊢ f x = g x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
⊢ S.op.v₀₁ = CategoryTheory.ShortComplex.opMap S.v₂₃
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
j : ℤ
A : C
f : (CochainComplex.mappingCone φ).X j ⟶ A
i : ℤ
hij : j + 1 = i
⊢ ∃ a b, f = (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v j i hij ≫ a + (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v j j ⋯ ≫ b
X Y : Type u
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
x : (CategoryTheory.forget TopCat).obj (TopCat.of X)
⊢ f x = f x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
⊢ ContDiff 𝕜 n ⇑f
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
AddMonoid β
BoundedAdd β
ContinuousAdd β
f g : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ⇑(f + g) = ⇑f + ⇑g
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
h : P ≈ Q
⊢ W'.Nonsingular P ↔ W'.Nonsingular Q
α : Type u_1
CircularPreorder α
a b : α
⊢ ¬sbtw a b a
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
f : α → β
s : Finset α
⊢ ∑ i : ↑↑s, f ↑i = ∑ i ∈ s, f i
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : RCLike 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
⊢ (fun a => ⟪↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a, ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a⟫_𝕜) =ᶠ[ae μ] fun a => (starRingEnd 𝕜) (f a) * g a
G : Type u_7
Group G
n : ℕ
f : ℕ → G
⊢ (List.map (fun k => f k / f (k + 1)) (List.range n)).prod = f 0 / f n
R : Type u_1
Semiring R
⊢ (PowerSeries.constantCoeff R) 1 = 1
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ closure (⇑f.val.base '' ⊤) = ⊤
α : Type u
β : Type v
inst✝ : AddGroup α
a b : α
n : ℕ
x✝ : α
⊢ (Equiv.addLeft a ^ n) x✝ = (Equiv.addLeft (n • a)) x✝
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
a : Sigma α
b : Sigma β
x : Sigma γ
⊢ x ∈ Finset.sigmaLift f a b ↔ ∃ (ha : a.fst = x.fst) (hb : b.fst = x.fst), x.snd ∈ f (ha ▸ a.snd) (hb ▸ b.snd)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
⊢ ⊥ = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ J₁.IsClosed (J₁.close S)
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x y : List α
h : x <+: y
hl : x.length < y.length
⊢ x ++ [y.get ⟨x.length, hl⟩] <+: y
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
f : ι → M → G
n : ℕ∞
lf : LocallyFinite fun i => Function.support (f i)
x₀ : M
h : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I' I n (f i) s x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => ∑ᶠ (i : ι), f i x) s x₀
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f₀' f₁' : F
x : 𝕜
h₀ : HasDerivAt f f₀' x
h₁ : HasDerivAt f f₁' x
⊢ f₀' = f₁'
R : Type u
CommSemiring R
M₁ : Type v
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
⊢ LinearMap.id.dualMap = LinearMap.id