ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
x : X
hx : x ∈ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x}
⊢ x ∈ f ⁻¹' s
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
f : F
⊢ derivWithin (fun y => c y • f) s x = derivWithin c s x • f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
Countable ι
κs : ι → ProbabilityTheory.Kernel α β
hκs : ∀ (n : ι), ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel (κs n)
⊢ ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel (ProbabilityTheory.Kernel.sum κs)
α : Type u_1
l : List α
x : α
DecidableEq α
⊢ List.Duplicate x l ↔ 2 ≤ List.count x l
G : Type u
inst✝² : Group G
N✝ : Subgroup G
nN✝ : N✝.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
N : Subgroup G
nN : N.Normal
x : G
⊢ ↑x = 1 ↔ x ∈ N
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
g : G →L[𝕜] E
f : E → F
hf : ContDiff 𝕜 n f
x : G
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 i (f ∘ ⇑g) x = (iteratedFDeriv 𝕜 i f (g x)).compContinuousLinearMap fun x => g
α : Type u_1
G : Type u_5
TopologicalSpace G
AddCommGroup G
TopologicalAddGroup G
f : α → G
FirstCountableTopology G
T1Space G
hf : Summable f
⊢ (Function.support f).Countable
J : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} K
h : ∀ (j₁ j₂ : J), Zigzag j₁ j₂
⊢ ∀ {α : Type u₁} (F : J → α), (∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → F j₁ = F j₂) → ∀ (j j' : J), F j = F j'
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
⊢ Function.mulSupport 1 = ∅
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : { f // IsIdempotentElem f ∧ range f = p }
x : E
⊢ ↑f x ∈ p
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Z : Type u_6
R : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid Y
Module R Y
AddCommMonoid Z
Module R Z
e : Y ≃ₗ[R] Z
g : LocallyConstant X Y
⊢ ∀ (a : X), ((LocallyConstant.congrRightₗ R e) g) a = e (g a)
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
x✝ : X
y : Y
h : e.IsImage s t
x : X
hx : x ∈ e.source
⊢ ↑e x ∈ closure t ↔ x ∈ closure s
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Martingale (-f) ℱ μ
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset β
a : α
f : β → Multiset α
⊢ count a (map (fun x => f x) s.val).sum = (map (fun x => count a (f x)) s.val).sum
K : Type v
L : Type w
Field K
Field L
i : K →+* L
f : K[X]
hs : Polynomial.Splits i f
hf0 : f.degree ≠ 0
⊢ ∃ x, Polynomial.eval₂ i x f = 0
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
j : L →+* F
f : K[X]
⊢ Splits j (map i f) ↔ Splits (j.comp i) f
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (iSup t).toSubalgebra = ⨆ i, (t i).toSubalgebra
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : ¬n = 0
⊢ nthRootsFinset n R = n.divisors.biUnion fun i => primitiveRoots i R
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : Finset M
x : M
hx : x ∈ span R ↑s
⊢ x ∈ span R (_root_.id '' ↑s)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : Y →. X
l : Filter Y
x : X
⊢ Filter.PTendsto' f l (𝓝 x) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → x ∈ s → f.preimage s ∈ l
X : Type u_1
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
U : Set X
hU : IsOpen U
h₀ : μ U = 0
⊢ U = ∅
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
⊢ LocallyConnectedSpace α ↔ ∀ (x : α), ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ V ⊆ U, IsOpen V ∧ x ∈ V ∧ IsConnected V
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
⊢ ⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x = T.rayleighQuotient x₀
α : Type u_2
Preorder α
⊢ OrderHom.dual.symm OrderHom.id = OrderHom.id
α : Type u
h : Set.univ.Subsingleton
⊢ Subsingleton α
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
N'' : Type u_13
CommSemiring R'
AddCommMonoid M''
AddCommMonoid N''
Module R' M''
Module R' N''
n : ℕ
⊢ AlternatingMap.curryLeft 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
y : Set β
⊢ ⇑f ⁻¹' maximals s (y ∩ range ⇑f) = univ ∩ ⇑f ⁻¹' maximals s (⇑f '' univ ∩ y)
α : Type u_1
Preorder α
⊢ Antitone Set.Ici
f g : CircleDeg1Lift
⊢ f 0 + ↑⌊g 0⌋ ≤ f (g 0)
n m : ℕ
h : Ico n m = []
⊢ m - n = 0
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
m : M
⊢ m ∈ posFittingComp R L M ↔ m ∈ ⨆ x, posFittingCompOf R M x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
⊢ ((κ a).withDensity fun x => ↑(f a x) * g a x) = ((κ.withDensity fun a x => ↑(f a x)).withDensity g) a
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
u : Set τ
hu : u ∈ f
⊢ omegaLimit f ϕ s ⊆ closure (Set.image2 ϕ u s)
α : Type u_1
PartialOrder α
⊢ Function.Injective UpperSet.Ici
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace Z
proj : Z → B
self : Trivialization F proj
⊢ self.source = proj ⁻¹' self.baseSet
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℂ
x : ℝ
f' : ℂ
h₁ : HasStrictDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ slitPlane
⊢ HasStrictDerivAt (fun t => log (f t)) (f' / f x) x
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
a : α
s : Finset β
⊢ ↑(a • s) = a • ↑s
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g✝
X : Scheme
U : X.Opens
f g : ↑Γ(X, U)
𝒰 : X.OpenCover
h : ∀ (i : 𝒰.J), (Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) f = (Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) g
⊢ ∀ (i : ↑↑X.toPresheafedSpace), (X.sheaf.val.map (homOfLE ⋯).op) f = (X.sheaf.val.map (homOfLE ⋯).op) g
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
⊢ ↑0 = 0
m : Type u → Type u_1
α β σ : Type u
Monad m
LawfulMonad m
f : StateT σ m (α → β)
x : StateT σ m α
s : σ
⊢ (Seq.seq f fun x_1 => x).run s = do
  let fs ← f.run s
  (fun p => (fs.fst p.fst, p.snd)) <$> x.run fs.snd
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
hI : M.Indep I
⊢ ¬M.Dep I
A : Type u
B : Type v
inst✝¹ : CommGroup A
inst✝ : CommGroup B
f : A →* B
h : (QuotientGroup.mk' f.range).ker = ker 1
⊢ f.range = ⊤
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
self : MeasureTheory.VectorMeasure α M
⊢ ∀ (a : Set α), MeasureTheory.VectorMeasure.coeFnAddMonoidHom self a = ↑self a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ h₁ h₂
γ' : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ' h₁ h₂
⊢ (γ.add γ').left = γ.left.add γ'.left
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Cycle.Chain r Cycle.nil
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Group α
a✝ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ a⁺ᵐ * a⁻ᵐ = mabs a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
hε : 0 ≤ ε
⊢ ∀ x ∈ P.parts.offDiag, (fun i => i.1.card * i.2.card) x ≤ (A.card / P.parts.card + 1) ^ 2
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C
⊢ F.μ A.X A.X ▷ F.obj A.X ≫ F.μ (A.X ⊗ A.X) A.X ≫ F.map ((α_ A.X A.X A.X).hom ≫ A.X ◁ A.mul ≫ A.mul) = (α_ (F.obj A.X) (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom ≫ F.obj A.X ◁ F.μ A.X A.X ≫ F.μ A.X (A.X ⊗ A.X) ≫ F.map (A.X ◁ A.mul) ≫ F.map A.mul
n m l : ℕ
hln : l ≤ n
k : ℕ
hk : k ∈ Ico n m
⊢ decide (l ≤ k) = true
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
⊢ f.inverse.graph = Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject C
X₀ : C
f : X₀ ⟶ X.obj (SimplexCategory.mk 0)
w : ∀ (i : SimplexCategory) (g₁ g₂ : SimplexCategory.mk 0 ⟶ i), f ≫ X.map g₁ = f ≫ X.map g₂
⊢ (X.augment X₀ f w).hom.app (SimplexCategory.mk 0) = f
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V
⊢ midpoint R (x + y) (x - y) = x
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End K M
V : Submodule K M := φ.maxGenEigenspace 0
hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)
W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)
hVW : IsCompl V W
hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V
hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W
F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV
G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW
ψ : ↥V × ↥W →ₗ[K] ↥V × ↥W := F.prodMap G
e : (↥V × ↥W) ≃ₗ[K] M := V.prodEquivOfIsCompl W hVW
bV : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V) K ↥V := chooseBasis K ↥V
bW : Basis (ChooseBasisIndex K ↥W) K ↥W := chooseBasis K ↥W
b : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V ⊕ ChooseBasisIndex K ↥W) K (↥V × ↥W) := bV.prod bW
hψ : ψ = e.symm.conj φ
hG : G.charpoly.natTrailingDegree = 0
x : M
n : ℕ
hx : (φ ^ n) x = 0
⊢ ∃ n_1, (restrict φ hφV ^ n_1) ⟨x, ⋯⟩ = 0
V : Type u
Quiver V
X Y : CategoryTheory.Paths (Quiver.Symmetrify V)
p : X ⟶ Y
⊢ Quot.mk (CategoryTheory.Quotient.CompClosure CategoryTheory.Groupoid.Free.redStep)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp p (Quiver.Path.reverse p)) =
  Quot.mk (CategoryTheory.Quotient.CompClosure CategoryTheory.Groupoid.Free.redStep)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id X)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
μ : MeasureTheory.Measure V
f : V → E
w : V
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun v => Real.fourierChar (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ
𝕜 : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
Fintype ι₁
Fintype ι₂
v : OrthonormalBasis ι₁ 𝕜 E
w : OrthonormalBasis ι₂ 𝕜 F
i : ι₁ ⊕ ι₂
⊢ (v.prod w) i = Sum.elim (⇑(LinearMap.inl 𝕜 E F) ∘ ⇑v) (⇑(LinearMap.inr 𝕜 E F) ∘ ⇑w) i
α : Type u_1
CompleteLattice α
Group α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
⊢ sSup (s * t) = sSup s * sSup t
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b : α
⊢ -a + b = b - a
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
SemilatticeSup δ
OrderBot δ
g : γ → δ
a : δ
⊢ (Finset.image₂ f s t).sup g ≤ a ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, g (f x y) ≤ a
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
boxes : Finset (WithBot (Box ι))
le_of_mem : ∀ J ∈ boxes, J ≤ ↑I
pairwise_disjoint : (↑boxes).Pairwise Disjoint
⊢ ⋃ J, ⋃ (_ : ↑J ∈ boxes), ↑J = ⋃ J ∈ boxes, ↑J
x : ℕ∞
⊢ PartENat.withTopEquiv.symm x = ↑x
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞
g_ae_measurable : AEMeasurable g (map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕))
⊢ essSup g (map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕)) = essSup (fun x => g ↑x) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
⊢ (Summable fun x => ‖f x‖) → AEStronglyMeasurable f Measure.count
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
⊢ #((n : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin n)) = max ℵ₀ #(α ⊕ (i : ℕ) × L.Functions i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i j : Set α
s : SignedMeasure α
⊢ ∃ i, MeasurableSet i ∧ restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ restrict s iᶜ ≤ restrict 0 iᶜ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
a : α
x✝ : List α
⊢ count a (dedup (Quot.mk Setoid.r x✝)) = if a ∈ Quot.mk Setoid.r x✝ then 1 else 0
d n : ℕ
hd : d ≠ 0
hn : n ≠ 0
⊢ d.factorization ≤ n.factorization ↔ d ∣ n
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ∅ = Batteries.AssocList.nil
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
j : Fin n.succ
⊢ A.det = ∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ (↑i + ↑j) * A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
s t : Set α
hd : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t
ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hft : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ
⊢ ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ =
  ((μ s).toReal / ((μ s).toReal + (μ t).toReal)) • ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ +
    ((μ t).toReal / ((μ s).toReal + (μ t).toReal)) • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
⊢ 4 ^ P.parts.card ≤ m
α : Type u_2
BiheytingAlgebra α
a : α
⊢ aᶜ ≤ ￢a
n : ℤ
⊢ Rat.divInt n 1 = ↑n
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
ι : Type w
Finite ι
IsDomain R
IsDomain S
b : Basis ι R S
x : S
⊢ (Algebra.norm R) x = 0 ↔ x = 0
β : Type u_2
α : Type u_1
VAdd β α
b : Lex β
a : α
⊢ ofLex b +ᵥ a = b +ᵥ a
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f
⊢ IsPathConnected (range f)
s : Type u_1
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : s → X.Opens
hU : ⨆ i, U i = ⊤
i : s
⊢ (X.openCoverOfISupEqTop U hU).obj i = ↑(U i)
R : Type u_1
NonAssocRing R
Pow R ℕ
NatPowAssoc R
n k : ℕ
⊢ (descPochhammer ℤ k).smeval ↑n = ↑(n.descFactorial k)
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hAB : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
n : ℕ
⊢ ↑(A * B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h : separableClosure E K = ⊥
x : K
hx : x ∈ separableClosure F K
⊢ x ∈ IntermediateField.map (IsScalarTower.toAlgHom F E K) (separableClosure F E)
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c : α
u₁ u₂ : αˣ
⊢ ↑(u₁ / u₂) = ↑u₁ /ₚ u₂
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.RightFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L
⊢ L.map φ.s ≫ φ.map L hL = L.map φ.f
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → E
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
hq0 : 0 ≤ q
hq1 : q ≤ 1
⊢ MeasureTheory.eLpNorm' (f + g) q μ ≤ 2 ^ (1 / q - 1) * (MeasureTheory.eLpNorm' f q μ + MeasureTheory.eLpNorm' g q μ)
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
⊢ Ring.inverse ↑u = ↑u⁻¹
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
𝕜 : Type u_5
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_6
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
φ : X → H →L[𝕜] E
φ_int : MeasureTheory.Integrable φ μ
v : H
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) v = ∫ (x : X), (φ x) v ∂μ
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
inst✝ : v.RankOne
x : Γ₀
h : x = 0
⊢ (hom v) x = 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M'
i : ι'
⊢ ((b.prod b') (Sum.inr i)).2 = b' i
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.NoAtoms (μ i)
f g : (i : ι) → α i
⊢ (Set.univ.pi fun i => Set.Ioc (f i) (g i)) =ᵐ[MeasureTheory.Measure.pi μ] Set.Icc f g
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : ℕ → G
k : ℕ
⊢ HasProd (fun n => f (n + k)) (g / ∏ i ∈ range k, f i) ↔ HasProd f g
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α
ha : Disjoint a c
hb : Disjoint b c
⊢ Disjoint (a ∆ b) c
x y : SetTheory.PGame
⊢ x < y ∨ x ≈ y ∨ y < x ∨ x.Fuzzy y
F : PFunctor.{u}
X : Type w
f : X → ↑F X
i : X
n : ℕ
⊢ PFunctor.Approx.Agree (PFunctor.Approx.sCorec f i n) (PFunctor.Approx.sCorec f i n.succ)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Monad C
self : CategoryTheory.MonadHom T₁ T₂
X : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (T₁.η.app X) (self.app X) = T₂.η.app X
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
⊢ CategoryTheory.IsIdempotentComplete Cᵒᵖ ↔ CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a| < ε * ↑⌊c ^ n⌋₊
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ 0 ≤ a.y ^ 2 * (1 + d * a₁.y ^ 2) - (1 + d * a.y ^ 2) * a₁.y ^ 2
μ : Type u_2
AddCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
DecidableEq μ
n : μ
d : ℕ
f : Fin d → μ
⊢ f ∈ Finset.finAntidiagonal d n ↔ ∑ i : Fin d, f i = n
α : Type u_1
r : Rel α α
x : RelSeries r
⊢ x.toList ≠ []
ι : Type u_1
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
OrderedAddCommMonoid N
f : M → N
h_mul : ∀ (x y : M), f (x + y) ≤ f x + f y
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
g : ι → M
⊢ f (∑ i ∈ s, g i) ≤ ∑ i ∈ s, f (g i)
R : Type u_1
S : Type u_2
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
f : R →+ S
⊢ (∀ (x y : R), f (x * y) = f x * f y) ↔ AddMonoidHom.mul.compr₂ f = (AddMonoidHom.mul.comp f).compl₂ f
a n k : ℕ
⊢ map (fun x => x + k) (bitIndices 1) = [k]
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
⊢ x + y = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * y.denom + x.denom * y.num) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.denom * y.denom)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Continuous f
t : Set Y
h : IsClosed t
⊢ IsClosed (f ⁻¹' t)
α : Type u_1
a a' a₁ a₂ b b' b₁ b₂ c : α
inst✝ : AddGroup α
p : a = b
H : a' - b' - (a - b) = 0
⊢ a' = b'
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ι : Sort u_7
f : α → β
s : ι → Set α
hs : ∀ (x : α), ∃ i, s i ∈ 𝓝 x
hf : ∀ (i : ι), ContinuousOn f (s i)
⊢ Continuous f
α : Type u_1
Lattice α
IsWeakUpperModularLattice α
a b : α
⊢ a ⊓ b ⋖ a → a ⊓ b ⋖ b → a ⋖ a ⊔ b
x y : ℝ
⊢ log ↑0 = (Nat.factorization 0).sum fun p t => ↑t * log ↑p
R✝ : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : Semiring A✝
inst✝¹⁸ : Algebra R✝ A✝
M✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module A✝ M✝
inst✝¹⁵ : Module R✝ M✝
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ M✝
N : Type u_4
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module A✝ N
inst✝¹¹ : Module R✝ N
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ N
R : Type u_5
A : Type u_6
M : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring A
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module A M
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M
r : R
m : M
h : (algebraMap R A) r • m = 0
⊢ r = 0 ∨ m = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.toKaroubiCompN₂IsoN₁.hom.app X).f = AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : ↑(MaxProducts C ho)
hm : term I ho ∈ ↑↑l
⊢ ord I (↑↑l).head! = o
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
i j : ι
a : 𝒜 i
b : ℬ j
⊢ (((TensorProduct.directSum R R 𝒜 ℬ).trans (LinearEquiv.ofLinear (gradedCommAux R 𝒜 ℬ) (gradedCommAux R ℬ 𝒜) ⋯ ⋯)).trans (TensorProduct.directSum R R ℬ 𝒜).symm) ((lof R ι 𝒜 i) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j) b) = (-1) ^ (j * i) • (lof R ι ℬ j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i) a
σ : Type u_1
k : Type u_3
Field k
φ₁ φ₂ φ₃ : MvPowerSeries σ k
h : (MvPowerSeries.constantCoeff σ k) φ₃ ≠ 0
⊢ φ₁ = φ₂ * φ₃⁻¹ ↔ φ₁ * φ₃ = φ₂