ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
j : ι
hij : i ≤ j
hfx : (f' i j hij) x = 0
⊢ (f' i j hij) x = (f' i j hij) 0
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk : (n % k).beq 0 = false
h : MinFacHelper n k
h2 : n.minFac = k
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (F.comp G).map f = G.map (F.map f)
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
Semiring R
AddZeroClass A
SemilatticeSup B
OrderBot B
D : A → B
⊢ AddMonoidAlgebra.supDegree D 0 = ⊥
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Game
⊢ BddAbove (Set.range f)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (f.restrict s).lintegral μ = ∑ r ∈ f.range, r * μ (↑f ⁻¹' {r} ∩ s)
m n k : ℕ
h₁ : m ≤ k
h₂ : k < m + n
⊢ k = ↑(Fin.natAdd m ⟨k - m, ⋯⟩)
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i : 𝒰.J
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t 𝒰 f g i i = 𝟙 (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.v 𝒰 f g i i)
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
hK : K.IsRadical
⊢ (Ideal.comap f K).IsRadical
R : Type u_1
Semiring R
s : Subsemiring R
⊢ s ≤ Subsemiring.centralizer ↑(Subsemiring.centralizer ↑s)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β → γ
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hf : (Set.image2 f s t).Finite := ⋯
⊢ Set.Finite.toFinset hf = Finset.image₂ f hs.toFinset ht.toFinset
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
A B B' : C
h : B ⟶ B'
hB : B ∈ i.essImage
hB' : B' ∈ i.essImage
f : A ⟶ B
⊢ (unitCompPartialBijective A hB') (f ≫ h) = (unitCompPartialBijective A hB) f ≫ h
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x y : α
⊢ (Setoid.ker f).Rel x y ↔ f x = f y
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
⊢ (DoubleCentralizer.toProd 1).1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
⊢ ⊥.inv = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
⊢ AEMeasurable (preCDF ρ r) (ρ.fst.restrict s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b
i : ι
hi : i ∈ Iio b
hia : i ≠ a
⊢ ⟪gramSchmidt 𝕜 f i, f b⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f i‖ ^ 2) * ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f i⟫_𝕜 = 0
f g : CircleDeg1Lift
x : ℕ → ℝ
C : ℝ
H : ∀ (n : ℕ), dist ((f ^ n) 0) (x n) ≤ C
⊢ ∀ (t : ℕ), dist (f.transnumAuxSeq t) (x (2 ^ t) / 2 ^ t) ≤ ?m.120971 t
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C
X X' : D
f : (reflector i).obj (A ⨯ B) ⟶ X
g : X ⟶ X'
⊢ i.map (i.fullyFaithfulOfReflective.preimage (prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B) ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective B ⋯) (curry (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective A ⋯) (curry (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) X') (f ≫ g) ≫ 𝟙 (i.obj X')))) ≫ 𝟙 (i.obj X')))) ≫ 𝟙 (i.obj X'))) = i.map (i.fullyFaithfulOfReflective.preimage (prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B) ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective B ⋯) (curry (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective A ⋯) (curry (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) X) f ≫ 𝟙 (i.obj X)))) ≫ 𝟙 (i.obj X)))) ≫ 𝟙 (i.obj X)) ≫ g)
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : SimpleGraph V
h : H ≤ G
⊢ (SimpleGraph.toSubgraph H h).verts = Set.univ
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝ : S.HasRightHomology
⊢ h.opcyclesIso.hom ≫ h.descQ k hk = S.descOpcycles k hk
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
J : Type u_1
T : J → CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₁
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₂
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₃
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
j : J
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.productTriangle.π T j).hom₁ = CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun j => (T j).obj₁) j
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
ha : Multipliable f
⊢ HasProd f (if (mulSupport fun b => f b).Finite then ∏ᶠ (b : β), f b else Exists.choose ⋯)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s t : Set (PrimeSpectrum R)
ht : IsClosed t
h : vanishingIdeal t ≤ vanishingIdeal s
⊢ closure s ⊆ closure t
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
⊢ ∀ y ∈ V ∩ B, φ y ∈ V'
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
⊢ (X.ofRestrict h).base = f
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
x : FreeMonoid (G ⊕ H)
⊢ (coprodCon G H) (ofList (List.map (Sum.map Inv.inv Inv.inv) (toList x)).reverse * x) 1
R : Type u_2
TopologicalSpace R
Star R
ContinuousStar R
s : Set R
x : R
⊢ ContinuousWithinAt star s x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
s : Set β
x : α
⊢ 𝓝[s ∩ range f] f x = 𝓝[s] f x
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
β : Type u_13
M : Matrix ((i : o) × m' i) ((i : o) × n' i) α
f : α → β
⊢ (M.map f).blockDiag' = fun k => (M.blockDiag' k).map f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
⊢ ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ C
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ (bind₁ (selectPoly P)) (wittPolynomial p ℤ n) + (bind₁ (selectPoly fun i => ¬P i)) (wittPolynomial p ℤ n) = wittPolynomial p ℤ n
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasFDerivAt (fun u => exp 𝕂 (u • x)) ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (exp 𝕂 (t • x))) t
R : Type u_3
CommRing R
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor [] r it
⊢ ValidFor [] r it.prev
a r : ℝ
⊢ Measurable (ProbabilityTheory.gammaPDFReal a r)
α β γ : Type u
S : Set (α → ℕ)
f : β → γ
g : γ → Option β
inv : ∀ (x : β), g (f x) = some x
p : Poly (α ⊕ β)
h : ∀ (v : α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
⊢ ∃ q, ∀ (v : α → ℕ), S v ↔ ∃ t, q (v ⊗ t) = 0
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
Nonempty ι
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
⊢ (⨅ i, l i).HasBasis (fun ii' => p ii'.1 ii'.2) fun ii' => s ii'.1 ii'.2
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.degree = ↑n
⊢ p.natDegree = n
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
m n : ℕ
⊢ s.get? (m + n) = (s.drop m).get? n
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
c : ι → R
m : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
⊢ f (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ s, c i) • f m
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
C₁ C₂ C₃ : ℝ
h : C₃ = C₂ * C₁
hg : ‖g‖ ≤ C₂
hf : ‖f‖ ≤ C₁
⊢ ‖g.comp f‖ ≤ C₃
b : ℕ
⊢ Nat.log b 0 = 0
a b : ℝ≥0∞
h : a < b
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ a ^ n < b ^ n
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
⊢ ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R M) ⊗ (comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R N)).comul = Coalgebra.comul
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
⊢ range (fst R M M₂) = ⊤
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : Field F✝
inst✝⁷ : Field E✝
inst✝⁶ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E
h : F⟮α⟯ = ⊤
⊢ finrank F ↥F⟮α⟯ = finrank F ↥⊤
i j : ℤ
⊢ i.lcm j = j.lcm i
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
n : ℕ
⊢ (Polynomial.X ^ n).roots = n • {0}
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
⊢ Monotone ⇑e
α : Type u_1
CircularOrder α
a b : α
⊢ (Set.cIoo a b)ᶜ = Set.cIcc b a
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
⊢ ⊤ᶜ = ⊥
a b : ℝ
n : ℕ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x * cos x = (cos a ^ 2 - cos b ^ 2) / 2
x : ℂ
⊢ Complex.tanh (x * Complex.I) = Complex.tan x * Complex.I
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i
Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' : ∀ {ι : Type ?u.7325} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf : (∀ (x : ℕ), d ∈ Y₁ (f x)) ∧ (∀ (x : ℕ), p (f x)) ∧ ∀ (x : ℕ), f x ∈ Ici x
⊢ False
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ (fun x => a + x) '' Set.Iio b = Set.Iio (a + b)
φ : Sort u_1
p : Set ℕ
f : Set ℕ → φ
h : ∀ (p q : ℕ → Prop), ManyOneEquiv p q → f p = f q
⊢ (ManyOneDegree.of p).liftOn f h = f p
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
c : n ≃ n
hc : c ∈ univ.erase (Equiv.refl n)
⊢ (∏ i : n, M.charmatrix (c i) i).degree < ↑(Fintype.card n - 1)
X : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
⊢ {i | (f i).Nonempty}.Finite
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
x : ↥H
α : ↥H → K
hαx : α x = 0
hx : x ∈ corootSpace α
hα : α ≠ 0
⊢ x = 0
α : Type u_3
DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0
⊢ ↑(p - q) = ↑p - ↑q
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
ι : Type u_3
t : ι → Multiset α
b : ι → α
b₀ : α
⊢ fold op (fold op b₀ (map b 0)) (bind 0 t) = fold op b₀ (map (fun i => fold op (b i) (t i)) 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
A B : Set E
⊢ Absorbs 𝕜 A B ↔ ∃ r, ∀ (c : 𝕜), r ≤ ‖c‖ → B ⊆ c • A
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
ε : ℝ
⊢ IsUpperSet (ball 1 ε * s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
⊢ ∀ (X_1 : SimplexCategoryᵒᵖ),
  ((CategoryTheory.cosimplicialSimplicialEquiv C).counitIso.hom.app X).app X_1 = 𝟙 (X.obj X_1)
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
⊢ (∀ (i : M), IsOpen ((chartAt H i).source ∩ s)) ↔ ∀ (x : M), IsOpen (↑(chartAt H x) '' ((chartAt H x).source ∩ s))
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Sup α
Bot α
Sup β
Bot β
Sup γ
Bot γ
f : SupBotHom β γ
g : SupBotHom α β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
h : a ≤ (a ⊔ b) \ (a ⊓ b)
⊢ Disjoint a b
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
f : α → β
a : α
⊢ map f (𝓝 a) = 𝓝[range f] f a
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M t
hf : f.IsSubordinate fun x => sᶜ
⊢ ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
α : Type w
CommRing α
a b c d e f g h i : α
⊢ !![a, b, c; d, e, f; g, h, i].adjugate =
  !![e * i - f * h, -(b * i) + c * h, b * f - c * e;
    -(d * i) + f * g, a * i - c * g, -(a * f) + c * d;
    d * h - e * g, -(a * h) + b * g, a * e - b * d]
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s : Set α
hs : IsAntichain r s
φ : r ≃r r'
⊢ IsAntichain r' (⇑φ '' s)
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
t : ℕ → Set α
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (μ (⨆ i, t i)) (∑' (i : ℕ), μ (t i))
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
IsScalarTower R B B
SMulCommClass R B B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
f : F
x : A
⊢ NonUnitalSubalgebra.map f (NonUnitalAlgebra.adjoin R {x}) = NonUnitalAlgebra.adjoin R {f x}
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ u * P z * (u ^ 3 * P y - u ^ 3 * W'.negY P) = u ^ 4 * (P z * (P y - W'.negY P))
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} A
L : C ⥤ D
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
CategoryTheory.HasShift D M
L.CommShift M
G.ShiftSequence M
F' : M → D ⥤ A
e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D A).obj L).Full
((CategoryTheory.whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful
n a a' : M
ha' : n + a = a'
X : C
⊢ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app (L.obj X) =
  (F.shift a).map ((L.commShiftIso n).inv.app X) ≫
    (e' a).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj X) ≫ (G.shiftIso n a a' ha').hom.app X ≫ (e' a').inv.app X
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
p : ℝ := (∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card)
q : ℝ := (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (4 ^ P.parts.card * 4 ^ P.parts.card)
r : ℝ := ↑(G.edgeDensity ((star hP G ε hU V).biUnion id) ((star hP G ε hV U).biUnion id))
s : ℝ := ↑(G.edgeDensity (G.nonuniformWitness ε U V) (G.nonuniformWitness ε V U))
t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)
hrs : r - s ≤ ε / 5 ∧ s - r ≤ ε / 5
hst : ε ≤ s - t ∨ ε ≤ -(s - t)
hpr : p - r ≤ ε ^ 5 / 49 ∧ r - p ≤ ε ^ 5 / 49
hqt : q - t ≤ ε ^ 5 / 49 ∧ t - q ≤ ε ^ 5 / 49
hε' : ε ^ 5 ≤ ε
⊢ 3 / 4 * ε ≤ p - q ∨ 3 / 4 * ε ≤ -(p - q)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
NormalSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
NormedSpace ℝ E
SecondCountableTopologyEither α E
Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
μ.WeaklyRegular
⊢ (MeasureTheory.Lp.boundedContinuousFunction E p μ).topologicalClosure = ⊤
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
Nontrivial R
x y : X
⊢ FreeAlgebra.ι R x = FreeAlgebra.ι R y ↔ x = y
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.WeaklyRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
⊢ μ A = ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ A), ⨆ (_ : IsClosed K), μ K
α : Type u_1
γ : Type u_2
β : Type u_3
a : α
c : γ
⊢ (Equiv.sumProdDistrib α β γ) (Sum.inl a, c) = Sum.inl (a, c)
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f : α → β
TopologicalSpace β
CommSemiring β
ContinuousMul β
hf : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f
c : β
⊢ Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k fun n => f n * c
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
⊢ c.left.U ⊆ c.right.C
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
ψ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
h₁.IsPreservedBy F
h₂.IsPreservedBy F
⊢ (ψ.map F).φK = F.map ψ.φK
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α × β → ℚ → ℝ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α β
self : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
_hs : Monotone seq
_hs_tendsto : Filter.Tendsto seq Filter.atTop Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun m => ∫ (c : β), f (a, c) (seq m) ∂ν a) Filter.atTop (𝓝 ((ν a) Set.univ).toReal)
α : Type u
x y : FreeRing α
⊢ ↑(x + y) = ↑x + ↑y
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Nontrivial M
this : Nonempty (Module.Free.ChooseBasisIndex R M) := Basis.index_nonempty (Module.Free.chooseBasis R M)
a✝ : Nontrivial R
⊢ LinearMap.det 0 = 0
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ (infClosure s).Finite
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
⊢ sin (3 * x) = 3 * sin x - 4 * sin x ^ 3
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
⊢ Subtype.val ∘ ⇑f.rangeRestrict = ⇑f
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : SMul G X
a : X
⊢ IsBlock G {a}
a : ℤ
ha : IsUnit a
⊢ a ^ 2 = 1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
hR : 0 < R
hwR : Complex.abs w / R ∈ Ico 0 1
⊢ IntervalIntegrable (fun t => ∑' (n : ℕ), (fun n θ => ‖f (circleMap c R θ)‖ * (Complex.abs w / R) ^ n) n t) volume 0 (2 * π)
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
enc : Γ → Mathlib.Vector Bool n
dec : Mathlib.Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Mathlib.Vector.replicate n false
encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
f : Γ → Turing.TM1.Stmt Bool Turing.TM1to1.Λ' σ
v : σ
L R : Turing.ListBlank Γ
⊢ Turing.TM1.stepAux (Turing.TM1to1.read dec f) v (Turing.TM1to1.trTape' enc0 L R) =
  Turing.TM1.stepAux (f R.head) v (Turing.TM1to1.trTape' enc0 L R)
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
h : b ∈ Turing.eval f a
c : σ
⊢ ¬Turing.Reaches₁ f b c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h : ¬c₂.Rel i₂ (c₂.next i₂)
⊢ K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R
n : ℕ
⊢ rootMultiplicity a p ≤ n ↔ ¬(X - C a) ^ (n + 1) ∣ p
α : Type u_1
C : {n : ℕ} → Mathlib.Vector α n → Sort u_2
n : ℕ
x : α
v : Mathlib.Vector α n
nil : C Mathlib.Vector.nil
cons : {n : ℕ} → {x : α} → {w : Mathlib.Vector α n} → C w → C (x ::ᵥ w)
⊢ ((x ::ᵥ v).inductionOn nil fun {n} {x} {w} => cons) = cons (v.inductionOn nil fun {n} {x} {w} => cons)
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r X : R
hr : r ≠ 0
hX : Prime X
⊢ Multiset.count (span {X}) (normalizedFactors (span {r})) = Multiset.count (normalize X) (normalizedFactors r)
b : ℤ
a : Solution₁ (b * b)
ha : 1 < a.x
hp : a.x ^ 2 - b * b * a.y ^ 2 = 1
⊢ False
α : Type u_1
a : α
s t : List α
h₁ : ¬a ∈ s
h₂ : ¬a ∈ t
⊢ ¬a ∈ s ++ t
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
⊢ SameRay ℝ x y ↔ ‖x - y‖ = |‖x‖ - ‖y‖|
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C
⊢ (CategoryTheory.Square.Hom.id sq).τ₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id sq.X₁
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
κ : ι✝ → Sort w'
inst✝² : Frame α
s t : Set α
a b : α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → α
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ ⨆ i, f i.1 ⊓ g i.2 ≤ ⨆ i, f i ⊓ g i
α : Type u
t : TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
s : Set α
hs : s ∈ TopologicalSpace.countableBasis α
⊢ IsOpen s
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
x : α
⊢ normalize x = 0 ↔ x = 0
ι : Type u
f g : ι → ℝ
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
hg : ∀ (i : ι), 0 ≤ g i
hf_sum : Summable fun i => f i ^ p
hg_sum : Summable fun i => g i ^ p
⊢ Summable fun i => (f i + g i) ^ p
α : Type u_1
P Q : RegularExpression α
⊢ P.comp Q = P * Q
R : Type u_2
CommRing R
r : R
M : Type u_1
M' : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
⊢ ↑(QuotSMulTop.equivQuotTensor r M') ∘ₗ (QuotSMulTop.map r) f =
  LinearMap.lTensor (R ⧸ Ideal.span {r}) f ∘ₗ ↑(QuotSMulTop.equivQuotTensor r M)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
x : E
h : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ fderiv 𝕜 f₁ x = fderiv 𝕜 f x