ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
f : ι → M → G
n : ℕ∞
lf : LocallyFinite fun i => Function.mulSupport (f i)
x₀ : M
h : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I' I n (f i) s x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => ∏ᶠ (i : ι), f i x) s x₀
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : FirstCountableTopology α
f : Filter β
inst✝ : CountableInterFilter f
u : β → α
hf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
ha : IsTop (limsup u f)
⊢ ∀ᶠ (b : β) in f, u b ≤ limsup u f
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : NonUnitalSubsemiring R
⊢ ↑0 = 0
α : Type u_1
s : Set α
a : α
has : a ∉ s
⊢ (insert a s).encard = s.encard + 1
S : Type u_1
CommRing S
d : ℕ
⊢ PowerSeries.mk 1 ^ (d + 1) = PowerSeries.mk fun n => ↑((d + n).choose d)
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'
⊢ ({ toFun := fun f i => (s i).repr (f i), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun f i => (s i).repr.symm (f i), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ((stdBasis R Ms j) ((s j) i)) j') i' = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
⊢ l.toFinset.card ≤ l.length
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
this : 0 < 2 ^ (n + 1)
⊢ dist (f.transnumAuxSeq n) (f.transnumAuxSeq (n + 1)) < 1 / 2 / 2 ^ n
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ ((((α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) ▷ Q.X) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X (TensorBimod.X N P) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X N P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X N P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ▷ Q.X ≫ (α_ (TensorBimod.X M N) P.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (TensorBimod.X P Q)) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯
K : Type u_5
LinearOrderedSemifield K
⊢ Monotone NNRat.cast
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n✝ : ℕ
M : Fin n✝.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₂
ι' : Type u_1
k l n : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : MultilinearMap R (fun x => M') M₂
x y : M'
⊢ ((((curryFinFinset R M₂ M' hk hl) f) fun x_1 => x) fun x => y) = f (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ (toLinearMap₂ b₂ b₂) J' ∘ₗ (toLin b₁ b₂) A = ((toLinearMap₂ b₁ b₁) J).compl₂ ((toLin b₂ b₁) A') ↔ J.IsAdjointPair J' A A'
x : ℝ
h : 0 < x
⊢ ↑x * ⊤ = ⊤
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
t : ℝ
ht : t ∈ s
hsrc : γ t ∈ (extChartAt I (γ t₀)).source
⊢ HasDerivAt (↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ) ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t))) t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
CategoryTheory.Limits.HasLimits C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
(CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : TopCat.Sheaf C X
f : F ⟶ G
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ ∀ (x : ↑X), CategoryTheory.Mono ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C x).map f.val)
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
G : MonCat
CategoryTheory.Preadditive V
R : Type u_1
Semiring R
CategoryTheory.Linear R V
X Y : Action V G
r : R
f : X ⟶ Y
⊢ (r • f).hom = r • f.hom
a b n : Nat
⊢ (a + b) % n = (a % n + b % n) % n
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ Even (m - n) ↔ (Even m ↔ Even n)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
h : Commute ((f - μ • 1) ^ k) g
x : M
hx : x ∈ ↑((f.genEigenspace μ) k)
⊢ g x ∈ ↑((f.genEigenspace μ) k)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
s : CategoryTheory.Limits.Cocone ((CategoryTheory.Functor.fromPUnit X).comp CategoryTheory.yoneda)
⊢ (CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation.yoneda X).isColimit.desc s = s.ι.app { as := PUnit.unit }
α : Type u_2
Zero α
OfNat α 3
NeZero 3
⊢ 3 ≠ 0
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih' : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P24 x₁ x₂ y) → P124 a
⊢ ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P24 x₂ x₁ y) → P124 a
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ↑‖f i x‖₊) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f n a‖ ≤ (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Set.Iio y) y
⊢ slope f x y ≤ f'
G : Type u_1
AddGroup G
S T : Set G
h : AddSubgroup.IsComplement S T
⊢ S + T = Set.univ
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hpx : eval₂ (algebraMap O R) x p = 0
hvx : 1 < v x
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f : β → α
a₁ : α
hf : HasSum f a₁
b : β
DecidableEq β
a : α
⊢ HasSum (Function.update f b a) (a - f b + a₁)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
x : α →₀ M
a : β
h : a ∉ Set.range f
⊢ (mapDomain f x) a = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s✝ t : Set α
s : Finset α
⊢ ∑ b ∈ s, (↑s).indicator (⇑p) b = ∑ x ∈ s, p x
S : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
N : Type u_5
Semiring S
AddCommMonoid R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid N
Module S R
Module S A
Module S N
f g : Unitization R A →ₗ[S] N
hl : ∀ (r : R), f (Unitization.inl r) = g (Unitization.inl r)
hr : ∀ (a : A), f ↑a = g ↑a
⊢ f = g
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
⊢ (Algebra.traceForm K L).Nondegenerate
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ f.mk' (↑y * x) y = f.toMap x
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι
⊢ (b.toDual (b i)) ((Finsupp.total ι M R ⇑b) f) = f i
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
A : y ≠ 0
⊢ ∃ n, ↑x ∈ Ico (↑y ^ n) (↑y ^ (n + 1))
k m : Nat
H : k.Coprime m
d : k ∣ m
⊢ k = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
f : ι → δ → α
s : Set ι
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)
this : Countable ↑s
b : δ
⊢ (fun i => f i b) '' s = range fun i => f (↑i) b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
ι : Type u_5
TopologicalSpace ι
f : α → β
g : ι → α
x : ι
hf : LowerSemicontinuousAt f (g x)
hg : ContinuousAt g x
⊢ LowerSemicontinuousAt (fun x => f (g x)) x
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
φ' : N →* M
R : Type u_10
Semiring R
MulSemiringAction M R
S : Type u_12
Semiring S
MulSemiringAction N S
f : R →ₑ+*[φ] S
g : S → R
k : Function.RightInverse ⇑φ' ⇑φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ ∀ (a : S), (f.inverse' g k h₁ h₂) a = g a
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
T : AddSubmonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
x : M
y : ↥S
⊢ (f.map hy k) (f.mk' x y) = k.mk' (g x) ⟨g ↑y, ⋯⟩
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_5
AddCommGroup N
Module R N
IsSimpleModule R M
IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
h : f ≠ 0
⊢ Function.Bijective ⇑f
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
a : X
inst✝¹ : LinearOrder X
inst✝ : CompactIccSpace X
x✝ : IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ
s : Set X
hsl : s ∈ atBot
hs : IntegrableOn f s μ
h : LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ
this : Nonempty X
⊢ IntegrableOn f (Iic a) μ
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
g : ι → ℝ≥0
h : ℝ≥0
H : ∀ (i : ι), g i * h ≤ a
⊢ ⨆ i, g i * h ≤ a
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
NonUnitalNonAssocRing α
Fintype n
M : Matrix m n α
N N' : Matrix n o α
⊢ M * (N - N') = M * N - M * N'
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype m
L M : Matrix l m α
N : Matrix m n α
i✝ : l
j✝ : n
⊢ ((L + M) * N) i✝ j✝ = (L * N + M * N) i✝ j✝
p q : Prop
α : Sort u_1
s✝ : α → Prop
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
s : Set β
A : ∀ (x : β), ¬x ∈ ∅
⊢ (∀ (x : β), ¬x ∈ s) ↔ s = ∅
α β : Type u_1
s : Set α
f : α → β
⊢ s.Finite → (f <$> s).Finite
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
k : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ k f
n : ℕ
⊢ ContDiff ℝ k fun x => (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x_1 => L x
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i : ι
⊢ DFinsupp.single i 0 = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
a✝ : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)
hn : Nontrivial (Quot.mk Setoid.r a✝)
⊢ (formPerm (Quot.mk Setoid.r a✝) h).IsCycle
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : ℝ
f : ℕ → ℝ≥0
⊢ (∃ (hx : 0 ≤ r), Tendsto (fun a => ∑ a ∈ a, f a) atTop (𝓝 ⟨r, hx⟩)) ↔ ∃ (hx : 0 ≤ r), Tendsto (fun a => ∑ a ∈ Finset.range a, f a) atTop (𝓝 ⟨r, hx⟩)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ (permsOfFinset s).card = s.card !
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
l : Filter β
f₁ f₂ f₃ : β → α
h₁₂ : Tendsto (fun x => (f₁ x, f₂ x)) l (𝓤 α)
h₂₃ : Tendsto (fun x => (f₂ x, f₃ x)) l (𝓤 α)
⊢ Tendsto (fun x => (f₁ x, f₃ x)) l (𝓤 α)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
Fintype ι
DecidableEq ι
i j : ι
⊢ [Pi.single i 1-[𝕜]Pi.single j 1] ⊆ stdSimplex 𝕜 ι
α : Type u
TopologicalSpace α
R : Type u_2
PseudoMetricSpace R
Sub R
BoundedSub R
ContinuousSub R
f g : BoundedContinuousFunction α R
x : α
⊢ (f - g) x = f x - g x
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : f ≈ g
h : padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
hlt : padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg)) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf))
hpn : 0 < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) - padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, padicNorm p (↑(f - g) j) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) - padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
i : ℕ := max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))
hi : N ≤ i
⊢ False
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ X : SimplicialObject C
X₀ : C
f : X _[0] ⟶ X₀
w : ∀ (i : SimplexCategory) (g₁ g₂ : [0] ⟶ i), X.map g₁.op ≫ f = X.map g₂.op ≫ f
i j : SimplexCategoryᵒᵖ
g : i ⟶ j
⊢ X.map g.unop.op ≫ X.map ([0].const (unop j) 0).op ≫ f = (X.map ([0].const (unop i) 0).op ≫ f) ≫ 𝟙 X₀
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ Icc a b \ Ioc a b = {a}
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
⊢ q.j * q.k = -c₂ • q.i
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : s.card = n + 1
a : α
has : a ∈ s
⊢ (s.erase a).card = n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 ≤ ε
h : Disjoint (closedBall x δ) (closedBall y ε)
hxy : ε + δ ≥ dist x y
z : E
hxz : dist x z ≤ δ
hzy : dist z y ≤ ε
⊢ False
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ (if l.size + r.size ≤ 1 then l.node' x r else if delta * l.size < r.size then l.rotateL x r else if delta * r.size < l.size then l.rotateR x r else l.node' x r).dual = if l.size + r.size ≤ 1 then r.dual.node' x l.dual else if delta * r.size < l.size then r.dual.rotateL x l.dual else if delta * l.size < r.size then r.dual.rotateR x l.dual else r.dual.node' x l.dual
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0
m : MeasurableSpace α
f : α →ₛ F
μ : Measure α
⊢ ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (weightedSMul μ (↑f ⁻¹' {x})) x = ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
C : Ordinal.{u_3} → Prop
o : Ordinal.{u_3}
H : ∀ (α : Type u_3) (r : α → α → Prop) [inst : IsWellOrder α r], C (Ordinal.type r)
⊢ C o
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : LocalRing.maximalIdeal R = Ideal.span {ϖ}
⊢ Irreducible ϖ
α : Type u
P : α → Prop
a : α
s : Set α
H : ∀ x ∈ insert a s, P x
x : α
h : x ∈ s
⊢ P x
X : Type u_3
Z : Type u_5
MeasurableSpace X
StandardBorelSpace X
MeasurableSpace Z
f : X → Z
MeasurableSpace.CountablySeparated ↑(Set.range f)
hf : Measurable f
s : Set Z
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s) ↔ MeasurableSet (Subtype.val ⁻¹' s)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x).nthLe k ⋯ = y
⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y
b : ℕ
hb : (b / 2).beq 0 = false
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.jacobiSymNat 0 b = 0
n : ℕ
hn : n ≠ 1
⊢ IsPrimePow n ↔ ∃ p, Nat.Prime p ∧ n / p ^ n.factorization p = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s t : CategoryTheory.Limits.Fork f g
i : s.pt ≅ t.pt
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp i.hom t.ι = s.ι := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Limits.Fork.ext i w).inv = CategoryTheory.Limits.Fork.mkHom i.inv ⋯
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3 = π
⊢ dist p1 p3 = dist p1 p2 + dist p3 p2
f : ℕ → ℂ
h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C
⊢ LSeries.abscissaOfAbsConv f ≤ 1
ι : Type u
f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
hι : Nonempty ι
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a b : Ordinal.{max u v}
h : b ≤ nfpFamily f a
i : ι
⊢ f i b ≤ f i (nfpFamily f a)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
⊢ f =O[⊤] fun p => ‖p‖ * ‖p‖
R r : ℝ
hr : r < R
z : ℂ
⊢ ContinuousOn (fun w => (circleMap z R w.2 - w.1)⁻¹ ^ 2) (Metric.closedBall z r ×ˢ Set.univ)
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
P : Projectivization K V → Prop
h : ∀ (v : V) (h : v ≠ 0), P (Projectivization.mk K v h)
p : Projectivization K V
⊢ P p
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite ν₁
inst✝¹ : SigmaFinite ν₂
inst✝ : SigmaFinite μ
h : ν₂ ⟂ₘ μ
x : α
hx_add : (ν₁ + ν₂).rnDeriv μ x = (ν₁.rnDeriv μ + ν₂.rnDeriv μ) x
hx_zero : ν₂.rnDeriv μ x = 0 x
⊢ (ν₁ + ν₂).rnDeriv μ x = ν₁.rnDeriv μ x
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
ι : Type u_3
R : Type u_4
M : Type u_5
v : ι → M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hv : CompleteLattice.Independent fun i => Submodule.span R {v i}
h_ne_zero : ∀ (i : ι), torsionOf R M (v i) = ⊥
i : ι
r : R
hi : r • v i ∈ Submodule.span R (v '' (Set.univ \ {i}))
⊢ r = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.rightShiftAddEquiv K L n a n' hn').symm γ = γ.rightUnshift n hn'
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hc : 0 < c
⊢ a / b ≤ a / c ↔ c ≤ b
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖s.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) = (∫⁻ (x : α) in s, ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)
P : PFunctor.{u}
α : Type v₁
β : Type v₂
γ : Type v₃
inst✝² : DecidableEq P.A
inst✝¹ : Inhabited α
inst✝ : Inhabited β
x : ↑P α
f : α → β
i : P.Idx
h : i.fst = x.fst
⊢ (P.map f x).iget i = f (x.iget i)
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p q : Submodule R M
hpq : p ≤ q
x : ↥p
⊢ (Submodule.comapSubtypeEquivOfLe hpq).symm x = ⟨⟨↑x, ⋯⟩, ⋯⟩
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set X
h : X ≃ₜ Y
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ⇑h '' connectedComponentIn s x = connectedComponentIn (⇑h '' s) (h x)
α : Type u
f : α → α
n : ℕ
⊢ Function.Commute f f^[n]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ g a
t : Set α
hts : {x | (fun a => f a ≤ g a) x}ᶜ ⊆ t
ht : MeasurableSet t
ht0 : μ t = 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ t
s : α →ₛ ℝ≥0∞
hfs : ↑s ≤ fun a => f a
⊢ ↑(s.restrict tᶜ) ≤ fun a => g a
α : Type u_2
LinearOrder α
DenselyOrdered α
a₁ a₂ : α
h : ∀ (a₃ : α), a₃ < a₁ → a₃ ≤ a₂
⊢ a₁ ≤ a₂
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Sort u_4
p : ι → Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ ⨅ i, p i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ p i
α : Type u_1
⊢ MulOpposite.unop ∘ MulOpposite.op = id
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DivisionMonoid α
s✝ t s : Finset α
n : ℕ
⊢ ↑(s ^ Int.negSucc n) = ↑s ^ Int.negSucc n
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hs : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
hc : ContinuousAt f c
x : ℂ
hx : x ∈ s
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f s x
α : Type u
as : List α
b c : α
BEq α
a : α
⊢ (a :: as).replace b c =
  match b == a with
  | true => c :: as
  | false => a :: as.replace b c
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
hμν : μ.AbsolutelyContinuous ν
hf : MeasureTheory.Integrable (fun x => rexp (f x)) ν
⊢ MeasureTheory.llr μ (ν.tilted f) =ᵐ[μ] fun x => -f x + Real.log (∫ (z : α), rexp (f z) ∂ν) + MeasureTheory.llr μ ν x
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
k : ℕ
a✝ : Nontrivial α
a0 : α
hz : a0 ≠ 0
ha : Associates.mk a0 ≠ 0
hk : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → k ∣ p.count ↑(factors' a0)
hk' : ∀ p ∈ factors' a0, k ∣ Multiset.count p (factors' a0)
u : Multiset { a // Irreducible a }
hu : factors' a0 = k • u
⊢ ∃ b, Associates.mk a0 = b ^ k