ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0
a : Π₀ (i : ι), ↥(p i) := (mapRange.linearMap fun i => LinearMap.toSpanSingleton R ↥(p i) ⟨v i, ⋯⟩) l.toDFinsupp
ha : a = 0
i : ι
this : l i = 0 ∨ v i = 0
⊢ (fun c => c • v i) (l i) = (fun c => c • v i) (0 i)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a✝ : α
f g μ : Finset α → β
s t u✝ : Finset α
a : α
u : Finset α
hu : a ∉ u
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset
ih : (∑ s ∈ u.powerset, collapse 𝒜 a f₁ s) * ∑ s ∈ u.powerset, collapse ℬ a f₂ s ≤ (∑ s ∈ u.powerset ⊼ u.powerset, collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ s) * ∑ s ∈ u.powerset ⊻ u.powerset, collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ s
this : 𝒜 ⊼ ℬ ⊆ (insert a u).powerset
⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_6
DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommGroup (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
Fintype ι
x : AdicCompletion I ((j : ι) → M j)
⊢ (AdicCompletion.piEquivOfFintype I M) x = (AdicCompletion.pi I M) x
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L
hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)
t : (ZMod ↑n)ˣ
this : NeZero ↑↑n
hr : cyclotomic (↑n) K = minpoly K (zeta n K L ^ (↑t).val)
⊢ minpoly K (zeta n K L) = minpoly K (zeta n K L ^ (↑t).val)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : LinearOrder α✝
inst✝⁷ : LinearOrder β
inst✝⁶ : OrderTopology α✝
inst✝⁵ : OrderTopology β
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
hy : y < x
⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo y x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x)
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
⊢ {p | S ⊆ ↑p} = ∅ ↔ ¬((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_5
AddCommGroup N
Module R N
f : N →ₗ[R] M
e e' : M ≃ₗ[R] N
⊢ Associated (LinearMap.det (f ∘ₗ ↑e)) (LinearMap.det (f ∘ₗ ↑e'))
R : Type u
Ring R
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r s : R
x : ↑(ModuleCat.FilteredColimits.M F)
⊢ (r + s) • x = r • x + s • x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : C
⊢ ((CategoryTheory.Mat_.embedding C).obj X).fintype = PUnit.fintype
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ p
hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯
ι : Type u_2 := Module.Free.ChooseBasisIndex R M
n : ℕ
snf : Basis.SmithNormalForm p ι n
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := (toMatrix snf.bN snf.bN) (f.restrict hf')
B : Matrix ι ι R := (toMatrix snf.bM snf.bM) f
aux : ∀ (i : ι), B i i ≠ 0 → i ∈ Set.range ⇑snf.f
⊢ ∑ i : Fin n, A i i = ∑ x ∈ Finset.filter (fun j => j ∈ Set.range ⇑snf.f) Finset.univ, B x x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : α → β
s : ι → Set β
⊢ f ⁻¹' ⋂ i, s i = ⋂ i, f ⁻¹' s i
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set β → Prop
s : Set β
h' : HasCountableSeparatingOn β p s
hf : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ∈ s
hg : ∀ᶠ (x : α) in l, g x ∈ s
h : ∀ (U : Set β), p U → ∀ᶠ (x : α) in l, f x ∈ U ↔ g x ∈ U
⊢ f =ᶠ[l] g
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.105022
inst✝ : MulAction R X
r : R
s t : ↥S
⊢ ↑s /ₒ t * (r /ₒ s) = r /ₒ t
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a < b
⊢ IsLeast (Set.Ico a b) a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : W.HasLeftCalculusOfFractions
X' X Y : C
f₁ f₂ : X ⟶ Y
s : X' ⟶ X
⊢ W s →
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp s f₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp s f₂ →
    ∃ Y' t, ∃ (_ : W t), CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₁ t = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₂ t
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
x y : Pseudoelement P
a a' : Over P
h : pseudoApply f ⟦a⟧ = pseudoApply f ⟦a'⟧
R : C
p : R ⟶ ((fun g => app f g) a).left
q : R ⟶ ((fun g => app f g) a').left
ep : Epi p
w✝¹ : Epi q
comm : p ≫ ((fun g => app f g) a).hom = q ≫ ((fun g => app f g) a').hom
a'' : R ⟶ P := p ≫ a.hom - q ≫ a'.hom
Z : C
g : P ⟶ Z
hh : pseudoApply g ⟦a'⟧ = 0
X : C
p' : X ⟶ ((fun g_1 => app g g_1) a').left
q' : X ⟶ (Over.mk 0).left
ep' : Epi p'
w✝ : Epi q'
comm' : p' ≫ ((fun g_1 => app g g_1) a').hom = q' ≫ (Over.mk 0).hom
this : a'.hom ≫ g = 0
⊢ pseudoApply g (Quot.mk (PseudoEqual P) (Over.mk a'')) = pseudoApply g ⟦a⟧
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.16014, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.16018, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝¹ : EffectiveEpi π
inst✝ : HasPullback π π
hP : ∀ (y : P.obj (op X)), P.map (PullbackCone.mk (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯).fst.op y = P.map (PullbackCone.mk (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯).snd.op y → ∃! x, P.map π.op x = y
⊢ ∀ (b : ↑{x | P.map (pullback.fst π π).op x = P.map (pullback.snd π π).op x}), ∃! a, MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, ↑b ! / ↑b ^ b ≤ 1 / ↑b
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
n : ℕ
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x => x ^ n) s x = ↑n * x ^ (n - 1)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
⊢ 0 - 0 - (a - b) = 0 - a + b
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (range f)
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
R : ℝ≥0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
hab : a < b
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, MeasureTheory.upcrossings a b f ω < ⊤
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty C
F : C ⥤ D
⊢ P.isoClosure.map F ≤ P.map F
n : ℕ
x : ℝ
⊢ (aeval x) (hermite n) * Real.exp (-x ^ 2 / 2) = (-1) ^ n * ((-1) ^ n * (aeval x) (hermite n) * Real.exp (-x ^ 2 / 2))
V : Type u_1
SeminormedAddCommGroup V
⊢ ∀ (a : V), (NormedAddGroupHom.id V) a = a
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z ≠ 0
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.Point.toAffine W P = WeierstrassCurve.Affine.Point.some ⋯
α : Type u_1
Preorder α
SupSet α
⊢ sSup ∅ = ⊥
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : Cᴹᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g).unmop = f.unmop ≫ g.unmop
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
β : Sort u_2
f : α → β
h : ∀ (a b : α), Setoid.r a b → f a = f b
x : α
⊢ Quotient.liftOn' (↑x) f h = f x
p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
⊢ ↑(p.maxPowDiv n) = multiplicity p n
ι : Type u_3
p : Filter ι
f : ι → ℂ → ℂ
g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
hs : IsOpen s
x : ↑s
hF : TendstoLocallyUniformlyOn f g p s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in p, DifferentiableOn ℂ (f n) s
hg : g ↑x ≠ 0
⊢ Filter.Tendsto (fun n => logDeriv (f n) ↑x) p (𝓝 (logDeriv g ↑x))
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : LE α
inst✝² : LE β
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β
⊢ EquivLike.inv f b ≤ a ↔ b ≤ f a
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝 a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝 a) l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[≠] a) l
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
f : ι → ℙ K V
⊢ Projectivization.Dependent f ↔ ¬Projectivization.Independent f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
Ring R
Ring S
Ring T
s : Subring R
g : S →+* T
f : R →+* S
⊢ Subring.map g (Subring.map f s) = Subring.map (g.comp f) s
R₁ : Type u₁
R₂ : Type u₂
R₃ : Type u₃
Ring R₁
Ring R₂
Ring R₃
f : R₁ →+* R₂
g : R₂ →+* R₃
gf : R₁ →+* R₃
hgf : gf = g.comp f
M : ModuleCat R₃
x : ↑M
⊢ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App f g gf hgf M).inv x = x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
⊢ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.triangle φ).mor₃ ≫
    (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.rotateHomotopyEquiv φ).hom =
  (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map
    (CochainComplex.mappingCone.inr (CochainComplex.mappingCone.inr φ))
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.16903
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
⊢ IsLocallyInjective f ↔ OpenEmbedding (toPullbackDiag f)
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
x✝ y x : G
w : ℕ
hw1 : w > 0
hw2 : IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) w 1
⊢ x ^ ↑w = 1
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : x < Real.pi / 2
⊢ 2 / Real.pi * x < Real.sin x
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
M' : AddSubmonoid M
⊢ Function.Surjective ⇑(f.addSubmonoidMap M')
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂ν
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ν_finite : IsFiniteMeasure ν
obs_ν : Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : Ω), ↑((F_closed.apprSeq n) x) ∂ν) atTop (𝓝 (ν F))
obs_μ : Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : Ω), ↑((F_closed.apprSeq n) x) ∂ν) atTop (𝓝 (μ F))
⊢ μ F = ν F
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Ico a c ⊆ Set.Icc a b ∪ Set.Ioo b c
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Nontrivial R
Module R M
ι : Type w
b : Basis ι R M
Infinite ι
κ : Type w
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
⊢ Cardinal.mk ι ≤ Cardinal.mk κ
n : ℕ
α₀ : TypeVec.{u_1} (n + 1)
α₁ : TypeVec.{u_2} (n + 1)
α₂ : TypeVec.{u_3} (n + 1)
f₀ : α₀.Arrow α₁
f₁ : α₁.Arrow α₂
⊢ TypeVec.dropFun (TypeVec.comp f₁ f₀) = TypeVec.comp (TypeVec.dropFun f₁) (TypeVec.dropFun f₀)
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hx : ¬↑p ∣ y
k : R
hk : x - y = ↑p * k
⊢ ¬↑p ^ 2 ∣ ∑ i ∈ range p, (y + ↑p * k) ^ i * y ^ (p - ↑1 - i)
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 1
⊢ ¬Prime (a ^ n)
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁴ : RingHomSurjective σ
inst✝³ : RingHomIsometric σ
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₃ : ∀ S ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ S
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
⊢ ContinuousSMul 𝕜₂ (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
G : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsHaarMeasure
hG : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_ne_zero : ∫ (x : G), g x ∂μ ≠ 0
⊢ ↑(μ.haarScalarFactor μ) = ↑1
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k
x₀ : G
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀
k' : Set G := t • k⁻¹
k'_comp : IsCompact k'
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ) x₀
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioo (-(Real.pi / 2)) (Real.pi / 2)
⊢ 0 < Real.cos x
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
inst✝ : Nonempty ι
a g : ℝ≥0
h : ι → ℝ≥0
H : ∀ (j : ι), a ≤ g * h j
⊢ a ≤ g * iInf h
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
⊢ xn a1 (m + n) = xn a1 m * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 m * yn a1 n
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : Submartingale f ℱ μ
⊢ Submartingale (c • f) ℱ μ
a b c : Int
w : a * b ≤ a * c
h : 0 < a
⊢ b ≤ c
α : Type u_2
f : Filter α
s : Set α
⊢ s ⊆ f.ker ↔ ∀ t ∈ f, s ⊆ t
α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
b : Ultrafilter α
c : γ
h : Ultrafilter.extend f b = c
b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b
t : ↑b' ≤ 𝓝 b
this : Tendsto (Ultrafilter.extend f) (𝓝 b) (𝓝 (Ultrafilter.extend f b))
⊢ ↑(Ultrafilter.map f b) ≤ map f ↑b
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R r : ℝ
hr : r < R
hr' : 0 ≤ r
z : ℂ
⊢ ∃ x, ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑x)
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℤ
x y : E
⊢ inner_ 𝕜 (↑n • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑n * inner_ 𝕜 x y
α : Type u
DecidableEq α
xs ys : List α
h₀ : xs.Nodup
h₁ : xs.length = ys.length
x y : α
i : ℕ
h₂ : xs[i]? = some x
⊢ SlimCheck.InjectiveFunction.List.applyId (xs.zip ys) x = y ↔ ys[i]? = some y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
⊢ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) * r ≤ ∫⁻ (a : α), f a * r ∂μ
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)
I X : Set ((i : ι) × α i)
hI : ∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' I)
x✝ : (∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X) ∧ (∀ (x : ι) ⦃y : Set (α x)⦄, (M x).Indep y → y ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X → Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ y → Sigma.mk x ⁻¹' I = y) ∧ ∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' X ⊆ (M x).E
hIX : ∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X
h' : ∀ (x : ι) ⦃y : Set (α x)⦄, (M x).Indep y → y ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X → Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ y → Sigma.mk x ⁻¹' I = y
h'' : ∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' X ⊆ (M x).E
⊢ X ⊆ univ.sigma fun i => (M i).E
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : F.PreservesEffectiveEpiFamilies
α : Type u
B : C
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π
⊢ CategoryTheory.EffectiveEpiFamily (fun a => F.obj (X a)) fun a => F.map (π a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hsc : s.Countable
hst : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, x ≤ y
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ ⨆ x ∈ s, μ (Iic x) = μ univ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ : C
f g h : j₁ ⟶ j₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.IsFiltered.coeq₃Hom f g h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (CategoryTheory.IsFiltered.coeq₃Hom f g h)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hs : (↑s).Finite
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ ↑s
hb : b ∈ ↑s
⊢ ∃ n, (f ^ n) a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
f : ↑(Set.Icc a b) → β
x : α
⊢ Set.IccExtend h f x = f ⟨max a (min b x), ⋯⟩
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
a : R
x y : M
⊢ polar (⇑Q) x (a • y) = a • polar (⇑Q) x y
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
hf : Function.Injective f
⊢ Function.Injective (Finset.image f)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : StrongFEPair E
s : ℂ
step1 : mellin (fun t => P.g (1 / t)) (-s) = mellin P.g s
step2 : mellin (fun t => ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s) = mellin P.g s
step3 : mellin (fun t => P.ε • ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s) = P.ε • mellin (fun t => ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s)
⊢ mellin P.f (↑P.k - s) = P.ε • mellin P.g s
α : Type u_1
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace δ
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
SecondCountableTopology α
μ : MeasureTheory.Measure δ
f g : δ → α
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ MeasureTheory.NullMeasurableSet {a | f a < g a} μ
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
h_main : (fun n => q (b i * ↑n) - q ↑(r i n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
n : ℕ
hn : q (b i * ↑n) - q ↑(r i n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
h₁ : q (b i * ↑n) - b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n) = b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 + ε ↑n)
⊢ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 + ε ↑n) ≤ q ↑(r i n)
α : Type u_1
Preorder α
AddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
⊢ a - b ≤ 0 ↔ a ≤ b
α : Type u
ι : Type u_2
PseudoMetricSpace α
f : Filter ι
x₀ : α
p : α × ι → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α × ι) in 𝓝 x₀ ×ˢ f, p x) ↔
  ∃ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → ∀ {i : ι}, pa i → p (x, i)
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : Summable fun n => ↑n ^ k * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)
n : ℕ
hn : ⌈|a|⌉₊ ≤ n
⊢ |↑n + a| ^ k ≤ (↑n + ↑n) ^ k
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
k : ℕ
hk : weightSpace M 0 ≤ LieSubmodule.ucs k ⊥
⊢ ⨆ k, LieSubmodule.ucs k ⊥ = weightSpace M 0
α : Type u_1
β : Type u_2
p : PMF α
f : α → PMF β
b : β
⊢ (p.bind f) b = ∑' (a : α), p a * (f a) b
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
s : Set ℝ≥0
⊢ ↑(sInf s) = sInf (toReal '' s)
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n m : A
h : n + m = 0
X : C
⊢ 𝟙 ((shiftFunctor C n).obj ((𝟭 C).obj X)) = 𝟙 ((𝟭 C).obj ((shiftFunctor C n).obj X))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofAbelian S).Q = CategoryTheory.Limits.cokernel S.f
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
lim_mass : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
aux : {0}ᶜ ∈ 𝓝 μ.mass
eventually_nonzero : ∀ᶠ (i : γ) in F, μs i ≠ 0
eve : ∀ᶠ (i : γ) in F, (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f = (μs i).mass⁻¹ * (μs i).testAgainstNN f
lim_pair : Tendsto (fun i => ((μs i).mass⁻¹, (μs i).testAgainstNN f)) F (𝓝 (μ.mass⁻¹, μ.testAgainstNN f))
⊢ Tendsto (fun x => (μs x).mass⁻¹ * (μs x).testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.mass⁻¹ * μ.testAgainstNN f))
n p : ℕ
n_pos : 0 < n
hle : n ≤ p
pp : Nat.Prime p
⊢ p = n ∨ p.Coprime n
α : Type u_1
inst✝ : Semigroup α
s : Set α
a b : α
⊢ a • b • s = (a * b) • s
⊢ ConvexOn ℝ (Set.Ioi 0) (Real.log ∘ Real.doublingGamma)
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ a < b⁻¹ ↔ b < a⁻¹
⊢ Real.cos (Real.pi / 6) = √3 / 2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
inst✝ : Countable α
p : α → Prop
⊢ {a | ¬p a}.Countable
⊢ Filter.Tendsto (fun x => x * log x) (𝓝 0) (𝓝 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ TendstoUniformlyOn f g atTop (s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg)
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝ : DecidableEq α
hxy : x ≠ y
⊢ (swap x y) y ≠ y
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X
x y : X
h : Inseparable x y
⊢ x = y
n : ℕ∞
⊢ (↑n).toENatAux = n
P : Type u_2
MetricSpace P
ps : Set P
⊢ EuclideanGeometry.Cospherical ps ↔ ∃ center radius, ∀ p ∈ ps, dist p center = radius
R : Type u
S : Type v
a b c✝ d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
c : R
n : ℕ
⊢ (C c * X ^ n).support.card ≤ 1
A : Type u_1
ι : Type u_2
Ring A
Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
⊢ NonarchimedeanRing A
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < p ^ (n - i)
⊢ ↑p ^ (j + 1) * (↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) * (↑p ^ i * ⅟↑p ^ n)) = (Int.castRingHom ℚ) ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩)) * ↑p
α : Type u_1
β : Type u_2
Pow α β
p : Prop
Decidable p
a b : α
c : β
⊢ (if p then a else b) ^ c = if p then a ^ c else b ^ c
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p q : P
⊢ dist ((Equiv.pointReflection p) q) p = dist p q
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f g : R →+* ZMod n
h : RingHom.ker f = RingHom.ker g
⊢ f = g
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_5
β : Type u_6
f : α ⊕ β → M
b : β
⊢ ((LinearEquiv.sumArrowLequivProdArrow α β R M) f).2 b = f (Sum.inr b)