ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
hA : 0 ≤ A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
M : MeasurableSet (Set.Ioc (-A) A)
⊢ ∫ (y : ℝ), (Set.Ioc (-A) A).indicator id y ^ n ∂Measure.map f μ = ∫ (x : ℝ), (Set.Ioc (-A) A).indicator (fun x => x ^ n) x ∂Measure.map f μ
G : Type u_1
AddGroup G
ι : Type u_3
Fintype ι
f : ι → AddSubgroup G
⊢ (⨅ i, f i).index ≤ ∏ i : ι, (f i).index
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
inst✝ : I.Boundaryless
⊢ (I.prod J).boundary (M × N) = univ.prod (J.boundary N)
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
g : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
⊢ ∃ f', X.basicOpen f' = X.basicOpen g
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
n : ℕ∞
f : M → F₁ →L[𝕜] F₂
s : Set M
x : M
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂) n f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, (F₂ →L[𝕜] F₃) →L[𝕜] F₁ →L[𝕜] F₃) n (fun y => ContinuousLinearMap.precomp F₃ (f y)) s x
ι : Type u_1
α : Type u_7
β : Type u_9
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
h : IsEmpty ι
F : ι → β → α
⊢ UniformEquicontinuous F
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
n : ℕ
ihn : ∀ {s : Set (α × α)}, s ∈ 𝓤 α → ∀ᶠ (t : Set (α × α)) in (𝓤 α).smallSets, t ⊆ s ∧ (fun x => t ○ x)^[n] t ⊆ s
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
t : Set (α × α)
htU : t ∈ 𝓤 α
hts : t ○ t ⊆ s
U : Set (α × α)
hU : U ⊆ t ∧ (fun x => U ○ x)^[n] U ⊆ t
⊢ U ⊆ s ∧ (fun x => U ○ x)^[n + 1] U ⊆ s
R : Type u_1
CommSemiring R
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ n.rawCast = OfNat.ofNat n
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
n d : F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ (((n ^ 2 * (P z * Q z * d) + W.toAffine.a₁ * n * (P z * Q z * d) ^ 2 - (P z * Q z * d) ^ 2 * (P z * Q z * d) * W.toAffine.a₂) * P z ^ 2 - (P z * Q z * d) ^ 2 * (P z * Q z * d) * P x) * Q z ^ 2 - (P z * Q z * d) ^ 2 * (P z * Q z * d) * P z ^ 2 * Q x) * (P z * Q z * d) ^ 2 = (n ^ 2 + W.a₁ * n * P z * Q z * d - W.a₂ * P z ^ 2 * Q z ^ 2 * d ^ 2 - P x * Q z ^ 2 * d ^ 2 - Q x * P z ^ 2 * d ^ 2) * ((P z * Q z * d) ^ 2 * (P z * Q z * d) * P z ^ 2 * Q z ^ 2)
M : Type u
self : MulOneClass M
a : M
⊢ a * 1 = a
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized
hm : m.Sized
hr : r.Sized
⊢ (l.node4L x m y r).Sized
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
LinearOrderedCommGroup β
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : Antivary f g₁
h₂ : Monovary f g₂
⊢ Antivary f (g₁ / g₂)
α : Type u_2
Add α
s t : Set α
⊢ (fun x => x.1 + x.2) '' s ×ˢ t = s + t
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct W X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct Y Z
f : W ≅ Y
g : X ≅ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprod.mapIso f g).inv = CategoryTheory.Limits.coprod.map f.inv g.inv
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
v : ι → M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i : ι
⊢ ∀ (i_1 : ι), (e.det v • (Basis.mk hli hsp).coord i) ((Basis.mk hli hsp) i_1) = ((↑e.det).toLinearMap v i) ((Basis.mk hli hsp) i_1)
α : Type u_1
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (α × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
⊢ ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel = ρ
R : Type u_4
NormedRing R
k : ℕ
r : R
hr : ‖r‖ < 1
⊢ Summable fun n => ‖↑n ^ k * r ^ n‖
α : Type u
x : FreeAddMagma α
⊢ (FreeAddMagma.toFreeAddSemigroup x).length = x.length
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Icc (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ Real.arcsin (Real.sin x) = x
x : ℝ
⊢ Real.cos (3 * x) = 4 * Real.cos x ^ 3 - 3 * Real.cos x
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
b : α
⊢ a - b ≤ a ↔ 0 ≤ b
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ (n + 1) ≠ 0
h₁ : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
⊢ (p ^ (n + 1)).degree = (n + 1) • p.degree
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hL : L ≤ adjoin F S
hS : adjoin F S = ⊤
x : E
hx : x ∈ adjoin F S
y : K
hy : (aeval y) (minpoly F x) = 0
this : Algebra.IsAlgebraic F ↥(adjoin F S)
ix : IsIntegral F ↑⟨x, hx⟩
⊢ ∃ φ, φ ⟨x, hx⟩ = y
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : X → A
⊢ FreeAlgebra.liftAux R f = (FreeAlgebra.lift R) f
β : Type u_2
Group β
us : Set (UniformSpace β)
h : ∀ u ∈ us, UniformGroup β
⊢ UniformGroup β
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y✝ : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasDerivAt (g n) (g' n y) y
hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n
hg0 : Summable fun n => g n y₀
y : 𝕜
⊢ HasDerivAt (fun z => ∑' (n : α), g n z) (∑' (n : α), g' n y) y
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, MeasureTheory.Integrable (F i) μ
hF : Filter.Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
s : Set α
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α) in s, f x ∂μ))
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set (Sym2 V)
⊢ G'.deleteEdges s ≤ G'
a b : Ordinal.{u}
ha : a ≠ 0
hb : Principal (fun x x_1 => x * x_1) b
hb₂ : 2 < b
⊢ a * b = b ^ succ (log b a)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
Fintype ιM
DecidableEq ι
DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
CommRing A
Algebra R A
⊢ (LinearMap.tensorProduct R A M M ∘ₗ LinearMap.baseChange A φ).polyCharpolyAux (Algebra.TensorProduct.basis A b)
    (Algebra.TensorProduct.basis A bₘ) =
  Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (φ.polyCharpolyAux b bₘ)
α : Type u_1
S T : Set (Set α)
⊢ ⋂₀ S ∪ ⋂₀ T = ⋂ p ∈ S ×ˢ T, p.1 ∪ p.2
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
h : (μ.trim hm) s = 0
⊢ μ s = 0
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' Icc b c = Icc (b - a) (c - a)
R : Type u_1
CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
x : R
⊢ BddBelow (Set.range (seminormFromConst_seq c f x))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t✝ u✝ : Set α
s : Set (Set α)
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
hs : t = TopologicalSpace.generateFrom s
u : Set α
hu : TopologicalSpace.IsOpen u
⊢ MeasurableSet u
α : Type u_1
Preorder α
s t : Set α
hs : s.OrdConnected
ht : t.OrdConnected
⊢ (s ∩ t).OrdConnected
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
r : ℚ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
⊢ ∫⁻ (x : α), ProbabilityTheory.preCDF ρ r x ∂ρ.fst = (ρ.IicSnd ↑r) Set.univ
m✝ n : ℕ
i : Fin (n + 1)
m : Fin n
h : i ≤ m.castSucc
⊢ (finSuccEquiv' i) m.succ = some m
xs : Lean.Omega.IntList
c : Nat
w : ∀ {a : Int}, a ∈ xs → ↑c ∣ a
⊢ c ∣ xs.gcd
n : Type u_4
α : Type v
DecidableEq n
Ring α
i j : n
⊢ (Equiv.toPEquiv (Equiv.swap i j)).toMatrix =
  1 - (PEquiv.single i i).toMatrix - (PEquiv.single j j).toMatrix + (PEquiv.single i j).toMatrix +
    (PEquiv.single j i).toMatrix
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
WeaklyLocallyCompactSpace G
⊢ LocallyCompactSpace G
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.monFunctorCategoryEquivalence C D).counitIso =
  CategoryTheory.Monoidal.MonFunctorCategoryEquivalence.counitIso
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ t ∈ Icc 0 1, x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : ℝ → F := fun t => f (x + h • v + (t * h) • w) - (t * h) • (f' x) w - (t * h ^ 2) • (f'' v) w - ((t * h) ^ 2 / 2) • (f'' w) w
g' : ℝ → F := fun t => (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w
hg' : g' = fun t => (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w
g_deriv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt g (g' t) (Icc 0 1) t
⊢ ‖f (x + h • v + h • w) - f (x + h • v) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * h ^ 2‖
R : Type u_1
Semiring R
⊢ Polynomial.hasseDeriv 0 = LinearMap.id
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
self : Comon_ C
⊢ self.comul ≫ self.counit ▷ self.X = (λ_ self.X).inv
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
b : α
⊢ toIcoDiv ⋯ 0 b = ⌊b⌋
G : Type u_1
Monoid G
x : G
n : ℕ
h : x ^ n = 1
⊢ orderOf x ∣ n
x y : Bool
⊢ (xor (!x) !y) = xor x y
n m : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
G : Fin2 n → TypeVec.{u} m → Type u
α β : TypeVec.{u} m
f : α.Arrow β
MvFunctor F
(i : Fin2 n) → MvFunctor (G i)
x : F fun i => G i α
⊢ MvFunctor.map f (MvQPF.Comp.mk x) = MvQPF.Comp.mk (MvFunctor.map (fun i x => MvFunctor.map f x) x)
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R[X]
p : R[X]
hp : ∀ (n : ℕ), p.coeff n ∈ Ideal.comap Polynomial.C I
⊢ p ∈ I
ι : Type u_1
β : Type u_4
AddCommMonoid β
κ : Type u_7
s : Finset ι
t : ι → Set κ
f : κ → β
h : (↑s).PairwiseDisjoint t
x : κ
⊢ (⋃ i ∈ s, t i).indicator f x = ∑ i ∈ s, (t i).indicator f x
R : Type u_1
Ring R
φ : PowerSeries R
⊢ IsUnit φ ↔ IsUnit ((PowerSeries.constantCoeff R) φ)
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Unique J
f : J → C
⊢ (CategoryTheory.Limits.limitBiconeOfUnique f).isBilimit.isColimit =
  (CategoryTheory.Limits.colimitCoconeOfUnique f).isColimit
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (e.symm x) ↔ ContDiffAt 𝕜 n f x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ (CategoryTheory.opOpEquivalence C).inverse = CategoryTheory.opOp C
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
hP : Presheaf.IsSheaf J (J.plusObj P ⋙ F)
⊢ J.toPlus (P ⋙ F) ≫ (J.plusCompIso F P).inv = whiskerRight (J.toPlus P) F
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
a : R
x : M
⊢ Q (a • x) = (a * a) • Q x
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → α
a : α
⊢ (iterate f a).head :: iterate f (f a) = a :: iterate f (f a)
x : PartENat
hx : x ≠ ⊤
⊢ 0 < 1
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
Nonempty M
⊢ (MulHom.snd M N).srange = ⊤
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
n✝ n : ℤ
hc : b - n • p ∈ Set.Ioc a (a + p)
⊢ toIocMod hp a b = b - n • p
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
⊢ HasStrictDerivAt Neg.neg (-1) x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n✝ : ℕ
C : ℝ
inst✝ : MetricSpace α
x : ℕ → α
a✝ b✝ a b : α
n : ℕ
⊢ dist a (x n) - dist (x 0) (x n) - (dist b (x n) - dist (x 0) (x n)) = dist a (x n) - dist b (x n)
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_2
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
T1Space ↥p
h : p.ClosedComplemented
⊢ ∃ q, IsClosed ↑q ∧ IsCompl p q
M : Type u_2
MulOneClass M
⊢ ⊥.op = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
μ' : Measure α := ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
h₁ : μ'.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv (ν.withDensity f)
h₂ : μ.rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] μ'.rnDeriv ν
this : SigmaFinite μ'
⊢ μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
hab : a ≠ b
⊢ Icc a b ⊆ closure (Ico a b)
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H1 : ¬l.size + r.size ≤ 1
H2 : delta * r.size < l.size
H3 : 2 * l.size ≤ 9 * r.size + 5 ∨ l.size ≤ 3
⊢ ¬r.dual.size + l.dual.size ≤ 1
a b c : Nat
⊢ max (a + b) (a + c) = a + max b c
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ CliffordAlgebra.EquivEven.e0 Q * (CliffordAlgebra.EquivEven.v Q) m * CliffordAlgebra.EquivEven.e0 Q =
  (CliffordAlgebra.EquivEven.v Q) m
a b : ℝ
ha : a ≤ 0
z : ℂ
hz : |z.im| ≤ b
hb : b ≤ Real.pi / 2
⊢ Complex.abs (Complex.exp (↑a * (Complex.exp z + Complex.exp (-z)))) ≤ Real.exp (a * Real.cos b * Real.exp |z.re|)
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
f g : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
𝒰 : X.OpenCover
h : ∀ (i : 𝒰.J), (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) f = (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) g
⊢ f = g
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
k : ↥K
this : (hSK.equiv (g * ↑k)).1 = (hSK.equiv g).1
⊢ hSK.equiv (g * ↑k) = ((hSK.equiv g).1, (hSK.equiv g).2 * k)
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
inst✝ : BraidedCategory C
A B : Comon_ C
⊢ tensor_μ Cᵒᵖ (op A.X, op B.X) (op A.X, op B.X) = op ((α_ (A.X, A.X).1 (A.X, A.X).2 ((B.X, B.X).1 ⊗ (B.X, B.X).2)).hom ≫ (A.X, A.X).1 ◁ (α_ (A.X, A.X).2 (B.X, B.X).1 (B.X, B.X).2).inv ≫ (A.X, A.X).1 ◁ (β_ (A.X, A.X).2 (B.X, B.X).1).hom ▷ (B.X, B.X).2 ≫ (A.X, A.X).1 ◁ (α_ (B.X, B.X).1 (A.X, A.X).2 (B.X, B.X).2).hom ≫ (α_ (A.X, A.X).1 (B.X, B.X).1 ((A.X, A.X).2 ⊗ (B.X, B.X).2)).inv)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
A : Set M
α : Type u₁
s t : L.DefinableSet A α
x : α → M
⊢ x ∈ s ⊔ t ↔ x ∈ s ∨ x ∈ t
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ)
s : Finset ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
f : ι → ℕ
hfsum : s.sum f = n * m
hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s
hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i
this : ∀ (i : ι), n ∣ f i
⊢ ∑ i ∈ s, f i / n = m ∧ (∀ (i : ι), (fun i => f i / n) i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ (n • fun i => f i / n) = f
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
x y : Quotient G α
h : Setoid.r (Quotient.out' x) (Quotient.out' y)
⊢ x = y
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : 𝕜
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → E
v : 𝕜 → F
u' : E
v' : F
hu : HasDerivAt u u' x
hv : HasDerivAt v v' x
⊢ HasDerivAt (fun x => (B (u x)) (v x)) ((B (u x)) v' + (B u') (v x)) x
α : Type u
t s s' : Set α
⊢ t.ite s s' ∩ tᶜ = s' ∩ tᶜ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H : Subgroup G
a✝ b✝ : G
⊢ (setoid ↑⊥.toSubmonoid ↑H).Rel a✝ b✝ ↔ (QuotientGroup.leftRel H).Rel a✝ b✝
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : β × γ → α
c : α
⊢ ⨆ x, f x ≤ c ↔ ⨆ i, ⨆ j, f (i, j) ≤ c
a : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ a
⊢ ℵ₀ * a = a
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ LieAlgebra.HasTrivialRadical R L ↔ ∀ (I : LieIdeal R L), LieAlgebra.IsSolvable R ↥↑I → I = ⊥
X : Type u
Preorder X
⊢ ∀ {X_1 Y : Xᵒᵈ} (f : X_1 ⟶ Y), (CategoryTheory.orderDualEquivalence X).functor.map f = (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont : ContinuousWithinAt g (Ici a) a
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
g'neg : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≤ 0
hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)
⊢ IntegrableOn g' (Ioi a) volume
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ o.rightAngleRotationAux₁ (o.rightAngleRotationAux₁ x) = -x
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
Fintype β
Nonempty β
a b : α
⊢ (dist (fun x => a) fun x => b) = dist a b
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a : α
ha : a ∈ s
⊢ (PMF.uniformOfFinset s hs) a = (↑s.card)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p : β → Prop
u : β → α
⊢ Filter.blimsup u f p = ⨅ s ∈ f, ⨆ b, ⨆ (_ : p b ∧ b ∈ s), u b
α : Type u_2
Neg α
f : Filter α
⊢ (-f).NeBot ↔ f.NeBot
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
s t : Set A
h : s ⊆ t
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 t ⊆ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 s
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
⊢ I.target ∩ ↑I.symm ⁻¹' s = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w₁
CategoryTheory.Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
CategoryTheory.Category.{max v u, w₂} E
F : CategoryTheory.Functor D E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
(X : C) →
    (W : J.Cover X) →
      (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
X : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (J.plusFunctorWhiskerRightIso F).hom.app X = (J.plusCompIso F X).hom
⊢ ∀ {X Y : SemiNormedGrp} (f : X ⟶ Y), SemiNormedGrp.completion.map f = NormedAddGroupHom.completion f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : UniqueDiffOn ℝ s
i : ℕ
right✝ : ∀ (m : ℕ), ↑m < ↑n → DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin m f s) s
hf_left : ↑i ≤ ↑n → ContinuousOn (iteratedDerivWithin i f s) s
hi : i < n + 1
⊢ ↑i ≤ ↑n
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝
⊢ HasSum (fun i => rexp r * (rexp (-↑r✝) * ↑r✝ ^ i / ↑i !)) (rexp r * 1)
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
α : Type w'
⊢ L[[α]].card = lift.{w', max u v} L.card + lift.{max u v, w'} #α
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : outParam ({R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop)
self : AlgebraicGeometry.HasRingHomProperty P Q
⊢ RingHom.PropertyIsLocal fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
m : M
⊢ m ∈ fixingSubgroup M sᶜ ↔ (fixedBy α m)ᶜ ⊆ s
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsCofiltered D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
this : Nonempty D
⊢ Nonempty C
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : LightProfinite
a b : Z ⟶ LightProfinite.pullback f g
hfst :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp a (LightProfinite.pullback.fst f g) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp b (LightProfinite.pullback.fst f g)
hsnd :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp a (LightProfinite.pullback.snd f g) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp b (LightProfinite.pullback.snd f g)
⊢ a = b
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M₂ →ₗ[R] φ i
⊢ pi f = 0 ↔ ∀ (i : ι), f i = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
A : PartialEquiv E F := hf.toPartialEquiv hc
Af : ∀ (z : E), ↑A z = f z
x' : E
x's : x' ∈ s
hx : f x' ∈ f '' s
y' : E
y's : y' ∈ s
hy : f y' ∈ f '' s
⊢ ‖x' - y' - ↑f'.symm (↑A x' - ↑A y')‖ ≤ ↑(‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c) * ‖↑A x' - ↑A y'‖
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E
inst✝ : Preregular C
W : C
⊢ ∀ {X : C}, ∀ R ∈ (regularCoverage C).covering X, IsSheafFor (yoneda.obj W) R
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
ι : Sort u_2
p : ι → Prop
s : ι → Set α
x : α
h : (𝓝 x).HasBasis p s
⊢ (v.filterAt x).HasBasis p fun i => {t | t ∈ v.setsAt x ∧ t ⊆ s i}
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
h : constantCoeff Φ = 0
n : ℕ
⊢ constantCoeff (wittStructureRat p Φ n) = 0