ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s t : Set α
f : α → E
x : α
⊢ ‖(s.indicator f - t.indicator f) x‖ = ‖(s ∆ t).indicator f x‖
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
c : CategoryTheory.Limits.BinaryFan X Y
h : CategoryTheory.Limits.IsLimit c
t : CategoryTheory.Limits.IsTerminal Z
⊢ CategoryTheory.IsPullback c.fst c.snd
  (t.from ((CategoryTheory.Limits.pair X Y).obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left }))
  (t.from ((CategoryTheory.Limits.pair X Y).obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right }))
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), x • y • z = y • x • z
x : M
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ (y : M), (∀ (n : N) (a : α), y • n • a = n • y • a) → ∀ (n : N) (a : α), (x * y) • n • a = n • (x * y) • a
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι✝ : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜✝
inst✝⁶ : AddCommGroup E✝
inst✝⁵ : Module 𝕜✝ E✝
p✝ : SeminormFamily 𝕜✝ E✝ ι✝
inst✝⁴ : Nonempty ι✝
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ Continuous ⇑(s.sup p)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h₁ : a₁ ≤ b₁
⊢ Icc a₁ b₁ ⊆ Ico a₂ b₂ ↔ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ < b₂
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddZeroClass G
f : AddMonoidAlgebra k G
⊢ f ∈ Submodule.span k (⇑(AddMonoidAlgebra.of k G) '' ↑f.support)
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
f : LocallyConstant ↑C ℤ
hf : ⇑((LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₁ C hsC ho, continuous_toFun := ⋯ }) f) = ⇑((LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₀ C ho, continuous_toFun := ⋯ }) f)
C₀C : ↑(C0 C ho) → ↑C := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩
h₀ : Continuous C₀C
C₁C : ↑(π (C1 C ho) fun x => ord I x < o) → ↑C := fun x => ⟨SwapTrue o ↑x, ⋯⟩
h₁ : Continuous C₁C
⊢ ∃ y, (πs C o) y = f
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
a b : R
⊢ ↑(a - b) = ↑a - ↑b
n : ℕ
⊢ bernoulli' n = 1 - ∑ k ∈ Finset.range n, ↑(n.choose k) / (↑n - ↑k + 1) * bernoulli' k
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : { p // f p.1 = g p.2 }
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) ((TopCat.pullbackIsoProdSubtype f g).inv x) = (↑x).1
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ι → Set Ω
hf : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSet f κ μ ↔ ∀ (s : Finset ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, (κ a) (f i)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : LieRingModule L M₂
inst✝² : LieModule R L M₂
inst✝¹ : Nontrivial M
inst✝ : IsNilpotent R L M
⊢ Nontrivial ↥↑(lowerCentralSeriesLast R L M)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
h : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ ¬(IsSFiniteKernel κ ∧ IsSFiniteKernel η)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
m : M
p : ι →₀ R
i : ι
⊢ ((finsuppScalarRight R M ι) (m ⊗ₜ[R] p)) i = (p.sum fun i n => Finsupp.single i (n • m)) i
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
⊢ ∃ C > 0, ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
x : R
⊢ (TopologicalSpace.Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) (PrimeSpectrum.basicOpen x) = PrimeSpectrum.basicOpen (f x)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
⊢ e ≠ 0
α : Type u
β : α → Type v
l l₁ l₂ : List (Sigma β)
L : List (List (Sigma β))
⊢ (∀ l ∈ L, Pairwise (fun s s' => s.fst ≠ s'.fst) l) ∧ Pairwise (fun l₁ l₂ => ∀ x ∈ l₁, ∀ y ∈ l₂, x.fst ≠ y.fst) L ↔ (∀ l ∈ L, l.NodupKeys) ∧ Pairwise (fun a b => a.keys.Disjoint b.keys) L
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
c : F
h0 : p ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal)
x : SetTheory.PGame
y : SetTheory.PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ x.mulOption y i j = x.mulOption (- -y) i (SetTheory.PGame.toLeftMovesNeg (SetTheory.PGame.toRightMovesNeg j))
α : Type u_1
Fintype α
p : α → Prop
DecidablePred p
Fintype { a // p a }
⊢ Multiset.map Subtype.val Finset.univ.val = (Finset.filter p Finset.univ).val
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
MeasurableVAdd G α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : G
⊢ MeasurableSet (a +ᵥ s)
α : Type u
x y : FreeAddMagma α
⊢ x.add y = x + y
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → R⟦X⟧
d : ℕ
s : Finset ι
x : ι →₀ ℕ
a✝ : x ∈ s.finsuppAntidiag d
⊢ ∏ i ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (((Finsupp.mapRange.addEquiv AddEquiv.finsuppUnique.symm).toEmbedding x) i)) (f i) = ∏ x_1 ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (single () (x x_1))) (f x_1)
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x
⊢ y * Ring.inverse x * x = y
α : Sort u_1
β : Sort u_2
Nonempty α
⊢ Function.Injective (Function.const α)
G : Type u_1
Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
a : ↥A
⊢ HNNExtension.t * HNNExtension.of ↑a = HNNExtension.of ↑(φ a) * HNNExtension.t
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : (i : ι) → E i
i : ι
y : E i
l : E i →L[𝕜] (i : ι) → E i := ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i)))
update_eq : Function.update x i = (fun x_1 => x) + ⇑l ∘ fun x_1 => x_1 - x i
⊢ l = 0 + l.comp (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i))
ι : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
AddMonoid M
ContinuousAdd M
f : ι → X → M
l : List ι
t : Set X
h : ∀ i ∈ l, ContinuousOn (f i) t
⊢ ContinuousOn (fun a => (List.map (fun i => f i a) l).sum) t
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
s : Set A
r : R
a : A
ha : a ∈ s.centralizer
⊢ r • a ∈ s.centralizer
x y : ℝ
h : x ^ 2 ≤ y
⊢ -√y ≤ x
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a₂ : α
b₁ : β
⊢ Finset.Ioc (Sum.inr b₁) (Sum.inl a₂) = ∅
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b✝ : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q b : R[X]
P : R[X][X]
⊢ P ∈ Ideal.span {C (X - C a), X - C b} ↔ eval a (eval b P) = 0
G : Type u_3
AddGroup G
G' : Type u_5
AddGroup G'
AddGroup.FG G
f : G →+ G'
⊢ AddGroup.rank ↥f.range ≤ AddGroup.rank G
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
t : Set (M ⧸ Submodule.span R s)
ht : #↑t = Module.rank R (M ⧸ Submodule.span R s)
ht' : LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
sec : M ⧸ Submodule.span R s → M
hsec : ∀ (b : M ⧸ Submodule.span R s), Submodule.Quotient.mk (sec b) = b
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ #↑t = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
ι : Type u_4
α : Type u_5
NormedCommRing α
NormOneClass α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ ‖∏ i ∈ s, f i‖₊ ≤ ∏ i ∈ s, ‖f i‖₊
α : Type u
Ring α
a b : α
n : ℤ
d : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a n d → Mathlib.Meta.NormNum.IsRat b n d → a = b
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p q' : ℤ
hpq : p + 0 = p
⊢ (ofHoms ψ).v p p hpq ≫ G.d p q' = ψ p ≫ G.d p q'
N : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
x : X
f : ↑(Ω^ N X x)
⊢ GenLoop.Homotopic f f
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ MulAction.stabilizer G ↑1 = H
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_3
Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type u_2
Quiver W
ψ : V ⥤q W
u : U
⊢ (φ ⋙q ψ).star u = ψ.star (φ.obj u) ∘ φ.star u
α : Type u_1
CommRing α
IsDomain α
NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
h : a ∣ b - c
⊢ gcd a b = gcd a c
m : Type u_3
α : Type u_5
ι : Type u_7
Fintype m
Unique ι
SeminormedAddCommGroup α
v : m → α
⊢ ‖Matrix.row ι v‖ = ‖(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm v‖
α : Type u_1
Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Ordnode.Valid' o₁ l ↑x
hr : Ordnode.Valid' (↑x) r o₂
H :
  (∃ l', Ordnode.Raised l' l.size ∧ Ordnode.BalancedSz l' r.size) ∨
    ∃ r', Ordnode.Raised r.size r' ∧ Ordnode.BalancedSz l.size r'
⊢ Ordnode.Valid' o₁ (l.balanceL x r) o₂
a b c : Nat
⊢ min (min a b) c = min a (min b c)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasInjectiveResolutions C
CategoryTheory.Abelian D
F G H : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
F.Additive
G.Additive
H.Additive
⊢ CategoryTheory.NatTrans.rightDerivedToHomotopyCategory (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.NatTrans.rightDerivedToHomotopyCategory α)
    (CategoryTheory.NatTrans.rightDerivedToHomotopyCategory β)
ι : Type u_1
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
l : Filter ((i : ι) → α i)
l.NeBot
⊢ Cauchy l ↔ ∀ (i : ι), Cauchy (Filter.map (Function.eval i) l)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ (ι (Q c₁ c₂)) (0, 1) * (ι (Q c₁ c₂)) (0, 1) = c₂ • 1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
refl : ∀ (x : α), R x x
symm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
trans : ∀ {x y z : α}, R x y → R y z → R x z
⊢ ∀ {x y : Computation α}, LiftRel R x y → LiftRel R y x
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
c : α
Add α
Div β
hf : Function.Periodic f c
hg : Function.Periodic g c
⊢ Function.Periodic (f / g) c
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a ≤ b
h' : c < d
⊢ Set.Ico a d ∈ 𝓝ˢ (Set.Ioc b c)
R : Type u_1
CommSemiring R
⊢ ⇑(algebraMap (PowerSeries R) (LaurentSeries R)) = ⇑(HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R)
R : Type u_1
P Q : Cubic R
Semiring R
h : P.toPoly = Q.toPoly
⊢ P.d = Q.d
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • interior s + b • closure s ⊆ interior s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
⊢ (p.bindOnSupport f).support = ⋃ a, ⋃ (h : a ∈ p.support), (f a h).support
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
K : Subgroup G
x : G
hx : x ∈ K
⊢ f x ∈ Subgroup.map f K
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
⊢ (Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I)).carrier ≤ (LinearMap.range (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier
E : Type u_1
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
F s : Set E
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
Countable ↥L
fund : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h : μ F * 2 ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E < μ s
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
hst : s.ncard ≤ t.ncard
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ a₁ = a₂
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
⊢ (fun a => a ^ n) a < (fun a => a ^ n) b
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
⊢ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
MulOneClass M
MulOneClass N
CommMonoid P
f : M →* P
g : N →* P
⊢ (f.coprod g).comp (MonoidHom.inr M N) = g
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ k₁ k₂ : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
g₁ : j₁ ⟶ k₂
f₂ : j₂ ⟶ k₁
g₂ : j₂ ⟶ k₂
t : C
k₁t : k₁ ⟶ t
k₂t : k₂ ⟶ t
ht : f₁ ≫ k₁t = g₁ ≫ k₂t
s : C
ts : t ⟶ s
hs : (f₂ ≫ k₁t) ≫ ts = (g₂ ≫ k₂t) ≫ ts
⊢ ∃ s α β, f₁ ≫ α = g₁ ≫ β ∧ f₂ ≫ α = g₂ ≫ β
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : R1Space X
x✝ y : X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
x : X
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ x ∈ U ∧ IsCompact (closure U)
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
h : IsCompl a b
⊢ a ∆ b = ⊤
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
x : α
s : Set α
y : β
Zero β
hs : IsOpen s
hy : y ≤ 0
⊢ UpperSemicontinuousAt (s.indicator fun _x => y) x
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
⊢ P.toPoly.coeff 0 = P.d
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
A : Subalgebra R S
⊢ ⊥.mulMap A = A.val.comp ↑A.lTensorBot
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
a s : R
h : s ∈ v.supp
aux : ∀ (a s : R), v s = 0 → v (a + s) ≤ v a
⊢ v a ≤ v (a + s)
α : Sort u
c : Prop
⊢ ∀ {x : Decidable c} (a b : α), c = True → ite c a b = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
LinearOrderedCommRing 𝕜
LinearOrderedCommRing E
LinearOrderedAddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module E F
IsScalarTower 𝕜 E F
SMulCommClass 𝕜 E F
OrderedSMul 𝕜 F
OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
⊢ ConcaveOn 𝕜 s (f • g)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.65033, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.65040, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.65047, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.65099, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ'✝ : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ✝ ⟶ G.op ⋙ ℱ'✝.val
ℱ ℱ' : SheafOfTypes K
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
⊢ ({ val := (presheafIso i).inv } ≫ { val := (presheafIso i).hom }).val = (𝟙 ℱ').val
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
⊢ G.edgeFinset.card * 1 ≤ (G.cliqueFinset 3).card * 3
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : rexp 1 ≤ x
⊢ 1 + 1 / log x ≤ 1 + 1
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
⊢ (RelSeries.eraseLast s).last ≤ RelSeries.last s
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
H₁ : S₁.HomologyData
H₂ : S₂.HomologyData
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0
⊢ homologyMap' (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃) H₁ H₂ = 0
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
hφ : ∀ (u : U), Function.Surjective (φ.star u)
u : U
⊢ Function.Surjective (φ.pathStar u)
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
Fintype α
f : α → M
⊢ ∑ᶠ (i : α), f i = ∑ i : α, f i
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
X Y : J
f : X ⟶ Y
⊢ (D.map f).f ≫ c.ι.app Y = c.ι.app X ≫ 𝟙 c.pt
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
AddCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ ∑ x ∈ Finset.subtype p s, f ↑x = ∑ x ∈ Finset.filter p s, f x
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : ∀ y ∈ zeroRootSubalgebra R L H, ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
⊢ x ∈ zeroRootSubalgebra R L H
x y : UInt8
⊢ x = y ↔ x.toNat = y.toNat
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
f : ι → E → F
s : Finset ι
x : E
h : ∀ i ∈ s, ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f i x) x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) univ x
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f g : X ⟶ Y
h_base : f.val.base = g.val.base
h_app :
  ∀ (U : Y.Opens),
    AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f U ≫ X.presheaf.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯).op =
      AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app g U
⊢ f = g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ (CategoryTheory.Monad.monadMonEquiv C).inverse = CategoryTheory.Monad.monToMonad C
α : Type u_1
M : Matroid α
B₁ B₂ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂
⊢ B₁.encard = B₂.encard
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ (AffineSubspace.perpBisector p₁ p₂).direction = (Submodule.span ℝ {p₂ -ᵥ p₁})ᗮ
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
k : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range (k + 1), C ↑p ^ x * (bind₁ (xInTermsOfW p R)) (X x) ^ p ^ (k - x) = X k
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q✝ f g q r : R[X]
hg : g.Monic
h : r + g * q = f ∧ r.degree < g.degree
a✝ : Nontrivial R
h₁ : r - f %ₘ g = -g * (q - f /ₘ g)
h₂ : (r - f %ₘ g).degree = (g * (q - f /ₘ g)).degree
h₄ : (r - f %ₘ g).degree < g.degree
⊢ f /ₘ g = q ∧ f %ₘ g = r
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : CompHaus
a : Z ⟶ X
b : Z ⟶ Y
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp a f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp b g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CompHaus.pullback.lift f g a b w) (CompHaus.pullback.fst f g) = a
n : Type u_3
α : Type u_5
DecidableEq n
Semiring α
Fintype n
i j k : n
M : Matrix n n α
hM : Commute (Matrix.stdBasisMatrix i j 1) M
hki : k ≠ i
⊢ M k i = 0
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : HasDerivAt f f' x
⊢ slope f x y < f'
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
⊢ SqLe z c w d
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
hab : a ≠ b
⊢ closure (Set.Ioo a b) = Set.Icc a b
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : IsDomain R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ cyclotomic' 0 R = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α →o β
a : α
⊢ f.antisymmetrization (toAntisymmetrization (fun x x_1 => x ≤ x_1) a) = toAntisymmetrization (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f a)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
h : a < b
h' : 0 < b
ha : 0 ≤ a
⊢ ⌊a⌋₊ < ⌈b⌉₊
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat
F : C ⥤ D
R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
M : PresheafOfModules (R ⋙ CategoryTheory.forget₂ CommRingCat RingCat)
φ : S ⟶ F.op ⋙ R
self : M.Derivation φ
X Y : Dᵒᵖ
f : X ⟶ Y
x : ↑(R.obj X)
⊢ self.d ((R.map f) x) = (M.map f) (self.d x)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
Decidable (s.pi t).Nonempty
hi : i ∉ s
⊢ Function.eval i '' s.pi t = if (s.pi t).Nonempty then Set.univ else ∅
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
γ : HomologyMapData (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData (S.homologyData.map F)
eq : γ.left.φH ≫ (S.homologyData.map F).iso.hom = (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ γ.right.φH
⊢ (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.right.map F) ≫ F.map S.homologyData.iso.inv = leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.left.map F)
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a₁ a₂ : E
r₁ r₂ : ℝ
H₁ : ‖a₁‖ ≤ r₁
H₂ : ‖a₂‖ ≤ r₂
⊢ ‖a₁ / a₂‖ ≤ r₁ + r₂
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X
⊢ SetLike.coe '' Set.range X.basicOpen = Set.preimage ⇑(TopCat.homeoOfIso (Scheme.forgetToTop.mapIso X.isoSpec)) '' (SetLike.coe '' Set.range PrimeSpectrum.basicOpen)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.IsRefl
W : Submodule R₁ M₁
hW : Disjoint W (B.orthogonal W)
x : M₁
hx : x ∈ W
b₁ : ∀ (n : ↥W), ((B.restrict W) ⟨x, hx⟩) n = 0
⊢ x ∈ ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : CochainComplex C ℤ
a b n : ℤ
⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd (CochainComplex C ℤ) a b).inv.app K).f n = (HomologicalComplex.XIsoOfEq K ⋯).hom