ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e✝ : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : PartialHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid ⊤ I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : PartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : PartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf : (contDiffGroupoid ⊤ I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑e) (↑c.symm ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ c'.symm).source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑c'.symm ∘ ↑e ∘ ↑c) s
⊢ ContMDiffOn I I ⊤ (↑f) (f.source ∩ s)
M : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul M α
H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
x✝ : α
⊢ ∀ (c : M), c • closure (orbit M x✝) ⊆ closure (orbit M x✝)
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
SemilatticeSup δ
g : γ → δ
a : δ
h : (Finset.image₂ f s t).Nonempty
⊢ (Finset.image₂ f s t).sup' h g ≤ a ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, g (f x y) ≤ a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ
h : i ∉ p.support
⊢ ¬coeffIntegerNormalization M p i ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f✝ : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel α β
f : β → γ
g : β → δ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
x : α
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
⊢ ((κ.map (fun x => (f x, g x)) ⋯).snd x) s = ((κ.map g hg) x) s
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a y : A
hy₁ : ↑y + ↑a + ↑a * ↑y = 0
hy₂ : ↑a + ↑y + ↑y * ↑a = 0
⊢ ∃ y, y + a + a * y = 0 ∧ a + y + y * a = 0
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h : ¬c₂.Rel i₂ (c₂.next i₂)
⊢ c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.X i₁).d i₂ (c₂.next i₂) ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, c₂.next i₂) i₁₂ = 0
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
hp : Nat.Prime p
N : ℕ
ih : ∀ m < N, ∀ {f : F[X]}, Irreducible f → f.natDegree = m → ∃ n g, g.Separable ∧ (expand F (p ^ n)) g = f
f : F[X]
hf : Irreducible f
hn : f.natDegree = N
⊢ ∃ n g, g.Separable ∧ (expand F (p ^ n)) g = f
α : Type u
c : OmegaCompletePartialOrder.Chain (Part α)
a : α
h : a ∈ Part.ωSup c
⊢ Part.some a ∈ c
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ φ W.a₁ ^ 2 * φ W.a₆ + 4 * φ W.a₂ * φ W.a₆ - φ W.a₁ * φ W.a₃ * φ W.a₄ + φ W.a₂ * φ W.a₃ ^ 2 - φ W.a₄ ^ 2 = φ (W.a₁ ^ 2 * W.a₆ + 4 * W.a₂ * W.a₆ - W.a₁ * W.a₃ * W.a₄ + W.a₂ * W.a₃ ^ 2 - W.a₄ ^ 2)
R : Type u_1
Ring R
f g : ℕ → R
⊢ (∀ n > 0, ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔
  ∀ n > 0, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, ↑(ArithmeticFunction.moebius x.1) * g x.2 = f n
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
Semifield S
StarRing S
MetricSpace S
TopologicalSemiring S
ContinuousStar S
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra S A
ContinuousFunctionalCalculus S q
Algebra R S
Algebra R A
IsScalarTower R S A
StarModule R S
ContinuousSMul R S
CompleteSpace R
ContinuousFunctionalCalculus R p
UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
a : A
hpa : p a
hqa : q a
h : SpectrumRestricts a ⇑f
CompactSpace ↑(spectrum S a)
⊢ cfcHom hpa = SpectrumRestricts.starAlgHom (cfcHom hqa) h
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : AdicCauchySequence I M
k : ℕ
h : ∀ n ≥ k, ∃ m ≥ n, ∃ l ≥ n, ↑f m ∈ I ^ l • ⊤
n m : ℕ
hnm : m ≥ n + k
l : ℕ
hnl : l ≥ n + k
hl : ↑f m ∈ I ^ l • ⊤
⊢ Submodule.Quotient.mk (↑f m) = 0
Γ : Type u_1
PartialOrder Γ
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddCommGroup W
Module R W
⊢ Function.Injective HVertexOperator.coeff
A : Type u_1
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra ℂ A
ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A
⊢ IsSelfAdjoint a ↔ IsStarNormal a ∧ SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
⊢ f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.coeff ↑i) * z ^ ↑i = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * ∑ n ∈ p.support, f (p.coeff n) * z ^ n
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
hε : 0 ≤ ε
δ : ℝ
s : Set α
hδ : δ ≤ 0
⊢ cthickening ε (thickening δ s) ⊆ cthickening (ε + δ) s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r : ℝ
hr : 1 < r
this : Tendsto (fun x => x ^ k) (𝓝[>] 1) (𝓝 1)
r' : ℝ
hr' : r' ^ k < r
h1 : 1 < r'
h0 : 0 ≤ r'
n : ℕ
⊢ ↑n ≤ (r' - 1)⁻¹ * ‖r' ^ n‖
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re ∨ 0 ∉ [[a, b]]
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) μ a b
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L
hx : IsIntegral R x
⊢ IsIntegral R ((norm K) x)
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
Fintype ι
Fintype κ
CommMonoid α
DecidableEq κ
g : ι → κ
f : κ → α
⊢ ∏ j : κ, ∏ _i : { i // g i = j }, f j = ∏ i : ι, f (g i)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
⊢ Differentiable 𝕜 (⇑iso ∘ f) ↔ Differentiable 𝕜 f
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List M
hl₁ : ∀ x ∈ l, 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ l.sum
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
ι : Type v
hι : Infinite ι
ιK : Type (max u v)
bK : Basis ιK K (ι → K)
⊢ Module.rank K (ι → K) = #(ι → K)
n : ℕ
a : ℝ
h : (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n ≤ 2 - (a / 2 ^ (n + 1)) ^ 2
⊢ (a / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 ≤ 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n
A : Type u_2
Field A
CharZero A
p : IntermediateField ℚ A → Prop
S : Set { F // p F }
T : Set A
hT : T.Finite
h : ∀ F ∈ S, ∃ x ∈ T, ↑F = ℚ⟮x⟯
⊢ S.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Set.range f)
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
⊢ log (1 + p * s) < log (1 + s) * p
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : CategoryTheory.OplaxNatTrans F G
θ : CategoryTheory.OplaxNatTrans G H
a : B
⊢ (η.vcomp θ).app a = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (η.app a) (θ.app a)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Mul N
f : M →ₙ* N
hf : ∀ (x y : M), Commute (f x) (f y)
x y : M
⊢ (op ∘ ⇑f) (x * y) = (op ∘ ⇑f) x * (op ∘ ⇑f) y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
x' : α
hx' : x' ∈ s'
hxx' : edist x x' < ↑δ
A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x
B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y
a : α
b : β
has : (a, b).1 ∈ s
hax : (a, b).1 ∈ EMetric.ball x ↑δ
hbt : (a, b).2 ∈ t
hby : (a, b).2 ∈ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2}
⊢ f (a, b) ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝¹⁰ : Traversable t
inst✝⁹ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁸ : Applicative F
inst✝⁷ : Applicative G
inst✝⁶ : LawfulApplicative F
inst✝⁵ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
inst✝⁴ : Traversable t'
h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), map f = Equiv.map eqv f
h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f
h₂ : ∀ {F : Type u → Type u} [inst : Applicative F] [inst_1 : LawfulApplicative F] {α β : Type u} (f : α → F β), traverse f = Equiv.traverse eqv f
F✝ G✝ : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F✝
inst✝² : Applicative G✝
inst✝¹ : LawfulApplicative F✝
inst✝ : LawfulApplicative G✝
x✝⁴ : ApplicativeTransformation F✝ G✝
x✝³ x✝² : Type u
x✝¹ : x✝³ → F✝ x✝²
x✝ : t' x✝³
⊢ (fun {α} => x✝⁴.app α) (traverse x✝¹ x✝) = traverse ((fun {α} => x✝⁴.app α) ∘ x✝¹) x✝
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑π ↔ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0
⊢ jacobiTheta₂' z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) / τ * (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ))
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b✝ : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
b : B
⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.map (⇑f) p.roots)).prod = map f (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod
F : Type u_1
Field F
⊢ IsSubfield Set.univ
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ : I
inst✝³ : DecidableEq I
inst✝² : (i : I) → One (f i)
inst✝¹ : (i : I) → One (g i)
inst✝ : (i : I) → One (h i)
f' : (i : I) → f i → g i
hf' : ∀ (i : I), f' i 1 = 1
i : I
x : f i
j : I
⊢ f' j (mulSingle i x j) = mulSingle i (f' i x) j
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ HasSum (fun n => z ^ n / ↑n) (-log (1 - z))
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t : Set α
⊢ s.Nonempty → t.Nonempty → (s ⊻ t).Nonempty
α : Type u_1
ι : Type u_3
Lattice α
OrderBot α
f : ι → α
⊢ ∅.SupIndep f
R : Type u
CommSemiring R
ι : Sort u_2
I : ι → Ideal R
⊢ (⨅ i, I i).radical ≤ ⨅ i, (I i).radical
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Dist E
l : Filter ι
f : ι → α → E
g g' : α → E
h : g =ᵐ[μ] g'
h_tendsto : MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f l g
⊢ MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f l g'
G : Type u
Group G
n : ℕ
g : G
f : Fin n → G
⊢ (groupCohomology.resolution.actionDiagonalSucc G n).inv.hom (g, f) = g • Fin.partialProd f
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
⊢ ∀ b ∈ {N | ∃ s, s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖}, b ≤ 5 ^ finrank ℝ E
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝⁴ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
α : Type u_4
inst✝³ : SMul α R
inst✝² : SMul α A
inst✝¹ : IsScalarTower α R A
inst✝ : IsScalarTower α A A
n : α
x✝ : NumDenSameDeg 𝒜 x
⊢ Localization.mk ↑(n • x✝).num ⟨↑(n • x✝).den, ⋯⟩ = Localization.mk (n • ↑x✝.num) ⟨↑x✝.den, ⋯⟩
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ↑(-(o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg + ↑π
R : Type u_1
CommRing R
x y z : R
⊢ IsRelPrime x (y + x * z) ↔ IsRelPrime x y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m✝ m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h : (univ.pi s).Nonempty
⊢ (OuterMeasure.pi m) (univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (m i) (s i)
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
OrderBot α
n : α
φ : α → α
hφ : StrictMonoOn φ (Set.Iic n)
m : α
⊢ m ≤ n → m ≤ φ m
R : Type u_1
NonAssocRing R
Pow R ℕ
BinomialRing R
NatPowAssoc R
r : R
n k : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ n.choose k • Ring.choose r n = Ring.choose r k * Ring.choose (r - ↑k) (n - k)
a : ℝ≥0∞
h : a ≠ ⊤
⊢ AddLECancellable a
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x✝ : E
h : StarConvex ℝ x✝ s
hne : s.Nonempty
x : ↑s
⊢ { toFun := fun p => ⟨↑p.1 • x✝ + (1 - ↑p.1) • ↑p.2, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2 }.toFun (1, x) = (ContinuousMap.const ↑s ⟨x✝, ⋯⟩) x
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
hs : u +ᵥ s =ᵐ[MeasureTheory.volume] s
hI : I =ᵐ[MeasureTheory.volume] Metric.ball x (T / (2 * ↑(addOrderOf u)))
⊢ MeasureTheory.volume s = addOrderOf u • MeasureTheory.volume (s ∩ I)
G : Type u_1
AddGroup G
Fintype G
x : G
⊢ addOrderOf x ∣ Fintype.card G
X : Type u
α : Type v
TopologicalSpace X
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
a b : X
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
f : X → α
hf : ContinuousOn f s
⊢ Set.Icc (f a) (f b) ⊆ f '' s
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h : IntervalIntegrable f μ a b
⊢ IntervalIntegrable (-f) μ a b
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
Field R
StarRing R
Ring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
SetLike S A
hSA : NonUnitalSubringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
StarMemClass S A
s : S
h1 : 1 ∉ s
a : Unitization R ↥s
⊢ ↑((NonUnitalStarSubalgebra.unitizationStarAlgEquiv s h1) a) = (algebraMap R A) a.fst + ↑a.snd
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
G : Type u_7
NormedLatticeAddCommGroup G
⊢ ↑↑↑0 =ᵐ[μ] 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LinearOrder β
SMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
⊢ QuasiconvexOn 𝕜 s f ↔
  Convex 𝕜 s ∧
    ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ max (f x) (f y)
α : Type u
s t : Set α
⊢ (fun f => (f 0, f 1)) ⁻¹' s ×ˢ t = Set.univ.pi ![s, t]
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ maximalAtlas M G
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source
f : PartialHomeomorph M H := chartAt H (↑e.symm x)
s : Set H := e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' f.source
hs : IsOpen s
xs : x ∈ s
⊢ (e.symm ≫ₕ e').restr s ∈ G
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace β
AddGroup α
AddAction α β
ContinuousConstVAdd α β
s : Set α
t : Set β
TopologicalSpace α
⊢ interior s +ᵥ interior t ⊆ interior (s +ᵥ t)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ z ∈ closedBall z₀ ρ, z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
r : ℝ := ρ ⊓ R
hr : 0 < r
h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ
h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
h7 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, f z ≠ f z₀
h8 : (sphere z₀ r).Nonempty
h9 : ContinuousOn (fun x => ‖f x - f z₀‖) (sphere z₀ r)
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
α β : Type u
s : Set α
f : α → β
⊢ f <$> s = f '' s
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
h : IsNilpotent a
hl : IsNilpotent (LinearMap.mulLeft R a)
hr : IsNilpotent (LinearMap.mulRight R a)
this : Commute (LinearMap.mulLeft R a) (LinearMap.mulRight R a)
⊢ IsNilpotent ((LinearMap.mulLeft R - LinearMap.mulRight R) a)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
Nonempty α
y₁ y₂ : β
⊢ Function.const α y₁ = Function.const α y₂ ↔ y₁ = y₂
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : H → G
j : Y →ₑ[φ] X
B : Set X
hB : IsBlock G B
g : H
⊢ φ g • B = B → ⇑j ⁻¹' (φ g • B) = ⇑j ⁻¹' B
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x : α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
⊢ ContinuousWithinAt f (Set.Ioi x) x ↔ Function.rightLim f x = f x
α : Type u
AddGroup α
x : α
⊢ (FreeGroup.of x).sum = x
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
f : G → CoeSort.coe A
h : f ∈ LinearMap.range (groupCohomology.dZero A)
⊢ ↑↑(groupCohomology.oneCoboundariesOfMemRange h) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}
⊢ ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, max (f x) (g x) ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}ᶜ, max (f x) (g x) ∂μ = ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {x | g x < f x}, f x ∂μ
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
m : M
i : ι
⊢ (b.toDual m) (b i) = (b.repr m) i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x✝ y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsClosed s
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s, i x ≤ i y}
⊢ x ∈ s
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
C : CochainComplex V ℕ
i : ℕ
⊢ C.d 0 (i + 2) = 0
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} J
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
∀ (n : ι), CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ HomologicalComplex.eval C c n)
n : ι
⊢ (HomologicalComplex.coconeOfHasColimitEval F).pt.X n = CategoryTheory.Limits.colimit (F ⋙ HomologicalComplex.eval C c n)
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
f : LatticeHom β γ
g : LatticeHom α β
⊢ { toFun := ⇑(f.comp g), map_inf' := ⋯ } = { toFun := ⇑f, map_inf' := ⋯ }.comp { toFun := ⇑g, map_inf' := ⋯ }
α : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedGroup E
f : α → E
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto (fun x => ‖f x‖) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l (Bornology.cobounded E)
B : Type u₁
Quiver B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : B ⥤q C
⊢ ∀ (a : B), (CategoryTheory.FreeBicategory.lift F).obj a = F.obj a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι
h₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.Iic n }) 𝕜 (f ∘ Subtype.val)
⊢ gramSchmidt 𝕜 f n ≠ 0
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.229352}
f : α → β
s : Set β
h : Injective f
⊢ lift.{u, u} #↑(f ⁻¹' s) ≤ lift.{u, u} #↑s
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
n : ℕ
hn : (⇑φ)^[n] = _root_.id
g : G
⊢ (List.map (fun k => (⇑φ)^[k] g / (⇑φ)^[k.succ] g) (List.range n)).prod = 1
α : Type u_1
ι : Type u_4
r : α → α → Prop
LinearOrder ι
hr : Symmetric r
f : ι → α
⊢ Pairwise (r on f) ↔ ∀ ⦃m n : ι⦄, m < n → r (f m) (f n)
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
ι : Type u_5
Countable ι
s : ι → Set X
hm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
hfi : MeasureTheory.IntegrableOn f (⋃ i, s i) μ
⊢ HasSum (fun n => ∫ (x : X) in s n, f x ∂μ) (∫ (x : X) in ⋃ n, s n, f x ∂μ)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
h₁ : Antivary f₁ g
h₂ : Monovary f₂ g
⊢ Antivary (f₁ / f₂) g
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f g : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct g
p : (b : J) → f b ≅ g b
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproduct.mapIso p).inv = CategoryTheory.Limits.biproduct.map fun b => (p b).inv
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
c : CategoryTheory.Limits.Cone ((CategoryTheory.Pairwise.diagram U).op ⋙ F)
⊢ (TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquivUnitIsoApp F U c).hom.hom =
  𝟙 ((𝟭 (CategoryTheory.Limits.Cone ((CategoryTheory.Pairwise.diagram U).op ⋙ F))).obj c).pt
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]
h : -1 < r.re
⊢ ∀ (c : ℝ), ∫ (x : ℝ) in 0 ..c, ↑x ^ r = ↑c ^ (r + 1) / (r + 1) - 0 ^ (r + 1) / (r + 1)
x : ℝ
n : ℤ
⊢ CircleDeg1Lift.translate (Multiplicative.ofAdd x) ^ n = CircleDeg1Lift.translate (Multiplicative.ofAdd (↑n * x))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ (setToL1 hT') ↑f = (setToL1SCLM α E μ hT) f
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
h : l₁ ~ l₂
hc : Pairwise Commute l₁
⊢ l₁.prod = l₂.prod
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : AddMonoid R
⊢ closure IsSquare = SumSqIn R
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
f : α ≃ β
⊢ card β = card β
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x y : α
⊢ (y :: l).formPerm x = y ↔ (y :: l).formPerm x = (y :: l).formPerm ((y :: l).getLast ⋯)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
i : IsLimit c
Z : C
g : Y ⟶ Z
hg : Mono g
h : X ⟶ Z
hh : h = f ≫ g
s : KernelFork h
⊢ Fork.ι s ≫ h = (Fork.ι s ≫ 0) ≫ g
α : Type u_2
DecidableEq α
MulZeroClass α
s : Finset α
⊢ 0 * s ⊆ 0
R✝ : Type u_1
r : R✝
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
a b : S
h : IsNilpotent (a - b)
⊢ IsNilpotent (eval a (map (algebraMap R S) P) - eval b (map (algebraMap R S) P))