ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp a (b - m • p) = toIocMod hp a b
M : Type u_1
OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Monotone u
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ Finset.range (u n), f k ≤ ∑ k ∈ Finset.range (u 0), f k + ∑ k ∈ Finset.range n, (u (k + 1) - u k) • f (u k)
α : Type u_1
Zero α
One α
Add α
Neg α
⊢ ↑1 = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
CoalgebraStruct R A
⊢ ⇑(CoalgHom.id R A) = id
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
hab : ¬a.gcd b = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpa : p ∣ a.natAbs
hpb : p ∣ b.natAbs
⊢ False
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
hf : Differentiable ℂ f
c : F
hb : Tendsto f (cocompact E) (𝓝 c)
h_bdd : Bornology.IsBounded (range f)
c' : F
hc' : f = const E c'
⊢ f = const E c
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ μ₃ : MeasureTheory.Measure α
h1 : μ₁.AbsolutelyContinuous μ₂
h2 : μ₂.AbsolutelyContinuous μ₃
⊢ μ₁.AbsolutelyContinuous μ₃
J K : Type v
inst✝⁶ : SmallCategory J
inst✝⁵ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
inst✝³ : HasColimitsOfShape J C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape (J × K) C
inst✝ : HasColimitsOfShape (K × J) C
j : J
k : K
⊢ colimit.ι (F.flip.obj k) j ≫ colimit.ι (F.flip ⋙ colim) k ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F.flip).inv ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (uncurryObjFlip F)).hom ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (NatIso.ofComponents (fun x => Iso.refl ((F.obj x.2).obj x.1)) ⋯)).hom ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F).hom = colimit.ι (F.obj j) k ≫ colimit.ι (F ⋙ colim) j
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
m : ι → MeasurableSpace Ω
hm : ∀ (i : ι), m i ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ iCondIndep m' hm' m μ ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (f i)) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
x✝ y z a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => a ^ x) (a ^ x * log a) x
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictMono f
a b : α
⊢ f a < f b ↔ a < b
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : QuasiSeparated (f ≫ g)
𝒰 : Y.OpenCover := (Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun x => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj x).affineCover
this : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
⊢ ∀ (i : (((Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun x => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj x).affineCover).pullbackCover f).J), QuasiSeparatedSpace ↑↑((((Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun x => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj x).affineCover).pullbackCover f).obj i).toPresheafedSpace
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) c
i j : ι
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.KaroubiHomologicalComplexEquivalence.Inverse.obj K).X.d i j = (K.d i j).f
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : Measurable Y
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable ((Y ⁻¹' s).indicator fun ω => 1) μ
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0
n₁ : ℕ
h₁ : ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₁) ≤ F'.N n
n₂ : ℕ
h₂ : ∀ (n : ℕ), F'.N (n + n₂) ≤ F.N n
⊢ ∀ (n : ℕ), F.N (n + max n₁ n₂) ≤ F'.N n ∧ F'.N (n + max n₁ n₂) ≤ F.N n
X : Type u_1
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
OpensMeasurableSpace X
f : X →ᵇ ℝ≥0
μ : MeasureTheory.Measure X
⊢ (∫⁻ (x : X), ↑(f x) ∂μ).toReal = ∫ (x : X), ↑(f x) ∂μ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0
⊢ y ∈ ⇑(homothety x t) '' interior s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : LocallyCompactSpace α
inst✝¹ : CompactSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β → γ
x : α
U : Set α
hxU : U ∈ 𝓝 x
h : ContinuousOn (↿f) (U ×ˢ univ)
K : Set α
hxK : K ∈ 𝓝 x
hKU : K ⊆ U
hK : IsCompact K
this : UniformContinuousOn (↿f) (K ×ˢ univ)
⊢ TendstoUniformly f (f x) (𝓝 x)
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c d : α
h : a * (b / c) ≤ d
hc : 0 < c
⊢ b * a ≤ d * c
α : Type u
Ring α
x : α
n : ℕ
⊢ (1 - x) * ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i = 1 - x ^ n
a : Ordinal.{u_1}
ha : 0 < a
⊢ 0 < a
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : CochainComplex.HomComplex.Cocycle K F 1
β : CochainComplex.HomComplex.Cochain K G 0
eq : CochainComplex.HomComplex.δ 0 1 β + (↑α).comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (CochainComplex.mappingCone.lift φ α β eq)).comp
    (CochainComplex.mappingCone.snd φ) ⋯ =
  β
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
h✝ : ∀ t ∈ s✝, IsIntegralCurveAt γ v t
t : ℝ
ht : t ∈ s✝
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t
h : IsIntegralCurveOn γ v s
⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
n : ℕ
hn : hf.toFinset.card ≤ n
⊢ nth p n = 0
R : Type w
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
CommRing R'
Ring S'
Algebra R' S'
i : R ≃+* R'
j : S ≃+* S'
hc : (algebraMap R' S').comp i.toRingHom = j.toRingHom.comp (algebraMap R S)
⊢ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R S) = Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R' S')
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
DirectSum.GRing 𝒜
DirectSum.GRing ℬ
DirectSum.GAlgebra R 𝒜
DirectSum.GAlgebra R ℬ
a : ⨁ (i : ι), 𝒜 i
⊢ (TensorProduct.gradedComm R 𝒜 ℬ) (a ⊗ₜ[R] 1) = 1 ⊗ₜ[R] a
α : Type u_1
Fintype α
p : α → Prop
DecidablePred p
Fintype ↑{x | p x}
⊢ {x | p x}.toFinset = Finset.filter p Finset.univ
R : Type w₁
A : Type w₂
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
⊢ Algebra.FinitePresentation R A ↔ ∃ n I x, I.FG
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
⊢ (π₁ ⊓ π₂).iUnion = π₁.iUnion ∩ π₂.iUnion
α : Sort u_5
β : α → Type u_4
ne : ∀ (a : α), Nonempty (β a)
p : α → Prop
⊢ Function.Surjective fun f => Subtype.restrict p f
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k✝ k : Set G
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure k) }
x : G
hx : x ∈ ↑(closure k)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
⊢ ⟨1, ⋯⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' k)
R' : Type u
S' : Type v
T' : Type w
CommSemiring R'
CommSemiring S'
CommSemiring T'
Algebra R' S'
Algebra S' T'
⊢ ⇑(algebraMap R'[X] (S' → T')) = fun p z => (algebraMap S' T') ((Polynomial.aeval z) p)
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
⊢ s.min' H ∈ s
α : Type u
Preorder α
OrderTop α
⊢ IsGreatest Set.univ ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
⊢ factors (span {0}) = Multiset.map (fun q => span {q}) (factors 0)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ o.oangle x z - o.oangle y z = o.oangle x y
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
⊢ Set.range ⇑((Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯)) (ContinuousMapZero.toContinuousMapHom f)) = Set.range ⇑f
x y : ℕ
hyx : y < x
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hneven : Even n
⊢ padicValNat 2 (x ^ n - y ^ n) + 1 = padicValNat 2 (x + y) + padicValNat 2 (x - y) + padicValNat 2 n
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
k : α
lin_0 : ∀ (u : K →+* ℂ), ∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r)) = 0
this : 0 = ∑ u : K →+* ℂ, (∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r))) * (NumberField.house.newBasis K) u
⊢ 0 = (a *ᵥ NumberField.house.ξ K x) k
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => f x - g x) (f' - g') x
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝ : GroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α
⊢ |f x - f y| ≤ f (x / y)
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
f : Y → Z
s : Set Y
x : Y
h : x ∈ e.target
⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (f ∘ ↑e) (↑e ⁻¹' s) (↑e.symm x)
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
p₀ p₁ : P1 × P2
c : k
⊢ ((AffineMap.lineMap p₀ p₁) c).2 = (AffineMap.lineMap p₀.2 p₁.2) c
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
F G : Type u → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulBitraversable t
LawfulApplicative F
LawfulApplicative G
α₀ α₁ β₀ β₁ : Type u
f : α₀ → F α₁
f' : β₀ → G β₁
⊢ Functor.Comp.mk ∘ Functor.map (Bitraversable.tfst f) ∘ Bitraversable.tsnd f' =
  bitraverse (Functor.Comp.mk ∘ pure ∘ f) (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map pure ∘ f')
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R : ℝ
c x : P
⊢ inversion c (dist c x) x = x
a✝ b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
a : α
b : ℤ
nb : ℕ
num : ℤ
den : ℕ
pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : IsRat (a ^ nb)⁻¹ num den
⊢ IsRat (a ^ b) num den
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
x : 𝕜
h : HasFPowerSeriesAt 0 p x
⊢ p = 0
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ Metric.closedBall x ε \ Metric.ball x ε = Metric.sphere x ε
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
Zero β
f : α → β
⊢ HasCompactSupport f ↔ f =ᶠ[Filter.coclosedCompact α] 0
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonUnitalNonAssocCommSemiring R
⊢ inst₁ = inst₂ ↔ HAdd.hAdd = HAdd.hAdd ∧ HMul.hMul = HMul.hMul
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝¹ : Bornology α
s t : Set α
x✝ : α
h : ∀ x ∈ s, IsBounded s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ IsBounded s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀
x : α
hx : ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (ball x V ∩ s).Nonempty
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
a✝ : SymmetricRel V
z : α
hz : z ∈ ball x (V₁ ∩ V)
hz' : z ∈ s
hy : z ∈ ball x V₁
hy' : z ∈ s
⊢ (x, z) ∈ V
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t u v : Set α
⊢ s ⊻ t ⊻ (u ⊻ v) = s ⊻ u ⊻ (t ⊻ v)
R : Type u
a b : R
Ring R
⊢ Polynomial.C (a - b) = Polynomial.C a - Polynomial.C b
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
ι : Type u_3
SemilatticeInf ι
Nonempty ι
u : ι → X
i₀ : ι
h : ∀ i ≤ i₀, u i = x
⊢ Filter.Tendsto u Filter.atBot (𝓝 x)
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : IsCancelMul G
h : ∀ (g : G), orderOf g ∣ 2
a b : G
⊢ Commute a b
n : ℕ
⊢ n.centralBinom ≠ 0
G : Type u_1
CommGroup G
⊢ Monoid.IsTorsionFree (G ⧸ CommGroup.torsion G)
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
⊢ (match p x with | true => x :: takeWhile p l.reverse | false => []).reverse = if p x = true then (takeWhile p l.reverse).reverse ++ [x] else []
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
l : List (Perm α)
h0 : l.prod = σ
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
hl : l.Nodup
⊢ (↑l.toFinset).Pairwise Disjoint
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
TopologicalSpace α
SecondCountableTopology α
s : Set α
hs : μ s ≠ 0
⊢ ∃ x ∈ s, ∀ t ∈ 𝓝[s] x, 0 < μ t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
x : E
hs : s ∈ K.faces
⊢ (convexHull 𝕜) ↑s = (convexHull 𝕜) ↑s
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
h₁ : ∀ (k : I), ((f.sum fun i y => (a i) k • b.repr y).sum fun j z => z • b j ⊗ₜ[R] b k) = f.sum fun i y => (b.repr y).sum fun j z => (a i) k • z • b j ⊗ₜ[R] b k
h₂ : ∀ (x : S), ∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a = x
i : I
hi : i ∈ f.support
⊢ ∀ x ∈ (a i).support, ((a i) x • f i) ⊗ₜ[R] b x = ((a i) x • f i) ⊗ₜ[R] b x
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix n n R
h : Fintype.card n = 1
k : n
⊢ A.det = A k k
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n i j k i' j' k' : ℤ
hi : n + i = i'
hj : n + j = j'
hk : n + k = k'
X : CochainComplex C ℤ
⊢ ((CochainComplex.shiftShortComplexFunctor' C n i j k i' j' k' hi hj hk).hom.app X).τ₁ =
  n.negOnePow • (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).hom
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : SecondCountableTopology V
μ : Measure V
hf : Integrable f μ
hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W
F : W → V → E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • f v
F' : W → V → W →L[ℝ] E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • fourierSMulRight L f v
B : V → ℝ := fun v => 2 * π * ‖L‖ * ‖v‖ * ‖f v‖
h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ
⊢ HasFDerivAt (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w) w
α : Type u
β : Type u_1
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ
⊢ (b - 1) * ∑ i ∈ range (n + 1), a / b ^ i ≤ a * b
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
c : ℝ
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
h : Asymptotics.IsBigOWith c l (fun x => (f' x, g' x)) k'
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c l f' k'
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p : P
v : V
⊢ dist (s.secondInter p v) s.center = dist p s.center
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.offDiag = {x | x ∈ s ×ˢ s ∧ x.1 ≠ x.2}
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
hg : StrictAnti g
hf : StrictAntiOn f s
⊢ StrictMonoOn (g ∘ f) s
z : ℂ
⊢ z * (starRingEnd ℂ) z = ↑‖z‖ ^ 2
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
m : α → β
n : β → α
h₁ : m ∘ n = id
h₂ : n ∘ m = id
⊢ Filter.map m f = Filter.comap n f
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] ι →₀ R
⊢ b.repr = f ↔ ∀ (i : ι), f (b i) = Finsupp.single i 1
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
⊢ (s ×ˢ t).Finite ↔ (s.Finite ∨ t = ∅) ∧ (t.Finite ∨ s = ∅)
f : ℕ → ℕ → ℕ
hf : Primrec' fun v => f v.head v.tail.head
n : ℕ
g h : Vector ℕ n → ℕ
hg : Primrec' g
hh : Primrec' h
⊢ Primrec' fun v => f (g v) (h v)
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s t : Set α
⊢ (∀ (i : Bool), TotallyBounded (bif i then s else t)) ↔ TotallyBounded s ∧ TotallyBounded t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
DecidableEq ι
FiniteDimensional 𝕜 E
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
⊢ DirectSum.IsInternal V ↔ (iSup V)ᗮ = ⊥
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
h𝒜₁ : 𝒜.Nonempty
h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜
⊢ univ ∉ 𝒜ᶜˢ
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace ℝ F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
MeasurableSpace G
NormedAddCommGroup G
BorelSpace G
NormedSpace 𝕜 G
μ : MeasureTheory.Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
n : ℕ∞
hcg : HasCompactSupport g
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 n g
⊢ ContDiff 𝕜 n (MeasureTheory.convolution f g L μ)
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
b₁ b₂ : β i
⊢ DFinsupp.single i (b₁ + b₂) = DFinsupp.single i b₁ + DFinsupp.single i b₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P
⊢ CategoryTheory.IsIso (J.toPlus P)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
hc : S.Countable
hcomp : ∀ s ∈ S, IsCompact s
⊢ IsSigmaCompact (⋃₀ S)
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hg : g.IsClosable
h : f ≤ g
⊢ f.closure ≤ g.closure
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : ¬c.Rel i j
⊢ HomologicalComplex.homotopyCofiber.d φ i j = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
l : List α
f : α → β
h : a ∈ l
⊢ f a ∈ List.map f l
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
r s : (InducedCategory (Opens (PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)))) basicOpen)ᵒᵖ
f : r ⟶ s
⊢ toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen (unop r)) ≫ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val).map f ≫ (fun r => X.toΓSpecCApp (unop r)) s = toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen (unop r)) ≫ (fun r => X.toΓSpecCApp (unop r)) r ≫ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.𝒪).val).map f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : ↥(Lp E p μ)
⊢ edist f g = ENNReal.ofReal (dist f g)
α : Type u
β : Type u_1
l : List α
f : α → β
⊢ List.map (fun x => (x, f x)) l = l.zip (List.map f l)
self : TopCat.GlueData.MkCore
i : self.J
⊢ ⇑(self.t i i) = id
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X
i : ι
hi : x ∈ K i
R : ℝ≥0∞
hR₀ : 0 < R
hR : closedBall x R ⊆ U i
⊢ ∀ᶠ (p : ℝ≥0∞ × X) in 𝓝 0 ×ˢ 𝓝 x, closedBall p.2 p.1 ⊆ U i
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
⊢ Memℒp (fun x => c) p μ ↔ eLpNorm (fun x => c) p μ < ⊤
R : Type u_2
K : Type ?u.69654
L : Type ?u.69657
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x✝ : S
hx : IsIntegral R x✝
x : S
i : ℕ
H : (minpolyDiv R x).coeff i ∉ Algebra.adjoin R {x}
this : ∀ (j : ℕ), (minpolyDiv R x).coeff (i + j) ∉ Algebra.adjoin R {x}
⊢ 0 ∈ Algebra.adjoin R {x}
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
b : α
h : Antitone f
⊢ f '' Set.Iic b ⊆ Set.Ici (f b)
n i : ℕ
⊢ 2 ^ i &&& n = 2 ^ i * (n.testBit i).toNat
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
g : N → N'
r : Set N
y : N
hf : ContMDiffAt I I' n f x
hg : ContMDiffAt J J' n g y
⊢ ContMDiffAt (I.prod J) (I'.prod J') n (Prod.map f g) (x, y)