ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R✝ : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
R : Type u_14
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : DistribMulAction R α
x : R
M : o → Matrix m n α
i✝ : m × o
j✝ : n × o
⊢ (if i✝.2 = j✝.2 then x • M i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0) = x • if i✝.2 = j✝.2 then M i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ StableUnderSpecialization s ↔ ⋃ x ∈ s, closure {x} = s
α : Type u
Preorder α
Nonempty α
NoMaxOrder α
⊢ ∃ f, StrictMono f
I : Type u
f : I → Type v
γ : Type w
Nonempty I
(i : I) → NonUnitalNonAssocSemiring (f i)
NonUnitalNonAssocSemiring γ
g : (i : I) → γ →ₙ+* f i
hg : ∀ (i : I), Function.Injective ⇑(g i)
⊢ Function.Injective ⇑(Pi.nonUnitalRingHom g)
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
self : Coalgebra R A
⊢ LinearMap.rTensor A Coalgebra.counit ∘ₗ Coalgebra.comul = (TensorProduct.mk R R A) 1
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ Subalgebra.toSubmodule ⊥ = 1
a b : Ordinal.{u_1}
h : a < b
⊢ a.toPGame = b.toPGame.moveLeft (toLeftMovesToPGame ⟨a, h⟩)
α : Type u
f g : Filter α
hf : f.NeBot
hg : f ≤ g
⊢ g.NeBot
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T3Space X
x y : X
h : x ≠ y
U₁ U₂ : Set X
U₁_op : IsOpen U₁
U₂_op : IsOpen U₂
x_in : x ∈ U₁
y_in : y ∈ U₂
H : Disjoint U₁ U₂
V₁ : Set X
V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 x
V₁_closed : IsClosed V₁
h₁ : V₁ ⊆ U₁
V₂ : Set X
V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 y
V₂_closed : IsClosed V₂
h₂ : V₂ ⊆ U₂
⊢ ∃ U₁ ∈ 𝓝 x, ∃ V₁ ∈ 𝓝 x, ∃ U₂ ∈ 𝓝 y, ∃ V₂ ∈ 𝓝 y, IsClosed V₁ ∧ IsClosed V₂ ∧ IsOpen U₁ ∧ IsOpen U₂ ∧ V₁ ⊆ U₁ ∧ V₂ ⊆ U₂ ∧ Disjoint U₁ U₂
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hAB : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
hA : A.Nonempty
n : ℕ
ih : ↑(A * B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card
⊢ ↑(A * B ^ (n + 1)).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (n + 1) * ↑A.card
δ : Type u_1
π : δ → Type u_3
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
∀ (i : δ), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
DecidableEq δ
s : Finset δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ Measurable (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ)
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
Finite ι
(i : ι) → LinearOrder (π i)
(i : ι) → TopologicalSpace (π i)
∀ (i : ι), OrderTopology (π i)
a b x : (i : ι) → π i
Nonempty ι
ha : ∀ (i : ι), a i < x i
hb : ∀ (i : ι), x i < b i
⊢ Set.Ico a b ∈ 𝓝 x
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ G.CliqueFree m → G.CliqueFree n
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass M'
MulOneClass N'
f : M →* M'
g : N →* N'
⊢ (Monoid.Coprod.swap M' N').comp (Monoid.Coprod.map f g) = (Monoid.Coprod.map g f).comp (Monoid.Coprod.swap M N)
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
e : Sym2 V
p : G.Path v v
⊢ e ∉ (↑p).edges
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => (ν (Prod.mk x ⁻¹' s)).toReal) μ
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
r : ι → F
f : F[X]
hvs : Set.InjOn v ↑s
⊢ (f.degree < ↑s.card ∧ ∀ i ∈ s, Polynomial.eval (v i) f = r i) ↔ f = (Lagrange.interpolate s v) r
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
x : α
r : ℝ
hr : 0 < r
K : ℝ
h : ∀ (y : α), dist y x < r → dist (f y) (f x) ≤ K * dist y x
⊢ ContinuousAt f x
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x₁ x₂ : Filter α
y₁ y₂ : Filter β
h₁ : Filter.Tendsto f x₁ y₁
h₂ : Filter.Tendsto f x₂ y₂
⊢ Filter.Tendsto f (x₁ ⊔ x₂) (y₁ ⊔ y₂)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
p : TangentBundle I M
⊢ (tangentMapWithin I I' f s p).proj = f p.proj
α : Type u
β : Type v
𝕜 : Type u_2
PseudoMetricSpace 𝕜
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
Semiring 𝕜
AddCommMonoid β
Module 𝕜 β
BoundedSMul 𝕜 β
BoundedAdd β
ContinuousAdd β
x : α
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ (BoundedContinuousFunction.evalCLM 𝕜 x) f = f x
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hF_meas : AEMeasurable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
g : ℕ → α → ℝ≥0∞
gmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)
gf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n
hg : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g n a ∂μ
g' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun t => Nat.rec (motive := fun x => α → ℝ≥0∞) (g 0) (fun n I x => max (g (n + 1) x) (I x)) t
M : ∀ (n : ℕ), Measurable (g' n)
I : ∀ (n : ℕ) (x : α), g n x ≤ g' n x
I' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), g' n x ≤ f n x
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
α : Type u
β : Type v
f : α → β
⊢ FreeMagma.toFreeSemigroup.comp (FreeMagma.map f) = (FreeSemigroup.map f).comp FreeMagma.toFreeSemigroup
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
q : Seminorm 𝕜 E
ε : ℝ
C : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), (∀ i ∈ s, (p i) x < ε) → ∀ j ∈ s, ε / ‖c‖ ≤ (p j) x → q x ≤ (C • p j) x
x : E
j : ι
hj : j ∈ s
hjx : (p j) x ≠ 0
this : (s.sup p) x ≠ 0
y : E
hle : ε / ‖c‖ ≤ (s.sup p) y
hlt : (s.sup p) y < ε
i : ι
hi : i ∈ s
hiy : (s.sup p) y = (p i) y
⊢ q y ≤ C • (p i) y
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
M : Matroid α
inst✝ : M.InfiniteRk
h : M.FiniteRk
⊢ False
f✝ f g : ℝ → ℝ
hg✝ : GrowsPolynomially g
hf : f =Θ[atTop] g
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_pos : 0 < b
c₁ : ℝ
hc₁_pos : 0 < c₁
hf_lb : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, c₁ * ‖g x‖ ≤ ‖f x‖
c₂ : ℝ
hc₂_pos : 0 < c₂
hf_ub : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖f x‖ ≤ c₂ * ‖g x‖
c₃ : ℝ
hc₃_pos : 0 < c₃
c₄ : ℝ
hc₄_pos : 0 < c₄
hg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => ‖g x‖) u ∈ Set.Icc (c₃ * (fun x => ‖g x‖) x) (c₄ * (fun x => ‖g x‖) x)
h_lb_pos : 0 < c₁ * c₂⁻¹ * c₃
h_ub_pos : 0 < c₂ * c₄ * c₁⁻¹
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * c₂⁻¹ * c₃ * f x) (c₂ * c₄ * c₁⁻¹ * f x)
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.22527, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c.symm
x✝⁴ x✝³ x✝² : ι
x✝¹ : c.Rel x✝⁴ x✝³
x✝ : c.Rel x✝³ x✝²
⊢ (fun i j => (X.d j i).unop) x✝⁴ x✝³ ≫ (fun i j => (X.d j i).unop) x✝³ x✝² = 0
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
f g : AdicCompletion.AdicCauchySequence I M
⊢ ↑(f + g) n = ↑f n + ↑g n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)
⊢ HasSum f r
B : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor B (CategoryTheory.Functor C D)
h : F₁.flip = F₂.flip
⊢ F₁ = F₂
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
n : ℕ
h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom
k : ℕ
hk : n + 1 = 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h * k
hpn : 2 ∣ k
⊢ 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h * 2 ∣ 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h * k
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
m n : ℤ
⊢ f * T m * T n = f * T (m + n)
α : Type u
β : Type v
a : α
f : α → Stream'.WSeq β
⊢ (Stream'.WSeq.ret a).bind f ~ʷ f a
p q : Prop
⊢ (¬(p ∧ q)) = (¬p ∨ ¬q)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : Zero γ
c : α
f : β → γ
x : β
⊢ (x ∈ support fun x => f (c⁻¹ • x)) ↔ x ∈ c • support f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
sm : CategoryTheory.SplitMono f
⊢ CategoryTheory.IsSplitMono f
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
Ring A
Algebra R A
f : CliffordAlgebra.EvenHom Q A
m₁ m₂ : M
⊢ ((CliffordAlgebra.even.lift Q) f) (((CliffordAlgebra.even.ι Q).bilin m₁) m₂) = (f.bilin m₁) m₂
K : Type u_3
Field K
p : K[X]
⊢ UniqueFactorizationMonoid.factors (Ideal.span {p}) =
  Multiset.map (fun q => Ideal.span {q}) (UniqueFactorizationMonoid.factors p)
α : Type u_1
l : List α
p : α → Bool
q : Bool
⊢ (q && l.any p) = l.any fun a => q && p a
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N
⊢ LinearMap.range ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) ≤ iSup p
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : AddMonoid M
S : Finset R[M]
hS : adjoin R ↑S = ⊤
this : DecidableEq M := Classical.decEq M
⊢ adjoin R (of' R M '' ↑(S.biUnion fun f => f.support)) = ⊤
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e e' : A ≃ₐc[R] B
⊢ e = e' ↔ ∀ (x : A), e x = e' x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : HasShift D ℤ
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : HasZeroObject D
inst✝⁹ : Preadditive C
inst✝⁸ : Preadditive D
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : F.IsTriangulated
inst✝¹ : (F.mapComposableArrows 2).EssSurj
inst✝ : IsTriangulated C
Y₁ Y₂ Y₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : D
u₁₂ : Y₁ ⟶ Y₂
u₂₃ : Y₂ ⟶ Y₃
u₁₃ : Y₁ ⟶ Y₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : Y₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : Y₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : Y₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
X₁ X₂ X₃ : C
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
e : (F.mapComposableArrows 2).obj (ComposableArrows.mk₂ f g) ≅ ComposableArrows.mk₂ u₁₂ u₂₃
w✝⁸ : C
w✝⁷ : X₂ ⟶ w✝⁸
w✝⁶ : w✝⁸ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂' : Triangle.mk f w✝⁷ w✝⁶ ∈ distinguishedTriangles
w✝⁵ : C
w✝⁴ : X₃ ⟶ w✝⁵
w✝³ : w✝⁵ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃' : Triangle.mk g w✝⁴ w✝³ ∈ distinguishedTriangles
w✝² : C
w✝¹ : X₃ ⟶ w✝²
w✝ : w✝² ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃' : Triangle.mk (f ≫ g) w✝¹ w✝ ∈ distinguishedTriangles
⊢ Nonempty (Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃)
o₁ o₂ : Ordinal.{u_3}
⊢ o₁ + Order.succ o₂ = Order.succ (o₁ + o₂)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
X : C
f : X ⟶ s.pt
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cones.extend s f).hom = f
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ : α
z a : ℤ
⊢ a ≤ ⌊↑z⌋ ↔ a ≤ z
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
SemilatticeInf β
ContinuousInf β
ι : Type u_4
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → C(α, β)
a : α
⊢ (s.inf' H f) a = s.inf' H fun i => (f i) a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ f g : ι →₀ α
s✝ : Finset ι
hf : f.support ⊆ s✝
h : ∀ i ∈ s✝, f i ≤ g i
s : ι
⊢ f s ≤ g s
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
p : β × γ → Prop
hp : MeasurableSet {x | p x}
h : (κ a) {a_1 | ¬(η (a, a_1)) {a | ¬p (a_1, a)} = 0} = 0
⊢ MeasurableSet {a | ¬p a}
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : FiniteDimensional k V
p : ι → P
a✝ : Nontrivial ι
inhabited_h : Inhabited ι
hi : LinearIndependent k fun i => p ↑i -ᵥ p default
this : IsNoetherian k V := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
⊢ _root_.Finite ι
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
y : FractionRing B
hy : y ∈ I
⊢ (algebraMap K L).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).toRingEquiv).comp (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B))
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
⊢ 0 < Module.rank R M ↔ ∃ x, x ≠ 0
a x✝ z x : ℂ
hr : 0 < x.re
hi : x.im = 0
⊢ (if 0 ≤ x.re then -Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ -x.im then Real.arcsin (x.im / abs x) + π else Real.arcsin (x.im / abs x) - π) = if x.re < 0 ∧ x.im = 0 then π else -if 0 ≤ x.re then Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ x.im then -Real.arcsin (x.im / abs x) + π else -Real.arcsin (x.im / abs x) - π
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
Zero R
One R
DecidableEq α
DecidableRel G.Adj
a : α
e : Sym2 α
⊢ SimpleGraph.incMatrix R G a e = if e ∈ G.incidenceSet a then 1 else 0
x : ℝ
f : CauSeq ℚ abs
⊢ (∃ i, ∀ j ≥ i, x ≤ ↑(↑f j)) → x ≤ Real.mk f
R : Type u_1
M : Type u_2
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
R₃ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : Ring R₂
inst✝⁸ : Ring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : M₂ →ₗ[R₂] M₂ ⧸ range f), u.comp f = v.comp f → u = v
⊢ range f = ⊤
a b : Int
Ha : 0 ≤ a
Hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a.fdiv b
B : Type u_1
B' : Type u_2
M : CoxeterMatrix B
e : B ≃ B'
⊢ (CoxeterMatrix.reindex e M).relationsSet = ⇑(FreeGroup.freeGroupCongr e) '' M.relationsSet
α : Type
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : Dioph.DiophFn f
dg : Dioph.DiophFn g
⊢ Dioph {v | f v < g v}
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
IsGalois F E
x : E
⊢ Polynomial.Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
AddCommGroup Q
Module R Q
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : TensorProduct R N Q
⊢ (rTensor.inverse Q hfg hg) ((LinearMap.rTensor Q g) y) = Submodule.Quotient.mk y
α β : Type u
f : α → β
s : Set α
hf : Function.Injective f
⊢ Cardinal.mk ↑(f '' s) = Cardinal.mk ↑s
α : Type u
β : Set α
γ : Set ↑β
⊢ (do
    let a ← γ
    pure ↑a) ⊆
  β
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
p : E
⊢ (reflection K) ((reflection K) p) = p
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
this✝ : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ)
this : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑↑(n + 1) ^ 2 * τ) + cexp (↑π * I * ↑(-↑(n + 1)) ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ + cexp (↑π * I * ↑0 ^ 2 * τ) - ∑ i ∈ Finset.range 1, (cexp (↑π * I * ↑↑i ^ 2 * τ) + cexp (↑π * I * ↑(-↑i) ^ 2 * τ)))
⊢ HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)) ((jacobiTheta τ - 1) / 2)
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : CancelCommMonoid α
s t : Finset ι
f : ι → α
⊢ (∏ i ∈ t \ s, f i) * ∏ i ∈ s, f i = (∏ i ∈ s \ t, f i) * ∏ i ∈ t, f i
α : Type u_1
CompleteSemilatticeInf α
a : α
⊢ sInf {a} = a
G : Type u_2
AddGroup G
S₁ S₂ : AddSubgroup G
⊢ (S₁ ⊔ S₂).op = S₁.op ⊔ S₂.op
a b n : ℕ
⊢ (if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else a.factorization.prod fun p k => p ^ (k / n)) = if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else (a.factorization ⌊/⌋ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1
M : Type u_1
Monoid M
a : Mᵈᵐᵃ
n : ℕ
⊢ DomMulAct.mk.symm (a ^ n) = DomMulAct.mk.symm a ^ n
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Finite ι
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsCountablySpanning (C i)
⊢ MeasurableSpace.pi = MeasurableSpace.generateFrom (Set.univ.pi '' Set.univ.pi C)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
x : α
⊢ insert (f x) (f '' {x}ᶜ) = range f
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
⊢ s ∪ t ∈ f ↔ s ∈ f ∨ t ∈ f
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : E
K : Type u
Field K
Algebra F K
h : IsIntegral F α
x : { x // x ∈ (minpoly F α).aroots K }
⊢ ((IntermediateField.algHomAdjoinIntegralEquiv F h).symm x) (IntermediateField.AdjoinSimple.gen F α) = ↑x
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
CauSeq.IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
⊢ (-f).lim = -f.lim
k : ℤ
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ (fun x => x ^ k) =o[Filter.atTop] fun x => rexp (b * x)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ
⊢ (f =o[l] fun x => ‖g' x‖) ↔ f =o[l] g'
X Y : CommGrp
i : X ≅ Y
a : ↑Y
⊢ i.commGroupIsoToMulEquiv.symm a = i.inv a
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p✝ : α → Prop
f : β → α
p : ℝ≥0∞
hμs : p < μ s
s_mble : MeasurableSet s
⊢ 1 - μ s < 1 - p
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g : α → E
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ i ∈ s, Memℒp (f i) p μ
⊢ Memℒp (∑ i ∈ s, f i) p μ
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
J₁ J₂ : LieIdeal R L'
⊢ ⁅LieIdeal.comap f J₁, LieIdeal.comap f J₂⁆ ≤ LieIdeal.comap f ⁅J₁, J₂⁆
α : Type u_1
OrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : { r // 0 ≤ r }
⊢ ⌊↑a⌋₊ = ⌊a⌋₊
α : Type u_1
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Multiset.card (Multiset.Ico a b) = Multiset.card (Multiset.Icc a b) - 1
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(sin y) * ↑(cos y) ^ (n - 1)) (↑(cos x) ^ n - (↑n - 1) * ↑(sin x) ^ 2 * ↑(cos x) ^ (n - 2)) x
⊢ IntervalIntegrable (fun x => Complex.sin (2 * z * ↑x)) volume 0 (π / 2)
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
K : Type u_2
inst✝ : DivisionRing K
q : ℚ≥0
⊢ ↑(↑q.num / ↑q.den).num / ↑(↑q.num / ↑q.den).den = ↑q.num / ↑q.den
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
hU : IsAffineOpen U
⊢ (∀ (U_1 : ↑(↑(f ⁻¹ᵁ U)).affineOpens), P (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ ⊤) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ ↑U_1) ⋯)) ↔ ∀ (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ U), P (Hom.appLE f U (↑V) e)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
y : E
⊢ ↑(HasStrictFDerivAt.implicitToPartialHomeomorphOfComplemented f f' hf hf' hker) y =
  (f y, (Classical.choose hker) (y - a))
α : Type u
l✝ l' l : List α
k : ℕ
this : (l.rotate k).cyclicPermutations.length = (l.cyclicPermutations.rotate k).length
⊢ (l.rotate k).cyclicPermutations = l.cyclicPermutations.rotate k
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ E
InnerProductSpace ℝ F
f : E → F
x : E
h : ConformalAt f x
u v : E
⊢ ⟪(fderiv ℝ f x) u, (fderiv ℝ f x) v⟫_ℝ = conformalFactorAt h * ⟪u, v⟫_ℝ
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s : Finset γ
g : γ → α
⊢ (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, g x = g y → x = y) → ∑ x ∈ Finset.image g s, f x = ∑ x ∈ s, f (g x)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
e : F ≅ G
F.IsEquivalence
⊢ G.IsEquivalence
x : ℝ
⊢ ↑(1 ^ x) = ↑1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : β), AEMeasurable (f i) μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ s, ∑ i ∈ s, f i a ∂μ = ⨆ s, ∑ i ∈ s, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
ι : Type u_1
Nonempty ι
Fintype ι
b : ι → V
lin_ind : LinearIndependent K b
card_eq : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank K V
⊢ Submodule.span K (Set.range b) = ⊤
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x y : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ (x + y).coeff n = WittVector.peval (WittVector.wittAdd p n) ![x.coeff, y.coeff]
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
Group α
MulAction α β
s t : Finset β
a : α
⊢ s ⊆ a • t ↔ a⁻¹ • s ⊆ t
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
NonUnitalNonAssocSemiring B
NonUnitalNonAssocSemiring C
Module R A
Module R B
Module R C
S : NonUnitalSubalgebra R A
g : B →ₙₐ[R] C
f : A →ₙₐ[R] B
⊢ NonUnitalSubalgebra.map g (NonUnitalSubalgebra.map f S) = NonUnitalSubalgebra.map (g.comp f) S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.ConcreteCategory C
J : Type w
F : J → C
CategoryTheory.Limits.HasProduct F
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Discrete.functor F) (CategoryTheory.forget C)
x : (CategoryTheory.forget C).obj (∏ᶜ F)
j : J
⊢ (CategoryTheory.Limits.Concrete.productEquiv F) x j = (CategoryTheory.Limits.Pi.π F j) x
α : Type u_3
CommMonoid α
a : α
⊢ {a}.prod = a
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
⊢ ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel (κ.withDensity f)
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul G G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
c b : G
⊢ (IsometryEquiv.divLeft c) b = c / b
A : Type u_1
B : Type u_2
DecidableEq A
Zero B
a : A
b : B
⊢ Function.support (Pi.single a b) ⊆ {a}
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ Submodule.map (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (kerTotal R A) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1) = Submodule.restrictScalars A (kerTotal S B)