ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
n : σ
f g : MvPolynomial σ R
⊢ degreeOf n (f + g) ≤ max (degreeOf n f) (degreeOf n g)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => -x) a = -a
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : K' ⟶ L'
e : Arrow.mk φ ≅ Arrow.mk φ'
inst✝³ : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝² : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), K'.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), L'.HasHomology i
⊢ QuasiIso φ ↔ QuasiIso φ'
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
a : α
inst✝ : (𝓝[>] a).NeBot
this : Nonempty ↑(Ioi a)
⊢ (𝓝ˢ (Iic a)).HasBasis (fun x => a < x) Iic
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (f + g) μ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i✝ j : ι
v r r' : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
⊢ eval (v i) (∑ i ∈ s, (interpolate (insert i (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v i) = r i
K : Type u_1
LinearOrderedField K
FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
⊢ (GenContFract.of v).Terminates ↔ (GenContFract.of q).Terminates
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f g : CompleteLatticeHom α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
c : MeasureTheory.ComplexMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ MeasureTheory.Integrable (c.rnDeriv μ) μ
x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < 1
⊢ Real.exp x < 1 / (1 - x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
F : ι → α → ℝ≥0∞
f bound : α → ℝ≥0∞
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, Measurable (F n)
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a
h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
k : ℕ
h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => Measurable (F n)) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a) x}
⊢ ∀ (n : ℕ), F (x (n + k)) ≤ᶠ[ae μ] ?intro.refine_1
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝¹ : ConnectedSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : Surjective f
hf' : Continuous f
⊢ IsConnected (range f)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : r₁ ≤ r₂
h : ¬r₁ = 0
⊢ (lineMap x (r₂ • v +ᵥ x)) (r₁ / r₂) = r₁ • v +ᵥ x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι' : Type u_9
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
NontriviallyNormedField 𝕜₂
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
Nonempty ι'
κ : Type u_10
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι'
UniformSpace E
UniformAddGroup E
u : UniformSpace F
hu : UniformAddGroup F
hq : WithSeminorms q
ContinuousSMul 𝕜 E
f : κ → E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) ↔ ∀ (i : ι'), ∃ p, Continuous ⇑p ∧ ∀ (k : κ), (q i).comp (f k) ≤ p
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
⊢ (∑ p ∈ antidiagonal n, bernoulli' p.1 / ↑p.1! * ((↑p.2 + 1) * ↑p.2!)⁻¹) * ↑n ! = 1
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ 𝟙 W ⊗ g ≫ h = (𝟙 W ⊗ g) ≫ (𝟙 W ⊗ h)
α : Type u_1
LE α
S : Set (LowerSet α)
⊢ ↑(sSup S) = ⋃ s ∈ S, ↑s
R : Type u
CommSemigroup R
StarMul R
x y : R
⊢ star (x * y) = star x * star y
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
V : ℕ → Set (X × X)
hV : (𝓤 X).HasAntitoneBasis V
W : ℕ → Set (X × X)
hW : ∀ (n : ℕ), W n ∈ 𝓤 X
hWV : ∀ (n : ℕ), W n ○ W n ⊆ V n
hWV' : ∀ (n : ℕ), W n ⊆ V n
t : ℕ → Set X
ht_anti : Antitone t
htl : ∀ (n : ℕ), t n ∈ l
htW : ∀ (n : ℕ), t n ×ˢ t n ⊆ W n
hts : ∀ (n : ℕ), t n ⊆ s
u : ℕ → X
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t n
huc : CauchySeq u
⊢ ∃ x ∈ s, l ≤ 𝓝 x
α : Type u_2
M : Type u_4
LE M
One M
s : Set α
f g : α → M
hfg : ∀ a ∈ s, f a ≤ g a
hf : ∀ a ∉ s, f a ≤ 1
⊢ f ≤ s.mulIndicator g
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
l : Filter α
s : Set α
x✝ : ∃ i, {s | #↑s < c} i ∧ iᶜ ⊆ s
_t : Set α
htf : {s | #↑s < c} _t
hts : _tᶜ ⊆ s
this : #↑sᶜ < c
⊢ s ∈ cocardinal α hreg
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ L : A
⊢ (baseChange W B).toAffine.addX (f x₁) (f x₂) (f L) = (baseChange W B).toAffine.addX (f.toRingHom x₁) (f.toRingHom x₂) (f.toRingHom L)
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
hc : G.chromaticNumber = ⊤
⊢ ↑s.card ≤ G.chromaticNumber
x y : SetTheory.PGame
ih :
  ∀ (a : Surreal.Multiplication.Args),
    Surreal.Multiplication.ArgsRel a (Surreal.Multiplication.Args.P1 x y) → Surreal.Multiplication.P124 a
⊢ Surreal.Multiplication.IH1 y x
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderTop α
a : α
⊢ IsSimpleOrder ↑(Set.Ici a) ↔ IsCoatom a
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] g
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I B : Set α⦄,
    Indep I →
      I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | Indep I} →
        B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | Indep I} → ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
indep_bdd : ∃ n, ∀ (I : Set α), Indep I → I.encard ≤ ↑n
⊢ (IndepMatroid.ofBdd E Indep indep_empty indep_subset indep_aug subset_ground indep_bdd).E = E
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a c✝ d c : α
⊢ a ≤ a * c
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u4
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ ExteriorAlgebra.ιInv ∘ₗ (ExteriorAlgebra.map f).toLinearMap = f ∘ₗ ExteriorAlgebra.ιInv
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
⊢ 0 ≤ a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 + a.imK ^ 2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (μ.restrict s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
this : ∀ᵐ (t : G) ∂μ.restrict s, ‖(L (f t)) (g (x₀ - t))‖ ≤ s.indicator (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g ↑i‖) t
⊢ IntegrableOn (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) s μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι ι' : Type u
r : ι → ι → Prop
r' : ι' → ι' → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder ι r
inst✝ : IsWellOrder ι' r'
o : Ordinal.{u}
ho : type r = o
ho' : type r' = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
i : ι
⊢ familyOfBFamily' r ho f i ≤ sup (familyOfBFamily' r' ho' f)
α : Type u_2
MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : MeasureTheory.Conservative f μ
hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
h0 : μ s ≠ 0
N : ℕ
⊢ ∃ m > N, μ (s ∩ f^[m] ⁻¹' s) ≠ 0
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
⊢ (X * p).smeval x = x * p.smeval x
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
hA : 0 ∈ A
⊢ schnirelmannDensity A = 1 ↔ A = Set.univ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.IsIdempotentComplete C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
i : ℕ
⊢ (CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.η.hom.app X).f i =
  ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubiEquivalence (ChainComplex C ℕ)).inverse.map
          (AlgebraicTopology.DoldKan.N₁Γ₀.hom.app X)).f
      i ≫
    ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubiEquivalence (ChainComplex C ℕ)).unitIso.inv.app X).f i
R : Type u
inst✝ : CommRing R
A : AlgebraCat R
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (Algebra.linearMap R ↑A) (of R ↑A) ≫ mul' R ↑A = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (of R ↑A)).hom
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
hI : I.IsMaximal
hI' : I ≠ ⊥
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
hx' : _root_.IsIntegral R x
hf : Irreducible (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
mem_norm_factors : normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)) ∈ normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))
⊢ ∃ y, Multiset.map (fun f => ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm f)) (normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))).attach = {y}
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b : α
inst✝ : IsSymm α r
a : α
l : List α
ih : l.Nodup → ({a | a ∈ l}.Pairwise r ↔ Pairwise r l)
hl : (a :: l).Nodup
⊢ {a_1 | a_1 ∈ a :: l}.Pairwise r ↔ Pairwise r (a :: l)
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype α
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
v : α → M
x : M
⊢ ⊤ ≤ span R (Set.range v) ↔ ∀ (x : M), x ∈ span R (Set.range v)
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => x) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => x) x) (c₂ * (fun x => x) x)
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
F : Type u_1
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
⊢ NonUnitalSubsemiring.comap f ⊤ = ⊤
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : Ring K
inst✝⁵ : StrongRankCondition K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Finite K
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V
⊢ #V < ℵ₀
b : ℝ
hb : 1 ≤ b
⊢ Monotone fun x => b ^ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
CompleteSpace γ
p : α → Prop
e : α → β
f : α → γ
b : β
s : Set α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
he : UniformEmbedding e
hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (Set.range e)
hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b
hs : IsClosed s
hp : ∀ x ∈ s, p x
⊢ ∃ c, Filter.Tendsto f (Filter.comap e (𝓝 b)) (𝓝 c)
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
Module A N
IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
x : A
y : M
⊢ (LinearMap.liftBaseChange A l) (x ⊗ₜ[R] y) = x • l y
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
n : ℕ
⊢ (C a * X ^ n).leadingCoeff = a
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
ℱ : Filter ι
f : X → α
K : Set X
hK : K ∈ 𝔖
this : CompactSpace ↑K
⊢ Tendsto ((⇑UniformFun.ofFun ∘ K.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ∘ ⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ℱ (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ K.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) f))) ↔ Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ K.restrict ∘ F) ℱ (𝓝 (UniformFun.ofFun (K.restrict f)))
n : Type u_2
R : Type u_4
OrderedSemiring R
Fintype n
u v w : n → R
huv : u ≤ v
hw : 0 ≤ w
⊢ Matrix.dotProduct w u ≤ Matrix.dotProduct w v
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
F : CategoryTheory.Arrow C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented C
G : F ⟶ CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.toArrow.obj X
⊢ (CategoryTheory.CosimplicialObject.cechConerveEquiv F X).symm G =
  CategoryTheory.CosimplicialObject.equivalenceRightToLeft F X G
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : Cᵒᵖ ≌ Dᵒᵖ
X : C
⊢ e.functor.unop.map ((NatIso.unop e.unitIso).symm.hom.app X) ≫ (NatIso.unop e.counitIso).symm.hom.app (e.functor.unop.obj X) = 𝟙 (e.functor.unop.obj X)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
⊢ (∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≠ 0 ∧ μ tᶜ ≠ 0 ∧ ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ) → g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
s : ι → Set X
t : Set X
h : (𝓝ˢ t).HasBasis p s
⊢ (𝓝ˢ t).HasBasis p fun x => interior (s x)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
c : β → α
h : range c ∈ f
W : Set β
W_in : W ∈ comap c f
⊢ c '' W ∈ f
s : ℂ
n : ℕ
h1 : -s.re < ↑n
⊢ Complex.Gamma s = Complex.GammaAux n s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e
he : OrthogonalIdempotents e
⊢ ∑ i : Option I, i.elim (1 - ∑ i : I, e i) e = 1
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
M : Type u_11
N : Type u_12
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : SMul M N
h : ∀ (x : M) (y : N), x • 1 * y = x • y
x : M
y z : N
⊢ (x • y) • z = x • y • z
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α
⊢ a ∈ ⨆ i, ⨆ j, f i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), a ∈ f i j
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
hu₁ : u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v
huv_cop : IsCoprime (u - ⌊ξ⌋ * v) v
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.Discrete α ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => X.obj { as := j }
CategoryTheory.Limits.HasLimit X
j : α
⊢ (CategoryTheory.Limits.Pi.isoLimit X).hom ≫ CategoryTheory.Limits.limit.π X { as := j } =
  CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun j => X.obj { as := j }) j
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
⊢ Equiv.Perm.support (Equiv.refl α) = ∅
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
h₁ : X ≃ₕ Y
h₂ : Y ≃ₕ Z
⊢ ((h₁.invFun.comp h₂.invFun).comp (h₂.toFun.comp h₁.toFun)).Homotopic (ContinuousMap.id X)
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
⊢ IsOfFinAddOrder x ↔ ∃ n, 0 < n ∧ n • x = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_1
F : α → ℚ
t : ℚ
s : Finset α
hF : ∀ i ∈ s, padicNorm p (F i) ≤ t
ht : 0 ≤ t
⊢ padicNorm p (∑ i ∈ s, F i) ≤ t
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
⊢ 0 ≤ ↑t₂.card / ↑t₁.card
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, deriv g x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atBot l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, DifferentiableAt ℝ g x
hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, HasDerivAt f (deriv f x) x
hdg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, HasDerivAt g (deriv g x) x
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ HasProd (fun p => (1 - ↑↑p ^ (-s))⁻¹) (riemannZeta s)
G : Type u
CommGroup G
H : CommGrp
f : G →* ↑H
⊢ MonoidHom.comp (𝟙 H) f = f
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f g : Ω →ᵇ ℝ≥0
le_dist : ∀ (ω : Ω), dist (f ω) (g ω) ≤ ↑(nndist f g)
ω : Ω
le' : f ω ≤ g ω + nndist f g
⊢ (fun a => ↑(f a)) ω ≤ (fun a => ↑(g a) + edist f g) ω
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g✝ : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hf : HasCompactMulSupport f
g : α' → α
hg : ClosedEmbedding g
⊢ closure (g ⁻¹' mulSupport f) ⊆ g ⁻¹' mulTSupport f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ
f : α → β
s : Set β
hg : ContinuousOn g s
hf : Continuous f
hs : ∀ (x : α), f x ∈ s
⊢ Continuous (g ∘ f)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hfu : UniformIntegrable f p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
m : Type u → Type v
Monad m
α β : Type u
x : ContT.Label (Option α) m β
i : α
⊢ ContT.goto (OptionT.mkLabel x) i =
  OptionT.mk do
    let a ← ContT.goto x (some i)
    pure (some a)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[𝕜] F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hd : ∀ x ∈ s, DenseRange ⇑(f' x)
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (f '' s)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
s t : Set E
disj : Disjoint s t
hs₁ : Convex 𝕜 s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex 𝕜 t
ht₂ : IsClosed t
this✝¹ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
this✝ : UniformAddGroup E
this : (comap (fun x => x.2 - x.1) (𝓝 0)).HasBasis (fun s => 0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Convex 𝕜 s) fun i => (fun x => x.2 - x.1) ⁻¹' id i
⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ Convex 𝕜 u ∧ Convex 𝕜 v ∧ s ⊆ u ∧ t ⊆ v ∧ Disjoint u v
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
h : x ≠ 1
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i = (x ^ n - 1) / (x - 1)
a b : ℝ
f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
w : ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ x ∈ Metric.ball f i, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc a b)).toSubsemiring
⊢ ∃ p, ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b) - f‖ < ε
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra ℚ R
I : Ideal R
a b : ℕ
h_ab : ↑a = ↑b
hI : a ≠ b
⊢ (algebraMap ℚ R) (↑a - ↑b) ∈ I
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C
P Q R : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.coprod.associator P Q R).inv =
  CategoryTheory.Limits.coprod.desc (CategoryTheory.Limits.coprod.inl ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.inl)
    (CategoryTheory.Limits.coprod.desc (CategoryTheory.Limits.coprod.inr ≫ CategoryTheory.Limits.coprod.inl)
      CategoryTheory.Limits.coprod.inr)
n : ℕ
f : Vector3 ℕ n → ℕ
⊢ Dioph.DiophFn f ↔ Dioph {v | f (v ∘ Fin2.fs) = v Fin2.fz}
a b : Int
h : a ≤ b
⊢ a ≤ b + 1
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : ↥R⁰
a b : FiniteAdeleRing R K
ha : ∃ a_1, a_1 • ↑↑r = a
hb : ∃ a, a • ↑↑r = b
⊢ ∃ a_1, a_1 • ↑↑r = a * b
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : Subsingleton M
hI : I.IsPrime
x : M
hx : I = (Submodule.span R {x}).annihilator
⊢ I = ⊤
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
⊢ d * a.y * (a.x * a₁.y) < a.x * (a.x * a₁.x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
s : Set β
c : γ
f : β × γ → α
⊢ ∏' (x : ↑(s ×ˢ {c})), f ↑x = ∏' (b : ↑s), f (↑b, c)
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
hf : StronglyMeasurable f
hfi : Integrable f μ
⊢ μ[f|m] = f
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
S : Set E
hS : IntermediateField.adjoin F S = ⊤
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Polynomial.Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
⊢ Field.finSepDegree F E = Nat.card (E →ₐ[F] K)
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.IsComplete
_m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasureTheory.NullMeasurable f μ
⊢ Measurable f
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
a : E →ₗᵢ[ℝ] UniformSpace.Completion E := UniformSpace.Completion.toComplₗᵢ
f' : ℝ → UniformSpace.Completion E := ⇑a ∘ f
h'd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f' x
⊢ ¬IntegrableOn g k volume
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDedekindDomain R
v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R
n : ℕ
⊢ FractionalIdeal.count K v (↑v.asIdeal ^ n) = ↑n