ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
DecidableEq α
Mul α
s t : Finset α
⊢ s.mulEnergy t =
  ∑ a ∈ s * t,
    (Finset.filter
          (fun x =>
            match x with
            | (x, y) => x * y = a)
          (s ×ˢ t)).card ^
      2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}
⊢ MeasurableSet {a | IsRatStieltjesPoint f a}
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : Preadditive D
X : C
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ
i : ((unop x✝).index Q).L
⊢ (J.diagramNatTrans 0 X).app x✝ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index Q) i = NatTrans.app 0 x✝ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index Q) i
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
φ : ↥p →ₗ[R] F
ψ : ↥q →ₗ[R] F
u : ↥p
⊢ (LinearMap.ofIsCompl h φ ψ) ↑u = φ u
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
t : Set ((i : ι) → α i)
ht : t ∈ MeasureTheory.measurableCylinders α
⊢ t = MeasureTheory.cylinder (MeasureTheory.measurableCylinders.finset ht) (MeasureTheory.measurableCylinders.set ht)
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
h : closure s ⊆ s
⊢ IsClosed s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
A : C
f g : CategoryTheory.Subobject A
⊢ (CategoryTheory.Subobject.inf.obj f).obj g ≤ g
α : Type u_2
G : Type u_4
TopologicalSpace α
AddGroup G
AddAction G α
ContinuousConstVAdd G α
s : Set α
hs : IsClosed s
c : G
⊢ IsClosed (c +ᵥ s)
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D
inst✝² : Category.{?u.10794, u_4} D₁
inst✝¹ : Category.{?u.10798, u_5} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D
W₂ : MorphismProperty C₂
E : C₁ ≌ C₂
hW₁ : W₁ ≤ W₂.isoClosure.inverseImage E.functor
hW₂ : W₂.IsInvertedBy L₂
inst✝ : L₁.IsLocalization W₁
iso : E.functor ⋙ L₂ ≅ L₁
⊢ L₂.IsLocalization W₂
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂
TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h₂ : c₂.Rel i₂ i₂'
⊢ c₁.σ c₂ c₁₂ i₁ i₂ * c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = c₂.ε₁ c₁ c₁₂ (i₂, i₁) * c₁.σ c₂ c₁₂ i₁ i₂'
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s
hf : AnalyticWithinOn 𝕜 f s
x : E
m : x ∈ s
r : ℝ
r0 : r > 0
rs : Metric.ball x r ⊆ s
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
t : ℝ≥0∞
fp : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x t
⊢ AnalyticAt 𝕜 f x
R : Type u_1
CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
⊢ Ideal.map (algebraMap R (Localization.AtPrime I)) I = LocalRing.maximalIdeal (Localization I.primeCompl)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
CategoryTheory.Simple Y
f : X ⟶ Y
w : f ≠ 0
⊢ CategoryTheory.Limits.cokernel.π f = 0
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
a : M₀
h : ↑u * a = 0
⊢ a = 0
α : Type u_1
Monoid α
p q : α
p_irr : Irreducible p
q_irr : Irreducible q
dvd : p ∣ q
⊢ p ~ᵤ q
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y Z : C
f : J → C
g h : X ⊗ Y ⊗ ⨁ f ⟶ Z
w : ∀ (j : J), X ◁ Y ◁ biproduct.ι f j ≫ g = X ◁ Y ◁ biproduct.ι f j ≫ h
⊢ (α_ X Y (⨁ f)).hom ≫ g = (α_ X Y (⨁ f)).hom ≫ h
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x
hf'_nonneg : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ f' i a
hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ
hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => ENNReal.ofReal (f' n x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
v : Fin 1 → E
⊢ (id 𝕜 E 1) v = v ⟨0, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
⊢ Tendsto (fun m => ∫ (x : γ), κ.density ν a x (seq m) ∂ν a) atTop (𝓝 0)
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
b : ℕ
x✝ : 2 ≤ b + 3
this : a + (b + 2) ≤ a * (b + 2)
⊢ a + (b + 3) ≤ a * (b + 3)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hr : r' < r
⊢ ∃ C, ∀ y ∈ EMetric.ball x r', ∀ z ∈ EMetric.ball x r', ‖f y - f z - (p 1) fun x => y - z‖ ≤ C * max ‖y - x‖ ‖z - x‖ * ‖y - z‖
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
NormedRing 𝕜
(i : α) → Module 𝕜 (E i)
∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
c : 𝕜
⊢ lp.single p i (c • a) = c • lp.single p i a
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
a : A
k : 𝕜
h : spectralRadius 𝕜 a < ↑‖k‖₊
⊢ k ∈ resolventSet 𝕜 a
α : Type u
i : Nat
⊢ List.nil.eraseIdx i = List.nil
α : Type u
Add α
a b c : WithTop α
LE α
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≠ ⊤
h : a + b ≤ a + c
⊢ b ≤ c
α : Type u_1
m : Multiset α
⊢ Multiset.card m.attach = Multiset.card m
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Mul α
SemilatticeInf β
OrderTop β
s t : Finset α
f : α → β
⊢ (s * t).inf f = t.inf fun y => s.inf fun x => f (x * y)
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
X : C
⊢ ∀ (a : CategoryTheory.Limits.limit (F.op ⋙ CategoryTheory.yoneda.obj X)) (j : J),
  ((CategoryTheory.Limits.limitCompYonedaIsoCocone F X).hom a).app j =
    CategoryTheory.Limits.limit.π (F.op ⋙ CategoryTheory.yoneda.obj X) (Opposite.op j) a
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
Nontrivial α
s : Associates.FactorSet α
⊢ s.prod.factors = s
a b c : Prop
⊢ a ∧ b ∧ c ↔ b ∧ a ∧ c
n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n (ZMod p)
h : (M ^ Fintype.card (ZMod p)).trace = M.trace ^ Fintype.card (ZMod p)
⊢ (M ^ p).trace = M.trace ^ p
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝ : DistribMulAction R A
r : R
a : A
⊢ 0 • 0 + r • a + a * 0 = r • a
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
p : β → Prop
hom : ∀ (a b : β), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
base : ∀ x ∈ s, p (f x)
⊢ p (s.noncommProd f comm)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasKernel f'
sq : Arrow.mk f ⟶ Arrow.mk f'
⊢ (kernelSubobjectIso f).hom ≫ kernel.map f f' sq.left sq.right ⋯ = kernelSubobjectMap sq ≫ (kernelSubobjectIso f').hom
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝³ : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝² : HasInitial C
inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F
⊢ IsSheafFor F (ofArrows X c.inj)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
⊢ List.pmap l.next l ⋯ = l.rotate 1
R : Type u
X : Type v
CommRing R
L : Type w
LieRing L
LieAlgebra R L
F : FreeLieAlgebra R X →ₗ⁅R⁆ L
⊢ (FreeLieAlgebra.lift R).symm F = ⇑F ∘ FreeLieAlgebra.of R
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DecidableEq ι
G' : ι → Type v'
(i : ι) → AddCommGroup (G' i)
(i : ι) → Module R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] G' i
hg : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), g j ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ g i
i : ι
x : G i
⊢ (Module.DirectLimit.map g hg) ((Module.DirectLimit.of R ι G f i) x) = (Module.DirectLimit.of R ι G' f' i) ((g i) x)
M : Type u_1
Mul M
z : M
self : IsMulCentral z
b c : M
⊢ z * (b * c) = z * b * c
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
h : IsTopologicalBasis {s | IsClopen s}
x y : X
hxy : x ≠ y
⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
l : List α
⊢ count a (b :: l) = count a l
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η θ ι : F ⟶ G
Γ : CategoryTheory.OplaxNatTrans.Modification η θ
Δ : CategoryTheory.OplaxNatTrans.Modification θ ι
a : B
⊢ (Γ.vcomp Δ).app a = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (Γ.app a) (Δ.app a)
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥N
ι : Type u_1
m : ι → ↥M
hm : LinearIndependent R m
⊢ Function.Injective (⇑(M.mulMap N) ∘ ⇑(LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.total ι (↥M) R m)))
n : Nat
m : Nat
i : Fin (n + m)
hi : ↑i < n
⊢ Fin.castAdd m (i.castLT hi) = i
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
μ : R
hμ : f.HasEigenvalue μ
⊢ μ ∈ spectrum R f
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
h₀ : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ ContinuousOn (fun x => Real.log (f x)) s
a b : Nat
⊢ compare a b = if a < b then Ordering.lt else if b < a then Ordering.gt else Ordering.eq
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
ι : Type u_4
p : ι → Submodule R M
m : M
hm : m ∈ ⨆ i, p i
this : m ∈ ⨆ i, p i → ∃ s, m ∈ ⨆ i ∈ s, p i
⊢ ∃ s, m ∈ ⨆ i ∈ s, p i
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i j k : ι
inst✝ : K.HasHomology i
⊢ K.ExactAt i ↔ IsZero (K.sc i).homology
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ μ.withDensity g = μ.withDensity f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.HomologyData
⊢ S.HasHomology
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
p : β → Prop
⊢ Filter.bliminf u f p = sSup {a | ∀ᶠ (x : β) in f, p x → a ≤ u x}
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c
hf : ∀ (i : ι), f i < c
⊢ Cardinal.sum f < c
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : N ≃+ G
K : AddSubgroup G
⊢ AddSubgroup.comap f.toAddMonoidHom K = AddSubgroup.map f.symm.toAddMonoidHom K
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : DifferentiableOn ℝ f (Ioi a)
hg' : ∀ x ∈ Ioi a, deriv g x ≠ 0
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atTop l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
M N : CategoryTheory.Comonad C
f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor
f_ε : ∀ (X : C), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.hom.app X) (N.ε.app X) = M.ε.app X := by aesop_cat
f_δ :
  ∀ (X : C),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.hom.app X) (N.δ.app X) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M.δ.app X)
        (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.hom.app (M.obj X)) (N.map (f.hom.app X))) := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.ComonadIso.mk f f_ε f_δ).inv.toNatTrans = f.inv
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s
⊢ ∀ b ∈ s, b * μ (↑f ⁻¹' {b}) ≠ 0 → ∃ a, ∃ (h₁ : a ∈ f.range) (h₂ : a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ 0), (fun r x x => r) a h₁ h₂ = b
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
H : IsSuccLimit o
⊢ (beth o).IsStrongLimit
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S' R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
M : PresheafOfModules (R ⋙ CategoryTheory.forget₂ CommRingCat RingCat)
φ' : S' ⟶ R
d : M.Derivation' φ'
X : Dᵒᵖ
b : ↑(R.obj X)
⊢ (d.app X).d b = d.d b
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
a : α
⊢ ⇑e '' Set.Ioi a = Set.Ioi (e a)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
H₁ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, b < f a → ¬b < f x → ∃ y < a, b ≤ f y
H₂ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, f a < b → ¬f x < b → ∃ y, a < y ∧ f y ≤ b
x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
a : α
b : β
hb : b ∈ Ioi (f a)
⊢ ⨅ b ∈ Ioi a, 𝓟 (Iio b) ≤ 𝓟 (f ⁻¹' Iio b)
α : Type u_1
s : Set α
⊢ (fun x => x) '' s = s
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ Monotone fun p => p.predAbove i
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' MeasureTheory.volume a b
ha : Filter.Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)
hb : Filter.Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = fb - fa
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
DecidableRel f.SameCycle
x : α
n : ℤ
⊢ (f.cycleOf x ^ n) x = (f ^ n) x
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure ℝ
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝¹ : OrderTopology E
inst✝ : SecondCountableTopology E
u : ℝ → E
a b : ℝ
hu : MonotoneOn u [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable u μ a b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f pf x n
hg : HasFiniteFPowerSeriesAt g pg x m
⊢ HasFiniteFPowerSeriesAt (f + g) (pf + pg) x (max n m)
X : Bipointed
⊢ ∀ (a : ((𝟭 Bipointed).obj X).X),
  (Bipointed.swapEquiv.unitIso.hom.app X).toFun a =
    (𝟙 (Bipointed.swap.obj (Bipointed.swap.obj X))).toFun
      (({ toFun := id, map_fst := ⋯, map_snd := ⋯ } ≫
            Bipointed.swap.map { toFun := id, map_fst := ⋯, map_snd := ⋯ } ≫
              Bipointed.swap.map (Bipointed.swap.map { toFun := id, map_fst := ⋯, map_snd := ⋯ })).toFun
        a)
X Y : FintypeCat
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (x : ↑X), f x = g x
⊢ f = g
α : Type u_1
f : α → α
x : α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hper : Function.IsPeriodicPt f p x
hfix : ¬Function.IsFixedPt f x
⊢ Function.minimalPeriod f x = p
N k m : ℕ
⊢ m ∈ N.roughNumbersUpTo k ↔ m ∈ (N.succ.primesBelow \ k.primesBelow).biUnion fun p => Finset.filter (fun m => m ≠ 0 ∧ p ∣ m) (Finset.range N.succ)
α : Type u_2
AddMonoid α
⊢ ⊤ + ⊤ = ⊤
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
h : (pi Q).Anisotropic
⊢ ∀ (i : ι), (Q i).Anisotropic
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : M
⊢ a ^ (n - 1) * a = a ^ n
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : NonAssocRing α
a b : α
n✝ : ℤ
n : ℕ
x : α
⊢ Commute (↑↑n) x
o a : Ordinal.{u_4}
h : o.IsLimit
⊢ Order.succ a < o ↔ a < o
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
e : M ≃+ N
f : N → M
h₁ : Function.LeftInverse (⇑e) f
h₂ : Function.RightInverse (⇑e) f
h₃ :
  ∀ (x y : N),
    { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun (x + y) =
      { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun x +
        { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂ }.toFun y
⊢ { toFun := f, invFun := ⇑e, left_inv := h₁, right_inv := h₂, map_add' := h₃ } = e.symm
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
⊢ (modifyNth f n l)[n]? = f <$> l[n]?
α : Type u_1
Bornology α
s : Set α
Preorder α
IsOrderBornology α
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ BddBelow s ∧ BddAbove s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : ↥(Lp G' 1 μ)
hf : 0 ≤ f
g : { g // 0 ≤ g }
⊢ ∀ (a : { g // 0 ≤ g }), (fun g => 0 ≤ (setToL1 hT) ↑g) (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg 1 μ G' a)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
hu : ∃ u, a < u
hl : ∃ l, l < a
⊢ 𝓝 a = ⨅ l, ⨅ (_ : l < a), ⨅ u, ⨅ (_ : a < u), 𝓟 (Ioo l u)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
l : fp.parts.card < univ.card ∧ fp.parts.card < r
x y : V
hn : x ≠ y
he : fp.part x = fp.part y
cf : G.CliqueFree r
⊢ G.edgeFinset.card < (G ⊔ edge x y).edgeFinset.card
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : OrderedRing E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : OrderClosedTopology E
l : E
f : ℕ → E
hfl : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)
hfm : Monotone f
k : ℕ
ha : Antitone fun n => ∑ i ∈ Finset.range (2 * n), (-1) ^ i * f i
⊢ l ≤ ∑ i ∈ Finset.range (2 * k), (-1) ^ i * f i
n : ℕ
⊢ Fin.castLE ⋯ = id
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n✝¹ n✝ x✝ : ℕ
h : x✝ = n✝¹.mul (10 ^ n✝)
⊢ OfScientific.ofScientific (↑n✝¹) false ↑n✝ = ↑x✝
a b : ℝ
⊢ EMetric.diam (Set.Ico a b) = ENNReal.ofReal (b - a)
q : ℚ
⊢ Rat.divInt q.num ↑q.den = q
x : Tree Unit
n : ℕ
⊢ x ∈ Tree.treesOfNumNodesEq n ↔ x.numNodes = n
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R) (hP : P.IsMaximal), map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) I ≤ map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) J
x : R
hx : x ∈ I
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
le : Submodule.colon J (span {x}) ≤ P
a : R
ha : a ∈ J
s : R
hs : s ∈ P.primeCompl
eq✝ : (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (x * ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).2 - ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).1) = 0
m : R
hm : m ∈ P.primeCompl
eq : ↑⟨m, hm⟩ * (x * ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).2 - ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).1) = 0
⊢ False
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
⊢ ∀ (i : ι), (b.repr ↑(ceil b m)) i = (b.repr m) i
α : Type u
AddMonoidWithOne α
n : ℕ
⊢ ↑n = !![↑n, 0, 0; 0, ↑n, 0; 0, 0, ↑n]
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →*₀ F
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
this : Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator (fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) i) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
⊢ Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - f p)⁻¹) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
⊢ ∀ (x : V), ((-o).rotation θ) x = (o.rotation (-θ)) x
α : Type u
β : Type u_1
m : α → β
f : Filter α
g : Set (Set β)
b : β
⊢ Filter.Tendsto m f (𝓝 b) ↔ ∀ s ∈ g, b ∈ s → m ⁻¹' s ∈ f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
inst✝ : Std.Associative ga
h : Semiconj₂ f ga gb
h_surj : Surjective f
x₁ x₂ x₃ : α
⊢ gb (gb (f x₁) (f x₂)) (f x₃) = gb (f x₁) (gb (f x₂) (f x₃))
α : Type u
s : Set α
DivisionRing α
Infinite ↑s
⊢ Cardinal.mk ↥(Subfield.closure s) = Cardinal.mk ↑s
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
⊢ image2 f (s ∩ s') (t ∪ t') ⊆ image2 f s t ∪ image2 f s' t'
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => Real.sinh (f x)) s x
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C✝ : Set (I → Bool)
μ o : Ordinal.{u}
h : P I o
ho : Order.succ o ≤ Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho' : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
⊢ LinearIndependent (ι := ↑(MaxProducts C ho')) ℤ (⇑(ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho')) ⋯).g ∘ SumEval C ho' ∘ Sum.inr)
N : ℕ
x✝ : SL(2, ℤ)
⊢ ↑(↑x✝ 0 0) = 1 ∧ ↑(↑x✝ 0 1) = 0 ∧ ↑(↑x✝ 1 0) = 0 ∧ ↑(↑x✝ 1 1) = 1 ↔ x✝ = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C
⊢ (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } = τ.app P.X
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
s : Set α
⊢ EMetric.infEdist x s ≤ EMetric.infEdist y s + edist x y
α : Type u_1
⊢ Function.Surjective MulOpposite.unop
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
hr : BiUnique R
a : α
b : β
h : R a b
a' : α
as : List α
b' : β
bs : List β
h₁ : R a' b'
h₂ : Forall₂ R as bs
⊢ (fun x x_1 => x ∈ x_1) a (a' :: as) ↔ (fun x x_1 => x ∈ x_1) b (b' :: bs)
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
hA : A * star A = 1
⊢ star A * A = 1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : f ≈ g
⊢ f.norm = g.norm