ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Set N
h1 : t.Countable
h2 : (closure L).toFun t = Substructure.map f.toHom s
hf : Function.Injective ⇑f.toHom
x : N
hx : x ∈ t
⊢ x ∈ range ⇑f
n✝ : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
n : ℕ∞
hf : HasCompactSupport f
h'f : ContDiff 𝕂 n f
hn : 1 ≤ n
C : ℝ
hC : ∀ (x : E'), ‖fderiv 𝕂 f x‖ ≤ C
⊢ ∃ C, LipschitzWith C f
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
⊢ interior s ∈ 𝓤 α
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
Monoid M
f : A →+ B
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ Function.Injective fun ψ => ψ.compAddMonoidHom f
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℂ
x : α
h₁ : ContinuousAt f x
h₂ : f x ∈ Complex.slitPlane
⊢ ContinuousAt (fun t => Complex.log (f t)) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w
CategoryTheory.Category.{max v u, w} D
∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
hP : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P
⊢ (J.isoSheafify hP).inv = J.sheafifyLift (CategoryTheory.CategoryStruct.id P) hP
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S✝ : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r
n₁ : ℕ
hn₁ : (f r) (↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ : ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple S (f r) (s₁ r))
⊢ ↑r ^ n₂ • ↑r ^ n₁ • x ∈ Submodule.span R ↑(sf r)
X : Type u
self : TopologicalSpace X
⊢ TopologicalSpace.IsOpen Set.univ
a b : UInt8
⊢ (a / b).toNat = a.toNat / b.toNat
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ 𝓚 ‖x + y + z‖ * 𝓚 ‖x + y + z‖ - 𝓚 ‖x + y - z‖ * 𝓚 ‖x + y - z‖ + I * 𝓚 ‖I • (x + y) + z‖ * 𝓚 ‖I • (x + y) + z‖ - I * 𝓚 ‖I • (x + y) - z‖ * 𝓚 ‖I • (x + y) - z‖ = 𝓚 ‖x + z‖ * 𝓚 ‖x + z‖ - 𝓚 ‖x - z‖ * 𝓚 ‖x - z‖ + I * 𝓚 ‖I • x + z‖ * 𝓚 ‖I • x + z‖ - I * 𝓚 ‖I • x - z‖ * 𝓚 ‖I • x - z‖ + (𝓚 ‖y + z‖ * 𝓚 ‖y + z‖ - 𝓚 ‖y - z‖ * 𝓚 ‖y - z‖ + I * 𝓚 ‖I • y + z‖ * 𝓚 ‖I • y + z‖ - I * 𝓚 ‖I • y - z‖ * 𝓚 ‖I • y - z‖)
α : Type u
s : Set α
Preorder α
H : ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x < y
⊢ s.Nontrivial
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
⊢ orderOf t = exponent G
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
a b c : α
DecidableEq α
⊢ G.IsNClique 3 {a, b, c} ↔ G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).tails = (a :: l) :: l.tails
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : WithLp 0 (α × β)
⊢ edist f f = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
⊢ (eval₂RingHom (C.comp (Quotient.mk I)) X) a = 0
α : Type u_2
Group α
t : Set α
b : α
⊢ (fun x => x * b) '' t = (fun x => x * b⁻¹) ⁻¹' t
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
f : α → γ
g : β → δ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
a b : α × β
⊢ a.1 < b.1 ∧ a.2 ≤ b.2 ∨ a.1 ≤ b.1 ∧ a.2 < b.2 → (Prod.map f g a).1 < (Prod.map f g b).1 ∧ (Prod.map f g a).2 ≤ (Prod.map f g b).2 ∨ (Prod.map f g a).1 ≤ (Prod.map f g b).1 ∧ (Prod.map f g a).2 < (Prod.map f g b).2
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
⊢ WithTop.map (⇑toDual) s.min = s.sup (WithBot.some ∘ ⇑toDual)
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c : α
hc : c ≠ 0
⊢ a ≤ b * c⁻¹ ↔ a * c ≤ b
G₀ : Type u_2
GroupWithZero G₀
a : ↥(Subgroup.center G₀ˣ)
⊢ ↑↑((Subgroup.centerUnitsEquivUnitsCenter G₀) a) = ↑↑a
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
S T : AddSubmonoid M
f : F
⊢ AddSubmonoid.map f (S ⊔ T) = AddSubmonoid.map f S ⊔ AddSubmonoid.map f T
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : CompactIccSpace α
inst✝² : atTop.IsMeasurablyGenerated
inst✝¹ : MeasurableNeg α
inst✝ : μ.IsNegInvariant
hf : LocallyIntegrable f μ
hsymm : norm ∘ f =ᶠ[ae μ] norm ∘ f ∘ Neg.neg
ho : f =O[atTop] g
hg : IntegrableAtFilter g atTop μ
h_int : IntegrableOn f (Ici 0) μ
h_map_neg : Measure.map Neg.neg (μ.restrict (Ici 0)) = μ.restrict (Iic 0)
⊢ IntegrableOn f (Iic 0) μ
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
h : ∀ (x y : α), edist (f x) (f y) ≤ edist x y
⊢ LipschitzWith 1 f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct W X
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct Y Z
f : W ≅ Y
g : X ≅ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.prod.mapIso f g).inv = CategoryTheory.Limits.prod.map f.inv g.inv
α : Type u_1
s : Finset α
p : Option α → Prop
⊢ (∀ a ∈ Finset.insertNone s, p a) ↔ p none ∧ ∀ a ∈ s, p (some a)
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : FirstOrder.Language
(a : α) → L.Structure (M a)
∀ (a : α), Nonempty (M a)
φ : L.Sentence
⊢ (↑u).Product M ⊨ φ ↔ ∀ᶠ (a : α) in ↑u, M a ⊨ φ
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E
⊢ ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n TotalSpace.proj x
α : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
⊢ ∃ f, StrictMono f ∧ Summable fun i => dist (u (f (i + 1))) (u (f i))
R : Type x
Mul R
Add R
RightDistribClass R
a b c : R
⊢ (a + b) * c = a * c + b * c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
OrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
⊢ f (∑ i ∈ t, w i • p i) = ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ↔ ∀ j ∈ t, w j ≠ 0 → p j = ∑ i ∈ t, w i • p i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
⊢ r.preimage Set.univ = r.dom
x : ℝ
⊢ sin x ≠ 0 ↔ ∀ (n : ℤ), ↑n * π ≠ x
R : Type u
CommRing R
U V : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
i : V ⟶ U
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen R U ≫ (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.map i.op =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen R V
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : 2 ≤ n
hx : 0 < x
npos : 0 < ↑n - 1
⊢ f ↑n + x * log (↑n - 1) ≤ f (↑n + x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
W X Y Z : C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft W (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).inv)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z).inv) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj W X) Y Z).inv
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator W X Y).hom Z)
α : Type u_1
AddCommMonoid α
l : List α
⊢ ∑ i : Fin l.length, l[↑i] = l.sum
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : ι →₀ α
t : ι →₀ Finset α
ht : t.support ⊆ s
i : ι
h : (i ∈ f.support → i ∈ s) ∧ (i ∈ s → f i ∈ t i)
⊢ f i ∈ t i
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex
rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)
rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n
⊢ limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.support ≠ []
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R z x w
h₂ : Sbtw R z y x
⊢ Sbtw R z y w
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ↑(RCLike.re ⟪x, x⟫_𝕜) = ⟪x, x⟫_𝕜
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
BorelSpace α
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
BorelSpace β
μ.InnerRegular
f : α ≃ₜ β
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ).InnerRegular
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ = (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ p⁻¹
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w
⊢ ∃ x, ∃ (h' : G.Adj u x), ∃ q, p.concat h = SimpleGraph.Walk.cons h' q
K : Type u
L : Type v
Field L
ζ : L
Field K
Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ k)
hk : 2 ≤ k
H : IsCyclotomicExtension {2 ^ k} K L
hirr : Irreducible (Polynomial.cyclotomic (2 ^ k) K)
⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = 2
⊢ ContinuousOn (fun x => √x * log x) (Ioi 1)
α : Type u_1
m m' : MeasurableSpace α
hsep : MeasurableSpace.CountablySeparated α
h : m ≤ m'
⊢ MeasurableSpace.CountablySeparated α
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
x : 𝔸
⊢ Summable fun n => ‖(↑n.factorial)⁻¹ • x ^ n‖
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
hy' : optParam (∀ m ∈ N, (φ x ∘ₗ φ y) m ∈ N) ⋯
⊢ ∀ (m : M), ⁅x, ⁅y, m⁆⁆ ∈ N
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hP : ¬P = 0
hQ : ¬Q = 0
⊢ (fun x => eval x P / eval x Q) ~[atTop] fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
DivisionRing K
A : K
nth_num_eq : g.nums n = A
⊢ ∃ conts, g.conts n = conts ∧ conts.a = A
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₀ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g h₃ = 0
⊢ (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃).τ₂ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁ S₂.f + CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g h₂
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N
⊢ AddMonoid.Coprod.lift AddMonoid.Coprod.inl AddMonoid.Coprod.inr = AddMonoidHom.id (AddMonoid.Coprod M N)
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
x : ↥I
⊢ I.toCotangent x = 0 ↔ ↑x ∈ I ^ 2
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
h : 1 ∉ A
⊢ schnirelmannDensity A = 0
m n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
P : (Fin n.succ → α) → Prop
⊢ Exists P ↔ ∃ x, P x
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
C : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
ι : ∀ (x : M), C ((CliffordAlgebra.ι Q) x)
mul : ∀ (a b : CliffordAlgebra Q), C a → C b → C (a * b)
add : ∀ (a b : CliffordAlgebra Q), C a → C b → C (a + b)
a : CliffordAlgebra Q
s : Subalgebra R (CliffordAlgebra Q) := { carrier := C, mul_mem' := mul, one_mem' := ⋯, add_mem' := add, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := algebraMap }
h : AddCommMonoid ↥s := inferInstanceAs (AddCommMonoid ↥(Subalgebra.toSubmodule s))
of : { f // ∀ (m : M), f m * f m = (_root_.algebraMap R ↥s) (Q m) } := ⟨LinearMap.codRestrict (Subalgebra.toSubmodule s) (CliffordAlgebra.ι Q) ι, ⋯⟩
of_id : AlgHom.id R (CliffordAlgebra Q) = s.val.comp ((lift Q) of)
⊢ C ((s.val.comp ((lift Q) of)) a)
α : Type u
Field α
x y : α
hxy : x ≠ y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = (x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m) / (x - y)
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
r : R
hr : r ∈ S
⊢ r /ₒ ⟨r, hr⟩ = 1
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
⊢ Isometry ⇑f ↔ ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsLowerSet α
s : Set α
a : α
⊢ ↑(UpperSet.Ici a) = Ici a
𝕜 : Type u_1
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup D
NormedSpace ℝ D
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
g : D ≃L[ℝ] E
f : SchwartzMap E F
⊢ ⇑((SchwartzMap.compCLMOfContinuousLinearEquiv 𝕜 g) f) = ⇑f ∘ ⇑g
a b c : Ordinal.{u_1}
ba : b + a = a
l : c.IsLimit
IH : ∀ c' < c, (a + b) * succ c' = a * succ c' + b
c' : Ordinal.{u_1}
h : c' < c
⊢ (a + b) * c' ≤ a * c
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ c.mapCoconeToOver.hom.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.id c.pt
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix l m R
N : Matrix m n R
x : n → R
⊢ (toLin' (M * N)) x = (toLin' M) ((toLin' N) x)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi 0, (|p| * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = ∫ (y : ℝ) in Set.Ioi 0, g y
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
r : R
⊢ (expand R p) ((expand R q) (C r)) = (expand R (p * q)) (C r)
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
R : ℝ≥0
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : Filtration ℕ m0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ω : Ω
hω₁ : ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
hω₂ : ∀ (i : ℕ), |predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
⊢ |f (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - (f i ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| ≤ ↑(R + R)
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
d : s.Nodup
⊢ Multiset.count a s = if a ∈ s then 1 else 0
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
a : ℂ
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ Tendsto (fun x => b * x.re - a.re * Real.log (abs x)) l atTop
m k : ℕ+
⊢ m.div k * ↑k + ↑(m.mod k) = ↑m
n : ℕ
hn : n % 4 = 3
⊢ ZMod.χ₄ ↑n = -1
k n : ℕ
⊢ (ArithmeticFunction.sigma k) n = ∑ d ∈ n.divisors, d ^ k
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝¹ : Fin l → M
g : α ≃ β
k : ℕ
φ : L.BoundedFormula α k
v : β → M
xs✝ : Fin k → M
n : ℕ
t : L.Term (α ⊕ Fin n)
xs : Fin n → M
⊢ Sum.elim v xs ∘ ⇑(g.sumCongr (_root_.Equiv.refl (Fin n))) = Sum.elim (v ∘ ⇑g) xs
M : Type u_1
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass P
c : Con M
f : M →* P
H : c ≤ Con.ker f
h : Function.Injective ⇑(c.lift f H)
⊢ Con.ker f = c
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
t : Set F
hl : DifferentiableWithinAt 𝕜 l t (f x)
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hs : MapsTo f s t
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hy : y = f x
⊢ derivWithin (l ∘ f) s x = (fderivWithin 𝕜 l t (f x)) (derivWithin f s x)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C
X : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (ChainComplex C ℕ)
n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.N₂Γ₂.inv.app X).f.f n =
  X.p.f n ≫
    ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting X.X).cofan (Opposite.op [n])).inj
      (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op [n]))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0
⊢ (pf 0) v = f x
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
f : α → β
γ : Type u_2
TopologicalSpace γ
hf : Isometry f
g : γ → α
⊢ Continuous (f ∘ g) ↔ Continuous g
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
Ring A
Algebra R A
c₁ c₂ : R
F : ℍ[R,c₁,c₂] →ₐ[R] A
⊢ QuaternionAlgebra.lift.symm F = (QuaternionAlgebra.Basis.self R).compHom F
p q : Prop
h : Decidable p
⊢ (if p then True else q) ↔ ¬p → q
G : Type u
AddMonoid G
Fintype G
⊢ Finset.univ.lcm addOrderOf = AddMonoid.exponent G
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P
m : ℤ
⊢ mk (↑m) 1 = ↑m
α : Type u_1
x : α
t : Ordnode α
⊢ Ordnode.Emem x t ↔ x ∈ t.toList
ι : Type v
α : ι → TopCat
i : ι
x : ↑(α i)
⊢ (TopCat.sigmaIsoSigma α).hom ((CategoryTheory.Limits.Sigma.ι α i) x) = ⟨i, x⟩
α : Type u
γ : Type w
𝕜 : Type u_2
NormedField 𝕜
TopologicalSpace α
NormedRing γ
NormedAlgebra 𝕜 γ
k : 𝕜
a : α
⊢ ((algebraMap 𝕜 (BoundedContinuousFunction α γ)) k) a = k • 1
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
M : HomologicalComplex C c
α : M ⟶ K
β : M ⟶ L
i : ι
⊢ (CategoryTheory.Limits.biprod.lift α β).f i ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.fst.f i = α.f i
α : Type u
Mul α
β : Type v
Semigroup β
f : Magma.AssocQuotient α →ₙ* β
⊢ Magma.AssocQuotient.lift (f.comp Magma.AssocQuotient.of) = f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), f a * r ∂μ = (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) * r
a c b d : Prop
f : a → c
g : b → d
h : a ∧ b
⊢ c ∧ d
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra R B
f : R →+* S
g : S →+* T
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A B
I : Ideal S
hf : f.IsIntegral
x✝ : S ⧸ I
x : S
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hpx : eval₂ f x p = 0
⊢ eval₂ (Ideal.quotientMap I f ⋯) (Quot.mk Setoid.r x) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap f I)) p) = 0
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
x : α
h : (#α).ord = type r
⊢ typein r x < type r
α : Type u_1
Zero α
⊢ MulOpposite.op 0 = 0
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
h1 : a.gcd m ∣ m
⊢ a.gcd m = b.gcd m
R : Type u_1
M : Type u_2
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
R₃ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : Ring R₂
inst✝⁸ : Ring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃
⊢ ker g ≤ range f ↔ (range f).mkQ ∘ₗ (ker g).subtype = 0
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
hx : x ∈ closedBall c f.rIn
⊢ ‖(fun x => f.rIn⁻¹ • (x - c)) x‖ ≤ 1
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
ha : IsMax a
h : a ≤ b
⊢ IsMax b
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
x : G
h : addOrderOf x = 0
n m : ℕ
⊢ n • x = m • x ↔ n = m
a b c : Int
hbc : b ≤ c
ha : 0 < a
⊢ b < c + a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A
⊢ IsClosed ↑s.topologicalClosure
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
e : p.pred' = Num.zero
ep : p = Num.zero.succ'
⊢ -↑(Num.casesOn Num.zero 1 bit1) = -↑p + -↑p + 1
E : Sort u_1
α : Sort u_3
β : Sort u_4
γ : Sort u_5
iE : EquivLike E α β
e : E
f : β → γ
⊢ Function.Injective (f ∘ ⇑e) ↔ Function.Injective f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
h : SurjOn f s t
⊢ InvOn (invFunOn f s) f (invFunOn f s '' t) t
f : ℝ → ℝ
p : ℕ
hf : GrowsPolynomially f
hf_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
⊢ GrowsPolynomially fun x => f x ^ ↑p
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : CompHaus
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget CompHaus).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
⊢ a z = b z
R : Type u_1
Semiring R
m : ℤ
n : ℕ
⊢ LaurentPolynomial.T m ^ n = LaurentPolynomial.T (↑n * m)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ Ordinal.sup f = Ordinal.lsub f ↔ ∀ a < Ordinal.lsub f, Order.succ a < Ordinal.lsub f
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x : R[X][Y]
⊢ (map W f) ((mk W) x) = (mk (WeierstrassCurve.map W f)) (Polynomial.map (mapRingHom f) x)
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup (Fin 2) R
⊢ A⁻¹ = ⟨![![↑A 1 1, -↑A 0 1], ![-↑A 1 0, ↑A 0 0]], ⋯⟩