ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
S : Set C(X, α)
hS1 : IsCompact (ContinuousMap.toFun '' S)
hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
⊢ Inducing ⇑(Equiv.Set.image DFunLike.coe S ⋯)
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.13901, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.13905, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.13909, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.13913, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m mn : A
hnm : m + n = mn
a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
⊢ mn + a = a''
α : Type u_1
f : Part α →o Part α
x : Unit → Part α
u : Unit
⊢ (Part.toUnitMono f) x u = f (x u)
α : Type u
Monoid α
HasDistribNeg α
a : α
u : αˣ
⊢ -(a /ₚ u) = -a /ₚ u
α : Type u_1
LT α
a : α
⊢ some a < none
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
CharZero K
α : LieModule.Weight K (↥H) L
x y : ↥H
hx : x ∈ LieModule.Weight.ker
hy : y ∈ Submodule.span K {LieAlgebra.IsKilling.coroot α}
⊢ ((LieModule.traceForm K (↥H) L) x) y = 0
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
W : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} W
CategoryTheory.Preadditive W
F : V ⥤ W
F.Additive
h : HomotopyEquiv C D
⊢ (F.mapHomotopyEquiv h).homotopyHomInvId = ⋯.mpr (⋯.mpr (F.mapHomotopy h.homotopyHomInvId))
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
x : P.last.M
a : P.A
f : P.last.B a → P.last.M
h : x.dest = ⟨a, f⟩
f' : MvPFunctor.M.Path P x ⟹ α
⊢ MvPFunctor.M.dest P ⟨x, f'⟩ = MvPFunctor.M.dest' P h f'
μ ν : YoungDiagram
h_le : μ.transpose ≤ ν
⊢ μ ≤ ν.transpose
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
T : Set (Set β)
hf : Inducing f
h : IsTopologicalBasis T
a : α
⊢ (𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ preimage f '' T ∧ a ∈ t) id
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
key : Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs n)).toReal) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toReal) ↔ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
lip : LipschitzWith 1 NNReal.toReal
f₀ : Ω →ᵇ ℝ := comp NNReal.toReal lip f
_def_f₀ : f₀ = comp NNReal.toReal lip f
f₀_eq : ⇑f₀ = NNReal.toReal ∘ ⇑f
f₀_nn : 0 ≤ ⇑f₀
⊢ Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs n)).toReal) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toReal)
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
ClosedIicTopology α
Nonempty β
One α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactMulSupport f
⊢ ∃ x, ∀ (y : β), f x ≤ f y
α : Type u_1
LinearOrderedField α
Archimedean α
x y : α
h : x < y
⊢ ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < y
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace β
Preorder ι
u : ι → Ω → β
f : MeasureTheory.Filtration ι m
i : ι
hf : MeasureTheory.Adapted f u
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable (u i)
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
⊢ cosh x * (cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2) + sinh x * (2 * sinh x * cosh x) = 4 * cosh x ^ 3 - 3 * cosh x
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a : E
⊢ ‖a‖.toNNReal = ‖a‖₊
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
s t : Set E
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
st : s ⊆ t
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 t x
b : Bool
⊢ b = true ∨ b = false ↔ True
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R✝ S
I✝ : Ideal S
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hI : IsNilpotent I
x : R
⊢ IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
ℱ : Filter ι
f : X → α
⊢ Tendsto (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ℱ (𝓝 ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) f)) ↔ Tendsto F ℱ (𝓝 f)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(-π / 2)
⊢ x ≠ y
n m : Nat
⊢ n ^ m.succ = n ^ m * n
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
c' : 𝕜
n : ℕ
hc : HasDerivAt c c' x
⊢ HasDerivAt (fun y => c y ^ n) (↑n * c x ^ (n - 1) * c') x
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
⊢ y ∈ p.closedBall 0 r ↔ p y ≤ r
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hd : d ≠ 0
hn : 2 ≤ n
⊢ ↑d ^ (n - 2) / ↑n = ↑(d ^ n) / ↑(n * d ^ 2)
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
h : f₁ =O[l] g₁
hf : ∀ (x : α), f₁ x = f₂ x
hg : ∀ (x : α), g₁ x = g₂ x
⊢ f₂ =O[l] g₂
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
β : ι → Type u_4
(i : ι) → MeasurableSpace (β i)
ν : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (ν i)
hf : ∀ (i : ι), MeasureTheory.MeasurePreserving (f i) (μ i) (ν i)
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun a i => f i (a i)) (MeasureTheory.Measure.pi μ) (MeasureTheory.Measure.pi ν)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝ : CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℕ
this : ↑i = ↑↑i
⊢ h.zmodEquivZPowers ↑i = Additive.ofMul ⟨ζ ^ i, ⋯⟩
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
h : (a :: l).split = (a :: l₂, l₁)
⊢ a :: l ~ a :: l₂ ++ l₁
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
CommMonoid N
f : Option α →₀ M
b : Option α → M → N
h_zero : ∀ (o : Option α), b o 0 = 1
h_add : ∀ (o : Option α) (m₁ m₂ : M), b o (m₁ + m₂) = b o m₁ * b o m₂
⊢ f.prod b = b none (f none) * f.some.prod fun a => b (some a)
x : SetTheory.PGame.LeftMoves 1
⊢ SetTheory.PGame.moveLeft 1 x = 0
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Primrec₂ G
a : α
n : ℕ
⊢ Nat.rec (some (z a)) (fun n_1 n_ih => Nat.rec (some (s a)) (fun n_2 n_ih => Nat.rec (some (l a)) (fun n_3 n_ih => Nat.rec (some (r a)) (fun n_4 n_ih => G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))), n_4, n_4.div2.div2)) n_3) n_2) n_1) (List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))).length = some (F a (ofNat Code (n + 1 + 1 + 1 + 1)))
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_4
ConditionallyCompleteLinearOrder β
OrderTop β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
h₁ : ∀ i ∈ s, Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f (F i) := by exact fun _ _ ↦ by isBoundedDefault
h₂ : ∀ i ∈ s, Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f (F i) := by exact fun _ _ ↦ by isBoundedDefault
⊢ Filter.liminf (fun a => s.inf fun i => F i a) f = s.inf fun i => Filter.liminf (F i) f
a b c : Ordinal.{u_1}
b0 : b ≠ 0
h : c.IsLimit
⊢ ¬a < b ^ c ↔ ∀ (x : Ordinal.{u_1}), ¬(x < c ∧ a < b ^ x)
α : Type u_3
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
x : α
r : ℝ
⊢ IsCompact (Metric.sphere x r)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Monoid G
SmoothMul I G
X Y : LeftInvariantDerivation I G
⊢ ⇑(X - Y) = ⇑X - ⇑Y
n : PosNum
d : ZNum
⊢ ↑d.abs - ↑(n.pred' % d.abs).succ = ↑(neg n) % ↑d
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedRing α
inst✝⁴ : FloorRing α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : β → α → γ
h : ContinuousOn (uncurry f) (univ ×ˢ Icc 0 1)
hf : ∀ (s : β), f s 0 = f s 1
⊢ Continuous (uncurry f ∘ Prod.map id fract)
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
hf : Integrable f volume
⊢ ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v = (1 / 2) • ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • (f v - f (v + i w))
α : Type u_1
s : Set α
⊢ (PartialEquiv.ofSet s).source = s
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sSup ((fun x => ‖f x‖) '' closedBall 0 1) = ‖f‖
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ X : SimplicialObject C
X₀ : C
f : X _[0] ⟶ X₀
w : ∀ (i : SimplexCategory) (g₁ g₂ : [0] ⟶ i), X.map g₁.op ≫ f = X.map g₂.op ≫ f
i j : SimplexCategoryᵒᵖ
g : i ⟶ j
⊢ X.map g ≫ X.map ([0].const (unop j) 0).op ≫ f = (X.map ([0].const (unop i) 0).op ≫ f) ≫ 𝟙 X₀
𝕜 : Type u_1
NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.degree < P.degree
hQ : Q ≠ 0
hnng : 0 ≤ P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Polynomial.eval x P / Polynomial.eval x Q) Filter.atTop Filter.atTop
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
s : Set α
inst✝ : UniformSpace α
⊢ map (Prod.map Subtype.val Subtype.val) (𝓤 ↑s) = 𝓤 α ⊓ 𝓟 (s ×ˢ s)
ι : Type u_4
x : ι → ℝ≥0∞
l : Filter ι
⊢ (Filter.liminf x l)⁻¹ = Filter.limsup (fun i => (x i)⁻¹) l
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
R₁ R₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
hR₂' : CategoryTheory.Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 1 ⋯)
h₁ : CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 2 ⋯)
⊢ CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 0 ⋯)
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
hHK : H ≤ K
⊢ (H.addSubgroupOf K).Normal ↔ ∀ (h k : G), h ∈ H → k ∈ K → k + h + -k ∈ H
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
β : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set (Set α)
hs : IsTopologicalBasis s
t : Set (Set β)
ht : IsTopologicalBasis t
⊢ ∀ u ∈ (fun u => Sum.inl '' u) '' s ∪ (fun u => Sum.inr '' u) '' t, IsOpen u
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
⊢ LinearMap.range (fderivWithin ℝ (writtenInExtChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) v Subtype.val) (Set.range ↑𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n))) (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v) v)) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ G.dist u v = 1 ↔ G.Adj u v
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_6
M₂ : Type u_8
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ LinearMap.ker ↑e = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y P : C
π₁ : P ⟶ X
π₂ : P ⟶ Y
⊢ (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk π₁ π₂).fst = π₁
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
hι : Nonempty ι
K : ι → Subgroup G
hK : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(K i))
⊢ ∀ (x y : G), (∃ i, x ∈ K i) → (∃ i, y ∈ K i) → ∃ i, x * y ∈ K i
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
x : α
y : β
hd : α
tl : List α
ihl : tl.Nodup → map (update f x y) tl = if x ∈ tl then (map f tl).set (indexOf x tl) y else map f tl
hl : (hd :: tl).Nodup
⊢ map (update f x y) (hd :: tl) = if x ∈ hd :: tl then (map f (hd :: tl)).set (indexOf x (hd :: tl)) y else map f (hd :: tl)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a b : α
h : IsLUB s a
⊢ b < a ↔ ∃ c ∈ s, b < c
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs'✝ : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
hs' : s < 0
⊢ log (1 + s) * p < log (1 + p * s)
α : Type u_1
LinearOrder α
⊢ IsPiSystem (Set.range Set.Iic)
K : Type u_2
CommRing K
IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∃ P,
  Polynomial.map (Int.castRingHom K) P = Polynomial.cyclotomic' n K ∧
    P.degree = (Polynomial.cyclotomic' n K).degree ∧ P.Monic
α : Type u
Nonempty α
⊢ #(Multiset α) = max #α ℵ₀
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology
⊢ opcyclesMap φ = opcyclesMap' (𝟙 S₁) S₁.rightHomologyData h₁ ≫ γ.φQ ≫ opcyclesMap' (𝟙 S₂) h₂ S₂.rightHomologyData
m : ℝ
⊢ ProbabilityTheory.gaussianPDFReal m 0 = 0
R✝ : Type u
M✝ : Type v
N : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
inst✝⁷ : Free R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
inst✝⁴ : Free R✝ N
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : _root_.Finite ι
b : Basis ι R M
⊢ Finite R M
α : Type u_1
s : Set α
Fintype ↑s
t : Finset α
⊢ s.toFinset ⊂ t ↔ s ⊂ ↑t
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
a b c✝ : α
h : a ∣ b
c : α
⊢ a ∣ b * c
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : ∀ (k : ℕ), padicNorm p (↑f k) = padicNorm p (↑g k)
hf : ¬f ≈ 0
⊢ f.norm = g.norm
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
F.Initial
(F.comp G).Initial
⊢ G.Initial
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
hM : M.IsMaximal
x : R
hx : x ∈ comap (algebraMap R (Localization p.primeCompl)) (comap (IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) M)
h : x ∉ p
⊢ IsUnit ((algebraMap R (Localization p.primeCompl)) x)
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
⊢ (Finset.univ.sup fun i => ∑ x : n, ‖∑ j : m, A i j * B j x‖₊) ≤ (Finset.univ.sup fun i => ∑ j : m, ‖A i j‖₊) * Finset.univ.sup fun i => ∑ j : n, ‖B i j‖₊
α : Type u_3
β : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AlexandrovDiscrete α
f : β → α
h : Inducing f
⊢ AlexandrovDiscrete β
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
r : List α
⊢ take ((r ++ l₁).length - l₁.length) (r ++ l₁) ++ l₁ = r ++ l₁
α : Type u
s t : Set α
h : s ⊆ t
⊢ s ⊂ t ↔ ∃ x ∈ t, x ∉ s
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]
⊢ ↑(normSq (a + b)) = ↑(normSq a) + a * star b + b * star a + ↑(normSq b)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (L : IntermediateField F E), FiniteDimensional F ↥L → IsPurelyInseparable F ↥L
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
hd : Disjoint s1 s2
⊢ Disjoint ↑(affineSpan k (p '' s1)) ↑(affineSpan k (p '' s2))
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β
⊢ (OrderIso.refl α).trans e = e
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ ↑(finrank R M) = Module.rank R M
S : Type u_1
AddMonoidWithOne S
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.HasShift C S
X Y Z : CategoryTheory.DifferentialObject S C
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z
⊢ (f.comp g).f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f g.f
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
Fintype ι
DecidableEq ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι
⊢ x = e.orientation ∨ x = -e.orientation
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
n : ℕ
⊢ n ≠ 0 → (n • s).toFinset = s.toFinset
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Injective ⇑f
x : M
h : IsAssociatedPrime (Submodule.span R {x}).annihilator M
r : R
⊢ r ∈ (Submodule.span R {x}).annihilator ↔ r ∈ (Submodule.span R {f x}).annihilator
G : Type u_3
Group G
a b : G
⊢ a = b⁻¹ ↔ a * b = 1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
SemilatticeInf ι
NoMinOrder ι
Nonempty ι
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndep m hm s μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m (Filter.limsup s Filter.atBot) (Filter.limsup s Filter.atBot) hm μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
h : n + 1 ≤ m
f g : CategoryTheory.ComposableArrows C m
app : f.obj' n ⋯ ≅ g.obj' n ⋯
app' : f.obj' (n + 1) h ≅ g.obj' (n + 1) h
w :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' n (n + 1) ⋯ h) app'.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app.hom (g.map' n (n + 1) ⋯ h)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (g.map' n (n + 1) ⋯ h) app'.inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp app.inv (f.map' n (n + 1) ⋯ h)
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
x : ℤ_[p]
⊢ x - ↑(x.appr n) ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ Composition.ones n → p.compAlongComposition (id 𝕜 E) b = 0
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
⊢ ‖a * b‖₊ ≤ ‖a‖₊ + ‖b‖₊
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I✝ : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
f : Module.End R M
I : Ideal R
hI : LinearMap.range f ≤ I • ⊤
this : ∀ (x : M), f x ∈ LinearMap.range (Ideal.finsuppTotal ι M I b)
⊢ ∃ M_1, (toEnd R b hb) M_1 = f ∧ ∀ (i j : ι), ↑M_1 i j ∈ I
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z a : K
h : ‖a‖ ≤ re a
⊢ im a = 0
n₁ n₂ : ℕ
⊢ Nat.Partrec.Code.const n₁ = Nat.Partrec.Code.const n₂ → n₁ = n₂
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
⊢ AntilipschitzWith 1 id
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : E
⊢ gauge (Metric.ball 0 r) x = ‖x‖ / r
α : Sort u_3
β : Sort u_4
γ : Sort u_5
f : α → β → γ
P : Prop
Decidable P
a : P → α
b : ¬P → α
c : P → β
d : ¬P → β
⊢ f (dite P a b) (dite P c d) = if h : P then f (a h) (c h) else f (b h) (d h)
𝕜 : Type u_1
E : Type u
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
⊢ AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
x : ↥U
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hxV : ↑x ∈ V.carrier
iVU : V ⟶ U
f g : R
hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g
s_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s
⊢ ∃ f g i, ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen g ∧ const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map i.op) s
α : Type u
s : Set α
⊢ s ∈ ⊥
f : ℕ → ℝ
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
h_mono : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_succ_diff : SuccDiffBounded 2 fun x => 2 ^ x
x✝ : ℕ
⊢ 2 ^ x✝ = ↑(2 ^ (x✝ + 1)) - ↑(2 ^ x✝)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
x✝ : x ∈ f.range
⊢ (T (↑f ⁻¹' {x})) x = 0