ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
hg : x.orderTop = ↑g
h : x.orderTop ≠ ⊤
⊢ x.coeff g ≠ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J₁ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : CategoryTheory.Sieve X
⊢ J₁.IsClosed S → J₁.IsClosed (CategoryTheory.Sieve.pullback f S)
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
⊢ ∀ {X Y : ↑S.objs} (p : X ⟶ Y), ↑(CategoryTheory.Groupoid.inv p) = CategoryTheory.Groupoid.inv ↑p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s✝ t : Set α
h : Semiconj f fa fb
s : Set β
hb : InjOn fb s
hf : InjOn f (f ⁻¹' s)
x : α
hx : x ∈ f ⁻¹' s
y : α
hy : y ∈ f ⁻¹' s
H : fa x = fa y
this : f (fa x) = f (fa y)
⊢ x = y
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Spec : Set (Ideal R) := {I | I.IsPrime}
s : Finset ↑Spec
H : ∀ I ∈ range fun x => x.inf Subtype.val, ¬I < (fun x => x.inf Subtype.val) s
p : ↑Spec
⊢ p ∈ s
ι : Type u_1
α : Type u_3
LinearOrderedAddCommGroup α
TopologicalSpace α
Archimedean α
OrderClosedTopology α
b : α
hb : 0 < b
hf : Summable fun x => b
⊢ Finite ι
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Sort u
β : α → Sort v
f : (a : α) → β a
β' : α → Sort v
f' : (a : α) → β' a
h : ∀ (a a' : α), HEq a a' → HEq (f a) (f' a')
this✝ : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)
this : β = β'
⊢ HEq f f'
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝¹ : ConnectedSpace α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : α → (i : ι) × π i
hf : Continuous f
i : ι
hi : range f ⊆ range (Sigma.mk i)
⊢ ∃ i g, Continuous g ∧ f = Sigma.mk i ∘ g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
MeasurableSpace β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
BorelSpace β
MeasurableSpace γ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace γ
BorelSpace γ
SecondCountableTopologyEither β γ
MeasurableSpace δ
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace δ
OpensMeasurableSpace δ
SecondCountableTopology δ
g : β → γ → δ
hg : Measurable (Function.uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ
⊢ ↑(MeasureTheory.AEEqFun.comp₂Measurable g hg f₁ f₂) =ᵐ[μ] fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hf : Integrable f μ
⊢ μ[μ[f|m₂]|m₁] =ᶠ[ae μ] μ[f|m₁]
α : Type u_1
a : AsBoolRing α
⊢ toBoolRing (ofBoolRing a) = a
α : Type u_1
s t : Multiset α
a : α
h : s ≤ t
⊢ a ∈ s → a ∈ t
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → ℤ
⊢ ↑(sf n) ∣ (Matrix.vandermonde v).det
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
D₀ : Set α
hD₀ : ¬M.Indep D₀
hD₀E : D₀ ⊆ M.E
I : Set α
hI : M.Indep I
h_eq : D₀ = I
⊢ False
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
LE E
hf : MeasureTheory.Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ μ[f j|↑ℱ i] ≤ᵐ[μ] f i
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ : List α} {b : α}, (l₁ ++ [b]).dropLast = l₁
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m => z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < n, a k = 0
hn : n > 0
⊢ ∃ t, z ^ n • t = s ∧ HasSum (fun m => z ^ m • a (m + n)) t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → M
g : α → β
⊢ (mulSupport fun b => (filter (fun a => g a = b) s).prod f) ⊆ ↑(image g s)
α : Type u_2
Mul α
f g : Filter α
⊢ (f * g).NeBot → g.NeBot
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a✝ b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
a : A
⊢ (AlgebraicIndependent R fun o => o.elim a x) ↔ ¬_root_.IsAlgebraic (↥(adjoin R (range x))) a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
b : α
bs : b ∈ s
a : α
as : a ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
ac : a ≤ c
⊢ variationOnFromTo f s c b ≤ variationOnFromTo f s a b
R : Type u_1
CommRing R
IsDedekindDomain R
Module.Free ℤ R
Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal (nonZeroDivisors R) K
⊢ 0 ≤ FractionalIdeal.absNorm I
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s✝ s t : Set G
ht : IsSubgroup t
h : s ⊆ t
a : G
ha : a ∈ closure s
⊢ a ∈ t
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
⊢ p.natDegree = 1 ↔ ∃ a, a ≠ 0 ∧ ∃ b, Polynomial.C a * Polynomial.X + Polynomial.C b = p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] E'
x : E
y : E'
⊢ ⟪f x, y⟫_𝕜 = ⟪x, f.symm y⟫_𝕜
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ IsIso (ComposableArrows.app' (AdicCompletion.firstRowToSecondRow I M f) 1 ⋯)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T) ∈
  CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : IsCompl s1.direction s2.direction
p : P
hp : p ∈ ↑s1 ∩ ↑s2
q : P
⊢ q ∈ ↑s1 ∩ ↑s2 ↔ q ∈ {p}
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
⊢ lift.{max (max u' v) u, max (max u' v) u} #(List BoundedFormula.encoding.Γ) ≤ lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (max ℵ₀ (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card))
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
x : ↑X.toTopCat
a : ↑(Y.presheaf.obj (op ⊤))
⊢ x ∈ (Opens.map f.val.base).obj ⊤
K : Type v
Field K
f : K[X]
⊢ Algebra.adjoin K (f.rootSet f.SplittingField) = ⊤
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ ∀ i2 ∈ univ, i2 ≠ pointIndex i → pointWeightsWithCircumcenter i i2 = 0
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this✝ : Algebra.IsAlgebraic (↥(separableClosure F E)) E
h : finSepDegree F E = finSepDegree F ↥(separableClosure F E) * finSepDegree (↥(separableClosure F E)) E
this : Algebra.IsSeparable F ↥(separableClosure F E)
⊢ finSepDegree F E = Cardinal.toNat (sepDegree F E)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : α
⊢ Set.graphOn f {x} = {(x, f x)}
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N P : Matrix m m R
⊢ (M * N * P).det = (M * P * N).det
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 64 ≤ N
⊢ 3 ≤ nValue N
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
I : Ideal R
h : I.FG
⊢ IsIdempotentElem I ↔ I = ⊥ ∨ I = ⊤
f g : ℕ → ℝ≥0∞
h₁ : ∑' (i : ℕ), g i ≠ ⊤
h₂ : g ≤ f
⊢ ∑' (i : ℕ), (f i - g i) = ∑' (i : ℕ), f i - ∑' (i : ℕ), g i
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ support R N ⊆ support R M ∪ support R P
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
A₁ : Type u_2
A₂ : Type u_3
CommSemiring A₁
CommSemiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ (MvPolynomial.mapAlgEquiv σ e).symm = MvPolynomial.mapAlgEquiv σ e.symm
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
e₁ e₂ : explicitCokernel f ⟶ Z
h : explicitCokernelπ f ≫ e₁ = explicitCokernelπ f ≫ e₂
g : Y ⟶ Z := explicitCokernelπ f ≫ e₂
w : f ≫ g = 0
this : e₂ = explicitCokernelDesc w
⊢ e₁ = e₂
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Limits.parallelPair f g) G
⊢ (CategoryTheory.Limits.PreservesCoequalizer.iso G f g).hom = CategoryTheory.Limits.coequalizerComparison f g G
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
s : Set (Submodule R M)
z : M
hs : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
this : Nonempty ↑s
⊢ z ∈ sSup s ↔ ∃ y ∈ s, z ∈ y
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
M : Matroid α
X : Set α
⊢ M.closure X = ↑(M.subtypeClosure ⟨X ∩ M.E, ⋯⟩)
R : Type u
CommSemiring R
f : R
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus {f ^ n} = PrimeSpectrum.zeroLocus {f}
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R
⊢ M.charpolyRev.coeff 1 = -M.trace
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : x ∉ closure s
⊢ derivWithin f s x = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
TopologicalSpace 𝕜
OrderedRing 𝕜
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
A : Set E
⊢ IsExposed 𝕜 A ∅
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ
⊢ ↑k • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + (1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)) = k • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + ((ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1))
l r : List Char
it : String.Iterator
⊢ String.Iterator.ValidFor l r it → (it.hasNext = true ↔ r ≠ [])
a b m n✝ p d n : ℕ
h : d ∣ n
hd : d ≠ 0
hn : n ≠ 0
⊢ (fun x => x + d.factorization) (n / d).factorization = (fun x => x + d.factorization) (n.factorization - d.factorization)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x✝ y z : V
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
hst : s ⊆ t
b : Set V
bt : b ⊆ t
bi : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) K Subtype.val
sb : s ⊆ b
h : ∀ a ∈ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) K Subtype.val}, b ⊆ a → a = b
x : V
xt : x ∈ t
hn : x ∉ ↑(span K b)
⊢ False
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
h : BddAbove (Set.range f)
a : α
⊢ ⨆ i, f i ≤ a ↔ ∀ (i : ι), f i ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p b < multiplicity p a
⊢ multiplicity p b < multiplicity p a
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherianRing R
⊢ R ≃+* MvPolynomial (Fin 0) R
α : Type u_1
N M : Matroid α
M.Finitary
h : N.Restriction M
⊢ N.Finitary
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ IsPushout 0 b.inl 0 b.snd
X : Type u
MetricSpace X
⊢ LipschitzWith 1 TopologicalSpace.NonemptyCompacts.toGHSpace
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ⊆ {y | writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f) y = (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) y}
R : Type u_1
Ring R
NoZeroDivisors R
φ ψ : PowerSeries R
h : φ * ψ = 0
⊢ φ = 0 ∨ ψ = 0
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
⊢ Polynomial.content 1 = 1
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2
hu : IsUnit ↑(ringChar FF)
ψ₈ : PrimitiveAddChar (ZMod ↑8) F := primitiveZModChar 8 F ⋯
ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char
τ : FF := ψ₈char 1
τ_spec : τ ^ 4 = -1
χ : MulChar (ZMod 8) FF := χ₈.ringHomComp (Int.castRingHom FF)
hχ : χ (-1) = 1
hq : χ.IsQuadratic
h₁ : (fun a => ↑(χ₈ a) * τ ^ ↑a) = fun a => χ a * ψ₈char a
hg₁ : gaussSum χ ψ₈char = 2 * (τ - τ ^ 3)
hg : gaussSum χ ψ₈char ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card (ZMod 8))
h : ↑8 ^ (Fintype.card F / 2) = χ ↑(Fintype.card F)
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : s.Countable
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in ⋃ x ∈ s, {x}, f a ∂μ
X : Type u_1
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
R : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
A : X → Matrix (m × p) (n × p) R
hA : Continuous A
⊢ Continuous fun x => (A x).blockDiag
n✝ m n : ℕ
a b : Fin n
⊢ a.succ = b.succ → a = b
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (W.map φ).b₆ = φ W.b₆
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
κ : Type u_8
e₁ : ι ≃ κ
e₂ : M ≃ₗ[R] N
i : ι
m : M
⊢ (Finsupp.lcongr e₁ e₂) (Finsupp.single i m) = Finsupp.single (e₁ i) (e₂ m)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
⊢ S.preOneHypercover.sieve₀ = ↑S
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
HasOrthogonalProjection K
⊢ K ⊔ Kᗮ = ⊤
α : Type u
n : ℕ
MetricSpace α
x : ℕ → α
a : α
⊢ ↑(KuratowskiEmbedding.embeddingOfSubset x a) n = dist a (x n) - dist (x 0) (x n)
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x y : E
⊢ Metric.closedBall x δ - {y} = Metric.closedBall (x - y) δ
α : Type u_1
E' : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E'
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : f₁ =o[l] f₂
⊢ f₂ =O[l] (f₂ + f₁)
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ Finset.filter p s ∩ Finset.filter (fun a => ¬p a) t = ∅
R : Type u
Semiring R
a : R
β : Type u_1
AddCommMonoid β
f : ℕ → R → β
h : f 0 0 = 0
⊢ (Polynomial.C a).sum f = f 0 a
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x y : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ x.asHomogeneousIdeal < y.asHomogeneousIdeal ↔ x < y
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
Zero β
TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
T1Space β
b : β
NeZero b
⊢ Filter.Tendsto (fun i => (As i).indicator fun x => b) L (𝓝 (A.indicator fun x => b)) ↔
  ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
a' : ℝ
⊢ ContinuousOn (cosKernel ↑a') (Ioi 0)
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
⊢ Function.Injective ⇑h
G : Type u_3
InvolutiveInv G
⊢ Function.LeftInverse (fun a => a⁻¹) fun a => a⁻¹
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c : ℂ
CompleteSpace E
StrictConvexSpace ℝ E
hd : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c R₁)
h_maps : Set.MapsTo f (Metric.ball c R₁) (Metric.ball (f c) R₂)
h_z₀ : ∃ z₀ ∈ Metric.ball c R₁, ‖dslope f c z₀‖ = R₂ / R₁
⊢ ∃ C, ‖C‖ = R₂ / R₁ ∧ Set.EqOn f (fun z => f c + (z - c) • C) (Metric.ball c R₁)
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (Prod.snd '' s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hs' : μ s = 0
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing 𝕜
inst✝⁹ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁸ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁷ : ContinuousAdd 𝕜
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra 𝕜 A
inst✝² : Nontrivial 𝕜
inst✝¹ : T2Space 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
⊢ IsClosed ({a | a 1 = 1} ∩ {a | ∀ (x y : A), a (x * y) = a x * a y})
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x ↔ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑n) f p u
α : Type u_2
ι : Type u_5
LinearOrder α
OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
⊢ a < s.sup f ↔ ∃ b ∈ s, a < f b
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
I : Ideal R := { carrier := {r | r * (d * a) = r * (b * c)}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
p : PrimeSpectrum R
hfp : p ∈ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I
⊢ f ∈ p.asIdeal
α : Type u
s : Set α
⊢ IsCompl (𝓟 s) (𝓟 sᶜ)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
self : LieModule.IsNilpotent R L M
⊢ ∃ k, LieModule.lowerCentralSeries R L M k = ⊥
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : Type w
B : LinearMap.BilinForm R M
v : n → M
⊢ B.iIsOrtho v ↔ ∀ (i j : n), i ≠ j → (B (v i)) (v j) = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
⊢ Finset.filter (fun p => ¬p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts =
  Finset.filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts
a : PartENat
ha : a.Dom
b : ℕ
⊢ a.get ha = b ↔ a = ↑b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
h : (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₁) = (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₂)
ha : ∀ (a : Fin (n + 1)), (↑fs₁).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₁ + 1))⁻¹) a = (↑fs₂).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₂ + 1))⁻¹) a
⊢ fs₁ = fs₂
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | ∀ (i : ι), f i x = f i x₀} x₀
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
q : R[X]
hp : eval₂ f x p = 0
⊢ eval₂ f x (p * q) = 0
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g' : F[X]
m : ℕ
hg' : g'.Separable
s : ℕ
hm : m ≤ m + s
hg : ((expand F (q ^ s)) g').Separable
h : IsUnit g'
⊢ ((expand F (q ^ s)) g').natDegree = g'.natDegree
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R A
Module R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalSubalgebra R A
f : F
⊢ ↑(NonUnitalSubalgebra.map f S) = ⇑f '' ↑S
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
F' : Type u_4
inst✝² : EquivLike F' R S
inst✝¹ : RingEquivClass F' R S
f : F'
I : Ideal R
inst✝ : I.IsPrime
h : map f I = map (↑↑f) I
⊢ (comap (↑f).symm I).IsPrime
E : Type u_1
PE : Type u_2
F : Type u_3
PF : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MetricSpace PE
inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MetricSpace PF
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
x y : PE
z : PE := midpoint ℝ x y
s : Set (PE ≃ᵢ PE) := {e | e x = x ∧ e y = y}
this : Nonempty ↑s
h_bdd : BddAbove (range fun e => dist (↑e z) z)
⊢ ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), e x = x → e y = y → e z = z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).op = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g.op f.op
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
G' : ι → Type v'
(i : ι) → AddCommGroup (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+ G' j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
e : (i : ι) → G i ≃+ G' i
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (e j).toAddMonoidHom.comp (f i j h) = (f' i j h).comp ↑(e i)
i : ι
g : G' i
⊢ (AddCommGroup.DirectLimit.congr e he).symm ((AddCommGroup.DirectLimit.of G' f' i) g) =
  (AddCommGroup.DirectLimit.of G f i) ((e i).symm g)
α : Type u
s t : Set α
⊢ s ⊂ t ↔ s ⊆ t ∧ s ≠ t
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : Presieve.FamilyOfElements P R
b✝ : x.Compatible
⊢ ∀ (a : P.obj (op X)), x.IsAmalgamation a ↔ forkMap P R a = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm x
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
⊢ Set.Iio a ∪ Set.Ioi a = {a}ᶜ
S : Set Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
s : Ordinal.{u}
hs : s ∈ S
⊢ s ≤ enumOrd S (sSup {a | enumOrd S a ≤ s})