ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
σ : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Semiring T
f : R →+* S
g : S →+* T
n : σ →₀ ℕ
a : R
⊢ (map σ f) ((monomial R n) a) = (monomial S n) (f a)
n : ℕ
c : Composition n
i : Fin c.length
⊢ c.sizeUpTo (↑i + 1) = c.sizeUpTo ↑i + c.blocksFun i
a b : ℝ
n k : ℕ
ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k) = π * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 1) / (2 * ↑i + 2)
⊢ (sin 0 ^ (2 * k + 1) * cos 0 - sin π ^ (2 * k + 1) * cos π) / ↑(2 * k + 2) + ↑(2 * k + 1) / ↑(2 * k + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k) = ↑(2 * k + 1) / ↑(2 * k + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k)
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
⊢ ⇑μ.toWeakDualBCNN = μ.testAgainstNN
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ Set.range (Quot.mk r) = Set.univ
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
f : M →+ M₂
⊢ ⇑f.toIntLinearMap = ⇑f
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℕ → M
he : HasProd (fun k => f (2 * k)) m
ho : HasProd (fun k => f (2 * k + 1)) m'
⊢ HasProd f (m * m')
α : Type u_1
σ : Type u_3
F : Ctop α σ
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.range F.f)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommSemiring R
CommRing S
Algebra R S
I : Ideal S
hI : IsNilpotent I
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J) → P J
⊢ P I
G : Type u_3
P : Type u_4
SMul G P
self : IsCancelSMul G P
a : G
b c : P
⊢ a • b = a • c → b = c
R : Type u_1
m : Type u_2
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
A : Matrix m (n₁ ⊕ n₂) R
⊢ A.toColumns₁.fromColumns A.toColumns₂ = A
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hc₂ : ∃ v ∈ f, closure (Set.image2 ϕ v s) ⊆ c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : omegaLimit f ϕ s ⊆ n
⊢ ∃ u ∈ f, closure (Set.image2 ϕ u s) ⊆ n
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ f (a • x + b • z) ≤ a • f x + b • f z
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G H : CategoryTheory.Functor C D
α : G ≅ H
F : CategoryTheory.Functor D E
⊢ (CategoryTheory.isoWhiskerRight α F).inv = CategoryTheory.whiskerRight α.inv F
α : Type u_3
β : Type u_4
Nonempty α
SemilatticeSup α
Preorder β
f : α → β
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atTop ↔ ∀ (b : β), ∃ i, ∀ (a : α), i ≤ a → b ≤ f a
⊢ Nat.Primrec' fun v => v.head + v.tail.head
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
f : R[X]
Algebra R S
Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f
⊢ f.natDegree ≠ 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.inr ≫ (CategoryTheory.Limits.zeroCoprodIso X).hom = 𝟙 X
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
ι : Sort u_2
S : ι → NonUnitalSubring R
⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
a✝ b✝ : ℤ
n✝ a b n : ℕ
a_lt_n : a < n
b_lt_n : b < n
⊢ (↑a - ↑b).natAbs < n
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Finset α
⊢ Finset.filter p s ⊆ s
α : Type u
f : α → α
n : ℕ
⊢ f^[n.succ] = f^[n] ∘ f
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F : Type u_11
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F V)
(x : M) → TopologicalSpace (V x)
FiberBundle F V
s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
h : ⇑s = ⇑t
⊢ s = t
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ c * c = c
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
⊢ (∀ (t : Finset α), (↑t).Intersecting → s ⊆ t → s = t) ↔ 2 * s.card = Fintype.card α
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ T0Space X ↔ Pairwise fun a b => a ∉ closure {b} ∨ b ∉ closure {a}
α : Type u_1
l : List α
n : ℕ
x : α
⊢ (l ++ [x]).rtake (n + 1) = l.rtake n ++ [x]
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
BoundedOrder α
BoundedOrder β
BoundedOrder γ
g₁ g₂ : BoundedLatticeHom β γ
f : BoundedLatticeHom α β
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ g₁.comp f = g₂.comp f ↔ g₁ = g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
h₁ : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
h₂ : ∀ (a b : α) (ha : a ∈ s) (hb : b ∈ s), f a ha = f b hb → a = b
h₃ : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
⊢ s.ncard = t.ncard
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M
x : E
hx : x ∈ ↑I '' (f'.symm ≫ₕ f).source
⊢ ↑I '' (f'.symm ≫ₕ f).source ∈ 𝓝[range ↑I] x
y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Ioo ⊥ ↑y = Iio y
α : Type u_2
PartialOrder α
OrderBot α
⊢ IsAtomic α ↔ ∀ (x : α), IsAtomic ↑(Set.Iic x)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
G : CategoryTheory.Functor C D
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
A : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} A
∀ (X : Dᵒᵖ), CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.StructuredArrow X G.op) A
CategoryTheory.Functor.IsDenseSubsite J K G
⊢ (CategoryTheory.Functor.IsDenseSubsite.sheafEquiv G J K A).inverse = G.sheafPushforwardContinuous A J K
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K₁ K₂ : Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ K₂.carrier
⊢ 0 < ↑(index (↑K₀) U)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ ‖(MeasureTheory.L1.setToL1 hT) f‖ ≤ max C 0 * ‖f‖
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v2 v3 : ℕ
⊢ stationaryPoint hf ≤ stationaryPoint hf
α : Type u
γ : Type w
EMetricSpace α
CompleteSpace α
EMetricSpace γ
f : α → γ
hf : Isometry f
⊢ ClosedEmbedding f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type v
CategoryTheory.SmallCategory I
CategoryTheory.IsFiltered I
F : CategoryTheory.Functor I C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp CategoryTheory.yoneda)
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ (CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation.ofCocone c hc).I = I
M : Type u_2
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
Monoid M
DistribMulAction M α
SMulCommClass M α α
IsScalarTower M α α
n : M
f : CentroidHom α
a : α
⊢ (n • f) a = n • f a
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
⊢ (A * B).FermatPsp b
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
NoMaxOrder α
a : α
⊢ (𝓝[≥] a).HasBasis (fun u => a < u) (Set.Ico a)
α : Type u
R : Type v
CommRing R
f g : FreeCommRing α →+* R
h : ∀ (x : α), f (FreeCommRing.of x) = g (FreeCommRing.of x)
⊢ f = g
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
G'' : Type u_8
NormedLatticeAddCommGroup G''
NormedSpace ℝ G''
CompleteSpace G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)
⊢ (MeasureTheory.L1.setToL1 hT) f ≤ (MeasureTheory.L1.setToL1 hT') f
α : Type u_1
CompleteLattice α
PredOrder α
a : α
⊢ Order.pred a = ⨆ b, ⨆ (_ : b < a), b
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]
r : R
⊢ derivative (eval₂ C q (C r)) = eval₂ C q (derivative (C r)) * derivative q
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ∈ {∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ, -∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ}
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
AddCommMonoid N
f : α → β
l : β →₀ M
g : β → M → N
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support
⊢ (Finsupp.comapDomain f l ⋯).sum (g ∘ f) = l.sum g
R : Type u_2
CommRing R
S : Subring R
x : ↥S
⊢ (algebraMap (↥S) R) x = ↑x
α : Type u_1
G : Type u_6
Group G
s t : Set α
h : s ⊆ t
f : α → G
⊢ (t \ s).mulIndicator f = t.mulIndicator f / s.mulIndicator f
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation K Γ₀
x y : K
γ : Γ₀ˣ
y_ne : y ≠ 0
h : v (x - y) < min (↑γ * (v y * v y)) (v y)
hyp1 : v (x - y) < ↑γ * (v y * v y)
hyp1' : v (x - y) * (v y * v y)⁻¹ < ↑γ
hyp2 : v (x - y) < v y
key : v x = v y
⊢ v (x⁻¹ - y⁻¹) < ↑γ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < ↑r
hr : 0 < ↑r - δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < ↑r
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
x : X
⊢ μH[0] {x} = 1
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
⊢ sSup {p | ∃ G x x_1, p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)} ≤ projectiveSeminorm
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
⊢ LipschitzWith 1 nnnorm
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0
s : Set α
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.map NNReal.toReal (f.restrict s) = (MeasureTheory.SimpleFunc.map NNReal.toReal f).restrict s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C✝ : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO : f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
⊢ ‖f z‖ ≤ C
α : Type u_1
DecidableEq α
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
hp : p.IsPath
hp' : ∀ (w : α), w ∈ p.support
⊢ p.IsHamiltonian
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
f : R[X]
hp : 0 < p
⊢ ((Polynomial.expand R p) f).Monic ↔ f.Monic
f₁ f₂ : CircleDeg1Liftˣ
h : (↑f₁).translationNumber = (↑f₂).translationNumber
⊢ ∃ F, Function.Semiconj ⇑F ⇑↑f₁ ⇑↑f₂
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α
⊢ (x ⇨ y)ᶜ = x \ y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
self : S.RightHomologyData
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.f self.p = 0
α : Type u_1
Finite α
⊢ Nat.card (Option α) = Nat.card α + 1
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a : R
ha : a ≠ 0
p q : R⟦X⟧
n : ℕ
h : (coeff R n) p = (coeff R n) q ∨ a ^ n = 0
⊢ ¬a ^ n = 0
R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
a : A
h : ¬∀ m ∈ List.map (⇑(aeval a)) (Multiset.map (fun x => X - C x) p.roots).toList, IsUnit m
⊢ ∃ k ∈ σ a, eval k p = 0
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
T2Space M
i : ι
x : M
t : Finset ι
ht : ∀ (j : ι), WellOrderingRel j i → ↑(fs.toFun j) x ≠ 0 → j ∈ t
⊢ (fs.toSmoothPartitionOfUnity i) x =
  ↑(fs.toFun i) x * ∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t, (1 - ↑(fs.toFun j) x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
DecidableEq β
DecidableEq γ
s : Finset α
f : α → Finset β
g : β → Finset γ
⊢ (s.biUnion f).biUnion g = s.biUnion fun a => (f a).biUnion g
α β : Type u
β' : Type v
⊢ #(α ≃ β) = 0 ↔ #α ≠ #β
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
⊢ LieModule.IsNilpotent R L ↥↑N ↔ ∃ k, N ≤ ucs k ⊥
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j✝ : Fin n✝
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h : i ≤ j.castSucc
⊢ i.castSucc.succAbove j.castSucc = (i.succAbove j).castSucc
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => ((s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + (s + 1).Gammaℝ * -I * -↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑n)) / ↑n ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s)
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ (s + 1).Gammaℝ * ((cexp (-(2 * ↑π * ↑a * ↑n) * I) - cexp (2 * ↑π * ↑a * ↑n * I)) * I) / 2 / ↑n ^ s = (s + 1).Gammaℝ * (-I * 1 * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + -I * -1 * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑n)) / 2 / ↑n ^ s
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
M : Type u_5
Monoid M
DistribMulAction M F
SMulCommClass R M F
a : M
f : E →ₗ.[R] F
⊢ (a • f).domain = f.domain
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
hp : nil.IsCycle
⊢ G ≠ ⊥
n : ℕ
α : Type u_1
xs : Fin n → α
x : α
⊢ Fin.snoc xs x = Fin.append xs (Fin.cons x Fin.elim0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β → γ
a : Option α
b : Option β
β' : Type u_6
g : γ → δ
f' : β' → α → δ
g' : β → β'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' b) a
⊢ Option.map g (Option.map₂ f a b) = Option.map₂ f' (Option.map g' b) a
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Set (Subalgebra R A)
x : A
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
α : Type u
SubtractionMonoid α
a b : α
h : IsAddUnit a
⊢ -a + b = 0 ↔ a = b
H : Type u_1
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
f : H → M'
s : Set H
x : H
⊢ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f) s x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
p : κ → Prop
s : κ → Set X
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
hX : (nhdsWithin x₀ S).HasBasis p s
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ U ∈ uniformity α, ∃ k, p k ∧ ∀ x ∈ s k, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ U
α : Type u_2
ι : Type u_5
LinearOrder α
OrderTop α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
ha : a < ⊤
⊢ a < s.inf f ↔ ∀ b ∈ s, a < f b
a : ℤ
b : ℕ
h : jacobiSym a b = -1
⊢ ¬IsSquare ↑a
u : Level
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Nontrivial α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h✝¹ : decide (num✝¹ * ↑db < num✝ * ↑da) = true
h✝ : (fun x => ↑x) (num✝¹ * ↑db) < (fun x => ↑x) (num✝ * ↑da)
ha : 0 < ⅟↑da
hb : 0 < ⅟↑db
h : ↑(num✝¹ * ↑db) * ⅟↑db * ⅟↑da < ⅟↑db * ((fun x => ↑x) (num✝ * ↑da) * ⅟↑da)
⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da < ↑num✝ * ⅟↑db
α✝ : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α✝
inst✝² : Fintype α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ card ↑(derangements α) = numDerangements (card α)
α : Type u_1
s : Set α
Fintype ↑s
a : α
⊢ a ∈ s.toFinset ↔ a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
n m : ℕ
h : xs ~ ys
h' : ys.Nodup
this : n ≤ n + m
h₂ : xs.Nodup
⊢ take n xs ++ drop (n + m) xs ~ ys ∩ (take n xs ++ drop (n + m) xs)
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasLeftCalculusOfFractions
⊢ L.Additive
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha_pos : a ≠ 0
hb_pos : b ≠ 0
dfac : ℕ →₀ ℕ := a.factorization ⊓ b.factorization
d : ℕ := dfac.prod fun x x_1 => x ^ x_1
dfac_prime : ∀ p ∈ dfac.support, Prime p
h1 : d.factorization = dfac
hd_pos : d ≠ 0
⊢ d ∣ a
X : Sort ?u.71899
inst✝ : DecidableEq X
x : X
Y : Sort ?u.71935
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y
x' : { x' // x' ≠ x }
⊢ ↑x' = x → y = f x'
X : Type u_1
α : Type u_2
l✝ : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
S : Type u_7
R : Type u_8
m' : l✝ → Type u_9
n' : l✝ → Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace R
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : TopologicalRing R
A : X → Matrix n n R
hA : Continuous A
l : Equiv.Perm n
x✝ : l ∈ Finset.univ
⊢ Continuous fun x => ∏ i : n, A x (l i) i
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : CountableInterFilter f
fsub : f ≤ 𝓟 s
U : ↑s → Set X
hU : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)
hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f
t : Set ↑s
ht : t.Countable
h : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
this : Isometry (Prod.map toReal toReal)
⊢ LipschitzWith 2 (Subtype.val ∘ fun p => p.1 - p.2)
p : ℝ≥0∞
V : Type uV
AddCommGroup V
x y : WithLp p V
⊢ (WithLp.equiv p V) (x + y) = (WithLp.equiv p V) x + (WithLp.equiv p V) y
α : Type u_2
Mul α
s₁ s₂ t : Set α
⊢ (s₁ ∪ s₂) * t = s₁ * t ∪ s₂ * t
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b✝ c : α
h : IsUnit c
a b : α
⊢ a * c / (b * c) = a / b
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
⊢ IsPGroup p G ↔ ∃ n, Nat.card G = p ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
⊢ s.diag = image (fun a => (a, a)) s
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) ≫ (M.whiskerLeft g ≫ whiskerRight f Q).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) ≫ (whiskerRight f P ≫ N.whiskerLeft g).hom
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
⊢ f.val.base (genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace) = genericPoint ↑↑Y.toPresheafedSpace
X : AlgebraicGeometry.Scheme
R : CommRingCatᵒᵖ
f : Opposite.op (AlgebraicGeometry.Scheme.Γ.obj (Opposite.op X)) ⟶ R
⊢ (AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.homEquiv X R) f =
  (AlgebraicGeometry.ΓSpec.locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X.toLocallyRingedSpace R) f
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
A : Mon_ Cᵒᵖ
⊢ A.mul.unop ≫ A.one.unop ▷ unop A.X = (λ_ (unop A.X)).inv
R : Type x
Ring R
a : R
n : ℕ
⊢ (-1) ^ n * a = 0 ↔ a = 0
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g h : b✝ ⟶ c✝
η : g ⟶ h
⊢ F.map₂ (f ◁ η) = ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f g).hom ≫ F.map f ◁ F.map₂ η ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f h).inv
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_9
AddCommMonoid N
Module R N
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
Fintype ι'
Finite κ
Fintype κ'
DecidableEq ι'
⊢ c.toMatrix ⇑c' * (LinearMap.toMatrix b' c') f = (LinearMap.toMatrix b' c) f
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
⊢ P.toPoly.coeff 2 = P.b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
⊢ (∃ y x, y ∈ s ∧ x ∈ t y) ↔ ∃ x ∈ s, ∃ x_1, x_1 ∈ t x
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle (x + y) y).tan = ‖x‖ / ‖y‖
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₁ s.center).cos / 2 = s.radius
k : Type u_1
Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
v : V
s : AffineSubspace k P
⊢ (v +ᵥ s).direction = s.direction
b x : Ordinal.{u_1}
hx : x ≠ 0
⊢ b ^ log b x ≤ x
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid A
Monoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
ContinuousMul B
T2Space B
⊢ ClosedEmbedding ContinuousMonoidHom.toContinuousMap
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
x : Z
ex : proj x ∈ e.baseSet
⊢ (↑e x).1 = proj x
K : Type u_1
Field K
⊢ Function.Injective fun x => (algebraMap (𝓞 K) K) ↑x
α : Type u_2
DecidableEq α
GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
⊢ Finset.image (Function.uncurry fun x x_1 => x \ x_1) (s ×ˢ t) = s.diffs t
α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Sort u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
T : Set α
hT : T ⊆ Set.iUnion S
i : ι
x : ↑(S i)
h : S i ⊆ T
⊢ Set.iUnionLift S f hf T hT (Set.inclusion h x) = f i x
α : Type u_3
self : OrderedAddCommMonoid α
a b : α
⊢ a ≤ b → ∀ (c : α), c + a ≤ c + b
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
K : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} K
F : K ⥤ J
F.Initial
CategoryTheory.InitiallySmall K
⊢ CategoryTheory.InitiallySmall J
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ groupCohomologyπ A 1 ≫ (groupCohomology.isoH1 A).hom =
  (groupCohomology.isoOneCocycles A).hom ≫ (groupCohomology.shortComplexH1 A).moduleCatHomologyπ
α : Type u_1
⊢ AddOpposite.unop ∘ AddOpposite.op = id
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
⊢ 1 • 1 • 0 = 1 • s • 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : β → α
h : ∀ (y : β), MeasurableSet (f ⁻¹' {f y})
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (⋃ y ∈ s, f ⁻¹' {y})
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
σ : Perm n
⊢ ∏ i : n, Mᵀ (σ i) i = ∏ i : n, M (σ⁻¹ i) i