ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
hc : c ≠ 0
h : b⁻¹ * a = c
⊢ a = b * c
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ y \ x ⊓ x = ⊥
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ eraseP p l = erasePTR.go p l l #[]
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Monoid α
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
hb : 0 < b
h : 1 < a
⊢ b < a • b
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
ht : Tendsto (fun n => eLpNorm (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) 1 μ) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (μ[g|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) 1 μ) atTop (𝓝 0)
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x + a) ⁻¹' Set.Icc b c = Set.Icc (b - a) (c - a)
α : Type u_4
_inst : Fintype α
⊢ Finite α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
⊢ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral μ = ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ
M : Type u_5
AddMonoid M
α : Type u_13
β : Type u_14
f : α ⊕ β →₀ M
y : β
⊢ (Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp f).2 y = f (Sum.inr y)
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : α
h : ¬(G.replaceVertex s t).CliqueFree n
φ : Fin n ↪ α
hφ : ∀ {a b : Fin n}, (G.replaceVertex s t).Adj (φ a) (φ b) ↔ ⊤.Adj a b
⊢ Nonempty (⊤ ↪g G)
α : Type u
SemilatticeInf α
a b c : α
h : a ≤ c
⊢ a ⊓ b ≤ c
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R
⊢ (0 ≤ x ∧ x ≤ 1) ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ↔ 0 < x ∧ x < 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
h : a ∈ s
⊢ (s \ {a}).encard = s.encard - 1
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
x✝ : IsFractional S I
⊢ IsFractional S 0
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W W' : Subspace K V
⊢ Submodule.dualAnnihilator W ≤ Submodule.dualAnnihilator W' ↔ W' ≤ W
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
⊢ g ∈ (map N.subtype ↑P).normalizer ⊔ N
x : ℝ≥0∞
⊢ ENNReal.logOrderIso x = x.log
n : ℕ
hn : n ≠ 1
⊢ bernoulli n = bernoulli' n
α : Type u_4
β : Type u_5
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
⊢ IsClosed {f | LipschitzWith K f}
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Arrow C} (F : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.SimplicialObject.cechNerve.map F = CategoryTheory.Arrow.mapCechNerve F
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
⊢ ‖ContinuousLinearMap.id 𝕜 (Dual 𝕜 E)‖ ≤ 1
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
⊢ star a + a = 2 * ↑a.re
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
b : β i
j : ι
⊢ (update i f 0) i = (erase i f) i
β : Type u_3
CommSemiring β
s : Multiset ℕ
⊢ ↑s.prod = (Multiset.map Nat.cast s).prod
X : Type u
TopologicalSpace X
K : Set X
l : Filter X
s : Set X
hK : IsCompact K
hs : ∀ y ∈ K, s ∈ l ⊓ 𝓝 y
⊢ s ∈ l ⊓ 𝓝ˢ K
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
⊢ midpoint R p₁ p₂ -ᵥ midpoint R p₃ p₄ = midpoint R (p₁ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₄)
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (G i)
w₁ w₂ : Monoid.PushoutI.NormalWord d
i : ι
h : Monoid.CoprodI.of ((φ i) w₁.head) • w₁.toWord = Monoid.CoprodI.of ((φ i) w₂.head) • w₂.toWord
⊢ w₁ = w₂
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
P : Type u_6
AddGroup N
AddGroup P
g : N →+ P
f : G →+ N
⊢ AddSubgroup.map g f.range = (g.comp f).range
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
MulZeroOneClass M₀
Nontrivial M₀
Zero M₀'
One M₀'
f : M₀' → M₀
zero : f 0 = 0
one : f 1 = 1
⊢ Nontrivial M₀'
n : ℕ
z : ℂ
⊢ ¬(z ^ n = z + 1 ∧ z ^ n + z ^ 2 = 0)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : SeparationQuotient α × SeparationQuotient β → γ
⊢ Tendsto (((fun x => (f x.1, f x.2)) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ∘ fun p => (Prod.map mk mk p.1, Prod.map mk mk p.2)) (𝓤 α ×ˢ 𝓤 β) (𝓤 γ) ↔ Tendsto ((fun x => (f (mk x.1.1, mk x.1.2), f (mk x.2.1, mk x.2.2))) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) (𝓤 α ×ˢ 𝓤 β) (𝓤 γ)
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R✝
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R✝ M
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
h : I.FG
f : R →+* S
⊢ (Ideal.map f I).FG
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set (Sym2 V)
⊢ (G'.deleteEdges s).coe = G'.coe.deleteEdges (Sym2.map Subtype.val ⁻¹' s)
R : Type u
CommRing R
M : ModuleCat R
m : ↑M
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor M).inv m = m ⊗ₜ[R] 1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
IsArtinian R M
⊢ ∀ᶠ (l : ℕ) in Filter.atTop, ⨅ k, LieModule.lowerCentralSeries R L M k = LieModule.lowerCentralSeries R L M l
α : Type u
TopologicalSpace α
PreconnectedSpace α
s t : Set α
⊢ IsOpen s → IsOpen t → s ∪ t = Set.univ → s.Nonempty → t.Nonempty → (s ∩ t).Nonempty
α : Type u
AddMonoidWithOne α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ ↑(OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : 0 ≤ z
⊢ x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_4
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
(m : A) → Decidable (m ≠ 0)
⊢ ⇑addMonoidAlgebraAlgEquivDirectSum.symm = DirectSum.toAddMonoidAlgebra
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
n_pos : 0 < n
n2_pos : 1 ≤ 2 * n
S : Finset ℕ := Finset.filter Nat.Prime (Finset.range (2 * n / 3 + 1))
f : ℕ → ℕ := fun x => x ^ n.centralBinom.factorization x
this : ∏ x ∈ S, f x = ∏ x ∈ Finset.range (2 * n / 3 + 1), f x
⊢ n.centralBinom ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)
X : Type u_1
Y : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y → α
hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d
x : X
y : Y
s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)
l : Filter α
⊢ Filter.Tendsto (Function.uncurry (SeparationQuotient.lift₂ f hf))
    (𝓝[s] (SeparationQuotient.mk x, SeparationQuotient.mk y)) l ↔
  Filter.Tendsto (Function.uncurry f) (𝓝[Prod.map SeparationQuotient.mk SeparationQuotient.mk ⁻¹' s] (x, y)) l
m n : ℤ
⊢ Even n.natAbs ↔ Even n
α : Type u_1
β : Type u_2
q : PMF (α → β)
p : PMF α
b : β
⊢ b ∈ (q.seq p).support ↔ ∃ f ∈ q.support, b ∈ f '' p.support
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
A A' A'' : T.Algebra
f : A ⟶ A'
g : A' ⟶ A''
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f g.f
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
h : b = 0 → a = 0
⊢ a / b * b = a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' φ h₁ h₂ = γ.φH
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set (α →o β)
hc : ∀ ⦃x : α →o β⦄, x ∈ s → Continuous x
⊢ Continuous' (⨆ a ∈ s, ⇑a)
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ κ.map id ⋯ = κ
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
ab : Reaches f a b
x✝ : σ
h : x✝ ∈ eval f b
⊢ x✝ ∈ eval f a
G : Type u_1
Group G
n : ℕ
⊢ Subgroup.comap (QuotientGroup.mk' (Subgroup.center G)) (upperCentralSeries (G ⧸ Subgroup.center G) n) =
  upperCentralSeries G n.succ
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field L'
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional (↥F) L
h_le : F ≤ E
h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L
l : L
hl : l ∈ E
⊢ l ∈ F
α : Type u_2
M : Type u_4
Zero M
LinearOrder M
s : Set α
f : α → M
⊢ s.indicator f ≤ {a | 0 ≤ f a}.indicator f
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type s
CommRing S
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
⊢ (WeierstrassCurve.baseChange W B).toAffine.polynomialY =
  Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom ↑f) (WeierstrassCurve.baseChange W A).toAffine.polynomialY
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
⊢ 0 < ⊤
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q : R[X]
a b : R
p : R[X]
⊢ X - C b ∣ p - C (eval b p)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p y : α
h : Prime p
hy : ¬p ∣ y
i : ℕ
ih : ∀ {x : α}, p ^ (i + 1) ∣ x * y → p ^ (i + 1) ∣ x
x' : α
hxy : p * p ^ (i + 1) ∣ p * (x' * y)
⊢ p * p ^ (i + 1) ∣ p * x'
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
x : (forget Stonean).obj X
h : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i
y : (forget Stonean).obj Y
hy : i y = f x
t : TopologicalSpace ↑(pullback f hi).toTop := inferInstance
⊢ Continuous (⇑(Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯).symm ∘ Set.MapsTo.restrict (⇑f) (⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i) (Set.range ⇑i) ⋯)
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
TopologicalSemiring A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
TopologicalSemiring B
f : A →A[R] B
s : Subalgebra R A
⊢ Subalgebra.map (↑f) s.topologicalClosure ≤ (Subalgebra.map f.toAlgHom s).topologicalClosure
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
⊢ AddSubsemigroup.comap f ⊤ = ⊤
α : Type u
σ σ' : Type v
M : εNFA α σ
S : Set σ
x : List α
s : σ
a✝ a : α
⊢ M.stepSet ∅ a = ∅
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x
hf'_nonneg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f' n x
hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ
hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : α), f' n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), (F - f 0) x ∂μ))
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p₁ : ι → P
p₂ : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂) = (Finset.affineCombination k s p₁) w -ᵥ p₂
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T : Set α
hT : T ⊆ S
ha : IsAtom (sSup T)
haS : sSup T ≤ sSup S
a : α
haT : a ∈ T
⊢ sSup T = a
k : Type u
inst✝ : Field k
v : MonicIrreducible k →₀ MvPolynomial (MonicIrreducible k) k
left✝ : v ∈ Finsupp.supported (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) Set.univ
hv : ∑ x ∈ v.support, (toSplittingField k v.support) (v x • evalXSelf k x) = 1
⊢ ∀ x ∈ v.support, (toSplittingField k v.support) (v x • evalXSelf k x) = 0
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i j : ι
h_le : toZ i0 i ≤ toZ i0 j
hi : i0 ≤ i
hj : i0 ≤ j
⊢ i ≤ j
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : LinearOrderedField R
A : Matrix m n R
x : n → R
⊢ Aᵀ *ᵥ A *ᵥ x = 0 ↔ A *ᵥ x = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
hp1 : p ≠ 1
⊢ (∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Finset.Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p) ↔ p.roots = 0
n : ℕ
⊢ Real.sin (Real.pi / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 = 1 - (Real.sqrtTwoAddSeries 0 n / 2) ^ 2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ HasFPowerSeriesAt (⇑f) (f.fpowerSeries x) x
n : ℤ
hx₁ : -(2 * π) < ↑n * (2 * π)
hx₂ : ↑n * (2 * π) < 2 * π
h : cos (↑n * (2 * π)) = 1
⊢ ↑n * (2 * π) = 0
n : ℤ
⊢ (bif n.bodd then 1 else 0) + 2 * n.div2 = n
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
i : ι
c : R
⊢ b.repr.symm (Finsupp.single i c) = c • b i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
a : WithBot α
b : WithBot β
⊢ WithBot.map₂ f a b = ⊥ ↔ a = ⊥ ∨ b = ⊥
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
h : π.IsPartition
hJ : J ≤ I
⊢ (π.restrict J).IsPartition
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : f.comp φ = g.comp φ
⊢ ∃ C, ∀ (v : V₁), ‖(fun v => ⟨φ v, ⋯⟩) v‖ ≤ C * ‖v‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
x✝ : E
⊢ ‖x✝‖ ^ 2 = (⇑reCLM ∘ fun x => ⟪id x, id x⟫_𝕜) x✝
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
s : Subring R
⊢ Subring.comap f (Subring.map f s) = s ⊔ Subring.closure (⇑f ⁻¹' {0})
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
⊢ ValuationRing R ↔ IsTotal (Ideal R) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : ℂ
⊢ Complex.cos (↑Real.pi / 2 - x) = Complex.sin x
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
L.HasPointwiseLeftKanExtension F
X : C
⊢ (L.pointwiseLeftKanExtensionUnit F).app X =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι ((CategoryTheory.CostructuredArrow.proj L (L.obj X)).comp F)
    (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.id (L.obj X)))
α : Type u
⊢ Equivalence (Relation.Join FreeGroup.Red)
M : Type u_2
MulOneClass M
x : Mᵐᵒᵖ
S : Submonoid M
⊢ x ∈ S.op ↔ MulOpposite.unop x ∈ S
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
OrderedAddCommMonoid β
f g : α → β
a : α
s : Set α
hf : IsLocalMinOn f s a
hg : IsLocalMinOn g s a
⊢ IsLocalMinOn (fun x => f x + g x) s a
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
⊢ s ∪ t ⊆ u ↔ s ⊆ u ∧ t ⊆ u
r : ℝ≥0
n : ℕ
⊢ ↑(r ^ n) = ↑r ^ n
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s s' : Set V
h : s ⊆ s'
⊢ G'.deleteVerts s' ≤ G'.deleteVerts s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a : α
hs : IsLowerSet s
f : α ≃o β
⊢ IsLowerSet (⇑(↑f).symm ⁻¹' s)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
N₂ : LieSubmodule R L M₂
I J : LieIdeal R L
x : L
y : ↥I
z : ↥J
h : ⁅↑y, ↑z⁆ = x
⊢ ⁅↑z, ↑(-y)⁆ ∈ ↑⁅J, I⁆
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val
A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q
I : ↑p = range Subtype.val
⊢ dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
H : AddSubgroup G
f : G →+ G'
hf : f.ker ≤ H
⊢ H.index ∣ (AddSubgroup.map f H).index
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} D
CategoryTheory.Preadditive C₁
CategoryTheory.Preadditive C₂
CategoryTheory.Preadditive D
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
f₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁
h₁ : Homotopy f₁ f₁'
K₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
f₂ : K₂ ⟶ L₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
F.Additive
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive
c : ComplexShape J
DecidableEq J
TotalComplexShape c₁ c₂ c
K₁.HasMapBifunctor K₂ F c
L₁.HasMapBifunctor L₂ F c
j j' : J
h : ¬c.Rel j' j
⊢ HomologicalComplex.mapBifunctorMapHomotopy.hom₁ h₁ f₂ F c j j' = 0
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α →ₘ[μ] ℝ≥0∞
⊢ f ≤ g → f.lintegral ≤ g.lintegral
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
ContinuousAdd α
T3Space α
γ : β → Type u_5
f : (b : β) × γ b → α
g : β → α
a : α
ha : HasSum g a
hf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f ⟨b, c⟩) (g b)
hf' : Summable f
⊢ HasSum f a
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
p : Prop
Decidable p
s t : Finset α
f : α → β
⊢ ∑ x ∈ if p then s else t, f x = if p then ∑ x ∈ s, f x else ∑ x ∈ t, f x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
h : x ≤ y
⊢ z ∈ Icc x y ↔ ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ a * x + b * y = z
α : Type u_1
R : α → α → Prop
L : List (List α)
⊢ Pairwise R L.join ↔ (∀ (l : List α), l ∈ L → Pairwise R l) ∧ Pairwise (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁ → ∀ (y : α), y ∈ l₂ → R x y) L
z : ℤ
a : UInt16
⊢ z • a = { val := z • a.val }
X : Type u_1
PseudoMetricSpace X
a b : X
⊢ nndist (Multiplicative.ofAdd a) (Multiplicative.ofAdd b) = nndist a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
o' : Ordinal.{v}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max (max u v) w}
g : (a : Ordinal.{v}) → a < o' → Ordinal.{max (max u v) w}
h : o.brange f ⊆ o'.brange g
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
j : Ordinal.{v}
hj : j < o'
hj' : g j hj = f i hi
⊢ g j hj ≤ o'.bsup g
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.IsCommutative
inst✝¹ : H.FiniteIndex
α β : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : H.Normal
h : ↥H
this : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
⊢ (let α_1 := toEquiv ⋯; let β_1 := toEquiv ⋯; ∏ q : G ⧸ H, (MonoidHom.id ↥H) ⟨(↑(α_1 q))⁻¹ * ↑(β_1 q), ⋯⟩) = ∏ x : G ⧸ H, (MonoidHom.id ↥H) ⟨(↑((toEquiv ⋯) x))⁻¹ * ↑((toEquiv ⋯) x), ⋯⟩ * h
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
mβ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
_mα : MeasurableSpace α
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
s : ι → Set Ω
S : Finset ι
f : (x : ι) → Ω → β x
inst✝ : Fintype ι
h : iIndep m κ μ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i, s i) = ∏ i : ι, (κ a) (s i)
G : Type u
inst✝ : Monoid G
h : Subsingleton G
⊢ 1 ≤ exponent G
S : Type uS
CommSemiring S
A : Type uA
Semiring A
Algebra S A
s : A → A → Prop
⊢ ↑(RingQuot.mkAlgHom S s) = RingQuot.mkRingHom s
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁷ : SMul α β
inst✝⁶ : SMul α γ
inst✝⁵ : SMul β δ
inst✝⁴ : SMul α δ
inst✝³ : SMul γ δ
inst✝² : IsScalarTower α β δ
inst✝¹ : IsScalarTower α γ δ
inst✝ : SMulCommClass β γ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
⊢ (a • b) • c • d = (a • c) • b • d
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
hF : CategoryTheory.Limits.IsZero F
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ F.map f = 0
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
⊢ (p * q).Monic
α : Type u
s t : Set α
h : s = t
b : { b // (fun x => x ∈ t) b }
⊢ (Equiv.Set.ofEq h).symm b = ⟨↑b, ⋯⟩
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : 0 ≤ r₂
⊢ Wbtw R x (r₁ • v +ᵥ x) (r₂ • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R x (r₂ • v +ᵥ x) (r₁ • v +ᵥ x)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
a : α
l : List α
hl : l.length = n
⊢ Tendsto (fun x => insertNth (↑i) x.1 ↑x.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 ⟨l, hl⟩) (𝓝 (insertNth (↑i) a l))
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ
x : α
h : ContinuousAt f x
⊢ ContinuousAt (fun y => Real.exp (f y)) x
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
ht1' : t < 1
ht0' : 0 < t
⊢ SameRay R (x -ᵥ (lineMap x z) t) ((lineMap x z) t -ᵥ z)
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.9321, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.9373, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
X : C
T : ↑(K.sieves (G.obj X))
Y : D
iYX : Y ⟶ G.obj X
hiYX : (↑T).arrows iYX
W : D
Z : C
iWZ : W ⟶ G.obj Z
iZY : G.obj Z ⟶ Y
⊢ Sieve.pullback iWZ (Sieve.pullback iZY (Sieve.pullback iYX (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T)))) ∈ K.sieves W
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S₁ : Subalgebra R A
S₂ : StarSubalgebra R A
h : S₁ ≤ S₂.toSubalgebra
⊢ S₁.starClosure ≤ S₂
z : ℂ
hz : 1 - z ∈ slitPlane
⊢ log (1 - z)⁻¹ = z * ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, (1 - t • z)⁻¹
L : Type u_2
Field L
F : Subfield L
E : { E // F ≤ E }
⊢ (Subfield.extendScalars.orderIso F) E = Subfield.extendScalars ⋯
M : Type u_1
Add M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set M
a b : M
ha : a ∈ upperBounds s
hb : b ∈ upperBounds t
⊢ a + b ∈ upperBounds (s + t)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ‖-f‖ = ‖f‖
M : Type u_1
CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoidWithZero N
f : S.LocalizationWithZeroMap N
IsLeftCancelMulZero M
h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsLeftRegular x
⊢ IsLeftCancelMulZero N
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
IH : ∀ (m : ℕ), A⁻¹ ^ m * A ^ n = A ^ n * A⁻¹ ^ m
m : ℕ
⊢ A⁻¹ ^ (m + 1) * A ^ (n + 1) = A ^ (n + 1) * A⁻¹ ^ (m + 1)
n : ℕ
⊢ (cycleRange 2).IsThreeCycle
R : Type u
A : Type v
CommRing R
NonUnitalNonAssocRing A
Module R A
S U : NonUnitalSubalgebra R A
⊢ S.toNonUnitalSubring = U.toNonUnitalSubring ↔ S = U