ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
A : Set X
h : A.Subsingleton
⊢ IsClosed A
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ Antiperiodic (fun x => f (x / a)) (c * a)
α : Type u₁
β : Type u₂
R : α → β → Prop
h : Relator.BiTotal R
⊢ ((R ⇒ Iff) ⇒ Iff) (fun p => ∃ i, p i) fun q => ∃ i, q i
α : Type u
f : Filter α
s t : Set α
⊢ s ∈ f ⊓ 𝓟 t ↔ {x | x ∈ t → x ∈ s} ∈ f
⊢ StrictMonoOn (⇑Cardinal.toENat) (Set.Iic Cardinal.aleph0)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α
⊢ Set.Ioc a c ∪ Set.Ioc b c = Set.Ioc (min a b) c
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p δ : ℝ≥0∞
hδ : δ ≠ 0
⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < δ
d : ℤ
h₀ : d < 0
a : Solution₁ d
h : a.x ≠ 0 ∧ a.y ≠ 0
h1 : 0 < a.x ^ 2
⊢ a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 ≠ 1
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
ι : Sort u_7
f : G →* N
s : ι → Subgroup N
⊢ Subgroup.comap f (iInf s) = ⨅ i, Subgroup.comap f (s i)
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ Set.InjOn (↑e) e.source
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => max (f x) 0) p μ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ μ (Metric.sphere x r) = 0
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
ContinuousMul G
U : Set G
h : IsClosed U
x : G
⊢ IsClosed (x • U)
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
K : Type (max v u)
inst✝⁴ : SmallCategory K
inst✝³ : FinCategory K
inst✝² : HasLimitsOfShape K D
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)
inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
S : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))
k : K
j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ
⊢ (((evaluation K D).obj k).mapCocone (colimit.cocone (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip)).ι.app j = (colimit.ι (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip j).app k
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
⊢ singularPart 0 μ = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial E
⊢ 1 ≤ ‖fst 𝕜 E F‖
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
h : 0 < a
x : ℝ
⊢ ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊤, ↑a), ↑x < a.1 * a.2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
x : E
h : f =ᶠ[𝓝 x] g
⊢ CPolynomialAt 𝕜 f x ↔ CPolynomialAt 𝕜 g x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hx : ↑‖x‖₊ < p.radius
n : ℕ
⊢ ‖p n‖ * ∏ i : Fin n, ‖x‖ = ‖p n‖ * ↑‖x‖₊ ^ n
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.108266, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.108270, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.108274, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
⊢ F.map f ≫ colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X₂) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₂))) = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X₂) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₁) ≫ L.map f))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
CategoryTheory.HasWeakSheafify J D
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
hP : CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.toSheafify J P)
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
p : ↥(closure s) → Prop
a : ↥(closure s)
mem : ∀ (x : R) (hx : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
zero : p 0
add : ∀ (x y : ↥(closure s)), p x → p y → p (x + y)
neg : ∀ (x : ↥(closure s)), p x → p (-x)
mul : ∀ (x y : ↥(closure s)), p x → p y → p (x * y)
b : R
hb : b ∈ closure s
⊢ p ⟨b, hb⟩
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
ht : μ t = 0
⊢ s ∩ t ⊆ t
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
a : R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (p /ₘ (X - C a)).leadingCoeff = p.leadingCoeff
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
ℱ : Filter ι
f : X → α
⊢ Tendsto (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ℱ (𝓝 ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) f)) ↔ Tendsto F ℱ (𝓝 f)
α : Type u
p : α → Prop
a : Subtype fun x => p x
h : p a.val
⊢ ⟨a.val, h⟩ = a
m : Nat
h : 0 < m
n : Nat
⊢ 0 < m + n
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ (f + g) ≫ h = f ≫ h + g ≫ h
G₀ : Type u_2
MeasurableSpace G₀
GroupWithZero G₀
MeasurableMul G₀
g : G₀
hg : g ≠ 0
⊢ (MeasurableEquiv.mulLeft₀ g hg).toEquiv = Equiv.mulLeft₀ g hg
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
s : Set (Set X)
t : Set (Set Y)
hs : ⋃₀ s = univ
ht : ⋃₀ t = univ
G : TopologicalSpace (X × Y) := generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t)
v : Set Y
hv : v ∈ t
⊢ ⋃ u ∈ s, u ×ˢ v = Prod.snd ⁻¹' v
α : Type u_1
n : PosNum
⊢ ↑n = ↑n.pred' + 1
k : Type u
Field k
n : ℕ
⊢ (AlgebraicClosureAux.ofStep k (n + 1)).comp (AlgebraicClosure.toStepSucc k n) = AlgebraicClosureAux.ofStep k n
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
k : ℕ
t : R
⊢ Polynomial.eval t (p.comp^[k] q) = (fun x => Polynomial.eval x p)^[k] (Polynomial.eval t q)
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
a : α
hf : Injective f
ha : f^[m] a = f^[n] a
h : n ≤ m
⊢ f^[m - n] a = a
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
hφ : φ.IsCovering
⊢ φ.symmetrify.IsCovering
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
⊢ (AlgebraicGeometry.Spec.map f).val.base = PrimeSpectrum.comap f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f
G : C ⥤ D
G.PreservesZeroMorphisms
⊢ CategoryTheory.Limits.Cofork.π (c.map G) = G.map (CategoryTheory.Limits.Cofork.π c)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasBinaryCoproducts C
inst✝ : HasInitial C
P : C
⊢ desc (𝟙 P) (initial.to P) ≫ inl = 𝟙 (P ⨿ ⊥_ C)
α : Type u_1
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
⊢ Filter.Tendsto (fun x => (m x)⁻¹) f (𝓝 a⁻¹) ↔ Filter.Tendsto m f (𝓝 a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (s + t) ↔ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ∧ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 t
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
s : Set β
⊢ ⇑e '' (⇑e ⁻¹' s) = s
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
⊢ StronglyMeasurable fun a => ‖f a‖₊
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
CompleteSpace F
surj : Function.Surjective ⇑f
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
a : (i : ι) → π i
⊢ a ∈ interior (I.pi s) ↔ a ∈ I.pi fun i => interior (s i)
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoidWithZero M
f : α →₀ M
g : α → M → ℕ
p : ℕ
pp : Prime p
hS : ∀ a ∈ f.support, ¬p ∣ g a (f a)
⊢ ¬p ∣ f.prod g
f : ℝ → ℝ
hf : Monotone f
x : ℝ
hx : Tendsto (fun b => (↑hf.stieltjesFunction b - f x) / (b - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal) ∧ Tendsto (fun b => (↑hf.stieltjesFunction b - f x) / (b - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)
h'x : ¬¬ContinuousAt f x
A : ↑hf.stieltjesFunction x = f x
L1 : Tendsto (fun y => (f y - f x) / (y - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)
L2 : Tendsto (fun y => (f y - f x) / (y - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)
⊢ Tendsto (fun b => (f b - f x) / (b - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal) ∧ Tendsto (fun b => (f b - f x) / (b - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0
h_spanx : spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≠ 0
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : J * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≤ I
⊢ (↑J).FG
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∃ b, s.min = ↑b
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
R : Type u_10
Semiring R
MulSemiringAction M R
S : Type u_12
Semiring S
MulSemiringAction N S
f : R →ₑ+*[φ] S
m : M
x : R
⊢ f (m • x) = φ m • f x
R : Type u_3
CommRing R
⊢ ⇑(algebraMap R ℍ[R]) = Quaternion.coe
M : Type u_4
CommMonoid M
s : Set M
x : M
hx : x ∈ Submonoid.closure s
⊢ ∃ l, (∀ y ∈ l, y ∈ s) ∧ l.prod = x
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
⊢ a ∈ {a}
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
σ : Perm n
⊢ ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = ↑↑(sign (e.permCongr σ)) * ∏ i : m, A ((e.permCongr σ) i) i
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (⇑iso) s
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
V : ι → Type u_4
hc : Fintype.card ι < n
f : ⊤ ↪g completeMultipartiteGraph V
⊢ False
G₀ : Type u_3
CommGroupWithZero G₀
a b c d : G₀
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
⊢ a / b = c / d ↔ a / c = b / d
n : Type u_3
α : Type v
DecidableEq n
Semiring α
StarRing α
⊢ 1ᴴ = 1
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : β → C
inst✝¹ : HasProduct f
inst✝ : HasProduct fun b => G.obj (f b)
P : C
g : (j : β) → P ⟶ f j
j : β
⊢ (G.map (Pi.lift g) ≫ piComparison G f) ≫ Pi.π (fun b => G.obj (f b)) j = (Pi.lift fun j => G.map (g j)) ≫ Pi.π (fun b => G.obj (f b)) j
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
FloorRing K
Fintype ι
m : E
h : m ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑b)
⊢ ↑(Zspan.floor b m) = m
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f : α → M
a : α
Decidable (a ∈ s)
⊢ s.indicator f a = if a ∈ s then f a else 0
α : Type u_1
f : α → α
m n : Nat
l : List α
h : m ≠ n
⊢ (List.modifyNth f m l).get? n = l.get? n
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V →ₗ[K] V →ₛₗ[J] V₂
x y : V
⊢ (∀ (n : V), (∃ a, a • x = n) → B.IsOrtho n y) ↔ (B x) y = 0
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
⊢ Tendsto (fun g => (↑g • z).re) cofinite (cocompact ℝ)
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ ↑a.re + a.im = a
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
⊢ Polynomial.cyclotomic' 0 R = 1
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ Function.Injective ⇑I.incl
α : Sort u_4
β : Type u_5
f : α → β
p : α → Prop
h : Function.Injective f
⊢ Function.Injective (Subtype.restrict p f)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ⟪o.rightAngleRotationAux₁ y, x⟫_ℝ = -(o.areaForm x) y
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁸ : OrderedRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : AddTorsor V P
inst✝⁴ : AddCommGroup V'
inst✝³ : Module R V'
inst✝² : AddTorsor V' P'
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
ι : Type u_6
p : ι → P
ha : AffineIndependent R p
w w₁ w₂ : ι → R
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
i : ι
his : i ∈ s
r : R
hs : w₁ i ≠ w₂ i ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1
hr : ∀ i ∈ s, w i = (r • (w₂ - w₁) + w₁) i
hz : (s.weightedVSub p) (w₁ - w₂) = 0
hw₁w₂ : ∑ i ∈ s, (w₁ - w₂) i = 0
⊢ False
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ insert b (Set.Ico a b) = Set.Icc a b
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ [[a, b]] = Finset.Icc a b ∪ Finset.Icc b a
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
d : ℝ
hd : d ∈ s
hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖
hsub : [[c, d]] ⊆ k
hfd : ∀ z ∈ [[c, d]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ Ι c d, ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hg_ae : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ι c d), ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hsub' : Ι c d ⊆ k
⊢ False
G : Type u
Group G
B : GroupFilterBasis G
⊢ (𝓝 1).HasBasis (fun V => V ∈ B) id
a b c : ℝ≥0∞
h : c ≤ a
h' : a ≠ ⊤
⊢ a - b ≤ a - c ↔ c ≤ b
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A * J l R * Aᵀ = J l R
⊢ Aᵀ * J l R * A = J l R
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
⊢ ∃ W h, ∃ (_ : EffectiveEpi h), ∃ i, i ≫ g = h ≫ f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g univ x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x + g x) univ x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
R : Type u_3
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
i : ℕ
a : R
x : E
hf : ContDiff 𝕜 (↑i) f
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 i (a • f) x = a • iteratedFDeriv 𝕜 i f x
x✝ y c x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ log x = 0 → c = 0
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
P X Y Z : C
f : P ⟶ X
g : P ⟶ Y
inst✝² : HasBinaryProduct X Y
inst✝¹ : HasBinaryProduct (G.obj X) (G.obj Y)
inst✝ : PreservesLimit (pair X Y) G
⊢ (iso G X Y).inv ≫ G.map prod.snd = prod.snd
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ ∅ = ∅ ∨ ∃ f, Continuous f ∧ range f = ∅
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α
⊢ Set.Ici (⨆ i, ⨆ j, f i j) = ⋂ i, ⋂ j, Set.Ici (f i j)
α : Type u_1
Preorder α
a b c : α
hab : AntisymmRel (fun x x_1 => x ≤ x_1) a b
hbc : b ⩿ c
⊢ a ⩿ c
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l : Batteries.RBNode α} {v : α} {r : Batteries.RBNode α} {cl : Batteries.RBColor} {n : Nat},
  l.Balanced cl (n + 1) →
    Batteries.RBNode.RedRed True r n → Batteries.RBNode.RedRed (cl = Batteries.RBColor.red) (l.balRight v r) (n + 1)
G : Type u_3
AddCommSemigroup G
a b c d : G
⊢ a + b + (c + d) = a + c + (b + d)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i j : Set α
s : SignedMeasure α
f : ℕ → ℝ
left✝ : Antitone f
hf₂ : Tendsto f atTop (nhds (sInf s.measureOfNegatives))
B : ℕ → Set α
hB : ∀ (n : ℕ), B n ∈ {B | MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B} ∧ ↑s (B n) = f n
hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)
hB₂ : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)
A : Set α := ⋃ n, B n
hA : A = ⋃ n, B n
hA₁ : MeasurableSet A
hA₂ : restrict s A ≤ restrict 0 A
hA₃ : ↑s A = sInf s.measureOfNegatives
C : Set α
a✝ : MeasurableSet C
hC₁ : C ⊆ Aᶜ
hC₂ : ↑s C < ↑0 C
⊢ False
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
x✝ : ℕ
⊢ x✝ ∈ Nat.cast ⁻¹' Ici a ↔ x✝ ∈ Ici ⌈a⌉₊
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Finset α
f : α → Set β
⊢ s.sup f = ⋃ x ∈ s, f x
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x y : α
F : Set α
hx : x ∈ F
h : y ∈ Subtype.val '' connectedComponent ⟨x, hx⟩
⊢ Subtype.val '' connectedComponent ⟨x, hx⟩ = connectedComponentIn F y
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]
⊢ f ∈ reesAlgebra I ↔ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ I ^ i
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Padic.valuation 0 = 0
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasCoequalizers C
𝒢 : Set C
⊢ IsCodetecting 𝒢 → IsCoseparating 𝒢
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : ↑(MaxProducts C ho)
hm : term I ho ∈ ↑↑l
this : ord I (↑↑l).head! ≤ o
⊢ ord I (↑↑l).head! = o
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Tendsto (fun n => f (a, t) (-↑n)) atTop (𝓝 0)
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, AEStronglyMeasurable (fun a => n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) μ
l : Type u_4
R : Type u₂
DecidableEq l
CommRing R
⊢ LieAlgebra.Orthogonal.S l R = Matrix.fromBlocks 1 0 0 (-1)
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c₁ c₂ : ℝ
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hc : c₁ = c₂
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c₁ l f₁ g₁ ↔ Asymptotics.IsBigOWith c₂ l f₂ g₂
V : Type v
inst✝⁴ : Category.{w, v} V
inst✝³ : MonoidalCategory V
C : Type u₁
inst✝² : EnrichedCategory V C
D : Type u₂
inst✝¹ : EnrichedCategory V D
inst✝ : BraidedCategory V
F G : EnrichedFunctor V C D
X✝ Y✝ : Vᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
σ : (fun A => GradedNatTrans ((Center.ofBraided V).obj (unop A)) F G) X✝
X Y : C
⊢ (((Center.ofBraided V).obj (unop Y✝)).snd.β (EnrichedCategory.Hom X Y)).hom ≫ (F.map X Y ⊗ (fun X => f.unop ≫ σ.app X) Y) ≫ eComp V (F.obj X) (F.obj Y) (G.obj Y) = ((fun X => f.unop ≫ σ.app X) X ⊗ G.map X Y) ≫ eComp V (F.obj X) (G.obj X) (G.obj Y)
α : Type u_1
Neg α
a : Lex α
⊢ ofLex (-a) = -ofLex a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : ∀ y ∈ zeroRootSubalgebra R L H, ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
⊢ ∀ (y : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDomain R
IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
⊢ ClassGroup.mk0 I = ClassGroup.mk0 J ↔ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), FractionalIdeal.spanSingleton R⁰ x * ↑↑I = ↑↑J
α : Type u_1
s : Set α
mα : MeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableEmbedding Subtype.val
a b : ℝ≥0∞
⊢ (a / b).toNNReal = a.toNNReal / b.toNNReal
z τ : ℂ
n : ℤ
⊢ 2 * ↑π * I * ↑((Equiv.neg ℤ) n) * cexp (2 * ↑π * I * ↑((Equiv.neg ℤ) n) * -z + ↑π * I * ↑((Equiv.neg ℤ) n) ^ 2 * τ) = -(2 * ↑π * I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ))
R : Type u
S : Type u_3
L : Type v
M : Type w
CommRing R
CommRing S
Field L
Field M
Algebra R M
NoZeroSMulDivisors R M
IsAlgClosure R M
Algebra S L
NoZeroSMulDivisors S L
IsAlgClosure S L
hSR : S ≃+* R
⊢ (↑(IsAlgClosure.equivOfEquiv L M hSR).symm).comp (algebraMap R M) = (algebraMap S L).comp ↑hSR.symm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddAbove s
⊢ l (sSup s) = sSup (l '' s)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Finite I
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : I → S
he : OrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : I), e i ∈ f.range
⊢ ∃ e', OrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]
⊢ I.polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial.symm ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map Polynomial.C I)) f) =
  Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_2
Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
⊢ μ.withDensity (∑' (n : ι), f n) = MeasureTheory.Measure.sum fun n => μ.withDensity (f n)
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
ζ : R
i : ℕ
hi : i ∈ n.divisors
h : (Polynomial.cyclotomic i R).IsRoot ζ
⊢ ζ ^ n = 1
s : Finset ℕ
n : ℕ
h₀ : (List.filter (fun x => decide (x ∈ s)) n.primeFactorsList).prod ≠ 0
p : ℕ
hp : p ∈ (List.filter (fun x => decide (x ∈ s)) n.primeFactorsList).prod.primeFactorsList
⊢ p ∈ s
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
σ : Equiv.Perm α
s : Finset α
f : α → α → β
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ ↑s
⊢ ∏ x ∈ s, f (σ x) x = ∏ x ∈ s, f x ((Equiv.symm σ) x)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ MulOpposite.unop (CliffordAlgebra.reverseOp x) = CliffordAlgebra.reverse x