ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
CommRing R
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
m : Type w₁
DecidableEq m
Fintype m
e : n ≃ m
M : Matrix n n R
⊢ (Matrix.reindexLieEquiv e) M = (Matrix.reindex e e) M
ι : Sort u_1
c : ι → Set (↑I × ↑I)
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
ball_subset : ∀ x ∈ univ, ∃ i, Metric.ball x δ ⊆ c i
hδ : 0 < δ / 2
h : 0 ≤ 1
⊢ ∃ t, ↑(t 0) = ↑0 ∧ Monotone t ∧ (∃ n, ∀ m ≥ n, ↑(t m) = ↑1) ∧ ∀ (n m : ℕ), ∃ i, Icc (t n) (t (n + 1)) ×ˢ Icc (t m) (t (m + 1)) ⊆ c i
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsHomLift f φ
⊢ CategoryTheory.CommSq (p.map φ) (CategoryTheory.eqToHom ⋯) (CategoryTheory.eqToHom ⋯) f
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ (tensorLeft M.X).map (coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (tensorLeft M.X).map (coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ≫ (((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M' N P) ⋯
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
⊢ (remainder p n).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
h : ∀ {ι : Type u} (t : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsClosed (t i)) → s ∩ ⋂ i, t i = ∅ → ∃ u, s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
⊢ IsCompact s
m n : ℕ∞
⊢ ↑(max m n) = max ↑m ↑n
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
⊢ derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
AddCommMonoid E
Module R E
φ : MultilinearMap R s E
φ' : (PiTensorProduct R fun i => s i) →ₗ[R] E
H : ∀ (f : (i : ι) → s i), φ' ((PiTensorProduct.tprod R) f) = φ f
⊢ φ' = PiTensorProduct.lift φ
F : Type u
Field F
x y : F
n : ℕ
hx : x ≠ 0
⊢ (Polynomial.C x * (Polynomial.X - Polynomial.C y) ^ n).natSepDegree = if n = 0 then 0 else 1
α : Type u
Inhabited α
l₁ l₂ : List α
n : ℕ
h : l₁.length = n
⊢ List.takeI n (l₁ ++ l₂) = l₁
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R
⊢ (contractRight ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) d = 0
α : Type u_1
E : Set α
Base : Set α → Prop
exists_finite_base : ∃ B, Base B ∧ B.Finite
base_exchange : Matroid.ExchangeProperty Base
subset_ground : ∀ (B : Set α), Base B → B ⊆ E
⊢ (Matroid.ofExistsFiniteBase E Base exists_finite_base base_exchange subset_ground).E = E
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
s : Submodule R M
⊢ Module.rank R ↥s ≤ Module.rank R M
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : CategoryTheory.StrongOplaxNatTrans F G
a : B
⊢ η.toOplax.app a = η.app a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z✝ : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
z x : E
hko : r / ‖k‖ ≤ ‖x‖
hxo : ‖x‖ < r
⊢ 1 ≤ ‖x‖ * ‖k‖ / r
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ o.oangle (r • x) x = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
⊢ (CategoryTheory.Limits.pair X Y).obj { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left } = X
M : Type u_1
N : Type u_2
SeminormedAddCommGroup M
SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : N
⊢ ∃ m, f m = n ∧ ‖m‖ < ‖n‖ + ε
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s t : Set α
Hf : MonotoneOn f t
Hst : s ⊆ t
⊢ f '' (upperBounds s ∩ t) ⊆ upperBounds (f '' s)
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
j : J
Finj : ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : ↑F.sections
h : (fun s => ↑s j) s₀ = (fun s => ↑s j) s₁
k m : J
mi : m ⟶ i
mk : m ⟶ k
h✝ : True
⊢ ↑s₀ k = ↑s₁ k
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
h : p ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ AEMeasurable f' (μ.restrict s)
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
Field 𝕂
Ring 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
T2Space 𝔸
x y : 𝔸
h : Commute x y
⊢ Commute (NormedSpace.exp 𝕂 x) y
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
n : ℕ
⊢ (p ^ n).Monic
ι : Type u_1
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
FunLike F G H
DivInvMonoid G
DivInvMonoid H
MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (a : G), f a⁻¹ = (f a)⁻¹
g h : ι → G
⊢ ⇑f ∘ (g / h) = ⇑f ∘ g / ⇑f ∘ h
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
p : AddLocalization S → Prop
H : ∀ (y : M × ↥S), p (AddLocalization.mk y.1 y.2)
x : AddLocalization S
⊢ p x
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)
⊢ ∀ ⦃A : C⦄ (y : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯), ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x, π ≫ y = x ≫ app' φ 1 ⋯
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v : Fin 1 → E
⊢ (q.comp p 1) v = (q 1) fun _i => (p 1) v
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R M'
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
p : M' →ₗ[R] M
h : Function.Surjective ⇑p
⊢ Function.Exact ⇑(f ∘ₗ p) ⇑g ↔ Function.Exact ⇑f ⇑g
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
ho : Homotopy φ₁ φ₂
⊢ ofHom φ₁ = δ (-1) 0 (ofHomotopy ho) + ofHom φ₂
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ Set.Ioi a ∈ 𝓝ˢ (Set.Ioc b c)
R : Type u
a b : R
Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ (Polynomial.C a * Polynomial.X + Polynomial.C b).degree = 1
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithTop.some ⁻¹' Set.Iio ↑a = Set.Iio a
α : Type u_1
p : PMF α
s : Set α
h : ∃ a ∈ s, a ∈ p.support
a : α
⊢ (p.filter s h) a = s.indicator (⇑p) a * (∑' (a' : α), s.indicator (⇑p) a')⁻¹
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β
hf : range m ∈ f
⊢ map m (comap m f) = f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
x y : Associates α
a b : α
h : ⟦a⟧ * ⟦b⟧ = 1
this : a * b ~ᵤ 1
⊢ b * a ~ᵤ 1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
f₂ : G → G'
f₂' : G →L[𝕜] G'
p : E × G
hf : HasStrictFDerivAt f f' p.1
hf₂ : HasStrictFDerivAt f₂ f₂' p.2
⊢ HasStrictFDerivAt (Prod.map f f₂) (f'.prodMap f₂') p
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.4626, u_2} D
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
W : C
⊢ IsSheaf (extensiveTopology C) (yoneda.obj W)
M : Type u_2
Monoid M
m : M
⊢ IsUnit (MulOpposite.op m) ↔ IsUnit m
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ
a : Γ
⊢ map f (cons a l) = cons (f.f a) (map f l)
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K
⊢ -(b * (1 / a)) = -(b / a)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
b : β
⊢ Sum.inr b ∈ s.disjSum t ↔ b ∈ t
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f : β → σ
g : α → β
hf : Primrec f
hg : Primrec g
n : ℕ
⊢ (Nat.casesOn (encode (decode n)) 0 fun n => encode (Option.map f (decode (encode (Option.map g (decode n))).pred))) = encode (Option.map (fun a => f (g a)) (decode n))
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
πi' : BoxIntegral.Box ι → (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
⊢ (π.biUnion fun J => (πi J).biUnion (πi' J)) = (π.biUnion πi).biUnion fun J => πi' (π.biUnionIndex πi J) J
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
⊢ (RingHom.ker (Quotient.mk I)).IsRadical ↔ IsReduced (R ⧸ I)
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < ↑δ
t : Set α
left✝ : MeasurableSet t
ht : μ t ≤ ↑δ
hunif : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f n x) < ε
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ↑δ
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
⊢ Monotone SetLike.coe
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
⊢ MeasurableSet {a | IsRatStieltjesPoint f a}
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s t : Set X
hu : t ⊆ insert y s
h : x ≠ y
⊢ insert x s ∈ 𝓝[insert y s] x
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ toAntisymmetrization (fun x x_1 => x ≤ x_1) a < toAntisymmetrization (fun x x_1 => x ≤ x_1) b ↔ a < b
x y nx ny : ℤ
z : ℕ
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt x nx →
  Mathlib.Meta.NormNum.IsInt y ny → nx.gcd ny = z → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat (x.gcd y) z
α : Sort u_1
R : α → α → Prop
x y : α
hxy : x = y
h : R x x
⊢ R x y
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
Ring α
Ring β
h : Function.Antiperiodic f c
n : ℤ
⊢ f (x - ↑n * c) = ↑↑n.negOnePow * f x
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
hf : ¬Measurable (Function.uncurry f)
⊢ κ.withDensity f = 0
o₁ o₂ : ONote
o₁.NF
o₂.NF
⊢ (o₁ - o₂).repr = o₁.repr - o₂.repr
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
S : J.Cover X
I : S.Arrow
Z : C
g : Z ⟶ I.Y
⊢ (I.precompRelation g).g₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id (I.precomp g).Y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α × β →₀ M
g : α → β → M → N
hg₀ : ∀ (a : α) (b : β), g a b 0 = 0
hg₁ : ∀ (a : α) (b : β) (c₀ c₁ : M), g a b (c₀ + c₁) = g a b c₀ + g a b c₁
p : α × β
c : M
⊢ (single p.2 c).sum (g p.1) = g p.1 p.2 c
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0
h : 0 < (minpoly A x).degree
⊢ minpoly A x = 1
α : Type u_1
Finite α
n : ℕ
⊢ Finite ↑{f | ∀ (a : α), f a ≤ n}
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
⊢ interior (sphere x r) = ∅
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Z → X
⊢ IsOpenMap (⇑h ∘ f) ↔ IsOpenMap f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
⊢ IsPositive 0
p : Prop
as ps as₁ : List Prop
⊢ as = as₁.reverseAux ps → (mk as).implies p ps as₁.length → p
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
h : MeasureTheory.Integrable f ν
hμ : μ ≤ ν
⊢ MeasureTheory.Integrable f μ
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C
⊢ F.ε ▷ F.obj A.X ≫ F.μ (𝟙_ C) A.X ≫ F.map (A.one ▷ A.X) ≫ F.map A.mul = F.ε ▷ F.obj A.X ≫ F.μ (𝟙_ C) A.X ≫ F.map (λ_ A.X).hom
b : ℂ
hb : 0 < b.re
⊢ (∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2)) ^ 2 = ↑π / b
L : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : TopologicalSpace L
inst✝ : ContinuousSup L
α : Type u_2
l : Filter α
f : ℕ → α → L
g : ℕ → L
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Tendsto (f k) l (𝓝 (g k))
⊢ Tendsto (fun a => (partialSups fun x => f x a) n) l (𝓝 ((partialSups g) n))
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddGroup G
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
y : 𝕜
⊢ MeasureTheory.convolution f (y • g) L μ = y • MeasureTheory.convolution f g L μ
P : Type u_2
MetricSpace P
ps : Set P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
⊢ ps ⊆ Metric.sphere s.center s.radius ↔ ∀ p ∈ ps, p ∈ s
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ wittOne p n = 0
α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
h : ∀ (b : Ultrafilter α), ∃ c, Tendsto f (comap pure (𝓝 b)) (𝓝 c)
⊢ Continuous (Ultrafilter.extend f)
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x : X
hx : x ∈ s
⊢ x ≤ RelSeries.last s
α : Type u_1
d : α
x : WithTop α
⊢ WithTop.untop' d x = d ↔ x = ↑d ∨ x = ⊤
H : Type x
TopologicalSpace H
OrderedCommGroup H
ContinuousInv H
a : H
⊢ Filter.Tendsto Inv.inv (𝓝[>] a⁻¹) (𝓝[<] a)
T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
⊢ IsAddFundamentalDomain (↥(zmultiples T)) (Ioc t (t + T)) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
AddMonoid α
AddMonoid β
e : α ≃+ β
γ : Type u_3
AddMonoid γ
f : β →+ γ
⊢ (AddMonoidHom.precompEquiv e γ) f = f.comp ↑e
ι : Type u
hι : Nonempty ι
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), Ordinal.IsNormal (f i)
a b : Ordinal.{max u v}
⊢ (∀ (i : ι), f i b ≤ Ordinal.nfpFamily f a) ↔ b ≤ Ordinal.nfpFamily f a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
ha : ¬IsUnit a
ha0 : a ≠ 0
⊢ multiplicity a a = 1
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
⊢ s • mk' f m s = f m
b : ℕ
⊢ Fintype.card ↑(Set.Iic b) = b + 1
⊢ ∀ {α : Type u_1} {r : α → α → Prop} {α_1 : Type u_2} {s : α_1 → α_1 → Prop},
  WellFounded r → WellFounded s → WellFounded (Sum.Lex r s)
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
D : Type u_1
CategoryTheory.Groupoid D
φ : CategoryTheory.Functor C D
hφ : Function.Injective φ.obj
S T : CategoryTheory.Subgroupoid C
⊢ S ≤ T → CategoryTheory.Subgroupoid.map φ hφ S ≤ CategoryTheory.Subgroupoid.map φ hφ T
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a : (_ : Fin n) × Fin n
⊢ a ∈ finPairsLT n ↔ a.snd < a.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set γ
f : γ → α
hf : BddAbove (f '' s)
hne : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
⊢ l (⨆ i, f ↑i) = ⨆ i, l (f ↑i)
K : semiOutParam (Type u_1)
self : RCLike K
⊢ RCLike.I = 0 ∨ RCLike.I * RCLike.I = -1
R : Type u_1
S : Type u_2
k : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : LinearOrderedField k
f : R →+* S
abv : S → k
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
l : Filter α
z : α → S
hz : Tendsto (abv ∘ z) l atTop
⊢ ∀ {p : R[X]} {a : R}, 0 < p.degree → (f p.leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x => abv (eval₂ f (z x) p)) l atTop) → f (p + C a).leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x => abv (eval₂ f (z x) (p + C a))) l atTop
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
c x : E → F
R : E → ℝ
s : Set E
a : E
n : ℕ∞
hc : DifferentiableAt ℝ c a
hR : DifferentiableAt ℝ R a
hx : DifferentiableAt ℝ x a
hne : x a ≠ c a
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun a => inversion (c a) (R a) (x a)) a
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s✝ : Set α
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → α → F'
hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ
⊢ μ[∑ i ∈ s, f i|m] =ᶠ[ae μ] ∑ i ∈ s, μ[f i|m]
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
hf1 : IsUnit (f.coeff 0)
hf2 : f = C (f.coeff 0)
⊢ IsUnit f
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X Y Z : C
f g : X ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f CategoryTheory.Limits.prod.fst =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g CategoryTheory.Limits.prod.fst
w₂ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f CategoryTheory.Limits.prod.snd =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g CategoryTheory.Limits.prod.snd
⊢ f = g
M : Type u_1
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
T2Space M
f : ℤ → M
hf₁ : Summable fun n => f (↑n + 1)
hf₂ : Summable fun n => f (-(↑n + 1))
⊢ ∑' (n : ℤ), f n = ∑' (n : ℕ), f (↑n + 1) + f 0 + ∑' (n : ℕ), f (-(↑n + 1))
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
H : ∀ (r : { x // x ∈ s }), (Localization.awayMap f ↑r).Finite
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
⊢ ⊤.FG
S : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
ι : Type u_8
Fintype ι
Monoid S
DistribMulAction S R
SMulCommClass S R R
w : ι → S
v : ι → R
⊢ (QuadraticMap.weightedSumSquares R w) v = ∑ i : ι, w i • (v i * v i)
x : Int
n : Nat
y : Int
⊢ (x.bmod n * y).bmod n = (x * y).bmod n
α : Type ua
UniformSpace α
⊢ UniformContinuous AddOpposite.unop
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
Nontrivial α
p q r : α
h : DvdNotUnit p q
h' : q ~ᵤ r
⊢ DvdNotUnit p r
a b n : ℕ
ha : Nat.Prime a
hb : b ≠ 0
⊢ ↑n ≤ multiplicity a b ↔ (List.replicate n a).Subperm b.primeFactorsList
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
q : ℝ≥0∞
q_top : ¬q = ⊤
q_zero : ¬q = 0
⊢ eLpNorm f p μ ≠ ⊤
α : Type u_2
One α
LinearOrder α
⊢ Finset.max 1 = 1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
self : CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X π
⊢ Nonempty (CategoryTheory.EffectiveEpiFamilyStruct X π)
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
CommSemiring k
Group G
AddCommMonoid V
Module k V
AddCommMonoid W
Module k W
ρV : Representation k G V
ρW : Representation k G W
g : G
⊢ dualTensorHom k V W ∘ₗ TensorProduct.map (ρV.dual g) (ρW g) = (ρV.linHom ρW) g ∘ₗ dualTensorHom k V W
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ mabs a < b ↔ b⁻¹ < a ∧ a < b
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R✝
R' : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero R'
R : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : Nontrivial R
χ : MulChar R R'
⊢ χ 0 = 0
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
⊢ Set.EqOn (norm ∘ f) (Function.const E ‖f c‖) (closure U)