ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P
x : X
⊢ BddAbove (Set.range fun n => Urysohns.CU.approx n c x)
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
⊢ index (↑K) U ≤ index ↑K ↑K₀ * index (↑K₀) U
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ Lagrange.nodalWeight s v i ≠ 0
τ : ℍ
⊢ jacobiTheta ↑(ModularGroup.S • τ) = (-Complex.I * ↑τ) ^ (1 / 2) * jacobiTheta ↑τ
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
⊢ AddSubmonoid.closure {f | ∃ a b, f = Finsupp.single a b} = ⊤
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ (CategoryTheory.Comonad.id C).δ.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
n : ℕ
a : α
s : Set β
⊢ (fun t => κ.densityProcess ν n a t s) = fun t =>
  ((κ a) (MeasurableSpace.countablePartitionSet n t ×ˢ s) / (ν a) (MeasurableSpace.countablePartitionSet n t)).toReal
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel j i
A : C
f g : X φ j ⟶ A
h₁ : inlX φ i j hij ≫ f = inlX φ i j hij ≫ g
h₂ : inrX φ j ≫ f = inrX φ j ≫ g
this : HasBinaryBiproduct (F.X i) (G.X j)
⊢ (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ f = (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ g
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ✝ φ : V ⥤q V'
Φ : FreeGroupoid V ⥤ V'
hΦ : of V ⋙q Φ.toPrefunctor = φ
⊢ Quiver.Symmetrify.of ⋙q (Paths.of ⋙q (Quotient.functor redStep ⋙ Φ).toPrefunctor) = φ
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a✝ : A
a : Aˣ
ha : autoParam (p ↑a) _auto✝
⊢ ∀ x ∈ spectrum R ↑a, id x ≠ 0
R : Type u
CommRing R
f : R[X]
S : Type v
CommRing S
Algebra R S
p : R
x : S
hx : (Polynomial.aeval x) f = 0
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
i : ℕ
⊢ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree ≤ i → ∃ y ∈ Algebra.adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ i
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
a : M
hs : IsSubmonoid s
h : a ∈ s
⊢ a ^ 0 ∈ s
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OfNat.ofNat n * Cardinal.aleph0 = Cardinal.aleph0
α : Type u_1
E : α → Type u_2
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f 0
⊢ {i | f i ≠ 0}.Finite
X Y : Type u
Add X
Add Y
e : X ≃+ Y
⊢ ∀ (a : Y), e.toAddMagmaCatIso.inv a = e.symm.toFun a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
⊢ (X ^ d - 1) * ∏ x ∈ n.divisors \ d.divisors, cyclotomic x R = X ^ n - 1
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℝ
hε : 0 < ε
ε' : ℚ
hε' : ↑ε' < ε
hε'0 : 0 < ε'
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (mk (nthHomSeq f_compat r) - ↑(↑(nthHomSeq f_compat r) i)) < ε'
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n)‖ < ↑ε'
α β : Type u
(P : Prop) → Decidable P
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (SeqLeft.seqLeft s fun x => t) = if t = ∅ then ∅ else s
Fq F : Type
inst✝⁴ : Field Fq
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
hinj : ∀ (a : Fq[X]), (algebraMap Fq[X] F) a = 0 → a = 0
p : Fq[X]
hp : ↑((algebraMap Fq[X] ↥(ringOfIntegers Fq F)) p) = 0
⊢ p = 0
F : Type u_1
Field F
K : Type u_2
Field K
f : F →+* K
⊢ IsSubfield (Set.range ⇑f)
α : Type u_1
CommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α
⊢ (A / C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B / C).card
α : Type u
l : List α
d : α
n : ℕ
⊢ l.getD n d = (l.get? n).getD d
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c) volume
R : Type u_1
M : Type u_5
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid Mₗ₁
AddCommMonoid Mₗ₂
AddCommMonoid Mₗ₁'
AddCommMonoid Mₗ₂'
Module R Mₗ₁
Module R Mₗ₂
Module R Mₗ₁'
Module R Mₗ₂'
B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] M
e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'
e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
h : B.SeparatingLeft
⊢ ((e₁.arrowCongr (e₂.arrowCongr (LinearEquiv.refl R M))) B).SeparatingLeft
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
x✝ : α × Vector α n
a : α
l : Vector α n
⊢ Tendsto (fun p => Vector.insertNth p.1 i p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (Vector.insertNth (a, l).1 i (a, l).2))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
⊢ (CochainComplex.mappingCone.triangle φ).obj₂ = L
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁹ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁸ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝¹³ : AddCommMonoid S
inst✝¹² : AddCommMonoid T
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module R P
inst✝⁸ : Module R Q
inst✝⁷ : Module R S
inst✝⁶ : Module R T
inst✝⁵ : DistribMulAction R' M
inst✝⁴ : Module R'' M
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
p p' : Submodule R P
q q' : Submodule R Q
hp : p ≤ p'
hq : q ≤ q'
⊢ Submodule.span R (Set.image2 (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) ↑p ↑q) ≤ Submodule.span R (Set.image2 (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) ↑p' ↑q')
z : ℂ
τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0
⊢ jacobiTheta₂ z τ = 0
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
⊢ ↑0 = Set.Ici 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
x : ι → R
⊢ b.equivFun.symm x = ∑ i : ι, x i • b i
c₁ c₂ : Lean.Omega.Constraint
x₁ x₂ : Int
w₁ : c₁.sat x₁ = true
w₂ : c₂.sat x₂ = true
⊢ (c₁.add c₂).sat (x₁ + x₂) = true
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
b c : α
ha : 0 ≤ a
hd : 0 ≤ d
ba : b * a ≤ max d b * max c a
cd : c * d ≤ max a c * max b d
⊢ a * b ≤ max a c * max d b
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
l : List α
b : β
⊢ FreeMonoid.ofList l • b = List.foldr f b l
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
⊢ 𝓤 α = comap (fun x => x.1⁻¹ * x.2) (𝓝 1)
q : ℚ
num : ℤ
den : ℕ
hd : den ≠ 0
hdn : num.natAbs.Coprime den
n : ℕ
⊢ (num.natAbs ^ n).Coprime (den ^ n)
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ Finset.filter p (s ∩ t) = Finset.filter p s ∩ Finset.filter p t
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
NormedAddCommGroup D
NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hB : ‖B‖ ≤ 1
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤
  ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖
K : Type u_1
CommRing K
IsDomain K
p q : K[X]
⊢ RatFunc.mk p q = { toFractionRing := (algebraMap K[X] (FractionRing K[X])) p / (algebraMap K[X] (FractionRing K[X])) q }
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s t : Set E
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
⊢ fderivWithin 𝕜 f s =ᶠ[𝓝 x] fderivWithin 𝕜 f t
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
f : (α → ℕ) → ℕ
g : α → β
d : DiophFn f
⊢ DiophFn fun v => f (v ∘ g)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
x✝ : { s // s.card = n }
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ
⊢ ((p.changeOriginSeriesTerm 1 n ↑x✝ ⋯) fun x_1 => x) (Fin.snoc ![] x) = (p (n + 1)) fun x_1 => x
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Mul G
r : k
g g' : G
x : MonoidAlgebra k G
h : ¬∃ d, g' = g * d
⊢ (MonoidAlgebra.single g r * x) g' = 0
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : (closedBall y ε₂ ∩ ball x ε₁).Nonempty
⊢ dist y x < ε₂ + ε₁
R : Type u_3
A : Type u_5
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
h : Function.Injective ⇑(algebraMap R A)
⊢ ∃ s, IsTranscendenceBasis R Subtype.val
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ (2 * X ^ 6 + C W.b₂ * X ^ 5 + 5 * C W.b₄ * X ^ 4 + 10 * C W.b₆ * X ^ 3 + 10 * C W.b₈ * X ^ 2 + C (W.b₂ * W.b₈ - W.b₄ * W.b₆) * X + C (W.b₄ * W.b₈ - W.b₆ ^ 2)).coeff 6 = 2
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
f : L.Functions 1
t : L.Term α
v : α → M
⊢ FirstOrder.Language.Term.realize v (f.apply₁ t) =
  FirstOrder.Language.Structure.funMap f ![FirstOrder.Language.Term.realize v t]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
⊢ P.RespectsIso
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f g : α → M
h : Set.EqOn f g s
⊢ s.indicator f = s.indicator g
G : Type u_1
AddMonoid G
x y : G
h : AddCommute x y
hco : (addOrderOf x).Coprime (addOrderOf y)
⊢ addOrderOf (x + y) = addOrderOf x * addOrderOf y
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
P' : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid P'
Module R M
Module R N
Module R P
Module R P'
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
i : P →ₗ[R] P'
h : Function.Injective ⇑i
⊢ Function.Exact ⇑f ⇑(i ∘ₗ g) ↔ Function.Exact ⇑f ⇑g
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
h : a ≤ b
⊢ 0 ≤ variationOnFromTo f s a b
𝕜 : Type u_3
Field 𝕜
n : Type
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
⊢ ∃ L L' D,
  (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L).prod * M * (List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L').prod =
    Matrix.diagonal D
n m : ℕ
h : n ≤ m
i : Fin n
⊢ (Fin.castLEEmb h) i = Fin.castLE h i
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0
⊢ x ^ z⁻¹ = y ↔ x = y ^ z
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictAnti f
a : α
hmax : ∀ (p : β), p ≤ f a
x : α
⊢ a ≤ x
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ ↑‖MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf‖₊ = MeasureTheory.eLpNorm f p μ
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
i j : α
σ : Perm α
⊢ swap i j * σ = σ ↔ i = j
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
h1 : c ≤ a
h2 : c ≤ b
⊢ a - c = b - c ↔ a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r₁ r₂ : ℝ
h : |r₁| < |r₂|
⊢ (fun x => ‖r₁ ^ x‖) =o[atTop] fun x => ‖r₂ ^ x‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
⊢ I * ((starRingEnd 𝕜) ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, x⟫_𝕜) / 2 = ↑0
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
x : AddUnits M
h : x ∈ S.addUnits
⊢ ⟨(AddUnits.coeHom M) (-x), ⋯⟩ + ⟨(AddUnits.coeHom M) x, ⋯⟩ = 0
n : ℕ
F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q✝ : MvQPF F✝
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => abs y.repr = x
a✝ : (P F).M α
⊢ ∀ (x : (P F).M α), R (((Quot.mk Mcongr ∘ M.corec (P F) fun x => MvQPF.repr (Quot.lift (fun x => (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) x)) ⋯ x)) ∘ Quot.mk Mcongr) x) (Quot.mk Mcongr x)
a b c : ℚ
⊢ a + b + c = a + (b + c)
α : Type u
⊢ Set.univ = ∅ ↔ IsEmpty α
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
⊢ [c-[𝕜]x] ∩ [c-[𝕜]y] = {c}
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
x : β
hx : x ∈ s
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : ∀ {a b : α}, edist a b < ε → (a, b) ∈ u
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
AddMonoid M
AddMonoid N
AddMonoid P
x : M
⊢ (AddMonoid.MulEquiv.coprodAssoc M N P).symm (AddMonoid.Coprod.inl x) = AddMonoid.Coprod.inl (AddMonoid.Coprod.inl x)
w : Nat
x : BitVec w
b : Bool
i : Nat
⊢ (x.concat b).getLsb i = if i = 0 then b else x.getLsb (i - 1)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
ht : (s.pi t).Nonempty
i : ι
⊢ t i ⊆ eval i '' s.pi t
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ t ∈ Icc 0 1, x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
⊢ ‖f (x + h • v + h • w) - f (x + h • v) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * h ^ 2‖
⊢ ∀ {α : Type u_1} {r : α → α → Prop} {β : Type u_2} {s : β → β → Prop}, Subrelation (Sum.LiftRel r s) (Sum.Lex r s)
a : ℝ
⊢ ContinuousOn (oddKernel ↑a) (Ioi 0)
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
a : A
m : M
⊢ (Algebra.TensorProduct.basis A b).repr (a ⊗ₜ[R] m) = a • Finsupp.mapRange ⇑(algebraMap R A) ⋯ (b.repr m)
ι : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
σ : Equiv.Perm ι
f g : ι → α
Fintype ι
hfg : Monovary f g
⊢ ∑ i : ι, f (σ i) * g i = ∑ i : ι, f i * g i ↔ Monovary (f ∘ ⇑σ) g
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
n : ℕ
u : ℕ → β
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t
x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1
⊢ edist ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 ((n, ⟨u, ⋯⟩).1 - 1 - x + 1))) ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 ((n, ⟨u, ⋯⟩).1 - 1 - x))) = edist (f (↑(n, ⟨fun i => φ (u (n - i)), ⋯⟩).2 (x + 1))) (f (↑(n, ⟨fun i => φ (u (n - i)), ⋯⟩).2 x))
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
x : (i : ι) → π i
DecidableEq ι
i : ι
y : (i_1 : { x // x ∈ {i} }) → π ↑i_1
⊢ Function.updateFinset x {i} y = Function.update x i (y ⟨i, ⋯⟩)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
X : CategoryTheory.MonoOver (⊤_ C)
⊢ ((CategoryTheory.subterminalsEquivMonoOverTerminal C).inverse.obj X).obj = X.obj.left
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
n : PosNum
⊢ ↑1 ≤ ↑↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ι : Type u_3
b : E → ι → Set E
p : E → ι → Prop
hbasis : ∀ (x : E), (𝓝 x).HasBasis (p x) (b x)
hconvex : ∀ (x : E) (i : ι), p x i → Convex 𝕜 (b x i)
⊢ LocallyConvexSpace 𝕜 E
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
a : S
⊢ D.tensorProductTo ↑⟨1 ⊗ₜ[R] a - a ⊗ₜ[R] 1, ⋯⟩ = D a
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)
⊢ 0 ≤ NumberField.house.supOfBasis K
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
⊢ ContinuousSMul 𝕜 H
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × γ)
a : α
g : γ → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
⊢ ∫⁻ (c : γ), g c ∂κ.snd a = ∫⁻ (bc : β × γ), g bc.2 ∂κ a
α : Type u
a : α
l : List α
⊢ (a :: l).sublists = do
  let x ← l.sublists
  [x, a :: x]
A : Type v
Ring A
R : Type u
CommRing R
Algebra R A
B : Type w
Ring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
x : A
⊢ f.toLieHom x = f x
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
CommMonoid N
f : α →₀ M
h₁ h₂ : α → M → N
⊢ (f.prod fun a b => h₁ a b * h₂ a b) = f.prod h₁ * f.prod h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
V : ι → Type u_4
hc : Fintype.card ι < n
f : ⊤ ↪g completeMultipartiteGraph V
v w : Fin n
hn : (f v).fst ≠ (f w).fst
he : (Sigma.fst ∘ ⇑f) v = (Sigma.fst ∘ ⇑f) w
⊢ False
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁶ : CommRing R₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι'
⊢ b.toMatrix ⇑b' * b'.toMatrix ⇑b = 1
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)
K : IntermediateField F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
⊢ (fixedField H).fixingSubgroup = H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ (fun a => (⨆ n, ↑(eapprox f n) a) + ⨆ n, ↑(eapprox g n) a) = fun a => ⨆ n, (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)) a
α : Type u_3
β : Type u_4
t : TopologicalSpace α
PolishSpace α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
tβ : TopologicalSpace β
MeasurableSpace β
OpensMeasurableSpace β
f : α → β
SecondCountableTopology ↑(Set.range f)
hf : Measurable f
⊢ ∃ t' ≤ t, Continuous f ∧ PolishSpace α
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, |↑(⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩ - CauSeq.const _root_.abs (CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩)) j| < ε / 2 ∧ |↑(⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩ - CauSeq.const _root_.abs (CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩)) j| < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
H₁ : |↑(⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩ - CauSeq.const _root_.abs (CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩)) j| < ε / 2
H₂ : |↑(⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩ - CauSeq.const _root_.abs (CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩)) j| < ε / 2
⊢ |(↑(f - CauSeq.const (⇑abs') (limAux f)) j).re| + |(↑(f - CauSeq.const (⇑abs') (limAux f)) j).im| < ε
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃+ M₂
as : List R
bs : List S
h : List.Forall₂ (fun r s => ∀ (x : M), e (r • x) = s • e x) as bs
⊢ IsWeaklyRegular M as ↔ IsWeaklyRegular M₂ bs
m n : ℕ
⊢ lcm m n = m.lcm n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
i : ℕ
⊢ (truncateFun n x).out.coeff i = (init n x).coeff i
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (-1) ^ p = -1
F : Type u_1
K : Type u_2
E : Type u_3
Field F
Field K
Field E
Algebra F K
Algebra F E
Algebra K E
IsScalarTower F K E
h : Algebra.IsSeparable F E
⊢ Algebra.IsSeparable F K
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z✝ z : 𝕜
hxz : 0 ≤ z - x
hyz : 0 ≤ y - z
h : 0 < y - x
⊢ (y - z) / (y - x) + (z - x) / (y - x) = 1
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝¹ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n✝ n : ℕ
h : n ≠ 0
g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X
hp : 1 < p
aux : g_poly ≠ 0
key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField p n)) = p ^ n
nat_degree_eq : g_poly.natDegree = p ^ n
⊢ ∀ (x : GaloisField p n), x ∈ g_poly.rootSet (GaloisField p n)
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f (μ.restrict s)
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
⊢ ContinuousMap.compactOpen ≤ TopologicalSpace.induced (ContinuousMap.restrict s) ContinuousMap.compactOpen
ι : Type u_5
αi : ι → Type u_6
βi : ι → Type u_7
γi : ι → Type u_8
ei : (i : ι) → PartialEquiv (αi i) (βi i)
ei' : (i : ι) → PartialEquiv (βi i) (γi i)
⊢ (PartialEquiv.pi ei).trans (PartialEquiv.pi ei') = PartialEquiv.pi fun i => (ei i).trans (ei' i)
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W✝ : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
W : Subspace K (Module.Dual K V)
⊢ finrank K ↥W + finrank K ↥(dualCoannihilator W) = finrank K V
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
h : 1 ≤ p.natDegree
f : R →+* S
x : S
⊢ ∑ i ∈ Finset.range ((normalizeScaleRoots p).natDegree + 1), f ((normalizeScaleRoots p).coeff i) * (f p.leadingCoeff * x) ^ i = ∑ i ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * (f (p.coeff i) * x ^ i)
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ.AbsolutelyContinuous ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.llr (c • μ) ν =ᵐ[μ] fun x => MeasureTheory.llr μ ν x + Real.log c.toReal
q₁ q₂ : ℚ
⊢ { num := (q₁.num * ↑q₂.den + q₂.num * ↑q₁.den) / ↑((q₁.num * ↑q₂.den + q₂.num * ↑q₁.den).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den)), den := q₁.den * q₂.den / (q₁.num * ↑q₂.den + q₂.num * ↑q₁.den).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den), den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }.den ∣ q₁.den * q₂.den
𝕜 : Type u_4
NormedDivisionRing 𝕜
CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
⊢ ∑' (n : ℕ), ↑n * r ^ n = r / (1 - r) ^ 2
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
h : HasFPowerSeriesAt f p x
⊢ fderiv 𝕜 f x = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p 1)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
⊢ b.toBasis.equivFun = b.repr.toLinearEquiv