ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
⊢ (Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt))).obj X.rel
A : Class
x : ZFSet
H : ∀ (y : ZFSet), A y ↔ y = x
y : ZFSet
x✝ : A.iota y
x' : ZFSet
h : {x | ∀ (y : ZFSet), A y ↔ y = x} x'
yx' : y ∈ ↑x'
⊢ ↑x y
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
f : (i : ι) → β i
support'✝ : Trunc { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }
s : Multiset ι
hf : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0
⊢ ∀ x ∈ (↑⟨s, hf⟩).toFinset, (φ x) ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } x) = if { toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } x ≠ 0 then (fun x => ⇑(φ x)) x ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } x) else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
x : Sym2 α
⊢ x ∈ filter (fun a => ¬a.IsDiag) (image Sym2.mk (univ ×ˢ univ)) ↔ ¬x.IsDiag
K : Type u_3
DivisionMonoid K
HasDistribNeg K
a b : K
⊢ b / -a = -(b / a)
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hpq : q.degree < p.degree
⊢ (p + q).Monic
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
⊢ ∀ (a b : Finset α), a ∈ A → b ∈ B → ↑(interedges G.Adj a b).card / (↑a.card * ↑b.card * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ↑(interedges G.Adj a b).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))
M : Type u_4
N : Type u_5
DivInvMonoid M
DivInvMonoid N
f : M →* N
hf : ∀ (x : M), f x⁻¹ = (f x)⁻¹
a : M
n : ℤ
⊢ f (a ^ n) = f a ^ n
G : Type u
Group G
F : Type v
Field F
MulSemiringAction G F
Fintype G
x : F
f : Polynomial ↥(FixedPoints.subfield G F)
hf : Polynomial.eval₂ (FixedPoints.subfield G F).subtype x f = 0
⊢ FixedPoints.minpoly G F x ∣ f
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
h₁ : ↑j = ↑j✝
h₂ : ¬j = j✝
⊢ eqToHom ⋯ = 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n
⊢ x ∈ ↑(upperClosure s)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable (s.indicator f) μ ↔ IntegrableOn f s μ
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
U : X.Opens
r : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor f).obj (X.basicOpen r) =
  Y.basicOpen ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appIso f U).inv r)
I : Type u_1
DecidableEq I
Z : I → Type u_2
(i : I) → CommMonoid (Z i)
Finite I
G : Type u_3
CommMonoid G
g h : ((i : I) → Z i) →* G
H : ∀ (i : I) (x : Z i), g (Pi.mulSingle i x) = h (Pi.mulSingle i x)
⊢ g = h
J : Type w
CategoryTheory.Category.{w', w} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : C → Prop
h : CategoryTheory.Limits.ClosedUnderLimitsOfShape J P
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J (CategoryTheory.FullSubcategory P)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
ι : Type u_3
b : ι → Set E
p : ι → Prop
hbasis : (𝓝 0).HasBasis p b
hconvex : ∀ (i : ι), p i → Convex 𝕜 (b i)
x : E
⊢ (map (fun x_1 => x + x_1) (𝓝 0)).HasBasis ((fun x => p) x) ((fun x i => (fun x_1 => x + x_1) '' b i) x)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ (W.map φ).c₆ = φ W.c₆
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype m
A B : Matrix m n α
x : m → α
⊢ x ᵥ* (A + B) = x ᵥ* A + x ᵥ* B
R : Type u
S✝ : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Finite σ
ϕ : MvPolynomial σ R →+* S
p : MvPolynomial σ R
val✝ : Fintype σ
⊢ ϕ (∑ v ∈ p.support, (monomial v) (coeff v p)) = eval₂ (ϕ.comp C) (fun s => ϕ (X s)) p
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
R : Type u
CommRing R
⊢ ↑(CommRingCat.of R) = R
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
x : E
⊢ ↑f x / ∫ (x : E), ↑f x ∂μ ≤ 1 / (μ (closedBall c f.rIn)).toReal
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ Ideal.torsionOf R M 0 = ⊤
α : Type u_6
NonUnitalNonAssocSemiring α
self : CentroidHom α
a b : α
⊢ (↑self.toAddMonoidHom).toFun (a * b) = a * (↑self.toAddMonoidHom).toFun b
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (f ζ) k
hf : Injective ⇑f
⊢ f (ζ ^ k) = f 1
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : P
I : FractionalIdeal S P
⊢ spanSingleton S x ≤ I ↔ x ∈ I
a x✝ y✝ x y : ℂ
⊢ angle (x / 0) y = angle x (y * 0)
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ deriv f x < slope f x y
m : ℕ+
n k : ℕ+
⊢ k.Coprime n → (m * k).gcd n = m.gcd n
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
⊢ MonovaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → f i • g j + f j • g i ≤ f i • g i + f j • g j
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
F : CategoryTheory.Arrow C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented C
G : F ⟶ CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.toArrow.obj X
⊢ (CategoryTheory.CosimplicialObject.equivalenceRightToLeft F X G).left = G.left
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
⊢ (RingHom.fst R S).rangeS = ⊤
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
f p : Equiv.Perm α
⊢ p ∈ f.cycleFactorsFinset ↔ p.IsCycle ∧ ∀ a ∈ p.support, p a = f a
n k : ℕ
h : n ∈ k.smoothNumbers
l m : ℕ
H₁ : m ^ 2 * l = n
H₂ : Squarefree l
hl : l ∈ k.smoothNumbers
⊢ l = l.primeFactorsList.toFinset.prod id
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (2 < p)
⊢ -1 ≠ 1
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : BarrelledSpace 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
bdd : BddAbove (range p)
⊢ LowerSemicontinuous (⨆ i, ⇑(p i))
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : HasUpperLowerClosure α
s : Set α
h : IsUpperSet s
⊢ IsLowerSet (closure sᶜ)
M : Type u
Monoid M
N : Type u'
Monoid N
F : M →* N
X Y : CategoryTheory.Discrete M
⊢ (CategoryTheory.Discrete.monoidalFunctor F).μ X Y = CategoryTheory.Discrete.eqToHom ⋯
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivAtFilter g₁ g₁' y L'
hh : HasDerivAtFilter h h' x L
hy : y = h x
hL : Filter.Tendsto h L L'
⊢ HasDerivAtFilter (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x L
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
w : Word H
h : (lift f) w.prod = 1
hnotempty : ¬w = Word.empty
⊢ False
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun x => √(f x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Topology.IsLowerSet α
inst✝ : Topology.IsLowerSet β
f : α → β
⊢ Monotone f ↔ Continuous f
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
g : Fin 1 → R
val✝ : ℕ
hi : val✝ < 1
sum_eq : g 0 • (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩) 0 = 0
⊢ g ⟨val✝, hi⟩ = 0
α : Type u_1
Lattice α
a b : α
⊢ Set.Icc b a ⊆ Set.uIcc a b
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
s : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op U))
𝒰 : X.OpenCover
Finite 𝒰.J
h : ∀ (i : 𝒰.J), IsNilpotent ((AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) s)
⊢ IsNilpotent s
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
n : ℕ
hp : Prime p
hpow : p ^ n.succ ∣ a ^ n.succ * b ^ n
hb : ¬p ^ 2 ∣ b
⊢ p ∣ a
α : Type u_1
SemilatticeSup α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
a : α
⊢ a ∈ lowerClosure ↑s → (Finset.filter (fun b => a ≤ b) s).Nonempty
p k : ℕ
hp : 2 ≤ p
h1 : 4 ≤ 2 ^ p
h2 : 1 ≤ 2 ^ p
⊢ ↑(sMod' (2 ^ p - 1) k) = sMod p k
β : Type u_2
G : Type u_5
TopologicalSpace G
CommGroup G
TopologicalGroup G
Infinite β
T2Space G
a : G
⊢ (Multipliable fun x => a) ↔ a = 1
α : Type u
β : Type v
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
σ τ : Equiv.Perm α
h : σ.Disjoint τ
⊢ (σ.extendDomain f).Disjoint (τ.extendDomain f)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsDomain R
hM : M ≤ R⁰
p : Ideal S
hpp : p.IsPrime
hp0 : p ≠ ⊥
this : IsDomain S
⊢ Ideal.comap (algebraMap R S) ⊥ < Ideal.comap (algebraMap R S) p
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a✝ b✝ : List α
h : Disjoint (Quot.mk Setoid.r a✝) (Quot.mk Setoid.r b✝)
⊢ ndunion (Quot.mk Setoid.r a✝) (Quot.mk Setoid.r b✝) = dedup (Quot.mk Setoid.r a✝) + Quot.mk Setoid.r b✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M ≃ N
hf : f 0 = 0
hf' : f.symm 0 = 0
x : α →₀ N
⊢ mapRange id ⋯ x = x
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Subgroup G
f g : (i : ι) → ↥(H i)
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → Commute x y
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype ↥(H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card ↥(H i)).Coprime (Fintype.card ↥(H j))
⊢ CompleteLattice.Independent H
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
⊢ Continuous f ↔ ∀ (i : ι), Continuous fun a => f a i
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x => ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
vf_cont : ∀ (n : ℕ), Continuous (v n ∘ f)
I : ∀ (ν : Measure G), IsFiniteMeasureOnCompacts ν → Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂ν) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂ν))
M : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
I1 : Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'))
J1 : ∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
hI : a₂ ≤ b₂
ha : a₂ < a₁
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ Set.Icc a₁ b₁ ⊂ Set.Icc a₂ b₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
t : ι → Set β
ht : IndexedPartition t
hf : ∀ (i : ι), BijOn (f i) (s i) (t i)
g : α → β := hs.piecewise f
hg : g = hs.piecewise f
⊢ Bijective g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Z = CategoryTheory.Limits.prod.map f (CategoryTheory.CategoryStruct.id Z)
x m n : Nat
h : n ≤ m
hx : 0 < x
⊢ x ^ m / x ^ n = x ^ (m - n)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra R B
f : R →+* S
g✝ : S →+* T
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A B
I : Ideal S
g : R →+* R ⧸ Ideal.comap f I := Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap f I)
this : (Ideal.quotientMap I f ⋯).comp g = (Ideal.Quotient.mk I).comp f
⊢ (Ideal.quotientMap I f ⋯).IsIntegral ↔ ((Ideal.Quotient.mk I).comp f).IsIntegral
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
⊢ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) (∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : Filter β
s : Set α
⊢ s ∈ Filter.comap f l ↔ {y | ∀ ⦃x : α⦄, f x = y → x ∈ s} ∈ l
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
σ : α → Type u_4
a✝ : α
s✝ : Multiset α
t✝ : (a : α) → Multiset (σ a)
a : α
s : Multiset α
IH : ∀ (t u : (a : α) → Multiset (σ a)), (s.sigma fun a => t a + u a) = s.sigma t + s.sigma u
t u : (a : α) → Multiset (σ a)
⊢ map (Sigma.mk a) (t a + u a) + (s.sigma t + s.sigma u) = (a ::ₘ s).sigma t + (a ::ₘ s).sigma u
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ IsConnected (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsConnected s
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α
h : x ∉ closure E
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
⊢ Filter.Tendsto Nat.factorial Filter.atTop Filter.atTop
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this : p.IsPrime
⊢ ∃ p', p'.IsPrime ∧ comap f p' = p
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
a : α
t : Set α
hat : a ∉ t
h : insert a t = s
⊢ s.ncard = t.ncard + 1
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Set α
h : ∀ (b : α), a • b ∈ s ↔ b ∈ s
⊢ ∀ (x : α), a⁻¹ • x ∈ s ↔ x ∈ s
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : (z - x) * f y ≤ (z - x) * (a • f x + b • f z)
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) ≤ f x / (y - x) + f z / (z - y)
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
F : Type u_3
PseudoEMetricSpace F
f : E → F
C : ℝ≥0
hf : LipschitzWith C f
g : α → E
s : Set α
h : LocallyBoundedVariationOn g s
⊢ LocallyBoundedVariationOn (f ∘ g) s
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
s : Set L
⊢ Submodule.span R s ≤ (LieSubalgebra.lieSpan R L s).toSubmodule
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
a : { x // p x }
⊢ Subtype.val ⁻¹' Set.Ioi ↑a = Set.Ioi a
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
A : Matrix n n R
hA : A.PosSemidef
m : Type u_5
Fintype m
B : Matrix m n R
⊢ (B * A * B.conjTranspose).PosSemidef
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → F
f_lim : α → F
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
⊢ essSup (fun x => liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop) μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm (f n) ⊤ μ) atTop
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
x : (leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 }).V
⊢ ({ hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2), comm := ⋯ } ≫ { hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2), comm := ⋯ }).hom x = (𝟙 (leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 })).hom x
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
SMul M X
Y : Type u_6
SMul N Y
Z : Type u_7
SMul P Z
Q : Type u_8
T : Type u_9
SMul Q T
η : P → Q
θ : M → Q
ζ : N → Q
h : Z →ₑ[η] T
g : Y →ₑ[ψ] Z
f : X →ₑ[φ] Y
CompTriple φ ψ χ
CompTriple χ η θ
CompTriple ψ η ζ
CompTriple φ ζ θ
⊢ h.comp (g.comp f) = (h.comp g).comp f
α : Type u_3
SemilatticeSup α
a : α
⊢ Filter.atTop.HasBasis (fun x => a ≤ x) Set.Ici
n : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ Fin.last n
⊢ j ≤ i.castPred hi ↔ j.castSucc ≤ i
R : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass R
b : R
inst✝ : Nontrivial R
ra : IsRightRegular 0
x y : R
xy : x ≠ y
⊢ x * 0 = y * 0
α : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
TopologicalSpace α
CompleteLattice α
SupConvergenceClass α
f : ι → α
h_mono : Monotone f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 (⨆ i, f i))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
s : Set (β × γ)
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
⊢ HasFiniteIntegral (fun b => ((η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)).toReal) (κ a)
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (Module.rank K V) < Module.rank K (V →ₗ[K] K)
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
G : Type u_8
hG : Group G
inst✝³ : DistribMulAction G R
inst✝² : DistribMulAction G M
inst✝¹ : IsScalarTower G R M
inst✝ : SMulCommClass G R M
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
w : ι → G
s : Finset ι
g : ι → R
hgs : ∀ i ∉ s, g i = 0
hsum : ∑ i ∈ s, g i • (w • v) i = 0
i : ι
⊢ g i = 0
α : Type u_1
⊢ FreeAddGroup.lift FreeAddGroup.of = AddMonoidHom.id (FreeAddGroup α)
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
⊢ closure E ⊆ Metric.cthickening δ E
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤
⊢ (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) (s ∪ t) = (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s + (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Function.Injective ⇑f
⊢ StrictConvex 𝕜 (⇑f ⁻¹' s)
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Injective ⇑(rTensor N (span R (Set.range m)).subtype)
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
mem_M' : ∀ (i : ι), m i ∈ span R (Set.range m)
⊢ VanishesTrivially R m n
α : Type u_7
β : Type u_8
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ t₃ : TopologicalSpace β
h₁ : t₂ ≤ t₃
s : Set α
f : α → β
h₂ : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn f s
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
ι : Type v
hs : IsCompact s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ t, s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ a / b * c = a * (c / b)
α : Type u_1
Zero α
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ SignType.sign a = -1 ↔ a < 0
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
⊢ NoZeroDivisors S
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun a => κ.compProdFun η a s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
h : Nat.card β = 0 → Nat.card α = 0
⊢ Nat.card α ≤ Nat.card β
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
p : α → Prop
⊢ (∃ s ∈ l, ∃ t ∈ l', ∀ x ∈ t, x ∈ s → p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l ⊓ l', p x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G : Type u_10
H : Type u_11
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
f : OneHom M N
g : N → M
h₁ : LeftInverse g ⇑f
⊢ g 1 = 1
a b : UInt32
⊢ (a / b).toNat = a.toNat / b.toNat
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝⁵ : IsTrans α r
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : Nonempty γ
f✝ : γ → α
inst✝³ : Finite β
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
f : β → α
M : α
hM : ∀ (i : β), f i ≤ M
⊢ BddAbove (Set.range f)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
⊢ [s ∈ 𝓝[≥] a, s ∈ 𝓝[Set.Icc a b] a, s ∈ 𝓝[Set.Ico a b] a, ∃ u ∈ Set.Ioc a b, Set.Ico a u ⊆ s,
    ∃ u ∈ Set.Ioi a, Set.Ico a u ⊆ s].TFAE