ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ
⊢ (I.isoRightDerivedObj F n).inv ≫ (F.rightDerived n).map f = (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map φ ≫ (J.isoRightDerivedObj F n).inv
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
⊢ (X.tensorObj Y).rel = (Subobject.pullback (prod.map (prod.braiding X.src Y.src).hom (prod.braiding X.tgt Y.tgt).hom)).obj (Y.tensorObj X).rel
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
CategoryTheory.Abelian A
X : CategoryTheory.SimplicialObject A
n : ℕ
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.PInftyToNormalizedMooreComplex X).f n =
  (AlgebraicTopology.NormalizedMooreComplex.objX X n).factorThru (AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n) ⋯
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ RingHom.ker (map f g) = Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f) ⊔ Ideal.map includeRight (RingHom.ker g)
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ Fin.last n
⊢ a.pred ha < b.castPred hb ↔ a ≤ b
x y : ℂ
⊢ sin x ^ 2 = 1 - cos x ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r : Rel α β
s : Rel β γ
x : γ
z : α
⊢ (r • s).inv x z ↔ (s.inv • r.inv) x z
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
i j : 𝒰.J
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.gluedLiftPullbackMap 𝒰 f g s i j ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst ((𝒰.pullbackCover s.fst).map i) ((𝒰.pullbackCover s.fst).map j) ≫
    (CategoryTheory.Limits.pullbackSymmetry s.fst (𝒰.map i)).hom ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.map (𝒰.map i) s.fst (𝒰.map i ≫ f) g (𝟙 (𝒰.obj i)) s.snd f ⋯ ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α →₀ M
⊢ filter p f = f ↔ ∀ (x : α), f x ≠ 0 → p x
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
htm : NullMeasurableSet t μ
ht : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, ∀ (g : G), g ≠ 1 → g • x ≠ y
g₁ g₂ : G
hne : g₁ ≠ g₂
⊢ (Disjoint on fun g => g • t ∩ s) g₁ g₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
c : ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => c) a ∂μ = c * μ s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
LT β
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ Function.argminOn f h s hs ∈ s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hμ : μ = 0
⊢ (μ univ).toReal • ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Nontrivial S
IsDedekindDomain S
Module.Free ℤ S
Module.Finite ℤ S
CharZero S
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ {I | Ideal.absNorm I = n}.Finite
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
⊢ y ∈ {y | s.SOppSide x y} ↔ y ∈ Set.image2 (fun t q => t • (x -ᵥ p) +ᵥ q) (Set.Iio 0) ↑s
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
f : α → E
g' : α → F'
l : Filter α
ι : Sort u_17
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : f =O[l] g'
hb : l.HasBasis p s
⊢ ∃ c > 0, ∃ i, p i ∧ ∀ x ∈ s i, ‖f x‖ ≤ c * ‖g' x‖
K : Type u
inst✝ : CommRing K
x✝¹ x✝ : RatFunc K
toFractionRing✝¹ toFractionRing✝ : FractionRing K[X]
⊢ { toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ({ toFractionRing := toFractionRing✝¹ } * { toFractionRing := toFractionRing✝ }) = { toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun { toFractionRing := toFractionRing✝¹ } * { toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun { toFractionRing := toFractionRing✝ }
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hlt : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
⊢ spanNorm R (I * J) = spanNorm R I * spanNorm R J
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
⊢ a - ⨅ i, f i = ⨆ i, a - f i
x y : ℝ
hy : y ∈ Set.Ico (-(π / 2)) (π / 2)
⊢ Real.arcsin x ≤ y ↔ x ≤ Real.sin y
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
h : m ≠ n
a : R
⊢ (coeff R m) ((monomial R n) a) = 0
α : Type u
SemilatticeInf α
a b c d : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ d
⊢ a ⊓ c ≤ b ⊓ d
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x : ℝ
h : x ∈ Ioo (I.lower i) (I.upper i)
h' : optParam (∀ (j : ι), I.lower j < update I.upper i x j) ⋯
⊢ I.splitLower i x = ↑{ lower := I.lower, upper := update I.upper i x, lower_lt_upper := h' }
A : Type u_10
AddZeroClass A
⊢ ⇑1 = id
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
y : R
⊢ seminormFromBounded' f (x * y) = seminormFromBounded' f x * seminormFromBounded' f y
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I✝ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : comap f ⊥ = ⊥
h₂ : I ≤ ⊥
⊢ I = ⊥
G : Type u
AddMonoid G
hG : AddMonoid.exponent G = 2
x : G
⊢ addOrderOf x = 2 ↔ x ≠ 0
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b₁ b₂ : Basis ι R M
h : ∀ (x : M) (i : ι), (b₁.repr x) i = (b₂.repr x) i
⊢ b₁ = b₂
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b = a ⊔ b ↔ Disjoint a b
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
f g₁ g₂ : (a : ι) → π a
⊢ s.piecewise f (s.piecewise g₁ g₂) = s.piecewise f g₂
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
IsEmpty β
f : α → β
⊢ Continuous f
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousMul M
f : ℕ → M
he : Multipliable fun k => f (2 * k)
ho : Multipliable fun k => f (2 * k + 1)
⊢ Multipliable f
R : Type u
CommRing R
M : ModuleCat R
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
f : (x : ↥U) → ModuleCat.Tilde.Localizations M ↑x
⊢ (ModuleCat.Tilde.isLocallyFraction M).pred f =
  ∀ (y : ↥U),
    ∃ V,
      ∃ (_ : ↑y ∈ V),
        ∃ i m s,
          ∀ (x : ↥V),
            s ∉ (↑x).asIdeal ∧ s • f ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x) = (LocalizedModule.mkLinearMap (↑x).asIdeal.primeCompl ↑M) m
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
⊢ p 0
α : Type u
t s s' u : Set α
⊢ u ⊆ t.ite s s' ↔ u ∩ t ⊆ s ∧ u \ t ⊆ s'
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hs : NullMeasurableSet s μ
hfi : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ + ∫ (x : X) in sᶜ, f x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ
R : Type u
N : Type w
CommSemiring R
σ : Type u_1
DecidableEq σ
AddCommMonoid N
Module R N
d : σ →₀ ℕ
n : N
⊢ MvPolynomial.scalarRTensor.symm (Finsupp.single d n) = (MvPolynomial.monomial d) 1 ⊗ₜ[R] n
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Div G✝
inst✝³ : ContinuousDiv G✝
G : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousSub G
b c : G
f : α → G
l : Filter α
h : Tendsto (fun x => f x - b) l (𝓝 (c - b))
⊢ Tendsto f l (𝓝 c)
α : Type u
s : Set α
⊢ sᶜ ∩ s = ∅
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
⊢ T0Space α ↔ ∀ (x y : α), (∀ r ∈ 𝓤 α, (x, y) ∈ r) → x = y
d : ℤ
n : ℤ
⊢ Zsqrtd.ofInt n = ↑n
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α✝
x✝ y✝ : α✝
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hfx : f x ≠ x
hffx : f (f x) = x
y z : α
hz : f z ≠ z ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle z y
i : ℤ
hi : (f ^ i) z = x
hyx : ¬y = x
hfyx : ¬y = f x
⊢ f y = y
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ Polynomial.Chebyshev.U R (-n) = -Polynomial.Chebyshev.U R (n - 2)
n : ℕ
self : n.AtLeastTwo
⊢ n ≥ 2
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Injective ⇑f
h : Wbtw R (f x) (f y) (f z)
⊢ Wbtw R x y z
M : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero M
Unique Mˣ
p : M
hp : Prime p
L : List M
hL : ∀ q ∈ L, Prime q
hpL : p ∣ L.prod
⊢ p ∈ L
A : Type u_1
A' : Type u_2
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} A
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_6, u_4} B'
eA : A ≌ A'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
⊢ (AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₁ hF).unitIso =
  AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.equivalence₁UnitIso hF
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
c : ℝ≥0∞
h : levyProkhorovEDist μ ν < c
B : Set Ω
B_mble : MeasurableSet B
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ∈ {ε | ∀ (B : Set Ω), MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε}
lt_c : c' < c
⊢ ν B ≤ μ (thickening c.toReal B) + c
m n : Nat
⊢ range m ⊆ range n ↔ m ≤ n
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a : 𝓜(𝕜, A)
⊢ ‖a‖ = ‖DoubleCentralizer.toProdHom a‖
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α
⊢ Disjoint (a ∆ b) (a ⊓ b)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)
⊢ x ∈ u
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
f : R →+* S
s : Subsemiring R
⊢ ↑(Subsemiring.map f s) = ⇑f '' ↑s
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
v : ℝ → E → E
tMin t₀ tMax : ℝ
x₀ : E
L : ℝ≥0
R C : ℝ
self : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C
t : ℝ
⊢ t ∈ Set.Icc tMin tMax → LipschitzOnWith L (v t) (Metric.closedBall x₀ R)
R : Type u_2
Add R
Mul R
s : Con R
h : ∀ {w x y z : R}, Setoid.r w x → Setoid.r y z → Setoid.r (w + y) (x + z)
a b : R
⊢ { toCon := s, add' := h } a b ↔ s a b
α : Type u_1
n : Type u_4
Neg α
Sub n
v : n → α
⊢ Matrix.circulant (-v) = -Matrix.circulant v
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
CompleteLattice β
s : Set (α →o β)
x : α
⊢ (sSup s) x = ⨆ f ∈ s, f x
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
h_dvd : (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors ≤ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)).factors
h_not_dvd : (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)).factors < (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1
⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j x : Fin n
y : Fin (n + 1)
h : y ≤ x.castSucc
h' : optParam (y.succAbove x ≠ 0) ⋯
⊢ (y.succAbove x).pred h' = x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M ≃ N
hf : f 0 = 0
hf' : f.symm 0 = 0
f₂ : N ≃ P
hf₂ : f₂ 0 = 0
hf₂' : f₂.symm 0 = 0
⊢ (f.trans f₂) 0 = 0
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LocalRing R
q : ℕ
char_R_q : CharP R q
q_pos : ¬q = 0
K : Type u_1 := LocalRing.ResidueField R
RM_char : CharP K (ringChar K)
r : ℕ := ringChar K
n : ℕ := q.factorization r
r_prime : Nat.Prime r
⊢ IsPrimePow q
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
m n : ℤ
k l : ℕ
hpm : ↑(p ^ k) ∣ m
hpn : ↑(p ^ l) ∣ n
hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n
hpm' : p ^ k ∣ m.natAbs
hpn' : p ^ l ∣ n.natAbs
hpmn' : p ^ (k + l + 1) ∣ m.natAbs * n.natAbs
hsd : p ^ (k + 1) ∣ m.natAbs ∨ p ^ (l + 1) ∣ n.natAbs := Nat.succ_dvd_or_succ_dvd_of_succ_sum_dvd_mul p_prime hpm' hpn' hpmn'
hsd2 : p ^ (l + 1) ∣ n.natAbs
⊢ ↑(p ^ (l + 1)) ∣ ↑n.natAbs
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s t : Set E
y : E
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = fderivWithin 𝕜 f t x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
M : Matroid α
hf : Set.InjOn f M.E
I : Set β
⊢ (M.map f hf).Indep I ↔ ∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ I = f '' I₀
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
s : Set X
⊢ dimH (⇑e '' s) = dimH s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
A : E
U : ↥(unitary E)
⊢ ‖((↑U)⋆ * A⋆)⋆‖ = ‖(↑U)⋆ * A⋆‖
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
h : x ^ n.gcd (card G) = 1
m : ℕ
hm : n = n.gcd (card G) * m
⊢ x ^ n = 1
n : ℕ
NeZero n
a : Fin n
⊢ 0 < a ↔ a ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b : β
ha : a ∈ s
hb : b ∈ t
⊢ (a, b) ∈ s ×ˢ t
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
⊢ Measure.map X ℙ = ProbabilityTheory.cond μ (toMeasurable μ s) ↔ Measure.map X ℙ = ProbabilityTheory.cond μ s
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ eval (v i) (nodal s v) = 0
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ
hT₁ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₂ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
α : Type u_1
CommRing α
n1 n2 k e1 e2 t1 t2 : α
h1 : n1 * e1 = t1
h2 : n2 * e2 = t2
h3 : n1 * n2 = k
⊢ k * (e1 * e2) = t1 * t2
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R T
ι κ : Type w
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
x : R
this : DecidableEq ι
x✝ : ι
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ
⊢ ((toMatrix b b) ((lmul R S) ((algebraMap R S) x))).diag x✝ = x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
S₁.HasRightHomology
S₂.HasRightHomology
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMapIso e).hom = CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap e.hom
G : Type u_2
Group G
s : Set Gᵐᵒᵖ
⊢ (Subgroup.closure s).unop = Subgroup.closure (MulOpposite.op ⁻¹' s)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : IsIntegralClosure A R B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R B
x✝¹ : R
x✝ : A
⊢ (algebraMap A B) (x✝¹ • x✝) = x✝¹ • (algebraMap A B) x✝
α : Type u
β : Type u_1
AddGroup α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Preorder β
f : β → α
s : Set β
hf : AntitoneOn f s
⊢ MonotoneOn (fun x => -f x) s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ T R (n + 1) = 2 * X * T R n - T R (n - 1)
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
Zero N
f g : α →₀ N
⊢ (f.neLocus g).Nonempty ↔ f ≠ g
α : Type u_4
E : Type u_5
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSpace E
AddGroup E
MeasurableSingletonClass E
MeasurableSub₂ E
hm : m ≤ m0
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : f =ᵐ[μ] g
⊢ f =ᵐ[μ.trim hm] g
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
ha : a ∉ s
r : α → α → Prop
⊢ Pairwise (r on fun a_1 => ↑a_1) ↔ Pairwise (r on fun a => ↑a) ∧ ∀ b ∈ s, r a b ∧ r b a
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent R L M
m : M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ (x : L), (toEnd R L M) x ^ k = 0
⊢ ∃ k, ((toEnd R L M) x ^ k) m = 0
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
F E : IntermediateField K L
FiniteDimensional (↥F) L
h_le : F ≤ E
h_finrank : FiniteDimensional.finrank (↥F) L ≤ FiniteDimensional.finrank (↥E) L
⊢ F = E
B : Type u_1
F : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace Z
proj : Z → B
h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F proj
⊢ ∃ e, proj = Prod.fst ∘ ⇑e
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f✝ : α → β
a✝ : α
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MulHomClass F α β
f : F
hf : InjOn (⇑f) (s * s)
h : ThreeGPFree s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
c : α
hc : c ∈ s
habc : f a * f c = f b * f b
⊢ f a = f b
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
f : β → α
⊢ Bornology.IsBounded (Set.range f) ↔ ∃ C, ∀ (x y : β), dist (f x) (f y) ≤ C
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.112486, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S S₁ S₂ S₃ : SnakeInput C
f : S₁.Hom S₂
g : S₂.Hom S₃
⊢ (f.f₂ ≫ g.f₂) ≫ S₃.v₂₃ = S₁.v₂₃ ≫ f.f₃ ≫ g.f₃
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
h : ∀ (n : ℕ), upperCrossingTime a b f N n ω ≠ N
this : StrictMono fun n => upperCrossingTime a b f N n ω
⊢ False
α : Type u
x : FreeCommRing α
⊢ ∃ s, s.Finite ∧ x.IsSupported s
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R r : ℝ
hr : r < R
hr' : 0 ≤ r
z : ℂ
cts : ContinuousOn (⇑abs ∘ circleTransformBoundingFunction R z) (closedBall z r ×ˢ univ)
comp : IsCompact (closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])
⊢ ∃ x, ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑x)
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R B
f : F
x : A
⊢ x ∈ NonUnitalStarSubalgebra.comap f S ↔ f x ∈ S
R : Type u_3
CommRing R
t : R
a : R[X]
⊢ (Polynomial.algEquivAevalXAddC t) a = (Polynomial.aeval (Polynomial.X + Polynomial.C t)) a
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : DiscreteTopology β
hA : VanishingDiam A
⊢ Continuous (inducedMap A).snd
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'
⊢ #(α ≃ β') = #(α → β')
this : Tendsto (fun x => -(eulerMascheroniSeq' ∘ fun a => a + 1) x) atTop (𝓝 (-γ))
n : ℕ
⊢ -(eulerMascheroniSeq' ∘ fun a => a + 1) n = (fun N => -↑(harmonic (N + 1)) + log (↑N + 1)) n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
Y : C
⊢ (CategoryTheory.prodComonad X).ε.app Y = CategoryTheory.Limits.prod.snd
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑r)) atTop (𝓝 (ρ (⋃ i, s ×ˢ Iic ↑i)))
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
x : K
hx : x ≠ 0
⊢ FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ x / FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ x = 1
E : Type u_1
f : ℝ → E
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : HasCompactSupport f
b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Iic b, deriv f x = f b
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
h : IsLowerSet s
⊢ s.OrdConnected
α : Type u_1
AddCommGroup α
k : α
n : ℤ
x a a' : α
h : k + a = a'
⊢ k + Mathlib.Tactic.Abel.termg n x a = Mathlib.Tactic.Abel.termg n x a'
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ a ∉ Set.Ioi a
α : Type u_1
s : Multiset ℕ
h : ∀ x ∈ s, Irreducible x
⊢ normalizedFactors s.prod = s
α : Type u_1
Monoid α
HasDistribNeg α
a b : α
h : a ~ᵤ b
⊢ a ~ᵤ -b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
f✝ : α → β
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : SecondCountableTopology β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f
⊢ SeparableSpace α
R : Type u
σ : Type u_1
τ : Type u_2
CommSemiring R
DecidableEq τ
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
⊢ ((MvPolynomial.rename f) φ).vars ⊆ Finset.image f φ.vars
M₁ : Type u_4
CommMonoidWithZero M₁
a b : M₁
⊢ a * b ∈ M₁⁰ ↔ a ∈ M₁⁰ ∧ b ∈ M₁⁰
α : Type u_2
DecidableEq α
Neg α
a : α
s : Finset α
⊢ -insert a s = insert (-a) (-s)
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
x : Option α
hf : ∀ (a : α), a ∈ x → p a
y : β
⊢ Option.pmap f x hf = some y ↔ ∃ a H, f a ⋯ = y
α : Type u₁
X : CategoryTheory.Discrete α
⊢ { down := { down := ⋯ } } = CategoryTheory.CategoryStruct.id X
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
h₁ : ℵ₀ ≤ #β
h₂ : #α < (#β).ord.cof
this : ∃ a, #β ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
⊢ ∃ a, #↑(f ⁻¹' {a}) = #β