ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
A : CompleteSpace ℝ
⊢ 0 ≤ ∫ (a : α), f a ∂μ
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc : c ∣ a * b
⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ι : Sort w
t : ι → TopologicalSpace α
⊢ TopologicalSpace.coinduced f (⨆ i, t i) = ⨆ i, TopologicalSpace.coinduced f (t i)
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
l : Filter ι
h : TendstoUniformlyOn F f l s
u : ℕ → ι
hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop l
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n)) f Filter.atTop s
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₁
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C₂
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
F.PreservesZeroMorphisms
∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
⊢ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).X i₁).d i₂ i₂' = (F.obj (K₁.X i₁)).map (K₂.d i₂ i₂')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
hf : Pairwise fun i j => ⟪f i, f j⟫_𝕜 = 0
i : ι
hi : f i ≠ 0
H : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = (↑‖f i‖)⁻¹ • f i
⊢ (gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i = (↑‖f i‖)⁻¹ • f i
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ ClosedEmbedding id
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
a : α
s : Set β
hs : s.Finite
hf : (a • s).Finite := ⋯
⊢ Set.Finite.toFinset hf = a • hs.toFinset
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ Submodule.Quotient.mk 0 = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
i : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
his : IsGLB (↑s) i
⊢ IsLeast (↑s) i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasStrictInitialObjects C
I : C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X I
hI : CategoryTheory.Limits.IsInitial I
⊢ (CategoryTheory.Limits.mulIsInitial X hI).hom = CategoryTheory.Limits.prod.snd
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : ‖p1 -ᵥ p2‖ = ‖p1 -ᵥ p3‖
⊢ p3 -ᵥ p2 = p1 -ᵥ p2 - (p1 -ᵥ p3)
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
m' : M'
⊢ mk' f m s = m' ↔ f m = s • m'
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S
inst✝ : IsLocalization M R'
s : Set S
x : S
hx : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R' s)
⊢ ∃ t, t • x ∈ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s)
M : Type u_2
N : Type u_3
Add M
Add N
f : AddHom M N
hf : ∀ (x y : M), AddCommute (f x) (f y)
⊢ ⇑(f.toOpposite hf) = AddOpposite.op ∘ ⇑f
R : Type u
n : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
J A B : Matrix n n R
hA : A ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J
hB : B ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J
⊢ ⁅A, B⁆ ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a b : α
h₀ : a ≤ b
h₁ : a⁻¹ ≤ b
⊢ mabs a ≤ mabs b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
x : ↥U
⊢ TopCat.Presheaf.germToPullbackStalk C f F U x ≫ TopCat.Presheaf.stalkPullbackHom C f F ↑x =
  ((TopCat.Presheaf.pullback C f).obj F).germ x
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
⊢ 2 ^ (n + 1) = 2 ^ n + 2 ^ n
k : Type u
Field k
IsAlgClosed k
p : k[X]
hp : Irreducible p
⊢ p.degree = 1
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
c : E
NeZero μ
hp_zero : p ≠ 0
⊢ ‖(MeasureTheory.Lp.const p μ) c‖ = ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
LinearOrderedCommSemiring β
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
f : Finset α → β
s t : Finset α
ha : a ∉ s
hf : 0 ≤ f
hts : t = insert a s
ht : t ∈ 𝒜
⊢ f t ≤ collapse 𝒜 a f s
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f : A → B
h₁ : ∀ (m : R) (x : A), f (m • x) = φ m • f x
h₂ : { toFun := f, map_smul' := h₁ }.toFun 0 = 0
h₃ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := f, map_smul' := h₁ }.toFun (x + y) =
      { toFun := f, map_smul' := h₁ }.toFun x + { toFun := f, map_smul' := h₁ }.toFun y
h₄ :
  ∀ (x y : A),
    { toFun := f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun (x * y) =
      { toFun := f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun x *
        { toFun := f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toFun y
⊢ ⇑{ toFun := f, map_smul' := h₁, map_zero' := h₂, map_add' := h₃, map_mul' := h₄ } = f
x y : ℂ
⊢ tanh (-x) = -tanh x
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this✝ : Infinite ↑MT
this : Infinite ↑MF
NT : Bundled L.Structure
MNT : ↑MT ≅[L] ↑NT
hNT : #↑NT = κ
⊢ ↑MF ⊨ φ
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : GroupWithZero α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a
⊢ a⁻¹ • b₁ ≤ b₂ ↔ b₁ ≤ a • b₂
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
a b : R
⊢ EuclideanDomain.gcd a b ∣ a ∧ EuclideanDomain.gcd a b ∣ b
J : Type u
inst✝ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
f : i ⟶ j
g : j ⟶ k
h : F.eventualRange k = range (F.map g)
⊢ F.eventualRange k = range (F.map (f ≫ g))
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₁
⊢ ↑(AffineEquiv.equivUnitsAffineMap e) = ↑e
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)
h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary
⊢ (Matroid.sigma M).Finitary
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ L (fun n => χ ↑n) s * L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(μ n)) s = 1
α : Type u_1
CompleteLinearOrder α
s : Set α
⊢ sInf s = ⊥ ↔ ∀ b > ⊥, ∃ a ∈ s, a < b
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
eq_bot_or_top : ∀ (I : Ideal R), I = ⊥ ∨ I = ⊤
I J : Ideal S
hI : spanNorm R I = ⊤
⊢ spanNorm R (I * J) ≤ spanNorm R J
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p a : Associates α
hp : Irreducible p
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
a✝ : Nontrivial α
hph : p ^ n ≠ 0
ha : a ≠ 0
⊢ ∀ (p_1 : Associates α), Irreducible p_1 → p_1.count a.factors = p_1.count (p ^ p.count a.factors).factors
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Finite G
x : F
⊢ IsIntegral (↥(subfield G F)) x
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U
this : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), f.app Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (f.app X x)
⊢ ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y), F'.map f_1 ≫ (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) Y = (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) X ≫ G.toPresheaf.map f_1
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (MeasureTheory.generateSetAlgebra 𝒜) = MeasurableSpace.generateFrom 𝒜
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Set α → Set β
h : Filter β
s : Set α
hs : s ∈ f
hg : 𝓟 (g s) ≤ h
⊢ f.lift' g ≤ h
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
⊢ f a = f b ↔ f (a⁻¹ * b) = 1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Epi f
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Epi g
Z : C
a b : Z✝ ⟶ Z
w : (f ≫ g) ≫ a = (f ≫ g) ≫ b
⊢ f ≫ g ≫ a = f ≫ g ≫ b
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pb : PowerBasis R S
I : Ideal R
x : R
⊢ ((Ideal.map (algebraMap R S) I).quotientEquiv (Ideal.map (of (minpoly R pb.gen)) I) (equiv' (minpoly R pb.gen) pb ⋯ ⋯).symm.toRingEquiv ⋯) ((algebraMap R (S ⧸ Ideal.map (algebraMap R S) I)) x) = (algebraMap R (AdjoinRoot (minpoly R pb.gen) ⧸ Ideal.map (of (minpoly R pb.gen)) I)) x
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x h h' : (i : ι) → M₁ i
⊢ f (x + h) - f (x + h') - (f.linearDeriv x) (h - h') = ∑ s ∈ filter (fun x => 2 ≤ x.card) Finset.univ.powerset, (f (s.piecewise h x) - f (s.piecewise h' x))
α : Type u_1
CircularOrder α
a b : α
⊢ btw a b a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G H : C ⥤ D
X : C
⊢ (α_ F G H).inv.app X = (α_ (F.obj X) (G.obj X) (H.obj X)).inv
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ -Icc a b = Icc (-b) (-a)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
π : ι → Set (Set Ω)
a : ι
S : Finset ι
hp_ind : ProbabilityTheory.iIndepSets π μ
haS : a ∉ S
⊢ ProbabilityTheory.IndepSets (piiUnionInter π ↑S) (π a) μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
x : ↑U
⊢ (X.restrictStalkIso h x).inv = AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap (X.ofRestrict h) x
α : Type u_1
DecidableEq α
x : α
xs : List α
⊢ (x :: xs).formPerm (x :: xs)[xs.length] = x
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x : α
⊢ x ∈ f.support ↔ f x ≠ x
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace A
f : X → Y
sep : IsSeparatedMap f
g : A → Y
⊢ IsSeparatedMap Function.Pullback.snd
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n m : ℕ
i : [m] ⟶ [n]
hi : Mono i
h₁ : [m].len ≠ n
h₂ : ¬Isδ₀ i
⊢ PInfty.f n ≫ X.map i.op = 0
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : S →ₐ[R] S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2
x : S
e₁ : (TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift (f x) = (quotientCotangentIdealRingEquiv R S) ((Ideal.Quotient.mk (ideal R S).cotangentIdeal) (f x))
e₂ : x = (quotientCotangentIdealRingEquiv R S) ((IsScalarTower.toAlgHom R S ((S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2) ⧸ (ideal R S).cotangentIdeal)) x)
⊢ ((Ideal.Quotient.mkₐ R (ideal R S).cotangentIdeal).comp f) x = (IsScalarTower.toAlgHom R S ((S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2) ⧸ (ideal R S).cotangentIdeal)) x ↔ ((TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift.comp f) x = (AlgHom.id R S) x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_7
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α → β
hf : Antitone f
s : (i : ι) → κ i → α
⊢ ⨆ i, ⨆ j, f (s i j) ≤ f (⨅ i, ⨅ j, s i j)
α : Type u
β : Type v
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f g : α → β
p : α → Prop
(x : α) → Decidable (p x)
h₀ : Filter.Tendsto f (l₁ ⊓ 𝓟 {x | p x}) l₂
h₁ : Filter.Tendsto g (l₁ ⊓ 𝓟 {x | ¬p x}) l₂
⊢ Filter.Tendsto (fun x => if p x then f x else g x) l₁ l₂
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀
⊢ (∀ (a : M₀), x = 0 → a = 0) ↔ x ≠ 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor D E} (τ : X ⟶ Y) (F : CategoryTheory.Functor C D) (c : C),
  (((CategoryTheory.whiskeringRight C D E).map τ).app F).app c = τ.app (F.obj c)
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat
⊢ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩) ≫ (stalkFunctor CommRingCat (X.toΓSpecSheafedSpace.base x)).map X.toΓSpecSheafedSpace.c ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = X.presheaf.Γgerm x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.r = s'.r
⊢ s = s'
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
this : StrictAntiOn f (Icc s t) → False
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)
hsx : s ≤ x
⊢ f x < f y
c : ENNReal
a b : ENNReal
hc : c ≠ 0
hc' : c ≠ ⊤
⊢ c * a / (c * b) = a / b
lc : Lean.Omega.LinearCombo
⊢ lc.eval [] = lc.const
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p
⊢ ↑(g • z) =
  ↑((ModularGroup.lcRow0 p) ↑((Matrix.SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) g)) / (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) +
    (↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
motive : HNNExtension G A B φ → Prop
x : HNNExtension G A B φ
of : ∀ (g : G), motive (HNNExtension.of g)
t : motive HNNExtension.t
mul : ∀ (x y : HNNExtension G A B φ), motive x → motive y → motive (x * y)
inv : ∀ (x : HNNExtension G A B φ), motive x → motive x⁻¹
S : Subgroup (HNNExtension G A B φ) := { carrier := setOf motive, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, inv_mem' := ⋯ }
f : HNNExtension G A B φ →* ↥S := lift (HNNExtension.of.codRestrict S of) ⟨HNNExtension.t, t⟩ ⋯
hf : S.subtype.comp f = MonoidHom.id (HNNExtension G A B φ)
⊢ motive x
α : Type u_1
A B : Lattice α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
⊢ A = B
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
n : ℕ
⊢ Even n → 2 * (n / 2) = n
R : Type u_1
CommSemiring R
f : ArithmeticFunction R
h_mult : f.IsMultiplicative
n : ℕ
hn : Squarefree n
⊢ ∏ p ∈ n.primeFactors, (1 + f p) = ∑ d ∈ n.divisors, f d
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ i.castSucc < p ∨ p < i.succ
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b : α
⊢ Codisjoint a b → Disjoint (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b)
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : MeasurableSet s
⊢ t ∈ Filter.map f (MeasureTheory.ae (μ.restrict s)) ↔ μ ((f ⁻¹' t)ᶜ ∩ s) = 0
f : CircleDeg1Liftˣ
n : ℤ
⊢ (↑(f ^ n)).translationNumber = ↑n * (↑f).translationNumber
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v w : E
⊢ ∀ w_1 ∈ Submodule.span 𝕜 {v}, ⟪↑‖v‖ ^ 2 • w - ⟪v, w⟫_𝕜 • v, w_1⟫_𝕜 = 0
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0
hc : a0 % 2 = 1
⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1 ∧ 0 < c0
α : Type u
c : Cardinal.{u}
⊢ #{ t // #↑t ≤ c } ≤ max #α ℵ₀ ^ c
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.ShortExact
F : CategoryTheory.Functor C D
F.PreservesZeroMorphisms
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteLimits F
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteColimits F
⊢ (S.map F).ShortExact
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hD : M.Dep D
⊢ D.Nonempty
α : Type u_1
TopologicalSpace α
TopologicalSpace.NoetherianSpace α
s : Set α
⊢ IsCompact s
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
b : α
h : IsSuccLimit (succ b)
⊢ False
M : Type u_1
TopologicalSpace M
x : M
⊢ Filter.map (⇑DomMulAct.mk) (𝓝 x) = 𝓝 (DomMulAct.mk x)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ₁ χ₂ : MulChar R R'
a : Rˣ
⊢ (equivToUnitHom (χ₁ * χ₂)) a = (equivToUnitHom χ₁) a * (equivToUnitHom χ₂) a
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
hσ_le_τ : σ ≤ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
hτ_countable_range : (Set.range τ).Countable
hσ_countable_range : (Set.range σ).Countable
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace] =ᶠ[ae μ] μ[μ[f n|hτ.measurableSpace]|hσ.measurableSpace]
⊢ hσ.measurableSpace ≤ hτ.measurableSpace
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x✝¹ x✝ : α
⊢ Setoid.r x✝¹ x✝ ↔ LeftCosetEquivalence (↑s) x✝¹ x✝
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
a : ℝ
⊢ ¬IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Ici a) volume
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
r : R
rs : List R
h1 : IsSMulRegular M r
h2 : RingTheory.Sequence.IsRegular (QuotSMulTop r M) rs
⊢ RingTheory.Sequence.IsRegular M (r :: rs)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
B : C
ι : Type w
X : ι → C
f : (j : ι) → X j ⟶ B
inst✝¹ : HasWidePullback B X f
inst✝ : PreservesLimit (wideCospan B X f) (forget C)
x y : (forget C).obj (widePullback B X f)
h₀ : (base f) x = (base f) y
h : ∀ (j : ι), (π f j) x = (π f j) y
⊢ ∀ (j : WidePullbackShape ι), (limit.π (wideCospan B X f) j) x = (limit.π (wideCospan B X f) j) y
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
SecondCountableTopology α
f g : β → α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ Measurable fun b => nndist (f b) (g b)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b < a + p
α : Type u_2
Monoid α
f : Filter α
hf : 1 ≤ f
⊢ ⊤ * f = ⊤
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F✝ G✝ : C ⥤ D
F G : Cᵒᵖ ⥤ Dᵒᵖ
α : F.unop ⟶ G.unop
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
⊢ (G.map f ≫ (fun X => (α.app (unop X)).op) Y).unop = ((fun X => (α.app (unop X)).op) X ≫ F.map f).unop
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.202, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.206, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.210, u_3} D'
W : MorphismProperty C
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L'.IsLocalization W
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ (fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L' L) f.hom)) ((fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L L') f.hom)) (StructuredArrow.mk f)) = StructuredArrow.mk f
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
Fintype ↑G.edgeSet
⊢ ↑G.edgeFinset = G.edgeSet
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x₀ : E
hf : HasFDerivAt f f' x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzWith C f
⊢ ‖f'‖ ≤ ↑C
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
x : X
L : Filter X
h : ¬Tendsto id L (𝓝 x)
U : Set X
U_nhd : U ∈ 𝓝 x
hU : ∃ᶠ (x : X) in L, x ∉ U
Uint_nhd : interior U ∈ 𝓝 x
f : X →ᵇ ℝ≥0
fx_eq_one : f x = 1
f_vanishes_outside : ∀ y ∈ (interior U)ᶜ, f y = 0
⊢ ¬Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : X), ↑(f ω) ∂↑(diracProba i)) L (𝓝 (∫⁻ (ω : X), ↑(f ω) ∂↑(diracProba x)))
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
AddCommGroup M
AddCommGroup M₂
e : M ≃ₗ[ℤ] M₂
⊢ (↑e).toIntLinearEquiv = e
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝¹ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a✝ : α
n : ℕ
𝒜✝ : Finset (Finset α)
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
ih₀ : (nonMemberSubfamily a 𝒜).card ≤ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer.card
ih₁ : (memberSubfamily a 𝒜).card ≤ (memberSubfamily a 𝒜).shatterer.card
ℬ : Finset (Finset α) := image (insert a) ((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∩ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer)
hℬ : ℬ.card = ((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∩ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer).card
⊢ (memberSubfamily a 𝒜).shatterer ⊆ 𝒜.shatterer
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
α : Type u
f : CategoryTheory.Limits.Types.Quot F → α
j : J
⊢ ∀ (a : F.obj j), (CategoryTheory.Limits.Types.toCocone f).ι.app j a = (f ∘ CategoryTheory.Limits.Types.Quot.ι F j) a
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : MeasureTheory.Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), MeasureTheory.Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), f i =ᵐ[μ] μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]
⊢ MeasureTheory.Martingale f 𝒢 μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x : α
xs : List α
⊢ (x :: xs).formPerm (x :: xs)[xs.length] = x
n : ℕ
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
CharZero R
μ : R
hn : 0 < n
⊢ (Polynomial.cyclotomic n R).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ n
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
h_spec : spectrum R a ⊆ {1}
ha : p a := by cfc_tac
⊢ a = 1
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' interior s