ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
δ : Quot r → Quot s → Prop
q₁ : Quot r
q₂ : Quot s
h : ∀ (a : α) (b : β), δ (Quot.mk r a) (Quot.mk s b)
⊢ δ q₁ q₂
R : CommRingCat
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (AlgebraicGeometry.identityToΓSpec.app (AlgebraicGeometry.Spec.toLocallyRingedSpace.obj (Opposite.op R)))
    (AlgebraicGeometry.Spec.toLocallyRingedSpace.map
      (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.SpecΓIdentity.inv.app R).op) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    ((CategoryTheory.Functor.id AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace).obj
      (AlgebraicGeometry.Spec.toLocallyRingedSpace.obj (Opposite.op R)))
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b d : α
hda : d ∣ a
hdb : d ∣ b
hd : ∀ (e : α), e ∣ a → e ∣ b → e ∣ d
⊢ Associated d (gcd a b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s : Set E
h : s.Subsingleton
⊢ Convex 𝕜 s
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
S : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} S
F : CategoryTheory.Functor S T
X : T
f : (Y : S) → F.obj Y ⟶ X
h : ∀ {Y Z : S} (g : Y ⟶ Z), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map g) (f Z) = f Y
⊢ ∀ {X_1 Y : S} (g : X_1 ⟶ Y), ((F.toOver X f h).map g).left = F.map g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t : Set α
i : ι✝
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
ι : Type u_6
s : ι → Set α
U : Set α
⊢ (∃ t, U ∈ ⨅ i ∈ t, 𝓟 (s i)) ↔ ∃ i, i.Finite ∧ ⋂ i_1 ∈ i, s i_1 ⊆ U
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
⊢ LiouvilleWith p (↑r - x) ↔ LiouvilleWith p x
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (cosZeta a) s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s t✝ : Finset α
n : ℕ
h : ∀ t ∈ powersetCard n s, ¬ThreeGPFree ↑t
t : Finset α
hts : t ⊆ s
hcard : t.card = mulRothNumber s
ht : ThreeGPFree ↑t
⊢ ¬n ≤ t.card
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
M₁ : Submodule R M
N₁ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
⊢ ∃ N', ∃ (hN : N' ≤ N₁), Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M₁) (Submodule.inclusion hN)))
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x p : R
hf : ∀ (r : R), f (star r) = star (f r)
x✝ : R
hx✝ : x✝ ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
y✝ : R
hy✝ : y✝ ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
a✝¹ : f x✝ ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
a✝ : f y✝ ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
⊢ f (x✝ + y✝) ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ Set.SurjOn (↑e) e.source e.target
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
⊢ ↑(Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph.topologicalClosure) = ↑(Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph).topologicalClosure
α : Type u
β : Type u_1
UniformSpace α
UniformSpace β
h : α ≃ᵤ β
⊢ Set.range ⇑h = Set.univ
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
x : M
⊢ (LinearMap.reduceModIdealAux I f) (Submodule.Quotient.mk x) = Submodule.Quotient.mk (f x)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree ≤ ↑i
i j : Fin n
⊢ of (fun i j => eval (v i) (p j)) i j = (vandermonde v * of fun i j => (p j).coeff ↑i) i j
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
h : Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))
n : ℕ+
h_char_zero : CharZero (R ⧸ Ideal.span {↑↑n})
⊢ ↑↑n = ↑0
M₀ : Type u_1
MulZeroClass M₀
NoZeroDivisors M₀
a : M₀
⊢ a * a ≠ 0 ↔ a ≠ 0
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0
⊢ LinearMap.range f = ⊤
x : ℝ
⊢ ↑(Real.cosh x) = Complex.cosh ↑x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv (𝟙 Y) =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)).inv ≫
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (𝟙_ C) X Y).inv
α : Type u_4
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
t : Finset α
⊢ G.interedges ∅ t = ∅
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
IsNoetherian R M
⊢ ⨆ k, LieSubmodule.ucs k ⊥ = LieModule.weightSpace M 0
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ f v ∈ f.range
ι : Type u_4
α : Type u_5
NormedCommRing α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α
⊢ ‖∏ i ∈ s, f i‖ ≤ ∏ i ∈ s, ‖f i‖
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space X
f g : Y → X
hf : Continuous f
hg : Continuous g
⊢ IsOpen {y | f y ≠ g y}
b : ℕ
a n : ℕ
h : a * b ≡ 1 [MOD n]
⊢ a.Coprime n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
⊢ s ⊂ t ↔ ∃ a, ∃ (h : a ∉ s), cons a s h ⊆ t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
⊢ edist x y ⊓ edist y x ≤ {x, y}.einfsep
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
⊢ ContDiffAt 𝕜 0 f x ↔ ∃ u ∈ 𝓝 x, ContinuousOn f u
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝² : MonoCoprod D
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : F.ReflectsMonomorphisms
A B : C
c : BinaryCofan A B
h : IsColimit c
c' : BinaryCofan (F.obj ((pair A B).obj { as := WalkingPair.left })) (F.obj ((pair A B).obj { as := WalkingPair.right })) := BinaryCofan.mk (F.map c.inl) (F.map c.inr)
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), c.ι.app j ≫ (eqToIso ⋯).hom = (BinaryCofan.mk c.inl c.inr).ι.app j
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
g : α →ₛ G
hp : AEEqFun.mk ↑g ⋯ ∈ Lp G p μ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑g
⊢ ↑g =ᶠ[ae μ] ↑(g ⊔ 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_6
A B C : Matrix m n α
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Semiring α
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
v : m → α
w : n → α
⊢ v ᵥ* A ⊙ B ⬝ᵥ w = (diagonal v * A * (B * diagonal w)ᵀ).trace
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H
⊢ ↑I.symm (↑I x) = x
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective (Subalgebra.map f)
α : Type u_1
CompleteLattice α
Zero α
⊢ sSup 0 = 0
α : Type u_2
PartialOrder α
⊢ (OrderIso.refl α).withBotCongr = OrderIso.refl (WithBot α)
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
ι : Type u_1
Fintype ι
FiniteDimensional K V
b : ι → V
lin_ind : LinearIndependent K b
card_eq : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank K V
⊢ Submodule.span K (Set.range b) = ⊤
x : ℂ
h : x ∈ slitPlane
h0 : x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt (↑expPartialHomeomorph) x (↑expPartialHomeomorph.symm x)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : p.leadingCoeff ∈ R⁰
x : R[X]
hx : x * p = 0
hx' : ¬x.leadingCoeff = 0
⊢ False
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial R
H : erase p.natDegree p + X ^ p.natDegree = p
h0 : ¬erase p.natDegree p = 0
q : R[X]
hq : map f q = erase p.natDegree p ∧ q.degree = (erase p.natDegree p).degree
⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
⊢ nndist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄) ≤ nndist p₁ p₃ + nndist p₂ p₄
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
U V : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
hV : IsAffineOpen V
hxU : x ∈ U
hxV : x ∈ V
⊢ hU.fromSpecStalk hxU = hV.fromSpecStalk hxV
α : Type u_2
ι : Type u_5
s : ι → Set α
⊢ ⋂ i, s i = ⋂ t, ⋂ i ∈ t, s i
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : p ≠ 0
⊢ p.natTrailingDegree = p.support.min' ⋯
n : ℕ
x : ℕ
h : x.Coprime n
⊢ ↑x * (↑x)⁻¹ = 1
α : Type u
a : α
n k : ℕ
⊢ ((replicate n a).rotate k).length = n
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
i : Fin B.dim
cramer : ((traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z
⊢ ((traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z) i ∈ ⊥
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalStrip 0 1
⊢ Tendsto (fun x => ‖f z‖) (𝓝[>] 0) (𝓝 ‖f z‖)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
g : Filter β
⊢ ∀ (i : α), (∀ᶠ (n : β) in f, u n ≤ i) → ∀ (i_1 : α), (∀ᶠ (n : β) in g, u n ≤ i_1) → sInf {a | ∀ᶠ (n : β) in f ⊔ g, u n ≤ a} ≤ i ⊔ i_1
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x + y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
⊢ multiplicity (↑p) (x ^ n + y ^ n) = multiplicity (↑p) (x + y) + multiplicity p n
ι : Type u_1
β : Type u_4
AddCommMonoid β
κ : Type u_7
s : Finset ι
t : ι → Set κ
f : κ → β
⊢ (↑s).PairwiseDisjoint t → (⋃ i ∈ s, t i).indicator f = fun a => ∑ i ∈ s, (t i).indicator f a
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
h : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r ≠ 0
hp : preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r) ≤ v ↑p
⊢ (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r = 0
x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
⊢ |Real.log x * x| < 1
p : Type u_4
R : Type u_6
Fintype p
AddCommMonoid R
DecidableEq p
m : p → Type u_8
(i : p) → Fintype (m i)
M : (i : p) → Matrix (m i) (m i) R
⊢ (Matrix.blockDiagonal' M).trace = ∑ i : p, (M i).trace
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
f : X → Y
t : Set Y
hf : Continuous f
hst : Set.MapsTo f s t
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝ˢ s) (𝓝ˢ t)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
OrderedRing 𝕜
TopologicalSpace E
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E
TopologicalAddGroup E
hs : StrictConvex 𝕜 s
⊢ StrictConvex 𝕜 (-s)
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
n : ℤ
x a k a' : α
h : a + k = a'
⊢ termg n x a + k = termg n x a'
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
g : GenContFract K := of v
nextConts : Pair K := g.contsAux (n + 2)
conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)
conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)
pred_conts : Pair K := g.contsAux n
pred_conts_eq : pred_conts = g.contsAux n
gp : Pair K
s_nth_eq : g.s.get? n = some gp
gp_a_eq_one : gp.a = 1
nextConts_b_eq : nextConts.b = pred_conts.b + gp.b * conts.b
den : K := conts.b * (pred_conts.b + gp.b * conts.b)
⊢ |v - g.convs n| ≤ 1 / den
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
e : V ≃ₗᵢ[𝕜] V₂
⊢ e.toAffineIsometryEquiv.linearIsometryEquiv = e
𝕜₁ : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
inst✝¹⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁵ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁶ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝⁴ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁
inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁'
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂
inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂'
b : B
hb : b ∈ e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet
L : F₁ →SL[σ] F₂
⊢ b ∈ (continuousLinearMap σ e₁ e₂).baseSet
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ LieModule.ker R L L = LieAlgebra.center R L
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
x : A
⊢ IsUnit ((Algebra.lmul R A) x) ↔ IsUnit x
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
l : List α
pa : ¬p a = true
⊢ a ∈ eraseP p l ↔ a ∈ l
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
a : α
m : M
a' : ↑(AddAction.orbit M a)
⊢ ↑(m +ᵥ a') = m +ᵥ ↑a'
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : SMul G X
⊢ IsBlock G ⊥
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
x✝ : G
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq G
x : G
⊢ x ∈ Finset.image (fun i => x✝ ^ i) (Finset.range (orderOf x✝)) ↔ x ∈ (↑(zpowers x✝)).toFinset
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
f : α →o β
g : β →o γ
hfc : ∀ (c : Chain α), f (ωSup c) = ωSup (c.map f)
hgc : ∀ (c : Chain β), g (ωSup c) = ωSup (c.map g)
c✝ : Chain α
⊢ g (f (ωSup c✝)) = ωSup (c✝.map (g.comp f))
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
self : GaloisInsertion l u
⊢ GaloisConnection l u
cauchy : CauSeq.Completion.Cauchy abs
⊢ (Real.ringEquivCauchy.symm cauchy).cauchy = cauchy
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
⊢ (map (⇑f) μ).Regular ↔ μ.Regular
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
G : CategoryTheory.Functor C D
e : F ≅ G
⊢ G.Additive
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hpu : ¬IsUnit p
this : p * C p.leadingCoeff⁻¹ ≠ 1
⊢ Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Finset.Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
δ : α → Type u_3
t : (a : α) → Finset (δ a)
a : α
DecidableEq (δ a)
ht : ∀ (b : α), a ≠ b → (t b).Nonempty
⊢ Finset.image (fun f => f a) (Fintype.piFinset t) = t a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
⊢ (Algebra.lmul A S) pb.gen = (Matrix.toLin pb.basis pb.basis) (Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0)
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s t : ℝ
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ (Set.Icc 0 s)
φst : φ '' Set.Icc 0 s = Set.Icc 0 t
hfφ : HasUnitSpeedOn (f ∘ φ) (Set.Icc 0 s)
hf : HasUnitSpeedOn f (Set.Icc 0 t)
⊢ Set.EqOn φ id (Set.Icc 0 s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
hind : X.str = ⊤
F : TopCat.Presheaf C X
it : CategoryTheory.Limits.IsTerminal (F.obj (Opposite.op ⊥))
⊢ F.IsSheaf
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y : P
h₂ : Wbtw R w x y
h₁ : Wbtw R w y x
h : y ≠ x
⊢ False
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
x y z : AddOreLocalization S R
⊢ x + y + z = x + (y + z)
g g' : ℝ → ℝ
a l : ℝ
hderiv : ∀ x ∈ Set.Ici a, HasDerivAt g (g' x) x
g'neg : ∀ x ∈ Set.Ioi a, g' x ≤ 0
hg : Filter.Tendsto g Filter.atTop (𝓝 l)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi a, g' x = l - g a
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
⊢ List.countP p (List.filter q l) = List.countP (fun a => decide (p a = true ∧ q a = true)) l
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
⊢ {p | p.length = 0} = {SimpleGraph.Walk.nil}
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
C : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
i j : Option ι
hj : j = none
⊢ HomologicalComplex.extend.d K i j = 0
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_9, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_7, u_5} D
F' F'' : CategoryTheory.Functor D H
e : F' ≅ F''
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : F ⟶ L.comp F'
α' : F ⟶ L.comp F''
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp α (CategoryTheory.whiskerLeft L e.hom) = α'
⊢ F'.IsLeftKanExtension α ↔ F''.IsLeftKanExtension α'
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
b : B
a v : F
h : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j, Z.coordChange i j x v = v
x : B
⊢ ContinuousAt (let_fun this := fun x => { proj := x, snd := v }; this) x
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
Module.Free R M
Module.Finite R M
Module.Free R N
Module.Finite R N
⊢ (TensorProduct.mapBilinear R M N M N).compr₂ (LinearMap.trace R (TensorProduct R M N)) =
  (LinearMap.lsmul R R).compl₁₂ (LinearMap.trace R M) (LinearMap.trace R N)
R : Type u_1
A : Type u_2
One R
Zero A
⊢ Unitization.snd 1 = 0
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l
⊢ b ∈ dlookup a l
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
⊢ countP p (filter q l) = countP (fun a => decide (p a = true ∧ q a = true)) l
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R[X]
i : R →+* ↥((Quotient.mk I).comp C).range := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict
hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I
x : R[X] ⧸ I
hx' : x ∈ ((Quotient.mk I).comp C).range
hx : C ⟨x, hx'⟩ ∈ map (mapRingHom ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict) I
⊢ ⟨x, hx'⟩ = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₃ : p₃ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
⊢ Collinear k {p₁, p₂, p₃, p₄, p₅}
⊢ ∀ {α : Type u_1} {p : α → Bool} {n : Nat} {a : α},
  List.find? p (List.replicate n a) = if n = 0 then none else if p a = true then some a else none
α : Type u_1
p : α → Bool
as : Array α
start stop : Nat
h : stop ≤ as.size
⊢ Array.anyM.loop p as stop h start = true ↔ ∃ i, start ≤ ↑i ∧ ↑i < stop ∧ p as[i] = true
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
this : ∀ (z : ↑Γ(X, X.basicOpen f)), ∃ x, z * (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ↑x.2 = (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) x.1
y : ↑Γ(X, U)
n : ℕ
d : x * (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ↑(y, ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩).2 = (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) (y, ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩).1
⊢ (y |_ X.basicOpen f) ⋯ = (f |_ X.basicOpen f) ⋯ ^ n * x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
g : β → γ
f : α → β
hg : QuasiMeasurePreserving g μb μc
hf : QuasiMeasurePreserving f μa μb
⊢ map (g ∘ f) μa ≪ μc
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
c : 𝕜
x : V
⊢ ↑e (c • x) = ↑‖c‖₊ * ↑e x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J✝ : Type v
inst✝ : HasFiniteColimits C
J : Type
x✝ : Finite J
val✝ : Fintype J
⊢ HasColimitsOfShape (WidePushoutShape J) C
⊢ Continuous Path.Homotopy.transAssocReparamAux
ι : Sort u
R : Type u_1
CompleteLinearOrder R
f : ι → R
has_least_elem : ⨅ i, f i ∈ Set.range f
⊢ ⋃ i, Set.Ici (f i) = Set.Ici (⨅ i, f i)
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R y x
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F
⊢ LipschitzWith (Dilation.ratio f) ⇑f
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
x : A
⊢ (Polynomial.aeval x) (p.comp q) = (Polynomial.aeval ((Polynomial.aeval x) q)) p
G : Type u
Monoid G
h : Monoid.ExponentExists G
g : G
⊢ orderOf g ≤ Monoid.exponent G
K : Type u
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : IsDomain K
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F K[X] R[X]
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F K[X] R[X]
φ : F
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰
p : K[X]
⊢ (map φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) 0) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ p) / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ 0)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : μ s < ⊤
⊢ ‖weightedSMul μ s‖ ≤ 1 * (μ s).toReal
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ Type w
a : C
x : F.obj a
y : G.obj a
⊢ Limits.prod.fst.app a (prodMk x y) = x
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
CommSemiring R₂
AddCommMonoid M₂
Module R₂ M₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
⊢ (BilinForm.toMatrix b).symm = Matrix.toBilin b