ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a✝ a' : α
b✝ b' : β
c✝ c' : γ
ε : 𝕜
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : ExplicitDisjoint t
a : α
b : β
c : γ
habc : (a, b, c) ∈ t
x : α
y : β
z : γ
hxyz : (x, y, z) ∈ t
h' : ¬toTriangle (a, b, c) = toTriangle (x, y, z)
this : a = x → b = y → ¬c = z
⊢ (∀ (a_1 : α), Sum.inl a_1 = Sum.inl a → Sum.inl a_1 = Sum.inl x → (∀ (a_4 : α), Sum.inl a_4 = Sum.inl a → Sum.inl a_4 = Sum.inl x → Sum.inl a_1 = Sum.inl a_4) ∧ (∀ (a : β), Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr z) → False) ∧ ∀ (b_1 : γ), Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr z) → False) ∧ (∀ (a_1 : β), Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inr z) → (∀ (a_4 : α), Sum.inl a_4 = Sum.inl a → Sum.inl a_4 = Sum.inl x → False) ∧ (∀ (a : β), Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr z) → Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inl a)) ∧ ∀ (b_1 : γ), Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr z) → Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inr b_1)) ∧ ∀ (b_1 : γ), Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr z) → (∀ (a_3 : α), Sum.inl a_3 = Sum.inl a → Sum.inl a_3 = Sum.inl x → False) ∧ (∀ (a : β), Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr z) → Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl a)) ∧ ∀ (b_2 : γ), Sum.inr (Sum.inr b_2) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_2) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inr b_2) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_2) = Sum.inr (Sum.inr z) → Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr b_2)
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
K : Type u_5
Field K
L : Type u_7
Field L
Algebra A K
IsFractionRing A K
g : A →+* L
hg : Function.Injective ⇑g
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)
⊢ (IsFractionRing.lift hg) (IsLocalization.mk' K x y) = g x / g ↑y
G : Type u_1
AddGroup G
S : Type u_6
H : S
SetLike S G
AddSubgroupClass S G
x y : G
h : x ∈ H
⊢ x + y ∈ H ↔ y ∈ H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
ε : ℝ≥0∞
h₀ : 0 < ε
x : α × α
hx : x ∈ Prod.map f f ⁻¹' {p | edist p.1 p.2 < ε / ↑K}
⊢ ↑K * edist (f x.1) (f x.2) < ε
E : Type u_1
p : ℝ
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hp : 0 < p
⊢ μ (Metric.ball 0 1) =
  ENNReal.ofReal ((∫ (x : E), Real.exp (-‖x‖ ^ p) ∂μ) / Real.Gamma (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E) / p + 1))
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
⊢ a + b ≡ a [PMOD p] ↔ b ≡ 0 [PMOD p]
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
g : β → α
h : Function.RightInverse g f
⊢ Function.LeftInverse f g
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
a✝ : Nontrivial α
h : a ≠ 0
⊢ normUnit (a * ↑(normUnit a)) = 1
α : Type u_1
⊢ SymAlg.unsym.symm = SymAlg.sym
m : Type u_3
α : Type u_5
ι : Type u_7
Fintype m
Unique ι
SeminormedAddCommGroup α
v : m → α
⊢ ‖Matrix.row ι v‖₊ = ‖(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm v‖₊
α : Type u
r : α → α → Prop
IsIrrefl α r
⊢ IsIrrefl α (Function.swap r)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictMono f
⊢ krullDim α ≤ krullDim β
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, MeasureTheory.Integrable (F i) μ
hF : Filter.Tendsto (fun i => MeasureTheory.eLpNorm (F i - f) 1 μ) l (𝓝 0)
s : Set α
⊢ Filter.Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α) in s, f x ∂μ))
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
s : Set ι
f : ι → M
x : M
⊢ x ∈ I • span R (f '' s) ↔ ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ↑s), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f ↑i) = x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat
J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)
⊢ (SheafOfModules.unit R).val = PresheafOfModules.unit R.val
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R
⊢ ((HahnModule.of R).symm (x • (HahnModule.of R) y)).support ⊆ x.support +ᵥ y.support
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
L : E →L[𝕜] F
r ε : ℝ
⊢ ∀ x ∈ A f L r ε, ∃ ε_1 > 0, ball x ε_1 ⊆ A f L r ε
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁸ : DecidableEq n
inst✝⁷ : DecidableEq p
inst✝⁶ : DecidableEq q
inst✝⁵ : DecidableEq l
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype p
inst✝² : Fintype q
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : Invertible 2
⊢ PB l R * fromBlocks 1 0 0 ⅟(PD l R) = 1
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (↑n / ↑d < -1) = true
this : ↑n / ↑d < -1
⊢ 0 < Real.log (↑n / ↑d)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
h : eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ < ↑‖c‖₊
⊢ False
n k : ℕ
h : n ∈ k.smoothNumbers
l m : ℕ
H₁ : m ^ 2 * l = n
H₂ : Squarefree l
⊢ ∃ s ∈ k.primesBelow.powerset, ∃ m, n = m ^ 2 * s.prod id
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n k : ℕ
hkn : k ≤ n
⊢ (fun x => n.factorial • x) (n.choose k • choose r n) = (fun x => n.factorial • x) (choose r k * choose (r - ↑k) (n - k))
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
s : Set α
⊢ MeasureTheory.addFundamentalFrontier G s ∪ MeasureTheory.addFundamentalInterior G s = s
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
⊢ (MvPowerSeries.constantCoeff σ R) 1 = 1
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : ℚ
⊢ ↑(fract x) = fract ↑x
α : Type u
AddGroup α
DecidableEq α
Fintype α
IsAddCyclic α
n : ℕ
hn0 : 0 < n
⊢ (Finset.filter (fun a => n • a = 0) Finset.univ).card ≤ n
R : CommRingCat
X✝ : Scheme
V✝ U✝ : X✝.Opens
f✝ g : ↑Γ(X✝, U✝)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : X.Opens
V : Y.Opens
e : U ≤ f ⁻¹ᵁ V
s : ↑Γ(Y, V)
⊢ X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE e).op) ((Hom.app f V) s)) = U ⊓ X.basicOpen ((Hom.app f V) s)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : C
f : A ⟶ B
⊢ (singleObjOpcyclesSelfIso c j A).hom ≫ opcyclesMap ((single C c j).map f) j = f ≫ (singleObjOpcyclesSelfIso c j B).hom
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ HomologicalComplex.homotopyCofiber.d φ i j ≫ HomologicalComplex.homotopyCofiber.sndX φ j =
  HomologicalComplex.homotopyCofiber.fstX φ i j hij ≫ φ.f j + HomologicalComplex.homotopyCofiber.sndX φ i ≫ G.d i j
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
y : 𝕜'
hg : HasDerivAt g₁ g₁' y
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hy : y = h x
⊢ HasDerivWithinAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') s x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
i : ℤ
A : C
f : A ⟶ (CochainComplex.mappingCone φ).X i
j : ℤ
hij : i + 1 = j
⊢ ∃ a b, f = a ≫ (CochainComplex.mappingCone.inl φ).v j i ⋯ + b ≫ (CochainComplex.mappingCone.inr φ).f i
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set β
h : s ⊆ e.target
⊢ ↑e.symm '' s = e.source ∩ ↑e ⁻¹' s
α : Type u_5
f : α → α
hf : Function.Involutive f
n : ℕ
⊢ f^[2 * n + 1] = f
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t✝ : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
s : ι → Set X
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
IH : (∀ i ∈ t, MeasurableSet (s i)) → (↑t).Pairwise (Disjoint on s) → (∀ i ∈ t, IntegrableOn f (s i) μ) → ∫ (x : X) in ⋃ i ∈ t, s i, f x ∂μ = ∑ i ∈ t, ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ
hs : ∀ i ∈ insert a t, MeasurableSet (s i)
h's : (↑(insert a t)).Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ i ∈ insert a t, IntegrableOn f (s i) μ
⊢ ∫ (x : X) in ⋃ i ∈ insert a t, s i, f x ∂μ = ∑ i ∈ insert a t, ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
x : X
⊢ (𝓝 x).ker = {x}
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s : Subgroup G
⊢ ↑s.topologicalClosure = closure ↑s
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ rexp (-2 * x) < rexp (2 - ↑⌈x⌉₊) / ↑⌈x⌉₊
S : Type u_3
Add S
a b : S
h : AddCommute a b
⊢ AddSemiconjBy a b b
α : Type u
DecidableEq α
x : FreeGroup α
⊢ x⁻¹.norm = x.norm
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∈ I
⊢ ¬M.Dep I
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Denumerable α
inst✝¹ : Denumerable β
γ : α → Type u_3
inst✝ : (a : α) → Denumerable (γ a)
n : ℕ
⊢ ((decode (unpair n).1).bind fun a => Option.map (Sigma.mk a) (decode (unpair n).2)) = some ⟨ofNat α (unpair n).1, ofNat (γ (ofNat α (unpair n).1)) (unpair n).2⟩
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s \ t).card + t.card = (s ∪ t).card
α : Type u_1
Add α
LinearOrder α
a b c d : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a + b < c + d
⊢ min a b < max c d
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
p : T.CompleteType α
hp : p ∈ {p | S ⊆ ↑p}
⊢ ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
DecidableEq γ
g : β → γ
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ (MeasureTheory.SimpleFunc.map g f).range = Finset.image g f.range
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hconv : Convex ℝ s
hne : s.Nonempty
⊢ IsPathConnected s
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
s : Set ↥(LinearMap.range f)
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
⊢ Cardinal.{max v' v}
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
⊢ (↑(DoubleQuot.quotQuotEquivCommₐ R I J)).comp (DoubleQuot.quotQuotMkₐ R I J) = DoubleQuot.quotQuotMkₐ R J I
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Finite κ
inst✝¹ : Fintype κ'
inst✝ : DecidableEq ι'
this : DecidableEq κ'
⊢ (toLin b' c) (c.toMatrix ⇑c' * (toMatrix b' c') f) = (toLin b' c) ((toMatrix b' c) f)
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s t : Finset α
f : α → β
h : Disjoint (Finset.image f s) (Finset.image f t)
⊢ Disjoint s t
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommSemiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : σ → A
p : MvPolynomial σ R
⊢ (aeval (⇑(algebraMap A B) ∘ x)) p = (algebraMap A B) ((aeval x) p)
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R
⊢ ∑ t ∈ filter (fun t => t.1.card = k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k), f t = ∑ A ∈ powersetCard k univ, ∑ j ∈ A, f (A, j)
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, κ x = ρ.condKernel x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ HasFDerivWithinAt f (fderivWithin 𝕜 f s x) s x
α : Type u_1
l₁ l₂ l₃ : List α
h : l₁.Perm l₂
⊢ l₃ ⊆ l₁ ↔ l₃ ⊆ l₂
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
AddMonoid α
StarAddMonoid α
M : Matrix m n α
⊢ (Matrix.conjTransposeAddEquiv m n α) M = Mᴴ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
z : M
hz : z ∈ s ∩ f.source
⊢ (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) z) ∈ f'.source
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdim : finrank K ↥s + finrank K ↥t = finrank K V
hdisjoint : Disjoint s t
h_finrank_inf : finrank K ↥(s ⊓ t) = 0
⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) = finrank K ↥(s ⊔ t) + finrank K ↥(s ⊓ t)
ι : Type u_1
R : Type u_4
ConditionallyCompleteLinearOrder R
TopologicalSpace R
OrderTopology R
F : Filter ι
F.NeBot
AddCommSemigroup R
Sub R
ContinuousSub R
OrderedSub R
f : ι → R
c : R
bdd_above : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) F f
cobdd : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) F f
⊢ Filter.limsup (fun i => f i - c) F = Filter.limsup f F - c
a : UnitAddCircle
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ F_int 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
⊢ {x | ¬ContinuousAt f x} ⊆ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x} ∪ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Iio x) x}
a b c : Int
H1 : b ∣ a
H2 : a / b = c
⊢ a = b * c
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
α : Type u_1
ι : Type u_3
Preorder ι
TopologicalSpace α
ConditionallyCompleteLattice α
InfConvergenceClass α
f : ι → α
h_mono : Monotone f
hbdd : BddBelow (Set.range f)
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 (⨅ i, f i))
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence
hφ : T ⊨ᵇ φ
⊢ T ⊨ᵇ Formula.not φ ↔ ¬T ⊨ᵇ φ
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a
⊢ ∀ i ∈ s, l i ∈ subfield G F
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : Ring β
f : β →+* α
hf : Injective ⇑f
this✝ : Nontrivial β
this : NoZeroDivisors α
⊢ IsDomain β
x : PartENat
⊢ 0 < ⊤ ↔ 1 ≤ ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
s₁ s₂ : UpperSet α
t₁ t₂ : UpperSet β
⊢ s₁ ×ˢ t₁ ⊔ s₂ ×ˢ t₂ = (s₁ ⊔ s₂) ×ˢ (t₁ ⊔ t₂)
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ Submodule.fst R M M₂ ⊓ Submodule.snd R M M₂ = ⊥
α : Type u
⊢ {_x | ⊥} = ∅
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a✝ b : α
f : ι → α
a : α
⊢ (⨆ i, f i) ⊓ a = ⨆ i, f i ⊓ a
α : Type ua
UniformSpace α
x y : α
⊢ (𝓝 (x, y)).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel s) fun s => UniformSpace.ball x s ×ˢ UniformSpace.ball y s
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Ring B
inst✝⁶ : CommRing S✝
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra R B
f : R →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0
S : Subalgebra R A := adjoin R ↑p.coeffs
this : Module.Finite R ↥S
⊢ IsIntegral R x
B : Type u_1
B' : Type u_2
M : CoxeterMatrix B
e : B ≃ B'
i : B
⊢ (M.reindexGroupEquiv e).symm (M.simple i) = (CoxeterMatrix.reindex e M).simple (e i)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a b : 𝕜
f : E →ᵃ[𝕜] F
h : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) = a • f x + b • f y
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
s : Set α
c : G
⊢ μ (c • s) = 0 ↔ μ s = 0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : TopologicalSpace F
hι : Nonempty ι
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
this✝ : TopologicalAddGroup F
x✝ : TopologicalSpace E := TopologicalSpace.induced (⇑f) inferInstance
this : TopologicalAddGroup E
⊢ WithSeminorms (q.comp f)
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
y : β
⊢ y ∈ omegaLimit f ϕ s ↔ ∀ n ∈ 𝓝 y, ∃ᶠ (t : τ) in f, (ϕ t '' s ∩ n).Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelMonoidWithZero α
a c d : α
a_eq : a = a * c * d
ha0 : ¬a = 0
hac0 : a * c ≠ 0
this✝ : a * (c * d) = a * 1
hcd : c * d = 1
this : a * c * (d * c) = a * c * 1
⊢ a ~ᵤ a * c
J : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} K
h : ∀ (j₁ j₂ : J), Zigzag j₁ j₂
⊢ IsPreconnected J
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
DecidableEq ι
t : M ⊗[R] (ι →₀ R)
i : ι
⊢ ((TensorProduct.finsuppScalarRight R M ι) t) i = (TensorProduct.rid R M) ((LinearMap.lTensor M (Finsupp.lapply i)) t)
it : String.Iterator
⊢ it.Valid → ∃ l r, String.Iterator.ValidFor l r it
α : Type u_1
Semigroup α
P : Prop
a b : α
H₁ : a ∣ b
H₂ : ∀ (c : α), b = a * c → P
⊢ P
x : ℝ
⊢ ↑(ENNReal.ofReal x) = ↑(max x 0)
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
⊢ 𝒜.shatterer.Shatters s ↔ 𝒜.Shatters s
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
(i : ι) → AddCommGroup (A i)
AddMonoid ι
DirectSum.GRing A
n : ℤ
⊢ (DirectSum.of A 0) ↑n = ↑n
α : Type u
n : ℕ
l : List α
⊢ List.splitAt n l = (List.take n l, List.drop n l)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
F : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor (CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}) C
⊢ (CommMon_.EquivLaxBraidedFunctorPUnit.laxBraidedToCommMon C).obj F =
  F.mapCommMon.obj (CommMon_.trivial (CategoryTheory.Discrete PUnit.{u + 1}))
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 1 < s
hv : ∀ x ∈ uIcc (↑n) (↑n + 1), 0 < x
⊢ term n s = 1 / (s - 1) * (1 / ↑n ^ (s - 1) - 1 / (↑n + 1) ^ (s - 1)) - ↑n / s * (1 / ↑n ^ s - 1 / (↑n + 1) ^ s)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ maximalIdeal ℤ_[p] ≤ Ideal.span {↑p}
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero (Ideal.ramificationIdx f p P)
IsDedekindDomain S
p.IsMaximal
P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
i : ℕ
hi : i < Ideal.ramificationIdx f p P
⊢ Module.rank (R ⧸ p) ↥(Ideal.map (Ideal.Quotient.mk (P ^ Ideal.ramificationIdx f p P)) (P ^ i)) =
  Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P) +
    Module.rank (R ⧸ p) ↥(Ideal.map (Ideal.Quotient.mk (P ^ Ideal.ramificationIdx f p P)) (P ^ (i + 1)))
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.64946, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
this : S.HasHomology
⊢ Mono S.g
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : MeasurableAdd₂ G
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s μ
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
⊢ AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (μ.restrict s))
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.associator (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h i).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).hom i)
      (CategoryTheory.Bicategory.associator f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h) i).hom) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f g (CategoryTheory.CategoryStruct.comp h i)).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.associator g h i).inv)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).InnerRegularWRT p MeasurableSet
hs : univ ⊆ ⋃ n, s n
hmono : Monotone s
F : Set α
hF : MeasurableSet F
r : ℝ≥0∞
hr : r < ⨆ n, μ (F ∩ s n)
hBU : ⋃ n, F ∩ s n = F
this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ s n)
n : ℕ
hn : r < (μ.restrict (s n)) F
⊢ ∃ K ⊆ F, p K ∧ r < μ K
R : Type u
a : R
Field R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
⊢ p ∣ Polynomial.C a * q ↔ p ∣ q