ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : DifferentiableOn ℝ f (Iio a)
hg' : ∀ x ∈ Iio a, deriv g x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atBot l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
g : C(Y, Z)
f : C(X, Y)
A B : DiscreteQuotient Y
h : A ≤ B
⊢ comap f A ≤ comap f B
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
a b : 𝕜
x y : E
h : x ≤ y
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ uIcc x y
α : Type u_1
s : Set α
i : ℕ
h₁ : i ≤ s.ncard
⊢ ∃ t ⊆ s, t.ncard = i
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
a : α
⊢ round (a - 1) = round a - 1
Γ : Type u_1
R : Type u_2
LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
Ring R
IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop
⊢ (⋃ n, (x ^ n).support).IsPWO
R : Type u
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
⊢ ⨅ i, Submodule.comap (LinearMap.proj i) (p i) = Submodule.pi Set.univ p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X₁ X₂ : C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X₁ X₂
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.binaryProductTriangle X₁ X₂).mor₂ = CategoryTheory.Limits.prod.snd
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
c : F
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => f y + c) f' s x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
⊢ (∃ c, 0 < c ∧ ∃ y ∈ s, c • y = x) → ∃ c, 0 < c ∧ c • x ∈ s
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (whiskerLeft H.op f)
X : Dᵒᵖ
a b : (forget A).obj (F.obj X)
h : (f.app X) a = (f.app X) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ map = g
⊢ Sieve.pullback map (equalizerSieve a b) ∈ K.sieves (H.obj Z)
α : Type u_1
m : α → ℝ≥0∞
f : Filter α
⊢ Filter.Tendsto m f (𝓝 ⊤) ↔ ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : α) in f, ↑n < m a
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ Finset.Icc a b = {c} ↔ a = c ∧ b = c
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
⊢ P.IsOrthogonal i j ↔ P.IsOrthogonal j i
R : Type u_2
NonAssocRing R
p q : MulRingNorm R
⊢ (∀ (x : R), p x = q x) → p = q
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s✝ : Rel β β
s : RelSeries r
x : α
hs : s.length = 0
i j : Fin (s.length + 1)
⊢ i = j
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : IsDomain R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ cyclotomic' 1 R = X - 1
x✝ y x : ℝ
hx : x ≤ -1
⊢ arcsin x = -(π / 2)
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[>] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x + u x * v' x = b' - a'
ι : Type u
E : Type v
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
I : BoxIntegral.Box ι
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f (↑I) μ
l : BoxIntegral.IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
⊢ BoxIntegral.HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
l : ℝ≥0
x y z : ℝ
hfs : HasConstantSpeedOnWith f (Set.Icc x y) l
hft : HasConstantSpeedOnWith f (Set.Icc y z) l
⊢ HasConstantSpeedOnWith f (Set.Icc x z) l
α : Type u_1
ι : Sort u_4
CompleteLattice α
f : ι → α
⊢ UpperSet.Ici (⨆ i, f i) = ⨆ i, UpperSet.Ici (f i)
α : Type u_1
p : α → Bool
l : Array α
⊢ l.all p 0 = true ↔ ∀ (x : α), x ∈ l → p x = true
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
h : CategoryTheory.IsIso T.mor₂
⊢ CategoryTheory.Limits.IsZero T.obj₁
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
r : R
n k : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range (n + 1), (lcoeff R k) (X ^ x * C r ^ (n - x) * ↑(n.choose x)) = r ^ (n - k) * ↑(n.choose k)
α : Type u_1
X : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace X
TopologicalSpace.MetrizableSpace X
Nonempty X
f : α → α
g : α → X
h : QuasiErgodic f μ
hgm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᵐ[μ] g
⊢ ∃ c, g =ᵐ[μ] Function.const α c
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂✝ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝² : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
h : (i : ι) → β₂ i → γ
h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
⊢ ∏ x ∈ g.support, h x ((mk g.support fun i => f (↑i) (g ↑i)) x) = g.prod fun i b => h i (f i b)
α : Type u
β : Type v
⊢ (α ↪ β) → (β ↪ α) → Nonempty (α ≃ β)
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
⊢ (W.baseChange B).preΨ₄ = Polynomial.map (↑f) (W.baseChange A).preΨ₄
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧
h✝ : ¬n = 0
⊢ (∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0) = ∑ x ∈ antidiagonal (single () n), if x.2 < single () n then (MvPowerSeries.coeff R x.1) φ * (MvPowerSeries.coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0
α : Type u
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.Results a n
⊢ s = (Computation.pure a).thinkN n
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(MaxProducts C ho)
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
this : Inhabited I
m : Products I →₀ ℤ
hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}
hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)
hse : LinearMap.range (πs C o) = LinearMap.ker (Linear_CC' C hsC ho)
n : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ
hn : ((πs C o) n + m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod) = Products.eval C ↑l
hn' : n ∈ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
⊢ False
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : ℕ
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (expand p) ((bind₁ f) φ) = (bind₁ fun i => (expand p) (f i)) φ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}
t₁ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₂, p₄], independent := ⋯ }
⊢ Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
m n : ℕ
h : n ∣ m
hm : m ≠ 0
⊢ m / (m / n) = n
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
n : ℕ
t : R
ht : ‖t‖ < 1
this : Summable fun n => t ^ n
⊢ ∑ i ∈ range n, t ^ i + t ^ n * ∑' (i : ℕ), t ^ i = ∑ i ∈ range n, t ^ i + t ^ n * ↑(Units.oneSub t ht)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f : β → α
a : α
s : Finset β
⊢ HasProd f a ↔ HasProd (fun x => f ↑x) (a / ∏ i ∈ s, f i)
α : Type u
l l' : List α
h : l ≠ []
⊢ (l ++ l').tail = l.tail ++ l'
α : Type u
β : Type v
MulOneClass α
AddZeroClass β
f : α →* Multiplicative β
a : Additive α
⊢ (AddMonoidHom.toMultiplicative'.symm f) a = Multiplicative.toAdd (f (Additive.toMul a))
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p q : α → Prop
l✝ : List α
h : ∀ (x : α), p x → q x
x : α
l : List α
⊢ p x → Forall p l → q x ∧ Forall q l
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
MulAction G α
a : α
g : G
⊢ Function.minimalPeriod (fun x => g • x) a = 1 ↔ a ∈ MulAction.fixedBy α g
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop atBot
r : ℝ
hf' : ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → f a ≤ b
i : ℕ
hi : ∀ (a : ℕ), i ≤ a → f a ≤ r - 1
hi' : ∀ (a : ℕ), r - 1 < f a → a < i
⊢ {a | f a < r}ᶜ ⊆ {a | a ≤ i}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Ord α
inst✝² : Ord β
inst✝¹ : TransOrd α
inst✝ : TransOrd β
⊢ TransOrd (α × β)
R : Type v
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
a b : R
ha : a ≠ 0
hb : b ∈ PrincipalIdealRing.factors a
⊢ b ≠ 0
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
y z : ℕ
⊢ y = y - z + z ∨ y ≤ z ∧ y - z = 0
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
ε : 𝕜
Fintype α
DecidableRel G.Adj
Nonempty α
hG : G.FarFromTriangleFree ε
⊢ ε < 2⁻¹
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
⊢ ∃ c, ∀ (f : G → ℝ), Continuous f → HasCompactSupport f → ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂c • μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
p : ℤ
⊢ (↑(CochainComplex.cocycleOfDegreewiseSplit (CochainComplex.mappingCone.triangleRotateShortComplex φ)
          (CochainComplex.mappingCone.triangleRotateShortComplexSplitting φ))).v
    p (p + 1) ⋯ =
  -φ.f (p + { as := 1 }.as)
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
f : M ≃ₗ[R] P
g : N ≃ₗ[R] Q
⊢ LinearEquiv.lTensor M g ≪≫ₗ LinearEquiv.rTensor Q f = TensorProduct.congr f g
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
ι : Type u_5
Countable ι
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace X
BorelSpace X
TopologicalSpace.MetrizableSpace X
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
f : C(X, E)
s : ι → TopologicalSpace.Compacts X
hf : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn (⇑f) (⋃ i, ↑(s i)) μ
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ coeff 1 0 = 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₁ g₂
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₃ g₄
CategoryTheory.Limits.HasPushout (g₃ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inr g₁ g₂) g₄
CategoryTheory.Limits.HasPushout g₁ (g₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inl g₃ g₄)
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inl g₁ g₂ ≫
    CategoryTheory.Limits.pushout.inl (g₃ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inr g₁ g₂) g₄ ≫
      (CategoryTheory.Limits.pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).hom =
  CategoryTheory.Limits.pushout.inl g₁ (g₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inl g₃ g₄)
α : Type u_2
ι : Type u_5
BooleanAlgebra α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α
a : α
⊢ (s.inf fun b => f b \ a) = s.inf f \ a
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace α
f : α →ᵇ β
M : ℝ
M0 : 0 < M
⊢ dist f 0 < M ↔ ∀ (x : α), dist (f x) 0 < M
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X : C
⊢ CategoryTheory.Limits.diag X ≫ CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian.σ = 0
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝² : DecidableRel r
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsRefl α r
x : α
xs : List α
⊢ x ∉ takeWhile (fun b => decide ¬r x b) xs
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' (φ + φ') h₁ h₂ =
  CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' φ h₁ h₂ + CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' φ' h₁ h₂
ι : Type u_4
π : ι → Type u
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (π i)
(i : ι) → OrderBot (π i)
f : (i : ι) → π i
⊢ IsAtom f ↔ ∃ i a, IsAtom a ∧ f = Function.update ⊥ i a
n : Nat
⊢ (Int.negOfNat n).natAbs = n
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
n : ℕ
hle : Ideal.map f p ≤ P ^ n
hgt : ¬Ideal.map f p ≤ P ^ (n + 1)
⊢ Ideal.ramificationIdx f p P = n
ι : Type u_1
M : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
VAdd M β
r : M
f : ι → α
g : ι → β
e : α → β
⊢ Function.extend f (r +ᵥ g) (r +ᵥ e) = r +ᵥ Function.extend f g e
V : Type u_1
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s : V
t w : V
hw : w ≠ t
⊢ (G.replaceVertex s t).Adj t w ↔ G.Adj s w
R : Type u
S : Type v
A : Type w
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra S A
Algebra R A
IsScalarTower R S A
y : S
⊢ (IsScalarTower.toAlgHom R S A) y = (algebraMap S A) y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀
x : α
hx : ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (ball x V ∩ s).Nonempty
y : α
hy : y ∈ ball x V₁
hy' : y ∈ s
⊢ ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → SymmetricRel V → (x, y) ∈ V
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s₁ s₂ : Finset ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
hs : s₁ ⊆ s₂
ht : ∀ (i : ι), t₁ i ⊆ t₂ i
⊢ s₁.sigma t₁ ⊆ s₂.sigma t₂
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F✝ : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F✝
A B : C
inst✝¹ : IsGalois A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ : Aut B
F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C
a a' : ↑(F.obj A)
ha' : F.map f a' = F.map σ.hom (F.map f a)
τ : Aut A
hτ : F.map τ.hom a = a'
⊢ ∃ a, autMap f a = σ
X✝ X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
e : X ≅ Y
x : ↑X.toTopCat
⊢ Hom.stalkMap e.inv (e.hom.val.base x) ≫ Hom.stalkMap e.hom x = X.presheaf.stalkSpecializes ⋯
G : Type u_2
Group G
S₁ S₂ : Subgroup G
⊢ (S₁ ⊓ S₂).op = S₁.op ⊓ S₂.op
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
R : Type u_2
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
c : R
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ deriv (fun y => c • f y) x = c • deriv f x
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
AddCommGroup V'
Module R V'
AddTorsor V' P'
x y z : P
f : P ≃ᵃ[R] P'
⊢ Sbtw R (f x) (f y) (f z) ↔ Sbtw R x y z
α : Type u_1
Primcodable α
⊢ Computable id
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
f : X → Y
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
⊢ IsCompact (f '' s)
α : Type u_1
x : α
xs : List α
⊢ (x :: xs).enum = (0, x) :: List.map (Prod.map Nat.succ id) xs.enum
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
a : A
⊢ ↑(realPart a) = 2⁻¹ • (a + star a)
v : Valuation
f₁ : Fmla
a : Prop
f₂ : Fmla
b : Prop
h₁ : reify v f₁ a
h₂ : reify v f₂ b
H : ¬v.satisfies_fmla (f₁.and f₂)
hn : ¬(a ∨ b)
c : Clause
h : c ∈ f₁.and f₂
hn' : ¬v.satisfies c
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F F' : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
hF : CategoryTheory.Limits.IsImage F
hF' : CategoryTheory.Limits.IsImage F'
⊢ F'.e ≫ (hF.isoExt hF').inv = F.e
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = ∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, |a|⁻¹ • (|a| * a_1 ^ (a - 1)) • ↑(a_1 ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (a_1 ^ a)
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)
H : Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤
⊢ maximalIdeal R ≤ Submodule.map (Submodule.subtype (maximalIdeal R)) M ⊔ maximalIdeal R • maximalIdeal R
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a : α
⊢ ⊤ ∆ a = aᶜ
⊢ map cexp (comap re atBot) = 𝓝[≠] 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f f' g : ↥(Lp E 2 μ)
x : α
hx : ↑↑(f + f') x = (↑↑f + ↑↑f') x
⊢ ⟪↑↑(f + f') x, ↑↑g x⟫_𝕜 = ⟪↑↑f x + ↑↑f' x, ↑↑g x⟫_𝕜
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
hg₂1 : g₂ ≠ 1
hg₁r : g₁ ∉ (φ i).range
hg₂r : g₂ ∉ (φ j).range
w : Word G := { toList := [⟨i, g₁⟩, ⟨j, g₂⁻¹⟩], ne_one := ⋯, chain_ne := ⋯ }
⊢ False
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
ι : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
A' : Type u_4
inst✝¹ : NormedCommRing A'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A'
f g : E → A
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : E
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => f y * g y) univ x‖ ≤ ∑ x_1 ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose x_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 x_1 f univ x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - x_1) g univ x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
p : β → Prop
f : α → β
a : α
⊢ (PFun.toSubtype p f a).Dom ↔ p (f a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ a ^ 0 ∣ b ∧ ¬a ^ (0 + 1) ∣ b ↔ ¬a ∣ b
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
this : Module ℝ (Fin 2 → ℝ) := NormedSpace.toModule
π₀ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 0
π₁ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 1
f : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℂ := π₀.smulRight ↑z + π₁.smulRight 1
f_def : ⇑f = fun p => ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)
⊢ Tendsto (fun p => normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) cofinite atTop
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
h : s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ s
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ (x ⊓ y ⊓ z ⊔ x \ z) ⊓ (x ⊓ y ⊓ z ⊔ y \ z) = (x ⊓ y ⊓ (z ⊔ x) ⊔ x \ z) ⊓ (x ⊓ y ⊓ z ⊔ y \ z)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
⊢ IsFiniteMeasure (t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
IsRefl α r
H : IsChain r s
⊢ DirectedOn r s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
hlt : a < b
c : ℝ := (a + b) / 2
hac : a < c
hcb : c < b
hsub : c - a = b - c
g : Y →ᵇ ℝ
hgf : ⇑g ∘ e = ⇑f
xl : Y → X
hxl : ∀ (y : Y), f (xl y) ≤ g y
hgb : ∀ (y : Y), g y ≤ b
hb' : ¬∃ x, f x = b
hd : Disjoint (range e ∪ ⇑g ⁻¹' Iic c) (⇑g ⁻¹' {b})
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
α : Type u_1
β : Type u_2
hom : Type u_3
TopologicalSpace α
AddGroup α
TopologicalAddGroup α
TopologicalSpace β
AddGroup β
FunLike hom β α
AddMonoidHomClass hom β α
e : hom
de : DenseInducing ⇑e
x₀ : α
⊢ Filter.Tendsto (fun t => t.2 - t.1) (Filter.comap (fun p => (e p.1, e p.2)) (𝓝 (x₀, x₀))) (𝓝 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ ∀ {X Y : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ} (α : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.cosimplicialSimplicialEquiv C).inverse.map α =
    Quiver.Hom.op { app := fun X_1 => (α.app (Opposite.op X_1)).unop, naturality := ⋯ }
R : Type u
M : Type v
Ring R
N : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Function.Injective ⇑f
⊢ f.tailings i 0 = f.tailing i 0
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
m : M
t : ↥S
⊢ ↑(algebraMap R (Localization S)).toMonoidWithZeroHom ↑s • mk m (t * s) = mk m t
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : k • p = k • 0
⊢ p = 0
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), AEStronglyMeasurable' m f μ → AEStronglyMeasurable' m g μ → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f : ↥(Lp F p μ)
hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
f' : ↥(lpMeas F ℝ m p μ) := ⟨f, hf⟩
g : ↥(Lp F p (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm) f'
⊢ P f
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
w w' : InfinitePlace K
h : w.comap (algebraMap k K) = w'.comap (algebraMap k K)
⊢ ∃ σ, σ • w = w'
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
hn : n < Polynomial.rootMultiplicity t p
⊢ ((⇑Polynomial.derivative)^[n] p).IsRoot t
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
X : C
τ : (CategoryTheory.Functor.const J).obj (Opposite.op X) ⟶ F
j : J
⊢ ↑((CategoryTheory.Limits.compYonedaSectionsEquiv F X).symm τ) j = (τ.app j).unop
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Bornology α
Bornology β
Bornology γ
g : LocallyBoundedMap β γ
f₁ f₂ : LocallyBoundedMap α β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
p q r : ℕ+
⊢ ADEInequality.sumInv {p, q, r} = (↑↑p)⁻¹ + (↑↑q)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹