ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
t : ι → Set α
ht_sub : ∀ (i : ι), t i ⊆ s i
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
ht_eq : ∀ (i : ι), t i =ᶠ[ae μ] s i
u : ι → Set α
hum : ∀ (i : ι), MeasurableSet (u i)
hu₀ : ∀ (i : ι), μ (u i) = 0
hud : Pairwise (Disjoint on fun i => s i \ u i)
⊢ ∃ t, (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᶠ[ae μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp' : Fact (0 < p)
x₁ x₂ x₃ : α
⊢ btw ↑x₁ ↑x₂ ↑x₃ ↔ toIcoMod ⋯ x₁ x₂ ≤ toIocMod ⋯ x₁ x₃
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
F : (X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ
hF_norm : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), ‖F f‖ ≤ ‖f‖ / 3
hF_dist : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), dist ((F f).compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.compContinuous e = f
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
Ring B
Algebra A B
x : B
Nontrivial B
⊢ (minpoly A x).degree = 1 ↔ x ∈ (algebraMap A B).range
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y : α
p q r : P
⊢ ltTrichotomy x y p q r = ltTrichotomy y x r q p
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
⊢ ↑f x ≤ 1
α : Type u
l : List α
a : α
⊢ l.Sublist [a] ↔ l = [] ∨ l = [a]
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x
ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N)
S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n
⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
⊢ ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
ι : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
s : ι → Type u_7
(i : ι) → AddCommMonoid (s i)
(i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
(i : ι) → AddCommMonoid (t i)
(i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
⊢ (PiTensorProduct.mapMultilinear R s t) f = PiTensorProduct.map f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F
⊢ im ⟪x, x⟫_𝕜 = 0
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
⊢ closure {1} = ⊥
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
n : ℕ
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : Function.Injective k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
⊢ ∀ (a : ℕ), (∑ x_1 : Fin n, if a = k x_1 then x x_1 else 0) ≠ 0 ↔ ∃ a_1, k a_1 = a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r
⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : mulSupport f ⊆ k
h2 : range f = insert 1 (f '' k)
⊢ IsCompact (insert 1 (f '' k))
α : Type u
β : Type v
f : Filter β
m : α → β
hm : Function.Surjective m
⊢ Filter.comap m f = ⊥ ↔ f = ⊥
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
K₀ : Set G
f : TopologicalSpace.Compacts G → ℝ
⊢ f ∈ MeasureTheory.Measure.haar.addHaarProduct K₀ ↔
  ∀ (K : TopologicalSpace.Compacts G), f K ∈ Set.Icc 0 ↑(MeasureTheory.Measure.haar.addIndex (↑K) K₀)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommGroup R
α : Type u_3
s : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
a : α
⊢ (-s) a = -s a
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (J.plusObj P) S
inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
Z : B.Arrow → C
e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I
e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X
he2 : ∀ (I : B.Arrow), S.sieve.arrows (e2 I)
h✝ : ∀ (I : B.Arrow), (fun Y f h => ((fun Y f hf => (T { Y := Y, f := f, hf := hf }).sieve) Y f h).arrows) (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)
a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f
w : Meq P B := meqOfSep P hsep X S s T t ht
I : S.Arrow
⊢ ((J.plusObj P).map I.f.op) (mk w) = ↑s I
m n : PosNum
⊢ (m.cmp n).swap = n.cmp m
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
⊢ Summable fun n => ‖χ ↑n‖ * ‖↑n ^ (-s)‖
α : Type u
ι : Sort x
l : Filter α
Finite ι
s t : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), s i =ᶠ[l] t i
⊢ ⋂ i, s i =ᶠ[l] ⋂ i, t i
K : Type u_1
L : Type u_2
CommSemiring K
CommSemiring L
i : K →+* L
p : ℕ
ExpChar L p
PerfectRing L p
⊢ pNilradical K p ≤ RingHom.ker i
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
ConditionallyCompleteLattice β
f : α → β
h_mono : Monotone f
s : Set α
c : α
hcs : c ∈ s
h_bdd : BddBelow s
⊢ sInf (f '' s) ≤ f c
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
S : Multiset α
g1 g2 : α → β
h : ∀ a ∈ S, g1 a ∣ g2 a
⊢ (Multiset.map g1 S).prod ∣ (Multiset.map g2 S).prod
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : 1 ≤ n
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }
x✝ : { x // x ∈ Set.range p }
⊢ ↑x✝ = (p ∘ ⇑fe) x✝
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f g : ↥(Lp E p μ)
⊢ ↑↑f ≤ᶠ[ae μ] ↑↑g ↔ f ≤ g
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
lt : cs.length (w * cs.simple i) < cs.length w
⊢ cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w + 1 ∨ cs.length (w * cs.simple i) + 1 = cs.length w
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
h : x ≠ 0
⊢ (ContinuousLinearEquiv.coord 𝕜 x h) ⟨x, ⋯⟩ = 1
α : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
s : Set α
⊢ (∃ᶠ (x : α) in Filter.cocardinal α hreg, x ∈ s) ↔ c ≤ #↑s
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < ↑2
h2 : multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b) < ↑2
h3 : multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b) < ↑2
h1' : multiplicity.Finite λ (S'.a + S'.b)
h2' : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η * S'.b)
h3' : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_3
f : ι → Type u_2
g : (i : ι) → f i → C
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (g i)
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct fun i => ⨁ g i
⊢ (CategoryTheory.Limits.biproductBiproductIso f g).hom =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.lift fun x =>
    match x with
    | ⟨i, x⟩ => CategoryTheory.Limits.biproduct.π (fun i => ⨁ g i) i ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.π (g i) x
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b : α
⊢ a ∣ lcm a b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
x y : ℚ
hxy : x ≤ y
h_1 : x < 0
h_2 : ¬y < 0
⊢ 0 ≤ 1
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
⊢ ((insert a s).pi t).val.dedup = ((t a).biUnion fun b => image (Pi.cons s a b) (s.pi t)).val
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : InfSet α
inst✝ : InfSet β
f : ι → α × β
⊢ (iInf f).swap = ⨅ i, (f i).swap
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α
⊢ s.erase a = s ↔ a ∉ s
x y : ℝ
⊢ ∀ ⦃a : ℝ⦄, rexp 1 ≤ a → ∀ ⦃b : ℝ⦄, rexp 1 ≤ b → a ≤ b → log b / b ≤ log a / a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
B : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B
F : CategoryTheory.Functor B C
G : CategoryTheory.Functor C D
S : D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma (F.comp G) (CategoryTheory.Functor.fromPUnit S)} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.CostructuredArrow.pre F G S).map f).left = F.map f.left
G : Type u_1
Group G
x : G
⊢ (Function.Injective fun n => x ^ n) ↔ ¬IsOfFinOrder x
R₁ : Type u_2
ι : Type u_16
CommRing R₁
DecidableEq ι
Fintype ι
IsDomain R₁
M : Matrix ι ι R₁
⊢ ((Matrix.toLinearMap₂' R₁) M).SeparatingLeft ↔ M.det ≠ 0
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
⊢ (f y - f a) / (y - a) < (f x - f a) / (x - a)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
Semiring R
Semiring R₂
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
h : LinearMap.ker f ≤ p
⊢ Submodule.comap f (Submodule.map f p) = p
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
⊢ fib n < fib (n + 1)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
VAdd α β
s : Finset α
t u : Finset β
⊢ s +ᵥ t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a +ᵥ b ∈ u
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
s : Set ((a : ι) → π a)
⊢ IsOpen s ↔ ∀ f ∈ s, ∃ I u, (∀ a ∈ I, IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ (↑I).pi u ⊆ s
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
eq₁ : (N₂Γ₂.inv.app (N₂.obj P)).f.f n = PInfty.f n ≫ P.p.app (op [n]) ≫ ((Γ₀.splitting (N₂.obj P).X).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))
⊢ (N₂Γ₂.inv.app (N₂.obj P) ≫ N₂.map (Γ₂N₂.natTrans.app P)).f.f n = (𝟙 (N₂.obj P)).f.f n
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K
hd : ¬d = 0
h_spand : spanSingleton R₁⁰ d ≠ 0
⊢ 1 / spanSingleton R₁⁰ d * J ≤ J / spanSingleton R₁⁰ d
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
⊢ ⌊a / ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ / n
G : Type u
Group G
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → G
⊢ (groupCohomology.resolution.actionDiagonalSucc G n).hom.hom f = (f 0, fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ)
C₁ : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.MonoidalCategory C₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.MonoidalCategory C₂
X : C₁ × C₂
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv.2 = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X.2).inv
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ
⊢ ucs k N = ⊤ ↔ LieModule.lowerCentralSeries R L M k ≤ N
d : ℤ
h : 0 ≤ d
a : ℤ√d
⊢ (Zsqrtd.toReal h) a = ↑a.re + ↑a.im * √↑d
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y✝ : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y✝
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve φ m ⊓ Presheaf.imageSieve φ m'
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
Y : C
f : Y ⟶ Opposite.unop X
r₀ : (forget RingCat).obj (R₀.obj (Opposite.op Y))
hr₀ : (α.app (Opposite.op Y)) r₀ = (R.val.map f.op) r
m₀ : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) m
m₀' : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀' : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀' = (A.val.map f.op) m'
⊢ (A.val.map f.op) (smul α φ r (m + m')) = (A.val.map f.op) (smul α φ r m + smul α φ r m')
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
C : α ⧸ s → Prop
⊢ (∃ x, C x) ↔ ∃ x, C ↑x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsLocalMaxOn f s a
g : β → γ
hg : Antitone g
⊢ IsLocalMinOn (g ∘ f) s a
X : Type u
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
⊢ Path.delayReflRight 0 γ = γ.trans (Path.refl y)
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s t u : Finset α
⊢ s * t ⊆ u ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x * y ∈ u
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
β : Type u_3
f : α → β
hf : Surjective f
m : OuterMeasure β
s : Set β
⊢ ((map f) ((comap f) m)) s = m s
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Inv G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsInvInvariant
⊢ MeasureTheory.Measure.map Inv.inv μ = μ
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ legendreSym p 0 = 0
k : Type u_1
G : Type u_2
Semiring k
AddCancelCommMonoid G
g : G
⊢ (AddMonoidAlgebra.of' k G g).modOf g = 0
M : Type u_5
ι : Type u_6
CommMonoid M
s : Finset ι
I : ι → M
⊢ ∏ i ∈ s, {I i} = {∏ i ∈ s, I i}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LT α
a b : α
⊢ lt.Compares (toDual a) (toDual b) ↔ lt.Compares b a
a b : Int
h : a < b
c : Int
⊢ c - b < c - a
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ o.oangle (x + y) y = ↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖x + y‖))
x : ℝ
n : ℕ
⊢ Real.cos (↑n * (2 * Real.pi) - x) = Real.cos x
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) / μ Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.SurjOn f s t
⊢ t ⊆ Set.range f
α : Type u_1
Fintype α
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
n : ℕ
⊢ AkraBazziRecurrence.asympBound g a b n =
  ↑n ^ AkraBazziRecurrence.p a b + AkraBazziRecurrence.sumTransform (AkraBazziRecurrence.p a b) g 0 n
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c x : α
⊢ |x ^ 2| = x ^ 2
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s t : Finset α
⊢ s ⊆ insert a t ↔ s.erase a ⊆ t
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ↑↑(hg.compLp g0 f) =ᵐ[μ] g ∘ ↑↑f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
⊢ s.val.Nodup
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : γ → α → β
x : α → β
i : Option γ
y : α
⊢ i.elim x f y = i.elim (x y) fun j => f j y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
p q : E × β
hp : p.1 ∈ s ∧ f p.1 < p.2
hq : q.1 ∈ s ∧ f q.1 ≤ q.2
⊢ openSegment 𝕜 p q ⊆ {p | p.1 ∈ s ∧ f p.1 < p.2}
R : Type u_5
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_6
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
x : P
⊢ FractionalIdeal.spanSingleton S x = ⟨Submodule.span R {x}, ⋯⟩
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
s : Multiset α
x y z : α
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) x ((fun x x_1 => x * x_1) y z) = (fun x x_1 => x * x_1) y ((fun x x_1 => x * x_1) x z)
σ : Type u_1
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
x y : StateT σ m α
h : ∀ (s : σ), x.run s = y.run s
⊢ x = y
𝕜 : Type u_1
V : Type u_3
W : Type u_4
NormedAddCommGroup V
NormedAddCommGroup W
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
NormedSpace 𝕜 W
f : V →ᴬ[𝕜] W
⊢ ‖f 0‖ ≤ ‖f‖
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, f i < 1
hs : s.Nonempty
⊢ ∏ i ∈ s, 1 ≤ 1
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
n : ℕ
⊢ (a * b) ^ Int.negSucc n = a ^ Int.negSucc n * b ^ Int.negSucc n
K : Set ℍ
hK : IsCompact K
hne : K.Nonempty
⊢ ∃ A B, 0 < B ∧ K ⊆ verticalStrip A B
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p * q).natDegree = p.natDegree + q.natDegree
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
π : δ' → Type u_6
(x : δ') → MeasurableSpace (π x)
f : δ ≃ δ'
⊢ ⇑(MeasurableEquiv.piCongrLeft π f) = ⇑(Equiv.piCongrLeft π f)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ 2 • o.oangle x (r • y) = 2 • o.oangle x y
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
h : Multiset.Rel r s t
a : α
⊢ a ∈ s → ∃ b ∈ t, r a b
a b d m n : ℤ
h : b ∣ a
e : ℤ
⊢ a ∣ a * e
n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ (n + 1) → ℕ
hf : Nat.Partrec' ↑f
⊢ Nat.Partrec' fun v => Nat.rfindOpt fun a => Denumerable.ofNat (Option ℕ) (f (a ::ᵥ v))
b p : ℕ
x✝ : 2 ≤ b
hp : Odd p
q₁ : b - 1 ∣ b ^ p - 1
q₂ : b + 1 ∣ b ^ p + 1
⊢ (b ^ p - 1) / (b - 1) * ((b ^ p + 1) / (b + 1)) = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
α : Type u
s : Set α
⊢ FreeCommRing.IsSupported 1 s
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
⊢ ∃ s_1, zeroLocus s = zeroLocus s_1
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜'
NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜₂ G'
NormedSpace 𝕜' G'
SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
x x' : M
y : F
⊢ (f (x - x')) y = (f x) y - (f x') y
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
SeminormedAddCommGroup V₃
NormedSpace 𝕜 V₃
PseudoMetricSpace P₃
NormedAddTorsor V₃ P₃
SeminormedAddCommGroup V₄
NormedSpace 𝕜 V₄
PseudoMetricSpace P₄
NormedAddTorsor V₄ P₄
ePP₂ : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
eP₂G : P₂ ≃ᵃⁱ[𝕜] P₃
eGG' : P₃ ≃ᵃⁱ[𝕜] P₄
⊢ ePP₂.trans (eP₂G.trans eGG') = (ePP₂.trans eP₂G).trans eGG'
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.Finite
⊢ ↑s.ncard = s.encard
a : Ordinal.{u_4}
⊢ a - 0 = a
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ coyonedaEquiv (coyoneda.map f.op) = f
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J
h : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition
⊢ (π.biUnion πi).iUnion = π.iUnion
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝²² : NontriviallyNormedField R
inst✝²¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝²⁰ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace R F
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
𝕜₁ : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
B' : Type u_7
inst✝¹³ : TopologicalSpace B'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₁ F
inst✝¹¹ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E x)
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
F' : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F'
E' : B' → Type u_9
inst✝⁷ : (x : B') → AddCommMonoid (E' x)
inst✝⁶ : (x : B') → Module 𝕜₂ (E' x)
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F' E')
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜₁ F E
inst✝² : (x : B') → TopologicalSpace (E' x)
inst✝¹ : FiberBundle F' E'
inst✝ : VectorBundle 𝕜₂ F' E'
x₀ x : B
y₀ y : B'
ϕ : E x →SL[σ] E' y
hx : x ∈ (trivializationAt F E x₀).baseSet
hy : y ∈ (trivializationAt F' E' y₀).baseSet
x✝ : F
⊢ (inCoordinates F E F' E' x₀ x y₀ y ϕ) x✝ = ((↑(Trivialization.continuousLinearEquivAt 𝕜₂ (trivializationAt F' E' y₀) y hy)).comp (ϕ.comp ↑(Trivialization.continuousLinearEquivAt 𝕜₁ (trivializationAt F E x₀) x hx).symm)) x✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : One γ
c : α
hc : c ≠ 0
f : β → γ
x : β
⊢ (x ∈ mulSupport fun x => f (c⁻¹ • x)) ↔ x ∈ c • mulSupport f
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
Δ₁ Δ₂ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ₁
p : Δ₁ ⟶ Δ₂
inst✝ : Epi p.unop
⊢ (s.ι (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) ≫ X.map p = s.ι (unop A.fst).len ≫ X.map (A.epiComp p).e.op
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hN : N ≠ 0
hχ : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s
hs' : (abscissaOfAbsConv fun n => χ ↑n) < ↑s.re
hΛ : LSeriesSummable ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s
⊢ L ((fun n => χ ↑n) * fun n => Complex.log ↑n) s = L (logMul fun n => χ ↑n) s
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ Submodule.comap p.subtype p = ⊤
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N : Type u_2
L.Structure N
h : FirstOrder.Language.Structure.CG L M
f : M →[L] N
⊢ f.range.CG
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f g : Filter α
hf : f ≤ g
hμ : μ ≤ ν
⊢ ν.FiniteAtFilter g → μ.FiniteAtFilter f
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
⊢ (AddLocalization.addEquivOfQuotient f) ((AddLocalization.addMonoidOf S).mk' x y) = f.mk' x y
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : p a := by cfc_tac
hf : ContinuousOn f (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hf0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
hg : ContinuousOn g (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hg0 : g 0 = 0 := by cfc_zero_tac
⊢ cfcₙ f a = cfcₙ g a ↔ Set.EqOn f g (σₙ R a)
a b : ℝ≥0∞
⊢ a ⊔ b = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0
K : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p : ℕ
inst✝¹ : NeZero p
inst✝ : CharP R p
x : ℤ
this : Fact (Nat.Prime p)
a b : ZMod p
hab : a ^ 2 + b ^ 2 = ↑x
⊢ ↑a.val ^ 2 + ↑b.val ^ 2 = ↑x
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
⊢ IsFixedPt f x
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
⊢ (p.toSubring T hp).coeff p.natDegree = 1 ↔ ↑((p.toSubring T hp).coeff p.natDegree) = 1