ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
h : MeasureTheory.Memℒp f p μ
⊢ ↑(MeasureTheory.Memℒp.toLp f h) = MeasureTheory.AEEqFun.mk f ⋯
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
g : γ → α
e : ↑(Function.mulSupport f) ≃ ↑(Function.mulSupport g)
he : ∀ (x : ↑(Function.mulSupport f)), g ↑(e x) = f ↑x
⊢ ∏' (x : β), f x = ∏' (y : γ), g y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
⊢ f ≫ (g + h) = f ≫ g + f ≫ h
M : Type u_1
α : Type u_2
Bornology M
SMul M α
s t₁ t₂ : Set α
h : Absorbs M s t₁
ht : t₂ ⊆ t₁
⊢ Absorbs M s t₂
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s : Finset α
DecidableEq α
P : Finpartition s
t : Finset β
⊢ (Rel.interedges r s t).card = ∑ a ∈ P.parts, (Rel.interedges r a t).card
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
⊢ P ∈ R[X]⁰ ↔ ∀ (a : R), a • P = 0 → a = 0
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
s : Set α
FunLike F α β
InfHomClass F α β
hs : InfClosed s
f : F
⊢ InfClosed (⇑f '' s)
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤
⊢ Integrable (fun x => (ν (Prod.mk x ⁻¹' s)).toReal) μ
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
Fintype V
NonAssocSemiring α
M : Matrix V V α
v w : V
⊢ (M * SimpleGraph.adjMatrix α G) v w = ∑ u ∈ G.neighborFinset w, M v u
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
A B : E →WOT[𝕜]F
h : ∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), y (A x) = y (B x)
⊢ A = B
p : ℕ
⊢ Nat.rec 1 (fun y IH => IH * (unpair p).1) (unpair p).2 = (unpair p).1 ^ (unpair p).2
n : ℕ
i : Fin n
⊢ (finSuccEquiv' (Fin.last n)) i.castSucc = some i
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ e.inverse.map (e.functor.map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.unitInv.app X) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (e.unit.app Y))
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
Semiring B
Algebra R B
StarRing B
StarModule R B
f : A →⋆ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ ∀ (a : ↥(↑f).range), (StarAlgEquiv.ofInjective f hf).symm a = (AlgEquiv.ofInjective (↑f) hf).invFun a
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
DivisionSemiring α
h : Function.Periodic f c
a : α
⊢ Function.Periodic (fun x => f (a⁻¹ * x)) (a * c)
α β φ : Sort u
p₁ : β = φ
p₂ : α = β
a : α
⊢ Eq.recOn p₁ (Eq.recOn p₂ a) = Eq.recOn ⋯ a
q : ℕ+
x y : LucasLehmer.X q
⊢ (x + y).1 = x.1 + y.1
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : t =ᵐ[μ] Set.univ
⊢ s ∩ t =ᵐ[μ] s
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
U : Set X
Uo : IsOpen U
aU : a ∈ U
hU : U ∩ s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
⊢ IsLocalMaxOn f (closure s) a
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset ι
f : ι → α → β
⊢ (Function.support fun x => ∑ i ∈ s, f i x) ⊆ ⋃ i ∈ s, Function.support (f i)
α : Type u_3
s : Finset α
⊢ ∑ x ∈ s, {x} = s.val
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
⊢ IsClosed (range inl)
C₁ : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.MonoidalCategory C₁
C₂ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.MonoidalCategory C₂
X : C₁ × C₂
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom.1 = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X.1).hom
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
x : E
⊢ 0 ≤ re ⟪0 x, x⟫_𝕜
α : Type u_1
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
ι : Type u_3
Preorder ι
u : ι → α
x : α
hu : CauchySeq u
⊢ CauchySeq fun n => u n * x
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
hg : ContinuousOn g (f '' σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hg0 : g 0 = 0 := by cfc_zero_tac
hf : ContinuousOn f (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hf0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfcₙ (fun x => g (f x)) a = cfcₙ g (cfcₙ f a)
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
⊢ ∑ x ∈ A.product B, ↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card / (↑x.1.card * ↑x.2.card * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ∑ x ∈ ((chunk hP G ε hU).ofSubset hA ⋯).parts ×ˢ ((chunk hP G ε hV).ofSubset hB ⋯).parts, ↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))
R : Type u
CommRing R
X Y : Type v
AddCommGroup X
Module R X
AddCommGroup Y
Module R Y
Coalgebra R X
Coalgebra R Y
e : X ≃ₗc[R] Y
⊢ e.toCoalgebraCatIso.inv.toCoalgHom = ↑e.symm
K : Type u
Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
⊢ Irreducible (Polynomial.X ^ p - Polynomial.C a) ↔ ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
e'' : PartialEquiv γ δ
⊢ ((e.trans e').trans e'').source = (e.trans (e'.trans e'')).source
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a ♯ b = b ♯ a
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝¹ : Functor t
inst✝ : LawfulFunctor t
α β γ : Type u
g : α → β
h : β → γ
x : t' α
⊢ Equiv.map eqv (h ∘ g) x = Equiv.map eqv h (Equiv.map eqv g x)
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
p : α → Prop
DecidablePred p
⊢ (Multiset.filter p s).toFinset = Finset.filter p s.toFinset
⊢ ∀ {w : Nat} {x : BitVec w} {b : Bool}, (x.concat b).getLsb 0 = b
α : Type u_2
β : Type u_3
Mul α
Mul β
f : αᵐᵒᵖ ≃* βᵐᵒᵖ
⊢ ∀ (a : α), (MulEquiv.op.symm f) a = (MulOpposite.unop ∘ ⇑f ∘ MulOpposite.op) a
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
x : X 0
hx : ⟨0, x⟩.fst ≤ 0
y : X 0
hy : ⟨0, y⟩.fst ≤ 0
⊢ inductiveLimitDist f ⟨0, x⟩ ⟨0, y⟩ = dist (leRecOn hx (fun {k} => f k) ⟨0, x⟩.snd) (leRecOn hy (fun {k} => f k) ⟨0, y⟩.snd)
M : Type u_1
Mul M
p p' : Subsemigroup M
⊢ ↑(p ⊓ p') = ↑p ∩ ↑p'
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal
f : ↥(lp E p)
g : ↥(lp E q)
hf₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖
hg₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑g i‖
hf₂ : HasSum (fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)
hg₂ : HasSum (fun i => ‖↑g i‖ ^ q.toReal) (‖g‖ ^ q.toReal)
⊢ (Summable fun i => ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) ∧ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
⊢ ((biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = 𝟙 (⨁ fun i => (embedding C).obj (M.X i))
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
⊢ rexp (49 / 20 - 2 / 3) < 6
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
⊢ B.compLeft LinearMap.id = B
⊢ ∀ {α : Type u_1} {a : α} {acc : List α} (n : Nat), List.replicateTR.loop a n acc = List.replicate n a ++ acc
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
h : M ≃ₘ⟮I, I'⟯ M'
⊢ Smooth I I' ⇑h
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
⊢ Epi S.g
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
h : o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|
R : Type u
Semiring R
k : ℕ
h : 0 < k
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[k] 1 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s✝ t : Set α
s : Finset α
⊢ ∀ b ∉ s, (↑s).indicator (⇑p) b = 0
G : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → ℝ≥0∞
g : G
⊢ ∫⁻ (x : G), f (x / g) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁵ : NormedField 𝕜
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²² : PseudoMetricSpace P
inst✝²¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁸ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁷ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹⁴ : MetricSpace P₁'
inst✝¹³ : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝¹⁰ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁹ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝² : PseudoMetricSpace P₄
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₄ P₄
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
α : Type u_14
inst✝ : TopologicalSpace α
x y : P
⊢ dist ((pointReflection 𝕜 x) y) y = ‖2‖ * dist x y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
⊢ ∀ {S : Set α}, IsIrreducible S → IsClosed S → ∃ x, IsGenericPoint x S
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
S : AddSubsemigroup N
f : AddHom M N
⊢ AddSubsemigroup.comap f (AddSubsemigroup.map f (AddSubsemigroup.comap f S)) = AddSubsemigroup.comap f S
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : IsClosed s
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hspec : ∀ (x : X), g x ⤳ f x
⊢ Continuous (s.piecewise f g)
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
φ : L.Formula α
g : α → β
v : β → M
⊢ (FirstOrder.Language.Formula.relabel g φ).Realize v ↔ φ.Realize (v ∘ g)
x : ℝ*
⊢ (-x).InfiniteNeg ↔ x.InfinitePos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
⊢ ∀ (b : α), (∀ (x : α), x ≤ b) → b = ⊤
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 + ε ↑x) ≤ ↑(r i x) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i x))
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
⊢ (f + g).LimZero
n : ℕ
i j : Fin (n + 1)
hi : i ≠ Fin.last n
hj : j ≠ Fin.last n
⊢ i.castPred hi < j.castPred hj ↔ i < j
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
p_monic : p.Monic
p_gen : Ideal.span {p} = Polynomial.annIdeal 𝕜 a
⊢ Polynomial.annIdealGenerator 𝕜 a = p
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x : A
hx : IsIntegral R x
⊢ Algebra.adjoin R {x} ≤ integralClosure R A
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
⊢ ↑(SignType.sign (↑n + b)) / ↑(↑n + b) ^ s = 1 / ↑(↑n + b) ^ s
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set β
⊢ MeasureTheory.IntegrableOn f s (MeasureTheory.Measure.map e μ) ↔ MeasureTheory.IntegrableOn (f ∘ e) (e ⁻¹' s) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖↑(f a).toNNReal‖ ∂μ < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)
⊢ minimalPeriod (f ∘ g) x = minimalPeriod f x * minimalPeriod g x
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : WithLp 2 (α × β)
⊢ ‖x‖ = √(‖x.1‖ ^ 2 + ‖x.2‖ ^ 2)
R : Type u
M : Type v
Add R
Add M
x₁ x₂ : tsze R M
⊢ (x₁ + x₂).fst = x₁.fst + x₂.fst
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Set σ
x : R
⊢ ↑((supportedEquivMvPolynomial s).symm (C x)) = ↑((algebraMap R ↥(supported R s)) x)
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
a : α✝
l : List α✝
r : ∀ (a' : α✝), a' ∈ l → R a a'
p' : Pairwise R l
⊢ Chain R a l
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ : β
q✝ : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a b : α
q : ℚ
hq : q ∈ {t | ↑t < a + b}
⊢ q ∈ Rat.cast ⁻¹' (cutMap β a + cutMap β b)
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.88317, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.88321, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
hp : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
g' : (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯).pt ⟶ (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯).pt := hp.desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
hg' : g' = 𝟙 (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯).pt
wι : 0 ≫ g' = 0
hι : IsLimit (KernelFork.ofι 0 wι)
⊢ S.RightHomologyData
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
m : ↥N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ N
hf' : optParam (∀ x ∈ N, f x ∈ N) ⋯
i : Fin n
⊢ (snf.bN.repr ((f.restrict hf') (snf.bN i))) i = (snf.bN.repr (snf.a i • ⟨f (snf.bM (snf.f i)), ⋯⟩)) i
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
v : V
hv : ∀ (g : G), (ρ g) v = v
⊢ ρ.averageMap v = v
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
this✝ : (a : Prop) → Decidable a
hp : ¬p = 0
h : p.leadingCoeff = 0
this : p = 0
⊢ False
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ (μ s).toReal * x
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
OrderedCommRing R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalRing R
ContinuousStar R
∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
TopologicalSpace A
NonUnitalRing A
StarRing A
PartialOrder A
StarOrderedRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : ContinuousOn f (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
h0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
ha : p a := by cfc_tac
⊢ cfcₙ f a ≤ 0 ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, f x ≤ 0
m✝ n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x✝ : α✝ (last n✝)
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.castSucc
i : Fin n✝
y : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n✝)
n m : ℕ
α : Type u_1
xs : Fin n → α
x : α
ys : Fin m → α
⊢ (append xs (cons (cons x elim0 0) ys) ∘ cast ⋯) ∘ cast ⋯ = append xs (cons x ys) ∘ cast ⋯
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
p : ℕ
hp : 1 < p
⊢ Summable fun n => f p ^ n
ι : Sort u_1
M : Type u_2
Mul M
S : ι → Subsemigroup M
i : ι
x : M
⊢ x ∈ S i → x ∈ iSup S
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
P : α → Prop
s : Finset α
i : α → ℕ
is_prime : ∀ p ∈ s, Prime p
is_coprime : ∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p ∣ q → p = q
h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → P x → P y → P (x * y)
⊢ P (∏ p ∈ s, p ^ i p)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
f : Filter α
g : Filter β
α₁ : Type u
α₂ : Type v
β₁ : Type w
β₂ : Type x
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
m₁ : α₁ → β₁
m₂ : α₂ → β₂
s : Set (β₁ × β₂)
⊢ s ∈ (map m₁ f₁).coprod (map m₂ f₂) → s ∈ map (Prod.map m₁ m₂) (f₁.coprod f₂)
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
n : ℕ
hn : n < l.length
hx : l.nthLe n hn ∈ l
⊢ l.nthLe ((n + 1 + (l.length - 1)) % l.length) ⋯ = l.nthLe n hn
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
⊢ ∀ (g_1 : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)), g_1 • g • B = g • B ∨ Disjoint (g_1 • g • B) (g • B)
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
n : ℕ
a : E
⊢ ‖n • a‖₊ ≤ ↑n * ‖a‖₊
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ [IsLocallyClosed s, IsOpen (coborder s), ∀ x ∈ s, ∃ U ∈ 𝓝 x, IsClosed (U ↓∩ s),
    ∀ x ∈ s, ∃ U, x ∈ U ∧ IsOpen U ∧ U ∩ closure s ⊆ s, IsOpen (closure s ↓∩ s)].TFAE
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
x : ↑X.toTopCat
a : ↑(Y.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))
⊢ (AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.residueFieldMap f x) ((Y.Γevaluation (f.val.base x)) a) =
  (X.Γevaluation x) ((f.val.c.app (Opposite.op ⊤)) a)
α : Type u_1
s : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ s.ncard ≤ 1 ↔ s = ∅ ∨ ∃ a, s = {a}
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
h₁ :
  ⊤ ≤
    Submodule.span ℤ
      (Set.range
        (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.eval
          (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o)))
⊢ Function.Injective (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.MaxToGood C hC hsC ho h₁)
x₁ x₂ y₁ y₂ : SetTheory.PGame
⊢ Surreal.Multiplication.P3 x₁ x₂ y₁ y₂ ↔ Surreal.Multiplication.P3 (-x₂) (-x₁) y₁ y₂
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
a✝ : Nontrivial α
⊢ (a * b).factors = a.factors + b.factors
n : ZMod 0
⊢ IsUnit n ↔ Int.natAbs n = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} E
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
CategoryTheory.HasShift E A
F : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
G : D ⥤ E
G.CommShift A
n a a' : A
ha' : n + a = a'
X : C
⊢ ((F.postcomp G).shiftIso n a a' ha').inv.app X =
  G.map ((F.shiftIso n a a' ha').inv.app X) ≫ (G.commShiftIso n).hom.app ((F.functor a').obj X)
α : Type u_1
M : Type u_4
MulOneClass M
s t : Set α
a : α
h : a ∉ s ∩ t
f : α → M
⊢ (s ∪ t).mulIndicator f a = s.mulIndicator f a * t.mulIndicator f a
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
⊢ 1 * 1 ≤ 1
α : Type u_1
n i : ℕ
x : α
l : List α
⊢ (n + i, x) ∈ List.enumFrom n l ↔ l.get? i = some x
α : Type u_1
le : α → α → Bool
a✝ : α
n✝ : Nat
s✝ : HeapNode α
h✝ : WF le a✝ s✝ n✝
res : Heap α
a : α
c s : HeapNode α
n : Nat
left✝ : ∀ [inst : TotalBLE le], le a✝ a = true
h : WF le a c s.rank
h' : WF le a✝ s n
hr : Heap.WF le (node a c s).rank res
⊢ WF le a c ((node a c s).rank - 1)
G : Type u_1
Group G
n : ℕ
⊢ (derivedSeries G n).Normal
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
φ : L.Formula α
⊢ T ⊨ᵇ φ ↔ ∀ (M : T.ModelType) (v : α → ↑M), φ.Realize v
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ
⊢ ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v (c⁻¹ * x) = |c| * ProbabilityTheory.gaussianPDFReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v) x
α : Type u_1
s : Set α
f : α → α
h : Set.MapsTo f s s
x : ↑s
k : ℕ
⊢ ↑((Set.MapsTo.restrict f s s h)^[k] x) = f^[k] ↑x
α : Sort u
p : α → Prop
b : Prop
h₂ : ∃! x, p x
h₁ : ∀ (x : α), p x → (∀ (y : α), p y → y = x) → b
⊢ b
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K : Ideal S
⊢ Ideal.comap f (Ideal.map f (Ideal.comap f K)) = Ideal.comap f K
V : Type u
G : SimpleGraph V
v u u' v' : V
s : Set (Sym2 V)
p : G.Walk u v
hu : u = u'
hv : v = v'
h : ∀ e ∈ (p.copy hu hv).edges, e ∉ s
⊢ SimpleGraph.Walk.toDeleteEdges s (p.copy hu hv) h = (SimpleGraph.Walk.toDeleteEdges s p ⋯).copy hu hv
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
hf : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }) 1 (closure s)
f_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }
t : Set G := f ⁻¹' {1}
t_closed : IsClosed t
t_comp : IsCompact t
st : s ⊆ t
A : μ' t - ν s ≤ μ' t - μ' s
B : μ' t = ν t
⊢ μ' s ≤ μ' t
α : Type u_2
LE α
⊢ ⇑(OrderIso.dualDual α).symm = ⇑OrderDual.ofDual ∘ ⇑OrderDual.ofDual
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : Submodule R M
r : R
⊢ IsSMulRegular (↥N) r ↔ Disjoint (LinearMap.ker ((LinearMap.lsmul R M) r)) N
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ (map f p).coeff n = f (p.coeff n)
p : Fin 1 → Prop
⊢ (∃ i, p i) ↔ p 0
R : Type u_1
CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
⊢ (Polynomial.X ^ d - 1) * ∏ x ∈ n.divisors \ d.divisors, Polynomial.cyclotomic x R = Polynomial.X ^ n - 1
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X X
α : SmallHom W X Y
⊢ (equiv W W.Q) ((mk W (𝟙 X)).comp α) = (equiv W W.Q) α