ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
M : Type u_5
Monoid M
DistribMulAction M F
SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
⊢ (z • f).graph = Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) f.graph
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ 2 * n
⊢ Pell.xn a1 (4 * n - j) ≡ Pell.xn a1 j [MOD Pell.xn a1 n]
R : Type uR
A : Type uA
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
t : Submodule R A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s) ≤ t ↔ ↑(Submonoid.closure s) ⊆ ↑t
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
⊢ {α} ⊆ ↑⊥ ↔ α ∈ ⊥
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ 1 - ↑n
hs' : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
x y z : ℂ
⊢ x * Complex.Gamma s * y * hurwitzZetaEven a s - x * Complex.Gamma s * y * I ^ 2 * hurwitzZetaOdd a s + x * Complex.Gamma s * z * hurwitzZetaEven a s + x * Complex.Gamma s * z * I ^ 2 * hurwitzZetaOdd a s = x * Complex.Gamma s * y * hurwitzZetaEven a s + x * Complex.Gamma s * y * hurwitzZetaOdd a s + (x * Complex.Gamma s * z * hurwitzZetaEven a s - x * Complex.Gamma s * z * hurwitzZetaOdd a s)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : Perm (Subtype p)
h : f.IsSwap
x : α
hx : p x
y : α
hy : p y
hxy : ⟨x, hx⟩ ≠ ⟨y, hy⟩ ∧ f = swap ⟨x, hx⟩ ⟨y, hy⟩
⊢ x ≠ y
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → Seq1 β
g : β → Seq1 γ
a : α
s : Seq α
⊢ (join (map g (f a), Seq.map (map g) (Seq.map f s))).join = join ((map g (f a)).join, Seq.map (fun x => (map g (f x)).join) s)
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π
aux2 : ↑√π ≠ 0
hf : HasDerivAt f (-log ↑π / 2 / ↑√π) 1
hg : HasDerivAt g (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2) / 2) 1
⊢ -log ↑π / 2 / ↑√π * Gamma (1 / 2) + ↑π ^ (-1 / 2) * (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2) / 2) = -(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
h : a ≤ b
δ : α
Archimedean α
hδ : 0 < δ
⊢ ∃ m, ∀ n ≥ m, ↑(Set.Icc.addNSMul h δ n) = b
s : ℝ
this : ∀ (r : ℝ), ↑r = ↑r
⊢ EqOn (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (↑s - 1)) (fun x => ↑(rexp (-x) * x ^ (s - 1))) (Ioi 0)
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
C : Type uC
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
Semiring A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
Semiring C
Algebra R C
⊢ Algebra.TensorProduct.congr AlgEquiv.refl AlgEquiv.refl = AlgEquiv.refl
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
⊢ (CochainComplex.mappingConeCompTriangle f g).mor₂ = CochainComplex.mappingCone.map (f ≫ g) g f (𝟙 X₃) ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : (CategoryTheory.Functor C D)ᵒᵖ
⊢ (CategoryTheory.Functor.opHom C D).obj F = (Opposite.unop F).op
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
⊢ (x + -y).orderTop = x.orderTop
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
t : ι → Set X
htd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t
htn : ∀ (i : ι), (t i).Nonempty
htc : ∀ (i : ι), IsCompact (t i)
htcl : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
i₀ : ι := hι.some
⊢ (t i₀ ∩ ⋂ i, t i).Nonempty
α : Type u_1
f : α → α
init : α
m n : Nat
⊢ Nat.repeatTR.loop f m (Nat.repeat f n init) = Nat.repeat f (m + n) init
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
⊢ IndepFun f g μ ↔ ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → IndepSet (f ⁻¹' s) (g ⁻¹' t) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
x : Option α
h : ∀ (a : α), a ∈ x → p a
⊢ Option.pmap f x h = none ↔ x = none
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
hf : Summable f
⊢ Tendsto (fun i => ↑(∑' (a : ℕ), f (a + i))) atTop (𝓝 ↑0)
q : ℚ≥0
n : ℕ
⊢ (q ^ n).den = q.den ^ n
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
S₁.HasHomology
S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.IsIso φ.τ₂
CategoryTheory.Mono φ.τ₃
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
A : Set E
ι : Sort u_6
Nonempty ι
F : ι → Set E
hAF : ∀ (i : ι), IsExtreme 𝕜 A (F i)
⊢ IsExtreme 𝕜 A (⋂ i, F i)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hq0_ne : q ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
⊢ eLpNorm' 0 q μ = 0
α : Type u_1
n : Type u_4
m : Type u_5
Zero α
A : Matrix m m α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
h : (Matrix.fromBlocks A 0 C D).IsSymm
ha : A.IsDiag
hd : D.IsDiag
⊢ (Matrix.fromBlocks A 0 C D).IsDiag
V₁ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
s : AddSubgroup V₁
⊢ (NormedAddGroupHom.incl s).range = s
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Field K
a b : σ → K
h : a ≠ b
i : σ
hi : a i ≠ b i
⊢ a i - b i ≠ 0
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.43710, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.43714, u_3} J
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (n : ι), HasColimit (F ⋙ eval C c n)
n m : ι
h : ¬c.Rel n m
j : J
⊢ (F.obj j).d n m ≫ colimit.ι (F ⋙ eval C c m) j = colimit.ι (F ⋙ eval C c n) j ≫ 0
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsStronglyCartesian (p.map φ) φ
⊢ 𝟙 a✝ ≫ φ = φ
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
DecidableEq β
DecidableEq (α ⊕ β)
f : α ⊕ β → γ
i : β
x : γ
⊢ Function.update f (Sum.inr i) x ∘ Sum.inr = Function.update (f ∘ Sum.inr) i x
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
nst : s ≠ t
ntu : t ≠ u
this : ¬(G.replaceVertex s t).Adj s u
l1 : (G.replaceVertex s t).degree s = G.degree s
⊢ G.edgeFinset.card < G.edgeFinset.card + (G.replaceVertex s t).degree s - (G.replaceVertex s t).degree u
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
X' : C
g : X' ⟶ X
⊢ (F.isoComp g).e = g ≫ F.e
⊢ Nat.Primrec' fun v => Nat.pair v.head v.tail.head
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
⊢ ¬SameRay ℝ x y ↔ |‖x‖ - ‖y‖| < ‖x - y‖
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f✝ : ι✝ → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s✝ : Set α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
⊢ Disjoint (f i) (s.sup id)
α : Type u
β : Type v
f : α ⊕ β → Ordinal.{max (max u v) w}
⊢ Ordinal.sup f = max (Ordinal.sup fun a => f (Sum.inl a)) (Ordinal.sup fun b => f (Sum.inr b))
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : ProjectiveResolution X
⊢ (NatTrans.leftDerivedToHomotopyCategory α).app X ≫ (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).hom = (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex)
α : Type u_6
f : Filter α
R : Type u_7
Preorder R
Add R
CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass R R (fun a b => b + a) fun x x_1 => x ≤ x_1
u v : α → R
u_bdd_le : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u
v_bdd_le : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v
⊢ Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (u + v)
α : Type u_1
LinearOrderedSemiring α
m n : Num
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n
d : ℤ
n : ℤ
⊢ (Zsqrtd.ofInt n).im = 0
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : Preorder α✝
inst✝³ : Preorder β✝
inst✝² : Preorder γ
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : Unique α
inst✝ : Preorder β
⊢ ∀ {a b : α → β}, (Equiv.funUnique α β) a ≤ (Equiv.funUnique α β) b ↔ a ≤ b
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
s : Stream'.Seq α
⊢ a ∈ s → f a ∈ Stream'.Seq.map f s
α : Type u_1
SupSet α
p q : Prop
f₁ : p → α
f₂ : q → α
pq : p ↔ q
f : ∀ (x : q), f₁ ⋯ = f₂ x
⊢ iSup f₁ = iSup f₂
V : CategoryTheory.Quiv
⊢ CategoryTheory.Cat.free.obj V = CategoryTheory.Cat.of (CategoryTheory.Paths ↑V)
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
μ.IsAddRightInvariant
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.2, z.1 + z.2)) (μ.prod ν) (ν.prod μ)
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : AList β
h : s₁.Disjoint s₂
x✝ : α
y✝ : β x✝
⊢ dlookup x✝ s₁.entries = some y✝ ∨ x✝ ∉ s₁.entries.keys ∧ dlookup x✝ s₂.entries = some y✝ ↔ dlookup x✝ s₂.entries = some y✝ ∨ x✝ ∉ s₂.entries.keys ∧ dlookup x✝ s₁.entries = some y✝
α : Type u_1
OrderedRing α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
n : ℕ
⊢ Finset.box (n + 1) ∪ Finset.Icc (-↑n) ↑n = Finset.Icc (-↑n.succ) ↑n.succ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
a : α
l : Vector α n
⊢ Tendsto (fun x => ↑(x.1 ::ᵥ x.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (a :: ↑l))
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
x : M
hI : (Submodule.span R {x}).annihilator.IsPrime
⊢ ⊤.annihilator ≤ (Submodule.span R {x}).annihilator
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
A s : Set M
h : A ⊆ ↑S
a : M
ha : a ∈ A
⊢ a ∈ ↑((closure (L[[↑A]])).toFun s)
α : Type u
x : α
⊢ 𝒫{x} = {∅, {x}}
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
α : Weight K (↥H) L
⊢ ↑(corootSpace ⇑α) = span K {(cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)}
α : Type u_1
NatCast α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ OrderDual.toDual (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
X : Type u
α : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
hb : ¬BddBelow s
ha : ¬BddAbove s
⊢ s = univ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : (x : P) → x ∈ affineSpan k s → Prop
mem : ∀ (y : P) (hys : y ∈ s), p y ⋯
smul_vsub_vadd : ∀ (c : k) (u : P) (hu : u ∈ affineSpan k s) (v : P) (hv : v ∈ affineSpan k s) (w : P) (hw : w ∈ affineSpan k s), p u hu → p v hv → p w hw → p (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w) ⋯
x : P
h : x ∈ affineSpan k s
⊢ ∀ (c : k) (u v w : P), (fun y => ∃ (z : y ∈ affineSpan k s), p y z) u → (fun y => ∃ (z : y ∈ affineSpan k s), p y z) v → (fun y => ∃ (z : y ∈ affineSpan k s), p y z) w → (fun y => ∃ (z : y ∈ affineSpan k s), p y z) (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w)
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms E
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X : C
hX : 𝟙 X = 0
⊢ 𝟙 (F.obj X) = 0
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
⊢ n ≤ n.sqrt.succ * n.sqrt + n.sqrt
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f ∧ MeasurableSpace.comap f inst✝¹ = inst✝² ∧ MeasurableSet (range f)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (f '' (f ⁻¹' s))
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
ι : Type u_1
g : ι → G → E'
l : Filter ι
x₀ : G
z₀ : E'
φ : ι → G → ℝ
k : ι → G
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ
hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)
hφ : ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t
hcg : ∀ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧ ∃ ε_1 > 0, ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
h2ε : 0 < ε / 3
p : ι → Prop
hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3
h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2
h2φ : ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ ball 0 (δ / 2)
i : ι
hpi : p i
hki : dist (k i) x₀ < δ / 2
hφi : support (φ i) ⊆ ball 0 (δ / 2)
hnφi : ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x
hiφi : ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1
hmgi : AEStronglyMeasurable (g i) μ
hgi : dist (g i (k i)) z₀ < ε / 3
h1 : ∀ x' ∈ ball (k i) (δ / 2), dist (g i x') (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3
this : dist ((φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g i) (k i)) (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3
⊢ ε / 3 + ε / 3 + ε / 3 = ε
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν' : μ ⟂ₘ ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
h_ac : ν ≪ ν + ν'
h₁ : (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae (ν + ν')] (μ.singularPart ν).rnDeriv (ν + ν') + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν')
h₂ : (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν).rnDeriv ν + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
h₃ : (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
h₄ : (μ.singularPart ν).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] 0
h₅ : (μ.singularPart ν).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] 0
x : α
hx₃ : (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') x = (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν x
hx₄ : (μ.singularPart ν).rnDeriv (ν + ν') x = 0 x
hx₅ : (μ.singularPart ν).rnDeriv ν x = 0 x
⊢ (μ.singularPart ν).rnDeriv (ν + ν') x + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') x = (μ.singularPart ν).rnDeriv ν x + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
this : CompleteSpace E
⊢ ⟪x, (adjoint A) y⟫_𝕜 = ⟪A x, y⟫_𝕜
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f^[n] x ≤ g^[n] x ↔ f x ≤ g x
α : Type u
β : Type v
f : α → β
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
t₃ : TopologicalSpace β
h₁ : t₂ ≤ t₁
h₂ : Continuous f
⊢ Continuous f
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
⊢ k.succ < (max (k + 1) n).succ
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
ih : ∀ (x : ℤ_[p]), ↑p ^ n ∣ x - ↑(x.appr n)
x : ℤ_[p]
h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0
c : ℤ_[p]
hc : x - ↑(x.appr n) = ↑p ^ n * c
hc' : c ≠ 0
⊢ ↑p ^ n * ↑p ∣ ↑p ^ n * (c - (toZMod ↑(unitCoeff h) * 0 ^ c.valuation.natAbs).cast)
G : Type u_10
Group G
a : G
⊢ Equiv.symm (Equiv.mulRight a) = Equiv.mulRight a⁻¹
c : ENNReal
a b : ENNReal
hc : c ≠ 0
hc' : c ≠ ⊤
⊢ a * c / (b * c) = a / b
o : Ordinal.{u_1}
⊢ let_fun this := ⋯; HEq (nim o).moveRight fun i => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)
𝕜 : Type u_1
NormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedRing E
StarRing E
CstarRing E
NormedAlgebra 𝕜 E
CompleteSpace E
u : ↥(unitary E)
⊢ spectrum 𝕜 ↑u ⊆ Metric.sphere 0 1
K : Type u_1
g : GenContFract K
DivisionRing K
⊢ g.convs 0 = g.h
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
q₁ : Path.Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Path.Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Path.Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Path.Homotopic.Quotient b₂ b₃
⊢ (Path.Homotopic.prod q₁ q₂).comp (Path.Homotopic.prod r₁ r₂) = Path.Homotopic.prod (q₁.comp r₁) (q₂.comp r₂)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ⟂ₘ μ
A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a
u : ℕ → ℝ≥0
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a
x : α
hx : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
z : ℝ≥0∞
hz : z > 0
w : ℝ≥0
w_pos : 0 < ↑w
w_lt : ↑w < z
n : ℕ
hn : u n < w
a : Set α
ha : ρ a < ↑(u n) * μ a
μa_pos : 0 < μ a
μa_lt_top : μ a < ⊤
⊢ ρ a / μ a < z
n : ℕ
⊢ 0 < ∏ p ∈ n.primeFactors, p
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C ⥤ Mon_ D
X : C
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.MonFunctorCategoryEquivalence.inverseObj F).one.app X = (F.obj X).one
α : Type u_1
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ ↑s.ncard = s.encard
R : Type u
B : Type v
CommRing R
A : Matrix B B ℤ
i : B
h : A i i = 2
⊢ CartanMatrix.Relations.adE R A (i, i) = 0
η : Type u_1
α : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
M : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
S : Finset M
inst✝ : Finite κ
C : M → κ
ι : Type
_inst : Fintype ι
l : Line { x // x ∈ S } ι
c : κ
hl : ∀ (x : { x // x ∈ S }), (fun v => C (∑ i : ι, ↑(v i))) ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) = c
s : Finset ι := Finset.filter (fun i => l.idxFun i = none) Finset.univ
hs : s = Finset.filter (fun i => l.idxFun i = none) Finset.univ
⊢ ∃ a > 0, ∃ b c, ∀ s ∈ S, C (a • s + b) = c
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
⊢ max (min a b) c = min (max a c) (max b c)
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α →. β
H : ∀ (a : α) (b : β), b ∈ f a ↔ b ∈ g a
⊢ f = g
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
⊢ (Ordinal.type WellOrderingRel).blsub (Ordinal.bfamilyOfFamily f) = Ordinal.lsub f
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ (B (l ((stdBasis R (fun x => R) i) 1))) (r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1)) = ∑ y : n, ∑ x : m, of (fun i j => l ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) y i * (B ((stdBasis R (fun x => R) y) 1)) ((stdBasis R (fun x => R) x) 1) * of (fun i j => r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x y z a b : α
c : ↑(Ioo (a ⊓ b) a)
⊢ a ⊓ (↑c ⊔ b) = ↑c
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
s' s : σ →₀ ℕ
x : MvPolynomial σ R
h : ¬s ≤ s'
⊢ MvPolynomial.coeff s' (x.modMonomial s) = MvPolynomial.coeff s' x
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : R
a b c : A
h₁ : (↑ₐ r - a) * b = 1
h₂ : c * (↑ₐ r - a) = 1
⊢ b * (↑ₐ r - a) = 1
α : Type u_1
Preorder α
InfSet α
s : Set (WithBot α)
hs : ⊥ ∉ s
hs' : BddBelow (WithBot.some ⁻¹' s)
⊢ sInf s = ↑(sInf (WithBot.some ⁻¹' s))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
r : ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α) in {x | f x = r}, f x ∂μ = r * μ {x | f x = r}
A : Type u_1
B : Type u_2
CommRing A
CommRing B
IsDomain A
IsDomain B
p : Polynomial A
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
hroots : Multiset.card p.roots = p.natDegree
⊢ Multiset.map (⇑f) p.roots = (Polynomial.map f p).roots
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
SS : Seq (Seq1 (Seq1 α))
⊢ Seq.IsBisimulation fun s1 s2 => ∃ s SS, s1 = s.append SS.join.join ∧ s2 = s.append (Seq.map join SS).join
α : Type u
β : Type v
e : Equiv.Perm α
p : β → Prop
DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
n : ℤ
⊢ (e ^ n).extendDomain f = e.extendDomain f ^ n
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ LSeriesHasSum (fun x => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑x))) s (sinZeta (↑a) s)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c x : P
R : ℝ
⊢ dist c (EuclideanGeometry.inversion c R x) = R ^ 2 / dist c x
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
⊢ Eₘ[s, t] = 0 ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂
⊢ ((y₁ - y₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) + W.a₁ * (y₁ - y₂) * (x₁ - x₂) ^ 2 - (x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * W.a₂ - x₁ * ((x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂)) - (x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * x₂) * ((x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * (x₁ - x₂) ^ 2) = (((y₁ - (-y₂ - W.a₁ * x₂ - W.a₃)) ^ 2 * (x₁ - x₂) + W.a₁ * (y₁ - (-y₂ - W.a₁ * x₂ - W.a₃)) * (x₁ - x₂) ^ 2 - (x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * W.a₂ - x₁ * ((x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂)) - (x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * x₂) * (x₁ - x₂) ^ 2 - (x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂) * ((y₁ - (-y₁ - W.a₁ * x₁ - W.a₃)) * (y₂ - (-y₂ - W.a₁ * x₂ - W.a₃)))) * ((x₁ - x₂) ^ 2 * (x₁ - x₂))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
x y : E
⊢ edist (k • x) (k • y) = ↑‖k‖₊ * edist x y
α : Type u_1
f : α → ℝ
A : ℝ
x : α
⊢ |ProbabilityTheory.truncation f A x| ≤ |f x|
z : ↑(Metric.closedBall 0 1)
w : Complex.UnitDisc
⊢ ↑(z • w) = ↑z * ↑w
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
newLast : α
rel : r p.last newLast
x : α
⊢ x ∈ p.snoc newLast rel ↔ x ∈ p ∨ x = newLast
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
⊢ MeasureTheory.Integrable (↑↑(MeasureTheory.condexpL1 hm μ f)) μ
m n : ℤ
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n