ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
⊢ p.ball 0 (‖k‖ * r) ⊆ k • p.ball 0 r
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f ⊤ μ
hmeas : StronglyMeasurable f
⊢ ∃ M, eLpNormEssSup ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ = 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
R : Type u_6
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
c : R
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => c • f y) x
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : ι → Set X
hs : IsCompact s
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hUf : ∀ (x : X), {i | (f i ∩ U x).Nonempty}.Finite
t : Finset X
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
⊢ {i | (f i ∩ s).Nonempty} ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, {i_1 | (f i_1 ∩ U i).Nonempty}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : F → β
g : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x : E
hx : x ∈ ⇑g ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑g ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (g (a • x + b • y)) = f (a • g x + b • g y)
R : Type u_3
CommRing R
self : Ideal.IsJacobson R
I : Ideal R
⊢ I.IsRadical → I.jacobson = I
α : Type u_1
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
o : Ordinal.{u_5}
H : Ordinal.IsNormal f
p : Set α
p0 : p.Nonempty
g : α → Ordinal.{u_4}
b : Ordinal.{u_4}
H₂ : ∀ (o : Ordinal.{u_4}), b ≤ o ↔ ∀ a ∈ p, g a ≤ o
⊢ f b ≤ o ↔ ∀ a ∈ p, f (g a) ≤ o
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_15
Norm E
NormedDivisionRing 𝕜
f : α → E
l : Filter α
g : α → 𝕜
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ (f =o[l] fun x => c * g x) ↔ f =o[l] g
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
⊢ ∀ ε > 0, ∃ k, dist x ↑k < ε
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MulOneClass α
MulOneClass β
FunLike F α β
MulHomClass F α β
m : F
f g : Filter β
⊢ Filter.comap (⇑m) f * Filter.comap (⇑m) g ≤ Filter.comap (⇑m) (f * g)
C : Type w
CategoryTheory.Category.{v, w} C
X Y : LightCondensed C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (S : LightProfiniteᵒᵖ), f.val.app S = g.val.app S
⊢ f = g
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.cos (InnerProductGeometry.angle x (x + y)) = ‖x‖ / ‖x + y‖
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ 3 * (P 1 ^ 2 * P 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 * P 2 + W.a₃ * P 1 * P 2 ^ 2 - (P 0 ^ 3 + W.a₂ * P 0 ^ 2 * P 2 + W.a₄ * P 0 * P 2 ^ 2 + W.a₆ * P 2 ^ 3)) = P 0 * (W.a₁ * P 1 * P 2 - (3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2)) + P 1 * (2 * P 1 * P 2 + W.a₁ * P 0 * P 2 + W.a₃ * P 2 ^ 2) + P 2 * (P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 - (W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2))
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
p : α → Prop
F : Fintype (Subtype p)
s : Finset α
h : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ p x
f : α → β
⊢ ∑ a ∈ s, f a = ∑ a : Subtype p, f ↑a
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ ⨅ s ∈ {s | False ∈ s ∧ s ∈ {{True}}}, 𝓟 s = ⊤
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
l✝ : E →L[𝕜] 𝕜
A B C : Set E
X : Finset E
x : E
h : IsExposed 𝕜 A {x}
l : E →L[𝕜] 𝕜
hl : x ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} ∧ ∀ x_1 ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}, x_1 = x
⊢ x ∈ exposedPoints 𝕜 A
p q : ℕ
hp0 : ¬p = 0
⊢ ((Ico 1 (p / 2).succ).sigma fun a => filter (fun x => x * p ≤ a * q) (Ico 1 (q / 2).succ)).card = (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasCoproduct f
inst✝ : HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
⊢ ι f (ε b) ≫ (reindex ε f).inv = ι (f ∘ ⇑ε) b
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ Q (-x) = Q x
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
f : M → M'
s : Set M
⊢ ContMDiffOn (I.transDiffeomorph e) I' n f s ↔ ContMDiffOn I I' n f s
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
TopologicalSpace β
OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
⊢ TopologicalSpace.induced f inst✝ ≤ Preorder.topology α
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
self : ClosedIciTopology α
a : α
⊢ IsClosed (Set.Ici a)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.9011, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝¹ : HasWeakSheafify J D
inst✝ : J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X'✝ X✝ : Sheaf J E
Y✝ : Sheaf J D
f : X'✝ ⟶ X✝
g : X✝ ⟶ (sheafCompose J F).obj Y✝
⊢ sheafifyLift J (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X'✝.val Y✝.val).symm (f.val ≫ g.val)) ⋯ = sheafifyLift J (whiskerRight f.val G ≫ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val).symm g.val) ⋯
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I J : Ideal S
⊢ Ideal.map f (Ideal.comap f I ⊔ Ideal.comap f J) = I ⊔ J
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
l₁ l₂ : List α
⊢ ↑(l₁.diff l₂) = foldl erase ⋯ ↑l₁ ↑l₂
K : Type u
V : Type v
V' V'₁ : Type v'
Ring K
AddCommGroup V
Module K V
AddCommGroup V'
Module K V'
AddCommGroup V'₁
Module K V'₁
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V'₁
⊢ (f ∘ₗ g).rank ≤ g.rank
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S T : Ideal R
⊢ a • S ≤ T ↔ S ≤ a⁻¹ • T
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h_left : IntegrableOn f (Iio b) μ
h_right : IntegrableOn f (Ici b) μ
⊢ μ = μ.restrict (Iio b ∪ Ici b)
α : Type u_1
n m : ℕ
s : Sym α n
h : n = m
⊢ ↑((Sym.cast h) s) = ↑s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ ∀ {X_1 Y : Cᵒᵖ} (f : X_1 ⟶ Y) (g : Opposite.unop X_1 ⟶ X),
  (CategoryTheory.yoneda.obj X).map f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.unop g
x : ℝ*
hni : ¬x.Infinite
⊢ x.IsSt (sSup {y | ↑y < x})
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
f : MeasureTheory.Filtration ℕ m
τ π : Ω → ℕ
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
hπ : MeasureTheory.IsStoppingTime f π
⊢ MeasureTheory.IsStoppingTime f (τ + π)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
J : Type w
F : J → C
inst✝¹ : HasProduct F
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor F) (forget C)
x : (j : J) → (forget C).obj (F j)
j : J
⊢ (Pi.π F j) ((productEquiv F).symm x) = x j
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
s : Set α
x : α
hf : f.IsCycleOn s
⊢ f x ∈ s ↔ x ∈ s
ι : Type u_1
Fintype ι
Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
⊢ MeasureTheory.volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) < r} =
  ENNReal.ofReal r ^ (2 * Fintype.card ι) *
    ENNReal.ofReal ((Real.pi * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ Fintype.card ι / Real.Gamma (2 * ↑(Fintype.card ι) / p + 1))
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
⊢ Cardinal.lift.{w, v} (Module.rank F E) * Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree E K) = Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree F K)
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : ι
H : IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
⊢ sup (f i ∘ List.foldr f a) = sup (List.foldr f a)
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
⊢ J.jacobson = J
M : Type u_4
N : Type u_5
One M
One N
f : OneHom M N
⊢ f 1 = 1
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : ↑s → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) 0 (↑UV).1
hfε : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) (fun x => ε UV) (↑UV).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 (ε UV)
hf01 : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 1
F : X → ↑s →ᵇ ℝ := fun x => { toFun := fun UV => (f UV) x, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
hF : ∀ (x : X) (UV : ↑s), (F x) UV = (f UV) x
⊢ ∃ f, Inducing f
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ s ∈ Filter.coclosedCompact X ↔ ∃ t, IsClosed t ∧ IsCompact t ∧ sᶜ ⊆ t
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.Regular
s : Set G
hs : IsOpen s
hμ : NeZero μ
⊢ μ s = 0 ↔ s = ∅ ∨ μ = 0
o : Ordinal.{u_1}
H : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
h : a < ω
n : ℕ
e : a = ↑n
⊢ a < o
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
⊢ IsLocallyInjective f ↔ IsOpen (Function.pullbackDiagonal f)
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
⊢ M.Base B ↔ M.Indep B ∧ M.closure B = M.E
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
⊢ (Fin.init fun k => q k) = fun k => q k.castSucc
α : Type u_2
g : Set (Set α)
⊢ IsGreatest {f | CountableInterFilter f ∧ g ⊆ f.sets} (Filter.countableGenerate g)
α : Sort u_1
a c b : α
hab : a ≠ c
hbc : a = b
⊢ b ≠ c
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
⊢ G.edist u v = 0 ↔ u = v
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E
absorbs : Absorbent ℝ s
hgauge : gauge s x < 1
⊢ ∃ y ∈ s, x ∈ openSegment ℝ 0 y
θ : ℂ
n : ℤ
⊢ Polynomial.eval (Complex.cos θ) (Polynomial.Chebyshev.T ℂ n) = Complex.cos (↑n * θ)
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
h : c ≤ b
h2 : a - c < b - c
⊢ a < b
r : ℝ
h : |r| < 1
⊢ Summable fun n => r ^ n
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁹ : AddCommGroup V2
inst✝⁸ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁷ : AddCommGroup V3
inst✝⁶ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁵ : Module k V1
inst✝⁴ : Module k V2
inst✝³ : Module k V3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Module R V2
inst✝ : SMulCommClass k R V2
v : V2
f : V1 →ₗ[k] V2
⊢ { toFun := fun f => (f 0, f.linear), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun p => p.2.toAffineMap + const k V1 p.1) (v, f)) = (v, f)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
a_ne_top : a ≠ ⊤
x : ℝ≥0∞
⊢ (a, x) ∈ {p | p ≠ (⊤, ⊤)}
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
∀ (i : ι), CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
i : ι
⊢ CategoryTheory.Limits.biprod.inl.f i ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd.f i = 0
R : Type u_1
Semiring R
e : R
⊢ IsIdempotentElem (LinearMap.toSpanSingleton R R e) ↔ IsIdempotentElem e
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x y : E
⊢ Metric.closedBall x δ + {y} = Metric.closedBall (x + y) δ
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Z → X
z : Z
e : Trivialization F proj
he : proj z ∈ e.baseSet
hf : ContinuousAt (f ∘ ↑e.symm) (↑e z)
⊢ ContinuousAt f z
R : Type u
CommRing R
b c d : R
⊢ preNormEDS' b c d 3 = c
α : Type u
PartialOrder α
a b : α
⊢ a ≤ b → a ≠ b → a < b
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).IsRoot ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a)
⊢ ZMod.unitOfCoprime a ⋯ ^ n = 1
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
ContinuousMul G
U : Set G
h : IsOpen U
x : G
⊢ IsOpen (MulOpposite.op x • U)
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
⊢ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime} ≤ sInf I.minimalPrimes
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ
aux : ∀ (n : ℤ), 0 < ↑p ^ n
⊢ ‖x‖ ≤ ↑p ^ n ↔ ‖x‖ < ↑p ^ (n + 1)
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
h : cfcₙ f a = cfcₙ g a
ha : p a := by cfc_tac
hf : ContinuousOn f (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hf0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac
hg : ContinuousOn g (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hg0 : g 0 = 0 := by cfc_zero_tac
⊢ Set.EqOn f g (σₙ R a)
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
h : -1 = 1
⊢ ringChar R = 2
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α
⊢ aᶜ ≤ a ⇨ b
α : Type u_1
HeytingAlgebra α
a b : Heyting.Regular α
⊢ ↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
sq sq₁ sq₂ : Square C
h : sq₁.IsPullback
e : sq₁ ≅ sq₂
⊢ sq₁.f₂₄ ≫ (evaluation₄.mapIso e).hom = (evaluation₂.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₂₄
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f : G → E
s : Set G
hf : DifferentiableOn ℝ f s
h0 : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ DifferentiableOn ℝ (fun y => ‖f y‖) s
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ f.fpowerSeries x 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm f
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
ha₂ : ∀ (x : ℝ), -x ∈ σ ℝ a → 0 ≤ x
⊢ ∀ y ∈ σ ℝ a, y = 0
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hs : Convex ℝ ∅
h : intrinsicInterior ℝ ∅ ≠ ∅
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
⊢ CochainComplex.HomComplex.Cochain.rightUnshift 0 n hn' = 0
V : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MeasurableSpace V
BorelSpace V
FiniteDimensional ℝ V
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : V → E
hf : MeasureTheory.Integrable f MeasureTheory.volume
⊢ Filter.Tendsto (fun c => ∫ (v : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖v‖ ^ 2) • f v) Filter.atTop (𝓝 (∫ (v : V), f v))
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
FirstCountableTopology α
OrderTopology α
f : Filter β
CountableInterFilter f
u : β → α
⊢ Filter.limsup u f = ⊥ ↔ u =ᶠ[f] ⊥
R : Type u
Ring R
s : Subring R
x : R
hx : x ∈ s
n : ℤ
⊢ n • x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Mul α
a b : α
⊢ some a * some b = some (a * b)
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a b : M₀
h : Commute a b
hab : ¬IsUnit (a * b)
⊢ inverse (a * b) = inverse b * inverse a
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q✝ : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
β : Type u_1
q : Fin (n + 2) → β
i : Fin n
⊢ tail (init q) i = init (tail q) i
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
h_eq : ∫⁻ (x : α) in t, ↑‖↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α) in t, s.indicator (fun x => 1) x ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : α) in t, ↑‖↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x‖₊ ∂μ = μ (s ∩ t)
R : Type u
σ : Type u_1
a : R
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.C a * p = a • p
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
⊢ ContDiff 𝕜 n fun p => p.1 + p.2
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt ℝ n f s x
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => Real.sinh (f x)) s x
R : Type u₁
inst✝¹ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ
⊢ (coeff R p (n + 1)) (f ^ p) = (coeff R p n) f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
n : ℕ
x : Fin n → 𝔸
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, (List.map x (List.take (↑i) (List.finRange n))).prod • (proj ((List.finRange n).get i)).smulRight (List.map x (List.drop (↑i).succ (List.finRange n))).prod = (List.map x (List.take (↑((finCongr ⋯) i)) (List.finRange n))).prod • (proj ((finCongr ⋯) i)).smulRight (List.map x (List.drop (↑((finCongr ⋯) i)).succ (List.finRange n))).prod
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
⊢ Q 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
a b : β
⊢ ⇑e ⁻¹' Set.Ioc a b = Set.Ioc (e.symm a) (e.symm b)
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∑' (i : α), f i = 0 ↔ ∀ (i : α), f i = 0
V : Type u_1
W : Type u_2
f : V ≃ W
G : SimpleGraph V
w : W
⊢ (SimpleGraph.Iso.map f G).symm w = f.symm w
m : Nat
n : Nat
h : 0 < m
⊢ n ≤ n * m
α : Type u
Add α
a b c : WithBot α
IsRightCancelAdd α
ha : a ≠ ⊥
⊢ b + a = c + a ↔ b = c
α : Type u_1
MulOneClass α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : a * b ≤ c
hle : 1 ≤ b
⊢ a ≤ c
f : ℕ → ℕ
hf : Nat.Primrec f
⊢ Partrec ↑f
α : Type u_1
t : TopologicalSpace α
⊢ TopologicalSpace.coinduced id t = t
n : ℕ
⊢ List.finRange n.succ = 0 :: List.map Fin.succ (List.finRange n)
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α
hom : Type u_3
UniformSpace β
Group β
UniformGroup β
FunLike hom α β
MonoidHomClass hom α β
f : hom
h : Continuous ⇑f
⊢ UniformContinuous ⇑f
a q m : ℤ
b' r : ℕ
hm : q * ↑b' = m
h : ↑r + m = a
h₂ : r < b'
⊢ a / ↑b' = ↑q
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hg : S.g = 0
inst✝ : S.HasHomology
⊢ IsIso S.homologyι
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ f : α →. β
s : Set β
⊢ f.core s = f.preimage s ∪ f.Domᶜ
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α
⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' Set.Icc b c = Set.Icc (b + a) (c + a)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} D
E : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} E
X Y : E
f : Sum.inr X ⟶ Sum.inr Y
⊢ (CategoryTheory.sum.associator C D E).map f = f
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s ∪ t + s ∩ t = s + t
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
hm₁ : m₁ ∈ 𝕎(M₁, χ₁, x)
m₂ : M₂
hm₂ : m₂ ∈ 𝕎(M₂, χ₂, x)
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
⊢ ∃ k, (F ^ k) (↑g (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) = 0
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝² : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
g : G
hg : g ∈ P
k : ℕ
g₀ : G
h : g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ ∈ P
this : (↑P).IsCommutative
⊢ g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ = g ^ k
x y : ℂ
⊢ Complex.cos x - Complex.cos y = -2 * Complex.sin ((x + y) / 2) * Complex.sin ((x - y) / 2)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f 0 = 𝟙 (K[X].X 0)
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∃ v ∈ atTop, ∀ y ∈ v, HasDerivAt f (f' y) y
hgg' : ∃ v ∈ atTop, ∀ y ∈ v, HasDerivAt g (g' y) y
hg' : ∃ v ∈ atTop, ∀ y ∈ v, g' y ≠ 0
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atTop l
⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atTop l
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (Function.swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
⊢ BddBelow s → BddBelow t → BddBelow (Set.image2 f s t)
M : Type u_1
Mul M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
α : Type u_2
f g : α → M
hf : BddBelow (Set.range f)
hg : BddBelow (Set.range g)
⊢ BddBelow (Set.range fun x => f x * g x)
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.nfp f = Ordinal.nfpFamily fun x => f
α : Type u_1
ι : Type u_2
SemilatticeSup ι
p : ι → Set (Set α)
hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)
hp_mono : Monotone p
⊢ IsPiSystem (⋃ n, p n)
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
⊢ (LocalizedModule.lift S g h ∘ₗ ↑(iso S f).symm) ∘ₗ f = g
a s n step : Nat
⊢ List.map (fun x => a + x) (List.range' s n step) = List.range' (a + s) n step
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : r ≤ 0
⊢ clog b r = 0
M : Type u_1
MulOneClass M
a b : M
h : 1 * a = b
⊢ a = b