ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
⊢ ∀ (x y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
⊢ s.circumcenter =
  (Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.pointsWithCircumcenter)
    (Affine.Simplex.circumcenterWeightsWithCircumcenter n)
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ IsMeagre ∅
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
NormedField 𝕜
NormedField 𝕜'
l : Filter α
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜' F'
f₁ : α → 𝕜
f₂ : α → 𝕜'
g₁ : α → E'
g₂ : α → F'
hf : f₁ =Θ[l] f₂
hg : g₁ =Θ[l] g₂
⊢ (fun x => f₁ x • g₁ x) =Θ[l] fun x => f₂ x • g₂ x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
x : ℂ
this : 1 < 2
⊢ ∀ (a : ℂ), ‖a‖ < 1 → ‖cexp (x + a) - cexp x - a • cexp x‖ ≤ ‖cexp x‖ * ‖a‖ ^ 2
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryProduct G H
h : IsCoseparator (G ⨯ H)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G_1 ∈ {G, H}, ∀ (h : Y ⟶ G_1), u ≫ h = v ≫ h
⊢ u = v
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
hK : IsPGroup p ↥K
⊢ IsPGroup p ↥(H ⊓ K)
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle x (x + y)).sin * ‖x + y‖ = ‖y‖
m n : ℕ
⊢ Multiset.range m ≤ Multiset.range n ↔ m ≤ n
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
SeminormedRing 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
(i : ι) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
x : PiLp p β
i : ι
⊢ (c • x) i = c • x i
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
X : C
⊢ yonedaEquiv (presheafHom φ (yoneda.obj X)) = (φ.app X).app (F.op.obj (Opposite.op X)) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op X))))
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D
A : Type u_5
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift D A
a : A
F G : CategoryTheory.SingleFunctors C D A
φ : F ⟶ G
⊢ (CategoryTheory.SingleFunctors.evaluation C D a).map φ = φ.hom a
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
Add β
x y : α
⊢ x + y = e.symm (e x + e y)
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
⊢ Ideal.span (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) ≤ ideal R S
R : Type u
a : R
n : ℕ
Semiring R
⊢ ↑n ≤ ((Polynomial.monomial n) a).trailingDegree
z : Int
⊢ z.sign.natAbs = if z = 0 then 0 else 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f : Perm α
⊢ f.cycleFactorsFinset = {f} ↔ f.IsCycle
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: (MvQPF.Cofix F α ⊕ β))
x : β
⊢ (MvQPF.Cofix.corec' g x).dest = (TypeVec.id ::: Sum.elim id (MvQPF.Cofix.corec' g)) <$$> g x
α : Type u_2
β : Type u_3
Monoid α
AddGroup β
DistribMulAction α β
a : α
t : Set β
⊢ a • -t = -(a • t)
K✝ : Type u
V : Type v
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F K
x : K
H : x ≠ 0
⊢ ∃ y, x * y = 1
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p q : Submodule R M
hpq : p ≤ q
x : ↥(Submodule.comap q.subtype p)
⊢ ↑((Submodule.comapSubtypeEquivOfLe hpq) x) = ↑↑x
V : Type v
inst✝⁴ : Category.{w, v} V
inst✝³ : MonoidalCategory V
C : Type u₁
inst✝² : EnrichedCategory V C
D : Type u₂
inst✝¹ : EnrichedCategory V D
inst✝ : BraidedCategory V
F G : EnrichedFunctor V C D
X✝ Y✝ : Vᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
σ : (fun A => GradedNatTrans ((Center.ofBraided V).obj (unop A)) F G) X✝
X Y : C
p : (β_ (unop X✝) (EnrichedCategory.Hom X Y)).hom ≫ (F.map X Y ⊗ σ.app Y) ≫ eComp V (F.obj X) (F.obj Y) (G.obj Y) = (σ.app X ⊗ G.map X Y) ≫ eComp V (F.obj X) (G.obj X) (G.obj Y)
⊢ (β_ (unop Y✝) (EnrichedCategory.Hom X Y)).hom ≫ (F.map X Y ⊗ f.unop ≫ σ.app Y) ≫ eComp V (F.obj X) (F.obj Y) (G.obj Y) = (f.unop ≫ σ.app X ⊗ G.map X Y) ≫ eComp V (F.obj X) (G.obj X) (G.obj Y)
G : Type u_1
AddGroup G
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
BorelSpace G
PolishSpace G
Γ : AddSubgroup G
Countable ↥Γ
Γ.Normal
T2Space (G ⧸ Γ)
SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : MeasureTheory.Measure (G ⧸ Γ)
ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite ν
ν.IsAddHaarMeasure
ν.IsAddRightInvariant
𝓕 : Set G
h𝓕 : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
μ.IsAddLeftInvariant
MeasureTheory.SigmaFinite μ
V : Set (G ⧸ Γ)
hV : (interior V).Nonempty
meas_V : MeasurableSet V
hμK : μ V = ν (QuotientAddGroup.mk ⁻¹' V ∩ 𝓕)
neTopV : μ V ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
α : Type u_1
M : Matroid α
E : Set α
⊢ M = Matroid.freeOn E ↔ M.E = E ∧ M.Indep E
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝¹ : AddCommGroup P
g : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
injective : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(g i)
h✝ : Nonempty ι
⊢ Function.Injective ⇑(lift G f P g Hg)
α : Type u
l : List α
n : ℕ
⊢ (l.rotate' n).length = l.length
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
b c : α
⊢ ∃! m, b + m • a ∈ Set.Ico c (c + a)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a < b
⊢ insert a (Ioo a b) = Ico a b
k m : ℕ
x✝ : m ∈ range (k + 1)
⊢ (monomial (k - m)) (_root_.bernoulli m * ↑((k + 1).choose m) * ↑(k + 1 - m)) = (↑k + 1) * (monomial (k - m)) (_root_.bernoulli m * ↑(k.choose m))
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
⊢ comp Q₁ ↑(TensorProduct.rid R M₁) = Q₁.tmul QuadraticMap.sq
R : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ∃ x, ¬(x * x ∣ 0 → IsUnit x)
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
DecidableEq α
f : γ → α
g : α → Set β
s : Finset γ
⊢ ⋂ x ∈ Finset.image f s, g x = ⋂ y ∈ s, g (f y)
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
K : Compacts G
h1K : ↑K ⊆ ↑U
h2K : μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
⊢ ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ μ.outerMeasure ↑K + ↑ε
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ 0 ⊂ s ↔ s ≠ 0
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
r s : R
⊢ Submodule.span R {r} * Submodule.span R {s} = Submodule.span R {r * s}
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : BorelSpace β✝
β : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : BorelSpace β
μ : Measure α
g : α → β
hf : ∀ ε > 0, ∃ f, AEMeasurable f μ ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, dist (f x) (g x) ≤ ε
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
f : ℕ → α → β
Hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, dist (f n x) (g x) ≤ u n
⊢ AEMeasurable g μ
α : Type u_2
DistribLattice α
s : Set α
⊢ supClosure (infClosure s) = latticeClosure s
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
Nontrivial R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Finite R M
Module.Free R M
IsDomain R
h : ↑(FiniteDimensional.finrank R M) ≤ Cardinal.mk R
⊢ ∃ x, LieModule.IsRegular R M x
R₃ : Type u_7
CommRing R₃
n : Type u_11
Fintype n
J J₃ A : Matrix n n R₃
DecidableEq n
⊢ A ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₃ ↔ J.IsAdjointPair J₃ A A
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ oddKernel a x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel a (1 / x)
m n : Num
⊢ ↑m < ↑n ↔ m < n
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
Neg β
x : α
⊢ -x = e.symm (-e x)
n : ℕ
⊢ 2 * ((2 * n + 1).choose n * (2 * n + 1 - n)) = 2 * ((2 * n).choose n * (2 * n + 1))
ι : Sort u_1
M : Type u_2
Add M
S : ι → AddSubsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
DenselyOrdered α
a b : α
h : ∀ (ε : α), 1 < ε → a / ε ≤ b
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
a b c : α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : IsModularLattice α
h : Disjoint b c
hsup : Disjoint a (b ⊔ c)
⊢ Disjoint c (b ⊔ a)
B : Type u₁
Quiver B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : B ⥤q C
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.FreeBicategory B} (a : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.FreeBicategory.lift F).map a = CategoryTheory.FreeBicategory.liftHom F a
obj : Type u
self : CategoryTheory.Category.{v, u} obj
X Y : obj
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y) = f
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
f : c.pt → lc.pt
he : ∀ (j : J), f ∘ c.ι.app j = lc.ι.app j ∘ ULift.up
x : c.pt
⊢ x ∈ descSet hc {f x}
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : s.card = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k ↑(Finset.image p s)) = n
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : CuspForm Γ k
a : ℍ
⊢ CuspForm.coeHom f a = f a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
this : ∀ (a : α), ((Kernel.sum κ.seq) a) (Prod.mk a ⁻¹' t) = ∑' (n : ℕ), ((κ.seq n) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
⊢ Measurable fun a => ∑' (n : ℕ), ((κ.seq n) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
n : ℕ
h₁ : ↑(ofNat s n) ∉ filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s n))
h₂ : filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(succ (ofNat s n))) = insert (↑(ofNat s n)) (filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s n)))
ih : (filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s n))).card = n
⊢ (filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(succ (ofNat s n)))).card = n + 1
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0
h : x = -1 → ¬Even n
hx : x = -1 ∨ x ≠ -1
⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i ≠ 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ ↑s.direction = (fun x => p -ᵥ x) '' ↑s
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
t : ℕ
ht : (image (fun v => G.degree v) univ).min = ↑t
⊢ ∃ v, G.minDegree = G.degree v
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
v : Vector α (n + 1)
⊢ a ∈ v.toList ↔ a = v.head ∨ a ∈ v.tail.toList
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing R
p q : R[X]
hp0 : C (p.coeff 0) ≠ 0
hp : ¬IsUnit (C (p.coeff 0))
h : 0 ≥ p.degree
⊢ False
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
g : G
⊢ (SemidirectProduct.inr g).left = 1
V : outParam (Type u_1)
P : Type u_2
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
self : NormedAddTorsor V P
x y : P
⊢ dist x y = ‖x -ᵥ y‖
A : Type u_2
AddMonoid A
x : A
⊢ AddSubmonoid.closure {x} = AddMonoidHom.mrange ((multiplesHom A) x)
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ addOrderOf ↑(p / ↑n) = n
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
hB : M.Base B
h : B.Infinite
⊢ M.InfiniteRk
X : TopCat
U : Set ↑X
p : IsOpen U
⊢ (TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 X)).obj { carrier := U, is_open' := p } = { carrier := U, is_open' := p }
⊢ default = Ordinal.toLeftMovesToPGame ⟨0, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
DecidableEq α
f : α → β
hf : Function.Injective f
s : Finset α
a : α
⊢ Finset.image f (s.erase a) = (Finset.image f s).erase (f a)
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
S : Finset Λ
ss : TM2.Supports M S
l' : Λ'
h : l' ∈ trSupp M S
⊢ TM1.SupportsStmt (trSupp M S) (tr M l')
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
CommRing A
CommRing B
CommRing C
Algebra A C
Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
⊢ e ((Algebra.trace A C) x) = (Algebra.trace B C) x
η : Type u_7
f : η → Type u_8
(i : η) → Group (f i)
I : Set η
⊢ (Subgroup.pi I fun i => ⊤) = ⊤
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃ[𝕜] P₂
⊢ IsOpenMap ⇑f.linear ↔ IsOpenMap ⇑f
G M : Type
Group G
CommGroup M
MulDistribMulAction G M
f : ↥(groupCohomology.oneCocycles (Rep.ofMulDistribMulAction G M))
⊢ groupCohomology.IsMulOneCocycle (⇑Additive.toMul ∘ ↑f)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
⊢ vanishingIdeal (zeroLocus I) = I.jacobson
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f : α → β
CommMonoid β
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ ∏ x ∈ s₁.disjUnion s₂ h, f x = (∏ x ∈ s₁, f x) * ∏ x ∈ s₂, f x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
S : Set α
a b : α
⊢ (∀ (x : α), (if x = a then b else if x = b then a else x) ∈ S ↔ x ∈ S) ↔ (a ∈ S ↔ b ∈ S)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
this : ∀ (U : (Opens ↑↑(D.U i))ᵒᵖ), (D.f i j).c.app U ≫ (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i j).base).obj (unop U))) = ((D.f i k).c.app U ≫ (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i k).base).obj (unop U)))) ≫ (pullback (D.f i j) (D.f i k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
⊢ (D.V (i, k)).presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (opensFunctor (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).op.map (eqToHom ⋯ ≫ (Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).op.map (eqToHom ⋯)) ≫ eqToHom ⋯) = 𝟙 (((TopCat.Presheaf.pushforward C (D.f i k).base).obj (D.V (i, k)).presheaf).obj (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)))
a b c : Prop
Decidable a
⊢ a ∧ b ∨ (a → c) ↔ a → b ∨ c
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
R : ℝ
A : ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
⊢ μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
s₁ s₂ t : Finset α
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ s₁ ∪ t ⊆ s₂ ∪ t
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
Zero R
One R
a : α
e : Sym2 α
⊢ SimpleGraph.incMatrix R G a e = (G.incidenceSet a).indicator 1 e
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
x✝ : p ∣ a
b : α
hb : a = p * b
hb0 : b ≠ 0
⊢ p * b ~ᵤ p * (normalizedFactors b).prod
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
p : (Step k n)[X]
hfm : p.Monic
hfi : Irreducible (map (ofStep k n) p)
this : Irreducible p
x : Step k (n + 1)
hx : eval₂ (toStepSucc k n) x p = 0
⊢ ∃ x, eval x (map (ofStep k n) p) = 0
α : Sort u_1
Unique α
p : α → Prop
⊢ Exists p ↔ p default
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
⊢ LinearMap.IsOrtho Q.polarBilin x y ↔ Q.IsOrtho x y
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Iio a)
⊢ Subtype.val '' Set.Iic b = Set.Iic ↑b
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v₁ v₂ : Valuation R Γ₀
⊢ v₁ = v₂ ↔ ∀ (r : R), v₁ r = v₂ r
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
S : WSeq (WSeq α)
⊢ map f S.join = (map (map f) S).join
α : Type u_1
G : Type u_9
AddGroup G
a : α
b : G
⊢ Finsupp.single a (-b) = -Finsupp.single a b
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
π : R
mem : π ∈ v.asIdeal
nmem : π ∉ v.asIdeal ^ 2
hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0
⊢ v.intValuationDef π = ↑(ofAdd (-1))
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
i : ι
⊢ ‖⟪↑f i, ↑g i⟫_𝕜‖ ≤ (fun i => ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) i
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.81671
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Finite R M
⊢ (LinearMap.ker LinearMap.id).FG
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
⊢ Real.cos (angle x (x - y)) * ‖x - y‖ = ‖x‖
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hdn : d < n
⊢ n ∉ d.divisors
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
x : G
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
Sub G
f : G → 𝕜
g : G → F
⊢ MeasureTheory.convolution f g (ContinuousLinearMap.lsmul 𝕜 𝕜) μ x = ∫ (t : G), f t • g (x - t) ∂μ
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
γ : Sort u_3
I : γ → HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑(⨆ i, I i) = ⋂ i, ProjectiveSpectrum.zeroLocus 𝒜 ↑(I i)
m : Type u → Type v
Monad m
self : LawfulMonad m
α β : Type u
x : α
f : α → m β
⊢ pure x >>= f = f x
M : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
VAdd M α
MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M α μ
MeasurableVAdd M α
c : Mᵈᵃᵃ
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ dist (c +ᵥ f) (c +ᵥ g) = dist f g
x y : EReal
h1 : x ≠ ⊥ ∨ y ≠ ⊤
h2 : x ≠ ⊤ ∨ y ≠ ⊥
⊢ -(x + y) = -x - y
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ Polynomial.Chebyshev.U R (n - 1) = 2 * Polynomial.X * Polynomial.Chebyshev.U R n - Polynomial.Chebyshev.U R (n + 1)
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Submonoid α
a₁ b₁ : α
a₂ b₂ : ↥s
⊢ mk a₁ a₂ = mk b₁ b₂ ↔ ↑b₂ * a₁ = ↑a₂ * b₁
d : ℤ
a : Solution₁ d
H : a.y = 0
prop : a.x = 1 ∨ a.x = -1
⊢ a = 1 ∨ a = -1
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
AlgebraicGeometry.HasRingHomProperty P Q
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
⊢ P f
α : Type u_1
Rₐ : α → α → Prop
IsRefl α Rₐ
l : List α
⊢ List.SublistForall₂ Rₐ l.tail l
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
a : CliffordAlgebra Q
⊢ CliffordAlgebra.involuteEquiv a = CliffordAlgebra.involute a
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : ↥A
⊢ of ↑a * t⁻¹ = t⁻¹ * of ↑(φ a)
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Add R
inst✝ : BoundedAdd R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
⊢ ∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f + g) x) ((f + g) y) ≤ C
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
i : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Reflective i
A : C
B B' : C
h : B ⟶ B'
hB : B ∈ i.essImage
hB' : B' ∈ i.essImage
f : i.obj ((CategoryTheory.reflector i).obj A) ⟶ B
⊢ (CategoryTheory.unitCompPartialBijective A hB').symm (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.unitCompPartialBijective A hB).symm f) h
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
⊢ hausdorffEdist s (closure t) = hausdorffEdist s t
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set ℝ
ht : MeasurableSet t
⊢ ∀ t ∈ range Iic, ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) t ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ t)
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : Type u_3
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F E ∨ Algebra.IsAlgebraic F ↥L
⊢ (IntermediateField.adjoin E ↑L).toSubalgebra = Algebra.adjoin E ↑L
α : Type u_4
β : Type u_5
AddMonoid α
AddMonoid β
a : α
b : β
⊢ addOrderOf (a, b) = (addOrderOf a).lcm (addOrderOf b)
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
α' : Type u_1
σ' : Type u_2
f : α' → α
g : σ ≃ σ'
⊢ DFA.comap f ((DFA.reindex g) M) = (DFA.reindex g) (DFA.comap f M)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t : Triangle ℝ P
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
⊢ ∃ r, ∀ (t : Triangle ℝ P), Set.range t.points ⊆ s → Simplex.circumradius t = r
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrable f μ
⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ ⋃ n, u n = univ ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ
L : FirstOrder.Language
α : Type w'
_n : ℕ
val : L.Functions _n
⊢ (L.lhomWithConstants α).onFunction val = Sum.inl val
X : Type u_3
Y : ?m.22013
A✝ : Type ?u.22022
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace A✝
E : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace A
p : E → X
sep : IsSeparatedMap p
inj : IsLocallyInjective p
s : Set A
hs : IsPreconnected s
g g₁ g₂ : A → E
h₁ : Continuous (s.restrict g₁)
h₂ : Continuous (s.restrict g₂)
he : s.restrict (p ∘ g₁) = s.restrict (p ∘ g₂)
a : A
has : a ∈ s
ha : g₁ a = g₂ a
⊢ s.restrict g₁ = s.restrict g₂
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
y : L
⊢ y ∈ S → ∀ {x : K}, x • y ∈ S
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δseq : ℕ → ℝ
δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n
δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)
E : Set α
key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x))
x : α
⊢ Tendsto (fun i => (thickenedIndicator ⋯ E) x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x))
α : Type u
TopologicalSpace α
β : Type v
TopologicalSpace β
T2Space β
CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
a b : α
h : preStoneCechUnit a = preStoneCechUnit b
⊢ g a = g b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I
⊢ (if ↑t ≤ 1 / 2 then γ.extend (2 * ↑t) else γ'.extend (2 * ↑t - 1)) = if h : ↑t ≤ 1 / 2 then γ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩ else γ' ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
n : ℤ
hz₁ : 1 < z.re * z.re + z.im * z.im
⊢ 1 < normSq ↑(T ^ n • z)