ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m n a b c d : ℕ
hmc : m.gcd c = 1
h : a * c ≡ b * c [MOD m]
⊢ c * a ≡ c * b [MOD m]
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
i : ι
b : β i
⊢ (DFinsupp.single i b).support ⊆ {i}
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D
G : CategoryTheory.Functor C D
G.IsCoverDense K
G.IsLocallyFull K
ℱ ℱ' : CategoryTheory.SheafOfTypes K
i : G.op.comp ℱ.val ≅ G.op.comp ℱ'.val
⊢ (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.sheafIso i).inv.val =
  (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.Types.presheafIso i).inv
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
s : Set Ω
⊢ ↑(ν s) = ↑ν s
s b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ Tendsto (fun x => x ^ s / rexp (b * x)) atTop (𝓝 0)
k : Type u
inst✝¹¹ : CommRing k
G : Type u
inst✝¹⁰ : Group G
V : Type v
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module k V
inst✝⁷ : Module (MonoidAlgebra k G) V
inst✝⁶ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
W : Type w
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module k W
inst✝³ : Module (MonoidAlgebra k G) W
inst✝² : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
π : W →ₗ[k] V
i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
h : ∀ (v : V), π (i v) = v
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
v : V
⊢ ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, v = v
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
Y₁ Y₂ Y₃ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
f' : Y₂ ⟶ Y₃
j : CostructuredArrow L Y₁
⊢ colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map (f ≫ f')).obj j) = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map f').obj ((CostructuredArrow.map f).obj j))
α : Type u_1
Bornology α
s : Set α
Preorder α
IsOrderBornology α
hs₀ : BddAbove s
hs₁ : BddBelow s
⊢ Bornology.IsBounded s
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : Monoid G
x : G
n : ℕ
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
hn : n ≠ 0
x✝ : ℕ
a✝² : x✝ ∈ Finset.filter (fun x => x ∣ n) (Finset.range n.succ)
y✝ : ℕ
a✝¹ : y✝ ∈ Finset.filter (fun x => x ∣ n) (Finset.range n.succ)
a✝ : x✝ ≠ y✝
⊢ Disjoint (Finset.filter (fun x => orderOf x = x✝) Finset.univ) (Finset.filter (fun x => orderOf x = y✝) Finset.univ)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
⊢ MeasurableSet (Iio a)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
⊢ Continuous ⇑(ContinuousLinearMapWOT.inducingFn 𝕜 E F)
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : PseudoEMetricSpace X
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : X → X
g l : X → E
hf : LipschitzWith 1 f
hg : UniformContinuous g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0∞
hδ₀ : 0 < δ
hδε : ∀ (x y : X), (x, y) ∈ {p | edist p.1 p.2 ≤ δ} → (g x, g y) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
x y : X
h : edist x y < δ
n : ℕ
⊢ (birkhoffAverage 𝕜 f g n (x, y).1, birkhoffAverage 𝕜 f g n (x, y).2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
V : Type u_18
NormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
f : M → 𝕜
g : M → V
hf : SmoothAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) f x
hg : SmoothAt I 𝓘(𝕜, V) g x
⊢ SmoothAt I 𝓘(𝕜, V) (fun p => f p • g p) x
R : Type u_1
k : Type u_2
α : Type u_3
Ring R
LinearOrderedField k
abv : R → k
IsAbsoluteValue abv
p : Polynomial R
h : 0 < p.degree
l : Filter α
z : α → R
hz : Filter.Tendsto (abv ∘ z) l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => abv (Polynomial.eval (z x) p)) l Filter.atTop
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝔸 : Type u_3
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 d s x
⊢ derivWithin (fun y => c y * d y) s x = derivWithin c s x * d x + c x * derivWithin d s x
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasStrictInitialObjects C
I : C
hI : IsInitial I
A : C
f g : A ⟶ I
this : IsIso f
⊢ f = g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} C'
D : CategoryTheory.GlueData C
F : CategoryTheory.Functor C C'
H : (i j k : D.J) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
i : D.J × D.J
⊢ (D.diagramIso F).app (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.left i) =
  CategoryTheory.Iso.refl ((D.diagram.multispan.comp F).obj (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.left i))
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : CompleteSpace α
hdiam : VanishingDiam A
hanti : ClosureAntitone A
hnonempty : ∀ (l : List β), (A l).Nonempty
x : ℕ → β
u : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n)
umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n)
this : CauchySeq u
y : α
hy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
⊢ ∀ (i : ℕ), y ∈ A (res x i)
ι : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List ι
hl : l ≠ []
f g : ι → M
hlt : ∀ i ∈ l, f i < g i
⊢ (List.map f l).sum < (List.map g l).sum
α : Type u_1
Preorder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + b ≤ a - c + (b + c)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
⊢ MeasureTheory.Measure.map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)) =
  (MeasureTheory.Measure.map f ν).withDensity ((MeasureTheory.Measure.map f μ).rnDeriv (MeasureTheory.Measure.map f ν))
p : ZFSet → ZFSet → Prop
x y a : ZFSet
ax : a ∈ x
b : ZFSet
bY : b ∈ y
pab : p a b
v : ZFSet
⊢ v = a ∨ v = b → v ∈ x ∨ v ∈ y
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
T1Space E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
hsb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
htc : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : Bornology.IsVonNBounded ℝ t
⊢ ⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb) '' interior s = interior t
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hf_top : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_top : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ = ⊤
h1 : ¬p = 1
hp1_lt : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
⊢ (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
AddCommGroup V₁
Module K V₁
AddCommGroup V₂
Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
FiniteDimensional K V₁
⊢ Function.Injective ⇑B.flip ↔ Function.Surjective ⇑B
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
SecondCountableTopology G
K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SigmaFinite μ
μ.IsMulLeftInvariant
⊢ MeasureTheory.Measure.haarMeasure K₀ = μ ↔ μ ↑K₀ = 1
α : Type u_1
f : α → α
x : α
⊢ Function.IsPeriodicPt f 0 x
M : Type u_4
A : Type u_7
AddCommMonoid M
R : Type u_9
LinearOrderedCommRing R
Module R M
LinearOrderedSemiring A
ExistsAddOfLE A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
f : M →ₗ[R] A
hf : LinearMap.ker f = ⊥
⊢ (QuadraticMap.linMulLin f f).PosDef
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasCofilteredLimitsOfSize.{w, w, v, u} C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasProducts C
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
hxy : x ≠ y
⊢ edist x y = edist y x
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
a : α
l : List α
m : Nat
⊢ (modifyNth f n l)[m]? = Option.map (fun a => if n = m then f a else a) l[m]?
X : Type u_1
UniformSpace X
s : Set X
(𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
⊢ IsCompact s
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
CategoryTheory.ConcreteCategory C
CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
F : TopCat.Presheaf C X
x : ↑X
t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.stalk x)
⊢ ∃ U, ∃ (m : x ∈ U), ∃ s, (F.germ ⟨x, m⟩) s = t
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
hf : IsCoveringMap f
A : Type u_3
TopologicalSpace A
s : Set A
hs : IsPreconnected s
g : A → E
cont : ContinuousOn g s
he : ∀ a ∈ s, ∀ a' ∈ s, f (g a) = f (g a')
a a' : A
ha : a ∈ s
ha' : a' ∈ s
⊢ g a = g a'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
⊢ (AEMeasurable f μ ∧ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t) → AEStronglyMeasurable f μ
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Ring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
Module.Flat R ↥M
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
⊢ Module.rank R ↥(M ⊓ N) ≤ 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasCoequalizer f g
h : f = g
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.coequalizer.π f g)
R : Type u
S : Type v
Star R
Star S
x : R × S
⊢ (star x).2 = star x.2
a : ℕ
ha0 : 0 < a
⊢ (↑a)⁻¹.den = a
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
S : MeasurableSpace G
BorelSpace G
⊢ S ≤ μ.outerMeasure.caratheodory
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
⊢ G.dist u v ≠ 0 ↔ u ≠ v ∧ G.Reachable u v
α : Type u
Zero α
⊢ WithTop.untop 0 ⋯ = 0
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBy R M (IsPrincipal.generator ↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))
ι : Type u_4
E : Type u_6
SeminormedCommGroup E
s : Finset ι
f : ι → E
n : ι → ℝ≥0
h : ∀ b ∈ s, ‖f b‖₊ ≤ n b
⊢ ‖∏ b ∈ s, f b‖₊ ≤ ∑ b ∈ s, n b
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : ↥(Ideal R)⁰
⊢ (equiv K) (mk0 I) = (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R K).range) ((FractionalIdeal.mk0 K) I)
α : Type u_1
E : Type u_3
G : Type u_5
F' : Type u_7
Norm E
Norm G
SeminormedAddCommGroup F'
l : Filter α
f : α → E
g : α → F'
k : α → G
h₁ : f =Θ[l] g
h₂ : g =o[l] k
⊢ f =o[l] k
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.support.Nodup
⊢ p.edges.Nodup
R : Type u
n m : ℕ
Semiring R
p q : R[X]
hp : p.natDegree ≤ m
hq : q.natDegree ≤ n
⊢ (p + q).natDegree ≤ max m n
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ interior (closedBall x r) = ball x r
F : Type u_1
K : Type u_2
Field F
Field K
Algebra F K
self : Normal F K
x : K
⊢ Polynomial.Splits (algebraMap F K) (minpoly F x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.cokernel.π S.f) S.cokernelToAbelianCoimage =
  CategoryTheory.Abelian.coimage.π S.g
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), f i ≤ᶠ[ae μ] μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]
i : ℕ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
I : Ideal R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), IsLocalization.coeSubmodule (Localization.AtPrime J) I = ⊥
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
x : R
hx : x ∈ I
⊢ ∃ y ∈ I, (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) y = (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) x
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
hωb : (upperBounds (Set.range fun n => f n ω)).Nonempty
i : ℕ
hi : hωb.some < ↑i
⊢ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsInitSeg 𝒜 r
h𝒜₀ : 𝒜.Nonempty
hs : 𝒜.sup' h𝒜₀ toColex ∈ ofColex ⁻¹' ↑𝒜
⊢ 𝒜 = initSeg (𝒜.sup' h𝒜₀ toColex).ofColex
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
σ : Equiv.Perm α
s : Finset α
f : α → β
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ ↑s
⊢ ∏ x ∈ s, f (σ x) = ∏ x ∈ s, f x
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(φ i)
w : Monoid.CoprodI.Word G
hw : Monoid.PushoutI.Reduced φ w
h : Monoid.PushoutI.ofCoprodI w.prod ∈ (Monoid.PushoutI.base φ).range
⊢ w = Monoid.CoprodI.Word.empty
m n : ℕ
h : m.Coprime n
hmn0 : ¬m * n = 0
this✝¹ : NeZero (m * n)
this✝ : NeZero m
this : NeZero n
⊢ Fintype.card (ZMod (m * n))ˣ = Fintype.card (ZMod m)ˣ * Fintype.card (ZMod n)ˣ
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
CommMonoid α
CommMonoid β
DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanHom 2 (↑A) (↑B) f
hf' : Set.BijOn f ↑A ↑B
⊢ mulRothNumber B ≤ mulRothNumber A
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
CommRing S
IsDomain S
f : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑f
p : Polynomial R
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : Polynomial.eval₂ f s p = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f s p.primPart = 0
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
n : Type w
DecidableEq n
Fintype n
M N : Matrix n n A
⊢ MatrixEquivTensor.invFun R A n (M + N) = MatrixEquivTensor.invFun R A n M + MatrixEquivTensor.invFun R A n N
x : ℝ
⊢ Real.cosh x - Real.sinh x = Real.exp (-x)
α : Type u_1
ι : Type u_2
s : ι → Set α
h : Pairwise (Disjoint on s)
⊢ ⇑(Function.Embedding.sigmaSet h) = fun x => ↑x.snd
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
x : ℕ
⊢ (if a = true then 1 else 0) = 0 ↔ (!a) = true
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a x : α
s t : List α
h : permutations'Aux x s = permutations'Aux x t
⊢ s = t
G : Type u_10
AddGroup G
a : G
⊢ ⇑(Equiv.symm (Equiv.addRight a)) = fun x => x + -a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
s : Finset ι
μ : ι → Measure α
⊢ (sum fun i => μ ↑i) = ∑ i ∈ s, μ i
R : Type u
CommRing R
f g : R[X]
I : Ideal R
⊢ (AdjoinRoot.quotEquivQuotMap f I).symm
    ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f}))
      (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) g)) =
  (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (AdjoinRoot.of f) I)) ((AdjoinRoot.mk f) g)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g
ℱ : Filter X
x : X
hx : ClusterPt x ℱ
hy : ClusterPt (f x) (map f ℱ)
h : MapClusterPt (g (f x)) (map f ℱ) g
⊢ ∃ x_1, (g ∘ f) x_1 = g (f x) ∧ ClusterPt x_1 ℱ
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Field k
CharZero k
AddCommGroup V
Module k V
AddTorsor V P
a b : P
⊢ (AffineMap.homothety a (1 / 2)) b = midpoint k a b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
g' : Z ⟶ W
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g
CategoryTheory.Limits.HasPushout (CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g) g'
CategoryTheory.Limits.HasPushout f (g ≫ g')
⊢ CategoryTheory.Limits.pushout.inr f (g ≫ g') ≫ (CategoryTheory.Limits.pushoutLeftPushoutInrIso f g g').inv =
  CategoryTheory.Limits.pushout.inr (CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g) g'
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
hn : r ≤ Fintype.card V
hG : G.IsTuranMaximal r
h : G.CliqueFree r
⊢ False
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
⊢ (s ○ t).Nonempty → s.Nonempty
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
F : Type u_5
FunLike F M M₂
AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_6
S : Type u_7
DivisionSemiring R
DivisionSemiring S
Module R M
Module S M₂
n : ℕ
x : M
⊢ f ((↑n)⁻¹ • x) = (↑n)⁻¹ • f x
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
n : Nat
h : n < (List.map f l).length
⊢ (List.map f l)[n] = f l[n]
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{?u.82244, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{?u.82248, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.82252, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{?u.82256, u_4} C₄
inst✝² : Category.{?u.82260, u_5} C₁₂
inst✝¹ : Category.{?u.82264, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
inst✝ : ∀ (X₁ : GradedObject I₁ C₁) (X₂ : GradedObject I₂ C₂) (X₃ : GradedObject I₃ C₃), ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
φ✝ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ Y₃ : GradedObject I₃ C₃
φ : X₃ ⟶ Y₃
j : J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) φ j ≫ mapTrifunctorMapMap F p φ✝ (𝟙 X₂) (𝟙 Y₃) j = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p φ✝ (𝟙 X₂) (𝟙 X₃) j ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 Y₁) (𝟙 X₂) φ j
V : Type u_2
Quiver V
V' : Type u_4
σ : V → V'
Quiver.HasInvolutiveReverse V
X Y : V
f : X ⟶ Y
⊢ Quiver.reverse ((Quiver.Push.of σ).map f) = (Quiver.Push.of σ).map (Quiver.reverse f)
α : Type u_1
l : List α
⊢ (↑l).length = l.length
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.66933, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hg : S.g = 0
this✝¹ : S.HasHomology
this✝ : Mono S.fromOpcycles
this : S.pOpcycles = 0
A : C
x₂ : S.X₂ ⟶ A
hx₂ : S.f ≫ x₂ = 0
⊢ x₂ = 0
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
h : 1 < FiniteDimensional.finrank R M
⊢ 1 < Module.rank R M
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
k : Set β := closure (image2 ϕ v s)
hk : IsCompact (k \ n)
j : Set τ → Set β := fun u => (closure (image2 ϕ (u ∩ v) s))ᶜ
hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen (j u)
hj₂ : k \ n ⊆ ⋃ u ∈ f, j u
g : Set (Set τ)
hg₁ : ∀ u ∈ g, u ∈ f
hg₂ : g.Finite
hg₃ : k \ n ⊆ ⋃ i ∈ g, j i
⊢ ∃ u ∈ f, closure (image2 ϕ u s) ⊆ n
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
i : ι
m : M i
w : Word M
h1 : m ≠ 1
h2 : w.fstIdx ≠ some i
⊢ (cons m w h2 h1).prod = of m * w.prod
a b m n✝ p d n : ℕ
h : d ∣ n
hd : d ≠ 0
hn : n ≠ 0
⊢ (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
n : ℕ
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
H : C ⥤ D
F : (SimplexCategory.Truncated n)ᵒᵖ ⥤ C
⊢ ∀ {X Y : (SimplexCategory.Truncated n)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  (((CategoryTheory.SimplicialObject.Truncated.whiskering C D).obj H).obj F).map f = H.map (F.map f)
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
hz : a ≠ 0
⊢ ↑a / 2 < ↑a
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
AddGroup G
LieAddGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
n : ℕ∞
f : M → G
x₀ : M
hf : ContMDiffAt I' I n f x₀
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x => -f x) x₀
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ order 1 = 0
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
⊢ c ^< ℵ₀ = c
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
⊢ Set.range ⇑(pullback.fst g f ≫ g).val.base = Set.range ⇑g.val.base ∩ Set.range ⇑f.val.base
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
⊢ I.den • ↑I = Submodule.map (Algebra.linearMap R P) I.num
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
s : Finset ι
f : Π₀ (i : ι), α i
t✝ : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
t : Π₀ (i : ι), Finset (α i)
ht : t.support ⊆ s
i : ι
h : (i ∈ f.support → i ∈ s) ∧ (i ∈ s → f i ∈ t i)
⊢ f i ∈ t i
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ P.f_modif (1 / x) = (P.ε * ↑(x ^ P.k)) • P.g_modif x
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
h : p.degree = ↑n
⊢ p.natDegree = n
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m✝ : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
m : M
hm : m ≠ 0
⊢ Function.Surjective ⇑(toSpanSingleton R M m)
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
h : CompTriple φ ψ χ
x : M
⊢ ψ (φ x) = χ x
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ IsUnit (IsLocalization.mk' (Localization (Submonoid.powers f)) 1 ⟨↑z.den, ⋯⟩)
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb✝ : limsup v f ≤ b
hb : limsup v f < b
⊢ limsup (u + v) f ≤ a + b
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ μ.withDensity (r • f) = r • μ.withDensity f
a b c : Int
H1 : b ∣ a
H2 : a.div b = c
⊢ a = b * c
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ normSq ((starRingEnd K) z) = normSq z
α : Type u_1
I✝ B X✝ : Set α
P : Set α → Prop
X : Set α
n : ℕ
hP : ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n
I : Set α
hI : P I
hIX : I ⊆ X
hfin : (ncard '' {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Finite
Y : Set α
hY : Y ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hY' : ∀ a' ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, Y.ncard ≤ a'.ncard → Y.ncard = a'.ncard
J : Set α
x✝ : J ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hYJ : Y ⊆ J
hJ : P J
hIJ : I ⊆ J
hJX : J ⊆ X
⊢ J ⊆ Y
a b : ℤ
⊢ a.natAbs = b.natAbs ↔ a * a = b * b