ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FiniteType
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsArtinian R M
h_wf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → lowerCentralSeries R L M n = lowerCentralSeries R L M m
l : ℕ
hl : l ≥ n
m : ℕ
h : m < l
⊢ lowerCentralSeries R L M l ≤ lowerCentralSeries R L M m
p m k : ℕ
hm : m ∈ Set.Ioo (p * k) (p * (k + 1))
⊢ padicValNat p m = 0
n : ℕ
θ : [n + 1] ⟶ [n]
inst✝ : Epi θ
⊢ ∃ i, θ = σ i
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : normalizedFactors I ≤ Multiset.replicate i (normalize P)
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0
⊢ P ^ i ≤ I
⊢ RespectsIso fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R
⊢ ∀ ⦃a a' : Set (PrimeSpectrum R)⦄, a ∈ {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s} → a' ∈ {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s} → (Function.swap (fun x x_1 => x ≤ x_1) a a' ↔ vanishingIdeal a ≤ vanishingIdeal a')
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)
ule : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ (1 / 2) ^ n * (C * ‖y‖)
⊢ ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
d : ℤ
n : ℤ
⊢ (Zsqrtd.ofInt n).re = n
F : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G : Type u_1 → Type u_1
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : CommApplicative G
α β γ : Type u_1
g : α → β
h : β → G γ
x : Multiset α
⊢ traverse h (map g x) = traverse (h ∘ g) x
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
⊢ ‖U‖ ≤ 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hf : OpenEmbedding f
x : X
⊢ ContinuousAt (g ∘ f) x ↔ ContinuousAt g (f x)
𝕜 : Type u_7
ι : Type u_8
E : ι → Type u_9
NormedDivisionRing 𝕜
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
S : Set ((i : ι) → E i)
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 S ↔ ∀ (i : ι), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Function.eval i '' S)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
hconn : G.Connected
u v : V
⊢ ∃ p, p.IsPath ∧ p.length = G.dist u v
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace X
ι : Type u
U : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
this : IsLindelof (⋃ i, U i)
t : Set ι
htc : t.Countable
htu : ⋃ i, U i ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
⊢ ⋃ i ∈ t, U i = ⋃ i, U i
R : Type u_1
LinearOrderedField R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R x y ∧ x ≠ 0
E : Type u_6
SeminormedGroup E
⊢ Filter.Tendsto (fun a => ‖a‖) (𝓝 1) (𝓝 0)
M : Type u_2
CommMonoid M
f : ℕ → M
m n : ℕ
⊢ ∏ k ∈ Finset.Ico m n, f k = ∏ k ∈ Finset.range (n - m), f (m + k)
ι : Type u_1
α : Type u_8
AddCommMonoid α
l : List ι
f g : ι → α
⊢ (List.map (fun i => f i + g i) l).sum = (List.map f l).sum + (List.map g l).sum
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] F
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
⊢ ↑↑(L.compLp f) =ᵐ[μ] fun a => L (↑↑f a)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
e : F ≅ G
hobj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X
happ : ∀ (X : C), e.hom.app X = CategoryTheory.eqToHom ⋯
⊢ F = G
m : Type u_2
α : Type v
NonAssocSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
x : α
v : m → α
⊢ (Matrix.diagonal fun x_1 => x) *ᵥ v = x • v
w : Nat
x y : BitVec w
⊢ x.ult y = !BitVec.carry w x (~~~y) true
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p1 : P
p2 : P
r : ℝ
hp : p1 ∈ s
⊢ (EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) (r • (p2 -ᵥ ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection s) p2)) +ᵥ p1) =
  ⟨p1, hp⟩
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ x y : List α
⊢ x ++ y = x ↔ y = []
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ o.oangle (r • x) y = o.oangle (-x) y
G : Type u_3
AddGroup G
a b c : G
h : a = c + -b
⊢ a + b = c
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
i : α
⊢ ∑' (x : α), f x = f i + ∑' (x : α), if x = i then 0 else f x
G : Type u_7
AddGroup G
L : List G
i : ℕ
p : i < L.length
⊢ (List.drop (i + 1) L).sum = -L.get ⟨i, p⟩ + (List.drop i L).sum
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
n : ℕ
F : L.Functions n
x : Fin n → FirstOrder.Language.Structure.Sigma f
i j : ι
hi : i ∈ upperBounds (Set.range (Sigma.fst ∘ x))
hj : j ∈ upperBounds (Set.range (Sigma.fst ∘ x))
⊢ FirstOrder.Language.Structure.Sigma.mk f i
    (FirstOrder.Language.Structure.funMap F (FirstOrder.Language.DirectLimit.unify f x i hi)) ≈
  FirstOrder.Language.Structure.Sigma.mk f j
    (FirstOrder.Language.Structure.funMap F (FirstOrder.Language.DirectLimit.unify f x j hj))
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
m : ℤ
b : Bool
n : ℤ
⊢ bitwise f (bit a m) (bit b n) = bit (f a b) (bitwise f m n)
R : Type u_1
Ring R
⊢ Polynomial.cyclotomic 3 R = Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.X + 1
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ (o.areaForm x) y = -(o.areaForm y) x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
hf : LipschitzWith K f
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
⊢ edist (f x) (f y) ≤ ↑K * diam s
x y : ℂ
⊢ Complex.abs (Complex.exp x) = Complex.abs (Complex.exp y) ↔ x.re = y.re
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : RCLike 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
hf_ae : ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᶠ[ae μ] ⇑f
hg_ae : ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) =ᶠ[ae μ] ⇑g
a✝ : α
hf : ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a✝ = f a✝
hg : ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a✝ = g a✝
⊢ ⟪↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a✝, ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a✝⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) (f a✝) * g a✝
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.inits.length = l.length + 1
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'
hμ : NeZero μ
⊢ μ[f|⊥] =ᶠ[ae μ] fun x => (μ Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{?u.82244, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{?u.82248, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.82252, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{?u.82256, u_4} C₄
inst✝² : Category.{?u.82260, u_5} C₁₂
inst✝¹ : Category.{?u.82264, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
inst✝ : ∀ (X₁ : GradedObject I₁ C₁) (X₂ : GradedObject I₂ C₂) (X₃ : GradedObject I₃ C₃), ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
ψ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
j : J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) ψ (𝟙 X₃) j ≫ mapTrifunctorMapMap F p φ (𝟙 Y₂) (𝟙 X₃) j = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p φ (𝟙 X₂) (𝟙 X₃) j ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 Y₁) ψ (𝟙 X₃) j
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
D : Type uD
CategoryTheory.Category.{uD', uD} D
F₁ F₂ : CategoryTheory.Functor W.Localization D
τ : W.Q.comp F₁ ⟶ W.Q.comp F₂
X : C
⊢ CategoryTheory.Localization.Construction.NatTransExtension.app τ (W.Q.obj X) = τ.app X
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
e : X ≅ Y
y : ↑Y.toTopCat
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap e.hom (e.inv.val.base y) ≫
    AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap e.inv y =
  Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : 0 < a
⊢ sign a ≤ 0 ↔ a ≤ 0
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Add α
s : ι → Set α
t : Set α
⊢ (⋃ i, s i) + t = ⋃ i, s i + t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
hx_w : α
hx_h_left : ¬s hx_w = 0
⊢ hx_w ∈ ↑s.support
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
h : Tendsto (fun x => eval x P) atTop atTop
⊢ 0 < P.degree ∧ 0 ≤ P.leadingCoeff
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
x : α
hs : IsGLB s x
hne : s.Nonempty
hx : ¬Order.IsPredLimit x
⊢ x ∈ s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
T : s.tail.head.Terminates
a : Option (α × WSeq α)
h : a ∈ (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) <$> s.destruct >>= destruct
s' : WSeq α
h1 : s' ∈ (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) <$> s.destruct
right✝ : a ∈ s'.destruct
⊢ s.destruct.Terminates
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ s.totalVariation ⟂ₘ μ ↔ s.toJordanDecomposition.posPart ⟂ₘ μ ∧ s.toJordanDecomposition.negPart ⟂ₘ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : ↥(Lp.simpleFunc E 1 μ)
⊢ Integrable (↑(Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f)) μ
α : Type u_1
TopologicalSpace α
AlexandrovDiscrete α
s : Set α
⊢ IsUpperSet (⇑Specialization.ofEquiv ⁻¹' s) ↔ IsOpen s
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
x y : G
hy : y ∈ H
hy' : f y = f x
⊢ y * (y⁻¹ * x) ∈ H ⊔ f.ker
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z = 0
⊢ addU P Q = 0
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m m α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
hAD : IsUnit A ↔ IsUnit D
⊢ (Matrix.fromBlocks A 0 C D)⁻¹ = Matrix.fromBlocks A⁻¹ 0 (-(D⁻¹ * C * A⁻¹)) D⁻¹
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : Module R F
inst✝³ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝² : (x : B) → Module R (E x)
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear R e
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e'
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
⊢ ↑e' (↑e.symm (b, v)) = (b, (coordChangeL R e e' b) v)
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : ℕ → Submodule R M
h : ∀ (n : ℕ), Disjoint ((partialSups f) n) (f (n + 1))
⊢ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f (m + 1) = ⊥
R : Type u_6
n : ℕ
NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
⊢ M 0 0 + (M.submatrix Fin.succ Fin.succ).trace = M.trace
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
h : e.IsImage s t
⊢ e.IsImage (interior s) (interior t)
F : Type w
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
s : NonUnitalSubring S
f : F
x : R
⊢ x ∈ NonUnitalSubring.comap f s ↔ f x ∈ s
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f✝ : R →ₙ+* S
s : NonUnitalSubring R
f : R →ₙ+* S
⊢ ↑f.range = ↑⊤ ↔ Set.range ⇑f = Set.univ
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s ≤ᶠ[ae μ] s
h_fin : μ s ≠ ⊤
⊢ f ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] s
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
n : ℤ
s : Set G
hs : (fun x => x ^ n) ⁻¹' s = s
g : G
j : ℕ
hg : g ^ n ^ j = 1
⊢ ∀ {g' : G}, g' ^ n ^ j = 1 → g' • (fun x => x ^ n)^[j] ⁻¹' s ⊆ (fun x => x ^ n)^[j] ⁻¹' s
n : ℕ
NeZero n
⊢ Fin.rev 0 = ⊤
R : Type u
S : Type v
Semiring R
CommRing S
IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hf : IsUnit f.leadingCoeff
H : IsUnit (Polynomial.map φ f)
⊢ IsUnit f
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s : Finset β
⊢ s -ᵥ ∅ = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
f : α → β
s : Set α
hs : ∀ a ∈ frontier s, f a = 0
hf : Continuous f
⊢ Continuous (s.indicator f)
E : Type u_1
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
T2Space E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ x ∈ Euclidean.ball x r
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ι → α
htriv : ¬∀ (i : ι), f i = ⊥
i : ι
⊢ ∃ i', f i ≤ f ↑i'
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
p : TangentBundle I M
⊢ (chartAt (ModelProd H E) p).toPartialEquiv =
  (tangentBundleCore I M).toFiberBundleCore.localTrivAsPartialEquiv (achart H p.proj) ≫
    (chartAt H p.proj).prod (PartialEquiv.refl E)
ι : Type u_1
μ : Type u_2
DecidableEq ι
AddCancelCommMonoid μ
Finset.HasAntidiagonal μ
DecidableEq μ
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
n : μ
⊢ (↑(Finset.antidiagonal n)).PairwiseDisjoint fun p =>
  Finset.map (addRightEmbedding fun j => if j = i then p.1 else 0) (s.piAntidiag p.2)
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ (z₁ + z₂) ^ p = (1 / 2 * (2 * z₁) + 1 / 2 * (2 * z₂)) ^ p
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
a : ℝ
⊢ (Summable fun n => rexp (↑n * a)) ↔ a < 0
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : OrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g✝ : ι → α
a a₁ a₂ : α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Injective e
hs : ∀ c ∉ Set.range e, 1 ≤ g c
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g (e i)
hf : HasProd (extend e f 1) a₁
hg : HasProd g a₂
c : κ
⊢ extend e f 1 c ≤ g c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
h : Subsingleton E
f : E → F
x : E
⊢ HasFDerivAt f 0 x
β : Type w
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : α → C
g : β → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct g
p : α → β
q : (a : α) → f a ⟶ g (p a)
a : α
⊢ CategoryTheory.Limits.Sigma.ι f a ≫ CategoryTheory.Limits.Sigma.map' p q = q a ≫ CategoryTheory.Limits.Sigma.ι g (p a)
o : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.Principal (fun x x_1 => x * x_1) (Ordinal.omega ^ Ordinal.omega ^ o)
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).num ∣ p
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
w : NumberField.InfinitePlace K
IsGalois k K
hw : ¬NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w
⊢ Even (Nat.card (K ≃ₐ[k] K))
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
⊢ x +ᵥ p.ball y r = p.ball (x +ᵥ y) r
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
h : p ∣ a * b
⊢ p ∣ a ∨ p ∣ b
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Submodule R M
Module.Finite R M
⊢ Submodule.map ((TensorProduct.mk R (LocalRing.ResidueField R) M) 1) N = ⊤ ↔ N = ⊤
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
G : Type u_3
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f' : ι → 𝕜 → G
l' : Filter 𝕜
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l l'
⊢ UniformCauchySeqOnFilter (fun n z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)) l l'
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
D1 D2 : LieDerivation R L M
⊢ ↑(D1 + D2) = ↑D1 + ↑D2
R : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
I : Submodule R A
hI : IsUnit I
⊢ I.FG
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
⊢ f.trans f.symm = PEquiv.refl α ↔ ∀ (a : α), (f a).isSome = true
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R
t : R
ht : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
⊢ inverse (↑x + t) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
h : a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 + a.imK ^ 2 = 0
⊢ 0 ≤ a.imK ^ 2
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ interior s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior s
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
Semiring B
StarRing B
Algebra R B
StarModule R B
S : StarSubalgebra R B
f : A →⋆ₐ[R] B
x : A
⊢ x ∈ StarSubalgebra.comap f S ↔ f x ∈ S
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
Monoid K
(i : ι) → Monoid (G i)
Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
f : (i : ι) → G i →* K
k : H →* K
hf : ∀ (i : ι), (f i).comp (φ i) = k
g : H
⊢ (Monoid.PushoutI.lift f k hf) ((Monoid.PushoutI.base φ) g) = k g
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
h : f =ᶠ[ae μ] g
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ((mapₗ f) μ) s = ((mapₗ g) μ) s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
c₁ c₂ : Computation α
h : c₁ ~ c₂
⊢ c₁.Terminates ↔ c₂.Terminates
α : Type u
x : α
xs : List α
Inhabited α
⊢ (x :: xs).getI 0 = x
x y : ℂ
⊢ sinh x ^ 2 = cosh x ^ 2 - 1
x y : UInt64
h1 : x ≤ y
h2 : y ≤ x
⊢ x = y
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s, (-f) x ∂μ
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
Algebra E K
IsScalarTower F E K
⊢ Cardinal.lift.{v, w} (Field.sepDegree F ↥⊥) = Cardinal.lift.{w, v} (Field.sepDegree F E)
x y : SetTheory.PGame
⊢ x ≤ y → ¬y.LF x
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
f : α →*₀o β
⊢ (OrderMonoidWithZeroHom.id β).comp f = f
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ o.oangle y z + o.oangle x y = o.oangle x z
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
⊢ ∀ (i : ℚ), ∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, preCDF ρ i a ≤ 1
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Fix F α)
⊢ (TypeVec.id ::: mk ∘ dest) <$$> x = TypeVec.id <$$> x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
s : Set E
hs : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ∃ m ∈ {b | Orthonormal 𝕜 Subtype.val}, s ⊆ m ∧ ∀ a ∈ {b | Orthonormal 𝕜 Subtype.val}, m ⊆ a → a = m
⊢ ∃ w ⊇ s, Orthonormal 𝕜 Subtype.val ∧ ∀ u ⊇ w, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = w
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ (x ⊓ y) \ z = x ⊓ y \ z
a b : ℕ
hb : Odd b
ha₀ : a ≠ 0
hb' : Odd (b % (4 * a))
e a' : ℕ
ha₁' : ¬2 ∣ a'
ha₂ : a = 2 ^ e * a'
ha₁ : Odd a'
⊢ J(↑a | b) = J(↑a | b % (4 * a))
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
a : A
u : Aˣ
⊢ spectrum R (↑u * a * ↑u⁻¹) = spectrum R a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
hw : w ∈ (Submodule.span ℝ {v})ᗮ
h₁ : 0 < ‖w‖ ^ 2 + 4
⊢ stereoInvFunAux v w ∈ sphere 0 1
R : Type u_1
r : R
inst✝¹ : CommRing R
P : R[X]
inst✝ : IsReduced R
p : R[X]
hpl : 0 < p.natDegree
⊢ ¬IsUnit p
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M✝
s : Set M✝
inst✝³ : AddZeroClass A✝
t : Set A✝
M : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike A M
inst✝ : SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
⊢ 1 ∈ S
xs : List Nat
w : xs.nonzeroMinimum ≠ 0
⊢ xs.nonzeroMinimum ∈ xs
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Limits.prod.lift f g ≫ CategoryTheory.Limits.prod.snd = g
M : Type u_2
Mul M
S : Set (Subsemigroup M)
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
⊢ ↑(sSup S) = ⋃ s ∈ S, ↑s
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
j₁ j₂ j₃ : J
h₁ : CategoryTheory.Zag j₁ j₂
h₂ : CategoryTheory.Zag j₂ j₃
⊢ CategoryTheory.Zigzag j₁ j₃
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
⊢ x ∈ map f.toMonoidHom H.normalizer ↔ x ∈ (map f.toMonoidHom H).normalizer
α : Type u_1
NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
ε : ℝ
⊢ IsUpperSet (Metric.thickening ε s)