ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
h : L.ElementarilyEquivalent M N
⊢ Infinite M ↔ Infinite N
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf α
a : α
f : α → β
l : Filter β
⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto f atBot l
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
f : ι → α
j : κ
⊢ ∏ i : { i // g i = j }, f ↑i = ∏ i ∈ filter (fun i => g i = j) univ, f i
A : Type u_1
NonUnitalNonAssocCommRing A
IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ +
        ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
      (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ +
        ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) +
    (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ +
      ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆) =
  ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) +
        (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) +
      (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) +
    (2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : E × F
⊢ fderiv 𝕜 Prod.fst p = ContinuousLinearMap.fst 𝕜 E F
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x : α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * Pi.single i x j = 0
⊢ v ⬝ᵥ Pi.single i x = v i * x
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
⊢ I * (1 / I) ≤ 1
P : Type u_1
LE P
s : Order.Ideal P
⊢ ↑s.toLowerSet = ↑s
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ (s ∩ Set.Icc x y).OrdConnected ↔ Set.Ioo x y ⊆ s
R : Type u
Semiring R
r : R
φ : R[X]
⊢ Polynomial.C r ∣ φ ↔ ∀ (i : ℕ), r ∣ φ.coeff i
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
Semiring S
f g : Polynomial R →+* S
h₁ : ∀ (a : R), f (Polynomial.C a) = g (Polynomial.C a)
h₂ : f Polynomial.X = g Polynomial.X
⊢ f = g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
F.ReflectsEpimorphisms
α : F ≅ G
⊢ G.ReflectsEpimorphisms
R : Type u
inst✝¹⁰ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁶ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝² : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x✝² : DirectSum ι G
H : Submodule.Quotient.mk x✝² = 0
ind : ι
x y : DirectSum ι G
x✝¹ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) x = 0
x✝ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support y, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) y = 0
i : ι
hi : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i
hxi : (DirectSum.toModule R ι (G i) fun i_1 => totalize G f i_1 i) x = 0
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support y, k ≤ j
hyj : (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) y = 0
k : ι
hik : i ≤ k
hjk : j ≤ k
⊢ (DirectSum.toModule R ι (G k) fun i => totalize G f i k) x + (DirectSum.toModule R ι (G k) fun i => totalize G f i k) y = 0
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x✝ y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : G.Dart
hx : x ∈ (p.dropUntil u h).darts
⊢ x ∈ p.darts
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
⊢ HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f)
    ((↑{ toLinearEquiv := iso.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp f') s x ↔
  HasFDerivWithinAt f f' s x
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c
ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c
h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1
ha22 : a ^ 2 % 2 = 1
m n : ℤ
ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n
ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2
ht4 : m.gcd n = 1
ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
ht6 : 0 ≤ m
htt : PythagoreanTriple a n m
h3 : a.gcd n = 1
hb20 : b ^ 2 ≠ 0
h4 : 0 < m
r s : ℤ
left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2
htt2 : n = 2 * r * s
htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2
htt4 : r.gcd s = 1
htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0
htt6 : 0 ≤ r
hcp : (r * s).gcd m = 1
b' : ℤ
hb2' : b = 2 * b'
hs : b' ^ 2 = r * s * m
hrsz : r * s ≠ 0
h2b0 : b' ≠ 0
i : ℤ
hi' : ¬m = -i ^ 2
hi : m = i ^ 2
d : ℤ
hd' : ¬r * s = -d ^ 2
hd : s * r = d ^ 2
j : ℤ
hj : r = j ^ 2 ∨ r = -j ^ 2
hj0 : j ≠ 0
⊢ False
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Ring A
Algebra R A
SetLike S A
SubringClass S A
SMulMemClass S R A
s : S
a : ↥s
⊢ spectrum R ↑a ⊆ spectrum R a
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : E
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ p * ‖x‖ ^ (p - 2 + 1) = p * ‖x‖ ^ (p - 1)
α : Type u_1
N : Type u_2
Zero N
Preorder N
r : α → α → Prop
IsStrictOrder α r
x y : α →₀ N
hlt : x < y
⊢ ∃ i, (∀ (j : α), r j i → x j ≤ y j ∧ y j ≤ x j) ∧ x i < y i
m✝ n✝ m n : ℕ
inst✝ : NeZero m
h : m ≤ n
a : ZMod m
⊢ a.cast = 0 ↔ a = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
x : α
h : Bornology.IsBounded (range fun x_1 => g (f^[x_1] x))
C : ℝ
hC : ∀ (x_1 y : ℕ), dist (g (f^[x_1] x)) (g (f^[y] x)) ≤ C
this : Tendsto (fun n => C / ↑n) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => birkhoffAverage 𝕜 f g n (f x) - birkhoffAverage 𝕜 f g n x) atTop (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ x + t • y ∈ s
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
F : MonoidAlgebra k G →ₙₐ[k] A
⊢ (fun f => let __src := liftAddHom fun x => (smulAddHom k A).flip (f x); { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }) ((fun F => F.toMulHom.comp (ofMagma k G)) F) = F
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
⊢ (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.leftUnitor f✝).hom).app = (((fun {a b c} => mapComp) (𝟙 a✝) f✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight ((fun C => mapId ↑C) a✝).hom (prelaxfunctor.map f✝) ≫ (Bicategory.leftUnitor (prelaxfunctor.map f✝)).hom).app
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts ν
μ.IsMulLeftInvariant
ν.IsMulRightInvariant
ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ ↑((last n).cycleRange i) = ↑((finRotate (n + 1)) i)
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝ : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
S : J.Cover X
⊢ Nonempty (IsLimit (S.multifork P)) → IsIso (S.toMultiequalizer P)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s t : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
i : s.pt ≅ t.pt
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.π i.hom = t.π := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Limits.Cofork.ext i w).inv = CategoryTheory.Limits.Cofork.mkHom i.inv ⋯
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
AddCommMonoid β
ContinuousAdd β
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → α →C_c β
a : α
⊢ (∑ i ∈ s, f i) a = ∑ i ∈ s, (f i) a
R : Type u
EuclideanDomain R
a b : R
hb : b ≠ 0
hab : b ∣ a
⊢ b * (a / b) = a
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
f : A →ₐ[R] A
x : Aˣ
⊢ f • x = (Units.map ↑f) x
R : Type u_1
CommRing R
CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
⊢ Polynomial.eval 1 ((⇑Polynomial.derivative)^[n - ν] (bernsteinPolynomial R n ν)) ≠ 0
F : Type u_1 → Type u_2
AF : Applicative F
LawfulApplicative F
⊢ Functor.Comp.instApplicativeComp = AF
α : Type u_3
β : Type u_4
One α
Preorder α
a : α
Nonempty β
⊢ Function.const β a ≤ 1 ↔ a ≤ 1
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : ¬a < b
⊢ Set.Ico a b = ∅
x y : ℝ
⊢ sin x * sin x ≤ 1
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
i : R₁ ≅ R₂
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Comma L R₁} (f : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.Comma.mapRightIso L i).functor.map f).left = f.left
α : Type u
β : Type v
PartialOrder α
Preorder β
f : α → β
⊢ Antitone f ↔ ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → f b ≤ f a
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
ι : Sort u_3
CompleteLattice β
f : ι → α →o β
⊢ ⇑(⨆ i, f i) = ⨆ i, ⇑(f i)
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
s : Set X
hs : IsOpen s
t : Set Y
h : ⇑e '' s = t
⊢ ↑(e.toPartialHomeomorphOfImageEq s hs t h) = ⇑e
α : Type u_1
r c : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
hfg : f =o[l] g
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
⊢ (fun x => √(f x)) =o[l] fun x => √(g x)
M : Type u_1
Mul M
s : Set M
S : Subsemigroup M
h₁ : s ⊆ ↑S
h₂ : S ≤ Subsemigroup.closure s
⊢ Subsemigroup.closure s = S
l : List ℕ
a✝ m n✝ n a : ℕ
ha : a ∈ ((n + 1 - fib (n + 1).greatestFib).zeckendorf ++ [0]).head?
h : n + 1 - fib (n + 1).greatestFib = 0
⊢ a + 2 ≤ (n + 1).greatestFib
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
⊢ ↑(ContinuousLinearEquiv.refl R₁ M₁) = ContinuousLinearMap.id R₁ M₁
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l.reverse.next x ⋯ = l.prev x hx
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
⊢ (Doset.setoid ↑H ↑⊥).Rel = (QuotientGroup.rightRel H).Rel
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ W.Nonsingular P ↔ W.Equation P ∧ (W.a₁ * P 1 * P 2 ≠ 3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2 ∨ P 1 * P 2 ≠ -P 1 * P 2 - W.a₁ * P 0 * P 2 - W.a₃ * P 2 ^ 2 ∨ P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 ≠ W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2)
M : Type u_1
Add M
⊢ ↑⊤ = Set.univ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
this✝ : {x | ¬κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1} ⊆ {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0}
this : {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0} ⊆ ⋃ u ∈ countablePartition γ n, ⋃ (_ : (κ.fst a) u = 0), u
⊢ (κ.fst a) (⋃ u ∈ countablePartition γ n, ⋃ (_ : (κ.fst a) u = 0), u) = 0
⊢ Cardinal.lift.{max u v, u} = Cardinal.lift.{v, u}
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a : α
⊢ gcd 1 a = 1
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0✝ : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal
hI0 : ⊥ < I
a : A
haI : a ∈ I
ha0 : a ≠ 0
J : Ideal A := span {a}
hJ0 : J ≠ ⊥
hJI : J ≤ I
Z : Multiset (PrimeSpectrum A)
hle : (I ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ J
hnle : ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ J
b : A
hbZ : b ∈ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod
hbJ : b ∉ J
hnz_fa : (algebraMap A K) a ≠ 0
⊢ ↑I ≠ 0
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : ∀ (s t : R), s • x + t • y = 0 → s = 0 ∧ t = 0
⊢ LinearIndependent R ![x, y]
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
b : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Set.Ioo (b ^ n) (b ^ (n + 1)))
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
CommRing T
Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
z : R[X]
⊢ (h.aequiv h') (h.map z) = h'.map z
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryProductIso F G).hom
    CategoryTheory.FunctorToTypes.prod.snd =
  CategoryTheory.Limits.prod.snd
α : Type u
β : Type v
Preorder α
SemilatticeInf β
f g : α → β
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone (f ⊓ g)
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ f : Perm α
⊢ f⁻¹⁻¹⁻¹.IsThreeCycle → f⁻¹⁻¹.IsThreeCycle
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν✝ : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hf_lt : ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ < ⊤
hmem : ∀ᶠ (y : ℝ≥0∞) in 𝓝 (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ), ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ < y + ↑ε
s : Finset ι
hs : ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ < ∑ b ∈ s, (fun i => ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ i) b + ↑ε
ν : Measure α
hf : Integrable f (∑ i ∈ s, μ i) ∧ Integrable f ν
hν : ∑ i ∈ s, μ i + ν = Measure.sum μ
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν < ↑ε
α : Type u_1
f : α → α
x : α
⊢ (Function.periodicOrbit f x).Nodup
I : Type u
C : Set (I → Bool)
J : I → Prop
(i : I) → Decidable (J i)
⊢ Continuous (Profinite.NobelingProof.ProjRestrict C J)
R : Type u_1
NormedCommRing R
CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
⊢ HasProd (fun p => ∑' (e : ℕ), f (↑p ^ e)) (∑' (n : ℕ), f n)
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := haar
A : μ' s = μ'.haarScalarFactor ν • ν s
⊢ μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
hf : LipschitzOnWith K f s
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
d : ℝ≥0∞
hd : edist x y < d / ↑K
⊢ edist (f x) (f y) < d
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
e : X ≅ Y
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap e.inv (e.hom.val.base x) ≫ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.stalkMap e.hom x =
  X.presheaf.stalkSpecializes ⋯
c : ℝ≥0
⊢ Metric.ball 0 ↑c = Set.Ico 0 c
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = univ
T_ne : T.Nonempty
⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
⊢ (Set.range fun x => MulAction.orbit G x).PairwiseDisjoint id
R : Type u
Semiring R
a : R
p : R[X]
⊢ (a • p).degree ≤ p.degree
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
hG : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → IsLimit (G.mapCone (Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)
x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
Y : C
g : Y ⟶ X
c : Cone ((Sieve.pullback g S).arrows.diagram.op ⋙ G) := { pt := F.obj (op Y), π := { app := fun x_1 => match x_1 with | op { obj := Z, property := hZ } => F.map Z.hom.op ≫ (x (Z.hom ≫ g) hZ).app (op (Over.mk (𝟙 (unop (op ((𝟭 C).obj Z.left)))))), naturality := ⋯ } }
⊢ ∀ {Z : C} (p : Z ⟶ Y) (hp : S.arrows (p ≫ g)), (hG g).lift c ≫ G.map p.op = F.map p.op ≫ (x (p ≫ g) hp).app (op (Over.mk (𝟙 Z)))
α : Type u
x : α
BooleanAlgebra α
⊢ xᶜ = ⊥ ↔ x = ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
h₁ : a₁ ≤ a₂
h₂ : b₁ < b₂
⊢ (a₁, b₁) < (a₂, b₂)
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : Splits (algebraMap F E) f
⊢ f.natSepDegree = (f.aroots E).toFinset.card
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
α β : X ⟶ Y
h₁ : α = β
x x' : ↑↑X
h₂ : x = x'
⊢ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap α x ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯ =
  CategoryTheory.eqToHom ⋯ ≫ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap β x'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β
o : Option α
h : (Option.map f o).isSome = true
⊢ o.isSome = true
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k l : ℕ
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) l
⊢ p = ⊥
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
z : M
F' : Type u_11
NormedRing F'
NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
hp : MDifferentiableWithinAt I 𝓘(𝕜, F') p s z
hq : MDifferentiableWithinAt I 𝓘(𝕜, F') q s z
⊢ MDifferentiableWithinAt I 𝓘(𝕜, F') (p * q) s z
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Nonempty α
inst✝³ : Preorder β
f : α → β
inst✝² : NoMaxOrder α
inst✝¹ : SuccOrder β
inst✝ : IsSuccArchimedean β
hf : StrictMono f
m : β
hm : m ∈ upperBounds (range f)
hm' : ∀ (a : α), f a ≤ m
a₀ : α
h : ∀ (a : α), ∃ a', f a < f a'
⊢ ∀ (b : β), f a₀ ≤ b → ∃ a, b < f a
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a b : ℕ
this : Disjoint (filter p (range a)) (filter p (map (addLeftEmbedding a) (range b)))
⊢ count p (a + b) = count p a + count (fun k => p (a + k)) b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
⊢ s.attach = ∅ ↔ s = ∅
G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M : Type x
inst✝³ : Monoid M
φ : G →* H
A B C : Type u
inst✝² : CommGroup A
inst✝¹ : CommGroup B
inst✝ : CommGroup C
f : A →* B
g : B →* A
e : A ≃* B
d : B ≃* C
n : ℤ
x : A ⧸ (zpowGroupHom n).range
⊢ (MulEquiv.refl (A ⧸ (zpowGroupHom n).range)) (Quotient.mk'' (Quotient.out' x)) = (equivQuotientZPowOfEquiv (MulEquiv.refl A) n) (Quotient.mk'' (Quotient.out' x))
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
⊢ Nat.Prime 2
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α' : Type u_1
β' : Type u_2
e : α' ≃ β'
⊢ e.permCongr (Equiv.refl α') = Equiv.refl β'
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
f : (R ⧸ j)[X]
hf : f ∈ ⊥.jacobson
⊢ f ∈ ⊥
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
⊢ G.edist u v ≠ ⊤ ↔ G.Reachable u v
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
a✝ : c ≠ 0
heq : a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 4
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
f : α → β
g : β → γ
h : Set.InjOn (g ∘ f) s
⊢ Set.InjOn g (f '' s)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.MonoidalCategory E
CategoryTheory.BraidedCategory E
F : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor C D
G : CategoryTheory.LaxBraidedFunctor D E
⊢ ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), (F.comp G).map f = G.map (F.map f)
α : Type u_2
DecidableEq α
AddZeroClass α
s : Finset α
t : Finset α
ht : 0 ∈ t
⊢ s ⊆ s + t
α : Type u_1
LinearOrder α
f : α → ℝ
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
⊢ LocallyBoundedVariationOn f s
C : Type u_1
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : ∀ (i : ι), (S.map (HomologicalComplex.eval C c i)).Exact
⊢ S.Exact
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
⊢ y ∈ interior s
T : ℝ
n : ℤ
⊢ (fourier n) 0 = 1
ι : Type u_12
M : ι → Type u_13
(j : ι) → Mul (M j)
Unique ι
f : (i : ι) → M i
⊢ (MulEquiv.piUnique M) f = f default
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
NormedAddCommGroup EB
NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
TopologicalSpace B
ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
n : ℕ∞
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module 𝕜 (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
VectorBundle 𝕜 F E
SmoothVectorBundle F E IB
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
MemTrivializationAtlas e
f : M → Bundle.TotalSpace F E
he : ∀ (x : M), f x ∈ e.source
⊢ ContMDiff IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n f ↔
  (ContMDiff IM IB n fun x => (f x).proj) ∧ ContMDiff IM 𝓘(𝕜, F) n fun x => (↑e (f x)).2
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
hn : lowerCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N
⊢ upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω < lowerCrossingTime a b f N (n + 1) ω
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ x ∈ s
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ AEMeasurable (uncurry fun x y => s.indicator (fun x => 1) x * f y) (μ.prod ν)
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι
h : ¬span {f} = ⊥
i : ι
⊢ FiniteDimensional.finrank F (F[X] ⧸ span {smithCoeffs b (span {f}) h i}) = (smithCoeffs b (span {f}) h i).natDegree
α : Type u_1
A : Type u_3
AddGroup A
Group α
DistribMulAction α A
a : α
S T : AddSubgroup A
⊢ a • S ≤ a • T ↔ S ≤ T