ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q)
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n + 1
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
ha : ∀ (s : Finset ι), s.Nonempty → s ≠ univ → s.card < (s.biUnion t).card
this✝ : Nonempty ι
this : DecidableEq ι
x : ι := Classical.arbitrary ι
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
m n k : Nat
⊢ Int.subNatNat m n + Int.negSucc k = Int.subNatNat m (n + k.succ)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.kernelBiprodFstIso.hom =
  (CategoryTheory.Limits.biprod.isKernelFstKernelFork X Y).lift
    (CategoryTheory.Limits.limit.cone (CategoryTheory.Limits.parallelPair CategoryTheory.Limits.biprod.fst 0))
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
AddCommMonoid β
T : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.FinMeasAdditive (c • μ) T ↔ MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
g : Y ⟶ X
hom_inv_id : f ≫ g = 𝟙 X
⊢ inv f = g
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁸ : Nonempty ι
inst✝⁷ : Nonempty ι'
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id
⊢ p.moduleFilterBasis.topology = q.moduleFilterBasis.topology
ι : Type u
f : ι → Scheme
i : (disjointGlueData f).J
⊢ ((disjointGlueData f).mapGlueData Scheme.forgetToLocallyRingedSpace).ι i ≫ (colimit.isoColimitCocone { cocone := toLocallyRingedSpaceCoproductCofan f, isColimit := toLocallyRingedSpaceCoproductCofanIsColimit f }).inv ≫ sigmaComparison Scheme.forgetToLocallyRingedSpace f = Sigma.ι f i
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : β → α
h : Monotone m ∨ Surjective f
s : Set β
⊢ (OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f '' s)) ⋯) s ≤ ((comap f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) s
a : USize
n : ℕ
⊢ a ^ n = { val := a.val ^ n }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
hvol : μ univ < ↑n * μ s
⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m ∈ Ioo 0 n, f^[m] x ∈ s
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
a b : R
ha : maximalIdeal R = span {a}
hb : maximalIdeal R = span {b}
⊢ Associated a b
B : Type u_3
C : Type u_4
AddMonoid B
AddMonoid C
TopologicalSpace B
TopologicalSpace C
A : Type u_7
TopologicalSpace A
f : A → ContinuousAddMonoidHom B C
h : Continuous (Function.uncurry fun x y => (f x) y)
⊢ Continuous f
ι : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
V : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Invertible 2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
Q : QuadraticForm K V
hQ : LinearMap.SeparatingLeft (associated Q)
v : Basis (Fin (FiniteDimensional.finrank K V)) K V
hv₁ : LinearMap.IsOrthoᵢ ((associatedHom K) Q) ⇑v
hv₂ : ∀ (i : Fin (FiniteDimensional.finrank K V)), ¬LinearMap.IsOrtho ((associatedHom K) Q) (v i) (v i)
⊢ ∃ w, Equivalent Q (weightedSumSquares K w)
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
r : R
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ r * OfNat.ofNat n = n • r
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
h : a ∉ s
x✝ : (i : Fin (n + 1)) × { x // x ∈ s.sym (n - ↑i) }
i : Fin (n + 1)
m : Sym α (n - ↑i)
hm : m ∈ s.sym (n - ↑i)
⊢ Sigma.map id ?refine_2 ((fun m => ⟨(Sym.filterNe a ↑m).fst, ⟨(Sym.filterNe a ↑m).snd, ⋯⟩⟩) ((fun m => ⟨Sym.fill a m.fst ↑m.snd, ⋯⟩) ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩)) = Sigma.map id ?refine_2 ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
l : List M
⊢ CliffordAlgebra.involute (List.map (⇑(CliffordAlgebra.ι Q)) l).prod =
  (-1) ^ l.length • (List.map (⇑(CliffordAlgebra.ι Q)) l).prod
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
g : X ⟶ G.obj Y
e_4✝ : (𝟭 C).obj (G.obj Y) = G.obj Y
⊢ adj.unit.app (G.obj Y) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = 𝟙 (G.obj Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_anti : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot
s' : ℕ → Set ℝ := fun n => Iic ↑(s n)
⊢ Antitone s'
α : Sort u_1
ctx : Lean.Data.AC.Context α
h : Lean.Data.AC.ContextInformation.isIdem ctx = true
e : List Nat
⊢ Lean.Data.AC.evalList α ctx (Lean.Data.AC.mergeIdem e) = Lean.Data.AC.evalList α ctx e
α : Type u
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α
K s : Set α
DiscreteTopology ↑s
hK : Bornology.IsBounded K
hs : IsClosed s
⊢ (K ∩ s).Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
ht : t.Finite
hsub : s ⊂ t
this✝ : Fintype ↑t
this : Fintype ↑s
⊢ Nat.card ↑s < Nat.card ↑t
α : Type u_1
l : List α
n m : Nat
h : m < n
⊢ (List.take n l)[m]? = l[m]?
⊢ ∀ {X Y : TopCat} (f : X ⟶ Y) (x : CompHausᵒᵖ) (g : ((fun X => X.toCondensedSet) X).val.obj x),
  (topCatToCondensedSet.map f).val.app x g = ContinuousMap.comp f g
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
s : Set R[X]
hs : s.Finite
contra : Submodule.span R s = ⊤
⊢ False
z0 : ℤ
k : ℕ
x0 y0 : ℤ
k0 : 0 < k
h2 : x0.gcd y0 = 1
h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0
h : PythagoreanTriple (x0 * ↑k) (y0 * ↑k) (↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)) * z0)
hk : ↑k ≠ 0
⊢ PythagoreanTriple (x0 * ↑k / ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k))) (y0 * ↑k / ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k))) (↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)) * z0 / ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)))
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s₁ s₂ : Finmap β
⊢ a ∈ s₁ ∪ s₂ ↔ a ∈ s₁ ∨ a ∈ s₂
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
A' : ι → E →L[𝕜] F
h : ∀ i ∈ u, (fun x' => A i x' - A i x - (A' i) (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x
x✝ : E
⊢ ∑ i ∈ u, A i x✝ - ∑ i ∈ u, A i x - (∑ i ∈ u, A' i) (x✝ - x) = ∑ i ∈ u, (A i x✝ - A i x - (A' i) (x✝ - x))
self : Lean.Elab.Tactic.Omega.Problem
⊢ (self.possible || self.proveFalse?.isSome) = true
α : Type u_2
x : ℕ → α
n : ℕ
⊢ PiNat.cylinder x n = {y | PiNat.res y n = PiNat.res x n}
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ SimplexCategory.δ i.succ ≫ SimplexCategory.σ i = 𝟙 (SimplexCategory.mk n)
G : Type u_1
Group G
H K L : Subgroup G
hHK : H.relindex K ≠ 0
hKL : K.relindex L ≠ 0
⊢ H.relindex L ≠ 0
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} ∩ o
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[{x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}] x, μ u = 0
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
⊢ Disjoint (Submodule.span R (v '' s)) (Submodule.span R (v '' t))
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ)
s : Finset ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
f : ι → ℕ
⊢ f ∈ SMul.smul n (s.piAntidiag m) ↔ f ∈ filter (fun f => ∀ i ∈ s, n ∣ f i) (s.piAntidiag (n * m))
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hc : (↑k).Coprime ↑(torsionOrder K)
ζ : (𝓞 K)ˣ
⊢ ζ ^ ↑k = 1 ↔ ζ = 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0
⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ Tendsto f l atTop
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : f + g ≈ 0
this✝¹ : (f + g - 0).LimZero
this✝ : f ≈ -g
this : f.norm = (-g).norm
⊢ f.norm = g.norm
α : Type u_1
ι : Type u_2
s✝ t r : Set α
s : ι → Set α
h : Pairwise (Disjoint on s)
i : ι
x : α
hx : x ∈ s i
hx' : (fun x => ↑x.snd) ⟨i, ⟨x, hx⟩⟩ ∈ s i
⊢ ⟨i, ⟨x, hx⟩⟩ = ⟨i, ⟨(fun x => ↑x.snd) ⟨i, ⟨x, hx⟩⟩, hx'⟩⟩
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
f : β → α
hf : Filter.Tendsto (Prod.map f f) (Filter.cofinite ×ˢ Filter.cofinite) (𝓤 α)
⊢ Bornology.IsBounded (Set.range f)
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hx : (aeval x) f = 0
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
i : ℕ
hi : (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree ≤ i
⊢ ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ i
⊢ 𝓝 ⊥ = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ ⊥), 𝓟 (Set.Iio a)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
T : s.tail.head.Terminates
a : Option (α × WSeq α)
h : a ∈ (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) <$> s.destruct >>= destruct
⊢ s.destruct.Terminates
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
H : ∀ a < o, succ a < o
a : Ordinal.{max u v}
h : a < lift.{u, v} o
⊢ succ a < lift.{u, v} o
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M N P Q : Submodule R A
hmp : M ≤ P
hnq : N ≤ Q
⊢ M * N ≤ P * Q
α : Type u
a : α
s : Stream' α
b : α
⊢ a ∈ s → a ∈ Stream'.cons b s
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_2
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsDomain R
⊢ IsIntegrallyClosed R ↔ ∀ (p : R[X]), p.Monic → (Irreducible p ↔ Irreducible (Polynomial.map (algebraMap R K) p))
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.102334, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ✝ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
hk : k ≫ K.d i j = 0
φ : K ⟶ L
⊢ (k ≫ φ.f i) ≫ L.d i j = 0
α : Type u_1
LE α
NoBotOrder α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) Set.univ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h_B : ∃ N, B N ≤ ε
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
E : ℕ → Type u_1
(n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
⊢ CompleteSpace ((n : ℕ) → E n)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (t : Set β), IsClosed t → ∃ u, IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : HasTerminal C
inst✝⁴ : HasBinaryProducts C
inst✝³ : HasTerminal D
inst✝² : HasBinaryProducts D
inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' : C
⊢ MonoidalCategory.whiskerRight (F.map f) (F.obj X') ≫ (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) Y X' = (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) X X' ≫ F.map (MonoidalCategory.whiskerRight f X')
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : BEq α
a : α
l : AssocList α β
⊢ find? a l = Option.map (fun x => x.snd) (findEntry? a l)
a b m n p : ℕ
⊢ ∀ i ∈ (a.lcm b).factorization.support, (if b.factorization i ≤ a.factorization i then i ^ (a.lcm b).factorization i else 1) ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
AddMonoid β
DistribSMul α β
r : α
l : List β
⊢ r • l.sum = (List.map (fun x => r • x) l).sum
a b : Nat
⊢ a ≠ b → a < b ∨ b < a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
S : CategoryTheory.Functor C D
X Y : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
f : X ⟶ Y
⊢ f.right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
x : ℝ
⊢ |sin (x / 2)| = √((1 - cos x) / 2)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ
hd : 0 < d
q : ℚ := ↑n / ↑d
q_eq : q = ↑n / ↑d
c : ℤ
n_eq_c_mul_num : n = c * q.num
d_eq_c_mul_denom : ↑d = c * ↑q.den
⊢ q.num / ↑q.den = c * q.num / (c * ↑q.den)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
⊢ {x | {n | p n ∧ x ∈ (s n)ᶜ}.Infinite} = {x | {n | p n ∧ x ∉ s n}.Finite}ᶜ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : MDifferentiableWithinAt I' I'' g u (f x)
hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
h : s ⊆ f ⁻¹' u
⊢ MDifferentiableWithinAt I I'' (g ∘ f) s x
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Module (MvPolynomial σ R) A
IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
f : σ → A
s : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ (MvPolynomial.mkDerivation R f) ((MvPolynomial.monomial s) r) =
  r • s.sum fun i k => (MvPolynomial.monomial (s - Finsupp.single i 1)) ↑k • f i
n : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ Fin.last n
⊢ i.castPred hi ≤ j ↔ i ≤ j.castSucc
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C ⥤ Comon_ D
X : C
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.inverseObj F).comul.app X = (F.obj X).comul
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ ({ toFun := fun a => Measure.ofMeasurable (fun s x => κ.compProdFun η a s) ⋯ ⋯, measurable' := ⋯ } a) s = κ.compProdFun η a s
s : Finset ℕ
m : ℕ
hm : m ∈ Nat.factoredNumbers s
⊢ m.primeFactors ⊆ s
a x✝ z x : ℂ
⊢ (x ∈ range fun x => cexp (↑x * I)) ↔ x ∈ sphere 0 1
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
⊢ ↑I = ↑J ↔ I = J
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
M : HomologicalComplex C c
α : M ⟶ K
β : M ⟶ L
i : ι
⊢ (biprod.lift α β).f i ≫ biprod.fst.f i = α.f i
R : Type u_1
CommSemiring R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
x y : R
⊢ (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p + ↑p * ∑ k ∈ Finset.Ioo 0 p, x ^ k * y ^ (p - k) * ↑(p.choose k / p)
n : ℕ
a : ZMod n
ha : 2 * a.val ≠ n
⊢ (-a).valMinAbs = -a.valMinAbs
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ interior (a • s) + closure (b • s) = interior (a • s) + b • s
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s : Finset α
t : Finset β
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ Rel.edgeDensity r s t + Rel.edgeDensity (fun x y => ¬r x y) s t = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : DenselyOrdered α
⊢ Ioo a b = ∅ ↔ ¬a < b
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
k : ℕ
hkn : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCauchySequence I N
hker : ∀ (n : ℕ), g (↑x n) ∈ I ^ n • ⊤
x✝ n : ℕ
d : N
hdmem : d ∈ ↑(I ^ (k + n) • ⊤)
hd : g d = g (↑x (k + n))
⊢ ∃ d y, d ∈ I ^ (k + n) • ⊤ ∧ f y = ↑x (k + n) - d
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
s : Multiset { a // Irreducible a }
⊢ Associates.FactorSet.prod ↑s = (Multiset.map Subtype.val s).prod
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕝
inst✝⁹ : Module 𝕝 E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁴ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝² : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
p : SeminormFamily 𝕝 E ι
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
x✝¹ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
x✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : IsBounded p q f
this : TopologicalAddGroup E
i : ι'
s : Finset ι
C : ℝ≥0
hC : (q i).comp f ≤ s.sup (C • p)
⊢ Continuous fun x => (coeFnAddMonoidHom 𝕝 E) (∑ i ∈ s, C • p i) x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s
γ : Path (p 0) (p ↑n)
h₁ : range ⇑γ ⊆ s
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ
⊢ ∃ γ t, (∀ (t : ↑I), γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), γ (t i) = p i
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasKernel S.g
hf : S.f = 0
⊢ (CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofHasKernel S hf).Q = S.X₂
G : Type u_1
Group G
S : Set G
⊢ Subgroup.IsComplement Set.univ S ↔ ∃ g, S = {g}
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
⊢ IsClosed (zeroLocus ↑(ker f))
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k✝ : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
⊢ x ∈ k
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s = ⇑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm ∘ f
α : Type u_1
a b : α
MulZeroClass α
Preorder α
MulPosMono α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a * b
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ
⊢ stereoInvFun hv w ≠ ⟨v, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
q : TwoPointing β
Nonempty α
⊢ (TwoPointing.pi α q).fst = Function.const α q.fst
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : α
⊢ (FreeGroup.map f) (FreeGroup.of x) = FreeGroup.of (f x)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
⊢ EqvGen.Setoid r = sInf {s | ∀ ⦃x y : α⦄, r x y → s.Rel x y}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
⊢ schwartzSeminormFamily 𝕜 E F 0 = SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 0
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜
u : 𝕜
⊢ ∇ g u = (starRingEnd 𝕜) (deriv g u)
α : Type u_2
β : Type u_3
InfSet α
InfSet β
f : α → β
hf : ∀ (s : Set α), f (sInf s) = sInf (f '' s)
⊢ ⇑{ toFun := f, map_sInf' := hf } = f
α : Type u_1
dec : DecidableEq α
x : List α
⊢ RegularExpression.rmatch 1 x = true ↔ x = []
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
s : Set ι
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : (i : ι) → α i
⊢ (∀ i ∈ univ, x✝ i ∈ if i ∈ s then t i else univ) ↔ ∀ i ∈ s, x✝ i ∈ t i
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
c : 𝕜
f : ↥(Lp F p μ)
s : Set X
⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • f) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x → ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
⊢ LinearMap.BilinForm.IsAlt 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Mul α
Preorder α
Preorder β
f g : β → α
s : Set β
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
hf : StrictMonoOn f s
hg : StrictMonoOn g s
⊢ StrictMonoOn (fun x => f x * g x) s
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialEquiv X Y
a : IsOpen e.source
b : IsOpen e.target
c : ContinuousOn (↑e) e.source
d : ContinuousOn e.invFun e.target
⊢ ↑{ toPartialEquiv := e, open_source := a, open_target := b, continuousOn_toFun := c, continuousOn_invFun := d }.symm =
  ↑e.symm
R : Type u_1
LinearOrderedRing R
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1
⊢ 0 ≤ ↑n * x + ↑n * ↑n
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
⊢ 𝓝[s] a = Filter.map Subtype.val (𝓝 ⟨a, h⟩)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
CategoryTheory.Limits.HasImage f
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasImage g
sq : CategoryTheory.Arrow.mk f ⟶ CategoryTheory.Arrow.mk g
CategoryTheory.Limits.HasImageMap sq
⊢ CategoryTheory.Limits.imageSubobjectMap sq ≫ (CategoryTheory.Limits.imageSubobject g).arrow =
  (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f).arrow ≫ sq.right
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
⊢ P.toPoly.natDegree = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
f : α → β
μ : ι → Measure α
s : Finset ι
⊢ Integrable f (∑ i ∈ s, μ i) ↔ ∀ i ∈ s, Integrable f (μ i)