ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Inf α
inst✝² : Inf β
inst✝¹ : Inf γ
inst✝ : Inf δ
g : InfHom β γ
f₁ f₂ : InfHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
α : Type u_1
PartialOrder α
s t : Interval α
⊢ ↑s ⊆ ↑t ↔ s ≤ t
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
n : ℕ
f : ↑s →₀ α
hf✝ : (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) f = 1
hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1
this : 1 ∈ span ((fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support)
x : ↑s
left✝ : x ∈ ↑f.support
⊢ (f x * ↑x) ^ (n + 1) ∈ ↑(span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s))
B : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
F : CategoryTheory.Functor B (CategoryTheory.Functor C D)
⊢ CategoryTheory.curry.obj (CategoryTheory.uncurry.obj F) = F
m n : Num
x✝ : ↑m ∣ ↑n
k : ℕ
e : ↑n = ↑m * k
⊢ ↑(↑m * k) = m * ↑k
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
α : Sort u
β : Sort v
e : α ≃ β
⊢ Uncountable α ↔ Uncountable β
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
a b : α
h₁ : a ∈ s
h₂ : s.max = ↑b
⊢ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g g' : δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
hg : ∀ b ∈ s, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)
hg' : EqOn g g' sᶜ
g'_meas : Measurable g'
i : ι
⊢ Measurable g
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
h : TendstoUniformly F f p
⊢ TendstoUniformlyOnFilter F f p ⊤
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
r : R
⊢ span R (r • s) ≤ span R s
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
f g : Arrow C
inst✝⁵ : HasImage f.hom
inst✝⁴ : HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
inst✝³ : HasImageMap sq
h : Arrow C
inst✝² : HasImage h.hom
sq' : g ⟶ h
inst✝¹ : HasImageMap sq'
inst✝ : HasImageMap (sq ≫ sq')
⊢ HasImageMap.imageMap (sq ≫ sq') = imageMapComp sq sq'
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∃ b, s.max = ↑b
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
⊢ ¬1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)
V : Type u
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
DecidableEq V
v : V
⊢ (Finset.filter (fun d => d.toProd.1 = v) Finset.univ).card = G.degree v
α : Type u_1
Primcodable α
n : ℕ
⊢ Computable Mathlib.Vector.toList
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
I J : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ (I ⊓ J).toIdeal = I.toIdeal ⊓ J.toIdeal
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I : Ideal R
m x : M
⊢ x ∈ I • Submodule.span R {m} ↔ ∃ y ∈ I, y • m = x
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
a b : α
hab : a ≤ b
f : α → δ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
⊢ Set.Ioo (f a) (f b) ⊆ f '' Set.Ioo a b
H : Type u_5
M : Type u_6
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
⊢ chartAt H x ∈ atlas H M
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q :
  ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj
          (CommRingCat.of (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f))).toPresheafedSpace
⊢ ¬HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜 ≤
    AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier.asHomogeneousIdeal f_deg hm q
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
f g : A ⟶ X φ i
h₁ : f ≫ fstX φ i j hij = g ≫ fstX φ i j hij
h₂ : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i
this : HasBinaryBiproduct (F.X j) (G.X i)
⊢ (f ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom) ≫ biprod.snd = (g ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom) ≫ biprod.snd
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.68425, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.68429, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b) (a ≫ φ₂)
⊢ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (φ₁ ≫ b) = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (a ≫ φ₂)
f : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
Applicative f
LawfulApplicative f
x : f α
⊢ (Seq.seq (pure id) fun x_1 => x) = x
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomInvPair σ' σ
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
e : E ≃ₛₗ[σ] F
h : Continuous ⇑e
⊢ ⇑(e.toContinuousLinearEquivOfContinuous h).symm = ⇑e.symm
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
v : V
⊢ v ∈ vectorSpan k {p₁, p₂} ↔ ∃ r, r • (p₂ -ᵥ p₁) = v
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
⊢ JoinedIn sᶜ a b
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤
b : α
s : Set α
s_max : ∀ a ∈ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}, s ⊆ a → a = s
s_ind : CompleteLattice.SetIndependent s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a
a : α
ha : a ∈ {a | IsAtom a}
con : a ⊓ (b ⊔ sSup s) = ⊥
⊢ a ≤ b ⊔ sSup s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
⊢ Integrable f (μ + ν)
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : Unique Mˣ
inst✝ : Unique Nˣ
m : M
n : N
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
x : Associates M
hx : x ∈ Set.Iic (Associates.mk m)
⊢ associatesEquivOfUniqueUnits ↑⟨x, hx⟩ ∣ m
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)
⊢ (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor'.obj f).X₄ = f.right.right
α : Type u
x : ULift.{v, u} α
Inv α
⊢ x⁻¹.down = x.down⁻¹
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
n : σ
f : MvPolynomial σ R
d : ℕ
⊢ degreeOf n f ≤ d ↔ ∀ m ∈ f.support, m n ≤ d
k n : ℕ
⊢ (2 ^ k * n).bitIndices = List.map (fun x => x + k) n.bitIndices
α : Type u_1
r : α → α → Prop
x : α
⊢ (RelHom.id r) x = x
β : Type u_1
AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : CategoryTheory.DifferentialObject ℤ (CategoryTheory.GradedObjectWithShift b V)
i : β
⊢ ((HomologicalComplex.dgoEquivHomologicalComplexUnitIso b V).hom.app X).f i = 𝟙 (X.obj i)
b : Bool
m : ℕ
n k : ℕ
⊢ k ≤ n → Nat.shiftLeft' b m (n - k) = Nat.shiftLeft' b m n >>> k
α : Type u
TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → TopologicalSpace.Opens α
i j :
  (TopCat.GlueData.MkCore.mk (fun i => (TopologicalSpace.Opens.toTopCat (TopCat.of α)).obj (U i))
      (fun i j => (TopologicalSpace.Opens.map (U i).inclusion).obj (U j))
      (fun i j => { toFun := fun x => ⟨⟨↑↑x, ⋯⟩, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯).J
⊢ (TopCat.GlueData.ofOpenSubsets U).t i j = { toFun := fun x => ⟨⟨↑↑x, ⋯⟩, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }
m : ℕ
⊢ 1 < ack (m + 1 + 1) 0
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SMul α β
SMul α γ
f : β → γ
a : α
s : Set β
⊢ (∀ (b : β), f (a • b) = a • f b) → f '' (a • s) = a • f '' s
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
n : ℕ
⊢ 0 < 1 / (↑n + 1)
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'' : DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior D)
hf''_nonpos : ∀ x ∈ interior D, deriv^[2] f x ≤ 0
⊢ DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior (interior D))
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : ∀ (b : Pseudoelement S.X₂), pseudoApply S.g b = 0 → ∃ a, pseudoApply S.f a = b
this✝ : pseudoApply S.g (Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))) = 0
a' : Pseudoelement S.X₁
a : Over S.X₁
ha : pseudoApply S.f ⟦a⟧ = Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))
ha' : ⟦a⟧ = a'
Z : C
r : Z ⟶ ((fun g => app S.f g) a).left
q : Z ⟶ (Over.mk (kernel.ι S.g)).left
w✝ : Epi r
eq : Epi q
comm : r ≫ ((fun g => app S.f g) a).hom = q ≫ (Over.mk (kernel.ι S.g)).hom
z : Z ⟶ pullback (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g)
left✝ : z ≫ pullback.fst (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) = r ≫ a.hom ≫ Abelian.factorThruImage S.f
hz₂ : z ≫ pullback.snd (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) = q
j : pullback (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) ⟶ kernel S.g := pullback.snd (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g)
pe : Epi j
this : IsIso j
⊢ ((asIso j).inv ≫ pullback.fst (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) ≫ kernel.ι (cokernel.π S.f)) ≫ cokernel.π S.f = 0
n : ℕ
⊢ n.totient * ∏ p ∈ n.primeFactors, p = n * ∏ p ∈ n.primeFactors, (p - 1)
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
this : (fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (g' x) (a.2 - x))) = ((fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f a.1 a.2 - f a.1 x - ((f' a.1 x) a.2 - (f' a.1 x) x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)
⊢ Tendsto (fun x_1 => (↑‖x_1.2 - x‖)⁻¹ • (g x_1.2 - g x - (g' x) (x_1.2 - x))) (l.curry (𝓝 x)) (𝓝 0)
α : Type u_1
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
h : a = ⊤ → b = ⊤
h_nnreal : a ≠ ⊤ → b ≠ ⊤ → a.toNNReal ≤ b.toNNReal
hlt : b < a
⊢ False
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
n : ℕ∞
s : Set E
f : E → 𝕜
g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x • g x) s x
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ (fun x => (x, x)) ⁻¹' s ×ˢ t = s ∩ t
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : weightedTotalDegree w p = ⊥
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d p ≠ 0
h : (p.support.sup fun s => ↑((weight w) s)) = ↑⊥
⊢ (weight w) d = ⊥
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ) φ
⊢ p.obj a✝ = p.obj a✝
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
s : Submonoid R
a : R
ha : a ≠ 0
hfac : ∀ b ∈ PrincipalIdealRing.factors a, b ∈ s
hunit : ∀ (c : Rˣ), ↑c ∈ s
⊢ a ∈ s
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
n✝ : ℕ
hn : n✝ < (Polynomial.map φ f).natDegree
⊢ φ (f.coeff n✝) ∈ Ideal.map φ 𝓟
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
n : ℕ
⊢ ∑ k ∈ range n, 2 ^ k • f (2 ^ (k + 1)) ≤ ∑ k ∈ Ico 2 (2 ^ n + 1), f k
α : Type u_1
CompleteLattice α
p q : Prop
s : p ∨ q → α
⊢ ⨅ (x : p ∨ q), s x = (⨅ (i : p), s ⋯) ⊓ ⨅ (j : q), s ⋯
a : UInt32
⊢ -a = { val := -a.val }
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S✝ : B
s S : Submonoid M
ι : Type u_4
t : Finset ι
f : ι → M
comm : (↑t).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S
y : M
⊢ (∃ a ∈ t.val, f a = y) → y ∈ S
β : Type u_2
E : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace E
NormedAddCommGroup E
OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
TopologicalSpace.SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
⊢ ‖↑(MeasureTheory.SimpleFunc.approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ≤ ‖f x - y₀‖₊
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Monoid S
DistribMulAction S R
IsScalarTower S R R
s : S
p : R[X]
x : R
⊢ Polynomial.eval x (s • p) = s • Polynomial.eval x p
G : Type u_1
Group G
s t : Set G
h_one : ∀ {a b : G}, a ∈ s → b ∈ s → a * b ∈ s
h_mul : s 1
h_inv :
  ∀ {x : G},
    x ∈ { carrier := s, mul_mem' := h_one, one_mem' := h_mul }.carrier →
      x⁻¹ ∈ { carrier := s, mul_mem' := h_one, one_mem' := h_mul }.carrier
h_one' : ∀ {a b : G}, a ∈ t → b ∈ t → a * b ∈ t
h_mul' : t 1
h_inv' :
  ∀ {x : G},
    x ∈ { carrier := t, mul_mem' := h_one', one_mem' := h_mul' }.carrier →
      x⁻¹ ∈ { carrier := t, mul_mem' := h_one', one_mem' := h_mul' }.carrier
⊢ { carrier := s, mul_mem' := h_one, one_mem' := h_mul, inv_mem' := h_inv } ≤
    { carrier := t, mul_mem' := h_one', one_mem' := h_mul', inv_mem' := h_inv' } ↔
  s ⊆ t
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
⊢ aroots 0 S = 0
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
this : ∀ K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V, index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card
⊢ Disjoint (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K₁.carrier).Nonempty) s) (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K₂.carrier).Nonempty) s)
α : Type u_2
β : Type u_3
GeneralizedCoheytingAlgebra α
GeneralizedCoheytingAlgebra β
a b : α × β
⊢ (a ∆ b).1 = a.1 ∆ b.1
α : Type u
β : Type v
s : Set α
DecidableEq β
f : α → β
hs : s.Finite
h : (f '' s).Finite
⊢ h.toFinset = Finset.image f hs.toFinset
X : Type u_1
Dist X
a b : X
⊢ dist (OrderDual.toDual a) (OrderDual.toDual b) = dist a b
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0
⊢ (erase p.natDegree p).degree ≠ p.degree
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_7
β : Type u_8
VAdd M α
VAdd N α
VAdd M β
VAdd N β
VAddCommClass M N β
f : α → β
hf : Function.Injective f
h₁ : ∀ (c : M) (x : α), f (c +ᵥ x) = c +ᵥ f x
h₂ : ∀ (c : N) (x : α), f (c +ᵥ x) = c +ᵥ f x
⊢ VAddCommClass M N α
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
⊢ s1 < s2 ↔ s1 ≤ s2 ∧ ∃ p ∈ s2, p ∉ s1
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
s : Finset γ
h : γ → Π₀ (i : ι), β i
p : ι → Prop
DecidablePred p
⊢ DFinsupp.subtypeDomain p (∑ c ∈ s, h c) = ∑ c ∈ s, DFinsupp.subtypeDomain p (h c)
b : Prop
a : Prop
h : b
⊢ Or a b
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hi : ↑i < x.orderTop
hx : x ≠ 0
⊢ x.coeff i = 0
α : Type u_1
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
CompleteLattice α
f : ι → α
g : ι' → α
h : ∀ (i : ι), ∃ i', f i ≤ g i'
⊢ iSup f ≤ iSup g
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
x : H
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.target
⊢ Q (↑e ∘ ↑e.symm) univ x
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
LinearOrder α
f : ι → α
g : ι' → α
⊢ IsPiSystem {S | ∃ i j, f i < g j ∧ Set.Ico (f i) (g j) = S}
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
self : Subalgebra R A
r : R
⊢ (algebraMap R A) r ∈ self.carrier
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hfg : MeasureTheory.Integrable (f * g) μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ
⊢ μ[f * g|m] =ᵐ[μ] f * μ[g|m]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq0_lt : 0 < q
hf_zero : f =ᶠ[ae μ] 0
⊢ eLpNorm' f q μ = 0
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M
⊢ M ⊨ φ ↔ T ⊨ᵇ φ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddGroup α
h : Function.Periodic f c
a : α
⊢ h.lift ↑a = f a
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddMonoid G
inst✝¹ : AddMonoid H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
n : ℕ
⊢ f (n • a) = f 0 + n • b
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ
⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' closedBall b r = closedBall (b / a) r
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
⊢ ∀ (x : ℕ), x ∉ filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s 0))
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s t : Finset α
⊢ Finset.image (fun x => x.1 / x.2) (s ×ˢ t) = s / t
α : Type u_1
Preorder α
l : List α
DecidableEq α
H : List.Sorted (fun x x_1 => x < x_1) l
x : { x // x ∈ l }
⊢ ↑((List.Sorted.getIso l H).symm x) = List.indexOf (↑x) l
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3
⊢ W'.dblY P = W'.dblU P ^ 3
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Nontrivial M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
n m : ℕ
h : ↑n = ↑m
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ n = m
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
ι : Type u_3
DecidableEq σ
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
⊢ (∏ i ∈ s, f i).vars ⊆ s.biUnion fun i => (f i).vars
R : Type u_1
A : Type u_2
One R
Zero A
⊢ Unitization.fst 1 = 1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
hx : x ≠ 0
hr : r < 0
⊢ ⟪x, r • x⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖r • x‖) = -1
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y x' y' : ℝ
hx : x ∈ uIcc x' y'
hy : y ∈ uIcc x' y'
⊢ y ∈ uIcc y' x'
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R
i : σ
⊢ MvPolynomial.degreeOf i f ≤ f.totalDegree
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
h : CategoryTheory.ShiftMkCore C A
n : A
X : C
⊢ (h.add n 0).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (h.zero.hom.app ((h.F n).obj X)) (CategoryTheory.eqToHom ⋯)
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_4
Fintype n
PartialOrder R
NonUnitalRing R
StarRing R
StarOrderedRing R
NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
⊢ A * A.conjTranspose = 0 ↔ A = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
Zero β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
⊢ f.FinMeasSupp μ ↔ ∀ (y : β), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this✝ : QuasiSober ↑U
H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)
this : H.genericPoint ∈ Subtype.val ⁻¹' t
⊢ Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' t) ⊆ Subtype.val '' closure (Subtype.val ⁻¹' t)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
C : β
hC : C ∈ upperBounds (range g)
⊢ C ∈ upperBounds (range f)
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
h : IsLUB s a
⊢ IsGLB (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s) (OrderDual.toDual a)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
c : M'
hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x
⊢ mfderivWithin I I' (fun x => c) s x = 0
α : Type u_1
xs ys : FreeMonoid α
⊢ FreeMonoid.toList (xs * ys) = FreeMonoid.toList xs ++ FreeMonoid.toList ys
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
u : ℕ → α
⊢ CauchySeq u ↔ ∀ V ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (k : ℕ × ℕ) in Filter.atTop, k ∈ Prod.map u u ⁻¹' V
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
A : Rep k G
f g : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G
⊢ (fun f g => (A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g)) (f + g) x = ((fun f g => (A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g)) f + (fun f g => (A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g)) g) x
n : ℕ
i : Fin n
h' : ¬i.castSucc = Fin.last n := ⋯
⊢ i.castSucc.castPred h' = i
J : Type w
⊢ (CategoryTheory.Limits.widePushoutShapeOpEquiv J).functor = CategoryTheory.Limits.widePushoutShapeUnop J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
Z : C
P : CategoryTheory.ProjectiveResolution Z
n : ℕ
⊢ HomologicalComplex.ExactAt P.complex (n + 1)
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => Real.exp (f x)) (Real.exp (f x) * f') x
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g₁ g₂ : Fix F → α
h : ∀ (x : F (Fix F)), g₁ <$> x = g₂ <$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x✝ : Fix F
a : (P F).A
f : (P F).B a → WType (P F).B
ih : ∀ (a : (P F).B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f a)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f a))
⊢ abs ⟨a, g₁ ∘ fun x => ⟦f x⟧⟩ = abs ⟨a, g₂ ∘ fun x => ⟦f x⟧⟩
α : Type u_1
Preorder α
f : α → α
β : Type u_2
g : β → β
h : β → α
hf : Monotone f
H : h ∘ g ≤ f ∘ h
n : ℕ
⊢ h ∘ g^[n] ≤ f^[n] ∘ h