ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasEqualizer f g
W : C
k : W ⟶ X
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp k f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp k g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.equalizer.lift k h) (CategoryTheory.Limits.equalizer.ι f g) =
  k
α : Type u_1
l : Filter α
P : Set α → Prop
⊢ l.HasBasis (fun s => s ∈ l ∧ P s) id ↔ ∀ t ∈ l, ∃ r ∈ l, P r ∧ r ⊆ t
R : Type u_1
Semiring R
f g : Polynomial R
F G : ℕ
Ff : f.natDegree ≤ F
Gg : g.natDegree ≤ G
⊢ Polynomial.reflect (F + G) (f * g) = Polynomial.reflect F f * Polynomial.reflect G g
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
⊢ F.map f ≫ F.map (inv f) = 𝟙 (F.obj X)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
c : E
⊢ ∫ (x : α), ⟪c, f x⟫_𝕜 ∂μ = ⟪c, ∫ (x : α), f x ∂μ⟫_𝕜
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
N : Submodule R M
r : R
⊢ IsSMulRegular (M ⧸ N) r → r • ⊤ ⊓ N ≤ r • N
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ {v | v.asIdeal ∣ I}.Finite
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
⊢ Function.Injective (CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f) →
  ∀ (a : CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement P), CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f a = 0 → a = 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
⊢ CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.kernel.ι 0)
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) ≠ 0
⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Nontrivial R
V : ι → Submodule R M
hV : Independent V
I : Type w := { i // V i ≠ ⊥ }
⊢ lift.{v, w} #I ≤ lift.{w, v} (Module.rank R M)
S : Type u_1
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]
SMul S R
s : S
⊢ (s • a).imJ = s • a.imJ
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
this : 0 ∈ (univBall c r).source
⊢ ↑(univBall c r).symm c = 0
R : Type u_1
Ring R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
U : Submodule R M
x y : M
hxy : x ≡ y [SMOD U]
⊢ -x ≡ -y [SMOD U]
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.31876, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.31880, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : h.IsPreservedBy F
this✝ : PreservesColimit (parallelPair S.f 0) F
this : PreservesLimit (parallelPair h.g' 0) F
wp : F.map S.f ≫ F.map h.p = 0
hp : IsColimit ((CokernelCofork.ofπ h.p ⋯).map F)
⊢ (S.map F).RightHomologyData
o b : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
ho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) (b ^ o)
x y : Ordinal.{u_1}
hx : x < o
hy : y < o
⊢ (fun x x_1 => x + x_1) x y < o
α : Type u_1
β : Type u_2
Zero β
f g : α → β
l : Filter α
h : f =ᶠ[l] g
⊢ Function.support f =ᶠ[l] Function.support g
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
q : ℕ
qR0 : 0 < ↑↑q
bq0 : 0 < ↑b * ↑↑q
a0 : a * ↑q - ↑b * p ≠ 0
e : ℕ
he : ↑e = |a * ↑q - ↑b * p|
a1✝ : ↑e * ↑q ^ (b + 1) < ↑b * ↑q
ap✝ : 0 < ↑e
a1 : e * q ^ (b + 1) < b * q
ap : 0 < e
q1 : 1 < q
⊢ False
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : CommRing R
x : V → R
⊢ x ⬝ᵥ degMatrix R G *ᵥ x = ∑ i : V, ↑(G.degree i) * x i * x i
x y : ℝ
⊢ Real.arsinh x < Real.arsinh y ↔ x < y
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f✝ : ℕ → Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
val✝ : Encodable β
g : ℕ → Set α := fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg : g = fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (g i)
hg₂ : Pairwise (Disjoint on g)
this : ↑v (⋃ i, g i) = ∑' (i : ℕ), ↑v (g i)
⊢ HasSum (fun i => ↑v (f i)) (↑v (⋃ i, f i))
α : Type u_1
⊢ Function.Injective fun μ s => μ s
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
a : ℝ
ha : f a ≤ a + τ f
b : ℝ
hb : b + τ f ≤ f b
⊢ ∃ x, f x = x + τ f
α : Type u_2
ι : Type u_5
BooleanAlgebra α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
⊢ (s.inf fun b => f b ⇨ a) = s.sup f ⇨ a
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
AB_dvd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
⊢ p < (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : S →ₐ[R] S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2
x : S
⊢ ((Ideal.Quotient.mkₐ R (ideal R S).cotangentIdeal).comp f) x = (IsScalarTower.toAlgHom R S ((S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2) ⧸ (ideal R S).cotangentIdeal)) x ↔ ((TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift.comp f) x = (AlgHom.id R S) x
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]
⊢ ({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ } * { toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = (∑ i ∈ { toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.support, { toFinsupp := toFinsupp✝ }.sum fun j a => (monomial (i + j)) ({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.coeff i * a)).toFinsupp
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s✝ : Set α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
t : Set ↑s
c : ↑s
hct : c ∈ t
B : ↑s
hB : B ∈ upperBounds t
⊢ sSup (Subtype.val '' t) ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E →ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 F
h : U ⟂ V
⊢ Submodule.comap f U ⟂ Submodule.comap f V
a : ℝ
⊢ UniqueDiffOn ℝ (Set.Ioi a)
α : Type u_1
s t : Finset α
p : α → Prop
DecidablePred p
(x : α) → Decidable ¬p x
⊢ Disjoint (Finset.filter p s) (Finset.filter (fun a => ¬p a) t)
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.31752, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : ↑X ≅ ↑Y
α : (Presheaf.pushforward C H.hom).obj X.presheaf ≅ Y.presheaf
U✝ : Opens ↑↑Y
⊢ α.inv.app (op U✝) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ ((Presheaf.pushforward C H.hom).obj X.presheaf).map ((eqToHom ⋯).app (op U✝)) ≫ α.hom.app (op ((Opens.map (𝟙 ↑Y)).obj U✝)) = (𝟙 Y).c.app (op U✝)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
hg : IsBoundedLinearMap 𝕜 g
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun e => f e - g e
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
⊢ ∀ {X Y : Cᵒᵖ} (f : X ⟶ Y) (Y_1 : C)
  (g :
    ↑(((fun X =>
              (CategoryTheory.preadditiveCoyonedaObj X).comp
                (CategoryTheory.forget₂ (ModuleCat (CategoryTheory.End X)) AddCommGrp))
            X).obj
        Y_1)),
  ((CategoryTheory.preadditiveCoyoneda.map f).app Y_1) g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.unop g
F : Type u_1
L : Type u_3
Field F
Field L
Algebra F L
K : IntermediateField F L
Normal F ↥K
⊢ normalClosure F (↥K) L = K
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℤ
h : Odd n
a : α
hn : n ≠ 0
⊢ (-a) ^ n = -a ^ n
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x y : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))
h : ∀ (I : S.Arrow), ((J.plusObj P).map I.f.op) x = ((J.plusObj P).map I.f.op) y
⊢ x = y
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s t : Set G
⊢ interior s / interior t ⊆ interior (s / t)
R : Type u
CommRing R
IsBezout R
IsDomain R
⊢ [IsNoetherianRing R, IsPrincipalIdealRing R, UniqueFactorizationMonoid R, WfDvdMonoid R].TFAE
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ f.Finite
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
p q : ℕ
inst✝ : CharP K p
h : ↑q = 0
⊢ 1 * (X ^ q - X) + (X ^ q - X - 1) * derivative (X ^ q - X) = 1
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
h : 𝒜.Shatters s
⊢ 𝒜.Nonempty
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
⊢ UniformIntegrable f p μ
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤
b : α
s : Set α
s_max : ∀ a ∈ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}, s ⊆ a → a = s
s_ind : CompleteLattice.SetIndependent s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a
⊢ ∀ b_1 ∈ {a | IsAtom a}, b_1 ≤ b ⊔ sSup s
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
⊢ IsLocallySurjective J f ↔ ∀ (a : Cᵒᵖ) (x : (G ⋙ forget A).obj a), x ∈ (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf (whiskerRight f (forget A)))).obj a
m : Type u_2
α : Type v
ι : Type u_6
Zero α
⊢ Matrix.col ι 0 = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
Group α
MulAction α β
a : α
x : β
⊢ (Equiv.symm (MulAction.toPerm a)) x = a⁻¹ • x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Union α
a b : Part α
hab : (a ∪ b).Dom
⊢ (a ∪ b).get hab = a.get ⋯ ∪ b.get ⋯
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r✝ : R
e✝ : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
i : σ
e : ℕ
r : R
he : e ≠ 0
hr : r ≠ 0
⊢ ((monomial (Finsupp.single i e)) r).vars = {i}
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
S : Set X
F : f₀.HomotopyRel f₁ S
x : ↑I × X
⊢ F.symm x = F (σ x.1, x.2)
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
x : α
ε : ℝ
⊢ MeasurableSet (Metric.ball x ε)
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α
⊢ t ∈ 𝒜.shadow ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ s.card = t.card + 1
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
n : ℕ
⊢ (groupCohomology.inhomogeneousCochains A).d n (n + 1) = inhomogeneousCochains.d n A
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : ↥(adjoin A {ζ})
b : B
hb : b ∈ {ζ}
⊢ ⟨b, ⋯⟩ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
hs₀ : μ s ≠ 0
hsc₀ : μ sᶜ ≠ 0
hfi : Integrable f μ
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in sᶜ, f x ∂μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.UnifIntegrable f p μ
hg : MeasureTheory.UnifIntegrable g p μ
hp : 1 ≤ p
hf_meas : ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (g i) μ
⊢ MeasureTheory.UnifIntegrable (f + g) p μ
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
s : Set A
hfs : s.Finite
his : ∀ x ∈ s, IsIntegral R x
⊢ (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s)).FG
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
(p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
Nontrivial α
DecidableEq (Associates α)
a : Associates α
ha : a ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
k : ℕ
⊢ k ∣ p.count (a ^ k).factors
α : Type u_1
p : α → Option α
l : List α
⊢ replaceF p l = replaceFTR.go p l #[]
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
n : ℕ
hdeg : n < f.natDegree
a✝ : Nontrivial R
⊢ h.modByMonicHom (h.root ^ n) = X ^ n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow C
∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
⊢ f.augmentedCechNerve.left = f.cechNerve
I : Type w₀
C : I → Type u₁
(i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)
A : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A
f : (i : I) → CategoryTheory.Functor A (C i)
a : A
i : I
⊢ (CategoryTheory.Functor.pi' f).obj a i = (f i).obj a
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ 0 ≤ Complex.abs ((o.kahler x) y)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ν, x ∈ f ⁻¹' s → μ.rnDeriv ν x = (map f μ).rnDeriv (map f ν) (f x)
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
f : α → M
⊢ ∅.mulIndicator f = 1
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
⊢ IsIso h.ι
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁✝ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB✝ : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
⊢ ∃ n m, n < m ∧ Ideal.span {↑(seq K w₁ hB n)} = Ideal.span {↑(seq K w₁ hB m)}
α : Type u_2
β : Type u_3
Mul α
Mul β
f : α ≃* β
⊢ ∀ (a : αᵐᵒᵖ), (MulEquiv.op f) a = (MulOpposite.op ∘ ⇑f ∘ MulOpposite.unop) a
x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ Function.Bijective fun y => y ^ x
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
v₁ v₂ : M
h : v₁ ∈ MulAction.orbit (↥(Units.posSubgroup R)) v₂
⊢ SameRay R v₁ v₂
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set A
⊢ Subalgebra.centralizer R s.centralizer.centralizer = Subalgebra.centralizer R s
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
⊢ Subring.comap f ⊤ = ⊤
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
L : Sublattice α
f : α ≃o β
a : β
⊢ a ∈ Sublattice.map { toFun := ⇑f, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } L ↔ f.symm a ∈ L
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
Finite E
⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Type u_1
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set α
⊢ TotallyBounded (⋃ i ∈ I, s i) ↔ ∀ i ∈ I, TotallyBounded (s i)
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring A
AddCommMonoid M
Algebra R A
Module A M
Module R M
D : Derivation R A M
N : Type u_5
AddCommMonoid N
Module A N
Module R N
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R A N
f : M →ₗ[A] N
⊢ ⇑(f.compDer D) = ⇑(↑R f ∘ₗ ↑D)
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
⊢ conductor 1 = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ I.target = ↑I '' I.source
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
r : α
A : Matrix n n α
⊢ (r • A).cramer = r ^ (Fintype.card n - 1) • A.cramer
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Multiset { a // Irreducible a }
⊢ ↑a ⊔ ↑b + ↑a ⊓ ↑b = ↑a + ↑b
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : PointClass F
a✝ : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝)
⊢ W.NonsingularLift (W.negMap (Quot.mk Setoid.r a✝))
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ¬0 ≤ (↑(InnerProductGeometry.angle x y)).sign
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ False
α : Type u_1
TopologicalSpace α
PolishSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
⊢ PolishSpace.IsClopenable s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
α : F ≅ G
⊢ (CategoryTheory.NatIso.op α).hom = CategoryTheory.NatTrans.op α.hom
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]
⊢ ((toZModPow n) x).cast = 0 ↔ (toZModPow m) x = 0
G : Type u_1
Group G
s : Set G
⊢ s ⊆ ↑(Subgroup.normalClosure s)
θ : Real.Angle
ψ : ℝ
⊢ θ.sin = Real.sin ψ ↔ θ = ↑ψ ∨ θ + ↑ψ = ↑π
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g
i j : 𝒰.J
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.gluedLiftPullbackMap 𝒰 f g s i j ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd ((𝒰.pullbackCover s.fst).map i) ((𝒰.pullbackCover s.fst).map j) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd s.fst (𝒰.map j)
α : Type u_2
g : Set (Set α)
f : Filter α
CountableInterFilter f
⊢ f ≤ Filter.countableGenerate g ↔ g ⊆ f.sets
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ
this : closedBall 0 (r * s) = r • closedBall 0 s
⊢ μ (closedBall x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False
x y z : α
hne : x ≠ y ∧ y ≠ z ∧ x ≠ z
h₁ : y < x
h₂ : z < y
h₃ : x < z
⊢ False
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
⊢ ((CategoryTheory.MonoidalOpposite.mopMopEquivalence C).inverse.obj X).unmop.unmop = X
n : Nat
⊢ ⟨0, ⋯⟩ = 0
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α✝
γ : Type w
inst✝¹ : MetricSpace γ
α : Type u
inst✝ : MetricSpace α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : α), F x = F y → dist x y ≤ ε
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
⊢ ∃ s, s.Countable ∧ ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε
a b c : ℕ
h : a ∣ b
⊢ (b / a) ^ c = b ^ c / a ^ c
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
hs : s.Infinite
⊢ MeasureTheory.Measure.count s = ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_4
f : Part α
g : α → Part β
k : β → Part γ
⊢ (f.bind g).bind k = f.bind fun x => (g x).bind k
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : CommSemiring α
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n α
b : n → α
a : α
x✝ : m
⊢ (A *ᵥ a • b) x✝ = (a • A *ᵥ b) x✝
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℕ
hl : ζ⁻¹ ^ l = 1
⊢ ζ ^ l = 1
l : Type u_4
R : Type u₂
DecidableEq l
CommRing R
Fintype l
⊢ LieAlgebra.Orthogonal.indefiniteDiagonal (Unit ⊕ l) l R =
  (Matrix.reindexLieEquiv (Equiv.sumAssoc Unit l l).symm)
    (Matrix.fromBlocks 1 0 0 (LieAlgebra.Orthogonal.indefiniteDiagonal l l R))
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
⊢ (if h : AddOpposite.unop (addOppositeEquiv x) = 0 then ⊤ else ↑(⋯.min ⋯)) = if h : x = 0 then ⊤ else ↑(⋯.min ⋯)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ f₂ univ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ univ ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (derivWithin f₂ univ) univ
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
n : ℤ
y : ℝ := rexp (-π * τ.im)
h : y < 1
⊢ ‖cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ = y ^ n ^ 2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
NormedField 𝕜₂
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
ι' : Type u_10
Nonempty ι'
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ Seminorm.IsBounded p (fun x => q) f ↔ ∃ s C, q.comp f ≤ C • s.sup p
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
r s t r' s' t' : R
h : r ≠ 0
⊢ EuclideanDomain.xgcdAux r s t r' s' t' = EuclideanDomain.xgcdAux (r' % r) (s' - r' / r * s) (t' - r' / r * t) r s t
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
y : Y
f : X → Z
⊢ (Inducing fun x => (f x, y)) ↔ Inducing f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
self : CategoryTheory.Precoherent C
B₁ B₂ : C
f : B₂ ⟶ B₁
α : Type
Finite α
X₁ : α → C
π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁
⊢ CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X₁ π₁ →
  ∃ β,
    ∃ (_ : Finite β),
      ∃ X₂ π₂,
        CategoryTheory.EffectiveEpiFamily X₂ π₂ ∧
          ∃ i ι,
            ∀ (b : β), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (ι b) (π₁ (i b)) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (π₂ b) f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
c : ℝ≥0
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
⊢ Summable f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ((innerSLFlip 𝕜) x) y = ⟪y, x⟫_𝕜
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
f : m → n
hf : Function.Injective f
⊢ Function.Surjective ⇑(LinearMap.funLeft R M f)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
U U' : C
⊢ (α_ X.fst Y.fst (U ⊗ U')).hom ≫ X.fst ◁ ((α_ Y.fst U U').inv ≫ (Y.snd.β U).hom ▷ U' ≫ (α_ U Y.fst U').hom ≫ U ◁ (Y.snd.β U').hom ≫ (α_ U U' Y.fst).inv) ≫ (α_ X.fst (U ⊗ U') Y.fst).inv ≫ ((α_ X.fst U U').inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ U' ≫ (α_ U X.fst U').hom ≫ U ◁ (X.snd.β U').hom ≫ (α_ U U' X.fst).inv) ▷ Y.fst ≫ (α_ (U ⊗ U') X.fst Y.fst).hom = (α_ (X.fst ⊗ Y.fst) U U').inv ≫ ((α_ X.fst Y.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom) ▷ U' ≫ (α_ U (X.fst ⊗ Y.fst) U').hom ≫ U ◁ ((α_ X.fst Y.fst U').hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U').hom ≫ (α_ X.fst U' Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U').hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U' X.fst Y.fst).hom) ≫ (α_ U U' (X.fst ⊗ Y.fst)).inv