ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
Fintype n
Fintype m
Field R
PartialOrder R
StarRing R
StarOrderedRing R
A : Matrix m n R
⊢ (A * Aᴴ).rank = A.rank
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
f : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
x : ι → M₂
⊢ ((fun f => { toFun := fun x => f (x i), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) ((fun f => { toFun := fun x => f fun x_1 => x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) f)) x = f x
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
⊢ Continuous f
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
⊢ ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ ndinsert a s ↔ a_1 ∈ a ::ₘ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n
⊢ ‖q.compAlongComposition p c‖₊ ≤ ‖q c.length‖₊ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖₊
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
b : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
a : Rˣ
⊢ IsSMulRegular M ↑a
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
⊢ ∀ j ≥ n, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat (r + s) - (nthHomSeq f_compat r + nthHomSeq f_compat s)) j) < ε
α : Type u
f g : Filter α
⊢ f.sets = g.sets → f = g
α : Type u_1
⊢ ⇑(finTwoArrowEquiv α).symm = fun x => ![x.1, x.2]
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hf : Summable fun x => ‖term (logMul 1) s x‖
n : ℕ
⊢ ‖↑(Λ n)‖ ≤ ‖logMul 1 n‖
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x y : S
⊢ y ∈ conductor R x ↔ ∀ (b : S), y * b ∈ Algebra.adjoin R {x}
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Cat} (F : X ⟶ Y), CategoryTheory.Quiv.forget.map F = F.toPrefunctor
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
hba : b ≤ a
⊢ (Set.Icc a b).Subsingleton
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
R : Type u_1
Ring R
CategoryTheory.Linear R C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
x : R
⊢ (x • γ).leftShift a n' hn' = x • γ.leftShift a n' hn'
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
α' : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α'
β' : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace β'
f : α → α'
g : β → β'
f_mble : Measurable f
g_mble : Measurable g
⊢ ↑((μ.map f).prod (ν.map g)) = ↑((μ.prod ν).map (Prod.map f g))
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
this✝ : (g - 0).LimZero
this : f + g ≈ f
h1 : (f + g).norm = f.norm
⊢ (f + g).norm = max f.norm g.norm
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
X : CategoryTheory.StructuredArrow F (CategoryTheory.Functor.const J)
⊢ ((CategoryTheory.Limits.Cocone.equivStructuredArrow F).counitIso.hom.app X).left =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α ≃ β
l : α →₀ M
⊢ (Finsupp.equivCongrLeft f) l = Finsupp.equivMapDomain f l
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
h : ∀ a ∈ s, (filter (fun x => a ∈ x) B).card ≤ n
⊢ ∑ t ∈ B, (s ∩ t).card ≤ ∑ x ∈ s, (filter (fun x_1 => x ∈ x_1) B).card
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)
s' : (i : ι) → Set (β (e i)) := fun i => s (e i)
this : ⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s = univ.pi s'
i : ι'
a✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ i = e (e.symm i)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeSup γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
x : γ
hx : x ∈ lowerBounds (Ioo a b)
h₂ : a < x ⊔ a
y : γ
lty : a < y
ylt : y < x ⊔ a
u : γ
au : a < u
ub : u < b
⊢ x ≤ b
r : ℚ
p' : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime (0 + p' + 1))
x : ℤ_[0 + p' + 1]
⊢ x.zmodRepr < p' + 1
f : Char → Char
cs cs' : List Char
⊢ { data := cs ++ cs' }.modify { byteIdx := String.utf8Len cs } f = { data := cs ++ List.modifyHead f cs' }
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <+ l₂ → l₁.length ≤ l₂.length
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ∈ Complex.slitPlane
⊢ ContinuousAt (fun x => x.1 ^ x.2) p
α : Type u
n m : ℕ
v : Mathlib.Vector α m
⊢ (Mathlib.Vector.take n v).toList = List.take n v.toList
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
int_ev : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, u * (↑y ^ (u - 1) * (1 - ↑y) ^ v) - v * (↑y ^ u * (1 - ↑y) ^ (v - 1)) = F 1 - F 0
hF0 : F 0 = 0
hF1 : F 1 = 0
⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
ι✝ : Type u_5
π : ι✝ → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (π i)
ι : Type u_7
α : ι → Type u_8
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
I : Set ι
hs : ∀ i ∈ I, Dense (s i)
⊢ Dense (I.pi s)
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
n : ℕ
ih : res x n = res y n
hA : ¬x n = y n
⊢ ¬_root_.Disjoint (A (x n :: res x n)) (A (y n :: res x n))
α : Type u_1
Preorder α
o₁ o₂ : Ordering
a b : α
⊢ o₁.Compares a b → o₂.Compares a b → o₁ = o₂
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
ϕ : L →ᴸ L'
L'' : FirstOrder.Language
ψ : L'' →ᴸ L'
_n : ℕ
⊢ ∀ (a : L.Functions _n ⊕ L''.Functions _n),
  (ϕ.sumElim ψ).onFunction a = Sum.elim (fun f => ϕ.onFunction f) (fun f => ψ.onFunction f) a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : F.NeBot
t : R
tbot : ¬IsBot t
t' : R
ht' : t' < t
ev : ∀ᶠ (x : R) in F, ¬(fun x => t' ≤ x) x
ht : t ≤ t'
⊢ False
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommSemiring K
CommSemiring L
CommSemiring M
i : K →+* L
f : L →+* M
p : ℕ
IsPRadical i p
IsPRadical f p
⊢ IsPRadical (f.comp i) p
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
⊢ HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂ p.1 p.2) (jacobiTheta₂_fderiv z τ) (z, τ)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f g : α → β
AddCommGroup β
TopologicalAddGroup β
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (g + f) μ ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ
α : Type u
s : Set (Set α)
hs : #↑s ≤ 𝔠
⊢ #↑{t | MeasurableSpace.GenerateMeasurable s t} ≤ 𝔠
n m : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m
α✝ β : TypeVec.{u} m
α : TypeVec.{u} n
r : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → α i → Prop
x y : ↑P α
a : P.A
f₀ f₁ : P.B a ⟹ α
xeq : x = ⟨a, f₀⟩
yeq : y = ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : Fin2 n) (j : P.B a i), r (f₀ i j) (f₁ i j)
⊢ (fun i t => (↑t).1) <$$> ⟨a, fun i j => ⟨(f₀ i j, f₁ i j), ⋯⟩⟩ = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> ⟨a, fun i j => ⟨(f₀ i j, f₁ i j), ⋯⟩⟩ = y
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
w✝ : ℝ≥0
left✝ : 0 < w✝
antilipschitz : AntilipschitzWith w✝ ⇑(continuousLinearMapOfBilin B)
⊢ Function.Injective ⇑(continuousLinearMapOfBilin B)
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ
⊢ 𝓝[>] x ≠ ⊥
b : ℕ
l : List ℕ
hl : ∀ x ∈ l, x < b + 2
⊢ Nat.ofDigits (b + 2) l < (b + 2) ^ l.length
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a : α
⊢ a ∆ aᶜ = ⊤
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
hsC : Profinite.NobelingProof.contained C o
⊢ (fun p => ↑p) ∘ (Profinite.NobelingProof.GoodProducts.range_equiv C ho hsC).toFun = fun p => ↑p
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Subsingleton M
⊢ LinearEquiv.ofSubsingleton M M = LinearEquiv.refl R M
α : Type u_1
DivisionRing α
a : α
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a 1 → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a⁻¹ 1
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
p : BoxIntegral.Box ι → Prop
⊢ (π.filter p).boxes = Finset.filter p π.boxes
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
h : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt f f' x
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
DecidableEq α
h : a < b
⊢ insert b (Finset.Ioo a b) = Finset.Ioc a b
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : ↥M
c : R
⊢ ↑1 * (↑(↑b * c + ↑b * a, b * b).2 * (a + c, b).1) = ↑1 * (↑(a + c, b).2 * (↑b * c + ↑b * a, b * b).1)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s t : Multiset α
hs : ∃ x ∈ s, x ≠ 0
ht : s = map (fun x => s.gcd * x) t
⊢ s.gcd * t.gcd = s.gcd
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ (B (l (b₁' i))) (r (b₂' j)) = ∑ y : n, ∑ x : m, (b₁.repr (l (b₁' i))) y * (B (b₁ y)) (b₂ x) * (b₂.repr (r (b₂' j))) x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y : C
g : Y ⟶ X
CategoryTheory.Mono g
f₁ f₂ : CategoryTheory.Subobject Y
⊢ (CategoryTheory.Subobject.map g).obj (f₁ ⊓ f₂) =
  (CategoryTheory.Subobject.map g).obj f₁ ⊓ (CategoryTheory.Subobject.map g).obj f₂
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩
IΦ' : Isometry Φ'
IΨ' : Isometry Ψ'
this✝⁴ : IsCompact s
this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance
this✝² : CompactSpace (Subtype s)
this✝¹ : Nonempty (Subtype s)
ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'
ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'
this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
F : Subtype s → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤) := kuratowskiEmbedding (Subtype s)
this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')
⊢ ghDist X Y ≤ hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ')
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
x₀ : G
⊢ ∀ (a : G), ∀ i ∈ toFilterBasis, ∀ᶠ (x : G) in map (fun y => a * y) toFilterBasis.filter, (fun y => a * y) '' id i ∈ map (fun y => x * y) toFilterBasis.filter
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨆ g, ⨆ (_ : Measurable g), ⨆ (_ : g ≤ f), ∫⁻ (a : α), g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x : E
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f 0 s x 0
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.51683, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.51687, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.51691, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E✝ E'✝ : L.RightExtension F
Y : D
E E' : L.RightExtension F
φ : E ⟶ E'
G : StructuredArrow Y L
⊢ φ.left.app Y ≫ E'.left.map G.hom ≫ E'.hom.app G.right = E.left.map G.hom ≫ (((whiskeringLeft C D H).obj L).map φ.left ≫ E'.hom).app G.right
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
⊢ limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limMap (whiskerLeft F (restriction R g)) ≫ limit.π ((F ⋙ evaluation R Z) ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) j) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
LocallyCompactPair X Y
f : X → Y
K : Set X
U : Set Y
hf : Continuous f
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : Set.MapsTo f K U
⊢ ∃ L ∈ 𝓝ˢ K, IsCompact L ∧ Set.MapsTo f L U
R : Type u
M : Type v
Zero R
m : M
⊢ (TrivSqZeroExt.inr m).fst = 0
M : Type u_1
MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
C : M → Prop
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, S i
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x * y)
⊢ C x
α : Type u
a b c : Set α
⊢ a ∩ b ∩ c = a ∩ (b ∩ c)
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Nonempty β
a b : α
⊢ Function.const β a ≤ Function.const β b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_5
AddCommMonoid M
e : α ≃ β
f : β ≃ γ
⊢ (Finsupp.domCongr e).trans (Finsupp.domCongr f) = Finsupp.domCongr (e.trans f)
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y : α
h : x ≠ y
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
p : ¬x < y → y < x := ⋯
⊢ ltByCases x y h₁ h₂ h₃ = if h' : x < y then h₁ h' else h₃ ⋯
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
⊢ f a ^ e a ⊓ ∏ i ∈ s, f i ^ e i = f a ^ e a * ∏ x ∈ s, f x ^ e x
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
u : ℝ → E
v : ℝ → F
u' : ℝ → E
v' : ℝ → F
m n : G
inst✝ : CompleteSpace G
hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x
huv' : Integrable (fun x => (L (u x)) (v' x)) volume
hu'v : Integrable (fun x => (L (u' x)) (v x)) volume
h_bot : Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) atBot (𝓝 m)
h_top : Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) atTop (𝓝 n)
⊢ ∫ (a : ℝ), (L (u a)) (v' a) + (L (u' a)) (v a) = n - m
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module S M₃
σ✝ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f✝ g✝ : M →ₛₗ[σ✝] M₃
σ : Rᵐᵒᵖ →+* S
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
x : R
⊢ σ (MulOpposite.op x) • g 1 = g (MulOpposite.op x • 1)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : Function.Surjective (pseudoApply f)
pbar : Pseudoelement P
hpbar : pseudoApply f pbar = Quot.mk (PseudoEqual Q) (Over.mk (𝟙 Q))
p : Over P
hp : ⟦p⟧ = pbar
⊢ Epi f
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
J : FractionalIdeal S P
hIJ : I ≤ ↑J
a : R
a_mem : a ∈ S
ha : ∀ b ∈ ↑J, IsInteger R (a • b)
⊢ IsFractional S I
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
⊢ ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), IsIntegral F α
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
μa : MeasureTheory.Measure α
μb : MeasureTheory.Measure β
μc : MeasureTheory.Measure γ
g : β → γ
f : α → β
hg : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving g μb μc
hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μa μb
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (g ∘ f) μa μc
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
x z : P
a : ℝ
ha₀ : 0 ≤ a
ha₁ : a ≤ 1
⊢ dist x ((AffineMap.lineMap x z) a) + dist ((AffineMap.lineMap x z) a) z = dist x z
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : (J l R).det * (A.det * A.det) = (J l R).det
⊢ (J l R).det * (A.det * A.det) = (J l R).det
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : ∀ (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t)) = jacobiTheta₂_term n (↑a) (I * ↑t)
⊢ HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n (↑a) (I * ↑t)) (jacobiTheta₂ (↑a) (I * ↑t))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀✝ : ∀ (b : β), Monotone (swap f b)
h₁✝ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
a : α
ha : a ∈ upperBounds s
b : β
hb : b ∈ upperBounds t
⊢ BddAbove (image2 f s t)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hx : c x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x => (c x)⁻¹) s x = -derivWithin c s x / c x ^ 2
A : Type u_2
CommRing A
IsDomain A
⊢ IsDedekindDomain A ↔ IsDedekindDomainInv A
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
⊢ (FreeAlgebra.lift R) (⇑g ∘ FreeAlgebra.ι R) = g
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a b : α
ZeroLEOneClass α
PosMulMono α
MulPosMono α
ha : a ≤ 1
hb' : 0 ≤ b
hb : b ≤ 1
⊢ a * b ≤ 1
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝¹ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
hdet : w * z = (x * y).succPNat
hdet' : ↑w * ↑z = x * y + 1
x✝ : u.v = (↑a, ↑b)
⊢ a = a' * d ∧ b = b' * d ∧ z * a' = (x * ↑b').succPNat ∧ w * b' = (y * ↑a').succPNat ∧ ↑z * ↑a = x * ↑b + ↑d ∧ ↑w * ↑b = y * ↑a + ↑d
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (Complex.im ⁻¹' Set.Ioo a b)
hB :
  ∃ c < π / (b - a),
    ∃ B,
      f =O[Filter.comap (abs ∘ Complex.re) Filter.atTop ⊓ 𝓟 (Complex.im ⁻¹' Set.Ioo a b)] fun z =>
        expR (B * expR (c * |z.re|))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.im
hzb : z.im ≤ b
⊢ ‖f z‖ ≤ C
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Inv G
Zero G
SmoothInv₀ I G
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
n : ℕ∞
f : M → G
s : Set M
hf : ContMDiffOn I' I n f s
h0 : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ ContMDiffOn I' I n (fun x => (f x)⁻¹) s
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
⊢ IsPreconnected {y | s.WOppSide x y}
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
GroupWithZero α
MulAction α β
s t : Finset β
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ a • (s ∩ t) = a • s ∩ a • t
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
x' : M
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
hx'' : f x' = f (S.subtype y • x)
a : ↥S
ha : a • x' = a • S.subtype y • x
⊢ (a * y) • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
r : ℕ
W : Type u_2
Fintype W
DecidableEq W
H : SimpleGraph W
DecidableRel H.Adj
h : G.IsTuranMaximal r
f : G ≃g H
hr : 0 < r
⊢ H.IsTuranMaximal r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C
⊢ ∀ (X_1 : SimplexCategoryᵒᵖ), X.rightOpLeftOpIso.hom.left.app X_1 = 𝟙 (X.left.obj X_1)
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
hx : f x ≤ x
y : ↑(Function.fixedPoints ⇑f)
h : ↑y ≤ x
⊢ y ≤ f.prevFixed x hx
α : Type u_1
CircularPreorder α
a b c : α
h : sbtw a b c
⊢ btw a b c
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Set ℝ
x : ℝ
⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ ε > 0, ∃ y ∈ s, |y - x| < ε
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝓤 𝓥 : X.OpenCover
self : 𝓤.Hom 𝓥
j : 𝓤.J
⊢ AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion (self.app j)
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
h : G.CliqueFree n
v w : α
⊢ (G ⊔ edge v w).CliqueFree (n + 1)
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
p q : Subgroup G
h : p.toSubmonoid = q.toSubmonoid
this : ↑p = ↑q
⊢ p = q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ F.map (CategoryTheory.inv f) = CategoryTheory.inv (F.map f)
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
⊢ Multiset.Icc a b = 0 ↔ ¬a ≤ b
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder β
NoMinOrder β
f : α → β
l : Filter α
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
c : β
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ c
ι : Type u_1
DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
Add ι
(i : ι) → AddCommMonoid (A i)
DirectSum.GNonUnitalNonAssocSemiring A
i j : ι
a : A i
b : A j
⊢ ((DirectSum.mulHom A) ((DirectSum.of A i) a)) ((DirectSum.of A j) b) =
  (DirectSum.of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul a b)
M : Type u_1
S✝ T : Set M
inst✝ : Mul M
S : Set M
x : M
hx : x ∈ S.centralizer.centralizer.centralizer
y : M
hy : y ∈ S
⊢ y * x = x * y
X Y : Type u
Mul X
Mul Y
f : X →ₙ* Y
x : X
⊢ (MagmaCat.ofHom f) x = f x
G : Type u_3
P : Type u_4
LE G
LE P
VAdd G P
self : IsOrderedCancelVAdd G P
a : G
b c : P
⊢ a +ᵥ b ≤ a +ᵥ c → b ≤ c