ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasKernel f'
p : X ≅ X'
q : Y ≅ Y'
w : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'
⊢ (f' ≫ q.inv) ≫ q.hom = (p.inv ≫ f) ≫ q.hom
a : ℝ
⊢ UniqueDiffOn ℝ (Set.Ici a)
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
h : ∀ (x : M), e x = e' x
⊢ e = e'
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
ContinuousAdd G
⊢ DiscreteTopology G ↔ IsOpen {0}
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
f : α → β
s : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ ((comap f) ⊤) s = ⊤ s
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
⊢ (cfcHom ha) (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = a
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : β ≃ α
⊢ Finset.map f.toEmbedding Finset.univ = Finset.univ
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
LocallyCompactSpace G
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
⊢ Filter.Tendsto (fun g => μ ((g +ᵥ k) \ k)) (𝓝 0) (𝓝 0)
Ω : Type u_1
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
s : Set Ω
⊢ ProbabilityTheory.IndepSet ∅ s μ
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
Finite ι
s : ι → M
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
NoZeroSMulDivisors R M
⊢ Module.Free R M
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn (-f) s μ
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤
  ((∑ ab ∈ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts.product (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hV).parts,
        ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
      16 ^ P.parts.card) ^
    2
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
x : ℕ
⊢ bit a x % 2 = if a = true then 1 else 0
u : ℂ
hu : 0 < u.re
⊢ u.betaIntegral 1 = 1 / u
α : Type u
op : α → α → α
ha : Std.Associative op
l : List α
a₁ a₂ : α
⊢ List.foldl op (op a₁ a₂) l = op a₁ (List.foldl op a₂ l)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iio x)
⊢ inst✝⁸ = MeasurableSpace.generateFrom ?convert_2
z : ℂ
hz : ¬z = 0
⊢ |z.re / abs z| ≤ 1
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
⊢ hausdorffDist s t ≤ r
δ : Type u_1
π : δ → Type u_3
(x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → MeasureTheory.Measure (π i)
∀ (i : δ), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
DecidableEq δ
s : Finset δ
i : δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hi : i ∉ s
x : (i : δ) → π i
y : π i
⊢ (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) (Function.update x i y) = (∫⋯∫⁻_s, f ∘ fun x => Function.update x i y ∂μ) x
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s s' : Set V
hs : s ⊆ s'
⊢ G'.induce s ≤ G'.induce s'
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
t : Set β
a : α
⊢ {a} +ᵥ t = a +ᵥ t
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
j : ℕ
hj✝ : j ≥ n
k : ℕ := j - n
hj : j = n + k
⊢ ∑ i ∈ range k, abs x ^ n / ↑n.factorial * (abs x ^ i / ↑n.succ ^ i) ≤ abs x ^ n / ↑n.factorial * 2
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
S : Set X
⊢ EquicontinuousOn F S ↔ EquicontinuousOn Subtype.val S
G : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Group G
MulAction G β
g : G
f : α ↪ β
⊢ ⇑(g • f) = g • ⇑f
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
⊢ a * c ≤ b * d
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
TopologicalSpace β
BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.OuterRegular
⊢ (MeasureTheory.Measure.map (⇑f) μ).OuterRegular
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝¹ : LE α
inst✝ : PartialOrder β
f : α ≃o β
x : α
y : β
hx : ∀ (x' : α), x ≤ x'
hy : ∀ (y' : β), y ≤ y'
⊢ f x ≤ y
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : MeasureTheory.UniformIntegrable f p μ
⊢ MeasureTheory.UniformIntegrable (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, f i) p μ
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithTop.some ⁻¹' Set.Iic ↑a = Set.Iic a
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
x : α × β
Fintype ↑(G.neighborSet x.1)
Fintype ↑(H.neighborSet x.2)
Fintype ↑((G □ H).neighborSet x)
⊢ (G □ H).degree x = G.degree x.1 + H.degree x.2
X : TopCat
T : ↑X → Type v
P : LocalPredicate T
x : ↑X
w : ∀ (U V : OpenNhds x) (fU : (y : ↥U.obj) → T ↑y), P.pred fU → ∀ (fV : (y : ↥V.obj) → T ↑y), P.pred fV → fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩ → ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w)
U : (OpenNhds x)ᵒᵖ
fU : (x_1 : ↥(unop ((OpenNhds.inclusion x).op.obj U))) → T ↑x_1
hU : P.pred fU
V : (OpenNhds x)ᵒᵖ
fV : (x_1 : ↥(unop ((OpenNhds.inclusion x).op.obj V))) → T ↑x_1
hV : P.pred fV
h : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩
⊢ ∃ W s, ∃ (hW : P.pred s), colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate) U ⟨fU, hU⟩ = (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩ ∧ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate) V ⟨fV, hV⟩ = (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩
K : Type u_1
Field K
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
h_eq : p = q
⊢ ↑(AdjoinRoot.algEquivOfEq hp h_eq) = AdjoinRoot.liftHom p (AdjoinRoot.root q) ⋯
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
η : F ⟶ A
X : C
p : YonedaCollection (restrictedYonedaObj η) X
⊢ OverArrows.val ((restrictedYonedaObj η).map (eqToHom ⋯) (id p).snd) = OverArrows.val ((unitBackward η X ∘ unitForward η X) p).snd
α : Type u
e : Equiv.Perm α
⊢ e * Equiv.symm e = 1
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ p₁ -ᵥ (AffineMap.lineMap p₀ p₁) c = (1 - c) • (p₁ -ᵥ p₀)
α : Type u_1
β : Type u_2
g : β → α
⊢ TopologicalSpace.induced g ⊤ = ⊤
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
x y : P
h : Injective fun x => 2 • x
⊢ (pointReflection x) y = y ↔ y = x
α : Type u
β : Type v
f : α ↪ β
s : Finset β
t : Finset α
hs : s ⊆ Finset.map f t
⊢ s.preimage ⇑f ⋯ ⊆ t
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
x✝ : i ∈ univ
⊢ (-1) ^ ↑i * Aᵀ i 0 * (Aᵀ.submatrix i.succAbove Fin.succ).det = (-1) ^ ↑i * A 0 i * (A.submatrix Fin.succ i.succAbove).det
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hdiv : ¬p ∣ 0
⊢ (expand R p) (cyclotomic 0 R) = cyclotomic (0 * p) R * cyclotomic 0 R
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Setoid α
h : ∀ (x y : α), r x y → s.Rel x y
⊢ EqvGen.Setoid r ≤ s
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : M
r : R
hx : (ι R) x = (algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) r
⊢ (algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) r = 0
R : Type u_1
Semiring R
f : Module.End R R
⊢ IsIdempotentElem (f 1) ↔ IsIdempotentElem f
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹⁰ : Category.{v₃, u₃} E
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝⁹ : L.IsLocalization W
A : Type w
inst✝⁸ : AddMonoid A
inst✝⁷ : HasShift C A
inst✝⁶ : W.IsCompatibleWithShift A
inst✝⁵ : W.HasLocalization
F : C ⥤ E
F' : D ⥤ E
inst✝⁴ : Lifting L W F F'
inst✝³ : HasShift D A
inst✝² : HasShift E A
inst✝¹ : L.CommShift A
inst✝ : F.CommShift A
a : A
X : C
⊢ (F'.commShiftIso a).hom.app (L.obj X) = F'.map ((L.commShiftIso a).inv.app X) ≫ (Lifting.iso L W F F').hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (F.commShiftIso a).hom.app X ≫ (shiftFunctor E a).map ((Lifting.iso L W F F').inv.app X)
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : One β
s : ι → Set α
hs : Monotone s
f : α → β
a : α
⊢ (fun i => (s i).mulIndicator f a) =ᶠ[atTop] fun x => (⋃ i, s i).mulIndicator f a
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
s : Set β
h : ∀ (x : α), f x = g x
⊢ f ⁻¹' s = g ⁻¹' s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s t : Set M
⊢ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' (s ∩ t) ∩ Set.range ↑I = ↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I ∩ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' t
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
F : Set (Set E)
hF : F.Nonempty
hA : ∀ B ∈ F, IsExtreme 𝕜 A B
this : Nonempty ↑F
⊢ IsExtreme 𝕜 A (⋂ B ∈ F, B)
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
f g : ℕ → R
hf : ∀ n > 0, f n ≠ 0
hg : ∀ n > 0, g n ≠ 0
⊢ (∀ n > 0, n ∈ s → ∏ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, n ∈ s → ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, g x.2 ^ μ x.1 = f n
a b : Prop
⊢ (¬a → ¬b) → b → a
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
g' : α → F'
l : Filter α
⊢ (fun _x => 0) =o[l] g'
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
c : α
AddMonoid α
Group γ
DistribMulAction γ α
h : Function.Periodic f c
a : γ
⊢ Function.Periodic (fun x => f (a⁻¹ • x)) (a • c)
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
⊢ ∃ c ∈ ↑S, a < c ∧ c < b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + b - c ≤ a - c + b
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
hε : 0 ≤ ε
⊢ P.parts.offDiag.card • (A.card / P.parts.card + 1) ^ 2 ≤ (P.parts.card * (A.card / P.parts.card) + P.parts.card) ^ 2
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors I
⊢ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨L, ⋯⟩) ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors J
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f g : M → N
x y : M
⊢ polar (f + g) x y = polar f x y + polar g x y
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
β : Type u_6
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i → Set β
⊢ ⋃ i ∈ s, ⋃ j ∈ t i, f i j = ⋃ ij ∈ s.sigma t, f ij.fst ij.snd
α : Type u_1
LinearOrder α
x y : α
h : x < y
⊢ cmp y x = Ordering.gt
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ 2 / (1 - 2 / rexp 1) ≤ 8
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.blt 1 n = true
⊢ 0 < Real.log e
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
X : Type u_2
C : FreeAlgebra R X → Prop
h_grade0 : ∀ (r : R), C ((algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r)
h_grade1 : ∀ (x : X), C (ι R x)
h_mul : ∀ (a b : FreeAlgebra R X), C a → C b → C (a * b)
h_add : ∀ (a b : FreeAlgebra R X), C a → C b → C (a + b)
a : FreeAlgebra R X
s : Subalgebra R (FreeAlgebra R X) := { carrier := C, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := h_grade0 }
of : X → ↥s := Subtype.coind (ι R) h_grade1
of_id : ∀ (x : FreeAlgebra R X), x = ↑(((lift R) of) x)
⊢ a = ↑(((lift R) of) a)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
NormalSpace X
s t : Set X
H1 : IsClosed s
H2 : IsClosed t
H3 : Disjoint s t
⊢ SeparatedNhds s t
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Γ' : Type u_3
PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
g : Γ
r : R
⊢ HahnSeries.embDomain f ((HahnSeries.single g) r) = (HahnSeries.single (f g)) r
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
x : R
⊢ (Localization.monoidOf M).toMap x = (algebraMap R (Localization M)) x
n : ℕ
pn : Mathlib.Meta.NormNum.IsNat n 0
⊢ Multiset.range n = 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
x✝ : z ∈ [x-[𝕜]y]
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hz : a • x + b • y = z
⊢ (fun θ => (a + b - θ) • x + θ • y) b = a • x + b • y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f p x n
⊢ ∀ᶠ (r : ℝ≥0∞) in 𝓝[>] 0, HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
α : Type u_1
β : Type u_2
s s' : Finset α
t : Finset β
DecidableEq α
DecidableEq β
⊢ (s ∪ s') ×ˢ t = s ×ˢ t ∪ s' ×ˢ t
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → Submodule R M
⊢ ↑(s.inf p) = ⋂ i ∈ s, ↑(p i)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
s t : ℝ
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ (Icc 0 s)
φst : φ '' Icc 0 s = Icc 0 t
hfφ : HasUnitSpeedOn (f ∘ φ) (Icc 0 s)
hf : HasUnitSpeedOn f (φ '' Icc 0 s)
⊢ id = fun y => y - 0 + φ 0
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → AddMonoid (f i)
(i : I) → StarAddMonoid (f i)
DecidableEq I
i : I
a : f i
⊢ Pi.single i (star a) = star (Pi.single i a)
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
f : Module.End K V
P : K[X]
k : ℕ
sep : P.Separable
nil : minpoly K f ∣ P ^ k
⊢ ∃ n ∈ Algebra.adjoin K {f}, ∃ s ∈ Algebra.adjoin K {f}, IsNilpotent n ∧ s.IsSemisimple ∧ f = n + s
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_3
t : TopologicalSpace α
inst✝² : PolishSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t' : TopologicalSpace α
t't : t' ≤ t
t'_polish : PolishSpace α
s_closed : IsClosed s
right✝ : IsOpen s
A : AnalyticSet s
⊢ s = id '' s
K : Type u_3
V : Type u_4
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
⊢ Set.range ⇑(Basis.ofVectorSpace K V) = Basis.ofVectorSpaceIndex K V
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
⊢ ContinuousAt f x
a : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.toNatOrdinal a = 0 ↔ a = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
Div α
MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
⊢ (s.gcd fun j => f j / s.gcd f) = 1
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
x y : M × ↥S
⊢ (AddLocalization.r S) x y ↔ ∃ c, ↑c + (↑y.2 + x.1) = ↑c + (↑x.2 + y.1)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : μ ⟂ₘ ν
s : Set α
⊢ μ.restrict s ⟂ₘ ν
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddGroup (π i)
x : (i : ι) → π i
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
⊢ ‖x‖₊ < r ↔ ∀ (i : ι), ‖x i‖₊ < r
k : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a b b' : E
r : k
hb : b < b'
hr : 0 < r
⊢ (AffineMap.lineMap a b) r < (AffineMap.lineMap a b') r
f g h : ℕ →. ℕ
hf : Nat.Partrec f
hg : Nat.Partrec g
hh : Nat.Partrec h
⊢ Nat.Partrec fun a =>
  (f a).bind fun n =>
    Nat.rec (g a)
      (fun y IH => do
        let i ← IH
        h (Nat.pair a (Nat.pair y i)))
      n
xl xr : Type u
y z : PGame
h : ¬z ≤ y
x : PGame
this : z + x ≤ y + x → z ≤ y
⊢ ¬z + x ≤ y + x
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝¹ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
inst✝ : Unique I
⊢ e default = 1 → IsIdempotentElem (e default)
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
t : M ⊗[R] N
⊢ ∀ (x : M) (y : N), x ⊗ₜ[R] y ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
hpk₂ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 }
y : ℕ
hy : k ^ 2 + 1 = p * y
⊢ False
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
IsDedekindDomain S
hp0 : Ideal.map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
⊢ Ideal.ramificationIdx f p P = Multiset.count P (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.map f p))
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
this : ↑m = 0
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : Filter α
y₁ y₂ : Filter β
⊢ Filter.Tendsto f x (y₁ ⊓ y₂) ↔ Filter.Tendsto f x y₁ ∧ Filter.Tendsto f x y₂
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
x : β
r : ℝ
⊢ ⇑h ⁻¹' Metric.sphere x r = Metric.sphere (h.symm x) r
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
s : Set F
hx : x ∈ s
⊢ closedBall x (infDist x sᶜ) ⊆ closure s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
n : ℕ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(eapprox f n) a ∂μ = (eapprox f n).lintegral μ
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
r' : α → α → Prop
h : IsChain r s
h_imp : ∀ (x y : α), r x y → r' x y
⊢ IsChain r' s
M : Type u_3
AddMonoid M
Preorder M
CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List M
n : M
h : ∀ x ∈ l, n ≤ x
⊢ l.length • n ≤ l.sum
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ W.negMap ⟦P⟧ = ⟦![P x / P z ^ 2, W.toAffine.negY (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3), 1]⟧
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
⊢ chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
R : Type u
Ring R
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type v
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
DecidableEq ι
⊢ (ModuleCat.directLimitCocone G f).pt = ModuleCat.of R (Module.DirectLimit G f)
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
m : M
hm : m ∈ N
⊢ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ ∈ N
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : ↑u * a = 1
⊢ ↑u⁻¹ = ↑u⁻¹ * 1
K : Type u_1
L : Type u_2
CommRing K
IsDomain K
Field L
Algebra K L
Algebra.IsIntegral K L
f : L[X]
hf : Irreducible f
⊢ ∃ g, g.Monic ∧ Irreducible g ∧ f ∣ Polynomial.map (algebraMap K L) g
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
⊢ BijOn Subtype.val (M.E ↓∩ (M ↾ M.E).E) (M ↾ M.E).E
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
U : TopologicalSpace.Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
x : ↥U
s : ↑((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.structureSheaf 𝒜).val.obj (Opposite.op U))
⊢ (AlgebraicGeometry.Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x)
    (((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.germ x) s) =
  ↑s x
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf_indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
⊢ IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (fun a => (f k a, f l a)) κ μ
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
⊢ n ≤ m
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
Φ : LinearMap.BilinForm R L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hL : ∀ (I : LieIdeal R L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
⊢ Disjoint I (LieAlgebra.InvariantForm.orthogonal Φ hΦ_inv I)
n m : Nat
h : n + m = 0
⊢ m = 0
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
⊢ (monomial n) (-a) = -(monomial n) a
α : Type u_1
β : Type u_2
Pow α β
a : α
b : βᵒᵈ
⊢ a ^ OrderDual.ofDual b = a ^ b
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List (List α)
i : ℕ
⊢ drop (take i (map length L)).sum L.join = (drop i L).join
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
rs₁ rs₂ : List R
⊢ IsWeaklyRegular M (rs₁ ++ rs₂) ↔ IsWeaklyRegular M rs₁ ∧ IsWeaklyRegular (M ⧸ Ideal.ofList rs₁ • ⊤) rs₂
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
T1Space E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hsne : (interior s).Nonempty
hsb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
hst : Convex ℝ t
htne : (interior t).Nonempty
htb : Bornology.IsVonNBounded ℝ t
⊢ ∃ e, ⇑e '' interior s = interior t ∧ ⇑e '' closure s = closure t ∧ ⇑e '' frontier s = frontier t
α : Type u
l : List α
n : ℕ
k : Fin (l.rotate n).length
⊢ (l.rotate n).get k = l.get ⟨(↑k + n) % l.length, ⋯⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
⊢ Filter.bliminf u f p ≤ Filter.bliminf u f fun x => p x ∧ q x