ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : KleisliCat m
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map f ≫ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map g
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
m0 m1 : MeasurableSpace α
h : m0 ≤ m1
⊢ m.trim ≤ m.trim
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
h : s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hy : x ∈ s
⊢ a • x + b • x ∈ s
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
s : Finset α
Fintype α
hs : 0 ∈ s
⊢ s + Finset.univ = Finset.univ
α : Type u
ι : Type x
PseudoMetricSpace α
Fintype ι
f : α → ι → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
⊢ ∃ g, LipschitzWith K g ∧ Set.EqOn f g s
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S
φ : R →+* S
f : MvPolynomial σ R
i : σ
p : MvPolynomial σ R
j : σ
eq : (pderiv i) ((map φ) p) = (map φ) ((pderiv i) p)
⊢ (pderiv i) ((map φ) (p * X j)) = (map φ) ((pderiv i) (p * X j))
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_7, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.29733, u_5} C₅
inst✝ : Category.{?u.29737, u_6} C₆
T✝ : C₁ ⥤ C₂
L✝ : C₁ ⥤ C₃
R✝ : C₂ ⥤ C₄
B✝ : C₃ ⥤ C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ≌ C₃
R : C₂ ≌ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
h : CatCommSq T L.functor R.functor B
X : C₁
⊢ R.symm.inverse.map (T.map (L.symm.counitIso.inv.app X)) ≫ R.symm.inverse.map (R.unitIso.hom.app (T.obj (L.inverse.obj (L.symm.inverse.obj X))) ≫ R.inverse.map ((iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.symm.inverse.obj X))) ≫ R.inverse.map (B.map (L.counitIso.hom.app (L.symm.inverse.obj X)))) ≫ R.symm.unitIso.inv.app (B.obj (L.symm.inverse.obj X)) = iso'.hom.app X
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
x : P₁
⊢ (AffineEquiv.pointReflection k x).toEquiv = Equiv.pointReflection x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t✝ : Finset β
a : α
b c : β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ t
a✝ : β
⊢ ∀ x ∈ s, f x = a✝ → a✝ ∈ t
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
Decidable (b = 0)
⊢ (DFinsupp.update i f b).support = if b = 0 then (DFinsupp.erase i f).support else insert i f.support
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : CategoryTheory.Limits.Cofork f g
hs : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
W : C
k : Y ⟶ W
h : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f k = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g k
⊢ ∃! d, CategoryTheory.CategoryStruct.comp s.π d = k
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
B : Set X
⊢ MulAction.IsBlock G B ↔ ∀ (g : G), g • B ∩ B ≠ ∅ → g • B = B
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : CompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
s : Set G
_hs : MeasurableSet s
⊢ μ' s = (μ'.haarScalarFactor μ • μ) s
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : ℕ × ℕ
k n : ℕ
hk : k ≤ m.1
hn : n ≤ m.2
f : 𝓢(E, F)
x : E
hk' : Finset.range (k + 1) ⊆ Finset.range (m.1 + 1)
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (m.1 + 1), ‖x‖ ^ i * ↑(k.choose i) * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (m.1 + 1), ↑(m.1.choose i) * ((Finset.Iic m).sup fun m => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx
⊢ x = y
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f f' g : ↥(Lp E 2 μ)
⊢ ∫ (a : α), ⟪↑↑(f + f') a, ↑↑g a⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (a : α), ⟪↑↑f a + ↑↑f' a, ↑↑g a⟫_𝕜 ∂μ
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e : PartialHomeomorph M H
f : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
s : Set M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
HasGroupoid M G
HasGroupoid M' G'
he : e ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M G
hf : f ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M' G'
h : ChartedSpace.LiftPropOn P g s
y : H
hy : y ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ g ⁻¹' f.source)
⊢ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) y
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
ι_mul : ∀ (x : CliffordAlgebra Q) (m : M), P x → P ((CliffordAlgebra.ι Q) m * x)
x : CliffordAlgebra Q
⊢ P x
β : Type v
Small.{u, v} β
f g : β → Type u
α : (j : β) → f j ⟶ g j
b : β
x : ∏ᶜ f
⊢ CategoryTheory.Limits.Pi.π g b (CategoryTheory.Limits.Pi.map α x) = α b (CategoryTheory.Limits.Pi.π f b x)
α : Type u_2
M : Matroid α
Xs : Set (Set α)
⊢ M.closure (⋃ X ∈ Xs, M.closure X) = M.closure (⋃₀ Xs)
ι : Sort u_1
R : Type u_2
Ring R
S : ι → Subring R
⊢ (iInf S).op = ⨅ i, (S i).op
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : T2Space β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : PolishSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
this✝ : MeasurableSpace γ := borel γ
t' : TopologicalSpace γ
t't : t' ≤ tγ
t'_polish : PolishSpace γ
left✝ : IsClosed s
s_open : IsOpen s
⊢ PolishSpace γ
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
inst✝² : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ'
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')
⊢ QuasiIso (φ ≫ φ')
α : Type u_1
MeasurableSpace α
⊢ ↑⊥ = ⊥
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
X : C
f g : X ⟶ 0
⊢ f = g
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
⊢ Measurable (uncurry u)
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
⊢ WfDvdMonoid α → WellFounded fun x x_1 => x < x_1
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s t : Subgroup α
ι : Type u_2
f : ι → Subgroup α
⊢ ∀ (a₁ a₂ : α), (fun q i => quotientMapOfLE ⋯ q) (Quotient.mk'' a₁) = (fun q i => quotientMapOfLE ⋯ q) (Quotient.mk'' a₂) → Quotient.mk'' a₁ = Quotient.mk'' a₂
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : β → γ
g : α → β
hf : IsSpectralMap f
hg : IsSpectralMap g
⊢ IsSpectralMap (f ∘ g)
a b P Q : Prop
⊢ ¬Xor' P Q ↔ (P ↔ Q)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : IsLocalHomeomorph f
x : X
⊢ Filter.map f (𝓝 x) = 𝓝 (f x)
a b : ℤ
⊢ a.natAbs = b.natAbs ↔ Associated a b
α : Type u_1
DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
⊢ (l₁ ++ l₂).dedup = l₁ ∪ l₂.dedup
α : Type u_1
P : RegularExpression α
⊢ P.star.matches' = P.matches'∗
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
hI : 1 ≤ I
⊢ I ≤ I * I
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
J : Type u_1
T : J → CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₁
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₂
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₃
CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
⊢ (CategoryTheory.Pretriangulated.productTriangle T).obj₃ = ∏ᶜ fun j => (T j).obj₃
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
Nontrivial R
⊢ Function.Injective MvPolynomial.X
α : Type u_1
rels : Set (FreeGroup α)
this : of = ⇑(QuotientGroup.mk' (Subgroup.normalClosure rels)) ∘ FreeGroup.of
⊢ (QuotientGroup.mk' (Subgroup.normalClosure rels)).range = ⊤
o : Ordinal.{u_1}
⊢ Cardinal.aleph o ≤ Cardinal.beth o
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : SMulCommClass G α β
a : α
b : β
⊢ ∀ ⦃x : G⦄, x • b = b → a • x • b = a • b
m n : ℕ
x : Fin m × Fin n
⊢ ↑(finProdFinEquiv x) = ↑x.2 + n * ↑x.1
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G ↪g G'
u v : V
p : G.Path u v
⊢ ↑(SimpleGraph.Path.mapEmbedding f p) = SimpleGraph.Walk.map f.toHom ↑p
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝⁵ : IsTrans α r
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : Nonempty γ
f✝ : γ → α
inst✝³ : Finite β
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
f : β → α
⊢ BddAbove (Set.range f)
X : Type u_2
TopologicalSpace X
S : DiscreteQuotient X
⊢ QuotientMap S.proj
𝕜 : Type u_1
F : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
q : Seminorm 𝕜 F
hq : Continuous ⇑q
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (x : F), q x ≤ C * ‖x‖
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalSemiring α
inst✝ : Fintype n
A B C : Matrix n n α
i j : n
⊢ ∑ x : n, A i x * ∑ j_1 : n, B x j_1 * C j_1 j = ∑ x : n, A i x * ∑ x_1 : n, B x x_1 * Cᵀ j x_1
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)₀
⊢ { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯ }.toFun (f + g) = { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯ }.toFun f + { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯ }.toFun g
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S
⊢ (C r).smeval x = r • x ^ 0
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ a :: l ≠ []
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : r₂ ≤ 0
⊢ Wbtw R (r₂ • v +ᵥ x) x (r₁ • v +ᵥ x)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A B : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : A ⟶ B
CategoryTheory.IsIso η
⊢ CategoryTheory.Limits.IsIndObject A ↔ CategoryTheory.Limits.IsIndObject B
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
n : ℕ
l : List ℕ
⊢ commProb (Product (n :: l)) = commProb (DihedralGroup n) * commProb (Product l)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
⊢ a / b < 1 ↔ a < b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : CPolynomialAt 𝕜 f x
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ CPolynomialOn 𝕜 f (Metric.ball x r)
V : Type u
G₁ G₂ : SimpleGraph V
⊢ (G₁ \ G₂).edgeSet = G₁.edgeSet \ G₂.edgeSet
α : Type u_4
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
DecidableEq α
h : Disjoint s t
⊢ (G.interedges s t).card + (Gᶜ.interedges s t).card = s.card * t.card
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
x : α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun g => g • fundamentalInterior G s)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
F : Type u_3
E : ι → Type u_4
NormedField 𝕜
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
ContinuousSMul 𝕜 F
s : Set ((i : ι) → E i)
hs : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (⇑f '' s)
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v w : V
⊢ Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) ≤ Fintype.card ↑(G.neighborSet v)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
n : ℕ
X Y : C
Z : C
f : X ⟶ Y
⊢ ((CategoryTheory.Tor' C n).obj Z).map f =
  (CategoryTheory.NatTrans.leftDerived ((CategoryTheory.MonoidalCategory.tensoringRight C).map f) n).app Z
α : Type u
a : α
s : Set α
h : a ∉ s
⊢ insert a s \ s = {a}
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Continuous f
x : X
y : Y
h : f x = y
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 y)
ι : Type u
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → Zero (β₁ i)
(i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
i : ι
b₁ : β₁ i
b₂ : β₂ i
⊢ DFinsupp.zipWith f hf (DFinsupp.single i b₁) (DFinsupp.single i b₂) = DFinsupp.single i (f i b₁ b₂)
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ ⇑(addRightEmbedding c) '' Set.Ioc a b = Set.Ioc (a + c) (b + c)
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K F
ι : Type w
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R S
s : S
⊢ (norm R) s = ((leftMulMatrix b) s).det
R : Type u
σ : Type u_1
CommRing R
m : σ →₀ ℕ
p q : MvPolynomial σ R
⊢ MvPolynomial.coeff m (p - q) = MvPolynomial.coeff m p - MvPolynomial.coeff m q
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Perm α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
hs : (↑s).Subsingleton
⊢ (↑(range s.card)).PairwiseDisjoint fun k => map { toFun := fun i => (i, (f ^ k) i), inj' := ⋯ } s
α : Type u_1
l : Filter α
Nonempty α
⊢ l.Subsingleton ↔ ∃ a, l ≤ pure a
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
⊢ ∀ {x : DecidablePred fun x => x ∈ s}, MeasurableSet s → Measurable f → Measurable g → Measurable (s.piecewise f g)
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : μ'.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : μ s ≠ ⊤
h's : μ' s ≠ ⊤
c : ℝ≥0 := μ'.haarScalarFactor μ
B : ∀ (s : Set G), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → μ' s < ⊤ → μ' s = (c • μ) s
t : Set G := toMeasurable μ' s ∩ toMeasurable μ s
st : s ⊆ t
⊢ μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
g : G
hgS : g ∈ S
hg0 : 0 < g
hg : g < b - a
m : ℤ
hm : m • g ∈ Ioc a (a + g)
⊢ ∃ c ∈ ↑S, a < c ∧ c < b
b n : ℕ
⊢ Nat.log b (n / b * b) = Nat.log b n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y✝ : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x y : E
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F := fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
finsupp : (Function.support f).Finite
hfkl : ∀ (k l : ℕ), HasSum (fun x => f ⟨k, ⟨l, x⟩⟩) (((p.changeOriginSeries k l) fun x_1 => x) fun x => y)
hfk : ∀ (k : ℕ), HasSum (fun x => f ⟨k, x⟩) ((p.changeOrigin x k) fun x => y)
⊢ (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} A
CategoryTheory.ConcreteCategory A
CategoryTheory.Limits.ReflectsFiniteLimits (CategoryTheory.forget A)
F : LightProfiniteᵒᵖ ⥤ A
CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteProducts (F ⋙ CategoryTheory.forget A)
hF : CategoryTheory.regularTopology.EqualizerCondition (F ⋙ CategoryTheory.forget A)
⊢ (LightCondensed.ofSheafForgetLightProfinite F hF).val = F
α : Type u_1
⊢ Function.Bijective AddOpposite.op
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
T : Submonoid P
k : P ≃* M
H : Submonoid.map k.toMonoidHom T = S
x : M
⊢ (f.ofMulEquivOfDom H).toMap (k.symm x) = f.toMap x
G : Type u_3
AddGroup G
c : G
⊢ Function.LeftInverse (fun x => c + x) fun x => -c + x
u : PNat.XgcdType
⊢ u.flip.IsReduced ↔ u.IsReduced
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : 𝓝[s \ {x}] x = ⊥
⊢ derivWithin f s x = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
f' : C(↑(σₙ R a), ↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)))₀
hff' : ∀ (x : ↑(σₙ R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀
⊢ (cfcₙHom ha) (g.comp f') = (cfcₙHom ⋯) g
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Balanced C
S.HasHomology
⊢ S.Exact ∧ CategoryTheory.Mono S.f ↔
  Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit (CategoryTheory.Limits.KernelFork.ofι S.f ⋯))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ : SimplicialObject.Split C
self : S₁.Hom S₂
n : ℕ
⊢ S₁.s.ι n ≫ self.F.app (Opposite.op [n]) = self.f n ≫ S₂.s.ι n
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
this : ∀ (n : ℤ), -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k = -↑k ! / (2 * ↑π * I) ^ k * (1 / ↑n ^ k)
⊢ Summable fun n => -↑k ! / (2 * ↑π * I) ^ k * (1 / ↑n ^ k)
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
μ : Measure α
f : α → β
hf : Measurable f
s : Set β
a✝ : MeasurableSet s
this : ∀ y ∈ s, MeasurableSet (f ⁻¹' {y})
⊢ (map f μ) s = (sum fun b => μ (f ⁻¹' {b}) • dirac b) s
ι : Type uι
inst✝⁷ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
this : Nonempty { a // a ∈ x.lifts } := nonempty_subtype.mpr (nonempty_lifts x)
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
hp✝ : p ∈ x.lifts
hp : (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[𝕜] (i : ι), x.2 i) p).sum = x
⊢ (Multiset.map (fun x => ‖x‖) ↑(List.map (⇑(lift f.toMultilinearMap) ∘ fun x => x.1 • ⨂ₜ[𝕜] (i : ι), x.2 i) p)).sum ≤ (List.sum ∘ List.map fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ↑⟨p, hp✝⟩ * ‖f‖
p : ℕ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
q : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred q
n : ℕ
hpq : ∀ (k : ℕ), p k → q k
⊢ (filter p (range n)).card ≤ (filter q (range n)).card
R : Type u
A : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝ : Countable R
⊢ max (lift.{v, u} #R) ℵ₀ ≤ ℵ₀
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0
⊢ n / 2 + x.natAbs ≤ (↑n * m + x).natAbs + x.natAbs
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
SeminormedAddCommGroup G'
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
l : Filter α
⊢ (fun x => (f' x, g' x)) =o[l] k' → g' =o[l] k'
y : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' Set.Iic ↑y = Set.Iic y
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : R[X]
hsep : p.Separable
x : R
⊢ Multiset.count x p.roots ≤ 1
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
A : C
f₁ f₂ : A ⟶ S.rightHomology
⊢ f₁ = f₂ ↔ f₁ ≫ S.rightHomologyι = f₂ ≫ S.rightHomologyι
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ (starRingEnd 𝕜) (inner_ 𝕜 y x) = inner_ 𝕜 x y
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ (LinearMap.inl R M M₂).coprod (LinearMap.inr R M M₂) = LinearMap.id
a b c : Int
h : a - b < c
⊢ a - c < b
J : Type u
inst✝³ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j k : J
s✝ : Set (F.obj i✝)
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J
inst✝¹ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
inst✝ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
this : ∀ (j : J), Nonempty ((F.toPreimages s).obj j)
sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j
h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections
⊢ (fun s => ↑s i) ⟨fun j => ↑(sec j), ⋯⟩ = x
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ map (fun x => x + c) (Ico a b) = Ico (a + c) (b + c)
α : Type u
p : α → Bool
xs : List α
⊢ List.splitOnP p xs ≠ []
G : Type u_1
Group G
S T : Set G
hST : Subgroup.IsComplement S T
g : G
h1 : 1 ∈ S
hg : g ∈ T
⊢ (hST.equiv g).2 = ⟨g, hg⟩
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B✝ : Set (Set α)
s : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
B : Set (Set α)
hB : IsTopologicalBasis B
f : α → β
hf : ∀ s ∈ B, IsOpen (f '' s)
o : Set α
ho : IsOpen o
⊢ IsOpen (f '' o)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
F : CategoryTheory.Arrow C
X : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented C
G : F.augmentedCechConerve ⟶ X
⊢ (CategoryTheory.CosimplicialObject.equivalenceLeftToRight F X G).left = G.left
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ n ≥ N, u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∏ k ∈ range (n + 1), v k
d : ℕ → E := fun n => ∏ k ∈ range (n + 1), u k / v k
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ ∏ k ∈ range (n + 1), u k / v k = ∏ k ∈ range (N + 1), u k / v k