ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
f : G →* N
⊢ (f.restrict K).range = map f K
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
α : Type u_2
inst✝ : MulAction M α
m : Mˣ
⊢ (Function.LeftInverse (fun a => m⁻¹ • a) fun a => ↑m • a) ∧ Function.RightInverse (fun a => m⁻¹ • a) fun a => ↑m • a
α : Type u_1
a : α
⊢ SymAlg.sym (SymAlg.unsym a) = a
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hL : L ≤ adjoin F S
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ
hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ
⊢ ∃ φ, φ.comp (inclusion hL) = f
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s : Set M
f g : F
⊢ s ⊆ ↑(eqLocus f g) ↔ Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
α : Type u_1
inst✝¹ : OrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
t : β
ht : t ∈ Icc 0 1
⊢ 1 - t ∈ Icc 0 1
b : ℕ
hb : Odd b
⊢ jacobiSym (-2) b = ZMod.χ₈' ↑b
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
m : M
⊢ m ∈ ⨆ i, p i ↔ ∀ (N : Submodule R M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
⊢ 𝓝ˢ (s ×ˢ t) = 𝓝ˢ s ×ˢ 𝓝ˢ t
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
⊢ ∃ I, M.Basis' I X
α : Type u_3
DecidableEq α
p : α → Prop
DecidablePred p
l : List α
⊢ ∑ x ∈ Finset.filter p l.toFinset, List.count x l = List.countP (fun b => decide (p b)) l
R : Type u
CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
LieModule R L N
AddCommGroup P
Module R P
LieRingModule L P
LieModule R L P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ ((TensorProduct.LieModule.lift R L M N P) f) (m ⊗ₜ[R] n) = (f m) n
b : ℕ
h : 1 ≤ b
n p : ℕ
hp : p.FermatPsp b ∧ n ≤ p
⊢ ∃ b_1 ≥ n, b_1.FermatPsp b
s : ℂ
⊢ s.Gammaℝ * (s + 1).Gammaℝ = s.Gammaℂ
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s : Set α
p : Filter ι
TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformly F f p
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
α : Type u_1
Ring α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ multiplicity a (-b) = multiplicity a b
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
g : Y → Z
s : Set Z
⊢ IsOpen (g ∘ f ⁻¹' s)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
AddCommMonoid B
Module R B
AddCommMonoid C
Module R C
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
CoalgebraStruct R C
φ₁ : B →ₗc[R] C
φ₂ : A →ₗc[R] B
⊢ ⇑(φ₁.comp φ₂) = ⇑φ₁ ∘ ⇑φ₂
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
E : Type u_7
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
FiniteDimensional ℝ F
p : ℝ
⊢ MeasureTheory.SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ p =
  let F' := EuclideanSpace ℝ (Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ F));
  let e := toEuclidean;
  ‖↑e.symm‖₊ * MeasureTheory.eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ p * ‖↑e‖₊
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : b ∣ a
ha : a ≠ 0
⊢ padicValNat p (a / b) = padicValNat p a - padicValNat p b
⊢ Filter.comap Real.exp (𝓝 0) = Filter.atBot
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (J.plusObj P) S
inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
Z : B.Arrow → C
e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I
e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X
he2 : ∀ (I : B.Arrow), S.sieve.arrows (e2 I)
h✝ : ∀ (I : B.Arrow), (fun Y f h => ((fun Y f hf => (T { Y := Y, f := f, hf := hf }).sieve) Y f h).arrows) (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)
a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f
w : Meq P B := meqOfSep P hsep X S s T t ht
I : S.Arrow
⊢ mk (w.pullback I.f) = mk (t I)
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
C : P.W α → Prop
ih : ∀ (a : P.A) (f' : P.drop.B a ⟹ α) (f : P.last.B a → P.W α), (∀ (i : P.last.B a), C (f i)) → C (P.wMk a f' f)
a : P.wp.A
f : P.wp.B a ⟹ α
⊢ C ⟨a, f⟩
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
p✝ m : ℕ
p : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ ↑p.support ⊆ {n_1 | ∀ (i : σ), n_1 i ≤ n} ↔ ∀ s ∈ p.support, ∀ (i : σ), s i ≤ n
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
s : Finset α
f g : α → β
comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)
comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)
comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)
⊢ s.noncommProd (f * g) ⋯ = s.noncommProd f comm_ff * s.noncommProd g comm_gg
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this✝¹ : SeparableSpace ↑s
this✝ : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k => Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i => ↑(φ k) ∘ X i
A : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (fun ω => ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) a))
ω : Ω
hω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
h'ω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) a‖))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ + δ + δ < ε
k : ℕ
hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ < δ
this : ‖(∫ (a : Ω), Y k 0 a) - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < δ
I : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ
⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, ‖(↑b)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range b, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < ε
X : Type u_1
TopologicalSpace X
h : ∀ (x : X), ∃ s, x ∈ s ∧ IsOpen s ∧ T0Space ↑s
⊢ T0Space X
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
x : α
n : ℕ
hn : l.length < n
⊢ (insertNth n x l).length ≤ l.length + 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
s : Set X
⊢ ⋃ x ∈ s, closure {x} = s ↔ IsLowerSet s
a : Cardinal.{u_1}
⊢ (Cardinal.toENat a).toNat = Cardinal.toNat a
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
p : (Matrix n n R)[X]
i j : n
k : ℕ
t : p = matPolyEquiv (matPolyEquiv.symm p)
⊢ (matPolyEquiv.symm p i j).coeff k = (matPolyEquiv (matPolyEquiv.symm p)).coeff k i j
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nonempty n
M : Matrix n n R
⊢ M.trace = -M.charpoly.coeff (Fintype.card n - 1)
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedCommRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
U A : Matrix m m 𝔸
hy : IsUnit U
u : (Matrix m m 𝔸)ˣ
hu : ↑u = U
⊢ exp 𝕂 ((↑u)⁻¹ * A * ↑u) = (↑u)⁻¹ * exp 𝕂 A * ↑u
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
i₁ : ι
⊢ (LinearMap.mul R B).compr₂ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ∘ₗ (ℬ i₁).subtype = (LinearMap.mul R (𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) ∘ₗ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }).compl₂ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ∘ₗ (ℬ i₁).subtype
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
i : m
c : n → R
⊢ (eval c) (M.toMvPolynomial i) = (M *ᵥ c) i
a b c : ℤ
⊢ Fermat42.Minimal a b c → Fermat42.Minimal b a c
α : Type u_1
Monoid α
s : Submonoid α
a : α
ha : MulOpposite.op a • ↑s = ↑s
⊢ a ∈ s
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
H : Subgroup G
K : Subgroup N
J : Subgroup (G × N)
⊢ J ≤ H.prod K ↔ Subgroup.map (MonoidHom.fst G N) J ≤ H ∧ Subgroup.map (MonoidHom.snd G N) J ≤ K
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
c : ℝ
li : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
⊢ (∃ map, restrictScalars ℝ map = c • li.toLinearIsometry.toContinuousLinearMap) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (c • li.toLinearIsometry.toContinuousLinearMap).comp ↑conjCLE
G : Type u_2
CommGroup G
g g' : G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
f : ℤ → G
hf₁ : HasProd (fun n => f ↑n) g
hf₂ : HasProd (fun n => f (-↑n)) g'
⊢ HasProd f (g * g' / f 0)
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
x y z : A
hx : IsIntegral R x
hy : IsIntegral R y
hz : z ∈ Subring.closure {x, y}
⊢ IsIntegral R z
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h0 : ¬p.comp q = 0
n : ℕ
hn : n ∈ p.support
⊢ ↑n * ↑q.natDegree = ↑(n * q.natDegree)
α : Type u_2
LinearOrderedField α
FloorRing α
x : α
⊢ |x - ↑(round x)| ≤ 1 / 2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M✝ : Matrix n n R
i j : n
e : n ≃ m
M : Matrix n n R
⊢ ((reindex e e) M).charmatrix.det = M.charmatrix.det
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M (2 * k) = ⊥
⊢ ((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y) ^ k = 0
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
c₁ c₂ : ℝ
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h₁ : f₁ =o[l] g
h₂ : Asymptotics.IsBigOWith c₁ l f₂ g
hc : c₁ < c₂
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c₂ l (fun x => f₁ x + f₂ x) g
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
h : W.Nonsingular x y
⊢ WeierstrassCurve.Affine.Point.some h ≠ 0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
⊢ Tendsto (fun s => s • P.Λ₀ s) (𝓝 0) (𝓝 (0 • P.Λ₀ 0))
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
⊢ ↑r < 1 ↔ r < 1
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
h : 0 < Eₘ[s, t]
H : ¬(s.Nonempty ∧ t.Nonempty)
⊢ False
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a b : α
⊢ a / b⁻¹ = a * b
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
a✝ b : α
p : α → Prop
hsucc : ∀ (a : α), p a ↔ p (succ a)
a : α
n : ℕ
h : a ≤ succ^[n] a
⊢ p a ↔ p (succ^[n] a)
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j : N →* P
hj : ∀ (x : M), j (f.toMap x) = g x
⊢ f.lift hg = j
ι : Type u_4
Nonempty ι
o : Ordinal.{max u_5 u_4}
⊢ (Ordinal.lsub fun x => o) = Order.succ o
q : ℕ+
n : ℕ
⊢ ↑↑n = ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'
⊢ Set.EqOn (↑e) (↑e') e.source
m n : Num
⊢ ↑m ∣ ↑n ↔ m ∣ n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : LE α
a b : α
⊢ 1 * a ≤ 1 * b → a ≤ b
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ IsOpen (ToSpec.toFun f ⁻¹' (fun r => ↑(sbo r)) (Quotient.mk'' x))
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
⊢ ∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
R : Type u_1
NonUnitalSemiring R
x y : R
n : ℕ
h : x ∣ y
⊢ x ∣ n • y
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
⊢ 0 < (p.rightInv i).radius
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
inst✝³ : CommMonoidWithZero M₀
p : ι → Prop
inst✝² : DecidablePred p
f : ι → M₀
s : Finset ι
i : ι
inst✝¹ : Nontrivial M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
⊢ (¬∃ a ∈ s, f a = 0) ↔ ∀ a ∈ s, f a ≠ 0
p q : Prop
h : Decidable p
⊢ (if p then False else q) ↔ ¬p ∧ q
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
SetLike S R
hSR : NonUnitalSubsemiringClass S R
s : S
x : Unitization ℕ ↥s
⊢ (NonUnitalSubsemiring.unitization s) x = ↑x.fst + ↑x.snd
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ IsNormalAddSubgroup (IsAddSubgroup.addCenter G)
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K✝ : Set X
U✝ : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair Y Z
f : C(X, Y)
g : C(Y, Z)
K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set Z
hU : IsOpen U
hKU : MapsTo (⇑g ∘ ⇑f) K U
⊢ ∀ᶠ (a : C(X, Y) × C(Y, Z)) in 𝓝 (f, g), MapsTo (⇑(a.2.comp a.1)) K U
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α
⊢ (⋃ i, ⋃ j, s i j) ∩ t = ⋃ i, ⋃ j, s i j ∩ t
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
f f' : PartialHomeomorph X Y
openness₁ : IsOpen (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)
⊢ (f.symm.trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).symm).trans ((s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).trans f') ≈ (f.symm.trans f').restr (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
e : R ≃+* S
⊢ Ideal.IsJacobson R ↔ Ideal.IsJacobson S
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.803, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ
Δ₁ : SimplexCategoryᵒᵖ
α₁ : unop Δ ⟶ unop Δ₁
hα₁ : Epi α₁
α₂ : unop Δ ⟶ unop Δ₁
hα₂ : Epi α₂
h₂ : α₁ = α₂
⊢ ⟨Δ₁, ⟨α₁, hα₁⟩⟩ = ⟨Δ₁, ⟨α₂, hα₂⟩⟩
M : Type u_1
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
x : AddUnits M
h : x ∈ S.addUnits
⊢ ↑(-x) ∈ S
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
this : ContDiffWithinAt 𝕜 n id (range ↑I) (↑I x)
y : E
hy : y ∈ range ↑I
⊢ (↑I ∘ ↑I.symm) y = id y
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
FunLike F α β
InfHomClass F α β
f : F
s t : Set α
⊢ ⇑f '' (s ⊼ t) = ⇑f '' s ⊼ ⇑f '' t
ι : Sort u_1
c : ι → Set ↑I
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i
⊢ ∃ t, t 0 = 0 ∧ Monotone t ∧ (∃ n, ∀ m ≥ n, t m = 1) ∧ ∀ (n : ℕ), ∃ i, Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ c i
S : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasShift C S
inst✝ : (shiftFunctor C 1).PreservesZeroMorphisms
X Y : DifferentialObject S C
f : X ≅ Y
⊢ f.hom.f ≫ f.inv.f = 𝟙 X.obj
α : Type u
Add α
x : α
⊢ WithZero.toMulBot.symm (Multiplicative.ofAdd ↑x) = ↑(Multiplicative.ofAdd x)
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => (L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => (L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
hK' : IsCompact K'
⊢ Integrable ?m.1390320 μ
a b : EReal
⊢ a < b ↔ ∃ x, a < ↑↑x ∧ ↑↑x < b
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hf : AntitoneOn f s
hs : Convex 𝕜 s
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ r < f x}
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
h0 : f 0 = ⊥
hlast : f (Fin.last n) = ⊤
hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ
hmono : Monotone f
t : Set α
htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
hbt : range f ⊆ t
x : α
hx : x ∈ t
h : ∀ (y : Fin (n + 1)), f y ≠ x
⊢ False
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
n : ℕ
h : p ∈ lifts f
⊢ erase n p ∈ lifts f
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α
⊢ 1 ≤ a ^ 2 ↔ 1 ≤ |a|
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
σ : Perm (Fin 4) := swap i 0
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0
x : ℤ
hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x
y : ℤ
hy : f (σ 2) ^ 2 + f (σ 3) ^ 2 = 2 * y
⊢ 2 * x + 2 * y = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2
a b : UInt32
⊢ ¬a ≤ b ↔ b < a
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsDomain R
IsDomain S
IsDedekindDomain R
IsDedekindDomain S
Module.Finite R S
Module.Free R S
I : Ideal S
x : S
hx : x ∈ I
⊢ (Algebra.norm R) x ∈ (Ideal.relNorm R) I
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactorsList
⊢ 0 < p
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g turanGraph n r
hr : 0 < r
J : SimpleGraph V
w✝ : DecidableRel J.Adj
j : J.IsTuranMaximal r
⊢ G.IsTuranMaximal r
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ioc (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ioc (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
hb : 1 < b
⊢ m = n
α : Type u_1
n : ℕ
s : Sym α n
x : { x // x ∈ s }
⊢ x ∈ s.attach
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hε_top : ¬ε = ⊤
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfs : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε.toNNReal
⊢ ∀ ⦃s t : Set α⦄, s ⊆ t → (∀ (i : ι), eLpNorm (t.indicator (f i)) p μ ≤ ε) → ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ε
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
S : Finset ι
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑(⨅ a ∈ S, Ideal.span {q a})
⊢ DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R M (q ↑i)
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S B
x : R
⊢ (algebraMap R A) x = (algebraMap S A) ((algebraMap R S) x)
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
h : ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a ≤ b
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
⊢ #{ s // #↑s < (#α).ord.cof } = #α
m n✝ n : ℕ
a : ZMod n
ha : 2 * a.val ≠ n
h : NeZero n
⊢ -↑n < -a.valMinAbs * 2
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ L₃ : CategoryTheory.Functor A T
l : L₁ ⟶ L₂
l' : L₂ ⟶ L₃
X : CategoryTheory.Comma L₃ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftComp R l l').inv.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
LieModule.LinearWeights R L M
χ : LieModule.Weight R L M
⊢ ⇑(LieModule.Weight.toLinear R L M χ) = ⇑χ
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S
r₁ r₂ : R
s : ↥S
h : r₁ * ↑s = r₂ * ↑s
⊢ ∃ s', ↑s' * r₁ = ↑s' * r₂