ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_4
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
x : M
⊢ ∑ x_1 ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) x_1 • (bm.repr x) x_1 • Q (bm x_1) + ∑ a ∈ Finset.filter (fun x => x.1 < x.2) (bm.repr x).support.offDiag, (bm.repr x) a.1 • (bm.repr x) a.2 • polar (⇑Q) (bm a.1) (bm a.2) = ∑ i ∈ (bm.repr x).support, Q ((bm.repr x) i • bm i) + ∑ ij ∈ Finset.filter (fun x => ¬x.IsDiag) (bm.repr x).support.sym2, Sym2.lift ⟨fun i j => polar (⇑Q) ((bm.repr x) i • bm i) ((bm.repr x) j • bm j), ⋯⟩ ij
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.203239}
ι α : Type u
A : ι → Set α
s : Set ι
⊢ #↑(⋃ x, A ↑x) ≤ #↑s * ⨆ x, #↑(A ↑x)
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a✝ : α
b✝ : β
x : α ⊕ β
hs : s.Nodup
ht : t.Nodup
a : α
left✝¹ : a ∈ s
b : β
left✝ : b ∈ t
h : inr b = inl a
⊢ False
F : Type u_1
CommSemiring F
f : Polynomial F
hf : Polynomial.HasSeparableContraction 1 f
⊢ hf.degree = f.natDegree
n : Int
m k : Int
h : m ∣ k
⊢ n % k % m = n % m
R : Type u_1
DivisionSemiring R
StarRing R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
n : ℤ
⊢ IsSelfAdjoint (x ^ n)
R : Type u
CommSemiring R
⊢ PrimeSpectrum.zeroLocus {0} = Set.univ
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ a ^ n = ⊤ ↔ a = ⊤ ∧ n ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
⊢ ReflTransGen r a b ↔ a = b ∨ ∃ c, r a c ∧ ReflTransGen r c b
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hcd : IntervalIntegrable f μ c d
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in c..d, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..c, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in b..d, f x ∂μ
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
r : ℝ
hr : 1 < r
hf : ∀ (a : ℕ), ∃ b ≥ a, ‖f b‖ ≠ 0
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ b ≥ N₀, r * ‖f b‖ ≤ ‖f (b + 1)‖
N : ℕ
hNN₀ : N₀ ≤ N
hN : ‖f N‖ ≠ 0
h' : Tendsto (fun n => f (n + N)) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto ((fun a => ‖a‖) ∘ fun n => f (n + N)) atTop atTop
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
I : Fin B.dim × Fin B.dim
x✝ : I ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ
⊢ IsIntegral R ((B.basis.repr ((B.basis.repr x) I.1 • B.basis I.1 * (B.basis.repr y) I.2 • B.basis I.2)) i)
b n : ℕ
hn : 2 ≤ n
h : n ≤ b
⊢ (n + b - 1) / b ≤ 1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ℕ → R
g : ℕ → M
m n : ℕ
hmn : m < n
h₁ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range i, g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i
h₂ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i + f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range (m + 1), g i
h₃ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • g i = ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ((range (i + 1)).sum g - (range i).sum g)
⊢ f m • g m + ∑ k ∈ Ico (m + 1) n, f k • g k = f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range m, g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
v : Set δ
f : ε → ζ → ν
g : α → β → ε
h : γ → δ → ζ
f' : ε' → ζ' → ν
g' : α → γ → ε'
h' : β → δ → ζ'
h_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ) (d : δ), f (g a b) (h c d) = f' (g' a c) (h' b d)
⊢ Set.image2 f (Set.image2 g s t) (Set.image2 h u v) = Set.image2 f' (Set.image2 g' s u) (Set.image2 h' t v)
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
a : α
a_in_s : a ∈ s
b : α
b_in_orbit : b ∈ orbit (↥(fixingSubgroup M sᶜ)) a
g : M
g_fixing : g ∈ fixingSubgroup M sᶜ
g_eq : g • a = b
⊢ b ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → γ
g : β → γ
e : (c : γ) → ↑(f ⁻¹' {c}) ≃ ↑(g ⁻¹' {c})
⊢ ∀ (a : β), (Equiv.ofPreimageEquiv e).symm a = ↑((Equiv.sigmaCongrRight e).symm ((Equiv.sigmaFiberEquiv g).symm a)).snd
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : StrongFEPair E
r : ℝ
⊢ P.f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ r
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : IsEmpty α
f : α → M
⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ᶠ (x : ?m.12512), 1
R : Type u_1
NonUnitalSemiring R
s : Set R
⊢ NonUnitalSubsemiring.centralizer s = ⊤ ↔ s ⊆ ↑(NonUnitalSubsemiring.center R)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : Set.InjOn f s
⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
C : ℝ
C0 : 0 ≤ C
⊢ ‖f‖ ≤ C ↔ ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
α : Type u_1
δ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : μ.AbsolutelyContinuous ν
f g : α → δ
h' : f =ᵐ[ν] g
⊢ f =ᵐ[μ] g
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
x : β
h : x ∉ Set.range ⇑f
⊢ ∀ (a : Option α), (f.optionElim x h) a = Option.elim' x (⇑f) a
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsProper
⊢ x ∉ I ∨ xᶜ ∉ I
ι : Type u_1
κ✝¹ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
κ✝ : Type u_6
κ : Type u_7
s : Finset ι
t : ι → Set κ
f : κ → β
h : (↑s).PairwiseDisjoint t
x : κ
⊢ (⋃ i ∈ s, t i).mulIndicator f x = ∏ i ∈ s, (t i).mulIndicator f x
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
s t : Set M
h : s ⊆ t
⊢ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun s ≤ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun t
α : Type u
β : Type v
M : Type w
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
LinearOrderedCancelAddCommMonoid M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.Nonempty
hb : ∑ x ∈ s, w x ≤ t.card • b
⊢ ∃ y ∈ t, ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => f x = y) s, w x ≤ b
G : CommRingCat
H : Type u
CommRing H
f : ↑G →+* H
⊢ f.comp (𝟙 G) = f
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
β : Type u_2
MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
NormedDivisionRing β
BorelSpace β
hXY : ProbabilityTheory.IndepFun X Y μ
h'XY : MeasureTheory.Integrable (X * Y) μ
hX : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable X μ
hY : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᵐ[μ] 0
⊢ MeasureTheory.Integrable X μ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧
h✝ : ¬n = 0
⊢ ∀ a ∈ antidiagonal (single () n), (match match a with | (f, g) => (f (), g ()) with | (a, b) => (single () a, single () b)) = a
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
μ ν : FiniteMeasure Ω
x✝ : Set Ω
⊢ ↑(μ + ν) x✝ = ↑μ x✝ + ↑ν x✝
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
H : SimpleGraph V'
e : G ≃g H
⊢ G.Preconnected ↔ H.Preconnected
b : Ordinal.{u_1}
h : ¬1 < b
x : Ordinal.{u_1}
⊢ Ordinal.log b x = 0
K : Type u_1
inst✝⁸ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁷ : HasSolidNorm K
inst✝⁶ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace K E
inst✝³ : FiniteDimensional K E
inst✝² : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZlattice K L
⊢ Module.Free ℤ ↥L
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
⊢ P ⊔ comap (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⊥ = P
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
⊢ Q.toFun = ⇑Q
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G'' : Type u_7
G' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝ : NormedSpace ℝ G''
T : Set α → G'' →L[ℝ] G'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : ↥(simpleFunc G'' 1 μ)
hf : 0 ≤ f
f' : α →ₛ G''
hf' : 0 ≤ f'
hff' : ↑(toSimpleFunc f) =ᶠ[ae μ] ↑f'
⊢ 0 ≤ SimpleFunc.setToSimpleFunc T f'
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℂ
hy : y.re ≠ 0
⊢ Complex.abs (↑x ^ y) = x ^ y.re
ι : Type u_1
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
S : Set ι
⊢ UniformContinuous S.restrict
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
v : n → α
⊢ ‖row ι v‖₊ = ∑ i : n, ‖v i‖₊
α : Type u_1
ι : Sort u_2
Nonempty ι
ConditionallyCompleteLattice α
AddGroup α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a g : α
h : ι → α
H : ∀ (j : ι), a ≤ g + h j
⊢ a ≤ g + iInf h
α : Type u_1
β : Type v
f g : α → Multiset β
m : Multiset α
⊢ (∀ a ∈ m, f a = g a) → m.bind f = m.bind g
u v m n : ℤ
⊢ ¬Even n ↔ n % 2 = 1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
e : ((i : Subtype p) → α ↑i) × ((i : { i // ¬p i }) → α ↑i) ≃ᵐ ((i : ι) → α i) := (MeasurableEquiv.piEquivPiSubtypeProd α p).symm
⊢ MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piEquivPiSubtypeProd α p)) (Measure.pi μ) ((Measure.pi fun i => μ ↑i).prod (Measure.pi fun i => μ ↑i))
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a : α
⊢ ⊥ \ a = ⊥
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : R1Space X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : BorelSpace Y
inst✝² : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν
l : Filter α
f : α → C(X, Y)
g : C(X, Y)
hfg : Tendsto f l (𝓝 g)
hf : ∀ᶠ (a : α) in l, MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν
this : ν.InnerRegularCompactLTTop
s : Set Y
hs : MeasurableSet s
hνs : ν s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hso : IsOpen s
hνs' : μ (⇑g ⁻¹' s) ≠ ⊤
K : Set X
hKg : MapsTo (⇑g) K s
hKco : IsCompact K
hKcl : IsClosed K
hKμ : μ (⇑g ⁻¹' s \ K) < ε / 2
hKm : MeasurableSet K
a : α
hfa : MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν
ha : MapsTo (⇑(f a)) K s
⊢ μ ((⇑(f a) ⁻¹' s) ∆ K) + μ (K ∆ (⇑g ⁻¹' s)) ≤ ε / 2 + ε / 2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
Hf✝ : Monotone f
a✝ : α
s : Set α
Hf : Monotone f
a : α
ha : a ∈ upperBounds s
⊢ f a ∈ upperBounds (f '' s)
z : ℂ
⊢ dist ((starRingEnd ℂ) z) z = 2 * |z.im|
α β γ✝ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (α ⊕ β → ℕ)
γ : Type u
p : Poly ((α ⊕ β) ⊕ γ)
pe : ∀ (v : α ⊕ β → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
x✝ : {v | ∃ x, v ⊗ x ∈ S} v
x : β → ℕ
hx : v ⊗ x ∈ S
t : γ → ℕ
ht : p ((v ⊗ x) ⊗ t) = 0
⊢ p ((v ⊗ x) ⊗ t) = 0
P : Type u_1
L : Type u_2
Membership P L
Configuration.ProjectivePlane P L
Finite P
Finite L
l m : L
⊢ Configuration.pointCount P l = Configuration.pointCount P m
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y1 y2 : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ (y1 * y2).val = y1.val * y2.val
a b : ℕ+
⊢ Finset.Ioo a b = Finset.subtype (fun n => 0 < n) (Finset.Ioo ↑a ↑b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
A : Set E
x : E
⊢ x ∈ Set.extremePoints 𝕜 A ↔ x ∈ A ∧ ∀ x₁ ∈ A, ∀ x₂ ∈ A, x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
Ring R
v : AddValuation R Γ₀
x y : R
h : v x ≠ v y
⊢ v (x + y) = min (v x) (v y)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ k < n, c * u k < u (k + 1)
⊢ c ^ 0 * u 0 ≤ u 0
n m : ℝ≥0
⊢ ↑n = ↑m → n = m
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Zero β
y : β
⊢ y ∈ MeasureTheory.SimpleFunc.range 0 → y = 0
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : NonUnitalSubsemiring R
⊢ ↑s.toSubsemigroup = ↑s
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
h : ∀ (x : β), p x → q x
⊢ Filter.bliminf u f q ≤ Filter.bliminf u f p
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α
⊢ x ∈ ↑(powersetAux l).revzip ↔ x.1 + x.2 = ↑l
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
h : ε₁ ≤ ε₂
⊢ EMetric.closedBall x ε₁ ⊆ EMetric.closedBall x ε₂
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
hf : f.IsIntegral
x : PrimeSpectrum S
hx : IsClosed {x}
⊢ IsClosed {(PrimeSpectrum.comap f) x}
a : UnitAddCircle
x : ℝ
⊢ HurwitzZeta.evenKernel (-a) x = HurwitzZeta.evenKernel a x
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : CommSemiring S'
inst✝⁶ : Algebra S' R
inst✝⁵ : Algebra S S'
inst✝⁴ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).cotangentIdeal ≤ RingHom.ker f.kerSquareLift.toRingHom
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
⊢ a < o.bsup f ↔ ∃ i, ∃ (hi : i < o), a < f i hi
b x : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hx : x ≠ 0
t : Ordinal.{u_1} := sInf {o | x < b ^ o}
this : x < b ^ t
h : ∃ a, t = succ a
⊢ succ (log b x) = sInf {o | x < b ^ o}
α : Type u_1
Sub α
Bot α
a : WithTop α
⊢ a - ⊤ = ↑⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
hG : G.EdgeDisjointTriangles
⊢ (G.cliqueSet 3).Pairwise ((fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton) on Finset.map f)
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ (I ⊔ J).radical = (I.radical ⊔ J.radical).radical
r s : ℝ
⊢ (↑r).IsSt s ↔ r = s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelMonoidWithZero α
a c d : α
a_eq : a = a * c * d
ha0 : ¬a = 0
hac0 : a * c ≠ 0
this : a * (c * d) = a * 1
hcd : c * d = 1
⊢ a ~ᵤ a * c
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
c : ℝ
f : α → E
g : α → F
x : α
⊢ Asymptotics.IsBigOWith c (pure x) f g ↔ ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
⊢ F.op.Final
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ (fun t => Ring.inverse (↑x + t)) =O[𝓝 0] fun _t => 1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R
hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin (n + 1), M i j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)
x✝ : Fin n
⊢ (∑ j : Fin (n + 1), Mᵀ j) x✝ = 0 x✝
b p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_int 1 ↑b =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ ‖oddKernel (↑b) t‖ ≤ HurwitzKernelBounds.F_int 1 (↑b) t
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
Star A
NonUnitalSemiring B
Module R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
x : A
⊢ ↑((StarAlgEquiv.ofInjective' f hf) x) = f x
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α
s : Finset α
hs : a ∉ s
ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s
h₀ : ∀ (𝒞 : Finset (Finset α)), (∀ t ∈ 𝒞, t ⊆ insert a s) → ∀ t ∈ Finset.nonMemberSubfamily a 𝒞, t ⊆ s
h₁ : ∀ (𝒞 : Finset (Finset α)), (∀ t ∈ 𝒞, t ⊆ insert a s) → ∀ t ∈ Finset.memberSubfamily a 𝒞, t ⊆ s
⊢ 2 * ((Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card) ≤ 2 * (2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝⁴ : CommRing α
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
A : Matrix m m α
inst✝ : Invertible A
h : A⁻¹.IsHermitian
⊢ A⁻¹⁻¹.IsHermitian
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
S : Set (Subfield K)
x : K
⊢ (∀ (i : Subring K), x ∈ ⋂ (_ : i ∈ toSubring '' S), ↑i) ↔ ∀ (i : Subfield K), x ∈ ⋂ (_ : i ∈ S), ↑i
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M
⊢ Filter.map (↑(extChartAt I x)) (𝓝 x) = 𝓝[Set.range ↑I] ↑(extChartAt I x) x
K : Type u_1
RCLike K
x : K
⊢ RCLike.re (x * (starRingEnd K) x) = ‖x * (starRingEnd K) x‖
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
NonUnitalNonAssocRing α
Fintype n
M M' : Matrix m n α
N : Matrix n o α
⊢ (M - M') * N = M * N - M' * N
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.encard ≤ 1 ↔ s = ∅ ∨ ∃ x, s = {x}
D : AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData
F : CategoryTheory.Sheaf AlgebraicGeometry.Scheme.zariskiTopology (Type v)
s : (j : D.J) → F.val.obj (Opposite.op (D.U j))
h : ∀ (i j : D.J), F.val.map (D.f i j).op (s i) = F.val.map ((D.f j i).op ≫ (D.t i j).op) (s j)
j : D.J
⊢ F.val.map (D.ι j).op (D.sheafValGluedMk s h) = s j
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
n : ℕ
h : s.sym n = ∅
⊢ s = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Filter α
G : Filter β
s : Set α
t : Set β
m : α → β
⊢ MapsTo (map m) (Iic (𝓟 s)) (Iic (𝓟 t)) ↔ MapsTo m s t
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
⊢ Finset.range (2 * n / 3 + 1) ⊆ Finset.range (2 * n + 1)
m n : ℕ
i : Fin n
h : i.castSucc ≠ Fin.last n
⊢ (finSuccEquiv' (Fin.last n)) i.castSucc = some (i.castSucc.castLT ⋯)
α : Type u
n : ℕ
⊢ finRange n.succ = (map Fin.castSucc (finRange n)).concat (Fin.last n)
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₃)
⊢ y -ᵥ p₂ = 0 → x -ᵥ p₁ = 0 ∨ z -ᵥ p₃ = 0
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : α → Set α
hf : ∀ (x : α), f x ∈ 𝓝 x
s : Set α
hsc : s.Countable
hsU : ⋃ i ∈ s, interior (f i) = ⋃ i, interior (f i)
⊢ ∀ (x : α), ∃ i, x ∈ interior (f i)
α : Type u
r : α → α → Prop
IsIrrefl α r
x y : α
⊢ r x y → x ≠ y
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s κ μ
i k : ι
hk : i < k
⊢ Indep (generateFrom {s k}) (generateFrom {t | ∃ j ≤ i, s j = t}) κ μ
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : MulZeroClass α
s✝ t s : Finset α
⊢ s * 0 ⊆ 0
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
p m : Nat
n : Nat
i : Fin n
⊢ Fin.natAdd m (Fin.castAdd p i) = Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd p (Fin.natAdd m i))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n✝ n : ℕ
ih : ∀ {m : Sym α n}, m ∈ s.sym n ↔ ∀ a ∈ m, a ∈ s
m : Sym α (n + 1)
⊢ (∃ v ∈ s, m ∈ image (Sym.cons v) (s.sym n)) → ∀ a ∈ m, a ∈ s
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
α : Type u_9
TopologicalSpace α
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
f : α → M₁
s : Set α
⊢ ContinuousOn (⇑e ∘ f) s ↔ ContinuousOn f s
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
B : Set (Set α)
empty_mem : ∅ ∈ B
subset_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ⊆ s₁, s₂ ∈ B
union_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ∈ B, s₁ ∪ s₂ ∈ B
singleton_mem : ∀ (x : α), {x} ∈ B
⊢ comk (fun x => x ∈ B) empty_mem subset_mem union_mem ≤ cofinite
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
hl : l.reverse ≠ []
hl' : optParam (0 < l.length) ⋯
⊢ l.reverse.getLast hl = l.get ⟨0, hl'⟩
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C
J : Type
Fintype J
f : J → C
X : C
⊢ (CategoryTheory.rightDistributor f X).hom =
  ∑ j : J,
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j) X)
      (CategoryTheory.Limits.biproduct.ι (fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (f j) X) j)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
T : CategoryTheory.Monad C
X : CategoryTheory.Kleisli T
⊢ (CategoryTheory.Kleisli.Adjunction.fromKleisli T).obj X = T.obj X
α : Type u
r : α → α → Prop
IsIrrefl α r
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ List.Lex r (a :: l₁) (a :: l₂) ↔ List.Lex r l₁ l₂
p : Prop
Decidable p
u : Unit
⊢ guard p = some u ↔ p
R : Type u_1
CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hMin : I ∈ minimalPrimes R
x : Localization I.primeCompl
⊢ IsNilpotent x ↔ x ∈ LocalRing.maximalIdeal (Localization I.primeCompl)
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
π : α → Sort u_4
⊢ IsEmpty ((a : α) → π a) ↔ ∃ a, IsEmpty (π a)
α : Type u
Add α
a b : WithTop α
⊢ a + b ≠ ⊤ ↔ a ≠ ⊤ ∧ b ≠ ⊤
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
⊢ a ^ 2 = -↑(normSq a) ↔ star a = -a
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
ha : a ≠ 0
⊢ (C a * X ^ n).trailingDegree = ↑n
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Exponentiable A
I : C
t : CategoryTheory.Limits.IsInitial I
f : A ⟶ I
⊢ CategoryTheory.IsIso f
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasProduct f
inst✝ : HasProduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
⊢ (reindex ε f).inv ≫ π (f ∘ ⇑ε) b = π f (ε b)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
StrictOrderedSemiring Γ
r : R
⊢ (HahnSeries.ofPowerSeries Γ R) ((PowerSeries.C R) r) = HahnSeries.C r
r : ℝ≥0
⊢ ⊤ ≠ ↑r
z τ : ℂ
⊢ jacobiTheta₂'' (-z) τ = -jacobiTheta₂'' z τ
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
CompleteSpace 𝕜
f g : E → 𝕜
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ContDiffAt 𝕜 n g x
hx : g x ≠ 0
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x / g x) x
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)
h : #↑(range f) < #β
u : ∀ (b : β), ∃ a, b ∈ f a := fun b => Eq.mp (Eq.trans Mathlib.Order.SetNotation._auxLemma.3 (congrArg Exists (funext fun i => Mathlib.Data.Finset.Basic._auxLemma.6))) (Eq.ge w (mem_univ b))
u' : β → ↑(range f) := fun b => ⟨f ⋯.choose, ⋯⟩
v' : ∀ (a : α), u' ⁻¹' {⟨f a, ⋯⟩} ≤ ↑(f a)
⊢ False
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.π₂.obj S = S.X₂
α : Type u
s : Set α
⊢ s ∪ Set.univ = Set.univ