ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
a b c : α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
h : AddLECancellable (b * c)
⊢ (a - b) * c = a * c - b * c
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
a b : α ⊕ β
⊢ toLex a < toLex b ↔ Sum.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun x x_1 => x < x_1) a b
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
h0 : ¬‖↑(hf.approx n) x‖ = 0
h : ‖↑(hf.approx n) x‖ ≤ c
⊢ ‖min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖)‖ * ‖↑(hf.approx n) x‖ ≤ c
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
b : α
hb : b ∈ P.parts
⊢ b ≠ ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
p : ℝ
hp_nonneg : 0 ≤ p
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
a : α
ha : Tendsto (fun n => f n a) atTop (𝓝 (f_lim a))
⊢ Tendsto (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop (𝓝 (↑‖f_lim a‖₊ ^ p))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
hi : c.prev j = i
h : K.d i j = 0
K.HasHomology j
⊢ (K.pOpcyclesIso i j hi h).inv ≫ K.pOpcycles j = 𝟙 (K.opcycles j)
X✝ X Y : LocallyRingedSpace
e : X ≅ Y
⊢ (e.inv ≫ e.hom).val.base = 𝟙 ↑Y.toPresheafedSpace
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
P : α → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsSymm α r
h : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), P (f n)
hf' : ∀ (m n : ℕ), m < n → r (f m) (f n)
⊢ ∃ f, (∀ (n : ℕ), P (f n)) ∧ Pairwise fun m n => r (f m) (f n)
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0
⊢ Function.Injective ⇑((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
⊢ s.Nonempty → (∀ (i : ι), (t i).Nonempty) → (s.sigma t).Nonempty
α : Type u_1
CommMonoid α
a b : α
n : ℕ
h : a ~ᵤ b
⊢ a ^ n ~ᵤ b ^ n
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → Summable fun n => ‖f (p ^ n)‖
p : ℕ
s : Finset ℕ
hp : p ∉ s
ih : (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter Nat.Prime s, ∑' (n : ℕ), f (p ^ n))
⊢ (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter Nat.Prime (insert p s), ∑' (n : ℕ), f (p ^ n))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Countable α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ μ.toPMF.toMeasure s = μ s
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
h_alg : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S)
⊢ Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I ≤ comap (algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) (Ideal.map (algebraMap R S) I)
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a✝ b c : α
m n : ℕ
a : α
h : m ≤ n
⊢ a ^ n = a ^ m * a ^ (n - m)
α : Type u
a : α
l : List α
h : l ≠ []
⊢ a ∈ l → a ∈ Stream'.cycle l h
α : Sort u_4
IsEmpty α
r : α → α → Prop
⊢ WellFounded r
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
C : SubMulAction G X
B : Set ↥C
⊢ ∀ (a : G), a • B = B ∨ Disjoint (a • B) B ↔ a • Subtype.val '' B = Subtype.val '' B ∨ Disjoint (a • Subtype.val '' B) (Subtype.val '' B)
x✝ x : ℝ
h : cos x ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun y => tan y - y) (1 / cos x ^ 2 - 1) x
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
r : ℝ
⊢ ρ.IicSnd r ≤ ρ.fst
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.succ
x y : M 0
⊢ f (cons (x + y) m) = f (cons x m) + f (cons y m)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
⊢ ∀ᵐ (a_1 : γ) ∂κ.fst a, Monotone fun i => κ.density κ.fst a a_1 (seq i)
s n : ℕ
step : ℕ := 1
h : 0 < step := by simp
⊢ (List.range' s n step).Nodup
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
⊢ ∃ a b, a ^ 2 + b ^ 2 = x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius ∧ ↑r < q.radius
⊢ ↑r ≤ (p + q).radius
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f₁ g₁ f₂ g₂ : C ⟶ D
h₁ : Homotopy f₁ g₁
h₂ : Homotopy f₂ g₂
i j : ι
⊢ (h₁.add h₂).hom i j = h₁.hom i j + h₂.hom i j
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
this : IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
⊢ False
α : Type u_1
𝕜 : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
_m : MeasurableSpace α
φ : α → F →L[𝕜] E
hφ : MeasureTheory.StronglyMeasurable φ
v : F
⊢ MeasureTheory.StronglyMeasurable fun a => (φ a) v
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
s : ι → Set Ω
Fintype ι
h : ProbabilityTheory.Kernel.iIndep m κ μ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i, s i) = ∏ i : ι, (κ a) (s i)
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
TopologicalSpace β
f : β → α
⊢ Continuous f ↔ ∀ (b : β), Filter.Tendsto (fun x => (f b, f x)) (𝓝 b) (𝓤 α)
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
S : Type u_8
SetLike S N
AddSubmonoidClass S N
f : G →+ N
s : S
h : ∀ (x : G), f x ∈ s
⊢ (f.codRestrict s h).ker = f.ker
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
hna : ¬Gᶜ.Adj v w
⊢ Fintype.card ↑(Gᶜ.commonNeighbors v w) = n - (2 * k - ℓ)
x y : ℝ*
hx : x.InfinitePos
hy₁ : ¬y.Infinitesimal
hy₂ : 0 < y
r : ℝ
hy₁' : ∃ x, ¬(0 < x → -↑x < y ∧ y < ↑x)
r₁ : ℝ
hy₁'' : ¬(0 < r₁ → -↑r₁ < y ∧ y < ↑r₁)
hyr : 0 < r₁ ∧ ↑r₁ ≤ y
⊢ ↑r < x * y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : Ioi b ⊆ Ioi a
ba : ¬a ≤ b
⊢ False
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a b : α
⊢ Int.fract a = b ↔ 0 ≤ b ∧ b < 1 ∧ ∃ z, a - b = ↑z
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N : LieSubmodule R L M
k : ℕ
⊢ lowerCentralSeries R L (↥↑N) k = ⊥ ↔ LieSubmodule.lcs k N = ⊥
m n : ℕ
⊢ Even (m + n) ↔ (Even m ↔ Even n)
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b x : α
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTrans α r
hts : t ⊆ s
h : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, r y x
a : α
x✝ : a ∈ minimals r s
has : a ∈ s
hmin : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → r b a → r a b
⊢ a ∈ t
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_4
Fintype n
DecidableEq n
M₁ : Type u_5
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
DecidableEq M₁
f : M₁ →ₗ[R] M₁
k i : n
⊢ (LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁.reindexRange) f ⟨v₁ k, ⋯⟩ ⟨v₁ i, ⋯⟩ = (LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁) f k i
m n : Nat
h : m ≤ n.succ
⊢ m ≤ n ∨ m = n.succ
m : Type u_1
R : Type u_2
Fintype m
CommRing R
M : Matrix m m R
hM : M.Nondegenerate
v : m → R
hv : ∀ (w : m → R), Matrix.dotProduct v (M.mulVec w) = 0
⊢ v = 0
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
⊢ 2⁻¹ < 1
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p a : Associates α
hp : Irreducible p
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
a✝ : Nontrivial α
hph : p ^ n ≠ 0
⊢ a = p ^ p.count a.factors
α : Type u_2
self : MeasureTheory.OuterMeasure α
s₁ s₂ : Set α
⊢ s₁ ⊆ s₂ → self.measureOf s₁ ≤ self.measureOf s₂
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.133780, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
⊢ S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀ + φ₂.τ₁ - (S₁.f ≫ h'.h₁ + h'.h₀ + φ₄.τ₁) = S₁.f ≫ h.h₁ - S₁.f ≫ h'.h₁ + (h.h₀ - h'.h₀) + (φ₂.τ₁ - φ₄.τ₁)
X : Type u_1
TopologicalSpace X
a b : X
γ : Path a b
⊢ γ.truncate 0 0 = (Path.refl a).cast ⋯ ⋯
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
inst✝ : Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)
h : s.Countable
this : Countable ↑s
⊢ lift.{?u.25480, w} #↥((closure L).toFun s) ≤ ℵ₀
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x - d) = ∫ (x : ℝ) in c * a - d..c * b - d, f x
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
LinearOrderedField 𝕜
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
x y z : 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y ≤ z
h : f y ≤ f x
⊢ f z ≤ f y
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
P : C → Prop
A : Type u_2
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a b c : A
h : a + b = c
CategoryTheory.ClosedUnderIsomorphisms P
⊢ CategoryTheory.PredicateShift (CategoryTheory.PredicateShift P b) a = CategoryTheory.PredicateShift P c
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : H.IsComplement' K
⊢ K.IsComplement' H
α : Sort u_1
f : α → α
h : Function.Involutive f
⊢ Function.Involutive ⇑(Function.Involutive.toPerm f h)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius
⊢ False
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
s : Set α := OrderHom.lfp F
hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s
hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ
⊢ ∃ h, Bijective h
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : mabs a = b
⊢ a = b ∨ a = b⁻¹
Ω : Type u_1
m' m₁ m₂ mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h : ProbabilityTheory.CondIndep m' m₁ m₂ hm' μ
⊢ ProbabilityTheory.CondIndep m' m₂ m₁ hm' μ
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
⊢ ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = ∑ σ : Perm m, ↑↑(sign σ) * ∏ i : m, A (σ i) i
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
e₁ e₂ : Trivialization F proj
b : B
h₁ : b ∈ e₁.baseSet
h₂ : b ∈ e₂.baseSet
⊢ Continuous (e₁.coordChange e₂ b)
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
⊢ n + 0 = n
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
u : R
hu : IsUnit u
h_mul : u * star u = 1
⊢ u ∈ unitary R
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
R : Type u_1
CommSemiring R
Algebra R 𝕜
q : R[X]
⊢ fderiv 𝕜 (fun x => (Polynomial.aeval x) q) x =
  ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative q))
M : Type u_4
N : Type u_5
⊢ ∀ {x : Add M} {x_1 : Add N} (f : AddHom M N) (f' : M → N) (h : f' = ⇑f), f.copy f' h = f
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
⊢ (p.prod q).radius ≤ min p.radius q.radius
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
φ₁ φ₂ : A →ₐc[R] B
H : φ₁ = φ₂
x : A
⊢ φ₁ x = φ₂ x
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
f : EsakiaHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ ⇑(f.copy f' h) = f'
R : Type u_2
M : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ -p = p
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : PseudoEpimorphism β γ
f₁ f₂ : PseudoEpimorphism α β
hg : Function.Injective ⇑g
⊢ g.comp f₁ = g.comp f₂ ↔ f₁ = f₂
α : Type u_1
ι : Type u_3
Lattice α
OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
DecidableEq ι
⊢ s.SupIndep f ↔ ∀ i ∈ s, Disjoint (f i) ((s.erase i).sup f)
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosStrictMono α
ha : 1 < a
h : b ≤ c
hc : 0 < c
⊢ b < a * c
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H (-α)
y : M
hy : y ∈ weightSpaceChain M α χ p q
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
M : Type u_2
AddCommGroup M
A : Type u_5
CommRing A
Module A M
DecidableEq M
P : A → Prop
f : M →ₗ[A] M
hb : ∀ (s : Finset M) (b : Basis { x // x ∈ s } A M), P ((LinearMap.toMatrix b b) f).det
h1 : P 1
⊢ P (LinearMap.det f)
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
x : B
y : F
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
h : x ∈ e.baseSet
⊢ (↑e.symm (x, y)).proj = x
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
ι : Sort u_1
p : ι → Prop
s : ι → Set G
hb : (𝓝 1).HasBasis p s
x : G
⊢ (𝓝 x).HasBasis p fun i => {y | y / x ∈ s i}
cs cs' : List Char
⊢ { data := cs ++ cs' }.get { byteIdx := String.utf8Len cs } = cs'.headD default
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
μ ν : Measure Ω
h_le : ε₁ ≤ ε₂
B : Set Ω
hε₁ : μ B ≤ ν (thickening ε₁.toReal B) + ε₁
ε_top : ¬ε₂ = ⊤
⊢ μ B ≤ ν (thickening ε₂.toReal B) + ε₂
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
⊢ dualDistribInvOfBasis b c ∘ₗ dualDistrib R M N = LinearMap.id
F : Type u → Type u
q : QPF F
⊢ QPF.SuppPreservation ↔ QPF.LiftpPreservation
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g h : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hh : AEStronglyMeasurable h μ
⊢ ∫⁻ (a : α), edist (f a) (g a) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), edist (f a) (h a) ∂μ + ∫⁻ (a : α), edist (g a) (h a) ∂μ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : ι → Function.End α
K : ι → ℝ≥0
h : ∀ (i : ι), LipschitzWith (K i) (f i)
i : ι
l : List ι
⊢ LipschitzWith (K i * (List.map K l).prod) (f i * (List.map f l).prod)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {l₁ l₃ l₂ : List α}, l₁ <:+ l₃ → l₂ <:+ l₃ → l₁ <:+ l₂ ∨ l₂ <:+ l₁
p₁ p₂ q₁ : Prop
h₁ : p₁ = p₂
q₂ : p₂ → Prop
h₂ : ∀ (h : p₂), q₁ = q₂ h
⊢ (p₁ → q₁) = ∀ (h : p₂), q₂ h
V : Type u
inst✝² : Quiver V
V' : Type u'
inst✝¹ : Quiver V'
V'' : Type u''
inst✝ : Quiver V''
φ : V ⥤q V'
φ' : V' ⥤q V''
⊢ lift (φ ⋙q of V') ⋙ lift (φ' ⋙q of V'') = lift (φ ⋙q φ' ⋙q of V'')
F : Type u_6
α : outParam (Type u_7)
β : outParam (Type u_8)
Preorder α
Preorder β
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
FunLike F α β
self : ContinuousOrderHomClass F α β
f : F
⊢ Monotone ⇑f
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finmap β
⊢ (∀ (x : α), Finmap.lookup x s₁ = Finmap.lookup x s₂) → s₁ = s₂
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
(i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
x₀ y₀ : α 0
x y : (i : Fin n) → α i.succ
⊢ Fin.cons x₀ x ≤ Fin.cons y₀ y ↔ x₀ ≤ y₀ ∧ x ≤ y
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
hJ : J ∈ π₂
⊢ (π₁.disjUnion π₂ h).tag J = π₂.tag J
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ ↑P.parts.offDiag.card ≤ 1 * ↑P.parts.card ^ 2
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.a₆ = 0 ∧ (2 * y + W.a₁ * x + W.a₃ ≠ 0 ∨ -(W.a₁ * y - (3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄)) ≠ 0) ↔ (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.a₆ = 0 ∧ (1 ^ 3 * (W.a₃ + { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r * W.a₁ + 2 * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t) ≠ 0 ∨ 1 ^ 4 * (W.a₄ - { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.s * W.a₃ + 2 * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r * W.a₂ - ({ u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t + { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.s) * W.a₁ + 3 * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r ^ 2 - 2 * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.s * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t) ≠ 0)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l₂ : List α
a : α
l₁ : List α
IH : (l₁ ++ l₂).dedup = l₁ ∪ l₂.dedup
⊢ (a :: l₁ ++ l₂).dedup = List.insert a (l₁ ∪ l₂.dedup)
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
⊢ infEdist x s ≤ infEdist x (closure s)
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
⊢ ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), IsIntegral F α → IsIntegral F α⁻¹
V : Type u_1
R : Type u_2
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
CommRing R
x : V → R
⊢ x ⬝ᵥ SimpleGraph.degMatrix R G *ᵥ x = ∑ i : V, ↑(G.degree i) * x i * x i
R : Fin 2 → Type u_1
(i : Fin 2) → Semiring (R i)
a : (i : Fin 2) → R i
⊢ (RingEquiv.piFinTwo R) a = (piFinTwoEquiv R) a
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
f : M ≃ₗ[R] M'
p : Submodule R M
⊢ Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(Submodule.map (↑f) p)) = Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R ↥p)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁸ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
G : Type u_9
inst✝³ : Group G
inst✝² : SMul G R
inst✝¹ : MulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
g : G
x : M
⊢ span R {g • x} = span R {x}
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι✝
v✝ : Set E
A : ι✝ → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
v : ι → E
s : Set ι
hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)
hsv : Injective (s.restrict v)
hX✝ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
Y : Finset E
b₀ : OrthonormalBasis { x // x ∈ Y } 𝕜 E
hX : range (s.restrict v) ⊆ ↑Y
hb₀ : ⇑b₀ = Subtype.val
hιY : Fintype.card ι = Y.card
hvsY : MapsTo v s ↑Y
hsv' : InjOn v s
⊢ ∃ b, ∀ i ∈ s, b i = v i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h : a ⋖ b
⊢ Iio b = Iic a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : ι → Set X
hs : IsCompact s
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hUf : ∀ (x : X), {i | (f i ∩ U x).Nonempty}.Finite
t : Finset X
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
i : ι
x : X
hx : x ∈ f i ∩ s
⊢ i ∈ ⋃ i ∈ ↑t, {i_1 | (f i_1 ∩ U i).Nonempty}
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s t : Set E
f : E → F
x : E
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
n : ℕ
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 n f t x
α : Type u_1
F : Type u_3
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
T T' : Set α → F →L[ℝ] F'
f : MeasureTheory.SimpleFunc α F
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc (T + T') f =
  MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T f + MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T' f
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
f_surj : Surjective f
ℱ : Filter Y
z : Z
h : MapClusterPt z ℱ g
⊢ ∃ x, g x = z ∧ ClusterPt x ℱ
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
j : α
⊢ c'.inj j ≫ ((opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv).unop = c'.ι.app { as := j } ≫ (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv.unop
α : Type u_1
l : List α
h : ↑l.length < Cardinal.mk α
⊢ ∃ z, z ∉ l
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s : Finmap β
a : α
b : β a
⊢ b ∈ Finmap.lookup a s ↔ ⟨a, b⟩ ∈ s.entries
o o' : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
h : o.split = (o', m)
a : ONote
n : ℕ
e : o.split' = (a, n)
⊢ o'.NF ∧ o.repr = o'.repr + ↑m
M : Type u_3
AddMonoid M
N : Type u_6
AddCommMonoid N
AddAction M N
VAddAssocClass M N N
r : M
s : Set N
x : N
hx : x ∈ AddSubmonoid.closure s
⊢ ∃ n, n • r +ᵥ x ∈ AddSubmonoid.closure (r +ᵥ s)
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
Fintype ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
c : R
x : M₁ i
⊢ f (Function.update (c • m) i x) = c ^ (Fintype.card ι - 1) • f (Function.update m i x)
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r s : R
⊢ r + s ∈ σ (↑ₐ s + a) ↔ r ∈ σ a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝³ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S R
inst✝ : IsScalarTower S R R
s : S
p q : R[X]
⊢ (s • p).comp q = s • p.comp q