ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₃
f : M → F₂ →L[𝕜] F₁
hg : ContMDiff I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₃) n g
hf : ContMDiff I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₁) n f
⊢ ContMDiff I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₃) n fun x => (g x).comp (f x)
R : Type x
CommRing R
a b : R
⊢ (a - b) ^ 2 = a ^ 2 - 2 * a * b + b ^ 2
x : ℂ
⊢ Complex.sin x = 1 ↔ ∃ k, ↑Real.pi / 2 + ↑k * (2 * ↑Real.pi) = x
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
a : G
DecidableEq α
s : Finset α
⊢ a ∈ AddAction.stabilizer G s ↔ s ⊆ a +ᵥ s
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
⊢ e.toAddEquiv = ↑e
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s
⊢ P.part a ∈ P.parts
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p
g : G
hg : orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
hpk : p ^ k ∣ orderOf t
⊢ orderOf t < orderOf (t ^ p ^ k * g)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
c : Ordinal.{u}
hι : #ι < c.cof
⊢ Cardinal.lift.{u, u} #ι < c.cof
R : Type u_1
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₃
I : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₛₗ[I] M₃
B' : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₛₗ[I] M₃
B'' : M₂ →ₗ[R] M₂ →ₛₗ[I] M₃
f : M →ₗ[R] M₁
g : M₁ →ₗ[R] M
f' : M₁ →ₗ[R] M₂
g' : M₂ →ₗ[R] M₁
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B'.IsAdjointPair B'' f' g'
⊢ B.IsAdjointPair B'' (f' ∘ₗ f) (g ∘ₗ g')
α : Type u_1
β : Type u_2
IsEmpty β
val : α
⊢ (Equiv.sumEmpty α β).symm val = Sum.inl val
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝓤 : X.AffineOpenCover
⊢ 𝓤.openCover.J = 𝓤.J
f : ℕ → ℂ
c s a : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
⊢ LSeriesHasSum (c • f) s (c * a)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
x₀ : β
b : β → ℝ
b_lim : Tendsto b (𝓝 x₀) (𝓝 0)
F : ι → β → α
H : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) ≤ b x
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) < ε
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
h : ∀ e ∈ X \ I, M.Dep (insert e I)
⊢ X \ I ⊆ M.E
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hc : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹
⊢ DifferentiableOn ℂ (Function.update f c (limUnder (𝓝[≠] c) f)) s
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop,
  ∀ (i : α),
    ↑(r i n) ^ AkraBazziRecurrence.p a b * (1 - AkraBazziRecurrence.smoothingFn ↑(r i n)) ≤
      b i ^ AkraBazziRecurrence.p a b * ↑n ^ AkraBazziRecurrence.p a b * (1 - AkraBazziRecurrence.smoothingFn ↑n)
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.rnDeriv ν = if h : μ.HaveLebesgueDecomposition ν then (Classical.choose ⋯).2 else 0
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
⊢ Filter.map rexp atTop = atTop
α : Type u_1
ι : Type u_8
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
As_disj : Pairwise (Disjoint on As)
⊢ ∑' (i : ι), μ (As i) ≤ μ (⋃ i, As i)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
self : S₁.Hom S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.τ₂ S₂.g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g self.τ₃
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
φ : K →+* ℂ
H : ∀ (σ : K ≃ₐ[k] K), ComplexEmbedding.IsConj φ σ → σ = 1
hφ : ¬ComplexEmbedding.IsConj φ 1 ∧ ComplexEmbedding.IsReal (φ.comp (algebraMap k K))
⊢ False
α : Type u_1
BEq α
l : List α
n : Nat
a : α
⊢ l.isPrefixOf (List.replicate n a) = (decide (l.length ≤ n) && l.all fun x => x == a)
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
⊢ ⇑1 = id
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((κ ⊗ₖ η) a) s = κ.compProdFun η a s
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
⊢ ker (f ^ m) ⊓ range (f ^ m) = ⊥
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
⊢ l.length = n + 1 → ∃ h t, l = h :: t
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulOneClass α
MulOneClass β
⊢ Function.Injective OrderMonoidHom.toMonoidHom
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
n : ℕ
⊢ (∑ x ∈ f.support, if p * x = n then f.coeff x else 0) = if p ∣ n then f.coeff (n / p) else 0
X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
hfg : f = g
x : ↑X.toTopCat
⊢ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap f x =
  Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯ ≫ AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap g x
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → ℝ
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
bc : b ≤ c
⊢ f c - f b ≤ variationOnFromTo f s a c - variationOnFromTo f s a b
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
z : E
⊢ ‖↑‖z‖‖ = ‖z‖
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : Function.support f ⊆ s
⊢ essSup f (μ.restrict s) = essSup f μ
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : dist x z < ε
⊢ y ∈ interior s
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ x ^ y = 0 ↔ x = 0 ∧ y ≠ 0
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he : ∀ (x y : ℝ), ↑x + ↑y * I = e (x, y)
⊢ (((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * I)) + I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * I)) - I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * I) = ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (↑x + ↑y * I)) 1 - (f' (↑x + ↑y * I)) I
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
b : α
bs : b ∈ s
⊢ AntitoneOn (fun a => variationOnFromTo f s a b) s
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a : R
ha : a ≠ 0
p q : R⟦X⟧
n : ℕ
h : (coeff R n) p = (coeff R n) q ∨ a ^ n = 0
⊢ (coeff R n) p = (coeff R n) q
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
⊢ (p + q).degrees ≤ p.degrees ⊔ q.degrees
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
NormedAddCommGroup EM
NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u
TopologicalSpace M
ChartedSpace HM M
R : Type u
TopologicalSpace R
ChartedSpace H R
CommRing R
SmoothRing I R
x : ↑(TopCat.of M)
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (smoothSheafCommRing.forgetStalk IM I M R x).hom (smoothSheaf.evalHom IM I R x) =
  (CategoryTheory.forget CommRingCat).map (smoothSheafCommRing.evalHom IM I M R x)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
⊢ (LinearMap.trace R M) LinearMap.id = ↑(FiniteDimensional.finrank R M)
α : Type u
β : Type v
m : α → β
u : Ultrafilter β
inj : Function.Injective m
large : Set.range m ∈ u
⊢ ↑(u.comap inj large) = Filter.comap m ↑u
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
⊢ ⨆ i, MonoidHom.mrange Monoid.CoprodI.of = ⊤
M : Type u_2
AddMonoid M
a b : M
h : AddCommute a b
n : ℕ
⊢ n • (a + b) = n • a + n • b
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
hI : I.IsPrimary
this : Nontrivial (R ⧸ I)
⊢ I.radical ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I)
α : Sort u_1
Unique α
p : α → Prop
⊢ (∀ (a : α), p a) ↔ p default
R : Type u_1
S : Type u_2
k : Type u_3
α : Type u_4
Semiring R
Ring S
LinearOrderedField k
f : R →+* S
abv : S → k
IsAbsoluteValue abv
p : Polynomial R
hd : 0 < p.degree
hf : f p.leadingCoeff ≠ 0
l : Filter α
z : α → S
hz : Filter.Tendsto (abv ∘ z) l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto (fun x => abv (Polynomial.eval₂ f (z x) p)) l Filter.atTop
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝⁴ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝³ : FiberFunctor F
X Y Z : C
inst✝² : IsConnected X
inst✝¹ : IsGalois Y
inst✝ : IsGalois Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
σ : Aut X
⊢ (f ≫ g) ≫ ((autMap g ∘ autMap f) σ).hom = σ.hom ≫ f ≫ g
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
⊢ 𝓝[s ∪ t] a = 𝓝[s] a ⊔ 𝓝[t] a
α : Type u_1
T : TopologicalSpace α
F : Ctop.Realizer α
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.range F.F.f)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M N : Comon_ C
f : M.X ≅ N.X
f_counit : f.hom ≫ N.counit = M.counit := by aesop_cat
f_comul : f.hom ≫ N.comul = M.comul ≫ (f.hom ⊗ f.hom) := by aesop_cat
⊢ (Comon_.mkIso f f_counit f_comul).inv.hom = f.inv
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char
⊢ Substring.takeWhileAux { data := l ++ c :: (m ++ r) } { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m + c.utf8Size) } p { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len (List.takeWhile p m) + c.utf8Size) }
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
hb : ¬IsMin b
⊢ Order.pred a ≤ Order.pred b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
C : ι → Set α
f : (x : ι) → β → ↑(C x)
hf : ∀ (x : ι), Surjective (f x)
x : α
⊢ (∃ i, x ∈ range fun x => ↑(f x i)) ↔ ∃ i, x ∈ C i
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
GroupWithZero α
Zero β
MulActionWithZero α β
PosSMulMono α β
PosSMulReflectLE α β
s : Set β
a : α
ha : 0 < a
⊢ BddBelow (a • s) ↔ BddBelow s
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
⊢ insert a l = if a ∈ l then l else a :: l
X : Type u
CommRing X
⊢ ⇑(𝟙 (CommRingCat.of X)) = ⇑(RingHom.id X)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
R : Type u_2
Zero R
SMulWithZero R β
ContinuousConstSMul R β
r : R
f : α →C₀ β
⊢ ⇑(r • f) = r • ⇑f
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
b : B
⊢ Continuous (Bundle.TotalSpace.mk b)
M : Type u_1
N : Type u_2
mM : AddZeroClass M
mN : AddZeroClass N
f : M →+ N
⊢ IsAddMonoidHom ⇑f
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
J : Type w₁
F : C ⥤ D
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct (F.obj ∘ f)
F.PreservesZeroMorphisms
⊢ F.biproductComparison' f ≫ F.biproductComparison f = 𝟙 (⨁ F.obj ∘ f)
G : Type u_3
H : Type u_4
Inv G
Inv H
p : G × H
⊢ p⁻¹.1 = p.1⁻¹
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∀ (x_1 : ℕ), (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → ∃ m, x + ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id x_1) ∧ |x + ↑r - ↑m / ↑(r.den • id x_1)| < ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id x_1) ^ p
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ (x : { a // a ∈ b }), IsOpen (c ↑x)
hc₂ : s ⊆ ⋃ x, c ↑x
⊢ ∃ b' ⊆ b, b'.Finite ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ b', c i
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts
⊢ t.card ≤ s.card / P.parts.card + 1
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
l : Filter α
s : Set α
⊢ s ∈ cocountable ↔ sᶜ.Countable
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
⊢ Nonempty (IsLimit (P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔ ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
h : ε < ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε.toReal / 3
hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal
hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)
δ₁ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ₁
heLpNorm₁ : ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
δ₂ : ℝ
hδ₂ : 0 < δ₂
heLpNorm₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
α : Type u_2
M : Matroid α
e : α
he : e ∈ M.E := by aesop_mat
⊢ e ∈ M.closure {e}
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F✝
inst✝ : Module ℝ F✝
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
e : ι ≃ Fin 1
B : parallelepiped ⇑(b.reindex e) = parallelepiped ⇑b
F : ℝ → Fin 1 → ℝ := fun t _i => t
A : Icc 0 1 = F '' Icc 0 1
H : ⇑(b.reindex e) = fun x => -1
⊢ parallelepiped ⇑(b.reindex e) = Icc 0 1 ∨ parallelepiped ⇑(b.reindex e) = Icc (-1) 0
α : Type u_1
β : Type u_2
x : β
h : (Sum.inr x).isRight = true
⊢ (Sum.inr x).getRight h = x
P : Type u_1
Preorder P
x : P
F : Order.PFilter P
⊢ Order.PFilter.principal x ≤ F ↔ x ∈ F
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
LocallyCompactSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
⊢ LocallyCompactSpace X
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
C : ℝ
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), C ≤ ↑(r i n)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
x : E × F
⊢ f.fpowerSeriesBilinear x 0 = ContinuousMultilinearMap.curry0 𝕜 (E × F) ((f x.1) x.2)
α : Type u_1
f : α → α
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : Function.IsPeriodicPt f n x
⊢ Function.minimalPeriod f x ≤ n
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
(i : ι) → Sub (α i)
∀ (i : ι), OrderedSub (α i)
i : ι
a b : α i
DecidableEq ι
⊢ DFinsupp.single i (a - b) = DFinsupp.single i a - DFinsupp.single i b
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
⊢ f =ᵐ[μ] 0
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
i : ι
⊢ ↑f i ≤ m
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
this : IsSelfAdjoint a
⊢ ‖a‖₊ ∈ spectrum ℝ≥0 a
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder Γ
V : Type u_3
inst✝² : Zero V
inst✝¹ : SMulZeroClass R V
inst✝ : Zero Γ
r : R
x : HahnSeries Γ V
h : r • x ≠ 0
hx : x ≠ 0
⊢ ¬(r • x).order < x.order
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
⊢ Equiv.Perm.sign f = (-1) ^ (f.cycleType.sum + Multiset.card f.cycleType)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
r : R
hr : r * x.leadingCoeff = 1
hx : ¬x = 0
hrz : r ≠ 0
⊢ 0 ≤ min (orderTop 1) ((single (-x.order)) r * x).orderTop
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
⊢ Cardinal.lift.{w, v} (Module.rank F E) * Cardinal.lift.{v, w} (Module.rank E ↥(separableClosure E K)) = Cardinal.lift.{v, w} (Module.rank F ↥(restrictScalars F (separableClosure E K)))
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder β s
f : r ↪r s
a : α
b : β
h : ∀ (a' : α), r a' a → s (↑(f.collapseF a')) b
⊢ ¬s b ↑(f.collapseF a)
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ (((ofQuaternion.toLinearMap ∘ₗ toQuaternion.toLinearMap) ∘ₗ ι (Q c₁ c₂)) ∘ₗ LinearMap.inr R R R) 1 = (((AlgHom.id R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))).toLinearMap ∘ₗ ι (Q c₁ c₂)) ∘ₗ LinearMap.inr R R R) 1
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
⊢ (Rep.linearization k G).ε.hom = Finsupp.lsingle PUnit.unit
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
f : β → α
b : β
⊢ {b}.inf f = f b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
⊢ RTendsto r l₁ l₂ ↔ l₁ ≤ rcomap r l₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
⊢ {a | ε ≤ f a} ⊆ {x | ε ≤ ‖f x‖}
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
⊢ MvPolynomial.pointToPoint '' MvPolynomial.zeroLocus I ≤ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I
α : Sort u_3
⊢ Nonempty (PLift α) ↔ Nonempty α
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ Filter.Tendsto (fun A => ∫ (x : α), ProbabilityTheory.truncation f A x ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.transfer G ⋯ = p
I : Type u_1
J : Type u_2
C : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} C
X : CategoryTheory.GradedObject I C
p : I → J
j : J
c : X.CofanMapObjFun p j
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
X.HasMap p
i : I
hi : p i = j
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (X.ιMapObj p i j hi) (CategoryTheory.GradedObject.CofanMapObjFun.iso hc).inv =
  CategoryTheory.Limits.Cofan.inj c ⟨i, hi⟩
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hp : p.ball 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ ContinuousAt (⇑p) 0
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hy : y ≠ 0
hxy : x * y⁻¹ * (x * y⁻¹) = ↑a
⊢ legendreSym p a = 1
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
abv : AbsoluteValue R S
a b : R
⊢ abv b - abv a ≤ abv (b - a)
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring k
inst✝⁵ : Monoid G
inst✝⁴ : Monoid H
A : Type u₃
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra k A
B : Type u_3
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra k B
F : MonoidAlgebra k G →ₐ[k] A
f : MonoidAlgebra k G
⊢ F f = sum f fun a b => b • F (single a 1)
M : Type u_1
Mul M
N : Type u_5
Mul N
f : M →ₙ* N
x : M
⊢ ↑(f.srangeRestrict x) = f x
n : ℕ
⊢ 2 * ((2 * n + 1).choose n * (n + 1)) = 2 * ((2 * n + 1).choose n * (2 * n + 1 - n))
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : Ideal R → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : Ideal R → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : Ideal R → R
hu : ∀ M ∈ s, u M ∈ ⨅ M' ∈ s.erase M, M'
hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
hv : v ∈ I'
h : ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') * Submodule.span R {v}) = ⊤
M : Ideal R
hM : M.IsMaximal
hJM : Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') * Submodule.span R {v}) ≤ M
⊢ False
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : μ N = 0
this : 0 < μ ({x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} \ N)
⊢ ∃ x ∉ N, ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
r : ℚ
⊢ stieltjesFunctionAux f a ↑r = f a r
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLattice α
f g : ι → α
B : BddBelow (Set.range f)
H : ∀ (x : ι), f x ≤ g x
⊢ iInf f ≤ iInf g
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
Y : C
S : CategoryTheory.Functor C D
f : S.obj Y ⟶ T
⊢ (CategoryTheory.CostructuredArrow.mk f).homMk' (CategoryTheory.CategoryStruct.id Y) = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_2
β : Type u_3
HNot α
HNot β
a : α × β
⊢ (￢a).2 = ￢a.2
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
this : ∑ k ∈ range m, x ^ k * y ^ (n - 1 - k) = ∑ k ∈ range m, x ^ k * (y ^ (n - m) * y ^ (m - 1 - k))
⊢ (x - y) * (∑ k ∈ range n, x ^ k * y ^ (n - 1 - k) - ∑ x_1 ∈ range m, x ^ x_1 * (y ^ (m - 1 - x_1) * y ^ (n - m))) = x ^ n - x ^ m * y ^ (n - m)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
f : α → β
g : α → γ
hf : Computable f
hg : Computable g
⊢ Computable fun a => (f a, g a)
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
F : Set α
x : α
h : ∃ i, (IsOpen i ∧ x ∈ i ∧ IsConnected i) ∧ id i ⊆ F
⊢ connectedComponentIn F x ∈ 𝓝 x
x y : PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
⊢ x ⧏ y → ¬y ⧏ x
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
u : U
⊢ (Function.support fun g' => A ((B.coeff g') u)).IsPWO