ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
x✝ : ↑I
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I
⊢ H ((1, x✝).1, (Cube.insertAt i) ((1, x✝).2, y✝)) = q ((Cube.insertAt i) (x✝, y✝))
z w : Complex.UnitDisc
⊢ ↑(z * w) = ↑z * ↑w
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
S : Subgroup G
hS : Filter.Tendsto (⇑S.subtype) Filter.cofinite (Filter.cocompact G)
⊢ ProperlyDiscontinuousSMul (↥S.op) G
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → Zero (β i)
x : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x 0 = hammingNorm x
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Group α
a✝ b✝ a b : α
⊢ mabs (a / b) = mabs (b / a)
a b c : EReal
h : b > 0
h' : b ≠ ⊤
⊢ b * a / b ≤ c / b ↔ b * a ≤ c
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
h : ∀ a ∈ s, n ≤ (filter (fun x => a ∈ x) B).card
⊢ ∑ x ∈ s, (filter (fun x_1 => x ∈ x_1) B).card ≤ ∑ t ∈ B, (s ∩ t).card
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
⊢ ENNReal.ofReal (p * q) = ENNReal.ofReal p * ENNReal.ofReal q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X : Type w'
TopologicalSpace X
Z B : C
π : Z ⟶ B
CategoryTheory.Limits.HasPullback π π
CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan π π) G
a : C(↑(G.obj Z), X)
ha : ⇑a ∘ ⇑(G.map (CategoryTheory.Limits.pullback.fst π π)) = ⇑a ∘ ⇑(G.map (CategoryTheory.Limits.pullback.snd π π))
⊢ Function.FactorsThrough ⇑a ⇑(G.map π)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : Nonempty ι
⊢ Function.Bijective ?h.inr.refine_1
x y : ℂ
⊢ ↑x.arg = ↑y.arg ↔ x.arg = y.arg
m c : ℤ
⊢ 1 + (2 * c + 1) / 2 * 2 = 2 * c + 1
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
∀ (i : 𝒰.J), AlgebraicGeometry.IsAffine (𝒰.obj i)
⊢ AlgebraicGeometry.IsLocallyNoetherian X ↔ ∀ (i : 𝒰.J), IsNoetherianRing ↑Γ(𝒰.obj i, ⊤)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
⊢ ⇑(pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base '' ↑{ carrier := ⇑(pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base ⁻¹' ↑U, is_open' := ⋯ } = ⇑(D.f i k).base ⁻¹' ↑{ carrier := ⇑(D.f i j).base '' ↑U, is_open' := ⋯ }
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
PartialOrder X
x y : X
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ ∫ (t : X) in Set.Ioc x y, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Set.Ioo x y, f t ∂μ
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
c : cons y s = 0
⊢ s = 0
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocRing A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing C
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R B
inst✝ : Module R C
S T : NonUnitalSubalgebra R A
h : S.toNonUnitalSubring = T.toNonUnitalSubring
x : A
⊢ x ∈ S ↔ x ∈ T
m n k : ℤ
⊢ Xor' (k + k = 2 * k) (k + k = 2 * k + 1)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
⊢ (∀ (g : G), ∃! x, ↑x.1 * ↑x.2 = g) ↔ ∀ (g : G), ∃! s, (↑s)⁻¹ * g ∈ T
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg pkg' : AbstractCompletion α
γ : Type u_3
TopologicalSpace γ
T3Space γ
f : α → γ
cont_f : Continuous f
⊢ (∀ (a : pkg.space), Filter.Tendsto f (Filter.comap pkg.coe (nhds a)) (nhds (⋯.extend f a))) →
  ⋯.extend f ∘ pkg'.compare pkg = ⋯.extend f
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : DistribMulAction ℚ≥0 α
inst✝ : PosSMulMono ℚ≥0 α
q : ℚ≥0
a : α
⊢ |q • a| = q • |a|
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ |⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)| ≤ 1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Functor C Dᵒᵖ} (η : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Functor.leftOpRightOpEquiv C D).inverse.map η = (CategoryTheory.NatTrans.leftOp η).op
R : Type u_1
S : Type ?u.268667
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
inst✝² : Finite R M
inst✝¹ : Finite R N
inst✝ : Free R N
hf : Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor k f)
this : FinitePresentation R P
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor P (Submodule.subtype 𝔪))
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemiring α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y : α
hx : 1 ≤ x
hy : 1 < y
h : ∃ n, x < y ^ n
⊢ ∃ n, y ^ n ≤ x ∧ x < y ^ (n + 1)
α : Type u_1
p q : Perm α
x : α
⊢ ¬p (q x) = x → ¬p x = x ∨ ¬q x = x
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J✝ : Box ι
i : ι
x✝ : ℝ
I J Js : Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
HJs : Js ∈ splitMany I s
Hn : ¬Disjoint ↑J ↑Js
H : ∀ (i : ι), (i, J.lower i) ∈ s ∧ (i, J.upper i) ∈ s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ ↑J
hxs : x ∈ ↑Js
⊢ Js ≤ J
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
P Q U : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
x : CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements P R
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ U
⊢ CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap g
    (CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f x) =
  CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) x
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
Subsingleton E'
⊢ f' =O[l] g'
P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme
AlgebraicGeometry.IsLocalAtSource P
P.IsMultiplicative
hP :
  ∀ {X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z) [inst : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion g],
    P (f ≫ g) → P f
⊢ AlgebraicGeometry.IsLocalAtTarget P
n : ℕ
⊢ (2 * (n + 1) + 1)‼ = ∏ i ∈ Finset.range (n + 1), (2 * (i + 1) + 1)
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s t : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), s i = t i
⊢ ⋃ i, s i = ⋃ i, t i
α : Type v
G : Type u
AddGroup G
AddAction G α
i : ℤ
g : G
a : α
⊢ (↑(AddAction.period g a) + i) • g +ᵥ a = i • g +ᵥ a
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
⊢ Nonempty (T.CompleteType α) ↔ T.IsSatisfiable
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
c c' : CategoryTheory.Limits.Cone (TopCat.Presheaf.SheafConditionEqualizerProducts.diagram F U)
f : c ⟶ c'
⊢ ((TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquivInverse F U).map f).hom = f.hom
x : ℝ
⊢ Real.toEReal ⁻¹' (Ici ↑x ∩ Iio ⊤) = Ici x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasKernel f
F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f
⊢ CategoryTheory.Limits.kernel.ι f ≫ F.e = 0
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ
hx : x ∈ {x | leftLim (↑f) x ≠ ↑f x}
h'x : ContinuousAt (↑f) x
⊢ leftLim (↑f) x = ↑f x
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ (if h : SigmaFinite (μ.trim hm) ∧ Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0) = if Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), ‖-x‖ = ‖x‖
⊢ volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
⊢ spectralRadius ℂ a = ↑‖a‖₊
xl xr yl yr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
yL : yl → SetTheory.PGame
yR : yr → SetTheory.PGame
i : xr
j : yr
⊢ (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR * SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR).moveLeft (Sum.inr (i, j)) =
  xR i * SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR + SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR * yR j - xR i * yR j
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x
B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x)
E : EqOn f g s
x y : α
⊢ g x ≤ g y + ↑K * dist x y
R : Type u_1
Semigroup R
a b : R
ab : IsRegular (a * b)
ba : IsRegular (b * a)
⊢ IsRegular a ∧ IsRegular b
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing P
inst✝³ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝² : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
I : Submodule R₁ K
hI : I = ⊥
⊢ I.FG
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
self : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion f
⊢ OpenEmbedding ⇑f.base
α : Type u_1
AddCommGroup α
self : AddCommGroup.TotalPositiveCone α
a : α
⊢ self.nonneg a ∨ self.nonneg (-a)
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
i j : Set α
⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s (i \ j) ⊆ i
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
n : ℤ
hpn : IsCoprime n ↑p
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : ¬↑n = 0
⊢ n ^ (p - 1) ≡ 1 [ZMOD ↑p]
α : Type u_2
Add α
IsRightCancelAdd α
DecidableEq α
s : Finset α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
⊢ s.card ≤ (s + t).card
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
ρ : MeasureTheory.Measure (β × Ω)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.univ ×ˢ t) ρ
⊢ ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω) in Set.univ ×ˢ t, f x ∂ρ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n
⊢ ∃ i_1 < n, ∃ (_ : i_1.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i_1 / ↑n)) = cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
h : H
⊢ ((of j).comp (φ j)) h ∈ (of j).range
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
⊢ angle x (x + y) ≤ π / 2
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
Preorder β
x y : β
⊢ x < y → ↑x < ↑y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
a : CategoryTheory.Arrow C
⊢ (F.mapArrow.obj a).right = F.obj a.right
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
⊢ (∀ (p : ℕ), p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p) ↔ a ∣ b
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
h : f.Dom ∈ l₁
⊢ PTendsto f l₁ l₂ → PTendsto' f l₁ l₂
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
M₁ M₂ : Matroid α
hE : M₁.E = M₂.E
h : ∀ ⦃B : Set α⦄, B ⊆ M₁.E → (M₁.Base B ↔ M₂.Base B)
⊢ M₁ = M₂
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : SeminormedAddCommGroup α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : DecidableEq n
v : n → α
⊢ ‖diagonal v‖₊ = ‖v‖₊
M : Type u_1
Monoid M
M' : Type u_3
Monoid M'
P : Submonoid M
e : M →* M'
he : Function.Injective ⇑e
h : (Submonoid.map e P).FG
⊢ P.FG
x : ℂ
⊢ tan (↑π / 2 - x) = (tan x)⁻¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
hf : Measurable f
μ : Measure α
⊢ (mapₗ f) μ = map f μ
α : Type u_2
δ : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace δ
μ ν : MeasureTheory.Measure α
f : α → δ
h : μ ≤ ν
hf : AEMeasurable f ν
⊢ MeasureTheory.Measure.map f μ ≤ MeasureTheory.Measure.map f ν
α : Type u_1
Zero α
One α
Neg α
⊢ ↑(-1) = -1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesFilteredColimits (forget C)
F G : Presheaf C X
f : F ⟶ G
h : ∀ (U : Opens ↑X), Function.Injective ⇑(f.app (op U))
x : ↑X
t : (forget C).obj ((stalkFunctor C x).obj F)
U₁ : Opens ↑X
hxU₁ : x ∈ U₁
s : (forget C).obj (F.obj (op U₁))
hst : ((stalkFunctor C x).map f) ((F.germ ⟨x, hxU₁⟩) s) = ((stalkFunctor C x).map f) t
⊢ (F.germ ⟨x, hxU₁⟩) s = t
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P
⊢ DiscreteValuationRing Aₘ
α : Type u
β : Type v
Mul β
f : α → β
⊢ ⇑(FreeMagma.lift f) ∘ FreeMagma.of = f
a : Ordinal.{u}
⊢ Ordinal.lift.{0, u} a = a
E : Sort u_1
α : Sort u_3
β : Sort u_4
iE : EquivLike E α β
e : E
a : α
⊢ EquivLike.inv e (e a) = a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
I : Type u_1
Y : I → C
X : C
i : I
g : X ⟶ Y i
⊢ CategoryTheory.Sieve.ofObjects Y X = ⊤
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP✝ : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ P.parts.card
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ↑(P.energy G) + ε ^ 5 / 4 ≤ ↑((increment hP G ε).energy G)
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
⊢ 𝓤 (PiLp p β) = 𝓤 ((i : ι) → β i)
X Y : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
x : ↑X
⊢ (f ≫ explicitCokernelπ f) x = 0
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n k : ℕ
⊢ ↑(eval k (ascPochhammer ℕ n)) = eval (↑k) (ascPochhammer S n)
n : ℕ+
S : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty
⊢ IsCyclotomicExtension S A B ↔ IsCyclotomicExtension (S ∪ {n}) A B
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
BoundarylessManifold I M
hv : ContMDiffAt I I.tangent 1 (fun x => { proj := x, snd := v x }) (γ t₀)
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
hγ' : IsIntegralCurveAt γ' v t₀
h : γ t₀ = γ' t₀
⊢ γ =ᶠ[𝓝 t₀] γ'
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ Filter.coLindelof X ≤ Filter.cofinite
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
s : Set β
f : β → α
⊢ ∑' (x : ↑s), f ↑x = ∑' (x : β), s.indicator f x
ι : Type u_1
Small.{u, u_1} ι
f : ι → SetTheory.PGame
⊢ BddAbove (Set.range f)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : LinearOrder β
s : Set α
f : α → β
h1 : s.Finite
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ∃ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f b ≤ f a
n : ℕ
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module (ZMod n) M
S : AddSubgroup M
⊢ ↑((AddSubgroup.toZModSubmodule n) S) = ↑S
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
⊢ (∀ (i : Set Y), IsCompact i → ∀ᶠ (x : X) in cofinite, f x ∈ iᶜ) ↔ ∀ (K : Set Y), IsCompact K → (f ⁻¹' K).Finite
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
⊢ B.IsSymm ↔ LinearMap.BilinForm.flipHom B = B
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
⊢ x ⊓ y ⊓ z ⊔ x ⊓ y \ z = x ⊓ (y ⊓ z) ⊔ x ⊓ y \ z
m n a b c d : ℕ
h₁ : a ≡ b [MOD n]
h₂ : c ≡ d [MOD n]
⊢ ↑n ∣ ↑b - ↑a + (↑d - ↑c)
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)
⊢ Disjoint G (fromEdgeSet s) ↔ Disjoint G.edgeSet s
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
val✝¹ : α →ₘ[μ] E
property✝¹ : val✝¹ ∈ Lp E p μ
val✝ : α →ₘ[μ] E
property✝ : val✝ ∈ Lp E p μ
h : ↑↑⟨val✝¹, property✝¹⟩ =ᶠ[ae μ] ↑↑⟨val✝, property✝⟩
⊢ val✝¹ = val✝
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ x = y ↔ ‖x‖ = ‖y‖ ∧ SameRay ℝ x y
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ✝ ν : Measure α
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
μ : Measure α
H : AEMeasurable (g ∘ f) μ
⊢ AEMeasurable ((rangeSplitting g ∘ rangeFactorization g) ∘ f) μ
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
SMulCommClass ℝ 𝕜 E
r : 𝕜
f : ℝ → E
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, r • f x ∂μ = r • ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ
β : Type u_2
π : β → Type u_3
Fintype β
(b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
r : ℝ≥0
⊢ nndist f g ≤ r ↔ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Semigroup S
a b x y z x' y' : S
ha : SemiconjBy a y z
hb : SemiconjBy b x y
⊢ a * b * x = z * (a * b)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
h : K₁ ≤ K₂
inst✝ : HasOrthogonalProjection K₁
x : E
v : ↥K₁ := (orthogonalProjection K₁) x
hvm : x - ↑v ∈ K₁ᗮ
⊢ (∃ y ∈ K₁, ∃ z ∈ K₁ᗮ ⊓ K₂, y + z = x) ↔ x ∈ K₂
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ
⊢ ∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
α : Type u
Inv α
x : α
⊢ Additive.ofMul x⁻¹ = -Additive.ofMul x
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
this : Fact (Nat.Prime (Nat.card ↥N).minFac)
P : Sylow (Nat.card ↥N).minFac ↥N
⊢ Function.Surjective ⇑(↑P).subtype
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ Submodule.comap CliffordAlgebra.involute.toLinearMap (LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q)) =
  LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x✝ x : α
⊢ a ≤ x ∧ x ≤ c ∨ c ≤ x ∧ x ≤ a → (a ≤ x ∧ x ≤ b ∨ b ≤ x ∧ x ≤ a) ∨ b ≤ x ∧ x ≤ c ∨ c ≤ x ∧ x ≤ b
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
h : AEMeasurable f μ
⊢ Measurable (AEMeasurable.mk f h)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
hs : Dense s
ht : Dense t
⊢ Dense (s ×ˢ t)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
⊢ |(o.oangle (y - x) y).toReal| < π / 2
V : Type u₁
inst✝¹ : Quiver V
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
φ : V ⥤q C
⊢ ∀ (X Y : V) (f : X ⟶ Y), (of ⋙q (lift φ).toPrefunctor).map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ (φ.map f))
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b : α
⊢ -(a + b) = -a - b
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
α : Type u_12
s : Set ι
hs : s.Nonempty
f : ι → Set α
t : Set α
⊢ ⋂ i ∈ s, f i ∩ t = (⋂ i ∈ s, f i) ∩ t
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
f : V ↪ W
a b : V
⊢ (SimpleGraph.map f G).Adj (f a) (f b) ↔ G.Adj a b
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : { x // x.SieveCompatible }
f f' : S.arrows.categoryᵒᵖ
g : f ⟶ f'
⊢ g.unop.left ≫ (unop f).obj.hom = (unop f').obj.hom
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
GroupWithZero G₀
Bornology G₀
MulAction G₀ α
t : Set α
ι : Sort u_3
Finite ι
s : ι → Set α
⊢ Absorbs G₀ (⋂ i, s i) t ↔ ∀ (i : ι), Absorbs G₀ (s i) t
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
hm : f.FinMeasSupp μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑f a ≠ ⊤
ha : ⊤ ∈ f.range
⊢ ⊤ * μ (↑f ⁻¹' {⊤}) ≠ ⊤
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Semiring R
MulSemiringAction M R
a : M
S T : Subsemiring R
⊢ a • (S ⊔ T) = a • S ⊔ a • T
R : Type u_1
M : Type u_2
Monoid M
CommRing R
Nontrivial R
⊢ Algebra.FiniteType R (MonoidAlgebra R M) ↔ Monoid.FG M
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
⊢ Set.RightInvOn (↑e.symm) (↑e) e.target
n : ℤ
⊢ (2 * n + 1).negOnePow = -1
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M
p : (x : M) → x ∈ Submodule.span R s → Prop
mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
add : ∀ (x : M) (hx : x ∈ Submodule.span R s) (y : M) (hy : y ∈ Submodule.span R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
smul : ∀ (a : R) (x : M) (hx : x ∈ Submodule.span R s), p x hx → p (a • x) ⋯
x : M
hx : x ∈ Submodule.span R s
⊢ p x hx
D : TopCat.GlueData
i : D.J
⊢ OpenEmbedding ⇑(D.ι i)
a b : ℕ+
h : a < b
⊢ ↑a + (↑b - ↑a) = ↑b
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
hm : m ≠ 0
⊢ Irrational (x / ↑m)
α : Type u_3
DecidableEq α
s : Multiset α
k : ℕ
h : ∀ a ∈ s, k ∣ Multiset.count a s
⊢ ∃ u, s = k • u
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
D : ℕ
P : D ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime D
hxr : m * ↑D ^ n = N ^ n
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } = ↑y
c1 : ↑↑D ≠ 0
c2 : ↑↑D ^ n ≠ 0
⊢ False
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z₁ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n
⊢ z₁.comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (𝟙 G)) ⋯ = z₁
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : HasTerminal C
inst✝⁴ : HasBinaryProducts C
inst✝³ : HasTerminal D
inst✝² : HasBinaryProducts D
inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
Y : C
⊢ prodComparison F (⊤_ C) Y ≫ prod.map (terminalComparison F) (𝟙 (F.obj Y)) ≫ prod.snd = F.map prod.snd