ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊤, ↑a), ↑x < a.1 + a.2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ c • closedBall x r = closedBall (c • x) (‖c‖ * r)
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.expand 1 = AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)
α : Type u
s : Computation α
a b : α
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : s.Results b n
⊢ a = b
α : Type u_1
s : Set α
r : α → α → Prop
⊢ (Pairwise fun x y => r ↑x ↑y) ↔ s.Pairwise r
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V
⊢ e ∈ (G.replaceVertex s t).edgeSet ↔ e ∈ (G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) \ {s(t, t)}
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : Zero α
A : Matrix m m α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
h : (Matrix.fromBlocks A 0 C D).IsSymm
ha : A.IsDiag
hd : D.IsDiag
⊢ (Matrix.fromBlocks A 0 C D).IsDiag
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ d n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n m : ℕ
hnm : m ≥ n
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico n m, d i ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)
z : ℂ
n✝ n : ℕ
L : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume 0 (π / 2)
⊢ (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n) + ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n = ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
⊢ MeasurableSet (s₁ ∩ s₂)
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
⊢ Subsingleton (Ω[S⁄R])
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Ψ₂Sq.natDegree ≤ 3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
CommMonoid γ
TopologicalSpace γ
T2Space γ
hf : Multipliable f
G : Type u_5
FunLike G α γ
MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Continuous ⇑g
⊢ g (∏' (i : β), f i) = ∏' (i : β), g (f i)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (F.obj X) (F.obj Y)
F.PreservesZeroMorphisms
⊢ F.biprodComparison' X Y ≫ F.biprodComparison X Y = 𝟙 (F.obj X ⊞ F.obj Y)
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T1Space X
h : X ≃ₜ Y
⊢ T1Space Y
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : CompleteLattice ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ι m
ω : Ω
h_nmem_s : ∀ (x : ι), ¬(x ∈ Set.univ ∧ u x ω ∈ s)
⊢ ∀ a ∈ {i | u i ω ∈ s}, a = ⊤
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
Preorder α
ZeroLEOneClass α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 ≤ 4
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ Function.Injective ⇑h
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : NoZeroDivisors R
ζ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ 2
⊢ ¬ζ = 1
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
⊢ IsIdempotentComplete C ↔ ∀ (X : C) (p : X ⟶ X), p ≫ p = p → HasKernel p
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
⊢ Submodule.map (LinearMap.snd R M M₂) (Submodule.snd R M M₂) = ⊤
a b c : ℕ
⊢ Ioc b (b + 1) = {b + 1}
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∃ t₁ ∈ ae μ, ∃ t₂, s ⊆ t₂ ∧ s = t₁ ∩ t₂
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T1Space Y
f : X → Y
x : X
y : Y
h : Filter.Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 y)
⊢ f x = y
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) MeasureTheory.volume
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W✝ : WeierstrassCurve R
C✝ C C' : VariableChange R
W : WeierstrassCurve R
⊢ (↑C.u⁻¹ * ↑C'.u⁻¹) ^ 4 * (W.a₄ - (↑C'.u * C.s + C'.s) * W.a₃ + 2 * (C.r * ↑C'.u ^ 2 + C'.r) * W.a₂ - (C.t * ↑C'.u ^ 3 + C.r * C'.s * ↑C'.u ^ 2 + C'.t + (C.r * ↑C'.u ^ 2 + C'.r) * (↑C'.u * C.s + C'.s)) * W.a₁ + 3 * (C.r * ↑C'.u ^ 2 + C'.r) ^ 2 - 2 * (↑C'.u * C.s + C'.s) * (C.t * ↑C'.u ^ 3 + C.r * C'.s * ↑C'.u ^ 2 + C'.t)) = ↑C.u⁻¹ ^ 4 * (↑C'.u⁻¹ ^ 4 * (W.a₄ - C'.s * W.a₃ + 2 * C'.r * W.a₂ - (C'.t + C'.r * C'.s) * W.a₁ + 3 * C'.r ^ 2 - 2 * C'.s * C'.t) - C.s * (↑C'.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C'.r * W.a₁ + 2 * C'.t)) + 2 * C.r * (↑C'.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C'.s * W.a₁ + 3 * C'.r - C'.s ^ 2)) - (C.t + C.r * C.s) * (↑C'.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C'.s)) + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
a : α
h1 : ∀ (h : ↥H), h • a = a → h = 1
h2 : ∀ (g : G), ∃ h, h • g • a = a
g : G
h : ↥H
hh : h • g • a = a
hh' : (↑h * g) • a = a
⊢ ∃! x, ↑x.1 * ↑x.2 = g
α : Type u_1
s : Multiset α
⊢ s.toList.length = Multiset.card s
x : ℂ
h : x ≠ 0
⊢ ContinuousAt (Real.Angle.coe ∘ Complex.arg) x
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
h : (node s l x r).Sized
⊢ node s l x r = l.node' x r
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.IsCofiltered C ↔
  ∀ {J : Type w} [inst : CategoryTheory.SmallCategory J] [inst_1 : CategoryTheory.FinCategory J]
    (F : CategoryTheory.Functor J C), Nonempty (CategoryTheory.Limits.Cone F)
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
F : Type u_3
PseudoEMetricSpace F
f : E → F
C : ℝ≥0
t : Set E
hf : LipschitzOnWith C f t
g : α → E
s : Set α
hg : Set.MapsTo g s t
h : LocallyBoundedVariationOn g s
⊢ LocallyBoundedVariationOn (f ∘ g) s
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A pb'.gen) = 0
h₂ : (aeval pb'.gen) (minpoly A pb.gen) = 0
x : S
⊢ ((pb'.lift pb.gen h₁).comp (pb.lift pb'.gen h₂)) x = (AlgHom.id A S) x
α : Type u_2
LinearOrder α
m : WithTop α
s : Finset α
⊢ m ≤ s.min ↔ ∀ a ∈ s, m ≤ ↑a
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (x - y) * ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = x ^ n - x ^ m * y ^ (n - m)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
desc : (s : CategoryTheory.Limits.Cocone F) → t ⟶ s
uniq' : ∀ (s : CategoryTheory.Limits.Cocone F) (m : t ⟶ s), m = desc s
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
⊢ (CategoryTheory.Limits.IsColimit.mkCoconeMorphism desc uniq').desc s = (desc s).hom
α : Type u_1
n : Nat
a : α
p : α → Bool
⊢ List.dropWhile p (List.replicate n a) = if p a = true then [] else List.replicate n a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
g : F →ₗᵢ[𝕜] G
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
this : iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x = g.toContinuousLinearMap.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)
⊢ ‖g.toContinuousLinearMap.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
s : Set E
x : E
⊢ (∃ p, ContinuousWithinAt f s x ∧ ∃ g, f =ᶠ[𝓝[s] x] g ∧ HasFPowerSeriesAt g p x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ∃ g, f =ᶠ[𝓝[s] x] g ∧ ∃ p, HasFPowerSeriesAt g p x
R : Type u_3
CommRing R
n : ℕ
⊢ (↑n).imJ = 0
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X
⊢ 𝓝ˢ s = comap f (𝓝ˢ (f '' s))
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
G : CategoryTheory.Functor C D
iso : e.functor ≅ G
X : D
⊢ (e.changeFunctor iso).counitIso.hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (iso.inv.app (e.inverse.obj X)) (e.counitIso.hom.app X)
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
⊢ ⇑(Homeomorph.shearMulRight G) = fun z => (z.1, z.1 * z.2)
F : Type u_1
M : Type u_12
N : Type u_13
AddMonoid M
AddMonoid N
EquivLike F M N
AddMonoidHomClass F M N
f : F
m : M
⊢ IsAddUnit (f m) ↔ IsAddUnit m
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
inst✝ : Archimedean α
y x : α
hy : 0 < y
this : 0 ≤ 1 + y
n : ℕ
h : x ≤ n • y
⊢ (1 + y) ^ n = (y + 1) ^ n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A F G : Cᵒᵖ ⥤ Type v
η : F ⟶ A
μ : G ⟶ A
ε : F ⟶ G
hε : ε ≫ μ = η
X : C
s : yoneda.obj X ⟶ A
u : F.obj (op X)
h : MakesOverArrow η s u
⊢ μ.app (op X) (ε.app (op X) u) = yonedaEquiv s
α : Type u
β : α → Type v
l : List (Sigma β)
⊢ l.NodupKeys → l.Nodup
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
e : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ e.symm.trans e = LieEquiv.refl
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : Ring S
inst✝¹³ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra K E
A₁ : Type u_8
B₁ : Type u_9
A₂ : Type u_10
B₂ : Type u_11
inst✝⁵ : CommRing A₁
inst✝⁴ : Ring B₁
inst✝³ : CommRing A₂
inst✝² : Ring B₂
inst✝¹ : Algebra A₁ B₁
inst✝ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
x✝ : B₁
c : A₁
x : B₂
⊢ ((↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)) c * x = x * ((↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)) c
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s s' : Finset α
hs : Disjoint s s'
t : Finset β
⊢ Disjoint (Rel.interedges r s t) (Rel.interedges r s' t)
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
CompactSpace α
f : α →C₀ β
⊢ ZeroAtInftyContinuousMap.ContinuousMap.liftZeroAtInfty.symm f = ↑f
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.WeaklyRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ A
⊢ ∃ K ⊆ A, IsClosed K ∧ r < μ K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)
⊢ HasSum f (∑' (i : ℕ), f i)
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
i j : ι
hij : i ≠ j
x : ↥(A i)
⊢ ((LinearEquiv.ofBijective (coeLinearMap A) h).symm ↑x) j = 0
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
⊢ eVariationOn f s = 0 ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, edist (f x) (f y) = 0
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : FractionalIdeal A⁰ K
hne : I ≠ 0
⊢ I * I⁻¹ = 1
ι : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ
α : Fin 2 → Type u_2
inst✝ : (i : Fin 2) → PseudoEMetricSpace (α i)
x hx : (i : Fin 2) → α i
⊢ edist ((piFinTwoEquiv α).toFun x) ((piFinTwoEquiv α).toFun hx) = edist x hx
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t✝ : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder γ t
f : r ≺i s
g : s ≺i t
h : r ≺i t
⊢ t h.top g.top
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_4
N : Type u_5
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
w : MeasureTheory.VectorMeasure α N
R : Type u_6
Semiring R
DistribMulAction R M
ContinuousConstSMul R M
r : R
h : v ⟂ᵥ w
⊢ r • v ⟂ᵥ w
α : Type u_1
LinearOrder α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
h1 : ∀ i ∈ Set.Ico n m, r i (Order.succ i)
h2 : ∀ i ∈ Set.Ico m n, r (Order.succ i) i
⊢ Relation.ReflTransGen r n m
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
⊢ PInfty + (𝟙 K[X] - PInfty) = 𝟙 K[X]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p q : α
hcontra : p = q
hp : p ≠ 0
x : α
hx' : ¬IsUnit x
hx'' : p * 1 = p * x
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
f : Filter α
g : Filter β
i : γ → α
h : range i ∈ f
⊢ (map m ∘ map i) (comap i f) ≤ g ↔ Tendsto m f g
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m₁ m₂ : (i : ι) → E i
⊢ ‖f m₁ - f m₂‖ ≤ ‖f‖ * ↑(Fintype.card ι) * max ‖m₁‖ ‖m₂‖ ^ (Fintype.card ι - 1) * ‖m₁ - m₂‖
p q : GromovHausdorff.GHSpace
⊢ dist p q = GromovHausdorff.ghDist p.Rep q.Rep
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
a : α
h : a < ⨆ i, f i
⊢ ∃ i, a < f i
X : Type u_1
Dist X
a b : X
⊢ dist (Additive.ofMul a) (Additive.ofMul b) = dist a b
α : Type u_2
DecidableEq α
SubtractionMonoid α
Fintype α
⊢ Finset.univ - Finset.univ = Finset.univ
a b p q : ℝ
h✝ h : p.IsConjExponent q
⊢ q = p / (p - 1)
f : StieltjesFunction
s : Set ℝ
t : ℕ → Set ℝ
ht : s ⊆ ⋃ i, t i
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤
⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), f.outer t ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (t i) + ↑ε
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
⊢ IsMaxOn T.rayleighQuotient (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
α : Type u_1
f : Equiv.Perm α
l : List (Equiv.Perm α)
h : ∀ g ∈ l, f.Disjoint g
⊢ f.Disjoint l.prod
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompactSpace α
⊢ MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ ↔ MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hs : s.Nonempty
hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i
p_pos : 0 < ∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i
s_pos : 0 < ∑ i ∈ s, w i * (z i)⁻¹
this : ∏ x ∈ s, (z x)⁻¹ ^ w x ≤ ∑ x ∈ s, w x * (z x)⁻¹
⊢ (∑ i ∈ s, w i / z i)⁻¹ ≤ ∏ i ∈ s, z i ^ w i
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hg : HasFDerivAtFilter g g' x L
⊢ HasFDerivAtFilter (fun x => f x - g x) (f' - g') x L
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
i : { x // x ∈ s }
⊢ ∏ x ∈ map (Embedding.subtype fun x => x ∈ s) (s.attach.erase i), f x = ∏ j ∈ s.erase ((Embedding.subtype fun x => x ∈ s) i), f j
p : ℕ+
k✝ : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
⊢ Nat.card (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1}) = ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1)).natAbs
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℂ
⊢ logDeriv cos x✝ = (-tan) x✝
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
n : ℕ
⊢ G.CliqueFreeOn ∅ n ↔ n ≠ 0
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Semiring S
f : R →+* S
p : ℕ
k : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
⊢ Polynomial.eval₂ f 1 (Polynomial.cyclotomic (p ^ (k + 1)) R) = ↑p
β : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.7275, u_2} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X Y : DifferentialObject ℤ (GradedObjectWithShift b V)
f : X ⟶ Y
i : β
⊢ (f.f i ≫ if h : i + b = i + b then Y.d i ≫ Y.objEqToHom ⋯ else 0) = (if h : i + b = i + b then X.d i ≫ X.objEqToHom ⋯ else 0) ≫ f.f (i + b)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
S : Set (LieSubmodule R L M)
⊢ ↑(sInf S) = ⨅ N ∈ S, ↑N
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar F R
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ ∃ ζ ∈ rootsOfUnity ⟨orderOf χ, ⋯⟩ R, ↑ζ = χ a
α' : Type u_6
TopologicalSpace α'
MeasurableSpace α'
μ : MeasureTheory.Measure α'
s : Set α'
h : μ (frontier s) = 0
⊢ μ (interior s) = μ s
α : Type u_7
β : Type u_8
Inf α
Inf β
self : InfHom α β
a b : α
⊢ self.toFun (a ⊓ b) = self.toFun a ⊓ self.toFun b
D : GlueData
i j : D.J
x : ↑↑(D.U i).toPresheafedSpace
y : ↑↑(D.U j).toPresheafedSpace
⊢ (D.ι i).val.base x = (D.ι j).val.base y ↔ (D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i) x = (D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι j) y
R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A✝
inst✝⁷ : Ring B✝
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R A✝
inst✝⁴ : Algebra R B✝
f✝ : R →+* S
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
x : A
x✝ : IsIntegral R (f x)
p : R[X]
hp : p.Monic
hx : eval₂ (algebraMap R B) (f x) p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap R A) x p = 0
f : ℕ → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
⊢ ∑' (n : ℕ), f n ≤ c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
F G : CategoryTheory.ComposableArrows C 1
left : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
right : F.obj' 1 ⋯ ≅ G.obj' 1 ⋯
w :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map' 0 1 ⋯ ⋯) right.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp left.hom (G.map' 0 1 ⋯ ⋯) := by
  aesop_cat
i : Fin (1 + 1)
⊢ (CategoryTheory.ComposableArrows.isoMk₁ left right w).inv.app i =
  match i with
  | ⟨0, isLt⟩ => left.inv
  | ⟨1, isLt⟩ => right.inv
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ constantCoeff (wittAdd p n) = 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n : ℕ
⊢ ↑p ^ (-x.valuation) ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ ↑n ≤ x.valuation
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
DecidableEq σ
n : σ →₀ ℕ
s : σ
⊢ (MvPowerSeries.coeff R n) (MvPowerSeries.X s) = if n = Finsupp.single s 1 then 1 else 0
a b c : Int
h₁ : a ≤ b
h₂ : b < c
⊢ a < c
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ LinearIsometryEquiv.trans 1 e = e
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R
I : PrimeSpectrum R
⊢ I ∈ (zeroLocus {f})ᶜ ↔ f ∉ I.asIdeal
K : Type u
CommRing K
R : Type u_1
SMul R (FractionRing K[X])
c : R
p : RatFunc K
⊢ (c • p).toFractionRing = c • p.toFractionRing
c : ℝ
⊢ (StieltjesFunction.const c).measure = 0
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
⊢ {x | (fun δ => ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → ↑m * μ s ≤ μ (f '' s)) x} ∈ 𝓝 0
⊢ Order.succ ℵ₀ = Cardinal.aleph 1
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : SameRay R (y -ᵥ x) (z -ᵥ y)
⊢ Wbtw R x y z
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
U✝ V : OpenSubgroup G
g : G
inst✝ : ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G
⊢ IsClosed ↑U
q : ℚ
x y : ℝ
⊢ x + y ∉ Set.range Rat.cast → x ∉ Set.range Rat.cast ∨ y ∉ Set.range Rat.cast
R' : Type u_4
R : Type u_5
A : Type u_6
Semiring R'
CommRing R
Ring A
MulSemiringAction R' A
Algebra R A
SMulCommClass R' R A
m : R'
S : Subalgebra R A
⊢ (m • S).toSubring = m • S.toSubring
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : NoAtoms ν
hf : IntegrableOn f (Ioi 0) ν
hg : IntegrableOn g (Ioi 0) μ
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
⊢ Integrable (posConvolution f g L ν) μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
hp_zero : ¬p = 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
hr_ne_zero : r ≠ 0
hq_top : ¬q = ⊤
hr_top : ¬r = ⊤
hpq : p < q
⊢ 1 / p.toReal = 1 / q.toReal + 1 / r.toReal
α : Type u_1
M : Type u_13
Zero M
P : α → Prop
DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
⊢ f.extendDomain.support = Finset.map (Function.Embedding.subtype P) f.support
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
i : U ⟶ ⊤
x : ↥U
⊢ F.map i.op ≫ F.germ x = F.Γgerm ↑((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsNormalSubgroup s
⊢ IsNormalSubgroup (f ⁻¹' s)
α : Type u_1
s : Finset α
σ : Equiv.Perm α
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ ↑s
⊢ Finset.map (Equiv.toEmbedding σ) s = s
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
CommRing S
CommRing T
Algebra R S
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
IsLocalization M S
IsFractionRing R T
⊢ IsFractionRing S T
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
LT β
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
hs : s.Nonempty := ⋯
⊢ ¬f a < f (Function.argminOn f h s hs)
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
⊢ FreeAddGroup.Red.Step (L₁ ++ (x, !b) :: (x, b) :: L₂) (L₁ ++ L₂)
I : Type u_4
AddMonoid I
c : ComplexShape I
c.TensorSigns
p q : I
hq : c.Rel q (c.next q)
⊢ c.next (p + q) = p + c.next q
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : Invertible 2
p : Fin 2 → P
⊢ centroid k univ p = 2⁻¹ • (p 1 -ᵥ p 0) +ᵥ p 0
n : ℕ
⊢ preCantorSet (n + 1) = (fun x => x / 3) '' preCantorSet n ∪ (fun x => (2 + x) / 3) '' preCantorSet n
α : Type u_1
R : α → α → Prop
DecidableRel R
a b : α
⊢ List.destutter R [a, b] = if R a b then [a, b] else [a]