ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : Monotone f
c : ℝ≥0 → ℝ≥0∞ := ofNNReal
F : α → ℝ≥0∞ := fun a => ⨆ n, f n a
s : α →ₛ ℝ≥0
hsf : ∀ (x : α), ↑(↑s x) ≤ ⨆ n, f n x
r : ℝ≥0
right✝ : ↑r < 1
ha✝ : ↑r < 1
ha : r < 1
rs : α →ₛ ℝ≥0 := SimpleFunc.map (fun a => r * a) s
eq_rs : SimpleFunc.map c rs = const α ↑r * SimpleFunc.map c s
eq : ∀ (p : ℝ≥0∞), ↑(SimpleFunc.map c rs) ⁻¹' {p} = ⋃ n, ↑(SimpleFunc.map c rs) ⁻¹' {p} ∩ {a | p ≤ f n a}
⊢ ↑r * (SimpleFunc.map ofNNReal s).lintegral μ ≤ ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
x : FractionRing A
hx : IsIntegral A x
⊢ adjoinIntegral A⁰ x hx ≠ 0
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
S : E →L[𝕜] F
⊢ IsSelfAdjoint (S.comp (T.comp (adjoint S)))
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, EMetric.closedBall x ε
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ closure t
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
U : Set X
Uo : IsOpen U
aU : a ∈ U
hU : U ∩ s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
x : X
hxU : x ∈ U
hxs : x ∈ closure s
⊢ x ∈ closure (U ∩ s)
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
S : L.Substructure (DirectLimit G f)
S_fg : S.FG
A : Finset (DirectLimit G f)
A_closure : (Substructure.closure L).toFun ↑A = S
i : ι
y : { x // x ∈ A } → G i
eq_y : (fun a => ↑a) = fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (y a)⟧
⊢ ∃ i T, Substructure.map (of L ι G f i).toHom T = S
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → α → Prop
f : β → α
l : List β
⊢ List.Pairwise R (List.map f l) ↔ List.Pairwise (fun a b => R (f a) (f b)) l
α : Type u_1
CompleteLattice α
a : α
⊢ CompleteLattice.SetIndependent {a}
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ μ'
hf : PreErgodic f μ
f' : β → β
h_comm : g ∘ f = f' ∘ g
s : Set β
hs₀ : MeasurableSet s
hs₁ : f' ⁻¹' s = s
⊢ s =ᶠ[ae μ'] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ'] univ
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
⊢ tᶜ * closure {1} ⊆ tᶜ
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
f : α → E
a : α → ℝ
t₀ : Filter α
h : ∀ᶠ (n : α) in t₀, ‖f n‖ ≤ a n
h' : Filter.Tendsto a t₀ (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto f t₀ (𝓝 0)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
η : F ⟶ A
X : Cᵒᵖ
⊢ ∀
  (a :
    (CategoryTheory.OverPresheafAux.yonedaCollectionPresheaf A
          (CategoryTheory.OverPresheafAux.restrictedYonedaObj η)).obj
      X),
  (CategoryTheory.OverPresheafAux.unitAuxAux η).hom.app X a =
    CategoryTheory.OverPresheafAux.unitForward η (Opposite.unop X) a
d : ℕ
dnsq : Zsqrtd.Nonsquare d
a b : ℤ√↑d
a0 : 0 < a
b0 : 0 < b
⊢ 0 < a * b
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ frontier s = (interior s)ᶜ ∩ (interior sᶜ)ᶜ
n : ℕ
⊢ hyperoperation (n + 1) 2 2 = 4
i j : Nat
x : Nat
⊢ (x >>> i).testBit j = x.testBit (i + j)
R : Type u_3
Zero R
TopologicalSpace R
s : Set R
Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
⊢ ↑(ContinuousMapZero.id h0) = ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id R)
α : Type u
HasSSubset α
a b c : α
hab : a = b
hbc : b ⊂ c
⊢ a ⊂ c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
i j : ι
hij : i ≠ j
a : (fun _i => 𝕜) i
b : (fun _i => 𝕜) j
⊢ ⟪((fun i => LinearIsometry.toSpanSingleton 𝕜 E ⋯) i) a, ((fun i => LinearIsometry.toSpanSingleton 𝕜 E ⋯) j) b⟫_𝕜 = 0
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
AddMonoid ιA
VAdd ιA ιB
(i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
(i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
DecidableEq ιA
DecidableEq ιB
DirectSum.GSemiring A
DirectSum.Gmodule A M
a b : ⨁ (i : ιA), A i
c : ⨁ (i : ιB), M i
⊢ (a * b) • c = a • b • c
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrderTop α
a x : α
⊢ x ∈ Multiset.Ici a ↔ a ≤ x
G : Type u_1
Group G
IsKleinFour G
x : G
⊢ x * x = 1
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : ℕ → β
n : ℕ
⊢ ∏ x ∈ range (n + 1), f x = f n * ∏ x ∈ range n, f x
R : Type u
⊢ √2 ^ 4 = √2 * (√2)⁻¹ * 4
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
f : β × Ω → F
NormedSpace ℝ F
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun a => ∫ (y : Ω), f (X a, y) ∂(ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) (X a)) μ
α : Type u
Semiring α
Nontrivial α
⊢ ∃ M, M.IsMaximal
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖
⊢ angle x y = 0
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
⊢ (p - q).natDegree ≤ max p.natDegree q.natDegree
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p s
⊢ l = l'
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ M₁.actRight ▷ N.X ≫ f.hom ▷ N.X = f.hom ▷ Y.X ▷ N.X ≫ M₂.actRight ▷ N.X
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ (LinearMap.range f).toAddSubmonoid = AddMonoidHom.mrange f
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
U : ℕ → Opens G
h3 : ∀ (t : Finset ℕ) (K : ℕ → Compacts G), (fun s => ↑(μ.toFun s)) (t.sup K) ≤ ∑ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K i)
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)
t : Finset ℕ
ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)
K' : ℕ → Set G
h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)
h2K' : ∀ (i : ℕ), K' i ⊆ (SetLike.coe ∘ U) i
h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i
L : ℕ → Compacts G := fun n => { carrier := K' n, isCompact' := ⋯ }
i : ℕ
a✝ : i ∈ t
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) (L i) ≤ μ.innerContent (U i)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Monovary f g ↔ ∀ (i j : ι), 0 ≤ (f j - f i) • (g j - g i)
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
coe_mono : Monotone toIdeal
x : Ideal A
⊢ IsHomogeneous 𝒜 x ∧ x ≤ I ↔ ∃ x_1 ∈ {a | a.toIdeal ≤ I}, x_1.toIdeal = x
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
c : E
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun a => ⟪f a, c⟫_𝕜) p μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
hf : Continuous f
⊢ SpecializingMap f ↔ ∀ (x : X), IsClosed (f '' closure {x})
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
CommSemiring R
(i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (A i)
(i : ι) → Module R (A i)
∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
a₁ a₂ : (i : ι) → A i
ha : Commute a₁ a₂
⊢ Commute ((PiTensorProduct.tprod R) a₁) ((PiTensorProduct.tprod R) a₂)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
hc : DifferentiableAt ℂ f x
⊢ fderiv ℂ (fun x => Complex.cosh (f x)) x = Complex.sinh (f x) • fderiv ℂ f x
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ ⨅ l, ⨅ (_ : l < ⊤), 𝓟 (Ioi l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ ⊤), 𝓟 (Ioi a)
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
⊢ μ (fundamentalDomain b) ≠ 0
G : Type u_1
Group G
a : G
n : ℤ
⊢ a ^ |n| = 1 ↔ a ^ n = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : MetrizableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : AEStronglyMeasurable f μ
t : Set γ
t_sep : IsSeparable t
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure t
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hf : StronglyMeasurable f
hf_int : Integrable (fun a => f (X a, Y a)) μ
⊢ Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f : Finset α → β
DecidableEq α
⊢ Antitone f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄, a ∉ s → f (insert a s) ≤ f s
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
⊢ Set.InvOn (↑e.symm) (↑e) e.source e.target
p n k b : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
hnb : log p n < b
this : n - k + k = n
⊢ n = n - k + k
α : Type u_2
SemilatticeInf α
LocallyFiniteOrderTop α
a : α
⊢ (Finset.Ici a).inf' ⋯ id = a
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R₁
inst✝⁴ : Semiring R₂
inst✝³ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ : R₁ →+* R₂
σ' : R₂ →+* R₁
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomSurjective σ₁₂
inst✝ : RingHomSurjective σ₂₃
⊢ Function.Surjective ⇑σ₁₃
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
(i : ι) → TopologicalSpace (X i)
as bs cs : (i : ι) → X i
γ₀ : (i : ι) → Path.Homotopic.Quotient (as i) (bs i)
γ₁ : (i : ι) → Path.Homotopic.Quotient (bs i) (cs i)
⊢ (Path.Homotopic.pi γ₀).comp (Path.Homotopic.pi γ₁) = Path.Homotopic.pi fun i => (γ₀ i).comp (γ₁ i)
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : X →ᵇ ℝ
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) ⊥
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) ⊥ (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
X : Type u
TopologicalSpace X
LindelofSpace X
⊢ Filter.coLindelof X = ⊥
n : ℕ
⊢ π < 2 ^ (n + 1) * √(2 - Real.sqrtTwoAddSeries 0 n) + 1 / 4 ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
b x : α
f : ↑(Set.Iic b) → β
hx : x ∈ Set.Iic b
⊢ Set.IicExtend f x = f ⟨x, hx⟩
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
DecidableEq α
⊢ (s.erase a).card ≤ s.card
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset α
f : α → β
⊢ (Finset.image f s).Nonempty ↔ s.Nonempty
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : b < a
⊢ ¬IsMin a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α
⊢ ⋃ n, Ico (a + ↑n) (a + ↑n + 1) = univ
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
k : κ
x : β (h k)
i : κ
hik : i ≠ k
⊢ (single (h k) x) (h i) = (single k x) i
w : Nat
x : BitVec w
i : Nat
⊢ x.getMsb i = true → i < w
M : Type u_4
N : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N
⊢ (↑f).toFun = ⇑f
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
X : T
U : CategoryTheory.Under X
⊢ U.left = { as := PUnit.unit }
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a a' : α
h : b ∈ f.fix a
h' : b ∈ f.fix a'
fa : Sum.inr a' ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
⊢ Sum.casesOn (motive := fun x => (f a).get ⋯ = x → C a) ((f a).get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a a'' ⋯ e ((fun a' h' => fixInduction ⋯ fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → C a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯) a'' e)) ⋯ = hind a a' h' fa (fixInduction h' fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → (fun x => C x) a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯)
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : BumpCovering ι M s
hf : ∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)
i : ι
⊢ ⇑((f.toSmoothPartitionOfUnity hf) i) = ⇑(f.toPartitionOfUnity i)
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
f g : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
h : ↑f =ᵐ[μ] ↑g
⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ f = MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ g
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
⊢ ψ ≠ 1 ↔ ψ 1 ≠ 1
xl xr : Type u
x : PGame
⊢ 0 < -x ↔ x < 0
n m : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a.castSucc ≠ 0
⊢ a.castSucc.pred ha < a
q a b c : ℚ
⊢ a + 0 = a
A B : TopCat
x₀ x₁ : ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))
p : x₀ ⟶ x₁
⊢ (FundamentalGroupoidFunctor.projLeft A B).map p = Path.Homotopic.projLeft p
ι : Type u_1
l : List ι
f : ι → ℝ≥0
r : ℝ
⊢ (List.map (fun x => f x ^ r) l).prod = (List.map f l).prod ^ r
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Ring R
a b : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
h : Commute a b
⊢ a ^ 2 = b ^ 2 ↔ a = b ∨ a = -b
α : Type u_1
ι : Sort u_4
LE α
f : ι → LowerSet α
⊢ (⨆ i, f i).compl = ⨆ i, (f i).compl
α : Type u
Preorder α
a b c : α
⊢ a < b → b ≤ c → a < c
α β : Type u
f : α → FreeAddMagma β
x : α
⊢ pure x >>= f = f x
α : Type u_1
ι : Type u_4
SemilatticeInf α
OrderBot α
LinearOrder ι
f : ι → α
⊢ Pairwise (Disjoint on f) ↔ ∀ ⦃m n : ι⦄, m < n → Disjoint (f m) (f n)
B : Type u_1
TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ Bundle.TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ Bundle.TotalSpace.proj
(x : B) → Zero (E₁ x)
(x : B) → Zero (E₂ x)
⊢ ContinuousOn (Trivialization.Prod.invFun' e₁ e₂) ((e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet) ×ˢ Set.univ)
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
k₀ : ι
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
hk₀' : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₀
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
⊢ (Homotopy.nullHomotopicMap' h).f k₀ = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
ι : Sort u_5
a : α
f : ι → β
⊢ (Set.range fun i => a +ᵥ f i) = a +ᵥ Set.range f
α : Type u_1
a : α
l : List α
⊢ a ∈ l ↔ ∃ n, l.get? n = some a
α : Type u
β : Type v
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
⊢ Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
α : Type u
Monoid α
a : αˣ
b c : α
⊢ b * ↑a = c * ↑a ↔ b = c
a✝ b✝ : ℤ
n✝ a b n : ℕ
a_le_n : a ≤ n
b_le_n : b ≤ n
⊢ |↑a - ↑b| ≤ ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_4
One M
s : Set α
f : β → M
g : α → β
hg : Function.Injective g
x : α
⊢ (g '' s).mulIndicator f (g x) = s.mulIndicator (f ∘ g) x
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
m : M
⊢ (ExteriorAlgebra.ι R) m * (ExteriorAlgebra.ι R) m = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
⊢ InjOn f (s ∪ r)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
⊢ CategoryTheory.whiskerLeft F (CategoryTheory.NatTrans.id G) = CategoryTheory.NatTrans.id (F.comp G)
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
hm : Squarefree m
hn : n ≠ 0
⊢ (m / m.gcd n).Coprime n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β
g : β → γ
s : Set γ
⊢ ↑(map g f) ⁻¹' s = ↑f ⁻¹' ↑(Finset.filter (fun b => g b ∈ s) f.range)
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
⊢ IsCoveringMap f ↔ IsCoveringMapOn f Set.univ
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.map (SimplexCategory.δ i.succ) ≫ X.map (SimplexCategory.σ i) = 𝟙 (X.obj [n])
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0
⊢ (lineMap x y) t⁻¹ ∈ (fun x_1 => (lineMap x y) x_1⁻¹) '' Ioi 1
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
⊢ ↑n < find P → ∀ m ≤ n, ¬P m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t : Set E
x : E
⊢ x ∈ balancedCore 𝕜 s ↔ ∃ t, Balanced 𝕜 t ∧ t ⊆ s ∧ x ∈ t
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
self : MulChar R R'
a : R
⊢ ¬IsUnit a → (↑self.toMonoidHom).toFun a = 0
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
g : X ⟶ X
⊢ g ≫ f = f ↔ g = 𝟙 X
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
m n : ℕ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : m ≤ n
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m f s x
G : Type u_12
Group G
x : Gˣ
⊢ toUnits ↑x = x
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0
⊢ ↑(⌊a⌋ + 1) - 1 < a
α : Type u
CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
a : α
⊢ a ≤ 0 ↔ a = 0
ι : Type u_1
M : Type u_2
AddCommMonoid M
c : AddCon M
s : Finset ι
f g : ι → M
h : ∀ i ∈ s, c (f i) (g i)
⊢ c (s.sum f) (s.sum g)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
K✝¹ : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β
α : Type u_4
inst✝¹ : MetricSpace α
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
inst✝ : ProperSpace α
hK : AntilipschitzWith K✝ f
f_cont : Continuous f
hf : Function.Surjective f
x₀ : β
r : ℝ
K : Set α := f ⁻¹' closedBall x₀ r
⊢ IsCompact (closedBall x₀ r)
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
I : Ideal A
x : R₁
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) ((algebraMap R₁ A) x) = (algebraMap R₁ (A ⧸ I)) x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w₁
CategoryTheory.Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
CategoryTheory.Category.{max v u, w₂} E
F : CategoryTheory.Functor D E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
(X : C) →
    (W : J.Cover X) →
      (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
⊢ (J.sheafificationWhiskerRightIso F).hom.app P = (J.sheafifyCompIso F P).hom
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
IsWellOrder β s
f : r ↪r s
a a' : α
⊢ r a' a → s ↑(f.collapseF a') ↑(f.collapseF a)
n : ℤ
⊢ Even (n - 1) ↔ ¬Even n
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a : α
⊢ interior (Set.Iio a) = Set.Iio a
m n : ℕ
i : Fin n
⊢ finSumFinEquiv (Sum.inr i) = Fin.natAdd m i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
U : (a : α) → a ∈ s → Set α
hU : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), U a ha ∈ 𝓝 a
T : (a : α) → a ∈ s → Set (α × α)
hT : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), T a ha ∈ 𝓤 α
hb : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), ∀ a' ∈ U a ha, ball a' (T a ha) ⊆ f ⁻¹' {y | (f a, y) ∈ t}
fs : Finset ↑s
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ fs, U ↑x ⋯
a₁ a₂ : α
h : (a₁, a₂) ∈ ⋂ i ∈ fs, T ↑i ⋯
h₁ : (a₁, a₂).1 ∈ s
a : ↑s
ha : a ∈ fs
haU : (a₁, a₂).1 ∈ U ↑a ⋯
⊢ (f (a₁, a₂).1, f (a₁, a₂).2) ∈ t ○ t
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommMonoid α
Fintype ι
S : ι → Set α
⊢ (fun f => ∏ i : ι, f i) '' Set.univ.pi S = ∏ i : ι, S i
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
x✝ : Fin 0 → E
⊢ (p 0) x✝ = ∑' (b : ℕ), (p b) fun x => 0
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
m n k : ℕ
hx : x ^ m = 0
hy : y ^ n = 0
h : m + n ≤ k + 1
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal k
hi : ¬m ≤ i
⊢ x ^ i * y ^ j = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl
b : A
s : ↥𝔭.primeCompl
eq0 : ∃ c, ↑c * (↑f.num * b) = ↑c * ↑(⟨↑f.den, ⋯⟩ * s)
eq1 : IsLocalization.mk' (at 𝔭.primeCompl) b s * (mk f).val = 1
⊢ IsUnit (mk f)
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
u : R
hu : IsUnit u
h_mul : star u * u = 1
⊢ u ∈ unitary R
α : Type u_1
l : List α
h : Subsingleton (Quot.mk Setoid.r l)
⊢ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ Quot.mk Setoid.r l → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ Quot.mk Setoid.r l → x = y
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p✝ : R[X]
x : S
p : R[X]
n✝ : ℕ
⊢ (if p.coeff n✝ = 0 then 0 else if n✝ = p.natDegree then p.leadingCoeff else p.leadingCoeff * (p.coeff n✝ * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1 - n✝))) = p.coeff n✝ * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - n✝)