ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
hq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f z)
x : 𝕜
hx1 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f x)
hx2 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • p.coeff n) (f x)
this : ∀ k < p.order, p.coeff k = 0
⊢ f x = (x - z₀) ^ p.order • (swap dslope z₀)^[p.order] f x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
⊢ r.image s ⊆ r.image (s ∩ r.dom)
M : Type u_1
Mul M
self : Con M
w x y z : M
⊢ Setoid.r w x → Setoid.r y z → Setoid.r (w * y) (x * z)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝ : FunLike F α β
e : α ≃ β
s : Set α
⊢ (fun s => ⇑e.symm '' s) ((fun s => ⇑e '' s) s) = s
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
H : FreeAddGroup.Red.Step L₁ L₂
⊢ L₂.Sublist L₁
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : ↥H
hx : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}
⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) x) = 0
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
M' : Type u_9
AddCommMonoid M'
Module R M'
B' : LinearMap.BilinForm R M'
f f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B.IsAdjointPair B' f' g'
⊢ B.IsAdjointPair B' (f + f') (g + g')
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ_[p]
hq : ‖q‖ ≤ 1
⊢ ‖⟨q, hq⟩‖ = ‖q‖
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
⊢ (AddOpposite.unop (HahnSeries.addOppositeEquiv x)).leadingCoeff = AddOpposite.unop x.leadingCoeff
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.HomologyData
⊢ CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h.left h.right = h.iso.hom
d : ℤ
a b : Pell.Solution₁ d
⊢ (a * b).x = a.x * b.x + d * (a.y * b.y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a b : α
s✝ s : Finset β
f : β → α
⊢ HasProd (f ∘ Subtype.val) (∏ b ∈ s, f b)
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
⊢ x ≤ z ↔ y = z ⊔ y \ x
q : ℚ
K : Type u_5
LinearOrderedField K
⊢ ↑q ≤ 0 ↔ q ≤ 0
R : Type u
inst✝²⁶ : CommRing R
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝²⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝²³ : Field K
inst✝²² : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝²¹ : Field L
inst✝²⁰ : Algebra S L
inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁸ : AddCommGroup V
inst✝¹⁷ : Module R V
inst✝¹⁶ : Module K V
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'
inst✝¹³ : Module R V'
inst✝¹² : Module S V'
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''
inst✝⁹ : Module R V''
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : IsNoetherian R S
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) p) = ⊤
hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
M : Submodule R S := Submodule.span R b
h : Module.Finite R (S ⧸ M) := Module.Finite.of_surjective M.mkQ (Submodule.Quotient.mk_surjective M)
n : ℕ
a : Fin n → S ⧸ M
ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤
smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤
exists_sum : ∀ (x : S ⧸ M), ∃ a', (∀ (i : Fin n), a' i ∈ p) ∧ ∑ i : Fin n, a' i • a i = x
A' : Fin n → Fin n → R
hA'p : ∀ (i i_1 : Fin n), A' i i_1 ∈ p
hA' : ∀ (i : Fin n), ∑ i_1 : Fin n, A' i i_1 • a i_1 = a i
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := Matrix.of A' - 1
B : Matrix (Fin n) (Fin n) R := A.adjugate
A_smul : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin n, A i j • a j = 0
d_smul : ∀ (i : Fin n), A.det • a i = 0
span_d : Submodule.restrictScalars R (Submodule.span S {(algebraMap R S) A.det}) ≤ M
⊢ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b) = ⊤
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
CategoryTheory.IsIso g
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackConeOfRightIso f g).π.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.left =
  𝟙
    (((CategoryTheory.Functor.const CategoryTheory.Limits.WalkingCospan).obj
          (CategoryTheory.Limits.pullbackConeOfRightIso f g).pt).obj
      CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.left)
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℕ
⊢ Irrational (x + ↑m)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
t : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t.toCone
⊢ t.inl = ht.lift (CategoryTheory.Limits.BinaryFan.mk (𝟙 X) 0)
α : Type u_1
AddMonoid α
Preorder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
n : ℕ
r : { x // 0 ≤ x }
⊢ ↑(n • r) = n • ↑r
z : ℂ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y => Complex.sin (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.cos (2 * z * ↑x)) x
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ span {x} * I ≤ span {x} * J ↔ I ≤ J
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p * q ≠ 0
⊢ p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree ≤ (p * q).natTrailingDegree
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n✝ : ℕ
a : M
m n : ℕ
⊢ (a ^ m) ^ n = (a ^ n) ^ m
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
∀ (i : ι), MeasureTheory.NoAtoms (μ i)
s : Set ι
f g : (i : ι) → α i
⊢ (s.pi fun i => Set.Ioc (f i) (g i)) =ᵐ[MeasureTheory.Measure.pi μ] s.pi fun i => Set.Icc (f i) (g i)
x y : ℝ
⊢ Real.cos (x + y) = Real.cos x * Real.cos y - Real.sin x * Real.sin y
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
p : CategoryTheory.Limits.pullback f g
⊢ (↑((CategoryTheory.Limits.Types.pullbackIsoPullback f g).hom p)).1 = CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g p
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial S
this : Nontrivial R
⊢ map f (p /ₘ q) = map f p /ₘ map f q ∧ map f (p %ₘ q) = map f p %ₘ map f q
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
n : ℕ
⊢ (fun x => κ.densityProcess ν n a x s) - Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a) =ᶠ[ae (ν a)] (fun i x => κ.densityProcess ν i a x s) n - fun x => κ.density ν a x s
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : σ → τ
hf : Function.Injective f
p : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.killCompl hf) ((MvPolynomial.rename f) p) = p
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
x : σ → R
⊢ comap (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) x = id x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
d e : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain G K d
he : 0 + d = e
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (CochainComplex.mappingCone.inr φ)).comp
    ((CochainComplex.mappingCone.snd φ).comp γ he) ⋯ =
  γ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
∀ (X : C), CategoryTheory.IsIso (α.app X)
⊢ CategoryTheory.IsIso α
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g h : Y ⟶ Z
⊢ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f (g + h) =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f g + CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f h
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
R : Type u_1
CommSemiring R
Algebra R 𝕜
q : R[X]
x : 𝕜
⊢ HasFDerivAt (fun x => (Polynomial.aeval x) q)
  (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative q))) x
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
AddZeroClass α
AddZeroClass β
⊢ Function.Injective OrderAddMonoidHom.toOrderHom
a b c : Prop
⊢ (a ∨ b) ∨ c ↔ (a ∨ c) ∨ b ∨ c
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
s : S.Splitting
⊢ s.rightHomologyData.ι = 0
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S T : Subalgebra R A
x y : A
hx : x ∈ S
hy : y ∈ T
⊢ x * y ∈ S ⊔ T
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
p : M → Prop
x : M
H : x ∈ I • N
smul : ∀ r ∈ I, ∀ n ∈ N, p (r • n)
add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
H0 : p 0
⊢ ∀ (i : ↥I), ∀ x ∈ map ((LinearMap.lsmul R M) ↑i) N, p x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : LipschitzMul β
⊢ ∀ (p q : β × β), dist (p.1 * p.2) (q.1 * q.2) ≤ ↑(LipschitzMul.C β) * dist p q
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
⊢ natSepDegree 0 = 0
α : Type u
m n : ℕ
f : Fin m → α
g : Fin n → α
⊢ List.ofFn f = List.ofFn g ↔ ⟨m, f⟩ = ⟨n, g⟩
M : ℝ
hM : M ≤ 1
z : ℂ
⊢ z ∈ stolzSet M ↔ z ∈ ∅
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X : C
f g : X ⟶ 𝟙_ C
⊢ f = g
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
f : S ⊗[R] T
J : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
hJ : f ∉ J.asIdeal
⊢ ∃ t ⊆ ↑(basicOpen f), IsOpen t ∧ J ∈ t
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
g : ℕ → ℂ → E := fun n z => cexp z ^ n • f z
hg : ∀ (n : ℕ) (z : ℂ), ‖g n z‖ = expR z.re ^ n * ‖f z‖
z : ℂ
hz : 0 < z.re
n : ℕ
⊢ Tendsto (fun x => g n ↑x) atTop (𝓝 0)
a : ℝ
⊢ interior {z | z.re ≤ a} = {z | z.re < a}
α : Sort u
r : α → α → Prop
motive : Quot r → Sort v
f : (a : α) → motive (Quot.mk r a)
h : ∀ (a b : α) (p : r a b), Eq.ndrec (f a) ⋯ = f b
q : Quot r
⊢ (Quot.lift (Quot.indep f) ⋯ q).fst = q
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x
hf'_nonneg : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ f' i a
hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ
hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x
⊢ Tendsto (fun n => (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f' n a) ∂μ).toReal) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ).toReal)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), MeasureTheory.eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ MeasureTheory.UniformIntegrable f p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a : α
h : StrictMono f
⊢ Set.MapsTo f (Set.Ioi a) (Set.Ioi (f a))
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
x : K
⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(basisOfFractionalIdeal K I)) ↔ x ∈ ↑↑I
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
AddZeroClass δ
Min δ
C : Levenshtein.Cost α β δ
x : α
xs : List α
⊢ levenshtein C (x :: xs) [] = C.delete x + levenshtein C xs []
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t : Finset ι
⊢ ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
⊢ let D := closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C); Perfect D ∧ D.Nonempty ∧ D ⊆ C ∧ EMetric.diam D ≤ ε
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
s : Set (α → M)
⊢ A.Definable L s ↔ ∅.Definable (L.withConstants ↑A) s
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero β
TopologicalSpace γ
f : C(γ, α)
⊢ BoundedContinuousFunction.compContinuous 0 f = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
e : C ≌ D
CategoryTheory.Preregular C
A : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} A
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.regularTopology D) A} (f : X ⟶ Y) (X_1 : Cᵒᵖ),
  ((e.sheafCongrPreregular A).inverse.map f).val.app X_1 = f.val.app (Opposite.op (e.functor.obj (Opposite.unop X_1)))
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set α → Prop
s : Set α
h : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
S : Set (Set α)
hSc : S.Countable
hSp : ∀ s ∈ S, p s
hS : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Subsingleton ∧ t ∈ l
α : Type u
AddGroup α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ -a ≤ 0 ↔ 0 ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
a b : β
⊢ ⇑e ⁻¹' Set.Icc a b = Set.Icc (e.symm a) (e.symm b)
X : Type u
TopologicalSpace X
n : ℕ
f : ℕ → Set X
⊢ closure (⋃ m, ⋃ (_ : m < n), f m) = ⋃ m, ⋃ (_ : m < n), closure (f m)
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝² : MeasurableSpace ι
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : ContinuousMul β
U : γ → ι → Ω → β
s : Finset γ
h : ∀ c ∈ s, ProgMeasurable f (U c)
i : ι
a : Ω
⊢ ∏ c ∈ s, U c i a = (∏ c ∈ s, U c) i a
α : Type u_1
rels : Set (FreeGroup α)
this : of = ⇑(QuotientGroup.mk' (Subgroup.normalClosure rels)) ∘ FreeGroup.of
⊢ Subgroup.closure (Set.range of) = ⊤
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t u : Multiset α
x✝¹ : α
x✝ : Multiset α
h : x✝.ndunion t ≤ u ↔ x✝ ⊆ u ∧ t ≤ u
⊢ (x✝¹ ::ₘ x✝).ndunion t ≤ u ↔ x✝¹ ::ₘ x✝ ⊆ u ∧ t ≤ u
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : CochainComplex.HomComplex.Cocycle K L n
a : ℤ
⊢ ↑(γ.shift a) = (↑γ).shift a
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
⊢ (Function.mulSupport fun x => 1) = ∅
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a✝ : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
a : AddCircle p
b : ↑(Ico 0 (0 + p)) := (QuotientAddGroup.equivIcoMod ⋯ 0) a
⊢ ∃ b ∈ Ico 0 p, ↑b = a
α : Sort u_1
s₁ : Setoid α
a b : α
⊢ Quotient.mk'' a = Quotient.mk'' b → Setoid.r a b
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
⊢ ⊥.direction = ⊥
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n.succ → α
⊢ (Mathlib.Vector.ofFn f).tail = Mathlib.Vector.ofFn fun i => f i.succ
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
⊢ (Lagrange.interpolate s v) r = ∑ i ∈ s, Polynomial.C (r i) * Lagrange.basis s v i
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : Fin 2 × ℕ → ℤ
h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
⊢ ULift.ringEquiv.symm ((eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (φ i)) (wittPolynomial p ℤ k)) = ULift.ringEquiv.symm ((eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (ψ i)) (wittPolynomial p ℤ k))
α : Sort u_1
β : Sort u_2
⊢ (∃ f, Function.Surjective f) ↔ Nonempty (α → β) ∧ Nonempty (β ↪ α)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
I : Ideal S
hI : comap (algebraMap R S) I ≤ P
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
Iₚ : Ideal Sₚ := map (algebraMap S Sₚ) I
hI' : Disjoint ↑(Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl) ↑I
this : Iₚ ≠ ⊤
⊢ ∃ Q ≥ I, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q ≤ P
R : Type u_2
TopologicalSpace R
Star R
ContinuousStar R
a : R
⊢ Filter.Tendsto star (𝓝 a) (𝓝 (star a))
α : Type u_1
PartialOrder α
⊢ ↑(PartOrd.of α) = α
c : Cardinal.{u_3}
x : (Quotient.out c.ord).α
⊢ (Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) x).card < c
s : Set ℚ≥0
⊢ BddAbove (NNRat.cast '' s) ↔ BddAbove s
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
⊢ ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num = (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
ι : Type u_3
Fintype ι
DecidableEq ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι
⊢ x ≠ e.orientation ↔ x = -e.orientation
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
this✝ : (fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (g' x) (a.2 - x))) = ((fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f a.1 a.2 - f a.1 x - ((f' a.1 x) a.2 - (f' a.1 x) x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)
this : 𝓝 0 = 𝓝 (0 + 0 + 0)
⊢ Tendsto (fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)) (l.curry (𝓝 x)) (𝓝 0)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
⊢ (CategoryTheory.cokernelUnopOp g).inv =
  (CategoryTheory.Limits.cokernel.desc g.unop (CategoryTheory.Limits.kernel.ι g).unop ⋯).op
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} D
S : CategoryTheory.Functor C D
T : D
A : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
P : (CategoryTheory.CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ Opposite.op A
CategoryTheory.Mono f.unop.left.op
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.unop.left (CategoryTheory.Subobject.underlyingIso f.unop.left.op).hom.unop =
  (CategoryTheory.Subobject.mk f.unop.left.op).arrow.unop
p x : ℝ
⊢ LiouvilleWith p (-x) ↔ LiouvilleWith p x
α : Type u_1
a b : α
⊢ [a] ~ [b] ↔ a = b
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
a b : α
h : a ≠ b
⊢ ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ {a, b}), f i = f a + f b
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
this✝ : IsPoly₂ p fun {R} [CommRing R] x y => verschiebung (x * frobenius y)
this : IsPoly₂ p fun {R} [CommRing R] x y => verschiebung x * y
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x y : 𝕎 R
⊢ ∀ (n : ℕ), (ghostComponent n) (verschiebung (x * frobenius y)) = (ghostComponent n) (verschiebung x * y)
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
hj : j = 0
⊢ False
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
⊢ LinearIndependent R v ↔ ∀ (g : ι → R), ∑ i : ι, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
P : Ideal R
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < f.degree → f.coeff n ∈ P
n : ℕ
hf0 : ¬f = 0
⊢ (map (mk P) f).coeff n = (C ((mk P) f.leadingCoeff) * X ^ f.natDegree).coeff n
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
d : CategoryTheory.Limits.LimitCone F
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimit F
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n
⊢ Summable fun n => ‖p n‖₊ * r ^ n
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h✝¹ : Cardinal.lift.{max (u + 1) v, u} c < Cardinal.univ.{u, v}
S : Set Ordinal.{u}
H : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
Se : #↑S = (type fun x x_1 => x < x_1).cof
h✝ : Cardinal.lift.{u + 1, u} c ≥ #↑S
a : Cardinal.{u}
e✝ : Cardinal.lift.{u + 1, u} a = #↑S
α : Type u
e : Cardinal.lift.{u + 1, u} ⟦α⟧ = #↑S
f✝ : ULift.{u + 1, u} α ≃ ↑S
f : α ≃ ↑S
g : α → Ordinal.{u} := fun a => ↑(f a)
o : Ordinal.{u} := succ (sup g)
b : Ordinal.{u}
h : b ∈ S
l : ¬(fun x x_1 => x < x_1) b o
⊢ False
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ ⦃x y : E⦄, ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ‖x + y‖ ≠ 2
x y : E
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hne : x ≠ y
⊢ ¬‖x + y‖ = 2
i : ℤ
⊢ (natAbs 1).lcm i.natAbs = i.natAbs
a b : Ordinal.{u}
hb : 0 < b
hba : b ≤ a ^ Ordinal.omega
⊢ Ordinal.nfp (fun x => a * x) b = a ^ Ordinal.omega
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4360, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
⊢ S.Exact ↔ IsZero h.right.H
a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a.toPGame = b.toPGame ↔ a = b
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ a ⨳ b ⨳ c = a ⨳ (b ⨳ c)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
l : List α
⊢ takeWhile p (takeWhile p l) = takeWhile p l