ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this✝ : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
ha : Continuous (f a)
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
⊢ ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y (a', x').2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a', x').2 < r' → ‖f (a', x').1 z - f (a', x').1 y - (L z - L y)‖ < s * r
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : DivisionRing L
inst✝¹ : DivisionRing M
S : Type u_1
inst✝ : SetLike S K
h : SubfieldClass S K
x : K
s : S
q : ℚ≥0
⊢ ↑q ∈ s
θ : Angle
⊢ |θ.toReal| = π / 2 ↔ θ = ↑(π / 2) ∨ θ = ↑(-π / 2)
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
i✝ : m
j✝ : o
⊢ (-M * N) i✝ j✝ = (-(M * N)) i✝ j✝
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f
s : Set α
⊢ BddAbove s → BddBelow (f '' s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
⊢ CategoryTheory.preadditiveCoyoneda.comp
    ((CategoryTheory.whiskeringRight C AddCommGrp (Type v)).obj (CategoryTheory.forget AddCommGrp)) =
  CategoryTheory.coyoneda
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
⊢ 0 ≤ x ^ y
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : Set α
hs : MeasurableSet s
q : ℚ
⊢ ∫ (c : α) in s, (preCDF ρ q (a, c).2).toReal ∂(Kernel.const Unit ρ.fst) a = (((Kernel.const Unit ρ) a) (s ×ˢ Iic ↑q)).toReal
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hYdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (Y i) (Y j)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
⊢ Function.Injective ⇑(lift fun i => FreeGroup.lift fun x => a i)
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Projective R
⊢ W.polynomialX =
  MvPolynomial.C W.a₁ * MvPolynomial.X 1 * MvPolynomial.X 2 -
    (MvPolynomial.C 3 * MvPolynomial.X 0 ^ 2 + MvPolynomial.C (2 * W.a₂) * MvPolynomial.X 0 * MvPolynomial.X 2 +
      MvPolynomial.C W.a₄ * MvPolynomial.X 2 ^ 2)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : s.Infinite
h' : ∃ ε, ε ≠ 0 ∧ ∀ x ∈ s, ε ≤ μ {x}
⊢ μ s = ⊤
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Monoid α
a b : α
h : conjugatesOf a = conjugatesOf b
ha : b ∈ conjugatesOf b
⊢ IsConj a b
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
⊢ μ.trim ⋯ = μ
α : Type u_2
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
s : ι → Set α
⊢ MeasureTheory.ae (μ.restrict (⋃ i, s i)) = ⨆ i, MeasureTheory.ae (μ.restrict (s i))
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
CategoryTheory.HasShift D ℤ
L.CommShift ℤ
H :
  ∀ (T₁' T₂' : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C),
    T₁' ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles →
      T₂' ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles →
        ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂),
          CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L.map T₁'.mor₁) b =
              CategoryTheory.CategoryStruct.comp a (L.map T₂'.mor₁) →
            ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle D
hT₁ : T₁ ∈ L.essImageDistTriang
hT₂ : T₂ ∈ L.essImageDistTriang
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : CategoryTheory.CategoryStruct.comp T₁.mor₁ b = CategoryTheory.CategoryStruct.comp a T₂.mor₁
⊢ ∃ c,
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp T₁.mor₂ c = CategoryTheory.CategoryStruct.comp b T₂.mor₂ ∧
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp T₁.mor₃ ((CategoryTheory.shiftFunctor D 1).map a) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp c T₂.mor₃
n : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : i ≤ p
hi : i ≠ 0
⊢ p.succAbove (i.pred hi) = (i.pred hi).castSucc
x y z : ℝ
⊢ StrictMonoOn (fun x => sinh x - x) (Ici 0)
n : ℕ
⊢ n.Coprime 1 ↔ True
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
b c d e : α
m n : ℤ
s : Set α
hs : IsGLB s b
ha : 0 ≤ 0
⊢ IsGLB ((fun b => 0 * b) '' s) (0 * b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
x₀ : β
b : β → ℝ
b_lim : Tendsto b (𝓝 x₀) (𝓝 0)
F : ι → β → α
H : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) ≤ b x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) < ε
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α β : X ≅ Y
w : α.hom = β.hom
⊢ (α.inv ≫ α.hom) ≫ β.inv = β.inv
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
E : K ⥤ J
inst✝ : HasLimit (E ⋙ F)
k : K
⊢ pre F E ≫ π (E ⋙ F) k = π F (E.obj k)
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
⊢ span 0 = ⊥
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
H : ∀ (i : ι) (a : R), a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i})) → a = 0
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
i : ι
hn : ¬l i = 0
⊢ Finsupp.single i (l i) - l ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i})
b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => x * rexp (-b * x ^ 2)) MeasureTheory.volume
I : Type u
f : I → Type v
γ : Type w
(i : I) → AddZeroClass (f i)
AddZeroClass γ
g : (i : I) → γ →+ f i
x : γ
i : I
⊢ (Pi.addMonoidHom g) x i = (g i) x
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
x y z : ℝ
hfs : HasConstantSpeedOnWith f (Icc x y) l
hft : HasConstantSpeedOnWith f (Icc y z) l
yx : y ≤ x
⊢ HasConstantSpeedOnWith f (Icc x z) l
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : ∀ ⦃a b : α⦄, f a < f b → a < b
hf' : Function.Surjective f
⊢ krullDim β ≤ krullDim α
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ j₃ k₁ k₂ l : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
f₂ : j₂ ⟶ k₁
f₃ : j₂ ⟶ k₂
f₄ : j₃ ⟶ k₂
g₁ : j₁ ⟶ l
g₂ : j₃ ⟶ l
⊢ ∃ s α β γ,
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₁ α = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ β ∧
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₂ α = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₃ γ ∧
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp f₄ γ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ β
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T1Space X
A : Set X
h : A.Subsingleton
⊢ IsClosed A
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x✝ y z : V
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
hst : s ⊆ t
b : Set V
bt : b ⊆ t
bi : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) K Subtype.val
sb : s ⊆ b
h : ∀ a ∈ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) K Subtype.val}, b ⊆ a → a = b
x : V
xt : x ∈ t
hn : x ∉ ↑(span K b)
⊢ x ∈ ↑(span K (insert x b))
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ o.oangle x (-x) = ↑π
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle y (y - x)).tan * ‖y‖ = ‖x‖
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
⊢ ∀ (x : α), thickenedIndicatorAux δ E x ∈ {a | a ≠ ⊤}
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
H0 : C ∅
H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → C s → C (insert a s)
s : Finset α
⊢ C ↑s
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ A₃ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝² : Mono f
g : A₂ ⟶ B
inst✝¹ : Mono g
h : A₃ ⟶ B
inst✝ : Mono h
h₁ : mk f ≤ mk g
h₂ : mk g ≤ mk h
⊢ ofMkLEMk f g h₁ ≫ ofMkLEMk g h h₂ = ofMkLEMk f h ⋯
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ 2 < |discr K|
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)
h : IsEmpty α
⊢ 0 ≤ max (lift.{v, u} #α) ℵ₀
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
g : R →+* ℤ_[p]
hg : ∀ (n : ℕ), (toZModPow n).comp g = f n
r : R
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
⊢ dist ((lift f_compat) r) (g r) ≤ ε
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ a⁻¹ = 1 ↔ a = 1
n b : ℕ
hb : 2 ≤ b
hn : 0 < n
⊢ b.digits n = n % b :: b.digits (n / b)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
g : Filter β
φ : α → β
ψ : β → α
eq : φ ∘ ψ = id
hφ : Tendsto φ f g
hψ : Tendsto ψ g f
⊢ map φ f = g
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy0 : 0 ≤ y
⊢ x ^ y = ⊤ → x = ⊤
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
⊢ (0 + C a).natDegree = natDegree 0
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑C ^ d * μH[↑r * d] s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝¹ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ (a • s)⁻¹ ↔ a✝ ∈ op a⁻¹ • s⁻¹
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
p : R[X]
⊢ h.map p = 0 ↔ f ∣ p
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : μ.OuterRegular
H : μ.InnerRegularWRT p IsOpen
hd : ∀ ⦃s U : Set α⦄, p s → IsOpen U → p (s \ U)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
⊢ ∃ K ⊆ s, p K ∧ r < μ K
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
F : Set α
x : α
h : F ∈ 𝓝 x
⊢ connectedComponentIn F x ∈ 𝓝 x
X : Type u_1
TopologicalSpace X
LocPathConnectedSpace X
U : Set X
h : IsOpen U
⊢ LocPathConnectedSpace ↑U
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
⊢ dimH univ = ↑n
x : ℝ
n : ℤ
⊢ Real.cos (↑n * Real.pi - x) = (-1) ^ n * Real.cos x
f : CircleDeg1Lift
⊢ Filter.Tendsto (⇑f) Filter.atBot Filter.atBot
α : Type u_1
a b : PosNum
⊢ ↑(a + b).succ + ↑(a + b).succ = ↑a + ↑a + 1 + (↑b + ↑b + 1)
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C
⊢ Monotone (CategoryTheory.Sieve.functorPushforward F)
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = (∡ p₁ p₃ p₂).sign
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
z : ℂ
hz : 1 ≤ z.re
h2 : 0 < √2
hz' : 1 ≤ abs z
hm₀ : 0 < max z.re |z.im|
⊢ ‖Real.log (abs z)‖ ≤ 1 * ‖Real.log √2 + Real.log (max z.re |z.im|)‖
ι : Type u_8
Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Invertible 2
Q : QuadraticMap R M R
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (QuadraticMap.associated Q) ⇑v
⊢ Q.basisRepr v = QuadraticMap.weightedSumSquares R fun i => Q (v i)
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t✝ s t : Set α
⊢ (s ∪ t).Infinite ↔ s.Infinite ∨ t.Infinite
A B : CommGrp
f : A ⟶ B
⊢ CategoryTheory.Mono f ↔ MonoidHom.ker f = ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
s : Set β
x : α
⊢ s ∩ range f ∩ range f = s ∩ range f
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
Module 𝕜 β
BoundedSMul 𝕜 β
f : α → β
φ : α → 𝕜
hφ : MeasureTheory.Integrable φ μ
hf : MeasureTheory.Memℒp f ⊤ μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (φ • f) μ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0
⊢ b * (a / b) + a % b < b * (a / b) + b
M : Type u_1
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : Pow M ℕ
inst✝ : NatPowAssoc M
m n : ℕ
x : M
⊢ x ^ m * x ^ n = x ^ n * x ^ m
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
⊢ ∀ {X Y : (HomologicalComplex Vᵒᵖ c)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y) (i : ι),
  ((HomologicalComplex.unopFunctor V c).map f).f i = (f.unop.f i).unop
R : Type u_1
CommSemiring R
a : R
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a 0 → a = 0
α : Type u_1
NormedField α
⊢ UpperHalfPlane.IsBoundedAtImInfty 0
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
a : α
l : List α
a✝ : (∀ a ∈ ↑l, ∀ b ∈ ↑l, r a b) → Chain r ↑l
hs : ∀ a_1 ∈ ↑(a :: l), ∀ b ∈ ↑(a :: l), r a_1 b
Ha : a ∈ ↑(a :: l)
Hl : ∀ {b : α}, b ∈ l → b ∈ ↑(a :: l)
b : α
hb : b ∈ l ++ [a]
⊢ r a b
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
i : ι
⊢ Function.Injective ⇑(DirectSum.of β i)
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
⊢ f = g
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
A : Set G
hA : μ.outerMeasure A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ U, A ⊆ ↑U ∧ μ.outerMeasure ↑U ≤ μ.outerMeasure A + ↑ε
α : Type u
β : Type v
Group α
MulAction α β
Fintype α
Fintype β
Fintype (Quotient (MulAction.orbitRel α β))
(b : β) → Fintype ↥(MulAction.stabilizer α b)
⊢ Fintype.card β = ∑ ω : Quotient (MulAction.orbitRel α β), Fintype.card α / Fintype.card ↥(MulAction.stabilizer α ω.out')
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
i j k : ι
hijk : (Algebra.leftMulMatrix bS) (bS i) j k ≠ 0
⊢ abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS i) j k) ∈ Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
n : ℕ
⊢ (p * X ^ n).natTrailingDegree = p.natTrailingDegree + n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
⊢ (eval₂RingHom (C.comp (Quotient.mk I)) X) (a.sum fun n a => (monomial n) a) = 0
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
⊢ CategoryTheory.Subgroupoid.inclusion ⋯ = CategoryTheory.Functor.id ↑S.objs
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f g : CategoryTheory.Arrow T
e : f ≅ g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp e.inv.right e.hom.right = CategoryTheory.CategoryStruct.id g.right
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
U : ι → Set X
hso : f.IsSubordinate U
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
x : X
⊢ ∃ is, ∃ n ∈ 𝓝 x, n ⊆ ⋂ i ∈ is, U i ∧ ∀ z ∈ n, (Function.support fun x => (f x) z) ⊆ ↑is
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
⊢ UpperHalfPlane.denom (↑g) z = ↑(↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑g 1 1)
q : ℚ
⊢ ∃ n, GenContFract.IntFractPair.stream q n = none
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
CharP R p
⊢ WittVector.frobenius = WittVector.map (frobenius R p)
V : Type u_2
P : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
⊢ IsPreconnected {y | s.WOppSide x y}
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
(i : ι) → Group (G i)
Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ
w : Monoid.CoprodI.Word G
hw : Monoid.PushoutI.Reduced φ w
⊢ ∃ w', w'.prod = Monoid.PushoutI.ofCoprodI w.prod ∧ List.map Sigma.fst w'.toList = List.map Sigma.fst w.toList
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
hn : ¬G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : x✝ = t
h✝ : ¬y✝ = t
⊢ G.Adj s y✝ ↔ G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
x : R
this : DecidableEq ι
⊢ (norm R) ((algebraMap R S) x) = x ^ Fintype.card ι
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers C
CategoryTheory.Balanced C
𝒢 : Set C
⊢ CategoryTheory.IsDetecting 𝒢 ↔ CategoryTheory.IsSeparating 𝒢
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : PushoutCocone f g
w : (span f g).map fst ≫ t.ι.app WalkingSpan.left = t.ι.app WalkingSpan.zero ≫ ((Functor.const WalkingSpan).obj t.pt).map fst
⊢ t.ι.app WalkingSpan.zero = f ≫ t.inl
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α
⊢ {I | M.Indep I} = ↑(lowerClosure {B | M.Base B})
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
he : e ≠ 0
this✝¹ : NeZero e := { out := he }
this✝ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P) := Quotient.algebraQuotientOfRamificationIdxNeZero f p P
this : Field (R ⧸ p) := Quotient.field p
hdim : Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ e) = e • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hP : ¬FiniteDimensional (R ⧸ p) (S ⧸ P)
⊢ finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ e) = e * finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h✝ : f a ∣ f b * f c
a₁ a₂ : β
h : a₁ ∣ f b ∧ a₂ ∣ f c ∧ f a = a₁ * a₂
⊢ f ((↑f).symm a₁) ∣ f b ∧ f ((↑f).symm a₂) ∣ f c ∧ ↑f a = a₁ * a₂
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
f : α → Set (Set α)
s : Set α
h : v.FineSubfamilyOn f s
p : α × Set α
⊢ p ∈ h.index → p.1 ∈ s
n : ℕ
i : Fin n.succ
⊢ i.cycleRange i = 0
α : Type u_2
LinearOrderedField α
a b : α
hb : b < 0
h : a < b
⊢ 1 / b < 1 / a
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ (↑e).symm = ↑e.symm
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : IsProperMap f
⊢ Continuous f
β : Type ub
UniformSpace β
T : β → β
n : ℕ
h : UniformContinuous T
⊢ UniformContinuous T^[n]
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
ι : Type u_1
Infinite ι
v : ι → M
⊢ ¬LinearIndependent R v
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
ls : Word M
h1 : ls.fstIdx ≠ some i
h2 : m ≠ 1
⊢ cons m ls h1 h2 = of m • ls
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrichotomous α r
h : IsAntichain r s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
⊢ a = b
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ map (mk' N) N' = ⊥ ↔ N' ≤ N
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedRing 𝕜
NormedAddCommGroup E
MulActionWithZero 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
φ : α → 𝕜
hφ : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable φ μ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm (φ • f) p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm φ p μ * MeasureTheory.eLpNorm f ⊤ μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
A B : C
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Mono f
⊢ (CategoryTheory.Subobject.pullback f).obj (CategoryTheory.Subobject.mk f) = ⊤
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 0)
this : ∀ᶠ (n : α) in l, ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖ = ‖d n‖
D : Tendsto (fun n => ‖d n‖) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto d l (𝓝 0)
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
l : List α
x : α
h : ¬p x = true
⊢ takeWhile p (x :: l) = []
α : Type v
Preorder α
a b : α
⊢ Disjoint (Set.Iic a) (Set.Ici b) ↔ ¬b ≤ a
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C
D : Type w₁
CategoryTheory.Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
CategoryTheory.Category.{max v u, w₂} E
F : CategoryTheory.Functor D E
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) D
∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α),
    CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape (CategoryTheory.Limits.WalkingMulticospan fst snd) E
(X : C) →
    (W : J.Cover X) →
      (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (W.index P).multicospan F
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
(X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
η : P ⟶ Q
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerRight (J.plusMap η) F) (J.plusCompIso F Q).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (J.plusCompIso F P).hom (J.plusMap (CategoryTheory.whiskerRight η F))