ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
ho : o ≠ 0
hbo : b ≤ o
h : o % b ^ log b o = 0
⊢ log b (o % b ^ log b o) < log b o
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
x y : X ⊕ Y
⊢ dist x y = Metric.Sum.dist x y
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁).Nonempty
hle : s₁ ≤ s₂
⊢ s₁ = s₂
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
y : M
a✝ : y ∈ s
h : ∀ (a : ι), (↑(f.toFun a) x • ↑(extChartAt I (f.c a)) x, ↑(f.toFun a) x) = (↑(f.toFun a) y • ↑(extChartAt I (f.c a)) y, ↑(f.toFun a) y)
h₁ : ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) x = ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) y
h₂ : 1 = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y
this : y ∈ (extChartAt I (f.c (f.ind x hx))).source
⊢ x = y
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.5921, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.5928, u_2} D
F F' : Discrete WalkingPair ⥤ C
α : F ⟶ F'
⊢ IsPullback (F.map { down := { down := ⋯ } }) (α.app { as := WalkingPair.left }) (α.app { as := { as := WalkingPair.left }.as }) (F'.map { down := { down := ⋯ } })
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
this : IsFiniteMeasure ρ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
h'x : (μ.withDensity f).rnDeriv μ x = f x
a : Set α
ha : MeasurableSet a
⊢ ρ a / μ a = (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
f₁ : F → 𝕜
h : HasGradientWithinAt f f' s x
hs : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
hx : f₁ x = f x
⊢ HasGradientWithinAt f₁ f' s x
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
⊢ ⊥.IsMaximal ↔ I.IsMaximal
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
⊢ ∀ {X Y : HomologicalComplex V c} (f : X ⟶ Y) (i : ι), (HomologicalComplex.forget V c).map f i = f.f i
X Y : Type u
Monoid X
Monoid Y
e : X ≃* Y
⊢ e.toMonCatIso.inv = MonCat.ofHom e.symm.toMonoidHom
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
⊢ (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
⊢ Symmetric CategoryTheory.Zag
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
r : R
⊢ ∀ (a : ℕ) (b : M), (eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) ((single R a) b)) = f ((eval r) ((single R a) b))
α : Type u_1
x y : αᵃᵒᵖ
⊢ AddOpposite.unop x = AddOpposite.unop y ↔ x = y
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
⊢ Function.LeftInverse ⇑FreeAlgebra.algebraMapInv ⇑(algebraMap R (FreeAlgebra R X))
a b : Prop
Decidable a
Decidable b
⊢ a ∨ b ↔ ¬(¬a ∧ ¬b)
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
n : ℕ
⊢ 0 ≤ T_gen p F a ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
c : γ
f : C(α, β)
⊢ (ContinuousMap.const β c).comp f = ContinuousMap.const α c
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : CuspForm Γ k
⊢ f.toFun = ⇑f
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (φ.polyCharpoly b).natDegree = finrank R M
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ {w | w ∈ p.support}.Nonempty
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
x : Z
ex : x ∈ e.source
⊢ Prod.fst ∘ ↑e =ᶠ[𝓝 x] proj
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h₁ : ∀ y ∈ s, g' y = g y
hx : g' x = g x
⊢ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g' s x ↔ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g s x
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
𝒢 : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : MeasureTheory.Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), MeasureTheory.Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1)|↑𝒢 i] ≤ᵐ[μ] f i
⊢ MeasureTheory.Supermartingale f 𝒢 μ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R
⊢ (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))) (c₁ * ((0, 1).1 * (0, 1).1) + c₂ * ((0, 1).2 * (0, 1).2)) = (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))) c₂
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
p : ℕ
ExpChar M p
IsPRadical i p
IsReduced M
⊢ Function.Injective fun f => f.comp i
a b : ℚ
⊢ 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 ≤ a + b
c : ℝ
f : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1
⊢ Summable (Cardinal.cantorFunctionAux c f)
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
h : ∀ (c : Set α), IsChain r c → ∃ ub, ∀ a ∈ c, r a ub
trans : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → r a c
this✝ : ∃ ub, ∀ a ∈ maxChain r, r a ub
ub : α
hub : ∀ a ∈ maxChain r, r a ub
a : α
ha : r ub a
this : IsChain r (insert a (maxChain r))
⊢ a ∈ insert a (maxChain r)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : PushoutCocone f g
ht : IsColimit t
inst✝ : Epi f
W : C
h k : t.pt ⟶ W
i : t.inr ≫ h = t.inr ≫ k
⊢ t.inl ≫ h = t.inl ≫ k
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
⊢ (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.basis W) 0 = 1
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
e : X ≃ᵈ X
n : ℤ
⊢ Dilation.ratio (e ^ n) = Dilation.ratio e ^ n
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
⊢ (minpoly F x).natSepDegree = 1 ↔ ∃ n y, minpoly F x = (Polynomial.expand F (q ^ n)) (Polynomial.X - Polynomial.C y)
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ⊤
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ |⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)| ≤ 1
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ (a \ b) \ b = a \ b
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝¹ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (Set X)
hs : s.Finite
a✝ : Set X
s✝ : Set (Set X)
x✝¹ : a✝ ∉ s✝
x✝ : s✝.Finite
ih : (∀ t ∈ s✝, IsOpen t) → IsOpen (⋂₀ s✝)
h : ∀ t ∈ insert a✝ s✝, IsOpen t
⊢ IsOpen (⋂₀ insert a✝ s✝)
α : Type u_1
p q : α → Bool
a : α
l : List α
pa : p a = true
this : countP.go p (a :: l) 0 = countP.go p l 1
⊢ countP.go p (a :: l) 0 = countP.go p l 0 + 1
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
h : 1 ≤ 4 ^ P.parts.card
⊢ a + 1 ≤ 4 ^ P.parts.card
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
⊢ 0 < Multiset.card σ.cycleType ↔ σ ≠ 1
M : Type u_4
Monoid M
L : List M
h : L.prod ≠ 1
⊢ 0 < L.length
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
⊢ min (-a) (-b) = -max a b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (Set α)
⊢ ⋂₀ s = ⋂ i, ↑i
x y : ℕ
⊢ dist x y = |↑x - ↑y|
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
⊢ LieSubalgebra.lieSpan R L Set.univ = ⊤
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝³ : SemilatticeInf α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f✝ : β → α
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
f : F
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
g : ι → α
⊢ f (s.inf' hs g) = s.inf' hs (⇑f ∘ g)
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : {X : Type u} → (Cofix F α → X) → (β → X) → β → F (α ::: X)
x : β
h : ∀ (X Y : Type u) (f : Cofix F α → X) (f' : β → X) (k : X → Y), g (k ∘ f) (k ∘ f') x = (TypeVec.id ::: k) <$$> g f f' x
⊢ g (Sum.elim _root_.id (corec' fun x => g Sum.inl Sum.inr x) ∘ Sum.inl) (Sum.elim _root_.id (corec' fun x => g Sum.inl Sum.inr x) ∘ Sum.inr) x = g _root_.id (corec₁ g) x
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
h : Red (invRev L₁) (invRev L₂)
⊢ Red L₁ L₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ (f - g) ≫ h = f ≫ h - g ≫ h
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x✝ y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P
hy : y ≠ x
⊢ x ∈ inversion x R ⁻¹' sphere y (dist y x) ↔ x ∈ insert x ↑(perpBisector x (inversion x R y))
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ‖((let __src := liftEquiv 𝕜 E (⨂[𝕜] (i : ι), E' i); { toLinearEquiv := __src, norm_map' := ⋯ }) ((tprodL 𝕜).compContinuousLinearMap f)) x‖ ≤ (∏ i : ι, ‖f i‖) * ‖x‖
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ |re z / ‖z‖| ≤ 1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ ψ : W.LeftFraction₂ X Y
⊢ LeftFractionRel φ.fst ψ.fst ∧ LeftFractionRel φ.snd ψ.snd ↔ LeftFraction₂Rel φ ψ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀
h2s : s.card = index ↑K ↑K₀
t : Finset G
h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2t : t.card = index (↑K₀) V
⊢ index (↑K) V ≤ (t * s).card
X✝ : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
s : Set ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))
this : ∀ i ∈ s, (X.toRingedSpace.basicOpen i).carrierᶜ = ⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' (basicOpen i).carrierᶜ
⊢ ⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' zeroLocus s = ⋂ i ∈ s, ⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' (basicOpen i).carrierᶜ
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
s : Set X
⊢ ⇑h ⁻¹' (⇑h '' s) = s
M : Type u_1
Group M
c : Con M
n : ℤ
w x : M
⊢ c w x → c (w ^ n) (x ^ n)
A : Type u_1
Ring A
Algebra ℝ A
I' : { I' // I' * I' = -1 }
⊢ Complex.lift I' = Complex.liftAux ↑I' ⋯
ι : Type u_1
V : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V
c : ComplexShape ι
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c
i : ι
⊢ X.unop.X i = Opposite.unop (X.X i)
s : ℂ
hs' : s ≠ 1
⊢ DifferentiableAt ℂ riemannZeta s
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
U : X → Set X
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ (∀ x ∈ t, x ∈ s) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x (n + 1) r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball x r
⊢ ↑‖z - x‖₊ < r
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
s : S.obj (op α)
β : Type u
f : β ⟶ α
hf : discretePresieve α f
⊢ ((↾fun x => PUnit.unit) ≫ ↾fun x => f (Classical.choose hf)) = f
α : Type u
a : α
n : ℕ
AddMonoidWithOne α
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a n → a = n.rawCast
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f g : G → E
x : G
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hg : DifferentiableAt ℝ g x
y : G
⊢ (fderiv ℝ (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) x) y = ⟪f x, (fderiv ℝ g x) y⟫_𝕜 + ⟪(fderiv ℝ f x) y, g x⟫_𝕜
M : Type u
CommMonoid M
N : Type u
CommMonoid N
F : M →* N
⊢ (CategoryTheory.Discrete.braidedFunctor F).ε = CategoryTheory.Discrete.eqToHom ⋯
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
A B : T.Algebra
h : A.A ≅ B.A
w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp (T.map h.hom) B.a = CategoryTheory.CategoryStruct.comp A.a h.hom := by
  aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Monad.Algebra.isoMk h w).inv.f = h.inv
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : MapsTo f s s
⊢ SurjOn f s s ↔ BijOn f s s
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
s t : V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
Fintype ↑(G ⊔ SimpleGraph.edge s t).edgeSet
hn : ¬G.Adj s t
h : s ≠ t
⊢ (G ⊔ SimpleGraph.edge s t).edgeFinset = Finset.cons s(s, t) G.edgeFinset ⋯
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Cone F
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J
⊢ G.map f.hom ≫ ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := { app := fun j => G.map (A.π.app j), naturality := ⋯ } }) Y✝).π.app j = ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := { app := fun j => G.map (A.π.app j), naturality := ⋯ } }) X✝).π.app j
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : L.Substructure M
⊢ FirstOrder.Language.Substructure.inclusion ⋯ = FirstOrder.Language.Embedding.refl L ↥S
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
p : α → Prop
q : β → Prop
f : α → β
h : ∀ (x : α), p x → q (f x)
x : β
hx : q x
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ range (Subtype.map f h) ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' (f '' {x | p x})
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
⊢ Function.Injective fun f => ⇑f
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : OrderTopology α
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : (i : ι) → LinearOrder (π i)
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderTopology (π i)
a b x : (i : ι) → π i
a' b' x' : ι → α
inst✝ : Nonempty ι
ha : ∀ (i : ι), a i < x i
hb : ∀ (i : ι), x i < b i
⊢ Ioo a b ∈ 𝓝 x
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.IsReflexive R M
⊢ IsReflexive.toPerfectPairingDual.toLin = LinearMap.id
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
K : CategoryTheory.Functor J C
E : CategoryTheory.Functor C D
E.IsEquivalence
CategoryTheory.Limits.HasColimit (K.comp E)
⊢ CategoryTheory.Limits.HasColimit K
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
this : Finsupp.total ι A R x = (aeval x).toLinearMap ∘ₗ Finsupp.total ι (MvPolynomial ι R) R X
⊢ Injective ⇑((aeval x).toLinearMap ∘ₗ Finsupp.total ι (MvPolynomial ι R) R X)
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b : α
h : a < b
⊢ 𝓝ˢ (Set.Ioc a b) = 𝓝 b ⊔ 𝓟 (Set.Ioo a b)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq
⊢ map (g ∘ f) ⟨s, al⟩ = map g (map f ⟨s, al⟩)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
a✝ : α
ha✝ : a✝ ∈ A
a : α
ha : a ∈ s + replicate (n - m) a✝
⊢ a ∈ A
M : Type u_2
CommMonoid M
f : ℕ → M
k : ℕ
m n : ℕ
h : m ≤ n + 1
⊢ ∏ j ∈ Finset.Ico k m, f (n - j) = ∏ j ∈ Finset.Ico (n + 1 - m) (n + 1 - k), f j
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
c : R₁
x : M₁
⊢ e (c • x) = σ₁₂ c • e x
p n : ℕ
h : p ∈ n.primesBelow
⊢ p < n
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
⊢ Associates.factors' a = Associates.factors' b
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : EuclideanGeometry.Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
⊢ Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
z : ℂ
⊢ 0 ≤ z ↔ 0 ≤ z.re ∧ 0 = z.im
α : Type u_1
MeasurableSpace α
m : MeasureTheory.Measure (MeasureTheory.Measure α)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ m.join s = ∫⁻ (μ : MeasureTheory.Measure α), μ s ∂m
α : Type u_1
SDiff α
a b : Part α
hab : (a \ b).Dom
⊢ a.Dom
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
⊢ ∃ p, 0 < p ∧ HurwitzKernelBounds.F_nat 1 a =O[Filter.atTop] fun t => rexp (-p * t)
R : Type u_1
S₁ : Type u_3
S₂ : Type u_5
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
Semiring S₁
Semiring S₂
Module S₁ N₂
Module S₂ N₂
SMulCommClass S₁ R N₂
SMulCommClass S₂ R N₂
SMulCommClass S₂ S₁ N₂
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
B : (n → S₁) →ₗ[S₁] (m → S₂) →ₗ[S₂] N₂
i : n
j : m
⊢ (LinearMap.toMatrix₂' R) B i j =
  (B ((LinearMap.stdBasis S₁ (fun x => S₁) i) 1)) ((LinearMap.stdBasis S₂ (fun x => S₂) j) 1)
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
a : α
⊢ (s.truncatedSup a)ᶜ = sᶜˢ.truncatedInf aᶜ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
⊢ { toFun := ⇑γ ∘ σ, continuous_toFun := ⋯ }.toFun 0 = y
d n : ℕ
h : d < n
⊢ ∃ᶠ (m : ℕ) in atTop, m % n = d
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
M✝ : Type w'
inst✝² : L.Structure M✝
inst✝¹ : Nonempty M✝
inst✝ : M✝ ⊨ T
p : T.CompleteType α
M : ModelType ↑p
φ : L[[α]].Sentence
⊢ (φ ∈ T.typeOf fun a => ↑(L.con a)) ↔ φ ∈ p
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c✝ d : G
n : ℤ
a b c : G
⊢ a * c / c / b = a / b
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
x : Finset α
⊢ ∑ m ∈ range (x.card + 1), x.card.choose m • (-1) ^ m = if x = ∅ then 1 else 0
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r r' : X
s : ↥S
⊢ r /ₒ s + r' /ₒ s = (r + r') /ₒ s
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J D
H : C ⥤ D
⊢ H.map (CategoryTheory.Limits.limMap α) ≫ CategoryTheory.Limits.limit.post G H =
  CategoryTheory.Limits.limit.post F H ≫ CategoryTheory.Limits.limMap (CategoryTheory.whiskerRight α H)
α : Type u_1
l : List (Lists α)
⊢ (Lists'.ofList l).toList = l
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
PartialOrder α
Preorder β
a b : α
h : StrictAntiOn f (Set.Icc a b)
⊢ Set.MapsTo f (Set.Ico a b) (Set.Ioc (f b) (f a))
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
h : Red ((x, b) :: L) []
h₁ : Red ((x, !b) :: (x, b) :: L) [(x, !b)]
h₂ : Red ((x, !b) :: (x, b) :: L) L
⊢ Red L [(x, !b)]
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
f✝ g✝ : Arrow C
inst✝³ : HasImage f✝.hom
inst✝² : HasImage g✝.hom
sq✝ : f✝ ⟶ g✝
f g : Arrow C
inst✝¹ : HasImage f.hom
inst✝ : HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
map : image f.hom ⟶ image g.hom
map_ι : autoParam (map ≫ image.ι g.hom = image.ι f.hom ≫ sq.right) _auto✝
map' : image f.hom ⟶ image g.hom
map_ι' : map' ≫ image.ι g.hom = image.ι f.hom ≫ sq.right
⊢ map = map'
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ : B
f✝ g✝ : a✝ ⟶ b✝
η : f✝ ⟶ g✝
h : b✝ ⟶ c✝
⊢ F.map₂ (η ▷ h) = ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f✝ h).hom ≫ F.map₂ η ▷ F.map h ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) g✝ h).inv
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
f : Arrow C
inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
S : SplitEpi f.hom
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ WidePullback.lift (WidePullback.base fun x => f.hom) (fun i => if x : i = 0 then (WidePullback.base fun x => f.hom) ≫ S.section_ else WidePullback.π (fun x => f.hom) (i.pred x)) ⋯ ≫ WidePullback.π (fun x => f.hom) i.succ = WidePullback.π (fun x => f.hom) i
s : ℝ
⊢ Tendsto (Complex.ofReal' ∘ s.GammaSeq) atTop (𝓝 (Complex.Gamma ↑s))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
X Y : C
CategoryTheory.Simple X
CategoryTheory.Simple Y
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.IsIso f ↔ f ≠ 0
G : Type u_1
P : Type u_2
AddCommGroup G
AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ p₁ -ᵥ p₂ +ᵥ p₃ = p₃ -ᵥ p₂ +ᵥ p₁
G : Type u
Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
H : Subgroup G
hn : p ^ n ≤ Nat.card ↥H
⊢ ∃ H' ≤ H, Nat.card ↥H' = p ^ n
α : Type u_1
n : ℕ
Add α
a b : Fin n.succ → α
⊢ Matrix.vecTail (a + b) = Matrix.vecTail a + Matrix.vecTail b
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
x : M
⊢ x ∈ ⊤
α : Type u_1
DistribLattice α
BoundedOrder α
DecidableEq α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
ha : a ∉ upperClosure ↑s ⊔ upperClosure ↑t
⊢ (s ⊻ t).truncatedInf a = ⊥
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.2943, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.2947, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.2951, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
Y : D
g₁ g₂ : CostructuredArrow L Y
φ : g₁ ⟶ g₂
⊢ F.map φ.left ≫ E.hom.app g₂.left ≫ E.right.map g₂.hom = (E.hom.app g₁.left ≫ E.right.map g₁.hom) ≫ 𝟙 (E.right.obj Y)
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
q : Seminorm 𝕜 E
hq : Continuous ⇑q
V : Set E
hV : V ∈ p.basisSets
hε : id V ⊆ q.ball 0 1
⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ q ≤ C • s.sup p
α : Type u_1
Monoid α
a u : α
hu : IsUnit u
⊢ u ∣ a