ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i
b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))
hb : 0 < b
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
⊢ (a • α + ↑b • χ) x = 0
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
n : ℤ
y : ℝ := rexp (-π * τ.im)
h : y < 1
⊢ y ^ n ^ 2 ≤ rexp (-π * τ.im) ^ n.natAbs
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
CeilDiv α β
a : α
ha : a ≤ 0
b : β
⊢ b ⌈/⌉ a = 0
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
⊢ 𝓤 α ≤ Prod.swap <$> 𝓤 α
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
self : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
x y : α
⊢ (∀ (s : Set α), MeasurableSet s → x ∈ s → y ∈ s) → x = y
α : Type u
β : Type v
a✝ b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
a : α
h2 : IsUnit a
x : α
⊢ span {x * a} = span {x}
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in b..a, f x ∂μ = -∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ
x y : ℝ
a b : CauSeq ℚ abs
⊢ 0 < mk a → 0 < mk b → 0 < mk a * mk b
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
W : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory W
CategoryTheory.MonoidalCategory V
CategoryTheory.MonoidalCategory W
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor V W
G : MonCat
⊢ ∀ (a : Action V G), ((CategoryTheory.MonoidalFunctor.mapActionLax F G).obj a).V = F.obj a.V
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
x y : G
⊢ map (fun x_1 => x * x_1) (map (fun x => x * y) (𝓝 1 * 𝓝 1)) = map₂ (fun a b => x * (a * b * y)) (𝓝 1) (𝓝 1)
α : Type u_1
s t : Set α
⊢ s ⋖ t ↔ ∃ a ∈ t, t \ {a} = s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : a ≤ b * c
b0 : b = 0
⊢ a / b ≤ c
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f : 𝕜 → F
⊢ iteratedDerivWithin n (fun z => -f z) s x = -iteratedDerivWithin n f s x
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
δ✝ : Type u_5
inst✝⁶ : LE α✝
inst✝⁵ : LE β✝
inst✝⁴ : LE γ✝
α : Type ?u.63266
β : Type ?u.63269
γ : Type ?u.63272
δ : Type ?u.63275
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
f : α ≃o γ
g : β ≃o δ
p : γ →o δ
⊢ (⇑g ∘ ⇑g.symm) ∘ ⇑p ∘ ⇑f ∘ ⇑f.symm = ⇑p
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsEulerian
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
⊢ e ∈ p.edges
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i j : ℕ
h : i + j = n
⊢ (List.ofFn.go f i j h).length = i
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.147899, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁
⊢ S₃.g ≫ ψ.τ₃ ≫ h.h₃ = 0
α : Type u_1
n : Nat
a : α
l : List α
⊢ l <:+ List.leftpad n a l
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝ : LocallyCompactSpace (X × Y)
⊢ Continuous (Function.uncurry fun x y => x.curry y)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
⊢ m0 ≤ ⊤.caratheodory
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
⊢ ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊) ≤ ↑b.natDegree + log ε / log ↑(Fintype.card Fq)
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α✝
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α✝
α : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → Ioo x y ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≤ y → Icc x y ⊆ s
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V : Set (α × α)
h : V ∈ 𝓤 α
⊢ symmetrizeRel V ∈ 𝓤 α
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
f : ι → α
a : α
⊢ ⋃ i, Ioc a (f i) = Ioi a ↔ ∀ (x : α), a < x → ∃ i, x ≤ f i
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
t : CategoryTheory.Limits.ColimitCocone F
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j ≫ (CategoryTheory.Limits.colimit.isoColimitCocone t).hom = t.cocone.ι.app j
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hn : n ≠ 1
h0 : ¬n = 0
⊢ (-1) ^ (n % 2) * bernoulli' n = bernoulli' n
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
m : M
⊢ m ∈ N.normalizer ↔ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ ∈ N
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ T0Space X ↔ Pairwise fun x y => ∃ U, IsOpen U ∧ Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
e : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ IsLieAbelian L₁ ↔ IsLieAbelian L₂
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
⊢ 𝓝[≠] ∞ = map some (coclosedCompact X)
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0 \ Ioc 0 M
htM : M < t
obs : μ {a | M < f a} = 0
⊢ μ {a | t ≤ f a} = 0 ∨ μ {a | t ≤ f a} = ⊤
ι : Type u_1
I : WithBot (BoxIntegral.Box ι)
⊢ ⋃ J, ⋃ (_ : ↑J = I), ↑J = ↑I
ι : Type u_5
α : ι → Type u_6
Fintype ι
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → Inv (α i)
s : (i : ι) → Finset (α i)
⊢ (Fintype.piFinset fun i => (s i)⁻¹) = (Fintype.piFinset s)⁻¹
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm α
hd : c.Disjoint g'
hc : c.IsCycle
hng : c.support.card ∈ (c * g').cycleType
g'1 : g' ≠ 1
⊢ c.support.card + 2 ≤ Fintype.card α
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hs : IsCompact s
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ TendstoUniformlyOn F f p s
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
⊢ addRothNumber ∅ = 0
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
this : LocallyCompactSpace G
⊢ (haarContent K₀).outerMeasure (closure ↑K₀) ≠ ⊤
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ ModularGroup.fdo
hg : g • z ∈ ModularGroup.fdo
⊢ z = g • z
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f' : M →ₗ[R] M
h : Function.Bijective ⇑f'
n : ℕ
⊢ Function.Bijective ⇑(f' ^ n)
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
F : Filter X
⊢ (∀ ⦃s : Set X⦄, s ∈ 𝓝 x → ∀ ⦃s' : Set X⦄, s' ∈ F → (s ∩ s').Nonempty) ↔ ∀ s ∈ F, ∀ t ∈ 𝓝 x, (t ∩ s).Nonempty
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
c : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x : F
⊢ ⟪x, x⟫_𝕜 = 0 ↔ x = 0
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
U : Set X
inst✝ : (x : X) → Decidable (x ∈ U)
hU : IsClopen U
x✝ : X
⊢ x✝ ∉ U → False ↔ x✝ ∈ U
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 3 ≠ 0
⊢ W.Ψ₃ ≠ 0
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a b : R
η : Type u_9
inst✝ : Nonempty η
s : η → Set A
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (i : η), AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Set A
ht : t ⊆ ⋃ i, s i
ft : t.Finite
I : Set η
fi : I.Finite
hI : t ⊆ ⋃ i ∈ I, s i
i : η
hi : ∀ i_1 ∈ fi.toFinset, s i_1 ⊆ s i
⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
n : ℕ
h : n ≠ 0
⊢ map (Int.castRingHom ℤ) ⋯.choose = ⋯.choose
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r
hr'0 : 0 < r'
⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mα : MeasurableSpace α
f : γ → α
μ : MeasureTheory.Measure γ
hf : MeasurableEmbedding f
g : α → β
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g (MeasureTheory.Measure.map f μ) ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (g ∘ f) μ
α : Type u_1
β : Type u_3
E : Type u_6
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
NormedAddCommGroup E
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
f : α × β → E
hf : MeasureTheory.Integrable f (μ.prod ν)
⊢ MeasureTheory.Integrable (f ∘ Prod.swap) (ν.prod μ)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : f + g ≈ 0
⊢ f.norm = g.norm
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ
⊢ ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, (-f) i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, (-f) (i + 1) ω ∂μ
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (HomologicalComplex.eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C
i : ℤ
⊢ (CochainComplex.mappingConeHomOfDegreewiseSplitIso S σ).hom.f i =
  (CochainComplex.mappingConeHomOfDegreewiseSplitXIso S σ i (i + 1) ⋯).hom
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
H : ∀ (r : ↑s), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ M'
⊢ x ∈ M'
J : Type u
inst✝³ : Category.{w, u} J
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type v
inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
J' : Type (max w v u) := AsSmall J
down : J' ⥤ J := AsSmall.down
F' : J' ⥤ Type (max u v w) := down ⋙ F ⋙ uliftFunctor.{max u w, v}
this✝ : ∀ (i : J'), Nonempty (F'.obj i)
this : ∀ (i : J'), Finite (F'.obj i)
h✝ : IsEmpty J
⊢ F.sections.Nonempty
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
𝔸 : Type u_6
Fintype m
DecidableEq m
Field 𝕂
Ring 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
T2Space 𝔸
StarRing 𝔸
ContinuousStar 𝔸
A : Matrix m m 𝔸
⊢ NormedSpace.exp 𝕂 Aᴴ = (NormedSpace.exp 𝕂 A)ᴴ
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
F : Type u_5
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ MonoidHom.mrange f = ⊤
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → Preorder (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
a b : (i : ι) × α i
⊢ (Finset.Ioo a b).card = if h : a.fst = b.fst then (Finset.Ioo (h ▸ a.snd) b.snd).card else 0
x y : USize
⊢ (x / y).toNat = x.toNat / y.toNat
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
f' : α → ℝ := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
⊢ f =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R
n : PartENat
⊢ φ.order = n ↔ (∀ (i : ℕ), ↑i = n → (PowerSeries.coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < n → (PowerSeries.coeff R i) φ = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
N : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid N
Module R N
DecidableEq ι
p : ι → Prop
DecidablePred p
S : ι → Submodule R N
x : N
⊢ x ∈ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i ↔ ∃ f, ((DFinsupp.lsum ℕ) fun i => (S i).subtype) (DFinsupp.filter p f) = x
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : R1Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : LocallyIntegrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
n : ℕ
⊢ Integrable f (μ.restrict (closure (compactCovering β n)))
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : μ.restrict s = ν.restrict s
ht : μ.restrict t = ν.restrict t
u : Set α
hu : MeasurableSet u
US : Set α
hsub : u ∩ s ⊆ US
hm : MeasurableSet US
hμ : μ US = μ (u ∩ s)
hν : ν US = ν (u ∩ s)
⊢ μ (u ∩ s ∪ u ∩ t) = ν (u ∩ s ∪ u ∩ t)
R : Type u_1
Semiring R
r : R
f : R[X]
⊢ Polynomial.toLaurent (Polynomial.C r * f) = LaurentPolynomial.C r * Polynomial.toLaurent f
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
⊢ MeasureTheory.Memℒp (fun x => (f x).toReal) 1 μ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
x : B
⊢ (aeval x) (minpoly A pb.gen) = 0 ↔ (Equiv.refl B) x ∈ (minpoly A pb.gen).aroots B
α : Type u_1
p : α → Prop
a : α
l : Thunk (LazyList α)
⊢ (∀ (x : α), x ∈ cons a l → p x) ↔ p a ∧ ∀ (x : α), x ∈ l.get → p x
α : Type u
s : Set α
⊢ s.Nonempty → Nonempty α
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.support 0 = ∅
θ ψ : ℝ
⊢ ∃ k, toIocMod two_pi_pos ψ θ - θ = 2 * π * ↑k
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂
u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hu : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ y ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}, y - u ∈ U
⊢ u ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}
𝓕 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedGroup E
SeminormedGroup F
FunLike 𝓕 E F
MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ UniformContinuous ⇑f
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
u₁ u₂ : UniformSpace α
h : 𝓤 α = 𝓤 α
this : toTopologicalSpace = toTopologicalSpace
⊢ u₁ = u₂
α : Type u_1
t : Batteries.RBNode α
⊢ t.setBlack.setBlack = t.setBlack
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
hg : MellinConvergent g s
⊢ MellinConvergent (fun t => f t + g t) s
α : Type u_3
LinearOrderedField α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
f : ℕ → α
hf : Summable f⁻¹
hf' : ∀ (n : ℕ), 0 < f n
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atTop
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
⊢ dickson 1 1 (m * n) = (dickson 1 1 m).comp (dickson 1 1 n)
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
xpos : 0 < x
hx : x ≤ 1
ypos : 0 < y
hy : y < 1
n : ℕ
hn : y⁻¹ ^ n ≤ x⁻¹
h'n : x⁻¹ < y⁻¹ ^ (n + 1)
⊢ ∃ n, y ^ (n + 1) < x ∧ x ≤ y ^ n
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M
⊢ ∃ m, ∀ (r : R), r ≠ 0 → r • m ∉ N
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C✝ C' C'' C : VariableChange R
⊢ C.comp id = C
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G
h : ¬Disjoint (doset b ↑H ↑K) (doset a ↑H ↑K)
⊢ doset a ↑H ↑K = doset b ↑H ↑K
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
self : ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
a : α
⊢ MeasureTheory.IsProbabilityMeasure (κ a)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)
x : α
h_two : 2 = ↑2
⊢ ENNReal.ofReal (‖↑↑f x‖ ^ 2) = ↑(‖↑↑f x‖₊ ^ 2)
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
C : ℝ
C_pos : 0 < C
below_bound : ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ AntilipschitzWith C ⇑(continuousLinearMapOfBilin B)
α : Type u_2
β : Type u_3
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : FrameHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f
⊢ f.copy f' h = f
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ
hc0 : ¬c = 0
⊢ a * (b / c) * c ≤ a * b
α✝ : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace α'
inst✝³ : MeasurableSpace β✝
inst✝² : MeasurableSpace β'
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α✝
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ
inst✝ : NormedAddCommGroup E
α : Type u_7
β : Type u_8
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : IsCountablySpanning C
hD : IsCountablySpanning D
⊢ generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D) ≤ Prod.instMeasurableSpace
ι : Type u_4
κ : Type u_5
G : Type u_8
SeminormedAddGroup G
f : ι → κ → G
s : Set κ
l : Filter ι
⊢ UniformCauchySeqOn f l s ↔ TendstoUniformlyOn (fun n z => f n.1 z - f n.2 z) 0 (l ×ˢ l) s
⊢ ∀ {X Y : DistLat} (a : LatticeHom ↑X ↑Y), DistLat.dual.map a = LatticeHom.dual a
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
f : Fin n → α
⊢ Fin.snoc f a ∘ Fin.castSucc = f
X : UniformSpaceCat
x : (CategoryTheory.forget UniformSpaceCat).obj X
⊢ (CategoryTheory.forget UniformSpaceCat).map X.completionHom x = ↑((CategoryTheory.forget UniformSpaceCat).obj X) x
α : Type u_1
Zero α
Subsingleton α
a : α
⊢ a = 0
ι : Type u
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ q
⊢ ∑' (i : ι), f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
A B : Subalgebra R S
Module.Free R ↥A
Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
⊢ FiniteDimensional.finrank R ↥A ∣ FiniteDimensional.finrank R ↥(A ⊔ B)
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
⊢ (ComplexShape.down ℕ).next 0 = 0
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ
⊢ (fun x => rexp (-π * (T * ↑x ^ 2 - 2 * S * ↑x))) =O[atTop] fun x => rexp (-1 * ↑x)
α : Type u_2
OrderedCancelAddCommMonoid α
ExistsAddOfLE α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
a b c : α
⊢ Finset.image (fun x => x + c) (Finset.Ioc a b) = Finset.Ioc (a + c) (b + c)
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m✝ n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
n : ℕ
p q : R[X]
qn : q.natDegree ≤ n
h : (p + q).natDegree ≤ n
m : ℕ
hm : n < m
⊢ p.coeff m = (p + q).coeff m
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E'✝ : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'✝
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
inst✝¹ : Fintype ι
E' : ι → Type u_18
inst✝ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
f : α → (i : ι) → E' i
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
this : ∀ (x : α), 0 ≤ C * ‖g' x‖
⊢ IsBigOWith C l f g' ↔ ∀ (i : ι), IsBigOWith C l (fun x => f x i) g'
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x y z : S
⊢ (KaehlerDifferential.kerTotal R S).mkQ (Finsupp.single (x + y) z) =
  (KaehlerDifferential.kerTotal R S).mkQ (Finsupp.single x z) +
    (KaehlerDifferential.kerTotal R S).mkQ (Finsupp.single y z)
R : Type u
Ring R
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
⊢ (p.toSubring T hp).support = p.support
G : Type u_1
H : Type u_2
AddCommMonoid G
AddCommMonoid H
A : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanHom 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hA : IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂
⊢ IsCorner (Prod.map f f '' A) (f x₁) (f y₁) (f x₂) (f y₂)
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
LawfulMonad m
as : Array α
motive : Nat → β → Prop
init : β
h0 : motive 0 init
f : β → α → m β
hf : ∀ (i : Fin as.size) (b : β), motive (↑i) b → SatisfiesM (motive (↑i + 1)) (f b as[i])
⊢ SatisfiesM (motive as.size) (Array.foldlM f init as 0)
α : Type u
L : List (α × Bool)
⊢ FreeAddGroup.Red [] L ↔ L = []
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C × CategoryTheory.Discrete PUnit.{w + 1}
⊢ (CategoryTheory.prod.rightUnitor C).obj X = X.1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Z X Y : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g
h : CategoryTheory.Limits.IsColimit c
⊢ CategoryTheory.IsPushout f g c.inl c.inr
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
M' : Submodule R M
⊢ Module.rank R (M ⧸ M') + Module.rank R ↥M' ≤ Module.rank R M
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
⊢ Fintype.card { x // x ∈ m.toEnumFinset } = card m
a b : ℕ
⊢ (range a).Disjoint (map (fun x => a + x) (range b))
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
o₁ o₂ : Option α
p : o₁.toList ~ o₂.toList
⊢ o₁ = o₂
n : ℤ
z τ : ℂ
this : ‖(jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (0, 1)‖ ≤ ‖jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ‖
⊢ π * ↑|n| ^ 2 * ‖jacobiTheta₂_term n z τ‖ ≤ ‖jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ‖