ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝¹ : Category.{t, w} J
F : J ⥤ C
inst✝ : PreservesLimit F (forget C)
D : Cone F
hD : IsLimit D
E : Cone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCone D
hE : IsLimit E := isLimitOfPreserves (forget C) hD
G : Cone (F ⋙ forget C) := Types.limitCone (F ⋙ forget C)
hG : IsLimit (Types.limitCone (F ⋙ forget C)) := Types.limitConeIsLimit (F ⋙ forget C)
T : E.pt ≅ G.pt := hE.conePointUniqueUpToIso hG
h : Function.Injective T.hom
⊢ Function.Injective (T.hom ≫ fun x j => G.π.app j x)
σ : Type u_1
Fintype σ
DecidableEq σ
k : ℕ
t : Finset σ × σ
h : t ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k
⊢ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k
h : Summable ({p | Nat.Prime p}.indicator fun n => 1 / ↑n)
k : ℕ
hk : ∑' (x : ℕ), ({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator (fun n => 1 / ↑n) x < 1 / 2
h' : Summable (({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator fun n => 1 / ↑n)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : Function.support f ⊆ s
c : ℝ≥0∞
hc : c < essSup f μ
d : ℝ≥0∞
cd : c < d
hd : d < essSup f μ
t : Set α := {x | d < f x}
⊢ c < essSup f (μ.restrict s)
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
k : ℕ
x : (i : ι) → E₁ i
⊢ ‖f.iteratedFDeriv k x‖ ≤ ↑((Fintype.card ι).descFactorial k) * ‖f‖ * ‖x‖ ^ (Fintype.card ι - k)
b n : ℕ
hb : b ≤ 1
⊢ log b n ≤ log b (n + 1)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
f : α × β → γ
x : Filter α
y : Filter β
z : Filter γ
⊢ Tendsto f (x ×ˢ y) z ↔ ∀ W ∈ z, ∃ U ∈ x, ∃ V ∈ y, ∀ (x : α) (y : β), x ∈ U → y ∈ V → f (x, y) ∈ W
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ (∃ i, (IsClosed i ∧ IsCompact i) ∧ iᶜ ⊆ s) → IsCompact (closure sᶜ)
x : ℤ[i]
y : ℤ[i]
hy : y ≠ 0
⊢ (Zsqrtd.norm x).natAbs ≤ (Zsqrtd.norm (x * y)).natAbs
ι : Type u
β : ι → Type v
κ : Type u_1
(i : ι) → AddZeroClass (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
f g : Π₀ (i : ι), β i
⊢ DFinsupp.comapDomain h hh (f + g) = DFinsupp.comapDomain h hh f + DFinsupp.comapDomain h hh g
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a✝ a : ℕ
⊢ ↑((n / p ^ a).choose (k / p ^ a)) * ↑(∏ i ∈ range a, (n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) ≡ ↑((n / p ^ a.succ).choose (k / p ^ a.succ)) * ↑((n / p ^ a % p).choose (k / p ^ a % p)) * ↑(∏ x ∈ range a, (n / p ^ x % p).choose (k / p ^ x % p)) [ZMOD ↑p]
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
x : ↑X
V : TopologicalSpace.Opens ↑X
hV : x ∈ V
⊢ ((TopCat.Presheaf.pullback C f).obj F).germ ⟨x, hV⟩ ≫ TopCat.Presheaf.stalkPullbackInv C f F x =
  TopCat.Presheaf.germToPullbackStalk C f F V ⟨x, hV⟩
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
K : AddSubgroup G
f : G →+ N
⊢ (f.restrict K).ker = f.ker.addSubgroupOf K
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
E' : Type u_11
SeminormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
RingHomIsometric σ₁₂
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
g : E' →SL[σ₁₂] F
hg : Filter.Tendsto (fun n x => (f n) x) Filter.atTop (𝓝 ⇑g)
hf : CauchySeq f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 g)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : LinearOrder E
f : X → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h_union : {x | f x ≤ 0} = {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0}
⊢ ∫ (x : X) in {x | f x < 0}, f x ∂μ = ∫ (x : X) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ
f : CircleDeg1Lift
n : ℤ
⊢ f ↑n = f 0 + ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
this : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n - g) p μ = eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ
h_ae_forall_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), f n x = AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x
x : α
hx_tendsto : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hxf_eq : ∀ (n : ℕ), f n x = AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x
hxg_eq : g x = AEStronglyMeasurable.mk g ⋯ x
⊢ Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯ x))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
ha : a ≤ c
hb : b ≤ c
⊢ a ∉ Ι b c → b ∉ Ι a c → a = b
⊢ DifferentiableOn ℝ Real.negMulLog {0}ᶜ
α : Type u_1
LE α
NoTopOrder α
a : α
⊢ ¬IsTop a
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n✝ : ℕ
M : Fin n✝.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
g : (i : ι) → α i → M₁ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
this : (i : ι) → DecidableEq (α i) := fun i => Classical.decEq (α i)
n : ℕ
IH : ∀ m < n, ∀ (A : (i : ι) → Finset (α i)), ∑ i : ι, (A i).card = m → (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)
A : (i : ι) → Finset (α i)
h : ∑ i : ι, (A i).card = n
Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅
i₀ : ι
hi₀ : 1 < (A i₀).card
j₁ j₂ : α i₀
left✝ : j₁ ∈ A i₀
hj₂ : j₂ ∈ A i₀
right✝ : j₁ ≠ j₂
⊢ (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)
m : ℕ
hm : m ≠ 1
⊢ schnirelmannDensity {n | n ≡ 1 [MOD m]} = schnirelmannDensity {n | n % m = 1}
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieAlgebra.IsNilpotent R L
NoZeroSMulDivisors ℤ R
NoZeroSMulDivisors R M
IsNoetherian R M
α : L → R
β : LieModule.Weight R L M
⊢ LieModule.chainTop (-α) β = LieModule.chainBot α β
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
Algebra R S
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
B : Type v
CommRing B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
⊢ (W.baseChange B).Ψ₂Sq = Polynomial.map (↑f) (W.baseChange A).Ψ₂Sq
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
t : Finset β
⊢ ∅ • t = ∅
α : Type u_1
E : Type u_3
G : Type u_5
F' : Type u_7
Norm E
Norm G
SeminormedAddCommGroup F'
l : Filter α
f : α → E
g : α → F'
k : α → G
h₁ : f =Θ[l] g
h₂ : g =O[l] k
⊢ f =O[l] k
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ
⊢ ‖fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) x‖ = ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x‖
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ c.π.app j ≫ F.map f = c.π.app j'
α : Type u_1
LT α
a b : WithTop α
⊢ a < b ↔ ∃ p, a = ↑p ∧ ↑p < b
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hg : Memℒp g p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator ((fun x => g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
⊢ ((fun g => { toFun := g.comp, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }) 1) f = 1 f
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
⊢ MeasurableSpace.comap f inst✝ = inst✝¹
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : β → Option γ
l : List α
⊢ List.filterMap g (List.map f l) = List.filterMap (g ∘ f) l
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b c : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hac : IntervalIntegrable f μ a c
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in a..c, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in c..b, f x ∂μ
x : ℝ
⊢ Real.arccos x = π / 2 - Real.arcsin x
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝ : DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
⊢ s ∈ falling k 𝒜 ↔ (∃ t ∈ 𝒜, s ⊆ t) ∧ s.card = k
M₀ : Type u_4
MonoidWithZero M₀
l : List M₀
Nontrivial M₀
NoZeroDivisors M₀
hL : 0 ∉ l
⊢ l.prod ≠ 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_5
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (LinearMap.range f) G
CompleteSpace ↥G
hker : LinearMap.ker f = ⊥
⊢ LinearMap.range f = Submodule.map (↑↑(f.coprodSubtypeLEquivOfIsCompl h hker)) (⊤.prod ⊥)
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
⊢ (Pᵀ * J * P).IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) A₁ A₂ ↔ J.IsAdjointPair J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₂ * P⁻¹)
η : Type u_12
Ms : η → Type u_13
Ns : η → Type u_14
(j : η) → Mul (Ms j)
(j : η) → Mul (Ns j)
es : (j : η) → Ms j ≃* Ns j
x : (j : η) → Ms j
j : η
⊢ (MulEquiv.piCongrRight es) x j = (es j) (x j)
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : Module (ZMod p) K := let __src := (ZMod.castHom ⋯ K).toModule; Module.mk ⋯ ⋯
⊢ ∃ n, Nat.Prime p ∧ q = p ^ ↑n
c d : ℕ
x y : ℤ
⊢ Zsqrtd.Nonnegg c d x y = Zsqrtd.Nonnegg d c y x
α : Type u_1
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
Preorder α
OrderClosedTopology α
a : α
⊢ MeasurableSet (Set.Ici a)
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
⊢ ↑|discr K| < (2 * (π / 4) ^ NrComplexPlaces K * (↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K) ^ FiniteDimensional.finrank ℚ K / ↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K)!)) ^ 2
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val
h_multiset_map_sum : (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum * ↑↑a ^ k
hzero : ↑↑a ^ k - 1 = 0 ∨ (Multiset.map (fun i => ↑↑i ^ k) univ.val).sum = 0
⊢ (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = 0
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsAffine Y
ι : Type u_1
U : ι → ↑X.affineOpens
hU : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤
H : ∀ (i : ι), Q (Scheme.Hom.appLE f ⊤ ↑(U i) ⋯)
this : ∀ (i : (X.openCoverOfISupEqTop (fun i => ↑(U i)) hU).J), IsAffine ((X.openCoverOfISupEqTop (fun i => ↑(U i)) hU).obj i)
⊢ P f
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
TopologicalGroup G
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
⊢ μ.InnerRegularWRT (fun s => IsCompact s ∧ IsClosed s) fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M'✝
inst✝⁵ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : FiniteDimensional K V
ι : Type u_10
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι K V
i j : ι
this : FiniteDimensional K V
⊢ (B ((B.dualBasis hB b) i)) (b j) = if j = i then 1 else 0
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a * c⁻¹ = b
⊢ a = b * c
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A✝ A : ι → Submodule R M
i j : ι
hij : i ≠ j
h : Set.univ = {i, j}
hi : IsInternal A
⊢ iSup A = A i ⊔ A j
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥N
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
m : Fin 2 → ↥M := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hm : LinearIndependent R m
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥N) := Finsupp.instAddCommGroup
n : Fin 2 →₀ ↥N := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩
hn : b = 0 ∧ a = 0
⊢ False
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
⊢ IsLocalization.IsInteger R 1
α : Type u_1
OrderedRing α
LocallyFiniteOrder α
DecidableEq α
n : ℕ
⊢ Finset.box (n + 1) = Finset.Icc (-↑n.succ) ↑n.succ \ Finset.Icc (-↑n) ↑n
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R✝ : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X
hS : J.Covers S f
hR : J.Covers R f
⊢ J.Covers (S ⊓ R) f
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
d : σ →₀ ℕ
r : R
n : ℕ
hn : d.degree = n
⊢ ((MvPolynomial.monomial d) r).IsHomogeneous n
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
SetLike S R
One R
Zero ι
A : ι → S
self : SetLike.GradedOne A
⊢ 1 ∈ A 0
M : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid M
ExistsAddOfLE M
a b d : M
⊢ Set.BijOn (fun x => x + d) (Set.Icc a b) (Set.Icc (a + d) (b + d))
z τ : ℂ
n : ℤ
⊢ jacobiTheta₂_term n z (τ + 2) = jacobiTheta₂_term n z τ
α : Type u_1
TopologicalSpace α
𝕜 : Type u_5
TopologicalSpace 𝕜
Field 𝕜
TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
⊢ (↑s).SeparatesPointsStrongly
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
x : ℕ
⊢ bit a x % 2 = 0 ↔ (!a) = true
n : ℕ
⊢ orderOf (a 1) = 2 * n
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : TopologicalSpace R
inst✝¹⁰ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSemiring R
B : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : TopologicalSemiring B
f : A →A[R] B
hf' : DenseRange ⇑f
s : Subalgebra R A
hs : ↑s.topologicalClosure = ↑⊤
⊢ ↑(Subalgebra.map (↑f) s).topologicalClosure = ↑⊤
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
s : Finset α
hs : s ∈ (SzemerediRegularity.chunk hP G ε hU).parts
⊢ s.card ≤ Fintype.card α / SzemerediRegularity.stepBound P.parts.card + 1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : Set (Set α)
⊢ ⋯.filter = (FilterBasis.ofSets s).filter
x y : ℝ
h : x ^ 2 ≤ y
⊢ |x| ≤ √y
f✝ f g : ℝ → ℝ
hg : GrowsPolynomially g
hf : f =Θ[atTop] g
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_pos : 0 < b
hf_lb : ∃ c > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, c * ‖g x‖ ≤ ‖f x‖
hf_ub : ∃ c > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
r : ℕ → ℕ → Prop
n : ℕ
⊢ Cycle.Chain r ↑(List.range n.succ) ↔ r n 0 ∧ ∀ m < n, r m m.succ
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.IsIso f
⊢ AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (CategoryTheory.inv f) ⊤ = CategoryTheory.inv (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app f ⊤)
K : Type u_3
V : Type u_4
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
Fintype K
Fintype V
⊢ ∃ n, Fintype.card V = Fintype.card K ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
t : Set α
a b x : α
h : ∅.Subsingleton
⊢ maximals r ∅ = ∅
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
p_gt_two : 2 < p
⊢ p < Nat.psp_from_prime b p
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ∃ U ∈ 𝓝 x, U ∩ s = {x}
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
f : α ≃ β
g : ⇑f ⁻¹'o s ≃r s
this : IsWellOrder α (⇑f ⁻¹'o s)
⊢ ∃ a', lift.{v, u} a' = type s
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
⊢ [IsCoprime I J, IsCoprime I J, IsCoprime I J, IsCoprime I J, IsCoprime I J].TFAE
p : Nat.Primes
⊢ (PrimeMultiset.ofPrime p).toPNatMultiset = {↑p}
α : Type u_1
s t : Finset α
⊢ s ⊂ t ↔ s ⊆ t ∧ ¬t ⊆ s
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
AddCommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothAdd I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : ι → M → G
n : ℕ∞
p : ι → Prop
hc : ∀ (i : ι), p i → ContMDiff I' I n (f i)
hf : LocallyFinite fun i => Function.support (f i)
⊢ ContMDiff I' I n fun x => ∑ᶠ (i : ι) (_ : p i), f i x
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ 0 < z⁻¹ ↔ 0 < z
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
f : α →₀ M
⊢ f.support.card = 0 ↔ f = 0
α : Type u_7
β : Type u_8
SMul α β
a : α
b : β
⊢ Additive.ofMul a +ᵥ b = a • b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
H : ∀ a < o, succ a < o
a' : Ordinal.{v}
h : lift.{u, v} a' < lift.{u, v} o
⊢ succ a' < o
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
P : Type u_6
Q : Type u_7
NormedAddCommGroup V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedAddCommGroup W
MetricSpace Q
NormedAddTorsor W Q
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
q : Q
⊢ (ContinuousAffineMap.const R P q).contLinear = 0
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ CategoryTheory.Limits.pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ CategoryTheory.Limits.pullback f i
CategoryTheory.Limits.HasPullback i₁ i₂
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackDiagonalMapIso f i i₁ i₂).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.diagonal f)
        (CategoryTheory.Limits.pullback.map (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i)
          (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i) f f (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i)
          (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst f i) i ⋯ ⋯) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd (i₁ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i)
        (i₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd f i) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd i₁ i₂
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
z : M ⧸ torsion R M
x : M
x✝ : Quotient.mk'' x ∈ torsion R (M ⧸ torsion R M)
a b : ↥R⁰
h : b • a • x = 0
⊢ x ∈ torsion R M
m : Type u_1 → Type u_2
σ : Type u_1
Monad m
s : σ
⊢ get.run s = pure (s, s)
R : Type u_1
CommSemiring R
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
f : (n → R) →ₗ[R] n → R
i j : n
⊢ LinearMap.toMatrixAlgEquiv' f i j = f (fun j' => if j' = j then 1 else 0) i
α : Type u_1
MeasurableSpace α
p : PMF α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ p.toMeasure s = 0 ↔ Disjoint p.support s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
hs : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
h₀ : gauge s x = 0
hne : x ≠ 0
this : {x}ᶜ ∈ comap (gauge s) (𝓝 0)
⊢ False
w : Nat
x : BitVec w
i : Nat
⊢ x * BitVec.twoPow w i = x <<< i
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
⊢ (b - a) * ∫ (x : Ω), ↑(upcrossingsBefore 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N x) ∂μ = (b - a) * ∫ (x : Ω), ↑(upcrossingsBefore 0 (b - a) (f - fun x x => a)⁺ N x) ∂μ
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
θ : Real.Angle
⊢ (o.rotation θ) x = x ↔ x = 0 ∨ θ = 0
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
a : α
a_in_s : a ∈ s
b : α
b_in_orbit : b ∈ orbit (↥(fixingSubgroup M sᶜ)) a
g : M
g_fixing : g ∈ fixingSubgroup M sᶜ
g_eq : ⟨g, g_fixing⟩ • a = b
⊢ b ∈ s
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
hfg : ConvolutionExists f g L μ
hfg' : ConvolutionExists f' g L μ
x : G
⊢ ((f + f') ⋆[L, μ] g) x = (f ⋆[L, μ] g + f' ⋆[L, μ] g) x
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
⊢ Indep (⨆ a, ⨆ n ∈ ns a, s n) (limsup s f) κ μα
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ lineDeriv 𝕜 f x (c • v) = c • lineDeriv 𝕜 f x v
G : Type u
AddMonoid G
h : AddMonoid.ExponentExists G
g : G
⊢ IsOfFinAddOrder g
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : CommRing α
n k : ℕ
hnk : n < k
⊢ ∏ i ∈ range k, (↑n - ↑i) = ∏ i ∈ range k, ↑(n - i)
R : Type u_1
n : ℕ
t : (2 * n + 1).choose n ≤ ∑ i ∈ range (n + 1), (2 * n + 1).choose i
⊢ (2 * n + 1).choose n ≤ 4 ^ n
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
𝕜 : Type u_5
NormedRing 𝕜
Module 𝕜 β
BoundedSMul 𝕜 β
f : α → β
φ : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hφ : MeasureTheory.Memℒp φ ⊤ μ
⊢ MeasureTheory.Integrable (φ • f) μ
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : (i : o) → Fintype (n' i)
inst✝ : Fintype o
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
N : (i : o) → Matrix (n' i) (p' i) α
k : o
i : m' k
k' : o
j : p' k'
⊢ blockDiagonal' (fun k => M k * N k) ⟨k, i⟩ ⟨k', j⟩ = (blockDiagonal' M * blockDiagonal' N) ⟨k, i⟩ ⟨k', j⟩