ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
p✝ p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hne : padicNorm p q ≠ padicNorm p r
hlt : padicNorm p r < padicNorm p q
this✝ : padicNorm p q ≤ max (padicNorm p (q + r)) (padicNorm p r)
hnge : padicNorm p r ≤ padicNorm p (q + r)
this : padicNorm p q ≤ padicNorm p (q + r)
⊢ padicNorm p (q + r) = max (padicNorm p q) (padicNorm p r)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
r : R
f : R[M]
ih : ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => of' R M ↑s) a = f
⊢ ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => of' R M ↑s) a = r • f
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Add M
ContinuousAdd M
⊢ Continuous fun p => p.1 + p.2
ι : Type u
X : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
C : Set ((i : ι) → X i)
J K : ι → Prop
x : ↑(obj C J)
⊢ ∃ a, (π_app C J) a = x
r : ℝ≥0
⊢ 1 < ↑r ↔ 1 < r
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C : ℝ
x : X
⊢ BddBelow (Set.range fun y => f (Sum.inl x, Sum.inr y) + C)
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
⊢ ENNReal.ofReal p < ENNReal.ofReal q ↔ p < q
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
t : CategoryTheory.Limits.Trident f
ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
Z Z' : C
q : Z' ⟶ Z
k : Z ⟶ t.pt
⊢ ↑((CategoryTheory.Limits.Trident.IsLimit.homIso ht Z') (CategoryTheory.CategoryStruct.comp q k)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp q ↑((CategoryTheory.Limits.Trident.IsLimit.homIso ht Z) k)
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
⊢ f ⁻¹ᵁ U ≤ f ⁻¹ᵁ (Scheme.Hom.opensRange f ⊓ U)
m : ℕ
⊢ Function.Injective (ack m)
α : Type u_1
DecidableEq α
CommMonoid α
s t : Finset α
⊢ s.mulEnergy t = t.mulEnergy s
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
P : K[X]
hmo : P.Monic
hP : Splits (RingHom.id K) P
⊢ P.nextCoeff = -P.roots.sum
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s : Finset E
⊢ (convexHull R) ↑s = {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x}
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
j : J
⊢ s.ι.app j ≫ (P.coconePointUniqueUpToIso Q).hom = t.ι.app j
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
as₀ as₁ : Multiset α
bs : Multiset β
⊢ Multiset.Rel r (as₀ + as₁) bs ↔ ∃ bs₀ bs₁, Multiset.Rel r as₀ bs₀ ∧ Multiset.Rel r as₁ bs₁ ∧ bs = bs₀ + bs₁
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
hf : (Function.support f).Finite
⊢ ∑' (b : β), f b = ∑ᶠ (b : β), f b
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I✝ J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
I : Ideal S
h : I = ⊤
⊢ comap f I = ⊤
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
v : ι → M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i : ι
⊢ e.det v • (Basis.mk hli hsp).coord i = (↑e.det).toLinearMap v i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq₁ sq₂ : CategoryTheory.Square C
h : sq₁.IsPushout
e : sq₁ ≅ sq₂
⊢ sq₂.IsPushout
⊢ #Cardinal.{u} = Cardinal.univ.{u, u + 1}
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ ≤ π / 2
α : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Set α
⊢ WellFounded r → s.WellFoundedOn r
α : Type u
l₁ l₂ l : List α
l₁subl : l₁ ⊆ l
l₂subl : l₂ ⊆ l
⊢ l₁ ++ l₂ ⊆ l
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
ι : Type ui
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : AddCommMonoid G
s✝ : Finset ι
a✝ : ι → G
b : ι → k
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : ∏ i ∈ s, single (a✝ i) (b i) = single (∑ i ∈ s, a✝ i) (∏ i ∈ s, b i)
⊢ ∏ i ∈ Finset.cons a s has, single (a✝ i) (b i) = single (∑ i ∈ Finset.cons a s has, a✝ i) (∏ i ∈ Finset.cons a s has, b i)
z : ℤ
r : ℚ
⊢ z ≤ r.floor ↔ ↑z ≤ r
G : Type u_1
Group G
Group.IsNilpotent G
⊢ Group.nilpotencyClass G = 0 ↔ Subsingleton G
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
Nontrivial R
⊢ W.polynomial ≠ 0
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
⊢ Function.Injective BialgEquiv.toBialgHom
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u_1} n
a : P.A
f : P.last.B a → P.last.W
h : TypeVec.Arrow (P.WPath (WType.mk a f)) α
⊢ P.wPathCasesOn (P.wPathDestLeft h) (P.wPathDestRight h) = h
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : BorelSpace α✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : MeasurableSpace δ
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
p : Prop
f : δ → α
hf : Measurable f
⊢ Measurable fun b => ⨅ (_ : p), f b
α : Type u_1
s : Set α
LE α
OrderTop α
h : IsMaxChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ ⊤ ∈ s
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ C
⊢ CategoryTheory.Limits.lim.obj F = CategoryTheory.Limits.limit F
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
Fintype ι
c : ι → R
m : (i : ι) → M₁ i
⊢ (f fun i => c i • m i) = (∏ i : ι, c i) • f m
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : ℕ → ℕ
h1 : Monotone f
B : ℕ
h2 : ∀ (n : ℕ), f n ≤ B
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = f (n + 1) → f (n + 1) = f (n + 2)
n : ℕ
hn1 : n ≤ B
hn2 : f n = f (n + 1)
key : ∀ (k : ℕ), n ≤ k → f k = f n
⊢ ∀ (k : ℕ), B ≤ k → f k = f B
α : Type u
AddMonoid α
⊢ Function.Injective AddUnits.val
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
Group β
f : α → β
⊢ Continuous f
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hq : q.Monic
⊢ q ∣ p * q
R : Type u_1
MulZeroClass R
nR : Nontrivial R
⊢ ¬IsRightRegular 0
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
⊢ {a}.erase a = ∅
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
⊢ EMetric.hausdorffEdist s t = EMetric.hausdorffEdist t s
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
⊢ Dense {x}ᶜ ↔ ¬IsOpen {x}
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Ring R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
s : Set M₂
h₀ : s.Nonempty
h₁ : s ⊆ ↑(range f)
hk : span R (⇑f ⁻¹' s) = span R (⇑f ⁻¹' s) ⊔ ker f
⊢ comap f (span R₂ s) ≤ span R (⇑f ⁻¹' s)
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
i j : ι
h : c.Rel i j
⊢ c.Rel i (c.next i)
α : Type u
inst✝ : CommRing α
x y : α
n : ℕ
h : Odd n
⊢ x + y ∣ x ^ n + y ^ n
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
⊢ Dense ↑S
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
A : Type u_3
CommRing A
Algebra R A
Algebra A S
IsScalarTower R A S
IsIntegralClosure A R S
I : Ideal A
I.IsPrime
hI : (Ideal.comap (algebraMap R A) I).IsMaximal
⊢ I.IsMaximal
E : Type u_5
SeminormedAddCommGroup E
R : Type u_12
Ring R
Module R E
p : Submodule R E
hp : p = ⊤
⊢ (LinearIsometryEquiv.ofTop E p hp).toLinearEquiv = LinearEquiv.ofTop p hp
J : Type u_1
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.ChosenFiniteProducts C
F : CategoryTheory.Functor J C
j : J
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor F).hom.app j = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (F.obj j)).hom
D : GlueData
⊢ Sieve.generate (Presieve.ofArrows D.openCover.obj D.openCover.map) ≤ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.sieve₀
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (t₀ / a)
n : Nat
⊢ Fin.castSucc 0 = 0
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
f : R[X]
h : IsAdjoinRoot S f
x : S
⊢ (IsAdjoinRoot.lift (algebraMap R S) h.root ⋯ h) x = x
α : Type u_1
N : Type u_2
Zero N
LinearOrder α
PartialOrder N
a b : Lex (α →₀ N)
i : α
⊢ (∀ j < i, (ofLex a) j = (ofLex b) j) → (ofLex a) i < (ofLex b) i → a < b
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(p i)) → Decidable (x ≠ 0)
x : N
⊢ x ∈ iSup p ↔ ∃ f, (f.sum fun i xi => ↑xi) = x
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
i : ι
⊢ ∀ {x y : Set α}, x ∈ ⋃ i, (f i).sets → y ∈ ⋃ i, (f i).sets → x ∩ y ∈ ⋃ i, (f i).sets
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
⊢ UniformGroup G
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
n : ℕ
m : α
⊢ ↑n m = n • m
n : ℕ
⊢ Even n ↔ ¬Odd n
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
M : Type u_6
Fintype α₁
Fintype α₂
CommMonoid M
f : α₁ ⊕ α₂ → M
⊢ ∏ x : α₁ ⊕ α₂, f x = (∏ a₁ : α₁, f (Sum.inl a₁)) * ∏ a₂ : α₂, f (Sum.inr a₂)
q : ℚ
⊢ { cauchy := ↑q } = ↑q
R : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne R
r : R
n p✝ p : ℕ
inst✝ : CharP R p
k : ℕ
h : NeZero ↑k
⊢ ¬p ∣ k
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
F : Type u_2
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace ℝ F
IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →L[ℝ] ℝ
x : F
⊢ ‖(↑fr).extendTo𝕜' x‖ ≤ ‖fr‖ * ‖x‖
α : Type u
a b c : Set α
⊢ a ∪ b ∪ c = a ∪ (b ∪ c)
i j : ℕ
⊢ (i + j).choose j = (i + j)! / (i ! * j !)
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
⊢ IsLeast s (sInf s)
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
f : R ≃+* S
K : NonUnitalSubring R
⊢ NonUnitalSubring.map (↑f) K = NonUnitalSubring.comap f.symm K
a b : Ordinal.{u_4}
⊢ a.pred ≤ b ↔ a ≤ Order.succ b
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
f : AddHom M N
g : N → M
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ ∀ (a : N), (f.inverse g h₁ h₂) a = g a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
n : ℕ
x✝ : (f ^ n).SameCycle x y
m : ℤ
h : ((f ^ n) ^ m) x = y
⊢ (f ^ (↑n * m)) x = y
α : Type u_1
PseudoEMetricSpace α
⊢ ⇑(Dilation.id α) = id
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α
hA : A.Nonempty
hAB : A ⊆ B
h : ∀ A' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(A + C).card / ↑A.card ≤ ↑(A' + C).card / ↑A'.card
A' : Finset α
⊢ A' ⊆ A → (A + C).card * A'.card ≤ (A' + C).card * A.card
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h_left : IntegrableOn f (Iic b) μ
h_right : IntegrableOn f (Ioi b) μ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ioi b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ), f x ∂μ
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
ι : Sort u_1
ι' : Sort u_2
p : ι → Prop
p' : ι' → Prop
s : ι → Set (α × α)
s' : ι' → Set (β × β)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
h' : (𝓤 β).HasBasis p' s'
f : α → β
⊢ UniformEmbedding f ↔
  Function.Injective f ∧
    (∀ (i : ι'), p' i → ∃ j, p j ∧ ∀ (x y : α), (x, y) ∈ s j → (f x, f y) ∈ s' i) ∧
      ∀ (j : ι), p j → ∃ i, p' i ∧ ∀ (x y : α), (f x, f y) ∈ s' i → (x, y) ∈ s j
R : Type u_1
CommSemiring R
x : R
⊢ star x = x
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ≤ a ⇨ b ↔ a ≤ b
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => b ≤ x
⊢ filter (fun x => b ≤ x) (Ico a b) = ∅
X : Type u_7
Y : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
self : PartialHomeomorph X Y
⊢ IsOpen self.target
X : Type u_1
TopologicalSpace X
⊢ DenseRange id
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H K : Subgroup N
hH : H ≤ f.range
hK : K ≤ f.range
⊢ map f (comap f H ⊔ comap f K) = map f (comap f (H ⊔ K))
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
Fintype α
s : Finset α
⊢ s ⊆ s.addSpan
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
f : α → β
s : Set β
⊢ MeasurableSet s ↔ MeasurableSet (f ⁻¹' s)
ι : Type u_1
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
s : Finset ι
a : ι → ℤ
hs : s.card = 2 * p - 1
⊢ ∃ t ⊆ s, t.card = p ∧ ↑p ∣ ∑ i ∈ t, a i
a b : ℤ
r : ℤ
hr : 0 < r
⊢ Finset.filter (fun x => r ∣ x) (Finset.Ioc a b) =
  Finset.map { toFun := fun x => x * r, inj' := ⋯ } (Finset.Ioc ⌊↑a / ↑r⌋ ⌊↑b / ↑r⌋)
M : Type u_2
Mul M
e : MulAut M
m : M
⊢ e (e⁻¹ m) = m
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
this : Nonempty α
cs : Function.invFunOn (variationOnFromTo f s a) s (variationOnFromTo f s a b) ∈ s
hc : variationOnFromTo f s a (Function.invFunOn (variationOnFromTo f s a) s (variationOnFromTo f s a b)) = variationOnFromTo f s a b
⊢ edist ((f ∘ Function.invFunOn (variationOnFromTo f s a) s) (variationOnFromTo f s a b)) (f b) = 0
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
NormedAddCommGroup E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
s : Set X
hf : MeasureTheory.LocallyIntegrableOn f s μ
⊢ MeasureTheory.LocallyIntegrableOn (fun x => ‖f x‖) s μ
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedRing 𝔹
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasSum (fun n => (expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) (exp 𝕂 x)
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
h : ∞ ∈ s
this : ∞ ∉ sᶜ
⊢ IsClosed s ↔ IsClosed (some ⁻¹' s)
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : MeasureTheory.Measure α
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂(μ + ν) = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), f a ∂ν
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R
⊢ Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p2 𝒰 f g = Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.snd
G : Type u_2
Group G
g : G
S : Submonoid G
⊢ g ∈ S⁻¹ ↔ g⁻¹ ∈ S
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hlt : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
⊢ ∀ (x_1 : ℕ), (C < ↑x_1 ^ (p - q) ∧ 1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < ↑x_1 ^ (-q)
A : Type u_1
AddCancelCommMonoid A
Finset.HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ Finset.antidiagonal n
hq : q ∈ Finset.antidiagonal n
⊢ p = q ↔ p.2 = q.2
α : Type u_1
Preorder α
a b : Antisymmetrization α fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ ofAntisymmetrization (fun x x_1 => x ≤ x_1) a < ofAntisymmetrization (fun x x_1 => x ≤ x_1) b ↔ a < b
⊢ Nat.Partrec fun n => ↑n.ppred
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h : ∀ ⦃c : α⦄, a₁ < c → ¬c < a₂
c : α × β
h₁ : (a₁, b) < c
h₂ : c < (a₂, b)
⊢ False
ι : Type u
f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}
a : Ordinal.{max u u_1}
h : ∀ (i : ι), f i a = a
l : List ι
⊢ List.foldr f a l ≤ a
R : Type u_1
AddCommMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
r₁ r₂ : R
s₁ s₂ : ↥S
⊢ r₁ -ₒ s₁ + (r₂ -ₒ s₂) = r₁ + r₂ -ₒ (s₁ + s₂)
m : Type u_2
α : Type v
ι : Type u_6
Add α
v w : m → α
⊢ Matrix.col ι (v + w) = Matrix.col ι v + Matrix.col ι w
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s
e_1✝¹ : MeasurableSpace α = MeasurableSpace αᵒᵈ
e_1✝ : α = αᵒᵈ
⊢ {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ioc l u = S} = {S | ∃ l ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s, ∃ u ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s, l < u ∧ Ico l u = S}
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
x : R
⊢ f x ∈ f.range
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
f : F
s : Multiset α
⊢ f s.sum = (Multiset.map (⇑f) s).sum
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
f : ι → α
a : α
h : ∀ (i : ι), a ≤ f i
⊢ a ≤ iInf f
n p a k : ℕ
hp : Prime (a ^ k)
h : a ^ k = p
⊢ a = p ∧ k = 1
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
n : ℕ
u : Rˣ
hx : ϖ ^ n * ↑u ≠ 0
hn : Associated (ϖ ^ n * ↑u) (ϖ ^ n)
⊢ ϖ ^ n * ↑u = ↑u * ϖ ^ n
R : Type u_1
Ring R
TopologicalSpace R
ContinuousMul R
u : Rˣ
x : R
⊢ ((ContinuousLinearEquiv.unitsEquivAut R) u) x = x * ↑u
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction Y Z
hβ : g = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.f ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f
⊢ f₁ ≫ g = (LeftFraction₂.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f' ≫ γ.f) (β.s ≫ γ.s) ⋯).fst.map L ⋯
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
n✝ : ℕ
f : Fin (n✝ + 1) → α
a : α
n : ℕ
x : { x // x ≠ last n }
⊢ (finSuccAboveOrderIso (last n)).symm x = (↑x).castLT ⋯
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
I : Finset ι
hI : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (support fun i => (ρ i) x) ⊆ ↑I
x : X
hx : (support fun i => (ρ i) x) ⊆ ↑I
x_in : x ∈ s
this : ∑ᶠ (i : ι), (ρ i) x = ∑ i ∈ I, (ρ i) x
⊢ ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
DecidableRel Disjoint
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a : α
DecidableEq α
ha : a ∈ UV.compression u v s
hva : v ≤ a
hvu : v = ⊥ → u = ⊥
⊢ a ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hμν : ν ≪ μ
⊢ essSup f ν ≤ essSup f μ
R : Type u
Ring R
V W : Type u
AddCommGroup V
Module R V
Module.Finite R V
AddCommGroup W
Module R W
Module.Finite R W
e : V ≃ₗ[R] W
⊢ e.toFGModuleCatIso.inv = ↑e.symm
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} A'
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} B
CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} B'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
X : B
⊢ AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.τ₀.hom.app X = e'.counitIso.hom.app (eB.functor.obj X)
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
OrderBot α
IsAtomic α
OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
b : β
⊢ IsAtom (u b) ↔ IsAtom b
α : Type u_1
s : Cycle α
h : s.Subsingleton
x : α
_hx : x ∈ s
y : α
_hy : y ∈ s
⊢ x = y
α β : Type u
n : ℕ
⊢ Nonempty (Fin n.succ ↪ ℕ)
n : ℕ
a b : Fin n
⊢ (Iic b).card = ↑b + 1
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
⊢ Filter.Tendsto (fun g => (ModularGroup.lcRow0 cd) ↑((Matrix.SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g))
  Filter.cofinite (Filter.cocompact ℝ)
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R
⊢ basicOpen f ⊓ basicOpen g ≤ basicOpen g
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
t : CategoryTheory.Limits.Cotrident f
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
Z : C
k : t.pt ⟶ Z
⊢ ↑((CategoryTheory.Limits.Cotrident.IsColimit.homIso ht Z) k) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp t.π k
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
⊢ (Monoid.CoprodI.lift fun i => Monoid.CoprodI.of) = MonoidHom.id (Monoid.CoprodI M)
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a b : α
NoMaxOrder α
⊢ Order.succ a < Order.succ b ↔ a < b
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k : ℕ
hk : -g ≤ k • a
⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
⊢ LeftInverse ⇑trunc ⇑toLaurent
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset β
f : β → α
a : α
⊢ (a ∈ s.sup fun b => {f b}) ↔ a ∈ image f s
α : Type u_1
β : Type u_2
self : Buckets α β
i : USize
d d' : AssocList α β
h : i.toNat < self.val.size
h' : i.toNat < (self.update i d h).val.size
⊢ ⟨(self.val.set ⟨i.toNat, h⟩ d).set ⟨i.toNat, h'⟩ d', ⋯⟩ = ⟨self.val.set ⟨i.toNat, h⟩ d', ⋯⟩
α : Type u_1
n : ℕ
Sub α
a b : Fin n.succ → α
⊢ Matrix.vecTail (a - b) = Matrix.vecTail a - Matrix.vecTail b
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
s : Set Y
⊢ IsClosed (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsClosed s
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q✝ : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
hb : 0 ≤ b
q : ℚ
hq : 0 < q
hbq : b < ↑(q ^ 2)
hqa : ↑q * ↑q < inducedMap α β a * inducedMap α β a
q' : ℚ
hq' : ↑q < ↑q'
hqa' : ↑q' < a
⊢ ↑q * ↑q < a * a
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
ν : ProbabilityMeasure Ω
⊢ ν univ ≠ 0
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
⊢ (A.map fun a => ((Algebra.lmul ℕ R).toLinearMap a) 1).det ^ Fintype.card n * (B.map fun b => ((Algebra.lmul ℕ R).toLinearMap 1) b).det ^ Fintype.card m = A.det ^ Fintype.card n * B.det ^ Fintype.card m
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
f : R →*₀ Γ₀
h : ∀ (x y : R), (↑f).toFun (x + y) ≤ max ((↑f).toFun x) ((↑f).toFun y)
⊢ ⇑{ toMonoidWithZeroHom := f, map_add_le_max' := h } = ⇑f
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a b : G
n : ℤ
⊢ a * b ^ n * b = a * b ^ (n + 1)
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f g : PiLp ⊤ β
⊢ edist f g = edist g f