ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : Type u_3
(x : α) → OmegaCompletePartialOrder (β x)
OmegaCompletePartialOrder γ
f : (x : α) → γ → β x
a : α
hf : OmegaCompletePartialOrder.Continuous' fun x y => f y x
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous' (f a)
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.98653, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.99132, u_2} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
X : C
s : ↑(F ⋙ yoneda.obj X).sections
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ (↑s j').op = (↑s j).op ≫ F.map f
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
h : b < c
ha : a ≤ 1
hb : 0 ≤ b
⊢ b * a < c
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : Algebra R A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R B
inst✝⁷ : Semiring C
inst✝⁶ : Algebra R C
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S C
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S C
f g : A ⊗[R] B →ₐ[S] C
ha : f.comp includeLeft = g.comp includeLeft
hb : (AlgHom.restrictScalars R f).comp includeRight = (AlgHom.restrictScalars R g).comp includeRight
a : A
b : B
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry f.toLinearMap) a) b = ((AlgebraTensorModule.curry g.toLinearMap) a) b
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
x dx y dy : α
h : dy < dx
hx : 0 < dx
h' : y ≤ x
⊢ Nonempty ↑(Ico x (x + dx) \ Ico y (y + dy))
ι : Sort u_1
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : ι → Subsemiring R
⊢ (iInf S).op = ⨅ i, (S i).op
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
a p : Polynomial R
hp : p.Monic
hap : a ∣ p
⊢ IsUnit a.leadingCoeff
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
x y : X
⊢ {x}ᶜ ∈ 𝓝 y ↔ y ≠ x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ
g : α → β
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
⊢ eLpNorm (fun x => f x • g x) 1 μ < ⊤
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP' : P'.IsPrime
⊢ P'.jacobson ≤ P'
A : Type u_1
Field A
B : Type u_3
CommRing B
Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
a : A
⊢ minpoly A (x + (algebraMap A B) a) = (minpoly A x).comp (Polynomial.X - Polynomial.C a)
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
⊢ ∀ {a b : V}, (turanGraph (Fintype.card V) r).Adj (((Equiv.subtypeUnivEquiv ⋯).symm.trans zm) a) (((Equiv.subtypeUnivEquiv ⋯).symm.trans zm) b) ↔ G.Adj a b
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Mul α
s t u : Set α
a : α
⊢ op '' s • t = t * s
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
r : ℝ
R : ℝ≥0
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, MeasureTheory.stoppedValue f (MeasureTheory.leastGE f r i) ω ≤ r + ↑R
G : Type u_3
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ AddGroup.FG ↥H ↔ H.FG
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
⊢ a + b ≤ ↑⌈a⌉₊ + ↑⌈b⌉₊
G : Type u_1
H : Type u_2
AddGroup G
AddGroup H
f : G → H
hf : IsAddGroupHom f
a b : G
⊢ f a = f b ↔ -a + b ∈ IsAddGroupHom.ker f
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
hp : p = ⊥
x : M
⊢ (p.quotEquivOfEqBot hp) (Submodule.Quotient.mk x) = x
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
⊢ IsComplement univ S ↔ ∃ g, S = {g}
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
t : Set α
h : t ∈ 𝓝[s] a
⊢ 𝓝[s] a = 𝓝[s ∩ t] a
M : Type u
N : Type v
Monoid M
Monoid N
e : M ≃* N
⊢ e.toSingleObjEquiv.unitIso.inv = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_2
M : Type u_4
Preorder M
One M
s : Set α
f : α → M
h : ∀ a ∈ s, 1 ≤ f a
a : α
⊢ 1 ≤ s.mulIndicator f a
ι : Type u_1
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
Countable ι
f : ι → C(ℝ, E)
hf_sum : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := Set.uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f i)‖
⊢ ∑' (i : ι), ∫ (x : ℝ) in a..b, (f i) x = ∫ (x : ℝ) in a..b, ∑' (i : ι), (f i) x
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
x : Γ₀
h : x ≠ 0
⊢ (pure x).HasBasis (fun x => True) fun x_1 => {x}
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
⊢ s.SSameSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
⊢ f.eraseLead + (Polynomial.monomial f.natDegree) f.leadingCoeff = f
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ
⊢ whiskerRight (rightDerivedToHomotopyCategory (𝟙 F)) (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n) = 𝟙 (F.rightDerived n)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X Y Z : CategoryTheory.Comma L R
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).left = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.left g.left
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
PosMulReflectLT α
a0 : 0 < a
⊢ a * b < a ↔ b < 1
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.17551
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
y : Y
x : X
x✝ : ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn (fun x => y) U
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
inj : Set.InjOn (fun x => y) U
x' : X
⊢ x' ∈ {x} ↔ x' ∈ U
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid R
inst✝⁶ : Monoid S
σ : R → S
inst✝⁵ : MulAction R M
inst✝⁴ : MulAction S N
inst✝³ : MulAction R M₁
inst✝² : MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
t : Set N
hc : IsUnit c
hc' : IsUnit (σ c)
⊢ Function.Surjective fun m => c • m
S : Type u_5
OrderedSemiring S
R : Type u_6
Semiring R
f : R → S
self : IsAbsoluteValue f
x y : R
⊢ f (x + y) ≤ f x + f y
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝³ : _root_.Finite ι
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x✝ : Nonempty (V ≃ₗ[K] Dual K V)
e : V ≃ₗ[K] Dual K V
this : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
⊢ False
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
⊢ ↑(absNorm I) ∈ I
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ H.normalizer = ⊤ ↔ H.Normal
M : Type u_1
Monoid M
S : Subgroup Mˣ
x : M
⊢ x ∈ S.ofUnits ↔ ∃ (h : IsUnit x), h.unit ∈ S
x : ℂ
n : ℤ
⊢ Complex.sin (x - ↑n * (2 * ↑Real.pi)) = Complex.sin x
α : Type u_1
s : Finset α
n : ℕ
⊢ n ≤ s.card ↔ ∃ t ⊆ s, t.card = n
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
x : M
i j : ι
hxi : x ∈ ℳ i
hxj : x ∈ ℳ j
hx : x ≠ 0
⊢ i = j
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
hε : 0 ≤ ε
x y : α
hy : infEdist y s ≤ ENNReal.ofReal δ
hxy : edist x y < ENNReal.ofReal ε
⊢ infEdist x s < ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
hf : ↑↑f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
⊢ (fun x => ↑‖↑↑f x‖₊) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
K : Type u_1
RCLike K
z : K
⊢ 0 < z ↔ 0 < RCLike.re z ∧ RCLike.im z = 0
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
r : R
hp : ∃ x, (mapRingHom f) x = p
⊢ ∃ x, (mapRingHom f) x = C (f r) * p
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x : L
⊢ ∃ k, (toEnd R L M) x ^ k = 0
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (∀ t ∈ tl, ∀ y ∈ t, y ∈ s ∨ y = -1) → C (List.map List.prod tl).sum
HL : (∀ y ∈ hd, y ∈ s ∨ y = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, ∀ y ∈ x, y ∈ s ∨ y = -1
⊢ C hd.prod
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
h : P n
⊢ find P ≤ ↑n
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
p q : R[X]
hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < (p * q).degree → (p * q).coeff n ∈ P
hfd0✝ : 0 < (p * q).degree
h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2
hu : (p * q).IsPrimitive
hf0 : p * q ≠ 0
hf : map (mk P) p * map (mk P) q = C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) * X ^ (p * q).natDegree
hfd0 : 0 < (p * q).natDegree
m n : ℕ
b c : (R ⧸ P)[X]
hmnd : m + n = (p * q).natDegree
hbc : C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) = b * c
hp : map (mk P) p = b * X ^ m
hq : map (mk P) q = c * X ^ n
⊢ IsUnit p ∨ IsUnit q
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C (Type w)
x y : F.Elements
f g : x ⟶ y
w : ↑f = ↑g
⊢ f = g
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
n : ℕ
⊢ ‖newton_seq_gen hnorm (n + 2) - newton_seq_gen hnorm (n + 1)‖ <
  ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
hF : Presieve.IsSheaf J F
U : C
S : Sieve U
hS : S ∈ J.sieves U
x : Presieve.FamilyOfElements (sheafify J G).toPresheaf S.arrows
hx : x.Compatible
S' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)
W : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C
i₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi
i₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U
hi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)
h₁ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯) ∈ G.obj (op V)
h₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i
x'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows := fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯)
H : ∀ (s : (sheafify J G).toPresheaf.obj (op U)), x.IsAmalgamation s ↔ x''.IsAmalgamation ↑s
this : x''.Compatible
t : F.obj (op U)
ht : x''.IsAmalgamation t
ht' : ∀ (y : F.obj (op U)), (fun t => x''.IsAmalgamation t) y → y = t
⊢ (Sieve.bind S.arrows fun V i hi => G.sieveOfSection ↑(x i hi)) ≤ G.sieveOfSection t
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : PInfty.f n = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ PInfty.f n ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])
π : Y₄ ⟶ Y₄ := (toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C) ⋙ karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).map Y.p
eq : (π.app (op [n])).f ≫ (PInfty.f n).f = (PInfty.f n).f ≫ (π.app (op [n])).f
⊢ Y.p.app (op [n]) ≫ (PInfty.f n).f ≫ Y.p.app (op [n]) = Y.p.app (op [n]) ≫ (P₄.f n).f
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h h' : c ⟶ d
η : h ⟶ h'
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft g η))
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h').inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).inv
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) η)
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ x + 1 < Real.exp x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.id T).toNatTrans = CategoryTheory.CategoryStruct.id T.toFunctor
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : Group G
a : G
l : List G
hl : (a :: l).prod = 1
n : ℕ
this : n % (a :: l).length ≤ (a :: l).length
⊢ ((a :: l).rotate n).prod = 1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
⊢ ∑ a_1 ∈ Ico 2 (n + 1), ∑ s ∈ Fintype.piFinset fun x => Ico 1 n, ∏ j : Fin a_1, r * (a ^ s j * p (s j)) = ∑ j ∈ Ico 2 (n + 1), r ^ j * (∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * p k) ^ j
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
⊢ ⊥.IsMaximal
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
x y : ι → M
h : x = y
⊢ f x = f y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A B C : Set E
X : Finset E
x : E
⊢ IsExposed 𝕜 A {x} → x ∈ exposedPoints 𝕜 A
α : Type u
AddGroup α
DecidableEq α
Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (Finset.filter (fun a => n • a = 0) Finset.univ).card ≤ n
a : α
⊢ (Finset.filter (fun b => addOrderOf a • b = 0) Finset.univ).card = addOrderOf a
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
IsDomain R
Algebra R S
K : Type u_3
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
IsIntegrallyClosed R
IsDomain S
Algebra K S
IsScalarTower R K S
s : S
hs : IsIntegral R s
⊢ minpoly K s = Polynomial.map (algebraMap R K) (minpoly R s)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
n : ℤ
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctor C n).map f).hom₃ = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₃
α : Type u_1
a : α
s : Finset α
h : a ∉ s
⊢ (Finset.cons a s h).toList.Perm (a :: s.toList)
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
⊢ AddAction.orbit (↥s) 0 = ↑s
𝕜 : Type v
RCLike 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
Nontrivial E
x : E
⊢ ∃ g, ‖g‖ = 1 ∧ g x = ↑‖x‖
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type
inst✝ : Ring R
X : Mat_ (SingleObj Rᵐᵒᵖ)
i✝ j✝ : ↑({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj X)
⊢ { obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.map (𝟙 X) i✝ j✝ = 𝟙 ({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj X) i✝ j✝
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
hf : Measurable f
n : ℕ
⊢ Measurable f^[n]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
p : (α × β) × γ
⊢ (G.boxProdAssoc H I) p = (p.1.1, p.1.2, p.2)
K : Type u_1
Field K
x : (𝓞 K)ˣ
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ ↑w.mult * Real.log (w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)) = 0 ↔ w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) = 1
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ LieSubmodule.map f (posFittingComp R L M) ≤ posFittingComp R L M₂
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → (i : α) → E i
this : DecidableEq ι
⊢ (∀ i ∈ ∅, Memℓp (f i) p) → Memℓp (fun a => ∑ i ∈ ∅, f i a) p
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0
c : ℝ≥0
fs_le_const : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), (fs n) ω ≤ c
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
fs_lim : ∀ (ω : Ω), Filter.Tendsto (fun n => (fs n) ω) Filter.atTop (𝓝 (f ω))
⊢ Filter.Tendsto (fun n => μ.testAgainstNN (fs n)) Filter.atTop (𝓝 (μ.testAgainstNN f))
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ (CategoryTheory.Limits.spanCompIso F f g).inv.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.zero =
  𝟙 ((CategoryTheory.Limits.span (F.map f) (F.map g)).obj CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.zero)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝¹ : CommGroup β
inst✝ : TopologicalGroup β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : AEStronglyMeasurable (f * g) μ
⊢ g = f * g * f⁻¹
α : Type u_1
Preorder α
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α
a : α
⊢ StrictAnti (Matrix.vecCons a f) ↔ f 0 < a ∧ StrictAnti f
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hxy : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2 → P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
⊢ WeierstrassCurve.Jacobian.Point.toAffine W
    ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2)
        (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),
      W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)
        (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),
      1] =
  WeierstrassCurve.Jacobian.Point.toAffine W P + WeierstrassCurve.Jacobian.Point.toAffine W Q
α : Type u
β : Type v
AddCommGroup β
g h : FreeAbelianGroup α →+ β
H : ∀ (x : α), g (FreeAbelianGroup.of x) = h (FreeAbelianGroup.of x)
⊢ g = h
α : Type u_2
Monoid α
s t : Set α
h : t ⊆ s
hs : ThreeGPFree s
⊢ ThreeGPFree t
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
⊢ dist ((-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ) • v +ᵥ p) s.center = dist p s.center
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
DecidableEq ι
AddMonoid ι
GradedRing 𝒜
I : Ideal A
⊢ Ideal.IsHomogeneous 𝒜 I ↔ ↑I ⊆ ⋂ i, ⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) ⁻¹' ↑I
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V
⊢ ⊤.neighborSet v = G.neighborSet v
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)
⊢ p₁ ≠ p₃
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
I : Set ι
hI : I.Countable
s : ι → Set α
⊢ μ (⋃ i ∈ I, s i) = 0 ↔ ∀ i ∈ I, μ (s i) = 0
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x y : α
⊢ y = if f.SameCycle x (if f⁻¹.SameCycle x y then f⁻¹ y else y) then f (if f⁻¹.SameCycle x y then f⁻¹ y else y) else if f⁻¹.SameCycle x y then f⁻¹ y else y
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
s : Set (Set α)
hs : IsPiSystem s
t₁ t₂ : Set α
ht₁ : (generate s).Has t₁
ht₂ : (generate s).Has t₂
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ∈ s
this✝¹ : (generate s).Has s₁
this✝ : generate s ≤ (generate s).restrictOn this✝¹
this : (generate s).Has (t₂ ∩ s₁)
⊢ (generate s).Has (s₁ ∩ t₂)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
hg : S.g = 0
⊢ CategoryTheory.IsIso h.i
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
⊢ { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ } = ((N₁ ⋙ Γ₂).obj X).p ≫ { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ } ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).p
m : Type u_1 → Type u_2
α ρ : Type u_1
p : α → Prop
x : StateT ρ m α
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
x✝ : SatisfiesM p x
f : StateT ρ m { a // p a }
eq : Subtype.val <$> f = x
⊢ ∃ f_1, ∀ (x : ρ), Subtype.val <$> f_1 x = (Subtype.val <$> f) x
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
h : Fintype.card P = Fintype.card L
n : ℕ := lineCount L p₂
hp₂ : lineCount L p₂ = n
⊢ lineCount L p = lineCount L q
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
p : Filter ι
TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
h' : s' ⊆ s
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s'
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
a : E
ha : a ∈ Submodule.map (LinearMap.fst R E F) g
⊢ (a, Submodule.valFromGraph hg ha) ∈ g