ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
RingHomSurjective σ₁₂
TopologicalSpace R₁
TopologicalSpace R₂
ContinuousSMul R₁ M₁
ContinuousAdd M₁
ContinuousSMul R₂ M₂
ContinuousAdd M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
s : Submodule R₁ M₁
⊢ Submodule.map (↑f) s.topologicalClosure ≤ (Submodule.map (↑f) s).topologicalClosure
α : Type u_1
β : Type u_2
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
s : Set α
⊢ ∀ {x : DecidablePred fun x => x ∈ s},
  MeasurableSet s →
    MeasureTheory.StronglyMeasurable f →
      MeasureTheory.StronglyMeasurable g → MeasureTheory.StronglyMeasurable (s.piecewise f g)
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁷ : Semiring R₁
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹² : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁴ : Module R₁ M₁
inst✝³ : Module R₁ M'₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
inst✝ : Module R₁ M₂
f : M₁ →L[R₁] M₂
c : R₁
x : M₁
⊢ f (c • x) = c • f x
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
DecidableEq α
⊢ (s.erase a).card = if a ∈ s then s.card - 1 else s.card
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
s : Set ι
e : α ≃ ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : (i : ι) → E₁ i
⊢ ‖f‖ * ‖x‖ ^ Fintype.card { a // a ∉ s } = ‖f‖ * ‖x‖ ^ (Fintype.card ι - Fintype.card α)
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set Y
x : ↑(f ⁻¹' s)
h : ContinuousAt f ↑x
⊢ ContinuousAt (s.restrictPreimage f) x
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
ν : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝
μ : MeasureTheory.Measure (Quotient (MulAction.orbitRel G α))
self : MeasureTheory.QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
t : Set α
⊢ MeasureTheory.IsFundamentalDomain G t ν →
  μ = MeasureTheory.Measure.map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel G α)) (MeasureTheory.Measure.restrict ν t)
α : Type u_1
LinearOrderedField α
p : ℤ
hp : Even p
a : α
⊢ |a| ^ p = a ^ p
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α → β
C : ℝ
hC : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ ≤ C
⊢ MeasureTheory.HasFiniteIntegral f μ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
M : Matrix m m R
p : m → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ ∑ σ : Equiv.Perm ({ a // p a } ⊕ { a // ¬p a }), ↑↑(Equiv.Perm.sign σ) * ∏ i : { a // p a } ⊕ { a // ¬p a }, (reindex (Equiv.sumCompl p).symm (Equiv.sumCompl p).symm) M (σ i) i = ∑ σ : Equiv.Perm ({ a // p a } ⊕ { a // ¬p a }), ↑↑(Equiv.Perm.sign σ) * ∏ i : { a // p a } ⊕ { a // ¬p a }, fromBlocks (M.toBlock p p) (M.toBlock p fun j => ¬p j) (M.toBlock (fun j => ¬p j) p) (M.toBlock (fun j => ¬p j) fun j => ¬p j) (σ i) i
α : Type u_1
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
Zero N
f g : α →₀ N
⊢ ↑(f.neLocus g) = {x | f x ≠ g x}
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2
this : NumberField K
H : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p ^ 1
⊢ ↑↑p ^ 1 ∣ ↑↑p
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
h : ∀ m ≤ n, ¬P m
⊢ ↑n < find P
X : TopCat
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
x : ↑X
hx : x ∈ iSup U
i : ι
hxi : x ∈ U i
⊢ ∃ U_1 f, (Sieve.generate (presieveOfCovering U)).arrows f ∧ x ∈ U_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
h : i ≠ j
c : k
⊢ affineCombinationLineMapWeights i j c i = 1 - c
α : Type u_1
s t : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
⊢ (s ∩ t).ncard + (s \ t).ncard = s.ncard
R : Type u_1
CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
⊢ BddAbove (Set.range fun y => f (x * y) / f y)
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
i : L₁ ≅ L₂
X : CategoryTheory.Comma L₂ R
⊢ ((CategoryTheory.Comma.mapLeftIso R i).counitIso.inv.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
⊢ PadicSeq.norm (CauSeq.const (padicNorm p) q) = padicNorm p q
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeSup α
inst✝⁵ : OrderTop α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeSup β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑s
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : a ≤ b
⊢ id b ≤ a
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
NonUnitalNonAssocSemiring A
TopologicalSpace A
Module 𝕜 A
φ : ↑(WeakDual.characterSpace 𝕜 A)
⊢ ⇑↑φ = ⇑φ
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ⟂ₘ μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
⊢ ∀ b ∈ {I | IsAtom I} \ {I}, b ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this✝ : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑x
this : (fun x => ↑↑x) = QuotientAddGroup.mk ∘ Subtype.val
⊢ ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (QuotientAddGroup.mk ∘ Subtype.val) volume = ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (volume.restrict (Ioc t (t + T)))
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
β γ : Type
inst✝² : Finite β
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct (f ∘ ⇑ε)
⊢ ((lift fun b => π f (ε b)) ≫ desc fun b => ι f (ε b)) = 𝟙 (⨁ f)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : HasTrivialRadical R L
h : ⊥ = ⊤
⊢ Subsingleton L
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
t : α → Set β
s₁ s₂ : Set α
⊢ s₁ ⊆ s₂ ∪ s₁ \ s₂
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
c : n → R
⊢ (A.updateRow j (∑ k : n, c k • A k)).det = c j • A.det
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C
h : (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f
h' : (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f
⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = ((obj F).obj P).p ≫ ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ ((obj G).obj P).p
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
this : η.withDensity (κ.rnDeriv η) = ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal).withDensity (κ.rnDeriv η)
⊢ ∫⁻ (b : γ) in s, ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal * (ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a b) / ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b)) ∂(κ + η) a = (κ a) s
i j k : ℤ
⊢ i.gcd j ∣ (i * k).gcd j
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p : P
hp : p = p₁ ∨ p = p₂
⊢ ∃ r, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
⊢ StrictMono Sum.inl
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : L₃ ⟶ L₂
b : B
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft G (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv) ≫ whiskerRight α (𝟭 D)) = whiskerRight ((mateEquiv adj₁ adj₂) α) (𝟭 C) ≫ whiskerLeft H ((mateEquiv adj₂ adj₃) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv))
vcompb : adj₃.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (G.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (α.app (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (adj₁.counit.app b)) = adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj b)) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app b)) ≫ adj₃.unit.app (R₂.obj (H.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj (H.obj b))) ≫ R₃.map (adj₂.counit.app (H.obj b))
⊢ adj₃.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (G.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (α.app (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (adj₁.counit.app b)) = adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj b)) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app b)) ≫ adj₃.unit.app (R₂.obj (H.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj (H.obj b))) ≫ R₃.map (adj₂.counit.app (H.obj b))
R : Type u_4
S : Type u_5
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
I : Ideal S
⊢ ↑(Submodule.restrictScalars R I) = ↑I
x : ℝ≥0
y z : ℝ
⊢ x ^ (y * z) = (x ^ y) ^ z
α : Type u
f g : Filter α
s t : Set α
h : Disjoint s t
hs : s ∈ f
ht : t ∈ g
⊢ Disjoint f g
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
i₁ : ι
b₁ : ↥(ℬ i₁)
b₂ : B
⊢ 1 ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂) = 1 ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁ * 1 ᵍ⊗ₜ[R] b₂
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
⊢ generateFrom {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s} ≤ Pi.topologicalSpace
X✝ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝
inst✝² : TopologicalSpace Y
s t : Set X✝
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X
⊢ cocompact X = cofinite
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
⊢ (trinomial k m n u v w).coeff k = u
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
f : F →SL[σ₂₃] G
g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F
h✝ : Nontrivial F'
⊢ ‖f.comp g.toLinearIsometry.toContinuousLinearMap‖ = ‖f‖
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
hp : NeZero p
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
this : ∀ (i : ℕ), ((monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)).vars = {i}
⊢ (W_ R n).vars = range (n + 1)
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
β : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulBitraversable t
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α₀ α₁ β₀ β₁ : Type u
f : α₀ → F α₁
f' : β₀ → G β₁
x : t α₀ β₀
⊢ Comp.mk (tsnd f' <$> tfst f x) = bitraverse (Comp.mk ∘ map pure ∘ f) (Comp.mk ∘ pure ∘ f') x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
x : Subobject X
⊢ (map (𝟙 X)).obj x = x
α : Sort u_1
β : Sort u_2
r : α → α → Prop
hr : Symmetric r
⊢ (∀ (a : α), ∃! b, r a b) ↔ ∃ f, Involutive f ∧ ∀ {a b : α}, r a b ↔ f a = b
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
F : ι → X → α
x₀ : X
⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ EquicontinuousAt Subtype.val x₀
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
⊢ K.incl.range.toSubmodule = K.toSubmodule
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CoheytingAlgebra α
inst✝¹ : CoheytingAlgebra β
inst✝ : CoheytingHomClass F α β
f : F
a b : α
⊢ f (a ∆ b) = f a ∆ f b
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ y ≠ 0
o : Ordinal.{u_1}
⊢ let_fun this := ⋯;
HEq (SetTheory.PGame.nim o).moveRight fun i => SetTheory.PGame.nim (Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) i)
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω → E
⊢ (↑μ univ)⁻¹ = ↑ENNReal.ofNNRealHom.toMonoidWithZeroHom μ.mass⁻¹
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E
TopologicalSpace E
T1Space E
hs : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
⊢ 0 < gauge s x ↔ x ≠ 0
R : Type u
CommRing R
U V : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
hUV : U = V
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.comap (RingHom.id R) U V ⋯ = CategoryTheory.eqToHom ⋯
α : Type u_1
arr : Array α
⊢ arr.toListRev = arr.data.reverse
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v : V
⊢ ↑(Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v v)) = (k • 1 v v + ℓ • if G.Adj v v then 1 else 0) + μ • if v ≠ v ∧ ¬G.Adj v v then 1 else 0
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
f : E → F
x : E
⊢ lineDeriv 𝕜 f x 0 = 0
M : Type u_1
AddMonoid M
ι : Sort u_3
s : ι → Set M
h : ∀ (y : ι), IsAddSubmonoid (s y)
⊢ IsAddSubmonoid (Set.iInter s)
n m : ℕ
hm : NeZero m
h : n ∣ m
x : ℕ
hx : x.Coprime n
ps : Finset ℕ := Finset.filter (fun p => ¬p ∣ x) m.primeFactors
⊢ (x + ps.prod id * n).Coprime m
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
CoalgebraStruct R A
⊢ ↑(CoalgEquiv.refl R A) = LinearEquiv.refl R A
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTrans α r
IsAntisymm α r
IsTotal α r
⊢ Finset.sort r ∅ = []
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
⊢ ⇑e.toRingEquiv = ⇑e
α : Type u_1
p : PosNum
this : (↑p).bit1 = (ZNum.pos p).bit1
⊢ ↑p.bit1 = ZNum.pos p.bit1
Γ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
StrictOrderedSemiring Γ
⊢ (HahnSeries.ofPowerSeries Γ R) PowerSeries.X = (HahnSeries.single 1) 1
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C
⊢ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ⊗ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one) = M.one ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (N.one ⊗ P.one)
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
⊢ const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (↑⟨f ^ (n + 1), ⋯⟩) (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = s
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
Group G
TopologicalGroup G
μ.IsMulLeftInvariant
U : Set G
hU : IsOpen U
h'U : U.Nonempty
h : μ U ≠ ⊤
K : Set G
hK : IsCompact K
⊢ μ K < ⊤
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : A ⊗[R] L
⊢ ∀ (x y : A ⊗[R] L), ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) x) x = 0 → ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) y) y = 0 → ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (x + y)) (x + y) = 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ |a - c| = |a - b + (b - c)|
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
⊢ LowerSet.Iic 0 = 0
K : Type u_1
DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
M : Λ → Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
q : Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ
v : σ
T : Turing.ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), Turing.ListBlank.map (Turing.proj k) T = Turing.ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : Turing.TM2to1.StAct k
IH :
  ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : Turing.ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},
    (∀ (k : K), Turing.ListBlank.map (Turing.proj k) T = Turing.ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →
      ∃ b,
        Turing.TM2to1.TrCfg (Turing.TM2.stepAux q v S) b ∧
          Turing.Reaches (Turing.TM1.step (Turing.TM2to1.tr M))
            (Turing.TM1.stepAux (Turing.TM2to1.trNormal q) v (Turing.Tape.mk' ∅ (Turing.TM2to1.addBottom T))) b
⊢ ∃ b,
  Turing.TM2to1.TrCfg (Turing.TM2.stepAux (Turing.TM2to1.stRun o q) v S) b ∧
    Turing.Reaches (Turing.TM1.step (Turing.TM2to1.tr M))
      (Turing.TM1.stepAux (Turing.TM2to1.trNormal (Turing.TM2to1.stRun o q)) v
        (Turing.Tape.mk' ∅ (Turing.TM2to1.addBottom T)))
      b
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB : ∃ c < π / (b - a), ∃ B, f =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * |z.im|))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
⊢ ‖f (z * I * -I)‖ ≤ C
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
⊢ univ.inf' ⋯ f = ⨅ i, f i
A : Type u_1
B : Type u_4
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
IsDomain A
IsIntegrallyClosed A
IsDomain B
IsIntegrallyClosed B
Module.Finite A B
NoZeroSMulDivisors A B
Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
⊢ (Algebra.intNorm A B) 0 = 0
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
x : α
hx : x ≠ 0
h : ¬IsUnit x
⊢ ∃ p, p ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors x
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
⊢ Monoid.CoprodI.Word.empty.prod = 1
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : {t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
B : {t | ([c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
t : ℝ
ht : t ∈ ({t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty} ∪ {t | ([c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty})ᶜ
z : E := c + t • y
⊢ JoinedIn sᶜ a b
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : F ⟶ G
a : B
⊢ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor η).inv.app a = (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (η.app a)).inv
α : Type u_1
CancelCommMonoid α
s t : Set α
a : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a)
h : (↑x).2 = (↑y).2
⊢ x = y
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
OrderedCancelAddCommMonoid Γ
OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
AddCommGroup U
Module R U
AddCommGroup V
Module R V
AddCommGroup W
Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
u : U
g' : Γ'
⊢ (A.compHahnSeries B u).coeff g' = A ((B.coeff g') u)
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
s✝ : Set A
hfs : s✝.Finite
his✝ : ∀ x ∈ s✝, IsIntegral R x
a : A
s : Set A
x✝¹ : a ∉ s
x✝ : s.Finite
ih : (∀ x ∈ s, IsIntegral R x) → (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s)).FG
his : ∀ x ∈ insert a s, IsIntegral R x
⊢ (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R (insert a s))).FG
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
PreconnectedSpace α
f : α → β
h : Continuous f
⊢ IsPreconnected (Set.range f)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
⊢ ⟪x, x⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖x‖
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
c : ℝ≥0
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_ne_zero : ∫ (x : G), g x ∂μ ≠ 0
⊢ (c • μ').haarScalarFactor μ = c • μ'.haarScalarFactor μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ TopologicalSpace.coinduced f ⊥ = ⊥
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q
⊢ ∑ i : Fin (a + 2), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i))) • (φ ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i))) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + ∑ x : Fin (n + 1 + 2), ((-1) ^ ↑x * (-1) ^ (a + 1)) • (φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.δ x = -(φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩