ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x✝ : ∃ x, x ≠ 0 ∧ ¬IsUnit x
x : α
hx₀ : x ≠ 0
hxu : ¬IsUnit x
f : α
hf : Irreducible f
⊢ ∃ p, Prime p
a b : ℤ
b0 : ¬b = 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a * ↑d = n * b
⊢ ↑d ∣ a * ↑d
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
c : R
v : M
i : ι
⊢ ({ toFun := h.coeffs, map_add' := ⋯ }.toFun (c • v)) i = ((RingHom.id R) c • { toFun := h.coeffs, map_add' := ⋯ }.toFun v) i
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
⊢ MonoidHom.mrange Monoid.Coprod.inl ⊔ MonoidHom.mrange Monoid.Coprod.inr = ⊤
α : Type u_2
ι : Sort u_5
Div α
s : Set α
t : ι → Set α
⊢ s / ⋂ i, t i ⊆ ⋂ i, s / t i
R : Type u
Ring R
s : Subring R
⊢ s.subtype.range = s
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
⊢ const a = a :: const a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S₁ S₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C n
e : S₁ ≅ S₂
⊢ S₁.IsComplex ↔ S₂.IsComplex
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hyo : y % 2 = 1
hzpos : 0 < z
h0 : ¬x = 0
v : ℚ := ↑x / ↑z
w : ℚ := ↑y / ↑z
hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1
hvz : v ≠ 0
hw1 : w ≠ -1
hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0
hp : (v, w) ∈ {p | p.1 ^ 2 + p.2 ^ 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1}
q : ℚ := (circleEquivGen hQ).symm ⟨(v, w), hp⟩
⊢ h.IsPrimitiveClassified
M : Type u_4
AddCommMonoid M
l l' : List M
h : l.length = l'.length
⊢ l.sum + l'.sum = (List.zipWith (fun x x_1 => x + x_1) l l').sum
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Group α
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : ContinuousInv α
inst✝ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
⊢ IsClosed (s • t)
z : ℂ
h : 0 < z.im
⊢ (UpperHalfPlane.mk z h).re = z.re
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : AEStronglyMeasurable X ℙ
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
⊢ ℙ {ω | ↑c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} ≤ evariance X ℙ / ↑c ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
s : Finset ι
n : ℕ
⊢ toMultiset (∑ i ∈ s, single i n) = n • s.val
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
hs : x ∈ (chartAt H c).source
hd : dist (↑(extChartAt I c) x) (↑(extChartAt I c) c) < f.rIn
⊢ ∀ a ∈ (chartAt H c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) f.rIn, ↑f a = 1 a
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
⊢ Polynomial.derivative (Polynomial.eval₂ Polynomial.C q p) =
  Polynomial.eval₂ Polynomial.C q (Polynomial.derivative p) * Polynomial.derivative q
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_6
Fintype m
Fintype n
AddCommMonoid R
CommSemigroup R
A : Matrix m n R
B : Matrix n m R
⊢ (A * B).trace = (B * A).trace
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / ↑r' ^ n
L : E × E → ℝ := fun y => C * (a / ↑r') ^ 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (a / (1 - a) ^ 2 + 2 / (1 - a))
hL : ∀ y ∈ EMetric.ball (x, x) ↑r', ‖f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2‖ ≤ L y
⊢ (fun y => C * (a / ↑r') ^ 2 * (a / (1 - a) ^ 2 + 2 / (1 - a)) * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖)) =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
m : Type u_2
α : Type v
Fintype m
NonUnitalNonAssocRing α
v w : m → α
⊢ v ⬝ᵥ -w = -(v ⬝ᵥ w)
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Injective ⇑f
p : R[X]
⊢ (if p.natDegree = 0 then 0 else (map f p).coeff (p.natDegree - 1)) = f (if p.natDegree = 0 then 0 else p.coeff (p.natDegree - 1))
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
⊢ ↑p ≠ 1
X : Type u_1
TopologicalSpace X
SequentialSpace X
⊢ RestrictGenTopology {K | IsCompact K}
S : ShortComplex Ab
x : ↑S.X₁
⊢ ((AddCommGrp.kernelIsLimit S.g).lift (Limits.KernelFork.ofι S.f ⋯) ≫ QuotientAddGroup.mk' S.abToCycles.range) x = 0 x
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
a : Associates α
⊢ a ≤ 0
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : CategoryTheory.Limits.cokernel.π f = 0
⊢ CategoryTheory.Epi f
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a
⊢ f' y = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v, u₂} C'
D : CategoryTheory.GlueData C
F : CategoryTheory.Functor C C'
H : (i j k : D.J) → CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
i : D.J × D.J
⊢ (D.diagramIso F).inv.app (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.left i) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    ((D.mapGlueData F).diagram.multispan.obj (CategoryTheory.Limits.WalkingMultispan.left i))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
s : Set (Scott β)
hs : Monotone fun x => x ∈ s
hs' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := fun x => x ∈ s, monotone' := hs }
hf : Monotone f
hf' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := f, monotone' := hf }
⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := s ∘ f, monotone' := ?intro.intro.hf }
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
v : V
hv : v ∈ small
cf : G.CliqueFree (r + 1)
⊢ ∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this✝ : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
ha : Continuous (f a)
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
⊢ {p | ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y p.2 < r' → ∀ (z : E), dist z p.2 < r' → ‖f p.1 z - f p.1 y - (L z - L y)‖ < s * r} ∈ 𝓝 (a, x)
α : Type u_1
E : Set α
hE : E.Finite
⊢ {M | M.E = E}.Finite
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
S : NonUnitalSubring R
s : Set R
hs : s = ↑S
⊢ S.copy s hs = S
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), WellFoundedLT (α i)
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬a < 0
β : ι → Type u_2 := fun i => Antisymmetrization (α i) fun x x_1 => x ≤ x_1
e : (i : ι) → α i → β i := fun i => toAntisymmetrization fun x x_1 => x ≤ x_1
x✝ : (i : ι) → Zero (β i) := fun i => { zero := e i 0 }
this : WellFounded (DFinsupp.Lex (Function.swap WellOrderingRel) fun x x_1 x_2 => x_1 < x_2)
⊢ WellFounded fun x x_1 => x < x_1
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
α : X ≅ Y
⊢ α.op.hom = α.hom.op
x : ℝ*
hni : ¬x.Infinite
⊢ ∃ r, x.IsSt r
α : Type u_1
β : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
⊢ (MeasureTheory.Measure.mapₗ (AEMeasurable.mk f hf)) μ = MeasureTheory.Measure.map f μ
R : Type r
S : Type s
CommRing R
CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
⊢ (W.map f).Ψ₂Sq = Polynomial.map f W.Ψ₂Sq
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
HasGroupoid M G
e e' : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
⊢ e.symm ≫ₕ e' ∈ G
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
CompleteLinearOrder δ
f : ι → α → δ
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousAt (f i) x
⊢ LowerSemicontinuousAt (fun x' => ⨆ i, f i x') x
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
I : Ideal R := { carrier := {r | r * (d * a) = r * (b * c)}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
p : PrimeSpectrum R
hfp : f ∉ p.asIdeal
r : ↥p.asIdeal.primeCompl
hr : ↑r * (↑⟨d, ⋯⟩ * a) = ↑r * (↑⟨b, ⋯⟩ * c)
⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ∉ ↑p.asIdeal
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
⊢ (↑t).Pairwise (IsCoprime on s) → (∀ i ∈ t, s i ∣ z) → ∏ x ∈ t, s x ∣ z
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
x z : R
hy : IsRadical (x * z)
h0 : x * z ≠ 0
w : R
dvd : x ∣ w ^ 2
⊢ x * z ∣ (w * z) ^ 2
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
i : ℕ
m : M
n : ℕ
⊢ ((PolynomialModule.lsingle R i) m) n = if i = n then m else 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : PresheafOfModules R
s : M.sections
⊢ PresheafOfModules.sectionsMap (𝟙 M) s = s
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
⊢ Monotone (f ∘ ⇑(sort f))
r p : ℝ
hp : 0 ≤ p
⊢ r.toNNReal ≤ p.toNNReal ↔ r ≤ p
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
H : 1 < a
n : ℕ
⊢ ↑n ≤ (a ^ n - 1) / (a - 1)
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
ι : Type w
Fintype ι
h : Basis ι R M
⊢ FiniteDimensional.finrank R M = Fintype.card ι
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
⊢ g.comp 0 = 0
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x : AdicCompletion I M
n : ℕ
⊢ (AdicCompletion.incl I M) x n = ↑x n
α : Type u_1
a b c : α
LinearOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a - b < a - c
⊢ c < b
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : OpenEmbedding f
⊢ GeneralizingMap f
α : Type u_3
LE α
self : Flag α
s : Set α
⊢ IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → self.carrier ⊆ s → self.carrier = s
R : Type u_2
S : Type u_1
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
i : ℕ
⊢ (minpolyDiv R x).coeff i = (algebraMap R S) ((minpoly R x).coeff (i + 1)) + (minpolyDiv R x).coeff (i + 1) * x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X : CategoryTheory.Dial C
⊢ X.leftUnitor.hom.f = CategoryTheory.Limits.prod.snd
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
Countable ι
⊢ MeasurableSet (BoxIntegral.Box.Ioo I)
r : ℚ
p' : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime (0 + p' + 1))
x : ℤ_[0 + p' + 1]
⊢ (↑x.zmodRepr).cast = ↑x.zmodRepr
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x y : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ convexBodySumFun (x + y) ≤ convexBodySumFun x + convexBodySumFun y
P : EReal → EReal → Prop
symm : ∀ {x y : EReal}, P x y → P y x
neg_left : ∀ {x y : EReal}, P x y → P (-x) y
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
x y : EReal
⊢ P x y
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Ring B
inst✝⁶ : CommRing S✝
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra R B
f : R →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0
S : Subalgebra R A := adjoin R ↑p.coeffs
this✝ : Module.Finite R ↥S
p' : (↥S)[X] := p.toSubring S.toSubring ⋯
hSx : IsIntegral (↥S) x
Sx : Submodule (↥S) B := Subalgebra.toSubmodule (adjoin ↥S {x})
MSx : Module ↥S ↥Sx := SMulMemClass.toModule Sx
this : Module.Finite ↥S ↥Sx
⊢ Module.Finite R ↥(Subalgebra.toSubmodule (Subalgebra.restrictScalars R (adjoin ↥S {x})))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i
⊢ update x i a < x ↔ a < x i
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid N
P : AddSubmonoid N
⊢ P.FG ↔ (toSubmonoid P).FG
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
CategoryTheory.Mono i₃
⊢ (CategoryTheory.Limits.pullbackFstFstIso f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂).hom =
  CategoryTheory.Limits.pullback.lift
    (CategoryTheory.Limits.pullback.fst
        (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f' g') i₁)
        (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f' g') i₂) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f' g') i₁)
    (CategoryTheory.Limits.pullback.snd
        (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f' g') i₁)
        (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f' g') i₂) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f' g') i₂)
    ⋯
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
r : R
a : ⨂[R]^n M
⊢ (cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul (algebraMap₀ r) a) = r • a
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
⊢ ClusterPt x (𝓟 s) ↔ ∃ᶠ (y : X) in 𝓝 x, y ∈ s
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
f : R →+* S
hf : f p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ (Polynomial.map f p).natDegree = p.natDegree
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset
this : DecidableEq (Ideal R)
⊢ (↑I).IsPrincipal
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ (a ⊔ b) \ a = b \ a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype ↑s
hs : s.Nontrivial
⊢ s.infsep = s.offDiag.toFinset.inf' ⋯ (uncurry dist)
G : Type u_1
α : Type u_3
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
𝓕 : Set α
h𝓕 : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G 𝓕 ν
μ : MeasureTheory.Measure (Quotient (MulAction.orbitRel G α))
MeasureTheory.QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
⊢ MeasureTheory.MeasurePreserving (Quotient.mk (MulAction.orbitRel G α)) (ν.restrict 𝓕) μ
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝¹ m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.degree ≤ 1
n✝ n m : ℕ
this : p.degree < ↑m.succ.succ
⊢ p.coeff m.succ.succ = (C (p.coeff 1) * X + C (p.coeff 0)).coeff m.succ.succ
α : Type u_1
s : Set α
⊢ ⋃ x ∈ s, s = s
α : Sort u
lt : α → α → Prop
IsTrichotomous α lt
a b : α
⊢ ¬lt a b ∧ ¬lt b a → a = b
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.BijOn f s t
⊢ Function.Bijective (Set.MapsTo.restrict f s t ⋯)
E : Type u_1
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁹ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
s : Set E
ι : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
b : Basis ι ℝ G
v : ι → G
this : FiniteDimensional ℝ G
A : parallelepiped v = ⇑((b.constr ℕ) v) '' parallelepiped ⇑b
⊢ b.addHaar (parallelepiped v) = ENNReal.ofReal |b.det v|
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : (f ⁻¹' s).Finite
hf : Function.Surjective f
⊢ s.Finite
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : { f // ∀ (a₁ a₂ : α) (b₁ b₂ : β), f a₁ a₂ b₁ b₂ = f a₂ a₁ b₁ b₂ ∧ f a₁ a₂ b₁ b₂ = f a₁ a₂ b₂ b₁ }
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
⊢ Sym2.lift₂ f s(a₁, a₂) s(b₁, b₂) = ↑f a₁ a₂ b₁ b₂
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
f g : β → α
h : ∀ b ∈ s, f b ≤ g b
⊢ s.inf f ≤ s.inf g
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork (f - g)
⊢ (CategoryTheory.Preadditive.coforkOfCokernelCofork c).π = CategoryTheory.Limits.Cofork.π c
x y : ZFSet
⊢ {x} = {y} ↔ x = y
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ
⊢ (fun z => |z.im| ^ n) ≤ᶠ[l] fun z => Real.exp z.re
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x : R
⊢ IsSelfAdjoint (star x * x)
α : Type u_1
PartialOrder α
s : Set α
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ IsChain (fun x x_1 => x < x_1) s
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
⊢ ¬∃ n, ↑↑p ∣ hζ.toInteger - ↑n
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : ι → α
a : α
h : BddAbove (Set.range s)
⊢ a ≤ iSup s ↔ ∀ (b : α), (∀ (i : ι), s i ≤ b) → a ≤ b
B : Type u_2
F : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
s : Set B
⊢ ↑e.symm ⁻¹' (proj ⁻¹' s) ∩ e.baseSet ×ˢ Set.univ = (s ∩ e.baseSet) ×ˢ Set.univ
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j k : N →* P
h : ∀ (a : M), (j.comp f.toMap) a = (k.comp f.toMap) a
⊢ f.lift ⋯ = f.lift ⋯
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
n : ℤ
⊢ f ≫ (n • g) = n • f ≫ g
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ b
CategoryTheory.BicategoricalCoherence (𝟙 b) g
⊢  ⊗𝟙 = (ρ_ f).inv ≫ f ◁ ⊗𝟙
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiff 𝕜 n f
⊢ ContDiffAt 𝕜 n f x
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β
e : β → γ
l : Filter α
hm : ∀ (b₁ b₂ : β), e b₁ ≤ e b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
hu : ∀ (c : γ), ∃ b, c ≤ e b
⊢ Tendsto (e ∘ f) l atTop ↔ Tendsto f l atTop
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)
⊢ Disjoint (fromEdgeSet s) G ↔ Disjoint s G.edgeSet
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
α' : Type u_5
β' : Type u_6
MeasurableSpace α'
TopologicalSpace β'
μ' : MeasureTheory.Measure α'
α'' : Type u_7
β'' : Type u_8
MeasurableSpace α''
TopologicalSpace β''
μ'' : MeasureTheory.Measure α''
f : α →ₘ[μ] β
f' : α' →ₘ[μ'] β'
f'' : α'' →ₘ[μ''] β''
p : (α →ₘ[μ] β) → (α' →ₘ[μ'] β') → (α'' →ₘ[μ''] β'') → Prop
H :
  ∀ (f : α → β) (hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ) (f' : α' → β')
    (hf' : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f' μ') (f'' : α'' → β'')
    (hf'' : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f'' μ''),
    p (MeasureTheory.AEEqFun.mk f hf) (MeasureTheory.AEEqFun.mk f' hf') (MeasureTheory.AEEqFun.mk f'' hf'')
⊢ p f f' f''
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
⊢ IsClosed s ↔ ∃ t_1, IsClosed t_1 ∧ f ⁻¹' t_1 = s
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
f : α → β
⊢ Option.elim' b f (some a) = f a
n : ℕ
K : Type u_1
CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
IsDomain K
CharZero K
⊢ n.totient ≤ (minpoly ℤ μ).natDegree
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s₁ s₂ t₁✝ t₂✝ u : Set E
x y : E
s t₁ t₂ : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 s (t₁ ∪ t₂) = convexJoin 𝕜 s t₁ ∪ convexJoin 𝕜 s t₂
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n✝ n : ℕ
⊢ Xor' (Even n) (Odd n)
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
⊢ q = p
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
⊢ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors 0 = 0
α : Type u_1
inst✝³ : CompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t s : Set α
⊢ sSup s⁻¹ = (sInf s)⁻¹
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y * (z - x) ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
⊢ f y * (z - y) + f y * (y - x) ≤ f x * (z - y) + f z * (y - x)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β → γ
a : Option α
b : Option β
α' : Type u_5
β' : Type u_6
g : γ → δ
f' : β' → α' → δ
g₁ : β → β'
g₂ : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)
⊢ Option.map g (Option.map₂ f a b) = Option.map₂ f' (Option.map g₁ b) (Option.map g₂ a)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
n : ℕ
ih : derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
h : ⁅derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤, derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤⁆ = ⊤
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
n p : ℕ
h : 2 ≤ p ∧ ∀ (m : ℕ), m ∣ p → m = 1 ∨ m = p
h1 : 1 < p
a b : ℕ
hab : p = a * b
⊢ a ∣ p
x : EReal
⊢ -x = ⊥ ↔ x = ⊤
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
f : E →ₗ[ℝ] E
s : Set E
⊢ μ (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det f| * μ s
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : CharZero α
m n d : ℕ
hn : d ∣ n
hm : d ∣ m
hd : ↑d ≠ 0
⊢ ↑(m / d) / ↑(n / d) = ↑m / ↑n
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
⊢ ∀ (z : E), ‖f z‖ ≤ c * (‖k‖ / r) * ‖z‖
X : Type u
TopologicalSpace X
⊢ IsOpenMap ⇑Additive.ofMul
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y x : V
hx : x ≠ 0
⊢ angle (-x) x = π