ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
⊢ ∀ x_1 ∈ ((of R).symm (x • y)).support, x_1 ∈ {a | (VAddAntidiagonal ?m.199459 ?m.199460 a).Nonempty}
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Computable G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Computable₂ G
⊢ Computable fun a => F a (c a)
R : Type u
CommRing R
X : HopfAlgebraCat R
⊢ (CategoryTheory.forget₂ (HopfAlgebraCat R) (BialgebraCat R)).obj X = BialgebraCat.of R ↑X.toBundled
z w : ℍ
r : ℝ
⊢ dist z w = r ↔ dist ↑z ↑(w.center r) = w.im * Real.sinh r
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ x₁ x₂ y₁ y₂ : α
h : x₂ ≤ x₁ ∨ x₂ ≤ y₁
hx : x₁ < x₂
h2 : x₂ ∈ Ico y₁ y₂
⊢ x₂ ≤ y₁
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
Add α
SemilatticeSup β
OrderBot β
s t : Finset α
f : α → β
a : β
⊢ (s + t).sup f ≤ a ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, f (x + y) ≤ a
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0
⊢ (C a * X + C b).degree = 1
α : Type u
s : Computation α
a : α
m : ℕ
n : ℕ
⊢ s.Results a m → (s.thinkN n).Results a (m + n)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : Ring β
f : β →+* α
hf : Injective ⇑f
this : Nontrivial β
⊢ IsDomain β
x✝ y : ℂ
x : ℝ
⊢ (starRingEnd ℂ) (↑x).cot = (↑x).cot
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S T : Subalgebra R A
h : S ≤ T
x : ↥T
m : ↑x ∈ S
⊢ (Subalgebra.inclusion h) ⟨↑x, m⟩ = x
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
R' : Type v
inst✝ : CommRing R'
p : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
χ : MulChar R R'
ψ : AddChar R R'
⊢ ∑ x : R, (frobenius R' p) (χ x * ψ x) = ∑ a : R, (χ ^ p) a * (ψ ^ p) a
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f g : Ω →ᵇ ℝ≥0
f_le_g : ⇑f ≤ ⇑g
⊢ ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ ≤ ∫⁻ (ω : Ω), ↑(g ω) ∂↑μ
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
J : Ideal R
hJ : comap f K < J
⊢ map f J = ⊤
K : Type u
V : Type v
Ring K
StrongRankCondition K
AddCommGroup V
Module K V
W : Submodule K V
Module.Free K ↥W
Module.Finite K ↥W
⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥W ≤ 1 ↔ W.IsPrincipal
α : Type u
s : Set α
⊢ s ∈ ⊤ ↔ s = Set.univ
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set R
t : NonUnitalSubsemiring R
⊢ NonUnitalSubsemiring.closure s ≤ t ↔ s ⊆ ↑t
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
s : Set (α → Prop)
a : α
⊢ sSup s a ↔ ∃ r ∈ s, r a
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : rexp 1 ≤ x
⊢ 1 + ε x ≤ 2
Ω : Type u_1
PseudoEMetricSpace Ω
MeasurableSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set Ω
⊢ ∃ rs, Filter.Tendsto rs Filter.atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) s)) = 0
X : Compactum
A : Set X.A
⊢ Compactum.cl A = closure A
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : Semifield R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
⊢ quasispectrum R a = spectrum R a ∪ {0}
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
F : J ⥤ C
⊢ CategoryTheory.Limits.limLax.obj F = CategoryTheory.Limits.limit F
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
self : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
s : Set R
CompactSpace ↑s
Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
φ ψ : C(↑s, R)₀ →⋆ₙₐ[R] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h :
  φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id R), map_zero' := h0 } =
    ψ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id R), map_zero' := h0 }
⊢ φ = ψ
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
i✝ i : F →+* K
f : F[X]
sep : f.Separable
sp : Splits i f
s : Multiset K
h : map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
⊢ ∃ s, map i f = C (i f.leadingCoeff) * ∏ a ∈ s, (X - C a)
R : Type u_4
S : Type u_5
CommRing S
IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
CommRing R
Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S
⊢ μ ^ (↑((IsPrimitiveRoot.autToPow R hμ) f)).val = f μ
n : Nat
x y : BitVec n
⊢ x ≠ y ↔ x.toNat ≠ y.toNat
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t u : Finset α
⊢ s ⊻ t ⊻ u = s ⊻ u ⊻ t
G : Type u_3
CommGroup G
K : Subgroup G
ι : Type u_4
t : Finset ι
f : ι → G
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ K
⊢ ∏ c ∈ t, f c ∈ K
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s✝ t : Set α
s : Set β
h : Disjoint s (range f)
⊢ f ⁻¹' s = ∅
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Unique α
q : LTSeries α
⊢ q.length ≤ 0
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
S₁ S₂ : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
⊢ S₁ ≤ S₂ → Subalgebra.map f S₁ ≤ Subalgebra.map f S₂
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
⊢ mapIdx f [] = List.oldMapIdx f []
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
Fintype ι
hfg : Antivary f g
⊢ ∑ i : ι, f i • g i < ∑ i : ι, f i • g (σ i) ↔ ¬Antivary f (g ∘ ⇑σ)
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Nontrivial M
h : Subsingleton (Submodule R M)
⊢ False
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
s : Finset α
f : α → β → M
h : ∀ a ∈ s, (Function.support (f a)).Finite
⊢ ∑ a ∈ s, ∑ᶠ (b : β), f a b = ∑ᶠ (b : β), ∑ a ∈ s, f a b
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (y + z * x)
⊢ IsCoprime x y
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ
ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η
a : α
⊢ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ κ a ⟂ₘ η a
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Add α
Sub α
OrderedSub α
Preorder β
Add β
Sub β
OrderedSub β
f : AddHom α β
hf : Monotone ⇑f
a b : α
⊢ f a - f b ≤ f (a - b)
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a : k
⊢ slope f a a = 0
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → σ →₀ ℕ
a : R
⊢ (monomial (∑ i ∈ s, f i)) a = C a * ∏ i ∈ s, (monomial (f i)) 1
G : Type u_1
Group G
s t : Set G
ht : IsNormalSubgroup t
h : s ⊆ t
⊢ Group.conjugatesOfSet s ⊆ t
R : Type u_2
E : Type u_4
Group E
SMul R ℝ
SMul R ℝ≥0
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p : GroupSeminorm E
⊢ ⇑(r • p) = r • ⇑p
a b : Prop
h : a ↔ b
⊢ ¬a ↔ ¬b
α : Type u_2
SemilatticeSup α
a : αᵒᵈ
⊢ SupIrred (OrderDual.ofDual a) ↔ InfIrred a
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J' : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J'
e : J ≌ J'
CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C
⊢ CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J' C
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun y => f (x, y)
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
⊢ p = ⊤ ↔ ∀ (x : M), x ∈ p
R : Type uR
M₂ : Type uM₂
CommRing R
AddCommGroup M₂
Module R M₂
Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂
x : M₂
⊢ Q₂.tensorLId.symm x = (TensorProduct.lid R M₂).symm x
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ ∈ alternatingGroup α
n : ℕ
ih : ∀ (l : List (Perm α)), (∀ g ∈ l, g.IsSwap) → l.length = 2 * n → l.prod ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
a : Perm α
l : List (Perm α)
hl : ∀ g ∈ a :: l, g.IsSwap
hn : (a :: l).length = 2 * n + 2
⊢ (a :: l).prod ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
p✝ : R[X]
⊢ (mk g) ((modByMonicHom hg) ((mk g) p✝)) = (mk g) p✝
α : Type u_1
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
NormedField 𝕜
NormedField 𝕜'
l : Filter α
f₁ f₂ : α → 𝕜
g₁ g₂ : α → 𝕜'
h₁ : f₁ =Θ[l] g₁
h₂ : f₂ =Θ[l] g₂
⊢ (fun x => f₁ x / f₂ x) =Θ[l] fun x => g₁ x / g₂ x
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
Semiring 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
(i : ι) → Module 𝕜 (α i)
(i : ι) → Module 𝕜 (β i)
e : (i : ι) → α i ≃ₗᵢ[𝕜] β i
x : PiLp p α
⊢ (LinearIsometryEquiv.piLpCongrRight p e) x = (WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm fun i => (e i) (x i)
R : Type u
LinearOrder R
x : Tropical R
⊢ x + x = x
α : Type u_1
One α
⊢ ofLex 1 = 1
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
hf : Function.Injective2 f
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (Finset.image₂ f s t).card = s.card * t.card
Γ : Type u_1
R : Type u_2
LinearOrderedAddCommGroup Γ
CommRing R
IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
r : R
hr : r * x.leadingCoeff = 1
⊢ 0 < (1 - (HahnSeries.single (-x.order)) r * x).orderTop
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : ∀ (v : X → ℝ) (x y : X), ∃ f ∈ L, f x = v x ∧ f y = v y
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
nX : Nonempty X
g : X → X → C(X, ℝ)
hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L
w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x
w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y
U : X → X → Set X := fun x y => {z | f z - ε < (g x y) z}
U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y
⊢ ∃ x, dist x f < ε ∧ x ∈ L
i j : ℤ
⊢ i.lcm j = i.natAbs.lcm j.natAbs
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r s : R
⊢ r + s ∈ σ a ↔ r ∈ σ (-↑ₐ s + a)
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
AddMonoid M
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : ↥(AddMonoidAlgebra.gradeBy R (⇑f) i)
⊢ (AddMonoidAlgebra.decomposeAux f) ↑x = (DirectSum.of (fun i => ↥(AddMonoidAlgebra.gradeBy R (⇑f) i)) i) x
M : Type u_1
AddMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableAdd₂ M
μ ν ρ : MeasureTheory.Measure M
MeasureTheory.SFinite μ
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite ρ
⊢ μ.conv (ν + ρ) = μ.conv ν + μ.conv ρ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
hT : (↑T).IsSymmetric
x : E
⊢ ↑(T.reApplyInnerSelf x) = ⟪T x, x⟫_𝕜
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
x✝ : F ⟶ G
⊢ ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) 0 x✝).f = Coalgebra.Hom.f 0
α : Type u_1
LinearOrderedSemiring α
m n : Num
⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
R : Type u
CommSemiring R
I J K : Ideal R
⊢ I * J * K = I * (J * K)
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : IsAffine S
H : Q g
this✝ : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
i : (X.affineCover.pullbackCover (pullback.fst f g)).J
e : pullback (pullback.fst f g) (X.affineCover.map i) ≅ pullback (X.affineCover.map i ≫ f) g := pullbackSymmetry (pullback.fst f g) (X.affineCover.map i) ≪≫ pullbackRightPullbackFstIso f g (X.affineCover.map i)
this : e.hom ≫ pullback.fst (X.affineCover.map i ≫ f) g = X.affineCover.pullbackHom (pullback.fst f g) i
⊢ Q (X.affineCover.pullbackHom (pullback.fst f g) i)
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
a : α
ha : a ∈ l
⊢ ↑a ≤ l.maximum
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
s : Set M₁
⊢ ContinuousOn (⇑e) s
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddMonoid α
h : Function.Periodic f c
n : ℕ
⊢ Function.Periodic f (n • c)
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct X Y
⊢ CategoryTheory.Limits.coprod.inl ≫ (CategoryTheory.Limits.pushoutZeroZeroIso X Y).inv =
  CategoryTheory.Limits.pushout.inl 0 0
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ MeasureTheory.Integrable g μ
a b c : Ordinal.{u_4}
⊢ a - b ≤ c ↔ a ≤ b + c
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.7193, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
this : Mono S₁.f ↔ Mono S₂.f
⊢ S₁.Exact ∧ Mono S₁.f ↔ S₂.Exact ∧ Mono S₂.f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
x✝⁵ x✝⁴ x✝³ : ℕ
x✝² : x✝³ ≥ x✝⁴
x✝¹ : ℕ
x✝ : x✝¹ ≥ x✝⁴
⊢ MeasurableSet {x | x.2 ∈ B (f x.1) K ((1 / 2) ^ x✝³) ((1 / 2) ^ x✝¹) ((1 / 2) ^ x✝⁵)}
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹³ : Zero β
inst✝¹² : One β
inst✝¹¹ : Add β
inst✝¹⁰ : Mul β
inst✝⁹ : Neg β
inst✝⁸ : Sub β
inst✝⁷ : SMul ℕ β
inst✝⁶ : SMul ℤ β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : NatCast β
inst✝³ : IntCast β
f : β → α
hf : Injective f
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : Add α
inst✝ : LeftDistribClass α
add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y
x y z : β
⊢ f (x * (y + z)) = f (x * y + x * z)
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f x
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ 0 • f z) x
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β → γ
a : Option α
b : Option β
α' : Type u_5
g : γ → δ
f' : β → α' → δ
g' : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' b (g' a)
⊢ Option.map g (Option.map₂ f a b) = Option.map₂ f' b (Option.map g' a)
α : Type u_1
Lattice α
IsModularLattice α
x y z : α
⊢ (x ⊔ z) ⊓ (y ⊔ z) = (x ⊔ z) ⊓ y ⊔ z
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ a ∈ s, f a ≠ ⊤
⊢ (∑ a ∈ s, f a).toNNReal = ∑ a ∈ s, (f a).toNNReal
α : Type u_1
f : α → NNReal
hf : Summable f
⊢ Filter.Tendsto f Filter.cofinite (𝓝 0)
α : Type u_2
DecidableEq α
Distrib α
s t u : Finset α
⊢ s * (t + u) ⊆ s * t + s * u
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
K : Type u_2
inst✝ : DivisionRing K
q : ℚ≥0
⊢ ↑↑q = ↑q
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : F
hμ : μ ≠ 0
⊢ eLpNormEssSup (fun x => c) μ = ↑‖c‖₊
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p a : Associates α
hp : Irreducible p
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
a✝ : Nontrivial α
hph : p ^ n ≠ 0
ha : a ≠ 0
eq_zero_of_ne : ∀ (q : Associates α), Irreducible q → q ≠ p → q.count a.factors = 0
⊢ ∀ (p_1 : Associates α), Irreducible p_1 → p_1.count a.factors = p_1.count (p ^ p.count a.factors).factors
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
E' : Type u_7
NormedAddCommGroup E'
InnerProductSpace 𝕜 E'
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
v' : Basis ι' 𝕜 E'
hv' : Orthonormal 𝕜 ⇑v'
e : ι ≃ ι'
⊢ v.map (hv.equiv hv' e).toLinearEquiv = v'.reindex e.symm
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
PartialOrder X
x : X
MeasureTheory.NoAtoms μ
⊢ ∫ (t : X) in Set.Ici x, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Set.Ioi x, f t ∂μ
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ : C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ≅ Y
⊢ f.hom.unop ≫ f.inv.unop = 𝟙 (Opposite.unop Y)
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α
⊢ map reverse (map reverse l.reverse.tails).reverse = l.reverse.tails.reverse
p : Prop
h : Decidable p
b : Bool
⊢ (if p then decide p else b) = (decide p || b)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
c : F
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y - c) s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
hPy : IsUnit (P y)
⊢ P ≈ Q
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ConditionallyCompleteLinearOrder E
OrderTopology E
SecondCountableTopology E
u : ℝ → E
a b : ℝ
hu : AntitoneOn u [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable u μ a b
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite
A : {x} ⊆ s
B : IsClosed (s \ {x})
C : (s \ {x})ᶜ ∈ 𝓝 x
D : {x} ∈ 𝓝 x
⊢ IsOpen {x}
a b : ℕ
hb : Odd b
ha₀ : a ≠ 0
hb' : Odd (b % (4 * a))
e a' : ℕ
ha₁' : ¬2 ∣ a'
ha₂ : a = 2 ^ e * a'
ha₁ : Odd a'
⊢ J(↑(2 ^ e * a') | b) = J(↑(2 ^ e * a') | b % (4 * a))
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
k : ℕ
⊢ ↑k ≤ multiplicity a b → a ^ k ∣ b
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasCoproduct f
inst✝ : HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
h : (Discrete.functor f).map (Discrete.eqToHom' ⋯) ≫ colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε b } = colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε (ε.symm (ε b)) }
⊢ (Discrete.functor (f ∘ ⇑ε)).map ((Discrete.equivalence ε).unit.app { as := b }) ≫ colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε (ε.symm (ε b)) } = ι f (ε b)
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
⊢ (MonoidHom.fst G G').ker = ⊥.prod ⊤
x y : ℝ
⊢ sinh x ^ 2 = cosh x ^ 2 - 1
X : Type u_1
l : Type u_3
R : Type u_8
m' : l → Type u_9
n' : l → Type u_10
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
DecidableEq l
f : X → (i : l) → Matrix (m' i) (n' i) R
hf : Summable f
⊢ Summable fun x => Matrix.blockDiagonal' (f x)
α : Type u
PseudoMetricSpace α
f : Filter α
⊢ Cauchy f ↔ f.NeBot ∧ ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f, ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, dist x y < ε
X : Type u_1
TopologicalSpace X
a₁ a₂ b₁ b₂ c₁ c₂ : X
γ : Path a₂ b₂
γ' : Path b₂ c₂
ha : a₁ = a₂
hb : b₁ = b₂
hc : c₁ = c₂
⊢ (γ.cast ha hb).trans (γ'.cast hb hc) = (γ.trans γ').cast ha hc
α : Type u_2
LinearOrder α
x : α
s : Finset α
h : ∃ y ∈ s, y < x
⊢ ∃ y ∈ s, y < x ∧ ∀ z ∈ s, z < x → z ≤ y
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
x : α
h : Fintype.card α = 1
⊢ univ.card = {x}.card
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
inst✝ : Nontrivial A
this : 1 = (algebraMap R A) 1
⊢ spectrum R 1 = {1}
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L M : Set V
C : G.ComponentCompl L
h : K ⊆ L
h' : M ⊆ K
⊢ SimpleGraph.ComponentCompl.hom ⋯ C = SimpleGraph.ComponentCompl.hom h' (SimpleGraph.ComponentCompl.hom h C)
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
Zero α
Zero β
SMulWithZero α β
LinearOrder α
LinearOrder β
PosSMulMono α β
SMulPosMono α β
h : 0 < a • b
ha : b ≤ 0
⊢ a < 0
Y : Type u_2
TopologicalSpace Y
ι : Type u_6
DecidableEq ι
i : ι
f : (j : ι) → (fun a => Y) j
⊢ (Homeomorph.funSplitAt Y i) f = (f i, fun j => f ↑j)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
c d : ℝ≥0
hcd : c < d
s : Set α
hc : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ ↑c * μ a
hd : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ↑d * μ a ≤ ρ a
x : α
x✝ : x ∈ s
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : μ o < ⊤
⊢ μ (s ∩ o) = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
⊢ ∀ p ∈ {p₁, p₂}, ∃ r, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
heX : e ∈ X
h : autoParam (e ∈ M.E) _auto✝
⊢ e ∈ M.closure X
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Preorder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulMono α
H : 0 ≤ a
n : ℕ
⊢ 0 ≤ a ^ n * a
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
x : M
f : Module.Dual R M
Φ : Set M
h : f x = 2
⊢ Set.InvOn (⇑(Module.reflection h)) (⇑(Module.reflection h)) Φ Φ
n m : ℕ
⊢ n % 2 = 1 → m % 2 = 1 → n * m % 2 = 1
ι : Type u_1
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
Fintype ι
DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι ℝ F
⊢ a.toBasis.det ⇑b = 1 ∨ a.toBasis.det ⇑b = -1