ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_15
NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
hgf : ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0
c : 𝕜
H : Filter.Tendsto (f / g) l (𝓝 c)
⊢ f =O[l] g
α : Type u_1
β : Type u_2
h : Set α → Set β
s : Set α
hh : Monotone h
⊢ (𝓟 s).lift' h = 𝓟 (h s)
R : Type u_1
x y : R
Semiring R
h_comm : Commute x y
h : IsNilpotent x
⊢ IsNilpotent (x * y)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ : R
hf : f.HasEigenvalue μ
m : M
hm : f.HasEigenvector μ m
n : ℕ
hn : f ^ n = 0
⊢ IsNilpotent μ
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε = univ
⊢ SeparableSpace α
M : Type u_4
Monoid M
l : List (List M)
⊢ l.join.prod = (List.map List.prod l).prod
I : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq I
Z : I → Type u_2
inst✝² : (i : I) → CommMonoid (Z i)
inst✝¹ : Finite I
G : Type u_3
inst✝ : CommMonoid G
g h : ((i : I) → Z i) →* G
H : ∀ (i : I) (x : Z i), g (Pi.mulSingle i x) = h (Pi.mulSingle i x)
val✝ : Fintype I
k : (i : I) → Z i
⊢ g k = h k
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
⊢ 0 < Fintype.card α
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
b : β
nhd_b : {0}ᶜ ∈ 𝓝 b
nhd_o : {b}ᶜ ∈ 𝓝 0
⊢ (∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A) ↔ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ι) in L, As x i = (i ∈ A)
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c : 𝕜 → 𝕜'
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
d : 𝕜'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x => c x / d) s x = derivWithin c s x / d
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
f : Module.End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k l : ℕ
⊢ Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) k) ((f.genEigenspace μ₂) l)
I : Type u
f : I → Type v
γ : Type w
(i : I) → Add (f i)
Add γ
g : (i : I) → AddHom γ (f i)
x : γ
i : I
⊢ (Pi.addHom g) x i = (g i) x
α : Sort u₁
β : Sort u₂
φ : Sort u₃
δ : Sort u₄
f : φ → δ
g : β → φ
h : α → β
⊢ (f ∘ g) ∘ h = f ∘ g ∘ h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
hα : TopologicalSpace α
h'α : OrderTopology α
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a : α
y : β
h : 𝓝[<] a ≠ ⊥
h' : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 y)
h'' : ∃ y, Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 y)
⊢ leftLim f a = y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
R : Type u_3
Semiring R
Module R F
SMulCommClass 𝕜 R F
ContinuousConstSMul R F
i : ℕ
a : R
x : E
hf : ContDiff 𝕜 (↑i) f
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 i (fun x => a • f x) x = a • iteratedFDeriv 𝕜 i f x
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
hn : ↑n = s.chainHeight
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x > x_1
i : α
h : i ∈ map Subtype.val (ofFn fun i => f ↑i)
⊢ i ∈ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategoryStruct D
F : D ⥤ C
self : CategoryTheory.Monoidal.InducingFunctorData F
X : D
⊢ F.map (λ_ X).hom =
  (((self.μIso (𝟙_ D) X).symm ≪≫ (self.εIso.symm ⊗ CategoryTheory.Iso.refl (F.obj X))) ≪≫ λ_ (F.obj X)).hom
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
n : Type u_2
LinearOrder n
IsWellOrder n fun x x_1 => x < x_1
LocallyFiniteOrderBot n
S : Matrix n n 𝕜
Fintype n
hS : S.PosDef
⊢ LDL.lowerInv hS = ((Pi.basisFun 𝕜 n).toMatrix ⇑(gramSchmidtBasis (Pi.basisFun 𝕜 n))).transpose
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ s ⊔ t = s ∪ t
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ¬∃ x, p.IsRoot x
a : R
⊢ count a 0 = rootMultiplicity a p
α : Type u_1
p : α → Prop
a : α
s : Multiset α
⊢ (∀ x ∈ a ::ₘ s, p x) ↔ p a ∧ ∀ x ∈ s, p x
α : Type u
β : Type v
f : Filter β
m : α → β
⊢ f.NeBot → Set.range m ∈ f → (Filter.comap m f).NeBot
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
v : ι → F
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ Lagrange.basis {i, j} v j = Lagrange.basisDivisor (v j) (v i)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
⊢ Metric.ball 0 r₁ • p.ball 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)
h : #↑(range f) < #β
u : ∀ (b : β), ∃ a, b ∈ f a := fun b => Eq.mp (Eq.trans Mathlib.Order.SetNotation._auxLemma.3 (congrArg Exists (funext fun i => Mathlib.Data.Finset.Basic._auxLemma.6))) (Eq.ge w (mem_univ b))
u' : β → ↑(range f) := fun b => ⟨f ⋯.choose, ⋯⟩
v' : ∀ (a : α), u' ⁻¹' {⟨f a, ⋯⟩} ≤ ↑(f a)
a : α
p : Infinite ↑(u' ⁻¹' {⟨f a, ⋯⟩})
⊢ False
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : ι → Language α
⊢ (⨅ i, l i).reverse = ⨅ i, (l i).reverse
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (insert p s)) ≤ finrank k ↥(vectorSpan k s) + 1
A : Class
hA : A.powerset ⊆ A
⊢ A = Class.univ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
f g : α → E
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
⊢ eLpNormEssSup (s.piecewise f g) μ = max (eLpNormEssSup f (μ.restrict s)) (eLpNormEssSup g (μ.restrict sᶜ))
G : Type u_1
H : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Module R M
tR : IsTorsion R
f : M
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : n • 1 = 0
⊢ ∃ n, 0 < n ∧ n • f = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun x => x.2
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
i : ι
⊢ IsIso (homologyMap φ.τ₃ i)
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ
f : X ⟶ Y
e_1✝ : F.obj ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) Y).fst = ((Functor.fromPUnit F).obj (unop X).right).obj (op (unop Y).left)
⊢ (unop Y).hom.app (op (unop Y).left) (𝟙 (unop Y).left) = (unop X).hom.app (op (unop Y).left) f.unop.left
α : Type u_1
Ring α
n : ℕ
a a' : α
⊢ Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a (Int.negOfNat n) → ↑n = a' → a = -a'
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
p : 𝕜[X]
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => Polynomial.eval x p
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h₁ : I₁ ≤ I
h₂ : I₂ ≤ I
⊢ comap I.incl ⁅I ⊓ I₁, I ⊓ I₂⁆ = comap I.incl ⁅I₁, I₂⁆
x : ℝ
x_large : 512 ≤ x
f : ℝ → ℝ := fun x => log x + √(2 * x) * log (2 * x) - log 4 / 3 * x
hf' : ∀ (x : ℝ), 0 < x → 0 < x * (2 * x) ^ √(2 * x) / 4 ^ (x / 3)
hf : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f x = log (x * (2 * x) ^ √(2 * x) / 4 ^ (x / 3))
h5 : 0 < x
h : ConcaveOn ℝ (Set.Ioi 0.5) f
⊢ ∃ x1 x2, 0.5 < x1 ∧ x1 < x2 ∧ x2 ≤ x ∧ 0 ≤ f x1 ∧ f x2 ≤ 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
k : ℕ
⊢ lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥ ↔ lowerCentralSeries R L M k ≤ N
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α
⊢ (Finset.uIcc s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, ((↑(Multiset.count i t) - ↑(Multiset.count i s)).natAbs + 1)
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
⊢ MeasureTheory.eLpNorm f p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm f q μ
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X₁ X₂ : C
⊢ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom =
  (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ CategoryTheory.tensor_μ C (X₁, X₂) (𝟙_ C, 𝟙_ C) ≫ ((ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom)
K : Type u_1
g : GenContFract K
DivisionRing K
⊢ g.dens 0 = 1
G : Type u_1
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableNeg G
μ.IsAddRightInvariant
⊢ MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun p => p.1 - p.2) (μ.prod ν) μ
R : Type u
inst₁ inst₂ : AddMonoidWithOne R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_one : One.one = One.one
h_monoid : toAddMonoid = toAddMonoid
h_zero' : AddMonoid.toZero = AddMonoid.toZero
h_one' : toOne = toOne
h_natCast : NatCast.natCast = NatCast.natCast
⊢ inst₁ = inst₂
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
this : ¬IsUnit (X ^ p - C a)
⊢ Irreducible (X ^ p - C a)
α : Type u
Sub α
x y : Multiplicative α
⊢ Multiplicative.toAdd (x / y) = Multiplicative.toAdd x - Multiplicative.toAdd y
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
self : CategoryTheory.HasProjectiveResolutions C
Z : C
⊢ CategoryTheory.HasProjectiveResolution Z
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedCommRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
a✝ : Nontrivial A
a : A
this : spectralRadius ℂ ((gelfandTransform ℂ A) (star a * a)) = spectralRadius ℂ (star a * a)
⊢ ‖(gelfandTransform ℂ A) a‖ = ‖a‖
α : Type u_1
CompleteLattice α
u : ℕ → α
⊢ Filter.limsup u Filter.atTop = ⨅ n, ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), u i
f g : CircleDeg1Lift
x : ℕ → ℝ
C : ℝ
H : ∀ (n : ℕ), dist ((f ^ n) 0) (x n) ≤ C
⊢ Tendsto (fun n => x (2 ^ n) / 2 ^ n) atTop (𝓝 (τ f))
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
a : α
⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (s ∩ {b | b < a}) ↔ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ Icc (a - ib) (a + ib)) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ∈ Icc (a - ε) (a + ε)
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
⊢ MvPolynomial.mapEquiv σ (RingEquiv.refl R) = RingEquiv.refl (MvPolynomial σ R)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
ι : Type u_2
l : ι → Filter α
t : Set ι
hd : t.PairwiseDisjoint l
ht : t.Finite
this : Finite ↑t
s : (i : ι) → { s // s ∈ l i }
hsd : Pairwise (Disjoint on fun i => ↑((fun i => s ↑i) i))
⊢ ∃ s, (∀ (i : ι), s i ∈ l i) ∧ t.PairwiseDisjoint s
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))
hf_mem_ℒp : Memℒp (↑↑f) p μ := memℒp_of_memℒp_trim hm (Lp.memℒp f)
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K✝ : Type u
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K✝ L
inst✝ : FiniteDimensional F E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
K : IntermediateField F E
g : E[X] := Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α)
K' : IntermediateField F E := adjoin F ↑g.coeffs
hsub : K' ≤ K
dvd_g : minpoly (↥K') α ∣ g.toSubring K'.toSubring ⋯
⊢ K' = K
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : E b
⊢ e.symm b (↑e { proj := b, snd := y }).2 = y
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
Invertible A
⊢ A⁻¹ * A = 1
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
⊢ Algebra.adjoin R {t | ∃ a b, a ⊗ₜ[R] b = t} = ⊤
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X → Y
hf : Isometry f
H : Monotone m ∨ Surjective f
⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : i > 0), (comap f) (boundedBy (extend fun s x => m (diam s))) = ⨆ r, ⨆ (_ : r > 0), boundedBy (extend fun s x => m (diam s))
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
⊢ ∃ y, (adjoint f) y ∈ K.dual ∧ ⟪y, b⟫_ℝ < 0
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
⊢ ∀ (a : Π₀ (i : ι), β i) (i : { x // x ∈ ((Equiv.sigmaFiberEquiv DFinsupp.support).symm a).fst }),
  ↑((DFinsupp.sigmaFinsetFunEquiv a).snd i) = a ↑i
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hf : S.f = 0
S.HasHomology
⊢ CategoryTheory.IsIso S.homologyπ
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
m n : ℕ
h : m ≠ 0 → n ≠ 0 → m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hmn : m.Coprime n
⊢ f (m * n) = f m * f n
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : PadicSeq p
⊢ (-a).norm = a.norm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
IsWellOrder γ t
f : r ≺i s
g : s ≺i t
h : r ≺i t
⊢ t h.top g.top
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal
c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}
γ : ℝ := sSup c
hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤
hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤
to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s
⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i j : Set α
s : SignedMeasure α
f : ℕ → ℝ
left✝ : Antitone f
hf₂ : Tendsto f atTop (nhds (sInf s.measureOfNegatives))
B : ℕ → Set α
hB : ∀ (n : ℕ), B n ∈ {B | MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B} ∧ ↑s (B n) = f n
hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)
hB₂ : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)
A : Set α := ⋃ n, B n
hA : A = ⋃ n, B n
hA₁ : MeasurableSet A
hA₂ : restrict s A ≤ restrict 0 A
hA₃ : ↑s A = sInf s.measureOfNegatives
C : Set α
a✝ : MeasurableSet C
hC₁ : C ⊆ Aᶜ
⊢ ↑0 C ≤ ↑s C
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β →. γ
g : α →. β
⊢ (f.comp g).Dom = g.preimage f.Dom
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : X → M'
e : PartialHomeomorph X H
x : X
s : Set X
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g (↑e.symm (↑e x)) ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g (↑e.symm (↑e x)) ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s (↑e.symm (↑e x))
⊢ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ↔ P (↑f' ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
M : Type u_1
α : Type u_2
Bornology M
SMul M α
s t : Set α
hs : Absorbent M s
ht : t.Finite
⊢ Absorbs M s t
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
s : Set E
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn (fderiv 𝕜 ∘ f) g' l s
hf : ∀ (n : ι), DifferentiableOn 𝕜 (f n) s
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
f : κ → Ideal A
s : κ → Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)
hs : ∀ (i : κ), f i = span (Subtype.val '' s i)
⊢ ⨆ i, f i = ⨆ i, span (Subtype.val '' s i)
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
i : σ
⊢ (MvPolynomial.X i).divMonomial (Finsupp.single i 1) = 1
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
⊢ (⊤ * a).toReal = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
i j k : D.J
⊢ (fun i j k => (PreservesPullback.iso F (D.f i j) (D.f i k)).inv ≫ F.map (D.t' i j k) ≫ (PreservesPullback.iso F (D.f j k) (D.f j i)).hom) i j k ≫ (fun i j k => (PreservesPullback.iso F (D.f i j) (D.f i k)).inv ≫ F.map (D.t' i j k) ≫ (PreservesPullback.iso F (D.f j k) (D.f j i)).hom) j k i ≫ (fun i j k => (PreservesPullback.iso F (D.f i j) (D.f i k)).inv ≫ F.map (D.t' i j k) ≫ (PreservesPullback.iso F (D.f j k) (D.f j i)).hom) k i j = 𝟙 (pullback ((fun i j => F.map (D.f i j)) i j) ((fun i j => F.map (D.f i j)) i k))
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : DecidableEq p
M : p → Matrix n n R
⊢ (blockDiagonal M).trace = ∑ i : p, (M i).trace
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f p μ
this : ∀ (x : α), ‖RCLike.im (f x)‖ ≤ 1 * ‖f x‖
⊢ Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + b - (c + d) ≤ a - c + (b - d)
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
B : Set X
g : G
hB : MulAction.IsBlock G B
⊢ MulAction.IsBlock G (g • B)
x a✝ : PSet
h : ⟦a✝⟧ ∈ (mk x).toSet
⊢ x.Nonempty
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q : Submodule R N
hp : p.FG
hq : q.FG
⊢ (Submodule.map₂ f p q).FG
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
OrderedCommGroup β
f : ι → α
g : ι → β
hfg : Monovary f g
n : ℕ
⊢ Monovary (f ^ n) g
X Y Z W : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair
f : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom X Y
g : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom Y Z
h : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPairHom Z W
⊢ (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
x : X
⊢ star (FreeAlgebra.ι R x) = FreeAlgebra.ι R x
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0
⊢ Associated (IsFractionRing.num A x) ↑(IsFractionRing.den A x⁻¹)
x y : ℂ
h₁ : Complex.abs x = Complex.abs y
h₂ : x.arg = y.arg
⊢ x = y
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ (a ⇨ b) ⊓ (b ⇨ c) ≤ a ⇨ c
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
hK : IsPGroup p ↥K
H.Normal
⊢ IsPGroup p ↥(H ⊔ K)
α : Type u
β : Type v
s : Set α
Preorder α
Preorder β
f : α → β
h : s.Subsingleton
⊢ AntitoneOn f s
R : Type u
CommRing R
n : ℕ
u : Rˣ
hn : IsUnit ↑n
⊢ (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C ↑u).Separable
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
h : f.SameCycle x y
hx : x ∈ f.support
⊢ ∃ i < (f.cycleOf x).support.card, (f ^ i) x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
c : ℝ
c_neg : c < 0
x : α
hx : x ∈ {a | f a ≤ c}
⊢ x ∈ {x | -c ≤ ‖f x‖}
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
⊢ AddLocalization.mk = (AddLocalization.addMonoidOf S).mk'
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
f : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Inducing f
s : Set α
hs : IsSeparable s
this✝ : SeparableSpace ↑s
this : SecondCountableTopology ↑s
⊢ IsSeparable (f ⁻¹' s)
α : Type u
s : Stream'.Seq α
n : ℕ
⊢ s.tail.get? n = s.get? (n + 1)
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
z : (type r).cof = 1
S : Set α
hl : Unbounded r S
e : #↑S = 1
a : ↑S
⊢ ∃ a, type r = succ a
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : Nonempty X
g : Y →ᵇ ℝ
hg : ∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)
hgf : ⇑g ∘ e = ⇑f
⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv = 𝟙 (𝟙_ C ⊗ X)
α : Type u_1
b : Bool
n : ℕ
IH : Nat.binaryRec 0 (fun b x => bif b then Num.bit1 else Num.bit0) n = ↑n
⊢ (bif b then Num.bit1 else Num.bit0) ↑n = ↑(Nat.bit b n)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
x : α
⊢ pred a < x ↔ a = x ∨ a < x
R : Type u
Ring R
z : R
⊢ z ∈ Subring.center R ↔ ∀ (g : R), g * z = z * g
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
r : R
⊢ comapDomain Int.ofNat (Finsupp.single n r) ⋯ = (toFinsuppIso R) (if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0)
E : Type u_1
F : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
c x : E → F
R : E → ℝ
s : Set E
n : ℕ∞
hc : ContDiffOn ℝ n c s
hR : ContDiffOn ℝ n R s
hx : ContDiffOn ℝ n x s
hne : ∀ a ∈ s, x a ≠ c a
⊢ ContDiffOn ℝ n (fun a => EuclideanGeometry.inversion (c a) (R a) (x a)) s
x : USize
⊢ ↑x.val = x.toNat
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
h : ¬MDifferentiableWithinAt I I' f s x
⊢ mfderivWithin I I' f s x = 0
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a b : R
hab : a ≤ b
c : R
⊢ c * a * star c ≤ c * b * star c