ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R✝ : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
inst✝²⁷ : CommSemiring R✝
inst✝²⁶ : NonUnitalRing A✝¹
inst✝²⁵ : Module R✝ A✝¹
inst✝²⁴ : IsScalarTower R✝ A✝¹ A✝¹
inst✝²³ : SMulCommClass R✝ A✝¹ A✝¹
R : Type u_3
S : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝²² : Semifield R
inst✝²¹ : Field S
inst✝²⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝¹⁹ : Module R A✝
inst✝¹⁸ : Module S A✝
inst✝¹⁷ : IsScalarTower S A✝ A✝
inst✝¹⁶ : SMulCommClass S A✝ A✝
inst✝¹⁵ : Algebra R S
a✝ : A✝
f✝ : S → R
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R S A✝
h : QuasispectrumRestricts a✝ f✝
R₁ : Type u_6
R₂ : Type u_7
R₃ : Type u_8
A : Type u_9
inst✝¹³ : Semifield R₁
inst✝¹² : Field R₂
inst✝¹¹ : Field R₃
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A
inst✝⁹ : Module R₁ A
inst✝⁸ : Module R₂ A
inst✝⁷ : Module R₃ A
inst✝⁶ : Algebra R₁ R₂
inst✝⁵ : Algebra R₂ R₃
inst✝⁴ : Algebra R₁ R₃
inst✝³ : IsScalarTower R₁ R₂ R₃
inst✝² : IsScalarTower R₂ R₃ A
inst✝¹ : IsScalarTower R₃ A A
inst✝ : SMulCommClass R₃ A A
a : A
f : R₃ → R₂
g : R₂ → R₁
e : R₃ → R₁
hfge : g ∘ f = e
hf : QuasispectrumRestricts a f
hg : QuasispectrumRestricts a g
⊢ ⇑(algebraMap R₁ R₃) = ⇑(algebraMap R₂ R₃) ∘ ⇑(algebraMap R₁ R₂)
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ CliffordAlgebra.reverseOp ((CliffordAlgebra.ι Q) m) = MulOpposite.op ((CliffordAlgebra.ι Q) m)
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
l : List (Equiv.Perm α)
h : f ∈ l
hl : List.Pairwise Equiv.Perm.Disjoint l
⊢ f.support ≤ l.prod.support
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
v : V
p : ι → P
⊢ v ∈ vectorSpan k (Set.range p) ↔ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 0 ∧ v = (s.weightedVSub p) w
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
R₄ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₄
inst✝² : IsDomain R₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : Module R₄ M₄
G : BilinForm R₄ M₄
x y : M₄
a : R₄
ha : a ≠ 0
⊢ a = 0 → (G x) y = 0
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hz : z ≠ 0
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
hx : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k)
hy : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff m)
⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0
h : IsUnit f
this : f.order.get ⋯ = 0
⊢ f = divided_by_X_pow_order hf
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M N : Submodule R A
A' : Type u_1
Semiring A'
Algebra R A'
f : A →ₐ[R] A'
⊢ Submodule.map f.toLinearMap (M * N) = Submodule.map f.toLinearMap M * Submodule.map f.toLinearMap N
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
b : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
p : E × F
⊢ fderiv 𝕜 b p = h.deriv p
α : Type
d✝ : ℕ
ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
d : ℕ
ds : List ℕ
x : Holor α (d :: ds)
h_summands : ∀ (i : { x // x ∈ Finset.range d }), CPRankMax ds.prod (unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
h_dds_prod : (d :: ds).prod = (Finset.range d).card * ds.prod
this : CPRankMax ((Finset.range d).attach.card * ds.prod) (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
h_cprankMax_sum : CPRankMax ((Finset.range d).card * ds.prod) (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
⊢ CPRankMax (d :: ds).prod (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E
⊢ x * x⋆ ≠ 0 ↔ x ≠ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
ι : Type u_3
f : ι → R → R
a : A
ha : p a := by cfc_tac
hf : ∀ (i : ι), ContinuousOn (f i) (σₙ R a) := by cfc_cont_tac
hf0 : ∀ (i : ι), f i 0 = 0 := by cfc_zero_tac
⊢ (fun i => cfcₙ (f i) a) = fun i =>
  (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict (f i), continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : StrongFEPair E
r : ℝ
⊢ P.f =O[Filter.atTop] fun x => x ^ r
⊢ BddLat.dualEquiv.functor = BddLat.dual
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List β
f : α → β → γ
⊢ List.zipWith f List.nil l = List.nil
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
e : E
f : E → F
g : E → G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesAt f p e
hg : HasFPowerSeriesAt g q e
⊢ HasFPowerSeriesAt (fun x => (f x, g x)) (p.prod q) e
K : Type u_1
Field K
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
x : K
⊢ Valued.extension (↑K x) = Valued.v x
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
c : Cardinal.{v'}
f : V →ₗ[K] V'
⊢ c ≤ f.rank ↔ ∃ s, lift.{v', v} #↑s = lift.{v, v'} c ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑s) => f ↑x
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
⊢ toIocDiv hp (a - c) b = toIocDiv hp a (b + c)
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace β
MeasurableSpace α
f : α → β
G : Type u_5
AddGroup G
MeasurableSpace G
AddAction G β
MeasurableVAdd G β
c : G
⊢ (Measurable fun x => c +ᵥ f x) ↔ Measurable f
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a b : R
hab : a ≤ b
c : R
⊢ star c * a * c ≤ star c * b * c
a b c d k m : ℕ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = k * m
ha : 2 * a < m
hb : 2 * b < m
hc : 2 * c < m
hd : 2 * d < m
⊢ k < m
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
⊢ rightHomologyMap' (-φ) h₁ h₂ = -rightHomologyMap' φ h₁ h₂
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : 0 < k
⊢ p ^ 1 ≤ p ^ k
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝¹ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set α → Prop
s : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hne : s.Nonempty
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : t.Subsingleton
htl : t ∈ l
⊢ ∃ a ∈ s, {a} ∈ l
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
A : Type u_4
AddMonoid A
DistribMulAction M A
B : Type u_5
AddMonoid B
DistribMulAction N B
⊢ ⇑0 = 0
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrderedAddCommGroup α
OrderTopology α
a : α
ε : α
hε : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 a, |x - a| < ε
α : Type u_1
h : DecidablePred fun x => False
s : Finset α
⊢ Finset.filter (fun x => False) s = ∅
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f
g : CategoryTheory.MonoOver X
⊢ ((CategoryTheory.MonoOver.map f).obj g).arrow = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g.arrow f
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z w : K
⊢ normSq (z - w) = normSq z + normSq w - 2 * re (z * (starRingEnd K) w)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : Nonempty Y
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
h : Nonempty X
⊢ ∃ y, f = Function.const X y
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
hf : Measurable f
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
⊢ (ProbabilityTheory.Kernel.deterministic f hf).comp κ = κ.map f hf
x : ℝ*
⊢ (∃ r, x.IsSt r) → ¬x.Infinite
n : ℕ
a : USize
⊢ n • a = { val := n • a.val }
Y : Type v
Z : Type w
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TietzeExtension Z
e : Y ≃ₜ Z
⊢ TietzeExtension Y
α : Type u_1
EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
h : edist x y ≠ ⊤
⊢ edist x y ≤ (edist x (f x) + edist y (f y)) / (1 - ↑K)
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
ζ' : M
k' : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ' k'
hk : k ≠ 0
hk' : k' ≠ 0
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ (k / k.factorizationLCMLeft k') * ζ' ^ (k' / k.factorizationLCMRight k')) (k.lcm k')
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
b : Prop
h₂ : ∃! x, ∃! h, q x h
h₁ : ∀ (x : α) (h : p x), q x h → (∀ (y : α) (hy : p y), q y hy → y = x) → b
⊢ b
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
r : α
A : Matrix n n α
⊢ (r • A).adjugate = r ^ (Fintype.card n - 1) • A.adjugate
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f f₁ : E → F
x : E
h : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
n : ℕ
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f₁ s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Mul G
DecidableEq G
a b : MonoidAlgebra k G
⊢ (a * b).support ⊆ a.support * b.support
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
α : Sort u_1
X : C
F : ⦃A : C⦄ → (f : A ⟶ X) → [inst : CategoryTheory.Mono f] → α
h :
  ∀ ⦃A B : C⦄ (f : A ⟶ X) (g : B ⟶ X) [inst : CategoryTheory.Mono f] [inst_1 : CategoryTheory.Mono g] (i : A ≅ B),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp i.hom g = f → F f = F g
A : C
f : A ⟶ X
CategoryTheory.Mono f
⊢ CategoryTheory.Subobject.lift F h (CategoryTheory.Subobject.mk f) = F f
R : Type u_1
x : R
Zero R
Pow R ℕ
hx : IsNilpotent x
⊢ x ^ nilpotencyClass x = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
⊢ Presieve.IsSheafFor P S.arrows ↔ ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows), ((firstObjEqFamily P S.arrows).hom ((firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a)).Compatible → ∃! x, forkMap P S.arrows x = (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a
R : Type u
Semiring R
k : ℕ
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[k] 0 = 0
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (map ι f) x = -x ↔ LinearMap.det ↑f < 0
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x : 𝒰.J
⊢ 𝒰.gluedCover.ι x ≫ 𝒰.fromGlued = 𝒰.map x
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
⊢ (CategoryTheory.Monoidal.monFunctorCategoryEquivalence C D).unitIso =
  CategoryTheory.Monoidal.MonFunctorCategoryEquivalence.unitIso
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
g : α → E'
g' : α → F'
h : g x = 0
⊢ g =o[𝓝[insert x s] x] g' ↔ g =o[𝓝[s] x] g'
M : Type u
self : AddZeroClass M
a : M
⊢ a + 0 = a
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
X : ↑({ obj := fun C => Cat.of (WithTerminal ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.obj a✝)
⊢ ({ obj := fun C => Cat.of (WithTerminal ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ (𝟙 f✝)).app X = (𝟙 ({ obj := fun C => Cat.of (WithTerminal ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map f✝)).app X
M : Type u_1
CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
p : Type u_4
f : M → ↥S → p
H : ∀ {a c : M} {b d : ↥S}, (Localization.r S) (a, b) (c, d) → f a b = f c d
⊢ Localization.liftOn 0 f H = f 0 1
G : Type u_1
AddGroup G
⊢ (AddSubgroup.center G).toAddSubmonoid = AddSubmonoid.center G
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : CompleteLinearOrder R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : OrderTopology R
x : R
as : ι → R
x_le : ∀ (i : ι), x ≤ as i
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
as_lim : Tendsto as F (𝓝 x)
⊢ ⨅ i, as i = x
E : Type u_4
AddGroup E
p q : NonarchAddGroupSeminorm E
⊢ p ≤ q ↔ ⇑p ≤ ⇑q
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
α' : Type u_6
ι : Type u_7
f : α → α'
l : Line α ι
x : α
⊢ (fun x i => ((map f l).idxFun i).getD x) (f x) = f ∘ (fun x i => (l.idxFun i).getD x) x
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
U V : Set α
⊢ Quotient.mk' '' U ∩ Quotient.mk' '' V = ∅ ↔ ∀ x ∈ U, ∀ (g : G), g • x ∉ V
X : PartialFun
⊢ partialFunEquivPointed.unitIso.hom.app X =
  (PartialFun.Iso.mk
        { toFun := fun a => ⟨some a, ⋯⟩, invFun := fun a => (↑a).get ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }).hom ≫
    pointedToPartialFun.map (Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe none) ⋯).inv ≫
      pointedToPartialFun.map { toFun := Option.elim' none fun a => ↑a, map_point := ⋯ }
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this✝ : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
x₀ : { j // j ≠ i } → K
e : K ≃ { x // x ∘ Subtype.val = x₀ } := (Equiv.subtypeEquivCodomain x₀).symm
a : K
e' : { j // j = i } ⊕ { j // j ≠ i } ≃ σ := Equiv.sumCompl fun j => j = i
this : Unique { j // j = i } := { default := ⟨i, ⋯⟩, uniq := ⋯ }
⊢ ∀ (a_1 : { j // j ≠ i }), ↑(e a) ↑a_1 ^ d ↑a_1 = x₀ a_1 ^ d ↑a_1
n : ℕ
⊢ 0 < ↑n ↔ 0 < n
α : Type u
s t s' t' : Set α
l : Filter α
h : s =ᶠ[l] t
h' : s' =ᶠ[l] t'
⊢ s ∩ s' =ᶠ[l] t ∩ t'
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.8704, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.8711, u_2} D
ι : Type u_3
F G : Discrete ι ⥤ C
α : F ⟶ G
i : ι
⊢ IsPullback (F.map { down := { down := ⋯ } }) (α.app { as := i }) (α.app { as := i }) (G.map { down := { down := ⋯ } })
α : Type u_1
xs : List α
⊢ List.sym 1 xs = List.map (fun x => x ::ₛ Sym.nil) xs
α : Type u
n : ℕ
⊢ id^[n] = id
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
AddCommGroup M
ContinuousAdd M
Module R M
ContinuousSMul R M
(𝓝[{x | IsUnit x}] 0).NeBot
s : Submodule R M
hs : (interior ↑s).Nonempty
⊢ s = ⊤
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
inst✝ : IsEmpty α
f : α → β
la : Filter α
lb : Filter β
⊢ Tendsto f la lb
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E' 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E'
⊢ ∫ (a : α) in s, ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜 ∂μ - ∫ (a : α) in s, ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜 ∂μ = 0
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ a +ᵥ Metric.ball b r = Metric.ball (a +ᵥ b) r
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
r : ℝ
⊢ (↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal fun x => ↑r) * star ↑hA.eigenvectorUnitary = (algebraMap ℝ (Matrix n n 𝕜)) r
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
R : Type u_1
CommSemiring R
Algebra R 𝕜
q : R[X]
x : 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => (Polynomial.aeval x) q) ((Polynomial.aeval x) (Polynomial.derivative q)) s x
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
a : S
y : ℤ
hy : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y
⊢ abv ((Algebra.norm R) a) ≤ normBound abv bS * y ^ Fintype.card ι
hm : 0 ≠ 1
⊢ schnirelmannDensity {n | n % 0 = 1} = (↑0)⁻¹
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
hl : 1 < l.length
⊢ l.formPerm l[0] = l[1]
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a : α
⊢ IsPreconnected (Set.Ici a)
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ 𝟙_ C ◁ f = (𝟙_ C ◁ f ≫ (λ_ Y).hom) ≫ (λ_ Y).inv
z✝ y x✝ : ℝ
x z : ℂ
hz : ‖z‖ ≤ 1
⊢ cexp (x + z) - cexp x - z * cexp x = cexp x * (cexp z - 1 - z)
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
⊢ ↑(b.natDegree - ⌈-(log ε / log ↑(Fintype.card Fq))⌉₊) ≤ ↑b.natDegree - ↑⌈-(log ε / log ↑(Fintype.card Fq))⌉₊
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
hb : head s₁ = head s₂
ht : last s₁ = last s₂
hs₁0 : s₁.length = 0
this✝ : ∀ (x : X), x ∈ s₁ ↔ x = last s₁
this : ∀ (x : X), x ∈ s₂ ↔ x = last s₂
⊢ s₁ = s₂
m a b c : ℕ
hm : 0 < m
h : a * c ≡ b * c [MOD m]
⊢ a ≡ b [MOD m / m.gcd c]
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : MeasureTheory.Measure E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
μ.IsOpenPosMeasure
⊢ ∫ (x : E), f.normed μ x ∂μ = 1
α : Type u
LinearOrder α
a b : α
⊢ min a b ≤ a
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_5
Zero β
s : ι → Set α
f : α → β
a : α
⊢ Filter.Tendsto (fun n => (⋃ i ∈ n, s i).indicator f a) Filter.atTop (pure ((Set.iUnion s).indicator f a))
α : Type u
l : List α
⊢ l.reverse.sublists' = List.map List.reverse l.sublists
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ
X : ℂ
y : ℝ
v : ℂ
hv : v ∈ ball x ε'
y1 : ℝ
hy1 : y1 ∈ Ico 0 (2 * π)
hfun : circleTransformDeriv R z v f y = circleTransformDeriv R z v f y1
hy2 : y1 ∈ [[0, 2 * π]]
HX2 : ∀ (x : ℂ), abs (x - z) = R → abs (f x) ≤ abs (f X)
this : abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(v, y1), ⋯⟩) * abs (f (circleMap z R y1)) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩) * abs (f X)
⊢ ‖circleTransformDeriv R z v f y‖ ≤ abs (V b a) * abs (f X)
K : Type u_1
RCLike K
⊢ ↑RCLike.ofRealCLM = RCLike.ofRealAm.toLinearMap
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
x✝ : R
h : x✝ ∈ closure s
x y : R
hx : x ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
q : R
hq : q ∈ ↑(Subsemigroup.closure s)
p₁ p₂ : R
ihp₁ : p₁ * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
ihp₂ : p₂ * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
⊢ p₁ * q + p₂ * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)
u✝ u : XgcdType
h : u.r = 0
⊢ (if x : u.r = 0 then u.finish else u.step.reduce.flip) = u.finish
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) η)
    (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor g).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).hom η
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Zero β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
hf : ∀ (y : β), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
⊢ μ (Function.support ↑f) < ⊤
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
OrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r : β
⊢ Convex 𝕜 (Set.Iio r)
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
hs : t ∩ u ⊆ s
ht : s ∩ u ⊆ t
⊢ s ∩ u = t ∩ u
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a x : E
ha : ¬a = 0
⊢ ∀ (i : Fin 2), (⟪a, x⟫_ℝ • (innerₛₗ ℝ) a + (o.areaForm a) x • o.areaForm a) ((o.basisRightAngleRotation a ha) i) = (‖a‖ ^ 2 • (innerₛₗ ℝ) x) ((o.basisRightAngleRotation a ha) i)
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
X : Subobject B
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
h₁ : X ≤ mk f
h₂ : mk f ≤ mk g
⊢ X.ofLEMk f h₁ ≫ ofMkLEMk f g h₂ = X.ofLEMk g ⋯
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FiniteType
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
hU' : IsQuasiSeparated U.carrier
f : ↑Γ(X, U)
⊢ IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P✝ : Finpartition s
a : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
i : α
P : Finset (Finset α)
PQ : P ⊆ F
hi : i ∈ filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ P ↔ i ∈ u) s
hy₂ : filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ P ↔ i ∈ u) s ⊆ t
j : α
_hj : j ∈ filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ P ↔ i ∈ u) s
⊢ filter (fun i => ∀ x ∈ F, x ∈ insert t (P.erase t) ↔ i ∈ x) s = filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ P ↔ i ∈ u) s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
⊢ (p.bindOnSupport fun a x => pure a) = p
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r
⊢ ↑(count (fun x => x ≡ v [MOD r]) b) = ⌈(↑b - ↑(v % r)) / ↑r⌉