ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₁ c x ε) → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
δ₂ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }
Hδ₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x ↑(δ₂ c x ε) → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
ε0' : 0 < ε / 2
H0 : 0 < 2 ^ Fintype.card ι
εs : (ι → ℝ) → ℝ
hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i
hεs : ∀ (t : Finset (ι → ℝ)), ↑t ⊆ s → ∑ i ∈ t, 2 ^ Fintype.card ι * εs i ≤ ε / 2
ε' : ℝ
ε'0 : 0 < ε'
hεI : B I * ε' < ε / 2
⊢ ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, integralSum f vol x ∈ Metric.closedBall (g I) ε
α : Sort u_1
n : α
⊢ sizeOf n = 0
R : Type u_1
Zero R
One R
⊢ TrivSqZeroExt.fst ε = 0
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ ∀ {X Y : Cᴹᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.MonoidalOpposite.unmopEquiv C).functor.map f = f.unmop
a b c : ℝ≥0∞
h0 : a ≠ 0
hinf : a ≠ ⊤
bc : b < c
⊢ b * a < c * a
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
self : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g self.h₃ = 0
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ : S₁ ⟶ S₂
φ₂ : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
h₃ : S₃.LeftHomologyData
γ₁ : LeftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂ := leftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂
γ₂ : LeftHomologyMapData φ₂ h₂ h₃ := leftHomologyMapData φ₂ h₂ h₃
⊢ leftHomologyMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = leftHomologyMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ leftHomologyMap' φ₂ h₂ h₃
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
⊢ IsCompl (weightSpaceOf M 0 x) (posFittingCompOf R M x)
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
r : Setoid β
x y : α
⊢ (Setoid.comap f r).Rel x y ↔ r.Rel (f x) (f y)
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
⊢ Function.Injective ⇑(Profinite.NobelingProof.πs C o)
R : Type u
CommRing R
S : Type u
CommRing S
f : R →+* S
U : TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R)
⊢ AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen R U ≫
    AlgebraicGeometry.StructureSheaf.comap f U ((TopologicalSpace.Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) U) ⋯ =
  CommRingCat.ofHom f ≫
    AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen S ((TopologicalSpace.Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) U)
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
s' : Finset α
hs' : s' ⊆ s
t' : Finset α
ht' : t' ⊆ t
hs : ↑s.card ≤ ↑s'.card
ht : ↑t.card ≤ ↑t'.card
⊢ |↑(G.edgeDensity s' t') - ↑(G.edgeDensity s t)| < 1
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R[X]
n : ℕ
x : R
⊢ x ∈ I.leadingCoeffNth n ↔ ∃ p ∈ I, p.degree ≤ ↑n ∧ p.leadingCoeff = x
X✝ : LocallyRingedSpace
U : TopCat
X : LocallyRingedSpace
f : U ⟶ X.toTopCat
h : OpenEmbedding ⇑f
x : ↑↑(X.restrict h).toPresheafedSpace
⊢ ↑(X.presheaf.stalk (f x)) ≃+* ↑((X.restrict h).presheaf.stalk x)
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial R
H : erase p.natDegree p + X ^ p.natDegree = p
⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
⊢ 0 < Int.fract a ↔ a ≠ ↑⌊a⌋
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
ι : Sort u_4
U : Submodule 𝕜 E
V : ι → Submodule 𝕜 E
⊢ (∀ (i : ι), V i ⟂ U) ↔ ∀ (i : ι), U ⟂ V i
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
⊢ (∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ μ t = 0) ↔ μ s = 0
α : Type u_1
Fintype α
⊢ Nat.card α = Fintype.card α
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
⊢ cthickening δ (closure s) = cthickening δ s
x : ℂ
⊢ (Complex.log x).re = Real.log (Complex.abs x)
α : Type u
self : Computability.Encoding α
x : α
⊢ self.decode (self.encode x) = some x
ι : Type u_7
K : Type u_12
Ring K
M : Type u_13
AddCommGroup M
Module K M
N : Type u_14
AddCommGroup N
Module K N
NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h : ¬LinearIndependent K v
⊢ f v = 0
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
⊢ adjoin F (⨆ t ∈ S, {t}) = adjoin F S
α : Type u_1
CompleteLattice α
p : Prop
Decidable p
a : p → α
⊢ ⨆ (h : p), a h = if h : p then a h else ⊥
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
inst✝³ : LinearOrder γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderClosedTopology γ
inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ
hm : m ≤ m0
f g : β → γ
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
⊢ f ≤ᶠ[ae (μ.trim hm)] g
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y z w : α
⊢ dist x w ≤ dist x y + dist y z + dist z w
α : Type u_1
inst✝ : Lattice α
x✝ y✝ : α
⊢ s(x✝, y✝).inf ≤ s(x✝, y✝).sup
α : Type u_1
β : Type u_2
q : PMF (α → β)
p : PMF α
b : β
⊢ (q.seq p) b = ∑' (f : α → β) (a : α), if b = f a then q f * p a else 0
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
i : Fin g.natDegree
⊢ (mk g) (∑ i_1 : Fin g.natDegree, (monomial ↑i_1) (Function.update 0 i 1 i_1)) = root g ^ ↑i
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
S : Subgroup G
g : G
hg : g ∈ S
a : α
⊢ ⟨g, hg⟩ • a = g • a
α : Type u_1
s : α → α → Bool
r t : List α
⊢ List.merge.loop s [] r t = t.reverseAux r
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
f : Filter α
s : Set β
⊢ s ∈ kernMap m f ↔ ∃ t, tᶜ ∈ f ∧ m '' t = sᶜ
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
x : α
⊢ x ∈ f.toAList ↔ f x ≠ 0
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↥(ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 f)
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
⊢ IsLocalization ((AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.toSpec 𝒜 f).val.base x).asIdeal.primeCompl
  (HomogeneousLocalization.AtPrime 𝒜 (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal)
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
E : Type u
F : Type v
PseudoEMetricSpace F
TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
xD : x ∈ D
⊢ oscillationWithin f D x = 0 ↔ ContinuousWithinAt f D x
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : σ →₀ ℕ
c : R
⊢ ((monomial s) c).totalDegree ≤ s.sum fun x => id
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
⊢ comap (fun p => (F p.1, F p.2)) (𝓤 (X → α)) ≤ comap (fun p => (F p.1, F p.2)) (𝓤 (X → α))
α : Type u_1
r : Rel α α
x : List α
x_ne_nil : x ≠ []
hx : List.Chain' r x
⊢ ∀ (a : Fin (x.length.pred + 1)), (RelSeries.fromListChain' x x_ne_nil hx).toFun a = (x.get ∘ Fin.cast ⋯) a
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
Z : Type u_3
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
T2Space Z
s : Set X
t : Set Y
f g : X → Y → Z
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, f x y = g x y
hf₁ : ∀ (x : X), Continuous (f x)
hf₂ : ∀ (y : Y), Continuous fun x => f x y
hg₁ : ∀ (x : X), Continuous (g x)
hg₂ : ∀ (y : Y), Continuous fun x => g x y
x : X
⊢ x ∈ closure s → ∀ y ∈ closure t, f x y = g x y
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ : F ⟶ G
p : ℤ
⊢ (ofHom φ).v p p ⋯ = φ.f p
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
this : ∀ {x : ℕ}, ∀ s ∈ powersetCard x univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x) * ↑((card α).choose x))
⊢ ∑ i ∈ range (univ.card + 1), ∑ x ∈ powersetCard i univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x.card) * ↑((card α).choose x.card)) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹ + 1
R : Type u
σ : Type v
CommSemiring R
DecidableEq σ
i j : σ
⊢ (MvPolynomial.pderiv i) (MvPolynomial.X j) = Pi.single i 1 j
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
h : y ∈ ball x ε
this : 0 < ε - edist y x
⊢ ∃ ε' > 0, ball y ε' ⊆ ball x ε
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ENNReal
hf : DifferentiableOn ℂ f (EMetric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ EMetric.ball c r
⊢ HasSum (fun n => (↑n.factorial)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
α : Type u_1
Preorder α
a₁ a₂ b : α
h : a₁ ≤ a₂
⊢ Set.Icc a₂ b ⊆ Set.Icc a₁ b
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
⊢ -f = (fun x => -1) • f
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
⊢ Nat.card ↥H * H.index = Nat.card G
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
h : G.edist u v ≠ ⊤
⊢ ∃ p, ↑p.length = G.edist u v
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
⊢ cs.length (cs.simple i * w) = cs.length w + 1 ∨ cs.length (cs.simple i * w) + 1 = cs.length w
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
⊢ s ≤ a ::ₘ s.erase a
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.28461
s✝ t s a✝ : Finset α
⊢ a✝ ∈ powersetCard s.card s ↔ a✝ ∈ {s}
K : Type u_1
LinearOrderedField K
x : { x // 0 < x }
n : ℤ
⊢ ↑(x ^ n) = ↑x ^ n
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
x y : G
h : x ∈ H
⊢ x + y ∈ H ↔ y ∈ H
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M × R
⊢ (CliffordAlgebra.EquivEven.Q' Q) m = Q m.1 - m.2 * m.2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
f' : β ≃ γ
f'' : γ ≃ δ
⊢ (e.transEquiv f').transEquiv f'' = e.transEquiv (f'.trans f'')
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M
h : torsionOf R M m = ⊤
⊢ m = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }
x✝ : ↑(Set.range p)
⊢ Subtype.val = p ∘ ⇑fe
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup (Fin 2) R
i : Fin 2
⊢ IsCoprime (↑A i 0) (↑A i 1)
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
DecidableEq α
DecidableEq M
f : α → M
x : α
y : M
⊢ Function.mulSupport (Function.update f x y) =
  if y = 1 then Function.mulSupport f \ {x} else insert x (Function.mulSupport f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
F : TopCat.Sheaf C X
t : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (𝟙 F).val.app t = 𝟙 (F.val.obj t)
x : EReal
⊢ IsOpen {z | x < ↑z.im}
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
hx : x ≠ 0
g : Γ := ⋯.min ⋯
hcxyne : (x + y).coeff g ≠ 0
⊢ (x + y).orderTop = x.orderTop
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
p : β → Prop
⊢ (∀ (a : α) (b : β), b = f a → p b) ↔ ∀ (a : α), p (f a)
n : ℕ
p : ℕ → Prop
⊢ (∀ (m : ℕ), m < n + 1 → p m) ↔ (∀ (m : ℕ), m < n → p m) ∧ p n
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
⊢ ((cons i s hi).biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card)
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ a ∈ s, f a ≠ ⊤
⊢ ∑ a ∈ s, ↑(f a).toNNReal = ∑ a ∈ s, (f a).toReal
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
e : γ ≃ β
f : β → α
⊢ ∑' (c : γ), f (e c) = ∑' (b : β), f b
α : Sort u_1
s : Setoid α
x : Quotient s
y : α
⊢ x = ⟦y⟧ ↔ x.out ≈ y
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NoAtoms μ✝
h : s.Countable
μ : Measure α
inst✝ : NoAtoms μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z = 0
⊢ toAffine W P = 0
α : Type u_1
LE α
s t : Set α
hs : IsLowerSet s
⊢ IsUpperSet (Subtype.val ⁻¹' t) ↔ ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, c ≤ b → b ∈ t
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
⊢ 0 ≤ projectiveSeminormAux p
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : a.re < 0
b : ℂ
s x : ℝ
⊢ ‖cexp (a * ↑x ^ 2 + b * ↑x)‖ = rexp (a.re * x ^ 2 + b.re * x)
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f g : ↥A
⊢ ↑f ⊓ ↑g ∈ A.topologicalClosure
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
m n : α
hmn : m ≤ n
⊢ ⋃ i ∈ Ico m n, Ioc (f i) (f (succ i)) = Ioc (f m) (f n)
h : cos (↑0 * (2 * π)) = 1
hx₁ : -0 < 1
hx₂ : 0 < 1
⊢ ↑0 * (2 * π) = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
n : ℕ
Fintype α
P : { P // ∑ i : α, P i = n }
⊢ ↑((Sym.equivNatSumOfFintype α n).symm P) = ∑ a : α, ↑P a • {a}
M : Type u_1
Monoid M
A : Type u_4
AddMonoid A
DistribMulAction M A
⊢ ⇑1 = id
a b m n p✝ p r i : ℕ
hr : ¬p ∣ r
⊢ (p * i + r).factorization p = 0
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
Fintype σ
⊢ MvPolynomial.esymm σ R 0 = 1
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E
inst✝ : Preregular C
W X w✝ Y : C
f : Y ⟶ X
hf : EffectiveEpi f
hS : ∃ f_1, ((ofArrows (fun x => Y) fun x => f) = ofArrows (fun x => w✝) fun x => f_1) ∧ EffectiveEpi f_1
this : (ofArrows (fun x => Y) fun x => f).regular
⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
r s t : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
L : E →L[𝕜] F
x✝ : L ∈ K
⊢ IsOpen {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t}
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Opens X
⊢ (idealOfSet 𝕜 ↑s).IsMaximal ↔ IsCoatom s
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
n : ℕ
⊢ filter p (n • s) = n • filter p s
n a b : ℕ
H : Nat.unpair n = (a, b)
⊢ Nat.pair a b = n
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
⊢ sign f = (-1) ^ (f.cycleType.sum + card f.cycleType)
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
⊢ ∑ i ∈ s, w i * z i = x
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.420688, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅ = app₄ ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯
⊢ 3 < 5 + 1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
⊢ (mk₀ 0).hom = hom 0
x✝ : Unit
p n : ℕ
this : List.range p = List.range (Nat.pair (unpair p).1 (encode (ofNat Code (unpair p).2)))
c : Code
k' : ℕ
k : ℕ := k' + 1
nk : n ≤ k'
hg : ∀ {k' : ℕ} {c' : Code} {n : ℕ}, Nat.pair k' (encode c') < Nat.pair k (encode c) → Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair k (encode c)))) (k', c') n = evaln k' c' n
⊢ rec (some 0) (some n.succ) (some (unpair n).1) (some (unpair n).2) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cf) n let y ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cg) n some (Nat.pair x y)) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cg) n Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cf) x) (fun cf cg x x => Nat.rec (Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cf) (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k', c) (Nat.pair (unpair n).1 n_1) Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cg) (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) (unpair n).2) (fun cf x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cf) n Nat.rec (some (unpair n).2) (fun n_1 n_ih => Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k', c) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) x) c = evaln (k' + 1) c n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : E → F
x : E
h : AnalyticAt 𝕜 f x
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 x, AnalyticOn 𝕜 f s
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
⊢ t ∈ ∂⁺ 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, ∃ a ∉ s, insert a s = t
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
⊢ (eval P) (C W'.a₁ * X x * X y + C (3 * W'.a₃) * X y * X z ^ 2 - (C (2 * W'.a₂) * X x ^ 2 * X z + C (4 * W'.a₄) * X x * X z ^ 3 + C (6 * W'.a₆) * X z ^ 5)) = W'.a₁ * P x * P y + 3 * W'.a₃ * P y * P z ^ 2 - (2 * W'.a₂ * P x ^ 2 * P z + 4 * W'.a₄ * P x * P z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * P z ^ 5)
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
g : Module.Dual R N
q : Q
⊢ LinearMap.prodMap 0 ((dualTensorHom R N Q) (g ⊗ₜ[R] q)) =
  (dualTensorHom R (M × N) (P × Q)) ((g ∘ₗ LinearMap.snd R M N) ⊗ₜ[R] (LinearMap.inr R P Q) q)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s
A : ∀ y ∈ s, f y = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) (p y 0)
this : ↑0 < n
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => p x 0) ((↑{ toLinearEquiv := (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1))) s x
κ : Type w
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
⊢ Algebra.traceMatrix A (P.map ⇑(algebraMap A B) *ᵥ b) = P * Algebra.traceMatrix A b * Pᵀ
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.IsConjExponent q
hp₁ : 1 / p * p = 1
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
R X Y : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : CategoryTheory.IsKernelPair f a b
CategoryTheory.IsIso a
⊢ CategoryTheory.Mono f
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_nbot : ⊥ < limsup u f
v_nbot : ⊥ < limsup v f
⊢ limsup (u + v) f ≤ limsup u f + limsup v f
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
⊢ ‖f.normComp‖ = ‖f‖
R : Type u
CommSemiring R
StarRing R
⊢ ∀ (a : R), starRingAut a = star a
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
m : α → β
s : Set α
hm : UniformInducing m
⊢ IsComplete (m '' s) ↔ IsComplete s
p : Polynomial ℝ
⊢ Filter.Tendsto (fun x => Polynomial.eval x p / rexp x) Filter.atTop (𝓝 0)
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hF : IsClosed F
⊢ μ F = μ univ ↔ F = univ
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
p n : ℕ
ExpChar R p
PerfectRing R p
y : R
⊢ (Polynomial.X ^ p ^ n - Polynomial.C y).roots = p ^ n • {(iterateFrobeniusEquiv R p n).symm y}
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
x : M
y : ↥S
⊢ mk x y * (monoidOf S).toMap ↑y = (monoidOf S).toMap x
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ
h : 0 < |ξ - ↑q|
m : ℕ
hm : 1 / |ξ - ↑q| < ↑m
m_pos : 0 < ↑m
q' : ℚ
hbd : |ξ - ↑q'| ≤ 1 / ((↑m + 1) * ↑q'.den)
hden : q'.den ≤ m
den_pos : 0 < ↑q'.den
⊢ ∃ q', |ξ - ↑q'| < 1 / ↑q'.den ^ 2 ∧ |ξ - ↑q'| < |ξ - ↑q|