ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : SetLike S R
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid ι
A : ι → S
inst✝ : GradedMonoid A
n : ℕ
i : Fin n → ι
r : Fin n → R
h : ∀ (j : Fin n), r j ∈ A (i j)
⊢ (List.ofFn r).prod ∈ A (List.ofFn i).sum
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S x
⊢ slope f x y ≤ derivWithin f S x
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
h : cons y s ≠ 0
h' : y = 0
c : s = 0
⊢ cons y s = 0
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
hconn : G.Connected
⊢ G.dist u w ≤ G.dist u v + G.dist v w
M : Type u_1
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass P
c : AddCon M
f : M →+ P
H : c ≤ AddCon.ker f
⊢ (c.lift f H).comp c.mk' = f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
LinearOrder E
s : Set E
f : E → β
hs : Convex 𝕜 s
hf :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x < y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
⊢ ConvexOn 𝕜 s f
α : Type u_1
a : Array α
i : Fin a.size
v : α
⊢ (a.set i v)[↑i]? = some v
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ ball x δ / {y} = ball (x / y) δ
p : ℝ[X]
hp' : derivative p ≠ 0
hp : p ≠ 0
⊢ p.roots.toFinset.card ≤ ((derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset).card + 1
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
⊢ AlgebraicGeometry.affineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f ↔
  ∀ (U : ↑Y.affineOpens) (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ ↑U), P (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.appLE f (↑U) (↑V) e)
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝³ : CommRing O
inst✝² : Algebra O R
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x y : O
h : x ∣ y
z : O
hz : y = x * z
⊢ v ((algebraMap O R) y) ≤ v ((algebraMap O R) x)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {le : α → α → Bool} {s₁ s₂ : Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap α} {n : Nat},
  Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le n s₁ →
    Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le n s₂ →
      Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.WF le n (Batteries.BinomialHeap.Imp.Heap.merge le s₁ s₂)
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
⊢ wittAdd p 0 = X (0, 0) + X (1, 0)
α : Type u
Group α
LE α
CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a / b ≤ 1 ↔ a ≤ b
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X → Y
hf : Isometry f
H : Monotone m ∨ Surjective f
ε : ℝ≥0∞
hε : id ε > 0
⊢ (boundedBy fun s => extend (fun s x => m (diam s)) (f '' s)) = boundedBy (extend fun s x => m (diam s))
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (J.plusObj P) S
inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
Z : B.Arrow → C
e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I
e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X
he2 : ∀ (I : B.Arrow), S.sieve.arrows (e2 I)
h✝ : ∀ (I : B.Arrow), (fun Y f h => ((fun Y f hf => (T { Y := Y, f := f, hf := hf }).sieve) Y f h).arrows) (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)
a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f
w : Meq P B := meqOfSep P hsep X S s T t ht
I : S.Arrow
⊢ ∀ (I_1 : (T I).Arrow), ((J.plusObj P).map I_1.f.op) (mk (w.pullback I.f)) = ((J.plusObj P).map I_1.f.op) (mk (t I))
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b c : α
⊢ a / b / c = a / (b * c)
it : String.Iterator
h : it.Valid
n : Nat
⊢ (it.prevn n).Valid
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
Q : WeierstrassCurve.Jacobian.PointClass F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.NonsingularLift Q
hPz : P z = 0
⊢ W.addMap ⟦P⟧ Q = Q
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Path u v
⊢ (↑p).IsTrail
G : Type u_1
P : Type u_2
AddCommGroup G
AddTorsor G P
v₁ v₂ : G
p₁ p₂ : P
⊢ v₁ +ᵥ p₁ = v₂ +ᵥ p₂ ↔ v₂ - v₁ = p₁ -ᵥ p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
One β
⊢ ↑1 =ᵐ[μ] 1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
inst✝⁸ : CommMonoid G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
s : Set M
x x₀ : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
p : ι → Prop
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffWithinAt I' I n (f i) s x
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => (∏ c ∈ t, f c) x) s x
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
DecidableEq α
a : α
P Q : Finpartition a
⊢ (P ⊓ Q).parts = (Finset.image (fun bc => bc.1 ⊓ bc.2) (P.parts ×ˢ Q.parts)).erase ⊥
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
x y : R
⊢ min (v x) (v y) ≤ v (x + y)
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
a a✝ : α
⊢ a ∈ orbit (Quotient.mk'' a✝) ↔ Quotient.mk'' a = Quotient.mk'' a✝
N : ℕ
NeZero N
j k : ZMod N
⊢ ZMod.toAddCircle j = ZMod.toAddCircle k ↔ j = k
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
ι : Type u_3
Preorder ι
u : ι → α
h : CauchySeq u
⊢ CauchySeq (-u)
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y : ↥S
w z : N
⊢ z = w * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y)⁻¹ ↔ z * f ↑y = w
α : Type u_1
ι : Type u_4
PartialOrder α
OrderBot α
s : Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint f
g : ι → ι
hg : f ∘ g ≤ f
⊢ (g '' s).PairwiseDisjoint f
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g✝ : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
X₁ : C₁
a : X₂ ⟶ T.obj X₁
b : L.obj X₁ ⟶ X₃
comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g✝
g : StructuredArrow X₂ T
φ : (w.structuredArrowDownwards X₂).obj g ⟶ StructuredArrow.mk g✝
⊢ ∃ X₁ a b, ∃ (comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g✝), CostructuredArrow.mk φ = mk w g✝ X₁ a b comm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
p : α → Prop
q : β → Prop
r : γ → Prop
h : ManyOneEquiv q r
⊢ ManyOneEquiv p q ↔ ManyOneEquiv p r
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedDivisionRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
x : 𝔸
⊢ Summable fun n => ‖x ^ n / ↑n.factorial‖
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
ι : Type u_4
c : ComplexShape ι
DecidableRel c.Rel
K L : HomologicalComplex C c
f g : K ⟶ L
ho : Homotopy f g
i : ι
K.HasHomology i
L.HasHomology i
⊢ HomologicalComplex.homologyMap f i = HomologicalComplex.homologyMap g i
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
⊢ (Ioc s t).card = 2 ^ (t.card - s.card) - 1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
d : 𝔸'
⊢ d • c' = c'.smulRight d
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
x : α
rlt : α → α → Prop
IsNonstrictStrictOrder α r rlt
⊢ x ∈ minimals r s ↔ x ∈ s ∧ ∀ ⦃y : α⦄, rlt y x → y ∉ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_ℝ = 0
this : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ Convex ℝ ↑K
R : Type u
L₁ : Type v
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
⊢ ⇑LieHom.id = id
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
⊢ ⊤.IsPartition
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀✝ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F : 𝕜 → α → E
x₀ : 𝕜
F' : α → E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (ball x₀ ε)
bound_integrable : Integrable bound μ
L : E →L[𝕜] 𝕜 →L[𝕜] E := (ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 𝕜 E) 1
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (L (F' a)) x₀
hm : AEStronglyMeasurable (⇑L ∘ F') μ
⊢ Integrable F' μ ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
k : ℕ+
ζ ξ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
⊢ IsPrimitiveRoot ξ ↑k ↔ ∃ i < ↑k, i.Coprime ↑k ∧ ζ ^ i = ξ
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
h : Cardinal.lift.{w, v} (Module.rank F ↥(separableClosure F E)) * Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree (↥(separableClosure F E)) K) = Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree F K)
⊢ Cardinal.lift.{w, v} (sepDegree F E) * Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree E K) = Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree F K)
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ a b : α
i j : Fin (n + 1)
h : i ≤ j
l : List α
hl : l.length = n
⊢ ↑(insertNth b j.succ (insertNth a i ⟨l, hl⟩)) = ↑(insertNth a i.castSucc (insertNth b j ⟨l, hl⟩))
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
Norm F
SeminormedAddCommGroup E'
g : α → F
l : Filter α
f₁ f₂ f₃ : α → E'
h₁ : (fun x => f₁ x - f₂ x) =O[l] g
h₂ : (fun x => f₂ x - f₃ x) =O[l] g
⊢ (fun x => f₁ x - f₃ x) =O[l] g
x : ℤ × ℤ
n : ℕ
⊢ x ∈ Finset.box n ↔ max x.1.natAbs x.2.natAbs = n
α : Type u_2
Fintype α
DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ t.dens - s.dens ≤ (t \ s).dens
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a : α
⊢ 1 < a ^ 2 ↔ 1 < |a|
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t
h : ∀ (i : { i // t i ≠ ⊥ }), Disjoint (t ↑i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t ↑j)
i : ι
hi : t i ≠ ⊥
this : ∀ (j : ι), ⨆ (_ : t j = ⊥), t j = ⊥
⊢ (⨆ i_1, ⨆ (_ : t i_1 = ⊥), ⨆ (_ : i_1 ≠ i), t i_1) ⊔ ⨆ i_1, ⨆ (_ : ¬t i_1 = ⊥), ⨆ (_ : i_1 ≠ i), t i_1 = ⨆ i_1, ⨆ (h : t i_1 ≠ ⊥), ⨆ (_ : ⟨i_1, h⟩ ≠ ⟨i, hi⟩), t ↑⟨i_1, h⟩
K : Type u_1
RCLike K
z : K
r : ℝ
⊢ RCLike.re (z / ↑r) = RCLike.re z / r
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r : R
a✝ : IsSMulRegular (M ⧸ N) r
⊢ r • ⊤ ⊓ N = map (DistribMulAction.toLinearMap R M r) (comap ((LinearMap.lsmul R M) r) N)
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι✝ : Sort uι
s t u : Set α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
π : δ' → Type u_6
π' : δ' → Type u_7
inst✝² : (x : δ') → MeasurableSpace (π x)
inst✝¹ : (x : δ') → MeasurableSpace (π' x)
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_10
inst✝ : (i' : ι') → MeasurableSpace (β i')
x : (i : ι) → β (e i)
i : ι
⊢ (piCongrLeft (fun i' => β i') e) x (e i) = x i
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
a : L
⊢ (a ∈ Set.range fun ψ => ψ x) ↔ a ∈ (minpoly F x).rootSet L
α : Sort u
β : Sort v
f : α → β
⊢ Function.Bijective f ↔ ∃ g, Function.LeftInverse g f ∧ Function.RightInverse g f
α : Type u_2
TopologicalSpace α
⊢ ↑⊥ = ∅
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
⊢ p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ p₃ -ᵥ p₁ = r • (p₂ -ᵥ p₁)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d : α
n : ℤ
a : α
⊢ a / 2 - a = -(a / 2)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : ι → Set P
⊢ affineSpan k (⋃ i, s i) = ⨆ i, affineSpan k (s i)
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Ordinal.{max u v}
hc : ℵ₀ < c.cof
hc' : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.cof
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c, f i b < c
a : Ordinal.{max u v}
ha : a < c
⊢ nfpFamily f a < c
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
⊢ r = ⇑f ⁻¹'o s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
S : CategoryTheory.Functor C D
f : T ⟶ T'
f' : T' ⟶ T''
h : CategoryTheory.CostructuredArrow S T
⊢ (CategoryTheory.CostructuredArrow.map (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f f')).obj h =
  (CategoryTheory.CostructuredArrow.map f').obj ((CategoryTheory.CostructuredArrow.map f).obj h)
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a b : α
s : Sym α 1
x✝¹ x✝ : { x // x.length = 1 }
val✝¹ : List α
property✝ : val✝¹.length = 1
val✝ : List α
h : val✝.length = 1
perm : ⟨val✝¹, property✝⟩ ≈ ⟨val✝, h⟩
⊢ (fun l => (↑l).head ⋯) ⟨val✝¹, property✝⟩ = (fun l => (↑l).head ⋯) ⟨val✝, h⟩
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
f : J → C
CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f
P : C
p : (b : J) → f b ⟶ P
j : J
⊢ CategoryTheory.Limits.biproduct.ι f j ≫ CategoryTheory.Limits.biproduct.desc p = p j
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
C : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
ι : ∀ (x : M), C ((CliffordAlgebra.ι Q) x)
mul : ∀ (a b : CliffordAlgebra Q), C a → C b → C (a * b)
add : ∀ (a b : CliffordAlgebra Q), C a → C b → C (a + b)
a : CliffordAlgebra Q
s : Subalgebra R (CliffordAlgebra Q) := { carrier := C, mul_mem' := mul, one_mem' := ⋯, add_mem' := add, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := algebraMap }
h : AddCommMonoid ↥s := inferInstanceAs (AddCommMonoid ↥(Subalgebra.toSubmodule s))
⊢ C a
q : ℚ≥0
hq : q ≠ 0
⊢ q⁻¹.num = q.den
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
φ : L[[α]].Sentence
⊢ (BoundedFormula.constantsVarsEquiv φ).Realize (fun x => ↑(L.con ((Equiv.sumEmpty α Empty) x))) default ↔ M ⊨ φ
G : Type u_1
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
MeasurableSpace G
BorelSpace G
CompactSpace G
μ' μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsHaarMeasure
μ'.IsMulLeftInvariant
MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
⊢ μ' = μ'.haarScalarFactor μ • μ
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I J : TwoSidedIdeal R
x : R
⊢ x ∈ I ⊓ J ↔ x ∈ I ∧ x ∈ J
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃
⊢ ((sa • r₂ + ra • r₃) /ₒ (sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = (sa • r₂ /ₒ (sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) + (r₃ /ₒ s₃) • (r₁ /ₒ s₁)
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Semiring S
Algebra R S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
z : S
hz : (Polynomial.aeval z) p = 0
inj : ∀ (x : R), (algebraMap R S) x = 0 → x = 0
⊢ 0 < p.degree
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Finset.image (fun t => p ^ (t + 1)) (Finset.range (padicValNat p n)) ⊆ n.divisors.erase 1
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f : ι →₀ μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
g : ι →₀ μ
hsum : (g.sum fun x x => x) = n
hsupp : g.support ⊆ s
⊢ ((mapRange ⇑e ⋯ g).sum fun x x => x) = e n ∧ (mapRange ⇑e ⋯ g).support ⊆ s
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : FunLike 𝓕 E F
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ = 1 → ‖f x‖ ≤ C
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
H₁ : ‖‖x‖⁻¹ • x‖ = 1
H₂ : ‖f x‖ / ‖x‖ ≤ C
⊢ 0 < ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
TopologicalSpace 𝕜
VAdd 𝕜 β
ContinuousVAdd 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ
c : β
⊢ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => f x +ᵥ c) μ
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Sort u_1
U : ι → ↑Y.affineOpens
hU : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤
hU' : ∀ (i : ι), Q (f ∣_ ↑(U i))
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
⊢ targetAffineLocally Q f
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
b : B
h : Inducing (↑(a.pretrivializationAt b) ∘ TotalSpace.mk b)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
⊢ Inducing (TotalSpace.mk b)
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_7
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α → β
hf : Monotone f
s : (i : ι) → κ i → α
⊢ ⨆ i, ⨆ j, f (s i j) ≤ f (⨆ i, ⨆ j, s i j)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K
h : Submodule.comap ((f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ finrank K V) ((f.genEigenspace μ) (finrank K V)) = (f.genEigenspace μ) (finrank K V)
⊢ Submodule.map ((f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ finrank K V) ((f.genEigenspace μ) (finrank K V)) ≤ ⊥
R : Type u_2
S : Type u_3
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
IsDomain S
F : Type u_4
CommRing F
Algebra F R
Algebra F S
IsScalarTower F R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
ι : Type u_5
Fintype ι
b : Basis ι R S
Nontrivial F
∀ (i : ι), Module.Free F (R ⧸ Ideal.span {Ideal.smithCoeffs b I hI i})
∀ (i : ι), Module.Finite F (R ⧸ Ideal.span {Ideal.smithCoeffs b I hI i})
⊢ FiniteDimensional.finrank F (S ⧸ I) = ∑ i : ι, FiniteDimensional.finrank F (R ⧸ Ideal.span {Ideal.smithCoeffs b I hI i})
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f g : α →ₘ[μ] β
h : ↑f =ᶠ[ae μ] ↑g
⊢ f = g
α : Type u
ι : Type u_2
PseudoMetricSpace α
f₁ f₂ : ι → α
p : Filter ι
a : α
h : Filter.Tendsto (fun x => dist (f₁ x) (f₂ x)) p (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto f₁ p (𝓝 a) ↔ Filter.Tendsto f₂ p (𝓝 a)
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
G'' : SimpleGraph X
f' : G' →g G''
f : G →g G'
⊢ ⇑(f'.comp f) = ⇑f' ∘ ⇑f
a b c : ℕ
h : a ∣ c
⊢ a ∣ b + c ↔ a ∣ b
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
h : M.E ⊆ M.closure I
⊢ M.Base I
ι : Type u_1
Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
Nonempty ι
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ MeasureTheory.volume s = 0
α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
S : Set ι
i : ι
his : i ∈ S
h_ss : {i} ⊆ S
⊢ π i ⊆ π i ∪ {univ}
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f₁ : r ≃r s
f₂ : s ≃r t
⊢ ∀ (a : α), (f₁.trans f₂) a = f₂ (f₁ a)
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝ : FormallyUnramified R S
this : FormallyUnramified S Sₘ
⊢ FormallyUnramified Rₘ Sₘ
n : ℕ+
⊢ n.natPred + 1 = ↑n
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hAC : IsExtreme 𝕜 A C
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxB : x ∈ B
hxC : x ∈ C
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x₁ ∈ B ∩ C ∧ x₂ ∈ B ∩ C
b : PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u_1 + 1}
⊢ WType.NatαEquivPUnitSumPUnit.symm b =
  match b with
  | Sum.inl val => WType.Natα.zero
  | Sum.inr val => WType.Natα.succ
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
Nontrivial R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
⊢ ↑(IsLocalization.sec M x).2 ≠ 0
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
z : N
⊢ (f.map hy k) z * k.toMap (g ↑(f.sec z).2) = k.toMap (g (f.sec z).1)
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
a : Ordinal.{u}
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
hf : lsub f = a
hι : #ι = a.cof
r : ι → ι → Prop
wo : IsWellOrder ι r
hr : (#ι).ord = type r
⊢ ∃ o f, a.IsFundamentalSequence o f
n : ℕ
⊢ IsPrimePow n ↔ ∃! p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
H : ↑f (stationaryPoint hf) = 0
ε : ℚ
hε : ε > 0
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (↑f j) < ε
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
h2L₁ : K₁.carrier * L₁ ⊆ U₁
⊢ chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
hH : H.index ≠ 0
hK : K.index ≠ 0
⊢ (H ⊓ K).index ≠ 0
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L₁ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ : CategoryTheory.Functor D C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
⊢ (CategoryTheory.conjugateEquiv adj₁ adj₁) (CategoryTheory.CategoryStruct.id L₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.id R₁