ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
I : Ideal A
inst✝ : Algebra R A
a₁✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I
a : R
a₂✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I
b : R
hab : (algebraMap R A) (a - b) ∈ I
⊢ Quot.mk Setoid.r a = Quot.mk Setoid.r b
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
⊢ (ofEven Q) ((toEven Q) ((ι Q) m)) = (ofEven Q) ⟨↑((toEven Q) ((ι Q) m)), ⋯⟩
M : Type u_4
AddZeroClass M
⊢ [].sum = 0
b u v w : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hv : v ≠ 0
hvb : v < b
hw : w < b ^ u
hne' : b ^ u * v + w ≠ 0
hne : log b (b ^ u * v + w) ≠ u
⊢ False
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
s t : Set X
⊢ s ∩ closure (s ∩ t) ⊆ s
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℝ → E
h : ∀ i ∈ s, IntervalIntegrable (f i) μ a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ∑ i ∈ s, f i x ∂μ = ∑ i ∈ s, ∫ (x : ℝ) in a..b, f i x ∂μ
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ m.toNat < n ↔ m < ↑n
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : DenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map f (comap g (𝓝 d)) ≤ comap i (map h (𝓝 d))
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
r : F
⊢ (ofPowerSeries ℤ F) ((PowerSeries.C F) r) = HahnSeries.C r
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
a : α
self : Finpartition a
⊢ self.parts.SupIndep id
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
f' g' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hg : HasStrictFDerivAt g g' x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun y => f y + g y) (f' + g') x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C
⊢ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one) ⊗ P.one)) ≫ (α_ M.X N.X P.X).hom = (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (N.one ⊗ P.one))
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p p' : Submodule R M
x : ↥(p ⊔ p')
hx : ↑x ∈ p'
⊢ (LinearMap.quotientInfEquivSupQuotient p p').symm (Submodule.Quotient.mk x) = 0
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m : ℕ
hcop : m.Coprime n
⊢ eval₂ (Int.castRingHom K) (μ ^ m) (minpoly ℤ (μ ^ m)) = 0
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α
p : α × ℕ
h : p ∈ m.toEnumFinset
⊢ p.1 ∈ m
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
p : E := orthogonalProjectionFn K v
h' : ⟪v - p, p⟫_𝕜 = 0
⊢ ‖v‖ * ‖v‖ = ‖v - p‖ * ‖v - p‖ + ‖p‖ * ‖p‖
R : Type u
CommRing R
b c d : R
⊢ normEDS b c d 3 = c
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
CommRing R
MulSemiringAction M R
a : M
s : Set R
⊢ a • Ideal.span s = Ideal.span (a • s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
hgf : UniformInducing (g ∘ f)
⊢ UniformInducing f
K : Type u_2
Field K
R : Type u_3
CommRing R
IsDomain R
μ : R
n : ℕ
Algebra K R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
h : Irreducible (Polynomial.cyclotomic n K)
NeZero ↑n
⊢ Polynomial.cyclotomic n K = minpoly K μ
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
s_sub : s₁ ⊆ s₂
t_sub : t₁ ⊆ t₂
u : ℕ → Set X
u_cov : s₂ ⊆ ⋃ n, u n
u_props : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n) ∧ Disjoint (closure (u n)) t₂
⊢ HasSeparatingCover s₁ t₁
z : ℍ
h : z ∈ ModularGroup.fdo
⊢ |2 * z.re| < 1
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I J : CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
⊢ I = J
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Icc a b) x
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab' : a < b
g : ℝ → ℝ := fun x => f x - m * x
hg : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt g (f' x - m) (Icc a b) x
c : ℝ
cmem : c ∈ Icc a b
hc : IsMinOn g (Icc a b) c
⊢ m ∈ f' '' Ioo a b
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
⊢ ↑(Subalgebra.map f S) = ⇑f '' ↑S
α : Type u_1
f : α → ℂ
⊢ (starRingEnd ℂ) (∑' (a : α), f a) = ∑' (a : α), (starRingEnd ℂ) (f a)
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
C : ℝ
f : ℕ → α
hu₂ : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 / 2 ^ n
⊢ CauchySeq f
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
n m : ℕ
h : n < m
w : InfinitePlace K
hw : w ≠ w₁
⊢ w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(seq K w₁ hB m)) < w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(seq K w₁ hB n))
E : Type u_4
Group E
p q : GroupNorm E
x : E
⊢ (p + q) x = p x + q x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
L : Type u_6
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
EquivLike L E F
LinearEquivClass L 𝕜 E F
f : L
s : Set E
⊢ ⇑f '' Set.extremePoints 𝕜 s = Set.extremePoints 𝕜 (⇑f '' s)
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : FiniteDimensional F E
inst✝³ : Algebra.IsSeparable F E
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra F K
⊢ Fintype.card (E →ₐ[F] K) = finrank F E
μ : YoungDiagram
i a b : ℕ
⊢ (a, b) ∈ μ.row i ↔ (a, b) ∈ {i} ×ˢ Finset.range (μ.rowLen i)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.toSubgraph.verts = {w | w ∈ p.support}
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
DecidableEq α
H : FreeGroup.Red.Step L₁ L₂
⊢ FreeGroup.reduce L₁ = FreeGroup.reduce L₂
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedCancelAddCommMonoid β
l : Filter α
f g : α → β
C : β
hC : ∀ᶠ (x : α) in l, C ≤ f x
h : Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto g l Filter.atBot
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
N : Type w
AddCommGroup N
Module R N
e : N ≃ₗ[R] M
f : ↥(skewAdjointLieSubalgebra (LinearMap.compl₁₂ B ↑e ↑e))
⊢ ↑((skewAdjointLieSubalgebraEquiv B e) f) = e.lieConj ↑f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
⊢ K ⊓ Kᗮ ≤ ⊥
α : Type u_2
CompleteLattice α
⊢ [WellFounded fun x x_1 => x > x_1, CompleteLattice.IsSupFiniteCompact α, CompleteLattice.IsSupClosedCompact α,
    ∀ (k : α), CompleteLattice.IsCompactElement k].TFAE
m₁ m₂ : List Char
s : Substring
⊢ s.Valid →
  s.toString.data = m₁ ++ m₂ →
    ∀ (n : Nat),
      s.nextn n { byteIdx := String.utf8Len m₁ } = { byteIdx := String.utf8Len m₁ + String.utf8Len (List.take n m₂) }
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
hg : ∀ i ∈ s, 0 < g i
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s
⊢ g⁻¹ j < g⁻¹ i → f i ≤ f j ↔ g i < g j → f i ≤ f j
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
⊢ a * iInf f = ⨅ i, a * f i
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
g : G
⊢ ↑(f.rangeRestrict g) = f g
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.29264, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : p + -1 = q
⊢ ((inl φ).comp (snd φ) ⋯).v p q hpq = Cochain.v 0 p q hpq
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M
a : R
ha : a ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
⊢ ∀ {b : R}, b ∈ S → a * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
⊢ Inseparable x y ↔ edist x y = 0
M : Type u_1
α : Type u_3
VAdd M α
a : M
⊢ a +ᵥ none = none
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
⊢ MeasurableSet (f '' univ)
R S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : EssFiniteType R S
⊢ FormallyUnramified R S ↔ ∃ t, (∀ (s : S), (1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) * t = 0) ∧ (TensorProduct.lmul' R) t = 1
G : Type u
Group G
Finite G
N : Subgroup G
N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
⊢ Nat.Prime (Nat.card ↥N).minFac
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder β
NoMaxOrder β
f : α → β
l : Filter α
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop
c : α
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, x ≠ c
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : MonoCoprod C
I : Type u_2
J : Type u_3
X : I → C
ι : J → I
hι : Function.Injective ι
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ ι)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
inst✝² : HasCoproduct (X ∘ ι)
inst✝¹ : HasCoproduct X
inst✝ : HasCoproduct fun k => X ↑k
⊢ ∀ (b : J), (Sigma.ι (X ∘ ι) b ≫ Sigma.map' ι fun j => 𝟙 ((X ∘ ι) j)) = Sigma.ι (X ∘ ι) b ≫ Sigma.desc fun j => Sigma.ι X (ι j)
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hg : ClosedEmbedding g
hf : ClosedEmbedding f
⊢ ClosedEmbedding (g ∘ f)
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
AddGroup α
AddAction α β
s : Finset β
b : β
a : α
⊢ a +ᵥ b ∈ a +ᵥ s ↔ b ∈ s
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L →ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
this : orderOf σ = orderOf ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit)
⊢ minpoly K σ.toLinearMap = X ^ orderOf σ - C 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
f : α → β
Nonempty α
h : Set.InjOn f s₂
ht : s₁ ⊆ s₂
⊢ Function.invFunOn f s₂ '' (f '' s₁) = s₁
α : Type u_1
β : Type u_2
Ord α
Ord β
Batteries.TransOrd α
Batteries.TransOrd β
⊢ Batteries.TransOrd (α × β)
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 1 ≤ a
h : m ≤ n
ha₀ : 0 < a
⊢ a ^ m ≤ a ^ n
α : Type u
β : Type v
x : α ⊕ β
b : β
⊢ x = Sum.inr b ↔ ∃ h, x.getRight h = b
α : Type u_1
z : ℤ
c : ℝ≥0
⊢ |z| ≤ ↑⌊c⌋₊ ↔ ‖z‖₊ ≤ c
m n : Nat
ge : m ≥ n
x : BitVec n
i : Nat
⊢ (BitVec.zeroExtend' ge x).getLsb i = x.getLsb i
α : Type u
DecidableEq α
x y : FreeGroup α
⊢ (x * y).norm ≤ x.norm + y.norm
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
⊢ (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (X n - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)) = (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ 𝓒 u v s
⊢ compress u v a ∈ 𝓒 u v s
α : Type u_1
NonUnitalCommSemiring α
d x y : α
hdx : d ∣ x
hdy : d ∣ y
a b : α
⊢ d ∣ a * x + b * y
α : Type u_2
Div α
s t : Set α
⊢ ⋃ a ∈ s, (fun x => a / x) '' t = s / t
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
h : a < c
⊢ a < max b c
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
Sub β
MeasurableSub₂ β
f : ι → Ω → β
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
hf_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hij : i ≠ j
hik : i ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (f i) (f j - f k) κ μ
α : Type u_1
cut : α → Ordering
t : Batteries.RBNode α
p : Batteries.RBNode.Path α := Batteries.RBNode.Path.root
⊢ Batteries.RBNode.find? cut t = (Batteries.RBNode.zoom cut t p).fst.root?
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
hp : p < ⊤
hp' : Module.Free R (M ⧸ p)
⊢ ∃ f, f ≠ 0 ∧ Submodule.map f p = ⊥
G : Type u_2
AddGroup G
H N : AddSubgroup G
hN : N.Normal
⊢ ↑(H ⊔ N) = ↑H + ↑N
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
⊢ ↑(re z) + ↑(im z) * I - (↑(re z) - ↑(im z) * I) = 2 * ↑(im z) * I
G : Type u_1
AddMonoid G
x : G
n : ℕ
h : IsOfFinAddOrder x
⊢ addOrderOf (n • x) = addOrderOf x / (addOrderOf x).gcd n
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℝ
ht : t ≠ -1
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x * (1 + x ^ 2) ^ t = (1 + b ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1)) - (1 + a ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1))
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝⁶ : Traversable t
inst✝⁵ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
inst✝ : Traversable t'
h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), map f = Equiv.map eqv f
h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f
h₂ : ∀ {F : Type u → Type u} [inst : Applicative F] [inst_1 : LawfulApplicative F] {α β : Type u} (f : α → F β), traverse f = Equiv.traverse eqv f
α✝ : Type u
x✝ : t' α✝
⊢ traverse pure x✝ = x✝
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
G : C ⥤ D
G.Additive
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
q n : ℕ
⊢ G.map ((AlgebraicTopology.DoldKan.P q).f n) = (AlgebraicTopology.DoldKan.P q).f n
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X Y : C
hr : ∀ (f : X ⟶ Y), biprod.lift 0 f = f ≫ biprod.inr
hl : ∀ (f : X ⟶ Y), biprod.lift f 0 = f ≫ biprod.inl
⊢ EckmannHilton.IsUnital (fun x x_1 => leftAdd X Y x x_1) 0
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b n : α
a_nonneg : 0 ≤ a
a_le_n : a ≤ n
b_nonneg : 0 ≤ b
b_le_n : b ≤ n
⊢ |a - b| ≤ n
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteKernel ρ
κ : Kernel (α × β) Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ.fst ⊗ₖ κ = ρ
a : α
this : ρ a = (ρ a).fst ⊗ₘ κ.comap (fun b => (a, b)) ⋯
h : ∀ᵐ (x : β) ∂(ρ a).fst, (κ.comap (fun b => (a, b)) ⋯) x = (ρ a).condKernel x
⊢ (fun b => κ (a, b)) =ᶠ[ae (ρ.fst a)] ⇑(ρ a).condKernel
ctx : Nat.Linear.Context
p₁ p₂ : Nat.SOM.Poly
⊢ Nat.SOM.Poly.denote ctx (p₁ ++ p₂) = Nat.SOM.Poly.denote ctx p₁ + Nat.SOM.Poly.denote ctx p₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
b : ℤ
⊢ b ≤ b + 1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
⊢ (λ_ ((free R).obj X)).hom = (ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom
R : Type u
Mul R
self : StarMul R
r s : R
⊢ star (r * s) = star s * star r
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
left✝ : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ s
t : Set (α × α)
t_in : t ∈ 𝓤 α
t_symm : SymmetricRel t
t_sub : t ○ t ⊆ w
⊢ t ○ t ○ t ⊆ s
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
rid : f ∈ asIdeal f_deg hm q
e_1✝ : ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f)) = HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f)
⊢ 1 = Localization.mk ↑{ deg := m * m, num := ⟨(proj 𝒜 m) f ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ m, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.num ⟨↑{ deg := m * m, num := ⟨(proj 𝒜 m) f ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ m, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.den, ⋯⟩
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
⊢ a ⩿ b ↔ a ≤ b ∧ Set.Ioo a b = ∅
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
a : ↥H
⊢ addOrderOf ↑a = addOrderOf a
X : Type u_1
TopologicalSpace X
SigmaCompactSpace X
⊢ ⋃ n, closure (compactCovering X n) = Set.univ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hr : ¬r = 0
⊢ padicNorm p (q / r) * padicNorm p r = padicNorm p q
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝¹ : atTop.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : OrderBot α
hf : LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[atTop] g
hg : IntegrableAtFilter g atTop μ
⊢ StronglyMeasurableAtFilter f atTop μ
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hsm : MeasurableSet s
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C
⊢ ‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ‖ ≤ C * (μ s).toReal
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
⊢ Finset.memberSubfamily a (𝒜 ∩ ℬ) = Finset.memberSubfamily a 𝒜 ∩ Finset.memberSubfamily a ℬ
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
a c : M
b d : ↥S
⊢ mk a b = mk c d ↔ (r S) (a, b) (c, d)
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace X
ι : Type u
U : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
this : IsLindelof (⋃ i, U i)
t : Set ι
htc : t.Countable
htu : ⋃ i, U i ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ t, U i = ⋃ i, U i
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ i.castSucc < p ∨ p < i.succ
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c : α
⊢ (a - b) / c = a / c - b / c
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hx : x = 0
⊢ h.IsPrimitiveClassified
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
⊢ ContfracLegendre.Ass (fract ξ)⁻¹ v (u - ⌊ξ⌋ * v)
Fq : Type
Field Fq
DecidableEq (RatFunc Fq)
p : Fq[X]
hp : p ≠ 0
⊢ FunctionField.inftyValuationDef Fq ((algebraMap Fq[X] (RatFunc Fq)) p) = ↑(Multiplicative.ofAdd ↑p.natDegree)
F : Type u
Field F
f : RatFunc F
⊢ ↑(-f) = -↑f
X : LightDiagram
⊢ lightDiagramToLightProfinite.obj X = LightProfinite.of ↑X.cone.pt.toTop
η : Type u_3
f : η → Type u_4
(i : η) → Group (f i)
Finite η
DecidableEq η
H : Subgroup ((i : η) → f i)
x : (i : η) → f i
h : ∀ (i : η), Pi.mulSingle i (x i) ∈ H
⊢ x ∈ H
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
⊢ b.flag 0 = ⊥
K : Type u_1
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
hk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic m K = cyclotomic' m K
ζ : K
hz : IsPrimitiveRoot ζ k
hzero : k = 0
⊢ cyclotomic k K = cyclotomic' k K
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
h's : IsGδ s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
⊢ ∃ f, s = ⇑f ⁻¹' {1} ∧ Set.EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Set.Icc 0 1
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun x => ↑(𝐞 x)) (2 * ↑π * Complex.I * ↑(𝐞 x)) x
m : Type u_1 → Type u_2
ε α β : Type u_1
Monad m
e : ε
f : α → ExceptCpsT ε m β
⊢ (throw e >>= f).run = (throw e).run
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
ι : Type u_2
α : Type u_3
TopologicalSpace α
F : ι → α → G
f : α → G
p : Filter ι
⊢ TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ u ∈ 𝓝 0, ∀ (x : α), ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ a ∈ t, F i a - f a ∈ u
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
I : Type u_1
x x' : CategoryTheory.GradedObject I C
h : x = x'
i : I
⊢ CategoryTheory.eqToHom h i = CategoryTheory.eqToHom ⋯
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
w z : P
t₁ : R
ht₁ : t₁ ∈ Set.Icc 0 1
t₂ : R
ht₂ : t₂ ∈ Set.Icc 0 1
⊢ ((t₁ - t₂ * t₁) * ((1 - t₂ * t₁) / (1 - t₂ * t₁)) + t₂ * t₁) • (z -ᵥ w) = t₁ • (z -ᵥ w)
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
t_ne_zero' : t ≠ 0
t_ne_zero : ↑t ≠ 0
ν : Measure α := μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)
f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ
f_meas : Measurable f
A : ρ (s ∩ f ⁻¹' {0}) ≤ (t • ν) (s ∩ f ⁻¹' {0})
B : ρ (s ∩ f ⁻¹' {⊤}) ≤ (t • ν) (s ∩ f ⁻¹' {⊤})
C : ∀ (n : ℤ), ρ (s ∩ f ⁻¹' Ico (↑t ^ n) (↑t ^ (n + 1))) ≤ (t • ν) (s ∩ f ⁻¹' Ico (↑t ^ n) (↑t ^ (n + 1)))
⊢ ρ s ≤ ↑t * (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s
α : Type u_1
AddCommMonoid α
n : ℕ
f : ℕ → α
⊢ ∑ d ∈ n.divisors, f (n / d) = n.divisors.sum f
α : Type u_1
Lattice α
AddGroup α
a : α
⊢ a⁻ = 0 ↔ -a ≤ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : Embedding f
s : Set α
x : α
⊢ Filter.map f (𝓝[s] x) = 𝓝[f '' s] f x
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
σ : K ≃ₐ[k] K
w : NumberField.InfinitePlace K
⊢ NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k (σ • w) ↔ NumberField.InfinitePlace.IsUnramified k w
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), ↑fs x ≤ f x
int_fs : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑fs x) ∂μ + ε / 2
int_fs_lt_top : ∫⁻ (x : α), ↑(↑fs x) ∂μ ≠ ⊤
g : α → ℝ≥0
g_le_fs : ∀ (x : α), g x ≤ ↑fs x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), ↑(↑fs x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε / 2
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
α : Type u_1
l : List α
⊢ [] <+: l
X : Type u
TopologicalSpace X
p : X → Prop
x : X
h : p x
⊢ 𝓝 ⟨x, h⟩ = Filter.comap Subtype.val (𝓝 x)
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
f : { f // ∀ ⦃x y : R⦄, r x y → f x = f y }
x✝ : R
⊢ ↑((fun F => ⟨F.comp (mkRingHom r), ⋯⟩) ((fun f => preLift ⋯) f)) x✝ = ↑f x✝
R : Type u_1
Semiring R
N : ℕ
f : Polynomial R
⊢ Polynomial.reflect N f = 0 ↔ f = 0
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
b : β a
b' : β a'
s : Finmap β
h : a ≠ a'
⊢ Finmap.insert a' b' (Finmap.insert a b s) = Finmap.insert a b (Finmap.insert a' b' s)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p q : R[X]
x : A
⊢ Algebra.adjoin R {X} = ⊤
ys : List Nat
xs : List Nat
h : xs ≠ []
⊢ Lean.Data.AC.sort.loop xs ys ≠ []
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
⊢ (1 + s) ^ p < 1 + p * s
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α
⊢ -toIocDiv hp a z✝ • p ∈ AddSubgroup.zmultiples p
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.268852, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.268859, u_2} D
X✝ Y✝ X Y : C
c : BinaryCofan X Y
cofans : (X Y : C) → BinaryCofan X Y
colimits : (X Y : C) → IsColimit (cofans X Y)
cones : {X Y Z : C} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → PullbackCone f g
limits : {X Y Z : C} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → IsLimit (cones f g)
h₁ : ∀ {X' Y' : C} (αX : X' ⟶ X) (αY : Y' ⟶ Y) (f : (cofans X' Y').pt ⟶ c.pt), αX ≫ c.inl = (cofans X' Y').inl ≫ f → αY ≫ c.inr = (cofans X' Y').inr ≫ f → IsPullback (cofans X' Y').inl αX f c.inl ∧ IsPullback (cofans X' Y').inr αY f c.inr
h₂ : {Z : C} → (f : Z ⟶ c.pt) → IsColimit (BinaryCofan.mk (cones f c.inl).fst (cones f c.inr).fst)
⊢ ∀ {X' Y' : C} (c' : BinaryCofan X' Y') (αX : X' ⟶ X) (αY : Y' ⟶ Y) (f : c'.pt ⟶ c.pt), αX ≫ c.inl = c'.inl ≫ f → αY ≫ c.inr = c'.inr ≫ f → (Nonempty (IsColimit c') ↔ IsPullback c'.inl αX f c.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c.inr)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
⊢ (CochainComplex.HomComplex.Cocycle.ofHom φ).homOf = φ