ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.63975, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝³ : Preregular C
inst✝² : FinitaryExtensive C
inst✝¹ : ∀ (X : C), Projective X
inst✝ : ReflectsFiniteProducts s
hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ s))
⊢ Nonempty (PreservesFiniteProducts F)
⊢ Function.RightInverse Nat.cast ⇑Cardinal.toNat
S : Type u_5
OrderedRing S
R : Type u_6
Semiring R
IsDomain S
Nontrivial R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
a : R
n : ℕ
⊢ abv (a ^ n) = abv a ^ n
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
K : CochainComplex C ℕ
X : C
φ : X ⟶ K.X 0
HomologicalComplex.HasHomology K 0
hφ : φ ≫ K.d 0 1 = 0
⊢ CategoryTheory.IsIso (HomologicalComplex.liftCycles K φ 1 ⋯ hφ) ↔
  (CategoryTheory.ShortComplex.mk φ (K.d 0 1) hφ).Exact ∧ CategoryTheory.Mono φ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)ᵒᵖ (Type v)
s : CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A
x : F.obj (Opposite.op s)
⊢ CategoryTheory.OverPresheafAux.YonedaCollection.snd (CategoryTheory.OverPresheafAux.counitForward F s x).val =
  F.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯) x
n p : ℕ
h : n ≤ p
⊢ ↑(∏ i ∈ range n, (p - 1 - i)) = (-1) ^ n * ↑(∏ x ∈ range n, (x + 1))
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ : ι →₀ α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
f g : ι →₀ α
i : ι
a b : α
f1 f2 : ι →₀ α
⊢ (f1 - f2).support ⊆ f1.support
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ ∀ (i : 𝒰.J), pullback.map (𝒰.map i ≫ f) g f g (𝒰.map i) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (Iso.refl ((fun i => pullback (𝒰.map i ≫ f) g) i)).hom ≫ ((gluing 𝒰 f g).openCover.pushforwardIso (limit.isoLimitCone { cone := PullbackCone.mk (p1 𝒰 f g) (p2 𝒰 f g) ⋯, isLimit := gluedIsLimit 𝒰 f g }).inv).map ((Equiv.refl 𝒰.J) i)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P Q : C
f : P ⟶ Q
CategoryTheory.Epi f
hf :
  ∀ (X Y : C) (z : X ⟶ Y),
    CategoryTheory.Mono z → ∀ (u : P ⟶ X) (v : Q ⟶ Y) (sq : CategoryTheory.CommSq u f z v), sq.HasLift
⊢ CategoryTheory.StrongEpi f
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
⊢ Nat.nth p = Subtype.val ∘ ⇑(Nat.Subtype.orderIsoOfNat (setOf p))
α : Type u_1
Monoid α
a b : α
⊢ a ~ᵤ b → a ∣ b
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : 0 < ad
hbd : 0 < bd
hgcd : 0 < gcd
⊢ (a ≤ b) = (1 / gcd * (bd * a') ≤ 1 / gcd * (ad * b'))
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)
α : Type u_1
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
⊢ (s \ {a}).encard + 1 = s.encard
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
⊢ ∃ s, (∀ (i : Fin N), (s i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧ range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
a : α
⊢ addRothNumber {a} = 1
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.SurjOn f s t
h' : Function.Injective f
⊢ Set.MapsTo f sᶜ tᶜ
V : Type u
G : SimpleGraph V
K : (Finset V)ᵒᵖ
⊢ G.componentComplFunctor.obj K = G.ComponentCompl ↑(Opposite.unop K)
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α ≃ₜ β
⊢ f.symm.toContinuousMap.comp f.toContinuousMap = ContinuousMap.id α
f g : MulRingNorm ℚ
h : ∀ (n : ℕ), f ↑n = g ↑n
z : ℤ
⊢ f ↑z = g ↑z
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts
⊢ s.card / P.parts.card ≤ t.card
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
A : C
f₁ f₂ : Subobject A
inst✝ : HasBinaryProduct f₁ f₂
⊢ (f₁ ⨯ f₂) = f₁ ⊓ f₂
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E' p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f) s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = 0
hf_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
f_meas : ↥(lpMeas E' 𝕜 m p μ) := ⟨f, hf_meas⟩
hf_f_meas : ↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f_meas
⊢ ↑↑↑f_meas =ᶠ[ae μ] 0
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : Localization S
⊢ (Localization.mulEquivOfQuotient f) x = ((Localization.monoidOf S).lift ⋯) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
S : Set (ConvexCone 𝕜 E)
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ s ∈ S, x ∈ s
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
⊢ (-1) ^ (↑p ^ 0 * (↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ 0 * ((↑p - 1) * (0 + 1) - 1)) = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
h : ¬a ≤ b
⊢ Set.uIcc a b = Set.Icc b a
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hs : EuclideanGeometry.Cospherical {p₁, p₂, p₃}
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
h₁₃ : p₁ ≠ p₃
h₂₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b
⊢ {b}.Finite
K : Type u_1
Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
self : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution' hζ
⊢ ¬hζ.toInteger - 1 ∣ self.b
X : Type u_1
M : Type u_2
TopologicalSpace X
AddMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
f : C(X, AddUnits M)
x : X
⊢ ↑(-ContinuousMap.addUnitsLift f) x = ↑(-f x)
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X → Y
hf : Isometry f
H : Monotone m ∨ Function.Surjective f
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) (MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m) =
  (MeasureTheory.OuterMeasure.restrict (Set.range f)) (MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric m)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f : α → E
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → μ s = 0
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT f = 0
M : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace α
AddMonoid M
AddAction M α
ContinuousConstVAdd M α
c : M
x : α
⊢ c +ᵥ closure (AddAction.orbit M x) ⊆ closure (AddAction.orbit M x)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1
⊢ (↑I).IsPrincipal
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
f : P →ᵃ[R] P'
x y : P
⊢ ⇑f '' affineSegment R x y = affineSegment R (f x) (f y)
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop
n : ℕ
⊢ (x ^ n).support ⊆ ↑(AddSubmonoid.closure x.support)
n : ℕ
t : ℝ
ht' : t ≤ ↑n
⊢ (1 - t / ↑n) ^ n ≤ Real.exp (-t)
x : Nat
⊢ x < 2 ^ 0 ↔ x = 0
α : Type u_1
β : Type u_2
x y : Functor.Const α β
h : x.run = y.run
⊢ x = y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
⊢ Metric.diam (range ⇑f) = ↑(ratio f) * Metric.diam univ
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
⊢ LinearMap.ker (groupCohomology.dZero A) = A.ρ.invariants
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Field K
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), I ≤ P → J ≤ P → ¬P.IsPrime
⊢ I ⊔ J = ⊤
a✝ b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hdn : d ∣ n
a : ℕ
hd : d > 0
⊢ a < n / d ↔ d * a < n
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F
hc : c ≠ 0
⊢ eLpNorm (c • f) p μ = ↑‖c‖₊ * eLpNorm f p μ
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
e : α ≃ β
⊢ e.Computable → e.symm.Computable
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : InvariantBasisNumber R
h : ¬Nontrivial R
⊢ (Fin 0 → R) ≃ₗ[R] Fin 1 → R
α : Type u_1
Preorder α
a : α
⊢ WithBot.some '' Set.Iio a = Set.Ioo ⊥ ↑a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
⊢ Tendsto (fun n => setToFun μ T hT (fs n)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.InnerRegularCompactLTTop
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
R1Space α
BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
r : ℝ≥0∞
hr : μ K < r
⊢ ∃ U, K ⊆ U ∧ IsOpen U ∧ μ U < r
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : ↑s ⊆ ↑A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s
hfs : Set.InjOn f ↑s
this : ThreeGPFree ↑(image f s)
⊢ (image f s).card ≤ mulRothNumber B
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
a b : E
r : ℝ
c : E
⊢ a + c ∈ Metric.closedBall (b + c) r ↔ a ∈ Metric.closedBall b r
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder β
f : Finset α → β
⊢ Monotone f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄ (ha : a ∉ s), f s ≤ f (Finset.cons a s ha)
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
CommSemiring R
NonAssocSemiring A
Module R A
SMulCommClass R A A
IsScalarTower R A A
NonAssocSemiring B
Module R B
SMulCommClass R B B
IsScalarTower R B B
x : A ⊗[R] B
⊢ (Algebra.TensorProduct.mul (1 ⊗ₜ[R] 1)) x = x
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
⊢ (map some (coclosedCompact X) ⊔ pure ∞).HasBasis (fun s => IsClosed s ∧ IsCompact s) fun s => some '' sᶜ ∪ {∞}
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
⊢ Filter.Tendsto (fun x => f x * r) l Filter.atBot
α : Type u_1
LinearOrder α
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ f^[n] x < g^[n] x ↔ f x < g x
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.88317, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.88321, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
hp : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
g' : (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯).pt ⟶ (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯).pt := hp.desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
hg' : g' = 𝟙 (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯).pt
⊢ S.RightHomologyData
α : Type u_1
MulOneClass α
LE α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
b : α
⊢ a ≤ a * b ↔ 1 ≤ b
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
⊢ CategoryTheory.Square.arrowArrowEquivalence'.functor = CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor'
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
DecidableEq ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
⊢ ((insert i s).weightedVSubOfPoint p (p i)) w = (s.weightedVSubOfPoint p (p i)) w
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
⊢ b.dualBasis.toDual ∘ₗ b.toDual = Dual.eval R M
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
h : I ≤ J
c : ℝ≥0
π₀ : Prepartition J := Prepartition.single J I h
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hr : l.RCond r
π : TaggedPrepartition I
hπ : π ∈ {π | l.MemBaseSet I c r π ∧ π.iUnion = ⊤.iUnion}
⊢ (embedBox I J h) π ∈ {π | l.MemBaseSet J (max c π₀.compl.distortion) r π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}
K : Type u
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : IsDomain K
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F K[X] R[X]
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F K[X] R[X]
φ : F
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
⊢ (map φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ p) / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ q)
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
⊢ 0 < G.chromaticNumber
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
ι : Sort u_3
H : K.IsPrime
x y : R
h : x * y ∈ comap f K
⊢ f x * f y ∈ K
C : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X Y W Z : C
⊢ (CategoryTheory.tensor_μ C (X, W) (Y, Z)).op =
  CategoryTheory.tensor_μ Cᵒᵖ (Opposite.op X, Opposite.op Y) (Opposite.op W, Opposite.op Z)
c : Turing.ToPartrec.Code
k k' : Turing.ToPartrec.Cont
v : List ℕ
⊢ Turing.ToPartrec.stepNormal c (k.then k') v = (Turing.ToPartrec.stepNormal c k v).then k'
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
⊢ (auxEquiv R 𝒜 ℬ).symm (((gradedMul R (fun x => ↥(𝒜 x)) fun x => ↥(ℬ x)) ((auxEquiv R 𝒜 ℬ) (a₁ ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁))) ((auxEquiv R 𝒜 ℬ) (↑a₂ ᵍ⊗ₜ[R] b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (a₁ * ↑a₂) ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
m : Sym2 α
⊢ image Sym2.mk s.diag ∪ image Sym2.mk s.offDiag = s.sym2
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α
⊢ a ≤ a \ b ⊔ b
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
NormedAddCommGroup E
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
NormedSpace ℝ E
f : β × γ → E
hf : MeasureTheory.Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ MeasureTheory.Integrable (fun x => ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x)) (κ a)
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a b : R
ExistsAddOfLE R
⊢ (a + b) ^ 2 ≤ 2 * (a ^ 2 + b ^ 2)
a : ℝ
h : a ≠ 0
s : Set ℝ
⊢ MeasureTheory.volume ((fun x => a * x) ⁻¹' s) = ENNReal.ofReal |a⁻¹| * MeasureTheory.volume s
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetSemiring C
h_ss : ↑I ⊆ C
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
ht : t ∈ C
hJt : ∀ s ∈ I, s ⊆ t
⊢ ∑ u ∈ I, m u ≤ m t
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ ∑' (n : ℕ), (riemannZetaSummandHom ⋯) n = riemannZeta s
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
hψ : ψ.Even
⊢ (toUnitHom ψ) (-1) = 1
a b : USize
h : a.val ≠ b.val
⊢ a ≠ b
α : Type u
s : Stream'.Seq α
n : ℕ
⊢ (s.drop n).head = s.get? n
x y : ℝ≥0
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
a : ℝ≥0
ha : a < x
hx : x ≠ 0
⊢ a ≤ y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M N : PresheafOfModules R
f : M ⟶ N
s : M.sections
X : Cᵒᵖ
⊢ ↑(PresheafOfModules.sectionsMap f s) X = (PresheafOfModules.Hom.app f X) (↑s X)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSingletonClass α
f : α → β
a : α
hf : Measurable ({x | x ≠ a}.restrict f)
⊢ Measurable f
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
x : ↑X.toTopCat
⊢ residueFieldMap (𝟙 X) x = 𝟙 (X.residueField x)
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
q_div_ne_zero : q / gcd p q ≠ 0
⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹) ≠ 0
a : Ordinal.{u_1}
⊢ 1 ^ a = 1
α : Type u_1
Preorder α
⊢ WellFounded LT.lt ↔ WellFounded LT.lt
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
Nontrivial R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
NonUnitalRing A
StarRing A
TopologicalSpace A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
⊢ cfcₙ 0 a = 0
b n : ℕ
⊢ log b (n / b * b) = log b n
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ (∃ u ∈ 𝓝[insert x univ] x, ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x) ↔ ∃ f', (∃ u ∈ 𝓝 x, ∀ x ∈ u, HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
X Y X' Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
φ : CategoryTheory.Arrow.mk f ⟶ CategoryTheory.Arrow.mk g
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp (data.factorizationData f).i (data.mapZ φ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.left (data.factorizationData g).i
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
LinearOrder β
OrderClosedTopology β
TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g
⊢ MeasurableSet {a | f a < g a}
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : ι → Submodule R M
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, ↑(p i) = Set.univ
⊢ ∃ k ∈ s, (p k).toAddSubgroup.FiniteIndex
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
⊢ LipschitzWith c fun x => f ↑x - f' ↑x
f : Bool → Bool → Bool
m : ℕ
ih : ∀ (m_1 : ℕ), m_1 < m → ∀ (n : ℕ), bitwise (swap f) m_1 n = bitwise f n m_1
n : ℕ
⊢ bitwise (swap f) m n = bitwise f n m
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a : α
⊢ |a| ≤ 1 ↔ a * a ≤ 1
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Multiset α
h₁ : s ≤ t
h₂ : s ≤ u
⊢ s ≤ t ∩ u
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
U : ↑X.affineOpens
⊢ ↑↑((AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion.affineOpensEquiv f) U) = (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.opensFunctor f).obj ↑U
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F
⊢ deriv (fun y => c + f y) x = deriv f x
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C
X : C
⊢ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom = CategoryTheory.Limits.prod.snd
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ T₂ T₃ : CategoryTheory.Monad C
f : T₁ ⟶ T₂
g : T₂ ⟶ T₃
⊢ (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g).toNatTrans = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.toNatTrans g.toNatTrans
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
⊢ 𝓝 = update pure 0 (⨅ γ, ⨅ (_ : γ ≠ 0), 𝓟 (Iio γ))
α : Type u_2
DecidableEq α
AddZeroClass α
⊢ ⇑Finset.singletonAddMonoidHom = singleton
α : Type u_2
β : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
One β
⊢ AEMeasurable (fun x => 1) μ
n : Nat
m : Nat
x : BitVec n
⊢ BitVec.ofNat m x.toNat = BitVec.truncate m x
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : U ⟶ X.toTopCat
h : OpenEmbedding ⇑f
V : TopologicalSpace.Opens ↑U
x : ↑U
hx : x ∈ V
y : ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op (⋯.functor.obj V)))
⊢ (X.restrictStalkIso h x).inv ((X.presheaf.germ ⟨f x, ⋯⟩) y) = ((X.restrict h).presheaf.germ ⟨x, hx⟩) y
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
⊢ Scheme.Γ.map (f ∣_ U).op = Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ Scheme.Hom.app f U ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
⊢ cyclotomic 1 R = X - 1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y✝ : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : P.obj (op X)
ht : x.IsAmalgamation t
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : (generate R).arrows f
⊢ P.map f.op t = P.map ⋯.choose.op (x ⋯.choose ⋯)
M : Type u_3
f : ℕ → M
n : ℕ
CommGroup M
⊢ (∏ i ∈ Finset.range (n + 1), f i) / f n = ∏ i ∈ Finset.range n, f i
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : Stream' α
⊢ ↑↑(a :: s) = ↑(cons a ↑s)
α : Type u
s t : List α
⊢ s ∈ t.sublists ↔ s.Sublist t
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R
⊢ (coeff R (m + n)) ((monomial R m) a * φ) = a * (coeff R n) φ
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
h₁ : (cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ closure (⇑(cfcₙAux ⋯ a ha) '' ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id ⋯}))
⊢ (cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ ↑(NonUnitalStarAlgHom.range (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A))
n m : ℕ
a b c : Fin n
⊢ a ≤ b → a = b ∨ a < b
f : Bool → Bool → Bool
⊢ bitwise f = binaryRec (fun n => bif f false true then n else 0) fun a m Ia => binaryRec (bif f true false then bit a m else 0) fun b n x => bit (f a b) (Ia n)
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
⊢ MeasurePreserving (fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)
⊢ ∀ {α : Type u_1} {o : Option α}, ¬o.isSome = true ↔ o = none
α : Type u_1
Preorder α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
f_strict_mono : StrictMono f
t : Ordnode α
h : t.Valid
⊢ (Ordnode.map f t).Valid