ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
A : ι✝ → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this✝
this : (Measure.map (⇑e.symm) volume).IsAddHaarMeasure
hp : (↑#ι).IsConjExponent p
h0p : 0 ≤ p
c : ℝ≥0 := μ.addHaarScalarFactor (Measure.map (⇑e.symm) volume)
hc : 0 < c
h2c : μ = c • Measure.map (⇑e.symm) volume
h3c : ↑c ≠ 0
h0C : C = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p * (c ^ p)⁻¹
hC : C * c ^ p = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p
v : (ι → ℝ) → F := u ∘ ⇑e.symm
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
⊢ ↑c * ∫⁻ (a : E), ↑‖u a‖₊ ^ p ∂Measure.map (⇑e.symm) volume ≤ ↑C * (↑c * ∫⁻ (a : E), ↑‖fderiv ℝ u a‖₊ ∂Measure.map (⇑e.symm) volume) ^ p
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
r : S
x : P.Ring
⊢ (f.sub g) (r ⊗ₜ[P.Ring] (KaehlerDifferential.D R P.Ring) x) = r • Algebra.Generators.Cotangent.mk ((f.subToKer g) x)
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ
⊢ Polynomial.Chebyshev.T R n = Polynomial.Chebyshev.U R n - Polynomial.X * Polynomial.Chebyshev.U R (n - 1)
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
h : M.Indep I
⊢ M.Basis I I
s : Set ℝ
CompactSpace ↑s
⊢ (polynomialFunctions s).topologicalClosure = ⊤
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : y ∈ H
hx : ∀ (y_1 : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y_1 ^ k) ⁅x, y⁆ = 0
k : ℕ
hk : ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) ⁅x, y⁆ = 0
⊢ ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) x = 0
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
hι : Cardinal.lift.{v, u} o.card < c
⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi < c.ord) → o.bsup f < c.ord
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
IH : ∀ m < n, X m ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p m) = (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ m)
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
⊢ ∑ x ∈ range n, (C (↑p ^ x) * (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x) * C (⅟↑p ^ n) - C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n + 1 - x) * C (⅟↑p ^ n)) = ∑ x ∈ range n, ∑ i ∈ range (p ^ (n - x)), C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((X x ^ p) ^ (p ^ (n - x) - (i + 1)) * frobeniusPolyAux p x ^ (i + 1) * C ↑((p ^ (n - x)).choose (i + 1) / p ^ (n - x - v p ⟨i + 1, ⋯⟩) * p ^ (i - v p ⟨i + 1, ⋯⟩)))
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_4
CommSemiring R
f : σ ≃ τ
a : MvPolynomial σ R
⊢ (MvPolynomial.renameEquiv R f) a = (MvPolynomial.rename ⇑f) a
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
r : R
N : Submodule R M
⊢ Ideal.span {r} • N = r • N
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)
⊢ TopologicalSpace ?convert_1
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle Cᵒᵖ
hT₁ : T₁ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.distinguishedTriangles C
hT₂ : T₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.distinguishedTriangles C
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
comm : CategoryTheory.CategoryStruct.comp T₁.mor₁ b = CategoryTheory.CategoryStruct.comp a T₂.mor₁
⊢ ∃ c,
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp T₁.mor₂ c = CategoryTheory.CategoryStruct.comp b T₂.mor₂ ∧
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp T₁.mor₃ ((CategoryTheory.shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp c T₂.mor₃
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁶ : CompleteSpace F
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hf : AEStronglyMeasurable f ν
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hk : AEStronglyMeasurable k μ
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ) μ
hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) ((fun x => ‖g x‖) ⋆[mul ℝ ℝ, μ] fun x => ‖k x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) ν
h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν
h3 : Measure.map (fun z => (z.1 - z.2, z.2)) (μ.prod ν) = μ.prod ν
t : G
ht : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (x₀ - t) (mul ℝ ℝ) μ
s : G
⊢ ‖uncurry (fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (s, t)‖ ≤ ‖L₃‖ * ‖f t‖ * (‖L₄‖ * ‖g s‖ * ‖k (x₀ - t - s)‖)
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
⊢ A.adjugate * A = (Aᵀ * Aᵀ.adjugate)ᵀ
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
⊢ (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius = ⊤
⊢ ContinuousOn EReal.toReal {⊥, ⊤}ᶜ
𝓕 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddGroup F
FunLike 𝓕 E F
AddMonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
C : ℝ≥0
h : ∀ (x : E), ‖f x‖₊ ≤ C * ‖x‖₊
⊢ LipschitzWith C ⇑f
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
⊢ derivWithin (fun y => f y + c) s x = derivWithin f s x
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
h : ¬Bornology.IsBounded s
⊢ EMetric.diam s = ⊤
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
Nonempty J
t : CategoryTheory.Limits.Cotrident f
Z Z' : C
q : Z ⟶ Z'
ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
k : t.pt ⟶ Z
⊢ ↑((CategoryTheory.Limits.Cotrident.IsColimit.homIso ht Z') (CategoryTheory.CategoryStruct.comp k q)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (↑((CategoryTheory.Limits.Cotrident.IsColimit.homIso ht Z) k)) q
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
l l₁ l₂ : List Γ
⊢ Turing.BlankExtends l₁ l → Turing.BlankExtends l₂ l → l₁.length ≤ l₂.length → Turing.BlankExtends l₁ l₂
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Subsemiring R
x : R
⊢ x ∈ s.carrier ↔ x ∈ s
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s : Set α
h : ∃ a ∈ s, a ∈ p.support
a : α
ha : a ∉ s
⊢ (p.filter s h) a = 0
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
h : Nonempty ι
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
⊢ (span 𝕜 (Set.range fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1))).topologicalClosure = ⊤
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂
x : M₂
y : M
⊢ e.symm x = y ↔ x = e y
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
x : α × β
a' : α
b' : β
⊢ G.Adj x.1 a' ∧ x.2 = b' ∨ H.Adj x.2 b' ∧ x.1 = a' ↔ G.Adj x.1 a' ∧ b' = x.2 ∨ a' = x.1 ∧ H.Adj x.2 b'
c : ℂ
R θ : ℝ
⊢ HasDerivAt (circleMap c R) (circleMap 0 R θ * Complex.I) θ
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x
ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N)
S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n
S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n)
⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)
ψ θ : Angle
this : Int.natAbs 2 = 2
⊢ 2 • ψ = 2 • θ ↔ ψ = θ ∨ ψ = θ + ↑π
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R : ℝ
⊢ range (circleMap c R) = c +ᵥ R • range fun θ => cexp (↑θ * I)
α : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
X : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
F : Set X
x : X
hxF : x ∈ closure F
⊢ 1 ≤ (thickenedIndicator δ_pos F) x
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
x : E
h : x ≠ 0
hx : 0 < ‖x‖
this : Nontrivial ↥(Submodule.span 𝕜 {x})
⊢ ‖coord 𝕜 x h‖ = ‖x‖⁻¹
α : Type u_1
f g : α → α
h : Function.Commute f g
⊢ Function.Commute (Option.map f) (Option.map g)
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ 0 < Pell.xn a1 n
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s : Set α
⊢ exterior s = ⋂₀ {t | IsOpen t ∧ s ⊆ t}
α : Type u_1
a : α
Max α
LE α
max_le_iff : ∀ (a b c : α), max b c ≤ a ↔ b ≤ a ∧ c ≤ a
xs : List α
⊢ xs.maximum? = some a → ∀ (x : α), a ≤ x ↔ ∀ (b : α), b ∈ xs → b ≤ x
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
P : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid P
inst✝⁷ : Module R✝ P
f : M✝ →ₗ[R✝] P
R : Type u_4
S : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : Surjective ⇑(algebraMap R S)
X : Finset M
⊢ span R ↑X = restrictScalars R (span S ↑X)
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedRing β
FloorRing α
FloorRing β
FunLike F α β
RingHomClass F α β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
⊢ ⌊f a⌋ = ⌊a⌋
α : Type u_1
CancelCommMonoid α
s t : Set α
a : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a)
⊢ (↑x).1 = (↑y).1 ↔ (↑x).2 = (↑y).2
α : Type u_2
β : Type u_3
⊢ ∀ {x : NonAssocSemiring α} {x_1 : NonAssocSemiring β} (f : α →+* β), ⇑f.toMonoidWithZeroHom = ⇑f
α : Type ua
UniformSpace α
K : Set α
ι : Sort u_2
U : ι → Set α
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hcover : K ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ V ∈ 𝓤 α, ∀ x ∈ K, ∃ i, UniformSpace.ball x V ⊆ U i
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
I J : Ideal A
h : I = J
x : A
⊢ (Ideal.quotientEquivAlgOfEq R₁ h) ((Ideal.Quotient.mk I) x) = (Ideal.Quotient.mk J) x
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
f : ι → κ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ Set.range f
s : Finset κ
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)
g : κ → β
⊢ ∏ x ∈ s.preimage f hf, g (f x) = ∏ x ∈ filter (fun x => x ∈ Set.range f) s, g x
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h₁ : Reaches₁ f a c
h₂ : b ∈ f a
b' : σ
hab : b' ∈ f a
hbc : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b' c
⊢ Reaches f b c
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ a - (c + b) = a - c - b
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : (forget C).PreservesEpimorphisms
⊢ (forget C).PreservesEpimorphisms
α : Type u_1
Semifield α
LinearOrder α
PosMulReflectLT α
ZeroLEOneClass α
a : α
⊢ a⁻¹ < 0 ↔ a < 0
R : Type u
Ring R
f : R[X]
k : ℕ
⊢ (⇑Polynomial.derivative)^[k] (-f) = -(⇑Polynomial.derivative)^[k] f
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
l : List α
⊢ Multiset.filter p ↑l = ↑(List.filter (fun b => decide (p b)) l)
α : Type u_1
Ω : Type u_2
β : Type u_4
β' : Type u_5
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
μ : MeasureTheory.Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
_mβ : MeasurableSpace β
_mβ' : MeasurableSpace β'
Neg β'
MeasurableNeg β'
hfg : ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun f g κ μ
⊢ ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun f (-g) κ μ
x : ℂ
⊢ Complex.tan ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (Complex.tan x)
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
P : Submodule ℕ M
x✝ : P.FG
S : Finset M
hS : AddSubmonoid.closure ↑S = P.toAddSubmonoid
⊢ span ℕ ↑S = P
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
ih : cardQuot (P ^ i) = cardQuot P ^ i
this : P ^ (i + 1) < P ^ i
⊢ cardQuot (P ^ (i + 1)) = cardQuot P ^ (i + 1)
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.NoAtoms μ
PartialOrder α
a b : α
⊢ μ.restrict (Set.Ioc a b) = μ.restrict (Set.Icc a b)
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
hq0_lt : 0 < q
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = MeasureTheory.eLpNorm' f q μ ^ q
z : ℂ
⊢ (↑z).re = z.re
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖ ↔ ‖y‖ • x = ‖x‖ • y
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
X : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace X
hX : Pairwise fun x y => ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
S : Set X
hS : IsPreconnected S
⊢ ∀ ⦃x : X⦄, x ∈ S → ∀ ⦃y : X⦄, y ∈ S → x = y
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
self : F ⊣ G
X : C
Y : D
f : F.obj X ⟶ Y
⊢ (self.homEquiv X Y) f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.unit.app X) (G.map f)
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X Y Z : C
HasDerivedCategory C
a b : ℕ
α : CategoryTheory.Abelian.Ext X Y a
β : CategoryTheory.Abelian.Ext Y Z b
c : ℕ
h : a + b = c
⊢ (α.comp β h).hom = α.hom.comp β.hom ⋯
X : Compactum
A : Set X.A
F : Ultrafilter X.A
hF : F ∈ Compactum.basic (Compactum.cl A)
fsu : Type u_1 := Finset (Set (Ultrafilter X.A))
ssu : Type u_1 := Set (Set (Ultrafilter X.A))
ι : fsu → ssu := fun x => ↑x
C0 : ssu := {Z | ∃ B ∈ F, X.str ⁻¹' B = Z}
AA : Set (Ultrafilter X.A) := {G | A ∈ G}
C1 : ssu := insert AA C0
C2 : Set (Set (Ultrafilter X.A)) := finiteInterClosure C1
⊢ X.str F ∈ Compactum.cl A
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
hf : Continuous f
n : ℕ
⊢ Continuous fun x => ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x_1 => L x)) (f x)
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
s : Set (α × β)
s_mble : MeasurableSet s
⊢ (μ.prod ν) s = (∫⁻ (y : β), ↑μ ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s) ∂↑ν).toNNReal
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t✝ : Set X
Cg rg : ℝ≥0
g : Y → Z
t : Set Y
hg : HolderOnWith Cg rg g t
Cf rf : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderOnWith Cf rf f s
hst : MapsTo f s t
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ s
⊢ edist ((g ∘ f) x) ((g ∘ f) y) ≤ ↑(Cg * Cf ^ ↑rg) * edist x y ^ ↑(rg * rf)
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
⊢ l.all p = decide (∀ (x : α), x ∈ l → p x = true)
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
R : Type w
inst✝ : CommRing R
a b : R
ha : a ∈ R⁰
x : R
⊢ a • (mk (Submodule.span R {a * b})) x = 0 ↔ ∃ a_1, a_1 • (mk (Submodule.span R {a * b})) b = (mk (Submodule.span R {a * b})) x
s t : Set ℝ
⊢ frontier (s ×ℂ t) = closure s ×ℂ frontier t ∪ frontier s ×ℂ closure t
α : Type u
GroupWithZero α
a b : α
Invertible b
⊢ a / b * b = a
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
S : L.Substructure M
f : L.Hom M N
⊢ S ≤ FirstOrder.Language.Substructure.comap f (FirstOrder.Language.Substructure.map f S)
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : Type u_5
m : MeasurableSpace β
Add β
MeasurableAdd₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hij : i ≠ j
hik : i ≠ k
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (f i) (f j + f k) μ
G : Type u_3
DivInvMonoid G
x y : ConjAct G
⊢ ConjAct.ofConjAct (x * y) = ConjAct.ofConjAct x * ConjAct.ofConjAct y
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
⊢ 3 ≤ G.egirth
α : Type u_1
s : Finset α
p : α → Prop
DecidablePred p
(x : α) → Decidable ¬p x
⊢ (Finset.filter p s).card + (Finset.filter (fun a => ¬p a) s).card = s.card
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
S : Set (Set V)
Snd : ∀ {s t : Set V}, s ∈ S → t ∈ S → (s ∩ t).Nonempty
Sc : ∀ {s : Set V}, s ∈ S → (induce s G).Connected
s : Set V
sS : s ∈ S
v : V
vs : v ∈ s
w : V
hw : ∃ t ∈ S, w ∈ t
⊢ ∃ s' ⊆ ⋃₀ S, ∃ (hu' : v ∈ s') (hv' : w ∈ s'), (induce s' G).Reachable ⟨v, hu'⟩ ⟨w, hv'⟩
a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ completedHurwitzZetaEven a (1 - s) = completedCosZeta a s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
i : ι
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪y, b i⟫_𝕜
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : AddMonoid ι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
a : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)
i : ι
⊢ (proj 𝒜 i) ((decompose 𝒜).symm a) = (decompose 𝒜).symm ((of (fun i => ↥(𝒜 i)) i) (a i))
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
x : α
⊢ (∃ a ∈ f.support, ↑a = x) → x ∈ {x | P x}
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n✝ : ℕ
⊢ nats.get (n✝ + 1) = (0 :: map succ nats).get (n✝ + 1)
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : Y → Z
x : X
y : Y
hf : ContinuousAt f y
⊢ ContinuousAt (fun x => f x.2) (x, y)
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p : R[X]
a : R
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
this : (X - C a).Monic
q : R[X] := p /ₘ (X - C a)
⊢ q.coeff n = (p %ₘ (X - C a) + (X - C a) * (p /ₘ (X - C a))).coeff (n + 1) + a * q.coeff (n + 1)
R : Type uR
M : Type uM
ι : Type uι
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
Finite ι
⊢ ⇑b.dualBasis = b.coord
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝ : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower (↥S) (↥L) K
⊢ x ∈ L
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)
inst✝⁴ : Algebra R' R
inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)
inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
r : R
⊢ tprodCoeff R (r • 1) 1 = r • tprodCoeff R 1 1
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
μ : Ordinal.{u}
⊢ P I μ
ι : Type u_7
α : ι → Type u_8
s s' : Set ι
t t' : (i : ι) → Set (α i)
(x : ι) → Decidable (x ∈ s')
⊢ s.pi (s'.piecewise t t') = (s ∩ s').pi t ∩ (s \ s').pi t'
α : Type u_1
_m : MeasurableSpace α
⊢ ⇑0 = 0
a b : ℕ
⊢ Nat.cast '' Set.Ioc a b = Set.Ioc ↑a ↑b
J : Type v'
inst✝⁸ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
D : Type u''
inst✝⁶ : Category.{v'', u''} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : Adhesive D
inst✝⁴ : HasPullbacks C
inst✝³ : HasPushouts C
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape WalkingSpan F
inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms
this✝ : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
this : ReflectsColimitsOfShape WalkingSpan F
⊢ Adhesive C