ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b
hpos : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, 0 < f x
hab : a < b
⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in a..b, f x
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
s₁ s₂ : AList β
h : s₁.Disjoint s₂
⊢ (s₁ ∪ s₂).entries ~ (s₂ ∪ s₁).entries
α : Type u
L : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
⊢ FreeAddGroup.Red [(x1, !b1), (x2, b2)] L ↔ L = [(x1, !b1), (x2, b2)]
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
hf : Function.Injective f
⊢ Finset.image f (s₁ ∩ s₂) = Finset.image f s₁ ∩ Finset.image f s₂
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
c : MeasureTheory.ComplexMeasure α
⊢ (MeasureTheory.ComplexMeasure.re c).toComplexMeasure (MeasureTheory.ComplexMeasure.im c) = c
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X : C
⊢ A.X.map (𝟙 X) = 𝟙 (A.X.obj X)
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S✝ : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁹ : Semiring R✝
inst✝¹⁸ : Semiring S✝
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₁
inst✝¹² : AddCommMonoid N₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₃
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module S✝ M₃
σ : R✝ →+* S✝
fₗ gₗ : M →ₗ[R✝] M₂
f✝ g : M →ₛₗ[σ] M₃
R : Type u_17
S : Type u_18
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : SMul R M
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : SMul R M₂
inst✝³ : Module S M₂
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : CompatibleSMul M M₂ R S
inst✝ : IsScalarTower R S M₂
f : M →ₗ[S] M₂
hf : Injective ⇑f
r : R
s : S
x✝ : M
⊢ f ((r • s) • x✝) = f (r • s • x✝)
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : F''
hcf : c = 0 → f'' =ᶠ[l] 0
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f'' x‖
⊢ f'' =O[l] fun _x => c
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
ξ : R
hξ : ξ ^ k = 1
h0 : 0 < k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot (↑ζ) k
⊢ ∃ i < k, ↑ζ ^ i = ξ
α : Type v
DecidableEq α
ι : Type u
t : ι → Finset α
s : Finset ι
hus : s.card = (s.biUnion t).card
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
s' : Finset ↑(↑s)ᶜ
⊢ s'.card ≤ (s'.biUnion fun x' => t ↑x' \ s.biUnion t).card
a x✝ z x : ℂ
hr : 0 < x.re
hi : 0 < x.im
⊢ (if 0 ≤ x.re then -Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ -x.im then Real.arcsin (x.im / abs x) + π else Real.arcsin (x.im / abs x) - π) = if x.re < 0 ∧ x.im = 0 then π else -if 0 ≤ x.re then Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ x.im then -Real.arcsin (x.im / abs x) + π else -Real.arcsin (x.im / abs x) - π
F : Type v'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
NonUnitalSemiring B
StarRing B
Module R B
IsScalarTower R B B
SMulCommClass R B B
StarModule R B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
f : F
⊢ NonUnitalStarSubalgebra.comap f ⊤ = ⊤
K : Type u
Field K
⊢ Function.Injective ValuationSubring.nonunits
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx0 : ↑x ≠ 0
⊢ |(2 * π)⁻¹| • ∫ (y : ℝ), ↑x ^ (-(↑σ + ↑y * I)) • f (↑σ + ↑y * I) = ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (y : ℝ), cexp (2 * ↑π * (↑y * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I)
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)
this : φ (f * g).toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal + φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal = φ (-(f * g)).toNNReal + φ f.toNNReal * φ g.toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal
⊢ φ (f * g).toNNReal - φ (-(f * g)).toNNReal = φ f.toNNReal * φ g.toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal - (φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal)
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable
aux : volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}) = volume (Ioo a b)
len_pos : 0 < volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))})
⊢ ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁴ : AddCommGroup F'
inst✝³ : Module 𝕜 F'
inst✝² : TopologicalSpace F'
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F'
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F'
t : TopologicalSpace 𝕜
h₁ : TopologicalAddGroup 𝕜
h₂ : ContinuousSMul 𝕜 𝕜
h₃ : T2Space 𝕜
⊢ t = UniformSpace.toTopologicalSpace
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : ¬sin (↑π * z) = 0
this : ↑π / sin (↑π * z) = 1 * (↑π / sin (↑π * z))
⊢ Tendsto (fun n => 1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2))) atTop (𝓝 (↑π / sin (↑π * z)))
α : Sort u
op : α → α → α
self : Std.Associative op
a b c : α
⊢ op (op a b) c = op a (op b c)
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen V
h'V : μ V < ⊤
hV : μ (V \ s) < ↑η
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : μ v < ⊤
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (⇑g) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1
⊢ ∃ f, Continuous f ∧ eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p μ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (p - 1) * ∑ i ∈ Finset.Ico (0 + 1) (log p n).succ.succ, n / p ^ i = n - (p.digits n).sum
c : ℂ
R : ℝ
⊢ Differentiable ℝ (circleMap c R)
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
f : X → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
hfi : IntegrableOn f s μ
⊢ NullMeasurableSet (support f) (μ.restrict s)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₁ p₂ : ι → P
⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂ i) = (affineCombination k s p₁) w -ᵥ (affineCombination k s p₂) w
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
hx : x ≠ 0
⊢ (x + y).orderTop = x.orderTop
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid P
Module R M
Module R P
f : M ≃ₗ[R] P
IsNoetherian R M
⊢ IsNoetherian R P
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
h : b ≠ a
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (dslope f a) b ↔ DifferentiableAt 𝕜 f b
K : Type u
Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
a : K
H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
L : Type u_1
Field L
Algebra K L
Polynomial.IsSplittingField K L (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)
⊢ IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x ∂ν = μ s
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
⊢ map (⇑h) (cocompact X) = cocompact Y
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
hs : IsOpen s
⊢ (ApproximatesLinearOn.toPartialHomeomorph f s hf hc hs).source = s
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
Preorder ι
Preorder α
u : ι → α
φ : ι' → ι
h : Monotone u
l : Filter ι'
l.NeBot
H : Filter.Tendsto (u ∘ φ) l Filter.atTop
⊢ Filter.Tendsto u Filter.atTop Filter.atTop
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
h : x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q 0
⊢ CliffordAlgebra.involute x = x
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
h : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi a = a
⊢ o.nfpBFamily f a = a
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝¹ y✝ z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
hsurj : Surjective (Prod.map mk mk)
s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)
hs : IsOpen (Prod.map mk mk ⁻¹' s)
x✝ : X × Y
x : X
y : Y
h : Prod.map mk mk (x, y) ∈ s
⊢ s ∈ 𝓝 (Prod.map mk mk (x, y))
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (n + 1)
hj₁ : n + 1 ≤ ↑j + (q + 1)
hqn : ¬n < q
a : ℕ
ha : q + a = n
⊢ φ ≫ X.δ j.succ + (φ ≫ (Hσ q).f (n + 1)) ≫ X.δ j.succ = 0
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
s : Set (Filter α)
l : Filter α
⊢ l ∈ interior s ↔ ∃ t ∈ l, Iic (𝓟 t) ⊆ s
α : Type u_1
inst✝³ : AddGroup α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
⊢ sign (-a) = -sign a
a b c : ℤ
h1 : a % b = c
h2 : (a - c).natAbs < b.natAbs
⊢ a = c
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝³ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ (gramSchmidtOrthonormalBasis h f).toBasis.det f = ∏ i : ι, ⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i, f i⟫_𝕜
α : Type u_1
AddMonoidWithOne α
PartialOrder α
CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ZeroLEOneClass α
CharZero α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
⊢ 1 < OfNat.ofNat n
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : a ≠ 0
⊢ (UniqueFactorizationMonoid.factors a).prod ~ᵤ a
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : CommRing B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
a : A
⊢ (X - C (f a)) ^ rootMultiplicity a p ∣ map f p
α : Sort u
f : α → α
h : Involutive f
P : Prop
inst✝ : Decidable P
x : α
⊢ f (if P then x else f x) = if ¬P then x else f x
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
h✝ : CharZero R
⊢ ∃ q, ExpChar R q
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData
⊢ (S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom) ≫ (S.leftHomologyIso.symm ≪≫ h.leftHomologyIso).hom = h.cyclesIso.hom ≫ h.π
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ
⊢ (map f l).tail = map f l.tail
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Ico a (a + p)
this : (equivIco p a) ↑x = ⟨x, hx⟩
⊢ liftIco p a f ↑x = f x
α : Type u
β : Type v
MulOneClass α
MulOneClass β
f : α → β
self : IsMonoidHom f
⊢ f 1 = 1
n : Nat
⊢ List.range n = List.range' 0 n
n : ℕ
x : ℚ
⊢ Polynomial.eval (1 + x) (Polynomial.bernoulli n) = Polynomial.eval x (Polynomial.bernoulli n) + ↑n * x ^ (n - 1)
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsUpperModularLattice α
a b : α
⊢ b ⊓ a ⋖ b → a ⋖ b ⊔ a
α : Type u_1
Preorder α
β γ : Type u_4
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Monotone f
hg : Monotone g
⊢ Monotone fun x => Seq.seq (f x) fun x_1 => g x
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
t₀ t₁ x : ℝ
_hx : x ∈ I
⊢ (γ.truncate t₀ t₁) ⟨x, _hx⟩ ∈ range γ.extend
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ (a * b) ^ (-1) = b ^ (-1) * a ^ (-1)
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieRing L₃
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
LieAlgebra R L₃
e₁ : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
e₂ : L₂ ≃ₗ⁅R⁆ L₃
x : L₁
⊢ (e₁.trans e₂) x = e₂ (e₁ x)
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (Set.Iio 0 ×ℂ Set.Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Set.Iio 0 ×ℂ Set.Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * Complex.I)‖ ≤ C
hz_re : z.re ≤ 0
hz_im : 0 ≤ z.im
⊢ ‖f z‖ ≤ C
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
h : π.IsPartition
πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.TaggedPrepartition J
hi : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition
⊢ (π.biUnionTagged πi).IsPartition
α : Type u_1
Inter α
a b : Part α
hab : (a ∩ b).Dom
⊢ (a ∩ b).get hab = a.get ⋯ ∩ b.get ⋯
x y z : SetTheory.PGame
⊢ (x + y) * z ≈ x * z + y * z
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R
h : W.Equation x y
hΔ : WeierstrassCurve.Δ W ≠ 0
⊢ W.Nonsingular x y
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
DecidableEq α
h : FreeAddGroup.Red L₁ L₂
⊢ FreeAddGroup.Red L₂ (FreeAddGroup.reduce L₁)
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b : B
f g : a ⟶ b
CategoryTheory.BicategoricalCoherence f g
⊢  ⊗𝟙 = (ρ_ f).hom ≫ ⊗𝟙
α : Type u_1
β : Type u_2
Finite β
Nonempty α
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
f : β → α
⊢ BddAbove (Set.range f)
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
⊢ 0 = 1 ↔ n = 1
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : RatFunc K
f g : K[X]
h : g ≠ 0
⊢ (Polynomial.idealX K).valuation (RatFunc.mk f g) = (PowerSeries.idealX K).valuation ↑(RatFunc.mk f g)
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ
TopologicalSpace α
ContinuousConstSMul G α
MulAction.IsMinimal G α
U : Set α
μ.Regular
hμ : μ ≠ 0
hU : IsOpen U
⊢ μ U = 0 ↔ U = ∅
H : Type u_5
TopologicalSpace H
M : Type u_6
self : ChartedSpaceCore H M
x : M
⊢ x ∈ (self.chartAt x).source
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
a : α
s : Set β
⊢ (a • s).Finite ↔ s.Finite
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : OrderedCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i : ι
h : f ≤ g
hi : f i < g i
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
⊢ a₁ < a₂
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set (ULift.{v, u} X)
⊢ IsOpen s ↔ IsOpen (ULift.up ⁻¹' s)
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i✝ : M →ₗ[R] N
f✝ : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i✝)
h✝ : Baer R Q
X Y : Type v
x✝³ : AddCommGroup X
x✝² : AddCommGroup Y
x✝¹ : Module R X
x✝ : Module R Y
i : X →ₗ[R] Y
hi : Function.Injective ⇑i
f : X →ₗ[R] Q
h : Y →ₗ[R] Q
H : h ∘ₗ i = f
⊢ ∃ h, ∀ (x : X), h (i x) = f x
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤
⊢ (fun x => log (μ.rnDeriv (c • ν) x).toReal) =ᶠ[ae μ] fun x => log (μ.rnDeriv ν x).toReal - log c.toReal
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l : List M
ha : a ∈ l
s t : List M
h : l = s ++ a :: t
⊢ a ∣ a * (s.prod * t.prod)
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
Group G
TopologicalGroup G
k s : Set G
hk : IsCompact k
hs : MeasurableSet s
h : k ⊆ s
⊢ closure k ⊆ s
J : Type w
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
X Y : C
b : Bicone (pairFunction X Y)
⊢ b.ι WalkingPair.right ≫ b.π WalkingPair.left = 0
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
x : Submonoid A
n : ℤ
y : HomogeneousLocalization 𝒜 x
⊢ (n • y).val = n • y.val
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X Y : D
f : X ⟶ Y
hf : Mono f
Z : C
g h : Z ⟶ G.obj X
H : (adj.homEquiv Z Y).symm (g ≫ G.map f) = (adj.homEquiv Z Y).symm (h ≫ G.map f)
⊢ g = h
n : ℕ
⊢ 0 < SzemerediRegularity.stepBound n ↔ 0 < n
α : Type u_1
t : Batteries.RBNode α
⊢ t.setBlack.reverse = t.reverse.setBlack
n : ℕ
⊢ Finset.Ioi 0 = Finset.map (Fin.succEmb n) Finset.univ
α : Type u_1
⊢ ¬∅.Nontrivial
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ ((((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ▷ Q.X ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X (TensorBimod.X N P) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X N P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X N P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) ⋯ ⋯) = ((α_ (TensorBimod.X M N) P.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (TensorBimod.X P Q)) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯) ⋯
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
f : RingQuot r →+* T
⊢ { toFun := fun f => preLift ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (mkRingHom r), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ({ toFun := fun f => preLift ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (mkRingHom r), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm f) = { toFun := fun f => preLift ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (mkRingHom r), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨f.comp (mkRingHom r), ⋯⟩
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
⊢ (MonoidHom.snd G G').ker = ⊤.prod ⊥
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a b : α
m n : ℕ
h : a ≠ b
⊢ (count a l = count a (replicate m a ++ replicate n b) ∧ (b ≠ a → count b l = count b (replicate m a ++ replicate n b)) ∧ ∀ (b_1 : α), b_1 ≠ b → b_1 ≠ a → count b_1 l = count b_1 (replicate m a ++ replicate n b)) ↔ count a l = m ∧ count b l = n ∧ l ⊆ [a, b]
R : Type u
A : Type z
B : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A ≃ₐ[R] B
x : A
⊢ Polynomial.aeval (f x) = (↑f).comp (Polynomial.aeval x)
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ ↑(↑θ.expMapCircle * (o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg + θ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ (fun x => a - x) ⁻¹' [[b, c]] = [[a - b, a - c]]
α : Type u_1
l : List α
a : α
⊢ List.takeD 0 l a = []
α : Type u_1
β : Type u_2
One β
⊢ Function.const α 1 = 1
m n : ℕ
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
hu : m = 0
⊢ Fin.append u v = v ∘ Fin.cast ⋯
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s / 2 + -(-I * ↑(↑n).sign) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) / ↑n ^ s / 2) (sinZeta (↑a) s)
⊢ HasSum (fun n => (cexp (-(2 * ↑π * ↑a * ↑n) * I) - cexp (2 * ↑π * ↑a * ↑n * I)) * I / 2 / ↑n ^ s) (sinZeta (↑a) s)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g : ι → β
⊢ MonovaryOn (-f) g s ↔ AntivaryOn f g s
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
s c : ι → Set α
hc : ∀ (i : ι), (c i).Countable
h'c : ∀ (i : ι), s i ⊆ closure (c i)
⊢ IsSeparable (⋃ i, s i)