ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f : G → E
x : G
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x
h0 : f x ≠ 0
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun y => ‖f y‖) x
α : Type u_1
β : Type u_3
f : α → β
m m' : MeasureTheory.OuterMeasure α
⊢ (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) (m ⊔ m') =
  (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) m ⊔ (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) m'
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)
this : Perfect (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ∧ (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)).Nonempty
⊢ EMetric.diam (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C) ≤ ε
α : Type u_1
p : PosNum
⊢ ↑p = ↑(pos p)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
O : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => (↑e.symm).comp f
h_O : Continuous O
⊢ IsOpen (range toContinuousLinearMap)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
ha : a ∈ s
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, s ∈ 𝓝[>] x
⊢ ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, ∀ y ∈ Ioi x, (s ∩ Ioc x y).Nonempty
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
Mul β
b : β
⊢ (MulEquiv.symm e.mulEquiv) b = e.symm b
α : Type u_2
β : Type u_3
CoheytingAlgebra α
CoheytingAlgebra β
f g : CoheytingHom α β
h : ∀ (a : α), f a = g a
⊢ f = g
R : Type u
CommSemiring R
f : R[X]
⊢ Polynomial.contract 1 f = f
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : Affine.Simplex ℝ P 0
i : Fin 1
⊢ s.circumcenter = s.points i
α : Type u_1
Mul α
a x y : αᵐᵒᵖ
⊢ SemiconjBy (MulOpposite.unop a) (MulOpposite.unop y) (MulOpposite.unop x) ↔ SemiconjBy a x y
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)
⊢ AlgebraicIndependent R (⇑f ∘ x)
s : Set ℕ
h : ∃ n, ∀ a ∈ s, a ≤ n
⊢ sSup s = Nat.find h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
⊢ toEuclideanLin (star ↑hA.eigenvectorUnitary * A * ↑hA.eigenvectorUnitary) = toEuclideanLin (diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues))
α : Type u_1
l : List α
⊢ l.inits = (List.map List.reverse l.reverse.tails).reverse
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
this : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
⊢ mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
n : Nat
i : Fin (n + 1)
h : 0 < i
⊢ 0 < i.castSucc
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
⊢ J.toPlus P = (J.isoToPlus P hP).hom
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ [toIcoMod hp a b = a, ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p), toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b, toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b].TFAE
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
C : CochainComplex V ℕ
X : V
f : { f // f ≫ C.d 0 1 = 0 }
i : ℕ
hi : (ComplexShape.up ℕ).Rel 0 i
⊢ ↑f ≫ C.d 0 i = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
GroupWithZero α
MulAction α β
s t : Finset β
a : α
ha : a ≠ 0
⊢ a • s ⊆ a • t ↔ s ⊆ t
α : Type u
β✝ : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
β : Type u_1
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
h : CauchySeq u
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
this✝ : Nonempty β
this : Tendsto (Prod.map u u) (atTop ×ˢ atTop) (𝓤 α)
⊢ ∃ k₀, ∀ (i j : β), k₀ ≤ i → k₀ ≤ j → (u i, u j) ∈ V
𝕜 : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E✝
inst✝⁵ : HasOrthogonalProjection K✝
E : Type u_4
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] E'
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x : E'
⊢ (reflection (Submodule.map (↑f.toLinearEquiv) K)) x = f ((reflection K) (f.symm x))
R : Type u
NonAssocSemiring R
s : Set (Set R)
⊢ Subsemiring.closure (⋃₀ s) = ⨆ t ∈ s, Subsemiring.closure t
β α : Type u
f : β → α
h₁ : ℵ₀ ≤ #β
h₂ : #α < (#β).ord.cof
⊢ ∃ a, #↑(f ⁻¹' {a}) = #β
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
h : Codisjoint a b
⊢ b ⇨ a = a
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB : autoParam (B ⊆ M.E) _auto✝
x✝ : (∃ B_1, M.Base B_1 ∧ Disjoint B B_1) ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, y ⊆ M.E → ∀ (x : Set α), M.Base x ∧ Disjoint y x → B ⊆ y → B = y
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hBB' : Disjoint B B'
h : ∀ ⦃y : Set α⦄, y ⊆ M.E → ∀ (x : Set α), M.Base x ∧ Disjoint y x → B ⊆ y → B = y
⊢ M.Base (M.E \ B)
J : Type w
C : Type uC
CategoryTheory.Category.{uC', uC} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
F : J → C
c c' : CategoryTheory.Limits.Bicone F
φ : c.pt ≅ c'.pt
wι : ∀ (j : J), c.ι j ≫ φ.hom = c'.ι j := by aesop_cat
wπ : ∀ (j : J), φ.hom ≫ c'.π j = c.π j := by aesop_cat
⊢ (CategoryTheory.Limits.Bicones.ext φ wι wπ).hom.hom = φ.hom
G : Type u_1
H : Type u_2
AddZeroClass G
MulOneClass H
f : G ≃+ Additive H
a : H
⊢ (AddEquiv.toMultiplicative'' f).symm a = (AddMonoidHom.toMultiplicative' f.symm.toAddMonoidHom) a
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
x : 𝕂
⊢ (algebraMap 𝕂 𝔸) (NormedSpace.exp 𝕂 x) = NormedSpace.exp 𝕂 ((algebraMap 𝕂 𝔸) x)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
B : ℝ
h : minkowskiBound K I ≤ volume (convexBodySum K B)
hB : 0 ≤ B
h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹
h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
a : K
ha : a ∈ ↑↑I
hx : (mixedEmbedding K) a ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
h_nz : ⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ≠ 0
h_mem : ↑⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ∈ convexBodySum K B
⊢ ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ^ (∑ x : InfinitePlace K, ↑x.mult)⁻¹ ≤ (∏ i : InfinitePlace K, ↑i a ^ ↑i.mult) ^ (∑ i : InfinitePlace K, ↑i.mult)⁻¹
α : Type u_1
CompleteLattice α
L : CompleteSublattice α
⊢ ↑⊤ = ⊤
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : Set (Set E)
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X
h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : ↑I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
⊢ (⋂₀ ↑I).Nonempty
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P
⊢ ¬⊥.WOppSide x y
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
sets : ℕ → Set α
sets_prop : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (sets n) ∧ μ (sets n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ sets n, ‖f x‖ ≤ ↑n
h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ
⊢ μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
α : Type u_1
LT α
a : WithTop α
b c : α
h : a = ⊤ → c < b
⊢ c < WithTop.untop' b a ↔ ↑c < a
m✝ n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x : α✝ (last n✝)
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.castSucc
i : Fin n✝
y✝ : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n✝)
n m : ℕ
α : Type u_1
xs : Fin n → α
y : α
ys : Fin m → α
⊢ append xs (cons y ys) = (append xs (cons y ys) ∘ cast ⋯) ∘ cast ⋯
R : Type u_1
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : StarMul R
U : R
hU : U ∈ unitary R
⊢ star U * star (star U) = 1
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
⊢ D.tensorProductTo (x * y) = (TensorProduct.lmul' R) x • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo x
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : Preorder α
f : ℤ → α
hf : Antitone f
n a : ℤ
h1 : f (n + 1) < f a
h2 : f a < f n
⊢ False
α : Type u_1
n : Nat
a' : α
l : List α
h : n < l.length
⊢ ∃ l₁ a l₂, l = l₁ ++ a :: l₂ ∧ l₁.length = n ∧ l.set n a' = l₁ ++ a' :: l₂
R : Type u_1
Semiring R
⊢ (Polynomial.opRingEquiv R).symm Polynomial.X = MulOpposite.op Polynomial.X
E : Type u_6
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
⊢ ∀ (a : E), (ContinuousAddMonoidHom.neg E) a = -a
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α✝
γ : Type w
inst✝¹ : MetricSpace γ
α : Type u
inst✝ : MetricSpace α
H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : α), F x = F y → dist x y ≤ ε
⊢ SecondCountableTopology α
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ C
c : Cocone F.rightOp
hc : IsColimit c
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (coneOfCoconeRightOp c).pt
w : ∀ (j : Jᵒᵖ), m ≫ (coneOfCoconeRightOp c).π.app j = s.π.app j
j : J
⊢ (c.ι.app j ≫ m.op).unop = (c.ι.app j ≫ ((fun s => (hc.desc (coconeRightOpOfCone s)).unop) s).op).unop
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
LE α
LE β
LE γ
e : α ≃o β
e' : β ≃o γ
⊢ ⇑(e.trans e') = ⇑e' ∘ ⇑e
α : Type u_2
Mul α
s t : Set α
⊢ ⋃ a ∈ s, (fun x => a * x) '' t = s * t
ι : Sort u_1
f : ι → Cardinal.{u_2}
IsEmpty ι
⊢ iSup f = 0
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
⊢ map (fun x => x.fst) Finset.univ.val = m
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p q : R[X]
h₁ : p ∣ q
h₂ : q.degree < p.degree
⊢ q = 0
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ : M
s : Set M
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩
x : M
hx : x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
y : M
hy : y ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
⊢ f ⟨x, hx⟩ = f ⟨y, hy⟩ → ⟨x, hx⟩ = ⟨y, hy⟩
R : Type u_1
Mul R
c : R
self : IsRegular c
⊢ IsRightRegular c
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
⊢ x * 1 = x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (m.bind dirac) s = m s
G : Type u_1
Group G
⊢ Group.IsNilpotent G ↔ ∃ n H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix m n R
⊢ LinearMap.range (Matrix.toLin' M) = Submodule.span R (Set.range Mᵀ)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ Finset.range (n + 1), C ↑p ^ x * ((if P x then X x else 0) ^ p ^ (n - x) + (if ¬P x then X x else 0) ^ p ^ (n - x)) = C ↑p ^ x * X x ^ p ^ (n - x)
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c ≠ 0
⊢ P.toPoly.degree = 1
a b : Prop
Decidable a
⊢ (b ↔ a → b) ↔ a ∨ b
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
⊢ Measurable Sum.inl
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
⊢ S.Exact ↔ CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.i h₂.p = 0
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
A : Type u_2
AddCommGroup A
ϕ : ↥H →+ A
R S T : ↑(AddSubgroup.leftTransversals ↑H)
H.FiniteIndex
⊢ AddSubgroup.leftTransversals.diff ϕ R S + AddSubgroup.leftTransversals.diff ϕ S T =
  AddSubgroup.leftTransversals.diff ϕ R T
α : Type u_1
β : Type u_2
t✝ : Set α
a✝ b a : α
t : Set α
h : a ∉ t
⊢ (insert a t).encard = t.encard + 1
R : Type u
Ring R
s : Subring R
x : R
⊢ x ∈ s.carrier ↔ x ∈ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
CompleteSpace F
⊢ ContinuousOn p.sum (EMetric.ball 0 p.radius)
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ
A : IsClosed (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)
B : x ∉ range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)ᶜ
δ : ℝ
hδ : δ ≤ ε
m : ℤ
hlt : dist x (↑m / ↑n) < δ
⊢ False
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
Preorder γ
Preorder δ
f : α → γ
g : β → δ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
⊢ StrictMono (Prod.map f g)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
r : ℝ≥0∞
hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
A : ℕ → Set α
hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)
hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n
hAd : Pairwise (Disjoint on A)
hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)
hr : r > μ (⋃ n, A n)
HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0∞
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
hδε : μ (⋃ n, A n) + ∑' (i : ℕ), δ i < r
⊢ ∃ U ⊇ ⋃ n, A n, IsOpen U ∧ μ U < r
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
pn : xz a1 n * xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 n = 1 := pell_eqz a1 n
h : ↑(xn a1 n * xn a1 n) - ↑(Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = 1
hl : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n ≤ xn a1 n * xn a1 n
⊢ ↑(xn a1 n * xn a1 n) - ↑(Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = ↑1
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
a : R
H : a ≠ 0
⊢ ((Polynomial.monomial n) a).support = {n}
n : Type u_4
α : Type u_5
ι : Type u_7
Fintype n
Unique ι
SeminormedAddCommGroup α
v : n → α
⊢ ‖Matrix.row ι v‖ = ‖v‖
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
ProperSpace α
h : Bornology.IsBounded s
⊢ IsCompact (closure s)
K : Type v
V : Type w
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : Module.End K V
μ : K
⊢ Disjoint (f.genEigenrange μ (FiniteDimensional.finrank K V)) ((f.genEigenspace μ) (FiniteDimensional.finrank K V))
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_5
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
a b : R
⊢ ↑a = ↑b ↔ a = b
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddCommMonoid α
t : List ι
f₁ f₂ : ι → Set α
hf : ∀ i ∈ t, f₁ i ⊆ f₂ i
⊢ (List.map f₁ t).sum ⊆ (List.map f₂ t).sum
cont : Type u
idx : Type v
elem : outParam (Type w)
dom : outParam (cont → idx → Prop)
ge : GetElem? cont idx elem dom
self : LawfulGetElem cont idx elem dom
c : cont
i : idx
Decidable (dom c i)
⊢ getElem? c i = if h : dom c i then some (getElem c i h) else none
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ sup (o.familyOfBFamily f) = lsub (o.familyOfBFamily f) ∨ succ (sup (o.familyOfBFamily f)) = lsub (o.familyOfBFamily f)
K : Type u
DivisionRing K
S : Type u_1
SetLike S K
h : SubfieldClass S K
s : S
q : ℚ≥0
⊢ ↑↑q = ↑q
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : Z.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : (openCoverOfLeft (𝒰.pullbackCover f) f g).J
Xᵢ : Scheme := pullback f (𝒰.map i)
Yᵢ : Scheme := pullback g (𝒰.map i)
W : Scheme := pullback (pullback.snd g (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i))
⊢ ((openCoverOfLeft (𝒰.pullbackCover f) f g).obj i).OpenCover
z : ℂ
⊢ Complex.abs z = √(Complex.normSq z)
α : Type u_1
p : α → Bool
L l₁ : List α
o : Option α
l₂ : List α
⊢ (∀ x ∈ l₁, p x = false) →
  Option.elim' (L = l₁ ∧ l₂ = []) (fun a => p a = true ∧ L = l₁ ++ a :: l₂) o →
    Turing.PartrecToTM2.splitAtPred p L = (l₁, o, l₂)
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ (∅.sup p) x = ↑(∅.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩)
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
x : α
s : Set α
z : β
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun _x => z) s x
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
f : InfHom α β
⊢ ∀ (a : Option α), f.withTop.toInfHom a = Option.map (⇑f) a
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
⊢ ∃ a0 b0 c0, Fermat42.Minimal a0 b0 c0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
s : Set β
t : γ
⊢ ‖κ.density ν a t s‖ ≤ 1
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
hf'✝ : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hfg : ∀ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
F' : ι → 𝕜 → 𝕜 →L[𝕜] G := fun n z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)
G' : 𝕜 → 𝕜 →L[𝕜] G := fun z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' z)
hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1 n.2)) n.2
hf' : TendstoUniformlyOnFilter F' G' l (𝓝 x)
⊢ HasFDerivAt g (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' x)) x
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : LipschitzWith K f
x : α
n : ℕ
⊢ edist (f^[n] x) (f^[n + 1] x) ≤ edist x (f x) * ↑K ^ n
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
NontriviallyNormedField R
(x : B) → AddCommMonoid (E x)
(x : B) → Module R (E x)
NormedAddCommGroup F
NormedSpace R F
TopologicalSpace B
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)
(x : B) → TopologicalSpace (E x)
FiberBundle F E
e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj
Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
⊢ ⇑(Trivialization.continuousLinearEquivAt R e b hb).symm = ⇑(Trivialization.symmL R e b)
a n : ℕ
⊢ n.ceilRoot a = if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else (a.factorization ⌈/⌉ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1
p : GHSpace
⊢ toGHSpace ↥(Quot.out p) = p
α : Type u
s : Computation α
a : α
h : a ∈ s
⊢ s.Terminates
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S x
⊢ ∃ u ∈ Ioi x, Ioc x u ⊆ S
X Y Z : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base
l : Y ⟶ X
hl : l ≫ f = g
⊢ l = AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion.lift f g H'
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
l : Filter α
CountableInterFilter l
β : Type u_2
MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
⊢ EventuallyMeasurable m l f
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
⊢ (s₁.ndunion s₂).inf = s₁.inf ⊓ s₂.inf
α : Type u_1
π : α → Type u_5
f : (a : α) → π a
s : Set α
g : (a : ↑s) → π ↑a
⊢ s.restrict f = g ↔ ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a = g ⟨a, ha⟩
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ A
⊢ ∃ K ⊆ A, IsCompact K ∧ r < μ K
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ (f.extend I).target ⊆ Set.range ↑I
n ν : ℕ
x : ↑I
h₁ : 0 ≤ ↑x
h₂ : 0 ≤ 1 - ↑x
⊢ 0 ≤ ↑(n.choose ν) * ↑x ^ ν * (1 - ↑x) ^ (n - ν)
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ [[a, c]] ⊆ [[a, b]] ∪ [[b, c]]
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrderBot α
s : Set α
hs : BddAbove s
⊢ s.Finite
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : Ring k
inst✝² : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝ : DecidableEq ι
l m : ι
⊢ (b.coords (b₂ l) ᵥ* b₂.toMatrix ⇑b) m = 1 l m
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
x : γ
hx : κ.rnDerivAux (κ + η) a x < 1
⊢ 0 < 1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x
α : Type u_1
LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp x y = cmp x' y'
⊢ x ≤ y ↔ x' ≤ y'
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i : n
⊢ ↑(hA.eigenvalues i) • EuclideanSpace.single i 1 = EuclideanSpace.single i ↑(hA.eigenvalues i)
s : Finset ℕ
m n✝ p n k : ℕ
hn : n ≠ 1
hk : k ≠ 0
h : Squarefree (n ^ k)
h₁ : ¬k = 1
this : 2 ≤ k
⊢ n ^ 2 ∣ n ^ k
M : Type u_2
N : Type u_3
φ : M → N
X : Type u_5
SMul M X
Y : Type u_6
SMul N Y
φ' : N → M
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₁ : Function.LeftInverse φ' φ
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ (f.inverse' g k₂ h₁ h₂).inverse' (⇑f) k₁ h₂ h₁ = f
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
⊢ im z⁻¹ = -im z / normSq z
R S : Type u
CommRing R
CommRing S
M : Submonoid R
S' : Type u
CommRing S'
Algebra S S'
Algebra R S
Algebra R S'
IsScalarTower R S S'
IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Submodule.span R ↑s
⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
u : R
freq_le : ∃ᶠ (x : R) in F, x ≤ u
ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, f u < x
z : R
hz : z ∈ f ⁻¹' {x | f u < x}
con : ¬u < z
⊢ False
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
this : ∫⁻ (x : Ω), ↑‖X x - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂μ < ⊤
⊢ evariance X μ < ⊤