ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
G : Type u_3
H : Type u_4
Sub G
Sub H
x₁ x₂ : G
y₁ y₂ : H
⊢ (x₁, y₁) - (x₂, y₂) = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : FundamentalGroupoid.fromTop x₀ ⟶ FundamentalGroupoid.fromTop x₁
⊢ (π.map g).map p =
  ContinuousMap.Homotopy.hcast ⋯ ≫
    (π.map H.uliftMap).map (ContinuousMap.Homotopy.prodToProdTopI (𝟙 (FundamentalGroupoid.fromTop { down := 1 })) p) ≫
      ContinuousMap.Homotopy.hcast ⋯
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
⊢ (LieModule.weightSpace M 0).normalizer = LieModule.weightSpace M 0
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Embedding M N
⊢ f.comp (FirstOrder.Language.Embedding.refl L M) = f
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Ring B
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
f✝ : R →+* S
M : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : IsScalarTower R A M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M
N : Submodule R M
hN : N ≠ ⊥
hN' : N.FG
x : A
hx : ∀ n ∈ N, x • n ∈ N
A' : Subalgebra R A := { carrier := {x | ∀ n ∈ N, x • n ∈ N}, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := ⋯ }
f : ↥A' →ₐ[R] Module.End R ↥N := AlgHom.ofLinearMap { toFun := fun x => (DistribMulAction.toLinearMap R M x).restrict ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ⋯ ⋯
a : M
ha₁ : a ∈ N
ha₂ : a ≠ 0
this : Function.Injective ⇑f
⊢ IsIntegral R (A'.val ⟨x, hx⟩)
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
m : M
i : ι
⊢ (b.toDual m) (b i) = b.equivFun m i
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s t : Set α
f✝ g : α → G
a : α
h : s ⊆ t
f : α → G
⊢ (t \ s).mulIndicator f * s.mulIndicator f = t.mulIndicator f
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C
CategoryTheory.Preadditive C
∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
CategoryTheory.Pretriangulated C
T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle Cᵒᵖ
hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ Opposite.unop ((CategoryTheory.Pretriangulated.triangleOpEquivalence C).inverse.obj T) ∈
  CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles
α : Type u
SubtractionMonoid α
a b : α
ha : IsAddUnit a
hb : IsAddUnit b
⊢ IsAddUnit (a - b)
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ 2 • o.oangle (r • x) x = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : ↥N
h : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m
⊢ ∃ y ∈ ⁅I, N⁆, ∃ z ∈ ⁅J, N⁆, y + z = m
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Semiring α
TopologicalSemiring α
s : Subsemiring α
⊢ s ≤ s.topologicalClosure
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
a : M₀
n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : a ^ n ≠ 0
⊢ a ≠ 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
CompleteSpace F
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α → E
⊢ MeasureTheory.setToFun μ T hT f = MeasureTheory.setToFun μ T' hT' f
α : Type u
CompleteLattice α
p : α → Prop
h : ∃ x, p x
⊢ (∃ s, (∀ (n : ℕ), p (s n)) ∧ ⨆ n, s n = ⊤) ↔ ∃ S, S.Countable ∧ (∀ s ∈ S, p s) ∧ sSup S = ⊤
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
p : B × F
⊢ ↑(Z.localTriv i).symm p = { proj := p.1, snd := Z.coordChange i (Z.indexAt p.1) p.1 p.2 }
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝¹ : FiberBundle F E
inst✝ : T1Space B
x : B
⊢ IsClosed (range (TotalSpace.mk x))
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hst : t ⊆ s
hs : μ s ≠ ⊤
⊢ μ t < ⊤
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
s : Set X
h : x ~ᵢ y
hs : IsOpen s
⊢ x ∈ s ↔ y ∈ s
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
𝔖_covers : ⋃₀ 𝔖 = univ
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
ℱ : Filter ι
f : X → α
⊢ Tendsto (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ℱ (𝓝 ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) f)) ↔ Tendsto F ℱ (𝓝 f)
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
NormedAddCommGroup F₁
NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
NormedAddCommGroup F₂
NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
NormedAddCommGroup F₃
NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
NormedAddCommGroup F₄
NormedSpace 𝕜 F₄
n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₃
f : M → F₂ →L[𝕜] F₄
hg : ContMDiff I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₃) n g
hf : ContMDiff I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₄) n f
⊢ ContMDiff I 𝓘(𝕜, F₁ × F₂ →L[𝕜] F₃ × F₄) n fun x => (g x).prodMap (f x)
K : Type u₁
Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
CommRing O
Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
x : ModP K v O hv p
⊢ v ↑p < ModP.preVal K v O hv p x ↔ x ≠ 0
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
f : ι → δ → α
s : Set ι
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)
⊢ Measurable fun x => sSup ((fun i => f i x) '' s)
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Subtype Numeric
g : ι → PGame := Subtype.val ∘ f
⊢ BddAbove (Set.range fun i => ⟦f i⟧)
ι : Type u_1
E : Type u_2
Finite ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
b : AffineBasis ι ℝ E
⊢ interior ((convexHull ℝ) (Set.range ⇑b)) = {x | ∀ (i : ι), 0 < (b.coord i) x}
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
⊢ n ≤ ⌊a⌋₊ ↔ ↑n ≤ a
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
⊢ ⊤.op = ⊤
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
hs : BddAbove s
sne : s.Nonempty
ht : BddAbove t
tne : t.Nonempty
⊢ sSup (s ∪ t) = sSup s ⊔ sSup t
α : Type u_1
Lattice α
a : α
⊢ Set.uIcc a a = {a}
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
as bs cs : (i : ι) → X i
a✝ : Path as bs
⊢ ⟦Path.pi fun i => a✝.map ⋯⟧ = ⟦a✝⟧
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
⊢ ⇑h ∘ ⇑h.symm = id
b n : ℕ
hb : 1 < b
h : n < b
⊢ log b (n / b) = log b n - 1
G : Type u_3
InvolutiveNeg G
⊢ Function.Involutive Neg.neg
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
⊢ ∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε
α : Type u
f g : α → α
h : Function.Commute f g
⊢ Set.InvOn f g (Function.fixedPoints (f ∘ g)) (Function.fixedPoints (f ∘ g))
cs cs' : List Char
i p : Nat
hp : i + String.utf8Len cs = p
⊢ String.utf8GetAux? (cs ++ cs') { byteIdx := i } { byteIdx := p } = cs'.head?
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
A : C
inst✝ : IsConnected A
a : ↑(F.obj A)
⊢ Aut A → ↑(F.obj A)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
mα : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hμ : μ ≠ 0
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
hf_int : ∀ (b : β), ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ ≠ ⊤
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
val✝ : Encodable β
h✝ : Nonempty β
inhabited_h : Inhabited β
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ b, f b a ∂μ = ⨅ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
α : Type u
a : α
⊢ {a} ≠ ∅
α : Type u
n : ℕ
a : α
⊢ Stream'.drop n (Stream'.const a) = Stream'.const a
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
⊢ CategoryTheory.Equivalence.refl.functor = CategoryTheory.Functor.id C
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
hd : P.d = 0
⊢ P.toPoly = 0
M : Type u_2
AddZeroClass M
x : AddSubmonoid M
⊢ AddSubmonoid.opEquiv x = x.op
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
n : ℕ
hg : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ n • g z) x
this : (fun z => (z - x) ^ max m n • (f + g) z) = fun z => (z - x) ^ (max m n - m) • (z - x) ^ m • f z + (z - x) ^ (max m n - n) • (z - x) ^ n • g z
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ max m n • (f + g) z) x
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
⊢ IntegrableOn (fun x => (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi 0) volume
R : Type u
CommSemiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
hu : ¬IsUnit p
⊢ 0 < p.natDegree
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ μ {x | ε ≤ ‖f x‖} < ⊤
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
hinj : Injective ⇑f
h : Module.rank K ↥(range f) = Module.rank K V
⊢ Surjective ⇑f
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ
⊢ ‖↑z‖ ≤ 1
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
σ : Perm n
⊢ ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, Mᵀ (σ i) i = ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ⁻¹ i) i
x : ℕ
h : x ≠ 0
⊢ ArithmeticFunction.zeta x = 1
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
⊢ a ≤ max (max a b) c
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
hs : IsOpen s
⊢ frontier s = closure s \ s
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
e : F ≅ G
⊢ F.IsEquivalence ↔ G.IsEquivalence
V : Type u
G : SimpleGraph V
self : G.Connected
⊢ Nonempty V
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
h : (L.lhomWithConstants α).onTheory T ⊨ᵇ φ
⊢ φ ∈ p
E : ℕ → Type u_1
(n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
x : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
⊢ IsOpen (PiNat.cylinder x n)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ ContinuousLinearMap.comp 0 (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
m : ℕ
hm : ↑m < n
hf : ContDiff 𝕜 n f
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m f x
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
this : ↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv ∘ₗ Algebra.linearMap B (FractionRing B) = Algebra.linearMap B L
H : (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B)).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).symm.toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).symm.toRingEquiv).comp (algebraMap K L)
⊢ Submodule.map (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv ∘ₗ Algebra.linearMap B (FractionRing B)) (differentIdeal A B) = 1 / Submodule.traceDual A K 1
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ a ^ (b * c) = (a ^ b) ^ c
V : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory V
W : Type (u + 1)
CategoryTheory.LargeCategory W
CategoryTheory.MonoidalCategory V
CategoryTheory.MonoidalCategory W
F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor V W
G : MonCat
⊢ ∀ (a : Action V G) (g : ↑G), ((CategoryTheory.MonoidalFunctor.mapActionLax F G).obj a).ρ g = F.map (a.ρ g)
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
h : LieAlgebra.center R L = ⊥
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R L (LieDerivation R L L)
x : L
⊢ D x = 0 x
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
⊢ eval (-r) 1 = (-1) ^ 0 * eval r 1
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
β : Type u_5
m : MeasurableSpace β
Add β
MeasurableAdd₂ β
f : ι → Ω → β
hf_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' (fun x => m) f μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
⊢ ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (f i + f j) (f k + f l) μ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_6
M' : Type u_7
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid M'
Module R M'
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M'
f : M → M'
g : M' → M
hf : ∀ (i : ι), f (b i) ∈ Set.range ⇑b'
hg : ∀ (i : ι'), g (b' i) ∈ Set.range ⇑b
hgf : ∀ (i : ι), g (f (b i)) = b i
hfg : ∀ (i : ι'), f (g (b' i)) = b' i
i : ι
⊢ (b.equiv' b' f g hf hg hgf hfg) (b i) = f (b i)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ lineDeriv 𝕜 f₁ x v = lineDeriv 𝕜 f x v
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
t : (a : α) → Finset (δ a)
x : (a : α) → δ a
⊢ x ∈ ↑(piFinset t) ↔ x ∈ Set.univ.pi fun a => ↑(t a)
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
(i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_4
Monoid N
fi : (i : ι) → M i →* N
i : ι
m : M i
⊢ (Monoid.CoprodI.lift fi) (Monoid.CoprodI.of m) = (fi i) m
α : Type u_1
Semifield α
LinearOrder α
PosMulReflectLT α
ZeroLEOneClass α
a b : α
PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a / b
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
z n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
⊢ z ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }.floor ↔ ↑z ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (2 < p)
h : ↑2 = 0
⊢ False
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
X✝ Y✝ : (coprodMonad X).Algebra
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((fun A => Under.mk (coprod.inl ≫ A.a)) X✝).hom ≫ f.f = ((fun A => Under.mk (coprod.inl ≫ A.a)) Y✝).hom
G : Type w
TopologicalSpace G
Neg G
ContinuousNeg G
x y : G
h : x ⤳ y
⊢ (-x) ⤳ (-y)
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}
⊢ a ⨳ b ⨳ c = a ⨳ (b ⨳ c)
n : ℕ+
⊢ ↑n ≠ 0
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ ~ l₂
⊢ List.filterMap (Option.guard fun x => p x = true) l₁ ~ List.filterMap (Option.guard fun x => p x = true) l₂
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ∃ x, f x ≤ ∫ (a : α), f a ∂μ
⊢ Ici 2 = Ioi 0 ∩ Ici 2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α
⊢ ↑(⨆ i, f i) = ⋃ i, ↑(f i)
R : Type u
Semiring R
f : R[X]
⊢ { toFinsupp := f.toFinsupp } = f
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : NonUnitalSemiring α
inst✝ : StarRing α
M : Matrix m n α
N : Matrix n l α
⊢ ∀ (i : l) (j : m), (M * N)ᴴ i j = (Nᴴ * Mᴴ) i j
m✝ n✝ a✝ b✝ c d a b m n : ℤ
hmn : m.natAbs.Coprime n.natAbs
h : a ≡ b [ZMOD m] ∧ a ≡ b [ZMOD n]
⊢ a ≡ b [ZMOD m * n]
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ⨆ n, (MeasureTheory.SimpleFunc.eapprox f n).lintegral μ
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' m₁ m₂ mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
hm₁ : m₁ ≤ mΩ
hm₂ : m₂ ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ CondIndep m' m₁ m₂ hm' μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']
α : Type u_1
xs : LazyList α
⊢ xs.append (Thunk.pure nil) = xs
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
g✝ : α → E
l : Filter ι
x₀✝ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
x₀ : F
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g x₀
f : F → E := fun x => g (x₀ - x)
⊢ Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • (x₀ - x))) • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p n : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (-1) ^ p ^ n + 1 = 0
α : Type u_1
Semiring α
a : α
n : ℕ
⊢ Commute a (↑n * a)
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
hU : closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) ≤ H
g : G
hg : g ∈ ↑(closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)))
r : G
hr : r ∈ R
hh : (fun x x_1 => x * x_1) g r ∈ H
⊢ ⟨r, hr⟩ = ⟨1, hR1⟩
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ ~ l₂
⊢ (List.filter p l₁).length = (List.filter p l₂).length
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W
⊢ max (cs.length w₁ - cs.length w₂) (cs.length w₂ - cs.length w₁) ≤ cs.length (w₁ * w₂)
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
x : α
DecidableRel f.SameCycle
DecidableEq α
Fintype α
⊢ (f.cycleOf x).support.Nonempty ↔ f x ≠ x
ι : Type u_1
A : ι → Type u_3
AddMonoid ι
GradedMonoid.GMonoid A
n : ℕ
f : Fin n → GradedMonoid A
⊢ (List.ofFn f).prod =
  GradedMonoid.mk ((List.finRange n).dProdIndex fun i => (f i).fst)
    ((List.finRange n).dProd (fun i => (f i).fst) fun i => (f i).snd)
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
w : l.Nodup
n i : ℕ
h : i < l.length
⊢ (l.formPerm ^ n) l[i] = l[(i + n) % l.length]
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
s : Subsemiring S
f : R →+* S
⊢ ↑(Subsemiring.comap f s) = ⇑f ⁻¹' ↑s
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F Z)
(b : M) → TopologicalSpace (Z b)
(b : M) → AddCommMonoid (Z b)
(b : M) → Module 𝕜 (Z b)
FiberBundle F Z
VectorBundle 𝕜 F Z
SmoothVectorBundle F Z I
hs : UniqueMDiffOn I s
⊢ UniqueMDiffOn (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' s)
α : Type u_1
OrderedSemiring α
⊢ ↑1 = 1
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x
B : ℝ → ℝ := fun x => C * (x - a)
hB : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt B C x
⊢ ‖f a - f a‖ ≤ C * (a - a)
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
y : M
hy : y ∈ S
⊢ (f.domRestrict S) ⟨y, hy⟩ ∈ range f
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
⊢ p.content = (Finset.range n).gcd p.coeff
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
z : ℤ
⊢ ⌈↑z⌉ = z
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid β
CommMonoid γ
G : Type u_6
FunLike G β γ
MonoidHomClass G β γ
g : G
f : α → β
s : Finset α
⊢ g (∏ x ∈ s, f x) = ∏ x ∈ s, g (f x)
R : Type u
M : Type v
Ring R
N : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Function.Injective ⇑f
n : ℕ
⊢ f.tailing i n ⊔ OrderDual.ofDual ((f.tunnel i) (n + 1)) ≤ OrderDual.ofDual ((f.tunnel i) n)
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6221, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6225, u_3} D'
W : MorphismProperty C
X : C
P : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q → Prop
hP₀ : P (StructuredArrow.mk (𝟙 (W.Q.obj X)))
hP₁ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₁), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ W.Q.map f))
hP₂ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₂), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom W.Q W w hw).inv))
g : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q
X₀ : Paths (LocQuiver W) := { obj := X }
⊢ P g
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0 ∨ 0 < g x
⊢ ContinuousOn (fun t => f t ^ g t) s
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ Monotone f → ∀ (i j : Fin n), i < j → f i = f j → i < j