ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
ι : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_6
inst✝ : RCLike 𝕜
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑(f x) ∂μ = ↑(∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
h : IsLUB s a
⊢ a ≤ b ↔ b ∈ Ici a
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m0
Preorder E
CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
hg : MeasureTheory.Submartingale g ℱ μ
⊢ MeasureTheory.Submartingale (f + g) ℱ μ
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
⊢ ∀ e ∈ f '' X \ f '' I, (M.map f hf).Dep (insert e (f '' I))
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Filter β
p : α × β → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α × β) in f ×ˢ g, p x) ↔
  ∃ pa, (∀ᶠ (x : α) in f, pa x) ∧ ∃ pb, (∀ᶠ (y : β) in g, pb y) ∧ ∀ {x : α}, pa x → ∀ {y : β}, pb y → p (x, y)
α : Type u_1
β : Type u_2
π : α → Type u_6
π' : β → Type u_7
f : α → β
hf : Function.Injective f
g : (a : α) → π a → π' (f a)
a : α
l : Filter (π' (f a))
⊢ Filter.map (Sigma.mk a) (Filter.comap (g a) l) = Filter.comap (Sigma.map f g) (Filter.map (Sigma.mk (f a)) l)
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
Invertible 2
i : M × M
⊢ Q.toDualProd i = ((QuadraticMap.associated Q) i.1 + (QuadraticMap.associated Q) i.2, i.1 - i.2)
m n : Nat
h : 0 < m
⊢ n ≤ m - 1 ↔ n < m
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
s : ι → MeasurableSpace Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
SemilatticeSup ι
NoMaxOrder ι
Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : ProbabilityTheory.iIndep s μ
⊢ ProbabilityTheory.Indep (Filter.limsup s Filter.atTop) (Filter.limsup s Filter.atTop) μ
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
NoMaxOrder α
NoMinOrder α
a : α
⊢ (𝓝 a).HasBasis (fun b => b.1 < a ∧ a < b.2) fun b => Set.Ioo b.1 b.2
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
C : Set V' := this.extend ⋯
BC : B ⊆ ⇑f ⁻¹' this.extend ⋯
hC : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V' := Basis.extend this
Vinh : Inhabited V
b : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
fb_eq : f ↑b = hC ⟨f ↑b, ⋯⟩
⊢ ((hC.constr ℕ) (C.restrict (invFun ⇑f)) ∘ₗ f) (hB b) = id (hB b)
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2
hu : IsUnit ↑(ringChar FF)
ψ₈ : PrimitiveAddChar (ZMod ↑8) F := primitiveZModChar 8 F ⋯
ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char
τ : FF := ψ₈char 1
τ_spec : τ ^ 4 = -1
χ : MulChar (ZMod 8) FF := χ₈.ringHomComp (Int.castRingHom FF)
hχ : χ (-1) = 1
hq : χ.IsQuadratic
h₁ : (fun a => ↑(χ₈ a) * τ ^ ↑a) = fun a => χ a * ψ₈char a
hg₁ : gaussSum χ ψ₈char = 2 * (τ - τ ^ 3)
hg : gaussSum χ ψ₈char ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card (ZMod 8))
h : (χ (-1) * ↑(Fintype.card (ZMod 8))) ^ (ringChar FF ^ ↑n / 2) = χ (↑(ringChar FF) ^ ↑n)
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C
f : S₁ ⟶ S₂
⊢ CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.δ f.f₃.τ₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.f₀.τ₃ S₂.δ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
⊢ 1 + ω ≤ ω
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : α
s : Finset α
⊢ (s.erase a).erase b = (s.erase b).erase a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M✝ : Matrix n n R
i j : n
M : Matrix n n R
h : matPolyEquiv (M.charpoly • 1) = matPolyEquiv (M.charmatrix.adjugate * M.charmatrix)
⊢ (aeval M) M.charpoly = 0
x✝ y✝ z✝ : ℤ
h✝ : PythagoreanTriple x✝ y✝ z✝
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h_coprime : x.gcd y = 1
h_parity : x % 2 = 1
h_pos : 0 < z
m n : ℤ
ht1 : x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2
ht2 : z = m ^ 2 + n ^ 2 ∨ z = -(m ^ 2 + n ^ 2)
ht3 : m.gcd n = 1
ht4 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
hm : m < 0
⊢ ∃ m n, x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∧ z = m ^ 2 + n ^ 2 ∧ m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0) ∧ 0 ≤ m
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
H : AddSubgroup G
a b : α
h : a ∈ AddAction.orbit (↥H) b
⊢ a ∈ AddAction.orbit G b
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
i : (𝒰.affineRefinement.openCover.pullbackCover f).J
⊢ (AlgebraicGeometry.Scheme.OpenCover.pullbackCoverAffineRefinementObjIso f 𝒰 i).inv ≫
    (𝒰.affineRefinement.openCover.pullbackCover f).map i =
  ((𝒰.obj i.fst).affineCover.pullbackCover (𝒰.pullbackHom f i.fst)).map i.snd ≫ (𝒰.pullbackCover f).map i.fst
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f g : β → α
T2Space α
ContinuousAdd α
hf : Summable f
hg : Summable g
⊢ ∑' (b : β), (f b + g b) = ∑' (b : β), f b + ∑' (b : β), g b
p : ℕ
hp : 0 < p
h : φ p = p - 1
⊢ Prime p
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁰ : Module k V₁
inst✝⁹ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁸ : AddCommGroup V₂
inst✝⁷ : Module k V₂
inst✝⁶ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝⁵ : AddCommGroup V₃
inst✝⁴ : Module k V₃
inst✝³ : AffineSpace V₃ P₃
inst✝² : AddCommGroup V₄
inst✝¹ : Module k V₄
inst✝ : AffineSpace V₄ P₄
e : P₁ ≃ P₂
el : V₁ ≃ₗ[k] V₂
h : ∀ (p : P₁) (v : V₁), e (v +ᵥ p) = el v +ᵥ e p
e' : P₁ ≃ P₂
el' : V₁ ≃ₗ[k] V₂
h' : ∀ (p : P₁) (v : V₁), e' (v +ᵥ p) = el' v +ᵥ e' p
H : e = e' ∧ el = el'
⊢ e = e'
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : I.IsPrime
⊢ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule ≠ ⊤
α : Type u_1
CommMonoid α
n : ℕ
f : Fin n → α
⊢ (List.ofFn f).prod = ∏ i : Fin n, f i
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
e : M → N
he0 : e 0 = 0
f : ι →₀ M
he : Injective e
a✝ : ι
⊢ a✝ ∈ (mapRange e he0 f).support ↔ a✝ ∈ f.support
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₂ : pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₃ : (D.t' i i j ≫ pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) ≫ D.f i j = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom
E : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
AddCommMonoid E
DivisionSemiring R
DivisionSemiring S
Module R E
Module S E
n : ℕ
x : E
⊢ (↑n)⁻¹ • x = (↑n)⁻¹ • x
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsAssociatedPrime I M
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ IsAssociatedPrime I M'
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
p : Ideal R
IsDedekindDomain S
Algebra R S
P : { x // x ∈ (UniqueFactorizationMonoid.factors (Ideal.map (algebraMap R S) p)).toFinset }
⊢ ↑P ≠ ⊥
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
hf₁ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f₁ i
hf₂ : ∀ i ∈ s, 0 < f₂ i
h₁ : AntivaryOn f₁ g s
h₂ : MonovaryOn f₂ g s
⊢ AntivaryOn (f₁ / f₂) g s
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ComplexMeasure α
inst✝ : c.HaveLebesgueDecomposition μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
⊢ (↑(c.singularPart μ) i + ↑(μ.withDensityᵥ (c.rnDeriv μ)) i).im = { re := ↑(re c) i, im := ↑(im c) i }.im
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
this : LocallyCompactSpace G
⊢ ((haarContent K₀).measure ↑K₀)⁻¹ * (haarContent K₀).measure ↑K₀ = 1
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : OnePoint X → Y
⊢ Tendsto (f ∘ some) (coclosedCompact X) (𝓝 (f ∞)) ↔ ∀ s ∈ 𝓝 (f ∞), ∃ t, IsClosed t ∧ IsCompact t ∧ MapsTo (f ∘ some) tᶜ s
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
f : X → M
x : X
s : Set X
hf : ContinuousWithinAt f s x
n : ℕ
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f x ^ n) s x
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ W'.addY P P = 0
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : C
⊢ 𝟙 (e.functor.obj X) = 𝟙 ((𝟭 D).obj (e.functor.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj X)))
a b c d a' b' c' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
hb : b' < b
hc : c' < c
⊢ a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c') < a ⨳ (b ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c')
ι : Type u
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
(i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
(i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i →+ β₂ i
x : Π₀ (i : ι), β₁ i
⊢ (DFinsupp.mapRange.addMonoidHom f) x = DFinsupp.mapRange (fun i x => (f i) x) ⋯ x
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : Filter β
s : Set α
⊢ sᶜ ∈ Filter.comap f l ↔ (f '' s)ᶜ ∈ l
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
Fintype n
DecidableEq n
Semiring α
A : Matrix n n α
B : Matrix n m α
Invertible A
⊢ ⅟A * (A * B) = B
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃
CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} C₄
T : C₁ ≌ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : C₃ ≌ C₄
⊢ ∀ (x : CategoryTheory.CatCommSq T.functor L R B.functor) (X : C₂),
  CategoryTheory.CatCommSq.iso'.hom.app X =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (B.unitIso.hom.app (L.obj (T.inverse.obj X)))
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
        (B.inverse.map ((CategoryTheory.CatCommSq.iso T.functor L R B.functor).inv.app (T.inverse.obj X)))
        (B.inverse.map (R.map (T.counitIso.hom.app X))))
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
x : α
⊢ x ∈ s ∧ x ∉ t ↔ x ∈ s ∩ tᶜ
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H✝ : Type v
inst✝¹ : Group H✝
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H✝
H : Subgroup G
h : Subsingleton (G ⧸ H)
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
this : 1⁻¹ * x ∈ H
⊢ x ∈ H
α : Type u_1
TopologicalSpace α
Preorder α
a : α
(𝓝[<] a).NeBot
⊢ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝 a, x < a
n a : ℕ
l : List ℕ
hn : ∀ a_1 ∈ (a :: l ++ [0]).head?, a_1 < n
this : ∀ b ∈ (l ++ [0]).head?, b < a - 1
hl : ((∀ x ∈ l, x + 2 ≤ a) ∧ 2 ≤ a) ∧ Chain' (fun a b => b + 2 ≤ a) (l ++ [0])
⊢ fib a + fib (a - 1) ≤ fib n
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
obs : ∀ (i : γ), (μs i).testAgainstNN f ≤ nndist f 0 * (μs i).mass
lim_pair : Tendsto (fun i => (↑(nndist f 0), ↑(μs i).mass)) F (𝓝 (↑(nndist f 0), 0))
key : Tendsto ((fun p => p.1 * p.2) ∘ fun i => (↑(nndist f 0), ↑(μs i).mass)) F (𝓝 (↑(nndist f 0) * 0))
⊢ Tendsto (fun t => (fun a => ↑a) (nndist f 0 * (μs t).mass)) F (𝓝 0)
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
h : G.Adj u v
⊢ G.Adj v u
⊢ ∀ {X Y : CategoryTheory.Quiv} (F : X ⟶ Y) (X_1 : ↑((fun V => CategoryTheory.Cat.of (CategoryTheory.Paths ↑V)) X)),
  (CategoryTheory.Cat.free.map F).obj X_1 = F.obj X_1
R : Type u_2
Ring R
S₁ S₂ : Subring Rᵐᵒᵖ
⊢ S₁.unop ≤ S₂.unop ↔ S₁ ≤ S₂
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f : α → β
AddCommMonoid β
DecidableEq α
hs : ∀ a ∈ s₂, a ∉ s₁ → f a = 0
⊢ ∑ a ∈ s₁ ∪ s₂, f a = ∑ a ∈ s₁, f a
X : Type u
α : Type u_1
x : X
TopologicalSpace X
LE α
f g : X → α
h : f ≤ᶠ[𝓝 x] g
⊢ ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, f ≤ᶠ[𝓝 y] g
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure X
ε : ℝ≥0∞
h₀ : 0 < ε
h : ∀ (s : Set X), EMetric.diam s ≤ ε → μ s ≤ m (EMetric.diam s)
⊢ μ ≤ MeasureTheory.Measure.mkMetric m
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
J : Ideal P
hJ : J.IsPrime
f : R →+* P
h : I.primeCompl ≤ Submonoid.comap f J.primeCompl
x : R
hx : x ∈ Ideal.comap f J
⊢ x ∈ I
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
LindelofSpace X
hf : Continuous f
hsur : Function.Surjective f
⊢ LindelofSpace Y
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x
⊢ IsRelPrime (x * y) (x * z) ↔ IsRelPrime y z
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.217769, u_2} D
inst✝¹ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
J : C
f : S.X₂ ⟶ J
inst✝ : Injective J
hf : S.f ≫ f = 0
this : Mono S.fromOpcycles
⊢ S.g ≫ hS.descToInjective f hf = f
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : CharP R 1
this : Subsingleton R
⊢ False
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : Submodule.span F (Set.range v) = ⊤
⊢ Submodule.span F (Set.range fun x => v x ^ q ^ n) = Submodule.span F ↑(MonoidHom.mrange (powMonoidHom (q ^ n)))
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
l : List β
⊢ List.Forall₂ R [] l ↔ l = []
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
M' : Type u_9
AddCommMonoid M'
Module R M'
B₂' : LinearMap.BilinForm R M'
f₂ : M →ₗ[R] M'
g₂ : M' →ₗ[R] M
c : R
h : B.IsAdjointPair B₂' f₂ g₂
⊢ B.IsAdjointPair B₂' (c • f₂) (c • g₂)
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
r : R
rs : List R
⊢ IsWeaklyRegular M (r :: rs) ∧ ¬⊤ = Ideal.ofList (r :: rs) • ⊤ ↔ IsSMulRegular M r ∧ IsWeaklyRegular (QuotSMulTop r M) (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r}))) rs) ∧ ¬⊤ = Ideal.ofList (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r}))) rs) • ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
hf : Measurable f
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ ((κ.map f hf) a) s = (κ a) (f ⁻¹' s)
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.25860, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.25867, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.25874, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
a b c : M
h : b + a = c
ha : a = 0
hb : b = 0
⊢ c = 0
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SupSet α
SupSet β
SupSet γ
f : sSupHom β γ
g : sSupHom α β
a : α
⊢ (f.comp g) a = f (g a)
M : Type u_1
CommMonoid M
TopologicalSpace M
m : M
ContinuousMul M
f : ℤ → M
hf : HasProd f m
⊢ HasProd (fun n => f ↑n * f (-↑n)) (m * f 0)
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
α : Type u_12
DecidableEq o
AddGroup α
M N : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
⊢ Matrix.blockDiagonal' (M - N) = Matrix.blockDiagonal' M - Matrix.blockDiagonal' N
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
t u : Set Ω
ht : t.Finite
hs : ∅.Finite
hst : Disjoint ∅ t
ht' : t.Nonempty
⊢ (condCount ∅) u * (condCount (∅ ∪ t)) ∅ + (condCount t) u * (condCount (∅ ∪ t)) t = (condCount (∅ ∪ t)) u
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]
⊢ normSq a = a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 + a.imK ^ 2
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp_pos : 0 < p
h : a + b ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ p⁻¹
⊢ (a + b) ^ p ≤ a ^ p + b ^ p
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : MulOneClass M
inst✝ : ContinuousMul M
U : Set M
hU : U ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ 1 ∈ V ∧ V * V ⊆ U
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D
F G : C ⥤ D
j : C
⊢ CategoryTheory.NatTrans.app 0 j = 0
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
⊢ (pullbackConeOfLeftFst f g ≫ f).base = (Y.ofRestrict ⋯ ≫ g).base
α : Type u
DivisionMonoid α
a : α
h : IsUnit a
⊢ a * (1 / a) = 1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
P : Type u_7
NormedAddCommGroup P
f : α → P
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : α), ‖f x‖ ∂μ) = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A B : C
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct A B
CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)
CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.prodComparison F A B)
⊢ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.prodComparison F A B) ≫ F.map CategoryTheory.Limits.prod.fst =
  CategoryTheory.Limits.prod.fst
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
g₀ g₁ : C(Y, Z)
G : g₀.Homotopy g₁
f : C(X, Y)
⊢ ∀ (a : ↑I × X), (G.compContinuousMap f) a = G (Prod.map id (⇑f) a)
K : Type v
L : Type w
CommRing K
Field L
i : K →+* L
a : K
⊢ Polynomial.Splits i (Polynomial.C a)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
x : α
hx : f x < ⊤
⊢ ENNReal.ofReal (f x).toReal = f x
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
⊢ (HahnSeries.SummableFamily.ofFinsupp f).hsum = f.sum fun x => id
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
p a : α
h : p ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a
⊢ a ≠ 0
X : Type u_1
x : OnePoint X
⊢ x ∉ Set.range OnePoint.some ↔ x = OnePoint.infty
x y : ℝ
⊢ normSq (↑x + ↑y * I) = x ^ 2 + y ^ 2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
x y : α
S U Z : Set α
h : IsGenericPoint x S
f : α → β
hf : Continuous f
⊢ IsGenericPoint (f x) (closure (f '' S))
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K r : ℝ
hr : ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * r)) ≤ ↑(Classical.choose ⋯) * μ (closedBall x r)
x : α
⊢ μ (closedBall x (K * r)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K) * μ (closedBall x r)
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
⊢ ↑(differentIdeal A B) = (FractionalIdeal.dual A K 1)⁻¹
α : Type u
l₁ l₂ : List α
H : l₁.length ≤ l₂.length
⊢ List.Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂ ↔ l₁ ≠ l₂
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
M : ℕ
hNM : N ≤ M
h : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω < N
this : lowerCrossingTime a b f M n ω = lowerCrossingTime a b f N n ω
⊢ ∃ j ∈ Set.Icc (lowerCrossingTime a b f N n ω) N, f j ω ∈ Set.Ici b
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : K' ⟶ L'
e : Arrow.mk φ ≅ Arrow.mk φ'
inst✝³ : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝² : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), K'.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), L'.HasHomology i
⊢ QuasiIso ((Arrow.mk φ').hom ≫ e.inv.right) ↔ QuasiIso (φ' ≫ let_fun this := e.inv.right; this)
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R M) R M
⊢ Matrix.trace 1 = ↑(Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R M))
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ toIocMod hp a b = a + p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : ‖x‖ ≤ r
hy : ‖y‖ ≤ r
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ ‖a • x + b • y‖ < r
M : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ TopologicalSpace.induced (Prod.fst ∘ ⇑(embedProduct M)) inst✝² ⊓ TopologicalSpace.induced ((unop ∘ Prod.snd) ∘ ⇑(embedProduct M)) inst✝² = TopologicalSpace.induced val inst✝² ⊓ TopologicalSpace.induced (fun u => ↑u⁻¹) inst✝²
x : UInt8
⊢ x.toUInt16.toNat = x.toNat
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.23232, u_1} D
P : MorphismProperty C
⊢ P.isoClosure ≤ P.map (𝟭 C)
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x
r : R
⊢ hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin (MvPolynomial.C r) =
  Polynomial.C ((algebraMap R ↥(Algebra.adjoin R (Set.range x))) r)
n m l : ℕ
hnm : n ≤ m
hml : m ≤ l
⊢ range' n (m - n) ++ range' m (l - m) = range' n (l - n)
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a : α
⊢ a ⇔ a = ⊤
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R
⊢ I ∣ J → J ≤ I
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.87228, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
i j k : ℤ
hij : i + -1 = j
hik : k + -1 = i
⊢ homotopyCofiber.inlX φ i j ⋯ ≫ homotopyCofiber.d φ j i = φ.f i ≫ homotopyCofiber.inrX φ i - F.d i k ≫ homotopyCofiber.inlX φ k i ⋯
α : Type u
minAx : Order.Frame.MinimalAxioms α
s : Set α
b : α
⊢ sSup s ⊓ b = ⨆ a ∈ s, a ⊓ b
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddBelow s
hlim : ¬Order.IsPredLimit (sInf s)
⊢ sInf s ∈ s
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
r : R
⊢ (fun x => r) '' spectrum R 0 ⊆ {r}