ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
<VAR>ι : Type u_1<VAR>α : Type u_2<VAR>inst✝¹ : DistribLattice α<VAR>inst✝ : LocallyFiniteOrder α<VAR>a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x a b c : α<VAR>h : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ (fun b => [[b, a]]) b ↔ a_1 ∈ (fun b => [[b, a]]) c<GOAL>b = c
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>p : α → Prop<VAR>s : Finset α<VAR>H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ p x<VAR>inst✝ : Fintype { x // p x }<GOAL>card { x // p x } = s.card
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>p : α → Prop<VAR>s : Finset α<VAR>H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ p x<VAR>inst✝ : Fintype { x // p x }<GOAL>card { x // p x } = card { x // p x }
<VAR>X : Type u_1<VAR>inst✝¹ : PseudoMetricSpace X<VAR>inst✝ : IsUltrametricDist X<VAR>x✝ y✝ z : X<VAR>r✝ s : ℝ<VAR>x y : X<VAR>r : ℝ<GOAL>y ∈ ball x r ↔ x ∈ ball y r
<VAR>Ω : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace Ω<VAR>inst✝⁵ : LinearOrder ι<VAR>μ : Measure Ω<VAR>ℱ : Filtration ι m<VAR>τ σ : Ω → ι<VAR>E : Type u_4<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝² : CompleteSpace E<VAR>f : Ω → E<VAR>inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated<VAR>hτ : IsStoppingTime ℱ τ<VAR>i : ι<VAR>inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)<GOAL>μ[f|⋯.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x ≤ i})] μ[f|hτ.measurableSpace]
<VAR>Ω : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace Ω<VAR>inst✝⁵ : LinearOrder ι<VAR>μ : Measure Ω<VAR>ℱ : Filtration ι m<VAR>τ σ : Ω → ι<VAR>E : Type u_4<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝² : CompleteSpace E<VAR>f : Ω → E<VAR>inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated<VAR>hτ : IsStoppingTime ℱ τ<VAR>i : ι<VAR>inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)<VAR>this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)<GOAL>μ[f|⋯.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x ≤ i})] μ[f|hτ.measurableSpace]
<VAR>Ω : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace Ω<VAR>inst✝⁵ : LinearOrder ι<VAR>μ : Measure Ω<VAR>ℱ : Filtration ι m<VAR>τ σ : Ω → ι<VAR>E : Type u_4<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝² : CompleteSpace E<VAR>f : Ω → E<VAR>inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated<VAR>hτ : IsStoppingTime ℱ τ<VAR>i : ι<VAR>inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)<VAR>this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)<VAR>t : Set Ω<GOAL>MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} ∩ t) ↔ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} ∩ t)
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>s t : Set α<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝² : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝¹ : CompleteSpace E<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>inst✝ : SigmaFinite μ<VAR>f g : α → ℝ≥0∞<VAR>hf : AEMeasurable f μ<VAR>h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ<GOAL>f ≤ᶠ[ae μ] g
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>s t : Set α<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝² : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝¹ : CompleteSpace E<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>inst✝ : SigmaFinite μ<VAR>f g : α → ℝ≥0∞<VAR>hf : AEMeasurable f μ<VAR>h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ<VAR>A : ∀ (ε N : ℝ≥0) (p : ℕ), 0 < ε → μ ({x | g x + ↑ε ≤ f x ∧ g x ≤ ↑N} ∩ spanningSets μ p) = 0<GOAL>f ≤ᶠ[ae μ] g
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>s t : Set α<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝² : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝¹ : CompleteSpace E<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>inst✝ : SigmaFinite μ<VAR>f g : α → ℝ≥0∞<VAR>hf : AEMeasurable f μ<VAR>h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ<VAR>A : ∀ (ε N : ℝ≥0) (p : ℕ), 0 < ε → μ ({x | g x + ↑ε ≤ f x ∧ g x ≤ ↑N} ∩ spanningSets μ p) = 0<VAR>u : ℕ → ℝ≥0<VAR>left✝ : StrictAnti u<VAR>u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<GOAL>f ≤ᶠ[ae μ] g
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>s✝ t : Set α<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝² : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝¹ : CompleteSpace E<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>inst✝ : SigmaFinite μ<VAR>f g : α → ℝ≥0∞<VAR>hf : AEMeasurable f μ<VAR>h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ<VAR>A : ∀ (ε N : ℝ≥0) (p : ℕ), 0 < ε → μ ({x | g x + ↑ε ≤ f x ∧ g x ≤ ↑N} ∩ spanningSets μ p) = 0<VAR>u : ℕ → ℝ≥0<VAR>left✝ : StrictAnti u<VAR>u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>s : ℕ → Set α := fun n => {x | g x + ↑(u n) ≤ f x ∧ g x ≤ ↑↑n} ∩ spanningSets μ n<VAR>μs : ∀ (n : ℕ), μ (s n) = 0<GOAL>f ≤ᶠ[ae μ] g
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>s✝ t : Set α<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝² : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝¹ : CompleteSpace E<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>inst✝ : SigmaFinite μ<VAR>f g : α → ℝ≥0∞<VAR>hf : AEMeasurable f μ<VAR>h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ<VAR>A : ∀ (ε N : ℝ≥0) (p : ℕ), 0 < ε → μ ({x | g x + ↑ε ≤ f x ∧ g x ≤ ↑N} ∩ spanningSets μ p) = 0<VAR>u : ℕ → ℝ≥0<VAR>left✝ : StrictAnti u<VAR>u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>s : ℕ → Set α := fun n => {x | g x + ↑(u n) ≤ f x ∧ g x ≤ ↑↑n} ∩ spanningSets μ n<VAR>μs : ∀ (n : ℕ), μ (s n) = 0<VAR>B : {x | f x ≤ g x}ᶜ ⊆ ⋃ n, s n<GOAL>f ≤ᶠ[ae μ] g
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>s✝ t : Set α<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝² : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝¹ : CompleteSpace E<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>inst✝ : SigmaFinite μ<VAR>f g : α → ℝ≥0∞<VAR>hf : AEMeasurable f μ<VAR>h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ<VAR>A : ∀ (ε N : ℝ≥0) (p : ℕ), 0 < ε → μ ({x | g x + ↑ε ≤ f x ∧ g x ≤ ↑N} ∩ spanningSets μ p) = 0<VAR>u : ℕ → ℝ≥0<VAR>left✝ : StrictAnti u<VAR>u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>s : ℕ → Set α := fun n => {x | g x + ↑(u n) ≤ f x ∧ g x ≤ ↑↑n} ∩ spanningSets μ n<VAR>μs : ∀ (n : ℕ), μ (s n) = 0<VAR>B : {x | f x ≤ g x}ᶜ ⊆ ⋃ n, s n<GOAL>μ {x | (fun x => f x ≤ g x) x}ᶜ ≤ 0
<VAR>L : Language<VAR>L' : Language<VAR>M : Type w<VAR>N : Type u_1<VAR>P : Type u_2<VAR>inst✝² : L.Structure M<VAR>inst✝¹ : L.Structure N<VAR>inst✝ : L.Structure P<VAR>α : Type u'<VAR>β : Type v'<VAR>γ : Type u_3<VAR>n : ℕ<VAR>φ : L ≃ᴸ L'<GOAL>Function.LeftInverse φ.invLHom.onBoundedFormula φ.toLHom.onBoundedFormula
<VAR>L : Language<VAR>L' : Language<VAR>M : Type w<VAR>N : Type u_1<VAR>P : Type u_2<VAR>inst✝² : L.Structure M<VAR>inst✝¹ : L.Structure N<VAR>inst✝ : L.Structure P<VAR>α : Type u'<VAR>β : Type v'<VAR>γ : Type u_3<VAR>n : ℕ<VAR>φ : L ≃ᴸ L'<GOAL>Function.RightInverse φ.invLHom.onBoundedFormula φ.toLHom.onBoundedFormula
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝ : CompleteLattice α<VAR>h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1<VAR>a : ℕ →o α<GOAL>iSup ⇑a = monotonicSequenceLimit a
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝ : CompleteLattice α<VAR>h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1<VAR>a : ℕ →o α<VAR>m : ℕ<GOAL>a m ≤ monotonicSequenceLimit a
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝ : CompleteLattice α<VAR>h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1<VAR>a : ℕ →o α<VAR>m : ℕ<VAR>hm : m ≤ monotonicSequenceLimitIndex a<GOAL>a m ≤ monotonicSequenceLimit a
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝ : CompleteLattice α<VAR>h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1<VAR>a : ℕ →o α<VAR>m : ℕ<VAR>hm : monotonicSequenceLimitIndex a < m<GOAL>a m ≤ monotonicSequenceLimit a
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>E : Type u_4<VAR>F : Type u_5<VAR>𝕜 : Type u_6<VAR>inst✝⁶ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝³ : NormedRing 𝕜<VAR>inst✝² : Module 𝕜 E<VAR>inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E<VAR>inst✝ : Fact (1 ≤ p)<VAR>f : ↥(simpleFunc E p μ)<GOAL>‖f‖ = (eLpNorm (↑(toSimpleFunc f)) p μ).toReal
<VAR>α : Type u<VAR>β : Type u_1<VAR>n : ℕ<VAR>x : α<VAR>inst✝ : LinearOrderedRing α<VAR>hn : n ≠ 0<GOAL>∑ i ∈ range n, x ^ i = 0 ↔ x = -1 ∧ Even n
<VAR>α : Type u<VAR>β : Type u_1<VAR>n : ℕ<VAR>x : α<VAR>inst✝ : LinearOrderedRing α<VAR>hn : n ≠ 0<VAR>h : ∑ i ∈ range n, x ^ i = 0<GOAL>x = -1 ∧ Even n
<VAR>α : Type u<VAR>β : Type u_1<VAR>n : ℕ<VAR>x : α<VAR>inst✝ : LinearOrderedRing α<VAR>hn : n ≠ 0<VAR>h : x = -1 → ¬Even n<GOAL>∑ i ∈ range n, x ^ i ≠ 0
<VAR>α : Type u<VAR>β : Type u_1<VAR>n : ℕ<VAR>x : α<VAR>inst✝ : LinearOrderedRing α<VAR>hn : n ≠ 0<VAR>h : x = -1 → ¬Even n<VAR>hx : x = -1 ∨ x ≠ -1<GOAL>∑ i ∈ range n, x ^ i ≠ 0
<VAR>E : Type u_1<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝ : NormedSpace ℂ E<VAR>a b : ℝ<VAR>f : ℝ → E<VAR>s : ℂ<VAR>hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume<VAR>hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)<VAR>hs_top : s.re < a<VAR>hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)<VAR>hs_bot : b < s.re<VAR>F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t<VAR>F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t<GOAL>MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
<VAR>E : Type u_1<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝ : NormedSpace ℂ E<VAR>a b : ℝ<VAR>f : ℝ → E<VAR>s : ℂ<VAR>hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume<VAR>hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)<VAR>hs_top : s.re < a<VAR>hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)<VAR>hs_bot : b < s.re<VAR>F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t<VAR>F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t<VAR>v : ℝ<VAR>hv0 : 0 < v<VAR>hv1 : v < s.re - b<VAR>hv2 : v < a - s.re<GOAL>MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
<VAR>E : Type u_1<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝ : NormedSpace ℂ E<VAR>a b : ℝ<VAR>f : ℝ → E<VAR>s : ℂ<VAR>hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume<VAR>hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)<VAR>hs_top : s.re < a<VAR>hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)<VAR>hs_bot : b < s.re<VAR>F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t<VAR>F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t<VAR>v : ℝ<VAR>hv0 : 0 < v<VAR>hv1 : v < s.re - b<VAR>hv2 : v < a - s.re<VAR>bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖<GOAL>MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
<VAR>E : Type u_1<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝ : NormedSpace ℂ E<VAR>a b : ℝ<VAR>f : ℝ → E<VAR>s : ℂ<VAR>hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume<VAR>hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)<VAR>hs_top : s.re < a<VAR>hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)<VAR>hs_bot : b < s.re<VAR>F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t<VAR>F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t<VAR>v : ℝ<VAR>hv0 : 0 < v<VAR>hv1 : v < s.re - b<VAR>hv2 : v < a - s.re<VAR>bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖<VAR>h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict (Ioi 0))<GOAL>MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
<VAR>E : Type u_1<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝ : NormedSpace ℂ E<VAR>a b : ℝ<VAR>f : ℝ → E<VAR>s : ℂ<VAR>hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume<VAR>hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)<VAR>hs_top : s.re < a<VAR>hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)<VAR>hs_bot : b < s.re<VAR>F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t<VAR>F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t<VAR>v : ℝ<VAR>hv0 : 0 < v<VAR>hv1 : v < s.re - b<VAR>hv2 : v < a - s.re<VAR>bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖<VAR>h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict (Ioi 0))<VAR>h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0) volume<GOAL>MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
<VAR>E : Type u_1<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝ : NormedSpace ℂ E<VAR>a b : ℝ<VAR>f : ℝ → E<VAR>s : ℂ<VAR>hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume<VAR>hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)<VAR>hs_top : s.re < a<VAR>hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)<VAR>hs_bot : b < s.re<VAR>F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t<VAR>F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t<VAR>v : ℝ<VAR>hv0 : 0 < v<VAR>hv1 : v < s.re - b<VAR>hv2 : v < a - s.re<VAR>bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖<VAR>h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict (Ioi 0))<VAR>h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0) volume<VAR>h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (volume.restrict (Ioi 0))<VAR>h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ z ∈ Metric.ball s v, ‖F' z t‖ ≤ bound t<VAR>h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0) volume<GOAL>MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
<VAR>E : Type u_1<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝ : NormedSpace ℂ E<VAR>a b : ℝ<VAR>f : ℝ → E<VAR>s : ℂ<VAR>hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume<VAR>hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)<VAR>hs_top : s.re < a<VAR>hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)<VAR>hs_bot : b < s.re<VAR>F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t<VAR>F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t<VAR>v : ℝ<VAR>hv0 : 0 < v<VAR>hv1 : v < s.re - b<VAR>hv2 : v < a - s.re<VAR>bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖<VAR>h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict (Ioi 0))<VAR>h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0) volume<VAR>h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (volume.restrict (Ioi 0))<VAR>h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ z ∈ Metric.ball s v, ‖F' z t‖ ≤ bound t<VAR>h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0) volume<VAR>h6 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ y ∈ Metric.ball s v, HasDerivAt (fun z => F z t) (F' y t) y<GOAL>MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
<VAR>E : Type u_1<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝ : NormedSpace ℂ E<VAR>a b : ℝ<VAR>f : ℝ → E<VAR>s : ℂ<VAR>hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume<VAR>hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)<VAR>hs_top : s.re < a<VAR>hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)<VAR>hs_bot : b < s.re<VAR>F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t<VAR>F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t<VAR>v : ℝ<VAR>hv0 : 0 < v<VAR>hv1 : v < s.re - b<VAR>hv2 : v < a - s.re<VAR>bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖<VAR>h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict (Ioi 0))<VAR>h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0) volume<VAR>h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (volume.restrict (Ioi 0))<VAR>h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ z ∈ Metric.ball s v, ‖F' z t‖ ≤ bound t<VAR>h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0) volume<VAR>h6 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ y ∈ Metric.ball s v, HasDerivAt (fun z => F z t) (F' y t) y<VAR>main : Integrable (F' s) (volume.restrict (Ioi 0)) ∧ HasDerivAt (fun n => ∫ (a : ℝ) in Ioi 0, F n a) (∫ (a : ℝ) in Ioi 0, F' s a) s<GOAL>MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>q : ℝ<VAR>μ ν : Measure α<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup G<VAR>hp : 1 ≤ p<VAR>f : ℕ → α → E<VAR>hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ<VAR>f_lim : α → E<VAR>h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ<VAR>h_tendsto : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)<GOAL>eLpNorm f_lim p μ < ⊤
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>q : ℝ<VAR>μ ν : Measure α<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup G<VAR>hp : 1 ≤ p<VAR>f : ℕ → α → E<VAR>hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ<VAR>f_lim : α → E<VAR>h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ<VAR>h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε<GOAL>eLpNorm f_lim p μ < ⊤
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>q : ℝ<VAR>μ ν : Measure α<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup G<VAR>hp : 1 ≤ p<VAR>f : ℕ → α → E<VAR>hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ<VAR>f_lim : α → E<VAR>h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ<VAR>h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε<VAR>N : ℕ<VAR>h_tendsto_1 : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ 1<GOAL>eLpNorm f_lim p μ < ⊤
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>q : ℝ<VAR>μ ν : Measure α<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup G<VAR>hp : 1 ≤ p<VAR>f : ℕ → α → E<VAR>hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ<VAR>f_lim : α → E<VAR>h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ<VAR>h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε<VAR>N : ℕ<VAR>h_tendsto_1 : eLpNorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1<GOAL>eLpNorm f_lim p μ < ⊤
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>q : ℝ<VAR>μ ν : Measure α<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup G<VAR>hp : 1 ≤ p<VAR>f : ℕ → α → E<VAR>hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ<VAR>f_lim : α → E<VAR>h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ<VAR>h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε<VAR>N : ℕ<VAR>h_tendsto_1 : eLpNorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1<VAR>h_add : f_lim = f_lim - f N + f N<GOAL>eLpNorm (f_lim - f N + f N) p μ < ⊤
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>q : ℝ<VAR>μ ν : Measure α<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup G<VAR>hp : 1 ≤ p<VAR>f : ℕ → α → E<VAR>hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ<VAR>f_lim : α → E<VAR>h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ<VAR>h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε<VAR>N : ℕ<VAR>h_tendsto_1 : eLpNorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1<VAR>h_add : f_lim = f_lim - f N + f N<GOAL>eLpNorm (f_lim - f N) p μ + eLpNorm (f N) p μ < ⊤
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>q : ℝ<VAR>μ ν : Measure α<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup G<VAR>hp : 1 ≤ p<VAR>f : ℕ → α → E<VAR>hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ<VAR>f_lim : α → E<VAR>h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ<VAR>h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε<VAR>N : ℕ<VAR>h_tendsto_1 : eLpNorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1<VAR>h_add : f_lim = f_lim - f N + f N<GOAL>eLpNorm (f_lim - f N) p μ < ⊤ ∧ eLpNorm (f N) p μ < ⊤
<VAR>J : Type w<VAR>C : Type u<VAR>inst✝ : Category.{v, u} C<VAR>X Y : C<VAR>f : J → (X ⟶ Y)<VAR>j₁ j₂ : J<VAR>t : Trident f<GOAL>t.ι ≫ f j₁ = t.ι ≫ f j₂
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>H : Type u_5<VAR>inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup G<VAR>inst✝² : NormedSpace 𝕜 G<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup H<VAR>inst✝ : NormedSpace 𝕜 H<VAR>m M N n : ℕ<VAR>f : Fin n → ℕ<VAR>hi : ⟨n, f⟩ ∈ compPartialSumSource m M N<VAR>j : Fin ⟨n, f⟩.fst<GOAL>(ofFn fun a => f a)[↑j] = f j
<VAR>m n : ℤ<VAR>h : m.gcd n = 1<VAR>hm : m % 2 = 0<VAR>hn : n % 2 = 1<GOAL>(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
<VAR>m n : ℤ<VAR>h : m.gcd n = 1<VAR>hm : m % 2 = 0<VAR>hn : n % 2 = 1<VAR>H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1<GOAL>False
<VAR>m n : ℤ<VAR>h : m.gcd n = 1<VAR>hm : m % 2 = 0<VAR>hn : n % 2 = 1<VAR>H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1<VAR>p : ℕ<VAR>hp : Nat.Prime p<VAR>hp1 : p ∣ (m ^ 2 - n ^ 2).natAbs<VAR>hp2 : p ∣ (m ^ 2 + n ^ 2).natAbs<GOAL>False
<VAR>m n : ℤ<VAR>h : m.gcd n = 1<VAR>hm : m % 2 = 0<VAR>hn : n % 2 = 1<VAR>H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1<VAR>p : ℕ<VAR>hp : Nat.Prime p<VAR>hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2<VAR>hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2<GOAL>False
<VAR>m n : ℤ<VAR>h : m.gcd n = 1<VAR>hm : m % 2 = 0<VAR>hn : n % 2 = 1<VAR>H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1<VAR>p : ℕ<VAR>hp : Nat.Prime p<VAR>hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2<VAR>hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2<VAR>h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2<GOAL>False
<VAR>m n : ℤ<VAR>h : m.gcd n = 1<VAR>hm : m % 2 = 0<VAR>hn : n % 2 = 1<VAR>H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1<VAR>p : ℕ<VAR>hp : Nat.Prime p<VAR>hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2<VAR>hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2<VAR>h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2<VAR>h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2<GOAL>False
<VAR>m n : ℤ<VAR>h : m.gcd n = 1<VAR>hm : m % 2 = 0<VAR>hn : n % 2 = 1<VAR>H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1<VAR>p : ℕ<VAR>hp : Nat.Prime p<VAR>hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2<VAR>hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2<VAR>h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2<VAR>h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2<VAR>hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs<GOAL>False
<VAR>m n : ℤ<VAR>h : m.gcd n = 1<VAR>hm : m % 2 = 0<VAR>hn : n % 2 = 1<VAR>H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1<VAR>p : ℕ<VAR>hp : Nat.Prime p<VAR>hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2<VAR>hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2<VAR>h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2<VAR>h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2<VAR>hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs<VAR>hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs<GOAL>False
<VAR>G : Type u_1<VAR>inst✝² : Group G<VAR>A : Type u_2<VAR>inst✝¹ : AddGroup A<VAR>N : Type u_3<VAR>inst✝ : Group N<VAR>f : G →* N<VAR>x : G<GOAL>Subgroup.map f (Subgroup.zpowers x) = Subgroup.zpowers (f x)
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>inst✝ : DecidableEq α<VAR>f g : α →₀ ℕ<VAR>a✝ : α<GOAL>Multiset.count a✝ (toMultiset (f ⊔ g)) = Multiset.count a✝ (toMultiset f ∪ toMultiset g)
<VAR>ι : Type u_1<VAR>R : Type u_2<VAR>A : Type u_3<VAR>inst✝⁶ : CommRing R<VAR>inst✝⁵ : CommRing A<VAR>inst✝⁴ : Algebra R A<VAR>M : Type u_4<VAR>inst✝³ : AddCommGroup M<VAR>inst✝² : Module R M<VAR>inst✝¹ : TopologicalSpace R<VAR>inst✝ : Nonempty ι<VAR>B : ι → Submodule R M<VAR>hB✝ hB : SubmodulesBasis B<VAR>this : TopologicalSpace M := hB.topology<VAR>U : Set M<VAR>hU : U ∈ 𝓝 0<GOAL>∃ V, ↑V ⊆ U
<VAR>ι : Type u_1<VAR>R : Type u_2<VAR>A : Type u_3<VAR>inst✝⁶ : CommRing R<VAR>inst✝⁵ : CommRing A<VAR>inst✝⁴ : Algebra R A<VAR>M : Type u_4<VAR>inst✝³ : AddCommGroup M<VAR>inst✝² : Module R M<VAR>inst✝¹ : TopologicalSpace R<VAR>inst✝ : Nonempty ι<VAR>B : ι → Submodule R M<VAR>hB✝ hB : SubmodulesBasis B<VAR>this : TopologicalSpace M := hB.topology<VAR>U : Set M<VAR>hU : U ∈ 𝓝 0<VAR>i : ι<VAR>hi : ↑(B i) ⊆ U<GOAL>∃ V, ↑V ⊆ U
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>β₂ : Type u_3<VAR>γ : Type u_4<VAR>ι : Sort u_5<VAR>ι' : Sort u_6<VAR>κ : ι → Sort u_7<VAR>κ' : ι' → Sort u_8<VAR>inst✝ : CompleteLinearOrder α<VAR>f : ι → α<GOAL>iInf f = ⊥ ↔ ∀ b > ⊥, ∃ i, f i < b
<VAR>S : Finset Λ'<VAR>k : Cont'<VAR>H : contSupp k ⊆ S<GOAL>Supports (contSupp k) S
<VAR>V : Type u_1<VAR>P : Type u_2<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V<VAR>inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V<VAR>inst✝² : MetricSpace P<VAR>inst✝¹ : NormedAddTorsor V P<VAR>hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)<VAR>inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)<VAR>p₁ p₂ p₃ : P<VAR>h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)<GOAL>∠ p₃ p₂ p₁ = π / 2
<VAR>u✝ x✝ : XgcdType<VAR>u : XgcdType := x✝<VAR>h : u.r = 0<GOAL>x✝.reduce.v = x✝.v
<VAR>u✝ x✝ : XgcdType<VAR>u : XgcdType := x✝<VAR>h : ¬u.r = 0<GOAL>x✝.reduce.v = x✝.v
<VAR>u✝ x✝ : XgcdType<VAR>u : XgcdType := x✝<VAR>h : ¬u.r = 0<VAR>this : sizeOf u.step < sizeOf u<GOAL>x✝.reduce.v = x✝.v
<VAR>V : Type u<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup V<VAR>inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V<VAR>inst✝ : CompleteSpace V<VAR>B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ<VAR>coercive : IsCoercive B<GOAL>IsClosed ↑(range (continuousLinearMapOfBilin B))
<VAR>V : Type u<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup V<VAR>inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V<VAR>inst✝ : CompleteSpace V<VAR>B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ<VAR>coercive : IsCoercive B<VAR>w✝ : ℝ≥0<VAR>left✝ : 0 < w✝<VAR>antilipschitz : AntilipschitzWith w✝ ⇑(continuousLinearMapOfBilin B)<GOAL>IsClosed ↑(range (continuousLinearMapOfBilin B))
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α<VAR>hα : Archimedean α<VAR>p : α<VAR>hp : 0 < p<VAR>a✝ b✝ c : α<VAR>n : ℤ<VAR>a b : α<GOAL>toIocMod hp a b + toIocDiv hp a b • p = b