ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
<VAR>α : Type u<VAR>β : Type u_1<VAR>γ : Type u_2<VAR>r : α → α → Prop<VAR>s : β → β → Prop<VAR>t : γ → γ → Prop<VAR>c : Cardinal.{u + 1}<VAR>h : c < univ.{u, u + 1}<VAR>this✝ : c.ord < Ordinal.univ.{u, u + 1}<VAR>o : Ordinal.{u}<VAR>e : lift.principalSeg.toRelEmbedding o = c.ord<VAR>this : lift.{u + 1, u} o.card = c<GOAL>∃ c', c = lift.{u + 1, u} c'
<VAR>V : Type u<VAR>V' : Type v<VAR>V'' : Type w<VAR>G : SimpleGraph V<VAR>G' : SimpleGraph V'<VAR>G'' : SimpleGraph V''<VAR>u✝ v✝ w✝ x y : V<VAR>inst✝ : DecidableEq V<VAR>u v w : V<VAR>p : G.Walk v w<VAR>h : u ∈ p.support<GOAL>(p.dropUntil u h).length ≤ p.length
<VAR>V : Type u<VAR>V' : Type v<VAR>V'' : Type w<VAR>G : SimpleGraph V<VAR>G' : SimpleGraph V'<VAR>G'' : SimpleGraph V''<VAR>u✝ v✝ w✝ x y : V<VAR>inst✝ : DecidableEq V<VAR>u v w : V<VAR>p : G.Walk v w<VAR>h : u ∈ p.support<VAR>this : ((p.takeUntil u h).append (p.dropUntil u h)).length = p.length<GOAL>(p.dropUntil u h).length ≤ p.length
<VAR>V : Type u<VAR>V' : Type v<VAR>V'' : Type w<VAR>G : SimpleGraph V<VAR>G' : SimpleGraph V'<VAR>G'' : SimpleGraph V''<VAR>u✝ v✝ w✝ x y : V<VAR>inst✝ : DecidableEq V<VAR>u v w : V<VAR>p : G.Walk v w<VAR>h : u ∈ p.support<VAR>this : (p.dropUntil u h).length + (p.takeUntil u h).length = p.length<GOAL>(p.dropUntil u h).length ≤ p.length
<VAR>n : ℕ<VAR>hn1 : n ≠ 1<VAR>hn : Odd n<GOAL>(n + 1)# = n#
<VAR>n : ℕ<VAR>hn1 : n ≠ 1<VAR>hn : Odd n<GOAL>filter Nat.Prime (range (n + 1 + 1)) = filter Nat.Prime (range (n + 1))
<VAR>n : ℕ<VAR>hn1 : n ≠ 1<VAR>hn : Odd n<GOAL>Nat.Prime (n + 1) → Even n
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>q : ℝ<VAR>μ ν : Measure α<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup G<VAR>c : ℝ≥0<VAR>f : ↥(Lp E p μ)<VAR>g : ↥(Lp F p μ)<VAR>h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊<GOAL>‖f‖₊ ≤ c * ‖g‖₊
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>q : ℝ<VAR>μ ν : Measure α<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup G<VAR>c : ℝ≥0<VAR>f : ↥(Lp E p μ)<VAR>g : ↥(Lp F p μ)<VAR>h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊<GOAL>(eLpNorm (↑↑f) p μ).toNNReal ≤ c * (eLpNorm (↑↑g) p μ).toNNReal
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>q : ℝ<VAR>μ ν : Measure α<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup G<VAR>c : ℝ≥0<VAR>f : ↥(Lp E p μ)<VAR>g : ↥(Lp F p μ)<VAR>h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊<VAR>this : eLpNorm (↑↑f) p μ ≤ c • eLpNorm (↑↑g) p μ<GOAL>(eLpNorm (↑↑f) p μ).toNNReal ≤ c * (eLpNorm (↑↑g) p μ).toNNReal
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>q : ℝ<VAR>μ ν : Measure α<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup G<VAR>c : ℝ≥0<VAR>f : ↥(Lp E p μ)<VAR>g : ↥(Lp F p μ)<VAR>h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊<VAR>this : eLpNorm (↑↑f) p μ ≤ c • eLpNorm (↑↑g) p μ<GOAL>eLpNorm (↑↑f) p μ ≠ ⊤
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>q : ℝ<VAR>μ ν : Measure α<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup G<VAR>c : ℝ≥0<VAR>f : ↥(Lp E p μ)<VAR>g : ↥(Lp F p μ)<VAR>h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊<VAR>this : eLpNorm (↑↑f) p μ ≤ c • eLpNorm (↑↑g) p μ<GOAL>c • eLpNorm (↑↑g) p μ ≠ ⊤
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>l m : Language α<VAR>a b x : List α<GOAL>reverse 1 = 1
<VAR>R : Type u_1<VAR>inst✝⁹ : CommRing R<VAR>inst✝⁸ : IsDedekindDomain R<VAR>inst✝⁷ : Module.Free ℤ R<VAR>inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R<VAR>K : Type u_2<VAR>inst✝⁵ : CommRing K<VAR>inst✝⁴ : Algebra R K<VAR>inst✝³ : IsFractionRing R K<VAR>inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K<VAR>inst✝¹ : Algebra ℚ K<VAR>inst✝ : Module.Finite ℚ K<VAR>x : K<GOAL>absNorm (spanSingleton R⁰ x) = |(Algebra.norm ℚ) x|
<VAR>R : Type u_1<VAR>inst✝⁹ : CommRing R<VAR>inst✝⁸ : IsDedekindDomain R<VAR>inst✝⁷ : Module.Free ℤ R<VAR>inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R<VAR>K : Type u_2<VAR>inst✝⁵ : CommRing K<VAR>inst✝⁴ : Algebra R K<VAR>inst✝³ : IsFractionRing R K<VAR>inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K<VAR>inst✝¹ : Algebra ℚ K<VAR>inst✝ : Module.Finite ℚ K<VAR>x : K<VAR>this : IsDomain K<GOAL>absNorm (spanSingleton R⁰ x) = |(Algebra.norm ℚ) x|
<VAR>R : Type u_1<VAR>inst✝⁹ : CommRing R<VAR>inst✝⁸ : IsDedekindDomain R<VAR>inst✝⁷ : Module.Free ℤ R<VAR>inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R<VAR>K : Type u_2<VAR>inst✝⁵ : CommRing K<VAR>inst✝⁴ : Algebra R K<VAR>inst✝³ : IsFractionRing R K<VAR>inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K<VAR>inst✝¹ : Algebra ℚ K<VAR>inst✝ : Module.Finite ℚ K<VAR>x : K<VAR>this : IsDomain K<VAR>d : ↥R⁰<VAR>r : R<VAR>hr : (algebraMap R K) r = ↑d • x<GOAL>absNorm (spanSingleton R⁰ x) = |(Algebra.norm ℚ) x|
<VAR>R : Type u_1<VAR>inst✝⁹ : CommRing R<VAR>inst✝⁸ : IsDedekindDomain R<VAR>inst✝⁷ : Module.Free ℤ R<VAR>inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R<VAR>K : Type u_2<VAR>inst✝⁵ : CommRing K<VAR>inst✝⁴ : Algebra R K<VAR>inst✝³ : IsFractionRing R K<VAR>inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K<VAR>inst✝¹ : Algebra ℚ K<VAR>inst✝ : Module.Finite ℚ K<VAR>x : K<VAR>this : IsDomain K<VAR>d : ↥R⁰<VAR>r : R<VAR>hr : (algebraMap R K) r = ↑d • x<GOAL>↑(Ideal.absNorm (Ideal.span {r})) / ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑d| = |(Algebra.norm ℚ) x|
<VAR>R : Type u_1<VAR>inst✝⁹ : CommRing R<VAR>inst✝⁸ : IsDedekindDomain R<VAR>inst✝⁷ : Module.Free ℤ R<VAR>inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R<VAR>K : Type u_2<VAR>inst✝⁵ : CommRing K<VAR>inst✝⁴ : Algebra R K<VAR>inst✝³ : IsFractionRing R K<VAR>inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K<VAR>inst✝¹ : Algebra ℚ K<VAR>inst✝ : Module.Finite ℚ K<VAR>x : K<VAR>this : IsDomain K<VAR>d : ↥R⁰<VAR>r : R<VAR>hr : (algebraMap R K) r = ↑d • x<GOAL>d • ↑(spanSingleton R⁰ x) = Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (Ideal.span {r})
<VAR>a b c d : ℝ≥0∞<VAR>r p q : ℝ≥0<GOAL>a⁻¹ = 1 ↔ a = 1
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>s✝ t : Set α<VAR>a : α<VAR>s : Set α<GOAL>({a} ∩ s).ncard ≤ 1
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>s✝ t : Set α<VAR>a : α<VAR>s : Set α<GOAL>({a} ∩ s).encard ≤ 1
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>S' : Type w<VAR>inst✝⁶ : CommRing R<VAR>inst✝⁵ : CommSemiring S<VAR>inst✝⁴ : Algebra S R<VAR>inst✝³ : CommSemiring S'<VAR>inst✝² : Algebra S' R<VAR>inst✝¹ : Algebra S S'<VAR>inst✝ : IsScalarTower S S' R<VAR>I✝ I : Ideal R<GOAL>I.cotangentIdeal ^ 2 = ⊥
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>S' : Type w<VAR>inst✝⁶ : CommRing R<VAR>inst✝⁵ : CommSemiring S<VAR>inst✝⁴ : Algebra S R<VAR>inst✝³ : CommSemiring S'<VAR>inst✝² : Algebra S' R<VAR>inst✝¹ : Algebra S S'<VAR>inst✝ : IsScalarTower S S' R<VAR>I✝ I : Ideal R<GOAL>I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal ≤ ⊥
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>S' : Type w<VAR>inst✝⁶ : CommRing R<VAR>inst✝⁵ : CommSemiring S<VAR>inst✝⁴ : Algebra S R<VAR>inst✝³ : CommSemiring S'<VAR>inst✝² : Algebra S' R<VAR>inst✝¹ : Algebra S S'<VAR>inst✝ : IsScalarTower S S' R<VAR>I✝ I : Ideal R<VAR>x : R ⧸ I ^ 2<VAR>hx : x ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal<GOAL>x ∈ ⊥
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>S' : Type w<VAR>inst✝⁶ : CommRing R<VAR>inst✝⁵ : CommSemiring S<VAR>inst✝⁴ : Algebra S R<VAR>inst✝³ : CommSemiring S'<VAR>inst✝² : Algebra S' R<VAR>inst✝¹ : Algebra S S'<VAR>inst✝ : IsScalarTower S S' R<VAR>I✝ I : Ideal R<VAR>x : R ⧸ I ^ 2<VAR>hx : x ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal<GOAL>∀ r ∈ I.cotangentIdeal, ∀ n ∈ I.cotangentIdeal, r • n ∈ ⊥
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>S' : Type w<VAR>inst✝⁶ : CommRing R<VAR>inst✝⁵ : CommSemiring S<VAR>inst✝⁴ : Algebra S R<VAR>inst✝³ : CommSemiring S'<VAR>inst✝² : Algebra S' R<VAR>inst✝¹ : Algebra S S'<VAR>inst✝ : IsScalarTower S S' R<VAR>I✝ I : Ideal R<VAR>x : R ⧸ I ^ 2<VAR>hx : x ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal<GOAL>∀ (x y : R ⧸ I ^ 2), x ∈ ⊥ → y ∈ ⊥ → x + y ∈ ⊥
<VAR>x y : ℝ<VAR>a b : Cauchy abs<GOAL>{ cauchy := a - b } = { cauchy := a } - { cauchy := b }
<VAR>x y : ℝ<VAR>a b : Cauchy abs<GOAL>{ cauchy := a } + -{ cauchy := b } = { cauchy := a } - { cauchy := b }
<VAR>V : Type u_1<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup V<VAR>inst✝ : InnerProductSpace ℝ V<VAR>x✝ y✝ x y : V<VAR>h : angle x y = π<GOAL>⟪x, y⟫_ℝ = -(‖x‖ * ‖y‖)
<VAR>ι : Type u_1<VAR>α : Type u_2<VAR>inst✝ : MeasurableSpace α<VAR>f : α → α<VAR>s : Set α<VAR>μ : Measure α<VAR>hf : Conservative f μ<VAR>hs : NullMeasurableSet s μ<VAR>n : ℕ<GOAL>μ {x | x ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} = 0
<VAR>ι : Type u_1<VAR>α : Type u_2<VAR>inst✝ : MeasurableSpace α<VAR>f : α → α<VAR>s : Set α<VAR>μ : Measure α<VAR>hf : Conservative f μ<VAR>hs : NullMeasurableSet s μ<VAR>n : ℕ<VAR>H : ¬μ {x | x ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} = 0<GOAL>False
<VAR>ι : Type u_1<VAR>α : Type u_2<VAR>inst✝ : MeasurableSpace α<VAR>f : α → α<VAR>s : Set α<VAR>μ : Measure α<VAR>hf : Conservative f μ<VAR>hs : NullMeasurableSet s μ<VAR>n : ℕ<VAR>H : ¬μ {x | x ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} = 0<VAR>this : NullMeasurableSet (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s}) μ<GOAL>False
<VAR>ι : Type u_1<VAR>α : Type u_2<VAR>inst✝ : MeasurableSpace α<VAR>f : α → α<VAR>s : Set α<VAR>μ : Measure α<VAR>hf : Conservative f μ<VAR>hs : NullMeasurableSet s μ<VAR>n : ℕ<VAR>H : ¬μ {x | x ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} = 0<VAR>this : NullMeasurableSet (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s}) μ<VAR>m : ℕ<VAR>hmn : m > n<VAR>hm : μ (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} ∩ f^[m] ⁻¹' (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s})) ≠ 0<GOAL>False
<VAR>ι : Type u_1<VAR>α : Type u_2<VAR>inst✝ : MeasurableSpace α<VAR>f : α → α<VAR>s : Set α<VAR>μ : Measure α<VAR>hf : Conservative f μ<VAR>hs : NullMeasurableSet s μ<VAR>n : ℕ<VAR>H : ¬μ {x | x ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} = 0<VAR>this : NullMeasurableSet (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s}) μ<VAR>m : ℕ<VAR>hmn : m > n<VAR>hm : μ (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} ∩ f^[m] ⁻¹' (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s})) ≠ 0<VAR>x : α<VAR>left✝ : x ∈ s<VAR>hxn : x ∈ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s}<VAR>hxm : f^[m] x ∈ s<GOAL>False
<VAR>α : Sort u_1<VAR>p✝ q r : Prop<VAR>inst✝¹ : Decidable p✝<VAR>inst✝ : Decidable q<VAR>a b c : α<VAR>f : Prop → Prop<VAR>x✝ : ∃ p, f p<VAR>p : Prop<VAR>h : f p<GOAL>f True ∨ f False
<VAR>b : ℕ<VAR>hb : 1 < b<VAR>x y : ℕ<VAR>hy : y ≠ 0<GOAL>b ^ x ≤ y ↔ x ≤ log b y
<VAR>b : ℕ<VAR>hb : 1 < b<VAR>y : ℕ<VAR>ih : ∀ m < y, ∀ {x : ℕ}, m ≠ 0 → (b ^ x ≤ m ↔ x ≤ log b m)<VAR>x : ℕ<VAR>hy : y ≠ 0<GOAL>b ^ x ≤ y ↔ x ≤ log b y
<VAR>C : Type u_1<VAR>inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C<VAR>inst✝ : Preadditive C<VAR>S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C<VAR>φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂<VAR>h : Homotopy φ₁ φ₂<VAR>h₁ : S₁.LeftHomologyData<VAR>h₂ : S₂.LeftHomologyData<GOAL>leftHomologyMap' φ₁ h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ₂ h₁ h₂
<VAR>ι : Type u_1<VAR>α : Type u_2<VAR>β : Type u_3<VAR>inst✝ : LinearOrderedSemifield α<VAR>a b c d e : α<VAR>m n : ℤ<VAR>hb : 0 < b<VAR>hc : 0 < c<GOAL>a / b < c ↔ a / c < b
<VAR>n : ℕ<GOAL>φ * ↑(Nat.fib (n + 1)) + ↑(Nat.fib n) = φ ^ (n + 1)
<VAR>R : Type u_1<VAR>A : Type u_2<VAR>inst✝⁴ : CommSemiring R<VAR>inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A<VAR>inst✝² : Module R A<VAR>inst✝¹ : IsScalarTower R A A<VAR>inst✝ : SMulCommClass R A A<VAR>r : R<VAR>a : A<VAR>ha : a ∈ Set.center A<VAR>b : A<GOAL>r • a * b = b * r • a
<VAR>R : Type u_1<VAR>A : Type u_2<VAR>inst✝⁴ : CommSemiring R<VAR>inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A<VAR>inst✝² : Module R A<VAR>inst✝¹ : IsScalarTower R A A<VAR>inst✝ : SMulCommClass R A A<VAR>r : R<VAR>a : A<VAR>ha : a ∈ Set.center A<VAR>b c : A<GOAL>r • a * (b * c) = r • a * b * c
<VAR>R : Type u_1<VAR>A : Type u_2<VAR>inst✝⁴ : CommSemiring R<VAR>inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A<VAR>inst✝² : Module R A<VAR>inst✝¹ : IsScalarTower R A A<VAR>inst✝ : SMulCommClass R A A<VAR>r : R<VAR>a : A<VAR>ha : a ∈ Set.center A<VAR>b c : A<GOAL>b * r • a * c = b * (r • a * c)
<VAR>R : Type u_1<VAR>A : Type u_2<VAR>inst✝⁴ : CommSemiring R<VAR>inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A<VAR>inst✝² : Module R A<VAR>inst✝¹ : IsScalarTower R A A<VAR>inst✝ : SMulCommClass R A A<VAR>r : R<VAR>a : A<VAR>ha : a ∈ Set.center A<VAR>b c : A<GOAL>b * c * r • a = b * (c * r • a)
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝ : DecidableEq α<VAR>a : α<VAR>l₁ l₂ : List α<VAR>p : l₁ ~ l₂<GOAL>List.insert a l₁ ~ List.insert a l₂
<VAR>z : ℍ<GOAL>0 < Complex.normSq ↑z
<VAR>z : ℍ<GOAL>↑z ≠ 0
<VAR>Ω : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι✝ : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace Ω<VAR>inst✝² : Preorder ι✝<VAR>f✝ : Filtration ι✝ m<VAR>τ✝ π : Ω → ι✝<VAR>ι : Type u_4<VAR>inst✝¹ : SemilatticeSup ι<VAR>f : Filtration ι m<VAR>τ : Ω → ι<VAR>inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated<VAR>hτ : IsStoppingTime f τ<GOAL>hτ.measurableSpace ≤ m
<VAR>Ω : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι✝ : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace Ω<VAR>inst✝² : Preorder ι✝<VAR>f✝ : Filtration ι✝ m<VAR>τ✝ π : Ω → ι✝<VAR>ι : Type u_4<VAR>inst✝¹ : SemilatticeSup ι<VAR>f : Filtration ι m<VAR>τ : Ω → ι<VAR>inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated<VAR>hτ : IsStoppingTime f τ<VAR>h✝ : IsEmpty ι<GOAL>hτ.measurableSpace ≤ m
<VAR>Ω : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι✝ : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace Ω<VAR>inst✝² : Preorder ι✝<VAR>f✝ : Filtration ι✝ m<VAR>τ✝ π : Ω → ι✝<VAR>ι : Type u_4<VAR>inst✝¹ : SemilatticeSup ι<VAR>f : Filtration ι m<VAR>τ : Ω → ι<VAR>inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated<VAR>hτ : IsStoppingTime f τ<VAR>h✝ : Nonempty ι<GOAL>hτ.measurableSpace ≤ m
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹ : LinearOrder α<VAR>E : Type u_2<VAR>inst✝ : PseudoEMetricSpace E<VAR>f : α → E<VAR>s : Set α<VAR>m n : ℕ<VAR>u : ℕ → α<VAR>hu : MonotoneOn u (Icc m n)<VAR>us : ∀ i ∈ Icc m n, u i ∈ s<GOAL>∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹ : LinearOrder α<VAR>E : Type u_2<VAR>inst✝ : PseudoEMetricSpace E<VAR>f : α → E<VAR>s : Set α<VAR>m n : ℕ<VAR>u : ℕ → α<VAR>hu : MonotoneOn u (Icc m n)<VAR>us : ∀ i ∈ Icc m n, u i ∈ s<VAR>hnm : n ≤ m<GOAL>∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹ : LinearOrder α<VAR>E : Type u_2<VAR>inst✝ : PseudoEMetricSpace E<VAR>f : α → E<VAR>s : Set α<VAR>m n : ℕ<VAR>u : ℕ → α<VAR>hu : MonotoneOn u (Icc m n)<VAR>us : ∀ i ∈ Icc m n, u i ∈ s<VAR>hmn : m ≤ n<GOAL>∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹ : LinearOrder α<VAR>E : Type u_2<VAR>inst✝ : PseudoEMetricSpace E<VAR>f : α → E<VAR>s : Set α<VAR>m n : ℕ<VAR>u : ℕ → α<VAR>hu : MonotoneOn u (Icc m n)<VAR>us : ∀ i ∈ Icc m n, u i ∈ s<VAR>hmn : m ≤ n<VAR>π : ℕ → ↑(Icc m n) := projIcc m n hmn<VAR>v : ℕ → α := fun i => u ↑(π i)<GOAL>∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>f : α → β<VAR>hf : Memℒp f p μ<VAR>hmeas : StronglyMeasurable f<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : 0 < ε<VAR>hp_ne_zero : ¬p = 0<VAR>hp_ne_top : ¬p = ⊤<GOAL>∃ M, eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>f : α → β<VAR>hf : Memℒp f p μ<VAR>hmeas : StronglyMeasurable f<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : 0 < ε<VAR>hp_ne_zero : ¬p = 0<VAR>hp_ne_top : ¬p = ⊤<VAR>M : ℝ<VAR>hM' : 0 ≤ M<VAR>hM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)<GOAL>∃ M, eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>f : α → β<VAR>hf : Memℒp f p μ<VAR>hmeas : StronglyMeasurable f<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : 0 < ε<VAR>hp_ne_zero : ¬p = 0<VAR>hp_ne_top : ¬p = ⊤<VAR>M : ℝ<VAR>hM' : 0 ≤ M<VAR>hM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)<GOAL>eLpNorm ({x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>f : α → β<VAR>hf : Memℒp f p μ<VAR>hmeas : StronglyMeasurable f<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : 0 < ε<VAR>hp_ne_zero : ¬p = 0<VAR>hp_ne_top : ¬p = ⊤<VAR>M : ℝ<VAR>hM' : 0 ≤ M<VAR>hM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)<GOAL>(∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) ≤ ENNReal.ofReal ε ^ 1
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>f : α → β<VAR>hf : Memℒp f p μ<VAR>hmeas : StronglyMeasurable f<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : 0 < ε<VAR>hp_ne_zero : ¬p = 0<VAR>hp_ne_top : ¬p = ⊤<VAR>M : ℝ<VAR>hM' : 0 ≤ M<VAR>hM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)<GOAL>(∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) ≤ ENNReal.ofReal ε ^ (p.toReal * (1 / p.toReal))
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>f : α → β<VAR>hf : Memℒp f p μ<VAR>hmeas : StronglyMeasurable f<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : 0 < ε<VAR>hp_ne_zero : ¬p = 0<VAR>hp_ne_top : ¬p = ⊤<VAR>M : ℝ<VAR>hM' : 0 ≤ M<VAR>hM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)<GOAL>∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>f : α → β<VAR>hf : Memℒp f p μ<VAR>hmeas : StronglyMeasurable f<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : 0 < ε<VAR>hp_ne_zero : ¬p = 0<VAR>hp_ne_top : ¬p = ⊤<VAR>M : ℝ<VAR>hM' : 0 ≤ M<VAR>hM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)<VAR>x : α<GOAL>↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal = ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>f : α → β<VAR>hf : Memℒp f p μ<VAR>hmeas : StronglyMeasurable f<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : 0 < ε<VAR>hp_ne_zero : ¬p = 0<VAR>hp_ne_top : ¬p = ⊤<VAR>M : ℝ<VAR>hM' : 0 ≤ M<VAR>hM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)<VAR>x : α<GOAL>↑({x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ^ p.toReal) = ↑({x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun a => ‖‖f a‖ ^ p.toReal‖₊) x)
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>f : α → β<VAR>hf : Memℒp f p μ<VAR>hmeas : StronglyMeasurable f<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : 0 < ε<VAR>hp_ne_zero : ¬p = 0<VAR>hp_ne_top : ¬p = ⊤<VAR>M : ℝ<VAR>hM' : 0 ≤ M<VAR>hM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)<VAR>x : α<VAR>hiff : M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊ ↔ M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊<GOAL>↑({x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ^ p.toReal) = ↑({x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun a => ‖‖f a‖ ^ p.toReal‖₊) x)
<VAR>R : Type u_1<VAR>inst✝ : CommSemiring R<VAR>a b : R<VAR>x✝ : R⟦X⟧<VAR>n✝ : ℕ<GOAL>(coeff R n✝) ((rescale (a * b)) x✝) = (coeff R n✝) (((rescale b).comp (rescale a)) x✝)
<VAR>x y z : ℤ<VAR>h : PythagoreanTriple x y z<GOAL>PythagoreanTriple y x z
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type v<VAR>γ : Type u_2<VAR>p : α → Prop<VAR>inst✝¹ : DecidablePred p<VAR>inst✝ : DecidableEq α<VAR>s t : Multiset α<VAR>h : t ≤ s<GOAL>countP p (s - t) = countP p s - countP p t
<VAR>X : Type u_1<VAR>Y : Type u_2<VAR>E : Type u_3<VAR>F : Type u_4<VAR>R : Type u_5<VAR>inst✝⁷ : MeasurableSpace X<VAR>inst✝⁶ : TopologicalSpace X<VAR>inst✝⁵ : MeasurableSpace Y<VAR>inst✝⁴ : TopologicalSpace Y<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup F<VAR>f g : X → E<VAR>μ : Measure X<VAR>s : Set X<VAR>a : X<VAR>inst✝¹ : LinearOrder X<VAR>inst✝ : CompactIccSpace X<GOAL>IntegrableOn f (Iic a) μ ↔ IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ
<VAR>X : Type u_1<VAR>Y : Type u_2<VAR>E : Type u_3<VAR>F : Type u_4<VAR>R : Type u_5<VAR>inst✝⁷ : MeasurableSpace X<VAR>inst✝⁶ : TopologicalSpace X<VAR>inst✝⁵ : MeasurableSpace Y<VAR>inst✝⁴ : TopologicalSpace Y<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup F<VAR>f g : X → E<VAR>μ : Measure X<VAR>s✝ : Set X<VAR>a : X<VAR>inst✝¹ : LinearOrder X<VAR>inst✝ : CompactIccSpace X<VAR>x✝ : IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ<VAR>s : Set X<VAR>hsl : s ∈ atBot<VAR>hs : IntegrableOn f s μ<VAR>h : LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ<GOAL>IntegrableOn f (Iic a) μ
<VAR>X : Type u_1<VAR>Y : Type u_2<VAR>E : Type u_3<VAR>F : Type u_4<VAR>R : Type u_5<VAR>inst✝⁷ : MeasurableSpace X<VAR>inst✝⁶ : TopologicalSpace X<VAR>inst✝⁵ : MeasurableSpace Y<VAR>inst✝⁴ : TopologicalSpace Y<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup F<VAR>f g : X → E<VAR>μ : Measure X<VAR>s✝ : Set X<VAR>a : X<VAR>inst✝¹ : LinearOrder X<VAR>inst✝ : CompactIccSpace X<VAR>x✝ : IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ<VAR>s : Set X<VAR>hsl : s ∈ atBot<VAR>hs : IntegrableOn f s μ<VAR>h : LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ<VAR>this : Nonempty X<GOAL>IntegrableOn f (Iic a) μ
<VAR>X : Type u_1<VAR>Y : Type u_2<VAR>E : Type u_3<VAR>F : Type u_4<VAR>R : Type u_5<VAR>inst✝⁷ : MeasurableSpace X<VAR>inst✝⁶ : TopologicalSpace X<VAR>inst✝⁵ : MeasurableSpace Y<VAR>inst✝⁴ : TopologicalSpace Y<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup F<VAR>f g : X → E<VAR>μ : Measure X<VAR>s✝ : Set X<VAR>a : X<VAR>inst✝¹ : LinearOrder X<VAR>inst✝ : CompactIccSpace X<VAR>x✝ : IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ<VAR>s : Set X<VAR>hsl : s ∈ atBot<VAR>hs : IntegrableOn f s μ<VAR>h : LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ<VAR>this : Nonempty X<VAR>a' : X<VAR>ha' : ∀ b ≤ a', b ∈ s<GOAL>IntegrableOn f (Iic a) μ
<VAR>X : Type u_1<VAR>Y : Type u_2<VAR>E : Type u_3<VAR>F : Type u_4<VAR>R : Type u_5<VAR>inst✝⁷ : MeasurableSpace X<VAR>inst✝⁶ : TopologicalSpace X<VAR>inst✝⁵ : MeasurableSpace Y<VAR>inst✝⁴ : TopologicalSpace Y<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup F<VAR>f g : X → E<VAR>μ : Measure X<VAR>s✝ : Set X<VAR>a : X<VAR>inst✝¹ : LinearOrder X<VAR>inst✝ : CompactIccSpace X<VAR>x✝ : IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ<VAR>s : Set X<VAR>hsl : s ∈ atBot<VAR>hs : IntegrableOn f s μ<VAR>h : LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ<VAR>this : Nonempty X<VAR>a' : X<VAR>ha' : ∀ b ≤ a', b ∈ s<GOAL>IntegrableOn f (Icc a' a) μ
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝³ : Fintype α<VAR>inst✝² : DecidableEq α<VAR>P : Finpartition univ<VAR>hP : P.IsEquipartition<VAR>G : SimpleGraph α<VAR>inst✝¹ : DecidableRel G.Adj<VAR>ε : ℝ<VAR>U : Finset α<VAR>hU✝ : U ∈ P.parts<VAR>V : Finset α<VAR>𝒜 : Finset (Finset α)<VAR>s : Finset α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α<VAR>hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5<VAR>hU : U ∈ P.parts<VAR>hV : V ∈ P.parts<GOAL>↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤ ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card) ^ 2