ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
<VAR>q : ℤ[X]<VAR>k m n : ℕ<VAR>hkm : k < m<VAR>hmn : m < n<VAR>x y z : ℤ<VAR>hx : x ≠ 0<VAR>hy : y ≠ 0<VAR>hz : z ≠ 0<VAR>hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)<GOAL>(C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
<VAR>q : ℤ[X]<VAR>k m n : ℕ<VAR>hkm : k < m<VAR>hmn : m < n<VAR>x y z : ℤ<VAR>hy : y ≠ 0<VAR>hz : z ≠ 0<VAR>hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)<VAR>hx : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k)<GOAL>(C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
<VAR>q : ℤ[X]<VAR>k m n : ℕ<VAR>hkm : k < m<VAR>hmn : m < n<VAR>x y z : ℤ<VAR>hz : z ≠ 0<VAR>hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)<VAR>hx : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k)<VAR>hy : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff m)<GOAL>(C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
<VAR>q : ℤ[X]<VAR>k m n : ℕ<VAR>hkm : k < m<VAR>hmn : m < n<VAR>x y z : ℤ<VAR>hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)<VAR>hx : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k)<VAR>hy : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff m)<VAR>hz : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff n)<GOAL>(C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
<VAR>q : ℤ[X]<VAR>k m n : ℕ<VAR>hkm : k < m<VAR>hmn : m < n<VAR>x y z : ℤ<VAR>hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)<VAR>hx : IsUnit ((x + y * if k = m then 1 else 0) + z * if k = n then 1 else 0)<VAR>hy : IsUnit ((x * if m = k then 1 else 0) + y + z * if m = n then 1 else 0)<VAR>hz : IsUnit (((x * if n = k then 1 else 0) + y * if n = m then 1 else 0) + z)<GOAL>(C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
<VAR>q : ℤ[X]<VAR>k m n : ℕ<VAR>hkm : k < m<VAR>hmn : m < n<VAR>x y z : ℤ<VAR>hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)<VAR>hx : IsUnit (x + y * 0 + z * 0)<VAR>hy : IsUnit ((x * if m = k then 1 else 0) + y + z * if m = n then 1 else 0)<VAR>hz : IsUnit (((x * if n = k then 1 else 0) + y * if n = m then 1 else 0) + z)<GOAL>(C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
<VAR>q : ℤ[X]<VAR>k m n : ℕ<VAR>hkm : k < m<VAR>hmn : m < n<VAR>x y z : ℤ<VAR>hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)<VAR>hx : IsUnit (x + y * 0 + z * 0)<VAR>hy : IsUnit (x * 0 + y + z * 0)<VAR>hz : IsUnit (((x * if n = k then 1 else 0) + y * if n = m then 1 else 0) + z)<GOAL>(C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
<VAR>q : ℤ[X]<VAR>k m n : ℕ<VAR>hkm : k < m<VAR>hmn : m < n<VAR>x y z : ℤ<VAR>hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)<VAR>hx : IsUnit (x + y * 0 + z * 0)<VAR>hy : IsUnit (x * 0 + y + z * 0)<VAR>hz : IsUnit (x * 0 + y * 0 + z)<GOAL>(C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
<VAR>q : ℤ[X]<VAR>k m n : ℕ<VAR>hkm : k < m<VAR>hmn : m < n<VAR>x y z : ℤ<VAR>hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)<VAR>hz : IsUnit z<VAR>hx : IsUnit x<VAR>hy : IsUnit y<GOAL>(C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
<VAR>R : Type u_1<VAR>α : Type u_2<VAR>β : Type u_3<VAR>δ : Type u_4<VAR>γ : Type u_5<VAR>ι : Type u_6<VAR>m0 : MeasurableSpace α<VAR>inst✝¹ : MeasurableSpace β<VAR>inst✝ : MeasurableSpace γ<VAR>μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α<VAR>s✝ s' t✝ s t : Set α<GOAL>ae (μ.restrict (s ∪ t)) = ae (μ.restrict s) ⊔ ae (μ.restrict t)
<VAR>R : Type u_1<VAR>inst✝³ : NonAssocRing R<VAR>inst✝² : Pow R ℕ<VAR>inst✝¹ : BinomialRing R<VAR>inst✝ : NatPowAssoc R<VAR>r : R<GOAL>choose r 0 = 1
<VAR>C : Type u<VAR>inst✝⁴ : Category.{v, u} C<VAR>inst✝³ : HasZeroObject C<VAR>inst✝² : HasShift C ℤ<VAR>inst✝¹ : Preadditive C<VAR>inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive<VAR>hC : Pretriangulated C<VAR>T T' : Triangle C<VAR>φ : T ⟶ T'<VAR>hT : T ∈ distinguishedTriangles<VAR>hT' : T' ∈ distinguishedTriangles<VAR>h₁ : IsIso φ.hom₁<VAR>h₃ : IsIso φ.hom₃<GOAL>IsIso φ.hom₂
<VAR>C : Type u<VAR>inst✝⁴ : Category.{v, u} C<VAR>inst✝³ : HasZeroObject C<VAR>inst✝² : HasShift C ℤ<VAR>inst✝¹ : Preadditive C<VAR>inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive<VAR>hC : Pretriangulated C<VAR>T T' : Triangle C<VAR>φ : T ⟶ T'<VAR>hT : T ∈ distinguishedTriangles<VAR>hT' : T' ∈ distinguishedTriangles<VAR>h₁ : IsIso φ.hom₁<VAR>h₃ : IsIso φ.hom₃<VAR>this : Mono φ.hom₂<GOAL>IsIso φ.hom₂
<VAR>C : Type u<VAR>inst✝⁴ : Category.{v, u} C<VAR>inst✝³ : HasZeroObject C<VAR>inst✝² : HasShift C ℤ<VAR>inst✝¹ : Preadditive C<VAR>inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive<VAR>hC : Pretriangulated C<VAR>T T' : Triangle C<VAR>φ : T ⟶ T'<VAR>hT : T ∈ distinguishedTriangles<VAR>hT' : T' ∈ distinguishedTriangles<VAR>h₁ : IsIso φ.hom₁<VAR>h₃ : IsIso φ.hom₃<VAR>this : Mono φ.hom₂<VAR>A : C<GOAL>Function.Injective fun x => x ≫ φ.hom₂
<VAR>C : Type u<VAR>inst✝⁴ : Category.{v, u} C<VAR>inst✝³ : HasZeroObject C<VAR>inst✝² : HasShift C ℤ<VAR>inst✝¹ : Preadditive C<VAR>inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive<VAR>hC : Pretriangulated C<VAR>T T' : Triangle C<VAR>φ : T ⟶ T'<VAR>hT : T ∈ distinguishedTriangles<VAR>hT' : T' ∈ distinguishedTriangles<VAR>h₁ : IsIso φ.hom₁<VAR>h₃ : IsIso φ.hom₃<VAR>this : Mono φ.hom₂<VAR>A : C<GOAL>Function.Surjective fun x => x ≫ φ.hom₂
<VAR>x : ℝ<VAR>hx : 0 < x<VAR>y : ℂ<GOAL>abs (↑x ^ y) = x ^ y.re
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>q : ℝ<VAR>μ ν : Measure α<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup G<VAR>𝕜 : Type u_5<VAR>inst✝ : RCLike 𝕜<VAR>f : α → 𝕜<VAR>hf : Memℒp f p μ<GOAL>Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) p μ
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>q : ℝ<VAR>μ ν : Measure α<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup G<VAR>𝕜 : Type u_5<VAR>inst✝ : RCLike 𝕜<VAR>f : α → 𝕜<VAR>hf : Memℒp f p μ<VAR>this : ∀ (x : α), ‖RCLike.im (f x)‖ ≤ 1 * ‖f x‖<GOAL>Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) p μ
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>q : ℝ<VAR>μ ν : Measure α<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup G<VAR>𝕜 : Type u_5<VAR>inst✝ : RCLike 𝕜<VAR>f : α → 𝕜<VAR>hf : Memℒp f p μ<VAR>this : ∀ (x : α), ‖RCLike.im (f x)‖ ≤ 1 * ‖f x‖<GOAL>AEStronglyMeasurable (fun x => RCLike.im (f x)) μ
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>inst✝² : Preorder α<VAR>inst✝¹ : TopologicalSpace α<VAR>inst✝ : IsScott α<VAR>s : Set α<VAR>a : α<GOAL>IsOpen s ↔ IsUpperSet s ∧ IsOpen s
<VAR>A : Type u_1<VAR>inst✝⁷ : NormedRing A<VAR>inst✝⁶ : StarRing A<VAR>inst✝⁵ : CstarRing A<VAR>inst✝⁴ : CompleteSpace A<VAR>inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A<VAR>inst✝² : StarModule ℂ A<VAR>inst✝¹ : PartialOrder A<VAR>inst✝ : StarOrderedRing A<VAR>a : A<GOAL>star a * a ≤ (algebraMap ℝ A) (‖a‖ ^ 2)
<VAR>A : Type u_1<VAR>inst✝⁷ : NormedRing A<VAR>inst✝⁶ : StarRing A<VAR>inst✝⁵ : CstarRing A<VAR>inst✝⁴ : CompleteSpace A<VAR>inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A<VAR>inst✝² : StarModule ℂ A<VAR>inst✝¹ : PartialOrder A<VAR>inst✝ : StarOrderedRing A<VAR>a : A<VAR>this : star a * a ≤ (algebraMap ℝ A) ‖star a * a‖<GOAL>star a * a ≤ (algebraMap ℝ A) (‖a‖ ^ 2)
<VAR>R : Type u<VAR>L : Type v<VAR>inst✝⁴ : CommRing R<VAR>inst✝³ : LieRing L<VAR>inst✝² : LieAlgebra R L<VAR>L₂ : Type w<VAR>inst✝¹ : LieRing L₂<VAR>inst✝ : LieAlgebra R L₂<VAR>f : L →ₗ⁅R⁆ L₂<VAR>K K' : LieSubalgebra R L<VAR>K₂ : LieSubalgebra R L₂<GOAL>K = ⊥ ↔ ∀ x ∈ K, x = 0
<VAR>R : Type u<VAR>L : Type v<VAR>inst✝⁴ : CommRing R<VAR>inst✝³ : LieRing L<VAR>inst✝² : LieAlgebra R L<VAR>L₂ : Type w<VAR>inst✝¹ : LieRing L₂<VAR>inst✝ : LieAlgebra R L₂<VAR>f : L →ₗ⁅R⁆ L₂<VAR>K K' : LieSubalgebra R L<VAR>K₂ : LieSubalgebra R L₂<GOAL>K ≤ ⊥ ↔ ∀ x ∈ K, x = 0
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>ι : Type w<VAR>a b : R<VAR>m n : ℕ<VAR>inst✝ : Semiring R<VAR>p q r : R[X]<GOAL>p.natDegree ≤ n ↔ ∀ (N : ℕ), n < N → p.coeff N = 0
<VAR>G : Type u<VAR>inst✝ : Monoid G<VAR>m : ℕ<VAR>hpos : 0 < m<VAR>hm : m < exponent G<GOAL>∃ g, g ^ m ≠ 1
<VAR>G : Type u<VAR>inst✝ : Monoid G<VAR>m : ℕ<VAR>hpos : 0 < m<VAR>hm : m < exponent G<VAR>h : ∀ (g : G), g ^ m = 1<GOAL>False
<VAR>G : Type u<VAR>inst✝ : Monoid G<VAR>m : ℕ<VAR>hpos : 0 < m<VAR>hm : m < exponent G<VAR>h : ∀ (g : G), g ^ m = 1<VAR>hcon : exponent G ≤ m<GOAL>False
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>α : Type u_2<VAR>β : Type u_3<VAR>inst✝¹ : Fintype α<VAR>s t : Finset α<VAR>a b : α<VAR>inst✝ : DecidableEq α<VAR>h : s ⊆ t<GOAL>(t \ s).dens + s.dens = t.dens
<VAR>p : ℝ<VAR>hp : 1 ≤ p<GOAL>ConvexOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ p
<VAR>hp : 1 ≤ 1<GOAL>ConvexOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ 1
<VAR>p : ℝ<VAR>hp✝ : 1 ≤ p<VAR>hp : 1 < p<GOAL>ConvexOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ p
<VAR>x : ℕ<VAR>r : ℝ<GOAL>closedBall x r = Icc ⌈↑x - r⌉₊ ⌊↑x + r⌋₊
<VAR>x : ℕ<VAR>r : ℝ<VAR>hr : 0 ≤ r<GOAL>closedBall x r = Icc ⌈↑x - r⌉₊ ⌊↑x + r⌋₊
<VAR>x : ℕ<VAR>r : ℝ<VAR>hr : r < 0<GOAL>closedBall x r = Icc ⌈↑x - r⌉₊ ⌊↑x + r⌋₊
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>𝕜 : Type u_4<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝ : NormedSpace ℝ F<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>s : Set α<VAR>x : ℝ<VAR>hx : 0 ≤ x<GOAL>0 ≤ (weightedSMul μ s) x
<VAR>α : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>𝕜 : Type u_4<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝ : NormedSpace ℝ F<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>s : Set α<VAR>x : ℝ<VAR>hx : 0 ≤ x<GOAL>0 ≤ (μ s).toReal * x
<VAR>L : Type u<VAR>inst✝¹ : CommRing L<VAR>inst✝ : IsDomain L<VAR>n : ℕ+<VAR>g : L ≃+* L<GOAL>∃ m, ∀ (t : ↥(rootsOfUnity n L)), g ↑↑t = ↑(↑t ^ m)
<VAR>L : Type u<VAR>inst✝¹ : CommRing L<VAR>inst✝ : IsDomain L<VAR>n : ℕ+<VAR>g : L ≃+* L<VAR>m : ℤ<VAR>hm : ∀ (g_1 : ↥(rootsOfUnity n L)), ((↑g).restrictRootsOfUnity n).toMonoidHom g_1 = g_1 ^ m<GOAL>∃ m, ∀ (t : ↥(rootsOfUnity n L)), g ↑↑t = ↑(↑t ^ m)
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>inst✝ : LinearOrderedField α<VAR>f : CauSeq α abs<GOAL>f.Pos ∨ f.LimZero ∨ (-f).Pos
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>inst✝ : LinearOrderedField α<VAR>f : CauSeq α abs<VAR>h : ¬f.LimZero<GOAL>f.Pos ∨ (-f).Pos
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>inst✝ : LinearOrderedField α<VAR>f : CauSeq α abs<VAR>h : ¬f.LimZero<VAR>K : α<VAR>K0 : K > 0<VAR>hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|<GOAL>f.Pos ∨ (-f).Pos
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>inst✝ : LinearOrderedField α<VAR>f : CauSeq α abs<VAR>h : ¬f.LimZero<VAR>K : α<VAR>K0 : K > 0<VAR>hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|<VAR>i : ℕ<VAR>hi : ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j| ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K<GOAL>f.Pos ∨ (-f).Pos
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>inst✝ : LinearOrderedField α<VAR>f : CauSeq α abs<VAR>h✝ : ¬f.LimZero<VAR>K : α<VAR>K0 : K > 0<VAR>hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|<VAR>i : ℕ<VAR>hi : ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j| ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K<VAR>h : 0 ≤ ↑f i<VAR>j : ℕ<VAR>ij : j ≥ i<VAR>this : K ≤ |↑f j|<VAR>h₁ : K ≤ |↑f i|<VAR>h₂ : ∀ k ≥ i, |↑f k - ↑f i| < K<GOAL>K ≤ ↑f j
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>inst✝ : LinearOrderedField α<VAR>f : CauSeq α abs<VAR>h✝ : ¬f.LimZero<VAR>K : α<VAR>K0 : K > 0<VAR>hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|<VAR>i : ℕ<VAR>hi : ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j| ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K<VAR>h : ↑f i ≤ 0<VAR>j : ℕ<VAR>ij : j ≥ i<VAR>this : K ≤ |↑f j|<VAR>h₁ : K ≤ |↑f i|<VAR>h₂ : ∀ k ≥ i, |↑f k - ↑f i| < K<GOAL>K ≤ ↑(-f) j
<VAR>α : Sort u<VAR>β : α → Sort v<VAR>α' : Sort w<VAR>inst✝¹ : DecidableEq α<VAR>inst✝ : DecidableEq α'<VAR>f✝ g : (a : α) → β a<VAR>a✝ : α<VAR>b✝ : β a✝<VAR>f : (a : α) → β a<VAR>a : α<VAR>b : β a<VAR>p : (a : α) → β a → Prop<GOAL>(∃ x, p x (update f a b x)) ↔ p a b ∨ ∃ x, x ≠ a ∧ p x (f x)
<VAR>α : Sort u<VAR>β : α → Sort v<VAR>α' : Sort w<VAR>inst✝¹ : DecidableEq α<VAR>inst✝ : DecidableEq α'<VAR>f✝ g : (a : α) → β a<VAR>a✝ : α<VAR>b✝ : β a✝<VAR>f : (a : α) → β a<VAR>a : α<VAR>b : β a<VAR>p : (a : α) → β a → Prop<GOAL>¬(¬p a b ∧ ∀ (x : α), x ≠ a → ¬p x (f x)) ↔ p a b ∨ ∃ x, x ≠ a ∧ p x (f x)
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁶ : MetricSpace α<VAR>β : Type u<VAR>inst✝⁵ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝³ : OpensMeasurableSpace α<VAR>inst✝² : HasBesicovitchCovering α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : SFinite μ<VAR>inst✝ : μ.OuterRegular<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε ≠ 0<VAR>f : α → Set ℝ<VAR>s : Set α<VAR>hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty<GOAL>∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁶ : MetricSpace α<VAR>β : Type u<VAR>inst✝⁵ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝³ : OpensMeasurableSpace α<VAR>inst✝² : HasBesicovitchCovering α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : SFinite μ<VAR>inst✝ : μ.OuterRegular<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε ≠ 0<VAR>f : α → Set ℝ<VAR>s : Set α<VAR>hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty<VAR>u : Set α<VAR>su : u ⊇ s<VAR>u_open : IsOpen u<VAR>μu : μ u ≤ μ s + ε / 2<GOAL>∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁶ : MetricSpace α<VAR>β : Type u<VAR>inst✝⁵ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝³ : OpensMeasurableSpace α<VAR>inst✝² : HasBesicovitchCovering α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : SFinite μ<VAR>inst✝ : μ.OuterRegular<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε ≠ 0<VAR>f : α → Set ℝ<VAR>s : Set α<VAR>hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty<VAR>u : Set α<VAR>su : u ⊇ s<VAR>u_open : IsOpen u<VAR>μu : μ u ≤ μ s + ε / 2<VAR>this : ∀ x ∈ s, ∃ R > 0, ball x R ⊆ u<GOAL>∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁶ : MetricSpace α<VAR>β : Type u<VAR>inst✝⁵ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝³ : OpensMeasurableSpace α<VAR>inst✝² : HasBesicovitchCovering α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : SFinite μ<VAR>inst✝ : μ.OuterRegular<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε ≠ 0<VAR>f : α → Set ℝ<VAR>s : Set α<VAR>hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty<VAR>u : Set α<VAR>su : u ⊇ s<VAR>u_open : IsOpen u<VAR>μu : μ u ≤ μ s + ε / 2<VAR>R : α → ℝ<VAR>hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u<GOAL>∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁶ : MetricSpace α<VAR>β : Type u<VAR>inst✝⁵ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝³ : OpensMeasurableSpace α<VAR>inst✝² : HasBesicovitchCovering α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : SFinite μ<VAR>inst✝ : μ.OuterRegular<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε ≠ 0<VAR>f : α → Set ℝ<VAR>s : Set α<VAR>hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty<VAR>u : Set α<VAR>su : u ⊇ s<VAR>u_open : IsOpen u<VAR>μu : μ u ≤ μ s + ε / 2<VAR>R : α → ℝ<VAR>hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u<VAR>t0 : Set α<VAR>r0 : α → ℝ<VAR>t0_count : t0.Countable<VAR>t0s : t0 ⊆ s<VAR>hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)<VAR>μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0<VAR>t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)<GOAL>∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁶ : MetricSpace α<VAR>β : Type u<VAR>inst✝⁵ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝³ : OpensMeasurableSpace α<VAR>inst✝² : HasBesicovitchCovering α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : SFinite μ<VAR>inst✝ : μ.OuterRegular<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε ≠ 0<VAR>f : α → Set ℝ<VAR>s : Set α<VAR>hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty<VAR>u : Set α<VAR>su : u ⊇ s<VAR>u_open : IsOpen u<VAR>μu : μ u ≤ μ s + ε / 2<VAR>R : α → ℝ<VAR>hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u<VAR>t0 : Set α<VAR>r0 : α → ℝ<VAR>t0_count : t0.Countable<VAR>t0s : t0 ⊆ s<VAR>hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)<VAR>μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0<VAR>t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)<VAR>s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)<GOAL>∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁶ : MetricSpace α<VAR>β : Type u<VAR>inst✝⁵ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝³ : OpensMeasurableSpace α<VAR>inst✝² : HasBesicovitchCovering α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : SFinite μ<VAR>inst✝ : μ.OuterRegular<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε ≠ 0<VAR>f : α → Set ℝ<VAR>s : Set α<VAR>hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty<VAR>u : Set α<VAR>su : u ⊇ s<VAR>u_open : IsOpen u<VAR>μu : μ u ≤ μ s + ε / 2<VAR>R : α → ℝ<VAR>hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u<VAR>t0 : Set α<VAR>r0 : α → ℝ<VAR>t0_count : t0.Countable<VAR>t0s : t0 ⊆ s<VAR>hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)<VAR>μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0<VAR>t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)<VAR>s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)<VAR>s's : s' ⊆ s<GOAL>∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁶ : MetricSpace α<VAR>β : Type u<VAR>inst✝⁵ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝³ : OpensMeasurableSpace α<VAR>inst✝² : HasBesicovitchCovering α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : SFinite μ<VAR>inst✝ : μ.OuterRegular<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε ≠ 0<VAR>f : α → Set ℝ<VAR>s : Set α<VAR>hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty<VAR>u : Set α<VAR>su : u ⊇ s<VAR>u_open : IsOpen u<VAR>μu : μ u ≤ μ s + ε / 2<VAR>R : α → ℝ<VAR>hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u<VAR>t0 : Set α<VAR>r0 : α → ℝ<VAR>t0_count : t0.Countable<VAR>t0s : t0 ⊆ s<VAR>hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)<VAR>μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0<VAR>t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)<VAR>s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)<VAR>s's : s' ⊆ s<VAR>N : ℕ<VAR>τ : ℝ<VAR>hτ : 1 < τ<VAR>H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)<GOAL>∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁶ : MetricSpace α<VAR>β : Type u<VAR>inst✝⁵ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝³ : OpensMeasurableSpace α<VAR>inst✝² : HasBesicovitchCovering α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : SFinite μ<VAR>inst✝ : μ.OuterRegular<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε ≠ 0<VAR>f : α → Set ℝ<VAR>s : Set α<VAR>hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty<VAR>u : Set α<VAR>su : u ⊇ s<VAR>u_open : IsOpen u<VAR>μu : μ u ≤ μ s + ε / 2<VAR>R : α → ℝ<VAR>hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u<VAR>t0 : Set α<VAR>r0 : α → ℝ<VAR>t0_count : t0.Countable<VAR>t0s : t0 ⊆ s<VAR>hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)<VAR>μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0<VAR>t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)<VAR>s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)<VAR>s's : s' ⊆ s<VAR>N : ℕ<VAR>τ : ℝ<VAR>hτ : 1 < τ<VAR>H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)<VAR>v : Set α<VAR>s'v : v ⊇ s'<VAR>v_open : IsOpen v<VAR>μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N<GOAL>∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁶ : MetricSpace α<VAR>β : Type u<VAR>inst✝⁵ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝³ : OpensMeasurableSpace α<VAR>inst✝² : HasBesicovitchCovering α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : SFinite μ<VAR>inst✝ : μ.OuterRegular<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε ≠ 0<VAR>f : α → Set ℝ<VAR>s : Set α<VAR>hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty<VAR>u : Set α<VAR>su : u ⊇ s<VAR>u_open : IsOpen u<VAR>μu : μ u ≤ μ s + ε / 2<VAR>R : α → ℝ<VAR>hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u<VAR>t0 : Set α<VAR>r0 : α → ℝ<VAR>t0_count : t0.Countable<VAR>t0s : t0 ⊆ s<VAR>hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)<VAR>μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0<VAR>t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)<VAR>s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)<VAR>s's : s' ⊆ s<VAR>N : ℕ<VAR>τ : ℝ<VAR>hτ : 1 < τ<VAR>H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)<VAR>v : Set α<VAR>s'v : v ⊇ s'<VAR>v_open : IsOpen v<VAR>μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N<VAR>this : ∀ x ∈ s', ∃ r1 ∈ f x ∩ Ioo 0 1, closedBall x r1 ⊆ v<GOAL>∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁶ : MetricSpace α<VAR>β : Type u<VAR>inst✝⁵ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝³ : OpensMeasurableSpace α<VAR>inst✝² : HasBesicovitchCovering α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : SFinite μ<VAR>inst✝ : μ.OuterRegular<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε ≠ 0<VAR>f : α → Set ℝ<VAR>s : Set α<VAR>hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty<VAR>u : Set α<VAR>su : u ⊇ s<VAR>u_open : IsOpen u<VAR>μu : μ u ≤ μ s + ε / 2<VAR>R : α → ℝ<VAR>hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u<VAR>t0 : Set α<VAR>r0 : α → ℝ<VAR>t0_count : t0.Countable<VAR>t0s : t0 ⊆ s<VAR>hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)<VAR>μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0<VAR>t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)<VAR>s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)<VAR>s's : s' ⊆ s<VAR>N : ℕ<VAR>τ : ℝ<VAR>hτ : 1 < τ<VAR>H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)<VAR>v : Set α<VAR>s'v : v ⊇ s'<VAR>v_open : IsOpen v<VAR>μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N<VAR>r1 : α → ℝ<VAR>hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v<GOAL>∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁶ : MetricSpace α<VAR>β : Type u<VAR>inst✝⁵ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝³ : OpensMeasurableSpace α<VAR>inst✝² : HasBesicovitchCovering α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : SFinite μ<VAR>inst✝ : μ.OuterRegular<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε ≠ 0<VAR>f : α → Set ℝ<VAR>s : Set α<VAR>hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty<VAR>u : Set α<VAR>su : u ⊇ s<VAR>u_open : IsOpen u<VAR>μu : μ u ≤ μ s + ε / 2<VAR>R : α → ℝ<VAR>hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u<VAR>t0 : Set α<VAR>r0 : α → ℝ<VAR>t0_count : t0.Countable<VAR>t0s : t0 ⊆ s<VAR>hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)<VAR>μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0<VAR>t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)<VAR>s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)<VAR>s's : s' ⊆ s<VAR>N : ℕ<VAR>τ : ℝ<VAR>hτ : 1 < τ<VAR>H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)<VAR>v : Set α<VAR>s'v : v ⊇ s'<VAR>v_open : IsOpen v<VAR>μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N<VAR>r1 : α → ℝ<VAR>hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v<VAR>q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }<GOAL>∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε