ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>𝕜 : Type u_3<VAR>m m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝² : TopologicalSpace β<VAR>f✝ g✝ : α → β<VAR>inst✝¹ : AddGroup β<VAR>inst✝ : TopologicalAddGroup β<VAR>f g f' : α → β<VAR>hf'_meas : StronglyMeasurable f'<VAR>hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'<VAR>g' : α → β<VAR>hg'_meas : StronglyMeasurable g'<VAR>hg_ae : g =ᶠ[ae μ] g'<VAR>x : α<VAR>hx1 : g x = g' x<VAR>hx2 : f x = f' x<GOAL>f x - g x = f' x - g' x
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<VAR>R : Type u_1<VAR>k : Type u_2<VAR>inst✝ : Field k<VAR>f : k⟦X⟧<VAR>hf : f ≠ 0<GOAL>∃ n, Associated (X ^ n) f
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<VAR>R : Type u_1<VAR>k : Type u_2<VAR>inst✝ : Field k<VAR>f : k⟦X⟧<VAR>hf : f ≠ 0<GOAL>X ^ f.order.get ⋯ * ↑f.Unit_of_divided_by_X_pow_order = f
<VAR>R : Type u_1<VAR>k : Type u_2<VAR>inst✝ : Field k<VAR>f : k⟦X⟧<VAR>hf : f ≠ 0<GOAL>X ^ f.order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order hf = f
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>inst✝¹ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝ : TopologicalSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>p q : Set α → Prop<VAR>U s : Set α<VAR>ε r : ℝ≥0∞<VAR>h : μ.InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤<VAR>A : Set α<VAR>hA : μ A ≠ ⊤<GOAL>(μ.restrict A).InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>inst✝¹ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝ : TopologicalSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>p q : Set α → Prop<VAR>U s : Set α<VAR>ε r : ℝ≥0∞<VAR>h : μ.InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤<VAR>A : Set α<VAR>hA : μ A ≠ ⊤<VAR>this : Fact (μ A < ⊤)<GOAL>(μ.restrict A).InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝³ : Fintype α<VAR>inst✝² : DecidableEq α<VAR>P : Finpartition univ<VAR>hP : P.IsEquipartition<VAR>G : SimpleGraph α<VAR>inst✝¹ : DecidableRel G.Adj<VAR>ε : ℝ<VAR>U : Finset α<VAR>hU✝ : U ∈ P.parts<VAR>V : Finset α<VAR>𝒜 : Finset (Finset α)<VAR>s : Finset α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α<VAR>hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5<VAR>hε₁ : ε ≤ 1<VAR>hU : U ∈ P.parts<VAR>hV : V ∈ P.parts<VAR>A B : Finset (Finset α)<VAR>hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts<VAR>hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts<GOAL>(∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝³ : Fintype α<VAR>inst✝² : DecidableEq α<VAR>P : Finpartition univ<VAR>hP : P.IsEquipartition<VAR>G : SimpleGraph α<VAR>inst✝¹ : DecidableRel G.Adj<VAR>ε : ℝ<VAR>U : Finset α<VAR>hU✝ : U ∈ P.parts<VAR>V : Finset α<VAR>𝒜 : Finset (Finset α)<VAR>s : Finset α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α<VAR>hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5<VAR>hε₁ : ε ≤ 1<VAR>hU : U ∈ P.parts<VAR>hV : V ∈ P.parts<VAR>A B : Finset (Finset α)<VAR>hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts<VAR>hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts<VAR>this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49<GOAL>(∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝³ : Fintype α<VAR>inst✝² : DecidableEq α<VAR>P : Finpartition univ<VAR>hP : P.IsEquipartition<VAR>G : SimpleGraph α<VAR>inst✝¹ : DecidableRel G.Adj<VAR>ε : ℝ<VAR>U : Finset α<VAR>hU✝ : U ∈ P.parts<VAR>V : Finset α<VAR>𝒜 : Finset (Finset α)<VAR>s : Finset α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α<VAR>hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5<VAR>hε₁ : ε ≤ 1<VAR>hU : U ∈ P.parts<VAR>hV : V ∈ P.parts<VAR>A B : Finset (Finset α)<VAR>hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts<VAR>hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts<VAR>this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49<GOAL>(∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝³ : Fintype α<VAR>inst✝² : DecidableEq α<VAR>P : Finpartition univ<VAR>hP : P.IsEquipartition<VAR>G : SimpleGraph α<VAR>inst✝¹ : DecidableRel G.Adj<VAR>ε : ℝ<VAR>U : Finset α<VAR>hU✝ : U ∈ P.parts<VAR>V : Finset α<VAR>𝒜 : Finset (Finset α)<VAR>s : Finset α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α<VAR>hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5<VAR>hε₁ : ε ≤ 1<VAR>hU : U ∈ P.parts<VAR>hV : V ∈ P.parts<VAR>A B : Finset (Finset α)<VAR>hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts<VAR>hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts<VAR>this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49<GOAL>∑ x ∈ A.product B, ↑↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card / (↑(↑x.1.card * ↑x.2.card) * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝³ : Fintype α<VAR>inst✝² : DecidableEq α<VAR>P : Finpartition univ<VAR>hP : P.IsEquipartition<VAR>G : SimpleGraph α<VAR>inst✝¹ : DecidableRel G.Adj<VAR>ε : ℝ<VAR>U : Finset α<VAR>hU✝ : U ∈ P.parts<VAR>V : Finset α<VAR>𝒜 : Finset (Finset α)<VAR>s : Finset α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α<VAR>hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5<VAR>hε₁ : ε ≤ 1<VAR>hU : U ∈ P.parts<VAR>hV : V ∈ P.parts<VAR>A B : Finset (Finset α)<VAR>hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts<VAR>hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts<VAR>this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49<GOAL>∑ x ∈ A.product B, ↑↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card / (↑(↑x.1.card * ↑x.2.card) * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ∑ x ∈ ((chunk hP G ε hU).ofSubset hA ⋯).parts ×ˢ ((chunk hP G ε hV).ofSubset hB ⋯).parts, ↑↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / ↑(↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝³ : Fintype α<VAR>inst✝² : DecidableEq α<VAR>P : Finpartition univ<VAR>hP : P.IsEquipartition<VAR>G : SimpleGraph α<VAR>inst✝¹ : DecidableRel G.Adj<VAR>ε : ℝ<VAR>U : Finset α<VAR>hU✝ : U ∈ P.parts<VAR>V : Finset α<VAR>𝒜 : Finset (Finset α)<VAR>s : Finset α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α<VAR>hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5<VAR>hε₁ : ε ≤ 1<VAR>hU : U ∈ P.parts<VAR>hV : V ∈ P.parts<VAR>A B : Finset (Finset α)<VAR>hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts<VAR>hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts<VAR>this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49<GOAL>∑ x ∈ A.product B, ↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card / (↑x.1.card * ↑x.2.card * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ∑ x ∈ ((chunk hP G ε hU).ofSubset hA ⋯).parts ×ˢ ((chunk hP G ε hV).ofSubset hB ⋯).parts, ↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝³ : Fintype α<VAR>inst✝² : DecidableEq α<VAR>P : Finpartition univ<VAR>hP : P.IsEquipartition<VAR>G : SimpleGraph α<VAR>inst✝¹ : DecidableRel G.Adj<VAR>ε : ℝ<VAR>U : Finset α<VAR>hU✝ : U ∈ P.parts<VAR>V : Finset α<VAR>𝒜 : Finset (Finset α)<VAR>s : Finset α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α<VAR>hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5<VAR>hε₁ : ε ≤ 1<VAR>hU : U ∈ P.parts<VAR>hV : V ∈ P.parts<VAR>A B : Finset (Finset α)<VAR>hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts<VAR>hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts<VAR>this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49<GOAL>∀ i ∈ A.product B, ↑(interedges G.Adj i.1 i.2).card / (↑i.1.card * ↑i.2.card * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ↑(interedges G.Adj i.1 i.2).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝³ : Fintype α<VAR>inst✝² : DecidableEq α<VAR>P : Finpartition univ<VAR>hP : P.IsEquipartition<VAR>G : SimpleGraph α<VAR>inst✝¹ : DecidableRel G.Adj<VAR>ε : ℝ<VAR>U : Finset α<VAR>hU✝ : U ∈ P.parts<VAR>V : Finset α<VAR>𝒜 : Finset (Finset α)<VAR>s : Finset α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α<VAR>hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5<VAR>hε₁ : ε ≤ 1<VAR>hU : U ∈ P.parts<VAR>hV : V ∈ P.parts<VAR>A B : Finset (Finset α)<VAR>hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts<VAR>hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts<VAR>this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49<GOAL>∀ (a b : Finset α), a ∈ A → b ∈ B → ↑(interedges G.Adj a b).card / (↑a.card * ↑b.card * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ↑(interedges G.Adj a b).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝³ : Fintype α<VAR>inst✝² : DecidableEq α<VAR>P : Finpartition univ<VAR>hP : P.IsEquipartition<VAR>G : SimpleGraph α<VAR>inst✝¹ : DecidableRel G.Adj<VAR>ε : ℝ<VAR>U : Finset α<VAR>hU✝ : U ∈ P.parts<VAR>V : Finset α<VAR>𝒜 : Finset (Finset α)<VAR>s : Finset α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α<VAR>hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5<VAR>hε₁ : ε ≤ 1<VAR>hU : U ∈ P.parts<VAR>hV : V ∈ P.parts<VAR>A B : Finset (Finset α)<VAR>hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts<VAR>hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts<VAR>this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49<VAR>x y : Finset α<VAR>hx : x ∈ A<VAR>hy : y ∈ B<GOAL>↑(interedges G.Adj x y).card / (↑x.card * ↑y.card * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ↑(interedges G.Adj x y).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝³ : Fintype α<VAR>inst✝² : DecidableEq α<VAR>P : Finpartition univ<VAR>hP : P.IsEquipartition<VAR>G : SimpleGraph α<VAR>inst✝¹ : DecidableRel G.Adj<VAR>ε : ℝ<VAR>U : Finset α<VAR>hU✝ : U ∈ P.parts<VAR>V : Finset α<VAR>𝒜 : Finset (Finset α)<VAR>s : Finset α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α<VAR>hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5<VAR>hε₁ : ε ≤ 1<VAR>hU : U ∈ P.parts<VAR>hV : V ∈ P.parts<VAR>A B : Finset (Finset α)<VAR>hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts<VAR>hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts<VAR>this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49<VAR>x y : Finset α<VAR>hx : x ∈ A<VAR>hy : y ∈ B<GOAL>↑(interedges G.Adj x y).card ≤ ↑(interedges G.Adj x y).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card) * (↑A.card * ↑x.card * (↑B.card * ↑y.card)))
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝³ : Fintype α<VAR>inst✝² : DecidableEq α<VAR>P : Finpartition univ<VAR>hP : P.IsEquipartition<VAR>G : SimpleGraph α<VAR>inst✝¹ : DecidableRel G.Adj<VAR>ε : ℝ<VAR>U : Finset α<VAR>hU✝ : U ∈ P.parts<VAR>V : Finset α<VAR>𝒜 : Finset (Finset α)<VAR>s : Finset α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α<VAR>hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5<VAR>hε₁ : ε ≤ 1<VAR>hU : U ∈ P.parts<VAR>hV : V ∈ P.parts<VAR>A B : Finset (Finset α)<VAR>hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts<VAR>hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts<VAR>this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49<VAR>x y : Finset α<VAR>hx : x ∈ A<VAR>hy : y ∈ B<GOAL>0 < ↑A.card * ↑x.card * (↑B.card * ↑y.card)
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝³ : Fintype α<VAR>inst✝² : DecidableEq α<VAR>P : Finpartition univ<VAR>hP : P.IsEquipartition<VAR>G : SimpleGraph α<VAR>inst✝¹ : DecidableRel G.Adj<VAR>ε : ℝ<VAR>U : Finset α<VAR>hU✝ : U ∈ P.parts<VAR>V : Finset α<VAR>𝒜 : Finset (Finset α)<VAR>s : Finset α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α<VAR>hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5<VAR>hε₁ : ε ≤ 1<VAR>hU : U ∈ P.parts<VAR>hV : V ∈ P.parts<VAR>A B : Finset (Finset α)<VAR>hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts<VAR>hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts<VAR>this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49<VAR>x y : Finset α<VAR>hx : x ∈ A<VAR>hy : y ∈ B<GOAL>A.Nonempty
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝³ : Fintype α<VAR>inst✝² : DecidableEq α<VAR>P : Finpartition univ<VAR>hP : P.IsEquipartition<VAR>G : SimpleGraph α<VAR>inst✝¹ : DecidableRel G.Adj<VAR>ε : ℝ<VAR>U : Finset α<VAR>hU✝ : U ∈ P.parts<VAR>V : Finset α<VAR>𝒜 : Finset (Finset α)<VAR>s : Finset α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α<VAR>hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5<VAR>hε₁ : ε ≤ 1<VAR>hU : U ∈ P.parts<VAR>hV : V ∈ P.parts<VAR>A B : Finset (Finset α)<VAR>hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts<VAR>hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts<VAR>this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49<VAR>x y : Finset α<VAR>hx : x ∈ A<VAR>hy : y ∈ B<GOAL>x.Nonempty
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝³ : Fintype α<VAR>inst✝² : DecidableEq α<VAR>P : Finpartition univ<VAR>hP : P.IsEquipartition<VAR>G : SimpleGraph α<VAR>inst✝¹ : DecidableRel G.Adj<VAR>ε : ℝ<VAR>U : Finset α<VAR>hU✝ : U ∈ P.parts<VAR>V : Finset α<VAR>𝒜 : Finset (Finset α)<VAR>s : Finset α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α<VAR>hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5<VAR>hε₁ : ε ≤ 1<VAR>hU : U ∈ P.parts<VAR>hV : V ∈ P.parts<VAR>A B : Finset (Finset α)<VAR>hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts<VAR>hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts<VAR>this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49<VAR>x y : Finset α<VAR>hx : x ∈ A<VAR>hy : y ∈ B<GOAL>B.Nonempty
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝³ : Fintype α<VAR>inst✝² : DecidableEq α<VAR>P : Finpartition univ<VAR>hP : P.IsEquipartition<VAR>G : SimpleGraph α<VAR>inst✝¹ : DecidableRel G.Adj<VAR>ε : ℝ<VAR>U : Finset α<VAR>hU✝ : U ∈ P.parts<VAR>V : Finset α<VAR>𝒜 : Finset (Finset α)<VAR>s : Finset α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α<VAR>hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5<VAR>hε₁ : ε ≤ 1<VAR>hU : U ∈ P.parts<VAR>hV : V ∈ P.parts<VAR>A B : Finset (Finset α)<VAR>hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts<VAR>hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts<VAR>this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49<VAR>x y : Finset α<VAR>hx : x ∈ A<VAR>hy : y ∈ B<GOAL>y.Nonempty
<VAR>F : Type u_1<VAR>α : Type u_2<VAR>β : Type u_3<VAR>inst✝¹ : LinearOrderedRing α<VAR>inst✝ : FloorRing α<VAR>z : ℤ<VAR>a : α<VAR>ha : a ≤ 0<GOAL>⌊a⌋ ≤ 0