ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
<VAR>A : Type u_1<VAR>K : Type u_2<VAR>L : Type u<VAR>B : Type u_3<VAR>inst✝¹⁸ : CommRing A<VAR>inst✝¹⁷ : Field K<VAR>inst✝¹⁶ : CommRing B<VAR>inst✝¹⁵ : Field L<VAR>inst✝¹⁴ : Algebra A K<VAR>inst✝¹³ : Algebra B L<VAR>inst✝¹² : Algebra A B<VAR>inst✝¹¹ : Algebra K L<VAR>inst✝¹⁰ : Algebra A L<VAR>inst✝⁹ : IsScalarTower A K L<VAR>inst✝⁸ : IsScalarTower A B L<VAR>inst✝⁷ : IsDomain A<VAR>inst✝⁶ : IsFractionRing A K<VAR>inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L<VAR>inst✝⁴ : IsFractionRing B L<VAR>inst✝³ : FiniteDimensional K L<VAR>inst✝² : Algebra.IsSeparable K L<VAR>inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A<VAR>inst✝ : IsDedekindDomain B<VAR>I J : FractionalIdeal B⁰ L<VAR>hI : I ≠ 0<VAR>hJ : J ≠ 0<VAR>hIJ : I * J ≤ 1<GOAL>J ≤ ⟨(↑I)ᵛ, ⋯⟩
<VAR>A : Type u_1<VAR>K : Type u_2<VAR>L : Type u<VAR>B : Type u_3<VAR>inst✝¹⁸ : CommRing A<VAR>inst✝¹⁷ : Field K<VAR>inst✝¹⁶ : CommRing B<VAR>inst✝¹⁵ : Field L<VAR>inst✝¹⁴ : Algebra A K<VAR>inst✝¹³ : Algebra B L<VAR>inst✝¹² : Algebra A B<VAR>inst✝¹¹ : Algebra K L<VAR>inst✝¹⁰ : Algebra A L<VAR>inst✝⁹ : IsScalarTower A K L<VAR>inst✝⁸ : IsScalarTower A B L<VAR>inst✝⁷ : IsDomain A<VAR>inst✝⁶ : IsFractionRing A K<VAR>inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L<VAR>inst✝⁴ : IsFractionRing B L<VAR>inst✝³ : FiniteDimensional K L<VAR>inst✝² : Algebra.IsSeparable K L<VAR>inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A<VAR>inst✝ : IsDedekindDomain B<VAR>I J : FractionalIdeal B⁰ L<VAR>hI : I ≠ 0<VAR>hJ : J ≠ 0<VAR>hIJ : I * J ≤ 1<VAR>x : L<VAR>hx : x ∈ (fun a => ↑a) J<VAR>y : L<VAR>hy : y ∈ restrictScalars A ↑I<GOAL>((traceForm K L) x) y ∈ 1
<VAR>A : Type u_1<VAR>K : Type u_2<VAR>L : Type u<VAR>B : Type u_3<VAR>inst✝¹⁸ : CommRing A<VAR>inst✝¹⁷ : Field K<VAR>inst✝¹⁶ : CommRing B<VAR>inst✝¹⁵ : Field L<VAR>inst✝¹⁴ : Algebra A K<VAR>inst✝¹³ : Algebra B L<VAR>inst✝¹² : Algebra A B<VAR>inst✝¹¹ : Algebra K L<VAR>inst✝¹⁰ : Algebra A L<VAR>inst✝⁹ : IsScalarTower A K L<VAR>inst✝⁸ : IsScalarTower A B L<VAR>inst✝⁷ : IsDomain A<VAR>inst✝⁶ : IsFractionRing A K<VAR>inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L<VAR>inst✝⁴ : IsFractionRing B L<VAR>inst✝³ : FiniteDimensional K L<VAR>inst✝² : Algebra.IsSeparable K L<VAR>inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A<VAR>inst✝ : IsDedekindDomain B<VAR>I J : FractionalIdeal B⁰ L<VAR>hI : I ≠ 0<VAR>hJ : J ≠ 0<VAR>hIJ : I * J ≤ 1<VAR>x : L<VAR>hx : x ∈ (fun a => ↑a) J<VAR>y : L<VAR>hy : y ∈ restrictScalars A ↑I<GOAL>IsIntegral A (((traceForm K L) x) y)
<VAR>A : Type u_1<VAR>K : Type u_2<VAR>L : Type u<VAR>B : Type u_3<VAR>inst✝¹⁸ : CommRing A<VAR>inst✝¹⁷ : Field K<VAR>inst✝¹⁶ : CommRing B<VAR>inst✝¹⁵ : Field L<VAR>inst✝¹⁴ : Algebra A K<VAR>inst✝¹³ : Algebra B L<VAR>inst✝¹² : Algebra A B<VAR>inst✝¹¹ : Algebra K L<VAR>inst✝¹⁰ : Algebra A L<VAR>inst✝⁹ : IsScalarTower A K L<VAR>inst✝⁸ : IsScalarTower A B L<VAR>inst✝⁷ : IsDomain A<VAR>inst✝⁶ : IsFractionRing A K<VAR>inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L<VAR>inst✝⁴ : IsFractionRing B L<VAR>inst✝³ : FiniteDimensional K L<VAR>inst✝² : Algebra.IsSeparable K L<VAR>inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A<VAR>inst✝ : IsDedekindDomain B<VAR>I J : FractionalIdeal B⁰ L<VAR>hI : I ≠ 0<VAR>hJ : J ≠ 0<VAR>hIJ : I * J ≤ 1<VAR>x : L<VAR>hx : x ∈ (fun a => ↑a) J<VAR>y : L<VAR>hy : y ∈ restrictScalars A ↑I<GOAL>IsIntegral A (((lmul K L).toLinearMap x) y)
<VAR>A : Type u_1<VAR>K : Type u_2<VAR>L : Type u<VAR>B : Type u_3<VAR>inst✝¹⁸ : CommRing A<VAR>inst✝¹⁷ : Field K<VAR>inst✝¹⁶ : CommRing B<VAR>inst✝¹⁵ : Field L<VAR>inst✝¹⁴ : Algebra A K<VAR>inst✝¹³ : Algebra B L<VAR>inst✝¹² : Algebra A B<VAR>inst✝¹¹ : Algebra K L<VAR>inst✝¹⁰ : Algebra A L<VAR>inst✝⁹ : IsScalarTower A K L<VAR>inst✝⁸ : IsScalarTower A B L<VAR>inst✝⁷ : IsDomain A<VAR>inst✝⁶ : IsFractionRing A K<VAR>inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L<VAR>inst✝⁴ : IsFractionRing B L<VAR>inst✝³ : FiniteDimensional K L<VAR>inst✝² : Algebra.IsSeparable K L<VAR>inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A<VAR>inst✝ : IsDedekindDomain B<VAR>I J : FractionalIdeal B⁰ L<VAR>hI : I ≠ 0<VAR>hJ : J ≠ 0<VAR>hIJ : I * J ≤ 1<VAR>x : L<VAR>hx : x ∈ (fun a => ↑a) J<VAR>y : L<VAR>hy : y ∈ restrictScalars A ↑I<GOAL>∃ y_1, (algebraMap B L) y_1 = ((lmul K L).toLinearMap x) y
<VAR>A : Type u_1<VAR>K : Type u_2<VAR>L : Type u<VAR>B : Type u_3<VAR>inst✝¹⁸ : CommRing A<VAR>inst✝¹⁷ : Field K<VAR>inst✝¹⁶ : CommRing B<VAR>inst✝¹⁵ : Field L<VAR>inst✝¹⁴ : Algebra A K<VAR>inst✝¹³ : Algebra B L<VAR>inst✝¹² : Algebra A B<VAR>inst✝¹¹ : Algebra K L<VAR>inst✝¹⁰ : Algebra A L<VAR>inst✝⁹ : IsScalarTower A K L<VAR>inst✝⁸ : IsScalarTower A B L<VAR>inst✝⁷ : IsDomain A<VAR>inst✝⁶ : IsFractionRing A K<VAR>inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L<VAR>inst✝⁴ : IsFractionRing B L<VAR>inst✝³ : FiniteDimensional K L<VAR>inst✝² : Algebra.IsSeparable K L<VAR>inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A<VAR>inst✝ : IsDedekindDomain B<VAR>I J : FractionalIdeal B⁰ L<VAR>hI : I ≠ 0<VAR>hJ : J ≠ 0<VAR>hIJ : I * J ≤ 1<VAR>x : L<VAR>hx : x ∈ (fun a => ↑a) J<VAR>y : L<VAR>hy : y ∈ restrictScalars A ↑I<VAR>z : B<VAR>left✝ : z ∈ ↑⊤<VAR>hz : (Algebra.linearMap B L) z = y * x<GOAL>∃ y_1, (algebraMap B L) y_1 = ((lmul K L).toLinearMap x) y
<VAR>A : Type u_1<VAR>K : Type u_2<VAR>L : Type u<VAR>B : Type u_3<VAR>inst✝¹⁸ : CommRing A<VAR>inst✝¹⁷ : Field K<VAR>inst✝¹⁶ : CommRing B<VAR>inst✝¹⁵ : Field L<VAR>inst✝¹⁴ : Algebra A K<VAR>inst✝¹³ : Algebra B L<VAR>inst✝¹² : Algebra A B<VAR>inst✝¹¹ : Algebra K L<VAR>inst✝¹⁰ : Algebra A L<VAR>inst✝⁹ : IsScalarTower A K L<VAR>inst✝⁸ : IsScalarTower A B L<VAR>inst✝⁷ : IsDomain A<VAR>inst✝⁶ : IsFractionRing A K<VAR>inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L<VAR>inst✝⁴ : IsFractionRing B L<VAR>inst✝³ : FiniteDimensional K L<VAR>inst✝² : Algebra.IsSeparable K L<VAR>inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A<VAR>inst✝ : IsDedekindDomain B<VAR>I J : FractionalIdeal B⁰ L<VAR>hI : I ≠ 0<VAR>hJ : J ≠ 0<VAR>hIJ : I * J ≤ 1<VAR>x : L<VAR>hx : x ∈ (fun a => ↑a) J<VAR>y : L<VAR>hy : y ∈ restrictScalars A ↑I<VAR>z : B<VAR>left✝ : z ∈ ↑⊤<VAR>hz : (Algebra.linearMap B L) z = x * y<GOAL>∃ y_1, (algebraMap B L) y_1 = ((lmul K L).toLinearMap x) y
<VAR>n m : ℕ<VAR>j : Fin n<VAR>i : Fin (n + 1)<VAR>hi : i ≠ 0<GOAL>i.pred hi < j ↔ i < j.succ
<VAR>m n a b c d : ℕ<VAR>h : b ≤ a<GOAL>↑(a - b) ∣ ↑a - ↑b
<VAR>ι α β : Type u<VAR>c : Cardinal.{u}<VAR>hreg : c.IsRegular<VAR>l : Filter α<VAR>p : α → Prop<GOAL>(∃ᶠ (x : α) in cocardinal α hreg, p x) ↔ c ≤ #↑{x | p x}
<VAR>R : Type u_1<VAR>inst✝⁶ : Semiring R<VAR>p✝ : R[X]<VAR>r : R<VAR>p q : R[X]<VAR>S : Type u_2<VAR>inst✝⁵ : NonAssocSemiring S<VAR>inst✝⁴ : Module R S<VAR>inst✝³ : IsScalarTower R S S<VAR>inst✝² : SMulCommClass R S S<VAR>inst✝¹ : Pow S ℕ<VAR>inst✝ : NatPowAssoc S<VAR>x : S<GOAL>(X * p).smeval x = x * p.smeval x
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>δ : Type u_4<VAR>inst✝³ : CommMonoid α<VAR>inst✝² : TopologicalSpace α<VAR>inst✝¹ : CommMonoid γ<VAR>inst✝ : TopologicalSpace γ<VAR>f : β → α<VAR>g : β → γ<VAR>a : α<VAR>b : γ<VAR>hf : HasProd f a<VAR>hg : HasProd g b<GOAL>HasProd (fun x => (f x, g x)) (a, b)
<VAR>α : Sort u_1<VAR>β : Sort u_2<VAR>r : α → α → Prop<VAR>hr : Symmetric r<GOAL>(∀ (a : α), ∃! b, r a b) ↔ ∃ f, Involutive f ∧ ∀ {a b : α}, r a b ↔ f a = b
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>ι : Sort u_4<VAR>ι' : Sort u_5<VAR>l l' : Filter α<VAR>p : ι → Prop<VAR>s : ι → Set α<VAR>t : Set α<VAR>i : ι<VAR>p' : ι' → Prop<VAR>s' : ι' → Set α<VAR>i' : ι'<VAR>x y : α<GOAL>Disjoint (pure x) (pure y) ↔ x ≠ y
<VAR>R : Type u<VAR>I : Type v<VAR>inst✝ : CommSemiring R<VAR>x y z : R<VAR>s : I → R<VAR>t : Finset I<GOAL>IsCoprime x (∏ i ∈ t, s i) ↔ ∀ i ∈ t, IsCoprime x (s i)
<VAR>F : Type u_1<VAR>α✝ : Type u_2<VAR>β✝ : Type u_3<VAR>γ : Type u_4<VAR>ι✝ : Type u_5<VAR>κ✝ : Type u_6<VAR>inst✝⁵ : SemilatticeSup α✝<VAR>inst✝⁴ : OrderBot α✝<VAR>s✝ s₁ s₂ : Finset β✝<VAR>f✝ g✝ : β✝ → α✝<VAR>a✝ : α✝<VAR>ι : Type u_7<VAR>κ : Type u_8<VAR>α : Type u_9<VAR>β : Type u_10<VAR>inst✝³ : SemilatticeSup α<VAR>inst✝² : SemilatticeSup β<VAR>inst✝¹ : OrderBot α<VAR>inst✝ : OrderBot β<VAR>s : Finset ι<VAR>t : Finset κ<VAR>f : ι → α<VAR>g : κ → β<VAR>i : α × β<VAR>a : ι<VAR>ha : a ∈ s<VAR>b : κ<VAR>hb : b ∈ t<GOAL>(s ×ˢ t).sup (Prod.map f g) ≤ i ↔ (s.sup f, t.sup g) ≤ i
<VAR>F : Type u_1<VAR>α✝ : Type u_2<VAR>β✝ : Type u_3<VAR>γ : Type u_4<VAR>ι✝ : Type u_5<VAR>κ✝ : Type u_6<VAR>inst✝⁵ : SemilatticeSup α✝<VAR>inst✝⁴ : OrderBot α✝<VAR>s✝ s₁ s₂ : Finset β✝<VAR>f✝ g✝ : β✝ → α✝<VAR>a✝ : α✝<VAR>ι : Type u_7<VAR>κ : Type u_8<VAR>α : Type u_9<VAR>β : Type u_10<VAR>inst✝³ : SemilatticeSup α<VAR>inst✝² : SemilatticeSup β<VAR>inst✝¹ : OrderBot α<VAR>inst✝ : OrderBot β<VAR>s : Finset ι<VAR>t : Finset κ<VAR>f : ι → α<VAR>g : κ → β<VAR>i : α × β<VAR>a : ι<VAR>ha : a ∈ s<VAR>b : κ<VAR>hb : b ∈ t<GOAL>(∀ (a : ι) (b : κ), a ∈ s → b ∈ t → f a ≤ i.1 ∧ g b ≤ i.2) ↔ (∀ b ∈ s, f b ≤ i.1) ∧ ∀ b ∈ t, g b ≤ i.2
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type v<VAR>γ : Type u_2<VAR>s t : Multiset α<VAR>a : α<VAR>l : List α<GOAL>Quot.mk Setoid.r l ≤ {a} ↔ Quot.mk Setoid.r l = 0 ∨ Quot.mk Setoid.r l = {a}
<VAR>p a b : ℕ<VAR>hp : Fact (Nat.Prime p)<VAR>dvd : p ^ a ∣ b<GOAL>padicValNat p (b / p ^ a) = padicValNat p b - a
<VAR>s : Finset ℕ<VAR>m : ℕ<VAR>hm : m ∈ factoredNumbers s<GOAL>m.primeFactors ⊆ s
<VAR>s : Finset ℕ<VAR>m : ℕ<VAR>hm : m ≠ 0 ∧ ∀ p ∈ m.primeFactorsList, p ∈ s<GOAL>m.primeFactors ⊆ s
<VAR>α : Type u_1<VAR>s✝ t : Finset α<VAR>inst✝ : DecidableEq α<VAR>s : Finset α<VAR>h : s.Nonempty<GOAL>∅ ∈ s.ssubsets
<VAR>α : Type u_1<VAR>s✝ t : Finset α<VAR>inst✝ : DecidableEq α<VAR>s : Finset α<VAR>h : s.Nonempty<GOAL>∅ ⊆ s ∧ ∅ ≠ s
<VAR>α : Type u<VAR>β : Type v<VAR>X : Type u_1<VAR>ι : Type u_2<VAR>inst✝ : PseudoMetricSpace α<VAR>x : α<VAR>s t : Set α<VAR>r : ℝ<VAR>f : ℕ → α<VAR>hf : CauchySeq f<GOAL>Cauchy (map f Filter.cofinite)
<VAR>n' : Type u_1<VAR>inst✝⁴ : DecidableEq n'<VAR>inst✝³ : Fintype n'<VAR>R : Type u_2<VAR>inst✝² : CommRing R<VAR>inst✝¹ : Nonempty n'<VAR>inst✝ : Nontrivial R<VAR>A : M<VAR>ha : IsUnit A.det<VAR>z : ℤ<GOAL>A ^ z ≠ 0
<VAR>n' : Type u_1<VAR>inst✝⁴ : DecidableEq n'<VAR>inst✝³ : Fintype n'<VAR>R : Type u_2<VAR>inst✝² : CommRing R<VAR>inst✝¹ : Nonempty n'<VAR>inst✝ : Nontrivial R<VAR>A : M<VAR>ha : IsUnit A.det<VAR>z : ℤ<VAR>this : IsUnit (A ^ z).det<GOAL>A ^ z ≠ 0
<VAR>n' : Type u_1<VAR>inst✝⁴ : DecidableEq n'<VAR>inst✝³ : Fintype n'<VAR>R : Type u_2<VAR>inst✝² : CommRing R<VAR>inst✝¹ : Nonempty n'<VAR>inst✝ : Nontrivial R<VAR>A : M<VAR>ha : IsUnit A.det<VAR>z : ℤ<VAR>this : A ^ z = 0<GOAL>¬IsUnit (A ^ z).det
<VAR>n' : Type u_1<VAR>inst✝⁴ : DecidableEq n'<VAR>inst✝³ : Fintype n'<VAR>R : Type u_2<VAR>inst✝² : CommRing R<VAR>inst✝¹ : Nonempty n'<VAR>inst✝ : Nontrivial R<VAR>A : M<VAR>ha : IsUnit A.det<VAR>z : ℤ<VAR>this : A ^ z = 0<GOAL>¬IsUnit 0
<VAR>C : Type u₁<VAR>inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C<VAR>inst✝³ : MonoidalCategory C<VAR>A B : Mon_ C<VAR>M : Bimod A B<VAR>inst✝² : HasCoequalizers C<VAR>inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)<VAR>inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)<VAR>R S T U : Mon_ C<VAR>P : Bimod R S<VAR>Q : Bimod S T<VAR>L : Bimod T U<GOAL>coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ⋯ = 𝟙 (TensorBimod.X (P.tensorBimod Q) L)
<VAR>C : Type u₁<VAR>inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C<VAR>inst✝³ : MonoidalCategory C<VAR>A B : Mon_ C<VAR>M : Bimod A B<VAR>inst✝² : HasCoequalizers C<VAR>inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)<VAR>inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)<VAR>R S T U : Mon_ C<VAR>P : Bimod R S<VAR>Q : Bimod S T<VAR>L : Bimod T U<GOAL>coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ⋯ = coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X (P.tensorBimod Q) L)
<VAR>C : Type u₁<VAR>inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C<VAR>inst✝³ : MonoidalCategory C<VAR>A B : Mon_ C<VAR>M : Bimod A B<VAR>inst✝² : HasCoequalizers C<VAR>inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)<VAR>inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)<VAR>R S T U : Mon_ C<VAR>P : Bimod R S<VAR>Q : Bimod S T<VAR>L : Bimod T U<GOAL>((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ⋯ = coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X (P.tensorBimod Q) L)
<VAR>C : Type u₁<VAR>inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C<VAR>inst✝³ : MonoidalCategory C<VAR>A B : Mon_ C<VAR>M : Bimod A B<VAR>inst✝² : HasCoequalizers C<VAR>inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)<VAR>inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)<VAR>R S T U : Mon_ C<VAR>P : Bimod R S<VAR>Q : Bimod S T<VAR>L : Bimod T U<GOAL>(tensorRight L.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ⋯ = (tensorRight L.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X (P.tensorBimod Q) L)
<VAR>C : Type u₁<VAR>inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C<VAR>inst✝³ : MonoidalCategory C<VAR>A B : Mon_ C<VAR>M : Bimod A B<VAR>inst✝² : HasCoequalizers C<VAR>inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)<VAR>inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)<VAR>R S T U : Mon_ C<VAR>P : Bimod R S<VAR>Q : Bimod S T<VAR>L : Bimod T U<GOAL>coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ⋯ = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X (P.tensorBimod Q) L)
<VAR>C : Type u₁<VAR>inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C<VAR>inst✝³ : MonoidalCategory C<VAR>A B : Mon_ C<VAR>M : Bimod A B<VAR>inst✝² : HasCoequalizers C<VAR>inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)<VAR>inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)<VAR>R S T U : Mon_ C<VAR>P : Bimod R S<VAR>Q : Bimod S T<VAR>L : Bimod T U<GOAL>((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ⋯ = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X (P.tensorBimod Q) L)
<VAR>C : Type u₁<VAR>inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C<VAR>inst✝³ : MonoidalCategory C<VAR>A B : Mon_ C<VAR>M : Bimod A B<VAR>inst✝² : HasCoequalizers C<VAR>inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)<VAR>inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)<VAR>R S T U : Mon_ C<VAR>P : Bimod R S<VAR>Q : Bimod S T<VAR>L : Bimod T U<GOAL>(α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯ = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X (P.tensorBimod Q) L)
<VAR>C : Type u₁<VAR>inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C<VAR>inst✝³ : MonoidalCategory C<VAR>A B : Mon_ C<VAR>M : Bimod A B<VAR>inst✝² : HasCoequalizers C<VAR>inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)<VAR>inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)<VAR>R S T U : Mon_ C<VAR>P : Bimod R S<VAR>Q : Bimod S T<VAR>L : Bimod T U<GOAL>(α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ (α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X (P.tensorBimod Q) L)
<VAR>C : Type u₁<VAR>inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C<VAR>inst✝³ : MonoidalCategory C<VAR>A B : Mon_ C<VAR>M : Bimod A B<VAR>inst✝² : HasCoequalizers C<VAR>inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)<VAR>inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)<VAR>R S T U : Mon_ C<VAR>P : Bimod R S<VAR>Q : Bimod S T<VAR>L : Bimod T U<GOAL>coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X (P.tensorBimod Q) L)
<VAR>C : Type u₁<VAR>inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C<VAR>inst✝³ : MonoidalCategory C<VAR>A B : Mon_ C<VAR>M : Bimod A B<VAR>inst✝² : HasCoequalizers C<VAR>inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)<VAR>inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)<VAR>R S T U : Mon_ C<VAR>P : Bimod R S<VAR>Q : Bimod S T<VAR>L : Bimod T U<GOAL>coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X L.X).hom ≫ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ◁ L.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft))
<VAR>C : Type u₁<VAR>inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C<VAR>inst✝³ : MonoidalCategory C<VAR>A B : Mon_ C<VAR>M : Bimod A B<VAR>inst✝² : HasCoequalizers C<VAR>inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)<VAR>inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)<VAR>R S T U : Mon_ C<VAR>P : Bimod R S<VAR>Q : Bimod S T<VAR>L : Bimod T U<GOAL>coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X L.X).hom ≫ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ◁ L.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft)
<VAR>K : Type u_1<VAR>L : Type u_2<VAR>inst✝⁷ : Field K<VAR>inst✝⁶ : CharZero K<VAR>inst✝⁵ : LieRing L<VAR>inst✝⁴ : LieAlgebra K L<VAR>inst✝³ : IsKilling K L<VAR>inst✝² : FiniteDimensional K L<VAR>H : LieSubalgebra K L<VAR>inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra<VAR>inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L<VAR>α β : Weight K (↥H) L<VAR>hα : α.IsNonZero<VAR>n : ℤ<VAR>hn : rootSpace H (-n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥<GOAL>n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
<VAR>K : Type u_1<VAR>L : Type u_2<VAR>inst✝⁷ : Field K<VAR>inst✝⁶ : CharZero K<VAR>inst✝⁵ : LieRing L<VAR>inst✝⁴ : LieAlgebra K L<VAR>inst✝³ : IsKilling K L<VAR>inst✝² : FiniteDimensional K L<VAR>H : LieSubalgebra K L<VAR>inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra<VAR>inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L<VAR>α β : Weight K (↥H) L<VAR>hα : α.IsNonZero<VAR>n : ℤ<VAR>hn : ↑(chainBotCoeff (⇑α) β) < n<GOAL>rootSpace H (-n • ⇑α + ⇑β) = ⊥