ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>D : Type uD<VAR>inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D<VAR>inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D<VAR>E : Type uE<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>F : Type uF<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>G : Type uG<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup G<VAR>inst✝² : NormedSpace 𝕜 G<VAR>inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜<VAR>n : ℕ∞<VAR>f : E → F →L[𝕜] G<VAR>s : Set E<VAR>inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F<VAR>h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s<GOAL>ContDiffOn 𝕜 n f s
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>D : Type uD<VAR>inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D<VAR>inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D<VAR>E : Type uE<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>F : Type uF<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>G : Type uG<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup G<VAR>inst✝² : NormedSpace 𝕜 G<VAR>inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜<VAR>n : ℕ∞<VAR>f : E → F →L[𝕜] G<VAR>s : Set E<VAR>inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F<VAR>h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s<VAR>d : ℕ := finrank 𝕜 F<GOAL>ContDiffOn 𝕜 n f s
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>D : Type uD<VAR>inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D<VAR>inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D<VAR>E : Type uE<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>F : Type uF<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>G : Type uG<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup G<VAR>inst✝² : NormedSpace 𝕜 G<VAR>inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜<VAR>n : ℕ∞<VAR>f : E → F →L[𝕜] G<VAR>s : Set E<VAR>inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F<VAR>h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s<VAR>d : ℕ := finrank 𝕜 F<VAR>hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)<GOAL>ContDiffOn 𝕜 n f s
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>D : Type uD<VAR>inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D<VAR>inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D<VAR>E : Type uE<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>F : Type uF<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>G : Type uG<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup G<VAR>inst✝² : NormedSpace 𝕜 G<VAR>inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜<VAR>n : ℕ∞<VAR>f : E → F →L[𝕜] G<VAR>s : Set E<VAR>inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F<VAR>h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s<VAR>d : ℕ := finrank 𝕜 F<VAR>hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)<VAR>e₁ : F ≃L[𝕜] Fin d → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq hd<VAR>e₂ : (F →L[𝕜] G) ≃L[𝕜] Fin d → G := (e₁.arrowCongr 1).trans (ContinuousLinearEquiv.piRing (Fin d))<GOAL>ContDiffOn 𝕜 n f s
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>D : Type uD<VAR>inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D<VAR>inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D<VAR>E : Type uE<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>F : Type uF<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>G : Type uG<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup G<VAR>inst✝² : NormedSpace 𝕜 G<VAR>inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜<VAR>n : ℕ∞<VAR>f : E → F →L[𝕜] G<VAR>s : Set E<VAR>inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F<VAR>h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s<VAR>d : ℕ := finrank 𝕜 F<VAR>hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)<VAR>e₁ : F ≃L[𝕜] Fin d → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq hd<VAR>e₂ : (F →L[𝕜] G) ≃L[𝕜] Fin d → G := (e₁.arrowCongr 1).trans (ContinuousLinearEquiv.piRing (Fin d))<GOAL>ContDiffOn 𝕜 n ((⇑e₂.symm ∘ ⇑e₂) ∘ f) s
<VAR>ι : Type u_1<VAR>ι' : Type u_2<VAR>R : Type u_3<VAR>K : Type u_4<VAR>A : Type u_5<VAR>A' : Type u_6<VAR>A'' : Type u_7<VAR>V : Type u<VAR>V' : Type u_8<VAR>x : ι → A<VAR>inst✝⁶ : CommRing R<VAR>inst✝⁵ : CommRing A<VAR>inst✝⁴ : CommRing A'<VAR>inst✝³ : CommRing A''<VAR>inst✝² : Algebra R A<VAR>inst✝¹ : Algebra R A'<VAR>inst✝ : Algebra R A''<VAR>a b : R<VAR>h : Injective ⇑(algebraMap R A)<GOAL>∃ s, IsTranscendenceBasis R Subtype.val
<VAR>ι : Type u_1<VAR>ι' : Type u_2<VAR>R : Type u_3<VAR>K : Type u_4<VAR>A : Type u_5<VAR>A' : Type u_6<VAR>A'' : Type u_7<VAR>V : Type u<VAR>V' : Type u_8<VAR>x : ι → A<VAR>inst✝⁶ : CommRing R<VAR>inst✝⁵ : CommRing A<VAR>inst✝⁴ : CommRing A'<VAR>inst✝³ : CommRing A''<VAR>inst✝² : Algebra R A<VAR>inst✝¹ : Algebra R A'<VAR>inst✝ : Algebra R A''<VAR>a b : R<VAR>h : Injective ⇑(algebraMap R A)<VAR>s : Set A<VAR>hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ ∅ ⊆ s ∧ s ⊆ univ ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → s ⊆ x → x ⊆ univ → x = s<GOAL>∃ s, IsTranscendenceBasis R Subtype.val
<VAR>ι : Type u_1<VAR>ι' : Type u_2<VAR>R : Type u_3<VAR>K : Type u_4<VAR>A : Type u_5<VAR>A' : Type u_6<VAR>A'' : Type u_7<VAR>V : Type u<VAR>V' : Type u_8<VAR>x : ι → A<VAR>inst✝⁶ : CommRing R<VAR>inst✝⁵ : CommRing A<VAR>inst✝⁴ : CommRing A'<VAR>inst✝³ : CommRing A''<VAR>inst✝² : Algebra R A<VAR>inst✝¹ : Algebra R A'<VAR>inst✝ : Algebra R A''<VAR>a b : R<VAR>h : Injective ⇑(algebraMap R A)<VAR>s : Set A<VAR>hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ ∅ ⊆ s ∧ s ⊆ univ ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → s ⊆ x → x ⊆ univ → x = s<GOAL>∀ (s_1 : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → range Subtype.val ≤ s_1 → range Subtype.val = s_1
<VAR>ι : Type u_1<VAR>ι' : Type u_2<VAR>R : Type u_3<VAR>K : Type u_4<VAR>A : Type u_5<VAR>A' : Type u_6<VAR>A'' : Type u_7<VAR>V : Type u<VAR>V' : Type u_8<VAR>x : ι → A<VAR>inst✝⁶ : CommRing R<VAR>inst✝⁵ : CommRing A<VAR>inst✝⁴ : CommRing A'<VAR>inst✝³ : CommRing A''<VAR>inst✝² : Algebra R A<VAR>inst✝¹ : Algebra R A'<VAR>inst✝ : Algebra R A''<VAR>a b : R<VAR>h : Injective ⇑(algebraMap R A)<VAR>s : Set A<VAR>hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ ∅ ⊆ s ∧ s ⊆ univ ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → s ⊆ x → x ⊆ univ → x = s<VAR>t : Set A<VAR>ht : AlgebraicIndependent R Subtype.val<VAR>hr : range Subtype.val ≤ t<GOAL>range Subtype.val = t
<VAR>ι : Type u_1<VAR>ι' : Type u_2<VAR>R : Type u_3<VAR>K : Type u_4<VAR>A : Type u_5<VAR>A' : Type u_6<VAR>A'' : Type u_7<VAR>V : Type u<VAR>V' : Type u_8<VAR>x : ι → A<VAR>inst✝⁶ : CommRing R<VAR>inst✝⁵ : CommRing A<VAR>inst✝⁴ : CommRing A'<VAR>inst✝³ : CommRing A''<VAR>inst✝² : Algebra R A<VAR>inst✝¹ : Algebra R A'<VAR>inst✝ : Algebra R A''<VAR>a b : R<VAR>h : Injective ⇑(algebraMap R A)<VAR>s : Set A<VAR>hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ ∅ ⊆ s ∧ s ⊆ univ ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → s ⊆ x → x ⊆ univ → x = s<VAR>t : Set A<VAR>ht : AlgebraicIndependent R Subtype.val<VAR>hr : s ≤ t<GOAL>s = t
<VAR>R : Type u<VAR>S₁ : Type v<VAR>S₂ : Type w<VAR>S₃ : Type x<VAR>σ : Type u_1<VAR>a a' a₁ a₂ : R<VAR>e : ℕ<VAR>n m : σ<VAR>s : σ →₀ ℕ<VAR>inst✝² : CommSemiring R<VAR>inst✝¹ : CommSemiring S₁<VAR>p✝ q : MvPolynomial σ R<VAR>f✝ : R →+* S₁<VAR>g✝ : σ → S₁<VAR>inst✝ : CommSemiring S₂<VAR>f : R →+* S₁<VAR>g : σ → S₁<VAR>φ : S₁ →+* S₂<VAR>p : MvPolynomial σ R<GOAL>φ ((eval₂Hom f g) p) = (eval₂Hom (φ.comp f) fun i => φ (g i)) p
<VAR>R : Type u<VAR>S₁ : Type v<VAR>S₂ : Type w<VAR>S₃ : Type x<VAR>σ : Type u_1<VAR>a a' a₁ a₂ : R<VAR>e : ℕ<VAR>n m : σ<VAR>s : σ →₀ ℕ<VAR>inst✝² : CommSemiring R<VAR>inst✝¹ : CommSemiring S₁<VAR>p✝ q : MvPolynomial σ R<VAR>f✝ : R →+* S₁<VAR>g✝ : σ → S₁<VAR>inst✝ : CommSemiring S₂<VAR>f : R →+* S₁<VAR>g : σ → S₁<VAR>φ : S₁ →+* S₂<VAR>p : MvPolynomial σ R<GOAL>φ ((eval₂Hom f g) p) = (φ.comp (eval₂Hom f g)) p
<VAR>R : Type u_1<VAR>S : Type u_2<VAR>T : Type u_3<VAR>inst✝⁸ : CommRing R<VAR>inst✝⁷ : CommRing S<VAR>inst✝⁶ : CommRing T<VAR>inst✝⁵ : Algebra R S<VAR>inst✝⁴ : Algebra R T<VAR>K : Type u_4<VAR>L : Type u_5<VAR>inst✝³ : Field K<VAR>inst✝² : Field L<VAR>inst✝¹ : Algebra K L<VAR>ι κ : Type w<VAR>inst✝ : Fintype ι<VAR>h : PowerBasis R S<VAR>i✝ j✝ : Fin h.dim<GOAL>(BilinForm.toMatrix h.basis) (traceForm R S) i✝ j✝ = of (fun i j => (trace R S) (h.gen ^ (↑i + ↑j))) i✝ j✝
<VAR>𝕜 : Type u<VAR>inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>F : Type v<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝² : NormedSpace 𝕜 F<VAR>E : Type w<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>f f₀ f₁ g : 𝕜 → F<VAR>f' f₀' f₁' g' : F<VAR>x : 𝕜<VAR>s t : Set 𝕜<VAR>L : Filter 𝕜<VAR>hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x<VAR>c : F<GOAL>derivWithin (fun y => c + f y) s x = derivWithin f s x
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹ : Fintype α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>T : ℕ → ℝ<VAR>g : ℝ → ℝ<VAR>a b : α → ℝ<VAR>r : α → ℕ → ℕ<VAR>R : AkraBazziRecurrence T g a b r<VAR>x : ℝ<VAR>hx : 1 < x<GOAL>DifferentiableAt ℝ ε x
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹ : Fintype α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>T : ℕ → ℝ<VAR>g : ℝ → ℝ<VAR>a b : α → ℝ<VAR>r : α → ℕ → ℕ<VAR>R : AkraBazziRecurrence T g a b r<VAR>x : ℝ<VAR>hx : 1 < x<VAR>this : log x ≠ 0<GOAL>DifferentiableAt ℝ ε x
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹ : Fintype α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>T : ℕ → ℝ<VAR>g : ℝ → ℝ<VAR>a b : α → ℝ<VAR>r : α → ℕ → ℕ<VAR>R : AkraBazziRecurrence T g a b r<VAR>x : ℝ<VAR>hx : 1 < x<VAR>this : log x ≠ 0<GOAL>DifferentiableAt ℝ (fun z => 1 / log z) x
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹ : Fintype α<VAR>inst✝ : Nonempty α<VAR>T : ℕ → ℝ<VAR>g : ℝ → ℝ<VAR>a b : α → ℝ<VAR>r : α → ℕ → ℕ<VAR>R : AkraBazziRecurrence T g a b r<VAR>x : ℝ<VAR>hx : 1 < x<VAR>this : log x ≠ 0<GOAL>DifferentiableAt ℝ (fun z => (log z)⁻¹) x
<VAR>α : Type u_1<VAR>r : α → α → Prop<VAR>f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}<VAR>c : Cardinal.{u}<VAR>hc : c.IsRegular<VAR>hc' : c ≠ ℵ₀<VAR>hf : ∀ i < c.ord, f i < c.ord<VAR>a : Ordinal.{u}<GOAL>lift.{u, 0} #Unit < c
<VAR>R : Type u<VAR>M : Type v<VAR>inst✝⁴ : Ring R<VAR>inst✝³ : AddCommGroup M<VAR>inst✝² : Module R M<VAR>ι✝ : Type w<VAR>ι' : Type w'<VAR>inst✝¹ : StrongRankCondition R<VAR>ι : Type u_1<VAR>v : ι → M<VAR>i : LinearIndependent R v<VAR>w : Set M<VAR>inst✝ : Fintype ↑w<VAR>s : range v ≤ ↑(span R w)<GOAL>#ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
<VAR>R : Type u<VAR>M : Type v<VAR>inst✝⁴ : Ring R<VAR>inst✝³ : AddCommGroup M<VAR>inst✝² : Module R M<VAR>ι✝ : Type w<VAR>ι' : Type w'<VAR>inst✝¹ : StrongRankCondition R<VAR>ι : Type u_1<VAR>v : ι → M<VAR>i : LinearIndependent R v<VAR>w : Set M<VAR>inst✝ : Fintype ↑w<VAR>s : range v ≤ ↑(span R w)<VAR>this : Finite ι<GOAL>#ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
<VAR>R : Type u<VAR>M : Type v<VAR>inst✝⁴ : Ring R<VAR>inst✝³ : AddCommGroup M<VAR>inst✝² : Module R M<VAR>ι✝ : Type w<VAR>ι' : Type w'<VAR>inst✝¹ : StrongRankCondition R<VAR>ι : Type u_1<VAR>v : ι → M<VAR>i : LinearIndependent R v<VAR>w : Set M<VAR>inst✝ : Fintype ↑w<VAR>s : range v ≤ ↑(span R w)<VAR>this✝ : Finite ι<VAR>this : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι<GOAL>#ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
<VAR>R : Type u<VAR>M : Type v<VAR>inst✝⁴ : Ring R<VAR>inst✝³ : AddCommGroup M<VAR>inst✝² : Module R M<VAR>ι✝ : Type w<VAR>ι' : Type w'<VAR>inst✝¹ : StrongRankCondition R<VAR>ι : Type u_1<VAR>v : ι → M<VAR>i : LinearIndependent R v<VAR>w : Set M<VAR>inst✝ : Fintype ↑w<VAR>s : range v ≤ ↑(span R w)<VAR>this✝ : Finite ι<VAR>this : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι<GOAL>↑(Fintype.card ι) ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
<VAR>R : Type u<VAR>M : Type v<VAR>inst✝⁴ : Ring R<VAR>inst✝³ : AddCommGroup M<VAR>inst✝² : Module R M<VAR>ι✝ : Type w<VAR>ι' : Type w'<VAR>inst✝¹ : StrongRankCondition R<VAR>ι : Type u_1<VAR>v : ι → M<VAR>i : LinearIndependent R v<VAR>w : Set M<VAR>inst✝ : Fintype ↑w<VAR>s : range v ≤ ↑(span R w)<VAR>this✝ : Finite ι<VAR>this : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι<GOAL>Fintype.card ι ≤ Fintype.card ↑w
<VAR>𝕜 : Type u<VAR>inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>E : Type v<VAR>inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>F : Type w<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>F' : Type x<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup F'<VAR>inst✝⁴ : Module 𝕜 F'<VAR>inst✝³ : TopologicalSpace F'<VAR>inst✝² : TopologicalAddGroup F'<VAR>inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'<VAR>inst✝ : CompleteSpace 𝕜<VAR>r : ℝ<VAR>rpos : 0 < r<VAR>h : IsCompact (closedBall 0 r)<GOAL>FiniteDimensional 𝕜 E
<VAR>𝕜 : Type u<VAR>inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>E : Type v<VAR>inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>F : Type w<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>F' : Type x<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup F'<VAR>inst✝⁴ : Module 𝕜 F'<VAR>inst✝³ : TopologicalSpace F'<VAR>inst✝² : TopologicalAddGroup F'<VAR>inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'<VAR>inst✝ : CompleteSpace 𝕜<VAR>r : ℝ<VAR>rpos : 0 < r<VAR>h : IsCompact (closedBall 0 r)<VAR>hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E<GOAL>False
<VAR>𝕜 : Type u<VAR>inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>E : Type v<VAR>inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>F : Type w<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>F' : Type x<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup F'<VAR>inst✝⁴ : Module 𝕜 F'<VAR>inst✝³ : TopologicalSpace F'<VAR>inst✝² : TopologicalAddGroup F'<VAR>inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'<VAR>inst✝ : CompleteSpace 𝕜<VAR>r : ℝ<VAR>rpos : 0 < r<VAR>h : IsCompact (closedBall 0 r)<VAR>hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E<VAR>R : ℝ<VAR>f : ℕ → E<VAR>Rgt : 1 < R<VAR>fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R<VAR>lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖<GOAL>False
<VAR>𝕜 : Type u<VAR>inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>E : Type v<VAR>inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>F : Type w<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>F' : Type x<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup F'<VAR>inst✝⁴ : Module 𝕜 F'<VAR>inst✝³ : TopologicalSpace F'<VAR>inst✝² : TopologicalAddGroup F'<VAR>inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'<VAR>inst✝ : CompleteSpace 𝕜<VAR>r : ℝ<VAR>rpos : 0 < r<VAR>h : IsCompact (closedBall 0 r)<VAR>hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E<VAR>R : ℝ<VAR>f : ℕ → E<VAR>Rgt : 1 < R<VAR>fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R<VAR>lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖<VAR>rRpos : 0 < r / R<GOAL>False
<VAR>𝕜 : Type u<VAR>inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>E : Type v<VAR>inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>F : Type w<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>F' : Type x<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup F'<VAR>inst✝⁴ : Module 𝕜 F'<VAR>inst✝³ : TopologicalSpace F'<VAR>inst✝² : TopologicalAddGroup F'<VAR>inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'<VAR>inst✝ : CompleteSpace 𝕜<VAR>r : ℝ<VAR>rpos : 0 < r<VAR>h : IsCompact (closedBall 0 r)<VAR>hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E<VAR>R : ℝ<VAR>f : ℕ → E<VAR>Rgt : 1 < R<VAR>fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R<VAR>lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖<VAR>rRpos : 0 < r / R<VAR>c : 𝕜<VAR>hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R<GOAL>False
<VAR>𝕜 : Type u<VAR>inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>E : Type v<VAR>inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>F : Type w<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>F' : Type x<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup F'<VAR>inst✝⁴ : Module 𝕜 F'<VAR>inst✝³ : TopologicalSpace F'<VAR>inst✝² : TopologicalAddGroup F'<VAR>inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'<VAR>inst✝ : CompleteSpace 𝕜<VAR>r : ℝ<VAR>rpos : 0 < r<VAR>h : IsCompact (closedBall 0 r)<VAR>hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E<VAR>R : ℝ<VAR>f : ℕ → E<VAR>Rgt : 1 < R<VAR>fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R<VAR>lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖<VAR>rRpos : 0 < r / R<VAR>c : 𝕜<VAR>hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R<VAR>g : ℕ → E := fun n => c • f n<VAR>A : ∀ (n : ℕ), g n ∈ closedBall 0 r<GOAL>False
<VAR>𝕜 : Type u<VAR>inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>E : Type v<VAR>inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>F : Type w<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>F' : Type x<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup F'<VAR>inst✝⁴ : Module 𝕜 F'<VAR>inst✝³ : TopologicalSpace F'<VAR>inst✝² : TopologicalAddGroup F'<VAR>inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'<VAR>inst✝ : CompleteSpace 𝕜<VAR>r : ℝ<VAR>rpos : 0 < r<VAR>h : IsCompact (closedBall 0 r)<VAR>hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E<VAR>R : ℝ<VAR>f : ℕ → E<VAR>Rgt : 1 < R<VAR>fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R<VAR>lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖<VAR>rRpos : 0 < r / R<VAR>c : 𝕜<VAR>hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R<VAR>g : ℕ → E := fun n => c • f n<VAR>A : ∀ (n : ℕ), g n ∈ closedBall 0 r<VAR>x : E<VAR>left✝ : x ∈ closedBall 0 r<VAR>φ : ℕ → ℕ<VAR>φmono : StrictMono φ<VAR>φlim : Tendsto (g ∘ φ) atTop (𝓝 x)<GOAL>False
<VAR>𝕜 : Type u<VAR>inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>E : Type v<VAR>inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>F : Type w<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>F' : Type x<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup F'<VAR>inst✝⁴ : Module 𝕜 F'<VAR>inst✝³ : TopologicalSpace F'<VAR>inst✝² : TopologicalAddGroup F'<VAR>inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'<VAR>inst✝ : CompleteSpace 𝕜<VAR>r : ℝ<VAR>rpos : 0 < r<VAR>h : IsCompact (closedBall 0 r)<VAR>hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E<VAR>R : ℝ<VAR>f : ℕ → E<VAR>Rgt : 1 < R<VAR>fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R<VAR>lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖<VAR>rRpos : 0 < r / R<VAR>c : 𝕜<VAR>hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R<VAR>g : ℕ → E := fun n => c • f n<VAR>A : ∀ (n : ℕ), g n ∈ closedBall 0 r<VAR>x : E<VAR>left✝ : x ∈ closedBall 0 r<VAR>φ : ℕ → ℕ<VAR>φmono : StrictMono φ<VAR>φlim : Tendsto (g ∘ φ) atTop (𝓝 x)<VAR>B : CauchySeq (g ∘ φ)<GOAL>False
<VAR>𝕜 : Type u<VAR>inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>E : Type v<VAR>inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>F : Type w<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>F' : Type x<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup F'<VAR>inst✝⁴ : Module 𝕜 F'<VAR>inst✝³ : TopologicalSpace F'<VAR>inst✝² : TopologicalAddGroup F'<VAR>inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'<VAR>inst✝ : CompleteSpace 𝕜<VAR>r : ℝ<VAR>rpos : 0 < r<VAR>h : IsCompact (closedBall 0 r)<VAR>hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E<VAR>R : ℝ<VAR>f : ℕ → E<VAR>Rgt : 1 < R<VAR>fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R<VAR>lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖<VAR>rRpos : 0 < r / R<VAR>c : 𝕜<VAR>hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R<VAR>g : ℕ → E := fun n => c • f n<VAR>A : ∀ (n : ℕ), g n ∈ closedBall 0 r<VAR>x : E<VAR>left✝ : x ∈ closedBall 0 r<VAR>φ : ℕ → ℕ<VAR>φmono : StrictMono φ<VAR>φlim : Tendsto (g ∘ φ) atTop (𝓝 x)<VAR>B : CauchySeq (g ∘ φ)<VAR>N : ℕ<VAR>hN : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → dist ((g ∘ φ) n) ((g ∘ φ) N) < ‖c‖<GOAL>False
<VAR>𝕜 : Type u<VAR>inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>E : Type v<VAR>inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>F : Type w<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>F' : Type x<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup F'<VAR>inst✝⁴ : Module 𝕜 F'<VAR>inst✝³ : TopologicalSpace F'<VAR>inst✝² : TopologicalAddGroup F'<VAR>inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'<VAR>inst✝ : CompleteSpace 𝕜<VAR>r : ℝ<VAR>rpos : 0 < r<VAR>h : IsCompact (closedBall 0 r)<VAR>hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E<VAR>R : ℝ<VAR>f : ℕ → E<VAR>Rgt : 1 < R<VAR>fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R<VAR>lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖<VAR>rRpos : 0 < r / R<VAR>c : 𝕜<VAR>hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R<VAR>g : ℕ → E := fun n => c • f n<VAR>A : ∀ (n : ℕ), g n ∈ closedBall 0 r<VAR>x : E<VAR>left✝ : x ∈ closedBall 0 r<VAR>φ : ℕ → ℕ<VAR>φmono : StrictMono φ<VAR>φlim : Tendsto (g ∘ φ) atTop (𝓝 x)<VAR>B : CauchySeq (g ∘ φ)<VAR>N : ℕ<VAR>hN : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → dist ((g ∘ φ) n) ((g ∘ φ) N) < ‖c‖<GOAL>‖c‖ < ‖c‖
<VAR>d : ℤ<VAR>h₀ : 0 < d<VAR>hd : ¬IsSquare d<VAR>ξ : ℝ := √↑d<GOAL>∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
<VAR>d : ℤ<VAR>h₀ : 0 < d<VAR>hd : ¬IsSquare d<VAR>ξ : ℝ := √↑d<VAR>hξ : Irrational ξ<GOAL>∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
<VAR>d : ℤ<VAR>h₀ : 0 < d<VAR>hd : ¬IsSquare d<VAR>ξ : ℝ := √↑d<VAR>hξ : Irrational ξ<VAR>M : ℤ<VAR>hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M<GOAL>∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
<VAR>d : ℤ<VAR>h₀ : 0 < d<VAR>hd : ¬IsSquare d<VAR>ξ : ℝ := √↑d<VAR>hξ : Irrational ξ<VAR>M : ℤ<VAR>hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M<VAR>hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite<GOAL>∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
<VAR>d : ℤ<VAR>h₀ : 0 < d<VAR>hd : ¬IsSquare d<VAR>ξ : ℝ := √↑d<VAR>hξ : Irrational ξ<VAR>M : ℤ<VAR>hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M<VAR>hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite<VAR>m : ℤ<VAR>hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite<GOAL>∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
<VAR>d : ℤ<VAR>h₀ : 0 < d<VAR>hd : ¬IsSquare d<VAR>ξ : ℝ := √↑d<VAR>hξ : Irrational ξ<VAR>M : ℤ<VAR>hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M<VAR>hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite<VAR>m : ℤ<VAR>hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite<VAR>hm₀ : m ≠ 0<GOAL>∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
<VAR>d : ℤ<VAR>h₀ : 0 < d<VAR>hd : ¬IsSquare d<VAR>ξ : ℝ := √↑d<VAR>hξ : Irrational ξ<VAR>M : ℤ<VAR>hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M<VAR>hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite<VAR>m : ℤ<VAR>hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite<VAR>hm₀ : m ≠ 0<VAR>this : NeZero m.natAbs<GOAL>∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
<VAR>d : ℤ<VAR>h₀ : 0 < d<VAR>hd : ¬IsSquare d<VAR>ξ : ℝ := √↑d<VAR>hξ : Irrational ξ<VAR>M : ℤ<VAR>hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M<VAR>hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite<VAR>m : ℤ<VAR>hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite<VAR>hm₀ : m ≠ 0<VAR>this : NeZero m.natAbs<VAR>f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun q => (↑q.num, ↑q.den)<GOAL>∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
<VAR>d : ℤ<VAR>h₀ : 0 < d<VAR>hd : ¬IsSquare d<VAR>ξ : ℝ := √↑d<VAR>hξ : Irrational ξ<VAR>M : ℤ<VAR>hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M<VAR>hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite<VAR>m : ℤ<VAR>hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite<VAR>hm₀ : m ≠ 0<VAR>this : NeZero m.natAbs<VAR>f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun q => (↑q.num, ↑q.den)<VAR>q₁ : ℚ<VAR>h₁ : q₁.num ^ 2 - d * ↑q₁.den ^ 2 = m<VAR>q₂ : ℚ<VAR>h₂ : q₂.num ^ 2 - d * ↑q₂.den ^ 2 = m<VAR>hne : q₁ ≠ q₂<VAR>hqf : f q₁ = f q₂<GOAL>∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
<VAR>d : ℤ<VAR>h₀ : 0 < d<VAR>hd : ¬IsSquare d<VAR>ξ : ℝ := √↑d<VAR>hξ : Irrational ξ<VAR>M : ℤ<VAR>hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M<VAR>hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite<VAR>m : ℤ<VAR>hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite<VAR>hm₀ : m ≠ 0<VAR>this : NeZero m.natAbs<VAR>f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun q => (↑q.num, ↑q.den)<VAR>q₁ : ℚ<VAR>h₁ : q₁.num ^ 2 - d * ↑q₁.den ^ 2 = m<VAR>q₂ : ℚ<VAR>h₂ : q₂.num ^ 2 - d * ↑q₂.den ^ 2 = m<VAR>hne : q₁ ≠ q₂<VAR>hqf : f q₁ = f q₂<VAR>hq1 : ↑q₁.num = ↑q₂.num<VAR>hq2 : ↑q₁.den = ↑q₂.den<GOAL>∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
<VAR>d : ℤ<VAR>h₀ : 0 < d<VAR>hd : ¬IsSquare d<VAR>ξ : ℝ := √↑d<VAR>hξ : Irrational ξ<VAR>M : ℤ<VAR>hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M<VAR>hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite<VAR>m : ℤ<VAR>hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite<VAR>hm₀ : m ≠ 0<VAR>this : NeZero m.natAbs<VAR>f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun q => (↑q.num, ↑q.den)<VAR>q₁ : ℚ<VAR>h₁ : q₁.num ^ 2 - d * ↑q₁.den ^ 2 = m<VAR>q₂ : ℚ<VAR>h₂ : q₂.num ^ 2 - d * ↑q₂.den ^ 2 = m<VAR>hne : q₁ ≠ q₂<VAR>hqf : f q₁ = f q₂<VAR>hq1 : ↑q₁.num = ↑q₂.num<VAR>hq2 : ↑q₁.den = ↑q₂.den<VAR>hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * (↑q₁.den * ↑q₂.den)<GOAL>∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
<VAR>d : ℤ<VAR>h₀ : 0 < d<VAR>hd : ¬IsSquare d<VAR>ξ : ℝ := √↑d<VAR>hξ : Irrational ξ<VAR>M : ℤ<VAR>hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M<VAR>hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite<VAR>m : ℤ<VAR>hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite<VAR>hm₀ : m ≠ 0<VAR>this : NeZero m.natAbs<VAR>f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun q => (↑q.num, ↑q.den)<VAR>q₁ : ℚ<VAR>h₁ : q₁.num ^ 2 - d * ↑q₁.den ^ 2 = m<VAR>q₂ : ℚ<VAR>h₂ : q₂.num ^ 2 - d * ↑q₂.den ^ 2 = m<VAR>hne : q₁ ≠ q₂<VAR>hqf : f q₁ = f q₂<VAR>hq1 : ↑q₁.num = ↑q₂.num<VAR>hq2 : ↑q₁.den = ↑q₂.den<VAR>hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * (↑q₁.den * ↑q₂.den)<VAR>hd₂ : m ∣ q₁.num * ↑q₂.den - q₂.num * ↑q₁.den<GOAL>∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
<VAR>d : ℤ<VAR>h₀ : 0 < d<VAR>hd : ¬IsSquare d<VAR>ξ : ℝ := √↑d<VAR>hξ : Irrational ξ<VAR>M : ℤ<VAR>hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M<VAR>hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite<VAR>m : ℤ<VAR>hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite<VAR>this : NeZero m.natAbs<VAR>f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun q => (↑q.num, ↑q.den)<VAR>q₁ : ℚ<VAR>h₁ : q₁.num ^ 2 - d * ↑q₁.den ^ 2 = m<VAR>q₂ : ℚ<VAR>h₂ : q₂.num ^ 2 - d * ↑q₂.den ^ 2 = m<VAR>hne : q₁ ≠ q₂<VAR>hqf : f q₁ = f q₂<VAR>hq1 : ↑q₁.num = ↑q₂.num<VAR>hq2 : ↑q₁.den = ↑q₂.den<VAR>hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * (↑q₁.den * ↑q₂.den)<VAR>hd₂ : m ∣ q₁.num * ↑q₂.den - q₂.num * ↑q₁.den<VAR>hm₀ : ↑m ≠ 0<GOAL>∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0
<VAR>x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame<VAR>hn : x₁.Numeric<VAR>h : IH24 x₁ x₂ y<VAR>he : x₁ ≈ x₂<VAR>i : x₁.LeftMoves<VAR>j : y.LeftMoves<GOAL>⟦x₁.mulOption y i j⟧ < ⟦x₂ * y⟧
<VAR>x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame<VAR>hn : x₁.Numeric<VAR>h : IH24 x₁ x₂ y<VAR>he : x₁ ≈ x₂<VAR>i : x₁.LeftMoves<VAR>j : y.LeftMoves<GOAL>⟦x₁.mulOption y i j⟧ = ⟦x₁.moveLeft i * y⟧ + ⟦x₂ * y.moveLeft j⟧ - ⟦x₁.moveLeft i * y.moveLeft j⟧