ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>mα : MeasurableSpace α<VAR>mβ : MeasurableSpace β<VAR>mγ : MeasurableSpace γ<VAR>inst✝ : CountablyGenerated γ<VAR>κ : Kernel α (γ × β)<VAR>ν : Kernel α γ<VAR>hκν : κ.fst ≤ ν<VAR>n : ℕ<VAR>a : α<VAR>x : γ<VAR>s s' : Set β<VAR>h : s ⊆ s'<VAR>h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0<VAR>h_ne_top : ∀ (s : Set β), (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤<GOAL>((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s') / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>mα : MeasurableSpace α<VAR>mβ : MeasurableSpace β<VAR>mγ : MeasurableSpace γ<VAR>inst✝ : CountablyGenerated γ<VAR>κ : Kernel α (γ × β)<VAR>ν : Kernel α γ<VAR>hκν : κ.fst ≤ ν<VAR>n : ℕ<VAR>a : α<VAR>x : γ<VAR>s s' : Set β<VAR>h : s ⊆ s'<VAR>h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0<VAR>h_ne_top : ∀ (s : Set β), (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤<GOAL>(κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≤ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s') / (ν a) (countablePartitionSet n x)
<VAR>ι : Type u_1<VAR>𝕜 : Type u_2<VAR>E : Type u_3<VAR>F : Type u_4<VAR>A : Type u_5<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝¹ : CompleteSpace E<VAR>inst✝ : NormedSpace ℝ E<VAR>a b c d : ℝ<VAR>f g : ℝ → E<VAR>μ : Measure ℝ<VAR>hab : IntervalIntegrable f μ a b<VAR>hcd : IntervalIntegrable f μ c d<VAR>hac : IntervalIntegrable f μ a c<GOAL>∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in c..d, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..c, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in b..d, f x ∂μ
<VAR>R : Type u<VAR>inst✝¹² : CommRing R<VAR>M N P Q : Type u<VAR>inst✝¹¹ : AddCommGroup M<VAR>inst✝¹⁰ : AddCommGroup N<VAR>inst✝⁹ : AddCommGroup P<VAR>inst✝⁸ : AddCommGroup Q<VAR>inst✝⁷ : Module R M<VAR>inst✝⁶ : Module R N<VAR>inst✝⁵ : Module R P<VAR>inst✝⁴ : Module R Q<VAR>inst✝³ : Coalgebra R M<VAR>inst✝² : Coalgebra R N<VAR>inst✝¹ : Coalgebra R P<VAR>inst✝ : Coalgebra R Q<GOAL>((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R M ⊗ of R N) ⊗ (comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R P)).comul = Coalgebra.comul
<VAR>R : Type u<VAR>inst✝¹² : CommRing R<VAR>M N P Q : Type u<VAR>inst✝¹¹ : AddCommGroup M<VAR>inst✝¹⁰ : AddCommGroup N<VAR>inst✝⁹ : AddCommGroup P<VAR>inst✝⁸ : AddCommGroup Q<VAR>inst✝⁷ : Module R M<VAR>inst✝⁶ : Module R N<VAR>inst✝⁵ : Module R P<VAR>inst✝⁴ : Module R Q<VAR>inst✝³ : Coalgebra R M<VAR>inst✝² : Coalgebra R N<VAR>inst✝¹ : Coalgebra R P<VAR>inst✝ : Coalgebra R Q<GOAL>(tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat, Opposite.op (ModuleCat.mk P)) (Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat, Opposite.op (ModuleCat.mk P))).unop ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul = ↑(tensorTensorTensorComm R (M ⊗[R] N) (M ⊗[R] N) P P) ∘ₗ map (↑(tensorTensorTensorComm R M M N N) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) Coalgebra.comul
<VAR>R : Type u<VAR>inst✝¹² : CommRing R<VAR>M N P Q : Type u<VAR>inst✝¹¹ : AddCommGroup M<VAR>inst✝¹⁰ : AddCommGroup N<VAR>inst✝⁹ : AddCommGroup P<VAR>inst✝⁸ : AddCommGroup Q<VAR>inst✝⁷ : Module R M<VAR>inst✝⁶ : Module R N<VAR>inst✝⁵ : Module R P<VAR>inst✝⁴ : Module R Q<VAR>inst✝³ : Coalgebra R M<VAR>inst✝² : Coalgebra R N<VAR>inst✝¹ : Coalgebra R P<VAR>inst✝ : Coalgebra R Q<GOAL>(tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat, Opposite.op (ModuleCat.mk P)) (Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat, Opposite.op (ModuleCat.mk P))).unop ∘ₗ map (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj)).comul Coalgebra.comul = ↑(tensorTensorTensorComm R (M ⊗[R] N) (M ⊗[R] N) P P) ∘ₗ map (↑(tensorTensorTensorComm R M M N N) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) Coalgebra.comul
<VAR>R : Type u<VAR>inst✝¹² : CommRing R<VAR>M N P Q : Type u<VAR>inst✝¹¹ : AddCommGroup M<VAR>inst✝¹⁰ : AddCommGroup N<VAR>inst✝⁹ : AddCommGroup P<VAR>inst✝⁸ : AddCommGroup Q<VAR>inst✝⁷ : Module R M<VAR>inst✝⁶ : Module R N<VAR>inst✝⁵ : Module R P<VAR>inst✝⁴ : Module R Q<VAR>inst✝³ : Coalgebra R M<VAR>inst✝² : Coalgebra R N<VAR>inst✝¹ : Coalgebra R P<VAR>inst✝ : Coalgebra R Q<GOAL>(tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat, Opposite.op (ModuleCat.mk P)) (Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat, Opposite.op (ModuleCat.mk P))).unop ∘ₗ map ((tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op (ModuleCat.mk N)) (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op (ModuleCat.mk N))).unop ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) Coalgebra.comul = ↑(tensorTensorTensorComm R (M ⊗[R] N) (M ⊗[R] N) P P) ∘ₗ map (↑(tensorTensorTensorComm R M M N N) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) Coalgebra.comul
<VAR>R : Type u<VAR>inst✝¹² : CommRing R<VAR>M N P Q : Type u<VAR>inst✝¹¹ : AddCommGroup M<VAR>inst✝¹⁰ : AddCommGroup N<VAR>inst✝⁹ : AddCommGroup P<VAR>inst✝⁸ : AddCommGroup Q<VAR>inst✝⁷ : Module R M<VAR>inst✝⁶ : Module R N<VAR>inst✝⁵ : Module R P<VAR>inst✝⁴ : Module R Q<VAR>inst✝³ : Coalgebra R M<VAR>inst✝² : Coalgebra R N<VAR>inst✝¹ : Coalgebra R P<VAR>inst✝ : Coalgebra R Q<GOAL>↑(tensorTensorTensorComm R (↑((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat) (↑((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat) P P) ∘ₗ map (↑(tensorTensorTensorComm R M M N N) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) Coalgebra.comul = ↑(tensorTensorTensorComm R (M ⊗[R] N) (M ⊗[R] N) P P) ∘ₗ map (↑(tensorTensorTensorComm R M M N N) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) Coalgebra.comul
<VAR>I : Type u_1<VAR>J : Type u_2<VAR>K : Type u_3<VAR>C : Type u_4<VAR>inst✝³ : Category.{u_5, u_4} C<VAR>X Y Z : GradedObject I C<VAR>φ : X ⟶ Y<VAR>e : X ≅ Y<VAR>ψ : Y ⟶ Z<VAR>p : I → J<VAR>j✝ : J<VAR>inst✝² : X.HasMap p<VAR>inst✝¹ : Y.HasMap p<VAR>inst✝ : Z.HasMap p<VAR>i : I<VAR>j : J<VAR>hij : p i = j<GOAL>X.ιMapObj p i j hij ≫ mapMap φ p j = φ i ≫ Y.ιMapObj p i j hij
<VAR>n : ℕ<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>f : α → β<VAR>i : Fin n<VAR>val✝ : List α<VAR>property✝ : val✝.length = n<GOAL>(map f ⟨val✝, property✝⟩).get i = f (get ⟨val✝, property✝⟩ i)
<VAR>ι : Type u_1<VAR>M : ι → Type u_2<VAR>inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)<VAR>N : Type u_3<VAR>inst✝ : Monoid N<VAR>i j : ι<VAR>w : NeWord M i j<GOAL>w.toList.head? = some ⟨i, w.head⟩
<VAR>ι : Type u_1<VAR>M : ι → Type u_2<VAR>inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)<VAR>N : Type u_3<VAR>inst✝ : Monoid N<VAR>i j : ι<VAR>w : NeWord M i j<GOAL>⟨i, w.head⟩ ∈ w.toList.head?
<VAR>α : Type u<VAR>β : Type v<VAR>γ : Type w<VAR>δ : Type u_1<VAR>ι : Sort x<VAR>l f✝ f₁ f₂ : Filter α<VAR>g✝ g₁ g₂ : Filter β<VAR>m✝ : α → β<VAR>m' : β → γ<VAR>s : Set α<VAR>t : Set β<VAR>f g : Filter α<VAR>m : α → β<VAR>hm : Injective m<GOAL>map m f ≤ map m g ↔ f ≤ g
<VAR>R : Type u_1<VAR>R₂ : Type u_2<VAR>K : Type u_3<VAR>M : Type u_4<VAR>M₂ : Type u_5<VAR>V : Type u_6<VAR>S : Type u_7<VAR>inst✝⁸ : Semiring R<VAR>inst✝⁷ : Semiring R₂<VAR>inst✝⁶ : AddCommGroup M<VAR>inst✝⁵ : Module R M<VAR>inst✝⁴ : AddCommGroup M₂<VAR>inst✝³ : Module R₂ M₂<VAR>τ₁₂ : R →+* R₂<VAR>inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂<VAR>F : Type u_8<VAR>inst✝¹ : FunLike F M M₂<VAR>inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂<VAR>f : F<VAR>p : Submodule R M<GOAL>comap f (map f p) = p ⊔ LinearMap.ker f
<VAR>R : Type u_1<VAR>R₂ : Type u_2<VAR>K : Type u_3<VAR>M : Type u_4<VAR>M₂ : Type u_5<VAR>V : Type u_6<VAR>S : Type u_7<VAR>inst✝⁸ : Semiring R<VAR>inst✝⁷ : Semiring R₂<VAR>inst✝⁶ : AddCommGroup M<VAR>inst✝⁵ : Module R M<VAR>inst✝⁴ : AddCommGroup M₂<VAR>inst✝³ : Module R₂ M₂<VAR>τ₁₂ : R →+* R₂<VAR>inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂<VAR>F : Type u_8<VAR>inst✝¹ : FunLike F M M₂<VAR>inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂<VAR>f : F<VAR>p : Submodule R M<GOAL>comap f (map f p) ≤ p ⊔ LinearMap.ker f
<VAR>R : Type u_1<VAR>R₂ : Type u_2<VAR>K : Type u_3<VAR>M : Type u_4<VAR>M₂ : Type u_5<VAR>V : Type u_6<VAR>S : Type u_7<VAR>inst✝⁸ : Semiring R<VAR>inst✝⁷ : Semiring R₂<VAR>inst✝⁶ : AddCommGroup M<VAR>inst✝⁵ : Module R M<VAR>inst✝⁴ : AddCommGroup M₂<VAR>inst✝³ : Module R₂ M₂<VAR>τ₁₂ : R →+* R₂<VAR>inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂<VAR>F : Type u_8<VAR>inst✝¹ : FunLike F M M₂<VAR>inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂<VAR>f : F<VAR>p : Submodule R M<VAR>x y : M<VAR>hy : y ∈ ↑p<VAR>e : f y = f x<GOAL>x ∈ p ⊔ LinearMap.ker f
<VAR>B : Type u<VAR>inst✝ : Bicategory B<VAR>a b c : B<VAR>f : a ⟶ b<VAR>g : a ⟶ c<VAR>s t : LeftExtension f g<VAR>x : B<VAR>h : c ⟶ x<VAR>X✝ Y✝ : LeftExtension f g<VAR>η : X✝ ⟶ Y✝<GOAL>((fun t => t.whisker h) X✝).unit ≫ f ◁ η.right ▷ h = ((fun t => t.whisker h) Y✝).unit
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>inst✝⁵ : RCLike 𝕜<VAR>inst✝⁴ : AddCommGroup E<VAR>inst✝³ : TopologicalSpace E<VAR>inst✝² : Module 𝕜 E<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F<VAR>A B : E →WOT[𝕜]F<VAR>h : ∀ (x : E) (y : F), ⟪y, A x⟫_𝕜 = ⟪y, B x⟫_𝕜<GOAL>A = B
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>inst✝⁵ : RCLike 𝕜<VAR>inst✝⁴ : AddCommGroup E<VAR>inst✝³ : TopologicalSpace E<VAR>inst✝² : Module 𝕜 E<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F<VAR>A B : E →WOT[𝕜]F<VAR>h : ∀ (x : E) (y : F), ⟪y, A x⟫_𝕜 = ⟪y, B x⟫_𝕜<GOAL>∀ (x : E), A x = B x
<VAR>V : Type u_1<VAR>V' : Type u_2<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'<VAR>inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V<VAR>inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'<VAR>inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)<VAR>inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)<VAR>o : Orientation ℝ V (Fin 2)<VAR>x y : V<VAR>h : (o.oangle x y).sign = 1<VAR>hx : ¬x = 0<VAR>hy : ¬y = 0<GOAL>o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
<VAR>V : Type u_1<VAR>V' : Type u_2<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'<VAR>inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V<VAR>inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'<VAR>inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)<VAR>inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)<VAR>o : Orientation ℝ V (Fin 2)<VAR>x y : V<VAR>h : (o.oangle x y).sign = 1<VAR>hx : ¬x = 0<VAR>hy : ¬y = 0<GOAL>¬o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
<VAR>V : Type u_1<VAR>V' : Type u_2<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'<VAR>inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V<VAR>inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'<VAR>inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)<VAR>inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)<VAR>o : Orientation ℝ V (Fin 2)<VAR>x y : V<VAR>h : (o.oangle x y).sign = 1<VAR>hx : ¬x = 0<VAR>hy : ¬y = 0<VAR>hxy : o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)<GOAL>False
<VAR>V : Type u_1<VAR>V' : Type u_2<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'<VAR>inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V<VAR>inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'<VAR>inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)<VAR>inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)<VAR>o : Orientation ℝ V (Fin 2)<VAR>x y : V<VAR>h : ¬0 ≤ (↑(InnerProductGeometry.angle x y)).sign<VAR>hx : ¬x = 0<VAR>hy : ¬y = 0<VAR>hxy : o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)<GOAL>False
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝ : LinearOrderedField α<VAR>a✝ a : α<VAR>ha : 0 < a<VAR>x : α<GOAL>x ∈ (Ioo 0 a)⁻¹ ↔ x ∈ Ioi a⁻¹
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>inst✝¹⁵ : CommRing R<VAR>inst✝¹⁴ : CommRing S<VAR>inst✝¹³ : Algebra R S<VAR>M : Type u_1<VAR>inst✝¹² : AddCommGroup M<VAR>inst✝¹¹ : Module R M<VAR>inst✝¹⁰ : Module S M<VAR>inst✝⁹ : IsScalarTower R S M<VAR>A : Type u_2<VAR>B : Type u_3<VAR>inst✝⁸ : CommRing A<VAR>inst✝⁷ : CommRing B<VAR>inst✝⁶ : Algebra R A<VAR>inst✝⁵ : Algebra R B<VAR>inst✝⁴ : Algebra A B<VAR>inst✝³ : Algebra S B<VAR>inst✝² : IsScalarTower R A B<VAR>inst✝¹ : IsScalarTower R S B<VAR>inst✝ : SMulCommClass S A B<GOAL>LinearMap.ker (map R S A B) = Submodule.map (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (Submodule.comap (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Submodule.restrictScalars A (kerTotal S B)))
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>inst✝¹⁵ : CommRing R<VAR>inst✝¹⁴ : CommRing S<VAR>inst✝¹³ : Algebra R S<VAR>M : Type u_1<VAR>inst✝¹² : AddCommGroup M<VAR>inst✝¹¹ : Module R M<VAR>inst✝¹⁰ : Module S M<VAR>inst✝⁹ : IsScalarTower R S M<VAR>A : Type u_2<VAR>B : Type u_3<VAR>inst✝⁸ : CommRing A<VAR>inst✝⁷ : CommRing B<VAR>inst✝⁶ : Algebra R A<VAR>inst✝⁵ : Algebra R B<VAR>inst✝⁴ : Algebra A B<VAR>inst✝³ : Algebra S B<VAR>inst✝² : IsScalarTower R A B<VAR>inst✝¹ : IsScalarTower R S B<VAR>inst✝ : SMulCommClass S A B<GOAL>Submodule.map (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (Submodule.comap (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (LinearMap.ker (map R S A B))) = Submodule.map (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (Submodule.comap (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Submodule.restrictScalars A (kerTotal S B)))
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>inst✝¹⁵ : CommRing R<VAR>inst✝¹⁴ : CommRing S<VAR>inst✝¹³ : Algebra R S<VAR>M : Type u_1<VAR>inst✝¹² : AddCommGroup M<VAR>inst✝¹¹ : Module R M<VAR>inst✝¹⁰ : Module S M<VAR>inst✝⁹ : IsScalarTower R S M<VAR>A : Type u_2<VAR>B : Type u_3<VAR>inst✝⁸ : CommRing A<VAR>inst✝⁷ : CommRing B<VAR>inst✝⁶ : Algebra R A<VAR>inst✝⁵ : Algebra R B<VAR>inst✝⁴ : Algebra A B<VAR>inst✝³ : Algebra S B<VAR>inst✝² : IsScalarTower R A B<VAR>inst✝¹ : IsScalarTower R S B<VAR>inst✝ : SMulCommClass S A B<VAR>x : A →₀ A<GOAL>x ∈ Submodule.comap (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (LinearMap.ker (map R S A B)) ↔ x ∈ Submodule.comap (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Submodule.restrictScalars A (kerTotal S B))
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>inst✝¹⁵ : CommRing R<VAR>inst✝¹⁴ : CommRing S<VAR>inst✝¹³ : Algebra R S<VAR>M : Type u_1<VAR>inst✝¹² : AddCommGroup M<VAR>inst✝¹¹ : Module R M<VAR>inst✝¹⁰ : Module S M<VAR>inst✝⁹ : IsScalarTower R S M<VAR>A : Type u_2<VAR>B : Type u_3<VAR>inst✝⁸ : CommRing A<VAR>inst✝⁷ : CommRing B<VAR>inst✝⁶ : Algebra R A<VAR>inst✝⁵ : Algebra R B<VAR>inst✝⁴ : Algebra A B<VAR>inst✝³ : Algebra S B<VAR>inst✝² : IsScalarTower R A B<VAR>inst✝¹ : IsScalarTower R S B<VAR>inst✝ : SMulCommClass S A B<VAR>x : A →₀ A<GOAL>(Finsupp.total A (Ω[B⁄S]) A (⇑(map R S A B) ∘ ⇑(D R A))) x = 0 ↔ (Finsupp.total B (Ω[B⁄S]) B ⇑(D S B)) ((Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) x) = 0
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>inst✝¹⁵ : CommRing R<VAR>inst✝¹⁴ : CommRing S<VAR>inst✝¹³ : Algebra R S<VAR>M : Type u_1<VAR>inst✝¹² : AddCommGroup M<VAR>inst✝¹¹ : Module R M<VAR>inst✝¹⁰ : Module S M<VAR>inst✝⁹ : IsScalarTower R S M<VAR>A : Type u_2<VAR>B : Type u_3<VAR>inst✝⁸ : CommRing A<VAR>inst✝⁷ : CommRing B<VAR>inst✝⁶ : Algebra R A<VAR>inst✝⁵ : Algebra R B<VAR>inst✝⁴ : Algebra A B<VAR>inst✝³ : Algebra S B<VAR>inst✝² : IsScalarTower R A B<VAR>inst✝¹ : IsScalarTower R S B<VAR>inst✝ : SMulCommClass S A B<VAR>x : A →₀ A<GOAL>(x.sum fun i a => a • (map R S A B) ((D R A) i)) = 0 ↔ ((Finsupp.mapRange ⇑(Algebra.linearMap A B) ⋯ (Finsupp.mapDomain (⇑(algebraMap A B)) x)).sum fun i a => a • (D S B) i) = 0
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>inst✝¹⁵ : CommRing R<VAR>inst✝¹⁴ : CommRing S<VAR>inst✝¹³ : Algebra R S<VAR>M : Type u_1<VAR>inst✝¹² : AddCommGroup M<VAR>inst✝¹¹ : Module R M<VAR>inst✝¹⁰ : Module S M<VAR>inst✝⁹ : IsScalarTower R S M<VAR>A : Type u_2<VAR>B : Type u_3<VAR>inst✝⁸ : CommRing A<VAR>inst✝⁷ : CommRing B<VAR>inst✝⁶ : Algebra R A<VAR>inst✝⁵ : Algebra R B<VAR>inst✝⁴ : Algebra A B<VAR>inst✝³ : Algebra S B<VAR>inst✝² : IsScalarTower R A B<VAR>inst✝¹ : IsScalarTower R S B<VAR>inst✝ : SMulCommClass S A B<VAR>x : A →₀ A<GOAL>(x.sum fun i a => a • (map R S A B) ((D R A) i)) = 0 ↔ (x.sum fun a m => (Algebra.linearMap A B) m • (D S B) ((algebraMap A B) a)) = 0
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>inst✝¹⁵ : CommRing R<VAR>inst✝¹⁴ : CommRing S<VAR>inst✝¹³ : Algebra R S<VAR>M : Type u_1<VAR>inst✝¹² : AddCommGroup M<VAR>inst✝¹¹ : Module R M<VAR>inst✝¹⁰ : Module S M<VAR>inst✝⁹ : IsScalarTower R S M<VAR>A : Type u_2<VAR>B : Type u_3<VAR>inst✝⁸ : CommRing A<VAR>inst✝⁷ : CommRing B<VAR>inst✝⁶ : Algebra R A<VAR>inst✝⁵ : Algebra R B<VAR>inst✝⁴ : Algebra A B<VAR>inst✝³ : Algebra S B<VAR>inst✝² : IsScalarTower R A B<VAR>inst✝¹ : IsScalarTower R S B<VAR>inst✝ : SMulCommClass S A B<VAR>x : A →₀ A<GOAL>∀ (b : B), (Algebra.linearMap A B) 0 • (D S B) b = 0
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>inst✝¹⁵ : CommRing R<VAR>inst✝¹⁴ : CommRing S<VAR>inst✝¹³ : Algebra R S<VAR>M : Type u_1<VAR>inst✝¹² : AddCommGroup M<VAR>inst✝¹¹ : Module R M<VAR>inst✝¹⁰ : Module S M<VAR>inst✝⁹ : IsScalarTower R S M<VAR>A : Type u_2<VAR>B : Type u_3<VAR>inst✝⁸ : CommRing A<VAR>inst✝⁷ : CommRing B<VAR>inst✝⁶ : Algebra R A<VAR>inst✝⁵ : Algebra R B<VAR>inst✝⁴ : Algebra A B<VAR>inst✝³ : Algebra S B<VAR>inst✝² : IsScalarTower R A B<VAR>inst✝¹ : IsScalarTower R S B<VAR>inst✝ : SMulCommClass S A B<VAR>x : A →₀ A<GOAL>∀ (b : B) (m₁ m₂ : A), (Algebra.linearMap A B) (m₁ + m₂) • (D S B) b = (Algebra.linearMap A B) m₁ • (D S B) b + (Algebra.linearMap A B) m₂ • (D S B) b
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>inst✝¹⁵ : CommRing R<VAR>inst✝¹⁴ : CommRing S<VAR>inst✝¹³ : Algebra R S<VAR>M : Type u_1<VAR>inst✝¹² : AddCommGroup M<VAR>inst✝¹¹ : Module R M<VAR>inst✝¹⁰ : Module S M<VAR>inst✝⁹ : IsScalarTower R S M<VAR>A : Type u_2<VAR>B : Type u_3<VAR>inst✝⁸ : CommRing A<VAR>inst✝⁷ : CommRing B<VAR>inst✝⁶ : Algebra R A<VAR>inst✝⁵ : Algebra R B<VAR>inst✝⁴ : Algebra A B<VAR>inst✝³ : Algebra S B<VAR>inst✝² : IsScalarTower R A B<VAR>inst✝¹ : IsScalarTower R S B<VAR>inst✝ : SMulCommClass S A B<VAR>x : A →₀ A<GOAL>∀ (a : B), 0 • (D S B) a = 0
<VAR>b x y : ℝ<VAR>hb : 1 < b<VAR>hy : 0 < y<GOAL>x ≤ logb b y ↔ b ^ x ≤ y
<VAR>R : Type u_1<VAR>V : Type u_2<VAR>V' : Type u_3<VAR>P : Type u_4<VAR>P' : Type u_5<VAR>inst✝⁶ : OrderedRing R<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup V<VAR>inst✝⁴ : Module R V<VAR>inst✝³ : AddTorsor V P<VAR>inst✝² : AddCommGroup V'<VAR>inst✝¹ : Module R V'<VAR>inst✝ : AddTorsor V' P'<VAR>x y z : V<GOAL>y ∈ segment R x z ↔ Wbtw R x y z
<VAR>F : Type u_1<VAR>R : Type u<VAR>A : Type v<VAR>B : Type w<VAR>inst✝¹⁰ : CommSemiring R<VAR>inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A<VAR>inst✝⁸ : Module R A<VAR>inst✝⁷ : IsScalarTower R A A<VAR>inst✝⁶ : SMulCommClass R A A<VAR>inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B<VAR>inst✝⁴ : Module R B<VAR>inst✝³ : IsScalarTower R B B<VAR>inst✝² : SMulCommClass R B B<VAR>inst✝¹ : FunLike F A B<VAR>inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B<VAR>x✝ : A<GOAL>x✝ ∈ ⊥.toSubmodule ↔ x✝ ∈ ⊥
<VAR>R : Type u<VAR>L : Type v<VAR>M : Type w<VAR>L' : Type w₁<VAR>inst✝⁴ : CommRing R<VAR>inst✝³ : LieRing L<VAR>inst✝² : LieAlgebra R L<VAR>inst✝¹ : LieRing L'<VAR>inst✝ : LieAlgebra R L'<VAR>I J : LieIdeal R L<VAR>f : L' →ₗ⁅R⁆ L<VAR>n : ℕ<GOAL>derivedSeries R L (n + 1) = ⊤ ↔ derivedSeries R L 1 = ⊤
<VAR>R : Type u<VAR>L : Type v<VAR>M : Type w<VAR>L' : Type w₁<VAR>inst✝⁴ : CommRing R<VAR>inst✝³ : LieRing L<VAR>inst✝² : LieAlgebra R L<VAR>inst✝¹ : LieRing L'<VAR>inst✝ : LieAlgebra R L'<VAR>I J : LieIdeal R L<VAR>f : L' →ₗ⁅R⁆ L<VAR>n : ℕ<GOAL>derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
<VAR>R : Type u<VAR>L : Type v<VAR>M : Type w<VAR>L' : Type w₁<VAR>inst✝⁴ : CommRing R<VAR>inst✝³ : LieRing L<VAR>inst✝² : LieAlgebra R L<VAR>inst✝¹ : LieRing L'<VAR>inst✝ : LieAlgebra R L'<VAR>I J : LieIdeal R L<VAR>f : L' →ₗ⁅R⁆ L<VAR>n : ℕ<VAR>ih : derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤<GOAL>derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1 + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
<VAR>R : Type u<VAR>L : Type v<VAR>M : Type w<VAR>L' : Type w₁<VAR>inst✝⁴ : CommRing R<VAR>inst✝³ : LieRing L<VAR>inst✝² : LieAlgebra R L<VAR>inst✝¹ : LieRing L'<VAR>inst✝ : LieAlgebra R L'<VAR>I J : LieIdeal R L<VAR>f : L' →ₗ⁅R⁆ L<VAR>n : ℕ<VAR>ih : derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤<GOAL>⁅derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤, derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤⁆ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
<VAR>R : Type u<VAR>L : Type v<VAR>M : Type w<VAR>L' : Type w₁<VAR>inst✝⁴ : CommRing R<VAR>inst✝³ : LieRing L<VAR>inst✝² : LieAlgebra R L<VAR>inst✝¹ : LieRing L'<VAR>inst✝ : LieAlgebra R L'<VAR>I J : LieIdeal R L<VAR>f : L' →ₗ⁅R⁆ L<VAR>n : ℕ<VAR>ih : derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤<VAR>h : ⁅derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤, derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤⁆ = ⊤<GOAL>derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
<VAR>R : Type u<VAR>L : Type v<VAR>M : Type w<VAR>L' : Type w₁<VAR>inst✝⁴ : CommRing R<VAR>inst✝³ : LieRing L<VAR>inst✝² : LieAlgebra R L<VAR>inst✝¹ : LieRing L'<VAR>inst✝ : LieAlgebra R L'<VAR>I J : LieIdeal R L<VAR>f : L' →ₗ⁅R⁆ L<VAR>n : ℕ<VAR>ih : derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤<VAR>h : ⁅derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤, derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤⁆ = ⊤<GOAL>⊤ ≤ derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤
<VAR>R : Type u<VAR>L : Type v<VAR>M : Type w<VAR>L' : Type w₁<VAR>inst✝⁴ : CommRing R<VAR>inst✝³ : LieRing L<VAR>inst✝² : LieAlgebra R L<VAR>inst✝¹ : LieRing L'<VAR>inst✝ : LieAlgebra R L'<VAR>I J : LieIdeal R L<VAR>f : L' →ₗ⁅R⁆ L<VAR>n : ℕ<VAR>ih : derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤<VAR>h : ⁅derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤, derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤⁆ = ⊤<GOAL>⁅derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤, derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤⁆ ≤ derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>δ : Type u_4<VAR>ι✝ : Sort y<VAR>s✝ t u : Set α<VAR>inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α<VAR>inst✝⁹ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝⁸ : BorelSpace α<VAR>inst✝⁷ : TopologicalSpace β<VAR>inst✝⁶ : MeasurableSpace β<VAR>inst✝⁵ : BorelSpace β<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace δ<VAR>inst✝³ : LinearOrder α<VAR>inst✝² : OrderTopology α<VAR>inst✝¹ : SecondCountableTopology α<VAR>ι : Sort u_5<VAR>inst✝ : Countable ι<VAR>f : ι → δ → α<VAR>g g' : δ → α<VAR>hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)<VAR>s : Set δ<VAR>hs : MeasurableSet s<VAR>hg : ∀ b ∈ s, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)<VAR>hg' : EqOn g g' sᶜ<VAR>g'_meas : Measurable g'<GOAL>Measurable g
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>δ : Type u_4<VAR>ι✝ : Sort y<VAR>s✝ t u : Set α<VAR>inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α<VAR>inst✝⁹ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝⁸ : BorelSpace α<VAR>inst✝⁷ : TopologicalSpace β<VAR>inst✝⁶ : MeasurableSpace β<VAR>inst✝⁵ : BorelSpace β<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace δ<VAR>inst✝³ : LinearOrder α<VAR>inst✝² : OrderTopology α<VAR>inst✝¹ : SecondCountableTopology α<VAR>ι : Sort u_5<VAR>inst✝ : Countable ι<VAR>f : ι → δ → α<VAR>g g' : δ → α<VAR>hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)<VAR>s : Set δ<VAR>hs : MeasurableSet s<VAR>hg : ∀ b ∈ s, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)<VAR>hg' : EqOn g g' sᶜ<VAR>g'_meas : Measurable g'<VAR>hι : IsEmpty ι<GOAL>Measurable g