ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
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<VAR>B : Type u₁<VAR>inst✝¹ : Bicategory B<VAR>C : Type u₂<VAR>inst✝ : Bicategory C<VAR>F G H : OplaxFunctor B C<VAR>η : OplaxNatTrans F G<VAR>θ : OplaxNatTrans G H<VAR>a b c : B<VAR>a' : C<VAR>f : G.obj a ⟶ a'<GOAL>(F.mapId a ▷ η.app a ≫ (λ_ (η.app a)).hom ≫ (ρ_ (η.app a)).inv) ▷ f ≫ (α_ (η.app a) (𝟙 (G.obj a)) f).hom = F.mapId a ▷ η.app a ▷ f ≫ (λ_ (η.app a)).hom ▷ f ≫ (ρ_ (η.app a)).inv ▷ f ≫ (α_ (η.app a) (𝟙 (G.obj a)) f).hom
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>inst✝² : CommRing R<VAR>inst✝¹ : Ring S<VAR>f : R[X]<VAR>inst✝ : Algebra R S<VAR>h : IsAdjoinRoot S f<GOAL>h.repr 0 ∈ Ideal.span {f}
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<VAR>β : Type u_1<VAR>G : Type u_2<VAR>M : Type u_3<VAR>inst✝² : Monoid M<VAR>inst✝¹ : Preorder M<VAR>inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1<VAR>x a : M<VAR>H : 1 ≤ a<VAR>k : ℕ<GOAL>1 ≤ a ^ k * a
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι✝ : Type u_3<VAR>ι' : Type u_4<VAR>inst✝ : CompleteLattice α<VAR>s : Set α<VAR>hs : SetIndependent s<VAR>t✝ : ι✝ → α<VAR>ht✝ : Independent t✝<VAR>ι : Sort u_5<VAR>a : α<VAR>t : ι → ↑(Iic a)<VAR>i : ι<VAR>x : ↑(Iic a)<VAR>ht : Disjoint ((Subtype.val ∘ t) i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), (Subtype.val ∘ t) j)<GOAL>x ≤ t i → x ≤ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t j → x ≤ ⊥
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι✝ : Type u_3<VAR>ι' : Type u_4<VAR>inst✝ : CompleteLattice α<VAR>s : Set α<VAR>hs : SetIndependent s<VAR>t✝ : ι✝ → α<VAR>ht✝ : Independent t✝<VAR>ι : Sort u_5<VAR>a : α<VAR>t : ι → ↑(Iic a)<VAR>i : ι<VAR>x : ↑(Iic a)<VAR>ht : Disjoint ↑(t i) ↑(⨆ i_1, ⨆ (_ : i_1 ≠ i), t i_1)<GOAL>x ≤ t i → x ≤ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t j → x ≤ ⊥
<VAR>R : Type u_1<VAR>R' : Type u_2<VAR>𝕜 : Type u_3<VAR>𝕜₂ : Type u_4<VAR>𝕜₃ : Type u_5<VAR>𝕝 : Type u_6<VAR>E : Type u_7<VAR>E₂ : Type u_8<VAR>E₃ : Type u_9<VAR>F : Type u_10<VAR>G : Type u_11<VAR>ι : Type u_12<VAR>inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup E<VAR>inst✝⁴ : Module 𝕜 E<VAR>inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂<VAR>inst✝² : AddCommGroup E₂<VAR>inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂<VAR>σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂<VAR>inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂<VAR>p : Seminorm 𝕜 E<VAR>r : ℝ<VAR>a : 𝕜<VAR>ha : ‖a‖ ≤ 1<VAR>x y : E<VAR>hy : y ∈ p.ball 0 r<VAR>hx : (fun x => a • x) y = x<GOAL>x ∈ p.ball 0 r
<VAR>R : Type u_1<VAR>R' : Type u_2<VAR>𝕜 : Type u_3<VAR>𝕜₂ : Type u_4<VAR>𝕜₃ : Type u_5<VAR>𝕝 : Type u_6<VAR>E : Type u_7<VAR>E₂ : Type u_8<VAR>E₃ : Type u_9<VAR>F : Type u_10<VAR>G : Type u_11<VAR>ι : Type u_12<VAR>inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup E<VAR>inst✝⁴ : Module 𝕜 E<VAR>inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂<VAR>inst✝² : AddCommGroup E₂<VAR>inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂<VAR>σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂<VAR>inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂<VAR>p : Seminorm 𝕜 E<VAR>r : ℝ<VAR>a : 𝕜<VAR>ha : ‖a‖ ≤ 1<VAR>x y : E<VAR>hy : y ∈ p.ball 0 r<VAR>hx : (fun x => a • x) y = x<GOAL>‖a‖ * p y < r
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>s s₁ s₂ : Finset α<VAR>t t₁ t₂ : α → Finset β<VAR>h : (↑s).PairwiseDisjoint t<GOAL>↑(s.disjiUnion t h) = ⋃ x ∈ ↑s, ↑(t x)
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜<VAR>P Q : 𝕜[X]<VAR>inst✝ : OrderTopology 𝕜<VAR>hP : ¬P = 0<VAR>hQ : ¬Q = 0<GOAL>(fun x => eval x P / eval x Q) ~[atTop] fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜<VAR>P Q : 𝕜[X]<VAR>inst✝ : OrderTopology 𝕜<VAR>hP : ¬P = 0<VAR>hQ : ¬Q = 0<VAR>x : 𝕜<VAR>hx : 0 < x<GOAL>(fun x => P.leadingCoeff * x ^ P.natDegree / (Q.leadingCoeff * x ^ Q.natDegree)) x = (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) x
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>inst✝² : SeminormedAddCommGroup F<VAR>inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>inst✝ : Nontrivial E<GOAL>‖fst 𝕜 E F‖ = 1
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>inst✝² : SeminormedAddCommGroup F<VAR>inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>inst✝ : Nontrivial E<GOAL>1 ≤ ‖fst 𝕜 E F‖
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>inst✝² : SeminormedAddCommGroup F<VAR>inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>inst✝ : Nontrivial E<VAR>e : E<VAR>he : e ≠ 0<GOAL>1 ≤ ‖fst 𝕜 E F‖
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>inst✝² : SeminormedAddCommGroup F<VAR>inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>inst✝ : Nontrivial E<VAR>e : E<VAR>he : e ≠ 0<VAR>this : ‖e‖ ≤ ‖fst 𝕜 E F‖ * max ‖e‖ ‖0‖<GOAL>1 ≤ ‖fst 𝕜 E F‖
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>inst✝² : SeminormedAddCommGroup F<VAR>inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>inst✝ : Nontrivial E<VAR>e : E<VAR>he : e ≠ 0<VAR>this : ‖e‖ ≤ ‖fst 𝕜 E F‖ * ‖e‖<GOAL>1 ≤ ‖fst 𝕜 E F‖
<VAR>C : Type u_1<VAR>D : Type u_2<VAR>inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C<VAR>inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D<VAR>G : C ⥤ D<VAR>A : Type w<VAR>inst✝⁴ : Category.{w', w} A<VAR>J : GrothendieckTopology C<VAR>K : GrothendieckTopology D<VAR>inst✝³ : G.IsCocontinuous J K<VAR>inst✝² : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F<VAR>inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K<VAR>inst✝ : G.IsContinuous J K<VAR>F : Sheaf K A<VAR>H : Sheaf J A<VAR>f : (G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F ⟶ H<GOAL>(G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val ≫ G.op.ran.map ((G.sheafPushforwardContinuousCompSheafToPresheafIso A J K).inv.app F) ≫ G.op.ran.map f.val ≫ 𝟙 ((G.sheafPushforwardCocontinuous A J K).obj H).val = ((G.op.ranAdjunction A).homEquiv F.val H.val) f.val
<VAR>A : Type u_1<VAR>inst✝ : SeminormedCommGroup A<VAR>a✝ : A<VAR>m n✝ : ℕ<VAR>δ : ℝ<VAR>n : ℕ<VAR>hm : 0 < m<VAR>a : A<VAR>ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ<GOAL>(fun y => y ^ m) a ∈ approxOrderOf A n (↑m * δ)
<VAR>A : Type u_1<VAR>inst✝ : SeminormedCommGroup A<VAR>a✝ : A<VAR>m n✝ : ℕ<VAR>δ : ℝ<VAR>n : ℕ<VAR>hm : 0 < m<VAR>a : A<VAR>ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ<VAR>b : A<VAR>hb : orderOf b = n * m<VAR>hab : a ∈ ball b δ<GOAL>(fun y => y ^ m) a ∈ approxOrderOf A n (↑m * δ)
<VAR>A : Type u_1<VAR>inst✝ : SeminormedCommGroup A<VAR>a✝ : A<VAR>m n✝ : ℕ<VAR>δ : ℝ<VAR>n : ℕ<VAR>hm : 0 < m<VAR>a : A<VAR>ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ<VAR>b : A<VAR>hab : a ∈ ball b δ<VAR>hb : b ^ m ∈ {y | orderOf y = n}<GOAL>(fun y => y ^ m) a ∈ approxOrderOf A n (↑m * δ)
<VAR>A : Type u_1<VAR>inst✝ : SeminormedCommGroup A<VAR>a✝ : A<VAR>m n✝ : ℕ<VAR>δ : ℝ<VAR>n : ℕ<VAR>hm : 0 < m<VAR>a : A<VAR>ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ<VAR>b : A<VAR>hab : a ∈ ball b δ<VAR>hb : b ^ m ∈ {y | orderOf y = n}<GOAL>(fun y => y ^ m) a ∈ ball (b ^ m) (↑m * δ)
<VAR>A : Type u_1<VAR>inst✝ : SeminormedCommGroup A<VAR>a✝ : A<VAR>m n✝ : ℕ<VAR>δ : ℝ<VAR>n : ℕ<VAR>hm : 0 < m<VAR>a : A<VAR>ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ<VAR>b : A<VAR>hab : a ∈ ball b δ<VAR>hb : b ^ m ∈ {y | orderOf y = n}<GOAL>ball (b ^ m) (↑m * δ) = ball (b ^ m) (m • δ)
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>E : Type u_3<VAR>F : Type u_4<VAR>inst✝¹ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup E<VAR>f g : α → E<VAR>s t : Set α<VAR>μ ν : Measure α<VAR>hμ : IntegrableOn f s μ<VAR>hν : IntegrableOn f s ν<GOAL>Integrable f ((μ + ν).restrict s)
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>E : Type u_3<VAR>F : Type u_4<VAR>inst✝¹ : MeasurableSpace α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup E<VAR>f g : α → E<VAR>s t : Set α<VAR>μ ν : Measure α<VAR>hμ : IntegrableOn f s μ<VAR>hν : IntegrableOn f s ν<GOAL>Integrable f (μ.restrict s + ν.restrict s)
<VAR>n : ℕ<VAR>F : TypeVec.{u} n → Type u_1<VAR>q : MvQPF F<VAR>α : TypeVec.{u} n<VAR>x : F α<GOAL>TypeVec.id <$$> x = x
<VAR>n : ℕ<VAR>F : TypeVec.{u} n → Type u_1<VAR>q : MvQPF F<VAR>α : TypeVec.{u} n<VAR>x : F α<GOAL>abs (TypeVec.id <$$> repr x) = abs (repr x)
<VAR>M : Type u_1<VAR>inst✝² : CommMonoid M<VAR>S : Submonoid M<VAR>N : Type u_2<VAR>inst✝¹ : CommMonoid N<VAR>P : Type u_3<VAR>inst✝ : CommMonoid P<VAR>f : S.LocalizationMap N<VAR>x : M<VAR>y : ↥S<GOAL>f.mk' (x * ↑y) y = f.toMap x
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>s s₁ s₂ : Finset α<VAR>t t₁ t₂ : α → Finset β<VAR>inst✝¹ : DecidableEq β<VAR>inst✝ : DecidableEq α<VAR>x : α<GOAL>x ∈ s.biUnion singleton ↔ x ∈ s
<VAR>p : ℕ+<VAR>k : ℕ<VAR>K : Type u<VAR>inst✝¹ : Field K<VAR>inst✝ : CharZero K<VAR>ζ : K<VAR>hp : Fact (Nat.Prime ↑p)<VAR>hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K<VAR>hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p<GOAL>p ^ 1 = p
<VAR>p : ℕ+<VAR>k : ℕ<VAR>K : Type u<VAR>inst✝¹ : Field K<VAR>inst✝ : CharZero K<VAR>ζ : K<VAR>hp : Fact (Nat.Prime ↑p)<VAR>hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K<VAR>hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p<GOAL>IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ 1)
<VAR>R : Type u_1<VAR>inst✝ : CommMonoidWithZero R<VAR>n : ℕ<VAR>χ : DirichletCharacter R n<GOAL>χ.conductor = 0 ↔ n = 0
<VAR>R : Type u_1<VAR>inst✝ : CommMonoidWithZero R<VAR>n : ℕ<VAR>χ : DirichletCharacter R n<GOAL>n = 0 → χ.conductor = 0
<VAR>R : Type u_1<VAR>inst✝ : CommMonoidWithZero R<VAR>χ : DirichletCharacter R 0<GOAL>χ.conductor = 0
<VAR>R : Type u_1<VAR>l : Type u_2<VAR>m : Type u_3<VAR>n : Type u_4<VAR>α : Type u_5<VAR>β : Type u_6<VAR>ι : Type u_7<VAR>inst✝⁵ : Fintype l<VAR>inst✝⁴ : Fintype m<VAR>inst✝³ : Fintype n<VAR>inst✝² : Unique ι<VAR>inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α<VAR>inst✝ : SeminormedAddCommGroup β<VAR>v : n → α<GOAL>‖col ι v‖ = ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v‖