ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
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<VAR>𝕜 : Type u𝕜<VAR>G : Type uG<VAR>E : Type uE<VAR>E' : Type uE'<VAR>E'' : Type uE''<VAR>F : Type uF<VAR>F' : Type uF'<VAR>F'' : Type uF''<VAR>P : Type uP<VAR>inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'<VAR>inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''<VAR>inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F<VAR>f f' : G → E<VAR>g✝ g' : G → E'<VAR>x x' : G<VAR>y y' : E<VAR>inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'<VAR>inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''<VAR>inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F<VAR>inst✝⁹ : MeasurableSpace G<VAR>μ ν : Measure G<VAR>inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F<VAR>inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G<VAR>inst✝⁶ : BorelSpace G<VAR>inst✝⁵ : SecondCountableTopology G<VAR>inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant<VAR>inst✝³ : SFinite μ<VAR>inst✝² : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'<VAR>inst✝ : CompleteSpace E'<VAR>ι : Type u_1<VAR>g : ι → G → E'<VAR>l : Filter ι<VAR>x₀ : G<VAR>z₀ : E'<VAR>φ : ι → G → ℝ<VAR>k : ι → G<VAR>hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x<VAR>hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1<VAR>hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ<VAR>hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)<VAR>hφ : ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t<VAR>hcg : ∀ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in l, pa i) ∧ ∃ ε_1 > 0, ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < ε_1 → dist (uncurry g (i, x)) z₀ < ε<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : ε > 0<VAR>h2ε : 0 < ε / 3<VAR>p : ι → Prop<VAR>hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i<VAR>δ : ℝ<VAR>hδ : δ > 0<VAR>hgδ : ∀ {i : ι}, p i → ∀ {x : G}, dist x x₀ < δ → dist (g i x) z₀ < ε / 3<VAR>h2k : ∀ᶠ (x : ι) in l, dist (k x) x₀ < δ / 2<VAR>h2φ : ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ ball 0 (δ / 2)<VAR>i : ι<VAR>hpi : p i<VAR>hki : dist (k i) x₀ < δ / 2<VAR>hφi : support (φ i) ⊆ ball 0 (δ / 2)<VAR>hnφi : ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x<VAR>hiφi : ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1<VAR>hmgi : AEStronglyMeasurable (g i) μ<VAR>hgi : dist (g i (k i)) z₀ < ε / 3<VAR>h1 : ∀ x' ∈ ball (k i) (δ / 2), dist (g i x') (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3<VAR>this : dist ((φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g i) (k i)) (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3<GOAL>ε / 3 + ε / 3 + ε / 3 = ε
<VAR>x : ℝ<GOAL>Real.toEReal ⁻¹' Ioo ↑x ⊤ = Ioi x
<VAR>x : ℝ<GOAL>Real.toEReal ⁻¹' (Ioi ↑x ∩ Iio ⊤) = Ioi x
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>inst✝⁵ : TopologicalSpace α<VAR>inst✝⁴ : TopologicalSpace β<VAR>inst✝³ : LinearOrder α<VAR>inst✝² : LinearOrder β<VAR>inst✝¹ : OrderTopology α<VAR>inst✝ : OrderTopology β<VAR>a : α<VAR>s : Set α<VAR>ha : IsLUB s a<VAR>a' : α<VAR>ha' : a' ∈ s<VAR>h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, ¬(fun x => x ∈ s) x<GOAL>False
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>inst✝⁵ : TopologicalSpace α<VAR>inst✝⁴ : TopologicalSpace β<VAR>inst✝³ : LinearOrder α<VAR>inst✝² : LinearOrder β<VAR>inst✝¹ : OrderTopology α<VAR>inst✝ : OrderTopology β<VAR>s : Set α<VAR>a' : α<VAR>ha' : a' ∈ s<VAR>ha : IsLUB s a'<VAR>h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a', ¬(fun x => x ∈ s) x<GOAL>False
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>inst✝⁵ : TopologicalSpace α<VAR>inst✝⁴ : TopologicalSpace β<VAR>inst✝³ : LinearOrder α<VAR>inst✝² : LinearOrder β<VAR>inst✝¹ : OrderTopology α<VAR>inst✝ : OrderTopology β<VAR>a : α<VAR>s : Set α<VAR>ha : IsLUB s a<VAR>a' : α<VAR>ha' : a' ∈ s<VAR>h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, ¬(fun x => x ∈ s) x<VAR>ha'a : a' < a<GOAL>False
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>ι : Sort u_4<VAR>κ : ι → Sort u_5<VAR>inst✝¹ : Preorder α<VAR>inst✝ : Preorder β<VAR>s t : Set α<VAR>x : α<VAR>f : α ≃o β<GOAL>lowerClosure (⇑f '' s) = (LowerSet.map f) (lowerClosure s)
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>ι : Sort u_4<VAR>κ : ι → Sort u_5<VAR>inst✝¹ : Preorder α<VAR>inst✝ : Preorder β<VAR>s t : Set α<VAR>x : α<VAR>f : α ≃o β<GOAL>lowerClosure (⇑f '' s) = (LowerSet.map f.symm).symm (lowerClosure s)
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>ι : Sort u_4<VAR>κ : ι → Sort u_5<VAR>inst✝¹ : Preorder α<VAR>inst✝ : Preorder β<VAR>s t : Set α<VAR>x : α<VAR>f : α ≃o β<VAR>x✝ : β<GOAL>x✝ ∈ ↑(lowerClosure (⇑f '' s)) ↔ x✝ ∈ ↑((LowerSet.map f.symm).symm (lowerClosure s))
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>inst✝ : IsFiniteMeasure μ<VAR>hp : 1 ≤ p<VAR>hp' : p ≠ ⊤<VAR>f : ℕ → α → β<VAR>g : α → β<VAR>hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)<VAR>hg : StronglyMeasurable g<VAR>hg' : Memℒp g p μ<VAR>hui : UnifIntegrable f p μ<VAR>hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))<GOAL>Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>inst✝ : IsFiniteMeasure μ<VAR>hp : 1 ≤ p<VAR>hp' : p ≠ ⊤<VAR>f : ℕ → α → β<VAR>g : α → β<VAR>hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)<VAR>hg : StronglyMeasurable g<VAR>hg' : Memℒp g p μ<VAR>hui : UnifIntegrable f p μ<VAR>hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))<GOAL>∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>inst✝ : IsFiniteMeasure μ<VAR>hp : 1 ≤ p<VAR>hp' : p ≠ ⊤<VAR>f : ℕ → α → β<VAR>g : α → β<VAR>hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)<VAR>hg : StronglyMeasurable g<VAR>hg' : Memℒp g p μ<VAR>hui : UnifIntegrable f p μ<VAR>hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε > 0<VAR>h : ε < ⊤<VAR>hμ : ¬μ = 0<GOAL>∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>inst✝ : IsFiniteMeasure μ<VAR>hp : 1 ≤ p<VAR>hp' : p ≠ ⊤<VAR>f : ℕ → α → β<VAR>g : α → β<VAR>hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)<VAR>hg : StronglyMeasurable g<VAR>hg' : Memℒp g p μ<VAR>hui : UnifIntegrable f p μ<VAR>hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε > 0<VAR>h : ε < ⊤<VAR>hμ : ¬μ = 0<VAR>hε' : 0 < ε.toReal / 3<GOAL>∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>inst✝ : IsFiniteMeasure μ<VAR>hp : 1 ≤ p<VAR>hp' : p ≠ ⊤<VAR>f : ℕ → α → β<VAR>g : α → β<VAR>hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)<VAR>hg : StronglyMeasurable g<VAR>hg' : Memℒp g p μ<VAR>hui : UnifIntegrable f p μ<VAR>hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε > 0<VAR>h : ε < ⊤<VAR>hμ : ¬μ = 0<VAR>hε' : 0 < ε.toReal / 3<VAR>hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal<GOAL>∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>inst✝ : IsFiniteMeasure μ<VAR>hp : 1 ≤ p<VAR>hp' : p ≠ ⊤<VAR>f : ℕ → α → β<VAR>g : α → β<VAR>hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)<VAR>hg : StronglyMeasurable g<VAR>hg' : Memℒp g p μ<VAR>hui : UnifIntegrable f p μ<VAR>hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε > 0<VAR>h : ε < ⊤<VAR>hμ : ¬μ = 0<VAR>hε' : 0 < ε.toReal / 3<VAR>hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal<VAR>hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)<GOAL>∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>inst✝ : IsFiniteMeasure μ<VAR>hp : 1 ≤ p<VAR>hp' : p ≠ ⊤<VAR>f : ℕ → α → β<VAR>g : α → β<VAR>hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)<VAR>hg : StronglyMeasurable g<VAR>hg' : Memℒp g p μ<VAR>hui : UnifIntegrable f p μ<VAR>hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε > 0<VAR>h : ε < ⊤<VAR>hμ : ¬μ = 0<VAR>hε' : 0 < ε.toReal / 3<VAR>hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal<VAR>hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)<VAR>δ₁ : ℝ<VAR>hδ₁ : 0 < δ₁<VAR>heLpNorm₁ : ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)<GOAL>∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>inst✝ : IsFiniteMeasure μ<VAR>hp : 1 ≤ p<VAR>hp' : p ≠ ⊤<VAR>f : ℕ → α → β<VAR>g : α → β<VAR>hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)<VAR>hg : StronglyMeasurable g<VAR>hg' : Memℒp g p μ<VAR>hui : UnifIntegrable f p μ<VAR>hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))<VAR>ε : ℝ≥0∞<VAR>hε : ε > 0<VAR>h : ε < ⊤<VAR>hμ : ¬μ = 0<VAR>hε' : 0 < ε.toReal / 3<VAR>hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal<VAR>hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)<VAR>δ₁ : ℝ<VAR>hδ₁ : 0 < δ₁<VAR>heLpNorm₁ : ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)<VAR>δ₂ : ℝ<VAR>hδ₂ : 0 < δ₂<VAR>heLpNorm₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)<GOAL>∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε