ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
<VAR>K R : Type v<VAR>V M : Type w<VAR>inst✝⁹ : CommRing R<VAR>inst✝⁸ : AddCommGroup M<VAR>inst✝⁷ : Module R M<VAR>inst✝⁶ : Field K<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup V<VAR>inst✝⁴ : Module K V<VAR>inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M<VAR>L : Type u_1<VAR>F : Type u_2<VAR>inst✝² : SMul R L<VAR>inst✝¹ : FunLike F L (End R M)<VAR>inst✝ : MulActionHomClass F R L (End R M)<VAR>f : F<VAR>μ : L → R<VAR>h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥<VAR>t : R<VAR>x : L<VAR>contra : ¬μ (t • x) = t • μ x<VAR>g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k<VAR>this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g (t • x)<GOAL>False
<VAR>K R : Type v<VAR>V M : Type w<VAR>inst✝⁹ : CommRing R<VAR>inst✝⁸ : AddCommGroup M<VAR>inst✝⁷ : Module R M<VAR>inst✝⁶ : Field K<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup V<VAR>inst✝⁴ : Module K V<VAR>inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M<VAR>L : Type u_1<VAR>F : Type u_2<VAR>inst✝² : SMul R L<VAR>inst✝¹ : FunLike F L (End R M)<VAR>inst✝ : MulActionHomClass F R L (End R M)<VAR>f : F<VAR>μ : L → R<VAR>h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥<VAR>t : R<VAR>x : L<VAR>contra : ¬μ (t • x) = t • μ x<VAR>g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k<VAR>this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g (t • x)<GOAL>Disjoint (g x) (g (t • x))
<VAR>K R : Type v<VAR>V M : Type w<VAR>inst✝⁹ : CommRing R<VAR>inst✝⁸ : AddCommGroup M<VAR>inst✝⁷ : Module R M<VAR>inst✝⁶ : Field K<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup V<VAR>inst✝⁴ : Module K V<VAR>inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M<VAR>L : Type u_1<VAR>F : Type u_2<VAR>inst✝² : SMul R L<VAR>inst✝¹ : FunLike F L (End R M)<VAR>inst✝ : MulActionHomClass F R L (End R M)<VAR>f : F<VAR>μ : L → R<VAR>h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥<VAR>t : R<VAR>x : L<VAR>contra : ¬μ (t • x) = t • μ x<VAR>g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k<VAR>this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g (t • x)<GOAL>Disjoint (⨆ k, ((t • f x).genEigenspace (t * μ x)) k) (g (t • x))
<VAR>K R : Type v<VAR>V M : Type w<VAR>inst✝⁹ : CommRing R<VAR>inst✝⁸ : AddCommGroup M<VAR>inst✝⁷ : Module R M<VAR>inst✝⁶ : Field K<VAR>inst✝⁵ : AddCommGroup V<VAR>inst✝⁴ : Module K V<VAR>inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M<VAR>L : Type u_1<VAR>F : Type u_2<VAR>inst✝² : SMul R L<VAR>inst✝¹ : FunLike F L (End R M)<VAR>inst✝ : MulActionHomClass F R L (End R M)<VAR>f : F<VAR>μ : L → R<VAR>h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥<VAR>t : R<VAR>x : L<VAR>contra : ¬μ (t • x) = t • μ x<VAR>g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k<VAR>this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g (t • x)<GOAL>Disjoint (⨆ k, ((t • f x).genEigenspace (t * μ x)) k) (⨆ k, ((t • f x).genEigenspace (μ (t • x))) k)
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>s✝ t✝ s t : Set α<GOAL>(s ∪ t).encard + (s ∩ t).encard = s.encard + t.encard
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>F : Type u_2<VAR>inst✝³ : RCLike 𝕜<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F<VAR>inst✝ : CompleteSpace F<VAR>f : F → 𝕜<VAR>f' x : F<VAR>s : Set F<VAR>L : Filter F<VAR>h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x<GOAL>HasGradientWithinAt f (gradientWithin f s x) s x
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>F : Type u_2<VAR>inst✝³ : RCLike 𝕜<VAR>inst✝² : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F<VAR>inst✝ : CompleteSpace F<VAR>f : F → 𝕜<VAR>f' x : F<VAR>s : Set F<VAR>L : Filter F<VAR>h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x<GOAL>HasFDerivWithinAt f (fderivWithin 𝕜 f s x) s x
<VAR>C : Type u₁<VAR>inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C<VAR>J : Type u₂<VAR>inst✝ : Category.{v₂, u₂} J<VAR>F : Jᵒᵖ ⥤ C<VAR>c : Cone F.rightOp<VAR>hc : IsLimit c<VAR>s : Cocone F<VAR>m : (coconeOfConeRightOp c).pt ⟶ s.pt<VAR>w : ∀ (j : Jᵒᵖ), (coconeOfConeRightOp c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j<GOAL>m = (fun s => (hc.lift (coneRightOpOfCocone s)).unop) s
<VAR>C : Type u₁<VAR>inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C<VAR>J : Type u₂<VAR>inst✝ : Category.{v₂, u₂} J<VAR>F : Jᵒᵖ ⥤ C<VAR>c : Cone F.rightOp<VAR>hc : IsLimit c<VAR>s : Cocone F<VAR>m : (coconeOfConeRightOp c).pt ⟶ s.pt<VAR>w : ∀ (j : Jᵒᵖ), (coconeOfConeRightOp c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j<VAR>j : J<GOAL>(m.op ≫ c.π.app j).unop = (((fun s => (hc.lift (coneRightOpOfCocone s)).unop) s).op ≫ c.π.app j).unop
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝² : NormedSpace 𝕜 F<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup G<VAR>inst✝ : NormedSpace 𝕜 G<VAR>f g : E → F<VAR>p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F<VAR>x : E<VAR>r r' : ℝ≥0∞<VAR>n m : ℕ<VAR>hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 1 r<VAR>y : E<VAR>hy : y ∈ EMetric.ball x r<GOAL>f y = f x
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝² : NormedSpace 𝕜 F<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup G<VAR>inst✝ : NormedSpace 𝕜 G<VAR>f g : E → F<VAR>p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F<VAR>x : E<VAR>r r' : ℝ≥0∞<VAR>n m : ℕ<VAR>hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 1 r<VAR>y : E<VAR>hy : y ∈ EMetric.ball x r<GOAL>pf.partialSum 1 (y - x) = pf.partialSum 1 (x - x)
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝² : NormedSpace 𝕜 F<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup G<VAR>inst✝ : NormedSpace 𝕜 G<VAR>f g : E → F<VAR>p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F<VAR>x : E<VAR>r r' : ℝ≥0∞<VAR>n m : ℕ<VAR>hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 1 r<VAR>y : E<VAR>hy : y ∈ EMetric.ball x r<GOAL>((pf 0) fun x_1 => y - x) = (pf 0) fun x_1 => x - x
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝² : NormedSpace 𝕜 F<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup G<VAR>inst✝ : NormedSpace 𝕜 G<VAR>f g : E → F<VAR>p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F<VAR>x : E<VAR>r r' : ℝ≥0∞<VAR>n m : ℕ<VAR>hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 1 r<VAR>y : E<VAR>hy : y ∈ EMetric.ball x r<GOAL>(fun x_1 => y - x) = fun x_1 => x - x
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>E : Type u_2<VAR>F : Type u_3<VAR>G : Type u_4<VAR>inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝² : NormedSpace 𝕜 F<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup G<VAR>inst✝ : NormedSpace 𝕜 G<VAR>f g : E → F<VAR>p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F<VAR>x : E<VAR>r r' : ℝ≥0∞<VAR>n m : ℕ<VAR>hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 1 r<VAR>y : E<VAR>hy : y ∈ EMetric.ball x r<GOAL>Fin 0 → y - x = x - x
<VAR>R : Type u_1<VAR>A : Type u_2<VAR>p : A → Prop<VAR>inst✝⁹ : CommSemiring R<VAR>inst✝⁸ : StarRing R<VAR>inst✝⁷ : MetricSpace R<VAR>inst✝⁶ : TopologicalSemiring R<VAR>inst✝⁵ : ContinuousStar R<VAR>inst✝⁴ : TopologicalSpace A<VAR>inst✝³ : Ring A<VAR>inst✝² : StarRing A<VAR>inst✝¹ : Algebra R A<VAR>inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p<VAR>f✝ g : R → R<VAR>a✝ : A<VAR>ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝<VAR>hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝<VAR>hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝<VAR>f : R → R<VAR>a : A<VAR>ha : ¬p a<GOAL>cfc f a = 0
<VAR>α : Type u_1<VAR>γ : Sort u_2<VAR>β : Type u_3<VAR>u u' : α → γ<VAR>v v' : β → γ<GOAL>Sum.elim u v = Sum.elim u' v' ↔ u = u' ∧ v = v'
<VAR>ι : Type v<VAR>β : ι → Type w<VAR>inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)<VAR>inst✝¹ : DecidableEq ι<VAR>γ : Type u₁<VAR>inst✝ : AddCommMonoid γ<VAR>i : ι<VAR>f : γ →+ β i<VAR>x : γ<GOAL>(fromAddMonoid ((of (fun i => γ →+ β i) i) f)) x = (of β i) (f x)
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>inst✝ : DecidableEq α<VAR>s t : Multiset α<VAR>a✝ : α<GOAL>(toFinsupp (s ∪ t)) a✝ = (toFinsupp s ⊔ toFinsupp t) a✝
<VAR>xl xr : Type u<VAR>y z : PGame<VAR>h : y ⧏ z<VAR>x : PGame<VAR>this : z + x ≤ y + x → z ≤ y<GOAL>y + x ⧏ z + x
<VAR>xl xr : Type u<VAR>y z : PGame<VAR>h : ¬z ≤ y<VAR>x : PGame<VAR>this : z + x ≤ y + x → z ≤ y<GOAL>¬z + x ≤ y + x
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>ι : Sort u_4<VAR>π : α → Type u_5<VAR>s s₁ s₂ : Set α<VAR>t t₁ t₂ : Set β<VAR>p : Set γ<VAR>f f₁ f₂ f₃ : α → β<VAR>g g₁ g₂ : β → γ<VAR>f' f₁' f₂' : β → α<VAR>g' : γ → β<VAR>a : α<VAR>b : β<GOAL>MapsTo f s ∅ ↔ s = ∅
<VAR>R : Type u_1<VAR>inst✝⁴ : CommRing R<VAR>I : Ideal R<VAR>M : Type u_2<VAR>inst✝³ : AddCommGroup M<VAR>inst✝² : Module R M<VAR>N : Type u_3<VAR>inst✝¹ : AddCommGroup N<VAR>inst✝ : Module R N<VAR>α : Type u_4<VAR>s : Finset α<VAR>f : α → AdicCompletion I M<VAR>n : ℕ<GOAL>↑(s.sum f) n = ∑ a ∈ s, ↑(f a) n
<VAR>K : Type u<VAR>inst✝ : Field K<VAR>A : ValuationSubring K<VAR>x : ↥A.unitGroup<GOAL>↑x ∈ A.principalUnitGroup ↔ A.unitGroupMulEquiv x ∈ (Units.map ↑(LocalRing.residue ↥A)).ker
<VAR>K : Type u<VAR>inst✝ : Field K<VAR>A : ValuationSubring K<VAR>x : ↥A.unitGroup<GOAL>↑x ∈ A.principalUnitGroup ↔ ↑((Units.map ↑(LocalRing.residue ↥A)) (A.unitGroupMulEquiv x)) = ↑1
<VAR>K : Type u<VAR>inst✝ : Field K<VAR>A : ValuationSubring K<VAR>x : ↥A.unitGroup<VAR>π : ↥A →+* ↥A ⧸ LocalRing.maximalIdeal ↥A := Ideal.Quotient.mk (LocalRing.maximalIdeal ↥A)<GOAL>↑x ∈ A.principalUnitGroup ↔ π ↑(A.unitGroupMulEquiv x) = 1
<VAR>K : Type u<VAR>inst✝ : Field K<VAR>A : ValuationSubring K<VAR>x : ↥A.unitGroup<VAR>π : ↥A →+* ↥A ⧸ LocalRing.maximalIdeal ↥A := Ideal.Quotient.mk (LocalRing.maximalIdeal ↥A)<GOAL>↑x ∈ A.principalUnitGroup ↔ A.valuation ↑(↑(A.unitGroupMulEquiv x) - 1) < 1
<VAR>α : Type u<VAR>β : Type v<VAR>γ : Type w<VAR>inst✝² : TopologicalSpace α<VAR>inst✝¹ : Preorder α<VAR>inst✝ : ClosedIicTopology α<VAR>f : β → α<VAR>a✝ b : α<VAR>s✝ s : Set α<VAR>a : α<GOAL>a ∈ upperBounds (closure s) ↔ a ∈ upperBounds s
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>inst✝⁴ : LinearOrderedRing α<VAR>inst✝³ : FloorRing α<VAR>inst✝² : TopologicalSpace α<VAR>inst✝¹ : OrderClosedTopology α<VAR>inst✝ : TopologicalAddGroup α<VAR>n : ℤ<GOAL>Tendsto fract (𝓝[<] ↑n) (𝓝 1)
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>inst✝⁴ : LinearOrderedRing α<VAR>inst✝³ : FloorRing α<VAR>inst✝² : TopologicalSpace α<VAR>inst✝¹ : OrderClosedTopology α<VAR>inst✝ : TopologicalAddGroup α<VAR>n : ℤ<GOAL>Tendsto fract (𝓝[<] ↑n) (𝓝 (↑n - (↑n - 1)))
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>inst✝⁴ : LinearOrderedRing α<VAR>inst✝³ : FloorRing α<VAR>inst✝² : TopologicalSpace α<VAR>inst✝¹ : OrderClosedTopology α<VAR>inst✝ : TopologicalAddGroup α<VAR>n : ℤ<GOAL>Tendsto (fun x => ↑⌊x⌋) (𝓝[<] ↑n) (𝓝 (↑n - 1))
<VAR>R : Type u<VAR>S : Type v<VAR>inst✝² : CommRing R<VAR>inst✝¹ : Ring S<VAR>f : R[X]<VAR>inst✝ : Algebra R S<VAR>h : IsAdjoinRoot S f<VAR>p : R[X]<GOAL>h.map p = 0 ↔ f ∣ p
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>f : ι → α → β<VAR>hp : p ≠ 0<VAR>hp' : p ≠ ⊤<VAR>hfu : UniformIntegrable f p μ<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : 0 < ε<GOAL>∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>f : ι → α → β<VAR>hp : p ≠ 0<VAR>hp' : p ≠ ⊤<VAR>hfu : UniformIntegrable f p μ<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : 0 < ε<VAR>g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯<GOAL>∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>f : ι → α → β<VAR>hp : p ≠ 0<VAR>hp' : p ≠ ⊤<VAR>hfu : UniformIntegrable f p μ<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : 0 < ε<VAR>g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯<VAR>hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)<GOAL>∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>f : ι → α → β<VAR>hp : p ≠ 0<VAR>hp' : p ≠ ⊤<VAR>hfu : UniformIntegrable f p μ<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : 0 < ε<VAR>g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯<VAR>hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)<VAR>hgunif : UniformIntegrable g p μ<GOAL>∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>f : ι → α → β<VAR>hp : p ≠ 0<VAR>hp' : p ≠ ⊤<VAR>hfu : UniformIntegrable f p μ<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : 0 < ε<VAR>g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯<VAR>hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)<VAR>hgunif : UniformIntegrable g p μ<VAR>C : ℝ≥0<VAR>hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε<GOAL>∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>f : ι → α → β<VAR>hp : p ≠ 0<VAR>hp' : p ≠ ⊤<VAR>hfu : UniformIntegrable f p μ<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : 0 < ε<VAR>g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯<VAR>hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)<VAR>hgunif : UniformIntegrable g p μ<VAR>C : ℝ≥0<VAR>hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε<VAR>i : ι<GOAL>{x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i) =ᶠ[ae μ] {x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>ι : Type u_3<VAR>m : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>inst✝ : NormedAddCommGroup β<VAR>p : ℝ≥0∞<VAR>f : ι → α → β<VAR>hp : p ≠ 0<VAR>hp' : p ≠ ⊤<VAR>hfu : UniformIntegrable f p μ<VAR>ε : ℝ<VAR>hε : 0 < ε<VAR>g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯<VAR>hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)<VAR>hgunif : UniformIntegrable g p μ<VAR>C : ℝ≥0<VAR>hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε<VAR>i : ι<VAR>x : α<VAR>hx : f i x = Exists.choose ⋯ x<GOAL>{x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i) x = {x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i) x
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>γ : Type u_3<VAR>δ : Type u_4<VAR>R S : α → β → Prop<VAR>P : γ → δ → Prop<VAR>Rₐ : α → α → Prop<VAR>H : ∀ (a : α) (b : β), R a b → S a b<VAR>l₁ : List α<VAR>l₂ : List β<VAR>h : Forall₂ R l₁ l₂<GOAL>Forall₂ S l₁ l₂
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>𝕝 : Type u_2<VAR>E : Type u_3<VAR>F : Type u_4<VAR>β : Type u_5<VAR>inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜<VAR>inst✝⁵ : TopologicalSpace E<VAR>inst✝⁴ : TopologicalSpace F<VAR>inst✝³ : AddCommMonoid E<VAR>inst✝² : AddCommMonoid F<VAR>inst✝¹ : SMul 𝕜 E<VAR>inst✝ : SMul 𝕜 F<VAR>s✝ : Set E<VAR>x✝ y✝ : E<VAR>a✝ b✝ : 𝕜<VAR>ι : Sort u_6<VAR>s : ι → Set E<VAR>hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s<VAR>hs : ∀ ⦃i : ι⦄, StrictConvex 𝕜 (s i)<VAR>x : E<VAR>hx : x ∈ ⋃ i, s i<VAR>y : E<VAR>hy : y ∈ ⋃ i, s i<VAR>hxy : x ≠ y<VAR>a b : 𝕜<VAR>ha : 0 < a<VAR>hb : 0 < b<VAR>hab : a + b = 1<GOAL>a • x + b • y ∈ interior (⋃ i, s i)
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>𝕝 : Type u_2<VAR>E : Type u_3<VAR>F : Type u_4<VAR>β : Type u_5<VAR>inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜<VAR>inst✝⁵ : TopologicalSpace E<VAR>inst✝⁴ : TopologicalSpace F<VAR>inst✝³ : AddCommMonoid E<VAR>inst✝² : AddCommMonoid F<VAR>inst✝¹ : SMul 𝕜 E<VAR>inst✝ : SMul 𝕜 F<VAR>s✝ : Set E<VAR>x✝ y✝ : E<VAR>a✝ b✝ : 𝕜<VAR>ι : Sort u_6<VAR>s : ι → Set E<VAR>hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s<VAR>hs : ∀ ⦃i : ι⦄, StrictConvex 𝕜 (s i)<VAR>x : E<VAR>hx : ∃ i, x ∈ s i<VAR>y : E<VAR>hy : ∃ i, y ∈ s i<VAR>hxy : x ≠ y<VAR>a b : 𝕜<VAR>ha : 0 < a<VAR>hb : 0 < b<VAR>hab : a + b = 1<GOAL>a • x + b • y ∈ interior (⋃ i, s i)
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>𝕝 : Type u_2<VAR>E : Type u_3<VAR>F : Type u_4<VAR>β : Type u_5<VAR>inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜<VAR>inst✝⁵ : TopologicalSpace E<VAR>inst✝⁴ : TopologicalSpace F<VAR>inst✝³ : AddCommMonoid E<VAR>inst✝² : AddCommMonoid F<VAR>inst✝¹ : SMul 𝕜 E<VAR>inst✝ : SMul 𝕜 F<VAR>s✝ : Set E<VAR>x✝ y✝ : E<VAR>a✝ b✝ : 𝕜<VAR>ι : Sort u_6<VAR>s : ι → Set E<VAR>hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s<VAR>hs : ∀ ⦃i : ι⦄, StrictConvex 𝕜 (s i)<VAR>x y : E<VAR>hxy : x ≠ y<VAR>a b : 𝕜<VAR>ha : 0 < a<VAR>hb : 0 < b<VAR>hab : a + b = 1<VAR>i : ι<VAR>hx : x ∈ s i<VAR>j : ι<VAR>hy : y ∈ s j<VAR>k : ι<VAR>hik : s i ⊆ s k<VAR>hjk : s j ⊆ s k<GOAL>a • x + b • y ∈ interior (⋃ i, s i)
<VAR>ι : Type u_1<VAR>α : Type u_2<VAR>β : Type u_3<VAR>π : ι → Type u_4<VAR>inst✝ : BooleanAlgebra α<VAR>a b c d : α<GOAL>(a ∆ b)ᶜ = a ⇔ b
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁵ : MetricSpace α<VAR>m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>v : VitaliFamily μ<VAR>E : Type u_2<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝² : BorelSpace α<VAR>inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ<VAR>ρ : Measure α<VAR>inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ<VAR>hρ : ρ ⟂ₘ μ<GOAL>∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁵ : MetricSpace α<VAR>m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>v : VitaliFamily μ<VAR>E : Type u_2<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝² : BorelSpace α<VAR>inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ<VAR>ρ : Measure α<VAR>inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ<VAR>hρ : ρ ⟂ₘ μ<VAR>A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a<GOAL>∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁵ : MetricSpace α<VAR>m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>v : VitaliFamily μ<VAR>E : Type u_2<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝² : BorelSpace α<VAR>inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ<VAR>ρ : Measure α<VAR>inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ<VAR>hρ : ρ ⟂ₘ μ<VAR>A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a<VAR>u : ℕ → ℝ≥0<VAR>left✝ : StrictAnti u<VAR>u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<GOAL>∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁵ : MetricSpace α<VAR>m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>v : VitaliFamily μ<VAR>E : Type u_2<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝² : BorelSpace α<VAR>inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ<VAR>ρ : Measure α<VAR>inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ<VAR>hρ : ρ ⟂ₘ μ<VAR>A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a<VAR>u : ℕ → ℝ≥0<VAR>left✝ : StrictAnti u<VAR>u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a<GOAL>∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁵ : MetricSpace α<VAR>m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>v : VitaliFamily μ<VAR>E : Type u_2<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝² : BorelSpace α<VAR>inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ<VAR>ρ : Measure α<VAR>inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ<VAR>hρ : ρ ⟂ₘ μ<VAR>A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a<VAR>u : ℕ → ℝ≥0<VAR>left✝ : StrictAnti u<VAR>u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a<GOAL>∀ (a : α), (∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt a, ρ a < ↑(u n) * μ a) → (∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt a, 0 < μ a) → Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 0)
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁵ : MetricSpace α<VAR>m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>v : VitaliFamily μ<VAR>E : Type u_2<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝² : BorelSpace α<VAR>inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ<VAR>ρ : Measure α<VAR>inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ<VAR>hρ : ρ ⟂ₘ μ<VAR>A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a<VAR>u : ℕ → ℝ≥0<VAR>left✝ : StrictAnti u<VAR>u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a<VAR>x : α<VAR>hx : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a<VAR>h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a<GOAL>Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁵ : MetricSpace α<VAR>m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>v : VitaliFamily μ<VAR>E : Type u_2<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝² : BorelSpace α<VAR>inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ<VAR>ρ : Measure α<VAR>inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ<VAR>hρ : ρ ⟂ₘ μ<VAR>A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a<VAR>u : ℕ → ℝ≥0<VAR>left✝ : StrictAnti u<VAR>u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a<VAR>x : α<VAR>hx : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a<VAR>h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a<VAR>z : ℝ≥0∞<VAR>hz : z > 0<GOAL>∀ᶠ (b : Set α) in v.filterAt x, ρ b / μ b < z
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁵ : MetricSpace α<VAR>m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>v : VitaliFamily μ<VAR>E : Type u_2<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝² : BorelSpace α<VAR>inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ<VAR>ρ : Measure α<VAR>inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ<VAR>hρ : ρ ⟂ₘ μ<VAR>A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a<VAR>u : ℕ → ℝ≥0<VAR>left✝ : StrictAnti u<VAR>u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a<VAR>x : α<VAR>hx : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a<VAR>h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a<VAR>z : ℝ≥0∞<VAR>hz : z > 0<VAR>w : ℝ≥0<VAR>w_pos : 0 < ↑w<VAR>w_lt : ↑w < z<GOAL>∀ᶠ (b : Set α) in v.filterAt x, ρ b / μ b < z
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁵ : MetricSpace α<VAR>m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>v : VitaliFamily μ<VAR>E : Type u_2<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝² : BorelSpace α<VAR>inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ<VAR>ρ : Measure α<VAR>inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ<VAR>hρ : ρ ⟂ₘ μ<VAR>A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a<VAR>u : ℕ → ℝ≥0<VAR>left✝ : StrictAnti u<VAR>u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a<VAR>x : α<VAR>hx : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a<VAR>h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a<VAR>z : ℝ≥0∞<VAR>hz : z > 0<VAR>w : ℝ≥0<VAR>w_pos : 0 < ↑w<VAR>w_lt : ↑w < z<VAR>n : ℕ<VAR>hn : u n < w<GOAL>∀ᶠ (b : Set α) in v.filterAt x, ρ b / μ b < z
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝⁵ : MetricSpace α<VAR>m0 : MeasurableSpace α<VAR>μ : Measure α<VAR>v : VitaliFamily μ<VAR>E : Type u_2<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝³ : SecondCountableTopology α<VAR>inst✝² : BorelSpace α<VAR>inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ<VAR>ρ : Measure α<VAR>inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ<VAR>hρ : ρ ⟂ₘ μ<VAR>A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a<VAR>u : ℕ → ℝ≥0<VAR>left✝ : StrictAnti u<VAR>u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a<VAR>x : α<VAR>hx : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a<VAR>h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a<VAR>z : ℝ≥0∞<VAR>hz : z > 0<VAR>w : ℝ≥0<VAR>w_pos : 0 < ↑w<VAR>w_lt : ↑w < z<VAR>n : ℕ<VAR>hn : u n < w<GOAL>∀ (a : Set α), ρ a < ↑(u n) * μ a → 0 < μ a → μ a < ⊤ → ρ a / μ a < z