ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α<VAR>inst✝⁹ : MeasurableSpace α<VAR>μ✝ ν : Measure α<VAR>s k✝ : Set α<VAR>G : Type u_2<VAR>inst✝⁸ : Group G<VAR>inst✝⁷ : TopologicalSpace G<VAR>inst✝⁶ : TopologicalGroup G<VAR>inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace G<VAR>inst✝³ : BorelSpace G<VAR>μ : Measure G<VAR>inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant<VAR>inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ<VAR>inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop<VAR>k : Set G<VAR>h : μ.IsEverywherePos k<VAR>hk : IsCompact k<VAR>h'k : IsClosed k<VAR>u : ℕ → ℝ≥0∞<VAR>u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>W : ℕ → Set G<VAR>W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)<VAR>mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n<VAR>hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n<VAR>V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i<GOAL>IsGδ k
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<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α<VAR>inst✝⁹ : MeasurableSpace α<VAR>μ✝ ν : Measure α<VAR>s k✝ : Set α<VAR>G : Type u_2<VAR>inst✝⁸ : Group G<VAR>inst✝⁷ : TopologicalSpace G<VAR>inst✝⁶ : TopologicalGroup G<VAR>inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace G<VAR>inst✝³ : BorelSpace G<VAR>μ : Measure G<VAR>inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant<VAR>inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ<VAR>inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop<VAR>k : Set G<VAR>h : μ.IsEverywherePos k<VAR>hk : IsCompact k<VAR>h'k : IsClosed k<VAR>u : ℕ → ℝ≥0∞<VAR>u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>W : ℕ → Set G<VAR>W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)<VAR>mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n<VAR>hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n<VAR>V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i<VAR>x : G<VAR>hx : x ∈ ⋂ n, V n * k<GOAL>x ∈ k
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α<VAR>inst✝⁹ : MeasurableSpace α<VAR>μ✝ ν : Measure α<VAR>s k✝ : Set α<VAR>G : Type u_2<VAR>inst✝⁸ : Group G<VAR>inst✝⁷ : TopologicalSpace G<VAR>inst✝⁶ : TopologicalGroup G<VAR>inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace G<VAR>inst✝³ : BorelSpace G<VAR>μ : Measure G<VAR>inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant<VAR>inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ<VAR>inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop<VAR>k : Set G<VAR>h : μ.IsEverywherePos k<VAR>hk : IsCompact k<VAR>h'k : IsClosed k<VAR>u : ℕ → ℝ≥0∞<VAR>u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>W : ℕ → Set G<VAR>W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)<VAR>mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n<VAR>hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n<VAR>V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i<VAR>x : G<VAR>hx : x ∈ ⋂ n, V n * k<VAR>v : ℕ → G<VAR>hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i<VAR>y : ℕ → G<VAR>hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k<VAR>hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x x_1 => x * x_1) (v i) (y i) = x<GOAL>x ∈ k
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<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α<VAR>inst✝⁹ : MeasurableSpace α<VAR>μ✝ ν : Measure α<VAR>s k✝ : Set α<VAR>G : Type u_2<VAR>inst✝⁸ : Group G<VAR>inst✝⁷ : TopologicalSpace G<VAR>inst✝⁶ : TopologicalGroup G<VAR>inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace G<VAR>inst✝³ : BorelSpace G<VAR>μ : Measure G<VAR>inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant<VAR>inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ<VAR>inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop<VAR>k : Set G<VAR>h : μ.IsEverywherePos k<VAR>hk : IsCompact k<VAR>h'k : IsClosed k<VAR>u : ℕ → ℝ≥0∞<VAR>u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>W : ℕ → Set G<VAR>W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)<VAR>mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n<VAR>hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n<VAR>V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i<VAR>x : G<VAR>hx : x ∈ ⋂ n, V n * k<VAR>v : ℕ → G<VAR>hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i<VAR>y : ℕ → G<VAR>hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k<VAR>hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x x_1 => x * x_1) (v i) (y i) = x<VAR>z : G<VAR>zk : z ∈ k<VAR>hz : MapClusterPt z atTop y<VAR>A : ∀ (n : ℕ), μ ((x * z⁻¹) • k \ k) ≤ u n<GOAL>x ∈ k
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α<VAR>inst✝⁹ : MeasurableSpace α<VAR>μ✝ ν : Measure α<VAR>s k✝ : Set α<VAR>G : Type u_2<VAR>inst✝⁸ : Group G<VAR>inst✝⁷ : TopologicalSpace G<VAR>inst✝⁶ : TopologicalGroup G<VAR>inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace G<VAR>inst✝³ : BorelSpace G<VAR>μ : Measure G<VAR>inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant<VAR>inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ<VAR>inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop<VAR>k : Set G<VAR>h : μ.IsEverywherePos k<VAR>hk : IsCompact k<VAR>h'k : IsClosed k<VAR>u : ℕ → ℝ≥0∞<VAR>u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>W : ℕ → Set G<VAR>W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)<VAR>mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n<VAR>hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n<VAR>V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i<VAR>x : G<VAR>hx : x ∈ ⋂ n, V n * k<VAR>v : ℕ → G<VAR>hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i<VAR>y : ℕ → G<VAR>hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k<VAR>hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x x_1 => x * x_1) (v i) (y i) = x<VAR>z : G<VAR>zk : z ∈ k<VAR>hz : MapClusterPt z atTop y<VAR>A : ∀ (n : ℕ), μ ((x * z⁻¹) • k \ k) ≤ u n<VAR>B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0<GOAL>x ∈ k
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α<VAR>inst✝⁹ : MeasurableSpace α<VAR>μ✝ ν : Measure α<VAR>s k✝ : Set α<VAR>G : Type u_2<VAR>inst✝⁸ : Group G<VAR>inst✝⁷ : TopologicalSpace G<VAR>inst✝⁶ : TopologicalGroup G<VAR>inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace G<VAR>inst✝³ : BorelSpace G<VAR>μ : Measure G<VAR>inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant<VAR>inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ<VAR>inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop<VAR>k : Set G<VAR>h : μ.IsEverywherePos k<VAR>hk : IsCompact k<VAR>h'k : IsClosed k<VAR>u : ℕ → ℝ≥0∞<VAR>u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>W : ℕ → Set G<VAR>W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)<VAR>mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n<VAR>hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n<VAR>V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i<VAR>x : G<VAR>hx : x ∈ ⋂ n, V n * k<VAR>v : ℕ → G<VAR>hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i<VAR>y : ℕ → G<VAR>hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k<VAR>hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x x_1 => x * x_1) (v i) (y i) = x<VAR>z : G<VAR>zk : z ∈ k<VAR>hz : MapClusterPt z atTop y<VAR>A : ∀ (n : ℕ), μ ((x * z⁻¹) • k \ k) ≤ u n<VAR>B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0<VAR>C : μ (k \ (z * x⁻¹) • k) = 0<GOAL>x ∈ k
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α<VAR>inst✝⁹ : MeasurableSpace α<VAR>μ✝ ν : Measure α<VAR>s k✝ : Set α<VAR>G : Type u_2<VAR>inst✝⁸ : Group G<VAR>inst✝⁷ : TopologicalSpace G<VAR>inst✝⁶ : TopologicalGroup G<VAR>inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace G<VAR>inst✝³ : BorelSpace G<VAR>μ : Measure G<VAR>inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant<VAR>inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ<VAR>inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop<VAR>k : Set G<VAR>h : μ.IsEverywherePos k<VAR>hk : IsCompact k<VAR>h'k : IsClosed k<VAR>u : ℕ → ℝ≥0∞<VAR>u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>W : ℕ → Set G<VAR>W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)<VAR>mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n<VAR>hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n<VAR>V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i<VAR>x : G<VAR>hx : x ∈ ⋂ n, V n * k<VAR>v : ℕ → G<VAR>hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i<VAR>y : ℕ → G<VAR>hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k<VAR>hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x x_1 => x * x_1) (v i) (y i) = x<VAR>z : G<VAR>zk : z ∈ k<VAR>hz : MapClusterPt z atTop y<VAR>A : ∀ (n : ℕ), μ ((x * z⁻¹) • k \ k) ≤ u n<VAR>B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0<VAR>C : μ (k \ (z * x⁻¹) • k) = 0<VAR>H : ¬x ∈ k<GOAL>False
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α<VAR>inst✝⁹ : MeasurableSpace α<VAR>μ✝ ν : Measure α<VAR>s k✝ : Set α<VAR>G : Type u_2<VAR>inst✝⁸ : Group G<VAR>inst✝⁷ : TopologicalSpace G<VAR>inst✝⁶ : TopologicalGroup G<VAR>inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace G<VAR>inst✝³ : BorelSpace G<VAR>μ : Measure G<VAR>inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant<VAR>inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ<VAR>inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop<VAR>k : Set G<VAR>h : μ.IsEverywherePos k<VAR>hk : IsCompact k<VAR>h'k : IsClosed k<VAR>u : ℕ → ℝ≥0∞<VAR>u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>W : ℕ → Set G<VAR>W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)<VAR>mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n<VAR>hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n<VAR>V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i<VAR>x : G<VAR>hx : x ∈ ⋂ n, V n * k<VAR>v : ℕ → G<VAR>hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i<VAR>y : ℕ → G<VAR>hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k<VAR>hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x x_1 => x * x_1) (v i) (y i) = x<VAR>z : G<VAR>zk : z ∈ k<VAR>hz : MapClusterPt z atTop y<VAR>A : ∀ (n : ℕ), μ ((x * z⁻¹) • k \ k) ≤ u n<VAR>B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0<VAR>C : μ (k \ (z * x⁻¹) • k) = 0<VAR>H : ¬x ∈ k<VAR>this : k ∩ ((z * x⁻¹) • k)ᶜ ∈ 𝓝[k] z<GOAL>False
<VAR>α : Type u_1<VAR>inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α<VAR>inst✝⁹ : MeasurableSpace α<VAR>μ✝ ν : Measure α<VAR>s k✝ : Set α<VAR>G : Type u_2<VAR>inst✝⁸ : Group G<VAR>inst✝⁷ : TopologicalSpace G<VAR>inst✝⁶ : TopologicalGroup G<VAR>inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G<VAR>inst✝⁴ : MeasurableSpace G<VAR>inst✝³ : BorelSpace G<VAR>μ : Measure G<VAR>inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant<VAR>inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ<VAR>inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop<VAR>k : Set G<VAR>h : μ.IsEverywherePos k<VAR>hk : IsCompact k<VAR>h'k : IsClosed k<VAR>u : ℕ → ℝ≥0∞<VAR>u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1<VAR>u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)<VAR>W : ℕ → Set G<VAR>W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)<VAR>mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n<VAR>hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n<VAR>V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i<VAR>x : G<VAR>hx : x ∈ ⋂ n, V n * k<VAR>v : ℕ → G<VAR>hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i<VAR>y : ℕ → G<VAR>hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k<VAR>hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x x_1 => x * x_1) (v i) (y i) = x<VAR>z : G<VAR>zk : z ∈ k<VAR>hz : MapClusterPt z atTop y<VAR>A : ∀ (n : ℕ), μ ((x * z⁻¹) • k \ k) ≤ u n<VAR>B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0<VAR>C : μ (k \ (z * x⁻¹) • k) = 0<VAR>H : ¬x ∈ k<VAR>this✝ : k ∩ ((z * x⁻¹) • k)ᶜ ∈ 𝓝[k] z<VAR>this : 0 < μ (k \ (z * x⁻¹) • k)<GOAL>False
<VAR>𝕜 : Type u_1<VAR>inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜<VAR>E : Type u_2<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E<VAR>F : Type u_3<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F<VAR>G : Type u_4<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup G<VAR>inst✝² : NormedSpace 𝕜 G<VAR>G' : Type u_5<VAR>inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'<VAR>inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'<VAR>f f₀ f₁ g : E → F<VAR>f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F<VAR>x : E<VAR>s t : Set E<VAR>L L₁ L₂ : Filter E<VAR>hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x<VAR>c : F<GOAL>fderivWithin 𝕜 (fun y => f y - c) s x = fderivWithin 𝕜 f s x
<VAR>X : Type u<VAR>Y : Type v<VAR>Z : Type u_1<VAR>W : Type u_2<VAR>ε : Type u_3<VAR>ζ : Type u_4<VAR>inst✝⁵ : TopologicalSpace X<VAR>inst✝⁴ : TopologicalSpace Y<VAR>inst✝³ : TopologicalSpace Z<VAR>inst✝² : TopologicalSpace W<VAR>inst✝¹ : TopologicalSpace ε<VAR>inst✝ : TopologicalSpace ζ<VAR>x : X<VAR>y : Y<VAR>s : Set (X × Y)<GOAL>(∃ i, ((x ∈ i.1 ∧ IsOpen i.1) ∧ y ∈ i.2 ∧ IsOpen i.2) ∧ i.1 ×ˢ i.2 ⊆ s) ↔ ∃ u v, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ IsOpen v ∧ y ∈ v ∧ u ×ˢ v ⊆ s
<VAR>M : Type u_1<VAR>inst✝² : CommMonoid M<VAR>S : Submonoid M<VAR>N : Type u_2<VAR>inst✝¹ : CommMonoid N<VAR>P : Type u_3<VAR>inst✝ : CommMonoid P<VAR>f : S.LocalizationMap N<VAR>a₁ b₁ : M<VAR>a₂ b₂ : ↥S<VAR>H : b₁ * ↑a₂ = a₁ * ↑b₂<GOAL>↑a₂ * b₁ = ↑b₂ * a₁
<VAR>R : Type u_1<VAR>inst✝¹ : Monoid R<VAR>inst✝ : StarMul R<VAR>U : R<VAR>hU : U ∈ unitary R<GOAL>star (star U) * star U = 1
<VAR>R : Type u_1<VAR>inst✝¹ : Monoid R<VAR>inst✝ : StarMul R<VAR>U : R<VAR>hU : U ∈ unitary R<GOAL>star U * star (star U) = 1
<VAR>F : Type u<VAR>inst✝² : Field F<VAR>K : Type v<VAR>inst✝¹ : Field K<VAR>inst✝ : CharZero F<VAR>f : F[X]<VAR>hf : Irreducible f<GOAL>f.Separable
<VAR>F : Type u<VAR>inst✝² : Field F<VAR>K : Type v<VAR>inst✝¹ : Field K<VAR>inst✝ : CharZero F<VAR>f : F[X]<VAR>hf : Irreducible f<GOAL>¬↑(f.natDegree - 1) = ⊥
<VAR>F : Type u<VAR>inst✝² : Field F<VAR>K : Type v<VAR>inst✝¹ : Field K<VAR>inst✝ : CharZero F<VAR>f : F[X]<VAR>hf : Irreducible f<GOAL>0 < f.natDegree
<VAR>F : Type u<VAR>inst✝² : Field F<VAR>K : Type v<VAR>inst✝¹ : Field K<VAR>inst✝ : CharZero F<VAR>f : F[X]<VAR>hf : Irreducible f<GOAL>¬f = C (f.coeff 0)
<VAR>F : Type u<VAR>inst✝² : Field F<VAR>K : Type v<VAR>inst✝¹ : Field K<VAR>inst✝ : CharZero F<VAR>f : F[X]<VAR>hf : Irreducible f<VAR>hf1 : f = C (f.coeff 0)<GOAL>IsUnit f
<VAR>F : Type u<VAR>inst✝² : Field F<VAR>K : Type v<VAR>inst✝¹ : Field K<VAR>inst✝ : CharZero F<VAR>f : F[X]<VAR>hf : Irreducible f<VAR>hf1 : f = C (f.coeff 0)<GOAL>f.coeff 0 ≠ 0
<VAR>F : Type u<VAR>inst✝² : Field F<VAR>K : Type v<VAR>inst✝¹ : Field K<VAR>inst✝ : CharZero F<VAR>f : F[X]<VAR>hf : Irreducible f<VAR>hf1 : f = C (f.coeff 0)<VAR>hf2 : f.coeff 0 = 0<GOAL>False
<VAR>F : Type u<VAR>inst✝² : Field F<VAR>K : Type v<VAR>inst✝¹ : Field K<VAR>inst✝ : CharZero F<VAR>f : F[X]<VAR>hf : Irreducible f<VAR>hf1 : f = 0<VAR>hf2 : f.coeff 0 = 0<GOAL>False
<VAR>α : Type u_1<VAR>β : Type u_2<VAR>R : Type u_3<VAR>t u : Finset α<VAR>f : α → β<VAR>n : ℕ<VAR>val✝ : Multiset α<VAR>nodup✝ : val✝.Nodup<GOAL>{ val := val✝, nodup := nodup✝ }.card = 1 ↔ ∃ a, { val := val✝, nodup := nodup✝ } = {a}
<GOAL>rexp 1 < 0.36787944116⁻¹
<VAR>ι : Type u<VAR>E : Type v<VAR>F : Type w<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝² : NormedSpace ℝ F<VAR>I J : Box ι<VAR>π : TaggedPrepartition I<VAR>inst✝¹ : Fintype ι<VAR>l : IntegrationParams<VAR>f g : (ι → ℝ) → E<VAR>vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F<VAR>y y' : F<VAR>inst✝ : CompleteSpace F<GOAL>Integrable I l f vol ↔ ∀ ε > 0, ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ → π₁.IsPartition → l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ → π₂.IsPartition → dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε
<VAR>ι : Type u<VAR>E : Type v<VAR>F : Type w<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝² : NormedSpace ℝ F<VAR>I J : Box ι<VAR>π : TaggedPrepartition I<VAR>inst✝¹ : Fintype ι<VAR>l : IntegrationParams<VAR>f g : (ι → ℝ) → E<VAR>vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F<VAR>y y' : F<VAR>inst✝ : CompleteSpace F<GOAL>(∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition} ×ˢ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, (integralSum f vol x.1, integralSum f vol x.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ib}) ↔ ∀ ε > 0, ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ → π₁.IsPartition → l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ → π₂.IsPartition → dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε
<VAR>ι : Type u<VAR>E : Type v<VAR>F : Type w<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝² : NormedSpace ℝ F<VAR>I J : Box ι<VAR>π : TaggedPrepartition I<VAR>inst✝¹ : Fintype ι<VAR>l : IntegrationParams<VAR>f g : (ι → ℝ) → E<VAR>vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F<VAR>y y' : F<VAR>inst✝ : CompleteSpace F<VAR>ε : ℝ<VAR>x✝ : 0 < ε<VAR>r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)<GOAL>((∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π ∧ π.IsPartition} ×ˢ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π ∧ π.IsPartition}, (integralSum f vol x.1, integralSum f vol x.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}) ↔ (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ → π₁.IsPartition → l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ → π₂.IsPartition → dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε
<VAR>ι : Type u<VAR>E : Type v<VAR>F : Type w<VAR>inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝³ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝² : NormedSpace ℝ F<VAR>I J : Box ι<VAR>π : TaggedPrepartition I<VAR>inst✝¹ : Fintype ι<VAR>l : IntegrationParams<VAR>f g : (ι → ℝ) → E<VAR>vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F<VAR>y y' : F<VAR>inst✝ : CompleteSpace F<VAR>ε : ℝ<VAR>x✝ : 0 < ε<VAR>r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)<GOAL>((∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (a b : TaggedPrepartition I) (x : ℝ≥0), l.MemBaseSet I x (r x) a → a.IsPartition → ∀ (x : ℝ≥0), l.MemBaseSet I x (r x) b → b.IsPartition → dist (integralSum f vol a) (integralSum f vol b) ≤ ε) ↔ (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ → π₁.IsPartition → l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ → π₂.IsPartition → dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε
<VAR>E : Type u_1<VAR>F : Type u_2<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝³ : NormedSpace ℝ F<VAR>s : Set E<VAR>f : E → E<VAR>f'✝ : E → E →L[ℝ] E<VAR>inst✝² : MeasurableSpace E<VAR>inst✝¹ : BorelSpace E<VAR>μ : Measure E<VAR>inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure<VAR>A : E →L[ℝ] E<VAR>δ : ℝ≥0<VAR>hf : ApproximatesLinearOn f A s δ<VAR>hs : MeasurableSet s<VAR>f' : E → E →L[ℝ] E<VAR>hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x<GOAL>∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, ‖f' x - A‖₊ ≤ δ
<VAR>E : Type u_1<VAR>F : Type u_2<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝³ : NormedSpace ℝ F<VAR>s : Set E<VAR>f : E → E<VAR>f'✝ : E → E →L[ℝ] E<VAR>inst✝² : MeasurableSpace E<VAR>inst✝¹ : BorelSpace E<VAR>μ : Measure E<VAR>inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure<VAR>A : E →L[ℝ] E<VAR>δ : ℝ≥0<VAR>hf : ApproximatesLinearOn f A s δ<VAR>hs : MeasurableSet s<VAR>f' : E → E →L[ℝ] E<VAR>hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x<GOAL>∀ (a : E), Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall a r) / μ (closedBall a r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1) → a ∈ s → ‖f' a - A‖₊ ≤ δ
<VAR>E : Type u_1<VAR>F : Type u_2<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝³ : NormedSpace ℝ F<VAR>s : Set E<VAR>f : E → E<VAR>f'✝ : E → E →L[ℝ] E<VAR>inst✝² : MeasurableSpace E<VAR>inst✝¹ : BorelSpace E<VAR>μ : Measure E<VAR>inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure<VAR>A : E →L[ℝ] E<VAR>δ : ℝ≥0<VAR>hf : ApproximatesLinearOn f A s δ<VAR>hs : MeasurableSet s<VAR>f' : E → E →L[ℝ] E<VAR>hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x<VAR>x : E<VAR>hx : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)<VAR>xs : x ∈ s<GOAL>‖f' x - A‖₊ ≤ δ
<VAR>E : Type u_1<VAR>F : Type u_2<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝³ : NormedSpace ℝ F<VAR>s : Set E<VAR>f : E → E<VAR>f'✝ : E → E →L[ℝ] E<VAR>inst✝² : MeasurableSpace E<VAR>inst✝¹ : BorelSpace E<VAR>μ : Measure E<VAR>inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure<VAR>A : E →L[ℝ] E<VAR>δ : ℝ≥0<VAR>hf : ApproximatesLinearOn f A s δ<VAR>hs : MeasurableSet s<VAR>f' : E → E →L[ℝ] E<VAR>hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x<VAR>x : E<VAR>hx : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)<VAR>xs : x ∈ s<VAR>z : E<GOAL>‖(f' x - A) z‖ ≤ ↑δ * ‖z‖
<VAR>E : Type u_1<VAR>F : Type u_2<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝³ : NormedSpace ℝ F<VAR>s : Set E<VAR>f : E → E<VAR>f'✝ : E → E →L[ℝ] E<VAR>inst✝² : MeasurableSpace E<VAR>inst✝¹ : BorelSpace E<VAR>μ : Measure E<VAR>inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure<VAR>A : E →L[ℝ] E<VAR>δ : ℝ≥0<VAR>hf : ApproximatesLinearOn f A s δ<VAR>hs : MeasurableSet s<VAR>f' : E → E →L[ℝ] E<VAR>hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x<VAR>x : E<VAR>hx : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)<VAR>xs : x ∈ s<VAR>z : E<GOAL>∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ‖(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
<VAR>E : Type u_1<VAR>F : Type u_2<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝³ : NormedSpace ℝ F<VAR>s : Set E<VAR>f : E → E<VAR>f'✝ : E → E →L[ℝ] E<VAR>inst✝² : MeasurableSpace E<VAR>inst✝¹ : BorelSpace E<VAR>μ : Measure E<VAR>inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure<VAR>A : E →L[ℝ] E<VAR>δ : ℝ≥0<VAR>hf : ApproximatesLinearOn f A s δ<VAR>hs : MeasurableSet s<VAR>f' : E → E →L[ℝ] E<VAR>hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x<VAR>x : E<VAR>hx : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)<VAR>xs : x ∈ s<VAR>z : E<VAR>ε : ℝ<VAR>εpos : 0 < ε<GOAL>‖(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
<VAR>E : Type u_1<VAR>F : Type u_2<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝³ : NormedSpace ℝ F<VAR>s : Set E<VAR>f : E → E<VAR>f'✝ : E → E →L[ℝ] E<VAR>inst✝² : MeasurableSpace E<VAR>inst✝¹ : BorelSpace E<VAR>μ : Measure E<VAR>inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure<VAR>A : E →L[ℝ] E<VAR>δ : ℝ≥0<VAR>hf : ApproximatesLinearOn f A s δ<VAR>hs : MeasurableSet s<VAR>f' : E → E →L[ℝ] E<VAR>hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x<VAR>x : E<VAR>hx : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)<VAR>xs : x ∈ s<VAR>z : E<VAR>ε : ℝ<VAR>εpos : 0 < ε<VAR>B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε)).Nonempty<GOAL>‖(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
<VAR>E : Type u_1<VAR>F : Type u_2<VAR>inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E<VAR>inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E<VAR>inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E<VAR>inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F<VAR>inst✝³ : NormedSpace ℝ F<VAR>s : Set E<VAR>f : E → E<VAR>f'✝ : E → E →L[ℝ] E<VAR>inst✝² : MeasurableSpace E<VAR>inst✝¹ : BorelSpace E<VAR>μ : Measure E<VAR>inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure<VAR>A : E →L[ℝ] E<VAR>δ : ℝ≥0<VAR>hf : ApproximatesLinearOn f A s δ<VAR>hs : MeasurableSet s<VAR>f' : E → E →L[ℝ] E<VAR>hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x<VAR>x : E<VAR>hx : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)<VAR>xs : x ∈ s<VAR>z : E<VAR>ε : ℝ<VAR>εpos : 0 < ε<VAR>B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε)).Nonempty<VAR>ρ : ℝ<VAR>ρpos : ρ > 0<VAR>hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - (f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}<GOAL>‖(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε